2010
PROFESSOR Marcílio Farias
Matemática
DISCIPLINA
MATEMÁTICA www.matematicamuitofacil.com
AULA - 01 - TEXTO 1
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Expressões Algébricas 1.0 A Utilização de letras em lugar de Números. Em diversas situações problemáticas empregamos letras em substituição aos números. Estas substituições nos permitem estabelecer fórmulas pelas quais podemos resolver, com facilidade, uma infinidade de problemas. Exemplos : Se chamarmos de n um certo número, podemos escrever:
O dobro de n será : 2 x n = 2n O triplo de n será : 3 x n = 3n O quíntuplo de n adicionado a 3 unidades será : 5 x n + 3 = 5n +3
2.0 Termo Algébrico ou Monômio É o produto de números reais indicados por letras e números. São exemplos de termos algébricos:
3.0 Coeficientes de um Termo Algébrico ou Monômio 3.1 Coeficiente Numérico de um termo algébrico: é a parte numérica que antecede a parte literal. 3.2 Coeficiente Literal de um termo algébrico: é a parte literal formada pelas variáveis e seus respectivos expoentes. Pode, também, ser chamado simplesmente de parte literal. Nos exemplos anteriores, teremos:
4.0 Classificação dos Termos Algébricos 4.1 Termos Algébricas Racionais Inteiros Um termo algébrico ou monômio é racional inteiro quando não possuir variável em denominador ou variável elevada a expoente negativo e ainda quando não possuir variável submetida a um radical ou variável elevada a expoente fracionário. São exemplos de termos algébricos racionais:
4.2 Termos Algébricas Racionais Um termo algébrico ou monômio é racional fracionário quando possuir variável em denominador ou variável elevada à expoente negativo e, também, quando não possuir variável submetida a um radical ou variável elevada a expoente fracionário. São exemplos de termos algébricos racionais fracionários:
4.3 Termos Algébricos Irracionais Um termo algébrico ou monômio é irracional quando possuir variável submetida a um radical ou variável elevada à expoente fracionário.
6.0 Grau de um Monômio Racional Inteiro Grau de um Termo Algébrico ou Monômio Racional é a soma dos expoentes das variáveis desse monômio. Exemplo:O monômio 3x2y3 é do 5º grau já que a soma dos expoentes de x e y é 2 + 3 = 5
Exemplo: O monômio - 7mn2p5 é do 8º grau já que a soma dos expoentes de m, n e p é 1 + 2 + 5 = 8
7.0 Grau Relativo de um Monômio Racional Inteiro Grau Relativo de um Termo Algébrico ou Monômio Racional é o expoente de uma determinada variável desse monômio.
Exemplo: O monômio 3x2y3 é do 2o grau em relação a x e do 3o grau em relação a y
Exemplo: O monômio - 7mn2p5 é do 1o grau em relação a m, do 2o grau em relação a n e do 5o grau em relação a p
8.0 Expressões Algébricas
Consideremos as seguintes situações:
O triplo de um número é adicionado ao dobro de um outro número. Se chamarmos cada um desses números de a e b, podemos escrever: 3a + 2b Essa expressão algébrica é formada por 2 termos algébricos unidos pelo sinal de adição. A diferença entre o quadrado de um número e seu dobro é adicionada a 3 unidades. Se chamarmos esse número de m, podemos escrever: m2 - 2m + 3 Essa expressão algébrica é formada por 3 termos algébricos unidos por adições algébricas. O simétrico do produto entre o cubo de um número e o quadrado de um outro número. Se chamarmos esses números de x e y, podemos escrever: - x3.y2
Essa expressão algébrico.
algébrica
é
formada
por
apenas
1
termo
A cada uma dessas expressões denominamos Expressões Algébricas e assim podemos definir: Expressão Algébrica é toda expressão que indica termos algébricos ou adições algébricas entre termos algébricos ou monômios. Uma Expressão Algébrica será um monômio quando apresentar apenas 1 termo algébrico. Uma Expressão Algébrica será um polinômio quando apresentar 2 ou mais termos algébricos. Quando um polinômio apresentar apenas 2 termos algébricos ele será um binômio. Quando um polinômio apresentar apenas 3 termos algébricos ele será um trinômio.
Um polinômio será racional inteiro quando apresentar apenas termos algébricos racionais inteiros. Um polinômio será racional fracionário quando apresentar, pelo menos, 1 termo algébrico racional fracionário. Um polinômio será irracional quando apresentar pelo menos 1 termo algébrico irracional. 9.0 - Redução de Termos Algébricos Semelhantes. Quando uma expressão algébrica apresentar termos algébricos semelhantes é necessário reduzi-los, ou seja, efetuar a adição algébrica entre eles.
10.0 - Valor Numérico de uma Expressão Algébrica. Valor Numérico de uma expressão algébrica é o número real obtido quando substituímos as variáveis por números reais dados e efetuamos as operações indicadas.
11.0 - Grau de um Polinômio Racional Inteiro. É o grau do monômio de mais alto grau do polinômio
O polinômio que o monômio de maior grau é do 9º grau.
é do 9º grau, já
12.0 - Grau de um Polinômio Racional Inteiro em relação a uma variável. É o expoente de maior grau de uma variável nesse polinômio.
O polinômio é do 5º grau em relação à variável x e é do 4º grau em relação à variável y
13.0 - Polinômio Racional Inteiro Homogêneo. Um Polinômio Racional Inteiro é homogêneo quando todos os seus termos algébricos são de mesmo grau.
O polinômio é um polinômio racional inteiro homogêneo do 5º grau, pois todos os termos algébricos são do 5º grau.
O polinômio é um polinômio racional inteiro heterogêneo, pois não há uniformidade nos graus de seus termos algébricos.
14.0 - Polinômio Racional Inteiro Ordenado
Um Polinômio Racional Inteiro está ordenado em relação a uma variável quando todos os expoentes dessa variável estão ordenados de forma crescente ou decrescente.
O polinômio é um polinômio racional inteiro ordenado decrescentemente em relação à x, pois os expoentes de x decrescem de 3 até 0.
O polinômio é um polinômio racional inteiro ordenado crescentemente em relação à y, pois os expoentes de y crescem de 2 até 5. 15.0 - Polinômio Racional Inteiro Completo. Um Polinômio Racional Inteiro é completo em relação a uma variável quando todos os expoentes dessa variável estão presentes nesse polinômio.
O polinômio é um polinômio completo em relação à x, pois todos os expoentes de x, de 4 até 0, estão presentes. O polinômio é um polinômio incompleto em relação à y, pois está em falta o termo algébrico de grau 1.
Operações entre Monômios 1.0 - Adição de Monômios Só podemos adicionar monômios semelhantes e para tal conservamos a parte literal comum e adicionamos algebricamente os coeficientes numéricos
2.0 - Monômios Opostos, Simétricos ou Recíprocos Dois monômios semelhantes são opostos, simétricos ou recíprocos quando o coeficiente numérico de um é o simétrico do coeficiente numéricos do outro.
Os monômios numéricos Os
monômios
coeficientes numéricos
são simétricos, pois os coeficientes são simétricos são
simétricos,
pois
os
são simétricos ou opostos
Importante: A soma de dois monômios simétricos é sempre igual a ZERO
3.0 - Subtração de Monômios. Só podemos subtrair monômios semelhantes e para tal adicionamos o primeiro monômio com o simétrico do segundo monômio.
4.0 - Multiplicação de Monômios. Para multiplicarmos monômios devemos multiplicar todos os fatores presentes nos monômios. Lembremos que para multiplicarmos potencias de mesma base, conservamos a base e adicionamos seus expoentes.
5.0 - Divisão de Monômios. Para dividirmos monômios devemos multiplicar o primeiro deles pelo inverso do segundo todos os fatores presentes nos monômios. Lembremos que para dividirmos potencias de mesma base, conservamos a base comum e diminuímos seus expoentes. Uma forma mais simples e rápida seria indicarmos o quociente entre o primeiro e o segundo monômio.
6.0 - Potenciação de Monômios. Para elevarmos um monômio a uma potencia devemos elevar cada fator desse monômio a essa potencia. Na prática elevamos o coeficiente numérico à potencia e multiplicamos cada um dos expoentes das variáveis pelo expoente da potencia.
7.0 - Radiciação de Monômios Para extrairmos a raiz de um monômio efetuamos a raiz de seu coeficiente numérico e a raiz de cada um de seus fatores, na prática isso equivale a dividirmos cada expoente dos fatores pelo índice da raiz.
Operações entre Polinômios 1.0 - Adição de Polinômios Para adicionarmos polinômios devemos adicionar algebricamente cada monômio do primeiro polinômio com cada monômio do segundo polinômio e reduzirmos seis termos semelhantes.
2.0 - Subtração de Polinômios Para subtrairmos polinômios devemos adicionar algebricamente cada monômio do primeiro polinômio com o simétrico de cada monômio do segundo polinômio e reduzirmos seis termos semelhantes.
3.0 - Multiplicação de Polinômios 3.1 - Multiplicação de Polinômio por Monômio Para multiplicarmos um polinômio por um monômio devemos multiplicar cada monômio do polinômio multiplicando pelo monômio multiplicador.
3.2 - Multiplicação de Polinômio por Polinômio Para multiplicarmos um polinômio por um outro polinômio devemos multiplicar cada monômio do polinômio multiplicando por cada monômio do polinômio multiplicador e feito isso reduzirmos os termos semelhantes.
Produtos Notáveis. Alguns produtos ocorrem frequentemente nos cálculos algébricos. A esses produtos, muito importantes em toda a matemática, denominamos Produtos Notáveis. Vamos conhecer os mais importantes deles. Importante: Todo Produto Notável é uma identidade, já que a igualdade sempre se verificará para quaisquer valores atribuídos às variáveis. Por isso sempre utilizaremos o sinal de identidade Quadrado da Soma O quadrado de um binômio soma é igual ao quadrado do primeiro termo mais o dobro do produto entre o primeiro e o segundo termo mais o quadrado do segundo termo. ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2
Exemplo:
Exemplo: Quadrado da Diferença. O quadrado de um binômio diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o dobro do produto entre o primeiro e o segundo termo mais o quadrado do segundo termo. ( x - y )2 = x2 - 2xy + y2
Exemplo:
Exemplo: Produto da Soma pela Diferença de dois Termos. O produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo ( x + y ) ( x - y ) = x 2 - y2
Exemplo:
Exemplo:
Cubo de Soma. O cubo de um binômio soma é igual ao cubo do primeiro termo mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo mais o triplo do produto entre o primeiro termo e o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo. ( x + y )3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Exemplo: Cubo de Diferença O cubo de um binômio diferença é igual ao cubo do primeiro termo menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro
termo e o segundo termo mais o triplo do produto entre o primeiro e o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo. ( x - y )3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Exemplo:
Equações de primeiro grau (com uma variável) Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer “igual”. Exemplos: 2x + 8 = 0 5x – 4 = 6x + 8 3a – b – c = 0 Não são equações: 4+8=7+5 x–5<3
(Não é uma sentença aberta)
(Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau: ax+b = 0 Onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:
ax = -b Dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
Considera a equação 2x – 8 = 3x -10 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa “desconhecida”.
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.
Resolução de uma equação Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo: Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado. Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo).
Exemplos:
•
Sendo
, resolva a equação MMC (4, 6) = 12
-9x = 10 9x = -10
.(-1)
.
Como
•
, então
Sendo
.
, resolva a equação
2 . (x – 2) – 3 . (1 – x) = 2 . (x – 4). Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:
2 . (x – 2) – 3 . (1 – x) = 2 . (x – 4) 2x – 4 – 3 + 3x = 2x – 8 2x + 3x -2x = – 8 + 4 + 3 3x = -1
Como
, então
Equações do 2º grau
Definição: Como informado em tutoriais anteriores, denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda e qualquer equação que esteja na forma: ax2+bx+c=0 Onde : a, b, c pertence ao conjunto dos números Reais, com a ≠ 0
Desta forma, são equações do segundo grau com uma variável: a) 2x2 – 3x + 4 = 0 a=2
b = -3 c = 4
b) 2y2 + 8y – 14 = 0 a=2
b=8
c = -14
Como resolver equações completas do 2º grau:
Já foi demonstrado em tutoriais anteriores, como resolver equações do segundo incompletas. Buscaremos agora resolver uma equação completa, que significa determinar o conjunto de soluções dessa equação. Inicialmente observamos a fórmula resolutiva e discriminante. Considerando a equação:
ax2 – bx + c = 0 Em que a,b,c pertence a R e a é diferente de zero. Será usada a fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara para a resolução de equações completas: 1º) Calcula-se o valor do Delta:
Δ = b2 − 4ac 2º) Aplica-se a Fórmula de Bháskara:
−b± Δ x= 2a Obs.: Conforme o DELTA seja positivo, negativo ou nulo, existem três caso para se estudar e resolver:
1º caso: O discriminante é positivo
.
Duas raízes distintas x’ ≠ x” 2º caso: O discriminante é nulo Uma única raiz x’= x” 3º caso: O discriminante é negativo Este caso o valor da raiz quadrada de delta não existe em R, pois não existe no conjunto dos números reais a raiz quadrada de um número negativo. Resolva as seguintes equações completas do 2º grau a) x2 – 6x + 5 = 0 Onde: a = 1
b = -6 c = 5
Discriminante:
Δ = b2 − 4ac Δ = (-6)2 – 4.(1).(5) = 36 – 20 = 16
Logo existem duas raízes reais e diferentes.
−b± Δ x= 2a Substituindo:
− (−6) ± 16 6 ± 4 x= = 2.(1) 2
x' =
6 + 4 10 = =5 2 2
S = {1,5}
x" =
6−4 2 = =1 2 2