LOGICA DIFUSA by CAMILO ANDRES GAMEZ

L´ogica Difusa Rodrigo Salas Universidad de Valpara´ıso Valpara´ıso-Chile rodigo.salas@uv.cl

1. Introducci´on

joven = {x ∈ P|edad(x) ≤ 20}

El presente art´ıculo está basado en el art´ıculo de Michael Berthold en el cap´ıtulo 9 de Lógica Difusa del libro Intelligent Data Analysis [?]. En una gran cantidad de técnicas o enfoques para el análisis de los datos asumen que se tienen datos precisos, es decir, se asume que se tienen mediciones exactas. Pero en la mayor´ıa de las aplicaciones reales, nunca se tiene una precisión en las medidas, siempre existirá un grado de incertidumbre. En el contexto de la incertidumbre nosotros estamos interesados en el rango en que caen nuestras mediciones. En e´ ste art´ıculo se presentará un enfoque que se preocupa de conceptos imprecisos basados en la Lógica Difusa. Esta tipo de lógica nos premite enfrentar la incertidumbre en una forma natural e intuitiva. Además de hacer posible la formalización de números imprecisos, también nos permite realizar aritmética utilizando tales números difusos. La teor´ıa clásica de conjuntos puede ser extendida para manejar membres´ıa parcial haciendo posible expresar los vagos conceptos humanos usando conjuntos difusos y además describiendo el sistema de inferencia correspondiente basado en reglas difusas.

sobre algún dominio P de todas las persosnas y usando la función edad que retorna la edad en años de alguna persona x ∈ P. Además podemos definir la función caracter´ıstica: ½ 1 edad(x) ≤ 20 m joven (x) = 0 edad(x) > 20 el cual asigna a los elementos de P el valor de 1 cuando un elemento pertenece al conjunto de las personas jóvenes, y 0 sino. Esta función caracter´ıstica puede ser vista como una función de membres´ıa para el conjunto joven, definiendo el conjunto joven en P. Sin embargo, una persona que tenga un poco más de 20 años reclamará que se considera una persona jóven con un alto grado de pertenencia, por lo tanto la definición del conjunto joven usando una frontera tan marcada no es la manera más apropiada. La idea fundamental que existe detrás de la teor´ıa de conjuntos difusos es una visión diferente de la noción de membres´ıa y consiste en que los elementos pueden pertenecer a más de un conjunto con cierto grado de pertenencia. En nuestro ejemplo, podemos decir que una persona de 21 años pertenece al conjunto de joven pero con un grado de 0,9. Por lo tanto la función de membres´ıa podr´ıa ser:

2. Conceptos B´asicos de L´ogica Difusa y Conjuntos Difusos

 edad(x) ≤ 20  1 µ joven (x) = 1 − edad(x)−20 20 < edad(x) ≤ 30 10 Consideremos por ejemplo el conjunto de las personas  0 edad(x) > 20 jóvenes, asumiendo que nuestra percepción de una perAhora el conjunto joven contiene a personas entre 20 sona jóven es alguien que tiene una edad no mayor a 20 años, entonce según la teor´ıa clásica el conjunto se define y 30 años con un grado de membres´ıa que decrece linealmente (ver figura 1). Un conjunto difuso A es definido a de la siguiente manera: 1

de funciones de membres´ıa.

Figura 1: Variables linguisticas de la edad con tres conjuntos difusos, y el grado de pertenencia para una cierta edad p. través de la especificación de la función de membres´ıa de A : µA (x) ∈ [0, 1]. Estas ideas fueron introducidas por Lofti A. Zadeh en 1965 [?]

2.1.

Figura 2: Las formas m´as utilizadas de funciones de membres´ıa trapezoidal, triangular, Gaussiana y singleton

¨ ısticas y Conjuntos DiVariables Lingu´ fusos

Un experto preferirá definir su noción de conjunto difuso especificando el a´ rea donde el grado de pertenencia deber´ıa ser 1 y donde es 0. El cambio de una función de membres´ıa a otra afectará al sistema sólo dentro de los bordes de granulación. Los siguientes parámetros pueden ser definidos y son amenudo utilizados para caracterizar cualquier función de membres´ıa difuso:

El cubrimiento del dominio de una variable con varios conjuntos difusos y con la correspondiente interpretación semántica resulta en una variable lingü´ıstica, permitiendo el cálculo con palabras. En nuestro ejemplo esto podr´ıa significar que se definen dos funciones de membres´ıa adicionales para las personas adultas y viejas, lo que permite cubrir todo el dominio de la variable edad (ver figura 1). Este tipo de representación es especialmente u´ til y apropisoporte : sA := {x : µA (x) > 0}, es el a´ rea donde la ado para muchas aplicaciones del mundo real donde cierfunción de membres´ıa es mayor a 1. tos conceptos son inheréntemente vagos en su naturaleza, nucleo : cA := {x : µA (x) = 1} es el area donde los debido a su medición imprecisa o a la subjetividad. elementos tienen un máximo grado de pertenencia al La superposición de las funciones de membres´ıa refleconjunto difuso. Observar que el núcleo puede ser jan la naturaleza imprecisa de los conceptos. Es imporvac´ıo cuando la función de memebres´ıa es menor a 1 tante tener en cuenta que los conceptos dependen de su rea lo largo del todo el dominio. spectivo contexto. Por ejemplo, un viejo estudiante puede ser un joven profesor. α − cut : Aα := {x : µA (x) ≥ α}, es el corte en la funEsta forma de definir conjuntos difusos sobre el doción de membres´ıa de A a la altura α. minio de la variable amenudo se conoce como granulación. La granulación resulta en un agrupamiento de altura : hA := máxx {µA (x)}, es el valor máximo de objetos en clusters imprecisos también conocidos como la función de membres´ıa. gránulos difusos, con los objetos formando un gránulo comparten similaridades. ´ 2.2. Numeros Difusos En aplicaciones reales la forma de las funciones de membres´ıa están usualmente restringidas a ciertas clases La motivación de usar números difusos radica en aplide funciones que pueden estar especificadas con pocos caciones del mundo real. Mediciones del mundo real son parámetros. En la figura 2 muestra las formas más usadas de naturaleza imprecisa y un número r´ıgido no pueden 2

puede encontrar los puntos y, z ∈ ℜ que tambi´en tienen el grado de pertenencia de 1 usando las funciones de membres´ıa de a y b y, que sumados, satisfacen y + z = x. Como es esperado en el caso r´ıgido, el resultado es un singleton en el punto a + b. Para el caso difuso se utiliza el principio de extensi´on [?]. Para un operador arbitrario ?, se tiene:

describir este efecto de la manera más adecuada. Generalmente las mediciones son modeladas a través de un número r´ıgido x para el valor más probable con un intervalo que describe la imprecisión. En el sentido lingü´ıstico esto puede ser expresado como alrededor de x. Al usar conjuntos difusos podemos agragar esta información directamente. Esto resulta en números difusos los que son un tipo especial de conjuntos difusos que restringe los posibles tipos de funciones de membres´ıa:

µa?b (x) = m´ax {m´ın{µA (y), µB (z)}|y ? z = x} y,z∈ℜ

La función de memebres´ıa debe estra normalizada y singular (es decir, el núcleo es no vac´ıo y u´ nico). Esto resulta en un punto ubicado dentro del núcleo modelando el número más probable de nuestro número difuso. El punto recibe el nombre de valor modal.

esto significa que para un valor x ∈ ℜ el grado de pertenencia es obtenido el cual es el máximo de m´ın{µA (y), µB (z)} sobre todos los posible pares y, z ∈ ℜ tal que se cumple y ? z = x. En otras palabras, la nueva función de membres´ıa asigna el máximo grado de pertenencia que puede ser alademás µA tiene que ser monótonamente creciente canzado al encontrar la mejor combinación de parámetros por la izquierda y monótonamente decreciente por la en el dominio de ℜ de las variables involucradas. En efecderecha del núcleo. El ancho del soporte indicará el to, tales operadores convierten un conjunto difuso en un grado de imprecisión. nuevo conjunto difuso que describe la operación. Como se puede observar en la figura 4 cómo la forma trianguAdemás necesitamos realizar cálculo como sumas, lar se mantiene para la suma y es más complicado para el restas, multiplicación con los números difusos. Primero caso de la multiplicación. consideremos el caso clásico de sumar dos números: c = a + b, operación que se ilustra en la figura 3 usando funciones de membres´ıa para representar ambos números. Por lo tanto la función de membres´ıa correspondiente a la suma, µc = µa+b , viene dado por: ½ µa+b (x) =

1 0

si ∃y, z ∈ ℜ : y + z = x ∧ µa (y) = 1 ∧ µb (z) = 1 sino

Figura 4: Suma DifusaUn ejemplo para la función de membres´ıa de dos números difusos y el resultado de sumarlos y multiplicarlos Figura 3: Un ejemplo para la función de membres´ıa de dos números r´ıgidos y el resultado de sumarlos

Cuando se aplica una función no-lineal a los números difusos, se pierde la forma triangular, y se puede utilizar el principio de extensión para obtener su forma (ver figura 2):

En efecto, se define una funci´on que asigna el grado de membres´ıa de 1 s´olo a aquellos puntos x ∈ ℜ al cual se 3

La figura 5 se muestran las normas. Sin embargo al usar estas definiciones no todas las tautolog´ıas de la l´ogica cl´asica se satisfacen en el caso difuso, por ejemplo, si µA (x) = 0,3:

µ f (A) (y) = m´ax{µA (x)|∀x : f (x) = y}

2.3.

Conjuntos Difusos y L´ogica Difusa

A ∧ ¬A 6= False, puesto que µA∧¬A = m´ın{µA , 1 − µA } = m´ın{0,3, 0,7} = 0,3 6= 0.

Los operadores clásicas de la lógica booleana como conjunciones, disyunciones y complementos también puede ser extendidos a conjuntos difusos. Considerar por ejemplo que deseamos encontrar el conjunto de las personas altas y jóvenes, usando la lógica clásica construir´ıamos el nuevo conjunto usando la conjunción booleana: ½ malto y

joven (x) =

1 0

A ∨ ¬A 6= True, puesto que µA∨¬A = m´ax{µA , 1 − µA } = m´ax{0,3, 0,7} = 0,7 6= 1.

si malto (x) = 1 y m joven (x) = 1 sino

Sin embargo, en la lógica difusa esa condición tan estricta es no deseada. Asumir por ejemplo que una persona pertenece al conjunto joven con un grado de 0.5 y al conjunto alto con grado 0.8, ¿Cuál ser´ıa el grado de pertenencia al conjunto de las personas jóvenes y altas? Para responder a esta pregunta existe un familia entera de operadores que pueden ser definidas para poder derivar la función de membres´ıa. Lofti Zadeh [?] introdujo las siguientes funciones: Figura 5: Dos variantes para interpretar la unión e intersección difusa. (Izq) m´ın / máx de Zadeh y (Der) producto/suma acotada

Conjunción (M´ınimo): µA∧B (x) := m´ın{µA (x), µB (x)} Disyunción (Máximo): µA∨B (x) := máx{µA (x), µB (x)}

Ahora, necesitamos definir la implicancia. Basado en la interpretación m´ın / máx la siguiente definición de la implicación difusa es la más utilizada (motivado por A → B = ¬A ∨ (A ∧ B)):

Complemento: µ¬A (x) := 1 − µA (x)

Por lo tanto, en nuestro ejemplo, la persona pertenecer´ıa al grupo de las personas jóvenes y alµA→B (x) := máx{1 − µA (x), m´ın{µA (x), µB (x)}} tas con un grado de 0.5. Muchas otras funciones son posibles para interpretar Otra implicación puede obtenerse a partir de la norma operadores de conjuntos difusos y la mayor´ıa de ellos de Luckasiewicz como: están formalizados usando el concepto de T-norma y Tconorma para el caso de la conjunción y disyunción reµA→B (x) := m´ın{1, 1 − µA (x) + µB (x)} spectivamente (ver el cap´ıtulo de Gottwald en [?] y [?]). Otras operaciones pueden derivarse a partir de esta u´ ltiOtras elecciones son: ma expresión: Conjunción (Producto): µA∧B (x) := µA (x) · µB (x) Disyunción (strong-or) derivado a partir de A ∨ B = Disyunción (suma acotada, Lukasiewicz): ¬A → B: µA∨B (x) := m´ın{µA (x) + µB (x), 1} µA∨B (x) := m´ın{1, µA (x) + µB (x)} 4

Conjunci´on (strong-and) derivado a partir de A ∧ B = 2.5. Reglas Difusas ¬(¬A ∨ ¬B): Las reglas difusas pueden usarse para caracterizar deµA∧B (x) := 1 − m´ın{1, 1 − µA (x) + 1 − µB (x)} = pendencias imprecisas entre las diferentes variables. Conm´ax{0, µA (x) + µB (x) − 1} siderar por ejemplo la siguiente variable:

2.4.

Modus Ponens Generalizado

SI edad(x) ≤ 25 ENT ONCES riesgo(x) > 60 %

En la lógica clásica, conclusiones pueden obtenerse a partir de hechos conocidos e implicaciones basados en es- que describe el factor de riesgo para una compañ´ıa asegutos hechos. En la lógica difusa, esto se extiende a hechos radora de autos. Obviamente al usar variables lingü´ısticas parcialmente verdaderos resultando en una versión gener- la regla es más legible: alizada del Modus Ponens clásico: SI edad(x) ES joven ENT ONCES riesgo(x) ES alto

x ES A0 SI x ES A ENT ONCES y ES B y ES B0

Por lo tanto las reglas difusas son de gran interés cuando una dependencia es ya sea imprecisa o un alto nivel de precisión es no deseado para poder mantener una alEn términos de la lógica difusa esto puede ser expresata interpretabilidad. Un tipo básico de regla que es amdo de la siguiente manera: pliamente usado en control y otras aplicaciones tienen la siguiente forma: µA0 (x) A→B µB0 (y) SI x1 ES A1 Y ... Y xn ES An ENT ONCES y ES B Según la definición de implicación usada, diferentes interEste tipo de reglas se conocen con el nombre de reglas pretaciones de la inferencia difusa se tienen: de Mandani. En muchas aplicaciones de modelamiento Restricción Conjunta: Al usar las normas m´ın / máx, la implicación puede verse como formando una restricción en la variable conjunta, esto es, (x, y) es A × B, donde × es el producto cartesiano µA×B (x, y) = m´ın{µA (x), µB (y)}. B0 puede obtenerse a través de B0 = A0 ∧ (A × B), o µB0 (v) = sup{m´ın{µA0 (u), µA×B (u, v)}} u

Restricci´on Condicional: Al usar la defici´on de Lukasiewicz una posible dependencia aparece: Poss(x = u|y = v) = m´ın{1, 1 − µA (u) + µB (v)}. Y B0 puede obtenerse a partit:

µB0 (v) = sup{m´ın{µA0 (u), 1 − µA (u) + µB (v)}} u