Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998.
Предисловие к первому изданию Настоящий сборник задач соответствует курсу аналитической геометрии тех факультетов высших технических учебных заведений, где действуют нормальные программы по физико-математическим и общетехническим дисциплинам, и совершенно не содержит задач по разделам аналитической геометрии, не входящим в программу втузов. При составлении сборника автор обращал особое внимание на потребности теоретической механики, поскольку она является первым и непосредственным потребителем материала аналитической геометрии. Использование этого сборника на факультетах экономического, химического и сельскохозяйственного профилей не исключается; однако ни в расположении, ни в подборе задач специфика этих факультетов не учитывалась. По основным вопросам аналитической геометрии, входящим в программу втузов, дано задач несколько больше того, что обычно предлагается студентам на групповых занятиях и на дом. Тем самым при использовании сборника руководители практических занятий будут иметь возможность выбора материала, а домашние задания смогут давать в нескольких вариантах. Особенно значительный по объёму § 16 ("Окружность") включает комбинированные задачи на уравнения окружности и прямой, что дает возможность повторить один из наиболее важных разделов курса - уравнение прямой на плоскости.
После изучения теории линий второго порядка полезно давать студентам индивидуальное домашнее задание - на приведение общего уравнения второй степени к каноническому виду; в § 22 содержится достаточное количество аналогичных задач с различными числовыми данными. Имея в виду студентов заочных институтов и лиц, изучающих высшую математику самостоятельно, автор в начале каждой главы даёт, кроме списка формул, также все основные определения и формулировки теорем. Настоящий сборник задач составлен применительно к учебнику Н. В. Ефимова "Краткий курс аналитической геометрии"; при составлении сборника учитывались последовательность изложения материала в книге Н. В. Ефимова и употребляемая в ней символика. Считаю своим долгом выразить благодарность коллективу кафедры высшей математики Московского лесотехнического института за помощь при составлении этого сборника и за критику первого варианта рукописи. Д. Клетеник
Предисловие ко второму изданию Для второго издания сборник задач переработан и дополнен. Наиболее существенной переработке подверглась первая часть задачника ("Аналитическая геометрия на плоскости"). Значительно изменён характер главы 1 ("Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости") и главы 3 ("Линии первого порядка"). Здесь изменения имеют принципиальный характер, поскольку во втором издании в первой части исключено понятие свободного вектора. Значительно переделана также глава 5 (в основном посвящённая общей теории линий второго порядка). Переработка этой главы направлена к тому, чтобы выдвинуть на первый план уравнения центральных кривых второго порядка (упрощение которых наиболее существенно для теоретической механики). Количество задач во всех разделах значительно увеличено (в первом издании задачник содержал 920 задач, в новом-1261). Увеличение объёма задачника произведено в значительной степени за счёт включения комбинированных и более сложных задач. В новом издании задачник, сохраняя тесную связь с курсом аналитической геометрии Н. В. Ефимова (2-е издание), полностью приспособлен для использования с курсом И. И. Привалова. Считаю своим долгом выразить благодарность Н. Т. Хроленко за оказанную мне помощь при проверке ответов. Д. Клетеник
Часть 1. Аналитическая геометрия на плоскости Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
Глава 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой 1
Построить точки А(3), В(5), С(-1), D(2/3), Е(-3/7),
2
Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям: 2.1
2.2 2.3 2.4
,
.
3
Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам: 3.1 x>2 3.2 x – 3? 0 3.3 12 – x <0 3.4 2x – 3 ? 0 3.5 3x – 5 >0 3.6 1 < x < 3 3.7 –2 < x < 3 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 x2 – 8x +15 ? 0
3.13 x2 – 8x + 15 >0
3.14 x2 + x – 12>0
3.15 x2 + x -12? 0
4
Определить величину АВ и длину 4.1 А(3) и В(11)
отрезка, заданного точками:
4.2 А(5) и В(2) 4.3 А(-1) и В(3) 4.4 А(-5) и В(-3) 4.5 А(-1) и В(-3) 4.6 А(-7) и В(-5)
Вычислить координату точки А, если известны:
5
5.1 В(3) и АВ=5 5.2 В(2) и АВ=-3 5.3 В(-1) и ВА=2 5.4 В(-5) и ВА=-3 5.5
В(0) и
=2
5.6
В(2) и
=3
5.7
В(-1) и
=5
5.8
В(-5) и
=2
Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравенствам:
6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
7
Определить отношение l =AC/CB, в котором точка С делит отрезок АВ при следующих данных:
7.1 А(2), В(6), С(4) 7.2 А(2), В(4), С(7) 7.3 А(-1), В(5), С(3) 7.4 А(1), В(13), С(5) 7.5 А(5), В(-2), С(-5)
8
Даны три точки А(-7), В(-1), С(1). Определить отношение l , в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
9
Определить отношение l =М1М/ММ2, в котором данная точка М(х) делит отрезок М1М2,
ограниченный точками М1(х1) и М2(х2).
10
Определить координату х точки М, деляющей отрезок М1М2, ограниченный данными точками М1(х1) и М2(х2), в данном отношении λ (λ =М1М/ММ2).
11
Определить координату х середины орезка, ограниченного данными точками М1(х1) и М2(х2).
12
Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками, в каждом из следующих случаев: 12.1 А(3) и В(5) 12.2 С(-1) и D(5) 12.3 M1(-1) и M2(-3) 12.4 P1(-5) и P2(1) 12.5 Q1(3) и Q2(-4)
13
Определить координату точки М, если известны: 13.1 М1(3), М2(7) и λ =М1М/ММ2=2 13.2 А(2), В(-5) и l =АМ/МВ=3 13.3 С(-1), D(3) и l =CM/MD=1/2 13.4 А(-1), В(3) и l =АМ/МВ=-2 13.5 А(1), В(-3) и l =ВМ/МА=-3 13.6 А(-2), В(-1) и l =ВМ/МА=-1/2
14
Даны две точки А(5) и В(-3). Определить: 14.1 координату точки M, симметричной точке А относительно точки В 14.2 координату точки N, симметричной точке В относительно точки А
15
Даны две точки А(5) и В(19), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
16
Определить координаты концов А и В отрезка, который точками P(-25) и Q(-9) разделен на три равные части.
Глава 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости
17
Построить точки А(2; 3), В(-5; 1), С(-2; -3), D(0, 3); E(-5; 0), F(-1/3; 2/3).
18
Найти координаты проекций на ось абсцисс точек А (2; 3), B(3; -1), C(-5; 1), D(-3; 2), E(-5; -1).
19
Найти координаты проекция на ось ординат точек А(-3; 2), B(-5; 1), C(3; -2), D(-1; 1), E(-6; -2).
20
Найти координаты точек, симметричных отосительно оси Ох точкам: 20.1 А(2; 3); 20.2 B(-3; 2); 20.3 C(-1; -1); 20.4 D(-3; -5); 20.5 E(-4; -6); 20.6 F(a, b);
21
Найти координаты точек, симметричных относитель оси Оу точкам: 21.1 A(-1; 2); 21.2 B(3; -1); 21.3 C(-2; -2); 21.4 D(-2; 5); 21.5 E(3; -5); 21.6 F(a; b);
22
Найти координаты точек симметричных относительно начала координат точкам: 22.1 A(3; 3); 22.2 B(2; -4); 22.3 C(-2; 1); 22.4 D(5; -3); 22.5 E(-5; -4); 22.6 F(a; b);
23
Найти координаты точек, симметричных относительно начала координат точкам: 23.1 A(2; 3); 23.2 B(5; -2); 23.3 C(C(-3; 4);
24
Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы второго координатного угла точкам: 24.1 A(3; 5); 24.2 B(-4; 3); 24.3 C(7; -2);
25
Определить, в каких четвертях может быть расположена точка М(x; y), если: 25.1 xy>0; 25.2 xy<0; 25.3 x-y=0; 25.4 x+y=0; 25.5 x+y>0; 25.6 x+y<0; 25.7 x-y>0; 25.8 x-y<0;
Глава 3. Полярные координаты
26 Построить точки, заданные полярными координатами: A(3; p /2), B(2; π ), C(3; -π /4), D(4; 22/7), E(5; 2) и F(1; -1).
27 Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам M1(3; π /4), M2(2; -π /2), M3(3; -π /3), M4(1; 2), M5(5; -1), заданным в полярной системе координат.
28 Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам M1(1; π /4), M2(5; π /2), M3(2; -π /3), M4(4; 5π /6), M5(3; -2), заданными в полярной системе координат.
29 В полярной системе координат даны две вершины А(3; -4p /9) и B(5; 3π /14) параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма.
30 В полярной системе координат даны токи A(8; p /2) и B(6; π /3). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В.
31 В полярной системе координат даны точки А(3; p /2), B(2; -π /4), C(1; π ), D(5; -3π /4), E(3; 2), F(2; -1). Положительное направление полярной оси изменено на противоположное. Определить полярные координаты заданных точек в новой системе.
32 В полярной системе координат даны точки M1(3, π /3), M2(1; 2π /3), M3(2; 0), M4(5; π /4), M5(3; -2π /3), M6(1; 11π /12). Полярная ось повернута так, что в новом положении она проходит через точку M1. Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе.
33 В полярной системе координат даны точки М1(12; 4π /9), M2(12; -2π /9). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки М1 и М2.
34 В полярной системе координат даны точки М1(ρ 1, θ 1) и М2(ρ 2, θ 2). Вычислить расстояние d между ними.
35 В полярной системе координат даны точки М1(5; π /4), М2(8; -π /2). Вычислить расстояние d между ними.
36 В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата М1(12; -π /10), М2(3; π /15). Определить его площадь.
37 В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата P(6; -7p /12), Q(4; π /6). Определить его площадь.
38 В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника А(4; -p /12), B(8; 7π /12). Определить его площадь.
39 Одна из вершин треугольника OAB находится в полюсе, две другие суть точки А(r 1, θ 1) и В(ρ 2, θ 2). Вычислить площадь этого треугольника.
40 Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки А(5; p /4), B(4, π /12). Вычислить площадь этого треугольника.
41 Вычислить площадь треугольника, вершины которого А(3; p /8), B(8; 7π /4), C(6; 5π /8) заданы в полярных координатах.
42 Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки M1(6; π /2), M2(5; 0), M3(2; π /4), M4(10; -π /3), M5(8; 2π /3), M6(12; -π /6). Определить декартовы координаты этих точек.
43 Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки М1(0; 5), M2(-3; 0); M3( ; 1), M4( ; ), M5(1; Определить полярные координаты этих точек.
).
Глава 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на координатные оси. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками. 44
Вычислить проекцию отрезка на ось u, если даны его длина d и угол j наклона к оси: 44.1 d=6, ϕ =π /3; 44.2 d=6, ϕ =2π /3; 44.3 d=7, ϕ =π /2; 44.4 d=5, ϕ =0; 44.5 d=5, ϕ =π ; 44.6 d=4, ϕ = -π /3.
45
Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная их проекции на координатные оси: 45.1 X=3, Y=2; 45.2 X=2, Y=-5; 45.3 X=-5, Y=0; 45.4 X=-2, Y=3; 45.5 X=0, Y=3; 45.6 X=-5, Y=-1;
46
Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку M(2; -1), зная их проекции на координатные оси: 46.1 X=4. Y=3;
46.2 X=2, Y=0;
46.3 X=-3, Y=1;
46.4 X=-4, Y=-2;
46.5 X=0, Y=-3;
46.6 X=1, Y=-3.
Даны точки М1(1; -2), М2(2; 1), М3(5; 0), М4(-1; 4), М5(0; -3). Найти проекции на координатные оси следующих отрезков:
47 47.1
47.2 47.3 47.4
48
Даны проекции X=5, Y=-5 отрезка на координатные оси; зная, что его начало в точке М1(-2; 3), найти координаты его конца.
49
Даны проекции X=4, Y=-5 отрезка на координатные оси; зная, что его конец в точке B(1; -3), найти координаты его начала.
50
Построить на чертеже отрезки, исходящие оиз начала координат, зная длину d и полярный угол q каждого из них: 50.1 d=5, q =π /5; 50.2 d=3, θ =5π /6; 50.3 d=4, θ =-π /3; 50.4 d=3, θ =-4π /3.
51
Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М(2; 3), зная длину и полярный угол каждого из них (координаты точки М декартовы): 51.1 d=2, q =-π /10; 51.2 d=1, θ =π /9; 51.3 d=5, θ =-π /2ж
52
Вычислить проекции на координатные оси отрезков, зная длину d и полярный угол q каждого из них: 52.1 d=12, q =2π /3; 52.2 d=6, θ =-π /6; 52.3 d=2, θ =-π /4.
Даны проекции отрезков на координатные оси. Вычислить длину каждого из них.
53
53.1 X=3, Y=-4; 53.2 X=12, Y=5; 53.3 X=-8, Y=6.
Даны проекции отрезков на координатные оси. Вычислить длину d и полярный угол q каждого из них.
54 54.1 54.2 54.3
X=1, Y= X= X=
;
, Y=
;
, Y=2.
Даны точки М1(2; -3), M2(1; -4), M3(-1; -7), M4(-4; 8). Вычислить длину и полярный угол слдующих отрезков:
55 55.1
55.2 55.3 55.4
56
Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на ось ординат при условии, что он образует с осью ординат: 56.1 Острый угол; 56.2 Тупой угол.
57
Длина отрезка равна 13; его начало в точке М(3; -2), проекция на ось абсцисс равна –12. Найти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат: 57.1 Острый угол; 57.2 Тупой угол.
58
Длина отрезка равна 17, его конец в точке N(-7; 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти координаты начала этого отрезка при условии, что он образует с осью абсцисс: 58.1 Острый угол; 58.2 Тупой угол.
59
Зная проекции X=1, Y= отрезка на координатные оси, найти его проекцию на ось, которая составляет с осью Ox угол θ =2π /3.
60
Даны две точки M1(1; -5), M2(4; -1). Найти проекцию отрезка
на ось, которая составляет с осью Ox угол θ =-π /6.
61
Даны две точки P(-5; 2), Q(3; 1). Найти проекцию отрезка
на ось, которая составляет с осью Ox угол
62
Даны две точки M1(2; -2), M2(7; -3). на ось, проходящую через точки Найти проекцию отрезка A(5; -4), B(-7; 1) и направленную: 62.1 от А к В; 62.2 от В к А.
63
Даны точки A(0; 0), B(3; -4), C(-3; 4), D(-2; 2), E(10; -3). Определить расстояние d между точками: 63.1 А и В. 63.2 В и С. 63.3 А и С. 63.4 C и D.
63.5 A и D. 63.6 D и E.
64
Даны две смежные вершины квадрата A(3; -7) и В(-1; 4). Вычислить его площадь.
65
Даны две противоположные вершины квадрата P(3; 5), Q(1; -3). Вычислить его площадь.
66
Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть
A(-3; 2), B(1; 6).
67
Даны три вершины А(3; -7), В(5; -7), С(-2; 5) параллелограмма ABCD, четвертая вершина которого D противоположна B. Определить длины диагоналей того параллелограмма.
68
Сторона ромба равна , две его противоположные вершины суть точки P(4; 9), Q(-2; 1). Вычислить площадь этого ромба.
69
Сторона ромба равна , две его противоположные вершины суть точки P(3; -4), Q(1; 2). Вычислить длину высоты этого ромба.
70
Доказать, что точки А(3; -5), В(-2; -7), С(18; 1) лежат на одной прямой.
71
Доказать, что треугольник с вершинами A1(1; 1), A2(2; 3), A3(5; -1) прямоугольный.
72
Доказать, что точки А(2; 2), В(-1; 6), С(-5; 3), D(-2; -1) являются вершинами квадрата.
73
Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами M1(1; 1), M2(0; 2), M3(2; -1) тупой угол.
74
Доказать, что все внутренние углы треугольника с вершинами M(-1; 3), N(1; 2), P(0, 4) острые.
75
Вершины треугольника суть точки A(5; 0), B(0; 1), C(3; 3). Вычислить его внутренние углы.
76
Вершины треугольника суть точки А( ; 1), B(0, 2), C( Вычислить его внешний угол при вершине А.
77
На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние от которой до точки N(2; -3) равнялось бы 5.
; 2).
78
На оси ординат найти такую точку М, расстояние от которой до точки N(-8; 13 равнялось бы 17.
79
Даны две точки M(2; 2), N(5; -2); на оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол MPN был прямым.
80
Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей. Определить ее центр С и радиус R.
81
Через точку М1(1; -2) проведена окружность радиуса 5, касающаяся оси Ox. Определить центр С окружности.
82
Определить координаты точки М2, симметричной точке М1(1; 2) относительно прямой, проходящей через точки А(1; 0), В(-1; -2).
83
Даны две противоположные вершины квадрата А(3; 0) и С(-4; 1). Найти две его другие вершины.
84
Даны две смежные веришны квадрата А(2; -1) и В(-1; 3). Определить две его другие вершины.
85
Даны вершины треугольника M1(-3; 6), M2(9; -10), M3(-5; 4). Определить центр С и радиус R круга, описанного около этого треугольника.
Глава 5. Деление отрезка в заданном отношении 86
Даны концы А(3; -5), В(-1; 1) однородного стержня. Определить координаты его центра масс.
87
Центр мас однородного стержня находится в точке М(1; 4), один из его концов Р(-2; 2). Определить координаты точки Q – другого конца этого стержня.
88
Даны вершины треугольника А(1; -3), В(3; -5), С(-5; 7). Определить середины его сторон.
89
Даны точки А(3; -1), С(2; 1). Определить: 89.1 Координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В; 89.2 Координаты точки N, симметричной точке В относительно точки А.
90
Точки А(2; -1), N (-1; 4), P(-2; 2) являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины.
91
Даны три вершины параллелограмма А(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3). Определить четвертую вершину D, противоположную B.
92
Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3; 5), B(1; 7) и точка пересечения его диагоналей M(1; 1). Определить две другие вершины.
93
Даны три вершины А(2; 3), B(4; -1), C(0; 5) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D.
94
Даны вершины треугольника A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины B.
95
Отрезок, ограниченный точками A(1; -3), B(4; 3) разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.
96
Даны вершины треугольника A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7). Найти точку пересечения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В со стороной АС.
97
Даны вершины треугольника A(3; -5), B(-3; 3), C(-1; -2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
98
Даны вершины треугольника А(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1). Найти точку пересечения биссектрисы его внешнего угла при вершине А с продолжением стороны ВС.
99
Даны вершины треугольника А(3; -5), B(1; -3), C(2; -2). Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине В.
100
Даны точки А(1; 1), В(3; 3), С(4; 7). Определить отношение , в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.
101
Определить координаты концов А и В отрезка, который точками P(2; 2), Q(1; 5) разделен на три равные части.
102
Прямая проходит через точки M1(-12; -13), M2(-2; -5). На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3.
103
Прямая проходит через точки M(2; -3), N(-6, 5). На этой прямой найти точку, ордината которой равна –5.
104
Прямая проходит через точки A(7; -3), B(23; -6). Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.
105
Прямая проходит через точки A(5; 2), B(-4; -7). Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.
106
Даны вершины четырехугольника А(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4), D(5; 8). Определить, в каком отношении его диагональ AC делит диагональ BD.
107
Даны вершины четырехугольника A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2), D(6; 10). Определить точку пересечения его диагоналей AC и BD.
108
Даны вершины однородной треугольной пластинки A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3). Определить координаты ее центра масс. Центр масс находится в точке пересечения медиан.
109
Точка M пересечения медиан треугольника лежт на оси абсцисс, две вершины его – точки А(2; -3) и B(-5; 1), третья вершина C лежит на оси ординат. Определить координаты точек M и C.
110
Даны вершины однородной треугольной пластинки A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).
Если соединить середины ее сторон, то образуется новая однородная треугольная пластинка. Доказать, что центры масс обеих пластинок совпадают.
111
Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вырез, прямые разрезы проходят через центр квадрата, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис.). Определить центр масс этой пластинки.
112
Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными a и b, в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят через центр, оси координат направлены по ребрам пластинки (Рис). Определить центр масс этой пластинки.
113
Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2a, от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединяет середины двух смежных сторон, оси координат направлены по ребрам пластинки (Рис). Определить центр масс пластинки.
114
В точках A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3) сосредоточены массы m, n, p. Определить координаты центра тяжести этой системы.
115
Точки A(4; 2), B(7; -2), C(1; 6) являются вершинами треугольника, сделанного из однородной проволоки. Определить центр масс этого треугольника.
Глава 6. Площадь треугольника 116
Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются точки: 116.1 A(2; -3), B(3; 2), C(-2; 5); 116.2 M1(-3; 2), M2(5; -2), M3(1; 3); 116.3 M(-3; 4), N(-2; 3), P(4; 5).
117
Вершины треугольника суть точки A(3; 6), B(-1; 3), C(2; -1). Вычислить длину его высоты, проведенной из вершины С.
118
Определить площадь паралелограмма три вершины которого суть точки A(-2; 3), B(4; -5), C(-3; 1).
119
Три вершины параллелограмма суть точки A(3; 7), B(2; -3), C(-1; 4). Вычислить длину его высоты, опущенного из вершины В на сторону АС
120
Даны последовательные вершины однородной четырехугольной пластинки A(2; 1), B(5; 3), C(-1; 7), D(-7; 5). Определить координаты ее центра масс.
121
Даны последовательные вершины A(2; 3), B(0; 6), C(-1; 5), D(0; 1), E(1; 1) однородной пятиугольной пластинки. Определить
координаты ее центра масс.
122
Площадь треугольника S=3, две его вершины суть точки A(3; 1), B(1; -3), а третья вершина С лежит на оси Oy. Определить координаты вершины С.
123
Площадь треугольника S=4, вде его вершины суть точки А(2; 1), B(3; -2), а третья вершина С лежит на оси Ox. Определить координаты вершины С.
124
Площадь треугольника S=3, две его вершины суть точки A(3; 1), B(1; -3), центр масс этого треугольника лежит на оси Ox. Определить координаты третьей вершины С.
125
Площадь параллелограмма S=12; две его вершины суть точки A(-1; 3), B(-2; 4). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс.
126
Площадь параллелограмма S=17; две его вершины суть точки A(2; 1), B(5; -3). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси ординат.
Глава 7. Преобразование координат 127
128
129
Написать формулы преобразований координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку: 127.1 А(3; 4); 127.2 B(-2; 1); 127.3 C(-3; 5).
Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку O’(3; -4). Координаты точек А(1; 3), B(-3; 0), C(-1; 4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.
Даны точки A(2; 1), B(-1; 3), C(-2; 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей): 129.1 в точку А;
129.2 в точку В; 129.3 в точку С.
Определить старые координаты начала O’ новой системы, если формулы преобразования заданы следующими равенствами:
130 130.1
,
;
130.2
,
;
130.3 130.4
131
,
; ,
;
Написать формулы преобразований координат, если координатные оси повернуты на один из следующих углов: 131.1 600; 131.2 –450; 131.3 900;
131.4 –900; 131.5 1800.
132
Координатные оси повернуты на угол =600. Координаты точек А( ; -4), B( новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе.
; 0), C(0;
) определены в
133
Даны точки M(3; 1), N(-1; 5), P(-3; -1). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повернуты на угол: 133.1 –450; 133.2 900; 133.3 –900; 133.4 1800.
Определить угол равенствами:
134
, на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими
134.1 ,
;
134.2 ,
;
135
Определить координаты точки O’ – нового начала координат, если точка А(3; -4) лежит на новой оси абсцисс, а точка B(2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.
136
Написать формулы преобразования координат, если точка M1(2; -3) лежит на новой оси абсцисс, а точка M2(1; -7) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.
137
Две системы координатных осей Ox, Oy и Ox’, Oy’ имеют общее начало О и преобразуются одна в дргую поворотом на некоторый угол. Координаты точки А(3; –4) определены относительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ox’ определено отрезком
.
138 Начало координат перенесено в точку O’(-1; 2), координатные оси повернуты на угол . Координаты точек M1(3; 2), M2(2; -3), M3(13; -13) определены в новой системе. Вычислить координаты эти же точек в старой системе координат.
139
Даны точки A(5; 5), B(2; -1), C(12; -6). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а координатные оси повернуты на угол
.
Определить старые координаты нового начала и угол координат заданы следующими равенствами:
140 140.1
,
140.2
,
; ;
140.3 ,
;
, на который повернуты оси, если формулы преобразвоания
141
Даны точки M1(9; -3), M2(-6; 5). Начало координат перенесено в точку M1, а координатные оси повернуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка преобразования координат.
142
. Вывести формулы
Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(1; 2) и полярные координаты точек M1(7; /2), M2(3; 0), M3(5; - /2), M4(2; 2 /3), M5(2; - /6). Определить координаты этих точек в декартовой
прямоугольной системе координат.
143
Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек M1(5; /4), M2(3; - /4), M3(1; 3 /4), M4(6; -3 /4), M5(2; - /12). Определить декартовы прямоугольные ординаты этих точек.
144
Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(3; 2) и точек M1(5; 2), M2(3; 1), M3(3; 5), M4(
,
), M5(
; 3). Определить полярные координаты этих точек.
Часть 2. Уравнение линии
Глава 8. Функция двух переменных 146
147
Даны две функции P и Q, расстояние между которыми равно а, и функция , где d1=MP и d2=MQ. Определить выражение этой функции, если в качестве начала координат принята точка P, а ось Ох направлена по отрезку PQ.
При условиях задачи 146 определить выражение функции f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 146), если: 147.1 Начало координат выбрано в середине отрезка PQ, ось Ох направлена по отрезку PQ.
147.2 Начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох направлена по отрезку QP.
148
Даны квадрат ABCD со стороной a и функция , где d1=MA, d2=MB, d3=MC, d4=MD. Определить выражение этой функции, если за оси координат приняты диагонали квадрата (причем ось Ох направлена по отрезку АС, ось Оу – по отрезку BD).
149
При условиях задачи 148 определить выражение для f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось Ох – по отрезку АВ, ось Оу – по отрезку AD).
150
Дана функция f (x, y)=x2+y2+6x+8y. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если начало координат перенесено (без изенения направления осей) в точку О’ (3; –4).
151
Дана функция f (x, y)=x2–y2–16. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на угол –45° .
152
Дана функция f (x, y)=x2+y2. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на некоторый угол α .
153
Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции f (x, y)=x2–4y2–6x+8y+3=0 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новых переменных.
154
Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции f (x, y)==x2–4xy+4y2+2x+y–7 не содержало членов первой степени относительно новых переменных.
155
На какой угол нужно повернуть координатные оси, чтобы выражение функции f (x, y)==x2–2xy+y2+6x+3 после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?
156
На какой угол нужно повернуть координатные оси, чтобы выражение функции преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?
после
Глава 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
15 7
Даны точки М1(2; -2), М2(2; 2), М3(2; -1), М4(3; -3), М5(5; -5), М6(3; -2). Установить, какие из данных точек лежат на линии,
15 8
На линии, определенной уравнением , найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: 1). 0; 2). –3; 3). 5; 4). 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: 5). 3; 6). –5; 7). –8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже).
определенной уравнением на чертеже).
, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее
15 9
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями (построить их на чертеже): 159.1
;
159.2
;
159.3
;
159.4
;
159.5
;
159.6
;
159.7
;
159.8
;
159.9 159.1 0 159.1
; ; ;
1 159.1 2 159.1 3 159.1 4 159.1 5 159.1 6 159.1 7 159.1 8 159.1 9 159.2 0 159.2 1 159.2 2 159.2 3 159.2 4 159.2 5
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
159.2 6
;
159.2 7
;
159.2 8
;
159.2 9
159.3 0
159.3 1
;
;
.
16 0
Даны линии. Определить, какие из них проходят через начало координат. 160.1
;
160.2
;
160.3
;
160.4
;
160.5
16 1
.
Даны линии. Найти точки их пересечения: а). С осью Ох; б). С осью Оу. 161.1
;
161.2
;
161.3 161.4 161.5 161.6 161.7
; ; ; ; .
16 2
Найти точки пересечения двух линий:
162.1
,
;
162.2
162.3
162.4
,
;
,
;
,
.
16 3
В полярной системе координат даны точки М1(1;
/3), М2(2; 0), М3(2,
/4), М4(
из этих точек лежат на линии, оперделенной в полярных координатаха уравнением Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже).
; /6) и М5(1; 2 /3). Установить, какие , и какие не лежат на ней.
16 4
На линии, определенной уравнением , найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а). б). ; в). 0; г). . Какая линия определена данным уравнением: (Построить ее на чертеже).
16 5
На линии, определенной уравнением б). 2; в).
,
, найти точки, полярные радиусы которых равны следующим числам: а). 1;
. Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже).
16 6
Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):
166.1
166.2
166.3
;
;
;
166.4
;
166.5
;
166.6
;
166.7
;
166.8
;
166.9
.
16 7
Построить на чертеже следующие спирали Архимеда: 167.1
;
167.2
;
167.3
;
167.4
16 8
.
Построить на чертеже следующие гиперболические спирали: 168.1
;
168.2
;
168.3
;
168.4
.
16 9
Построить на чертеже следующие логарифмические спирали: 169.1 169.2
17 0
; .
Определить длины отрезков, на которые рассекает спираль Архимеда полярной оси под углом . Сделать чертеж.
луч, выходящий из полюса и наклоненный к
17 1
На спирали Архимеда взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С. Сделать чертеж.
17 2
На гиперболической спирали
найти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертеж.
17 3
На логарифмической спирали
найти точку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертеж.
Глава 10. Вывод уравнений заранее данных линий 174
Вывести уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от координатных осей.
175
Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии а от оси Оу.
176
Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии b от оси Ох.
177
Из точки Р(6; -8) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью абсцисс. Составить уравнение геометрического места их середин.
178
Из точки С(10; -3) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью ординат. Составить уравнение геометрического места их середины.
179
Вывести уравнение траектории точки, которая в каждый момент движения одинаково удалена от точек: 179.1 А(3; 2) и В(2; 3); 179.2 А(5; -1) и В(1; -5); 179.3 А(5; -2) и В(-3; -2); 179.4 А(3; -1) и В(3; 5).
180
Составить уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний которых до точек А(-а; 0) и В(а; 0) равна с.
181
Вывести уравнение окружности, имеющей центр в начале координат и радиус r.
182
Вывести уравнение окружности, имеющей, имеющей центр С( ;
183
Дано уравнение окружности окружности, длина которых равна 8.
184
Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до точек А(-3; 0) и В(3; 0) равна 50.
) и радиус r.
. Составить уравнение геометрического места середин тех хорд этой
185
Ввершины квадрата суть точки А(а; а), В(-а; а), С(-а; -а) и D(а; -а). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до сторон этого квадрата есть величина постоянная, равна 6а2.
186
Через начало координат проведены всевозможные хорды окружности геометрического места середин этих хорд.
. Составить уравнение
187
Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(-3; 0), F2(3; 0) есть величина постоянная, равная 10.
188
Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(-5; 0), F2(5; 0) есть величина постоянная, равная 6.
189
Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки F(3; 0) равно расстоянию до данной прямой .
190
Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(-c; 0), F2(c; 0) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется эллипсом, точки F1 и F2 – фокусами эллипса. Доказать, что уравнение эллипса имеет вид
, где
.
191
Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(-c; 0), F2(c; 0) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется гиперболой, точки F1 и F2 – фокусами гиперболы. Доказать, что уравнение гиперболы имеет вид
, где
.
192
Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки F(p/2; 0) равно расстоянию до данной прямой x=-p/2. Это геометрическое место называется параболой, точка F – фокусом параболы, данная прямая – ее директрисой.
193
Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки F(-4; 0) к
расстоянию до данной прямой
равно 4/5.
194
Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки F(-5;0) к расстоянию до данной прямой равно 5/4.
195
Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей ,
равны между собой.
196
Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей ,
равны между собой.
197
Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до данной окружности и до данной прямой
198
равны между собой.
Прямая перпендикулярна полярной оси и отсекает на ней отрезок, равный 3. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.
199
Луч выходит из полюса и наклонен к полярной оси под углом координатах.
. Составить уравнение этого луча в полярных
200
Прямая проходит через полюс и наклонена к полярной оси под углом 450. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.
201
В полярных координатах составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от полярной оси равны 5.
202
Окружность радиуса R=5 проходит через полюс, ее центр лежит на полярной оси. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.
203
Окружность радиуса R=3 касается полярной оси в полюсе. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.
Глава 11. Параметрические уравнения линии 204
Стержень АВ скользит своими концами А и В по координатным осям. Точка М делит стержень на две части АМ=а и ВМ=b. Вывести параметрические уравнения траектории точки М, приняв в качестве параметра угол t= (см. рис). Исключить затем параметр t и найти уравнение траектории точки М в виде А(x, y)=0.
205
Траекторией точки М является эллипс, уравнение которого (см. задачу 190). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.
206
Траекторией точки М является гипербола, уравнение которой (см. задачу 191). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.
207
Траекторией точки М является парабола, уравнение которой уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t:
207.1 ординату точки М;
207.2 угол наклона отрезка ОМ к оси Ох;
207.3 угол наклона отрезка FM к оси Ох, где точка F – фокус параболы.
(см. задачу 192). Вывести параметрические
Даны полярные уравнения следующих линий. Составить параметрические уравнения этих линий в декартовых прямоугольных координатах, совмещая положительную полуось абсцисс с полярной осью и выбирая в качестве параметра полярный угол.
208
208.1
;
208.2
;
208.3 .
Даны параметрические уравнения линий. Исключив параметр t, найти уравнения этих линий в виде F(x, y)=0.
209 209.1
,
;
209.2
,
;
209.3
,
;
209.4 , 209.5 209.6 209.7
; ,
;
,
; ,
.
ЧАСТЬ 3. Линии первого порядка Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых 210
Определить, какие из точек M1(3; 1), M2(2; 3), M3(6; 3), M4(-3; -3), M5(3; -1), M6(-2; 1) лежат на прямой какие на ней не лежат.
211
Точки P1, P2, P3, P4, P5 расположены на прямой Определить ординаты этих точек.
212
Точки Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 расположены на прямой Определить абсциссы этих точек.
213
Определить точки пересечения прямой
и
; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6.
; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3.
с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.
214
Найти точку пересечения двух прямых
215
Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями Определить координаты его вершин.
216
Даны уравнения двух сторон параллелограмма
,
.
,
. Определить координаты вершин этого параллелограмма.
,
,
и уравнение одной из его диагоналей
.
217
Стороны треугольника лежат на прямых
218
Площадь треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2), В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой . Определить координаты вершины С.
,
,
. Вычислить его площадь S.
219
Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2; -3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой
220
. Определить координаты третьей вершины С.
Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy: 220.1 k=2/3, b=3; 220.2 k=3, b=0; 220.3 k=0, b=-2; 220.4 k=-3/4, b=3; 220.5 k=-2, b=-5;
220.6 k=-1/3, b=2/3.
Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых:
221 221.1
;
221.2
;
221.3
;
221.4 221.5
222
; .
Дана прямая
. Определить угловой коэффициент k прямой:
222.1 Параллельной данной прямой; 222.2 Перпендикулярно к данной прямой.
223
Дана прямая
. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2; 1):
223.1 Параллельно данной прямой;
223.2 Перпендикулярно данной прямой.
224
Даны уравнения двух сторон прямоугольника уравнения двух других сторон этого прямоугольника.
225
Даны уравнения двух сторон прямоугольника Найти вершины прямоугольника.
,
,
и одна из его вершин А(2; -3). Составить
и уравнение одной из его диагоналей
.
226
Найти проекцию точке Р(-5; 13) относительно прямой
227
Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой
.
.
В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:
228 228.1 228.2 228.3
,
;
,
; ,
228.4 228.5
229
; ,
,
; .
Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки: 229.1 M1(2; -5), M2(3; 2); 229.2 P(-3, 1), Q(7; 8); 229.3 A(5; -3), B(-1; 6).
230
Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.
231
Даны середины сторон треугольника M1(2; 1), M2(5; 3), M3(3; -4). Составить уравнение его сторон.
232
Даны две точки P(2; 3), Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку
233
Составить уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
234
Даны вершины треугольника M1(2; 1), M2(-1; -1), M3(3; 2). Составить уравнения его высот.
.
235
Стороны треугольника даны уравнениями высот.
236
Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.
,
,
. Определить точку пересечения его
237
Даны вершины треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.
238
Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).
239
Через точки M1(-1; 2), M2(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.
240
Доказать, что условие, при котором три точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) лежат на одной прямой, может быть записано в следующем виде:
241
Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), может быть записано в следующем виде:
242
Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6). Определить точку пересечения его диагоналей.
243
Даны две смежные вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.
244
Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение его диагонали Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.
245
Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.
.
246
Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).
247
Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; -3), B(-5; 1).
248
Найти точку M1, симметричную точке М2(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2).
249
На оси абсцисс найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей.
250
На оси ординат найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей.
251
На прямой
найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы наименьшей.
252
На прямой
найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы наибольшей.
Определить угол
253 253.1
,
;
253.2
254
между двумя прямыми:
,
;
253.3
,
;
253.4
,
.
Дана прямая прямой.
. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(2; 1) под углом 450 к данной
255
Точка А(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой сторон и второй диагонали этого квадрата.
. Составить уравнения
256
Даны две противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2). Составить уравнения его сторон.
257
Точка E(1; -1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
. Составить уравнения
258
Из точки M0(-2; 3) под углом к оси Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя до оси Ox, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи.
259
Луч света направлен по прямой отраженный луч.
260
Даны уравнения сторон треугольника , , равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.
261
Доказатть, что уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1; y1) параллельно прямой записано в виде
, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит
.
. Доказать, что этот треугольник
, может быть
Составить уравнение прямой, проходящей через точку М1(2: -3) параллельно прямой:
262 262.1
;
262.2
;
262.3
263
;
262.4
;
262.5
.
Доказать, что условие перпендикулярности прямых следующем виде:
.
;
может быть записано в
Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.
264
265
264.1
,
264.2
,
; ;
264.3
,
;
264.4
,
;
264.5
,
264.6
,
; .
Доказать, что формула для определения угла в следующей форме:
между прямыми
,
может быть записана
Определить угол
266 266.1
266.2
266.3
267
, образованный двумя прямыми. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.
,
;
,
,
;
.
Даны две вершины треугольника M1(-10; 2), M2(6; 4); его высоты пересекаются в точке N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M3.
268
Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.
269
В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ:
, уравнения высот АМ:
. Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.
и BN:
270
Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан ,
.
271
Составить уравнения сторон треугольника, сли даны одна из его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот .
,
272
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис .
,
273
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2; 6), а также уравнения высоты биссектрисы
274
и
, проведенных из одной вершины.
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -1), а также уравнения высоты
и
биссектрисы
, проведенных из различных вершин.
275
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; -1), а также уравнения высоты медианы
276
, проведенной из одной вершины.
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -7), а также уравнения высоты медианы
и
, проведенных из различных вершин.
и
277
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы медианы
, проведенных из одной вершины.
и
278
Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы медианы
, проведенных из различных вершин.
и
279
Составить уравнение прямой, которая проходит черезначало координат и вместе с прямыми образует треугольник с площадью, равной 1,5.
,
280
Среди прямых, проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми , делится в точке Р пополам.
,
281
Через точку Р(-3; -1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключенный между прямыми
282
, делится в точке Р пополам.
,
Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми
,
, делился бы в точке Р пополам.
283
Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми
,
, равна
.
284
Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4), зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми ,
, равна 5.
Глава 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой "в отрезках" 285
Определить, при каком значении a прямая
:
285.1 Параллельна оси абсцисс; 285.2 Параллельна оси ординат; 285.3 Проходит через начало координат.
286
Определить, при каких значениях m и n прямая параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный –3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
287
Определить, при каких значениях m и n прямая параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцис отрезок, равный +5 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:
288
288.1
,
;
288.2
,
;
288.3
,
;
288.4
,
288.5
,
;
.
Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
289 289.1
,
289.2
,
289.3 289.4
, ,
; ; ; .
Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:
290 290.1
,
290.2 290.3
;
, ,
; .
291
Определить, при каких значениях a и b две прямые 291.1 Имеют одну общую точку; 291.2 Параллельны; 291.3 Совпадают
292
Определить, при каких значениях m и n две прямые 292.1 Параллельны; 292.2 Совпадают; 292.3 Перпендикулярны.
293
Определить, при каком значении m две прямые точке, лежащей на оси абсцисс.
294
Определить, при каком значении m две прямые
,
:
,
:
пересекаются в одной
,
,
пересекаются в точке, лежающей на оси ординат.
Установить, пересекаются ли в одной точке три прямые в следующих случаях:
295 295.1
296
,
,
;
295.2
,
,
;
295.3
,
,
.
Доказать, что если три прямые
,
,
пересекаются в одной точке,
то
.
297
Доказать, что если
, то три прямые параллельны.
,
,
пересекаются в одной точке или
298
Определить, при каком значении а три прямые точке.
299
Даны прямые. Составить для них уравнения «в отрезках» и построить эти прямые на чертеже.
300
299.1
;
299.2
;
299.3
;
299.4
;
299.5
.
Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой
,
,
будут пересекаться в одной
от координатного угла.
301
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M1(3; -7) и отсекает на коордиатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).
302
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(2; 3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.
303
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равно 2.
304
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку В(5; -5) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 50.
305
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.
306
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(12; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 15.
307
Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения той прямой с осями координат.
308 Через точку M1(x1, y1), где x1y1>0, проведена прямая , отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна S. Определить, при каком соотношении между величинами x1, y1 и S отрезки a и b будут иметь одинаковые знаки.
Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:
309 309.1
; 309.2 ; 309.3 ; 309.4 ; 309.5
;
309.6
;
309.7
;
309.8
.
Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:
310 310.1
;
310.2 ; 310.3 310.4 310.5
; ; .
Даны уравнения прямых. Определить полярный угол нормали и отрезок p для каждой из данных прямых: по полученным значениям параметров и р построить эти прямые на четеже (в последних двух случаях построение
311
прямой выполнить, считая 311.1
;
311.2
;
311.3
;
311.4
;
311.5 311.6 311.7
=300 и q=2).
; ; ;
311.8
, q>0,
- острый угол.
311.9
, q>0,
- острый угол.
Вычислить величину отклонения
312
312.1 A(2; -1),
и расстояние d от точки до прямой в каждом из следующих случаев:
;
312.2 B(0; -3),
;
312.3 P(-2; 3),
;
312.4 Q(1; -2),
.
Установить, лежат ли точка М(1; -3) и начало координат по одну или разные стороны каждой из следующих прямых:
313 313.1
;
313.2
;
313.3 313.4 313.5
; ; .
314
Точка А(2; -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой площадь этого квадрата.
315
Даны уравнения двух сторон прямоугольника Вычислить площадь этого прямоугольника.
,
. Вычислить
и одна из его вершин А(-2; 1).
316
Доказать, что прямая
317
Доказать, что прямая
318
Последовательные вершины четырехугольника суть точки A(-1; 6), B(-1; -4), C(7; -1), D(2; 9). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым.
пересекает отрезок, ограниченный точками А(-5; 1), В(3; 7).
не пересекает отрезка, ограниченного точками M1(-2; -3), M2(1; -2).
319
Последовательные вершины четырехугольника суть точки A(-1; 6), B(1; -3), C(4; 10), D(9; 0). Установит, является ли этот четырехугольник выпуклым.
320
Даны вершины треугольника A(-10; -13), B(-2; 3), C(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, оущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.
321
Стороны АВ, ВС, СА треугольника АВС, соответственно даны уравнениями
,
. Вычислить расстояние от центра масс этого треугольника до стороны ВС.
,
Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:
322 322.1
,
322.2 322.3 322.4
; ,
;
,
; ,
.
323
Две стороны квадрата лежат на прямых
324
Доказать, что прямая ними пополам.
325
Даны параллельные прямые , , . Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.
параллельна прямым
. Вычислить его площадь.
,
,
и делит расстояние между
326
Доказать, что через точку Р(2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(1; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых.
327
Доказать, что через точку Р(2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых.
328
Доказать, что через точку С(7; -2) можно провести только одну прямую так, чтобы расстояние ее от точки А(4; -6) было равно 5. Составить ее уравнение.
329
Доказать, что через точку В(4; -5) невозможно провести прямую, чтобы расстояние от точки С(-2; 3) было равно 12.
330
Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямых
331
Составить уравнение прямых, параллельных прямой
332
Даны две смежные вершины квадрата А(2; 0) и В(-1; 4). Составить уравнения его сторон.
равно –2.
и отстоящие от нее на расстояние d=3.
333
Точка А(5; -1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.
334
Даны уравнения двух сторон квадрата уравнения двух других сторон этого квадрата.
,
. Составить
и одна из его вершин А(2; -3). Составить
335
Даны уравнения двух сторон квадрата , . Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка M1(-3; 5) лежит на стороне этого квадрата.
336
Отклонения точки М от прямых координаты точки М.
,
равны соответственно –3 и –5. Определить
337
Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А(5; -1) и В(3; 7).
338
Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми: 338.1
,
;
338.2
,
;
338.3
,
;
Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:
339 339.1
,
339.2
,
339.3
340
; ; ,
.
Составить уравнения прямых, которые проходят через точку Р(2; -1) и вместе с прямыми образуют равнобедренные треугольники.
,
Определить, лежат ли точки М(1; -2) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:
341 341.1
,
341.2 341.3
; ,
,
; .
Определить, лежат ли точки М(2; 3) и N(5; -1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:
342
342.1
343
,
;
342.2
,
342.3
,
; .
Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями ,
,
.
344
Определить, лежит ли точка М(-3; 2) внутри или вне треугольника стороны которого даны уравнениями ,
,
.
345
Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми содержит начало координат.
,
346
Определить, какой из углов, острый или тупой, образованный двумя прямыми содержит точку М(2; -5).
347
Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми координат.
,
, в котором лежит начало
348
Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми содержащего начало координат.
,
, смежного с углом,
,
,
349
Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми 3).
,
, в котором лежит точка М(1; -
350
Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми содержащим точку С(2; -1).
,
, смежного с углом,
351
Составить уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя прямыми
,
.
352
Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного двумя прямыми
,
.
Глава 15. Уравнение пучка прямых 353
Найти центр пучка прямых, данного уравнением
354
Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых 354.1 Проходящей через точку А(3; -1); 354.2 Проходящей через начало координат; 354.3 Параллельной оси Ox; 354.4 Параллельной оси Oy; 354.5 Параллельной прямой 354.6 Перпендикулярной к прямой
; .
.
и
355
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , оси ординат отрезок b=-3. Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых.
356
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых , и делит пополам отрезок, ограниченный точками M1(5; -6), M2(-1; -4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
и отсекающий на
357
Дано уравнение пучка прямых . Написать уравнение прямой этого пучка, проходящей через центр масс однородной треугольной пластинки, вершины которой суть точки A(-1; 2), B(4; -4), C(6; -1).
358
Дано уравнение пучка прямых отрезка прямой
, заключенного между прямыми
. Найти прямую этого пука, проходящую через середину ,
.
359
Даны уравнения сторон треугольника составить уравнения высот этого трегоульника.
,
,
. Не определяя координат его вершин,
(ВНИМАНИЕ. ИЗОБРАЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ОБРЕЗАНО ВНИЗУ. РЕШЕНИЕ НЕ ПОЛНОЕ).
360
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых прямой
,
. Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
под углом 450 к
361
В треугольнике АВС даны уравнения высоты AN: , высоты BN: и стороны АВ: . Не определяя координат вершин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты.
362
Составить уравнения сторон треугольника АВС, зная одну его вершину А(2; -1), а также уравнения высоты биссектрисы
, проведенных из одной вершины. Решить задачу, не вычисляя координат вершин В и С.
и
363
Дано уравнение пучка прямых между прямыми
,
. Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключенные , равны
.
364
Дано уравнение пучка прямых
365
Дано уравнение пучка прямых пучку.
366
Дано уравнение пучка прямых принадлежать этому пучку.
367
Дано уравнение пучка прямых будет принадлежать этому пучку.
. Доказать, что прямая
принадлежит этому пучку.
. Доказать, что прямая
не принадлежит этому
. Найти, при каком значении С прямая
. Найти, при каких значениях a прямая
будет
не
368
Центр пучка прямых
является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой
. Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.
369
Дано уравнение пучка прямых . Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат).
370
Дано уравнение пучка прямых осях отрезки равной длины (считая от начала координат).
371
Дано уравнение пучка прямых координатных углов треугольники с площадью, равной 9.
. Найти прямые этого пучка, отсекающие на координатных
. Найти прямые этого пучка, отсекающие от
372
Дано уравнение пучка прямых одна прямая, отстоящая от точки Р(2; -3) на расстояние
. Доказать, что среди прямых этого пучка существует только . Написать уравнение этой прямой.
373
Дано уравнение пучка прямых от точки Р(3; -1) на расстояние d=3.
374
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , точки С(-1; 2) на расстояние d=5. Решить задачу, не вычисляя точки пересечения даных прямых.
. Доказать, что среди прямых этого пучка нет прямой, отстоящей
и отстоящей от
375
Дано уравнение пучка прямых прямыми
,
. Написать уравнения прямых этого пучка, которые вместе с образуют равнобедренные треугольники.
376
Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых , на одинаковых расстояниях от точек А(3; -2) и В(-1; 6). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.
377
Даны уравнения двух пучков прямых , центров, составить уравнение прямой, принадлежащей обоим пучкам.
. Не определяя их
378
Стороны АВ, ВС, CD, DA четырехугольника ABCD заданы соответственно уравнениями , диагоналей AC и BD.
,
. Не определяя координат вершин этого четырехугольника, составить уравнения его
,
379
Центр пучка прямых уравнениями
является одной из вершин треугольника, две высоты которого даны ,
. Составить уравнения сторон этого треугольника.
Глава 16. Полярное уравнение прямой 380
Вывести полярное уравнение прямой, зная ее расстояние от полюса p и полярный угол нормали
.
Задача 0380 РЕШЕНИЕ. 1-Й СПОСОБ. На данной прямой s (рис.) возьмем произвольную точку М с полярными координатами
и . Точку пересечения прямой s с ее нормалью обозначим буквой Р. Из прямоугольного треугольника ОРМ находим:
(1) Мы получили уравнение с двумя переменными и , которму удовлетворяют координаты всякой точки М, лежащей на прямой s, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой. Следовательно, уравнение (1) является уравнением прямой. Таким образом, задача решена.
2-Й СПОСОБ. Будем рассматривать декартову прямоугольную систему координат, положительная полуось абсцисс которой совпадает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декартовой системе имеем нормальное уравнение прямой s: (2) Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы:
,
(3)
Подставив в уравнение (2) вместо х и у выражения (3), получим
или
.
381
Вывести полярное уравнение прямой, если даны: 381.1 Угол
наклона прямой к полярной оси и длину перпендикуляра p,опущенного из полюса на эту пряму; написать
уравнение этой прямой в случае
, p=3;
381.2 Отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, осчитая от полюса, и полярный угол написать уравнение этой прямой в случае а=2; ;
нормали этой прямой;
381.3 Угол
наклона прямой к полярной оси и отрезок а, который отекает прямая на полярной оси, считая от полюса;
написать уравнение этой прямой в случае
382
, а=6.
Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M1( .
;
) и наклоненной к полярной оси под углом
383
Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M1( .
384
Составить уравнение прямой, проходящей через точки M1(
;
;
) и M2(
), полярный угол нормали которой равен
;
).
ЧАСТЬ 4. Геометрические свойства линий второго порядка Глава 17. Окружность 385
Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев: 385.1 центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R=3;
385.2 центр окружности совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R=7;
385.3 окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С(6; -8);
385.4 окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);
385.5 точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;
385.6 центр окружности совпадает с началом координат и прямая
385.7 центр окружности совпадает с точкой С(1; -1) и прямая
является касательной к окружности;
является касательной к окружности;
385.8 окружность проходит через точки А(3; 1) и В(-1; 3), а ее центр лежит на прямой
;
385.9 окружность проходит через три точки А(1; 1), В(1; -1), С(2; 0);
385.10 окружность проходит через три точки: М1(-1; 5), М2(-2; -2). М3(5; 5).
386
Точка С(3; -1) является центром окружности, отсекающей на прямой Составить уравнение этой окружности.
хорду, длина которой равна 6.
387
Написать уравнения окружностей радиуса
, касающихся прямой
в точке М1(3; 1).
388
Составить уравнение окружности, касающейся прямых А(2; 1).
389
Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются прямых .
,
, причем одна из них – в точке
,
390
Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой .
, касается прямых
,
391
Составить уравнения окружностей, касающихся прямых М1(1; 2).
,
, причем одной из них – в точке
392
Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся прямых .
,
393
Составить уравнение окружностей, которые, имея центры на прямой ,
.
, касаются прямых
394
Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(-1; 5) и касающихся прямых .
,
395
Написать уравнения окружностей, касающихся прямых
,
,
.
396
Написать уравнения окружностей, касающихся прямых
,
,
.
Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них:
397 397.1
;
397.2
;
397.3
;
397.4
;
397.5
;
397.6
;
397.7
;
397.8
;
397.9
;
397.10
.
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
398 398.1 398.2
; ;
398.3
398.4
;
;
398.5
;
398.6
398.7
398.8
398.9
398.10
;
;
;
;
.
399
Установить, как расположена точка А(1; -2) относительно каждой из следующих окружностей – внутри, вне или на
контуре: 399.1 399.2 399.3
; ; ;
399.4
;
399.5
.
Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:
400 400.1
и
;
400.2 400.3 400.4
и и и
; ; .
401
Составить уравнение диаметра окружности
402
Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности в каждом из следующих случаев: 402.1
А(6; -8),
402.2
В(3; 9),
;
402.3
С(-7; 2),
.
;
, перпендикулярного к прямой
.
403
Определить координаты точек пересечения прямой
404
Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает ли, касаетлся или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями: 404.1
,
;
404.2 , 404.3
,
;
.
и окружности
.
405
Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая 405.1
пересекает окружность
:
;
405.2 касается этой окружности; 405.3 проходит вне этой окружности.
406
Вывести условие, при котором прямая
касается окружности
.
407
Составить уравнние диаметра окружности прямой
, проходящего через середину хорды, отсекаемой на
.
408
Составить уравнение хорды окружности
409
Определить длину хорды окружности
, делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.
, делящейся в точке А(1; 2) пополам.
410
Дано уравнение пучка прямых отсекает хорды длиною
. Найти прямые этого пучка, на которых окружность .
411
Даны окружности , , пересекающиеся в точках М1(x1, y1), М2(x2, y2). Доказать, что любая окружность, проходящая через точки М1, М2, а также прямая М1М2 могут быть определены уравнением вида
при надлежащем выборе числе
и
.
412
Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(1; -1) и точки пересечения окружностей ,
413
Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения окружностей ,
414
.
.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения окружностей .
,
415
Вычислить расстояние от центра окружности окружностей
до прямой, проходящей через точки пересечения
,
.
416
Определить длину общей хорды окружностей
417
Центр окружности лежит на прямой
,
.
. Составить уравнение этой окружности, если известно, что она
проходит через точки пересечения окружностей
,
.
418
Составить уравнение касательной к окружности
в точке А(-1; 2).
419
Составить уравнение касательной к окружности
420
На окружности расстояние d от точки М1 до этой прямой.
421
Точка М1(x1, y1) лежит на окружности М1.
в точке А(-5; 7).
найти точку М1, ближайшую к прямой
, и вычислить
. Составить уравнение касательной к этой окружности в точке
422
Точка М1(x1, y1) лежит на окружности в точке М1.
423
Определить острый угол, образованный при пересечении прямой и окружности (углом между прямой и окружности называется угол между прямой и касательной к окружности, проведенной к точке их пересечения).
. Составить уравнение касательной к этой окружности
424
Определить, при каким углом пересекаются окружности , окружностями называется угол между их касательными в точке пересечения).
(углом между
425
Вывести условие, при котором окружности прямым углом.
,
пересекаются под
426
Доказать, что окружности прямым углом.
427
Из точки А(5/3; -5/3) проведены касательной к окружности
,
пересекаются под
. Составить их уравнения.
428
Из точки А(1; 6) проведены касательные к окружности
429
Дано уравнение пучка прямых окружности
. Составить их уравнения.
. Найти прямые этого пучка, которые касаются .
430
Из точки А(4; 2) проведены касательные к окружности касательными.
. Определить угол, образованный этими
431
Из точки Р(2; -3) проведены касательные к окружности соединяющий точки касания.
. Составить уравнение хорды,
432
Из точки С(6; -8) проведены касательные к окружности соединяющей точки касания.
. Вычислить расстояние d от точки С до хорды,
433
Из точки Р(-9; 3) проведены касательные к окружности окружности до хорды, соединяющей точки касания.
. Вычислить расстояние d от центра
434
Из точки Р(4; -4) проведены касательные к окружности соединяющей точки касания.
435
Вычислить длину касательной, проведенной из точки А(1; -2) к окружности
. Вычислить длину d хорды,
.
436
Составить уравнение касательных к окружности
, параллельных прямой
.
437
Составить уравнения касательных к окружности
438
Составить уравнение окружности в полярных координатах в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра C(R,
).
, перпендикулярных к прямой
.
Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра окружности:
439
439.1 C(R, 0); 439.2 C(R, 439.3 C(R,
); );
439.4 C(R,
).
Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:
440 440.1
;
440.2
;
440.3
;
440.4
;
440.5 ; 440.6 ; 440.7 ).
Окружности заданы уравнениями в полярных координатах. Составить их уравнения в декартовых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.
441
441.1
;
441.2
;
441.3
442
.
Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах. Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.
442.1
;
442.2 442.3 442.4 442.5
443
; ; ; .
Составить полярное уравнение касательной к окружности
в точке М1(R,
).
Глава 18. Эллипс 444
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 444.1 его полуоси ранвы 5 и 2;
444.2 его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
444.3 его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2c=10;
444.4 расстояние между его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5.
444.5 его большая ось равна 20, а эксцентриситет e=3/5.
444.6 его малая ось равна 10, а эксцентриситет e=12/13;
444.7 расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2c=4;
444.8 его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
444.9 его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;
444.10 расстояние между его директрисами равно 32 и e=1/2.
445
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично начала координат, зная, кроме того, что: 445.1 его полуоси равны соответственно 7 и 2;
445.2 его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
445.3 расстояние между его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13.
445.4 его малая ось равна 16, а эксцентриситет e=3/5.
445.5 расстояние между его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами равно 50/3;
445.6 расстояние между его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4.
Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:
446 446.1
; 446.2 ; 446.3
;
446.4
;
446.5
;
446.6
446.7
;
;
446.8
;
446.9
446.10
;
.
447
Дан эллипс
. Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
448
Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса совпадают с концами его малой оси.
449
Дан эллипс
450
Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса лежат с концами его малой оси.
, а две другие
. Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
, две другие
451
452
Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса
Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса масштабная единица).
до односторонней с этим фокусом директрисы.
(считая, что изображены оси координат и задана
453
На эллипсе
454
Определить, какие из точек A1(-2; 3), A2(2; -2), A3(2; -4), A4(-1; 3), A5(-4; -3), A6(3; -1), A7(3; -2), A8(2; 1), A9(0; 15),
найти точку, абсцисса которых равна –3.
A10(0; -16) лежат на эллипсе
455
, какие внутри и какие вне его.
Установить, какие линии опеределяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
455.1 ;
455.2 ;
455.3 ;
455.4 .
456
Эксцентриситет эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
457
Эксцентриситет эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, односторонней с этой директрисой.
458
Дана точка М1(2; -5/3) на эллипсе точки М1.
; составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы
459 Убедившись, что точка M1(-4; 2,4) лежит на эллипсе
, определить фокальные радиусы точки М1.
460
Эксцентриситет эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить расстояние от точки М1 эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.
461
Эксцентриситет эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением x=16.
Вычислить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной –4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.
462 Определить точки эллипса
, расстояние которых до правого фокуса равно 14.
463 Определить точки эллипса
, расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.
464 Через фокус эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.
Составить уравнения эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
465
465.1
точка М1(
; 2) эллипса и его малая полуось b=3;
465.2 точка М1(2; -2) эллипса и его большая полуось a=4;
465.3
точки М1(4;
) и М2(
; 3) эллипса;
465.4
точка М1(
; -1) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;
465.5 точка М1(2; -5/3) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;
465.6 точка М1(8; 12) эллипса и расстояние r1=20 от нее до левого фокуса.
465.7
точка М1(
; 2) эллипса и расстояние между его директрисами, равное 10.
466
Определить эксцентриситет e эллипса, если: 466.1 его малая ось видна из фокусов под углом 600;
466.2 отрезок между фокусами виден и вершин малой оси под прямым углом;
466.3 расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами;
466.4 отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.
467
Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (см. рис.). Определить, при каком значении эксцентриситета эллипса отрезки
и
будут параллельны.
468
Составить уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x0, y0), если известно, что оси симметрии эллипса параллельны осям координат.
469
Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
470
Точка С(-3; 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
471
Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис: 471.1
471.2
;
;
471.3
.
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.
472
472.1 ;
472.2 ;
472.3
;
472.4 .
473
Составить уравнение эллипса, зная, что: 473.1 его большая ось равна 26 и фокусы суть F1(-10; 0), F2(14;0);
473.2 его малая ось равна 2 и фокусы суть F1(-1; -1), F2(1; 1);
473.3 его фокусы суть F (-2; 3/3), F (2; -3/2) и эксцентриситет e= 1 2
.
473.4 его фокусы суть F (1; 3), F (3; 1) и расстояние между директрисами равно 1 2
.
474 Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет соответствующей директрисы
, фокус F (-4; 1) и уравнение
475
Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение соответствующей директрисы
.
476
Точка А(-3; -5) лежит на эллипсе, фокус которого F(-1; -4), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этого эллипса.
477
Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет e=1/2, фокус F(3; 0) и уравнение соответствующей директрисы
.
478
Точка M1(2; -1) лежит на эллипсе, фокус которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этого эллипса.
479
Точка M1(3; -1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет e=
480
Найти точки пересечения прямой
.
и эллипса
.
481 Найти точки пересечения прямой
и эллипса
.
. Составить
482 Найти точки пересечения прямой
и эллипса
.
Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает ли, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы следующими уравнениями:
483 483.1
,
;
483.2 ,
;
483.3 ,
.
Определить, при каких начениях m прямая
484
:
484.1 пересекает эллипс
;
484.2 касается его; 484.3 проходит вне этого эллипса.
485
Вывести условие, при котором прямая
касается эллипса
.
486
Составить уравнение касательной к эллипсу
в его точке M1(x1; y1).
487
Доказать, что касательные к эллипсу , проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны. (Диаметром эллипса называется его хорда, проходящая через его центр).
488
Составить уравнения касательных к эллипсу
489
Составить уравнения касательных к эллипсу
, параллельных прямой
, перпендикулярных к прямой
.
.
490
Провести касательные к эллипсу ними.
491
На эллипсе М1 до этой прямой.
параллельно прямой
найти точку М1, ближайшую к прямой
и вычислить расстояние d между
, и вычислить расстояние d от точки
492
Из точки А(10/3; 5/3) проведены касательные к эллипсу
. Составить их уравнения.
493
Из точки С(10; -8) проведены касательные к эллипсу касания.
. Составить уравнение хорды, соединяющей точки
494
495
Из точки Р(-16; 9) проведены касательные к эллипсу эллипса, соединяющей точки касания.
Эллипс проходит через точку А(4; -1) и касается прямой условии, что его оси совпадают с осями координат.
. Вычислить расстояние d от точки Р до хорды
. Составить уравнение этого эллипса при
496
Составить уравнение эллипса, касающегося двух прямых совпадают с осями координат.
,
, при условии, что его ося
497
Доказать, чо произведение расстояний от центра эллипса до точки пересечения любой его касательной с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опущенного из точки касания на фокульную ось, если величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эллипса.
498
Доказать, что произвдение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.
499
Прямая этого эллипса.
500
Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала
касается эллипса, фокусы которого находятся в точках F1(-3; 0), F2(3; 0). Составить уравнение
координат, если известны уравнение касательной к эллипсу
и его малая полуось b=2.
501
Доказать, что прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит вне угла F1MF2.
502 Из левого фокуса эллипса под тупым углом к оси Ox направлен луч света. Известно, что Дойдя до эллипса, луч на него отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
.
503
Определить точки пересечения эллипсов
504
Убедившись, что эллипсы , ( ) пересекаются в четырех точках, лежающих на окружности с центром в начале координат, определить радиус R этой окружности.
,
.
505
Плоскости
и
образуют угол
=300. Опредлить полуоси эллипса, полученного проектированием на плоскость
окружности радиуса R=10,лежащей на плоскости
.
506
Эллипс, малая полуось которого равна 6, является проекцией окружности радиуса R=12. Опредилть угол плоскостями, в которых лежат эллипс и окружность.
между
507
Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R=8. Определить полуоси эллипса, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к его оси под уголом =300.
508
Направляющей круглого цилиндра является окружность радиуса R= . Определить, под каким углом к оси цилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в сечении получить эллипс с большой полуосью a=2.
509
Равномерным сжатием (или равномерным растяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое преобразование точек плоскости, при котором произвольная точка M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) (рис.1 ) так, что x’=x,
y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично рпи помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется равномерное сжатия плоскости к оси Oy (рис. 2). Определить, в какую линию преобразуется окружность
510
, если коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q=4/5.
Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Oy равен 3/4. Определить уравнение линии, в которую при
таком сжатии преобразуется эллипс
.
511 Найти уравнение линии, в которую преобразуется эллипс при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ox и Oy равны соответственно 4/3 и 6/7.
512
Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ox, при котором эллипс преобразуется в эллипс
513
Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Oy, при котором эллипс преобразуется в эллипс
514
.
.
Определить коэффициенты q1, q2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ox и Oy, при которых эллипс
Глава 19. Гипербола
преобразуется в окружность
.
51 5
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 515. ее оси 2a=10 и 2b=8; 1 515. расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8; 2
515. расстояние между фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/2; 3
515. ось 2a=16 и эксцентриситет e=5/4; 4
515. 5 уравнения асимптот
и расстояние между фокусами 2c=20;
515. расстояние между директрисами равно 228/13 и расстояние между фокусами 2c=26; 6
515. расстояние между директрисами равно 32/5 и ось 2b=6; 7
515. расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет e=3/2; 8
515. 9 уравнения асимптот
и расстояние между директрисами равно 64/5;
51 6
Составить уравнение гиперболы, фокусы которого расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 516. ее полуоси a=6, b=18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенной на оси абсцисс); 1
516. расстояние между фокусами 2с=10 и эксцентриситет e=5/3; 2
516. 3 уравнения асимптот
и расстояние между вершинами равно 48;
516. расстояние между директрисами равно 50/7 и эксценриситет e=7/5; 4
516. 5 уравнения асимптот
51 7
и расстояние между директрисами равно 32/5.
Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол: 517. 1 517. 2
;
;
517. 3 517. 4 517. 5
; ; ;
517. 6 517. 7
;
.
51 8
Дана гипербола
. Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
51 9
Дана гипербола
. Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис.
52 0
Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы
52 1
и прямой
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже. 521. 1 521.
; ;
.
2
521. 3
521. 4
52 2
;
.
Дана точка M1(10; точки М1.
) на гиперболе
. Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы
52 3
52
Убедившись, что точка М1(-5; 9/4) лежит на гиперболе
, определить фокальные радиусы точки М1.
Эксцентриситет гиперболы e=2, фокальный радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16.
4
ть расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
Вычисли
52 5
Эксцентриситет гиперболы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы e=3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
52 6
Эксцентриситет гиперболы e=2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.
52 7
Эксцентриситет гиперболы e=3/2, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением x=-8. Вычислить расстояние от точки М1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.
52 8
Определить точки гиперболы
, расстояние от которых до правого фокуса равно 4,5.
52 9
53 0
Определить точки гиперболы
, расстояние которых до левого фокуса равно 7.
Через левый фокус гиперболы проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояние от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
53 1
53 2
Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы единица задана).
(считая, что оси координат изображены и масштабная
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны: 532. точки M1(6; -1), M2(-8; 1
) гиперболы;
532. 2 точка М1(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет e=
;
532. точка М (9/2; -1) гиперболы с уравнения асимптот 1 3
;
532. 4 точка М1(-3; 5/2) гиперболы и уравнения директрис
;
532. 5 уравнения асимптот
и уравнения директрис
.
53 3
Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
53 4
Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом 600.
53 5
Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса
. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет e=2.
53 6
53 7
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса фокусы этого эллипса.
Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы
до ее асимптоты равно b.
, а директрисы проходят через
53 8
Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы равная
53 9
до двух ее асимптот есть величина постоянная,
.
Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы любую ее точку параллельно асимптотами, есть величина постоянная, равная ab/2.
и прямыми, проведенными через
54 0
Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси a и b, центр C(x0; y0) и фокусы расположены на прямой: 540. параллельной оси Ox; 1 540. параллельной оси Oy. 2 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:
54 1 541.
;
1
541. 2
;
541. 3
.
54 2
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже. 542. 1
;
542. 2
542. 3
;
;
542. 4
54 3
.
Составить уравнение гиперболы, зная, что: 543. расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть F1(-10; 2), F2(16; 2); 1
543. фокусы суть F1(3; 4), F2(-3; -4) и расстояние между директрисами равно 3,6;
2
543. угол между асимптотами равен 900 и фокусы суть F1(4; -4), F2(-2; 2). 3
54 4
Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=5/4, фокус F(5; 0) и уравнение соответствующей директрисы .
54 5
Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e=13/12, фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей
54 6
Точка А(-3; -5) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; -3), а соответствующая директриса дана уравнением Составить уравнение этой гиперболы.
директирсы
.
.
54 7
Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет e= директрисы
.
, фокус F(2; -3) и уравнение соответствующей
54 8
Точка М1(1; -2) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; 2), а соответстующая директриса дана уравнением Составить уравнение этой гиперболы.
.
54 9
Дано уравнение равносторонней гиперболы
. Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее
асимптоты.
Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже:
55 0
550. 1
550. 2
550. 3
;
;
.
55 1
55 2
Найти точку пересечения прямой
Найти точки пересечения прямой
и гиперболы
и гиперболы
.
.
Найти точки пересечения прямой
55 3
и гиперболы
.
В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы: пересекает ли, касается или проходит вне ее:
55 4 554. 1
554. 2
554. 3
,
,
;
,
;
.
55 5
Определить, при каких значениях m прямая 555. 1
пересекает гиперболу
:
:
555. касается ее; 2 555. проходит вне этой гиперболы. 3
55 6
Вывести условие, при котором прямая
касается гиперболы
.
55 7
Составить уравнение касательной к гиперболе
в ее точке M1(x1; y1).
55 8
Доказать, что касательные к гипербле, проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны.
55 9
56 0
Составить уравнения касательных к гиперболе
, перпендикулярных к прямой
Составить уравнения касательных к гиперболе
, параллельных прямой
.
.
56 1
Провести касательные к гиперболе
параллельно прямой
и вычислить расстояние d между ними.
56 2
56 3
На гиперболе прямой.
найти точку М1, ближайшую к прямой
Составить уравнение касательной к гиперболе
, и вычислить расстояние d от точки М1 до этой
, проведенных из точки А(-1; -7).
56 4
Из точки С(1; -10) проведены касательные к гиперболе
. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
56 5
Из точки Р(1; -5) проведены касательные к гиперболе соединяющей точки касания.
. Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы,
56 6
Гипербола проходит через точку А( ; 3) и касается прямой условии, что ее оси совпадают с осями координат.
. Составить уравнение этой гиперболы при
56 7
Составить уравнение гиперболы, касающейся прямых осями координат.
,
, при условии, что ее оси совпадают с
56 8
56 9
Убедившись, что точки пересечения эллипса составить уравнения его сторон.
Даны гиперболы
являются вершинами прямоугольника,
и какая-нибудь ее касательная, Р – точка пересечения касательной с осью Ох, Q – проекция
точки касания на ту же ось. Доказать, что
57 0
и гиперболы
.
Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной.
57 1
Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе равная b2.
есть величина постоянная,
57 2
Прямая гиперболы.
касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F1(-3; 0), F2(3; 0). Составить уравнение этой
57 3
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе
и расстояние между ее вершинами 2а=8.
57 4
Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит внутри угла F1MF2.
57 5
Из правого фокусы гиперболы
под углом
( < <
) к оси Ох направлен луч света. Известно, что
.
Дойдя до гиперболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
57 6
Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
57 7
Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3. Определить уравнение линии, в котороую при этом сжатии преобразуется гипербола
57 8
Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола
57 9
58 0
.
Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипербола при двух последовательных равноменых сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ох и Оу соответствуют 2/3 и 5/3.
Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором гипербола гиперболу
58 1
.
.
Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола гиперболу
преобразуется в
.
преобразуется в
Определить коэффициенты q1, q2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых
58 2
гипербола
преобразуется в гиперболу
.
Глава 20. Парабола 583
Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: 583.1 парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3; 583.2 парабола расположена в левой полуплоскости симетрично относительно оси Ох и ее параметр р=0,5. 583.3 парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р=1/4. 583.4 парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично оси Оу и ее параметр р=3.
584
Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол: 584.1 584.2
; ;
584.3 584.4
; .
585
Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: 585.1 парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6); 585.2 парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В(-1; 3); 585.3 парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1); 585.4 парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку D(4; -8).
586
Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 см. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы.