Temas selectos estática bn freelibros org by eyair tovar

Asociaciรณn Fondo de Investigadores y Editores

Estรกtica

Lumbreras Editores

ESTÁTICA Autor: Jorge César Espinoza Gómez © Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores © Asociación Fondo de Investigadores y Editores Av. Alfonso Ugarte N.° 1426 - Breña. Lima-Perú. Telefax: 332-3786 Para su sello editorial Lumbreras Editores Página web: www.elumbreras.com.pe Primera edición: mayo de 2013 Tiraje: 10 000 ejemplares ISBN: 978-612-307-284-1 Registro del proyecto editorial N.° 31501051300031 "Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú" N.° 2013-05192 Prohibida su reproducción total o parcial Derechos reservados D. LEG. N.° 822 Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de mayo de 2013 Calle Las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú. Teléfono: 336-5889

índice *M PRESENTACIÓN.......... " * INTRODUCCIÓN ..Y....... T i ESTÁTICA Conceptos previos........ Equilibrio mecánico Fu e rza..................... Interacción.............. Fuerzas usuales..... Fuerza de gravedad ( f g ) Fuerza de tensión ( t ) Fuerza elástica ( f £) ... Diagrama de fuerzas Operaciones con fuerzas.... Fuerza resultante (F r ) Descomposición rectangular de fuerzas Condiciones del equilibrio mecánico (CEM )...... Primera condición del equilibrio mecánico Caso de dos fuerzas................................ Caso de tres fuerzas................................ Segunda-Condición del equilibrio mecánico Momento de una fue Momento resultante

Fuerza de rozamiento......................................................................................................

Fuerza de rozamiento estático ( f s ) .......................................................................

Fuerza de rozamiento cinético \f k ) ......................................................................

T il PROBLEMAS RESUELTOS Nivel básico ......................................................................................................................

Nivel intermedio..............................................................................................................

Nivel avanzado...................................................................................................................

105

PROBLEMAS PROPUESTOS Nivel básico ........................................................................................................................

133

Nivel intermedio............................................................................................. Nivel avanzado...................................................................................................................

146

CLAVES................................................................................................................................

155

BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................................

157

P r e s e n t a c ió n

La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Estática, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus conocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didác tico y cuidadoso en la relación teoría-práctica. Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profundización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu trida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles. Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha sig nificado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesio nales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo de una educación científica y humanística integral. En este proceso, deseam os reconocer la labor del profesor Jorge Espinoza Góm ez, de la plana de Física de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la enseñanza preuniversitaria.

Asociación Fondo de Investigadores y Editores

I n t r o d u c c ió n ....................................................................

En el estudio de la mecánica cobra mucha importancia el análisis de fuer zas, las cuales, dependiendo del estado del cuerpo o sistema (reposo o mo vimiento), responden a leyes (entre ellas, la tercera ley de Newton). Otro aspecto importante es el concepto de equilibrio mecánico y la aplicación de las condiciones para determinar, entre otras cosas, las fuerzas actuantes así como el análisis de los sistemas de cuerpos, ya que se presentan en numero sos exámenes de admisión. El presente material tiene como propósito ofrecer una explicación am plia y detallada sobre la estática, utilizando métodos didácticos para orien tar a estudiantes que buscan aclarar los aspectos básicos de la estática y así resolver problemas de mayor exigencia, teniendo como herramientas el diagrama de cuerpo libre, las condiciones para el equilibrio mecánico y la geometría para cada uno de los casos. Además, para poner en práctica lo aprendido, se han planteado ejerci cios aplicativos, así como problemas resueltos y propuestos graduados de lo simple a lo complejo. La selección de los ejercicios aplicativos está de acuer do a las dificultades que presentan los estudiantes, como por ejemplo la re presentación correcta de las fuerzas actuantes sobre un cuerpo y/o sistema. Finalmente agradezco a la Asociación Fondo de Investigadores y Edito res - Afined, a través de su sello editorial Lumbreras Editores, por el respaldo y las facilidades recibidas en la publicación de la presente obra, esperando colaborar con aquellos estudiantes que tienen como próxima meta el ingre so a la universidad.

ESTÁTICA .............................................................. i »

Cuando observamos los objetos en los diferentes lugares hay algo muy frecuente: el estado de reposo.

La madera sostiene el vaso.

La soga restringe el movi miento de la carreta.

El cartel reposa en el pos te rígido con los pernos empotrados.

Los pernos fijan la piza rra, muy pesada, en la pared.

La varilla entre las esca leras evita que estas se abran.

Hay múltiples situaciones como estas, y debemos notar que los cuerpos que están alrededor son los que permiten el estado de reposo. •

Si el poste que sostiene el cartel fuera tan delgado como el lapicero, ¿se animaría a pararse debajo?

•

Con pernos del tamaño y de la resistencia de los chinches, ¿la pizarra se caería?

•

¿El dueño de la carreta podría usar una estaca de 5 cm en un suelo arenoso?

Es así que los cuerpos del entorno y su capacidad (resistencia) para evitar (restringir) el movimiento juegan un papel importante si buscamos mantener un cuerpo en reposo. Por ello revisaremos las condiciones que se cumplen en cada caso. 11

L u m b r e r a s E d it o r e s

CO N CEPTO S PREVIOS

EQUILIBRIO MECÁNICO

Rotación uniforme

MRU

En los tres casos, los cuerpos permanecen estables, es decir, no hay movimiento o cambio de mo vimiento de forma repentina; a diferencia de los cuerpos cuando están en un móvil con velocidad variable como las combis. ¿La persona B se animaría a reci bir una taza con café caliente? ¿La persona A al caminar hacia la puerta podría mantener sus ma nos en los bolsillos?

En ambos casos, probablemente, diríamos que no, ya que la combi “nos sacude” al cambiar su velo cidad; pero si es un bus interprovincial con 110 km/h de velocidad constante, estaríamos estables, tomaríamos el café y caminaríamos tranquilos. Por lo tanto, no importa el módulo de la velocidad, sino que esta cambie o se mantenga constante.

Equilibrio mecánico

el estado mecánico en el cual un cuerpo y/o sistema

■Reposo está en

*MRU ■Rotación uniforme

FUERZA Es un vector que representa la acción física de un cuerpo sobre otro: empujar, jalar, atraer, presionar, sostener, repeler, golpear, etc. Su unidad de medida es el newton, cuyo símbolo es N. JZ equivale a

Este vector representa lo que la mano hace con el bloque.

E s t á t ic a

Ejemplo En el siguiente gráfico, ¿cuántos cuerpos hay?

La respuesta sería cuatro cuerpos: la canasta, la mano que aplica Fv el viento que aplica F2 y la Tierra que aplica F3.

viento

INTERACCION Cuando un cuerpo actúa sobre otro se da una acción física mutua, recíproca; aunque nuestra aten ción, por lo general, se centra solo en una de estas acciones (fuerza).

La mano aplica una fuerza al balde para elevarlo, pero también el balde aplica una fuerza a la mano que tensa los músculos.

•!*

Para un análisis de estas fuerzas realizamos una separación imaginaria. Veamos a la esfera en el plano inclinado con la mano. separación imaginaria

Entre los cuerpos que interactúan surgen dos fuerzas que tienen las siguientes características: • •

Son colineales. Son opuestas en dirección.

•

Tienen igual módulo. F (M/E) = F {E/M)

•

f (m /e): fuerza

de la mano sobre la esfera

f (e/m )'- fuerza

de la esfera sobre la mano

Actúan en cuerpos diferentes, generando efectos diferentes.

Todo lo anterior se conoce como la tercera ley de Newton o ley de acción y reacción. 13

L u m b r e r a s E d it o r e s

FUERZAS USUALES Entre los diferentes cuerpos se presentan múltiples fuerzas; cuando interactúan, de todas ellas hay algunas con nombre propio por ser frecuentes. Presentamos las siguientes: Fuerza de gravedad ( f g ) Es el resultado de la interacción entre la Tierra y los cuerpos de su alrededor. Es de tipo atractiva, es decir, vertical hacia abajo. La F g se gráfica a partir del centro de gravedad (C.G.) del cuerpo. Su ubicación depende de la dis tribución de la masa en la extensión del cuerpo.

Su módulo viene dado por Fa=M g

; unidades: Fa : N; M : kg; g :m /s

Ejemplo Si el módulo de la Fg para un cuerpo de 1 g es 10* N, calcule x. Resolución La masa debe estar en kilogramos, entonces debemos recordar que 1 kg = 1000g - > l g = —— kg = 10_3kg 1000 Ahora Fg= M g ->

10x=10~3 -10

10x= 1 0 “2 x = -2

l i O b servació n

—

Para cuerpos homogéneos, es decir, aquellos donde su masa se distribuye uniformemente en toda la extensión del cuerpo, su centro de gravedad (C.G.) se ubica así:

E s t á t ic a

Fuerza de tensión [ t ) Es el resultado del incremento de las interacciones internas en una cuerda cuando es estirada.

A lo largo de toda la cuerda, la fuerza interna se incre mentó en 75 N, es decir, la fuerza de tensión es 7 = 75 N. En el gráfico se representó la fuerza que la cuerda aplica a la persona para que esta no caiga.

Ejemplo En el gráfico, la cuerda cuelga del clavo y le aplica fuerza hacia abajo (jala). Además, la cuerda sostie ne el bloque y le aplica fuerza hacia arriba (jala).

¿Son fuerzas de acción y reacción?

Resolución No, ya que se trabajó con la fuerza que la cuerda aplica al clavo y al bloque, no se analizó fuerzas mutuas entre los dos cuerpos. Son fuerzas de igual módulo de direcciones opuestas pero son transmitidas a lo largo de la cuerda y no son de un cuerpo sobre otro.

L u m b r e r a s E d it o r e s

Fuerza elástica {FE ) Se presenta en cuerpos elásticos cuando se les deforma como resultado del incremento de las inte racciones internas. «o-------- 1 d0: longitud natural, cuando no hay deformación FEf —x —f

El resorte comprimido empuja buscando recuperar su f!0; mientras que el resorte estirado jala buscan do recuperar su $0.

- ^ M S L S L m S iL ñ j^

Experimentalmente se obtiene Donde F e =K- x

x : deformación del resorte (cm; m) ( N N K: constante de rigidez del resorte — ; — V cm m

Interpretación de la constante de rigidez Si K = 200 N/m, entonces significa que por cada 1 m que se le deforme al resorte, este aplica una F e de módulo de 200 N. N 200 N N — Pero también K = 200— = ---------- = 2 — ; entonces por cada 1 cm de deformación, la FE generada m (100 cm) cm es de 2 N. Gráficamente

x = l cm

[Fe= 2 N

E s t á t ic a

DIAGRAMA DE FUERZAS También llamado diagrama de cuerpo libre (DCL). Consiste en representar todas las fuerzas sobre un cuerpo o sistema. Ejemplos

En la figura 3, la cuerda (1) sostiene la polea y se representan dos fuer zas desde los extremos derecho e izquierdo; como cuando una per sona hace "patita de gallo": la fuerza se distribuye en ambos brazos. Por otro lado, sobre la polea ideal no dibujamos la Fg porque su masa es despreciable. y F 2 son las fuerzas en cada brazo y F sería la carga en nuestras manos.

"patita de gallo"

Cuando una superficie es lisa, no se opone de forma alguna a que un cuer po resbale al estar apoyado en tal superficie.

Rp\ fuerza de reacción del plano inclinado; por ser superficie lisa se gráfica perpendicularmente a ambas superficies en contacto.

Se debe tener en cuenta las superficies en contacto, más aún sin son puntas o esquinas como en los siguientes casos.

L u m b r e r a s E d it o r e s

•k

A continuación se muestran los diagramas de fuerzas respecto a cada caso. estirado lisa

a punto de volcar

La cuerda sostiene la barra, ya que por ser lisa podría resba-

Como está a punto de volcar, solo se apoya en la esquina,

lar y terminar sobre el piso.

Además, R es perpendicular a la barra.

superficie lisa

Hacemos la separación ima ginaria para analizar cada cuerpo.

OPERACIONES CON FUERZAS Luego de saber dibujar las fuerzas sobre un cuerpo, ahora veamos las operaciones más importantes. Fuerza resultante ( f r ) Es la fuerza que equivale a un grupo por producir igual efecto. Veamos lo que pasa con dos esferas sobre una superficie horizontal.

v=0 i#

v=0 /

El resultado de aplicar dos o más fuer zas sobre un cuerpo se puede lograr con una sola fuerza, a la que se le denomina fuerza resultante.

E s t á t ic a

Matemáticamente

FR - F 1 + F2 + ...

¡Suma vectorial!

Forma geométrica Entonces se ordenan las fuerzas, una a continuación de otra, y la FR va del punto inicial al final.

O b servació n La F r no es una fuerza adicional, sino es aquella que equivale al grupo de fuerzas actuantes.

Casos |6N

21 N Fr 8 N

Fr = 10 N

Fr = 13 N

Fr = IO N

Se sumaron los mó dulos de las fuerzas.

Se restaron los mó dulos de las fuerzas.

Se aplicó el teorema de Pitágoras con el módu lo de las fuerzas.

L u m b r e r a s E d it o r e s

Descomposición rectangular de fuerzas Así como un grupo de fuerzas puede ser equivalente a una sola FRl también una fuerza se puede reemplazar por dos o más para un mejor análisis. Para un mayor análisis de F, realizamos la descomposición rectangular.

Por acción de F, el coche puede avanzar sobre el piso pero también po dría alzar vuelo.

F1 y F2 son componentes de F. F j produce el desplazamiento del vehículo sobre el piso. F2 tiende a producir que el vehículo se eleve.

Ejemplos 1.

Si sobre el costal la F R es vertical hacia arriba y de 20 N módulo, calcule el módulo de F y la medida del ángulo a . (g = 1 0 m/s2)

Resolución Realizamos la descomposición de F . í condición del F r i problema m { (Fr = 20 N) equivale a

E s t á t ic a

Resolución

En la horizontal, no hay FR Fx= 50 N

(I)

En la vertical FR=Fy- F g 20=Fy -3 0 N Fy= 5 0 N

(II)

De (I) y (II)

Cuando el collarín pasa por P, el resorte mide 50 cm; es decir, se encuentra estirado x=20 cm . Luego en el diagrama de fuerzas actúan tres fuerzas, de tal manera que su resulta do será horizontal, entonces en la vertical no hay resultante. Analizamos fuerzas realizando el cálculo de fg Y ff-

F = 50 N

Fg= M g = 4 -1 0 = 4 0 N F e = K x = 150 0,2=30 N

F = 50V2 N y cc=45°

Mientras el collarín de 4 kg se mueve sobre la varilla lisa, la F R sobre él es horizontal. Calcule el módulo de FR y la reacción de la varilla cuando el collarín pase por P. Como la F r sobre el collarín es horizon tal, entonces en la vertical las fuerzas dan como resultante nula.

(K = 150 N/m; g = 1 0 m/s2)

—> /?= 22 N (para anular las fuerzas en la vertical)

d0~30 cm

--------------

Y en la horizontal F r =24 N \~Fr |= 24N

|fi| = 22N

L u m b r e r a s E d it o r e s

lílsll CO N D ICIO N ES DEL EQ U ILIBRIO M ECÁNICO (CEM )

PRIMERA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO MECÁNICO Referida al equilibrio mecánico de traslación, es decir, cuando un cuerpo o sistema no presenta aceleración (o).

di r

v=o

reposo No presenta a

MRU

inconstante

Para lo cual se verifica

Forma algebraica (luego de descom poner fuerzas si es necesario)

■

'•

X f ( - ) = X F (~ > X F ( t ) = X F ( l)

%i N ota

/ ------------- --—

Forma geométrica (sin descomponer ninguna fuerza)

Se formará un polí gono (por lo general será triángulo) con las fuerzas, una a conti nuación de otra. No importa el orden.

-------------

El triángulo también podría formarse con cuatro fuerzas para lo cual dos de estas deben ser paralelas.

E s t á t ic a

Caso de dos fuerzas

Inmediatamente hacemos el diagrama de

En el gráfico, sobre la placa actúan tres fuerzas, pero si retiramos la mano, solo quedarían dos fuerzas.

fuerzas

T= M g 7 = 3 -1 0 -> 7 = 3 0 N En este caso, no importa resaltar que las dos fuerzas son colineales.

•

Así, la placa no se mantiene en reposo y se la dea, ya que las fuerzas están en líneas diferen tes.

Para la placa homogénea, ¿qué distancia respecto de P puede sobresalir el punto 6?

El equilibrio se alcanza solo cuando las dos fuer zas están contenidas en la misma línea. Ahora sí hay reposo, además T = F g para que la F r sea nula La placa apoyada en el piso estaría casi balaceándose pero aún en reposo, para lo cual encima de P deberá ubicarse al C.G.

baricentro

mediana

15 cm

En conclusión, si dos fuerzas garantizan el equi librio mecánico de un cuerpo o sistemas, estas son colineales, opuestas, de igual módulo. En los problemas se presentarán casos más fá ciles. Ejemplos 1.

Calcule la tensión en la cuerda para el blo que en reposo.

Del gráfico 3 d = 1 5 cm —> d = 5 m Lo que más importó en este caso es que las fuerzas sean colineales. 23

L u m b r e r a s E d it o r e s

Caso de tres fuerzas •

Para la barra realizamos el diagrama de fuerzas

Fuerzas paralelas Para la barra en reposo

Actúan tres fuerzas y dos de estas son para lelas ( Fg y RP). Con esto al aplicar la prime ra condición de equilibrio se define la ter cera fuerza [Fmano). Entonces la Fmano será paralela a las anteriores.

Primero graficamos la Fg, luego la reacción del techo RT, y notamos que son paralelas, entonces la reacción de la esquina RE tam bién será paralela a las anteriores.

¡No hay fuerzas horizon tales que equilibrar!

N ota

/ —

Un error común es graficar a RE de forma perpendicular a la barra.

Luego aplicamos FR= 0, entonces 2 F (I) = Z F (I) Rp+ Fman0 = Fg Para resolver un problema, primero debe mos identificar si actúan tres fuerzas y di bujar dos de ellas para que la tercera enca je con las dos primeras y se verifique que 7 r = o. 24

Esto lo solemos hacer por pensar en superficies lisas y que siempre la fuerza en el contacto debe ser perpendicular. Recuerda que una fuerza entre dos su perficies en contacto siempre será per pendicular cuando una de ellas o ambas superficies sean lisas.

E s t á t ic a

Para la placa triangular homogénea en re poso realicemos el diagrama de cuerpo libre (DCL).

Luego

Al dibujar el triángulo, apóyate de la línea que trazaste al final, ya que luego debes ubicar la geometría para comparar los mó dulos de las fuerzas formando un triángulo de fuerzas. Debemos notar que solo el piso horizontal es liso y allí RP es perpendicular, además resulta paralela con la Fg por lo que R¡ (re acción del plano inclinado) también es pa ralela. •

Un error común es pensar que a (en el trián gulo de fuerzas) es 37°, pero la fuerza R no está contenida ni es paralela a la barra. Observa el gráfico.

Fuerzas concurrentes

Luego, desarrollando el gráfico se tiene 3

Para la barra homogénea en reposo actúan tres fuerzas, y al dibujar dos de estas, no son paralelas; por lo tanto, para el equili brio las tres fuerzas serán concurrentes. Con las dos primeras fuerzas se ubica el punto de concurrencia C. Entonces la re acción de la articulación que surge en P se orienta a lo largo de la línea, que une P y C. Luego, para resolver aplicamos la forma geométrica de la primera condición de equi librio formando el triángulo de fuerzas.

tana = -

El triángulo sombreado es semejante al de fuerzas, entonces Fg= 3 K -»

T=2K

En los problemas, primero identificamos que actúan tres fuerzas y dos de ellas (las que rápidamente se puedan dibujar) no son paralelas, así veremos que se trata de tres fuerzas concurrentes. 25

L u m b r e r a s E d it o r e s

APLICACIÓN 1

APLICACION 2

Para la barra en reposo, ¿a qué distancia de P se encuentra su C.G.?

Para la barra en reposo, determine el cociente que resulta de dividir el módulo de la Fg con el de la reacción de la articulación.

Resolución Actúan tres fuerzas donde las dos tensiones evi dentemente no son paralelas entre sí ni con la Fg. ¡Fuerzas concurrentes! Resolución Actúan tres fuerzas: 7 , Fg y R. Las dos primeras no son paralelas, por ello las tres serán concu rrentes.

d c . G . - c = K 'H

Con la prolongación de T1 y T2 encontramos C (el punto de concurrencia) y así de la Fg su línea de acción vertical debe pasar por C. Con esto se define el C.G. Trabajando la geometría de los triángulos rec tángulos tenemos ¿ b a rra d 80 cm=4/C K = 2 0 cm Por lo tanto, el C.G. de la barra está a 20 cm del punto P.

Al completar el triángulo de fuerzas utilizando la línea de acción de R, se forma el triángulo isósceles, entonces R = F g.

E s t á t ic a

SEGUNDA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO M ECÁ NICO Referida al equilibrio mecánico de rotación, es decir, cuando un cuerpo o sistema está en repo so o presenta rotación uniforme.

El bloque estará propenso a rotar cuando apli camos la fuerza en A, esto por la mayor distan cia desde O a la línea horizontal que contiene a cada fuerza. Tienes que evitar decir o pensar que la distan cia da fuerza, lo que sucede es que la distancia juega un papel importante en la intensidad o magnitud del efecto de rotación que una fuerza produce o tiende a producir. Veamos también 10

Para analizar las fuerzas bajo este enfoque, de bemos revisar los siguientes conceptos.

| 0 d2 r

Momento de una fuerza (M o )

ífr 45 N

\Fg T Í O N T F9

Es una magnitud física que mide la capacidad de una fuerza para producir rotación respecto

En ambos casos, el dedo mantiene en reposo a

a un punto.

la barra, evitando que gire en sentido O respec

Veamos

to de O. En el segundo caso, la fuerza del dedo debe ser efecto de rotación respecto de O

mayor por tener menor distancia, entonces no por ser mayor fuerza podrá producir más fácil mente rotación, sino que influye la distancia. Para el cálculo, siempre habrá un punto de re ferencia O, de donde mediremos los momen tos de cada fuerza (centro de momentos). Tam bién debemos trazar la línea de acción de cada fuerza.

Al jalar horizontalmente con la cuerda, ya sea de A o B, hay la tendencia de producir efecto de rotación sobre el bloque. Si en diferentes casos aplicamos igual fuerza de tensión en A y B, ¿en qué caso el bloque estará más propenso a rotar? 27

L u m b r e r a s E d it o r e s

La figura anterior es abstracta, pero puede ser un molde de cartulina en la pared de madera con un chinche alrededor del cual puede ser girada.

Gráficamente, observamos que la línea de ac ción de Fg pasa por O. Entonces M F0 = 0, es decir, ni O ni C siempre que la línea de acción de F pase por O.

chinche

En estos casos, la fuerza de gravedad sí presenta la capacidad de producir efecto de rotación. Mq = ± F - d Momento resultante {M q S) Unidades: N •m; N-cm

Es la medida del efecto neto de la rotación que trata de producir fuerzas en conjunto.

Se usa (+): cuando la F busca producir rotación C (-): cuando la F busca producir rotación O Donde d es la distancia (brazo de palanca) des de O perpendicular a la línea de acción de F . Tener en cuenta que no todas las fuerzas pue den producir rotación, como por ejemplo

M roes = l M F0

Tenga en cuenta De algunas fuerzas su momento puede ser cero.

Mf0 = 0 lo cual no implica que la fuerza se anula, sino que respecto de ese centro de mom en

Así como está la barra, la Fg no trata de producir rotación alguna. 28

tos no puede producir efecto de rotación.

E s t á t ic a

APLICACION 3

Por ello, para el equilibrio de rotación se verifica

Para la placa, calcule el M q '

que

Resolución

R N0

T, = 20 N 6 cm

-q -

, 4 cm X

F2= 5 N

r2=6 n

2 cm '

Esta corta ecuación nos permite completar el análisis de fuerzas, junto con la primera condi ción de equilibrio, sobre un cuerpo o sistema en equilibrio mecánico. Dicha ecuación equivale a

Fg= 25.N F i= ll N

Como O está ubicado en la articulación observa mos que las líneas de acción de F lt de T2 y de R pasan por O, por ello o

Luego M } =+7"! ■d1 = +20-6 = + 1 2 0 N cm í giro O M % = - F g -d = 25-5 = -1 2 5 N-cm í giro O Mo = ~ f e(2 ) •d 2 = “ 5-2 = -1 0 N-cm

En este caso solo se toma el valor de los mo mentos sin su signo. Reflexiona antes de leer la respuesta, ¿en esta ecuación se vincularán a todas las fuerzas? Como planteamos al analizar el momento, o capacidad de una fuerza, no siempre la fuerza aplicada tiende o trata de producir rotación, por ello sin que las fuerzas sean nulas o se equili bren pueden tener un momento de fuerza cero y así no entrarían en la ecuación anterior. Esto dependerá de dónde ubiquemos a O (centro de momentos).

-+ M r¿ s = 'Z M F0 = M T¿ + M F0g + M%

Como en un problema hay incógnitas, algunas que se quieren calcular y otras no, y datos; si

= (+ 1 2 0 )+ ( -1 2 5 ) + ( -1 0 )

nos referimos a las fuerzas, nos conviene que el momento sea cero. ¿De quiénes?

M q S = - 1 5 N cm

Indudable de las que no son datos y que no De este resultado, lo que más nos importa es interpretar el signo. Si el momento resultante es negativo, implica que el conjunto de fuer zas, en ese instante, buscan producir rotación horaria desde el reposo, lo cual no es equilibrio mecánico.

queramos conocer, para quedarnos solo con la incógnita que deseamos calcular. Por lo tanto, el punto O se ubicará convenien temente por donde pasen o se intersecten el mayor número de líneas de acción de fuerzas desconocidas y que no se quieran conocer. 29

L u m b r e r a s E d it o r e s

Tenemos de la segunda condición de equilibrio

Ejemplo Para la barra homogénea de 6 kg en reposo, de termine la tensión en la cuerda.

I M 0) = X M 0) MT = M Fg

30 cm

7-30 = 60-20

10 cm -»

7=40N

No fue necesario aplicar la ecuación (I) En el gráfico de fuerzas, sobre la barra tampoco Resolución De una inspección rápida se trata el caso de tres fuerzas paralelas. T

fue necesario la precisión de R , solo importó que actúe pasando por O, es decir, podríamos haber hecho esto.

Ry \ /

C.G.

F9 Aplicamos la primera CEM

Los tres gráficos de R son incorrectos desde el punto de vista del correcto DCL, pero para

Fr = 0 -> R + T = F g

el cálculo solo de 7 no genera problema, siem

- > /?+ 7 = 6 0 N

pre que apliquemos solo la segunda CEM, ya que en los tres casos Mq = 0.

En esta ecuación tenemos dos incógnitas que no permiten que la ecuación sea resuelta. De bemos buscar otra ecuación que tenga las mis mas incógnitas, o que permita el cálculo directo de la fuerza de tensión.

Al ubicar O en otro punto, el resultado será el mismo.

20 cm

; 10 cm 10 cm

Para aplicar la segunda CEM, debemos escoger el punto O y lo haremos por donde pase /?, así Mq = 0, es decir, no es horario ni antihorario. Si O está en el C.G., entonces M Fg = 0 y 7 20 cm O.

10 cm 10 cm , C.G.

Fg \ = 60 m£=o

Mo = M q 7-10=/?-20

E s t á t ic a

De (I)

Reemplazamos en (I)

R = 6 0 -T

- + 7 = 60

De (II)

7= 4 0 N

5 (6 0 -7 )+ 2 7 = 1 8 0 Si O está fuera de la barra

7=40 N

Conclusiones •

Tomando momentos en un punto distinto al extremo izquierdo por donde pasa R sí importa el gráfico correcto de R.

M g + M j= M o «

•

/?• 5 0 + 7 -2 0 = 6 0 -3 0 5/?+27=180

Notamos que la respuesta es independien te de donde ubiquemos a O, pero en los dos últimos casos sí se usó la ecuación (I)

(II)

!i| FUERZA DE ROZAM IENTO

En el gráfico, F presiona a la tabla contra la pared y esta se mantiene en reposo.

Justamente por la presión entre las superficies, las rugosidades de la tabla encajan, empotran y engranan en las de la pared. En los microcontactos se genera resistencia u oposición al deslizamiento (una superficie res bale sobre otra). No olvides que primero debe haber presión entre las superficies y también

Ello debido a que la tabla está empotrada en la pared.

tendencia (intento) a resbalar.

Puede parecer extraño, pero es cierto y lo no taremos al hacer una ampliación de la zona de contacto.

Entonces la pared...

Para que la tabla no resbale hacia abajo sobre la pared, ambas deben ser rugosas, ásperas.

•

soporta la presión del bloque.

•

se opone a que el bloque resbale hacia abajo.

Lo anterior se da por la reacción de la pared.

L u m b r e r a s E d it o r e s

Realizamos el DCL

% A medida que F aumenta, se incrementa la tendencia a resbalar hasta que el bloque esté a punto de resbalar como en el tercer caso. Mientras el bloque no resbala, se mantiene en reposo y se cumple la primera CEM: FR= 0

Donde //v: fuerza normal; mide la intensidad de la pre sión entre las superficies y siempre es perpen dicular a las superficies en contacto. / : fuerza de rozamiento; mide la oposición de la pared a que la tabla resbale, se gráfica en di rección opuesta hacia donde el cuerpo trata de resbalar. Í

y / son componentes de la reacción de la

Eje f N= F g Eje X :f s = F caso l : / s = 1 0 N caso 2:/s = 1 8 N caso 3 :/s = 2 5 N Como en este caso el bloque está a punto de resbalar, la f s toma su máximo valor. La f S(máx.) depende de lo siguiente: • •

La presión entre las superficies f N. El grado de rugosidad entre las superficies, que se mide con el coeficiente de roza miento estático ,us. fs( máx.) - Ms/w

FUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICO (7 s) Actúa solo cuando entre las superficies no hay deslizamiento. Veamos el caso del bloque sobre el piso y la acción de una fuerza horizontal, cuyo módulo va aumentando.

Es decir, el cálculo de la f s será con las condicio nes de equilibrio, y si el cuerpo está a punto de resbalar, también se usará esta ecuación. FUERZA DE ROZAMIENTO CINÉTICO ( f K) Actúa solo cuando una superficie resbala sobre otra.

La f K se gráfica en dirección opuesta hacia donde la superficie resbala. Cuando hay desli zamiento, las rugosidades disminuyen, se liman asperezas, por ello Vk <V s í coeficiente de rozamiento cinético

E s t á t ic a

“>

/*=M v

\Fg a

En este caso no se habla del máximo valor. |/ai Ejemplo En cada caso, determine el módulo de la / y el Considere j is =0,75.

En los tres casos se cumple que f N= Fg ya que ambas fuerzas actúan verticalmente y la

F1=10_N

j 2 kg

trayectoria es horizontal o no hay movimiento - > f N= 20 N

no resbala

Caso 1 (equilibro estático) fs= F i

-> /S= 1 0 N a punto de resbalar

Caso 2 (equilibro estático) F,= 12 N — a fs = F 2 resbala con MRU

Pero no conocemos F2> por ello interpretamos que está a punto de resbalar y la f s toma su máximo valor, entonces aplicamos

Resolución En los tres casos, el bloque está en equilibrio me cánico y podemos aplicar la primera CEM FR= 0

f s ~ f s ( máx.)

/s = Ms//V f s = 0,75-20

/ s= 1 5 N Caso 3 (equilibrio cinético) Í k= Fi -> /^ = 1 2 N Luego aplicamos fK = V -K ÍN

fs( máx.)

1 2 = ^ -2 0 ••• ^ = 0 , 6 33

PROBLEMAS RESUELTOS

N I V E L B Á S IC O

Aplicamos la geometría mediana

P R O B L E M A N .° I

-Y

Se muestra una placa triangular homogénea en reposo. Indique la alternativa que corresponde al correcto DCL de dicha placa.

- 6 cm _CLAV E (D .

A) P R O B L E M A N .° 2 C)

Para el sistema mostrado, indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones.

Sobre la esfera actúan dos cuerpos.

Resolución

II.

Sobre el coche actúan cuatro cuerpos.

Por estar el cuerpo en reposo y sometido a dos

III. Sobre el sistema coche-esfera actúan dos fuerzas.

fuerzas, estas deben ser colineales, opuestas y de igual módulo. La línea que las contiene debe pasar por el baricentro de la placa triangular por ser homogénea. 34

A) VVV D) FFV

B) VFV

C) FVV E) FVF

E s t á t ic a

Resolución

En el problema no debemos graficar las fuerzas sobre los cuerpos, sino que tenemos que ver con qué cuerpos interactúa cada cuerpo que se menciona. I.

Verdadera La esfera se apoya en el coche y es atraída por la Tierra. Actúan dos cuerpos.

II.

Falsa

Sobre la esfera actúan F g y R (perpendicular

El coche se apoya en el plano inclinado,

a la superficie).

tiene a la esfera encima y es atraído por la

Como el dato es que la FR es horizontal, enton ces al tener fuerzas sobre los ejes X e V, en Y la resultante será nula.

Tierra. Actúan tres cuerpos. III. Verdadera El sistema se apoya en el plano inclinado y

Luego de descomponer R tenemos RY = Fg —> R y = M g

es atraído por la Tierra. Actúan dos cuerpos.

RY = 1,2-10 C la v e ( B ,

Por trigonometría /?cos37°=12

P R O B L E M A N .° 3 Para la esfera de 1,2 kg, al pasar por P, la fuerza resultante es horizontal. Determine el módulo

.-.

R- -= 1 2 5 R = 15 N

de la reacción de la superficie lisa en dicho pun Otra forma

to. (g = 1 0 m/s2)

A) 15 N D) 25 N

B) 20 N

C) 16 N E) IO N 35

L u m b r e r a s E d it o r e s

Como la F r de Fg y R es horizontal, podemos aplicar el método geométrico dibujando Fg a continuación de R para formar la FR; para ello

Al descomponer la reacción del muro que es perpendicular al bloque tenemos /?/ = 40N ;/?X = 3 0 N

y Fg = M g = 70 N

nos apoyamos de la línea que contiene a R. De manera inmediata el ángulo 37° se traslada, entonces

30 N

Fg = 4k = Mg = 12 N -»

40 N

k = 3N

70 N

R = Sk

30 N

R = 15 N Fr = 30>/2N C la v e l

A) Otra forma Ahora descomponemos la Fg de forma paralela y perpendicular al bloque

P R O B L E M A N .° 4 Para el instante mostrado sobre el bloque liso de 7 kg, la reacción del muro es de 50 N. Calcule el módulo de la fuerza resultante.

=70 N = 5 x 1 4 N 4x14 N En los nuevos ejes perpendiculares tenemos

R = 50 N A) 20 N

B) 40 N

D) 50 N

C) 30V 2 N E) IO N Luego aplicamos el teorema de Pitágoras

Resolución

FR = y ¡62 + 4 2 2 = V 36 + 1764 = V1800 Fr = 30-\/2 N

R = 50 N 36

C la v e

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 5

•

indique verdadero (V) o falso (F) en las siguien tes proposiciones.

actúan en cuerpos diferentes produ ciendo efectos diferentes.

•

son opuestas.

En las interacciones, las fuerzas de acción y de reacción se anulan.

•

son de igual módulo.

•

son colineales.

II.

Cuando un cuerpo rugoso resbala sobre un piso rugoso, este le ejerce dos fuerzas.

III. La fuerza de gravedad sobre una barra pue de actuar en un punto diferente a su punto medio.

Falsa El piso ejerce una sola fuerza, solo que esta se descompone para un mejor análisis. equivalentes

A A) FVF

B) FVV

C) VFV

D) W F

E) FFV Í n

III. Verdadera

Resolución I.

Falsa

La Fg siempre actúa desde el centro de gravedad (C.G.) del cuerpo y si este es ho mogéneo y regular, el C.G. se ubica rápida mente por la simetría en su geometría; en el caso de una barra sería su punto medio;

Al referirnos que dos fuerzas se anulan, es tas deben... • • •

actuar sobre el mismo cuerpo. ser opuestas. ser de igual módulo.

•

ser colineales.

si no fuese homogénea, el C.G. puede ser cualquier otro punto.

C la ve

P R O B L E M A N .° 6 Se muestra un bloque liso de 3 kg en reposo. -v M M r:

Determine los módulos de la reacción del piso y de la pared, respectivamente. (g = 1 0 m/s2)

A) 30 N; 20 N separación imaginaria

En el caso de las fuerzas de acción y de re acción son fuerzas que...

B) 10 N; 20 N C) 30 N; 30 N D) 20 N; 20 N

12 kg

E) 15 N; 10 N 37

U.H — míAS E d .t o r e s Resolución

P R O B L E M A N .° 7 Para la cuña lisa de 2,1 kg se cumple que la reac ción del piso y la pared son de igual módulo, con ello determine el módulo de F . A) 210 N B) 100 N C) 105 N D) 50 N E) 80 N

Luego de realizar el diagrama de fuerzas para los bloques, aplicamos la primera CEM.

Resolución

Nota

Para aplicar la primera CEM de forma más ágil colocamos Eje X:

E jey:X F(I) = XF(j)

S¡7fi = 0 Bloque 2 •

Del DCL solo F es oblicua, por ello conviene que la descompongamos y apliquemos así la prime ra CEM.

Eje Y T = F 9(2) 7=20 N

F„ = 0 Bloque 1 •

Eje X: R = —F

Eje Y R i = Fg(i)

•

Eje /: R = —F + Fn

R 1 = 30 N De las ecuaciones anteriores

Eje X R-) = T

4 3 - F = - F + Ffí - > F = SFn

/?2 = 20 N

7=5-21 C la v e

(Aj

7=105 N

E s t á t ic a

Otra forma

Igualmente

R = —F 5

•••

R = —F + Fn

F=5Fn C la v e

(C,

P R O B L E M A N .° 8

Ahora aplicaremos la primera CEM de manera geométrica, es decir, con las fuerzas sin des componer formaremos un polígono. Recuerda que con este método no importa el orden en que las fuerzas vayan dibujándose. Forma 1

Se muestra una esfera de 5 kg en reposo. Si se verifica que la relación entre la tensión en la cuerda y la reacción del plano inclinado es de 2 a 3, respectivamente, calcule el módulo de la fuerza de tensión. (g = 1 0 m/s2) A) 25 N B) 20 N C) 30 N D) 18 N E) 19 N Resolución

Por geometría

R = —F 5

R = —F + Fn

En el problema, el ángulo del plano inclinado (19°) puede generar preocupación porque no es notable, pero lo primero es ver cuántas fuer zas actúan. Como son tres fuerzas, estas pue den ser paralelas o concurrentes.

F=5Fn Forma 2

¡Estamos con fuerzas paralelas!

-•WIWWUo

— #E1

Si la F r = 0, entonces formamos el triángulo de fb=

fuerzas guiándonos de la línea que contiene a R .

(I)

Fg = T + R Pero por dato T

R = —T 2

Reemplazamos en (I) 50 = 7 + —T 2

T = 20 N

_ C la v e ( B ) F = 15 N P R O B L E M A N .° 9 En el gráfico se muestra un coche de 3 kg que realiza MRU. Determine el módulo de F .

C la v e

ig = 10 m/s2) P R O B L E M A N .° 10 A) IO N B) 15 N C) 20 N D) 5 N

Se muestra una esfera de 9 kg en reposo. De termine la mínima deformación del resorte que está en posición horizontal. (/C=1500N /m , g = 1 0 m/s2)

E) 15,2 N

Resolución No debemos olvidar que el equilibrio mecánico engloba reposo, MRU y rotación uniforme para un cuerpo o un sistema en donde indistinta mente aplicamos la primera y/o segunda CEM. En consecuencia, el coche está en equilibrio ci nético de traslación. 40

A) 30 cm D) 10 cm

B) 80 cm

C) 6 cm E) 8 cm

E s t á t ic a

Resolución Si contamos con cuántos cuerpos interactúa la esfera, sería plano inclinado, resorte comprimido, tierra y techo. Pero con este último, la interacción será dula si el resorte aplica una FE mínima, ya que a mayor F e la esfera presionaría más el techo. Entonces fltecho =

cuando la FE y x son mínimos, mantenién

dose la esfera en reposo. Aplicamos la primera CEM del triángulo de fuerzas h (mín.)

1 5 0 0 x ^ = ^ 9 10 4

*{mín.) = 8 c m

C la v e (

P R O B L E M A N .° I I Jn a barra reposa sobre la pared lisa sujetada de una cuerda. Determine la relación entre la 'eacción de la pared y la fuerza de gravedad, 'espectivamente.

)

Resolución

A) 4/5 3) 3/4 £) 2/3 5) 1/2 El 5/3

La cuerda sostiene la barra de dos puntos y en cada uno aplica la misma fuerza de tensión, en ocasiones confundimos el módulo de las fuerzas con la geometría del problema.

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 12 En el gráfico, una barra de 1,8 kg y poleas idea les reposan. Calcule la tensión en las cuerdas (.1) y (2), respectivamente. (g = 1 0 m/s2)

¡Error! El valor de la fuerza de tensión no de pende de la longitud de la cuerda. La geometría entra a tallar... •

cuando se descomponen fuerzas.

•

cuando se forma el triángulo de fuerzas.

•

al aplicar la segunda CEM y al calcular dis tancias (brazos de palanca).

A) 9 N; 18 N C) 2 N; 4 N D) 3 N; 6 N

Ahora en el DCL de barra 4

B) 6 N; 3 N E) 10 N; 5 N

Resolución

r* = S T

r^ 5 r

Aplicamos Fo = 0 EjeX :

R= -T

E je / :

Fa = —T + T

Fn = —T Como se tratan de poleas ideales, entonces En consecuencia

^polea Analizamos el sistema conformado por la polea A, la polea B y la barra. Dicho sistema solo está sostenido por la cuerda (2) de tres puntos.

-T

Fr = 0 -> Fg

3 T2= F g

2 372 = 18 C la v e ( D )

T2= 6 N

E s t á t ic a

Para la polea A

En el DCL, Ff y RA son paralelas; por ello, /?art se gráfica también paralela. t2

Fr = 0 2T1= T2 2 7 í= 6 7‘1= 3 N

C la v e

(D) Luego aplicamos la primera CEM

P R O B L E M A N .° 13 La barra lisa es de masa despreciable y reposa con el resorte estirado 10 cm. Determine el mó dulo de la reacción en A si en la articulación es de 20 N. (K=180 N/m)

- >

I F

( \

)

I F

( \

)

= R an. + f e

R A = R art. + K x

Ra = 2 0 + 180 0,1 «^ = 38 N C la v e ( D )

P R O B L E M A N .° 14 En el sistema, la esfera y la barra son de 4,8 kg. Determine la reacción del piso que es de doble módulo que la de la articulación. Considere su A) 2 N D) 38 N

B) IO N

C) 28 N

perficies lisas. (g = 1 0 m/s2)

E) 8N

Resolución Sobre la barra solo dibujaremos tres fuerzas: F e , R a Y flart.- N ° graficamos Fg porque la masa es despreciable. Entonces podemos tener fuerzas paralelas o fuerzas concurrentes.

A) 40 N D) 50 N

B) 48 N

C) 32 N E) 64 N 43

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

P R O B L E M A N .° 15

Al haber dos cuerpos una posibilidad de análi sis sería realizar una separación imaginaria para dibujar y calcular la reacción entre la esfera y la barra o la tensión en la cuerda. Pero en el pro

Del problema anterior, calcule la tensión en la cuerda.

blema piden la reacción del piso, por ello anali zaremos el sistema.

25 N

50 N

B) 14 N

C) 48 N E) 7 N

Resolución Para cada cuerpo actúan los siguientes cuerpos: •

Esfera: cuerda, barra y tierra

•

Barra: piso, articulación, esfera, cuerda y tierra

Entonces más fácil es analizar a la esfera

En consecuencia tenemos sobre el sistema fuer zas paralelas, cumpliéndose Fr = 0 - > Rp + fígrt. = Fg[s\st.)

Condición del problema rt.

v D

_ RP

Wart.“ —

T \ Luego de graficar las tres fuerzas sobre la esfera

Reemplazamos en (I)

y formar el triángulo de fuerzas tenemos R P + - ^ = M (sis,t.y9

co t7 4 °= — F9

1 r p = (2 -4,8)10 24 ~ 48

Rp= 64 N

7= 1 4 N

_ C lave ( ¥ )

_ C la v e ( § )

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 16

Luego aplicamos

Se muestra una barra de 2 kg sobre superficies

Fo=0

lisas. Si el módulo de F es igual que el de la re acción en B, calcule la reacción en A.

Eje X 4 K = 3 K + Ra

(g = 10 m/s2)

Ra = K Eje Y 4K=3K+F„ Fg= K Entonces *A = Fg .-. A) IO N

B) 15 N

D) 25 N

^ = 20 N

C) 20 N

C la v e ( C

E) 5 N

Resolución Sobre la barra actúan cuatro fuerzas y conviene aplicar la descomposición y tener solo fuerzas

P R O B L E M A N .° 17 Para la esfera de masa M en reposo, calcule el máximo valor de F . Considere superficies lisas.

horizontales y verticales. Como F = R b y ambas forman ángulos de 37° y 53° con la horizontal, entonces F = R r= 5K

A) M gsena

B) Mg cosa

C) /VJgtana D) Mg seca

E) M gcota

Resolución Por acción de F , la esfera tiende a trepar la rampa y así perder contacto con el piso. Pero se debe asegurar el reposo, entonces no debe subir y F será máxima cuando la reacción del piso sea nula; por lo tanto, la esfera está a punto de subir. 45

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución max.

Sobre la barra actúan tres fuerzas que concu rren en el C.G. ya que está apoyada justo desde tal punto en el muro A.

max.

Al formar el triángulo de fuerzas tenemos ta n a = 5ná2L Fn Fmáx= M g ta n a

C la v e

Del triángulo de fuerzas se tiene

P R O B L E M A N .° 18 Se muestra una barra en reposo, de tal modo

a=45°

que los módulos de las reacciones en A y en la articulación son iguales. Determine la medida del ángulo a .

C la v e

P R O B L E M A N .° 19 Para la barra de 1,6 kg en reposo, determine el módulo de la reacción en A. Considere que la tensión en la cuerda es de 29 N. (g = 1 0 m/s2) A) 16 N B) 29 N C) 13 N A) 30° D) 37°

B) 45°

C) 60°

D) 12 N

E) 43°

E) 11 N

E s t á t ic a

Resolución

Sobre la barra actúan tres fuerzas paralelas por estar la cuerda de forma vertical.

Las cuerdas (1) y (3) sostienen al sistema forma do por los bloques y las otras cuerdas. Por ello aplicaremos la primera CEM al sistema.

Fr = 0 R + F g= T

Del DCL, aplicamos de la primera CEM.

R + 16=29 R = 13 N C la v e

P R O B L E M A N .° 20 Para el sistema mostrado, calcule el módulo de la tensión en la cuerda (1). (g = 1 0 m/s2)

Entonces Fg( s¡st.) = 4 ^ = 4 0 N

7"1= 3/C = 30 N C la ve

P R O B L E M A N .° 21 Del problema anterior, calcule la tensión en la cuerda (2). A) 60 N A) 50 N D) IO N

B) 20 N

C)' 40 N

C) 50 N

E) 30 N

D) 40 N

B) 30V2N

E) 30 N

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Analizamos el nudo entre las cuerdas (1) y (2).

Por la diferencia de masas entre los bloques, es tos comprimen al resorte. Primero analizamos el sistema

Para las fuerzas que actúan en el nudo, tenemos

Fr=

O-

De Fr = 0 para el sistema T2 = 30y¡2 N

2(7’1+ r 2) = Fg(sist.) C la ve (

)

P R O B L E M A N .° 22

2(7‘1+7'2) = 90 N ->

7^+72= 45 N

Para el sistema mostrado en reposo, determine la deformación del resorte K= 125 N/m. (g = 1 0 m/s2)

Para A Fr = 0 - >

T1 + T2 + FE = Fg{A) 45

A) estirado 20 cm B) comprimido 30 cm C) comprimido 20 cm

K x= 70

125 x = 25 x = —m = 2 0 cm 5

D) estirado 30 cm E) estirado 10 cm 48

_ C LA V E

(C)

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 23

P R O B L E M A N .° 24

Se muestra un bloque liso que realiza MRU. De termine el módulo de F si es de igual valor que de la reacción de la superficie, además indique

Se muestra una barra de 3 kg en reposo sobre una superficie semiesférica. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones. (AM = 30 cm, M 8 =2 0 cm)

la medida del ángulo a . (/W=4 kg, g = 10 m/s2) A) 30 N; 16° B) 50 N; 11° C) 40 N; 8o D) 20 N; 10° E) 25 N; 16°

Resolución

El C.G. de la barra está a 25 cm de A.

Como de las tres fuerzas dos de ellas son de igual módulo, entonces el triángulo de fuerzas será isósceles.

II.

El módulo de la reacción de la superficie es de 30csca.

III. La superficie es lisa.

A) FFF D) FFV

B) FVF

C) FVV E) VFV

Resolución Inmediatamente sobre la barra en reposo ac túan dos fuerzas y estas serán colineales.

F = 25 N

Del gráfico 0 + a = 53° - > 37° + a = 53° I.

a =16° _ C LA V E ( § )

Falsa Justo el C.G. está encima del punto de apo yo y es a 30 cm de A. 49

L u m b r e r a s E d it o r e s

Falsa

De Fr = 0

El módulo de ambas fuerzas es igual, en

•

Eje X

tonces R = 30 N.

«i

Falsa

•

Eje Y

La R no actúa perpendicular a las superfi cies, incluso si fuese perpendicular no po dríamos afirmar que la superficie es lisa, ya que podría ser qu e/s = 0 ; no hay tendencia a resbalar. Pero en este caso sí hay/s.

C la v e

(A)

R~ Fg(sist.} R = 80 N C la v e

P R O B L E M A N .° 26 Del problema anterior, calcule el módulo de la reacción entre las esferas.

P R O B L E M A N .° 25 Para el sistema mostrado, determine la reacción en el piso. Considere superficies lisas y esferas homogéneas de 4 kg cada una. (g = 1 0 m/s2).

A) 20 N D) IO N

B) — V I N

« °N 3

E) 15 N

Resolución A) 30 N B) 20 N C) 40 N

En el caso anterior no influyó la separación de las paredes porque no era necesario definir nin gún ángulo. Ahora sí necesitamos tal ángulo.

D) 80 N E) 50 N

Resolución Analizando el sistema tenemos que actúan cua tro fuerzas.

Para la esfera superior actúan solo tres fuerzas, y sobre la otra actúan cuatro fuerzas. De la primera CEM, formamos el triángulo de fuerzas. 50

E s t á t ic a

En el triángulo de fuerzas Fn cosoc = R*

y¡3

80 r Rx = — V3 N Del gráfico a = 30°

C la v e

(b )

P R O B L E M A N .° 27 Para el sistema mostrado en reposo, calcule la medida del ángulo a si la reacción del piso y la pared son de igual módulo. Considere superficies lisas y cuerpos de igual masa.

A) 37° B) 45° C) 30° D) 37°/2 E) 53°/2

Resolución La única fuerza que guarda relación con el ángulo a es la de mutua interacción entre la esfera y el triángulo. Por ello los analizamos por separado. Aplicamos FR= 0 Para el triángulo •

Eje X\ RX= T

(I)

Eje /: Ry= F g

(II)

Para la esfera •

Eje X: RX= R

•

Eje Y: Ry+ F g= R

(III)

De (II) R=2Fg Entonces en (III) Rx = 2Fg 51

L u m b r e r a s E d it o r e s

Para la esfera

Reconstruyamos R

T = F g{2)=20N Para el bloque, formamos el triángulo de fuerzas

.*.

rg(i)“

a = 53°/2

C la v e ( E

Por teorema de Pitágoras R = y¡Fg(i ) + T 2 = V 3 0 2 + 2 0 2

P R O B L E M A N .° 28 Para el bloque mostrado en reposo, calcule la

•••

R = 10>/l3 N

reacción del piso. ( g = 10 m/s2) C la v e ( c )

3kg | P R O B L E M A N .° 29 >2 kg

A) 20 N

B) 30 N

Se muestra una placa triangular a punto de res balar. Determine el módulo de la fuerza de roza miento y el coeficiente de rozamiento estático. (g = 1 0 m/s2)

C) W Í 3 N D) 50 N

E) IO N F = 50 N \

Resolución El bloque tiende a resbalar hacia la derecha.

/W °

A) 20 N; 0,2 B) 30 N; 0,5 C) 30 N; 0,3 D) 20 N; 0,5 E) IO N ; 0,1

2 kg

E s t á t ic a

Resolución

A diferencia del problema anterior debemos

Realizamos el DCL del bloque.

dibujar la f s y la f u , y no la R.

I F„

Del reposo Fr = 0 •

Eje Y\fN= F g f N= 100 N

•

Eje X: FE= fs

Luego de descomponer F , aplicamos la primera

K x = fs

CEM.

8-5 = fs

•

/S= 4 0 N

•

-E je X :/5= 3 0 N Eje Y :fN=A 0 + Fg

C la v e

(A)

f N= e o N Por estar a punto de resbalar

P R O B L E M A N .° 31

/ s = M-s / a/

Se muestra un bloque de 4 kg en reposo. Indi

30 = |is 60

que verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones.

(^5=0,5

C la v e ( B )

P R O B L E M A N .° 30 En el gráfico, el bloque de 10 kg reposa con el re sorte comprimido 5 cm. Calcule el módulo de la fuerza de rozamiento. ÍK = 8 N/cm, g = 10 m/s2)

El módulo de la reacción del plano inclina do es 40 N.

II.

Al reducir el valor del ángulo 0, la reacción disminuye.

III. Si 0 = 3 7 ° y el bloque está a punto de resba lar, entonces el p.s =0,75. A) 40 N D) 25 N

B) 50 N

C) 30 N

A) FVF

E) 28 N

D) VFV

B) FFF

C) FVF E) VVF 53

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

P R O B L E M A N .° 32

En el sistema mostrado, los bloques son de igual masa y B está a punto de resbalar. Calcule el jts entre el bloque 6 y el piso. (g = 10 m/s2)

Verdadera Sobre el bloque solo actúan dos fuerzas.

Del reposo Fr = 0 R = Fg /?=40 N Falsa Mientras el bloque reposa, R = F g; esto in dependientemente del ángulo 0. A menor valor de 0, menor tendencia a res balar y no resbalará el bloque.

0,8

B) 0,5

C) 2 E) 1,2

Resolución Cuando se indique que un cuerpo está a punto de resbalar y se encuentre en reposo, podemos aplicar FR= 0 y calcular f s, pero también pode mos aplicar

Verdadera /s= /s(máx.)= Ms/w

Al estar a punto de resbalar, aún hay repo so, pero la fuerza de rozamiento estática toma su máximo valor. Descomponemos /?, que continúa siendo vertical.

Para el bloque B Fr = 0 > _ fs (máx.) _

tan0 = :

Ín

•

Eje X: f s = SM

•

Eje /: f N + 6 M = 10M - > f N=AM

Luego

—» p.s = tan0 - tan37°

f s = fs(máx.) “ > SM = [lsAM

|is =0,75

•••

C la v e ( D )

|XS = 2

C la v e ( c )

E s t á t ic a

# ................................................................................................ P R O B L E M A N .° 33

Otra forma

El sistema mostrado está en movimiento inmi nente. Calcule el fi5 entre el bloque A y el plano inclinado. Considere que los bloques presentan

Dos fuerzas de igual módulo se equilibran con una fuerza contenida en la bisectriz de dichas fuerzas.

igual masa.

A) 1 B) 0,5 F

C) 2 D) 0,8

Entonces Fi equilibra a F y F.

E) 1,2

Cuando un cuerpo está a punto de resbalar, la reacción entre las superficies forma un ángulo con la normal, cuya tangente es el |^s.

Resolución Cuando un cuerpo o sistema está en movimien to inminente, es equivalente (cuando hay ten dencia a deslizar) a que esté a punto de resbalar.

/normal

—> p.s =tan0 En el problema normal

-10M

Luego de descomponer la Fgl comparamos las fuerzas paralelas al plano y el bloque tiende a resbalar hacia arriba.

r =

bisectriz de

T y Fg

Fg=10M

•

Eje X: T= 6M + f s

•

Eje /: f N= m

Luego f s ~ f s ( máx.)

f s =AM

0 + 3 7 0 = 1 (1 8 0 0 -5 3 °) 2

53° 0=—

—> jrs = tan0

fis =0,5

4 M = y is - 8 M

••• fis =0,5

C la v e (

)

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 34 En el gráfico, entre todas las superficies los coefi cientes de rozamiento son 0,3 y 0,5. Si la barra de 5 kg está a punto de resbalar, calcule la reacción en A.

En la horizontal, la f N en A se equilibra con f s en B; por ello colocamos 2F y así completamos las otras fuerzas. Luego FR= 0 En el eje Y se tiene 5F=Fg F = 10 Ra = f J 5 = 10V5N

_ C LA V E ( D )

P R O B L E M A N .° 35 Si el bloque B desciende realizando MRU, de A) IO N

B) 20 N

D) 10V 5N

C) 30 N E) 10V3N

termine el módulo F . (/WA= 2 0 k g , M B= 13 kg, g = 1 0 m /s2)

Resolución Como no se indica si la barra es homogénea ni el valor del ángulo a , entonces no debe ser ne cesaria tal información. En cada superficie está a punto de resbalar. fs ~ fs ( máx.) fs ~ ^s//v

/s=0,5/w F

2F I

| son los valores í que podemos usar

3F 6F \

Del DCL de la barra

70 N

E) 90 N

Resolución Recuerde que al realizar MRU también se aplica la primera CEM, pero sobre el bloque A habrá

7 k.

E s t á t ic a

Para B I

T = F9 7=130 N

f /«!)

/ a/(D

Para A •

Eje Y ÍN ~ Fg f N= 200 N

•

Eje X F + fK= T

Para el bloque

f+Mtf/w= l 30

•

Eje Y

7+0,2 •200=130

ÍN (l) = F g

7= 90 N

/w (l) = 20 N C la ve (

)

•

Eje X T= fm )

Luego

P R O B L E M A N .° 36

/ k (1) = M,K(1)//V(1)

Si la tabla realiza MRU resbalando debajo del bloque, determine el \xK entre el bloque y la tab la- {M tabla = 3 k8' M bloque = 2 kg)

/ / f(i)=

M 'K ( i) '2 0

Para la tabla •

Eje Y fN(2)= fN (l)+ F g / a/(2) = 5 0 N

•

Eje X F = f K ( l ) + fl<(2)

/ « l) + M'«2)'/w(2) A) 0,25 D) 0,30

B) 0,20

C) 0,35

2 5 = / # f(i ) + 0 , 4

•5 0

E) 0,40 /

i r

Reemplazamos en (I) Resolución Realizamos una separación imaginaria y tenga mos presente que la tabla resbala debajo del blo que y sobre el piso, entonces en ambos hay f K.

5 = ^ « i ) ' 20 M * ( i) =

0 > 2 5

_ C LA V E

(A) 57

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 37

P R O B L E M A N .° 38

El bloque de 2 kg realiza MRU. Calcule el módu

En el sistema en reposo, la esfera de 1,3 kg es lisa y la cuña de 2,7 kg está a punto de resbalar. Calcule la tensión en la cuerda.

lo de F considerando la tabla lisa. ( g = 10 m/s2)

A) 30 N B) 17 N C) 15 N D) 50 N E) 40 N A)

50 N

B) 100 N

D) 20 N

C) 30 N E) 35 N Resolución

Resolución Realizamos una separación imaginaria

Para la cuña no hay ángulos; además descono cemos el radio de la esfera. Por ello, no conviene separar imaginariamente. Entonces analizamos el sistema, el cual es afectado por tres fuerzas.

Para la tabla •

Eje X: F = R

Para el bloque •

Eje X : f N= R

•

Eje Y :fK= F g \iKf N= M g

Como la cuña está a punto de resbalar

\iK-R = M g

—» ns =tan0

0 ,2 F = 2 •10

— =tan0 24

F= 1 0 0 N

0=16° C la ve ( § ) 58

-> oc=53°

E s t á t ic a

Formamos el triángulo de fuerzas del DCL

También cuando ya hay deslizamiento, el ángulo de la normal con la R define el \xK.

normal g(s¡st.)

En consecuencia

' ' Nbisectriz

r 4 ^ 40 N

T=3K r= 30N C la ve

0 + 3 0 ° = - (1 8 0 ° - 6 0 ° ) 0=30°

Luego

P R O B L E M A N .° 39 Sobre el bloque que asciende con MRU, el mó dulo de F es igual que el de Fg. Calcule el entre el bloque y el plano inclinado.

lis ta n ©

C la v e

P R O B L E M A N .° 40 Para la barra homogénea en reposo, calcule la

B) D) 0,5

-I

tensión en la cuerda (1). (/W=3,6 kg, g = 1 0 m/s2)

y/7 (i) 12 cm

8 cm

B) 20 N

C) 30 N

Resolución Sobre el bloque en equilibrio cinético actúan tres fuerzas, dos de las cuales son de igual mó dulo, entonces la tercera estará en la bisectriz de las dos primeras.

A) 16 N D) 40 N

E) 16 N

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

En el DCL de la barra tenemos tres fuerzas pa

Como queremos comparar RA y RB, entonces

ralelas

no importa Fg sino que esté actuando desde el punto medio de la barra. 30 cm

De la primera CEM

70 cm

80 cm

20 cm

Aplicamos la segunda CEM respecto de O

R+T=Fg

•

MF¿ = 0

•

M qB = M q A

R + T = 36 N De la segunda CEM respecto a la articulación •

M q = 0 (la línea de R pasa por O)

R b -8 0 = R a -70 •

M t = M q9 r-1 2 = Ff -10

7-6 = 36-5 7= 30 N

_ C la v e ( § ) _ C LA V E ( C ) P R O B L E M A N .° 42 Para la barra homogénea en reposo, calcule la

P R O B L E M A N .° 41 Se muestra una barra homogénea de 2 m de A longitud en reposo. Calcule — siendo RA y RB

tensión en la cuerda. Datos: M = 2 ,6 k; g = 1 0 m/s2

las reacciones en los apoyos A y B. 30 cm _ A i A A) 2/3 D) 7/8 60

2 0 cm v

B) 1

;:v:................ i a _ ‘ B C) 3/2

A) 26 N

E) 8/7

D) 25 N

B) 13 N

C) 30 N E) 14 N

E s t á t ic a

Resolución

A) 2 kg

Al tomar momentos respecto a la articulación no importa graficar con precisión a la reacción, ya que su momento será nulo.

D) 4 kg

B) 3 kg

C) 1 kg E) 1,5 kg

Resolución

De la segunda CEM Para la barra

M To = Mog

M F0g = M } + M }

T-40 = Fg -40 7= 2 6 N

Fg -3C = r 2 -40 + 72 -5l0 3 (M 1 0 ) = 9 10

Nota

M = 3 kg

No olvidar que la distancia para calcu lar el momento de cada fuerza debe ser perpendicular a la línea de acción de cada fuerza. _CLAVE

_ C la v e ( § )

(A)

P R O B L E M A N .° 43

P R O B L E M A N .° 44 Para la barra homogénea en reposo, determi ne la deformación del resorte de K = 5 0 N/m. { m - 2 kg, g = 1 0 m/s2)

Para la barra homogénea en reposo, calcule su masa si la tensión en la cuerda (1) es 20 N. Con sidere que la polea es ideal.

A) 15 cm D) 25 cm

B) 20 cm

C) 10 cm E) 12 cm 61

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Al dibujar las fuerzas designamos a la longitud de la barra 5b, ya que por el ángulo 53° usare mos distancias que serán 3b o 4b.

De la segunda CEM respecto de O . • De la segunda CEM respecto de O

M qXN = 0 MR o =M F ¿¡ R -M = Fg -3Q

Mr0 = 0

R -8 = 20-3

R = 7,5 N

FE -A b = Fg -2,Sb

C la v e ( Á )

K x -4 = 2 0 -2,5 5 0 -x -4 = 5 0 1 x = —m 4

P R O B L E M A N .° 46 En el sistema en reposo, ¿qué máximo valor puede tomar la masa del bloque? Considere barra homogénea. (Lbana = 48 cm, M barra= 8 kg)

x = 2 5 cm C la v e

(D) (2 )

(i)

P R O B L E M A N .° 45

16 cm

Para la barra homogénea y lisa de 2 kg, calcule la reacción en P. ig = 10 m/s2) A) 1 kg A) 7,5 N

B) 2 kg

D) 4 kg

C) 3 kg E) 5 kg

B) 8N

Resolución

C) IO N

A mayor masa del bloque, la barra podría em pezar a girar en sentido horario alrededor del extremo de la cuerda (2), por ello tendremos

D) 15 N E) 12 N

/V/b|oqUe máxima cuando 7’1= 0.

E s t á t ic a

Resolución T ,= 0 8 cm O 16 cm

24 cm

T=M g

De la segunda CEM respecto de O •

Como tenemos la reacción entre R y Fg, toma mos momentos en la articulación

t¿ = o

T - l ¿ = Fg - ¿

•

M qXN = 0

•

M * = M F0g

Mg -2 = 8 g

R d2= F g d 1 (dato R = F g)

M = 4 kg

d2= d 1 CLAVE

(D)

Luego _2¿i ta n a =

ta n a = 2

127°

P R O B L E M A N .° 47

a =-

Para la barra homogénea, calcule el ángulo a si la reacción de la pared lisa y la fuerza de la gra vedad son de igual módulo.

C la v e

P R O B L E M A N .° 48 La placa triangular homogénea reposa y la re acción en P v a le 20 N. Determine la masa de la placa. A) 2 kg B) 1 kg C) 3 kg A) 37° D) 45°

127°

143°

D) 2,5 kg E) 4 kg

E) 30° 63

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Realizamos el DCL ubicando el C.G. en el bari centro del triángulo.

Por ser la barra homogénea, la masa se distri buye de manera uniforme por toda la extensión de la barra; en este caso, igual masa por cada unidad de longitud. L -» M 2L - > 2M 3L - > 3M 4L -> 4M

Realizamos el DCL en el que actúan fuerzas pa ralelas

Las fuerzas son paralelas.

3 kg

Aplicamos la segunda CEM respecto de O •

Mt = 0

M F0g = M R 0 Fg -2 d = R -3 d (10M)2 = 20-3

.-.

3 kg

M = 3 kg

C la v e ( C

De la segunda CEM M t = M Fg + M Fg

P R O B L E M A N .° 49 Se muestra una barra homogénea doblada por su punto medio. Calcule la tensión en la cuerda.

T -2 d = F g -d + F g -2d 27= 3 0 + 2 • 3 0 7=45 N

(Mbarra = 6 k g , 0 = l O ™ / s 2) Observación

A) 45 N B) 30 N

En cada segmento recto de la barra, la Fg actúa en su punto medio.

C) 60 N D) 50 N E) 20 N 64

_ C LA V E

(A)

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 50

P R O B L E M A N .° 51

Se muestra una placa triangular homogénea de igual masa que la esfera, ambas en reposo. Determine x. Considere que el sistema está en movimiento inminente.

Se muestra una barra de 4 kg en reposo. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes propo siciones. Considere que la barra es homogénea.

B) 20 cm

A) 10 cm

C) 30 cm E) 15 cm

D) 25 cm

La tensión en la cuerda es del 20^1 + —J.

II.

Si a= b, la reacción en la articulación es cero.

III. Si a < b , la reacción de la articulación actúa hacia abajo sobre la barra.

Resolución

A) VFV

Si el sistema está a punto de moverse, debe es tar a punto de volcar y se apoya solo en el borde

D) VVV

del muro. Se tienen tres fuerzas paralelas. ^ 20 cm -*

40 cm

B) FVV

C) FFV E) VVF

Resolución I.

Verdadera

De la segunda CEM M T0 =Mog

0 mt

m Fq

T a = 40

Mg x = M g (4 0 -x )

a+ b

x = 2 0 cm C la v e ( B

T = 20| 1 + a

L u m b r e r a s E d it o r e s

Verdadera De la ecuación (I) si o = b , la tensión es 7 = 40 N, igual a la Fg, por lo cual R = 0. Por lo tanto, la cuerda sostiene a la barra del punto medio. Verdadera Si a < b , la barra tiende a rotar en sentido horario respecto de P, por ello R actúa so bre la barra hacia abajo.

En el DCL, Rv R2 y 7 son desconocidas pero solo buscamos 7; entonces al aplicar la segun da CEM respecto de O (punto donde concurren /?iY/?2) tendremos Ri M,o = M o = 0 M t0=M % C la v e

Cd )

T -3 d = Fg -2d 7 -3 = 3 0 -2 7= 20 N

P R O B L E M A N .° 52 Si la barra homogénea de 3 kg en reposo es lisa,

C la v e

(B,

determine la tensión en la cuerda. (g = 1 0 m/s2)

P R O B L E M A N .° 53 Para la barra lisa y homogénea en reposo, calcule la masa del bloque. (/Wbarra= 6 kg, g = 1 0 m/s2) A) 6 kg B) 1 kg A) IO N D) 35 N

B) 20 N

C) 25 N

C) 2 kg

E) 15 N

D) 4 kg E) 3 kg

Resolución Desarrollamos el DCL para la barra.

E s t á t ic a

Resolución Realizamos el DCL de la barra

A) 4 N

B) 8 N

D) 12 N

C) 6 N E) 8N

Resolución Operamos el DCL de la barra

Aplicamos la segunda CEM respecto al punto donde concurren R1 y R2 , ya que son fuerzas desconocidas y no se desean conocer.

•

= M

•

MT0 = M F0g

T-2Ly¡2=FgLy¡2 (10M) •2 = 60 M = 3 kg _ C la v e ( í )

•

M qB = M q = 0

M qA = M q RA 6 d = F g -d

P R O B L E M A N .° 54 -ara la barra homogénea de 2,4 kg en repo so determine la reacción de la pared lisa A.

Ra - 6 = 2 4 Ra = 4 N

j = 10 m/s2) _C

la v e

(A) 67

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 55

Aplicamos la segunda CEM

Se tiene una placa rectangular homogénea a punto de volcar. Determine la deformación del

•

M Rxn= 0

M FJ = M F0g

resorte. (M placa= 9 kg, K = 120 N/m, g = 10 m/s2).

K x-3 Ó = M g ) Ó

20 cm 10 cm K M iH 40 cm

120x - 3 = 9 •10 x=— m 40 —> x=0,025 m Por lo tanto, el resorte está estirado 2,5 cm. C la v e

A) comprimido 2,5 cm

B) estirado 3 cm C) estirado 2,5 cm

P R O B L E M A N .° 56

D) comprimido 3 cm

Se muestra una esfera homogénea en reposo

E) estirado 4 cm

sobre una pared rugosa. Si la tensión en la cuer da es de 30 N, calcule la fuerza de rozamiento

Resolución

estático sobre la esfera. (g = 10 m/s2)

La placa está a punto de volcar en sentido hora rio respecto a la articulación, y por ello el resor te debe estar estirado. *piso=0 20 cm

10 cm

'x / ' ,/

k \

Fe 30 cm

h 1° 110 cm i ^XN"

A) 15 N

B) 30 N

C) 30sen28° D) 15cos28°

E) 20 N

E s t á t ic a

Resolución

Realizamos el DCL de la esfera descomponiendo

Realizamos el DCL para la esfera

la R de la pared porque se quiere calcular la Fs.

Del DCL conviene que apliquemos la segunda CEM respecto de O

Del DCL conviene aplicar la segunda CEM res pecto al centro de la esfera, ya que •

M q = M qN = 0 (fg y f N no se conocen.j .Je

•

. . t rLa cuerda es tangencial ( a |a esfera.

•

Mfs = M T = 0

Mf N = M Fg

f"v/s ™

)

\ queremos conocer.)

f N 'dOA= Fg'doB Por geometría d(DA= doB

?N= F g

/n = 2 0 N

fs - r = T r f s =3Q N

C la v e ( § ) C la v e ( § ) P R O B L E M A N .° 58 En el sistema en reposo, la barra y la esfera son

P R O B L E M A N .° 57 La esfera homogénea de 2 kg reposa sobre el plano inclinado. Determine la fuerza normal.

de igual masa, además son homogéneas. Deter mine el valor de sena.

(gr=10 m/s2) A) 16 N B) 18 N C) 12 N D) 24 N E) 20 N

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

°T

Realizamos el DCL para la barra

Resolución Desarrollamos el DCL de la barra l

4~2

Respecto de O •

Mq = 0

•

M T = M Fg{1) Fg( 2 ) ' d

Fg ( l) 'L

Por dato F g ( 2 )- F g(l)

d=L

d L —> se n a = — = — 4 L AL se n a = sen— 4 _ C LA V E

(A T d - Fr

P R O B L E M A N .° 59 En el sistema en reposo, la barra y el bloque son de igual masa. Determine el valor del sena. Considere que la barra es homogénea.

L>/2

Del enunciado T = F g En (I) ¿V2 d=Luego ¿V2 d 2 se n a = — = — -2 2L 21 Ti se n a = —

C la v e 70

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 60

Observación

Para la barra en reposo, determine a qué distan cia de A está su centro de gravedad.

A) 45 cm D)

B) 30 cm

40 cm

Siempre que haya equilibrio y actúen tres fuerzas paralelas, se verifica que la que actúa en dirección contraria a las otras dos se ubica en una posición intermedia de dichas fuerzas.

C) 35 cm E) 50 cm Entonces se cumple que Mp 0 = 0, A / 1 = A / 2, fjc/i = F2d2

Resolución

Ejemplos (3F)d=(F)3d (SF)2d=(2F)5d (F)d =(F)d (2F)3d=(3F)2d Con esta observación podemos acortar pasos y colocar los valores a Fx y F2, ya que F1+F2=F, esto por la primera CEM. Del DCL d1+ d 2= S 0 cm

C la v e

Respecto de O •

M% = 0

P R O B L E M A N .° 61

•

M T l = M T2

Para la barra homogénea, calcule la tensión en la cuerda. (/Wbarra= 4 kg, g = 10 m/s2)

T1 d1 = T 2d2

(I)

Pero

A) 15 N T i = T 2 (se trata de la misma cuerda)

En I

B) 40 N C) 20 N

d1- d 2 ••• d(A_c.G .r 40 cm

D) IO N E) 30 N 71

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Desarrollamos el DCL de la barra

Realizando el DCL de la barra y de la polea

Por ser tres fuerzas paralelas sobre la barra en reposo

Para la barra, tenemos

7=37 y R =F

71 = 37; 72=57; Fg(1)= 8 F Para la polea

De la primera CEM

27í = Fg(2) + h

Fg= 4 F

rg(2) :

Fg(2)'

i 40 N = 47

m 2 _ Fg(2 ) _ F

7 = 30 N

Mx C la v e ( E

''g(i)

M2 Mi C la v e ( A ;

P R O B L E M A N .° 62 En el sistema en reposo, la barra es homogénea. Calcule la relación entre la masa de la polea lisa y la barra.

A) 1/8 D) 2/5 72

B) 2/3

P R O B L E M A N .° 63 Si la reacción de la articulación es el doble que la tensión en la cuerda, calcule la distancia de B al C.G. de la barra. Considere que la reacción de la articulación está hacia arriba.

12 cm

1/4

A) 11 cm

1/2

D) 8 cm

B) 7 cm

4 cm

C) 6 cm E) 12 cm

E s t á t ic a

Resolución

R esolución

Desarrollamos el DCL de la barra

Operamos el DCL de la barra

T=F A

\R=2F

c.G.

2d 4 cm

1 g

En el DCL aplicando la propiedad de las tres

Del DCL

fuerzas paralelas tenemos

R= F

30 = 1 2 cm

FS = F Por la primera CEM

d = 4 cm

RP= 2 F d (B-C .G .) = 2 d + A

—> Rp= 2 F g d ( B - C.G.) = ^

C m

Rp= 30 N _ C LA V E (

_ C la v e ( § )

)

P R O B L E M A N .° 65 P R O B L E M A N .° 64

Para la esfera homogénea en reposo, calcule la

Si la barra homogénea de 1,5 kg reposa, calcule

tensión en la cuerda.

la reacción en el punto P. ig = 1 0 m/s2)

A) 15 N

B) 30 N A) 25 N

C) 45 N D) IO N

sfera=A2 kg; g = 10 m/s2)

E) 22 N

D) 32 N

B) 30 N

C) 40 N E) 28 N

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Realizamos el DCL de la esfera

Realizamos el DCL de la barra

Del DCL « i= f l2= y R2 = — = 25N

Del DCL y la geometría

En la descomposición de R2

T = 4F R = 5F

ÍS = \ * 2

Fg= 9 F 72=9 F

f s = \ 25

F= 8 N

f s= 15 N

J-4 F -3 2 N C la v e

C la v e ( C ,

(D)

P R O B L E M A N .° 66

P R O B L E M A N • 67

Para la barra homogénea en reposo, calcule la

Para la placa triangular homogénea en reposo, determine la masa del bloque. (/Wp|aca= 6 kg y g = 10 m/s2)

fuerza de rozamiento del plano inclinado. (M barra=5 kg)

A) 20 N D) 30 N 74

B) 25 N

C) 15 N E) 40 N

E s t á t ic a

Resolución

A) 15 N

Desarrollamos el DCL de la placa

D) 7,5 N

B) 20 N

C) IO N E) 12,5 N

Resolución Realizamos el DCL de cada barra

Del DCL T ,= F F9 = 3 F

6 0 = 3 F - > F = 20 N Para el bloque Fg= TX -+ 10M =20

Del DCL de cada barra

M = 2 kg

Barra (1) C la v e ( A T - R - í

P R O B L E M A N .° 68 Se muestran barras homogéneas de igual masa y en reposo. Calcule la reacción del piso liso consi derando que la tensión en la cuerda (1) es 10 N.

Dato: 7^=10 N -> Fg= 20 N Barra (2)

R-> =

10 + 20

/?2=15 N

_ C LA V E

(A) 75

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 69 Se muestra una tabla homogénea de masa M y una persona de masa 2M en un extremo. Indi que la verdad (V) o la falsedad (F) en las siguien tes proposiciones.

En el DCL del sistema de cada caso, aplicamos la primera CEM R = 3 M g (siempre) Por la segunda CEM 6 d = l,8 m

1 i

d = 0,3 m = 3 0 cm

1,8 m

)

Verdadera d(A- Pl)= d = 30 cm

II. I.

La reacción del piso se concentra a 30 cm del extremo A.

II.

Cuando la persona se ubica en B, el módulo de la reacción del piso sobre la tabla dismi nuye.

Falsa Mientras que el sistema esté en reposo R= 3 M g

III. Falsa d(A_p2)= 5 d = l t5 m

III. Al estar la persona en B, la reacción del piso se concentra a 1,2 m de A. C la v e A) VVV D) FVV

B) VFF

C) VFV E) FVF

P R O B L E M A N .° 70 En el sistema en reposo, la barra de 14 kg es

Resolución

homogénea y la plataforma es de 1 kg. Calcule

Operamos el DCL del sistema en ambos casos

el máximo número de bloques de 1,2 kg que se pueden colocar en la plataforma y garantizar el

2 Mg

reposo del sistema.

40 cm

20 cm

2 Mg

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

E s t á t ic a

Resolución

VVV

Realizamos el DCL de la barra

FVF

B) FFF

C) FVV E) VVF

Resolución Por la simetría del sistema, la reacción en C es horizontal. Realizamos una separación imaginaria.

Para la barra Fg= 2 F = 1 4 0 N

10+12 -n = 7 0 n= 5 Por lo tanto, son cinco bloques como máximo para que el sistema aún repose.

Falsa Del DCL Ry = Fg = 30N

_ C LA V E ( ? ) RX = R - > Ra > 30 N

P R O B L E M A N .° 71 Siendo las barras homogéneas e idénticas, indi que la verdad (V) o la falsedad (F) en las siguien tes proposiciones. (M barra= 3 kg)

II.

Verdadera Las barras no se apoyan una sobre la otra por la simetría y por tener igual masa.

III. Verdadera De la segunda CEM respecto de B mr b

f¿>

R - 3 = F g -2 3/?=30 •2 I.

La reacción en la articulación A es 30 N.

II.

La reacción en C e s horizontal.

III.

La reacción en la articulación C es de 20 N.

R = 20 N

_ C LA V E ( C ) 77

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 72 Se muestra un sistema en reposo donde la esfe ra y la barra son de igual masa y homogéneos. Determine el módulo de la fuerza de tensión. ÍM = 1,2 kg; g = 1 0 m/s2)

A) 17 N

R = 20 N Para la barra respecto de O

B) 18 N

MqXN = 0

C) 19 N

M “ + M F° = M T0

D) 16 N

R-SL+Fg-3L = T-8L

E) 21 N Resolución

20-5 + 12-3 = 8 T 7=17 N

Realizamos la separación imaginaria entre la ba rra y la esfera. Entre las superficies no hay / , ya

_ C la v e

(a )

que no hay tendencia a resbalar. P R O B L E M A N .° 73 En el gráfico se muestra una barra homogénea en reposo. Determine la deformación del resor te de K = 500 N/m. (g = 1 0 m/s2)

Para la esfera formamos el triángulo de fuerzas

A) 10 cm D) 16 cm

B) 14 cm

C) 8 cm E) 5 cm

E s t á t ic a

Resolución Realizamos el DCL de la barra y dibujamos la Fg por cada segmento recto.

A) 2/3 B) 1/3 C) 1/2 D) 3/2 E) 4/3

Resolución Realizamos el DCL de la barra

de O M 0fi = 0 Pr AB pcBC os. M T0 + M 0g = M FJ + M 09

Aplicamos la segunda CEM respecto de O

T-4d + ^ / k f c í = Fe L + lyig ^ Scí

•

Mq = 0

y w V = / c x (/ / V 2)

M To = M F0g

2-40>/2=500 xV2

T -d 1= F g -d2 T- 2/.sen59°=Fg - Lcos31°

x= — m 50

Notamos que 5 9 °+ 3 1 °= 9 0 °

x = 1 6 cm _ C LA V E

(D)

sen59°=cos31°

En (I) T -2 = F n

P R O B L E M A N .° 74 Se muestra una barra homogénea. Calcule el co ciente entre la fuerza de tensión y la fuerza de gravedad de la barra.

2 _ C la v e ( C ) 79

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 75

Rp ■2Lsen3 7°=Fg ■Z.cos37°

Se muestra una barra homogénea a punto de resbalar. Calcule el módulo de la reacción del piso. (M barra= l , 8 kg)

Rp -2 —= 18 — 5 5 Rp= 12 N C la v e

( d)

P R O B L E M A N .° 76 Se muestra una placa cuadrada homogénea. Calcule la tensión si la fuerza de rozamiento estática es de 20 N. A) 12 N B) 18 N A) 7 N

B) 8 N

D) 12 N

C) 9 N E) 6,4 N

Resolución Por el |is = ~ > e*ángulo de la reacción del piso con su normal forman 16°.

Aplicamos la segunda CEM respecto al punto de apoyo de la pared

C) 15 N D) 10V2N E)

20V2N

Resolución Realizamos el DCL de la placa acomodando la geometría

Aplicamos la segunda CEM respecto del C.G. de la placa tomando en cuenta que en este punto concurren las fuerzas que no buscamos y no son datos

E s t á t ic a

Resolución

M f§ = M qn = (

Sobre la escuadra actúan tres fuerzas que son concurrentes, ya que están en reposo.

M q = M fs T-d = f s - d J 2

Resorte estirado para evitar que a escuadra gire por acción_de la fuerza de T

T = 20V 2N C la v e ( E

iv e l in t e r m e d io

P R O B L E M A N .° 77

_ C LA V E !v E

En el gráfico, una escuadra de masa desprecia ble está en reposo. Indique el correcto DCL para la escuadra.

P R O B L E M A N .° 78 Para el instante mostrado sobre la esfera de 8 kg, determine el módulo de la fuerza de re sistencia del aire si la FR toma su mínimo valor. (g = 1 0 m/s2)

A) 40 N D) 20V3N Resolución La fuerza de resistencia del aire actúa en direc ción contraria a la velocidad. punto inicial

geométri camente para/?

L u m b r e r a s E d it o r e s

•k

La Fg tiene módulo y dirección definidos. La R solo tiene dirección definida y su módulo se acomoda para que la FR sea mínima. Entonces de las múltiples opciones para la F R/ será mínima al ser perpendicular a R. Luego, por la geometría 2

.-. /? = 40 N

Clave (A) P R O B L E M A N .° 79 Se muestra una barra doblada por su punto me

Además, las fuerzas son de igual módulo.

dio. Estando en reposo, calcule la reacción en la articulación. Considere que la barra presenta masa despreciable. (g = 1 0 m/s2)

.-.

R = T = 20 N

_CLAVE (§) P R O B L E M A N .° 80 En el gráfico, el sistema está en reposo y los re sortes son idénticos y miden 80 cm de longitud natural. Si los bloques son de 3 kg cada uno, de termine la reacción del piso. (g = 1 0 m/s2)

A) IO N D) 15 N

B) 20 N

C) 30 N E) 18 N

Resolución Sobre la barra solo actúan dos fuerzas que por la primera CEM serán colineales. No importa la

A) 75 N

forma del cuerpo ya que su M ~ 0.

D) 85 N

B) 60 N

C) 20 N E) 65 N

E s t á t ic a

Resolución

P R O B L E M A N .° 81

Ambos resortes están comprimidos.

El sistema que se muestra está en reposo y la barra es de 2,4 kg. Calcule la reacción del piso, considerando que la argolla B y la esfera son li sas. ig = 10 m/s2)

x 1 = 10cm —» f f (i) = K - x 1 = F x 2 = 3 0 cm —» Ff (2) = K -x 2 = 3 F

Del reposo

12y¡3 N

24 N

B) 28 N

C) 32 N E)

20V3N

Resolución

Fr = 0 •

Sobre el sistema actúan tres fuerzas paralelas

Bloque A FE ( 2 )= FE(1)+ F g

3F=F+30 F = 15 N •

Bloque B R = FE (2 )+ Fg

Debe actuar paralela a la

R=3F+M g

Fg y T , no habiendo tendencia a resbalar.

R= 3 1 5 + 3 1 0 .-.

R = 75 N Fr Rp -0 C la v e

R + T = F,g(sist.)

R + T = 2 A + 10M

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Analizamos la esfera

Sobre la barra actúan tres fuerzas concurrentes

Formamos el triángulo de fuerzas Tenemos a = ( 3

Tenemos un triángulo de fuerzas que es equi látero - >

Ri = T=Fg T=10M

a + ( 3 = 7 0 °

a=35° (II)

C la v e

Reemplazamos (II) en (I)

/?+10M =24 + 10/W «=24 N

P R O B L E M A N .° 83 C la v e

Para

sistema

mostrado

verifica

Ha = Ha _ J_ . Si la esfera y la barra son de 6 kg 2 3 5 y 4 kg, respectivamente, calcule la reacción en P R O B L E M A N .° 82 La barra de masa despreciable está en reposo. Si el extremo superior es liso, determine la me dida del ángulo a.

tre la esfera y la barra.

A) 30 N B) 20 N

A) 30°

C) 10 N

B) 20°

D) 15 N

D) 28° E) 40°

C) 35°

17,,5 N

E s t á t ic a

Resolución

P R O B L E M A N .° 84

Realizamos la separación imaginaria

Se tiene un sistema en reposo despreciando todo rozamiento. Calcule la tensión en la cuerda si el resorte está deformado 15 cm. <AC= 100 N/rn, ¿cuerda = 100 cm ' 9 = 10 m/ s ^

Se indica el orden en el que se fueron dibujando las fuerzas empezando con la barra. Del dato 2

A) 8 N D)

11,3 N

B) IO N

C) 13 N E) 12,5 N

Resolución

Desarrollamos el DCL de la polea ideal

Fr = 0 •

Barra Fg (b )+ R = T + R A

40 + R = 7 F •

(I)

Esfera Fg(e) = R + R B

60=R+3F

(II)

De (I) y (II) F= 10 N

/?=30 N

Para la polea C la ve

(A)

fr= o

L u m b r e r a s E d it o r e s

Formamos el triángulo de fuerzas

A) 2,4 kg

B) 3,6 kg

D) 2,4 kg

C) 3,2 kg E) 1,2 kg

Resolución Realizamos el DCL de la placa

-> a=(3 7e= 2 7 co sa

(Kx) De la geometría c/=¿1sena+/.2sen(3 d = (L 1+ L 2)se n a

d=L cuerda-sen« 80=100senoc se n a = — —> a = 53° 5 En (I) 100-0,15 = 27— 7=12,5 N

Al formar el triángulo de fuerzas, este es isós C la ve

celes F=Fg 36=10 M

P R O B L E M A N .° 85

M = 3,6 kg

La cuña triangular es lisa y está en reposo. De termine su masa si 7 = 3 6 N. (g = 1 0 m/s2) C la v e

P R O B L E M A N .° 86 En el sistema, la placa triangular es de masa despreciable y está a punto de resbalar. Calcule el coeficiente de rozamiento entre la placa y la superficie. Considere que la esfera es lisa.

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 87 En el gráfico observamos un muelle semicir cunferencia! de masa despreciable en reposo. . . . . M-) Calcule el cociente de masas — - . M1

0,75

1,33

B) 0,6

C) 1,25 E) 0,67

Resolución La placa, para quien Fg= 0, es afectada solo por dos fuerzas que serán colineales. La fuerza de acción y reacción entre la placa y la esfera será perpendicular a ambas superficies. A) co sa

B) sena

C) 1 -c o s a D) sen a

E) tan a

Resolución Desarrollamos el DCL del muelle

normal

Por estar a punto de resbalar |is = ta n a |Xs =tan53° 4

|As =1,33 C la v e ( D )

Para el muelle, las tres fuerzas son paralelas.

L u m b r e r a s E d it o r e s

Luego, aplicamos la segunda CEM respecto de O. •

Mq = 0

} =

Resolución Operamos el DCL de la barra

}

T i- d 1= T 1-d2 M 1g r c o s a = M 1g -r Mj —- = c o sa M1 _ C la v e

(A) Tenemos sobre las barras cuatro fuerzas para

P R O B L E M A N .° 88

lelas, donde graficamos la Fg para cada parte

De una barra homogénea doblada, su parte más larga está a punto de resbalar. Determine en di

recta.

cho contacto el coeficiente de rozamiento está tico y el módulo de la reacción en el punto A.

Por estar a punto de resbalar ps = ta n a

(M barra = 6 k g ,g = 1 0 m/s2) p.s = t a n ^ 9 0 ° "

U c=CO t — 3 2 Por la segunda CEM respecto de B M FBg(2) = M bb = 0 MgA = M FgW A) 0,4; 30 N Q B) cot—; 15 N

RA -4d = Fg(1y3 d

C) 0,6; 20 N

ARa = 3-20

D) tanO; 25 N

Ra = 15 N

E) t a n - ; 15 N 2

C la v e (

)

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 89

Como cos0< 1

Si el bloque está a punto de resbalar, indique la verdad (V) o la falsedad (F) en las siguientes

-> F>50 N III.

proposiciones. 0,4 0,5

La reacción del piso es de 50>¡5 N.

II.

El módulo de F es mayor que 50 N.

Verdadera Si F= 1 0 0 N -> F = F g Por ello la R pasa por la bisectriz de F y Fg.

III. Si F = 1 0 0 N, el ángulo 0 es 37°.

A) FFV D)

B) FVF

VVV

C) VFF

tanoc=|is

E) FVV

53° tana = 0,5 —> a = — 2

También

Resolución I.

6 + 2a=90°

Falsa Fg= 100 N

.-. 6 = 3 7 ° _C

la ve

(§ )

P R O B L E M A N .° 90

/s= /máx. (Por estar a punto de resbalar)

Para la placa rectangular homogénea de 2 kg hay reposo con el resorte de /C=150N/m. Calcule su deformación si los vértices A y B es tán en la misma vertical.

/s= li s//v U n > 100 N Va Pue F presiona) /s=0,5/w

A) 6 cm

B) 3 cm

2Fj F1 > 5 0 N -> R = F1-J5> 5 0 > /5 N

II.

Verdadera

C) 8 cm D) 5 cm E) 11 cm

Del gráfico anterior /s =Fcos0>5O N 89

L u m b r e r a s E d it o r e s

R esolución Acomodamos la geometría para que los vértices de A y B estén en la misma vertical y realizamos el DCL de la placa

A) 3/7

B) 7/24

D) 3/5

C) 5/9 E) 4/3

Resolución Como R a y RB tienen igual módulo y la Fg es vertical, entonces RA y RB forman igual ángu lo con la vertical, y por estar la barra a punto de resbalar, en cada punto de apoyo, la reac ción forma con la normal un ángulo a , tal que ps = tan a. Las tres fuerzas sobre la placa son concurrentes. Luego formamos el triángulo de fuerzas.

Realizamos el DCL

Kx = ^ M g

150x = — 210 5 2

x = 8 cm

En B _ C la v e ( c )

2a=32° a=16°

P R O B L E M A N .° 9 1

—> ps = ta n a

Se muestra una barra a punto de resbalar. Si el coeficiente de rozamiento en ambas superficies

es igual, además las reacciones en A y B son de igual módulo, calcule el coeficiente de roza miento entre las superficies. 90

C la ve ( § )

E s t á t ic a

# ................................................................................................ P R O B L E M A N .° 92

Aplicamos la segunda CEM respecto de O

Se muestra una barra de 3 kg en reposo. Deter mine la veracidad (V) o la falsedad (F) en las si guientes proposiciones.

•

0 r =

•

m}=

M 0 t

T1- L = T SL (1)

T ^ IO S

7’1= 5 0 N

L II.

Falsa Se explica en la siguiente proposición.

III. Verdadera Aplicando la primera CEM tenemos R

La tensión en la cuerda (1) es de 10 N.

II. La reacción de la articulación es de 30 N. III. La reacción de la articulación forma un án gulo de 37° con la horizontal. A) FFV D)

FFF

B) VVF

C) VVV E) FVF

-> R = 50 N y oc=37° _ C la v e

Resolución I.

(A)

Falsa P R O B L E M A N .° 93 Se muestra una placa triangular de 7 kg y un bloque delgado de 2,3 kg en reposo. Determine el máximo valor de 0 que garantiza el reposo del sistema A) 37° B) 45° C) 34° D) 32° O

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

5 cm

Debemos recordar que cuando un objeto sobre un plano inclinado está a punto de resbalar, se cumple

30 cm

(1)

(2)

A) 2 tana=|i.s El sistema cuña-bloque está sobre un plano con ángulo 0, y si el bloque no resbala sobre la cuña, entonces 0 será máximo cuando

15 cm

c) 3

B) 1/2

D) 1/3

E) 2/3

Resolución Desarrollamos F9

ta n 0 = n s

5 cm

tan 0=3/4

20 cm

10 cm

15 cm

1fx( i)

—> 0 = 3 7 ° (máximo valor) El bloque está en un plano inclinado de ángulo 0 + 1 1 °, y si la cuña no resbala antes que el blo que, entonces 0 + 1 1 ° será máximo cuando t a n ( 0 + ll° ) = n s

//V(l)

Para la barra fr

t a n ( 0 + ll° ) = l

= 0 : h ( i ) = Í k (2) ^ i / a/í i ) = ^2/a/(2)

0+ll°=45°

—> 0 = 3 4 ° (máximo valor)

^*(1) _ ^v(2) ^X(2)

Si tomamos 0 = 3 7 °, la cuña estaría a punto de resbalar; pero 0 + 1 1 = 4 8 °, por lo cual el bloque ya resbalaría. Entonces el sistema está fuera de reposo. Si tomamos 0 = 3 4 °, el bloque estaría a punto de resbalar y no la cuña, por lo cual el sistema está en reposo. ,= 3 4 °

ÍN( 1)

Aplicamos la segunda CEM respecto de O M% = 0 .

M0 f NM = M f0NW //V(2)‘10 = //V(l)'20 f m =2

C la ve P R O B L E M A N .° 94 Una barra homogénea está en reposo y dos ro dillos giran en sentido contrario. Determine el cociente ■ M-ÍC(2)

//y(l) Reemplazamos en (I) ^ - 2 V-K(2)

C la v e

(A)

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 95

Del equilibrio

Se muestran dos discos homogéneos y concén tricos en movimiento inminente. Si el coeficien te de rozamiento entre todas las superficies en

Fr = 0: 9F + F = Fg{sist)+ T

contacto es - , calcule la masa de cada disco si 3 son iguales. (g = 1 0 m/s2)

10 F= 20M +8 F = 2 M + 0 ,8 M

(I) +M

T -r = 3 F -2 r + F -2 r 8=8F F= 1 Reemplazamos en (I) l = 2M +0,8 M = 0,1 kg A) 0,2 kg D)

B) 0,3 kg

0,1 kg

_ C LA V E ( D )

C) 0,4 kg E) 0,5 kg P R O B L E M A N .° 96

Resolución Sabemos que .. _ f s [ máx.)

Una barra homogénea está en reposo. Si la lec tura del dinamómetro es 7 N, calcule la masa de la barra. Datos: /-CUerda = 15 cm>A B = 4 0 cm, g = 1 0 m/s2

1_F__2F_ _3F 3 ~ 3F ~ 6F ~ 9F

A) 0,7 kg D) 3,1 kg

B) 3 kg

C) 2,7 kg E) 2,8 kg 93

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución Sobre la barra actúan tres fuerzas concurrentes.

A) 37°; IO N

B) 53°; 20 N

D) 37/2°; 22 N

C) 53/2°; 10 N E) 30°; 15 N

Resolución Empezamos con la barra AB, ya que las tres fuerzas que actúan son paralelas; luego realiza mos la separación imaginaria.

Al formar el triángulo de fuerzas, tenemos dos triángulos semejantes 40 T

10 M -= 4

Para la barra AB (momentos en O x) Fg= 3F 15 = 3 F - > F = 5 N

/. M = 2 ,8kg

Para la barra CD (momentos en 0 2) C la v e ( E

R=2F .-.

«=10 N

P R O B L E M A N .° 97

También como A S está a punto de resbalar

En el sistema, la barra AB está a punto de res

—> ta n a = n s —» ta n a = 0 ,5

balar sobre la otra barra con la cual el ps =0,5. Determine la medida del ángulo a y el valor de la reacción en la articulación. Considere que las ba rras son homogéneas y son de 1,5 kg cada una. (g = 1 0 m/s2) 94

53° .-. a = —

C la v e

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 98

En el gráfico 2, al aplicar F , de igual valor que Fg,

El bloque mostrado está a punto de resbalar, y al aplicarle una fuerza horizontal de igual m ódu lo que la Fg/ también está a punto de resbalar.

el bloque está a punto de resbalar hacia arriba.

Determine el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la superficie.

F + F g tiene dirección opuesta a R2, por ello en el

Siendo ta n a= |is (a: por encima de la normal),

gráfico tenemos

V 2 -1 A) 1/4

» ' ~ T

y¡2 y

- I2 - 1

E )

—

c t+ a = 4 5 ° 45° a =—

-> fis = ta n a

Resolución

[Xs = y ¡ 2 - 1

C la v e ( c )

Gráfico 1

P R O B L E M A N .° 99 En el gráfico, la esfera y la barra son lisas, homo géneas y de igual masa. Calcule la deformación del resorte de K= 12 N/cm. (g = 1 0 m/s2)

Gráfico 2

En el gráfico 1, el bloque está a punto de resba lar hacia abajo, entonces tan a= |is (a: por debajo de la normal).

A) 2 cm D) 1,6 cm

B) 3 cm

C) 1,4 cm E) 2,1 cm 95

L u m b re r a s E d it o r e s

...........................................................

Resolución

P R O B L E M A N .° 100

Hacemos la separación imaginaria.

En el sistema en reposo, A, B y C son de igual masa. Si Cestá en movimiento inminente, calcule el coeficiente de rozamiento entre las superfi cies en contacto si es igual entre todas.

A) 1/3

B) 2/5

D) 2/3

ífe

C) 3/4 E) 3/5

Para la esfera de las fuerzas horizontales Fe= R sen53° 4 Kx = - R 5

Resolución Realizamos la separación imaginaria, teniendo en cuenta que entre todas las superficies la Fs toma su máximo valor.

(I)

Para la barra •

•

= R -5 L = F g-ALcosS3° 5/? = 50 •4 •— 5 /?=24 N

Reemplazamos en (I) 4 12x = —■24 5 ÍN ( i)

/. x= l,6 cm

= Mg

fs( 1) - fs(máx.) - Hs//V(1) _ C LA V E

(6)

fs{i ) =

E s t á t ic a

Del DCL

Para B /a/(2) = //v(i) +

•

m 9

En la perpendicular al plano f N= 2 0 N (siempre)

Ín (2 ) = 2 / W g

•

T = fs (i)+ fs( 2 )

/s=/s< máx.) (siempre que esté a punto de resbalar)

fs( máx.) ~ Ms//V(2)

/s = 0,5 -2 0

T = \xsMg + \xs -2Mg •

—» M g = 3 [ X sM g

/S= 1 0 N

Si está a punto de resbalar hacia abajo 15 N

1 C la v e

(A)

P R O B L E M A N .° 101

—» F = 5 N (mínimo)

Si el bloque de 2,5 kg no se mueve, determine

Si está a punto de resbalar hacia arriba

entre qué valores debe estar F. (g = 1 0 m/s2; |i5=0,5)

—> F = 25 N (máximo) 5 N < F < 25 N A) 15 N < F < 30 N

C la ve ( § )

B) 5 N < F < 25 N C) 20 N < F < 30 N D) 5 N < F < 18 N E) 7 N < F < 25 N

P R O B L E M A N .° 102 La esfera homogénea de 4,8 kg reposa apoyada sobre la pared. Determine la reacción de la pared. (a 8 = 12 cm, r = 2V 2cm , g= 1 0 m/s2)

R esolución A) 16 N B) 32 N C) 24 N

punto superior de la esfera

D) 30 N LU

10 N

L u m b r e r a s E d it o r e s

R esolución

A) 20 cm

Sobre la esfera actúan tres fuerzas concurrentes

D) 30 cm

25 cm

C) 32 cm E) 26 cm

Resolución Aplicamos la concurrencia de fuerzas

Al form ar el triángulo de fuerzas tenemos se mejanza R

—» O P = 2 A cm; A P = P B = 3 2 cm

BC_ AB

En el gráfico, P es punto medio de la barra.

-> V g .- P ) =7cm d ( A - C . G.)“ 2 5 c m

C la v e ( B ,

R = 16 N C la v e

P R O B L E M A N .° 103 En el gráfico se muestra una barra lisa de 64 cm de longitud. Determine a qué distancia de A está su centro de gravedad. (r= 4 0 cm)

P R O B L E M A N .° 104 Se muestra una placa hexagonal homogénea en reposo. Calcule la masa de la placa si las masas de A y B son 5 kg y 2 kg, respectivamente.

A) 3,5 kg B) 2,7 kg C) 4 kg D) 2,5 kg LU

1 kg

E s t á t ic a

Resolución A) 0,5

Desarrollamos el DCL de la placa

B) 0,6

Resolución Operamos el DCL del sistema

Del DCL aplicamos la segunda CEM respecto a la articulación M qx = M J = 0 M ta0 = M F0g + M 0 Ta 2 L = F g -L + TB 3 L 5 0-2 = 10M +2 0-3 M = 4 kg Actúan tres fuerzas concurrentes en el punto de C la v e ( C >

tangencia del piso. Como T=R, ambas fuerzas forman igual ángulo con la tercera fuerza \Fgj.

P R O B L E M A N .° 105 Se muestran dos discos concéntricos y homo géneos en reposo. Si cuando el movimiento es inminente la tensión y la reacción del piso son iguales, determine el coeficiente de rozamiento entre el disco mayor y el piso.

Por estar el disco a punto de resbalar |is = ta n a

(I)

De la geometría a=30° En (I) |as =tan30°

I A\/C

(

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 106

7"(2¿cosa-¿seca)=Fg(¿ se ca -¿ co sa )

Se muestra una barra homogénea y lisa en re-

M 2g(2cosa - se c a )= M ^ ( s e c a - cosa)

poso. Calcule —

donde M : : masa de la barra í - - 5, 4 M2 _ U Mi 2 - - — 5 4

y M2■masa del bloque.

M2 M, C la v e ( E

P R O B L E M A N .° 107 B) 3/4

A) 7/5

C) 4/5 E) 9/7

D) 3/5 Resolución

Defina el valor del ángulo a que se establece cuando la barra reposa sabiendo que la tensión y la reacción del muro liso son de igual módulo.

A) 10°

Realizamos el DCL de la barra

B) 70° C) 20° D) 30° E) 22° Resolución Desarrollamos el DCL de la barra

-h

Lcosa;

¿cosa

k--------¿seca —

Del DCL de la barra, conviene aplicar la segunda CEM, donde concurren Rx y R2 . aRi

M q = M,o

100

E s t á t ic a

Resolución

Aplicamos la primera CEM

Operamos el DCL de la placa

Como T = R

-> e=p Luego, del gráfico oc+0+P=9O ° a + 0 + lO ° = 9 O ° ->

(3=10°

0=10°

oc=70°

C la v e ( B

Por haber articulación, la placa no tiende a res balar, ya que se encuentra fija; en consecuencia, la reacción de la pared es perpendicular a ella. Son tres fuerzas que serían concurrentes, pero la geometría es muy compleja, por ello aplicamos

P R O B L E M A N .° 108 Se muestra una placa rectangular homogénea de 1,2 kg en reposo. Determine la reacción de la pared. (g = 1 0 m/s2)

la segunda CEM (momentos) respecto de O. MR q* = M R 0v = 0 M“0 = M0g R -2 Lco s5 3 °= F g -dop 3 53° R -2 L -- = 1 2 d OMsen—

R= 5 N

A) 1 N D) 4 N

B) 2 N

C) 3 N E) 5 N

C la v e

(E 101

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 109

P R O B L E M A N .° 110

Para el bloque homogéneo, en el momento que está a punto de resbalar también está a punto de volcar. Determine el coeficiente de rozamien

Si el bloque desciende realizando MRU, calcule el módulo de la fuerza paralela al plano inclina do hacia arriba que se le debe aplicar para que

to estático entre el bloque y el plano inclinado.

ascienda con v constante. Indique también si la reacción modifica su módulo.

A) 2/Wgtan0, sí B) 3/Wgcos0, no C) Mg cos0, sí 1 D) -M g s e n0, sí A) 1/2

B) 1/3

C) 2/4 E) 2MgsenQ, no

01 ¿

E) 3/7 Resolución

Resolución

Realizamos el DCL en ambos casos

Estará a punto de resbalar cuando tan0=(j.s

2.°

\Fg y fiso n verticalesj. Estará a punto de volcar cuando el bloque pen de solo del vértice A, entonces A y C están en la misma vertical.

equilibrio cinético

1 er RX= Fg La presión o f N es M gcos0 fK = ^K'fN> Pero también f K=Mgser\Q 2 ° La f N sigue valiendo MgcosQ, por ello i tan0 = 3

/ r ^ '/ jv C o n t in ú a siendo f K=Mgser\Q -> K l - * 2 - J f K2 + f N2

1 fe =

3 F=2M gsen0

C la v e 10 2

(B )

C la v e ( f e

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° I I I El sistema mostrado está en movimiento inmi

4 5 Eje X: - 7 = 7 - > 7 = - 7 5 4

nente. Calcule — donde M-,: masa del bloque M2

Eje V: -^7 + 2F = Fg(1) -» Fg(1|= ^ F

y M j. masa de la barra homogénea. Para la barra - -Tl = M -S g¿(2 * 2%F M*-res 0 = 0- : M l2)).,* +M

7 •81 = 7g(2) •41 + 27 •31 - 7 |-8 = 47g(2) + 67 ^ (2 )= ^ A) 3/5

B) 3/4

C) 4/5

(ID

De (I) y I

E) 11/4

D) 2/3

Mi _ Fg(i) _ M2 Fg(2)

Resolución Entre la barra y el bloque hay f s , que es máxima.

4 ^ 7

M1 _ 11 M2 " 4

fs ( máx.)

7=(0,5)(27)

C la v e ( E

Hacemos separación imaginaria 3 —7

P R O B L E M A N .° I 12 Si el bloque de 2>/29 kg está a punto de resba lar, calcule el mínimo valor de 7. (g = 1 0 m/s2)

27 41

31 0 (2 )

Para el bloque 7 d= 0

A) 40 N D) 25 N

B) 20 N

C) 30 N E) 32 N

103

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Reemplazamos en (I)

Sobre el bloque actúan tres fuerzas

Fmln -20y[73 • Fm¡n =40 N

g fc-i—y

C la v e ( A

e V P R O B L E M A N .° I 13

En el sistema mostrado, el bloque A es liso y B se encuentra a punto de resbalar. Determine el coeficiente de rozamiento entre 6 y el plano in clinado. Datos: g= 10 m/s2, MA= 5 kg, MB= 10 kg

A) 1/2 B) 2/3 Al formar el triángulo de fuerzas

C) 3/5 D) 2/3

M ó d u lo

D ir e c c ió n

✓

E) 1/4

✓

Resolución

Hacemos la separación imaginaria

Entonces el módulo R se acomoda para que F sea mínimo. Del triángulo f mín = F g -senQ tan0=|O,s tan0 = 5

104

(I)

E s t á t ic a

Como se mueve sobre el piso, las fuerzas verti cales se anulan.

Para A /?=40 N

7= 30 N

f r = fx

Para B

Fr = 60 N f N= R + 80 -> 7^=120 N

Con ello marcamos la clave A, pero debemos percatarnos que

7+/s = 6 0 - > /S= 3 0 N Por estar a punto de resbalar

> Fg

80 N > 50 N

Hs - 120=30

Con lo cual el bloque se eleva y R = 0.

1 H s= T

Lo correcto sería 80 N

C la v e ( E 50 Ni

iv e l a v a n z a d o

60 N

I* R= 0

/?=0

P R O B L E M A N .° I 14

Fr = 30V5 N

Si el bloque de 5 kg es liso, determine la fuerza resultante en el instante mostrado. (g = 1 0 m/s2)

C la v e ( D

/f= 1 0 0 N ™

P R O B L E M A N .° I 15

3<53° ° .

Para la placa triangular homogénea de 3 kg, A) 60 N D) 30>/5 N

50 N

30 N

4 0 V lÓ N

determine la reacción en A. Considere que A es punto medio de BC. (g = 1 0 m/s2) D

Resolución Mecánicamente este sería el procedimiento

A) 10>/2N D) 20V 5N

10>/5N

C) 20V2N E) IO N 105

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

P R O B L E M A N .° 116

Como la R a es perpendicular a BC, entonces las tres fuerzas no son paralelas, además serán concurrentes.

Se muestra una barra de masa despreciable y lisa. Determine la relación entre la reacción en P y la tensión.

El C.G. se ubica en el baricentro. La mediana relativa a la hipotenusa pasa por A y contiene a RA por ser perpendicular a S C y ser el triángulo DBC isósceles.

V i

yfba

D) 4 a

Resolución Sobre la barra actúan tres fuerzas que serán concurrentes T ,R P y RQ.

Luego de formar el triángulo de fuerzas al apli car la primera CEM, tenemos ra

= f4i

= f4s

Fg= 3 F 3 0 = 3 F -> F = 1 0 N .-. R a = I 0 V 2 N C la v e 106

(A)

E s t á t ic a

Luego de ubicar el punto de concurrencia M y

A) 6 cm

formar el triángulo de fuerzas

D) 12 cm

RP — = tan a T

C) 10 cm E) 14 cm

Resolución Cuanto menor longitud tenga el resorte, mayor será su rigidez

Pero en el triángulo MRQ b ta n a = = MQ

B) 8 cm

(II)

-»

K IP £0

Y en el triángulo PRM aplicamos el teorema de la altura relativa a la hipotenusa

3/0

MQ = yfab r E(2)<t

En (II) tanoc =

;m ) r !7(1)

yfab

i r g(2)

Luego en (I) FE(1 ) - Fg(l) A

FE ( 2 )~ Fg[2)

Ro /C x1= 20 C la v e ( E

P R O B L E M A N .° I 17 Se muestra un resorte con su longitud natural y también luego de ser cortado. Si colocamos en cada caso un bloque de 2 kg y de 18 kg estando en reposo al mismo nivel, calcule la deformación del resorte en el primer caso. Dato: C'0= 24 cm

(3/C)x 2= 180

—> x 2= 3 x 1

Del gráfico

3+^1= 3 + x 2

-L = 2 x i

, x --S -

Xi = 8 cm

C la v e ( B

107

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° I 18 Se muestra una placa rectangular homogénea en reposo. Calcule la masa de la placa.

Por la complejidad de la geometría conviene aplicar

Pero sena=sen(3 En el problema M F0g = M T0

3 kg

7 kg

B) 2 kg

F j y J s e n 7 4 0=7--4¿-sen(143°)

C) 5 kg E) 1,3 kg

(1 0 / W )--— = 3 0 - 4 2 25 5 Resolución Realizamos el DCL de la placa y tenemos fuerzas paralelas

.-.

M = 3 kg Nota

Esto implica que R = 0.

Otra forma Por la geometría nos podemos percatar que una diagonal es vertical y con ello T y Fg son colineales; en consecuencia, no sería necesario otra fuerza para el equilibrio, con lo cual F9 = T A^p,aca = 3 kg

C la v e 108

(A)

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° I 19

Cuando 0 disminuye, la barra estará más pro

Se muestra un bloque en reposo en el punto medio de una barra homogénea, que también

pensa a resbalar y no el bloque.

está en reposo. Determine entre qué valores puede estar 0.

Aplicamos para el sistema fuerzas concurrentes, ya que el bloque está justo en el punto medio de la barra.

A) 3 0 ° < e < 6 0 ° B) 30° < 9 < 37° C) 37° < 0 < 60° D) 37° < 0 < 53° E) 53° < 0 < 60° La barra está a punto de resbalar R esolución

ta n a = n s(2)

Inmediatamente, al aumentar 0, el bloque pue de perder el equilibrio y la barra no. ta n a = — 2 Luego de trabajar la geometría en el gráfico, tenemos 2 1 tan0 = — t= = —¡= 2V3 V3 8m ín=30° En consecuencia ®máx. cuando

tan0máx = ( i s(1)

30° < 0 < 37°

tan9máx. = 0,75 0máx. = 37°

C la v e

( b)

109

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 120

Sobre el bloque actúan tres fuerzas con las que

Se muestra un pequeño bloque en reposo. De termine la relación entre la tensión de la cuerda y la reacción de la superficie inclinada lisa, res pectivamente.

se podrá form ar el triángulo de fuerzas, debido a que F R = 0. Trasladando los ángulos con cuidado, tenemos R=5K T = A K y ¡3 -3 K T _ { A y j3 - 3 )K R~ r

V 7 -V 2

4 ^ 3 -3

5K 4V3-3

5 V ÍÓ -5

C la v e

Resolución Realizamos el DCL del bloque

P R O B L E M A N .° 121 Se muestra una placa triangular homogénea en reposo. Calcule en estas condiciones la medida del ángulo a.

A) 22,5°

B) 21°

C) 53/2° D) 20° 110

E) 30°

E s t á t ic a

Resolución

A) A, C y D B) todos

Actúan dos fuerzas colineales.

C) D y C D) solo A E) solo D

Resolución

Ín

/s(máx.)

piso —» D

40 N

D -> C

30 N

4,5 N

C -4 B

20 N

B —> A

IO N

4,2 N

El C.G. coincide con el baricentro y debe estar debajo de P en la misma vertical. De la geometría a- —

C la v e

P R O B L E M A N .° 122 Se muestran cuatro bloques de igual masa (1 kg) en reposo. Al aplicar una fuerza horizontal de 4,3 N, indique en cuál(es) bloque(s) se puede aplicar dicha fuerza para el reposo del sistema, (g = 1 0 m/s2)

Siempre que haya reposo, si F = 4 ,3 N actúa so bre... •

D, no supera a 8 N, entonces reposo.

•

C, no supera a 4,5 N, entonces reposo.

•

B, supera a 4 N, entonces B resbala sobre C.

•

A, no supera a 4,8 N, entonces A no resbala en 6, pero A y B como sistema resbalarían sobre C.

C la v e

(C ni

L u m b r e r a s E d it o r e s

■b

P R O B L E M A N .° 123

Tenemos

En el sistema, A está a punto de resbalar sobre fí; además, B realiza MRU sobre el plano inclinado.

•

Calcule el cociente de M . M/C(2)

^ ( 2) = ta n a = tan60° “ > \i K(2)= 'fe

M-S(i) = tanP = tan37° 3

C la ve ( A

c) I P R O B L E M A N .° 124

D) 3 Resolución

Para la esfera homogénea y en reposo se cum ple que los módulos de la tensión y de la reac ción de la articulación son iguales. Determine a.

Tanto A como B están en equilibrio mecánico. Por ello actúan dos fuerzas verticales sobre A y sobre el sistema AB.

A) 40° D) 20° 112

B) 25°

C) 30° E) 10°

E s t á t ic a

Resolución Inmediatamente nos damos cuenta que sobre la esfera actúan tres fuerzas que no son para lelas por estar la cuerda oblicuamente, por ello las fuerzas serán concurrentes.

/53' . 2 / 3 0 cm

El punto de concurren cia está en la cima de la esfera.

A) 0,5 D)

B) 1/3

C) 0,2 E) 0,8

1,5

Resolución Tenemos tres fuerzas concurrentes en A.

Dentro de la esfera hay un triángulo isósceles 2 0 = 4 0 ° -> 0 = 2 0 ° Al formar el triángulo de fuerzas por ser R=T, el triángulo es isósceles —> a=0 a = 20°

C la ve ( D

Por estar la placa a punto de resbalar fis = ta n a | en el gráfico

P R O B L E M A N .° 125 Se muestra una placa triangular a punto de res balar. Determine el coeficiente de rozamiento estático entre la pared y la placa. Considere que el C.G. está en la misma vertical que A.

15 fie = —

•••

|is = l , 5 C la v e 113

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 126

Fg(i)'5L = Fg(2YL

Si en el sistema se desprecia todo rozamiento, calcule la masa de la esfera (2) si de la esfera (1) es 2 kg.

20-5 = 10 M 2 M 2 = 10 kg

_ C la v e (

)

P R O B L E M A N .° 127 Se muestra una placa cuadrada y homogénea. Determine el valor del ángulo a , que define el equilibrio. A)

2 kg

B) 4 kg

C) 6 kg A) 10° B) 17° C) 26,5°

Resolución Realizamos el DCL para el sistema

D) 14° E) 18,5°

Resolución Desarrollamos el DCL de la placa

/fr L En el DCL del sistema debemos aplicar la segun da CEM respecto al punto O donde concurren « i y R2. •

Mq1 = M q2 = 0 Actúan dos fuerzas que son colineales.

114

E s t á t ic a

Trabajamos la geometría

2 37° ( 3 + 0 = 4 5 °

- >

(3 =

—

Ahora con la cuña encima del bloque de igual masa, ambos en equilibrio, el borde del muro debe estar en el punto medio de los dos centros de gravedad, tal que la cuña sobresalga lo máximo respecto del tablón (como en el gráfico anterior cuando reposa sobre el muro).

a = 4 5 ° - ( 3

53°

2 _ C LA V E ( C )

P R O B L E M A N .° 128 Se muestran un tablón y una placa triangular, ambos homogéneos. Determine qué distancia horizontal, como máximo, puede sobresalir el punto P del punto 6. A) 15 cm B) 8 cm

^máx.(BP) - 12 cm

C) 12 cm

C la v e

D) 9 cm

(C)

E) 7,5 cm P R O B L E M A N .° 129 Resolución

Se muestran tres barras homogéneas e idénticas.

Determine el cociente de — . Considere que

Si los analizamos individualmente

Ra : reacción en A y RB: reacción en B.

Estas distancias son siempre que los cuer pos estén solos o haya otro u otros cuerpos con C.G. justo encima (en la misma vertical

A) 2

B) 1/5

que del primero). 115

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución Hacemos una separación imaginaria y aplicamos la simetría

Primera barra

Aplicamos la segunda CEM a la segunda barra M** = 0 y M 3 / =0 M2 0f + M f0= M R 0* 2 F d + F - 2 d = R x -2d R=2F - > R a = f J Í 3 A RB = F y fs ■

“

ÍH

?A= *B V 5

_ C la v e

(C)

P R O B L E M A N .° 130 El bloque mostrado de 5 kg desciende realizando MRU. ¿Qué módulo debe tener una fuerza hori zontal hacia la izquierda para que al actuar sobre el bloque, este ascienda con velocidad constante? (g = 10 m/s2)

A) 100 N 116

B) 120 N

C) 80 N

D) 75 N

E) 60 N

E s t á t ic a

Resolución F = Fr

Caso 1: Fr = 0 (MRU)

5 0 -2| ^ F= 1-

F = 120 N C la v e ( B Sabemos P R O B L E M A N .° 131

|i^=tana a : ángulo de la flic o n la normal

Se muestra una barra homogénea doblada y en reposo. Determine la menor masa del bloque. (M barra = 5 k§)

Caso 2: FR= 0 (MRU)

2V5 kg

2,4 kg

B) 3V3 kg

1,5V 5 kg

1,33^5 kg

Formando el triángulo de fuerzas Resolución Realizamos el DCL de la barra doblada

F = F gtan 2 a ,

2 ta n a

l- ta n 2a

Se tie n e 3 M = 5 kg 11 7

^ M B A E R A S ED í TORES

Resolución

De la segunda CEM respecto de O

Para el sistema actúan tres fuerzas que son pa ralelas

M T0 = M % g + M lMg r(¿ V 5 •se n a ) = Mg ■2L + 2MgL ^bloque'g ->/5 -se n a = 4Mg 4M

Mibloque '

se n a

Buscando la menor masa del bloque tenemos s e n a = l (máximo) 4M

Mibloque '

Entonces al colocar x y 2x estamos aplicando la segunda CEM. Luego

• •

^ b lo q u e

^ 8

3x = r C la v e ( E

x=4cm ••• ^ ( A - a r t i c u l a c i ó n ) 28 cm

P R O B L E M A N .° 132

C la v e

En el gráfico se muestra una barra de doble masa que la esfera, ambas homogéneas. Deter mine a qué distancia de A está ubicada la arti culación si el sistema está en equilibrio; además r= 1 2 cm .

(5)

P R O B L E M A N .° 133 El bloque que se muestra está en reposo; ade más, F mantiene su dirección. Determine el co ciente entre el mínimo y el máximo valor de F para el reposo.

A) 22 cm D) 28 cm 118

B) 26 cm

C) 12 cm

A) 7/24

E) 24 cm

D) 2/5

B) 2/3

C) 4/13 E) 4/3

E s t á t ic a

Resolución

Sabemos que c o s3 7 °= se n l2 7 ° 7_ •5níD^ = s e n l6 °= — 24

Debemos analizar cuando está a punto de res balar tanto hacia abajo (Fmín) como hacia arriba (fmáx.)-

C la ve ( Á )

Por estar a punto de resbalar tanoc = |¿s tan a= 0 ,7 5

P R O B L E M A N .° 134

a=37°

Se muestra una barra en equilibrio. Determine la medida del ángulo a si su centro de gravedad está en el punto medio de AB.

Notamos que ^ y Fson perpendiculares

1 A) aresenj 3 C)

B) aresen £

, 1 arcsen| —

D) aresen £

E) arcsen| -

Resolución Hay tres fuerzas concurrentes. P Del triángulo de fuerzas •

= Fg ■cos37°

sen(2a+53°)

se n l6 °

sen(127°) máx'

9 se n l6 °

F'min. • F .

' max.

FnQeos37° ________ _ se n l2 7 °

F -------------9 se n l6 °

119

L u m b r e r a s E d it o r e s

Tenemos que ABP es triángulo rectángulo

Resolución

En los apoyos A y B no hay tendencia a resbalar,

OA = O P = O B = L

por lo tanto, RA y RB son perpendiculares a la

Luego

superficie de la esfera.

O Q = Lc o s2a 0/?=¿sena OQ=ORser\a —> Lcos2a=Z.sen2a cos2a - s e n 2a = s e n 2a cos2a = 2 s e n 2oc l - s e n 2a = 2 s e n 2a se n a = J 13 a = arcsen £

C la v e

Entonces del equilibrio

P R O B L E M A N .° 135 Para la esfera homogénea y en reposo, calcuR —► —* le HA, donde RA y RB son las reacciones en A y en B.

/?esen|3=/?¿-sena

Esta misma relación se encuentra formando el triángulo de fuerzas y aplicando la ley de senos. Ra

senp

se n a

—>

b B) a — r

Calculamos los senos del gráfico

C) D)

120

r-b r-a

Ra _ ( r - b ) / r Rb

{r-a )/r

r+a

r-b

r+b

r-a

r-a b+ r

C la v e

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 136

Como

En el gráfico, los discos concéntricos están a

R a + R b= 100 N

punto de resbalar y se verifica que í^s(i)'M-s(2) =

Ra = 50 N

Calcule el módulo de RA, si RA+ R B= 100 N.

A) 60 N

_ C LA V E ( C )

B) 40 N C) 50 N

P R O B L E M A N .° 137

D) 25 N

En el gráfico, el C.G. de la esfera de 8 kg está en un punto de la línea SP. Si las fuerzas de roza miento estático tanto en la pared como en el

E) 80 N

piso son ¡guales, calcule la reacción del piso. R esolución

(g = 10 m/s2)

Tanto en la pared como en el piso, el disco está a punto de resbalar.

2 0 V IÓ N

3-s/lO N

B) 10V 5N

5>/3N

E) 12 N

Resolución La esfera tiende a girar en sentido horario. Del dato ^S(l)'^ S(2) = 1

tan a •t a n p = l a + p = 9 0 ° ( a y p so n agudos) e=p - >

ra = r b

121

L u m b r e r a s E d it o r e s

Respecto de O M f0NM = M f0N™ = 0 MqS + M f0s = M % f s •2d + fs ■2d = 80 •d f s = 20 N Luego Fr = 0 - » eje Y : F g= fs + f N(1) 8 0 = 2 0 + f N(1) f N(1)=60 N

/?p¡so= y ¡fs + Í n (1)

^piso = 20-v/lO N

Del DCL de la placa C la v e ( A )

•

Mox = M o y = 0 Mt = a /9

P R O B L E M A N .° 138

T -L = F „ Í —

se n a

Se muestra una placa rectangular homogénea de 3y¡2kg, considerando reposo para el siste ma. Calcule la masa del bloque.

10/W = 30V 2- — •— 2 V lO M = l,5 kg

C la v e (

)

P R O B L E M A N .° 139 En el gráfico, la varilla de longitud de 2 cm es de masa despreciable. Calcule la tan a que define el equilibrio del sistema sabiendo que r = V 2 cm. A) 2 kg D) 2 kg

B) 5 kg

C) l k g E) 1,5 kg

A) 2/5 B) 3/5 C) 2/3

Resolución

D) 1/4

Desarrollamos el DCL de la placa

E) 2/7

122

■ E s t á t ic a

Resolución

A) 20 N

Operamos el DCL del sistema

C) 25 eos 2 8 ° N 40 r~ D) — v 3 N

2 0 sen 80° N

Resolución Actúan tres fuerzas, donde dos de ellas (las ten siones) son de igual valor y serán simétricas res pecto a la Fg.

Para el sistema •

Mq1 = Mo2 = 0

^ ( l ) '^ l = ^g(2)'^2

2 Mg ■rco sa = 5 M g ■/-sena

.-. ta n a = 5 _ C LA V E

(A)

P R O B L E M A N .° 140

Formamos el triángulo de fuerzas (a = 3 0 °)

Se muestra una barra en reposo. Si su masa es de 4 kg, calcule la tensión en la cuerda. (g = 1 0 m/s2)

-> —V I = 20 2

40 r T = — y]3N 3 _ C la v e ( D ) 123

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 141

Fg -d1 = F E -d2

La barra mostrada es homogénea y de 7 kg. Si el resorte es de 150 N/m, calcule cuánto está de formado. Considere superficies lisas.

M g-1 - \ - L = Kx-— L \2 ) 5 25

( g = 10 m/s2) 7 1 0 -— = 1 5 0 x — 10 25 .'.

x = 0 ,5 m = 5 0 c m

C la v e (

)

P R O B L E M A N .° 142 A) 18 cm D)

B) 15 cm

20 cm

C) 30 cm E) 50 cm

Se muestra una barra homogénea doblada y en reposo. Determine el ángulo 0 que define el equilibrio.

Resolución Realizando el DCL de la barra

A) arctan(9) B) arctan(3) C)

arctanj —

L: longitud de la barra y del segmento OP Del DCL respecto de O *

D) arctan —

1 10

M q1 = M q2 = 0 E)

124

arctan) —

E s t á t ic a

Resolución

La masa se distribuye en igual proporción que la longitud.

Por estar a punto de resbalar /s=^s/w “ > f = ~ ' 3 f Para el bloque

De la segunda CEM respecto de O M 3Mg= M % g

Luego de aplicar la primera CEM, aplicamos la segunda CEM respecto de P (punto donde se concentra la fuerza del piso).

3 M g d 1= M g -d 2 3-15co s0=5sen0

Mp =M pg

tan0 = 9

F -L = F gx

0 = arctan(9)

/• 12 = 3 / x CLAVE

(A)

x = 4 cm Nota

P R O B L E M A N .° 143 Si el bloque cúbico homogéneo de 12 cm de lado está a punto de resbalar, calcule la distancia que separa las líneas de acción de Fg y de f n .

En este caso actúan dos pares de fuerzas y, en cada par, las fuerzas son paralelas y de igual valor. 1.er par: F y f s de valor igual a f y distan L=3x. 2.° par: Fg y f N de valor 3 /y distan x. Tenemos que el primer par genera momento horario y el segundo par, momento antiho rario. Si nos damos cuenta, en este razona miento no necesitamos especificar el centro de momentos, por ello se les denomina mo mentos libres.

3 cm 2 cm

B) 4 cm

C) 5 cm E) 1 cm

CLAVE ( B 125

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 144 En el gráfico, lentamente aumenta F y va cam

Para a — 90°, tan a se va al infinito. Por ello en el gráfico

biando la medida del ángulo a . Determine el móQ

dulo de la tensión en la cuerda (1) cuando a = —. Considere que la cuerda (2) siempre está en po sición horizontal.

0 = 90°

0 2

Cuando a = — = 4 5 ° - > F= 2 0 tan 4 5 ° F=20 N

C la v e

P R O B L E M A N .° 145 A) 14 N

B) IO N

D) 16 N

Resolución

C) 20 N E) 9 N

IV11 Para la barra homogénea en reposo, calcule —-, M2 donde masa de la barra y M 2: masa del blo que. Desprecie todo rozamiento, Lbarra= 4 0 cm.

Realizamos el DCL del nudo P.

Tenemos T3= 20 N (siempre)

126

F = 7 3tan a

A) 3/5

F = 2 0 ta n a

D) 3/4

B) 2/3

C) 4/5 E) 4/3

E s t á t ic a

Resolución

P R O B L E M A N .° 146

Realizamos el DCL de la barra

Para la barra homogénea en reposo, indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes pro posiciones. Considere que A C =C B.

I. II.

Las f N en A y en B son iguales. Si la barra está a punto de resbalar, necesa riamente Hs(A) > M-S(S)-

III. Si las f N en A y en 6 son iguales, el C.G. de la barra está a Lsec0 del extremo A.

Del DCL hay dos pares de fuerzas paralelas \T con F e y R con Fg), por lo cual aplicamos la primera CEM

A) FFV D) VFF

B) FVV

C) VFV E) VVF

T=Fe Resolución I.

Falsa

Luego aplicamos la segunda CEM tomando en cuenta que actúan dos momentos libres. M O =M Ü T -8 = F g -12 M2g - 2 = M 1g -3 M1 _ 2 M2 ~ 3 _ C la v e ( § )

127

L u m b r e r a s E d it o r e s

Respecto de O

Resolución

M f0s(A) = M f0m = 0

Podríamos probar que esté a punto de resbalar.

•

M f m + M Fg = M f0N{A)

JN~~Fg

f N ( B ) 'l- + Fg ' x = f N ( A ) 'L

f N= 70 N

P fs

^ = / s máx.

(I)

Í n ( A ) ~ f N ( B ) + ~ Fg

Ín

F = 0,6 -70 F = 42 N

Í n (a ) > Í n (b )

Falsa

Si está a punto de volcar, la /?p¡So se concentra en P.

Respecto de O' 4 {b) =

f= 7 0 N

m fs

fs(A)'d + fs(B)'d - Fg(L x )

2L P

( L —x fs(A )+ fs(B )= Fg [ —¿ No podemos afirmar que f s es mayor.

Respecto de P

Verdadera

Mp = Mpg

En la ecuación (I), si//v(/\) = / a/(s ) ~^ * = 0 d(A^ c.G.)=/-sec0

F-2 L = 7 0 L F = 35 N

CLAVE

(a )

p=35 N (como máximo) Nota

P R O B L E M A N .° 147 Para la placa cuadrada y homogénea de 7 kg, determine el máximo valor de F para el equi librio.

Si F supera a 35 N, el bloque volcaría antes de resbalar. C la v e

(A)

P R O B L E M A N .° 148

A) 35 N D) 21 N 128

B) 20 N

C) 42 N E) 31 N

Para la barra homogénea en reposo, calcule el coeficiente de rozamiento estático con el piso si la barra está a punto de resbalar. Considere que la barra y el bloque tienen igual masa.

E s t á t ic a

P R O B L E M A N .° 149 En el gráfico se muestran dos barras homogéneas e idénticas y con resorte ideal de 240 N/m. Indi que verdadero (V) o falso (F) en las siguientes pro posiciones. Dato: Mbana= 8 kg

A) 1/3

B) 3/4

D) 5/6

2/3

2/5

La reacción en A es mayor que en 6.

II.

La reacción en Cforma 30° con la horizontal.

III.

El resorte está estirado 20 cm.

Resolución Por ser cuerpos de igual masa, el centro de gra vedad del sistema estará en el punto medio de ambos centros de gravedad.

punto de concurrencia

A) FVV D) VVF

B) VFF

C) VFV E) FVF

Resolución I.

Falsa Realizamos el DCL del sistema

Luego de aplicar la concurrencia por estar a punto de resbalar 5d p,s = ta n a = — oa 5 ■■ ^ = i C la v e

(D)

129

L u m b r e r a s E d it o r e s

P R O B L E M A N .° 150

Del reposo del sistema

Mq + A $ = M o R°

En el gráfico, las cuatro esferas son lisas, de igual radio (r) y de igual masa (0,4 kg), excepto D. Calcule la masa de D. Considere que r es el

Fg -d + F g -3 d = R B -4d

radio de las esferas.

RA + R B = 2 Fg

RB= F g

RA = Fg

Ra = r b II.

Verdadera Para una de las barras

2kg

B) 2,3 kg

3,2 kg

C) 1,1 kg E) 0,9 kg

Resolución Para el sistema de las cuatro esferas

La F e y la R entre las barras son paralelas y de igual valor, ya que RA= F g y son paralelas. a=30° III. Falsa Aplicamos la segunda CEM tomando en cuenta que actúan dos momentos libres M O =M O M g —L - K x L 4

•

M q a - M q 8 = M q c = M q d = m f¿

•

M F0g + M % = M §

8 10 —= 240x 4

Fg -4 rse n 4 a + Fg 4 rse n 2 a = F¿4rsen2oc

1 /. x = — m = 25cm 4

M(2sen 2a-co s2a + sen2a) = M' sen2oc M' = A4(2cos2a +1) C la v e ( É )

130

Respecto de O

= / w [2 (l-2 s e n 2a ) + l ]

E s t á t ic a

Resolución

Del gráfico

Analizamos la estructura ABCD respecto al pun to D.

/a a\ 4 r/ \4 r r

1 í1? U; J

M' = 0 ,4 2 1 - 2 -

)

M' = 1,1 kg _ C LA V E ( C ) MFce = M 10" P R O B L E M A N .° 151 Se muestra una estructura con varillas de masa despreciable en reposo. Determine las fuerzas in ternas en la varilla CE y en la articulación E.

F c e -4 = 1 0 -3 ••• F ce = 7,5N Para el sistema 10 N

A) 7,5 N; 2^265 N B) 8 N; 14 N C) 7,5N; 2>/l31 N D) 8,6 N; 23 N E) 6,2 N; 12 N

Primera condición de equilibrio Rx= 22 N Ry= R

131 L

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Segunda condición de equilibrio

Por la simetría del gráfico <

N+ A t f " = Mg

AB = BC = CA = 120°

—> r 1= r 2=7'3 = 7'(cuerdas con igual tensión)

1 0 -6 + 1 2 -3 = /? -4 R = 24 N -»

/?y=24 N ^articulación = y j R l + R y = 2 ^ 2 6 5 N

_ C LA V E

(A)

P R O B L E M A N .° 152 Se muestra un disco homogéneo de radio r y de 6 V 3 kg en reposo. Si las cuerdas son de igual longitud (2r), calcule la tensión de la cuerda (1). ( g = 10 m/s2, AB = BC = CA )

La descomposición de T1 es similar a T2 solo que T u =~T2x

De Fr = 0 •

EjeZ: T3Z+ T 2z+ T lz = F g 3Tcosa =M g V3 r 37 —— = 6V3 •10

7= 4 0 N 71 = 40 N A) IO N D) 40 N

132

B) 20 N

C) 30 N E) 50 N

_CLAV E ( D )

: PROBLEMAS PROPUESTOS

A) 30 N

iv e l b á s ic o

B) 15 N C)

Para la barra mostrada, donde el resorte

30>/2N 30-v/BN

está estirado, determine el correcto diagra ma de cuerpo libre. Considere superficies

lisas. 3.

1®*^

1 2 V Í0 N

Para el bloque en reposo, determine la reacción de la pared lisa. (g = 1 0 m/s2)

12 N B) 14 N C) 16 N A)

D) 20 N

E) 11 N

4. C)

En el gráfico, el sistema está en reposo; además, las poleas son ideales. Calcule la deformación del resorte de K = 5 N/cm. Datos: g = 10 m/s2, M = 2 kg

C) 5 cm D) 4 cm LU

Para la esfera de 3 kg las reacciones de la

M 3M

7 cm

pared y del piso liso son iguales. Determine el módulo de F . [g = 10 m/s2) 133

L u m b r e r a s E d it o r e s

En el sistema en reposo, calcule la tensión en la cuerda (1).

El bloque de 2 kg resbala sobre el plano in clinado con velocidad constante. Si la reac ción del plano es de 40 N, calcule la medida del ángulo ot. (g = 1 0 m/s2)

A) 37°/2 B) 53°/2 C) 30° D) 60° A) IO N

B) 14 N

D) 11 N

C) 32 N

E) 45°

E) 20-v/lO N 9.

Sobre la barra mostrada, el muro ejerce una fuerza de 100 N. Calcule la reacción de

Para la barra de 2,5>f3 kg en reposo, calcule la reacción de la articulación. (g = 1 0 m/s2)

la articulación. (g = 1 0 m/s2)

A) 40 N D) 30 a/5N

B) 140 N

C) 60>/2N E) 13 N

A) 25 N

B) 30 N

D) 75 N En el sistema en reposo, el resorte está comprimido 20 cm y las tablas suman 10 kg. Calcule la masa de A.

E) IO N

10. Para la placa mostrada, la tensión en la

Datos: K = 200 N/m, g = 1 0 m/s2

cuerda es de igual valor que su F g. Calcule el ángulo que forma la reacción de la articu lación con la horizontal.

A) 4 kg

A) 30°

B) 3 kg

B) 45°

C) 5 kg

C) 11°

D) 7 kg E) 2 kg 134

C) 50 N

D) 10° E) 18°

J-E

E s t á t ic a

11.

En el sistema en reposo, determine el cocienR —♦ —*• te —4-, donde R a y R b son las reacciones *8 en el piso y en la pared. Considere que la placa triangular y la esfera tienen igual masa.

30 cm

33,3 cm

B) 28 cm

C) 27,4 cm E) 12,5 cm

14. Si en el gráfico se cumple que la reacción en la articulación es el 80% que la del piso liso, calcule la reacción del piso. (g = 1 0 m/s2)

A) 17/6 B) 4/7 C) 14/15 D) 6/13 E) 12/5 12. Si la placa cuadrada homogénea está en re poso, calcule la deformación del resorte de K = 120 N/m. (M = 3 kg)

A) 12 N

B) 9 N

C) 12 N E) 15 N

D) 11 N

15. Para el sistema mostrado, indique verda dero (V) o falso (F) según corresponda.

A) 11 cm

B) 22 cm

C) 10 cm E) 25 cm

D) 15 cm

Los bloques son de igual masa si el sis tema está en reposo.

13. Para el sistema mostrado, determine la de formación del resorte ideal de K = 210 N/m.

. Si B desciende con velocidad constante, entonces la tensión en la cuerda es me nor que M B g. I. En el estado de reposo se cumple que Mg - = sena.

6 kg A) FVF 1 kg

D) FFF

B) FFV

C) VVV E) FVV

135

L u m b r e r a s E d it o r e s

16. Para la barra de 6 kg en reposo, calcule el ángulo que forma la reacción de la articu lación con la vertical.

19. En el sistema en reposo, determine la ma yor masa de la esfera lisa. (g = 1 0 m/s2)

A) 0,5 kg

B) 0,2 kg

D) 0,1 kg

20. A) 37° D) 30°

E) 37°/2

0,3 kg

0,6 kg

La barra que está en reposo es homogé nea y está a punto de resbalar. Calcule el coeficiente de rozamiento entre la barra y piso.

17. Si el bloque desciende con velocidad

A) 1/2

constante, determine el módulo de l g--= 10 m/s'

2/3

C) 3/5 A) 12 N

D) 5/7

B) 60 N

C) 20 N D) 15 N

0,90 0,92

E) 14 N

21.

1/3

Si la barra se encuentra a punto de resba3 lar, determine la fuerza normal si U c = — . 4 (g = 1 0 m/s2)

18. En el sistema mostrado, el bloque A está a punto de resbalar. Calcule el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque A y el piso. A) 2/3 B) 3/5 C) 4/7

136

D) 3/2

A) 20 N

E) 1/2

D) 50 N

B) 30 N

C) 40 N E) 28 N

E s t á t ic a

22. En el sistema mostrado, A no resbala sobre S; además B realiza MRU. Indique verdade ro (V) o falso (F) en las siguientes proposi ciones. Datos: MA= 2 kg, MB= 3 kg

A) 12 cm B) 10 cm C) 14 cm D) 5 cm E) 7 cm 25. Si el sistema mostrado está en reposo, sien do B y D lisos, se cumple que

M o = M L = 2kg M A = M B__ __ M_ c__ ______ I.

La fuerza de rozamiento sobre A es 8 N.

D) VVV

23.

fls=0,2

C) VVF

A) 27 N

E) FFV

D) 50 N

En el gráfico, C está en movimiento inmi nente. Calcule su masa. Datos: MA= 3 kg, MB= 7 kg

A B C D E

III. El coeficiente de rozamiento cinético entre 6 y el plano inclinado es tan25°. B) FFF

Calcule el mayor valor de F. (g = 1 0 m/s2)

II. La reacción del plano inclinado sobre B es 50 N.

A) FVV

jx5=0 ,4

B) 17 N

1^5=0,1 C) 28 N E) 30 N

26. Para la placa de 12 kg, determine la menor masa de la esfera lisa. A) 15 kg B) 12 kg C) 6 kg D) 10 kg E) 8 kg 27. Para la barra homogénea en reposo, calcule la tensión en la cuerda. (g = 1 0 m/s2)

A) 2,8 kg D) 1,1 kg

B) 4 kg

C) 2,3 kg 6 kg

E) 1,2 kg

9 cm 24. Si el bloque mostrado está a punto de res balar, determine la máxima deformación del resorte de K = 1000 N/m.

A) 20 N D) IO N

B) 30 N

3 cm C) 40 N E) 5 N 137

L u m b r e r a s E d it o r e s

28. La barra mostrada está en reposo. Calcule la reacción en la articulación. A) 13 N B) 4 N C) 6 N D) 7 N LU

B) 1,6 kg

A) 1,2 kg

29. En el gráfico, la reacción en A excede en 30 N a la reacción en B. Calcule la masa de la barra homogénea. (g = 1 0 m/s2) 7 cm X

3 cm “i s r

D) 2,4 kg

C) 3 kg E) 0,8 kg

32. Si en el sistema mostrado la tensión en la cuerda (1) es el doble que en la cuerda (2), calcule x. Considere que la barra es homo génea y mide 1 m.

A A) 2 kg

B) 7 kg

10 cm

E) 5 kg

D) 9 kg

30. El sistema mostrado está en reposo. Calcule a qué distancia de P está el centro de gravedad de la barra.

(2)

(i)

C) 6 kg

6 kg 6 kg

A) 10 cm

B) 20 cm

D) 5 cm

C) 15 cm E) 60 cm

33. Si para la barra homogénea la tensión y la fuerza de gravedad tienen igual valor, calcule la medida del ángulo a.

A) 28 cm D) 26 cm

31.

138

B) 29 cm

C) 20 cm E) 15 cm

Para la barra que se muestra, la fuerza de , , . , rozamiento estático es de 8 N. Calcule la masa de la barra. ( g = 10 m/s2)

.. A) 16° ^

B) 30°

C) 37° ^

E s t á t ic a

34. Para el sistema en reposo, calcule la masa de B para que la barra de 3 kg esté en movi miento inminente. 2L

c.G.

37. Se muestra una barra homogénea en reposo. Si su masa es lisa y pesa 1,6 kg, calcule la masa del bloque.

A) 2 kg B) 0,8 kg C) 1,2 kg D) 2,4 kg

A) 6 kg

B) 3 kg

E) 3,3 kg

C) 2 kg E) 2,3 kg

D) 1 kg

35. Se muestra una placa triangular homogé nea en reposo. Determine la medida del

38. La tabla mostrada es homogénea y de 60 kg. Si la persona se ubica en el extremo derecho, ¿a qué distancia de A se concentra la reacción del piso?

ángulo a.

Datos: M ,persona - 8 0 kg; ¿barra = 2,8 m

A) 15° B) 50° m ' / -

C) 30°

A. jy..

D) 20° E) 40°

36. Para el sistema de barras homogéneas en reposo, calcule el cociente entre la tensión en la cuerda y la reacción en la articulación. Considere que las barras tienen igual masa.

A) 2/3 D) 3

B) 1

39.

1,3 m

1,6 m

2,2 m

C) 0,8 m E) 2,1 m

El sistema mostrado está en reposo. Deter mine la medida de a.

C) 2

A) 60°

E) 1/5

D) 30°

B) 45°

C) 53° E) 37° 139

L u m b r e r a s E d it o r e s

40. Si la placa triangular está a punto de resba lar y la esfera tiene igual masa que la placa, calcule el coeficiente de rozamiento entre la placa y el piso.

A) 32 cm

B) 27 cm

D) 7 cm

C) 14 cm E) 10 cm

43. Si la barra homogénea de 4 kg está en re poso y doblada por su punto medio, calcule la reacción de la articulación. (g = 1 0 m/s2)

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,5 D) 0,4 E) 0,3

41. Si la placa rectangular homogénea está en movimiento inminente, calcule la deforma ción del resorte de K = 5 N/cm. [g- 10 m/s2) A) 8 N

B) 15 N

D) 20 N 9kg

C) 30 N E) IO N

44. Para el bloque de 10 kg en reposo, indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones.

A) 5 cm

B) 6 cm

D) 18 cm

C) 4 cm E) 2 cm

42. Si para la barra homogénea el módulo de la tensión en la cuerda (1) excede en 20 N al de la tensión en la cuerda (2), calcule x. Dato: /-barra= 97 cm

(2 )

Si el bloque está a punto de resbalar y la fuerza de rozamiento estático es 40 N, entonces 0 vale 0o. Si 0 = 9 0 °, la reacción del piso es 60 N.

polea ideal

(1)

10 cm

Jf—x — ¡kg 140

Sobre el bloque, la fuerza de rozamien to estático es de 40 N con 0>O °.

A) VVV D) FFV

B) FVV

C) FVF E) VFV

E s t á t ic a

45.

Se muestra una esfera lisa en reposo. De termine la reacción de la pared lisa. Datos: Mesfera= 2 kg, g = 10 m/s2

48. Si la placa cuadrada y homogénea está a punto de volcar sin resbalar, determine h. Datos: Lcuadrado= 2 0 cm, g = 1 0 m/s2

A) 15 N

F = 20 N

B) 18 N

3 kg

C) IO N D) 12 N E) 8 N

A) 10 cm

B) 20 cm

E) 13 cm

D) 16 cm 46. La esfera mostrada es homogénea, pesa 9 kg y está en reposo. Calcule la fuerza de rozamiento estático sobre la esfera.

49.

C) 15 cm

Si las barras de 2,4 kg son idénticas y homo géneas, calcule la reacción en el punto A. (g= 10 m/s2)

A) 60 N B) 20 N C) IO N D) 30 N E) 40 N

47. Para la barra homogénea de 6 kg en reposo, determine la deformación del resorte de K = 20 N/cm.

A) 15 N

B) 12 N

D) 9 N

16 N

12V2N

50. En el sistema en reposo, la barra y el blo que son de igual masa. Calcule la medida 3L

del ángulo a.

A) 3 cm comprimido B) 5 cm estirado C) 3 cm estirado D) 8 cm comprimido E) 6 cm estirado

A) 43° 67°

B) 46°

C) 13° E) 45° 141

L u m b r e r a s E d it o r e s

N 51.

iv e l in t e r m e d io

53. Para el resorte comprimido en 10 cm se coloca encima de B, lentamente, un bloque de masa M y el resorte logra comprimirse en total 25 cm. Calcule M.

Para la barra mostrada, indique el diagrama de cuerpo libre de la barra.

A) 5 kg B) 3 kg C) 4 kg D) 2 kg punto más bajo

E) 6 kg 54. Si sobre la esfera lisa las reacciones en A y en B tienen igual módulo, calcule la masa de la esfera. (Mb,oque= 1,2 kg; g = 10 m/s2)

E) A) 3 kg D) 4,8 kg 55. 52. La placa triangular lisa pesa 3 kg. Si la fuer za resultante es de 12 N, calcule la reacción del piso.

A) 29 N B) 14 N C) 30 N D) IO N

D) 40 N 142

B) 32 N

C) 24 N E) 21 N

C) 6 kg E) 6,3 kg

Si para el sistema en reposo se cumple que R T T — = — = — = 10, calcule la reacción entre 2 3 5 las barras, ambas de igual masa. (g = 1 0 m/s2)

A) 46 N

B) 2,4 kg

E) 20 N

E s t á t ic a

56. La barra mostrada está en reposo. Determi ne la tensión en la cuerda. ( g = 10 m/s2)

59. En el sistema en reposo, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Dato: M a = M b

A) 30V3N B)

50V2N

C) 80 N

10>/3 kg

D) 100 N E)

50V3N

57. Se muestra una placa triangular equilátera de 9 kg. Determine la masa de la esfera.

Los módulos de la reacción en las pare des son iguales.

II. Entre las esferas, la reacción es mayor al valor de la F g de cada esfera. III. Si la reacción entre las esferas es el do ble que la F g, entonces la línea que une los centros forma con la horizontal un ángulo de 30°.

A) 5 kg

B) 3 V 3kg

D) 5>/3kg

2y¡2 kg

E) 4 kg

58. Para el sistema en reposo, calcule la medí da del ángulo a .

A) 37° D) 53°/2

B) 10°

A) VVV

B) FVV

C) VFV E) VFF

D) FFV

60. Si la placa triangular está a punto de resba lar sobre la superficie de la circunferencia, calcule el p.s.

C) 37°/2

A) 0,2

E) 53°

D) 0,75

B) 0,3

C) 0,4 E) 0,6 143

L u m b r e r a s E d it o r e s

61. Para la barra homogénea de 6 kg, calcule la máxima masa del bloque para el reposo del sistema.

A) 27 N

B) 50 N

D) 20 N

C) 40 N E) 30 N

64. En el gráfico, el bloque está a punto de res balar. Si la barra de 4 kg es homogénea y el bloque de 2 kg, calcule la masa de la esfera.

D) 11 kg

E) 12 kg

62. Se muestra una barra homogénea de 7 kg. Determine la diferencia entre la masa de los bloques. B) 6,5 kg

A) 3 kg C) 6 kg D) 2,4 kg

A) 1 0 0 g D) 140 g

B) 3 3 3 g

C) 2 2 2 g

E) 3 kg

65. En el gráfico, la esfera homogénea pesa 9 kg y la barra homogénea, 12 kg. Determi ne la tensión en la cuerda.

E) 250 g

63. La esfera homogénea de 8 kg está a punto de resbalar. Determine la fuerza de roza miento estático. (g = 1 0 m/s2)

A) 18 N D) 60 N

144

B) 30 N

C) 40 N E) 80 N

E s t á t ic a

66. Se muestra una placa cuadrada de masa despreciable en reposo. Calcule la masa de A si los bloques B y C son de 4 kg cada uno.

69.

La barra homogénea está en reposo. Si su M longitud es de 1 m, calcule —±-, siendo M2 la masa de la barra y M 2 la del bloque.

70.

Si la barra de 7 kg está a punto de resbalar, calcule el coeficiente de rozamiento estáti co entre la barra y el piso.

Dato: ta n a = 5

67. La barra homogénea está en reposo. Calcule -RA , donde ~* R son las reacciones en >4yen B. *b 1 /")

A) 0,5 B) 0,75 C) 0,6 D) 0,4 E) 0,1

E) 17/3 68.

La barra doblada es de masa despreciable y está en reposo. Determine la deformación

71. Si el bloque está a punto de resbalar, deter mine la masa de la esfera en reposo. Con sidere que la barra homogénea es de 5 kg.

del resorte de K = 5 N/cm. (g = 1 0 m/s2) A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm

145

L u m b r e r a s E d it o r e s

72. Si la barra en reposo es de 3,72 kg y el blo que, de 1,86 kg, calcule a qué distancia de A se encuentra el centro de gravedad de la barra.

A) 30 cm D)

73.

B) 25 cm

75. Se muestra una estructura de barras de masa despreciable. Calcule la reacción en P y la fuerza interna en la barra AB, respecti vamente.

C) 35 cm

40 cm

E) 45 cm

La barra que se muestra está en reposo. Determine la deformación del resorte de K = 8 N/cm. ig - 1 0 m/s2)

A) 25 N; 20>/5N B) 20 N; 20>/5 N C) 25 N; 25a/2 N D) 10 N; 15 N LU

A) 3 cm B) 8 cm

14 N; 17 N

C) 6 cm D) 4 cm

iv e l a v a n z a d o

E) 5 cm 74.

Para la barra homogénea en B está a punto de resbalar, calcule el coeficiente de roza miento cinético entre la barra y el disco A.

76. La placa triangular homogénea está en re poso. Determine el ángulo 0 que define su estado de reposo.

60 cm

7 1

30 cm

y ^ =o'2

¡No gira!

A) 0,1 D) 0,4 146

B) 0,2

C) 0,3 E) 0,5

0 0 ro

A) 10 cm

B) 37° C) 45° D) 53° E) 60°

E s t á t ic a

77.

Si los bloques y la cuña son de igual masa, D calcule el cociente de - L , donde Rx es la reR2 acción del piso y R2 del muro.

A) 39 N; 6 cm B) 25 N; 7 cm C) 30 N; 12 cm D) 40 N; 8 cm E) 60 N; Í 5 c m 3 80. En el gráfico, la reacción del piso se concen

A) 1/2 D) 78.

B) 1

C) 2

tra a 48 cm de A. Si la barra es de 104 cm, calcule cuánto puede sobresalir el extremo B del punto P cuando el bloque se ubique, justamente, en el extremo B.

E) 3/4

La placa triangular homogénea de 2,7 kg está en reposo. Determine la longitud natu ral del resorte de K = 500 N/m. (g = 1 0 m/s2)

A) 22 cm

A) 30 cm

B) 14 cm

C) 24 cm

C) 15 cm

D) 36 cm

B) 25 cm E) 19 cm

D) 9 cm 81. En el sistema mostrado, la placa de 10 kg

E) 17 cm

resbala realizando un MRU. Determine la masa de la esfera homogénea y lisa. 79. La barra lisa está en reposo. Calcule la reac ción de la pared y a qué altura respecto de L está su centro de gravedad. Dato: M barra= 8 kg

A) 2 kg

B) 2,4 kg

C) 1/2 kg D) 1/6 kg

E) 1,5 kg 147

L u m b r e r a s E d it o r e s

82. Si la masa de los bloques son iguales, deter mine la medida del ángulo a. A) 78°

A) 0,6

B) 0,4

D) 0,3

C) 0,2 E) 0,5

85. Si la placa triangular está a punto de res

B) 36°

balar, calcule en cuánto debe aumentar F al actuar perpendicularmente al lado AB si también la placa estará a punto de resbalar. Dato: M placa= 1,7 kg

C) 51° D) 30° E) 45°

83. Si la placa triangular está a punto de resba lar, calcule la reacción de la esfera lisa sobre el plano inclinado.

A) 2,4 N D) 34 N

40 N

10>/3N

B) IO N

C) 20 N

B) 22 N

C) 17 N E) 12 N

86. Para la barra en reposo, ¿a qué distancia de P se encuentra su centro de gravedad?

E) 20V3N A) 10 cm

84. Si la placa rectangular homogénea está a punto de volcar y resbalar, calcule el coefi ciente de rozamiento estático entre la placa y el piso.

B) 50 cm

C) 24 cm D) 30 cm E) 16 cm

87. Para la barra homogénea en reposo, de termine la deformación del resorte de K = 237 N/m. Datos: M barra= 7 kg, g = 10 m/s2

148

E s t á t ic a

71,3 N

50 cm

A) 1/7 A) 15 cm

B) 10 cm

D) 7 cm

C) 20 cm

B) 3/7

C) 4/3 E) 1/9

D) 2/5

E) 1 cm 91. Para el sistema mostrado, determine la ma

Si se desea que las reacciones en los apoyos A y B sean iguales, ¿a qué distancia de A debemos aplicar una fuerza vertical hacia arriba de 20 N? Considere que la barra ho

yor y la menor relación de 1^1., si M 1 es la M2 masa de la esfera y M 2 del bloque.

mogénea es de 10 kg.

70 cm

A) 60 cm D) 15 cm

B) 30 cm

10 cm

C) 20 cm E) 18 cm

89. Si la barra de 0,6 m es lisa y está en reposo, calcule a qué distancia de P está su centro de gravedad.

A) 25 cm

A) 2/3; 3/7

B) 3; 1/3

D) 1/2; 2/5

C) 2; 1/2 E) 1; 1/5

92. Si deseamos mantener en reposo a la placa rectangular homogénea, calcule el menor valor de F . Dato: M p|aca= l,5 kg

B) 30 cm C) 35 cm D) 22 cm E) 16 cm

90. Si el bloque de 7,13 kg está a punto de res balar, calcule el coeficiente de rozamien to entre el bloque y el plano inclinado. (g = 1 0 m/s2)

A) 2 N D) 3 N

B) 4 N

C) 5 N E) 1 N 149

L u m b r e r a s E d it o r e s

93. Para el bloque de 5 kg en reposo, el módu

A) 20 N

lo de F va aumentando y se ha construi do una gráfica F v s . / . Indique el valor de tan0 y de b.

B) 18 N C) 12 N D) 15 N E) IO N

96.

Las barras idénticas de 2 kg son homogé neas y están en reposo. Calcule la deforma ción del resorte de K = 90 N/m.

F( N) A) 0,6; 20 N

B) 0,6; 25 N

C) 1; 25 N ' D) 0,5; 25 N

E) 0,5; 20 N

94. En el sistema en reposo, las barras son ho mogéneas. Calcule

13 cm

20 cm

B) 8 cm

C) 10 cm E) 25 cm

Mb 97.

Para la barra homogénea en reposo, deterD mine - A . Considere que son superficies lisas. Datos: Lbarra=39 cm, dAC= 1 0 cm

A) 2/3 D) 2/3

B) 4/3

C) 3/5 E) 3/2

95. El bloque de 3 kg está a punto de sobre la superficie. Determine el de una fuerza horizontal hacia la aplicada sobre el bloque para que tendencia a resbalar. 150

resbalar módulo derecha no haya

A) 9/5

C) 5/12

D) 3/7

E) 4/11

E s t á t ic a

98.

A) 10 N; 40 N

Si el bloque B está a punto de resbalar, de termine el módulo de F . Datos: MA= 5 kg, M B= 10 kg

B) 20 N; 32 N C) 30 N; 10 N D) 20>/2 N; 40 N E) 20-n/5 N; 30 N 101.

A) 8 N D)

99.

B) 12 N

14 N

Para el sistema en equilibrio, la cuña trian gular es de 10 kg y la esfera, de 7 kg. Si el pe queño bloque es liso y la polea es de masa despreciable, calcule el módulo de la reac ción del piso sobre la cuña. (g = 1 0 m/s2)

C) IO N E) 6N

Para la barra homogénea de 2,5 kg, deter mine la tensión en la cuerda. A) IO N

A) 200 N

B) 80 N

B) 250 N

400 N

C) 300 N E) 500 N

C) 50 N D) 20 N E) 30 N

100.

Para la estructura de barras de masa des preciable, calcule la reacción en A y la trac ción o tensión de la barra CD.

102.

Se muestra un bloque cúbico homogéneo a punto de resbalar. Calcule el cocien/Wi te de — 1, donde M x: masa del bloque y M2 M2: masa de la esfera.

A) se n a D) 2sen a

B) co sa

C) l/2 se n a E) 2cosa 151

L u m b r e r a s E d it o r e s

103. En el sistema mostrado, la esfera de 6 kg y la cuña lisa de 4 kg están en reposo, de tal modo que sobre ambas la reacción del piso es de igual módulo. Calcule en cuánto pue de incrementarse, como máximo, el módu lo de F (fuerza siempre horizontal) para el reposo del sistema.

A) 50>/3N

B) 30y¡3 N

D) 20V 3N

105. En el gráfico se muestra un bloque cúbico sobre una superficie horizontal que se en cuentra en reposo con una superficie cónica formada con una placa homogénea, tam bién en reposo. Considerando que son su perficies lisas, calcule el módulo de la reac ción en A. Datos: Mcono= 20 kg, g = 10 m/s2

C) 6 0 V IN E) 50 N

104. La barra que se muestra está en movimien to inminente doblada por su punto me dio, considerándola homogénea. Calcule x (L: longitud de la barra)

A) 50 N

B) 80 N

C) 400 N E) 70 N

D) 100 N

106. Se muestra sobre un plano inclinado un pe queño bloque en reposo. Si sobre el bloque actúa una F , paralela al plano inclinado y horizontal, calcule el máximo valor de F . Datos: M bioque= V3 kg, g = 1 0 m/s2, a = 3 0 °

L 2 ol B)/ -s 2 en — 2 c

L 2 OL -e o s 2

/Y 2a D) - ^ 1 + sen A) IO N E)

152

- í i + cos2-

D) 11 B

B) 12 N

C) 15 N E) 8N

E s t á t ic a

107. En el gráfico se muestra una placa trian gular homogénea en reposo a punto de resbalar y volcar. Calcule el coeficiente de rozamiento estático entre la placa y el piso. Considere que la cuerda es colineal al

109. Se muestra una semiesfera homogénea en dos situaciones a punto de resbalar. Deter mine 0, siempre que la masa del bloque sea la menor posible.

segmento AB. (g = 1 0 m/s2)

A) 2/3

B) 3/4

D) 5/6

C) 4/5 E) 1/2

108. En el sistema en equilibrio, la esfera lisa y la placa son de 20 kg cada una. Sabiendo que la placa está a punto de resbalar, calcule la masa del pequeño bloque.

A) 62°

B) 37°

C) 28° E) 22°

D) 25°

110. Se muestra un bloque con sección trans versal hexagonal, considerando hexágono regular y bloque homogéneo que no llega a rotar, pero estará a punto de hacerlo justo cuando también esté a punto de resbalar. Calcule el coeficiente de rozamiento estáti co entre el bloque y el piso.

A) 8,5 kg D) 7,1 kg

6,8 kg

C) 3,6 kg

A) 0,50

E) 5,8 kg

D) 0,58

B) 0,54

C) 0,56 E) 0,61

153

L u m b r e r a s E d it o r e s

111. En el gráfico se muestra una caja rectángular de longitudes A B = L 1 y B C = L 2> que se encuentra en estado de reposo. Si en A se aplica una fuerza paralela al plano inclinado y dirigida hacia abajo de él, la caja estará por volcar sin llegar a resbalar. Calcule el módulo de F .

A) 7,1 kg

B) 8,6 kg

D) 3,8 kg

C) 3,9 kg E) 5,4 kg

113. Se muestra una barra homogénea en un plano horizontal en dos situaciones en re poso. Si las fuerzas y F2 son horizontales y actúan perpendicularmente a la barra y el coeficiente de rozamiento estático entre la barra y el piso es igual para ambos casos, calcule el coeficiente de — .

A) A 4 g | ^ co sJ3 -se n 2|3

Mg ( Li o o — c o s p -s e n p

C0SP -

(a) A) 1/2

3Li

senP)

D) A4g|^cosP--^-sen|3

^ íc o s P - ^ - s e n P 4 l ¿2

B) 1

D) 2/3

114. En el gráfico, las cuatro barras son homo géneas y de igual masa, pero de diferente longitud. Para el reposo del sistema, calcule el ángulo (3 en función de a .

112. Se muestra un cilindro empotrado en la pa red (no puede rotar). Si entre las cuerdas y el cilindro existen rugosidades con un coeficiente de razonamiento estático ps, calcule la mayor masa del bloque si el siste ma está en reposo. p.s = —

A) a B) 3 a C) a/3 D) arctan(3tana) E) 154

a retan

, tan a

Clayes m

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

100

Nivel bรกsico 1 - 50

N iv e l in te rm e d io

5 1 -7 5

N iv e l a v a n z a d o

7 6 -1 1 1

ib l io g r a f ía

.................................................................... ¡ i F

HECHT, Eugene. Física en perspectiva. Bogotá: Addison Wesley Iberoamerica na, 1990. MÁXIMO, Antonio y Beatriz ALVARENGA. Física general. México D. F.: Edi torial Oxford, 1998. RESNICK, Robert; HALLIDAY, David y Kenneth KRANE. Física. Volumen I. Terce ra edición. México D. F.: Compañía Editorial Continental S. A. de C. V., 1978. SEARS, Francis; ZEMANSKY, Mark y Roger FREEDMAN. Física universitaria. Novena edición. México D. F.: Pearson Educación, 1999. TARG, S. Curso breve de mecánica teórica. Moscú: Editorial Mir, 1976. TIPLER, Paul. Física. Volumen I. Bilbao: Editorial Reverté S. A., 1995. YAVORSKI, Boris y Andrei DETLAF. Prontuario de Física. Moscú: Editorial MIR., 1988.

OTRAS PUBLICACIONES DE LA COLECCIÓN

FÍSICA • Electromagnetismo • Movimiento armónico simple • Análisis dimensional y vectores • Dinámica

www . e t u m

b r e r a s . c o m . p e

lum. edito res