ﻣﻠﺨﺼﺎت ﻣﺮآﺰة ﻟﺪروس ﻣﺎدة:
اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت اﻟﺴﻨﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻣﻦ ﺳﻠﻚ اﻟﺒﺎآﺎﻟﻮرﻳﺎ £ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴﺔ Ëﻣﺴﻠﻚ ﻋﻠﻮم ﺣﻴﺎة و اﻷرض Ëﻣﺴﻠﻚ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ Ëﻣﺴﻠﻚ اﻟﻌﻠﻮم اﻟﺰراﻋﻴﺔ
£ﺷﻌﺒﺔ اﻟﻌﻠﻮم و اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎت اﻟﺼﻨﺎﻋﻴﺔ Ëﻣﺴﻠﻚ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎت اﻟﻤﻴﻜﺎﻧﻴﻜﻴﺔ Ëﻣﺴﻠﻚ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎت اﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺔ
ﻣﻦ إﻋﺪاد :اﻷﺳﺘﺎذ ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﻴﺎل
2
اﻟـــــﻔـــــﻬــــﺮس اﻟﻤﻮﺿﻮع
اﻟﺼﻔﺤﺔ
إﺷﺎرة ﺣﺪاﻧﻴﺔ-إﺷﺎرة و ﺗﻌﻤﻴﻞ ﺛﻼﺛﻴﺔ اﻟﺤﺪود
4
ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎت هﺎﻣﺔ-ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ داﻟﺔ
5
اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت
6
اﻻﺗﺼﺎل
8
اﻻﺷﺘﻘﺎق
10
ﻣﺤﻮر اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ -ﻣﺮآﺰ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ -ﻧﻘﻄﺔ اﻻﻧﻌﻄﺎف
12
اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻴﺔ
13
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ
14
داﻟﺔ اﻟﺠﺪر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ n
16
اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﻟﻌﺪدﻳﺔ
18
اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ
20
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
22
اﻟﺪوال اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻴﺔ
24
اﻟﺪوال اﻷﺳﻴﺔ
26
اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ
28
اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ
31
اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ
32
اﻟﺘﻌﺪاد
34
اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت
36
اﻟﺤﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ
38 3
إﺷﺎرة ﺣﺪاﻧﯿﺔ إﺷﺎرة و ﺗﻌﻤﯿﻞ ﺛﻼﺛﯿﺔ اﻟﺤﺪود
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
)( a ¹ 0
Ëإﺷﺎرة اﻟﺤﺪاﻧﯿﺔax + b : b a
+¥
-¥
-
إﺷﺎرة a
x ax + b
ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة a
)( a ¹ 0
Ëإﺷﺎرة و ﺗﻌﻤﯿﻞ ﺛﻼﺛﯿﺔ اﻟﺤﺪودax² + bx + c : ﻧﻀﻊ R ( x ) = ax² + bx + c : ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ:
x Î R R(x) = 0
اﻟﻤﻤﯿﺰ
إﺷﺎرة ) R ( x +¥
إﺷﺎرة a
+¥ 2a إﺷﺎرة aإﺷﺎرة a
x
-b
Δ=0 Δ = b² - 4ac
ì -b ü ý î 2a þ
S=í
x
)R(x
S=f
Δ<0
-¥
ﺗﻌﻤﯿﻞ ) R ( x
-¥
)R(x
ﻏﯿﺮ ﻣﻤﻜﻦ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺣﺪاﻧﯿﺘﯿﻦ
² b ö æ R(x) = a ç x + ÷ 2a ø è
} S = {x1 , x 2
ﺣﯿﺚ: -b - D Δ>0
2a
x 2 +¥
= x1
إﺷﺎرة
ﻋﻜﺲ إﺷﺎرة
a
و -b + D 2a
-¥ x1 إﺷﺎرة
a
x )R(x
) R ( x ) = a ( x - x1 )( x - x 2
a = x2
إذا ﻛﺎن x1و x 2ﺣﻠﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔax² + bx + c = 0 : c -b = x1 + x 2و = x1 ´ x 2 ﻓﺈن: a a
4
( a ¹ 0) x Î R
ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎت ھﺎﻣﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎت ھﺎﻣﺔ. ﻟﻜﻞ ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ aو b 2
( a + b ) = a + 2ab + b ( a - b )2 = a 2 - 2ab + b 2 ) a 2 - b 2 = ( a - b )( a + b 2
2
( a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 ( a - b )3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab2 - b3 ) a 3 - b3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 Ëﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻟﻌﺪدﻳﺔ: ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ f
fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﺣﻘﯿﻘﻲ x ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
)f (x) = R(x )R(x
¡ = Df
= )f (x
}Df = {x Î ¡ / Q ( x ) ¹ 0
)f (x) = R(x
}Df = {x Î ¡ / R ( x ) ³ 0
= )f (x
}Df = {x Î ¡ / Q ( x ) > 0
= )f (x
} Q ( x ) > 0و Df = {x Î ¡ / R ( x ) ³ 0
= )f (x
ìï )R(x Df = í x Î ¡ / } Q ( x ) ¹ 0و ³ 0 ) Q( x ïî
) Q( x
)R(x )Q(x )R(x )Q(x )R(x )Q(x
5
اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëﻧﮫﺎﻳﺎت اﻟﺪوال ( n Î¥ *) x a x nو x a xو ﻣﻘﻠﻮﺑﺎﺗﮫﺎ: lim x = 0
lim x n = 0
x®0 >
x ®0
=0 =0
1
x = +¥
lim
x ®-¥ x n
1
lim
x ®+¥
1 =0 x
lim
x ®+¥ x n
lim
x ®+¥
إذا ﻛﺎن nﻋﺪدا زوﺟﯿﺎ ﻓﺈن:
إذا ﻛﺎن nﻋﺪدا ﻓﺮدﻳﺎ ﻓﺈن:
lim x n = +¥
lim x n = +¥
x ®+¥
x ®+¥
lim x = -¥
lim x n = +¥
n
x ®-¥
= +¥ = +¥
1
x ®-¥
= +¥
lim
x ® 0 xn >
1
= -¥
lim
x ® 0 xn <
1 n
lim
x ®0 x >
1 n
lim
x ®0 x <
Ëﻧﮫﺎﻳﺎت اﻟﺪوال اﻟﺤﺪودﻳﺔ و اﻟﺪوال اﻟﺠﺬرﻳﺔ ﻋﻨﺪ +¥أو ﻋﻨﺪ : -¥ ﻧﮫﺎﻳﺔ ﺣﺪودﻳﺔ ﻋﻨﺪ +¥أو ﻋﻨﺪ -¥ھﻲ
ﻧﮫﺎﻳﺔ داﻟﺔ ﺟﺬرﻳﺔ ﻋﻨﺪ +¥أو ﻋﻨﺪ -¥
ﻧﮫﺎﻳﺔ ﺣﺪھﺎ اﻷﻛﺒﺮ درﺟﺔ
ھﻲ ﻧﮫﺎﻳﺔ ﺧﺎرج ﺣﺪﻳﮫﺎ اﻷﻛﺒﺮ درﺟﺔ
Ëﻧﮫﺎﻳﺎت اﻟﺪوال اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ: sin x =1 x ®0 x lim
tan x =1 x ®0 x lim
1 - cos x 1 = x ®0 x² 2 lim
Ëﻧﮫﺎﻳﺎت اﻟﺪوال ﻣﻦ اﻟﻨﻮعx a u ( x ) :
) lim u ( x
)u(x
x ® x0
l ³0
lim
x ® x0
l +¥
+¥
ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻋﻨﺪ x 0ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ أو ﻋﻨﺪ x 0ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر أو ﻋﻨﺪ +¥أو ﻋﻨﺪ -¥ 6
:اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت و اﻟﺘﺮﺗﯿﺐË ü u ( x ) £ f ( x ) £ V ( x )ï ïï lim u ( x ) = l ý Þ lim f ( x ) = l x ® x0 ï x ® x0 ï lim V ( x ) = l x ® x0 ïþ
f ( x ) - l £ V ( x )ü ï Þ lim f ( x ) = l lim V ( x ) = 0 ý x ® x 0 ïþ x ® x0
u(x) £ V(x)
u(x) £ f (x)
ü ï Þ lim f x = -¥ lim V ( x ) = -¥ ý x ® x 0 ( ) ïþ x ® x0
ü ï Þ lim f x = +¥ lim u ( x ) = +¥ ý x ® x 0 ( ) ïþ x ® x0
-¥ أو ﻋﻨﺪ+¥ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر أو ﻋﻨﺪx 0 ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ أو ﻋﻨﺪx 0 ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻋﻨﺪ
:اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﻨﮫﺎﻳﺎتË :ﻧﮫﺎﻳﺔ ﻣﺠﻤﻮع داﻟﺘﯿﻦ lim f ( x )
l
l
l
-¥
+¥
+¥
lim g ( x )
l'
-¥
+¥
-¥
+¥
-¥
lim éëf ( x ) + g ( x ) ùû
l + l'
-¥
+¥
-¥
+¥
شغ م
x ® x0 x ® x0
x ® x0
:ﻧﮫﺎﻳﺔ ﺟﺪاء داﻟﺘﯿﻦ lim f ( x )
l
lim g ( x )
l'
-¥
+¥
-¥
lim éëf ( x ) ´ g ( x ) ùû
l ´ l'
+¥
-¥
-¥
x ® x0 x ® x0
x ® x0
l<0
l>0
-¥
-¥
+¥
0
+¥
-¥
+¥
+¥
±¥
+¥
+¥
-¥
+¥
شغ م
:ﻧﮫﺎﻳﺔ ﺧﺎرج داﻟﺘﯿﻦ lim f ( x )
x ® x0
l
l
lim g ( x ) l' ¹ 0 ±¥
x ® x0
lim
x ® x0
f (x)
g(x)
l l'
0
l<0 0-
0+
l>0 0-
0+
-¥ 0-
0+
+¥ 0-
0+
+¥ -¥ -¥ +¥ +¥ -¥ -¥ +¥
0
±¥
0
±¥
شغ م
شغ م
ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻋﺎﻣﺔ
-¥ أو ﻋﻨﺪ+¥ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر أو ﻋﻨﺪx 0 ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ أو ﻋﻨﺪx 0 ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻋﻨﺪ
7
اﻻﺗﺼﺎل
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëاﻻﺗﺼﺎل ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ: ﺗﻌﺮﻳﻒ
) lim f ( x ) = f ( x 0 x ® x0
f Ûﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ x 0
اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ – اﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر:
) f Û lim f ( x ) = f ( x 0ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ x 0 x ® x0 > ) f Û lim f ( x ) = f ( x 0ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر x 0 x ® x0 < fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ و ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر f Û x 0ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ x 0
Ëاﻻﺗﺼﺎل ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل: ﺗﻜﻮن ﺗﻜﻮن
fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح [ ]a, bإذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل []a, b fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻐﻠﻖ ] [a,bإذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل اﻟﻤﻔﺘﻮح []a, b
و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ aو ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر b Ëاﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ: ﻟﺘﻜﻦ fو gداﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو kﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ · اﻟﺪوال kf , f ´ g , f + gﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
f 1 · إذا ﻛﺎﻧﺖ gﻻ ﺗﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ Iﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ و g g
ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
ﻧﺘﺎﺋﺞ:
· ﻛﻞ داﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ¡ · · ·
ﻛﻞ داﻟﺔ ﺟﺬرﻳﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ اﻟﺪاﻟﺔ x a xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ¡ + اﻟﺪاﻟﺘﺎن x a sin xو x a cos xﻣﺘﺼﻠﺘﺎن ﻋﻠﻰ ¡
ìp ü · اﻟﺪاﻟﺔ x a tan xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ ¡ - í + kp / k Î Z ý î2 þ Ëاﺗﺼﺎل ﻣﺮﻛﺐ داﻟﺘﯿﻦ: إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو gﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Jﺑﺤﯿﺚf ( I ) Ì J : ﻓﺈن g 0f :ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
Ëﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ: · ·
ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ھﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ھﻲ ﻣﺠﺎل
ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ:ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻮﺿﺢ ﻃﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( I 8
اﻟﻤﺠﺎل I
] [a,b [[a,b ] ]a,b []a,b [[a,+¥ []a, +¥ ]]-¥,a []-¥,a ¡
اﻟﻤﺠﺎل ) f ( I fﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ I fﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ I éëf ( b ) ;f ( a ) ùû éëf ( a ) ;f ( b ) ùû ù ù é é ú lim- f ( x ) ;f ( a ) ú êf ( a ) ; lim - f ( x ) ê x ®b û x ®b û ë ë é é ù ù êf ( b ) ; lim+ f ( x ) ê ú lim+ f ( x ) ;f ( b ) ú x ®a ë ë û x ®a û ù é ù é lim f x ; lim f x lim f x ; lim f x ( ) ( ) ( ) ( ) ú ê ú ê x ®a + x ® bû x ® bë û x ®a + ë ù ù é é lim f ( x ) ;f ( a ) ú f ( a ) ; lim f ( x ) ê úû x ®+¥ ê û ë x ®+¥ ë ù é ù é ú lim f ( x ) ; lim+ f ( x ) ê ú lim+ f ( x ) ; lim f ( x ) ê x ®+¥ x ®a û x ®+¥ ë û x ®a ë ù ù é é lim f x ;f a f a ; lim f x ( ) ( ) ( ) ( ) úû x ®-¥ úû êë êë x ®-¥ ù é ù é ú lim- f ( x ) ; lim f ( x ) ê ú lim f ( x ) ; lim- f ( x ) ê x ®-¥ x ®a û x ®a ë û x ®-¥ ë ù é ù é lim f ( x ) ; lim f ( x ) ê ú lim f ( x ) ; lim f ( x ) ê úû x ®+¥ x ®-¥ ë û x ®-¥ x ®+¥ ë
Ëﻣﺒﺮھﻨﺔ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﻮﺳﯿﻄﯿﺔ: إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] [ a,bﻓﺈﻧﻪ ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ bﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻌﺪدﻳﻦ ) f ( aو ) f ( b ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﺪ ﺣﻘﯿﻘﻲ aﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ] [ a,bﺑﺤﯿﺚf ( a ) = b : ﻧﺘﯿﺠﺔ:
إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] [ a,bو f ( a ) ´ f ( b ) < 0
ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0ﺗﻘﺒﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺣﻼ aﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ][a,b إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] [ a,bو f ( a ) ´ f ( b ) < 0 ﻓﺈن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﯿﺪا aﻳﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺠﺎل ][a,b Ëﻃﺮﻳﻘﺔ اﻟﺘﻔﺮع اﻟﺜﻨﺎﺋﻲ: ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ] [ a,bﺑﺤﯿﺚf ( a ) ´ f ( b ) < 0 : وﻟﯿﻜﻦ aاﻟﺤﻞ اﻟﻮﺣﯿﺪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = 0ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ][a,b æa + bö æa + bö إذا ﻛﺎن: إذا ﻛﺎن: f (a ) ´ f ç ÷< 0 ÷< 0 è 2 ø è 2 ø b-a a+b b-a a+b و ھﺬا اﻟﺘﺄﻃﯿﺮ ﺳﻌﺘﻪ < a < aو ھﺬا اﻟﺘﺄﻃﯿﺮ ﺳﻌﺘﻪ ﻓﺈن: ﻓﺈن< a < b : 2 2 2 2 ﻳﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل é a + b ù ﻳﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل é a + b ù êë 2 ; b úû êë a; 2 úû ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄﻃﯿﺮ أدق ﻟﻠﻌﺪد a ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄﻃﯿﺮ أدق ﻟﻠﻌﺪد a ﻣﻼﺣﻈﺔ :وھﻜﺬا دواﻟﯿﻚ ﻳﻤﻜﻦ إﻋﺎدة ھﺬه اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ إﻟﻰ أن ﻳﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺗﺄﻃﯿﺮ ﻟﻠﻌﺪد aﺳﻌﺘﻪ ﻣﺮﻏﻮب ﻓﯿﮫﺎ f (b ) ´ f ç
9
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
اﻻﺷﺘﻘﺎق Ëﻗﺎﺑﻠﯿﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ﻋﺪد: ﻧﻘﻮل إن داﻟﺔ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻌﺪد x 0إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ:
) f ( x ) - f ( x0 x - x0
ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ x 0وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰf ' ( x 0 ) :
lim x ® x0
ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ
Ëﻣﻌﺎدل اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ -اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﺂﻟﻔﯿﺔ اﻟﻤﻤﺎﺳﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ: ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ x 0
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ أﻓﺼﻮﻟﮫﺎ x 0ھﻲy = f ' ( x 0 )( x - x 0 ) + f ( x 0 ) : اﻟﺪاﻟﺔ uاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ¡ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲu ( x ) = f ' ( x 0 )( x - x 0 ) + f ( x 0 ) :
ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﺂﻟﻔﯿﺔ اﻟﻤﻤﺎﺳﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ fﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ أﻓﺼﻮﻟﮫﺎ x 0و ھﻲ ﺗﻘﺮﻳﺐ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﺑﺠﻮار x 0
Ëﻗﺎﺑﻠﯿﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ -ﻗﺎﺑﻠﯿﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ : ﻧﻘﻮل إن داﻟﺔ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ x 0
) f ( x ) - f ( x0
إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ
x - x0
ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ x 0و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰf 'd ( x 0 ) : ﻧﻘﻮل إن داﻟﺔ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر x 0
إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ:
) f ( x ) - f ( x0 x - x0
limﻣﻨﺘﮫﯿﺔ x ® x0
lim x ® x0
ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ
ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻌﺪد اﻟﻤﺸﺘﻖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر x 0و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰf 'g ( x 0 ) :
ﺗﻜﻮن داﻟﺔ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ x 0إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ و ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ x 0و
) f 'g ( x 0 ) = f 'd ( x 0
Ëاﻻﺷﺘﻘﺎق و اﻻﺗﺼﺎل: إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ﻋﺪد x 0ﻓﺈن fﺗﻜﻮن ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ x 0
Ëﺟﺪول ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻻﻋﺘﯿﺎدﻳﺔ: ) f '( x
)f (x
0
k
1
x
-1 x²
1 x
rx r -1
xr
1
x
2 x
10
)¡ (k Î
)}( r Î ¤ * -{1
Ëاﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ:
' ( u + v ) ' = u '+ v
' ) ( k Î R ) ( ku ) ' = k ( u
' ( u - v ) ' = u '- v
' ( uv ) ' = u ' v + uv
= nu ¢.u n -1
' æ 1 ö¢ - v = ÷ ç v² èvø
) (
¢
un
' æ u ö¢ u ' v - uv = ÷ ç v² èvø
Ëﻣﺸﺘﻘﺔ ﻣﺮﻛﺐ داﻟﺘﯿﻦ -ﻣﺸﺘﻘﺔ داﻟﺔ اﻟﺠﺬر:
' ( u 0 v ) ' = [ u ' 0 v] ´ v
( u )¢ = 2u 'u
Ëاﻻﺷﺘﻘﺎق و ﺗﻐﯿﺮات داﻟﺔ: ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I f Û "x Î Iﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I f '( x ) ³ 0
f '( x ) £ 0
f Û "x Î Iﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
f '( x ) = 0
f Û "x Î Iﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
Ëاﻻﺷﺘﻘﺎق و اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﮫﻨﺪﺳﻲ: اﻟﻨﮫﺎﻳﺔ a )(a ¹ 0 =0
=
اﺳﺘﻨﺘﺎج
) f ( x ) - f ( x0 x - x0
) f ( x ) - f ( x0
a
) f ( x ) - f ( x0
)(a ¹ 0 ) f ( x ) - f ( x0 x - x0
=0
x - x0 = -¥
) f ( x ) - f ( x0
) f ( x ) - f ( x0 x - x0
a
=
x - x0
=0
x - x0 = -¥
) f ( x ) - f ( x0 ) f ( x ) - f ( x0 x - x0
fﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ x 0
)) (
lim x ® x0+ lim x ® x0-
lim x ® x0 -
(
)
ﻣﻤﺎﺳﺎ أﻓﻘﯿﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) A x 0 ; f ( x 0 ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ
)) (
(
A x 0 ; f x 0؛ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﺤﺎﻣﻠﻪ ھﻮ a ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس أﻓﻘﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ
(
)
اﻟﻨﻘﻄﺔ ) A x 0 ; f ( x 0
ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ
(
اﻟﻨﻘﻄﺔ )) (
A x 0 ; f x 0ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷﺳﻔﻞ
ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ ﻓﻲ
(
اﻟﻨﻘﻄﺔ )) (
A x 0 ; f x 0ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷﻋﻠﻰ
fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر x 0
lim x ® x0-
x - x0 = +¥
lim x ® x0 +
) f ( x ) - f ( x0
)(a ¹ 0 ) f ( x ) - f ( x0
lim x ® x0+
fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﻤﯿﻦ x 0
(
A x 0 ; f x 0ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ ﻣﻤﺎﺳﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﻤﻮﺟﻪ ھﻮ a
lim x ® x0 +
x - x0 = +¥
fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ x 0
lim x ® x0
x - x0 =
lim x ® x0
اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﮫﻨﺪﺳﻲ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ) (Cfﻳﻘﺒﻞ:
fﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻳﺴﺎر x 0
lim x ® x0 -
ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ
)) (
(
A x 0 ; f x 0؛ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﺤﺎﻣﻠﻪ ھﻮ a ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس أﻓﻘﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر
(
)
ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) A x 0 ; f ( x 0
ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ
(
اﻟﻨﻘﻄﺔ )) (
A x 0 ; f x 0ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷﻋﻠﻰ
ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻓﻲ
اﻟﻨﻘﻄﺔ )) (
(
A x 0 ; f x 0ﻣﻮﺟﻪ ﻧﺤﻮ اﻷﺳﻔﻞ
11
ﻣﺤﻮر اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ – ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﻧﻌﻄﺎف
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëﻣﺤﻮر اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ: ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = aﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ · ·
( 2a - x ) Î Df ) f ( 2a - x ) = f ( x
)
( Cfإذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﯿﺎن:
"x Î Df "x Î Df
ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ :إذا ﻛﺎﻧﺖ a = 0ﻓﺈن fداﻟﺔ زوﺟﯿﺔ
Ëﻣﺮﻛﺰ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ: ﻳﻜﻮن اﻟﻨﻘﻄﺔ ) I ( a,bﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ · ·
( 2a - x ) Î Df f ( 2a - x ) + f ( x ) = 2b
)
( Cfإذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﯿﺎن:
"x Î Df "x Î Df
ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ :إذا ﻛﺎﻧﺖ a = b = 0ﻓﺈن fداﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ
Ëاﻟﺘﻘﻌﺮ -اﻟﺘﺤﺪب -ﻧﻘﻄﺔ اﻻﻧﻌﻄﺎف: ﻳﻜﻮن ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ﻣﻘﻌﺮا ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل إذا ﻛﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﺗﺤﺖ ﺟﻤﯿﻊ ﻣﻤﺎﺳﺎﺗﻪ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺠﺎل
إذا ﻛﺎنf '' ( x ) £ 0 : ﻓﺈن:
"x Î I
) ( Cfﻣﻘﻌﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
ﻳﻜﻮن ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ﻣﺤﺪﺑﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل إذا ﻛﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻮق ﺟﻤﯿﻊ ﻣﻤﺎﺳﺎﺗﻪ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺠﺎل
إذا ﻛﺎنf '' ( x ) ³ 0 : ﻓﺈن:
"x Î I
) ( Cfﻣﺤﺪب ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺘﻲ ﻋﻨﺪھﺎ ﻳﺘﻐﯿﺮ ﺗﻘﻌﺮ ھﺬا اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ إذا ﻛﺎﻧﺖ '' fﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ x 0ﻣﻊ ﺗﻐﯿﯿﺮ اﻹﺷﺎرة ﻓﺈن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Cfﻳﻘﺒﻞ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف أﻓﺼﻮﻟﮫﺎ x 0 إذا ﻛﺎﻧﺖ ' fﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ x 0دون ﺗﻐﯿﯿﺮ اﻹﺷﺎرة ﻓﺈن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( Cfﻳﻘﺒﻞ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف أﻓﺼﻮﻟﮫﺎ x 0 12
lim f ( x ) = ¥
lim f ( x ) = ¥
x ®a
=0
x ®¥
)f (x
lim
x ®¥
x
=¥
)f (x x
lim
x ®¥
)f (x = a x ®¥ x )( a ¹ 0 lim
)
x=a
ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﯿﺎ اﺗﺠﺎھﻪ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ ﺑﺠﻮار ¥
ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﯿﺎ اﺗﺠﺎھﻪ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﯿﺐ ﺑﺠﻮار ¥
x ®¥
lim éë f ( x ) - ax ùû = b
) ( Cfﻳﻘﺒﻞ : ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﯿﺎ اﺗﺠﺎھﻪ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ
y = ax ﺑﺠﻮار ¥
x ®¥
)
( Cfﻳﻘﺒﻞ :
ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻣﺎﺋﻼ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ:
y = ax + b ﺑﺠﻮار ¥
)
( Cfﻳﻘﺒﻞ :
ﻣﻘﺎرﺑﺎ أﻓﻘﯿﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ:
y=a ﺑﺠﻮار ¥
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ:
)
( Cfﻳﻘﺒﻞ :
)
( Cfﻳﻘﺒﻞ :
lim éëf ( x ) - ( ax + b ) ùû = 0
اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﮫﺎﺋﯿﺔ
lim éëf ( x ) - ax ùû = ¥
x ®¥
( Cfﻳﻘﺒﻞ :
lim f ( x ) = a
x ®¥
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëﺧﺎﺻﯿﺔ: إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I ﻓﺈن fﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( Iﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل I
و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ f -1 : ﻧﺘﺎﺋﺞ:
ìïf ( y ) = x ìf ( x ) = y Û í í îx Î I ) ïî y Î f ( I "x Î I f -1of ( x ) = x -1
· · ·
) ( ( fof ) ( y ) = y -1
) "y Î f ( I
Ëﺗﺤﺪﻳﺪ ﺻﯿﻐﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ: ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I ﻟﯿﻜﻦ xﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( Iو yﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل I ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻓﺆ اﻟﺘﺎﻟﻲf -1 ( x ) = y Û f ( y ) = x : و ﺑﺘﺤﺪﻳﺪ yﺑﺪﻻﻟﺔ xﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﺻﯿﻐﺔ ) f -1 ( xﻟﻜﻞ ﻋﻨﺼﺮ xﻣﻦ ) f ( I
Ëاﺗﺼﺎل اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ: إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ f -1ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( I
Ëاﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ: ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I و ﻟﯿﻜﻦ x 0ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( Iو ) y0 = f ( x 0
إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ x 0و f ' ( x 0 ) ¹ 0 ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ f -1ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ y 0 ' 1 = ) f -1 ( y 0 و ﻟﺪﻳﻨﺎ: ) f '( x 0
) (
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و رﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I إذا ﻛﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻞ اﻟﻤﺠﺎل Iو داﻟﺘﮫﺎ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' fﻻ ﺗﻨﻌﺪم ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ f -1ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ) f ( I ' 1 ) "x Î f ( I = ) f -1 ( x و ﻟﺪﻳﻨﺎ: f ' éëf -1 ( x ) ùû
) (
14
Ëرﺗﺎﺑﺔ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ: ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ f -1ﻟﮫﺎ ﻧﻔﺲ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﺗﻐﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ f
Ëاﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ: ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ورﺗﯿﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I اﻟﺘﻤﺜﯿﻼن اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﯿﺎن ﻟﻠﺪاﻟﺘﯿﻦ fو
-1
fﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ
ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺘﻤﺎﺛﻼن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺼﻒ اﻷول ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ
Ëﻣﻼﺣﻈﺎت ھﺎﻣﺔ: اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ( C
) ( Cf
f -1
)
) A ( a, b ) Î ( Cf
f -1
(
A ' ( b,a ) Î C
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ أﻓﻘﯿﺎ
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = a :
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y = a :
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ أﻓﻘﯿﺎ
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y = b :
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = b : ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻣﺎﺋﻼ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ :
1 b y= x+ a a
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻣﺎﺋﻼ
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y = ax + b :
و ﻳﺘﻢ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻧﻄﻼﻗﺎ ﻣﻦ
اﻟﻌﻼﻗﺔx = ay + b : ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(
ﻋﻤﻮدﻳﺎ
أﻓﻘﯿﺎ
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(
ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻤﺎﺳﺎ )أو ﻧﺼﻒ ﻣﻤﺎس(
أﻓﻘﯿﺎ
ﻋﻤﻮدﻳﺎ
15
داﻟﺔ اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ
æ *ö ç n Î¥ ÷ n è ø
اﻟﻘﻮى اﻟﺠﺬرﻳﺔ
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëﺧﺎﺻﯿﺔ وﺗﻌﺮﻳﻒ: اﻟﺪاﻟﺔ a x n :
xاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ
وﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ:
n
¡ +ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﺠﺬر ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ n n : ¡+ ® ¡+
xanx n " ( x; y ) Î ¡ 2+ x = y Û x = yn
ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ: · ·
Ëﺧﺎﺻﯿﺎت:
x=2x اﻟﻌﺪد 3 x :ﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺬر اﻟﻤﻜﻌﺐ ل x 2
" ( x; y ) Î ¡ 2+
* "n Î ¥
xn = x =x
n
) (
" ( x; y ) Î ¡ 2+
*" ( m;n ) Î ¥
x ´n y = n x´y
n
) ( x
= n xm
n
x =nyÛx=y
n
x>n yÛx>y
n
m
n
) ( x
n
n
x x =n n y y
)( y ¹ 0
n´m
x
=x
n m
ﻣﻼﺣﻈﺔ ھﺎﻣﺔ: x-y x+ y
x-y
=x- y
x² + 3 x 3 y + 3 y²
3
= -3y
3x
Ëﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ: اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ:
f (x) = n x
[Df = [ 0; +¥
} u ( x ) ³ 0و Df = {x Î ¡ / x Î D u
)f (x) = n u(x
Ëاﻟﻨﮫﺎﻳﺎت: ) lim u ( x
)u(x
x ® x0
l ³0 +¥
n
lim
x ® x0
l +¥ n
ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻋﻨﺪ x 0ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ أو ﻋﻨﺪ x 0ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر أو ﻋﻨﺪ +¥أو ﻋﻨﺪ -¥
16
Ëاﻻﺗﺼﺎل: اﻟﺪاﻟﺔ x a n xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ¡ +
إذا ﻛﺎﻧﺖ uداﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ) x a n u ( xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
Ëاﻻﺷﺘﻘﺎق:
اﻟﺪاﻟﺔ x a n xﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل []0; +¥ 1
وﻟﺪﻳﻨﺎ:
n x n -1 n
= ( n x )¢
["x Î ]0; +¥
إذا ﻛﺎﻧﺖ uداﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ و ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ) x a n u ( xﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
) u¢ ( x
وﻟﺪﻳﻨﺎ:
= ( n u ( x ) )¢
n -1 n n éë u ( x ) ùû
"x Î I
¡ (a Î ¡) x Î
Ëﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔx n = a :
nﻋﺪد زوﺟﻲ
nﻋﺪد ﻓﺮدي
}
} {
{
a>0
S= na
a=0
}S = {0
}S = {0
S = - n -a
S=Æ
}
a<0
S = -n a ; n a
{
Ëاﻟﻘﻮى اﻟﺠﺬرﻳﺔ ﻟﻌﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ: p ﻟﯿﻜﻦ q
= rﻋﺪدا ﺟﺬرﻳﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻌﺪم ﺣﯿﺚ p Î ¢* :و *q Î ¥ q
= xp
p q
["x Î ]0, +¥
r
x =x
ﻣﻼﺣﻈﺎت: · ·
1 xn
["x Î ]0; +¥
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ fﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﺣﻘﯿﻘﻲ xﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲf ( x ) = éë u ( x ) ùû : r
ھﻲ: ·
=x
n
} u ( x ) > 0و Df = {x Î ¡ / x Î D u
1 1 ö¢ æ n u ( x ) ¢ = ç u ( x ) n ÷ = 1 ´ u ' ( x ) ´ é u ( x ) ù n -1 ë û
÷ ø
n
)
(
ç è
)
(
ﻟﻜﻞ ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ xو yﻣﻦ ¡*+وﻟﻜﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻳﻦ rو ' rﻣﻦ * ¤ ' = x r´r
'r
) ( xr
' xr ´ xr ' = xr + r
r
æxö xr = ÷ ç yr èyø ' = x -r
r
= x ´y
ö ' ÷ = xr - r ÷ ø
1 'r
r
x
17
r
)( x ´ y
æ xr ç ' ç yr è
)* ( r Î ¤
اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺎت اﻟﻌﺪدﻳﺔ
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëاﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ اﻟﺤﺴﺎﺑﯿﺔ – اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ
ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم
ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﺣﺴﺎﺑﯿﺔ
ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ھﻨﺪﺳﯿﺔ
u n +1 = u n + r
u n +1 = q ´ u n qھﻮ اﻷﺳﺎس
rھﻮ اﻷﺳﺎس
un = up + (n - p) r
u n = u p ´ qn - p
)(p £ n
)(p £ n
æ q n - p +1 - 1 ö æ u + un ö u p + ... + u n = u p ´ ç ÷ ç q - 1 ÷ u p + ... + u n = ( n - p + 1) ´ ç p ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺪود ÷ è ø 2 è ø ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ
)( q ¹ 1 aو bو c
2b = a + c
ﺛﻼﺛﺔ ﺣﺪود ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ
b² = a ´ c
Ëاﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ اﻟﻤﻜﺒﻮرة – اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ اﻟﻤﺼﻐﻮرة: ) ( u nﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﺘﻜﻦ nÎI
un £ M un ³ m
( u n )nÎI Û "n Î Iﻣﻜﺒﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد M
( u n )nÎI Û "n Î Iﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد m
( u n )nÎIﻣﻜﺒﻮرة و ﻣﺼﻐﻮرة Û
nÎI
) ( u nﻣﺤﺪودة
Ëرﺗﺎﺑﺔ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻋﺪدﻳﺔ: ) ( u nﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﺘﻜﻦ nÎI
u n +1 £ u n u n +1 ³ u n u n +1 = u n
) ( u nﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ Û "n Î I nÎI ) ( u nﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ Û "n Î I nÎI ) ( u nﺛﺎﺑﺘﺔ Û "n Î I nÎI
ﻣﻼﺣﻈﺔ: ﻟﺘﻜﻦ ( u n )nÎIﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﺣﺪھﺎ اﻷولu p : إذا ﻛﺎﻧﺖ ( u n )nÎIﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻓﺈنu n £ u p : إذا ﻛﺎﻧﺖ ( u n )nÎIﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻓﺈنu n ³ u p : 18
"n Î I "n Î I
Ëﻧﮫﺎﻳﺔ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ:
) (
ﻧﮫﺎﻳﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ n aﺣﯿﺚ: a Τ * : a>0
a<0
lim n a = +¥
lim n a = 0
n ®+¥
n ®+¥
) (
ﻧﮫﺎﻳﺔ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ اﻟﮫﻨﺪﺳﯿﺔ q nﺣﯿﺚ: q Î R : q >1
q =1
-1 < q < 1
q £ -1
lim q n = +¥
lim q n = 1
lim q n = 0
اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ) ( q
n ®+¥
n ®+¥
n ®+¥
n
ﻟﯿﺲ ﻟﮫﺎ ﻧﮫﺎﻳﺔ
Ëﻣﺼﺎدﻳﻖ اﻟﺘﻘﺎرب: · ·
ﻛﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و ﻣﻜﺒﻮرة ھﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻛﻞ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ و ﻣﺼﻐﻮرة ھﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ
ü vn £ u n £ w n ï ï lim v n = l ý Þ lim u n = l n ®+¥ ï n ®¥ lim w n = l ï n ®+¥ þ
u n - l £ v n üï Þ lim u = l lim v n = 0 ý n ®¥ n ïþ n ®+¥
u n ³ vn
u n £ vn
üï Þ lim u = +¥ lim v n = +¥ ý n ®+¥ n ïþ n ®+¥
üï Þ lim u = -¥ lim v n = -¥ ý n ®+¥ n ïþ n ®+¥
Ëﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع ) : u n +1 = f ( u n ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ) ( u nاﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
ìu 0 = a í ) î u n +1 = f ( u n ﺣﯿﺚ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﺑﺤﯿﺚ f ( I ) Ì Iو aﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ I
إذا ﻛﺎﻧﺖ ) ( u nﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻓﺈن ﻧﮫﺎﻳﺘﮫﺎ lﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ f ( x ) = x
19
اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëاﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل: ﺗﻌﺮﻳﻒ:
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I ﻧﻘﻮل أن Fھﻲ داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I إذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﯿﺎن: ·
Fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
·
) F' ( x ) = f ( x
"x Î I
ﺧﺎﺻﯿﺎت: ﻛﻞ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺠﺎل
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I إذا ﻛﺎﻧﺖ Fداﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل Iﻓﺈن: ﺟﻤﯿﻊ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ Iﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
)¡ (k Î
x a F( x ) + k
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I وﻟﯿﻜﻦ x 0ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ Iو y0ﻋﻨﺼﺮا ﻣﻦ ¡ ﺗﻮﺟﺪ داﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ وﺣﯿﺪة Fﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل Iﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮط اﻟﺒﺪﺋﻲ:
F ( x 0 ) = y0
Ëاﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ :ﻟﻤﺠﻤﻮع داﻟﺘﯿﻦ -ﻟﺠﺪا ء داﻟﺔ و ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ: ﺧﺎﺻﯿﺔ: ﻟﺘﻜﻦ fو gداﻟﺘﯿﻦ ﻋﺪدﻳﺘﯿﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iو kﻋﺪدا ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ Fو Gداﻟﺘﯿﻦ أﺻﻠﯿﺘﯿﻦ ﻟﻠﺪاﻟﺘﯿﻦ fو gﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل Iﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﺈن: ·
F + Gداﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f + gﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
·
kFداﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ kfﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I 20
:ﺟﺪول اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔ ﻟﺒﻌﺾ اﻟﺪوال اﻻﻋﺘﯿﺎدﻳﺔË f (x)
F(x)
aΡ
ax + k 1 x² + k 2 -1 +k x
x
1 x² 1
( r Î ¤ * - {-1})
2 x +k
x xr
x r +1 +k r +1
sin x
- cos x + k
cos x
sin x + k
1 cos ²x
1 + tan ²x =
tan x + k
1 x
ln x + k
ex
ex + k
:اﺳﺘﻌﻤﺎل ﺻﯿﻎ اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﺑﻌﺾ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﯿﺔË
(a Î ¡)
f (x)
F(x)
u '( x ) + v '( x )
u (x) + v(x) + k
a u '( x )
a u (x) + k
u '( x) ´ v ( x ) + u ( x ) ´ v '( x )
u (x) ´ v(x) + k
-v ' ( x )
1 +k v(x)
éë v ( x ) ùû ² u '( x ) ´ v ( x ) - u ( x ) ´ v '( x )
u (x) v(x)
éë v ( x ) ùû ² u '( x)
2 u (x) + k
u (x)
( r Î ¤ * - {-1})
+k
u ' ( x ) ´ éë u ( x ) ùû r
éë u ( x ) ùû r +1 +k r +1
u '( x )
ln u ( x ) + k
u (x)
u '( x ) ´ e
u(x)
( a ¹ 0)
cos ( ax + b )
( a ¹ 0)
sin ( ax + b )
e
u(x)
+k
1 sin ( ax + b ) + k a 1 - cos ( ax + b ) + k a
21
(k Î R)
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëﺗﻜﺎﻣﻞ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻗﻄﻌﺔ: ﻟﺘﻜﻦ
fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ]_ [ !a, bو Fداﻟﺔ أﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]_ [ !a, b
ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﻦ aإﻟﻰ bھﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ:
b
b
) òa f ( x )dx = éëF ( x )ùûa = F ( b ) - F ( a Ëﺧﺎﺻﯿﺎت:
اﻟﺨﻄﺎﻧﯿﺔ:
a òa f ( x )dx = 0 b b kf x dx = k ( ) òa òa f ( x )dx ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل:
a b f x dx = ( ) òb òa f ( x )dx b b b f x + g x dx = f x dx + é ù ( ) ( ) ( ) û òa ë òa òa g ( x )dx
)¡ (k Î
b c b f x dx = f x dx + ( ) ( ) òa òa òc f ( x )dx
Ëاﻟﺘﻜﺎﻣﻞ و اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ: إذا ﻛﺎنf ( x ) ³ 0 : b ﻓﺈنòa f ( x )dx ³ 0 :
] "x Î [ a, b إذا ﻛﺎنf ( x ) £ g ( x ) : b b f x dx £ ( ) òa ﻓﺈنòa g ( x )dx :
] "x Î [ a, b
Ëاﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ: ﻟﺘﻜﻦ
fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ][a,b
b 1 اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] [ a,bھﻲ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲf ( x )dx : ò b-a a
Ëاﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء: ﻟﺘﻜﻦ fو gداﻟﺘﯿﻦ ﻗﺎﺑﻠﺘﯿﻦ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] [ #a, b
]
[ #a, bﺑﺤﯿﺚ ﺗﻜﻮن ' fو' gﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ
b b b f ' x ´ g x dx = f x ´ g x é ù é ù éf x ´ g ' ( x ) ùûdx ( ) ( ) ( ) ( ) ë û ë û òa ) ( a òa ë
Ëﺣﺴﺎب ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺣﯿﺰ:
rr ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮﺑﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ o,i, j
)
(
وﺣﺪة اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ u . A :ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ اﻟﻤﺤﺪد
r r ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ oو اﻟﻤﺘﺠﮫﺘﯿﻦ iو j r
r
1.u . A = i × j 22
ﻟﺘﻜﻦ
fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ][a;b
ﻟﺘﻜﻦ fو
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ Cfوﻣﺤـﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻠﺬﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎھﻤﺎ: x = aو y = bھﻲ:
gداﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ][a;b
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﯿﯿﻦ Cfو Cgوﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ واﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻠﺬﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎھﻤﺎ x = a :و y = bھﻲ:
æ b ö ç òa f ( x ) dx ÷ .u.A è ø
æ b ö f x g x dx ( ) ( ) ç òa ÷ .u.A è ø
ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ: ﻣﻼﺣﻈﺎت
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﺮﻣﺎدي ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ
اﻟﺮﺳﻢ
fﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ][a,b
æ b ö ç òa f ( x )dx ÷ .u.A è ø
fﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ][a,b
æ b ö ç òa -f ( x )dx ÷ .u.A è ø
· fﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ][a,c · fﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ][c, b
) ( Cfﻳﻮﺟﺪ ﻓﻮق ) ( Cg
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ][a,b ·
) ( Cfﻓﻮق ) ( Cg
ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ][a,c · ) ( Cgﻓﻮق ) ( Cf ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ][c, b Ëﺣﺴﺎب ﺣﺠﻢ : ﺣﺠﻢ اﻟﻤﺠﺴﻢ اﻟﻤﻮﻟﺪ ﺑﺪوران اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
)
( Cfﺣﻮل
ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ دورة ﻛﺎﻣﻠﺔ ﻓﻲ ﻣﺠﺎل ][a,b ھﻮ:
é b ² ù V = ê ò p ( f ( x ) ) dx ú u.v ë a û
23
b æ c ö ç òa f ( x )dx + òc -f ( x )dx ÷ .u.A è ø æ b ö ç òa ( f ( x ) - g ( x ) )dx ÷ .u.A è ø
b æ c ö ç òa ( f ( x ) - g ( x ) )dx + òc ( g ( x ) - f ( x ) )dx ÷ .u.A è ø
اﻟﺪوال اﻟﻠﻮﻏﺎرﺗﻤﯿﺔ
()ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل
:اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻨﺒﯿﺮيË :ﺗﻌﺮﻳﻒ
]
[
1 واﻟﺘﻲ ﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ0; +¥ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎلx a
"x Î ]0; +¥[
1
داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻨﺒﯿﺮي ھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺻﻠﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ
x
:اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت وﺧﺎﺻﯿﺎت
"y Î ]0; +¥[
ln1 = 0
( r Î ¤)
r
ln x = r ln x
ln
1 x x
ln e = 1
"x Î ]0; +¥[ "y Î ]0; +¥[ ln x = ln y Û x = y ln x > ln y Û x > y
ln xy = ln x + ln y
ln
ln :وﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ
= - ln x = ln x - ln y
y
"x Î ¡ * ln x = n ln x n
"x Î ]0; +¥[
"y Î ¡
ln x = y Û x = e
y
: ﻋﺪدا زوﺟﯿﺎ ﻓﺈنn إذا ﻛﺎن
:ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ Df = ]0; +¥[
ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲf اﻟﺪاﻟﺔ f ( x ) = ln x
}
Df = {x Î ¡ / x Î D u وu ( x ) > 0
f ( x ) = ln éë u ( x )ùû
:اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت :اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎتé lim u ( x ) = +¥ Þ lim ln éë u ( x ) ùû = +¥ x ® x0 x ® x0
:ﻧﮫﺎﻳﺎت أﺳﺎﺳﯿﺔé lim ln x = +¥ x ®+¥
lim u ( x ) = 0 Þ lim ln éë u ( x ) ùû = -¥ x ® x0 x ® x0 +
ln éë u ( x ) ùû lim u ( x ) = +¥ Þ lim =0 x ® x0 x ® x0 éu ( x )ù n ë û
lim u ( x ) = 0 Þ lim éë u ( x ) ùû ln éë u ( x ) ùû = 0 x ® x0 x ® x0 +
n
ln éë u ( x ) ùû lim u ( x ) = 1 Þ lim =1 x ® x0 x ® x0 u ( x ) - 1 lim u ( x ) = 0 Þ lim x ® x0 x ® x0 ﻋﻠﻰ
ln éë u ( x ) + 1ùû u(x)
lim ln x = -¥ x ® 0+
( n Î ¥ *)
ln x lim =0 x ®+¥ x n n
lim x ln x = 0 x ®0
+
ln x lim =1 x ®1 x - 1 =1
x 0 ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ أو ﻋﻨﺪx 0 ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻋﻨﺪ -¥ أو ﻋﻨﺪ+¥ اﻟﯿﺴﺎر أو ﻋﻨﺪ
24
lim x ®0
ln ( x + 1) x
=1
اﻻﺗﺼﺎل:
اﻟﺪاﻟﺔ x a ln xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل []0; +¥
إذا ﻛﺎﻧﺖ uﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ و ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ x a ln éë u ( x )ùûﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
اﻻﺷﺘﻘﺎق
اﻟﺪاﻟﺔ x a ln xﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ
إذا ﻛﺎﻧﺖ uداﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ و ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل
[]0, +¥
وﻟﺪﻳﻨﺎ:
1 x
Iﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ x a ln éë u ( x )ùû
["x Î ]0; +¥
= ( ln x )¢
وﻟﺪﻳﻨﺎ:
) u '( x )u (x
=
'
)
اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ:
ln éë u ( x )ùû
ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
(
"x Î I
إﺷﺎرة : ln 1 +¥ +
0 -
x ln x
Ëاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ ﻟﻸﺳﺎس aﺣﯿﺚa Î ¡*+ - {1} : ﺗﻌﺮﻳﻒ:
اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ ﻟﻸﺳﺎس aھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰlog a : ﺣﯿﺚ:
ln x ln a
["x Î ]0; +¥
= log a x
ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔé:اﻟﺪاﻟﺔ l og10ﺗﺴﻤﻰ داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻌﺸﺮي و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﻛﺬﻟﻚ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰl og :
اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت و ﺧﺎﺻﯿﺎت:
["y Î ]0; +¥
l og 1 = 0 a
["x Î ]0; +¥
l og a xy = l og a x + l n g a y
l og a = 1 a
= rl og a x
"r Î ¤ r
["x Î ]0; +¥
= - l og a x
l og a x = r Û x = a
r
( r Î ¤ ) l og a x
1 x
l og a
æxö l og a ç ÷ = l og a x - l og a y èyø
ﻧﮫﺎﻳﺎت و ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت: a >1
0 < a <1 log a x > log a y Û x < y
log a x > log a y Û x > y
lim l og a x = -¥ x ®+¥ lim l og a x = +¥ x ® 0+
lim l og a x = +¥ x ®+¥ lim l og a x = -¥ x ® 0+
اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ: 1 x ln a
= ' ) ( l og a x 25
["x Î ]0, +¥
اﻟﺪوال اﻷﺳﯿﺔ
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëاﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ اﻟﻨﺒﯿﺮﻳﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ: اﻟﺪاﻟﺔ x a e xھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ lnو ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ اﻟﻨﺒﯿﺮﻳﺔ اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت وﺧﺎﺻﯿﺎت: ex > 0
"r Î ¤
¡ "x Î
ex ´ e y = ex + y
ln e x = x ["x Î ]0; +¥ eln x = x
["y Î ]0; +¥
" ( x; y ) Î ¡ ² = erx
¡ "x Î
) (
1 = e- x x e
e x = y Û x = ln y
" ( x; y ) Î ¡ ²
ex = ey Û x = y
r
ex
x-y
ex > e y Û x > y
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ: اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ f ( x ) = ex
=e
ex ey
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﮫﺎ
¡ = Df
} Df = {x Î ¡ / x Î D u
u x ) ( f (x) = e
اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت: اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت:
ﻧﮫﺎﻳﺎت أﺳﺎﺳﯿﺔ:
u x lim u ( x ) = +¥ Þ lim e ( ) = +¥
lim e x = +¥
x ®+¥
x ® x0
u x lim u ( x ) = -¥ Þ lim e ( ) = 0
lim e x = 0
x ®-¥
= +¥
ex xn
lim
x ®+¥
x ® x0
)* ( n Î ¥
lim x n e x = 0
x ®-¥
ex - 1 lim =1 x ®0 x
= +¥
u x ) ( e n
éë u ( x ) ùû
x ® x0
x ® x0
lim u ( x ) = +¥ Þ lim
x ® x0
x ® x0
n u x lim u ( x ) = -¥ Þ lim éë u ( x ) ùû e ( ) = 0 x®x x ®x 0 )u(x
-1 = +¥ )u(x
e
0
lim u ( x ) = 0 Þ lim
x ® x0
x ® x0
ھﺬه اﻟﻨﮫﺎﻳﺎت ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻋﻨﺪ x 0ﻋﻠﻰ اﻟﯿﻤﯿﻦ أو ﻋﻨﺪ x 0 اﻟﯿﺴﺎر أو ﻋﻨﺪ +¥أو ﻋﻨﺪ -¥
اﻻﺗﺼﺎل: اﻟﺪاﻟﺔ x a e xﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ¡
u x إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ uﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ) ( x a eﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I
26
ﻋﻠﻰ
اﻻﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ x a e xﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ¡ ¢ ¡ "x Î وﻟﺪﻳﻨﺎe x = e x :
إذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ uﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل Iﻓﺈن
اﻟﺪاﻟﺔ ) ( x a eﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل I u x ¢ u x "x Î I وﻟﺪﻳﻨﺎe ( ) = u ¢ ( x ) ´ e ( ) : u x
) (
(
)
اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ:
Ëاﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﻟﻸﺳﺎس aﺣﯿﺚa Î ¡*+ - {1} : ﺗﻌﺮﻳﻒ: اﻟﺪاﻟﺔ x a a xھﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ log aو ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﻟﻸﺳﺎس a
اﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت و ﺧﺎﺻﯿﺎت: " ( x; y ) Î ¡ ²
¡ "x Î
a x = e xln a
) (
ax ´ ay = ax+y
log a a x = x x
a log a = x
= a rx
["x Î ]0; +¥
ax = ay Û x = y ["x Î ¡ "y Î ]0; +¥
) (a
x r
1 = a -x x a
) a x = y Û x = log a ( y
= ax-y
ax y
a
ﻧﮫﺎﻳﺎت و ﻣﺘﺮاﺟﺤﺎت: 0 < a <1 ax > ay Û x < y
a >1 ax > ay Û x > y
lim a x = 0
lim a x = +¥
x ®+¥
x ®+¥
lim a = +¥
lim a x = 0
x
x ®-¥
x ®-¥
a -1 = ln a x ®0 x x
lim
اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ: x
( a )¢ = ( ln a ) ´ a x
27
)( r Î ¤
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ
{
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ ھﻲ i² = -1} :و £ = z = a + ib / ( a; b ) Î ¡ ²
Ëاﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻟﻌﺪد ﻋﻘﺪي: ﻟﯿﻜﻦ z = a + ibﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﺣﯿﺚ: · ·
·
( a; b ) Î ¡ ²
a + ibﺗﺴﻤﻰ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي z اﻟﻌﺪد aﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ﻟﻠﻌﺪد zو ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰRe ( z ) :
اﻟﻌﺪد bﻳﺴﻤﻰ اﻟﺠﺰء اﻟﺘﺨﯿﻠﻲ ﻟﻠﻌﺪد zو ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰIm ( z ) :
) ( …إذا ﻛﺎن Re ( z ) = 0 :ﻓﺈن zﻳﺴﻤﻰ ﻋﺪدا ﺗﺨﯿﻠﯿﺎ ﺻﺮﻓﺎ
ﺣﺎﻟﺘﺎن ﺧﺎﺻﺘﺎن…:إذا ﻛﺎن Im z = 0 :ﻓﺈن zھﻮ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ
Ëﺗﺴﺎوي ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﯿﻦ: ﻟﯿﻜﻦ zو z ¢ﻋﺪدﻳﻦ ﻋﻘﺪﻳﯿﻦ
) Im ( z ) = Im ( z ¢و ) z = z ¢ Û Re ( z ) = Re ( z ¢
Ëاﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ ﻟﻌﺪد ﻋﻘﺪي:
ur uur
ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي ﻣﻨﺴﻮﺑﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ( o, e1 , e2 ﻟﯿﻜﻦ z = a + ibﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﺣﯿﺚ( a; b ) Î ¡ ² : ﻧﺮﺑﻂ اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي zﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) M ( a, b
· اﻟﻌﺪد zﻳﺴﻤﻰ ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ Mو اﻟﻨﻘﻄﺔ Mﺗﺴﻤﻰ ﺻﻮرة اﻟﻌﺪد zو ﻧﻜﺘﺐM ( z ) :
uuur
uuur
uuur
) (
· اﻟﻌﺪد zﻳﺴﻤﻰ ﻛﺬﻟﻚ ﻟﺤﻖ اﻟﻤﺘﺠﮫﺔ OMو ﻧﻜﺘﺐ OM ( z ) :أو z = Aff OM
Ëﻣﺮاﻓﻖ ﻋﺪد ﻋﻘﺪي: ﻟﯿﻜﻦ
z = a + ibﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﺣﯿﺚ( a; b ) Î ¡ ² :
ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﻌﺪد zھﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪيz = a - ib :
)(
)(
M zو M ' zﻣﺘﻤﺎﺛﻼن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ
·
'z + z' = z + z 'z ´ z' = z ´ z
·
n
·
·
n
z =z
)* ( n Î ¥
·
z Û z = - zﻋﺪد ﺗﺨﯿﻠﻲ ﺻﺮف
· ·
æ1ö 1 =÷ ç 'è z' ø z
æzö z · =÷ ç 'è z' ø z Ëﻣﻌﯿﺎر ﻋﺪد ﻋﻘﺪي:
·
z Û z = zﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ
·
) z + z = 2 Re ( z
) z - z = 2i Im ( z
²
zz = éë Re ( z ) ùû + éë Im ( z ) ùû ²
)( z ' ¹ 0
ﻟﯿﻜﻦ z = a + ibﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﺣﯿﺚ:
( a; b ) Î ¡ ²
ﻣﻌﯿﺎر اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي zھﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ اﻟﻤﻮﺟﺐ:
z = zz = a² + b² 28
z ´ z¢ = z ´ z¢
zn = z
z = z
-z = z
1 1 = z¢ z¢
z z = z¢ z¢
n
( n Î ¥* ) ( z ' ¹ 0)
:اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ و اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﻟﻌﺪد ﻋﻘﺪي ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻌﺪمË
(
M ﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻌﺪم ﺻﻮرﺗﻪz ﻟﯿﻜﻦ uu r uuuu r · e1 , OM : أﺣﺪ ﻗﯿﺎﺳﺎت اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﻮﺟﮫﺔq ھﻮz ﻋﻤﺪة اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي
)
arg z = q [ 2p]
:ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ a>0
: ھﻮz · اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي
z = r ( cos q + i sin q ) = [ r, q]
a = [ -a, p]
a = [ a, 0]
pù é ai = ê -a, - ú 2
pù é ai = ê a, + ú 2
ë
û
ë
i q+q ' )
·
reiq = re -iq · i p+q )
( ) reiq
n
z = reiq
: ھﻲz · اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻷﺳﯿﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي
û
reiq ´ r 'eiq ' = rr 'e (
-reiq = re (
:وﻧﻜﺘﺐ
ﻋﺪدا ﻋﻘﺪﻳﺎ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻌﺪمz ﻟﯿﻜﻦ arg z = q [ 2p] وr = z ﻧﻀﻊ
ﻏﯿﺮ ﻣﻨﻌﺪمa اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ ﻟﻌﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ
a<0
arg z :و ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ
·
= r n einq ·
[ r, q] ´ [ r ', q '] = [ rr '; q + q '] · [ r, q] = [ r, -q] · - [ r, q] = [ r, p + q] · [ r, q]n = éë r n ; nqùû ·
arg ( zz ') º ( arg z + arg z ') [ 2p] · arg z º - arg z [ 2p] ·
- arg z º ( p + arg z ) [ 2p] · arg z n º n arg z [ 2p] ·
1 1 arg º - arg z [ 2p] · é1 ù = ; -q ' · z [ r '; q '] êë r ' úû z [ r; q] = é r ; q - q 'ù · arg z ' º ( arg z - arg z ') [ 2p] · reiq r i ( q-q ') = e · úû [ r '; q '] êë r ' r 'eiq' r ' ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲz Û arg z = kp · "k Î Z [ r, q + 2kp] = [ r, q] p k Î Z ) ﻋﺪد ﺗﺨﯿﻠﻲ ﺻﺮفz Û arg z = + kp · 2
1
1 = e -iq ' · i q' r' r 'e
(
:ﺻﯿﻐﺘﺎ أوﻟﯿﺮË "q Î R
cos q =
(
1 iq e + e-iq 2
(
)
)
1 iq sin q = e - e-iq و 2i
:ﺻﯿﻐﺔ ﻣﻮاﻓﺮË "n Î ¥
( cos q + i sin nq )n
: ( a Î ¡ ) ﺣﯿﺚz Î £
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
{
S = -i a ;i a
{
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ
}
S = {0}
S = -i -a ;i -a
a>0 a=0
}
a<0
29
z Î £ z² = a
= cos ( nq ) + i sin ( nq )
z² = a ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔË
z Î £ﺣﯿﺚ a :و bو cأﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ )( a ¹ 0
Ëﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔaz² + bz + c = 0 :
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ:
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ:
ìï - b - D - b + D üï S=í ; ý 2a ïþ îï 2a ì -b ü S=í ý î 2a þ ìï - b - i -D - b + i -D üï S=í ; ý 2a 2a ïî ïþ
Δ>0
z Σ
az 2 + bz + c = 0
)( Δ = b2 - 4ac
Δ=0 Δ<0
Ëﻣﻔﺎھﯿﻢ ھﻨﺪﺳﯿﺔ و ﻣﺼﻄﻠﺤﺎت اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ: اﻟﻤﻔﮫﻮم اﻟﮫﻨﺪﺳﻲ
اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ
اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ AB
AB = z B - z A z + zB zI = A 2 uuur uuur æ z - zA ö AB; AC º arg ç c ]÷ [ 2p è zB - zA ø zC - zA ¡Î zB - zA z D - z A z D - zC z - zA zB - zC ´ Dأو Î R ´ ÎR zB - zA zB - zC z B - z A z D - zC
Iﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ][ A; B uuu r uuur · ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ AB; AC
)
(
AوBو C ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﺔ
AوBو Cو D ﻧﻘﻂ ﻣﺘﺪاورة
)
اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ
اﻟﻤﻔﮫﻮم اﻟﮫﻨﺪﺳﻲ
z - zA = r
· ·
z - zA = z - zB
· ·
)( r > 0
zC - zA é pù = ê r; ± ú zB - zA ë 2û zC - zA ]= [1; q zB - zA zC - zA é pù = ê1; ± ú zB - zA ë 2û
(
AM = r
Mﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ Aو ﺷﻌﺎﻋﮫﺎ r
AM = BM AB Mﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ واﺳﻂ ] [
ABCﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ A ABCﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ﻓﻲ A ABCﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ و ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ A
zC - zA é pù = ê1; ± ú zB - zA ë 3û
ABCﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻷﺿﻼع
Ëﺗﻤﺜﯿﻼت ﻋﻘﺪﻳﺔ ﻟﺒﻌﺾ اﻟﺘﺤﻮﻳﻼت اﻻﻋﺘﯿﺎدﻳﺔ: اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ: اﻹزاﺣﺔtu :
اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ اﻟﻌﻘﺪي:
r z ¢ = z + bﺣﯿﺚ b :ﻟﺤﻖ اﻟﻤﺘﺠﮫﺔ u
اﻟﺘﺤﺎﻛﻲh ( Ω;k ) :
) z ¢ - w = k ( z - wﺣﯿﺚ w :ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ W
اﻟﺪورانr ( Ω;θ ) :
) z ¢ - w = eiq ( z - wﺣﯿﺚ w :ﻟﺤﻖ اﻟﻨﻘﻄﺔ W
30
اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﯿﺔ
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﯿﺔ
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﯿﺔ
b a
y' = ay + b
)( a ¹ 0
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﯿﺔ
ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫﺎ اﻟﻤﻤﯿﺰة
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﯿﺰة ﺗﻘﺒﻞ :
Δ>0
y'' + ay' + by = 0
r² + ar + b = 0
y ( x ) = aeax -
Δ=0
) ( Δ = a² - 4b
ﺣﻠﯿﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ
ﻣﺨﺘﻠﻔﯿﻦ r1و r2
ﺣﻼ ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ وﺣﯿﺪا r
)(a Î R
اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﯿﺔ y ( x ) = aer1x + ber2 x ﺣﯿﺚ:
( a, b ) Î R ²
y ( x ) = ( ax + b ) erx ﺣﯿﺚ:
( a, b ) Î R ²
ﺣﻠﯿﻦ ﻋﻘﺪﻳﯿﻦ ﻣﺘﺮاﻓﻘﯿﻦ:
Δ<0
r1 = p - iq و
r2 = p + iq
y ( x ) = ( a cosqx + b sin qx ) epx ﺣﯿﺚ:
( a, b ) Î R ²
اﻟﮫﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﻀﺎﺋﯿﺔ
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
rr r ﻓﻲ ﺳﯿﺎق ھﺬا اﻟﻤﻠﺨﺺ ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮﺑﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ o, i, j,k
)
í
(
Ëاﻟﺼﯿﻐﺔ اﻟﺘﺤﻠﯿﻠﯿﺔ ل :اﻟﺠﺪاء اﻟﺴﻠﻤﻲ -ﻣﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﮫﺔ -اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﮫﻲ: r r ﻟﺘﻜﻦ ) u ( a,b,cو )' v ( a ', b ',cﻣﺘﺠﮫﺘﯿﻦ ﻣﻦ J3 rr 'u.v = aa '+ bb'+ cc · ·
·
r u = a² + b² + c² r 'i a a b b' r a a ' r a a ' r r r r = 'u Ù v = j b b ij+ k r 'c c 'c c 'b b 'k c c
Ëاﻟﻤﺴﺎﻓﺔ: اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ Aو Bھﻲ:
( x B - x A ) ² + ( yB - yA ) ² + ( z B - z A ) ²
اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﻄﺔ M
و ﻣﺴﺘﻮى ) ( P
uuur = AB = AB
ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﯿﺔ ax + by + cz + d = 0 :ھﻲ:
ax M + by M + cz M + d
= ) ) d ( M, ( R
a² + b² + c² r اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﻄﺔ Mو ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ) D ( A, uھﻲ: uuuur r AM Ù u = ) ) d ( A, ( D r u
Ëﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻮى:
r
n ( a, b,c ) Û ( R ) : ax + by + cz + d = 0ﻣﺘﺠﮫﺔ ﻣﻨﻈﻤﯿﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى
)(R
uuur uuur ABC اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ ﻣﻨﻈﻤﯿﺔ ﻣﺘﺠﮫﺔ AB إذا ﻛﺎﻧﺖ Aو Bو Cﻧﻘﻂ ﻏﯿﺮ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﻓﺈن Ù AC ( ) و ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( ABCﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻓﺆ اﻟﺘﺎﻟﻲ :
uuuur uuur uuur M Î ( ABC ) Û AM. AB Ù AC = 0
)
(
Ëﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ: ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ) W ( a, b,cو ﺷﻌﺎﻋﮫﺎ Rھﻲ:
( x - a ) ² + ( y - b ) ² + ( z - c ) ² = R²
32
ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﻠﻜﺔ ) ( Sأﺣﺪ أﻗﻄﺎرھﺎ ] [ ABﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﺪﻳﺪھﺎ ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻓﺆ اﻟﺘﺎﻟﻲ:
) (
uuuur uuur M Î ( S) Û AM . BM = 0
] [
ﻣﻼﺣﻈﺔ:اﻟﻔﻠﻜﺔ Sﻣﺮﻛﺰھﺎ Wﻣﻨﺘﺼﻒ ABو ﺷﻌﺎﻋﮫﺎ
AB 2
Ëﺗﻘﺎﻃﻊ ﻓﻠﻜﺔ ) S ( W, Rو ﻣﺴﺘﻮى ( R ) : ax + by + cz + d = 0 ﻟﺘﻜﻦ Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻤﺮﻛﺰ Wﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( R ﻧﻀﻊd = WH = d ( W; ( R ) ) :
اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( R ﻻ ﻳﻘﻄﻊ اﻟﻔﻠﻜﺔ )(S
) ( ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ )(S
اﻟﻤﺴﺘﻮى Rﻣﻤﺎس
ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ H
Ëﺗﻘﺎﻃﻊ ﻓﻠﻜﺔ ) S ( W, Rو ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ) : ( D ﻟﺘﻜﻦ Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻤﺮﻛﺰ Wﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ) ( D
اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( اﻟﻔﻠﻜﺔ ) (Sوﻓﻖ داﺋﺮة ) ( C Rﻳﻘﻄﻊ
ﻣﺮﻛﺰھﺎH : ﺷﻌﺎﻋﮫﺎr = R ² - d² :
ﻧﻀﻊd = WH = d ( W; ( D ) ) :
اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( ) ( Sﻻ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن
Rو اﻟﻔﻠﻜﺔ
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ
) (
Dﻣﻤﺎس
ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) ( Sﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ H
33
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ
) ( Dﻳﺨﺘﺮق اﻟﻔﻠﻜﺔ )(S
ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﯿﻦ
اﻟﺘﻌﺪاد
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëرﺋﯿﺴﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ: ﺗﻌﺮﻳﻒ: رﺋﯿﺴﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ Eھﻮ ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ Eوﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰCardE : ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔCardÆ = 0 :
ﺧﺎﺻﯿﺔ: Aو Bﻣﺠﻤﻮﻋﺘﺎن ﻣﻨﺘﮫﯿﺘﺎن
) Card ( A È B ) = CardA + CardB - Card ( A Ç B
Ëﻣﺘﻤﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ: ﺗﻌﺮﻳﻒ: ﻟﯿﻜﻦ Aﺟﺰءا ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ E ﻣﺘﻤﻢ Aﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ Eھﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﮫﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰA : ﺣﯿﺚ }A = {x Î E / x Ï A
ﻣﻼﺣﻈﺎت: · · ·
AÇA=Æ AÈA=E cardA = cardE - cardA
Ëاﻟﻤﺒﺪأ اﻷﺳﺎﺳﻲ ﻟﻠﺘﻌﺪاد:
ﻧﻌﺘﺒﺮ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﺗﺘﻄﻠﺐ ﻧﺘﺎﺋﺠﮫﺎ pاﺧﺘﯿﺎرا )* ( p Î ¥
إذا ﻛﺎن اﻻﺧﺘﯿﺎر اﻷول ﻳﺘﻢ ب n1ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ
و ﻛﺎن اﻻﺧﺘﯿﺎر اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻳﺘﻢ ب n 2ﻛﯿﻔﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ......................................... و ﻛﺎن اﻻﺧﺘﯿﺎر pﻳﺘﻢ ب n pﻛﯿﻔﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ
ﻓﺈن ﻋﺪد اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ھﻮ اﻟﺠﺪاء n1 ´ n 2 ´ n 3 ´ ... ´ n p :
Ëاﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺘﻜﺮار -اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺪون ﺑﺘﻜﺮار: اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺘﻜﺮار:
ﻟﯿﻜﻦ nو pﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﻦ * ( p £ n ) ¥ ﻋﺪد اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺘﻜﺮار ل pﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ nﻋﻨﺼﺮ ھﻮn p :
34
اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺪون ﺑﺘﻜﺮار:
· ﺧﺎﺻﯿﺔ:
ﻟﯿﻜﻦ nو pﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻣﻦ * ( p £ n ) ¥
ﻋﺪد اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﺑﺪون ﺗﻜﺮار ل pﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ nﻋﻨﺼﺮ ھﻮ:
)A pn = n ´ ( n - 1) ´ ( n - 2 ) ´ ... ´ ( n - p + 1 pﻣﻦ اﻟﻌﻮاﻣﻞ · ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ: ﻛﻞ ﺗﺮﺗﯿﺒﺔ ﺑﺪون ﺗﻜﺮار ل nﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ nﻋﻨﺼﺮ ﺗﺴﻤﻰ ﻛﺬﻟﻚ ﺗﺒﺪﻳﻠﺔ ل nﻋﻨﺼﺮ و ﻋﺪدھﺎ n! = n ´ ( n - 1) ´ ( n - 2 ) ´ ... ´ 2 ´ 1 :
Ëاﻟﺘﺄﻟﯿﻔﺎت: ﻟﺘﻜﻦ Eﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻨﺘﮫﯿﺔ ﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮھﺎ n ﻛﻞ ﺟﺰء Aﻣﻦ Eﻋﺪد ﻋﻨﺎﺻﺮه ( p £ n ) p ﻳﺴﻤﻰ ﺗﺄﻟﯿﻔﺔ ل pﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ nﻋﻨﺼﺮ A pn و ﻋﺪد ھﺬه اﻟﺘﺄﻟﯿﻔﺎت ھﻮ : !p Ëاﻷﻋﺪاد n! :و Apnو : Cpn
= Cpn
n! = n ´ ( n - 1) ´ ( n - 2 ) ´ ... ´ 2 ´ 1 0! = 1 !n = Cpn !) p!( n - p C1n = n
Cnn = 1
* nΥ !n !) ( n - p
C0n = 1
Cpn = Cnn - p
= A pn Cnn -1 = n
Cpn -1 + Cpn = Cpn +1
Ëﻋﺪد إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺮﺗﯿﺐ nﻋﻨﺼﺮ: إذا ﻛﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ nﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻨﮫﺎ n1ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع A
) ( n1 + n 2 + n 3 = n
و n 2ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع B و n 3ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع C
!n ﻓﺈن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺮﺗﯿﺐ ھﺬه اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ھﻮ : ! n1 !´ n 2 !´ n 3
Ëﺑﻌﺾ أﻧﻮاع اﻟﺴﺤﺐ: ﻧﺤﺴﺐ pﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ nﻋﻨﺼﺮ ) ( p £ nو ﻧﻠﺨﺺ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ:
ﻧﻮع اﻟﺴﺤﺐ
ﻋﺪد اﻟﺴﺤﺒﺎت اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ھﻮ:
اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ
آﻧﻲ
Cpn
ﻏﯿﺮ ﻣﮫﻢ
ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺈﺣﻼل
np A pn
ﻣﮫﻢ
ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺪون إﺣﻼل
35
ﻣﮫﻢ
اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت
)ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل(
Ëﻣ ﻄﻠﺤﺎت اﻟﻤﺼﻄﻠﺢ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻲ
ﻣﻌﻨﺎه
ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ Wﻛﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺣﺪث A ﺣﺪث اﺑﺘﺪاﺋﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺤﺪث A Ç B ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺤﺪث A È B اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻀﺎد ﻟﻠﺤﺪث A
ﻛﻞ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﺗﻘﺒﻞ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻧﺘﯿﺠﺔ ھﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻹﻣﻜﺎﻧﯿﺎت اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ Aﺟﺰءا ﻣﻦ ﻛﻮن اﻹﻣﻜﺎﻧﯿﺎت W ﻛﻞ ﺣﺪث ﻳﺘﻀﻤﻦ ﻋﻨﺼﺮا وﺣﯿﺪا إذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺤﺪﺛﺎن Aو Bﻓﻲ آن واﺣﺪ إذا ﺗﺤﻘﻖ Aأو Bأو ھﻤﺎ ﻣﻌﺎ
ھﻮ اﻟﺤﺪث A
) A È A = Wو ( A Ç A = Æ AÇB=Æ
Aو Bﺣﺪﺛﺎن ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﯿﻦ
Ëاﺳﺘﻘﺮار ﺣﺪث -اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث: ﺗﻌﺮﻳﻒ:
ﻟﯿﻜﻦ Wﻛﻮن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ · ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺴﺘﻘﺮ اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪ ث اﺑﺘﺪاﺋﻲ } {wiﻓﻲ ﻗﯿﻤﺘﻪ piﻧﻘﻮل أن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث } {wiھﻮpi :
وﻧﻜﺘﺐP ({wi }) = pi :
· اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث ھﻮ ﻣﺠﻤﻮع اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن ھﺬا اﻟﺤﺪث أي إذا ﻛﺎن } A = {w1 ; w2 ; w3 ;...; wnﺣﺪﺛﺎ ﻣﻦ Wﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث Aھﻮ:
) p ( A ) = p ( w1 ) + p ( w2 ) + p ( w3 ) + ... + p ( wn
ﺧﺎﺻﯿﺎت:
ﻟﯿﻜﻦ Wﻛﻮن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ · p (Æ ) = 0و p ( W) = 1
· 0 £ p ( A ) £ 1ﻟﻜﻞ ﺣﺪث Aﻣﻦ W
· اﺣﺘﻤﺎل اﺗﺤﺎد ﺣﺪﺛﯿﻦ: ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﯿﻦ Aو Bﻣﻦ W
)p ( A È B) = p ( A ) + p ( B) - p ( A Ç B
) p ( A È B ) = p ( A ) + p ( Bإذا ﻛﺎن Aو Bﻏﯿﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﯿﻦ
· اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث اﻟﻤﻀﺎد:
) (
ﻟﻜﻞ ﺣﺪث Aﻣﻦ Wھﻮp A = 1 - p ( A ) :
Ëﻓﺮﺿﯿﺔ ﺗﺴﺎوي اﻻﺣﺘﻤﺎﻻت: ﺗﻌﺮﻳﻒ:
إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺟﻤﯿﻊ اﻷﺣﺪاث اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻻﺣﺘﻤﺎل ﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻛﻮن إﻣﻜﺎﻧﯿﺘﮫﺎ W cardA = )p(A ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل ﻛﻞ ﺣﺪث Aﻣﻦ Wھﻮ: cardW Ëاﻻﺣﺘﻤﺎل اﻟﺸﺮﻃﻲ -اﺳﺘﻘﻼﻟﯿﺔ ﺣﺪﺛﯿﻦ: ﺗﻌﺮﻳﻒ:
ﻟﯿﻜﻦ Aو Bﺣﺪﺛﯿﻦ ﻣﺮﺗﺒﻄﯿﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺑﺤﯿﺚp ( A ) ¹ 0 :
)p ( A Ç B = p ( B) = p B اﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث Bﻋﻠﻤﺎ أن اﻟﺤﺪث Aﻣﺤﻘﻖ ھﻮ اﻟﻌﺪد: A p A ( ) A
) (
36
ﻧﺘﯿﺠﺔ:
ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﯿﻦ Aو Bﻣﺮﺗﺒﻄﯿﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ﺑﺤﯿﺚp ( A ) ´ p ( B ) ¹ 0 :
ﻟﺪﻳﻨﺎ( A ) = p ( B) ´ p ( A B) :
p ( A Ç B) = p ( A ) ´ p B
ﺗﻌﺮﻳﻒ: ﻟﻜﻞ ﺣﺪﺛﯿﻦ Aو Bﻣﺮﺗﺒﻄﯿﻦ ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ ) A Û p ( A Ç B ) = p ( A ) ´ p ( Bو Bﺣﺪﺛﺎن ﻣﺴﺘﻘﻼن
ﺧﺎﺻﯿﺔ:
ﻟﯿﻜﻦ Wﻛﻮن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ و W1و W 2ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ل W ) W1 È W2 = Wو ( W1 Ç W2 = Æ ﻟﻜﻞ ﺣﺪث Aﻣﻦ : W p ( A ) = p ( W1 ) ´ p A + p ( W2 ) ´ p A W1 W2
) (
) (
Ëﻗﺎﻧﻮن اﺣﺘﻤﺎل ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ: ﻟﯿﻜﻦ Xﻣﺘﻐﯿﺮا ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ ﻋﻠﻰ Wﻛﻮن إﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ﻗﺎﻧﻮن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ Xﻧﺘﺒﻊ اﻟﻤﺮﺣﻠﺘﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ: · ﺗﺤﺪﻳﺪ } : X ( W ) = {x1; x 2 ;x 3 ;...;x nﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺘﻲ ﻳﺄﺧﺬھﺎ اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ X ·
ﻧﺤﺴﺐ اﻻﺣﺘﻤﺎل ) p ( X = x iﻟﻜﻞ
iﻣﻦ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ }{1;2;...;n
Ëاﻷﻣﻞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻲ -اﻟﻤﻐﺎﻳﺮة -اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻄﺮازي ﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﻋﺸﻮاﺋﻲ: ﻟﯿﻜﻦ Xﻣﺘﻐﯿﺮا ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ ﻗﺎﻧﻮﻧﻪ ﻣﻌﺮف ﺑﺎﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ:
ﺗﻌﺎرﻳﻒ:
اﻷﻣﻞ اﻟﺮﻳﺎﺿﻲ ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ X
xn
x 3 ...
x2
x1
xi
pn
p3 ...
p2
p1
) p(X = x i
E ( X ) = x1 ´ p1 + x 2 ´ p 2 + x 3 ´ p3 + ... + x n ´ p n
اﻟﻤﻐﺎﻳﺮة ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ X
V ( X ) = E ( X² ) - éë E ( X ) ùû ²
اﻻﻧﺤﺮاف اﻟﻄﺮازي ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ X
)s(X) = V(X
Ëاﻟﻘﺎﻧﻮن اﻟﺤﺪاﻧﻲ: ﻟﯿﻜﻦ pاﺣﺘﻤﺎل ﺣﺪث Aﻓﻲ ﺗﺠﺮﺑﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻧﻌﯿﺪ ھﺬه اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ nﻣﺮة اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ اﻟﻌﺸﻮاﺋﻲ Xاﻟﺬي ﻳﺮﺑﻂ ﻛﻞ ﻧﺘﯿﺠﺔ ﺑﻌﺪد اﻟﻤﺮات اﻟﺘﻲ ﻳﺘﺤﻘﻖ ﻓﯿﮫﺎ اﻟﺤﺪث A ﻳﺴﻤﻰ ﺗﻮزﻳﻌﺎ ﺣﺪاﻧﯿﺎ وﺳﯿﻄﺎه nو p وﻟﺪﻳﻨﺎ:
n -k
) "k Î {0;1;2;...;n} p ( X = k ) = Ckn ´ p k ´ (1 - p
و
E(X) = n ´ p
و
) V ( X ) = np (1 - p
37
()ﻣﺤﻤﺪ اﻟﻜﯿﺎل
(اﻟﺤﺴﺎب اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ )ﺗﺬﻛﯿﺮ :ﺟﺪول اﻟﻘﯿﻢ اﻻﻋﺘﯿﺎدﻳﺔ و اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔË
0
x sinx
0
cosx
1
tanx
0
π 6 1 2 3 2 3 3
π 4 2 2 2 2 1
π
π 2 1
3
3 2 1 2 3
0
:اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺑﯿﻦ اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔË
cos ( x + 2kπ ) = cosx sin ( x + 2kπ ) = sinx tan ( x + kπ ) = tanx
-sinx
π -x 2 cosx
π +x 2 cosx
-cosx
sinx
-sinx
-x
π-x
π+x
sin
-sinx
sinx
cos
cosx
-cosx
tanx =
sinx cosx
1 + tan²x =
1 cos²x
-1 £ cosx £ 1 -1 £ sinx £ 1 cos²x + sin²x = 1
:ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺜﻠﺜﯿﺔ أﺳﺎﺳﯿﺔË cosx = cosa Û x = a + 2kπ أوx = -a + 2kπ sinx = sina Û x = a + 2kπ أوx = ( π - a ) + 2kπ tanx = tana Û x = a + kπ ( k Î Z) 38
:ﺻﯿﻎ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﻣﺠﻤﻮعË cos ( a - b ) = cosa × cosb + sina ×sinb
cos ( a + b ) = cos a × cos b - sin a ×sin b
sin ( a - b ) = sina × cosb - cosa ×sinb tana - tanb tan ( a - b ) = 1+ tana × tanb
sin ( a + b ) = sin a × cos b + cos a ×sin b tan a + tan b tan ( a + b ) = 1- tan a × tan b
:ﻧﺘﺎﺋﺞË t = tan
cos 2a = cos² a - sin² a = 2cos² a -1 = 1- 2sin² a sin 2a = 2sin a × cos a 2tan a tan 2a = 1- tan² a 1 + cos 2a cos² a = 2 1 - cos 2a sin² a = 2
a :ﺑﻮﺿﻊ 2
2t 1 + t² 1 - t² cos a = 1 + t² 2t tan a = 1 - t²
sin a =
: ﺗﺤﻮﻳﻞ ﻣﺠﻤﻮع إﻟﻰ ﺟﺪاءË
: ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺟﺪاء إﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮعË
æp+qö æp-qö cos ç ÷ ÷ è 2 ø è 2 ø
1 cos a × cos b = éëcos ( a + b ) + cos ( a - b )ùû 2 1 sin a ×sin b = - éëcos ( a + b ) - cos ( a - b ) ùû 2 1 sin a × cos b = éësin ( a + b ) - sin ( a - b ) ùû 2 1 cos a ´ sin b = éësin ( a + b ) - sin ( a - b ) ùû 2
cos p + cos q = 2cos ç
p+qö æ p-qö ÷ sin ç 2 ÷ è 2 ø è ø æp+qö æp-qö sin p + sin q = 2sin ç cos ç ÷ ÷ è 2 ø è 2 ø æp+qö æp-qö sin p - sin q = 2cos ç sin ç ÷ ÷ è 2 ø è 2 ø cos p - cos q = -2sin æç
( a,b ) ¹ ( 0,0)
a cos x + bsin x :ﺗﺤﻮﻳﻞË
æ
ö a b cos x + sin x ÷÷ a² + b² è a² + b² ø = a² + b² cos ( x - a )
a cos x + bsin x = a² + b² çç
: ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻳﺤﻘﻖa ﺣﯿﺚ
cosα =
a a² + b²
و
39
sinα =
b a² + b²