ondas by campo elias

NOTAS DE CLASE SOBRE FUNDAMENTOS DE ONDAS MECÁNICAS Diego Luis Aristizábal Ramírez y Roberto Restrepo Aguilar Marzo 21 de 2009

Aclaración 1 Estas notas son usadas como uno de los recursos didácticos en el curso de Física de Oscilaciones Ondas y Óptica que la Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia sede Medellín, imparte a los estudiantes de ingeniería. Estas no pretenden reemplazar los excelentes textos de física general que se encuentran en el mercado. Aclaración 2 Estas notas sólo son una aproximación muy simple hacia un estudio de las ondas mecánicas. El tratamiento riguroso de éstas corresponde a un curso de teoría de la eslaticidad y de teoría del medio continuo. Aclaración 3 Las notas fueron diseñadas para "optimizar la toma de apuntes" de los estudiantes. Es decir, en ella no se realizan con el debido detalle gran parte de los cálculos, ni se realizan discusiones de manera minuciosa, ni se dan las ayudas para la solución de las tareas (ejercicios); estas serán actividades ha desarrollar en la clase presencial. Aclaración 4 En el transcurso de estas notas se encuentra la forma de acceder a simulaciones y videos que

sirven para a anzar más los conceptos tratados. Para lograr el uso de estos recursos mulitmediales, es necesario estar conectado a la Internet: hacer CLIC sobre los respectivos LINKS en el documento PDF desplegado en la pantalla del computador.

Aclaración 5 Estas notas son un primer borrador, por lo que no tienen las revisiones necesarias. Los autores ofrecen disculpas por los errores que pueden estar presentes.

Aclaración 6 Los autores no se hacen responsables del uso que se pueda hacer con la información suministrada en estas notas.

Índice general

I ONDAS MECÁNICAS VIAJERAS

1. CINEMÁTICA

1.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Una discusión: el modelo de partícula vs el modelo de medio continuo . . . . . . . . . 1.3. Cinemática de la onda armónica viajera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. De niciones e interpretación física de conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Relación entre la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación 1.3.3. Velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Cinemática de la onda armónica unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

2. DINÁMICA

2.1. La ley de Hooke generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ecuación diferencial de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Solución a la ecuación diferencial de onda de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. EJEMPLOS DE ONDAS MECÁNICAS 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

Ondas Ondas Ondas Ondas Ondas Ondas

transversales en cuerdas . . . . transversales en resortes . . . . longitudinales en resortes . . . longitudinales en barras sólidas transversales en barras sólidas . longitudinales en uídos . . . .

. . . . . .

4.1. Densidad de energía en ondas mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Densidad de energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Densidad de energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Densidad de energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Potencia transmitida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. Un análisis sobre el transporte y la conservación de la energía . . 4.2. Energía en ondas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Densidades de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Ondas viajeras armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3.1. Densidades de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3.2. Potencia e intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Dependencia de la intensidad de la geometría del frente de onda 4.2.4.1. Frente de onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

4. ENERGÍA

. . . . . .

9 12 12 14 15 16 16

19 24 25

29 32 32 35 38 39

45 45 46 47 48 48 48 49 49 49 50 50 50 51 51

ÍNDICE GENERAL 4.2.4.2. Frente de onda cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4.3. Frente de onda esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II ONDAS MECÁNICAS ESTACIONARIAS

5. CINEMÁTICA 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Re exión de ondas en las fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principio de Superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas estacionarias en una cuerda con extremos jos . . . . . . . . . . . . . . . . Obtención de ondas estacionarias por resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas estacionarias en tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Tubo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Tubo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Análisis de las ondas estacionarias en otros sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Frecuencias Naturales (Otros sistemas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Diferencias entre la cinemática de las ondas viajeras y de las ondas estacionarias

6. ENERGÍA

6.1. Energía en ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Densidades de energía . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Ondas estacionarias armónicas . . . . . . . . 6.1.2.1. Densidades de energía . . . . . . . . 6.1.2.2. Potencia e intensidad . . . . . . . . 6.1.2.3. Energía de una cuerda con extremos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . jos: Cuantización de la

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . energía

. . . . . .

III EL SONIDO 7. EL SONIDO

7.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Cualidades del sonido . . . . . . . . . . . 7.2.1. La intensidad . . . . . . . . . . . . 7.2.1.1. Ley del inverso cuadrado 7.2.1.2. Nivel de intensidad . . . 7.2.2. El timbre . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. El tono . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . .

51 51

55 55 56 62 63 63 64 66 66 67

69 69 69 69 69 70

73 . . . . . . . .

. . . . . . . .

76 76 76 77 77 77 78 79

IV TEMAS COMPLEMENTARIOS

8. TEMAS COMPLEMENTARIOS

8.1. Más sobre la resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Re exión y transmisión de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83

Índice de guras

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

Modelo de onda . . . . . . . . . . . . . El espectro electromagnético . . . . . . Modelo de onda transversal . . . . . . . Onda transversal en una cuerda . . . . . Onda armónica: representación en x y t Onda armónica . . . . . . . . . . . . . . Cinemática de las ondas viajeras . . . .

. . . . . . .

10 11 11 13 14 15 17

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Barra sometida a esfuerzo . . . . . . . . . . Fuerzas de tracción en los trozos de la barra Grá ca de Esfuerzo vs Deformación unitaria Deformación longitudinal . . . . . . . . . . Deformación transversal . . . . . . . . . . . Pulso viajero . . . . . . . . . . . . . . . . . Pulso armónico . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

20 20 21 23 24 26 27

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8.

Elemento de cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de fuerzas de un elemento de cuerda . . . . . . Resorte (A) longitud original (B) estirado y en equilibrio . Resorte en diferentes estados . . . . . . . . . . . . . . . . Onda propagándode en el slinky . . . . . . . . . . . . . . Deformación longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deformación transversal en barra . . . . . . . . . . . . . . Deformación en uídos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

30 31 32 33 34 35 38 40

4.1. Elemento de cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

57 61 62 66

Cuerda atada en los extremos . . . . . . Per les de algunos armónicos . . . . . . Cuerda y resorte vibrando en resoanacia Tubo sonoro . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

ÍNDICE DE FIGURAS

Parte I

ONDAS MECÁNICAS VIAJERAS

Cap´ıtulo

CINEMÁTICA El modelo ondulatorio ocupa un lugar fundamental en la estructura conceptual de la física. Este permite explicar diferentes fenómenos tales como: los pulsos en cuerdas, el sonido, los fenómenos luminosos, las emisiones de una antena de radio, las ondas de materia, entre otros. La mayoría de las personas ha tenido experiencia con las ondas, por ejemplo al arrojar una piedra en un tanque de agua se forman ondas; un corcho otando en el agua se moverá hacia arriba y hacia abajo pero que no se traslada en la dirección que se observa se trasladan las ondas, como círculos que se abren desde el centro donde cayó la piedra. Estas ondas acuáticas constituyen un ejemplo de una amplia variedad de fenómenos físicos que presentan características análogas a las ondas. El mundo está lleno de ondas: ondas sonoras, ondas que se propagan en una cuerda de una guitarra, ondas sísmicas que pueden transformarse en terremotos, ondas de choque que se producen cuando por ejemplo un avión supera la velocidad del sonido, es como un estampido y otras ondas más particulares porque no son tan fácilmente captadas con los sentidos o no es tan sencillo interpretar su origen; son las ondas electromagnéticas: entre estas están la luz visible, las ondas de radio, las señales de TV, los rayos X.

1.1. Fundamentos En el caso de una partícula oscilante un agente externo le cede energía sacándola de la posición de equilibrio estable, y al quedar bajo la acción de una fuerza recuperadora hace continuamente cambios entre su energía cinética y su energía potencial. En esta lección se considerará un medio material continuo a través del cual se propaga una perturbación. Este puede ser considerado como un conjunto de elementos materiales diferenciales ("partículas") conectados a través de fuerzas internas electromagnéticas (fuerzas moleculares). Un modelo de un sistema así podría ser un conjunto de "partículas" acopladas con resortes. Estos últimos hacen el papel de las fuerzas moleculares. En principio cada una de las "partículas" se encuentra en su propia posición de equilibrio estable, si no hay fuerza neta actuando P→ − sobre ellas ( F = 0, para cada "partícula"). Si una de ellas (un elemento diferencial del medio continuo) se pone a oscilar mediante una fuerza externa, las "partículas" contiguas reciben de ésta "idéntica orden" (por estar "comunicadas" o acopladas por medio de fuerzas moleculares). Obviamente las partículas contiguas comienzan a oscilar con algún desfase con respecto a la "partícula" que "ordena" o que ha sufrido la acción de la fuerza externa, ya que el mensaje se demora un intervalo de tiempo en viajar de una a otra. A su vez estas "partículas" contiguas envían el mensaje a sus próximas vecinas y así sucesivamente todo el "sistema de partículas" (el medio 9

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA

Figura 1.1: Modelo de onda continuo) entra a oscilar. En este modo de propagación cada "partícula" solo vibra alrededor de su posición de equilibrio mas no sufre un desplazamiento neto (cuando dejen de oscilar quedan nuevamente en su posición de equilibrio). Sin embargo se propaga energía de un oscilador a otro: en de nitiva hay propagación de energía y no de materia. A este modo de propagación se le denomina movimiento ondulatorio (onda ). En la gura 1.1 se ilustra un conjunto partículas acopladas mediante débiles resortes. Un agente externo (mano) mantiene la primera partícula en oscilación. La vibración de ésta se comunica a las siguientes a través de los resortes. Las partículas no se mueven en conjunto según la dirección en que se propaga el "mensaje". Ellas solo oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio. Se concluye que la energía que suministra el agente externo al sistema se propaga a través de éste sin desplazamiento neto de la materia. En un movimiento ondulatorio hay vibración de partículas (en el caso de ondas mecánicas) y hay propagación de energía .

Simulación 1.1 Modelo de onda longitudinal Clasi cación de las ondas Las ondas se clasi can según el medio de propagación , según la forma de vibración y según la forma geométrica del frente de onda .

Según el medio de Propagación En este caso se clasi can en mecánicas y electromagnéticas . Las primeras se propagan por medio de las vibraciones del material (medio continuo). Las segundas se propagan por medio de las vibraciones de los campos eléctrico y magnético. Las ondas mecánicas necesitan de un medio material para poderse propagar. La energía se propaga produciendo la vibración de la materia, aprovechando la elasticidad de esta. En ella se propaga energía mecánica (cinética y potencial) . Un medio material continuo es un medio elástico y una deformación en él produce tensiones elásticas que afectan a las regiones contiguas y también en ellas provoca perturbaciones. Como consecuencia de la inercia del medio material, esta perturbación viaja con una velocidad nita tanto más lenta cuanto mayor es la densidad del medio. Por otra parte, la velocidad de propagación es tanto mayor cuanto más grande es la tensión que produce una determinada deformación, es decir cuanto mayor sea el módulo de elasticidad del medio. Son ejemplos de este tipo de ondas: las ondas en una cuerda, la vibración de un edi cio, las ondas en el agua, las ondas sísmicas, las ondas en un resorte, y un ejemplo por excelencia son las ondas sonoras (el sonido). El sonido corresponde a variaciones locales de la presión que viaja de un lugar a otro por lo que no se puede propagar en el vacío . Las ondas electromagnéticas en cambio no necesitan de un medio material para propagarse (pueden propagarse en el vacío ). En estas la vibración de los campos eléctrico y magnético permite su propagación debido a los fenómenios de inducción: la conversión instantánea de energía eléctrica en magnética y viceversa debido a la inducción mutua entre ambos campos, da como resultado la propagación de la energía electromagnética. La velocidad con que se propaga la onda electromagnética dependerá de las propiedades eléctricas y magnéticas del medio. Son ejemplos , las ondas de radio y televisión, las microondas, los rayos x , y, por supuesto, la luz o radiación visible. La luz es vibración de campos eléctricos y magnéticos por lo que se puede propagar en el

1.1. FUNDAMENTOS

Figura 1.2: El espectro electromagnético

Figura 1.3: Modelo de onda transversal vacío. En la gura 1.2 se ilustra el denominado espectro electromagnético (el conjunto de ondas electromagnéticas conocidas hasta ahora y calsi cadas con base en su frecuencia).

Según la forma de vibración En este caso se clasi can en transversales y longitudinales. En las ondas transversales la dirección de vibración de las partículas o de los campos, es perpendicular a la dirección de propagación de la energía, gura 1.3 y simulación 1.2. Un ejemplo se ilustra en la siguiente simulación. Otros ejemplos de estas ondas son: las ondas en el agua , las ondas transversales en una cuerda y todas las ondas electromagnéticas. Simulación 1.2 Modelo de onda transversal . En las ondas longitudinales la dirección de vibración de las partículas es la misma dirección de la propagación de la energía, gura 1.1 y simulación 1.1. Las ondas sonoras pertenecen a este grupo. Una cuestión interesante es que las ondas transversales no se pueden propagar al inetrior de los uidos ya que éstos no soportan fuerzas de cizalladura o tangenciales (los uidos son medios continuos que se caracterizan por no tener "algún grado" de rigidez y por tanto no pueden transmitir ondas elásticas transversales sólo

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA

longitudinales). En esta a rmación no se tienen en cuenta las ondas que se pueden propagar a través de la super cie de los líquidos, como es el caso de las ondas que se observan cuando se deja caer una piedra en un lago cuya super cie inicialmente se encuentra en reposo; estas se deben a la elasticidad de la super cie de los líquidos (tensión super cial), pero no a la elasticidad de líquido en su forma volumétrica.

Según su forma geométrica Los casos más importantes son las de forma plana, circular, cilíndrica, esférica. Por ejemplo cuando las ondas son generadas por fuentes puntuales, son de forma esférica en el caso tridimensional y circulares en el caso bidimensional. Estas a su vez se van aplanando cuando están lejos de la fuente. Las ondas luminosas emitidas por el Sol son fundamentalmente esféricas y cuando llegan a nuestro planeta se pueden considerar aproximadamente planas.

1.2. Una discusión: el modelo de partícula vs el modelo de medio continuo Partícula Por de nición partícula es un punto material. La partícula no tiene dimensiones espaciales (largo, ancho y alto) pero posee masa. Por tanto, cuando a un cuerpo se le aplica el modelo de partícula, para el análisis de su comportamiento físico "pierde" sus dimensiones espaciales.

Medio Continuo Todos los cuerpos están compuestos de moléculas que se encuentran en movimiento constante. Sin embargo, en la mayor parte de las aplicaciones de ingeniería, interesa más conocer el comportamiento global o promedio (es decir, macroscópico) de las numerosas moléculas que forman el cuerpo. Cuando no se está interesado en el comportamiento de las moléculas individuales se puede considerar que los cuerpos (en estado de agregación sólido, líquido o gaseoso) están compuestos de una sustancia in nitamente divisible, es decir, que son continuos. Este es el concepto de medio continuo . Una de las consecuencias de la hipótesis del continuo es que cada una de las propiedades de los cuerpos tienen un valor de nido en cada punto del espacio. De esta manera propiedades como la densidad, temperatura, velocidad, etc., pueden considerarse como funciones continuas de la posición y del tiempo. En estas notas de clase los medios continuos se considerarán homogéneos e isotrópicos. ¾Cada porción del medio de propagación de una onda, de longitud dx y sección transversal de área A, se podrá considerar como una partícula? Cuando la onda viaja a través de medio material, cada

elemento diferencial dx de éste se deforma en una cantidad igual a dy . La variable y representa la separación del centroide de la cara izquierda (considerando la dirección positiva de x hacia la derecha) de este elemento diferencial respecto a su posición de equilibrio que está ubicada en x, y recibe el nombre de elongación . Para efectos cinemáticos el elemento diferencial se puede considerar como un "punto material" (partícula que se denominará oscilador) ubicado en el centroide del elemento y en este caso la elongación y será la posición de esta partícula (oscilador) respecto a su posición de equilibrio que está ubicada en x. Así se considerará para el análisis de la cinemática. Sin embargo esta última idea se abandonará para hacer el análisis energético del movimiento ondulatorio, ya que en este caso lleva a grandes errores esta interpretación.

Resumiendo

En el análisis cinemático se considerará que el medio continuo a través del cual se propaga la onda se comporta como una colección de partículas oscilantes acopladas mediante interacciones eléctricas (en cierta forma, es abandonar el modelo de medio continuo). Es decir, si la onda es armónica, se analizará como una colección de osciladores armónicos. La elongación será la correspondiente a cada uno de ellos.

1.3. Cinemática de la onda armónica viajera Vibración y propagación

Para poder describir el movimiento ondulatorio unidimensional, se requiere de tres variables: dos independientes, x y t, y una dependiente, y . Por ejemplo, para describir las ondas transversales en una cuerda, gura 1.4, se necesita la variable y que corresponde a la elongación de cada oscilador (elemento diferencial dx, con masa dm) la cual variará con el tiempo t; pero además es necesario dar la posición x de los osciladores sobre la cuerda. Por tanto la elongación es función tanto del tiempo como de la posición, es decir,

1.3. CINEMÁTICA DE LA ONDA ARMÓNICA VIAJERA

Figura 1.4: Onda transversal en una cuerda y = y (x, t) . En el movimiento ondulatorio se dan simultáneamente un movimiento de propagación (no de las partículas, si no de la energía que transmite la onda) a velocidad constante V y un movimiento oscilatorio con velocidad vy y aceleración ay de las partículas del medio.

Onda plana armónica Sí la elongación y de cualquier elemento diferencial dx de la cuerda cumple que es una función sinusoidal o cosinusoidal tanto de la posición x del elemento y del tiempo t, se dice que la perturbación se propaga como una onda viajera armónica: y = A sin (kx − wt + ϕ0 )

(1.1)

donde ϕ = kx − wt + ϕ0 corresponde a la fase de la onda y ϕ0 corresponde a la fase inicial: se miden en radianes. A k se le denomina número de onda y se mide en rad/s. A w se le denomnia frecuencia angular y se mide en rad/s. Además si la amplitud A se mantiene constante se dice que la ondas es plana. De la trigonometría se concluye que la onda armónica plana es periódica temporal (t) y espacialmente (x). Al período temporal se le denomina simplemente período (P ) y al período espacial se le denomina longitud de onda (λ), gura 1.5. De las propiedades de las funciones trigonométricas se concluye además que, P =

2π w

(1.2)

λ=

2π k

(1.3)

A los máximos espaciales de una onda viajera se les denomina CREST AS y a sus mínimos VALLES , gura 1.5 izquierda.

Simulación 1.3 Cronograma en una onda transversal viajera Simulación 1.4 Cronograma en una onda longitudinal viajera

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA

Figura 1.5: Onda armónica: representación en x y t

1.3.1. De niciones e interpretación física de conceptos Elongación (y)

Cada oscilador ocupa una posición de equilibrio dentro del medio de propagación y ubicada en x. Cuando la onda se propaga, ellos vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio. Se llamará elongación y a la posición del oscilador respecto a su propia posición de equilibrio. La elongación se mide en metros (m).

Simulación 1.5 Vector elongación Amplitud (A) Para una onda, la amplitud corresponde al valor de la máximo de la magnitud física que se propaga. Se mide en las mismas unidades de esta. Por ejemplo, en las ondas de elongación la amplitud se mide en unidades de longitud; en las ondas de presión la amplitud se mide en unidades de presión (amplitud de presión); en las ondas de fuerza la amplitud se mide en unidades de fuerza (amplitud de fuerza). Periodo (P ) El período de una onda corresponde al tiempo necesario para que la magnitud física que se

propaga haga una oscilación completa. En el caso de una onda de elongación, corresponde al tiempo para que un oscilador complete una oscilación. El período se mide en segundos.

Simulación 1.6 Periodo en onda transversal Simulación 1.7 Periodo en onda longitudinal Frecuencia (f )

La frecuencia de una onda corresponde al número de oscilaciones en la unidad de tiempo, realizadas por la magnitud física que se propaga. En el caso de una onda de elongación que se propaga en un medio material, corresponde al número de oscilaciones en la unidad de tiempo, de cada uno de los osciladores del medio y es la misma para todos ellos. La frecuencia se mide en Hertz (s−1 ). Esta es impuesta por el agente externo que genera la onda . El periodo y la frecuencia se relacionan como sigue, fp=1

(1.4)

La frecuencia angular (w) de la onda se mide en rad/s. Se relaciona con la frecuencia f así, w = 2πf

(1.5)

1.3. CINEMÁTICA DE LA ONDA ARMÓNICA VIAJERA

Figura 1.6: Onda armónica

Fase (ϕ(x, t) ) El signi cado físico de la fase de una onda es el mismo que para los osciladores, solo que en este caso la fase de la onda cambia tanto temporal como espacialmente. La fase se mide en radianes, ϕ (x, t) = kx ± wt + ϕ0

(1.6)

Por ejemplo en una onda de elongación que se propaga por un material, todos los osciladores contenidos en una longitud de onda (λ) tienen diferencias de fases que están entre 0 y radianes 2π . Cada que transcurre un intervalo de tiempo igual a un período, un oscilador se desfasa en 2π radianes. Además dos osciladores que estén separados una distancia equivalente a una longitud de onda están desfasados en 2π radianes gura 1.6.

1.3.2. Relación entre la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación Velocidad de propagación (V )

La velocidad con que se propaga la energía a través del medio (no confundir con la velocidad de vibración de los elementos del medio) corresponde a la velocidad de propagación de la onda.

Longitud de Onda (λ) La siguiente simulación facilita la comprensión del signi cado físico de la longitud de onda. La distancia que viaja la perturbación (y por ende la enegía) cada que el agente externo (mano) realiza una oscilación completa, corresponde a la longitud de onda (λ). Puede observarse que los osciladores cuya diferencia de fase es igual a un número entero de veces 2π están separados por números enteros de longitudes de onda. Por ejemplo, si un oscilador le lleva dos oscilaciones enteras a otro (es decir su diferencia de fase es igual a dos veces 2π ), la distancia que los separará será equivalente a dos longitudes de onda (2λ). Simulación 1.8 Longitud de onda en una onda viajera . Por tanto la longitud de onda , es la distancia que viaja la energía en un tiempo equivalente a un período . Esta última idea se puede plasmar en forma de ecuación así,

λ=V P

(1.7)

λf = V

(1.8)

o como f P = 1,

La longitud de onda se mide en unidades de longitud.

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA

Ejemplo Para hacer diagnóstico sobre tejido blando con un ecocardiógrafo se utiliza un ultrasonido cuya frecuencia es de 1.00 MHz. Si la velocidad de la onda sonora en el músculo es de 1 400 m/s ¾cuál será la longitud de onda utilizada? Solución Para resolver la pregunta basta con utilizar la expresión 1.8 y se obtiene que λ = 1,40 mm.

La longitud de onda da una idea de la resolución del instrumento. Esto se debe a que para obtener información de un objeto la onda debe interactuar con él; en este caso se necesita que la onda se re eje en el objeto, y por ende su longitud de onda debe se algo menor que su tamaño. Por tanto se concluye que con esta onda ultrasónica se pueden detectar objetos del orden de milímetros. Objetos más pequeños pasan inadvertidos para ella (al menos en registros por re exión). Los murciélagos utilizan las ondas ultrasónicas para detectar los obstáculos y sus presas.

1.3.3. Velocidad de fase Cada partícula del medio posee una fase en cada instante. Cuando la onda viaja, cualquier punto de fase constante (es decir, el frente de onda ) viajara a la velocidad de ella. Este punto no es un ente físico, sólo es un ente matemático. Para calcular la velocidad a la que viaja se debe tener en cuenta que dϕ = 0 y como ϕ = ϕ (x, t), dϕ =

∂ϕ ∂ϕ dx + dt ∂x ∂t

∂ϕ

∂t x ∂x

= − ∂ϕ

∂t ϕ ∂x t

(1.9)

El término de la izquierda representa la velocidad de propagación de un punto con fase constante. Si se escoge un punto cualquiera del per l de una onda armónica,por ejemplo la cresta de la onda; mientras la onda se desplaza en el espacio, la elongación y de la cresta permanece constante. Ya que la única que puede variar en la función de onda armónica es la fase, ella también debe ser constante para ese punto en movimiento. El punto se mueve junto con el per l con velocidad V . Con base en las ecuaciones 1.9 y 1.6 se obtiene,

∂x

±w =− = ∓V

∂t ϕ k

(1.10)

El signo + implica que la onda viaja hacia valores crecientes de x (el signo menos lo contrario).

1.3.4. Cinemática de la onda armónica unidimensional Cuando la onda armónica viajera se propaga a través de un medio continuo cada uno de sus elementos ("partículas") vibran con movimiento armónico simple con su elongación, velocidad y aceleración expresadas por las siguientes ecuaciones, y = A sin (kx ± wt + ϕ0 ) vy =

∂y = yt = ±wA cos (kx ± wt + ϕ0 ) ∂t

(1.11) (1.12)

1.3. CINEMÁTICA DE LA ONDA ARMÓNICA VIAJERA

Figura 1.7: Cinemática de las ondas viajeras

ay =

∂2y = ytt = −w2 A sin (kx ± wt + ϕ0 ) ∂t2

(1.13)

además de las ecuaciones 1.11 y 1.13 se obtiene, ay = −w2 y

(1.14)

expresión característica de las oscilaciones armónicas. La velocidad con que se propaga la onda (y por ende la energía) es,

∂x

V = = ∂t ϕ ∂t y

(1.15)

es decir es la velocidad de un punto con elongación constante, dy = 0, por lo tanto, dy =

∂y ∂y dx + dt ∂x ∂t

∂y

∂t x

V =− ∂y

∂x t V =−

Vy m

(1.16)

(1.17)

siendo Vy la velocidad de vibración de un elemento del medio (centro de masa del mismo: "partícula") y m la pendiente del per l de la onda, y vs x, en la posición x del elemento (del centro de masa del mismo: "partícula"). es decir, la velocidad de propagación de la onda, V , es igual a la relación con signo cambiado, entre la rapidez de vibración de un elemento y la pendiente m del per l de onda en la posición del elemento. En el caso de la cuerda esto es muy claro, gura 1.7. En el primer tramo de la gura 1.7 A, la velocidad de vibración Vy es negativa (las partículas se mueven hacia abajo) y la pendiente m del per l en ese tramo es positiva, por lo que el cociente de ambas será negativo; al cambiarle el signo a este cociente quedará positivo, indicando que la velocidad de propagación V debe ser positiva, lo cual es correcto ya que la onda se propaga hacia valores crecientes de . Similarmente se puede hacer el análisis a cada tramo de la cuerda en esta gura y a todos los tramos de la cuerda de la gura 1.7 B.

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA

Ecuación de onda de primer orden De la ecuación 1.16 se obtiene la denominada ecuación diferencial de onda de orden 1,

∂y ∂y = ∂x ∂t

(1.18)

− V yx = yt

(1.19)

−V

o en notación compacta,

Ejercicio 1.1 La elongación de una onda armónica que se propaga se representa en el sistema S.I con la

ecuación y = 0,10 sin 23 πx − 14 π + π3 . Calcular: (a) la amplitud, (b) la frecuencia angular, (c) la frecuencia en Hz, (d) el número de onda, (e) la longitud de onda, (f) la fase inicial, (g) la velocidad de vibración de un punto de la cuerda ubicado en x = 0,30 m en t = 0,60 s, (h) la aceleración de un punto en el instante en el cual se encuentra ubicado en la cresta.

Ejercicio 1.2 ¾Cuánto avanza una onda armónica en un período? ¾Cuánto tarda para viajar una longitud de onda?

Ejercicio 1.3 Para cierta onda transversal se observa que la distancia entre dos máximos consecutivos es de

1.20 m. También se observa que pasan ocho crestas por un punto dado a lo largo de la dirección de propagación cada 12.0 s. Calcular la rapidez de la onda.

Ejercicio 1.4 Considérese una onda luminosa monocromática plana en el vacío, de frecuencia 3.00×1014 Hz.

¾Cuál es la distancia más corta a lo largo de la dirección de propagación de la onda entre dos puntos que tienen una diferencia de fase de 30º entre sí. ¾Qué cambio de fase tiene lugar en un punto cuando transcurren 10−6 s.? ¾Cuántos máximos han pasado por ese punto en dicho tiempo? Rp: 83.2 nm. (b) 6.00 π×108 rad (c) 3.00×108 máximos

Cap´ıtulo

DINÁMICA Robert Hooke (Freshwater, 18 de julio de 1635 - Londres, 3 de marzo de 1703) cientí co inglés. Fue uno de los cientí cos experimentales más importantes de la historia de la ciencia, polemista incansable con un genio creativo de primer orden. Sus intereses abarcaron campos tan dispares como la biología, la medicina, la cronometría, la física planetaria, la mecánica de sólidos deformables, la microscopía, la náutica y la arquitectura. En el presente capítulo se generaliza los resultados de Hooke en sus estudios de los sólidos deformables a los demás estados de la materia (líquido y gas). Esta generalización permitirá demostrar que la materia en cualquiera de sus estados (sólido, líquido o gaseoso) es elástica lo que posibilita que sus partes oscilen y que en el rango de las deformaciones en el cual se cumple la ley de Hooke, las perturbaciones que se propagan a través de la materia, lo hacen como ondas.

2.1. La ley de Hooke generalizada Los medios materiales reales son deformables, y por tanto, dentro determinados rangos son elásticos. Es esta propiedad la que permite explicar que a través de ellos se propaguen ondas mecánicas. Los pequeños elementos del medio oscilan cuando una onda se propaga en el mismo. En esta lección se considerará sistemas elásticos (que en la realidad, corresponde a todos los cuerpos), homogéneos e isotrópicos que se encuentran bajo la acción de fuerzas constantes que le causan pequeñas deformaciones. Cuando un sistema sólido en equilibrio estático, por ejemplo una varilla de longitud l, es sometido a la acción de un par de fuerzas de tracción de magnitud f , que se va variando muy lentamente hasta llegar a una fuerza de magnitud F , este responderá deformándose (estirándose) una longitud ∆l, como se muestra en la gura 2.1: Se asume que el proceso se lleva tan lentamente que se puede suponer que el sistema siempre está en equilibrio estático, de tal forma que no hay energía cinética involucrada en el proceso, situación que caracteriza los denominados procesos cuasiestáticos. Esta forma de ver el comportamiento elástico de los sistemas reales, permitirá aproximarse a una explicación de la forma como se comportan las pequeñas deformaciones causadas 19

CAPÍTULO 2. DINÁMICA

Figura 2.1: Barra sometida a esfuerzo por fuerzas externas. En cualquier sección recta C aparecen fuerzas de tracción hechas por una parte de la barra sobre la otra, fuerzas iguales en magnitud a F puesto que cada trozo se encuentra en equilibrio, gura 2.2. Realmente la fuerza de contacto de magnitud F hecha por un trozo de barra sobre el trozo contiguo es la resultante de una cantidad de pequeñas fuerzas normales de magnitud ∆F distribuidas en toda el área A de la sección. Se llama esfuerzo normal de tracción S a la magnitud F de la fuerza normal por unidad de área A. Si la sección C es homogénea, isotrópica y no esta muy cerca al extremo de la barra se puede asumir que las pequeñas fuerzas normales de magnitud ∆F se distribuyen de manera uniforme en toda la sección y el esfuerzo S es constante. En ese caso, la fuerza normal resultante de magnitud F cumple que en toda la sección, S=

F A

Figura 2.2: Fuerzas de tracción en los trozos de la barra

(2.1)

2.1. LA LEY DE HOOKE GENERALIZADA

Figura 2.3: Grá ca de Esfuerzo vs Deformación unitaria En la gura 2.1 A se observa como la barra en en el estado inicial tiene longitud igual a l (sin deformación). En la gura 2.1 C la barra está en situación de equilibrio bajo las fuerzas de tracción de magnnitud F en sus extremos, y en este caso la barra ha sufrido una deformación ∆l (alargamiento) por tracción. Ahora bien, la deformación ∆l es la deformación de toda la barra de longitud l, de modo que para caracterizar la deformación de una manera que no dependa de la longitud concreta de la barra, se de ne la deformación unitaria por tracción ε como, ε=

∆l l

(2.2)

esta magnitud es adimensional.

Sustentación experimental de la ley de Hooke

Si se realiza experimentalmente la tracción de una barra, se obtiene la curva de la gura 2.3, típica de todos los materiales elásticos. En ella se distinguen tres (3) comportamientos distintos: Zona elástica lineal (oa). Zona elástica no lineal (ab). Zona plástica (bc).

Zona Elástica Lineal (oa) Desde que aparecen los esfuerzos S (punto o) hasta el punto a , llamado límite de proporcionalidad, hay dos hechos a destacar:

La relación entre S y ε es lineal. El material regresará a su forma inicial, si se quitan los esfuerzos que actúan sobre él; hecho que caracteriza el comportamiento elástico del material.

CAPÍTULO 2. DINÁMICA

Zona Elástica No Lineal (ab) El sistema sigue teniendo un comportamiento elástico, en el sentido de que si se suspende las fuerzas, recupera su forma original, pero ahora la relación entre S y ε no es lineal. El punto b , llamado límite elástico, marca el punto hasta el cual el material tiene un comportamiento elástico. Zona Plástica (bc) A partir del punto b el comportamiento es plástico, es decir, si se suprimieran las fuerzas quedan deformaciones permanentes en el material. El punto c es le punto de ruptura, donde el material se "destruye" debido a la acción de las fuerzas sobre él. Este comportamiento, entre el esfuerzo S y la deformación unitaria ε, se presenta de igual forma en todos los materiales deformables, es decir, cada material tendrá sus puntos a , b y c que lo caracterizan. No queda demás a rmar que los valores de los esfuerzos asociados a cada punto (a, b y c ) dependen del material y caracterizan el mismo. En resumen, la experiencia muestra que para pequeñas deformaciones hay un rango para el cual el esfuerzo normal S es directamente proporcional a la deformación unitaria ε (zona oa en la grá ca) y que el material volverá a su longitud inicial si el esfuerzo sobre él se quita; situación que caracteriza el denominado rango elástico del material. En dicho rango, el comportamiento de las pequeñas deformaciones está determinado por la Ley de Hooke , que se escribe como,

S =Yε

(2.3)

La constante de proporcionalidad Y se denomina Módulo de elasticidad de Young que es único para cada material, no depende de sus dimensiones y se mide en Pascales ( 1 Pa=1 N/m2 ). Adicionalmente, el comportamiento de un material a compresión es análogo al comportamiento a tracción. Es válida la Ley de Hooke con el mismo módulo de Young Y (S = Y ε ), sólo que ahora, como S < 0 (compresión), ε < 0 y por tanto ∆l < 0 y el material, por supuesto, se acorta debido a la compresión. Igualmente la experiencia demuestra, un idéntico comportamiento para el caso de deformaciones debido a esfuerzos transversales o de cizalladura.

La generalización de la ley de Hooke

Para pequeñas deformaciones existe una proporcionalidad entre el esfuerzo (S ) y la deformación unitaria (ε) generada. Esta es la denominada ley de Hooke , y se expresa así, S = βε

(2.4)

donde la constante de proporcionalidad β da cuenta de la elasticidad del medio. El esfuerzo se de ne como el cociente entre la magnitud de la fuerza aplicada (normal o tangencialmente, F ) a una super cie y el área (A) de esta. La deformación unitaria se de ne como el cociente entre la deformación (longitudinal o transversal, ∆l) del elemento analizado y su longitud original (l). Es decir, S=

F A

(2.5)

ε=

∆l l

(2.6)

El esfuerzo se mide en N.m−2 (Pascal, abreviado Pa) y es una cantidad escalar. La deformación unitaria ε es adimensional. El módulo de elasticidad β se mide en Pa. En la gura 2.4 se aplicaran estas de niciones a un elemento del medio continuo de longitud dx. El trozo de material se considera de sección transversal constante, homogéneo e isotrópico. El material es sometido a fuerzas iguales (en magnitud, F ) en sus extremos. Por tanto él y cada elemento del mismo estará en equilibrio y bajo la acción de las fuerzas externas opuestas aplicadas en sus extremos y de magnitudes iguales a F . Bajo la acción de los esfuerzos debidos a estas fuerzas, cada elemento se deformara en dy .

2.1. LA LEY DE HOOKE GENERALIZADA

Figura 2.4: Deformaci贸n longitudinal

CAPÍTULO 2. DINÁMICA

Figura 2.5: Deformación transversal Como se observa en la gura 2.4, el extremo izquierdo del elemento, el cual tiene su posición de equilibrio en

x se elonga en una cantidad y , mientras que su extremo derecho que tiene su posición de equilibrio en x + dx se elonga en y + dy . Así este elemento pasa de tener una longitud dx a tener una longitud dx + dy , es decir su deformación es igual a dy . La ley de Hooke aplicada al elemento dx toma la siguiente forma,

S=β

dy dx

(2.7)

En el caso de la gura 2.4 la deformación dy está en la misma dirección del elemento dx y por ello se denomina deformación longitudinal . En la gura 2.5 se ilustra el caso de la deformación transversal . En este caso dy es ortogonal a dx.

2.2. Ecuación diferencial de onda Cuando una onda elástica (onda mecánica) se propaga por el medio material, el centro de masa de cada porción del medio se sale de su posición de equilibrio xc , perdiendo éste estado debido a que los esfuerzos a ambos lados de cada trozo de material no son iguales; el centro de masa adquirirá aceleración presentando cambios tanto en su energía cinética como en su energía potencial. La elongación y dependerá del valor de la posición x y del tiempo t, es decir, y (x, t), de tal forma que la ley de Hooke tomará la forma, S=β

∂y ∂x

Aplicando la segunda ley de Newton a cada elemento material de longitud dx y de masa dm y teniendo en cuenta que en esta situación las fuerzas llamadas de volumen (como la fuerza gravitacional) se desprecian frente a las fuerzas llamadas de super cie (las que generan los esfuerzos), se obtiene, X

F = dm

∂ 2 y

∂x2 xc

2.3. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDA DE ORDEN 2

donde la aceleración de vibración es la del centro de masa del elemento dx. Aplicando la ley de Hooke en los extremos del elemento, y sabiendo que A es el área de la sección transversal y que dm = ρdx, ρ la densidad del material, S (x + dx) es el esfuerzo sobre la super cie de la derecha del trozo de material y S (x) el esfuerzo sobre su super cie izquierda, se obtiene,

∂ 2 y

[S (x + dx) − S (x)] A = ρAdx ∂x2 xc

Aplicando la ley de Hooke, la expresión se transforma en, " β

∂y

∂ 2 y

− A = ρAdx ∂x x+dx ∂x x ∂t2 xc

si dx → 0, se obtiene, ∂2y β ∂2y = ρ ∂x2 ∂t2

(2.8)

β yxx = ytt ρ

(2.9)

o en su forma comprimida,

donde las derivadas quedarán evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elemento tanto como se quiera). A esta ecuación se le conoce con el nombre de ecuación diferencial de onda de orden 2 . Analizándola dimensionalmente se concluye que βρ tiene las dimensiones de velocidad al cuadrado. Como se mostrará en la sección sobre la cinemática de ondas viajeras, esta corresponde a la velocidad de propagación de la onda a través del medio material, s V =

β ρ

(2.10)

es decir, la velocidad de propagación V de una onda mecánica depende sólo de las propiedades del medio material (su elasticidad y su densidad) y la ecuación de onda toma la forma, V 2 yxx = ytt

(2.11)

2.3. Solución a la ecuación diferencial de onda de orden 2 Pulso Viajero En la gura 2.6 se ilustra cómo una función que tenga la forma f (x − V t) representa una curva cuyo per l es el de la función f (x) y que viaja en el sentido creciente de las x con velocidad V . En la gura se ilustra dos sistemas de coordenadas O y O0 . El sistema O está jo y el sistema O0 está rígidamente pegado a la curva que se mueve con velocidad V . Se ha supuesto que O y O0 coinciden en el instante t = 0. Se representa un punto de la curva que tendrá abscisa x en el sistema O y abscisa x0 en el sistema O0 . La curva en el instante t = 0, se representa por la función f (x, 0) a la que se le denomina per l de onda y en cualquier otro instante se representará por la función f (x0 ) en el sistema O0 , o lo que es lo mismo por la función f (x − V t) en el sistema O (ya que se puede observar de la gura que x0 = x − V t). Por lo tanto se concluye que la curva representada por la función f (x − V t), tiene per l igual a f (x, 0) y viaja en el sentido creciente de las x con velocidad V . Ejercicio 2.1 Demostrar que si la curva viaja en el sentido decreciente de las x con velocidad V y per l igual a f (x, 0), se representará por la función f (x + V t). Simulación 2.1 Pulso viajero

CAPÍTULO 2. DINÁMICA

Figura 2.6: Pulso viajero

Solución a la ecuación diferencial de onda de orden 2 Toda función de la forma f (x ± V t) es solución 2

∂ y de la ecuación diferencial de onda de orden 2, V 2 ∂x 2 = procediendo a realizar las correspondientes derivadas,

∂2y ∂t2 .

Esto se puede veri car haciendo u = x ± V t y

∂y dy ∂u dy = = ∂x du ∂x du ∂2y ∂ ∂y dy ∂ d ∂y d dy d2 y = = = = = 2 2 ∂x ∂x ∂x ∂x du du ∂x du du du

(2.12)

dy ∂u dy ∂y = = ±V ∂t du ∂t du 2 ∂ ∂y ∂ dy d ∂y d dy ∂2y 2 d y = = ±V = ±V = ±V ±V = V ∂t2 ∂t ∂t ∂t du du ∂t du du du2

(2.13)

De las ecuaciones 2.12 y 2.13 se obtiene, V2

∂2y ∂2y = ∂x2 ∂t2

por lo que queda veri cado que cualquier función que tenga la forma f (x ± V t), es solución de esta ecuación diferencial y corresponde a una onda viajando en dirección x con velocidad V . Con el signo + corresponde a una onda viajando hacia valores decrecientes de x y con signo - corresponde a una onda viajando hacia valores crecientes de x. A f (x, 0) se le denomina per l de la onda .

Onda Viajera Armónica Unidimensional El per l de una onda viajera armónica es una función sinusoidal,

es decir,

y = A sin kx

(2.14)

Este per l se ilustra en la gura 2.7. Si se propaga en el sentido positivo de x, se representa como, y = A sin [k (x − V t)]

(2.15)

esta es la función que representa una onda viajera armónica unidimensional. Aquí A corresponde a la amplitud de la onda viajera (es constante y es la misma amplitud de las oscilaciones de los osciladores individuales), V es la

2.3. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDA DE ORDEN 2

Figura 2.7: Pulso armónico velocidad de propagación de la onda y k es una constante que se mide en m−1 que garantiza la adimensionalidad del argumento de la función sinusoidal y que en física se le denomina número de onda . Otra forma más común de escribir la relación anterior es la siguiente, y = A sin (kx − wt)

(2.16)

donde kV = w, siendo w la frecuencia angular de la onda que se mide en rad/s y w = 2πf siendo f la frecuencia medida en Hz. Una forma más general es la siguiente, y = A sin (kx − wt + ϕ0 )

(2.17)

donde ϕ = kx − wt + ϕ0 corresponde a la fase de la onda y ϕ0 corresponde a la fase inicial: se miden en radianes. Esta es precisamente la ecuación 1.1.

Ejercicio 3.2 Determinar cuáles de las siguientes funciones pueden describir una onda plana y, en su caso, indíquense la dirección y velocidad de propagación: 2

y (x, t) = e−(a

x2 +b2 t2 −2abtx)

y (x, t) = A sin a2 x2 − b2 t2 h i 2 y (x, t) = A sin 2π (at + bx) y (x, t) = A cos2 [2π (t − x)]

CAPÍTULO 2. DINÁMICA

Cap´ıtulo

EJEMPLOS DE ONDAS MECÁNICAS En diferentes situaciones de la ingeniería es necesario conocer a profundidad el comportamiento de la materia cuando a través de ella se propaga una onda. Ejemplos son: el diseño de estructuras sismoresistentes, el estudio de los tzunami, el análisis geofísico, el diseño de salas acústicas, el diseño de máquinas, el control del ruido, entre otros. Las ondas mecánicas (también denominadas ondas materiales o elásticas) se caracterizan por que se propagan a través de la vibración de la materia: en cada porción de ésta se realiza, mientras se propaga la onda, una transformación de energía cinética en energía potencial y viceversa. En este capítulo se estudiarán algunas de estas ondas mecánicas: ondas transversales en una cuerda, ondas trasnversales en un slinky, ondas longitudinales en un slinky, ondas longitudinales en barras sólidas, ondas transversales en barras sólidas, ondas longitudinales en uídos.

3.1. Ondas transversales en cuerdas Ley de Hooke aplicada a una cuerda En la gura 3.1 se ilustra un segmento de una cuerda tensionada

cuyo extremo derecho está en la posición x. F es magnitud de la fuerza de tensión que ejerce la sección derecha de la cuerda sobre este segmento. La componente vertical de F es, Fy = F sin α

Si la elongación transversal y es pequeña (esto es, la pendiente de la cuerda es pequeña), sin α w tan α y la relación anterior se transforma en, Fy w F

dy dx

Considerando que la cuerda tiene sección transversal igual a A, se obtiene la ley de Hooke en la cuerda,

F dy A dx

(3.1)

CAPÍTULO 3. EJEMPLOS DE ONDAS MECÁNICAS

Figura 3.1: Elemento de cuerda siendo S el esfuerzo transversal aplicado tangencialmente a la super cie del corte transversal de la cuerda. De acuerdo a la ley de Hooke generalizada, ecuación 2.7, y a la ecuación anterior (ecuación 3.1) el módulo de elasticidad en la cuerda será,

β=

F A

(3.2)

Dinámica de la onda transversal que se propaga en una cuerda En primera instancia se debe abandonar la idea de que la cuerda es inextensible. Se tiene una cuerda que en equilibrio tiene una densidad lineal de masa µ y está bajo la acción de una tensión cuya magnitud es F . En la gura 3.2 A se ilustra un elemento de cuerda dx (ampli cando su representación para poder detallarlo). Si se somete la cuerda a pequeñas elongaciones transversales, gura 3.2 B, la tensión es prácticamente la misma tensión de equilibrio, de magnitud F . La sección izquierda del elemento está elongada en y , la sección derecha en y + dy . Aquí dy es la deformación transversal del elemento de cuerda. Sin embargo debe mantenerse presente que el elemento dx se deformó en q 2 2 dξ = (dx) + (dy) − dx. Esto será básico para el cálculo de energía potencial. Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de cuerda de longitud, gura 3.2 B, y sabiendo que la

∂2y

aceleración de vibración de su centro de masa es acm = ∂x2 , se obtiene, xc

∂ 2 y

Fy (x + dx) − Fy (x) = dm ∂x2 xc

Las componentes horizontales de la tensión, F cos α w F cos α0 se cancelan y se ha despreciado la fuerza de gravedad (peso del elemento), ya que es muy pequeña en comparación con la tensión. Aplicando la ley de Hooke,

∂y

∂ 2 y

F −F = µdx ∂x x+dx ∂x x ∂x2 xc

y por tanto se obtiene, F yxx = ytt µ

(3.3)

donde las derivadas quedán evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elemento tanto como se quiera). Por lo tanto la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda es,

3.1. ONDAS TRANSVERSALES EN CUERDAS

Figura 3.2: Diagrama de fuerzas de un elemento de cuerda

s V =

F µ

(3.4)

Con esta expresión se calcula la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda para pequeñas elongaciones. Esta deducción coincide con lo obtenido en la ecuación diferencial de onda generalizada, ecuación 2.10, ya que para la cuerda β = FA , ecuación 3.2; como la deformación transversal dy de la cuerda para pequeñas elongaciones y cumple la ley de Hooke, se puede concluir que si a través de ella está viajando una dm perturbación transversal, esta obedecerá la ecuación diferencial de onda generalizada, ecuación 2.8 y ρ = Adx = µ , por lo que, A s V =

v u s uF u β F u A =tµ = ρ µ A

F se mide en N y µ se mide en kg.m−1

Simulación 3.1 Onda viajera propagándose en una cuerda Ejercicio 3.1 Una cuerda tiene una sección transversal de radio r y una densidad volumétrica ρ. Expresar la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda en términos de r y ρ. Ejercicio 3.2 Una cuerda está atada por un extremo a un punto jo. El otro pasa por una polea que se

encuentra a 5.00 m del extremo jo y lleva una carga de 2.00 kg. La masa del segmento de cuerda comprendido entre el extremo jo y la polea es de 0.600 kg. (a) Encontrar la velocidad de propagación de las ondas transversales a lo largo de la cuerda. ( b) Suponer que una onda armónica de 1.00×10−3 m de amplitud y 0.300 m de longitud de onda se propaga por la cuerda; hallar la velocidad de vibración máxima de cualquier punto de la cuerda.

Ejercicio 3.3 Una onda elástica transversal se propaga a través de una cuerda. Si su elongación tiene como componentes z = A sin (kx − ωt) y y = A cos (kx − ωt): (a) Mostrar que está onda mecánica está circularmente − polarizada. (b) Determinar el sentido de rotación del vector resultante → r = y ˆj + z kˆ .

CAPÍTULO 3. EJEMPLOS DE ONDAS MECÁNICAS

Figura 3.3: Resorte (A) longitud original (B) estirado y en equilibrio

Ejercicio 3.4 Una cuerda consta de dos secciones distintas. La sección de la izquierda tiene una masa por unidad de longitud µ = 0,50 µ0 , mientras que la sección de la derecha tiene una masa por unidad de longitud µ = 1,5µ0 . La tensión en la cuerda es F0 . Si se excita el extremo izquierdo de la cuerda con una fuente que vibra con frecuencia f , encontrar la relación numérica entre las longitudes de onda de las ondas transversales que se propagan en cada segmento de la cuerda.

3.2. Ondas transversales en resortes La ley de Hooke aplicada en un resorte (Slinky) En la gura 3.3 A se ilustra un resorte de constante de rigidez k, longitud natural l y masa total m. En la gura 3.3 B el resorte se estiró mediante la acción de una fuerza cuya magnitud es F0 , su longitud es ahora l0 y se encuentra aún en estado de equilibrio. Su masa por unidad de longitud es µ = m l0 . Por tanto aplicando la ley de Hooke para el resorte, F0 = k (l0 − l)

Dinámica de la onda transversal que se propaga en un resorte (Slinky) El análisis de las ondas transversales de pequeñas amplitudes es idéntico al de las ondas en la cuerda tensa. La velocidad de propagación será entonces, Vtransv

v r 1 u k (l − l) k l 2 0 u =t = l0 1− m m l0 l0

Aproximación Slinky : un slinky es un resorte con longitud natural muy pequeña comparada con los

estiramientos que admite (l0 puede ser 10 o 20 veces ). Si 1 − ondas transversales a través del slinky será, r Vtransv =

k l0 m

l l0

w 1−

1 2

l l0

w 1, la velocidad de las

(3.5)

donde l0 es la situación de equilibrio, con el resorte estirado, situación a partir de la cual se producen las ondas transversales.

3.3. Ondas longitudinales en resortes La ley de Hooke aplicada en un resorte (Slinky) En la gura 3.4 A se ilustra un resorte de constante de rigidez k, longitud natural l y masa total m. En la gura 3.4 B el resorte se estiró mediante la acción de

3.3. ONDAS LONGITUDINALES EN RESORTES

Figura 3.4: Resorte en diferentes estados una fuerza cuya magnitud es F0 , su longitud es ahora l0 y se encuentra aún en estado de equilibrio. Esta es la situación a partir de la cual se van a producir las ondas longitudinales. Con el n de expresar adecuadamente la ley de Hooke, se estudiará en primer lugar otra situación de equilibrio, con una deformación (l0 − l0 ) respecto a la primera situación de equilibrio, gura 3.4 C. Si F es el exceso de fuerza respecto al equilibrio, de la ley de Hooke se obtiene, F = k (l0 − l0 )

El exceso de fuerza F sobre el equilibrio base es proporcional al exceso de deformación respecto a dicho 0 0 equilibrio base. Esta ley (ley de Hooke) expresada en términos de la deformación unitaria ε = l −l , donde l0 se ha tomado como referencia la longitud en el equilibrio de base, será, F =k l0

l0 − l0 l0

F = (kl0 ) ε

(3.6)

esta ley de Hooke es ahora válida, no sólo para todo el resorte sino para cualquier trozo de él. Considérese que F es el exceso de fuerza sobre la fuerza de magnitud F0 en el estado de equilibrio base. De esta forma si se tiene un elemento de resorte cuya longitud en el estado base es dx (longitud del elemento de resorte, el cual tiene una longitud l0 estirado bajo la acción de una fuerza de magnitud F0 ) y dy es la deformación de este elemento despues de aplicar una fuerza adicional de magnitud F , se puede escribir la ley de Hooke así, F = (kl0 )

dy dx

Expresando la ley de Hooke en términos de esfuerzo se obtiene, F kl0 dy = A A dx

(3.7)

CAPÍTULO 3. EJEMPLOS DE ONDAS MECÁNICAS

Figura 3.5: Onda propagándode en el slinky

kl0 ε A

en donde A corresponderá a la sección transversal del resorte. Por lo tanto, β=

kl0 A

(3.8)

Dinámica de la onda longitudinal que se propaga en un resorte (Slinky) Cuando a través del resorte se propaga una onda longitudinal, cada elemento del resorte estará vibrando bajo la acción de la fuerza neta que sobre él ejercen la parte izquierda y la parte derecha del resorte, y las cuales no se equilibran, gura 3.5. En la gura 3.5 A el resorte de constante de rigidez k está estirado hasta una longitud l0 mediante una fuerza de magnitud F0 ; este es el estado base alrededor del cual se van a presentar las oscilaciones del medio cuando la onda longitudinal se propaga a través de él. En la gura 3.5 B ya la onda longitudinal está presente, y se detalla un elemento del resorte (elemento rojo) el cual tiene una longitud dx y se deforma en dy cuando la onda pasa a través de él. En la gura 3.5 C se elabora el diagrama de cuerpo libre sobre este elemento; nuevamente se desprecia su peso, ya que es muy pequeño en comparación con las fuerzas elásticas presentes. Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de resorte de longitud dx, gura 3.5 B, y sabiendo que la

2 aceleración de vibración de su centro de masa es acm = ∂∂t2y

, se obtiene, xc

F (x + dx) − F (x) = dm

∂ 2 y

∂t2 xc

aplicando la ley de Hooke, ecuación 3.7, ( (kl0 )

)

∂y

∂ 2 y

− = µdx ∂x x+dx ∂x x ∂t2 xc

por lo tanto,

kl0 µ

∂2y ∂2y = ∂x2 ∂t2

(3.9)

donde las derivadas son evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elemento tanto como se quiera). Por lo tanto la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en un resorte es,

3.4. ONDAS LONGITUDINALES EN BARRAS SÓLIDAS

Figura 3.6: Deformación longitudinal

Vlongitudinal

v u kl 0 =u tm l0 r

Vlongitudinal =

k l0 m

(3.10)

Simulación 3.2 Onda longitudinal propagándose en un resorte

3.4. Ondas longitudinales en barras sólidas La ley de Hooke aplicada a una barra sólida: Deformación longitudinal Se ejerce una fuerza longitudinal de magnitud F sobre una barra que está empotrada en una pared, gura 3.6. En la parte de arriba de la gura, la barra no ha sido deformada. En la parte de abajo se ilustra la deformación de un elemento dx de la barra, el cual estará sometido a dos fuerzas ejercidas por las porciones de la barra que se encuentran a su lado y que en situación de equilibrio serán iguales en magnitud a F . La fuerza deformadora se propaga, sin disminuir su magnitud, a todos los puntos de la barra. En este elemento dx la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en x, se elonga longitudinalmente en una cantidad igual a y , y la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en x + dx se elonga en una cantidad igual a y + dy . La deformación en dirección longitudinal (deformación longitudinal) de la porción de barra dx es igual a dy . La ley de Hooke para pequeñas deformaciones longitudinales en barras sólidas (por ejemplo, en una barra de acero usada en construcción, podría ser del orden de 1 mm en 1 m) establece que estas son proporcionales a los esfuerzos causantes de las mismas, S=Y

dy dx

(3.11)

siendo S el esfuerzo longitudinal responsable de la deformación longitudinal dy del elemento de barra dx. De acuerdo a la ley de Hooke generalizada, el módulo de elasticidad de la barra es Y y se le conoce con el nombre de módulo de Young del material (se mide en pascales, Pa),

CAPÍTULO 3. EJEMPLOS DE ONDAS MECÁNICAS

(3.12)

β=Y

Dinámica de la onda longitudinal que se propaga en una barra sólida Cuando ondas longitudinales se propagan a través de una barra, el centro de masa de cada elemento dx de la misma estará acelerado longitudinalmente debido a que las fuerzas aplicadas longitudinalmente que actúan a ambos lados del elemento (ejercidas por las porciones de la barra que están contiguas) ya no son iguales sino opuestas y de magnitud diferente. Aplicando la segunda ley de Newton al elemento, gura 3.6 C, y sabiendo que la aceleración de vibración de 2 su centro de masa es acm = ∂∂t2y

, se obtiene, xc

∂ 2 y

F (x + dx) − F (x) = dm 2

∂t xc

Aplicando la ley de Hooke, ecuación 3.11, ( (Y A)

)

∂y

∂ 2 y

= ρA 2

− ∂x x+dx ∂x x ∂t xc

se obtiene,

Y ρ

∂2y ∂2y = ∂x2 ∂t2

(3.13)

β = ρ

Y ρ

(3.14)

siendo ρ la densidad volumétrica del material. Se debe anotar que con esta expresión se calcula la velocidad de propagación de una onda longitudinal en barras sólidas , ya que su parte lateral se expande y comprime levemente cuando la ondas se propagan a través de ellas. En caso de que la onda se esté propagando en un medio sólido "ilimitado" de materia, donde el material contiguo no permite esos abombamientos y encogimientos, el modo de calcular la velocidad de propagación es diferente. Por ejemplo, la velocidad de la onda longitudinal en una barra de plomo es del orden de 1200 m/s, mientras que en un medio "ilimitado" de plomo es del orden de 1960 m/s. Importante señalar que cuando la frecuencia de una onda longitudinal está dentro del rango auditivo (16 a 20000 Hz), se le denomina sonido .

Simulación 3.3 Onda longitudinal propagándose en una barra sólida Simulación 3.4 Valores del módulo de Young Onda de fuerza propagándose longitudinalmente a través de la barra Simultáneamente con la 2 2 2 ∂2y F ondaq de elongación, V 2 ∂x2 = ∂∂t2y , se propagan una onda de fuerza, V 2 ∂∂x2 = ∂∂tF2 , ambas a la misma velocidad, V = Yρ . Esto se muestra a continuación. El elemento dx de barra vibra con aceleración debido a que la suma de las fuerzas que actuán sobre ambas caras de él están en sentidos opuestos y no se anulan, es decir, dF 6= 0. Por tanto aplicando la segunda ley de Newton al elemento se obtiene,

3.4. ONDAS LONGITUDINALES EN BARRAS SÓLIDAS

dF = ρAdx

∂2y ∂t2

∂F ∂2y = ρA 2 ∂x ∂t

(3.15)

Además de la ley de Hooke, ecuación 3.11, F =YA

∂y ∂x

(3.16)

tomando la segunda derivada temporal en esta última ecuación, ∂ ∂2F =YA ∂t2 ∂x

∂2y ∂t2

(3.17)

Reemplazando 3.15 en 3.17 se obtiene, Y ∂2F ∂2F = 2 ρ ∂x ∂t2

(3.18)

que corresponde a la ecuación de onda. Es decir, la magnitud física Fuerza también se propaga a través q Y de la barra como una onda y a la misma velocidad V = ρ que la onda de Elongación .

Ondas de elongación vs ondas de fuerza en barras Observar la siguiente simulación. Simulación 3.5 Ondas de elongación vs ondas de fuerza en barras

En ella se ilustra una onda longitudinal que se propaga a través de una barra sólida. Se puede observar los permanentes cambios de volumen que sufre un elemento de la barra y la oscilación del centro de masa de éste. Adicionalmente se presentan las grá cas espacio-temporales de la onda de elongación y de la onda de fuerza: si se analizan con cuidado se puede concluir que donde es nula la elongación para el centro de masa de un elemento de la barra, se presenta en esa región máxima o mínima fuerza (crestas y valles de fuerza). En otras palabras la onda de fuerza y la de elongación están desfasadas en λ4 .

Explicación del desfase de

λ 4

entre la onda de fuerza y la onda de elongación Si se supone que la

onda de elongación es armónica, se podrá escribir,

y = A sin (kx − wt)

Segun la ley de Hooke para barras sólidas, S=Y

dy dx

(3.19)

por tanto, F = F0 cos (kx − wt)

(3.20)

donde F0 = AAs Y es la amplitud de fuerza y As es el área de la sección transversal de la barra. La función 2 2 de fuerza, ecuación 3.20 es solución de la ecuación diferencial de onda de fuerza, V 2 ∂∂xF2 = ∂∂tF2 . Se observa claramente que hay entre ambas ondas una diferencia de fase de π2 o sea de λ4 .

CAPÍTULO 3. EJEMPLOS DE ONDAS MECÁNICAS

Figura 3.7: Deformación transversal en barra

3.5. Ondas transversales en barras sólidas La ley de Hooke aplicada a una barra sólida: Deformación transversal Se ejerce una fuerza transversal (fuerza de cizalladura) de magnitud F sobre una barra que está empotrada en la pared, gura 3.7. En la gura se ilustra la deformación de un elemento dx de la barra, el cual estará sometido a dos fuerzas ejercidas por las porciones de la barra que se encuentran a su lado. En este elemento dx la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en x, se elonga transversalmente en una cantidad igual a y , y la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en x + dx se elonga en una cantidad igual a y + dy . La deformación en dirección transversal (deformación transversal) de la porción de barra dx es igual a dy . La ley de Hooke para pequeñas deformaciones transversales en barras sólidas establece que estas son proporcionales a los esfuerzos causantes de las mismas, S=G

dy dx

(3.21)

siendo S el esfuerzo transversal responsable de la deformación transversal dy del elemento de barra dx. De acuerdo a la ley de Hooke generalizada, el módulo de elasticidad de la barra es G y se le conoce con el nombre de módulo de rigidez del material (se mide en pascales, Pa), β=G

(3.22)

Dinámica de la onda transversal que se propaga en una barra sólida Cuando ondas transversales se propagan a través de una barra, el centro de masa de cada elemento dx de la misma estará acelerado transversalmente debido a que las fuerzas aplicadas transversalmente y que actúan a ambos lados del mismo (ejercidas por las porciones de la barra que están contiguas) ya no son iguales sino opuestas y de magnitud diferente. Aplicando la segunda ley de Newton al elemento, gura 3.21, y sabiendo que la aceleración de vibración de 2 su centro de masa es acm = ∂∂t2y

, se obtiene, xc

3.6. ONDAS LONGITUDINALES EN FLUÍDOS

∂ 2 y

F (x + dx) − F (x) = dm 2

∂t xc

Aplicando la ley de Hooke, ecuación 3.21, ( (GA)

)

∂y

∂ 2 y

− = ρA 2

∂x x+dx ∂x x ∂t xc

se obtiene,

G ρ

∂2y ∂2y = ∂x2 ∂t2

(3.23)

β = ρ

G ρ

(3.24)

siendo ρ la densidad volumétrica del material. Como dato, la velocidad de propagación de las ondas transversales en una barra de acero es del orden de 3200 m/s, mientras que las longitudinales en la misma se propagan con una velocidad aproximada de 5100 m/s.

Simulación 3.6 Onda transversal propagándose en una barra Simulación 3.7 Valores del módulo de Rigidez Simulación 3.8 Valores de la densidad

3.6. Ondas longitudinales en uídos La ley de Hooke aplicada a uídos (Esfuerzo de Volumen: Presión) Se tiene un uido (gas o líquido) dentro de un tubo, gura 3.8 A. En equilibrio todas las porciones del uído estarán a la presión atmosférica P0 (o a la presión externa de equilibrio). Si se escoge un elemento de la columna de uído de longitud dx, mientras el sistema esté en equilibrio, tanto la cara izquierda como la derecha de éste, gura 3.8 C, estarán sometidas a iguales fuerzas debido a los efectos de las presiones sobre ellas que ejerce el resto de uido a izquierda y derecha respectivamente. Si se comprime (o se expande) el uido, por ejemplo desplazando leve y lentamente un pistón -proceso cuasiestático- de izquierda (derecha) a derecha (izquierda) , aparecerá una compresión (expansión) del elemento dx. La compresión implicará una pequeña elevación de la presión por encima de la presión de equilibrio y la expansión una pequeña disminución por debajo de la misma. Sin embargo, debido a la forma como se llevo el proceso, el sistema pasa a otro estado instantáneo de equilibrio con una presión P por encima de la de equilibrio, P0 (por debajo de la de equilibrio). En este elemento dx, la cara ubicada en la posición de equilibrio x, se elonga longitudinalmente en una cantidad igual a y , y la cara ubicada en la posición de equilibrio x + dx se elonga en una cantidad igual a y + dy , gura 3.8 B). La deformación en dirección longitudal (deformación longitudinal) de la porción de la columna de uído dx es igual a dy . La ley de Hooke para deformaciones volumétricas en uidos, establece que el exceso o defecto en la presión,P = P − P0 , (que en el caso de que P0 sea la presión atmosférica, es llamada presión manométrica ) es proporcional y opuesta al cociente dV V0 ,

CAPÍTULO 3. EJEMPLOS DE ONDAS MECÁNICAS

Figura 3.8: Deformación en uídos

P = −B

dV Ady dy = −B = −B V0 Adx dx

(3.25)

donde B corresponde al módulo de compresibilidad del uído (se mide en pascales, Pa), A el área de la sección transversal del tubo, V0 es el volumen del elemento de uído dx a la presión P0 , dV es el cambio de volumen del mismo cuando se cambia levemente la presión al valor P . El signo menos(-) de la expresión se debe a que un aument o en la presión siempre causa una reducción en el volumen y viceversa. Si los esfuerzos de tracción se toman como positivos, los esfuerzos de compresión serán negativos. Con base en esto la presión se de ne como el esfuerzo normal de compresión, tomado como positivo ( también se le denomina esfuerzo de volumen ). Es decir la presión P en la ley de Hooke generalizada hace el papel de un esfuerzo negativo, y por tanto se concluye queP es el esfuerzo longitudinal responsable de la deformación longitudinal dy del elemento de uído dx y que el módulo de elasticidad del uído será su módulo de compresibilidad , (3.26)

β=B

Aunque la ley de Hooke explicada en esta sección sa aplicó a uídos (gases o líquidos), es también aplicable a los cuerpos en el estado sólido. La diferencia radica en que para pequeños cambios de presión, B se considera constante para sólidos y líquidos, en cambio en los gases dependerá de la presión inicial P0 .

Dinámica de la onda longitudinal que se propaga en un uído Cuando una onda longitudinal se propaga a través de un uído, el centro de masa de cada elemento oscilará con aceleración,debido a que las fuerzas aplicadas longitudinalmente que actúan a ambos lados del elemento (ejercidas por las porciones de uído que están contiguas) ya no son iguales sino opuestas y de magnitud diferente. Aplicando la segunda ley de Newton, −F (x + dx) + F (x) = dm

∂ 2 y

∂t2 xc

se debe reiterar que la aceleración es la del centro de masa del elemento. Como la presión es P = obtiene, ∂2y −P (x + dx) + P (x) A = ρ0 Adx 2 ∂t

donde corresponde a la densidad volumétrica del uido en la situación de equilibrio a la presión P0 . Aplicando la ley de Hooke, ecuación 3.25,

F A,

3.6. ONDAS LONGITUDINALES EN FLUÍDOS " B

# ∂y

∂y

∂2y − A = ρ0 Adx 2

∂x x+dx ∂x x ∂t

(3.27)

se obtiene,

B ρ0

∂2y ∂2y = ∂x2 ∂t2

(3.28)

donde las derivadas son evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elemento tanto como se quiera).Por tanto la velocidad con que se propagan las ondas longitudinales en un uído segun la ecuación diferencial de onda generalizada es igual a, s V =

B ρ0

(3.29)

siendo ρ0 la densidad volumétrica del uído en su estado de equilibrio. Este tipo de ondas son de gran aplicación ya que son las que están asociadas con las ondas sonoras. Si están en el rango de frecuencias audibles (16 a 20.000 Hz) se les denomina sonido . Es necesario insistir que a través de los sólidos también se propagan estas ondas longitudinales. Sin embargo, si se está haciendo referencia a barras, las ondas longitudinales se calculan con la expresión, s V =

β = ρ

B ρ0

(3.30)

La diferencia radica en que para las barras sólidas su parte lateral se expande y comprime levemente cuando las ondas longitudinales se propagan a través de ellas. Esto no se aplica a materiales "extensos" (materiales no en la forma de barras) ya que el movimiento lateral de cualquier elemento es impedido por el material circundante. En otras q palabras, la rapidez de las ondas longitudinales en un volumen de materia está dada por la ecuación V = Yρ . Como dato pensar en que la velocidad de la onda longitudinal en una barra de plomo es del orden de 1 200 m/s mientras que ésta en un medio "ilimitado" (material extenso y no como barra) de plomo es del orden de 1 960 m/s.

Ondas Sonoras en gases La propagación de una onda longitudinal con frecuencias en el rango audible (16 a

20 000 Hz) a través de un gas es un proceso adiabático. La razón de esto es que debido a la baja conductividad térmica de los gases, en los intervalos de tiempo tan cortos en los que se realizan estos procesos ondulatorios a esas frecuencias, el sistema no alcanza a intercambiar energía en forma de calor (o si lo hace, es en cantidades totalmente despreciables), es decir, las compresiones y expansiones en los gases ha estas frecuencias son adiabáticas.

Simulación 3.9 Valores de la conductividad eléctrica . Para calcular la rapidez de las ondas longitudinales en un uido se emplea la ecuación V = considera que el uido es un gas ideal y por ser el proceso ondulatorio adiabático, se cumplira que, P V γ = constante

aquí, P es la presión del gas, V su volumen, γ = presión y volumen constantes. Por lo tanto,

Cp CV

B ρ0 .

Si se (3.31)

es la relación entre las capacidades calorí cas del gas a

dP γ V + γP V −1 = 0 dV

dividiendo por V γ−1 se obtiene,

(3.32)

CAPÍTULO 3. EJEMPLOS DE ONDAS MECÁNICAS (3.33)

Badiabatico = γP

de esta forma se concluye que la velocidad de propagación del sonido en un gas ideal se calcula mediante la siguiente ecuación, s V =

γP ρ0

(3.34)

Una expresión más útil se puede obtener sabiendo que en un gas ideal, ρ0 =

PM RT

(3.35)

donde R es la constante de los gases, M es la masa molecular y T es la temperatura absoluta. Al combinar las dos últimas ecuaciones se obtiene, r V =

γRT M

(3.36)

Se observa que para un gas dado R, γ = CCVp y M son constantes, dando como resultado que la rapidez del √ sonido en él es proporcional a T . Así, a 20 ºC (293 K ) la masa molecular media del aire es de 28.8x10−3 kg.mol−1 , γ = CCVp es 1,40 y R es 8 314 J.mol−1 . K−1 , por lo que la rapidez del sonido en el aire a esta tempertura es igal a 344 m/s. Muy cerca a la rapidez del sonido en el nitrógeno.

Simulación 3.10 Valores de la velocidad del sonido ∂ y Ondas de presión en un gas Simultáneamente a la onda de elongación en el gas, V 2 ∂x 2

∂2y dt2 ,

se propagan

= ambas a la misma velocidad. Esto se muestra a continuación. una onda de presión, V Un elemento de gas cilíndrico de altura dx y sección transversal A vibra con aceleración debido a que la suma de las fuerzas que actuán sobre ambas caras del mismo están en sentidos opuestos y no se anulan, es decir, dF 6= 0 . Por tanto aplicando la segunda ley de Newton al elemento se obtiene, 2 ∂2P ∂x2

∂2 dt2 ,

dF = ρ0 Adx

pero,

∂2y ∂x2

(3.37)

∂2y −P (x + dx) + P (x) A = ρ0 Adx 2 ∂t −dP = ρ0 dx −

∂2y ∂t2

1 ∂P ∂2y = 2 ρ0 ∂x ∂t

(3.38)

tomando la segunda derivada temporal en la ley de Hooke, ecuación 3.25, ∂ ∂2P = −B 2 ∂t ∂x

∂2y ∂t2

(3.39)

Reemplazando la ecuación 3.38 se obtiene,

B ρ0

∂2P ∂2P = ∂x2 ∂t2

(3.40)

que corresponde a la ecuación de onda. Es decir, la magnitud física presión P también se propaga a través q de la barra como una onda y a la misma velocidad V = ρB0 que la onda de elongación y .

3.6. ONDAS LONGITUDINALES EN FLUÍDOS

Simulación 3.10 Onda longitudinal viajando en gas Ondas de elongación vs ondas de presión en gases Observar la siguiente simulación. Simulación 3.11 Ondas de elongación vs ondas de presión en gases

En ella se ilustra una onda longitudinal que se propaga a través de una columna gaseosa. Se puede observar los permanentes cambios de volumen que sufre un elemento del gas y la oscilación del centro de masa de éste. Adicionalmente se presentan las grá cas espacio-temporales de la onda de elongación y de la onda de presión: si se analizan con cuidado se puede concluir que donde es nula la elongación para el centro de masa de un elemento del gas, se presenta en esa región máxima (expansión) o mínima presión (compresión) manométrica (crestas y valles de presión manométrica). En otras palabras la onda de presión y la de elongación están desfasadas en λ4 .

Explicación del desfase de

λ 4

entre la onda de presión y la onda de elongación Si se supone que la

onda de elongación es armónica, se podrá escribir,

y = A sin (kx − wt)

Segun la ley de Hooke para uidos, ecuación 3.25, P = −B

dy dx

(3.41)

por tanto, P = −BkA cos (kx − wt)

(3.42)

donde P 0 = BkA corresponde a la amplitud de presión. La función de presión 3.42 es solución de la ecuación 2 2 diferencial de onda de presión, V 2 ∂∂xP2 = ∂∂tP2 . Se observa claramente que hay entre ambas ondas una diferencia de fase de π2 o sea de λ4 .

CAPÍTULO 3. EJEMPLOS DE ONDAS MECÁNICAS

Cap´ıtulo

ENERGÍA En una onda lo que se trasnmite es energía. En una onda mecánica la energía se propaga a través de la vbración de la materia y su velocidad de propagación depende de las propiedades elásticas del medio y de la inercia del mismo. Para los cálculos energéticos en las ondas mecánicas hay ciertos inconvenientes si se toma el modelo de partícula para el elemento del medio, ya que suele llevar a grandes confusiones. El modelo que se adoptará es el de un elemento diferencial del medio continuo de longitud dx y sección transversal constante de área A. Para el análisis de la energía en una onda que se propaga a través de un medio elástico se utilizará como modelo la cuerda y el resultado se extenderá a todas las ondas elásticas a través de la generalización de la ley de Hooke.

4.1. Densidad de energía en ondas mecánicas 4.1.1. Densidad de energía cinética La energía cinética de un elemento de cuerda de longitud dx y de masa dm = ρAdx ( gura 4.1) es igual a: dK =

1 2 dm (yt ) 2

aquí yt corresponde a la velocidad de vibración del elemento dx. Aquí A es el área de la sección transversal de la cuerda y su ρ densidad volumétrica. Con base en esto la expresión anterior toma la siguiente forma, dk 1 2 = ρ (yt ) Adx 2

CAPÍTULO 4. ENERGÍA

Figura 4.1: Elemento de cuerda

uK =

1 2 ρ (yt ) 2

(4.1)

donde uK corresponde a la densidad de energía cinética de la cuerda (y en general de un medio material a través del cual se propaga una onda). Se mide en J.m−3 . Esta relación es de validez general para todos las ondas elásticas tratadas en estas notas. En el caso de las ondas en los hilos o lamentos (cuerdas muy delgadas) y en los resortes es de mayor uso la densidad lineal de µ dm energía cinética wK ; como ρ = Adx =A , siendo µ la densidad lineal de masa de la cuerda, se obtiene, wK =

1 2 µ (yt ) 2

(4.2)

y se mide en J.m−1 .

4.1.2. Densidad de energía potencial El elemento de cuerda cuando pasa la onda a través de él es estirado por la acción de la fuerza de tensión cuya magnitud es F , que ejerce la porción de la cuerda izquierda (onda viajando hacia valores crecientes de x) y almacena una cantidad dU de energía potencial debido al trabajo realizado por dicha fuerza, dU = − (−F dξ)

donde dξ corresponde a la deformación sufrida por la cuerda que medía dx y pasó a medir es decir, q dU = F

(dx) + (dy)

(dx) + (dy) , 2

4.1. DENSIDAD DE ENERGÍA EN ONDAS MECÁNICAS

h p i dU = F dx 1 + yx2 − dx

haciendo la aproximación binomial, 1 dU = F dx 1 + yx2 − dx 2 dU =

1 F yx2 dx 2

dU 1 = F yx2 dx 2 wU =

1 F yx2 2

(4.3)

donde wU corresponde a la densidad lineal de energía potencial de la cuerda. Se mide en J.m−1 . La densidad volumétrica de energía potencial de la cuerda, la cual se mide en J.m−3 , es, 1 F 2 dU = y (4.4) Adx 2 A x sin embargo en el caso de la cuerda es más empleada wU . Observar que la densidad de energía potencial uU =

es proporcional al cuadrado de la pendiente, por lo que el elemento de cuerda que está en una cresta o en un valle carece de energía potencial, lo cual confunde ya que en el modelo de partícula oscilando armónicamente debería tener la máxima energía potencial. Es aquí en donde no se debe usar el modelo de partícula sino de elemento continuo, y así se entiende que no posee energía potencial es porque no está deformado. El elemento que está pasando por la posición de equilibrio tiene máxima energía potencial (es el que está más deformado). En la simulación 4.1 se observa una onda viajera propagándose de izquierda a derecha; es fácil ver que cuando un elemento de cuerda pasa por la posición de equilibrio está más estirado (tiene las partículas más separadas) y es en esta situación que tiene mayor pendiente.

Simulación 4.1 Onda propagándose en una cuerda

Según la ley de Hooke generalizada el parámetro de elasticidad de la cuerda es, β = densidad volumétrica de energía potencial generalizada para una onda elástica será, uU =

1 β yx2 2

F A,

por lo que la (4.5)

4.1.3. Densidad de energía mecánica La energía mecánica es igual a la suma de la energía cinética mas la energía potencial. Por lo tanto la densidad lineal de energía mecánica para la cuerda es: wE = wK + wU =

1 1 µ yt2 + F yx2 2 2

(4.6)

o en su forma generalizada para todas las ondas mecánicas, uE = uK + uU =

1 2 1 ρ y + β yx2 2 t 2

(4.7)

CAPÍTULO 4. ENERGÍA

4.1.4. Potencia transmitida Si se supone una onda viajando hacia valores crecientes de x (de izquierda a derecha) la potencia que entrega el elemento de cuerda de la izquierda al de la derecha ( gura ) es igual a, P = Fy V˙y = (−F sin α) (yt )

como para amplitudes pequeñas, sin α ≈ tan α , (4.8)

P = (−F tan α) (yt )

por tanto la potencia transmitida se calcula con la expresión, (4.9)

P = −F yx yt

y se mide en W (Watts, vatios)

4.1.5. Intensidad La intensidad se de ne como la energía que uye a traves de una super cie en la unidad de tiempo. Es decir, es potencia por unidad de área, I=

F P = − yx yt A A

(4.10)

es decir para ondas mecánicas generalizadas la intensidad se calcula con, (4.11)

I = −β yx yt

4.1.6. Un análisis sobre el transporte y la conservación de la energía En la cuerda, la variación instantánea de la densidad de energía lineal es, ∂y ∂ 2 y ∂y ∂ 2 y ∂y ∂wE =µ +F =µ 2 ∂t ∂t ∂t ∂x ∂x∂t ∂t

∂2y ∂y ∂ 2 y V2 2 +F ∂x ∂x ∂x∂t ∂wE ∂y ∂ 2 y ∂y ∂ 2 y ∂ ∂y ∂y =F + F = F ∂t ∂t ∂x2 ∂x ∂x∂t ∂x ∂t ∂x ∂wE ∂P + =0 ∂t ∂x

(4.12)

que es la ecuación de conservación de la energía en el proceso de transporte de energía a través de la cuerda (del medio). Por ejemplo, la variación neta de energía la mecánica acumulada en un tramo de cuerda entre dos posiciones x1 y x2 es, dE d = dt dt

wE dx = x1

∂wE dx = − ∂t

∂P dx = P (x1 ) − P (x2 ) ∂x

haciendo un balance entre los instantes t y t + ∆t se obtiene, E (t + ∆t) − E (t) = P (x1 ) − P (x2 ) ∆t E (t + ∆t) = E (t) + [P (x1 ) − P (x2 )] ∆t

4.2. ENERGÍA EN ONDAS VIAJERAS

"La energía mecánica nal, transcurrido un tiempo ∆t , es IGUAL a la energía mecánica inicial MAS la energía mecánica que entra por x1 MENOS la energía mecánica que sale por x2 ". P (x) es la energía, por unidad de tiempo, que uye por el punto x, de izquierda a derecha, es decir la POTENCIA TRANSMITIDA en la dirección +x.

4.2. Energía en ondas viajeras 4.2.1. Densidades de energía En la cinemática de la onda viajera, se mostró que estas cumplen la ecuación diferencial de onda de orden 1, −V yx = yt

por lo tanto, 2 1 2 1 1 1 1 ρ = β yt2 = ρyt2 = uK uU = β yx = β − yt 2 2 V 2 β 2

es decir, para ondas viajeras se cumple que, uU = uK

(4.13)

uE = 2uK = 2uU

(4.14)

y la densidad de energía mecánicas es,

En las ondas viajeras la densidad de energía potencial y la densidad de energía cinética son iguales. Esto es una aparente contradicción puesto que no hay una aparente conversión de energía cinética en energía potencial. Por ejemplo, en la cuerda el elemento que está en una cresta o en un valle no posee ni energía cinética ni energía potencial y el que está pasando por la posición de equilibrio posee máxima energía cinética y máxima energía potencial. Sin embargo, esto no debe ser motivo de preocupación puesto que en el caso de la onda viajera un elemento del medio está cediendo la energía al elemento contiguo y así sucesivamente. Hay ujo de energía: la aparente pérdida de energía en ausencia de fuerzas de rozamiento se debe a que está ella uyendo.

4.2.2. Intensidad La intensidad se calcula con la expresión 4.11, y por lo tanto se tendrá para la onda viajera, I = −β yx yt = −β yx (−V yx ) = β V yx2

I = V uE

y se mide en W.m−2 .

(4.15)

CAPÍTULO 4. ENERGÍA

4.2.3. Ondas viajeras armónicas 4.2.3.1. Densidades de energía Si la onda que se propaga por el medio material es armónica plana en el sentido positivo de la x, la elongación y la velocidad de vibración de los elementos del medio son respectivamente, y (x, t) = A sin (kx − ωt + ϕ0 ) yt (x, t) = −ωA cos (kx − ωt + ϕ0 )

por lo tanto la densidad de energía cinética de un elemento de la cuerda es, uK =

1 1 2 ρyt = ρω 2 A2 cos2 (kx − ωt + ϕ0 ) 2 2

(4.16)

como en la onda es viajera,uU = uK , la densidad de energía potencial de un elemento será, uU =

1 2 2 ρω A cos2 (kx − ωt + ϕ0 ) 2

(4.17)

además la densidad de energía mecánica es, (4.18)

uE = ρω 2 A2 cos2 (kx − ωt + ϕ0 )

La energía mecánica de un elemento dx de cuerda no se conserva. El elemento cuyo centro de masa está instantáneamente en la posición de equilibrio, tiene máxima deformación y máxima rapidez, por tanto tendrá máxima energía potencial y máxima energía cinética. El elemento cuyo centro de masa está instantáneamente en una cresta o en un valle, tendrá pendiente cero (no está deformado) y rapidez cero, por lo tanto tendrá energía potencial nula y energía cinética nula. En de nitiva no hay conversión de energía cinética en potencial y viceversa. Podría pensarse como un caso de violación de la conservación de la energía, sin embargo, la energía mecánica no permanece constante es debido a que la energía está uyendo (se está propagando). En la simulación 4.2 se ilustra la variación de las energías cinética, potencial y mecánica de todos los elementos de una cuerda por la que se propaga una onda transversal. Se detalla la variación de estas energías en uno de los elementos.

Simulación 4.2 Comportamiento energético de los elementos de una cuerda a través de la cual se propaga una onda . En la simulación 4.3 se ilustra la variación de las energía cinética y potencial en una partícula que oscila armónicamente. Se observa la constancia en la energía mecánica y la conversión permanente de energía cinética en potencial y viceversa.

Simulación 4.3 Comportamiento energético en un oscilador armónico

4.2.3.2. Potencia e intensidad La intensidad de la onda viajera se calcula co la ecuación 4.15, I = ρω 2 A2 V cos2 (kx − ωt + ϕ0 )

(4.19)

1 I¯ = ρω 2 A2 V 2

(4.20)

y en promedio,

La potencia se obtiene multiplicando la intensidad por el área de la sección transversal del elemento. Es decir, P = µω 2 A2 V cos2 (kx − ωt + ϕ0 )

(4.21)

4.2. ENERGÍA EN ONDAS VIAJERAS

y su promedio en un periodo es, 1 P¯ = µω 2 A2 V 2

(4.22)

4.2.4. Dependencia de la intensidad de la geometría del frente de onda Despreciando la disipación de energía cuando la onda se propaga, se tendrá,

(Intensidad promedio transmitida por la onda) (área del frente de onda) = constante

(4.23)

4.2.4.1. Frente de onda plana Como el área del frente de onda plano permanece constante cuando la onda viaja, se concluye que su intensidad se mantiene constante.

4.2.4.2. Frente de onda cilíndrico Como el área del frente de onda cilíndrico aumenta proporcionalmente con el radio de éste, (area fente onda =

2πrL), se concluye que:

I¯1 × 2πr1 L = I¯2 × 2πr2 L I¯1 r2 = ¯ r1 I2

(4.24)

4.2.4.3. Frente de onda esférico Como el área del frente de onda esférico aumenta proporcionalmente con el cuadrado del radio de éste, (area fente onda = πr2 ), se concluye que: I¯1 × πr12 = I¯2 × 2πr22 I¯1 r22 = r12 I¯2

esta expresión se conoce con el nombre de ley del inverso cuadrado.

(4.25)

CAPÍTULO 4. ENERGÍA

Parte II

ONDAS MECÁNICAS ESTACIONARIAS

Cap´ıtulo

CINEMÁTICA Es necesario necesario diferenciar entre las denominadas ondas viajeras y las denominadas ondas estacionarias ; su comportamiento cinemático y la distribución energética es distinto. Por ejemplo, en las ondas estacionarias, en el medio material se presentan "puntos"que permanecen quietos, lo que no sucede en las ondas viajeras: las ondas estacionarias se obtienen mediante la superposición de una onda viajera incidente y su re exión en la frontera del medio. Para el estudio del fenómeno de resonancia, por ejemplo en la vibración de una estructura o de una columna de aire, es necesario hacer un buen análisis de las ondas estacionarias que se pueden presentar en esos sistemas con base en sus condiciones de frontera. Estas serán las ideas fundamentales que serán debidamente tratadas en este capítulo.

5.1. Re exión de ondas en las fronteras Frontera NODO Si el extremo de una cuerda está atado, la onda que se propaga en ella al llegar a este extremo se desfasa en π en la re exión.

Simulación 5.1 Re exión de la onda en extremo con NODO Forntera VIENTRE Si el extremo de una cuerda está libre, la onda que se propaga en ella al llegar a este extremo no se desfasa en la re exión.

Simulación 5.2 Re exión de la onda en extremo con VIENTRE

5.2. Principio de Superposición La ecuación diferencial de onda es lineal. Por lo tanto, si se tienen dos soluciones de esta ecuación, la combinación lineal de ellas también será solución. En física esta propiedad recibe el nombre de "principio de super55

CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA

posición": si dos ondas se solapan, la elongación de la onda resultante será la suma vectorial de las elongaciones de las ondas individuales. A continuación se exponen diferentes situaciones de interés.

Superposición de dos pulsos de igual amplitud que en la región de solapamiento están en fase En la región de encuentro se refuerzan y da un pulso cuya amplitud es el doble; sin embargo una vez que la abandonan siguen propagándose intactos.

Simulación 5.3 Superposición de pulsos en fase Superposición de dos pulsos de igual amplitud que en la región de solapamiento están en oposición En la región de encuentro se anulan; sin embargo una vez que la abandonan siguen propagándose intactos.

Simulación 5.4 Superposición de pulsos en oposición Superposición de dos ondas viajeras armónicas que se propagan en la misma dirección, el mismo sentido y que además tienen igual frecuencia La onda resultante es una onda viajera y armónica de igual frecuencia y cuya amplitud depende se la diferencia de fase inicial entre ellas.

Simulación 5.5 Superposición de ondas armónicas viajeras de igual dirección, sentido y frecuencia. Superposición de dos ondas armónicas viajeras que se propagan en la misma dirección, el mismo sentido y que tienen diferente frecuencia El resultado es una onda viajera que no es armónica sino que tiene amplitud modulada: observe que cada oscilador pulsa.

Simulación 5.6 Superposición de ondas armónicas viajeras de igual dirección, sentido y frecuencia diferente. Superposición de dos ondas armónicas viajeras que se propagan en la misma dirección, sentidos opuestos y que tienen igual frecuencia e igual amplitud El resultado es una onda armónica estacionaria. Simulación 5.7 Superposición de ondas armónicas viajeras de igual dirección y frecuencia pero sentido opuesto.

5.3. Ondas estacionarias en una cuerda con extremos jos En la gura 5.1 se ilustra una cuerda atada en sus extremos (como una cuerda de guitarra). En este caso se dice que las fronteras de la cuerda son dos NODOS. Cuando se perturba la cuerda, por ejemplo en su extremo izquierdo, se genera una onda que se denomina la onda incidente, yi , la cual al re ejarse en el extremo derecho origina una segunda onda que se denomina re ejada, yr , que tiene la misma frecuencia y longitud de onda, yi = Ai sin (kx − wt)

(5.1)

yr = Ar sin (kx + wt + ϕ0 )

(5.2)

Por lo tanto, la cuerda oscilará con una superposición de estas dos ondas, y = yi + yr = Ai sin (kx − wt) + Ar sin (kx + wt + ϕ0 )

(5.3)

Las condiciones de frontera son, y (0, t) = y (L, t) = 0, ∀t

(5.4)

5.3. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA CON EXTREMOS FIJOS

Figura 5.1: Cuerda atada en los extremos

Aplicando la primera condición,

y (0, t) = 0, ∀t . ( −Ai + Ar cos ϕ0 = 0 Ar sin ϕ0 = 0

es decir, ϕ0 = 0, π (valores más representativos). Si se toma el valor de π , se obtiene, Ar = −Ai , lo cual no es posible puesto que ambas amplitudes deben ser positivas (amplitudes negativas no tienen interpretación física). Por lo tanto ϕ0 = 0 y Ar = Ai = A, así que la ecuación 5.3 se transforma en, y = yi + yr = A sin (kx − wt) + A sin (kx + wt)

(5.5)

Nota: Es importante anotar que ϕ0 = 0 corresponde a una diferencia de fase entre la onda incidente yi y la re ejada yr en x = 0 de π , yr |x=0 = Ar sin wt yi |x=0 = −Ai sin wt

y por tanto, yi |x=0 = −yr |x=0

En de nitiva, la cuerda oscila con una superposición de dos ondas viajeras propagándose en sentidos opuestos pero con todos sus parámetros iguales (amplitud, número de onda, longitud de onda, frecuencia, período), ecuación 5.5, o su equivalente, y = 2A sin kx cos wt

(5.6)

Simulación 5.8 Superposición de ondas armónicas viajeras de igual dirección, sentido opuesto e igual frecuencia diferente. . A este tipo de ondas se les denomina ondas estacionarias . Matemáticamente se caracterizan porque son de variables separables (son el producto de una función que solo depende del tiempo t, con una función que

CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA

solo depende de la posición x). Cumplen la ecuación de onda de orden dos V 2 yxx = ytt , pero no la de orden uno −V yx = yt ,. Esto trae consecuencias sorprendentes que diferencian sustancialmente el comportamiento cinemático y energético de una onda viajera del de una onda estacionaria. Por ejemplo en la ondas estacionarias hay elementos del medio donde sus centros de masa no se mueven en ningún instante y están ubicados en las posiciones denominadas NODOS, y elementos del medio donde sus centros de masa está ubicados en las posiciones llamadas VIENTRES o ANTINODOS en donde en todo instante la pendiente es nula.

Simulación 5.9 Onda estacionaria en una cuerda.

En la práctica como los medios son limitados (poseen fronteras), se van a presentar muy a menudo la superposición de esta dos ondas viajeras (incidente y re ejada) para obtenerse ondas estacionarias.

Nodos y Vientres En una onda estacionaria hay elementos del medio cuyos centros de masa se mantienen quietos en todo instante y están ubicados en los denominados NODOS y hay elementos del mismo cuyo centro de masa vibra en una posición denominada VIENTRE o ANTINODO en donde la pendiente es cero en todo instante. Entre NODO y NODO o entre VIENTRE y VIENTRE consecutivos hay una separación de λ2 por lo que la separación entre VIENTRES y NODOS consecutivos será λ4 . Para mostrar lo dicho en el párrafo anterior, se debe tener en cuenta que en los NODOS se deben cumplir que la velocidad de vibración en todo instante es nula (yt = 0, ∀t ) y en los vientres la pendiente de y = f (x) debe ser nula en todo instante (yx = 0, ∀t) . Posición de los NODOS ∂y = 0, ∀t ∂t

Derivando la ecuación 5.6, −2wA sin kx sin wt = 0, ∀t sin kx = 0 kx = nπ, n = 0, ±1, ±2, . . .

(5.7)

sin embargo, para el caso de la cuerda que se está considerando, n = 0, 1, 2, 3, .., ya que no tendrían sentido los valores negativos. Adicionalmente, la separación entre dos nodos consecutivos será, xn+1 − xn =

λ 2

es decir, dos nodos consecutivos están separados λ2 .

Posición de los VIENTRES ∂y = 0, ∀t ∂x

Derivando la ecuación 5.6, 2kA cos kx cos wt = 0, ∀t cos kx = 0

(5.8)

5.3. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA CON EXTREMOS FIJOS

59 (5.9)

kx = (2n − 1) π, n = 0, ±1, ±2, . . .

sin embargo, para el caso de la cuerda que se está considerando, n = 1, 2, 3, .., ya que no tendrían sentido los valores negativos. Análogamnete a l caso de los nodos, se puede mostrar que la separación entre vientres consecutivos es igual a λ2 .

Aplicando la segunda condición de frontera, y (L, t) = 0, ∀t

Haciendo x = L en la ecuación 5.6,

2A sin kL cos wt = 0, ∀t kL = nπ, n = 0, ±1, . . .

aquí se deben desechar los valores negativos de n ya que corresponderían a números de onda negativos y por ende como k = 2π λ , correspondería a longitudes de onda negativas, lo que no tendría signi cado físico. También se debe desechar n = 0, puesto que correspondería a una longitud de onda in nita, lo que signi caría que el medio no vibra (la cuerda no vibra), lo cual sería el caso trivial. En de nitiva se obtiene, kL = nπ, n = 1, 2, . . .

se observa que el número de onda entra a depender de los números naturales. Es interesante remarcar esto colocandole subíndice n, kn =

nπ , n = 1, 2, . . . L

(5.10)

Como k = 2π λ y λf = V , se puede escribir también relaciones equivalentes para las longitudes de onda y para las frecuencias, λn =

2L n

(5.11)

fn =

nV 2L

(5.12)

De estas dos relaciones se concluye que: 2L n signi ca que la cuerda con fronteras vibra en una onda estacionaria, cuando en la longitud de la cuerda caben exactamente un número entero de semilongitudes de onda:

λn =

L=n

λn 2

(5.13)

la frecuencia de la cuerda con fronteras está cuantizada . Es decir la cuerda tiene una colección de frecuencias a las cuales podrá vibrar como onda estacionaria. A estas frecuencias se les denomina frecuencias propias V se le denomina frecuencia del primer o frecuencias naturales, fn . A la frecuencia más baja, f1 = 2L armónico o frecuencia fundamental . A la segunda frecuencia f2 = 2f1 , se le denomina frecuencia del segundo armónico , y así sucesivamente.

CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA a cada armónico n (o también llamado onda estacionaria n) de la cuerda con fronteras le corresponde una onda dada por la ecuación, (5.14)

yn = 2An sin kn x cos wn t

en donde a la expresión an (x) = 2An sin kn x se le denomina per l del armónico n como yn = an (x) cos wn t, se concluye que cuando la cuerda con fronteras vibra como una onda estacionaria (es decir, en un armónico), todas sus elementos (exceptuando los NODOS) vibran con movimiento armónico simple pero con una amplitud que dependerá de la posición del elemento sobre la cuerda, an (x), pero todos tienen igual frecuencia fn . Cada armónico tiene una longitud de onda λn = 2L n y una frecuencia fn diferentes a los demás armónicos. Sin embargo, el producto de estas dos magnitudes debe ser constante para todos los armónicos, (5.15)

λ n fn = V

En la gura 5.2 se analiza los primeros armónicos de esta cuerda con nodos en la fronteras. En los NODOS la cuerda no vibra y en los VIENTRES la cuerda vibra con máxima amplitud (2An ). En la gura la relación de la columna 3 se obtiene observando las grá cas de la columna 2. La relación de frecuencia de la columna 4 se puede obtener a partir de la columna 3 sabiendo que λn fn = V . Es decir, mediante observación de los per les de los armónicos se puede concluir que, fn =

nV 2L

donde n son los números naturales, V la velocidad de propagación de las ondas viajeras transversales en la cuerda (que componen la onda estacionaria) y L la longitud de la cuerda. Se deben observar los siguientes detalles en el movimiento de los elementos de la cuerda cuando ésta vibra como onda estacionaria: Entre nodo y nodo consecutivo (o entre vientre y vientre consecutivo) la separación es igual a λn la longitud de onda del modo respectivo. Entre nodo y vientre consecutivo la separación es igual a respectivo.

λn 4 ,

λn 2 ,

siendo

siendo λn la longitud de onda del modo

Entre nodo y nodo consecutivo todos los elementos vibran (en cuanto a la variable tiempo) en fase. En cambio a lados opuestos de un mismo nodo los elementos vibran en oposición (es decir desfasados π ). Por tanto en una onda estacionaria los elementos que vibran están en fase o están en oposición. Los elementos que están en los vientres se mueven con mayor rapidez promedio. Hay instantes en que todas los elementos de la cuerda pasan simultáneamente por su posición de equilibrio. Es decir, hay instantes en que la cuerda está alineada. Todos los elementos de la cuerda (excepto las que están en los nodos) vibran con la misma frecuencia f y el mismo período P pero no con la misma amplitud.

Simulación 5.10 Onda estacionaria en una cuerda: 10 primeros modos Simulación 5.11 Cronogramas ondas estacionarias: transversal y longitudinal Ejercicio 5.1 Una cuerda con sus extremos jos está vibrando en uno de sus armónicos, de tal forma que

la ecuación de la elongación en en SI es y = 0,002 sin 3πx cos 5πt . Calcular: (a) La frecuencia de angular de vibración. (b) La frecuencia de vibración en Hz. (c) El número de onda. (d) La longitud de onda. (e) La velocidad de propagación y la amplitud de las ondas viajeras que la componen. (f) Su longitud, si el modo en el que vibra es el armónio cinco. Escribir en el SI las ecuaciones de la elongación de las ondas viajeras que la componen.

5.3. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA CON EXTREMOS FIJOS

Figura 5.2: Per les de algunos arm贸nicos

CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA

Figura 5.3: Cuerda y resorte vibrando en resoanacia

5.4. Obtención de ondas estacionarias por resonancia ¾Cómo oscila una cuerda cuando un agente externo la excita? Si el agente externo sólo ejerce una excitación que no es permanente, la cuerda oscilará en una combinación de armónicos, los cuales se distribuirán la energía de acuerdo a las condiciones iniciales (forma como fue excitada). La amplitud de vibración no será muy grande. Si el agente externo ejerce la excitación permanentemente, la cuerda vibrará a la frecuencia de este agente y en caso de no coincidir con alguna de las frecuencias propias de la cuerda seguirá habiendo una combinación de armónicos. De nuevo la amplitud de vibración no será apreciable. En caso de coincidir la frecuencia excitadora con una de la frecuencias de alguno de los armónicos, entrará la cuerda en RESONANCIA y sólo vibrará en este armónico y con amplitud apreciable. En esta situación se dice que la cuerda está oscilando en una onda estacionaria. ¾Cómo lograr que una cuerda oscile en un armónico determinado? La primera forma para lograr que

la cuerda oscile en un armónico determinado, es dándole las condiciones iniciales necesarias para favorecer sólo este armónico. Por ejemplo dándole a la cuerda la forma geométrica del armónico deseado y luego soltándola. Como puede imaginarse, esto sería muy complicado. La mejor forma de lograrlo es calculando la frecuencia del armónico deseado y mediante un agente externo oscilante (fuerza externa oscilante, por ejemplo un diapasón), se forzaría la cuerda a esta frecuencia (resonancia). En la gura 5.3 A se ilustra la obtención mediante la resonancia, del modo 2 (segundo armónico) de una cuerda atada en sus extremos. El agente externo excitador es un vibrador acoplado a la cuerda en su extremo inferior. Se observa como la experimentadora puede ajustar la frecuencia del vibrador. Las mismas preguntas que se plantaearon en el caso de una cuerda, se pueden plantear para la vibración de cualquier medio material. Por ejemplo, en la gura 5.3 B se ilustra la obtención de ondas estacionarias en un resorte mediante la resonancia con un agente excitador externo (en este este caso es un vibrador acoplado en

5.5. ONDAS ESTACIONARIAS EN TUBOS SONOROS

la parte inferior). Claramente se observa los nodos y los vientres. La separación entre dos nodos o dos vientres consecutivos corresponde a media longitud de onda de la ondas viajeras que componen la onda estacionaria.

Video 5.1 Ondas estacionarias en una cuerda. Video 5.2 Ondas estacionarias en una cuerda observadas con luz estroboscópica.

5.5. Ondas estacionarias en tubos sonoros Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros instrumentos musicales. Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido en el tubo entraba en vibración emitiendo un sonido. Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las autas, las trompetas y los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas notas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas (frecuencias entre 16 Hz y 20 000 Hz). El órgano es un instrumento formado por muchos tubos en los que cada tubo da una sola nota. El órgano de la sala de conciertos de La Sydney Opera House terminado en 1 979 tiene 10 500 tubos controlados por la acción mecánica de 5 teclados y un pedalero. El tubo de órgano es excitado por el aire que entra por el extremo inferior. El aire se transforma en un chorro en la hendidura entre el alma (una placa transversal al tubo) y el labio inferior. El chorro de aire interactúa con la columna de aire contenida en el tubo; las ondas que se propagan a lo largo de la corriente turbulenta mantienen una oscilación uniforme en la columna de aire haciendo que el tubo suene. Cuando los tubos están en resonancia con la fuente de vibración, se generan ondas estacionarias en él. La fuente de vibracion se encuentran en una extremidad del tubo: la boca de una auta o el escarpado de un saxofon accionado por una corriente de aire. Generalmente ésta fuente emite un sonido complejo en el cual se encuentra la frecuencia conveniente para producir el sistema de ondas estacionarias en un tubo dado. El tubo vibrante reacciona entonces sobre la fuente y las vibraciones que no corresponden a la resonancia son amortiguadas rápidamente.

5.5.1. Tubo abierto Si un tubo es abierto el aire (o gas que contiene) vibra con su máxima amplitud en los extremos (VIENTRES de deformación). En la simulación 5.12 se ilustra los primeros 5 modos en un tubo abierto. En ella se observa claramente que la onda de presión y la de deformación están desfasadas en un cuarto de longitud de onda: donde hay un VIENTRE de deformación hay un NODO de presión y viceversa. También se puede observar que el elemento de la columna gaseosa cuyo centro de masa está en un NODO es el que más se deforma (densidad de energía potencial máxima), mientras que el elemento cuyo centro de masa está en un VIENTRE no sufre ∂y deformación (densidad de energía potencial nula, es decir, ∂x = 0, en todo instante).

Simulación 5.12 Ondas estacionarias en un tubo abierto

Al observar la simulación se deduce también que: En el armónico 1 (modo 1) en la longitud L del tubo cabe media longitud de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión): L=

λ1 2

En el armónico 2 (modo 2) en la longitud L del tubo cabe una longitud de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión): L=2

λ2 2

En el armónico 3 (modo 3) en la longitud L del tubo caben 3/2 de longitudes de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión):

CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA L=3

λ3 2

En el armónico 4 (modo 4) en la longitud L del tubo caben 2 longitudes de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión): L=4

λ4 2

En general si se sigue aumentando de modo, se conluye que en la longitud L del tubo cabe un número natural de semilonitudes de onda, es decir, L=n

λn 2

;

n = 1, 2, 3 · · ·

como λn fn = V , siendo λn la longitud de onda en el modo n , y fn la frecuencia del mismo, se obtiene que, fn =

nV 2L

(5.16)

V corresponde a la velocidad de propagaciòn de las ondas longitudinales en la columna de gas (velocidad del sonido). En caso de ser aire a temperatura de unos 20 0 C y a la presión de 1 atm será aproximadamente de 340.0 m/s ( a este valor se le denomina Mach ). Para los tubos abiertos se debe considerar que los vientres de deformación de la onda estacionaria tienden a formarse fuera del tubo (irradiación de onda) y no exactamente en los extremos del tubo, por lo que la longitud de la columna de aire vibrante es algo mayor que la del tubo. Este hecho es tenido en cuenta en la construcción del instrumento aplicando un factor de corrección para determinar la longitud exacta del tubo en función del primer armónico que se pretende obtener. La medida en que se prolonga la columna de aire al irradiarse en los extremos está en relación con las dimensiones del tubo. Cuanto más largo y delgado es este, mayor irradiación se presenta.

Ejemplo

armónicos.

Un tubo abierto tiene una longitud igual a 1.00m. Encontrar las frecuencias de sus tres primeros

Solución Para calcular las frecuencias propias empleamos la expresión 5.16 Por tanto , la frecuencia funda-

mental es,

f1 =

340 m.s−1 = 170 Hz 2 × 1,00 m

De la misma forma se puede calcular las frecuencias del segundo y tercer armónico reemplazando n por 2 y 3 respectivamente, obteniéndose los valores de 340 Hz y 510 Hz.

5.5.2. Tubo cerrado Si un tubo es cerrado el aire (o gas que contiene) vibra con su máxima amplitud en el extremo donde está la fuente de vibración (VIENTRE de deformación) y en el extremo opuesto no vibrará (NODO de deformación). En la simulación 5.13 se ilustra los primeros 10 modos en un tubo cerrado. En ella se observa nuevamente como la onda de presión y la de deformación están desfasadas en un cuarto de longitud de onda: donde hay un VIENTRE de deformación hay un NODO de presión y viceversa. Como en la simulación anterior, también se puede observar que el elemento de la columna gaseosa cuyo centro de masa está en un NODO es el que más se deforma (densidad de energía potencial máxima), mientras que el elemento cuyo centro de masa está en un ∂y VIENTRE no sufre deformación (densidad de energía potencial nula, es decir, ∂x = 0 , en todo instante)

5.5. ONDAS ESTACIONARIAS EN TUBOS SONOROS

Simulación 5.13 Ondas estacionarias en un tubo abierto

Al observar la simulación se deduce también que: En el armónico 1 (modo 1) en la longitud L del tubo cabe 1/4 de la longitud de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión): λ1 4

En el armónico 2 (modo 2) en la longitud L del tubo cabe 3/4 de la longitud de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión): L=3

λ2 4

En el armónico 3 (modo 3) en la longitud L del tubo cabe 5/4 de la longitud de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión): L=5

λ3 4

En el armónico 4 (modo 4) en la longitud L del tubo cabe 7/4 de longitud de onda (tanto de la onda de elongación como de la onda de presión): L=7

λ4 4

En general si se sigue aumentando de modo, se conluye que en la longitud L del tubo cabe un número natural impar de cuartos de longitudes onda, es decir, L = (2n − 1)

λn 4

;

n = 1, 2, 3, · · ·

como λn fn = V , siendo λn la longitud de onda en el modo n , y fn la frecuencia del mismo, se obtiene que, fn =

(2n − 1) V 4L

(5.17)

V corresponde a la velocidad de propagaciòn de las ondas longitudinales en la columna gaseosa (velocidad del sonido). En la gura 5.4 se ilustra un tubo cerrado el cual puede modi car la longitud de la columna de aire mediante el desplazamiento de un piston en el extremo cerrado.

Video 5.3 Resonancia en tubos cerrados Ejemplo

armónicos.

Un tubo cerrado tiene una longitud igual a 1.00 m. Encontrar las frecuencias de sus tres primeros

Solución Para calcular las frecuencias propias empleamos la expresión 5.17. Por tanto, la frecuencia funda-

mental es,

f1 =

340 m.s−1 = 85,0 Hz 4 × 1,00 m

De la misma forma se pueden calcular las frecuencias del segundo y tercer armónico reemplazando n por 2 y 3 respectivamente, obteniéndose valores de 255 Hz y 425 Hz.

CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA

Figura 5.4: Tubo sonoro

Ejercicio 5.2 Si se mojan los dedos y se les pasa suavemente por el arillo de la parte superior de una copa de vidrio, se escucha un sonido muy agudo. ¾Por qué? ¾Cómo se pueden producir diferentes notas musicales con un conjunto de copas de vino?

Ejercicio 5.3 Una columna de aire de 2.00 m de largo está abierta en sus dos extremos. La frecuencia de una armónica es de 410 Hz y la frecuencia de la armónica siguiente es de 492 Hz. Determinar la rapidez del sonido en la columna de aire. Ejercicio 5.4 La frecuencia del tercer armónico en un tubo de órgano abierto en los dos extremos es igual a

la frecuencia del tercer armónico de otro tubo de órgano que está cerrado en un extremo. (a) Encontrar la razón entre la longitud el tubo cerrado a la longitud del tubo abierto. (b) Si la frecuencia fundamental del tubo abierto es 256 Hz, ¾cuál es la longitud de cada tubo? Rp: (a) 0.833 (b) 0.664 m y 0.553 m

5.6. Análisis de las ondas estacionarias en otros sistemas 5.6.1. Frecuencias Naturales (Otros sistemas) En la sección precedentes se calcularon las frecuencias propias (o naturales) de una cuerda oscilante con sus extremos jos. También se hizo lo mismo para el caso de una columna de gas dentro de un tubo abierto y un tubo cerrado. En general, todo sistema oscilante (cuerda, barra, columna de gas, resorte,...) que tenga condiciones de frontera (es decir, todo sistema limitado), tiene su frecuencia cuantizada. En estos casos, para poder estudiar las formas naturales en que pueden vibrar, es necesario hallar la fórmula que exprese esta regla de cuantización. Tres situaciones de frontera básicas son: sistemas (medio de propagación) con extremos jos (NODO-NODO), sistemas con extremos libres (VIENTRE-VIENTRE), sistemas con un extremo jo y otro libre (NODO-VIENTRE).

5.7. DIFERENCIAS ENTRE LA CINEMÁTICA DE LAS ONDAS VIAJERAS Y DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS67

ONDAS VIAJERAS

ONDAS ESTACIONARIAS

Presentan crestas y valles Cumplen la ecuaciones de onda de orden 1 y de orden 2. Dos elementos del medio por el cual se propaga la onda estarán en fase (en el tiempo) sólo si están espacialmente separados por números enteros de longitudes de onda.

Presentan vientres y nodos Sólo cumplen la ecuación de onda de orden 2. Todos los elementos del medio en el cual se presentan las ondas estacionarias estarán en fase (en el tiempo) si se encuentran ubicados entre dos nodos consecutivos.

Cuadro 5.1: Diferencias en la cinemática de las ondas viajeras y estacionarias

Sistema NODO-NODO o VIENTRE-VIENTRE Se presentará que, L=n

λn ; 2

n = 1, 2, 3, · · ·

es decir, en su longitud L, cabrán un número natural (n) de semilongitudes de onda, siendo n el número del armónico en el cual está vibrando el sistema. Por tanto, como λn fn = V , se obtiene la siguiente regla de cuantización de las frecuencias: fn =

nV ; 2L

n = 1, 2, 3, · · ·

(5.18)

V corresponde a la velocidad de propagación de las ondas en ese medio y L la longitud del medio.

Sistema NODO-VIENTRE

Se presentará que, L = (2n − 1)

λn ; 4

n = 1, 2, 3, · · ·

es decir, en su longitud L, cabrán un número natural impar de cuartos de longitudes de onda, siendo n el número del armónico en el cual está vibrando el sistema. Por tanto, como λn fn = V , se obtiene la siguiente regla de cuantización de las frecuencias: fn =

(2n − 1) V ; 4L

n = 1, 2, 3, · · ·

(5.19)

V corresponde a la velocidad de propagación de las ondas en ese medio y L la longitud del medio.

Ejercicio 5.5 Se generan ondas longitudinales en una barra metálica de 60,0 cm de larga a anzada en un extremo, cuando esta es golpeada con un martillo. Si la frecuencia mínima con la cual resonará la barra es igual a 1,88 kHz, ¾cuánto vale el módulo de Young de dicho metal si su densidad es igual a 7.20x103 kg.m−3 ?

Video 3.4 Ondas estacionarias en una placa circular. Video 5.5 Ondas estacionarias en una placa rectangular.

5.7. Diferencias entre la cinemática de las ondas viajeras y de las ondas estacionarias Observar la tabla 5.1

CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA

Cap´ıtulo

ENERGÍA 6.1. Energía en ondas estacionarias 6.1.1. Densidades de energía Las ondas estacionarias no satisfacen la ecuación de onda de orden 1,−V yx = yt , y por lo tanto no cumplen que uK = uU , como es el caso de ondas viajeras.

6.1.2. Ondas estacionarias armónicas 6.1.2.1. Densidades de energía Si se consideran ondas estacionarias armónicas como por ejemplo las que se presentan en una cuerdas con sus extremos jos, la elongación es igual a, yn = 2An sin kn x cos ωn t

(6.1)

por tanto, las densidades de energía cinética y potencial son, uK =

1 2 ρy = 2ρωn2 A2n sin2 kn x sin2 ωn t 2 t

uU = 2βkn2 A2n cos2 kn x cos2 ωn t

como, V =

β ρ

(6.2) (6.3)

y kV = ω , se concluye que, 2βkn2 A2n = 2V 2 ρkn2 A2n = 2ρωn2 A2n y por lo tanto, uE = uK + uU = 2ρωn2 A2n sin2 kn x sin2 ωn t + cos2 kn x cos2 ωn t

(6.4)

6.1.2.2. Potencia e intensidad La intensidad según la ecuación 4.11 es, I = −β yx yt = −β [2kn An cos kn x cos ωn t] [−2ωn An sin kn x sin ωn t] I = βA2n kn ωn sin 2kn x sin ωn t

como, β = V 2 ρ y kV = ω , I = ρV ω 2 A2n sin 2kn x sin ωn t

(6.5)

y la como µ = Aρs , la potencia en el caso de la cuerda (de sección transversal As ) en la que se presentan ondas estacionarias es, 69

CAPÍTULO 6. ENERGÍA (6.6)

P = IA = µV ω 2 A2n sin 2kn x sin ωn t

y la potencia promedio en una onda estacionaria en un período temporal es cero, (6.7)

P¯ = 0

tal y como era de esperarse, ya que la ondas viajeras que la componen transportan igual energía pero en sentidos opuestos.

6.1.2.3. Energía de una cuerda con extremos jos: Cuantización de la energía Energía cinética La densidad de energía cinética en un medio material con nodos en sus extremos en el cual

se presenta una onda estacionaria según la ecuación 6.2 es,

uK = 2ρωn2 A2n sin2 kn x sin2 ωn t

Para el caso de la cuerda se transforma en, (6.8)

wK = 2µωn2 A2n sin2 kn x sin2 ωn t

Energía potencial La densidad de energía potencial en un medio material con nodos en sus extremos en el cual se presenta una onda estacionaria según la ecuación 6.3 es,

uU = 2βkn2 A2n cos2 kn x cos2 ωn t

como, V =

β ρ

y kV = ω se concluye que, 2βkn2 A2n = 2V 2 ρkn2 A2n = 2ρωn2 A2n y por lo tanto, uK = 2ρωn2 A2n cos2 kn x cos ωn t

Para el caso de la cuerda se transforma en, (6.9)

wU = 2µωn2 A2n cos2 kn x cos2 ωn t

Se debe observar que si se toma un elemento de cuerda dx, la energía cinética de la partícula que lo representa, (es decir, su centro de masa) no es igual a la energía potencial como si lo es en el caso de una onda viajera. Para los elementos cuyos centros de masa están ubicados en un nodo la energía cinética es nula siendo su energía toda potencial. Sucede lo opuesto para los elementos cuyos centros de masa están ubicados en los vientres. Esto se ilustra en la simulación 6.1.

Simulación 6.1 Comportamiento energético en una onda estacionaria en una cuerda Energía contenida en toda la cuerda La energía cinética contenida en toda la cuerda de longitud l es, ˆ Kn =

2µωn2 A2n

sin2 kn x dx

sin ωn t 0

con, kn =

nπ l ,

n = 1, 2, 3, · · · y por lo tanto, l K = 2µωn2 A2n sin2 ωn t 2

Ahora, ωn = 2π fn y para la cuerda con extremos jos las frecuencias naturales cumplen que, fn = Kn =

nV 2l

µπV 2 2 2 n An sin2 ωn t l

Realizando cálculos análogos al de la energía cinética, se obtiene para la energía potencial contenida en una cuerda con extremos jos,

6.1. ENERGÍA EN ONDAS ESTACIONARIAS

µπV 2 2 2 n An cos2 ωn t l

La energía mecánica contenida en toda la cuerda es, En = Kn + Un =

µπV 2 2 2 n An l

es decir la energía mecánica contenida en la cuerda permanece constante (obviamente en ausencia de fuerzas disipativas). Aquí, n son los números naturales, l es la longitud de la cuerda, An la amplitud de las ondas viajeras que componen la onda estacionaria, µ la densidad de la cuerda: cada armónico posee su energía propia. Si se disminuye el tamaño del medio material (menor l) mayor serán las separaciones entre las energías propias de los armónicos. Algo interesante es que cada onda estacionaria (cada armónico) tiene su propia energía mecánica, la cual entre otros, es proporcional al cuadrado del número correspondiente al armónico (cuadrado de los números naturales): algo así como una cuantización de la energía. Cuando una cuerda oscila con una superposición de armónicos, su energía mecánica será. E=

X n

En =

X µπV 2 n

n2 A2n

(6.10)

CAPÍTULO 6. ENERGÍA

Parte III

EL SONIDO

Cap´ıtulo

EL SONIDO Las ondas que se propagan a lo largo de un resorte como consecuencia de una compresión longitudinal del mismo constituyen un modelo de ondas mecánicas que se asemeja bastante a la forma en la que el sonido se genera y se propaga. Las ondas sonoras en los uidos se producen también como consecuencia de una compresión del medio a lo largo de la dirección de propagación. Son, por tanto, ondas longitudinales. Si un globo se conecta a un pistón capaz de realizar un movimiento alternativo mediante el cual inyecta aire al globo y lo toma de nuevo, aquél sufrirá una secuencia de operaciones de in ado y desin ado, con lo cual la presión del aire contenido dentro del globo aumentará y disminuirá sucesivamente. Esta serie de compresiones y enrarecimientos alternativos llevan consigo una aportación de energía, a intervalos, del foco al medio y generan ondas sonoras. La campana de un timbre vibra al ser golpeada por su correspondiente martillo, lo que da lugar a compresiones sucesivas del medio que la rodea, las cuales se propagan en forma de ondas . Un diapasón, la cuerda de una guitarra o la de un violín producen sonido según un mecanismo análogo. En los sólidos se dan ondas sonoras transversales además de las longitudinales. Dichas ondas transversales aparecen en los sólidos porque en éstos las fuerzas entre las moléculas ordenadas no actuán tan solo en la misma dirección de la onda sino también en direción transversal a la misma. Como las fuerzas recuparadoras para el movimiento trasnversal son más débiles, la velocidad de la onda transversal es en general menor que la de la onda longitudinal. En estas notas sólo se analizarán las ondas sonoras longitudinales. En de nitiva, para que se produzca un sonido, es necesario que exista un cuerpo que vibre y un medio elástico que propague esas vibraciones.Los sonidos son diferentes unos de otros, la voz de un ser humano se puede distinguir del sonido que emiten los pájaros, de un instrumento musical o del viento; pero para que pueda transmitirse requiere de un medio que puede ser gaseoso, sólido o líquido. El ser humano requiere del aire para comunicarse mediante los diversos sonidos, los peces del agua y algunos animales como los topos y castores de la tierra que es sólida. En el vacío el sonido no se propaga. El sonido se propaga más rápido en el estado sólido que en el estado líquido y se propaga más rápido en el estado líquido que en el gaseoso. La razón de esto tiene que ver con la cercanía de las partículas en cada uno de estos medios y en la magnitud de la interacción eléctrica entre ellas. El sonido en el hierro se propaga a unos 5000 m/s, en el agua a unos 1500 m/s y en el aire a temperatura ambiente a unos 340 m/s. En relación a la frecuencia,el oído humano es capaz de captar sonidos emitidos entre los 16 Hz y los 20.000 Hz. Los ultrasonidos tienen una frecuencia mayor a los 20.000 Hz y los infrasonidos una frecuencia menor a los 16 Hz.

CAPÍTULO 7. EL SONIDO En resumen, las ondas sonoras en los uidos son longitudinales y mecánicas.

7.1. Fundamentos Estas notas se concentrarán en la propagación del sonido a través de un gas, sección 3.6. En este caso se propagan simultaneamente tres ondas: una onda de elongación (deformación), una onda de presión y una onda q B de densidad. Las tres viajan a la misma velocidad, V = ρ0 , en donde B es el módulo de compresibilidad del gas (se mide en N.m−2 =Pa) y ρ0 su densidad volumétrica (se mide en kg.m−3 ) en estado de equilibrio (en el caso del aire a unos 25 ºC el valor es aproximadamente 340 m/s). En la simulación 7.1 se ilustra la onda longitudinal viajando en un gas:

Simulación 7.1 Onda longitudinal viajando en gas . En la sección 3.6 se ilustra además el porqué la onda de presión y la de elongación están desfasadas en λ4 . Tener en cuenta que la onda de presión corresponde a oscilaciones de la presión alrededor de la presión atmosférica, es decir, a oscilaciones de la denominada presión manométrica. La onda de deformación (o elongación), corresponde a oscilaciones de las partículas alrededor de sus posiciones de equilibrio. Un valle en la onda de presión, corresponde a una presión manométrica negativa, o sea, a una expansión. Una cresta corresponde a una presión manométrica positiva, o sea, a una compresión. Además, la amplitud de presión P¯0 y la amplitud de elongación A se relacionan mediante la expresión: P 0 = BkA = V ρ0 ωA

(7.1)

Por ejemplo, a 400 Hz , el sonido más débil que se puede escuchar corresponde a una amplitud de presión de alrededor 8,00x10−5 N.m−2 . La correspondiente amplitud de deformación A, suponiendo una densidad del aire de 1,29 kg.m−3 y una velocidad del sonido de 345 m.s−1 , y recordadando que ω = 2πf es, A=

P0 = 7, 15 × 10−11 m V ρ0 ω

Esta amplitud de vibración de las partículas del gas es del orden de las dimensiones moleculares (10−12 m), y mucho menor que la separación molecular media en un gas. En la práctica se pre ere tratar la onda sonora estudiando la onda de presión.

7.2. Cualidades del sonido El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que son la intensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas ellas se re eren al sonido siológico, están relacionadas con diferentes propiedades de las ondas sonoras.

7.2.1. La intensidad La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como fuerte o como débil, está relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, también llamada intensidad acústica. La intensidad acústica es una magnitud que da idea de la cantidad de energía que está uyendo por el medio como consecuencia de la propagación de la onda. Se de ne como la energía que atraviesa por segundo una super cie unidad dispuesta perpendicularmente a la dirección de propagación. Equivale a la potencia por unidad de super cie y se expresa en W. m−2 .

7.2. CUALIDADES DEL SONIDO

7.2.1.1. Ley del inverso cuadrado La intensidad de una onda sonora es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de su amplitud y si la consideramos una onda plana senusoidal cumpliría que en promedio es igual a (ecuación 4.20): 1 I¯ = ρω 2 A2 V 2

En general la onda sonora no es plana sino esférica. debido a que las fuentes son en general puntuales. Por tanto, la intensidad decrece a medida que el sonido avanza, de acuerdo a la ley del inverso cuadrado (ver subsección 4.2.4.3), I¯1 r22 = r12 I¯2

(7.2)

7.2.1.2. Nivel de intensidad La ley de Weber-Fechner Establece una relación cuantitativa entre la magnitud de un estimulo físico y como

este es percibido. Fue propuesta en primer lugar por Ernst Heinrich Weber (1 795-1 878), y elaborada hasta su forma actual por Gustav Theodor Fechner (1 801-1 887). Ernst Heinrich Weber estableció su ley de la sensación (o Ley de Weber) en la que formulaba la relación matemática que existía entre la intensidad de un estímulo y la sensación producida por éste. Estos y otros descubrimientos llevaron a la convicción de que era posible explicar mediante principios físico-químicos todos los actos humanos. La ley expresa que la relación entre el estímulo y la percepción corresponde a una escala logarítmica: La sensación crece con el ogaritmo del estímulo. Esta relación logarítmica signi ca que si un estímulo crece como una progresión geométrica (es decir multiplicada por un factor constante), la percepción evolucionará como una progresión aritmética (es decir con cantidades añadidas). Aplicada esta ley al sonido expresa que el nivel sonoro crece con el logaritmo de la intensidad, es decir cuando la intensidad crece en progresión geométrica, la sonoridad crece en progresión aritmética. A esta escala se le denomina nivel de intensidad β y se expresa en dB: β = 10 lg

I I0

(7.3)

donde I0 es una intensidad de referencia. Para el caso del aire se ha tomado 10−12 W.m−2 . Una intensidad acústica de 10 decibelios corresponde a una energía diez veces mayor que una intensidad de cero decibelios; una intensidad de 20 dB representa una energía 100 veces mayor que la que corresponde a 0 decibelios y así sucesivamente. El nivel de intensidad mide la sensación y la intensidad mide el estímulo. En la tabla 7.1 se ilustra las equivalencias entre las intensidades y los niveles de intensidad de ondas sonoras en el aire y en la tabla 7.2 se ilustra ejemplos de ondas sonoras cotidianas y su valor aproximado de nivel de intensidad β .

Ejercicio 7.1 Camila gritando genera un sonido de 70 dB, ¾Cuántas personas deberían gritar con la intensidad de Camila para generar entre todos un sonido de 80 dB? Ejercicio 7.2 Una fuente puntual emite un sonido tal que a 1.00 m de ella tiene un nivel de intensidad igual a 40 db. ¾A qué distancia no se escuchará el sonido emitido por la fuente?

7.2.2. El timbre El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes de diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a esta misma cualidad es posible reconocer a una persona por su voz, que resulta característica de cada individuo. El timbre está relacionado con la complejidad de las ondas sonoras que llegan al oído. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros; sólo los diapasones

CAPÍTULO 7. EL SONIDO I W.m−2 100 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8 10−9 10−10 10−11 10−12

β(dB)

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Cuadro 7.1: Intensidad y nivel de intensidad β dB

0 30 60 90 100 115 140

Ejemplo Sonido más tenue que percibe el oído humano Biblioteca silenciosa Conversación normal, máquina de cocer, máquina de escribir Cortadora de pasto, herramientas pesadas, trá co pesado Motosierra, Martillo neumático Concierto de rock pesado, bocina de auto Explosión, Motor de jet

Cuadro 7.2: Ejemplos cotidianos de niveles de intensidad sonora generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados por una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a un sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibración compleja puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de una frecuencia y de una amplitud determinadas (teorema de Fourier), cada una de las cuales, si se considerara separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es característica de cada instrumento y de ne su timbre: cada instrumento posee su propio espectro de Fourier. Debido a la analogía existente entre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se le denomina también color del tono. En resumen, el timbre depende del espectro de Fourier del instrumento. Varios instrumentos podrían tener la misma frecuencia fundamental (tono), pero se diferenciarán en sus armónicos superiores.

Hacer simulación de Fourier con sonido

7.2.3. El tono El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar en la escala musical, permitiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La magnitud física que está asociada al tono es la frecuencia fundamental. Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias fundamentales bajas, mientras que los agudos son debidos a frecuencias fundamentales altas. Así el sonido más grave de una guitarra corresponde a

7.3. EFECTO DOPPLER

una frecuencia de 82,4 Hz y el más agudo a 698,5 Hz. Junto con la frecuencia, en la percepción sonora del tono intervienen otros factores de carácter psicológico. Así sucede por lo general que al elevar la intensidad se eleva el tono percibido para frecuencias altas y se baja para las frecuencias bajas. Entre frecuencias comprendidas entre 1 000 y 3 000 Hz el tono es relativamente independiente de la intensida

Hacer video de voz humana con Helio

7.3. Efecto Doppler

Ejercicio 7.3 Un estudiante sostiene un diapasón que oscila a 256 Hz. Camina hacia una pared con una rapidez constante de 1,33 m/s (a) ¾Cuántas pulsaciones escucha? (b) ¾Cuán rápido debe caminar para escuchar 5 pulsaciones por segundo? Rp: (a) 1,99 Hz (b) 3,38 m/s Ejercicio 7.4 La fuente de sonido del sistema de sonar de un barco opera a 25,0 kHz. La rapidez del sonido en el agua es de 1 480 m/s. (a) Calcular la longitud de onda de las ondas emitidas por la fuente. (b) Calcular las pulsaciones que se detectan cuando al re ejarse las ondas en una ballena que viaja directamente hacia el barco a 5,85 m/s. Rp: (a) 0,059 2 m (b) 198 Hz

CAPÍTULO 7. EL SONIDO

Parte IV

TEMAS COMPLEMENTARIOS

Cap´ıtulo

TEMAS COMPLEMENTARIOS 8.1. Más sobre la resonancia 8.2. Re exión y transmisión de ondas