1) Partiendo de una pareja, cuantas parejas de conejos obtendremos después de un numero dado de meses sabiendo que cada pareja al mes tiene una nueva pareja de bebes, la cual no tendrá conejos hasta que sea adulta lo que ocurre a los dos meses Al principio una pareja de conejos bebes Al cabo de 1 mes una pareja de conejos adultos (que tendrán bebes el próximo mes...) Al cabo de 2 meses una pareja de conejos adultos y una pareja de conejos bebes en total 2 parejas de conejos Al cabo de 3 meses dos parejas de conejos adultos y una pareja de conejos bebes en total 2 parejas de conejos Al cabo de 4 meses tres parejas de conejos adultos y dos parejas de conejos bebes en total 5 parejas de conejos Al cabo de 5 meses cinco parejas de conejos adultos y tres parejas de conejos bebes en total 8 parejas de conejos Cada mes, el número de parejas es la suma de los números de los 2 meses anteriores La sucesión de los números de parejas de conejos se llama sucesión de Fibonacci * Biografía: Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 -1250), también llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigoactualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci. El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió póstumamente el apodo deFibonacci (por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe. Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes1 más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber abaci (abaci en el sentido de aritmética y no del ábaco instrumento). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo. Leonardo fue huésped del Emperador Federico II, que se interesaba en las matemáticas y la ciencia en general. En 1240, la República de Pisa lo honra concediéndole un salario permanente (bajo su nombre alternativo de Leonardo Bigollo). * sucesión vegetales
Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a todos los biólogos. Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8. Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci. La sucesión de Fibonacci Y Las Partes Corporales De Humanos Y Animales •
La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
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La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
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La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
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La relación entre las divisiones vertebrales.
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La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.
*La Sucesión De Fibonacci En El Arte
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La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C..
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En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
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El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
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Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
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En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía deBeethoven, en obras de Schubert y Debussý.
• Y en las matemáticas Rectángulos De Fibonacci Y Espiral De Durero Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números de esta sucesión.
Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión.
Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.
Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3×2.
Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5×3, luego uno 5×8, 8×13, 13×21…
Podemos llegar a rectángulos de 34×55, de 55×89…
Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo áureo.
Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1×1), pasan al rectángulo de dimensiones 2×1, al de 3×2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.
Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero.
Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes… Es decir, la espiral del crecimeinto y la forma del reino animal.
Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.
2 Numero de oro El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea,proporción áurea y divina proporción 2 representado por la letra griega φ
(phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:3
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo queb), que cumplen la siguiente relación: La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.
Escrito como ecuación algebraica:
Siendo el valor del número áureo φ el cociente Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor. Cálculo del valor del número áureo[editar] Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
Si
es igual a
entonces la ecuación queda:
Multiplicando ambos miembros por
, obtenemos:
Igualamos a cero:
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación . No es de extrañar que las tarjetas de crédito adopten esta forma, son rectángulos áureos, acertadamente elegida su forma para así hacer de oro a quien las emite. El documento nacional de identidad español también es un rectángulo áureo. Una forma sencilla de dibujar el rectángulo áureo es.
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partimos de un cuadrado de lado l. lo dividimos por la mitad con un compás pincho en A' y trazo el arco BB'
1+ 5 ·l 2 la distancia OB' =
Para hallar la razón áurea de un segmento procederemos de la siguiente forma.
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sea AC un segmento de longitud a, el cual quiero dividir en dos partes que guarden entre sí la relación áurea. • levanto en C la perpendicular de longitud a/2 • uno el punto A con el punto D.
AD =
•
• trazo el arco B'B con centro en A
a· 5 a AB = AB' = − = 2 2
5 −1 · a = 0 ,618....a 2
a· 5 2
trazo el arco CB' con centro en D.