2010
MATEMÁTICA
PROFESSOR Marcílio Farias
AULA – 02 - TEXTO 1
Conjunto dos Números Racionais, Irracionais, Potenciação, Razão e Porcentagem
DISCIPLINA
Matemática AULA - 03 - TEXTO 1
Conjunto dos Números Racionais, Irracionais e Potenciação CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Número racional é todo numero que pode ser expresso na forma de fração.
ℚ= {x/x =
a b
com
5 4
a∈Z
,
2 3
b∈Z
e
1 2
b≠0
}
7 5
ℚ = {...,−2,...,− ,...,−1,...,− ,...,0,...,+ ,...,+1,...,+ ,...}
1 – Introdução Sabemos
que
toda
divisão
pode
representada em forma de fração. Exemplos: • Com números naturais:
o 3:7=
3 7
7 7:4 = 4
ser
• Com números Inteiros ( +3) 3 + + = ( 3 ) : ( 7 ) = o ( +7 ) 7
(−5) 3 ( − 5 ) : ( + 2 ) = = − o ( +2) 2
(−7) : (−4) =
(−7) 7 = (−4) 4
(+5) : (−8) = −
(+5) 5 =− (−8) 8
Obs.: Não existe divisão por zero (5:0=?), não podemos escrever uma fração com denominador 0
⎛5 ⎞ ⎜ = ?⎟ ⎝0 ⎠. Como se lê uma fração As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... um meio
dois quintos
um terço
quatro sétimos
um quarto
sete oitavos
um quinto
quinze nonos
um sexto
um décimo
um sétimo
um centésimo
um oitavo
um milésimo
um nono
oito milésimos
Classificação das frações Fração própria: o numerador é menor que o denominador: Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Frações equivalentes Frações equivalentes são frações representam à mesma parte do todo. Exemplo:
são equivalentes
que
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero. Exemplo: obter frações equivalentes à fração
Portanto as frações das frações equivalentes a
são algumas .
Multiplicação e divisão de números fracionários Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:
.
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
Simplificação de frações Uma fração equivalente a menores, é
. A fração
foi obtida dividindo-se
ambos os termos da fração Dizemos que a fração de
, com termos
pelo fator comum 3.
é uma fração simplificada
. A fração
não pode ser simplificada, por isso é
chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum.
Adição e subtração de números fracionários Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Observe os exemplos:
2º) denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar
as frações
.
Obtendo o mmc dos denominadores temos
mmc(5,2) = 10.
0:5).4 = 8
(10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1. Potenciação de números fracionários Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Se formos um pouco mais além na história, vamos chegar ao famoso teorema de Pitágoras. - Ué, não estamos estudando conjuntos? - Sim, calma lá, é só para explicar. Pense comigo: Se temos um triângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento.
Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o . terceiro lado (a hipotenusa), vale - E quanto é ? - Pois isto não podemos dizer exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de número racional. Por este motivo houve a necessidade de criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números racionais, chama-se
"CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é representado por . As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto. Por exemplo: => Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de números inteiros, portanto, são chamados de números irracionais. => Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.
=> Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima. - Ah, entendi! Então o conjunto dos irracionais é formado só pelas raízes quadradas não exatas?
- Não, todas raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste conjunto o número pi ( π =3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros. Para o Vestibular esses são os irracionais mais importantes! Portanto, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa. Por isso que, ao representarmos nos balões, devemos separá-los. Veja a figura abaixo:
Estes números foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS"
Ou seja, o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:
Note que na parte pintada, não há nenhum número. Pois, se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL. POTENCIAÇÃO Podemos dizer que potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais, se temos a seguinte multiplicação: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, podemos representá-la usando a potência 26, onde 2 é a base e 6 o expoente (Leia: dois elevado a sexta potência).
O expoente possui um papel fundamental na potenciação, pois ele é quem define quantas vezes a base será multiplicada por ela mesma. Observe:
26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 42 = 4 x 4 = 16 53 = 5 x 5 x 5 = 125 102 = 10 x 10 = 100 122 = 12 x 12 = 144 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 63 = 6 x 6 x 6 = 216 Casos de potenciação Todo número diferente de zero e elevado a zero é um.
20 = 1 30 = 1 100 = 1 40 = 1 1250 = 1
Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número.
21 = 2 31 = 3 151 = 15 201 = 20 121 = 12
Base zero e qualquer número no expoente, o resultado será zero.
05 = 0 012 = 0 0100 = 0 07 = 0 025 = 0
Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo. (-3)3 = (-3) x (-3) x (-3) = -27 (-4)5 = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = -1024 (-2)7 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -128 Base (-2)4 (-6)2 (-7)2
negativa e expoente par, resultado positivo. = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = + 16 = (-6) x (-6) = + 36 = (-7) x (-7) = + 49
Base é um número racional (fração): devemos elevar ao expoente indicado o numerador e o denominador da fração.
Quando o expoente é um número negativo: invertemos a base e mudamos o sinal do expoente para positivo.
Uma importante aplicação de potenciação é a notação científica, usada para expressar valores muito grandes ou muito pequenos. A notação é usada por cientistas, como astrônomos, físicos, biólogos, químicos entre outros. Exemplos: 6 120 000, podemos representá-lo usando a 6 seguinte notação decimal 6,12 * 10 -4 0,00012, pode ser representado por 1,2 * 10 .
RAZÃO, PROPORÇÃO E PORCENTAGEM A aplicação dos conceitos de razão, proporção e porcentagem é algo constante no nosso cotidiano, abrangendo tanto problemas simples e rápidos, como um desconto numa loja em liquidação, quanto problemas mais complexos relativos à inflação ou a taxa de juros, por exemplo. Vejamos uma revisão básica sobre esses assuntos...
RAZÃO Denomina-se razão de dois números, diferentes de zero, o cociente formado por eles. Assim sendo, suponhamos que numa sala de aula haja 35 estudantes, sendo 28 destes homens. Observe o cálculo da razão entre número de estudantes homens e o total de estudantes da sala: Total de estudantes: 35 Número de estudantes homens: 28 Número de mulheres: 7 Razão: 28 = 4 (lê-se: 4 para 5) 35 5 Se quisermos saber a razão entre o número de estudantes mulheres e o total de estudantes, temos: Razão: 7 = 1 (lê-se: 1 para 5) 35 5 De modo análogo, podemos determinar a razão entre duas grandezas. Veja as questões: a) Paulo possui 1,80 m de altura e seu cachorro 40 cm. Qual a razão entre a altura do cachorro e a de Paulo?
Altura do cachorro: 40 cm Altura de Paulo: 1,80 m = centímetros (medida equivalente) Razão: 40 = 180
180
2 9
b) Sabendo que a velocidade média é a razão entre o trajeto percorrido e o tempo do percurso, calcule a velocidade média de um automóvel que percorre 100 km num tempo de 2 horas.
Dica: Perceba que quando duas grandezas diferentes (no caso acima, espaço e tempo) estabelecem uma razão, esta vem acompanhada de uma unidade de medida (no caso acima, km/h).
PROPORÇÃO Denomina-se proporção a igualdade entre duas razões. Considerando a, b, c e d, diferentes de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente uma proporção se a/b = c/d. Nesse caso, a, b, c e d são chamados de termos da proporção, sendo a e d os extremos e b e c os meios. Nas proporções, é valida a seguinte propriedade:
Confira as questões abaixo: a) Calcular o valor de x na proporção abaixo: 5x + 2 2x – 2
=
3 2
( 5 x + 2 ). 2 = ( 2 x − 2 ). 3 10 x + 4 = 6 x − 6 10 x − 6 x = − 6 − 4 4 x = − 10 10 5 = − x = − 4 2 b) Uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios. Se ela construiu no fim do mês 42 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu? Há duas maneiras de solucionar essa questão: a primeira consiste em, de forma proporcional, organizar os dados: 200 = x . 16 42 8400 = 16x x = 8400 = 525 (reais) 16
A segunda é calcular a razão entre o dinheiro recebido e o número de relatórios e, em seguida, multiplicar pela quantidade de relatórios no fim do mês: Razão = 200 = 25 16 2 Razão
x
quantidade
25 x 42 = 525 2
relatórios
construídos
=
(reais) PORCENTAGEM
Denomina-se porcentagem a medida da razão que apresenta como base o número 100 (razão centesimal). Assim, admitindo a razão 2/5, podemos transformá-la em centesimal se multiplicarmos o numerador e o denominador por 20. 2 . 20 = 40 5 20 100 Desse modo a razão centesimal 40 para 100 é equivalente a expressão 40 por cento e pode ser representada por 40% (forma porcentual).
Dica: um método fácil de expor a forma porcentual de uma razão é achando a sua forma decimal (dividindo o numerador pelo denominador), e multiplicando-a por 100. Veja: 2 = 0,4 (forma decimal) 5 0,4 . 100 = 40% (forma porcentual) Vamos resolver as questões: a) Maria juntou 45¨% do seu salário, que é de R$ 900. Quanto de dinheiro Maria juntou? 45% de 900 = 45 . 900 = 405 (reais) 100 b) Uma TV de plasma que custava R$ 1.200 passou a custar R$ 900 durante uma promoção. Qual foi a porcentagem de desconto da TV? A porcentagem será a razão entre o desconto em reais e o valor inicial da TV: Desconto = 1200 – 900 = 300 300 = 0,25 = 25% 1200
A questĂŁo tambĂŠm poderia ser resolvida assim: 1200 100% 300 x% 1200x = 30000 x = 25%