Matemática 6 ano by Braulio

Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior, 2018. Diretor editorial Diretora editorial adjunta Gerente editorial Editor Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Foto de capa Supervisora de arte Editora de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Ilustrações

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni Júnior, José Ruy A conquista da matemática : 6o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo : FTD, 2018. “Componente curricular: Matemática.” ISBN 978-85-96-01913-2 (aluno) ISBN 978-85-96-01914-9 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Castrucci, Benedicto. II. Título. 18-20686

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Cibele Maria Dias – Bibliotecária – CRB-8/9427

EDITORA FTD. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP CEP 01326-010 – Tel. 0800 772 2300 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br central.relacionamento@ftd.com.br

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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apresentação O intuito desta obra é oferecer aos alunos e professores um material que norteie o trabalho com as ideias matemáticas, levando em consideração as especificidades da faixa etária a que se destina. Esperamos que este contato com os conceitos matemáticos contribua para que se estabeleça uma relação significativa entre o aluno e o conhecimento da Matemática, pautada pela curiosidade e pela reflexão. Ao longo dos volumes desta obra, pretendemos ainda estabelecer um elo entre a Educação Matemática e a formação do sujeito autônomo e consciente do seu papel, tendo em vista que paradigmas em Educação apontam para a formação de um aluno crítico, capaz de analisar, interpretar e participar ativamente na sociedade ao seu redor. Para descortinar o contexto permeado por múltiplas linguagens e tecnologias em que se inserem, assumindo-se como cidadãos autônomos e conscientes das relações sociais que vivenciam diariamente, nossos alunos precisam se apropriar dos conhecimentos sócio-historicamente construídos, valendo-se de estratégias e habilidades requeridas pelo mundo contemporâneo. E, no intuito de auxiliar você, professor, a capitanear essa aventura que é o processo de ensino e aprendizagem nos anos finais do Ensino Fundamental, foram elaboradas estas Orientações. Aqui, você encontrará diversas sugestões e bases para o seu trabalho diário. Esperamos que tudo isso possa contribuir para a dinâmica dos atos de aprender e de ensinar, levando a aprendizagens significativas e prazerosas na área da Matemática no Ensino Fundamental. Aventure-se você também!

Os autores.

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sumário

CONHEÇA AS ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR ...........................................V Material impresso ..................................................................................................V Material digital .....................................................................................................VI CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA ................................. VII Modelagem........................................................................................................ VIII Resolução de problemas ......................................................................................IX Tecnologias digitais: suas potencialidades no ensino e na aprendizagem .................................................................................................XI Comunicação nas aulas de Matemática............................................................ XII A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA ........................................................... XIII As competências ................................................................................................ XIV QUADRO DE HABILIDADES DA BNCC.........................................................XVI UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS .........XXV O PAPEL DO PROFESSOR ................................................................................. XXVI AVALIAÇÃO ...................................................................................................... XXVII CONHEÇA A OBRA ........................................................................................... XXX As aberturas de unidades ............................................................................... XXX Os capítulos .................................................................................................... XXXI As seções e os boxes desta obra ................................................................... XXXI Quadros de conteúdos e habilidades da obra ........................................... XXXIV REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. XXXIX DOCUMENTOS OFICIAIS ......................................................................................XLI SUGESTÕES DE REVISTAS E OUTRAS PUBLICAÇÕES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR .....................................................XLII ENDEREÇOS DE OUTRAS ENTIDADES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR........................................................................XLIII SITES ..................................................................................................................... XLIV ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS DO VOLUME 6 Unidade 1 – Sistemas de numeração ............................................................... 12 Unidade 2 – Cálculos com números naturais ................................................... 34 Unidade 3 – Figuras geométricas ..................................................................... 76 Unidade 4 – Múltiplos e divisores .................................................................. 100 Unidade 5 – A forma fracionária dos números racionais ............................. 130 Unidade 6 – A forma decimal dos números racionais .................................. 170 Unidade 7 – Ângulos e polígonos ..................................................................200 Unidade 8 – Comprimento e área .................................................................. 234 Unidade 9 – Massa, volume e capacidade ..................................................... 258 Resoluções ....................................................................................................... 289

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CONHEÇA AS ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR MATERIAL IMPRESSO

Estas Orientações buscam elucidar os caminhos por nós percorridos desde a idealização desta obra até a efetivação das propostas apresentadas em cada volume. Acreditamos ser de grande relevância conhecer os pressupostos teóricos que a embasam para, a partir desses, perceber a estrutura e os elementos que a compõem. Além da apresentação desses norteadores, buscamos promover reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática e as possíveis ações e estratégias utilizadas em sala de aula. Não podemos deixar de mencionar que muitas explorações aqui apresentadas ao professor trata-se de sugestões e, portanto, podem e devem ser adaptadas sempre que necessário. Durante a elaboração deste manual, procuramos utilizar uma linguagem clara e objetiva que permita uma fácil visualização das articulações por nós idealizadas. Organizamos este material em duas partes: • Na primeira parte, serão apresentadas reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática e dos possíveis instrumentos e ferramentas que podem favorecer a construção do conhecimento matemático nos anos finais do Ensino Fundamental e, como dissemos anteriormente, muitas dessas abordagens nortearam a elaboração desta obra. Dentre os documentos por nós utilizados está a Base Nacional Comum Curricular (BNCC). • Na segunda parte, disposta em formato de U, o professor encontrará o detalhamento das situações e atividades propostas no livro do aluno, juntamente com sugestões que possam tornar o processo de ensino e aprendizagem mais rico e proveitoso. Além dessas indicações, será possível visualizar as habilidades e competências a serem desenvolvidas. Nessa parte o professor encontrará as seções:

Competências e Habilidades No início de cada Unidade serão explicitadas as competências (gerais e específicas) e as habilidades a serem exploradas e desenvolvidas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O professor encontrará comentários e orientações específicas referentes a cada página do livro do aluno; os comentários podem abordar o conteúdo principal a ser desenvolvido e/ou ainda as seções e boxes existentes na página que está sendo comentada. Acreditamos que essas indicações poderão favorecer o trabalho do professor levando a um melhor aproveitamento dos conhecimentos matemáticos a serem explorados.

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Ampliando Nesta Seção serão apresentadas atividades e leituras complementares que podem enriquecer o trabalho do professor e permitir o aprofundamento, tanto do professor quanto do aluno, das questões e abordagens apresentadas na referida Unidade.

NO DIGITAL Indicações de planos de desenvolvimento, projetos integradores, sequências didáticas e propostas de acompanhamento de aprendizagem que podem ser encontrados no Manual do professor – Material digital e que têm o propósito de enriquecer a sua prática pedagógica.

NO AUDIOVISUAL Indicações de materiais audiovisuais produzidos exclusivamente para a coleção.

Ao final da segunda parte, já não disposto em U, o professor encontrará a resolução das atividades propostas ao longo do volume. Esperamos que todos esses recursos possam contribuir com o trabalho do professor, dentro e fora da sala de aula, e com o alcance de um objetivo educacional ainda maior: a formação de um aluno crítico, capaz de analisar, interpretar e atuar no mundo de forma consciente, cooperativa e autônoma.

MATERIAL DIGITAL Além dos quatro volumes impressos deste Manual do Professor, a coleção apresenta quatro volumes de Manual do professor – Material digital. São recursos que ajudam a enriquecer o trabalho do professor e a potencializar as relações de ensino-aprendizagem em sala de aula. Os materiais digitais estão organizados em bimestres e cada um deles possui a composição a seguir. Plano de desenvolvimento: documento que apresenta os temas que serão trabalhados ao longo do bimestre, relacionando-os aos objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC. Também são sugeridas estratégias didático-pedagógicas que auxiliam o professor na gestão da sala de aula e fontes de pesquisa complementares que podem ser consultadas pelo professor ou apresentadas para os alunos. Cada Plano de desenvolvimento apresenta um Projeto integrador, cujo objetivo é tornar a aprendizagem dos alunos mais concreta, articulando diferentes componentes curriculares a situações de aprendizagem relacionadas ao cotidiano da turma. Por meio dos projetos, é possível explorar temas transversais, estimular o desenvolvimento das competências socioemocionais e trabalhar com habilidades próprias de diferentes componentes curriculares.

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Sequências didáticas: são um conjunto de atividades estruturadas aula a aula que relacionam objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC, de modo a ajudar o aluno a alcançar um objetivo de aprendizagem definido. Nas sequências didáticas, foram propostas atividades que podem ser aplicadas complementarmente ao livro impresso. Também estão presentes sugestões de avaliações que ajudam o professor a aferir se os alunos alcançaram os objetivos de aprendizagem propostos. Proposta de acompanhamento da aprendizagem: é um conjunto de dez atividades (e seus respectivos gabaritos) destinadas ao aluno, acompanhado de fichas que podem ser preenchidas pelo professor. Esse material tem o objetivo de ajudar a verificar a aprendizagem dos alunos, especialmente se houve domínio das habilidades previstas para o período, e a mapear as principais dificuldades apresentadas pela turma, auxiliando o trabalho de planejamento do professor e a autoavaliação da própria prática pedagógica. Material digital audiovisual: são vídeos e videoaulas produzidos para os alunos. Nesses materiais tivemos a preocupação de contextualizar os conteúdos, por vezes utilizando conexões com as demais áreas e/ou a história da Matemática. Esses recursos poderão complementar o trabalho do professor no desenvolvimento de habilidades e competências previstas na BNCC.

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA

A Matemática não reside apenas no trabalho com os números e as operações; ela vai além. Devemos considerar toda a amplitude que essa área de conhecimento pode oferecer à formação do indivíduo. Considerando a importância do ensino da Matemática na esfera escolar, devemos ter em mente que: O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabilidades sociais. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 263. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/abase/#fundamental/a-area-de-matematica>. Acesso em: 13 ago. 2018.

Desse modo, durante seu estudo, há uma série de habilidades que podem ser desenvolvidas visando capacitar o aluno a mobilizar as aprendizagens e solucionar situações do cotidiano. O aprendizado durante esse processo certamente servirá ao aluno como exercício para o desempenho de seu papel como cidadão em interação com o mundo que o cerca; afinal, não queremos formar uma pessoa que apenas saiba, mas que, com seus conhecimentos, possa estabelecer relações com o mundo ao seu redor e fazer intervenções e modificações em seu ambiente de maneira consciente, responsável e eficiente. Podemos dizer que compreender a Matemática é uma tarefa ampla e repleta de variáveis. Quando estamos diante da aprendizagem de um novo conceito, precisamos formular nossas hipóteses, escutar as dos outros, planejar a maneira de resolver determinado problema, confrontar nossas respostas ou hipóteses com as dos outros, antecipar e validar resoluções. Portanto, dentre as várias habilidades que são adquiridas ao desenvolver os conhecimentos matemáticos, podemos destacar o raciocínio lógico-dedutivo, que tem papel primordial na formação do sujeito. Todo esse percurso faz acontecer uma aprendizagem mais significativa e mais abrangente.

VII

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A possibilidade de analisar várias formas de resolver determinados problemas e de confrontar e validar hipóteses também propicia uma aprendizagem que extrapola o ensino de Matemática, culminando na formação de um indivíduo mais atuante na sociedade, que se relaciona com grupos e que enfrenta situações-problema buscando soluções e não se inibindo diante de questões complexas. Além do raciocínio lógico, merece destaque o trabalho que envolve processos mentais básicos como as noções de correspondência, comparação, classificação, sequenciação, seriação, inclusão e conservação. Esses processos mentais podem ser desenvolvidos com base nas atividades da exploração matemática e também contribuem para que os alunos se tornem capazes de solucionar situações do cotidiano utilizando os conceitos, as diferentes maneiras de proceder e a antecipação de resultados. Temos assistido no desenvolvimento de pesquisas em Educação Matemática a uma forte conexão entre tendências que contextualizam os objetos matemáticos – como modelagem, resolução de problemas, interdisciplinaridade, pedagogia de projetos e uso de tecnologias digitais (TD) – e as justificativas educacionais que a sustentam, a tal ponto que fica difícil efetuar, por exemplo, a modelagem matemática aplicada ao ensino de Matemática sem tangenciar outra tendência, e a modelagem matemática torna-se fator de geração de problemas que vão sendo gerenciados por uma ou outra tendência. (MALHEIROS, 2012) A seguir apresentaremos algumas ideias acerca dessas tendências.

MODELAGEM

Para melhor compreendermos o significado da modelagem no contexto do ensino e da aprendizagem da Matemática, será preciso recuperá-lo no contexto da aplicabilidade da Matemática, aquela exercida por profissionais das mais diversas áreas do conhecimento humano. Segundo Bean (2001), ao falarmos das raízes da aplicabilidade da Matemática, temos em mente situações-problema complexas e não bem definidas encontradas nas indústrias, no setor da saúde e no meio ambiente, entre outras. Para encaminhamento de uma solução ou de uma melhor compreensão do que ocorre e precisa ser solucionado, será necessário que o profissional responsável crie ou pelo menos modifique modelos matemáticos já existentes, definindo parâmetros, características e relações entre eles. As características e relações, extraídas de hipóteses e aproximações simplificadoras, são traduzidas em termos matemáticos (o modelo), nos quais a matemática reflete a situação-problema. Durante e depois da criação do modelo o profissional verifica a coerência do modelo e a validade do modelo no contexto do problema original. BEAN, D. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001.

Segundo esse autor, uma transferência do método da modelagem, como exposto anteriormente, vem sendo implantada na Matemática desenvolvida nas escolas a fim de dar respostas às dimensões socioculturais da educação e ao baixo desenvolvimento do aluno na própria Matemática. Essa transferência de método se dá apoiada na resolução de problemas aplicados, os quais tratam de questões de relevância que motivem o aluno a buscar soluções. Esse autor estudou dissertações e teses de Educação Matemática e afirma que delas surgem duas abordagens: a modelagem como uma metodologia de problematização e a modelagem como aprendizagem baseada em problemas.

VIII

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As duas pretendem focar situações de interesse do aluno. A primeira problematiza uma situação dada, não bem definida, e é intitulada modelagem; e a segunda, chamada de modelação, trabalha uma situação dada já em forma de situação-problema relacionada ao conteúdo a ser ministrado. Bean (2001) salienta ainda que a modelagem difere da resolução de problemas quando a situação não for bem definida, tal qual proposto por Polya, que será abordado posteriormente nestas Orientações. Para Bean (2001), A essência da modelagem matemática consiste em um processo no qual as características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, e representadas em termos matemáticos (o modelo). As hipóteses e as aproximações significam que o modelo criado por esse processo é sempre aberto a críticas e ao aperfeiçoamento. BEAN, D. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001.

Sem dúvida, uma vez que o modelo esteja formatado, há de se querer chegar a um resultado, solucionando-o. Daí a aproximação e o afastamento das metodologias – resolução de problemas, modelagem ou modelação – como propostas de ensino da Matemática. A resolução de problemas, na maioria dos casos, não envolve hipóteses e aproximações simplificadoras na criação de modelos. O problema dado já é bem definido. E, talvez, por causa das diferenças citadas é que a resolução de problemas se torna uma metodologia muito indicada para o Ensino Fundamental de Matemática na BNCC em detrimento da modelagem matemática e da modelação matemática, que têm sua maior projeção no Ensino Superior.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Muito já se pesquisou desde a apresentação das quatro etapas para se chegar à solução de um problema descritas por Polya, em seu livro intitulado How to Solve It, cuja primeira edição data de 1945. A tendência da Educação Matemática por “resolução de problemas” avança hoje para além das fronteiras de um método de resolução e passa a ser desenvolvida como uma perspectiva metodológica para o ensino da Matemática. Onuchic (1999) nos traz uma retrospectiva do desenvolvimento dessa tendência, evidenciando o trabalho realizado por Schoeder e Lester (1989) que aponta para diferentes modos de abordá-la. Pode-se adotar uma atitude educativa que corresponda a ensinar resolução de problemas. Nessa abordagem, os modelos de resoluções constituem o foco da atividade. Pode-se, por outro lado, ensinar a resolver problemas; o foco nesse caso é concentrar-se no ensino de Matemática e no que dela pode ser aplicado na solução de problemas rotineiros ou não; e, por último, pode-se assumir uma conduta de ensinar a Matemática por meio da resolução de problemas, na qual [...] os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, mas também, como um primeiro passo para se fazer isto. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis para problemas razoáveis. [...], deste modo, pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar símbolos). ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 207.

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Para Onuchic, essa abordagem é a mais coerente com as indicações apresentadas nos PCNs e estendemos aqui essa coerência à BNCC, pela qual se espera que os alunos “desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da Matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações” (BNCC, p. 263). Onuchic afirma ainda que nessa abordagem “o aluno tanto aprende Matemática resolvendo problemas como aprende Matemática para resolver problemas” (p. 211). Embora não haja uma forma rígida de ensinar por meio da resolução de problemas, passaremos a descrever sucintamente um roteiro básico metodológico, que poderá ser desenvolvido com base em situações-problema propostas em cada volume da obra. O roteiro apresentado por Onuchic e Allevato (2011) pode ser dividido nas seguintes etapas: Preparação do problema: nesta primeira etapa, vale ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não foi trabalhado anteriormente em sala de aula. A ideia é que mobilizem os conhecimentos que possuem para, a partir deles, construir novos conhecimentos necessários para a resolução. Leitura do problema: é a etapa em que se promove uma leitura individual do problema, seguida de uma leitura em conjunto, a fim de propiciar esclarecimento de eventuais dúvidas. Resolução do problema: com base no entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Observar e incentivar: nesta etapa, o professor se torna um mediador e, portanto, não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Registro das resoluções no quadro de giz: representantes dos grupos são convidados a registrar e socializar, no quadro de giz, suas resoluções independentemente de estarem certas ou erradas. Plenária: para essa etapa, são convidados todos os alunos, a fim de discutirem as diferentes resoluções registradas no quadro de giz pelos colegas, defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. Nesse processo, o professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Busca do consenso: depois de sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso do resultado correto. Formalização do conteúdo: neste momento, denominado formalização, o professor registra no quadro de giz uma apresentação formal – organizada e estruturada em linguagem matemática –, padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos por meio da resolução do problema. Segundo Onuchic e Allevato (2009), durante a aplicação da metodologia surgem sempre oportunidades para avaliar a compreensão dos alunos dos conceitos que envolvem o problema proposto, possibilitando a você, professor, perceber o crescimento do conhecimento matemático deles, o que faz a aplicação do método ser um momento de ensino-aprendizagem-avaliação. Onuchic (1999) alerta para a importância de sua ação, professor, e de sua formação ao aplicar essa metodologia. Nisso vale ressaltar que o sucesso da operacionalização proposta depende, em grande parte, dos professores que irão implementá-la nas salas de aula e de como serão formados esses profissionais nessa perspectiva de trabalho. ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 212.

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TECNOLOGIAS DIGITAIS: SUAS POTENCIALIDADES NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM

É inegável a presença das Tecnologias Digitais (TD) nas nossas vidas particulares, no mundo do trabalho e no desenvolvimento do conhecimento gerado na época em que vivemos. Nossa intenção é promover algumas reflexões acerca das possíveis relações existentes entre as TD e o trabalho desenvolvido na escola pensando nos principais motivos que podem levar ao fortalecimento dessa relação. Borba, Scucuglia e Gadanidis (2014), no livro intitulado Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática, analisam as pesquisas desenvolvidas no Brasil, nos últimos 30 anos, que tratam da presença das tecnologias digitais na Educação Matemática. Essa tecnologia assumiu nomes distintos que simbolizaram diferentes épocas: Logo, informática, educação matemática online, tecnologias da informação, tecnologias da informação e comunicação, internet etc. Os diversificados termos utilizados enfatizaram diferentes aspectos desta tecnologia que, como o título sugere, está em movimento. BORBA, M. C.; SCUCUGLIA, R. R. S.; GADANIS, G. Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2014, p. 16.

As diferentes formas – de como a sala de aula de Matemática tem se transformado com o evento das tecnologias – foram classificadas pelos autores em quatro fases. Passaremos a expor um breve resumo de cada uma das fases por eles descritas. Para uma compreensão mais profunda sobre cada uma das fases e suas fundamentações, recomendamos a leitura do livro. A primeira fase, nos anos de 1980, já discutia o uso de calculadoras simples ou científicas e de computadores. Tecnologia de Informática (TI) era o termo utilizado para se referir a computadores e softwares. No entanto, o uso do software LOGO é que principalmente caracterizou essa fase fundamentada no construcionismo, que considerava o potencial da programação do LOGO ao enfatizar relações entre linguagem de programação e pensamento matemático. Havia nessa fase a preocupação com a implantação de laboratórios de informática nas escolas e a formação de professores, pois o papel atribuído às tecnologias era o de catalisador para as mudanças pedagógicas. A segunda fase teve início em 1990. Nela existiam muitas perspectivas de como os estudantes, professores e pesquisadores viam o papel dos computadores em suas vidas pessoais e profissionais. Muitos nem chegaram a usar os computadores, “outros ainda, por perceberem as transformações cognitivas, sociais e culturais que ocorriam com o uso de TI, buscavam explorar possibilidades didático-pedagógicas. Diversos softwares educativos foram então produzidos por empresas, governo e pesquisadores” (BORBA; SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2014, p. 22). Nessa fase, os autores destacam o uso de softwares para o ensino de funções (como o Winplot, o Fun e o Graphmathica) e para o de geometria dinâmica (como o Cabri Géomètre e o Geometricks). Esses softwares abrem várias possibilidades didático-pedagógicas apoiadas nas ideias de manipulação, combinação, visualização e construção de objetos matemáticos, tudo minuciosamente descrito pelos autores. A terceira fase tem início em 1999, com o advento da internet. Em educação, a internet começa a ser utilizada como fonte de informação e como meio de comunicação. Surgem os cursos a distância para formação continuada de professores via e-mails, chats e fóruns. O termo agora utilizado é Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Em termos de pesquisa, muitas são as questões investigadas, por exemplo: Qual é a natureza do pensamento matemático em cursos on-line? Como a Matemática é transformada em ambientes on-line? Em termos de oportunidades didático-pedagógicas, os pesquisadores colocam em evidência que a interação em ambientes virtuais de aprendizagem oferece nuances cognitivas diversificadas ao investir em multiplicidades de nós e conexões, estimulando a coautoria do estudante na atividade proposta.

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Atualmente, estamos vivendo a quarta fase, cujo surgimento deu-se em 2014 com a banda larga. Compõem essa fase instrumentos como computador, laptops, tablets, telefones celulares e internet rápida. O termo utilizado para enunciá-la é Tecnologia Digital (TD). É interessante notar que as fases não se esgotam, muitas das perguntas formuladas em seu início ainda permanecem sendo investigadas e novas questões surgem com o avanço das tecnologias e sua inserção na sociedade. O que até agora apresentamos nos dá a dimensão da força e da rapidez com que as tecnologias vão sendo implantadas nas nossas vidas e de como o uso delas nas escolas não pode mais ser retardado. O uso das tecnologias tem um papel preponderante na formação do cidadão ao empreendermos uma visão ampla de educação. O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. E, neste sentido, a informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010, p. 17.

Nessa mesma perspectiva sobre o uso das TD em sala de aula, Ponte (2000) afirma que as próprias TIC (na época ainda não iniciada a nova fase) são ferramentas de trabalho pedagógico que podem ser usadas livremente e de maneira criativa por professores e alunos na realização de diversificadas atividades. Essa ferramenta pode vir a ser articulada ao trabalho por projetos embasados nas diretrizes da interdisciplinaridade, possibilitando um claro protagonismo do aluno na aprendizagem. No patamar em que os pesquisadores estão colocando as mudanças educacionais que deverão ocorrer em consequência dos problemas contemporâneos, a sua prática, professor, está cada vez mais articulada com o entorno escolar, o que faz de você também um protagonista da construção escolar como um todo. Não queremos deixar a impressão de que todos os embates do uso das TD na educação estejam resolvidos. Pesquisas atuais se debruçam em estudos sobre o ciberespaço visando entendê-lo, bem como às possibilidades que se abrem para o mundo da educação e da Educação Matemática, os quais deixaremos como indicações bibliográficas para estudo e aprofundamento.

COMUNICAÇÃO NAS AULAS DE MATEMÁTICA

Na escola, todos os dias os alunos convivem com os colegas, professores e demais funcionários, e esse processo de interação é de grande importância. Não podemos deixar de mencionar a relevância da comunicação, inclusive, nas aulas de matemática.

Os alunos precisam ser estimulados a se expressar de diferentes formas, por exemplo, falar, ouvir, registrar por escrito, por meio de manifestações artísticas, entre outras, de tal forma que possam compartilhar vivências, conhecimentos, dúvidas ou hipóteses, conjecturas etc. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 9. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>. Acesso em: 13 ago. 2018.

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Falar sobre o que está pensando, os caminhos percorridos, os sentimentos despertados durante as aulas e as estratégias utilizadas em cada situação pode auxiliar, não apenas o próprio aluno a reelaborar e organizar seu raciocínio e processo de aprendizagem, como também favorecer os demais colegas a validar suas hipóteses ou a compreender por que pensam diferente ou utilizam um caminho com estratégias distintas. Nesse processo de socialização, os alunos são estimulados a desenvolver diferentes habilidades e competências, inclusive socioemocionais, ao se relacionar com um ou mais colegas de maneira respeitosa e responsável. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 10. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>. Acesso em: 13 ago. 2018.

A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos que precedem sua homologação.

Não podemos desprezar o tamanho do nosso país, seja em territorialidade ou em diversidade, nem ignorar a desigualdade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um de nossos desafios, na área da educação, é propiciar oportunidades iguais para todos os nossos estudantes sem perder a particularidade e singularidade de cada região ou grupo. Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais. Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum salientando que os conteúdos deveriam ser complementados com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais. No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014 essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a todos os alunos do território nacional as aprendizagens essenciais preservando-se as identidades étnicas, culturais e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades escolares a partir das necessidades locais. Desta forma, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que têm direito todos os alunos da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade, diversidade e equidade para a constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os alunos da Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos e as competências mínimas que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.

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Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e utilização consciente da informação e da tecnologia.

AS COMPETÊNCIAS

O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares. Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preservação da natureza”. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 8. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>. Acesso em: 13 ago. 2018.

São apresentadas 10 competências gerais que se inter-relacionam ao longo de todo percurso escolar da Educação Básica, são estas: 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e cultural para entender e explicar a realidade, colaborando para a construção de uma sociedade solidária. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e inventar soluções. 3. Desenvolver o senso estético para reconhecer, valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, e para participar de práticas de produção artístico-cultural. 4. Utilizar conhecimentos das linguagens verbal, corporal, multimodal, artística, matemática, científica, tecnológica e digital para expressar-se e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Utilizar tecnologias digitais de comunicação e informação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas do cotidiano. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao seu projeto de vida pessoal, profissional e social, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas e com a pressão do grupo. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, reconhecendo-se como parte de uma coletividade com a qual deve se comprometer. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões, com base nos conhecimentos construídos na escola, seguindo princípios éticos democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

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Como dissemos anteriormente, no desenvolvimento de competências é importante uma indicação clara do que alunos devem saber (conhecimentos, procedimentos e atitudes) e no que devem saber fazer (mobilização desses conhecimentos, procedimentos e atitudes) diante de cada situação. Além dessas competências gerais, dentro das áreas do conhecimento, temos os componentes curriculares. Existem áreas que abrigam mais de um componente curricular, por exemplo, Linguagens, que abrange Língua Portuguesa, Arte, Educação Física e Língua Inglesa. Cada área do conhecimento, em conformidade com as 10 competências gerais, tem suas competências específicas da área e/ou do componente curricular. Veja a seguir as competências específicas da Matemática.

1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Para garantir o desenvolvimento dessas competências específicas, a BNCC apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a objetos de conhecimento que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas.

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QUADRO DE HABILIDADES DA BNCC 6o ano UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais

HABILIDADES (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

Divisão euclidiana Fluxograma para determinar a paridade de um número natural

Números primos e compostos

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais

(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

Aproximação de números para múltiplos de potências de 10

(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”

(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

Múltiplos e divisores de um número natural

Números

XVI

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UNIDADES TEMÁTICAS

Álgebra

Geometria

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Propriedades da igualdade

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo

(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados

(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

XVII

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UNIDADES TEMÁTICAS

Grandezas e medidas

OBJETOS DE CONHECIMENTO Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume

(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

Ângulos: noção, usos e medida

(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Plantas baixas e vistas aéreas

(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado

(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista) Probabilidade e estatística

HABILIDADES

Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas Coleta de dados, organização e registro Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto. (EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

XVIII

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7o ano UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Múltiplos e divisores de um número natural

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração. (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos. (EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos. (EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas. (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. (EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica. (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias. (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Linguagem algébrica: variável e incógnita

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita. (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. (EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

Equações polinomiais do 1o grau

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

Números

Álgebra

HABILIDADES

XIX

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UNIDADES TEMÁTICAS

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro. (EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

Simetrias de translação, rotação e reflexão

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

A circunferência como lugar geométrico

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas. (EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos. (EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

Problemas envolvendo medições

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. (EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Medida do comprimento da circunferência

(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Pesquisa amostral e pesquisa censitária Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas. (EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

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8o ano UNIDADES TEMÁTICAS

Números

Álgebra

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Notação científica

(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

Potenciação e radiciação

(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

O princípio multiplicativo da contagem

(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

Porcentagens

(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

Dízimas periódicas: fração geratriz

(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

Valor numérico de expressões algébricas

(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano

(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

Equação polinomial de 2o grau do tipo ax² = b

(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax² = b.

Sequências recursivas e não recursivas

(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes. (EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais

(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano. (EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. (EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas

(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

Geometria

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Área de figuras planas Área do círculo e comprimento de sua circunferência

Grandezas e medidas Volume de cilindro reto Medidas de capacidade

Princípio multiplicativo da contagem Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral

Probabilidade e estatística

HABILIDADES (EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos. (EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes. (EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados

(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Organização dos dados de uma variável contínua em classes

(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

Medidas de tendência central e de dispersão

(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Pesquisas censitária ou amostral Planejamento e execução de pesquisa amostral

(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada). (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

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9o ano UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta

Números

Álgebra

HABILIDADES

Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Potências com expoentes negativos e fracionários

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Números reais: notação científica e problemas

(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos

(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Razão entre grandezas de espécies diferentes

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo

(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Semelhança de triângulos

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

Relações métricas no triângulo retângulo

Geometria

Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais Polígonos regulares

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

Distância entre pontos no plano cartesiano

(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

Vistas ortogonais de figuras espaciais

(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Unidades de medida utilizadas na informática

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Volume de prismas e cilindros

(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

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UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS

Um dos desafios mais urgentes do ensino da Matemática é fazer com que ela interaja com outras áreas do conhecimento e contribua para a formação integral do aluno, indo além do conteúdo programático. Estabelecer conexões entre a Matemática e as demais áreas do conhecimento pode ampliar as oportunidades de compreender e utilizar conceitos, tanto da Matemática quanto das demais áreas.

Faz-se necessário trazer para a Matemática situações contextualizadas que proporcionem ampliação de abordagem, estabelecendo conexões com conteúdos de outras áreas de conhecimento, relevantes para a constituição dos saberes dos alunos dos anos finais, além de aprofundar as relações da escola com as experiências cotidianas de cada um deles. Para que a prática docente seja organizada, de modo que desenvolva um trabalho que possibilite a formação de um cidadão crítico, precisamos entender a contextualização como um acontecimento ou situação pertencente a um encadeamento de elementos que proporcionam relações com recursos disponíveis em cada área de conhecimento. Para isso, é importante que o professor perceba como manter um diálogo entre as diferentes áreas, trazendo o cotidiano do aluno para a sala de aula e aproximando-o do conhecimento científico, desenvolvendo, assim, um ensino capaz de fazer com que os alunos aprendam a relacioná-las. As experiências vivenciadas pelos alunos e pela escola podem ser utilizadas para dar vida e significado ao conhecimento. Dessa forma, é possível abordar questões como problemas ambientais, culturais, políticos etc. que não estejam obrigatoriamente ligados aos alunos, mas que possam estar relacionados aos seus familiares ou a sua comunidade, por exemplo. Por isso, fazer conexões entre Matemática, Língua Portuguesa, Arte, Ciências (da natureza e humanas – Geografia e História), Educação Física, Inglês utilizando-se, inclusive, os temas contemporâneos poderá contribuir para que a Matemática e todo o conhecimento envolvido ganhem maior sentido e significado aos alunos. Não podemos nos esquecer das explorações que favoreçam a leitura e reflexões sobre a História da Matemática (Etnomatemática). Até mesmo pesquisadores internacionais têm reconhecido a importância da leitura e da escrita, inclusive nas aulas de Matemática: O uso da escrita como ferramenta que influencia a aprendizagem matemática [...] e outras formas de registrar processos de pensamento estão sendo cada vez mais utilizadas como um veículo importante na compreensão do processo de ensino e aprendizagem. [...] a utilização da escrita, seja nas aulas de Matemática, nos processos de formação docente ou na investigação, deve ser vista como um processo que transforma continuamente a cognição e o aprendizado de quem a produz. POWELL, A.; BAIRRAL, M. A escrita e o pensamento matemático. Campinas: Papirus, 2006. p. 11-12.

Os temas contemporâneos visam promover a difusão de valores fundamentais ao interesse social. Nesta obra, há seções e atividades que podem favorecer o trabalho com os temas descritos na BNCC e outros que se articulam com eles. Assim, muitos dos conteúdos trabalhados ao longo de cada volume não se encerram em si mesmos, já que podem ser com-

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plementados e contemplados com um dos temas contemporâneos como pano de fundo. Para isso, se torna de fundamental importância o planejamento e estudos prévios por parte do professor. Dentre os temas contemporâneos descritos na BNCC e explorados nesta obra temos: • direitos da criança e do adolescente; • educação para o trânsito; • educação ambiental; • educação alimentar e nutricional; • processo de envelhecimento, respeito e valorização do idoso; • educação em direitos humanos; • educação das relações étnico-raciais e ensino de história e cultura afro-brasileira, africana e indígena; • saúde; • vida familiar e social; • educação para o consumo; • educação financeira e fiscal; • trabalho; • ciência e tecnologia; • diversidade cultural.

O PAPEL DO PROFESSOR

Certamente, cada professor tem como objetivo principal a aprendizagem de seus alunos. Para que esse objetivo seja alcançado, é preciso ter clareza sobre o que os alunos já sabem e como eles aprendem.

Se o professor é um dos grandes responsáveis pela apresentação de um novo conteúdo, de uma nova estratégia ou ainda difusor de um termo específico desconhecido pela turma, faz-se necessário que ele saiba não só o que vai ensinar, mas para quem está ensinando. Nesse sentido, é imprescindível sondar o conhecimento prévio dos alunos sobre os assuntos que serão formalmente trabalhados na escola, bem como considerar o desenvolvimento das habilidades e a realidade em que vivem e estudam. Quanto mais o professor ajudar os alunos a atribuir significados aos conteúdos estudados, mais eles poderão compreender e se interessar pela Matemática. Daí a importância de relacionar a Matemática com o cotidiano. Nesse sentido, é importante salientar que a Matemática é utilizada, concebida ou tratada de diferentes maneiras nas diversas profissões e ocupações. Por exemplo: o carpinteiro utiliza a Matemática ao medir comprimentos e ângulos para resolver problemas do seu trabalho; o médico a utiliza no diagnóstico, que, na maioria das vezes, é dado por meio da probabilidade estimada com base em sintomas e resultados de exames; o matemático a utiliza como produção de conhecimento científico, entre outros. Podemos dizer que existem muitas Matemáticas que procuram descrever e produzir uma “leitura de mundo”. A Matemática escolar é uma delas e caracteriza-se pelas formas de compreender e resolver as situações-problema, os exercícios e as atividades por meio da quantificação, da medição, da estimativa, da representação no espaço, do reconhecimento de formas e propriedades, da observação e da manipulação de regularidades e padrões.

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O papel do professor é possibilitar o acesso a essas diferentes formas de se fazer Matemática e dar suporte para que os alunos consigam adquirir habilidades e conhecimentos a fim de (res)significar a Matemática experimentada em suas práticas sociais, bem como reconhecer a beleza da Matemática em si. Além de mediar a aquisição do conhecimento, é importante que o professor trabalhe a cooperação em sala de aula, abrindo espaço para a troca de ideias entre os alunos, incentivando a valorização e o respeito às diferenças e promovendo a solidariedade no dia a dia escolar. As pesquisas atuais sobre o ensino da Matemática defendem que é preciso colocar o aluno no contexto de produção de pensamento e de conhecimento matemático. Dessa forma, o foco não é mais o aluno, o professor ou o conteúdo, mas, sim, a articulação desses três elementos. Uma vez que as respostas dos alunos às situações-problema apresentadas desafiam os professores a pensar matematicamente para propor novas questões, cria-se uma parceria nos processos de ensino e aprendizagem. Da mesma forma, os alunos são chamados a elaborar novos questionamentos diante do que é proposto/exposto pelo professor. Assim, o conhecimento matemático escolar é (re)definido constantemente. Passos e Romanatto (2010) apontam outros aspectos relevantes para que o professor atinja o objetivo de que seus alunos aprendam Matemática. Segundo os autores, é necessário que os professores tenham: [...] o domínio dos conhecimentos atuais sobre a natureza da Matemática, articulado com as ciências da educação, pode resultar caminhos férteis para que essa área de conhecimento seja apreendida pelos nossos estudantes de forma efetiva e com significado. PASSOS, C. L. B.; ROMANATTO, M. C. A Matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Ed. da UFSCar, 2011. p. 20.

Portanto, neste processo de parceria e interrelação existente entre alunos e professores, é muito importante que ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.

AVALIAÇÃO

Em todo trabalho no qual a aprendizagem escolar esteja envolvida, o processo de avaliação estará presente – seja na sala de aula, nas atividades extraclasse, seja nas conquistas pessoais dos alunos, como o ingresso nas universidades. A princípio, o processo avaliativo era tido apenas como um procedimento de medida (que definia se o aluno tinha ou não condições de progredir com seus estudos). Hoje, é quase consenso a compreensão de que a avaliação escolar não deve apenas verificar se o aluno atingiu os objetivos definidos pelo currículo, com a finalidade rasa de atribuir-lhe uma nota ou conceito. Desse modo, as avaliações passaram por um processo de ressignificação em que assumem o papel de um potente instrumento que permite visualizar o progresso do aluno e sinalizar possíveis desafios. Os resultados avaliativos não só apresentam implicações no processo individual dos alunos como também produzem dados para a análise do trabalho desenvolvido pelos profissionais da escola, inclusive o professor. Assim, para que haja um ensino de qualidade, devem-se estabelecer relações entre os resultados e as ações da escola, principal-

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mente no que se refere à vinculação do professor com seus alunos. Por isso, é essencial compreender como esses alunos lidam com o conhecimento, quais são suas habilidades, as dificuldades que apresentam e as necessidades individuais para, junto deles, traçar uma rota de superação dos desafios e avanço nas conquistas. Nesse contexto, a avaliação diagnóstica é fundamental nos processos de ensino e aprendizagem. O professor e o aluno precisam identificar os conhecimentos anteriores já adquiridos para, com base nessa percepção, decidir quais atividades e ações podem ser potencialmente mais interessantes e quais desafios merecem ser ampliados. Acreditamos que a clareza dos objetivos a serem alcançados é de fundamental importância, pois, sabendo aonde se quer chegar, é mais fácil perceber se, de fato, chegou a esse “lugar”; portanto, é importante compartilhar com os alunos os objetivos de determinada atividade ou grupo de atividades e o que se pretende avaliar. Avaliar o processo Uma possibilidade é observar a estratégia que os alunos utilizam para resolver as situações-problema em sala de aula; isso consiste em um recurso valioso para o professor compreender o desenvolvimento deles. Muitas vezes, a forma como produzem algo demonstra o que não compreenderam e possibilita ao professor intervir adequadamente, agindo de maneira eficaz para atender às necessidades reais dos alunos. Pedir a eles que socializem com os colegas seus raciocínios e estratégias é mais uma forma de identificar os caminhos e possíveis dificuldades de cada um. Como dissemos anteriormente, é importante estimular os diferentes registros de representação. Muitas vezes, os alunos são capazes de compartilhar as estratégias utilizadas oralmente, mas não as representa numericamente. Por isso, é interessante pedir que registrem o mesmo processo de formas distintas para que possam, além de explorar os diferentes registros de representação, conhecer o processo que, para eles, é mais “tranquilo” ou “desafiador”. Autoavaliação O aluno precisa se responsabilizar por seu processo de aprendizagem e, para isso, é preciso que perceba a função e a importância dos diferentes instrumentos de avaliação e, mais do que isso, utilize-os como molas propulsoras para novas conquistas. Além de identificar e observar o número que representa a sua nota, o aluno precisa ser motivado a identificar nos acertos as conquistas realizadas e nos erros, possíveis desvios de rota ou rotas inadequadas para aquela situação. Portanto, o espaço/tempo para os alunos se autoavaliarem deve ser fornecido pelo professor. Nesse processo de autoavaliação os alunos podem ser convidados a responder a alguns questionamentos que lhes permitam identificar o uso dos dados corretos, o porquê da escolha de determinada estratégia, o nível de tensão causada em cada resolução e possível interferência no processo de resolução, o que poderia ser melhorado, entre outros. Nesta obra, os alunos encontrarão a seção Um novo olhar, que possibilita a retomada dos conhecimentos explorados anteriormente para que possam perceber, por exemplo, as habilidades desenvolvidas e as que precisam ser recapituladas e, por meio dessas percepções, após a elaboração da autoavaliação, preparar um plano de ações/estudos. Durante esse processo de mensuração e investigação, é possível utilizar diferentes instrumentos como: rodas de conversa ou entrevistas; fichas que serão preenchidas pelo próprio aluno e pelo professor; trabalhos em dupla ou grupos; provas individuais com e sem consulta aos registros pessoais; elaboração e correção de atividades em duplas – um

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aluno corrige a atividade do outro colega; apresentação dos equívocos cometidos; elaboração de textos e seminários etc. É importante que os alunos também tomem ciência de como poderão melhorar para avançar, sabendo do que já são capazes de realizar sozinhos, assumindo seu papel atuante. De acordo com Cuccioli (2010), A avaliação não começa nem termina na sala de aula, ela envolve planejamento e desenvolvimento do processo de ensino, dinamizando oportunidades de ação e reflexão, num acompanhamento permanente do professor, propiciando ao aluno, em seu processo de aprendizagem, reflexões acerca do mundo; formando seres críticos e participativos na construção das verdades formuladas e reformuladas. CUCCIOLI, E. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, C. E.; MUNIZ, M. I. S. O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. p. 131.

Ao refletir sobre seus avanços, dificuldades e expectativas, os alunos podem perceber estratégias de aprendizagem que precisam ser modificadas. Quanto aos familiares, se estiverem cientes das expectativas do professor em relação aos alunos, poderão cooperar no estabelecimento dessas estratégias. A avaliação não pode ser considerada um momento isolado no processo de ensino e aprendizagem nem se resumir a uma prova. Como dissemos anteriormente, é importante que o professor utilize instrumentos avaliativos diversificados e que sejam desenvolvidos ao longo do ano. O registro periódico dessas observações o ajudará a acompanhar o desenvolvimento dos alunos. A avaliação assim considerada é contínua e formativa: faz parte do processo de ensino e aprendizagem e tem por objetivo contribuir para a formação dos alunos. Diante disso, é interessante destacar um trecho sobre a avaliação em Matemática, descrito nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): Mudanças na definição de objetivos para o ensino fundamental, na maneira de conceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos implicam repensar sobre as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolução de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF, 1997. p. 41. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Acesso em: 22 ago. 2018.

Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos para registrar observações sobre os alunos. Um exemplo são as fichas para o mapeamento do desenvolvimento de atitudes, que incluem questões como: Procura resolver problemas por seus próprios meios? Faz perguntas? Usa estratégias criativas para solucionar problemas? Justifica as respostas obtidas? Comunica suas respostas com clareza? Participa dos trabalhos em grupo? Ajuda os outros na resolução de problemas? Contesta pontos que não compreende ou com os quais não concorda? Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, postura em sala, constituem indícios de competências e como tal devem ser considerados. A tarefa do avaliador constitui um permanente exercício de interpretação de sinais, de indícios, com base nos quais manifesta juízos de valor que lhe permitem reorganizar a atividade pedagógica.

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CONHEÇA A OBRA

No livro do aluno, cada volume desta obra divide-se em unidades e cada unidade em capítulos.

AS ABERTURAS DE UNIDADES

Nesta obra, as aberturas de unidades têm um papel fundamental: elas propiciam o momento de entrada no grande tema que será tratado. Em cada volume, a unidade é introduzida por uma abertura que traz: • uma imagem (ilustração, fotografia ou infográfico) – relacionada com temas que serão estudados ao longo do capítulo e cujo objetivo é instigar os alunos a uma discussão inicial; • algumas questões – para contextualizar os alunos no assunto da unidade e mobilizar conhecimentos anteriores.

Como vimos, usamos números com frequência em nosso dia a dia, mas daqui em diante veremos que nem sempre recebemos de forma direta a informação de que precisamos. Muitas vezes teremos de trabalhar com os números para encontrar os dados que queremos. Esse trabalho é o que se chama comumente de calcular. Um bom exemplo são as imagens ao lado, com diversos dados disponibilizados pela organizadora dos Jogos Olímpicos de 2016, no Rio de Janeiro.

Vocêsabia? V sabia? Você V

500 1010500

Até A 2015 Até A t t 2015

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Ásia Ásia

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136 136

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locais de competição ão espalhados quatro atro espalhados emem quatro atro regiões cidade regiões da da cidade

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ALEX SILVA

CÁLCULOS COM NÚMEROS NATURAIS

NÚMERO NÚMERO ATLETAS DEDE ATLETAS

femininas femininas

vibrou vibrou com com

42 42

mistas mistas

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Terceirizados T Te idosdos Terceirizados T rc Te eirc irizad ieiirizad

FFuncionários unci iáorios ná i FFuncionários unci ioná i ários

Tudocomeçou... começou... Tudo Com base nas imagens, responda no caderno:

• Que outra informação você consegue extrair dessas imagens? Você utilizará qual operação matemática para obter essa informação? Resposta pessoal.

7,5 7,5

Cerca Cerca de de Foram Foram milhões 3,8 3,8 milhões milhões milhões até até de ingressos de ingressos

R$R$ 7070

Primeiros Jogos Olímpicos Primeiros Jogos Olímpicos Antiguidade da da Antiguidade

776 a.C. 776 a.C.

jogos foram Os Os jogos foram suspensos suspensos

392 d.C. 392 d.C.

Olímpia Olímpia Grécia Grécia

1 500 anos 1 500 anos depois depois

Primeiros Jogos Olímpicos Primeiros Jogos Olímpicos Moderna da da EraEra Moderna

1896 1896

LOGOTIPO RIO 2016

• Que operação matemática poderia ser utilizada para descobrir a quantidade total de pessoas (voluntários, terceirizados e funcionários) que trabalharam nos Jogos Olímpicos de 2016? Quais dados você observou para responder a essa pergunta? Adição: (45 000 + 85 000 + 8 000).

Atenas Atenas Grécia Grécia

Uma iniciativa Uma iniciativa do do Barão Francis Pierre Barão Francis Pierre Coubertin de de Coubertin

• Em que outras situações do cotidiano as operações matemáticas são fundamentais?

Informações obtidas em: RIO2016. Disponível em: <https://www.rio2016.com/os-jogos/olimpicos>. Acesso em: 8 maio 2018.

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OS CAPÍTULOS

CAPÍTULO

Nos volumes desta obra, as unidades são compostas de uma quantidade variável de capítulos, de acordo com a demanda de cada tema.

NOÇÃO DE DIVISIBILIDADE

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 299

Responda às questões no caderno.

1. Considere o número 36. a) Quantas vezes o 2 cabe em 36? 18 b) E o 3, quantas vezes cabe em 36? 12 c) Quantas vezes o 4 cabe em 36? 9 d) E o 6, quantas vezes cabe em 36? 6 e) Quantas vezes o 12 cabe em 36? 3 f) E o 18, quantas vezes cabe em 36? 2 g) E o 36, quantas vezes cabe em 36? 1 h) E o 1, cabe quantas vezes em 36? 36

Eu sei que 5 cabe duas vezes em 10.

2. Considere, agora, o número 23. a) Quantas vezes o 1 cabe nesse número? 23 b) E quantas vezes o 23 cabe nesse número? 1 c) Que outros números cabem um número exato de vezes em 23? Nenhum.

WAND ROCH SON A

Em cada capítulo, os alunos contarão com diferentes explorações e recursos, dentre estes textos, imagens e atividades. Ao longo de cada capítulo, podem ser encontradas seções e boxes que buscam favorecer compreensões, aprofundamentos e articulações.

Os números que cabem um número exato de vezes em outro são chamados divisores desse número. Observe que:

2 forma 1 par. O 2 cabe exatamente uma vez em 2.

OS BOXES E AS SEÇÕES DESTA OBRA

3 forma 1 par, e sobra 1. O 2 não cabe um número exato de vezes em 3.

5 forma 2 pares, e sobra 1. O 2 não cabe um número exato de vezes em 5.

4 forma 2 pares. O 2 cabe exatamente duas vezes em 4.

6 forma 3 pares. O 2 cabe exatamente três vezes em 6.

Podemos dizer que os números 2, 4 e 6 são divisíveis por 2, pois, ao se formarem os pares, não há sobras. 102

Teoria

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Neste boxe os alunos encontrarão a sistematização ou a formalização de algum conceito explorado no capítulo. SAIBA QUE

F Ó R UM

Esta seção traz questões que podem favorecer o debate e permitir a troca e o compartilhamento de ideias e conhecimentos, fazendo com que os alunos pratiquem o desenvolvimento de estratégias de argumentação. As propostas podem ou não ser realizadas on-line, caso a escola possua uma ferramenta desse tipo ou você opte por usar uma ferramenta de uso livre na internet, criando um grupo fechado.

p e n s e e r e s p o nd a

Neste boxe, serão apresentadas questões que buscam mobilizar conhecimentos e promover reflexões e/ou investigações acerca dos assuntos a serem explorados ou previamente vistos.

UM NOVO OLHAR

Possibilita ao aluno retomar os conhecimentos explorados na abertura das unidades e perceber, por exemplo, as habilidades já desenvolvidas e as que precisam ser desenvolvidas.

Neste boxe, os alunos encontrarão um texto curto que fornecerá uma dica interessante ou um recado importante.

DESCUBRA MAIS

Uma seção contendo sugestões de livros e links para o aluno consultar informações complementares.

NÓS

Aqui, o aluno encontrará alguns textos e questões que podem promover articulações com outros conceitos para além da Matemática. Este boxe poderá propiciar reflexões sobre valores. Propõe-se que seja realizada em duplas, trios ou grupos.

XXXI

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ATIVIDADES Nesta seção, os alunos encontrarão diferentes atividades que foram dispostas em ordem crescente de complexidade para facilitar a visualização e a conferência. Eventualmente, surgirão atividades que desafiam os alunos.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA Nesta seção, os alunos encontrarão temas como hábitos conscientes de consumo, controle de gastos, economia, entre outros. A partir de leituras e reflexões, serão estimulados a ver e rever suas ações e atitudes ligadas ao consumo e a lidar com o dinheiro. P O R T O D A P A RT E

PARA QUEM QUER MAIS

É uma seção que apresenta textos, imagens, gráficos, tabelas e atividades numeradas que podem permitir ao aluno uma maior contextualização dos assuntos e explorações realizadas na unidade.

Esta seção busca estabelecer um diálogo entre tópicos de Matemática e de outras disciplinas ou áreas do conhecimento.

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Amazônia

20%

Vegetação densa, com árvores altas e próximas entre si.

Resoluções na p. 318

60% 11% 3%

Biomas brasileiros

23%

Extensão territorial dos biomas brasileiros (em quilômetros quadrados) 2%

48%

10%

10% 13%

22% 49%

Sagui-de-tufos-brancos, PI. Foto tirada em abril de 2015.

Espécies animais no bioma

42% 35%

1,70 m

Ema, GO. Foto tirada em agosto de 2017. DESCUBRA MAIS

O Brasil é o país com maior número de espécies da fauna e da flora no mundo. Para conhecer mais sobre nossos biomas e sua diversidade, visite: • WWF. Biomas brasileiros. Disponível em: <http://livro. pro/k8pq4z>. Acesso em: 10 jul. 2018.

Informações obtidas em: GOVERNO DO BRASIL. Conheça os biomas brasileiros. Disponível em: <http://www.brasil.gov.br/ editoria/meio-ambiente/2009/10/biomas-brasileiros>. 2017: O ANO da agricultura. Retratos: a revista do IBGE, dez. 2017. Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/media/com_ mediaibge/arquivos/3ee63778c4cfdcbbe4684937273d15e2.pdf>. Acessos em: 10 jul. 2018.

Pantanal A vegetação é característica de planícies de inundação, além de espécies das floras características de outros biomas brasileiros.

15% 40% 20% 13%

25 cm

Mico-leão-dourado, SP. Foto tirada em setembro de 2016.

Espécies animais no bioma

27%

Espécies animais no bioma

13%

4% 9%

47%

Jacaré-do-pantanal, MT. Foto tirada em junho de 2015.

As herbáceas são a marca principal da vegetação desse bioma.

21% 27%

1,50 m

Cavalo crioulo, RS. Foto tirada em maio de 2017.

216

SAIBA QUE

Na flora brasileira, mais de 46 mil espécies já foram catalogadas. A título de curiosidade, trata-se de uma quantidade tão grande que, caso inserida no gráfico “Espécies animais distribuídas nos biomas brasileiros”, ocuparia um espaço mais de dez vezes maior do que aquele ocupado pelos peixes.

Nesta seção, que reúne propostas de trabalho com temas associados à probabilidade e estatística, os alunos encontrarão textos, imagens, gráficos, tabelas e atividades numeradas, sempre buscando a contextualização desses temas.

14% 5%

Pampa

33%

FOTOS: FABIO COLOMBINI

Peixes Mamíferos Aves Répteis Anfíbios

12%

O bioma mais devastado até hoje possui em sua vegetação árvores famosas, como o pau-brasil, o jacarandá, entre outras.

ANDRE DIB/PULSAR IMAGENS

Vegetação formada por arbustos e também por árvores de cascas grossas e galhos retorcidos.

9% 11%

Espécies animais no bioma

Mata Atlântica

10%

Cerrado

50%

Amazônia Cerrado Mata Atlântica Caatinga Pampa Pantanal

48 cm

Tucano-de-bico-preto, AM. Foto tirada em abril de 2017.

Espécies animais distribuídas nos biomas brasileiros

FABIO COLOMBINI

46 cm

Legenda: Mamíferos Anfíbios Aves Peixes Répteis

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14%

Caatinga Por causa do clima semiárido, vegetação predominantemente formada por cactáceas com espinhos.

24%

EDSON GRANDISOLI/PULSAR IMAGENS

Pedro fez uma pesquisa para um trabalho escolar sobre os biomas brasileiros. Biomas são grandes extensões territoriais com características similares de vegetação e das espécies de animais que ali habitam, o que é definido, em parte, pelas condições físicas próprias das regiões (clima e formação das rochas, por exemplo). No Brasil, existem seis grandes biomas terrestres: Amazônia, Cerrado, Mata Atlântica, Caatinga, Pampa e Pantanal. Veja, no infográfico a seguir, as informações que Pedro coletou.

Espécies animais no bioma

BY P-FOTOGRAPHY/SHUTTERSTOCK.COM; EDITORIA DE ARTE

Espécies animais no bioma

Agora, com base nas informações disponibilizadas, faça o que se pede no caderno: 1. Quais as formas de comunicação de informação utilizadas por Pedro no infográfico? Texto, gráfico de setores e foto. 2. Junte-se em grupo de 5 alunos, escolha um bioma e redija um texto sobre ele. Utilize, para isso, as informações presentes no infográfico e de outras fontes de pesquisa, se julgar necessário. Resposta pessoal. 217

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XXXII

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Explicita como usar ferramentas tecnológicas na resolução de problemas ou questões matemáticas.

A calculadora financeira permite resolver cálculos simples e também possui funções automáticas, o que diminui os passos na solução de cálculos financeiros, possibilitando que sejam executados mais rapidamente. É ideal para as áreas de negócios que envolvem administração e finanças em geral, pois tem funções específicas para aplicações, financiamentos, investimentos e conversão de moeda.

Resoluções na p. 317

Tipos de calculadora As calculadoras são dispositivos eletrônicos específicos para a realização de cálculos. Existem três tipos: básica, financeira e científica. A calculadora básica (ou simples) não possui várias funcionalidades, só as mais básicas. Por ser a mais simples, é mais usada no dia a dia, inclusive na rotina escolar. Geralmente executa as operações básicas, raiz quadrada e porcentagem.

Todos os tipos de calculadora apresentados permitem fazer operações com números decimais. Para isso, elas apresentam uma tecla para o separador decimal.

Calculadora básica.

A minha calculadora usa o ponto como separador decimal.

A minha calculadora também usa o ponto como separador decimal. Por que isso?

ILUSTRA CARTOON

JAMES HOENSTINE/SHUTTERSTOCK.COM

GERALD BERNARD/SHUTTERSTOCK.COM

Calculadora financeira.

A minha calculadora usa a vírgula como separador decimal.

Alguns países adotam o ponto como separador decimal. Já outros, como o Brasil, adotam a vírgula. Mas a maioria das calculadoras usa o ponto como separador decimal.

A calculadora científica normal possui algumas funções automáticas que simplificam a introdução de dados estatísticos e calculam valores de seno, cosseno e tangente. Já a calculadora científica gráfica permite a construção de gráficos, além do cálculo mais complexo. São muito utilizadas nos ramos de Arquitetura e Engenharia.

Calculadora científica normal.

JEFFREY B. BANKE/SHUTTERSTOCK.COM

Tecnologias

LIM YONG HIAN/SHUTTERSTOCK.COM

Tecnologias

1. Faça uma pesquisa entre calculadoras (de seus familiares, amigos, comércios) e compare quais possuem o ponto como separador decimal e quais possuem vírgula. Qual o separador mais comum? Resposta pessoal.

2. Com uma calculadora, resolva as seguintes operações: a) 2,75 + 3 5,75 b) 7 _ 4,5 2,5 c) 8 x 10 80

d) 36 : 3 12

3. Com o auxílio de uma calculadora básica, resolva: 17 453 000 x 349. a) Qual o resultado? 6 091 097 000 b) Quantos dígitos tem esse produto? 10 dígitos.

Calculadora científica gráfica.

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RETOMANDO O QUE APRENDEU Nesta seção, os alunos serão convidados a revisitar os conteúdos explorados na unidade para que possam perceber conquistas e identificar possíveis dúvidas.

ATUALIDADES EM FOCO

ECA x Realidade

O Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA) Diversos são os direitos garantidos à criança e ao adolescente, por exemplo, educação de qualidade, saúde, cultura, lazer, esporte, entre outros. Todos esses direitos estão descritos no Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA). O cartunista Mauricio de Sousa utilizou-se das histórias em quadrinhos (HQs) para tratar desse assunto tão importante. • Leia, ao lado, um trecho retirado da HQ explicando o que é o ECA. O ECA garante por lei os direitos e busca assegurar a proteção integral das crianças e adolescentes. Ele trata, por exemplo, do direito à vida e à saúde, à liberdade, ao respeito e à dignidade. Além de conhecer o ECA e ter clareza sobre quais são os direitos garantidos nesse documento, é importante perceber até onde nossa liberdade individual pode comprometer a liberdade de outras pessoas. Ou seja, devemos pensar em nossos deveres como filho(a), irmão(ã), amigo(a), estudante, vizinho(a), cidadão(ã) etc. E uma boa palavra para iniciar nossa conversa sobre os deveres é respeito.

©MAURICIO DE SOUSA EDITORA LTDA

Um dos objetivos é promover a articulação entre as diferentes áreas do conhecimento e minimizar possíveis rupturas existentes nos processos de ensino e aprendizagem. Nesta seção, os alunos terão a oportunidade de aprofundar e ampliar seus conhecimentos e repertório cultural, passear por diferentes temas contemporâneos e perceber a Matemática em variadas situações do cotidiano.

ATUALIDADES EM FOCO

• Além das pessoas, o que mais deveríamos respeitar?

• Após a leitura, faça uma reflexão sobre suas respostas às questões anteriores. Houve alguma mudança?

Informações obtidas em: INSTITUTO BENEFICENTE VIVA A VIDA. ONU mostra que Brasil tem 3,7 milhões de órfãos. Disponível em: <http://www. ibvivavida.org.br/index.php?option=com_content&view=article&id=2982:not3160&catid=34:noticias&Itemid=54>. SILVEIRA, D. Trabalho infantil... G1. Disponível em: <https://g1.globo.com/economia/noticia/trabalho-infantilquase-1-milhao-de-menores-trabalham-em-situacao-ilegal-no-brasil-aponta-ibge.ghtml>. SARAIVA, A; SALES, R; ROSAS, R. Mortalidade infantil é a menor em 11 anos... Valor Econômico. Disponível em: <http://www.valor.com.br/brasil/4794309/mortalidadeinfantil-e-menor-em-11-anos-aponta-ibge>. BRASIL POSSUI quase 25 milhões... G1. Disponível em: <https://g1.globo.com/educacao/noticia/brasil-possuiquase-25-milhoes-de-criancas-e-adolescentes-fora-da-escola-diz-estudo.ghtml>. Acessos em: 11 maio 2018.

Responda às questões no caderno.

• Você sabe o significado da palavra respeito? Como você a representa no dia a dia?

• Além do respeito, quais devem ser os demais deveres das pessoas? Leia ao lado outro trecho da HQ de Mauricio de Sousa.

De acordo com as informações e reflexões acerca dos direitos e deveres das crianças e dos adolescentes e o cenário brasileiro, responda às questões abaixo.

©MAURICIO DE SOUSA EDITORA LTDA

Nesta seção, os alunos encontrarão atividades que podem permitir articulações entre os temas contemporâneos e as competências gerais e específicas apresentadas na BNCC.

1. Pensando nos direitos descritos no ECA, você acredita que seus direitos são respeitados? Por quê? Resposta pessoal. 2. E quanto aos seus deveres, você tem clareza de quais são eles? Tem praticado ou cumprido seus deveres? Você acha que poderia melhorar em algum ponto? Qual? Resposta pessoal.

3. Observe as informações do texto para retratar a realidade brasileira. O que você conclui sobre os temas a seguir? Utilize dados numéricos para justificar sua resposta.

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a) A quantidade total de crianças e adolescentes brasileiros e a quantidade de órfãos. b) A quantidade de crianças e adolescentes expostos a algum tipo de trabalho infantil. c) A mortalidade infantil. d) Crianças e adolescentes fora da escola. Resposta pessoal. 4. Será que todas as crianças e adolescentes da escola e de seu bairro conhecem o ECA? Elabore uma campanha, um material de divulgação ou uma atividade para divulgar os direitos e deveres da criança e do adolescente. Resposta pessoal. 75

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XXXIII

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QUADROS DE CONTEÚDOS E HABILIDADES DA OBRA

Disponibilizamos este quadro com a divisão dos conteúdos da obra, indicando a unidade, os principais conteúdos abordados nela e quais as habilidades nela desenvolvidas.

6o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Sistemas de numeração

• Sistemas de numeração • Sistema de Numeração Decimal • O conjunto dos números naturais • Leitura e interpretação de tabelas • Calculadoras

EF06MA01 EF06MA02 EF06MA31 EF06MA32

2 – Cálculos com números naturais

• Operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) • Relações fundamentais • Expressões numéricas • Leitura e interpretação de gráfico de barras

EF06MA03 EF06MA31

3 – Figuras geométricas

• Ponto, reta e plano • Semirreta e segmento de reta • Figuras geométricas • Estimativas e projeções

EF06MA17 EF06MA28

4 – Múltiplos e divisores

• Critérios de divisibilidade • Divisores e múltiplos de um número natural • Números primos • Gráfico pictórico

EF06MA04 EF06MA05 EF06MA06 EF06MA32

5 – A forma fracionária dos números racionais

• Fração (comparação, equivalência e formas) • Adição e subtração de frações • Fração e porcentagem • Probabilidade • Tabela de dupla entrada e gráfico de barras duplas

EF06MA07 EF06MA08 EF06MA09 EF06MA10 EF06MA15 EF06MA32

XXXIV

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UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

6 – A forma decimal dos números racionais

• Número racional na forma decimal (transformações e comparação) • Operações com números racionais na forma decimal (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) • Cálculo de porcentagens • Probabilidade • Tipos de calculadoras

EF06MA01 EF06MA08 EF06MA10 EF06MA11 EF06MA12 EF06MA13 EF06MA24 EF06MA30

7 – Ângulos e polígonos

• O ângulo • Transferidor • Construção de retas paralelas e perpendiculares • Polígonos (definição, identificação e nomenclatura) • Polígonos regulares • Triângulos (elementos e classificação) • Quadriláteros (elementos e classificação) • Plano cartesiano • Construção de polígonos no plano cartesiano • Construção e ampliação/redução de polígonos com uso de software

EF06MA16 EF06MA18 EF06MA19 EF06MA20 EF06MA21 EF06MA22 EF06MA23 EF06MA25 EF06MA26 EF06MA27 EF06MA32

8 – Comprimento e área

• O metro linear • Transformação das unidades de medida de comprimento • Perímetro de um polígono • O metro quadrado • Transformação das unidades de medida de superfície • Medidas agrárias • Área de figuras geométricas planas (retângulo, quadrado e triângulo retângulo) • Gráfico de segmentos

EF06MA24 EF06MA28 EF06MA29 EF06MA32

9 – Massa, volume e capacidade

• O grama • Transformação das unidades de massa • Balança de dois pratos • O metro cúbico • Transformação das unidades de volume • Volume do bloco retangular e do cubo • O litro • Transformação das unidades de capacidade • Pesquisa e fluxograma

EF06MA14 EF06MA24 EF06MA33 EF06MA34

XXXV

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10/8/18 8:28 AM

7o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Números naturais e operações

• M.M.C e M.D.C • Leitura e interpretação de gráfico de barras/colunas simples

EF07MA01

2 – O conjunto dos números inteiros

• Módulo de um número inteiro • Operação com números inteiros (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada) • Expressões numéricas

EF07MA03 EF07MA04

3 – Transformações geométricas e simetria

• Transformações no plano • Simetria • Gráfico de setores

EF07MA19 EF07MA20 EF07MA21 EF07MA37

4 – O conjunto dos números racionais

• Operações com números racionais na forma de fração (multiplicação, divisão e potenciação) • Raiz quadrada exata de números racionais • Média aritmética • Média aritmética ponderada

EF07MA05 EF07MA06 EF07MA07 EF07MA08 EF07MA09 EF07MA10 EF07MA11 EF07MA12 EF07MA35

5 – Linguagem algébrica e equações

• Sequência • Expressões algébricas • Igualdade • Equações (conjunto universo e solução; equivalência) • Equações do 1o grau com uma incógnita

EF07MA13 EF07MA14 EF07MA15 EF07MA16 EF07MA18

6 – Figuras geométricas planas

• Ângulos • Retas paralelas cortadas por uma transversal • Triângulos (construção, condição de existência e soma dos ângulos internos) • Polígonos regulares (ângulos internos, externos e construção) • Circunferência

EF07MA22 EF07MA23 EF07MA24 EF07MA25 EF07MA26 EF07MA27 EF07MA28 EF07MA33

7 – Grandezas proporcionais

• Razão • Proporção • Regra de três

EF07MA17

8 – Porcentagem, probabilidade e pesquisa estatística

• Porcentagem • Probabilidade • Média • Amplitude • Pesquisa censitária e amostral

EF07MA02 EF07MA34 EF07MA36

9 – Área e volume

• Equivalência entre áreas • Volume

EF07MA29 EF07MA30 EF07MA31 EF07MA32

XXXVI

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10/4/18 10:36 AM

8o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Números racionais

• Porcentagem e juro simples • Dízima periódica

EF08MA04 EF08MA05

2 – Potências, raízes e números reais

• Potência de um número racional • Números quadrados perfeitos • Raiz quadrada (exata e aproximada) de um número racional não negativo • Números irracionais • Números reais

EF08MA01 EF08MA02

3 – Ângulos e triângulos

• Ângulos • Altura, mediana e bissetriz de um triângulo • Congruência de triângulos • Propriedades nos triângulos

EF08MA14 EF08MA15 EF08MA16 EF08MA17

4 – Expressões e cálculo algébrico

• Expressões algébricas • Valor numérico de uma expressão algébrica • Monômio (grau, semelhança e operações) • Polinômios (grau e operações)

EF08MA06

5 – Equações

• Equação do 1o grau com uma incógnita • Equação fracionária com uma incógnita • Equação do 1o grau com duas incógnitas • Sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas • Equação do 2o grau

EF08MA07 EF08MA08 EF08MA09

6 – Polígonos e transformações no plano

• Diagonais de um polígono convexo • Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo • Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo • Propriedades dos quadriláteros • Transformações no plano

EF08MA18

7 – Contagem, probabilidade e estatística

• Contagem • Probabilidade • População e amostra • Média • Moda • Mediana • Amplitude

EF08MA03 EF08MA22 EF08MA23 EF08MA24 EF08MA25 EF08MA26 EF08MA27

8 – Área, volume e capacidade

• Área do círculo • Volume do cubo e do bloco retangular • Volume do cilindro • Equivalência entre decímetro cúbico e litro

EF08MA19 EF08MA20 EF08MA21

9 – Variação de grandezas

• Grandezas proporcionais e não-proporcionais • Velocidade média, escala, densidade de um corpo e densidade demográfica • Grandezas diretamente proporcionais • Grandezas inversamente proporcionais • Regra de três simples e composta

EF08MA10 EF08MA11 EF08MA12 EF08MA13

XXXVII

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9o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Números reais, potências e radicais

• A Geometria e a descoberta do número irracional • Números irracionais • Os números reais • Potências • Notação científica • Radicais

EF09MA01 EF09MA02 EF09MA03 EF09MA04 EF09MA18

2 – Produtos notáveis e fatoração

• Os produtos notáveis • Fatoração de polinômios

EF09MA09

3 – Equações do 2o grau

• Equação do 2o grau com uma incógnita

4 – Relações entre ângulos

• Ângulos determinados por retas transversais • Circunferência e ângulos

EF09MA10 EF09MA11

5 – Proporção e semelhança

• Segmentos proporcionais • Figuras semelhantes • Triângulos semelhantes

EF09MA07 EF09MA08 EF09MA12

6 – Porcentagem, probabilidade e estatística

• Juro simples e juro composto • Probabilidade • Análise de gráficos • Elaboração de pesquisa

EF09MA05 EF09MA20 EF09MA21 EF09MA22 EF09MA23

7 – Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

• O teorema de Pitágoras • Relações métricas no triângulo retângulo • Comprimento de arco de circunferência • Relações métricas na circunferência

EF09MA13 EF09MA14

8 – Figuras planas, espaciais e vistas

• Polígono regular • Representações no plano cartesiano • Figuras espaciais

EF09MA15 EF09MA16 EF09MA17 EF09MA19

9 – Função

• Função polinomial de 1o grau • Função polinomial de 2o grau

EF09MA06

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARIÈS, P. História social da criança e da família. 2. ed. São Paulo: LTC, 1981. BAZÍLIO, L. C.; KRAMER, S. Infância, educação e direitos humanos. São Paulo: Cortez, 2011. BEAUCHAMP, J.; PAGEL, S. D.; NASCIMENTO, A. R. do (Org.). Introdução. In: BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/ensifund9anobasefinal.pdf>. Acesso em: 14 ago. 2018. BEAN, D. O. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001. BIGODE, A. J. L.; GIMÉNEZ, J. R. Metodologia para o ensino da aritmética: competência numérica no cotidiano. São Paulo: FTD, 2009. BORBA, M. C.; Scucuglia, R. R. S.; GADANIS, G. Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte. Editora Autêntica, 2014, p. 16. BRASIL, L. A. S. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da matemática. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1977. CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: CAEM-USP, 2005. v. 2. CARRAHER, T. N. (Org.). Aprender pensando: contribuições da psicologia cognitiva para a educação. 12. ed. Petrópolis: Vozes, 1998. CARRAHER, T. N. et al. Na vida dez, na escola zero. 16. ed. São Paulo: Cortez, 2011. CENTURIÓN, M. Conteúdo e metodologia da matemática: números e operações. 2. ed. São Paulo: Scipione, 2002. COLL, C.; MARTÍN, E. (Org.). Aprender conteúdos e desenvolver capacidades. Tradução: Cláudia Schilling. Porto Alegre: Artmed, 2004. CORSINO, P. As crianças de seis anos e as áreas do conhecimento. In: BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007. CUCCIOLI, E. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, C. E.; MUNIZ, M. I. S. O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. FERRÉS, J. Vídeo e educação. Porto Alegre: Artmed, 1996. FONSECA, M. da C. F. R. Alfabetização matemática. In: BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http://pacto.mec.gov.br/materiais-listagem/item/66apresentacao>. Acesso em: 14 ago. 2018. FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 53. ed. São Paulo: Paz e Terra, 2016. GUIMARÃES, K. P.; BRENELLI, R. P. Abstração reflexiva e construção da noção de multiplicação. In: BRITO, M. R. F. de (Org.). Psicologia da educação matemática: teoria e pesquisa. Florianópolis: Insular, 2001. GUIMARÃES, K. P. et al. Educação matemática e jogos de regras: uma experiência em estágio supervisionado na formação de professores. In: IX CONGRESSO ESTADUAL PAULISTA SOBRE FORMAÇÃO DE EDUCADORES, 2007. Projetos e práticas de formação de professores – relatos. São Paulo: Unesp, 2007. v. 1.

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HERNÁNDEZ, F. Cultura visual, mudança educativa e projetos de trabalho. Porto Alegre: Artes Médicas, 2000. HOFFMANN, J. Avaliação: mito e desafio: uma perspectiva construtivista. 44. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014. HOFFMANN, J. Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à universidade. 33. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014. KAMII, C. A criança e o número. Tradução: Regina A. de Assis. Campinas: Papirus, 2007. KAMII, C; DECLARCK, G. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 2000. LEAL, T. F.; ALBUQUERQUE, E. B. C. de; MORAIS, A. G. de. Avaliação e aprendizagem na escola: a prática pedagógica como eixo da reflexão. In: BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007. LOPES, A. J. Os saberes das crianças como ponto de partida para o trabalho pedagógico. In: BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http:// wp.ufpel.edu.br/antoniomauricio/files/2017/11/0_Apresenta%C3%A7ao_pg001072.pdf>. Acesso em: 14 ago. 2018. LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2011. MACEDO, L. Ensaios construtivistas. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1994. NACARATO, A. M.; LOPES, C. E. (Org.). Escritas e leituras na educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educacão Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 207. PARRA, C.; SAIZ, I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Tradução Juan Acuña Llorens. Porto Alegre: Artmed, 2006. PASSOS, C. L. B.; ROMANATTO, M. C. A matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar, 2010. PERRENOUD, P. Avaliação: da excelência à regulação das aprendizagens: entre duas lógicas. Tradução: Patrícia Chittoni Ramos. Porto Alegre: Artmed, 2007. PERRENOUD, P. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2000. PIAGET, J.; INHELDER, B. Gênese das estruturas lógicas elementares. Tradução: Álvaro Cabral. Brasília: Zahar, 1975. POWELL, A.; BAIRRAL, M. A escrita e o pensamento matemático. Campinas: Papirus, 2006. (Perspectivas em educação matemática). RANGEL, A. C. S. Educação matemática e a construção do número pela criança: uma experiência em diferentes contextos socioeconômicos. Porto Alegre: Artes Médicas, 1992. SCHOENFELD, A. Por que toda esta agitação acerca da resolução de problemas? In: ABRANTES, P.; LEAL, L. C.; PONTE, J. P. (Org.). Investigar para aprender matemática. Lisboa: Universidade de Lisboa, 1996. SISTO, F. F. (Org.). Atuação psicopedagógica e aprendizagem escolar. 10. ed. Campinas: Papirus, 2005.

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SISTO, F. F. (Org.). Leituras de Psicologia para formação de professores. 3. ed. Petrópolis: Vozes; São Paulo: Edusf, 2004. TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Teoria e prática de matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 2010. (Teoria e prática). VERGNAUD, G. El niño, las matemáticas y la realidad. Ciudad de México: Editorial Trillas, 1991. VYGOTSKY, L. S. (Org.). A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. Tradução: José Cipolla Neto, Luís Silveira Menna Barreto, Solange Castro Afeche. São Paulo: Martins Fontes, 2007. ZUNINO, D. L. A matemática na escola: aqui e agora. 2. ed. Porto Alegre: Artes Médicas, 2007.

DOCUMENTOS OFICIAIS

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a base. Terceira versão final. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <http://basenacionalcomum. mec.gov.br/a-base>. Acesso em: 14 ago. 2018. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Básica. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. 2. ed. Brasília, DF, 2007. BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2006. BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http://pacto.mec.gov.br/ materiais-listagem/item/66-apresentacao>. Acesso em: 14 ago. 2018. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília, DF, 1997. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: ética. Brasília, DF: 1997. v. 8. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: meio ambiente e saúde. Brasília, DF, 1997. v. 9. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: pluralidade cultural e orientação sexual. Brasília, DF, 1997. v. 10. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Atividades matemáticas: ciclo básico. São Paulo, 1994. v. 1. SÃO PAULO (Estado). Atividades matemáticas: ciclo básico. São Paulo, 1994. v. 2. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educacão. Proposta curricular para o ensino de matemática: 1o grau. 4. ed. São Paulo: CENP, 1991.

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SUGESTÕES DE REVISTAS E OUTRAS PUBLICAÇÕES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR A Educação Matemática em Revista Temas & Debates Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) Departamento de Matemática – sala 108 Av. Prof. Luís Freire, s/n – Cidade Universitária CEP 50740-540 – Recife – PE Fone e Fax: (0XX81) 3272-7563 E-mail: sbem@sbem.com.br Boletim GEPEM Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática – GEPEM Instituto de Educação da UFRRJ – sala 30 Rod. BR 465, km 7 CEP 23890-000 – Seropédica – RJ Fone e fax: (0XX21) 2682-1841 E-mail: gepem@ufrrj.br Site: <http://livro.pro/t2uk2m>. Acesso em: 14 ago. 2018. Cadernos de Prática de Ensino – Série Matemática – USP Faculdade de Educação – Departamento de Metodologia do Ensino e Educação Comparada – Projeto USP/BID Avenida da Universidade, 308 – CEP 05508-900 Cidade Universitária – São Paulo – SP Fone: (0XX11) 3091-3099 – Fax: (0XX11) 3815-0297 Cadernos do CAEM Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP Rua do Matão, 1 010 – Bloco B – sala 167 – CEP 05508-090 Cidade Universitária – São Paulo – SP Fone e fax: (0XX11) 3091-6160 E-mail: caem@ime.usp.br Site: <http://livro.pro/v62my9>. Acesso em: 14 ago. 2018. Cadernos – Série Ideias da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Av. São Luís, 99 – CEP 01046-001 República – São Paulo – SP Fone: (0XX11) 3158-4000 Revista do Professor de Matemática – RPM Sociedade Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109 – Jardim Botânico CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ Fone: (0XX21) 2529-5073 E-mail: rpm@ime.usp.br Site: <http://livro.pro/a4amc2>. Acesso em: 14 ago. 2018.

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ENDEREÇOS DE OUTRAS ENTIDADES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP Rua do Matão, 1 010 – Bloco B – sala 167 – CEP 05508-090 Cidade Universitária – São Paulo – SP Fone e fax: (0XX11) 3091-6160 Site: <http://livro.pro/v62my9>. Acesso em: 14 ago. 2018. Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação – FNDE Ministério da Educação – SBS – Quadra 2 – Bloco F Brasília – DF – CEP 70070-929 Tel.: 0800-616161 Site: <http://livro.pro/foruai>. Acesso em: 14 ago. 2018. Laboratório de Ensino de Matemática – LEM Universidade Estadual de Campinas – Unicamp – IMECC Caixa Postal 6065 – CEP 13083-970 – Campinas – SP Fone: (0XX19) 3521-6017 Fax: (0XX19) 3521-5937 Site: <http://livro.pro/65jbqe>. Acesso em: 14 ago. 2018. Laboratório de Ensino de Matemática e Estatística – LEMA Universidade Federal da Bahia – UFBA – Instituto de Matemática Avenida Adhemar de Barros, s/n – Salvador – BA Fone: (0XX71) 3263-6265 Site: <http://livro.pro/usuwug>. Acesso em: 14 ago. 2018. Núcleo da Informática Aplicada à Educação – NIED Universidade Estadual de Campinas – Unicamp Cidade Universitária Zeferino Vaz Bloco V da Reitoria – piso 2 – Campinas – SP CEP 13083-970 – Tel.: (0XX19) 3788-7136 E-mail: nied@unicamp.br Site: <http://livro.pro/fur7ka>. Acesso em: 14 ago. 2018. Projeto Fundão – Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) Instituto de Matemática Centro de Tecnologia – Bloco C – sala 108 Cidade Universitária Caixa Postal 68530 – CEP 21941-972 Rio de Janeiro – RJ Fone e fax: (0XX21) 2562-7511 Site: <http://livro.pro/or6swh>. Acesso em: 14 ago. 2018. Sociedade Brasileira de Matemática – SBM Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109 Jardim Botânico CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ Fone: (0XX21) 2529-5073 Site: <http://livro.pro/c23hyf>. Acesso em: 14 ago. 2018.

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SITES

Acessos em: 14 ago. 2018. A COR DA CULTURA. Disponível em: <http://livro.pro/jknmqu>. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA: Ensino de Matemática e Formação para Cidadania: Discussão de uma Possibilidade. Disponível em: <http://livro.pro/nv4p5b>. EDUMATEC. Disponível em: <http://livro.pro/xt9vnq>. ESCOLA DO FUTURO. Disponível em: <http://livro.pro/yuee2v>. FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP)/DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DO ENSINO E EDUCAÇÃO COMPARADA. Disponível em: <http:// livro.pro/icx2w8>. INSTITUTO ALFA E BETO: Ensino da matemática nas séries iniciais. Disponível em: <http:// livro.pro/iiknwe>. INSTITUTO PAULO FREIRE: Acervo. Disponível em: <http://livro.pro/kiubrz>. LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA: Faculdade de Educação da USP. Disponível em: <http:// livro.pro/5pwpdo>. LABORATÓRIO DE PESQUISA MULTIMEIOS. Disponível em: <http://livro.pro/7nrv5t>. MATEMÁTICA EM TODA PARTE – TV ESCOLA – MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (MEC). Disponível em: <http://livro.pro/jxi7cc>. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://livro.pro/fezagx>. NOVA ESCOLA. Disponível em: <http://livro.pro/5rm6us>. PENSAR A EDUCAÇÃO EM REVISTA. Disponível em: <http://livro.pro/rd5qcz>. PORTAL EDUCAÇÃO EM DIREITOS HUMANOS: Educação matemática como formação necessária à cidadania. Disponível em: <http://livro.pro/p4rqd5>. REDE DO SABER. Disponível em: <http://livro.pro/rtugtx>. REVISTA PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Disponível em: <http://livro.pro/ woiu24>. SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO EM MATEMÁTICA – SBEM. Disponível em: <http://livro.pro/3muqad>.

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Cartografia Coordenadora de preparação e revisão Supervisora de preparação e revisão Revisão

Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Iconografia Licenciamento de textos Supervisora de arquivos de segurança Diretor de operações e produção gráfica

Antonio Luiz da Silva Rios Silvana Rossi Júlio Roberto Henrique Lopes da Silva João Paulo Bortoluci Adriano Rosa Lopes, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Luís Felipe Porto Mendes, Marcos Antônio Silva Cristiane Boneto, Flávia Milão Silva, Francisco Mariani Casadore, Maria Perpétua Lourenço Campangna Mariana Milani Marcelo Henrique Ferreira Fontes Ricardo Borges Daniela Máximo Carolina Ferreira, Juliana Carvalho Sergio Cândido Natalya Yudina/Shutterstock.com Isabel Cristina Ferreira Corandin Nadir Fernandes Racheti, Dayane Santiago Débora Jóia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Marcia Berne Alex Argozino, Alex Silva, Bentinho, Dani Mota, Daniel Almeida, Daniel Bogni, Dayane Raven, Dnepwu, Ilustra Cartoon, Lucas Farauj, Manzi, Marcos Guilherme, Marcos Machado, MW Editora E Ilustrações, Renato Bassani, Wandson Rocha Allmaps, Renato Bassani, Sonia Vaz Lilian Semenichin Maria Clara Paes Ana Lucia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana, Giselle Mussi de Moura, Miyuki Kishi, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Renato A. Colombo Jr., Solange Guerra, Yara Affonso Elaine Bueno Rosa André Carla Marques, Vanessa Trindade Silvia Regina E. Almeida Reginaldo Soares Damasceno

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Cibele Maria Dias – Bibliotecária – CRB-8/9427

Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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D3-MAT

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apresentação Para que serve a Matemática? Por que aprender todo esse conteúdo de Matemática na escola? Essas são perguntas que um dia provavelmente passaram ou vão passar por sua cabeça. A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples contagem em uma brincadeira até nos modernos e complexos computadores. Ela ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender o movimento da inflação e dos juros, a medir os índices de pobreza e riqueza de um país, a entender e cuidar do meio ambiente... sem falar nas formas e medidas, com suas aplicações na Arquitetura, na Arte e na Agricultura. Mas, apesar de estar presente em tantos momentos importantes das nossas vidas, pode parecer, a princípio, que alguns temas da Matemática não têm aplicação imediata, o que pode gerar certo desapontamento em você. Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela presentes. Como em todas as áreas de estudo, para entender e fazer Matemática é necessário dedicação e estudo. Nesta coleção, apresentamos a você as linhas mestras desse processo com uma linguagem simples, mas sem fugir ao rigor que a Matemática exige. Vivemos hoje em um mundo em constante e rápida transformação, e a Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Ficar à parte do conhecimento matemático é, hoje, estar à margem das mudanças do mundo. Então, vamos entender e fazer Matemática! Os autores

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conheça seu livro

Abertura de unidade

As páginas de abertura introduzem o trabalho que será desenvolvido em cada Unidade. Nelas, você é convidado a observar textos e/ou imagens e relacioná-los com seus conhecimentos sobre o tema ou com contextos que serão articulados pelas questões.

CÁLCULOS COM NÚMEROS NATURAIS

NÚMERO NÚMERO ATLETAS DEDE ATLETAS

Vocêsabia? V sabia? Você V

500 1010500

Mais Mais de de

8 400 8 400 petecas p

NÚMERO NÚMERO PAÍSES DEDE PAÍSES

4040

petecas p

205 205

760 1717 760

3434 locais de competição ão

ALEX SILVA

1717

Ásia Ásia

80 000 808 8 000 mesas

Oceania Oceania

mesas

milh milhões 1111 milh milhões eses de refeições

000 6060 000 cabides

de refeições

cabides

306 provas 306 3 03 606 provas com medalhas com medalhas

Você Você 161 161

136 136

masculinas masculinas

Jogos Os Os Jogos Olímpicos foram Olímpicos foram disputados disputados emem

Europa Europa

camas

cadeiras ca

locais de competição ão espalhados quatro atro espalhados emem quatro atro regiões cidade regiões da da cidade

000 4040 000 camas

40 0 000 40 4 04 000 cadeiras ca

Foram Foram

América América Norte do do Norte

cavalos cavalos

bolas tênis bolas de de tênis s s

Até A 2015 Até A t t 2015

Foram m re realizadas eal alizad28 28 edições Jogos Foram m re realizadas eal alizad edições dosdos Jogos Olí Olímpicos Verão Olí Olímpicos de de Verão

Para Pa aorg ra org organizar primeiros Jogos Para Pa ara organizar os os primeiros Jogos Olímpicos A da América foram necessários... Olímpicos i i d A da d América do do Sul,Sul, foram necessários...

femininas femininas

vibrou vibrou com com

42 42

mistas mistas

esportes esportes

Quemfez fez Quem

dias 1717dias

Para tudo so aconte acontecer, o Comitê 2016 contou com Para tudo isso soisso aconte acontecer, o Comitê RioRio 2016 contou com

000 000 8585 000 4545 000 8 000 8 000 Voluntários ltuántá áriios Voluntários V ollV uol ntá ritios

T Te Terceirizados idosdos Te T Terceirizados rc eirc irizad ieiirizad

Funcionários Funci iáorios ná i Funcionários Funci ioná i ários

Tudocomeçou... começou... Tudo Com base nas imagens, responda no caderno:

7,5 7,5

Cerca Cerca de de Foram Foram milhões 3,8 3,8 milhões milhões milhões até até de ingressos de ingressos

R$R$ 7070

jogos foram Os Os jogos foram suspensos suspensos

776 a.C. 776 a.C.

• Que outra informação você consegue extrair dessas imagens? Você utilizará qual operação matemática para obter essa informação?

392 d.C. 392 d.C.

Olímpia Olímpia Grécia Grécia

1 500 anos 1 500 anos depois depois

Primeiros Jogos Olímpicos Primeiros Jogos Olímpicos Moderna da da EraEra Moderna

1896 1896

LOGOTIPO RIO 2016

Primeiros Jogos Olímpicos Primeiros Jogos Olímpicos Antiguidade da da Antiguidade

Atenas Atenas Grécia Grécia

Uma iniciativa Uma iniciativa do do Barão Francis Pierre Barão Francis Pierre Coubertin de de Coubertin

• Em que outras situações do cotidiano as operações matemáticas são fundamentais?

Informações obtidas em: RIO2016. Disponível em: <https://www.rio2016.com/os-jogos/olimpicos>. Acesso em: 8 maio 2018.

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O crivo de Eratóstenes O grego Eratóstenes (276-194 a.C.) montou a primeira tábua de números primos. Por exemplo, para achar os primos até 1 000, basta começar eliminando o 1. A seguir, elimine os múltiplos de 2, exceto o 2, depois os de 3, exceto o 3, e assim por diante até 31. Quando tiver riscado os múltiplos de 31, pode parar: você já achou todos os números primos menores que 1 000. Veja, ao lado, a tábua de números primos até 50. Nela foram escritos os números de 1 a 50 e seguidos os procedimentos descritos acima.

MARCOS GUILHERME

Nesta seção você encontra informações complementares relacionadas ao conteúdo estudado.

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PARA QUEM QUER MAIS

SAIBA QUE

1. Agora é com você. Monte, no caderno, uma tábua de números primos até 100 seguindo o procedimento descrito anteriormente. Resposta no gabarito no fim do livro.

O número 1 não é primo, pois tem apenas um divisor natural, que é ele mesmo.

ATIVIDADES Responda às questões no caderno. 1. Lembra-se do crivo de Eratóstenes que você montou? Use-o para responder às questões. a) Quantos são os números primos menores que 50? 15 b) Uma vila teve casas numeradas de 30 a 50. Quantas foram numeradas com números primos? 5 casas. c) Em qual século estamos? O número que representa esse século é um número primo? Século 21; 21 não é um número primo.

2. Em um torneio de futebol, uma equipe somou 91 pontos no final do campeonato. O número que aparece na informação é um número primo? Não.

3. O valor numérico de cada expressão a seguir é primo? a) 26 + 3 67 é primo. b) 42 + 52 41 é primo. c) 472 _ 372 _ 232 311 é primo.

Atividades

4. Verifique quais dos números abaixo são primos. 47, 83, 97 47 91

51 97

69 39

83 24

5. Quais dos seguintes números são primos? a) 131 b) 253 c) 211 d) 391 131 e 211. 6. A figura tem um “segredo”. Descubra esse “segredo” e responda: a) Qual número deve ser colocado no quadrado azul? 195 b) Esse número é primo? Não. ?? ?? 63 33

?? 47

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EDITORIA DE ARTE

Para quem quer mais

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Os exercícios apresentados são variados e visam à prática do conteúdo aprendido. Por vezes você se deparará com exercícios mais desafiadores, inclusive o de elaborar seus próprios exercícios e compartilhá-los com seus colegas.

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CAPÍTULO

NOÇÃO DE DIVISIBILIDADE

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 299

Responda às questões no caderno. Eu sei que 5 cabe duas vezes em 10.

Pense e responda

As atividades apresentadas valorizam a construção e a experimentação de suas próprias hipóteses.

Os números que cabem um número exato de vezes em outro são chamados divisores desse número. Observe que:

2 forma 1 par. O 2 cabe exatamente uma vez em 2.

3 forma 1 par, e sobra 1. O 2 não cabe um número exato de vezes em 3.

5 forma 2 pares, e sobra 1. O 2 não cabe um número exato de vezes em 5.

4 forma 2 pares. O 2 cabe exatamente duas vezes em 4.

6 forma 3 pares. O 2 cabe exatamente três vezes em 6.

F Ó R UM

Fórum

Podemos dizer que os números 2, 4 e 6 são divisíveis por 2, pois, ao se formarem os pares, não há sobras. 102

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Traz questões para debate, em que você e os colegas poderão praticar estratégias de argumentação.

Resoluções na p. 318

Os televisores grandes e de alta definição estão muito mais acessíveis, mas ter um televisor grande não garante que você vai conseguir ter a melhor experiência que a tecnologia presente nele pode proporcionar. Para isso, a tela precisa ser grande o suficiente para ser envolvente e pequena o suficiente para ser clara e nítida. Uma empresa norte-americana que trabalha no desenvolvimento de soluções audiovisuais aconselha que a tela do televisor ocupe 40° do seu campo de visão, como mostrado na ilustração.

40°

Para isso, o tamanho do televisor e a distância recomendados por essa empresa podem ser calculados da seguinte forma: meça a distância da tela para o sofá, transforme essa distância em polegadas (sabemos que uma polegada equivale a 2,54 centímetros), depois multiplique a distância em polegadas por 0,84 e você terá o tamanho da diagonal da tela do seu televisor em polegadas. Por exemplo, se seu sofá está a 1,8 metro do televisor (72 polegadas), então o tamanho máximo de TV recomendado é de 60 polegadas. Além da distância do sofá até o televisor, o ajuste de altura é muito importante. De acordo com a empresa, o ângulo de visão vertical não deve ser maior que 15°, para que os olhos fiquem em uma posição confortável. Observe a figura.

O metro linear 15°

No Sistema Métrico Decimal, a unidade fundamental de medida de comprimento é o metro, cujo símbolo é m. O metro é adequado para expressar, por exemplo, a largura de uma rua, o comprimento de uma sala, a altura de um edifício etc. Além do metro, existem outras unidades de medida de comprimento. • Para expressar a medida de grandes distâncias, temos o decâmetro, o hectômetro e o quilômetro, que são múltiplos do metro. Na prática, a unidade mais utilizada é o quilômetro. 1 decâmetro (dam) = 10 x 1 metro = 10 metros 1 hectômetro (hm) = 100 x 1 metro = 100 metros 1 quilômetro (km) = 1 000 x 1 metro = 1 000 metros

Informações obtidas em: VAL, M. Prepare seu home theater como um profissional. Disponível em: <https://gizmodo.uol.com.br/prepare-seu-home-theater-como-um-profissional/>. Acesso em: 4 jul. 2018.

SAIBA QUE

• Para uma televisão de 40 polegadas, de acordo com essa empresa, a qual distância mínima, em polegadas, o assento deve estar do televisor? 48 polegadas.

deca: dez, em grego. hecto: cem, em grego. kilo: mil, em grego.

1 do metro = 0,1 metro 10

1 centímetro (cm) = 1 do metro = 0,01 metro 100 1 milímetro (mm) =

1 do metro = 0,001 metro 1 000

SAIBA QUE

Múltiplos do metro

207

Traz informações complementares de maneira rápida e acessível.

deci: décimo, em latim. centi: centésimo, em latim. mili: milésimo, em latim.

Podemos, então, organizar as unidades padronizadas de medida de comprimento assim:

Quilômetro Hectômetro Decâmetro km hm dam 1 000 m 100 m 10 m

• O excesso de tempo em frente à televisão pode causar vários problemas. Em sua opinião, quais podem ser esses problemas? Compartilhe sua opinião com os colegas de classe. Resposta pessoal.

Saiba que...

• Para expressar a medida de pequenas distâncias, temos o decímetro, o centímetro e o milímetro, que são submúltiplos do metro. Na prática, as unidades mais utilizadas são o centímetro e o milímetro. 1 decímetro (dm) =

ILUSTRAÇÕES: MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

2. Considere, agora, o número 23. a) Quantas vezes o 1 cabe nesse número? 23 b) E quantas vezes o 23 cabe nesse número? 1 c) Que outros números cabem um número exato de vezes em 23? Nenhum.

WAN DSO ROCHA N

Unidade Submúltiplos do metro fundamental Metro Decímetro Centímetro Milímetro m dm cm mm 1m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

D3-MAT-F2-2051-V6-U07-200-233-LA-G20.indd 207

9/26/18 6:37 PM

Trena.

Metro de carpinteiro.

DUSAN PETKOVIC/SHUTTERSTOCK.COM

2 No ano de 2018 havia, no Brasil, 512 parlamentares na Câmara dos Deputados federais. A Câmara dos Deputados federais é a instituição responsável pela elaboração das leis. Desses parlamentares, 54 eram mulheres e 458 eram homens. Quantos homens ocupam o cargo de deputado federal a mais que mulheres? Informações obtidas em: CÂMARA DOS DEPUTADOS. Conheça os deputados. Disponível em: <http://www2.camara.leg.br/deputados/pesquisa>. Acesso em: 30 abr. 2018.

Para resolver esse problema, podemos fazer 458 _ 54.

Régua graduada.

238

C 4

D 5 5

U 8 4

minuendo

diferença

D3-MAT-F2-2051-V6-U08-234-257-LA-G20.indd 238

subtraendo

RICARDO TELES/PULSAR IMAGENS

Fita métrica.

TYLER OLSON/SHUTTERSTOCK.COM

UFABIZPHOTO/SHUTTERSTOCK.COM

HANNA KUPREVICH/SHUTTERSTOCK.COM

Todas essas unidades pertencem ao Sistema Métrico Decimal. Veja alguns instrumentos disponíveis para medir comprimentos:

(resultado da operação)

9/26/18 18:48

Então, em 2018 havia 404 deputados federais homens a mais que mulheres.

Apresenta indicações de livros e sites que propiciam o enriquecimento e aprofundam o conteúdo em questão.

[...] A criação de um Refúgio de Vida Silvestre (Revis), com cerca de 29 mil hectares, e uma Área de Proteção Ambiental (Apa), com aproximadamente 90 mil hectares, entre os municípios de Juazeiro e Curaçá tem o objetivo de proteger a área para um audacioso projeto de reintrodução na natureza da Ararinha Azul (Cyanopsitta spixii), uma ave exclusiva daquela região, que faz parte do bioma Caatinga. O último exemplar vivo da espécie, um macho, desapareceu dali no ano 2000, restando apenas 128 indivíduos, todos em cativeiro, a maioria vivendo em criadouros no Catar e na Alemanha. A ideia é reintroduzir a ararinha ao seu habitat natural em um esforço técnico e científico internacional. A criação das duas áreas protegidas na região é o primeiro passo do plano, que prevê também a construção de um Centro de Reintrodução e Reprodução da Ararinha-Azul em Curaçá, onde 100 cm vivia o último remanescente. O centro deverá custar US$ 1,5 milhão [...]. Arara-azul.

3 A produção mensal de uma olaria é 5 000 tijolos. Nesse mês, a olaria produziu 3 925 tijolos. Quantos tijolos ainda faltam para completar a produção mensal? Para resolver esse problema, devemos fazer 5 000 _ 3 925.

UM C 5 0 3 9 1

D 0 2

U 0 5

minuendo

diferença

subtraendo (resultado da operação)

Produção de tijolos artesanais em Ouro Fino, MG. Foto tirada em setembro de 2016.

Faltam 1 075 tijolos para completar a produção mensal. Nesta situação, usamos a subtração por termos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra, ou seja, estamos usando a ideia de completar. DESCUBRA MAIS

Álgebra (coleção Pra que serve a Matemática?), de Luiz Marcio Pereira Imenes, Marcelo Lellis e José Jakubovic. Editora Atual, 2004. Você verá, nesse volume, as aplicações práticas da Álgebra por meio de situações curiosas e divertidas. Também há no livro brincadeiras, como programas de desenho no microcomputador, além de curiosidades sobre Einstein e vocabulário matemático.

MARCOS AMEND/PULSAR IMAGENS

13. Leia o texto sobre algumas curiosidades da arara-azul que está em extinção.

Esplanada dos ministérios e Congresso Nacional em Brasília, DF. Foto tirada em fevereiro de 2018.

JOÃO PRUDENTE/PULSAR IMAGENS

Descubra mais

Neste caso, a subtração foi utilizada para comparar duas quantidades a fim de saber quanto uma delas tem a mais que a outra.

D3-MAT-F2-2051-V6-U02-034-075-LA-G20.indd 41

9/26/18 6:02 PM

Fonte: WWF. Amazônia e Caatinga ganham novas áreas protegidas. Disponível em: <https://www.wwf.org.br/informacoes/noticias_meio_ambiente_e_natureza/?65802/ Amazonia-e-Caatinga-ganham-novas-areas-protegidas>. Acesso em: 5 set. 2018.

Identifique a função de cada número no texto acima. UM NOVO OLHAR

Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais sobre a história da Matemática e os padrões existentes em diferentes sistemas de numeração; estudamos o conjunto dos números naturais, o uso de tabelas para organizar e analisar informações e ainda utilizamos a calculadora para observar padrões e realizar operações. Qual desses conteúdos você achou mais interessante? Por quê? Nas páginas de abertura, além de observar os diferentes sistemas de numeração (guarani, egípcio e chinês), você foi convidado a pensar na criação dos números. O que você havia imaginado se confirmou após o estudo desta Unidade? Vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens desta Unidade: • Foi possível perceber que existem diferentes formas de representar os números e diferentes sistemas de numeração? • Você consegue identificar os padrões existentes em cada um dos sistemas estudados? • Consegue reconhecer, no dia a dia, as diferentes funções desempenhadas pelos números (contar, ordenar, medir e codificar)? • Você consegue destacar semelhanças e diferenças entre o Sistema de Numeração Decimal e outros sistemas de numeração? • Você reconhece que o uso de tabelas facilita a organização, a análise e a compreensão de informações? • Você reconhece que a calculadora é um instrumento importante para a realização de operações matemáticas e que seu uso facilita os cálculos que seriam difíceis com lápis e papel ou mentalmente?

Um novo olhar

É o momento de você refletir sobre os conhecimentos que adquiriu ao longo da Unidade e analisar sua produção nas propostas de trabalho, ampliando seu comprometimento com a aprendizagem.

D3-MAT-F2-2051-V6-U01-012-033-LA-G20.indd 33

9/26/18 5:58 PM

5 D3-MAT-F2-2051-V6-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 5

D3-MAT-F2-2051-V6-INICIAIS-001-011-MP-G20.indd 5

9/26/18 7:53 PM

10/4/18 2:11 PM

As medidas agrárias Quando queremos medir, por exemplo, a extensão de sítios e fazendas, usamos uma unidade agrária chamada hectare (ha).

1 hm2

1 hm

como 100 m ! 1 hm

10 000 m2

1 hm

100 m

Nós

EDITORIA DE ARTE

100 m

O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.

Assim sendo, temos a relação:

Propicia a reflexão sobre valores, que será feita sempre em duplas, trios ou grupos.

1 hectare (ha) = 1 hm² = 10 000 m²

Vamos ver, a seguir, alguns exemplos de aplicação de unidades agrárias. • Quantos hectares (ha) tem uma chácara de 25 000 m²? Como 1 ha = 10 000 m², temos: 25 000 m² = (25 000 : 10 000) ha = 2,5 ha • Quantos metros quadrados (m2) tem uma plantação de 47,5 ha? 47,5 ha = (47,5 x 10 000) m² = 475 000 m2 NÓS

Desmatamento De acordo com o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (Inpe), no período de agosto de 2015 a julho de 2016, foram desmatados na Amazônia 7 989 km², área 29% maior que a do período anterior. Esse desmatamento tem diversas causas e, dentre elas, destaca-se a derrubada de árvores nativas para exploração de madeira. Para garantir a preservação das florestas, algumas empresas que têm a madeira como matéria-prima de seus produtos garantem que, para sua produção, não há desmatamento, que o solo e a água não foram contaminados e que as comunidades do entorno foram respeitadas.

P O R T O D A P A RT E

Informações obtidas em: GREENPEACE. Desmatamento dispara na Amazônia. Disponível em: <http://www. greenpeace.org/brasil/pt/ Noticias/Desmatamento-dispara-na-Amazonia-/>. Acesso em: 23 jul. 2018.

Resoluções na p. 319

Transporte coletivo

DANIEL TEIXEIRA/ESTADÃO CONTEÚDO/AE

A malha metroviária de São Paulo é a maior do Brasil e a mais lotada do mundo. Em 2015, ela atingia 78 quilômetros de extensão, distribuídos em 5 linhas, num total de 65 estações. Por dia eram transportados 4,6 milhões de usuários. Já pelo metrô do Rio de Janeiro em 2015 trafegavam 620 mil passageiros por dia, nos seus 40,9 quilômetros de trilhos.

• Pesquise esse assunto e, depois, reúna-se com os colegas para discutir por que é tão importante evitar o desmatamento das florestas.

246

Responda às questões no caderno. 1. Estudos sugerem que o metrô na cidade de São Paulo necessitaria ter uma extensão de 200 000 metros. Quantos metros de linha ainda faltariam ser construídos para o metrô paulistano atingir essa meta? 122 000 metros.

9/26/18 18:48

3. O gráfico mostra a extensão aproximada das linhas de metrô de algumas cidades do mundo, segundo dados de 2015. Responda às questões a seguir, de acordo com ele:

Metrô no Rio de Janeiro, RJ. Foto tirada em 2015.

Extensão das linhas de metrô em algumas cidades do mundo (em km) – 2015

JOYFULL/SHUTTERSTOCK.COM

Esta seção apresenta diversas situações que possibilitam ainda mais a conexão da Matemática com diversas áreas do conhecimento.

Resoluções na p. 315

LUIZ SOUZA/FUTURA PRESS

2. Em 2015, o metrô de São Paulo tinha quantos metros de linha a mais do que o metrô do Rio de Janeiro? Explique como você pensou. 37 100 metros; resposta pessoal.

Por toda parte

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Metrô em São Paulo, SP. Foto tirada em 2016.

Metrô de Xangai, China. Foto tirada em 2016.

Xangai Pequim Nova York Londres Tóquio Seul Paris Cidade do México Santiago São Paulo Brasília

570 465 418 408 292 286 212 202 94,2 78 46,5

Fonte: MOBILIDADE URBANA SUSTENTÁVEL. Extensão do metrô em cidades do mundo (km). Disponível em: <http://www.mobilize. org.br/estatisticas/27/extensao-do-metro-nas-cidades-do-mundo-km. html>. Acesso em: 20 jan. 2018.

a) Qual das cidades citadas tem a maior extensão de linha metroviária? Quantos metros de extensão? Xangai; 570 000 metros. b) Em que continente fica a cidade de menor extensão metroviária? Que cidade é essa? Americano; Brasília. c) Em quantos quilômetros a linha de metrô de Tóquio é mais extensa do que a de Seul? Em que continentes se localizam essas duas cidades? E em que países? d) Quantos metros de linha de metrô São Paulo tem a menos do que a cidade de Nova York? 340 000 metros a menos. c) 6 quilômetros; as duas se localizam na Ásia; Tóquio, no Japão, e Seul, na Coreia do Sul. 241

Moeda também é dinheiro

Educação financeira

RANGIZZZ/SHUTTERSTOCK.COM

Fonte: RAVELLI, J. Moeda também é dinheiro. Diário do Grande ABC. Disponível em: <http://www.dgabc.com.br/Noticia/156806/moeda-tambem-e-dinheiro>. Acesso em: 22 jun. 2018.

1. Joana notou que sua mãe, Ana, costumava deixar sobre a mesa algumas moedas que recebia durante o dia. Ela pediu à mãe que lhe desse diariamente essas moedas. Observe o que aconteceu em uma semana e, depois, responda às questões no caderno: • De segunda a sexta, Ana toma um café que custa R$ 2,90. Ela paga com uma cédula de R$ 2,00 e uma moeda de R$ 1,00 e guarda o troco. No almoço, Ana vai a um restaurante de preço fixo, R$ 13,80. Ela paga com R$ 14,00 em cédulas e também guarda o troco. • No sábado, Ana foi à feira. Do troco recebido, sobraram uma moeda de R$ 1,00, duas de R$ 0,25 e três de R$ 0,10. • No supermercado, Ana fez uma compra de R$ 48,35, pagando com uma cédula de R$ 50,00, e o troco foi dado em moedas. a) Qual foi a quantia que Joana recebeu da mãe nessa semana? R$ 4,95 b) Suponha que Joana tivesse recebido essa quantia, de janeiro a abril (considere 17 semanas), e a tivesse guardado em seu cofrinho. Quantos reais ela teria? R$ 84,15 184

D3-MAT-F2-2051-V6-U06-170-199-LA-G20.indd 184

9/26/18 18:48

Com o objetivo de desenvolver reflexões sobre atitudes, como hábitos conscientes de consumo, a seção trata tópicos como controle de gastos, economia etc.

9/26/18 6:10 PM

Espécies animais no bioma

11% 3%

23%

Extensão territorial dos biomas brasileiros (em quilômetros quadrados) 2%

48%

10%

13%

FABIO COLOMBINI

46 cm

8% 22% 49%

Sagui-de-tufos-brancos, PI. Foto tirada em abril de 2015.

Espécies animais no bioma

Vegetação formada por arbustos e também por árvores de cascas grossas e galhos retorcidos.

35% 8%

1,70 m

Ema, GO. Foto tirada em agosto de 2017. DESCUBRA MAIS

Informações obtidas em: GOVERNO DO BRASIL. Conheça os biomas brasileiros. Disponível em: <http://www.brasil.gov.br/ editoria/meio-ambiente/2009/10/biomas-brasileiros>. 2017 O ANO da agricultura. Retratos: a revista do IBGE, dez. 2017. Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/media/com_mediaibge/ arquivos/3ee63778c4cfdcbbe4684937273d15e2.pdf>. Acessos em: 10 jul. 2018.

Pantanal A vegetação é característica de planícies de inundação, além de espécies das floras características de outros biomas brasileiros.

12%

O bioma mais devastado até hoje possui em sua vegetação árvores famosas, como o pau-brasil, o jacarandá, entre outras.

42%

15% 40% 20% 13%

25 cm

Mico-leão-dourado, SP. Foto tirada em setembro de 2016.

Espécies animais no bioma

27% 4% 9%

Espécies animais no bioma

13%

47%

Jacaré-do-Pantanal, MT. Foto tirada em junho de 2015.

21% 27%

1,50 m

Cavalo crioulo, RS. Foto tirada em maio de 2017.

216

SAIBA QUE

14% 5%

Pampa As herbáceas são a marca principal da vegetação desse bioma.

9% 11%

Peixes Mamíferos Aves Répteis Anfíbios

Espécies animais no bioma

Mata Atlântica

10%

Cerrado

50%

Amazônia Cerrado Mata Atlântica Caatinga Pampa Pantanal

48 cm

Tucano-de-bico-preto, AM. Foto tirada em abril de 2017.

Espécies animais distribuídas nos biomas brasileiros

2% 10%

24%

Legenda: Mamíferos Anfíbios Aves Peixes Répteis

D3-MAT-F2-2051-V6-U07-200-233-LA-G20.indd 216

14%

Caatinga Por causa do clima semiárido, vegetação predominantemente formada por cactáceas com espinhos.

ANDRE DIB/PULSAR IMAGENS

Esta seção trabalha de forma organizada com propostas de tratamento e organização de dados, probabilidade e estatística.

20% 60%

Biomas brasileiros Pedro fez uma pesquisa para um trabalho escolar sobre os biomas brasileiros. Biomas são grandes extensões territoriais com características similares de vegetação e das espécies de animais que ali habitam, o que é definido, em parte, pelas condições físicas próprias das regiões (clima e formação das rochas, por exemplo). No Brasil, existem seis grandes biomas terrestres: Amazônia, Cerrado, Mata Atlântica, Caatinga, Pampa e Pantanal. Veja, no infográfico a seguir, as informações que Pedro coletou.

Espécies animais no bioma

Amazônia Vegetação densa, com árvores altas e próximas entre si.

Resoluções na p. 318

EDSON GRANDISOLI/PULSAR IMAGENS

Tratamento da informação

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

BY P-FOTOGRAPHY/SHUTTERSTOCK.COM; EDITORIA DE ARTE

Tem gente que não dá a menor atenção às moedinhas; as deixa jogadas em qualquer canto e torce o nariz quando recebe muitas delas. Só lembra como são importantes na hora em que o vendedor pergunta: “Tem trocado?”. E é justamente para isso que elas servem. Representantes dos valores menores, as moedas são importantíssimas, principalmente para garantir troco no comércio. Atualmente, há mais de 18 bilhões de moedas em circulação no Brasil. É mais do que o dobro do número de habitantes da Terra, que até o fim deste ano será 7 bilhões.

D3-MAT-F2-2051-V6-U08-234-257-LA-G20.indd 241

No entanto, quase a metade não é usada. Por isso, o Banco Central — responsável pela produção e circulação do dinheiro brasileiro — faz com frequência campanhas para incentivar as pessoas a gastá-las. Assim, perder ou esquecer de usá-las é desperdício de dinheiro. [...] [...] O curioso é que algumas moedas custam mais para serem fabricadas do que valem. Gasta-se R$ 0,16 para produzir cada moedinha de R$ 0,05; e custa R$ 0,20 para fazer a de R$ 0,10. Quem tem muitas moedas no cofrinho pode trocá-las nos bancos ou estabelecimentos comerciais. A maioria desses locais adora recebê-las. [...]

33%

FOTOS: FABIO COLOMBINI

Juliana Ravelli (Diário do Grande ABC) Publicado em 2/10/2011

EDITORIA DE ARTE

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9/26/18 6:38 PM

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9/26/18 6:39 PM

6 D3-MAT-F2-2051-V6-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 6

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10/4/18 2:11 PM

D3-MAT

8 7:54 PM

Todos os tipos de calculadora apresentados permitem fazer operações com números decimais. Para isso, elas apresentam uma tecla para o separador decimal.

Calculadora básica.

A minha calculadora também usa o ponto como separador decimal. Por que isso?

A minha calculadora usa a vírgula como separador decimal.

Tecnologias Nesta seção você verá como utilizar ferramentas tecnológicas na resolução de problemas ou questões matemáticas.

ILUSTRA CARTOON

JAMES HOENSTINE/SHUTTERSTOCK.COM

GERALD BERNARD/SHUTTERSTOCK.COM

Calculadora financeira.

A minha calculadora usa o ponto como separador decimal.

Alguns países adotam o ponto como separador decimal. Já outros, como o Brasil, adotam a vírgula. Mas a maioria das calculadoras usa o ponto como separador decimal.

2. Com uma calculadora, resolva as seguintes operações: a) 2,75 + 3 5,75 b) 7 _ 4,5 2,5 c) 8 x 10 80

d) 36 : 3 12

3. Com o auxílio de uma calculadora básica, resolva: 17 453 000 x 349. a) Qual o resultado? 6 091 097 000 b) Quantos dígitos tem esse produto? 10 dígitos.

Calculadora científica gráfica.

Calculadora científica normal.

JEFFREY B. BANKE/SHUTTERSTOCK.COM

Tecnologias

194

195

D3-MAT-F2-2051-V6-U06-170-199-LA-G20.indd 195

Atualidades em foco

Nesta seção você encontrará o trabalho com temas atuais e de importância social. Será um momento de refletir sobre esses assuntos e de perceber como a Matemática ajuda a entender o mundo em que vivemos.

9/26/18 6:10 PM

ATUALIDADES EM FOCO

ECA x Realidade

©MAURICIO DE SOUSA EDITORA LTDA

9/26/18 6:10 PM

A realidade brasileira mostra muita coisa diferente do que está descrito e garantido no ECA: • há aproximadamente 3,7 milhões de crianças órfãs de pai ou de mãe no Brasil e que estão nas filas de adoção, podendo ser adotadas ou não. • em 2016, 1,8 milhão de crianças e adolescentes estavam expostos há algum tipo de situação de trabalho infantil, extinguindo, na maioria das vezes, o direito básico à infância, ao lazer e a uma educação de qualidade. • aproximadamente 2,5 milhões de crianças e adolescentes estão fora da escola. • a mortalidade infantil é de aproximadamente 14 mortos para cada mil nascidos vivos, um número bem distante do ideal. Todos esses números estão dentro de um universo de aproximadamente 40 milhões de crianças e adolescentes brasileiros na faixa etária de 5 a 17 anos. Mas é preciso, além de pesquisar informações acerca da realidade atual das crianças e adolescentes brasileiros, observar o cenário como um todo, percebendo, por exemplo, o tempo histórico, a região etc. Apesar de a mortalidade infantil ter diminuído nas últimas décadas, esse número não é igual para todas as regiões do Brasil; por exemplo, na região Sul esse número é de 9,4 mortos para cada mil nascidos vivos, enquanto na região Norte esse número sobe para 18,1. Informações obtidas em: INSTITUTO BENEFICENTE VIVA A VIDA. ONU mostra que Brasil tem 3,7 milhões de órfãos. Disponível em: <http://www. ibvivavida.org.br/index.php?option=com_content&view=article&id=2982:not3160&catid=34:noticias&Itemid=54>. SILVEIRA, D. Trabalho infantil... G1. Disponível em: <https://g1.globo.com/economia/noticia/trabalho-infantilquase-1-milhao-de-menores-trabalham-em-situacao-ilegal-no-brasil-aponta-ibge.ghtml>. SARAIVA, A; SALES, R; ROSAS, R. Mortalidade infantil é a menor em 11 anos... Valor Econômico. Disponível em: <http://www.valor.com.br/brasil/4794309/mortalidadeinfantil-e-menor-em-11-anos-aponta-ibge>. BRASIL POSSUI quase 25 milhões... G1. Disponível em: <https://g1.globo.com/educacao/noticia/brasil-possuiquase-25-milhoes-de-criancas-e-adolescentes-fora-da-escola-diz-estudo.ghtml>. Acessos em: 11 maio 2018.

De acordo com as informações e reflexões acerca dos direitos e deveres das crianças e dos adolescentes e o cenário brasileiro, responda às questões abaixo.

• Após a leitura, faça uma reflexão sobre suas respostas às questões anteriores. Houve alguma mudança?

b) A quantidade de crianças e adolescentes expostos a algum tipo de trabalho infantil.

2. E quanto aos seus deveres, você tem clareza de quais são eles? Tem praticado ou cumprido seus deveres? Você acha que poderia melhorar em algum ponto? Qual?

• Além das pessoas, o que mais deveríamos respeitar? • Além do respeito, quais devem ser os demais deveres das pessoas? Leia ao lado outro trecho da HQ de Mauricio de Sousa.

a) A quantidade total de crianças e adolescentes brasileiros e a quantidade de órfãos.

Responda às questões no caderno.

1. Pensando nos direitos descritos no ECA, você acredita que seus direitos são respeitados? Por quê?

• Você sabe o significado da palavra respeito? Como você a representa no dia a dia?

©MAURICIO DE SOUSA EDITORA LTDA

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c) A mortalidade infantil. d) Crianças e adolescentes fora da escola.

4. Será que todas as crianças e adolescentes da escola e de seu bairro conhecem o ECA? Elabore uma campanha, um material de divulgação ou uma atividade para divulgar os direitos e deveres da criança e do adolescente.

3. Observe as informações do texto para retratar a realidade brasileira. O que você conclui sobre os temas a seguir? Utilize dados numéricos para justificar sua resposta.

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RETOMANDO O QUE APRENDEU

MAREANDMARE/ SHUTTERSTOCK.COM

1. Represente de três formas diferentes a quantidade de frutas da foto a seguir.

2. Escreva a data de seu nascimento usando algarismos egípcios, babilônicos e romanos. 3. Abaixo, temos três números representados em símbolos egípcios, babilônicos e romanos, respectivamente. Escreva-os em ordem crescente.

• • MMMCCCX X X

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

•

4. Quantos algarismos são necessários para formar cada número a seguir? Quais são eles? a) 7 504 c) 5 555 555 b) 1 000 d) 174 100 5. Escreva três números consecutivos, todos formados por: a) 1 algarismo. c) 3 algarismos. b) 2 algarismos. d) 4 algarismos. 6. Decomponha o número 36 344 052 e escreva-o por extenso.

8. Escreva por extenso os dois números obtidos no item c da atividade anterior.

9. Observe a reta numérica. Nela, 3 números estão representados por símbolos. Compare esses números usando os símbolos . (maior), , (menor) ou = (igual). 101

104

Esta seção visa sistematizar os temas trabalhados por meio de atividades de todos os conteúdos estudados na Unidade.

106

d) 102

? ?

108

10. (OBM) João escreveu numa folha de papel todos os números com menos de 4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 e depois somou todos eles. O valor obtido foi: a) 2 314 c) 1 401 e) 1 716 b) 3 000 d) 2 316

11. Os números são utilizados para contar, medir, ordenar ou como código. Escreva a função dos números nas situações abaixo. a) Idade do meu avô. b) Senha bancária. c) Quantidade de alunos do 6o ano. d) Colocação de pilotos em provas de Fórmula 1.

12. Imagine que a tecla do número 0 de sua calculadora esteja quebrada. Como você faria para registrar no visor o número: a) 0 c) 90 b) 20 d) 100

respostas UNIDADE 1

Sistemas de numeração Pense e responda p. 14 1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal.

9/26/18 5:59 PM

Respostas

No final do livro estão todas as respostas das atividades propostas.

Pense e responda p. 22 1. A ponta de seta representa que a reta numérica continua e que nela podemos representar infinitos números. 2. Na reta numérica há alguns padrões, como a sequência dos números naturais na ordem crescente, a distância entre os números ser sempre a mesma e a representação de infinitos números. b) Cinco; 5.

2. a) 302 b) 1

c) 100 000 d) 19 900

3. a) 3 b) 5

c) 8 d) 1

4. a) 887 b) 99

c) 0 d) 11 999

5. Todo número natural tem sucessor e antecessor, com exceção do zero, que não tem antecessor. 6. a) 1 001 b) 20 010

U 7

Sete. UM

3. a) 5

c) 2

e) 4

g) 2

b) 2

d) 4

f) 1

h) 1

b) 1

c) 8

d) 1

4. a) 11

5. 6 6. Rússia. 7. Sugestão de resposta:

Quantidade

Uruguai

Itália

Alemanha

Brasil

Inglaterra

Argentina

França

Espanha

1 Fonte: FIFA.

8. Respostas pessoais. 9. Respostas pessoais.

c) 4 002 d) 6 006

7. a) 640 b) 1 328 c) 19 556 8. a) 1 005 b) 9 011 c) 20 223

b) 5; 70.

1. a) Maior.

c) 50; 7.

2. a) Trocar o 6 com o @; 7 650 b) Trocar o 6 com o 5; 7 065

Por toda parte p. 29 1. a) 6

CM 0

U 5

DM 0

Tecnologias p. 30 1. Respostas pessoais. 2. Resposta pessoal. 3. Respostas pessoais. 4. Resposta pessoal. 5. Subtrair 300 000. c) Adicionar 100. 6. a) Adicionar 1. d) Subtrair 60 000. b) Adicionar 10. 7. Resposta pessoal. 8. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. d) 444 444 444 9. a) 111 111 111 e) 555 555 555 b) 222 222 222 c) 333 333 333 10. a) 12 345 679 x 54; 12 345 679 x 63; 12 345 679 x 72; 12 345 679 x 81. Retomando o que aprendeu p. 32

Atividades p. 28 1. 257; 275; 527; 572; 725 e 752. a) 752 b) 257 2. a) Cento e cinquenta e sete. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal. 4. 8 000 543 = 8 000 000 + 500 + 40 + 3; oito milhões, quinhentos e quarenta e três. 5. Alternativa e. 6. a) 99 b) Acima: 51, 43 e 35; abaixo: 67, 75 e 83. c) Na coluna que vemos mais à esquerda, em que estão os números 1, 9, 17, ... d) 217 e 218. e) 8; resposta pessoal.

U milhão

3 220: três mil, duzentos e vinte.

Quantidade de vezes que cada seleção foi campeã Seleção

6 515: seis mil, quinhentos e quinze.

2. Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal.

Pense e responda p. 26

Atividades p. 23 1. a) São iguais.

Tratamento da informação p. 24 1. Os anos de cada edição da Copa, os países que sediaram a competição e os respectivos campeões. 2. FIFA.

Atividades p. 18 1. a) 351 b) 1 135 c) 1 201 2. a 2; b 1; c 3. 3. a) XXII b) VIIICCCXX c) CDXX 4. a) Dois mil e cem. b) Trinta milhões e duzentos. c) Trezentos e trinta e três. d) Cento e oitenta. 5. a) 12h03 b) 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. c) X 6. a)

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Retomando o que aprendeu

7. Escreva o antecessor e o sucessor dos números abaixo: a) 568 c) 2 850 392 b) 43 859 d) 999 999 231

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Responda às questões no caderno e aproveite para assinalar as questões nas quais você encontrou dificuldade. Essa informação será útil para guiá-lo na revisão do conteúdo.

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U milhão

6 milhões: seis milhões.

3 870 000: três milhões, oitocentos e setenta mil.

. Existem outras possibilidades de 1. Sete; 7; resposta. 2. Resposta pessoal. 3. MMMCCCXXX 4. a) 4 algarismos; 7, 5, 0 e 4. b) 4 algarismos; 1 e 0. c) 7 algarismos; 5. d) 6 algarismos; 1, 7, 4, 1 e 0. 5. Respostas pessoais. 6. 36 344 052 = 30 000 000 + 6 000 000 + 300 000 + 40 000 + 4 000 + 50 + 2; trinta e seis milhões, trezentos e quarenta e quatro mil e cinquenta e dois. 7. a) 567; 569. b) 43 858; 43 860. c) 2 850 391; 2 850 393. d) 999 999 230; 999 999 232. 8. Dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e um; dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e três. c) , e) , 9. a) , d) = b) .

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sumário

Unidade 1

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO...................... 12 1. Uma história muito antiga ......................14 Sistemas de numeração............................... 15 Atividades................................................. 18 2. E o nosso sistema de numeração? ...........19 A história continua... ................................... 19 Atividades .................................................... 23 Tratamento da informação • Organização, leitura e interpretação de tabelas .................24 Atividades .................................................... 28 Por toda parte • A Bacia Amazônica......... 29 Tecnologias • Calculadora .............................30 Retomando o que aprendeu ....................... 32

Unidade 2

CÁLCULOS COM NÚMEROS NATURAIS..... 34 1. Adição .......................................................36 Propriedades da adição ................................. 37 Atividades ................................................. 39 2. Subtração .................................................40 Atividades .................................................42 Relação fundamental da subtração .............. 43 Algumas teclas da calculadora ...................... 43 Atividades.................................................44 Tratamento da informação • Da tabela para o gráfico de barras: leitura e interpretação.................................................. 46

5. Potenciação .............................................. 59 O quadrado de um número .......................... 61 O cubo de um número ................................. 61 Observações importantes ............................62 Usando a calculadora ..................................62 Atividades.................................................63 Por toda parte • Distribuição da população indígena .....................................64 Educação financeira • Querer é uma coisa, precisar é outra ........................................... 65 6. Expressões numéricas ..............................66 O uso dos parênteses .................................. 67 Expressões numéricas com adição, subtração e multiplicação ............................ 67 Expressões numéricas com adição, subtração, multiplicação e divisão ................68 Resolvendo expressões numéricas com todas as operações .............................. 69 Utilizando a calculadora para resolver expressões numéricas ..................... 69 Atividades................................................. 70 Retomando o que aprendeu ....................... 71 Atualidades em foco • O Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA) .................. 74

CE SCIEN

ENA

TOAR

CE/FO

SOUR

3. Multiplicação ............................................48 O algoritmo da multiplicação ........................ 50 Atividades ................................................. 51 Propriedades da multiplicação ...................... 52 Atividades ................................................. 53 4. Divisão ......................................................54 Atividades .................................................56 Relação fundamental da divisão .................. 57 Atividades ................................................. 57 Propriedades da divisão ................................ 58 Atividades .................................................58

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Unidade 3

FIGURAS GEOMÉTRICAS ......................... 76 1. Ponto, reta e plano .................................. 78 2. A reta ........................................................80 Posições relativas de duas retas em um plano...............................................80 Atividades .................................................... 82 Semirreta ....................................................83 Segmento de reta .......................................84 Atividades .................................................... 85 Medida de um segmento e segmentos congruentes ...............................86 Atividades .................................................... 88 3. Figuras geométricas .................................89 Atividades .................................................... 90 4. Sólidos geométricos ................................ 91 Atividades .................................................... 91 Primas e pirâmides ...................................... 92 Atividades .................................................... 94 Tratamento da informação • Estimativas e projeções .................................................96 Retomando o que aprendeu ......................98

Unidade 4

MÚLTIPLOS E DIVISORES ........................ 100 1. Noção de divisibilidade .........................102 Encontrando o resto com a calculadora .....104 Atividades .................................................. 105 2. Critérios de divisibilidade ....................106 Divisibilidade por 2....................................106 Divisibilidade por 3....................................107 Divisibilidade por 6....................................108 Divisibilidade por 4....................................108 Divisibilidade por 8....................................109 Divisibilidade por 9....................................109 Divisibilidade por 5.................................... 110 Divisibilidade por 10 .................................. 110 Divisibilidade por 100 ................................ 110 Divisibilidade por 1 000 ............................. 110 Atividades ...................................................111 3. Divisores e múltiplos de um número natural ................................ 112 Múltiplos de um número natural ............... 113 Atividades............................................... 114 Tratamento da informação • Gráfico pictórico: leitura e interpretação ................ 116

4. Números primos .................................... 118 Como reconhecer números primos? .......... 118 Atividades...............................................120 Decomposição em fatores primos .............122 Atividades...............................................124 Por toda parte • Plantas em extinção .......125 Tecnologias • Utilizando planilha eletrônica para auxiliar na divisibilidade .....................126 Retomando o que aprendeu .....................128

Unidade 5

A FORMA FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS RACIONAIS .................. 130

1. A ideia de fração....................................132 A ideia de fração como parte de um todo....................................................133 A ideia de fração como resultado da divisão de dois números naturais...............135 Atividades...............................................136 2. Problemas envolvendo frações .............137 Atividades...............................................138 3. Comparando frações ..............................139 Atividades............................................... 141 4. Obtendo frações equivalentes ..............142 Uma propriedade importante ....................143 Simplificação de frações: frações irredutíveis ....................................143 Atividades...............................................144 Reduzindo duas frações ao mesmo denominador ................................146 Atividades...............................................148 5. Adição e subtração de frações .............149 Atividades...............................................153 6. A forma mista ........................................157 Atividades...............................................159 Por toda parte • Receitas típicas brasileiras ..................................................160 7. As frações e a porcentagem .................161 Atividades ..............................................163 8. Probabilidade .........................................164 Atividades...............................................165 Tratamento da informação • Tabela de dupla entrada e gráfico de barras duplas .......................................................166 Retomando o que aprendeu .....................168

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Unidade 6

A FORMA DECIMAL DOS NÚMEROS RACIONAIS .......................... 170

1. Representação decimal ........................... 172 Unidade decimal .......................................... 172 Números racionais na forma decimal ......... 173 Da forma decimal para a fracionária .......... 175 A reta numérica ........................................... 176 Atividades .................................................. 177 2. Adição e subtração com números na forma decimal .................... 178 Atividades .................................................. 179 3. Multiplicação com números na forma decimal ..................................... 180 Multiplicando um número natural por um número na forma decimal .............180 Multiplicando com números na forma decimal ......................................... 181 Atividades .................................................. 182 Potenciação de números na forma decimal .............................................. 183 Atividades .................................................. 183 Educação financeira • Moeda também é dinheiro ..................................................... 184 4. Divisão com números na forma decimal ........................................... 185 Dividindo por um número natural, diferente de zero .......................................... 185 Dividindo por um número na forma decimal .............................................. 187 A divisão não exata: um quociente aproximado ......................... 188 Atividades .................................................. 189 5. Os números na forma decimal e o cálculo de porcentagens .................. 190 Atividades .................................................. 191 Tratamento da informação • Probabilidade ............................................192

Unidade 7

ÂNGULOS E POLÍGONOS ........................200 1. Giro, abertura e inclinação..................... 202 2. O ângulo..................................................... 203 Medida de um ângulo.................................204 Usando o transferidor .................................. 205 Atividades ..................................................206 3. Construção de retas paralelas e perpendiculares .....................................208 Retas paralelas .............................................208 Retas perpendiculares .................................. 210 4. Polígonos ................................................... 211 Identificando polígonos............................... 212 Polígonos regulares ...................................... 214 Atividades .................................................. 215 Tratamento da informação • Biomas brasileiros ..................................................... 216 5. Triângulos e quadriláteros ..................... 218 O triângulo e seus elementos ..................... 218 Classificação dos triângulos quanto aos lados ......................................... 218 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos ..................................... 219 Atividades .................................................. 220 Os quadriláteros e seus elementos ............. 221 Paralelogramos ............................................ 221 Trapézios ...................................................... 222 Atividades .................................................. 223 6. Construção e ampliação de figuras planas .........................................................224 O plano cartesiano....................................... 224 Construindo polígonos no plano cartesiano..................................................... 227 Atividades .................................................. 229 Tecnologias • Construção e ampliação de polígonos com o GeoGebra .................. 230 Retomando o que aprendeu ...................... 232

Tecnologias • Tipos de calculadora ............... 194 Retomando o que aprendeu ...................... 196 Atualidades em foco • Hábitos alimentares no Brasil .................................... 198

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Unidade 8

Unidade 9

1. Unidades de medida de comprimento ............................................. 236 Diferentes povos – medidas diferentes ....... 236 Uma nova unidade de medida de comprimento................................................ 237 O metro linear ............................................. 238 Atividades ..................................................240 Por toda parte • Transporte coletivo ....... 241

1. Unidades de medida de massa ............. 260 Unidades de medida de massa ................... 260 Atividades .................................................. 262 A balança de dois pratos ............................. 263 Atividades .................................................. 264

COMPRIMENTO E ÁREA .........................234

2. Perímetro de um polígono ....................242 Atividades ..................................................243 3. Unidades de medida de superfície.......244 O metro quadrado.......................................244 As medidas agrárias .....................................246 Atividades .................................................. 247 4. Áreas das figuras geométricas planas .....248 Área do retângulo .......................................248 Área do quadrado ....................................... 249 Área do triângulo retângulo ....................... 251 Atividades .................................................. 252 Tratamento da informação • Gráfico de segmentos .................................................... 254

MASSA, VOLUME E CAPACIDADE .........258

2. Medindo o espaço ocupado .................. 265 Volume ......................................................... 265 Volume do bloco retangular e do cubo..................................................... 267 Atividades .................................................. 268 3. Unidades de medida de capacidade ........................................... 269 Atividades .................................................. 270 Por toda parte • Informação nutricional .... 271 Tratamento da informação • Fazendo uma pesquisa ............................................... 272 Retomando o que aprendeu ...................... 274 Atualidades em foco • Educação no trânsito.................................................... 276

Retomando o que aprendeu ...................... 256

Respostas .................................................................................................... 278 Referências bibliográficas .......................................................................287

HANNA KUPREVICH/SHUTTERSTOCK.COM, TYLER OLSON/SHUTTERSTOCK.COM, DUSAN PETKOVIC/SHUTTERSTOCK.COM, UFABIZPHOTO/SHUTTERSTOCK.COM

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HABILIDADES

p. XVI e XVIII

Números • EF06MA01 • EF06MA02 Probabilidade e estatística • EF06MA31 • EF06MA32

Indígena Guarani de Aracruz no Espírito Santo, 2014.

Agora pense e responda no caderno: • Você identifica algum padrão em cada representação ilustrada? Será que existe uma regra em cada uma dessas representações?

O Sistema de Numeração Guarani utiliza os gestos da mão para contar.

• Você conhece algum outro sistema de numeração? Qual? • Como será que os números foram criados? Respostas pessoais. Informações obtidas em: SILVA, S. F. da. Sistema de Numeração dos Guarani: caminhos para a prática pedagógica. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/96063/ PECT0139-D.pdf?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 17 mar. 2018.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Abertura de Unidade Para iniciar o trabalho desta Unidade é interessante motivar os alunos a observar atentamente as imagens apresentadas e levantar hipóteses sobre o assunto que será abordado. Uma sugestão é explorar as perguntas da abertura em duplas ou coletivamente para que os alunos possam socia-

Sistema de Numeração Guarani

RENATO SOARES /PULSAR IMAGENS

O Sistema de Numeração Guarani faz relação No dia a dia, lidamos o tempo entre a quantidade e o tamanho dos dedos; todo com os números. Dificilmente para a construção dos você passará um dia sem utilizá-los. números maiores que 5, Para isso, usamos os algarismos do os nomes são construíSistema de Numeração Indo-arábico. dos por meio da lógica Os números fazem parte do da justaposição aditiva de quantidades. cotidiano das pessoas há milênios, O padrão utilizado mas nem todos os sistemas de na representação do numeração são como o que usamos Sistema de Numeração no dia a dia. Egípcio poderá ser Selecionamos três diferentes encontrado no livro do aluno, página 15. sistemas de numeração (guarani, O Sistema de Numeração egípcio e chinês) para que você Chinês tem o seguinte possa perceber isso. padrão: existem treze sinais fundamentais, e as dezenas, as centenas, os milhares etc. são expressos de acordo com o princípio multiplicativo; por exemplo, para representar o valor 30, os chineses escrevem lado a lado o símbolo do 3 e o do 10, que resultará em 3 x 10 = 30.

Por exemplo, para representar o dois nesse sistema, levantam-se os dedos polegar e mindinho.

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

K.COM UTTERSTOC

GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

/SH ART PAINTER

COMPETÊNCIAS

1 – Petei 2 – Mokoi 3 – Bohapy 4 – Irundy 5 – Po 6 – Pote 7 – Pokoi 8 – Pohapy 9 – Porundy 10 – Pa 11 – Patei 12 – Pakoi 13 – Pahapy

Espera-se que o aluno se lembre do sistema de numeração decimal. Outros alunos também podem se recordar do Sistema de Numeração Romano.

D3-MAT-F2-2051-V6-U01-012-033-LA-G20.indd 12 lizar suas observações. Dessa forma, será possível coletar dados sobre os conhecimentos prévios da turma acerca dos diferentes continentes existentes no mundo e da possível diversidade de sistemas de numeração. Uma curiosa explora-

ção poderá ser feita por meio da análise de cada sistema de numeração apresentado. Espera-se que os alunos compreendam que existiram várias civilizações que construíram seu próprio sistema de numeração, que os números

têm importância fundamental para a sustentação da sociedade e que percebam que cada sistema de numeração tem características próprias. Dessa forma é importante que o aluno reconheça as semelhanças e diferenças entre os sistemas.

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Sistema de Numeração Chinês DEA EDITORE/AGB PHOTO LIBRARY/KEYSTONE DO BRASIL

CSP_ELEANER/ FOTOSEARCH/AGB PHOTO LIBRARY/ KEYSTONE DO BRASIL

Sistema de Numeração Egípcio

sentado pelo dedo de menor comprimento, e assim sucessivamente; a construção dos números maiores que 5, cujos nomes são construídos por meio da lógica da justaposição aditiva de quantidades. Por exemplo, o 7 (POKOI), é igual a 5 + 2 ou PO (5) + MOKOI (2) _ MO = POKOI, e essa lógica é seguida nos demais casos. Elaborar um painel com as informações coletadas que poderá ser consultado no decorrer da Unidade, alterado ou complementado com novas descobertas. Para finalizar, conversar com os alunos sobre a importância de se conhecer o padrão utilizado, as consequências da inexistência de um padrão e ainda as diferentes situações em que os números são utilizados. É interessante incentivar os alunos a socializar as respostas com os colegas, chamando-os para identificar cada imagem/ informação com a função do número utilizada.

Templo de Karnak. Egito, 2011.

NO DIGITAL – 1˙ bimestre

• Ver o plano de desenvolvimen-

Escrita chinesa em ossos.

to para as Unidades 1, 2 e 3.

100

1 000 10 000

Veja ao lado a representação dos números 11 e 12.

100 000

1 000 000

100 1 000 10 000

dor sobre doação de órgãos.

• Explorar as sequências didáticas

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

O Sistema de Numeração Chinês usa ideogramas.

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

Observe os símbolos do Sistema de Numeração Egípcio.

• Desenvolver o projeto integrado bimestre, que trabalham as habilidades EF06MA01, EF06MA02, EF06MA03 e EF06MA17. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

Veja abaixo a representação do número 234. 11

Nesta Unidade, o aluno também descobrirá como o ser humano aprendeu a contar. Para isso, estudará os Sistemas de Numeração Egípcio, Chinês, Babilônico e um sistema usado até hoje: o Romano. Além disso, reconhecerá que o sistema de numeração

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que prevaleceu foi o Sistema de Numeração Decimal. Os exemplos de sistemas de numeração selecionados para compor a abertura desta Unidade permitem a observação de certa regularidade ou padrão. A primeira questão da página anterior busca incenti-

9/26/18 4:00 PM var os alunos a tentar identificar cada um desses padrões. Por exemplo, as representações coletadas entre os povos guaranis mostram duas interessantes situações: a relação que fazem entre a quantidade e o tamanho dos dedos, em que o menor número é repre-

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda O objetivo dessa seção é incentivar o aluno a refletir sobre os números e as diversas maneiras com que os utilizamos. Provavelmente, ele já possui um conhecimento prévio sobre o assunto e utiliza os números em seu cotidiano para contar, ordenar, codificar e medir, como usar o número para codificar o telefone, medir sua altura, contar sua idade, ordenar seu lugar na fila etc. Propor que os alunos reflitam sobre onde eles utilizam os números no cotidiano, desde a hora que acordam até a hora de dormir. Em seguida, selecionar alguns exemplos e discutir com a turma sobre a função do número para cada um dos exemplos: contagem,

CAPÍTULO

UMA HISTÓRIA MUITO ANTIGA

Os números fazem parte da vida das pessoas. Eles estão presentes em casa, no trabalho, no lazer, no supermercado, na feira, na escola, entre outros. E a gente, muitas vezes, nem se dá conta disso. O interessante é que os números são usados com várias finalidades: contar, ordenar, medir ou codificar.

p e n s e e r e s p o nd a

1. Como os números estão presentes na nossa vida? Converse com um colega sobre o assunto.

2. Faça no caderno um quadro com pelo menos 10 situações do cotidiano em que você utiliza números.

3. Em seguida, discuta com seu colega qual a função do número nas situações que vocês listaram. Respostas pessoais.

Mas nem sempre foi assim. Há muito, muito tempo, para saber quantas ovelhas tinha, um pastor separava uma pedrinha para cada ovelha quando as soltava para pastar. Ao recolher o rebanho, retirava uma pedrinha daquelas que havia separado para cada ovelha que encontrava. Cada pedrinha retirada correspondia a uma ovelha. E foi assim, comparando quantidades, que o ser humano aprendeu a contar. De um lado, temos a quantidade de pedrinhas; do outro, a quantidade de ovelhas. Surgiu daí uma ideia comum aos dois grupos que ele comparava: o número. As pessoas também costumavam registrar quantidades fazendo, por exemplo, nós em cordas, marcas em pedaços de madeira ou ossos. Cada nó e cada marquinha na madeira ou no osso correspondiam a um elemento da quantidade que se queria contar. Infelizmente, poucos desses registros existem hoje.

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

Uma história muito antiga Pedir aos alunos que imaginem um mundo onde os números não existam como os conhecemos hoje. Propor que descrevam situações em que é necessário utilizar números para diferentes finalidades, mas eles devem fazer isso sem utilizar os símbolos que estamos acostumados. Observar o envolvimento dos alunos, motivando-os a compartilhar a opinião com os colegas. Em seguida, solicitar que observem apenas as ilustrações apresentadas nesta página e falem sobre o que tratam. É possível que alguns alunos relacionem as ilustrações com as primeiras ações do homem para registrar e controlar quantidades. Ajudá-los a identificar uma relação entre a quantidade contada e o registro da contagem. Comentar ainda que existem poucas fontes de estudo sobre a história dos números, portanto não seria possível apontar um ponto de partida com um local e uma civilização responsável pelo surgimento dos registros numéricos. Sendo assim, as informações que temos atualmente são reflexo de muitos anos de pesquisa.

D3-MAT-F2-2051-V6-U01-012-033-LA-G20.indd 14 medida, código e ordem. Mostrar que um mesmo número pode ser utilizado para diferentes funções, por exemplo, 3 anos, 3o lugar, 3 metros e apartamento número 3. Organizá-los em duplas para a realização das questões propostas e, quando necessário, fazer intervenções.

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Em seguida, explorar com eles as regras do Sistema de Numeração Egípcio nos exemplos dos números apresentados na página. Reforçar que, nesse sistema de numeração, a ordem dos símbolos não modifica o número escrito:

Sistemas de numeração

ANTÁRTIDA

Fonte: ATLAS Histórico: Geral e Brasil. São Paulo: Scipione, 2011. p. 32-34, 38, 43, 47, 52.

O Sistema de Numeração Egípcio Os egípcios criaram um dos primeiros sistemas de numeração de que se tem notícia. Veja os símbolos que eles utilizavam para representar quantidades: Dez

Cem

Mil

Dez mil

Cem mil

Um milhão

Haste vertical

Osso de calcanhar

Corda enrolada

Flor de lótus

Dedo indicador

Ave, peixe ou girino

Homem ajoelhado com braços erguidos

Verificar se os alunos percebem a ausência de um símbolo para representar o zero no Sistema de Numeração Egípcio.

AMPLIANDO

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ou +

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

40 + 9

RENATO BASSANI

Meridiano de Greenwich

Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras que nos permite escrever e ler qualquer número de determinado conjunto. A história da humanidade Algumas das antigas civilizações nos mostra a existência de 120° O 60° O 0° 60° L 120° L 180° 180° muitos sistemas de numeração, babilônios romanos Círculo Polar Ártico de 3500 a.C. de 750 a.C. a 500 a.C. criados por vários povos: egípa 500 d.C. chineses cios, babilônios, chineses, maias, OCEANO a partir de ATLÂNTICO Trópico de Câncer 2200 a.C. romanos, hindus, entre outros. gregos OCEANO OCEANO de 1100 a.C. PACÍFICO PACÍFICO maias Essas antigas civilizações Equador a 400 d.C. hindus 0° de 100 d.C. de 2000 a.C. a 600 d.C. viveram há muitos, muitos anos. a 700 d.C. Trópico de Capricórnio egípcios OCEANO Veja, no mapa ao lado, a localide 4000 a.C. ÍNDICO a 700 a.C. zação de algumas civilizações e o período de maior desenvolvi0 3 900 Círculo Polar Antártico mento delas.

Com eles, era possível escrever números utilizando as seguintes regras: • Cada símbolo podia ser repetido no máximo nove vezes.

Link Caso tenha disponibilidade, assistir com os alunos ao vídeo sobre a história do número 1, que também narra a história de alguns dos principais sistemas de numeração. O vídeo está disponível no link a seguir: <http://livro.pro/airtox>. Acesso em: 24 abr. 2018.

• A cada dez símbolos repetidos fazia-se a troca por outro, de um agrupamento superior. • Adicionavam-se os valores dos símbolos utilizados para encontrar o valor representado. Assim:

40 + 9

2 000 + 20

100 + 20 + 7

• A posição dos símbolos não altera o número escrito. Por exemplo, o número 13 pode ser escrito, entre outras maneiras, das seguintes formas: ou

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Sistemas de numeração Após a leitura do texto, comparar os sistemas de numeração mostrados no livro com as ideias apresentadas pelos alunos com base na observação das ilustrações da página 14.

É interessante fazer questionamentos como: “O que pode ter acontecido para se chegar ao sistema de numeração utilizado atualmente? Será que ele sempre foi assim?”. Depois da problematização, apresentar o mapa com a localização de algumas antigas civilizações e perguntar o

9/27/18 1:52 PM que sabem sobre esses povos. É interessante registrar as falas dos alunos na lousa. Caso os alunos tenham dificuldade com a nomenclatura a.C. e d.C., explicar que essas siglas querem dizer “antes de Cristo” e “depois de Cristo”, respectivamente.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Vemos que, nesse sistema, um mesmo sinal pode ser usado para indicar quantidades diferentes, e dessa maneira os antigos babilônios representavam qualquer número usando apenas dois sinais. Como isso é possível? Esse sistema de numeração é posicional – cada algarismo vale não pelo valor absoluto, mas pela “posição” que ocupa na escrita de um número, ou seja, pelo seu valor relativo. Podemos constatar que o número 60 era representado pelo mesmo sinal usado para simbolizar o número 1. ROQUE, T. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012, p. 49-50.

Comentar com eles que o sistema que usamos para realizar a contagem das horas também é feito em agrupamentos de 60, como no Sistema de Numeração Babilônico.

AMPLIANDO Atividade complementar Após a exploração dos sistemas de numeração, pedir aos alunos que escolham três números. Depois, dividir a sala em três grupos e fazer na lousa um quadro com espaço suficiente para os alunos escreverem os números escolhidos pela turma nos quatro

O Sistema de Numeração Babilônico Em escavações arqueológicas na região da Mesopotâmia foram encontrados blocos de argila com inscrições que se assemelhavam a cunhas. Assim, a escrita desse povo recebeu o nome de cuneiforme. Os babilônios usavam dois símbolos para registrar quantidades: Cravo

Asna

O “cravo” podia ser utilizado até nove vezes, representando os números de 1 a 9.

O número 10 era representado pelo símbolo “asna”.

Exemplos: Um

Três

Cinco

Seis

Nove

Dez

O Sistema de Numeração Babilônico não possuía um símbolo para representar o zero. Nesse sistema era usado um espaço entre os símbolos para diferenciar o tipo de agrupamento, e o símbolo usado para representar o 1 era o mesmo do 60. A contagem era feita em agrupamentos de 10 e também de 60; assim, temos: 36

1 x 60 + 1 30

6 = 36

1 x 60 + 10 + 1

+ 1 = 61

+ 10 + 1 = 71

O Sistema de Numeração Romano O sistema de numeração que os romanos criaram era baseado em sete símbolos. I

100

500

1 000

Apesar de hoje usarmos as letras do alfabeto latino para esses símbolos, a sua forma inicial não teve origem nesse alfabeto. O cinco, por exemplo, indicava os 5 dedos da mão e era representado assim: Com o tempo, o símbolo foi simplificado: Veja a seguir as mudanças que ocorreram com o símbolo do número 1 000:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Os Sistemas de Numeração Babilônico e Romano Após a apresentação dos símbolos usados nos Sistemas de Numeração Egípcio, Babilônico e Romano, discutir com os alunos as principais características de cada um: qual a base, se existe valor posicional e se há símbolo para representar o zero. Se achar conveniente, apresentar o trecho a seguir sobre o Sistema de Numeração Babilônico.

D3-MAT-F2-2051-V6-U01-012-033-LA-G20.indd 16 sistemas de numeração (Decimal, Egípcio, Babilônico e Romano), de modo que cada registro deve ser feito por um membro diferente do grupo. Após o preenchimento, disponibilizar um momento para que os alunos comparem as respostas e discutam possíveis

diferenças entre os registros. Esse momento deve trazer, principalmente, a questão sobre o sistema ser ou não posicional, uma vez que os sistemas que não possuem essa característica podem ter um mesmo número escrito de mais de uma maneira.

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As regras do Sistema de Numeração Romano O Sistema de Numeração Romano apresenta as seguintes regras: • Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, no máximo, três vezes. I

III

XXX

CCC

100

1 000

200 300

2 000

MMM

3 000

• Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor indica uma subtração dos respectivos valores. IV

5_1=4

50 _ 10 = 40

500 _ 100 = 400

10 _ 1 = 9

100 _ 10 = 90

1 000 _ 100 = 900

• Os símbolos V, L e D não podem ser subtraídos de nenhum outro. • Para representar os números no Sistema de Numeração Romano, basta colocar os símbolos lado a lado e adicionar seus valores. VI

5+1=6

10 + 1 = 11

CCLIV

200 + 50 + 4 = 254

MDCCCXXIII

1 000 + 800 + 20 + 3 = 1 823

• Um símbolo com um traço acima dele representa milhares; com dois traços representa milhões. V

5 000

VIDCCXX XX

6 720

20 000 000

DESCUBRA MAIS

A jaçanã (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli Neto. Editora FTD, 1997. Três meninos e duas meninas precisam resolver um grande desafio: manter a paz entre os povos. Uma aventura que precisa de sua ajuda para a história acabar bem.

45 000 007

OTO LIBRA

GB PH

R/A KE

RO EB

Medalha entregue aos ganhadores do Prêmio Nobel. Nela estão indicados em símbolos romanos os anos de nascimento (1833) e de óbito (1896) de Alfred Nobel, idealizador do prêmio.

K RY/

No Sistema de Numeração Romano não há um símbolo para representar o zero.

Nós • Os alunos podem não saber a definição formal do termo “jurídico”, por isso é importante aceitar diferentes respostas que sigam na direção da legalidade e do direito, por exemplo: as regras ou normas da justiça; o que está relacionado com o Direito; relacionado com as normas sociais que buscam expressar ou alcançar um ideal justo; o que limita o que seria ilegal ou obrigatório; o que é legal, segundo as normas e regras impostas pelo Direito; o que se refere às leis, ao que é correto, honesto e justo. • Para essa questão, é possível discutir com a turma que as leis, as normas ou as regras possibilitam uma boa convivência entre as pessoas. Se possível, comentar com eles que as leis não são iguais em todos os países e que elas são instituídas pela sociedade de acordo com os costumes de cada lugar. Descubra mais Com fatos históricos acontecidos no Brasil, em Portugal e na França, este livro explora sistemas de numeração, problemas de contagem e noções de Geometria. Possui, também, um suplemento de trabalho chamado Outros desafios, com atividades que retomam o que foi abordado no livro.

XLVVII

Além do sistema de numeração, muitos aspectos culturais romanos estão presentes nos dias atuais, e um deles é o sistema jurídico. • Você sabe o que significa a palavra “jurídico”? • É importante a existência de leis? Por quê? Resposta pessoal.

• C só pode ser subtraído de D e M.

Legados da civilização romana

ASIL

• X só pode ser subtraído de L e C.

Daquilo que está em conformidade com os princípios do direito.

• l só pode ser subtraído de V e X.

NÓS

Lembre-se:

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

S NIEL

/IM

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Desafio A atividade proporciona várias situações para que os alunos pensem em diferentes possibilidades de registro dos símbolos do Sistema de Numeração Romano. Sugerir a eles que utilizem palitos de fósforo usados para resolverem o desafio. Sugerir que essa atividade seja realizada de maneira lúdica e em duplas, permitindo aos alunos a troca de saberes. Outros desafios também poderão ser apresentados para despertar a criatividade e o senso investigativo dos alunos; outra possibilidade de ampliar a atividade é solicitar que criem outras igualdades com os palitos disponíveis. Resolução do Desafio No item a, os alunos devem trocar os palitos que formam o número IX (9) de tal maneira que formem o número XI (11); assim, a igualdade estará correta: 11 + 2 = 13. No item b, os alunos devem mudar a expressão VI _ I = VI (6 _ 1 = 6) para que formem a expressão correta V + I = VI (5 + 1 = 6). No item c, os alunos devem mudar a expressão XII _ VI = = XVII (12 _ 6 = 17) de tal maneira que formem a expressão XII + V = XVII (12 + 5 = 17), que está correta. E no item d, os alunos devem mudar a expressão X + X = = I (10 + 10 = 1) para que fique XI _ X = I (11 _ 10 = 1).

ATIVIDADES

Resoluções na p. 289

Responda às questões no caderno. Talvez o mais antigo tipo de sistema de numeração a se desenvolver tenha sido aquele chamado sistema de agrupamentos simples. [...] Os hieróglifos egípcios, cujo emprego remonta a cerca do ano 3400 a.C. e usados principalmente para fazer inscrições em pedras, fornecem um exemplo de sistema de agrupamentos simples. EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. 2. ed. Campinas: Ed. Unicamp, 1997. p. 30.

Os números abaixo estão escritos em símbolos egípcios.

3. Represente com símbolos do Sistema de Numeração Romano. a) 22 b) 8 320 c) 420 CDXX XXII VIIICCCXX 4. Escreva o valor de cada um dos Trezentos e números. trinta e três. a) MMC Dois mil e cem. c) CCCXXXIII d) CLXXX b) XXXCC Trinta milhões e duzentos. Cento e oitenta. 5. Você já viu algum relógio como este abaixo? a) Que horas o relógio está marcando? 12h03 b) Quanto valem I, II, III, IV e V? 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. c) Qual é o símbolo romano usado para representar o 10? X Não estranhe se encontrar em alguns relógios o número quatro escrito assim: IIII. Esse era o símbolo usado antes de mudar para IV.

• • Em símbolos atuais, esses números podem ser escritos assim: •

= 2 236

•

= 1 122

Os números seguintes estão escritos em símbolos egípcios. Escreva esses números usando símbolos atuais. a)

351

b) c)

1 135 1 201

ALFOCOME /SHUTTERSTOCK.COM

Atividades Com as atividades propostas, pode-se solicitar que os alunos comparem os Sistemas Numéricos Egípcio, Babilônico e Romano e consolidar o conhecimento sobre as características, semelhanças e diferenças entre os sistemas, estabelecendo conexão com o Sistema de Numeração Decimal. Incentivá-los a ter uma postura ativa para elaborarem e resolverem as questões propostas.

Relógio de bolso.

DESAFIO

6. Aqui estão cinco igualdades falsas. Trocando em cada uma delas a posição de um só palito, elas se tornam verdadeiras em termos de numeração romana. A primeira já está feita. Encontre a solução para as demais. Depois disso, elabore uma atividade para seu colega resolver e, ao final, corrijam as questões elaboradas.

2. Relacione a quantidade representada pelos símbolos egípcios com a quantidade correspondente representada pelos símbolos babilônicos. a 2; b 1; c 3.

= a) b)

= =

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

= =

Caso os alunos apresentem dificuldade, pedir que escrevam as sentenças propostas no Sistema de Numeração Decimal, para que vejam onde está o erro e, então, ajustem no Sistema de Numeração Romano. D3-MAT-F2-2051-V6-U01-012-033-LA-G20.indd 18

Valorizar as tentativas dos alunos, mesmo aquelas que resultam em falha ou erro.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

E O NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO? A história continua...

O nosso sistema de numeração nasceu em uma região conhecida como vale do rio Indo, atual Paquistão. Usando grupos de dez, os hindus desenvolveram um sistema de numeração que estabelecia a ideia de posição. Nesse sistema, eram usados símbolos diferentes para representar as quantidades de 1 a 9. O símbolo para o zero foi criado pelos hindus no século VI e, inicialmente, era representado por um ponto ou por um pequeno círculo. A partir do século VIII, os árabes passaram a adotar o Sistema de Numeração Hindu, por ser prático e facilitar os cálculos. Quando povoaram o norte da África e parte da Espanha, os árabes ocidentais introduziram os símbolos hindus, que deram origem aos símbolos que conhecemos hoje, os símbolos indo-arábicos, e ao sistema de numeração conhecido como Sistema de Numeração Decimal, utilizado até hoje. A denominação indo-arábico A antiga civilização hindu: território deve-se ao fato de os símbolos e as (cerca de 2500 a.C.) regras que regem esse sistema terem sido criados pelos hindus e aperfeiMar FEDERAÇÃO CAZAQUISTÃO de Aral RUSSA Mar Mar Negro çoados e divulgados pelos árabes. UZBEQUISTÃO Cáspio QUIRGUISTÃO TURCOMENISTÃO Os símbolos indo-arábicos TURQUIA TADJIQUISTÃO CHINA Á S I A também são conhecidos como AFEGANISTÃO IRAQUE IRÃ algarismos. Veja o porquê: o PAQUISTÃO matemático Mohammed ibn Musa do NEPAL In ARÁBIA al-Khwarizmi (780-850), autor do SAUDITA primeiro livro árabe conhecido ÍNDIA Mar da Arábia com explicações detalhadas sobre os cálculos hindus, ganhou tanta ÁFRICA reputação nos países da Europa Vale do rio Indo OCEANO 0 590 Ocidental que o seu nome se tornou ÍNDICO Fronteiras atuais sinônimo dos símbolos inventados Fonte: MILLARD, A. Atlas das civilizações antigas. Lisboa: pelos hindus. Civilização, 1994. p. 16. Assim, a palavra algarismo tem A antiga civilização hindu habitava o vale do rio Indo, origem no nome al-Khwarizmi. onde hoje se localiza o Paquistão. UCRÂNIA

GEÓRGIA

ARMÊNIA AZERBAIJÃO

SÍRIA

LÍBANO

ISRAEL JORDÂNIA

KUWAIT

Trópico de Câncer

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E o nosso sistema de numeração? O texto explora um pouco da história do Sistema de Numeração Indo-arábico, o desenvolvimento dos símbolos (os algarismos) e algumas características, tais como: o Sistema de Numeração Decimal tem um símbolo que representa a ausência de quantidade – o zero (0) – e tem base 10, ou seja, utilizam-se apenas 10 símbolos – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 para escrever qualquer número. Além disso, esse sistema de numeração é posicional; isso quer dizer que a posição do algarismo indica o seu valor numérico. Sugerir aos alunos que façam a leitura em duplas e montem cartazes com as principais ideias do texto. Em seguida, eles podem expor seus cartazes e apresentá-los para os colegas; dessa forma, poderão socializar as diferentes interpretações e os entendimentos sobre o texto. É interessante lembrar que a exploração de mapas e a localização geográfica são importantes recursos e, sempre que possível, devem ser utilizados para apresentar aos alunos as relações entre o conhecimento matemático, o histórico e o geográfico. Explorar com eles os elementos que constituem um mapa: rosa dos ventos, título, legenda, escala, fonte etc. Utilizar os mapas e os demais elementos gráficos presentes ao longo da obra para destacar que o desenvolvimento da Matemática e do conhecimento científico não foi centralizado em um único local e/ou período, mas ocorreu em diversas partes do mundo e em diferentes épocas (Competência Específica de Matemática para o Ensino Fundamental – no 1).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

As transformações dos símbolos indo-arábicos Os algarismos indo-arábicos sofreram várias transformações na sua representação antes de adquirirem, no século XVI, a aparência que conservam até hoje. Século XII Século XIII Século XIV Século XV Por volta de 1542 Atualmente

O zero: uma invenção importante Os primeiros que chegaram à noção de zero foram os babilônios, povo que habitou a Mesopotâmia, atual Iraque, por volta de 2500 a.C. Na América Central, os maias também chegaram à representação do zero e usavam várias formas para representá-lo. Os indianos conheciam a noção de vazio e empregavam a palavra shúnya para representá-lo. Os árabes chamavam o zero de shfr. Já na Europa, levado pelos árabes, ficou conhecido como zephirum, depois zéfiro, zefro e, finalmente, zero. Dos indianos aos árabes, a forma do zero mudou de um ponto para um círculo. Na Europa, o zero encontrou forte resistência. Várias superstições e o medo do desconhecido impediam o seu uso. Além disso, com a popularização do conhecimento do zero e dos outros algarismos indo-arábicos, havia o perigo de que qualquer um pudesse fazer contas, habilidade que, até então, poucos detinham.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

O Sistema de Numeração Indo-arábico representou um avanço importante, contribuindo para o desenvolvimento da humanidade tal qual a conhecemos hoje. Ele faz parte do nosso cotidiano e é impossível imaginar o nosso mundo atual sem ele. O Sistema de Numeração Indo-arábico substituiu o Sistema de Numeração Romano em razão das vantagens que oferece para representação dos números. Uma delas é que o Sistema de Numeração Indo-arábico utiliza apenas 10 símbolos para representar infinitos números, enquanto o Sistema de Numeração Romano representa números finitos. O sistema de numeração decimal simplifica a escrita de números, permitindo a realização de operações matemáticas de maneira mais fácil e ágil. Por exemplo, para escrever o número oito mil, oitocentos e oitenta e oito no sistema indo-arábico utilizamos a representação 8 888, enquanto no sistema romano utiliza-se VIIIDCCCLXXXVIII. Se achar conveniente, também é possível propor uma pesquisa para ampliar os conhecimentos acerca do assunto desta página. Propor um debate sobre os diferentes significados do zero, problematizando a sua importância no Sistema de Numeração Indo-arábico e os inconvenientes que existiriam se não o usássemos. Nesse ponto, espera-se que que os alunos percebam que existiram vários sistemas de numeração ao longo da história e que o Sistema de Numeração Indo-arábico foi o que prevaleceu no mundo ocidental (Habilidade EF06MA02).

Essas são duas das formas que os maias usavam para representar o zero.

Informações obtidas em: VOMERO, M. F. A importância do número zero. Superinteressante. São Paulo, n. 163, abr. 2001.

Um costume muito antigo! Você já observou que o nosso sistema de numeração é decimal, isto é, contamos sempre em grupos de dez? Esse costume vem, sobretudo, do fato de o ser humano ter aprendido a contar usando os dedos das mãos. A palavra “decimal” é de origem latina, decem, que significa dez. É por esse motivo que o nosso sistema de numeração é chamado de Sistema de Numeração Decimal. OM

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A sequência dos números naturais

É possível iniciar o trabalho com esta página instigando os alunos a perceber que as línguas e outras manifestações têm regras para que a comunicação se realize. Na Língua Portuguesa, um conjunto de letras combinadas forma palavras; na música, notas musicais combinadas e organizadas ritmicamente originam melodias etc. O mesmo processo ocorre com a Matemática; dessa forma, aproveitar a oportunidade para apresentar e exemplificar as características do Sistema de Numeração Decimal aos alunos para que o percebam como uma linguagem com regras que garantem a comunicação dela. Se achar conveniente, apresentar alguns jornais em francês, italiano e inglês, por exemplo, e mostrar que, em todos, os números utilizados são os números indo-arábicos. Dessa forma, eles terão uma percepção concreta da universalidade do Sistema de Numeração Indo-arábico. Uma vez que os alunos percebam que o Sistema de Numeração Decimal possui regras e características que o fizeram prevalecer sobre os outros sistemas apresentados, é chegado o momento de eles verificarem, de fato, quais são essas regras e características. Uma estratégia possível é fazer a comparação das características do Sistema de Numeração Decimal com outros sistemas, ressaltando as diferenças e semelhanças. Com base nessa discussão, organizar, com a turma, uma tabela para que os alunos sistematizem as regras estudadas de todos os sistemas que foram apresentados.

Iniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, teremos a sequência dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Os números naturais constituem um conjunto numérico denominado conjunto dos números naturais, que se indica pela letra N: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} Quando se exclui o zero do conjunto N, temos o conjunto dos números naturais não nulos, indicado por N*: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Essa sequência numérica é utilizada no cotidiano para fazermos contagens, por exemplo, dos dias do mês, da quantidade de alunos em uma sala de aula, entre outros.

Características importantes do nosso sistema de numeração • Com apenas estes dez símbolos, pode-se escrever qualquer número natural, por maior que seja: 1234567890 Esses símbolos são os algarismos indo-arábicos. • O sistema decimal é de base 10, já que os agrupamentos são feitos de dez em dez. • O sistema decimal é posicional, porque, dependendo da posição que ocupa no número, o mesmo símbolo pode representar valores diferentes. Exemplo: 323 tem o algarismo 3 com valor posicional trezentos (300) e valor posicional três (3). 323 300 3 • O sistema indo-arábico utiliza o zero para indicar uma “casa vazia” dentre os agrupamentos de dez do número considerado. Exemplos: 205, 100, 1023. • O sistema decimal é multiplicativo, porque um algarismo escrito à esquerda de outro vale dez vezes o valor posicional que teria se estivesse ocupando a posição desse outro. Exemplo: 777

700

+ 70 +

7 x 100 7 x 10

7 =

7 x 100

7 x 10 +

7x1

7x1 21

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS A reta numérica Sugere-se que construa na lousa, com o auxílio dos alunos, uma reta numérica seguindo os passos descritos no livro. Neste momento, a ideia não é construir uma definição de reta numérica; o objetivo aqui deve ser voltado para que os alunos compreendam os passos para a construção de uma reta numérica. Sabendo como construí-la, eles poderão logo depois usá-la para realizar comparações, ordenar e escrever números. Nesse processo de construção da reta, é interessante compartilhar informalmente algumas propriedades da reta, por exemplo, é possível explicar que a reta é uma noção matemática e que uma reta numérica não tem começo nem fim, ou seja, ela é infinita. Pense e responda Para responder aos questionamentos feitos nesta seção, é interessante conduzir uma discussão sobre as características da reta numérica, sempre valorizando as contribuições dos alunos e complementando-as sempre que necessário. Se achar necessário, construir várias retas numeradas na lousa, todas apenas com números naturais; isso pode ajudá-los a perceber que na reta numérica os números estão sempre em ordem crescente. Assim, poderão ampliar a lista de características.

A reta numérica Para representar a sequência dos números naturais, utilizamos a reta numérica. Trata-se de um importante instrumento para comparar e ordenar números. Então, vamos construir uma reta numérica em seu caderno: 1o) Utilizando uma régua, trace uma reta em uma folha em branco; em seguida, marque um ponto em qualquer parte da reta e marque o número zero nesse ponto (a numeração terá início nesse ponto). 2o) Marque outro ponto à direita do zero para representar o número 1. Utilize a régua novamente para medir a distância entre o zero e o 1. 3o) Em seguida, encontre a posição exata do número 2 na reta: utilizando a régua, marque o número 2 medindo a mesma distância que você obteve no passo anterior. 4o) Repita o passo anterior para os números 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., até o número que você quiser. 5o) Finalmente desenhe duas pontas de seta, uma antes do zero e outra após o último número de sua reta numérica. 0

Pronto, agora temos uma reta numérica que serve de base para representação de números naturais. p e n s e e r e s p o nd a

Responda às questões no caderno.

1. O que representa a ponta de seta na reta numérica? Quantos números podemos representar na reta numérica? Espera-se que o aluno perceba que a ponta de seta representa que a reta numérica continua e que nela podemos representar infinitos números. 2. Observe a reta numérica e liste suas principais características.

Espera-se que o aluno perceba alguns padrões, como a sequência dos números naturais na ordem crescente, a distância entre os números ser sempre a mesma e a representação de infinitos números.

Comparar e ordenar números naturais

Ao comparar dois números naturais distintos, utilizamos os símbolos . (maior que) e , (menor que). Podemos usar a reta numérica para fazermos a comparação. Para isso, precisamos lembrar que os números da reta numérica estão em ordem crescente e que todo número à direita de outro número sempre será maior. Por exemplo: o número 4 está localizado à direita do número 3 e à esquerda do número 5. Então, vamos comparar os números 3, 4 e 5 utilizando a reta numérica. 0

Podemos afirmar que: 4.3

Lê-se: quatro é maior que três.

4,5

Lê-se: quatro é menor que cinco.

Em ordem crescente, podemos afirmar que 3 , 4 , 5. 22

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Responda às questões no caderno.

SINSEEHO/SHUTTERSTOCK.COM

1. Considere o grupo dos dedos de uma das mãos e o grupo das vogais do nosso alfabeto.

a) O que podemos dizer sobre a quantidade de elementos dos dois grupos? São iguais. b) Qual é o nome e o símbolo que associamos à quantidade de elementos dos dois grupos? Cinco; 5.

2. Para encontrar o sucessor de um número natural, adicionamos 1 a esse número. Por exemplo, o número 38 é sucessor de 37. Para determinar o sucessor de 37, adicionamos 1 a esse número. +1

Escreva o sucessor de cada número natural a seguir. a) 301 302

c) 99 999 100 000

b) 0 1

d) 19 899 19 900

3. Quantos algarismos você usa para escrever cada um dos seguintes números naturais? a) 362 3

c) 10 567 901 8

b) 30 000 5

d) 4 1

Espera-se que o aluno conclua que todo número natural tem sucessor e que todo número natural tem antecessor, com exceção do zero, que não tem antecessor. 4. Para encontrar o antecessor de um número natural, subtraímos 1 desse número.

Atividades Depois das atividades 2, 4, 5 e 6, pode-se fazer um fichamento com os conceitos de antecessor, sucessor e números naturais consecutivos para identificar possíveis dúvidas relacionadas a esses conceitos. Chamar a atenção para o conceito que define as noções de sucessor, antecessor e consecutivos e sua relação numérica, tal como: o antecessor do número 10 é o 9, porque o 9 antecede o 10 em uma unidade, ou seja, o antecessor de um número é sempre uma unidade menor que o número. Na atividade 6, incentivar os alunos a fazer as discussões com seus colegas e fundamentar suas ideias com exemplos. Se alguma dúvida persistir, é possível desenvolver mais atividades para trabalhar os conceitos desenvolvidos. Após as atividades 7 e 8, é interessante explorar outras sequências de números naturais, por exemplo: • 0, 3, 6, 9, 12, 15, ... (de 3 em 3). • 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... (de 5 em 5). Explorando as regularidades de sequências como essa, é possível facilitar aprendizados de outros conceitos, como múltiplos de um número natural. Nessa exploração, os alunos devem perceber que o conjunto dos números naturais também forma uma sequência: 0, 1, 2, 3, 4, ... (de 1 em 1).

Por exemplo, o número 38 é antecessor de 39. Para determinar o antecessor de 39, subtraímos 1 desse número. _1

Escreva o antecessor de cada um dos números naturais a seguir. a) 888 887 c) 1 0 b) 100 99 d) 12 000 11 999 5. Será que todo número natural tem sucessor e antecessor? Discuta com um colega sobre isso. 6. Dois ou mais números que se seguem na sucessão dos números naturais são denominados consecutivos. Por exemplo, os números 20, 21 e 22 são números naturais consecutivos. Na sucessão dos números naturais, qual é o primeiro número consecutivo de: a) 1000? 1001 c) 4 001? 4 002 b) 20 009? 20 010 d) 6 005? 6 006 7. Observe a sequência dos números naturais pares: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... Nessa sequência, qual número par vem logo depois de: a) 638? b) 1326? c) 19 554? 1328 640 19 556 8. Observe a sequência dos números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... Nessa sequência, qual número ímpar vem logo depois de: a) 1003? b) 9 009? c) 20 221? 1005 9 011 20 223 23

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tratamento da informação Tabelas e gráficos são recursos utilizados frequentemente nos meios de comunicação, como telejornais, jornais impressos, panfletos, apresentação de textos científicos, entre outros. As atividades propostas tornam possível o trabalho de investigação da construção de uma tabela, dos dados que a compõem e também da interpretação que poderá ser realizada com base nos dados apresentados. Sugerir que eles façam a leitura do texto e dos dados do quadro e depois respondam às atividades 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Se julgar oportuno, antes de prosseguir com as atividades, construir diferentes tabelas na lousa garantindo que, em cada uma delas, falte um dos seus elementos (título, fonte etc.). Depois, direcionar questionamentos como: “Qual é a diferença entre essas tabelas?” “Todas têm as mesmas características?” “O que está faltando?” Espera-se que com esses questionamentos eles percebam que as tabelas estão incompletas; é interessante acrescentar os ajustes sugeridos por eles e tomar nota de algumas justificativas feitas. Desse modo, eles estarão em contato com a leitura e a identificação dos elementos que compõem as tabelas. Depois, pode-se dar continuidade ao estudo construindo, na lousa em conjunto com os alunos, a tabela da atividade 7, na qual são usadas as informações do quadro sobre os campeões de cada Copa para a construção de uma tabela de frequência com o número de vezes que as seleções foram campeãs. Espera-se que, após a experiência anterior, os alunos se lembrem de adicionar, por conta própria, todos os elementos que constituem uma tabela.

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

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Organização, leitura e interpretação de tabelas A primeira Copa do Mundo de futebol foi realizada em 1930, no Uruguai, e as seguintes, a cada quatro anos, com exceção das edições de 1942 e 1946, canceladas por causa da Segunda Guerra Mundial. O quadro a seguir indica os anos em que a Copa do Mundo foi disputada, onde ocorreu a disputa e a seleção campeã. Ano

País sede

Campeão

1930

Uruguai

1934

Itália

1938

França

Itália

1950

Brasil

Uruguai

1954

Suíça

Alemanha

1958

Suécia

Brasil

1962

Chile

Brasil

1966

Inglaterra

1970

México

Brasil

1974

Alemanha

1978

Argentina

1982

Espanha

Itália

1986

México

Argentina

1990

Itália

Alemanha

1994

Estados Unidos

Brasil

1998

França

2002

Japão/Coreia do Sul

Brasil

2006

Alemanha

Itália

2010

África do Sul

Espanha

2014

Brasil

Alemanha

2018

Rússia

França

SAIBA QUE

A Segunda Guerra Mundial foi deflagrada em 1o de setembro de 1939 e teve seu término em 2 de setembro de 1945. De uma forma ou de outra, envolveu a maioria dos países do mundo, resultando em milhões de mortos e mutilados. 7. Sugestão de resposta: Quantidade de vezes que cada seleção foi campeã Seleção Quantidade Uruguai 2 Itália 4 Alemanha 4 Brasil 5 Inglaterra 1 Argentina 2 França 2 Espanha 1 Fonte: FIFA. Informações obtidas em: FIFA. FIFA World Cup Archive. Disponível em: <www.fifa.com/tournaments/ archive/worldcup/index.html>. Acesso em: 16 jul. 2018.

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1. Esse quadro está dividido em três colunas. Que informação corresponde a cada coluna? 2. Fonte é a origem dos dados pesquisados. Qual é a fonte dos dados apresentados no quadro da página anterior? FIFA. 3. Quantas vezes, de 1930 a 2018, o campeão mundial de futebol foi: a) o Brasil? 5 b) a Argentina? 2 c) o Uruguai? 2 d) a Itália? 4 e) a Alemanha? 4 f) a Inglaterra? 1 g) a França? 2 h) a Espanha? 1

Na atividade 8, se achar conveniente e for possível, orientar os alunos na construção de uma tabela utilizando planilha eletrônica. Nela, os alunos poderão organizar as informações nas células seguindo critérios por eles selecionados (ordem numérica, alfabética e outros). É interessante que explorem os diferentes recursos existentes no software, registrem suas descobertas e as socializem com os colegas. Esses recursos poderão ser utilizados ao longo do ano para outras explorações. Para a atividade 9, é possível solicitar que realizem a atividade em sala de aula; se achar necessário, é possível ajudá-los a selecionar tabelas que julgar adequadas aos alunos e ao contexto em que estão inseridos (social, cultural e histórico, por exemplo). O uso de temas próximos à realidade dos alunos pode despertar o interesse deles, colaborando para que a experiência seja significativa. As atividades 8 e 9 permitem que os alunos percebam que é possível apresentar dados fornecidos em um texto de forma clara e objetiva utilizando-se uma tabela ou, ainda, que, a partir dos dados representados em uma tabela, é possível elaborar textos de conclusões sobre determinado tema.

4. No período de 1930 até 2018, quantas vezes a Copa do Mundo de futebol foi realizada: a) no continente europeu? 11 b) no continente asiático? 1 c) no continente americano? 8 d) no continente africano? 1 5. De acordo com os dados, quantos países conseguiram conquistar o campeonato no ano em que cada um deles foi sede da Copa? 6 6. Qual foi o país sede da Copa de 2018? Rússia. Bola de futebol da final da Copa do Mundo de 1962 que fica exposta no Museu da Federação Paulista de Futebol, em São Paulo.

CARLOS LUVIZARI

Os anos de cada edição da Copa, os países que sediaram a competição e os respectivos campeões. Responda às questões no caderno.

Como organizar os dados em tabelas Com base nas informações apresentadas no quadro da página anterior, você pode saber o número de vezes que cada seleção foi campeã desde a Copa de 1930 até a Copa de 2018. Para isso, você precisa contar.

8. Você sabe quais são os esportes que seus colegas praticam? Entreviste seus colegas para saber sobre a preferência da prática de esporte, faça uma pesquisa e organize uma tabela com essas informações. Em seguida, identifique os itens mais e menos escolhidos pelos entrevistados. Ao final, escreva sua conclusão sobre a preferência da prática de esportes da sua classe. Sugestão: utilize uma planilha eletrônica para a organização e a apresentação dos dados em tabela. Respostas pessoais.

9. Pesquise em jornais e revistas outras tabelas, reproduza-as ou cole-as no caderno e responda às questões a seguir para cada tabela pesquisada. Respostas a) Qual é o título da tabela? pessoais. b) Qual o assunto nela tratado? c) Qual é a fonte? d) Onde e quando foi publicada? e) Explique o que você compreendeu sobre a tabela. Ela o ajuda a entender melhor o assunto tratado? Idade? Comida preferida? Numeração do sapato? Que tema escolho?

WANDSON ROCHA

7. Organize a quantidade de vezes que cada seleção foi campeã em uma tabela. Lembre-se de colocar o título e a fonte da tabela.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Pense e responda Os questionamentos iniciais visam sondar os conhecimentos prévios dos alunos sobre o assunto abordado. É importante incentivar a troca de ideias entre eles e o registro das descobertas e dúvidas, assim poderão revisar seus conhecimentos e sanar possíveis dúvidas. Na questão 1, o valor posicional no conjunto dos números naturais pode ser ressaltado nessa atividade, com foco no valor de 5 e de 7 como unidade e como dezena. Outras questões podem ser exploradas de acordo com as necessidades da aula, por exemplo: “Qual é o maior número e o menor número que podem ser escritos com esses algarismos apenas trocando suas posições?”. Essa pergunta pode ser refeita “travando” alguns algarismos em posições fixas. O valor posicional No desenvolvimento da teoria, o quadro de valores tem como função propiciar aos alunos a compreensão do Sistema de Numeração Decimal (SND) dando significado aos algarismos, facilitando a leitura e a compreensão das operações. Sugere-se investigar o conhecimento prévio dos alunos e, se achar conveniente, utilizar o material dourado nessa fase. Esse material pode ser usado como recurso para a aprendizagem do valor posicional dos algarismos. O entendimento da representação e da leitura dos números e operações depende da compreensão do Sistema de Numeração Decimal na sua notação posicional e da relação dos números e a sua representação.

O valor posicional p e n s e e r e s p o nd a

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Responda às questões no caderno.

1. Escrevi 14 675, troquei de lugar os algarismos 7 e 5 e obtive 14 657. a) O número que escrevi primeiro é maior ou menor que o número que obtive? Maior. b) Antes da troca: quanto valia o 5 no primeiro número? E o 7? 5; 70. c) Depois da troca: quanto passou a valer o 5? E o 7? 50; 7.

2. Agora, veja este outro número: 7 056 a) Que troca eu devo fazer para o 6 aumentar seu valor em 100 vezes? Que número eu obtenho nesse caso? Trocar o 6 com o 0; 7 650. b) Que troca eu devo fazer para o 6 aumentar seu valor em 10 vezes? Que número eu obtenho nesse caso? Trocar o 6 com o 5; 7 065.

Você observou que o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa no número? • No número 26, o valor do algarismo 2 é 2 x 10, ou seja, 20 unidades, porque ele ocupa a posição ou a ordem das dezenas. • No número 263, o valor do algarismo 2 é 2 x 100, ou seja, 200 unidades, porque ele ocupa a posição ou a ordem das centenas. Vamos considerar o número 8 594. 8

4 1a ordem: 4 unidades 2a ordem: 9 dezenas = 9 x 10 ou 90 unidades 3a ordem: 5 centenas = 5 x 100 ou 500 unidades 4a ordem: 8 unidades de milhar = 8 x 1 000 ou 8 000 unidades

Escrevemos o número 8 594 por extenso e o lemos assim: oito mil, quinhentos e noventa e quatro. Veja o quadro de ordens até a 10a ordem: 10a ordem

9a ordem

8a ordem

7a ordem

6a ordem

5a ordem

4a ordem

3a ordem

2a ordem

1a ordem

Centenas Dezenas Unidades Centenas Dezenas Unidades Centenas Dezenas Unidades Unidades de unidade de unidade de bilhão de milhão de milhão de milhão de milhar de milhar de milhar simples simples simples

Vamos, agora, considerar o número natural 97 025, localizá-lo no quadro de ordens e escrever como se lê esse número. DM

noventa e sete mil e vinte e cinco

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Lendo e escrevendo um número natural

Lendo e escrevendo um número natural Pode-se fazer uso do Material Dourado para desenvolver o trabalho com as classes, dado que esse material permite ao aluno compreender de maneira mais concreta e direta as relações numéricas, tornando o aprendizado mais natural e, consequentemente, agradável. É interessante ajudar os alunos a observar a relação entre o nome do número e a sua escrita por extenso. Essa forma de escrita revela uma das características do Sistema de Numeração Decimal, que é aditivo e multiplicativo. Uma sugestão para encaminhar uma discussão é convidar os alunos para que expliquem como organizam os números a partir da sua escrita por extenso, pois podem fazer referência à sua classe e às ordens. Nesse momento, o objetivo do uso do quadro de valores é propiciar ao aluno a compreensão da relação entre a escrita numérica e a leitura dos números. Observar como os alunos evoluíram e, por meio de um diálogo com a turma, verificar se ainda têm dúvidas; se necessário, fazer retomadas para que todos se sintam seguros para dar continuidade ao conteúdo. Escrever alguns números na lousa, por exemplo, 34 670; 1 678 904; 456 000 346; 23 456 912 386 e perguntar a eles como se leem. Não havendo dúvidas, pode-se planejar melhor os próximos passos. Ressaltar que, para a leitura numérica, o número é agrupado em classes: unidades, milhares, milhões, bilhões etc.

No Sistema de Numeração Decimal, os números são lidos ou escritos mais facilmente quando separamos os algarismos em grupos de três, começando pela direita. Isso porque cada três ordens forma uma classe. Veja os números: 6 283 104 640

5 000 254

Cada grupo de três algarismos constitui uma classe, e cada classe tem um nome, como podemos ver no quadro a seguir. Classe dos bilhões (4a classe)

Classe dos milhões (3a classe)

Classe dos milhares (2a classe)

Classe das unidades simples (1a classe)

Centenas Centenas Dezenas Unidades Centenas Dezenas Unidades Centenas Dezenas Unidades de de de de de de de de de de unidade bilhão bilhão bilhão milhão milhão milhão milhar milhar milhar simples

Dezenas de Unidades unidade simples simples

O quadro de ordens nos ajuda a ler, escrever, compor e decompor números. Assim: 6

283 104 640 600 + 40 100 000 + 4 000 200 000 000 + 80 000 000 + 3 000 000 6 000 000 000

Lemos ou escrevemos por extenso: seis bilhões, duzentos e oitenta e três milhões, cento e quatro mil, seiscentos e quarenta. 5

000

254 200 + 50 + 4 5 000 000

Quando todas as ordens de uma classe são representadas por zero, não se lê essa classe. Lemos ou escrevemos por extenso: cinco milhões, duzentos e cinquenta e quatro. Agora, veja este número escrito por extenso: Sessenta mil , trezentos e vinte e oito. No quadro de ordens, podemos representar esse número usando algarismos assim: DM

Temos o número 60 328. 27

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Atividades O objetivo dessas atividades é retomar os temas estudados até esse momento e avaliar o progresso dos alunos. Por isso, sugere-se que sejam realizadas individualmente. É importante tentar levantar as dúvidas que surgirem para fazer retomadas. Desafio Aproveitar o item e, para incentivar os alunos a compartilhar o raciocínio que tiveram. Resolução do Desafio No item a, é possível que o aluno use a ideia de que a diferença entre os números de uma linha e outra é sempre igual a oito, por exemplo, 3 e 11 (11 _ 3 = 8), 11 e 19 (19 _ 11 = 8). Assim, uma das estratégias que o aluno pode usar é continuar a sequência numérica somando oito até chegar ao valor 99: 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, 59, 67, 75, 83, 91 e 99. No item b, para determinar os três números da coluna que estão acima de 59 no cilindro, basta subtrair 8 de 59, obtendo 51. Depois é só continuar essa sequência decrescente: 51 _ 8 = 43 e 43 _ 8 = 35. E para determinar os três números da coluna que estão abaixo de 59 no cilindro, basta somar 8 ao 59 e continuar essa sequência crescente: 59 + 8 = 67, 67 + 8 = = 75 e 75 + 8 = 83. No item c, uma estratégia possível para encontrar a solução dessa questão é determinar o padrão das sequências de cada uma das colunas que aparecem no cilindro. Podemos observar que a coluna do meio é formada apenas por números pares: 2, 10, 18, 26 e 34. Portanto, o número 113 não pertence a essa coluna. Ao observar a primeira coluna, podemos afirmar que ela é formada pelos múltiplos de 8 + 1: 1 = 0 + 1, 8 +1, 16 + 1, 24 + 1, 32 +1. Ao efetuar a divisão de 113 por 8, obtemos o resto igual a 1. Sendo

ATIVIDADES

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Responda às questões no caderno. 1. Escreva todos os possíveis números formados por estes três algarismos, sem repeti-los: 257; 275; 527; 572; 725 e 752. 5

a) Qual o maior número formado? 752 b) Qual o menor número formado? 257

2. A altura de um prédio é medida em metros, o tempo é medido em horas, minutos e segundos, e o consumo de energia elétrica é medido em quilowatt-hora (kWh). O consumo médio de energia elétrica residencial no Brasil, em janeiro de 2017, de acordo com a Empresa de Pesquisa Energética, foi de 157 kWh. a) Como se escreve esse número por extenso? Cento e cinquenta e sete. b) Consulte a conta de luz deste mês de sua casa e verifique o consumo. Escreva o resultado por extenso. Resposta pessoal. c) O que você acha a respeito do consumo de energia elétrica em sua casa? Resposta pessoal. 3. Pesquise modelos e preços de três carros. Escreva no caderno esses preços usando algarismos e registre, por extenso, os números encontrados. Resposta pessoal. 4. Decomponha o número 8 000 543 e o escreva por extenso.

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d) 999 000 000

b) 999 000

e) 999 000 000 000

c) 1 000 000 DESAFIO

6. Sobre uma faixa longa de papel foram escritos todos os números inteiros de 1 a 1 500. Essa faixa foi enrolada sobre um cilindro, resultando colunas de números, como mostra a figura, de modo que a diferença entre qualquer número e seu vizinho de coluna seja de oito unidades, como 17 e 25, por exemplo. a) Na coluna dos números 3, 11, 19, ..., qual será o número mais próximo de 100, menor que ele? 99 b) Escreva três números dessa coluna que estejam acima de 59 e três números que estejam abaixo de 59. Acima: 51, 43 e 35; abaixo: 67, 75 e 83. c) Em qual dessas três colunas vai aparecer o número 113? Na coluna que vemos mais à esquerda, em que estão os números 1, 9, 17, ... d) Na coluna que vemos à direita, vai aparecer o número 219. Quais os outros dois números que poderemos ver nessa mesma linha da figura? 217 e 218. e) Em cada volta completa da fita, na figura, podemos ver apenas três números. Quantos números estão em cada volta da fita? Explique como você chegou a essa conclusão. 8; resposta pessoal.

5. (OBM) Perguntado, Arnaldo diz que um bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. Professor Piraldo o corrigiu e disse que 1 bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre essas duas respostas? Alternativa e. 8 000 543 = 8 000 000 + 500 + 40 + 3; oito milhões, quinhentos e quarenta e três. 28

assim, o número 113 pertence a essa coluna porque satisfaz o padrão encontrado. Item d, sendo 1 a diferença entre dois números consecutivos de uma mesma linha e como 219 aparece na coluna mais à direita, os outros dois números são: 219 _ 1 = 218 e 218 _ 1 = 217.

a) 1 000

Resposta possível para o item e: Se a diferença entre qualquer número e o seu vizinho de coluna é 8, há 8 números em cada linha.

WANDSON ROCHA

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Por toda parte Nesta seção é interessante conversar com os alunos sobre a preservação dos rios. Pode-se ainda sugerir que eles façam uma pesquisa sobre a importância dos rios nos estados e cidades onde eles são fundamentais para a sobrevivência de muitas pessoas e como a economia desses lugares está diretamente ligada a eles. Na atividade 1 dessa seção, existe a oportunidade para desenvolver um trabalho usando a representação escrita e oral dos números. Verificar também a possibilidade de pedir a eles que construam um quadro de ordens e escrevam a decomposição dos números. Na atividade 3, incentivar os alunos a buscar dados importantes sobre o tema em fontes diversas, tais como livros de Geografia, atlas, almanaques, publicações oficiais, tanto na biblioteca quanto na internet. Aproveite o momento para propor a atividade em conjunto com o professor de Geografia. É interessante promover uma discussão entre os alunos para que reflitam e argumentem sobre o tema pesquisado (Competência Específica de Matemática para o Ensino Fundamental – no 4).

A Bacia Amazônica A Bacia Amazônica é a maior do mundo em disponibilidade de água, cobrindo aproximadamente 6 milhões de km², dos quais cerca de 3 870 000 km² estão em território brasileiro. Essa bacia continental se estende por sete países da América do Sul: Brasil, Peru, Bolívia, Colômbia, Equador, Venezuela e Guiana. Segundo a Administração Hidroviária da Amazônia Oriental (AHIMOR), o rio Amazonas é o segundo rio mais extenso do mundo, com aproximadamente 6 515 quilômetros de extensão, sendo que cerca de 3 220 quilômetros estão no Brasil. Seus principais afluentes no país são os rios Madeira, Tapajós e Negro. Informações obtidas em: AGÊNCIA NACIONAL DE ÁGUAS. Conjuntura dos recursos hídricos no Brasil: regiões hidrográficas brasileiras. Disponível em: <http://www.snirh.gov.br/portal/snirh/centrais-de-conteudos/conjunturados-recursos-hidricos/regioeshidrograficas2014.pdf> e AGÊNCIA NACIONAL DE TRANSPORTES AQUAVIÁRIOS. Bacia Amazônica: Plano Nacional de Integração Hidroviária. Disponível em: <http://web.antaq.gov.br/Portal/PNIH/BaciaAmazonica.pdf>. Acesso em: 19 abr. 2018.

1. Registre em seu caderno os números que aparecem em destaque no texto, colocando-os no quadro de ordens e decompondo-os. Em seguida, quando necessário, escreva-os por extenso. Resposta no final do livro.

50°O

OCEANO ATLÂNTICO

Boa Vista AP

Rio

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Equador

Macapá

RioNegro

Rio

Rio li m õ e s

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Rio

0°

Belém

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Manaus

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el gu São M i

Cuiabá Região hidrográfica

OCEANO PACÍFICO

310

Amazônica Hidrovia

ALLMAPS

Porto Velho

Rio Branco

Rio Xingu

Com base no texto e no mapa ao lado, produza no caderno um pequeno texto resumindo as informações apresentadas. Resposta pessoal.

Região Hidrográfica Amazônica

2. A Região Hidrográfica Amazônica corresponde à parte da Bacia Amazônica que está em território brasileiro. Ela representa cerca de 45% do território nacional, abrangendo sete estados: Acre, Amazonas, Rondônia, Roraima, Amapá, Pará e Mato Grosso. É uma região com extensa rede de rios; por causa disso, eles são fundamentais no cotidiano e na economia desses estados.

e Tel Rio

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P O R T O D A P A RT E

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AMPLIANDO

Fonte: ATLAS BRASIL. Panorama Nacional. Disponível em: <http://atlas.ana. gov.br/Atlas/downloads/atlas/Resumo%20Executivo/Atlas%20Brasil%20-%20 Volume%201%20-%20Panorama%20Nacional.pdf>. Acesso em: 17 mar. 2018.

Link Para mais informações sobre as 12 regiões hidrográficas do Brasil, acesse o site da Agência Nacional de Águas (ANA). Disponível em: <http:// livro.pro/5bhmxf>. Acesso em: 24 abr. 2018.

3. Em grupo, façam uma pesquisa sobre uma função importante que os rios tenham para os estados da Região Hidrográfica Amazônica. Utilizem dados numéricos para validar a importância da função escolhida. Resposta pessoal.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

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Calculadora

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Foto de calculadora simples. Esse modelo, além das operações básicas, costuma ter armazenamento de memória, porcentagem e raiz quadrada.

Estamos acostumados a realizar operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão diariamente, no supermercado, na organização de grupos, para receber troco e em muitas outras situações. Já imaginou como seria, na correria de hoje, se tivéssemos de fazer todas as contas de cabeça ou em rascunhos no papel? Vamos aprofundar o estudo dessas operações na próxima Unidade. Contudo, desde já, para facilitar alguns cálculos, podemos usar uma calculadora. Trata-se de um recurso muito importante, por isso está disponível em computadores, celulares, chaveiros e em muitos outros dispositivos. A calculadora, como uma máquina que executa operações matemáticas, teve sua primeira versão construída pelo matemático francês Blaise Pascal (1623-1662). A máquina de Pascal, ou Pascalina, foi criada ENA TOAR CE/FO SOUR E entre 1642-1644 e permitia o cálculo C N SCIE rápido de adições e subtrações, sendo possível realizar também multiplicaFoto da Máquina de Pascal, também conhecida ções e divisões, mas estas em um como Pascalina. processo mais lento. Apesar de ser muito cara e, consequentemente, ter tido poucas unidades produzidas, abriu caminho para outro modelo, desenvolvido cerca de 30 anos depois pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Nessa calculadora, as quatro operações eram rapidamente executadas, sendo esse modelo, com algumas melhorias, substituído somente com a criação da calculadora eletrônica. Desde então, novos modelos e tipos surgiram. Você já deve ter visto vários tipos de calculadora. Este é o modelo de uma calculadora simples.

DUDA VASILII/SH

Tecnologias A calculadora é um importante recurso didático que em determinadas situações pode ser utilizado para facilitar a aprendizagem da Matemática. A introdução da calculadora possibilita que os alunos tenham tempo para raciocinar, relacionar ideias, investigar, descobrir regularidades e resolver problemas. Mas é importante destacar que o uso da calculadora não restringe nem elimina a importância e a necessidade de fazer registros; ao contrário, os registros podem ser usados para analisar e refletir os passos utilizados em uma resolução ou elaboração de um problema, sendo, portanto, uma importante ferramenta para identificar pontos que devem ser retomados. Para realizar uma atividade com o uso de calculadoras, é necessário estabelecer algumas regras para a turma e, antes de iniciar o trabalho, certificar-se de que todos conhecem as teclas da calculadora e têm familiaridade suficiente com o instrumento para realizar a atividade que será proposta. Para isso, podem ser feitas perguntas do tipo: • Quais são as teclas que indicam as operações? • Quais são as teclas de memória e como utilizá-las? Caso não haja calculadora para todos os alunos, pode-se pedir a eles que trabalhem em duplas e compartilhem a calculadora. Outra possibilidade é utilizar a sala de informática, assim terão acesso à calculadora presente no sistema operacional dos computadores.

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Na maioria das calculadoras simples, você encontra as seguintes teclas: Calcula a raiz quadrada

Apaga os valores

Calcula a porcentagem

Desliga

Indica o resultado

Adiciona

Ativa a memória e adiciona

Subtrai

Ativa a memória e subtrai

Multiplica

Recupera os dados da memória e limpa a memória

Divide

Introduz a vírgula

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Liga

Respostas pessoais. Caso seja uma calculadora comum de 8 dígitos, o maior número natural com algarismos diferentes será 98 765 432. O menor número natural com algarismos diferentes, usando o máximo de algarismos, será 12 345 678. Responda às questões no caderno. 7. Suponha que a tecla número 2 de sua calculadora esteja quebrada. Como 1. Você tem uma calculadora? Ela possui você faria para aparecer o número 22 teclas diferentes das descritas anteriorno visor? Resposta pessoal. Algumas possibimente? Quais? Respostas pessoais. lidades: 35 _ 13 = 22 ou 11 + 11 = 22. 8. Suponha que a tecla número 8 esteja 2. Quantos dígitos “cabem” no visor da quebrada. Qual deveria ser a sequênsua calculadora? Resposta pessoal. cia de teclas que você poderia apertar 3. Qual é o maior número natural com para obter o resultado de: Resposta pessoal. Algumas possibilialgarismos diferentes que sua calculaa) 3 x 8? dades: 3 x 4 x 2 ou 30 _ 2 x 3. dora comporta? E o menor, usando o b) 15 x 18? Resposta pessoal. Algumas possibilimáximo de algarismos possível? dades: 20 _ 2 x 15 ou 9 + 9 x 15. c) 188 ÷ 2? Resposta pessoal. Algumas possibili4. Registre em sua calculadora um número dades: 200 _ 12 ÷ 2 ou 144 + 44 ÷ 2. 9. Faça as seguintes multiplicações na ímpar de três algarismos. Compare com calculadora: os números registrados por dois colegas a) 12 345 679 x 9 111 111 111 e descubra qual deles é o maior. Resposta pessoal. Por exemplo: 131, 163 e 107. O maior é 163. b) 12 345 679 x 18 222 222 222 5. Registre na calculadora o número c) 12 345 679 x 27 333 333 333 348 735. O que é possível fazer para d) 12 345 679 x 36 444 444 444 transformá-lo no número 48 735? Subtrair 300 000. e) 12 345 679 x 45 555 555 555 6. Agora, registre o número 74 563 na calculadora. O que é possível fazer 10. Observe os resultados obtidos nas para transformá-lo no número: multiplicações da atividade anterior e Adicionar 100. a) 74 564? Adicionar 1. c) 74 663? escreva as próximas 4 multiplicações b) 74 573? Adicionar 10. d) 14 563? dessa sequência. Subtrair 60 000. 12 345 679 x 54; 12 345 679 x 63; 12 345 679 x 72; 12 345 679 x 81. 31

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Na atividade 1, é possível que eles já tenham visto calculadoras comuns. Mas existem outros tipos, como as calculadoras científicas, gráficas, contábeis, do celular, do computador, entre outras. No momento disponibilizado para realizar a investigação das teclas, é possível surgirem divergências entre os conhecimentos prévios dos alunos quanto às teclas e suas respectivas funções; por exemplo, no teclado do computador as teclas de multiplicação e divisão costumam ser representadas por um asterisco (*) e uma barra inclinada (/), respectivamente, enquanto em calculadoras do celular ou nas comuns, as teclas para as mesmas funções costumam ser x e ÷, respectivamente. Nas atividades 2 e 3 podem surgir diversas respostas, uma vez que as calculadoras possuem diferentes espaços para os algarismos. Nas atividades 7 e 8, explorar as possibilidades de se fazer cálculo mental. Estimular os alunos a trocar informações sobre as suas soluções e propor que façam um cartaz com as respostas encontradas. Nas atividades 9 e 10, incentivar os alunos a perceber os padrões da sequência de multiplicações. Por exemplo, que o 2o fator é a “sequência da tabuada do 9”, ou seja, adicionamos 9.

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Dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e um; dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e três. Responda às questões no caderno e 7. Escreva o antecessor e o sucessor dos aproveite para assinalar as questões números abaixo: 2 850 391; 2 850 393. nas quais você encontrou dificuldade. a) 568 567; 569. c) 2 850 392 Essa informação será útil para guiá-lo b) 43 859 d) 999 999 231 43 858; 43 860. 999 999 230; 999 999 232. na revisão do conteúdo. 8. Escreva por extenso os dois números 1. Represente de três formas diferentes a obtidos no item c da atividade anterior. quantidade de frutas da foto a seguir. 9. Observe a reta numérica. Nela, 3 números estão representados por símbolos. Compare esses números usando os símbolos . (maior), , (menor) ou = (igual).

Sete; 7; . Existem outras possibilidades. 2. Escreva a data de seu nascimento usando algarismos egípcios, babilônicos e romanos. Resposta pessoal.

3. Abaixo, temos três números representados em símbolos egípcios, babilônicos e romanos, respectivamente. Escreva-os em ordem crescente. • ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Retomando o que aprendeu O objetivo das atividades é propiciar aos alunos que conheçam e tirem suas dúvidas sobre os conteúdos estudados na Unidade 1: Sistemas de Numeração Egípcio, Babilônico, Romano e Indo-arábico; construção e leitura de tabelas simples e o uso de calculadora. É importante os alunos realizarem essas atividades individualmente e anotarem os temas que precisam ser retomados. Uma sugestão para desenvolver essa etapa de trabalho é organizar a turma em grupos para que haja troca de informações e experiências. É interessante circular pela sala para acompanhar a resolução das atividades e, quando necessário, fazer intervenções e questionamentos, inclusive quando os procedimentos estão sendo realizados corretamente, assim os alunos acostumam-se com a ideia de compartilhar o seu raciocínio. Na atividade 8, reforçar o trabalho com decomposição, leitura e escrita dos números por extenso. Valorizar o uso social da escrita por extenso dos números, apresentando como são utilizados no cotidiano. Se achar conveniente, na atividade 13, propor aos alunos que façam uma pesquisa sobre a função dos números em jornais e revistas. Sugerir a produção de um cartaz com quatro colunas, uma para cada função do número, e pedir aos alunos que os colem, classificando os números encontrados nas suas respectivas funções. O objetivo da atividade 9 é aprofundar o trabalho com reta numérica. Uma estratégia para encaminhar a atividade é sugerir que os alunos iniciem desenhando no caderno a reta numérica e completem os números que estão faltando na sequência numérica.

RETOMANDO O QUE APRENDEU

MMMCCCXXX

101

104

106

d) 102

? ?

= 108 <

10. (OBM) João escreveu numa folha de papel todos os números com menos de 4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 e depois somou todos eles. O valor obtido foi: Alternativa c. a) 2 314 c) 1 401 e) 1 716 b) 3 000 d) 2 316

11. Os números são utilizados para contar, medir, ordenar ou como código. • MMMCCCX X X Escreva a função dos números nas situações abaixo. 4. Quantos algarismos são necessários a) Idade do meu avô. Medida. para formar cada número a seguir? Quais são eles? b) Senha bancária. Código. 7 algarismos; 5. Contagem. c) Quantidade de alunos do 6o ano. a) 7 504 4 algarismos; c) 5 555 555 7, 5, 0 e 4. d) Colocação de pilotos em provas de b) 1 000 d) 174 100 4 algarismos; 1 e 0. 6 algarismos; 1, 7, 4, 1 e 0. Fórmula 1. Ordem. 5. Escreva três números consecutivos, 12. Imagine que a tecla do número 0 de todos formados por: Respostas pessoais. sua calculadora esteja quebrada. Como a) 1 algarismo. c) 3 algarismos. você faria para registrar no visor o b) 2 algarismos. d) 4 algarismos. número: Respostas possíveis: 111 _ 21 ou 8 _ 8 ou a) 0 c) 90 2 x 45 6. Decomponha o número 36 344 052 e 64 _ 64 escreva-o por extenso. b) 20 45 _ 25 ou d) 100 54 + 46 ou 30 000 000 + 6 000 000 + 300 000 + 40 000 + 31 + 69 15 + 5 + 4 000 + 50 + 2; trinta e seis milhões, trezen32 tos e quarenta e quatro mil e cinquenta e dois. •

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MARCOS AMEND/PULSAR IMAGENS

13. Leia o texto sobre algumas curiosidades da arara-azul que está em extinção.

Identifique a função de cada número no texto acima. 29 mil, 90 mil, 2 000 e 1,5 milhão: medida. 128 e duas: contagem. Primeiro: ordem. UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais sobre a história da Matemática e os padrões existentes em diferentes sistemas de numeração; estudamos o conjunto dos números naturais, o uso de tabelas para organizar e analisar informações e ainda utilizamos a calculadora para observar padrões e realizar operações. Qual desses conteúdos você achou mais interessante? Por quê? Nas páginas de abertura, além de observar os diferentes sistemas de numeração (guarani, egípcio e chinês), você foi convidado a pensar na criação dos números. O que você havia imaginado se confirmou após o estudo desta Unidade? Vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens desta Unidade: Respostas pessoais. • Foi possível perceber que existem diferentes formas de representar os números e diferentes sistemas de numeração? • Você consegue identificar os padrões existentes em cada um dos sistemas estudados? • Consegue reconhecer, no dia a dia, as diferentes funções desempenhadas pelos números (contar, ordenar, medir e codificar)? • Você consegue destacar semelhanças e diferenças entre o Sistema de Numeração Decimal e outros sistemas de numeração? • Você reconhece que o uso de tabelas facilita a organização, a análise e a compreensão de informações? • Você reconhece que a calculadora é um instrumento importante para a realização de operações matemáticas e que seu uso facilita os cálculos que seriam difíceis com lápis e papel ou mentalmente? 33

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Em seguida, eles poderão substituir os símbolos pelos números correspondentes. ♣ = 102 ♥ = 105 ♦ = 107 E, por fim, fazer a comparação entre os números de cada item da atividade. a) 105 , 107 b) 107 . 102 E assim por diante. Outra estratégia possível é que o aluno pense na ordenação crescente dos números naturais na reta numérica e que todo número natural à direita de outro número natural sempre será maior e que todo número natural à esquerda de outro número natural sempre será menor. Usando esse raciocínio, o aluno pode afirmar que ♥ , ♦ porque o número representado por ♥ está à esquerda do número representado por ♦, por exemplo.

Um novo olhar O primeiro questionamento feito refere-se às diferentes representações numéricas e aos sistemas de numeração. Em seguida, trata-se mais especificamente das regularidades e padrões utilizados em cada sistema. Essa é uma importante abordagem, que já tem como objetivo despertar o interesse pela investigação matemática. Para finalizar, são elaborados novos questionamentos com o objetivo de despertá-los para os conteúdos que serão estudados na próxima Unidade. No segundo questionamento, espera-se que os alunos percebam que cada sistema de numeração apresenta um padrão diferente. Por exemplo, o babilônico usava agrupamentos de 10 e de 60. Na pergunta feita no terceiro bullet, espera-se que os alunos consigam citar exemplos de como os números podem ser utilizados no cotidiano, por exemplo, a distância de sua casa até a escola, o número de seu telefone, a quantidade de alunos de sua turma, a classificação dos atletas em uma competição, entre outros.

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GERAIS 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. ESPECÍFICAS 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

CÁLCULOS COM NÚMEROS NATURAIS

NÚMERO NÚMERO DEDE ATLETAS ATLETAS

10 10500 500 NÚMERO NÚMERO DEDE PAÍSES PAÍSES

205 205

Foram Foram

34 34

locais locais dede competição competição ãoão espalhados espalhados em em quatro quatro atro atro regiões regiões dada cidade cidade

ALEX SILVA

COMPETÊNCIAS

OsOs Jogos Jogos Olímpicos Olímpicos foram foram disputados disputados em em

17 17dias dias

Com base nas imagens, responda no caderno: • Que operação matemática poderia ser utilizada para descobrir a quantidade total de pessoas (voluntários, terceirizados e funcionários) que trabalharam nos Jogos Olímpicos de 2016? Quais dados você observou para responder a essa pergunta? Adição: (45 000 + 85 000 + 8 000). • Que outra informação você consegue extrair dessas imagens? Você utilizará qual operação matemática para obter essa informação? Resposta pessoal.

Primeiros Primeiros Jogos Jogos Olímpicos Olímpicos dada Antiguidade Antiguidade

776 776a.C. a.C. Olímpia Olímpia Grécia Grécia

• Em que outras situações do cotidiano as operações matemáticas são fundamentais?

8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na dis-

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cussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

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Você V Vocêsabia? V sabia?

Até A Até A tt 2015 2015

Foram Foram mm realizadas re erealizadas re alizad al eal alizad 2828 edições edições dos dos Jogos Jogos Olí Olí Olímpicos Olímpicos dede Verão Verão

Pa Para aPa Para ra ara organizar org organizar org osos primeiros primeiros Jogos Jogos Olímpicos Olímpicos i i d dada dAmérica A América A dodo Sul, Sul, foram foram necessários... necessários... Mais Mais dede

88400 400

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América América dodo Norte Norte

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17 17760 760

40 40000 000

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Europa Europa

17 17

Ásia Ásia

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40 4 40 4 00000 000

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Oceania Oceania

mesas mesas

11 11milhões milh milhões milh eses

60 60000 000

dede refeições refeições

cabides cabides

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161 161

com com medalhas medalhas

136 136

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mistas mistas

vibrou vibrou com com

42 42

esportes esportes

Quem Quemfez fez Para Para tudo tudo isso so isso so acontecer, aconte acontecer, aconte o o Comitê Comitê Rio Rio 2016 2016 contou contou com com

000 85 85000 45 45000 000 88000 000 Voluntários V ol Voluntários V lol ulntá utntá átriáios riios

Terceirizados T Terceirizados Te Trcrc Te eiiei rizad iirizad i dos dos

FFuncionários unci FFuncionários unci ioiná oáná rios ái rios i

Tudo Tudocomeçou... começou... 7,5 7,5

Cerca Cerca dede Foram Foram 3,83,8 milhões milhões milhões milhões atéaté dede ingressos ingressos

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392 392d.C. d.C.

Primeiros Primeiros Jogos Jogos Olímpicos Olímpicos dada Era Era Moderna Moderna 11 500 500 anos anos depois depois

1896 1896

LOGOTIPO RIO 2016

OsOs jogos jogos foram foram suspensos suspensos

Atenas Atenas Grécia Grécia

Uma Uma iniciativa iniciativa dodo Barão Barão Francis Francis Pierre Pierre dede Coubertin Coubertin

Informações obtidas em: RIO2016. Disponível em: <https://www.rio2016.com/os-jogos/olimpicos>. Acesso em: 8 maio 2018.

HABILIDADES

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p. XVI e XVIII

Números • EF06MA03 Probabilidade e estatística • EF06MA31

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Abertura de Unidade Incentivar os alunos a observar atentamente cada uma das informações disponibilizadas no infográfico. Depois, orientá-los a elaborar uma lista com todos os dados coletados.

9/28/18 10:13 AM Sugere-se explorar as perguntas de abertura individualmente e, em seguida, solicitar aos alunos que socializem suas ideias com o restante do grupo; dessa forma, eles poderão trocar ideias, discutir diferentes pontos observados e hipóteses levantadas. Além

da ampliação do repertório de cada aluno, será possível coletar informações sobre os conhecimentos que o grupo possui sobre o assunto. É importante perceber as estratégias utilizadas pelos alunos para responder às indagações e estimulá-los a pensar em caminhos alternativos que possam levá-los a um mesmo resultado. Por exemplo, utilizar a adição e a subtração como operações inversas, assim como a multiplicação e a divisão. No infográfico existem muitos dados que podem ser explorados e ampliados, entre eles a linha do tempo, que permite explorações sobre a quantidade de anos existente entre os primeiros Jogos Olímpicos registrados e os de 2016 (atenção para o intervalo de tempo em que os jogos ficaram suspensos). As páginas de abertura permitem estabelecer relações com outras áreas do conhecimento, como História, Educação Física e Geografia. De acordo com a abertura, os jogos olímpicos de 2016 contaram com a participação de muitos voluntários. Perguntar aos alunos se sabem o que é trabalho voluntário. É interessante perguntar se conhecem alguém que costuma realizar trabalhos voluntários e o que acham de atitudes como essa. Conversar com os alunos sobre a importância dos Jogos Olímpicos e Paralímpicos, os impactos causados por esses eventos, tanto no meio ambiente, como no aspecto financeiro, cultural e social nos lugares em que são sediados, e, ainda, a importância das operações matemáticas em diferentes situações do cotidiano.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Adição Inicialmente são apresentadas situações que envolvem resolução de problemas associando as ideias da adição e os seus algoritmos. A operação é retomada nesse ano para que os alunos possam compreender seus significados e não apenas executar passos mecânicos. É importante que os alunos possam realizar, também, essas operações com o uso da calculadora e desenvolver estratégias de cálculo mental. Pedir aos alunos que leiam o problema proposto e solicite que expliquem o processo de resolução utilizando o processo de decomposição e o processo algoritmo usual. Verificar os conhecimentos dos alunos e as principais dúvidas, caso tenham. Assim, será possível traçar as melhores estratégias para desenvolver o conteúdo com a turma. É interessante explorar a ideia de juntar da operação; para isso, pode-se solicitar que elaborem outras situações que envolvam essa ideia. Esse processo pode ajudar os alunos a compreender que um mesmo problema pode ser resolvido utilizando-se diferentes estratégias. Além disso, o processo de elaboração propicia aos alunos que desenvolvam o raciocínio e aprendam a criar os próprios métodos de organização utilizando diferentes conceitos e procedimentos. Veja o trecho a seguir: [...] Quando o aluno cria seus próprios textos de problemas, ele precisa organizar tudo que sabe e elaborar um texto, dando-lhe sentido e estrutura adequados para que possa comunicar o que pretende. Nesse processo, aproximam-se a língua materna e a matemática, as quais se complementam na produção de textos e permitem o desenvolvimento da linguagem específica. O aluno deixa, então, de ser

ADIÇÃO

Acompanheasassituações situaçõesapresentadas apresentadasabaixo. abaixo. Acompanhe

NosJogos JogosOlímpicos Olímpicosdede2016 2016realizados realizadosno noRio RiodedeJaneiro, Janeiro,no noBrasil, Brasil,a aequipe equipe 11 Nos atletasbrasileiros brasileirosera eracomposta compostadede256 256atletas atletashomens homense e209 209atletas atletas dedeatletas mulheres. mulheres. Qualoonúmero númerototal totaldedeatletas atletasdadaequipe equipebrasileira? brasileira? Qual Pararesolver resolveresse esseproblema, problema,devemos devemosfazer fazer256 256++209. 209.Para Paraisso, isso,podemos podemos Para usarososseguintes seguintesprocessos: processos: usar 1o1oprocesso: processo:decomposição decomposição 256++209 209==200 200++50 50++66++200 200++99 256 256++209 209==200 200++200 200++50 50++66++99 256 256++209 209==400 400++50 50++1515 256 256++209 209==400 400++65 65 256 256++209 209==465 465 256 2o2oprocesso: processo:algoritmo algoritmousual usual CC DD UU 22 55 66 ++ 22 00 99 44 66 55

parcela parcela parcela parcela somaou outotal total soma (resultadodadaoperação) operação) (resultado

Então,nos nosJogos JogosOlímpicos Olímpicosdo doRio Rio2016 2016participaram participaram465 465atletas atletasnanaequipe equipe Então, brasileira. brasileira. Percebaque, que,nessa nessasituação, situação,utilizamos utilizamosa aadição adiçãocom coma aideia ideiadedejuntar juntar Perceba quantidades. quantidades. DAVID GOLDMAN/AP/GLOW IMAGES Delegação brasileira na abertura dos Jogos Olímpicos no Rio de Janeiro, Brasil. Foto de agosto de 2016. Informações obtidas em: REDE NACIONAL DO ESPORTE. Confira os números da delegação brasileira nos Jogos Rio 2016. Disponível em: <http://www.brasil2016.gov.br/ pt-br/noticias/confira-os-numerosda-delegacao-brasileira-nos-jogosrio-2016>. Acesso em: 30 abr. 2018.

D3-MAT-F2-2051-V6-U02-034-075-LA-G20.indd 36 um resolvedor para ser um propositor de problemas, vivenciando o controle sobre o texto e as ideias matemáticas.

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SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. (Org.). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2011. p. 151.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2 O preço de uma tevê é 1 350 reais para pagamento à vista. A compra pode, ainda, ser a prazo, financiada em 12 prestações iguais, mas, nesse caso, o preço sofre um acréscimo de 675 reais. Qual o preço da tevê quando comprada a prazo?

Esta página traz uma situação que trabalha com a ideia de acrescentar. Se achar necessário, realizar o mesmo procedimento adotado na página anterior: solicitar aos alunos que leiam o problema proposto e expliquem o processo de decomposição e do algoritmo usual. Essa pode ser uma excelente oportunidade para elaborar, com os alunos, um mapa com as ideias da adição. É interessante deixá-lo exposto para futuras consultas. Após a exploração da ideia de acrescentar, pode-se solicitar aos alunos que elaborem novos problemas com essa ideia.

Para resolver essa situação, devemos fazer 1 350 + 675. 1o processo: decomposição 1 350 + 675 = 1 000 + 300 + 50 + 600 + 70 + 5 1 350 + 675 = 1 000 + 300 + 600 + 50 + 70 + 5 1 350 + 675 = 1 000 + 900 + 120 + 5 1 350 + 675 = 1 000 + 1 020 + 5 1 350 + 675 = 2 020 + 5 1 350 + 675 = 2 025 2o processo: algoritmo usual UM C 1 3 + 6

D 5 7

U 0 5

parcela parcela soma ou total (resultado da operação)

Propriedades da adição Se achar conveniente, registre as propriedades da adição em um quadro que pode ficar afixado em local de fácil visualização para posterior consulta dos alunos. Propriedade comutativa A ordem das parcelas não altera a soma. Em outras palavras, não importa em que ordem os números são adicionados, a soma sempre será a mesma. a+b=b+a Exemplo: 7+4=4+7

O preço da tevê é 2 025 reais, quando comprada a prazo. Já neste caso, a adição foi utilizada com a ideia de acrescentar uma dada quantidade a outra.

Propriedades da adição 1 Observe as duas situações a seguir e reflita sobre elas. 24 + 40 é igual a 64.

WANDSON ROCHA

40 + 24 é igual a 64.

Os resultados obtidos nos dois casos foram iguais ou diferentes? 37

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Propriedade associativa Em uma soma de várias parcelas, podem-se substituir duas ou mais parcelas pela sua soma (associação). (a + b) + c = a + (b + c) Exemplo: (7 + 4) + 5 = 4 + (5 + 7) Propriedade do elemento neutro O zero é o elemento neutro da adição, ou seja, qualquer número adicionado a zero resulta em si mesmo. a + 0 = a, 0 + a = a Exemplos: 7+0=7 0+7=7 Enfatizar que as propriedades da adição são: propriedade comutativa, propriedade associativa e propriedade do elemento neutro. Elas são importantes ferramentas de cálculo usadas para facilitar a realização das operações matemáticas com as quais podemos trocar a ordem das parcelas e associá-las de maneira conveniente. É importante que o aluno compreenda essas propriedades e seus conceitos e consiga aplicá-las. Solicitar a eles que escrevam algumas expressões em que a ordem das parcelas possa ser trocada e associada; assim poderão reconhecer as propriedades estudadas. Incentivar as discussões entre eles, valorizando a participação na aula e a cooperação com os colegas.

Como esse fato sempre ocorrerá na adição de dois números naturais quaisquer, podemos dizer que: Em uma adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma. Essa propriedade é chamada propriedade comutativa da adição. Então, se a e b são números naturais quaisquer, temos: a+b=b+a 2 Dados os números naturais 16, 20 e 35, vamos determinar a soma desses valores. Para isso, associaremos os números de dois modos diferentes: 16 ! 20 ! 35 " "

! 35 "

16 ! 20 ! 35 " " 16 !

" 71

Os resultados obtidos nos dois modos são iguais ou diferentes? Como esse fato se repete quando adicionamos três ou mais números naturais quaisquer, podemos dizer que: Em uma adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as parcelas de modos diferentes. Essa propriedade é chamada propriedade associativa da adição. Então, se a, b e c são números naturais quaisquer, temos: (a + b) + c = a + (b + c)

Voltando à situação 2, temos: (16 + 20) + 35 = 16 + (20 + 35).

3 Dados os números naturais 27 e 0, vamos determinar a soma desses números de duas maneiras, trocando a ordem das parcelas: 27 + 0 = 27

0 + 27 = 27

Em grupo, discutam: • O número zero influi no resultado da adição quando ele é uma das parcelas? • O resultado da adição será sempre a outra parcela? Como esse fato sempre ocorrerá quando um dos números envolvidos na soma for o zero, podemos dizer que: Em uma adição de um número natural com zero, a soma é sempre igual a esse número natural. Nessas condições, o número zero é chamado elemento neutro da adição. Então, se a é um número natural qualquer, temos: a+0=0+a=a

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Resoluções na p. 291

Responda às questões no caderno.

ALEXANDRE TOKITAKA/PULSAR IMAGENS

1. O governo organiza, periodicamente, campanhas de vacinação contra a paralisia infantil. Numa dessas campanhas, em determinado município, foram vacinadas 11 296 crianças do centro urbano e 1 649 crianças da área rural. Quantas crianças foram vacinadas nesse município? 12 945 crianças.

A poliomielite, popularmente conhecida como paralisia infantil, é uma doença que, em sua forma mais grave, causa a atrofia dos músculos atingidos. O médico Albert Sabin dedicou muitos anos de sua vida ao estudo da poliomielite. Em 1959, ele conseguiu chegar a uma vacina eficiente contra o vírus causador da doença: a vacina da “gotinha”.

2. (Saresp-SP) A tabela mostra a distribuição dos alunos dos 3 turnos de uma escola, de acordo com o sexo. 1o turno 2o turno 3o turno Meninas

135

120

105

Meninos

120

115

125

É correto afirmar que: a) todos os turnos têm o mesmo número de alunos. b) a escola tem um total de 360 alunos. c) o número de meninas é maior que o de meninos. d) o 3o turno tem 230 alunos. Alternativa d.

Atividades Atividades como a 3, 4 e 5 exploram as propriedades estudadas para a adição: • Propriedade comutativa. • Propriedade associativa. • Elemento neutro. Solicitar aos alunos que identifiquem a propriedade utilizada em cada atividade sobre esse tema. Observar como eles procedem e, sempre que necessário, fazer intervenções a fim de reforçar as características de cada propriedade em cada caso. Este bloco de atividades tem o objetivo de explorar a adição, as ideias associadas a essa operação (juntar e acrescentar) e as propriedades da adição. Incentivar os alunos a, sempre que possível, aplicar as estratégias vistas anteriormente. Se necessário, solicitar a ajuda deles, para explorar as situações apresentadas na lousa, lembrando sempre de nomear as propriedades utilizadas.

3. Identifique a propriedade da adição de números naturais que foi aplicada em cada uma das sentenças matemáticas abaixo. a) 75 + 105 = 105 + 75 Comutativa. b) 250 + 0 = 0 + 250 Elemento neutro. c) 90 + (130 + 100) = (90 + 130) + 100 Associativa. 4. Considere a adição 0 + y = 59. Qual valor você deve colocar no lugar da letra y para que a igualdade seja verdadeira? Qual propriedade da adição você usou para chegar a esse valor? 59. Elemento neutro. 5. O professor de Matemática pediu a dois alunos que calculassem a soma dos números 2 107 e 5 096. Calcule o resultado obtido por eles. • Caio fez 2 107 + 5 096. • Theo fez 5 096 + 2 107. a) Você pode afirmar que 2 107 + 5 096 = = 5 096 + 2 107? Sim. b) A afirmação “A ordem das parcelas não altera a soma” é verdadeira ou falsa? Verdadeira. DESAFIO

6. Elabore três adições com 4 ou 5 parcelas cada e troque as suas adições com as de um amigo. Calcule mentalmente as adições criadas por ele e escreva um texto explicando o raciocínio aplicado por você para realizar os cálculos. Se necessário, lembre-se de usar o nome das propriedades da adição. Depois, verifique se seu amigo acertou os valores das adições criadas por você e, através do texto dele, se o raciocínio aplicado estava correto, assim como se as propriedades que ele utilizou estavam bem aplicadas. Resposta pessoal. 39

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

SUBTRAÇÃO

Acompanhe as seguintes situações.

1 Uma fábrica produziu 985 peças. Houve um problema em uma das máquinas e 162 peças saíram com defeito. Quantas peças foram produzidas sem defeito?

SERGIO RANALLI/PULSAR IMAGENS

Subtração Aqui são apresentadas situações com alguns dados reais brasileiros para desenvolver as ideias ligadas à subtração. Pode-se aproveitar esse momento para discutir as situações apresentadas e refletir sobre a importância da leitura e da interpretação dos problemas. Caso julgar necessário, para o melhor entendimento dos processos envolvidos na resolução das subtrações, utilizar materiais manipulativos, como o material dourado ou o ábaco. Solicitar aos alunos que utilizem este material para compreender o “empresta um”. O trabalho em duplas pode ser uma boa estratégia, pois possibilita a troca de ideias. Pedir a algumas duplas que compartilhem com os colegas como utilizam o material para resolver situações, sempre que julgar necessário fazer intervenções para facilitar o entendimento de todos. Explorar a ideia de tirar associada à operação subtração propondo aos alunos que elaborem outros problemas utilizando esta ideia. Propôr a confecção de um banco de problemas elaborados por eles. Incentivar os alunos a fazerem comparações entre os procedimentos adotados e os problemas apresentados; assim poderão perceber que existem diferentes maneiras de resolver um problema, mas antes disso é preciso identificar o melhor método para cada um. Incentivá-los a fazer registros das próprias falas: à medida que explicitam o raciocínio que eles próprios tiveram, podem validar e compreender as estratégias escolhidas. Em alguns momentos a calculadora pode ser utilizada, mas é importante deixar claro que ela não substitui nenhuma estratégia de cálculo e deve ser vista apenas como mais um recurso.

Linha de produção em fábrica localizada na cidade de Londrina, PR. Foto tirada em novembro de 2017.

Para resolver esse problema, devemos fazer 985 _ 162. Para calcular uma subtração, podemos utilizar o algoritmo usual:

C 9 1

D 8 6

U 5 2

minuendo subtraendo diferença (resultado da operação)

Foram produzidas 823 peças sem defeito. Nesta primeira situação, utilizamos a subtração com a ideia de tirar uma quantidade de outra quantidade. A subtração também pode ser resolvida decompondo-se o número e armando o cálculo de modo semelhante ao algoritmo usual. Veja como fica para essa situação: 900 + 80 + 5 _ 100 + 60 + 2 800 + 20 + 3 ou 823

minuendo subtraendo diferença (resultado da operação)

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para resolver esse problema, podemos fazer 458 _ 54.

_ 4

D 5 5

U 8 4

minuendo

diferença

subtraendo

RICARDO TELES/PULSAR IMAGENS

C 4

(resultado da operação)

Então, em 2018 havia 404 deputados federais homens a mais que mulheres. Neste caso, a subtração foi utilizada para comparar duas quantidades a fim de saber quanto uma delas tem a mais que a outra.

Esplanada dos ministérios e Congresso Nacional em Brasília, DF. Foto tirada em fevereiro de 2018.

UM C 5 0 _ 3 9

D 0 2

U 0 5

minuendo

diferença

subtraendo (resultado da operação)

JOÃO PRUDENTE/PULSAR IMAGENS

Produção de tijolos artesanais em Ouro Fino, MG. Foto tirada em setembro de 2016.

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Dando continuidade ao estudo da operação subtração, aqui serão exploradas as ideias de comparar e completar. Vimos que a ideia de tirar associada à subtração é de fácil identificação nos problemas. Porém, com as ideias de comparar e completar, essa identificação pode não acontecer naturalmente. Isso ocorre porque, geralmente, associamos a subtração à ideia de tirar. Portanto, dar atenção especial ao explorar essas ideias. Ler a situação 2 com a turma e ressaltar a ideia de comparar associada à subtração. Nesse caso, estamos comparando o número de mulheres e homens. Depois de constatar que o número de homens é maior do que o de mulheres, queremos saber quantos deputados homens temos a mais do que mulheres. Mostrar que a pergunta “a mais” envolve uma comparação. Apresentar outras situações-problema com a ideia de comparar. Por exemplo, Pedro e Gustavo colecionam figurinhas. Pedro tem 105 figurinhas, e Gustavo tem 246 figurinhas. Quantas figurinhas Gustavo tem a mais que Pedro? Proceder de forma similar na situação 3. Uma sugestão de problema que pode ser apresentada aos alunos, por exemplo: Felipe está colecionando figurinhas para o álbum da Copa do Mundo de 2018. Ele já possui 117 figurinhas. Se o álbum completo tem 682 figurinhas, quantas figurinhas faltam para Felipe completá-lo? É oportuno mostrar que a ideia de completar ou de “quanto falta para” leva naturalmente à adição. Isso pode ser observado em situações do cotidiano; por exemplo, quando fazemos o troco é comum usarmos uma adição para efetuá-lo. Por exemplo, numa compra de 3,80 reais em que o freguês paga com uma nota de 5,00 reais, o caixa dá 10 centavos e diz 3,90; dá mais 10 e diz 4,00; dá mais 1,00 real e diz 5,00 reais.

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Atividades As atividades têm como objetivo explorar a subtração, e as ideias associadas a essa operação para encontrar as respostas. Orientar os alunos a utilizar a operação inversa quando necessário. Na atividade 3, se achar oportuno, orientar a utilizar uma planilha eletrônica para facilitar o cálculo da sequência numérica e, assim, determinar a ordem na qual o número 222 está nessa sequência. É interessante conversar com eles sobre algumas vantagens ao utilizar uma planilha eletrônica; por exemplo, os textos e eventuais imagens podem ser alterados rapidamente, algumas tarefas repetitivas podem ser executadas rapidamente no computador e, além disso, a troca de arquivos também pode ser feita de maneira rápida e eficiente. Mas esses benefícios não podem ser considerados motivos para que as atividades feitas utilizando lápis e papel sejam substituídas ou deixadas de lado; o computador, nesse caso, deve ser considerado uma importante ferramenta que pode ser usada para ampliar a atividade.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno. 1. Em 2017, 1 692 estudantes participaram de uma gincana cultural. Em 2018, o número de participantes nessa gincana foi 2 010. Em qual desses anos houve um número maior de participantes? Quantos participantes a mais? Em 2018; 318 participantes a mais. 2. Um automóvel custa, à vista, 27 545 reais e, a prazo, 36 290 reais. A diferença entre esses valores equivale ao juro que se paga pelo financiamento. Se uma pessoa comprar esse automóvel a prazo, que quantia pagará de juro? 8 745 reais. 3. Dada a sequência 282, 276, 270, ..., qual a posição ocupada pelo número 222 nessa sequência? 11a posição.

5. Na casa de Isabel, a leitura do hidrômetro, feita no dia 20 de março, indicava 2 431 metros cúbicos. Uma nova leitura, feita um mês depois, indicou 2 590 metros cúbicos. Quantos metros cúbicos de água Isabel e seus familiares consumiram nesse período? 159 m3

4. Esta tabela mostra os cinco países mais extensos do mundo em 2016.

Cinco países mais extensos País

Extensão territorial (em km2)

Brasil

8 515 759

Canadá

9 984 670

China

9 600 001

Estados Unidos

9 831 510

Rússia

17 098 240

Fonte: IBGE 2016. Disponível em: <https://paises.ibge.gov.br>. Acesso em: 30 abr. 2018.

a) Qual o país com maior extensão territorial? Rússia. b) Qual a posição ocupada pelo Brasil? a 5 posição. c) O Canadá e os Estados Unidos fazem parte do mesmo continente: a América do Norte. Quantos quilômetros quadrados o Canadá tem a mais que os Estados Unidos? 153 160 km2 d) Qual a diferença entre a extensão territorial da Rússia e a do Brasil? 8 582 481 km2

AMPLIANDO Atividade complementar 1. O quadrado mágico é composto por nove quadrados preenchidos com números, de tal forma que, se adicionarmos todos os números de cada linha horizontal, de cada linha vertical e das diagonais, o resultado será sempre o mesmo. Esse número é a constante do quadrado mágico. Observe o quadrado mágico a seguir e encontre a soma de uma linha para obter a constante. Depois, descubra os números que faltam.

Resoluções na p. 291

YEVHEN PROZHYRKO/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Hidrômetro é um aparelho que marca o consumo de água em metros cúbicos.

6. Uma empresa projetou as receitas mensais para o 1o trimestre do ano de 2018 do seguinte modo: em cada mês, a receita deverá ser 45 000 reais superior à do mês anterior. Essa previsão deu certo e, em março, a receita foi 1 365 000 reais. Qual foi a receita da empresa no mês de janeiro? 1 275 000 reais. 7. (Unicamp-SP) Minha calculadora tem lugar para 8 algarismos. Eu digitei nela o maior número possível, do qual subtraí o número de habitantes do estado de São Paulo, obtendo, como resultado, 63 033 472. Qual era a população do estado de São Paulo nesse ano? 36 966 527 habitantes.

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Nessa atividade, talvez seja necessário apresentar aos alunos a ideia de constante. É importante que eles percebam no quadrado mágico a constante de cada fila. Orientá-los a procurar os números que faltam, tendo como referência a coluna do meio, que já está completa. Depois de en-

contrarem os números, pedir a eles que apontem a ideia da subtração que utilizaram.

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Resolução da atividade 12

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Relação fundamental da subtração

Relação fundamental da subtração Nesta etapa, o foco é o conceito de operação inversa (a subtração como operação inversa da adição) – ideias intuitivas já trabalhadas nos anos iniciais do Ensino Fundamental –, bem como a exploração de algumas propriedades da adição e da subtração. É interessante trabalhar com exemplos em que o termo desconhecido na subtração é o subtraendo. Por exemplo, dada a subtração 45 _ ? = 23. Aplicando a operação inversa, tem-se: 23 + ? = 45. Essa adição permite calcular a parcela desconhecida, isto é: 45 _ 23 = 22.

Observe que: 9_5=4

5+4=9

e diferença

mesmo valor do minuendo

subtraendo

mesmo valor da diferença

minuendo

mesmo valor do subtraendo

Em Matemática, dizemos que as sentenças 9 _ 5 = 4 e 5 + 4 = 9 são equivalentes. 9_5=4k5+4=9 significa equivale a

Veja a relação fundamental da subtração: minuendo _ subtraendo = diferença k subtraendo + diferença = minuendo

Ou seja, a subtração é a operação inversa da adição. +15

35 _15

KAREN ROACH

Algumas teclas da calculadora Liga

Apaga o cálculo Desliga

Apaga o último número digitado Multiplicação

Divisão Igual

Subtração

Calculadora.

Adição

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Algumas teclas da calculadora É importante que os alunos aprendam a utilizar a calculadora como ferramenta para calcular, mas é interessante que eles percebam que ela também pode ser utilizada para verificar se os cálculos realizados estão corretos. Permitir que os alunos utilizem diferentes estratégias e recursos variados possibilita que eles reflitam sobre as estratégias utilizadas e aprofundem o conhecimento. Saber utilizar corretamente as teclas de uma calculadora simples viabiliza o uso eficiente da ferramenta que está sendo colocada à disposição. É possível neste momento trabalhar com exemplos variados de como realizar operações simples utilizando diferentes estratégias para resolvê-las, com e sem o uso da calculadora. Esse processo pode ajudar os alunos a se sentirem mais confiantes tanto no uso da calculadora quanto no desenvolvimento do raciocínio ao buscarem resolver e elaborar problemas.

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Atividades Nestas atividades, os alunos utilizarão, principalmente, as ideias trabalhadas sobre a operação subtração e a operação inversa da subtração. Pedir aos alunos que realizem as atividades em duplas. Incentivar a troca de ideias e informações. Observar a execução das atividades feitas pelos alunos para levantar as possíveis dúvidas ou dificuldades apresentadas. Depois, retomar esses pontos. É interessante ficar atento quando os alunos estiverem resolvendo situações em que é necessário encontrar o minuendo de uma subtração. É possível que eles efetuem uma subtração entre subtraendo e a diferença levando, assim, a um erro. Na atividade 2, perguntar se algum aluno já ouviu falar em superavit e explorar o significado da palavra. Como sugestão para mais informações, acesse o link: <http:// livro.pro/i5wb2m>. Acesso em: 7 ago. 2018. Na atividade 7, retomar as ideias associadas à subtração reforçando que quando perguntamos quanto uma delas tem a mais do que a outra, estamos usando a ideia de comparar duas quantidades. Se achar oportuno, pedir às duplas que elaborem problemas utilizando as ideias de tirar, comparar e completar da subtração. As atividades 5 e 6 apresentam situações que sugerem a utilização da calculadora, após a realização do cálculo mental. Aproveitar para trabalhar a estimativa dos resultados com eles. Ao realizar as atividades, os alunos poderão perceber a função da tecla = , isto é, poderão perceber que, ao acionar a tecla, eles efetuarão novamente a operação. Caso nenhum aluno possua calculadora, é possível juntá-los em grupos e providenciar ao menos uma para cada gru-

ATIVIDADES

Resoluções na p. 291

Responda às questões no caderno. 1. Qual é o número de 4 algarismos escondido em cada item? a)

3 806

+ b)

a) 2 0 0

0 3 984

_ 6

5. Essa atividade necessita de uso de calculadora. Porém, antes de teclar o sinal de = conforme cada item do exercício pede, calcule mentalmente os resultados para, com a calculadora, conferir se acertou. Anote o resultado de cada cálculo mental para a sua conferência.

b) 3 0 c)

2. Sabe-se que a balança comercial de um país apresenta superavit quando o volume das exportações é maior que o volume das importações. Sabe-se que, em determinado ano, um país teve um superavit comercial de 25 bilhões de dólares. Se, nesse ano, o volume das importações atingiu 97 bilhões de dólares, qual foi o volume, em bilhões de dólares, das exportações desse país? 122 bilhões de dólares. 3. Encontre os números que faltam: a) ? _ 6 429 = 6 991 13 420 b) 15 000 _ ? = 7 995 7 005 4. Dona Noêmia, a bibliotecária da escola, organizou uma tabela com os movimentos de retirada e devolução dos 40 livros indicados para leitura.

Movimento na biblioteca Dia

Retirada

Devolução

Segunda-feira

—

Terça-feira

—

Quarta-feira

—

Quinta-feira

Fonte: Biblioteca da escola.

Dos livros indicados, quantos estavam na biblioteca no início da sexta-feira? 14 livros.

= = = = 120

= = = = 18

7 0

d) 1 0 0

= = = = 150 0

= = = = 60

6. Quantas vezes, no máximo, você pode acionar a tecla = para que o resultado seja maior que zero? Anote. a) 8 5

= 10

b) 7 9

= 19

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

7. Uma academia de ginástica oferece três opções de atividades físicas aos seus alunos. Considerando que cada pessoa pode fazer uma única opção, os alunos estão assim organizados:

Número de alunos por atividade Atividade

Número de pessoas matriculadas

Alongamento

319

Musculação

426

Hidroginástica

565 Fonte: Academia de ginástica.

a) Quantas pessoas estão matriculadas nessa academia? 1 310 pessoas matriculadas. b) Em qual modalidade há mais inscritos? Hidroginástica. c) Nessa modalidade, quantas pessoas há a mais que na modalidade de menor matrícula? 246

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po, na tentativa de garantir que todos tenham acesso à calculadora para realizar os cálculos. Outra sugestão, se for possível, é utilizar a calculadora do celular ou do computador, caso tenham acesso à sala de informática.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS PARA QUEM QUER MAIS

Resoluções na p. 292

SIMON ANNABLE

DNEPWU

O fato de o Brasil ter um grande número de rios favorece a instalação de usinas hidrelétricas para a geração de energia. Para transformar a força das águas em energia elétrica, a água represada passa por dutos forçados e gira a turbina que, por estar interligada ao eixo do gerador, faz com que este entre em movimento, gerando a eletricidade. O consumo de energia elétrica depende da potência do aparelho utilizado e do tempo de utilização. Os aparelhos elétricos possuem diferentes potências, consumindo mais ou menos energia. Essa potência é expressa em watts (W) e deve estar mencionada na placa de identificação afixada no próprio aparelho. O medidor de energia elétrica (relógio de luz) registra o consumo de eletricidade das residências. O consumo do mês é calculado com base na diferença entre a leitura obtida no mês em curso e a do mês anterior. Placa de potência. O relógio de luz de ponteiros é composto de quatro relógios pequenos. Os ponteiros giram sempre no sentido crescente dos números, ou seja, do menor para o maior. Dos quatro relógios pequenos, dois giram no sentido horário e dois, no sentido anti-horário. O primeiro relógio, a partir da esquerda, marca o número que se refere à unidade de milhar, o segundo se refere à centena, o terceiro, à dezena, e o quarto, à unidade simples. Para fazer a leitura, comece pelo relógio da direita, escrevendo o último número ultrapassado. Se o ponRelógio medidor de consumo de eletricidade. teiro estiver entre dois números, o menor deles é que deverá ser considerado.

DOTTA2

Por dentro da energia elétrica

Lemos: 3 048.

1. Considere que o número obtido no exemplo acima corresponde à última leitura do relógio de luz da sua casa. Você e sua família estabeleceram uma meta de consumo de energia mensal de 482 quilowatts-hora. a) Supondo que a próxima leitura indicará o número 3 530, verifique no caderno se será ultrapassada a meta de consumo que estabeleceu para sua casa. A meta não foi ultrapassada. b) Desenhe no caderno os relógios do medidor com os ponteiros marcando a nova leitura. Lembre-se de que, quando o ponteiro de um relógio passa pelo zero, o ponteiro do outro relógio, localizado à sua esquerda, avança uma unidade.

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Para quem quer mais A seção apresenta uma situação em que é possível aplicar o conhecimento adquirido sobre as operações de adição e de subtração em atividades do cotidiano. Se possível, pedir aos alunos que tragam para a sala de aula uma conta de luz com o objetivo de construir uma tabela onde eles possam comparar o consumo de energia de sua família durante um determinado período. Pedir aos alunos que observem se o consumo se manteve estável, aumentou ou diminuiu, identificando os meses de maior e menor consumo, por exemplo. Pedir aos alunos que, se possível, observem o medidor de energia elétrica (relógio de luz) da casa deles e o compare com o apresentado na seção. Explicar a eles que existem medidores mais modernos, que apresentam diretamente o consumo. Aproveitar para fazer uma comparação entre os tipos de medidores, se possível, providenciar fotos. Depois os alunos podem desenvolver, com seus familiares, um plano com estratégias que os ajudarão a economizar energia elétrica. Propor aos alunos que: • observem e registrem as situações em que há uso de energia elétrica em sua casa; • levem os registros para a escola e que, em grupos com quatro alunos, pensem em formas de economizar energia elétrica nas atividades registradas; • levem as sugestões de economia para seus familiares; • anotem o consumo de energia elétrica durante o mês anterior ao mês em que foram adotadas as medidas de economia de energia para que tenham a comprovação da eficácia das ações tomadas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

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Da tabela para o gráfico de barras: leitura e interpretação Na Unidade 1, construímos uma tabela com a quantidade de vezes que cada seleção foi campeã da Copa do Mundo de Futebol. Vamos representar essas quantidades por meio de um gráfico de barras. A representação gráfica é outro meio de organização dos dados de uma pesquisa. É possível obter algumas informações apenas pela observação do tamanho das barras do gráfico.

a pa

nç

ti n

Fr a

Fonte: FIFA. FIFA World Cup Archive. Disponível em: <www.fifa.com/tournaments/ archive/worldcup/index.html>. Acesso em: 18 jul. 2018.

EDITORIA DE ARTE

País

Espanha

França

Argentina

Inglaterra

Brasil

Alemanha

lia

Itália

Uruguai

Quantidade de Copas vencidas

Quantidade

Itá

Seleção

Quantidade de vezes que cada seleção foi campeã

Tratamento da informação Pedir aos alunos que leiam a tabela e o gráfico sobre a quantidade de vezes que cada seleção foi campeã e fazer perguntas como: “Qual o título da tabela? E o título do gráfico? O que informa a primeira coluna da tabela? E o eixo horizontal no gráfico? E a segunda coluna da tabela, o que ela nos informa? E o eixo vertical do gráfico?” Espera-se que os alunos reconheçam que as informações da tabela e do gráfico são as mesmas, apresentadas de maneira diferente. Em seguida, pedir aos alunos que comparem a tabela e o gráfico e avaliem em qual deles é mais fácil analisar as informações apresentadas; é interessante pedir a eles que justifiquem as respostas. Caso seja necessário, aproveitar para fazer uma retomada sobre os principais elementos de um gráfico e de uma tabela. Nesta seção, os alunos têm a oportunidade de trabalhar a adição em situações que envolvem gráficos e tabelas, tanto em situações que podem ser vivenciadas por eles, como é o caso do gráfico da atividade 1, quanto com dados reais, o gráfico da atividade 3, por exemplo, apresenta dados sobre os dez países com a maior população de adultos analfabetos. Nesse contexto, além da comparação de números naturais e o trabalho com a adição, é possível explorar a leitura e a interpretação de gráficos. É interessante discutir com os alunos os motivos que podem levar ao desenvolvimento de uma pesquisa, ou seja, a quais questionamentos se pretende responder. Dessa forma, eles poderão explorar os resultados divulgados em diferentes pesquisas e perceber a quais questionamentos tais informações respondem, por quais motivos foram le-

Fonte: FIFA. FIFA World Cup Archive. Disponível em: <www.fifa.com/tournaments/archive/worldcup/index.html>. Acesso em: 18 jul. 2018.

Observando o gráfico de barras, concluímos que o Brasil é a seleção que mais vezes ganhou a Copa do Mundo de Futebol. Outras informações podem ser extraídas do gráfico, como quais seleções ganharam a mesma quantidade de vezes a Copa do Mundo. Por exemplo: Uruguai, Argentina e França ganharam duas vezes cada. Essa afirmação pode ser observada e constatada tanto pelo valor no eixo vertical quanto pelo tamanho das barras, que são iguais e, portanto, representam a mesma quantidade. O gráfico de barras pode ser utilizado para representar diversas situações. Observe os gráficos a seguir e, no caderno, responda ao que se pede. 46

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vantadas e ainda a quem pode interessar o resultado de cada pesquisa divulgada. A ideia é ir além da análise dos dados coletados, do aperfeiçoamento da leitura de tabelas e da transposição dos dados da tabela para o gráfico.

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2. a) Nascimento no primeiro semestre de 2019. Indicar o assunto ao qual os dados do gráfico se referem. 1. A turma de Caio organizou uma rifa. O gráfico mostra quantos alunos compraram um mesmo número de bilhetes.

3. b) Países; quantidade de adultos analfabetos em milhões. a) Qual é o título do gráfico? Qual a importância do título num gráfico? b) O que informa o eixo horizontal? E o eixo vertical? Meses do ano; número de nascimentos. c) Quantos nascimentos houve nessa cidade no 1o semestre de 2019? 136 d) Em que mês foi maior o número de nascimentos? Abril. e) Em que mês foi menor? Fevereiro e maio.

Bilhetes comprados Número de bilhetes 5 4 3 2

8 10 12 14 16 18 20 Número de alunos

Fonte: Turma do Caio.

a) Quantos alunos compraram: • 3 bilhetes? 8 alunos. • 2 bilhetes? 16 alunos. • 4 bilhetes? 4 alunos. • 5 bilhetes? 12 alunos.

152 bilhetes. b) Quantos bilhetes foram vendidos? c) Quantos alunos já compraram bilhetes da rifa? 60 alunos.

2. O gráfico de barras indica o número de nascimentos em certa cidade, no primeiro semestre de 2019.

Adultos analfabetos (em milhões)

300

Nascimento no primeiro semestre de 2019 Número de nascimentos 25 24 23 22

Fonte: Dados fictícios.

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n. ju

ar .

Meses

AMPLIANDO

250 200 150

50 40 30 20 10 0

EDITORIA DE ARTE

Índ ia C hi Pa q n a ui Ban stão gla des h Nig é r ia E ti óp ia Egi to Br I n d a s il on R e p é s ia .D Co e m . ng o Pa í s es

EDITORIA DE ARTE

3. De acordo com o Relatório de Monitoramento Global de Educação para Todos, da Unesco, dez países são responsáveis por quase três quartos (72%) do número de adultos analfabetos no mundo. Estima-se que o número de analfabetos, em 2015, tenha sido de 743 milhões. Analisando o gráfico abaixo, responda: a) Qual a fonte dos dados representados nesse gráfico? Unesco. b) O que indica o eixo horizontal? E o eixo vertical? c) Esse gráfico ajuda você a compreender o analfabetismo no mundo e em especial no Brasil? Discuta com seus colegas e depois redija as suas conclusões. Resposta pessoal. Dez países com a maior população de adultos analfabetos, 2005 a 2011

Explicar aos alunos que nas atividades 2 e 3 o corte no eixo vertical indica um salto feito no eixo. Esses cortes não comprometem a leitura e servem para facilitar a construção do gráfico, pois não há valores no eixo vertical que se localizam dentro do corte. Na atividade 2, promover uma discussão entre os alunos sobre a importância de avaliar o número de nascimentos de crianças ao longo do tempo e os seus impactos sociais. Se achar oportuno, organizar a turma em duplas para realizar uma pesquisa sobre o do número de nascimento de crianças no Brasil. No link a seguir é apresentada uma sugestão: <http://livro.pro/yckkhd>. Acesso em: 7 ago. 2018. Depois, solicitar que façam um relatório com as conclusões sobre o assunto.

Fonte: UNESCO. Relatório de Monitoramento Global de Educação para Todos 2000-2015. Disponível em: <http://unesdoc.unesco.org/ images/0023/002325/232565por.pdf>. Acesso em: 9 ago. 2018.

Atividade complementar Solicitar aos alunos que façam uma pesquisa sobre hábitos de praticar esporte da turma. Em seguida, eles devem organizar os dados em uma tabela e depois em um gráfico de barras. Se possível, eles podem usar uma planilha eletrônica para organizar os dados. Posteriormente, pedir aos alunos que pesquisem sobre os benefícios da prática de atividade física regular, incentivando uma discussão sobre os resultados da pesquisa e as recomendações dos especialistas de saúde. Ao final, pedir que redijam a conclusão do estudo.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Acompanhe as situações apresentadas e como elas são associadas à multiplicação. 1 Leandro trabalha em uma quitanda e organizou algumas laranjas em grupos com 4 elementos, formando, ao todo, seis grupos. Quantas laranjas Leandro organizou dessa forma? Para saber quantas laranjas Leandro organizou, podemos fazer: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 Essa situação também pode ser resolvida por meio de uma multiplicação. Veja: 4 ! 4 ! 4 ! 4 ! 4 ! 4 " 6 x 4 " 24 6 vezes

produto (resultado da multiplicação) fator fator

São 24 laranjas. Nesse caso, utilizamos a multiplicação para adicionar parcelas iguais.

2 Veja como o professor de Educação Física organizou seus alunos para uma demonstração de ginástica.

coluna

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linha

Quantos alunos vão participar da demonstração? Como são 6 linhas de 9 alunos, calculamos o total de alunos efetuando a multiplicação de 6 por 9: 6 x 9 = 54 ou como são 9 colunas de 6 alunos, calculamos o total de alunos efetuando a multiplicação de 9 por 6: 9 x 6 = 54 Portanto, participarão da demonstração de ginástica 54 alunos.

12 + 12 + 12 + 12 + .... + 12

Nesta situação, utilizamos a multiplicação para contar elementos em uma organização retangular.

45 vezes 48

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como o da imagem ao lado referente à multiplicação e solicitar a eles que determinem o número de quadradinhos, registrando a estratégia no caderno. Aproveitar o momento e incentivar os alunos a verificar que, fazendo a contagem dos quadradinhos, 7 x 4 é o mesmo que 4 x 7. Este pode

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ser um passo importante para validar a propriedade comutativa na multiplicação.

EDITORIA DE ARTE

Explorar a ideia de contagem de parcelas iguais. Pedir aos alunos que utilizem diferentes maneiras de agrupar 24 palitos em parcelas iguais e representá-las com as operações adição e multiplicação. Veja algumas possibilidades: 1 + 1 + 1 + ...+ 1 = 24 x 1 2 + 2 + ... + 2 = 12 x 2 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 8 x 3 e assim por diante. Outra sugestão para o desenvolvimento desse conteúdo é apresentar um retângulo

MULTIPLICAÇÃO

HEMERA

Multiplicação O objetivo aqui é retomar e aprofundar as ideias associadas à multiplicação. O aluno poderá identificá-la como uma adição de parcelas iguais e utilizar os fatos básicos da multiplicação por meio da organização retangular no raciocínio combinatório e na proporcionalidade. Nesta fase, é importante identificar e respeitar as possíveis dificuldades que os alunos possam ter no processo de aprendizagem para que eles não associem a multiplicação apenas com a memorização da tabuada e o seu algoritmo. Começar verificando o conhecimento prévio dos alunos. Para isso, apresentar palitos divididos em 5 grupos, cada grupo com 8 palitos, e pedir a eles que registrem o resultado no caderno. É interessante que eles socializem as estratégias utilizadas. É possível que os alunos procedam de duas maneiras distintas: fazendo a soma de parcelas iguais (8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40) ou a multiplicação de parcelas iguais (5 x 8) = 40. Mostrar aos alunos que ao resolver pela multiplicação eles simplificam a adição, que em alguns casos pode ser bastante extensa, por exemplo, para calcular o total de ovos que cabem em 45 caixas de 1 dúzia, é mais fácil calcular 45 x 12 do que fazer:

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No primeiro exemplo desta página, a quantidade de opções e, consequentemente, de combinações é, por uma questão didática, pequena. Isso permite criar um quadro com todas as informações e, a partir dele, fazer a contagem das combinações. Esse exemplo pode levar os alunos a questionar o motivo de se utilizar a multiplicação, pois a construção de um quadro se mostra tão eficaz quanto o cálculo. Para isso, apresentar situações em que a montagem de um quadro é inviável. Por exemplo: na dúvida sobre como se arrumar para determinado evento, uma pessoa separou 5 camisetas, 3 calças, 3 pares de meias e 2 pares de tênis. De quantas maneiras essa pessoa poderá se arrumar, levando em consideração que cada combinação envolve as seguintes peças: 1 camiseta, 1 calça, 1 par de meias e 1 par de tênis? Explicar que nesse caso, para calcular o número de opções possíveis, multiplicam-se as quantidades de cada item. 5 x 3 x 3 x 2 = 90 Ou seja, há 90 combinações possíveis. Ajudar os alunos a notarem que fazer um quadro com todas essas possibilidades é um processo extenso e que o cálculo da multiplicação é mais rápido e prático.

3 Pedro está escolhendo 1 bola de sorvete com um tipo de cobertura. Mas as opções são muitas. De quantas maneiras diferentes Pedro pode montar seu sorvete? Para facilitar a resolução desse problema, vamos organizar os dados em um quadro: Sabor Cobertura

Abacaxi

Coco

Flocos

Creme

Pelo quadro, temos: 3 ! 3 ! 3 ! 3 " 12

Caramelo

12 maneiras diferentes de montar o sorvete

Chocolate

BENTINHO

Morango

Como são 4 tipos de sorvete e 3 tipos de cobertura, calculamos o número de maneiras diferentes de montar o sorvete efetuando o produto de 4 por 3. tipos de sorvete

4 x 3 = 12

maneiras diferentes de montar o sorvete

tipos de cobertura

Pedro pode montar seu sorvete de 12 maneiras diferentes. Aqui utilizamos a multiplicação para saber quantas combinações podemos fazer.

4 Ao fazer refresco de uva, utilizam-se 4 copos de água para cada copo de suco concentrado. Quantos copos de água são necessários para preparar esse refresco usando 2 copos de suco concentrado? E usando 3 copos? 1 copo de suco 2 copos de suco 3 copos de suco

1 x 4 = 4 (copos de água) 2 x 4 = 8 (copos de água) 3 x 4 = 12 (copos de água)

Para esta situação, a multiplicação é aplicada com a ideia de proporcionalidade. p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 292

1. Na barraca de frutas de Lindalvo, todos os domingos seu Agenor compra meia dúzia de maçãs e dona Berta compra uma dúzia. O próximo domingo é dia de eleições para escolher o presidente da República e os deputados federais e estaduais. Como não vai haver feira, seu Agenor e dona Berta resolveram levar 2 vezes mais a quantidade que costumam comprar. Responda no caderno: a) Quantas maçãs levou cada um? Seu Agenor: 12 maçãs; dona Berta: 24 maçãs. b) Se resolvessem levar 5 vezes a quantidade de maçãs de costume, quantas maçãs cada um levaria? Seu Agenor: 30 maçãs; dona Berta: 60 maçãs.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Para a ideia de proporcionalidade utilizada na multiplicação, é importante ressaltar que as variáveis aumentam proporcionalmente. Para isso, ler com os alunos a situação-problema do livro e fazer com eles um esquema como o apresentado a seguir:

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1 copo de suco 2 copos de suco

4 copos de água 8 copos de água

1 copo de suco 3 copos de suco

4 copos de água 12 copos de água

1 copo de suco 4 copos de suco

4 copos de água 16 copos de água

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2x0=0 2 x 10 = 20 2 x 100 = 200 0 + 20 + 200 = 220 10 x 0 = 0 10 x 10 = 100 10 x 100 = 1 000 0 + 100 + 1 000 = 1 100 Depois basta somar: 1 100 + 220 = 1 320 Depois de explorar o processo da decomposição e do algoritmo usual, sugere-se aqui explorar métodos alternativos para realizar a multiplicação; para isso, pode-se recorrer à história da Matemática. Assim, os alunos podem perceber as diferenças e semelhanças entre os métodos apresentados. A utilização da história da matemática permite a eles que percebam que as ideias e os conceitos matemáticos foram desenvolvidos ao longo do tempo de acordo com a necessidade de cada período. Para isso, organizar a turma em grupos e pedir aos alunos que pesquisem e apresentem como os diversos povos, egípcios, gregos, chineses, camponeses russos, realizavam a multiplicação. O processo de Gelosia é interessante para essa atividade. Promover uma discussão sobre as diferenças e semelhanças entre os métodos apresentados. Esta atividade pode ser realizada em grupo.

O algoritmo da multiplicação Para efetuar uma multiplicação, podemos utilizar dois processos: da decomposição e do algoritmo usual. Acompanhe as situações a seguir. 1 No anfiteatro de uma escola há 6 fileiras com 24 poltronas em cada fileira. Quantas poltronas há nesse anfiteatro? Para resolver esse problema, podemos fazer 6 x 24. Veja um esquema com organização retangular: 20

6 x 20 = 120 6

6 x 20 = 120

6 x 4 = 24

EDITORIA DE ARTE

O algoritmo da multiplicação Após os dois exemplos apresentados na página do livro do aluno, incentivar os alunos a resolver outro caso, agora sem a organização retangular. Esse processo é importante para o desenvolvimento do cálculo mental. • Calcular o produto de 110 x x 12. Decompondo o primeiro fator: 110 = 100 + 10 + 0. Decompondo o segundo fator: 12 = 10 + 2 Então, temos que: 100 + 10 + 0 x 10 + 2

6 x 4 = 24 + 144

Usando o algoritmo, temos: 2

20 " 4 !6 24 " 120 144

24 ou

! 6 144

No anfiteatro há 144 poltronas. 2 Uma máquina produz 26 peças por hora. Quantas peças são produzidas em 12 horas por essa máquina? Para resolver essa situação, podemos fazer 12 x 26. Usando o algoritmo: 20 " 6 1

! 10 " 2 12 40 60 200 312

26 12 ! 52 " 260 312

São produzidas 312 peças.

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Responda às questões no caderno. 1. Para fazer uma jarra de suco de laranja são necessárias cerca de 6 laranjas.

freguês, seu João vai fazer um quadro com os preços de 2, 3, 4, 5, 6 e 7 desses pães. Faça você também o quadro.

Uma lanchonete vende, em média, 50 jarras de suco de laranja por dia.

Quantidade de pães

Quantas laranjas, no mínimo, o dono da lanchonete deve ter diariamente para atender a freguesia? 300 laranjas.

Preço total

2 reais

2. A parede lateral de uma piscina foi revestida com 13 linhas de 43 azulejos em cada linha. Quantos azulejos foram usados para revestir essa parede? 559 azulejos. 3. Uma cidade tem 27 560 domicílios. Supondo que cada domicílio tenha, em média, 4 moradores, qual é a população aproximada dessa cidade? Aproximadamente 110 240 habitantes. 4. Helena não consegue decidir o que vai vestir. Ela está em dúvida entre 2 saias (preta ou cinza) e 3 blusas (branca, amarela ou vermelha). Quantas opções diferentes Helena tem? Para responder, faça uma tabela ou um esquema. 6 opções diferentes. 5. Uma linha de trem metropolitano liga duas estações, Ambrosina e Bons Tempos. Essa linha funciona 16 horas por dia, e a cada hora saem 6 trens da estação Ambrosina. a) Quantos trens partem de Ambrosina por dia? 96 trens. b) Se cada trem que parte de Ambrosina pode, no máximo, levar 125 passageiros por viagem, qual o número máximo de passageiros que essa linha transporta, por dia, de Ambrosina para Bons Tempos? 12 000 passageiros. 6. Na padaria de seu João, o pão recheado custa 2 reais. Para facilitar o cálculo do

Para facilitar a compreensão e a consolidação dos conceitos explorados na multiplicação, pedir aos alunos que elaborem um cartaz com as ideias da multiplicação usadas na resolução de problemas: adicionar parcelas iguais, organização retangular, combinações e proporcionalidade. Expor o material em um lugar onde os alunos possam consultar a qualquer momento. Em seguida, sugerir a cada aluno que elabore e registre no caderno um problema que possa ser resolvido utilizando uma multiplicação. Depois, os alunos podem trocar os problemas elaborados com os colegas para identificar a ideia da multiplicação utilizada e, em seguida, devem resolvê-los registrando as estratégias utilizadas na resolução. Depois eles podem realizar as correções.

... ...

Resposta no fim do livro. 7. Um campo de futebol tem a forma retangular e mede 120 m por 90 m. A área desse campo é obtida multiplicando o comprimento pela largura.

• Qual é a área de um sítio que corresponde a 15 vezes a área desse campo? 162 000 metros quadrados. 8. Um programa de computador, cada vez que é executado, dobra o número de linhas verticais e o número de linhas horizontais que formam uma imagem digital. Uma imagem tinha, no início, 64 linhas verticais e 32 linhas horizontais. Se o programa foi executado 4 vezes, quantas linhas verticais e quantas linhas horizontais passou a ter essa imagem? 1 024 linhas verticais e 512 linhas horizontais. 9. Veja como Camilo calcula 34 x 12. 34 x 12 34 x (10 + 2) (34 x 10) + (34 x 2) 340 + 68 300 + 40 + 60 + 8 300 + 100 + 8 = 408 Agora, calcule do mesmo jeito que Camilo: a) 24 x 35 840 c) 45 x 92 4 140 b) 35 x 24 840 d) 92 x 45 4 140 51

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Atividades Com estas atividades, os alunos terão a oportunidade de compreender o algoritmo da multiplicação, e reconhecer e aplicar as ideias da multiplicação. Na atividade 1, desenvolve-se a ideia da proporcionalidade; segue uma sugestão para a resolução do problema: • 6 laranjas, que equivalem a 1 jarra de suco de laranja; • 12 laranjas, que equivalem a 2 jarras de suco de laranja; • 18 laranjas, que equivalem a 3 jarras de suco de laranja. É possível que algum aluno resolva desenhar as jarras de suco. Esperar que ele comece e, depois de algum tempo, questionar sobre essa forma de resolver o problema, ajudando-o a perceber que esse processo será moroso. É interessante que os alunos percebam que um registro escrito como o apresentado a seguir é viável. Para 1 jarra de suco de laranja, são usadas 6 laranjas. Para 2 jarras de suco de laranja, são usadas 12 laranjas. Para 3 jarras de suco de laranja, são usadas 18 laranjas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Propriedades da multiplicação Registrar as propriedades da multiplicação no mesmo quadro sugerido na página 37, em que estão as propriedades da adição. Dessa forma, os alunos terão um local para consulta, sempre que necessário. Propriedade comutativa Em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, podem-se trocar os fatores de posição que o resultado da multiplicação será sempre o mesmo. Exemplo: 1 x 2 x 3 x 4 = 24 2 x 3 x 4 x 1 = 24 3 x 4 x 1 x 2 = 24 4 x 2 x 3 x 1 = 24 Propriedade associativa Ao multiplicar três ou mais fatores, podem-se escolher várias ordens para resolver a operação da multiplicação, e o resultado sempre será o mesmo. Exemplo: (3 x 5) x 7 = 15 x 7 = 105 3 x (5 x 7) = 3 x 35 = 105 5 x (3 x 7) = 5 x 21 = 105 Propriedade do elemento neutro O número 1 é o elemento neutro da multiplicação, pois o produto de qualquer número por 1 é sempre igual a esse número. Exemplos: 1x2=2 10 x 1 = 10 132 x 1 = 132 1 x 12 345 = 12 345

Propriedades da multiplicação 1 Multiplicando um número natural qualquer por 0, obtemos o próprio número 0 como resultado. equivale à adição de cinco parcelas iguais a 0 5x0=0 20 x 0 = 0 equivale à adição de vinte parcelas iguais a 0

2 Consideremos os números naturais 14 e 25 e vamos determinar o seu produto: 14 x 25 = 350

25 x 14 = 350

Podemos notar que: 14 x 25 = 25 x 14. Como esse fato sempre se repete quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, temos que: Em uma multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto. Essa propriedade é chamada propriedade comutativa da multiplicação. 3 Vamos considerar, agora, os números naturais 5, 18 e 23 e determinar o seu produto associando os números de formas diferentes: 5 x 18 x 23 = !

5 x 18 x 23 =

x 23 = 2 070

!5x

414

= 2 070

Dessa forma, temos: (5 x 18) x 23 = 5 x (18 x 23) Esse fato sempre se repete na multiplicação de três números naturais quaisquer. Verifique usando três outros números quaisquer. Em uma multiplicação de três números naturais quaisquer, podemos associar os fatores de modos diferentes. Essa propriedade é chamada propriedade associativa da multiplicação. 4 Consideremos as multiplicações a seguir e vamos determinar o seu produto, independentemente da ordem dos fatores. 1 x 25 = 25

25 x 1 = 25

Observe que, quando o número 1 é um dos fatores, ele não influi no resultado da multiplicação. Em uma multiplicação de um número natural qualquer por 1, o produto é sempre igual a esse número natural. Nessas condições, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

5 Veja como calculamos o produto 4 x (17 + 32).

Propriedade distributiva da multiplicação Multiplicar um número natural por uma adição significa multiplicar o número natural por cada uma das parcelas e, no final, adicionar os resultados de cada multiplicação. Exemplo: 6 x (12 + 5 + 6 + 11) = = (6 x 12) + (6 x 5) + + (6 x 6) + (6 x 11) = = 72 + 30 + 36 + 66 = = 204

4 x (17 + 32) = = (17 + 32) + (17 + 32) + (17 + 32) + (17 + 32) = = 17 + 32 + 17 + 32 + 17 + 32 + 17 + 32 = = 17 + 17 + 17 + 17 + 32 + 32 + 32 + 32 = 4 vezes

pela definição de multiplicação eliminamos os parênteses pela propriedade comutativa da adição

4 vezes

= (4 x 17) + (4 x 32) Observe que: 4 x (17 + 32) = (4 x 17) + (4 x 32) Experimente calcular o produto de uma adição usando números diferentes.

Para multiplicar um número natural por uma adição de duas parcelas, multiplicamos o número pelas parcelas e, a seguir, adicionamos os resultados obtidos. 4 x (17 + 32) = (4 x 17) + (4 x 32) Essa propriedade é chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Essa propriedade pode ser estendida para a multiplicação de um número por uma diferença indicada. 7 x (20 _ 11) = (7 x 20) _ (7 x 11)

ATIVIDADES

Resoluções na p. 293

Responda às questões no caderno. 1. Sabe-se que a e b são dois números naturais tais que a x b = 237. Qual é o valor da expressão b x a? 237 2. Considere a igualdade 37 x n = 63 x 37. Qual o valor que se deve colocar no lugar de n para que a igualdade seja verdadeira? 63

3. Calcule de duas maneiras diferentes o valor de 81 x 35 x 60. 2 835 x 60 = 170 100 ou 81 x 2 100 = 170 100 4. Escreva duas maneiras diferentes para dar o valor de: 25 x 123 = 3 075 ou a) 25 x (72 + 51) (25 x 72) + (25 x 51) = 3 075 b) 32 x (64 _ 48) 32 x 16 = 512 ou (32 x 64) _ (32 x 48) = 512 5. Determine o valor de a: a) a x 27 = 27 1 b) 45 x a = 0 0

Atividades Nestas atividades os alunos terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos sobre as propriedades da multiplicação. Essas propriedades vão auxiliá-los nos cálculos numéricos e algébricos contribuindo para o desenvolvimento de suas habilidades com cálculo mental. Por isso, são extremamente importantes. Pedir aos alunos que realizem estas atividades individualmente. Nesse momento, orientar os alunos a consultar o quadro com o resumo das propriedades. É importante acompanhar a realização das atividades. Caso haja alguma dúvida ou dificuldade, retomar os conteúdos estudados.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

DIVISÃO

1 Uma escola de educação fundamental tem como norma colocar o mesmo número de alunos em cada classe. Essa escola tem 243 alunos matriculados em 9 classes do 6o ano. Quantos alunos há em cada classe? Para resolver esse problema, podemos fazer 243 : 9.

RENATO SOARES/PULSAR IMAGENS

Acompanhe as situações apresentadas abaixo.

Crianças na escola.

C D U dividendo

2 4 3 9 6 3 2 7 resto 0 D U

divisor quociente

Como o resto da divisão é igual a 0, a divisão é exata. Então, em cada classe há 27 alunos.

2 Uma editora enviou 183 livros para a biblioteca de uma escola. Eles foram colocados em 12 caixas, de modo que todas as caixas tivessem o mesmo número de livros. Quantos livros foram colocados em cada caixa? Para resolver esse problema, devemos fazer 183 : 12. JOÃO PRUDENTE/PULSAR IMAGENS

Divisão Neste momento, quando a última das operações fundamentais será estudada, os alunos já devem estar cientes de que há mais de uma ideia associada a cada uma das operações. Permitir, nesse momento, a leitura individual das duas ideias apresentadas e pedir aos alunos que debatam suas conclusões. Pedir a eles que durante a leitura já elaborem exemplos que servirão para expor suas deduções. É importante, também, que os alunos se lembrem dos nomes dados às partes que compõem uma divisão (dividendo, divisor, resto e quociente), pois esses nomes serão utilizados no estudo da relação fundamental da divisão. É primordial que esses nomes sejam compreendidos e não apenas memorizados sem o seu significado. Aqui o algoritmo da divisão é explorado junto com as ideias da operação. É importante ressaltar que no algoritmo da divisão os alunos podem encontrar alguma dificuldade. Provavelmente por não compreenderem o processo e realizarem o algoritmo de forma mecânica. Por esse motivo, essa retomada deve ser feita de modo que o aluno compreenda a lógica aplicada ao processo dos algoritmos da divisão. Para isso, podem-se utilizar jogos ou materiais manipulativos, como o material dourado, para dar significado e facilitar a compreensão do aluno. Apresentar algumas situações-problema que contemplem as ideias de dividir em partes iguais e de medir, tomando cuidado para que não sejam apresentados exemplos que compreendam apenas a ideia de distribuir. É interessante os alunos vivenciarem essas ideias antes de explorar o algoritmo. Desse modo, eles compreendem que, quando precisamos dividir o todo em um número de partes, essas partes serão iguais. Por

C D U dividendo

1 8 3 1 2 6 3 1 5 resto 3 D U

divisor quociente

Adolescentes consultando livros na biblioteca.

Como o resto é igual a 3, a divisão não é exata. Portanto, em cada caixa serão colocados 15 livros e sobrarão 3, que, provavelmente, serão encaminhados em um pacote à parte. Nas duas situações trabalhamos com a ideia de dividir uma quantidade em partes iguais. 54

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exemplo, tenho 24 bombons e gostaria de reparti-los entre os meus 3 sobrinhos. Ao fazer a divisão, fica implícito que os sobrinhos receberão partes iguais. Utilizar material concreto e pedir aos alunos que registrem, no caderno, um desenho ou esquema mostrando como foi feita a divisão.

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DAYANE RAVEN

C D U

dividendo

1 9 2 1 2 7 2 1 6 resto 0 D U

divisor quociente

Ele vai conseguir formar 16 equipes. Usamos essa outra ideia da divisão quando queremos saber quantos grupos serão formados, ou seja, quando precisamos saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra quantidade usamos a ideia de medida. p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 293

Pense e responda As questões levam os alunos a observar o desenvolvimento de algumas ideias associadas à divisão. Sugere-se incentivar os alunos a compartilhar o que sabem sobre as ideias associadas à divisão e a buscar diferentes estratégias para a resolução das situações apresentadas. O objetivo aqui é associar a divisão de números naturais às ideias de “repartir em partes iguais” e de “quantas vezes cabe” e trabalhar com problemas que envolvem a divisão. Se possível, levar para a sala de aula as barras Cuisenaire e permitir aos alunos que realizem diferentes explorações, como a construção dos “muros”.

1. Você já viu estas barrinhas, conhecidas como barrinhas Cuisenaire? cor branca cor vermelha

cor verde-clara

cor roxa

cor amarela

5) 6)

cor verde-escura

cor preta

cor marrom

cor azul

EDITORIA DE ARTE

cor alaranjada

10) Responda às questões no caderno:

Não; sobra um pedaço de 2 quadradinhos roxos. a) Quantas vezes a barrinha vermelha cabe na barrinha marrom? 4 vezes. b) De quantas barrinhas verde-claras eu preciso para completar duas azuis? 6 c) Três barrinhas roxas cabem exatamente em uma barrinha alaranjada? Por quê?

3+3+2

d) Quatro barrinhas vermelhas cabem exatamente em uma barrinha azul? Por quê? Não; fica faltando um pedaço de 1 quadradinho para completar a barrinha azul. 55

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para a ideia de medida associada à divisão, o aluno precisa determinar quantas vezes uma quantidade cabe em outra. Por exemplo, preciso saber quantos laços de 30 cm podemos fazer com uma fita de 150 cm. É conveniente que os alunos façam desenhos ou

esquemas no caderno. Caso seja necessário, utilizar material manipulável. Por fim, pedir aos alunos que resolvam uma divisão com números grandes de maneira que percebam que a resolução por desenhos e material manipulável fica muito trabalhosa. Portanto, o uso do algoritmo

técnica de divisão onde se faz uso de estimativas e subtrações sucessivas. Esse método pode ser uma forma segura de chegar ao quociente. Pedir aos alunos que comparem os métodos e avaliem qual é o método que eles têm mais segurança em aplicar. É importante incentivá-los a usar o método com o qual eles se sentem mais seguros. Nos casos em que o quociente tem zero intercalando as ordens numéricas, por exemplo, 1 122 : 11 = 102, se achar necessário, utilizar o material manipulável para auxiliar na compreensão dos conceitos que fazem parte desse processo.

2+2+2+2

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se faz necessário por ser um método prático. Começar verificando o conhecimento prévio dos alunos. Explorar essas ideias para que eles possam compreender o significado de cada passo. Caso nenhum aluno apresente o método Americano como sugestão de algoritmo, introduzir essa

4+4 5+3 6+2 7+1 8+0

EDITORIA DE ARTE

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3 Uma equipe de voleibol é composta de 12 jogadores, sendo 6 titulares e 6 reservas. O professor de Educação Física de um colégio dispõe de 192 alunos para organizar um torneio de voleibol. Quantas equipes, com titulares e reservas, ele vai conseguir formar? Queremos saber quantos grupos de 12 cabem em 192, ou seja, podemos fazer 192 : 12.

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Atividades Na atividade 2, os alunos poderão conversar sobre a forma como os papéis de carta serão distribuídos entre as irmãs. Eles devem perceber que, na situação-problema, todas devem receber a mesma quantidade de papéis de carta. O uso de cálculo mental para realizar a estimativa poderá ser apresentado aos alunos como desafio. Assim que todos tiverem feito as estimativas, pedir a eles que façam os cálculos e verifiquem se eles se aproximaram do resultado correto. Observar se os alunos estão utilizando o algoritmo da divisão para calcular. Caso perceba alguma dificuldade quanto ao algoritmo, fazer os cálculos na lousa, para que todos possam participar. Depois de resolver a atividade 4, é interessante explorar a mesma situação-problema com outros dados onde a divisão não seja exata. Perguntar aos alunos quantas viagens serão necessárias para levar 370 pessoas, por exemplo. É provável, que alguns alunos respondam que serão necessárias 8 viagens. Nesse caso, perguntar a eles o que significa o resto 10 nessa divisão. É esperado que os alunos percebam que sobraram 10 pessoas, portanto é necessário fazer 9 viagens para possibilitar o transporte de todos os passageiros. Mostrar que, dependendo dos valores dados, isso também pode ocorrer na atividade 9.

ATIVIDADES

Resoluções na p. 293

Responda às questões no caderno.

1. Em uma festa junina, a barraca de Antônio oferece 5 pontos ao participante cada vez que ele acerta o alvo. Caio adorou a brincadeira e conseguiu 75 pontos. 15 vezes. Quantas vezes Caio acertou o alvo?

2. Uma amiga se desfez de sua coleção e deu 184 papéis de carta para distribuir igualmente entre mim e minhas 3 irmãs. Quantos papéis de carta cada uma de nós vai receber? 46 papéis.

3. Em um restaurante, a despesa de um grupo de 8 pessoas foi 344 reais. Sabendo que todos darão a mesma quantia para pagar a conta, determine o valor que cada um pagará. 43 reais.

4. Um ônibus leva apenas passageiros sentados e tem capacidade para transportar 45 passageiros. Quantas viagens serão necessárias para levar 270 pessoas? 6 viagens.

5. Mara bolou um desafio para os colegas de classe. Resolva o desafio você também. Em cada ficha está escrito o mesmo número.

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se a soma dos números escritos nas fichas é 1 352, qual é o número escrito em cada ficha? 338

6. Um elevador pode carregar, no máximo, 560 quilogramas. Na fila para entrar nesse elevador há um grupo de pessoas que “pesam”, juntas, 6 160 quilogramas. Quantas viagens, no mínimo, esse elevador deve fazer para transportar, com segurança, todas essas pessoas? 11 viagens. 7. Gláucia fez compras na loja Compra Feliz e gastou 476 reais. a feliz! Compr 0 reais

a5 A c a d s re ce b a g a s to u p o m um c nde o gra para io! s o r te

Quantos cupons Gláucia ganhou e quantos reais ela precisa gastar para receber um novo cupom? 9 cupons; 24 reais. 8. (OBM) Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que ela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma para ela? Alternativa a. d) 31 a) 11 e) 41 b) 20 c) 21 9. (Saresp-SP) Dona Luísa comprou um saco de 50 balas para distribuir igualmente entre seus 8 sobrinhos. Quantas balas deverão ser dadas a cada sobrinho para que restem 10 para Dona Luísa? a) 3 c) 5 b) 4 d) 6 Alternativa c.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Relação fundamental da divisão

Atividades O objetivo das atividades propostas é propiciar aos alunos que eles relacionem a divisão e a multiplicação por meio da relação fundamental da divisão: dividendo = divisor x quociente + resto. Depois de ver os exemplos dados no livro, assegurar que todos os alunos compreendam essa relação. Para isso, é interessante que eles produzam um cartaz descrevendo a relação fundamental e deem exemplos. A seguir, orientar os alunos a analisar as situações apresentadas na atividade 1. É esperado que os alunos percebam que, se o número 7 for multiplicado por 9 e ao resultado somarmos 2, será encontrado o número n, por exemplo. Ou seja, 7 x 9 + 2 = n; portanto o valor de n = 65.

Considere as divisões:

a) 48 : 3

Note que 48 = 3 x 16 + 0

48 3 18 16 0

resto quociente divisor dividendo

b) 50 : 3

Note que 50 = 3 x 16 + 2 resto quociente divisor dividendo

50 3 20 16 2

dividendo = divisor x quociente + resto

Essa igualdade é chamada relação fundamental da divisão. Considere, então, a seguinte questão: • Numa divisão não exata, o divisor é 7, o quociente é 13, e o resto é 5. Determinar o dividendo. Chamando o dividendo de n, teremos:

n 5

7 13

ATIVIDADES

n = 7 x 13 + 5 n = 91 + 5 n = 96

O dividendo procurado é 96.

Resoluções na p. 293

Responda às questões no caderno. 1. Observe as divisões e determine o valor do número natural n em cada uma delas: a) n 9 n = 65 c) n 64 10 25 2 7 n = 1 610 b) n 11 n = 181 5 16 2. Em uma divisão exata, o divisor é 45 e o quociente é 17. Qual é o dividendo? 765

3. Uma escola recebeu uma caixa com certa quantidade de laranjas para a merenda das crianças. Essa quantidade foi repartida igualmente entre as 6 salas da escola, sendo que cada sala recebeu 35 laranjas, e ainda restaram 5 laranjas na caixa. Quantas laranjas havia inicialmente na caixa? 215 laranjas. 4. Qual é o dividendo numa divisão em que o divisor é 12, o quociente é 9 e o resto é o maior possível? 119 57

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Resolução do exercício 3 Divisor: 6 (quantidade de salas da escola). Quociente: 35 (quantas laranjas cada sala recebeu). Resto: 5 (quantidade de laranjas que restaram na caixa). Dividendo: n (quantidade de laranjas recebidas). n = 6 x 35 + 5 n = 215 A escola recebeu 215 laranjas. Para responder à atividade 4, o aluno precisará mobilizar os conhecimentos obtidos no estudo das páginas 54 e 55, revendo os nomes das partes que compõem a divisão. É importante que os alunos consigam reconhecer as partes da divisão tanto montada na horizontal quanto na vertical. Nesse ponto, a meta é compreender a relação fundamental da divisão; assim, se desejar, pode-se trabalhar com mais exemplos ou atividades.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Propriedades da divisão Além das propriedades apresentadas, é interessante mostrar aos alunos que propriedades válidas para a multiplicação não são válidas para a divisão. Essa compreensão é importante para eles, pois, uma vez notada uma relação entre a divisão e a multiplicação (a primeira como a operação inversa da segunda), os alunos podem imaginar, erroneamente, que as mesmas propriedades podem ser aplicadas. Dessa forma: • Propriedade associativa: essa propriedade não é satisfeita, pois: (a : b) : c é diferente de a : (b : c), com b e c diferentes de 0 e a, b e c diferentes de 1. Exemplo: (15 : 5) : 3 = 1 e 15 : (5 : 3) = 9 e 1 5 9 • Propriedade comutativa: essa propriedade não é satisfeita, pois: a : b é diferente de b : a, com a e b diferentes de 0 e a e b diferentes de 1. Exemplo: 15 : 3 = 5 é diferente de 3 : 15, o qual nem pertence aos naturais. Aproveitar para registrar as propriedades da divisão no mesmo quadro sugerido na página 37, em que estão as propriedades da adição, da subtração e da multiplicação. Dessa forma, os alunos terão, sempre que necessário, um local para consulta.

Propriedades da divisão 1 Nem sempre é possível a divisão de um número natural por outro número natural.

Não existe número que multiplicado por 0 dê 5. Logo, não existe divisão por zero.

2 Nem sempre a divisão de um número natural não nulo por outro número natural não nulo dá um número natural. Em casos como esse a divisão não é exata.

5 1

2 2

No conjunto dos números naturais, não existe um número que multiplicado por 2 dê 5.

3 Quando o dividendo é 0 e o divisor é um número natural diferente de 0, o quociente é 0.

0 0

5 0

Qual é o número que multiplicado por 5 dá zero? É o próprio zero.

4 Quando o dividendo e o divisor são números naturais iguais e não nulos, o quociente é 1.

ATIVIDADES

Resoluções na p. 294

Responda às questões no caderno. 1. Não é possível efetuar, no conjunto N dos números naturais, uma das divisões abaixo. Qual é essa divisão? 8 : 0

0:8

8:0

13 : 13

8:1

13 : 1

4:2

2. Qual das divisões tem 0 como resultado? 0 : 10

7:0

20 : 10

0 : 10

7:2

9:9

8:8

3. Em uma divisão exata, o dividendo é 32 e o divisor é 8. Se eu multiplicar o dividendo por 5, por qual número natural deverei multiplicar o divisor para que o quociente seja o mesmo da divisão anterior e a divisão continue exata? 5 4. Escreva três exemplos de divisão de um número natural não nulo por outro número natural não nulo cujo quociente não é um número natural. Resposta pessoal.

5. Em uma divisão exata, o dividendo é 120 e o divisor é 20. Se o divisor for dividido por 4, por qual número natural se deve dividir o dividendo para que o quociente da divisão seja o mesmo da divisão anterior e a divisão continue exata? 4

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o conceito de potenciação ou não sabe identificar cada um dos termos da operação e o significado deles.

CAPÍTULO

POTENCIAÇÃO

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 294

Responda às questões no caderno.

1. Quantos a)

há em cada figura? Use a multiplicação para calcular. b)

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2. Use a multiplicação para calcular quantos a)

125

há em cada figura. 729

343

3. Observe as multiplicações que você fez nos exercícios anteriores. O que você pode notar em relação aos fatores de cada multiplicação? Todos os fatores são iguais.

Considere as situações a seguir:

BZBZ/SHUTTERSTOCK.COM

1 Como representar matematicamente o número de casas de um tabuleiro de xadrez? São 8 linhas e 8 colunas de casas. Para representar o número total de casas, fazemos:

8x8

Pense e responda Por meio de argumentos geométricos, é introduzida a ideia básica da potenciação: produto de fatores iguais. Essa associação com a Geometria pode justificar os termos “quadrado” e “cubo” para os expoentes 2 e 3. É importante ficar atento à construção que será feita para que eles compreendam o significado desses termos. Podem-se desenvolver atividades que envolvam o uso de materiais manipulativos, desenhos ou esquemas – assim esses conceitos podem ser absorvidos de maneira mais significativa. Caso haja necessidade, providenciar papel quadriculado e cubinhos que podem ser do material dourado, por exemplo, para possibilitar que os alunos realizem a atividade concretamente. Sugerir aos alunos que construam outros quadrados e cubos. Aproveitar o momento para propor uma pesquisa sobre as lendas que envolvem a criação do tabuleiro de xadrez. Essas lendas podem ser um estímulo para introdução da sequência dos números quadrados. Uma sugestão está no livro Diabruras da Matemática, de Malba Tahan.

Tabuleiro de xadrez.

2 fatores

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potenciação Aqui, inicia-se o trabalho com potenciação. O conceito de potenciação é bastante antigo: de acordo com alguns estudiosos surgiu por volta do século V a.C., a partir da necessidade de es-

crever números grandes obtidos por produtos de fatores iguais. Para mais informações sobre a potenciação e uso de materiais concretos que podem ser usados no ensino desse conteúdo, acesse o link: <http://livro.pro/tbb5ae>. Acesso em: 8 ago. 2018.

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A potenciação está presente em situações de cálculo numérico, algébrico e geométrico. É fundamental saber interpretá-la nessas várias situações. Verificar se algum aluno tenta resolver uma potenciação multiplicando a base pelo expoente; se isso ocorrer, provavelmente ele ainda não compreendeu

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Em Matemática, existe outra forma de representar multiplicações em que todos os fatores são iguais. Por exemplo, na situação vista anteriormente (8 x 8), a multiplicação também pode ser indicada assim: 82. Então: 8 x 8 = 82. 2 O prédio onde Jacira mora tem 4 andares. Em cada andar há 4 apartamentos. Para cada apartamento há 4 vagas na garagem. Como posso representar a quantidade de vagas na garagem desse prédio? A representação do número de vagas pode ser feita assim:

4x4x4 3 fatores

Ou, de outra maneira: 43. Então: 4 x 4 x 4 = 43.

DNEPWU

É interessante explorar a operação potenciação por meio de situações-problema como a apresentada nesta página. Veja mais situações a seguir: • Em um estacionamento há 4 automóveis, em cada automóvel há 4 rodas e em cada roda há 4 parafusos. Qual é o total de parafusos desses 4 automóveis? • Um fazendeiro armazena as laranjas de sua fazenda para vender em caixas que lembram um cubo. Cada caixa contém 5 laranjas no comprimento, 5 laranjas na largura e 5 laranjas na altura. Quantas laranjas podem ser armazenadas em 5 caixas? Observar as estratégias dos alunos para resolver as situações propostas. É possível que alguns optem em fazer desenhos, esquemas ou optem pelo material concreto para auxiliá-los no cálculo. Depois, associar essas atividades com a representação de uma potenciação. Inicialmente, a linguagem utilizada para definir a potenciação e seus elementos pode ser confusa para os alunos. Sempre que possível, fazer a identificação desses elementos utilizando exemplos ou atividades para que eles possam compreender a nomenclatura correta e as ideias ligadas a essa simbologia. Se achar conveniente, pedir aos alunos que façam um cartaz com um exemplo de potenciação destacando seus elementos e a nomenclatura correspondente. Deixá-lo em local visível para futuras consultas.

Os números representados por 82 e 43 são chamados potências. Voltando às situações apresentadas... Para saber quantas casas há no tabuleiro de xadrez, calculamos: expoente

82 = 8 x 8 = 64 base

2 fatores

potência (resultado da operação)

• O 82 é a indicação de uma nova operação, chamada potenciação. • O 8, que se repete como fator, é chamado base. • O 2, que indica a quantidade de vezes que o mesmo fator se repete, é chamado expoente. • O 64, resultado da operação, é chamado potência. expoente

43 = 4 x 4 x 4 = 64 base

3 fatores

potência (resultado da operação)

• O 43 indica a operação de potenciação. • O 4, fator que se repete, é a base. • O 3, que indica a quantidade de vezes que o fator se repete, é chamado expoente. • O 64, resultado da operação, é chamado potência. 60

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uma potenciação? • Que número representa a base, o expoente e a potência? Após essa construção e discussão, é interessante ressaltar que essa sequência é conhecida como sequência dos números quadrados. Se achar conveniente, propor a atividade a seguir. Providenciar papel sulfite e organizar a turma em duplas. Pedir a um dos alunos de cada dupla que dobre uma folha de papel sulfite ao meio e ao outro que preencha um quadro com o número de retângulos obtidos. Orientá-los a repetir esse procedimento pelo menos 5 vezes. A seguir, ver exemplo de quadro preenchido.

O quadrado de um número Quando, em uma potência, o expoente é igual a 2, dizemos que a base está “elevada ao quadrado”. Veja a representação geométrica de alguns números elevados ao quadrado. 12 = 1 x 1 = 1 12 lemos: um elevado ao quadrado, ou o quadrado de um, ou um elevado à 2a potência

1 1

22 = 2 x 2 = 4 22 lemos: dois elevado ao quadrado, ou o quadrado de dois, ou dois elevado à 2a potência

2 2

32 = 3 x 3 = 9 32 lemos: três elevado ao quadrado, ou o quadrado de três, ou três elevado à 2a potência

3 3

O cubo de um número Quando, em uma potência, o expoente é igual a 3, dizemos que a base está “elevada ao cubo”. Veja a representação geométrica de alguns números elevados ao cubo. 1 1 1

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2 2

Número de dobraduras 1 2 3 4 5 6

13 = 1 x 1 x 1 = 1 13 lemos: um elevado ao cubo, ou o cubo de um, ou um elevado à 3a potência 23 = 2 x 2 x 2 = 8 23 lemos: dois elevado ao cubo, ou o cubo de dois, ou dois elevado à 3a potência 33 = 3 x 3 x 3 = 27 33 lemos: três elevado ao cubo, ou o cubo de três, ou três elevado à 3a potência

3 3

Quando o expoente é maior do que 3, não temos como representar geometricamente a potência. Assim, a leitura fica: • 24

dois elevado à 4a potência ou a 4a potência de dois

dez elevado à 5a potência ou a 5a potência de dez • 105 ... e assim por diante. 61

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O quadrado de um número Providenciar papel quadriculado e pedir aos alunos que pintem quadrados de lados 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, por exemplo. Depois pedir a eles que preencham o quadro:

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Número de quadrados de cada lado

Número de quadrados pintados

1 2 3 4 5 6 7

1 4 9

Em seguida, pedir que observem a sequência encontrada e respondam às seguintes perguntas: • Qual é a relação entre o número de quadrados de cada lado e o número de quadrados pintados? • Como representar os números do quadro por meio de

Número de retângulos obtidos 2 4 8 16 32 64

Depois, pedir aos alunos que respondam qual a relação entre o número de dobraduras e o número de retângulos obtidos no papel. E qual é a relação entre o número de retângulos no papel e o número de dobraduras? Como representar os números do quadro utilizando uma potenciação? Que número representa a base, o expoente e a potência? Atentar-se à leitura das potenciações e, se necessário, fazer intervenções para ajudá-los. Depois de ler com os alunos os exemplos do livro, anotar na lousa outras potenciações e pedir que leiam e anotem no caderno. Evidenciar que, quando lemos “elevado ao quadrado”, isso se refere ao expoente 2 e que, quando lemos “elevado ao cubo”, isso corresponde ao expoente 3.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Observações importantes

É interessante pedir aos alunos que façam observações sobre a potenciação. Solicitar a eles que façam um quadro com algumas sequências, ver exemplo a seguir: 35 =

45 =

14 =

24 =

34 =

44 =

13 =

23 =

33 =

43 =

12 =

22 =

32 =

42 =

11 =

21 =

31 =

41 =

10 =

20 =

30 =

40 =

Pedir aos alunos que calculem as potências do quadro. Em seguida, pedir que destaquem as linhas onde o expoente é 1. Perguntar a eles o que podem afirmar. Espera-se que percebam a relação entre a base e o resultado da operação. Fazer o mesmo para a linha cujo expoente é o 0. Depois, pedir que destaquem a coluna cuja base é o número 1 e façam a relação entre a base e o resultado da operação. Outra abordagem interessante é pedir a eles que façam uma coluna para potências de base 10 e registrem suas conclusões sobre a relação entre o expoente e o número de zeros da potência.

• Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1. 10 = 1 20 = 1 30 = 1 40 = 1 • Toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. 101 = 10 102 = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 1 000 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 As potências de base 10 são úteis para escrever ou calcular números muito grandes. Assim, o raio da Terra, de aproximadamente 6 400 000 metros, pode ser indicado por 64 x 105 metros porque: 6 400 000 = 64 x 100 000 = 64 x 105

Usando a calculadora É simples calcular potências usando uma calculadora! Para calcular 34 é só teclar: 3

Em algumas calculadoras também é possível calcular 3 assim: 4

Isto é, a operação “multiplicar por 3” é fixada teclando-se:

105 =

104 = 103 =

CALCULADORA WINDOWS

25 =

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

15 =

• Todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo. 11 = 1 21 = 2 31 = 3 41 = 4

Depois, basta acionar por mais 3 vezes a tecla obter o valor de 34.

para

Calculadora. Algumas calculadoras têm teclas para calcular o quadrado de um número: x2.

102 = 101 =

100 = Por fim, pedir aos alunos que completem o cartaz das propriedades da adição e da multiplicação com as propriedades da potenciação: • Toda potência de base 1 e expoente natural é igual a 1, ou seja, sempre que a base for 1 a potência será igual a 1. 1n = 1

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Exemplos: 14 = 1 x 1 x 1 x 1 = 1 16 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x1=1 • Todo número natural não nulo elevado a zero é igual a 1. a0 = 1 Exemplos: 30 = 1 470 = 1 5220 = 1

• Todo número natural eleva-

do a 1 é igual a ele mesmo. a1 = a Exemplos: 41 = 4 61 = 6 81 = 8 • Toda potência de base 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos

zeros quantos forem as unidades do expoente. Exemplo: 103 = 10 x 10 x 10 = 1 000

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ATIVIDADES

Responda às questões no caderno. 1. Registre a expressão “um produto de quatro números iguais a cinco” das duas maneiras diferentes que você aprendeu. Quais são essas maneiras? 5 x 5 x 5 x 5 = 54 2. Escreva, de outra maneira, a expressão a seguir, usando apenas os números 20 e 9. 209 20 ! 20 ! 20 ! ... ! 20 9 fatores

3. Calcule: a) 25 32

d) 150 1

b) 3 2 187

e) 0100 0

c) 110 1

f) 106 1 000 000

Resolução do exercício 10 Orientar os alunos a analisar a situação apresentada na atividade. Se o número 6 for elevado a um expoente n, será encontrado o número 216. Os alunos poderão multiplicar 6 por 6 quantas vezes forem necessárias, até encontrar o valor 216. Assim: 6n = 216 n=? 6 x 6 = 36 6 x 6 x 6 = 36 x 6 = 216 Portanto, o valor de n é 3. Na atividade 11, ressaltar que a potência de base 10 é muito utilizada na escrita para representar grandes distâncias e que a Matemática é muito utilizada na Astronomia. Se achar conveniente, pedir aos alunos que realizem uma pesquisa para coletar informações sobre as medidas relacionadas aos planetas.

Resoluções na p. 294

4. Usando o símbolo . ou ,, compare as potências: a) 52 e 25 52 < 25 b) 74 e 103 74 > 103 c) 43 e 29 43 < 29 d) 110 e 101 110 < 101

9. Calcule usando uma calculadora: a) 272 729 d) 134 28 561 3 b) 11 1 331 e) 205 3 200 000 c) 68 1 679 616 f) 510 9 765 625 10. Se você elevar o número 6 a um expoente n, encontrará 216. Qual é o valor do expoente n? 3 11. Sabe-se que a velocidade da luz no vácuo é de aproximadamente 3 x 108 metros por segundo, e 1 000 metros equivalem a 1 quilômetro. Quantos quilômetros a luz percorre em um segundo? 300 000 quilômetros. 12. Utilizando a calculadora, calcule: a) 56 15 625 d) 79 40 353 607 b) 65 7 776 e) 210 1 024 7 c) 9 4 782 969 f) 220 1 048 576 13. Observe a sequência: 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 (soma dos dois primeiros números ímpares)

5. Se o valor de uma potência de base 10 é 100 000, qual é o expoente dessa potência? 5

7. Você pode afirmar que as expressões a seguir representam a mesma quantidade? Justifique. 132 e 122 + 52 Sim; 169 = 144 + 25. 8. Primeiro calcule. Depois, escreva os resultados por extenso: Quarenta a) 4 x 107 c) 106 Um milhão. milhões. b) 9 x 105 d) 2 x 103 Novecentos mil. Dois mil.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

6. Represente geometricamente: a) 52 Resposta no fim c) 102 b) 82 do livro. d) 112

1 + 3 + 5 = 9 = 32 (soma dos três primeiros números ímpares) 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 (soma dos quatro primeiros números ímpares)

Descobriu qual é o segredo dessa sequência? Então, sem fazer desenhos, escreva a soma: a) dos 20 primeiros números ímpares naturais. 400 b) dos 100 primeiros números ímpares naturais. 10 000 63

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades O objetivo destas atividades é dar oportunidade aos alunos de aplicar os conhecimentos adquiridos sobre potenciação. Organizar a turma em duplas para realizar as atividades e favorecer a troca de ideias. Aproveitar este momento para

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identificar possíveis dúvidas ou dificuldades na realização dessas atividades e, ao final, retomar o conteúdo. Para a atividade 6, providenciar papel quadriculado para facilitar o desenho das representações geométricas. Na atividade 13, estimular os alunos a observar os desenhos dos quadrados. Espera-se

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que eles percebam que a cada novo quadrado são acrescentadas uma nova linha e uma nova coluna. Caso seja necessário, faça com os alunos uma tabela como a abaixo para organizar os dados e facilitar as observações e conclusões. Número de parcelas

Valor da soma

Representação da soma na forma de potenciação

1 2 3 4

1 4 9 16

12 22 32 42

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS P O R T O D A P A RT E

Resoluções na p. 295

Distribuição da população indígena O censo demográfico de 2010 revelou que 896 917 pessoas se declararam indígenas. Dessas, 324 834 residem em centros urbanos e 572 083 vivem nas áreas rurais. Informações obtidas em: IBGE. O Brasil indígena. Disponível em: <http://www.funai.gov.br/arquivos/ conteudo/ascom/2013/img/12-Dez/pdf-brasil-ind.pdf>. Acesso em: 3 maio 2018.

Esta tabela mostra como a população indígena está distribuída nas grandes regiões brasileiras.

População indígena, por localização do domicílio, segundo as grandes regiões brasileiras – 2010 Região

População

Norte

342 836

Nordeste

232 739

Sudeste

99 137

Sul

78 773

Centro-Oeste

143 432

Fonte: Informações obtidas em: IBGE. Distribuição espacial da população indígena. Disponível em: <http://www.funai.gov.br/arquivos/ conteudo/ascom/2013/img/12-Dez/ encarte_censo_indigena_02% 20B.pdf>. Acesso em: 26 mar. 2018.

DELFIM MARTINS/PULSAR IMAGENS

Por toda parte Nos anos 1980, verificou-se uma tendência de reversão da curva demográfica e, desde então, a população indígena no país tem crescido de forma constante, indicando uma retomada demográfica por parte da maioria desses povos, embora povos específicos tenham diminuído demograficamente e alguns estejam até ameaçados de extinção. Na listagem de povos indígenas no Brasil elaborada pelo ISA (Instituto Socioambiental), sete deles têm populações entre 5 e 40 indivíduos. Dos 253 povos listados, 48 têm parte de sua população residindo em outro(s) país(es). Quando há informações demográficas a respeito, essas parcelas são contabilizadas e apresentadas separadamente, segundo a fonte da informação, e não contam na estimativa global para o Brasil. Se achar conveniente, para que os alunos façam uma reflexão mais ampla na questão 5, solicitar às duplas que pesquisem sobre outros aspectos ligados à população indígena. Como qual era a população indígena em décadas passadas; como os indígenas vivem atualmente; quais são os direitos adquiridos perante a lei e se existe algum órgão que defenda esses direitos. Depois, pedir que façam um resumo das principais informações e reflitam sobre elas. Por fim, pedir que elaborem uma conclusão sobre como garantir os direitos da população indígena no Brasil. Com base nas conclusões apresentadas, promover um debate entre os alunos.

Indígenas da etnia kayapó da aldeia Moikarako participam da dança da mandioca. Terra Indígena Kayapó em São Félix do Xingu, PA. Foto tirada em setembro de 2016.

Responda no caderno:

1. Em que região se encontra a maior população indígena? Região Norte.

2. Qual é o total estimado da população indígena no Brasil? 896 917

3. Qual é a diferença numérica entre a soma da população indígena das regiões Nordeste, Sul, Sudeste e Centro-Oeste e a população indígena da região Norte? Escreva esses valores por extenso. Duzentos e onze mil, duzentos e quarenta e cinco.

4. Qual é a diferença numérica entre a população indígena que vive nas áreas rurais e a que reside em grandes centros urbanos? 247 249

5. Converse com um colega e juntos pesquisem quais podem ser os motivos de grande parte da população indígena do Brasil residir em centros urbanos. Resposta pessoal.

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EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Resoluções na p. 295

Querer é uma coisa, precisar é outra

Você já reparou, caro leitor, na confusão que temos feito entre dois conceitos que são tão diferentes, mas que estamos usando, principalmente na linguagem coloquial, como se fossem sinônimos? Eu me refiro aos verbos “querer” e “precisar”. Vamos, então, retomar o significado dessas duas palavras, para começar. Precisar diz respeito a uma necessidade, a uma carência que exige satisfação. Por exemplo: temos fome e sede, por isso precisamos de líquido e de alimento para a satisfação dessas necessidades. E, como dá para perceber, a necessidade sempre tem um alvo certo. Quando nós temos sede precisamos de água e quando temos fome precisamos de comida.

[...] Qualquer querer pode não ser satisfeito sem problema algum. Quem quer pode esperar, pode trocar o objeto do querer para que se torne mais acessível e pode, inclusive, perceber que terá de abdicar desse querer. Já quem precisa... Quem precisa pode esperar por pouco tempo, não pode trocar o objeto da necessidade e tampouco pode abdicar dele. [...] Mas todos precisam saber com clareza que querer não é precisar. E querer, muitas vezes, também não é poder.

SEVENTYFOUR/SHUTTERSTOCK.COM

[...]

Veja no material audiovisual o vídeo sobre controle do consumo.

[...] E o querer? O querer diz respeito a uma intenção, a uma aspiração. O querer é algo que nos move, mas não é uma necessidade. Um querer pode encontrar satisfação em diversos alvos diferentes.

Fazer uma lista de compras ajuda na tarefa de comprar só o necessário.

Fonte: SAYÃO, R. Querer é uma coisa, precisar é outra. Folha de S.Paulo. Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br/fsp/equilibrio/25683-querer-e-uma-coisa-precisar-e-outra.shtml>. Acesso em: 26 mar. 2018. Fornecido pela FolhaPress.

Que tal ajudar nas compras da família e ao mesmo tempo aprender, na prática, o assunto tratado no texto acima? Converse com seus familiares e descubra de que forma são feitas as compras no supermercado. Resposta pessoal. • Ajude a fazer a lista de compras. • Estime o valor da compra dos produtos listados para, depois, verificar como foi sua estimativa. Anote o valor pago em cada produto para que, a cada compra, sua previsão de gastos seja mais próxima do gasto real. • O que você aprendeu com essas atividades? Escreva um texto para explicar.

sar a opinião deles e a respeitar a opinião dos colegas. Os alunos podem fazer a atividade em casa e, depois, discutir o questionamento em sala. Vários temas podem ser tratados: o fato de diferentes pessoas e famílias terem desejos e necessidades diferentes; a importância da lista para evitar gastos por impulso; a possibilidade de abrir mão de produtos desejados momentaneamente e de poupar o dinheiro para satisfazer desejos maiores; a importância de manter os gastos dentro do que é possível no orçamento da família; a importância de analisar bem as ofertas para não comprar produtos e quantidades inadequadas às necessidades. Se achar conveniente, orientá-los a construir um pequeno manual contendo as informações importantes estudadas e levantadas pelo grupo por meio da exploração dessa seção. NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre custo de vida, com enfoque nos preços de supermercados e na construção de gráficos. Nele, discutem-se as situações de uso do dinheiro e a necessidade de controlar os custos daquilo que é consumido. Como exemplo, fala-se dos gêneros encontrados em supermercados e apresenta-se como os gráficos são uma ferramenta útil para o entendimento das finanças domésticas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Educação financeira Diferenciar necessidade de desejo é um dos conceitos mais importantes da Educação financeira. Nesta seção, esse conceito é exercitado por meio de lista de compras, operações com números na forma decimal e estimativas.

Pedir aos alunos que leiam o texto “Querer é uma coisa, precisar é outra”. Depois, pedir que, a partir do texto, eles expliquem com as próprias palavras o que é querer e o que é precisar citando diferentes exemplos para ilustrar os conceitos. Instigá-los a refletir sobre o assunto. Perguntar a eles

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se, quando estão comprando alguma coisa, costumam pensar se realmente precisam daquilo e se o valor está dentro do orçamento da família. Por fim, perguntar a eles se concordam com a afirmação da autora: “... E querer, muitas vezes, também não é poder”. Estimular os alunos a expres-

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Expressões numéricas As expressões numéricas são apresentadas como parte da linguagem matemática que auxilia a expressar raciocínios envolvendo números relacionados com as operações matemáticas. Nesse sentido, para os alunos compreenderem o uso dos sinais que aparecem nas expressões, é interessante explorar as atividades em que a posição desses símbolos é modificada. Resolver expressões numéricas é um conhecimento importante e necessário para o desenvolvimento do aprendizado da Matemática. Mesmo assim, os alunos, muitas vezes, veem as expressões numéricas como algo enfadonho e desprovido de significado. Por isso, é importante mostrar a eles que uma expressão numérica descreve uma situação-problema e que o resultado da expressão é a resposta desse problema. Para dar significado às expressões numéricas, começar explorando situações que possam ser resolvidas por expressões numéricas. Iniciar fazendo a leitura das situações do livro e explorar suas resoluções. Nesse momento, se achar conveniente, pedir aos alunos que elaborem situações-problema que possam ser resolvidas utilizando expressões numéricas. É importante ressaltar que, quando a expressão numérica contém apenas adições e subtrações, as operações são realizadas na ordem em que aparecem.

CAPÍTULO

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Podemos definir uma expressão numérica como a representação numérica de uma dada situação. Acompanhe o exemplo. 1 Tiago recebeu 30 reais de mesada. Gastou 3 reais na compra de um gibi e 5 reais na excursão da escola. Ainda bem que recebeu os 7 reais que havia emprestado a Edu, pois assim comprou um presente de aniversário para sua mãe no valor de 25 reais. Será que ainda sobrou dinheiro com Tiago? Vamos expressar a situação acima de duas maneiras: • • • •

Primeira maneira A mesada menos o valor do gibi: 30 _ 3 = 27 O que sobrou menos o valor da excursão: 27 _ 5 = 22 O que sobrou mais o que Edu pagou: 22 + 7 = 29 Esse total menos o presente da mãe: 29 _ 25 = 4 Segunda maneira

mesada

excursão

presente da mãe

30 _ 3 _ 5 + 7 _ 25 = 27 _ 5 + 7 _ 25 = 22 + 7 _ 25 = 29 _ 25 = 4 gibi

Edu

Assim, ainda sobraram 4 reais para Tiago. Agora, observe a situação a seguir.

2 Fernanda coleciona figurinhas. Ao comprar o álbum, ela recebeu 45 figurinhas de brinde, das quais 6 eram repetidas. No mesmo dia em que comprou o álbum, o pai de Fernanda comprou para ela 20 figurinhas, das quais 3 eram repetidas. Mais tarde, ela trocou 7 figurinhas com seu amigo André. Depois ela colou as figurinhas no álbum, deixando sem colar somente as repetidas. Quantas figurinhas Fernanda colou no álbum? Vamos representar numericamente a situação acima diretamente na forma de uma expressão numérica: brinde

pai

André

45 _ 6 + 20 _ 3 + 7 = 39 + 20 _ 3 + 7 = 59 _ 3 + 7 = 56 + 7 = 63 repetidas

repetidas

Assim, calculamos que Fernanda colou 63 figurinhas no álbum. 66

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O uso dos parênteses Podemos utilizar parênteses ao escrever expressões numéricas a fim de organizá-las de outras formas. Quando esse for o caso, devemos inicialmente efetuar as operações no interior dos parênteses. Vamos rever a primeira situação da página anterior, agora utilizando os parênteses. calcular a diferença

(30 + 7) _ (3 + 5 + 25) = 37 _ 33 = 4 ganhos

gastos

Expressões numéricas com adição, subtração e multiplicação Uma escola comprou várias caixas de lápis de cor para serem distribuídas entre cinco classes. Cada classe recebeu 6 caixas com 6 lápis de cor, 8 caixas com 12 lápis de cor e 1 caixa com 24 lápis de cor. Para descobrir quantos lápis de cor cada classe recebeu, fazemos os seguintes cálculos: 6 x 6 + 8 x 12 + 24 = 36 + 96 + 24 = 156

Cada classe recebeu 156 lápis de cor. Na expressão 6 x 6 + 8 x 12 + 24 aparecem multiplicações e adições. Observe que, para calcular o resultado, efetuamos as multiplicações antes das adições. Nas expressões em que aparecem as operações de multiplicação, de adição e de subtração, efetuamos as operações na seguinte ordem: • primeiro as multiplicações; • depois as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem, da esquerda para a direita. Veja como calculamos o valor de algumas expressões numéricas: 1 Determinar o valor da expressão 7 + 9 x 6. 7 ! 9 " 6 # 7 ! 54 # 61 2 Qual é o valor da expressão numérica 3 x 7 + 9 $ 4 x 5? 3 " 7 ! 9 $ 4 " 5 # 21 ! 9 $ 20 # 30 $ 20 # 10

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É importante que os alunos compreendam que uma expressão numérica representa uma situação e que, quando envolve adição, subtração e multiplicação, é necessário o uso das regras para garantir o resultado correto. Simular com eles o cálculo da expressão numérica abaixo sem seguir nenhuma regra e, depois, resolvê-la seguindo as regras de resolução das operações. 6 x 6 + 8 x 12 + 24 • Sem o uso da ordem correta: os alunos realizam as operações conforme elas se apresentam. 6 x 6 + 8 x 12 + 24 = = 36 + 8 x 12 + 24 = = 44 x 12 + 24 = = 528 + 24 = = 552 resultado errado • Com o uso da ordem correta: os alunos realizam primeiro as multiplicações e, depois, as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. 6 x 6 + 8 x 12 + 24 = = 36 + 96 + 24 = = 156 resultado correto Apresentar aos alunos a seguinte situação-problema: • Isabella ganhou 1 nota de R$ 40,00 da mãe e 5 notas de R$ 20,00 do pai. Quanto Isabella ganhou dos pais? Uma forma de representar essa situação matematicamente pode ser a expressão: 40 + 5 x 20 = 140 No contexto da situação fica claro que a primeira operação a ser realizada deve ser a multiplicação 5 x 20 = 100, visto que ela representa o agrupamento das cédulas de 20 reais. A adição 40 + 100 = 140 deve ser realizada em seguida, respondendo à pergunta: “Quanto Isabella ganhou dos pais?” Se a soma fosse realizada antes da multiplicação, resultaria em 900, que seria absurdo e não faria sentido nenhum no contexto do problema. Portanto, entender o contexto em que uma expressão está inserida facilita o processo de validação do resultado obtido.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Conversar com os alunos sobre a particularidade de resolver primeiro a multiplicação, conforme visto anteriormente. Dizer aos alunos que se trata de uma convenção matemática também aplicada às divisões. Dessa maneira a divisão deve ser resolvida antes da adição e da subtração. É importante ressaltar aos alunos que quando uma expressão numérica contém parênteses significa que devemos iniciar as operações no interior dos parênteses seguindo a ordem das operações. Organizar a turma em duplas e propor as atividades a seguir. Apresentar aos alunos algumas expressões e pedir que, se necessário, usem parênteses para que as igualdades sejam verdadeiras. Por exemplo: a) 90 _ 30 x 30 = 810 b) 18 x 15 x 4 + 7 = 3 x x6x5x3x4+7 c) 7 x 4 + 2 x 6 = 40 d) 21 _ 8 + 2 x 6 = 1 e) 7 x 4 + 2 x 6 = 112 Depois, pedir aos alunos que resolvam cada expressão numérica abaixo e comparem os resultados obtidos. a) (4 + 4) : (4 + 4) = e 4+4:4+4= b) 4 : 4 + 4 : 4 = e (4 : 4) + (4 : 4) = c) (4 x 4 _ 4) : 4 = e 4 x (4 _ 4) : 4 = Uma maneira de tornar o estudo da expressão numérica mais interessante é a utilização de jogos. Problematizar, contextualizar e utilizar atividades lúdicas são estratégias que podem ajudar no processo de ensino-aprendizagem da Matemática. Dessa maneira, o aluno consegue perceber as relações matemáticas envolvidas no jogo de forma prazerosa. Se optar por essa abordagem, depois da aplicação do jogo ou da atividade feita, é importante realizar a formalização do conceito abordado. Assim, espera-se que o aluno compreenda e resolva as expressões numéricas. Segue um

O uso dos parênteses Veja as expressões numéricas, todas “montadas” com os mesmos valores, mas algumas com parênteses colocados em lugares diferentes: • 80 _ 6 x 7 + 5 =

• 80 _ (6 x 7 + 5) =

• (80 _ 6) x (7 + 5) =

= 80 _ 42 + 5 =

= 80 _ (42 + 5) =

= 74 x 12 =

= 38 + 5 = 43

= 80 _ 47 = 33

= 888

Observe como a colocação dos parênteses influiu no valor de cada um dos exemplos.

Expressões numéricas com adição, subtração, multiplicação e divisão Para calcular o valor de uma expressão numérica em que há adição, subtração, multiplicação e divisão, obedecemos à ordem a seguir: • primeiro, as divisões e as multiplicações, na ordem em que aparecerem, da esquerda para a direita; • depois, as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem, da esquerda para a direita. Observe: 1

17 _ 40 : 5 ! ! 17 _ 8

2 8x9:6!

= 72 : 6 !

3 21 : 3 + 3 x 4 _ 8 !

=7 +

= 19

= 12

_8!

_8! = 11

O uso dos parênteses As operações no interior dos parênteses devem ser resolvidas sempre em primeiro lugar, obedecendo à ordem estabelecida anteriormente. Acompanhe como a presença dos parênteses em uma mesma expressão influi em seu resultado. •

120 : (4 + 4 x 5) = = 120 : (4 + 20) = = 120 : 24 = 5

•

120 : 4 + 4 x 5 = = 30 + 20 = 50

•

120 : (4 + 4) x 5 = = 120 : 8 x 5 = = 15 x 5 = 75

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link com uma sugestão de jogo que pode ser aplicado na aprendizagem das expressões numéricas. O nome do jogo é Jogo dos palitos. <http://livro. pro/bxh926>. Acesso em: 8 ago. 2018.

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ladora, multiplicou 17 por 15. Subtraiu 3 do resultado. Dividiu o que obteve por 6. Adicionou o resultado a 2. Multiplicou o obtido por 4. Obteve como resultado o número 34. Desafiar os alunos a escrever uma expressão numérica correspondente a essa sequência de operações. É provável que eles escrevam as operações na ordem em que aparecem no texto: 17 x 15 _ 3 : 6 + 2 x 4. Perguntar a eles se a multiplicação e a divisão foram realizadas na ordem em que aparecem. Questionar os alunos se o uso dos parênteses é suficiente para resolver a questão. Ajudar nesse processo. A resposta esperada é {[(17 x x 15 _ 3) : 6] + 2} x 4 = 176.

Resolvendo expressões numéricas com todas as operações Para calcular o valor de uma expressão numérica em que apareçam potenciação, divisão, multiplicação, adição e subtração, efetuamos essas operações na seguinte ordem: • primeiro as potenciações; • depois, as divisões e as multiplicações, na ordem em que aparecerem (da esquerda para a direita); • finalmente, as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem (da esquerda para a direita). Não podemos esquecer, ainda, que operações no interior dos parênteses devem ser resolvidas antes, obedecendo à ordem estabelecida acima. Acompanhe os exemplos. 2 (122 + 1) : (54 _ 72) _ 33 =

1 24 : 4 + 32 x 10 =

= 16 : 4 + 9 x 10 =

= (144 + 1) : (54 _ 49) _ 27 =

= 4 + 90 =

= 145 : 5 _ 27 =

= 94

= 29 _ 27 = =2

Utilizando a calculadora para resolver expressões numéricas Nesse momento, o uso da calculadora se torna um interessante recurso para o ensino-aprendizagem das expressões numéricas. Aproveitar para explorar as teclas da calculadora: CE (limpa a última entrada digitada), C (limpa todos os registros), M+ (memória adi-

Utilizando a calculadora para resolver expressões numéricas Para resolver expressões numéricas com uma calculadora, usamos o recurso da memória. Exemplos: M+

M+

2 Calcular 100 _ (30 + 12 + 5). Teclar 1 0 0

3 Calcular 12 x 17 + 15 : 3. Teclar 1 2

M+

M+ MR

memória subtrativa

: 380 =

M_ MR

: 53

M+ MR : 209

memória aditiva

tiva), M− (memória subtrati-

KHURUZERO/SHUTTERSTOCK.COM

Teclar 2 0

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1 Calcular 20 + (30 x 12).

RCL ou MR chama a memória limpa a última entrada digitada limpa todos os registros

Calculadora.

va), RCL ou MR (chama a memória) usando os exemplos do livro. Depois, para treinar o cálculo mental e usar as teclas de memória da calculadora, é interessante propor um jogo chamado Qual é o número? Acessar o jogo no link a seguir: <http://livro.pro/cixgrf>. Acesso em: 9 ago. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resolvendo expressões numéricas com todas as operações É comum o aparecimento de sinais nas expressões numéricas. Eles possuem o objetivo de organizar as expressões, como: ( ) parênteses,

[ ] colchetes e { } chaves, e são utilizados para dar preferência para algumas operações. Quando aparecerem em uma expressão numérica, deve-se eliminá-los gradativamente. Essa eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses, colchetes e, por último, as chaves.

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Orientar os alunos a observar que a colocação dos parênteses em lugares diferentes de uma expressão pode alterar o resultado. É oportuno propor uma atividade em que eles percebam as regras de aplicação dos sinais de associação. Apresentar a seguinte situação: Felipe, com uma calcu-

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades Nesta seção os alunos terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos sobre as regras para a resolução de expressões numéricas. Antes de iniciá-la, pedir aos alunos que confeccionem um cartaz resumo com a ordem de resolução das operações: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Depois, solicitar que complementem o cartaz com a ordem de resolução dos sinais de associação: parênteses, colchetes e chaves. É interessante que elaborem exemplos para ilustrar as regras. Usar esse momento para retomar os conceitos que envolvem as regras estabelecidas para a resolução de expressões numéricas. Por fim, expor o cartaz em um lugar visível para que os alunos possam fazer consultas futuras. Acompanhar o desenvolvimento das resoluções das atividades e sempre que necessário, fazer intervenções. Para a atividade 10, é interessante que os alunos utilizem as teclas de memória da calculadora. Pedir que registrem o passo a passo no caderno. Como atividade complementar, sugerir a eles que utilizem a calculadora. Nesse caso ela será usada para uma atividade lúdica e não para realizar cálculos. Basta o aluno digitar uma sequência de algarismos e virar a calculadora de cabeça para baixo; dessa forma é possível formar palavras. Para isso cada algarismo corresponde a uma letra do nosso alfabeto. Observe: 0: Letra O 1: Letra I 3: Letra E 4: Letra h 5: Letra S 7: Letra L 8: Letra B 9: Letra G Pedir que resolvam as expressões a seguir e verifiquem a palavra que pode ser formada. • 15 x (70 + 55 x 60) • (103 x 350) − (75 x 35) + +(103 x 140) + (125 x 21) • 12 x 14 _ 420 ÷ 7

ATIVIDADES

Resoluções na p. 295

9. Se você colocar convenientemente os parênteses, a expressão 20 + 40 _ 30 : 5 1. Qual é o valor da expressão numérica terá um valor igual a 22. Escreva essa 81 _ 7 x 11? 4 expressão com os parênteses. a = 16; 2. Determine a e b sabendo que: 20 + (40 _ 30) : 5 b = 32; 10. Use a calculadora para resolver as exa = 10 + 3 x 2; b = 10 x 3 + 2. a 5 b. pressões abaixo. Escreva o resultado. Em seguida, usando o símbolo = ou 5, a) 127 _ (21 + 15 + 11) 80 compare os números a e b. b) 15 x 47 + 12 x 10 825 3. Determine o valor da expressão: 0 c) 25 x 12 _ 135 : 3 339 50 _ (6 x 8 + 2) é o número natural expresso por 4. Dada a expressão numérica a seguir, 11. Qual 2 2 30 : (7 x 3 _ 102 _ 2)? 20 determine o seu valor. 51 Responda às questões no caderno.

(3 x 7 + 2 x 15) x (81 _ 4 x 20)

5. Veja o número de pontos que uma equipe marca de acordo com a sua classificação em cada fase de uma gincana: Pontuação por fase Posição

1o lugar

2o lugar

3o lugar

Número de pontos

Fonte: Dados fictícios.

12. Encontre o valor das expressões: a) 72 _ 40 + 18 : 32 _ 100 10 b) (62 _ 52) x 33 _ 102 197 c) 62 : (23 + 1) x (32 _ 5) 16 d) (7 x 32 _ 1) : (82 _ 2 x 31) 31

13. Resolva as expressões a seguir e compare os valores obtidos em cada uma. a) 25 + 42 _ 23 x 3 24 As três alternativas apresentam b) (25 + 42 _ 23) x 3 120 representações de c) 25 + (42 _ 23) x 3 56 números diferentes.

Nessa gincana a equipe azul chegou 5 vezes em 1o lugar, 8 vezes em 2o lugar 14. Determine o quadrado do valor de e 2 vezes em 3o lugar. (34 _ 26 _ 100) : (52 _ 23). 64 Nessas condições: 5 x 25 + 8 x 15 + 2 x 10 número natural N é expresso por a) Escreva uma expressão numérica para 15. Um 2 41 _ 312 + 212. Qual é a soma dos alrepresentar quantos pontos a equipe garismos que formam o número N? 9 marcou nessa gincana. b) Quantos pontos ela marcou? 265 pontos. DESAFIO

6. Um número natural N é expresso por 85 : 5 + 3 x 15 _ 50. Que número é N? 12 7. Calcule o valor das expressões: a) (7 x 7 + 5) : (18 _ 15 : 3 + 5) x 2 6 b) (30 _ 5 x 6) : (7 + 2 x 10) x x (40 _ 30 + 5) 0

16. Elabore uma situação que pode ser expressa na forma de uma expressão numérica. Troque a atividade criada por você com a de um amigo e responda à situação elaborada por ele utilizando todos os recursos que julgar necessário (relações, propriedades, calculadora etc.). Em seguida, faça a 8. Considere a expressão numérica: 2 + correção da atividade elaborada por + 30 : 5 + (9 x 6 _ 4) : 5 _ (40 : 10 + 3). você e veja se as estratégias utilizadas Um número N é igual ao triplo do valor pelo seu amigo são válidas. dessa expressão. Qual é o número N? 33 Resposta pessoal. 70

D3-MAT-F2-2051-V6-U02-034-075-LA-G20.indd 70 • 17 550 + 432 x 965 +

+96 107 • 5 430 _ 8 x 199 • 249 000 : 3 x 8 – 290 481 • (114 x 156) + (126 x 89) + + (135 x 127) + (234 x 77) _ + (379 x 36) Respostas: ossos, olhos, boi, lesões, bebê, Gisele e lisos.

Por fim, se achar conveniente, solicitar aos alunos que criem palavras e expressões como as que foram apresentadas.

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Responda às questões no caderno. 1. (Saresp-SP) Paulo consegue fazer uma média de 3 exercícios de Matemática em 10 minutos. Hoje, a professora passou 6 exercícios. Quanto tempo Paulo deve gastar para fazer a tarefa? Alternativa c. a) 5 minutos. c) 20 minutos. b) 10 minutos. d) 40 minutos. 2. Isabel foi a uma feira de animais e comprou 8 pintinhos. Cada um custou 2 reais. Isabel tinha 2 notas de 20 reais. Com quanto Isabel ficou? Alternativa b. a) 14 reais. c) 34 reais. b) 24 reais. d) 40 reais.

5. (Saresp-SP) Tenho 1 320 figurinhas. Meu primo tem a metade do que tenho. Minha irmã tem o triplo (ou três vezes) das figurinhas do meu primo. Quantas figurinhas minha irmã tem? a) 1 900 Alternativa d. c) 1 940 b) 1 930

Números digitados na calculadora

Resultado

838

162

1 000

160

2 400

3 600

1 800

1 864

1 847

A ordem das teclas que ele apertou para chegar a esses resultados foi: Alternativa a. a) + x ÷ _ c) + ÷ _ x b) + _ ÷ x d) _ + ÷ x 7. (Saresp-SP) Fernanda, Rita, Paula e Marcos gostam de jogar “O jogo da memória” e combinaram que as fichas para as jogadas valem: ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

4. Qual é o valor da expressão (43 + 42 + + 4) : 7 + 2 x (3 + 32 + 33)? Alternativa b. a) 80 c) 85 e) 100 b) 90 d) 95

d) 1 980

6. Joãozinho resolveu várias operações utilizando uma calculadora e encontrou os resultados a seguir.

Número das operações

3. (Saresp-SP) Paulo deseja distribuir 60 bolas de gude de maneira que todos os favorecidos recebam a mesma quantidade, sem sobrar nenhuma bolinha. Para qual dos grupos abaixo ele poderá fazer corretamente a distribuição? Alternativa a. a) Seus 6 primos. b) Seus 7 sobrinhos. c) Seus 8 vizinhos. d) Seus 11 colegas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções na p. 296

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

RETOMANDO O QUE APRENDEU

16 pontos.

32 pontos.

64 pontos.

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Retomando o que aprendeu O objetivo desta atividade é propiciar aos alunos um momento para fazer retomadas e tirar dúvidas sobre os conteúdos estudados na Unidade 2 que são: algoritmos e as ideias associadas às operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, cálculo do valor numérico de expressões numéricas, tabelas, gráficos de barras e o uso da calculadora. É importante que os alunos realizem essas atividades individualmente e anotem os temas que encontram dúvida ou dificuldade. Se houver necessidade, fazer uma revisão desses temas. Em seguida, organizar a turma em grupos para fazer as correções das atividades entre si. Circular pela classe para acompanhar as atividades e, quando necessário, fazer intervenções. Se achar conveniente, socializar algumas dúvidas. É importante os alunos participarem desse tipo de discussão. Para a atividade 1, explicar aos alunos o que quer dizer o termo média. É importante que eles entendam que podem considerar que Paulo leva cerca de 10 minutos para resolver 3 exercícios. Para a atividade 6, pedir aos alunos que façam o cálculo mental antes de utilizarem a calculadora. Pode-se propor a resolução em duplas, em que cada aluno resolve mentalmente uma das linhas e utiliza a calculadora para calcular outra linha.

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As partidas foram registradas em uma tabela, e o resultado final foi: Jogador Fernanda Rita Paula Marcos

1 1 1 1

1 1 0 0

3 1 2 4

Assinale a alternativa que indica a contagem de pontos correta. Alternativa d. a) Fernanda – 192 pontos. b) Rita – 60 pontos. c) Paula – 104 pontos. d) Marcos – 272 pontos. 8. Gustavo comprou a prazo o material escolar de seu filho. Deu uma entrada de 230 reais e dividiu o restante em duas prestações iguais. Se o material custou 870 reais, o valor de cada prestação, em reais, é: Alternativa d. a) 300 c) 318 e) 330 b) 315 d) 320 9. (Saresp-SP) A tabela abaixo indica a quantidade de doces que foi comprada para a festa de aniversário de Glorinha e a quantidade de doces que sobrou no final da festa. Caixas Doces em Doces que compradas cada caixa sobraram Beijinho 2 215 325 Brigadeiro 1 400 312 Doces

Quantos doces foram consumidos na festa? 193 doces. 10. (OBM) Ana, Bento e Lucas participam de um concurso que consta de 20 perguntas com a seguinte regra: • cada resposta certa ganha 5 pontos; • cada resposta errada perde 3 pontos;

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Como atividade complementar, propor aos alunos que construam um gráfico de barras para mostrar a classificação no concurso usando os dados da atividade 10. Recordar com os alunos a importância de escrever o título e nomear os eixos do gráfico. Para isso, utilizar uma planilha eletrônica. Na atividade 5, estimular os alunos a fazer os cálculos mentalmente. Depois, pedir a eles que mostrem como pensaram. Uma estratégia é a decomposição dos números. Por exemplo: 1 320 = 1 000 + + 300 + 20. Então, o aluno pode fazer 1 000 : 2 = 500, 300 : 2 = 150 e 20 : 2 = 10, depois, soma-se 500 + 150 x x 10 = 660. Depois, basta multiplicar 660 por 3. Por decomposição temos: 660 = 600 + + 60. Então 600 x 3 = 1 800 e 60 x 3 = 180. Por fim, soma-se 1 800 + 180 = 1 980. Se achar conveniente, pedir aos alunos para escrever uma expressão numérica correspondente à situação-problema dada. Espera-se que os alunos cheguem a seguinte expressão: 1 320 : 2 x 3 ou (1 000 : 2 + 500 : 2 + 20 : 2) x x3 Para a atividade 15, pode-se sugerir aos alunos que façam, no caderno, o esboço de um cubo e, por eliminatória, tentem usar 2 cores diferentes, 3 cores diferentes, assim por diante, para pintar as varetas segundo a condição dada na questão e chegar na solução.

• cada resposta em branco perde 2 pontos. Veja os resultados na tabela abaixo: Número de Número de Número de respostas respostas respostas certas erradas em branco Ana

Bento

Lucas

Escrevendo os nomes dos três em ordem decrescente de classificação no concurso, encontramos: Alternativa e. a) Ana, Bento, Lucas b) Lucas, Bento, Ana c) Ana, Lucas, Bento d) Lucas, Ana, Bento e) Bento, Lucas, Ana 11. (OBM) Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual dois ônibus foram contratados. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31 no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que a mesma quantidade de alunos seja transportada nos dois ônibus? Alternativa b. a) 8 d) 26 b) 13 e) 31 c) 16 12. (Vunesp-SP) Um determinado medicamento deve ser ministrado a um doente três vezes por dia, em doses de 5 mililitros cada vez, durante 10 dias. Se cada frasco contém 100 mililitros do medicamento, quantos frascos são necessários? Alternativa b. a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

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13. (UECE) Numa corrida de 5 000 metros, o primeiro colocado vence o segundo por 400 metros, e o segundo colocado vence o terceiro por 200 metros. Qual a soma das distâncias percorridas, em metros, pelos três corredores no instante em que o primeiro colocado atinge a marca de chegada? 14 000 metros. 14. O quadro a seguir indica a sequência de teclas digitadas em uma calculadora (da esquerda para a direita) e o resultado apresentado no visor após a sequência. Sequência de teclas ( )

Resultado no visor

2+3=

2+3==

2+3===

…

Se digitarmos 2 + 3 seguido de 10 vezes a digitação da tecla =, qual será o número que vamos obter? Alternativa d. d) 32 a) 23 e) 35 b) 26 c) 29 15. (OBMEP) Mário montou um cubo com doze varetas iguais e quer pintá-las de modo que em nenhum vértice se encontrem varetas de cores iguais. Qual é o menor número de cores que ele precisa usar? Alternativa b. d) 6 a) 2 e) 8 b) 3 c) 4 16. (UFPI) O algarismo das unidades do número 3 x 5 x 87 x 114 x 213 x 311 é: d) 1 a) 8 e) 0 b) 5 c) 3 Alternativa e.

UM NOVO OLHAR

Nesta Unidade, não só retomamos as operações matemáticas de números naturais, mas pudemos conhecer algumas propriedades dessas operações, por exemplo, a propriedade comutativa da adição e a relação fundamental da subtração. Nas páginas de abertura, além de conhecer diversas informações sobre os Jogos Olímpicos de 2016, você foi convidado a pensar em diferentes situações em que é possível utilizar as operações matemáticas. Alguma das situações que havia imaginado apareceu ao longo desta Unidade? Qual? Vamos refletir sobre as aprendizagens da Unidade 2: Respostas pessoais. • Você conseguiu perceber as diferentes ideias associadas à adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação? Você conseguiria pensar em situações em que cada uma dessas ideias pode ser utilizada? • Em uma expressão numérica, respeitar os parênteses e a ordem das operações é importante? Por quê? • Você acha que existe somente uma estratégia, ou seja, um único caminho possível, para se chegar ao resultado de uma operação matemática? • Você consegue utilizar a calculadora para resolver cálculos envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, além de expressões numéricas?

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Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento dessa Unidade permitirão diferentes reflexões e possibilidades para generalizações, além da retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada um dos conteúdos estudados na Unidade. A primeira indagação trata das propriedades das ideias associadas às operações com números naturais. Nesse momento, é interessante fazê-los revisar as ideias associadas a cada uma das operações. Incentivar os alunos a criar desafios para seus colegas. Na segunda questão espera-se que os alunos percebam a importância das regras estabelecidas para se resolver uma expressão numérica. Retomar com os alunos a ordem de resolução das operações e dos sinais de associação nas expressões numéricas recorrendo ao cartaz resumo. Estimular a elaboração de exemplos de expressões numéricas para ilustrar essas regras e, também, a resolvê-las. Na terceira questão espera-se que os alunos percebam que há vários modos de se encaminhar uma resposta. Em geral, escolhe-se um que você se identifica mais, mas não será a única possibilidade. Para a quarta questão é esperado que o aluno já domine as técnicas para realizar as operações básicas utilizando a calculadora. No entanto, é importante retomar o uso da calculadora para resolver as potenciações e as expressões numéricas usando a teclas = e de memória. Incentivar os alunos a criar expressões numéricas para os colegas resolverem usando a calculadora.

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ATUALIDADES EM FOCO

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Atualidades em foco É interessante começar incentivando os alunos a falarem o que eles sabem sobre direitos e deveres e, nesse caso especificamente, perguntar se sabem quais são os direitos e os deveres garantidos às crianças e aos adolescentes. Nesse momento, a ideia é verificar o que eles sabem sobre o tema abordado e ao mesmo tempo promover uma dinâmica com o objetivo de incentivar a escuta ativa e isenta de julgamentos, respeitando a opinião dos colegas e interagindo de forma cooperativa e colaborativa. Para isso, se possível, pedir aos alunos que escrevam em pedaços de papel 5 coisas/elementos que consideram mais importantes em suas vidas e, em seguida, deem uma nota de 1 a 5 de acordo com a importância delas, sendo 1 a pontuação mínima e 5 a pontuação máxima. Em seguida, pedir que se reúnam em duplas, de preferência com alguém que não costuma ter muito contato, e escolham alguns dos itens descritos nos papéis para compartilhar com o colega. A ideia é que, durante 3 minutos, cada aluno conte para o colega o porquê de suas escolhas e das notas. A pessoa que está ouvindo deverá apenas ouvir com atenção, sem interferir em momento algum. Depois, trocam-se os papéis, quem estava ouvindo passa a falar e vice e versa. Para finalizar, abrir uma roda de conversa para que possam socializar as impressões, sentimentos e sensações durante a atividade. Depois, perguntar o que os alunos sabem sobre o ECA, sobre os personagens da Turma da Mônica e a respeito do escritor e desenhista Maurício de Souza. Solicitar que façam uma leitura individual da HQ e, ao final, pedir que destaquem os pontos apresentados no texto (linguagem verbal e não verbal) que julgaram mais relevantes ou interessantes.

• Você sabe o significado da palavra respeito? Como você a representa no dia a dia? • Além das pessoas, o que mais deveríamos respeitar? • Além do respeito, quais devem ser os demais deveres das pessoas? Leia ao lado outro trecho da HQ de Mauricio de Sousa. • Após a leitura, faça uma reflexão sobre suas respostas às questões anteriores. Houve alguma mudança?

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Pedir aos alunos que reflitam individualmente sobre cada questionamento na página e, se possível, abrir espaço para a socialização das reflexões. Relembrar que muitas vezes as pessoas têm opiniões e valores diferentes dos nossos e estes precisam ser ouvidos e respeitados.

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nho percorrido pelos alunos, pois alguns questionamentos são muito pessoais e buscam o autoconhecimento e a autogestão. Na questão 1, seria interessante que alguns alunos, de forma voluntária, pudessem compartilhar as respostas. É importante respeitar o momento de cada aluno, pois o questionamento pode trazer questões complexas para alguns e, nesse caso, deverão ser tratadas de forma individual. Na questão 2, os alunos são incentivados a pensar em seus deveres e como se relacionam com eles. No item a da questão 3, há diferentes respostas possíveis. A ideia é que os alunos percebam que há aproximadamente 4 milhões de crianças órfãs para um universo de cerca 40 milhões, portanto, aproximadamente 10% das crianças são órfãs. Para o item b, há diferentes respostas possíveis. A ideia é que os alunos percebam que em um universo de aproximadamente 40 milhões de crianças, há aproximadamente 2 milhões de crianças expostas a algum tipo de trabalho infantil. Portanto, 5% das crianças. Na questão 4, incentivá-los a elaborar uma campanha para divulgar o ECA, com o objetivo de difundir os direitos e deveres das crianças e dos adolescentes.

ECA x Realidade A realidade brasileira mostra muita coisa diferente do que está descrito e garantido no ECA: • há aproximadamente 3,7 milhões de crianças órfãs de pai ou de mãe no Brasil e que estão nas filas de adoção, podendo ser adotadas ou não. • em 2016, 1,8 milhão de crianças e adolescentes estavam expostos há algum tipo de situação de trabalho infantil, extinguindo, na maioria das vezes, o direito básico à infância, ao lazer e a uma educação de qualidade. • aproximadamente 2,5 milhões de crianças e adolescentes estão fora da escola. • a mortalidade infantil é de aproximadamente 14 mortos para cada mil nascidos vivos, um número bem distante do ideal. Todos esses números estão dentro de um universo de aproximadamente 40 milhões de crianças e adolescentes brasileiros na faixa etária de 5 a 17 anos. Mas é preciso, além de pesquisar informações acerca da realidade atual das crianças e adolescentes brasileiros, observar o cenário como um todo, percebendo, por exemplo, o tempo histórico, a região etc. Apesar de a mortalidade infantil ter diminuído nas últimas décadas, esse número não é igual para todas as regiões do Brasil; por exemplo, na região Sul esse número é de 9,4 mortos para cada mil nascidos vivos, enquanto na região Norte esse número sobe para 18,1. Informações obtidas em: INSTITUTO BENEFICENTE VIVA A VIDA. ONU mostra que Brasil tem 3,7 milhões de órfãos. Disponível em: <http://www. ibvivavida.org.br/index.php?option=com_content&view=article&id=2982:not3160&catid=34:noticias&Itemid=54>. SILVEIRA, D. Trabalho infantil... G1. Disponível em: <https://g1.globo.com/economia/noticia/trabalho-infantilquase-1-milhao-de-menores-trabalham-em-situacao-ilegal-no-brasil-aponta-ibge.ghtml>. SARAIVA, A; SALES, R; ROSAS, R. Mortalidade infantil é a menor em 11 anos... Valor Econômico. Disponível em: <http://www.valor.com.br/brasil/4794309/mortalidadeinfantil-e-menor-em-11-anos-aponta-ibge>. BRASIL POSSUI quase 25 milhões... G1. Disponível em: <https://g1.globo.com/educacao/noticia/brasil-possuiquase-25-milhoes-de-criancas-e-adolescentes-fora-da-escola-diz-estudo.ghtml>. Acessos em: 11 maio 2018.

De acordo com as informações e reflexões acerca dos direitos e deveres das crianças e dos adolescentes e o cenário brasileiro, responda às questões abaixo. Responda às questões no caderno.

3. Observe as informações do texto para retratar a realidade brasileira. O que você conclui sobre os temas a seguir? Utilize dados numéricos para justificar sua resposta.

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Nesta parte, os alunos são estimulados a conhecer e se deparar com algumas situações encontradas na realidade brasileira e, a partir dos números apresentados e outros que poderão ser pesquisados pela turma, realizar reflexões e ponderações acerca do assunto. É importante fazê-los perce-

ber que os números, muitas vezes, permitem visualizações e comparações essenciais em diversas situações. Fazê-los perceber a importância das fontes de pesquisa utilizadas. Pedir que elaborem uma lista de fontes seguras e confiáveis para pesquisas. Conversar com eles sobre notícias falsas

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(fake news), discutindo pontos como possíveis consequências que notícias desse tipo podem causar. As questões apresentadas podem ser um ponto de partida para fazer retomadas, sistematizações e, talvez, ampliações individuais e coletivas. É importante observar o cami-

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HABILIDADES

p. XVII e XVIII

Geometria • EF06MA17 Grandezas e medidas • EF06MA28

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Abertura de Unidade É interessante incentivar os alunos a observar atentamente a imagem apresentada e levantar hipóteses sobre o que ela representa, onde fica, algumas características da construção, qual a função das pirâmides no Egito antigo e quais conteúdos poderão ser tratados nesta Unidade. Depois, sugere-se que a exploração das perguntas da abertura seja feita coletivamente para que os alunos possam socializar suas observações, e, dessa forma, seja possível coletar dados sobre o conhecimento prévio da turma. É provável que os alunos tragam consigo algum conhecimento de anos anteriores sobre as pirâmides. Espera-se que eles percebam algumas características presentes nessa figura. É provável que os alunos reconheçam o triângulo como uma figura que compõe os lados das pirâmides. Nesse momento, é interessante apresentar à turma algumas pirâmides de base triangular, quadrada, pentagonal e hexagonal, por exemplo, para que eles possam observar informalmente algumas características semelhantes entre elas. A sistematização dessas características ocorrerá mais adiante nesta Unidade. Antes de fazer a leitura do texto, explorar as ideias e hipóteses que os alunos possam ter sobre a Geometria utilizada na Antiguidade. Depois, fazer a leitura coletiva do texto para validar algumas hipóteses ressaltando a importância dos matemáticos gregos que sistematizaram os conhecimentos geométricos utilizados pelos egípcios, os quais são utilizados até hoje.

FIGURAS GEOMÉTRICAS

No antigo Egito, a Geometria já era amplamente utilizada pelos agrimensores na medição de terrenos, enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificações. As famosas pirâmides do Egito são exemplos de construções em que o uso da Geometria foi muito aplicado. Os egípcios ganharam tanto reconhecimento com a aplicação da Geometria que os gregos buscaram no Egito novas aplicações para ela. Por volta de 600 a.C., os matemáticos gregos começaram a sistematizar os conhecimentos geométricos que foram adquirindo, fazendo que a Geometria deixasse de ser puramente experimental. Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos matemáticos foi feito principalmente pelo matemático grego Euclides, por volta de 300 a.C. Para se ter ideia da importância dessa organização, a Geometria que estudamos hoje é praticamente a mesma de Euclides.

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permite a eles, compreender a origem de algumas ideias que deram forma a cultura e ao conhecimento matemático. Assim, os alunos desenvolvem conhecimento suficiente para relacionar a Matemática a outras atividades humanas. No caso da geometria, é possível observar diversos objetos tanto na natureza, como nas construções humanas, que lembram figuras geométricas. O uso de materiais concretos pode ser uma importante ferramenta para o desenvolvimento do raciocínio geométrico.

Abaixo, temos a imagem das pirâmides de Gizé. Observe a foto e responda no caderno: • O que você sabe sobre a figura geométrica pirâmide? • Cite algumas características das pirâmides da fotografia. • Será que todas as pirâmides possuem as mesmas características das pirâmides da foto? Respostas pessoais.

KATALEEWAN INTARACHOTE/SHUTTERSTOCK.COM

Veja no material audiovisual o vídeo sobre a construção das pirâmides do Egito.

NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre a construção da Pirâmide de Quéops. O vídeo inicia-se com uma breve apresentação do sólido geométrico pirâmide para, em seguida, tratar da construção da Pirâmide de Quéops, apresentando as mais recentes hipóteses e descobertas a respeito disso.

Nesta Unidade, as pirâmides, os prismas e outras figuras geométricas serão objeto de estudo aprofundando os conhecimentos adquiridos pelos alunos em anos anteriores. Os alunos terão a oportunidade de reconhecer as principais características de prismas e pirâmides levando-os a desenvolver o raciocínio

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lógico-espacial. O ponto, a reta e o plano serão tratados como ideias intuitivas aceitas sem definição e provas matemáticas. Também serão abordadas as definições e representações das semirretas e segmento de retas. Se achar conveniente, pedir aos alunos que façam uma pesquisa sobre a vida e obra

9/28/18 2:53 PM de Euclides, conhecido como o pai da Geometria. É importante que os alunos percebam a importância dos conhecimentos geométricos no decorrer da história da humanidade assim como todo o conhecimento matemático, fruto da construção humana, que está em processo evolutivo. Isso

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

PONTO, RETA E PLANO Você já teve uma ideia intuitiva?

Mas... O que é uma ideia intuitiva?

Ter uma ideia intuitiva é ter uma percepção imediata de algo. Ao observarmos o mundo, certas ideias se formam em nossa mente de modo intuitivo e nos ajudam a compreender a realidade.

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

Agora, sim!

Em Geometria, algumas ideias são intuitivas. São elas o ponto, a reta e o plano. A corda do berimbau bem esticada dá a ideia de reta.

Cada estrela dá a ideia de ponto.

A superf ície do campo de futebol dá a ideia de plano.

THOMAZ VITA NETO/PULSAR IMAGENS

Ponto, reta e plano Antes de iniciar a leitura do texto, explorar coletivamente a ideia de que os alunos têm sobre ponto, reta e plano. Assim, pode-se perceber o conhecimento prévio que eles possuem para direcionar as discussões e o modo como será conduzida a abordagem do conteúdo. É importante os alunos compreenderem que esses elementos são ideias intuitivas que passam pela nossa percepção imediata quando observamos o mundo, e que não existe uma definição precisa para eles. Podemos associá-los a um conjunto de estrelas, aos grãos de areia, aos fios de uma cerca de arame, fios de um poste, tampo de uma mesa etc. É interessante utilizar objetos e desenhos como recursos para auxiliá-los nesse processo de construção de noções geométricas tão importantes; nesse sentido, incentivá-los a desenhar e fazer associações às ideias que estão sendo trabalhadas. Outra importante ferramenta é o registro escrito: os alunos podem, por exemplo, construir um dicionário de Geometria; à medida que aprenderem o novo termo, eles podem acrescentá-lo no dicionário que estão criando. Ao fim da Unidade, eles próprios podem fazer uma retomada e verificar se devem fazer algum ajuste; desse modo estarão revendo seus registros e fazendo uma autoavaliação.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS p e n s e e r e s p o nd a

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Pense e responda As atividades propostas têm como objetivo identificar ponto, reta e plano como ideias intuitivas e fazer que os alunos os reconheçam. Comentar novamente que as ideias de ponto, reta e plano são aceitas sem definição na Geometria. Para iniciar o trabalho que ajudará os alunos a desenvolverem a percepção geométrica e espacial, pedir a eles que escolham objetos, dentre os materiais na sala de aula, que lembrem figuras geométricas espaciais. Identificar aqueles que lembram os modelos apresentados na atividade 3 e questionar sobre aqueles que não lembram esses modelos, tentando verificar os nomes dos objetos espaciais conhecidos pelos alunos. Se possível, permitir aos alunos que façam explorações concretas, manipulando objetos e listando as características verificadas ou, ainda, decalcando partes desses objetos em uma folha de papel. É importante aos alunos que percebam que podemos compreender as retas como um conjunto infinito de pontos dispostos em linha que não faz curva e o plano como um conjunto de retas justapostas e enfileiradas. Se achar oportuno, aproveitar o momento para desenvolver um trabalho interdisciplinar com o professor de Arte, explorando o uso do ponto, da reta e do plano. Uma sugestão interessante é o uso do pontilhismo, por exemplo.

Responda às questões no caderno.

1. Observando a sala de aula, você reconhece algo que dê a ideia de: Respostas pessoais. a) ponto? b) reta? c) plano?

2. Para cada item, pense em três exemplos que deem as ideias de ponto, reta e plano: a) na natureza. b) na sua casa. c) no seu material escolar. Respostas pessoais. 3. Se você tatear objetos como os que vemos a seguir, vai perceber bicos que lembram pontos (vértices), quinas que lembram partes de retas (arestas) e superfícies que lembram partes de planos (faces). Respostas pessoais.

SYLV1ROB1/SHUTTERSTOCK.COM, JETREL/ SHUTTERSTOCK.COM; EDITORIA DE ARTE

a) Com suas palavras, descreva as figuras A e B. b) Cite dois exemplos de objetos, construções, entre outros, que lembrem essas formas.

Essas ideias intuitivas são chamadas de noções primitivas e são aceitas sem definição na Geometria. A B O ponto não possui dimensões, e sua indicação é feita Ponto A. Ponto B. por letras maiúsculas do nosso alfabeto. A reta é imaginada sem espessura, não tem começo nem fim, ou seja, é ilimitada nos dois sentidos. É impossível desenhar uma reta no papel ou no quadro de giz. Por esse motivo, representamos apenas “uma parte” da reta e a indicamos com letras minúsculas do nosso alfabeto. Veja:

s r

Reta r.

Reta s.

Plano a.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

O plano é imaginado sem fronteiras, ilimitado em todas as direções. Assim como no caso da reta, seria impossível desenhar um plano no papel ou no quadro de giz. Por esse motivo, representamos apenas “uma parte” do plano e a indicamos com letras minúsculas do alfabeto grego: a (alfa), b (beta), y (gama), ...

Plano b.

As ideias de ponto, reta e plano são modelos criados pelo ser humano e usados para compreender melhor certos aspectos do mundo. 79

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

A RETA Observando as figuras seguintes, intuímos que: • por um ponto P qualquer passam infinitas retas.

• por dois pontos distintos, A e B, passa uma e só uma reta. Podemos usar !#" esses pontos para nomeá-la: AB . A

Posições relativas de duas retas em um plano ÚB LIC A

DE RDA LIBE

D RO

E D. P RUA

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

EP . R AV

As retas r e s, contidas em a, não possuem ponto comum. As retas r e s são denominadas retas paralelas. Indicamos: r//s.

DA AV.

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Retas paralelas

S DE A7 RU

Este esquema de ruas é parte da planta de uma cidade, e as ruas representadas nos dão a ideia de retas. A Rua 7 de Setembro e a Avenida República representam ruas que nunca se cruzam. Dizemos que essas ruas são paralelas. O mesmo ocorre com a Rua 7 de Setembro e a Avenida Independência. A Avenida da Liberdade cruza a Rua 7 de Setembro. Dizemos que essas ruas são concorrentes. O mesmo ocorre com a Avenida da Liberdade e a Avenida Independência. Agora, acompanhe os modelos matemáticos a seguir.

N DÊ EN EP ND . I AV

Posições relativas de duas retas em um plano Aqui vamos identificar as posições relativas de duas retas em um plano. É importante destacar que tanto as figuras planas quanto as espaciais são formadas pelo encontro de retas e planos que pertencem ao espaço. Vamos assumir que por definição a reta é uma sucessão de infinitos pontos. Sendo assim, duas retas podem ter um ponto em comum quando se cruzam, nenhum ponto em comum quando nunca se cruzam, ou ainda, elas podem ter todos os pontos em comum quando estão sobrepostas. São chamadas de retas concorrentes, perpendiculares e coincidentes, respectivamente. Antes de ler o texto do livro, pedir aos alunos que desenhem um ponto no caderno e com uma régua tracem uma reta passando por esse ponto. Perguntar aos alunos se é possível traçar outra reta passando pelo mesmo ponto. Em seguida pedir que tracem uma terceira reta e assim por diante. Perguntar aos alunos quantas retas é possível traçar passando por um mesmo ponto. Explicar que é possível traçar infinitas retas. Depois pedir aos alunos que desenhem dois pontos, A e B, no caderno. Em seguida pedir a eles que tracem uma reta passando pelos pontos A e B. Em seguida, pedir-lhes que tracem outra reta passando pelos mesmos pontos A e B. Nesse momento, é esperado que os alunos percebam que não é possível traçar mais de uma reta passando por dois pontos.

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Retas concorrentes As retas r e t, contidas em a, possuem um único ponto comum, que é o ponto A.

a t A

As retas r e t são denominadas retas concorrentes ou secantes. Indicamos: r x t. Observação: • Lembrando que a reta é imaginada sem começo nem fim, esta figura representa retas concorrentes ou secantes.

Retas coincidentes Duas retas a e b podem coincidir, ou seja, podem estar ocupando a mesma posição no plano. Nesse caso, dizemos que a e b são retas coincidentes. Elas têm todos os pontos em comum.

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Para as retas concorrentes, utilizar os mesmos passos que foram utilizados nas retas paralelas. Primeiro, levantar as informações que fazem parte do conhecimento prévio dos alunos; é interessante pedir a eles que identifiquem a ideia de retas concorrentes em objetos ou desenhos que fazem parte do cotidiano deles. Se achar oportuno, levar para a sala de aula algum mapa que mostre as ruas de uma cidade ou de um bairro e pedir aos alunos que identifiquem as ruas paralelas e as ruas concorrentes. Para explorar as ideias sobre as posições relativas de duas retas, começar perguntando se os alunos sabem o que são retas paralelas. Isso permite conhecer as ideias que os alunos possuem sobre retas paralelas e a partir disso ampliar o conhecimento deles. Pedir a eles que observem o ambiente da sala de aula e identifiquem objetos que nos dão ideia de retas paralelas. Caso haja alguma dificuldade para encontrar esses objetos, guiar o olhar dos alunos para observar as linhas do caderno, por exemplo. Perguntar se ao continuarmos a traçar essas linhas, infinitamente, elas irão se cruzar em algum momento. É provável que eles percebam que essas linhas nunca irão se cruzar. Buscar com os alunos outros exemplos. Depois de esse tema ser explorado de maneira intuitiva, é importante formalizar utilizando a linguagem Matemática para a representação das posições relativas de duas retas. Pedir aos alunos que confeccionem um cartaz-resumo sobre esse tema utilizando a simbologia necessária. Em seguida, fixá-lo em local visível para consultas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Atividades As atividades têm como objetivo levar os alunos a: • verificar, de modo intuitivo, quantas retas passam por um ponto e que uma única reta passa por dois pontos distintos. • identificar as posições horizontal, vertical e inclinada de uma reta em relação ao plano horizontal. • identificar retas concorrentes ou secantes, retas paralelas e retas coincidentes. Na atividade 2 é interessante fazer o esboço para ilustrar a situação para que o aluno visualize a posição da reta imaginada.

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Responda às questões no caderno. 1. São dados dois pontos distintos, P e Q. Escreva quantas retas podem passar pelo ponto P e também pelo ponto Q. Uma única reta. 2. Quando levanta voo, um avião faz uma trajetória que dá a ideia de reta. Em relação ao solo, essa reta é horizontal, vertical ou inclinada? Inclinada. 3. Observe a figura abaixo e dê a posição relativa das retas:

5. Considerando um ponto M do plano, quantas retas podem passar por esse ponto? Infinitas retas. DESAFIO

6. Quatro amigos moram e trabalham em Ribeirão Preto, cidade localizada no estado de São Paulo. Veja abaixo as informações que cada um fornece sobre seu local de trabalho. A lanchonete onde trabalho fica na rua Amador Bueno.

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Anita.

a) a e b. Concorrentes. b) a e c. Concorrentes.

Desafio Primeiro, pedir aos alunos que leiam atentamente o enunciado do desafio e organizem os dados. Em seguida, os alunos podem reproduzir um esboço do mapa no caderno e depois marcar, com cores diferentes, as ruas em que cada um dos personagens trabalha. Por exemplo, sabemos que Anita e Renato trabalham nas ruas Amador Bueno e Florêncio de Abreu, respectivamente. Então, será usada uma cor para identificar a rua que corresponde ao local de trabalho de cada um.

e) b e c. Concorrentes.

4. Observe a foto.

Cláudio.

a) O encontro de duas paredes dá a ideia de reta. Em relação ao piso, essa reta é horizontal, vertical ou inclinada? Vertical. b) O encontro do rodapé com o chão também nos dá a ideia de uma reta. Que posição tem essa reta em relação à reta formada pelo encontro das duas paredes? Concorrente.

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

Discutir outras situações como a da atividade 4, na qual aparecem relações entre coisas que lembram retas. Exemplos: linhas e margens no caderno, grades em portões ou janelas etc.

Meu local de trabalho fica em uma rua paralela à de Sueli, entre as ruas Barão do Amazonas e Tibiriçá.

d) c e d. Paralelas.

HORIYAN/SHUTTERSTOCK.COM

EDITORIA DE ARTE

c) a e d. Concorrentes.

Eu trabalho em uma rua concorrente à de Renato.

Sueli.

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Cláudio trabalha na rua Visconde de Inhaúma, e Sueli trabalha na rua Comandante Marcondes Salgado.

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• Anita e Sueli trabalham em ruas diferentes.

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Estas são mais algumas dicas:

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Renato.

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WANDSON ROCHA

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Agora, utilize as dicas e o esquema de ruas a seguir para responder no caderno ao que se pede.

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• O local de trabalho de Sueli fica na esquina da rua onde Renato trabalha e a três quadras da rua onde Cláudio trabalha.

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A oficina onde trabalho fica na rua Florêncio de Abreu.

Ilustração produzida com base em: GOOGLE MAPS. Disponível em: <http://maps.google.com.br/maps>. Acesso em: 6 maio 2018.

a) Em que ruas trabalham Cláudio e Sueli? b) As ruas onde trabalham Cláudio e Anita são paralelas ou concorrentes? Paralelas. c) A Avenida J. Gonçalves é paralela à Rua José Bonifácio? Não.

Semirreta

A semirreta é uma parte da reta; ela tem origem e não tem fim em apenas um sentido.

A B

Figura 1.

A B

Figura 2.

A B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A figura 1 mostra a reta r, que passa pelos pontos A e B. Por ser uma reta, não tem início nem fim. Agora, considere o ponto A e a parte da reta r que, partindo de A, passa por B. Nesse caso, traçamos a semirreta que tem origem no ponto A e passa pelo ponto B, como mostra a figura 2. Indicamos: AB. Observe novamente a figura 1 e considere o ponto B e a parte da reta que, partindo de B, passa por A. Nesse caso, traçamos a semirreta que tem origem no ponto B e passa pelo ponto A, como mostra a figura 3. Indicamos: BA.

Figura 3.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Para complementar o desafio proposto, sugerir que levem um mapa das ruas do bairro onde se localiza a escola e pedir aos alunos que identifiquem relações entre a rua da escola e as ruas próximas. Caso não seja possível levar um mapa, fazer um esboço simples das ruas próximas à escola e apresentá-lo aos alunos para discussão. Após esse momento, organizar a turma em grupos e solicitar a cada um que crie um desafio utilizando esse mapa. Em seguida, os grupos devem trocar os desafios para serem resolvidos e, por fim, devem ser devolvidos para o grupo original para serem corrigidos.

Semirreta É comum confundir o conceito de retas, semirretas e segmentos de reta. Por esse motivo, é importante estar atento a se os alunos compreendem as diferenças entre cada um. Vamos tratar de semirreta e segmento de reta. Começar recordando com os alunos as ideias intuitivas de reta, ressaltando que ela não tem começo nem fim. Sugerir que simulem uma reta com um barbante, depois solicitar que o dobrem ao meio e o cortem; explicar a eles que, assim, foi obtida a representação de duas semirretas. Ressaltar que o ponto do corte é chamado de origem das duas semirretas e que esse ponto é comum a elas. A seguir, pedir aos alunos que façam a leitura do texto do livro para se familiarizarem e interpretarem a linguagem simbólica utilizada.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Segmento de reta Veja a representação de um campo de futebol. Cada uma das linhas laterais, prolongadas indefinidamente nos dois sentidos, sugere a ideia de reta. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Segmento de reta Para introduzir o conceito de segmento de reta, solicitar aos alunos que simulem uma reta utilizando um barbante. A seguir, pedir que cortem esse barbante em dois pontos. Dizer aos alunos que consideramos esse pedaço obtido como sendo a representação de um segmento de reta. Ressaltar que os dois cortes efetuados representam os pontos de começo e fim do segmento. Pedir a eles que leiam o texto do livro sobre segmento de reta para que possam se familiarizar com os termos e reconhecer os símbolos usados. Aproveitar o momento para definir com os alunos o que são segmentos consecutivos e colineares. Por fim, pedir aos alunos que façam um cartaz-resumo com exemplos de semirreta, segmento de reta, segmentos consecutivos e segmentos colineares, utilizando a linguagem matemática, para, depois, fixá-lo em um local visível para consultas.

Se considerarmos os pontos A e B, que são extremidades da linha lateral em evidência no desenho, e os pontos dessa linha situados entre A e B, a figura geométrica obtida representará uma parte da reta. Essa parte da reta, que colocamos em evidência na figura, denomina-se segmento de reta. Observe:

r A

Segmento de reta.

• Os pontos A e B são as extremidades do segmento. • A reta r é a reta suporte do segmento. Para nomear um segmento de reta, indicamos as letras das extremidades desse segmento com um traço em cima. No exemplo, temos AB (segmento cujas extremidades são os pontos A e B).

Segmentos consecutivos e segmentos colineares Observe: A

• Dois segmentos que têm uma extremidade comum são denominados segmentos consecutivos. São exemplos de segmentos consecutivos: AB e BC; BC e BD; AB e BE. • Dois segmentos que estão em uma mesma reta suporte são denominados segmentos colineares. São exemplos de segmentos colineares: BC e CD; BC e BD; BC e DE. São exemplos de segmentos consecutivos e colineares: BD e DE; CD e BD. 84

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Responda às questões no caderno. 1. Escreva quantos segmentos de reta você encontra em cada figura.

3. Quantas e quais são as semirretas com origem no ponto P que estão representadas na figura? Cinco: PA , PB , PC , PD e PF. C

B P

Pode-se observar que as duas semirretas têm origem no ponto P, mas estão contidas em retas suportes concorrentes em P e, portanto, em retas distintas. 2. Possível desenho:

A D

4. Na figura do exercício anterior, os pontos C, P e F estão alinhados. Os pontos D, P e B também. Sabendo disso, quantos segmentos de reta estão identificados? 7 segmentos.

C B

2. Em quais figuras você não encontra segmentos de reta? Nas figuras 3, 6 e 7. 1 1

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

3 3

3 3 3 3

4 4

4 4 4 4

6. Observe a figura. C

7 7

5 5 5 5

7 7 7 7

6 6

8 8

6 6 6 6

8 8 8 8

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

5 5

a) consecutivo com CD. BC, BD ou AC. b) colinear com BC. AB ou AC. c) consecutivo com BD. AB, CD ou BC.

a) Escreva dois segmentos que estão em retas paralelas. AB e MN. b) Escreva um segmento que esteja contido em BC. BN, BC ou CN. c) Escreva dois segmentos que tenham como extremidade comum o ponto A. AB e AM ou AC e AB.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades Nessas atividades, os alunos poderão reconhecer, representar e nomear semirretas e segmentos de reta. Depois de resolverem a atividade 1, seria interessante solicitar a eles que simulem a montagem de

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algumas figuras, formadas por semirretas utilizando pedaços de barbante. Se perceber que existem dúvidas em relação aos conceitos abordados, fazer retomadas estratégicas, para ajudá-los a compreender. Outro recurso interessante para a realização dessas atividades é a consulta ao quadro-resumo que eles construíram.

AMPLIANDO

A semirreta de origem A e que passa por C e a semirreta de origem D e que passa por E são duas semirretas de origens diferentes (A e D) e estão contidas na mesma reta, a que passa pelos pontos A e B, mas nesse caso essas duas semirretas não têm pontos comuns.

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A semirreta de origem A e que passa por C e a semirreta de origem B e que passa por C são duas semirretas de origens diferentes (A e B) e estão contidas na mesma reta, a que passa pelos pontos A e B. No caso do desenho acima sim, essas duas semirretas têm pontos comuns, um deles é o ponto C. Na verdade, todos os pontos da semirreta de origem B passando por C são também pontos da semirreta de origem A passando por C. Duas semirretas nas condições descritas nem sempre terão pontos comuns. A situação mostrada abaixo é um exemplo disso:

5. Observando a figura abaixo, identifique um segmento que seja:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

2. Traçar duas semirretas de origens diferentes que estejam em uma mesma reta. Essas duas semirretas têm pontos comuns? Isso sempre ocorrerá? Resolução da atividade 1. Possível desenho:

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Atividade complementar Propor aos alunos a seguinte atividade e solicitar que justifiquem suas respostas com imagens: 1. Traçar duas semirretas de mesma origem, mas que não estejam em uma mesma reta.

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Desafio É interessante observar que estratégias os alunos pretendem adotar para resolver o problema proposto; pode ser que a princípio eles pensem em organizar as fileiras em uma composição retangular. Observar como eles procedem e caso estejam dedicados a pensar em organizar as moedas apenas em fileiras retangulares ou quadradas, incentivá-los a pensar em outras formas de dispor as moedas. Se houver necessidade, dizer a eles que podem haver moedas que pertencem a mais de uma fileira. É interessante que esse desafio seja feito em duplas para facilitar a troca de ideias. Providenciar com antecedência fichas circulares ou tampinhas de garrafas para que os alunos possam vivenciar a atividade. Discutir a solução e, em seguida, deixá-los desenhar a solução.

7. Analise esta figura:

Vendas nos seis bimestres de 2018

α C

N s

Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

40 30 20 10 Jan./Fev. Mar./Abr. Maio/Jun. Jul./Ago. Set./Out. Nov./Dez. Meses

Quantos segmentos foram traçados para construir o gráfico, considerando os pontos destacados como extremidades desses segmentos? 10 segmentos.

b) MC e CN são colineares e não consecutivos. F

d) AB e CD são colineares e não consecutivos. V

Fonte: Dados fictícios.

a) AB e BC são consecutivos e colineares. V

c) BC e CN são consecutivos e não colineares. V

Produto A Produto B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

DESAFIO

9. Para ganhar dez moedas, Renata tem de vencer um desafio: arrumá-las em cinco fileiras, com quatro moedas em cada fila. Vamos ajudá-la? Desenhe no caderno como Renata deve arrumar as moedas.

8. O gráfico seguinte mostra a evolução de vendas de dois produtos, A e B, nos seis bimestres de 2018.

Medida de um segmento e segmentos congruentes Medir uma reta ou uma semirreta é impossível, já que elas têm pelo menos uma parte sem fim. Mas o segmento de reta pode ser medido em seu comprimento. Para ver como isso pode ser feito, considere os segmentos: A

B a

b N

c Q

Se usarmos um compasso, verificamos que: • o segmento MN cabe 3 vezes no segmento AB. • o segmento PQ cabe 5 vezes no segmento AB. • o segmento RS cabe 15 vezes no segmento AB. Pessoa realizando medição com compasso.

S DANIEL ALLAN/PHOTOGRAPHER’S CHOICE/GETTY IMAGES

Ainda nesse bloco de atividades, procurar explorar os conceitos de semirreta e segmento de reta em situações, como no gráfico de linhas da atividade 8. Levar outros gráficos para a sala de aula para discussão. Essa atividade pode ser explorada para além dos segmentos de retas, tomando o cuidado de especificar que se trata de dados fictícios. Perguntar aos alunos qual foi o mês de maior venda para ambos os produtos, o mês de menor venda, em que meses as vendas foram iguais e que tipo de mercadoria poderia estar nesse gráfico. Essas perguntas servirão de diagnóstico para entender o conhecimento que os alunos têm sobre o tema tratamento de informação e análise de gráficos.

Vendas (em mil unidades)

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Se chamarmos a medida do comprimento MN de a, a de PQ de b e a de RS de c, e compararmos o segmento AB com os segmentos MN, PQ e RS, obteremos de cada comparação a medida do comprimento do segmento AB, nas unidades de medida a, b e c, respectivamente.

Apresentar o compasso como um instrumento que pode ser utilizado para medir segmentos de reta. Providenciar compassos para os alunos verificarem quantas vezes o segmento MN chamado de unidade a cabe no segmento AB. Fazer o mesmo para o segmento PQ chamado unidade b, e RS chamado unidade c. É importante que o aluno perceba que o número de vezes que uma unidade cabe em um segmento depende do seu “tamanho” e que 3 vezes a unidade a é igual a 5 vezes a unidade b, que também é igual a 15 vezes a unidade c. Então, 3 a = 5 b = 15 c. Além do compasso, outros materiais podem ser utilizados para realizar atividades de medição de segmentos, como barbantes, canudos e régua. Aqui os alunos terão a oportunidade de explorar as ideias de unidade de medida e da operação divisão. Comece recordando que uma das ideias da divisão é saber quantas vezes uma unidade cabe em outra e que medir é comparar unidades. Depois, refletir com os alunos que uma reta não pode ser medida por ser infinita, mas que os segmentos de reta, por terem começo e fim, podem ser medidos. Utilizar como exemplo de segmento de reta a lousa e perguntar aos alunos quantos palmos cabem nessa dimensão. Ajudá-los a perceber que a resposta irá depender do tamanho do palmo.

• Quando a unidade de medida é a, que é a medida do segmento MN, a medida do segmento AB é 3 a. Indicamos med AB = 3 a ou AB = 3 a. • Quando a unidade de medida é b, que é a medida do segmento PQ, a medida do segmento AB é 5 b. Indicamos med AB = 5 b ou AB = 5 b. • Quando a unidade de medida é c, que é a medida do segmento RS, a medida do segmento AB é 15 c. Indicamos med AB = 15 c ou AB = 15 c. Afinal, qual das medidas obtidas (3 a, 5 b ou 15 c) é correta? Na verdade, as três medidas são corretas, pois cada uma delas foi obtida com base em uma unidade de medida diferente.

A medida do comprimento de um segmento é obtida quando comparamos o segmento considerado com outro segmento, tomando seu comprimento como unidade de medida.

Vamos agora medir os segmentos CD e EF usando C

como unidade: D

F u

Os segmentos CD e EF têm a mesma medida. Quando dois segmentos têm a mesma medida, tomada na mesma unidade de medida, dizemos que são segmentos congruentes.

Como med CD = 4 u e med EF = 4 u, então CD e EF são segmentos congruentes. 87

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno. 1. Considere como unidade de medida o segmento u e use um compasso para determinar a medida de cada um dos segmentos a seguir. a)

2. Considerando como unidade observando a figura, calcule.

EDITORIA DE ARTE

4. Observe estas figuras geométricas planas formadas por segmentos de reta.

a) b) c) d) e) f)

começou e terminou no ponto P, quantos quarteirões foram percorridos ao todo? 38 quarteirões.

P (início)

Descrição: Partindo do ponto P, os alunos devem traçar: • 7 “quarteirões” para baixo; • 12 “quarteirões” para a direita; • 4 “quarteirões” para cima; • 6 “quarteirões” para a esquerda; • 3 “quarteirões” para cima; • 6 “quarteirões” para a esquerda, retornando ao ponto P. Logo, ao todo serão percorridos 38 quarteirões.

Resoluções na p. 297

med med med med med med

AB BC DE AC BE AE

4u 2u 1u 6u 6u 10 u

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Atividades Estas atividades têm como objetivo fazer com que os alunos saibam associar um segmento de reta a um número denominado medida, usando uma unidade padrão qualquer, e que reconheçam segmentos de reta congruentes. Organizá-los em duplas para realizar os exercícios e pedir que retomem os conteúdos estudados quando necessário. Para a atividade 3, orientar os alunos a quadricular uma folha com linhas verticais e horizontais, formando quadradinhos de 1 cm de lado. Pedir a eles que descrevam um trajeto, identificando os segmentos de reta que foram percorridos. Ver:

Em quais dessas figuras todos os segmentos são congruentes? Figuras a, d, e, f.

B C

D E

3. O trajeto de uma passeata foi representado pelo caminho indicado pelas setas da figura, em que os lados de cada quadradinho representam quarteirões da cidade. Sabendo que a passeata

Respostas 5. Represente: pessoais. a) dois segmentos consecutivos e congruentes. b) dois segmentos colineares, em que um tenha como medida o triplo da medida do outro. c) o segmento AB tal que med AB = 4 cm, consecutivo e colinear com o segmento BC tal que med BC seja o dobro da med AB .

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

FIGURAS GEOMÉTRICAS

Uma laranja lembra uma esfera.

Conseguimos ver nos favos de mel formas que lembram hexágonos.

Embalagens de produtos possuem formas que lembram as figuras geométricas não planas.

Prédios, como o Museu de Arte de São Paulo (Masp), apresentam formas que lembram figuras geométricas não planas.

Bandeiras, como a do Brasil, apresentam formas que lembram figuras geométricas planas.

MAKS NARODENKO/SHUTTERSTOCK.COM, JOYIMAGE/SHUTTERSTOCK.COM, TEENTOINKS/SHUTTERSTOCK.COM, ALEKSANDRA PIKALOVA/SHUTTERSTOCK.COM, DIEGO GRANDI/SHUTTERSTOCK.COM, JULINZY/SHUTTERSTOCK.COM

Contornando a face de um dado apoiado A CH RO N em uma folha de papel, observamos que todos SO D N WA S: os pontos da figura traçada estão no plano repreÕE AÇ R ST sentado pela folha de papel. ILU A face de As figuras geométricas que um dado lembra uma figura estão contidas em um plano, isto é, geométrica plana. que têm todos os seus pontos em um mesmo plano, são chamadas O dado de figuras geométricas planas. lembra uma figura Já as figuras geométricas que geométrica não plana, o cubo. não estão contidas em um único plano, ou seja, aquelas que não têm todos os seus pontos em um mesmo plano, são chamadas de figuras geométricas não planas. Quando olhamos o mundo à nossa volta, para a natureza e para os objetos construídos pelo ser humano, podemos perceber que ele é repleto de objetos que lembram figuras geométricas. Veja alguns exemplos:

Figuras geométricas É importante que os alunos percebam que os objetos podem lembrar figuras geométricas planas ou não planas. A intenção aqui é fazer uma retomada dos conhecimentos prévios dos alunos para em seguida aprofundar o estudo com as classificações dos sólidos geométricos em poliedros e corpos redondos e a classificação dos poliedros em prismas e pirâmides. Pedir aos alunos que leiam o texto e observem as figuras, percebendo que algumas delas pertencem à natureza e outras são objetos criados pelos homens. Em seguida, sugerir que observem a sala de aula e os objetos presentes, se achar oportuno, convidando-os a fazer a mesma observação de objetos fora da sala de aula. Incentivá-los a relacionar as figuras geométricas aos objetos observados. É interessante observar se eles conseguem identificar formas que lembram figuras geométricas facilmente ou se costumam dizer que o objeto observado lembra uma figura geométrica plana ou uma figura geométrica não plana. A partir de uma sondagem como essa, é possível estabelecer metas de trabalho com a turma.

Nas imagens acima existem elementos que lembram figuras geométricas planas e elementos que lembram figuras geométricas não planas. Algumas figuras geométricas não planas podem ser chamadas de sólidos geométricos. 89

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Folha de papel, superfície do tampo de uma mesa, tela de um quadro.

Atividades Nessa seção os alunos terão a oportunidade de identificar as figuras geométricas, classificando-as em planas e não planas. As atividades apresentadas podem ser realizadas em duplas para estimular a troca de experiências e ideias. É importante acompanhar a resolução e quando necessário fazer intervenções. Na atividade 1, estimular os alunos a observar o ambiente da sala de aula e o mundo a sua volta, identificando objetos e relacionando-os às figuras geométricas que esses objetos lembram. Estimulá-los a utilizar a nomenclatura das figuras planas e não planas corretamente. É comum que os alunos apontem para uma caixa e digam que lembra um retângulo. É importante que eles entendam que apenas a face da caixa lembra um retângulo. O mesmo pode acontecer com um objeto esférico, em que o aluno se refira como algo que lembra um círculo. Na atividade 5, os alunos deve perceber que todos os pontos do desenho da planta da casa pertencem a um único plano e que na maquete dessa mesma casa existem vários planos, como a parede lateral e os telhados. Se achar oportuno, pedir aos alunos que desenhem a planta da sala de aula. Assim, eles terão a representação planificada de um ambiente tridimensional que conhecem. Desse modo, os alunos conseguem estabelecer uma relação clara de um objeto plano e não plano.

ATIVIDADES

Resoluções na p. 298

Responda às questões no caderno. 1. Pense no mundo em sua volta e liste objetos da natureza ou construídos pelo homem que lembram figuras geométricas. Resposta pessoal. 2. Classifique as figuras geométricas da atividade anterior em planas ou não planas. Resposta pessoal. 3. Entre os elementos descritos nas fichas, escreva quais nos dão a ideia de: a) uma figura geométrica plana; b) uma figura geométrica não plana. Lata de extrato de tomate, dado, tubo de cola bastão, garrafa de água.

4. O professor de Geografia pediu aos alunos que desenhassem numa folha de papel o mapa do estado onde nasceram. O desenho que eles fizeram representa uma figura geométrica plana ou não plana? Plana. 5. São figuras planas ou não planas? a) A planta de uma casa desenhada em papel vegetal. Plana.

folha de papel

lata de extrato de tomate

tela de um quadro

dado

ILUSTRAÇÕES: DNEPWU

superfície do tampo de uma mesa

b) A maquete dessa mesma casa. Não plana.

tubo de cola bastão

garrafa de água

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Esfera.

Cilindro.

Cone.

Já os poliedros (poli = muitos; edros = faces) têm como principal característica ter faces planas.

Bloco retangular.

Pirâmide.

Resoluções na p. 298

Responda à questão no caderno.

d d)

1. Observe os objetos a seguir e escreva o nome do sólido geométrico que cada um deles lembra. Em seguida, classifique-os em poliedro ou corpo redondo. a)

Cilindro: corpo redondo.

Bloco retangular: poliedro.

Pirâmide: poliedro.

Esfera: corpo redondo.

Cubo: poliedro.

THAMMASAK LEK/SHUTTERSTOCK.COM, S-F/SHUTTERSTOCK.COM, KATALEEWAN INTARACHOTE/ SHUTTERSTOCK.COM, PTASHKA/SHUTTERSTOCK.COM, EVGENY KARANDAEV/SHUTTERSTOCK.COM, STACY BARNETT/SHUTTERSTOCK.COM, EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

Cubo.

FOCUSSTOCKER/SHUTTERSTOCK.COM, HOLY POLYGON/SHUTTERSTOCK.COM, CHONES/ SHUTTERSTOCK.COM, ROMAN SAMOKHIN/SHUTTERSTOCK.COM, IGORSTEVANOVIC/ SHUTTERSTOCK.COM, MURATCANKARAGOZ/SHUTTERSTOCK.COM, EDITORIA DE ARTE

Os sólidos geométricos são figuras espaciais não planas que, de acordo com suas características, podem ser classificadas em poliedros e corpos redondos. Os corpos redondos têm como principal característica a superfície arredondada.

Cone: corpo redondo. 91

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Sólidos geométricos Nesse bloco é importante que os alunos compreendam que sólidos geométricos são figuras geométricas tridimensionais maciças e que, dependendo das características que possuem, os sólidos geométricos são classificados em poliedros ou corpos redondos. Se possível, pedir aos alunos que levem embalagens variadas para a sala de aula. Combinar com eles que o tampo da mesa (ou o piso da sala) representará o plano. Depois, distribuir as embalagens sobre a mesa (ou no chão) e pedir que verifiquem quais objetos representam figuras não planas. Nesse caso, espera-se que digam que todas as embalagens são modelos de figuras não planas. Depois, pedir aos alunos que formem grupos e distribuir algumas embalagens para cada grupo. Pedir a um representante de cada grupo que vá para a frente da sala com uma embalagem escolhida pelo grupo. O aluno representante terá de mostrar as partes de sua embalagem que lembram uma figura plana. É interessante que o aluno deslize a mão por essas partes e mostre que é possível apoiá-las sobre a mesa, e que cada uma fica totalmente encostada no tampo da mesa. Discutir com os alunos o que ocorreria se o objeto escolhido fosse uma bola. Perguntar a eles: “Qual seria a parte plana da bola?”. Espera-se que eles percebam que a bola lembra uma esfera e, portanto, não tem partes planas, ou seja, é um corpo redondo. Além desse trabalho, a manipulação dos objetos sólidos é importante para que o aluno perceba as características específicas dos corpos redondos e dos poliedros. Se for possível, disponibilizar para os alunos um jogo de sólidos geométricos de madeira para que eles possam manipulá-los e visualizá-los de vários ângulos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Prismas e pirâmides Observe o bloco retangular a seguir:

Face

Vértice

Aresta

A parte destacada em verde é uma face. Um bloco retangular possui seis faces. O encontro de faces determina uma aresta e o encontro de arestas determina um vértice. Como esse fato se repete para todos os poliedros, podemos dizer que todos os poliedros possuem faces, arestas e vértices. Os poliedros podem, ainda, ser classificados em prismas e pirâmides, de acordo com suas características. As pirâmides possuem uma base. Suas faces laterais são triangulares e todas as arestas determinadas pelas faces laterais possuem um vértice em comum. Vértice em comum

Os prismas possuem faces laterais retangulares e duas bases idênticas e paralelas entre si.

Veja abaixo alguns exemplos de pirâmides e prismas:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Prismas e pirâmides É possível que durante a exploração deste conteúdo, alguns alunos utilizem termos como canto, bico, dobra etc. Ressaltar a importância da utilização da nomenclatura formal para estes elementos: aresta, faces e vértices. Na página anterior, os alunos manipularam embalagens que lembram poliedros. Esses objetos podem ser aproveitados agora. Organizar a turma em grupos e pedir aos alunos para manipular e observar os poliedros. Estimulá-los a observar as características semelhantes e diferentes entre eles. Em seguida, pedir aos alunos para classificar esses poliedros em dois grupos. Normalmente os alunos usam o critério das faces retangulares e triangulares. Aproveitar esse momento para nomear os grupos: prismas para os objetos de faces retangulares; pirâmides para os objetos de faces triangulares. Outra característica dos poliedros são as suas bases. Orientar os alunos a observar para cada grupo de poliedro as características e a quantidade de bases. Os alunos devem perceber que no grupo das pirâmides existe apenas uma base e no grupo dos prismas existem duas bases paralelas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Planificação

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Os poliedros podem ter sua superfície planificada. Vamos fazê-lo com alguns poliedros:

Planificação

Poliedro A.

Poliedro C.

Planificação

Poliedro B.

Poliedro D.

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 298

Responda às questões no caderno.

1. Observe os poliedros acima e suas superfícies planificadas e monte um quadro para cada um deles que contenha as seguintes informações: Número de lados da base do poliedro

Número de faces do poliedro

Número de faces laterais do poliedro

Número de arestas do poliedro

Número de vértices do poliedro

Número de faces laterais do poliedro

Número de arestas do poliedro

Número de vértices do poliedro

Veja abaixo um exemplo: • Poliedro A Número de lados da base do poliedro

Número de faces do poliedro

5 7 5 15 10 Poliedro B: 4; 5; 4; 8; 5. Poliedro C: 4; 6; 4; 12; 8. Poliedro D: 5; 6; 5; 10; 6. 2. Relacione, para os prismas, o número de lados da base com os demais dados do quadro. Essa relação se manteve nos dois prismas? Sim, a relação é igual para todos os prismas.

3. Faça, para as pirâmides, o mesmo trabalho realizado na atividade 2. É possível identificar uma relação entre os dados do quadro? Sim, existe uma relação e ela é igual para todas as pirâmides.

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Pense e responda Com o objetivo de iniciar o trabalho com a habilidade EF06MA17, essa seção explora a relação de Euler. Agora que os alunos já reconhecem as faces, os vértices e as arestas, pedir que eles façam a observação e a contagem da ocorrência desses elementos nos prismas e pirâmides e registrem nos quadros. Em seguida, pedir que observem os quadros e identifiquem os padrões de ocorrência desses elementos. Se achar oportuno, pedir aos alunos que façam uma pesquisa sobre o matemático suíço Leonhard Euler que descobriu a relação do número de faces, vértices e arestas em alguns poliedros: V + F = A + 2, onde V = número de vértices, F = número de faces e A = = número de arestas. A exploração das planificações de alguns poliedros é uma importante atividade que possibilita ao aluno fazer relações entre o objeto tridimensional e a sua planificação reconhecendo propriedades e elementos desses objetos. É sempre interessante associar o estudo da geometria com objetos do cotidiano para dar significado e facilitar a compreensão dos alunos. Para isso, iniciar pedindo aos alunos que observem algumas embalagens que lembram poliedros. Em seguida, pedir que desenhem suas faces como se as embalagens estivessem desmontadas. Dessa forma, os alunos são incentivados a desenvolver habilidades como a intuição, a percepção e a representação de figuras geométricas. É preciso validar as hipóteses dos alunos. Para isso, propor que eles desmontem as embalagens para observar e comparar com os seus registros validando-os ou não.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nomenclatura p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 298

Responda às questões no caderno.

1. Vimos na página 92 algumas características das pirâmides. Releia essas características, pesquise diferentes pirâmides e reflita sobre qual elemento pode ser utilizado como diferenciador entre pirâmides. O polígono da base.

2. Faça o mesmo exercício da atividade 1, mas agora para os prismas. Qual o elemento diferenciador entre os diferentes prismas? O polígono da base.

A nomenclatura de prismas e pirâmides é feita de acordo com o polígono da base. Observe o quadro abaixo com exemplos de nomenclatura desses poliedros. Número de lados da base

3 lados

4 lados

5 lados

6 lados

Prisma

Prisma triangular

Prisma quadrangular

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

Pirâmide

Pirâmide triangular

Pirâmide quadrangular

Pirâmide pentagonal

Pirâmide hexagonal

Poliedro

ATIVIDADES

Resoluções na p. 298

a) Quantas faces, vértices e arestas tem essa pirâmide? 7 faces, 7 vértices e 12 arestas.

Responda às questões no caderno.

Prisma pentagonal

Prisma quadrangular

Prisma hexagonal

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Prisma triangular

Nomenclatura Comentar com os alunos que um prisma quadrangular possui 8 vértices, 12 arestas, 6 faces e 2 bases, e que também é conhecido como bloco retangular ou paralelepípedo. É importante explicar aos alunos que o cubo é um caso particular de bloco retangular em que todas as arestas têm o mesmo comprimento e todas as faces são quadradas. Antes de iniciar as atividades fazer com os alunos um cartaz-resumo sobre os prismas e as pirâmides. Destaque nele as principais características, diferenças e semelhanças, destacando o formato das faces laterais, o formato de suas

1. Você já viu que os prismas e as pirâmides têm algumas características diferentes. Escreva duas diferenças entre os prismas e as pirâmides. 2. Se um prisma possui 6 arestas na sua base, como ele é chamado? Quantos vértices ele possui? Prisma hexagonal; 12 vértices. 3. Observe a pirâmide abaixo e responda:

b) Qual a forma de suas faces laterais? E de sua base? Triângulos; hexágono. c) Do que depende seu nome? Como podemos nomeá-la? Seu nome depende da forma da base; pirâmide hexagonal. 4. Se uma pirâmide tiver 10 vértices, quantas arestas e faces ela terá? 10 faces e 18 arestas. 5. Preciso construir um cubo de arame usando 15 cm de arame para cada aresta. De quantos centímetros vou precisar? 180 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Pense e responda Organizar a turma em grupos para facilitar a troca de informações. Pedir aos alunos que examinem os prismas e as pirâmides, troquem ideias e tentem justificar os nomes desses poliedros. Espera-se que os alunos compreendam que nos prismas e pirâmides existe uma regularidade entre o número de faces, vértices e arestas em função do número de lados do polígono da base da figura em questão. Assim, a nomenclatura e o número de faces, vértices e arestas desses poliedros é dada de acordo com o polígono de sua base (habilidade EF06MA17). Os prismas são poliedros que possuem as faces laterais em forma de quadriláteros ou paralelogramos. Prismas:

Os prismas possuem os lados em forma de retângulos e duas bases paralelas. As pirâmides possuem as faces 94 na forma triangular e apenas uma base.

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bases, a relação entre número de vértices e o número de faces. Em seguida, fixar o cartaz em local visível para consulta. É interessante deixar ao alcance dos alunos um conjunto de prismas e pirâmides para que eles possam manipulá-los. Se possível, permitir que os alunos manipulem objetos

que lembram prismas e pirâmides. Durante a manipulação é interessante fazer perguntas que os ajudem a analisar os objetos e, à medida que os exploram, apropriem-se dos conceitos trabalhados e do vocabulário geométrico percebendo diferenças e semelhanças entre eles.

Atividades Pedir aos alunos que realizem as atividades em grupo para facilitar a troca de conhecimento e ideias. Circular pela classe acompanhando o andamento das atividades e fazer as intervenções quando necessário.

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DESAFIO

6. Veja a planificação de uma caixa de papelão com a forma de cubo.

Há mais de uma planificação de cubo. Descubra e registre no caderno quais das figuras a seguir representam uma superfície cúbica planificada. Alternativas: a, b, d, f e h. a)

que a representação do cubo f é a representação que corresponde a essa planificação. Sem construir a representação do cubo: Os alunos devem buscar o vértice comum às três faces mostradas em cada figura que lembra um cubo na planificação. Desse modo, a figura a apresenta um vértice comum às faces verde, laranja e roxa, que não existe na planificação; a da figura b apresenta um vértice comum às faces vermelha, verde e azul, que também não há na planificação; da mesma maneira, pode-se concluir que não existe na planificação o vértice comum às faces laranja, amarela e azul mostrado na figura c, nem o vértice comum às faces amarela, laranja e roxa mostrado na figura d, nem o vértice comum às faces verde, vermelha e laranja mostrado na figura e. Por outro lado, o vértice comum às faces vermelha, amarela e roxa apresentado na figura f existe na planificação. Portanto, a planificação dada representa a figura f.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

7. Verifique e registre no caderno qual dos seis cubos corresponde à planificação dada. Alternativa f.

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Desafio Uma proposta de resolução desse desafio é propor aos alunos a construção das planificações em uma cartolina. Incentivá-los a desenhar as planificações de modo que seja possível recortá-las e, depois, montá-las. A manipulação do material possibili-

tará melhor compreensão dos conceitos envolvidos. Os alunos poderão identificar nas representações de cubos (e de outros poliedros) os vértices, as arestas e as faces, além de utilizá-las para desenhar as representações de figuras geométricas planas. Existem alguns softwares,

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como o Poly (que é gratuito), que permitem a visualização da planificação. Para a atividade 7, são propostas duas resoluções: Construindo a representação do cubo: Se os alunos reproduzirem essa planificação e construírem a representação do cubo, conseguirão verificar

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções na p. 299

Estimativas e projeções “Expectativa de vida” ou “esperança de vida” indica quantos anos, em média, uma pessoa pode viver. Para se chegar a esse cálculo, levam-se em conta os nascimentos, as mortes, o acesso à saúde, à educação, à cultura e ao lazer, além das taxas de violência, poluição e situação econômica. A expectativa de vida varia de região para região, dependendo das condições de vida da população de determinado local. Observe o gráfico de colunas a seguir. Expectativa de vida ao nascer (em anos) Anos 80

1990 2000

2010

50 40 30 20 10 0

África Subsaariana

Leste da Ásia e Pacífico

América Latina e Caribe

Europa e Ásia Central

Mundo

Brasil

Região

EDITORIA DE ARTE

Tratamento da informação Nessa seção os alunos terão a oportunidade de explorar gráficos de colunas triplas e gráficos de linhas, interpretando seus dados. O tema abordado a “expectativa de vida” pode ser trabalhado de maneira interdisciplinar com o professor de Geografia. Se achar conveniente, pedir aos alunos que façam uma pesquisa sobre expectativa de vida do brasileiro. Depois, promover um debate na classe para aprofundar o tema e levar o aluno a refletir melhor sobre os aspectos sociais e econômicos que contribuem para o aumento da expectativa de vida. Perguntar aos alunos se eles já ouviram falar no termo tábua de mortalidade. Se achar conveniente, sugerir uma pesquisa sobre o assunto, comentar com eles a utilidade da tábua de mortalidade para o setor público e privado para fins de cálculo da probabilidade de vida e morte de uma população. Isso é utilizado em planos de previdência e seguros de vida. Para mais informações, acessar o link. Disponível em: <http://livro.pro/bgpvk7>. Acesso em: 10 ago. 2018. Para responder ao primeiro questionamento, espera-se que os alunos associem a cor de cada coluna com a legenda do gráfico. Para a questão 3 espera-se que os alunos percebam que a expectativa de vida aumentou no período de 1990 a 2010.

Fonte: THE WORLD BANK. O Banco Mundial no Brasil. Disponível em: <http://www.worldbank.org/pt/country/brazil>. Acesso em: 6 mar. 2018.

Responda às questões no caderno. 1. Em cada região há uma coluna azul, uma vermelha e outra verde. O que indica cada uma dessas colunas? Expectativa de vida no ano 1990, 2000 e 2010, respectivamente. 2. Segundo os dados apresentados no gráfico, onde foram registrados o maior e o menor índice de expectativa de vida? Pesquise os principais fatores que ocasionam essa diferença. Maior: Europa e Ásia Central; menor: África Subsaariana. Resposta pessoal.

3. O que aconteceu com a expectativa de vida das regiões apresentadas no gráfico, no período de 1990 a 2010? Aumentou em todas as regiões.

A Estatística é a parte da Matemática que realiza coleta, análise, interpretação e apresentação de dados com o intuito de fazer projeções e estimativas. Estas são realizadas por técnicos dos órgãos oficiais e instituições e são importantes para elaborar as propostas, os investimentos e a organização de empresas ou até mesmo de um país. O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) é o principal provedor de dados e informações do Brasil, incluindo estimativas populacionais. 96

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Uma das pesquisas realizadas pelo IBGE é sobre a expectativa de vida do brasileiro. O gráfico abaixo mostra as estimativas e projeções da esperança de vida ao nascer do brasileiro, de 1980 a 2100. Estimativas e projeções da esperança de vida ao nascer do brasileiro (1980-2100) Idade (anos) 90 80 70 60 50

66,6

70,4

76,1

82,3

84,1

83,1

81,3

78,2

73,4

84,3

83,6

62,7

40 30 20

90 21 00

60 20 70

50 20

00 20 10 20 20 20 30 20 40

19 9

0 19 8

EDITORIA DE ARTE

10 Ano

Fonte: IBGE. Projeção da população do Brasil por sexo e idade para o período 1980-2050. Disponível em: <https:// www.ibge.gov.br/home/ estatistica/populacao/ projecao_da_populacao/ metodologia.pdf>. Acesso em: 18 jul. 2018.

MONKEY BUSINESS IMAGES/SHUTTERSTOCK.COM

4. Qual era a expectativa de vida do brasileiro em 1980? 62,7 anos.

5. Qual é a projeção para a expectativa de vida para quem nasce em 2040? E em 2080? 80 anos; 83,6 anos.

6. Em que ano você nasceu? Qual foi o ano mais próximo a esse que você pôde encontrar no gráfico? Qual é a expectativa de vida para quem nasce nesse ano? Respostas pessoais.

Três gerações de uma família.

Informações obtidas em: IBGE. Projeção da população do Brasil por sexo e idade para o período 2000-2060. Disponível em: <ftp://ftp.ibge. gov.br/Projecao_da_Populacao/Projecao_da_Populacao_2013/nota_ metodologica_2013.pdf>. Acesso em: 18 jul. 2018.

PAULO VILELA/SHUTTERSTOCK.COM

Assim como acontece com as diferentes regiões do mundo, a expectativa de vida também varia dentro do território brasileiro, por exemplo, para o ano de 2030 o IBGE projeta que a expectativa de vida em Santa Catarina será 82,3 anos (a maior do país), enquanto que no Rio de Janeiro será de 79,4 anos. Vista de Florianópolis, SC. Foto tirada em julho de 2017.

7. Pesquise qual a expectativa de vida projetada pelo IBGE para o ano de 2030 no estado em que você mora. Resposta pessoal.

8. Além do estado, outros fatores também alteram a expectativa de vida de um determinado grupo. Faça uma pesquisa por outros desses fatores e o motivo disso modificar esse dado da expectativa de vida. Alguns exemplos: sexo, formação acadêmica, bairro, renda familiar, entre outros. O motivo depende do fator pesquisado. 97

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Incentivar os alunos a perceber que o tipo de gráfico utilizado depende da informação que se quer transmitir. Um tipo de gráfico pode ser mais adequado do que outro. Por exemplo, caso se queira observar a quantidade de votos que diferentes candidatos obtiveram em determinado momento, um gráfico de barras (ou de colunas) talvez seja mais adequado do que um gráfico de linhas. Mas, se o objetivo é apresentar a quantidade de votos recebidos num intervalo de tempo, o gráfico de linhas pode ser mais interessante. Por fim, pedir aos alunos que levem gráficos de linhas como os que aparece nessa seção e trabalhem com a leitura e a interpretação das informações neles contidas. Solicitar que elaborem questões sobre os gráficos coletados, destacando a natureza dos dados, para que os colegas respondam. Depois, pedir que produzam um texto apresentando uma síntese do tema abordado no gráfico escolhido. Ler o texto dessa página coletivamente. Perguntar aos alunos qual é o objetivo da realização de pesquisas. Ressaltar a importância de se fazer projeções e estimativas utilizando dados estatísticos. Antes de responder às questões no caderno, fazer a leitura minuciosa do gráfico, questionando os alunos sobre qual é o título, a fonte e o tipo de gráfico utilizado. Além disso, perguntar o que está sendo representado no eixo horizontal e no eixo vertical. Certificar-se de que todos compreenderam o significado de projeção nesse contexto. Depois que os alunos responderem às questões propostas, promover um debate sobre qual a utilidade desse gráfico, qual poderia ser o objetivo inicial da pesquisa e a quem poderia interessar o resultado.

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RETOMANDO O QUE APRENDEU

Resoluções na p. 299

Superfície de uma parede; superfície de um quadro de giz; superfície de uma piscina; superfície do tampo de uma mesa. Responda às questões no caderno.

1. Entre os elementos descritos nas fichas, escreva quais nos dão a ideia de: “Cabeça” de alfinete; um pingo de a) ponto; tinta em uma folha de papel. b) reta; Encontro de duas c) plano. paredes; corda esticada.

2 C

superfície de uma parede

1 A

“cabeça” de alfinete

superfície de um quadro de giz

3. Associe os objetos aos sólidos geométricos que eles lembram. I) a)

encontro de duas paredes

superfície de uma piscina

II)

III)

IV)

corda esticada

um pingo de tinta em uma folha de papel

superfície do tampo de uma mesa 2. Observe o bloco retangular e a planificação de sua superfície. As faces visíveis estão numeradas de 1 a 3. Quais são as faces opostas às faces visíveis quando o bloco retangular está montado? A face oposta a 1 é a face B; a face oposta a 2 é a face A; e a face oposta a 3 é a face C. 98

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IGORSTEVANOVIC/SHUTTERSTOCK.COM, CHANCHAI HOWHARN/SHUTTERSTOCK.COM, SASHKIN/SHUTTERSTOCK.COM, MEGA PIXEL/SHUTTERSTOCK.COM, SIRA ANAMWONG/SHUTTERSTOCK.COM; EDITORIA DE ARTE

Retomando o que aprendeu O objetivo das atividades é propiciar aos alunos que retomem e tirem suas dúvidas sobre os conteúdos estudados na Unidade. É importante que os alunos realizem essas atividades individualmente e anotem os temas em que encontraram maior dificuldade. Aproveitar essa informação para orientá-los a fazer uma revisão desses temas. Em seguida, organizar a turma em grupos para que haja troca de informações e experiências e façam as correções necessárias das atividades. Circular pela classe para acompanhar as atividades e, quando necessário, fazer intervenções. Caso seja preciso, anotar as principais dúvidas e, ao final, retomar esses pontos de modo que todos possam participar das discussões. Na atividade 1, se for necessário, retomar oralmente alguns exemplos que podem ser usados para representar as ideias de ponto, reta e plano, de preferência objetos existentes na sala de aula, ou que façam parte do cotidiano dos alunos, assim conseguirão associar com os elementos descritos nas fichas. Nas atividades 2 a 4, sugere-se que os alunos utilizem objetos que lembrem os sólidos geométricos para auxiliá-los na resolução das questões. Nas atividades 3, 4 e 5 é oportuno retomar a nomenclatura correta dos sólidos geométricos. Para a atividade 7, caso os alunos tenham produzido um cartaz-resumo com exemplos de retas, semirretas e segmento de retas, eles podem consultá-lo. Caso contrário, ajudá-los em possíveis dúvidas e questionamentos.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A-III; B-I; C-II; D-V; E-IV.

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4. Desenhe a planificação da superfície de cada figura geométrica abaixo. b)

Há outras respostas possíveis.

5. O prisma pentagonal pode ser representado por qual das figuras abaixo? a)

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Alternativa d.

6. Qual é o número de faces laterais de uma pirâmide que possui 100 vértices? 99 faces laterais. 7. Observe a reta r abaixo e responda às perguntas: A

a) Quais semirretas de origem no ponto B podemos obter? BA e BC .

3 segmentos: b) Quantos segmentos de reta estão definidos pelos pontos A, B e C? Quais são? AB , BC e AC . Os prismas possuem as faces na forma retangular e duas bases paralelas. As pirâmides possuem as faces triangulares e apenas uma base. UM NOVO OLHAR

Nesta Unidade, estudamos os sólidos geométricos, poliedros, corpos redondos, prismas e pirâmides, planificações e as noções intuitivas que movem a Geometria. Também estudamos os segmentos de reta, que podem ser medidos, e as retas e semirretas, que não podem. Além disso, vimos como que, através de diversos dados coletados, com conhecimentos de Estatística, é possível fazer projeções de situações relevantes para a sociedade, como a expectativa de vida ao nascer, e que essas projeções permitem auxiliar na tomada de decisões de empresas e do Estado. Vamos retomar as aprendizagens da Unidade 3 e refletir sobre elas: As principais aplicações dos egípcios eram na agrimensura e na construção de estruturas. • Quais eram as principais aplicações da Geometria pelos egípcios? • Você consegue dizer a diferença entre as características dos prismas e das pirâmides? • Você sabe quais são as três ideias intuitivas da Geometria e por que assim são denominadas? As ideias intuitivas são: o ponto, a reta e o plano, que não podem ser comprovadas matematicamente e são aceitas sem definição.

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Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões, estabelecer relações, possibilidades para generalizações e desenvolvimento da percepção espacial. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada um dos conteúdos estudados na Unidade. Na primeira questão espera-se que os alunos relacionem as atividades humanas com o conhecimento matemático, nesse caso, a Geometria. Essa discussão foi feita no início da Unidade e vale lembrar que foi Euclides que organizou em livros o conhecimento utilizado pelos egípcios, que são utilizados até hoje. A segunda pergunta recapitula as características das representações de prismas e pirâmides e as relações de semelhanças e diferenças. Caso os alunos tenham produzido um cartaz-resumo, essa é uma boa oportunidade para revisitá-lo; se for necessário, apresentar alguns objetos que lembrem prismas e pirâmides para que os alunos possam manipular e tirar dúvidas. A terceira questão retoma as três ideias intuitivas da Geometria: ponto, reta e plano. A intenção é fazer os alunos perceberem e relembrarem que a palavra “intuitiva” designada a esses entes geométricos significa que eles são aceitos sem definição e sem provas matemáticas das suas existências.

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p. XVI e XVIII

Números • EF06MA04 • EF06MA05 • EF06MA06 Probabilidade e estatística • EF06MA32

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

STOC HUTTER

K.COM

Em diversos jogos, brincadeiras e atividades, é necessário dividir um grande grupo em grupos menores e com quantidades iguais de componentes. Acompanhe abaixo uma dessas situações: Três professores querem levar ao cinema seus 69 alunos, sendo dois cadeirantes, para que façam um trabalho sobre um filme. Eles foram divididos em grupos de 3 e ficou definido que os alunos do mesmo grupo deveriam se sentar na mesma fileira. Três cinemas enviaram por e-mail as informações sobre suas salas, como é possível observar ao lado, e lembraram aos professores que, por motivo de segurança, os três professores também deveriam se sentar.

IAKINA/S DA SHPI NADEZH

Abertura de Unidade Estimular os alunos a observar atentamente a imagem e a identificar a maior quantidade possível de informações. Pedir a eles que façam a leitura do texto apresentado e enfatizar as principais informações fornecidas, como a quantidade de alunos e a exigência de agrupamento (grupos com quantidades iguais). Em seguida, incentivá-los a tentar resolver a situação-problema e observar atentamente as estratégias utilizadas por eles. Se achar conveniente, permitir que trabalhem em duplas para que possam trocar ideias e pensar em possíveis soluções. É interessante abrir uma roda de discussão para que eles socializem as estratégias usadas na resolução das questões propostas. Na primeira questão, espera-se que os alunos percebam que podem escolher o Cinema 2, pois há 72 lugares e cada fileira tem uma quantidade de lugares que é múltiplo de 3. Uma resposta mais complexa seria a escolha do Cinema 1. Ele não foi detalhado, mas, para ter 85 lugares com fileiras com quantidades iguais de cadeiras, só há duas opções: 5 fileiras com 17 cadeiras ou 17 fileiras com 5 cadeiras. O cinema poderá ser utilizado se for formado por 5 fileiras com 17 cadeiras em cada uma, pois as pessoas poderiam ser distribuídas da seguinte forma: 15 pessoas em quatro fileiras e 12 pessoas em uma fileira. Assim, 15 e 12 são múltiplos de 3 e atendem às exigências dos professores.

MÚLTIPLOS E DIVISORES

MANZI

HABILIDADES

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Para o Cinema 3, é importante que os alunos percebam que ele não será uma escolha provável. Os alunos precisarão fazer cálculos para chegar a essa conclusão. Pela imagem do Cinema 3, pode-se calcular o total de cadeiras. Se existem 9 fileiras e cada fileira tem 8 cadeiras, então, há 72 cadeiras no total, número que satisfaz a exigência de lugares. Pela imagem podemos verificar que há 2 cadeiras para os cadeirantes, portanto outra exigência satisfeita. Porém, a exigência de que os grupos de 3 alunos devam se sentar juntos não é satisfeita porque não é possível distribuir esses grupos da forma que estão dispostas as cadeiras, pois o número de cadeiras de cada fileira, 8, não é múltiplo de 3. Na terceira questão, os alunos podem pensar em relação à distância e à facilidade de acesso, por exemplo. Aproveitar a oportunidade para conversar com a turma sobre acessibilidade e sobre a importância dos assentos exclusivos para deficientes físicos ou pessoas com mobilidade reduzida como idosos e gestantes. Eles são disponibilizados em diferentes ambientes e devem ser reservados para esse público, comentar com eles sobre o desrespeito das pessoas quando sentam ou estacionam em lugares reservados. Perguntar a eles se já presenciaram uma cena como essa e o que acham desse tipo de atitude.

Com base nessas informações e na imagem, responda no caderno: • Qual sala de cinema os professores deverão escolher para atender suas exigências? Por quê? Cinema 1 (caso tenha 5 fileiras com 17 cadeiras cada) e Cinema 2. • Que estratégias você utilizou para resolver esse desafio? O que pôde perceber? Respostas pessoais. • Caso dois ou mais cinemas possam ser escolhidos, que outro critério você consideraria importante adotar para determinar em qual cinema ir? Resposta pessoal. • Você já passou por alguma situação na qual era necessário se organizar em grupos? Qual? Respostas pessoais.

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NO DIGITAL – 2˙ bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 4 e 5. • Desenvolver o projeto integrador sobre festas juninas. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF06MA04, EF06MA05, EF06MA06, EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10, EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32 e EF06MA33. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Pense e responda Os alunos terão oportunidade de verificar, por meio do cálculo mental, se um número natural é ou não divisível por outro. Organizá-los em duplas e apresentar estas atividades como um desafio para que troquem ideias e encontrem juntos as respostas. Além do cálculo mental, eles podem definir o número a ser calculado preenchendo um quadriculado com as quantidades indicadas. Assim, poderão verificar quantas vezes essa quantidade cabe no número. Por exemplo, no item a da atividade 1, em que é perguntado: “Quantas vezes o 2 cabe em 36?”. Para responder, os alunos irão definir os limites de 36 unidades e preencher grupos de 2 em 2, até completar 36. Os alunos podem utilizar diferentes cores para pintar os grupos ou, eles podem produzir quadradinhos duplos para que possam colar em uma malha quadriculada e verificar quantos cabem até completar a quantidade desejada. Eles podem realizar o mesmo procedimento para os itens b e c.

p e n s e e r e s p o nd a

Eu sei que 5 cabe duas vezes em 10.

2. Considere, agora, o número 23. a) Quantas vezes o 1 cabe nesse número? 23 b) E quantas vezes o 23 cabe nesse número? 1 c) Que outros números cabem um número exato de vezes em 23? Nenhum.

WAN D ROCH SON A

Os números que cabem um número exato de vezes em outro são chamados divisores desse número. Observe que:

EDITORIA DE ARTE

2 forma 1 par. O 2 cabe exatamente uma vez em 2.

3 forma 1 par, e sobra 1. O 2 não cabe um número exato de vezes em 3.

5 forma 2 pares, e sobra 1. O 2 não cabe um número exato de vezes em 5.

De 3 em 3:

Aproveitar para pedir que verifiquem um número que não seja divisor de 36. Desta forma o aluno poderá refletir sobre o significado de “caber” nesse contexto e relacioná-lo à divisão exata.

Resoluções na p. 299

Responda às questões no caderno.

De 2 em 2: De 4 em 4:

NOÇÃO DE DIVISIBILIDADE

4 forma 2 pares. O 2 cabe exatamente duas vezes em 4.

6 forma 3 pares. O 2 cabe exatamente três vezes em 6.

Podemos dizer que os números 2, 4 e 6 são divisíveis por 2, pois, ao se formarem os pares, não há sobras. 102

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Considere as duas divisões a seguir: 60

Propor aos alunos a leitura e a discussão coletiva do texto apresentado na página. A proposta é incentivar os alunos a se expressar, momentos como esses precisam ser valorizados e cada vez mais incentivados nas aulas de matemática. Essa comunicação possibilita que os alunos se expressem, organizem o pensamento e explorem novas possibilidades, e esse processo favorece o esclarecimento de dúvidas e a oportunidade de reflexão sobre o conteúdo abordado. Além disso, os conhecimentos, tanto os matemáticos adquiridos na escola, como as vivências pessoais vêm à tona e devem ser valorizados e, à medida que achar conveniente, é necessário fazer pausas e formalizá-los. É interessante que eles se manifestem falando, escrevendo ou por meio de representações/esquemas, assim eles se apropriam do conhecimento e desenvolvem a linguagem matemática. Após a discussão, pedir a eles que definam com suas próprias palavras e deem exemplos do que são números divisores e do que são números divisíveis. Anotar na lousa as definições e os exemplos dados pelos alunos, validando as suas conclusões. É importante que eles concluam que a relação entre números divisíveis e divisores só ocorre na divisão exata. Por fim, pedir que façam um resumo dessas anotações em um cartaz e fixá-lo em lugar visível para que depois possam fazer consultas.

0 Como o resto é 0, a divisão é exata. Então, dizemos que 60 é divisível por 5 ou 5 é divisor de 60. 61

1 Como o resto é diferente de 0 (no caso, o resto é 1), a divisão não é exata. Logo, 61 não é divisível por 5, ou seja, 5 não é divisor de 61.

Um número natural a é divisível por um número natural b quando a divisão de a por b é exata.

Agora, vamos acompanhar a seguinte situação: Um professor de Educação Física convocou 80 alunos para uma demonstração de ginástica. Ele pretende distribuir esses alunos em grupos com a mesma quantidade de pessoas que tenham, no mínimo, 6 e, no máximo, 10 alunos, sem que sobre aluno fora dos grupos. Quais são as maneiras possíveis de formar esses grupos? Para resolver esse problema, dividimos 80 por 6, por 7, por 8, por 9 e por 10, e consideramos apenas as divisões exatas:

divisão exata

Observando as divisões, você é capaz de dizer quantos grupos e com quantos alunos o professor poderá formar sem que sobre aluno fora dos grupos? Veja: como 80 é divisível por 8 e por 10, o professor poderá formar 10 grupos de 8 alunos ou 8 grupos de 10 alunos. 103

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Encontrando o resto com a calculadora Usando a calculadora para efetuar as divisões 60 : 5 e 61 : 5, observamos que, no caso da divisão exata, o quociente 12 aparece no visor. Na outra divisão, aparece um número com vírgula próximo de 12. Da relação fundamental da divisão: dividendo = divisor x quociente + resto Concluímos que: resto = dividendo _ divisor x quociente Então, na divisão 61

, temos: resto = 61 – 5 x 12 = 1.

1 Usando a calculadora: O 12, que é o quociente natural, aparece no visor à esquerda do ponto, e o resto 1 não aparece. • para obter o quociente: 6

12.2

• para obter o resto: 5

M+

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Encontrando o resto com a calculadora Aqui os alunos terão a oportunidade de explorar o uso da calculadora para verificar a relação fundamental da divisão em divisões exatas e não exatas, nas quais temos: dividendo = = divisor x quociente + resto. Providenciar calculadora para os alunos e solicitar que façam a leitura coletiva do texto. Pedir a eles que verifiquem os passos determinados no texto para calcular o resto de 61 : 5 usando a calculadora. Depois, propor que, usando a calculadora, eles encontrem o resto da divisão de 63 por 12 e registrem no caderno os passos para chegar ao resultado. A seguir, pedir a eles que elaborem outras divisões e outro colega resolva. Fórum A diversidade cultural refere-se aos diferentes costumes de uma sociedade: vestimenta, culinária, manifestações religiosas, tradições, entre outros aspectos. O Brasil possui um extenso território e apresenta grande diversidade climática, de relevo, hidrografia e outros fatores que afetaram a ocupação humana e favoreceram as diferenças culturais que podem ser observadas entre as regiões. Além dos fatores geográficos citados, o contato com outras culturas também é um modificador cultural. Por exemplo, observam-se mudanças nos costumes em regiões com altos índices de imigrantes ou fronteiriças. Aproveitar para debater com os alunos sobre como a globalização tem interferido na transformação da cultura dos países, incluindo a brasileira. Conversar sobre como não é necessário estar na fronteira de um país para ter contato com sua cultura.

F Ó R UM

As preferências de manifestações culturais como dança, artes cênicas, exposições, arquitetura, música, leitura e cinema revelam o que os brasileiros valorizam e onde buscam entretenimento. [...] Os números sobre os gêneros de teatro que gostam indica que 33% das pessoas entrevistadas preferem comédia, enquanto 28% não sabem ou nunca assistiu. Já as exposições são atividades pouco procuradas pelo público; 14% vão à exposições de artes, 26% nunca foi e 26% não gosta de nenhum gênero de exposição. [...] Fonte: SESC. Gostos culturais. Disponível em: <http://www.sesc.com.br/portal/site/publicosdecultura/ gostosculturais/>. Acesso em: 17 maio 2018.

• Pesquise sobre a diversidade cultural do Brasil e de mais um país de sua escolha. De acordo com a sua pesquisa, existem muitas diferenças culturais entre os dois países? Quais você destaca? Respostas pessoais.

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ATIVIDADES

mero possível divisível por 11 e menor que 300, eles percebam que, primeiro, precisam encontrar o resto da divisão de 300 por 11 para determinar o valor de r que é 3. Depois basta fazer a subtração 300 _ r, ou seja 300 _ 3, para encontrar o número procurado: 297. Se achar necessário, realizar a resolução dessa atividade na lousa para que todos os alunos possam esclarecer as dúvidas.

Resoluções na p. 299

6 grupos de 10 equipes; 5 grupos de 12 equipes ou 4 grupos de 15 equipes. c) 202 é divisível por 11. Não. d) 310 é divisível por 5. Sim.

Responda às questões no caderno.

1. Obtenha o resto das divisões: a) 42 : 5 2 d) 45 : 5 0 b) 43 : 5 3 e) 46 : 5 1 c) 44 : 5 4

2. Copie o quadro seguinte. Complete-o, usando uma calculadora. Dividendo

Divisor

Quociente

Resto

518

259

1036

3. Usando uma calculadora, calcule o resto da divisão de 56 373 por 236. 205 4. Entre as afirmações seguintes, quantas são verdadeiras? 3 a) Todos os números naturais diferentes de zero são divisíveis por 1. b) Qualquer número natural diferente de zero é sempre divisível por 1 e por ele mesmo. c) 55 é divisível por 1, 5, 11 e por ele mesmo. 5. Verifique se: a) 109 é divisível por 3. Não. b) 119 é divisível por 9. Não.

6. O número 518 é divisível por 37. Qual é o próximo número natural divisível por 37? 555 7. Sabe-se que o maior número possível divisível por 11 e menor que 300 é dado por 300 _ r, em que r representa o resto da divisão de 300 por 11. Assim, qual é o maior número, menor que 300, que é divisível por 11? 297

Desafio Neste momento, explorar com os alunos o significado de “contando de”. Ajudá-los a compreender que João está tratando do fato do número de exercícios ser divisível, ou não. Caso não haja sobra, o número é divisível, caso contrário, não é. Pode-se resolver o desafio da seguinte forma: se, ao contar os exercícios de 2 em 2, sobra 1, temos que a quantidade de exercícios é um número ímpar. Se, ao contar de 5 em 5, sobra 1, temos um número cujo algarismo das unidades é 1 ou 6; como o número é ímpar, o algarismo das unidades é 1. Se, ao contar de 7 em 7, não sobra nenhum, então a quantidade de exercícios é um número múltiplo de 7 maior que 50 e menor que 100 cujo algarismo das unidades é 1: 91.

8. Um campeonato nacional de futebol será disputado por 60 equipes. A entidade organizadora pretende formar grupos que tenham o mesmo número de equipes com, no mínimo, 10 e, no máximo, 15 equipes em cada grupo. Quais são as maneiras possíveis de formar esses grupos?

9. A idade de Sílvio é um número natural, entre 40 e 50, que é divisível por 6 e por 7 ao mesmo tempo. Qual é a idade de Sílvio? 42 anos.

10. Resolva: a) Qual é o menor número natural que se deve subtrair de 719 para se obter um número divisível por 23? 6 b) Qual é o menor número natural que se deve adicionar a 706 para se obter um número divisível por 13? 9

DESAFIO

11. Convide um colega e resolvam o desafio para descobrir quantos exercícios de Matemática João resolveu hoje. Contando de 3 em 3, sobra 1.

Contando de 5 em 5, sobra 1.

Contando de 7 em 7, não sobra nenhum.

WANDSON ROCHA

Contando de dois em dois, sobra 1.

Sabendo que o total de exercícios ultrapassa 50, mas não chega a 100, quantos exercícios João resolveu? 91 105

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Atividades Nestas atividades o objetivo é que os alunos apliquem as ideias desenvolvidas sobre um número ser divisível ou divisor. Eles também terão a oportunidade de aplicar a relação fundamental da divisão

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e determinar o resto de uma divisão usando a calculadora. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias e conhecimento. Pedir a eles que leiam as atividades com bastante atenção. Acompanhar as resoluções fazendo as intervenções necessárias.

Na atividade 5 espera-se que os alunos associem a expressão “é divisível por” com a divisão exata. Para a atividade 7, estimular a leitura cuidadosa e a organização dos dados no caderno. É provável que para determinar qual é o maior nú-

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Critérios de divisibilidade Os critérios de divisibilidade não estão organizados em ordem crescente dos divisores (2, 3, 4, 5 e assim por diante), mas sim em uma sequência que favoreça a percepção de que o critério de divisibilidade por um número pode estar atrelado a outros critérios de divisibilidade. Por exemplo, o critério de divisibilidade por 6 está ligado aos critérios de divisibilidade por 2 e 3, então a sequência apresentada no livro é a divisibilidade por 2, 3 e 6. É importante que os alunos compreendam essa sequência para que eles de fato absorvam esse conhecimento e que não seja meramente um ato de decorar regras. Caso desejar, pedir aos alunos que organizem um quadro com os critérios de divisibilidade estudados, propor que escrevam esses critérios e acrescentem alguns exemplos, a ideia é deixar essas informações de fácil acesso para todos na sala. Sempre que houver necessidade, esse quadro pode ser atualizado. Neste capítulo é utilizado um fluxograma onde o aluno terá a oportunidade de compreender os processos para determinar se um número é divisível por 2. O fluxograma é usado para representar graficamente processos a serem automatizados. Hoje em dia vários setores da sociedade, inclusive a educação, absorveram essa técnica com o objetivo de representar de maneira visual diversas situações e relações, facilitando a compreensão dos processos. Sua aplicação na educação é feita de forma sintética e descomplicada.

CAPÍTULO

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Sem usar a calculadora, efetue as divisões. 69 534 é divisível por 3?

E 10 6 518, é divisível por 4?

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

106 518 dividido por 4

69 534 dividido por 3

Verificar a divisibilidade de um número natural por outro número natural usando o algoritmo da divisão pode ser trabalhoso e demorado. Vamos conhecer uma maneira mais prática de fazer essas verificações? Os critérios de divisibilidade são condições que nos permitem saber se um número é ou não é divisível por outro sem a necessidade de efetuarmos toda a divisão. Vamos, a seguir, conhecer alguns desses critérios.

Divisibilidade por 2 Veja o quadro. Dividendo

Divisor

Quociente

Resto

Observando o quadro percebe-se que, dos números listados, os números divisíveis por 2 são: 10, 12, 14, 16 e 18. Um número será divisível por 2 se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando for par.

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Observe como podemos representar o critério de divisibilidade por 2 por meio de um fluxograma: Início (escolha um número)

O número não é divisível por 2

Não

O número termina em 0, 2, 4, 6 ou 8?

Sim

Para as regras de divisibilidade, é importante dar oportunidade ao aluno para que ele faça investigação, tente encontrar padrões, levante hipóteses e consiga fazer generalizações. É interessante pedir que construam um fluxograma com os critérios de divisibilidade de outro número, assim eles elaboram suas estratégias para organizar os dados apresentados no livro de outra maneira. Se achar conveniente, dividir a turma em duplas e solicitar que eles apresentem um critério de divisibilidade por meio de um fluxograma e exponham as estratégias que utilizaram na construção do mesmo. Para ajudá-los na construção dos fluxogramas, é interessante detalhar o significado de alguns símbolos usados nos fluxogramas de processo. Por exemplo: Nome: Seta

SAIBA QUE

Fluxograma é uma representação de uma sequência/procedimento lógico.

O número é divisível por 2.

Assim: • 7 206 é divisível por 2, pois termina em 6, ou seja, é par. • 5 483 não é divisível por 2, pois não é par.

Divisibilidade por 3 Vamos verificar se 62 124 é divisível por 3. Fazendo a divisão: 62 124 02 1 024 0

3 20 708

62 124 é divisível por 3.

Para que é usada: é um símbolo de ligação/conexão, além disso indica a direção do fluxo de um processo. Nome: Terminação

Vamos conhecer outra forma de verificar se 62 124 é divisível por 3. Primeiro adicionamos os algarismos de 62 124 e, em seguida, dividimos a soma por 3. 6 ! 2 ! 1 ! 2 ! 4 " 15

15 0

3 5

Observe que as duas divisões são exatas. Como esse fato se repete sempre que a divisão de um número natural por 3 for exata, dizemos que:

Para que é usado: Indica o início ou o fim de um processo. Nome: Processo

Um número será divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3. Assim:

Para que é usado: Indica um determinado processo, com atividades e funções. Nome: Decisão

• 7 092 é divisível por 3, pois 7 + 0 + 9 + 2 = 18, e 18 é divisível por 3. • 6 413 não é divisível por 3, pois 6 + 4 + 1 + 3 = 14, e 14 não é divisível por 3.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Nesta página é apresentado o critério de divisibilidade por 2 por meio de um fluxograma. Aqui é possível explorar a habilidade EF06MA04, nesse caso, explorar o fluxograma que apresenta o critério de divisibilidade e, utilizan-

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do uma linguagem que facilite a compreensão dos alunos, elaborar com eles uma sequência de procedimentos necessários para verificar se um número natural é par. Depois, construir um novo fluxograma com essas informações.

Após esse processo, é possível que os alunos compreendam melhor a afirmação feita na página anterior: “Um número será divisível por 2 se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando for par.” Em outras palavras, todo número natural par, é divisível por 2.

Para que é usado: Indica que uma decisão precisa ser tomada para que o fluxo possa seguir. Nome: Documento

Para que é usado: Indica que foi produzido um relatório ou um documento impresso para ser lido.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Os critérios de divisibilidade são regras que permitem verificar se um número inteiro é divisor de outro número inteiro, baseando-se em propriedades da sua representação decimal de maneira mais rápida do que efetuando a divisão. Comentar que há critérios de divisibilidade por 7 e explicar que ele não é tão imediato como o dos outros números: Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. Exemplo: verificar se o número 17 654 é divisível por 7, usando o critério de divisibilidade. 1765

−8 1757 Repete-se o processo com este último número. 175

− 14 161 Repete-se o processo com este último número. 16 −2 14

Divisibilidade por 6 Considere o número natural 3 624. Esse número é divisível por 2, pois termina em 4. E também é divisível por 3, pois 3 + 6 + 2 + 4 = 15, e 15 é divisível por 3. Observe, agora, a divisão: 3 624 6 024 604 0

Como esse fato sempre se repete, dizemos que: Um número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Número sem o último algarismo Dobro do último algarismo Diferença

A última diferença é 14, que é divisível por 7, logo, o número 17 654 dado inicialmente é divisível por 7. Mostrar que esse processo não é tão imediato quanto os outros nos quais basta analisar o último algarismo ou somar os algarismos do número, por exemplo. Portanto,

• 1 632 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. • 4 430 não é divisível por 6, pois, embora seja divisível por 2, não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4 Observe as divisões: 100 4 20 25 0

Número sem o último algarismo Dobro de 4 (último algarismo) Diferença

Número sem o último algarismo Dobro de 7 (último algarismo) Diferença

A divisão é exata: o número 3 624 é divisível por 6.

1 300 4 10 325 20 0

Todos esses números terminam em 00 e são divisíveis por 4. 128 4 08 32 0

1 736 4 13 434 16 0

11 700 4 37 2 925 10 20 0

5 232 4 12 1 308 032 0

O resto de cada uma dessas divisões é igual a zero.

Um número natural será divisível por 4 quando terminar em 00 ou quando o número formado por seus dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

• 500 é divisível por 4, pois termina em 00. • 1 380 é divisível por 4, pois 80 é divisível por 4. • 4 526 não é divisível por 4, pois 26 não é divisível por 4.

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efetuar a divisão por 7 é mais rápido e prático. É importante lembrar que os critérios de divisibilidade têm como objetivo tornar o processo mais prático.

Divisibilidade por 6 Apresentar o critério de divisibilidade por 6 para os

alunos explorando exemplos. Aproveitar essa oportunidade para incentivá-los a participarem de maneira ativa das descobertas desses critérios. Para isso, pedir aos alunos que encontrem os números que são divisíveis por 6 em um quadro com a sequência dos números de 1 ao 50.

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por 9 seguindo a sequência da tabuada do 9. Perguntar aos alunos se conseguiram observar algum padrão entre os números circulados. É provável que eles percebam que a soma dos algarismos desses números sempre é 9. Por fim, pedir que continuem a sequência dos números divisíveis por 9 maiores que 100 e que observem a soma dos algarismos desses números. Caso achar conveniente, permitir que os alunos utilizem a calculadora para agilizar os cálculos e facilitar o entendimento desses padrões, regras e critérios de divisibilidade. Aproveitar a tabela e pedir aos alunos que pintem de amarelo todos os números divisíveis por 2 e de azul todos os números divisíveis por 3. Depois, pedir a eles que circulem todos os números divisíveis por 6. Perguntar o que eles perceberam. É interessante perguntar se esses números têm algo em comum. Espera-se que os alunos percebam que os números circulados já haviam sido coloridos de amarelo ou de azul. Esse processo permite que eles percebam que os números divisíveis por 6 também são divisíveis por 2 e 3. Incentivar os alunos a verbalizar e escrever as conclusões.

Divisibilidade por 8 Observe as divisões: 1 000 8 20 125 40 0

13 000 8 50 1 625 20 40 0

115 000 8 35 14 375 30 60 40 0 Todos esses números terminam em 000 e são divisíveis por 8. 264 8 24 33 0

3 112 8 7 1 389 72 0

4 136 8 13 517 56 0

O resto de cada uma das divisões é igual a zero. Um número será divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando o número formado por seus três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

• 3 000 é divisível por 8, pois termina em 000. • 7 520 é divisível por 8, pois 520 é divisível por 8. • 34 118 não é divisível por 8, pois 118 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9 Vamos verificar se 28 314 é divisível por 9? 28 314 9 13 3 146 41 54 0

O algoritmo da divisão nos mostra que 28 314 é divisível por 9.

Outra forma de verificar isso é adicionar os algarismos do número 28 314 e, em seguida, efetuar a divisão dessa soma por 9. 18 9 2 ! 8 ! 3 ! 1 ! 4 " 18 0 2 Um número natural será divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9.

• 6 408 é divisível por 9, pois 6 + 4 + 0 + 8 = = 18, e 18 é divisível por 9. • 27 319 não é divisível por 9, pois 2 + 7 + 3 + + 1 + 9 = 22, e 22 não é divisível por 9. 109

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Divisibilidade por 8 Para o critério de divisibilidade por 8, observar junto aos alunos que ele não é tão prático quanto outros critérios de divisibilidade já vistos. Mostrar que para determinar se um número é ou não divisível por

8 há a necessidade de efetuar a divisão dos três últimos algarismos por 8. Nesse caso, anotar alguns números de 4 algarismos ou mais e pedir aos alunos que verifiquem se esses números são divisíveis por 8 utilizando o critério de divisibilidade. Se achar conveniente, pedir aos alunos que utilizem

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a calculadora para agilizar as operações.

Divisibilidade por 9 Uma sugestão para trabalhar o critério de divisibilidade por 9 é fornecer aos alunos uma tabela com os números de 1 a 100. Depois pedir que circulem os números divisíveis

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS É interessante comentar com os alunos que o zero dividido por qualquer outro número diferente de zero será sempre zero. Apresentar aos alunos algumas divisões em que o dividendo é zero, por exemplo, 0 : 4; 0 : 13; 0 : 22, 0 : 59 e 0 : 142. Questioná-los sobre qual é a ideia de dividir 0 por 4, por exemplo. É provável que os alunos pensem em uma situação em que não temos “nada” para dividir entre 4 pessoas. Nesse caso, as quatro pessoas não teriam nada a receber, e o quociente, consequentemente, é o zero. Outra forma de justificar o quociente zero é utilizar a relação fundamental da divisão em que temos dividendo = = quociente x divisor + resto. Depois de relembrar a relação fundamental da divisão, perguntar a eles que número multiplicado pelo divisor é igual ao dividendo: ? x 4 = 0. É provável que eles respondam que é o zero, pois 0 x 4 = 0.

Nós É importante que os alunos compreendam que os direitos da pessoa com deficiência ou com mobilidade reduzida devem ser assegurados em qualquer condição ou situação. É interessante ouvir os relatos deles em relação ao assunto, se conhecem alguém com alguma deficiência física ou com mobilidade reduzida ou se já presenciaram alguma situação de desrespeito envolvendo essas pessoas. Conversar com eles que, apesar de existirem as leis para garantir condições mínimas de acesso para essas pessoas, em alguns casos, o que impede a inclusão das pessoas com deficiência na sociedade, apesar da eliminação das barreiras físicas, é o preconceito. Entretanto, contra o preconceito também há leis específicas que devem ser aplicadas em casos de discriminação.

Divisibilidade por 5 Observando os números naturais divisíveis por 5 (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...), dizemos que: Um número natural será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.

• 42 020 é divisível por 5, pois termina em 0. • 6 045 é divisível por 5, pois termina em 5. • 21 237 não é divisível por 5, pois não termina nem em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 10 Observando os números naturais divisíveis por 10 (0, 10, 20, 30, 40, 50, ...), dizemos que: Um número natural será divisível por 10 quando terminar em 0.

• 1 500 é divisível por 10. • 4 203 não é divisível por 10.

Divisibilidade por 100 Observando os números naturais divisíveis por 100 (0, 100, 200, 300, 400, 500, ...), dizemos que: Um número natural será divisível por 100 quando terminar em 00.

• 31 700 é divisível por 100. • 5 430 não é divisível por 100. • 789 não é divisível por 100.

Divisibilidade por 1 000 Observando os números naturais divisíveis por 1 000 (0, 1 000, 2 000, 3 000, 4 000, 5 000, ...), dizemos que: Um número natural será divisível por 1 000 quando terminar em 000.

• 25 000 é divisível por 1 000. • 8 300 não é divisível por 1 000. • 6 341 não é divisível por 1 000.

NÓS

Acessibilidade No texto da abertura desta Unidade, você viu que três professores pretendiam levar 69 alunos ao cinema, sendo dois cadeirantes. De acordo com as normas de acessibilidade previstas pela ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), os estabelecimentos comerciais devem seguir algumas exigências para garantir que funcionários e clientes com deficiência ou com mobilidade reduzida tenham acesso adequado ao estabelecimento. Isso significa, entre outras coisas, que as vagas devem ter estrutura e sinalização que facilitem a locomoção para quem precisa utilizar cadeira de rodas ou muletas. • Os lugares que você costuma frequentar têm indicação de vagas para pessoas com deficiência ou com mobilidade reduzida? Resposta pessoal. 110

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ATIVIDADES

pois o objetivo aqui é fazer que eles adquiram confiança acerca do que aprenderam e se comuniquem, expondo suas ideias e os procedimentos com os quais se sentem seguros em utilizar.

Resoluções na p. 300

Responda às questões no caderno. 1. Existem seis números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 9, sem repeti-los. a) Escreva esses números. 259; 295; 529; 592; 925 e 952. b) Quais deles são divisíveis por 2? 592 e 952. c) Quais deles são divisíveis por 3? Nenhum deles. 2. O diâmetro da Terra é 12 756 quilômetros. 12 756 é divisível por: f) 8? Não. a) 2? Sim.

4. Observe o número a seguir.

Desafio Verificar se os alunos já conseguiram elaborar um fluxograma em sala de aula; caso eles já tenham tido essa experiência, solicitar que eles façam um fluxograma apresentando os critérios de divisibilidade de outro número (diferente de 2 e de outro número que escolheram anteriormente). A seguir, apresentamos o fluxograma com o critério de divisibilidade por 5.

40302n a) Colocando 0 no lugar de n, o número será divisível por: • 3? Sim. • 4? Sim. • 5? Sim. • 8? Não. • 9? Sim. • 10? Sim. b) Qual é o menor algarismo que deve substituir n para que o número seja divisível por 8? 4

b) 3? Sim.

g) 9? Não.

c) 4? Sim.

h) 10? Não.

d) 5? Não.

i) 100? Não.

e) 6? Sim.

j) 1 000? Não.

5. Usando apenas o 3 e o 0, escreva oito números de quatro algarismos e entre eles identifique: a) os que são divisíveis por 4. 3 000 e 3 300. b) os que são divisíveis por 8. 3 000 c) os que são divisíveis por 1 000. 3 000

Diâmetro da Terra

Início (escolha um número)

O número termina em 0 ou 5?

6. Considere os números 325d e 70b3. a) Qual é o menor valor que se pode atribuir a d para que 325d seja divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3? 2 b) Qual é o menor valor que se pode atribuir a d para que 325d seja divisível por 6? 2 c) Qual é o menor valor que se pode atribuir a b para que 70b3 seja divisível por 3? 2 d) Qual é o menor valor que se pode atribuir a b para que 70b3 seja divisível por 9? 8

SONIA VAZ

diâmetro: 12 756 km

Fonte: IBGE. Atlas Geográfico Escolar. 4. ed. Rio de Janeiro, 2012. p. 18.

3. Observe este número: 5n01 Agora, responda: a) Se você colocar 0 no lugar de n, o número será divisível por 9? Não. b) Qual é o menor algarismo que você deve colocar no lugar de n para que esse número fique divisível por 9? 3

Sim Não

O número é divisível por 5.

O número não é divisível por 5.

DESAFIO

7. Em grupo, escolham um critério de divisibilidade diferente de 2 e façam um fluxograma dele. Resposta pessoal. 111

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Atividades Nestas atividades os alunos terão a oportunidade de aplicar os critérios de divisibilidade. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias e conhecimentos. Caso os alunos tenham feito o cartaz-

-resumo sobre os critérios de divisibilidade, colocá-lo em lugar visível para facilitar a consulta. Acompanhar a resolução das atividades incentivando a troca de ideias entre as duplas. Anotar as dúvidas que surgirem e retomá-las para esclarecê-las. Por fim, pedir a cada dupla que elabore uma questão que en-

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volva um dos critérios de divisibilidade para que outra dupla possa resolvê-la. Caso seja necessário, ajudá-los no processo de elaboração; é importante que eles entendam que, quando se elabora uma questão, ela deve ser clara e objetiva. Nesse momento, espera-se que eles elaborem algo mais simples,

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Pense e responda As atividades propostas poderão ser utilizadas com a finalidade de criar condições para que os alunos concluam que os fatores de determinado número são também seus divisores. Organizá-los em duplas para realizar as atividades; assim, eles terão mais oportunidade para discutir suas hipóteses e compartilhar o conhecimento. Divisores e múltiplos de um número natural Aqui os alunos irão trabalhar algumas ideias que relacionam fatores e divisores de um número natural. Pedir aos alunos que leiam o texto do livro e expliquem com as próprias palavras qual é a relação entre os fatores de um número e seus divisores utilizando, para isso, os números 30 e 24, exemplos dados no livro. Incentivar a expressão oral dos alunos, isso permite que eles estabeleçam conexões entre os conceitos e as opiniões que possuem e o conhecimento que estão adquirindo. Ou seja, nesse momento eles terão espaço para organizar as ideias que possuem e esclarecer possíveis dúvidas. Apresentar outros números, 15 e 66, por exemplo, e pedir que determinem seus fatores e divisores. Escolher dois alunos para mostrar e explicar para a classe sua resolução. Valorizar a postura de respeito aos colegas, caso haja algum erro na resolução ou na fala dos alunos, e incentivá-los a olhar o erro como parte do processo. Por fim, convidá-los a observar a ocorrência de padrões, por exemplo, o número 1 é divisor de todos os números. Outra ocorrência que provavelmente eles percebam é que o próprio número é divisor dele mesmo.

CAPÍTULO

DIVISORES E MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 301

Responda às questões no caderno.

1. Determine todos os possíveis produtos de dois números naturais cujo resultado 1 x 60; 2 x 30; 3 x 20; seja: 4 x 15; 5 x 12; 6 x 10. a) 22 1 x 22; 2 x 11. b) 60 c) 17 1 x 17 d) 24 1 x 24; 2 x 12; 2. Escreva os divisores de: 3 x 8; 4 x 6. a) 22 1, 2, 11 e 22. b) 60 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, c) 17 1 e 17. d) 24 1, 2, 3, 4, 6, 12, 15, 20, 30 e 60. 8, 12 e 24.

Observe as multiplicações abaixo. 1 x 10 = 10 2 x 5 = 10 Note que multiplicando 1 por 10 obtemos 10 e multiplicando 2 por 5 também obtemos 10. Chamamos tanto 1 e 10 como 2 e 5 de fatores de 10, ou seja, são números que, quando multiplicados, resultam no produto 10. Os números 1, 2, 5 e 10 também são divisores de 10. Acompanhe estas outras situações: 1 Quais são os fatores de 30? 1 x 30 = 30 2 x 15 = 30 3 x 10 = 30 5 x 6 = 30 Os divisores de 30 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30. Como todos os fatores de um número são também seus divisores, podemos determinar os divisores naturais de um número por meio de multiplicações. Então, o conjunto dos divisores de 30 é: D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 2 Quais são todos os divisores naturais de 24? 1 x 24 = 24 2 x 12 = 24 3 x 8 = 24 4 x 6 = 24 Então, o conjunto dos divisores de 24 é: D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Observe que qualquer número natural, com exceção do 0, tem como divisores o número 1 e ele próprio.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Múltiplos de um número natural A palavra “múltiplo” está ligada à operação multiplicação. Assim, quando queremos determinar os múltiplos de um número natural, por exemplo, do 4, multiplicamos o 4 pela sucessão de números naturais: 4x0=0 4x1=4

4 x 4 = 16 4 x 5 = 20

4 x 8 = 32 4 x 9 = 36

4x2=8 4 x 3 = 12

4 x 6 = 24 4 x 7 = 28

4 x 10 = 40 4 x 11 = 44 ...

O conjunto dos múltiplos naturais de 4 é: M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...}. E, dessa forma, obtemos o conjunto dos múltiplos de um número natural. Observe as divisões nos cartões: 42 0

7 6

51 21 0

7 ! 6 " 42

3 17

100 00

3 ! 17 " 51

5 20

5 ! 20 " 100

Podemos dizer que: • 42 é divisível por 7. • 51 é divisível por 3. Também podemos afirmar que:

• 100 é divisível por 5.

• 42 é múltiplo de 7. • 51 é múltiplo de 3. Considerando as duas observações, temos:

• 100 é múltiplo de 5.

Um número natural a será múltiplo de um número natural b diferente de zero, quando a for divisível por b ou b for divisor de a. Exemplos: • 132 é múltiplo de 11, pois 132 é divisível por 11, conforme podemos verificar na divisão:

• 163 não é múltiplo de 11, pois 163 não é divisível por 11, conforme podemos verificar na divisão:

132 11

163

22 12 0

53 9

Ser múltiplo de é o mesmo que ser divisível por.

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Múltiplos de um número natural Aqui é importante o aluno perceber que a ideia de múltiplo está relacionada com a multiplicação e que o múltiplo de um número é divisível por esse número. Pedir aos alunos que leiam esta página e observem os produtos das multiplicações apresentadas. É importante que eles percebam que esses produtos são apresentados como os múltiplos de 4. Aproveitar o momento e solicitar que os alunos determinem o conjunto de múltiplos de outros números, por exemplo, 6 e 10. Depois, convidar alguns alunos para mostrar aos colegas como chegaram às suas respostas. Incentivá-los a usar a linguagem matemática registrando suas respostas entre chaves. Ressaltar que a linguagem matemática é uma representação simbólica que comunica ideias. Em seguida, pedir aos alunos que observem padrões que ocorrem nas sequências dos múltiplos. É provável que os alunos percebam que o número zero aparece em todos os conjuntos de múltiplos e que esse conjunto é infinito. Enfatizar que todo múltiplo de um número é divisível por esse mesmo número. Por fim, pedir que anotem essas conclusões em um cartaz-resumo. Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15; assim, 15 é múltiplo de 3. Diferentemente do conjunto dos divisores de um número natural que é finito, o conjunto dos múltiplos é infinito, pois a multiplicação de um número natural por outro número natural irá produzir um de seus múltiplos e, como sabemos, o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito.

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Brincadeira do “pim”

A brincadeira consiste em substituir o múltiplo de um número pela palavra “pim”. Pedir aos alunos que contem números de um em um, substituindo o múltiplo desse número pela palavra “pim”. Assim: Múltiplos de 5, de 1 a 50: 1, 2, 3, 4, “pim”, 6, 7, 8, 9, “pim”, 11, 12, 13, 14, “pim”, 16, 17, 18, 19, “pim”, 21, 22, 23, 24, “pim”, 26, 27, 28, 29, “pim”, 31, 32, 33, 34, “pim”, 36, 37, 38, 39, “pim”, 41, 42, 43, 44, “pim”, 46, 47, 48, 49, “pim”. Propor aos alunos que realizem a contagem dos números oralmente, substituindo os múltiplos de 2, 3, 4 e 5 pela palavra “pim”. Dessa forma, eles terão a oportunidade de realizar a substituição de determinado valor por outro código e também de aprender e memorizar a tabuada de multiplicação. Nestas atividades, os alunos terão a oportunidade de determinar e verificar os divisores de um número natural e, também, se um número é múltiplo de outro. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias e conhecimento. Se eles tiverem feito o cartaz-resumo, deixá-lo em um lugar visível para consulta. Acompanhar a resolução das atividades caminhando pela classe fazendo intervenções quando necessário. Para a atividade 14, certificar-se de que todos os alunos conhecem o significado de ano bissexto. Chamamos de ano bissexto o ano que tem 366 dias, ou seja, um dia a mais que o normal (365 dias). De acordo com o calendário gregoriano, no ano bissexto é incluído um dia extra no mês de fevereiro, que passa a ter 29 dias. Isso

ATIVIDADES

Resoluções na p. 301

10. Na Olimpíada de Matemática da escola onde estudo, cada grupo apresenta 1. Verifique se 6 é um divisor de: desafios ao grupo adversário. Veja se a) 26 b) 48 c) 72 d) 86 consegue resolvê-los. Sim. Não. Sim. Não. 2. Verifique se 92 é múltiplo de: a) Qual o menor número natural que é a) 4 b) 6 c) 8 d) 23 múltiplo de 2 e maior que 200? 202 Sim. Sim. Não. Não. b) O que é, o que é? Um número natural 3. Entre os elementos do conjunto divisível por 2 e 3, maior que 30 e menor A = {2, 3, 5, 6, 8, 9, 10}, identifique os que 40? 36 que são divisores de: c) Você sabe dizer quais números naturais d) 45 3, 5, 9. a) 14 2 menores que 8 são múltiplos de 2 e de e) 54 2, 3, 6, 9. b) 18 2, 3, 6, 9. 4 ao mesmo tempo? 0 e 4. f) 70 2, 5, 10. c) 25 5 d) Qual é o maior resto possível em uma divisão por 5? 4 4. Quais são os divisores de 15 que e) Escreva dois números naturais menores também são divisores de 25? 1 e 5. que 500, múltiplos de 2 e de 3, cada um 5. Determine os divisores de: com três algarismos iguais. 222 e 444. a) 14 que não são divisores de 35. 2 e 14. 11. Qual é o menor múltiplo de 13 maior b) 35 que não são divisores de 14. 5 e 35. que 100? 104 c) 14 que são, também, divisores de 35. 1 e 7. 12. Quantos múltiplos comuns de 3 e 5 há 6. Qual é a idade de Janete? 30 anos. de 0 a 30? 3 Responda às questões no caderno.

A minha idade corresponde ao maior divisor par de 60, sem ser o 60.

7. (Saresp-SP) Indique, dentre as opções abaixo, aquela que apresenta todas as afirmações corretas: Alternativa c. a) 12 é múltiplo de 2, de 3 e de 9. b) 2, 3 e 7 são divisores de 7. c) 2, 3 e 6 são divisores de 12. d) 12 é múltiplo de 24 e de 39.

8. Escreva os seis primeiros múltiplos naturais de 15. 0, 15, 30, 45, 60, 75. 9. Qual é o maior múltiplo de 13 menor que 300? 299

13. Entre os múltiplos comuns de 3 e 5 que você achou, qual é o menor deles diferente de zero? 15 14. É fácil saber quando um ano é bissexto (fevereiro com 29 dias). É só verificar se o ano é dado por um número divisível por 4 ou, no caso dos anos terminados em 00, se o número é divisível por 400.

Veja, por exemplo, o calendário abaixo.

FEVEREIRO/2020 DOM SEG TER QUA QUI SEX sÁB

2 9 16 23

3 10 17 24

4 11 18 25

5 12 19 26

6 13 20 27

7 14 21 28

1 8 15 22 29

EDITORIA DE ARTE

Atividades Antes de trabalhar com as atividades, pedir aos alunos que realizem a brincadeira sugerida a seguir para que exercitem a substituição de determinado valor por outro código que não seja número.

WANDSON ROCHA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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ocorre a cada quatro anos, mas há algumas exceções para essa regra, por exemplo: os anos em que os dois primeiros algarismos são divisíveis por 4 não são bissextos como 2000 e 2400. Sugerir aos alunos que façam uma pesquisa sobre o tema e compartilhem as informações que obtiveram.

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a) Escreva quais dos anos a seguir são bissextos. 2008 e 2020. 2001

2008

2020

2050

2034

3000

b) A década de 1990 (de 1990 a 1999) teve quantos anos bissextos? Dois: 1992 e 1996. c) Escreva os anos bissextos das últimas duas décadas. O que você observa sobre a ocorrência deles? Década de 2000: 2000, 2004, 2008. Década de 2010: 2012 e 2016. Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos.

DESAFIO

15. (OBM) Sara foi escrevendo nas casas de um tabuleiro 95 por 95 os múltiplos positivos de 4, em ordem crescente, conforme a figura abaixo. 4

...

376

380

760 756 752 748 744

...

388 384

764

... ...

O número que Sara escreveu onde se encontra a letra U é: Alternativa c. a) 35 192 b) 35 196 c) 36 100 d) 36 104 e) 36 108 16. Copie o esquema do diagrama e complete-o com um colega.

Horizontais

3. Três centos mais dois. 4. Múltiplo de 11 e de 2, no qual o algarismo das dezenas é igual ao das centenas e o primeiro algarismo é igual ao último.

? 5

9. Ele é múltiplo de todos os números. 4

Verticais 1. Primeiro múltiplo de 5 maior que 64. 5. Número em que o algarismo das unidades é o dobro do algarismo das centenas. 6. Primeiro múltiplo de 5 maior que 400.

? ? ? ?

1 2

? ? ? 8

? ? ? ? 9

6 5

7. Múltiplo de 11, maior que 800 e menor que 900.

8 9

8. Considerando os múltiplos de 5, na ordem crescente, ele é o quinto múltiplo.

EDITORIA DE ARTE

1. Múltiplo de 2 e de 3, menor que 10.

É importante abrir espaço para que eles mostrem as estratégias utilizadas para chegar à solução do desafio. Na afirmação 7, caso ache conveniente, mostrar que, para determinar o múltiplo de 11 maior que 800 e menor que 900, pode-se efetuar a divisão de 800 por 11. Ao encontrar o quociente 72, podemos afirmar que 792 é divisível por 11, pois 72 x 11 = 792. Então, fazendo 792 + 11 obtemos o próximo número divisível por 11 maior que 800 que é 803. Porém, 803 não se encaixa com os outros algarismos cruzados. A solução é testar os próximos números que são 814, 825, ... até satisfazer os algarismos cruzados. O desafio tem como objetivo levar os alunos a aprender a determinar os divisores de um número natural, verificar se um número é múltiplo de outro e que todos os números naturais, com exceção de 0 e 1, possuem pelo menos dois divisores distintos. Verificar se os alunos estão realizando o algoritmo da divisão e o da multiplicação de forma adequada. Caso haja dificuldade, retomar o trabalho com esses algoritmos para que não impossibilite o desenvolvimento dos conceitos envolvidos.

2 0

17. Utilizando os critérios de divisibilidade, verifique se o número obtido em 2 é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10. Justifique sua resposta. É divisível por 2, 3, 4, 6 e 9. 115

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Desafio Para iniciar o desafio, pedir aos alunos que leiam a proposta com atenção. Perguntar a eles como se resolve uma cruzadinha. É provável que alguns alunos tenham familiaridade com palavras cruzadas

e as associem com a atividade proposta no desafio. Ressaltar que, no caso desse desafio, ela é cruzada de números escritos com algarismos e que as horizontais se referem às linhas e as verticais, às colunas do esquema quadriculado. Discutir com os alunos quais estratégias podem ser usadas

11:34 para a resolução. Por9/26/18 exemplo, iniciar pelo número da questão que o aluno sabe a resposta e utilizá-la para encontrar outra. Os alunos podem realizar a atividade individualmente ou em dupla. Depois, pedir a eles que socializem as respostas e compartilhem quais foram as dificuldades encontradas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções na p. 302

Gráfico pictórico: leitura e interpretação População de uma cidade Ano 1950 1970 1990 2010 EDITORIA DE ARTE

Um gráfico pictórico ou pictograma, do latim pictu (pintado), apresenta figuras que traduzem a informação de forma bem sugestiva: as ideias são transmitidas por meio de desenhos. O tamanho e/ou a quantidade desses desenhos no gráfico determinam a frequência dos dados. Veja, ao lado, um exemplo de gráfico pictórico:

Habitantes 1 milhão de habitantes

Fonte: Dados fictícios.

Responda às questões no caderno. 1. Considerando o gráfico acima, quantos habitantes a mais a cidade tinha em 1990 em relação ao total de 1950? 5 milhões de habitantes. 2. O gráfico a seguir apresenta os dados sobre a venda de blu-rays de uma loja durante um ano.

Trimestre

Venda de blu-rays

1o trimestre

2o trimestre

3o trimestre

1 000 unidades

4o trimestre Número de blu-rays

EDITORIA DE ARTE

Tratamento da informação O objetivo desta seção é dar oportunidade aos alunos para observar, identificar, analisar e interpretar informações expressas em gráficos pictóricos. Antes de iniciar a leitura do texto do livro, fazer um levantamento sobre o conhecimento prévio dos alunos. Perguntar a eles quais são os tipos de gráficos que eles conhecem. É esperado que os alunos ainda não consigam utilizar a nomenclatura correta para descrever os tipos de gráficos que conhecem. Estimulá-los a contar alguns detalhes sobre eles: onde viram e qual o assunto tratado, por exemplo. Pedir que tentem localizar em jornais e revistas (físicos ou digitais) diferentes gráficos de diferentes tipos para que, em seguida, observem os elementos que compõem todos os gráficos (título, fonte etc.) e as particularidades de cada tipo de gráfico. Além dessas observações, é importante conversar com os alunos sobre o objetivo de cada gráfico, ou seja, qual informação eles transmitem e quais recursos foram utilizados para a visualização dos dados. Essa análise tem como objetivo fazer os alunos perceberem que, no gráfico pictórico, os desenhos (tamanho e quantidade) também transmitem informação, ou seja, não é uma escolha aleatória; portanto, precisa ser decodificada e interpretada. Para finalizar, perguntar aos alunos se acreditam que o gráfico pictórico facilita ou não a transmissão, leitura e interpretação dos dados e o porquê de sua resposta.

Fonte: Dados fictícios.

a) De acordo com o gráfico, indique quantas unidades cada figura abaixo representa. 500 unidades; 250 unidades; 125 unidades. 116

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b) Observe o gráfico, calcule mentalmente e depois responda: • Em quais trimestres a venda foi inferior a 3 500 unidades? Só no 1o. • Em quais trimestres a venda foi superior a 3 500 unidades? Nos demais: 2o, 3o e 4o. • Quantas unidades foram vendidas no 2o trimestre a mais que no 1o trimestre? 500 unidades. • Quantas unidades foram vendidas no 2o trimestre a menos que no 3o trimestre? 250 unidades. c) Quantas unidades foram vendidas em cada trimestre? Faça uma tabela para organizar esses dados. Resposta no fim do livro.

3. Observe as informações fornecidas pelo gráfico pictórico a seguir e descubra quanto representa cada . 150 milhões.

8000 a.C.

5 milhões

1 d.C.

300 milhões

1200 d.C.

450 milhões

1750 d.C.

795 milhões

1850 d.C.

1 bilhão e 265 milhões

1950 d.C.

2 bilhões e 516 milhões

2005 d.C.

6 bilhões e 475 milhões

EDITORIA DE ARTE

Quantidade de pessoas que já viveram no planeta

Informações obtidas em: IWAKURA, Mariana. Quantas pessoas já viveram no Planeta Terra? Superinteressante. São Paulo: Ed. Abril, n. 210, p. 28-29, fev. 2005.

4. O estudo de Carl Haub estima que já viveram no planeta Terra cento e seis bilhões, setecentas e dezesseis milhões, trezentas e sessenta e sete mil, seiscentas e sessenta e nove pessoas. Use algarismos para representar esse número. 106 716 367 669 5. Reúna-se com seus colegas e realizem uma pesquisa que julguem importante e que possa ter os dados coletados organizados em forma de pictograma. Produzam um pequeno texto explicando o motivo de terem escolhido o assunto a ser pesquisado, uma tabela com os dados coletados e o pictograma montado a partir desses dados. Resposta pessoal.

SAIBA QUE

O responsável pelos cálculos apresentados nesse gráfico é Carl Haub, pesquisador estadunidense. Ele afirma que esses cálculos não são precisos. Nesse trabalho o pesquisador usou dados históricos e arqueológicos e estudos da Organização das Nações Unidas (ONU).

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Os gráficos são recursos muito utilizados pelos meios de comunicação para apresentar informações sobre os mais variados assuntos. Um gráfico é capaz de comunicar ideias de maneira mais rápida, prática e objetiva do que um texto, por exemplo; além disso, visualmente é atrativo. Existem muitos tipos de gráficos. Os mais utilizados são os gráficos de colunas, barras, linhas, pictóricos e os de segmento. Entre esses, o gráfico pictórico tem como característica o uso de figuras ou imagens relacionadas ao assunto; a quantidade e o tamanho desses elementos determinam a frequência dos dados. Esse recurso contribui para a compreensão e interpretação das informações. Organizar a turma em duplas para a resolução das questões. Pedir que leiam e observem atentamente os gráficos respondendo às questões no caderno. Acompanhar essas atividades fazendo intervenções, sempre que necessário. Na atividade 3, é importante verificar se os alunos conhecem a nomenclatura d.C. (depois de Cristo) e a.C. (antes de Cristo). Sendo o ano 1 d.C. o primeiro ano depois de Cristo, ou seja, essa nomenclatura é o referencial para determinar se uma data é antes ou depois de Cristo. É interessante discutir com os alunos sobre qual é a tendência em relação ao número de pessoas que vivem no planeta e quais são as razões que levam ao crescimento populacional. Por fim, solicitar a cada dupla que colete gráficos pictóricos e escolha um deles para elaborar perguntas sobre os dados do gráfico. Depois, as duplas devem trocar as questões com outra dupla, para então respondê-las. Em seguida, eles devem realizar a correção das questões elaboradas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Números primos Antes de iniciar o estudo dos números primos, fazer uma breve revisão com os alunos dos critérios de divisibilidade e dos conceitos de divisores e múltiplos de um número natural. O domínio desses assuntos facilitará tanto a compreensão do conteúdo quanto a resolução dos exercícios. Caso ache conveniente, dizer aos alunos que existem infinitos números primos e que esse fato já foi demonstrado por Euclides. Em fevereiro de 2013, foi descoberto um número primo com 17 milhões de dígitos e que se escreve 257885161 _ 1. No entanto, não existe ainda uma função que determine todos os números primos, ou seja, para determinar se um número é primo, é necessário testar os divisores um por um; por isso, os critérios de divisão são tão importantes para esse estudo. O objetivo aqui é conceituar número primo e número composto e verificar, aplicando os critérios de divisibilidade, se um número dado é primo ou composto. Pedir aos alunos que observem o quadro de divisores dos números 0 até 9 do livro e anotem no caderno todos os padrões e as ocorrências possíveis sobre o número de divisores de cada número dado. É provável que eles percebam que: o zero tem infinitos divisores; o 1 tem apenas um divisor; há números que possuem apenas 2 divisores, o 1 e ele mesmo; há números que possuem outros divisores além do 1 e dele mesmo. Pedir aos alunos que pintem os números que possuem apenas dois divisores; ressaltar que esses números são chamados de números primos e que os números que possuem mais de dois divisores são chamados de números compostos. Explicar que o número 1 não é primo nem composto. Além disso, é importante observar que o número 2 é o único número natural par que é primo.

CAPÍTULO

NÚMEROS PRIMOS

Observe os quadros a seguir.

Note que: • O 1 tem apenas um divisor: o próprio 1. • Todo número natural diferente de zero é divisível por 1 e por ele mesmo. • Há números que são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos, como: 2, 3, 5 e 7. • Há números que, além do 1 e deles mesmos, possuem outros divisores. Como: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 e 15. • O zero tem infinitos divisores.

Número Divisores 0 1, 2, 3, 4, ... 1 1 2 1, 2 3 1, 3 4 1, 2, 4

Número 5 6 7 8 9

Divisores 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9

Um número natural que possui apenas dois divisores naturais distintos (o número 1 e ele mesmo) é denominado número primo. Assim, os números 2, 3, 5 e 7 são exemplos de números primos. A sucessão dos números primos é infinita, ou seja, existem infinitos números primos. Os números naturais que possuem mais de dois divisores distintos são chamados números compostos. Assim, 4, 6, 8 e 9 são números compostos. Observações: • Os números 0 e 1 não são primos nem compostos. • O único número natural par que é primo é o 2.

Como reconhecer números primos? Primus é uma palavra latina que significa “primeiro e único”. Ela foi escolhida para denominar o grupo dos números naturais divisíveis apenas por dois números naturais distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural não for primo, ele será chamado número composto, ou seja, poderá ser dividido por outros números, além do 1 e dele mesmo. Vamos aqui usar uma regra que permitirá dizer quando um número natural dado é ou não um número primo. Veja: • Dividimos o número dado pelos números primos menores que ele, até obter um quociente menor ou igual ao divisor. • Se nenhuma das divisões efetuadas for exata, o número será primo. • Se qualquer uma das divisões for exata, o número não será primo. 118

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Acompanhe algumas verificações:

1 O número 173 é um número primo? Aplicando os critérios de divisibilidade, 173 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. Prosseguindo as divisões: 173 7 33 24 5

173 11 63 15 8

173 13 43 13 4

quociente igual ao divisor

O número 173 é primo. 2 E o 401 é um número primo? Aplicando os critérios de divisibilidade, 401 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. Prosseguindo as divisões: 401 51 2

7 57

401 71 5

11 36

401 11

13 30

401 61 10

17 23

401 21 2

19 21

401 171 10

23 17

O número 401 é primo.

quociente menor que o divisor

3 Vamos verificar se 493 é primo. Aplicando os critérios de divisibilidade, 493 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. Prosseguindo as divisões: 493 3

493 103 12

7 70

13 37

493 53 9

11 44

493 153 0

17 29

resto zero com quociente maior que o divisor

O número 493 não é primo, pois é divisível por 17, além de ser divisível por 1 e por ele mesmo. 119

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Pedir aos alunos que anotem um conjunto de números primos usando a linguagem matemática; por exemplo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}. Ressaltar que as reticências significam que a sequência de números primos é infinita, conforme provado por Euclides há 300 a.C. Se desejar, aprofundar os conhecimentos sobre o estudo dos números primos; segue uma sugestão de leitura no link a seguir. Disponível em: <http:// livro.pro/4gnfh9>. Acesso em: 17 ago. 2018. Para reconhecer outros números primos, solicitar aos alunos que leiam o texto e acompanhem as verificações apresentadas no livro. Depois que compreenderam o processo, pedir que anotem um exemplo no cartaz-resumo (caso estejam produzindo um para esta unidade) mostrando como identificar um número primo por meio de divisões sucessivas. Nesse momento, se achar oportuno, é interessante que os alunos façam um fluxograma para apresentar o processo de identificação de números primos e compostos. Apresentar aos alunos uma forma prática e rápida de determinar os números primos até 50. Pedir a eles que façam no caderno uma tabela de 3 colunas como a apresentada a seguir. Primeiro, anotar o número 2 e a sequência dos números ímpares maiores que 2. Depois, cortar os números localizados abaixo do 3 na tabela que são os múltiplos ímpares de 3 e divisíveis por 3; portanto são números compostos. Em seguida, cortar os números 25 e 35 que são números divisíveis por 5 e, portanto, são números compostos também. Os números que sobraram são os números primos até 47. 2 7 13 19 25 31 37 43

3 9 15 21 27 33 39 45

5 11 17 23 29 35 41 47

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS PARA QUEM QUER MAIS

Resoluções na p. 302

O crivo de Eratóstenes

MARCOS GUILHERME

O grego Eratóstenes (276-194 a.C.) montou a primeira tábua de números primos. Por exemplo, para achar os primos até 1 000, basta começar eliminando o 1. A seguir, elimine os múltiplos de 2, exceto o 2, depois os de 3, exceto o 3, e assim por diante até 31. Quando tiver riscado os múltiplos de 31, pode parar: você já achou todos os números primos menores que 1 000. Veja, ao lado, a tábua de números primos até 50. Nela foram escritos os números de 1 a 50 e seguidos os procedimentos descritos acima.

SAIBA QUE

1. Agora é com você. Monte, no caderno, uma tábua de números primos até 100 seguindo o procedimento descrito anteriormente. Resposta no fim do livro.

ATIVIDADES

O número 1 não é primo, pois tem apenas um divisor natural, que é ele mesmo.

Resoluções na p. 302

Responda às questões no caderno. 1. Lembra-se do crivo de Eratóstenes que você montou? Use-o para responder às questões. a) Quantos são os números primos menores que 50? 15 b) Uma vila teve casas numeradas de 30 a 50. Quantas foram numeradas com números primos? 5 casas. c) Em qual século estamos? O número que representa esse século é um número primo? Século 21; 21 não é um número primo.

2. Em um torneio de futebol, uma equipe somou 91 pontos no final do campeonato. O número que aparece na informação é um número primo? Não.

3. O valor numérico de cada expressão a seguir é primo? a) 26 + 3 67 é primo. b) 42 + 52 41 é primo. c) 472 _ 372 _ 232 311 é primo.

4. Verifique quais dos números abaixo são primos. 47, 83, 97 47 91

51 97

69 39

83 24

?? 47

38 17

EDITORIA DE ARTE

Para quem quer mais Ler o texto com os alunos, depois escrever na lousa a sequência de números naturais de 1 a 100 e, com eles, usar o crivo de Erastóstenes para encontrar os números primos até 100. No início (do número 1 ao 50), os alunos podem querer usar a tábua da seção para responder; para evitar isso, montar com eles os conjuntos dos divisores de cada um dos números para só depois eliminá-los da tábua. Uma estratégia que pode ajudar os alunos a se envolverem é pedir que eles se revezem para irem até a lousa para montarem esses conjuntos. Relembrar os alunos que o número 1 não é número primo (conforme descrito no Saiba que...) e que o número 2 é o único número natural par primo. Caso desejar, mostrar aos alunos um pouco mais sobre a história de Eratóstenes e sua obra; orientá-los a acessar o seguinte link <http://livro.pro/ reimp3>. Acesso em: 17 ago. 2018. Atividades Sugerir aos alunos que resolvam as atividades individualmente; assim, eles poderão pôr em prática os conhecimentos adquiridos. Propor que, à medida que tenham alguma dúvida, eles a anotem para depois fazer uma retomada. Esse exercício de anotar uma dúvida pode ajudar o aluno a refletir sobre as estratégias que está utilizando e rever os passos que percorreu na tentativa de resolver a atividade. Incentivar os alunos a apresentar suas resoluções e as dúvidas, ajudando-os a entender que esse processo não está voltado para classificar as respostas como certas ou erradas; o objetivo é estimular a comunicação e, consequentemente, desenvolver o pensamento matemático, valorizando os métodos que eles se sentem mais seguros em utilizar para resolver as questões propostas.

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a) Observe a tabela ao lado e identifique os números primos. Registre os divisores dos números que não são primos. Nenhum deles é primo. b) A pontuação total de Cuba, nos 3 sets, é um número primo ou composto? Composto.

Resultado de cada set Brasil Set Cuba o 1 22 25 2o 14 25 3o 22 25

MINT FOX/SHUTTERSTOCK.COM, JULINZY/SHUTTERSTOCK.COM

7. O Brasil ganhou o Campeonato Mundial Masculino de Voleibol, em 2010, realizado em Roma, Itália. Na final, o Brasil jogou com Cuba e venceu por 3 sets a zero. Com a vitória, o Brasil tornou-se tricampeão mundial.

Informações obtidas em: OLIVEIRA, C. Brasil pulveriza Cuba… Globo Esporte. Disponível em: <http://globoesporte. globo.com/volei/noticia/2010/10/brasilpulveriza-cuba-embolsa-o-tri-e-confirmasua-dinastia-em-mundiais.html>. Acesso em: 21 maio 2018.

8. A Fórmula 1 é a principal categoria de automobilismo mundial. A partir da década de 1970, os pilotos brasileiros começaram a fazer sucesso na modalidade. Emerson Fittipaldi foi bicampeão (1972 e 1974); e Nelson Piquet conquistou três títulos (1981, 1983 e 1987). Ayrton Senna também foi tricampeão (1988, 1990 e 1991). Outros dois brasileiros destacam-se na Fórmula 1: Felipe Massa e Rubens Barrichello. O gráfico a seguir mostra o número de vitórias que os pilotos brasileiros conseguiram na Fórmula 1 até a temporada de 2017.

Brasileiros e suas vitórias na Fórmula 1

23 14

11 1

Emerson Fittipaldi

Felipe Massa

José Carlos Pacce

Nelson Piquet

Rubens Barrichello

Piloto

EDITORIA DE ARTE

Número de vitórias 45 41 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Ayrton Senna

Informações obtidas em: PIRELLI. Os 10 melhores pilotos brasileiros de F1. Disponível em: <https://www.pirelli. com/global/pt-br/race/os-10-melhores-pilotos-brasileiros-de-f1>. Acesso em: 21 maio 2018.

Dentre os números que aparecem no gráfico, quantos e quais são números primos? Três números: 41, 11 e 23.

DESAFIO

9. Em duplas, observem o quadro a seguir e façam o que se pede. 14

a) Com base nos critérios de divisibilidade, qual é o único número primo presente no quadro? Justifiquem a resposta. 43; resposta pessoal. 14: 1, 2, 7 e 14; 38: 1, 2, 19 e 38; 25: 1, 5 e 25; 43: 1 e b) Listem os divisores dos números do quadro. 43; 22: 1, 2, 11 e 22; 52: 1, 2, 4, 13, 26 e 52. c) Elaborem um quadro contendo apenas um número primo entre 50 e 100 e outros cinco números compostos que se enquadrem nos critérios de divisibilidade vistos nesta unidade. Depois, troquem o quadro com outra dupla e respondam os itens a e b novamente, considerando agora o novo quadro. Resposta pessoal. 121

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Em algumas atividades os alunos terão a oportunidade de utilizar o crivo de Eratóstenes e o processo de divisões sucessivas para identificar números primos. Irão, também, aplicar os conceitos de números primos e compostos. Antes de iniciar as atividades, retomar os conceitos de números primos e compostos. É interessante pedir aos alunos que justifiquem as respostas das atividades 1, item c, 2, 3, 4, 5 e 6, explicando por que os números são primos ou não. Por exemplo, a atividade 1, item c, tem como resposta o século 21 e 21 não é primo porque 21 é divisível por 3 e, portanto, é um número composto. Na atividade 6, é esperado que os alunos percebam que 63 = 33 + 30; 47 = 30 + 17 e 38 = 17 + 21. Então, o “segredo” é que, para obter o valor do quadrado, basta somar os valores dos dois quadrados que sustentam o quadrado de valor procurado. Para as atividades 7 e 8, aproveitar para explorar as informações da tabela e do gráfico fazendo a leitura e a interpretação dos dados apresentados. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias e conhecimento. Acompanhar as resoluções. Ao final esclarecer as dúvidas pedindo aos alunos para mostrar como pensaram. Orientá-los a consultar o crivo de Eratóstenes e identificar números menores que 50. Para os números maiores que 50, é necessário que eles utilizem os critérios de divisibilidade por 2, 3 e 5 e efetuem as divisões sucessivas caso não sejam números divisíveis por 2, 3 e 5.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Decomposição em fatores primos O objetivo aqui é levar os alunos a aprender a decompor um número natural composto em um produto de fatores primos. Decompor em fatores primos um número natural composto é transformar o número em um produto no qual os fatores são seus divisores primos. Enfatizar que essa fatoração recebe o nome de completa, pois é composta somente por fatores primos. Explicar que an, sendo a um número primo e n . 1 não é um fator primo. Por exemplo, 32 não é um fator primo; nesse caso, deve-se escrever 3 x 3. Pedir aos alunos que escrevam o número 20 como um produto de dois números diferentes de 1. Solicitar que alguns alunos registrem as respostas na lousa: 2 x 10 e 4 x 5. Depois, pedir a eles que escrevam o número 20 como um produto de três números diferentes de 1. E, novamente, solicitar que escrevam a resposta na lousa: 2 x 2 x 5. Em seguida, pedir que escrevam o número 20 como produto de quatro números diferentes de 1. Deixar que analisem o pedido, façam tentativas e concluam que não existe resposta. Fazer o mesmo processo utilizando o número 30. Perguntar aos alunos qual é a forma de escrever o número 20 e o 30 utilizando apenas números primos. Circular, na lousa, as respostas dadas: 2 x 2 x 5 e 2 x 3 x 5. Dizer a eles que essas multiplicações são conhecidas como o processo de decomposição em fatores primos.

Decomposição em fatores primos Vamos escrever alguns números naturais compostos como uma multiplicação de fatores primos. 4

2!2

2!3

2!5

4"2!2

6"2!3

10 " 2 ! 5

produto de fatores primos

Usando o mesmo recurso, veja o que acontece com o número 30: 30

2 ! 15

3 ! 10

5 ! 6

3 ! 5 30 " 2 ! 3 ! 5

2 ! 5 30 " 3 ! 2 ! 5

2 ! 3 30 " 5 ! 2 ! 3

Qualquer que seja a forma de escrever o 30 como uma multiplicação, encontramos os mesmos fatores primos no final. 30 " 2 ! 3 ! 5

produto de fatores primos

Isso vale para qualquer número natural composto. Podemos, então, dizer que:

Todo número natural não primo maior que 1 pode ser escrito na forma de multiplicação, que é chamada forma fatorada completa, em que todos os fatores são números primos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Para chegar à forma fatorada completa de um número natural, fazemos uma decomposição em fatores primos, que consiste em: • dividir inicialmente o número dado por seu menor divisor primo; • dividir o quociente obtido por seu menor divisor primo; • repetir esse procedimento até obter o quociente 1. Veja como obtemos a fatoração completa de um número natural.

Nesta página os alunos terão a oportunidade de decompor um número natural composto em um produto de fatores primos utilizando um procedimento prático conhecido como fatoração. Portanto, a fatoração é uma técnica utilizada para transformar números em fatores primos. Se o número está escrito na forma de multiplicação, mas os fatores não são primos, não podemos dizer que o número está escrito na forma fatorada completa. Por exemplo: 1 000 = 10 x 10 x 10. Nesse caso, podemos escrever 1 000 = 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5, que é a forma fatorada completa por ter nos seus fatores apenas números primos. O procedimento prático para transformar um número natural composto em fatores primos pode ser um bom exercício para aperfeiçoar o cálculo mental.

1 Como escrever 110 na sua forma fatorada completa? 110 0

2 55 0

110 2 55 5 11 11 1

5 11 0

11 1

2 é o menor divisor primo de 110 5 é o menor divisor primo de 55 11 é o menor divisor primo de 11

Então: 110 ! 2 " 5 " 11 todos os fatores são primos

Assim, 2 x 5 x 11 é a forma fatorada completa de 110.

2 Como decompor o número 315 em fatores primos? 315 0

315 105 35 7 1

3 3 5 7

3 105 0

3 35 0

5 7 0

7 1

Descubra mais O livro indicado utiliza histórias com enigmas para levar o leitor a resolvê-los usando a Matemática. Possui, ainda, um suplemento de trabalho (Outros desafios) com atividades que fixam o que foi aprendido no livro. Esse livro possibilita trabalhar com os alunos frações e números primos.

3 é o menor divisor primo de 315 3 é o menor divisor primo de 105 5 é o menor divisor primo de 35 7 é o menor divisor primo de 7

Então: 315 ! 3 " 3 " 5 " 7 todos os fatores são primos DESCUBRA MAIS

A revelação (série O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egidio Trambaiolli Neto, Editora FTD, 1997. Uma cigana descobre, num antigo livro de profecias, que cinco crianças salvariam a humanidade com a ajuda de um grande mestre: Cronos, o Senhor do Tempo. Conseguirão elas utilizar suas habilidades para atingir esse objetivo?

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ATIVIDADES

Resoluções na p. 303

Responda às questões no caderno. 1. Escreva na forma de multiplicação de dois fatores primos os seguintes números naturais: a) 46 b) 85 c) 57 d) 77 2 x 23 5 x 17 3 x 19 7 x 11 2. Observe a cena. Esta expressão representa a fatoração completa de um número natural?

8. Qual é a forma fatorada completa do número natural 1 000? 2x2x2x5x5x5 9. Uma fatoração do número 1 200 é 2a x x 3b x 5c. Qual é o valor de a + b + c? 7

Sim!

3 x 4 x 11

A resposta de Paulinha está correta? Se a resposta estiver errada, qual será a resposta correta? Não; 3 x 2 x 2 x 11.

7. Decomponha em fatores primos, ou seja, escreva a forma fatorada completa de: a) 48 2 x 2 x 2 x 2 x 3 f) 132 2 x 2 x 3 x 11 g) 210 2 x 3 x 5 x 7 b) 50 2 x 5 x 5 c) 80 2 x 2 x 2 x 2 x 5 h) 180 2x2x3x3x5 i) 234 2 x 3 x 3 x 13 d) 99 3 x 3 x 11 e) 108 2 x 2 x 3 x 3 x 3 j) 484 2 x 2 x 11 x 11

10. Uma forma de fatorar o número 1 620 é 22 x n x 5. Qual é o fator que você deve colocar no lugar de n para que a forma fatorada represente o número 1 620? n = 34 11. Escreva o número natural das formas fatoradas a seguir: a) 22 x 5 x 112 2 420 c) 33 x 17 459 b) 22 x 7 x 13 364 d) 32 x 7 x 112 7 623

3. Considere as multiplicações a seguir: • 1 x 30 = 30 • 5 x 6 = 30 • 2 x 15 = 30 • 2 x 3 x 5 = 30 12. Uma forma de fatorar o número 240 é 2x x 3 x 5. Quanto vale x? 4 • 3 x 10 = 30 Em uma delas, o número 30 está escrito 13. Na temporada de 2010 na Fórmula 1, na forma de multiplicação em que o piloto brasileiro Felipe Massa obteve todos os fatores são números primos. o 6 o lugar na classificação geral dos Qual é essa multiplicação? 2 x 3 x 5 = 30 pilotos, acumulando 144 pontos. 4. Escreva a forma fatorada completa do Qual é a forma fatorada completa do número 112. 2 x 2 x 2 x 2 x 7 número que aparece destacado na 5. Quais das expressões a seguir representam fatoração completa de um número? a) 2 x 9 c) 2 x 3 x 11 b) 3 x 5 x 17 d) 7 x 11 Alternativas b, c e d. 6. Qual é o valor numérico da expressão (152 + 255) : (32 + 1)? Escreva esse valor na sua forma fatorada completa. 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3

informação? 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Felipe Massa na temporada de 2010 da Fórmula 1.

LUCA BRUNO/AP/GLOW IMAGES

Atividades Nestas atividades é importante que o aluno entenda a diferença entre uma forma de fatoração e a fatoração completa. Orientar os alunos a resolver as atividades em dupla para facilitar a troca de ideias e conhecimento. Acompanhar a resolução caminhando pela classe e fazendo intervenções, quando necessárias. Antes de iniciá-la, retomar com os alunos como proceder para obter a fatoração completa de um número natural. Se achar necessário, sugerir que façam um cartaz ou anotações no caderno, de modo que essas informações sejam de fácil acesso quando precisarem e puderem fazer uma consulta. Lembrar os alunos que fatorar um número significa transformá-lo em um produto de fatores (primos ou não), enquanto a fatoração completa é a transformação em um produto de fatores exclusivamente primos. Dessa forma, se desejar, pedir aos alunos a fatoração completa das atividades que apresentam uma forma fatorada, como as questões 9, 10, 11 e 12. Caso os alunos tenham dúvidas no processo de fatoração completa, explicar que o número a ser fatorado deverá ocupar a coluna da esquerda, e a coluna da direita será preenchida com os fatores primos. Ao dividir o número pelo algarismo primo, os resultados deverão ser colocados na coluna da direita. As divisões deverão ser efetuadas no intuito de simplificar ao máximo o número, isto é, reduzi-lo ao número 1. Segue um exemplo: 1 000 2 500 2 250 2 125 5 25 5 5 5 1

WANDSON ROCHA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Então, a forma fatorada completa do número 1 000 é escrita da seguinte maneira: 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5. D3-MAT-F2-2051-V6-U04-100-129-LA-G20.indd 124

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS P O R T O D A P A RT E

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Plantas em extinção

Conhecida popularmente por pinheiro-do-paraná ou pinheiro-brasileiro, essa árvore pode atingir até 50 m de altura, ocorrendo majoritariamente na região Sul do Brasil. São Mateus do Sul, PR. Foto tirada em 2016. Categoria: Vulnerável.

ZIG KOCH/NATUREZA BRASILEIRA

ANDRE DIB/PULSAR IMAGENS

CHICO FERREIRA/PULSAR IMAGENS

Você já parou para pensar que não são apenas os animais que correm o risco de entrar em extinção? Por vezes, podemos nos esquecer de que as plantas também passam por esse processo. Atualmente, existem muitas árvores brasileiras ameaçadas de extinção. O Instituto Brasileiro do Meio Ambiente (Ibama) é um órgão que propõe e edita normas e padrões de qualidade ambiental, executa o zoneamento, avalia impactos e realiza fiscalização ambiental, entre muitas outras atribuições. De acordo com os dados do Ibama, é possível verificar que há diferentes estados de conservação para considerar uma espécie ameaçada de extinção: vulnerável, rara e em perigo. Observe os exemplos abaixo:

Também conhecida como xaxim, a samambaiaçu-imperial é nativa da Mata Atlântica e da América Central. O termo “samambaiaçu” tem origem na língua tupi e significa “samambaia grande”. Passos Maia, SC. Foto tirada em 2016. 2016. Categoria: Em perigo.

Conhecido popularmente como “marmelinho”, esse arbusto é típico de regiões tropicais. Parque Nacional da Chapada dos Guimarães, MT. Categoria: Rara.

Informações obtidas em: COSTA, R. Quais árvores brasileiras estão em extinção? Nova Escola. Disponível em: <https://novaescola.org.br/conteudo/298/quais-arvores-brasileiras-estao-em-extincao>. BIODIVERSITAS. Lista oficial de flora ameaçada de extinção. Disponível em: <http://www.biodiversitas.org.br/ florabr/lista_ibama.asp>. Acessos em: 19 jan. 2018.

Responda às questões no caderno. 1. Você conhece ou já ouviu falar de alguma das árvores apresentadas nas fotos acima? Compartilhe com o professor e com os colegas se você conhece alguma outra árvore que esteja ameaçada de extinção. Resposta pessoal.

2. Determine todos os divisores primos do número 50. 2 e 5.

3. Com a ajuda do professor, elabore uma tabela com cinco árvores brasileiras, de diferentes regiões do Brasil, que, segundo o Ibama, estão ameaçadas de extinção. Depois, escreva o que você acha que pode ser feito para preservá-las. Resposta pessoal. 125

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Por toda parte Professor, esta atividade pode ser trabalhada em conjunto com as disciplinas de Ciências e Geografia ao tratar de desmatamento, suas consequências para o meio ambiente e os fatores que levaram a esse processo. Solicitar aos alunos a leitura coletiva do texto e provocar a discussão e reflexão a cada questão proposta. É importante que os alunos sejam incentivados a falar sobre suas experiências e expor o ponto de vista a respeito do assunto abordado. Depois, propor uma pesquisa para a coleta de dados sobre o tema. Podem ser textos, gráficos ou tabelas. Essa pesquisa pode ajudar os alunos a conhecer alguns fatores que podem contribuir para que espécies vegetais entrem para a lista de ameaça de extinção e o que pode ser feito para evitar que isso ocorra. Aproveitar esse momento para estimular os alunos a analisar, compreender e interpretar os dados por meio desses textos. Se achar oportuno, pedir a eles que elaborem tabelas ou gráficos com os dados pesquisados. Incentivar os alunos a realizar ações em prol do meio ambiente, propagando o conhecimento adquirido para a comunidade escolar e refletindo sobre as ações cotidianas que podem prejudicar o meio ambiente. Comentar com eles que as questões que envolvem a preservação do meio ambiente estão cada vez mais presentes na nossa sociedade e as soluções se tornam cada vez mais urgentes. Nesse aspecto, a escola tem papel fundamental na formação de cidadãos conscientes desses problemas, e a Matemática é um instrumento importante para estimular a discussão e a compreensão dos fatos. Dessa forma, contribui para a formação da consciência do aluno, capacitando-o a viver em sociedade de maneira ativa. É esperado que alunos conscientes sejam capazes de se engajar em causas ambientais promovendo mudanças de comportamento e de valores.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Resoluções na p. 303

Utilizando planilha eletrônica para auxiliar na divisibilidade Observe os números a seguir. 123

203

342

675

987

24 680

6 389

890

654

13 579

4 567

1 235

2 345

9 099

1 200

908

5 387

2 235

4 566

234

Você sabe dizer quais deles são divisíveis por 7 e por 8? O número 1 235 é divisível por quais números? Algumas planilhas eletrônicas seriam úteis para responder a essas perguntas. A planilha do LibreOffice Calc, por exemplo, tem uma função chamada MOD, em que você digita o dividendo e o divisor e, ao clicar em “enter”, a função retornará o resto da divisão. Mas em que essa função pode ajudar no problema de divisibilidade? Como já foi visto, um número é divisível por outro quando a divisão tem resto igual a zero. Veja como verificar a divisão dos valores dados. Abra uma nova planilha e, nas colunas da primeira linha da planilha, digite: Número, Divisível por 2, Divisível por (todos os valores pelos quais quer verificar a divisão).

LIBRE OFFICE CALC

Tecnologias São inegáveis as grandes transformações por que passa a sociedade atual, exigindo cada vez mais indivíduos capazes de utilizar recursos tecnológicos no seu dia a dia. A escola tem papel fundamental para a inserção desses indivíduos em um mundo cada vez mais tecnológico. O computador está presente no cotidiano das pessoas, e a escola deve se apropriar dessa tecnologia para favorecer a formação de indivíduos capazes de exercer a cidadania de forma plena. Além disso, o computador é um facilitador para o trabalho pedagógico, tornando-se um importante recurso pedagógico, pois com ele o aluno tem a possibilidade de experimentar, testar hipóteses, fazer descobertas e chegar a conclusões. O software escolhido para as aulas de Matemática deve permitir a interação do aluno com os conceitos matemáticos e facilitar o desenvolvimento do raciocínio, da reflexão e da criação de soluções. O uso do computador exige que o aluno participe da aula ativamente, possibilita que ele faça alterações rápidas e visualize as mudanças que faz no arquivo, podendo mudar, a qualquer instante, a formatação do documento. Dentro desse contexto, a planilha eletrônica é um instrumento relevante que pode ser utilizado em várias situações do dia a dia. Em sala de aula, torna-se uma importante ferramenta pedagógica para o processo de ensino-aprendizagem da Matemática, favorecendo a construção de um ambiente propício para a realização de atividades e a construção do conhecimento.

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Se os alunos fizerem as contas com lápis e papel e posteriormente refizerem todo o processo, utilizando a planilha, poderão verificar o quanto o uso da tecnologia, nesse caso o uso da planilha eletrônica, pode facilitar e agilizar muitos processos. Esta atividade pode ser desenvolvida na sala de informática da escola ou como tarefa de casa. Mas antes de propor que a façam em casa, certificar-se de que todos têm acesso a um computador com a planilha instalada ou que um adulto poderá auxiliá-los. Caso contrário, providenciar o desenvolvimento da atividade na sala de informática da escola. Pedir a eles que sigam o roteiro (o passo a passo apresentado no livro) para que não haja dúvida na hora de usar o computador. O aplicativo utilizado aqui faz parte do pacote LibreOffice do Linux Educacional 4.0, que tem uma grande variedade de funções. Uma dessas funções é apresentada nesta página. Se achar necessário, segue um link para aprofundar os conhecimentos sobre o uso das planilhas eletrônicas em sala de aula, disponível em: <http://livro.pro/ipnfuq>. Acesso em: 5 jul. 2018.

Depois, digite os números na primeira coluna. A planilha ficará como na imagem ao lado. Agora que os números estão digitados, é o momento de utilizar a função MOD. Veja o passo a passo para verificar se esses números são divisíveis por 2. • Clique na célula B2 (coluna B e linha 2). • Digite = !MOD( . • Clique no primeiro número digitado (123, na célula A2). • Digite ;2 . • Aperte a tecla “enter”.

Aparecerá o resto da divisão de 123 por 2.

FOTOS: LIBRE OFFICE CALC

Selecione a célula B2, clique na sua extremidade inferior direita, continue pressionando o mouse e arraste a seleção até a última célula dessa coluna. Aparecerão, nessa coluna, os restos das divisões de cada um dos respectivos números por 2. Assim, será possível concluir que os números 654, 4 566, 234, 890, 908, 342, 1 200 e 24 680 são divisíveis por 2. Agora que já sabe como verificar se um número é divisível por outro utilizando planilhas eletrônicas, complete as colunas para os outros divisores, repetindo o procedimento na respectiva coluna. Quais dos números listados são números primos? 4 567, 5 387, 6 389.

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Retomando o que aprendeu O objetivo das atividades desta seção é propiciar aos alunos que retomem os conteúdos estudados nesta Unidade – divisibilidade, critérios de divisibilidade, divisores e múltiplos de um número natural, números primos e decomposição em fatores primos –, para conhecer e tirar suas dúvidas. Para isso, é importante que os alunos realizem essas atividades individualmente para poder identificar as dúvidas que possam ter. Pedir a eles que anotem essas dúvidas e aproveitar essas informações para orientá-los a fazer uma revisão sobre esses temas. Disponibilizar os cartazes-resumo para possíveis consultas. Em seguida, organizar a turma em grupos para que os alunos façam as correções das atividades. Incentivar a troca de informações entre eles. Circular pela classe para acompanhar a correção e, quando necessário, fazer intervenções. Ao final, organizar a classe para uma discussão coletiva acerca das respostas de cada um. É importante que haja interação entre os alunos. Permitir que troquem ideias livremente e atentar para as dificuldades que os alunos possam manifestar, ao uso da nomenclatura correta e fazer as intervenções necessárias. Resolução da questão 10

A quantidade de azulejos é maior que 150 e menor que 250. Se ao arrumar os azulejos em caixas contendo 17 azulejos sobraram 15, há uma quantidade de azulejos que é um número múltiplo de 17 mais 15 entre 150 e 250; se ao arrumar os azulejos em caixas contendo 11 azulejos sobraram 4, temos uma quantidade de azulejos que é um número múltiplo de 11 mais 4 entre 150 e 250. Os múltiplos de 17 mais 15 que estão entre 150 e 250 são: 168, 185, 202, 219 e

RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. (OBM) Qual dos números a seguir não é múltiplo de 15? Alternativa d. a) 135 c) 555 e) 915 b) 315 d) 785 2. (OBM) Qual é o maior número de fichas que podemos colocar em um tabuleiro 5 x 5, no máximo uma em cada casa, de modo que o número de fichas em cada linha e cada coluna seja múltiplo de 3? Alternativa d. a) 6 c) 12 e) 24 b) 9 d) 15 3. (OBM) Devido a um defeito de impressão, um livro de 600 páginas apresenta em branco todas as páginas cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas estão impressas? a) 100 c) 250 e) 430 Alternativa d. b) 150 d) 300 4. (PUC-MG) Das 96 maçãs que chegam semanalmente à banca de Dona Maria, algumas são do tipo verde e as outras do tipo fuji. As maçãs verdes vêm embaladas em sacos com 7 unidades e as do tipo fuji, em sacos com 9 unidades. A partir dessas informações, pode-se afirmar que o número de maçãs verdes recebidas por essa banca a cada semana é: Alternativa a. a) 42 b) 49 c) 56 d) 63 5. (OBM) Dos números a seguir, qual é o único que pode ser escrito como produto de quatro naturais consecutivos? Alternativa e. a) 712 c) 1 026 e) 1 680 b) 548 d) 1 456

Resoluções na p. 304

6. Uma vila tem 50 casas numeradas de 1 a 50. Em quantas casas dessa vila os números são múltiplos de 2 e de 3 ao mesmo tempo? Quais são os números? 8 casas; 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48. 7. (OBM) Preenchemos as casas vazias da tabela abaixo com o produto dos números que estão sombreados na mesma linha e na mesma coluna da casa vazia a ser preenchida. Quantas dessas casas conterão números primos? Alternativa c. d) 14 a) 6 e) 26 b) 7 c) 12 x

1 2 3 5 7 11 13

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

8. O número 12c5 é divisível por 3 e por 5. Qual é a soma dos possíveis algarismos que c pode assumir? 12 9. Seja o número natural N = 488a9b, em que b é o algarismo das unidades, e a, o algarismo das centenas. Sabe-se que N é divisível por 15, ou seja, é divisível por 5 e por 3 ao mesmo tempo. Qual é o maior valor da expressão a + b? d) 13 Alternativa d. a) 4 e) 16 b) 7 c) 10

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236. Os múltiplos de 11 mais 4 que estão entre 150 e 250 são: 158, 169, 180, 191, 202, 213, 224, 235 e 246. Logo, 202 é a quantidade de azulejos que seu Almeida possui.

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10. (UFRJ) Seu Almeida possuía uma quantidade de azulejos maior do que 150 e menor do que 250. Ele arrumou os azulejos em várias caixas, cada uma contendo 17 azulejos. Sobraram 15 azulejos. Ele, então, resolveu guardar tudo em caixas menores, cada uma contendo 11 azulejos. Dessa vez, sobraram 4 azulejos. Determine quantos azulejos seu Almeida possuía. 202 azulejos.

EDITORIA DE ARTE

11. (OBM) Na reta numerada abaixo, os pontos indicados com balõezinhos representam números inteiros maiores do que 93 e menores do que 112. Exatamente três dos números marcados são múltiplos de 4.

Qual é o maior dos números indicados? Alternativa e. a) 100 c) 104 b) 102 d) 106

e) 108

12. Em duplas, escolham quatro números entre 2 e 150. Troquem os números escolhidos com outra dupla e, para cada um dos números recebidos, façam o que se pede: • Classifiquem os números em compostos ou primos. • Indiquem os divisores de cada número. • Forneçam quatro múltiplos de cada número. • Façam a fatoração completa dos números (quando possível). Respostas pessoais.

UM NOVO OLHAR

Nesta Unidade, além de explorar noções de divisibilidade (ser divisível ou não), pudemos conhecer alguns de seus critérios (ser divisível por 2, 3, 4, 5, e assim por diante). Os múltiplos e os números primos também foram contemplados, e é importante relembrar alguns conceitos estudados, por exemplo, ser múltiplo de é o mesmo que ser divisível por, e um número primo só possui dois divisores naturais distintos, o número 1 e ele mesmo. Nas páginas de abertura, tivemos a oportunidade de explorar os múltiplos de 3 (já que cada grupo era formado por três alunos) e os números divisíveis por 3 (ao observar a quantidade total de lugares). Vamos retomar as aprendizagens da Unidade e refletir sobre elas: Respostas pessoais. • Ao observar um número, você conseguiria dizer se ele é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 100 e 1 000? • Percebeu alguma relação entre os múltiplos e a tabuada? Qual? • Conseguiu perceber alguma relação existente entre os múltiplos e os divisores? Qual? • Se tivesse de definir um número primo, que definição utilizaria?

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Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade. Antes de os alunos responderem às perguntas, expor os cartazes-resumo para que eles possam relembrar e consultar quando necessário. A primeira questão recapitula os conceitos de divisibilidade e permite a retomada desses conceitos. Na segunda pergunta, os alunos são levados a inferir sobre a relação existente entre os múltiplos e a tabuada; a intenção é fazê-los perceber e relembrar que a palavra múltiplo vem exatamente de multiplicação, portanto a tabuada representa múltiplos de determinado número natural. Na terceira questão, tem-se a importante relação existente entre os múltiplos e os divisores; é uma boa oportunidade para que os alunos reflitam sobre a operação inversa (um número natural a será múltiplo de um número natural b diferente de zero, quando a for divisível por b ou b for divisor de a). Aproveitar para salientar a importância do vocabulário matemático. A quarta questão retoma o conceito de número primo. Espera-se que o aluno seja capaz de reconhecer que os números primos possuem apenas dois divisores: o número 1 e ele mesmo.

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HABILIDADES

p. XVI e XVIII

Números • EF06MA07 • EF06MA08 • EF06MA09 • EF06MA10 Álgebra • EF06MA15 Probabilidade e estatística • EF06MA32

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Abertura de Unidade O objetivo aqui é relacionar dois conceitos da Matemática (polígonos e frações) com um conceito multidisciplinar (mosaicos). Para iniciar a exploração da abertura, estimular os alunos a observar atentamente a imagem sem a leitura prévia do texto que a acompanha e incentivá-los a expressar as percepções e hipóteses sobre os objetivos e cada etapa ilustrada. Em seguida, comparar o que foi levantado pelos alunos com as informações disponibilizadas no texto; assim, eles perceberão se as hipóteses levantadas inicialmente se confirmaram ou não. Nesse momento, é interessante fazer indagações, por exemplo: “Alguém já conhecia a técnica utilizada na construção de mosaicos? Alguém já viu um vitral ou uma mandala?”; “Vocês conhecem algum outro tipo de expressão artística? Qual?”. Se achar conveniente, orientá-los a realizar uma pesquisa sobre expressões artísticas que permitem fazer relações com a Matemática. Aproveitar esse momento para refletir sobre a relação entre a Arte e a Matemática, a sua importância no ensino-aprendizagem da Matemática e os benefícios para a aprendizagem dos alunos. A construção do conhecimento se faz nas relações ou conexões com diferentes realidades, e a Arte e a Matemática são uma delas. A presença de conceitos matemáticos pode ser notada em

A FORMA FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS RACIONAIS

1 Peça amarela: 1 parte de 8 partes ou ; peça vermelha: 8 1 1 1 parte de 16 partes ou ; peça verde: 1 parte de 32 partes ou . 16 32

Mosaico é uma expressão artística em que se criam diferentes imagens por meio da organização de peças recortadas e normalmente coloridas. Alguns desses mosaicos possuem uma decoração geométrica. Observe a seguir as etapas executadas por Janaína para construir um mosaico geométrico. Veja que inicialmente ela possuía apenas folhas retangulares coloridas e, após a divisão dessas folhas em partes e um bom planejamento, elaborou seu mosaico. • Será que podemos chamar cada uma dessas peças do mosaico de uma parte do mosaico todo? Sim. Não são partes necessariamente iguais, mas são partes.

Chamando cada folha colorida da Etapa 1 de um inteiro e sabendo que cada folha da Etapa 2 foi dividida em várias partes iguais entre si, mas diferentes de uma folha para outra, podemos relacionar cada pedaço de uma folha à folha toda utilizando uma fração. Logo, se considerarmos a folha azul, cada parte equivale a 1 parte de 16 partes ou simplesmente 1 . 16 • Dessa forma, como podemos representar cada parte das outras folhas? Agora é a sua vez. Siga o exemplo da artista e confeccione seu mosaico geométrico!

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D3-MAT-F2-2051-V6-U05-130-169-LA-G20.indd 130 obras de Arte desde a Antiguidade, simetria, como soluções de matriz, arcos, ocupação espacial, distribuição de cores e formatos utilizados em mosaicos. Para aprofundar o tema e enriquecer o planejamento, ver a seguir um link e uma indicação de leitura de um livro que apresenta, de forma práti-

ca, diferentes leituras sobre as obras mais marcantes de pintores como Salvador Dalí, Piet Mondrian, Pablo Picasso, entre outros, propondo atividades que integram a Arte e a Matemática em sala de aula. Em sua segunda edição, a obra traz um novo capítulo totalmente dedicado a obras de artistas

brasileiros, valorizando o estudo da Arte nacional na escola. Livro: FAINGUELERNT, Estela Kaufman; NUNES, Katia Regina Ashton. Fazendo arte com a Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2006. Link: Disponível em: <http:// livro.pro/ha28z2>. Acesso em: 7 jul. 2018.

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As perguntas apresentadas no texto propiciam aos alunos fazer reflexões sobre frações utilizando a concepção parte-todo (que será tratada no estudo de frações desta Unidade) e visam a retomada de conceitos contemplados anteriormente. É interessante tentar perceber se os alunos conseguem relacionar as partes ilustradas na etapa 2 com as frações que as representam e, para finalizar, desafiá-los a observar diferentes possibilidades de composição e decomposição das figuras utilizadas no mosaico geométrico. Por exemplo: 2 partes vermelhas equivalem a 1 parte amarela, 1 parte amarela equivale a 4 partes verdes, e assim por diante. Se achar conveniente, representar aritmeticamente essas indicações:

MANZI; ARTIS

HO/SHUTTER ST

OCK.COM

1 1 1 + = 16 16 8 Em grupo, poderão ainda tentar construir a composição fracionária do mosaico observando as peças utilizadas e as frações que as representam. Se possível, pedir a eles que construam o próprio mosaico; para isso, eles podem usar cartolinas para desenhar, depois recortar e colar as peças em outro pedaço de cartolina ou no caderno. Solicitar a eles que falem um pouco sobre os padrões que resolveram adotar para a construção do mosaico.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

A IDEIA DE FRAÇÃO

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As primeiras notícias do uso das frações vêm do antigo Egito. As terras que margeavam o rio Nilo eram divididas entre os grupos familiares em troca de pagamento de tributos ao Estado. Como o rio Nilo sofria inundações periódicas, as terras tinham de ser sempre medidas e remarcadas, já que o tributo era pago proporcionalmente à área a ser cultivada. Os números fracionários surgiram da necessidade de representar uma medida que não tem uma quantidade inteira de unidades, isto é, da necessidade de se repartir a unidade de medida. Os egípcios conheciam as frações de numerador 1, e esta era a forma que eles usavam para representá-las:

Essas medidas fracionárias não são números naturais, são exemplos de números chamados de números racionais. p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 305

Responda no caderno.

1. Em uma pizzaria, as pizzas são divididas em 8 pedaços iguais. Antônio e sua namorada pediram uma pizza, mas não conseguiram comê-la inteira. Observe a figura:

LUCAS FARAUJ

A ideia de fração Nesta Unidade, retoma-se a história da Matemática para destacar a origem das frações com base na necessidade que os povos antigos sentiam de resolver problemas práticos de medição. As frações já eram conhecidas pelos egípcios há mais de 3 500 anos, como comprova o Papiro de Rhind, adquirido pelo colecionador de antiguidades Henry Rhind, em 1858. Com o título Regras para inquirir a natureza, e para saber tudo que existe, cada mistério, cada segredo, o papiro foi redigido pelo escriba egípcio Ahmés. Não se sabe ao certo a finalidade, mas supõe-se que tenha sido elaborado por Ahmés para o uso de seus alunos, candidatos a escribas do faraó. Aqui, é possível orientar a complementação dos dados históricos solicitando pesquisas em livros ou sites na internet. A análise da história da Matemática fornece aos alunos a oportunidade de perceber que a Matemática surgiu das necessidades cotidianas dos povos antigos e que, mesmo hoje, e a todo instante, somos solicitados a pensar matematicamente. Além disso, como diz Luís Alberto Brasil em Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da Matemática, o estudo das frações é uma ótima oportunidade para consolidar os conhecimentos da divisão entre números inteiros, sobretudo pelo exercício simultâneo da operação abstrata e da repartição concreta. Pense e responda Resgatar com os alunos os conhecimentos que possuem acerca das frações, para assim aproximar ou relembrar conceitos estudados anteriormente. Se possível, levar figuras de círculos de cartolina para que os alunos possam vivenciar as questões propostas nesta seção. Eles podem dividir as representações dos círculos em

a) Quantos pedaços Antônio e a namorada comeram? 3 b) Quantos pedaços restaram? 5

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D3-MAT-F2-2051-V6-U05-130-169-LA-G20.indd 132 pedaços e recortá-los como se fossem pizzas e realizar diferentes explorações. Vale destacar que é interessante refletir com os alunos sobre o uso de alimentos para representar frações, pois muitas vezes uma fatia pode aparentemente possuir o mesmo tamanho que outras, mas a massa pode ser diferente.

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A ideia de fração como parte de um todo Vamos representar algumas frações utilizando papel e lápis de cor. • Recortamos uma tira de papel assim:

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Dobramos a tira inteira ao meio. Obtemos duas partes iguais. No caso, cada parte obtida representa a metade ou um meio da tira. A representação numérica é 1 (um meio). 2 1 2

1 2

• Recortamos outra tira de papel. Dividimos essa tira em três partes iguais. Cada parte da tira inteira representa a terça parte ou um terço da tira. A representação numérica é 1 (um terço). 3 1 3

1 3

• Recortamos outra tira de papel. Dobramos ao meio e, a seguir, novamente ao meio. Cada parte da tira inteira representa a quarta parte ou um quarto da tira. A representação numérica é 1 (um quarto). 4 Vamos colorir de azul três dessas quatro partes. Dessa forma, podemos dizer que três quartos da tira estão pintados de azul.

1 4

EDITORIA DE ARTE

A representação numérica é 3 (três quartos). 4

va dos alunos, mas é preciso estar atento ao modo como serão utilizados; é importante que a escolha do material esteja de acordo com o conteúdo que será abordado, assim cumprirá o seu papel de possibilitar conexões entre os conhecimentos e facilitar a compreensão do conceito que se deseja trabalhar. Nesse caso, acredita-se que o uso das réguas de Cuisenaire é uma boa alternativa para abordar o conceito de fração a fim de proporcionar aos alunos a manipulação do material e a compreensão do conceito abordado. É possível que alguns deles já tenham vivenciado alguma atividade com o uso desse material; se isso ocorrer, é interessante perguntar o que mais lhes chama a atenção nesse material e se têm alguma dúvida em relação ao seu uso. Outra alternativa é solicitar a quem já realizou atividades com esse material que ajude os colegas que nunca tiveram essa experiência. Caso queira aprofundar os conhecimentos e planejar atividades complementares que envolvam o uso desse material, seguem sugestões de alguns links. Disponível em: <http:// livro.pro/mdp22v>. Acesso em: 7 jul. 2018. Disponível em: <http://livro.pro/xmawiw>. Acesso em: 7 jul. 2018.

3 4

133

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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A ideia de fração como parte de um todo Ao longo da História da Educação, muitos estudiosos como Vygotsky e Freinet destacam a importância do apoio visual como um facilitador no processo de aprendizagem.

Por esse motivo, faz-se aqui uma sugestão de trabalho para facilitar a compreensão mais significativa dos conceitos que envolvem a ideia de fração como parte de um todo. Uma estratégia de ensino que pode ser utilizada, nesse caso, é o uso das réguas de Cuisenaire. No caso das

PM frações, o trabalho9/26/18 com5:39esse material possibilita a investigação experimental levando os alunos à construção dos conceitos matemáticos necessários para a compreensão do conteúdo. Os materiais concretos podem contribuir muito para a aprendizagem significati-

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AMPLIANDO Você se lembra de que, na pizzaria onde Antônio e a namorada fizeram pedido, as pizzas são divididas em 8 pedaços iguais? Numericamente, cada pedaço pode ser representado por 1 (um oitavo). Antônio e a namorada 8 comeram 3 pedaços, ou seja, 3 (três oitavos) da pizza, e 8 5 restaram 5 pedaços, ou seja, (cinco oitavos) da pizza. 8 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 3 e 5 8 2 3 4 4 5 5 8 8 são exemplos de frações e indicam partes de figuras ou de quantidades.

1 folha 1 folha 2 2

1 folha inteira

1 1 + =1 2 2

Observe:

Solicitar aos alunos que dobrem a folha ao meio novamente e, depois, que a dobrem pela terceira vez:

Este relógio marca meio-dia.

Este relógio marca meio-dia e quinze.

Este relógio marca meio-dia e meia.

1 4 1 4

PHOTODISC

1 4 1 4

LUCAS FARAUJ

Atividade complementar Organizar os alunos de modo que possam desenvolver uma atividade com uma folha de papel sulfite. O objetivo aqui é levá-los a identificar e representar as situações em que surgem as frações. Pedir-lhes que dobrem a folha ao meio:

1 1 1 1 + + + =1 4 4 4 4 1 8 1 8

1 8 1 8

12 horas.

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 8 8 8 8 8

da folha?

1 da folha são 8 necessários para completar

1 de hora. 4

12 horas e

1 de hora. 2

O numerador e o denominador são os termos de uma fração. numerador 2 denominador 3 O denominador 3 indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida. O numerador 2 indica quantas dessas partes foram consideradas. Veja como são lidas (ou escritas por extenso) algumas frações:

+ 1 + 1 + 1 =1 8 8 8 Recomenda-se que o esquema, com cada dobra, seja reproduzido na lousa para que todos acompanhem. É interessante utilizar esse material em atividades iniciais com frações. Os alunos terão oportunidade de concretizar os resultados de questões como: 1 1 • Quanto é 2 + 2 ? 2 1 • O que é maior: 4 ou 2

12 horas e

1 2

um meio

1 6

um sexto

1 10

um décimo

2 3

dois terços

4 7

quatro sétimos

10 11

dez onze avos

1 4

um quarto

3 8

três oitavos

2 15

dois quinze avos

3 5

três quintos

1 9

um nono

1 100

um centésimo

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• Quantos

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uma folha inteira? 4 • Quanto sobra tirando 8 de uma folha inteira?

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D3-MAT-

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Para o item b, providenciar folhas de papel sulfite para os alunos realizarem as dobraduras que representem a divisão do item a. No item c, caso os alunos tenham pensado na 3a possibilidade, é necessário que registrem que cada neto recebeu 1 + 1 , ou seja, 2 . 8 8 8 Refletir com os alunos sobre as representações das divisões. Reproduzir as respostas do item a na lousa e anotar com os alunos a representação de cada parte com uma fração:

A ideia de fração como resultado da divisão de dois números naturais p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 305

Responda no caderno.

WANDSON ROCHA

1. Miguel tem uma barra de chocolate e quer dividi-la de forma igual entre seus quatro netos.

1 da barra de chocolate. 4 a) Como você acha que Miguel deve proceder para dividir sua barra de chocolate entre seus quatro netos? Resposta pessoal. b) Utilizando uma folha de papel para representar a barra de chocolate, aplique a ideia que você sugeriu no item anterior. Resposta pessoal. c) Quanto de chocolate cada neto de Miguel recebeu após a divisão?

neto 1

neto 2

neto 3

neto 4

Ou seja, usamos a fração como quociente de dois números naturais.

1 Frações, como , podem ser associadas à ideia de resultado de divisão de dois 4 números naturais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Pense e responda Nesta seção o objetivo é levar os alunos a identificar e representar situações em que se utilizam as frações. Para o item a, pedir aos alunos que registrem, no caderno, suas respostas em for-

ma de desenho. Espera-se que eles respondam pelo menos a uma das formas abaixo: 1a possibilidade:

2a possibilidade:

3a possibilidade: 9/29/18

1 4

1 8

Fazer perguntas aos alunos como: • Quem recebeu dois pedaços de 1 recebeu menos, mais ou 8 a mesma coisa que 1 ? 4 1 1 • Quanto é + 8 ? 8 • Quanto do chocolate representa 1 + 1 ? 4 4

LUCAS FARAUJ

Vamos observar uma opção de como Miguel pode dividir o chocolate entre os netos. Note que a ideia aqui é dividir uma barra de chocolate (um inteiro) entre quatro pessoas. Nesse caso, cada neto receberá uma de quatro partes em que a barra de chocolate será dividida, ou seja, 1 da barra de chocolate. Assim, podemos 4 escrever: 1:4= 1 4

1 4

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Em que cada neto recebe dois pedaços. É importante deixar claro que a divisão do chocolate entre os netos deve ser de forma igual.

A ideia de fração como resultado da divisão de dois números naturais Aqui os alunos terão a oportunidade de relacionar a representação da fração com a ideia de divisão. Primeiro, solicitar aos alunos que realizem essa atividade individualmente. Depois, incentivar a socialização das respostas e das ideias elaboradas por eles. É importante que os alunos associem a representação fracionária 1 com a ideia 4 de divisão (1 dividido por 4), onde temos um inteiro dividido em 4 partes iguais.

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ATIVIDADES

Resoluções na p. 305

Responda às questões no caderno.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1. Observe as figuras e indique as que estão divididas em partes de mesmo tamanho. Alternativas a, b, d, e, f, h e i. a) f)

4. Cada figura representa um segmento de reta. Escreva as frações que correspondem aos trechos assinalados em azul e aos trechos assinalados em vermelho em cada segmento: 7; 1. a) 8 8 3; 7. b) 10 10 7; 5. c) 12 12 1; 5. d) 6 6 5. Que fração do ano 7 meses representam? 7 12 6. Veja quantos ovos Helena tem para fazer um doce.

Ovos.

Se ela usar 5 desses ovos, que fração da quantidade de ovos Helena vai usar? 5 12 7. Ontem foi dia 17 em um mês de 30 dias. Que fração desse mês já se passou? 17 30 8. Para encher uma xícara, são necessárias 8 colheres de farinha. Cada colher de farinha representa que fração da quantidade de farinha que se pode colocar na xícara? 1 8 9. As figuras mostram o marcador de combustível de um carro.

2. Os triângulos destacados na cor azul representam que fração de cada figura? a)

1 4

1 10

3. Uma semana tem 7 dias. Que fração da semana é representada por: a) 3 dias? 3 b) 6 dias? 6 7 7

ALEX ARGOZINO

Atividades Nestas atividades, reforçar a ideia de fração como parte de um todo. Quando se trabalha com sua representação geométrica, há necessidade de fazer a divisão do todo em partes iguais. Sugerir aos alunos que citem elementos que podem ser representados por meio de uma fração. Ao trabalhar com a atividade 1, orientá-los a perceber que algumas figuras estão divididas em partes de mesmo tamanho, e outras não. Conversar com eles sobre o conceito de divisão, sobre a ideia de repartir em partes iguais. A manipulação de materiais concretos auxiliará os alunos a ampliar o conceito, dando oportunidade de elaboração de novas hipóteses e confronto de seus conhecimentos sobre o assunto. Para essas atividades, organizar a classe em duplas para facilitar a troca de ideias e conhecimento. Caminhar pela classe acompanhando a resolução das atividades e anotar as dúvidas que surgirem. Nas atividades 3, 5, 7, e 8, se houver necessidade, orientar os alunos a fazer a representação de cada situação com um desenho, facilitando o entendimento. Depois, pedir a alguns alunos que contem como pensaram ao responder às questões e, em caso de dúvidas, fazer as intervenções necessárias. Por fim, pedir a cada dupla que formule uma questão, para outra dupla responder, utilizando a ideia de fração.

HEMERA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se a figura 1 mostra o tanque cheio, escreva qual das outras figuras representa: 1 3 c) a) tanque? 3 de tanque? 4 2 4 1 de tanque? 2 b) 4

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CAPÍTULO

PROBLEMAS ENVOLVENDO FRAÇÕES Acompanhe as seguintes situações:

1 Mariana comprou 20 garrafas de suco para sua festa de aniversário. Foram consumidos 4 dessa quantidade. Quantas garrafas foram consumidas? 5 Esquema: 5 5

5 correspondem a 20 5 20

1 5

1 corresponde a 20 : 5 = 4 5

4 20 : 5

4 5

4 correspondem a 4 x 4 = 16 5

Foram consumidas 16 garrafas.

2 Mariana está fazendo sanduíches para a festa. Ela já montou 16 sanduíches, 1 que correspondem a do número de sanduíches que ela pretende fazer. 4 Quantos sanduíches Mariana vai montar para a festa? Esquema: 1 corresponde a 16 4

EDITORIA DE ARTE

16 1 4 16

4 4 16

4 correspondem a 4 x 16 = 64 4

blemas. Incentivá-los a fazer desenhos que representem os dados do problema, o que pode facilitar sua compreensão. Por fim, pedir que verifiquem se a resposta está coerente com os dados do problema. É interessante propor aos alunos que, em grupo, resolvam as situações apresentadas nesta página sem ver as respostas dadas. Orientá-los a seguir as etapas descritas acima e incentivá-los a utilizar estratégias próprias. Depois, é interessante que eles socializem as resoluções validando as estratégias que usaram. Para isso, convidar alguns alunos para mostrar como pensaram, incentivá-los a expressar suas ideias oralmente e, quando necessário, disponibilizar a lousa. Em seguida, propor outras situações-problema para que os alunos resolvam e mostrem as etapas que utilizaram para resolvê-las. A seguir é apresentado um exemplo. • Uma das ruas da cidade de Laura tem 5 km de extensão. Essa semana foram asfaltados 3 dessa rua. Quantos metros 4 ainda faltam para que toda a rua esteja asfaltada?

Mariana vai montar 64 sanduíches para a festa.

3 Dos amigos que Mariana convidou para a festa, 20 estudam na mesma classe que ela, o que corresponde a 5 do número de convidados. Quantas pessoas 6 Mariana convidou para a festa? 5 correspondem a 20. 6 1 corresponde a 20 : 5 = 4. 6

6 correspondem a 6 x 4 = 24. 6 Mariana convidou 24 pessoas. 137

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Problemas envolvendo frações Aqui os alunos terão a oportunidade de explorar problemas que envolvem frações. Deve-se considerar que muitas vezes o aluno “erra” o processo de resolução por não ter

compreendido o enunciado. Para evitar que isso ocorra, podemos utilizar algumas estratégias que podem auxiliar nessa compreensão. É importante orientar os alunos a fazer a leitura de cada problema com muita atenção. Sugerir a eles que grifem cada dado do problema de uma cor. Reco-

9/27/18 4:47 PM mendar a eles que destaquem a pergunta circulando-a, por exemplo, para identificar o que deve ser respondido. Pedir que façam uma estimativa do resultado antes de elaborar a resposta completa. Em seguida, dar especial atenção aos esquemas utilizados para resolver os pro-

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ATIVIDADES

Resoluções na p. 305

Responda às questões no caderno. 1. Em um grupo de 224 pessoas, verifi1 cou-se que dessas pessoas nasceu na 8 região Nordeste do Brasil.

6. No ano passado, uma cidade registrou 18 desses 1 450 acidentes de trânsito. Em 25 acidentes não havia vítimas. Quantos foram os acidentes com vítimas? 406 acidentes. 7. Observe a figura.

Quantas pessoas desse grupo nasceram na região Nordeste? 28 pessoas. 2. Mariana adora água de coco e resolveu encomendar certo número de cocos para seu aniversário. Foram consumi1 dos 18 cocos, o que correspondia a 4 da quantidade encomendada. Quantos cocos foram encomendados? 72 cocos. 3. O orçamento da prefeitura de uma cidade prevê a verba mensal de 4 500 000 reais para a Educação. Desse 4 montante, são direcionados para o 5 Ensino Fundamental. Qual é a verba destinada ao Ensino Fundamental? 3 600 000 reais. 4. Uma fábrica produz N brinquedos para certa loja. Na entrega, 75 brinquedos apresentavam algum defeito, 1 correspondendo a dos brinquedos 6 produzidos. Qual é o valor de N? 450 5. Em uma escola de inglês há uma classe em que 9 alunos têm menos de 3 20 anos, o que corresponde a do 8 número de alunos da sala. Quantos alunos há nessa sala? 24 alunos.

MODELO

EDITORIA DE ARTE

Atividades Com as atividades propostas, os alunos poderão aprender como utilizar as frações para resolver problemas que envolvem o uso delas. Independentemente da estratégia utilizada por eles, o importante é que compreendam o conceito que está sendo apresentado. Ao longo das atividades, incentivar os alunos a utilizar desenhos como representação das situações e a relacioná-los com a representação fracionária. Utilizar diferentes representações é de extrema importância e favorece a construção do conhecimento matemático. Na atividade 5, por exemplo, eles poderão perceber que o inteiro que será repartido em 8 partes iguais corresponde ao número de alunos da sala. É interessante pedir que desenhem o inteiro representando o total de alunos. Desse inteiro, 9 alunos têm menos de 20 anos e o restante tem 20 anos ou mais. Fazer perguntas como: “Esses 9 alunos correspondem a quantas partes do inteiro?” (Resposta: 3 partes). Assim, os alunos podem perceber que, se três oitavos correspondem a 9, um oitavo corresponde a 3, pois 9 : 3 = 3; assim, oito oitavos corresponderão a 24, pois 8 x 3 = 24.

WANDSON ROCHA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quantos representam: 1 5 da figura? 9 da figura? 15 a) c) 2 6 2 4 b) d) da figura? 12 da figura? 8 3 9 8. No Brasil, o início da primavera acontece em 23 de setembro. Esse mês 9 tem 30 dias. Já se passaram desse 10 número de dias. Quantos dias faltam para setembro terminar? 3 dias.

9. Na concessionária de energia elétrica de uma cidade, é esperado que cada funcionário faça 30 leituras de consumo por dia no relógio de medição das residências, dos prédios ou locais comerciais. Em 5 dias trabalhados, a 9 funcionária Laura executou do total 10 de leituras esperadas, enquanto outro 5 funcionário, Fernando, executou . 6 a) Quantas leituras cada um deles executou nesse período? Laura: 135 leituras; Fernando: 125 leituras. b) Qual deles executou mais leituras nesse período? Quantas leituras a mais? Laura; 10 leituras. 10. Ao entrar em um shopping, Antônio tinha 300 reais. Fez compras em 3 lojas. Em cada uma delas gastou 2 reais a mais que a quarta parte da quantia que tinha ao entrar na 1a loja. Ao sair da 3a loja, quantos reais ainda restavam para Antônio? 69 reais.

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Pense e responda Providenciar círculos de cartolina, todos idênticos, para que os alunos vivenciem as atividades propostas, dividindo esses círculos em partes iguais, retirando as partes que já foram comidas da torta (questão 1) ou comparando as partes dos discos repartidos em diversas partes iguais (questão 2).

COMPARANDO FRAÇÕES p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 306

Responda às questões no caderno. 1. Todas as pizzas são de mesmo tamanho e foram repartidas em a) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . b) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . 5 partes iguais. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 LUCAS FARAUJ

AMPLIANDO Atividade complementar Utilizar as peças de um tangram para descobrir a fração correspondente de cada parte do jogo. É possível até mesmo explorar um dominó contendo partes do jogo. Veja a seguir um exemplo.

a) Represente com frações as partes que ainda restam em cada pizza. b) Observando as pizzas, ordene as frações da menor para a maior.

2. Em cada figura a seguir a metade do disco está pintada.

1 4

1 2

2 4

3 6

4 8

1 4

5 10

3 1 3

6 1

1 1

1 8

1 8 1

1 8

1 2

5 16

3 16

7 8

5 16

1 2 3 16

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

C 1

1 8

Observe os 5 discos de mesmo tamanho. Eles estão divididos em partes iguais. B

1 8

1 16

Usando ., , ou =, compare as frações indicadas. 1 = 2 = 3 = 4 = 5 2 4 6 8 10

1 16

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS São necessárias duas partes do disco C para cobrir exatamente uma parte do disco A.

Descubra mais Sugerir aos alunos que leiam, em casa, a história apresentada no livro. É interessante reservar uma parte da aula para discutir o que leram. Nesse dia, dividir a turma em grupos e pedir que discutam sobre o que mais chamou a atenção deles nessa leitura e do que mais gostaram. Depois, pedir que elaborem uma resposta do grupo. Ao final, cada grupo apresenta suas anotações e a resolução.

1 1 1 + = 4 4 2

Uma parte do disco D não é suficiente para cobrir uma parte do disco B. 1 ! 1 3 6 • Quanto maior é a parte, menor é o denominador da fração unitária que a representa. Por exemplo: 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 2 3 4 6 8 Uma parte do disco C cobre uma parte do disco E e ainda sobra.

AMPLIANDO

1 " 1 8 4

Atividade complementar Podem ser realizados diversos jogos para ampliar o trabalho com frações. Por exemplo, o jogo de cartas contendo diferentes frações que pode ser desenvolvido em grupos ou duplas. A ideia é que as duplas ou grupos recebam cartas com diferentes representações fracionárias; cada aluno escolhe uma carta e mostra ao colega. Quem tiver a carta que representa a maior quantidade ganha um ponto. Se achar necessário, deixar um quadro, como o apresentado a seguir, para que os alunos possam consultar o “valor” de suas cartas. 1 2

1 2

1 3

1 4

1 3

1 4

1 5

1 4

1 5

1 6

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

1 10

1 8

1 9 1 10

1 6

1 7

1 7 1 8

1 9 1 10

1 10

1 7 1 8

1 9 1 10

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1 5

1 10

2 5

3 5

4 5

5 5

DESCUBRA MAIS

Uma aventura na mata (coleção Matemática em mil e uma histórias), de Martins Rodrigues Teixeira. Editora FTD, 1997. Diante da TV, Teco e Neco acompanham uma votação na Floresta Amazônica. Sentem a necessidade de preservar a natureza e demonstram interesse pela resolução de problemas. O volume traz ainda um encarte com problema sobre a teoria matemática tratada no livro.

1 6 1 7

1 8 1 9

• Comparando duas frações de mesmo denominador, a menor é aquela que apresenta o menor numerador. Por exemplo:

1 5

1 6

1 7

1 " 1 " 1 " 1 " 1 8 6 4 3 2

1 4 1 5

1 6

• Quanto menor é a parte, maior é o denominador da fração unitária que a representa. Por exemplo:

EDITORIA DE ARTE

1 inteiro

2 1 = 4 2

140

1 8

1 9

1 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

Por exemplo: um aluno vira 1 e o colega vira a a carta 2 2 carta . Nesse caso, o aluno 5

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que virou a carta com a fração 1 ganha um ponto. Podem 2 ocorrer casos em que haverá um empate, isto é, quando ambas as cartas representarem a mesma quantidade, ou seja, quando as frações forem equivalentes. Essa ideia será desenvolvida a seguir, mas

nada impede que os alunos tenham contato com esse tipo de fração. Nesse momento é interessante apenas comentar que as frações representam a mesma quantidade, mas sem nenhuma formalização.

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções na p. 306

Responda às questões no caderno.

Em um inteiro há quantas metades? E terços? E quartos?

Para os exercícios a seguir, considere usar os discos A, B, C, D e E dados na página 139.

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

1. Tio Antônio adora provocar seus sobrinhos com charadas. Certa vez ele deu uma barra de chocolate a cada sobrinho e perguntou:

E seus sobrinhos não ficaram atrás... Eu comi oito oitavos da barra!

Comi a metade da metade da barra de chocolate. E eu comi a metade da metade da metade da barra.

Comi uma barra de chocolate inteira!

Ivo.

Carlos.

Sara.

Lara.

a) Responda às perguntas de tio Antônio. 2, 3 e 4. b) Quem comeu mais: Ivo ou Carlos? Os dois comeram a mesma quantidade. 1 1 c) Escreva as frações que representam a quantidade que Sara e Lara comeram. Sara: ; Lara: . 4 8 d) Aproveite e responda: • Uma metade é igual a quantos sextos? E a quantos décimos? 3 e 5. • Uma terça parte é igual a quantos sextos? E a quantos nonos? 2 e 3.

2. Você pode afirmar que

2 4 e de uma 3 6 mesma figura representam a mesma região dessa figura? Sim.

3. Em uma empresa,

1 dos funcionários 3 usa o metrô para chegar ao trabalho, 1 enquanto dos funcionários usa 5 ônibus. Qual o tipo de transporte usado pelo maior número de funcionários? O metrô.

4. Verifique se as comparações são verdadeiras ou falsas. 2 3 1 1 " ! V a) e) F 3 3 3 6 b)

1 2 " V 3 6

1 2 " 5 10

1 3 # V 3 6

2 3 " F 3 6

2 1 # F 3 3

2 2 ! V 3 6

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Atividades Com estes exercícios os alunos vão comparar frações por meio da análise de seus numeradores e denominadores e desenvolver a ideia de frações equivalentes, que será vista a seguir. Destacar que, para comparar as frações, é necessário verificar se ambas se referem ao mesmo todo. Na atividade 2, orientá-los a desenhar duas figuras idênticas, dividindo-as de forma que possam representar as frações. Por exemplo: um círculo dividido em três partes iguais, das quais duas são evidenciadas com cor; o mesmo círculo dividido em seis partes iguais, das quais quatro são destacadas com cor. Os alunos poderão citar oralmente como chegaram à 2 conclusão de que equiva3 4 lem a . É importante que 6 eles elaborem hipóteses para resolver o problema e que as confrontem com as de seus colegas; assim conseguirão trocar experiências. Para a atividade 4, por exemplo, sugere-se que os alunos construam setores circulares ou discos de frações de diferentes cores, façam as divisões de acordo com as alternativas e comparem as frações. Não é necessário que esse procedimento seja realizado em todos os itens, mas é interessante que eles vivenciem a construção e a comparação manuseando um material concreto. Outra estratégia para dar continuidade ao estudo com comparação e ordenação de frações é solicitar que os alunos elaborem situações e toquem as questões entre si. Assim, estarão desenvolvendo tanto a elaboração quanto a resolução de situações. Isso permitirá que eles desenvolvam as habilidades necessárias para a formulação de hipóteses e de aplicação do conteúdo abordado até então. Se possível, promover um momento para discussão das estratégias que utilizaram nos processos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

OBTENDO FRAÇÕES EQUIVALENTES

Nos dois casos que apresentamos a seguir, as frações estão representadas geometricamente, considerando o mesmo inteiro. Observe:

1o caso

2o caso

3 6

3 4

A parte amarela representa 3 4

3 da figura. 4

3 A parte azul representa da figura. 3 6 6

6 3 8 4

2 3 4 6

6 8

2 4

A parte amarela representa 9 6 12 8

6 da figura. 8

2 A parte azul representa da figura. 1 2 4 2 4

9 12

1 2

9 12

1 2

A parte amarela representa

9 da figura. 12

A parte azul representa

1 da figura. 2

Você notou que as frações 3 , 6 e 4 8 9 representam a mesma parte da figura? 12 Dizemos que essas são frações equivalen-

Você notou que as frações 3 , 2 e 6 4 1 representam a mesma parte da figura? 2 Dizemos que essas são frações equivalen-

tes e escrevemos: 3 ! 6 ! 9 . 4 8 12

tes e escrevemos: 3 ! 2 ! 1 . 6 4 2

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Obtendo frações equivalentes O objetivo aqui é conceituar frações equivalentes. Para isso, sugere-se iniciar por uma atividade em que os alunos possam manipular algum material para comparar frações. Existem muitas possibilidades e entre elas pode-se utilizar as dobraduras (conforme sugerido anteriormente). Providenciar papel sulfite para todos os alunos e pedir a eles que dobrem a folha, de modo a dividi-la em duas partes iguais. Em seguida, pedir que dobrem ao meio mais uma vez e outra vez ainda. Depois perguntar: Em quantas partes ficou dividida a folha de papel? Essas partes são iguais? Que fração da folha de papel cada uma delas representa? Organizar a classe em grupos e pedir que, usando as diversas folhas dobradas, pintem em diferentes folhas as 1 1 2 seguintes frações: , , , 2 4 8 2 4 6 3 2 4 8 , , , , , e . 4 8 8 4 2 4 8 Por fim, pedir que mostrem quais frações têm o mesmo valor e identifiquem quais delas são chamadas de frações equivalentes. É oportuno relacionar a Geometria com o conceito de frações equivalentes. Estimular os alunos a perceber que as frações são equivalentes porque as suas áreas correspondentes são equivalentes. Pedir que registrem, no caderno, a representação geométrica das frações equivalen1 2 4 2 1 tes: = = , = , 2 4 8 8 4 6 3 2 4 8 = ,e = = . 8 4 2 4 8 Para complementar e reforçar a ideia de frações equivalentes, solicitar aos alunos que leiam os dois casos dados nesta página e anotem em um cartaz-resumo o conceito de frações equivalentes com uma representação geométrica e a sua a representação na forma . b

Duas ou mais frações que representam a mesma porção da unidade são chamadas frações equivalentes.

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Uma propriedade importante

2 4

1 2

Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, obtemos sempre uma fração equivalente à fração dada.

Simplificação de frações: frações irredutíveis

5 4

AR TE RIA

10 14

ITO

1 4

15 50 2 18

14 16

3 50 10 18

2 5

13 26

4 6 5

8 14 3 15

! 24

9 12

Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador da fração dada por um mesmo número maior que 1.

48 72

5 8

O molde do quebra-cabeça está disponível no link a seguir: <http://livro.pro/3rf63o>. Acesso em: 9 jul. 2018. Se achar conveniente, pedir aos alunos que comentem o que mais gostaram ao desenvolver a atividade proposta e as principais dúvidas e os questionamentos que surgiram no processo de simplificação das frações.

Dividimos sucessivamente o numerador e o denominador da fração por um divisor comum, até obtermos a fração com os menores termos possíveis. Essa fração é chamada forma simplificada ou forma irredutível da fração dada. 2 48 Assim, a fração é a forma irredutível da fração . 3 72

Outro caminho que podemos seguir para simplificar frações é efetuar uma única divisão pelo maior divisor comum dos termos da fração, no caso, pelo número 24:

9 15

7 8

10 16

48 2 " . 72 3

4 14

1 10

9 9

Daí,

2 3

5 9

6 9

8 10

12 18

1 3

1 2

24 36

6 15

4 7

48 72

6 16

Simplificar uma fração significa obter uma fração equivalente à fração dada, escrita com termos menores. Por exemplo:

1 2

5 15

1 5

3 6

9 12

3 10

3 4

6 8

1 , temos: 2

3 4

Para chegar a

3 , temos: 4

Partindo de

3 2 1 , e também são 6 4 2 exemplos de frações equivalentes. As frações

9 3 6 são exem, e 4 8 12 plos de frações equivalentes. Vimos que

Atividade complementar Segue uma sugestão de um quebra-cabeça cujo objetivo é explorar os conhecimentos sobre simplificação de frações usando cálculo mental e raciocínio lógico. Organizar a turma em grupos. Cada grupo deve receber uma folha com o quebra-cabeça abaixo para recortar. Em seguida, orientar para que façam a justaposição do lado das peças que representam a mesma fração. Após formar um losango com 18 peças, pedir que colem em uma cartolina e registrem os cálculos que foram efetuados mentalmente, mostrando os pares de frações equivalentes.

20 24

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AMPLIANDO

2 3

! 24

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Uma propriedade importante Nos casos apresentados o objetivo é mostrar a aplicação da equivalência de frações para escrever duas ou mais frações com o mesmo denominador e conhecer e aplicar a

propriedade fundamental das frações equivalentes. Organizar os alunos em duplas para resolver os exercícios e confrontar suas hipóteses. Essa dinâmica contribuirá para desenvolver a argumentação, instrumento valioso na comunicação oral e na escrita.

9/27/18 4:51 PM

Existem diferentes sites e softwares gratuitos que realizam diversas explorações com frações equivalentes. Se possível, possibilitar algumas dessas explorações. No link <http:// livro.pro/sumn62>. Acesso em: 21 ago. 2018, é possível encontrar atividades com frações equivalentes.

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ATIVIDADES

Resoluções na p. 306

Responda às questões no caderno.

1. Verifique se as frações são equivalentes: 2 16 6 8 d) e e Sim. a) Sim. 7 21 10 5 5 15 Não. e) 8 e 2 Sim. e b) 4 1 9 18 15 5 3 21 Não. e e Sim. c) f) 12 2 10 70

1 2 5 4

2. Escreva uma fração equivalente a: 15 5 a) que tenha denominador 27. 27 9 44 11 b) que tenha numerador 44. 12 3 25 5 que tenha denominador 40. 40 c) 8 3. Escreva uma fração de denominador 20 que seja equivalente a cada uma 3 12 10 das frações a seguir. = ; 5 20 = ; 20 9 1 3 5 9 18 25 10 10 = 20 . 2 5 4 = ; 20 4. Entre as frações a seguir, identifique as que estão na sua forma irredutível.

3 5 1 3 ; ; . 7 6 3 7

4 12

2 10

5 6

10 8

1 3

7. Obtenha a forma irredutível das frações: 105 5 a) b) 63 3 63 3 105 5 8. Sabendo que a hora tem 60 minutos, represente com frações e simplifique: a) 5 minutos em re- d) 10 minutos em relalação a uma hora. ção a uma hora. 10 5 da hora; da hora; 60 60 1 h. 1 h. 6 12 b) 15 minutos em re- e) 45 minutos em relalação a uma hora. ção a uma hora. 45 15 da hora; da hora; 60 60 3 h. 1 h. 4 4 c) 30 minutos em re- f) 60 minutos em relalação a uma hora. ção a uma hora. 60 30 da hora; da hora; 60 60 1 h. 1 h. 2

9. As frações

5. Observando a figura abaixo, responda:

5 a são equivalentes. e 9 36 Qual deve ser o número colocado no lugar da letra a? 20

10. Considere as frações 5 e 7 . 6 8 a) Qual dessas duas frações é maior? 7 8 b) Escreva a fração de denominador 24 equivalente a cada uma delas. 20 e 21 . 24 24 11. Usando a equivalência de frações, escreva qual número deve ser colocado a) A parte azul representa que fração da 20 no lugar de x em cada caso. figura? 25 4 7 14 x = 18 x 21 x = 3 b) Qual é a forma irredutível dessa fração? 5 ! ! a) d) 9 x 7 49 6. Em um jogo, você acertou 15 de 20 3 9 30 5 x = 48 x = 33 ! = e) b) tentativas. Escreva, na forma irredutí11 x 8 x vel, a fração que representa as jogadas 1 x x=4 3 9 x=5 ! ! c) f) que você acertou. 3 8 32 x 15 4 EDITORIA DE ARTE

Atividades Nestas atividades, os alunos terão a oportunidade de aplicar seus conhecimentos sobre simplificação de frações. Organizar a turma em duplas para resolverem as atividades. É importante incentivar a troca de ideias e de estratégias. Acompanhar a realização das atividades caminhando pela classe e anotando as principais dúvidas dos alunos. Na atividade 4, orientar os alunos a observar, nas frações, se o numerador e o denominador podem ou não ser sim4 plificados. Exemplo: em 12 o numerador 4 e o denominador 12 podem ser divididos por um número maior que 1? Veja: 4 : 2 = 2 e 12 : 2 = 6 2:2=1e6:2=3 ou simplificando diretamente: 4 : 4 = 1 e 12 : 4 = 3 4 Portanto, a fração 12 não está na sua forma irredutível, pois ainda é possível simplifi1 cá-la resultando . 3 Depois que todos resolverem as questões propostas, retomar com a turma as dúvidas e, se necessário, utilizar outros exemplos para ajudá-los a compreender o conteúdo abordado. É interessante pedir aos alunos que mostrem como fizeram para resolver determinadas questões, ou, se eles não se importarem, que falem até onde conseguiram resolver e quais foram os principais entraves/dúvidas. Assim, eles vão revisitar os procedimentos adotados, isso pode ajudar a esclarecer suas dúvidas e as dos colegas. Por fim, pedir que elaborem uma questão sobre simplificação de frações para os colegas resolverem. É importante que a questão elaborada tenha uma resolução, mas, se um colega conseguir resolvê-la de outra maneira, e o resultado também estiver correto, não

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tem problema algum. Aproveitar esse momento para explicar à turma que isso é comum, o mesmo resultado pode ser encontrado, mesmo quando se utilizam diferentes procedimentos, e que é importante que eles tenham consciência de que cada um deve resolver as situações propostas da

maneira que se sentirem mais confortáveis.

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14. Numa pesquisa sobre o grau de escolaridade dos funcionários de uma empresa, obtiveram-se os resultados expressos no gráfico a seguir:

Grau de escolaridade dos funcionários Quantidade de funcionários 50 40

Su pe rio r

Mé dio S inc upe om rio ple r to

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Grau de escolaridade

Fu nd inc amen om ta ple l to Fu nd am en tal inc Mé om dio ple to

12. Uma escola tem dois períodos de aulas. Pela manhã são 10 turmas com 30 alunos em cada turma e, à tarde, são 6 turmas com 40 alunos em cada uma. O número de alunos do período da tarde representa que fração do número de alunos da escola? 240 ou 4 . 540 9 13. A figura abaixo representa uma parede quadrada na qual estão pintados círculos amarelos. A parede tem 64 metros quadrados de área, e cada círculo tem 4 metros quadrados de área. A área ocupada pela parte colorida de amarelo expressa que fração da área da parede? Dê a resposta de forma simplificada. 1 4

Fonte: Dados fictícios.

Que fração do total de entrevistados representa o total de pessoas que terminaram pelo menos o Ensino Fundamental? 15 16 15. (Saresp-SP) Em uma turma há 10 meninos e 15 meninas. A fração que pode representar a relação entre o número de meninos e o total de estudantes dessa turma é: Alternativa c. 10 10 c) a) 25 15 25 15 d) b) 10 10

tras frações equivalentes. Para isso, basta utilizar a propriedade fundamental para obter uma fração equivalente. Por ? 2 exemplo, = multiplica12 3 -se o numerador por 4 porque 8 2x4 12 : 4 = 3, então, = . 3 x 4 12 Pode-se usar o mesmo procedimento para determinar as outras frações equivalentes.

DESAFIO

16. Substitua ? por números naturais, de modo que as frações sejam equivalentes. Substitua * pela fração irredutível equivalente às demais.

? 36 54

12 ? 18 ? 40 60

24 ? 36

36 ? 54

* ? 16 24

2 3

Desafio Deixar que os alunos troquem ideias, verifiquem as estratégias que eles utilizam e, se necessário, fazer pequenas interferências para ajudá-los. Depois, incentivá-los a checar as hipóteses e respostas que encontraram. Socializar os diferentes procedimentos que aparecerem. Neste desafio, solicita-se que seja encontrado o valor do ?, que é o numerador ou o denominador das frações equivalentes entre si, e determinado o valor do *, que é a fração irredutível das frações equivalentes. Ao analisar a proposta do desafio, é possível que os alunos percebam que a única fração que se conhece o numerador e o denominador é a fração 60 podendo as90 sim, a partir dela, determinar a fração irredutível solicitada no desafio. Fazendo a sim60 : 30 plificação da fração 90 : 30 2 obtêm-se , que é o valor do 3 2 *. A partir da fração , po3 demos encontrar todas as ou-

?8 12 60 90

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Atividade complementar Aproveitando a atividade 14, explorar a leitura e a construção de gráficos, sugerindo como atividade extra a confecção de um gráfico, mas com dados reais colhidos na própria comunidade escolar. Para

isso, fazer um levantamento das informações interessantes e importantes a serem coletadas para que, após a obtenção dos dados, possam gerar ações produtivas na escola. Por exemplo, um levantamento da quantidade de água que a escola costuma utilizar em um mês. Depois, solicitar

9/26/18 5:40 PM a eles que elaborem sugestões para reduzir o consumo de água. Essa é apenas uma sugestão, é interessante que eles façam um levantamento de informações que sejam relevantes para eles, de acordo com a realidade da escola e dos alunos.

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Reduzindo duas frações ao mesmo denominador 1 Observe as frações 1 e 1 . Elas possuem denominadores diferentes. Será que é possível 2 5 encontrar frações equivalentes a elas, mas com o mesmo denominador? Vamos fazer um esquema: 1 1 e são frações com 5 2 denominadores diferentes 1 1 2 2

1 1 5 5 2 5 e são frações 10 10 equivalentes às frações iniciais com o mesmo denominador

2 2 1010

5 5 1010

Veja:

1 2 !5

1 5 !5

5 10

2 10

Transformamos as frações 1 e 1 em frações equivalentes com denominadores iguais: 2 5 5 e 2 . 10 10 2 Vamos fazer o mesmo com 3 e 5 . Acompanhe: 4 6

3 5 são frações com denominadores diferentes e 4 6 3 4

5 6

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Reduzindo duas frações ao mesmo denominador O objetivo aqui é aplicar a equivalência de frações para escrever duas ou mais frações com o mesmo denominador. Neste momento, isto será utilizado para comparar frações. Porém, esse procedimento será muito útil nas operações de adição e subtração de frações de denominadores diferentes, as quais serão trabalhadas mais adiante. É interessante retomar os conceitos de múltiplo e de divisor que são importantes no estudo sobre redução de frações ao mesmo denominador. Uma forma de introduzir esse tema sobre redução de frações ao mesmo denominador é explorando o uso da classe de equivalência para encontrar as frações de mesmo denominador. É importante ressaltar que nem sempre haverá a necessidade de transformar frações de denominadores diferentes em frações equivalentes para compará-las. Por exemplo, podemos 1 1 comparar as frações e 2 5 sem a necessidade de transformá-las em frações equivalentes de mesmo denominador. Nesse caso, como os numeradores são iguais, é provável que os alunos perce1 bam que a fração maior é , 2 pois o inteiro é dividido em um número menor de partes. A comparação também pode ser feita utilizando a representação geométrica, mas, quando os denominadores das frações são números grandes, essa forma não será prática. Comece perguntando aos alunos quais são as frações 1 1 equivalentes a e que 2 5 possuem o mesmo denominador. Incentivar os alunos a levantarem hipóteses e explorarem caminhos para validá-las. Pedir aos alunos que anotem 1 as frações equivalentes a e 2

18 20 e são frações equivalentes às frações iniciais e 24 24 têm o mesmo denominador 18 24

20 24

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1 e, depois, destaquem as que 5 possuem mesmo denominador.

1 2 3 4 5 = = = = = 2 4 6 8 10

6 7 8 9 = = = = 12 14 16 18

10 = ... 20

1 2 3 4 = = = = ... 5 10 15 20 Nesse caso, 5 e 2 ; 10 10 10 20 4 e 20 são frações equivalentes de mesmo denominador. Conversar com eles se é possível encontrar outras possibilidades além dos denominadores

10 e 20. É importante que percebam que existem infinitas possibilidades e que o 10 nesse caso é o menor denominador possível. Fazer o mesmo 3 5 para e . 4 6

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Observe:

3 4

5 6

bém foi utilizado, que é o 12. É interessante refletir com os alunos sobre a existência de infinitas possibilidades de denominadores comuns. Na questão 2, espera-se que os alunos concluam que esse processo funciona sempre. Tomar cuidado para não levar o aluno a pensar que a partir da observação de alguns poucos casos é possível chegar à generalização.

18 24

20 24

Transformamos as frações 3 e 5 em frações equivalentes com denominadores iguais: 4 6 18 e 20 . 24 24 Dadas duas frações com denominadores diferentes, podemos obter frações equivalentes às frações iniciais com o mesmo denominador. Essa operação é chamada redução das frações a um denominador comum. p e n s e e r e s p o nd a

AMPLIANDO

Resoluções na p. 307

Retomando as situações 1 e 2, observe que as frações iniciais tiveram seus numeradores e denominadores multiplicados por um determinado fator. 1. Identifique uma relação entre o numerador e/ou o denominador dessas frações Em cada situação, uma fração inicial tem seu numerador e esses fatores de multiplicação? e denominador multiplicados pelo denominador da outra fração inicial. 2. Escolha duas frações quaisquer com denominadores diferentes e aplique a relação descrita na atividade 1 para reduzi-las a um denominador comum. Repita esse processo outras três vezes. Esse processo funcionou sempre? Resposta pessoal. 18 20 3 Observe, agora, as frações que obtivemos na situação anterior: e . Vamos simpli24 24 ficá-las até obtermos suas frações irredutíveis: !2

18 24

9 12

20 24

3 4

10 12

5 6

3 9 10 5 e são também equivalentes às frações e , respectiva4 12 12 6 mente, e possuem o mesmo denominador, ou seja, fizemos uma redução de duas frações

Veja que as frações

a um denominador comum. Além disso, como é possível observar, esse denominador é o menor denominador comum possível. 147

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda Organizar os alunos em duplas para que possam refletir juntos sobre as questões propostas. Orientá-los a observar o processo de transformação 1 1 e das fradas frações 2 5

3 5 ções e para as frações 4 6 5 2 18 20 e ; e respec10 10 24 24 tivamente. Nas duas situações é possível constatar que o numerador e denominador da fração inicial foram multiplicados pelo denominador da

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1x5 e 2x5 1x2 . Na segunda situação 5x2 é importante observar que o denominador 24 é o resultado de 4 x 6 = 6 x 4 que satisfaz a questão proposta. Porém, existe outra possibilidade de denominador comum que tamoutra fração inicial:

Atividade complementar Existem muitas possibilidades de aplicar jogos que favorecem a aprendizagem de conceitos matemáticos em especial das frações. Segue uma variação do jogo de cartas, “Papa Todas”. Nele é possível comparar frações com diferentes denominadores explorando a noção de equivalência de frações e cálculo mental. Organizar a turma em grupos de 4 a 5 alunos. Todas as cartas do baralho são distribuídas entre os jogadores que não veem suas cartas. Cada jogador coloca suas cartas em uma pilha com os números virados para baixo. A tabela com as tiras de fração é colocada no centro da mesa de modo que todos a vejam. Os jogadores combinam entre si um sinal ou uma palavra. Dado o sinal todos os jogadores viram uma carta de sua pilha ao mesmo tempo e comparam as frações. O jogador que tiver a carta representando a maior fração vence a rodada e fica com todas as cartas. Se houver duas cartas de mesmo valor, todas as cartas ficam na mesa e na próxima rodada o jogador com a maior carta fica com todas as cartas – “Papa Todas”, inclusive aquelas que estão na mesa. O jogo termina quando as cartas acabarem. Vence o jogador com o maior número de cartas. Informações obtidas em: <https://mathema.com.br/ jogos-fundamental1/papatodas-de-fracoes/>. Acesso em: 20 ago. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Existem diferentes processos para determinar frações equivalentes com o mesmo denominador de duas ou mais frações. Reforçar a ideia de que podemos obter infinitas frações equivalentes de mesmo denominador, mas apenas uma será de menor denominador comum. Para isso, apresentar aos alunos alguns pares, trios ou quartetos de frações de denominadores diferentes e pedir que encontrem as frações equivalentes de menor denominador comum. Por exemplo, 2 1 e , determinamos as 3 4 classes de equivalência de cada fração: 2 = 4 = 6 = 8 = 10 = 12 = 3 6 9 12 15 18 14 16 = = = ... 21 24 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = ... 4 8 12 20 24 Discutir o padrão da sequência das frações equivalentes. No caso acima, por exemplo, é possível verificar que o denominador comum é o 12 e que a sequência será de 12 em 12. Levar os alunos a essa conclusão pedindo que escrevam a classe de frações equivalente de vários números e observem os pares encontrados. Incentivá-los a identificar outros padrões possíveis e a utilizar o cálculo mental para encontrar o menor denominador comum entre duas ou mais frações. Por exemplo, para determinar o menor denominador comum de frações cujos denominadores são números primos, basta multiplicar os denominadores entre si para determinar o denominador comum. Se achar conveniente, explore no link abaixo uma calculadora para simplificação de frações em que os alunos possam observar os cálculos realizados passo a passo. Disponível em: <http://livro.pro/2dfubh>. Acesso em: 09 jul. 2018.

Atividades Nestas atividades, os alunos terão a oportunidade de reduzir duas ou mais frações ao menor denominador comum.

A operação de obter frações equivalentes com o mesmo denominador, sendo este o menor possível, chama-se redução das frações ao menor denominador comum. Observe que nem todos os casos exigem alguma simplificação das frações encontradas para se obterem as frações reduzidas ao menor denominador comum. Vimos na situação 1, por exemplo, que as frações encontradas já são as de menor denominador comum, mesmo sem serem simplificadas, pois a única simplificação possível irá transformá-las nas frações iniciais. !5

5 10

1 2 frações iniciais

2 10

1 5

Assim, cada caso deve ser analisado individualmente.

ATIVIDADES

Resoluções na p. 308

Responda às questões no caderno. 1. Reduza as frações a seguir ao menor denominador comum. a)

1 1 2 1 , , 2 4 4 4

3 7 9 14 , , 8 12 24 24

3 9 6 9 , , 7 14 14 14

1 1 4 3 , , 6 8 24 24

3 2 27 8 , , 4 9 36 36

7 11 21 22 , , 20 30 60 60

2. Após reduzir as frações abaixo ao menor denominador comum, escreva-as em ordem decrescente. a)

7 7 3 3 , . 12 12 5 5

5 5 , 6 4

5 5 . 4 6

3. Escreva as frações em ordem crescente. 7 4 7 4 a) , , 9 15 9 15

1 1 3 3 , . 12 12 8 8

1 4 , 6 5

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Para as atividades 2 e 3, é oportuno relembrar que nem sempre haverá a necessidade de ter frações com o mesmo denominador para compará-las e ordená-las. Tomar como exemplo o item a da atividade 1, 1 1 e . Como os numerado2 4 res são iguais, basta determi-

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nar o denominador maior, o 4, que corresponde à fração de 1 menor valor, que no caso é . 4 É importante que os alunos percebam que nas duas frações consideramos uma parte do mesmo todo e que o que difere é o número de divisões que o todo foi repartido. Para

esses casos utilizar representação geométrica:

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1 2 1 4 Assim, pode-se afirmar que 1 1 < . 4 2

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CAPÍTULO

e proceder da mesma forma. Permitir aos alunos que calculem o resultado dessas operações. Dessa forma, é esperado que eles cheguem à conclusão de que, para adicionar ou subtrair números representados por frações que têm o mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. Para as frações de denominadores diferentes, proceder de maneira semelhante ao de denominadores iguais. Apresentar uma soma, por exem-

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES

Vamos considerar as seguintes situações: 1 Fernando tem uma tira retangular de cartolina branca. Ele dividiu essa tira em 9 partes iguais, pintou 5 dessas partes de laranja e 2 dessas partes de roxo. A parte colorida da tira representa que fração da tira inteira? Representando geometricamente: 5 9

2 9

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Em linguagem matemática:

plo, 1 + 2 e perguntar aos 2 3 alunos qual é o resultado dessa operação. Pedir aos alunos que façam a representação geométrica, incentivando-os a refletir como é possível usar o conhecimento que eles adquiriram sobre as frações equivalentes para chegar à primeira situação. Faça o mesmo com uma subtração de frações de denominadores diferentes. Incentivar a reflexão para que eles cheguem à conclusão de que para somar ou subtrair frações de denominadores diferentes, primeiro encontramos frações equivalentes às frações dadas que tenham um denominador comum. Em seguida, efetuamos a adição ou a subtração com essas frações.

5 2 7 + = 9 9 9 7 9

A parte colorida representa 7 da tira de cartolina branca. 9 2 Fernando tem outra tira retangular que está dividida em 9 partes iguais. Nessa tira, 5 partes iguais já foram coloridas de amarelo, e dessa parte colorida ele eliminou 2 partes. Nessas condições, a parte colorida que restou representa que fração da tira inicial? Representando geometricamente: 5 9

2 9

Em linguagem matemática:

2 3 5 _ = 9 9 9 3 9

A parte colorida que restou representa 3 da tira inicial. 9 Pelas situações apresentadas, temos: 5 2 7 ! " 9 9 9

5 2 3 # " 9 9 9

Para adicionar ou subtrair números representados por frações que têm o mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adição e subtração de frações O objetivo aqui é efetuar a adição e a subtração de números racionais escritos na forma de frações. São exploradas as situações em que as frações possuem denomi-

nadores iguais e, depois, as situações em que os denominadores são diferentes. Na primeira situação em que os denominadores são iguais, apresentar a soma de duas frações, por exemplo, 1 + 2 4 4 e perguntar a eles qual é a soma de um quarto mais dois

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quartos. É importante nesse momento que os alunos associem a expressão oral ao registro da operação. Dar oportunidade aos alunos de fazer a representação geométrica para refletir e chegar ao resultado. Apresentar uma subtração, por exemplo, 4 _ 1 5 5

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adicionar ou subtrair com frações de mesmo denominador é fácil!

Mas e se as frações tiverem denominadores diferentes?

Ah! Não tem problema. Já aprendemos a encontrar frações equivalentes às frações dadas e que tenham o mesmo denominador. Assim fica fácil!

WANDSON ROCHA

Nesta página os alunos são convidados a explorar cálculos com frações em diferentes situações envolvendo adição de frações. Se possível, permitir que manuseiem algum material; por exemplo, tiras de papel ou círculos, fazendo recortes, composições e sobreposições para averiguar, de forma concreta, as situações apresentadas no livro.

AMPLIANDO Veja, agora, mais estas situações: 3 Helena foi à feira com certa quantia. Gastou 1 dessa quantia na banca de frutas e 1 2 3 dessa quantia na banca de verduras e legumes. Que fração da quantia inicial Helena gastou nessas duas bancas? Para resolver esse problema, devemos calcular 1 ! 1 . 2 3 Representando geometricamente: mais 1 2

1 3

1 ! 2

1 3

2 6

3 6

2 6

mais 3 6

Desenvolvimento • Distribuir os discos para os alunos. • Propor a formação do inteiro. • Perguntar quantas metades formam um inteiro.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Atividade complementar Propor a seguinte atividade aos alunos para ampliar o trabalho com a adição e a subtração de frações. Material • Discos de papel, inteiros com centro demarcado. • Discos de papel, divididos ao meio. • Discos de papel, divididos em 3 partes e em 6 partes (sempre partes iguais). • Discos de papel, divididos em 4 partes e em 8 partes. • Discos de papel, divididos em 5 partes e em 10 partes.

As figuras nos mostram que calcular 1 ! 1 é o mesmo que calcular 3 ! 2 . 2 3 6 6 Então:

1 1 ! 2 3 frações com denominadores diferentes

3 2 ! 6 6

5 6

frações equivalentes com o mesmo denominador

Helena gastou 5 da quantia inicial. 6 150

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• Com o disco dividido em 4 partes, perguntar quantas partes são necessárias para formar um inteiro. • Solicitar também aos alunos que formem o inteiro, retirem uma parte e a recubram com outras frações iguais entre si, deixando que eles encontrem as partes equivalentes à parte retirada. Os resultados devem ser registrados e discutidos com os colegas. É interessante questionar os alunos e sempre que possível registrar as soluções encontradas por eles. Com esse material, eles adquirirão os conceitos de equivalência, comparação e simplificação de frações. Além disso, variando as atividades com o uso de outras frações, você poderá introduzir a nomenclatura de número misto (quando achar conveniente). Utilizando novamente os discos de frações, é possível desenvolver o trabalho com as operações de adição e subtração com frações, explorando inicialmente frações com denominadores iguais e, posteriormente, com denominadores diferentes. Sugere-se que as situações-problema sejam antes realizadas oralmente pelos alunos, para depois formalizar os conceitos e solicitar a eles que façam registros.

4 Uma pesquisa sobre a prática de esportes feita com determinado grupo de rapazes revelou que: • 2 dos rapazes praticavam basquete; 5 • 1 dos rapazes praticava voleibol; 2 • o restante dos rapazes não praticava nenhum esporte. Qual fração representa os rapazes que praticavam esportes? Para resolver esse problema, devemos calcular 2 + 1 . 5 2 Representando geometricamente:

mais 2 5 2 5

1 2 1 2

2 + 1 5 2 2 + 1 5 2

5 10 5 10

9 10 9 10

mais mais 4 10 4 10

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

mais

Pelos desenhos, podemos dizer que calcular 2 ! 1 é o mesmo que calcular 4 ! 5 . 5 2 10 10 Então: Pelo que fizemos, podemos dizer que 9 dos rapazes do grupo praticavam esportes. 10 Então:

2 ! 1 5 2 frações com denominadores diferentes

4 ! 5 10 10

9 10

frações equivalentes com o mesmo denominador

5 Das pessoas que estavam na barraca de pastel, 4 eram homens. Se 1 das pessoas que 5 2 estavam na barraca usava óculos e apenas homens usavam óculos, que fração das pessoas que estava na barraca de pastel representa os homens que não usavam óculos? Para resolver esse problema, devemos calcular 4 # 1 . 5 2 151

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Representando geometricamente:

As situações apresentadas no livro têm como objetivo levar os alunos a efetuar a adição e a subtração de números racionais expressos na forma de fração e a resolver problemas práticos que envolvem a adição e a subtração com frações. Apresentar representações geométricas para que os alunos entendam a ideia de subtração com frações. Veja os exemplos: a) X

Destacar o fato de que a operação envolvida representa um todo dividido em 9 partes iguais, das quais toma-se 7 dessas partes (representação de sete nonos destacada em amarelo). Da parte tomada serão subtraídas três partes (x), que correspondem a três nonos. O resultado dessa subtração é o que sobra da parte tomada inicialmente, ou seja, 4 partes (que correspondem a quatro nonos). A construção da operação com frações poderá ser feita da seguinte maneira: 7 _ 3 = 4 . 9 9 9 b)

4 5

4 _ 1 5 2

menos 8 10

5 10

8 _ 5 10 10

Assim: 8 _ 5 = 3 10 10 10 Temos que 3 é a fração que representa os homens que não usavam óculos. 10 6 Renata fez uma pesquisa, em sua escola, sobre o grau de informação dos alunos a respeito da dengue. O resultado foi dado pelo gráfico ao lado. Renata esqueceu-se de escrever a fração correspondente aos alunos com nenhuma informação. Qual é essa fração? 7 1 ! . Para resolver esse problema, calculamos 10 4 7 1 14 5 19 ! " ! " 10 4 20 20 20 Depois, calculamos a fração dos alunos sem infor19 mação, que é dada por 1 # . 20 19 20 19 1 1 # " # " 20 20 20 20 Os alunos sem informação sobre a dengue corres1 pondem a do total pesquisado. 20

X X X X X

Nesse caso, a operação envolvida representa um inteiro dividido em sete partes iguais, das quais foram tomadas todas elas. Da parte tomada (destacada em amarelo), cinco partes foram subtraídas: 7 _ 5 = 2 . 7 7 7

1 2

Grau de informação sobre a dengue

7 10 1 4 ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1 2

menos

EDITORIA DE ARTE

4 5

Muitas informações Poucas informações Sem informação

Fonte: Escola de Renata.

Para adicionar ou subtrair números representados por frações que têm denominadores diferentes, primeiro encontramos frações equivalentes às frações dadas que tenham um denominador comum. Em seguida, efetuamos a adição ou a subtração com essas frações.

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções na p. 308

Responda às questões no caderno. 1. Calcule as frações e, se possível, simplifique o resultado. 4 a) 1 ! 7 10 10 5 2 b) 5 " 1 6 6 3 c)

1 7 3 1 ! " 10 10 10 2

7 3 1 " " 15 15 15

7 1 7 ! ! 20 20 20

5 11 13 1 ! " 18 18 18 6

1 5 3 4

3 11 7 1 ! ! " 20 20 20 20

2 8 5 ! 9 6 9

1 13 3 ! 8 6 24

1 13 9 " 10 4 20

7 d) 11 " 1 15 2 30

5. No primeiro dia de trabalho, Arnaldo 1 pintou de uma parede e, no segundo 8 3 da mesma parede. Avalie dia, pintou 8 se o que ele fala é correto. Sim.

Nesses dois dias pintei a metade da parede.

g) 7 ! 4 " 5 ! 3 " 9 0 6 6 6 6 6 h)

4. Efetue as adições e subtrações, simplificando o resultado quando possível.

2 5

2. Se de

11 2 você subtrair , que fração 20 5 3 você vai obter? 20

3. Para fazer um trabalho escolar, Gustavo 3 usou de uma folha de cartolina, en5 1 da mesma quanto sua irmã usou 4 folha para fazer seu trabalho. Que fração

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

17 dessa folha os dois usaram juntos? 20

6. Calcule o valor das expressões numéricas. a)

1 5 4 + 2 6 3

1 5 7 + 3 6 6

3 1 1 _ 4 2 4

2 3 1 _ 5 10 10

5 1 1 _ 6 3 2

1 1 1 _ 3 6 6

7. Elabore duas situações com números racionais na forma fracionária que envolvam as operações vistas até aqui. Troque com um colega e resolva as situações elaboradas por ele, representando-as geometricamente e em linguagem matemática. Resposta pessoal. 153

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Atividades Sugere-se que os alunos sejam organizados em duplas para resolver as atividades. Isso facilita a troca de ideias e conhecimento. Para resolver as situações propostas, estimulá-los a organizar os dados destacando as perguntas. Sugerir a representação geométrica para facilitar o entendimento das questões. Se for necessário, disponibilizar material para que eles construam um cartaz-resumo para ser exposto na sala e consultado quando necessário. Se achar necessário, apresentar uma situação extra para a turma e solicitar que os alunos a resolvam. 3 • Ricardo gasta do seu sa7 lário em alimentação e Renato, 2 . Que fração do salário 5 Ricardo gasta a mais que Re1 nato? [Resposta: ] 35 Para essa atividade, sugerir aos alunos que relacionem a situação com um valor determinado. Assim, eles poderão perceber a aplicabilidade dos cálculos envolvendo adição de fração com denominadores diferentes. É importante acompanhar a resolução das atividades observando o trabalho de cada dupla, anotando suas dúvidas. Se achar oportuno, convidar alguns alunos para explicar como resolveram as atividades em que colegas tiveram dúvidas. Aproveitar o momento para desenvolver atividades que envolvam a elaboração de problemas, solicitando que eles formulem uma situação-pro3 blema cujo resultado seja . 10

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Desafio Lembrar os alunos de que a adição e a subtração são operações inversas. Incentivá-los a usar esse conceito para encontrar as frações que faltam no quadro. Orientá-los a iniciar a resolução das adições que possuem apenas uma incógnita. É importante também incentivá-los a realizar algumas operações utilizando cálculo mental. Para isso, uma informação relevante é que o aluno reconheça que a representação de um inteiro também pode ser dada por uma fração: 2 = 3 = 4 = 5 = ... dessa 2 3 4 5 forma, o aluno pode perceber 1 que, tendo , para comple4 tar 4 serão necessários 3 . 4 4 Usando o mesmo raciocínio, o aluno pode perceber que, 5 2 para completar , tendo , 4 4 3 ele precisa de . 4 É possível que os alunos iniciem resolvendo 1 + ? = 1 4 2 usando a ideia de operação inversa. Assim temos, 1 _ 1 = 2 4 = 2 _ 1 = 1. 4 4 4 Comentar com eles que diferentes estratégias são válidas para a resolução do desafio proposto, mas é necessário ficar atento às regras de adição e subtração com frações.

9 8. Nesse dia, Ronaldo arquivou dos documentos. 10 8. Ronaldo trabalha em um escritório e seu serviço é arquivar documentos. Em 1 determinado dia ele arquivou dos 2 documentos no período da manhã e, 2 no período da tarde, arquivou . Que 5 fração da quantidade de documentos Ronaldo arquivou nesse dia?

9. Entre os participantes de um congresso, 5 verificou-se que deles chegaram ao 8 1 evento utilizando o metrô, foi de 6 carro, e o restante usou ônibus. Qual fração dos participantes foi de ônibus para o congresso? 5 24

10. Da renda de uma partida de futebol, 1 1 é destinada às despesas gerais, 10 2 cabe ao vencedor, e o restante cabe ao clube perdedor. Que fração da renda cabe ao clube perdedor? 2 5 11. Para completar um álbum de figuri1 nhas, Fernando contribuiu com das 5 figurinhas, enquanto Carlos contribuiu 2 com . Com que fração das figurinhas 3 os dois juntos contribuíram? 13 das figurinhas. Eles contribuíram com 15

1 de quilômetro a mais que Cristina. 12 12. Para ir de casa à escola, Helena per1 corre de quilômetro e Cristina 4 1 de quilômetro. Que fração percorre 6 de quilômetro Helena percorre a mais que Cristina?

12. Helena percorre

13. A rua onde Mariana mora está sendo asfaltada. Na primeira semana, foram 3 asfaltados da rua e na segunda 8 1 semana, da rua. 3 a) Que fração da rua foi asfaltada nas duas 17 semanas? 24 b) Já foi asfaltada mais ou menos da metade da rua? Mais. 7 c) Que fração da rua ainda falta ser asfaltada? 24

14. A produção mensal de uma confecção 2 feminina é formada por de blusas, 7 1 de saias e o restante de vestidos. 4 Que fração da produção mensal é destinada aos vestidos? 13 28 2 15. José separou de um terreno para 5 1 construir um galinheiro, para cul3 tivar alface e o resto do terreno para tomate. Em que fração do terreno José cultivará tomate? 4 15

DESAFIO

16. Convide um amigo para resolverem a seguinte atividade: copiem o quadro ao lado em uma folha à parte. Para completá-lo, é só encontrar os números que faltam.

AMPLIANDO Atividade complementar Apresentar outras situações como atividades extras, por exemplo. Ver sugestão a seguir. 1. Se uma pessoa gasta 1 4 do salário com transporte e 2 5 do salário com alimentação, qual será o valor total gasto, em reais, considerando que o seu salário é R$ 1 000,00? Resolução da sugestão Primeiro modo • A quarta parte de 1 000,00 ou seja, 1 de 1 000, correspon4 de a 250, pois 1 000 : 4 = 250.

1 4

+ 3 ? 4

+ +

= 1

1 ? 4

2 4

+ =

= +

3 ? 4

1 2

5 4

= =

7 ? 4

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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D3-MAT-F2-2051-V6-U05-130-169-LA-G20.indd 154 • A quinta parte de 1 000, ou

seja, 1 de 1 000, corresponde 5 a 200, pois 1 000 : 5 = 200. 2 • Então: de 1 000 = 5 = 2 x 200 = 400

Portanto, o valor gasto ao todo é R$ 650,00, pois 250 + + 400 = 650.

Segundo modo Resolvendo com adição de frações, já que elas são tomadas de um mesmo inteiro (o salário). 1 +2 4 5 M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...} M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ...} 1 + 2 = 5 + 8 = 13 4 5 20 20 20

Assim, o gasto total representa

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13 do salário, que é R$ 1 000,00. 20 1 • 20 de 1 000 = = 1 000 : 20 = 50 Cada parte corresponde a R$ 50,00. 13 • 20 de 1 000 = 13 x 50 = 650

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PARA QUEM QUER MAIS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções na p. 309

Para quem quer mais Para iniciar esta seção, solicitar aos alunos que leiam o texto e pedir-lhes que expliquem o que entenderam, dispor a questão dos camelos na lousa tal qual é apresentada no livro. Mas, antes de resolver a situação, solicitar a eles que levantem hipóteses sobre como solucionariam o problema. É interessante tomar notas das estratégias sugeridas por eles. Caso algum aluno discorde de algo apresentado por um colega, solicitar que ele justifique porque não concorda e explique como resolveria a situação. Para iniciar a resolução da situação, incentivar os alunos a organizar os dados e a calcular a metade, a terça parte e depois a nona parte de 35 camelos para constatar que não são divisões exatas. Lembrar-se de validar as hipóteses levantadas pelos alunos.

Um grande aventureiro

DANI MOTA

O escritor árabe Malba Tahan nasceu em 1885 em uma aldeia nas proximidades de Meca, lugar santo do Islamismo, que é uma religião muçulmana. Estudou no Cairo e em Constantinopla e chegou a assumir o cargo de queimação (prefeito) da cidade de El-Medina. Aos 27 anos, recebeu grande herança do pai e iniciou uma longa viagem pelo Japão, pela Rússia e Índia. Morreu em 1921, lutando pela libertação de uma tribo na Arábia Central. Interessado em conhecer o mundo e viver aventuras, Malba Tahan também tinha uma grande paixão pela Matemática. Seu livro mais conhecido, O homem que calculava, foi publicado em diversos países e sempre com muito sucesso. Cada capítulo desse livro traz uma história vivenciada por Beremiz Samir, personagem principal, famoso por resolver problemas que parecem sem solução. O capítulo III de O homem que calculava narra uma aventura impressionante. Beremiz e um amigo viajavam rumo a Bagdá em um único camelo, quando encontraram três irmãos discutindo acaloradamente. Curioso, Beremiz quis saber o motivo da discussão. Os irmãos contaram que tinham recebido como herança 35 camelos e que, segundo a vontade do pai, o mais velho deveria receber a metade; o irmão do meio deveria receber a terça parte; e o irmão caçula, a nona parte da herança. Porém, discutiam por não saber como dividir daquela forma os 35 camelos, já que a metade, a terça e a nona parte de 35 não são exatas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Para enriquecer o trabalho com a seção Para quem quer mais, pode-se trabalhar outras situações apresentadas no livro O homem que calculava, de Malba Tahan. Se possível, providenciar um livro para cada aluno ou solicitar que façam a leitura e depois compartilhem os livros com os outros colegas, até que todos tenham acesso ao livro. Depois, é interessante que, em grupos ou duplas, os alunos se organizem e escolham ao menos mais duas situações de que gostaram muito para tentarem resolver. Disponibilizar um momento para que essas discussões sejam feitas e compartilhadas com toda a turma. Se possível, pedir a eles que ilustrem as situações em cartazes e os deixe fixos nas paredes da sala. Para dar continuidade ao trabalho com frações, apresentar a forma mista de números racionais. Os alunos podem utilizar materiais manipuláveis para auxiliar na visualização e na representação dos exemplos apresentados no livro. Propor outras situações para eles representarem com desenhos.

Vamos ver o que Beremiz propôs Os 35 camelos deveriam ser divididos da seguinte forma:

1 2

irmão mais velho

1 3

irmão do meio

1 9

irmão caçula

Como dividir um único camelo em partes? Após ouvir o problema, Beremiz Samir apresentou uma solução imediata. Ele disse: “Encarrego-me de fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe!” TAHAN, M. O homem que calculava. 68 ed. Rio de Janeiro: Record, 2006, p. 22.

A solução encontrada pelo homem que calculava resolveu o problema dos irmãos. Ele juntou o seu camelo aos 35, fez a divisão de acordo com o estabelecido pelo pai, e ainda sobraram dois camelos! Tente descobrir como Beremiz calculou. Resposta pessoal.

É tudo invenção!

IGNACIO FERREIRA/ABRIL COMUNICAÇÕES S.A.

Na verdade, Malba Tahan nunca existiu! Ou melhor, existiu na imaginação de Júlio César de Mello e Souza, professor e um dos escritores brasileiros mais conhecidos internacionalmente. Mas de onde surgiu a ideia de Júlio César assinar suas obras como Malba Tahan? Muito antes de se tornar um escritor famoso, Júlio César trabalhava como colaborador do jornal carioca O Imparcial. Já fazia algum tempo que entregara ao editor do jornal cinco contos que escrevera. Percebendo que seus contos haviam ficado em um canto O matemático Júlio César de Mello e Souza (1895-1974). da redação, pegou-os de volta, sem fazer alarde. No dia seguinte, entregou-os novamente ao editor, dizendo que acabara de traduzi-los e que eram de um autor americano muito conhecido, chamado R. S. Slade. O primeiro deles, A vingança do judeu, foi publicado já no dia seguinte, e na primeira página! Os outros quatro também tiveram o mesmo destaque. Decidiu, então, dedicar-se aos estudos sobre a cultura e a língua árabes, preparando-se para dar vida a Malba Tahan. Em 1925, publicou os Contos de mil e uma noites, o primeiro de uma série de escritos de Malba Tahan. Sua obra mais conhecida é O homem que calculava.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

A forma mista O objetivo deste capítulo é levar os alunos a identificar, interpretar e utilizar a forma mista de uma fração, reconhecer uma fração imprópria e ser capaz de transformar a forma mista em fração imprópria e vice-versa. Deve-se lembrar que a fração pode ser definida como uma divisão do todo em partes iguais, sendo cada porção parte de um mesmo todo. Até o momento foram exploradas as frações menores que um inteiro. A partir de agora serão exploradas as frações que representam valores maiores que um inteiro, conhecidas como frações impróprias. Uma vez que os alunos estão habituados a trabalhar com representações menores que um inteiro, eles podem manifestar alguma dificuldade em interpretar as frações impróprias. Por isso, é importante ficar atento à construção desse conceito com eles. Utilizar representações geométricas e materiais manipuláveis pode facilitar a compreensão desse conceito. Por exemplo, para fazer a representação geométrica de 9 , fica mais com4 preensível quando se transforma essa fração em um número misto 2 1 . 4 9 =21 4 4

A FORMA MISTA Descasquei os 3 abacaxis e cortei cada um em 3 pedaços iguais.

Comi uma parte de um dos abacaxis! Quanto restou dos abacaxis?

Hoje meu pai colheu 3 abacaxis.

Cada abacaxi representa um inteiro. Vamos representar os 3 abacaxis assim:

3 ou 1 inteiro 3

2 3

2 São dois inteiros e . Há duas maneiras de representar essa quantidade nume3 ricamente: 3 3 2 8 , que é uma fração imprópria (toda fração em que o • ! ! " 3 3 3 3 numerador é maior ou igual ao denominador é chamada de fração imprópria). 2 2 2 ou 2 ! ou, simplesmente, 2 , que é chamada de forma • 1 ! 1 ! 3 3 3 mista da fração. 8 2 " 2 dois inteiros e dois terços 3 3 forma mista fração imprópria

Veja este outro exemplo: ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

2 3 4 3 3 1 ! 3 3 fração imprópria

1 3

um inteiro e um terço EDITORIA DE ARTE

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2 3

forma mista

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AMPLIANDO Toda fração imprópria pode ser escrita na forma mista:

Atividade complementar 1. Dona Cristina tinha 2 kg de farinha. Precisava de 1 1 kg 2 3 para fazer pães e de kg para 4 fazer uma receita de torta. A farinha era suficiente? 2. De 3 3 de real foram re4 tirados 2 1 . A quantia que so5 bra é maior ou menor do que 1 real e meio? Resolução da atividade complementar

•

8 2 2 6 " 2 6 2 ! ! " ! 2" ! 2 3 3 3 3 3 3 2 unidades

8 3

•

16 1 1 15 " 1 15 1 ! ! " ! 3 " ! 3 5 5 5 5 5 5

3 unidades

1. Calcule o total de farinha que dona Cristina precisava para verificar se os 2 kg que ela tinha foram suficientes. 11 + 3 =1+ 1 + 3 = 2 4 2 4

16 5

= 4 + 2+ 3 = 9 4 4 4 4

Logo, a farinha não era suficiente, pois dona Cristina precisava de 1 kg de farinha 4 a mais que os 2 kg que tinha. 2. Efetue a subtração, transformando cada forma mista em fração imprópria: 3 3 = 3 + 3 = 15 4 4 4 2 1 = 2 + 1 = 11 5 5 5

três inteiros e um quinto

Todo número racional escrito na forma mista pode se transformar em uma fração imprópria: • 22 ! 2 " 2 ! 6 " 2 ! 8 3 3 3 3 3

2 3 oito terços

• 3 1 ! 3 " 1 ! 15 " 1 ! 16 5 5 5 5 5 ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

9 = 8 + 1 =2+ 1 4 4 4 4

dois inteiros e dois terços

3 3 _ 2 1 = 15 _ 11 = 4 5 4 5 = 31 = 1+ 11 20 20 Como 11 é maior que 10 20 20 (que equivale à metade), podemos dizer que a quantia que sobrou é maior que 1 real e meio.

1 5

dezesseis quintos

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Responda às questões no caderno. 1. Escreva na forma mista os números racionais. Depois, use figuras para representá-los. 21 1 33 3 4 3 a) c) 5 10 10 5 b)

17 2 5 3 3

15 1 7 2 2

2. Escreva na forma de fração imprópria os números racionais a seguir: a) 5

1 21 4 4

b) 10

1 31 3 3

c) 5

2 3

d) 1

7 10

17 3 17 10

13 3. Quanto falta ao número para 15 1 3 atingir 1 ? 6 10 4. Usando uma bicicleta, Carlos percorreu 1 15 quilômetros na primeira hora e 2 DESAFIO

1 quilômetros na segunda hora. 3 Quantos quilômetros ele percorreu nessas duas horas? (Dê a resposta na forma mista.) 27 5 quilômetros. 6 5. Determine o valor da expressão numé4 7 rica 1 ! .21 5 10 2 42 3 6. Qual fração é maior, ou 9 ? 9 3 5 4 4 12

7. Ao adicionar os números 2

3 2 e 1 , 4 5 que valor você encontra como resultado? Entre quais números naturais está o resultado obtido? 4 3 ; entre 4 e 5. 20 1 8. Em um pacote há 1 quilogramas de 2 1 quilograbalas. Em outro pacote há 2 3 mas de balas. Quantos quilogramas de balas serão se juntarmos as duas quantidades? Dê a resposta na forma mista. 5 Serão 3 quilogramas de balas. 6

9. Na imagem a seguir há 21 copos iguais. Sete desses copos estão cheios de suco, sete têm suco até a metade e sete estão vazios. De que maneira podemos colocá-los em três bandejas, de modo que cada bandeja tenha o mesmo número de copos e a mesma quantidade de suco? 7 cheios + 7 pela metade H 10 1 ; 3 1 em cada bandeja. 2 2

LUCAS FARAUJ

1 tade. Ao todo temos 7 + 3 = 2 1 = 10 copos de suco. Então, 2 1 1 10 : 3 = 3 , portanto, cada 2 2 1 bandeja terá 3 copos de suco. 2 Para achar a combinação de copos de cada bandeja, comece colocando os copos de 1 suco até completar 3 . De2 pois, complete com os copos vazios até o total de 7 copos em cada bandeja. Veja: 1a bandeja:

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades Neste bloco de atividades, são apresentadas situações envolvendo a forma mista para que os alunos apliquem os conhecimentos adquiridos. Incentivá-los a rever exemplos resolvidos no livro, caso seja necessá-

rio ou tenham alguma dúvida. Ao realizar a correção, observar os pontos que mais geraram dúvidas nos alunos e, se for o caso, fazer uma retomada.

Desafio Se possível, levar copos de plástico e água para que os alunos possam vivenciar a situação apresentada. Caso não seja

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possível, é interessante que eles desenhem no caderno copos iguais; para diferenciar os copos cheios dos outros, pedir para que pintem com lápis de cor. Incentivar os alunos a registrar todas as etapas que realizaram para que possam compartilhá-las posteriormente. É importante que eles resolvam

2a bandeja:

3a bandeja:

LUCAS FARAUJ

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ATIVIDADES

esse desafio considerando o erro como parte do processo. Resolução do desafio Existem várias maneiras de resolver este desafio. Por exemplo: para resolvê-lo é necessário satisfazer duas condições: 1a) cada bandeja tem que ter o mesmo número de copos. 2a) cada bandeja precisa ter a mesma quantidade de suco. Se temos 21 copos ao todo e precisamos distribuí-los em três bandejas, basta dividir 21 : 3 = 7. Então, em cada bandeja deve ter 7 copos. Desta forma, a 1a condição está satisfeita. Para satisfazer a 2a condição, podemos juntar todos os copos de suco e dividi-los em 3 partes iguais. Temos 7 copos cheios. Lembrando que duas metades correspondem a um inteiro, temos: 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 + = 3 , ou seja, 7 copos 2 2 pela metade correspondem a 3 copos inteiros mais uma me-

Resoluções na p. 309

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS P O R T O D A P A RT E

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Receitas típicas brasileiras Influenciada por povos indígenas, negros, colonizadores portugueses e imigrantes, a culinária brasileira é bastante variada. Veja nas fichas a seguir alguns dos ingredientes que fazem parte de receitas típicas de algumas regiões brasileiras. Observe que os ingredientes estão representados na forma fracionária. Bobó de camarão (Bahia) 1

1 xícara de chá de xarope de guaraná 2 DAN

I E L A L M EI D A

1 quilograma de 2

camarão sem casca

1 xícara de chá de água 2

Cuca de manteiga (Rio Grande do Sul) 1 de xícara de chá de água morna 3 1 xícara de chá de açúcar 2 3 3 xícaras de chá de farinha de trigo 4 3 de xícara de chá de manteiga em 4

temperatura ambiente

MARCOS MACHADO

Bolo de guaraná (Região Norte)

MARCOS MACHADO

Por toda parte Solicitar aos alunos que realizem a leitura de cada ficha de receita típica com os ingredientes. Pedir a eles que identifiquem os dados apresentados em forma de fração ou de número misto e expliquem o que esses números estão representando. Perguntar aos alunos se conhecem alguma outra receita típica com ingredientes que tenham a quantidade envolvendo frações. Se desejar ampliar a atividade, sugerir que realizem uma entrevista com uma pessoa que tenha o hábito de cozinhar e orientá-los a anotar essas receitas. Se possível, ao finalizar essa pesquisa eles podem montar um livro de receitas. Para responder às questões 2 e 3, é importante que os alunos percebam que não podem comparar nem adicionar frações de inteiros diferentes. Orientá-los que, para comparar frações, podem ser usados recursos como a representação geométrica ou a transformação em frações equivalentes. E, para adicionar frações de denominadores diferentes, há a necessidade de transformá-las em frações equivalentes. Se eles produziram um cartaz-resumo, é interessante deixá-lo exposto para que possam fazer consultas sempre que necessário e, se for o caso, complementar o cartaz.

Bolo de rolo (Pernambuco) 1 xícaras de chá de farinha de trigo 4 3 2 xícaras de chá de açúcar 4 1 2 xícaras de chá de manteiga com sal 2

Observando as fichas de cada receita, resolva as seguintes questões no caderno:

1. Quais números estão representados por frações menores que 1 inteiro (frações próprias)? 1 , 1 , 3 . 2 3 4 2. Em qual das receitas aparece o maior número? Qual é ele? No bolo de rolo; 4 1 . 4 3. Considerando as quatro receitas, que quantidade de açúcar é utilizada? E de farinha de trigo? Quando possível, dê a resposta na forma de fração e na 1 13 forma mista. Açúcar: 3 xícaras = ; farinha de trigo: 8 xícaras. 4 4 4. Pesquise qual é a comida típica de sua cidade e escreva todos os ingredientes com as quantidades necessárias. Compare com o que seus colegas fizeram. Resposta pessoal. 5. Em muitas famílias existem receitas que são verdadeiros segredos de família, passadas de uma geração a outra. Existe alguma receita desse tipo na sua família? Qual o nome dessa receita? Resposta pessoal.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

AS FRAÇÕES E A PORCENTAGEM

As frações e a porcentagem Os alunos serão convidados a identificar a taxa percentual como uma fração de denominador 100. É interessante comentar com os alunos que esse conteúdo está presente em diversas situações do cotidiano, como situações que envolvem uma compra parcelada ou descontos oferecidos em compras à vista. Fazer a leitura do texto desta página explicando a correspondência entre as porcentagens e as frações. Após a apresentação do conteúdo, é interessante incentivar o diálogo entre os alunos; dessa maneira, eles terão oportunidade para discutir o conteúdo e compartilhar o conhecimento que possuem. É interessante fazer uma abordagem do conteúdo partindo das experiências dos alunos. Para isso, depois da leitura do texto do livro sobre tabagismo, recomenda-se verificar o conhecimento prévio deles fazendo alguns questionamentos sobre a relação entre frações e porcentagens. Perguntar a eles se já depararam com situações que envolvem o uso de porcentagem. Solicitar aos alunos, como tarefa para casa, que façam uma pesquisa em folhetos de lojas, jornais e revistas. Os materiais podem ser impressos ou on-line, caso eles tenham acesso. Pedir que separem diversas situações em que aparecem o uso de porcentagens. Em sala de aula, pedir que escrevam essas porcentagens em forma de fração.

De acordo com alguns dados do Instituto Nacional do Câncer (INCA), 90% dos casos de câncer no pulmão têm como responsável o tabagismo; 33% da população mundial fuma; 25% das doenças vasculares são causadas pelo hábito de fumar; 12% da população mundial feminina fuma e 50 doenças diferentes são causadas por consumo de derivados de tabaco. Além disso, a fumaça do cigarro é uma mistura de aproximadamente 4 720 substâncias tóxicas. Informações obtidas em: INCA. Programa Nacional de Controle do Tabagismo. Disponível em: <http://www.inca.gov.br/tabagismo>. Acesso em: 15 mar. 2018.

Repare que, na maioria das informações a seguir, aparecem as quantidades seguidas do símbolo %, que se lê por cento e significa por cem. • 33% da população mundial fuma 33% !

33 100 trinta e três por cento ou trinta e três por cem

Então, 33 em cada 100 pessoas são fumantes. • 90% dos casos de câncer no pulmão têm como responsável o tabagismo 90% !

90 100 noventa por cento ou noventa por cem

Então, 90 em cada 100 casos de câncer de pulmão são causados pelo tabagismo. • 12% da população mundial feminina fuma 12% !

12 100 doze por cento ou doze por cem

Então, 12 em cada 100 mulheres fumam. Agora acompanhe as representações a seguir.

100% !

100 ! 1 100

100%

EDITORIA DE ARTE

• 100% do círculo corresponde ao círculo todo:

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AMPLIANDO Link Caso tenha disponibilidade, levar os alunos para a sala de informática para que eles possam ampliar esse estudo acessando o link a seguir: <http:// livro.pro/e6ygc5>. Acesso em: 22 ago. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS • 50% do círculo corresponde à metade do círculo: 50% ! Para encontrar 50% ou

50 1 ! 100 2

1 de um todo, basta dividi-lo por 2. 2

50%

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Existem muitos materiais manipuláveis que podem contribuir para o ensino-aprendizagem deste conteúdo. Um deles é o material dourado, que pode ser explorado para facilitar o entendimento da relação entre as frações e as porcentagens. Pedir aos alunos que montem um quadrado com 10 unidades de lado utilizando os cubinhos. Depois pedir que dividam o quadrado em dois retângulos iguais, e fazer perguntas como: “Que fração representa cada retângulo comparado com o quadrado inicial?”, “Cada retângulo representa quantos por cento do quadrado inicial?”. Provavelmente, os alunos responderão que representa a metade do todo, ou seja, 50%. Espera-se que os alunos percebam que, para determinar 50% de um valor, basta dividir esse valor por dois. É interessante fazer perguntas como essas para que os alunos percebam que, para determinar 25% de um valor qualquer, basta dividir esse valor por 4; para determinar 20%, divide-se por 5 e, para determinar 10%, divide-se por 10. Utilizar círculos, como na representação no livro do aluno, também pode ser bastante explorada para ajudá-los a compreender o conceito. Se achar conveniente, solicitar que registrem as ideias exploradas em um cartaz-resumo.

• 25% do círculo corresponde à quarta parte do círculo: 25% = Para encontrar 25% ou

25 1 = 100 4

1 de um todo, basta dividi-lo por 4. 4

25%

• 10% do círculo corresponde à décima parte do círculo: 10% !

10 1 ! 100 10

Para encontrar 10% ou 1 de um todo, basta dividi-lo por 10. 10

10%

• 1% do círculo corresponde à centésima parte do círculo: 1% !

Para encontrar 1% ou

1 100

1 de um todo, basta dividi-lo por 100. 100

Observe a seguinte situação:

1 O comércio Hora da Esfirra, em Alegrete, faz muito sucesso. Em um sábado foram vendidas 500 esfirras. Sabe-se que 27% dessa quantidade era de queijo. Quantas esfirras de queijo foram vendidas nesse sábado? 27% de 500 ! 27 " 1% de 500 500 : 100 = 5 27% de 500 ! 27 x 5 ! 135 Foram vendidas 135 esfirras de queijo. 162

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6 3 ou . 8 4 7. Uma pizza foi dividida em 8 partes 1 iguais. Beto comeu , e João comeu 4 1 de pizza. Faça um esquema para 2 representar essa situação e responda: 75%;

C A

casa

horta

dim

casa

pomar

casa

rta

jar

horta

jardim

dim

jar

pomar

a) Quantos pedaços Beto comeu? Quantos por cento do todo isso representa? 2; 25%.

horta

pomar

pomar casa

4. Qual é a quantia correspondente a 37% de 25 000 reais? 9 250 reais.

5. Que porcentagem de pessoas representa 55% de 3 000 pessoas? 1 650 pessoas. 3 6. Uma pesquisa mostrou que dos 5 alunos de uma sala de aula vão a pé para a escola. Quantos por cento dos alunos dessa sala vão a pé para a escola? 60%

8. Em uma eleição havia 35 000 eleitores inscritos, mas 6% deles não votaram. a) Quantos eleitores não votaram? 2 100 eleitores. b) Quantos eleitores votaram? 32 900 eleitores.

9. Supondo que uma fila de espera para um transplante de fígado tinha cerca de 6 200 pacientes, dos quais 61% não tiveram condições para receber o transplante, quantos restaram na fila? 2 418 pacientes. 10. Bianca tem 100 reais e quer comprar um vestido novo. Em uma loja, encontrou um vestido de 65 reais. Viu também sapatos que custavam 45 reais. Quando se preparava para comprar o vestido, a vendedora disse que havia uma promoção: para pagamento à vista, os sapatos e o vestido, juntos, custariam 100 reais. Considerando que ela gastaria apenas os 65 reais do vestido:

pomar

EDITORIA DE ARTE

casa

c) Quantos por cento da pizza os dois comeram juntos? Que fração isso representa?

3. (Saresp-SP) Um terreno foi dividido em quatro partes, de modo que 25% são para a construção da casa, 50% para o pomar, 20% para a horta e o restante para o jardim. A representação gráfica que corresponde à divisão feita é: Alternativa d. a) c) jardim

horta

b) Quantos pedaços João comeu? Que porcentagem do todo isso representa? 4; 50%.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

dim

1. Em um jogo de basquete, Ivo acertou 1 dos arremessos que fez. a metade 2 Qual sua taxa percentual de acerto? 50% 2. O círculo abaixo está dividido em setores: A, B e C. Que setor representa 50% do círculo? O setor A.

jar

Responda às questões no caderno.

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ATIVIDADES

Por exemplo, acompanhe a análise visual da representação gráfica apresentada no item c:

Resoluções na p. 310

• O pomar representa um pouco menos da metade, ou seja, menos de 50%. • A casa e a horta aparentemente representam a mesma parte do todo. • O jardim é a menor parte, “quase metade de um quarto” ou “quase metade de 25%”. Para enriquecer a atividade, pedir aos alunos que estimem, em cada círculo, quantos por cento representam as partes (pomar, jardim, casa, horta). Como sugestão, fazer a atividade em duplas e, depois, discutir os resultados com a turma, dando atenção especial às justificativas dos alunos para os resultados. Mais importante que o resultado exato são a análise e as estimativas que eles devem fazer. Incentivar a expressão e o registro das estimativas que eles fizerem ao longo de todas as resoluções, assim será possível identificar pontos que merecem maior atenção e possíveis retomadas.

a) Quanto a mais Bianca teria de gastar se optasse pela promoção? 35 reais a mais. b) Quantos por cento do total essa dife35 rença representa? 100 c) Vale a pena aproveitar a promoção? Resposta pessoal. 163

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades Neste bloco, os alunos poderão identificar a taxa percentual como uma fração de denominador 100 e resolver problemas que envolvam porcentagem. Orientá-los a realizar as atividades

utilizando também o cálculo mental. Na atividade 3, por exemplo, os alunos devem concluir que: todo o ter• 100% = 1 reno (círculo inteiro); 1 • 50% do terreno 2 (metade) do terreno (metade do círculo);

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1 4 (metade da metade) do terreno (metade da metade do círculo); 1 do • 20% do terreno 5 terreno (uma parte do terreno inteiro dividido em 5 partes iguais ou um quinto do círculo).

• 25% do terreno

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Probabilidade Os objetivos aqui são apresentar a noção de probabilidade, calcular a probabilidade e expressá-la por meio de fração. Assim, inicia-se o trabalho para desenvolver a habilidade EF06MA30. O ensino da estatística e da probabilidade é de fundamental importância na formação de cidadãos críticos para atuar de forma ativa na sociedade, pois possibilita a reflexão sobre diversos fatos que ocorrem no nosso cotidiano. Certamente os alunos já devem ter vivenciado algo que envolvesse o uso de probabilidade, uma vez que ela faz parte do dia a dia das pessoas. De maneira geral, está presente em situações cotidianas; às vezes nos referimos à probabilidade de algo ocorrer em uma simples frase, como: “Provavelmente o dia seguirá com tempo firme”. Para esse estudo costumam-se utilizar exemplos que envolvem eventos simples, como disputa de par ou ímpar e o lançamento de uma moeda para verificar se sai cara ou coroa. É comum encontrar uma probabilidade expressa por meio de porcentagem. Dessa forma, as pessoas conseguem compreender melhor o seu significado. Por exemplo, ao lançar uma moeda, qual a probabilidade de sair cara ou coroa? Dizemos que essa probabilidade é de 1 em 2, ou seja, de 50% de chance de sair cara ou coroa. Se achar conveniente, propor uma atividade em que os alunos possam vivenciar experiências como o lançamento de uma moeda, ou que utilizem dados de seis faces numéricas para verificar a possibilidade de obter um número par ou um número ímpar, por exemplo. Sugere-se dividir a turma em duplas e distribuir para cada aluno uma cartela com quatro casas, quatro marcadores (podem ser feijões, botões

CAPÍTULO

PROBABILIDADE p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 311

Responda às questões no caderno. 1. Márcia vai colocar em um estojo estas fichas: 15

a) Observe as fichas e responda: • Quantas fichas são ao todo? 10 fichas. • Em quantas fichas está escrito um número múltiplo de 5? 8 fichas. • Em quantas fichas há números que não são múltiplos de 5? 2 fichas. b) Se Márcia pegar, ao acaso, sem olhar, uma dessas fichas, é mais provável pegar uma ficha com um número múltiplo de 5 ou uma ficha com um número que não é múltiplo de 5? Uma ficha com um número múltiplo de 5.

Considere as seguintes situações:

1 Guilherme e Carlos vão disputar no par ou ímpar quem vai escolher o filme a que vão assistir. Guilherme pediu par, e Carlos, ímpar. Qual é a probabilidade de o resultado ser par? Por quê? Podemos dizer que a probabilidade de o resultado ser par é de 1 em 2, 1 . Também podemos dizer que a probabilidade de o resultado ou seja, 2 1 . Isso significa que a probabilidade de resultado par é igual à ser ímpar é 2 probabilidade de resultado ímpar. 2 Vítor colocou em uma caixa 8 bolas de gude coloridas de mesmo tamanho, sendo 5 amarelas e 3 azuis. Se ele pegar uma bola qualquer, qual a probabilidade de a bola ser amarela? 5 . A probabilidade de a bola ser amarela é de 5 em 8, ou seja, 8 Pelas situações apresentadas, é possível determinar a probabilidade de um evento expressando esse valor por meio de uma fração; essa fração é denominada probabilidade de ocorrência do evento. 164

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etc.) e uma moeda. Deixar os alunos escolherem a face da moeda, cara ou coroa, e decidir quem começará o jogo. O valor da moeda é indiferente, de modo que somente as faces são importantes. Os alunos lançam a moeda. Se sair cara, aquele que fez essa opção preenche uma casa da

cartela. Se sair coroa, o outro aluno procede da mesma forma. Vence quem preencher a cartela primeiro.

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções na p. 311

Responda às questões no caderno.

1. Em um estojo há 13 lápis coloridos e 7 lápis pretos. a) Se você retirar, ao acaso, sem olhar, um lápis desse estojo, a chance maior é de que você pegue um lápis colorido ou um lápis preto? Lápis colorido. b) Qual é a probabilidade de você retirar: 13 • um lápis colorido? 20 7 • um lápis preto? 20 2. Em um cesto há 12 bolas de vôlei, sendo 2 brancas, 6 amarelas e 4 vermelhas. Desse cesto, ao acaso, sem olhar, uma bola é retirada. Qual é a probabilidade de essa bola retirada ser de cor: 2 1 6 1 a) branca? ou . b) ou . 12 6 12 2 b) amarela? 4 1 c) vermelha? ou . 12 3 3. Uma urna contém 15 bolas numeradas: 48 11

60 17

88 67

51 28

72 32

94 37

DESAFIO

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Retira-se uma bola, ao acaso, sem olhar, dessa urna e observa-se o número retirado. a) É mais provável que o número escrito na bola retirada seja um número par ou um número ímpar? Número par. b) Qual é a probabilidade de o número da bola retirada ser um número par? 9 ou 3 . 15 5 c) Qual é a probabilidade de o número da 6 bola retirada ser um número ímpar? ou 2 . 15 5 4. Mateus tem fichas nas quais estão escritas letras e números. A

a) Quantas fichas ele tem? 10 fichas. b) Ele coloca todas as fichas em uma urna. Se quiser tirar uma dessas fichas, ao acaso, sem olhar, a chance maior será sair uma ficha em que está escrito um número ou uma letra? Uma letra. c) Qual é a probabilidade de sair uma ficha 7 em que está escrita uma letra? 10 d) Qual é a probabilidade de sair uma ficha 3 em que está escrito um número? 10

5. (Enem/MEC) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte. 3 75 ! 75% ! 100 4 Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela. Alternativa c. Uma representação possível para essa segunda situação é: a) c) e) b)

Atividades As atividades deste bloco exploram o conceito de probabilidade. Sempre que possível, providenciar o material relativo à situação exposta no exercício para que os alunos possam vivenciá-la. Solicitar a eles que, durante as resoluções, anotem as dúvidas ou pontos que sentem a necessidade de retomar. Desafio Pedir aos alunos que discutam entre si a situação proposta. Depois, propor que abram a discussão com a turma incentivando que se expressem e que respeitem as diferentes opiniões, caso ocorra uma opinião divergente à do colega. É interessante pedir que justifiquem suas respostas argumentando sobre sua opinião e, se achar conveniente, estimulá-los a elaborar um texto contando os procedimentos realizados. Resolução do desafio De acordo com o enunciado, o professor preencheu 75% da lousa, representado da seguin75 3 te forma: 75% = = . 100 4 Em seguida, o professor apagou a lousa e preencheu 40% dela. O aluno precisa encontrar a representação geométrica dessa lousa. É esperado que o aluno siga o mesmo raciocínio para representar 40% da lousa na forma fracionária, repre40 2 sentando 40% = = , 100 5 que corresponde à representação geométrica apresentada no item c.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tratamento da informação Nesta seção serão apresentados aos alunos tabelas de dupla entrada e gráficos de barras duplas nos quais eles terão a oportunidade de organizar e analisar os dados em tabelas e gráficos e tirar conclusões dessas informações. Iniciar uma discussão com os alunos sobre o papel da mulher na sociedade para estimulá-los a pensar sobre a questão da representatividade feminina na política. Perguntar se nas eleições suas mães costumam votar e se eles acham que as suas avós e bisavós também votam ou votavam. É interessante conduzir uma discussão fazendo perguntas aos alunos, a fim de refletirem se no Brasil as mulheres sempre tiveram direito ao voto. Dessa forma, pode-se verificar o conhecimento prévio dos alunos sobre o tema que será discutido. Propor aos alunos que, em duplas, leiam o texto do livro sobre a participação da mulher na vida política no Brasil e em seguida respondam às questões no caderno. Para responder à primeira questão, sugere-se aos alunos que acessem o link a seguir sobre as regras eleitorais brasileiras. Disponível em: <http:// livro.pro/wnbvvj>. Acesso em: 22 ago. 2018 Incentivar o debate entre os alunos sobre a importância do parlamento refletir a estrutura da sociedade, em especial a participação da mulher. Essas reflexões podem ser ampliadas com a participação dos professores de História e Geografia. Depois que eles responderem à primeira questão, proporcionar um momento para que possam trocar ideias sobre as informações encontradas, como responderam à questão proposta no livro e exponham suas opiniões acerca do tema discutido.

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções na p. 311

Tabela de dupla entrada e gráfico de barras duplas A participação da mulher na vida política do Brasil começou a ser discutida em 1827, no Senado. Esse assunto foi debatido ao longo de décadas até que, em 1932, o Código Eleitoral considerou eleitor “o cidadão maior de 21 anos, sem distinção de sexo (...)”, dando às mulheres o direito de votar e de serem votadas. Esse direito é chamado de sufrágio. Finalmente, a Constituição de 1946, com o sufrágio feminino completamente estabelecido, afirmava que “São eleitores os brasileiros maiores de dezoito anos que se alistarem na forma da lei.”. Informações obtidas em: BRASIL. TSE. Voto da mulher. Disponível em: <http://www.tse.jus.br/ eleitor/glossario/termos/voto-da-mulher>. Acesso em: 8 jun. 2018.

No entanto, o direito de votar e de serem votadas não é o suficiente para garantir um parlamento que reflita a estrutura da sociedade e, consequentemente, a presença de mulheres em cargos de alto escalão do governo, como assessores especiais, secretários e ministros. Vamos ver um exemplo disso observando as tabelas abaixo: Proporção de mulheres em cargos de nível ministerial ou semelhante – 2018 País

Proporção de homens em cargos de nível ministerial ou semelhante – 2018

Proporção (%)

País

Proporção (%)

Islândia

40,0

Islândia

60,0

Noruega

38,9

Noruega

61,1

Nova Zelândia

37,0

Nova Zelândia

63,0

Peru

36,8

Peru

63,2

Chile

34,8

Chile

65,2

Brasil

4,0

Brasil

96,0

Fonte: ROSSI, M. Brasil, a lanterna do ranking de participação da mulher na política. El País. Disponível em: <https://brasil.elpais.com/brasil/2018/03/27/politica/1522181037_867961.html>. Acesso em: 8 jun. 2018.

1. Faça uma pesquisa sobre as regras eleitorais brasileiras atuais. Quem tem direito a votar? E quem tem direito a ser votado? Tem direito a votar todo brasileiro com idade a partir de 16 anos. O voto torna-se obrigatório para eleitores entre 18 e 69 anos. Pode ser votado todo brasileiro com filiação partidária e que tenha a idade mínima exigida para o cargo. 166

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Antes de iniciar a pesquisa para responder à segunda questão, orientar os alunos a buscar os dados em sites atuais e confiáveis. Por exemplo, a pesquisa sobre o número de vereadores deve ser realizada em sites oficiais da prefeitura ou da Câmara dos Vereadores, se houver. Outra questão importante é que a informação pode não estar consolidada conforme pedido na atividade. Se isso ocorrer, os alunos devem colher as informações uma a uma e consolidá-las. Por exemplo, a lista dos vereadores pode ter apenas o nome, sem a classificação de gênero, homem ou mulher. Outro ponto importante é verificar se a informação é a mais atual possível. Peça aos alunos que verifiquem no site a data em que foi publicada. Para resolver a segunda questão, organizar a turma em grupos de três ou quatro alunos. Eles podem utilizar papel quadriculado para a construção das tabelas e gráficos ou, se achar conveniente, aproveitar o momento para utilizar uma planilha eletrônica. É provável que o resultado dessa pesquisa seja semelhante ao encontrado no Congresso Nacional. Mas independentemente do resultado, recomenda-se aproveitar esse momento para uma discussão do que pode ser feito para melhorar a representatividade da mulher nos municípios pesquisados.

Observe que, para transmitir os dados anteriores, foram necessárias duas tabelas, que podem ser transformadas em uma única tabela. Veja abaixo como fica essa nova tabela. Proporção em cargos de nível ministerial ou semelhante, por sexo – 2018 Proporção (%)

Homens

Mulheres

Islândia

60,0

40,0

Noruega

61,1

38,9

Nova Zelândia

63,0

37,0

Peru

63,2

36,8

Chile

65,2

34,8

Brasil

96,0

4,0

País

Fonte: ROSSI, M. Brasil, a lanterna do ranking de participação da mulher na política. El País. Disponível em: <https://brasil.elpais.com/brasil/2018/03/27/ politica/1522181037_867961.html>. Acesso em: 8 jun. 2018.

Tabelas como essa são chamadas de tabelas de dupla entrada. Esse tipo de tabela, assim como uma tabela simples, pode ter seus dados representados em um gráfico. Observe abaixo:

100,00 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00

Legenda Homens Mulheres

Islândia

Noruega

Nova Zelândia

Peru

Chile

Brasil País

EDITORA DE ARTE

Proporção (%)

Proporção em cargos de nível ministerial ou semelhante, por sexo – 2018

Gráficos como esse são chamados de gráficos de barras duplas. Veja que cada cor das barras é referente aos dados de uma das colunas da tabela (homens e mulheres). Essa distinção é apresentada pela legenda do gráfico. 2. Agora é sua vez! Junte-se em grupo, e pesquisem, em seu município e em mais três municípios vizinhos, a proporção entre homens e mulheres ocupando o cargo de vereador em cada município. Em seguida, organizem os dados pesquisados em uma tabela de dupla entrada e em um gráfico de barras duplas. Não esqueçam os títulos, as fontes etc. Resposta pessoal. 167

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RETOMANDO O QUE APRENDEU

Resoluções na p. 311

Responda às questões no caderno. 1. Em uma cidade, a idade média dos homens é 60 anos. Um garoto de 12 anos já viveu uma fração dessa “idade média”. Qual é essa fração? 1 5 2. (Saresp-SP) Na portaria de um prédio chegaram, certo dia, 65 cartas. Desse 1 total, foi entregue no 1o andar. 5 Qual é o número de cartas distribuídas nos outros andares? Alternativa d. a) 20 b) 35 c) 48 d) 52 3. Um disco de vinil 1 de 33 rota3 ções por minuto tocou durante 15 minutos. Quantas rotações ele deu durante esse período de tempo? 500 rotações.

Disco de vinil, também conhecido como LP.

4. Foram entrevistados 420 candidatos a determinada vaga de emprego. 5 Sabe-se que desse número de can7 didatos foram rejeitados. Alternativa d. Então, foram aceitos: a) 300 candidatos. b) 210 candidatos. c) 380 candidatos. d) 120 candidatos. 5. (Saresp-SP) A figura está dividida em cinco partes iguais. A parte pintada representa: Alternativa c.

a) 10%

c) 20%

b) 12%

d) 25%

6. (Saresp-SP) Numa caixa com 100 bolas, 45 são vermelhas, 20 são azuis, e as restantes são amarelas. Em relação ao total, a porcentagem de bolas amarelas é: Alternativa d. 55 45 c) a) 100 100 25 35 b) d) 100 100 7. (Prova Brasil) Um dia tem 24 horas, uma hora tem 60 minutos e 1 minuto tem 60 segundos. A fração da hora que corresponde a 35 minutos é: 7 35 Alternativa b. c) a) 4 24 7 60 b) d) 12 35

8. (Saresp-SP) Dois terços da população de um município correspondem a 36 000 habitantes. Pode-se afirmar que esse município tem: Alternativa d. a) 18 000 habitantes. b) 36 000 habitantes. c) 48 000 habitantes. d) 54 000 habitantes. 9. ( S a r e s p - S P ) Uma plantação foi feita de 2 modo a ocupar da 5 terça parte da área de um sítio, como mostra a figura. Em relação à área total do sítio, a fração que representa a área ocupada por essa plantação é: Alternativa a.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Retomando o que aprendeu O objetivo das atividades apresentadas nesta seção é propiciar aos alunos uma retomada e que tirem suas dúvidas sobre os conteúdos estudados na Unidade. É importante que os alunos realizem essas atividades individualmente e anotem as questões em que encontraram maior dificuldade. Assim será possível desenvolver um trabalho voltado para a orientação específica dos temas que precisam ser retomados. Na atividade 11, é possível explorar a situação apresentada para desenvolver a habilidade EF06MA15. Pedir aos alunos que busquem no livro os conceitos nos quais tiverem dificuldade e, caso tenham produzido um cartaz-resumo, que façam uma consulta.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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2 a) 15 b)

2 3

3 2

3 15

10. (OBM) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada? Alternativa b.

11. João e Guilherme compraram um terreno juntos, de tal forma que João 3 pagou do valor do terreno e o res5 tante foi pago por Guilherme.

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Os dois venderão o terreno e conseguiram um comprador que pagará por todo o terreno o valor de R$ 35 450,00. Cada um receberá, desse valor, uma parte proporcional ao valor pago pelo terreno. Quanto cada um receberá? João: R$ 21 270,00; Guilherme: R$ 14 180,00. 12. Na atividade anterior, um mesmo valor foi dividido em duas partes desiguais, nesse caso, proporcional ao que cada um pagou. Elabore uma atividade como a anterior, troque-a com um amigo e resolva a atividade dele. Em seguida, corrija sua atividade com seu colega. Resposta pessoal. Uma possível resposta: dividimos o numerador e o denominador por um mesmo número, caso exista. Na fração que resultar fazemos o mesmo, até que ela fique irredutível.

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4 9

1 2

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UM NOVO OLHAR

Nesta Unidade, além de estudarmos conceitos de frações, pudemos explorar operações e aplicações que envolvem frações com denominadores diferentes (soma e subtração). Em duplas, elaborem um quadro-resumo dessas operações indicando as estratégias utilizadas em cada uma e, em seguida, testem esse quadro-resumo em alguns exercícios do próprio livro para averiguar a eficácia das informações elaboradas por vocês. Também foram explorados conceitos que trabalham a fração como razão (porcentagem e probabilidade). Percebam que em porcentagem sempre há comparação de um valor com o total 100. Além desses conceitos, os textos apresentados na Unidade trouxeram importantes informações sobre a história da Matemática. Vamos retomar as aprendizagens e refletir sobre elas. Responda no caderno: • Você se recorda das representações numéricas utilizadas pelos egípcios? Como os egípcios representariam a fração 1 ? 25 • Que estratégias você utilizaria para comparar frações com denominadores diferentes? Resposta pessoal. Uma possível resposta: obter frações equivalentes. • Descreva qual procedimento você usa para simplificar uma fração. • Qual é o procedimento utilizado na soma de duas frações com denominadores diferentes? Uma possível resposta: determinamos frações equivalentes que tenham o mesmo denominador e somamos os numeradores das frações. No final, se necessário, simplificamos o resultado. • Como a fração se relaciona com a porcentagem? • Descreva o que é a razão de probabilidade. Uma possível resposta: a razão de probabiliUma possível resposta: os valores percentuais dade é uma medida que relaciona por meio de podem ser escritos como uma fração de denomiuma fração o número de casos favoráveis (no numerador) com o número de casos possíveis 25 nador 100, por exemplo, 25% é o mesmo que . (no denominador) da ocorrência de um evento. 100 169

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Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam reconhecer suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade. A primeira pergunta retoma os conceitos estudados logo no início da Unidade, que apresenta informações sobre a escrita fracionária dos egípcios; eles escreviam a fração unitária, ou seja, aquela de numerador 1. É interessante pensar em como fariam se houvesse a necessidade de es2 crever uma fração do tipo . 5 A terceira pergunta pede a descrição procedimental da simplificação de frações, algo que será utilizado em toda a trajetória escolar. Se eles tiverem elaborado um cartaz-resumo, é interessante que confirmem suas escritas com as sistematizações existentes no livro. A última pergunta envolve a descrição de razão de probabilidade. É interessante fazê-los perceber que no livro esse conceito foi trabalhado de uma maneira mais intuitiva e, aqui, os alunos são desafiados a escrever o que entenderam. Além dos questionamentos apresentados, é possível solicitar a elaboração de um quadro-resumo com as regras operatórias para frações com o objetivo de ajudá-los nessa retomada dos procedimentos utilizados em cada operação, bem como permitir essa sistematização, o que tornará possível a troca de estratégias entre os alunos. É importante que, após a escrita desse quadro-resumo, eles retornem às definições apresentadas no livro para confirmar a veracidade de suas sistematizações.

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COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

Os números racionais são utilizados em diferentes ambientes como mercados, postos de gasolina, lojas, entre outros. Note que a escrita desses números na imagem ao lado aparece na forma decimal e não na forma fracionária. • Nessa imagem, podemos ver uma lista de compras de mercado organizada em cinco divisões. Quais são elas? Item, categoria, quantidade, preço e total.

p. XVI e XVIII

Números • EF06MA01 • EF06MA08 • EF06MA10 • EF06MA11 • EF06MA12 • EF06MA13 Grandezas e medidas • EF06MA24 Probabilidade e estatística • EF06MA30

Podemos perceber também que essas divisões estão organizadas em colunas e há uma indicação de quantidade. Observe, por exemplo, que no item arroz a quantidade é representada por 5, enquanto na carne aparece a representação 1,5, que já é um número não inteiro escrito na forma decimal. Na parte de baixo da lista, podemos perceber outros números escritos na forma decimal que representam a totalização dos valores gastos por categoria.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Abertura de Unidade É interessante estimular os alunos a observar os itens que constam na lista de compras apresentada, os respectivos preços e informações complementares. São válidos questionamentos que levem a diferentes reflexões sobre os preços praticados nesse supermercado (se estão compatíveis com os preços reais de mercados que eles conhecem, por exemplo), como é possível fazer comparação de preços, formas de economizar etc. Nesta abertura de Unidade, exploram-se a formação da cidadania e o cotidiano familiar. O questionamento sobre a elaboração de listas de compras tem por objetivo promo-

• Considerando cada um dos valores, você saberia informar o valor total da compra? R$ 127,70 • Observe as cédulas no bolso que serão entregues para o pagamento dessa compra. Qual será o valor do troco? R$ 79,30 • Sua família costuma elaborar listas de compras? O que você acha desse procedimento? Resposta pessoal.

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HABILIDADES

A FORMA DECIMAL DOS NÚMEROS RACIONAIS

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verD3-MAT-F2-2051-V6-U06-170-199-LA-G20.indd reflexões sobre a funcio-170 nalidade e a utilidade dessas listas, e até sua importância no controle de gastos e no desenvolvimento da compra consciente. É interessante resgatar com os alunos situações vividas por eles que envolvam compra/ venda, por exemplo, no uso da cantina escolar.

Pedir que eles anotem no caderno todos os valores expressos na forma decimal que encontrarem na imagem e, em seguida, tentem identificá-los observando a sua utilização, por exemplo, massa e preço.

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Arroz Macarrão Feijão Leite Sabonete Farinha de trigo Ovo Queijo Extrato de tomate Iogurte Couve Alface Carne Biscoito de água e sal Detergente Peito de frango

C AT E G OR I A Mercearia Mercearia Mercearia Laticínios Higiene Mercearia Mercearia Laticínios Mercearia Laticínios Hortifrúti Hortifrúti Carnes Mercearia Limpeza Aves

Q UA NT IDADE 5 kg 1 pacote 2 kg 5 caixas 6 unidades 1 kg 1 dúzia 0,3 kg 2 latas 1 unidade 1 maço 1 pé 1,5 kg 1 pacote 2 unidades 2 kg Mercearia - total Laticínios - total Carnes - total Aves - total Outros - total Total

P RE Ç O R$ 2,25 o kg R$ 1,99 o pacote R$ 5,00 o kg R$ 3,59 a caixa R$ 0,96 a unidade R$ 3,63 o kg R$ 4,99 a dúzia R$ 15,50 o kg R$ 2,66 a lata R$ 4,79 a unidade R$ 1,98 o maço R$ 1,20 o pé R$ 18,10 o kg R$ 2,50 o pacote R$ 1,27 a unidade R$ 11,00 o kg R$ R$ R$ R$ R$ R$

TOTAL R$ 11,25 R$ 1,99 R$ 10,00 R$ 17,95 R$ 5,76 R$ 3,63 R$ 4,99 R$ 4,65 R$ 5,32 R$ 4,79 R$ 1,98 R$ 1,20 R$ 27,15 R$ 2,50 R$ 2,54 R$ 22,00

MANZI; EDITORIA DE ARTE

ITEM

39,68 27,39 27,15 22,00 11,48 ?

Propor uma pesquisa sobre a história dos números decimais. É interessante os alunos conhecerem um pouco do contexto social em que eles foram criados e as necessidades que levaram a sua criação. Podem conhecer também como evoluiu a notação dos números decimais até chegar à que usamos atualmente associando-os às frações decimais. Isso pode ajudar o aluno a perceber que a Matemática é uma ciência em evolução e, assim, trazer mais significado para a sua aprendizagem. Os números decimais estão presentes em várias situações do nosso cotidiano. Além do Sistema Monetário, seu uso é muito comum em medidas, como peso, altura, comprimento, volume e área. Nesse sentido, é importante possibilitar ao aluno vivenciar situações que permitam associar o objeto de estudo às situações de seu dia a dia, tornando, assim, a aprendizagem significativa. Pedir aos alunos que procurem em jornais, revistas, folhetos de propaganda e internet exemplos de números decimais fazendo um levantamento da sua utilidade em nossa sociedade. Se possível, solicitar que recortem e colem esses números em um cartaz e anotem ao lado a situação em que ele foi utilizado. NO DIGITAL – 3O bimestre

• Veja o plano de desenvolvimento para as unidades 6 e 7.

• Desenvolva o projeto inte-

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Sobre o valor total da compra, se perceber certa dificuldade em calculá-lo, permitir que sejam feitos arredondamentos. Antes que executem as operações, incentive-os a estimar o valor total da compra. Lembre-os de que não se trata de um chute e sim de uma hipótese ou cálculo

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aproximado. Quanto ao troco, espera-se que eles percebam que as notas escolhidas têm um propósito, que é o de facilitar o troco. Na lista de compras a ser criada pelos alunos, discutir o essencial e o que pode ser excluído dela. Provavelmente os alunos possuem conhecimentos sobre

9/26/18 3:19 PM os números decimais adquiridos durante os anos anteriores. Os números decimais surgiram da necessidade de representar medidas e foi substituindo cada vez mais as frações. Por serem mais fáceis de comparar e operar do que as frações, os números decimais são muito utilizados no dia a dia.

grador sobre o uso de mosaicos na arte. • Explore as sequências didáticas do bimestre que trabalham as habilidades: EF06MA01, EF06MA02, EF06MA08, EF06MA11, EF06MA12, EF06MA13, EF06MA16, EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA21, EF06MA22, EF06MA23, EF06MA25, EF06MA26, EF06MA27, EF06MA28 e EF06MA34. • Acesse a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1 unidade = 1 = = 1,0 1

1 décimo = 1 centésimo = 1 milésimo =

1 = 0,1 10

1 = 0,01 100

1 = 0,001 1 000

CAPÍTULO

REPRESENTAÇÃO DECIMAL Observe o cubo grande abaixo e considere que ele vale uma unidade. 1 unidade

Dividindo essa unidade (o cubo grande) em 10 partes iguais, obtemos 10 placas como esta.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Representação decimal O objetivo aqui é levar o aluno a reconhecer a forma decimal para representar números racionais aprofundando e organizando os conhecimentos prévios dos alunos. Aqui são associados os números decimais com as frações decimais. É importante que os alunos compreendam que um mesmo número pode ser representado de diferentes maneiras; neste caso, um número pode ser escrito na forma de fração ou na forma decimal. Essa percepção será bastante útil para que eles consigam estabelecer uma relação entre as diferentes representações que serão exploradas, e pode evitar que eles tratem essas ideias como conteúdos diferentes ou sem nenhuma ligação. Pense e responda Depois de os alunos já terem identificado cada peça do material dourado em relação ao cubo grande tomado como 1 inteiro, ampliar a atividade propondo que representem com essas peças alguns números expressos na forma de fração e na forma decimal. É importante que fiquem claros, para os alunos, os valores fracionários e decimais atribuídos ao material. Aproveitar também para que os alunos associem a leitura e a correta escrita por extenso. Para isso, pedir que façam um cartaz com um desenho representativo do cubo, da placa, da barra e do cubinho, e anotem, ao lado de cada figura, a convenção de seus valores fracionários e decimais. Por exemplo:

Dividindo a unidade em 100 partes iguais, obtemos 100 barras como esta.

p e n s e e r e s p o nd a

Dividindo a unidade em 1 000 partes iguais, obtemos 1 000 cubinhos como este.

Resoluções na p. 312

3. A milésima parte ou

1 . 1 000

Responda às questões no caderno. 1. Que fração do cubo grande uma placa representa? A décima parte ou 1 . 10 A centésima parte 2. Que fração do cubo grande uma barra representa? 1 . ou 100 3. Que fração do cubo grande um cubinho representa?

Unidade decimal Toda fração decimal de numerador 1 é denominada unidade decimal. Assim: 1 é uma unidade decimal de 1a ordem, que é representada por 0,1. • 10 1 um décimo = 0,1 10 1 • é uma unidade decimal de 2a ordem, que é representada por 0,01. 100 1 um centésimo = 0,01 100 172

Se achar conveniente, perguntar aos alunos o significado da palavra centavo, centímetro, milímetro e mililitro para que possam associar seus significados com os valores convencionados. Por exemplo, centavo é a centésima parte de um real.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 1 é uma unidade decimal de 3a ordem, que é representada por 0,001. 1000 1 um milésimo = 0,001 1000 1 • é uma unidade decimal de 4a ordem, que é representada por 0,0001. 10 000

O trabalho com materiais manipuláveis auxilia no desenvolvimento do conceito de números na forma decimal, assim como o quadro de ordens auxilia na sua leitura. Esses recursos também propiciam melhor compreensão na comparação de números na forma decimal. Existem muitos materiais que podem auxiliar nesse processo de representação; um deles é o material dourado que é considerado um excelente recurso para a introdução desse tema. Para isso, sugere-se organizar a turma em grupos e disponibilizar o material dourado para cada grupo. Explorar o conhecimento prévio dos alunos em relação ao material e solicitar que os que já trabalharam com esse material auxiliem os que ainda não tiveram essa oportunidade.

•

1 = 0,0001 10 000

um décimo de milésimo

... e assim por diante. Utilizando o quadro posicional ou de ordens, temos: Ordens inteiras unidades de milhar

...

Ordens decimais

centenas dezenas unidades

décimos centésimos milésimos

décimos de milésimos

...

1 0

AMPLIANDO

Na representação decimal de números racionais, a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Atividade complementar Propor composições de números com o material dourado para que os alunos os registrem na forma de fração e na forma decimal. Aproveite também para explorar a escrita por extenso desses números. Os alunos podem registrá-los também no quadro de ordens. Veja alguns exemplos:

SAIBA QUE

Um número inteiro pode ser escrito na forma decimal. Por exemplo, o número 1 pode ser escrito como 1,0; 1,00; 1,000 etc. conforme a necessidade.

Números racionais na forma decimal Observe como escrever uma fração decimal na forma decimal. •

17 7 7 10 " 7 10 7 ! ! " ! 1 " ! 1 ! 1,7 10 10 10 10 10 10

Lemos: um inteiro e sete décimos.

1 décimo

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1 décimo

3 = 0,3 H três décimos 10

Lemos: dois inteiros e quarenta e nove centésimos.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

249 49 200 " 49 200 49 ! ! " ! 2 " ! 2, 49 • 100 100 100 100 100

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Cada barra equivale a 1 centésimo.

3 = 0,03 H três centésimos 100

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS •

84 80 " 4 80 4 ! ! " ! 0,084 1000 1000 1000 1000

Colocando no quadro de ordens:

(5 décimos e 5 centésimos)

5 5 + = 10 100 50 5 55 + = = 100 100 100 55 = 0,55 100 0,55 H cinquenta e cinco centésimos

2 centésimos

U 0

Números como 1,7; 2,49 e 0,084 são denominados números na forma decimal. Observe agora: Representação fracionária

Cada cubinho equivale a 1 milésimo. 1 inteiro

Lemos: oito centésimos e quatro milésimos ou oitenta e quatro milésimos.

17 10

Representação decimal

Número misto

1,7 parte decimal parte inteira

7 10 parte fracionária parte inteira

5 milésimos

2 5 + = 100 1 000 20 5 =1+ + = 1 000 1 000 25 25 =1+ =1 1 000 1 000 25 1 = 1,025 1 000 1,025 H um inteiro e vinte e cinco milésimos 1+

249 100

84 1000

2,49

2 parte decimal parte inteira

0,084 parte decimal parte inteira

49 100 parte fracionária parte inteira

Não pode ser representado na forma mista.

Existe outra maneira de escrever uma fração decimal na representação decimal. Nessa maneira, tomamos apenas o numerador e nele colocamos uma vírgula, de modo que a quantidade de algarismos da parte decimal, contada da direita para a esquerda, seja igual à quantidade de zeros que aparece no denominador. Veja: 17 ! 1,7 10

84 ! 0,084 1000

249 ! 2,49 100 um algarismo na parte decimal

um zero

dois zeros

dois algarismos na parte decimal

três zeros

três algarismos na parte decimal

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Da forma decimal para a fracionária Vamos escrever os números a seguir na forma de fração. • 3,9 ! 3

9 9 30 9 39 ! 3 " ! " ! 10 10 10 10 10

• 2,16 ! 2

16 16 200 16 216 54 ! 2 " ! " ! ! 100 100 100 100 100 25 !4

! 25

• 0,025 ! 0 "

fração irredutível equivalente à 216 fração 100

25 25 1 ! ! 1 000 1 000 40 ! 25

fração irredutível equivalente à fração

25 1000

Mas existe outra maneira de passar da representação decimal para a representação fracionária. Nessa maneira, primeiro retiramos a vírgula do número. Esse número, sem a vírgula, será o numerador da fração. A seguir, no denominador, escrevemos uma potência de 10, na qual a quantidade de zeros é igual à quantidade de algarismos da parte decimal do número dado. Observe: 3,9 !

39 10

2,16 ! um zero um algarismo depois da vírgula

216 100

0,025 !

25 1000

dois zeros

três zeros

dois algarismos depois da vírgula

três algarismos depois da vírgula

DESCUBRA MAIS

Aventura decimal (coleção A descoberta da Matemática), de Luzia Faraco Ramos. Editora Ática, 2006. Paulo vai parar na Terra do Povo Pequeno, onde, com a ajuda de uma amiga do colégio e uma garota misteriosa, precisará derrotar um trapaceiro chamado Ogirep.

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Da forma decimal para a fracionária Aqui são apresentadas duas maneiras que podem ser utilizadas para escrever a representação de um número decimal na forma de uma fração. Permitir que os alunos reflitam sobre esses dois procedimentos. Para isso, organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias. É interessante incentivar os alunos a fazerem uma leitura atenciosa dos dois processos apresentados e depois escreverem na lousa ou no caderno alguns números decimais, por exemplo: 4,6; 1,35 e 2,089. Depois, perguntar quem se sente à vontade para explicar aos colegas como proceder para escrevê-los na forma de fração utilizando os dois processos descritos no livro. Destacar que por meio da leitura dos números decimais é possível determinar o denominador da fração procurada. Por exemplo: • 0,2, dois décimos, correspondem à fração de denominador 10; • 3,18, três inteiros e dezoito centésimos, correspondem à fração de denominador 100 e assim por diante. Combinar com os alunos que as frações devem estar escritas na forma irredutível. Portanto, é importante relembrar o procedimento utilizado na simplificação de frações para fazerem uso dele sempre que necessário. Por fim, solicitar que anotem os dois procedimentos estudados no cartaz que começaram a produzir anteriormente. Deixar que escolham o procedimento com o qual se sentiram mais seguros. Descubra mais Sugere-se a leitura de algumas partes do livro que envolvam números na forma decimal e a discussão com os alunos sobre as situações apresentadas. Propor que completem a leitura em casa para posteriormente discutirem em sala.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A reta numérica Já sabemos que os números naturais podem ser representados em uma reta numérica. O mesmo ocorre com os números racionais. Veja o exemplo a seguir. 1 Representar na reta numérica o número racional decimal 0,25.

Se quisermos representar um número decimal em uma reta numérica, uma das possibilidades é encontrar sua forma fracionária. No caso de 0,25, então, teremos

1 . 4

1 está localizado entre os números naturais 0 e 1. Então, vamos 4 dividir o segmento AB, que vai de 0 até 1, em 4 partes iguais e considerar uma dessas partes, a partir do ponto A, para a direita. Sabemos que o número

EDITORIA DE ARTE

1 4

Comparar e ordenar números racionais na forma decimal A seguir, veremos como comparar e ordenar números decimais em uma reta numérica. Partimos de três decimais quaisquer: 2,25; 2,75 e 3,25. Se quisermos conhecer o maior desses números, basta olharmos para a parte inteira, o que tiver a maior parte inteira será o maior. Assim, já conseguimos perceber que 3,25 é o maior entre os três números. Para descobrir qual é o maior entre 2,25 e 2,75, comparamos sua parte decimal. O que tiver o maior valor na parte decimal será o maior número. Assim, 2,75 é maior que 2,25, pois 75 centésimos é maior que 25 centésimos. Portanto, podemos afirmar que: 3,25 . 2,75 . 2,25 Outra maneira de dizer isso é: 2,25 , 2,75 , 3,25

2,25

2,75

3,25

EDITORIA DE ARTE

A reta numérica É importante que os alunos reconheçam que os números racionais positivos podem ser expressos na forma fracionária e na forma decimal e que, assim como os números naturais, é possível relacioná-los a pontos na reta numérica. Após a leitura do conteúdo apresentado na página, explorar alguns exemplos na lousa. Escrever alguns números na forma decimal e solicitar que eles copiem esses números na forma fracionária e depois os localizem em uma reta numérica. Durante esse processo, é importante observar quais são os pontos em que os alunos sentem mais dificuldade; após a identificação, selecionar exemplos que os ajudem. Comparar e ordenar números racionais na forma decimal Se achar necessário, retomar com os alunos a leitura de alguns números decimais para depois trabalhar com a ideia de comparação. Seguem alguns exemplos: • 0,1 – um décimo; • 0,25 – vinte e cinco centésimos; • 0,55 – cinquenta e cinco centésimos; • 0,219 – duzentos e dezenove milésimos; • 1,54 – um inteiro e cinquenta e quatro centésimos; • 2,761 – dois inteiros e setecentos e sessenta e um milésimos; • 7,96 – sete inteiros e noventa e seis centésimos; • 4,9 – quatro inteiros e nove décimos. Depois, é interessante, assim como feito anteriormente, escrever alguns números decimais na lousa e solicitar que os alunos comparem esses números. Comentar com eles que esses números estão presentes em diversas situações, por exemplos, em determinadas provas de atletismo, os centésimos e os milésimos de segundo são essenciais para decidir o vencedor de uma modalidade.

Note que, na reta numérica, quanto maior é o número, mais à direita ele está localizado. 176

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Resoluções na p. 312

1. Que número na forma decimal Gustavo deve escrever? 4,15 Gustavo, escreva a representação decimal 415 . do número 100

R$ 1,19

Um real e dezenove centavos.

DAYANE RAVEN

2. Represente as frações na forma decimal. a) 52 5,2 10

77 0,77 100

52 0,52 100

7 0,7 10

77 7,7 10

7 0,07 100

6. Escreva por extenso o preço de cada Sete reais e quarenta produto. e seis centavos. a) c)

13 3. Dê a fração correspondente a cada um 10 dos números na forma decimal a seguir. 13 b) e) 0,085 297 a) 1,3 85 g) e) 100 1 000 100 f) 0,3 b) 0,13 13 c) 3 1 005 f) g) 2,97 h) 1 000 c) 0,013 10 1 000 4 002 d) 4,002 h) 1,005 d) 1 000 25 4. Considere a igualdade 0,25 = . x Qual é o valor de x? 100

5. Qual é a fração escrita na forma simplificada dos seguintes números? 2 8 a) 0,4 c) 1,6 53 59 b) 0,75 d) 0,45 4 20

R$ 7,46

d) Três reais e cinquenta e quatro centavos. R$ 3,54 R$ 5,29

ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

Responda às questões no caderno.

Cinco reais e vinte e nove centavos. 7. Represente com uma fração e com um número na forma decimal o número 225 expresso por: c) = 2,25 8 100 a) oito décimos; = 0,8 10 42 b) quarenta e dois centésimos; = 0,42 100 c) duzentos e vinte e cinco centésimos; d) quatro inteiros e seis centésimos. 406 = 4,06 100 8. Escreva uma fração equivalente a 1 que tenha denominador 100. Em 2 seguida, escreva a representação decimal dessa fração. 50 = 0,50 100 9. Responda: a) 20 centavos representam que fração de 1 real? 1 5 b) 50 centavos representam que fração de 1 real? 1 2 10. Escreva na forma de fração irredutível os seguintes números: d) 2,4 e) 5 a) 2,2 a) 11 c) 1 5 4 2 e) 2,50 b) 0,44 11 12 16 d) f) f) 3,2 c) 0,25 b) 25 5 5 1 1. Escreva por extenso cada um dos seguintes números: Oitenta e cinco Sete inteiros e a) 0,85 centésimos. c) 7,3 três décimos. b) 0,008 Oito milésimos. d) 1,147 Um inteiro e cento e quarenta e sete milésimos. 177

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Atividades O objetivo aqui é desenvolver algumas questões que ajudem os alunos a reconhecer os números racionais positivos na forma decimal, identificar a parte inteira e a parte decimal, representar uma fração decimal, como um número na forma decimal e vice-versa (buscando estabelecer uma relação entre as representações), ler e escrever um número na forma decimal. Incentivar os alunos a pensar na necessidade de representar os números racionais positivos na forma decimal e em que situações são utilizados. É possível que alguns mencionem situações que vivenciaram, possibilitando atribuir significados ao aprendizado. A elaboração de hipóteses sobre os conceitos que serão tratados pode ser incentivada por meio do uso de materiais manipulativos, como o material dourado, por exemplo. Na atividade 2, pedir aos alunos que representem as frações com o material dourado e, depois, na forma decimal. Na atividade 6, os alunos poderão fazer uma pesquisa de preços dos produtos apresentados no livro, comparando-os com os encontrados no comércio local. Eles poderão também comparar as ofertas de produtos de vários estabelecimentos diferentes e indicar o menor preço. Nas atividades 7 e 11, utilizar o quadro de ordens para ler e escrever um número na forma decimal. É interessante reproduzir o quadro de ordens na lousa e pedir a eles que localizem os números, assim como relacionar os números na forma decimal com as ordens decimais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Adição e subtração com números na forma decimal Na adição e na subtração, a proposta da utilização do quadro de ordens é importante para que os alunos percebam que se deve colocar os números de modo que os algarismos correspondentes fiquem na mesma coluna. Eles devem observar o número na forma decimal como um todo, composto da parte inteira e da parte decimal, e não apenas dominar o algoritmo mecanicamente. Na subtração, devem perceber a necessidade de completar as ordens com os zeros que faltam. Incentivar a realização de atividades que envolvem o uso de quadrados mágicos, por exemplo, pode ser uma boa estratégia para trabalhar esse conteúdo. Comentar com eles que há muitas versões para a origem desses quadrados, não se sabendo ao certo onde ou como surgiram, porém alguns historiadores dizem que é provável que os primeiros quadrados mágicos apareceram por volta de 3000 a.C., na China. Nos quadrados mágicos, os números devem estar dispostos de tal modo que a soma seja sempre a mesma tanto na horizontal quanto na vertical ou na diagonal. Pode-se utilizar o quadrado mágico para trabalhar com números na forma de fração e na forma decimal. Se julgar necessário, inicialmente, apresentar um exemplo para os alunos, como o que segue, e pedir a eles que verifiquem se de fato se trata de um quadrado mágico (cuja soma envolvida é 1,5). 0,6

0,7

0,2

0,1

0,5

0,9

0,8

0,3

0,4

CAPÍTULO

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS NA FORMA DECIMAL

Veja a situação seguinte, em que aparecem a adição e a subtração de números na forma decimal. Pedro tem um rolo de barbante com 10 metros de comprimento. Desse rolo, ele cortou três pedaços com comprimentos diferentes: 1,25 metro; 3,14 metros; e 0,82 metro. Quantos metros de barbante ainda restaram no rolo? Inicialmente, vamos adicionar os comprimentos dos pedaços: U

Depois, vamos subtrair o número encontrado do comprimento inicial. Se necessário, incluímos zeros à direita do número depois da vírgula:

Restaram, no rolo, 4,79 metros de barbante. Para a adição ou subtração de números representados na forma decimal, devemos observar que: • Algarismos que ocupam a mesma ordem devem ficar na mesma coluna, com uma vírgula alinhada à outra. • Adicionamos e subtraímos as unidades de mesma ordem entre si. • Colocamos no resultado a vírgula alinhada com as demais. 178

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6. Que número devemos adicionar a 1,899 para obter 3? 1,101

Responda às questões no caderno.

1. Calcule:

7. Encontre, mentalmente, as parcelas desconhecidas: a) 1,4 + = 10 8,6 b) 80,75 + = 100 19,25 c) 345,27 + = 1 000 654,73

e) 2,33 + 2,033 + 2,666 7,029 f) 15 _ 9,85 + 3,275 8,425

2. Quando adicionamos 0,381 e 0,589, o resultado é um número maior ou menor que 1? Menor; 0,97 < 1.

3. A altura de uma casa era 4,78 metros. Construído um segundo andar, a altura da casa passou a ser 7,4 metros. Em quantos metros a altura inicial da casa foi aumentada? 2,62 m

4. Mariana tem dois pedaços de fita: um deles com 2,5 metros de comprimento e o outro com 1,35 metro de comprimento. O comprimento do maior pedaço tem quantos metros a mais que o comprimento do menor? 1,15 m 5. Um número x é tal que: x = (51,7 + + 8,36) _ (16,125 + 7,88). Determine o número x. 36,055

DESAFIO

8. Um jornal anuncia a venda de apartamentos cujas dimensões, em metros, estão indicadas na planta a seguir. Sabe-se que, normalmente, a espessura das paredes externas é 0,25 m e a espessura das paredes internas é 0,15 m. comprimento 1,70

3,80

4,10

4,30

2,20

DANIEL BOGNI

d) 25 _ 18,25 6,75

3,10

Observando essa planta, determine o comprimento e a largura do apartamento. Comprimento 10,40 m; largura 8,95 m.

9. Convide um colega para decifrar o quadrado mágico. Substitua as letras A, B, C e D por números na forma decimal, de modo que a soma nas filas horizontais, verticais e diagonais seja sempre a mesma. A = 1,7 B = 1,9 C = 2,0 D = 1,8

1,6 2,1 1,4 1,5

1,3

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c) 0,85 + 1,376 2,226

3,80

b) 35,2 _ 9,8 25,4

largura

a) 16,9 + 7,6 24,5

4,50

ATIVIDADES

poderia ser obtido pelo lado da sala. Cálculo da largura: nesse cálculo, estão envolvidas duas paredes externas e uma parede interna. Então: largura = 0,25 + 0,25 + + 0,15 + 3,80 + 4,50 largura = 8,95

Resoluções na p. 313

10. Elabore uma atividade com uma situação que envolva a SAIBA QUE soma e/ou subtração de frações e troque-a com um colega. Lembre-se de que uma Resolva a atividade usando os números na forma de fração fração pode ser entendida e transformando-os em números na forma decimal. Depois, como resultado da divisão usando uma calculadora, compare os dois resultados. Em de dois números naturais. seguida, corrija a atividade elaborada por você. Resposta pessoal. 179

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades As atividades possibilitam que os alunos resolvam situações que envolvem adição e subtração de dois ou mais números apresentados na forma decimal. Incentivá-los a realizar os cálculos da atividade 1 uti-

lizando o quadro de ordens. Se achar necessário, retomar com eles a necessidade de organizar os números de modo que as vírgulas fiquem alinhadas (vírgula embaixo da vírgula). Resolução do exercício 8 Cálculo do comprimento: nesse cálculo, estão envolvidas duas paredes externas

Desafio Para resolver esse desafio é interessante retomar as condições do quadrado mágico e deixar que os alunos discutam entre si para encontrar os números que faltam. Se julgar necessário, reproduzir o quadrado da questão na lousa fazendo alguns questionamentos que poderão ajudá-los. É interessante lembrar os alunos de que em um quadrado mágico a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal deve ser sempre a mesma, ou seja, essas somas têm sempre o mesmo número como resultado. Nesse caso, o primeiro passo para resolver um quadrado mágico é encontrar essa constante. Nesse quadrado, o número será obtido somando-se 1,6 + 2,1 + 1,4, que é igual a 5,1. O próximo passo é determinar os números que estão sendo representados por C e A, pois são os números desconhecidos da 1a e 2a linhas verticais, fazendo para a letra C: 5,1 _ (1,6 + 1,5) = 2,0; e para a letra A: 5,1 _ ( 2,1 + + 1,3) = 1,7. Substituem-se os valores das letras C e A no quadrado mágico e, fazendo para a letra B: 5,1 _ (1,5 + + 1,7) = 1,9 e para a letra D: 5,1 _ (2,0 + 1,3) = 1,8, encontra-se o valor representado por meio das letras B e D.

9/27/18 5:10 PM de 0,25 m de espessura cada uma, e duas paredes internas de 0,15 m de espessura cada uma. Então: comprimento = 0,25 + 0,25 + + 0,15 + 0,15 + 1,70 + 3,80 + + 4,10 comprimento = 10,4 Comentar com os alunos que esse mesmo comprimento

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Multiplicando um número natural por um na forma decimal Na multiplicação, pedir aos alunos que representem a solução de uma situação-problema de diversas maneiras para que percebam as relações que existem entre elas: 1. Representar com material manipulável. 2. Colocar no quadro de ordens. 3. Representar na forma de fração decimal. 4. Representar na forma decimal. No momento em que os alunos compreenderem e se familiarizarem com as operações, vão eliminando os diversos registros até a formalização da técnica operatória. Aqui o objetivo é trabalhar a multiplicação de um número natural por um número na forma decimal por meio de situações-problema. É interessante expor os exemplos apresentados no livro explorando, além das resoluções apresentadas, outras maneiras de resolver as situações. Assim, é possível incentivar atitudes investigativas por parte dos alunos, pois, ao propor algo, é necessário que eles reflitam, argumentem, comparem as estratégias e façam registros. Na multiplicação de um número decimal por 10, por 100 e por 1 000, depois que eles explorarem o conteúdo do livro, pode-se trabalhar com calculadora. Se possível, providenciar uma calculadora para cada aluno ou duplas de alunos a fim de garantir que todos tenham acesso e disponibilizar algumas multiplicações para eles calcularem: podem ser escritas na lousa ou distribuídas em fichas para eles, com multiplicações como: 0,3 x 10; 0,3 x 100; 0,3 x 1 000; 4,21 x 10; 4,21 x 100 etc. Perguntar se eles conseguem resolvê-las sem usar a calculadora e qual seria o resultado. Depois eles devem usar a

CAPÍTULO

MULTIPLICAÇÃO COM NÚMEROS NA FORMA DECIMAL Multiplicando um número natural por um número na forma decimal Acompanhe as situações.

1 Um caderno custa R$ 2,36. Preciso de 3 cadernos iguais a esse. Quanto vou pagar? Para resolver essa situação, podemos efetuar 3 ! 2,36. 3 ! 2,36 " 3 !

3 ! 236 236 708 " " " 7,08 100 100 100

Pagarei pelos 3 cadernos R$ 7,08.

2 Com sua bicicleta, Cristina percorreu 1,9 quilômetro. Ao voltar ao ponto de partida, ela percorreu a mesma distância. Quantos quilômetros ela fez nessa ida e volta? Para resolver esse problema, podemos fazer 2 ! 1,9. 2 ! 1,9 " 2 !

38 19 2 ! 19 " " " 3,8 10 10 10

Cristina percorreu 3,8 quilômetros.

Multiplicando por 10, por 100, por 1 000 Observe o que acontece ao multiplicarmos 1,235 por 10, por 100 e por 1 000. 1235 • 1,235 ! 10 " 1235 ! 10 " " 12,35 100 1000

1,235 ! 10 " 12,35 A vírgula é deslocada uma posição para a direita.

1235 " 123,5 • 1,235 ! 100 " 1235 ! 100 " 10 1000

1,235 ! 100 " 123,5 A vírgula é deslocada duas posições para a direita.

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calculadora como uma ferramenta para verificar os resultados. É provável que percebam padrões em relação ao deslocamento da vírgula. Se achar conveniente, pedir que registrem os padrões/regras observados no cartaz-resumo, assim, sempre que precisarem, poderão consultá-lo.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS • 1,235 ! 1 000 "

1235 ! 1 000 " 1 235 1000

1,235 ! 1 000 " 1 235,0 A vírgula é deslocada três posições para a direita.

Para multiplicar um número na forma decimal por 10, por 100, por 1 000, basta deslocar a vírgula uma, duas, três posições para a direita, respectivamente.

Multiplicando com números na forma decimal Observe os exemplos a seguir.

1 Um metro de um fio de arame tem 1,6 quilograma. Quantos quilogramas terão 2,3 metros desse fio? Para resolver essa situação, vamos fazer 2,3 ! 1,6. Veja: 2,3 ! 1,6 "

23 ! 16 368 23 16 ! " " " 3,68 10 ! 10 100 10 10 2,3 ! 1,6 " 3,68 dois algarismos na parte decimal um algarismo na parte decimal um algarismo na parte decimal

2,3 metros desse arame terão 3,68 quilogramas. 2 Se você multiplicar 1,8 por 0,74, que número vai encontrar como resultado? 1,8 ! 0,74 "

18 74 18 ! 74 1332 ! " " " 1,332 10 100 10 ! 100 1000 1,8 ! 0,74 " 1,332

três algarismos na parte decimal dois algarismos na parte decimal um algarismo na parte decimal

O resultado encontrado será 1,332. Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, devemos: • Multiplicar os números como se fossem números naturais. • Colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma do número de casas decimais dos fatores. 1 ! 2 4 #3 2 3,6

,6 ,3 8 8

1 algarismo na parte decimal 1 algarismo na parte decimal

2 algarismos na parte decimal

0,7 4 1 ,8 5 9 2 # 7 4 1 ,3 3 2 !

2 algarismos na parte decimal 1 algarismo na parte decimal

3 algarismos na parte decimal

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Multiplicando com números na forma decimal Para a multiplicação de números na forma decimal, utilizar o mesmo procedimento da multiplicação de um número natural por um na forma decimal. Assim como nas multiplicações de um número decimal por 10, por 100 e por 1 000, os alunos podem usar a calculadora para verificar os resultados que inicialmente podem ter sido estimados. É importante refletir com os alunos sobre alguns erros que eles podem cometer. Por exemplo, quando efetuam uma multiplicação de um número natural por 10, é comum pensarem na regra que diz que “basta acrescentar um zero à direita do número”. Por analogia, ao multiplicar 0,5 por 10 é esperado que acrescentem um zero à direita do 0,5 e respondam que o resultado é 0,50. Nesse caso, aconselhá-los a usar uma das ideias da multiplicação (soma de parcelas iguais, por exemplo). Podem-se fazer perguntas a eles como: Se, em um determinado jogo você ganha 0,5 pontos, dez vezes consecutivas, com quantos pontos ficará no total? Aproveitar esse momento para trabalhar estimativa com os alunos. É interessante promover um diálogo com a turma perguntando sobre o significado de multiplicar, por exemplo, um número por 2; 3; 0,5; 1,9. Trabalhar com alguns exemplos na lousa, ajudando-os a perceber que multiplicar por 2 é o mesmo que calcular o dobro; multiplicar por 3 é o mesmo que calcular o triplo; multiplicar por 0,5 é o mesmo que calcular a metade; e multiplicar por 1,9 é o mesmo que calcular quase o dobro de alguma quantidade etc. Por fim, se achar conveniente, solicitar que registrem suas observações em um cartaz para fixá-lo em lugar visível para possíveis consultas.

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Atividades No bloco de atividades desta página, sugerir que a atividade 1 seja desenvolvida com o objetivo de esclarecer possíveis dúvidas no que diz respeito às multiplicações que envolvem os deslocamentos da vírgula uma, duas ou três posições para a direita de acordo com a multiplicação que está sendo realizada. Por exemplo, o item a: 10 x 1,08. Nesse caso, os alunos poderão utilizar o material dourado ou o ábaco para compreender o deslocamento da vírgula. Se 1,08 é representado por:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Caso os alunos tenham dúvidas, esclarecer que as 8 placas, ou seja, 8 décimos, correspondem aos 80 centésimos agrupados de 10 em 10. No quadro de ordens, temos: D 1

c 8

Resoluções na p. 313

Responda às questões no caderno.

Incentivá-los a comparar a posição de 1,08 e 10,8 no quadro de ordens. Eles devem perceber que o número foi aumentado dez vezes. Na atividade 10 os alunos poderão identificar na figura apresentada as arestas de mesma medida: • 8 arestas com 13,8 cm cada uma: 8 x 13,8 = 110,4. • 4 arestas com 41,4 cm cada uma: 4 x 41,4 = 165,6. Adicionando, temos: 110,4 cm + 165,6 cm = 276 cm Com o material dourado, eles terão a oportunidade de

comprimento da mesa é igual a 12 vezes a medida da miniatura. Qual é o comprimento real dessa mesa? 2,64 metros.

1. Escreva o resultado de cada multiplicação a seguir. 10. Com pedaços de arame que medem a) 10 x 1,08 10,8 c) 10 x 0,92 9,2 41,4 centímetros e 13,8 centímetros, b) 100 x 0,572 57,2 d) 1 000 x 0,0029 2,9 podemos construir o esqueleto de um 2. Na planta de uma cidade, a distância bloco retangular, como você vê na entre dois pontos é 22,5 centímetros. No figura a seguir. real, essa distância é 1 000 vezes maior. Qual é, em metros, a distância real? 225 m 13,8 cm

3. Calcule: a) 5 x 9,5 47,5 b) 7 x 1,25 8,75 c) 12 x 8,3 99,6 d) 25 x 0,64 16 e) 3 x 0,989 2,967

13,8 cm 41,4 cm

f) 7,2 x 4,8 34,56

Quantos centímetros desse arame são necessários para essa construção? 276 cm

g) 0,9 x 10,5 9,45 h) 7,25 x 0,6 4,35 i) 9,9 x 5,5 54,45 j) 0,96 x 0,5 0,48

4. Calcule as multiplicações a seguir. a) 0,7 x 0,9 x 3,5 2,205 b) 14,2 x 0,4 x 2,5 14,2 c) 3,21 x 0,9 x 1,07 3,09123 d) 1,7 x 3 x 5,29 26,979

10 x 1,08 será:

ATIVIDADES

5. Um número A é expresso por 257 x x 0,006, e um número B é expresso por 3 x 1,025. Escreva o valor de A + B. 4,617 6. Escreva o valor de cada uma das expressões numéricas. a) 9,05 _ 2,5 x 2,5 2,8 b) (6 _ 1,07) x 3,1 15,283

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

11. (Saresp-SP) Em uma padaria uma coxinha custa R$ 1,80 e um pão de queijo custa R$ 1,20. Se Marcos comeu 2 coxinhas e Paulo comeu um pão de queijo, qual o total que eles gastaram? a) R$ 4,20 c) R$ 4,60 b) R$ 4,40 d) R$ 4,80 Alternativa d. 12. (OBMEP) Sabendo que 987 x 154 = = 151 998 podemos concluir que 9 870 x 1,54 é igual a: Alternativa c. a) 15,1998 b) 1 519,98 c) 15 199,8 d) 151 998 e) 1 519 980

13. A seguir, há uma série de multiplicações. Primeiro você vai estimar o produto de cada uma delas e comparar com as estimativas de um colega. Depois, utilizando uma calculadora, verifiquem quem chegou mais próximo da resposta correta. a) 100,4 x 6 c) 49,7 x 7 9. A miniatura de uma mesa tem 0,22 meb) 29,7 x 5 d) 7,2 x 10,15 tro de comprimento. Na realidade, o Estimativapossível: possível:350; 350;valor valorexato: exato:347,9. 347,9. 13. a) Estimativa possível: 600; valor exato: 602,4. c)c)Estimativa Estimativapossível: possível:72;72;valor valorexato: exato:73,08. 73,08. b) Estimativa possível: 150; valor exato: 148,5. d)d)Estimativa outraspossibilidades possibilidadesdedeestimativas. estimativas. 182 HáHáoutras 7. (Saresp-SP) O resultado de 0,9 x 0,08 é: a) 7,2 c) 0,072 b) 0,72 d) 0,0072 Alternativa c. 8. Um prédio tem 9 andares. Cada andar tem 3,75 metros de altura. Qual é a altura desse prédio? 33,75 metros.

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realizar a multiplicação com a manipulação dos objetos, possibilitando a construção das ideias envolvidas, experimentando suas hipóteses e verificando sua veracidade. Já o quadro de ordens auxilia na leitura dos números na forma decimal e na comparação desses números.

Na atividade 13, verificar como os alunos procederam para fazer as estimativas. Aqui o objetivo é que eles façam aproximações dos números apresentados para os múltiplos da potência de 10 mais próxima (habilidade EF06MA12). Em atividades como esta é interessante deixar que eles tro-

quem informações, compartilhem as dúvidas e as estratégias que utilizaram na resolução.

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fatos importantes sobre a potenciação de números naturais que também serão utilizados para os números na forma decimal. Por exemplo, a definição de potenciação: “A potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais”. Recordar a nomenclatura, o significado e a função do expoente, da base e da potência. Outro fato importante para recordar é a propriedade das potências de expoente 1 e de expoente 0. Depois, solicitar a leitura atenta do texto do livro e, se achar conveniente, pedir que anotem em um cartaz um resumo sobre a potenciação de números na forma decimal. Fixá-lo em lugar visível para possíveis consultas. Em seguida, solicitar que resolvam as atividades propostas, assim eles terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos e esclarecer possíveis dúvidas. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias e conhecimentos. Acompanhar a realização das atividades e, sempre que julgar necessário, fazer interferências nas discussões. Nas atividades 7 e 9, os alunos precisarão efetuar divisões com números na forma decimal. Permitir o uso da calculadora para que eles possam efetuar essas operações, as quais serão exploradas mais adiante.

Potenciação de números na forma decimal Usando a definição de potência, veja as potências com números na forma decimal: • (3,2)2 = 3,2 x 3,2 = 10,24 • (5,1)2 = 5,1 x 5,1 = 26,01 • (0,7)3 = 0,7 x 0,7 x 0,7 = 0,343 • (0,2)5 = 0,2 x 0,2 x 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,00032 As propriedades das potências de expoente 1 e expoente zero também são válidas para os números na forma decimal. Observe: • (3,7)1 = 3,7

• (1,21)1 = 1,21

• (2,9)0 = 1

• (0,9)0 = 1

ATIVIDADES

Resoluções na p. 314

6. Escreva o número x, tal que:

Responda às questões no caderno.

1. Calcule:

x = (0,6)² + (0,8)² 1

a) (3,7) 13,69

d) (2,4) 1

b) (0,6)3 0,216

e) (1,5)3 3,375

c) (2,5)2 6,25

f) (3,02)1 3,02

7. Compare os números a e b usando apenas o símbolo .. a . b

2. Calcule o cubo dos números e escreva quanto falta para atingir 1 unidade. a) 0,4

b) 0,6

c) 0,9

3. Determine o número x, sabendo que x é tal que: 3,24 x = (0,08)² x 10² + 2,6 4. Calcule a + b, sabendo que: a = (1,2 : 0,5)² a = 5,76 b = (1,2 x 0,5)² b = 0,36 a + b = 6,12 5. Determine: a) a soma dos quadrados dos números 1,2 e 0,9. 2,25 b) o quadrado da soma dos números 1,2 e 0,9. 4,41 a) 0,064; falta 0,936. c) 0,729; falta 0,271. b) 0,216; falta 0,784.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Potenciação de números na forma decimal Aqui trabalha-se com potenciação de números na forma decimal. É importante abrir espaço para as dúvidas dos alunos e incentivá-los a fazerem perguntas e observações quanto

a = 4 : (0,4)² e b = 0,4 x 4² 8. Escreva 5% na forma decimal. A seguir, determine o quadrado desse número. 0,05; 0,0025. 9. Calcule os números na forma decimal expressa por: a) (1,5 _ 0,2)2 : (0,3 + 0,1) 4,225 b) (0,8 _ 0,15 : 0,3)3 : 5,4 + (0,5)2 0,255

10. Calcule o resultado das expressões abaixo: a) (0,2)3 + (1,3)2 _ (0,5)2 1,448 b) (0,4)3 + (0,8)2 _ 0,7 0,004 c) (1,4 + 2,9 _ 0,6)2 _ 1,8 11,89 d) (0,3)3 + (1,2 _ 0,9)2 + (0,2)4 0,1186 e) (1,2 _ 0,7 + 0,1)2 x (0,4)2 0,0576

ao conteúdo abordado, incentivando a participação deles. Escrever na lousa algumas potências com números decimais e solicitar a eles que estimem, por exemplo, o resultado e depois em algumas situações utilizem a calculadora para verificar a razoabilidade da resposta que forneceram.

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Também é interessante que realizem alguns cálculos sem o uso da calculadora, assim eles compreenderão que não existe uma única maneira para verificar as respostas.

Atividades Antes de começar a resolver as questões propostas, relembrar com os alunos alguns

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Educação financeira Conversar com os alunos sobre as quantias em moedas que parecem muito pequenas e, ao longo do tempo, podem somar valores maiores. Dizer a eles que, independentemente da quantidade e do valor, elas não devem ser desprezadas; ao contrário, devem ser guardadas e usadas no dia a dia. Assim, além de facilitar o troco, contribuem para que a circulação delas ocorra. Outra questão interessante para discutir com os alunos é em relação ao consumo consciente, ou seja, comentar que as compras devem ser feitas quando realmente precisamos adquirir o bem em questão e que é importante guardar uma parte do que se recebe, em vez de gastar tudo de uma só vez. Nesse caso sugerir uma discussão sobre a importância do planejamento dos gastos, inclusive quando se trata de pequenos valores. As questões propostas na seção abordam a atitude de poupar (guardar moedinhas no cofre), mas também discutem o problema da circulação dessas moedas ou, melhor, da não circulação dessas moedas. É interessante realizar um levantamento com os alunos para descobrir se eles ou seus familiares possuem o hábito de guardar as moedas e refletir sobre as possibilidades de poupar, guardando as moedas, e a necessidade de se criar o hábito de trocá-las por cédulas com maior frequência ou, ainda outras formas de poupar, sem tirar as moedas e cédulas de circulação. Se achar conveniente, realizar um projeto coletivo no qual todos se empenhem em arrecadar um valor que será designado para uma ação conjunta, de interesse de todos; dessa forma, deverão pensar em estratégias para conseguir a verba, maneiras de poupar e modos de fazer o dinheiro “render”. Esse projeto poderá receber o incentivo de outros professores que também poderão propiciar ações e discussões em suas aulas.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Resoluções na p. 315

Moeda também é dinheiro Juliana Ravelli (Diário do Grande ABC) Publicado em 2/10/2011

Fonte: RAVELLI, J. Moeda também é dinheiro. Diário do Grande ABC. Disponível em: <http://www.dgabc.com.br/Noticia/156806/moeda-tambem-e-dinheiro>. Acesso em: 22 jun. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Atividade complementar Para ampliar o trabalho com divisão por um número natural, diferente de zero, sugere-se que proponha situações de divisões entre dois números naturais (não nulos) com quociente decimal, para os alunos realizarem com o material dourado. Por exemplo: 3:2 Representamos 3 unidades por 3 inteiros, ou seja, 3 cubos grandes:

DIVISÃO COM NÚMEROS NA FORMA DECIMAL Dividindo por um número natural, diferente de zero Acompanhe as situações a seguir.

1 Dona Rute foi às compras. Comprou 7 metros de tecido e pediu ao vendedor que dividisse o tecido em quatro partes iguais. Qual o comprimento de cada parte desse tecido? Para resolver essa situação, efetuamos 7 : 4. U 7 ! 4 3

4 1 U

U d 7 ! 4 3 0 ! 2 8 2

U d 7 ! 4 3 0 ! 2 8 2 ! 2 0

Dividir essa quantidade por 2 significa determinar a metade, ou seja, repartir em duas partes iguais. Ao fazer isso, verificamos que cada grupo fica com 1 inteiro, e sobra 1 inteiro. Como não é possível distribuir inteiros, é necessário fazer trocas que não mudem a quantidade e que nos possibilitem efetuar a repartição. Sabemos que 1 inteiro equivale a 10 décimos, ou seja, 1 cubo grande corresponde a 10 placas. Assim, 3 inteiros correspondem a 2 cubos grandes e 10 placas, ou seja, 2 inteiros e 10 décimos:

7 unidades divididas por 4 dá 1 unidade, e restam 3 unidades.

4 1,7 U d

Transformando as 3 unidades em décimos, temos: 3 x 10 décimos = 30 décimos. 30 décimos divididos por 4 dá 7 décimos, e restam 2 décimos. Coloca-se uma vírgula para separar a 1a ordem inteira e a 1a ordem decimal; no caso, entre os algarismos 1 e 7.

c 4 1, 7 U d

5 c

Transformando 2 décimos em centésimos, temos: 2 x 10 centésimos = 20 centésimos. 20 centésimos divididos por 4 dá 5 centésimos. O resto é 0.

0 0 0

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

AMPLIANDO

CAPÍTULO

Desse modo, é possível repartir em duas partes iguais, em que cada parte ficará com 1 cubo grande e 5 placas, ou seja, 1 inteiro e 5 décimos.

Cada parte do tecido terá 1,75 metro, ou seja, 1 metro e 75 centímetros. 185

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Resumindo os passos, temos: 3 : 2 = 3 inteiros : 2 = = (2 inteiros e 10 décimos) : 2 = = 1 inteiro e 5 décimos Logo: 3 : 2 = 1,5.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Aqui o objetivo é efetuar a divisão de um número natural por outro, encontrando como resultado um número na forma decimal. Convidar os alunos a resolver a situação-problema apresentada e deixar que eles levantem hipóteses e expliquem o que estão pensando. Essas reflexões podem ajudar na compreensão do algoritmo usual que está detalhado nesta página. Esse processo é mais importante que apenas memorizar a técnica. Convidar alguns alunos para efetuar algumas divisões similares na lousa. Se achar necessário, disponibilizar o material dourado para eles realizarem as transformações necessárias em cada passo das divisões. Certificar-se de que todos os alunos tenham compreendido o algoritmo. Incentivar os alunos a elaborar um problema envolvendo uma divisão que tenha como resultado um número na forma decimal. Pedir que troquem o problema com um colega que deverá resolvê-lo. Depois, eles devem destrocar e cada aluno deve corrigir o problema que elaborou. Propor que os alunos que estão resolvendo o problema deixem todos os passos utilizados na resolução, assim é possível compreender as estratégias utilizadas.

2 Dona Rute comprou 5 carretéis de linha e pagou R$ 8,25 por eles. Quanto custou cada carretel? Para saber quanto custou cada carretel, devemos fazer a divisão de 8,25 por 5. U d 8,2 !5 3 2 !3 0 2 ! 2 0

c 5

5 1,6 5 U d c

5 5 0

8 unidades divididas por 5 dá 1 unidade, e restam 3 unidades. 3 unidades = 30 décimos. 30 décimos + 2 décimos = 32 décimos. 32 décimos divididos por 5 dá 6 décimos, e restam 2 décimos. Coloca-se a vírgula entre os algarismos 1 e 6. 2 décimos = 20 centésimos. 20 centésimos + 5 centésimos = 25 centésimos. 25 centésimos divididos por 5 dá 5 centésimos.

O resto é 0. SAIBA QUE

Dividindo por 10, por 100, por 1 000 p e n s e e r e s p o nd a

Lembre-se de que podemos escrever o número 7 233 como 7 233,0.

Resoluções na p. 315

1. Efetue, em seu caderno, a divisão do número 7 233 por 10, por 100 e por 1 000 e, em seguida, responda: a) Comparando os resultados obtidos, quais ordens inteiras e decimais podem ser observadas em cada um dos resultados? CDU e d; DU e dc; U e dcm. b) Comparando o número 7 233 com o resultado das divisões, o que podemos notar? A cada divisão a vírgula se deslocou para a esquerda. 2. Escolha um número qualquer, efetue as divisões dele por 10, 100 e 1 000. Faça a mesma análise da atividade anterior. Podemos observar algum padrão entre a atividade 1 e a 2? Observamos o mesmo deslocamento da vírgula. 3. Agora, escolha um número e, sem efetuar os cálculos, dê o resultado da divisão desse número por 10, 100 e 1 000. Resposta pessoal.

Podemos observar, a partir das atividades acima, que: • Ao dividir um número por 10, a vírgula é deslocada uma posição para a esquerda. • Ao dividir um número por 100, a vírgula é deslocada duas posições para a esquerda. • Ao dividir um número por 1 000, a vírgula é deslocada três posições para a esquerda. Por exemplo: 235,7 : 10 " 23,57 A vírgula é deslocada uma posição para a esquerda.

235,7 : 100 " 2,357

235,7 : 1000 " 0,2357

A vírgula é deslocada duas posições para a esquerda.

A vírgula é deslocada três posições para a esquerda.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Dividindo por um número na forma decimal

Dividindo por um número na forma decimal Na divisão, o trabalho deve seguir os mesmos passos da multiplicação, com ênfase nos processos de transformação do dividendo e do divisor. Se seguir as orientações exemplificadas no livro, é possível perceber que para realizar a divisão proposta é necessário multiplicar ambos os termos, dividendo e divisor, por 100. Conversar com os alunos que há casos em que será necessário multiplicar os termos por 10, por 100 ou por 1 000, ou seja, os termos serão multiplicados pelo número conveniente para cada situação. Escrever a divisão a seguir na lousa e perguntar a eles se para esse caso apresentado é conveniente multiplicar os termos por 100. Pedir que justifiquem as respostas e anotar alguns argumentos ou palavras-chave na lousa. • 0,6 : 0,003. Espera-se que eles percebam que, nesse caso, deve-se multiplicar os termos 0,6 e 0,003 por 1 000. Ou seja: 0,6 x 1 000 : 0,003 x 1 000 600 : 3 = 200 Após a resolução da divisão, retomar os comentários dos alunos para verificar as hipóteses que eles levantaram, validando-as ou não.

Considere as seguintes situações:

1 Para montar um mecanismo, Jorge precisa de 7 metros de fio de cobre cortados em pedaços de 0,14 metro. Quantos pedaços Jorge vai obter, usando a quantidade total desse fio? Para resolver essa situação, precisamos do resultado da divisão de 7 por 0,14. Uma maneira que podemos fazer é lembrando que 7 metros são 700 centímetros e que 0,14 metro são 14 centímetros. Então, em vez de dividirmos 7 por 0,14, podemos dividir 700 por 14; assim, temos que: 7 m : 0,14 m = 700 cm : 14 cm C D U 7 0 0 1 4 0 0 5 0 0 D U Jorge vai obter 50 pedaços de fio. Observe que o que fizemos foi multiplicar os dois termos (dividendo e divisor) por 100 para que o divisor não fosse um número decimal. " 100

7 : 0,14 ! 700 : 14 " 100

Assim, quando temos como divisor um número decimal, multiplicamos os dois termos por uma mesma potência de 10 conveniente (10, 100, 1 000, ...), eliminamos a vírgula e obtemos um número natural como divisor. 2 Que número você vai obter dividindo 1,26 por 0,504? Dividir 1,26 por 0,504 é o mesmo que dividir 1 260 por 504. Veja: " 1 000

1,26 : 0,504 ! 1 260 : 504 " 1 000

UM C D 1 2 6 2 5 0

U d 0 2 0 0 0

5 0 4 2,5 U d

A divisão de 1,26 por 0,504 dá 2,5. 187

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS A divisão não exata: um quociente aproximado Introduzir o tema da aproximação de valores, iniciando uma conversa com os alunos para identificar as formas que cotidianamente utilizamos para fazer arredondamentos. Fazer perguntas como: “Quanto você pagaria por algo que custa R$ 2,48?”. Ouvir atentamente as respostas dadas e complementá-las quando necessário. Atentar-se ao fato de que, no nosso sistema monetário, os arredondamentos desse tipo ocorrem apenas quando o pagamento é realizado utilizando dinheiro, assim é possível viabilizar o troco. É importante explicar aos alunos que utilizamos um quociente aproximado para divisões não exatas em situações em que não é possível obter uma divisão exata. Se achar necessário, retomar com os alunos situações que envolvem divisões exatas e não exatas, assim é possível identificar os pontos em que os alunos sentem mais dificuldade e que, portanto, devem ser retomados com maior atenção. A partir do diagnóstico obtido por meio do trabalho com essas situações, estabelecer as estratégias para dar continuidade ao conteúdo abordado. Solicitar, por exemplo, que eles resolvam algumas divisões e as classifiquem como exatas ou não exatas. Por exemplo: • 9:7 • 11 : 3 • 5:2 • 17 : 4 • 57 : 7 • 92 : 5 Aqui é possível explorar a habilidade EF06MA12 com exemplos em que os alunos devem fazer estimativas do resultado de uma divisão, aproximando os números para um múltiplo da potência de 10 mais próxima. Para isso, solicitar, por exemplo, que eles estimem o resultado de uma divisão do tipo: • 424 4

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A divisão não exata: um quociente aproximado Acompanhe os exemplos:

1 Vamos efetuar a divisão de 34 por 7. 3 4 6

7 4

A divisão não é exata.

Prosseguindo os cálculos: 3 4 6 0 4

7 4,8

A divisão continua não sendo exata. O número 4,8 representa o quociente aproximado, por falta, até décimos, de 34 por 7.

Prosseguindo, ainda, com a divisão, temos: 3 4 6 0 4 0 5

7 4,85

A divisão não é exata, e o número 4,85 representa o quociente aproximado, por falta, até centésimos, de 34 por 7.

O quociente é aproximadamente igual a 4,85. 2 Vamos dividir 8,35 por 2,3, com aproximação até centésimos. Para isso, primeiro preparamos a divisão: " 100

8,35 : 2,3 ! 835 : 230 " 100

Depois, efetuamos a divisão: 8 3 5 1 4 5 0 0 7 0 0 0 1 0

230 3,63

O quociente pedido é 3,63. 188

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Para fazer uma estimativa do resultado, espera-se que os alunos façam 400 : 4. Verificar se eles percebem que o resultado da divisão proposta (424 : 4) deve ser maior que 100, pois um resultado menor que 100 não faz sentido nesse caso. Estratégias como essa são muito interessantes para fazer validação do resultado de uma operação.

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ATIVIDADES

AMPLIANDO

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Atividades complementares 1. Um prédio tem 37 metros de altura. A maquete desse prédio tem a altura 100 vezes menor que a altura real. a) Qual é a altura da maquete desse prédio? (0,37 metro) b) A janela do prédio mede 1,50 metro de altura. Na maquete, quanto essa janela mede? (0,015) 2. O pêndulo de um relógio leva 3,14 segundos para fazer uma oscilação completa (ida e volta). a) Quantas oscilações completas ele faz em 15,7 segundos? (5 oscilações) b) Quantas vezes um observador vê o pêndulo passar nesse intervalo de tempo? (10 vezes) Ao trabalhar com a atividade complementar 2, é interessante que eles utilizem um pêndulo, ainda que não seja de relógio, para simular a atividade, assim será possível vivenciar uma experiência com o movimento descrito no livro. Se possível, pedir que construam um pêndulo na sala de aula para que possam observar os movimentos e elaborar suas hipóteses. Os alunos poderão observar que o vaivém do pêndulo tem um tempo determinado. Se possível, pedir a eles que cronometrem, com um relógio que marque os segundos, o tempo que o pêndulo leva para realizar o movimento de vaivém completo. Depois, pedir que realizem os cálculos com o tempo determinado pelo exercício do livro.

10. Em uma competição automobilística, a distância é medida em milhas. Cada milha vale 1,6 quilômetro, aproximadamente. Quantas milhas há em 512 quilômetros? 320 milhas.

Responda às questões no caderno. 1. Escreva o resultado das divisões: a) 37 : 10 3,7

b) 5 006 : 1 000 5,006 c) 5,7 : 10 0,57 d) 106,2 : 100 1,062

2. O resultado da divisão de 6,1 por um número é 0,61. Que número é esse? 10 3. Sabe-se que 124,1 litros de vinho devem ser colocados, igualmente, em 17 tonéis. Quantos litros de vinho serão colocados em cada tonel? 7,3 litros. 4. Roberto gastou R$ 140,40 na compra de dólares, quando 1 dólar valia R$ 2,16. Quantos dólares ele comprou? 65 dólares. 5. Ao iniciar uma viagem, Valdir abasteceu o tanque de combustível de seu carro, que estava totalmente vazio, e pagou R$ 162,80 pelo abastecimento. Se o litro de combustível custava R$ 2,96, quantos litros de combustível cabem no tanque do carro de Valdir? 55 litros. 6. Efetue as divisões seguintes. a) 10,6 : 2 5,3

c) 30,6 : 20 1,53

b) 7,25 : 5 1,45

d) 171,6 : 26 6,6

7. No ano passado Caio gastou R$ 1 468,32 na compra de 552 euros. Qual era o valor do euro nessa época? R$ 2,66 8. Um automóvel consumiu 78 litros de gasolina para percorrer 897 quilômetros. Quantos quilômetros rodou por litro? 11,5 quilômetros por litro. 9. Calcule cada divisão proposta.

11. Um rolo de fio tem 9,9 quilogramas. Um metro desse mesmo fio tem 0,55 quilograma. Quantos metros de fio há nesse rolo? 18 metros. 12. Um piloto fez um teste em uma pista de circuito oval. Uma volta completa nesse circuito tem 3,5 quilômetros de extensão. Ao completar um número N de voltas nessa pista, ele observou que percorreu 91 quilômetros. Qual é o valor de N? 26 13. Determine o valor de cada expressão numérica a seguir. a) 24,8 : 4 + 45,5 : 5 15,3 b) (0,05 : 0,005) : 0,5 20 c) (2 x 1,1 + 3,83) : 0,9 6,7

14. Um número decimal D é expresso por (0,012 + 1,5) : 1,68. Qual é o triplo do número D? 2,7 15. Efetue a divisão de:

a) 73 por 6, com aproximação até centésimos. 12,16 b) 10 por 33, com aproximação até milésimos. 0,303 c) 1,3 por 0,6, com aproximação até décimos. 2,1

16. Calcule cada quociente, por falta, com aproximação até centésimos. a) 67,2 por 13. 5,16

a) 13 : 5,2 2,5

c) 0,14 : 2,8 0,05

b) 72 por 11. 6,54

b) 21,4 : 2,14 10

d) 5,12 : 0,064 80

c) 8,7 por 2,3. 3,78 189

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades Nas atividades 1 e 2, o objetivo é efetuar a divisão de um número na forma decimal por 10, por 100, por 1 000. É interessante ajudar os alunos a compreender que realizar essas multiplicações é o mesmo que multiplicar o número na

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forma decimal por 0,1; 0,01; 0,001, respectivamente. Orientar os alunos a realizar as divisões como preferirem. Depois, durante a correção com o registro na lousa, pedir que apresentem as estratégias para efetuar as divisões. Em todas as questões é interessante, sempre que possível, incentivar que eles expressem

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as respostas oralmente e que registrem as estratégias utilizadas na resolução. Enfatizar que não existe um único jeito de resolver as situações apresentadas e que cada um deve fazê-la utilizando o método em que se sente mais seguro.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Os números na forma decimal e o cálculo de porcentagens Aqui os alunos terão a oportunidade de relacionar as porcentagens com os números na forma decimal e de resolver problemas que envolvam o cálculo de porcentagens. Também terão a oportunidade de conhecer formas de calcular uma porcentagem, reconhecer e saber resolver problemas que envolvem porcentagens utilizando diferentes estratégias, como cálculo mental e uso da calculadora. As porcentagens estão presentes no nosso cotidiano, e é possível encontrá-las facilmente em jornais, revistas, folhetos e na internet. Se achar oportuno, pedir aos alunos para pesquisar exemplos de situações no dia a dia em que as porcentagens são usadas. Se possível, expor essa pesquisa em um mural para mais adiante explorar essas situações em atividades complementares. Por exemplo, solicitar aos alunos que elaborem problemas que envolvam o uso de porcentagem baseados em dados apresentados em uma das pesquisas. Nesse momento, entender o cálculo de porcentagem é essencial. Para facilitar a compreensão dos alunos, sempre que possível, utilizar situações-problema para contextualizar e aproximá-los do conteúdo. Perguntar se eles sabem o significado da palavra porcentagem, explicar que está associada à expressão por cento, que por sua vez significa por cem. Aproveite o momento para incentivar os alunos a realizar o cálculo mental quando possível; é importante também usar a calculadora em diferentes situações, ela pode ser um excelente recurso para verificar os resultados dos cálculos realizados mentalmente, por exemplo. Caso tenha acesso, utilizar as planilhas eletrônicas.

CAPÍTULO

OS NÚMEROS NA FORMA DECIMAL E O CÁLCULO DE PORCENTAGENS

Já vimos que toda fração com denominador 100 representa uma porcentagem. Por esse motivo, toda porcentagem tem uma representação na forma decimal. • Como 42% !

• Como 9% !

42 42 e ! 0,42, então 42% ! 0,42. 100 100 9 9 e ! 0,09, então 9% ! 0,09. 100 100

Veja a seguinte situação: 1 Uma empresa tem 250 funcionários. Desse total, 62% têm mais de 30 anos. Quantos funcionários dessa empresa têm mais de 30 anos? Como 62% =

62 = 0,62, devemos calcular 0,62 de 250, que é o mesmo 100

que efetuar 0,62 x 250. 0,6 2 2 5 0 " 3 1 0 0 #1 2 4 1 5 5,0 0 Como 155,00 é o mesmo que 155 inteiros, então 155 funcionários dessa empresa têm mais de 30 anos. 2 Qual número na forma decimal representa 8% de 40%? 8 40 = 0,08 e 40% = = 0,40, devemos calcular 0,08 de 100 100 0,40, que é o mesmo que efetuar 0,08 x 0,40. Como 8% =

Utilizando uma calculadora para realizar esse cálculo, obtemos 0,032. 190

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ATIVIDADES

• Se 35% é equivalente a 0,35, então 0,35 x 88,00 = = 30,80, que é o valor do desconto.

Resoluções na p. 316

Responda às questões no caderno. 1. Escreva a representação decimal de cada porcentagem a seguir. a) 3% 0,03 c) 42% 0,42 e) 55% 0,55 b) 21% 0,21 d) 150% 1,50 2. No início do ano, um aparelho de som custava R$ 980,00. Este mês, ele sofreu um aumento de 15%. Quanto passou a custar esse aparelho de som? R$ 1 127,00 3. Escreva que número representa: a) 51% de 3 340. 1 703,4 b) 120% de 2 500. 3 000

(Ideb), que calcula o desempenho dos estudantes de dois em dois anos. O MEC fixou a média 5,5 para o Ensino Fundamental II, como objetivo para o Brasil alcançar até 2021. Observe a seguir as notas obtidas de 2007 a 2013.

AMPLIANDO

Nota do Ideb (2007 a 2013)

Espera-se que as estimativas estejam entre 3,8 e 4,1.

Nota 5 4 3 2

2,50%

5,26%

4,2

4,1

3,8

Fonte: INEP. Ideb – Resultados e Metas. Disponível em: <http://ideb.inep.gov.br/resultado/>. Acesso em: 26 jun. 2018.

5. Calcule o valor da expressão numérica (3% de 250) + (7% de 150) _ (4% de 90). 14,4 6. Na loja do sr. Freitas, uma calça custa R$ 88,00. Para atrair mais compradores, ele resolveu dar um desconto de 35% sobre o preço de todas as mercadorias da loja. Usando a calculadora, determine: a) o desconto no preço de uma calça. R$ 30,80 b) o valor pago na compra de duas calças. R$ 114,40

b) Em algum desses anos a nota obtida atinge a meta estipulada para o país alcançar até 2021? Não, até agora a maior nota obtida foi 4,2. c) Sem realizar cálculos, apenas observando o gráfico, estime a nota do Ideb de 2009.

DESAFIO

7. O Ministério da Educação (MEC) avalia todo ano as escolas públicas de Ensino Fundamental. Um dos indicadores utilizado para avaliação é o Índice de Desenvolvimento da Educação Básica

2007

2009

2011

2013

Ano

EDITORIA DE ARTE

4. Um pintor já pintou 85% da superfície de uma parede. A parede toda tem 16,8 metros quadrados de superfície. a) Quantos metros quadrados da parede já foram pintados? 14,28 m2 b) Quantos metros quadrados ainda restam para pintar? 2,52 m2

Com base nas informações do texto e do gráfico, responda às questões a seguir. a) De 2011 a 2013, quanto subiu a nota Ideb? De quantos por cento foi esse acréscimo? Explique como você obteve esse percentual. 0,1; 2,44%.

d) Encontre o valor que falta no gráfico e calcule o melhor desempenho que os alunos tiveram de uma avaliação para outra. Explique como você pensou e como realizou os cálculos. O valor que falta é 4,0. e) A estimativa que você fez no item c se confirmou com a resposta do item d? Resposta pessoal. f) Todas essas informações sobre o Ideb são públicas. Pesquise o Ideb do seu estado e do seu município, depois confronte os dados obtidos com a média nacional. Resposta pessoal.

Atividade complementar Para o uso da calculadora, perguntar aos alunos como calcular 15% de 250 reais, por exemplo. Deixar que explorem o teclado da calculadora para encontrar um procedimento. Caso a calculadora possua a tecla % , basta digitar 2 5 0 , pressionar a tecla x , digitar 1 5 e pressionar a tecla % que aparecerá no visor 37,5 . Caso a calculadora não possua a tecla % , basta digitar 1 5 , pressionar a tecla ÷ , digitar 1 0 0 , pressionar a tecla x e depois digitar 2 5 0 seguida de = que aparecerá no visor 37,5 . E ainda é possível digitar a porcentagem na forma decimal, nesse caso, 0 , 1 5 , pressionar a tecla x , digitar 2 5 0 , depois = e aparecerá no visor 37,5 . Depois pedir aos alunos que calculem: 15% de 360 reais. 8% de 475 reais. 20% de 1 342 reais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades Algumas questões propõem que os alunos resolvam problemas que envolvem o cálculo de porcentagens. Comentar com eles que é possível encontrar no comércio local, assim como nos comerciais de televisão, jornais

e revistas, muitos apelos para o consumo de diversos produtos em que as ofertas e as promoções são apresentadas usando-se a porcentagem. Na atividade 6, o desconto para as mercadorias da loja do sr. Freitas é de 35%. É interessante cuidar para que os alunos não confundam a por-

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centagem apresentada com o valor do número inteiro. Exemplo: se as calças custam R$ 88,00, pode-se tomar 35% por R$ 35,00. Enfatizar que: • Se o inteiro é R$ 88,00, então 100% de 88,00 equivale a 1 x 88,00 = 88,00, que é o valor total.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por exemplo, quando jogamos uma moeda para cima, há duas possibilidades, ela pode cair do lado cara ou coroa. Então, a probabilidade de sair cara ou coroa é de 1 para 2. Calculando a probabilidade, temos a razão 1 = 0,5. Multiplicando 0,5 2 por 100, obtemos o valor em porcentagem, que é 50%. No entanto, é preciso lembrar que, ao lançar uma moeda, experimentalmente, o valor da probabilidade encontrada pode divergir (mesmo que pouco) dos valores teóricos. Sendo assim, é importante que os alunos percebam que quanto mais vezes lançarmos a moeda, mais próximos do valor teórico chegaremos e que a probabilidade indica algo que pode acontecer, mas não é certeza. Nas atividades desta seção os alunos terão a oportunidade de realizar experimentos em situações em que é possível calcular a probabilidade de um evento acontecer.

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções na p. 316

Probabilidade Vamos observar a seguinte situação: Você tem um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 e o lança uma vez. Qual a probabilidade de o dado cair com a face 1, 3 ou 5 (os números ímpares) virada para cima? Nós já aprendemos a calcular essa probabilidade; ela é de 3 em 6, ou seja, 3 . Além 6 disso, aprendemos que 3 = 0,5 = 50%. Mas, quando saímos do cálculo para o experimento, 6 será que conseguimos observar essa probabilidade? Vamos fazer o experimento, seguindo os passos abaixo, e descobrir.

DAYANE RAVEN

Tratamento da informação O objetivo desta seção é ajudar os alunos a efetuar e a compreender cálculos de probabilidade em eventos realizados na sala de aula por meio de repetições dos experimentos sugeridos. Perguntar se já realizaram algum experimento e caso já tenham passado por essa experiência, solicitar que eles relatem como foi. A probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis em um espaço amostral equiprovável, ou seja, se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: número de casos favoráveis P (A) = . número de casos possíveis

• Junte-se a seus colegas, formando, se possível, grupos de cinco integrantes. Cada integrante do grupo deve ter um dado de seis faces. • Cada integrante do grupo deve fazer 12 lançamentos com seu dado. Caso o grupo tenha cinco integrantes, totalizará 60 lançamentos por grupo. • O grupo deve anotar quantas vezes cada face caiu virada para cima, considerando os resultados de todos os integrantes do grupo. • Após os lançamentos, o grupo deve organizar as informações obtidas no experimento da forma que achar mais conveniente (tabela ou gráfico). 192

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No primeiro experimento, organizar a turma em grupos e providenciar um dado para cada grupo. Seguir as orientações do livro e pedir aos alunos que organizem os registros dos lançamentos em um quadro. Por exemplo, supondo um grupo com 5 integrantes em que cada integrante lançou o dado 12 vezes, temos um total de 60 lançamentos. Desses 60 lançamentos, as faces com números pares ficaram viradas para cima 35 vezes, e as faces com números ímpares ficaram viradas para cima 25 vezes. Observe esses dados no quadro a seguir:

Com as informações em mãos, façam o que se pede: 1. Contem a quantidade de vezes que os dados foram lançados, considerando todos os integrantes do grupo. 2. Contem a quantidade de vezes em que a face virada para cima foi 1, 3 ou 5, considerando, também, todos os integrantes do grupo. 3. Utilizando uma calculadora, obtenham o resultado da divisão entre o valor encontrado na atividade 2 e o valor encontrado na atividade 1. 4. O que se pode dizer quando comparada a probabilidade calculada para o evento “dado de seis faces cair com as faces 1, 3 ou 5 viradas para cima” e o valor obtido na atividade anterior? Respostas pessoais. Agora, vamos fazer um novo experimento:

• Junte-se a seus colegas, formando grupos de cinco integrantes. • Façam fichas de papel, quantas o grupo desejar (lembrem-se bem dessa quantidade). É importante que as fichas sejam do mesmo tamanho e do mesmo material.

Quantidade de vezes que as faces pares ou ímpares ficaram voltadas para cima

• Escolham duas cores (A e B) para colorir as fichas, sendo que algumas delas terão a cor A e outras, a cor B. A quantidade de fichas de cada cor será determinada pelo grupo (lembrem-se bem dessa quantidade). • Calculem a probabilidade de uma ficha da cor A ser sorteada e a probabilidade de uma ficha da cor B ser sorteada (expressem esse valor na forma fracionária, decimal e percentual). • Usem um saco ou uma caixa como urna para depositar as fichas, de forma que não seja possível vê-las dentro da urna.

Quantidade

Pares

Ímpares

Nesse caso, para a atividade 3 temos: Faces pares: 35 = 0,58 = 60 = 58%

• Troquem a urna com a de outro grupo. • Um integrante do grupo sorteia uma ficha da urna que recebeu, anota a cor sorteada e devolve a ficha para a urna, embaralhando-a. • Repete-se esse passo até que todos os integrantes tenham participado 12 vezes do sorteio. • Após os sorteios, o grupo deve organizar as informações obtidas no experimento de uma forma diferente da que fez no experimento anterior. Com os dados em mãos, façam o que se pede: 5. Contem quantos sorteios foram feitos por todo o grupo.

6. Contem quantas fichas de cada cor foram sorteadas.

7. Calculem, com o auxílio de uma calculadora, o quociente da divisão entre os valores contados na atividade 6 e o valor contado na atividade 5.

8. Perguntem ao grupo dono da urna qual a probabilidade que calculou de se retirar uma ficha de cada uma das cores e comparem essas probabilidades com o valor obtido na atividade 7. O que se pode afirmar sobre esses valores? Respostas pessoais. 193

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Faces

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Faces ímpares: 25 = 0,42 = 60 = 42% Para a atividade 4, é importante que o aluno perceba que os valores de cada grupo podem ser próximos ao 50% calculado para a probabilidade desse evento no início do texto. Depois disso, usar os dados de toda a classe para fazer os cálculos experimentais, a fim de mostrar aos alunos que, quanto mais dados, mais os valores experimentais se aproximam dos valores teóricos. Outra maneira de analisar os dados é por meio de um gráfico de barras. Esse gráfico terá duas barras, uma representando os números ímpares sorteados e, a outra barra, os números pares sorteados. Pedir que construam um gráfico com os resultados obtidos nos experimentos realizados e que comparem as barras do gráfico que fizeram e depois comparem os gráficos entre si.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Resoluções na p. 317

Tecnologias Para as atividades propostas nesta seção, cada aluno terá de usar a calculadora científica. Se possível, levar os alunos ao laboratório de informática para que eles possam explorar essa e as demais calculadoras disponíveis no sistema. Ao usar a calculadora na atividade 2, verificar se todos encontraram o mesmo resultado, pois a quantidade de dígitos no visor pode variar de acordo com a calculadora utilizada. Dizer a eles que, apesar de ser uma boa ferramenta de cálculo, a calculadora também apresenta limitações e deve ser utilizada somente com o consentimento do professor, dependendo do assunto abordado.

AMPLIANDO

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Atividade complementar Para estas atividades, é necessário que alguns alunos utilizem calculadoras simples e outros, científicas, para poder comparar os resultados obtidos. Desenvolver com eles a seguinte atividade: O que acontece? Aqui a proposta é convidar os alunos a realizar algumas divisões e anotar os resultados usando uma calculadora. É importante garantir que os alunos tenham acesso aos dois tipos de calculadora, algumas duplas ou grupos com a simples e outros com a científica. Também é possível usar a calculadora do celular, caso eles possuam. Nesse caso, a maioria pode ser usada como calculadora simples ou científica. Em alguns casos basta ativar a função “rotação de tela” para que a calculadora científica fique disponível. Em seguida, propor divisões como: • 8:6 • 5:3 • 26 : 9 • 56 : 3 • 67 : 6

Calculadora básica.

Calculadora científica normal.

Calculadora científica gráfica.

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Todos os tipos de calculadora apresentados permitem fazer operações com números decimais. Para isso, elas apresentam uma tecla para o separador decimal.

A minha calculadora usa o ponto como separador decimal.

JEFFREY B. BANKE/SHUTTERSTOCK.COM

Calculadora financeira.

A minha calculadora também usa o ponto como separador decimal. Por que isso?

A minha calculadora usa a vírgula como separador decimal.

ILUSTRA CARTOON

Alguns países adotam o ponto como separador decimal. Já outros, como o Brasil, adotam a vírgula. Mas a maioria das calculadoras usa o ponto como separador decimal.

2. Com uma calculadora, resolva as seguintes operações: a) 2,75 + 3 5,75 b) 7 _ 4,5 2,5 c) 8 x 10 80

d) 36 : 3 12

3. Com o auxílio de uma calculadora básica, resolva: 17 453 000 x 349. a) Qual o resultado? 6 091 097 000 b) Quantos dígitos tem esse produto? 10 dígitos.

Solicitar que eles realizem essas divisões fazendo cálculos manualmente e depois resolvam usando a calculadora. Ambos os resultados devem ser anotados e depois comparados entre os grupos ou duplas que usaram diferentes tipos de calculadoras. É provável que eles notem que com exceção da primeira divisão proposta, as outras apresentam uma pequena diferença no resultado, dependendo do tipo de calculadora que utilizaram. Por exemplo: na divisão: 26 : 9, muito provavelmente o resultado obtido usando-se uma calculadora simples seja 2,8888888, e o resultado obtido na calculadora científica 2,888888889. Perguntar a eles se sabem porque isso acontece, e se acham que a quantidade de dígitos influencia nesse resultado apresentado. À medida que eles começarem a se expressar é interessante anotar suas ideias na lousa, assim os comentários não se perdem e depois eles podem fazer associações a partir desses comentários. Depois, solicitar a eles que utilizem as calculadoras (simples e científica) para realizar a operação inversa, ou seja, 2,8888888 x 9 e 2,888888889 x 9. Perguntar qual desses valores mais se aproxima de 26. Explicar que o resultado da calculadora científica é o que mais se aproxima de 26 porque a calculadora fez um arredondamento, já que essa divisão é infinita, comentar que normalmente as calculadoras simples não fazem esse arredondamento, e que por esse motivo o produto da multiplicação é menos próximo de 26, nesse caso.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Retomando o que aprendeu Esta seção possibilita que os alunos retomem e aprofundem os estudos realizados com representação decimal: adição, subtração, multiplicação, divisão e o cálculo com porcentagens. Sempre que possível, sugere-se que sejam desenvolvidas atividades em duplas ou em grupos para facilitar a interação e troca de experiências entre eles. Sugere-se que realizem as questões aqui propostas individualmente. Orientá-los a consultar o livro para buscar informações quando sentirem necessidade. É importante que eles compreendam que quando não conseguirem responder uma questão devem registrar as dúvidas que têm, para que possam discuti-las em sala de aula. Durante a correção, incentivar a participação deles, fazendo intervenções quando achar conveniente, orientando quais caminhos eles poderão buscar para chegar ao resultado esperado. Será valioso para o desenvolvimento da autonomia intelectual dos alunos que percebam seu processo de aprendizagem, suas dificuldades e a busca de informações. Muitas vezes o aluno é capaz de executar os algoritmos das operações com destreza, mas não consegue identificar quais operações deve realizar, chegando assim, a um resultado errado; se isso ocorrer, verificar por exemplo se eles estão conseguindo ler e interpretar os enunciados corretamente. É importante questionar os alunos sobre os resultados obtidos, tanto nos casos em que os cálculos foram realizados corretamente, como nos casos em que há algum erro, assim eles são estimulados a expressar as estratégias que utilizaram. Em alguns momentos, pode-se incentivar o uso da calculadora para os resultados obtidos.

RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. Qual é o número decimal expresso por 52 _ 3 x (4,1 _ 1,8)? Alternativa b. a) 44,1

d) 46,1

b) 45,1

e) 47,3

c) 45,5

2. (Saresp-SP) No recreio, um aluno comprou 3 balas a R$ 0,20 cada uma e um lanche de R$ 1,50. Se ele pagou com uma nota de R$ 5,00, recebeu de troco a quantia de: Alternativa c. a) R$ 4,10

c) R$ 2,90

b) R$ 3,30

d) R$ 2,10

3. Caio comprou 1 500 dólares quando 1 dólar valia R$ 2,85. Quantos reais ele gastou nessa compra? R$ 4 275,00 4. Uma substância muito perigosa para a saúde de uma pessoa é o monóxido de carbono que o motor de um carro lança no ar. Sabe-se que um carro com motor a gasolina lança 27,7 gramas de monóxido de carbono a cada quilômetro rodado. Se esse carro rodar 8 quilômetros, quantos gramas de monóxido de carbono ele vai lançar no ar? 221,6 g 5. Qual é o próximo número desta sequência? Alternativa a.

2,5

Resoluções na p. 317

6. (Saresp-SP) A temperatura normal de Carlos é de 37 graus. Ele ficou com gripe e observou que estava com 37,8 graus de temperatura. Tomando um analgésico, sua temperatura baixou 0,5 grau, chegando ao valor de: Alternativa a. a) 37,3 graus. b) 37,4 graus. c) 37,5 graus. d) 37,6 graus. 7. São dados dois números decimais. O primeiro é expresso por (9 : 2 + 4 x 1,25) e o segundo, por (2 x 1,05 _ 6,4 : 4). Quanto vale o produto desses dois números? Alternativa d. a) 3,75 d) 4,75 b) 4,25

e) 5,75

c) 4,50

8. A expectativa de vida, em anos, em uma região é dada pelo valor da expressão numérica (3,5 x 416 _ 715) : 10. Qual é a expectativa de vida de uma pessoa dessa região? 74,1 anos. 9. Uma estrada começa em uma cidade A e vai até uma cidade B, tendo um comprimento de 103,2 quilômetros. A cidade B, por sua vez, está ligada a uma cidade C por uma estrada cujo compri3 mento é igual a do comprimento da 4 estrada que liga A a B. Quantos quilômetros percorrerá, nessas estradas, um ônibus que sai de A, passa por B e atinge C? Alternativa b.

a) 0,625

d) 62,5

a) 170,6

d) 179,6

b) 0,0625

e) 4,25

b) 180,6

e) 177,4

c) 6,25

c) 181,6

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a) 240

d) 120

b) 200

e) 80

c) 180

11. Uma pipa de vinho enche 63 garrafas de 0,7 litro cada uma. Quantas garrafas de 0,9 litro a pipa pode encher? Alternativa a. d) 55 a) 49 e) 59 b) 51 c) 53 12. Em certa hora do dia, a fila única de clientes para usar os caixas eletrônicos de um banco tem 16 pessoas. Em média, a distância entre duas pessoas que estão na fila é de 0,55 metro, e cada pessoa ocupa 0,30 metro na direção da fila. Assinale qual é o comprimento dessa fila nesse instante. Alternativa c. d) 13,45 m a) 12,05 m e) 13,75 m b) 12,75 m c) 13,05 m

13. (Saresp-SP) A mãe de Paula, suspeitando de que sua filha estivesse doente, resolveu tomar a sua temperatura. Veja quanto marcou o termômetro. MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

10. Um levantamento feito em um grupo de 320 pessoas mostrou que 75% das pessoas desse grupo tinham curso universitário completo. Quantas pessoas desse grupo não tinham curso universitário completo? Alternativa e.

35 36 37 38 39 40 41 42

A temperatura de Paula é: Alternativa d. a) 38,2 °C b) 38,3 °C c) 38,7 °C d) 38,8 °C

14. Elabore uma atividade utilizando temperatura como tema. Essa atividade deve conter números racionais na forma decimal e, para resolvê-la, deve ser necessário o uso de habilidades e conhecimentos adquiridos ao longo desta Unidade. Utilize tabelas e/ou gráficos para apresentar os dados da atividade. Em seguida, troque sua atividade com a de um colega e resolva-a. Depois, junto com seu colega, corrija as atividades. Resposta pessoal.

UM NOVO OLHAR

Nesta Unidade, ampliamos nosso conhecimento sobre números, abordando operações e aplicações com os números decimais que fazem parte do conjunto racional, suas relações com números fracionários, porcentagens e medidas, bem como nas operações monetárias do dia a dia. Além disso, estudamos outras aplicações desses números, por exemplo, na contagem do dinheiro e no cálculo de porcentagens. Vamos retomar as aprendizagens da Unidade 6 e refletir sobre elas: • Você conseguiria descrever as regras operatórias para os números decimais apreUma possível resposta: sentadas nesta Unidade? Resposta pessoal. na comparação do • Como nosso sistema monetário utiliza os números decimais? centavo com o real. • Por que é importante utilizar nossas moedas? Uma possível resposta: para facilitar o troco do comércio.

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Para a atividade 14, é importante conversar com os alunos sobre alguns cuidados que devem ser tomados no processo de elaboração de uma situação ou de um problema. Comentar com eles que, ao elaborar uma questão, se deve ficar atento aos termos que serão usados e que a questão elaborada deve ser clara e objetiva. É interessante que atividades como essa sejam desenvolvidas em sala de aula, assim é possível acompanhar o processo de elaboração e fazer intervenções que os ajudarão a avançar nesse tipo de produção. Comentar que eles devem elaborar a atividade e resolvê-la, se possível; solicitar que anotem em uma folha à parte o objetivo da atividade e os procedimentos esperados para a resolução. Isso não quer dizer que se o colega resolvê-la utilizando outras estratégias a resposta não estará correta.

Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade permitem, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões apresentadas para que, dessa forma, possam refletir sobre o próprio aprendizado e sanar possíveis dúvidas a respeito dos conteúdos estudados na Unidade. A solicitação da descrição das regras operatórias para números na forma decimal tem o objetivo de retomar com os alunos os procedimentos utilizados, além de permitir que eles ajustem esse procedimento ao seu acervo pessoal. É importante que, após a escrita, os alunos retornem às definições apresentadas no livro para confirmar sua veracidade. A última pergunta retoma um pouco o que foi estudo na seção Educação fincanceira. Enfatizar que a utilização de moedas no dia a dia pode facilitar o troco.

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Atualidades em foco É interessante perguntar aos alunos se saberiam listar os alimentos mais consumidos na região onde vivem, ajudá-los a pensar nas possíveis relações existentes entre os alimentos mais consumidos e a localização geográfica, a época do ano e os porquês dessa sazonalidade (caso haja essa particularidade). Perguntar à turma se conhecem alimentos muito consumidos em outras regiões do país e verificar os conhecimentos que possuem. Sugere-se que sejam feitas algumas indagações que provoquem reflexões acerca da relação existente entre os alimentos produzidos e o clima de cada região ou, ainda, dos alimentos mais consumidos nas regiões que ficam próximas ao mar, próximas ao campo, próximas ao sertão etc. Para ampliar essa exploração, abrir uma roda de conversa para que possam dialogar a respeito dos hábitos alimentares dos brasileiros e das diferentes regiões do país. Após a exploração da ilustração apresentada na página, solicitar que observem a estrutura e as imagens utilizadas e criem hipóteses acerca do assunto abordado. É interessante que, após a leitura dos textos, possam conversar a respeito das hipóteses criadas anteriormente e, juntos, percebam a proximidade ou não com o assunto explorado. Cada aluno poderá ler o texto individualmente, em duplas ou coletivamente. Se possível, incentivar a localizar as regiões do Brasil em um mapa-múndi e pensar, por exemplo, nas possíveis influências artísticas, gastronômicas e literárias de cada região.

ATUALIDADES EM FOCO

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Hábitos alimentares no Brasil • Em sua opinião, de onde vêm esses hábitos? Para que possamos responder a esse questionamento, muitas vezes, é preciso remontar à história de nosso país e analisar sua geografia, pois nossos hábitos alimentares fazem parte de uma herança cultural (local e familiar) e da disponibilidade de alimentos na região onde moramos. Do ponto de vista histórico, é possível perceber que há, na alimentação brasileira tradicional, heranças da culinária europeia (principalmente da portuguesa), indígena e africana. Já no aspecto geográfico, a disponibilidade de alimentos sofre influência da localização, pois esta afeta clima, distribuição hídrica etc. Conheça abaixo alguns exemplos de alimentos consumidos em cada região brasileira e possíveis influências que podem ter impulsionado tal consumo.

Região Norte Possui recursos naturais fornecidos pela Floresta Amazônica e pela bacia hidrográfica e tem uma clara influência indígena. Ingredientes: mandioca-brava, pirarucu, açaí, guaraná e outros.

Região Nordeste Região com uma quantidade imensa de frutos do mar. O clima tropical do litoral propicia a cultura de muitas variedades de frutas, enquanto o semiárido do sertão, no interior da região, tem como característica o consumo da carne-seca. No estado da Bahia, vê-se uma clara influência africana. Ingredientes: peixes e camarão, azeite-de-dendê, castanha-de-caju, coco, cacau e outros.

Região Centro-Oeste Possui uma variedade de vegetação e recursos hídricos favoráveis à agricultura e pecuária. Ingredientes: pequi, pintado, banana-da-terra.

Região Sul

Região Sudeste

É uma região onde a tradição europeia influenciou não apenas na culinária, mas no uso do solo, por exemplo, com a produção de uvas na Serra Gaúcha. Ingredientes: erva-mate, carne bovina, uva e arroz.

Por ter recebido uma grande quantidade de imigrantes, teve seus hábitos alimentares e tradições culinárias influenciados de diversas regiões do mundo. Ingredientes: milho, leite, carne bovina e suína e arroz.

RENATO BASSANI

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fonte: ALIMENTAÇÃO EM FOCO. Hábitos alimentares no Brasil: conheça a cultura em cada região brasileira. Disponível em: <https://alimentacaoemfoco.org.br/habitos-alimentares-brasil/>. Acesso em: 2 jul. 2018.

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Assim, não podemos negar que o nosso país é repleto de sabores e que, além da riqueza cultural, há uma grandiosa disponibilidade de alimentos. Diante de tanta diversidade, há a expectativa de que os brasileiros mantenham uma alimentação saudável e equilibrada. • Em sua opinião, isso acontece? Por quê?

Desperdício de alimentos Perdas e desperdícios de alimentos na América Latina e no Caribe No âmbito mundial, entre um quarto e um terço dos alimentos produzidos anualmente para o consumo humano se perde ou é desperdiçado. Isso equivale a cerca de 1 300 bilhões de toneladas de alimentos, o que inclui 30% dos cereais, entre 40 e 50% das raízes, frutas, hortaliças e sementes oleaginosas, 20% da carne e produtos lácteos e 35% dos peixes. [...] a FAO estima que 6% das perdas mundiais de alimentos se encontram na América Latina e no Caribe e que, a cada ano, a região perde ou desperdiça cerca de 15% dos alimentos disponíveis. Devemos lembrar que 47 milhões de pessoas ainda vivem em situação de fome na região. Fonte: BENÍTEZ, R. O. Perdas e desperdícios de alimentos na América e no Caribe. Disponível em: <http://fao.org/americas/noticias/ver/pt/c/239394/>. Acesso em: 2 jul. 2018.

Ainda de acordo com a FAO, 14 milhões de pessoas passam fome no Brasil e o que desperdiçamos seria suficiente para alimentar 11 milhões de pessoas. As principais formas de desperdício são o descarte de alimentos que não atendem ao padrão estético esperado e das partes menos convencionais dos alimentos, como cascas, talos e folhas. Pensando e retomando as informações, faça o que se pede no caderno. 1. De acordo com o texto da FAO, quanto alimento produzido se perde anualmente? Dê a resposta na forma de fração, de número decimal e em 1 1 e ; entre 0,25 e porcentagem. Entre 4 3 0,333...; entre 25% e 33,3%. 2. De acordo com o texto, 6% do desperdício de alimento mundial se encontra na América Latina e no Caribe. Sabendo que o total de alimentos desperdiçado anualmente é de 1 300 bilhões de toneladas, quantas toneladas de alimentos são desperdiçadas na região da América Latina e no Caribe? 78 bilhões de toneladas.

3. De acordo com o texto, 47 milhões de pessoas vivem em situação de fome na região da América Latina e do Caribe. Desse número, 14 milhões se encontram no Brasil. A quantidade de pessoas nessa situação no Brasil representa, aproximadamente, qual porcentagem do total da região citada? Aproximadamente 29,79%. 4. Para você, é importante evitar o desperdício de alimentos? Por quê? Respostas pessoais. 5. Reúna-se com 3 colegas e, juntos, elaborem uma lista de propostas que poderiam minimizar o problema de desperdício e, com auxílio dos demais colegas e professores de sua escola, criem estratégias que permitam a efetivação das propostas elaboradas pela turma. Resposta pessoal. 199

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Antes de iniciar a leitura do texto sobre desperdício de alimentos, perguntar aos alunos se já presenciaram alguma situação de desperdício de comida. Permitir que compartilhem vivências, sentimentos e sensações diante de uma situação como essa. Solicitar aos alunos que formem trios, de preferência, com pessoas de pouco convívio e, juntos, pesquisem receitas nas quais sejam utilizados alimentos regionais ou receitas em que sejam utilizadas partes dos alimentos que, na maioria das vezes, são descartadas, como as cascas de frutas, os talos dos legumes ou ainda alimentos do dia anterior, como pão, arroz etc. A ideia é fazê-los perceber que, muitas vezes, os alimentos que são jogados fora podem, perfeitamente, ser utilizados de diversas maneiras. Para isso, podem contar com a ajuda de familiares ou conhecidos que possuem o hábito de cozinhar; sugerir que eles perguntem para essas pessoas se elas se preocupam em evitar o desperdício em casa. Comentar a importância de termos hábitos sustentáveis, como separar o lixo para a reciclagem, evitar o desperdício de alimentos e de água, por exemplo. Relembre-os que, muitas vezes, as pessoas têm opinião e valores diferentes e que todos precisam ser ouvidos e respeitados. Sugerir que as receitas e informações encontradas sejam reunidas em um livro de receitas ou em um painel que pode ficar exposto na sala de aula. Para ampliar as explorações, os alunos podem pesquisar informações sobre as PANCs (Plantas alimentícias não convencionais). Outra sugestão é pedir que eles pesquisem sobre a fome e a desnutrição na cidade onde moram e elaborem um texto com esses dados, propondo soluções para a redução da fome e da desnutrição, como, por exemplo, ideias que envolvam a criação de um projeto.

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COMPETÊNCIA GERAL 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

HABILIDADES

ÂNGULOS E POLÍGONOS

Quando nos localizamos em um guia de ruas, por exemplo, entendemos as ruas como retas a percorrer. Os locais aonde queremos chegar são pontos desse guia, e ele é a representação plana da região. As ruas formam diversas intersecções com outras ruas, determinando ângulos. O simples ato de virar em uma rua à esquerda pode ser traduzido como: gire certa quantidade de graus à esquerda.

p. XVII e p. XVIII

Geometria • EF06MA16 • EF06MA18 • EF06MA19 • EF06MA20 • EF06MA21 • EF06MA22 • EF06MA23 Grandezas e medidas • EF06MA25 • EF06MA26 • EF06MA27 Probabilidade e estatística • EF06MA32

• O que você sabe sobre ângulos e graus? Resposta pessoal.

Na imagem ao lado, existem três pontos que podemos destacar: o posto de saúde, a escola e a casa de Roberto. • Sabendo que Roberto sai de casa, vai para a escola e depois da aula passa no posto de saúde, como você o orientaria para que ele pudesse chegar a cada um desses lugares? Utilize os comandos abaixo para montar o caminho. Resposta pessoal. • Agora, sem usar as fichas, descreva no caderno um caminho para que Roberto possa ir do posto de saúde até a casa dele. Resposta pessoal.

Abertura de Unidade Nesta Unidade, será tratado o conceito de ângulo partindo da ideia de giro. A associação de giro e ângulo será utilizada pelos alunos para traçar percursos. Dessa forma, podemos contextualizar o conceito de ângulo tornando a aprendizagem mais significativa para o aluno. O aluno também perceberá que o giro pode ser medido utilizando um instrumento chamado transferidor. A história da Matemática tem papel relevante nesta Unidade para que o aluno entenda como e por que foi desenvolvida a ideia de ângulo. Esse é mais um elemento que ajuda a contextualizar o estudo do ângulo. No decorrer deste estudo, os alunos terão a oportunidade de explorar a aplicação do conceito de ângulo no dia a dia, como o ângulo de visão para deter-

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minar a distância recomendada para assistir televisão. O estudo do ângulo é a chave para que os alunos possam trabalhar diversos temas, entre eles, a definição e a nomeação de polígonos, polígonos regulares, classificação de triângulos e quadriláteros e semelhança de figuras.

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Além do transferidor, régua e esquadros, há momentos em que os alunos serão chamados a conhecer o software chamado GeoGebra. Na seção Tecnologias, por exemplo, é apresentado o processo de construção e ampliação de polígonos utilizando-se essa ferramenta. Iniciar a Unidade explorando o conhecimento prévio do aluno. Ler o texto introdutório e permitir que os alunos respondam oralmente à primeira questão. Na Matemática, a linguagem também é fundamental. Saber explicar o próprio pensamento pode ajudar na organização das ideias. É importante que os alunos reflitam sobre as novas ideias que vão surgir para que façam novas conexões com os conceitos que já possuem. Ao longo deste estudo é interessante orientá-los a sistematizar e registrar as conclusões ao final de cada ideia ou conceito trabalhado. É interessante estimular os alunos a representar mentalmente o lugar geográfico onde moram ou em que estudam, bem como outros locais por eles frequentados. Por meio da imagem, os alunos podem entender o papel da Geometria em sua localização, em um primeiro momento, de maneira intuitiva. Desafiá-los a explicar oralmente os trajetos por eles percorridos, por exemplo, a ida à escola e o retorno dela. Nesse momento, é possível observar importantes dados acerca dos conhecimentos do grupo. Outra opção é a atividade de elaboração de um mapa, que pode abranger, além dos aspectos matemáticos, aspectos sociais como as ruas do bairro, as vias de acesso, transporte, entre outros. Incentivá-los a registrar esses percursos e, se for conveniente, propor uma conversa sobre os problemas sociais existentes em seus bairros e na cidade. Tendo em vista que o momento do registro gráfico é importante, incentivá-los a realizar esses registros preferencialmente de forma individual.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

GIRO, ABERTURA E INCLINAÇÃO Aline teve um dia cheio. Veja o que ela fez depois da aula:

Ela estava na praça dando voltas no gira-gira quando seu pai a chamou para irem à aula de dança.

Na volta, ainda deu tempo de ela se divertir andando de bicicleta.

Lá, ela praticou seus passos durante 1 hora.

p e n s e e r e s p o nd a

ILUSTRAÇÕES: DANI MOTA

Giro, abertura e inclinação Nesta página, são apresentadas algumas ilustrações que buscam ampliar as ideias de giro, abertura e inclinação, que os alunos possuem utilizando situações que podem fazer parte do cotidiano deles. É interessante que situações do dia a dia sejam usadas como exemplos no processo de construção de um conceito, pois, quanto maior a aproximação entre a vida real e o conhecimento escolar, melhor. Pense e responda O objetivo aqui é identificar e relacionar giro, abertura e inclinação em cada uma das situações descritas. Sugere-se que sejam explorados os significados destas três palavras, inclinação, giro e abertura, promovendo um diálogo com a turma. Se for conveniente, anotar as ideias deles na lousa, enquanto conversam, e deixá-las lá para depois retomar e validá-las ou não. Se possível, levar para a sala imagens de revistas ou jornais que mostrem, por exemplo, uma pessoa andando de bicicleta ou a pé em uma região bastante íngreme, e uma outra imagem parecida, mas que mostre um lugar menos íngreme. Perguntar a eles qual a subida mais cansativa e por quê. Provavelmente as respostas dadas tenham ligação com a ideia de inclinação. Pode-se nesse momento falar com eles sobre o ângulo de inclinação ser maior ou menor e citar exemplos como a rampa de acesso para cadeirantes, explicando que, se a rampa não for construída com o ângulo de inclinação adequado, pode dificultar o acesso em vez de ajudar.

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1. No caderno, copie as frases da coluna da esquerda, completando-as com as palavras da coluna da direita. a-B; b-A; c-C. a) Em uma volta completa no brinquedo, podemos ver...

A) ... uma abertura.

b) Nos braços e pernas, podemos ver...

B) ... um giro.

c) Em uma subida, podemos ver...

C) ... uma inclinação.

Um giro, uma abertura e uma inclinação nos dão ideias de ângulo. 202

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

O ÂNGULO

Considere agora a figura de um plano, dividido em duas regiões por semirretas como estas.

P R S

Na região azul, dois pontos quaisquer sempre determinam um segmento contido nessa região; por isso, a região azul é chamada de região convexa. Observe que na região vermelha é possível representar dois pontos que são extremidades de um segmento que não está totalmente contido na região vermelha; por isso, essa região é chamada de região não convexa.

Ângulo é toda região, convexa ou não, do plano determinada por duas semirretas de mesma origem.

No ângulo da figura abaixo, destacamos: • A notação do ângulo, que é AÔB (lê-se: ângulo AOB). • O ponto O, origem das semirretas, que é o vértice do ângulo AOB. • As semirretas OA e OB, que são os lados do ângulo AOB.

vértice O

lad

AÔB lad

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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O ângulo É interessante iniciar este conteúdo fazendo uma sondagem dos conhecimentos prévios dos alunos sobre ângulos, verificando se eles fazem associações ou se relacionam a palavra a situações do seu cotidiano. Perguntar se já ouviram a expressão “gol no ângulo” e o que isso significa. Provavelmente as respostas dadas não terão rigor matemático, mas serão um excelente ponto de partida para a construção desse conceito. Ouvir atentamente os comentários deles e conduzir uma discussão que os ajude na compreensão desse conceito. Ler o texto apresentado no livro e traçar na lousa uma figura destacando a notação usada para identificar o ângulo, as semirretas e o ponto de origem das semirretas. Comentar com os alunos que essa ideia pode ser explorada com alguns objetos do dia a dia. Retomar a expressão “gol no ângulo” e perguntar novamente por que essa expressão é usada. Espera-se que eles consigam associar o canto da trave com a ideia de ângulo (região formada por duas semirretas de mesma origem). Outros objetos podem ser explorados, como o leque. Mostrar que, quanto maior for a abertura do leque, maior será o ângulo formado por suas hastes. Uma sugestão interessante é usar um relógio analógico para explorar a ideia de giro dos ponteiros e a abertura formada por eles. Depois, sugere-se pedir aos alunos que, a partir dos objetos explorados, escrevam com suas palavras uma definição para ângulo. Se for conveniente, solicitar que realizem a leitura do conteúdo novamente, para que aprimorem as ideias até aqui trabalhadas. Se necessário, pedir que anotem a definição de ângulo em um cartaz que será construído ao longo das aulas referentes a esse conteúdo.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ROSSETTO, H. H. P. Um resgate histórico: a importância da história da matemática. Disponível em: <http://repositorio.roca.utfpr.edu.br/ jspui/bitstream/1/4321/1/MD_ EDUMTE_2014_2_43.pdf>. Acesso em: 1o set. 2018.

Um grau é uma unidade de medida de um giro que corresponde à volta completa dividida por 360.

Por volta de 700 a.C., os habitantes da Assíria, antiga região do norte da Mesopotâmia (Ásia), construíram carros cujas rodas tinham raios opostos diametralmente, determinando ângulos centrais de mesma medida. Tal fato nos leva a concluir que os povos que viviam na Mesopotâmia, naquela época, já dominavam um processo de divisão da circunferência em partes iguais.

WERNER FORMAN/UIG/FOTOARENA

Utilizando a História da Matemática, pode-se verificar que a Matemática é uma construção humana, foi sendo desenvolvida ao longo do tempo e, por assim ser, permite compreender a origem das ideias que deram forma à cultura, como também observar aspectos humanos de seu desenvolvimento, enxergar os homens que criaram essas ideias e as circunstâncias em que se desenvolveram. (GASPERI e PACHECO, 2007).

Um dos problemas mais antigos registrados na história da civilização é o da divisão da circunferência em partes iguais. A divisão da circunferência em 360 partes, possivelmente pela necessidade da contagem do tempo, teve sua origem entre os anos 4000 a.C. e 3000 a.C., na região da Mesopotâmia, onde hoje se localiza o Iraque. Sol Para os babilônios, o Sol girava em torno da Terra em uma órbita circular, levando 360 dias para dar uma volta completa. 1 Dessa forma, a cada dia, o Sol percorreria o equivalente a Terra 360 dessa órbita circular. Influenciado pela Matemática da Babilônia, Hiparco de Niceia, considerado pelos gregos o pai da Astronomia, no século II a.C., fez a primeira divisão da circunferência em 360 partes iguais com 1 dia o objetivo de medir os ângulos. AS CORES IMAGENS FORA DE NÃO SÃO REAIS. PROPORÇÃO. A cada uma dessas 360 partes em que a circunferência foi dividida, associamos um ângulo cuja medida chamamos de 1 grau. A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade-padrão utilizada para essa medição é o grau, representado pelo símbolo ° escrito após o número.

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Pedir aos alunos que formem duplas; depois um deles deve falar o que entende por ângulo e grau. Enquanto, isso o colega toma nota e vice-versa. É importante incentivar a escrita para possibilitar

MARCOS GUILHERME

Medida de um ângulo

Medida de um ângulo Aqui é feita uma breve apresentação do contexto histórico que ajudará os alunos a compreenderem e reconhecerem o grau como uma unidade de medida padronizada, em que um giro corresponde a uma volta completa dividida em 360 partes. Propor uma leitura coletiva do texto apresentado no livro. Depois, conversar com os alunos sobre a importância de conhecer a história da Matemática. Comentar que por meio dela é possível compreender melhor o mundo em que vivemos, e isso inclui a compreensão de conceitos matemáticos. Assim eles reconhecerão a Matemática como uma ciência que surgiu há muito tempo, recebeu diversas contribuições de diferentes povos e culturas ao longo dos anos e ainda está em constante evolução.

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a comunicação e o registro de ideias entre eles; assim os alunos podem analisar os conceitos que estão construindo, validando e ampliando-os à medida que conseguirem retomar as anotações para avaliá-las.

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Usando o transferidor

Usando o transferidor Propor uma leitura coletiva do texto apresentado no livro para que os alunos possam perceber o ângulo e seus elementos (origem e semirretas), e realizar medições de ângulos utilizando o transferidor. É interessante que eles compreendam essa medição e reconheçam o grau como unidade de medida. Se for conveniente, propor a eles que desenhem um círculo em folha de papel, depois recortem e dobrem ao meio e depois ao meio e repitam o procedimento mais uma vez. Depois, eles devem usar uma régua e um lápis para destacar as dobras que foram feitas. Solicitar que realizem com o transferidor diversas medições e anotem os ângulos. É interessante aproveitar esse momento para nomear alguns ângulos; por exemplo: ângulo de medida igual a 90º _ ângulo reto (um quarto de volta), ângulo de medida igual a 180º _ ângulo raso (meia volta), ângulo de medida igual a 360º (giro completo). Comentar com os alunos que é possível identificar a medida de ângulos em muitos objetos e em diversas situações presentes no dia a dia; por exemplo, ao sentar-se em uma cadeira e apoiar os pés no chão, os joelhos lembram um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°. Se for conveniente, falar da importância de sentar-se corretamente para estudar e alguns cuidados com a postura ao usar o computador e o celular.

Para medir um ângulo, comparamos sua medida com a medida de um ângulo de 1° (um grau). Na prática, utilizamos um instrumento de medida chamado de transferidor. O transferidor é graduado, com divisões de 1° em 1°. 70

100 1 10

100 110

12 0

3 50 10 4

0 14 0

0 12

14 0 0 4

50 0 3

15 0

0 15 20

160

180

170

170 180

100 1 10 80

12 0

3 50 10

14 0 0 4

15 0

160

260 270 280 29 0 250 26 0 0 2 0 290 28 50 300 24 24 31 0 0 300 23 0 23 10 0

170 180

centro

Transferidor de 180°.

170

350

160

21 0

centro 33 0

0 15

170 180 190 20 0

180

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3 50 10

340

12 0

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100 1 10 80

0 14 0

80 70 100 110 60 0 12 0 5 0 3

2 32 0 0

10 350 0 340 190 180 170 1 20 30 0 60 0 33 0 20 15 0 4 0 21 2 14 0 3 0

100 110

0 14 0

50 0 3

0 12

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1 grau

Transferidor de 360°.

Veja como utilizar o transferidor para medir um ângulo. 1o passo: Posicionamos o transferidor de modo que seu centro coincida com o vértice do ângulo. 2o passo: Posicionamos a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados do ângulo.

3o passo: Identificamos na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do ângulo.

4 14 0 04

30 15 0

0 10 180 170 20 160

180 0

30 15 0

170 10

180 0

100 1 10 80 12 70 0 60 13 50 10

160 20

20 160

0 15 30

160 20

0 10 180 170

80 70 100 110

0 14 0 4

0 15 30

60 0 12 50 0 5 13

A 55°

0 14 0 4

80 90 70 100 60 0 110 12 50 0 3 5 1

4 14 0 04

A 100 1 10 80 70 1 2 0 60 13 50 10

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nesse exemplo, a medida do ângulo AOB é 55°. Indicamos: med(AOB) ! 55°.

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ATIVIDADES

Resoluções na p. 317

Responda às questões no caderno.

1. Um ângulo de 90° é chamado de ângulo reto. Sabendo disso, observe os ângulos formados pelos ponteiros do relógio, nas diferentes horas, e responda ao que se pede. 11

11 2

10 9

6 12

11 2

6 12

3 8

Seus comandos, para que o robô vá até o final, deverão ser: Alternativa a. a) avançar 4, virar 90° à direita, avançar 3, virar 90° à direita, avançar 2. b) avançar 4, virar 90° à esquerda, avançar 3, virar 90° à esquerda, avançar 2. c) avançar 4, virar 90° à direita, avançar 3, virar 90° à esquerda, avançar 2. d) avançar 4, virar 90° à esquerda, avançar 3, virar 90° à direita, avançar 2.

10 3

4 7

entrada

4 7

final

10 3

4 7

1 2

10 9

3 8

4 7

a) Em qual das horas representadas acima os ponteiros formam um ângulo reto? 3 horas. b) Indique outra hora em que os ponteiros de um relógio formam um ângulo reto. 9 horas. c) Às 4 horas, o ângulo entre os ponteiros é maior ou menor que um ângulo reto? Maior. d) Das 2 horas às 3 horas, quantas voltas completas dá o ponteiro grande? 1 volta. e) Das 12 horas às 12 horas e 30 minutos, o ponteiro grande gira quantos graus? 180º 2. (Saresp-SP) Imagine que você tem um robô tartaruga e quer fazê-lo andar num corredor sem que ele bata nas paredes. Para fazer isso, você pode acionar 3 comandos: avançar (indicando o número de casas), virar à direita e virar à esquerda. Para que você acione de forma correta o comando, imagine-se dentro do robô.

3. Toda manhã, Alice caminha pela praça em frente à sua casa. Veja a trajetória de Alice. B A

DANI MOTA

Atividades Na atividade 1, é interessante pedir aos alunos que construam um relógio para que possam manipular os ponteiros; assim eles terão como vivenciar as situações ilustradas. Orientá-los a realizar no relógio construído os itens da atividade para verificar ângulos formados em cada uma das situações. Na atividade 2, os alunos poderão reconhecer o grau como unidade de medida padronizada de um ângulo. Realizar em sala de aula uma atividade similar à apresentada no exercício. Isso ajudará os alunos a compreenderem os conceitos de lateralidade. Ajudá-los com os comandos (para a direita), (para a esquerda), (para a frente) e (avançar), partindo, por exemplo, da porta da sala até a carteira do aluno. Outra sugestão para desenvolver as ideias de giro associadas a ângulos pode ser solicitar a eles que, elaborem comandos que serão dados a um colega e este terá de segui-los. Por exemplo: vire 90° à direita e dê três passos; agora vire 90° à esquerda e ande 1 passo e assim por diante. É interessante que todos os alunos vivenciem as duas situações, ou seja, dar os comandos e seguir os comandos de um colega. Sugere-se, para exploração do conceito tratado na atividade 2, o software gratuito SuperLogo, que leva os alunos a escrever pequenos códigos que movimentam uma tartaruga em um plano, deixando seu rastro para observação. Ele pode ser baixado no link a seguir: Disponível em: <http:// livro.pro/y6yow5>. Acesso em: 19 set. 2018. Caso seja necessário, pode-se consultar o tutorial de como usá-lo no link indicado a seguir: Disponível em: <http://livro.pro/iwxd5k>. Acesso em: 19 set. 2018. Para a atividade 3, organizar a turma de modo que todos possam usar um transferidor para medir os ângulos pedidos.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Em cada ponto assinalado ela fez um giro. Use um transferidor para medir esses giros. Registre as medidas encontradas. A: 92°; B: 45°; C: 130°; D: 93°. 4. Tomando como exemplo as atividades 2 e 3, represente uma trajetória. Peça a um colega que descubra quais os comandos e a medida de cada giro para percorrer essa trajetória. Resposta pessoal.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS F Ó R UM

Resoluções na p. 318

40°

15°

ILUSTRAÇÕES: MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

Informações obtidas em: VAL, M. Prepare seu home theater como um profissional. Disponível em: <https://gizmodo.uol.com.br/prepare-seu-home-theater-como-um-profissional/>. Acesso em: 4 jul. 2018.

• Para uma televisão de 40 polegadas, de acordo com essa empresa, a qual distância mínima, em polegadas, o assento deve estar do televisor? 48 polegadas. • O excesso de tempo em frente à televisão pode causar vários problemas. Em sua opinião, quais podem ser esses problemas? Compartilhe sua opinião com os colegas de classe. Resposta pessoal.

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Fórum Nesta seção os alunos terão a oportunidade de refletir sobre a distância ideal para assistir à televisão; além disso, serão convidados a calcular essa distância, levando-se em consideração o tamanho do aparelho, a altura recomendada e o melhor ângulo de visão. Além disso, poderão refletir sobre os riscos à saúde quando se assiste à TV de muito perto e por um longo período de tempo. Solicitar aos alunos que façam uma leitura coletiva do texto apresentado. Em seguida, promover uma discussão sobre os hábitos deles quando assistem à TV. Comentar com eles que a medida da TV dada em polegada se refere à diagonal da tela do aparelho. Se achar conveniente, organizar a turma em duplas para responder às questões propostas na seção. Pedir a eles que registrem os cálculos que realizaram para responder à primeira questão e que expliquem como procederam. É interessante também incentivá-los a expressar oralmente as estratégias que utilizaram para calcular a distância. Para a segunda questão, incentivá-los a realizar a pesquisa solicitada e que compartilhem os dados encontrados. Nesse momento, é conveniente comentar sobre a importância de coletar informações em sites confiáveis. Por fim, se achar conveniente, pedir aos alunos, como tarefa de casa, que verifiquem se a distância entre o sofá e a TV de suas casas está de acordo com as recomendações citadas no texto da seção. Depois de compartilhar as informações, seria necessário fazer algum ajuste na distância do sofá ou não.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

CONSTRUÇÃO DE RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES Retas paralelas Resoluções na p. 318

p e n s e e r e s p o nd a

1. Pedro estava no computador utilizando o software GeoGebra. Com a ferramenta Reta ele traçou uma reta e, em seguida, usando a ferramenta Reta Paralela, traçou duas retas paralelas à primeira. Depois, traçou uma nova reta, de tal forma que ela interceptasse as três retas paralelas criadas. Finalmente, com a ferramenta Ângulo, ele mediu um dos ângulos formados entre cada uma das retas paralelas e a reta que as intercepta. Depois, moveu esta última reta e viu o que acontecia com os ângulos.

SAIBA QUE

Veja, abaixo, os ícones das ferramentas do GeoGebra usadas por Pedro. Reta: Reta Paralela: Ângulo:

Veja como ficou parte da tela de Pedro em dois momentos. https://www.geogebra.org/

r s

53,89º

77,25º 77,25º

t 53,89º

77,25º EDITORIA DE ARTE

Pense e responda Nesta seção são apresentadas duas ilustrações em que aparecem destacados os ângulos formados entre retas paralelas e uma reta transversal/concorrente. Na ilustração apresentada aparecem ângulos com valores decimais. Como até agora só foram trabalhados ângulos com números naturais, é oportuno esclarecer aos alunos que esses valores são comuns quando se trata de medidas. Eles podem ser transformados em submúltiplos do grau, que são o minuto e o segundo. Lembrar os alunos de que a unidade é de base 60 (sexagesimal). Como é base 60, cada 1 grau é dividido em 60 partes iguais. Cada uma dessas partes recebe o nome de minuto. Cada 1 minuto é dividido em 60 partes iguais e cada uma dessas partes chama-se segundo. Então temos: 1º = 60’ (1 grau corresponde a 60 minutos) 1’ = 60” (1 minuto corresponde a 60 segundos) Por exemplo: Se dividirmos 360° em 7 partes iguais, obteremos, aproximadamente, 51,4286°. Separamos a parte inteira, onde obteremos o grau (51º), multiplicamos a parte decimal por 60, ou seja, 0,4286º x 60’ = = 25,7143’, separamos a parte inteira e obteremos os minutos (25’), multiplicamos novamente a parte decimal por 60 e obteremos 0,7143’ x 60 = 42,8571”, que corresponde aos segundos (aproximadamente 43”), então: 51,4286° = 51º 25’ 43”. Podemos, também, fazer essas transformações utilizando planilhas eletrônicas e calculadoras científicas. É importante ressaltar que o software GeoGebra utiliza os valores para ângulos na forma decimal e que no lugar da vírgula usa o ponto como separador decimal. Esse software pode ser bastante utilizado nas aulas de Matemática por combinar geometria e álgebra; ele permite

As retas r, s e t são retas paralelas; as retas r e u, s e u, t e u são retas concorrentes. b) O que podemos notar observando os ângulos que Pedro mediu? Os ângulos formados entre as retas paralelas e a reta que as intercepta são congruentes em cada um dos momentos. a) Quais tipos de retas Pedro construiu?

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a criação e a movimentação de figuras. Segue um link que pode ser utilizado para mais informações sobre o GeoGebra. Disponível em: <http://livro.pro/ vad2aa>. Acesso em: 19 set. 2018. Se possível, aproveitar a oportunidade e preparar uma atividade similar utilizando o

software GeoGebra. Assim, os alunos terão a possibilidade de explorar os recursos desse software, vivenciar e constatar a veracidade da propriedade abordada no texto.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Aproveitando a montagem feita no GeoGebra, Pedro utilizou régua e esquadro e fez uma construção seguindo algumas etapas: 3a etapa: Pedro repetiu o que fez na etapa anterior e traçou uma terceira representação de reta.

2a etapa: Sem mover a régua, Pedro deslizou o esquadro mantendo-o em contato com ela e traçou uma representação de outra reta.

4a etapa: Essas foram as representações de retas traçadas por Pedro.

ILUSTRAÇÕES: DANI MOTA

1a etapa: Pedro usou a régua como se fosse a reta u. Encostada nela, ele pôs o esquadro e representou uma reta.

Antes de trabalhar o Pense e responda desta página, organizar atividades para que os alunos possam vivenciar a construção de retas paralelas utilizando a régua e o compasso. Essas atividades podem auxiliar na compreensão dos conceitos trabalhados nesta seção. Para isso, providenciar pares de esquadros e permitir aos alunos que explorem esse material manipulando e identificando o valor dos ângulos que os compõe. Se achar conveniente, pedir aos alunos que marquem os valores dos ângulos correspondentes a cada esquadro, eles podem colar etiquetas, para os ângulos 90º, 30º, 60º e 45º, 45º, 90º. Em seguida, pedir aos alunos que, seguindo as etapas descritas nessa página, representem retas paralelas utilizando a régua e o esquadro. Incentivá-los a ler com atenção e executar os procedimentos descritos de maneira organizada.

Resoluções na p. 318

p e n s e e r e s p o nd a

2. Como a régua não foi movimentada, a inclinação do esquadro não foi modificada, logo as retas são paralelas, como o que ocorreu na construção com o GeoGebra.

1. Observando a construção de Pedro, você pode afirmar que as retas que ele representou são paralelas? Sim, as retas representadas são paralelas.

2. Justifique sua resposta.

3. Caso Pedro colocasse outro lado do esquadro encostado na régua (ver exemplo na imagem) e seguisse as mesmas etapas, as novas retas representadas seriam paralelas entre si? Justifique sua resposta. Sim, as novas retas representadas seriam paralelas, pois a inclinação das novas retas seria a mesma uma vez que a régua é fixa. 209

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Pense e responda Propor que a resolução das questões seja realizada em duplas, para facilitar a troca de ideias e conhecimento. Depois que todos responderem, abrir uma discussão com a turma sobre as questões. Incentivá-los a justificarem as respostas, tanto fazendo o registro como oralmente. Se possível, usar o laboratório de informática e pedir aos alunos que usem o software GeoGebra para representar as retas que Pedro construiu.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retas perpendiculares

é perpendicular a A partir dessas informações, veja a situação a seguir.

1 Pedro continuou seu estudo com construções geométricas. Para isso, ele verificou que dois lados de seu esquadro formavam um ângulo reto. Então ele decidiu fazer o seguinte:

Se você der um giro de meia-volta, terá realizado metade do percurso anterior. A medida será de 180°, que é metade de 360°. Um giro de meia-volta representa um ângulo raso.

Antes de pedir a eles que respondam às questões da seção Pense e responda, propor que realizem a construção de duas retas paralelas utilizando a régua e o esquadro, seguindo as etapas propostas nesta página. Orientá-los a escolher um dos esquadros. É importante observar que os dois tipos

s SAIBA QUE

No software GeoGebra existe uma ferramenta chamada Reta Perpendicular. Ela traça a reta perpendicular a uma reta desenhada anteriormente. Este é o ícone dessa ferramenta:

1a etapa: Pedro posicionou a régua e traçou a representação de uma reta.

3a etapa: Essas foram as representações de retas traçadas por Pedro.

2a etapa: Sem mover a régua, Pedro encostou um dos lados do esquadro que compõe o ângulo reto e traçou, sobre o outro lado que compõe o ângulo reto, uma nova representação de reta.

4 a etapa: Com o auxílio da régua, Pedro prolongou a representação da reta obtida na 2a etapa. Ao final, a construção de Pedro ficou como a imagem ao lado.

p e n s e e r e s p o nd a

ILUSTRAÇÕES: ALEX ARGOZINO

Se você der um giro de metade de meia-volta, terá executado metade do percurso anterior. Logo, a medida será de 90°. Um giro de metade de meia-volta representa um ângulo reto.

ILUSTRAÇÕES: DANI MOTA

Vimos na Unidade 3 o que são retas concorrentes, então vamos lembrar: duas retas quaisquer contidas em um mesmo plano e que possuem um único ponto comum são denominadas retas concorrentes. Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ângulos de 90° (ângulos retos), dizemos que as retas são perpendiculares e utilizamos o símbolo À para representar esse perpendicularismo. Na figura, r e s formam entre si quatro ângulos retos. Então, r À s.

EDITORIA DE ARTE

Atividade complementar Para que os alunos possam associar o giro de meia-volta a um ângulo raso e o giro de um quarto de volta a um ângulo reto, propor a atividade a seguir. Providenciar um par de palitos de sorvete e um percevejo para cada aluno. Pedir aos alunos que fixem as pontas de dois palitos de sorvete usando um percevejo. Fazer um dos palitos girar, dando uma volta completa. Dizemos que a medida de uma volta completa é 360°.

Resoluções na p. 318

1. Observando a construção de Pedro, você pode afirmar que as retas que ele representou são perpendiculares? Sim, as retas representadas são perpendiculares. 2. Justifique sua resposta. Caso precise, utilize um transferidor. As duas retas se cruzam em um único ponto, e os ângulos formados entre elas são ângulos retos.

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de esquadros que existem possuem ângulos retos, ou seja, esse processo funciona com qualquer esquadro. Por fim, se possível, levá-los ao laboratório de informática e possibilitar a eles que utilizem o software GeoGebra para representar retas perpendiculares.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Pense e responda Esta seção visa explorar os tipos de linhas planas. Os alunos vão trabalhar com linhas simples e linhas não simples, linhas abertas e linhas fechadas, para depois aprenderem a conceituar polígonos. Na atividade 3, espera-se que os alunos observem que as figuras do quadro A apresentam reentrâncias e as do quadro B, não. Essa constatação os preparará para reconhecer os polígonos convexos e os não convexos.

POLÍGONOS Observe atentamente estas figuras.

AMPLIANDO

Essas figuras são formadas por linhas simples, que não apresentam cruzamentos, ou por linhas não simples, que apresentam um ou mais pontos de cruzamento. As figuras estão totalmente contidas em um único plano: o plano representado por esta folha. Por isso, essas figuras são chamadas linhas planas. p e n s e e r e s p o nd a

Atividade complementar Nesta atividade, além da identificação das figuras, explora-se também a importância da observação e da classificação de cada uma delas. 1. Pedir aos alunos que, em duplas ou em grupos, elaborem uma descrição para polígonos convexos e polígonos não convexos. Depois, discutam sobre as propostas e registrem a conclusão na lousa. 2. Observar atentamente os cartazes a seguir e identificar a figura que não combina com as outras no cartaz A e no cartaz C.

Resoluções na p. 318

1. Com base nas linhas planas representadas, responda no caderno. a) Quais dessas linhas você acha que podem ser chamadas linhas abertas? E quais podem ser chamadas linhas fechadas? Abertas: A, D; fechadas: B, C, E. b) Que critério você usou para classificar a linha como aberta ou fechada? Resposta pessoal. c) E quais são as linhas fechadas e simples? B, C.

2. Em uma folha de papel, desenhe várias linhas planas simples fechadas e pinte a região do plano limitada por elas. Resposta pessoal.

3. Em qual dos quadros seguintes as figuras desenhadas não apresentam reentrâncias (ângulos ou curvas para dentro)? Responda no caderno. Quadro B. A

CARTAZ C

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

CARTAZ A

Resolução 1. Possível descrição: um polígono é convexo se, e somente se, todo segmento de reta AB, com A e B pertencentes à região interna desse polígono, estiver contido na região interna do polígono. Caso contrário, ele é não convexo. 2. No cartaz A, há um polígono não convexo (c) entre os polígonos convexos; no cartaz C, há um polígono de 6 lados (d) entre os de 4 lados (quadriláteros).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Identificando polígonos A linha plana simples fechada limita uma região do plano: a região interna à linha. Essa região está representada pela parte colorida em cada figura.

Dentre essas figuras, as que estão limitadas por linhas fechadas simples formadas apenas por segmentos de reta são denominadas polígonos.

Polígono é a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta, com a sua região interna.

Vejamos, então, algumas figuras geométricas que são polígonos:

Polígonos convexos Quando a região interna de um polígono é uma região convexa, temos um polígono convexo.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Identificando polígonos Aqui os alunos serão levados a reconhecer polígonos convexos e nomeá-los de acordo com o número de lados. É interessante propor atividades que proporcionem a eles a oportunidade de compreender o conceito de polígono. Para isso, eles devem desenvolver a habilidade de identificar semelhanças e diferenças entre polígonos pela observação das características de figuras bidimensionais e da identificação de suas propriedades. Essa habilidade é importante para futuras classificações que os alunos vão realizar. Dar atenção especial aos critérios utilizados para essas classificações. O que pode parecer óbvio muitas vezes não é. É comum alguns alunos não perceberem que as características dos polígonos permanecem mesmo quando sua posição é alterada. Por exemplo, é importante que eles saibam reconhecer um quadrado independentemente da posição em que ele estiver. Aproveitar a oportunidade para desenvolver a oralidade dos alunos. Apresentar diferentes figuras para que eles apontem figuras poligonais e não poligonais ou quais são poligonais convexas e poligonais não convexas, por exemplo. A seguir são apresentadas algumas figuras que podem ser usadas com essa finalidade. Pedir que expliquem oralmente justificando as escolhas de acordo com as características das figuras.

São polígonos não convexos.

São polígonos convexos.

A partir de agora, no nosso estudo, serão abordados apenas os polígonos convexos. DESCUBRA MAIS

Geometria (coleção Pra que serve Matemática?), de Luiz Marcio Pereira Imenes, Marcelo Cestari Lellis e José Jakubovic. Editora Atual, 2004. Exploram-se nesse volume exemplos da aplicação da Geometria em outras áreas do conhecimento: na arquitetura, na propaganda, na eletrônica, entre outras. Há ainda quebra-cabeças para serem solucionados com a ajuda de materiais de desenho geométrico e raciocínio lógico.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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Ao final, se achar conveniente, pedir aos alunos que anotem as definições no cartaz sugerido no início da Unidade.

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Descubra mais Com o livro indicado é possível apresentar novas situações que podem incentivar os alunos no trabalho com Geometria, enriquecendo o conhecimento sobre os polígonos.

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figuras, falar o nome delas sem se preocupar em formalizar conceitualmente. Para desenvolver esses conceitos, pode-se propor uma atividade que envolva toda a turma. Providenciar um pedaço de barbante de aproximadamente 10 m e fechar essa linha com um nó. Propor aos alunos que formem um grupo e se posicionem de modo que, segurando o barbante com uma das mãos, formem um triângulo. É esperado que eles se posicionem como os vértices do triângulo. Depois, pedir que formem um retângulo, um quadrado etc. Verificar se estão utilizando o número de pessoas necessário para a reprodução das figuras solicitadas. Por exemplo, para formar um triângulo serão necessárias três pessoas; para formar um retângulo, serão necessárias 4 pessoas e assim por diante. Nesse momento, é importante que eles percebam que cada aluno corresponde a um vértice do polígono e que cada dupla de alunos corresponde a um lado do polígono. Pedir aos alunos que, ao formarem um polígono, um deles preencha um quadro em que em cada coluna represente um dos polígonos: triângulo, quadrilátero, pentágono, hexágono e heptágono; quanto às linhas, uma deve ser nomeada como Número de lados e a outra como Número de vértices. Depois de preenchido esse quadro, pedir aos alunos que observem se há alguma relação entre o número de lados, o número de vértices e o nome do polígono.

Nomes dos polígonos Observe os polígonos a seguir:

• Os segmentos AB, AC e BC são os lados desse polígono.

• Os pontos A, B e C são os vértices desse polígono. B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Q P

• Esse polígono tem três ângulos internos, todos destacados na figura.

• Os segmentos MN, NP, PQ, QR e RM são os lados desse polígono. • Os pontos M, N, P, Q e R são os vértices desse polígono.

R N M

• Esse polígono tem cinco ângulos internos, todos destacados na figura.

O número de ângulos em qualquer polígono é igual ao número de lados e os polígonos são geralmente nomeados a partir do número de lados que possuem. Alguns, por sua utilização mais frequente, têm nomes especiais. Número de lados ou de ângulos

Nome do polígono

triângulo

quadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octógono

eneágono

decágono

undecágono

dodecágono

icoságono

Observação: • Há polígonos que não possuem nomes especiais, como o polígono de 13 lados, o de 19 lados e o de 25 lados, por exemplo. 213

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nomes dos polígonos O objetivo aqui é adquirir vocabulário específico, identificar os elementos de um polígono (lados, vértices e ângulos internos) e nomeá-los de acordo com esses elementos.

Explorar esses conceitos incentivando a observação de figuras com esses elementos e suas regularidades de maneira que os alunos possam reconhecê-los e classificá-los. Iniciar apresentando vários polígonos e perguntar a eles se reconhecem essas figuras e qual

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o nome delas. Assim, é possível verificar e registrar os conhecimento que os alunos possuem/ absorveram e se não compreenderam algo; essas informações são importantes para planejar as ações futuras. Quando os alunos apresentarem alguma dificuldade em reconhecer as

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Polígonos regulares Leia a HQ. Aqui estão dois objetos que lembram prismas. Cada um deve escolher um objeto e me falar o nome do prisma que ele lembra.

Este lembra um prisma pentagonal, pois a base dele lembra um pentágono.

Este também lembra um prisma pentagonal, pelo mesmo motivo, a base lembra um pentágono.

Agora contornem a base do objeto em um papel e pintem a parte de dentro do contorno com o lápis que escolheram.

É isso aí, vocês estão certos! Agora cada um pegue uma folha em branco e um lápis colorido, mas cada um deve usar uma cor diferente. Agora eu vou recortar os desenhos de vocês para continuarmos nossa experiência. Vocês vão colocar um desenho sobre o outro e compará-los.

Eles são diferentes!

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

Polígonos regulares Se possível, possibilitar que os alunos vivenciem uma experiência como a apresentada na HQ da página do livro. Disponibilizar diferentes figuras de polígonos, papel sulfite e lápis de cor para que eles possam fazer o contorno dos objetos, depois pintem e recortem a figura obtida. Em seguida, sugerir a eles que usem uma régua para medir todos os lados do polígono que obtiveram e anotem esses dados. Depois eles devem usar um transferidor para verificar a medida dos ângulos internos da figura. Seria interessante que nem todos os polígonos obtidos por eles sejam polígonos regulares. Assim, eles perceberão que os polígonos podem ser regulares ou não. Para trabalhar o conceito de polígonos regulares, iniciar apresentando vários polígonos, regulares e não regulares. Pedir aos alunos que observem e classifiquem as figuras. É importante que eles percebam que, quando todos os lados e os ângulos internos de um polígono têm a mesma medida, esse polígono é chamado de polígono regular. Se achar conveniente, pedir que registrem a conclusão no cartaz sugerido no início da Unidade.

Como vimos na história, é possível representar um mesmo polígono de diferentes maneiras. Quando um polígono possui determinada característica, é classificado como regular. Veja no material audiovisual o vídeo sobre a construção dos cinco poliedros de Platão.

Um polígono se diz regular quando todos os seus lados têm a mesma medida e todos os seus ângulos internos são congruentes.

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é o vídeo Poliedro bom de bola. Nele, é apresentada a construção dos cinco poliedros de Platão: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Além desses poliedros, apresenta-se a construção do icosaedro truncado, usado nos modelos mais convencionais de bolas de futebol.

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções na p. 318

Responda às questões no caderno. 1. Qual das seguintes figuras é um polígono? Justifique sua resposta. A figura do item a. a)

Atividades Com as atividades apresentadas os alunos poderão identificar os elementos de um polígono e nomeá-lo de acordo com a quantidade de lados ou de ângulos internos. Caso seja necessário, eles podem consultar a tabela com o número de lados e o nome dos polígonos, na página 213. Na atividade 1, os alunos devem saber reconhecer a figura de um polígono e identificar as diferenças entre polígonos e figuras que não são polígonos. Pedir a eles que expliquem por que a figura b não é um polígono. Uma resposta possível é: porque a figura não é delimitada por uma linha formada apenas por segmentos de reta. Apresentar-lhes outras figuras geométricas para que também as identifiquem. Nas atividade 3 e 6, trabalha-se com as placas de trânsito. Se possível, levar o desenho de várias placas de trânsito para que os alunos reconheçam quais delas lembram polígonos. A atividade 4 retoma o conceito de que em um polígono a quantidade de vértices é igual à quantidade de lados e de ângulos internos.

4. Miriam desenhou um polígono cujos vértices são os pontos A , B, C, D, E e F. Quantos lados tem o polígono que Miriam desenhou? Qual é o nome desse polígono? 6 lados; hexágono. 5. Qual é o polígono que tem o menor número de lados? Triângulo. 6. Veja a placa de trânsito.

2. Cada representa um quarteirão na planta de um parque florestal. A linha azul indica a cerca e os portões desse parque. Essa planta representa um polígono? Em caso afirmativo, o polígono é convexo ou não convexo? Sim; polígono não convexo.

Desprezando a espessura da placa, você pode afirmar que ela representa um polígono regular? Sim.

7. Theo desenhou em uma folha os dois polígonos regulares a seguir. Em cada polígono está indicada a medida do lado, em unidades de comprimento.

3. Observe as duas placas de trânsito a seguir. Elas lembram polígonos.

SAFRA 35 SAFRA 35 CAMPOS 164 164 CAMPOS

88 ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

PARE PARE

VITÓRIA VITÓRIA

Qual é a medida do contorno de cada polígono que Theo desenhou? 30 unidades; 24 unidades. 8. (Saresp-SP) Observe as figuras do quadro abaixo. Alternativa c.

Qual é o nome do polígono representado pela placa: a) A? Octógono. b) B? Quadrilátero.

III

AMPLIANDO

É verdade que: a) apenas II é triângulo. b) apenas II e III são triângulos. c) apenas I, II e III são triângulos. d) todos são triângulos. 215

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Atividade complementar Geoplano Virtual Se possível, proporcionar aos alunos a oportunidade de utilizar um geoplano virtual; essa ferramenta pode propiciar a exploração dos conceitos aqui trabalhados. Existem vários aplicativos que podem ser encontrados na internet, e um deles é o Geoboard. Segue uma alternativa para acessar: Disponível em: <http:// livro.pro/gp56tn>. Acesso em: 19 set. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Amazônia

20%

Vegetação densa, com árvores altas e próximas entre si.

Resoluções na p. 318

60% 11% 3%

46 cm

Tucano-de-bico-preto, AM. Foto tirada em abril de 2017. Espécies animais no bioma 10%

Cerrado Vegetação formada por arbustos e também por árvores de cascas grossas e galhos retorcidos.

Legenda: Mamíferos Anfíbios Aves Peixes Répteis

42% 35% 8%

1,70 m

Ema, GO. Foto tirada em agosto de 2017. DESCUBRA MAIS

Pantanal A vegetação é característica de planícies de inundação, além de espécies das floras características de outros biomas brasileiros.

Espécies animais no bioma

27%

13%

4% 9%

47%

EDSON GRANDISOLI/PULSAR IMAGENS

FABIO COLOMBINI

Biomas brasileiros

ANDRE DIB/PULSAR IMAGENS

Tratamento da informação Aqui os alunos terão a oportunidade de desenvolver suas habilidades de leitura e compreensão de informações em gráficos, imagens e texto. O tema tratado sobre os biomas brasileiros pode propiciar um trabalho interdisciplinar com as disciplinas de Ciências e Geografia. Aproveitar a oportunidade para que os alunos reflitam sobre a importância dos diferentes biomas e como preservá-los. Também é necessário que eles entendam que os biomas existentes no Brasil são ricos e muito importantes para o equilíbrio da natureza. Solicitar aos alunos que leiam o infográfico apresentado na dupla de páginas da seção e destaquem a definição de bioma e as regiões do país onde cada um deles está localizado. Promover uma discussão e permitir que todos se manifestem e compreendam o seu significado. Aproveitar para explorar o conhecimento prévio dos alunos. Pedir a eles que relatem o que conhecem de cada bioma, seja por meio de leitura, seja por outros meios, e perguntar se já visitaram algum lugar com um bioma diferente da região onde moram; se sim, pedir que relatem a experiência destacando as diferenças que encontraram. É importante que percebam que o Brasil, por ter um território muito extenso, possui uma grande variação climática e, consequentemente, uma grande biodiversidade. Em seguida, pedir como atividade para casa, ou em sala de aula, que pesquisem cada um dos biomas. Para realizar a atividade em sala de aula, providenciar a ida dos alunos até o laboratório de informática, caso seja possível, ou disponibilizar fontes de pesquisa confiáveis. Descubra mais É interessante promover uma reflexão sobre o fato de o Brasil ser o país com a maior diversidade de flora e fauna do planeta.

Espécies animais no bioma

Jacaré-do-pantanal, MT. Foto tirada em junho de 2015.

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É oportuno que eles conheçam a importância dessa biodiversidade para o planeta.

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14%

Caatinga

23%

Por causa do clima semiárido, vegetação predominantemente formada por cactáceas com espinhos.

Extensão territorial dos biomas brasileiros (em quilômetros quadrados) 2%

48%

10%

Espécies animais distribuídas nos biomas brasileiros

2% 8%

10% 13%

22% 49% 50%

24%

Amazônia Cerrado Mata Atlântica Caatinga Pampa Pantanal

48 cm

Sagui-de-tufos-brancos, PI. Foto tirada em abril de 2015.

Peixes Mamíferos Aves Répteis Anfíbios

Espécies animais no bioma 12%

Mata Atlântica O bioma mais devastado até hoje possui em sua vegetação árvores famosas, como o pau-brasil, o jacarandá, entre outras.

15% 40% 20% 13%

25 cm

Mico-leão-dourado, SP. Foto tirada em setembro de 2016. Espécies animais no bioma

SAIBA QUE

brasileiro, e o bioma Cerrado ocupa cerca de um quarto do total do território nacional. Promover uma discussão entre os alunos perguntando qual é o bioma mais devastado para que eles reflitam sobre as causas e as consequências dessa devastação. É interessante propor que eles façam uma pesquisa para ampliar o conhecimento sobre esse assunto. Conversar com eles sobre a importância de buscar as informações em fontes confiáveis e incentivá-los a compartilhar suas opiniões sobre a devastação dos biomas e o que pode ser feito para incentivar a preservação do meio ambiente. Espera-se que os alunos cheguem à conclusão de que existe a necessidade de preservar os recursos naturais e a biodiversidade de cada região. (Competência geral da Base Nacional Comum Curricular no 7). Se achar oportuno, providenciar um mapa do Brasil com as divisões das regiões de cada bioma. Solicitar que pesquisem imagens da fauna e da flora de cada bioma e que façam uma colagem dessas imagens nas respectivas regiões.

14% 5%

Pampa

21% 27%

1,50 m

33%

FOTOS: FABIO COLOMBINI

As herbáceas são a marca principal da vegetação desse bioma.

9% 11%

BY P-FOTOGRAPHY/SHUTTERSTOCK.COM; EDITORIA DE ARTE

Espécies animais no bioma

Cavalo crioulo, RS. Foto tirada em maio de 2017.

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Organizar a turma em 6 grupos, para que cada grupo estude as informações apresentadas sobre um dos biomas. Perguntar a eles se sabem o nome do gráfico em que os dados dos biomas foram apresentados. É provável que eles se refiram a esse gráfico como sendo um gráfico de “pizza”. Se isso ocorrer, perguntar por que o chamam assim.

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Pedir que observem nos gráficos os valores dados em porcentagem, calculem a soma desses valores em cada gráfico e expliquem o que isso significa. Em seguida, sugerir que comparem os biomas usando as porcentagens apresentadas nos gráficos sobre a fauna. Perguntar aos alunos em qual bioma os peixes, os pássaros,

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as aves, os mamíferos e os répteis são mais abundantes. A leitura do texto do infográfico também possibilita a comparação da flora de cada bioma. É importante também que observem o gráfico sobre a extensão territorial de cada bioma e concluam que o bioma Amazônia possui aproximadamente a metade do território

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS O triângulo e seus elementos

Como vimos anteriormente, triângulo é um polígono de três lados. No triângulo ABC abaixo, podemos destacar: • Os pontos A, B e C, que são os vértices do triângulo.

A a

• Os segmentos AB, AC e BC, que são os lados do triângulo. • Os ângulos a, b e c que são os ângulos internos do triângulo.

Utilizamos o símbolo * para indicar um B triângulo. Assim, o triângulo ABC pode ser representado por *ABC. Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados ou as medidas de seus ângulos internos.

Classificação dos triângulos quanto aos lados Considerando as medidas dos lados de um triângulo, temos a classificação a seguir. • O triângulo que tem os três lados com a mesma medida (como o da figura a seguir) é chamado triângulo equilátero.

• O triângulo que tem dois lados com a mesma medida (como o da figura a seguir) é chamado triângulo isósceles. A

Na figura, AB ! AC ! BC.

Na figura, AB ! AC.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

O triângulo e seus elementos Aqui o objetivo é reconhecer os elementos que compõem um triângulo. É importante que os alunos reconheçam os vértices, os lados e os ângulos internos de um triângulo. Além disso, é apresentado o símbolo * usado para identificar um triângulo. De posse desses conhecimentos, os alunos conseguirão avançar para a classificação dos triângulos em relação aos lados e aos ângulos. Classificação dos triângulos quanto aos lados Sabendo identificar os lados de um triângulo, é possível classificá-lo de acordo com as medidas desses lados. Após a leitura do texto apresentado na página, verificar se eles têm alguma dúvida ou dificuldade em reconhecer os elementos de um triângulo e, se achar necessário, fazer uma breve retomada. Depois, pedir que formem grupos com no máximo 4 integrantes, entregar para eles figuras de triângulos equiláteros, isósceles e escalenos recortadas e solicitar que os classifiquem quanto ao número de lados e justifiquem as respostas dadas. Incentivar que as justificativas sejam feitas oralmente e por escrito e que usem a nomenclatura correta para identificá-los. Se achar conveniente, pedir que colem as figuras dos triângulos, separando-os de acordo com as medidas dos lados. Segue um exemplo:

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Como é chamado

Figura

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Triângulo que tem os 3 lados de mesma medida Triângulo que tem 2 lados de mesma medida Triângulo que tem os 3 lados de medidas diferentes

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS • O triângulo que tem os três lados com medidas diferentes (como o da figura a seguir) é chamado triângulo escaleno.

Classificação dos triângulo quanto aos ângulos

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Aqui pode ser adotado o mesmo procedimento usado para trabalhar a classificação dos triângulos quanto aos lados. Novamente, eles devem formar grupos. Depois, entregar para eles figuras de triângulos com ângulos internos menores que 90º (triângulos acutângulos) triângulos com um ângulo interno com medida igual a 90º (triângulos retângulos) e triângulos com um ângulo interno maior que 90º (triângulos obtusângulos). É interessante que os alunos usem um transferidor para verificar a medida dos ângulos internos dos triângulos. Assim, eles terão a oportunidade de, conforme realizam esse procedimento, começar a associar as medidas dos ângulos com a classificação de cada figura. Por fim, pedir aos alunos que anotem no cartaz sugerido no início da Unidade as conclusões sobre a classificação dos triângulos, levando em consideração a medida dos lados e a medida dos ângulos.

Na figura, med(AB) ! med(AC) ! med(BC).

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos Quando consideramos as medidas dos ângulos internos de um triângulo, temos a seguinte classificação: • O triângulo com os três ângulos internos agudos (menores que 90°) é chamado triângulo acutângulo. A

med(A) " 90° med(B) " 90° med(C) " 90° B

• O triângulo com um ângulo interno reto (medida igual a 90°) é chamado triângulo retângulo. Os outros dois ângulos internos são agudos. C

med(A) ! 90° med(B) " 90° med(C) " 90° B

• O triângulo com um ângulo obtuso (a medida é maior que 90° e menor que 180°) é chamado triângulo obtusângulo. Os outros dois ângulos internos são agudos. C

90° " med(A) " 90° med(B) " 90° med(C) " 90° A

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ATIVIDADES

Atividades Neste bloco de questões, os alunos poderão classificar triângulos quanto às medidas de seus lados ou de seus ângulos internos. Explorar com eles a ideia de que todo triângulo equilátero é também um triângulo isósceles. Desafio Perguntar aos alunos que tipo de triângulo lembra o arranjo do triângulo de Pascal apresentado. Espera-se que eles reconheçam que lembra a forma de um triângulo equilátero. Para responder ao item a, incentivá-los a encontrar algumas regularidades e compartilhar com os colegas. É possível que eles apresentem algumas regularidades conforme destacado a seguir.

1 3

4 1

1. Usando uma régua, faça as medições necessárias para classificar os triângulos seguintes quanto às medidas dos lados. a) C Escaleno.

1 1 1 1 1 1 1

5 6

7 8

3 4 10

15 21

c) C

20 35

10 15 35

1 6

1 1 1 1 1

6 7

d) B

21 28

DESAFIO

3. O Triângulo de Pascal apresenta muitas regularidades. Uma delas é que a sequência dos números naturais de 1 a 10 aparece duas vezes. a) Junte-se a um colega para tentar descobrir outras regularidades. Resposta pessoal. b) Você é capaz de dizer quais são os números da próxima linha do triângulo de Pascal? 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1.

1 1 1 1 1 1 1 1

8 9

1 4

10 20

35 56

1 3

21 28

5 15

35 70

1 1 6 21

84 126 126 84

1 7

1 8

45 120 210 252 210 120 45

1 9

1 10

1 5 15

35 70

220

35 56

Retângulo.

1 3

10 15

1 2

Retângulo.

Isósceles.

1 1

Obtusângulo.

Equilátero.

1 4

Acutângulo.

1 2

b) C

1 1

1 4 6 4 1 16 5 10 10 5 1 32 1 6 15 20 15 6 1 64 128 1 7 21 35 35 21 7 1 256 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1

2. Usando a sua observação, classifique os triângulos seguintes em acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Responda às questões no caderno.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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Os quadriláteros e seus elementos

Aqui o objetivo é identificar as características dos quadriláteros e classificá-los em relação aos lados e aos ângulos. É importante que os alunos reconheçam os paralelogramos e os trapézios entre os quadriláteros, e os retângulos, os losangos e os quadrados entre os paralelogramos. É interessante trabalhar com essas figuras em diferentes perspectivas, pois é possível que alguns alunos estejam acostumados a utilizar a representação do quadrado sempre na mesma posição, não conseguindo, portanto, notar que, mudando a posição da figura, as propriedades dela se conservam. Ver o exemplo a seguir.

Quadrilátero é um polígono de quatro lados. No quadrilátero ABCD da figura seguinte, podemos destacar: C • Os pontos A, B, C e D são os vértices do quadrilátero.

• Os segmentos AB, BC, CD e DA são os lados do quadrilátero. • Os ângulos A, B, C e D assinalados na figura são os ângulos A B internos do quadrilátero. O segmento AC, cujas extremidades são dois vértices não consecutivos, é uma das diagonais do quadrilátero; o segmento BD é a outra diagonal desse quadrilátero. Alguns quadriláteros são especiais; a seguir, vamos conhecer alguns deles.

Paralelogramos Paralelogramo ABCD: AB // CD e AD // BC. Dentre os paralelogramos, destacamos o retângulo, o losango e o quadrado.

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O paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos, dois a dois.

Retângulo É o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos (os quatro ângulos são congruentes).

Solicitar a eles que façam uma leitura detalhada do texto apresentado no livro e discutam os conceitos apresentados. Permitir que os alunos se expressem oralmente e troquem experiências entre si. É possível ampliar essa discussão apresentando alguns quadriláteros na lousa e solicitando a eles que classifiquem cada um de acordo com os lados e com os ângulos.

Losango ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes.

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Quadrado É o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos congruentes, sendo que todos esses ângulos são retos (ou seja, têm 90°).

Como o quadrado possui as mesmas características do retângulo e do losango, dizemos que ele é um caso particular de retângulo e um caso particular de losango, sendo a intersecção desses dois paralelogramos. Veja: losango (4 lados iguais)

retângulo (4 ângulos retos)

quadrado

Trapézios O trapézio é o quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos. Esses dois lados paralelos são as bases do trapézio. No caso ao lado, temos: AB e CD são as bases do trapézio ABCD. No trapézio ABCD, temos: AB // CD.

Os dois lados não paralelos destes trapézios têm suas medidas diferentes.

Estes trapézios têm os lados não paralelos congruentes.

Estes trapézios têm dois ângulos internos retos.

São chamados trapézios escalenos.

São chamados trapézios isósceles.

São chamados trapézios retângulos.

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Distribuir uma folha de sulfite com várias imagens de paralelogramos em diferentes posições. Pedir aos alunos que observem as imagens e pensem em um critério para agrupá-los. Pedir que observem que alguns deles possuem ângulos retos. Caso seja necessário, possibilitar que os alunos utilizem o transferidor para medir os ângulos internos das figuras. Depois, pedir que pintem de uma cor todos os quadriláteros que possuem 4 ângulos retos. Perguntar que nome se dá a esses paralelogramos. É provável que os alunos questionem a inclusão do quadrado nesse grupo. Por isso, é importante ficar claro que o critério de possuir 4 ângulos retos inclui os quadrados. Utilizando a mesma folha de sulfite, pedir que pintem todos os paralelogramos que possuem os lados congruentes, ou seja, com a mesma medida. Caso seja necessário, pedir que meçam os lados. Comentar que eles são chamados de losangos e novamente enfatizar que os quadrados estão incluídos nesse critério também. Solicitar que registrem essas conclusões. Promover um diálogo com os alunos para que eles possam comunicar suas ideias e compartilhar as dúvidas que podem surgir nesse processo. Ao final, é importante fazer o registro do que foi aprendido. É importante que os alunos percebam que o quadrado possui as mesmas características do losango e do retângulo. Por fim, retomar os critérios de classificação e as definições trabalhadas até aqui. Fazer questionamentos aos alunos como: “Por que o trapézio não é classificado como um paralelogramo?”, “Quais as características do quadrado que permitem que ele possa ser considerado um caso particular de retângulo e um caso particular de losango?”. Ouvir as respostas dadas por eles e fazer anotações na lousa – à medida que eles falam

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D3-MAT-F2-2051-V6-U07-200-233-LA-G20.indd é importante observar os pontos222 que merecem ser retomados. É importante também valorizar todas as participações, fazendo complementos ou questionamentos que os ajudem a compreender melhor o conteúdo abordado.

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Responda às questões no caderno. 1. As retas a e b são paralelas. Helena desenhou alguns quadriláteros na região entre as retas a e b. a Figura 1.

Figura 3.

Figura 2.

Figura 4.

Figura 5.

Observe atentamente os desenhos de Helena e responda às perguntas a seguir. a) Quais dessas figuras são paralelogramos? Figuras 1, 3 e 4. b) Dentre os quadriláteros, qual figura é: • um retângulo? Figuras 3 e 4. • um quadrado? Figura 3. c) Quais desses quadriláteros desenhados são trapézios? Figuras 2 e 5. d) Dentre os trapézios, qual deles é um trapézio retângulo? Figura 2.

3. Observe os três triângulos desenhados na malha a seguir. Identifique cada um como equilátero, isósceles ou escaleno. 1: escaleno; 2: equilátero; 3: isósceles.

1 3

4. Desenhei alguns quadriláteros na malha quadriculada. D

a) um triângulo retângulo e um quadrado. b) um triângulo isósceles não equilátero e um quadrado. c) um triângulo escaleno e um quadrilátero qualquer. d) um triângulo equilátero e um quadrilátero que é retângulo.

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2. (Saresp-SP) Observe o hexágono regular CAMELO. Unindo os vértices C, M, L e C com segmentos de reta, formamos um triângulo. Unindo da mesma forma os vértices A, M, L, O e A, nessa ordem, formamos um quadrilátero. Os polígonos formados são: Alternativa d.

A H

N O

B G

P M

Escreva quais deles são: a) paralelogramos. 1 e 3. b) trapézios. 2 e 4.

AMPLIANDO 223

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Atividades Neste bloco, as atividades levarão os alunos a: • reconhecer triângulos e quadriláteros; • classificar os triângulos de acordo com as medidas dos lados; • reconhecer, entre os quadriláteros, os paralelogramos e os trapézios; • reconhecer, entre os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados. Para resolver essas atividades, organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias. Orientar os alunos a consultar as definições no livro sempre que necessário. Se possível, levar os alunos para ambientes abertos, organizar a turma em grupos com quatro componentes e pedir-lhes que observem nesses ambientes a maior quantidade possível de objetos que lembrem triângulos e quadriláteros, depois eles devem registrar no caderno o nome do objeto, a figura que ele lembra e classificar a figura de acordo com o conteúdo estudado. Por exemplo, se o objeto observado lembrar um triângulo, tentar classificá-lo quanto aos lados ou quanto aos ângulos internos. Na atividade 2, orientar os alunos a reproduzir o hexágono regular no caderno, caso sintam necessidade de traçar os segmentos de reta indicados na atividade.

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Link Caso haja disponibilidade, acessar material Jogos como recursos pedagógicos no ensino de geometria: uma experiência com alunos do ensino fundamental. Disponível em: <http://livro.pro/n9fekx>. Acesso em: 19 set. 2018.

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CAPÍTULO

O plano cartesiano Provavelmente, os alunos já tiveram a oportunidade de desenvolver as primeiras noções de coordenadas cartesianas utilizando a localização de objetos no plano. Verificar o conhecimento que os alunos adquiriram nos anos anteriores e valorizar as experiências que tiveram. Se for conveniente, pedir aos alunos que façam uma pesquisa sobre o filósofo e matemático René Descartes. Orientá-los a direcionar a pesquisa para conhecer um pouco mais sobre a história de Descartes e como ele desenvolveu a ideia de representar a posição de um ponto em plano. O objetivo aqui é associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante e reconhecer o plano cartesiano como um instrumento que pode ser usado para fazer localização. É importante que os alunos saibam nomear os elementos na representação de um plano cartesiano. Se for oportuno, convidar os professores de Ciências e Geografia para desenvolver um trabalho interdisciplinar, pois o plano cartesiano pode ser explorado para auxiliar na localização em mapas em coordenadas de latitude e longitude.

CONSTRUÇÃO E AMPLIAÇÃO DE FIGURAS PLANAS O plano cartesiano

Um par de número e letra, disposto em certa ordem, pode determinar a posição de um ponto no plano. A letra representa a distância medida horizontalmente, e o número representa a distância medida verticalmente em relação a um ponto. Essa ideia de representação de um ponto foi lançada pelo filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650), em um trabalho publicado em 1637. Descartes mostrou que, usando como referência um par de retas que se interceptavam, seria possível construir um sistema no qual números poderiam estar associados a pontos.

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distância vertical

5 distância horizontal

Em relação ao ponto O, intersecção das duas retas, o ponto P tem uma distância horizontal de 5 unidades e uma distância vertical de 2 unidades. Para indicar a posição do ponto P, usamos o par de números (5, 2). O ponto O é indicado pelo par de números (0, 0). A essa representação damos o nome de sistema ou plano cartesiano. 224

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Usando o plano cartesiano Vamos supor que o esquema a seguir represente o centro de uma cidade planejada. Três amigos, Ana, Beto e Carlos, combinaram de se encontrar no centro da Praça XV de Novembro. Ana está na esquina indicada pela letra A, Beto, na esquina indicada pela letra B, e Carlos está na esquina indicada pela letra C. Observe:

LUCAS FARAUJ

Tomando como referência o centro da Praça XV de Novembro, podemos dizer que:

Veja no material audiovisual o vídeo sobre o plano cartesiano e o sistema de coordenadas.

• Ana está na esquina do Cine Joia, indicada pela letra A, que fica 10 quadras à direita e 6 quadras acima do centro da Praça XV de Novembro.

• Beto está na esquina do Restaurante do Lago, indicada pela letra B, que fica 1 quadra à direita e 1 quadra acima do centro da Praça XV de Novembro. • Carlos está na esquina do Parque das Crianças, indicada pela letra C, que fica 7 quadras à direita e 2 quadras acima do centro da Praça XV de Novembro. Vamos representar esse esquema do seguinte modo: 1o passo: Traçamos duas retas perpendiculares, uma horizontal, chamada eixo x, e outra vertical, chamada eixo y. 2o passo: Identificamos o ponto de intersecção das duas retas, que coincide com o centro da Praça XV de Novembro, pelo ponto O. Esse ponto recebe o nome de origem. 3o passo: Usando segmentos de mesma medida, associamos o lado de cada quadra a esse segmento. Usaremos números naturais para identificar as quadras situadas à direita e acima do centro da praça. 225

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é o vídeo Localizando-se no plano. Nele, aborda-se o plano cartesiano e o sistema de coordenadas, usando como exemplo suas aplicações na cartografia e na navegação.

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Usando o plano cartesiano Iniciar perguntando aos alunos como localizar alguém na sala de aula tendo como referência as carteiras. É provável que os alunos percebam que é possível dar a localização exata usando uma expressão do tipo: “João está sentado na primeira carteira na terceira fileira”. Perguntar a localização de alguns alunos determinando a localização. Pedir aos alunos que descubram qual é o aluno. Ou, ainda, pedir a um aluno que determine uma localização para a classe descobrir o nome do aluno correspondente a essa localização. Fazer um esquema das carteiras na lousa e esboçar linhas horizontais e verticais sobre as carteiras e numerar essas linhas. Perguntar como podemos localizar os alunos utilizando apenas os números correspondentes às linhas horizontais e verticais. É possível que os alunos deem ideias variadas. Ouvir com atenção e discutir sobre as vantagens e dificuldades de cada uma das ideias dadas pelos alunos. É importante que eles percebam a necessidade de combinar um código comum a todos para que a comunicação seja precisa e que todos possam entender. Explorar a imagem do esquema que representa o centro de uma cidade planejada dado nesta página. Começar perguntando aos alunos como podemos localizar os amigos Ana, Beto e Carlos, representados pelos pontos A, B e C, respectivamente. Deixar que eles expressem suas ideias. É provável que os alunos façam associações entre as ruas horizontais e verticais. É importante que eles concluam que é possível estabelecer um código de localização para os três amigos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS y 8 7 A

6 5 4 3 C

2 B

1 0

12 x

Portanto: • Ana está na posição A (10, 6). • Beto está na posição B (1, 1). • Carlos está na posição C (7, 2). Os pares de números (10, 6), (1, 1) e (7, 2) são chamados pares ordenados, porque convencionamos uma ordem para escrever seus números: em primeiro lugar o número do eixo x e, em seguida, o número do eixo y. Com base no que foi visto, vamos observar como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas. • Traçamos duas retas perpendiculares: uma horizontal, chamada eixo x, e outra vertical, chamada eixo y. • O ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema e corresponde ao par ordenado (0, 0). • Nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número natural. y 4 3 2 1 0

5 x

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Uma atividade interessante para ampliar o conteúdo do trabalho é propor aos alunos a representação do esquema que mostra o centro da cidade apresentado na página 225. Para isso, providenciar as folhas, de preferência milimetradas, e distribuir uma a cada aluno. Pedir que utilizem uma régua e orientá-los a seguir o passo a passo dado no livro. É recomendado fazer a leitura coletiva de cada passo e explicá-los para que todos compreendam a sequência desses passos. Caminhar pela sala acompanhando a execução do trabalho de cada aluno. Enfatizar que o par ordenado (x, y) significa que o primeiro número do par encontra-se no eixo x e o segundo número no eixo y. Perguntar a eles se o ponto correspondente ao par ordenado (3, 2) é o mesmo que (2, 3). Pedir a eles que façam a representação desses dois pontos no plano cartesiano. Espera-se que os alunos percebam a diferença de localização entre eles. Se possível, convidar o professor de Geografia para desenvolver um trabalho sobre coordenadas geográficas, que localiza pontos determinados pela latitude e pela longitude (essa localização dos pontos lembra um plano cartesiano). Assim, é possível mostrar aos alunos que o sistema de coordenadas geográficas permite localizar qualquer ponto na superfície da Terra, combinando os paralelos e os meridianos entre si. Essas coordenadas geográficas são utilizadas em aparelhos de GPS.

O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano. Assim, todo ponto do plano fica definido a partir de dois valores: um no eixo x e outro no eixo y, ou seja, todo ponto pode ser representado por um par ordenado (x, y). Esses valores são as coordenadas do ponto. 226

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jogo que lembre batalha naval, ou seja, a ideia do jogo é indicar a localização dos polígonos. Vale lembrar que o uso de jogos nas aulas de Matemática proporciona maior interação entre os alunos, e pode incentivar a cooperação e participação deles. Para que isso ocorra é necessário planejar o tipo de jogo que será aplicado, estabelecer os objetivos a serem alcançados e o tempo que será dedicado para desenvolvê-lo.

Construindo polígonos no plano cartesiano Vimos na Unidade 3 que o encontro de arestas determina um vértice e também que os vértices são pontos. Além disso, aqui nesta Unidade, conhecemos o plano cartesiano e aprendemos como nele representar pontos associados a pares ordenados. A partir desses dois conhecimentos, podemos, então, usar o plano cartesiano para auxiliar na construção de polígonos por meio do posicionamento de seus vértices no plano cartesiano e extrair informações sobre o polígono a partir das coordenadas dos vértices. Vamos ver como Daniel desenhou um quadrado no plano cartesiano? 1a etapa: Daniel escolheu um ponto qualquer no plano cartesiano para marcar o primeiro vértice.

2a etapa: Como queria um quadrado com medida de lado igual a 4 unidades de comprimento, marcou os outros três vértices que atendessem a esse requisito.

y 7

C (7, 6)

4 3 2 1

A (3, 2)

1 0

D (3, 6)

Os jogos podem ser utilizados para introduzir, amadurecer conteúdos e preparar o aluno para aprofundar os conteúdos já trabalhados. Devem ser escolhidos e preparados com cuidado para levar o aluno a adquirir conceitos matemáticos importantes. Devemos utilizá-los não como instrumentos recreativos na aprendizagem, mas como facilitadores, colaborando para os bloqueios que os alunos apresentam em relação a alguns conteúdos matemáticos. [...]

A (3, 2)

B (7, 2)

1 1

9 x

CABRAL, M. A. A utilização de jogos no ensino de matemática. Disponível em: <http://www.pucrs. br/ciencias/viali/tic_literatura/ jogos/Marcos_Aurelio_Cabral.pdf>. Acesso em: 4 set. 2018.

3a etapa: Por fim, traçou as arestas, finalizando a construção. y 7 D (3, 6)

C (7, 6)

AMPLIANDO

5 4

Link Se possível, acessar o link a seguir, nele é apresentada uma proposta de jogo que pode ser desenvolvido para ampliar esse estudo. Disponível em: <http:// livro.pro/4g6zz7>. Acesso em: 4 set. 2018.

A (3, 2)

B (7, 2)

1 0

9 x

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Construindo polígonos no plano cartesiano Para ampliar o trabalho com a construção de polígonos no plano cartesiano, solicitar, após a leitura do texto apresentado no livro aos alunos que construam, no cader-

no, outros polígonos; fornecer a eles algumas coordenadas e solicitar as construções. Se achar conveniente, pedir a eles que formem duplas; cada aluno deve fornecer os pares ordenados correspondentes aos vértices de um polígono, para que o colega obtenha o polígono. Incentivar a troca de ideias

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entre eles. É importante que eles se comuniquem e façam anotações de suas observações e possíveis dúvidas. Alguns jogos que envolvem ideias de localização em um plano podem ser utilizados para desenvolver atividades lúdicas com a turma. Por exemplo, desenvolver com eles um

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Pense e responda Antes de pedir aos alunos que respondam às questões da seção, sugerir que eles analisem os pares ordenados referentes ao quadrado representado por Daniel na página anterior. É importante que os alunos percebam que existe um padrão entre os pontos que determinam um segmento de reta horizontal ou vertical. Para isso, pedir que retomem o exemplo dado no livro e que observem os pontos que determinam os segmentos horizontais AB e CD. Perguntar a eles qual valor se mantém no segmento AB. Relacionar esse número com a ordenada y. Mostrar que isso também acontece no segmento CD e em todos os segmentos horizontais. Então, para responder à questão 1, basta observar em quais pontos as ordenadas têm o mesmo valor. A e C, por exemplo, têm a ordenada 5. É relevante observar que o comprimento do segmento é a distância entre os dois pontos que o nomeiam. Esse conceito será utilizado nos demais trabalhos com distância no plano cartesiano que virão nos anos a seguir. A ideia aqui é que os alunos tenham um primeiro contato com a geometria analítica. Incentivar as trocas de ideias entre os alunos, permitindo que eles ajudem os colegas que não compreenderam determinada questão.

Vamos observar os pares ordenados dos vértices do quadrado que Daniel desenhou: • A (3, 2)

• C (7, 6)

• B (7, 2)

• D (3, 6)

Como o quadrado tem lado de medida 4 unidades de comprimento, sabemos que: med( AB ) = med( BC ) = med( CD ) = med( DA ) = 4 u.c. Sabendo disso, vamos analisar as coordenadas dos vértices que definem os lados do quadrado: • Segmento AB

• Segmento BC

7_3=4

Se mantém

A (3, 2)

B (7, 2)

C (7, 6) 6_2=4

Se mantém

• Segmento CD

• Segmento DA

7_3=4

Se mantém

D (3, 6)

C (7, 6)

A (3, 2)

B (3, 6) 6_2=4

Se mantém

Percebemos, então, que, se os pontos estão alinhados na horizontal, ao subtrairmos os valores referentes ao eixo x obtemos o comprimento do segmento definido por esses pontos. De forma similar, se os pontos estão alinhados na vertical, ao subtrairmos os valores referentes ao eixo y, obtemos o comprimento do segmento definido por esses pontos.

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 318

1. Segmento horizontal: pontos A e C; segmento vertical: pontos B e D. Resposta pessoal; med(AC) = 4 u.c. e med(BD) = 8 u.c.

1. Dados quatro pontos A (4, 5), B (3, 8), C (8, 5) e D (3, 16), quais pontos determinam um segmento de reta horizontal e quais determinam um segmento de reta vertical? Como você faria para calcular o comprimento dos segmentos?

2. Indique dois pontos (E e F) que determinem um segmento de reta vertical com o dobro do comprimento do segmento vertical da atividade anterior. Os pontos variam, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo x, e o comprimento deve ser de 16 u.c. 3. Indique dois pontos (G e H) que determinem um segmento de reta horizontal com a metade do comprimento do segmento horizontal da atividade 1. Os pontos variam, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo y, e o comprimento deve ser de 2 u.c.

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ATIVIDADES

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y 7 B 6 A 5 4 E 3 2 D 1 0

1. Localize no plano cartesiano os pontos: d) D (1, 1) a) A (2, 5) e) E (0, 3) b) B (3, 6) f) F (6, 3) c) C (4, 0) 2. Use papel milimetrado e construa os segmentos de reta AB e PR, sendo dados: a) A (5, 2) e B (1, 4). b) P (2, 2) e R (3, 4). 3. Observe as retas r e s que se interceptam no ponto P. y B

5 4

3 2 1 0

Agora, responda: a) Quais são as coordenadas de cada vértice A (1, 1); B (1, 4); do quadrado ABCD? C (4, 4); D (4, 1). b) Quantas unidades de comprimento tem os 3 unidades de lados do quadrado? comprimento. 5. Observe o triângulo ABC no plano cartesiano a seguir.

1 2 3 4 5 6x

0 1

A P

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4. Observe este plano cartesiano:

6 s

!2 !1 0 !1 !2

Dê as coordenadas cartesianas do ponto: a) P. P (4 , 2) b) A (intersecção da reta s com o eixo x) A (6, 0) c) B (intersecção da reta s com o eixo y) B (0, 6) d) C (intersecção da reta r com o eixo x) C (2, 0)

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

y 5 4 3 2 1

C 1 2 3 4 5 6 7x

Responda às questões no caderno.

Agora, responda: a) Quais são as coordenadas de cada um dos vértices desse triângulo? A (1, 1); B (5, 1); C (1, 3). b) Quantas unidades de comprimento tem o segmento de reta AC? 2 c) Quantas unidades de comprimento tem o segmento de reta AB? 4

DESAFIO

6. Em um sistema cartesiano, os pontos A (12, 7) e C (9, 4) são vértices opostos de um quadrado ABCD. Troque ideias com um colega e faça o que se pede: a) Descubra as coordenadas dos outros dois vértices, descrevendo passo a passo as etapas para obtê-los. (9, 7) e (12, 4). b) Represente o polígono em papel quadriculado. Resposta pessoal. 229

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Atividades Com estas atividades os alunos irão localizar pontos no plano cartesiano, construir segmentos de retas, dados dois pontos, determinar os pontos que representam os vértices de polígono e determinar o comprimento de um segmento de reta dado no plano cartesiano. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias e conhecimento. Circular pela sala de aula acompanhando a resolução das questões e, sempre que necessário, fazer intervenções. Para as atividades 1 e 2, é interessante providenciar papel milimetrado e orientar os alunos a utilizar uma régua para fazer o traçado do plano cartesiano e dos segmentos de reta. Ressaltar a ideia de que os pontos B (3, 6) e F (6, 3) estão localizados em lugares diferentes do plano cartesiano. Na atividade 5, verificar se os alunos lembram que os vértices do triângulo são pontos e que podem, no plano cartesiano, ser identificados por um par de coordenadas (x, y). Incentivá-los a explicar oralmente como determinaram o comprimento dos segmentos de reta. Depois de realizarem as atividades, pedir que elaborem uma questão que envolva os conceitos estudados sobre plano cartesiano e, após a elaboração, eles devem trocar as questões entre si e resolvê-las. Se achar conveniente, solicitar aos alunos uma pesquisa sobre a utilização do plano cartesiano. É importante que eles relacionem os conceitos estudados com outras áreas do conhecimento e com atividades do cotidiano. Vale ressaltar que o estudo do sistema de coordenadas cartesianas é muito importante na Matemática e será utilizado nos anos a seguir. O plano cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, em que os valores relacionados a x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

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Construção e ampliação de polígonos com o GeoGebra Vamos aproveitar esta unidade de Geometria para aprender a construir polígonos regulares e não regulares e ampliá-los utilizando ferramentas do software GeoGebra. Existem duas ferramentas muito úteis para a construção de polígonos nesse software. Vamos vê-las a seguir e conhecer um pouco sobre o funcionamento delas: •

Polígono

Essa ferramenta permite a construção de qualquer tipo de polígono. Nela, o usuário seleciona na tela, com o mouse, a posição dos vértices do polígono, que vai sendo desenhado à medida dessa seleção.

•

Polígono Regular

Essa ferramenta, como seu nome indica, permite somente a construção de polígonos regulares. Nela, o usuário seleciona na tela, com o mouse, a posição de dois vértices do polígono que quer construir (a distância entre esses pontos determinará o comprimento do lado do polígono). Depois dessa ação, uma janela se abrirá para o usuário informar quantos vértices quer que o polígono a ser desenhado tenha e, então, o programa finalizará o polígono, garantindo sua regularidade. Polígono Regular Vértices a

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Cancelar

GEOGEBRA 2018

Tecnologias Nesta seção os alunos terão a oportunidade de explorar o software GeoGebra para a construção e ampliação de polígonos. Além de explorar esse recurso em sala de aula, é interessante que os alunos utilizem outros recursos e instrumentos para fazer as ampliações de polígonos. O mais importante, em qualquer recurso utilizado, são os questionamentos e as reflexões que levam os alunos à construção de conhecimentos e conceitos associados a esse tema. Muitas vezes as ideias associadas à ampliação, redução e semelhança de figuras, que são conceitos importantes na Matemática, precisam ser ampliadas e aprofundadas para se chegar a uma formalização. O uso dos termos e a sua compreensão são necessários para a comunicação correta. Ao final, é importante sistematizar os conceitos trabalhados. Pode-se iniciar esse estudo solicitando aos alunos que ampliem figuras planas sobre uma malha quadriculada. É importante que eles tentem ampliar as figuras utilizando as próprias estratégias. Ao fim, perguntar a eles se todas as imagens são de fato ampliações. É possível que algumas delas não tenham sido ampliadas corretamente. Se isso ocorrer, ajudá-los a fazer os ajustes necessários. Discutir com os alunos a diferença do uso da palavra semelhança, usada no dia a dia para se referir a coisas parecidas, com o termo semelhança, utilizado na Matemática para se referir a formas com dimensões proporcionais. É importante que eles percebam que as figuras ampliadas só serão semelhantes à imagem usada como referência se a proporção de suas dimensões for mantida. Por exemplo, se o comprimento foi triplicado, a largura também precisa ser triplicada; caso contrário, a imagem ficará distorci-

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da. É interessante que os alunos percebam que, neste momento, a régua é um instrumento utilizado apenas para traçar e que o quadriculado é suficiente para calcular essa proporção.

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Já para a ampliação, o GeoGebra possui uma ferramenta em que é possível ampliar um objeto previamente desenhado. Vamos ver como essa ferramenta funciona. •

Homotetia

SAIBA QUE

Após desenhar o objeto a ser ampliado, o usuário clica sobre a ferramenta Homotetia; em seguida, clica sobre o objeto; depois, clica sobre um ponto qualquer que será o centro da homotetia; e, por fim, define o fator de ampliação.

Homotetia é o nome de uma transformação (ampliação e redução) no plano de figuras.

No exemplo a seguir, o polígono ABCD foi ampliado por fator igual a 2. Observe que a medida de cada lado do polígono formado (A’B’C’D’) possui o dobro da medida de seu correspondente no polígono ABCD. D‘

A‘D‘ = 3 cm C‘D‘ = 2,66 cm

AD = 1,5 cm

DC = 1,33 cm A‘

A C‘

AB = 1,41 cm BC = 1,65 cm

B‘C‘ = 3,3 cm GEOGEBRA 2018

A‘B‘ = 2,82 cm B‘

Agora, vamos exercitar! 1. Usando as ferramentas apresentadas, construa: Respostas pessoais. a) um polígono não regular de 4 lados. b) um polígono regular de 4 lados. c) um polígono não regular de 3 lados. d) um polígono regular de 3 lados. 2. Escolha um polígono da atividade 1 e, usando a ferramenta Homotetia, faça duas ampliações: uma com o valor do fator maior que 1 e outra com o valor do fator entre 0 e 1, excluindo esses valores. Respostas pessoais. 3. Com base nas construções da atividade 2, podemos afirmar que a homotetia permite somente a ampliação de figuras? Não, pois a homotetia também permite a redução de figuras quando 0 < fator < 1.

AMPLIANDO

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Além do GeoGebra apresentado nesta seção, podem-se construir figuras homotéticas usando régua e compasso. Por exemplo, para ampliar um polígono ABCD, na razão homotética 2, ou seja, k = 2 (em que k é a razão), e um ponto fixo O (centro da homotetia) externo ao polígono, podem-se seguir estes passos: • Traçamos semirretas partindo do centro da homotetia de modo que elas passem por todos os vértices do polígono, ou seja, traçamos as semirretas OA, OB, OC e OD. • Com o compasso, medimos a distância do ponto O ao vértice A do polígono e marcamos na semirreta OA um novo ponto A’, de modo que A’ = 2 ? OA. • Repetimos o procedimento anterior e marcamos os pontos B’, C’ e D’. • Depois basta ligarmos os pontos A’, B’, C’ e D’ de modo que A’B’/ /AB e B’C’/ /BC, C’D’/ / CD e D’A’/ /DA. Para reduzir um polígono pela metade, podemos utilizar um procedimento semelhante. Nesse caso, a razão de semelhança passa a ser 1 . 2 É importante observar que o processo de ampliação ou redução não altera os ângulos do polígono. É interessante explicar aos alunos que muitas máquinas copiadoras que fazem ampliações ou reduções geralmente utilizam a homotetia como princípio em seu funcionamento.

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Link Caso tenha acesso, segue um link em que é possível acessar textos e vídeos para obter mais informações e ampliar o conhecimento sobre o conteúdo tratado nestas páginas. Disponível em: <http://livro.pro/khngy9>. Acesso em: 19 set. 2018.

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RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno.

Resoluções na p. 319

4. Usando um geoplano, João construiu o triângulo da figura. Esse triângulo é equilátero, escaleno ou isósceles? Escaleno. MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

1. De acordo com as medidas dos lados, classifique a forma triangular que aparece na foto. Triângulo equilátero.

NEOIMAGEM

Triângulo de sinalização que deve ser colocado a certa distância da parte traseira do veículo, caso ele esteja em situação de emergência.

5. Helena está preparando uma atividade para seus alunos e desenhou alguns quadriláteros em papel quadriculado. Veja:

2. Nas suas aulas de Geometria e de Desenho, você usa os instrumentos das figuras a seguir. Eles são chamados esquadros.

Esquadro 1.

Esquadro 2.

Que tipo de triângulo lembra a forma do:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Retomando o que aprendeu O objetivo desta seção é dar oportunidade aos alunos para retomarem o conteúdo estudado e sanar possíveis dúvidas que ainda possam persistir sobre os conteúdos estudados na Unidade. É interessante que estas atividades sejam realizadas individualmente pelos alunos. É importante que eles anotem os temas que encontraram maior dificuldade. Aproveite esta informação para orientá-los a fazer uma revisão desses temas. Os alunos devem buscar no livro os conceitos nos quais ainda tenham dificuldade e consultar o cartaz que eles elaboraram ao longo da Unidade. Por fim, retomar na lousa as possíveis dúvidas que ficaram. Se achar conveniente, antes de iniciar as atividades, propor aos alunos que façam um fluxograma dos conteúdos trabalhados no decorrer da Unidade com o objetivo de retomar, organizar e sistematizar as ideias e definições. Ao final, incentivá-los a elaborar questões para os colegas resolverem. As atividades 1, 2 e 3 tratam da classificação de triângulos. Espera-se que os alunos recordem as características dos triângulos para classificá-los em relação à medida dos lados e dos ângulos. Na atividade 3 aproveitar para desdobrar os questionamentos indagando os alunos sobre a relação da figura dada com as características do polígono regular.

PERUTSKYI PETRO/ SHUTTERSTOCK

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) esquadro 1? b) esquadro 2? Triângulo escaleno. Triângulo isósceles. 3. A figura nos mostra um hexágono dividido em certo número de triângulos, todos do mesmo tamanho. a) Quantos trapézios ela desenhou? 4

b) Quantas dessas figuras são paralelogramos? 6

a) Quantos triângulos você observa na figura? 6 triângulos. b) Que tipo de triângulo é cada um deles? Equilátero.

c) Entre os paralelogramos, há quantos losangos? 3 d) Entre os paralelogramos, há quantos quadrados? 2

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6. (Saresp-SP) Observe a tabela abaixo e veja como ela foi organizada. O espaço destinado a figuras quadrangulares vermelhas é: Alternativa b. Vermelhas

Azuis

Triangulares

Verdes

(I)

Quadrangulares

(II)

(III)

Pentagonais

a) I

8. (OBM) Luana colou com fita adesiva 6 triângulos equiláteros nos lados de um hexágono, conforme a figura, obtendo um polígono de 12 lados.

(IV)

b) II

c) III

d) IV

7. (Saresp-SP) Um artista plástico está construindo um painel com ladrilhos decorados. Ele fez um esquema desse painel mostrado na figura e utilizou as formas de: Alternativa d.

Se ela trocar 3 triângulos por 2 quadrados e 1 pentágono regular, todos com lado de mesmo tamanho do lado do hexágono, ela vai obter um polígono com quantos lados? Alternativa b. a) 14

d) 18

b) 16

e) 25

c) 17

a) quadrados e hexágonos. b) triângulos e quadrados. c) triângulos e pentágonos.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

d) triângulos e hexágonos.

9. Elabore uma atividade que utilize, em seu enunciado, a passagem ou a marcação de horas. Peça no enunciado a associação entre a hora utilizada e o menor ângulo determinado pelos ponteiros de um relógio. Em seguida, troque a atividade com um amigo, resolva a dele e, depois, corrija a sua. Resposta pessoal.

UM NOVO OLHAR

Nesta Unidade, foram explorados a noção de ângulo e sua medida, os polígonos de maneira geral e também polígonos particulares, como o quadrilátero e o triângulo. Além disso, estudamos também o plano cartesiano, a construção de polígonos nele, no papel e com o uso de tecnologias digitais. Vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens da Unidade 7: • Qual estratégia podemos utilizar para descobrir a medida de um ângulo determinado por duas semirretas de mesma origem? Utilizando um transferidor. É a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por • Como definir um polígono? segmentos de reta, com sua região interna. • Que características diferenciam um triângulo de um quadrilátero? Um possui três lados e três ângulos internos, enquanto o outro possui quatro lados e quatro ângulos internos. 233

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Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir diferentes reflexões e possibilidades para generalizações, além da retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada um dos conteúdos estudados na Unidade. Após responder às questões propostas, orientar os alunos a retomarem as definições apresentadas no livro, e registradas no cartaz sugerido no início da Unidade, para confirmarem a veracidade de suas respostas. Na primeira questão, os alunos são incentivados a fazer associações das ideias de ângulo com o giro, concluindo que medir um ângulo é comparar sua medida à medida de um ângulo de 1º (um grau). Para isso, eles utilizarão um instrumento chamado transferidor, que já vem graduado de 1° em 1º e que exige procedimentos próprios para o seu uso. Ou seja, para medir um ângulo determinado por duas semirretas de mesma origem, utilizamos o transferidor para comparar a sua unidade de medida (grau) com a abertura do ângulo dado. A segunda questão trata da definição de polígono. Espera-se que os alunos sejam capazes de se expressar de maneira clara e precisa, descrevendo as características e propriedades do polígono. Pode-se ampliar as definições que se desdobraram a partir da definição de polígono para as definições de polígonos convexos, polígonos não convexos e polígonos regulares. No terceiro questionamento, espera-se que os alunos percebam que a diferença entre um triângulo e um quadrilátero está na quantidade de lados e de ângulos que cada um possui. É importante incentivar os alunos a usarem expressões menos informais para descreverem as características de polígonos, por exemplo.

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COMPETÊNCIAS GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

HABILIDADES

p. XVIII

Grandezas e medidas • EF06MA24 • EF06MA28 • EF06MA29 Probabilidade e estatística • EF06MA32

A produção de lixo é um dos grandes problemas que a humanidade vem enfrentando. A necessidade de se utilizar matéria-prima para a produção de novos produtos e a destinação incorreta dos resíduos gerados causam a degradação do meio ambiente.

Uma possível estratégia que os alunos poderiam pensar é colocar o papel sobre cada face da caixa e demarcar a quantidade necessária para cada lado. A quantidade total de material é a soma dessas partes demarcadas. Agora pense e responda no caderno: • Imagine que você queira revestir a parte externa de uma caixa com papel. Que estratégias utilizaria para saber quanto de papel seria necessário? • E se quisesse colocar uma fita ao redor de toda a caixa, o que seria preciso calcular? O comprimento da fita. • Você consegue imaginar outras situações em que medir seja uma ação importante e necessária? Quais? Respostas pessoais. • Você já tinha ouvido falar nos cinco Rs? Saberia dizer a diferença entre reciclar e reutilizar? Reciclar é fazer um produto com a matéria-prima de outro produto, por exemplo, reciclar latas para fazer uma panela. Reutilizar é dar um novo uso para um produto usado e que seria descartado.

Existem várias maneiras de reutilizar materiais em vez de comprar um novo produto. Veja uma maneira de reaproveitar uma embalagem. BRKART/SHUTTERSTOCK.COM

ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

COMPRIMENTO E ÁREA

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Abertura de Unidade Nesta Unidade os alunos terão a oportunidade de explorar alguns conceitos referentes à ideia de medidas. A história da Matemática é um recurso utilizado nesta Uni-

dade para levar os alunos a refletir sobre o processo de construção dos padrões de medidas utilizados hoje em dia. É interessante os alunos perceberem que os primeiros objetos de comparação para realizar medições foi, provavelmente, o próprio corpo

humano. Esse fato foi comprovado por historiadores, e até hoje utilizamos algumas medidas criadas no passado: pé, jarda e polegada.

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5 Com a intenção de reduzir o impacto da grande produção de lixo, criou-se o conceito dos cinco Rs: reduzir (o consumo), repensar (o consumo), reutilizar (os produtos), reciclar (os produtos) e recusar (não consumir produtos de empresas que não respeitam o meio ambiente e a sociedade). Repita o mesmo processo para todos os lados da caixa, inclusive a tampa, se houver.

4 am o Rs vis Os cinc r as pessoas ntiza no s , conscie bitos cotidia re á b h o s s fletir d e s eu -as a re s reais de o d n a lev de cessida suas ne onsumo. c

Passe cola em cada lado da caixa, posicione o papel referente a esse lado e cole o papel.

FOT

OS:

TTA

Repita o mesmo processo para todos os lados da caixa, inclusive a tampa, se houver.

Material necessário • Embalagem vazia • Régua • Tesoura com pontas arredondadas • Papel para revestir • Cola

Posicione o papel sobre um dos lados da caixa e recorte-o do tamanho desse lado da caixa.

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Os alunos serão levados a refletir sobre a necessidade de as unidades de medida serem padronizadas. É importante utilizar as referências históricas para justificar a criação do metro-padrão. As questões propostas na abertura podem ser realizadas utilizando-se material

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concreto; para isso, solicitar aos alunos que levem caixas de papelão de diferentes tamanhos e utilizem, por exemplo, jornal ou outro papel grande que esteja disponível para explorarem diferentes possibilidades de revestir as caixas. É interessante estipular duas regras:

9/26/18 20:40 1a) Caso falte papel, será necessário escrever um texto explicitando a estratégia utilizada e o possível motivo de sua falta e, por meio dessa justificativa, solicitar mais papel. 2a) Caso sobre muito papel, será necessário escrever um texto explicando os motivos

para o ocorrido e a importância de evitar o desperdício. A motivação para as duas regras é a mesma, evitar desperdício de papel, o que pode ser discutido em um contexto socioecológico, e destacar a importância do planejamento e de noções espaciais e aritméticas. Para finalizar, é interessante perguntar aos alunos que estratégias utilizariam para estimar a área. Cabe destacar que, nesse momento, não temos o objetivo de encontrar dados precisos, e sim estimados. Pretende-se apenas possibilitar aos alunos uma primeira visualização do que é medir uma superfície. Se for oportuno, refletir com os alunos como podem ser feitas estimativas para saber a quantidade de azulejos necessários para cobrir uma parede ou a quantidade de tinta para pintar as faces de um prédio. Com essas reflexões, pretende-se incentivar os alunos a perceberem a necessidade de utilizar estratégias prováveis de cálculos e de se apropriarem de conhecimentos específicos de geometria. Essa atividade pode ser realizada em duplas e, ao seu término, cada uma apresentará suas estratégias, dificuldades e aprendizagens. NO DIGITAL – 4o bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as unidades 8 e 9. • Desenvolver o projeto integrador sobre a importância da preservação cultural. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF06MA14, EF06MA15, EF06MA24, EF06MA29, EF06MA31, EF06MA32 e EF06MA33. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Unidades de medida de comprimento Comentar com os alunos que estudiosos acreditam que nas civilizações antigas o ato de medir surgiu de maneira intuitiva e que provavelmente estava relacionado à necessidade de controlar quantidades. Explorar com eles a ideia de usar partes do corpo como unidade de medida (medidas antropométricas).

É importante que os alunos compreendam que medir é comparar grandezas de mesma natureza, portanto, quando as grandezas envolvidas não são de mesma natureza, torna-se inviável fazer uma comparação.

Pense e responda Após a leitura do questionamento feito na seção, fazer perguntas aos alunos como: “O que será mensurado?”; “Qual instrumento foi utilizado para realizar a medição?”. Espera-se que os alunos identifiquem que o objetivo de Marcos, Serginho e Isabela era cada um medir a própria altura e que o instrumento escolhido por

Já houve um tempo em que as pessoas utilizavam partes do corpo como unidade de medida. Com o desenvolvimento do comércio, da navegação, das construções, da agricultura, entre outras atividades, as medições ficaram mais complexas, o que tornou um tanto confusa a maneira de medir utilizando partes do próprio corpo. polegada

palmo

pé passo

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 319

Responda à questão no caderno.

Eu sou o Marcos. Contei 13 pedaços.

Eu sou o Serginho e contei 16 pedaços. Eu sou a Isabela e contei 14 pedaços.

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

1. Marcos, Serginho e Isabela resolveram medir as próprias alturas usando um mesmo pedaço de barbante. Veja o que cada um contou:

Marcos, porque contou o menor Qual deles é o mais baixo? Justifique. valor em pedaços de barbante.

Diferentes povos – medidas diferentes Os egípcios usavam o cúbito (distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio) como unidade de comprimento. A saída que os egípcios encontraram para evitar a confusão provocada pela diferença de tamanho entre uma pessoa e outra foi fixar um cúbito padrão, hoje equivalente a 52,4 centímetros, construído em barras de pedra ou de madeira.

DAVID LEES/CORBIS/VCG /GETTY IMAGES

Entretanto, essas maneiras de medir não eram precisas e se diferenciavam de indivíduo para indivíduo, causando confusões e dificuldades na comunicação. A partir do momento que o homem começou a viver em comunidade foi se tornando imprescindível a criação de maneiras de medir que possibilitassem o convívio em sociedade e negociações justas entre todos em qualquer lugar. Começou, assim, a busca nas civilizações por medidas-padrão. POZBON, S.; LOPES, A. R. L. Grandezas e medidas: surgimento histórico e contextualização curricular. Disponível em: <http://www. conferencias.ulbra.br/index.php/ciem/ vi/paper/viewFile/971/908>. Acesso em: 7 set. 2018.

UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO

Fragmentos de cúbito padrão do antigo Egito.

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D3-MAT-F2-2051-V6-U08-234-257-LA-G20.indd 236 eles para realizar essa medição foi um pedaço de barbante. É importante que eles percebam que o pedaço de barbante usado foi o mesmo para todos. Perguntar se seria possível responder à pergunta feita na seção se cada um tivesse usado um pedaço de barbante com

um comprimento diferente. Pedir que justifiquem suas respostas e fazer anotações na lousa. Se achar necessário, enfatizar que o instrumento de medição escolhido deve ser o mesmo para realizar todas as medições desejadas.

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AMPLIANDO Outros povos também usavam o cúbito como unidade padrão de medida. Os sumérios utilizavam um cúbito padrão equivalente a 49,5 centímetros, assim como os assírios, que usavam o cúbito padrão equivalente a 54,9 centímetros. Os romanos usavam o pé (cerca de 30 centímetros) como unidade de medida para pequenas distâncias e a passada dupla, equivalente a cinco pés, para medir grandes distâncias. Mil passadas duplas constituíam uma nova unidade: a milha (mille passum). Essa unidade ainda hoje é usada com algumas modificações e vale, aproximadamente, 1 609 metros. A partir de 1878, a Inglaterra passou a usar a jarda imperial e a libra imperial. A jarda, da palavra inglesa yard (vara), equivale a 0,9144 metro, e a milha (mil) corresponde a 1 760 jardas (yd) ou 1 609,3 metros. Há ainda: 1 1 yd = 30,48 cm • a polegada (in) = yd = 2,54 cm • o pé (ft) = 3 36

O fato de existirem diferentes sistemas de medidas não facilitava a comunicação entre as comunidades científicas e comerciais e, já no século XVII, os cientistas apontavam a necessidade de um sistema que substituísse os vários existentes. Com a Revolução Francesa, no fim do século XVIII, formou-se uma comissão que tinha como objetivo estabelecer uma unidade natural, isto é, que fosse buscada na natureza e pudesse ser facilmente copiada e estabelecida como um padrão de medida. Havia, ainda, uma outra exigência a ser cumprida: essa unidade deveria ter seus múltiplos estabelecidos segundo o sistema decimal. A comissão encarregada desses estudos escolheu a Terra como referência para definir as unidades de medida de comprimento. Um projeto com essas características foi apresentado e, assim, adotou-se o metro como unidade de base de comprimento, definido na época como a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. Adotou-se como padrão para o metro a distância Representação de um quarto entre duas marcas numa barra de platina, deposido meridiano terrestre tada no Museu Internacional de Pesos e Medidas, na França. Uma cópia dessa barra encontra-se no Museu Histórico Nacional, no Rio de Janeiro. Alguns países, como Estados Unidos, não adotaram o Sistema Métrico Decimal, mantendo as unidades então utilizadas, como pés, polegadas e milhas. Atualmente, a definição de metro já não é a mesma. Em 1983, o metro foi definido como o comprimento do trajeto percorrido pela luz, no vácuo, 1 durante um intervalo de tempo de de Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. 299 792 458 Rio de Janeiro, 2012. segundos.

SONIA VAZ

Uma nova unidade de medida de comprimento

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Atividade complementar O objetivo desta atividade é trabalhar com medida usando uma unidade não padronizada. A seguir é apresentada uma sugestão de desenvolvimento: • Medir a largura da carteira utilizando o comprimento da borracha ou do lápis como unidades de medida. • Medir o comprimento da lousa utilizando a unidade que achar conveniente. • Medir a largura da porta da sala de aula usando o próprio pé como unidade de medida. • Medir o contorno da quadra esportiva com passos, barbante ou outros materiais. • Comparar os resultados das medições propostas com os valores das mesmas medições expressas com as unidades de medida de comprimento padronizadas. Pedir aos alunos que levem instrumentos como fita métrica, trena ou metro de pedreiro para medir comprimentos. Deixá-los observar as divisões do metro por alguns instantes e fazer perguntas como: 1. Em quantos milímetros é dividido o centímetro? 2. Quantos pedaços iguais a 1 cm há em 1 m? 3. Quantos centímetros existem em meio metro? E na quarta parte de 1 metro? Elaborar atividades semelhantes para trabalhar com a relação entre milímetro e metro. Propor aos alunos que, em duplas, pesquisem unidades de medida não convencionais, por exemplo, jarda, pé, palmo, braça, vara, passo, passada, légua, polegada etc.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O metro linear O objetivo aqui é reconhecer o metro como unidade de comprimento padrão conhecendo seus múltiplos e submúltiplos. É importante que os alunos identifiquem as unidades de medida adequadas para expressar grandes e pequenas distâncias. Antes de iniciar a leitura do texto, é interessante propor aos alunos a confecção de uma fita métrica para que eles possam perceber as relações entre as unidades de medida m (metro), dm (decímetro) e cm (centímetro).

O metro linear No Sistema Métrico Decimal, a unidade fundamental de medida de comprimento é o metro, cujo símbolo é m. O metro é adequado para expressar, por exemplo, a largura de uma rua, o comprimento de uma sala, a altura de um edifício etc. Além do metro, existem outras unidades de medida de comprimento. • Para expressar a medida de grandes distâncias, temos o decâmetro, o hectômetro e o quilômetro, que são múltiplos do metro. Na prática, a unidade mais utilizada é o quilômetro. 1 decâmetro (dam) = 10 x 1 metro = 10 metros 1 hectômetro (hm) = 100 x 1 metro = 100 metros 1 quilômetro (km) = 1 000 x 1 metro = 1 000 metros

SAIBA QUE

deca: dez, em grego. hecto: cem, em grego. kilo: mil, em grego.

1 do metro = 0,1 metro 10

1 centímetro (cm) = 1 do metro = 0,01 metro 100 1 milímetro (mm) =

1 do metro = 0,001 metro 1 000

SAIBA QUE

deci: décimo, em latim. centi: centésimo, em latim. mili: milésimo, em latim.

Podemos, então, organizar as unidades padronizadas de medida de comprimento assim: Múltiplos do metro Quilômetro Hectômetro Decâmetro km hm dam 1 000 m 100 m 10 m

Unidade Submúltiplos do metro fundamental Metro Decímetro Centímetro Milímetro m dm cm mm 1m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Fita métrica.

Trena.

DUSAN PETKOVIC/SHUTTERSTOCK.COM

TYLER OLSON/SHUTTERSTOCK.COM

UFABIZPHOTO/SHUTTERSTOCK.COM

HANNA KUPREVICH/SHUTTERSTOCK.COM

Todas essas unidades pertencem ao Sistema Métrico Decimal. Veja alguns instrumentos disponíveis para medir comprimentos:

Metro de carpinteiro.

Régua graduada.

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AMPLIANDO

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Modelo da tira de 10 cm EDITORIA DE ARTE

Atividade complementar Com esta atividade os alunos comprovam que um metro equivale a cem centímetros.

Construindo uma fita métrica Distribuir, para cada aluno, 10 tiras de papel de 10 cm cada uma com marcações de 1 em 1 cm. Pedir que pintem cada tira de uma cor. Depois, eles devem colar as tiras de 10 cm sobre uma tira de papel de 1 m ou sobre uma fita-crepe todas as 10 tiras. Em seguida, pedir a eles que escrevam os números na sequência de 0 a 100 para que possam estabelecer o início e o fim da fita. D3-MAT-F2-2051-V6-U08-234-257-LA-G20.indd 238

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• E ao centímetro?

Para chegar ao quintal, Vera andou 5,63 m e Neusa, 423 cm. Quem percorreu a maior distância? Para saber quem percorreu a maior distância, é necessário, primeiro, trabalhar com a mesma unidade de medida. No caso, vamos transformar em centímetro a medida dada em metro, a fim de comparar as duas distâncias. Observe: km

dam

DANIEL BOGNI

Transformação das unidades de medida de comprimento

1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 m = 100 cm

Como, da esquerda para a direita, cada unidade de medida equivale a 10 vezes a unidade de medida seguinte, multiplicamos 5,63 por 10 x 10 (100): 563 x 100 cm = 563 cm 100 Quem percorreu a maior distância foi Vera, pois 563 cm . 423 cm. Acompanhe alguns exemplos. 5,63 m = (5,63 x 100) cm =

• Como transformar 5 m em decâmetro? km

dam

1 da unidade anterior, Como, da direita para a esquerda, cada unidade representa 10 devemos dividir 5 m por 10: 5 m = (5 : 10) dam = (5 x 0,1) dam = 0,5 dam Logo, 5 m equivalem a 0,5 dam. • Transformar 12 cm em metro. km

dam

12 cm = (12 : 100) m =

12 m = (12 x 0,01) m = 0,12 m 100

• Transformar 1 250 m em quilômetro. 1 250 m = (1 250 : 1 000) km = (1 250 x 0,001) km = 1,250 km 239

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Transformação das unidades de medida de comprimento Nesta página, é interessante começar o estudo explorando a planta baixa apresentada, incentivar os alunos a descreverem-na e, à medida

que eles fazem essa descrição, anotar na lousa os comentários deles. Depois, analisar os comentários feitos validando-os ou não. Esse processo pode ajudá-los a compreender uma planta baixa (habilidade EF06MA28). Após a leitura do texto apresentado nesta página,

9/26/18 20:40 fazer algumas perguntas para os alunos responderem: • Por que a fita métrica recebe esse nome? • Quantos centímetros tem 1 metro? • Quantos centímetros tem 1 decímetro? • Qual é a fração do metro que corresponde ao decímetro?

Observar com atenção as respostas dadas e, à medida que eles falarem, anotar as respostas na lousa. Depois, pedir aos alunos que façam algumas medições de objetos da sala utilizando a própria fita e que registrem em uma tabela os valores encontrados nas unidades m, dm e cm. Por fim, pedir que registrem no caderno as relações que fizeram entre m, cm e dm. Para que os alunos conheçam alguns instrumentos de medida e saibam como manuseá-los, perguntar a eles que tipos de instrumentos de medida conhecem. Deixá-los relatar suas experiências estimulando a troca de ideias. Em seguida, se possível, apresentar alguns instrumentos de medida de comprimento, como trena, metro de carpinteiro, régua graduada de 30 cm, 50 cm e 100 cm e uma fita métrica. Perguntar quem gostaria de mostrar o uso correto de um desses instrumentos. Permitir que todos os alunos interessados realizem a sua apresentação. Acompanhar a apresentação e, sempre que necessário, fazer intervenções. Em seguida, dividir a turma em grupos e solicitar que façam algumas medições para que aprendam a manusear os instrumentos, escolhendo o mais apropriado para realizar as medidas solicitadas. Se achar oportuno, pedir que pesquisem em que situações do nosso cotidiano esses instrumentos são utilizados e por quais profissionais. Por exemplo, a trena é bastante utilizada na construção civil e a fita métrica, por costureiros, por exemplo. Caso seja possível, programar uma visita com os alunos a uma marcenaria. Isso pode facilitar o entendimento de como os instrumentos são utilizados para a realização de medições.

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Atividades As atividades propostas têm como objetivo trabalhar os conteúdos estudados e ajudar os alunos a reconhecer maneiras e meios para medir comprimentos; reconhecer a importância da escolha de uma unidade de medida adequada; associar a cada medida a unidade utilizada para determiná-la; reconhecer o metro como unidade de comprimento padrão; conhecer os múltiplos e submúltiplos do metro, bem como outras unidades de medida de comprimento que não pertencem ao Sistema Métrico Decimal e os valores de cada uma delas em relação ao metro. Pedir aos alunos que meçam o comprimento da sala de aula com duas unidades: em centímetros e em metros. Levar para a sala de aula o metro ou a trena e objetos que possam representar o centímetro, como o cubinho do material dourado (de 1 cm de aresta), e disponibilizar esses objetos aos alunos, que os utilizarão para realizar a medição. Organizar a turma em dois grupos. Os alunos do grupo 1 utilizarão o centímetro para realizar as medições; os do grupo 2 utilizarão o metro. É importante prever que o grupo 1 terá de dispor de mais tempo para realizar a mesma medição que o grupo 2. Talvez de forma estratégica eles possam medir os primeiros 100 cm e usar essa medida para os próximos 100 cm, o que facilitará o trabalho. Essa estratégia poderá ser utilizada, mas eles precisarão ter clareza de que na verdade estão utilizando o metro como medida, pois 100 centímetros é igual a 1 metro. É importante que os alunos concluam que o cubinho de um centímetro de aresta não é o instrumento de me-

ATIVIDADES

Resoluções na p. 319

Responda às questões no caderno.

1. A distância entre duas cidades, nos Estados Unidos, é 74 milhas. Se a milha vale 1 609 km, aproximadamente, qual a distância, em quilômetros, entre essas duas cidades? 119 066 km 2. No Sistema Métrico Decimal, qual a unidade de medida mais adequada para expressar a medida: a) do comprimento do Rio Amazonas? km b) da largura de uma sala de aula? m c) da altura de uma moeda? mm d) da largura do batente de uma porta? cm

( )

1 3. Um cano tem meia polegada de 2 diâmetro. Quantos centímetros esse cano tem de diâmetro? 1,27 cm

6. (Saresp-SP) Emanuel instalou 2 armários de 1,60 m de comprimento cada um em uma parede que mede 5 m de comprimento. No espaço livre, pensa colocar uma estante de 1 m de comprimento. Ele conseguirá? Alternativa a. a) Sim e ainda sobra 0,80 m. b) Não e ainda falta 0,80 m. c) Sim e ainda sobra 1,40 m. d) Não e ainda falta 1,40 m. 7. (Saresp-SP) Cristina fará alguns lacinhos e para isso precisa recortar uma peça de fita que mede 43,2 m em pedaços de 24 cm. Quantos lacinhos Cristina fará? Alternativa b. a) 280 b) 180 c) 140 d) 120 8. Leia a história e responda. 320 cm

Quantos centímetros de comprimento terá cada retalho?

SAIBA QUE

1 polegada = 25,4 mm

4. Em um mapa, cada centímetro corresponde a 10,5 km. a) Se, nesse mapa, a distância entre duas cidades é 15 cm, qual a distância real entre as cidades? 157,5 km b) Uma cidade que está a 68 250 m do mar estará, nesse mapa, a que distância do mar? 6,5 cm 5. Meça o comprimento de sua sala de aula em passos. Compare o resultado com seus colegas. Respostas pessoais. a) As medidas encontradas foram iguais? b) Meça o seu passo em centímetros e calcule o comprimento da sala em centímetros. c) Quantos metros tem o comprimento da sala?

WANDSON ROCHA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tenho 64 metros de tecido e vou dividi-lo em 20 retalhos de mesmo comprimento.

9. Na página 239 vimos a planta baixa de uma residência. Utilizando uma malha quadriculada, desenhe a planta baixa de uma residência indicando as medidas de cada ambiente. Em seguida, elabore uma atividade sobre medida de comprimento com base na planta desenhada a ser resolvida por um colega. Depois de resolvida, corrija a atividade. Resposta pessoal. SAIBA QUE

Planta baixa é uma representação gráfica de uma construção que mostra a disposição dos ambientes e detalhes técnicos.

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D3-MAT-F2-2051-V6-U08-234-257-LA-G20.indd 240 dição mais adequado para medir o comprimento da sala de aula. Nesse caso, a trena é um dos instrumentos padronizados que facilitariam a medição. Na atividade 9, acompanhar o processo de elaboração da atividade e garantir

que eles utilizarão as unidades de medida de comprimento corretamente. Verificar se os alunos se sentem seguros em relação ao uso das unidades de medida e em desenhar uma planta baixa (habilidades EF06MA24 e EF06MA28).

AMPLIANDO

9/28/18 2:25 PM

Link Se possível, acessar o link a seguir. Nele é apresentada uma proposta para construção de uma planta baixa. Disponível em: <http://livro. pro/hcsqom>. Acesso em: 19 set. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS P O R T O D A P A RT E

Resoluções na p. 319

Transporte coletivo

Por toda parte Ao iniciar esta seção é interessante perguntar se eles já tiveram a oportunidade de viajar de metrô; se sim, incentivá-los a contar um pouco da experiência que tiveram e pedir também que falem um pouco de suas impressões (positivas e negativas) sobre a rede metroviária do local. As questões propostas nesta seção utilizam dados reais sobre diferentes cidades brasileiras e do mundo. Para responder às questões apresentadas, os alunos devem utilizar conhecimentos que envolvem medidas de comprimento. Com base na leitura e na exploração desses exercícios, é possível refletir e pesquisar a infraestrutura do metrô na cidade onde moram (se houver) ou ainda de uma cidade próxima que possua malha metroviária. Depois de discutir as questões propostas na seção, é interessante sugerir aos alunos que façam uma pesquisa sobre os transportes coletivos mais utilizados pela população brasileira e os principais problemas enfrentados por ela. Incentivá-los a fazer uma pesquisa o mais completa possível, destacando pontos sobre acessibilidade para pessoas com deficiência física nas vias e nos transportes públicos. Depois, solicitar que elaborem um texto, se possível utilizando gráficos para registrar as conclusões do estudo que fizeram.

DANIEL TEIXEIRA/ESTADÃO CONTEÚDO/AE

Metrô em São Paulo, SP. Foto tirada em 2016. LUIZ SOUZA/FUTURA PRESS

2. Em 2015, o metrô de São Paulo tinha quantos metros de linha a mais do que o metrô do Rio de Janeiro? Explique como você pensou. 37 100 metros; resposta pessoal. 3. O gráfico mostra a extensão aproximada das linhas de metrô de algumas cidades do mundo, segundo dados de 2015. Responda às questões a seguir, de acordo com ele:

Metrô no Rio de Janeiro, RJ. Foto tirada em 2015.

Metrô de Xangai, China. Foto tirada em 2016.

Xangai Pequim Nova York Londres Tóquio Seul Paris Cidade do México Santiago São Paulo Brasília

570 465 418 408 292 286 212 202

EDITORIA DE ARTE

JOYFULL/SHUTTERSTOCK.COM

Extensão das linhas de metrô em algumas cidades do mundo (em km) – 2015

94,2 78 46,5

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

PERÍMETRO DE UM POLÍGONO p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 320

Responda às questões no caderno. Seu Olavo trabalha para uma empresa que está loteando uma área. A cada venda de um lote, ele cerca o contorno do terreno com um fio de arame.

1. A próxima tarefa de seu Olavo é cercar 35 m um terreno de 35 m de frente por 22 m de fundo (lateral). Como você faria para 22 m 22 m calcular a metragem de fio que seu Olavo vai precisar para cercar todo o terreno? 35 m De quantos metros de fio precisará? Resposta pessoal; 114 m. 40 m 2. Mais um trabalho para seu Olavo: um terreno de 40 m de frente por 30 m de fundo foi vendido e será dividido e cercado, 50 30 m como mostra a figura ao lado. Calcule m quantos metros de cerca seu Olavo vai usar para cercar um dos terrenos triangulares. 120 m

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Pense e responda Nesta seção, os alunos terão a oportunidade de conceituar o perímetro de um polígono. É interessante relacionar os conceitos envolvidos com o cotidiano dos alunos. Para isso, conversar com eles tentando levá-los a utilizar os conceitos que já possuem sobre perímetro, de modo que possam relacionar os novos conceitos com os conhecimentos que antes foram construindo no próprio ambiente. Fazer perguntas como: • O que vocês entendem por perímetro? (Depois que falarem o que sabem, pode-se sugerir que procurem a definição de perímetro em um dicionário.) • Em que situação já ouviram o termo perímetro? (Os alunos podem dizer que já escutaram o termo, por exemplo, em conversas com familiares, em uma conversa sobre o espaço onde residem ou que pretendem residir; ou em noticiários). Se achar necessário, depois que os alunos responderem às questões propostas na seção, solicitar a eles que calculem o perímetro de outros polígonos. Verificar se eles têm dúvidas; caso tenham, após identificar o que não compreenderam, utilizar situações-problema a fim de ajudá-los nesse processo.

Quando obtemos a soma das medidas dos lados de um polígono, estamos encontrando o seu perímetro. Veja alguns exemplos: B 5 cm 1 Calcular o perímetro do polígono. Indicando por P o períA 2,8 cm metro do polígono ABCDE, temos: 1,8 cm P = 5 cm + 2,8 cm + 3,1 cm + 2 cm + 1,8 cm = 14,7 cm C E P = 14,7 cm 2 cm 3,1 cm D 2 Calcular o perímetro do triângulo. Inicialmente, passamos todas as medidas para uma mesma unidade. Por exemplo, para centímetros: A 0,04 m = (0,04 x 100) cm = 4 cm 0,04 m 32 mm = (32 : 10) cm = 3,2 cm 32 mm Então: B P = 5,6 cm + 4 cm + 3,2 cm = 12,8 cm 5,6 cm C P = 12,8 cm

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Responda às questões no caderno.

a) 15 cm, 10 cm, 21 cm

1. Determine o perímetro dos polígonos: A a) 12,4 cm

b) 12 cm, 10 cm, 19 cm

b) A 8,7 cm 2,9 cm B

d) 20 cm, 18 cm, 32 cm

B 1,5 cm 3,8 cm C

c) 0,3 dm E 25 mm

D ABC equilátero.

13,4 cm

3,6 cm B 12 mm C 3,1 cm

2. Num retângulo, a medida do comprimento é 10,2 cm. Sabendo-se que a medida de sua largura é metade do comprimento, qual é o perímetro desse retângulo? 30,6 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Figura X Figura Y

Figura Z

2,2 cm

6. Um retângulo e um quadrado têm perímetros iguais. Os lados do retângulo medem 7,2 cm e 10,6 cm. a) Calcule o perímetro do quadrado. 35,6 cm

Triângulo equilátero. 3 cm

b) Calcule a medida do lado do quadrado. 8,9 cm 7. Na figura, o perímetro do quadrado ABCD é 20 cm. Calcule o perímetro do triângulo equilátero DCE. 15 cm A

3 cm

Quadrado. 2 cm

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades Com estas atividades os alunos terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos sobre o conceito de perímetro de um polígono e resolver problemas que envolvem esse conceito.

2 cm

2 cm B

2 cm

8. Um triângulo tem como medidas de seus lados três números inteiros e consecutivos, o menor deles medindo 5 cm. Qual o perímetro desse triângulo? 18 cm

Pentágono. 1,5 cm

9. (Saresp-SP) Uma folha de papel de seda tem 40 cm de perímetro. Ela tem a forma de um retângulo e um de seus lados tem 4 cm de comprimento. Então, os outros lados medem: Alternativa d. a) 6 cm, 6 cm, 4 cm

1,5 cm

1,5 cm 1,5 cm

b) 9 cm, 4 cm, 9 cm c) 12 cm, 4 cm, 12 cm d) 16 cm, 4 cm, 16 cm

Organizar a turma em duplas para realizar essas atividades. Isso pode facilitar a troca de ideias e conhecimentos entre os alunos. Solicitar que resolvam as questões individualmente, podendo, é claro, trocar ideias com os colegas sempre que sentirem necessidade. É

1,5 cm

Hexágono.

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3 cm

3. Uma lajota hexagonal tem lados que medem 65 cm cada um. Qual é o perímetro dessa lajota, em metro? 3,90 m 4. Seu Olavo tem 70 m de fio de arame. Verifique se essa quantidade de fio é suficiente para ele cercar totalmente: a) um terreno quadrado que tem 17,2 m de lado. Sim. b) um terreno retangular que tem 24,5 m de comprimento por 11,8 m de largura. Não. 5. (Saresp-SP) Sabendo que cada quadrinho mede 1 cm de lado, é correto afirmar que os perímetros das figuras X, Y e Z são, respectivamente: Alternativa d.

2,2 cm

c) 15 cm, 9 cm, 20 cm

4,1 cm

3 cm

2,2 cm

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interessante acompanhar a resolução das atividades evitando fazer muitas intervenções, mas, sempre que achar conveniente, é interessante interferir, principalmente com questionamentos que poderão ajudá-los. Para as atividades 3, 7 e 8, retomar com os alunos a definição de polígonos regulares.

EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

Em seguida, propor que observem e reflitam como calcular o perímetro da sequência dos polígonos regulares a seguir:

Resoluções na p. 320

É provável que os alunos percebam que, nesses casos, para obter o perímetro dos polígonos apresentados pode-se somar a medida de cada um dos lados ou ainda multiplicar a medida de um dos lados pelo número de lados do polígono.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE p e n s e e r e s p o nd a

1. Conte e escreva, no caderno, quantos cabem no interior da figura ao lado. 69 triângulos.

EDITORIA DE ARTE

Unidades de medida de superfície Aqui os alunos terão a oportunidade de identificar o metro quadrado como a medida de uma região quadrada de 1 m de lado, conhecer outras unidades de medida de superfície, estabelecer as relações existentes entre elas e transformar uma unidade de medida de superfície em outra unidade. Pense e responda É importante explorar com os alunos a ideia de que medir é comparar o que se quer medir com uma unidade padrão, que é a unidade de medida a ser utilizada. No caso dessa atividade a unidade de medida escolhida é o triângulo . Explicar aos alunos que a área de qualquer figura pode ser considerada unidade padrão. Para desenvolver essa ideia, pedir que eles contem quantos cabem no interior da figura apresentada na seção. Espera-se que eles percebam que a quantidade de quadrados é menor em relação à quantidade de triângulos. Perguntar aos alunos por que isso ocorre. É provável que eles percebam que nesse caso a área do quadrado é maior que a área do triângulo, portanto o triângulo cabe uma quantidade de vezes maior dentro da figura. Essa percepção é fundamental para que os alunos compreendam as transformações de unidades de medida de área. Se possível, levar para a sala de aula diversos tipos de malhas (quadriculadas, triangulares, hexagonais) e distribuir para os alunos poderem reproduzir a figura apresentada (e fazer outras) e, assim, observar concretamente as características de cada figura nas respectivas malhas e suas unidades de medida adotadas como padrão.

O número que você encontrou chama-se medida de superfície da figura ou área da figura, quando tomamos como unidade o .

O metro quadrado Na atividade anterior, tomamos o como unidade de medida para expressar a medida de superfície. No Sistema Métrico Decimal, a unidade fundamental para expressar a medida de superfície é o metro quadrado, cujo símbolo é m². O metro quadrado corresponde à medida de superfície de um quadrado que tem 1 m de lado, assim como o centímetro quadrado corresponde à medida de superfície de um quadrado que tem 1 cm de lado.

Transformação das unidades de medida de superfície Existem, além do metro quadrado, outras unidades de medida de superfície. Para expressar a medida de grandes superfícies há o quilômetro quadrado, o hectômetro quadrado e o decâmetro quadrado. Na prática, para expressar grandes superfícies, o quilômetro quadrado e o hectômetro quadrado são as unidades mais utilizadas. Para expressar as medidas de pequenas superfícies há o decímetro quadrado, o centímetro quadrado e o milímetro quadrado. Na prática, para expressar pequenas superfícies, a unidade mais utilizada é o centímetro quadrado.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Vamos organizar essas informações em um quadro com as unidades de medida de superfície: Unidade fundamental

Múltiplos do metro quadrado Quilômetro quadrado

Hectômetro Decâmetro quadrado quadrado

km²

Metro quadrado

Submúltiplos do metro quadrado Decímetro Centímetro quadrado quadrado

hm²

dam²

m²

dm²

(1 000 m)²

(100 m)²

(10 m)²

(1 m)²

1 000 000 m²

10 000 m²

100 m²

1 m²

Milímetro quadrado

cm²

mm²

(0,1 m)²

(0,01 m)²

(0,001 m)²

0,01 m²

0,0001 m² 0,000001 m²

Agora, observe o esquema. km2

hm2

dam2

dm2

cm2

mm2

Da esquerda para a direita, cada unidade contém 100 vezes a unidade seguinte. 1 da unidade seguinte. Da direita para a esquerda, cada unidade representa 100 Veja os exemplos: • Transformar 5 m² em decímetro quadrado.

km2

hm2

dam2

dm2

cm2

mm2

5 m² = (5 x 100) dm² = 500 dm² • Transformar 5 m² em decâmetro quadrado.

km2

hm2

dam2

dm2

cm2

mm2

5 m² = (5 : 100) dam² = (5 x 0,01) dam² = 0,05 dam² • Transformar 0,3 m² em centímetros quadrados.

km2

hm2

dam2

dm2

cm2

mm2

0,3 m² = (0,3 x 100 x 100) cm² = (0,3 x 10 000) cm² = 3 000 cm² • Transformar 15 300 mm² em decímetro quadrado. 15 300 mm² = (15 300 : 10 000) dm² = (15 300 x 0,0001) dm² = 1,53 dm² 245

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Antes de iniciar a leitura do texto sobre a transformação das unidades de medida de superfície, verificar se os alunos reconhecem e compreendem o símbolo m2. Caso seja necessário, retomar com eles que o metro quadrado corresponde à medida de superfície de um quadrado que tem 1 m de lado. É interessante que eles consigam compreender que o mesmo vale para os múltiplos e para os submúltiplos do metro. Para o centímetro, por exemplo, o centímetro quadrado (cm2) corresponde à medida de superfície de um quadrado que tem 1 cm de lado e assim sucessivamente. Se julgar necessário, pedir aos alunos que estimem quantas pessoas cabem em um metro quadrado. Para trabalhar com uma situação concreta, pode-se sugerir a construção do metro quadrado com jornal, ou outro material que seja acessível, para a verificação das respostas dadas por eles. Essa atividade pode ser realizada em duplas ou trios. Após a construção, orientá-los a ficar sobre o metro quadrado que construíram para que possam verificar, em média, quantos alunos cabem nesse quadrado. Informar que eles estão ocupando uma área de 1 m². É importante considerar que as unidades de medida de superfície são conteúdos utilizados em outras áreas do conhecimento. Para que os alunos possam ter autonomia em leituras de textos que contêm essas informações, é necessário que eles reconheçam seus significados. Para isso, recomenda-se evitar antecipar regras em detrimento da construção das ideias que envolvem as transformações de unidades. Saber relacioná-las, fazer sentido e compreender o processo de transformação das unidades facilita a aprendizagem.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quando queremos medir, por exemplo, a extensão de sítios e fazendas, usamos uma unidade agrária chamada hectare (ha).

IMAZON. Boletim do desmatamento da Amazônia Legal. Disponível em: <http://imazon.org. br/publicacoes/boletim-dodesmatamento-da-amazonia-legalmarco-2018-sad/>. Acesso em: 8 set. 2018.

como 100 m ! 1 hm

100 m

1 hm2

1 hm

Assim sendo, temos a relação:

1 hectare (ha) = 1 hm² = 10 000 m²

GOVERNO DO BRASIL. Combate ao desmatamento. Disponível em: <http://www.brasil.gov.br/noticias/ meio-ambiente/2010/11/combateao-desmatamento>. Acesso em: 8 set. 2018. Boletim do Desmatamento da Amazônia Legal As florestas degradadas na Amazônia Legal somaram 102 quilômetros quadrados em março de 2018. Em relação a março de 2017 houve aumento de 28%, quando a degradação florestal somou 74 quilômetros quadrados. Em março de 2018 a degradação foi detectada em Roraima (95%) e Mato Grosso (5%).

10 000 m2

1 hm

O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.

EDITORIA DE ARTE

Combate ao desmatamento O combate ao desmatamento ilegal está no centro da estratégia brasileira de enfrentamento das mudanças do clima. Para isso, o País já pôs em prática planos específicos para a proteção da floresta e o incentivo às atividades sustentáveis na Amazônia e no Cerrado, incluindo metas para a redução da perda de cobertura vegetal nos dois biomas. De acordo com dados do Ministério de Ciência e Tecnologia, cerca de 60% das emissões nacionais são resultantes de ações de desmatamento e mudança de uso do solo.

As medidas agrárias

100 m

Nós Para ampliar e fomentar a discussão sobre o tema, disponibilizar os textos a seguir para os alunos e incentivá-los a exporem suas opiniões sobre a importância de evitar o desmatamento e preservar a natureza.

• Pesquise esse assunto e, depois, reúna-se com os colegas para discutir por que é tão importante evitar o desmatamento das florestas.

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Amazônia perde área verde igual a 200 mil campos de futebol em dez meses A Amazônia perdeu uma área verde do tamanho de mais de 200 mil campos de futebol nos últimos dez meses, aumento de 22% em relação ao período anterior. Os estados mais atingidos pelo

desmatamento foram Mato Grosso, Pará e Amazonas. G1. Amanzônia perde área verde igual a 200 mil campos de futebol em dez anos. Disponível em: <http:// g1.globo.com/jornal-nacional/ noticia/2018/06/amazonia-perdearea-verde-igual-200-mil-camposde-futebol-em-dez-meses.html>. Acesso em: 8 set. 2018.

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções na p. 320

Responda às questões no caderno. 1. Para representar 1 m², você pode construir um 1m 1 m2 quadrado de 1 metro de 1m lado utilizando régua, jornal e fita-crepe (ou cola). Construa um quadrado de 1 m² com um amigo. Resposta pessoal. 2. (Saresp-SP) Considerando como unidade de medida o , a área destacada da figura corresponde a quantos quadrinhos? Alternativa c. a) 10 b) 12 c) 17

8. O Brasil é o quinto país do mundo em extensão territorial, com 8 515 767 km², e uma população de 190 732 694 habitantes, segundo o censo demográfico de 2010. SAIBA QUE

Densidade demográfica de um país ou região é o quociente entre a quantidade de habitantes e a sua área. d) 22

uma unidade ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

3. (Saresp-SP) Veja o desenho que alguém fez no papel quadriculado. Qual é a área que o desenho ocupa no papel quadriculado? a) 26 unidades. b) 28 unidades. Alternativa b. 4. Transforme em m²: a) 21 dm² 0,21 m² b) 1 250 cm² 0,125 m²

7. 1 hm² representa a área de um quadrado que tem quantos metros de lado? 100 m

c) 30 unidades. d) 32 unidades.

c) 1 km² 1 000 000 m² d) 0,72 hm² 7 200 m² 5. Uma fazenda tem 7 km² de área. Dessa área, 60% foram reservados para plantio. O restante foi reservado para o gado. Determine quantos hectares foram reservados para a) o plantio. 420 ha b) o gado. 280 ha

6. Numa fazenda de criação de gado, cada hectare deve ser ocupado por 20 bois. Quantos bois poderiam ser criados num terreno de 70 000 m²? 140 bois.

a) Para conhecer a densidade demográfica do Brasil, ou seja, a quantidade de habitantes por quilômetro quadrado, vamos fazer uma estimativa. Primeiro, aproximamos os valores para facilitar os cálculos: • 8 515 767 km² é aproximadamente igual a 8 500 000 km². • 190 732 694 habitantes é aproximadamente igual a 190 000 000 habitantes. O próximo passo é encontrar o quociente entre 190 000 000 habitantes e 8 500 000 km². 22,35 habitantes. b) Agora, sem aproximar os valores referentes à área e quantidade de habitantes, use a calculadora para conhecer a densidade demográfica do Brasil. 122,40 hab./km² c) Compare os valores encontrados nos dois cálculos. De quanto é a diferença? 22,40 _ 22,35 = 0,05 9. Qual é a extensão territorial (área) e a população de sua cidade e de seu estado? Pesquise e calcule a quantidade de habitantes por quilômetro quadrado dessas localidades. Resposta pessoal. 247

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Atividades Nestas atividades os alunos terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos sobre as unidades de medida de superfície. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de conhecimento e ideias. Acompanhar a resolução das atividades anotando as dificuldades e dúvidas que possam surgir. Ao final, retomar os conteúdos que julgar necessário. Depois, propor aos alunos que elaborem uma questão para os colegas resolverem e, em seguida, eles deverão corrigi-la. É interessante lembrá-los que o processo de elaboração de uma questão requer alguns cuidados. Na atividade 3, os alunos poderão utilizar a forma da figura apresentada no livro para construir um painel e até construir um mosaico. Para isso, eles deverão ampliar a figura, utilizando papel quadriculado, e revesti-la com papel colorido, seguindo o motivo que criaram para o mosaico. Escolher junto com os alunos um tema de interesse deles. Uma estratégia interessante é conversar com o professor de Arte para que ele dê apoio aos alunos na execução dessa atividade. Após a construção do mosaico, fazer perguntas como: Se cada centímetro representasse 1 m², qual seria a área que seu mosaico ocuparia?. Acompanhar as respostas dadas e sempre que necessário fazer intervenções que contribuam para o desenvolvimento e aprendizagem dos alunos.

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Atividade complementar Se achar oportuno, complementar a atividade 1 propondo aos alunos que calculem a área de uma sala de aula ou corredor da escola, utilizando os metros quadrados construídos anteriormente. Pedir que façam uma estimativa e, depois, verifiquem os resultados.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

ÁREAS DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 321

1. Escreva no caderno como você explicaria a uma pessoa o modo mais fácil de obter a área (medida de superfície) das figuras a seguir. Respostas pessoais. a)

é a unidade de medida considerada. c)

b) 4 cm

4 cm

Veremos agora como calcular a área de algumas figuras geométricas planas. Para isso, utilizaremos estratégias que permitem efetuar esses cálculos com maior facilidade e rapidez.

Área do retângulo 1 cm

base: 5 cm

altura

altura: 2 cm

base

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Qual é a área de um retângulo que tem 2 cm de altura e 5 cm de base? Desenhando a figura e dividindo a base e a altura em segmentos de 1 cm, obtemos 10 quadrados de 1 cm de lado, ou seja, 1 cm² em cada um. 1 cm

Áreas das figuras geométricas planas O objetivo aqui é calcular áreas do retângulo, do quadrado e do triângulo, utilizando os padrões observados em cada caso. Contar as unidades de medida uma a uma para determinar a área de figuras planas pode se tornar uma tarefa nada prática. Na seção Pense e responda, os alunos serão convidados a refletir sobre essa prática. Pense e responda Uma sugestão para trabalhar esta seção é solicitar aos alunos que reproduzam as figuras em uma folha de papel quadriculado. Pedir que formem duplas e deixar que cada aluno explique seu raciocínio para o colega. Se houver divergência entre as estratégias usadas por eles, pedir que entrem em acordo sobre qual das maneiras apresentadas é a mais fácil. Em seguida, cada dupla deve apresentar seu procedimento para a turma. Registrar na lousa as diferentes estratégias que aparecerem e, com a ajuda dos alunos, validar cada uma delas. Deixar que a turma eleja, dentre as estratégias validadas, a que eles consideram mais fácil. É provável que os alunos percebam que fazer cálculos para determinar a área dos polígonos pode ser mais prático do que contar as unidades uma a uma. Reforçar essa ideia propondo aos alunos que determinem a área de retângulo que tem as seguintes dimensões: • 3 cm de comprimento e 2 cm de largura; • 6 cm de comprimento e 11 cm de largura; • 83 cm de comprimento e 54 cm de largura; • 101 cm de comprimento e 72 cm de largura.

Assim, a área desse retângulo é 10 cm². Note que 10 cm2 ! 5 cm " 2 cm. número que expressa a medida da altura número que expressa a medida da base

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Agora, vamos determinar a área do retângulo de base 8 cm e altura 3,5 cm. Para calcular a área desse retângulo, fazemos a seguinte multiplicação: 8 cm x 3,5 cm = 28 cm2

Neste momento, o uso do raciocínio algébrico se faz necessário, pois ele se apresenta pela observação de padrões para se chegar às generalizações desejadas. No entanto, mais importante do que memorizá-las é compreender as relações entre elas. No texto, as generalizações serão expressas na língua materna. Se achar conveniente, depois de compreendidas, expressá-las na linguagem algébrica. O cálculo da área do retângulo será a base para o cálculo das áreas do quadrado e do triângulo. Providenciar papel quadriculado e pedir aos alunos que desenhem retângulos de diferentes medidas e determinem a área de cada um deles. Em seguida, solicitar que identifiquem qual a relação das medidas de comprimento e largura com a área determinada. É importante que os alunos percebam o padrão existente e estabeleçam uma regra pela qual se chega à conclusão: para determinar a área de qualquer retângulo basta multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura. Proceder da mesma forma para estabelecer a regra que determina a área de qualquer quadrado. Nesse caso, é importante que os alunos percebam que o quadrado é um caso particular de retângulo. Permitir que eles façam as relações necessárias e concluam que a regra para determinar a área de qualquer quadrado é a mesma utilizada para determinar a área de retângulos.

Então, a área do retângulo é 28 cm².

Área do quadrado Neste quadrado, a medida do lado é 3 cm. Qual a área desse quadrado? 1 cm2

3 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1 cm

3 cm

Dividindo os lados do quadrado em segmentos de 1 cm cada um, obtemos 9 quadrados de 1 cm de lado, ou seja, 1 cm² de área cada um. A área do quadrado maior é, então, 9 cm². Note que 9 cm² = 3 cm x 3 cm. número que expressa a medida dos lados

MW EDITORA E ILUSTRAÇÃO

Agora, vamos calcular a área de uma praça quadrada com 20 m de lado.

Para calcular a área da praça, fazemos a seguinte multiplicação: 20 m x 20 m = 400 m² A área dessa praça é 400 m². 249

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Analisando o perímetro e a área do quadrado Acompanhe a situação a seguir.

1 Mariana utilizou uma malha quadriculada para desenhar um quadrado (quadrado 1) com medida de lado igual a 2 cm. Depois disso, ela calculou o perímetro e a área desse quadrado. • Perímetro: 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 8 cm

2 cm

Quadrado 1.

• Área: 2 cm x 2 cm = 4 cm² Em seguida, ela desenhou um novo quadrado (quadrado 2) cuja medida dos lados é o dobro da medida dos lados do primeiro quadrado e calculou o perímetro e a área dele.

4 cm

• Perímetro: 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm = 16 cm • Área: 4 cm x 4 cm = 16 cm²

3. Do quadrado 1 para o quadrado 2, o perímetro dobrou e a área quadruplicou; do quadrado 1 para o quadrado 3, o perímetro triplicou e a área ficou nove vezes maior; do quadrado 1 para o quadrado 4, o perímetro reduziu pela metade e a área reduziu para um quarto.

p e n s e e r e s p o nd a

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Analisando o perímetro e a área do quadrado Aqui, os alunos terão a oportunidade de refletir sobre o que acontece com a área e com o perímetro de um quadrado quando se alteram as medidas dos lados. É comum imaginar a existência de uma relação direta entre a área e o perímetro do quadrado. Por exemplo, se duplicarmos o perímetro de um quadrado, a área desse quadrado também duplicará, ou se triplicarmos a área de um quadrado, o perímetro desse quadrado também triplicará, ou se dividirmos o valor do perímetro pela metade, a área ficará, proporcionalmente, pela metade também. Essa ideia ocorre, provavelmente, porque, de fato, intuitivamente, sabemos que ocorrerá um aumento na medida da área quando aumentarmos a medida do perímetro. Porém, essas transformações não são diretamente proporcionais. Ou seja, quando as medidas dos lados de um quadrado dobram, o perímetro também dobra, mas a área não dobra; aliás, nesse caso, a área quadruplica. Pense e responda Providenciar papel quadriculado para realizar as atividades desta seção. Esse material pode facilitar a observação das relações entre as medidas das áreas e dos perímetros. Organizar os alunos em duplas para que possam trocar ideias sobre as observações feitas. Dar atenção especial às questões 3 e 4, verificando se é preciso realizar intervenções caso os alunos tenham dúvidas. Estimular a expressão escrita para que ela seja clara e precisa. Espera-se que os alunos percebam que as transformações ocorridas entre as áreas e os perímetros não são diretamente proporcionais.

4 cm

Quadrado 2.

Resoluções na p. 321

Responda às questões no caderno.

1. Construa um quadrado (quadrado 3) cuja medida dos lados é o triplo da medida dos lados do primeiro quadrado construído por Mariana e calcule o perímetro e a área desse quadrado. Perímetro: 24 cm; área: 36 cm².

2. Construa um quadrado (quadrado 4) cuja medida dos lados é a metade da medida dos lados do primeiro quadrado construído por Mariana. Em seguida, calcule o perímetro e a área desse quadrado. Perímetro: 4 cm; área: 1 cm².

3. Monte um quadro como o abaixo com a medida dos lados, do perímetro e da área dos quatro quadrados. Medida dos lados (cm)

Perímetro (cm)

Área (cm²)

Quadrado 1 Quadrado 2 Quadrado 3 Quadrado 4

Comparando o quadrado 1 com o 2, o que aconteceu com o perímetro e a área do quadrado 2? Faça a mesma comparação entre os quadrados 1 e 3 e entre os quadrados 1 e 4.

4. Quando aumentamos (ou diminuímos) a medida dos lados de um quadrado, as medidas do perímetro e da área do novo quadrado também aumentam (ou diminuem). Essas transformações são proporcionais? No caso do perímetro, sim, a transformação é proporcional, porém a área não se transforma proporcionalmente. 250

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Se preferir, utilizar o geoplano para a construção dos quadrados solicitados nesta seção. Esse material é bastante prático e eficiente para essas atividades.

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geométricas e a equivalência de suas áreas sobrepondo-as. Pedir aos alunos que construam, sobre a malha quadriculada, alguns retângulos de medidas diferentes e depois recortem esses retângulos e façam uma dobradura em uma das diagonais de cada um deles. Em seguida, pedir que recortem sobre o vinco formado por essas dobraduras e sobreponham os dois triângulos obtidos de cada retângulo. É esperado que os alunos percebam que as áreas dos triângulos correspondem à metade da área dos retângulos. É importante que os alunos realizem cálculos ou façam a contagem dos quadradinhos para constatar a veracidade numérica dessa relação. Se for oportuno, iniciar o trabalho utilizando o tangram, que é mais um recurso pedagógico que pode facilitar a compreensão das relações de composição e decomposição de figuras poligonais.

Área do triângulo retângulo No triângulo retângulo ABC abaixo, o segmento AC tem medida igual a 5 cm e o segmento AB tem medida igual a 4 cm. Qual é a área desse triângulo? B

AB = 4 cm

AC = 5 cm

D II

AB = 4 cm

AB = 4 cm I

AC = 5 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Vamos “transformar” o triângulo ABC em um retângulo ABCD, cuja área já sabemos calcular.

Pense e responda Antes de iniciar esta seção, pedir aos alunos que leiam o texto da página 251. Caso seja necessário, permitir que utilizem a malha quadriculada para construir o triângulo ABC e constatar as hipóteses levantadas.

Note, na segunda figura, que os triângulos I e II possuem a mesma área e, juntos, formam um retângulo ABCD. Então, a área do triângulo dado (ABC) é igual à metade da área do retângulo ABCD, e sabemos que a área do retângulo ABCD é 20 cm² (4 cm x 5 cm). Logo, a área do triângulo ABC é metade desse valor, ou seja: 20 cm² : 2 = 10 cm² A área do triângulo ABC é 10 cm².

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 321

1. Debata com um amigo sobre a seguinte questão: e se o triângulo ABC tivesse a medida do segmento AB igual à medida do segmento AC, a mesma estratégia poderia ser utilizada? Sim, mas, em vez de formar um retângulo, formaria um quadrado.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do triângulo retângulo O objetivo é calcular a área do triângulo a partir da decomposição da área do retângulo. Esse processo será bastante útil no próximo ano, quando os alunos

estudarão as áreas de outros polígonos utilizando a composição e a decomposição de figuras. Por isso, é importante dar atenção especial às etapas desse processo. Os alunos precisam concluir que existe uma relação entre as áreas dos retângulos e dos triângulos que os compõem.

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Utilizar papel quadriculado para facilitar a confecção e a observação das relações entre as medidas da área dos retângulos e a dos triângulos. O uso de dobraduras e recortes é interessante, pois os alunos poderão perceber a composição, a decomposição das figuras

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ATIVIDADES

Resoluções na p. 321

Responda às questões no caderno.

Sabendo-se que a caixa tem 17 cm de comprimento, 5 cm de largura e 24 cm de altura, o papelão necessário para montar essa embalagem terá: Alternativa b. a) 2 040 cm² b) 1 226 cm² c) 1 106 cm² d) 1 056 cm²

1. Determine a área de cada figura geométrica. a) 64 cm2 8 cm 8 cm

5. Observe o quadro com dados sobre as quadras de tênis.

72 cm2 6 cm 12 cm

Dimensões

2. Um piso quadrado de cerâmica tem 15 cm de lado. a) Qual é a área desse piso? 225 cm2 b) Quantos pisos são necessários para pavimentar uma sala de 45 m² de área? 2 000 pisos. 3. Um vitral é composto de 80 peças iguais e no formato de triângulos retângulos, de base 25 cm e altura 16 cm. Calcule qual é, em metros quadrados, a área desse vitral. 1,6 m2

Área de jogo

Área de quadra

Usuais

10,97 m x 18,00 m x x 23,77 m x 36,00 m

Oficiais da CBT e da Copa Davis

10,97 m x 18,29 m x x 23,77 m x 36,57 m

Recreação

10,97 m x 17,07 m x x 23,77 m x 34,77 m

4. Para o lançamento de um produto, criou-se a seguinte embalagem:

17 cm

5 cm

24 cm

5 cm

caixa planificada 17 cm

5 cm 17 cm

EDDY LEMAISTRE/CORBIS/GETTY IMAGES

caixa

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Atividades Nestas atividades, os alunos terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos sobre cálculo da área de retângulos, quadrados e triângulos. Organizar os alunos em duplas para facilitar a troca de conhecimento e ideias. É interessante caminhar pela classe, acompanhando a resolução das atividades, mas sem fazer muitas interferências. Anotar algumas dúvidas observadas e ao final fazer uma retomada do conteúdo que julgar necessário. Se for conveniente, pedir a alguns alunos que mostrem como pensaram para chegar às respostas dadas; é interessante incentivá-los a compartilhar suas estratégias. Na atividade 1, pedir aos alunos que desenhem no caderno, com auxílio de uma régua, as figuras geométricas representadas, respeitando as medidas indicadas em centímetros. Assim, eles terão noção do tamanho real da figura, já que no livro as figuras estão representadas em uma escala menor. Discutir a necessidade de ter a figura em tamanho real para calcular a área. Pedir aos alunos que levem folhetos de propaganda com plantas de casas ou apartamentos para calcular sua área total. Ou, ainda, pedir-lhes que façam um esboço da casa deles, ou de uma casa qualquer, com as medidas representadas em centímetros (cada metro correspondendo a 1 cm), para em seguida calcular a área. Depois, eles devem expressar a área obtida em metros quadrados. Na atividade 7, antes de iniciar a resolução dos itens é interessante permitir que os alunos interpretem e descrevam a planta baixa apresentada (habilidade EF06MA28). Na atividade 10, acompanhar o processo de elaboração da atividade sugerida. É importante certificar-se de que os alunos compreenderam que devem usar a planta bai-

24 cm

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A quadra de saibro torna o jogo um pouco mais lento.

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xa desenhada anteriormente para trabalhar com unidade de medida de superfície (habilidade EF06MA24). Caso seja necessário, ajudá-los nesse processo.

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5. a) Aproximadamente 669 m2 (668,8653 m2). b) Aproximadamente 261 m2 (260,7569 m2). Agora, com o auxílio de uma calculadora, responda: a) Quantos metros quadrados de saibro, aproximadamente, são necessários para cobrir uma quadra de tênis oficial? b) Quantos metros quadrados de grama sintética, aproximadamente, são necessários para cobrir somente a área de jogo de uma quadra de tênis usual?

6. Uma parede tem 8 m de comprimento por 2,75 m de altura. Com uma lata de tinta é possível pintar 10 m² de parede. Quantas latas de tinta serão necessárias para pintar toda essa parede? 3 latas. 7. Observe a planta de um apartamento:

cozinha

dormitório

9. Quero pintar as quatro paredes e o teto de uma sala com as dimensões da figura a seguir. Sabendo que cada lata de tinta permite pintar 40 m², quantas latas de tinta terei de usar? 4 latas de tinta.

Agora, responda. a) Quantos metros quadrados de carpete são necessários ao todo para cobrir o piso da sala, do corredor e dos dois dormitórios? 52,15 m2 b) Quantos metros quadrados de cerâmica são necessários para cobrir o piso do banheiro, da cozinha e da área de serviço?2 30,30 m c) Qual o preço do apartamento, sabendo que o metro quadrado custa R$ 800,00? R$ 65 960,00

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2,50 m

4,20 m

banheiro

1,5 m

4,50 m

dormitório 3m

corredor

sala

Projeto de planta baixa

1,50 m

área de serviço

Atividade complementar

2,70 m

c) Quantos metros quadrados de tela galvanizada são necessários para construir um alambrado com 3 m de altura em uma quadra de tênis para recreação? 311,04 m2

1,70 m

AMPLIANDO

8. Quantos metros quadrados de azulejo são necessários para revestir até o teto as quatro paredes de uma cozinha com as dimensões da figura a seguir? Sabe-se, também, que cada porta tem 1,60 m² de área e a janela tem uma área de 2 m². 32,60 m2

10. Com base na planta baixa desenhada na atividade 9 da página 240, elabore uma atividade sobre medida de superfície a ser resolvida por um colega. Depois de resolvida, corrija a atividade. Resposta pessoal. 253

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Propor aos alunos uma atividade para criar uma planta baixa de uma casa. Fornecer a medida da área do terreno em que essa casa será construída. Por exemplo, determinar que a casa deva ter 120 m2 de área construída. Organizar os alunos em duplas para realizar essa atividade e providenciar papel quadriculado ou milimetrado. Pedir a eles que utilizem lápis e régua para fazer os traçados. Incentivar os alunos a pensar no que é necessário para realizar o projeto de uma casa. Refletir com os alunos sobre a escala que vão seguir (sugestão: 1 : 100 ou o lado do quadrado de 1 cm corresponde a 100 centímetros ou 1 metro no espaço real) e sobre as medidas e os símbolos que vão utilizar para representar as portas e as janelas. Para isso, apresentar algumas plantas baixas a fim de que os alunos analisem esses procedimentos e façam as escolhas mais convenientes. Recomendar aos alunos que, antes de traçar a planta definitiva, façam um esboço com as medidas prováveis de cada cômodo. Nesse momento, é esperado que apareçam plantas distintas, uma vez que diferentes medidas de lado podem gerar a mesma área. Como a área a ser construída deve ser de 120 m2 (conforme sugerido), pode ser que surjam plantas com a forma de retângulos 10 m x 12 m ou 15 m x 8 m, por exemplo. Em seguida, pedir às duplas que, a partir da planta da casa que criaram, elaborem questões para os colegas resolverem. Se achar conveniente, fazer uma exposição com os trabalhos realizados pelos alunos com o intuito de valorizá-los.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções na p. 321

Gráfico de segmentos Desde 1988, a Amazônia Legal perdeu cerca de 8,08% da área da floresta, ou 421 775 km², o que é maior que o território do Paraguai. O governo federal aponta como principais causas desse desmatamento a expansão da pecuária e da agricultura (principalmente o cultivo de soja), a grilagem de terras públicas e a exploração predatória de madeira. Desmatamento na Amazônia Legal de 2006 a 2016 16 000 14 000

14 286 12 911

11 651

12 000 10 000 8 000

7 000

7 464

6 000

7 893

6 418

6 207

5 891 4 571

5 012

4 000 2 000 0 2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

Ano

EDITORIA DE ARTE

Área (km2/ano)

Informações obtidas em: INPE. Taxas anuais do desmatamento: 1988 até 2016. Disponível em: <http://www.obt.inpe.br/prodes/prodes_1988_2016.htm>. Acesso em: 24 jul. 2018.

Observe no gráfico que a área desmatada em 2016 corresponde a 7 893 km². Esse número representa uma diminuição de aproximadamente 44,71% em relação à área devastada em 2006. Veja, no mapa, os estados com as maiores áreas desmatadas no período de 2006 a 2016. Amazônia Legal: áreas desmatadas no período 2006-2016 por estado 50°O

7o lugar – 2 503 km2 RR

9o lugar – 481 km2

Equador

0°

4o lugar – 6 951 km2

1o lugar – 38 970 km2

6 lugar – 3 013 km o

PI AC

5o lugar – 5 908 km2

TO RO

3o lugar – 11 373 km2

8o lugar – 735 km2

310

2o lugar – 19 370 km2

SONIA VAZ

Tratamento da informação Aqui o objetivo é levar os alunos a ler e analisar gráficos de segmentos e mapas. Além disso, busca-se também refletir sobre o tema desses gráficos, despertando neles o senso crítico sobre o tema abordado. É importante que os alunos percebam que cada tipo de gráfico favorece um aspecto que precisamos ressaltar. O gráfico de segmentos favorece a análise de tendências dos dados permitindo fazer projeções para o futuro. Ao analisar a sequência dos segmentos, podemos fazer projeções de alta, queda ou a manutenção de um fenômeno estudado. Outro aspecto importante que deve ser considerado ao ler e analisar um gráfico de segmentos é que, quanto maior a inclinação do segmento, maior é o crescimento, ou diminuição, do fenômeno no período em questão. A estatística é a parte da Matemática que realiza coleta, análise, interpretação e apresentação de dados com o intuito de fazer projeções e estimativas. Estas são realizadas por técnicos dos órgãos oficiais e instituições e são importantes para elaborar as propostas, os investimentos e a organização de empresas e até mesmo de um país. O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) é o principal provedor de dados e informações do Brasil, incluindo estimativas populacionais. Outro órgão importante é o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (Inpe) que tem como um de seus objetivos estratégicos ampliar e consolidar competências em previsão de tempo e clima e em mudanças ambientais globais (se desejar compartilhar os outros objetivos estratégicos desse órgão acessar o link <http://livro.pro/ q7g3gv>. Acesso em: 20 set. 2018.)

Informações obtidas em: INPE. Taxas anuais do desmatamento: 1988 até 2016. Disponível em: <http://www.obt.inpe.br/prodes/prodes_1988_2016.htm>. Acesso em: 24 jul. 2018.

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1. Lendo o texto e consultando o gráfico e o mapa, responda no caderno. a) Entre 2006 e 2016, em qual período o desmatamento na Amazônia Legal foi maior? Em 2006. b) Quantos km² a menos de desmatamento ocorreram no ano de 2010 em relação ao ano de 2009? 464 km² Expansão da pecuária e da agricultura, a grilagem de c) Quais as principais causas do desmatamento? terras públicas e a exploração predatória da madeira. d) Quais são os dois primeiros estados onde a área desmatada é maior no período apresentado? Pará e Mato Grosso. Vamos, agora, observar como foi o desenvolvimento da quantidade mapeada de focos de áreas desmatadas e de áreas degradadas da Amazônia entre agosto de 2017 e maio de 2018.

8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 700 600 500 400 300 200 100 0

Legenda Desmatamento agosto/17 a maio/18 (, 10 ha) Desmatamento agosto/17 a maio/18 (> 10 ha) EDITORIA DE ARTE

Quantidade de focos de áreas desmatadas/degradadas

Evolução do desmatamento e degradação na Amazônia (agosto/17 a maio/18)

Degradação agosto/17 a maio/18 Ago.

Set.

Out.

Nov.

Dez.

Jan.

Fev.

Mar.

Abr. Maio

Mês

Fonte: SISTEMA DE ALERTA DE DESMATAMENTO. Evolução do desmatamento e degradação na Amazônia. Disponível em: <http://imazon.org.br/PDFimazon/Portugues/transparencia_florestal/SAD%20maio%202018.pdf>. Acesso em: 24 jul. 2018.

Mas qual a diferença entre área desmatada e área degradada? Apesar de ainda ser um tema discutido entre os geógrafos, há um amplo entendimento de que a área desmatada é aquela que teve sua cobertura vegetal retirada, abrindo espaço para o cultivo ou outra atividade, e cujo ambiente ainda pode se recuperar espontaneamente em um curto ou médio prazo. Enquanto isso, a área degradada é entendida como aquela que, em decorrência de atividades humanas, tem sua recuperação espontânea impossibilitada ou só ocorrerá após um prazo muito longo e condicionada à retirada ou redução da atividade degradante. A degradação não afeta somente a vegetação mas também o solo e, por muitas vezes, as águas. 2. Observando o gráfico acima, responda às questões no caderno: a) Observamos que, diferentemente do gráfico da atividade 1, este gráfico não apresenta os valores exatos dos dados nos pontos. Observe o ponto referente à quantidade de focos de degradação no mês de agosto. Ele está mais perto de 300 ou de 400? Estime um valor para esse ponto. Mais perto de 400; resposta pessoal. b) Dessa forma, como fazemos a leitura dos dados desse gráfico? Por aproximação e estimativa. c) Observando a linha que representa a quantidade de focos de desmatamento em áreas maiores ou iguais a 10 hectares, qual a tendência para os próximos meses? Que os números aumentem ou diminuam? Justifique sua resposta. Aumentem, pois, dos últimos cinco meses, somente em um houve uma queda nos números. 3. Elabore um texto sintetizando as informações sobre a Amazônia presentes nesta seção. Resposta pessoal. 255

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Uma das pesquisas apresentadas sobre o desmatamento na Amazônia Legal tem como fonte o Inpe. Nesta seção, os alunos terão a oportunidade de ler e analisar 2 gráficos de segmentos sobre esse tema. Se achar oportuno, convidar o professor de Geografia para realizar um trabalho em conjunto para ampliar e aprofundar o tema abordado. Esse é um bom momento, também, para os alunos perceberem a importância (e a presença) da Matemática em outras áreas do conhecimento e reconhecer a estatística como uma ferramenta utilizada para compreender o mundo em que vivemos. Além disso, promover atividades para dar oportunidade aos alunos de se posicionar ante as questões que envolvem o exercício da cidadania. Incentivar uma leitura compartilhada do texto; é importante ficar atento se todos os alunos conhecem o significado de todas a palavras usadas, por exemplo, Amazônia Legal, grilagem, etc., se for necessário, pedir uma pesquisa sobre os termos desconhecidos. Organizar a turma em duplas ou trios para responderem às questões propostas. Em seguida, pedir aos grupos que mostrem como pensaram para chegar às respostas. Se achar oportuno, pedir que façam uma pesquisa sobre as consequências do desmatamento na Amazônia Legal e, depois, solicitar que escrevam um texto sobre esse tema. Por fim, promover um debate entre os alunos para discutir sobre as causas e as consequências do desmatamento na Amazônia Legal. Incentivá-los a pensar nos impactos que os desmatamentos causam na natureza e o que pode ser feito para reduzir esses danos.

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RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. (Saresp-SP) Vovô Pedro mediu a altura da parede da sala. Indique a alternativa que mostra um resultado possível dessa medição: Alternativa a. a) 3 metros. b) 50 centímetros. c) 86 metros. d) 99 centímetros. 2. (OBM) Imagine uma pilha com cem milhões de folhas de papel sulfite, cada uma com 0,1 milímetro de espessura. Assinale a alternativa mais próxima da altura da pilha. Alternativa d. a) A sua altura. b) O comprimento do maior animal do mundo, a baleia-azul, que é cerca de 29 metros. c) A altura do edifício mais alto do mundo, o Petronas Tower, que tem 88 andares. d) A altura do pico mais alto do mundo, o Monte Everest, que é 8 848 metros. e) A distância do planeta Terra à Lua, que é muito maior que as alternativas anteriores.

AR TE

3. (OBM) Carlos tem 2 010 blocos iguais de 10 cm de largura por 20 cm de comprimento e 1,5 cm de espessura e resolveu empilhá-los, formando uma coluna de 20 cm de largura por 40 cm de comprimento, como na figura. Qual dos valores abaixo, em metros, é o mais próximo da altura dessa coluna? Alternativa b. a) 7 d) 8,5 b) 7,5 e) 9 c) 8 TO RI

Retomando o que aprendeu O objetivo das atividades desta seção é propiciar aos alunos que retomem os conteúdos estudados na Unidade e, caso seja necessário, façam retomadas para sanar as dúvidas que possam surgir. Se achar conveniente, antes de iniciar as atividades, propor aos alunos que façam um fluxograma dos conteúdos trabalhados no decorrer desta Unidade, com o objetivo de retomar, organizar e sistematizar as ideias e definições. Os alunos podem resolver este bloco de questões como uma autoavaliação; por isso, eles devem respondê-las individualmente. É interessante sugerir que realizem essa seção em sala de aula, assim poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo. Orientá-los a consultar o livro para tirar dúvidas e buscar informações. Enfatizar a necessidade de resolverem os exercícios individualmente, buscando informações de forma autônoma, escolhendo suas fontes para chegar aos resultados. Conversar com os alunos sobre seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuadas, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado. Será valioso para o desenvolvimento da autonomia intelectual dos alunos que percebam seus processos de aprendizagem, suas dificuldades e a busca de informações. Se ainda persistirem dúvidas, orientar a trocar ideias com os colegas e a buscar no livro os conceitos que precisarem lembrar. Dar oportunidade para os alunos mostrarem como pensaram para resolver as questões, tirando as dúvidas dos colegas.

ED I

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções na p. 322

4. Um gesseiro está colocando uma faixa de gesso em todo o contorno de uma sala. Essa sala tem 3,50 m de largura por 6,30 m de comprimento. Se cada peça de gesso tem 70 cm de comprimento, quantas peças serão usadas para fazer o contorno dessa sala? a) 28 c) 31 e) 35 b) 30 d) 32 Alternativa a. 5. Uma fazenda tem 600 ha. Nessa 3 fazenda, da área foram reservados 4 para o plantio de laranjas. Qual a área, em quilômetros quadrados, reservada para a plantação de laranjas? Alternativa a. a) 4,5 km² c) 5 km² e) 5,4 km² b) 4,8 km² d) 5,2 km² 6. Ao escalar uma trilha, um alpinista percorre 512 m na primeira hora, 256 m na segunda hora, 128 m na terceira hora, e assim sucessivamente. No final da 5a hora, qual a distância total percorrida por esse alpinista? Alternativa b. a) 990 m c) 994 m e) 996 m b) 992 m d) 995 m 7. Para cobrir o piso de uma sala foram 1 usadas placas quadradas de m de lado. 2 a) Quantas placas foram necessárias para cobrir 1 m² de piso? 4 placas. b) Se o piso todo tem 55 m² de área, quantas placas foram usadas para cobrir todo o piso da sala? 220 placas. 8. Uma região quadrada A tem 8 m de lado, enquanto uma região quadrada B tem 4 m de lado. A área da região A representa quantas vezes a área da região B? a) 2 c) 4 e) 8 b) 3 d) 6 Alternativa c.

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9. Numa estrada, existe um telefone no quilômetro 28 e outro no quilômetro 640. Devem ser colocados 19 novos telefones entre eles, a uma mesma distância um do outro. Essa distância será de quantos quilômetros? d) 30,6 km a) 28,6 km e) 32,6 km b) 30 km Alternativa d. c) 31,6 km

b) Não. O perímetro do retângulo cor de rosa é 22 u, e o perímetro do retângulo verde é 28 u. 13. Considere u como unidade de medida de comprimento dos retângulos pintados no quadriculado a seguir.

11. A base de um triângulo retângulo mede 18 cm. A medida da altura é 2 igual a da medida da base. Qual é a 3 área desse triângulo? 108 cm² 12. As medidas oficiais de uma quadra de basquete são 20 m por 12 m. O pátio de uma escola tem a forma retangular e suas dimensões são 40 m por 32 m. Nesse pátio, foi construída uma quadra de basquete seguindo os padrões oficiais. Qual a área livre que restou nesse pátio? 1 040 m² UM NOVO OLHAR

EDITORIA DE ARTE

10. Determine a área de um triângulo retângulo cuja base mede 8 cm e a altura, 5,2 cm. 20,8 cm²

a) Dê as medidas dos lados do retângulo: • cor de rosa; 3 u e 8 u. • verde. 2 u e 12 u. b) Verifique se os retângulos têm o mesmo perímetro. Justifique. c) Considerando u² como unidade de área, verifique se os retângulos têm a mesma área. Justifique. Ambos têm medida de área igual a 24 u². d) Pinte em uma folha de papel quadriculado dois retângulos que tenham a mesma área e perímetros diferentes. Há várias possibilidades de resposta.

Nesta Unidade, estudamos as unidades de medida de comprimento e de superfície. Você percebeu que em nosso cotidiano utilizamos as medidas com muita frequência? Por exemplo, ao medir nossa altura, a distância percorrida de nossa casa à escola etc. Também aprendemos um pouco mais sobre a história das medidas, o estabelecimento do metro como medida base de comprimento, outras medidas de comprimento e superfície, além de como calcular o perímetro e a área de algumas figuras planas. Além disso, vimos gráficos de segmentos aplicados em um contexto ambiental, mostrando a importância da preservação do meio ambiente e a aplicação desse tipo de gráfico na análise de dados que variam ao longo do tempo. Partes do próprio Vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens da Unidade 8. corpo, como o • Qual foi a primeira unidade de medida utilizada pelo ser humano? palmo. • Quais eram as unidades de medida utilizadas pelos romanos? Qual delas ainda e milhas. Ambas ainda são utilizadas, é utilizada nos dias de hoje? Pés com pequenas alterações. • Como podemos definir perímetro e área? • Retome a atividade que realizamos na abertura desta Unidade e descreva como você faria o cálculo do papel necessário, após nossos estudos. Resposta pessoal. Uma possível resposta: Perímetro é a medida do contorno de uma forma geométrica; área é a medida da superfície de uma forma geométrica. 257

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Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade. A primeira pergunta busca refletir sobre como medimos intuitivamente utilizando medidas não padronizadas. É importante fazê-los perceber que as unidades de medida são construções sociais necessárias para o exercício pleno da cidadania. A segunda pergunta visa refletir sobre a construção histórica do nosso sistema de medidas, bem como indicar a existência de medidas não pertencentes ao sistema internacional. É interessante discutir com os alunos em que países, por exemplo, as milhas são utilizadas como unidade de comprimento. A terceira pergunta retoma conceitos que foram desenvolvidos nesta Unidade (área e perímetro). Verificar se os alunos conseguem diferenciar essas definições e, caso seja necessário, retomar o conteúdo, explorando exemplos que os ajudem a identificar que perímetro é medida do contorno de uma forma geométrica enquanto área é a medida da superfície de uma forma geométrica. E a quarta pergunta retoma a atividade de abertura; espera-se que, nesse momento, os alunos tenham mais recursos para realizar a atividade e, dessa maneira, perceber possíveis avanços.

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COMPETÊNCIAS

ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretu-

Massa, VOLUME E CAPACIDADE

Todos sabem da importância de economizar água, mas também que é necessário manter a higiene. E agora? O que fazer? Deixar sujo ou gastar água para limpar? • O que você faria para resolver esse problema? Resposta pessoal. MANZI

GERAIS 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar da sua saúde física e emocional, reconhecendo suas emoções e a dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas e com a pressão do grupo. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Uma opção são os sistemas de captação de água da chuva (cisternas). Como sabemos, a água da chuva não é própria para o consumo humano, mas é adequada para lavagem de quintais, calçadas, e até para uso em banheiros (descarga). • Você consegue estimar quantos litros de água são utilizados em cada descarga? Resposta pessoal. Uma descarga sem defeito pode gastar de 6 a 14 litros por acionamento, dependendo do modelo.

Normalmente, para essas finalidades, acabamos usando uma água que é própria para o consumo (água vinda dos sistemas de abastecimento, poços artesianos etc.). A utilização da água da chuva pode, inclusive, ajudar a diminuir os gastos domésticos. Na figura ao lado, temos a representação do esquema de funcionamento de uma cisterna que possui caixa-d’água com capacidade de 1000 litros e um volume de 1 m³. Para se ter uma ideia, uma chuva forte de duas horas seria suficiente para encher uma caixa-d’água com essa capacidade. • Pesquise o consumo de água em algumas atividades cotidianas e estabeleça relações entre a quantidade de água de chuva armazenada e onde ela pode ser utilizada. Vale a pena armazenar água? Por quê? Resposta pessoal.

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do, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

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identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

HABILIDADES

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p. XVII e p. XVIII

Abertura de Unidade A proposta da abertura tem como objetivo apresentar formas de captação de água que envolvam medidas de capacidade e de volume. Primeiro, perguntar aos alunos se conhecem o sistema apresentado na imagem, deixar que compartilhem os conhecimentos que possuem sobre o assunto. Esse tema poderá ser explorado em outras áreas do conhecimento, por exemplo, em Ciências. Na segunda questão, os alunos são convidados a realizar uma estimativa de litros gastos na descarga. A intenção é que os alunos percebam que, quando olhamos apenas para o consumo individual, algumas atitudes parecem oferecer pouco desperdício, mas, quando olhamos para um grupo maior de pessoas, por exemplo, em uma escola, algumas atitudes devem ser tomadas para evitar desperdícios e preservar o meio ambiente. Incentivar os alunos a realizar cálculos estimados para que possam fundamentar suas argumentações sobre a eficiência ou não desse tipo de alternativa para captar água da chuva (cisterna). Nesta Unidade os alunos terão a oportunidade de desenvolver conceitos relacionados a medidas de massa, volume e capacidade; compreender que existe um Sistema Internacional de Medidas para as unidades estudadas; compreender os múltiplos e submúltiplos dessas unidades; resolver problemas cujas soluções são provenientes das transformações das unidades de medidas estudadas. Além disso, os alunos serão desafiados a organizar as etapas de uma pesquisa utilizando um fluxograma.

Álgebra

• EF06MA14

Grandezas e medidas

• EF06MA24

Probabilidade e estatística

• EF06MA33 • EF06MA34

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

AMPLIANDO Sugestão de atividade No dia a dia, essas unidades de medida de massa estão presentes e poderão servir de exemplo para diferentes explorações. Se possível, conversar com os alunos e pedir a eles que relatem experiências do cotidiano deles em que as unidades de medida aparecem e incentive-os a pensar nas possíveis transformações. Para ampliar o trabalho com as unidades de massa, propor outras situações para discussão. 1. Se um quilograma de carne custa R$ 17,50, quanto devo pagar por 800 gramas dessa carne? Resolução Sabe-se que 1 kg = 1 000 g, ou seja, o grama é a milésima parte do quilograma. Então: 1 g = 0,001 kg 800 g = 800 ? 0,001 kg = 0,8 kg Como o valor de 1 kg é 17,50 reais, tem-se que 800 gramas custam 0,8 x 17,50 = = 14, ou seja, 14 reais. Se achar necessário, pedir a eles que reproduzam o quadro das unidades de massa em um cartaz e, depois, fixá-lo no mural da sala de aula; isso pode facilitar a consulta quando sentirem necessidade. É importante eles perceberem que a transformação das unidades de medida é uma estratégia utilizada para resolver situações em que aparecem unidades de medidas diferentes. Então, para comparar as medidas ou realizar cálculos com elas, é necessário serem transformadas na mesma unidade de medida.

CAPÍTULO

Mãe, dá para você fazer uma massa de pão para eu esticar e depois medi-la com a fita métrica?

UNIDADES DE MEDIDA DE MASSA

Para que é isso, menino?

É que a professora falou pra ver a medida da massa de algum produto que a gente tenha em casa.

Mas não é com fita métrica que se mede a massa dos alimentos! A massa de um produto a gente mede com uma balança.

Mas balança não é pra gente pesar as coisas?

Quando a gente coloca um produto em uma balança, medimos a massa. Mas, no dia a dia, as pessoas dizem que estão pesando o produto.

WANDSON ROCHA

Pense e responda Esta atividade tem por objetivo levar os alunos a observar e a reconhecer as unidades padrão de medidas de massa. Para tanto, realizar uma atividade em que os alunos manipulem pacotes e objetos de variadas massas deixando-os explorar cada uma delas. Solicitar a eles que registrem também as dúvidas que surgiram durante essa exploração.

Vários produtos são vendidos por quilograma, como legumes, carnes, frutas etc. Há também produtos vendidos por grama, como frios, margarina, temperos etc. p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 322

Responda à questão no caderno. 1. Pesquise, com os colegas, produtos que são comprados por quilograma ou grama. Façam uma tabela como esta ao lado e a preencham com o nome dos produtos e a indicação da massa de cada um deles. Resposta pessoal.

Massa dos produtos Produto Marca Massa Gostoso 200 Biscoito gramas demais Fonte: Dados fictícios.

Unidades de medida de massa O quilograma e o grama são as unidades de medida de massa mais utilizadas no dia a dia. Mas há outras. Veja a seguir: Unidade Submúltiplos do grama fundamental Quilograma Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama kg hg dag g dg cg mg 1 000 g 100 g 10 g 1g 0,1 g 0,01 g 0,001 g Múltiplos do grama

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

As unidades mais utilizadas diariamente são o quilograma, o grama e o miligrama. Existe ainda outra unidade especial:

Transformação das unidades de medida de massa Após a leitura do texto apresentado no livro, perguntar aos alunos se eles já conheciam todas as unidades de medida de massa apresentadas e quais delas fazem parte do cotidiano deles e em que situações. Incentivar a troca de ideias entre eles e permitir que troquem experiências sobre esse conteúdo. Após essa discussão inicial, solicitar a eles que revejam algumas transformações de unidade de medida de massa. Explicar, na lousa, como proceder para realizar essas transformações. Se achar oportuno, solicitar que realizem outras transformações desse tipo. Por exemplo: • 5,9 kg equivalem a quantos gramas? • 12,3 kg equivalem a quantos gramas? • 2,6 g equivalem a quantos miligramas? • Quantas toneladas há em 8 626 000 g? Esperar que respondam no caderno e, durante a resolução, verificar se compreenderam como as transformações devem ser realizadas. Se achar conveniente, solicitar que construam um cartaz com um resumo de como realizar as transformações. Assim, os alunos terão acesso a esse material sempre que sentirem necessidade.

• A tonelada (t), que equivale a 1 000 kg e serve para expressar a medida de grandes massas.

Transformação das unidades de medida de massa Podemos resumir o quadro das unidades de medida de massa da seguinte maneira: da esquerda para a direita, cada unidade equivale a 10 vezes a unidade seguinte; da direita para 1 da unidade anterior. a esquerda, cada unidade equivale a 10 kg

dag

Veja os exemplos: • Uma peça de 3,2 kg tem quantos gramas?

dag

3,2 kg ! (3,2 " 10 " 10 " 10) g ! (3,2 " 1 000) g ! 3 200 g Uma peça de 3,2 kg tem 3 200 gramas.

dag

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Quantos gramas tem uma ampola de 150 mg?

150 mg ! (150 : 1 000) g ! (150 " 0,001) g ! 0,15 g Uma ampola de 150 mg tem 0,15 g. • Quantas toneladas há em 1 750 000 g? Primeiro vamos transformar em quilogramas. Como 1 kg = 1 000 g, então: 1 750 000 g = (1 750 000 : 1 000) kg = 1 750 kg Como 1 t = 1 000 kg, temos: 1 750 kg = (1 750 : 1 000) t = 1,75 t Em 1 750 000 g há 1,75 t. 261

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Responda às questões no caderno. 1. Entre as unidades de medida, qual você acha mais adequada para expressar a massa: a) de um pacote de arroz? Quilograma. b) da carga de um caminhão? Tonelada. c) de um comprimido? Miligrama. d) de uma laje de concreto? Tonelada. e) de uma pessoa? Quilograma. f) de um ovo de codorna? Grama.

6. Um queijo de 6 kg foi cortado em pedaços iguais. Cada pedaço tem 750 g. Quantos Pedaço de queijo. pedaços de queijo foram obtidos? 8 pedaços.

RYAN MCVAY/PHOTODISC/ GETTY IMAGES

ATIVIDADES

7. (OBM) Num armazém foram empilhadas embalagens cúbicas conforme mostra a figura a seguir. Se cada caixa pesa 25 kg, quanto pesa toda a pilha? Alternativa c.

3. Expresse em gramas as seguintes medidas: a) 2,3 kg 2 300 g b)

3 kg 750 g 4

c) 950 mg 0,95 g

4. A massa de uma carga é 83 000 kg. Quantas toneladas tem essa carga? 83 t 5. Um sanduíche é feito com 270 g de carne. a) Quantos quilogramas de carne são necessários para fazer 200 desses sanduíches? 54 kg b) Quantos desses sanduíches poderiam ser feitos com 17,55 kg de carne? 65 sanduíches.

DE ARTE

2. Usando o símbolo g ou kg, copie e complete as afirmações com a unidade mais adequada. a) Uma lata de ervilha tem 500 . g b) Um pacote de açúcar tem 5 . kg c) Um carrinho miniatura tem 235 .g d) Um cacho de uva tem 750 . g e) Um saco de batatas tem 60 . kg f) Uma geladeira tem, aproximadamente, 80 . kg

EDITORIA

Atividades Estas atividades têm por objetivo proporcionar aos alunos situações nas quais tenham de transformar unidades de medida de massa. Para facilitar a troca de ideias e conhecimento, organizar os alunos em duplas para realizar essas atividades. Acompanhar o desenvolvimento das atividades anotando as dúvidas dos alunos, para depois fazer as retomadas necessárias. Se possível, após a resolução das atividades, convidar alguns alunos a compartilhar as estratégias que utilizaram para resolver essas questões. Resolução da atividade 3 a) 1 kg = 1 000 g 2,3 kg = 2,3 x 1 000 g = = 2 300 g b) 1 kg = 1 000 g 3 3 kg = x 1 000 g = 750 g 4 4 c) Se 1 g = 1 000 mg, então o miligrama é a milésima parte do grama. 1 mg = 0,001 g 950 mg = 950 x 0,001 g = = 0,95 g Resolução da atividade 5 a) Se 1 sanduíche é feito com 270 g de carne, em 200 sanduíches serão necessários: 200 x 270 g = 54 000 g Como 1 kg = 1 000 g, tem-se que 54 000 g correspondem a 54 kg. Logo, são necessários 54 quilogramas de carne. b) É necessário saber quantos grupos de 270 g podem ser feitos com 17,55 kg. Para isso, basta expressar o total de carne em gramas: 1 kg = 1 000 g 17,55 kg = 17,55 x 1 000 g = = 17 550 g Agora, basta verificar quantos grupos de 270 g cabem em 17 550 g: 17 550 : 270 = 65 Logo, poderiam ser feitos 65 sanduíches. Resolução da atividade 7 A dificuldade aqui é determinar a quantidade de caixas da pilha. Na base (a camada infe-

WANDSON ROCHA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) 300 kg

d) 375 kg

b) 325 kg

e) 400 kg

c) 350 kg

8. (Saresp-SP) De uma lata com 2 kg de goiabada foram consumidos 250 g no primeiro dia, 200 g no segundo e 450 g no terceiro. A quantidade que sobrou na lata foi: Alternativa b. a) 900 g c) 1 550 g b) 1 100 g d) 1 650 g 9. Seis embalagens de 0,5 kg correspondem a quantas embalagens de 250 g? 12 embalagens.

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rior), há 8 caixas, na segunda camada, 5 caixas e, na última (a de cima), há apenas 1 caixa. Portanto, ao todo, há 14 caixas. Como cada caixa pesa 25 kg, a pilha pesa 14 x 25 = 350, ou seja, 350 kg.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A balança de dois pratos

A balança de dois pratos O objetivo aqui é trabalhar as propriedades de igualdade utilizadas nos princípios de equivalência usando as balanças de dois pratos. Esse material é um grande aliado para os alunos compreenderem a ideia de comparar massas. Perguntar a eles se conhecem esse tipo de balança ou já tiveram a oportunidade de manusear uma balança desse tipo. Ouvir as experiências deles e, ao longo dessa conversa, fazer perguntas como: “O que significa dizer que os pratos da balança estão em equilíbrio?”. É interessante registrar na lousa as observações e respostas dadas por eles; nesse primeiro momento a ideia é incentivá-los a falar o que sabem para depois formalizar os conceitos envolvidos. Pense e responda Nesta seção é importante que os alunos percebam que existe uma relação diretamente proporcional entre as operações efetuadas e a massa colocada em cada um dos pratos de uma balança para manter o equilíbrio entre eles. Ou seja, o mesmo fator deve ser utilizado nos dois pratos para manter o equilíbrio da balança. Em álgebra isso é conhecido como princípio multiplicativo. É interessante que os alunos respondam individualmente às questões da seção, mas eles podem (e devem) trocar ideias com os colegas e compartilhar suas estratégias de resolução. Incentivar o registro algébrico para representar os pesos dos pratos em uma balança digital.

O instrumento mais utilizado para a medida de massa é a balança. Além da balança digital, um modelo ainda muito utilizado é a balança de dois pratos. A ideia desse modelo de balança é fazer com que os dois pratos dela fiquem equilibrados. O ponteiro, quando centralizado, indica que as massas dos dois pratos são iguais e os pratos estão em equilíbrio. Coloca-se o que se quer pesar no outro prato. ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

Colocam-se pesos de massa conhecida em um prato.

A balança abaixo está em equilíbrio. Observe as massas, em quilogramas, das caixas abaixo e tente explicar por que está em equilíbrio. 3 3 1 1 2 2

2 2

1!1!2!2!3!3"2!2!4!4 12

Aqui adicionamos um peso de 2 kg a um dos pratos; então, para manter o equilíbrio, precisamos adicionar 2 kg ao outro prato: 1 1 3 3 2 2 2

(1 ! 1 ! 2 ! 2 ! 3 ! 3) ! 2 " (2 ! 2 ! 4 ! 4) ! 2 14

Aqui retiramos da situação inicial um peso de 2 kg de um dos pratos; então, para manter o equilíbrio, precisamos subtrair 2 kg do outro prato: 2

1 1 3 3

(1 ! 1 ! 2 ! 2 ! 3 ! 3) " 2 " (2 ! 2 ! 4 ! 4) " 2 10

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções na p. 323

Debata as questões com um colega e responda ao que se pede no caderno. 1. O que seria necessário fazer para se manter o equilíbrio de uma balança se a massa em um dos pratos fosse dobrada? Dê um exemplo.Dobrar a massa no outro prato. Resposta pessoal. 2. O que seria necessário fazer para se manter o equilíbrio de uma balança se a massa em um dos pratos fosse reduzida pela metade? Dê um exemplo. Reduzir pela metade a massa no outro prato. Resposta pessoal. 263

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Atividades Pedir aos alunos que respondam às questões propostas em duplas. Observar as estratégias utilizadas e, se necessário, fazer intervenções que os ajudem nas resoluções. É importante que eles leiam as situações e as compreendam. Resolução da atividade Na situação 1, é possível concluir que cada pote de achocolatado pesa 500 g (pois, 2 000 : 4 = 500). Na balança da situação 3, temos que cada pacote de achocolatado equivale a 2 potes de fermento. Logo, cada pote de fermento pesa 250 g (pois, 500 : 2 = 250). E, por fim, na situação 2, tem-se que 1 pote de fermento equivale a 5 caixas de gelatina. Portanto, cada caixa de gelatina pesa 50 g (pois, 250 : 5 = 50). Na atividade 1, é necessário transformar 2 kg em gramas e dividir esse valor pela massa da caixa de gelatina. Conforme feito: 2 000 : 50 = 40 Logo, são necessárias 40 caixas de gelatina para deixar a balança em equilíbrio. A atividade 2 está resolvida quando se entende o exercício pela decomposição de massas: o pote de achocolatado contém 500 gramas. A atividade 3 pode ser exemplificada com a massa de algum aluno ou, para evitar constrangimento, com a sua massa, professor. Por exemplo, para uma pessoa de 80 kg (ou 80 000 g), tem-se: 80 000 : 250 = 1 600. Logo, 1 600 potes de fermento pesam o mesmo que essa pessoa.

ATIVIDADES

Resoluções na p. 323

Responda às questões no caderno. Observe as ilustrações para responder às questões de 1 a 3.

3 ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2 kg de açúcar equivalem a 4 potes de achocolatado.

1 pote de fermento equivale a 5 caixas de gelatina.

1 pote de achocolatado equivale a 2 potes de fermento.

1. Quantas caixas de gelatina são necessárias para equilibrar a balança a seguir? 40

2. Quantos gramas contém o pote de achocolatado da figura 1? 500 g

3. Quantos potes de fermento da figura 2 “pesam” o mesmo que um objeto de sua escolha? Resposta pessoal. F Ó R UM

Atualmente, sobretudo nas grandes cidades, devido à rotina agitada, as pessoas têm cada vez mais o hábito de fazer as refeições em restaurantes. Nesse aspecto, o consumidor escolhe o tipo de restaurante com que mais se identifica. Entre esses tipos, destaca-se o restaurante por quilo. Esses restaurantes são considerados práticos porque costumam oferecer alimentos variados, o que permite ao consumidor uma alimentação balanceada, pois este terá à sua disposição, além dos pratos quentes, opções de legumes e saladas. Para quem tem o hábito de comer fora, é bom ficar atento a alguns detalhes, pois existe uma portaria do Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (Inmetro) determinando que os restaurantes por quilo divulguem, de forma clara e visível para o consumidor, informações sobre o peso do prato que será utilizado. Essa determinação tem como principal objetivo garantir que o consumidor pague apenas pelo que consumiu no estabelecimento. Resposta pessoal. • Faça uma pesquisa e descubra o que é uma portaria, como a citada no texto. • Você sabia da existência da portaria do Inmetro citada no texto? Resposta pessoal. • Pesquise se existe algum órgão que o consumidor pode procurar quando se sente lesado em um estabelecimento ou serviço. Programa de Proteção e Defesa do Consumidor (Procon).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

MEDINDO O ESPAÇO OCUPADO Volume

p e n s e e r e s p o nd a

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1. Escreva no caderno: quantos cubinhos há em cada figura? Figura A: 42 Figura B: 210 Figura C: 24 Figura C. Figura B.

Figura A.

Volume é a medida do espaço ocupado por um sólido, por um líquido ou por um gás. Então, quando tomamos o dizer que o volume: • da Figura A é 42

como unidade de medida para expressar volumes, podemos • da Figura B é 210

• da Figura C é 24

Acompanhe: Como medir o volume deste bloco?

Primeiro, vamos dividi-lo em cubinhos, para ver de quantos cubinhos é formado o bloco.

Observando apenas uma das camadas do bloco, percebemos que são cinco fileiras de 3 5!3

" 15

Como o bloco todo possui quatro camadas, temos 4 x 15 Então, podemos dizer que o volume desse bloco é: " 60 V = (5 x 3 x 4)

" 60

quantidade de camadas (altura) quantidade de blocos por fileira (largura) quantidade de fileiras (comprimento)

Pense e responda Antes de iniciar a leitura da questão proposta, explorar os conhecimentos prévios dos alunos sobre o conteúdo que será analisado. É interessante mobilizar os conhecimentos e experiências que eles possuem aliando-os a materiais manipulativos para estabelecer relações entre o que eles já sabem, os novos termos e os conteúdos que serão tratados. Na questão 1, explorar a relação existente entre as figuras A e B, e B e C. Incentivá-los a perceber que a figura A é composta de uma quantidade de cubinhos que corresponde a uma das camadas que compõem a figura B. Se possível, levar cubinhos para que os alunos possam manipular e reproduzir os arranjos apresentados na seção. Esse processo de manipular os cubinhos pode ajudá-los a perceber, informalmente, a relação entre as medidas das arestas dos blocos retangulares. É importante que eles vivenciem a atividade e possam construir a noção de volume. Após a resolução, formalizar o conceito de volume e pedir-lhes que anotem esse conceito no caderno ou em um cartaz que possa ficar exposto na sala de aula, assim eles montam aos poucos um resumo dos conteúdos estudados na Unidade.

Vemos, então, que para calcular quantos formam o bloco, ou seja, para calcular o volume do bloco usando como unidade de medida, multiplicamos o comprimento do bloco por sua largura e por sua altura. 265

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

AMPLIANDO Atividade complementar 1. Considere os arranjos de cubos que formam os sólidos a seguir. Cada cubinho tem aresta de 10 mm. Determine o volume de cada sólido formado em mm3, em cm3 e em dm3. a)

No Sistema Métrico Decimal, a unidade fundamental de medida de volume é o metro cúbico, que indicamos por m3. O metro cúbico corresponde ao volume de um cubo com 1 metro de aresta.

Unidades de medida de volume Além do metro cúbico, existem outras unidades de medida padronizadas para expressar volumes. Veja no quadro essas unidades, dispostas em ordem decrescente, com as respectivas abreviações:

EDITORIA DE ARTE

Unidade fundamental

Múltiplos do metro cúbico Quilômetro cúbico km³ (1 000 m)³

Submúltiplos do metro cúbico

Hectômetro Decâmetro Decímetro Centímetro Metro cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico hm³ dam³ m³ dm³ cm³ (100 m)³ (10 m)³ (1 m)³ (0,1 m)³ (0,01 m)³

1 000 000 000 m³ 1 000 000 m³

1 000 m³

1 m³

Milímetro cúbico mm³ (0,001 m)³

0,001 m³ 0,000001 m³ 0,000000001 m³

As unidades mais utilizadas para expressar volumes, além do metro cúbico, são o decímetro cúbico e o centímetro cúbico. Veja a seguir alguns exemplos de transformação de unidades. • Transformar 50 000 cm3 em decímetro cúbico.

km3

Resolução 1. Se cada aresta mede 10 mm, o volume de cada cubinho é: volume (cubinho) = = 103 mm3 = 1 000 mm3. Assim, para determinar o volume de cada sólido, basta saber de quantos cubinhos ele é composto. a) Essa configuração é formada por três camadas: na primeira (a de baixo), há 5 cubinhos, na segunda, 3 e na terceira (a de cima), 1. Então, ao todo, nessa configuração, há 9 cubinhos. volume = 9 ? 1 000 mm3 = = 9 000 mm3 Logo, o volume é 9 000 mm3 ou 10 cm3 ou, ainda, 0,01 dm3. b) Esse sólido é formado por duas configurações de cubinhos: uma, a de trás, é uma placa com 25 cubinhos, e a outra, a da frente, é uma pilha com

1m 1m

hm3

dam3

dm3

cm3

mm3

1 da unidade anterior, Como da direita para a esquerda cada unidade representa 1 000 devemos dividir 50 000 cm3 por 1 000. 50 000 cm3 = (50 000 : 1 000) dm3 = (50 000 x 0,001) dm3 = 50 dm3 • Quantos centímetros cúbicos há em

km3

hm3

dam3

1 m³? 2

dm3

cm3

mm3

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

O objetivo aqui é reconhecer o metro cúbico como o volume de um cubo de 1 m de aresta e estabelecer as relações entre as diversas unidades de medida de volume. Solicitar que façam uma leitura do texto apresentado no livro para que depois possam discutir sobre as unidades de medida de volume. Perguntar se eles conhecem essas unidades de medida e em que situações elas podem ser utilizadas.

Como da esquerda para a direita cada unidade representa 1 000 vezes a unidade seguinte, 1 m³ por 1 000 x 1 000 (1 000 000). multiplicamos 2 1 m³ = 0,5 m³ = (0,5 x 1 000 000) cm3 = 500 000 cm3 2 266

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8 cubinhos. Então, ao todo são 33 cubinhos. volume = 33 ? 1 000 mm3 = = 33 000 mm3 Logo, o volume é 33 000 mm3 ou 33 cm3 ou, ainda, 0,033 dm3. c) Esse sólido é composto de 21 cubinhos, pois na camada de baixo há 14 cubinhos, na camada do meio, 5 e na de cima, 2.

volume = 21 ? 1 000 mm3 = = 21 000 mm3 Logo, o volume é 21 000 mm3 ou 21 cm3 ou, ainda, 0,021 dm3.

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dados correspondentes. É interessante os alunos perceberem que pode haver mais de uma resposta correta.

Volume do bloco retangular e do cubo Algumas ruas são calçadas com pedras. Cada uma dessas pedras lembra um sólido geométrico conhecido como bloco retangular. P H O T O DI SC /G E TT Y

IMA

Volume (cm3)

8 24 18 60 27 36

Comprimento (cm)

Largura (cm) Altura (cm)

BOX LAB/SHUTTERSTOCK.COM

Pedir aos alunos que observem e relacionem as dimensões do bloco retangular com o seu volume. É esperado que eles percebam que existe um padrão para determinar o volume de blocos retangulares e que o cubo é um caso particular em que todas as dimensões possuem a mesma medida. Com isso, espera-se que os alunos compreendam a fórmula: volume = comprimento x x largura x altura. Atividade 2: Construção de blocos Para que os alunos tenham a ideia real do tamanho das principais unidades de medida de volume cm3 e dm3, solicitar que construam 2 cubos com dimensões iguais a 1 cm e 1 dm confeccionados em cartolina ou outro material que achar conveniente. Para isso, é necessário retomar a planificação do cubo. Essa atividade pode ser apresentada como um desafio e realizada em grupos. Por fim, perguntar qual a relação entre os volumes desses cubos.

Rua calçada com pedras que lembram blocos retangulares em Pirenópolis, GO. Foto tirada em julho de 2018.

2,5 m (altura)

TTA

Suponha que a imagem ao lado represente um bloco retangular de pedra com as seguintes dimensões: De modo prático, vemos que é possível obter o volume de um bloco retangular multiplicando suas três dimensões. No caso desse bloco, multiplicando o comprimento (4 m), a largura (2,5 m) e a altura (2,5 m).

4m (comprimento)

2,5 m (largura)

V = 4 m x 2,5 m x 2,5 m = 25 m3 O volume do bloco é 25 m3. Vamos observar, agora, o caso do cubo: ele é um bloco retangular em que o comprimento, a largura e a altura têm medidas iguais. Essas três dimensões do cubo são dadas pelas medidas das arestas, e todas têm a mesma medida. Acompanhe o cálculo do volume de um cubo cujas arestas medem 4,3 m.

arestas 4,3 m

Dados: • comprimento = 4,3 m

EDITORIA DE ARTE

• largura = 4,3 m • altura = 4,3 m 4,3 m 4,3 m

V = 4,3 m x 4,3 m x 4,3 m = (4,3)3 m3 = 79,507 m3 O volume desse cubo é 79,507 m3. 267

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

AMPLIANDO

Volume do bloco retangular e do cubo Aqui os alunos deverão calcular o volume de um bloco retangular e de um cubo utilizando a fórmula que relaciona as suas três dimensões: comprimento, largura e altura.

Atividade complementar Atividade 1: Cálculo do volume Organizar a turma em duplas ou trios. Iniciar a atividade apresentando os cubinhos do material dourado e desafiar os alunos a construir blocos retangulares

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utilizando um determinado número de cubinhos, por exemplo, 8, 24, 18, 60, 27 e 36. Relembrar os alunos que cada cubinho corresponde à unidade de medida 1 cm3, pois as dimensões dos cubinhos correspondem a 1 cm. Pedir que preencham uma tabela, conforme apresentado a seguir com os

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Atividades Nestas atividades os alunos deverão calcular o volume de blocos retangulares e de cubos, usando ou não as fórmulas estudadas. Na atividade 7, estimular os alunos a construir os sólidos com arestas medindo a décima parte das dimensões que foram propostas. Discutir com eles, intuitivamente, a relação entre os volumes. A atividade 8 mostra uma aplicação prática para o cálculo de volume. Enfatizar que esse procedimento é comum no dia a dia da construção civil. Incentivar os alunos a conversar com pessoas que já compraram areia ou com um pedreiro, para perguntar como fazem para saber se a areia entregue corresponde ao volume que foi comprado. Na atividade 14, orientar os alunos a observar que os dados apresentam unidades de medida de volume diferentes envolvidas na mesma situação. Orientá-los a transformar as unidades envolvidas em uma mesma unidade, por exemplo, o decímetro cúbico. Sabendo que 1 m3 = = 1 000 dm3, a quantidade inicial de ar no tanque é de 1 000 dm3. Como são extraídos 100 dm3 a cada golpe da bomba, entendemos que no 7o golpe terão sido extraídos 700 dm3, pois o exercício não indica perda no processo. Assim, restam no tanque 300 dm3, que equivalem a 0,3 m3.

ATIVIDADES

Resoluções na p. 323

Responda às questões no caderno. 1. O cubo colorido de verde, na figura abaixo, indica a unidade-padrão de medida do volume da caixa. Quantas dessas unidades cabem na caixa? 72 unidades. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2. (Saresp-SP) Considerando um cubinho como unidade de volume, o volume do bloco representado na figura abaixo é: Alternativa d. a) 10 b) 15 c) 25 d) 30

3. (Saresp-SP) Na figura abaixo tem-se uma caixa sem tampa que foi preenchida com cubos cujos lados medem 1 cm. Qual é o volume dessa caixa? a) 60 cm

b) 50 cm3 c) 40 cm3 d) 30 cm3 Alternativa a.

4. Qual é o volume de um bloco retangular cujas dimensões são 30 m, 18 m e 12 m? 6 480 m³ 5. Determine o volume de um cubo de 2,5 m de aresta. 15,625 m³ 6. Devo construir uma piscina de 8 m de comprimento por 5 m de largura e 1,5 m de profundidade. Qual o volume de terra que deve ser retirado? 60 m3

7. Qual o sólido de maior volume: um cubo de aresta 4 m ou um bloco retangular de dimensões 8 m, 4 m e 2 m? Os volumes são iguais: 64 m³. 8. Um depósito de material para construção utiliza um caminhão basculante para transportar areia. Quantos metros cúbicos de areia esse caminhão pode carregar, no máximo, sabendo que as dimensões internas da carroceria do caminhão são: 5,712 m3 • comprimento = 3,40 m • largura = 2,10 m • altura = 0,80 m 9. As dimensões de um tijolo são 0,20 m de comprimento, 0,10 m de largura e 0,05 m de altura. Qual o volume de argila usada para fabricar esse tijolo? 0,001 m3 10. Transforme em metros cúbicos: a) 840 dm3 0,840 m3 b) 14 500 000 mm3 0,0145 m3 c) 1 000 dm3 1 m3 11. Quantos decímetros cúbicos há em: 1 3 m? a) 3,5 m3? b) 1 250 cm3? c) 3 3 4 250 dm3 3 500 dm 1,25 dm 12. Qual o volume, em decímetros cúbicos, ocupado por um cubo de aresta 1 m? 1 000 dm3 13. O volume máximo que um bujão de gás pode conter é 13,5 dm3. Tendo sido 2 gastos dessa quantidade, quantos 3 decímetros cúbicos de gás ainda restam no bujão? 4,5 dm3 14. O volume inicial de um tanque é 1 m3 de ar. Cada golpe de uma bomba de vácuo extrai 100 dm3 de ar desse tanque. Após o 7o golpe da bomba, quantos metros cúbicos de ar permanecem no tanque? 0,3 m3

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CAPÍTULO

tros anotando a capacidade de cada um, por exemplo, latas, garrafas, remédios, jarras graduadas etc. Esse procedimento pode contextualizar e favorecer a aprendizagem. Além disso, é importante que os alunos reconheçam a relação entre o litro e o decímetro cúbico.

UNIDADES DE MEDIDA DE CAPACIDADE

No Sistema Decimal existem unidades de medida para expressar a capacidade de recipientes. A unidade fundamental é o litro (L), além de seus múltiplos e submúltiplos. Veja:

Quilolitro

Hectolitro

Decalitro

Unidade fundamental Litro

Decilitro

Centilitro

Mililitro

daL

1 000 L

100 L

10 L

0,1 L

0,01 L

0,001 L

Múltiplos do litro

AMPLIANDO Atividade complementar Propor aos alunos uma atividade experimental em que possam verificar que 1 L = 1 dm3. Essa atividade pode ser realizada em duplas. Cada dupla constrói o seu decímetro cúbico com um papel resistente ou outro material que achar conveniente. Lembrar aos alunos de que 1 dm3 é um cubo de 10 cm de aresta. É necessário que vedem bem as arestas com fita adesiva. Providenciar uma garrafa que tenha capacidade de 1 litro. Pode ser garrafa de leite, suco, ou até mesmo uma jarra graduada contendo areia ou grãos de arroz. Caso seja oportuno, perguntar aos alunos qual é a capacidade de 1 m3. Incentivar a estimativa e utilizar o decímetro cúbico construído pelos alunos para refletir e estabelecer as correspondências necessárias para se concluir que 1 m3 corresponde a 1 000 L.

Submúltiplos do litro

DAYANE RAVEN

Dentre essas unidades, a mais usada, além do litro, é o mililitro (mL), principalmente para expressar pequenos volumes.

Transformação das unidades de medida de capacidade

• Expressar 15 L em mililitros. kL

daL

EDITORIA DE ARTE

Da esquerda para a direita, cada unidade equivale a 10 vezes a unidade seguinte. 1 da unidade seguinte. Da direita para a esquerda, cada unidade equivale a 10 Veja os exemplos:

15 L = (15 x 10 x 10 x 10) mL = (15 x 1 000) mL = 15 000 mL 269

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Unidades de medida de capacidade Os alunos serão levados a relacionar a quantidade de líquido existente no interior de um recipiente com a capacidade do recipiente; conhecer e estabelecer as relações existentes entre

as diversas unidades de medida de capacidade; reconhecer que o litro é a unidade padrão fundamental de medida de capacidade. Incentivar os alunos a levar embalagens como latas e garrafas, contendo os valores de suas capacidades. Pedir que observem esses valores e ve-

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rifiquem, na tabela dos múltiplos e submúltiplos, qual é a relação entre o litro e o mililitro. Espera-se que os alunos percebam que o mililitro é a milésima parte de 1 litro, ou seja, 1 mL = 1 L = 0,001 L. Solicitar = 1 000 que façam uma lista de produtos medidos em litros e milili-

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• Expressar 330 mL em litros.

daL

330 mL = (330 : 1 000) L = 0,33 L • Expressar 250 mL em litros:

daL

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

250 mL = (250 : 1 000) L = 0,25 L

ATIVIDADES

Resoluções na p. 323

2. Quantos litros cabem em uma lata de 33 cL? 0,33 L

Responda às questões no caderno. 1. Expresse em litros: a) 1 200 mL 1,2 L

3. Devem ser distribuídos 10 000 L de água em garrafas com capacidade de 250 mL cada uma. Quantas garrafas serão usadas? 40 000 garrafas.

d) 87 mL 0,087 L

b) 85 cL 0,85 L

e) 3,5 dL 0,35 L

c) 2 hL 200 L

f) 1 hL 100 L

Resposta pessoal. Uma solução é encher de leite o recipiente de 500 mL e passar parte desse leite para o copo de 200 mL, enchendo-o. O que restar no recipiente de 500 mL serão os 300 mL de leite necessários para a receita. 5. Márcia está preparando um bolo. Ela DESAFIO já mediu quase todos os ingredien4. Para tirar água de um poço, você possui tes, faltando apenas 300 mL de leite. apenas dois baldes: um de 5 litros e Márcia não sabe como medir essa um de 3 litros. Você precisa ficar, exaquantidade, pois os únicos recipientes tamente, com 1 litro de água. Como de que dispõe são uma jarra de 500 mL fazer isso? Resposta pessoal. e um copo de 200 mL. O que você faria se estivesse no lugar de Márcia?

WANDSON ROCHA

Atividades Nestas atividades os alunos terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos sobre as relações existentes entre as diversas unidades de medida de capacidade, converter uma unidade de capacidade em outra e aplicar as relações existentes nas unidades de capacidade e volume, além de resolver problemas. Organizar os alunos em duplas para realizar essas atividades e acompanhar a resolução, fazendo intervenções sempre que necessário. Incentivar os alunos a organizar os dados de cada questão e a fazer esboços de desenhos. Essas estratégias podem contribuir para a compreensão dos problemas e determinar os cálculos ou as relações necessárias para se chegar à resposta. É importante que os alunos se habituem a estimar os resultados e verificar se as respostas fazem sentido. Desafio Solicitar que eles resolvam o desafio individualmente e que anotem todas as estratégias utilizadas na resolução. Caso não consigam resolver, sugerir que anotem uma justificativa. Orientá-los a escrever, sem muito rigor matemático, esse exercício de justificar tanto a resposta como o fato de não terem conseguido resolver a questão proposta, que pode ser uma excelente ferramenta para estimular a leitura e a escrita nas aulas de Matemática.

DANIEL BOGNI

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Uma solução é encher de água o balde menor e passar todo o conteúdo para o balde maior. A seguir, encher novamente o balde menor e passar para o maior a parte sufi270 ciente para completá-lo. O conteúdo que restar no balde menor será 1 litro de água.

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P O R T O D A P A RT E

o modelo de tabela nutricional apresentado no livro. Conversar com eles sobre cada item e verificar se todos compreenderam o seu significado. Por exemplo, o Percentual de Valores Diários (%VD) é um número em percentual que indica quanto um produto apresenta de energia e nutrientes em relação a uma dieta de 2 000 calorias. Mas não é necessário ficar somando as quantidades de cada nutriente para saber se atingiu ou não as recomendações diárias. Para isso, basta saber que um alto %VD indica que o produto apresenta alto teor de determinado nutriente. Já os produtos com %VD reduzido indicam o contrário. Para ter uma alimentação mais saudável, dê preferência a produtos com baixo %VD para gorduras saturadas, gorduras trans e sódio, e produtos com alto %VD para as fibras alimentares.

Resoluções na p. 324

Informação nutricional No Brasil, desde 2001, todos os alimentos e bebidas comercializados devem, por lei, trazer as informações nutricionais em seus respectivos rótulos. Essa medida busca orientar os consumidores a adotar alimentos mais saudáveis em sua dieta, fazendo escolhas mais conscientes quando vão ao supermercado. A Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa) determina que as informações nutricionais contenham os elementos indicados ao lado.

1. Leia a situação e os rótulos a seguir. Compare os dados e depois, no caderno, responda às questões.

INFORMAÇÃO NUTRICIONAL Porção de... g ou mL (medida caseira) Quantidade %VD(*) por porção kcal e kJ %

Valor Energético Carboidratos

Proteínas

Gorduras totais Gorduras saturadas Gorduras trans

g g g

% % -

Fibra alimentar Sódio Outros minerais(1)

mg ou mcg

Vitaminas(1)

mg ou mcg

(*)% Valores Diários de referência com base em uma dieta de 2 000 kcal ou 8 400 kJ. Seus valores diários podem ser maiores ou menores dependendo de suas necessidades energéticas. (1) Quando declarados.

Carla foi ao supermercado comprar Fonte: ANVISA. Rotulagem nutricional alguns produtos para preparar um lanche. obrigatória: manual de orientação às Enquanto observava as embalagens e lia indústrias de alimentos. Brasília: Ministério da Saúde/Anvisa/UnB, 2005. os rótulos de dois pães, um tradicional e outro integral, uma senhora se aproximou de Carla e lhe disse que ambos os pães eram igualmente saudáveis. PÃO DE FORMA TRADICIONAL

PÃO DE FORMA INTEGRAL

INFORMAÇÃO NUTRICIONAL

Porção de 50 g (2 fatias)

Valor Energético

Quantidade por porção

%VD(*)

126 kcal = 527 kJ

Valor Energético

AMPLIANDO

Quantidade por porção

%VD(*)

98 kcal = 414 kJ

Carboidratos

25 g

Carboidratos

12 g

Proteínas

4,5 g

Proteínas

4,5 g

Gorduras totais Gorduras saturadas Gorduras trans

0,9 g 0,9 g 0g

2% 2% –

Gorduras totais Gorduras saturadas Gorduras trans

0,5 g 0,5 g 0g

1% 1% –

1,0 g

Fibra alimentar

1,2 g

182 mg

Sódio

150 mg

Fibra alimentar Sódio

(*)% Valores Diários de referência com base em uma dieta de 2 000 kcal ou 8 400 kJ. Seus valores diários podem ser maiores ou menores dependendo de suas necessidades energéticas.

Link Se possível solicitar aos alunos que acessem o link a seguir; nele é apresentado um manual de orientações aos consumidores. Disponível em: <http://livro. pro/xavfcv>. Acesso em: 10 set. 2018.

(*)% Valores Diários de referência com base em uma dieta de 2 000 kcal ou 8 400 kJ. Seus valores diários podem ser maiores ou menores dependendo de suas necessidades energéticas.

Fonte: Fábrica de pães.

a) Após comparar os dois rótulos de informação nutricional, você concorda com a opinião da senhora que abordou Camila no supermercado? Por quê? b) Você e seus familiares têm o hábito de conferir de quais ingredientes um produto é feito, bem como suas informações nutricionais? Consideram isso importante? Justifique sua resposta. Resposta pessoal. a) Resposta pessoal. Espera-se que os alunos discordem da senhora, pois o pão integral apresenta menores quantidades de calorias e dos demais elementos nocivos à saúde quando consumidos em excesso. 271

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte Nesta seção, os alunos terão a oportunidade ler, analisar e interpretar tabelas nutricionais existentes em rótulos de alimentos industrializados. Os rótulos nutricionais são excelentes recursos para desenvolver

trabalhos interdisciplinares. Eles contêm informações importantes relativas à composição química dos alimentos e são o elo de comunicação entre as indústrias e os consumidores. É importante que a população entenda as informações nutricionais presentes nos rótulos para ter maior consciência de

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seus hábitos alimentares e poder fazer escolhas mais saudáveis do que consome. Fazer um levantamento do conhecimento prévio dos alunos, perguntando se costumam ler os rótulos das embalagens dos alimentos e se conhecem as informações que eles contêm. Pedir aos alunos que leiam

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tratamento da informação O objetivo é permitir que os alunos compreendam que, para realizar uma pesquisa, é necessário o planejamento detalhado das atividades envolvidas nesse trabalho. Aqui, o fluxograma é apresentado como um dos instrumentos que auxiliam na sistematização e na organização das atividades envolvidas em uma pesquisa. Dessa forma, os alunos podem ter uma visão ampla das atividades, fornecendo informações importantes para realizar o planejamento da sua execução, quem vai fazer cada uma das atividades, quando elas serão realizadas e a sequência em que essas atividades devem ser executadas. Iniciar o trabalho com uma discussão em grupo para explorar o conhecimento prévio dos alunos e verificar se eles entenderam o propósito dessa atividade. Começar uma conversa com eles, fazendo perguntas como: “O que é uma pesquisa?”, “Qual é o propósito de uma pesquisa?”. Deixar que eles se expressem e anotar as respostas dadas na lousa, de modo que facilite a compreensão do que está sendo discutido. Depois, perguntar se já realizaram alguma pesquisa com coleta de dados anteriormente e pedir que expliquem como procederam. Aproveitar esse momento e perguntar se já construíram um fluxograma. Se sim, abrir espaço para que os alunos falem sobre suas experiências e ideias; é importante incentivar o diálogo entre eles.

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções na p. 324

Fazendo uma pesquisa A realização de uma pesquisa envolve algumas etapas importantes. Quando o objetivo é fazer uma pesquisa em grupo, é fundamental pensar sobre como as tarefas serão divididas entre os integrantes. Todos devem concordar com o tema escolhido e se organizar para realizar a coleta e a organização dos dados. Observe uma sugestão de como organizar as etapas de uma pesquisa: Início: escolher o tema da pesquisa

Definir os objetivos da pesquisa

O problema é claro e objetivo?

Elaborar o problema

Não

Sim Elaborar um cronograma e distribuir as tarefas Rever as etapas, redistribuir as tarefas e ajustar o cronograma

Não

Fim: socializar os resultados da pesquisa

A pesquisa será concluída no prazo e todos os integrantes possuem tarefas?

Sim

É possível adquirir os recursos ou realizar a pesquisa sem eles?

Sim

Elaborar um documento sobre a pesquisa

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A estratégia apresentada anteriormente foi organizada por meio de um fluxograma, ou seja, as sugestões de etapas para a realização de uma pesquisa foram dispostas utilizando-se uma representação gráfica com os procedimentos que compõem uma sequência de passos a serem realizados, desde o planejamento até a apresentação dos dados obtidos. Ao organizar dados dessa forma, é possível compreender as etapas de um processo de maneira rápida e eficiente; além disso, essa disposição nos ajuda a identificar os principais passos de uma sequência, permitindo uma visão ampla do trabalho que será desenvolvido, assim é possível planejar o papel que cada um dos envolvidos terá para se chegar ao resultado desejado. Responda às questões no caderno. Respostas pessoais. 1. Reúna-se com seus colegas e escolham um tema que seja de interesse comum do grupo e importante para a sociedade, a fim de que possam realizar a pesquisa. Após a escolha do tema, elaborem um fluxograma para a pesquisa escolhida e depois o executem.

2. Socializem o resultado da pesquisa (final do fluxograma) da maneira que julgarem mais oportuna (peça de teatro, música, campanha publicitária, relatório escrito etc.).

3. Depois da apresentação dos dados da pesquisa, elaborem um texto de autoavaliação. O grupo deve revisitar os procedimentos adotados destacando o que poderia ser melhorado e o que deu certo. É interessante que compartilhem as experiências com a turma.

Discutir com o grupo os objetivos da pesquisa e elaborar um problema que os conduza a eles

Indica a direção do fluxo e conecta duas etapas (símbolos) do fluxograma. Definir os recursos utilizados para a pesquisa

Indica o início e o fim de um fluxo. Indica que uma decisão precisa ser tomada. A direção que o fluxo seguirá depende dela.

O grupo tem acesso aos recursos previstos?

Sim Coletar os dados e as informações

Indica uma tarefa a ser realizada. Indica a criação de um documento a ser lido por pessoas, como um relatório. Nesse processo diversas ferramentas podem ser usadas para a elaboração de textos, tabelas e gráficos.

LUCAS FARAUJ; EDITORIA DE ARTE

Não

Organizar os dados

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Propor aos alunos a realização de uma leitura compartilhada do fluxograma apresentado no livro. Verificar por meio de perguntas se todos compreenderam as etapas descritas. É importante que os alunos percebam que os fluxogramas possuem símbolos próprios para designar as etapas e atividades de decisão. Apresentar na lousa alguns desses símbolos e se julgar necessário apresentar outros símbolos que também possam ser usados na construção de um fluxograma. Organizar os alunos em grupos e pedir que sigam o roteiro proposto nas questões do livro. Antes que escolham o tema, enfatizar que deve ser um tema de interesse deles, deve ser relevante e ter um propósito. Para ajudá-los na escolha, é importante que eles definam o que se deseja saber sobre o tema. Outras questões relevantes que os grupos precisam discutir são: o público-alvo da pesquisa, os instrumentos para a coleta de dados, como a pesquisa pode ser divulgada etc. Em seguida, pedir aos grupos que elaborem um fluxograma tendo como exemplo o que foi apresentado livro. No entanto, é importante que cada grupo crie o próprio fluxograma, atendendo às necessidades específicas do seu modo de trabalho e às características de suas pesquisas. Nesse momento, os alunos também podem fazer um fluxograma para as atividades de cada membro do grupo, que se conectará ao fluxograma geral. Por fim, se achar conveniente, pedir aos alunos que socializem os resultados de suas pesquisas na comunidade escolar.

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RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. Um sólido é formado por 6 camadas de cubos. Em cada camada, estão 8 cubos idênticos. Se cada cubo tiver 10 cm de aresta, qual será o volume desse sólido? 48 000 cm3

Resoluções na p. 324

6. Um cubo A tem 2 cm de aresta. Um 1 cubo B tem cm de aresta. Quantas 2 vezes o cubo B cabe no cubo A? 64 vezes. 7. (OBMEP) Quantos copos de 130 mililitros é possível encher, até a borda, com dois litros de água? Alternativa e.

3. Uma família consome 750 mL de suco de laranja em cada refeição. Em uma semana, considerando-se que a família faça 2 refeições diárias, quantos litros de suco seriam consumidos? 10,5 L 4. Um reservatório tem a forma de um bloco retangular, com 5 m de comprimento, 1,20 m de largura e 1,20 m de altura. O reservatório está totalmente cheio de água. Por efeito da evaporação, o nível da água baixou 5 cm. Quantos metros cúbicos de água restaram após a evaporação? 6,9 m3 5. Uma empresa comprou 100 barris, sendo que cada barril continha 120 L de óleo. A quantidade de óleo deverá ser colocada em recipientes que têm 750 mL de capacidade. Quantos recipientes serão necessários? 16 000 recipientes.

WANDSON ROCHA

2. Um sólido tem 1,2 m 3 de volume. Um segundo sólido tem um volume 5 que corresponde aos do volume 8 do primeiro. Qual é o volume do segundo sólido? 0,75 m3

a) 11

c) 13

b) 12

d) 14

e) 15

8. Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos. Sabendo que 1 hora equivale a 60 minutos e 1 minuto equivale a 60 segundos e, admitindo que as gotas tenham sempre volume igual a 0,2 cm3, qual o volume, em decímetros cúbicos, de água que vaza em uma hora? 0,252 dm3

LUCAS FARAUJ

Retomando o que aprendeu Nesta seção os alunos terão a oportunidade de retomar e aprofundar os conteúdos sobre as unidades de medida de massa, volume e capacidade. Sugerir que realizem individualmente as atividades como autoavaliação para que percebam seu processo de aprendizagem. É importante que os alunos possam observar suas conquistas e dificuldades criando mecanismos que os ajudem na superação de desafios. Esse processo é importante para desenvolver a autonomia. Depois, apontar para cada aluno seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuais, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado. Se achar conveniente, antes de iniciar as atividades, propor aos alunos que façam um fluxograma dos conteúdos trabalhados no decorrer desta Unidade, com o objetivo de retomar, organizar e sistematizar as ideias e definições. Orientá-los a consultar o livro para buscar as informações necessárias. Por fim, disponibilizar um tempo para os alunos mostrarem como pensaram para resolver as questões, tirando as dúvidas dos colegas. Se as dúvidas persistirem, retomar o ponto/ conteúdo que julgar necessário. Se achar oportuno, incentivá-los a elaborar desafios para seus colegas e depois corrigi-los.

WANDSON ROCHA; EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

9. (OBMEP) Cada uma das 5 xícaras da figura está cheia só com café, só com leite ou só com suco. No total, a quantidade de café é o dobro da de suco. Nenhuma das bebidas está em mais de 2 xícaras diferentes. Quais as xícaras que contêm leite? Alternativa e.

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950 ml

750 ml

III

550 ml

475 ml

325 ml

LUCAS FARAUJ

mesma massa. Sabendo que a laje tem 42 toneladas, quantos quilogramas tem cada bloco? 1 500 kg

a) Apenas a xícara I. b) As xícaras III e IV. c) As xícaras II e V. d) As xícaras III e V. e) As xícaras IV e V.

10. Uma laje é formada por 20 blocos de concreto. Cada bloco de concreto 1 tem 1 t de massa. Qual é a massa 4 da laje toda? 25 t 11. Uma laje é formada por 28 blocos de concreto. Todos os blocos têm a

12. Verificou-se que, nos últimos anos, a produção anual de certa matéria-prima vem dobrando, regularmente, a cada ano. Em 2007, a produção anual dessa matéria-prima foi 125 quilogramas. Em qual ano a produção anual foi 2 toneladas? 2011 13. Elabore duas atividades sobre os conteúdos trabalhados nesta Unidade. Utilize, se quiser, gráficos e tabelas para transmitir as informações do enunciado. Incentive o uso de tecnologias para a resolução das atividades, como calculadora e planilha eletrônica. Depois, troque suas atividades com as de um colega, resolva as atividades dele e, juntos, corrijam as atividades. Resposta pessoal.

UM NOVO OLHAR

Nesta Unidade, continuamos os nossos estudos sobre unidades de medida, agora explorando medidas de massa: onde são utilizadas e os instrumentos de medição adequados a cada situação. Foram explicitados conceitos que envolvem a transformação das unidades de medida de massa. Além disso, ampliamos nossos conhecimentos sobre o volume que um corpo ocupa no espaço e a capacidade de armazenamento que esse corpo tem em seu interior. Estudamos duas medidas fundamentais, a medida de volume – o metro cúbico (m3) – e a medida de capacidade – o litro (L). Estudamos, também, os submúltiplos e múltiplos do m3 e do L, bem como as estratégias relacionadas à conversão de medidas. Vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens da Unidade 9: • Você saberia dizer qual a ferramenta mais utilizada para se medir massa? A balança. • Qual é a unidade de medida usada para expressar grandes massas? A tonelada. • Qual é a unidade fundamental de medida de volume? O metro cúbico (m³). • Houve alguma mudança na sua postura em relação à pergunta feita na abertura da Unidade, sobre deixar as coisas sujas ou gastar água? Resposta pessoal. • Atividade de pesquisa: pesquise em livros, revistas ou na internet a diferença entre peso e massa. A massa é fixa, enquanto o peso varia de acordo com a gravidade.

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Na atividade 13, é importante lembrar aos alunos que a proposta de elaboração das atividades deve envolver massa, volume e capacidade (habilidade EF06MA24). Acompanhar o processo de elaboração ajudando-os a estruturar o texto para

que os objetivos das questões sejam claros. É importante tranquilizá-los em relação a esse processo de escrita, explicando que as situações elaboradas por eles devem ser simples e podem envolver situações do cotidiano deles.

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Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber suas conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade. A primeira pergunta associa a ideia de medir massa ao objeto utilizado para realizar a medição, que é a balança. É importante o aluno recordar que existe uma distinção entre peso e massa. Essa reflexão será pedida no último questionamento feito nesta seção. A diferenciação se torna importante para o uso correto da terminologia específica, inclusive para outras áreas do conhecimento. A segunda pergunta se refere à unidade de medida muito utilizada para expressar grandes massas, a tonelada. É oportuno o aluno relacionar a tonelada com a medida padrão de massa, o quilograma. Seu símbolo é t e corresponde a 1 000 kg. A terceira indagação visa retomar o conceito de medida fundamental, ou seja, identificar a unidade que serve de base para os seus múltiplos e submúltiplos que no caso é o metro cúbico. O quarto questionamento busca retomar o tema sobre o uso consciente de água. Espera-se que o aluno tenha consciência em relação ao desperdício de dinheiro e de água tratada para higienizar locais que podem ser limpos utilizando-se outros métodos, ou seja, alternativas que ajudam a reduzir o consumo de água.

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Atualidades em foco Primeiro, pedir aos alunos que respondam ao questionamento inicial e incentivá-los a justificar a opinião dada. Comentar com a turma a importância da escuta atenta e isenta de julgamento e, ainda, a pertinência do uso de exemplos e argumentos que sustentem nossa opinião. Em seguida, pedir que leiam as informações apresentadas no texto e no cartaz. Incentivá-los a compartilhar os conhecimentos que possuem acerca do assunto e os detalhes que mais lhes chamaram a atenção. Se achar oportuno, conversar com o professor de Língua Portuguesa para ampliar o estudo sobre peças publicitárias de campanhas sociais. Nesta seção, os alunos são convidados a pensar no Código de Trânsito Brasileiro e na responsabilidade coletiva por um trânsito mais seguro. Nesse momento, é possível promover reflexões acerca da importância da educação para o trânsito, inclusive nas escolas. Conversar com a turma sobre a importância do trabalho em equipe, do planejamento e da identificação e observância dos papéis e responsabilidades de cada integrante de um grupo. Convidá-los a se reunirem em trios (de preferência, com as pessoas de pouco convívio) para que possam realizar uma pesquisa e a apresentação das informações coletadas sobre os direitos e deveres dos motoristas e pedestres.

ATUALIDADES EM FOCO

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Educação no trânsito Educação e trânsito: parceiros inseparáveis. O que você acha dessa afirmação? A Prefeitura de Piracicaba, no interior do estado de São Paulo, divulgou cartazes criados para uma campanha de conscientização por um trânsito mais seguro. Veja um desses cartazes. SEMUTTRAN.PIRACICABA.SP.GOV.BR/PREFEITURA DO MUNICÍPIO DE PIRACICABA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Observe atentamente as informações apresentadas e perceba que, além da linguagem verbal (palavras), os idealizadores utilizam imagens e abordam o assunto por meio de ilustrações que mostram situações de perigo para comunicar e abordar os temas da campanha; nesse caso, um apelo para os motoristas evitarem o uso do celular enquanto dirigem. 1. Em sua opinião, os cartazes cumprem o objetivo de sensibilizar e conscientizar motoristas e passageiros da importância do uso do cinto de segurança e do perigo ao utilizar o celular dirigindo? Converse com seus colegas e com o professor. Resposta pessoal. 2. Você conhece o Código de Trânsito Brasileiro? Em sua opinião, é importante conhecê-lo? Por quê? Dialogue com seus colegas e com o professor. Resposta pessoal.

É provável que ao menos uma vez por dia nós estejamos na posição de passageiro ou pedestre, seja no transporte coletivo, em algum veículo particular seja simplesmente a pé no trajeto de casa até a escola. Portanto, todos nós somos responsáveis pela segurança e educação no trânsito. Para que possamos nos comportar de forma adequada no trânsito, é importante conhecermos os direitos e os deveres dos motoristas e dos pedestres. 3. Reúna-se com dois colegas, de preferência com alguém que ainda não teve a oportunidade de trabalhar, e, juntos, pesquisem os direitos e os deveres dos motoristas e pedestres; depois apresentem as informações obtidas; se possível, pensem em uma maneira criativa para apresentar os dados coletados. Resposta pessoal. 276

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A sinalização de trânsito As placas usadas na sinalização de trânsito têm como objetivo orientar e informar os condutores e os pedestres para possibilitar um trânsito mais seguro. Quando um motorista desrespeita a sinalização, ele comete uma infração de trânsito. Uma infração pode ser considerada leve, média, grave, gravíssima ou ainda suspensiva; nesse último caso o motorista perde o direito de dirigir por um período de tempo. As placas de trânsito têm diferentes formatos e intencionalidades, e os motoristas e pedestres sempre devem obedecê-las. Muitas são compostas por símbolos ou apresentam uma unidade de medida para fazer uma indicação, e isso é suficiente para transmitir a mensagem. Mas existem também placas que trazem frases completas, chamadas de placas educativas, que têm como objetivo reforçar normas de conduta e de circulação. Após a leitura e as reflexões feitas anteriormente, faça o que se pede.

CÓDIGO DE TRÂNSITO BRASILEIRO

4. Observe as placas de trânsito a seguir e, em dupla, escreva a função de cada uma. Sempre que possível, inclua informações inserindo dados matemáticos presentes na placa, como o nome do polígono que a placa lembra, o número de lados desse polígono, direção e sentido da seta (quando houver) e unidade de medida presente. Resposta no final do livro.

5. Observe as placas da questão anterior e identifique possíveis regularidades como formato, disposição e cor. Escreva como essas placas são classificadas e sua finalidade. Se necessário, faça uma pesquisa para obter mais informações. Resposta no final do livro. 6. Em grupo, façam uma pesquisa para identificar os maiores problemas de trânsito existentes em sua cidade e elaborem uma campanha de conscientização que ajude a diminuir esses problemas. Socializem os dados obtidos com a turma e, se possível, divulguem a campanha no bairro ou na cidade. Resposta pessoal.

medida (comprimento, massa e velocidade) presentes em algumas dessas placas, levando-os a perceber a importância de reconhecer, identificar e interpretar as unidades de medida nas situações do cotidiano. Fazer perguntas como: • Para que serve cada uma dessas placas? Quais delas você já viu? • Essas placas apresentam formatos diferenciados em sua composição? • Você conhece as unidades de medida ilustradas em algumas dessas placas de trânsito? Qual/quais? Se achar necessário, pedir aos alunos que pesquisem em diferentes fontes e levem para a sala de aula exemplos de outras placas de trânsito. Depois, sugerir que formem grupos para separar as placas de acordo com o seu formato geométrico e com as unidades de medida utilizadas. Mediar os processos, orientando-os a respeito da função de cada uma das placas encontradas, explorando, por exemplo, o significado das unidades de medida utilizadas. Para finalizar esta seção, os alunos são desafiados a identificar os maiores problemas no trânsito registrados na cidade onde moram e, em seguida, criar uma campanha que favoreça a diminuição desses problemas. Se julgar pertinente, a campanha pode ser divulgada na comunidade.

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Pedir aos alunos que leiam o texto sobre a sinalização de trânsito. Perguntar se eles conhecem todas as placas apresentadas na seção. Deixar que expliquem qual delas conhecem seu significado. Depois, pedir aos alunos que respondam à questão 4. Atentar-se às informações que possuem e incen-

tivá-los a identificar cada uma das placas mencionando a referida função, ou seja, o que cada uma delas indica. É interessante complementar as informações, expondo não apenas a função no trânsito, mas também as figuras e entes geométricos que compõem cada uma das placas. Ajudá-los a perceber algumas

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regularidades, como a forma, a disposição e a cor das placas. Apresentar exemplos de situações cotidianas em que cada placa é utilizada. Após a identificação, a conferência e a anotação das informações, pedir que identifiquem entes geométricos (reta, plano), figuras geométricas (polígonos) e unidades de

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respostas UNIDADE 1

Sistemas de numeração Pense e responda p. 14 1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal.

6. a) b) c)

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

U 7

Sete.

2. FIFA.

3. a) 5

c) 2

e) 4

g) 2

b) 2

d) 4

f) 1

h) 1

b) 1

c) 8

d) 1

4. a) 11

5. 6 6. Rússia. 7. Sugestão de resposta:

Quantidade

Uruguai

Itália

Alemanha

Brasil

Inglaterra

Argentina

França

Espanha

1 Fonte: FIFA.

8. Respostas pessoais. 9. Respostas pessoais.

Atividades p. 23 1. a) São iguais.

b) Cinco; 5.

2. a) 302 b) 1

c) 100 000 d) 19 900

3. a) 3 b) 5

c) 8 d) 1

4. a) 887 b) 99

c) 0 d) 11 999

5. Todo número natural tem sucessor e antecessor, com exceção do zero, que não tem antecessor. c) 4 002 d) 6 006

7. a) 640 b) 1 328 c) 19 556 8. a) 1 005 b) 9 011 c) 20 223

b) 5; 70.

1. a) Maior.

3 220: três mil, duzentos e vinte.

Quantidade de vezes que cada seleção foi campeã Seleção

6 515: seis mil, quinhentos e quinze.

2. Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal.

Pense e responda p. 26

6. a) 1 001 b) 20 010

Tratamento da informação p. 24 1. Os anos de cada edição da Copa, os países que sediaram a competição e os respectivos campeões.

c) 50; 7.

2. a) Trocar o 6 com o @; 7 650. b) Trocar o 6 com o 5; 7 065.

6 milhões: seis milhões. U milhão

3 870 000: três milhões, oitocentos e setenta mil.

. Existem outras possibilidades de 1. Sete; 7; resposta. 2. Resposta pessoal. 3. MMMCCCXXX 4. a) 4 algarismos; 7, 5, 0 e 4. b) 4 algarismos; 1 e 0. c) 7 algarismos; 5. d) 6 algarismos; 1, 7, 4, 1 e 0. 5. Respostas pessoais. 6. 36 344 052 = 30 000 000 + 6 000 000 + + 300 000 + 40 000 + 4 000 + 50 + 2; trinta e seis milhões, trezentos e quarenta e quatro mil e cinquenta e dois. 7. a) 567; 569. b) 43 858; 43 860. c) 2 850 391; 2 850 393. d) 999 999 230; 999 999 232. 8. Dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e um; dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e três. c) , e) , 9. a) , d) = b) .

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D3-MAT

8 3:04 PM

Atividades p. 39 1. 12 945 crianças. 2. Alternativa d. 3. a) Comunicativa. b) Elemento neutro. c) Associativa. 4. 59. Elemento neutro. 5. a) Sim. b) Verdadeira. 6. Resposta pessoal.

Atividades p. 51 1. 300 laranjas. 2. 559 azulejos. 3. Aproximadamente 110 240 habitantes. 4. 6 opções diferentes. 5. a) 96 trens. b) 12 000 passageiros. 6. 2 pães: 4 reais; 3 pães: 6 reais; 4 pães: 8 reais; 5 pães: 10 reais; 6 pães: 12 reais; 7 pães: 14 reais. 7. 162 000 metros quadrados. 8. 1 024 linhas verticais e 512 linhas horizontais. 9. a) 840 b) 840 c) 4 140 d) 4 140

Atividades p. 42 1. Em 2018; 318 participantes a mais. 2. 8 745 reais. 3. 11a posição. 4. a) Rússia. b) 5a posição. c) 153 160 km2 d) 8 582 481 km2 5. 159 m3 6. 1 275 000 reais. 7. 36 966 527 habitantes. Atividades p. 44 1. a) 3 806 2. 122 bilhões de dólares. 3. a) 13 420 4. 14 livros. 5. a) 120 b) 18

b) 3 984 b) 7 005 c) 150 d) 60

b) 19 6. a) 10 7. a) 1 310 pessoas matriculadas. b) Hidroginástica. c) 246 Para quem quer mais p. 45 1. a) A meta não foi ultrapassada.

DNEPWU

Tratamento da informação p. 46 1. a) 8 alunos; 16 alunos; 4 alunos; 12 alunos. b) 152 bilhetes. c) 60 alunos.

Atividades p. 53 1. 237 2. 63 3. 2 835 x 60 = 170 100 ou 81 x 2 100 = = 170 100 4. a) 25 x 123 = 3 075 ou (25 x 72) + (25 x x 51) = 3 075

Atividades p. 58 1. 8 : 0 2. 0 : 10 3. 5 4. Resposta pessoal. 5. 4 Pense e responda p. 59 1. a) 9

b) 25

c) 49

2. a) 125

b) 729

c) 343

3. Todos os fatores são iguais. Atividades p. 63 1. 5 x 5 x 5 x 5 = 54 2. 209 3. a) 32 b) 2 187 c) 1

d) 1 e) 0 f) 1 000 000

4. a) 52 , 25 b) 74 . 103

c) 43 , 29 d) 110 , 101

5. 5 6. a)

!"#"$ 5

!""#""$ 8

b) 32 x 16 = 512 ou (32 x 64) _ (32 x 48) = = 512 5. a) 1 b) 0 Pense e responda p. 55 1. a) 4 vezes. b) 6 c) Não; sobra um pedaço de 2 quadradinhos roxos. d) Não; fica faltando um pedaço de 1 quadradinho para completar a barrinha azul. Atividades p. 56 1. 15 vezes. 2. 46 papéis. 3. 43 reais. 4. 6 viagens. 5. 338 6. 11 viagens. 7. 9 cupons; 24 reais. 8. Alternativa a. 9. Alternativa c.

!"""#"""$ 10

!"""#"""$

Cálculos com números naturais

2. 765 3. 215 laranjas. 4. 119

!"""#"""$

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Pense e responda p. 49 1. a) Seu Agenor: 12 maçãs; dona Berta: 24 maçãs. b) Seu Agenor: 30 maçãs; dona Berta: 60 maçãs.

c) n = 1 610

!""#""$

UNIDADE 2

Atividades p. 57 1. a) n = 65 b) n = 181

!"""#"""$

2. a) Nascimento no primeiro semestre de 2019. Indicar o assunto ao qual os dados do gráfico se referem. b) Meses do ano; número de nascimentos. c) 136 d) Abril. e) Fevereiro e maio. 3. a) Unesco. b) Países; quantidade de adultos analfabetos em milhões. c) Resposta pessoal.

!"#"$

10. Alternativa c. c) Contagem. 11. a) Medida. d) Ordem. b) Código. 12. a) 8 _ 8 ou 64 _ 64 b) 45 _ 25 ou 15 + 5 c) 111 _ 21 ou 2 x 45 d) 54 + 46 ou 31 + 69 Há outras respostas possíveis. 13. 29 mil, 90 mil, 2 000 e 1,5 milhão: medida. 128 e duas: contagem. Primeiro: ordem.

7. Sim; 169 = 144 + 25. 8. a) Quarenta milhões. b) Novecentos mil. c) Um milhão. d) Dois mil. 9. a) 729 b) 1 331 c) 1 679 616

d) 28 561 e) 3 200 000 f) 9 765 625

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10. 3 11. 300 000 quilômetros. 12. a) 15 625 b) 7 776 c) 4 782 969

d) 40 353 607 e) 1 024 f) 1 048 576

13. a) 400

b) 10 000

Por toda parte p. 64 1. Região Norte. 2. 896 917 3. Duzentos e onze mil, duzentos e quarenta e cinco. 4. 247 249. 5. Resposta pessoal. Educação financeira p. 65 Resposta pessoal. Atividades p. 70 1. 4 2. a = 16; b = 32; a ≠ b. 3. 0 4. 51 5. a) 5 x 25 + 8 x 15 + 2 x 10 b) 265 pontos. 6. 12 b) 0 7. a) 6 8. 33 9. 20 + (40 _ 30) : 5 b) 825

c) 339

b) 197

c) 16

Atualidades em foco p. 74 1. 2. 3. 4.

Resposta pessoal. Resposta pessoal. Resposta pessoal. Resposta pessoal.

b) Lata de extrato de tomate, dado, tubo de cola bastão, garrafa de água. 4. Plana. 5. a) Plana.

Pense e responda p. 79 1. Respostas pessoais. 2. Respostas pessoais. 3. Respostas pessoais.

b) Não plana.

Atividades p. 82 1. Uma única reta. 2. Inclinada. 3. a) Concorrentes. b) Concorrentes. c) Concorrentes. d) Paralelas. e) Concorrentes.

Atividades p. 91 1. a) Cilindro: corpo redondo.

4. a) Vertical. b) Concorrente.

Pense e responda p. 93 1. Poliedro B: 4; 5; 4; 8; 5. Poliedro C: 4; 6; 4; 12; 8. Poliedro D: 5; 6; 5; 10; 6. 2. Sim, a relação é igual para todos os prismas. 3. Sim, existe uma relação e ela é igual para todas as pirâmides.

b) Esfera: corpo redondo. c) Pirâmide: poliedro. d) Bloco retangular: poliedro. e) Cubo: poliedro. f) Cone: corpo redondo.

5. Infinitas retas. 6. a) Cláudio trabalha na rua Visconde de Inhaúma, e Sueli trabalha na rua Comandante Marcondes Salgado. b) Paralelas. c) Não. Atividades p. 85 b) 7 1. a) 8 2. Nas figuras 3, 6 e 7. !" ! !" ! !" ! !" ! !" 3. Cinco: PA,PB,PC,PD e PF.

c) 4

4. 7 segmentos. d) 31

b) 120 c) 56 13. a) 24 As três alternativas apresentam representações de números diferentes. 14. 64 15. 9 16. Resposta pessoal. Retomando o que aprendeu p. 71 1. Alternativa c. 2. Alternativa b. 3. Alternativa a. 4. Alternativa b. 5. Alternativa d. 6. Alternativa a. 7. Alternativa d. 8. Alternativa d. 9. 193 doces. 10. Alternativa e. 11. Alternativa b. 12. Alternativa b. 13. 14 000 metros. 14. Alternativa d. 15. Alternativa b. 16. Alternativa e.

3. a) Folha de papel, superfície do tampo de uma mesa, tela de um quadro.

Figuras geométricas

5. a) BC, BD ou AC. b) AB ou AC. c) AB, CD ou BC.

Pense e responda p. 94 1. O polígono da base. 2. O polígono da base. Atividades p. 94 1. Os prismas possuem os lados em forma de retângulos e duas bases paralelas. As pirâmides possuem as faces na forma triangular e apenas uma base. 2. Prisma hexagonal; 12 vértices. 3. a) 7 faces, 7 vértices e 12 arestas. b) Triângulos; hexágono.

6. a) AB e MN. b) BN, BC ou CN. c) AB e AM ou AC e AB. 7. a) V b) F 8. 10 segmentos.

c) V d) V EDITORIA DE ARTE

10. a) 80 11. 20 12. a) 10

UNIDADE 3

Atividades p. 88 1. a) 6 u b) 2 u c) 4 u 2. a) 4 u b) 2 u c) 1 u 3. 38 quarteirões. 4. Figuras a, d, e, f. 5. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. Atividades p. 90 1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal.

d) 6 u e) 6 u f ) 10 u

4. 5. 6. 7.

c) Seu nome depende da forma da base; pirâmide hexagonal. 10 faces e 18 arestas. 180 cm Alternativas: a, b, d, f e h. Alternativa f.

Tratamento da informação p. 96 1. Expectativa de vida no ano 1990, 2000 e 2010, respectivamente. 2. Maior: Europa e Ásia Central; menor: África Subsaariana. 3. Aumentou em todas as regiões. 4. 62,7 anos. 5. 80 anos; 83,6 anos. 6. Respostas pessoais. 7. Resposta pessoal. 8. Alguns exemplos: sexo, formação acadêmica, bairro, renda familiar, entre outros. O motivo depende do fator pesquisado. Retomando o que aprendeu p. 98 1. a) “Cabeça” de alfinete; um pingo de tinta em uma folha de papel. b) Encontro de duas paredes; corda esticada. c) Superfície de uma parede; superfície de um quadro de giz; superfície de uma piscina; superfície do tampo de uma mesa.

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D3-MAT

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2. A face oposta a 1 é a face B; a face oposta a 2 é a face A; a face oposta a 3 é a face C. 3. A-III; B-I; C-II; D-V; E-IV. 4. a) Há outras respostas possíveis.

4. a) b) 5. a) b) c)

3: sim; 4: sim; 5: sim; 8: não; 9: sim; 10: sim. 4 3 000 e 3 300. 3 000 3 000 c) 2 d) 8

6. a) 2 b) 2 7. Resposta pessoal.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

5. Alternativa d. 6. 99 faces laterais. !!" !" ! 7. a) BA e BC. b) 3 segmentos: AB, BC e AC.

UNIDADE 4

Múltiplos e divisores

3. 150 milhões. 4. 106 716 367 669 5. Resposta pessoal.

Atividades p. 114 1. a) Não. b) Sim.

c) Sim. d) Não.

Para quem quer mais p. 120 1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

2. a) Sim. b) Não.

c) Não. d) Sim.

2 2, 3, 6, 9. 5 3, 5, 9. 2, 3, 6, 9. 2, 5, 10.

1. a) 18 b) 12 c) 9

d) 6 e) 3 f) 2

g) 1 h) 36

2. a) 23

b) 1

c) Nenhum.

4. 1 e 5.

e) 1

5. a) 2 e 14. b) 5 e 35. c) 1 e 7.

Atividades p. 105 1. a) 2 c) 4 b) 3 d) 0 2.

Dividendo

Divisor

Quociente

Resto

518

259

1 036

3. 205 4. 3 5. a) Não. b) Não.

c) Não. d) Sim.

6. 555 7. 297 8. 6 grupos de 10 equipes; 5 grupos de 12 equipes ou 4 grupos de 15 equipes. 9. 42 anos. 10. a) 6 b) 9 11. 91

2. a) Sim. b) Sim. c) Sim. 3. a) Não.

30 anos. Alternativa c. 0, 15, 30, 45, 60, 75. 299 a) 202 b) 36 c) 0 e 4.

11. 12. 13. 14.

104 3 15 a) 2008 e 2020. b) Dois: 1992 e 1996. c) Década de 2000: 2000, 2004, 2008. Década de 2010: 2012 e 2016. Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos.

d) Não. e) Sim. f) Não.

g) Não. h) Não. i) Não. b) 3

6 5

j) Não.

d) 4 e) 222 e 444.

15. Alternativa c. 1

Trimestre

Unidades vendidas

3 125

3 625

3 875

2 0

17. É divisível por 2, 3, 4, 6 e 9.

4 750 Fonte: Dados fictícios.

Atividades p. 120 1. a) 15 b) 5 casas. c) Século 21; 21 não é um número primo. 2. Não. 3. a) 67 é primo. b) 41 é primo. c) 311 é primo. 4. 47, 83, 97. 5. 131 e 211. 6. a) 195

6. 7. 8. 9. 10.

16.

Atividades p. 111 1. a) 259; 295; 529; 592; 925 e 952. b) 592 e 952. c) Nenhum deles.

c) Unidades vendidas em cada trimestre

Pense e responda p. 112 1. a) 1 x 22; 2 x 11. b) 1 x 60; 2 x 30; 3 x 20; 4 x 15; 5 x 12; 6 x 10. c) 1 x 17 d) 1 x 24; 2 x 12; 3 x 8; 4 x 6. 2. a) 1, 2, 11 e 22. b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. c) 1 e 17. d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

3. a) b) c) d) e) f)

Pense e responda p. 102

Tratamento da informação p. 116 1. 5 milhões de habitantes. 2. a) 500 unidades; 250 unidades; 125 unidades. b) • Só no 1o. • Nos demais: 2o, 3o e 4o. • 500 unidades. • 250 unidades.

b) Não.

7. a) Nenhum deles é primo. b) Composto. 8. Três números: 41, 11 e 23. 9. a) 43; resposta pessoal. b) 14: 1, 2, 7 e 14; 38: 1, 2, 19 e 38; 25: 1, 5 e 25; 43: 1 e 43; 22: 1, 2, 11 e 22; 52: 1, 2, 4, 13, 26 e 52. c) Resposta pessoal. Atividades p. 124 1. a) 2 x 23 b) 5 x 17 2. 3. 4. 5. 6. 7.

c) 3 x 19 d) 7 x 11

Não; 3 x 2 x 2 x 11. 2 x 3 x 5 = 30 2x2x2x2x7 Alternativas b, c e d. 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 a) 2 x 2 x 2 x 2 x 3 b) 2 x 5 x 5 c) 2 x 2 x 2 x 2 x 5 d) 3 x 3 x 11 e) 2 x 2 x 3 x 3 x 3 f) 2 x 2 x 3 x 11 g) 2 x 3 x 5 x 7 h) 2 x 2 x 3 x 3 x 5 i) 2 x 3 x 3 x 13 j) 2 x 2 x 11 x 11

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10/4/18 2:08 PM

4. 5. 6. 7.

2x2x2x5x5x5 7 n = 34 c) 459 a) 2 420 d) 7 623 b) 364

12. 4 13. 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Retomando o que aprendeu p. 128 1. Alternativa d. 2. Alternativa d. 3. Alternativa d. 4. Alternativa a. 5. Alternativa e. 6. 8 casas; 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48. 7. Alternativa c. 8. 12 9. Alternativa d. 10. 202 azulejos. 11. Alternativa e. 12. Respostas pessoais.

UNIDADE 5

b) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . 5 5 5 5 5 2.

1 2 3 4 5 = = = = 2 4 6 8 10

Atividades p. 141 1. a) 2, 3 e 4. b) Os dois comeram a mesma quantidade. c) Sara: 1 ; Lara: 1 . 4 8 d) 3 e 5; 2 e 3. 2. Sim. 3. O metrô. 4. a) V

c) V

e) F

g) F

b) V

d) F

f) V

h) V

b) 5

Pense e responda p. 135 1. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. c) 1 da barra de chocolate. 4 Atividades p. 136 1. Alternativas a, b, d, e, f, h e i. 1 b) 2. a) 4 3 3. a) 7 b)

1. a) Sim.

c) Sim.

e) Sim.

b) Não.

d) Sim.

f) Não.

44 12 1 10 5 25 ; ; ! ! 2 20 4 20 3 12 9 18 . ; ! ! 5 20 10 20 3 5 1 ; ; . 7 6 3 a) 20 b) 25 3 4 a) 5 b) 3 1 5 a) da hora; 12 h. 60

2. a) 3.

4. 5. 6. 1 10 6 7

7. 8.

7 5 c) 12 ; 12 . 1 5 d) 6 ; 6 .

15 27

15 60 30 c) 60 10 d) 60 45 e) 60 60 f) 60 b)

1 4 1 da hora; 2 1 da hora; 6 da hora; 3 4 da hora;

25 40

c) 4

Atividades p. 138 1. 28 pessoas. 2. 72 cocos. 3. 3 600 000 reais.

4 5 3 5

da hora; 1 h.

d) x = 3

4 12. 240 ou . 9 540

16 24

8 12 60 90

Atividades p. 148 2 1 , 1. a) 4 4 4 3 b) 24 , 24 9 14 c) 24 , 24

27 8 , 36 36 6 9 , e) 14 14 21 22 , f) 60 60 3 . 1 c) 8 12 d)

2. a) 3 . 7 5 12 b) 5 . 5 4 6 3. a) 4 , 7 15 9 Atividades p. 153 4 c) 1. a) 5 2 d) b) 3

b) 1 , 4 6 5 1 2 1 5

3 4 1 f) 6 e)

g) 0 h)

2 5

3 20 17 20 8 9 7 d) 30 c)

1 c) 2 7 d) 6

1 10 1 f) 6

7. Resposta pessoal.

b) x = 33

2 3

13 24 13 b) 20 5. Sim. 4 6. a) 3 1 b) 4

c) x = 4

36 54

4. a)

7 8 11. a) x = 18

24 36

10. a)

36 54

12 18 40 60

9. 20 b) 2

16.

Pense e responda p. 147 1. Em casa situação, uma fração inicial tem seu numerador e denominador multiplicados pelo denominador da outra fração inicial. 2. Resposta pessoal.

Atividades p. 144

A forma fracionária dos números racionais

9. a) 3

c) 15 d) 8

Pense e responda p. 139 1. a) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . 5 5 5 5 5

Tecnologias p. 126 4 567, 5 387, 6 389.

7 1 4. a) 8 ; 8 . 3 7 b) 10 ; 10 . 7 5. 12 6. 5 12 17 7. 30 1 8. 8

1 4 15 14. 16 15. Alternativa c. 13.

8. 3 dias. 9. a) Laura: 135 leituras; Fernando: 125 leituras. b) Laura; 10 leituras. 10. 69 reais.

Por toda parte p. 125 1. Resposta pessoal. 2. 2 e 5. 3. Resposta pessoal.

Pense e responda p. 132 1. a) 3

450 24 alunos. 406 acidentes. a) 9 b) 12

EDITORIA DE ARTE

8. 9. 10. 11.

21 20 . e 24 24 e) x = 48 f) x = 5

8. Nesse dia, Ronaldo arquivou 9 dos 10 documentos. 9. 5 24 10. 2 5 11. Eles contribuíram com 13 das figurinhas. 15 1 de quilômetro a mais que 12. Helena percorre 12 Cristina. 13. a) 17 24 13 14. 28 15. 4 15

b) Mais.

c) 7 24

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9/26/18 5:37 PM

10/4/18 2:08 PM

D3-MAT

8 5:37 PM

16.

1 4

3 4

2 4 "

3 4

Atividades p. 163 1. 50% 2. O setor A. 3. Alternativa d. 4. 9 250 reais. 5. 1 650 pessoas. 6. 60% 7. a) 2; 25%. b) 4; 50%. 8. a) 2 100 eleitores. b) 32 900 eleitores. 9. 2 418 pacientes. 10. a) 35 reais a mais. b) 35 100 c) Resposta pessoal.

! "

5 4 "

7 4

Para quem quer mais p. 155 Resposta pessoal. Atividades p. 159 1 5

b) 5 2 3 c) 3 3 10 d) 7 1 2

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1. a) 4

Unidade 6

4. Resposta pessoal. 5. Resposta pessoal.

1 2

2. a) 21 c) 17 3 4 31 17 d) b) 3 10 3 3. 10 5 quilômetros. 4. 27 6 1 5. 2 2 6. 9 3 4 7. 4 3 ; entre 4 e 5. 20 8. Serão 3 5 quilogramas de balas. 6 9. 7 cheios + 7 pela metade 1 1 10 ; 3 em cada bandeja. 2 2

A forma decimal dos números racionais

c) 75%; 6 ou 3 . 8 4

Atividades p. 165 1. a) Lápis colorido. 13 7 b) Lápis colorido: 20 ; lápis preto: 20 .

4 ou 1 . 12 3

6 ou 1 . 12 2

3. a) Número par. 9 ou 3 . 15 5

4. a) 10 fichas. b) Uma letra.

6 2 ou . c) 15 5 7 10 3 d) 10

5. Alternativa c. Tratamento da informação p. 166 1. Tem direito a votar todo brasileiro com idade a partir de 16 anos. O voto torna-se obrigatório para eleitores entre 18 e 69 anos. Pode ser votado todo brasileiro com filiação partidária e que tenha a idade mínima exigida para o cargo. 2. Resposta pessoal. Retomando o que aprendeu p. 168 1.

Por toda parte p. 160 1 1 3 , 1. , . 2 3 4 2. No bolo de rolo; 4 1 . 4 1 3. Açúcar: 3 xícaras = 13 ; farinha de trigo: 4 4 8 xícaras.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

1 5 Alternativa d. 500 rotações. Alternativa d. Alternativa c. Alternativa d. Alternativa b. Alternativa d. Alternativa a. Alternativa b. João: R$ 21 270,00. Guilherme: R$ 14 180,00. Resposta pessoal.

Atividades p. 177 1. 4,15 2. a) 5,2

d) 0,77

b) 0,52

e) 0,7

c) 7,7

f) 0,07

13 10 13 b) 100

3. a)

Pense e responda p. 164 1. a) 10 fichas; 8 fichas; 2 fichas. b) Uma ficha com um número múltiplo de 5.

2 1 2. a) 12 ou 6 .

Pense e responda p. 172 1 1. A décima parte ou 10 . 1 2. A centésima parte ou . 100 1 3. A milésima parte ou 1 000 .

13 1 000 4 002 d) 1 000 4. 100 2 5. a) 5 3 b) 4 c)

6. a) b) c) d)

85 1 000 3 f) 10

297 100

1 005 1 000

8 5 9 d) 20

Um real e dezenove centavos. Cinco reais e vinte e nove centavos. Sete reais e quarenta e seis centavos. Três reais e cinquenta e quatro centavos.

8 " 0,8 10 42 " 0,42 b) 100

7. a)

50 " 0,50 100 1 9. a) 5 11 10. a) 5 11 b) 25 1 c) 4

225 " 2,25 100 406 " 4,06 d) 100 c)

11. a) b) c) d)

Oitenta e cinco centésimos. Oito milésimos. Sete inteiros e três décimos. Um inteiro, cento e quarenta e sete milésimos.

Atividades p. 179 1. a) 24,5 b) 25,4 c) 2,226 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1 2 12 d) 5 5 e) 2 16 f) 5 b)

Menor; 0,97 , 1. 2,62 m 1,15 m 36,055 1,101 b) 19,25 a) 8,6

d) 6,75 e) 7,029 f) 8,425

c) 654,73

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9/28/18 3:11 PM

10/4/18 2:08 PM

8. Comprimento 10,40 m; largura 8,95 m. 9. A = 1,7; B = 1,9; C = 2,0; D = 1,8. 10. Resposta pessoal.

6. a) 5,3 b) 1,45 7. R$ 2,66 8. 11,5 quilômetros por litro.

Atividades p. 182 1. a) 10,8

b) 57,2

2. 225 m 3. a) 47,5 b) 8,75 c) 99,6 d) 16

e) f) g) h)

2,967 34,56 9,45 4,35

d) 2,9 i) 54,45 j) 0,48

c) 3,09123 d) 26,979

4. a) 2,205 b) 14,2

b) 15,283

Alternativa c. 33,75 metros. 2,64 metros. 276 cm Alternativa d. Alternativa c. a) Estimativa possível: 600; valor exato: 602,4. b) Estimativa possível: 150; valor exato: 148,5. c) Estimativa possível: 350; valor exato: 347,9. d) Estimativa possível: 72; valor exato: 73,08. Há outras possibilidades de estimativas.

Atividades p. 183 1. a) 13,69 b) 0,216

c) 6,25 d) 1

e) 3,375 f) 3,02

2. a) 0,064; falta 0,936. b) 0,216; falta 0,784. c) 0,729; falta 0,271. 3. 3,24 4. a = 5,76; b = 0,36; a + b = 6,12 b) 4,41 5. a) 2,25 6. 1 7. a . b 9. a) 4,225

b) 0,255

10. a) 1,448 b) 0,004 c) 11,89

d) 0,1186 e) 0,0576

Educação financeira p. 184 b) R$ 84,15 1. a) R$ 4,95 Pense e responda p. 186 1. a) CDU e d; DU e dc; U e dcm. b) A cada divisão a vírgula se deslocou para a esquerda. 2. Observa-se o mesmo deslocamento da vírgula. 3. Resposta pessoal.

2. 3. 4. 5.

c) 0,05 d) 80

c) 0,57 d) 1,062

10 7,3 litros. 65 dólares. 55 litros.

Atualidades em foco p. 198 1. Entre 1 e 8 ; entre 0,25 e 0,333...; entre 4 3 25% e 33,3%. 2. 78 bilhões de toneladas. 3. Aproximadamente 29,79%. 4. Respostas pessoais.

10. 320 milhas. 11. 18 metros. 12. 26

5. Resposta pessoal.

Unidade 7

13. a) 15,3 b) 20 c) 6,7

Ângulos e polígonos Pense e responda p. 202 1. a-B; b-A; c-C.

15. a) 12,16 b) 0,303 c) 2,1

Atividades p. 206 1. a) b) c) d) e)

16. a) 5,16 b) 6,54 c) 3,78 Atividades p. 191

3 horas. 9 horas. Maior. 1 volta. 180°

2. Alternativa a.

1. a) 0,03 b) 0,21 c) 0,42 2. R$ 1 127,00 3. a) 1 703,4

d) 1,50 e) 0,55

3. A: 92°; B: 45°; C: 130°; D: 93°.

b) 3 000

4. a) 14,28 m2

b) 2,52 m2

Fórum p. 207 • 48 polegadas. • Resposta pessoal.

5. 14,4 6. a) R$ 30,80

b) R$ 114,40

7. a) b) c) d) e) f)

0,1; 2,44%. Não, até agora a maior nota obtida foi 4,2. Entre 3,8 e 4,1. O valor que falta é 4,0. Resposta pessoal. Resposta pessoal.

Tratamento da informação p. 192 Respostas pessoais.

8. 0,05; 0,0025.

Atividades p. 189 1. a) 3,7 b) 5,006

9. a) 2,5 b) 10

14. 2,7

5. 4,617 6. a) 2,8 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

c) 9,2

c) 1,53 d) 6,6

Tecnologias p. 194 1. Resposta pessoal. 2. a) 5,75 b) 2,5

c) 80 d) 12

3. a) 6 091 097 000

b) 10 dígitos.

Retomando o que aprendeu p. 196 1. Alternativa b. 2. Alternativa c. 3. R$ 4 275,00 4. 221,6 g 5. Alternativa a. 6. Alternativa a. 7. Alternativa d. 8. 74,1 anos. 9. Alternativa b. 10. Alternativa e. 11. Alternativa a. 12. Alternativa c. 13. Alternativa d. 14. Resposta pessoal.

4. Resposta pessoal.

Pense e responda p. 208 1. a) As retas r, s e t são retas paralelas; as retas r e u, s e u, t e u são retas concorrentes. b) Os ângulos formados entre as retas paralelas e a reta que as intercepta são congruentes em cada um dos momentos. Pense e responda p. 209 1. Sim, as retas representadas são paralelas. 2. Como a régua não foi movimentada, a inclinicação do quadro não foi modificada, logo as retas são paralelas, como o que ocorreu na construção com o GeoGebra. 3. Sim, as novas retas representadas seriam paralelas, pois a inclinicação das novas retas seria a mesma uma vez que a régua é fixa. Pense e responda p. 210 1. Sim, as retas representadas são perpendiculares. 2. As duas retas se cruzam em um único ponto e os ângulos formados entre elas são ângulos retos. Pense e responda p. 211 1. a) Abertas: A, D ; fechadas: B, C, E. b) Resposta pessoal. c) B, C. 2. Resposta pessoal. 3. Quadro B. Atividades p. 215 1. A figura do item a. 2. Sim; polígono não convexo. 3. a) Octógono. b) Quadrilátero.

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10/4/18 2:08 PM

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8 5:37 PM

4. 6 lados; hexágono.

3. a) P (4 , 2) b) A (6, 0)

5. Triângulo.

4. a) A (1, 1); B (1, 4); C (4, 4); D (4, 1). b) 3 unidades de comprimento.

6. Sim. 7. 30 unidades; 24 unidades. 8. Alternativa c. Tratamento da informação p. 216 1. Texto, gráfico de setores e foto. Atividades p. 220

Tecnologias p. 230 1. Respostas pessoais. 2. Respostas pessoais. 3. Não, pois a homotetia também permite a redução de figuras quando 0 , fator , 1.

1. a) Escaleno. b) Equilátero. c) Isósceles. Acutângulo. Obtusângulo. Retângulo. Retângulo.

3. a) Resposta pessoal. b) 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1. Atividades p. 223 1. a) b) c) d)

5. a) 4 b) 6

3. 1: escaleno; 2: equilátero; 3: isósceles. 4. a) 1 e 3. b) 2 e 4. Pense e responda p. 228 1. Segmento horizontal: pontos A e C; segmento vertical: pontos B e D. Resposta pessoal; med AC = 4 u.c. e med BD = 8 u.c. 2. Os pontos variam, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo x e o comprimento deve ser de 16 u.c. 3. Os pontos variam, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo y e o comprimento deve ser de 2 u.c.

y 5 4 3 2 1 0

Alternativa b. Alternativa d. Alternativa b. Resposta pessoal.

Unidade 8

Comprimento e área Pense e responda p. 236 1. Marcos, porque contou o menor valor em pedaços de barbante. Atividades p. 240 1. 119 066 km 2. a) km b) m

c) mm d) cm

Por toda parte p. 241

C 1 2 3 4 5 6 7 x

1. 122 000 metros. 2. 37 100 metros; resposta pessoal. 3. a) Xangai; 570 000 metros. b) Americano; Brasília.

R A P

1 2 3 4 5 6 x

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

6. 7. 8. 9.

c) 3 d) 2

3. 1,27 cm 4. a) 157,5 km b) 6,5 cm 5. Respostas pessoais. 6. Alternativa a. 7. Alternativa b. 8. 320 cm 9. Resposta pessoal.

Atividades p. 229

7 B 6 A 5 4 E 3 2 D 1

Retomando o que aprendeu p. 232 1. Triângulo equilátero. 2. a) Triângulo escaleno. b) Triângulo isósceles. 3. a) 6 triângulos. b) Equilátero. 4. Escaleno.

Figuras 1, 3 e 4. Figuras 3 e 4; figura 3. Figuras 2 e 5. Figura 2.

2. Alternativa d.

5. a) A (1, 1); B (5, 1); C (1, 3). b) 2 c) 4 6. a) (9, 7) e (12, 4). b) Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

2. a) b) c) d)

c) B (0, 6) d) C (2, 0)

c) 6 quilômetros; as duas se localizam na Ásia; Tóquio, no Japão, e Seul, na Coreia do Sul. d) 340 000 metros a menos. Pense e responda p. 242 1. Resposta pessoal; 114 m. 2. 120 m

Atividades p. 243 1. a) 12,4 cm b) 8,7 cm c) 13,4 cm 2. 30,6 cm 3. 3,90 m 4. a) Sim. 5. Alternativa d. 6. a) 35,6 cm 7. 15 cm 8. 18 cm 9. Alternativa d.

b) Não. b) 8,9 cm

Pense e responda p. 244 1. 69 triângulos. Atividades p. 247 1. Resposta pessoal. 2. Alternativa c. 3. Alternativa b. 4. a) 0,21 m2 b) 0,125 m2 c) 1 000 000 m2 d) 7 200 m2 5. a) 420 ha b) 280 ha 6. 140 bois. 7. 100 m 8. a) 22,35 habitantes. b) 1 22,40 hab/km2 c) 22,40 _ 22,35 = 0,05 9. Resposta pessoal. Pense e responda p. 248 Respostas pessoais. Pense e responda p. 250 1. Perímetro: 24 cm; área: 36 cm2. 2. Perímetro: 4 cm; área: 1 cm2. 3. Do quadrado 1 para o quadrado 2, o perímetro dobrou e a área quadruplicou; do quadrado 1 para o quadrado 3, o perímetro triplicou e a área ficou nove vezes maior; do quadrado 1 para o quadrado 4, o perímetro reduziu pela metade e a área reduziu para um quarto. 4. No caso do perímetro, sim, a transformação é proporcional, porém a área não se transforma proporcionalmente. Pense e responda p. 251 1. Sim, mas, em vez de formar um retângulo, formaria um quadrado. Atividades p. 252 1. a) 64 cm2 b) 72 cm2 2. a) 225 cm2 b) 2 000 pisos. 3. 1,6 m2 4. Alternativa b. 5. a) Aproximadamente 669 m2 (668,8653 m2). b) Aproximadamente 261 m2 (260,7569 m2). c) 311,04 m2 6. 3 latas.

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10/4/18 2:08 PM

Tratamento da informação p. 254 b) 464 km2 1. a) Em 2006. c) Expansão da pecuária e da agricultura, a grilagem de terras públicas e a exploração predatória da madeira. d) Pará e Mato Grosso. 2. a) Mais perto de 400; resposta pessoal. b) Por aproximação e estimativa. c) Aumentem, pois, dos últimos cinco meses, somente em um houve uma queda nos números. 3. Resposta pessoal. Retomando o que aprendeu p. 256 1. Alternativa a. 2. Alternativa d. 3. Alternativa b. 4. Alternativa a. 5. Alternativa a. 6. Alternativa b. b) 220 placas. 7. a) 4 placas. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Alternativa c. Alternativa d. 20,8 cm2 108 cm2 1 040 m2 a) cor de rosa: 3 u e 8 u; verde: 2 u e 12 u. b) Não. O perímetro do retângulo cor de rosa é 22 u, e o perímetro do retângulo verde é 28 u. c) Ambos têm medida de área igual a 24 u2. d) Há várias possibilidades de resposta.

Unidade 9

Massa, volume e capacidade Pense e responda p. 260 Resposta pessoal. Atividades p. 262 1. a) Quilograma. b) Tonelada. c) Miligrama.

d) Tonelada. e) Quilograma. f) Grama. c) g d) g

e) kg f) kg

3. a) 2 300 g

b) 750 g

c) 0,95 g

6. 7. 8. 9.

Pense e responda p. 265 1. Figura A: 42 Figura B: 210

Figura C: 24

Atividades p. 268 1. 72 unidades. 2. Alternativa d. 3. Alternativa a. 4. 6 480 m3 5. 15,625 m3 6. 60 m3 7. Os volumes são iguais: 64 m3. 8. 5,712 m3 9. 0,001 m3 10. a) 0,840 m3 b) 0,0145 m3 c) 1 m3 11. a) 3 500 dm3 b) 1,25 dm3 c) 250 dm3 12. 1 000 dm3 13. 4,5 dm3 14. 0,3 m3 Atividades p. 270 c) 200 L 1. a) 1,2 L b) 0,85 L d) 0,087 L 2. 3. 4. 5.

0,33 L 40 000 garrafas. Resposta pessoal. Resposta pessoal.

Por toda parte p. 271 1. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal.

2. a) g b) kg 4. 83 t 5. a) 54 kg

Fórum p. 264 • Resposta pessoal. • Resposta pessoal. • Programa de Proteção e Defesa do Consumido (Procon).

b) 65 sanduíches.

8 pedaços. Alternativa c. Alternativa b. 12 embalagens.

Pense e responda p. 263 1. Dobrar a massa no outro prato. Resposta pessoal. 2. Reduzir pela metade a massa no outro prato. Resposta pessoal.

Tratamento da informação p. 272 1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal. Retomando o que aprendeu p. 274 1. 48 000 cm3 2. 0,75 m3 3. 10,5 L 4. 6,9 m3 5. 16 000 recipientes. 6. 64 vezes. 7. Alternativa e. 8. 0,252 dm3 9. Alternativa e. 10. 25 t 11. 1 500 kg

Atualidades em foco p. 276 1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal. 4.

Parada obrigatória

Dê a preferência

Velocidade máxima permitida

Sentido obrigatório

Indicação turística

Octógono – Triângulo – Círculo Polígono de Polígono de 80 – Medida 8 lados 3 lados de velocidade

Círculo Seta (reta), sentido horizontal, de oeste para leste

Mão dupla

Pedestre, ande pela esquerda

Proibido Carga máxima parar e permitida estacionar

Círculo – Setas (retas), Sentido norte para sul e sul para norte

Círculo – Losango Setas (retas), Sentido direita para esquerda ou leste para oeste

Trânsito de ciclistas

Círculo

Círculo – Triângulo – Unidade de massa – T=tonelada 1 tonelada = = 1 000 kg. Então, 10 toneladas = = 10 000 kg.

e) 0,35 L f) 100 L Restaurante Altura limitada Losango, triângulo. Unidade de comprimento. 1 metro = = 100 centímetros 4 metros = = 400 centímetros

Largura máxima permitida

Peso máximo Comprimento permitido por máximo eixo permitido

Círculo, triângulo. Unidade de comprimento. 3,0 metros = = 300 centímetros

Círculo, triângulo unidade de massa. T=tonelada 2 toneladas = = 2 000 kg

Círculo, triângulo Unidade de comprimento 10 metros = = 1 000 centímetros

CÓDIGO DE TRÂNSITO BRASILEIRO

8. 32,60 m2 9. 4 latas de tinta. 10. Resposta pessoal.

12. 2011 13. Resposta pessoal.

Atividades p. 264 1. 40 2. 500 g 3. Resposta pessoal.

CÓDIGO DE TRÂNSITO BRASILEIRO

c) R$ 65 960,00

CÓDIGO DE TRÂNSITO BRASILEIRO

7. a) 52,15 m2 b) 30,30 m2

5. Placas de regulamentação. Principais características: fundo branco, borda vermelha, símbolos e letras na cor preta. Estabelecem restrições e o que é permitido ou proibido na via. Placas de advertência. Principais características: fundo amarelo, borda preta, símbolos em preto. Alertam os usuários a condições que podem indicar perigo. Placas de indicação. Podem ser de quatro tipos: orientação e destino, serviços auxiliares, educativas e atrativos turísticos. Na questão anterior é apresentada uma de atrativo turístico e uma de serviços auxiliares. 6. Resposta pessoal.

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D3-MAT

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referências bibliográficas

ASOCIACIÓN DE MAESTROS ROSA SENSAT. Didáctica de los números enteros. Madrid: Nuestra Cultura, 1980.

CENTURIÓN, Marília. Conteúdo e metodologia da Matemática: números e operações. São Paulo: Scipione, 1994.

BERLOQUIN, Pierre. 100 jogos geométricos. Tradução Luís Filipe Coelho e Maria do Rosário Pedreira. Lisboa: Gradiva, 1991.

COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (Org.). As ideias da álgebra. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

BORDENAVE, Juan Díaz; PEREIRA, Adair Martins. Estratégias de ensino-aprendizagem. 7. ed. Petrópolis: Vozes, 1985.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e Matemática. São Paulo: Summus; Campinas: Ed. da Universidade Estadual de Campinas, 1986.

BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. v. 6. São Paulo: CAEM-USP, 1995. (Coleção Ensino Fundamental.) BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. 2. ed. Tradução Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto/ Secretaria do Ensino Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais – Matemática. Brasília, 1997.

D’AMBROSIO, Ubiratan (execução do projeto); BASTOS, Almerindo Marques (Coord.). Geometria experimental: livro do professor. Rio de Janeiro: PREMEN – MEC/IMECC – UNICAMP, 1985. . Geometria experimental: 5a série. Rio de Janeiro: PREMEN – MEC/IMECC – UNICAMP, 1985. DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas. São Paulo: Ática, 1989.

BRASIL. Ministério da Educação; Conselho Nacional de Educação. Base Nacional Comum Curricular – Ensino Fundamental. Brasília: MEC, 2017.

DIENES, Zoltan P. As seis etapas do processo de aprendizagem em Matemática. São Paulo: EPU, 1975.

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes curriculares nacionais gerais da educação básica. Brasília, DF: SEB: Dicei, 2013.

. Lógica y juegos lógicos. Madrid: Distein, 1975.

BRUNER, Jerome S. O processo da educação. Tradução Lobo L. de Oliveira. 4. ed. São Paulo: Nacional, 1974. CAGGIANO, Angela et al. Problema não é mais problema. v. 4. São Paulo: FTD, 1996. CAMPOS, Tânia Maria Mendonça (Coord.). Transformando a prática das aulas de Matemática: textos preliminares. São Paulo: Proem, 2001. CAZOLA, Irene; SANTANA, Eurivalda (Org.). Do tratamento ao levantamento estatístico. Itabuna: Via Litterarum, 2010.

. Frações. São Paulo: Helder, 1971.

DIENES, Zoltan P.; GOLDING, E. W. Conjuntos, números e potências. São Paulo: EPU, 1974. . Exploração do espaço e prática da medição. São Paulo: EPU, 1984. DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. O conceito de ângulo e o ensino de geometria. v. 3. São Paulo: CAEMUSP, 1993. (Coleção Ensino Fundamental.) FUNBEC/CAPES. Revista do Ensino de Ciências. São Paulo, março de 1985. HAYDT, Regina Cazaux. Avaliação do processo ensino aprendizagem. São Paulo: Ática, 1988. 287

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9/26/18 5:37 PM

10/4/18 2:08 PM

HOFFMANN, Jussara Maria Lerch. Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à universidade. Porto Alegre: Educação & Realidade, 1993. IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Tradução Stella M. de Freitas Senra. 4. ed. São Paulo: Globo, 1992. INSTITUTO DE MATEMÁTICA – UFRJ. Tratamento da informação: explorando dados estatísticos e noções de probabilidade a partir das séries iniciais. Rio de Janeiro, 1997. LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. (Org.). Aprendendo e ensinando geometria. Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna. São Paulo: Cortez, 1990. MATAIX, Mariano Lorda. Divertimentos lógicos y matemáticos. Barcelona: Marcombo, 1979. . El discreto encanto de las matemáticas. Barcelona: Marcombo, 1988. . Nuevos divertimentos matemáticos. Barcelona: Marcombo, 1982. OCHI, Fusako Hori et al. O uso de quadriculados no ensino de geometria. v. 1. São Paulo: CAEM-USP, 1992. (Coleção Ensino Fundamental.)

PERELMÁN, Y. Matemáticas recreativas. Tradução F. Blanco. 6. ed. Moscou: Mir, 1985. PIAGET, Jean. Fazer e compreender Matemática. São Paulo: Melhoramentos, 1978. POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução Heitor Lisboa de Araujo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA. Revista do Professor de Matemática 33. Rio de Janeiro, 1977. RATHS, Louis E. et al. Ensinar a pensar. São Paulo: Herder/Edusp, 1972. ROCHA-FILHO, Romeu C. Grandezas e unidades de medida: o sistema internacional de unidades. São Paulo: Ática, 1988. SOUZA, Eliane Reame et al. A Matemática das sete peças do tangram. São Paulo: CAEM-USP, 1995. (Coleção Ensino Fundamental.). VYGOTSKY, Lev S. A formação social da mente. Lisboa: Antídoto, 1979. ZARO, M.; HILLERBRAND, V. Matemática instrumental e experimental. Porto Alegre: Fundação para o Desenvolvimento de Recursos Humanos, 1984.

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2. a) 302

resoluções UNIDADE 1

b) 1

c) 100 000

c) 8

d) 19 900

d) 1

3. a) 3

Sistemas de numeração

b) 5

Pense e responda p. 14

c) 8 d) 1

1. Resposta pessoal.

4. a) 887

2. Resposta pessoal.

b) 99

3. Resposta pessoal.

c) 0 d) 11 999

Atividades p. 18

b) 1 135

5. Todo número natural tem sucessor e todo número natural tem antecessor, com exceção do zero.

c) 1 201

6. a) 1 001

1. a) 351

2. a 2; b 1; c 3

b) 20 010

3. a) XXII

c) 4 002 d) 6 006

b) VIIICCCXX

7. a) 640

c) CDXX

c) 19 556

b) Trinta milhões e duzentos.

8. a) 1 005

c) Trezentos e trinta e três.

b) 9 011

d) Cento e oitenta.

c) 20 223

5. a) Doze horas e três minutos. b) Um, dois, três, quatro e cinco, respectivamente.

Tratamento da informação p. 24 e 25

c) X

1. Os anos de cada edição da Copa, os países que sediaram a competição e os respectivos campeões.

c) d)

Atividades p. 23 1. a) São iguais. b) Cinco; 5.

EDITORIA DE ARTE

Desafio

5. 6 6. Rússia. 7. Sugestão de resposta: Quantidade de vezes que cada seleção foi campeã Seleção

Quantidade

Uruguai

Itália

Alemanha

Brasil

Inglaterra

Argentina

França

Espanha

8. Resposta pessoal. 9. Respostas pessoais.

Pense e responda p. 26

b) 1 328

4. a) Dois mil e cem.

6. a)

4. a) 11

2. FIFA. 3. a) 5 b) 2 c) 2 d) 4 e) 4 f) 1 g) 2 h) 1

1. a) Maior. b) 5; 70 c) 50; 7 2. a) Trocá-lo de lugar com o 0; 7 650. b) Trocá-lo de lugar com o 5; 7 065.

Atividades p. 28 1. 257; 275; 527; 572; 725 e 752 a) 752 b) 257 2. a) Cento e cinquenta e sete. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal. 4. 8 000 543 = 8 000 000 + 500 + + 40 + 3. Oito milhões, quinhentos e quarenta e três.

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Por toda parte p. 29 1.

Mil milhões = 1 000 000 000 1 000 000 000 000 _

U milhão 6

1 000 000 000 = = 999 000 000 000

CM DM UM 0

6 000 000; 6 milhões.

Alternativa e. U milhão

Desafio 6. a) Sabendo que a diferença entre eles é 8, vamos adicionar 8 ao último número que aparece na coluna e também ao resultado obtido, e assim sucessivamente até obter um número mais próximo dele.

CM DM UM 8

3 870 000; três milhões, oitocentos e

b) Adicionar 10. c) Adicionar 100.

d) Subtrair 60 000.

7; sete.

7. Algumas possibilidades: 35 _ 13 = 22 ou 11 + 11 = 22.

67 + 8 = 75; 75 + 8 = 83;

b) Acima: 51, 43 e 35; abaixo: 67, 75 e 83. c) Em todas as linhas a diferença entre dois números consecutivos é 1; então, se 99 está na coluna mais à direita, 98 está na do meio, e 97, na mais à esquerda. Se somarmos 8 a cada um, temos: 107, 106 e 105. Continuando, temos: 115, 114 e 113. Então, 113 está na coluna mais à esquerda, em que estão os números 1, 9, 17, ... d) Sendo 1 a diferença entre dois números consecutivos de uma mesma linha e como 219 aparece na coluna mais à direita, os outros dois números são: 219 _ 1 = 218 e 218 _ 1 = 217. Os outros dois números que podemos ver nessa mesma linha da figura são 217 e 218. e) Uma resposta possível: Se a diferença entre qualquer número e seu vizinho de coluna é 8, há 8 números em cada linha.

5. Subtrair 300 000.

51 + 8 = 59; 59 + 8 = 67;

O número é 99.

4. Resposta pessoal. Por exemplo: 131, 164 e 107. O maior é 164.

6. a) Adicionar 1.

setenta mil.

35 + 8 = 43; 43 + 8 = 51;

83 + 8 = 91; 91 + 8 = 99.

3. Respostas pessoais. Caso seja uma calculadora comum de 8 dígitos, o maior número natural com algarismos diferentes será 98 765 432. O menor número natural com algarismos diferentes, usando o máximo de algarismos, será 12 345 678.

8. a) Algumas possibilidades: 3 x 4 x 2 ou 10 _ 2 x 3. b) Algumas possibilidades: 20 _ 2 x 15 ou 9 + 9 x 15.

6 515; seis mil, quinhentos e quinze. UM

c) Algumas possibilidades: 190 _ 12 ÷ 2 ou 144 + 44 ÷ 2. Algumas calculadoras podem apresentar resultados diferentes.

3 220; três mil, duzentos e vinte. 2. Resposta pessoal.

9. a) 111 111 111 b) 222 222 222

3. Resposta pessoal.

c) 333 333 333 d) 444 444 444

Tecnologias p. 31 1. Respostas pessoais. É possível que os alunos já tenham visto calculadoras infantis (com menos teclas), científicas, gráficas (pertencentes a algum familiar, conhecido etc.), do celular, do computador. No teclado do computador, por exemplo, as teclas de multiplicação e divisão costumam ser representadas por um asterisco (*) e uma barra inclinada (/), respectivamente. 2. Resposta pessoal. A maioria das calculadoras comporta 8 dígitos, mas há calculadoras com 10, 11, 12, 14, 16 dígitos e até mais, por exemplo.

e) 555 555 555 10. 12 345 679 x 54; 12 345 679 x 63; 12 345 679 x 72; 12 345 679 x 81

Retomando o que aprendeu p. 32 1. Sete; 7; . Existem outras possibilidades. 2. Respostas pessoais. 3.

EDITORIA DE ARTE

5. Um milhão de milhões = = 1 000 000 000 000

MMMCCCXXX 4. a) 4 algarismos; 7, 5, 0 e 4. b) 4 algarismos; 1 e 0. c) 4 algarismos; 5. d) 6 algarismos; 1, 7, 4 e 0.

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5. Resposta pessoal.

c) 111 _ 21 ou 2 x 45

6. 36 344 052 = 30 000 000 + + 6 000 000 + 300 000 + + 40 000 + 4 000 + 50 + 2; trinta e seis milhões, trezentos e quarenta e quatro mil e cinquenta e dois.

d) 54 + 46 ou 31 + 69

7. a) 567; 569. b) 43 858; 43 860.

13. 29 mil, 90 mil, 2 000 e 1,5 milhão: medida. 128 e duas: contagem. Primeiro: ordem. UNIDADE 2

c) 2 850 391; 2 850 393.

Cálculos com números naturais

d) 999 230; 999 232.

Atividades p. 39

8. Dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e um; dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e três. 9. Pela reta numérica, observamos que: = 102 = 105 = 107

270 _ 6 = 264 (4a) 264 _ 6 = 258 (5a) 258 _ 6 = 252 (6a) 252 _ 6 = 246 (7a) 246 _ 6 = 240 (8a) 240 _ 6 = 234 (9a) 234 _ 6 = 228 (10a) 228 _ 6 = 222 (11a)

2. Total de alunos: 135 + 120 + 105 + + 120 + 115 + 125 = 720

É a 11a posição.

Número de meninas: 135 + 120 + 105 = 360 Número de meninos: 120 + 115 + 125 = 360 O número de meninas é igual ao de meninos. Total de alunos do 3o turno: 105 + 125 = 230

a) 105 , 107

Alternativa d.

b) 107 . 102

3. a) Comutativa.

c) 102 , 105

b) Elemento neutro.

d) 102 = 102

c) Associativa.

10. Os números escritos por João foram: 1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221 e 222.

A diferença entre os números da sequência é 6; então:

1. 12 945 crianças.

Assim:

e) 107 , 108

3. 282 _ 276 = 6 276 _ 270 = 6

4. y = 59 A propriedade usada foi a do elemento neutro. 5. Caio: 2 107 + 5 096 = 7 203

Então:

Theo: 5 096 + 2 107 = 7 203

1 + 2 + 11 + 12 + 21 + 22 +

a) Sim.

+ 111 + 112 + 121 + 122 +

b) Verdadeira.

+ 211 + 212 + 221 + 222 =

4. a) O país com maior extensão territorial é a Rússia. b) O Brasil ocupa a 5a posição. c) 9 984 670 _ 9 831 510 = = 153 160 O Canadá tem 153 160 km2 a mais. d) 17 098 240 _ 8 515 759 = = 8 582 481 A Rússia tem 8 582 481 km2 a mais que o Brasil. 5. 2 590 _ 2 431 = 159 Consumiram 159 metros cúbicos. 6. 1 365 000 no mês de março. 1 365 000 _ 45 000 = 1 320 000 no mês de fevereiro 1 320 000 _ 45 000 = 1 275 000 no mês de janeiro 7. Maior número possível: 99 999 999 99 999 999 _ 63 033 472 = = 36 966 527 O número de habitantes do estado de São Paulo era de 36 966 527.

= 1 401

Desafio

Alternativa c.

6. Resposta pessoal.

Atividades p. 44

Atividades p. 42

1. Usando a relação fundamental da subtração:

11. a) Medida. b) Código. c) Contagem. d) Ordem. 12. Respostas possíveis: a) 8 _ 8 ou 64 _ 64 b) 45 _ 25 ou 12 + 5

1. Em 2018 houve um número maior de participantes. 2 010 _ 1 692 = 318 Houve 318 participantes a mais. 2. 36 290 _ 27 545 = 8 745 Pagará de juro 8 745 reais.

a) 9 105 _ 5 299 = 3 806 b) 10 210 _ 6 226 = 3 984 2. 97 + 25 = 122 (Usando a relação fundamental da subtração) 122 bilhões de dólares.

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3. Usando a relação fundamental da subtração: a) 6 991 + 6 429 = 13 420

Tratamento da informação p. 47 1. a) Compraram: • 3 bilhetes: 8 alunos.

b) 15 000 _ 7 995 = 7 005

• 2 bilhetes: 16 alunos.

4. 40 _ 25 _ 12 + 10 _ 7 + 8 = = 15 _ 12 + 10 _ 7 + 8 = = 3 + 10 _ 7 + 8 = = 13 _ 7 + 8 = = 6 + 8 = 14

• 4 bilhetes: 4 alunos.

5. a) 120 b) 18 c) 150 d) 60 6. a) 10 vezes. b) 19 vezes. 7. a) 319 + 426 + 565 = 1 310 1 310 pessoas estão matriculadas. b) Hidroginástica. c) 565 _ 319 = 246 246 pessoas a mais.

Para quem quer mais p. 45 1. a) 3 530 _ 3 048 = 482 Não, pois a diferença entre as leituras é exatamente 482 quilowatts-hora, o que corresponde à meta de consumo estabelecida para sua casa. b)

4. Saia

Preta

Cinza

Branca

Preta e branca

Cinza e branca

Amarela

Preta e amarela

Cinza e amarela

Vermelha

Preta e vermelha

Cinza e vermelha

Blusa

• 5 bilhetes: 12 alunos. b) (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3) + + (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) + + (4 + 4 + 4 + 4) + (5 + 5 + 5 + +5+5+5+5+5+5+5+5+ + 5) + 20 = 152

Helena tem 6 opções diferentes. 5. a) 16 x 6 = 96 Partem de Ambrosina 96 trens por dia.

c) 4 + 8 + 12 + 16 + 20 = 60 2. a) Nascimentos no primeiro semestre de 2019. Indicar o assunto ao qual os dados do gráfico se referem. b) Meses do ano; número de nascimentos. c) 23 + 21 + 22 + 25 + 21 + 24 = = 136 d) Abril. e) Fevereiro e maio.

b) 96 x 125 = 12 000 O número máximo de passageiros que essa linha transporta é 12 000. 6. Quantidade de pães Preço total

2 4 6 8 10 12 14 reais reais reais reais reais reais reais

7. Área deste sítio: 120 x 90 = = 10 800 10 800 metros quadrados.

3. a) Unesco.

A área do sítio que corresponde

b) Países; quantidade de adultos analfabetos em milhões.

15 vezes a essa área é: 15 x 10 800 = 162 000

c) Resposta pessoal.

Pense e responda p. 49

162 000 metros quadrados. 8. No de linhas verticais

No de linhas horizontais

Início

1a vez

128

Atividades p. 51

2a vez

256

128

1. Para fazer uma jarra são necessárias 6 laranjas. Então, para fazer 50 são necessárias: 6 x 50 = 300.

3a vez

512

256

4a vez

1 024

512

1. a) Seu Agenor: 6 x 2 = 12; dona Berta: 12 x 2 = 24 b) Seu Agenor: 6 x 5 = 30; dona Berta: 12 x 5 = 60

São necessárias 300 laranjas. DNEPWU

2. 43 x 13 = 559; foram usados 559 azulejos. 3. 27 560 x 4 = 110 240

9. a) 24 x 35 = = 24 x (30 + 5) = = (24 x 30) + (24 x 5) = = 720 + 120 =

Aproximadamente

= 700 + 20 + 100 + 20 =

110 240 habitantes.

= 700 + 120 + 20 = 840

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10/4/18 14:54

b) 35 x 24 = = 35 x (20 + 4) = = (35 x 20) + (35 x 4) = = 700 + 140 = = 700 + 100 + 40 = 840 c) 45 x 92 = = 45 x (90 + 2) = = (45 x 90) + (45 x 2) =

Pense e responda p. 55 1. a) 4 vezes. b) Seis. c) Não. Sobra um pedaço de dois quadradinhos roxos. d) Não. Fica faltando um pedaço de um quadradinho para completar a barrinha azul.

= 4 050 + 90 = = 4 000 + 50 + 90 = = 4 000 + 140 = 4 140 d) 92 x 45 =

1. 75 : 5 = 15 15 vezes.

= 92 x (40 + 5) =

2. 184 : 4 = 46

= 3 680 + 460 = = 3 000 + 600 + 80 + 400 + 60 = = 3 000 + 1 000 + 140 = 4 140

Atividades p. 53 1. Se a x b = 237, então b x a = 237 pela propriedade comutativa da multiplicação. 2. Se 37 x n = 63 x 37, então n = 63

46 papéis. 3. 344 : 8 = 43 43 reais. 4. 270 : 45 = 6 6 viagens.

6. 6 160 : 560 = 11 11 viagens. 7. 476 : 50 = 9, resto 26. 50 _ 26 = 24

multiplicação.

Gláucia ganhou 9 cupons e precisa gastar 24 reais para receber um novo cupom.

= 2 835 x 60 = 170 100 ou 81 x 2 100 = 170 100 4. a) 25 x (72 + 51) = = 25 x 123 = 3 075 ou (25 x 72) + (25 x 51) = = 1 800 + 1 275 = 3 075

8. 237 : 31 = 7, resto 20. 31 _ 20 = 11 Alternativa a. 9. 50 _ 10 = 40

32 x (64 _ 48) = = (32 x 64) _ (32 x 48) =

2. n = 45 x 17 n = 765 O dividendo é 765. 3. n = 6 x 35 + 5 n = 210 + 5 Havia 215 laranjas. 4. O maior resto possível é o antecessor do divisor. Sendo 12 o divisor, o maior resto possível é 11. Então: n = 12 x 9 + 11 n = 108 + 11 n = 119 O dividendo é 119.

Atividades p. 58 1. 8 : 0 (não existe divisão por zero). 2. 7 : 0 (não existe divisão por zero). 7 : 2 = 3, resto 1. 20 : 10 = 2 9:9=1 0 : 10 = 0 8:8=1 A divisão 0 : 10. 3. 32 : 8 = 4 32 x 5 = 160 160 : 4 = 40

40 : 8 = 5

Alternativa c.

Deverei multiplicar por 5.

b) 32 x (64 _ 48) = = 32 x 16 = 512 ou

n = 1 610

5. 1 352 : 4 = 338

pela propriedade comutativa da

3. 81 x 35 x 60 +

n = 1 600 + 10

n = 215

Atividades p. 56

= (92 x 40) + (92 x 5) =

c) n = 64 x 25 + 10

Atividades p. 57

4. Resposta pessoal.

1. a) n = 9 x 7 + 2

5. 120 : 20 = 6

n = 63 + 2

20 : 4 = 5

n = 65

?:5=6

b) n = 11 x 16 + 5

? = 30

(elemento neutro da multiplicação).

n = 176 + 5

Então: 120 : 4 = 30.

b) Se 45 x a = 0, então a = 0.

n = 181

Deve-se dividir por 4.

= 2 048 _ 1 536 = 512 5. a) Se a x 27 = 27, então a = 1

293

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10/4/18 14:54

!""#""$

1. a) 3 x 3 = 9 b) 5 x 5 = 25 c) 7 x 7 = 49 2. a) 5 x 5 x 5 = 125

!"""#"""$

são iguais.

Atividades p. 63

2. 209 3. a) 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 b) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = = 2 187

b) 1

4. a) 52 = 25 e 25 = 32

28 561

e) 2

Sim; 132 = 122 + 52 8. a) 4 x 107 = = 4 x 10 000 000 = 40 000 000 Quarenta milhões. b) 9 x 105 =

6. a)

Novecentos mil.

!"#"$

5. 100 000 possui 5 zeros; então, o expoente dessa potência é 5.

!"#"$ 5

0 =

3 200 00

0 x 2

x = = = = = = =

9 765 625

63 = 6 x 6 x 6 = 216

11. 3 x 108 = = 3 x 100 000 000 = 300 000 000 Se 1 000 metros equivalem a 1 quilômetro, temos: 300 000 000 : 1 000 = 300 000 A luz percorre em um segundo 300 000 quilômetros. 12. a) 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =

= 9 x 100 000 = 900 000

c) 10 = 1 000 000

15 625

ou 5 x = = = = =

122 + 52 = 144 + 25 = 169

110 , 101

62 = 6 x 6 = 36

7. 132 = 169

d) 1 = 1 e 10 = 10

= =

b) 74 = 2 381 e 103 = 1 000

61 = 6

!"""#"""$

Então, n = 3.

f) 106 = 1 000 000

43 , 29

10. 6n = 216

e) 0100 = 0

c) 43 = 64 e 29 = 512

729

x = = = = = = =

d) 150 = 1

74 . 103

d) 1

!"""#"""$

c) 110 = 1

52 , 25

1 679 616

!"""#"""$

1. 5 x 5 x 5 x 5 ou 5

3. Em cada multiplicação os fatores

1 331

c) 7 x 7 x 7 = 343

!""#""$

b) 9 x 9 x 9 = 729

9. a) 2

b) 6 x = = = = c)

15 625 7 776

9 x = = = = = =

4 782 969 d) 7 x = = = = = = = =

40 353 607 e) 2 x = = = = = = =

Um milhão.

= =

1 024

d) 2 x 103 =

= 2 x 1 000 = 2 000

= = = = = = = = = =

Dois mil.

2 x = = = = = = =

= =

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Pense e responda p. 59

1 048 576

294

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10/4/18 14:54

13. O segredo é calcular o quadrado da quantidade de números ímpares naturais pedidos. a) A soma dos 20 primeiros números ímpares naturais: 202 = 400

12. a) 72 _ 40 + 18 : 32 _ 100 =

6. N = 85 : 5 + 3 x 15 _ 50 N = 17 + 45 _ 50

= 49 _ 40 + 18 : 9 _ 1 =

N = 62 _ 50

= 49 _ 40 + 2 _ 1 =

N = 12

= 9 + 2_1 =

7. a) (7 x 7 + 5) : (18 _ 15 : 3 + 5) x 2 =

= 11 _ 1 = 10

b) A soma dos 100 primeiros números ímpares naturais:

= (49 + 5) : (18 _ 5 + 5) x 2 =

b) (62 _ 52) x 33 _ 102 =

= 54 : (13 + 5) x 2 =

= (36 _ 25) x 27 _ 100 =

100 = 10 000

= 54 : 18 x 2 =

= 11 x 27 _ 100 =

=3x2=6

= 297 _ 100 = 197

b) (30 _ 6 x 5) : (7 + 2 x 10) x x (40 _ 30 + 5) =

c) 62 : (23 + 1) x (32 _ 5) =

Por toda parte p. 64 1. Região Norte. 2. 342 836 + 232 739 + 99 137 + + 78 773 + 143 432 = 896 917 3. 232 739 + 99 137 + 78 773 + + 143 432 = 554 081

= (30 _ 30) : (7 + 20) x (10 + 5) = = 0 : 27 x 15 = 0 x 15 = 0 8. 2 + 30 : 5 + (9 x 6 _ 4) :

d) (7 x 32 _ 1) : (82 _ 2 x 31) =

: 5 _ (40 : 10 + 3) =

= (7 x 9 _ 1) : (64 _ 62) =

= 2 + 30 : 5 + (54 _ 4) : 5 _ (4 + 3) =

Duzentos e onze mil, duzentos e

= 2 + 30 : 5 + 50 : 5 _ 7 =

quarenta e cinco.

= 2 + 6 + 10 _ 7 =

13. a) 25 + 42 _ 23 x 3 =

= 8 + 10 _ 7 =

= 32 + 16 _ 8 x 3 =

Resposta pessoal.

Atividades p. 70 1. 81 _ 7 x 11 = 81 _ 77 = 4 2. a = 10 + 3 x 2 e b = 10 x 3 + 2 a = 10 + 6 h a = 16

N = 3 x 11

M+

M_ MR

5. a) 5 x 25 + 8 x 15 + 2 x 10

= 40 x 3 = 120 1

c) 25 + (42 _ 23) x 3 =

= 32 + (16 _ 8) x 3 =

b) 15 x 47 + 12 x 10

Então:

= (21 + 30) x (81 _ 80) = 51 x 1 = 51

= (48 _ 8) x 3 =

10. a) 127 _ (21 + 15 + 11)

4. (3 x 7 + 2 x 15) x (81 _ 4 x 20) =

= (32 + 16 _ 8) x 3 =

= 20 + 2 = 22

= 50 _ 50 = 0

b) (25 + 42 _ 23) x 3 =

= 20 + 10 : 5 =

3. 50 _ (6 x 8 + 2) = 50 _ (48 + 2) =

= 48 _ 24 = 24

9. 20 + (40 _ 30) : 5 =

b = 30 + 2 h b = 32 a5b

= 32 + 16 _ 24 =

N = 33

M+

= 32 + 8 x 3 = 1

825

M+ MR

c) 25 x 12 _ 135 : 3 2

M+

M_ MR

339

11. 302 : (72 x 3 _ 102 _ 2) =

= 32 + 24 = 56

x ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Educação financeira p. 65

= (63 _ 1) : 2 = = 62 : 2 = 31

= 18 _ 7 = 11 5. Resposta pessoal.

= 36 : 9 x 4 = = 4 x 4 = 16

554 081 _ 342 836 = 211 245

4. 572 083 _ 324 834 = 247 249

= 36 : (8 + 1) x (9 _ 5) =

14. (34 _ 26 _ 100) : (52 _ 23) = = (81 _ 64 _ 1) : (25 _ 23) = = (17 _ 1) : 2 = = 16 : 2 = 8 82 = 64 15. N = 412 _ 312 + 212

= 900 : (49 x 3 _ 100 _ 2) =

N = 1 681 _ 961 + 441

b) 5 x 25 + 8 x 15 + 2 x 10 =

= 900 : (147 _ 100 _ 2) =

N = 720 + 441

= 125 + 120 + 20 = 265

= 900 : (47 _ 2) =

N = 1 161

265 pontos.

= 900 : 45 = 20

1+1+6+1=9

295

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10/4/18 14:54

Desafio

7. Fernanda:

12. Em um dia: 3 x 5 = 15

1 x 16 + 1 x 32 + 3 x 64 =

Por 10 dias: 15 x 10 = 150

= 16 + 32 + 192 =

Se cada frasco contém 100 mililitros,

Retomando o que aprendeu p. 71

= 48 + 192 = 240

são necessários 2 frascos

Rita:

(200 mililitros).

1. 3 exercícios em 10 minutos. Para

1 x 16 + 1 x 32 + 1 x 64 =

Alternativa b.

16. Resposta pessoal.

fazer 6 exercícios,

= 16 + 32 + 64 =

6 = 3 x 2; então, 10 x 2 = 20.

= 48 + 64 = 112

Gastará 20 minutos.

Paula:

Alternativa c.

1 x 16 + 0 x 32 + 2 x 64 =

2. Isabel gastou: 8 x 2 = 16

= 16 + 0 + 128 = = 16 + 128 = 144 Marcos:

13. 1o colocado: 5 000 2o colocado: 5 000 _ 400 = 4 600 3o colocado: 4 600 _ 200 = 4 400 5 000 + 4 600 + 4 400 = 14 000 A soma das distâncias percorridas foi 14 000 metros.

Isabel tinha:

1 x 16 + 0 x 32 + 4 x 64 =

2 x 20 = 40

= 16 + 0 + 256 =

tecla = , estamos adicionando

Isabel ficou com:

= 16 + 256 = 272

3 ao número 2.

40 _ 16 = 24

Alternativa d.

Ao digitarmos 10 vezes

Alternativa b. 3. 60 : 6 = 10 60 : 7 = 8, resto 4. 60 : 8 = 7, resto 4.

8. (870 _ 230) : 2 = = 640 : 2 = 320 Alternativa d. 9. (2 x 215 _ 325) + (1 x

60 : 11 = 5, resto 5.

x 400 _ 312) = (430 _ 325) +

Alternativa a.

+ (400 _ 312) = 105 + 88 = 193 Foram consumidos 193 doces.

4. (43 + 42 + 4) : 7 + 2 x (3 + 32 + + 33) = (64 + 16 + 4) : 7 + 2 x

10. Ana:

14. Ao digitarmos uma vez a

a tecla = , estaremos adicionando 10 x 3 = 30 ao número 2. Então, o número que vamos obter é: 2 + 30 = 32. Alternativa d. 15. Em um cubo, cada vértice é a extremidade de três arestas, ou seja, há o encontro de três varetas; logo, Mário precisa ao menos de três cores

x (3 + 9 + 27) =

12 x 5 _ 4 x 3 _ 4 x 2 =

diferentes. Nesse caso, três cores

= (80 + 4) : 7 + 2 x (12 + 27) =

= 60 _ 12 _ 8 =

são suficientes para pintar o cubo

= 84 : 7 + 2 x 39 =

= 48 _ 8 = 40

de modo que em nenhum vértice se

= 12 + 78 = 90

Bento:

encontrem varetas de cores iguais.

5. Eu tenho 1 320 figurinhas.

13 x 5 _ 7 x 3 _ 0 x 2 = = 65 _ 21 _ 0 = 44 Lucas:

Meu primo, a metade do que tenho:

12 x 5 _ 3 x 3 _ 5 x 2 =

1 320 : 2 = 660

= 60 _ 9 _ 10 =

Minha irmã, o triplo do meu primo:

= 51 _ 10 = 41

660 x 3 = 1 980

Bento, Lucas e Ana.

Alternativa d.

Alternativa e.

6. 838 + 162 = 1 000

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Alternativa b.

11. Cada ônibus deve transportar:

Alternativa b. 16. O algarismo do número que resulta

160 x 15 = 2 400

(57 + 31) : 2 =

3 600 : 2 = 1 800

dessa multiplicação é o algarismo

= 88 : 2 = 44

da unidade do produto de todos

1 864 _ 17 = 1 847

Deverão passar para o segundo

os algarismos das unidades desses

A sequência usada foi:

ônibus:

mesmos números:

+ x ÷ _

57 _ 44 = 13

3 x 5 x 7 x 4 x 3 x 1 = 1 260

Alternativa a.

Alternativa b.

Alternativa e.

296

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UNIDADE 3

Figuras geométricas

Atividades p. 85

7. a) Verdadeira. b) Falsa.

1. a) 8 5 6

Pense e responda p. 79

c) Verdadeira.

d) Verdadeira. 1. Respostas pessoais.

8. 10 segmentos.

2. Respostas pessoais. 8

3. Respostas pessoais.

Desafio

2 1

Atividades p. 82

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

9. b) 7

1. Uma única reta.

2. 6

Atividades p. 88 1. a)

c) 4

6 unidades. b) 3

2 unidades. c)

Inclinada.

4 unidades. 3. a) Concorrentes.

b) Concorrentes.

2. a) 4 u b) 2 u

c) Concorrentes. d) Paralelas.

2. Nas figuras 3, 6 e 7.

e) Concorrentes.

!!" !" ! !!" !!" !" ! 3. Cinco: PA, PB, PC, PD e PF.

4. a) Vertical. b) Concorrentes. 5. Infinitas retas.

Desafio

c) 1 u d) 6 u e) 6 u f) 10 u

4. Sete segmentos de reta: PA, PB, PC, PD, PF, BD e CF. 5. a) BC ou BD ou AC. b) AB ou AC.

3. 38 quarteirões. P 38

6. a) Cláudio trabalha na Rua Visconde de Inhaúma, e Sueli trabalha na Rua Comandante

c) AB ou CD ou BC. 6. a) AB e MN.

20 8

Marcondes Salgado. b) Paralelas. c) Não.

b) BN, BC ou CN.

4. Figuras a, d, e e f.

c) AB e AM, ou AC e AB.

5. Respostas pessoais.

297

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Atividades p. 90

• número de faces laterais do prisma = número de lados da base do prisma

1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal. 3. a) Folha de papel, superfície do tampo de uma mesa, tela de um quadro. b) Lata de extrato de tomate, dado, tubo de cola bastão, garrafa de água. 4. Plana. 5. a) Plana.

• número de faces da pirâmide = = número de lados da base da pirâmide + 1

Atividades p. 91 1. a) Cilindro: corpo redondo. b) Esfera: corpo redondo. c) Pirâmide: poliedro. d) Bloco retangular: poliedro. e) Cubo: poliedro. f) Cone: corpo redondo.

1. Poliedro

Número de lados da base do poliedro

Número de faces do poliedro

A B C D

5 4 4 5

7 5 6 6

Número de Número de faces laterais arestas do do poliedro poliedro

A B C D

5 4 4 5

Poliedro

Número de vértices do poliedro

• número de faces laterais da pirâmide = número de lados da base da pirâmide • número de arestas da pirâmide = = número de lados da base da pirâmide x 2 • número de vértices da pirâmide = = número de lados da base da pirâmide + 1

Pense e responda p. 93

A B C D

• número de vértices do prisma = = número de lados da base do prisma x 2 3. Sim, existe uma relação e ela é igual para todas as pirâmides.

b) não plana.

Poliedro

• número de arestas do prisma = = número de lados da base do prisma x 3

15 8 12 10

10 5 8 6

2. A relação é igual para todos os prismas: • número de faces do prisma = = número de lados da base do prisma + 2

Ou seja: número de lados da base da pirâmide = número de vértices da pirâmide _ 1 número de lados da base da pirâmide = 10 _ 1 número de lados da base da pirâmide = 9 • Arestas: número de arestas da pirâmide = = número de lados da base da pirâmide x 2 número de arestas da pirâmide = =9x2 número de arestas da pirâmide = = 18 • Faces: número de faces da pirâmide = = número de lados da base da pirâmide + 1

Pense e responda p. 94

número de faces da pirâmide = =9+1

1. O polígono da base.

número de faces da pirâmide = 10

2. O polígono da base.

5. Como o cubo é um prisma de base quadrada (4 lados), temos que:

Atividades p. 94 1. Os prismas possuem os lados em forma de retângulos e duas bases paralelas. As pirâmides possuem faces na forma triangular e apenas uma base. 2. Prisma hexagonal. • número de vértices do prisma = = número de lados da base do prisma x 2: 6 x 2 = 12 3. a) 7 faces, 7 vértices e 12 arestas. b) Triângulos. Hexágono. c) Seu nome depende do polígono da base; pirâmide hexagonal. 4. Primeiramente, vamos determinar o número de lados do polígono que forma a base da pirâmide. Para isso, sabemos que: número de vértices da pirâmide = = número de lados da base da pirâmide + 1

número de arestas do cubo = 4 x 3 número de arestas do cubo = 12 12 x 15 cm = 180 cm

Desafio 6. Alternativas: a, b, d, f e h. 7. Alternativa f.

Tratamento da informação p. 96 1. Expectativa de vida nos anos 1990, 2000 e 2010, respectivamente. 2. Maior: Europa e Ásia Central; menor: África subsaariana. Resposta pessoal. 3. Aumentou em todas as regiões. 4. 62,7 anos. 5. 80 anos; 83,6 anos.

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10/8/18 2:39 PM

6. Respostas pessoais.

Ou seja:

7. Resposta pessoal.

número de lados da base da

8. Resposta pessoal.

pirâmide _ 1

pirâmide = número de vértices da

Retomando o que aprendeu p. 98

número de lados da base da pirâmide = 100 _ 1

Atividades p. 105 1. a)

42 5 2 8

42 : 5 = 8, resto 2 b)

43 5

número de lados da base da 1. a) “Cabeça” de alfinete; um pingo de tinta em uma folha de papel.

pirâmide = 99

3 8 43 : 5 = 8, resto 3

Além disso, sabemos que: c)

44 5

b) Encontro de duas paredes; corda esticada.

número de faces laterais da pirâmide =

c) Superfície de uma parede; superfície de um quadro de giz; superfície de uma piscina; superfície do tampo de uma mesa.

pirâmide

44 : 5 = 8, resto 4

número de faces laterais da pirâmide =

2. A face oposta a 1 é a face B; a face oposta a 2 é a face A; e a face oposta a 3 é a face C. 3. A-III; B-I; C-II; D-V; E-IV.

7. a) BA% e BC%. b) 3 segmentos: AB, BC, AC. UNIDADE 4

Pense e responda p. 102 1. a) 36 : 2 = 18

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

45 5

= 99

Múltiplos e divisores

4. a)

4 8

= número de lados da base da

0 9 45 : 5 = 9, resto 0 e)

46 5 1 9

46 : 5 = 9, resto 1 2. 5 1 8

1 6 =

1 6 x 3 2 = M_

5 1 8

M+ MR

2 5 9

b) 36 : 3 = 12

8 x 3 2 =

12 vezes.

c) 36 : 4 = 9

Resto 3.

2 5 9

M+ MR

1 0 3 6

d) 36 : 6 = 6

3 2 x 3 2 =

6 vezes.

e) 36 : 12 = 3

Resto 12.

f) 36 : 18 = 2 g) 36 : 36 = 1

32,375

8 =

9 vezes.

2 vezes.

Resto 6.

18 vezes.

3 vezes.

32,375

1 0 3 6

3 2 =

M+ MR

32,375

1 2

Dividendo Divisor Quociente Resto 518

259

1 036

1 vez. 5. Alternativa d. 6. Primeiramente, vamos determinar o número de lados do polígono que forma a base da pirâmide. Para isso, sabemos que: número de vértices da pirâmide = = número de lados da base da pirâmide + 1

h) 36 : 1 = 36 36 vezes. 2. a) 23 : 1 = 23

3. 5 6 3 7 3

2 3 6 x 2 3 8 = M_

b) 23 : 23 = 1

Resto 205.

c) Nenhum.

2 3 6 =

238,86864

23 vezes. 1 vez.

5 6 3 7 3

M+ MR

2 0 5

4. Três. (Todas as afirmações são verdadeiras.)

299

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10/8/18 10:18 AM

5. a)

109 3 19 36

1 109 : 3 = 36, resto 1 (não). b)

119 9 29 13

2 119 : 9 = 13, resto 2 (não). c)

202 11 92 18

4 202 : 11 = 18, resto 4 (não). d)

310 5 10 62

0 310 : 5 = 62, resto 0 (sim). 6. O próximo número divisível por 37 é: 518 + 37 = 555 7. 300 : 11 = 297, resto 3 r=3 Então: 300 _ r = 300 _ 3 = 297

b) 706 : 13 = 54, resto 4 13 _ 4 = 9

g) Não. 1 + 2 + 7 + 5 + 6 = 21, 21 não é divisível por 9.

O menor número natural que se

h) Não. O último algarismo não é 0.

deve adicionar a 706 é 9.

Desafio 11. Se, ao contar os exercícios de 2 em 2, sobra 1, temos que a quantidade de exercícios é um número ímpar. Se, ao contar os exercícios de 5 em 5, sobra 1, temos um número cujo algarismo das unidades é 1 ou, como o número é ímpar, o algarismo das unidades é 1. Se, ao contar os exercícios de 7 em 7, não sobra nenhum, então a quantidade de exercícios é um número múltiplo de 7 maior que 50 e menor que 100 cujo algarismo das unidades é 1. João resolveu 91 exercícios.

i) Não. Os dois últimos algarismos não são 0. j) Não. Os três últimos algarismos não são 0. 3. a) 5 + 0 + 0 + 1 = 6, não porque 6 não é divisível por 9. b) 5 + n + 0 + 1 = 9 6+n=9 n=3 4. a) É divisível por 3: 4+0+3+0+2+0=9 É divisível por 4: 20 é o número formado pelos dois últimos algarismos e 20 é divisível por 4. É divisível por 5:

Atividades p. 111

O último algarismo é zero.

1. a) 259, 295, 529, 592, 925, 952

Não é divisível por 8:

b) Um número é divisível por 2 quando for par; então os números pares do item a) são: 592 e 952.

020 é o número formado pelos

É divisível por 9:

60 : 12 = 5

c) Sendo todos os números formados pelos algarismos 2, 5 e 9, temos:

60 : 13 = 4, resto 8

2 + 5 + 9 = 16

8. De 10 a 15 temos as seguintes possibilidades: 10, 11, 12, 13, 14, 15. 60 : 10 = 6 60 : 11 = 5, resto 5

60 : 14 = 4, resto 4 60 : 15 = 4 As maneiras possíveis de formar esses grupos são: 6 grupos de 10 equipes, 5 grupos de 12 equipes ou 4 grupos de 15 equipes. 9. Entre 40 e 50 temos: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, e 49. 42 : 6 = 7 42 : 7 = 6 A idade de Sílvio é 42 anos. 10. a) 719 : 23 = 31, resto 6 O menor número natural que se deve subtrair de 719 é 6.

16 não é divisível por 3; logo nenhum dos números é divisível por 3. 2. a) Sim, porque é um número par. b) Sim. 1 + 2 + 7 + 5 + 6 = 21, 21 é divisível por 3. c) Sim. Os dois últimos algarismos formam o número 56, que é divisível por 4. d) Não. O último algarismo não é 0, nem 5.

três últimos algarismos e 020 não é divisível por 8. 4+0+3+0+2+0=9 É divisível por 10: O último algarismo é zero. b) O número mais próximo de 20 que é divisível por 8 é 24, então n deve ser substituído por 4. 5. 3 000, 3 003, 3 030, 3 033, 3 300, 3 303, 3 330, 3 333. a) 3 000 e 3 300. b) 3 000 c) 3 000 6. a) Para ser divisível por 2, d deve ser: 0, 2, 4, 6 ou 8.

e) Sim, porque é divisível por 2 e por 3.

Para ser divisível por 3, 3 + 2 + 5 +

f) Não. Os três últimos algarismos formam o número 156, que não é divisível por 8.

3+2+5+d=

+ d deve ser múltiplo de 3, = 10 + d = 12, mais próximo múltiplo de 3, então d = 2.

300

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10/4/18 14:54

b) Se um número é divisível ao mesmo tempo por 26 e por 3, ele é divisível por 6, então d = 2 (item a). c) 7 + 0 + b + 3 deve ser múltiplo de 3.

86 (8 + 6 = 14).

divisível por 6.

Não.

Alternativa c.

2. a) 92 : 4 = 23 Sim.

7+0+b+3=

b) 92 : 6 = 15, resto 2.

= 10 + b = 12, mais próximo

Não.

múltiplo de 3, então b = 2. d) 7 + 0 + b + 3 deve ser múltiplo de 9.

c) 92 : 8 = 11, resto 4. Não.

8. 0, 15, 30, 45, 60, 75 9. 300 : 13 = 23, resto 1. 300 _ 1 = 299 10. a) O primeiro número natural par maior que 200 é 202.

7+0+b+3=

d) 92 : 23 = 4

b) Números naturais divisíveis por 2 entre 30 e 40: 32, 34, 36, 38.

= 10 + b = 18, mais próximo

Sim.

Números naturais divisíveis por 3

múltiplo de 9, então b = 8.

3. a) 14 é um número par, então 2 é

entre 30 e 40: 33, 36, 39. É 36.

Desafio

seu divisor.

7. Resposta pessoal.

b) 2 (18 é número par);

c) Múltiplos naturais de 2 menores que 8: 0, 2, 4, 6.

3 (1 + 8 = 9, múltiplo de 3);

Múltiplos naturais de 4 menores que

6 (múltiplo de 2 e de 3);

8: 0, 4.

9 (1 + 8 = 9, múltiplo de 9).

Múltiplos de 2 e 4 ao mesmo

b) 1 x 60; 2 x 30; 3 x 20; 4 x 15; 5 x 12; 6 x 10

c) 5 (25 termina em 5).

tempo: 0 e 4.

c) 1 x 17

5 (termina em 5);

Pense e responda p. 112 1. a) 1 x 22; 2 x 11

d) 1 x 24; 2 x 12; 3 x 8; 4 x 6 2. a) 1, 2, 11 e 22. b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. c) 1 e 17. d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Atividades p. 114 1. Para 6 ser divisor de um número, esse número deve ter 2 e 3 como divisores. a) 2 é divisor de 26 (número par), mas 3 não é divisor de

d) 3 (4 + 5 = 9, múltiplo de 3); 9 (4 + 5 = 9, múltiplo de 9). e) 2 (54 é número par); 3 (5 + 4 = 9, múltiplo de 3); 6 (é divisível por 2 e por 9); 9 (5 + 4 = 9, múltiplo de 9). f) 2 (70 é número par); 5 (termina em 0); 10 (termina em 0). 4. Divisores de 5: {1, 5}; divisores de 15: {1, 3, 5, 15}; divisores de 5 e 15: 1 e 5. 5. Divisores de 14: {1, 2, 7, 14};

26 (2 + 6 = 8).

divisores de 35: {1, 5, 7, 35}.

Não.

a) 2 e 14.

b) 2 é divisor de 48 (número par) e

b) 5 e 35.

3 é divisor de 48 (4 + 8 = 12).

c) 1 e 7.

Sim. c) 2 é divisor de 72 (número par) e 3 é divisor de 72 (7 + 2 = 9). Sim. d) 2 é divisor de 86 (número par), mas 3 não é divisor de

6. Divisores de 60: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. 30 anos. 7. 12 é par, então é divisível por 2; 1 + 2 = 3 e 3 é múltiplo de 3; é divisível por 2 e por 3, então é

d) 4 e) Números naturais com três algarismos iguais, menores que 500: 111, 222, 333, 444. Múltiplos de 2: 222 e 444. Múltiplos de 3: 111, 222, 333, 444. Múltiplos de 2 e 3: 222 e 444. 11. 100 : 13 = 7, resto 9. 13 x 7 = 91 91 + 13 = 104 É 104. 12. Múltiplos de 3 de 0 a 30: {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}; múltiplos de 5 de 0 a 30: {0, 5, 15, 20, 25, 30}; múltiplos comuns: {0, 15, 30}. São 3. 13. 15 14. a) Os anos a seguir que são divisíveis por 4 são: 2008, 2020 e 3000; mas, para o ano ser bissexto, os múltiplos de 4 terminados em 00 devem ser divisíveis por 400. 3000 não é divisível por 400. Então os anos bissextos são: 2008 e 2020.

301

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b) De 1990 a 1999 os divisíveis por 4 são 1992 e 1996, então a década de 90 teve 2 anos bissextos. c) Década de 2000: 2000, 2004 e 2008. Década de 2010: 2012 e 2016. Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos.

Desafio 15. O tabuleiro é formado por 95 x 95 casas. A letra U está na 9 025a casa. Se os números escritos são múltiplos de 4, nesta casa estará o número 9 025 x 4 = 36 100 Alternativa c. 16. Horizontais:

17. 5 148 É divisível por: 2 (par), 3 (5 + 1 + 4 + 8 = 18), 4 (termina em 48), 6 (divisível por 2 e por 3) e 9 (5 + 1 + 4 + 8 = 18).

Tratamento da informação p. 116 1. 12 000 000 _ 7 000 000 = = 5 000 000 5 milhões de habitantes. 2. a) 1 000 unidades : 2 = 500 unidades; 1 000 unidades : 4 = 250 unidades; 1 000 unidades : 8 = 125 unidades. b) • Só no 1o trimestre.

Atividades p. 120 1. a) 15 b) 31, 37, 41, 43 e 47. 5 casas. c) Século 21; 21 não é um número primo. 2. Não, pois é divisível por 7. 3. a) 26 + 3= = 64 + 3 = 67 67 é primo. b) 4² + 52 = = 16 + 25 = 41 41 é primo.

• Nos demais: 2 , 3 e 4 trimestres.

1.Múltiplos de 2 menores que 10: {0, 2, 4, 6, 8}.

c) 472 _ 372 _ 232 =

• 3 625 unidades _ 3 125 unidades = = 500 unidades

= 2 209 _ 1 369 _ 529 =

Múltiplos de 3 menores que 10: {0, 3, 6, 9}.

• 3 875 unidades _ 3 625 unidades = = 250 unidades

311 é primo.

3. 300 + 2 = 302

4. São primos os números: 47, 83, 97.

4. 2 552

Vendas de blu-rays

9. 0

Trimestre

Unidades vendidas

1. Múltiplos de 5: {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65...}

3 125

3 625

5. 132

3 875

6. 405

4 750

Verticais:

7. Múltiplos de 11 entre 800 e 900: {803, 814, 825, 836, 847, 858, 869, 880, 891}. 825 8. Múltiplos de 5: {0, 5, 10, 15, 20...}. O quinto múltiplo de 5 é 20. 1

Fonte: Dados fictícios.

3. Tomando a segunda informação do gráfico, temos que duas silhuetas correspondem a 300 milhões, ou seja: 300 000 000 : 2 = 150 000 000 150 milhões. 4. 106 716 367 669

6 5

1 3 2

4 0 5

5. Resposta pessoal.

8 2 5

Para quem quer mais p. 120 8

2 0

= 840 _ 529 = 311

1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

5. a) 131 Pelos critérios de divisibilidade, 131 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. 131 7 61 18 5

131 11 21 11 10

Quociente igual ao divisor. 131 é um número primo. b) 253 253 7 43 36 1

253 11 33 23 0

c) 211 Pelos critérios de divisibilidade, 211 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. 211 7 01 30

211 11 101 19 2

302

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10/4/18 14:54

211 13

211 17

81 16

41 12

Quociente menor que o divisor. 211 é um número primo. d) 391 Pelos critérios de divisibilidade, 391 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. 391 7

391 11

41 55

61 35

391 13

391 17

01 30

51 23 0

São primos: 131 e 211.

a) 63 + 47 = 110 47 + 38 = 85 110 + 85 = 195 195

63 33

É par, então é divisível por 2;

f) 132 = 2 x 2 x 3 x 11

portanto, não é primo. • 25

h) 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5

número 5, então é divisível por 5;

i) 234 = 2 x 3 x 3 x 13

portanto, não é primo.

j) 484 = 2 x 2 x 11 x 11

• 22 É par, então é divisível por 2; portanto, não é primo. • 52 É par, então é divisível por 2; portanto, não é primo. • 43 É primo. b) • 14: 1, 2, 7 e 14.

b) Não, pois 195 é divisível por 5. 7. a) D(22) = {1, 2, 11, 22}; D(14) = {1, 2, 7, 14}; D(25) = {1, 5, 25}

9. 1 200 = 2a x 3b x 5c Fatorando 1 200, temos: 1 200 = 24 x 31 x 52, então a = 4, b = 1, c = 2 a+b+c=4+1+2=7 10. Fatorando 1 620, temos: 1 620 = 22 x 34 x 5, logo n = 34 11. a) 22 x 5 x 112 = = 4 x 5 x 121 =

• 43: 1 e 43.

= 20 x 121 = 2 420

• 22: 1, 2, 11 e 22.

b) 22 x 7 x 13 =

• 52: 1, 2, 4, 13, 26 e 52.

= 4 x 7 x 13 =

c) Resposta pessoal.

= 28 x 13 = 364

1. a) 46 = 2 x 23 21

8. 1 000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5

• 25: 1, 5 e 25.

Atividades p. 112 38

g) 210 = 2 x 3 x 5 x 7

Tem como último algarismo o

47 30

e) 108 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3

• 38: 1, 2, 19 e 38.

6. Segredo: a soma de dois quadrados é o número do quadrado que está acima.

110

• 38

c) 33 x 17 = = 27 x 17 = 459 d) 32 x 7 x 112 =

b) 85 = 5 x 17

= 9 x 7 x 121 =

c) 57 = 3 x 19

= 63 x 121 = 7 623

d) 77 = 7 x 11

12. Fatorando 240, temos: 240 = 24 x 3 x 5, n = 4

2. Não; 3 x 2 x 2 x 11. 3. 2 x 3 x 5 = 30

13. 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Por toda parte p. 125

Nenhum deles é primo.

4. 2 x 2 x 2 x 2 x 7

b) 58 = 2 x 29

5. Alternativas b, c e d.

1. Resposta pessoal.

6. (152 + 255) : (32 + 1) =

2. Divisores de 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50.

A soma dos pontos de Cuba é 58, que é um número composto. 8. 1 não é número primo e 14 = 2 x 7. Três números: 41, 11 e 23.

Desafio 9. a) • 14

= (225 + 255) : (9 + 1) = = 480 : 10 = 48

Os divisores primos são 2 e 5. 3. Resposta pessoal.

48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 7. a) 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 b) 50 = 2 x 5 x 5

É par, então é divisível por 2;

c) 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5

portanto, não é primo.

d) 99 = 3 x 3 x 11

Tecnologias p. 126 4 567, 5 387 e 6 389.

303

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10/4/18 14:54

Retomando o que aprendeu p. 128 1. a)

3 e de 4 é múltiplo de 12. Assim, seguindo o mesmo raciocínio anterior temos que 600 : 12 = 50. Por fim, fazemos: 200 + 150 _ 50 = = 300. Alternativa d.

135 15 0 9

315 15 0 21

4. Múltiplos de 7 (maçãs verdes): 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, ... Múltiplos de 9 (maçãs vermelhas): 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, ... Observando, vemos que a única opção de dois números cuja soma é 96 é 42 + 54. Ou seja, 42 maçãs verdes. Alternativa a.

555 15 0 37

d) 785 15 5 52 e)

915 15 0 61

Alternativa d. 2. Pelo critério dado no enunciado, cada linha e cada coluna pode ter somente 3 fichas. Fazendo a seguinte organização, inserimos 15 fichas (3 x 5) no tabuleiro: 1

712 2 356 2 176 2

5. Para determinar o que se pede, vamos fazer a fatoração de todos os números:

89 89

23 x 89 = 8 x 89 (não atende o critério) b)

548 2 274 2 137 137

Alternativa d.

2 x 137 = 4 x 137 (não atende o critério) 2

3. Múltiplos de 3: iniciando da página 1, a cada três páginas do livro uma é em branco (em vermelho): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... Assim, a quantidade de páginas que são múltiplas de 3 são: 600 : 3 = 200. Múltiplas de 4: o mesmo raciocínio pode ser aplicado às páginas múltiplas de 4: 600 : 4 = 150. No entanto, alguns números são múltiplas de 3 e de 4, então nos cálculos anteriores eles estão sendo contados duas vezes, precisando ser desconsiderados uma vez. Para isso, devemos determinar quantos números atendem esse critério e, para isso, precisamos entender que um número que é múltiplo de

1 680 2 840 2 420 2 210 2 105 3 35 5 7 7 24 x 3 x 5 x 7 Esse caso podemos reescrever da seguinte forma: 5 x (2 x 3) x 7 x x 23 = 5 x 6 x 7 x 8

Alternativa e. 6. Ser múltiplo de 2 e 3 ao mesmo tempo é ser múltiplo de 6. Os múltiplos de 6 menores que 50 são: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48. São 8 casas. 7. Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são primos. Ao serem multiplicados por 1, continuam primos e vão formar a 1a linha e a 1a coluna da tabela, com exceção da primeira casa (1 x 1 = 1), pois o número 1 não é primo nem composto. As demais linhas e colunas serão preenchidas por seus múltiplos (números compostos). Assim, a quantidade de casas que conterão números primos é 6 + 6 = 12. Alternativa c.

1 026 2 513 3 171 3

valor de c.

57 3

Para ser divisível por 3 deve ter

19 19

1 + 2 + c + 5 = 8 + c como um

2 x 33 x 19 = 2 x 27 x 19 (não atende o critério) d) 1 456 2 728 2 364 2 182 2 91 7 3 13 2 x 7 x 13 = 16 x 7 x 13 (não atende o critério) 4

8. Para ser divisível por 5 independe do

número múltiplo de 8+c=9Hc=1 8 + c = 12 H c = 4 8 + c = 15 H c = 7 1 + 4 + 7 = 12 9. N = 488a9b Se N é divisível por 5 deve ter o algarismo das unidades igual a 0 ou 5. Como se quer ter a maior soma possível, b = 5.

304

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Se N é divisível por 3 deve ter na soma de seus algarismos um número múltiplo de 3. 4+8+8+a+9+5= = 34 + a, divisível por 3.

UNIDADE 5

Atividades p. 138

A forma fracionária dos números racionais

1. a) Comeram 3 pedaços de pizza.

a = 8, logo: a + c = 8 + 5 = 13 Alternativa d. 10. A quantidade de azulejos é maior que 150 e menor que 250.

Pense e responda p. 135 1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal. 3.

Se ao arrumarmos azulejos em caixas contendo 17 azulejos sobraram 15, temos uma quantidade de azulejos que é um número múltiplo de 17 mais 15 entre 150 e 250. Se arrumarmos em

1 da barra de chocolate. 4

Atividades p. 136 1. Alternativas a, b, d, e, f, h, i.

4 e temos uma quantidade de de 11 mais 4 entre 150 e 250.

185, 202, 219 e 236. Os múltiplos de 11 mais 4 que estão

Logo, 202 é a quantidade de azulejos que seu Almeida possui.

que todos os quatro números estejam indicados em balõezinhos,

7 12

5 12

1 5 , 6 6

5 12

17 30

temos que o maior número indicado é o 108 (alternativa e). 12. Resposta pessoal.

vemos que são múltiplos de 4: 96,

1 corresponde a 9 : 3 = 3 8

1 8 ,

7 12

são múltiplos de 4, verificando quais

Organizando os números de modo

6 corresponde a 6 75 x 6 = 450 N = 450 brinquedos.

3 =9 8

7 10

1 8

9. a) 3 b) 2 c) 4

1 dos brinquedos corresponde a 75 6

5. Alunos com menos de 20 anos correspondem a:

3 b) 10

11. Primeiramente vemos quais números

100, 104 e 108.

1 10

7 4. a) 8

191, 202, 213, 224, 235 e 246.

deles são divisíveis por 4. Com isso,

6 b) 7

entre 150 e 250 são: 158, 169, 180,

maiores que 93 e menores que 112

3. Verba mensal: 4 500 000 reais 1 da verba mensal corresponde 5 a 4 500 000 : 5 = 900 000 4 da verba corresponde a 5 900 000 x 4 = 3 600 000 3 600 000 reais.

3 3. a) 7

Os múltiplos de 17 mais 15 que estão entre 150 e 250 são: 168,

1 da encomenda = 18 4 Total da encomenda: 4 x 18 = 72 72 cocos.

1 2. a) 4

caixas contendo 11 azulejos, sobram azulejos que é um número múltiplo

b) Restaram 5 pedaços.

Como se quer ter a maior soma possível

1 de 224 = 8 = 224 : 8 = 28 28 pessoas.

Pense e responda p. 132

Os possíveis valores para a são: 2, 5 e 8.

8 correspondem a Total de alunos: 8 3 x 8 = 24 24 alunos. 6.

25 correspondem a 1 450 25 1 corresponde a 1 450 : 25 = 58 25 18 correspondem a 58 x 18 = 25 = 1 044 1 450 _ 1 044 = 406 406 acidentes com vítimas.

7. a)

1 corresponde a 18 : 2 = 9 2

9 b)

1 corresponde a 18 : 3 = 6 3

2 correspondem a 6 x 2 = 12 3 12

305

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10/4/18 14:54

1 corresponde a 18 : 6 = 3 6

5 correspondem a 3 x 5 = 15 6

Atividades p. 141 1. a) 2 metades, 3 terços e 4 quartos.

1 corresponde a 18 : 9 = 2 9

metade corresponde a

9 correspondem a 3 x 9 = 27 10

Sara:

30 _ 27 = 3

d) • Uma metade é igual a

3 dias. 9. 30 leituras por dia, em 5 dias: 30 x 5 = 150

1 corresponde a 150 : 6 = 25 6 5 correspondem a 25 x 5 = 125 6 Fernando: 125 leituras. b) Laura. c) 135 _ 125 = 10 10 leituras. 10. 1a loja: 300 reais. 1 corresponde a 300 : 4 = 75 4 1a, 2a e 3a lojas: 75 + 2 = 77 300 _ (3 x 77) = = 300 _ 231 = 69 Restam 69 reais.

Pense e responda p. 139 1. a) b) 2.

1 2 3 4 5 ; ; ; ; 5 5 5 5 5 1 2 3 4 5 , , , , 5 5 5 5 5

1 2 3 4 5 = = = = 2 4 6 8 10

Falsa.

3 6

2 sextos

2 6

5 10

e 5 décimos

e 3 nonos

2 4 = 3 6

2 2 . 3 6

Verdadeira.

• Uma terça parte é igual a

1 corresponde a 150 : 10 = 15 10

9 correspondem a 15 x 9 = 135 10 Laura: 135 leituras.

2 4 = 3 6

1 1 ; Lara: . 4 8

3 sextos

1 2 = 3 6

1 . 8

1 corresponde a 30 : 10 = 3 10

Verdadeira.

c) Metade da metade corresponde 1 a , e metade da metade da 4

1 2 = 5 10

Os dois comeram a mesma quantidade.

4 correspondem a 2 x 4 = 8 9

Falsa.

8 b) é igual a uma barra inteira. 8

2 3 5 3 3

3 9

Atividades p. 144 .

2x3 6 = 7x3 21

1. a)

Sim.

2 3

4 6

5x3 15 = 9x3 27 Não.

EDITORIA DE ARTE

3x7 21 = 10 x 7 70

c) Sim.

Sim.

3. Quanto maior é a parte, menor é o denominador da fração unitária que a representa. 1 1 , 5 3

Sim.

Não.

Verdadeira. 2. a)

5x3 15 = 9x3 27

11 x 4 44 = 3x4 12

5x5 25 = 8x5 40

Verdadeira. c)

1 2 1 3 = , então , 3 6 3 6

Verdadeira. d)

2 1 . 3 3

Falsa.

15 : 3 5 = 12 : 3 4

1 2 1 1 = , então . 3 6 3 6

1 2 b) = 3 6

8:4 2 = 4:4 1

O transporte usado pelo maior número de funcionários é o metrô. 4. a)

16 : 2 8 = 10 : 2 5

1 x 10 10 = 2 x 10 20 5x5 25 = 4x5 20

306

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10/4/18 14:54

10. a)

4 1 = ; 12 3

10 5 = 8 4

8. a)

63 : 3 21 : 7 3 = = 105 : 3 35 : 7 5 5 da hora. 60

30 : 10 = 60 : 10 d)

3:3 6:3

10 da hora. 60

10 : 10 1 = h. 60 : 10 6 45 e) da hora. 60 45 : 15 3 = h. 60 : 15 4 f)

60 da hora. 60

60 : 60 = 1 h. 60 : 60

3x3 9 = 11 x 3 33 1x4 4 = 8x4 32

x=4 d)

3x7 21 = 7x7 49 5x6 30 = 8x6 48 3x3 9 = 5x3 15

x=5 12. Período da manhã: 10 x 30 = = 300 alunos.

30 da hora. 60 1 = h. 2

Total de meninos: 10 10 25 Alternativa c.

Desafio

x = 48

15 : 5 3:3 1 = = h. 60 : 5 12 : 3 4 c)

15 da hora. 60

15. Total de estudantes: 10 + 15 = 25

7x2 14 = 9x2 18

x=3

5:5 1 = h. 60 : 5 12 b)

7 . 8

x = 33

105 : 3 35 : 5 5 = = 63 : 3 21 : 3 3

16.

60 : 10 6:3 2 = = 90 : 10 9:3 3

= 240 alunos. Total de alunos da escola: 300 + 240 = 540 240 : 20 12 : 3 4 = = 540 : 20 27 : 3 9 240 4 ou . 540 9

13. 4 x 4 = 16 16 16 : 8 2:2 1 = = = 64 64 : 8 8:2 4 16 1 da parede ou da parede. 64 4 14. Total de entrevistados: 10 + 20 + 20 + 50 + 20 + 40 = 160

2 3

2x8 16 = 3x8 24 2 x 12 24 = 3 x 12 36 2 x 20 40 = 3 x 20 60 2x6 12 = 3x6 18 2 x 18 36 = 3 x 18 54 2 x 18 36 = 3 x 18 54 2x4 8 = 3x4 12 36 54

12 18

Período da tarde: 6 x 40 =

Representa

15 do total de 16

entrevistados.

x = 18

20 : 5 4 = 25 : 5 5

15 : 5 3 = 20 : 5 4

Representa

20 21 e b) 24 24 11. a)

20 5. a) 25

7. a)

5x4 20 = 6x4 24

A maior fração é

As que estão na sua forma 3 5 1 , e . irredutível são: 7 6 3

150 : 10 15 = 160 : 10 16

7x3 21 = 8x3 24

2 1 = ; 10 5

160 _ 10 = 150

a = 20

9x2 18 = 10 x 2 20 4.

Pelo menos o fundamental:

5x4 20 = 9x4 36

40 60 24 36

36 54

2 3 16 24

8 12 60 90

EDITORIA DE ARTE

3x4 12 = 5x4 20

Pense e responda p. 147 1. Em cada situação, uma fração tem seu numerador e denominador multiplicados pelo denominador da outra fração inicial. 2. Resposta pessoal.

307

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10/8/18 10:27 AM

Atividades p. 148 1. a)

1x4 4 = 2x4 8

simplificando

1x2 2 = 4x2 8

simplificando

2 4

3 x 12 36 = 8 x 12 96

1 4

3 1 . 8 12

2 1 , 4 4 b)

3. a)

1x8 8 = 6x8 48

simplificando

1x6 6 = 8x6 48

simplificando

4 24

simplificando

9 24

7x8 56 = 12 x 8 96

simplificando

14 24

9 14 , 24 24 d)

27 8 , 36 36 3 x 14 42 = 7 x 14 95

simplificando

9x7 63 = 14 x 7 98

simplificando

6 14 9 14

6 9 , 14 14 f)

7 x 30 210 = 20 x 30 600

simplificando

21 60

11 x 20 220 = 30 x 20 600

simplificando

22 60

3 1 12 5 17 + = + = 5 4 20 20 20

4. a)

1x5 5 = 6x5 30

1 4 , 6 5

1 7 8:2 4 + = = 10 10 10 : 2 5

3 . 20

Os dois usaram juntos

4x6 24 = 5x6 30

1. a)

2x4 8 = 9x4 36

Atividades p. 153

3x9 27 = 4x9 36

2 11 11 8 3 = _ _ = 5 20 20 20 20 Vou obter

4 7 , 15 9 b)

3 x 12 36 = 8 x 12 96

4x9 36 = 15 x 9 135 7 x 15 105 = 9 x 15 135

3 24

4 3 , 24 24 c)

1x8 8 = 12 x 8 96

17 . 20

3 1 9 4 13 + = + = 8 6 24 24 24

1 9 18 5 13 = _ _ = 4 10 20 20 20

5 2 10 6 + = + = 9 6 18 18

8 16 : 2 = 9 18 : 2

1 11 22 15 7 = _ _ = 2 15 30 30 30

1 3 1 4:4 + = = 8 8 2 8:4

5 1 4:2 2 _ = = 6 6 6:2 3

1 7 3 + _ = 10 10 10

6. a)

1 5 6 10 16 4 + = + = = 2 6 12 12 12 3

1 8 3 5 _ = = 2 10 10 10

3 1 6 4 2 1 _ = _ = = 4 2 8 8 8 4

7 3 1 _ _ = 15 15 15

5 1 15 6 9 1 _ = _ = = 6 3 18 18 18 2

1 5 6 15 21 7 + = + = = 3 6 18 18 18 6

Sim.

1 4 1 3:3 _ = = 5 15 15 15 : 3

3 7 1 7 15 : 5 + + = = 4 20 20 20 20 : 5

2 3 20 15 5 1 _ = _ = = 5 10 50 50 50 10

21 22 , 60 60

5 11 13 + _ = 18 18 18

1 1 6 3 3 1 _ = _ = = 3 6 18 18 18 6

7x5 35 2. a) = 12 x 5 60

3 x 12 36 = 5 x 12 60

3 7 . 5 12

5 3 9 11 + _ = _ 6 6 6 6

5x4 20 = 6x4 24

6 3 9 9 9 + _ = _ =0 6 6 6 6 6

5x6 30 = 4x6 24

5 5 . 4 6

1 16 13 3:3 _ = = 6 18 18 18 : 3 7 4 5 3 9 + _ + _ = 6 6 6 6 6

1 3 11 7 + + _ = 20 20 20 20

2 15 7 8:4 _ = = = 5 20 20 20 : 4

7. Resposta pessoal. 8.

1 2 5 4 9 + = + = 2 5 10 10 10 Nesse dia, Ronaldo arquivou dos documentos.

9 10

5 1 15 4 19 + = + = 8 6 24 24 24 24 19 5 _ = 24 24 24 5 Foram de ônibus ao congresso 24 dos participantes.

308

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10/4/18 14:55

1 1 1 5 6 = + + = 2 10 10 10 10 2 10 6 4:2 _ = = 5 10 10 10 : 2 Cabe ao clube perdedor renda.

2 da 5

1 2 3 10 13 + = + = 11. 5 3 15 15 15 Eles contribuíram com figurinhas. 12.

13 das 15

Helena percorre 1 de quilômetro a 12 mais que Cristina.

5 2 3 _ = 4 4 4 1 2 3 3 coluna: + = 4 4 4 a

5a coluna:

Há outras sequências possíveis para se obterem os valores procurados. 1 4

17 Parte da rua asfaltada: 24 17 12 . 24 24 Já foi asfaltada mais da metade da rua. 24 17 7 c) _ = 24 24 24 7 da rua. 24

2 1 8 7 15 + = + = 7 4 28 28 28 28 15 13 _ = 28 28 28 É destinada aos vestidos produção.

13 da 28

2 1 6 5 11 + = + = 5 3 15 15 15

1 4

+ +

12 24

Falta ser asfaltada

3 4

2 4

3 4

5 4

= =

7 4

1 1 1 9 6 + + = + + 2 3 9 18 18 2 17 = 18 18 Sobra:

18 17 1 _ = 18 18 18 Que equivale a 2 camelos de 36.

Atividades p. 159 1 21 20 + 1 20 = = = + 5 5 5 5

=4+

1 1 =4 5 5

15 11 4 _ = 15 15 15 Cultivará tomates em terreno.

3 10

1 15 14 + 1 14 = = = + 2 2 2 2

1 2

Para quem quer mais p. 155

1. a)

33 30 + 3 30 3 = = + = 10 10 10 10

1 5 2 5 + = + = 2 4 4 4

7 4

24 24

Metade da rua:

15.

subtração operações inversas temos:

3 1 9 8 17 + = + = 8 3 24 24 24

b) Rua toda:

14.

3a linha: Sendo a adição e a

1 1 3 2 1 _ = _ = 4 6 12 12 12

13. a)

1 1 2 1 1 _ = _ = 2 4 4 4 4

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

10.

2. a) 5

1 1 1 20 =5+ = = + 4 4 4 4

21 4

b) 10

1 1 1 30 = 10 + = = + 3 3 3 3

31 3 2 2 2 15 = = + c) 5 = 5 + 3 3 3 3

17 3

d) 1

10 7 17 + = 10 10 10

= 3. 1

7 7 =1+ = 10 10

1 1 6 1 7 =1+ = + = 6 6 6 6 6

7 13 35 26 _ = _ = 6 15 30 30 =

9:3 3 = 30 : 3 10

Faltam 4 do 15

Desafio 16. 1a linha: Sendo a adição e a subtração operações inversas temos:

4. 15 b) =5

2 17 15 + 2 15 = = = + 3 3 3 3 2 3

3 . 10

1 1 + 12 = 2 3

= 15 +

1 1 + 12 + = 2 3

= 27 +

1 1 + = 2 3

309

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10/4/18 14:55

3 2 5 + = 27 6 6 6

Percorreu 27 5. 1

5 quilômetros. 6

Por toda parte p. 160 1. a)

3 8 3 11 = + = 4 4 4 4 2 5 2 7 = + = 5 5 5 5

7 11 55 28 83 = + + = = 5 4 20 20 20 80 3 3 + =4 20 20 20

1 1 1 1 +2 =1+ +2+ = 2 3 2 3

3 2 5 5 + =3+ =3 =3+ 6 6 6 6 Serão 3

5 quilogramas de balas. 6

Desafio 9.

2 8 3 13 + + = 4 4 4 4

3 do todo é 5 3 100 60 x = = 60% 5 100 100

7. Beto Beto

3 1 3 1 +4 =3+ +4+ = 4 4 4 4

3 1 12 16 + = + + 4 4 4 4

32 =8 4

1 13 ou 3 xícaras; Açúcar: 4 4 farinha de trigo:

32 ou 8 xícaras. 4

d) Resposta pessoal.

O número obtido está entre 4 e 5. 8. 1

Farinha:

3 2 2 = 8 ; então: 9 . 8 4 5 5

1 650 pessoas.

1 1 13 12 + 1 12 =3 = = + 4 4 4 4 4

42 40 + 2 40 2 = = + = 5 5 5 5

1 . 4

1 3 1 3 +2 = +2+ = 2 4 2 4

125 50 50 25 25 1 = + + =2 =2 50 50 50 50 50 2

7. 2

55% de 3 000 = 55 x 30 = 1 650

c) Açúcar:

9 7 90 35 125 + = + = 5 10 50 50 50

55% de 3 000 = 55 x (3 000 : 100)

1 1 3 , e 2 3 4

b) No bolo de rolo; 4

4 5 4 9 = + = 5 5 5 5

5. 55% de 3 000 = 55 x 1% de 3 000

e) Respostas pessoais.

Atividades p. 163 1.

1 do todo é: 2 1 100 50 x = = 50% 2 100 100

João

João João

João

a) Beto comeu 2 pedaços. 1 do todo é: 4 1 100 25 x = = 25% 4 100 100 A parte que Beto comeu representa 25% do todo. b) João comeu 4 pedaços. 1 do todo é: 2 1 100 50 x = = 50% 2 100 100 A parte que João comeu representa 50% do todo. 25 50 75 + = = 75% 100 100 100 O todo é representado por

2. 50% do círculo equivale à metade do círculo representado pelo setor A.

3. 50% do círculo equivale à metade do círculo e 25%, à sua quarta parte. A representação gráfica em que se tem essas representações é a da alternativa d.

Os dois comeram juntos:

4. 37% de 25 000 = 37 x 1%

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

= 27 +

8 pedaços. 2 + 4 = 6 pedaços. 3 6 = 4 8 8. a) 6% de 35 000 = 6 x 1% de 35 000

de 25 000

1% de 35 000 = 35 000 : 100 = 350

37% de 25 000 =

Logo:

= 37 x (25 000 : 100) 37% de 25 000 = 37 x 250 = = 9 250 9 250 reais.

6% de 35 000 = 6 x 350 = 2 100 Não votaram 2 100 eleitores. b) 35 000 _ 2 100 = 32 900 Votaram 32 900 eleitores.

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9. Pacientes que não tiveram condições de fazer o transplante: 61% de 6 200 = 61 x 1% de 6 200 1% de 6 200 = 6 200 : 100 = 62 Logo: 61% de 6 200 = 61 x 62 = 3 782 Pacientes que restam na fila de espera: 6 200 _ 3 782 = 2 418 Restam na fila de espera 2 418 pacientes. 10. a) 100 _ 65 = 35 Gastaria 35 reais a mais. b)

3. a) Número par (há uma quantidade maior de números pares nas bolas numeradas). b) Há 9 bolas com número par. A probabilidade de retirar um número par ao retirar uma bola é de 3 9 9 para 15, ou seja, = . 5 15 c) Há 6 bolas com número ímpar. A probabilidade de retirar um número ímpar ao retirar uma bola é 2 6 de 6 para 15, ou seja, = . 5 15 4. a) 10 fichas.

35 = 35% 100

b) Uma letra (há uma quantidade maior de fichas em que estão escritas as letras).

c) Resposta pessoal.

c) A probabilidade de retirar uma ficha em que está escrita uma letra 7 é de 7 para 10, ou seja, . 10 d) A probabilidade de retirar uma ficha em que está escrito um número é de 3 para 10, ou seja, 3 . 10

Pense e responda p. 164 1. a) • 10 fichas. • Múltiplos de 5: 15, 20, 35, 50, 40, 25, 30 e 5. 8 fichas. • Em 2 fichas (13 e 21). b) Uma ficha com um número múltiplo de 5 (há um número maior de fichas com número múltiplo de 5).

Atividades p. 165 1. a) Lápis colorido (há um número maior de lápis colorido). b) • A probabilidade de retirar um lápis colorido é de 13 para 20, ou 13 seja, . 20 • A probabilidade de retirar um lápis 7 . preto é de 7 para 20, ou seja, 20 2. a) A probabilidade de retirar uma bola branca é de 2 para 12, ou seja, 1 2 = . 6 12 b) A probabilidade de retirar uma bola amarela é de 6 para 12, ou 1 6 seja, = . 2 12 c) A probabilidade de retirar uma bola vermelha é de 4 para 12, 1 4 ou seja, = . 3 12

2 40 = 5 100

Alternativa c.

Tratamento da informação p. 166 1. Tem direito ao voto todo brasileiro com idade a partir de 16 anos. O voto torna-se obrigatório para eleitores entre 18 e 69 anos. Pode ser votado todo brasileiro com filiação partidária e que tenha a idade mínima exigida para o cargo. 2. Resposta pessoal.

Retomando o que aprendeu p. 168 1.

1 = 65 : 5 = 13 5 Nos demais andares: 65 _ 13 = 52 Alternativa d. 3. 33 =

1 1 1 99 = 33 + = = + 3 3 3 3 100 3

100 rotações por minuto. 3 Em 15 minutos: 100 x 15 = 500 3 Deu 500 rotações. 4. Candidatos entrevistados: 420. Candidatos rejeitados: 7 = 420 7 1 = 420 : 7 = 60 7 5 = 60 x 5 = 300 7

Desafio 5. 40% =

5 = 65 5

1 12 = 5 60

Candidatos aceitos: 420 _ 300 = 120 Alternativa d. 5. Figura toda: 100% = Parte pintada:

100 . 100

1 da figura: 5

1 de 100% 5 1 100 20 x = = 20% 5 100 100 Alternativa c. 6. Bolas amarelas: 100 _ (45 + 20) = = 100 _ 65 = 35 35 = 35% 100 Alternativa d.

2. Cartas entregues no 1o andar:

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Atividades p. 177

7. 1 hora = 60 minutos 60 minutos = 1 minuto =

60 60

1. Gustavo deve escrever 4,15. 7. a)

2. a) 5,2

1 60

b) 0,52

35 7 35 minutos = = 60 12

c) 7,7

Alternativa b.

d) 0,77

42 = 0,42 100

225 = 2,25 100

d) 4

f) 0,07

1 = 36 000 : 2 = 18 000 3 3 = 18 000 x 3 = 54 000 3 Alternativa d. 2 1 2 1 2 de = x = 5 3 5 3 15 Alternativa a. 10. Há na figura 10 metades de quadrados pintados e 3 quadrados inteiros; então, temos:

3. a) 1,3 =

13 10

4 002 1 000

20 centavos =

1 20 = 5 100

e) 0,085 =

85 1 000

b) 1 centavo =

1 real 100

50 centavos =

1 50 = 2 100

3 10 297 100

Alternativa b.

1 005 1 000

h) 1,005 =

João: R$ 21 270,00;

4. 0,25 =

25 100

Logo: x = 100.

Guilherme: R$ 14 180,00 2 4 = 5 10

5. a) 0,4 =

12. Resposta pessoal. UNIDADE 6

3 75 = 4 100

b) 0,75 =

A forma decimal dos números racionais

c) 1,6 =

Pense e responda p. 172

d) 0,45 =

1 . 10

2. A centésima parte ou 3. A milésima parte ou

1 . 100

1 . 1 000

1 x 50 50 = = 0,50 2 x 50 100

d) 4,002 =

g) 2,97 =

35 450 _ 21 270 = 14 180

400 6 406 + = = 4,06 100 100 100

13 1 000

5+3=8

106 350 : 5 = 21 270;

6 6 =4+ = 100 100

c) 0,013 =

f) 0,3 =

11. 35 450 x 3 = 106 350

13 100

b) 0,13 =

10 metades de quadrados = = 5 quadrados

1. A décima parte ou

8 = 0,8 10

e) 0,7

2 8. = 36 000 3

d) Três reais e cinquenta e quatro centavos.

8 16 = 5 10 45 9 = 100 20

6. a) Um real e dezenove centavos. b) Cinco reais e vinte e nove centavos.

9. a) 1 centavo =

10. a) 2,2 =

1 real 100

22 11 = 10 5

b) 0,44 =

44 11 = 100 25

c) 0,25 =

1 25 = 4 100

d) 2,4 = e) 2,50 = f) 3,2 =

24 12 = 10 5 5 250 = 2 100 32 16 = 10 5

11. a) Oitenta e cinco centésimos. b) Oito milésimos. c) Sete inteiros e três décimos. d) Um inteiro, cento e quarenta e sete milésimos.

c) Sete reais e quarenta e seis centavos.

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Atividades p. 179 1. a)

7. a)

10,0 _ 1,4

16,9

8,6

_ 7,6 24,5 b)

100,00 _ 80,75

35,2

19,25

_ 9,8 25,4 c)

1 000,00 _ 345,27

0,85 2,226

8. Comprimento: 0,25 + 1,70 + + 0,15 + 3,80 + 0,15 + 4,10 + + 0,25 = 10,40 Largura: 0,25 + 3,80 + 0,15 + + 4,50 + 0,25 = 8,95 Comprimento = 10,40 m; largura = 8,95 m.

25,00 _ 18,25 6,75

2,330 + 2,033 2,666

Desafio

7,029 f)

15,00

5,150

_ 9,85

+ 3,275

5,15

8,425

0,381 + 0,589 0,97 Menor; 0,97 , 1.

7,40 _ 4,78 2,62 Foi aumentada em 2,62 metros.

2,50 _ 1,35 1,15 Tem a mais 1,15 metro.

5. x = (51,7 + 8,36) _ (16,125 + 7,88) x = 60,06 _ 24,005 x = 36,055 6.

= 100 x =

3,000 _ 1,899 1,101 O número que devemos adicionar é

9. Soma nas linhas horizontais e verticais: 1,6 + 2,1 + 1,4 = 5,1 A = 5,1 _ (2,1 + 1,3) A = 5,1 _ 3,4 A = 1,7 B = 5,1 _ (1,5 + A) B = 5,1 _ (1,5 + 1,7) B = 5,1 _ 3,2 B = 1,9 C = 5,1 _ (1,6 + 1,5) C = 5,1 _ 3,1 C = 2,0 D = 5,1 _ (C + 1,3) D = 5,1 _ (2,0 + 1,3) D = 5,1 _ 3,3 D = 1,8 10. Resposta pessoal.

Atividades p. 182

572 = 1 000

572 = 57,2 10

c) 10 x 0,92 = 92 = 100

= 10 x =

654,73

+ 1,376

b) 100 x 0,572 =

92 = 9,2 10

d) 1 000 x 0,0029 = 29 = 1 000 x = 10 000 =

29 = 2,9 10

2. 1 000 x 22,5 = = 1 000 x

225 = 22 500 10

22 500 cm = 225 m 3. a) 5 x 9,5 = 95 5 x 95 = = 10 10

=5x =

475 = 47,5 10

b) 7 x 1,25 = 125 7 x 125 = = 100 100

=7x =

875 = 8,75 100

c) 12 x 8,3 = 83 12 x 83 = = 10 10

= 12 x =

996 = 99,6 10

d) 25 x 0,64 = = 25 x =

64 25 x 64 = = 100 100

1 600 = 16 100

e) 3 x 0,989 = 1. a) 10 x 1,08 = 108 = = 10 x 100 108 = 10,8 = 10

=3x =

989 3 x 989 = = 1 000 1 000

2 967 = 2,967 1 000

1,101.

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10/4/18 14:55

f) 7,2 x 4,8 =

d) 1,7 x 3 x 5,29 =

72 48 x = 10 10

17 529 x3x = 10 100

3 456 = 34,56 100

51 529 x = 10 100

26 979 = 26,979 1 000

g) 0,9 x 10,5 = =

9 105 x = 10 10

945 = 9,45 100

725 6 x = 100 10

4 350 = 4,35 = 1 000 i) 9,9 x 5,5 = =

99 55 x = 10 10

5 445 = 54,45 = 100 j) 0,96 x 0,5 = =

96 5 x = 100 10

480 = 0,48 = 1 000 4. a) 0,7 x 0,9 x 3,5 = =

7 9 35 x x = 10 10 10

63 35 x = = 100 10 =

2 205 = 2,205 1 000

b) 14,2 x 0,4 x 2,5 = =

142 4 25 x x = 10 10 10

568 25 x = 100 10

14 200 = 14,2 1 000

c) 3,21 x 0,9 x 1,07 = =

321 9 107 x x = 100 10 100

2 889 107 x = = 1 000 100 =

309 123 = 3,09123 100 000

= 9 870 x

154 = 100

1 519 980 = 15 199,8 100 Alternativa c. =

5. A = 257 x 0,006

13. a) Estimativa possível: 600; valor exato: 602,4.

6 1 000

b) Estimativa possível: 150; valor exato: 148,5.

A = 257 x

h) 7,25 x 0,6 = =

12. 987 x 154 = 151 998 9 870 x 1,54 =

1 542 1 000

A = 1,542 B = 3 x 1,025 B=3x B=

1 025 1 000

3 075 1 000

B = 3,075

c) Estimativa possível: 350; valor exato: 347,9. d) Estimativa possível: 72; valor exato: 73,08. Há outras possibilidades de estimativas.

Atividades p. 183 1. a) (3,7)2 = 3,7 x 3,7 = 13,69

A + B = 1,542 + 3,075

b) (0,6)3 = 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

A + B = 4,617

c) (2,5)2 = 2,5 x 2,5 = 6,25

6. a) 9,05 _ 2,5 x 2,5 = = 9,05 _ 6,25 = 2,8 b) (6 _ 1,07) x 3,1 = = 4,93 x 3,1 = 15,283 7. 0,9 x 0,08 = 0,072 Alternativa c. 8. 9 x 3,75 = 33,75 A altura do prédio é 33,75 metros. 9. 12 x 0,22 = 2,64 O comprimento real é 2,64 metros. 10. 8 x 13,4 + 4 x 41,2 = = 110,4 + 165,6 = 276 Serão necessários 276 cm. 11. 2 x 1,80 + 1,20 = = 3,60 + 1,20 = 4,80 Alternativa d.

d) (2,4)0 = 1 e) (1,5)3 = 1,5 x 1,5 x 1,5 = 3,375 f) (3,02)1 = 3,02 2. a) (0,4)3 = 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 1,000 _ 0,064 = 0,936 O cubo é 0,064 e falta 0,936 para atingir 1 unidade. b) (0,6)3 = 0,6 x 0,6 x 0,6 = = 0,216 1,000 _ 0,216 = 0,784 O cubo é 0,216 e falta 0,784 para atingir 1 unidade. c) (0,9)3 = 0,9 x 0,9 x 0,9 = = 0,729 1,000 _ 0,729 = 0,271 O cubo é 0,729 e falta 0,271 para atingir 1 unidade. 3. x = (0,08)2 x 102 + 2,6 x = 0,0064 x 100 + 2,6 x = 0,64 + 2,6 = 3,24

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10/4/18 14:55

4. a = (1,2 : 0,5)2

c) (1,4 + 2,9 _ 0,6)2 _ 1,8 =

a = (2,4)2

= (4,3 _ 0,6)2 _ 1,8 =

a = 5,76

= (3,7)2 _ 1,8 =

b = (1,2 x 0,5)2

= 13,69 _ 1,8 = 11,89

b = (0,6)2

d) (0,3)3 + (1,2 _ 0,9)2 + (0,2)4 =

b = 0,36

= 0,027 + (0,3)2 + 0,0016 =

a + b = 5,76 + 0,36 = 6,12

= 0,027 + 0,09 + 0,0016 =

5. a) (1,2)2 + (0,9)2 = = 1,44 + 0,81 = 2,25 b) (1,2 + 0,9) = 2

= (2,1)2 = 4,41 6. x = (0,6)2 + (0,8)2 x = 0,36 + 0,64 x=1

= 0,1186 e) (1,2 _ 0,7 + 0,1)2 x (0,4)2 = = (0,5 + 0,1)2 x 0,16 =

a = 4 : 0,16

b = 0,4 x 16 b = 6,4 Logo: a . b.

Educação financeira p. 184

1,50 + 1,80 + 1,65 = 4,95 Joana recebeu na semana R$ 4,95. b) 17 x 4,95 = 84,15 Joana teria R$ 84,15.

Pense e responda p. 186

9. a) (1,5 _ 0,2)2 : (0,3 + 0,1) =

1. a) C D U e d; D U e d c; U e d c m.

= 1,69 : 0,4 = 4,225 b) (0,8 _ 0,15 : 0,3)3 : 5,4 + (0,5)2 = = (0,8 _ 0,5) : 5,4 + 0,25 = 3

= (0,3)3 : 5,4 + 0,25 = = 0,027 : 5,4 + 0,25 = = 0,005 + 0,25 = 0,255 10. a) (0,2)3 + (1,3)2 _ (0,5)2 = = 0,008 + 1,69 _ 0,25 = = 1,698 _ 0,25 = 1,448 b) (0,4)3 + (0,8)2 _ 0,7 = = 0,064 + 0,64 _ 0,7 = = 0,704 _ 0,7 = 0,004

2. 6,1 : 0,61 = =

61 61 : = 10 100

61 100 x = 10 10 61

3. 124,1 : 17 = = 1 241 : 170 = 7,3 7,3 litros.

5 = 0,05 8. 5% = 100 (0,05)2 = 0,0025

= (1,3)2 : 0,4 =

= 106,2 x 0,01 = 1,062

= 0,36 x 0,16 = 0,0576

• 50,00 _ 48,35 = 1,65

b = 0,4 x 42

1 = 100

Serão colocados em cada tonel

• 1,00 + 2 x 0,25 + 3 x 0,10 = 1,80

a = 25

= 106,2 x

= (0,6) x 0,16 = 2

1. a) • 5 x (3,00 _ 2,90) + 5 x x (14,00 _ 13,80) = 1,50

7. a = 4 : (0,4)2

d) 106,2 : 100 =

b) A cada divisão a vírgula se deslocou para a esquerda. 2. Observa-se o mesmo deslocamento da vírgula. 3. Resposta pessoal.

Ele comprou 65 dólares. 5. 162,80 : 2,96 = = 16 280 : 296 = 55 Cabem no tanque 55 litros. 6. a) 10,6 : 2 = = 106 : 20 = 5,3 b) 7,25 : 5 = = 725 : 500 = 1,45 c) 30,6 : 20 = = 306 : 200 = 1,53 d) 171,6 : 26 = = 1 716 : 260 = 6,6 7. 1 468,32 : 552 = = 146 832 : 55 200 = 2,66 O valor do euro era R$ 2,66.

117 1 = 10

= 37 x 0,1 = 3,7 b) 5 006 : 1 000 = 1 = 5 006 x = 1 000 = 5 006 x 0,001 = 5,006 c) 5,7 : 10 = 1 = 5,7 x = 10 = 5,7 x 0,1 = 0,57

= 14 040 : 216 = 65

8. 897

Atividades p. 189 1. a) 37 : 10 h 37 x

4. 140,40 : 2,16 =

78 11,5

390 0 Rodou 11,5 quilômetros. 9. a) 13 : 5,2 = = 130 : 52 = 2,5 b) 21,4 : 2,14 = = 2 140 : 214 = 10 c) 0,14 : 2,8 = = 14 : 280 = 0,05

315

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10/4/18 14:55

d) 5,12 : 0,064 =

16. a) 67,2

= 5 120 : 64 = 80

10. 512 : 1,6 =

b) 2 x (88,00 _ 30,80) =

b) 72

11 6,54

= 990 : 55 = 18 c) 8,7 N = 910 : 35 N = 26

1 80

2,3 3,78

190 06

O valor de N é 26. 13. a) 24,8 : 4 + 45,5 : 5 = = 6,2 + 9,1 = 15,3

Atividades p. 191 1. a) 3% = 0,03 b) 21% = 0,21

= (50 : 5) : 0,5 =

c) 42% = 0,42

= 10 : 0,5 = 100 : 5 = 20

d) 150% = 1,50

= (2,2 + 3,83) : 0,9 = = 6,03 : 0,9 = 6,7 14. D = (0,012 + 1,5) : 1,68 D = 1,512 : 1,68 D = 1 512 : 1 680

10 40 4 b)

100 0,303 1 c)

1,3

0,6

10 2,1 4

obtida foi 4,2. c) Espera-se que as estimativas estejam entre 3,8 e 4,1. d) ? = 4,1 : (100% + 2,5%) ? = 4,1 : 102,5% 1 025 1 000 1 000 1 025

980 + 147 = 1 127

? = 4,0

Passou a custar R$ 1 127,00.

O valor que falta é 4,0.

3. a) 51% = 0,51 0,51 x 3 340 = 1 703,4

4. a) Já pintou: 0,85 x 16,8 = 14,28 Já pintou 14,28 m2.

e) Resposta pessoal. f) Resposta pessoal.

Tratamento da informação p. 192 Respostas pessoais.

Tecnologias p. 194

b) Falta pintar:

1. Resposta pessoal.

16,8 _ 14,28 = 2,52

2. a) 2,75 + 3 = 5,75

Falta pintar 2,52 m2. 100

b) Não, até agora a maior nota

? = 4,1 x

85% = 0,85

12,16

A nota subiu 0,1, e o percentual

980 x 0,15 = 147

1,2 x 2 500 = 3 000

= 0,244 x 100 = 2,44

2. 15% = 0,15

Triplo do número:

= 0,1 : 4,1 x 100 =

? = 4,1 :

b) 120% = 1,2

15. a) 73

7. a) (4,2 _ 4,1) : 14,1 x 100 =

e) 55% = 0,55

D = 0,9 D = 3 x 0,9 = 2,7

O valor pago é R$ 114,40.

foi 2,44%.

b) (0,05 : 0,005) : 0,5 =

c) (2 x 1,1 + 3,83) : 0,9 =

= 2 x 57,20 = 114,40

Desafio

Há nesse rolo 18 metros de fio. 12. N = 91 : 3,5

= 0,35 x 88,00 = 30,80 O desconto é de R$ 30,80.

60 11. 9,9 : 0,55 =

5,16

6. a) 35% de R$ 88,00 =

= 5 120 : 16 = 320 Há 320 milhas.

5. (3% de 250) + (7% de 150) _ (4% de 90) = = (0,03 x 250) + (0,07 x x 150) _ (0,04 x 90) = = 7,5 + 10,5 _ 3,6 = = 18 _ 3,6 = 14,4 O valor da expressão é 14,4.

b) 7 _ 4,5 = 2,5 c) 8 x 10 = 80 d) 36 : 3 = 12 3. a) 17 453 000 x 349 = = 6 091 097 000 b) 10 dígitos.

316

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2. 5,00 _ (3 x 0,20 + 1,50) = = 5,00 _ (0,60 + 1,50) = = 5,00 _ 2,1 = 2,9 Alternativa c. 3. 1 500 x 2,85 = 4 275,00 Gastou nessa compra R$ 4 275,00. 4. 8 x 27,7 = 221,6 Vai lançar no ar 221,6 g de monóxido de carbono. 5. 10 = 40 : 4 2,5 = 10 : 4 ? = 2,5 : 4 ? = 0,625 Alternativa a. 6. 37,8 _ 0,5 = 37,3 Alternativa a. 7. 1o número: (9 : 2 + 4 x 1,25) = = (4,5 + 5,0) = 9,5 2o número: (2 x 1,05 _ 6,4 : 4) = = (2,1 _ 1,6) = 0,5 (1o número) x (2o número) = = 9,5 x 0,5 = 4,75 Alternativa d. 8. (3,5 x 416 _ 715) : 10 = = (1 456 _ 715) : 10 = = 741 : 10 = 74,1 A expectativa de vida é 74,1 anos. 9. De B até C: 3 103,2 x = 4 =

3 1 032 = x 4 10

774 = 77,4 10

De A até C: 103,2 + 77,4 = 180,6 Alternativa b.

completo: 75% de 320 = =

Atividades p. 206 1. a) 3 horas. b) 9 horas.

75 x 320 = 100

= 0,75 x 320 = 240

Não tinham o curso universitário completo:

320 _ 240 = 80 Alternativa e.

3 8

4 7

11. (63 x 0,7) : 0,9 =

= 44,1 : 0,9 = 49 c) Maior.

Alternativa a.

d) 1 volta.

12. 16 x 0,30 + 15 x 0,55 =

e) 180°

= 4,80 + 8,25 = 13,05 Alternativa c. 13. Alternativa d.

14. Resposta pessoal.

Atualidades em foco p. 199

3 8

4 7

1 1 e ; Entre 0,25 e 0,333...; 4 3 entre 25% e 33,3%.

1. Entre

2. 1 300 x 0,06 = 78;

78 bilhões de toneladas.

90°

3. O número total de pessoas que vivem em situação de fome na região da América Latina e do Caribe corresponde a 47 000 000. Sabendo que desse número 14 000 000 se encontram no Brasil. O percentual que representa esse número de pessoas em situação de fome no Brasil corresponde a aproximadamente 29,79%.

Final Entrada

4. Resposta pessoal. 5. Resposta pessoal. UNIDADE 7

92°

B 45°

Ângulos e polígonos C

Pense e responda p. 202 1. a e B; b e A; c e C.

130°

93°

DANI MOTA

1. 52 _ 3 x (4,1 _ 1,8) = = 52 _ 3 x 2,3 = = 52 _ 6,9 = 45,1 Aternativa b.

10. Tinham curso universitário

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Retomando o que aprendeu p. 196

4. Resposta pessoal.

317

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10/8/18 11:29 AM

Fórum p. 207 • distância x 0,84 = 40 h h 40 : 0,84 1 48 Ou seja, aproximadamente 48 polegadas. • Resposta pessoal.

geométrica plana limitada por uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta. 2. Sim; polígono não convexo. 3. a) Octógono. b) Quadrilátero.

Pense e responda p. 208 1. a) As retas r, s e t são paralelas; as retas r e u, s e u, t e u são retas concorrentes. b) Os ângulos formados entre as retas paralelas e a reta que as intercepta são congruentes em cada um dos momentos.

Pense e responda p. 209 1. Sim, as retas apresentadas são paralelas. 2. Como a régua não foi movimentada, a inclinação do esquadro não foi modificada, logo as retas são paralelas, como o que ocorreu na construção com o GeoGebra.

4. 6 lados; hexágono. 5. Triângulo. 6. Sim. 7. Polígono regular cuja medida do lado é 5 unidades de comprimento: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30 30 unidades. Polígono regular cuja medida do lado é 3 unidades de comprimento: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24 24 unidades. 8. Alternativa c.

Tratamento da informação p. 216 1. Texto, gráfico de setores e fotos.

3. Sim, as novas retas seriam paralelas, pois a inclinação das novas retas seria a mesma uma vez que a régua é fixa.

2. Resposta pessoal.

Pense e responda p. 210

1. a) Escaleno.

1. Sim, as retas representadas são perpendiculares. 2. As duas retas se cruzam em um único ponto, e os ângulos formados entre elas são ângulos retos.

Pense e responda p. 211

Atividades p. 220

b) Equilátero. c) Isósceles.

3. 1: escaleno; 2: equilátero; 3: isósceles. 4. a) 1 e 3. b) 2 e 4.

Pense e responda p. 228 1. Os pontos que determinam um segmento de reta horizontal possuem o mesmo valor no eixo y (pontos A e C); os pontos que determinam um segmento de reta horizontal possuem o mesmo valor no eixo x (pontos B e D). Resposta pessoal. 2. Os pontos podem variar, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo x, e o comprimento deve ser de 16 u. c. 3. Os pontos podem variar, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo y, e o comprimento deve ser de 16 u. c.

Atividades p. 229 1.

c) Retângulo. d) Retângulo.

2. Resposta pessoal.

4. b) 1; 1 + 10 = 11; 10 + 45 = 55; 45 + 120 = 165; 120 + 210 = 330; 210 + 252 = 462; 252 + 210 = 462; 210 + 120 = 330; 120 + 45 = 165; 45 + 10 = 55; 10 + 1 = 11; 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1.

1. A figura do item a. Justificativa possível: porque é uma figura

2. Alternativa d.

b) Obtusângulo.

Desafio

Atividades p. 215

1. a) Figuras 1, 3 e 4. b) • Figuras 3 e 4. • Figura 3. c) Figuras 2 e 5. d) Figura 2.

2. a) Acutângulo.

1. a) Abertas: A, D; Fechadas: B, C, E. b) Resposta pessoal. c) B, C.

3. Quadro B.

Atividades p. 223

3. Resposta pessoal.

y 7 B 6 A 5 4 E 3 2 D 1 0

y 5 4 3 2 1 0

C 1 2 3 4 5 6 7x

R A P

1 2 3 4 5 6x

318

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10/4/18 14:55

3. a) b) c) d)

6. Alternativa b.

P (4 , 2) A (6, 0) B (0, 6) C (2, 0)

7. Alternativa d.

4. a) A (1, 1); B (1, 4); C (4, 4); D (4, 1) b) 3 unidades de comprimento.

8. Alternativa b. 9. Resposta pessoal.

5. a) A (1, 1), B (5, 1), C (1, 3) b) 2 unidades de comprimento. c) 4 unidades de comprimento.

5. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. 6. 5 _ 2 x 1,6 = 5 _ 3,2 = 1,8 Alternativa a. 7. 43,2 m = 4 320 cm 4 320 : 24 = 180 Alternativa b.

Desafio

8. 64 m = 6 400 cm

6. a) (5, 7) e (12, 4) b) Resposta pessoal.

6 400 : 20 = 320 Cada retalho terá 320 cm de comprimento.

Tecnologias p. 230 1. Respostas pessoais.

9. Resposta pessoal.

2. Respostas pessoais.

Por toda parte p. 241

3. Não, pois a homotetia também permite a redução de figuras quando 0 < fator < 1.

UNIDADE 8

Comprimento e área

Retomando o que aprendeu p. 232

Pense e responda p. 236

1. Triângulo equilátero.

1. Marcos, porque contou o menor valor em pedaços de barbante.

2. a) Triângulo escaleno. b) Triângulo isósceles.

4. Escaleno. 4 trapézios. 6 paralelogramos. 3 losangos. 2 quadrados.

Paralelogramo Quadrado Losango

3. a) Xangai; 570 000 m.

c) 292 km _ 286 km = 6 km

1. 1,609 x 74 = 119,066 A distância entre as duas cidades é 119,066 km.

As duas cidades se localizam na Ásia. Tóquio, no Japão, e Seul, na Coreia do Sul.

2. a) km

d) 418 000 m _ 78 000 m = = 340 000 m

b) m

Trapézio

d) cm

Paralelogramo Losango

3. 1 polegada = 25,4 mm = 2,54 cm

Paralelogramo Paralelogramo

1 polegada = 2,54 : 2 = 1,27 2 Tem de diâmetro 1,27 cm. Trapézio

Paralelogramo

4. a) 10,5 x 15 = 157,5

Paralelogramo Quadrado Losango

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Trapézio

Resposta pessoal.

Atividades p. 240

c) mm

Trapézio

2. 78,0 km _ 40,9 km = 37,1 km = = 37 100 metros

b) Americano; Brasília.

3. a) 6 triângulos. b) Equilátero.

5. a) b) c) d)

1. 200 000 km _ 78 km = 122 000 km

A distância real é de 157,5 km b) 68 250 m = 68,250 km 68,250 : 10,5 = 6,5 A uma distância de 6,5 cm.

Pense e responda p. 242 1. Resposta pessoal. 2 x 35 + 2 x 22 = = 70 + 44 = 114 Precisaria de 114 m de fio. 2. 40 + 30 + 50 = 120 Vai usar 120 m de fio.

Atividades p. 243 1. a) 4,1 + 1,5 + 3,8 + 3 = 12,4 O perímetro é 12,4 cm. b) 3 x 2,9 = 8,7 O perímetro é 8,7 cm.

319

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c) Transformando todas as medidas em centímetro, temos: 12 mm = 1,2 cm 25 mm = 2,5 cm 0,3 dm = 3,0 cm 3,6 + 1,2 + 3,1 + 2,5 + 3,0 = 13,4 O perímetro é 13,4 cm. 2. Comprimento = 10,2 cm Largura = metade do comprimento = 10,2 : 2 = 5,1 2 x 10,2 + 2 x 5,1 = 30,6 O perímetro é 30,6 cm.

6. a) 2 x 7,2 + 2 x 10,6 = = 14,4 + 21,2 = 35,6 O perímetro do quadrado é 35,6 cm.

60 x 700 = 420 100 A área reservada para o plantio é 420 ha.

Em 1 hectare temos 20 bois, em 7 hectares, temos:

Os outros lados medem 16 cm, 4 cm e 16 cm. Alternativa d.

Pense e responda p. 244

Figura X.

1. O interior da figura tem 32 quadrados e 5 triângulos; logo, 64 triângulos e 5 triângulos.

7 6

3 2

No interior da figura cabem 10

14 16

69 triângulos.

Atividades p. 247

15 17

Figura Y. 14 13

12 10

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

18 9

20 6

2 1

29 30

Figura Z.

7 x 20 = 140 Poderiam ser criados 140 bois. 7. 1 hm2 = 10 000 m2 10 000 = 100 Um quadrado de 100 m de lado. 8. a) 190 000 000 : 8 500 000 = 22,35 A densidade demográfica é 22,35 habitantes. b) 190 732 694 : 8 515 767 1 1 22,40 hab/km2 c) 22,40 _ 22,35 = 0,05 A diferença é de 0,05. 9. Resposta pessoal.

1. Resposta pessoal.

Pense e responda p. 248

2. Na figura, temos 12 quadrados e 10 triângulos que formam 5 quadrados; logo, a área destacada corresponde a 17 unidades.

1. Resposta pessoal.

Alternativa c.

6. 1 hectare = 10 000 m2

5 + 6 + 7 = 18 O perímetro é 18 cm.

b) 700 _ 420 = 280 A área reservada para o gado é 280 ha.

70 000 m2 = 7 hectares

32 : 2 = 16 15

5; 6; 7

40 _ (4 + 4) = 40 _ 8 = 32

5. a) 1 km2 = 100 ha

8,9 cm.

5; 5 + 1, 5 + 1 + 1

d) 0,72 hm2 = 7 200 m2

60% de 700 ha =

9. O perímetro é 40 cm e um dos lados mede 4 cm.

c) 1 km2 = 1 000 000 m2

A medida do lado do quadrado é

8. Medidas dos lados do triângulo:

b) 1 250 cm2 = 0,125 m2

7 km2 = 700 ha

O perímetro é 15 cm.

4. a) 21 dm2 = 0,21 m2

b) 35,6 : 4 = 8,9

3 x 5 = 15

b) 2 x 24,5 + 2 x 11,8 = = 49,0 + 23,6 = 72,6 Não.

Alternativa d.

20 : 4 = 5

4. a) 4 x 17,2 = 68,8 Sim.

Figura Z: 32 cm

7. Medida do lado do quadrado = = medida do lado do triângulo

3. 65 cm = 0,65 m 6 x 0,65 = 3,90 O perímetro da lajota é 3,90 m.

Figura X: 20 cm; Figura Y: 18 cm e

3. No desenho, temos 24 quadrados e 8 triângulos que formam 4 quadrados; logo, a área destacada corresponde a 28 unidades. Alternativa b.

Pense e responda p. 250 1. Perímetro: 6 cm + 6 cm + 6 cm + + 6 cm = 24 cm; Área: 6 cm x 6 cm = 36 cm² 2. Perímetro: 1 cm + 1 cm + 1 cm + + 1 cm = 4 cm; Área: 1 cm x 1 cm = 1 cm²

320

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10/4/18 14:55

Quadrado 1

Quadrado 2

Quadrado 3

Quadrado 4

Do quadrado 1 para o quadrado 2, o perímetro dobrou e a área quadruplicou; do quadrado 1 para o quadrado 3, o perímetro triplicou e a área ficou nove vezes maior; do quadrado 1 para o quadrado 4, o perímetro reduziu pela metade e a área reduziu para um quarto. 4. No caso do perímetro, sim, a transformação é proporcional; porém, a área não se transforma proporcionalmente.

Pense e responda p. 251 1. Sim, mas, em vez de formar um retângulo, formaria um quadrado.

Atividades p. 252 1. a) A = 8 x 8 A = 64 A área é 64 cm2. b) A = 6 x 12 A = 72 A área é 72 cm2. 2. a) A = 15 x 15 = 225 A área é 225 cm2. b) 45 m2 = 450 000 cm2 450 000 : 225 = 2 000 São necessários 2 000 pisos. 25 x 16 2 A = 200

3. A =

200 x 80 = 16 000 1 cm2 = 0,0001 m2 16 000 cm2 = 1,6 m2 A área do vitral é de 1,6 m2.

17 cm

5 cm

EDITORIA DE ARTE

Medida Perímetro Área dos lados (cm) (cm²) (cm)

24 cm

5 cm

17 cm

A1 = 17 x 24 = 408 A2 = 24 x 5 = 120 A3 = 17 x 5 = 85 Área total: 2 x 408 + 2 x 120 + 2 x 85 = = 816 + 240 + 170 = 1 226 Alternativa b. 5. a) 18,29 x 36,57 = 668,8653 Aproximadamente 669 m2. b) 10,97 x 23,77 = 260,7569 Aproximadamente 261 m2. c) 3 x (2 x 17,07 + 2 x 34,77) = = 3 x (34,14 + 69,54) = = 3 x 103,68 = 311,04 São necessários 311,04 m2. 6. Área da parede: 8 x 2,75 = 22 1 lata pinta 10 m2: 22 : 10 = 2,2 Serão necessárias 3 latas de tinta. 7. a) 4,20 x 4,50 + 1,50 x 2,50 + + 4 x 4 + 3 x 4,5 = = 18,9 + 3,75 + 16 + 13,5 = = 52,15 São necessários 52,15 m2 de carpete. b) 2,5 x 3 + 4 x 4 + 1,7 x 4 = = 7,5 + 16 + 6,8 = 30,30 São necessários 30,30 m2 de cerâmica. c) (52,15 + 30,30) x 800,00 = = 82,45 x 800,00 = 65 960,00 O preço do apartamento é R$ 65 960,00. 8. 2 x (4 x 2,7) + 2 x (3 x 2,7) _ 2 x 1,6 _ 2 = = 2 x 10,8 + 2 x 8,1 _ 3,2 _ 2 = = 21,6 + 16,2 _ 3,2 _ 2 = = 37,8 _ 3,2 _ 2 = = 34,6 _ 2 = 32,6 São necessários 32,60 m2 de azulejos.

9. 2 x (5 x 4) + 2 x (4 x 8) + + (5 x 8) _ (1 x 3) _ (2 x 1,5) = = 2 x 20 + 2 x 32 + 40 _ 3 _ 3 = = 40 + 64 + 40 _ 3 _ 3 = = 144 _ 3 _ 3 = = 141 _ 3 = 138 1 lata de tinta pinta 40 m2. 138 : 40 = 3,45 Terei de usar 4 latas de tinta. 10. Resposta pessoal.

Tratamento da informação p. 254 1. a) Em 2006. b) 7 464 km² _ 7 000 km² = = 464 km² c) Expansão da pecuária e da agricultura, a grilagem de terras públicas e a exploração predatória da madeira. d) Pará e Mato Grosso. 2. a) Mais perto de 400; resposta pessoal. b) Por aproximação e estimativa. c) Aumentem, pois dos últimos cinco meses, somente em um houve uma queda nos números. 3. Resposta pessoal.

Retomando o que aprendeu p. 256 1. Alternativa a. 2. 100 000 000 x 0,1 = = 10 000 000 mm = 10 000 m Alternativa d. 3. (2 010 : 4) x 1,5 = = 502,5 x 1,5 = 753,73 cm = = 7,5375 m Alternativa b. 4. Contorno da sala: 2 x 3,50 + 2 x 6,30 = = 7,0 + 12,6 = 19,6 19,6 m = 1 960 cm 1 960 : 70 = 28 Alternativa a.

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10/4/18 14:55

13. a) Retângulo cor-de-rosa: 3 u e 8 u. Retângulo verde: 2 u e 12 u.

3 x 600 = 450 4 1 ha = 10 000 m2 = 0,01 km2 1 450 ha = 450 x = 4,5 100 Alternativa a.

6. 512 + 256 + 128 = 64 + 32 = 992 Alternativa b. 1 1 x 2 2

7. a) A =

c) Retângulo cor-de-rosa: 3 x 8 = 24 Retângulo verde: 2 x 12 = 24 Ambos têm medida de área igual a 24 u2.

1 4 1 1: =1x4=4 4 Foram necessárias 4 placas. A=

d) Há várias possibilidades de resposta.

b) 1 m2 = 4 placas 55 m2 = 55 x 4 = 220 Foram usadas 220 placas.

UNIDADE 9

8. A A = 8 x 8

b) Retângulo cor-de-rosa: 2 x 3 + 2 x 8 = 6 + 16 = 22 Retângulo verde: 2 x 2 + 2 x 12 = 4 + 24 = 28 Não. O perímetro do retângulo cor-de-rosa é 22 u, e o perímetro do retângulo verde é 28 u.

A A = 64

Massa, volume e capacidade

AB = 4 x 4 AB = 16 64 : 16 = 4 Alternativa c.

Pense e responda p. 260

2 1

1. Resposta pessoal.

Atividades p. 262

3 2

19 3

20 19

640

1. a) Quilograma. b) Tonelada.

640 _ 28 = 612 612 : 20 = 30,6 Alternativa d.

c) Miligrama.

8 x 5,2 2 41,6 A= 2 A = 20,8 A área é 20,8 cm2

f) Grama.

10. A =

11. Base: 18 cm 2 Altura: x 18 = 12 3 18 x 12 A= 2 A = 108 A área é 108 cm2. 12. Área do pátio: 40 x 32 = 1 280 Área da quadra: 20 x 12 = 240 Área livre: 1 280 _ 240 = 1 040 Restou 1 040 m2.

e) Quilograma.

2. a) g b) kg

6. 6 kg = (6 x 1 000) g = 6 000 g 6 000 : 750 = 8 Foram obtidos 8 pedaços de queijo. 7. Na figura, vemos: 1 coluna com 3 caixas, 4 colunas com 2 caixas e 3 colunas com 1 caixa. (3 + 4 x 2 + 3 x 1) x 25 = = 14 x 25 = 350 Alternativa c. 8. 2 kg = (2 x 1 000) g = 2 000 g 2 000 _ (250 + 200 + 450) = = 2 000 _ 900 = 1 100 Alternativa b. 9. 6 x 0,5 = 3 kg 3 kg = (3 x 1 000) g = 3 000 g 3 000 : 250 = 12 Correspondem a 12 embalagens.

Pense e responda p. 263

2. Reduzir pela metade a massa no outro prato. Resposta pessoal.

Atividades p. 264

c) g d) g e) kg f) kg 3. a) 2,3 kg = (2,3 x 1 000) g = = 2 300 g 3 kg = 4 = 750 g

b) 17,55 kg = (17,55 x 1 000) g = = 17 550 g 1 755 : 270 = 65 Poderiam ser feitos 65 sanduíches.

1. Dobrar a massa no outro prato. Resposta pessoal.

d) Tonelada.

5. a) 270 x 200 = 54 000 54 000 g = (54 000 : 1 000) kg = = 54 kg Serão necessários 54 kg.

3 ! 1000 g = 4

c) 950 mg = (950 : 1 000) g = 0,95 g 4. 1 t = 1 000 kg 83 000 kg = (83 000 : 1 000) t = = 83 t Essa carga tem 83 toneladas.

1. 2 kg de açúcar equilibram 4 potes de achocolatado. 1 pote de achocolatado equilibra 2 potes de fermento. 1 pote de fermento equilibra 5 caixas de gelatina. Logo: 4 x 2 x 5 = 40 São necessárias 40 caixas de gelatina para equilibrar 2 kg de açúcar. 2. 4 potes de achocolatado estão equilibrando 2 kg de açúcar; logo: 2 kg = (2 x 1 000) g = 2 000 g 2 000 : 4 = 500 Cada pote de achocolatado contém 500 g. 3. Resposta pessoal.

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Forum p. 264

9. V = 0,20 x 0,10 x 0,05

• Resposta pessoal. • Programa de Proteção de Defesa do Consumidor (Procon).

V = 0,001

e) 3,5 dL = (3,5 : 10) = 0,35 L

O volume da argila usada

f) 1 hL = ( 1 x 100) = 100 L

é 0,001 m3. 10. a) 840 dm3 = (840 : 1 000) m3 =

Pense e responda p. 265

= (840 x 0,001) m3 = 0,840 m3

1. Figura A: 42 cubinhos. Figura B: 210 cubinhos.

b) 14 500 000 mm3 = (14 500 000 : : 1 000 000 000) m3 =

Figura C: 24 cubinhos.

= (14 500 000 x 0,000000001) m3 = = 0,0145 m3

Atividades p. 268

3. 10 000 L = (10 000 x 1 000) mL = = 10 000 000 mL 10 000 000 : 250 = 40 000 Serão usadas 40 000 garrafas.

Desafio

c) 1 000 dm = 1 000 : 1 000 = = 1 m3

Largura: 3 unidades

11. a) 3,5 m3 = (3,5 x 1 000) dm3 = = 3 500 dm3

Altura: 4 unidades Volume: 6 x 3 x 4 = 72 Cabem na caixa 72 unidades.

b) 1 250 cm3 = (1 250 : 1 000) dm3 = = (1 250 x 0,001) = 1,25 dm3

2. Comprimento: 5 Largura: 2

1 3 m = 1 ! 1 000 dm3 = 4 4

1 ! 0,001 dm3 = 250 dm3 4

Altura: 3 Volume: 5 x 2 x 3 = 30 Alternativa d.

12. V = 13 = 1

3. Comprimento: 5

V = 1 m3 = (1 x 1 000) dm3 =

Largura: 3

= 1 000 dm3

Altura: 4 Volume: 5 x 3 x 4 = 60

13. Gastou:

Alternativa a.

2 2 135 x 13,5 = x =9 3 3 10 Restam:

4. V = 30 x 18 x 12 V = 6 480

13,5 _ 9 = 4,5

O volume é 6 480 m3.

Ainda restam 4,5 dm3.

5. V = (2,5)3

14. V = 1 m3

V = 2,5 x 2,5 x 2,5 V = 15,625 m

O volume do cubo é 15,625 m3.

7o golpe: 7 x 100 = 700 dm3 700 m = 700 dm (retirado) 3

6. V = 8 x 5 x 1,5

4. Uma solução é encher de água o balde menor e passar todo o conteúdo para o balde maior. A seguir, encher novamente o balde menor e passar para o maior a parte suficiente para completá-lo. O conteúdo que restar no balde menor será 1 litro de água. 5. Uma solução é encher de leite o recipiente de 500 mL e passar parte desse leite para o copo de 200 mL, enchendo-o. O que restar no recipiente de 500 mL serão os 300 mL de leite necessários para a receita.

Por toda parte p. 271 1. a) Resposta pessoal. O pão integral apresenta menos quantidade de calorias e dos demais elementos prejudiciais à saúde, como gordura e sódio. 2. b) Resposta pessoal.

1o golpe: 100 dm3

Tratamento da informação p. 272 Respostas pessoais.

1 dm3 = 0,001 m3

V = 60 m

Devem ser retirados 60 m3 de terra. 7. Vcubo = 43 = 64

700 dm3 = 0,7 m3 Permanece: 1 _ 0,7 = 0,3

Retomando o que aprendeu p. 274

Permanece no tanque 0,3 m3.

1. Vcubo = 103 = 1 000 cm3

Vparalelepípedo = 8 x 4 x 2 = 64 Os volumes são iguais: 64 m . 3

V = 5,712 m3

2. 33 cL = (33 : 100) L = 0,33 L

1. Comprimento: 6 unidades

8. V = 3,40 x 2,10 x 0,80

d) 87 mL = (87 : 1 000) = 0,087 L

Vsólido = 6 x 8 x 1 000 = 48 000

Atividades p. 270 1. a) 1 200 mL = (1 200 : 1 000) = = 1,2 L

O caminhão pode carregar

b) 85 cL = (85 : 100) = 0,85 L

5,712 m3.

c) 2 hL = (2 x 100) L = 200 L

O volume desse sólido é 48 000 cm3. 2.

5 5 12 3 x 1,2 = x = = 0,75 8 8 10 4 O volume do segundo sólido é 0,75 m3.

323

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possibilidades para a quantidade de

= 10 500

suco:

10 500 mL = (10 500 : 1 000) L = = 10,5 L Em uma semana serão consumidos 10,5 L.

• 475 + 325 = 800 mL (suco nas duas xícaras menores). Nesse caso, teríamos 1 600 mL de café, o que é impossível obter com

4. V = 5 x 1,20 x 1,20 Após a evaporação: V = 5 x 1,20 x (1,20 _ 0,05)

1 ou 2 xícaras dentre as I, II e III.

Nesse caso, a quantidade de café seria maior que 1 600 mL (800 x 2),

V = 6,9

o que só pode ocorrer com café nas

Após a evaporação restaram 6,9 m3.

xícaras I e II, que somam 1 700 mL

12 000 L = (12 000 x 1 000) mL = = 1 200 000 mL 12 000 000 : 750 = 16 000 Serão necessários 16 000 recipientes.

Dê a preferência

Velocidade máxima permitida

Sentido obrigatório

Indicação turística

Octógono – Triângulo – Círculo Círculo Polígono de 8 Polígono de 3 80 – Medida seta (reta), lados. lados. de velocidade. sentido horizontal, de oeste para leste.

• Maior do que 800 mL.

V = 5 x 1,20 x 1,15

5. 100 x 120 = 12 000

Parada obrigatória

(950 + 750). Assim, a quantidade de suco seria 850 mL, o que não pode ocorrer com as demais xícaras.

Mão dupla

Pedestre, ande pela esquerda

Círculo, setas (retas), sentido norte para sul e sul para norte.

Círculo, Losango setas (retas), sentido direita para esquerda ou leste para oeste.

Trânsito de ciclistas

Logo, há suco em apenas uma xícara; sendo assim, a solução dada

Proibido Carga máxima parar e permitida estacionar Círculo

Círculo, triângulo. Unidade de massa. T=tonelada 1 tonelada = = 1 000 kg. Então, 10 toneladas = = 10 000 kg.

na página anterior é a única possível. Alternativa e.

6. VA = 2 = 8 3

1 1 VB = ⎛ ⎞ = ⎝2⎠ 8 VA : VB = 8 :

1 = 8 x 8 = 64 8

O cubo B cabe 64 vezes no cubo A. 7. 2 L = (2 x 1 000) mL = 2 000 mL 2 000 : 130 1 15 Alternativa e. 8. 1 h = 3 600 s

10. 1

1 1 4 1 5 =1+ = + = 4 4 4 4 4

20 x

5 = 25 4

A massa da laje toda é 25 t. 11. 42 t = (42 x 1 000) kg = 42 000 kg 42 000 : 28 = 1 500 Cada bloco tem 1 500 kg. 12. 125

3 600 : 20 = 180

2 007: 0,125 t

180 x 7 = 1 260

2 008: 0,125 x 2 = 0,250

1 260 x 0,2 = 252

2 009: 0,250 x 2 = 0,500

252 cm3 = (252 : 1 000) dm3 =

2 010: 0,500 x 2 = 1,0

= 0,252 dm3

2 011: 1,0 x 2 = 2,0

O volume da água que vaza é

No ano de 2011.

0,252 dm . 3

9. Como 950 + 550 = 1 500 e 1 500 = 2 x 750, uma solução é: café na xícara I, suco na II, café na III, leite na IV e na V. Nessa solução temos apenas uma xícara com suco. Será que existe outra solução com suco em duas

13. Resposta pessoal.

Atualidades em foco p. 276 1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal. 3. Resposta pessoal.

Restaurante Altura limitada Losango, triângulo. Unidade de comprimento. 1 metro = = 100 centímetros 4 metros = = 400 centímetros.

Largura máxima permitida

Peso máximo Comprimento permitido por máximo eixo permitido

Círculo, triângulo. Unidade de comprimento. 3,0 metros = = 300 centímetros.

Círculo, triângulo. Unidade de massa. T=tonelada 2 toneladas = = 2 000 kg.

Círculo, triângulo. Unidade de comprimento 10 metros = = 1 000 centímetros.

CÓDIGO DE TRÂNSITO BRASILEIRO

Consumo semanal: 1 500 x 7 =

CÓDIGO DE TRÂNSITO BRASILEIRO

xícaras? Se sim, teríamos duas

CÓDIGO DE TRÂNSITO BRASILEIRO

3. Consumo diário: 750 x 2 = 1 500

5. Placas de regulamentação. Principais características: fundo branco, borda vermelha, símbolos e letras na cor preta. Estabelecem restrições e o que é permitido ou proibido na via. Placas de advertência. Principias características: fundo amarelo, borda preta, símbolos em preto. Alertam os usuários a condições que podem indicar perigo. Placas de indicação. Podem ser de quatro tipos: orientação e destino, serviços auxiliares, educativas e atrativos turísticos. Na questão anterior é apresentada uma de atrativo turístico e uma de serviços auxiliares. 6. Resposta pessoal.

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