ESQUEMAS - FORMULARIOS
4
Pamer SAN MARCOS
ESQUEMAS - FORMULARIOS
ÍNDICE GENERAL RAZ. MATEMÁTICO
Criterios de la divisibilidad ............... 24
Razonamiento Lógico ........................ 8
Números Primos ............................. 25
Orden de información ....................... 9
MCD y MCM .................................. 26
Planteo de ecuaciones -
Números racionales Q - Tanto
Edades ............................................ 10
por ciento ..................................... 27
Operaciones matemáticas ............... 11
Interés Simple - Mezclas .................. 28
Sucesiones ................................... 12 Series ........................................... 13
ÁLGEBRA
Ecuaciones diofánticas ...................... 14
Ecuaciones lineales ........................ 29
Análisis combinatorio ...................... 15
Principales productos notables ......... 30
Máximos y Mínimos ......................... 16
Ecuación cuadrática ....................... 31 Polinomios - Teoría de exponentes .... 32
ARITMÉTICA
Sistema de Ecuaciones .................... 33
Razón - Proporción - Promedios .......... 17
División de Polinomios - Factorización ... 34
Magnitudes proporcionales .............. 18
Teoría de Ecuaciones ........................ 35
Teoría de Conjuntos - Operaciones
Inecuaciones I ............................... 36
entre conjuntos ............................. 19
Inecuaciones II ............................. 37
Numeración ................................... 20
Valor absoluto - Relaciones y funciones ... 38
Adición y Sustracción ...................... 22
Binomio de Newton ........................ 39
Multiplicación y División - Teoría
Logaritmos .................................... 40
de la Divisibilidad ............................ 23
Números complejos ........................ 41
GEOMETRÍA Triángulos ..................................... 42 Congruencia de triángulos ............... 43
Reducción al primer cuadrante ......... 62 Circunferencia trigonométrica .......... 63 Identidades trigonométricas ............ 64
Cuadriláteros ................................ 44 Identidades de ángulos compuestos ..... 65 Circunferencia ............................... 46 Proporcionalidad y semejanza
Ángulos dobles y ángulos mitad I ..... 66
de triángulos ................................ 48
Ángulos mitad II y ángulo triple -
Relaciones métricas ........................ 49
Triángulos rectángulos notables ....... 67
Áreas triángulares ......................... 50
Transformaciones trigonométricas ..... 68
Áreas cuadr angulares Funciones trigonométricas inversas .... 69 Área circular .............................. 51 Geometría del espacio y poliedros regulares ..................................... 52
Ecuaciones trigonométricas ............. 70 Resolución de triángulos ................. 71
Prismas y Cilindro - Pirámide - Cono ..... 53 Esfera y teorema de Pappus Guldin Polígonos y Poliedros regulares ........ 54
TRIGONOMETRÍA Sistemas angulares - Sector circular ..... 55
FÍSICA Cinemática MRU - MRUV .................. 72 Caída libre - Movimiento en dos dimensiones ....................... 74
Razones trigonométricas de
Movimiento circular - Fuerza
ángulos agudos ............................. 57
Estática ........................................ 75
Resolución de triángulos rectángulos ... 58
Dinámica - Rozamiento .................... 76
Geometría analítica ........................ 59 Trabajo - Potencia mecánica Ecuación de la recta ....................... 60 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal ............... 61
Energía Mecánica ........................... 77 Hidrostática - Electrostática ............ 78
Electrodinámica .............................. 79
Estado gaseoso ............................. 89
Electromagnetismo - Física
Soluciones .................................... 90
moderna ....................................... 80
Estequiometría .............................. 91
Movimiento armónico simple ............. 81
Cinética - Equilibrio - Ácidos y Bases ..... 92 Electroquímica ................................ 93
QUÍMICA
Química Orgánica ........................... 94
Átomo .......................................... 82
Cíclicos y aromáticos ...................... 95
Características generales de los
Hidrocarburos ............................... 96
números cuánticos ......................... 83
Alquenos u olefinas - Alquinos
Configuración electrónica ................ 84
o acetilénicos ................................ 97
Tabla Periódica Actual ..................... 85
Alquenino - Oxigenados
Propiedades periódicas atómicas ...... 86
y nitrogenados .............................. 98
Enlace químico ............................... 87
Metalurgia y petróleo ..................... 99
Unidades químicas de masa ............. 88
Contaminación ambiental ................ 100
SAN MARCOS
Hermano (a)
8
Pedro: Fue Rodrigo Hugo: Pedro tiene razón
Reafirmación:
14 cuadrados
3 cuadrados
(1)(2)
V F V F
(1)(2)
Hace 3 días Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana Dentro de 3 días
: -3 : -2 : -1 : 0 : +1 : +2 : +3
Relaciones temporales
s
a
b
s
15 15 15
4 9 2 3 5 7 8 1 6
:
Ejercicios con peleas
se repiten
3S=1+2+3+...9+a+b+c
c
s
Distribuciones mágicas Normales
: Horario : Antihorario
Unidas por un eje
:
Con correas cruzadas :
Con correas paralelas :
Juntas
RAZONAMIENTO LÓGICO
Juan: Carlos fue el culpable V F Carlos: Juan está mintiendo F V
Contradicción:
Principio de suposición
yo
Abuela materna
Madre
Abuela Abuelo paterna materno
Padre
Abuelo paterno
Relaciones de parentesco
Ejercicios con cerillos
15 15 15 15 15
ESQUEMA - FORMULARIO
Raz. Matemático
Raz. Matemático
9
Lima Ingeniero
Hugo
Paco Tacna Médico
De forma directa:
1 2 3 x x A B x x x C x
Cuadro de descarte:
Luis Piura Profesor
Test de decisiones
C E D
B
A
Menor
Mayor
• A es mayor que B • B no es menor que C • C es mayor que D • D es menor que E
Creciente Decreciente
Lateral Izquierda Derecha Oeste Este Siniestra Diestra
Ordenamiento lineal
(ORDEN DE INFORMACIÓN)
H E
G D
Izquierda (horario)
A
B
Derecho (antihorario)
C
F
Ordenamiento circular
ESQUEMA - FORMULARIO
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Lenguaje Literal (Enunciado)
Traducción
• A excede a B en 10 unidades • El doble, de un número disminuido en 3 unidades. • El doble de un número, disminuido em 3 unidades. • A es por dos veces B • A es dos veces más que B
Lenguaje Matemático (Ecuaciones) A – B = 10 2(x – 3) 2x – 3 A = 2B A = B + 2B A=3B
Con dos o más sujetos Pas Pre Fut a d e Daniella c b Melanie f • La diferencia de sus edades es siempre la misma. a–c=d–d=e–f • La suma en aspa da el mismo resultado: a+b=c+d d+ f=b+e a +f=c+e Importante Caso 1: Año nacimiento + edad = año en curso • Si la persona ya cumplió años en el año en curso. Caso 2: Año nacimiento + edad = año en curso – 1 • Si la persona todavía no cumple años en el año en curso. Nota: Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.
SAN MARCOS
10
Raz. Matemático
ESQUEMA - FORMULARIO
Máquina +
Adición Sustracción
X
División Materia prima Números
Producto terminado Resultado
Botones Operadores Proceso de producción Operación matemática
Definición
a*b = 3a + 5b + 4
2
Explícita ..........................................
Definición
2
a*b = 3(b*a ) + a
Implícita ..........................................
5
=m
m
=5
Se resuelve de adentro hacia .............. afuera ...............
Si x = x+1
Raz. Matemático
Se resuelve de adentro afuera hacia .............. ...............
11
SAN MARCOS
SAN MARCOS
Se consideran 27 letras del abecedario (No se considera Ch, ni Ll)
Literales r
r
12
* Para una sucesión con una cantidad impar de término.
Producto de extremos *
q: razón aritmética
×q ×q ×q
Sucesión Geométrica
* para una cantidad impar de términos en la sucesión.
r: razón aritmética
r
Sucesiones aritmética (Lineal)
SUCESIONES
2 2
A+B=4 6
2
2
8 10 12
t1 t2 t3 t4 t5 C = 0 4; 10; 18; 28; 40; ...
De 2º Orden
Sucesiones Notables
ESQUEMA - FORMULARIO
Raz. Matemático
ESQUEMA - FORMULARIO
Raz. Matemรกtico
13
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
ECUACIONES DIOFÁNTICAS MULTIPLICIDAD
PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD
1. Si N es múltiplo de n
1. n + n + n +... + n = n
o
Si N = n N nk; k n : se lee múltiplo de n Ejemplo:
•
8 8 88
•
15 15 15 15 15
7 7 7
•
N n rd ó N n re
•
14 14 14
•
010 10
o
3. k n= n; k ∈ Z
donde: rd re n rd : residuo por defecto re : residuo por exceso
Ejemplo: 27 7
•
20 no es múltiplo de 6 (20 6 )
o
Ejemplo:
2. Si N no es múltiplo de n
20 6 18 3 2
o
o o o 2. n +n = n
Si N = 8 N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}
Ejemplo:
o
Ejemplo:
Si N= 5 N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)
o
20 6 24 4 -4
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES o
Sea A x B = n
20 6 2 20 6 4
o
o
o
o
Si A n B = n
Donde: 2 + 4 =6
Si B n A = n Aplicación:
Ejemplo:
Si N 9 3 N 9 6
4x 5
Si N 12 1 N 12 11
4 5 x 5
SAN MARCOS
14
Raz. Matemático
Raz. Matemático
15
P5 = 5! = 120
5 amigos en 5 asientos
Ejemplo:
Pn = n!
Permutación Lineal
• Multiplicativo (y): Para eventos de dependientes, simultáneos.
• Aditivo (o): Para eventos independientes
Principio de Conteo
n! = (n k)!
P52 =
5! = 20 3!
5 amigos en 2 asientos
Ejemplo:
Pnk
Permutación de “n” elementos tomados de “k” en “k”
n! k!(n k)!
PR62; 3; 1 =
2
Ejemplo:
6! 2!3!1!
3
1
Pc(6) = 5!
6 amigos en una mesa circular
Ejemplo:
Pc(n) = (n 1)!
n! a!b!c!... PRna; b; c; ... =
Permutación circular
• Cnk = Cnnk
Propiedades:
Cnk =
Combinación (agrupar)
Permutación con repetición
Permutación (Ordenar)
ANÁLISIS COMBINATORIO
n! = 1×2×3×4×...n 0! = 1 n! = n(n 1)!
Factorial de un número
ESQUEMA - FORMULARIO
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Problemas sobre certeza
Expresiones algebraicas de 2do grado
Casos Casos Número de : + extraciones desfavorables favorables Lo que no quiero que salga
2
E(x) = Ax + Bx + C
Lo que pide el problema
A>0
EMÍN
A>0
EMÁX
X=
2A
Otras situaciones • Si: a + b = K K K (a.b)máx = . 2 2
• Si: a > 0 1 a+ >2 a
• Si: a × b = K
• Si: × = IR
(a+b)mín = K +
SAN MARCOS
K
16
2
x >0
Raz. Matemático
ESQUEMA - FORMULARIO
Aritmética
17
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
MAGNITUDES PROPORCIONALES DP
IP A IP B
A DP B Valor de A = Cte Valor de B
(Valor de A) (Valor de B)=Cte
A IP B
A DP B Constante
Constante Propiedades
f(x) = K x • A IP B Valor de A
Valor de B
• A DP B
1 B 1 A IP B
f(x) = k x
A DP
Valor de B
Valor de A
• A DP B (C cte) Gráfica:
A IP C (B cte) AxC = cte B
Valor “A” Línea Recta
a1
Gráfica: Valor “A” Hipérbola Equilátera
a1 a2
a2 b1 a1 b1
=
SAN MARCOS
Valor “B” b2 a2 b2
b1
=k
b2 Valor “B”
a1 . b1 = a2 . b2 = k
18
Aritmética
ESQUEMA - FORMULARIO
A a1; a2 ; a3;.......; an elementos
donde : ai a j
• Cardinal = n(A) = n
i, j
• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1
• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Complemento ( (A)): No A
Unión (U): A o B A
B
A
Diferencia (–): Solo A A
B
Diferencia Simétrica (A):
Intersección (): A y B A
B
Sólo A o sólo B A
Aritmética
19
B
SAN MARCOS
4
3
2
20 2
5 14
2
Aritmética 2435 = 73
73 Base 10
3 + + 10 70
4
2
2. Ruffini Ejemplo: 243(5)
Descomposición polinómica
abcd n = an + bn + c.n + d
3
3. Cambios de base: 3.1 De base "n" a base 10 1.
abcabc n = abc n n + abc n
3
ababn = abn n2 + abn
abab = ab.100 + ab
2. Descomposición por bloques:
abcde (n) = an + bn + cn + dn + e
4.
7 4
1
n<m
abc > xy
+ – = abc(n)_ xy(m) + Como
Si:
2
Base m
Divisiones Sucesivas
Base 10
Descomposición Polinómica
Base n
3.3. De base "n" a base "m" (n 10; m 10)
243 = 465(7)
243 7 33 34 5 6
3.2. De base 10 a base "n" (Divisiones sucesivas) Ejemplo: 243 a base 7
SAN MARCOS
1. Descomposición polinómica:
NUMERACIÓN
ESQUEMA - FORMULARIO
ESQUEMA - FORMULARIO
Números capicúas
121; 3553; 27372; abccba
BASES SUCESIVAS
1a 1b
=a+b+c +d+e+x
1c 1d 1e
x
NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS
(n – 1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) = nk – 1 n k cifras
Aritmética
21
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
I. ADICIÓN
II. SUSTRACCIÓN
a + b + c +...+ z = S Sumandos
M– S=D
Suma total
Propiedades:
Progresión aritmética Sea:
•
2M = M + S + D
•
ab(n) – ba(n) = xy (n)
an = a1 + (n – 1)r
x +y =n – 1 donde n 3 y a b
an – a1 1; r n: Número de términos
n
•
x +z=n –1
a a1 Sn n n; 2
y=n–1
Sn: Suma de términos
donde: n 3; a c
Sumas notables
• • •
n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ... + n 2 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =
•
n(n + 1) (2n + 1) 6 13 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 =
•
n(n + 1) 2 •
•
abcd – dcba = xyzw donde: a > d x + y + z + w = 18 ó 27
Complemento Aritmético •
CA(N(b) ) = 100...00
k 1 cifras b
2
– N(b)
Si N tiene k cifras •
a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 =
an – 1 a– 1
SAN MARCOS
abc (n) – cba(n) = xyz(n)
CA(abcd(n) ) =
(n – 1 – a) (n – 1 – b) (n – 1 – c) (n – d)n
22
Aritmética
ESQUEMA - FORMULARIO
o
*
A = B = B(k) Se dice: - A es múltiplo de B - A es divisible entre B - A dividido entre B da residuo cero o
*
o o
*
n– n=n
*
o o o o n(k) = n = k = nk o
k
(n) = n
*
(n + a)(n + b)(n + c) = n + a.b.c
*
(n + r)k = n + rk
o
o
o
o
o
o
Aritmética
23
o
(n – r)k = n – r k , k: impar
*
o N = a O o N = b N = MCM(a,b,c) o N = c
*
o N = a + r O o N = b + r N = MCM(a,b, c) + r o N = c + r
o
*
o
*
o o
o
(n – r)k = n + r k , k: par
n+n =n o
o
*
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
o
o
o
•
Por 2
abcde = 2 + e. Si e = 2 abcde = 2
•
Por 4
abcde = 4 + de. Si de = 4 abcde = 4
•
Por 8
abcde = 8 + cde. Si cde = 8 abcde = 8
•
Por 5
abcde = 5 + e. Si e = 5 abcde = 5
•
Por 25
abcde = 25 + de. Si de = 25 abcde = 25
•
Por 125
abcde = 125 cde. Si cde = 125 abcde = 125
•
Por 3
abcde = 3 + a + b + c + d + e . Si E = 3 abcde = 3
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E o
•
Por 9
o
o
abcde = 9 + a + b + c + d + e . Si E = 9 abcde = 9 E
•
Por 11
o
o
o
abcde = 11 + e – d + c – b + a. Si E = 11 abcde = 11 E +-+-+
•
Por 13
•
a b c d e f g h = 13 – 3a + b + 4c + 3d – e – 4f – 3g + h. Si E = 13 abcdefgh = 13 3143 1431 E - + - + Por 7
o
o
o
o
o
o
+ b – 2c – 3d – e + 2f + 3g + h. Si E = 7 abcdefgh = 7 a b c d e f g h = 7+ 3a 3123 1231 E + - +
SAN MARCOS
24
Aritmética
ESQUEMA - FORMULARIO
o
•
Por 33
o
o
a b c d e = 33 + a + bc + de . Si E = 33 abcde = 33 E o
•
Por 99
o
o
a b c d e = 99+ a + bc + de . Si E = 99 abcde = 99 E
o
o
o
•
b c d e . Si E=(n – 1) abcde(n) = (n – 1) P or n 1 abcde(n) (n 1) a en E base n
•
P or n 1 a b c d e = (n + 1) + e – d + c – b + a. Si E=(n + 1) abcde(n) = (n + 1) (n) en +- +-+ E base n
o
•
o
o
Dada la descomposición canonica del número N: N = p11p22p33...pk k ...D.C .
•
Su cantidad de divisores se calcula como: C DN = (1 + 1)( 2 + 1)( 3 + 1)...(k + 1)
Además: CDN = CD
•
SIMPLES
+ CD
COMPUESTOS
La suma de divisores se calcula como:
SD(N) =
Aritmética
p11 +1 – 1 p22 +1 – 1 p k +1 – 1 ... k p1 – 1 p2 – 1 pk – 1
25
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
•
La suma de inversas de divisores se calcula como: SID(N) =
•
SD(N) N
El producto de los divisores se calcula como: C D(N)
P D(N) = N
•
El esquema del algoritmo de Euclides: Cocientes
A
B
K
MCD (A;B)
O Residuos
•
Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:
A = p x k ; donde: p y q son PESI MCD(A;B) = k B = q x k MCM =k x p x q (A;B) •
Siempre se cumple que: MCD(A;B) MCM(A;B) = A B
•
n A nB n k MCM ; = m m m
SAN MARCOS
•
26
n A nB nk MCD ; = m m m
Aritmética
ESQUEMA - FORMULARIO
Números enteros Z
Número fraccionario
Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Fracción Clases de fracciones
• • • •
Propia Impropia Reductible Irreductible
• • • •
Común y ordinaria Decimal Homogénea Heterogénea
Variación porcentual
Operaciones con tanto por ciento
Aumento ó disminución = 100% porcentual Cantidad inicial
Adición
Variación
Sustracción
Aumentos y descuentos sucesivos
Aumento único Descuento único
Aritmética
Aplicaciones comerciales
Pventa = Pcosto + ganancia
ab = a +b + % 100
Pventa = Pfijado – descuento
ab =a+b– % 100
Pventa = Pcosto – pérdida Pfijado = Pcosto + incremento
27
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
INTERÉS SIMPLE
M=C+I
I=C M=C
r%
t
(1 + r%
t)
r% y t en las mismas unidades
Pmedio =
Grado
Costo total Peso total
alcohólico
Gaparente = Paparente
xL
a%
Alcohol 100% Total
Pventa = Pcosto + Ganancia
yL + b%
=
zL + c%
(x+y+z) L = d%
a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)
SAN MARCOS
28
Aritmética
ESQUEMA - FORMULARIO
Álgebra
29
SAN MARCOS
SAN MARCOS
30
5
4
3
2
1
3
2
2
3
(x + a)(x + b) = x2+(a + b)x+ab
(a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b
3
(a ± b)3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b)
(a + b)(a2 – ab + b2) = a 3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2) = a 3 – b 3
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(a + b) 2 – (a – b) 2 = 4ab
(a + b) 2 + (a – b)2 = 2(a 2 + b2)
(a ± b) 2 = a2 ± 2ab + b2
10
9
8
7
6
2n
n m
)(x –x y +y
2m
4n
ARGAN’D
+y4m
2n 2m
) = x +x y
2m
3
3
2
2
2
GAUSS
a +b +c –3abc = (a+b+c)[a +b +c –(ab+bc+ca)]
3
(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)
(x 2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
n m
(x +x y +y
2n
• a2 + b 2 + c 2 = – 2(ab + ac + bc)
Si: a + b + c = 0. Se verifica que: • a3 + b3 + c 3 = 3abc
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
ESQUEMA - FORMULARIO
Álgebra
ESQUEMA - FORMULARIO
ECUACIÓN CUADRÁTICA Análisis de las raíces
Forma
• Si: D > 0
ax 2 + bx + c = 0 ; a 0
2 raíces IR diferentes • Si: D = 0
Fórmula x=
b 2 – 4ac 2a
–b
2 raíces IR iguales • Si: D < 0
Discriminante
x1
x2
x1=x2
2 raíces IC conjugadas
D = b 2 – 4ac
Propiedades de las raíces x1+x2=– b a
Si: ax 2 + bx + c = 0
Recordar:
x1.x2= c a
x1–x2=?? Raíces recíprocas (inversas)
Raíces simétricas (opuestas) x;–x
suma:0 b=0 c=0
Una raíz nula
(x1+x2) 2 – (x1 – x2) 2 = 4x1.x2
x;1/x producto:1 a=c Dos raíces nulas
b=0;c=0
Reconstrucción de una ecuación cuadrática x2 – Sx + P = 0 Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales) Si:
ax 2 + bx + c = 0 mx 2 + nx + p = 0
Álgebra
a b c = = m n p
31
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Monomio
Racional Entera
Polinomio Definición
Definición
Términos Semejantes
Grado Absoluto
Grado Relativo
Grado Relativo
Grado Absoluto
Clasificación Homogéneo
Ordenado
Idénticos
Completo
Idénticamente nulo
Recordar las definiciones an =
Recordar los teoremas am.an = am +n ;
a.a.a...a ; n "n factores de a" 0
a =1
;
a0
am = am–n an
an m = am n = am.n ;
(a.b)n = anbn
n
1 1 a –n = n = a a m/n
a
n m
= a
an a n n n b = n ; a.b = a. b b
n
;
a0
na =
n m
b
= a
n n
a
;
a
32
a = nm a
b
nk mk
SAN MARCOS
nm
n
= am
Álgebra
ESQUEMA - FORMULARIO
SISTEMA DE ECUACIONES E1 : a1x + b1y = c1 E2 : a2x + b2y = c2
Por su Solución
tienen solución
Ecuación Compatible
soluciones finitas Determinada a1 a2
y
E2
b1
E1 (x0;y0)
b2
x
y
E1
Indeterminada a1 a2
=
b1 b2
=
c2
Ecuación Incompatible a1 b = 1 a2 b2
Álgebra
E1
c1
x
E2
no tienen solución
E2
y
E1
E2 E1 // E2
c1 c2
x
33
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
FACTORIZACIÓN Criterios de factorización Criterio del aspa simple
Criterio del factor común y/o agrupación
Criterio del aspa doble especial
Criterio de las identidades
SAN MARCOS
Criterio del aspa doble
34
Criterio de los divisores binomios
Álgebra
ESQUEMA - FORMULARIO
*
Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.
*
P(x) = anx n + an–1x n–1 + an–2 x n–2 + ... + a0 =0; an 0 , también se puede escribir
an(x – r1)(x – r2)(x – r3)...(x – rn) = 0 donde r1,r2 ,r3,...,rn raíces de la ecuación. *
Si: P(x) = (x – r1)m(x – r2)n(x – r3)p = 0
*
Entonces: r1 es una raíz de multiplicidad m r2 es una raíz de multiplicidad n r3 es una raíz de multiplicidad p Teorema de Cardano - Viette
r1 + r2 + r3 + ... + rn = –
an–1 an
r1.r2 + r1.r3 + ... + rn–1.rn =
an–2 an "Suma de productos Binarios"
r1.r2.r3.....rn = (–1)n *
"Suma de raíces"
a0 an "Producto de raíces"
Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a + b , la otra es a – b .
*
Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es + i , entonces la otra es – i .
*
P(x) = anx n + an–1x n–1 + an–2 x n–2 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una
raíz positiva. *
P(–x) = an(–x)n + an–1(–x)n–1 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una raíz
negativa, o, menos en una cantidad par.
Álgebra
35
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
TEOREMAS FUNDAMENTALES + T1: a 2n 0 ; a IR , n Z
Definiciones: Sea: { a ; b ; c } IR 1. “a” es no positivo 2. “a” es no negativo 3. a b
T2: a > b a ± m > b ± m
a 0
T3: a > b m > 0
a<b a=b
4. a < b < c 5. a < b
a 0
a<b
am > bm a/m > b/m
b <c
T4: a > b m < 0
b>a
am < bm a/m < b/m
T5: a < b
Importante: Sea: ax 2 + bx + c > 0 ; a>0 x IR
1/a > 1/b
( a y b tienen el mismo signo)
b 2 – 4ac
SAN MARCOS
36
Álgebra
ESQUEMA - FORMULARIO
Inecuación.... Polinomial
a 0 ax+b > <0
De primer grado
2 > ax +bx+c <0
De segundo grado
grado mayor o igual a 3
De grado superior Fraccionaria Irracional Exponencial Logarítmica Trigonométrica
A Se aplica el criterio de los puntos críticos. Importante: P(x) Si: Q(x) 0 Q(x)
Álgebra
A
P(x) > 0 Q(x) < n
b
> P(x) < 0 P(x)
> Q(x) <b
B
C
log x 2 – 4 < 2 Sen 2 x + Cosx > 0,5
B 2n S1: Si: P(x) P(x) 0 S2: Elevamos a un exponente igual al indice y resolvemos. Luego el C.S. es: S1 S2 C x y b >b x >y x y Si: 0<b<1 b < b x> y Si: b>1
37
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Definición a; si : a 0 a = –a; si : a 0
Ecuaciones con valor absoluto
Propiedades
• |a| 0
• a2 = |a|2
• |a| = |–a|
•
• |ab| = |a||b|
• |a + b| |a| + |b|
•
a2 = a
a;b
a a = ;b0 b b
Inecuaciones con valor absoluto
|x| = 0 x = 0;
x = a a 0 x = a x = –a
|x| a (a 0) –a x a
|x| = |a| x = a x = –a
|x| a x a x –a |x| |y| (x + y)(x – y) 0
Funciones
RANGO Dos pares ordenados no pueden tener el mismo primer elemento.
GRÁFICA DE discusión de la curva UNA FUNCIÓN
SAN MARCOS
Domf={xA/yB(x;y)f}
DOMINIO
Si: (a;b) b
Ranf={yB/xA(x;y)f} (a;c) c
f
Intersección con los ejes coordenados. Extensión de la Función
38
x=0 y=0
corte en "y" corte en "x" Dominio y Rango
Álgebra
ESQUEMA - FORMULARIO
Funciones especiales 2. Función lineal
1. Función constante
3. Función valor absoluto y y = |x|
pendiente
x F(x) = |x| Dom(F) = IR Ran(F) = [0;
4. Función raíz cuadrada 5. Función potencia elemental y y y 2 y= x y=x x
y=x
x
x n F(x) = x (n=par) Dom(F) = IR Ran(F) = [0;
F(x) = x Dom(F) = [0; Ran(F) = [0;
3
n F(x) = x (n=impar) Dom(F) = IR Ran(F) = IR
BINOMIO DE NEWTON (x + a)n = En el desarrollo de: (x+a)n N° de términos = n+1
n k=0
En el desarrollo de: (x+a)n Coeficientes se obtendrá si: x=a=1 cn0 + cn1 + c2n + ... + cnn = 2n
En el desarrollo de: (x+a)n Si “n” par
En el desarrollo de: (x+a)n Tk+1=cnk xn–k ak de izquierda a derecha: Tk+1=cnkxkan–k “K+1” el lugar
Tc = Tn + 1 2
Si “n” impar 1er Tc = 2do Tc =
Álgebra
x; a 0 n Z
cnxn–kak
En el desarrollo de: (xp + aq)n
n+1 2 n+1 + 2
(p+q)n(n+1) 2
1
39
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
1.
Definición logab =
x
loga b = x a = b
2.
Antilogaritmo
logcb logca
;
logab . logbc = logac
loga b = x b = antilogax
3.
5.
Consecuencias
Ecuación exponencial ax = b x = logab
(a, b , a 1)
loga 1 = 0 ;
loga a = 1 ;
6. Ecuación logaritmica
aloga b = b ;
loga f(x) = loga g(x) f(x) = g(x)
loga b = loga c b = c
7.
Inecuación exponencial
7.1.
4.
Propiedades log ax log b, si: c>1 c c ax b x log a log c c b, si: 0<c<1
loga(xy) = loga x + logay ; b loga = loga b – logac ; c
7.2.
log ax log b, si: c>1 c c ax b x logc a logc b, si: 0<c<1
1 cologab = loga = – loga b ; b
8.
logabc = c logab ; loganbm =
SAN MARCOS
Inecuación logaritmica
Si a>1; f(x)>g(x)>0 loga f(x) loga g(x) Si 0<a<1; 0<f(x)<g(x)
m logab ; n
40
Álgebra
ESQUEMA - FORMULARIO
NÚMEROS COMPLEJOS C
NÚMEROS REALES IR
formado por
NÚMEROS IMAGINARIOS II z = a+bi i = –1 DEFINICIONES POTENCIAS DE “i”
Dado el complejo: z = a+bi Complejo conjugado: z = a–bi Complejo opuesto: z* = –a –bi
i1 = i i 2 = –1 i 3 = –i i4 = 1
Representación gráfica
i
N
=i
4k+r
=i
r
i5 = i
Eje imaginario
i 6 = –1 Tenemos:
b
z = a+bi |z|
|z|sen
|z| = a2 + b2
Módulo de “z” Argumento de “z”
|z|cos
a
Eje real
Forma Trigonométrica de “z”: z = |z|(Cos + iSen ) z = |z|cis Resultado importantes
Teoremas T1: |z| = |z| = |z*|
(1
2
T2: |z| = z.z
i)2 = 2i
(1 + i)4 = –4
n
T3: (Cos + iSen ) = Cos(n ) + iSen(n ) 1+i =i 1–i
de De Moivre
Álgebra
41
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
1.
4.
2.
5.
3.
SAN MARCOS
42
GeometrÃa
ESQUEMA - FORMULARIO
T. de la Bisectriz
T. de la Mediatriz
Mediana relativa a la hipotenusa
T. de los Puntos Medios
Si BM es la mediana relativa a la hipotenusa
Geometría
43
BM = AM = MC
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
1. ABCD es un paralelogramo
4. Si ABCD es un paralelogramo
2. Si ABCD es un paralelogramo 5. Si ABCD es un cuadrado
6. Si ABCD es un cuadrado
3. Si ABCD es un paralelogramo
SAN MARCOS
44
GeometrÃa
ESQUEMA - FORMULARIO
Geometría
45
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
SAN MARCOS
46
Geometría
ESQUEMA - FORMULARIO
Geometría
47
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
(4)
(1)
b
a
a b x y
x
ab x= a+b
a x = b y (5)
En todo trapecio (M y N puntos de tangencia) a
B
(2) a
M
x
A
b
C N
2 =1 1 + x a b
b y
x a b
=
x y
(6)
x
D
n
m.n.p = x.y.z
m y (3)
p
z x a
b
(7) x
b
x.y.z = a.b.c y
a x2 = ab z
SAN MARCOS
48
c
GeometrÃa
ESQUEMA - FORMULARIO
(1)
a b m n
a2 = c.m
h2 = m.n
a.b= c. h
a2 + b2 = c2
ab mn
b2 = c.n (2) (4)
x 2 Rr
1 x
1 R
1 r
(3)
3 2 a
3
b2
3 2 c
h3 abc
x2 a b
Geometría
49
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
A ABC mn S ab T mn
B
S
p
C
A
A ABC p.r abc 2
S
A ABC 4
A ABC
SAN MARCOS
abc 4R
50
Geometría
ESQUEMA - FORMULARIO
•
Círculo:
• Sector Circular S R 2
S S
•
d2
R 2 360
4
Corona Circular
Geometría
51
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Teorema de Euler
Ángulo diedro
Diedro recto o planos perpendiculares
CV A2
Donde: C: N.° caras V: N.° vértices A: N.° aristas
Notación: diedro AB (d–AB)
Elementos: * Arista: AB *Caras: P y Q * Plano: MON
P Q Si: MN AB MN P MN Q
m(diedro AB) = mMON =
Tetraedro regular
Hexaedro regular
C = 8; V = 6; A = 12
C = 4; V = 4; A = 6
A T a2 3 ; V
a 6 h 3
SAN MARCOS
a3 2 12
Octaedro regular
C = 6; V = 8; A = 12
A T 6 a2 ; da 3
52
3
Va
3 A T 2a2 3 ; V a 2 3
Da 2
Geometría
ESQUEMA - FORMULARIO
Prisma recto
Cílindro recto
B
B g
h
h B
B
r Fórmulas
Fórmulas
2
1. V r g
1. V B.h
2. A L 2 rg
Perímetro de .h 2. AL la base
3. A T 2 r(g r)
3. A T AL 2B
Pirámide regular
Cono recto
g
h B
r
ap O
Fórmulas 1. V
Fórmulas
Bh 3
1. V
3. A T AL B
r 2h
3 2. AL rg
semiperímetro 2. AL .Ap de la base
Geometría
g
h
3. A T r(g r)
Ap2 h2 ap2
g2 h2 r 2
53
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Fórmulas:
Esfera
1. V
4 3 R 3
2. A T 4R2
Polígonos regulares
En todo polígono equiángulo:
Fórmulas
Fórmulas
Smi 180(n 2) Sme 360 N°Diagonales: ND
ND
n(n 3) 2
SAN MARCOS
c : medidadelángulo central c
360 n
m1 i
e
180
180(n 2) n
m1
Fórmulas
(n 2) n
360 n
360 n
54
Geometría
ESQUEMA - FORMULARIO
SISTEMAS ANGULARES Sistema Sexagesimal
Sistema Centesimal
Sistema Radial
Unidad (1°)
Unidad (1g)
Unidad (1 rad)
m
=360° 1°<>60’ 1’<>60’’
= 400 g
m
1g<>100m
m
=2 rad
m
=2 rad
1m<>100s
3,1416 22 7 3 + 2 10
S S C R = = C R 180 200
S S C C 9 = 10 = R R 20
SECTOR CIRCULAR Circunferencia
Círculo
Longitud de Arco R R
R
R R
L=2 R
A= R2 0<
Trigonometría
55
<2
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Área de Sector Circular
S
-
SAN MARCOS
R
-
1 2 S= . R 2
S
L
L
-
R
-
R
-
-
R
S = 1 LR 2
56
2
S= L 2
Trigonometría
ESQUEMA - FORMULARIO
Razones Recíprocas
Teorema de Pitágoras
Sen A Csc A = 1 Cos A Sec A = 1 Tan A Cot A = 1
ABC (recto en B) a2 + c2 = b2
2k 60º k
Razones complementarias
Sen A =
Cateto Opuesto Hipotenusa
Sen A = Cos C Tan A = Cot C Sec A = Csc C
Cos A =
Cateto Adyacente Hipotenusa
Tan A =
Cateto Opuesto Cateto Adyacente
Cot A =
Cateto Adyacente Cateto Opuesto
Sec A =
Hipotenusa Cateto Adyacente
Csc A =
Hipotenusa Cateto Opuesto
mA mC = 90
Trigonometría
k 3
57
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Datos generales
Relación fundamental
• Lado (a)
lo que quiero R.T. lo que tengo
• Ángulo ( )
Razones Trigonométricas Sen =
C.O. H
Cos =
Tan =
Área de región triangular
S=
Primer caso
SAN MARCOS
C.A. H
C.O. C.A.
Cálculo de Sen
Sen =
ab Sen 2
Segundo caso
58
2S ab
Tercer caso
Trigonometría
ESQUEMA - FORMULARIO
2.
1.
D
3.
x2 x1 2 y2 y1 2
4.
A P
nk
mk
P
x1 x 2 y1 y 2 , 2 2
B
mA nB mn
5.
6.
a
a a; a 0 a a; a 0
a2 a
G
A BC 3
G: Baricentro
Trigonometría
59
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
ECUACIÓN DE LA RECTA A Pendiente de la recta
B. Ángulo de inclinación de la recta
m = Tan
m=
y 2 – y1 x 2 – x1
C. Rectas paralelas
D. Rectas perpendiculares
m1 = m2
m1m2 = –1
L1 // L 2
L1 L 2
E. Ecuaciones 1. Forma General. L: Ax + By + C = 0 2. L: y = mx + b
SAN MARCOS
60
Trigonometría
ESQUEMA - FORMULARIO
y
(x,y)
x: abscisa y: orden ada r: radio vector
r
r = x 2 + y2 ; r > 0
x
su lado final coincide con los semi ejes. m C = 90ºn, n
a a 0
Sen
Csc
Cos
Sec
Tan
Cot
Sen Csc
Para Todas
Tan Cot
Cos Sec
= a; a > 0 = – a; a < 0 =0
x
Trigonometría
61
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
R.T.(90 )= CoR.T.( )
R.T.(180º )= R.T.( ) R.T(360º )=
R.T(270 )= 0º <
R.T.(360ºK + )= R.T.( ) R.T(2K + )= K
0º <
Z
0º <
Sen(– ) = –Sen
Cot(– ) = –Cot
Cos(– )= Cos
Sec(– )= Sec
Tan(– ) = –Tan
Csc(– ) = –Csc
Si:
+
=
Si:
+
=2
Cos + Cos = 0
Sen + Sen = 0
Tan + Tan = 0
Tan + Tan = 0
Cot + Cot = 0
Cot + Cot = 0
Sec + Sec = 0
Csc + Csc = 0
SAN MARCOS
62
R.T. (2n) = R.T.(0)
Trigonometría
ESQUEMA - FORMULARIO
Trigonometría
63
SAN MARCOS
SAN MARCOS
64
=
Sec2x
1 = Csc2x – Cot2x
Cot2x = Csc2x – 1
1 + Cot2x = Csc2x
1 = Sec2x – Tan2x
Tan2x = Sec2x – 1
1+
Tan2x
Cos2x = 1 – Sen2x
Tanx = 1 Cotx Cotx = 1 Tanx
Cosx = 1 Secx Secx = 1 Cosx
Cosx Secx = 1
Senx = 1 Cscx Cscx = 1 Senx
Cosx = CotxSenx
Cotx = Cosx Senx
Senx = TanxCosx
Tanx = Senx Cosx
Senx Cscx = 1
Sen2x + Cos2x = 1
Sen2x = 1 – Cos2x
I. por División
I. Recíprocas
I. Pitagóricas
Cosx = 1 Senx 1Senx Cosx 1 =Cscx Cotx CscxCotx
(1Senx+Cosx)2 = 2(1Senx)(1Cosx)
Sec2x+Cos2x = Sec2xCos2x
Sen6x+Cos6x = 1– 3Sen2xCos2x
1 =Secx Tanx SecxTanx
Senx = 1 Cosx 1Cosx Senx
(SenxCosx)2 = 1 2SenxCosx
1 Tanx + Cotx = SecxCscx = SenxCosx
Sen4x+Cos4x = 1– 2Sen2xCos2x
Identidades Auxiliares
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
ESQUEMA - FORMULARIO
Trigonometría
ESQUEMA - FORMULARIO
Sen(x y) = SenxCosy CosxSeny
Cos(x y) = CosxCosy SenxSeny
Tan(x y) =
Tanx Tany 1 TanxTany
Si x + y + z = (2n –1)
; n Z 2
TanxTany + TanxTanz + TanyTanz + 1 Cotx + Coty + Cotz = CotzCotyCotz
Si x + y + z = n; n Z CotxCoty + CotxCotz + CotyCotz =1 Tanx + Tany + Tanz = TanxTanyTanz
Trigonometría
65
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Seno del doble Sen2 = 2Sen Cos Sen22 = 4Sen2 Cos2
Coseno del doble Sen2 =
Cos2
–
: Tangente del doble
Sen2 2Tan Tan2 = 1–Tan
Cos2 = 2Cos2 – 1 Cos2 = 1 – 2Sen2
2Tan Sen2 = 1+Tan
a>b a
x=b a+b a–b
b
2Tan
1+Tan2
1 – Tan2 Cos2 = 1+Tan2
x
Seno de la mitad
Sen
Ángulos doble y Ángulos mitad I
1 (1 – Cos ) 2
2
Coseno de la mitad
Cos
2
1 (1 + Cos ) 2
Fórmula racionalizada Tangente de la mitad Cot Tan
2 2
= Cos + Cot
Tan
2
= Csc – Cot
SAN MARCOS
1 + Cos2 = 2Cos2
1 – Cos
1 – Cos2 = 2Sen2
66
Trigonometría
ESQUEMA - FORMULARIO
Ángulo mitad
Ángulo triple
x = Cscx + Cotx 2 x Tan = Cscx – Cotx 2
Sen3x 3Senx – 4Sen3x
Identidad Auxiliar x x Cot + Tan = 2Cscx 2 2 x x Cot – Tan = 2Cotx 2 2
Cos3x 4Cos 3 x – 3Cosx
Cot
Cot Tan
x = 2 x = 2
Sen3x Senx 2Cos2x 1 Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x
Cos3x Cosx 2Cos2x – 1 Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 + x
Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x
1 + Cosx 1 – Cosx
Tan3x
1 – Cosx 1 + Cosx
3Tanx – Tan3x 1 – 3Tan2x
'
36°
'
Trigonometría
67
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
I. Suna o diferencia a producto
II. Producto a suma o diferencia
AB A –B Cos 2 2 A +B A –B SenA – SenB = 2Cos Sen 2 2 A B A +B A –B CosA + CosB = 2Cos Cos 2 2 A +B A – B CosA – CosB = –2Sen Sen 2 2 SenA + SenB = 2Sen
2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y) 2CosxSeny = Sen(x + y) – Sen(x – y) x y 2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x – y) –2SenxSeny = Cos(x + y) – Cos(x – y)
Observación: 2SenxSeny=Cos(x–y)–Cos(x+y)
Observación:
CosB – CosA = 2Sen
A +B A –B Sen 2 2
Propiedades Sen(x – 120) + Senx + Sen(x + 120) = 0 Cos(x – 120) + Cosx + Cos(x + 120) = 0
3 2 3 Cos 2(x – 120) + Cos 2x + Cos 2(x + 120) = 2
Sen2(x – 120) + Sen2x + Sen2(x + 120) =
9 8 9 4 4 4 Cos (x – 120) + Cos x + Cos (x + 120) 8
Sen 4 (x – 120) + Sen4 x + Sen4 (x + 120)
Si x + y + z = 180° y x z Cos Cos 2 2 2 y x z Cosx + Cosy + Cosz = 4Sen Sen Sen + 1 2 2 2
Senx + Seny + Senz = 4Cos
SAN MARCOS
68
Trigonometría
ESQUEMA - FORMULARIO
Función Inversa
Función Directa
Dominio (x)
Rango (y) – 2 ; 2
ArcSenx = y
Seny = x
[–1; 1]
ArcCosx = y
Cosy = x
[–1; 1]
ArcTanx = y
Tany = x
R
–
ArcCotx = y
Coty = x
R
0;
ArcSecx = y
Secy = x
R – –1; 1
0; – 2
ArcCscx = y
Cscy = x
R – –1; 1
– 2 ; 2 – 0
0; ; 2 2
Propiedades I) ArcSen(–x) = –ArcSenx ArcCos(–x) = – ArcCosx ArcTan(–x) = –ArcTanx x D f ArcC ot(–x) = – ArcCotx ArcSec(–x) = – ArcSecx ArcCsc(–x) = –ArcCscx
II) Sen(ArcSenx) = x Cos(ArcCosx) = x Tan(ArcTanx) = x x D f C ot(ArcCotx) = x Sec(ArcSecx) = x Csc(ArcCscx) = x
III) ArcSen(Seny) = y ArcCos(Cosy) = y ArcTan(Tany) = y y D f ArcC ot(Coty) = y ArcSec(Secy) = y ArcCsc(Cscy) = y
Trigonometría
69
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
TEMA 10
Solución general
Solución general
Solución general
G = K + (–1)K Vp()
Cos = a G = 2K Vp()
Tan = a G = K + Vp()
Vp = ArcSen(a)
Vp = ArcCos(a)
Vp = ArcTan(a)
Sen = a
Signos de la RT
Ángulos cuadrantales (4K 1) 2 y
( x Z) (2K 1)
2K
x
(4K 1) 2
Reducción al primer cuadrante (I) R.T.(90° ó 270° ) = Co R.T.() R.T.(180° ó 360° )
Reducción al primer cuadrante (II) R.T.(360°k+)=R.T.() R.T.(2K+)=R.T.()
R.T. (2K) = R.T.(0) R.T. (4K + 1)
R.T. (2K – 1) = R.T.() R.T. (4K – 1)
= R.T.()
= R.T. 2 2 3 = R.T. 2 2
0 90
SAN MARCOS
70
Trigonometría
ESQUEMA - FORMULARIO
Ley de Senos
Ley de Senos
ABC : se cumple
ABC : se cumple
a b c = = = 2R SenA SenB SenC R: circunradio
Ley de Senos
ABC : se cumple
a = 2R SenA b = 2R SenB
SenA =
a b SenB = AB 2R 2R
SenC =
c R: circunradio 2R
c = 2R SenC
Ley de Senos
Ley de Senos
C
a
b bSenA
A
H c - bCosA c
bCosA
R: circunradio
Ley de Cosenos
ABC : se cumple
Ley de Cosenos
ABC : se cumple
a2 b2 c 2 2bcCosA
b2 c2 a2 CosA 2bc
b2 a2 c 2 2acCosB
2
2
2
2
c a b 2abCosC
CosB
2
2
a c b 2ac
B
Ley de Proyecciones
ABC : se cumple aCosB + bCosA = c aCosC + cCosA = b bCosc + cCosB = a
a2 b2 c 2 CosC 2ab
Trigonometría
71
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Movimiento Rectilíneo Uniforme
d = v.t. Encuentro:
te =
Alcance:
d V1 V2
ta =
d V1 – V2
Observación –
Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación Km 5 m ; si es necesario = h 18 s
–
Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro y tiempo de alcance son sólo para MRU.
–
SAN MARCOS
Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que los movimientos son simultáneos.
72
Física
ESQUEMA - FORMULARIO
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
a
Vf Vi at
Cambio de velocidad Tiempo
V Vf d i 2
a
t
d Vt i
Vf V t
1 2 at 2
Vf 2 Vi2 2ad
Observación –
Observar bien si el movimiento es acelerado o desacelerado para colocar el signo (+); (–), respectivamente en las fórmulas.
–
No importa si el movimiento es horizontal, vertical, oblicuo; si es trayectoria recta y aceleración constante entonces será un MRUV.
–
Tener en cuenta las unidades; generalmente las unidades son en el sistema internacional (S.I.)
Física
73
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Elementos y ecuaciones del MVCL Donde: • v0: velocidad inicial (m/s). • vF: velocidad final (m/s). • g: aceleración de la gravedad (m/s 2). • h: altura (m). • t: tiempo (s). 1.
h = v0t
2.
h=
1 gt2 2
3.
vF = v0 gt
4.
vF2 = v02 2 gh
Propiedades movimiento completo (subida y bajada) •
En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero. (VC 0)
•
En un mismo nivel la rapidez de subida es igual que la rapidez de bajada. (VB VD)
•
; (VA VE )
Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que el tiempo de bajada. t AB tDE ;
tBC t CD
;
t AC t CE
Nota: * se deduce del punto "3" V t sub tbaj i g
Hmáx
SAN MARCOS
Vi2 2g
74
Física
ESQUEMA - FORMULARIO
FUERZA Medida de la interacción entre dos cuerpos A distancia Peso (W)
Por contacto Fuerza elástica FE = Kx
W = mg
•
Primera condición de equilibrio: M = 0
•
Segunda condición de equilibrio: M = 0
•
Otros: - Tensión - Reacción normal - Fricción
F
M
o
ANTIHORARIO
F
M
o
HORARIO
•
•
Física
75
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Dinámica lineal
1° Realizar un DCL. 2° Descomponer las fuerzas en las ejes del movimiento y del equilibrio. 3° Aplicar la 2da ley de Newton en el eje de movimiento.
Las componentes de las fuerzas (eje x) en dirección del movimiento, cumplen la segunda ley. Donde: Fuerzas Fuerzas FR = a favor de “a” – en contra de “a”
(
) (
)
Dinámica Circular
1. Segunda Ley de Newton:
a
FR m
2. FR = ( F a favor de a ) – ( F en contra de a)
3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral. 4. Fcp macp 5. acp =
V2 = W2R R
SAN MARCOS
76
Física
ESQUEMA - FORMULARIO
1.
WF = F r
2.
WNeto = WF
ó
(+) : acelerado WNeto = FR r (–) : desacelerado 3. De la gráfica, se concluye
F
A1 0 x1
4.
WF = A1 – A2 + A3
A3 x2
A2
x
(+) : baja Wmg = mgh (–) : sube
ENERGÍA MECÁNICA 1. EC =
1 mv 2 2
1 2 4. EPe = 2 kx 5. Si solo actúan fuerzas conservativas la energía mecánica se conserva.
2. EP = EPe + EPg
3. EPg = mgh
Física
EMi = EMf
77
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
P=
=
PHidrostática = L.g.h m V
También: PH = . h
= wV
= . g Prensa Hidraúlica
E = L g Vsumergido
F1
F2
h1 E = Wreal – Waparente
h2
A1
A2
E = L gef . Vsumergido
F1 A h = 1 = 2 F2 A2 h1
gef = g – a
ELECTROSTÁTICA Electrización
Fuerza eléctrica
Cuantificación de la carga
Ley de Coulomb
Q=n e
F=
K q1 q2
Frotamiento
d2
Carga fundamental
Inducción
Qf = –1, 6 10 –19 C = e
Nm2 C2 q1; q2: cargas d: distancia
Unidades
k = 9 109
= 10 –6 Contacto
SAN MARCOS
F = Eq
m = 10 –3 c = 10 –2
78
Intensidad de campo eléctrico
E=
KQ Unidad : N/C d2
Física
ESQUEMA - FORMULARIO
I=
q t
R=
V I
R =
L A
Si encuentras resistencia en serie. Estos se suman
Si encuentras resistencia en paralelo: como por ejemplo: R1 Req =
Req =
R2
PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF
1 1 + R1 R2 R1 R2 R1 + R2
SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF
I1 + I2 = I3
V = IR
En cualquier conexión o nudo la suma de todas las corrientes que entran debe ser igual a la suma de todas las corrientes que salen.
En cualquier circuito; la suma algebraica de los voltajes de las baterias es igual a la suma de las caidas de potencial (IR) de cada resistencia del circuito.
Potencia disipada en una resistencia P = VI = I2R =
Física
79
V2 R
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Intensidad del campo magnético
B=
Fuerza magnética sobre conductor de longitud "L"
0. 2D
un
F = ILB Sen Flujo magnético
Espira circular
= BAcos
La inducción magnética en el centro es:
Bo =
Fuerza electromotriz inducida ( ) en una barra
oI 2R
= vBL Fuerza electromotriz inducida en una espira
Fuerza magnética
= –N
F = q v Bsen
SAN MARCOS
80
t
Física
ESQUEMA - FORMULARIO
x = ASen(wt)
V = WACos(wt)
2 T
w = 2f =
f=
w=
amáx = w2A
1 2
k m
a = – W 2 ASen(wt)
T = 2
m k
a = w2x
Vmáx = WA
Física
81
k m
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
ÁTOMO es
la partícula mínima de un elemento que conserva sus propiedades sus partes son
sus partículas fundamentales son
zona extranuclear
núcleo contiene
protón
neutrón
electrón
carga
carga
carga
positiva
nula
negativa
contiene
protones y neutrones principalmente
solamente a los electrones
ubicados en el
ubicado en
núcleo
zona extranuclear
es
es
casi vacío
compacta
determina
determina
el volumen atómico
átomo neutro
ion
posee
representación
representación
la masa del átomo posee
en un
carga negativa
carga positiva
A z
E
#nº = A – Z
A q+ Z
E
se cumple que
catión
A q– Z
E
anión
#p+ = #e– = Z se cumple que tipos de núclidos
isótopos
isóbaros
isótonos
poseen igual
poseen igual
poseen igual
especie #p+ #e– #n
número atómico
número de masa
número de neutrones
27 3+ Al 13
13 10 14
ejemplo
ejemplo
ejemplo
33 2– 16S
16 18 17
12 6
SAN MARCOS
#p+ = Z #e–
C
14 6
C
40 20
Ca
40 18
Ar
82
11 5
B
14 6
ejemplo
C
Química
ESQUEMA - FORMULARIO
CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS NÚMEROS CUÁNTICOS Número cuántico
Determina para el electrón
orbital
Principal (n)
El nivel principal de energía
El tamaño o volumen
Secundario o azimutal (l)
El subnivel de energía
La forma geométrica
Magnético (ml)
El orbital o REEMPE
Su orientación espacial
Valores permitidos
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... K L M N O P Q (Capas)
l = 0, 1, 2, 3, ...(n – 1) s p d f
ml = l, ..., 0, ... +l o ml = +l, ..., 0, ... –l Antihorario
Spin Magnético (ms)
El sentido de rotación
no tiene significado
máximo valor
– 1 ms = +1/2
Horario –
– 1 ms = –1/2
En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel se define con los valores de n y l, un orbital con n, l y ml y un electrón queda definido con n, l, ml y ms.
Química
83
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA es el
ordenamiento sistemático de los electrones en la zona extra nuclear se basa en principio de exclusión de Pauli
principio de aufbau permite
permite
permite distribuir a través de los subniveles
distribuir a través de los orbitales de un subnivel para ello
según el orden creciente de la energía relativa (ER)
a todos los orbitales se les deja a medio llenar antes de llenarlo
ejemplo 2
2
5
F: 1s 2s 2p
ejemplos
9
Er: 1
2 3 otros
2
2
6
2
4
S = s 2s 2p 3s 3p 2 2 6 2 3p5 4s2 3d3 23V = s 2s 2p 3s 16
según Kernel 2
4
2
3
S = Ne 3s 3p
16
V = Ar 4s 3d
23
a todos los orbitales se les deja a medio llenar antes de llenarlo ejemplos O:
g
1s 2s 2px 2py 2pz
Distribuir a través de un orbital estableciendo que en un átomo dos electrones no pueden tener sus 4 números cuánticos iguales ejemplos He:
2
electrón
1s
n
l
ml ms
1
0
0 ms
1
0
0 ms
S: [Ne]: 3s 3px 3py 3pz
16
si posee Todos sus electrones apareados
uno o más electrones desapareados
será
será diamagnético
SAN MARCOS
84
paramagnético
Química
ESQUEMA - FORMULARIO
TABLA PERIÓDICA ACTUAL es un
instrumento del ordenamiento sistemático de los elementos en función de
sus números atómicos crecientes en
clasificación
grupos
periodos
Según las propiedades de los elementos como
según la
Conductividad eléctrica
distribución electrónica final
ordena a los elementos
horizontalmente
en columnas
poseen
poseen
igual número de niveles o capas
igual número de electrones de valencia
pueden ser
para
buena metal
propiedades químicas similares
regular
mala
mateloide no metal
-
Fe Cu Ag Pb Au
-
B Si Ge As Sb
elementos representativos finalizan
ejemplos
presentan
propiedades químicas diferentes
por bloques
-
C H O N S
en subniveles s y/o p elementos de transición finalizan
tradicionalmente
en subniveles d y/o f
existen 7 periodos y 16 grupos según IUPAC
existen 7 periodos y 18 grupos
Química
85
SAN MARCOS
SAN MARCOS
86
RA
relación Z inversa
en especies isoelectrónicas
se emplea al radio iónico que se define en forma análogaal radio atómico
para átomos ionizados
(g)
–
+ le
El1 <El2< El3 < ....
x(g) + El – x
+
Proceso endotérmico
es un
energía mínima necesaria para quitar un electrón del último nivel de un átomo aislado y formar un catión
es la
es la
mitad de la distancia entre los núcleos de dos átomos adyacentes
Energía de ionización (EI)
Radio atómico (RA)
(g)
1–
+ AE
Química
proceso endotérmico
casos especiales
para elementos del grupo IIA y VIIA o un anión
casos especiales
x(g) + e– –– x
representación
es un proceso exotérmico
cambio de energía que se produce cuando un átomo en estado gaseoso acepta un electrón para formar un anión generalmente
es el
Afinidad electrónica (AE)
casos generales
no metálicos tienen electronegativos
son de
alto carácter metálico o electropositivos
son de
metálicos poseen baja electronegatividad – (pierden e )
capacidad de un átomo para atraer electrones hacia su núcleo de un enlace químico
es el
Electronegatividad (EN)
propiedades submicroscópicas de los elementos que varían en forma regular en un periodo o grupo y permiten explicar sus propiedades físicas y químicas.
son
PROPIEDADES PERIÓDICAS ATÓMICAS
ESQUEMA - FORMULARIO
ESQUEMA - FORMULARIO
ENLACE QUÍMICO
es
la fuerza que une átomos de una sustancia
de naturaleza
Electromagnética
Electrostática llamada
llamada
Enlace iónico o electrovalente
Enlace covalente
se da generalmente
entre un metal y un no metal
mediante
transferencia de electrones
excepciones
BrX2, AX3
Ejemplos: MgO, CaF2, ...
NH4C, NH4Br ... X = halógeno
Estructura de Lewis [Mg]2+ [Ca]2+ 2
2+
O
en
Compuestos binarios iónicos
1–
F generalmente
EN: Diferencia de electronegatividad
Química
EN 1,7
87
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
UNIDADES QUÍMICA DE MASA
Molécula
Átomo
n=
m # átomos = mA NA
n=
NA = 6,023 x 1023
m M
=
# átomos NA
m: masa
Unidades fórmula
n=
m PF
=
# unidades fórmula
P.F.: peso fórmula
SAN MARCOS
88
Química
ESQUEMA - FORMULARIO
ESTADO GASEOSO es
Un estado de agregación de la materia, en la cual las moléculas que lo componen poseen un movimiento caótico.
Variables de estado Propiedades generales Volumen es
A nivel submicroscópico
A nivel macroscópico
– Alta entropía – Grandes distancias intermoleculares – Alta energía
– Expansión – Comprensión – Difusión – Efusión
Igual a la capacidad del recipiente que lo contiene
Temperatura
Presión
caracteriza
se debe a los
La energía choques de cinética las moléculas media de las del gas con la moléculas pared del recipiente
participan en la Teoría cinética molecular
la cual justifica la
Ecuación universal de los gases
Ecuación general de los gases
PV = RTn a través de la cual podemos determinar
P1V1 PV = 2 2 T1 T2 procesos restringidos
WRT=PVM
si, además, una variable de estado es constante
Isotérmico (T=cte.) P1V1=P2V2
Química
PM = DRT
en condiciones normales (CN) Vgas=nx22,4L
Isobárico (P=cte) V1 V2 = T1 T2
Isocórico (V=cte) P2 P1 = T2 T1
89
Dgas= M g/L 22,4 P=1atm<>760 mm Hg y T=0ºC <> 273 K
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
SOLUCIONES
Unidades de concentración
Físicas
%m =
msto msol
x 100
%V =
Vsto Vsol
x 100
Químicas
m Molaridad
M=
n M 10 x %m x D = = V V M
D: densidad
Normalidad
SAN MARCOS
90
Química
ESQUEMA - FORMULARIO
Contracción volumétrica (C.V.):
Rendimiento o ef iciencia de la reacción (RR) RR
CR .100% CT
Reactivo limitante (RL): Regla p ráctica d e p lanteo d e problemas estequioméetricos
Reactante que se consume totalmente.
Reactivo en exceso (RE): Reactante que se consume parcialmente.
Regla: coef x M coef. coef x 22,4 L coef x NA coef x NA x subíndice
Porcentaje de pureza: % Pureza
cantidad sust.pura .100 cantidad muestra
Dato:
Química
91
gramos mol vol (CN) moléculas
átomo
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
A. Teoría ácido - base
SAN MARCOS
92
Química
ESQUEMA - FORMULARIO
B. Ácidos y bases: Escala de pH
e
–
CÁTODO (–)
( +) ÁNODO CÁTODO: Na +
Na C
+1e
Na
0
(Reducción)
ÁNODO:
–
–2e–
NaC (Fundido)
Química
+
2C
93
C
0 2
(Oxidación)
SAN MARCOS
SAN MARCOS
Artificial Fullereno
Natural
Frafito Diamante
Puro
Propiedades del Carbono
Artificial
94
Natural Antracita Hulla Lignito Turba
Natural
Hollín Coque
Artificial Carbón de madera Carbón animal Carbón de retorta Carbón activado
Impuro
QUÍMICA ORGÁNICA
ESQUEMA - FORMULARIO
Química
ESQUEMA - FORMULARIO
Química
95
SAN MARCOS
SAN MARCOS
96
fórmula global
CnH2n; n
fórmula global
CnH2n+2; n ejemplo
- eteno (C2H4) - propeno (C3H6) - buteno (C4H8)
ejemplo
- metano (CH4) - etano (C2H6) - propano (C3H8)
2
Alquenos u olefínicos
1
Alifáticos
2
- etino (C2H2) - propino (C3H4) - butino (C4H6)
ejemplo
CnH2n–2; n
fórmula global
Alquinos o acetilénicos
Insaturados
Alcanos o parafínicos
Saturados
Acíclicos
- ciclopropeno (C3H4) - ciclobuteno (C4H6) - ciclopenteno (C5H8)
- ciclopropano (C3H6) - ciclobutano (C4H8) - ciclopentano (C5H10)
3 ejemplo
CnH2n – 2; n ejemplo
3
fórmula global
fórmula global
CnH2n; n
Cicloalquenos
Cicloalcanos
Alicíclicos
Co mo c omb us ti bl e, disolvente y materia prima para la petroquímica
Compuestos binarios formados por carbono e hidrógeno
- petróleo - gas natural - hulla clasificación
usos
son
fuentes de obleación naturales
HIDROCARBUROS
- antraceno (C14H19)
- naftaleno (C10H8)
- benceno (C6H6)
ejemplo
Aromáticos
ESQUEMA - FORMULARIO
Química
ESQUEMA - FORMULARIO
ALQUENOS U OLEFINAS Son compuestos que en su estructura, presentan por lo menos un enlace doble (2 átomos de carbono con hibridación sp22)), siendo una sustancia químicamente activa. El doble enlace carbono-carbono es una unidad estructural y un grupo funcional importante en la química orgánica, el doble enlace es el punto donde los alquenos sufren la mayoría de las reacciones.
Ejemplos:
ALQUINOS O ACETILENICOS Son hidrocarburos acíclicos insaturados o compuestos que en su estructura presenta por lo menos un enlace triple. Los átomos de carbono del grupo funcional (enlace triple) poseen hibridación sp.
Química
97
SAN MARCOS
ESQUEMA - FORMULARIO
Ejemplo: Alquino
Fórmula global
Etino
C2H2
Fórmula semidesarrollada CH
CH
Fórmula desarrollada H C
C
H H
Propino
C3H4
CH
C
CH3
H C
C C H H H H
CH C 4H 6 Butino
(Posee 2 isómeros de posición)
C
CH2 CH3
But 1
CH3
C
C
But 2
H C
C C
ino
CH3 ino
C H
H
H H H
H C C
C C
H
H
H
ALQUENINO CnH2n + 2 – 2d – 4t Donde: n: número de carbonos d: número de enlaces dobles; t: número de enlaces triples. Cuando en la cadena carbonada hay doble y triple enlace simultáneamente, la numeración de la cadena principal se hace en base al doble enlace y la terminación usada es enino.
SAN MARCOS
98
Química
ESQUEMA - FORMULARIO
Condensador Gas de refinería
Separador de gas vapores
reflujo
Líquido
Gasolina
Burbujeador Tanque de petróleo
Columna de fraccionamiento
Bomba
Agua
Vapor Líquido
Vapor Vapor Kerosén Rectificadores
Horno Gasolina o diesel
Bomba
Crudo reducido
Bomba
Química
99
SAN MARCOS
Minerales
Preparación del mineral
ESQUEMA - FORMULARIO
Métodos mecánicos Trituración, molienda, pulverizado – Tamización – (concentra el Levigación (oro) Flotación (sulfuros) mineral) Métodos Químicos (mineral concentrado)
Tostación Calcinación Reducción
de sulfuro a óxido con corriente de aire de CO3= a óxido en ausencia de aire óxidos + C = CO2 + metal
Húmeda (Na) Electrometalúrgicos Electrólisis Seca (Na, K, Mg, Al) (mineral concentrado) Electrotérmicos Hornos de arco voltáico 2800 - 3000°C es una reducción Hematita Fe2O3 Limonita Fe2O3 + 3.H2O Magnetita Fe2O3.FeO Siderita FeCO3 Pirita FeS
SAN MARCOS
100
Química
ESQUEMA - FORMULARIO
Química
101
SAN MARCOS