Enciclopedia - Álgebra Lineal

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Algebra Lineal – Sección 10

Integrantes:

Boggdan Josué Barrientos Cifuentes 14484 Karen Dayane García Velásquez 14656 Marcos Ovalle Masella 14194 Manolo Estuardo Ramírez Aguilar 14005

1.1

Vector Es un segmento de recta que esta limitada entre dos puntos. Esto quiere decir que del punto A al B hay un vector llamado AB. Considerando que los vectores son caracter铆sticos en tener magnitud y direcci贸n.

Punto inicial u origen Es el punto de donde se inicia a marcar el vector, esto quiere decir que es de donde sale el vector.

Punto terminal o punta Es donde el vector tiende a estar limitado luego de haber salido de su origen con una magnitud y direcciĂłn.

Componentes Los vectores tienden a representarte por medio de componentes, las cuales son nĂşmeros ordenados y reales.

vectores columna Es cuando los componentes de un vector se colocan de forma en columna, esto quiere decir que serĂ­a como una matriz de una sola columna.

Vectores rengl贸n Es cuando el orden de los componentes se coloca en rengl贸n, esto quiere decir que esta uno a la par de otro.

Vector cero Es aquel vector que va a tener cero en todos sus componentes. Esto quiere decir que su longitud o modulo es cero.

Ejemplo: (0,0)

Plano Cartesiano Posee dos rectas num茅ricas que se intersentan entre si en un punto (0,0), de manera que una es ortogonal a la otra. El nombre que posee el eje x (recta horizontal) se llaman abscisas y la del eje y (recta vertical) se llaman ordenadas. Por lo tanto, pueden colocarse vectores, los cuales hacen representaci贸n a las componentes que posee el plano. De esta manera son colocados y dibujando en respectivo plano.

Vector negativo Es aquel que tiene una diferencia con un vector de 180 grados y con una direcci贸n inversa. Claramente esto considera que tienen la misma magnitud y solo su direcci贸n es la diferencia.

Vector equivalentes Dos vectores son equivalentes si la diferencias de su punto terminal con el inicial coinciden. Esto quiere decir que tienen la misma magnitud y sentido (Santillana Educaci贸n, 2008)

Ejemplo: AB=(-2-(-4),3-2)=(2,1) CD=(2-0,2-1)=(2,1)

Vectores paralelos Dos vector son paralelos solo cuando son m煤ltiplos escalares.

Ejemplo: AB=(-2-(-4),3-2)=(2,1) CD=(2-0,2-1)=(2,1) EF=(-1-3,-3-(1))=(-4,-2) EF es proporcional a AB y CD: (2/-4)=(1/-2), Esto quiere decir que AB, CD y EF son paralelos (Santillana Educaci贸n, 2008).

PosiciĂłn estĂĄndar Es cuando el vector inicia desde el origen del plano respectivo. Esto quiere que el punto inicial del vector es en el origen del plano cartesiano.

Magnitud La magnitud de un vector se define por la distancia de su punto inicial y su punto final. La manera en la que se escribe la magnitud de cierto vector es ‖đ?‘ˇđ?‘¸â€–. Para obtener la magnitud de un vector se debe calcular por medio de: √(đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2 + (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2 .

Ejemplo: El vector v tiene los siguientes puntos: Punto inicial: (1,2) Punto final:(5,6) ‖đ?’—‖ = √(5 − 1)2 + (6 − 2)2 = √16 + 16 = √32

Suma de vectores Para operar suma de vectores, se debe considerar que es un a operación vectorial båsica. Por lo tanto, la suma de ciertos vectores da como resultados un tercer vector que es el resultado de u y v. � = [�1 , �2 ] y � = [�1 , �2 ] � + � = [�1 + �1 , �2 + �2 ]

MultiplicaciĂłn escalar Dado un vector v y un nĂşmero real. Se obtiene un mĂşltiplo escalar cv. → [đ?‘?đ?‘Ł1 , đ?‘?đ?‘Ł2 ] GeomĂŠtricamente cv es una versiĂłn a escala de v.

Vectores en â„?3 Los vectores en â„?3 se basa de realizar respectivos vectores en tres ejes. Para poder dibujar un vector en â„?3 se debe trazar primero sus componentes en el eje x, luevo se debe mover los espacios indicados en el eje y, y finalmente se realizar los componentes del eje z.

Propiedades algebraicas en â„?đ?‘› Sea u,v,w vctores en â„?đ?‘› y sea c y d escalares, se cumplen las siguientes condiciones: A. B. C. D. E. F. G. H.

U+V=V+U (U + V) + W = U + (U + W) U + 0= U U + (-U) = 0 c (U + V) = cU + cV (c + d) U = cU + dU c(dU) = (cd) U 1U= U

CombinaciĂłn lineal Una combinaciĂłn lineal de vectores con otro vector, se basa de que la multiplicacion de sus coeficientes escalares con los vectores brinden el otro vector. Por ejemplo: đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;“ El vector đ?’– = [−đ?&#x;?]es combinaciĂłn lineal de đ?’— = [ đ?&#x;Ž ] đ?’Œ = [−đ?&#x;‘] đ?’‹ = [−đ?&#x;’] . −đ?&#x;? −đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;Ž 1 2 2 5 3 [ 0 ] + 2 [−3] − [−4] = [−2] −1 1 −1 0

Cuadricula coordinada Una cuadricula coordinada se basa en facilitar el dibujo de combinaciones de vectores, de tal manera puede llegar a obtener los vectores deseados de manera mĂĄs exacta.

Vectores binarios Estos vectores poseen componentes que solamente se basan de cero y uno. Para utilizar cero y uno se debe modificar la aritmĂŠtica conocida. Por ejemplo: al tener dos nĂşmero 1 que se esten sumando, normalmente dirian que es 2. Pero en estos vectores, al realizar esta suma debe de dar 0.

MĂłdulo Los modulos se basan de la modificaciĂłn que se debe realizar a la aritmĂŠtica. Por ejemplo: en el caso de el mĂłdulos sea 2, quiere decir que sus componentes solo puede ser 0 y 1. En el caso que sea mĂłdulo 3, los componentes serĂ­an 0,1, y 2. AsĂ­ sucesivamente se pueden obtener diferentes modulos que varĂ­an uno respecto de otro.

Vectores de longitud n Los vectores pueden tener un modulo que difiere de su longitud. Estos se ven representados de la siguiente manera: ℤ�2 . Esto quiere decir que es un vector binario de longitud n. Ejemplo: 

1.2

ℤ52 un vector de modulo 2 y de longitud 5, se puede representar: � = [1,0,1,1,0].

Vector ortogonal Dos vectores son ortogonales si el ĂĄngulo entre ellos es de pi/2 o 90Âş (ĂĄngulo recto). Entonces dos vectores que son ortogonales por ende el producto punto entre ellos va a dar cero (đ?‘˘ ∙ đ?‘Ł = 0).

Ejemplo: U=(1, 1,-2) V=(3,1,2) đ?‘˘ ∙ đ?‘Ł = 3+1-4=0

Producto punto El producto punto es la suma de los componentes que corresponden a los vectores que se les este aplicando. Claramente, para llevar cabo este proceso se debe considerar que deben tener la misma longitud, posee una propiedad conmutativa, y el resultado es un escalar y no un vector. Se le conoce como producto escalar y producto punto. Ejemplo: đ?&#x;? −3 đ?’–=[ đ?&#x;? ] đ?’—=[ 5 ] −đ?&#x;‘ 2 đ?’– ∙ đ?’— = 1 ∗ (−3) + 2 ∗ 5 + 2 ∗ (−3) = 1

Teorema 1.2 Sea u,v y w vectores en â„?đ?‘› y c un escalar. Entonces: A. B. C. D.

u∙v = v ∙u u∙(v + w)= c(u∙v) (cu) ∙v = c(u∙v) u∙ đ??Ž ≼ 0 y u∙ đ??Ž = 0 si y solo si đ??Ž = đ?&#x;Ž

Teorema 1.3 Sea v un vector en â„?đ?‘› y sea c un escalar. Entonces: A. ‖đ??Żâ€– = 0 đ?‘ đ?‘– đ?‘Ś đ?‘ Ăłđ?‘™đ?‘œ đ?‘ đ?‘– đ??Ż = đ?&#x;Ž B. ‖đ?‘?đ?’—‖ = |đ?‘?|‖đ??Żâ€–

Longitud En IR2 la longitud del vector đ??Ż = [a , b] es la distancia desde el origen hasta el punto (a,b) que por PitĂĄgoras este dado por √đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 . En IRn para cualquier vector v estĂĄ definido por √đ?‘Ł1 2 + đ?‘Ł2 2 + đ?‘Ł3 2 ‌ . . +đ?‘Łđ?‘› 2

Vector unitario TambiĂŠn llamado normalizar un vector y se utiliza cuando se necesita un vector unitario con la đ?’— misma direcciĂłn. Para normalizar un vector se divide este por su mĂłdulo. đ?’– = ||đ?‘Ł|| Ejemplo: Si v es un vector de componentes (3,4) hallar un vector unitario con su misma direcciĂłn y sentido. đ??Ż = [3 , 4]

||v|| = √32 + 42 = 5

đ?’–=

đ?&#x;? ∙ đ?&#x;“

(3,4)

La desigualdad de Cauchy Shawarz Para todos los vectores u y v en IRn estĂĄ definido como: |đ?’– ∙ đ?’—| ≤ ||đ?’–||||đ?’—||

Desigualdad del triangulo Para todos los vectores u y v en IRn estå definido como: |||� + �|| ≤ ||�|| + ||�||

Distancia de d(u,v) La distancia estĂĄ dada por |u-v|, redefinida para cualquier vector en IRn estĂĄ dada por: đ?‘‘(đ?’–, đ?’—) = ||đ?’– − đ?’—|| Ejemplo: Encuentre la distancia entre A(2,1) y B(-3,2) |đ?‘¨đ?‘Š| = √(−3 − 2)2 + (2 − 1)2 = √26

3 4

đ?’– = (5 , 5)

Angulo entre dos vectores El ĂĄngulo para vectores u y v en IRn estĂĄ dado por: cos đ?œƒ =

đ?’– ∙đ?’— ||đ?’–||||đ?’—||

Ejemplo: Calcular el ĂĄngulo entre los vectores a(3,4) y b(4,3) cos đ?œƒ =

đ?’‚ ∙đ?’ƒ ||đ?’‚||||đ?’ƒ||

=

3∙4+4∙3 √32

+

42

√42

+

32

=

24 25

El ångulo se encuentra aplicando el coseno inverso y da un resultado de: 16.26°

Teorema de PitĂĄgoras EstĂĄ definido para todos los vectores u y v en IRn sĂ­ y solo sĂ­ u y v son ortogonales. Se define como: 2

2

|||đ?’– + đ?’—||2 = ||đ?’–|| + ||đ?’—||

Proyecciones Es la distancia desde un punto hasta una recta. Si u y v son vectores en IRn y u ≠0 entonces la proyecciĂłn de v sobre u es igual a: đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś(đ?‘Ł)đ?‘˘ = (

đ?’–∙đ?’—

đ?’–∙đ?’–

)đ?’–

Ejemplo: Calcular la proyecciĂłn de u (2,-5) sobre v(5,1) 2 ∙ 5 + −5 ∙ 1 5 25/26 (5,1) = đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś(đ?‘˘)đ?‘Ł = ( ) (5,1) = 5∙5+1∙1 26 5/26 25 5 , ] 26 26

đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś(đ?‘˘)đ?‘Ł = [

Normalización de un vector Es encontrar un vector unitario con la misma dirección y sentido.

1.3 Rectas en R2 Son aquellas rectas que son ubicadas en un plano cartesiano con ejes X e Y.

Vector normal Es aquel que es perpendicular a la recta y ortogonal a cuaquier vector x que sea paralelo a la recta. nx=0 es la forma normal de la ecuacion de L. Ejemplo: La recta 2x+y=0 tiene un vector normal [2,1].

Vector director Es un vector paralelo a la recta. Esto tambien implicaría que el vector director es perpendicular al vector nomal de respectiva recta.

Rectas Una recta pasa por el origen si el valor que forman sus incĂłgnitas es (C=0). Si se tiene la forma normal se efectĂşa un producto escalar con ellos y se obtiene la forma general.

Forma general de la ecuaciĂłn en R2 La ecuaciĂłn de la recta es ax+by=c, donde el vector normal de la recta es [a,b].

Forma normal de la ecuacion de la recta en R2 La forma normal de la ecuaciĂłn de una recta en R2 es nď‚&#x;x= nď‚&#x;p. Donde n es el vector normal (forma 90 grados sobre la recta), no importa si la recta no pasa por el origen, X es un punto en la recta y p es un punto conocido en la recta. Ejemplo: EcuaciĂłn general de la recta: 2x+y=5 Punto sobre la recta: (1,3) đ?’?∙đ?’™=đ?’™âˆ™đ?’‘ 2 đ?‘Ľ 2 1 [ ]∙[ ] = [ ]∙[ ] 1 đ?‘Ś 1 3

Forma vectorial: đ?‘Ľ = đ?‘? + đ?‘‡đ?‘‘ Esta tambiĂŠn cumple cuando se habla en R3 solo que se debe tener en cuenta que solo existen tres componentes. Donde X son los planos para los que existen los vectores, p es un punto conocido, t es un escalar y d es el vector direcciĂłn que es perpendicular al vector normal.

Ecuaciones paramĂŠtricas Estas consisten en despejar las variables de los planos con respecto a la forma vectorial para que estas queden de un lado del igual. Se pueden trabajar en R3 pero esta nos deja despejadas 3 ecuaciones, es decir una para cada componente. đ?‘Ľ = đ?‘?1 + đ?‘‡đ?‘‘1

Ecuaciones simĂŠtricas

Solo se trabajan en R3 y consiste en despejar (t) de cada ecuaciĂłn paramĂŠtrica y luego igualar las tres. đ?‘Ľ − đ?‘ƒ1 đ?‘Ś − đ?‘ƒ2 đ?‘§ − đ?‘ƒ3 = = đ?‘‘1 đ?‘‘2 đ?‘‘3

Planos en R3 Forma general de la ecuacion de un plano La forma general de un plano en R3 se ve manifestado por tres componentes, por ende su representacion es ax+by+cz=d, donde el vector normal que puede manifestarse en erespectivo plano es [a,b,c].

Forma normal de la ecuacion de un plano En R3 la forma normal de un plano se ve representado por đ?’? ∙ (đ?’™ − đ?’‘) = 0 o đ?’? ∙ đ?’™ = đ?’™ ∙ đ?’‘. Donde p es un punto en el plano y el vector normal difiere de cero.

Forma vectorial de la ecuaciĂłn de un plano La ecuaciĂłn de un plano en R3 es đ?’™ = đ?’‘ + đ?‘ đ?’– + đ?‘Ąđ?’—. Donde p es un punto sobre el plano y u, y v son vectores directores para el plano, aun mĂĄs esto no implica que u y v sean paralelos.

Forma paramĂŠtrica de un plano La forma parametrica de un plano es: đ?’™ = đ?’‘đ?&#x;? + đ?‘ đ?’–đ?&#x;? + đ?‘Ąđ?’—đ?&#x;? đ?’š = đ?’‘đ?&#x;? + đ?‘ đ?’–đ?&#x;? + đ?‘Ąđ?’—đ?&#x;? đ?’› = đ?’‘đ?&#x;‘ + đ?‘ đ?’–đ?&#x;‘ + đ?‘Ąđ?’—đ?&#x;‘

Hiperplano Es un plano en IR3 determinado por una sola ecuaciĂłn de tipo general.

DimensiĂłn del espacio Esta dada por la siguiente ecuaciĂłn: đ?‘‘đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘œđ?‘?đ?‘—đ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ + đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘ đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ = đ?‘‘đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œ

Distancia de un punto a una recta Para encontrar esa distancia se describen los siguientes pasos: 1. Trazar el vector desde un punto P sobre la recta hasta F. 2. Encontrar la proyecciĂłn de PF sobre el vector direcciĂłn de la recta. đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś(đ?‘ƒđ??š)đ?‘‘

3. đ?’™ = đ?‘ƒđ??š − đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś(đ?‘ƒđ??š)đ?‘‘ 4. La distancia del punto F a la recta estĂĄ dado por la magnitud de x.

Producto Cruz o Producto vectorial Su resultado es un vector, este producto solo estĂĄ definido para vectores en (R3), el producto es ortogonal a los dos vectores que lo forman. Sus propiedades son:

Con

y

,

anulaciĂłn del producto vectorial

proporciona la condiciĂłn de paralelismo entre dos direcciones. .

, ,

El mĂłdulo o norma del producto vectorial puede calcularse fĂĄcilmente sin hacer el producto vectorial:

El vector unitario

es normal al plano que contiene a los vectores

y

.

1.4

Distancia de un punto a un plano Se traza el vector desde un punto P del plano hasta el punto F, se realiza la proyecciĂłn de PF sobre la normal del plano y la magnitud de la proyecciĂłn es la distancia entre el punto F hasta el plano. ||đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ś(đ?‘ƒđ??š)đ?‘› ||

Fuerza resultante Es el resultado neto de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto.

Equilibrio de un objeto Se dice que un objeto está en equilibrio cuando las fuerzas que actúan sobre el suman cero.

Descomposición de vectores La descomposición de un vector fuerza en otros vectores que cuya resultante es el vector dado.

Vectores Código Se utilizan para la transmisión de información. En algebra nos concentramos en los códigos utilizados para la transmisión de datos de manera electrónica.

Código binario Es un conjunto de vectores binarios, llamado vectores código.

Codificación El proceso de convertir un mensaje en vectores código se llama codificación.

Decodificación Es el proceso inverso a la codificación, este proceso consiste en encontrar el mensaje que se transmite a través del código.

Código de detección de error Su propósito es detectar posibles errores en los datos, mientras que los códigos detectores y correctores de error no sólo pretenden detectar errores, sino también corregirlos. Existen diferentes métodos de detección de errores, el más usado es, posiblemente, el método del bit de paridad.

Código de control de paridad Se dice que dos números tienen paridad, si ambos son pares o impares. Es un código en el que se envía un vector binario pero, se crea al agregar un dígito de control a los vectores de forma que la cantidad de “1” que estos posean sea par.

Código de dígito de control Mecanismo de detección de errores utilizado para verificar la corrección de un dato, generalmente en soporte informático. Los dígitos de control se usan principalmente para detectar errores en el tecleo o transmisión de los datos. Generalmente consisten en uno o más caracteres numéricos o alfabéticos añadidos al dato original y calculado a partir de éste mediante un determinado algoritmo.

Dígito de control Componente adicional que se le agrega al código de cada vector, de modo que la paridad del vector sea par.

Vector de control Es un vector que tiene todos sus componentes siendo número 1. Se suele denotar con el símbolo “C”. C = (1, 1, 1,1…., 1)

Código UPC Código universal de producto, se asocia a los códigos de barras que poseen los productos. Los primeros dígitos del código de barras UPC-EAN identifican el país que otorgó el código, no así el país de origen del producto. Los subsiguientes números (entre 5 y 8 dígitos) representan el código de empresa, que identifica al propietario de la marca. El código del producto según propietario completa el resto de los números que pueden variar según lo mencionado entre 4 o más. Si el resultado es múltiplo de 10 el dígito de control será 0(cero).

ISBN-10 International Standard Book Number, aparece en los libros está formado por bloques que identifican el país, la editorial y libro (en total 9 cifras), y un último dígito (o la letra X) que sirve como dígito de control. Este dígito de control se calcula de una manera muy sencilla que pasamos a explicar mediante un ejemplo.

2.1

Ecuaciones Ecuación lineal: ecuación de primer grado es un planteamiento de igualdad, que involucra una o más variables a la primera potencia, solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. x + y + z = 4

Coeficientes son números reales que acompañan a las variables en una ecuación lineal. Términos constantes: son los números que en una ecuación lineal no poseen ninguna variable acompañándolos, deben ser números reales.

y + z = 2

Sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales finito, cada una con las mismas variables, posee un vector solución que es simultáneamente la misma para cada ecuación del sistema.

Soluciones de una ecuación lineal: se dan en forma de vectores donde se indica el valor que posee cada variable para las ecuaciones. Una solución: es un sistema consistente. Infinitas soluciones: es un sistema consistente, los vectores soluciones deben tener un múltiplo en común. No tiene solución: es una solución inconsistente.

Conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales:

Es el conjunto de todas las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, que da respuesta a las variables de todas las ecuaciones del sistema de manera simultánea, deben ser múltiplos para que los valores tiendan a ser las constantes.

Ecuaciones consistentes Son ecuaciones que no poseen una solución posible.

Ecuación Inconsistente Son ecuaciones que poseen solución.

Ecuación Equivalentes Dos sistemas lineales que poseen el mismo conjunto de solución.

Sustitución hacia atrás Se presenta cuando alguna de las ecuaciones del sistema posee una sola variable para ser

despejada. Esta se despeja y se sustituye en la ecuación superior, para resolver el valor de la siguiente incógnita, se utiliza n veces, hasta que el sistema es resuelto.

Matriz aumentada y matriz de coeficientes Matriz que es construida a partir de los coeficientes de las ecuaciones del sistema, luego, se dibuja una recta, perpendicular a la horizontal y paralela a los coeficientes.

2.2

Forma escalonada por renglones Es la forma de representar una matriz, se cumple, solo si: cualquier renglón que consiste completamente de ceros está en la parte baja y en cada renglón distinto a cero, el primer elemento distinto a cero (elemento pivote), está en una columna a la izquierda de cualquier elemento pivote bajo él (en forma de escalera).

Elemento pivote Es un número, diferente a 0, que se selecciona, comúnmente, del primer renglón. Este se utiliza

para realizar los cálculos respectivos para encontrar una solución al sistema.

Operaciones elementales con renglones Existen tres posibles a) intercambio de renglones b) multiplicación de un reglón por un número distinto a cero c) sumar un múltiplo de otro renglón.

Reducción de renglón Es el proceso de realizar cualquiera de las tres operaciones posibles, de tal manera que se pueda llevar la matriz, a una escalonada por renglones.

Equivalentes por renglones Si se tienen dos matrices, que una, por medio de operaciones, puede llegar a la otra y viceversa.

Eliminación gaussiana Es el proceso que conlleva la reducción de renglones de una matriz aumentada, para luego aplicar la sustitución hacia atrás y poder encontrar las posibles soluciones.

Rank Es el número de renglones, distintos a 0, en su forma escalonada por renglones.

Teorema de Rank Si existe un sistema de ecuaciones lineales con n variables en una matriz; y si es consistente. (A = matriz). Numero de variables = n-Rank(A).

Eliminación de Gauss-Jordan Serie de pasos para poder resolver un sistema de ecuaciones, de forma más rápida que con la eliminación de Gauss. Pasos: a) Ir a la columna no cero extrema izquierda b) Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga c) Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él d) Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma

de escalón) e) Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes

Forma escalonada reducida por renglones

Esta es una propiedad de las matrices que se cumple si: a) estĂĄ en forma escalonada por renglones b) el elemento pivote en cada renglĂłn distinto de cero es 1 (pivote) c) cada columna tiene un elemento pivote y tiene ceros en los otros lugares.

Sistema homogĂŠneo Esto se cumple para un sistema de ecuaciones solo si el tĂŠrmino constante de cada ecuaciĂłn es 0.

Teorema 2.3 Si [A|0] es un sistema homogĂŠneo de m ecuaciones lineales con n variables, donde m<n, entonces el sistema tiene un nĂşmero infinito de soluciones.

Sistemas lineales sobre Zp Cuando se desea resolver sistema de ecuaciones lineales, es posible realizarlos en algun Zp. Para llevar a cabo, estos sistemas se deben realizar en base a las componentes permitidas en este modulo.

2.3

Conjuntos generadores de vectores Es un conjunto de vectores que tienen la caracteristica de que cualquier vectores de respectivo conjunto es combinacion lineal de los vectores de sistema generador. Ejemplo: 3 1 0 Âż đ??¸đ?‘™ đ?‘Łđ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x; [ 1 ] đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘™đ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘Łđ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ [1] đ?‘Ś [1] ? −2 0 1 1 0 3 đ?‘Ľ [ 1] + đ?‘Ś [ 1] = [ 1 ] 0 1 −2 Se desarrolla el sistema: đ?‘Ľ=3 đ?‘Ľ+đ?‘Ś =1 đ?‘Ś = −2

Desarrolla la matriz aumentada: 1 [1 0

0/ 3 1/ 1 ] đ?‘…2 − đ?‘…1 1/−2

1 0/ 3 1 0/ 3 0 1/ [ −2] đ?‘…3 − đ?‘…2 [0 1/−2] 0 1/ −2 0 0/ 0

SoluciĂłn: đ?‘Ľ = 3; đ?‘Ś = −2 CombinaciĂłn lineal correspondiente: 1 0 3 3 [1] − 2 [1] = [ 1 ] 0 1 −2

Teorema 2.4 Un sistema de ecuaciones linealres con matriz aumentada [A/b] es consistente si y solo si b es una combinacion lineal de las columnas de A. Esto sucede debido que al encontrar la soluciĂłn podemos obtener una soluciĂłn o soluciones infinitas.

Independencia lineal Un conjunto de vectores v1 v2, ‌. Vk es linealmente independiente si no es dependiente.

Teorema 2.5 Los vectores v1 v2, ‌. Vk son linealmente independientes si y solo sí al menos uno de los vectores puede expresarse como una combinación lineal de los otros.

Teorema 2.6 Sean v1 v2, ‌. Vk son linealmente dependientes si y solo sí el sistema homogÊnico con matriz aumentada tiene una solución no trivial.

Teorema 2.7 Sean v1 v2, ‌. Vm vectores en IRn son linealmente dependientes si y solo rango(A) < m.

Teorema 2.8 Cualquier conjunto de vectores m vectores en IRn es linealmente dependiente si m > n

2.4

Ejemplos de aplicaciĂłn Leyes de Kirchhoff

Al utilizar estas leyes se puede establecer un sistema de ecuaciones lineales que permitirán determinar las corrientes en una red eléctrica.

Ley de Corriente (nodos) La suma de las corrientes que fluyen hacia cualquier nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de dicho nodo.

Ley de voltaje (circuitos) La suma de las caídas de voltaje alrededor de cualquier circuito es igual al voltaje total alrededor del circuito (proporcionado por baterías).

Modelos económicos lineales Ayudan a determinar los precios óptimos y los niveles de producción sujetos a las metas económicas deseadas. Para esto utiliza el análisis input-output. La economía de una región consiste en tres industrias: servicios, electricidad y producción de petróleo. El input se refiere a lo que se genera a partir de la venta de cada uno de los bienes o servicios, mencionados

anteriormente. El output se genera a partir de la compra de artículos para la industria, provenientes de otras. El tipo de economía mencionado anteriormente es la “cerrada” ya que todo está en equilibrio.

Juegos lineales finitos Cuando un sistema físico contiene un número finito de estados, se deben analizar con aritmética modular. De este modo se puede ser preciso para brindar una solución al estado o problema dado.

Balanceo de ecuaciones químicas Es una ecuación algebraica que proporciona los números relativos de reactivos y productos en la reacción y tiene el mismo número de átomos de ambos lados de la ecuación, generalmente tiene a los reactivos de lado izquierdo y productos del lado derecho. H2O + N2O5 → HNO3 H2O + N2O5 → HNO3 + HNO3 H2O + N2O5 → 2 HNO3

Análisis de redes A través de estos se dan flujos de distintas cosas, poseen uniones o nodos conectadas mediante aristas o uniones, cada una indica la cantidad de flujo que puede fluir allí.

Redes el茅ctricas (Ohm) Red interconectada que tiene el prop贸sito de suministrar electricidad desde los proveedores hasta los consumidores.

Donde las respuestas son: I1= 1, I2=4 y I3=3, siempre las respuestas en amperes.

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