INVESTIGACION DE OPERACIONES by capet 123456

APUNTES SOBRE INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

ESCUELA SUPERIOR DE TURISMO IPN

OSCAR MAYO LEYTTE

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3 3 6 7 14

2. 2.1 2.2 2.3

ORIGENES Y ETAPAS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Orígenes de la investigación de operaciones Definición de modelo y su clasificación Etapas de una investigación de operaciones

15 15 16 19

3. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

ALGEBRA MATRICIAL Concepto de matriz Dimensión u orden de una matriz Las matrices como tablas de doble entrada Notación de las matrices Tipos de matrices Clasificación de las matrices Operaciones con matrices Uso de Excel para operaciones con matrices

25 25 25 26 27 29 32 39 65

4. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

PROGRAMACION LINEAL Conceptualización Requerimientos básicos Método gráfico Problemas de ejemplo Casos especiales La dualidad y los precios sombra (análisis preliminar) Limitaciones del método gráfico

68 68 69 69 72 115 117 125

5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

PROGRAMACION LINEAL (METODO SIMPLEX) Relaciones aumentadas con variables de holgura y artificiales Construcción de la tabla simplex Prueba de optimalidad de la solución simplex Revisión de la tabulación Problemas de ejemplo Casos especiales en el simplex

126 126 128 130 131 133 202

6. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

LA DUALIDAD Y LOS PRECIOS SOMBRA La simetría en la programación lineal Solución por el método gráfico y por el método simplex Interpretación del dual Los costos de oportunidad y la solución dual Problemas de ejemplo

204 204 204 208 214 223

7. 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

ANALISIS DE SENSIBILIDAD Propósitos del análisis de sensibilidad en la programación lineal Análisis de sensibilidad con el método simplex Análisis de los coeficientes de la función objetivo Análisis de los términos independientes (lado derecho de restricciones) Problemas de ejemplo

238 238 238 239 245 257

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INTRODUCCION Conceptualización Ecuaciones e inecuaciones La línea recta como frontera y restricción Condición de no negatividad en la solución de problemas

Página

1. 1.1 1.2 1.3 1.4

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

CONTENIDO

289 289 290 292 292 293 300 307 311

9. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

ADMINISTRACION DE PROYECTOS CON PERT / CPM Conceptualización Métodos para desplegar datos de un proyecto Método de la ruta crítica (CPM) Técnica de evaluación y revisión de programas (PERT) con relación a tiempo Técnica de evaluación y revisión de programas (PERT) con relación a costo

314 314 314 320 328 340

BIBLIOGRAFIA

351

TABLA DE AREAS BAJO LA CURVA NORMAL

352

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PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y PROBLEMAS DE ASIGNACION Modelo general del problema del transporte Metodología general Matriz del transporte Método del costo mínimo para una solución inicial Métodos para la solución óptima Método de aproximación de Vogel (VAM) para la solución inicial Método de la esquino noroeste para la solución inicial Problemas de asignación

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8. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

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INTRODUCCION

1.1 Conceptualización

HILLIER - LIEBERMAN. Significa hacer investigación sobre las operaciones referentes a la conducción y coordinación de actividades dentro de una organización aplicada a una gama extraordinariamente amplia. NAMAKFOROOSH. La investigación de Operaciones es la aplicación del Método Científico a los problemas de decisión de las empresas y otras organizaciones, incluyendo el gobierno y la milicia. MOSKOWITZ - WRIGHT. La Investigación de Operaciones toma al Método Científico aplicado a la solución de problemas y la toma de decisiones de la gerencia en función a la construcción de un modelo simbólico examinando y analizando entre relaciones que lleguen a una técnica en la toma de decisiones en base a los resultados óptimos. THIERAUF Y GROSSE. La Investigación de Operaciones utiliza el enfoque planeado (Método Científico) y un grupo interdisciplinario a fin de representar las complicadas relaciones funcionales como modelos matemáticos para suministrar una base cuantitativa en la toma de decisiones, descubrir nuevos problemas para un análisis cuantitativo.

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ALGUNAS DEFINICIONES DE INVESTIGACION DE OPERACIONES

SOCIEDAD AMERICANA DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, (ORSA). La Investigación de Operaciones está relacionada con el mejor diseño y operación del sistema (hombre-máquina) usualmente bajo ciertas condiciones y requiriendo la asignación de recursos escasos SOCIEDAD AMERICANA DE SISTEMAS DE PRODUCCIÓN Y CONTROL DE INVENTARIOS, (APICS).

R. L. ACKOFF En un sentido general, la Investigación de Operaciones (IO) puede considerarse como la aplicación de métodos científicos, técnicas e instrumentos, a los problemas relacionados con la operación de los --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Es el Análisis cualitativo de operaciones industriales y administrativas con el intento de derivar un entendimiento integrado de los factores que controlan los sistemas operacionales en vista de proporcionar a la Administración un objetivo básico para tomar decisiones que frecuentemente involucran representar por medio de un modelo matemático la realidad.

sistemas, a fin de proporcionar a los que controlan las operaciones las soluciones óptimas para los problemas.

La investigación de Operaciones” (IO) es un método científico para dar a los departamentos ejecutivos una base cuantitativa para las decisiones relacionadas con las operaciones que están bajo su control.

TAHA. La Investigación de Operaciones aspira a determinar el mejor curso de acción óptimo de un problema de decisión con la restricción de recursos limitados, aplicando técnicas matemáticas para representar por medio de un modelo y analizar problemas de decisión. GALLAGHER La Investigación de Operaciones (IO) aspira a determinar el mejor curso de acción (óptimo) de un problema de decisión con la restricción de recursos limitados y también se concibe como la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-proceso) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda organización. • Una organización se puede considerar como un sistema para facilitar su entendimiento, porque en todo sistema se tienen componentes e interacciones entre los mismos. Algunas interacciones son controlables, mientras otras no. En un sistema, el comportamiento de cualquiera de sus partes o componentes tiene efectos directos o indirectos con el resto de ellas. Es necesario que exista un procedimiento sistemático que logre identificar aquellas interacciones en dicho sistema que tengan efectos de importancia y, que también logre identificar los componentes controlables asociados. Uno de estos procedimientos sistemáticos es la Investigación de Operaciones.

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MOSE Y KIMBALL

• Todo sistema es una estructura que funciona de manera similar a como lo hace un ser vivo, donde la información es el elemento que convierte a una simple estructura en un sistema. Todo sistema es un sistema de información. Existen en toda estructura, componentes y canales. A través de los canales fluye la información. Al fluir la información las componentes interaccionan de una forma determinada. Gráficamente se tiene: Componente

Componente Información

Interpretación Organización Real

Información

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Canales

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La Investigación de Operaciones es un método que permite encontrar las relaciones óptimas que mejor operen un sistema, dado un objetivo específico, relacionado con la eficiencia y efectividad con que los diferentes componentes de cualquier organización pueden controlarse y/o modificarse, las cuales reaccionan ante un estímulo que se presenta al sistema. La información que fluye a través de los canales, comunica a las componentes

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Los modelos que utiliza la Investigación de Operaciones son matemáticos y toman la forma de ecuaciones, permiten calcular los valores exactos o aproximados de los componentes controlables del sistema para que pueda comportarse mejor, de acuerdo con ciertos criterios establecidos. Los cálculos se realizan bajo el supuesto de que se conoce la información asociada al estado de aquellos componentes del sistema que no se pueden controlar. El acto de calcular el valor aproximado de estos componentes controlables, se le conoce como “derivar una solución” al problema en cuestión, utilizando un modelo.

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Como parte de la estructura de los sistemas se encuentran los siguientes elementos: recursos humanos, materiales (equipo, edificios, materia prima) y financieros. Dentro de los recursos humanos se generan interacciones derivadas de la selección y entrenamiento del personal así como la motivación del mismo. Las interacciones emanadas de los recursos materiales se asocian al diseño, construcción y mantenimiento de edificios y maquinas; primero como entes aislados y después como subsistemas hombres-maquina. Los productos terminados, fruto de la relación hombre-máquina u hombre-proceso generan interacciones de control de calidad, distribución y venta. Los recursos monetarios generan interacciones de adquisición, retención y financiamiento.

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ALGUNAS APLICACIONES EN EL TURISMO

Las Agencias de Viajes, por ejemplo, ofrecen entre otros servicios, diversos paquetes, que contemplan la visita a diferentes sitios, uno o varios días en cada uno, con costos y utilidades distintas; esta situación, implica para una Empresa que los promueve la pregunta: ¿Con que combinación de paquetes turísticos, se alcanzan las máximas ganancias? Una empresa de alimentos que se preocupa entre otros por brindar un contenido adecuado de proteínas, pocas grasas, un mínimo de vitaminas, etc., buscarán la combinación de alimentos de acuerdo a sus nutrientes, al menor costo posible pero satisfaciendo los requerimientos alimenticios necesarios. Una empresa hotelera buscará optimizar sus operaciones, controlando entre otros, los tiempos, costos y a los responsables de realizar sus actividades, mediante diagramas de rutas críticas, entre otros.

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En el área de planeación del turismo, la realización de proyectos, implicará entre otros, una programación que permita determinar objetivos y actividades, su calendarización, costos y responsables de llevarlas a cabo, para optimizar su desarrollo, asumiendo probabilidades de éxito y fracaso, para su realización, así como para el control de tiempos y recursos aplicados.

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En Turismo, la Investigación de Operaciones tiene aplicación en los diferentes ámbitos que lo conforman, como son Agencias de Viajes, Alimentos y Bebidas, Administración Hotelera, Planeación y otras.

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La base de los modelos que estudiaremos en este curso, son las ecuaciones e inecuaciones, por ello repasaremos lo que entendemos por tales, sus componentes principales y métodos de solución, iniciemos con las siguientes definiciones: ECUACION es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas, por ejemplo: 5x+2 = 17 IGUALDAD en matemáticas, indica que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor, simbólicamente: a = b + c

DESIGUALDAD es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, por ejemplo: a>b INECUACION es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llaman también desigualdades de condición, ejemplo: 2x – 3 > x - 5

Inecuación = Desigualdad

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Entonces,

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1.2 Ecuaciones e inecuaciones

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1.3 La línea recta como frontera y restricción La línea recta, de la forma matemática

a + bx = y ,

en donde a = una constante y

y 2 − y1 = x2 − x1

Cuando se transforma en una inecuación de la forma:

a + bx ≤ y

a + bx ≥ y

divide por ese

hecho las áreas que quedan hacia una y otra parte del plano, con respecto de esa línea recta, teniendo las siguientes características:

Línea con pendiente positiva: si tiene más de 0 grados pero menos de 90 grados y significa que Si X aumenta Y aumenta Si X disminuye Y disminuye

ii.

Línea con pendiente negativa: si tiene más de 90 grados pero menos de 180 grados y significa que Si X aumenta Y disminuye

Línea con pendiente 0: cuando su ángulo de inclinación es 180 grados o en forma horizontal y significa que tendremos una línea paralela al Eje “X”

iv.

Línea con pendiente infinita: es exactamente igual a 90 grados en forma vertical y significa que tendremos una línea paralela al Eje “Y”

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iii.

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= la pendiente de la recta

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Ejemplo 1

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Comprobar si considerando dos coordenadas al azar, se está por encima o debajo de una recta como la siguiente: 5 x1 + 3 x2 ≤ 15

Primeramente trazamos recta de la siguiente manera: •

hacemos que X1 sea igual a cero y despejamos:

X 2 = 15 / 3 = 5

5〈0〉 + 3 X 2 = 15 •

luego, hacemos que X2 sea igual a cero y despejamos:

5 X 1 + 3〈0〉 = 15

•

A = (0,5)

X 1 = 15 / 5 = 3

B = (3,0)

en una gráfica unimos las dos coordenadas con una línea:

A (0,5)

6 5 4

B (3,0)

3 2 1 0 0

X1 Comprobamos con coordenadas seleccionadas, si se está por encima o debajo de la recta:

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Consideremos las siguientes dos coordenadas al azar: C (4,6) y D (1,2)

Sustituyendo la primera coordenada tenemos:

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5 x1 + 3 x2 ≤ 15

5〈 4〉 + 3〈6〉 ≤ 15 20 + 18 ≤ 15 1 Apuntes de O Operaciones aplicada Turismo A t sobre b IInvestigación ti ió d i li d all T i I OSCAR MAYO LEYTTE

38 ≤ 15 Sustituyendo o la segunda coordenada c te enemos:

5 x1 + 3 x2 ≤ 15

5〈1〉 + 3〈2〉 ≤ 15

5 + 6 ≤ 15 11 ≤ 15

Página

Gráficamentte:

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Ejemplo 2 Comprobar si considerando dos coordenadas al azar, se está por encima o debajo de una recta como la siguiente: Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

4 x1 − 5 x2 ≤ 40

Trazamos la recta: • hacemos que X1 sea igual a cero y despejamos:

4〈0〉 − 5 X 2 = 40

X 2 = 40 / − 5 = −8

A = (0,−8)

• luego, hacemos que X2 sea igual a cero y despejamos:

4 X 1 − 5〈0〉 = 40

X 1 = 40 / 4 = 10

B = (10,0)

• en una gráfica unimos los dos puntos con una línea:

X1 0

9 10 11 12 13 14

0 -

B (10,0)

-10

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A (0,-8)

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Comprrobar con coo ordenadas se eleccionadas, si se está po or encima o d debajo de la rrecta: Consideremos las sig guientes dos coordenadas c al a azar: C (2, 2 2) y

D (12 2, -10)

Apuntes de O Operaciones aplicada Turismo A t sobre b IInvestigación ti ió d i li d all T i I OSCAR MAYO LEYTTE

Sustituyendo o la primera co oordenada ten nemos:

4(2) − 5(2) ≤ 40 8 − 10 ≤ 40 0 − 2 ≤ 40

o la segunda coordenada c te enemos: Sustituyendo

4(12) − 5(−10) ≤ 40 48 + 50 ≤ 40 4 98 ≤ 40

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Gráficamentte:

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Ejemplo 3

5x1 + 4x2 ≤ 40

Ecuación 1

x2 ≥ 4

Ecuación 2

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Ahora consideremos no una, sino dos ecuaciones que nos delimitan un espacio de soluciones, tal como las que se presentan a continuación:

Trazamos las rectas: Parámetros para la primera ecuación

5x1 + 4x2 ≤ 40

Hacemos que X1 sea igual a cero y despejamos:

X 2 = 40 / 4 = 10

5〈0〉 + 4 X 2 = 40 •

A = (0,10)

luego, hacemos que X2 sea igual a cero y despejamos:

5 X 1 + 4〈0〉 = 40 •

X 1 = 40 / 5 = 8

B = (8,0)

unimos los dos puntos con una línea:

Parámetros para la segunda ecuación En este caso se trata de una constante, es decir, x2 = 4 coordenadas son: C (0, 4) y D (6, 4)

C (0,4)

a lo largo del Eje X1, algunas

A (0,10)

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

D (6,4)

ECUACION 1 ECUACION 2

C (8,0) 0

•

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Comprrobamos si co on determina adas coorden nadas se está á o no dentro del espacio d de soluciones s: Consideremos las sig guientes dos coordenadas c al a azar: E (1, 7 7) y F (4, 1)

Sustituyendo o la primera co oordenada ten nemos:

5(1) + 4(7) ≤ 40

33 ≤ 40

Sustituyendo o la segunda coordenada c te enemos:

5(4) + 4(1) ≤ 40

24 ≤ 40

x2 = 4 La ecuación 2: x2 ≥ 4 es una consttante y por lo m mismo guales o supe eriores a 4 está án en su espacio de solucio ones los valores ig

a lo la argo del Eje X1 ,

Gráfica amente: X2

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

ECUAC CION 1 ECUAC CION 2

D (6,4) (

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5 x1 + 4 x2 ≤ 40 4

En ecuación n1

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Localiz zando las coorrdenadas sele eccionadas tenemos que la a Coordenada a E(1,7) se loccaliza dentro del Espacio o de Solucione es:

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as las incógnittas o variables s de decisión del problema de que se trate deberán ten ner Consiste en que toda r cero o un número mayor que ce ero, es decir, d deben ser possitivas, lo cual se expresa de e la como resultado siguien nte manera:

3 x1 + 4 x2 ≤ 120000 4xx1 + 8 x2 ≤ 166000 2xx1 + 3 x2 ≤ 400000

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

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Lo ante erior también significa que se considera arán los resulltados obtenid dos para el ccuadrante 1, ccon respectto a la gráfica posible (ejes cartesianos). c

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1.4 Condición de no o negativ vidad en n la solucción de p problema as

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2.1

ORIGENES Y ETAPAS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Orígenes de la investigación de operaciones

La expresión "Investigación de Operaciones ", es nombrada así por primera vez por Mc Caskeyy Trefethen en los Estados Unidos en 1940. No es hasta 1942 que se implanta la Investigación de Operaciones (IO) a alto nivel, promovida por Watson-Watt, cuyo objetivo inicial era el de minimizar las pérdidas ocasionadas por los submarinos enemigos. La Fuerza Aérea de los Estados Unidos reconoció a la actividad como "Análisis Operacional", mientras que el Ejército y la Armada la nombraron "Investigación de Operaciones y Evaluación de Operaciones", respectivamente. Estas prácticas fueron llevadas a cabo en Francia y Canadá también. En l947 George Dantzing, resume los trabajos de los precursores del Método Simplex, dando origen a la Programación Lineal, que es la utilización del Álgebra Lineal en la resolución de la asignación de recursos, que a su vez tuvo múltiples aplicaciones en la industria. Concluida la Segunda Guerra Mundial, se vio Inglaterra en la necesidad de afrontar grandes problemas generados por una planta industrial que debía ser reconstruida y que además atravesaba por el hecho de la nacionalización de la misma. Los investigadores operacionales se dieron a la tarea de crear un nuevo método que mejorara la productividad y se incrementaran las utilidades. Es hasta finales de 1950 donde la Programación Dinámica, Líneas de Espera y Teoría de Inventarios (Arrow, Karlín, Scark, Whitin) aparecen. La expansión de la Investigación de Operaciones (I de O) se hace evidente. Tenemos a Bellman con su Programación Dinámica, Kuhn y Tucker realizaban estudios con la Progamación No-Lineal, Gómory con la Programación Entera, Fulkerson y Ford generan las redes de optimización, y trabajos acerca de Simulación llevados a cabo por Markowitz. El Análisis de Decisiones de Raiffa, mientras Howard realiza estudios de procesos Markovianos. La generalización de Investigación de Operaciones, ha sido tratada por Churchman, Ackoff y Arnoff.

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Al término de la Guerra el éxito de la Investigación de Operaciones genera gran interés fuera de lo militar y llama la atención de los norteamericanos hasta finales de los 50's. Los investigadores antes mencionados, hicieron que la IO fuera usada en la industria, los negocios y el gobierno, la cual se ha visto favorecido enormemente por el desarrollo de software específico y dedicado al tema, que permiten diseñar, construir, operar, controlar e implementar la solución de problemas en las organizaciones.

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La Investigación de Operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de las organizaciones alrededor del mundo, ya que ha hecho aportaciones significativas al incremento en la productividad en la economía de muchos países.

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2.2 Definición de modelo y su clasificación TAHA Es el vehículo para resumir un problema de decisión, en forma tal que haga posible la identificación y evaluación sistemática de todas las alternativas de decisión del problema. Después se llega a una decisión seleccionando la alternativa que se juzgue mejor. THIERAUF Representación o abstracción de un objeto real o situación real, que muestra las relaciones directas o indirectas y las interrelaciones, de acción y reacción, causa-efecto, con el fin de solucionar problemas. HILLIER - LIEBERMAN Son representaciones idealizadas, que extraen la esencia de la materia de estudio, muestran interrelaciones y facilitan su análisis. MOSKOWITZ Es una abstracción idealizada de un sistema de la vida real, cuyo propósito es brindar un medio que propicie el análisis del comportamiento del sistema, con el fin de mejorar su desempeño. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS Los modelos se clasifican como: 1. ICÓNICOS 2. ANÁLOGOS 3. SIMBÓLICOS ó MATEMÁTICOS. 1. Los modelos icónicos, son la representación en forma física del sistema real, en una escala aumentada o reducida. Por ejemplo: Un avión de juguete, es un modelo icónico de un avión real.

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CONCEPTUALIZACIÓN DE MODELO SEGUN AUTORES SELECCIONADOS:

2. Los modelos análogos, son descriptivos, además que representan cualidades y propiedades del modelo y esencialmente requieren la sustitución de estas propiedades por otras, con la finalidad de poder manipular al modelo. Al término del problema, la solución es interpretada de acuerdo al sistema original. Por ejemplo: Un modelo de distribución de la planta, puede utilizarse como modelo análogo para el estudio de movimientos de la misma.

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3. Los modelos simbólicos o matemáticos, hacen uso de símbolos (signos, letras, números, colores,..) y funciones matemáticas para representar las variables de decisión y sus relaciones que determinan el comportamiento del sistema.

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A) CUALITATIVOS - CUANTITATIVOS. - Cualitativos. Son aquellos que se ocupan de los problemas de acuerdo a sus cualidades, propiedades o características. - Cuantitativos. Se refiere a la construcción de un modelo matemático representado por símbolos, en función a las variables y constantes del mismo. B) ESTÁNDAR - HECHO A LA MEDIDA - Estándar. Son aquellos que son utilizados en forma repetitiva, aplicando el mismo procedimiento y se generarán resultados que no cambian en esencia; pero sí numéricamente. - Modelo hecho a la medida. Es aplicable para resolver un problema en específico, en consecuencia, quedará posteriormente obsoleto. C) PROBABILÍSTICO - DETERMINÍSTICO. - Probabilísticos o estocásticos. Se hace uso de este modelo cuando no se tiene certeza de lo que pueda suceder, los eventos estarán bajo cierto grado de incertidumbre. - Determinísticos. Son modelos donde se tiene total certeza de lo que sucederá. D) DESCRIPTIVOS - HEURÍSTICOS. - Descriptivos o de optimización. En Investigación de Operaciones, los modelos son comúnmente iterativos por naturaleza, o sea, que existen repeticiones análogas. La respuesta final llega a pasos y cada nueva iteración se acerca a la solución del nivel óptimo.

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CLASIFICACIÓN Y ESTRUCTURA DE UN MODELO MATEMÁTICO Los modelos matemáticos pueden ser clasificados como:

- Heurísticos. En esencia, emplean reglas intuitivas que servirán para explorar las trayectorias más probables para llegar a una conclusión. E) ESTÁTICO - DINÁMICO. - Estático. Determinan una respuesta para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cambiarán significativamente a corto plazo.

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- Dinámico. Está sujeto al factor tiempo, ya que desempeña un papel esencial en la secuencia de decisiones. Sin importar cuales hayan sido el resultado de la decisión anterior, el modelo matemático nos permite encontrar la decisiones óptimas para los períodos que queden todavía en el futuro.

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F) SIMULACIÓN - NO SIMULACIÓN.

- No simulación. Estadísticamente hablando, no realiza experimentos sobre los datos de una muestra más que sobre el universo entero. En la Investigación de Operaciones los modelos son casi siempre matemáticos ya que son representaciones de la realidad expresadas en ecuaciones, de estructura fundamental muy sencilla, donde el modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos de elementos:

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1) Variables y parámetros de decisión. Las variables son las incógnitas o decisiones que deben determinarse según se vaya resolviendo el problema. Los parámetros pueden ser determinísticos o probabilísticos y son los valores conocidos que se relacionan con las variables, restricciones y la función objetivo. 2) Restricciones. Son aquellas limitaciones que se deben tomar en cuenta, como las tecnológicas, económicas y otras del sistema que van a restringir a las variables de decisión en un rango de valores que resulte factible. 3) Función objetivo. Define la medida de efectividad que obtiene el sistema, cuando los valores de las variables de decisión con sus respectivos parámetros y restricciones, dan como resultado un mejoramiento del sistema.

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- Simulación. Son generalmente software o programas de computación que hacen réplica del comportamiento del sistema. Pueden manejarse sistemas bastante complejos que difícilmente se lograrían de manera manual.

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2.3 Etapas de una investigación de operaciones

1) Estudio de la organización. Representando la organización como un sistema según sus componentes e interacciones que pueden ser controlables o no controlables. Donde la organización está conformado por subsistemas (1, 2, 3 ), que se comunican por canales de información (A,B,C) , de manera que los componentes interactúan de manera determinada. 2) Interpretación de la organización como un sistema. Al sistema entran elementos para combinarlos y así lograr los objetivos que persigue el sistema, donde el control (autocorrige), monitorea la salida del sistema con lo planeado. Algunos de los objetivos que se persiguen podrían ser: La interacción de los componentes para incrementar la posibilidad de tomar mejores decisiones, mejorar la coordinación entre los múltiples componentes de la organización, mejorar el control del sistema, lograr un mejor sistema. 3) Aplicación del Método Científico, Según Churchman, Ackoff, Arnoff, consistente en las siguientes fases: I.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.

II.

CONSTRUCCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO QUE REPRESENTE AL SISTEMA EN ESTUDIO

III. DERIVACIÓN DE LA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO.

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La Investigación de Operaciones, hace uso de una metodología para resolver problemas, tomando en consideración las siguientes etapas:

IV. COMPROBACIÓN DEL MODELO Y DE LA SOLUCIÓN DERIVADA DE ÉL. V.

APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN, (EJECUCIÓN).

I. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. En esta fase se define el problema a resolver y los objetivos que se pretenden alcanzar, mostrando las herramientas para hacer uso y mejoramiento de los esfuerzos de los investigadores, divididos en dos aspectos: A) PERÍODO DE ORIENTACIÓN.

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El equipo de Investigación de Operaciones ajeno a la empresa tiene la oportunidad de valorar al problema y a la organización. Los promotores que son los críticos científicos y los que ayudan a la organización económicamente (fundaciones, gobierno,...) tienen también una oportunidad similar de tener un acercamiento a la empresa.

Denominado también como el primer período de la investigación.

Así, al final del período de orientación puede especificarse bajo qué condiciones se realiza la investigación y puedan tomarse las medidas necesarias que satisfagan tales condiciones. B) LOS COMPONENTES DEL PROBLEMA.

1. La evidencia de que alguien o algún grupo tiene un problema. Este "alguien o grupo" es también llamado CENTRO DE DECISIÓN. Cuando el centro de decisión no está satisfecho con algún aspecto de las actividades tienen la autoridad para implementar, modificar y concluir las políticas vigentes en la organización y del sistema en estudio. Las cuestiones siguientes pueden servir de guía en la adopción de decisiones. i.) ¿Quién es el responsable de emitir las recomendaciones que están en relación a las modificaciones de las políticas? ii.) ¿De quién depende la aprobación y como es expresada la misma? iii.) ¿Cómo se realiza la aprobación final? P. ej. Por voto mayoritario en deliberación conjunta, por una autoridad final. iv.) ¿Alguien tiene poder de veto absoluto? v.) ¿Quién es el responsable de aplicar las recomendaciones aprobadas? vi.) ¿Quién valorará la acción tomada? 2. Los objetivos que persigue quien toma las decisiones. El ejecutivo de la organización puede desear mantener y obtener algunos objetivos diferentes, tales como: disminuir costos de producción, aumentar su volumen de ventas, mejorar el servicio a clientes.

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Para llegar a la formulación del problema debemos plantear, ¿en qué consiste el problema?, o ¿cuáles son sus componentes?. Para lo cual tomaremos en cuenta lo siguiente:

3. El sistema o ambiente. Que es el escenario de los recursos restringidos o inexistentes en relación con quien toma decisiones. El sistema está formado por un conjunto de componentes interrelacionados que buscan un objetivo común, p. ej.: El consejo administrativo, el personal de la empresa, la maquinaria y equipo, los materiales empleados para obtener el producto final, el volumen de ventas, la competencia. 4. Los cursos de acción alternativos. Es al menos dos alternativas o políticas planteadas para que el que toma la decisión tenga la opción a elegir.

Una vez especificados las acciones y reacciones posibles, está concluida la Identificación de los Componentes del Sistema, y se pasará a la Transformación del Problema de la Toma de Decisiones, a un Problema de Investigación de Operaciones, que según Churchman, Ackoff, Arnoff, implica lo siguiente: --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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¿En qué medida afectan la eficacia del sistema hacer ciertos cambios, en el personal, equipo, operaciones, máquinas, materiales, ..., en relación con los objetivos señalados?

Para obtener una lista de alternativas, se deben de formular y contestar las siguientes preguntas para cada parte del sistema.

La selección de la lista de objetivos obtenidos en la formulación del problema. b) La selección de la lista de posibles cursos de acción alternativos. c) La definición de la medida de rendimiento que va a utilizarse.

La representación de algún objeto que está sujeto a estudio (acontecimientos, procesos, sistemas) es llamado Modelo Científico, que tiende a ser de carácter explicativo y es utilizado con fines de predicción y control. La primera fase de la construcción del modelo donde son expuestas las medidas alternativas a evaluar y la definición de la medida de rendimiento, luego entonces el rendimiento del sistema estará en función de los valores de las variables. Estas variables pueden cambiarse por las decisiones de los directivos; pero otras no. O sea, las primeras serán variables controlables y la siguientes, no controlables. Los valores de las variables controlables se utilizan para definir los cursos de acción posible. Por los directivos de la organización, son los aspectos incontrolables del sistema, p. ej.: la demanda del consumidor ambas están en función (f) y (E) es la medida de rendimiento utilizada. En la construcción del modelo, se estructuran una o más ecuaciones de la forma: En el sistema, hallar la solución, consiste en encontrar los valores de las variables controlables, que harán un máximo de rendimiento del mismo. En algunos casos se utilizará la medida de falta de rendimiento (p. ej.: costos esperados), entonces la solución radica en hacer mínima la medida de eficiencia. - Componentes del Sistema. Se empieza por enumerar a todos los componentes del sistema que contribuye al rendimiento o no rendimiento de su funcionamiento.

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II. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO QUE REPRESENTA AL SISTEMA EN ESTUDIO.

Datos de entrada Resultado - Importancia de los componentes. Ya teniendo la lista que completan los componentes del sistema, lo siguiente es identificar cuáles de ellos deben tomarse en cuenta, y ver si hay alguno en relación a otro (o en función de otro) o si el curso de acción es totalmente independiente. Se tendrá que averiguar porque el sistema funciona en la forma en la que lo hace, ¿qué factores producen los efectos que han sido observados?, ¿de qué manera se pueden manipular para que se produzcan los efectos deseados? - Combinación y división de los componentes. Para su buen manejo resulta conveniente agrupar ciertos componentes del sistema. La combinación de éstos, pueden dar origen a otro diferente.

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En la lista modificada será necesario determinar si el componente tiene un valor fijo o variable, se deberá buscar los aspectos del sistema que están afectando al componente variable. Se asignarán a los componentes variables un símbolo para cada subcomponente.

- Símbolos de sustitución.

- Construcción del modelo matemático.

III DERIVACIÓN DE LA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO MATEMÁTICO. Según Prawda, resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes y las no dependientes, asociadas a los componentes controlables del sistema con el fin de optimizar, si no es posible, mejorar la eficiencia del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos establecidos por el grupo de toma de decisiones. Los métodos de solución son: 1. Método Analítico. 2. Método Numérico. 3. Método de Simulación. 1.- EL MÉTODO ANALÍTICO, hace el análisis matemático clásico, es utilizado para obtener soluciones en forma deductiva, (llamadas también soluciones analíticas), o sea, que parte de lo general a lo particular. 2.- EL MÉTODO NUMÉRICO, se aplica cuando la solución no es posible obtenerla de manera deductiva, se utilizará, el análisis numérico, (Iterativo) o solución numérica en forma inductiva, que va de lo particular a lo general. La solución de tipo iterativo se aproxima a la solución óptima con un margen de error permitido, basado en una serie de pruebas sobre la misma lógica de solución, en relación a resultados de una prueba anterior.

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Dependiendo de la definición del problema el equipo de Investigación de Operaciones de O decidirá sobre el modelo más adecuado que representará al sistema, el cual especificará las expresiones cuantitativas para el objetivo y sus restricciones, todo en función de las variables de decisión.

3.- Existen los MÉTODOS DE SIMULACIÓN, que son los que imitan al sistema real, es muy útil en la solución de problemas complejos, de riesgo y bajo incertidumbre. La Técnica de Montecarlo, es un método de solución que utiliza los problemas probabilísticos de simulación. Esta técnica es utilizada donde no se puede hacer uso de los métodos de solución numérica o de solución analítica, ya que se generan números aleatorios para obtener valores muestrales en base a una distribución de probabilidad.

IV. COMPROBACIÓN DEL MODELO Y DE LA SOLUCIÓN. El modelo debe probar su validez, antes de ser implantado, observando si los resultados predicen o no, con cierta aproximación o exactitud, los efectos en relación a las diferentes alternativas de solución. --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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La Teoría de Juegos, es un sistema donde existen varios grupos de decisión que reaccionan entre sí.

Si los resultados del modelo, se alejan bastante de los resultados reales del sistema, se debe tomar en cuenta lo siguiente: Determinar si el modelo señala el rendimiento del sistema según una o más variables que afectan a dicho rendimiento.

Comprobar si el modelo expresa realmente la relación real existente entre la medida de rendimiento y la variable - Verificar si los parámetros incluidos en el modelo no estén siendo evaluados adecuadamente. Para comprobar la solución del modelo, deberá recopilarse la información, con el fin de hacer las pruebas necesarias y hacer la verificación según los siguientes pasos: a) Definir científicamente (incluyendo la medida de rendimiento) b) Llevar a cabo el muestreo (incluyendo el diseño de experimentos) c) Reducir el número de datos. d) Utilizar los datos en la prueba de hipótesis e) Evaluar los resultados. Si estos pasos son llevados a cabo recurrentemente cada vez que se obtienen resultados del modelo y les son presentados al grupo de toma de decisiones, se empieza a ejecutar un procedimiento sistemático de control que depura y ajusta al mismo, con la realidad.

V. ESTABLECIMIENTO DE LOS CONTROLES Y APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN.

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Corroborar si el modelo no ha omitido alguna variable que tenga efecto importante en el rendimiento del sistema.

Los sistemas no suelen ser estables y su estructura está sujeta a cambios, que pueden ser cambios entre las variables que definen al propio sistema, o pueden ser cambios entre los valores de las variables del sistema. El objetivo del establecimiento de controles, es para que no se pierda la efectividad del modelo matemático debido a cambios en los parámetros y la eficacia de la solución puede verse disminuida en consecuencia a: - cambio de los valores - cambio de la relación entre ellos

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En consecuencia, un parámetro que no era significativo puede llegar a serlo o puede dejar de serlo, o tal vez, cambiar su grado de importancia.

- cambio en ambos factores.

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El diseรฑo de un sistema de control deberรก tomar en cuenta lo siguiente:

2. Elaboraciรณn de un procedimiento para detectar los cambios importantes entre los parรกmetros (variables) y las relaciones,

Pรกgina

3. Especificaciรณn de la acciรณn que deberรก tomarse o los ajustes que deben llevarse a cabo en el momento de ocurrir un cambio importante.

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1. Enumeraciรณn de las variables y la relaciรณn entre ellas, y la manera en que afecta a la soluciรณn el cambio de los valores.

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ALGEBRA MATRICIAL NOTA: DESDE QUE APRENDIMOS MATEMATICAS SE NOS DIJO QUE EL ORDEN DE LOS FACTORES NO ALTERA EL PRODUCTO (MULTIPLICACION), PERO EN ALGEBRA MATRICIAL ESO NO ES CIERTO, ES DECIR, AQUÍ EL ORDEN DE LOS FACTORES SI ALTERA EL PRODUCTO Y EN MUCHOS CASOS NO SE PODRA OBTENER NINGUN PRODUCTO, COMO VEREMOS.

3.1

Concepto de matriz

Se entiende como matriz al conjunto ordenado de números acomodados en m filas y en n columnas, los cuales están encerrados entre corchetes. Ejemplos:

⎡3 − 1 2⎤ ⎢0 4 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 − 2 4⎥⎦

⎡4 − 2 ⎢3 1 ⎢ ⎢6 7 ⎢ ⎣5 4

1 2 3 9

0⎤ 0⎥⎥ 2⎥ ⎥ 1⎦

⎡4 ⎢1 ⎢ ⎢⎣3

⎡2 4 1⎤ ⎢3 2 1⎥ ⎣ ⎦

2⎤ 0 ⎥⎥ 2⎥⎦

3.2 Dimensión u orden de una matriz La dimensión u orden de una matriz está dado por el número de filas (m) y el número de columnas (n) que la integran. Siempre se indica en primer lugar, el número de filas (m) y después el número de columnas (n). El orden de una matriz se denota por alguna de las siguientes formas y se asienta en la parte inferior derecha del corchete: m x n, (m x n), mn, (mn)

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Ejemplos:

⎡ 4 − 3 1 6⎤ ⎢ 2 − 1 3 2⎥ ⎥ ⎢ ⎢3 4 1 6⎥ ⎥ ⎢ ⎣7 9 2 0 ⎦ ( 4 x 4 )

⎡3 − 2 1 ⎤ ⎢0 3 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 2 6⎥⎦ (3 x 3)

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2 4 6 2 2 −1 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ( 4 x 2)

⎤ ⎡ ⎢2 5 3 1⎥ ⎥ ⎢ ⎢6 4 2 0⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ( 2 x 4) ⎣

Orden

Página

Orden

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3.3 Las matrices como tablas de doble entrada

Una Agencia de viajes podría registrar las ventas mensuales de paquetes turísticos, por ejemplo de enero a marzo, como sigue: 1) Paquetes turísticos a Guanajuato Enero 104 Febrero 120 Marzo 118 2) Paquetes Turísticos a Veracruz Enero 50 Febrero 65 Marzo 147 3) Paquetes Turísticos a Aguascalientes Enero 191 Febrero 122 Marzo 99 4) Paquetes Turísticos a Nayarit Enero 285 Febrero 116 Marzo 132

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Las matrices suelen utilizarse para organizar en forma sistemática información de carácter estadístico, tanto en el turismo como en las ciencias administrativas en general. Ejemplo:

Esta información puede quedar en un cuadro de doble entrada: (paquetes por destino)

Guanajuato

Veracruz

Aguascalientes

Nayarit

Enero

104

191

285

Febrero

120

122

116

Marzo

118

147

132

Meses

De aquí se puede obtener la siguiente matriz:

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Página

⎡104 50 191 285⎤ ⎢120 65 122 116 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣118 147 99 132 ⎥⎦

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Las filas indican los meses del año (Enero, Febrero y Marzo), las columnas el destino turístico (entidad) y las cifras expresan el número de paquetes turísticos vendidos por destino y por mes.

La información es una tabla de doble entrada: Personal

Hombres

Mujeres

Departamento

De los datos, se puede obtener la siguiente matriz

⎡27 18⎤ ⎢32 6 ⎥ ⎣ ⎦

3.4 Notación de las matrices REPRESENTACION DE UNA MATRIZ Para denotar una matriz es conveniente tomar en consideración los siguientes elementos:

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En otro ejemplo, veamos como un Hotel puede tener un registro de sus empleados administrativos (hombres y mujeres) en sus dos turnos, de la siguiente manera:

1. Representar las matrices mediante letras latinas mayúscula, esto es: A,B,C,…….,Z 2. Encerrar los elementos entre corchetes. 3. indicar el orden de la matriz en la parte derecha inferior de la matriz en cuestión. Por ejemplo:

⎡ 4 6 − 1 3⎤ Z= ⎢ ⎥ ⎣ 2 2 − 2 6⎦ ( 2 x 4 )

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⎡ 2 4⎤ ⎢ ⎥ P= 6 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣2 1⎥⎦ (3 x 2)

⎡ 4 3 − 2 1⎤ ⎢0 6 3 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 4 1 6⎥⎦ (3 x 4)

3 2](1 x 3)

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⎡ 4 3 − 2⎤ ⎢ 1 ⎥⎥ B= 6 3 ⎢ ⎢⎣3 2 0 ⎥⎦ (3 x 3)

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⎡ 4 − 2⎤ A= ⎢ ⎥ ⎣6 3 ⎦ ( 2 x 2 )

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Los elementos de una matriz, se representan con letras minúsculas y un par de subíndices que indican la fila (i) y la columna (j) en las cuales se ubica dicho elemento en la matriz respectiva. Asimismo, los la letra minúscula a emplear debe estar de acuerdo con la letra mayúscula con la cual se representa a la matriz respectiva, es decir, se empleará aij, como notación de los elementos correspondientes a la matriz A, se empleará bij, como notación de los elementos correspondientes a la matriz B, etc. Ejemplo, si tenemos la siguiente matriz:

⎡ 3 − 1 6⎤ ⎢ ⎥ A= 4 3 5 ⎢ ⎥ ⎢⎣9 8 2⎥⎦ (3 x 3)

Entonces: El elemento 3 se simboliza por aij = a11 significando que se ubica en la fila 1, columna 1 El elemento -1 se simboliza por aij = a12 significando que se ubica en la fila 1, columna 2 El elemento 6 se simboliza por aij = a13 significando que se ubica en la fila 1, columna 3 El elemento 4 se simboliza por aij = a21 significando que se ubica en la fila 2, columna 1 El elemento 3 se simboliza por aij = a22 significando que se ubica en la fila 2, columna 2 El elemento 5 se simboliza por aij = a23 significando que se ubica en la fila 2, columna 3 El elemento 9 se simboliza por aij = a31 significando que se ubica en la fila 3, columna 1 El elemento 8 se simboliza por aij = a32 significando que se ubica en la fila 3, columna 2

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REPRESENTACION DE LOS ELEMENTOS DE UNA MATRIZ

El elemento 2 se simboliza por aij = a33 significando que se ubica en la fila 3, columna 3 En otro ejemplo, consideremos la siguiente matriz: B=

⎡4 − 3 2⎤ ⎢6 − 3 5 ⎥ ⎣ ⎦ ( 2 x 3)

Entonces: El elemento 4 se simboliza por bij = b11 significando que se ubica en la fila 1, columna 1 El elemento -3 se simboliza por bij = b12 significando que se ubica en la fila 1, columna 2 El elemento 2 se simboliza por bij = b13 significando que se ubica en la fila 1, columna 3

El elemento 5 se simboliza por bij = b23 significando que se ubica en la fila 2, columna 3

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El elemento -3 se simboliza por bij = b22 significando que se ubica en la fila 2, columna 2

El elemento 6 se simboliza por bij = b21 significando que se ubica en la fila 2, columna 1

NOT TACIÓN GEN NERAL DE UNA U MATRIZ Reuniendo la forma de representar r ta anto a una m matriz, como a sus elemen ntos, la notación ueda de la sig guiente mane era: general de una matriz qu

a12 a 22

a13 a 23

a32

a33

am 2

am3

L a1n ⎤ L a 2 n ⎥⎥ L a3n ⎥ ⎥ M ⎥ L a mn ⎥⎦ (m x n )

Apuntes de O Operaciones aplicada Turismo A t sobre b IInvestigación ti ió d i li d all T i I OSCAR MAYO LEYTTE

⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 A= = ⎢ a31 ⎢ ⎢ M ⎢⎣a m1

En form ma abreviada a la notación general g de un na matriz está á dada por: A = [ aij ]mn

3.5 Tipos de d matric ces Definición

FILA

Aquella matriz que tiene una sola fila, sie endo su orden 1×n

CO OLUMNA

Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orrden m×1

RECT TANGULAR

Aquella matriz m que tien ne distinto número de e filas que de columnas, siendo su s orden m×n n,

TRAS SPUESTA

Dada un na matriz A, se s llama traspuesta de A a la ma atriz que se obttiene cambian ndo ordenada amente las fila as por las columnas. Se reprresenta por At ó AT

Ejemp plo

Página

Tipo de matriz

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Aquella matriz m que tie ene igual número de e filas que de columnas, m = n, dicie endose que la a matriz es de orden n. CUA ADRADA

Diagon nal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagona al secundaria : son los elementtos aij con i+ +j = n+1 Traza de una matriz cua adrada : es la suma de d los elemen ntos de la diago onal principall tr A.

Es una matriz m cuadrad da que es igua al a su traspue esta. A = At , aij = aji

ANTIS SIMÉTRICA

Es una matriz m cuadrad da que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -a aji Nece esariamente aii = 0

DIA AGONAL

Es una ma atriz cuadrada a que tiene todos sus s elementos s nulos exceptto los de la diagonal principal

ES SCALAR

Es una ma atriz cuadrada a que tiene todos sus s elementos s nulos exceptto los de la diagonal princip pal que son ig guales

IDE ENTIDAD

Es una ma atriz cuadrada a que tiene todos sus s elementos s nulos exceptto los de la diagonal principall que son igua ales a 1. Tambien n se denomin na matriz unidad.

D Diagonal secu undaria :

Página

SIM MÉTRICA

Diagonal principal :

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Si todos sus elementos s son cero. También se s denomina matriz m cero y se denota por 0m×n 0

NULA N

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INV VERSA

Decim mos que una matriz m cuadrada A tiene inve ersa, A-1, si se e verifica que e: A·A A -1 = A-1·A = I

NO ORMAL

Una matriz z es normal si s conmuta con su tra aspuesta. Las s matrices simétric cas, antisimétricas u ortogonale es son neces sariamente normales.

TIPOS S DE MATRICES (explicación porm menorizada a) Matriz fila: Es una matriz que so olo tiene una fila, f es decir m =1 y por ta anto es de ord den 1 x n,

(a11

a13 K a1n )

a12

s una matriz que solo tiene una column na, es decir, n =1 y por tanto es de ord den Matriz columna: Es m x 1.

⎛ a11 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a21 ⎟ ⎜a ⎟ ⎜ 31 ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ m1 ⎠

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TRIA ANGULAR

Es una ma atriz cuadrada a que tiene todos los elementos po or encima (por de ebajo) de la diiagonal principal p nulos s.

Matriz cuadrada: Es E aquella que tiene el mis smo número d de filas que d de columnas, es decir m = n. En esto os casos se dice d que la matriz cuadrada es de orden n n, y no n x n. agonal principal de la matriz cuadrada ementos aij con i = j, o se ea aii forman la l llamada dia a, y Los ele los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal se ecundaria

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a13 a23 a33 K an 3

K K K K K

a1n ⎞ ⎟ a2 n ⎟ a3n ⎟ ⎟ K⎟ ann ⎟⎠

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a12 a22 a32 K an 2

Página

⎛ a111 ⎜ ⎜ a211 ⎜a ⎜ 311 ⎜K ⎜a ⎝ n1

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3.6 Clasificación de las matrices

MATRICES conceptos.

CUADRADAS,

las cuales tienen asociados los siguientes

a) Triangular superior b) Triangular inferior c) Diagonal d) Escalar e) Identidad (unidad o unitaria) f)

Simétrica

g) Anti simétrica II.

MATRICES RECTANGULARES, las cuales tienen asociados los siguientes conceptos. a) Vector fila b) Vector columna c) Vector nulo d) Vector unidad e) Vector suma

III.

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De acuerdo con las características que presentan las matrices podemos clasificar a éstas de la siguiente manera:

OTRAS MATRICES (No serán motivo de estudio en estos apuntes) a) De covarianza b) Estocásticas c) De insumo - producto d) Ortogonales, etc.

MATRIZ CUADRADA Es una matriz que contiene el mismo número de filas y de columnas, es decir que m = n. Ejemplos:

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⎡10 − 9⎤ 7 ⎥⎦ 2 x 2 ⎣8

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B= ⎢

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⎡3 4 6⎤ ⎢ ⎥ A= 2 3 8 ⎢ ⎥ ⎢⎣6 1 3⎥⎦ 3 x 3

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1 4⎤ 8 − 3⎥⎥ 8 10 ⎥ ⎥ 6 7 ⎦ 4x4

⎡6 − 2 0 ⎤ ⎢ S= 4 − 8 3 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣ 2 − 1 − 6⎥⎦ 3 x 3

DIAGONAL PRINCIPAL: En una matriz cuadrada A = [ aij ]m=n, la diagonal principal es el conjunto de los elementos aij, tales que i = j es decir, se trata de aquellos elementos que tienen el mismo dígito tanto en la fila como en la columna, en símbolos, la diagonal principal de una matriz cuadrada está dada por: Elementos de la Diagonal Principal = {a11

a 22

a33 K a nn }

A la suma algebraica de los elementos de la diagonal principal se le llama traza También debe considerarse que la diagonal principal es exclusiva de las matrices cuadradas, es decir, cuando hablamos de diagonal principal, nos referimos a una característica de una matriz cuadrada. Ejemplo: considerando la siguiente matriz:

⎡4 6 3⎤ ⎢ ⎥ A= 2 −2 6 ⎢ ⎥ ⎢⎣3 0 4⎥⎦ 3 x 3

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0 ⎡6 ⎢5 6 W= ⎢ ⎢ 3 −4 ⎢ ⎣− 2 − 3

Los elementos de la diagonal principal son:

⎡4 6 3⎤ ⎢ ⎥ Solución: A = 2 − 2 6 ⎢ ⎥ ⎢⎣3 0 4⎥⎦ 3 x 3 diagonal principal

Página

La Traza de esta matriz es = 4 + (-2) + 4 = 4 – 2 + 4 = 6

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MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:

⎡4 − 3 2⎤ ⎢ A= 0 5 6⎥⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 3⎥⎦ 3 x 3

⎡4 − 2 ⎢0 0 C= ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣0 0

0 3⎤ 6 − 1⎥⎥ 2 0⎥ ⎥ 0 − 1⎦ 4 x 4

⎡10 − 6⎤ 4 ⎥⎦ 2 x 2 ⎣0

D= ⎢

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos o iguales a cero. En símbolos: una matriz A= [ aij ]mn es triangular inferior si aij= 0, para todo i<j. Ejemplos:

⎡4 0 0⎤ ⎢ ⎥ W= 3 1 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣2 4 6⎥⎦ 3 x 3

⎡6 ⎢4 S== ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣4

0 0 0⎤ 0 0 0⎥⎥ ⎡−2 R= ⎢ 2 1 0⎥ ⎣3 ⎥ 8 0 1⎦ 4 x 4

0⎤ 1⎥⎦ 2x2

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Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están bajo la diagonal principal son todos nulos ó iguales a cero. En símbolos: una matriz A = [ aij ]m=n tiene una triangular superior, si se cumple que los elementos ai j= 0 para todo i > j Ejemplos:

MATRIZ DIAGONAL Es una matriz cuadrada en la que los elementos no diagonales son iguales a cero. En símbolos: una matriz A= [ aij ]mn es diagonal, si se cumple que aij = 0, para todo i ≠ 0 Ejemplos:

⎡ 2 0⎤ E= ⎢ ⎥ ⎣ 0 3⎦ 2 x 2

⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ F= 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ 3 x 3

Página

Nota: una matriz diagonal es, a su vez, triangular superior e inferior.

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MATRIZ ESCALAR: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos diagonales son iguales. En símbolos: una matriz A= [ aij ]mn es una matriz escalar si se cumple que:

λ para i = j ( λ puede ser un número natural, entero, racional, real o complejo) O para i ≠ j

Ejemplos:

⎡λ ⎢ T= 0 ⎢ ⎢⎣ 0

⎡8 0⎤ L= ⎢ ⎥ ⎣0 8⎦

λ 0

0⎤ 0 ⎥⎥ λ ⎥⎦

MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD Es una matriz escalar en la que todos los elementos que están en la diagonal principal son iguales a “1” (unidad positiva). Ejemplo:

⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ I= 0 1 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ 3 x 3

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aij =

⎡1 0 ⎤ ⎥ ⎣0 1 ⎦ 2 x 2

I= ⎢

MATRIZ SIMÉTRICA: Es una matriz cuadrada A= [ aij ]mn en la que aij = aji Ejemplo: dada la matriz

⎡ − 1 2⎤ ⎥ ⎣ 2 1⎦ 2 x 2

Página

M= ⎢

Esta matriz es simétrica ya que cumple la igualdad de que m12 = m21 = 2

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En otro ejemplo, consideremos la siguiente matriz:

Esta matriz es simétrica ya que cumple las igualdades: f12 = f21 = 4 f13 = f31 = 6 f23 = f32 = 8

MATRIZ

ANTI SIMÉTRICA:

Se trata de una matriz cuadrada que tiene los elementos de la diagonal principal iguales a cero y los elementos que tiene arriba y debajo de la diagonal principal son los mismos pero con signo contrario, es decir, si doblamos como papel desde la diagonal principal, veremos los mismos elementos, pero con signo contrario . Simbólicamente es una matriz cuadrada A= [ aij ]mn en que aij = -aji para todo i y j

Ejemplo: consideremos la siguiente matriz

⎡0 − 1⎤ ⎥ ⎣1 0 ⎦ 2 x 2

Q= ⎢

Esta es anti simétrica ya que cumple la igualdad q21 = -q12

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

⎡3 4 6⎤ ⎢ ⎥ F= 4 −6 8 ⎢ ⎥ ⎢⎣6 8 9 ⎥⎦

En otro ejemplo, consideremos a la siguiente matriz:

⎡ 0 2 1⎤ ⎢ ⎥ R= −2 0 −3 ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 1 3 0 ⎥⎦ 3 x 3 Vemos también que es anti simétrica ya que se cumple: r12 = -r21 r13 = -r31

Página

r23 = -r32

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MATRIZ NULA:

Ejemplos:

⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ O= 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ 3 x 3

⎡0 0 ⎤ O= ⎢ ⎥ ⎣0 0 ⎦ 2 x 2

⎡0 0 0 0⎤ ⎥ ⎣0 0 0 0⎦ 2 x 4

O= ⎢

MATRIZ RECTANGULAR Es una matriz en la que el número de filas es distinto al número de columnas. En símbolos, son aquellas en que m ≠ n. Ejemplos:

⎡ 4 6 − 1 3⎤ Z =⎢ ⎥ ⎣ 2 2 − 2 6⎦ ( 2 x 4 )

⎡ 2 4⎤ ⎢ ⎥ O= 6 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣2 1⎥⎦ (3 x 2)

[

S= 4

3 2](1 x 3)

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Es una matriz cuadrada o rectangular en la que todos sus elementos son iguales a cero. En símbolos, es una matriz A = [ aij ]mn donde se cumple que cada aij = 0 para todo i,j. Se representa con la letra O.

VECTOR FILA Es una matriz rectangular formada por una sola fila. Su orden está dado por (1 x n).

Ejemplos:

[

R= 1

4 − 3 − 2]

VECTOR COLUMNA: Es una matriz rectangular formada por una sola columna. Su orden está dado por (m x 1).

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− 1 3]

Página

[

S= 1

⎡2⎤ ⎥ ⎣3⎦ ( 2 x1)

W= ⎢

⎡4⎤ ⎢ ⎥ A= − 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ (3 x1)

⎡6⎤ ⎢3⎥ ⎥ R= ⎢ ⎢ − 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 ⎦ (4 x1)

VECTOR UNIDAD Es un vector fila o un vector columna, donde uno de sus componentes es 1 y los demás componentes son cero, ejemplos:

[ J = [0 L = [0

U= 1 0

0 L 0] el primer componente es 1 y los demás son cero

1 0 L 0] el segundo componente es 1 y los demás son cero 0 1 L 0] el tercer componente es 1 y los demás son cero

..............................................

[

H= 0

0 0 L 1] el n –ésimo componente es 1 y los demás son cero

VECTOR NULO: Es un vector fila o columna cuyos componentes son todos iguales a cero. Ejemplos:

0 0](1x 3)

⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ D= 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0⎥⎦ (3 x1)

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ B= ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ( 4 x1)

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Ejemplos:

Página

Las relaciones de igualdad y desigualdad nos permiten comparar entre sí a las matrices.

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3.7 Operac ciones co on matric ces

DAD DE MATRICES IGUALD

Dos matrices A = [ aij ]mn condiciones: i)

B = [ bij ]rss

son igua ales, sí y solo o sí satisfacen n las siguienttes

Son del mis smo orden y si s

ndientes son iguales. ii) Los elementos correspon A=B

m=r

En n símbolos:

n=s

aij = bij, para p todo ij Ejemplo de matrices que e son iguales::

⎡3⎤ ⎢ ⎥ H= = −2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ (3 x1)

⎡3⎤ ⎢ ⎥ T= − 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ (3 x1)

Apuntes de O Operaciones aplicada Turismo A t sobre b IInvestigación ti ió d i li d all T i I OSCAR MAYO LEYTTE

VIOS PARA COMPREND C ER LAS OPE ERACIONES CON MATRICES CONCEPTOS PREV

SPUESTA DE E UNA MATR RIZ TRANS La tran nspuesta de una matriz A = [ aij ]mnn es otra m matriz A = [ aji ]nm interca ambiando filas s por columna as (o lo que es e igual, colum mnas por filass). nspuesta de A se simboliiza por At o por A’ La tran

Si A = [ aij ]mn

que se obtie ene

su transpuesta es At = [ aji ]nm

d se deduce d que si s A es de orden m x n, enttonces At es d de orden n x m De la definición

Página

Simbólicamente:

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Ejemplos: Su transpuesta es:

⎡4 ⎢− 3 At= ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣−1

⎡4 − 3 2 − 1⎤ ⎢ 3 0 5 ⎥⎥ A= 6 ⎢ ⎢⎣3 8 6 9 ⎥⎦ (3 x 4)

Considerando la siguiente matriz:

⎡5⎤ ⎢ ⎥ P= 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦ (3 x1)

6 3⎤ 3 8 ⎥⎥ 0 6⎥ ⎥ 5 9 ⎦ ( 4 x 3)

Su transpuesta es:

Pt =

3 1](1x 3)

SUMA DE MATRICES Dadas dos matrices del mismo orden A= [ aij ]mn y B = [ bij ]mn se define la suma como otra matriz C = [ cij ] de igual orden, cuyos componentes se obtienen sumando los componentes correspondientes de las matrices dadas. En símbolos: A + B = C tiene por elementos genéricos aij + bij = cij Ejemplo: dadas las matrices A y B, obtener A + B considerando las siguientes matrices:

⎡ 4 − 3 2⎤ ⎢ ⎥ A= 5 − 1 6 ⎢ ⎥ ⎢⎣3 2 1⎥⎦ (3 x 3)

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Considerando la siguiente matriz:

⎡5 6 − 5⎤ ⎢ 6 ⎥⎥ B= 3 − 2 ⎢ ⎢⎣8 − 4 − 3⎥⎦ (3 x 3)

Página

⎡ 9 3 − 3⎤ ⎡4 − 3 2⎤ ⎡5 6 − 5⎤ ⎡ 4 + 5 − 3 + 6 2 − 5⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A+B= 5 − 1 6 + 3 − 2 6 ⎥ = ⎢ 5 + 3 − 1 + 2 6 + 6⎥ = ⎢ 8 − 3 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣11 − 2 − 2⎥⎦ (3 x 3) ⎢⎣3 2 1 ⎥⎦ ⎢⎣8 − 4 − 3⎥⎦ ⎢⎣ 3 + 8 2 − 4 1 − 3 ⎥⎦

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1ª

A + (B + C) = (A + B) + C

Propiedad asociativa

2ª

A+B=B+A

Propiedad conmutativa

3ª

A + 0 = A (0 es la matriz nula)

Matriz nula

La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

DIFERENCIA DE MATRICES Dadas dos matrices del mismo orden A= [ aij ]mn y B = [ bij ]mn se define la diferencia como otra matriz C = [cij] de igual orden, cuyos componentes se obtienen restando a los elementos de A los elementos correspondientes de B. en símbolos: A – B = C; es decir, aij – bij = cij. Ejemplo:

dadas las matrices M y N calcular M - N

M–N=

⎡6 − 3⎤ ⎢8 4 ⎥ ⎣ ⎦ ( 2 x 2)

⎡− 3 2 ⎤ ⎢ − 3 − 6⎥ ⎣ ⎦ ( 2 x 2)

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PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

⎡6 − 3⎤ ⎡− 3 2 ⎤ ⎡6 + 3 − 3 − 2⎤ ⎡ 9 − 5⎤ ⎢8 4 ⎥ - ⎢− 3 − 6⎥ = ⎢8 + 3 4 + 6 ⎥ = ⎢11 10 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( 2 x 2) ⎣

PRODUCTO DE UNA ESCALAR (CONSTANTE) POR UNA MATRIZ Dada una matriz escalar L y una matriz A = [ aij ]mn el producto de L x A es otra matriz también del mismo orden que se obtiene multiplicando L por c/u de los elementos de la matriz A. Ejemplo: encontrar el producto de L x A considerando:

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42 Página

L=-3

⎡ 3 − 2 1⎤ ⎢ ⎥ A= 4 − 2 6 ⎢ ⎥ ⎢⎣6 8 9⎥⎦ (3 x 3)

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6 −3 ⎤ ⎡3 − 2 1⎤ ⎡ − 3(3) − 3(−2) − 3(1) ⎤ ⎡ − 9 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 6 − 18 ⎥⎥ L x A = -3 4 − 2 6 = − 3( 4) − 3( −2) − 3(6) = − 12 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣6 8 9⎥⎦ ⎢⎣ − 3(6) − 3(8) − 3(9) ⎥⎦ ⎢⎣− 18 − 24 − 27⎥⎦

( 3 x 3)

COMBINACION LINEAL Dadas las matrices A = [ aij ]mn , B = = [ bij ]mn M = [mij], todas del mismo orden y los números α , β ,…… μ , se dice que la matriz α x A+ β x B+ …… μ x M es una combinación lineal de las matrices dadas, ejemplo: sean las matrices

⎡2⎤ ⎢ ⎥ A= 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣2⎥⎦ (3 x1) y los números

⎡2⎤ ⎢ ⎥ B= 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣− 1⎥⎦ ( 3 x1)

⎡6⎤ ⎢ ⎥ C= 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣− 2⎥⎦ (3 x1)

α = 2, β = −3 y Δ = 3 , encontrar la solución lineal:

⎡2⎤ ⎡2⎤ ⎡6⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ α A + β B + Δ C = (2) ⎢ 3 ⎥ +(-3) ⎢ 3 ⎥ +(3) ⎢⎢ 3 ⎥⎥ = ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣− 1⎥⎦ ⎢⎣− 2⎥⎦ ⎡( 2) 2 ⎤ ⎡( −3) 2 ⎤ ⎡(3)6 ⎤ ⎢( 2)3 ⎥ + ⎢( −3)3 ⎥ + ⎢(3)3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣( 2) 2 ⎥⎦ ⎢⎣( −3) − 1⎥⎦ ⎢⎣(3) − 2⎥⎦

⎡ 4 ⎤ ⎡− 6⎤ ⎡ 18 ⎤ ⎢ 6 ⎥ + ⎢ − 9⎥ + ⎢ 9 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣− 6⎥⎦

⎡16⎤ ⎢6⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ (3 x1)

Página

⎡ 4 − 6 + 18⎤ ⎢6 − 9 + 9 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣⎢ 4 + 3 − 6 ⎥⎦

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Solución:

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PRODUCTO DE MATRICES (MULTIPLICACION DE MATRICES) Antes de tratar el caso general de producto de matrices y sus condiciones de aplicabilidad, se presentaran algunos casos especiales, que permiten analizar ciertos aspectos importantes de esta operación. Estos casos son: 2) vector columna por vector fila 3) matriz por vector columna 4) vector fila por matriz 5) el caso general del producto de matrices (matriz por matriz)

VECTOR FILA POR VECTOR COLUMNA Dado el vector fila X = [X11, X12, X13,….Xln](lxn), y el vector columna

⎡ y11 ⎤ ⎢y ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢y ⎥ Y = ⎢ 31 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢y ⎥ ⎣ m1 ⎦ ( nx1) El producto de (X)(Y) se obtiene multiplicando cada elemento del vector X por el elemento correspondiente del vector Y, sumando todos los productos parciales obtenidos, como se ejemplifica a continuación:

[

XY = x (11)

x (12 )

x (13)

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1) vector fila por vector columna

⎡ y11 ⎤ ⎢y ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢y ⎥ ....x (1xn ) ] ⎢ 31 ⎥ = [x11 y11 + x12 y21 + x13 y31 + ....x1n ym1 ]( nx1) = . ⎢ ⎥ ⎢. ⎥ ⎢y ⎥ ⎣ m1 ⎦

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Página

Para que el producto de (X)(Y) puede efectuarse, es necesario que ambos vectores sean conformables, esto es, que el número de columnas del primero (vector fila) sea igual al número de filas del segundo (vector columna). En este caso, el orden del vector fila es (lxn) y el del vector columna Y es (nxl), por lo que este requisito se cumple, ilustrando tenemos:

= ∑ x1j yi1

X(1xn)

Y(nx1) Conformables

Ejemplo: encontrar el producto de XY considerando:

[

X= 2 1

⎡1⎤ ⎢2⎥ ⎥ Y= ⎢ ⎢ − 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 2⎦ ( 4 x1)

− 3 4] (1x 4 )

Solución

[

XY= 2 1

− 3 4](1x 4 )

⎡1 ⎤ ⎢ 2⎥ ⎥ = [( 2)1 + 1( 2) + ( −3) − 3 + 4( −2)] = x ⎢ ⎢ − 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 2⎦ ( 4 x1)

[5](1x1)

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Orden resultante

VECTOR COLUMNA POR VECTOR FILA Sea el vector columna Y de orden (nx1) y el vector fila X de orden (1xm). El producto de (Y)(X) se obtiene multiplicando cada elemento del vector Y por todos y cada uno de los elementos del vector X. Ejemplo:

y1 xm ⎤ y2 x2 ...... y2 xm ⎥⎥ yn x2 ....... yn xm ⎥⎦ ( nxm) y1 x2 ......

Para efectuar (X)(Y), es necesario que ambos factores sean conformables, esto es, que el número de columnas del primero (vector Y) sea igual al número de filas del segundo (vector X) el resultado del producto deberá tener tantas filas como el primer factor (vector Y) y tantas columnas como el segundo factor (vector X) , es decir, una matriz de orden (nxm). Ejemplo:

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x2 ......xm ](1xm)

⎡ y1 x1 ⎢y x = ⎢ 2 1 ⎢⎣ yn x1

Página

⎡ y1 ⎤ ⎢y ⎥ ⎢ 2⎥ x [x1 ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ yn ⎦ ( nx1)

Efectuar el producto de (Y)(X), considerando:

− 3](1x 3)

Solución:

⎡3⎤ 2( −1) 3( −3) ⎤ ⎡ 3( 2) ⎢ − 2⎥ ⎢ ⎥ x [2 − 1 − 3](1x 3) = ( −2) 2 ( −2) − 1 ( −2) − 3 = (Y)(X) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ (3 x1) ⎢⎣ 1( 2) 1( −1) 1( −3) ⎥⎦ ⎡ 6 − 3 − 9⎤ ⎢ 2 6 ⎥⎥ = −4 ⎢ ⎢⎣ 2 − 1 − 3⎥⎦ (3 x 3) Nota: obsérvese que si se efectúa (X)(Y) el resultado será diferente a (X)(Y), esto muestra que (X)(Y) ≠ (Y)(X)

MATRIZ POR VECTOR COLUMNA Dadas la matriz A = [ aij ]mn de orden (mxn) y el vector columna Y = [ yij ]mn de orden (nx1) , el producto (A) (Y) La matriz “A” puede considerarse como integrada por un conjunto de m vectores fila (de n elementos cada una), y cada uno de ellos, se multiplicará por el vector columna Y, como se ejemplifica a continuación:

⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 AY = ⎢ L ⎢ ⎢L ⎢⎣am1

a12 a22 L L am 2

L a1n ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡∑ aij L a ⎥⎥ ⎢y ⎥ ⎢ 2 = ⎢ ∑ a2 j x ⎢ ⎥ L L⎥ ⎢M⎥ ⎥ ⎢∑ amj L L⎥ ⎢ ⎥ ⎣ y n amn ⎥⎦ ( mxn ) ⎣ ⎦ ( nx1)

ji ⎤ ⎥ ji ⎥ ji ⎥⎦ ( mx1)

Para llevar a cabo el producto de (A)(Y) es necesario que ambos factores sean conformables, esto es, que el número de columnas de la primer matriz (A) sea exactamente igual al número de filas de la segunda matriz (Y). El resultado deberá tener tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda, esto es, de orden (mxi); lo cual equivale a un vector columna.

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−1

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[

X= 2

Página

⎡3⎤ ⎢ ⎥ Y= −2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ (3 x1)

Ejemplo considerando la matriz A y el vector columna Y

⎡ − 2⎤ ⎢ ⎥ Y = −1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ (3 x1)

Efectuar (A)(Y)

Solución:

⎡ 3 − 2 4⎤ ⎡ − 2⎤ ⎢2 − 1 6⎥ ⎢ ⎥ AY = x −1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣4 − 2 3⎥⎦ (3 x 3) ⎢⎣ 4 ⎥⎦ (3 x1)

⎡3( −2) + ( −2) − 1 + 4(4) ⎤ ⎢ 2( −3) + ( −1) − 1 + 6( 4) ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎣4( −2) + ( −2) − 1 + 3(4) ⎥⎦ ⎡− 6 + 2 + 16 ⎤ ⎢ ⎥ = − 4 + 1 + 24 ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 8 + 2 + 12 ⎥⎦

⎡12⎤ ⎢21⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 6 ⎥⎦ (3 x1)

VECTOR FILA POR MATRIZ Dado el vector fila X [ xij ]mn y la matriz A = [ aij ]mn el producto (X) (A) se obtiene considerando a la matriz A como integrada por un conjunto de n vectores columna, y multiplicando el vector fila X por cada uno de ellos, como se ejemplifica a continuación:

(X) (A) =

[x1

x2 L xm ](1xm) =

⎡ a11 ⎢ x a 21 ⎢ ⎢⎣am1

[∑ xi ai1

a12 a22 am 2

L a1n ⎤ L a2 n ⎥⎥ ....amn ⎥⎦ ( mxn )

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⎡ 3 − 2 4⎤ ⎢ ⎥ A = 2 −1 6 ⎢ ⎥ ⎢⎣4 − 2 3⎥⎦ (3 x 3)

∑ xi ai 2 L ∑ xi ain ](1xn)

Para efectuar (X) (A) es necesario que ambos factores sean conformables. El resultado es una matriz que tendrá tantas filas como el primer factor y tantas columnas como el segundo factor, esto es, un vector fila de orden (1xn) Ejemplo: efectuar (X)(A) considerando:

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2 1 3](1x 4 )

Página

[

X = −1

⎡2 − 1 1 ⎤ ⎢1 − 2 3 ⎥ ⎥ = A= ⎢ ⎢4 − 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣5 − 2 − 3⎦ ( 4 x 3)

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[

XA = − 1

= [− 1( 2 ) + 2 (1) + 1( 4 ) + 3 ( 5 ),

[

= − 2 + 2 + 4 + 15 1 ,

2 1 3](1x 4 )

⎡2 − 1 1 ⎤ ⎢1 − 2 3 ⎥ ⎥ = x ⎢ ⎢4 − 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣5 − 2 − 3⎦ ( 4 x 3)

( − 1)( ) − 1) + 2 ( − 2 ) + 1( − 1) + 3 ( − 2 ),

1 − 4 − 1 − 6,

( − 1)1 + 2 ( 3 ) + 1( 3 ) + 3 ( − 3 ) ] =

− 1 + 6 + 3 − 9] =

[19

− 10 − 1](1x 3)

PRODUCTO DE DO OS MATRICE ES (CASO GE ENERAL) Sean la as matrices A = [ aij ]mn y B = [ bij ]mn el prod ducto de (A) ((B) se obtiene e, consideran ndo a la ma atriz “A” como o formada porr un conjunto de vectores fila y a la mattriz ”B” como formada por un conjunto de vectore es columna. La L multiplicac ción si son co onformables, se realizará ccon cada vecctor A” por todos y cada uno de los vecto ores de la m matriz “B”, com mo se ilustra a a fila de la matriz “A uación: continu Ejempllo general con n símbolos:

Apuntes de O Operaciones aplicada Turismo A t sobre b IInvestigación ti ió d i li d all T i I OSCAR MAYO LEYTTE

Solució ón:

Ejempllo numérico: Efectuar el producto p de (A A) (B) , de acu uerdo con

⎡1 2 4 ⎤ ⎢ ⎥ = B= 4 1 5 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 0 1 ⎥⎦ 3 x 3

Página

⎡3 4 2 ⎤ A= ⎢ ⎥ ⎣3 9 1 ⎦ 2 x 3

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⎡1 2 4 ⎤ ⎡3 4 2⎤ ⎢ ⎥ AB = ⎢ ⎥ x ⎢4 1 5 ⎥ = 3 9 1 ⎣ ⎦ 2 x3 ⎢ ⎣3 0 1 ⎥⎦ 3 x 3 = [3(1) + 4(4) + 2(3),

3(2) + 4(1) + 2(0), 3(4) + 4(5) + 2(1), 3(1) + 9(4) + 1(3), 3(2) + 9(1) + 1(0), 3(4) + 9(5) + 1(1)] =

⎡3 + 16 + 6 6 + 4 + 0 12 + 20 + 2⎤ ⎢3 + 36 + 3 6 + 9 + 0 12 + 45 + 1⎥ ⎣ ⎦

⎡ 25 10 34 ⎤ ⎢ 42 15 58⎥ ⎣ ⎦ 2 x3

INVERSA DE UNA MATRIZ (A-1) El cálculo de la matriz inversa es una herramienta necesaria sobre todo, para resolver sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones matriciales. De alguna forma la matriz inversa rellena el hueco con el que nos encontramos al no poder realizar la división de matrices, porque en matrices la división no existe, no está definida. Una matriz cuadrada que tiene inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. La matriz inversa, si existe, es única y tiene las siguientes propiedades: 1. A-1·A = A·A-1= I 2. (A·B)-1 = B-1·A-1 3. (A-1)-1 = A 4. (kA)-1 = (1/k) A-1

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Solución:

5. (At) –1 = (A-1) t Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A ¹ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha". Para calcular la matriz inversa de una matriz dada, solo emplearemos el “Método de GaussJordan” Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A

B). La matriz B será,

Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa. Cuando hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:

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In)

Página

mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In evidentemente, la inversa de A.

0 ⎞ ⎟ 1 ⎟ − 2 ⎟⎠

1 1 1

F2 – 22F1 J

⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

1 −1 2

0 ⎞ ⎟ 1 ⎟ − 2 ⎟⎠

Esta transformación n es equivalen nte a la siguie ente multiplica ación:

⎛ 1 ⎜ ⎜− 2 ⎜ 1 ⎝

0 1 0

0⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⋅⎜ 2 1 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1

1 1 1

0 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ = ⎜0 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

1 −1 2

0 ⎞ ⎟ 1 ⎟ − 2 ⎟⎠

En con nsecuencia al a transformarr (A I In) en (In I B) realm e estamos ha aciendo son las mente lo que siguien ntes multiplica aciones: A-1·A = In y A-1 · In = A-1 = B Proced dimiento Gen neral: deremos una matriz 3x3 arrbitraria Consid

1 Le adjunta amos una ma atriz unitaria (I) Paso 1.

Apuntes de O Operaciones aplicada Turismo A t sobre b IInvestigación ti ió d i li d all T i I OSCAR MAYO LEYTTE

⎛ 1 ⎜ ⎜ 2 ⎜−1 ⎝

2 Se aplica la a siguiente op peración Paso 2.

El siguiente e paso es igual que el anterior, pero essta vez se co oge como pivvote el segund do término de la l diagonal prrincipal.

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Página

Una vez rea alizados todos los pasos, la mitad izqu ierda de la m matriz M se co onvierte en un na matriz diago onal. En este e momento ha ay que proced der a transforrmar, si es qu ue no lo está, la mitad izquie erda en la ma atriz identidad d, dividiendo si fuera nece esario las fila as de M por u un escalar.

Al llegar al último términ no de la diagonal, se proccede igual qu ue antes, perro poniendo los ma del nuevo pivote. Se ob bserva que a al coger como o pivote el últtimo término d de ceros encim la diagonal, la matriz A se s transforma en una matriiz triangular.

Ejempllo numérico:

Primerro construimos la matriz M = (A

Apuntes de O Operaciones aplicada Turismo A t sobre b IInvestigación ti ió d i li d all T i I OSCAR MAYO LEYTTE

contrar la inve ersa de Supongamos que queremos enc

I I),

e forma triangular, por cconsiguiente, A es invertible. Si hubie era La mitad izquierda de M está en do toda una fila con cero os en la mita ad A de M, l a operación habría terminado (A no es quedad invertib ble). A conttinuación, cog gemos como pivote a33, ponemos cero os encima de e éste y seguimos operand do hasta que q nos qued de una matriz diagonal.

uedado en la mitad derecha de M es pre ecisamente la a matriz inverrsa de A: La mattriz que ha qu --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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ue la matriz colocada en e la mitad izquierda ess diagonal, no hay que e operar má ás. Ya qu Transfo ormamos la matriz m diagonal en una ma atriz identidad d; para ello ha ay que dividir la segunda ffila entre -1:

Comprrobación:

AA A-1 = I

Podem mos encontrrar la invers sa empleand do una tabla a donde rea alicemos las s operacione es hacia abajo, es de e hecho, la manera que e resulta má ás recomend dable, por s ser más cortta, eviden nte y en caso o de tener algún error, es s más senci llo descubrirrlo, este pro ocedimiento e es como sigue: Transcribim mos los eleme entos de la matriz m a una tabla, luego, le adjuntam mos una matriz unitaria dell mismo orden n, quedando:

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c si el resultado es e correcto, se s procede a multiplicar A AA-1, teniendo o que dar com mo Para comprobar resulta ado la matriz identidad I.

Aho ora, hacemos que el prime er elemento (a a11) de la mattriz “A” se con nvierta en 1, e en este caso, ya y es 1, por lo o cual, nos he emos ahorrad do un paso en n este problem ma

En la segun nda fila, pondremos los res sultados de m multiplicar porr (-2) a cada elemento de la primera fila sumado a su u elemento res spectivo en e esa segunda ffila:

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NOTA: en este paso o, no afectare emos a los ele ementos ubiccados en la prrimera fila, so olo e transcribimo os hacia abajo o, toda la prim mera fila. a los de la segunda fila, por lo que

A continuac ción debemos s obtener ceros abajo del (1), es decir,, en la columna 1, abajo d del elemento (a a11), para elllo, primeramente deberem mos multipliccar a cada e elemento de la primera fila por el elemen nto (a21), pero o con signo ccontrario, es d decir, por (-2) y sumamos el spectivo ubica ado en la seg gunda fila. resultado al elemento res

Como nuevo elemento (a a25) se obtiene: (-2)(0) + ((1) =

Como nuevo elemento (a a26) se obtiene: (-2)(0) + ((0) =

Elementoss de la matriz adju unta

Los resultados completos se muestran m a ccontinuaciรณn:

En la tercera t fila, para obtener cero c abajo de el (1), es deccir abajo del e elemento (a11), observamo os que el elemento ac ctual (a31), es e (4), para convertirlo c en n cero, multip plicaremos p por (-4) a cad da nto de la prim mera fila y el re esultado lo su umamos al re espectivo elem mento de la te ercera fila: elemen

Como nuevo elemento (a a31) se obtiene: (-4)(1) + ((4) =

Como nuevo elemento (a a32) se obtiene: (-4)(0) + ((1) =

Como nuevo elemento (a a43) se obtiene: (-4)(2) + ((8) =

Como nuevo elemento (a a44) se obtiene: (-4)(1) + ((0) = -4 Como nuevo elemento (a a45) se obtiene: (-4)(0) + ((1) =

Como nuevo elemento (a a46) se obtiene: (-4)(0) + ((0) =

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Elementoss de la matriz adju unta

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Como nuevo elemento (a a24) se obtiene: (-2)(1) + ((0) = -2

Como nuevo elemento (a a23) se obtiene: (-2)(2) + ((3) = -1

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Como nuevo elemento (a a22) se obtiene: (-2)(0) + ((-1) = -1

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Como siguiente pas so, buscarem mos que el ele emento (a22) se convierta en (1), actua almente es (-1 1), ograr que sea a positivo, sim mplemente te endremos qu ue dividir a esste elemento o por sí mism mo, para lo pero esta misma op peración se aplicará a a los restantes ele ementos de e esa segunda fila, es decir,, a más elemento os también los s dividiremos s por (-1). los dem

NOTA: En este e paso, tra anscribimos abajo la prime era y tercera ffila completass Los resultad dos son:

A continuac ción, buscam mos que arriba y abajo de el (1), que he emos anotad do como nuevvo elemento (a a22), haya cero os, en este ca aso en la colu umna 2.

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os Observamo os que arriba ya y hay cero, es decir, el e elemento (a12)), es ya cero, por lo que no hemos ahorrramos conve ertirlo.

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Como siguiente pas so, haremos que el eleme ento (a33) se convierta en n uno, eso lo lograremos, al o entre sí mis smo (-1), pero o además, de ebemos apliccar esta mism ma operación a los restantes dividirlo elemen ntos de la terc cera fila, es decir, debemo os dividirlos ta ambién entre (-1):

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En estte paso, no afectamos a ni a la primera,, ni a la segu unda fila, porr lo que transscribimos haccia abajo completas c esttas dos prime eras filas:

o afectaremo os a los eleme entos ubicado os en la segu unda fila, solo oa NOTA: en este paso, no cribimos abajo o, toda la prim mera y segunda fila. los de la terrcera fila, por lo que transc

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Ahora obse ervamos que como eleme ento (a32) hayy un (1), parra hacerlo ce ero, deberemos multiplicar por p este (1), pero con sig gno contrario o, a cada elemento de la segunda fila a y sumar el res sultado a su respectivo r ele emento ubica ado en la terce era fila.

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mente buscarremos arriba del (1), es s decir del nuevo elem mento (a33) o obtener cero os, Finalm observ vamos los núm meros que tenemos a la altura a de la prrimera y de la a segunda fila as. Para haccer que el (2), se convie erta en cero, multiplicarem mos por ese m mismo número o, pero con signo contrario oa e ubic cado en la terrcera fila y su u resultado se e sumará a su respectivo elemento en la cada elemento primera a fila; en tantto, observamo os que el (1) que aparece e arriba, a la a altura de la ssegunda fila, sse podrá convertir en cero, al mulltiplicar por este e pero con n signo contrario, es deccir (-1), a cad da nto de la terce era fila y su re esultado se sumará a su re espectivo ele emento en la ssegunda fila: elemen

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Veamo os el resumen n de todo el procedimiento p o, apreciando o las etapas que fuimos llevando a cab bo paso por p paso:

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Los res sultados se presentan a co ontinuaciรณn:

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Al finall, hemos obte enido una matriz unitaria, en e el lado don nde comenza amos con la m matriz original y en el otro o lado, la matriz m inversa. AA-1=I

Consid deremos otro ejemplo, pero o esta vez, lo haremos má ás directamen nte y con una matriz de 2x2 2. Considerem mos la matriz

⎡2 4⎤ ⎥ ⎣2 6⎦ 2 x 2

L= ⎢

los pasos p para la inverssa son:

Adjuntamos una matriz unitarria, obtenemos (1)), en lugar del (2), dividienddo por sí mismo, aaplicando a todo ell renglón

Obtenemos ddebajo del (1) cerro, multiplicando ppor el núm. de abajo pero ccon signo contrariio (-2) al elementto (1) y luego sumamos ell resultado al elem mento de abajo. Se aplica la operación a llos demás elemenntos. No se afecta la primera fila y se transcribbe igual

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Comprrobamos que es efectivamente la invers sa, se cumple e que:

Se conviertee el (2) en (1), diviidiendo por sí missmo, aplicando la misma opeeración a los demáás elementos del reenglón.

Obtenemos aarriba del (1) cero , multiplicando poor el núm. que está arriba ppero con signo coontrario (-2) al eleementos (1) y luego sumam mos el resultado all elemento de arriiba. Se aplica la operación a los demás elem mentos. No se afeccta la segunda fila y se transscribe.

Se tiene así, la matriz inversa dde “L”

(L)(L-1) = I

Comprobam mos que es effectivamente la inversa, se e cumple que

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⎡2 4⎤ ⎡ 1.5 − 1⎤ ⎡1 0⎤ ⎢2 6⎥ ⎢− 0.5 0.5⎥ = ⎢0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

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Consideremos ahora, la siguiente matriz de 3x3

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⎡6 5 2 ⎤ ⎢1 4 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 2 3⎥⎦

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Los pasos y la inversa son:

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Obttenemos debajo ddel (1) ceros, mulltiplicando porr el núm. de abajo pero con signo coontrario al elem mento (1) y luego sumamos el resultado al elem mento de abajo. S Se aplica la operaación a los dem más elementos. N No se afecta la prim mera fila y se ttranscribe igual Se convierte el (3.166666667) en (1), divvidiendo por sí m mismo, aplicando lla misma op eración (división) a los demás elem mentos del rennglón. Obbtenemos arriba y abajo del (11) ceros, muultiplicando por eel núm. que está arriba y lueego el de abajo pero con signo conntrario al eleementos (1) y lueggo sumamos el ressultado al eleemento de arrriba y al dee abajo resspectivamente. See aplica la operacción a los dem más elementos. N No se afecta la seggunda fila y sse transcribe. Se convierte el (2.421052632) en (1), divvidiendo por sí m mismo, aplicando lla misma opeeración (división) a los demás elementos del rennglón.

Obttenemos arriba deel (1) ceros, mulltiplicando porr el núm. de arribaa pero con signo coontrario al elem mento (1) y lueggo sumamos el resultado al elem mento de arriba. Se aplica la operaación a los dem más elementos. N No se afecta la terccera fila y se ttranscribe igual

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Addjuntamos una mattriz unitaria, obtennemos (1), en lugar del (6), ddividiendo por ssí mismo, apllicando a todo el renglón

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Se tiene así, la matrizz inversa

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e las aplicaciiones muy im mportantes de el álgebra de matrices, ess la solución de sistemas de Una de ecuaciones lineales s, en particular el método de Gauss--Jordan. Esste método p permite resolvver as ecuaciones s simultáneas s. mucha El méto odo se ilustra a mejor con un n ejemplo. Re esolvamos el siguiente con njunto de ecu uaciones 3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3 0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000 Primerro expresemo os los coeficientes y el vector v de térrminos independientes co omo una mattriz aumen ntada.

Se norrmaliza el prim mer renglón dividiendo entre (3) para ob btener (1) com mo nuevo ele emento a11:

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3.8 Solució ón de ecu uaciones s linealess

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En seg guida, se convierte en (1) al elemento (a22), que en este momen nto es (7.003)) en el segun ndo renglón n, esto lo logrraremos dividiendo entre (7.003) a todo o ese renglón :

El térm mino (a21) se puede p converrtir en cero res stando (0.1) vveces el prim mero del segun ndo renglón. De una manera similarr, restando (0 0.3) veces el primero del ttercer renglón n, permitirá q que el elemen nto e convierta en n cero. La op peración debe aplicarse a los demás ellementos, ressultado: (a31) se

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Ahora, deberemos convertir el elemento e (a33), en (1), actu ualmente es (10.010), lo ccual lograrem mos dir todo el terc cer renglón po or (10.010): al divid

Finalm mente, hacem mos que arrib ba y abajo del d elemento o (a33), que ya es (1), se tenga ce ero, quedan ndo:

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Obtene emos ceros arriba a y abajo del elemento o (a22), que ya a es (1), resulltando:

derando un d Los res sultados se le een en la últim ma columna, donde d enconttramos consid decimal:

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X1 = 3.0 X2 = -2.5 X3 = 7.0

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A con ntinuaciรณn se muestra el resumen n de operacciones:

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deremos ahorra, el siguiente sistema de dos ecuacion nes con dos incógnitas: Consid (se recomie enda intentar resolverlo y contrastar c con n el resultado que aquí se dá) = 3 = 8 Apuntes de O Operaciones aplicada Turismo A t sobre b IInvestigación ti ió d i li d all T i I OSCAR MAYO LEYTTE

6 X1 + 3 X2 4 X1 + 6 X2

X1 = -0.25 X2 = 1.5

Ahora consideremos el siguiente e sistema de ecuaciones: e

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4 X1 + 6 X2 + 2 X3 = 8 3 X1 + 5 X2 + X3 = 5 7 X1 + 6X 6 2 + 4 X3 = 1

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Apuntes de O Operaciones aplicada Turismo A t sobre b IInvestigaci贸n ti i贸 d i li d all T i I OSCAR MAYO LEYTTE sultados indic can que: Los res

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X1 = -6 X2 = 3.5 X3 = 5.5

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3.9 Uso de Excel pa ara operraciones con mattrices

ersa de una matriz m constru uimos una hojja como la sig guiente: Para obtener la inve

4 debemos ob btener la inve ersa con la exxpresión MINV VERSA(A2:C C4). En las celdas E2:G4 Selecc cionamos el área á A7:C9, in ntroducimos la a expresión = =MMULT( A2 2:C4 ; E2:G4) y pulsamos las teclas CTRL.+MAYU US+INTRO. 9 con la expre esión: =MMU ULT( E2:G4 ; A A2:C4) Repetimos esto en el área E7:G9 ejemplos no o obtengamos exactamente e la Por difficultades de precisión es posible que en algunos e matriz identidad y en e algún elem mento aparezc can valores ccomo 1 E-15 5 (es decir 1** 10 –15 ) en vvez ede evitar elig giendo sólo 2 posiciones decimales (o o incluso 0 decimales) en n el de 0. Esto se pue F – Ce elda – Número o. menú Formato

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INVERSA

Introdu ucimos como matriz a una a con dos filas s iguales. O bservaremoss que en este e caso no exisste inversa a. Es deseab ble que realice emos otros ejjemplos simila ares. PRODUCTO O DE MATRICES MANUA ALMENTE

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Aunque Excel prop porciona una a función que e efectúa au utomáticamen nte el produccto de matricces mos elaborar una hoja qu ue realice el producto pa ara dos matrices cuadrad das de orden n 3 podem siguien ndo el proceso manualmen nte (“filas por columnas”).

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MULTIPLICACION Para hacerlo, abrim mos una hoja nueva n de Exc cel y se introd ducen las dos matrices a m multiplicar de la nte forma: siguien

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Podem mos incluir en la misma hojja el producto o obtenido co n la función M MMULT. Pod dremos proba arla con dis stintos ejempllos y comprob bar que obten nemos el mism mo resultado o de las dos fo ormas.

ducto es otra matriz de dim mensión 3x3 vvamos a halla arla en las celdas A6 hasta a Como la matriz prod C8.

Situamos el cursor en la celda A6.

•

Seleccionam mos con el ra atón el rectáng gulo A6:C8

•

Mientras el área A6:C8 permanece p re esaltada introd ducimos en A A6 la expresió ón A2:C4;E2:G4) =MMULT(A

•

Pulsamos (o oprimimos) la a tecla CTRL y sin soltarla pulsamos MA AYUSC y porr último INTRO. Esto signific ca que pulsam mos simultáne eamente las tteclas CTRL.+MAYUSC+INTRO NOT TA. Si pulsam mos únicame ente la tecla IN NTRO obtend dremos sólo e el primer elemento o de la matriz z producto.

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•

emos en la ce elda A6 la exp presión =MMU ULT(A2:C4;E E2:G4). Obse ervemos que las Para ello introducire dos ma atrices se sep paran por (;) y cada matriz z se determin na por las celldas de sus e esquinas: dessde A2 has sta A4 para la primera matriz m y des sde E2 hasta a E4 para la a segunda. A continuación selecciionamos prev viamente las nueve n celdas que la conte endrán, realiza ando los siguientes pasos:

•

Situamos el cursor en la celda E6.

•

Seleccionam mos con el ra atón el rectáng gulo E6:G8

•

Mientras el área E6:G8 permanece p re esaltada introd ducimos en E E6 la expresió ón SA(A2:C4). Pulsamos simu ultáneamente e las teclas CT TRL.+MAYUS SC+INTRO. =MINVERS Esto lo hace emos como antes a hemos indicado, i es d decir, pulsam mos la tecla CT TRL y sin soltarla puls samos MAYU USC y por últim mo INTRO

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No tien ne sentido ha ablar de la inv versa de una matriz no cu uadrada. Asim mismo, podemos comprob bar el erro or que se pro oduce al rea alizar el producto anteriorr en orden in nverso, es decir, al inten ntar multiplicar la matriz de dimensión n 3x4 por la de d dimensión 2x3.

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Como repaso para obtener o la ma atriz inversa procederemos p s de forma sim milar:

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4. PROGRAMACION LINEAL

4.1 Conceptualización La Programación Lineal (PL) puede definirse como la técnica matemática para determinar la mejor asignación de recursos limitados.

Con frecuencia seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo, por ejemplo, cuando se alquila una habitación en un hotel se tiene el criterio de que la habitación sea confortable, limpia, con las comodidades básicas, el precio accesible, etc. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en dos categorías: las restricciones y el objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está analizándose. Si más de una alternativa satisface todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar la mejor entre todas las alternativas factibles, a lo cual se le llama optimizar. Optimizar va en uno de dos posibles sentidos: maximizar o minimizar. Se optimizará maximizando, cuando nuestra intención es alcanzar los más altos beneficios posibles, en tanto que se optimizará minimizando, cuando nuestra intención es obtener los menores costos posibles en un problema específico. Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de maximizar o minimizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. Un hotelero, por ejemplo, trata de maximizar sus utilidades en relación a mejorar y ampliar sus diferentes servicios, con el empleo más óptimo de sus recursos y la satisfacción de sus clientes. Un Restaurante debe planear que las comidas satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. La programación lineal se ha aplicado con éxito a estos y otros problemas. La programación lineal es una técnica determinista, no incluye probabilidades. El objetivo y cada una de las restricciones se deben expresar como una relación lineal, de ahí su nombre.

Este tema se basa principalmente en la publicación: “Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en Administración, cuyos autores son Charles A. Gallagher y Hugh. J. Watson, Editorial Mc Graw Hill, Ed. 1996

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El tema de programación lineal es muy extenso. Forma una de las ramas del campo de la programación matemática, como se ilustra a continuación:

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La programación lineal es un método determinista de análisis para elegir la mejor entre varias alternativas. Cuando está mejor alternativa incluye un conjunto coordinado de actividades, se le puede llamar plan o programa. Programar significa seleccionar la mejor combinación de actividades.

PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

OTRAS OPCIONES

Método Gráfico Método Simplex

Programación no lineal Programación estocástica

Programación por objetivos

Programación Dinámica

Programación entera

Otras

Método del transporte Método de asignación de recursos

4.2

Requerimientos básicos

La Programación Lineal tiene los siguientes requerimientos básicos: 1. Que se defina claramente una función objetivo en forma matemática 2. Debe haber varios cursos alternativos de acción 3. Las ecuaciones y desigualdades deben describir el problema en forma lineal

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PROGRAMACIÓN LINEAL

4. Debe ser posible establecer relaciones entre las variables a través de formulaciones matemáticas que pueden describir el problema y todas las relaciones entre las variables 5. Existe un suministro limitado de recursos

El método grafico es una de las formas más sencillas para resolver problemas de programación lineal, cuando estos se refieren a únicamente dos variables. Este método permite visualizar el proceso de solución de la programación lineal. Sin embargo, está --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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4.3 Método gráfico

severamente limitado en sus aplicaciones por que el número de dimensiones en la gráfica es igual que el número de variables. Pero aún con todas sus limitaciones, el método gráfico nos es muy útil para entender cómo funciona la Programación Lineal para optimizar (maximizar o minimizar) y como una ilustración de la manera como el Método Simplex (que veremos más adelante), analizará y determinará la mejor solución posible.

ETAPA 1.- FORMULAR EL PROBLEMA Y CONSTRUIR EL MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL. El primer paso, consiste en plantear el problema y expresarlo en términos matemáticos bajo el formato general de la programación lineal, en otras palabras determinar el modelo matemático de programación lineal, compuesto de una función objetivo y las restricciones (condiciones) a las cuales está sujeta Se puede iniciar respondiendo a las siguientes preguntas:

¿Qué busca determinar el modelo?, es decir, ¿Cuáles son las variables (incógnitas) del problema?

¿Qué restricciones deben imponerse a las variables a fin de satisfacer las limitaciones del sistema representado por el modelo?

¿Cuál es el objetivo (meta) que necesita alcanzarse para determinar la solución óptima (mejor) de entre todos los valores factibles de las variables?

El punto crucial del modelo matemático consiste en identificar en 1er. lugar las variables y después expresar el objetivo y las restricciones como funciones matemáticas de las variables.

GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES

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El segundo paso es graficar cada restricción en el plano cartesiano, para definir el espacio de soluciones básicas factibles a que dan lugar, es decir, identificando hacia donde está el área que de acuerdo al signo de desigualdad corresponde a cada ecuación. Determinando luego, las coordenadas que están en los cruces de las restricciones entre sí y con los ejes cartesianos, pero dentro del espacio de soluciones, es decir, dentro de las áreas que de acuerdo al signo de desigualdad les correspondan.

ETAPA 2.-

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Etapas de solución de un problema de programación lineal por el método gráfico:

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ETAPA 3.-

OBTENER LA SOLUCION OPTIMA.

El tercer paso consiste en sustituir en la función objetivo del modelo matemático, cada una de las coordenadas donde se cruzan las restricciones entre si ó con los ejes cartesianos pero dentro del espacio o área de soluciones básicas factibles, en otras palabras, las coordenadas que están en los “picos” del espacio de soluciones, observando donde se alcanza el valor más alto (si estamos maximizando) o donde se obtiene el valor más bajo (si estamos minimizando). Luego, seleccionaremos como resultado óptimo, las coordenadas donde se alcanza el máximo (si estamos maximizando) o el mínimo valor en la función objetivo (si estamos minimizando).

Esta etapa consiste en determinar que tanto podrían variar los recursos considerados en el problema, sin que se afecte el óptimo alcanzado, se aplica tanto a los coeficientes de la Función Objetivo, como a los coeficientes de cada una de las restricciones.

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En los problemas de ejemplo se dejará para más adelante su aplicación, con el fin de permitir el aprendizaje de las primeras tres etapas.

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ETAPA 4.- ANALISIS DE SENSIBILIDAD.

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4.4 Problemas de ejemplo Problema 1 Una empresa dedicada a la transportación turística ofrece dos recorridos en un parque arqueológico, uno diurno y otro nocturno. Al guía se le pagan 6 dólares por recorrido diurno y 5 dólares por recorrido nocturno.

Los costos de operación ascienden a 3 dólares por recorrido diurno y 12 dólares por recorrido nocturno. La utilidad es de 2 dólares por el recorrido diurno y 1 dólar por el nocturno. Únicamente se cuenta con 30 dólares para salarios de guías, 12 dólares para entradas a la galería y no se quiere que los costos de operación excedan 36 dólares. ¿Cuántos recorridos diurnos y cuántos recorridos nocturnos se deben programar para obtener las mayores utilidades?

SOLUCION DEL PROBLEMA ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuántos recorridos diurnos y nocturnos se deben programar para obtener las mayores utilidades por tanto, se trata de una maximización. RESTRICCIONES (VERBALES) 1.- Solo se dispone de 30 dólares para salarios de los guías. 2.- Solo se dispone de 12 dólares para entradas a la galería.

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El recorrido incluye la entrada a una galería que cuesta 2 dólares en el diurno y 3 dólares en el nocturno.

3.- No se quiere que los costos de operación excedan los 36 dólares. VARIABLES (ESTRUCTURA MATEMÁTICA) Para representar las variables de decisión (o incógnitas del problema) se establece que:

VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA

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X2 = Número de recorridos nocturnos

X1 = Número de recorridos diurnos

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COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO (Z) La función objetivo se expresa en dólares y representa maximizar las utilidades de cada tipo de recorrido, por tanto se establece que: C1 = $2 dólares = utilidad por recorrido diurno

Función Objetivo:

Max

Z = C1X1 + C2X2

Max

Z = 2X1 + X2

Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma:

RECORRIDOS

Recorrido

Diurno

Nocturno

RUBROS

SALARIOS

COSTO DE ENTRADA A GALERÍA

COSTOS DE OPERACION

Función Objetivo: Max Z

Restricciones

Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera:

Recorrido

Diurno

Nocturno

RUBROS

SALARIOS

6 X1

5 X2

≤ 30

COSTO DE ENTRADA A GALERÍA

2 X1

3 X2

≤ 12

COSTOS DE OPERACION

3 X1

12 X2

≤ 36

Función Objetivo: Max Z

$2 X1

$1 X2

Restricciones

Página

RECORRIDOS

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

C2 = $1 dólares = utilidad por recorrido nocturno

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 75 de 353

El modelo matemático para el problema estará dado entonces por: Max Z = 2X1 + X2

Función Objetivo: Sujeto a:

6X1 + 5X

≤ 30 ...... I

2X 1 + 3X

≤ 12 ...... II

X 1 ≥ 0, X

ETAPA No. 2

≤ 36 .... III

≥ 0

GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones:

Para la restricción I

6 X 1 + 5 X 2 = 30.....I

Si X 2 = 0

Si X 1 = 0

X1 =

30 X2 = =6 5 A(0, 6)

30 =5 6

B (5, 0)

Para la restricción II

2 X 1+3 X 2 = 12.......II

Si X 2 = 0

Si X 1 = 0

X1 =

12 X2 = =4 3 C (0, 4)

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

3 X 1 + 12 X

Restricciones

12 =6 2

D (6, 0)

Para la restricción III

36 X2 = 3 12 E (0, 3) --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

Si X 2 = 0 X1 =

Si X 1 = 0

36 12 3

Página

3 X 1 + 12 X 2 = 36........III

F(12, 0)

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 76 de 353

GRAFICA DE RESTRICCION I 7

A (0,6)

5 4 3

ESPACIO DE SOLUCIONES

2 1

B (5,0)

0 0

Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

GRAFICA DE RESTRICCION II 4.5

C (0,4)

4 3.5

3 2.5 2 1.5 1

ESPACIO DE SOLUCIONES

0.5

D (6,0)

0 0

GRAFICA DE RESTRICCION III 3.5

E (0,3)

3 2.5 X2

2 1.5 1

ESPACIO DE SOLUCIONES

0.5

F (12,0)

0 0

Pรกgina

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Pรกgina 77 de 353

COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS:

GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 7

5 4

III

2 ESPACIO DE SOLUCIONES

1 0 0

6 B (5,0)

ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí, o con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas se muestra a continuación: CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación II con Ecuación III)

(−4)2 X 1 + 3 X 2 = 12 L II 3X 1 + 12X 2 = 36 L III ___________________ - 8X 1 - 12X 2 = -48 3X 1 + 12X 2 = 36 ___________________ = -12

- 5X 1

Sustituyendo X 1 en Ecuación II , tenemos :

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

E (0,3)

2 X 1 + 3 X 2 = 12.......II 2(2.4) + 3 X 2 = 12 4.8 + 3 X 2 = 12 3 X 2 = 12 − 4.8 3 X 2 = 7.2

= -12/ - 5

X 2 = 7.2 / 3

= 2.4

X 2 = 2.4

Nota: No puede haber X1 = 2.4 recorridos diurnos (hay 2 ó 3), las fracciones no están definidas, por lo cual, solo para ejemplificar estos cálculos, no se redondea R (2.4, 2.4)

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INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 78 de 353

Página

CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación II)

sustituyendo X 2 = 1.5

6 X 1 + 5 X 2 = 30L I (−3)2 X 1 + 3 X 2 = 12L II

en Ecuación I , se tiene :

__________________

6 X 1 + 5 X 2 = 30

6 X 1 + 5(1.5) = 30 6 X 1 + 7.5 = 30

− 6 X 1 − 9 X 2 = −36

6 X 1 = 30 − 7.5

__________________ − 4 X 2 = −6 X 2 = −6 / − 4

X 1 = 22.5 / 6

X 2 = 1.5

X 1 = 3.75

Nota: No puede haber X1 = 3.75 recorridos diurnos, solo para efectos de estos cálculos no se redondea S (3.8, 1.5)

GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 7 6

E (0,3)

5 4

R (2.4, 2.4)

II III

S (3.8, 1.5)

2 ESPACIO DE SOLUCIONES

1 0 0

6 B (5,0)

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

6 X 1 = 22.5

Página

Los cruces de las restricciones entre sí y con los ejes cartesianos dentro del Espacio de Soluciones (los picos), constituyen los puntos de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cuál de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo

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Página 79 de 353

SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS Punto E (0, 3)

Punto R (2.4, 2.4)

Implica: Ningún Recorrido diurno y 3 nocturnos

Implica: 2.4 Recorridos diurnos y 2.4 nocturnos

Z = 2(0) + 1(3) Z = 0+3 Z = $3.00 dólares de utilidad

Max Z = 2 X 1 + X 2 Z = 2(2.4) + 1(2.4) Z = 4.8 + 2.4 Z = $7.20 dólares de utilidad

Punto S (3.8, 1.5)

Punto B (5, 0)

Implica: 3 Recorridos diurnos y un nocturno

Implica: 5 Recorridos diurnos y ningún nocturno

Max Z = 2 X 1 + X 2 Z = 2(3.8) + 1(1.5) Z = 7.6 + 1.5 Z = $9.10 dólares de utilidad

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

Max Z = 2 X 1 + X 2

Max Z = 2 X 1 + X 2 Z = 2(5) + (0) Z = 10 + 0 Z = $10.00 dólares de utilidad

<<<OPTIMO>>>

Página

Los resultados nos indican que el punto “B” es donde se obtienen las mayores utilidades, con 5 recorridos diurnos y ningún recorrido nocturno para alcanzar así, $10.00 dólares de utilidad.

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Página 80 de 353

Grafiquemos ahora la Función Objetivo

Max Z = 2 X 1 + X 2 = 6 Si X 2 = 0

Si X 1 = 0

6 =3 2 H (3, 0) X1 =

X2 = 6 G (0, 6)

Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas:

GRAFICA DE TODAS RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 7 6 5

4 X

III Z

2 ESPACIO DE SOLUCIONES

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 6 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación:

0 0

Página

Ahora desplacemos paralelamente la recta de la Función Objetivo “cuesta arriba”, hasta el máximo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se cruza la Restricción (I) con el eje de las X1, es decir, en el punto ¨B¨ de coordenadas (5, 0) como se ilustra a continuación:

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Página 81 de 353

Es otra manera de determinar gráficamente g el punto óptim mo (máximo)), donde se o obtienen los mayorres beneficios s y que por su upuesto, coinc cide con lo ca alculado por p prueba y erro or Al sus stituir estas coordenadas c en la Funció ón Objetivo, vemos que sse alcanza u una utilidad máxim ma de:

Ma ax Z = 2 X 1 + X 2 Z = 2(5) + 0 Z = 10 + 0 Z = $10.00 0 dólares dee utilidad s realiz zar 5 recorrido os diurnos y ninguno n noctu urno, como an ntes ya había amos visto. Esto significa

Página

GRAFIICA DE SOLU UCION COMP PLETA POR EL METODO O GRAFICO

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INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 82 de 353

PROBLEMA 2 Se contrató una agencia de edecanes para realizar un servicio de guías en una exposición. La exposición se divide en dos secciones: 1) Sección de Exhibición y 2) Sección de Talleres

El área de exhibición permanece abierta un máximo de 10 horas, mientras que el área de talleres puede abrirse hasta 15 horas. No se puede atender a más de 4 grupos de primaria por día. La utilidad por grupo de primaria es de $60.00 y por grupo de secundaria es de $50.00 ¿Cuántos grupos de cada nivel se deben programar diariamente para obtener las mayores utilidades?

SOLUCION DEL PROBLEMA ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuántos grupos de primaria y cuantos grupos de secundaria se deben programar diariamente para obtener las mayores utilidades por esa razón, se trata de una maximización. RESTRICCIONES (VERBALES) 1.- El área de exhibición permanece abierta un máximo de 10 horas 2.- El área de talleres puede abrirse hasta 15 horas.

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Un grupo de estudiantes de secundaria tarda una hora en el área de exhibición y 3 horas en el área de talleres; mientras que un grupo de estudiantes de primaria tarda 2 horas en el área de exhibición y una hora en el área de talleres.

3.- No se puede atender a más de 4 grupos de primaria por día. VARIABLES ( ESTRUCTURA MATEMÁTICA)

X1 = Número de grupos de primaria programados por día

VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA

Página

X2 = Número de grupos de secundaria programados por día

Para representar las variables de decisión (o incógnitas del problema) se establece que:

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Función Objetivo:

Max

Z = C1X1 + C2X2

Max

Z = 60X1 + 50X2

Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma:

Grupos de

Primaria

Secundaria

INSUMOS

EXHIBICION

TALLERES

DISPONIBILIDAD DE ATENCION

Función Objetivo: Max Z

$60

TIPO DE GRUPO

Restricciones

4 $50

Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera:

Grupos de

Primaria

Secundaria

INSUMOS

EXHIBICION

2X1

≤ 10

TALLERES

3X2

≤ 15

DISPONIBILIDAD DE ATENCION

X1 60X1

≤ 4 50X2

Función Objetivo: Max Z

Restricciones

Página

TIPO DE GRUPO

El modelo matemático para el problema estará dado entonces por:

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C2 = $50 = utilidad por grupo de secundaria

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Página 84 de 353

Max Z = 60X1 + 50X2

Función Objetivo: Sujeto a:

2X1 + X X 1 + 3X

≤ 10 ...... I

≤ 15 ...... II

X 1 ≤ 4 .... III X 1 ≥ 0, X

ETAPA No. 2

≥ 0

GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones:

Para la restricción I

2 X 1 + X 2 = 10.....I Si

X1 = 0 ⎫ ⎬ A(0, 10) X 2 = 10⎭

X2 = 0

⎫ ⎪ ⎬ B(5, 0) 10 X1 = = 5⎪ 2 ⎭

Para la restricción II

X 1 + 3 X 2 = 15.....II Si X 1 = 0

⎫ ⎪ ⎬ C (0, 5) 15 X2 = = 5⎪ 3 ⎭

Si X 2 = 0 ⎫ ⎬ D(15, 0) X 1 = 15⎭

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Restricciones

Página

La restricción III (X1 = 4) es una constante, desde X2 = 0 hasta X2 = infinito

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Página 85 de 353

COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES, TENEMOS:

GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES X1=4

12 A (0,10)

C (0,5)

III

4 2

ESPACIO DE SOLUCIONES

B (5,0)

0 0

D (15,0)

E (4,0)

ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas se muestra a continuación: CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación II)

(−2) X 1 + 3 X 2 = 15L II 2 X 1 + X 2 = 10

Sustituyendo X2 = 4 en Ecuación I, tenemos:

− 2 X 1 − 6 X 2 = −30 − 5 X 2 = −20 X2 =

− 20 −5

X2 = 4

2 X 1 + X 2 = 10 2 X 1 + 4 = 10 2 X 1 = 10 − 4 2X1 = 6 X1 =

6 2

2 X 1 + X 2 = 10 L I

Página

X1 = 3 Las coordenadas del punto “R” son: (3, 4)

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Página 86 de 353

CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación III)

2 X 1 + X 2 = 10.....I X 1 = 4.......III Sustituyendo X1 = 4 en Ecuación I, tenemos:

2(4) + X 2 = 10 8 + X 2 = 10 X 2 = 10 − 8 X2 = 2 Las coordenadas del punto “S” son: (4, 2)

GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 12 X1=4

A (0,10)

8 R (3, 4)

C (0,5)

III

S (4, 2)

4 ESPACIO DE SOLUCIONES

B (5,0)

0 0

4 E (4,0)

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

2 X 1 + X 2 = 10

D (15,0)

Página

Los cruces de las restricciones entre sí y con los ejes cartesianos pero dentro del Espacio de Soluciones, constituyen los puntos de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cuál de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo

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Página 87 de 353

SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS

Punto C(0,5)

Punto R(3,4)

Punto S(4,2)

Punto E(4,0)

<<<OPTIMO>>>

Página

Se concluye que el punto “R” es donde se obtienen las mayores utilidades, debiendo programarse por día 3 grupos de primaria y 4 grupos de secundaria logrando así la más alta utilidad que será de $380.00

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Max Z = 60 X 1 + 50 X 2 Max Z = 60 X 1 + 50 X 2 Max Z = 60 X 1 + 50 X 2 Max Z = 60 X 1 + 50 X 2 Z = 60(4) + 50(2) Z = 60(4) + 50(0) Z = 60(3) + 50(4) Z = 60(0) + 50(5) Z = 240 + 100 Z = $240.00 Z = 180 + 200 Z = 0 + 250 Z = $340.00 Z = $380.00 Z = $250.00

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Página 88 de 353

Grafiquemos ahora la Función Objetivo Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 180 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación:

Si X2 = 0

X2 = 3.6

X1 = 3

G (0, 3.6)

H (3, 0)

Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas:

GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 12 X 2

X1=4

10 A (0,10)

R (3, 4)

III

C (0,5)

S (4, 2)

4 ESPACIO DE SOLUCIONES

B (5,0)

0 0

D (15,0)

E (4,0)

16 X1

Página

Ahora desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta arriba”, hasta el máximo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se cruza la Ecuación 1 con la Ecuación II, es decir, en el punto ¨R¨ de coordenadas (3, 4) como se ilustra a continuación:

Si X1 = 0

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Max Z = 60X1 + 50X2 = 180

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GRAFICA A DE RES STRICCIONES Y DE E FUNCION OBJETIVO 12 10 A (0,10)

R (3, 4)

III

C (0 0,5)

S (4, 2) 2

4 ESPACIO DE SOLUCIONES

B (5,0)

0 0

D (15,0 0)

E (4,0)

16 X1

Es otra manera de determinar gráficamente g el punto óptim mo (máximo)), donde se o obtienen los mayorres beneficios s y que por su upuesto, coinc cide con lo ca alculado por p prueba y erro or Al sus stituir estas co oordenadas en e la Función Objetivo, vem mos que se allcanza una uttilidad de:

Ma ax Z = 60 X 1 + 50 X 2 Z = 60(3) + 50(4) Z = 180 + 200 Z = $380.00 Esto significa s que deben d progra amarse por díía 3 grupos de e primaria y 4 grupos de ssecundaria, como ya se había definido. d

Página

GRAFIICA DE SOLU UCION COMP PLETA POR EL METODO O GRAFICO

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X X 2

X1=4

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PROBLEMA 3 Una agencia de viajes está planeando dos paquetes diferentes para visitar el sureste mexicano: “Sureste Inolvidable” y “Sureste Mágico”. La agencia normalmente vende todos los paquetes que ofrece. El primer paquete consiste en dos noches de estancia en Mérida, una noche en Chetumal y cuatro noches en Cancún.

La agencia de viajes ha establecido un contrato con varios hoteles en los destinos visitados y tiene 160 noches reservadas en Mérida, 120 en Chetumal y 280 en Cancún. La ganancia que se obtiene por cada paquete “Sureste Inolvidable” es de $1,000.00 y por cada paquete “Sureste Mágico” es de $1,500.00 ¿Cuántos paquetes de cada tipo se deben ofertar para obtener las mayores utilidades?

SOLUCION DEL PROBLEMA ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuántos paquetes de cada tipo se deben ofertar para obtener las mayores utilidades por tanto, se trata de una maximización. RESTRICCIONES (VERBALES) 1.- Solo se dispone de 160 noches para Mérida. 2.- Solo se dispone de 120 noches para Chetumal.

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El segundo paquete consiste en dos noches en Mérida, dos noches en Chetumal y dos noches en Cancún.

3.- Solo se dispone de 280 noches para Cancún. VARIABLES ( ESTRUCTURA MATEMÁTICA)

X1 = Número de paquetes “Sureste Inolvidable”

VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA

Página

X2 = Número de paquetes “Sureste Mágico”

Para representar las variables de decisión (o incógnitas del problema) se establece que:

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COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO (Z) La función objetivo se expresa en pesos y representa maximizar las utilidades de cada tipo de paquete, por tanto se establece que: C1 = $1,000 pesos = utilidad por paquete “Sureste Inolvidable” C2 = $1,500 pesos = utilidad por paquete “Sureste Mágico” C1X1 + C2X2

Max

Z = 1000X1 + 1500X2

Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma:

PAQUETES

“Sureste Inolvidable”

“Sureste Mágico”

NOCHES DE ESTANCIA

(Disponibilidad)

MERIDA

160

CHETUMAL

120

CANCUN

280

$1,000

$1,500

Función Objetivo: Max Z

Restricciones

Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera:

PAQUETES

NOCHES DE ESTANCIA

“Sureste Inolvidable”

“Sureste Mágico”

Restricciones (Disponibilidad)

MERIDA

2 X1

2 X2

≤ 160

CHETUMAL

1 X1

2 X2

≤ 120

CANCUN

4 X1

2 X2

≤ 280

$1000 X1

$1500 X2

Página

Función Objetivo: Max Z

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Función Objetivo:

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Página 92 de 353

El modelo matemático para el problema estará dado entonces por: Max Z = 1000X1 + 1500X2

Función Objetivo: Sujeto a:

X1 + 2X Restricciones

ETAPA No. 2

≤ 160 ...... I ≤ 120 ...... II

4X1 + 2X

≤ 280 .... III

X 1 ≥ 0, X

≥ 0

GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones:

Para la restricción I

2 X 1 + 2 X 2 = 160.....I Si X 1 = 0 ⎫ ⎬ A(0, 80) X 2 = 80⎭

Si X 2 = 0 ⎫ ⎬ B (80, 0) X 1 = 80⎭

Para la restricción II

X 1 + 2 X 2 = 120........II Si X 1 = 0 ⎫ ⎬ C (0, 60 X 2 = 60⎭

Si X 2 = 0 ⎫ ⎬ D (120, 0) X 1 = 120⎭

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2X1 + 2X

Para la restricción III

4 X 1 + 2 X 2 = 280.....III Si X 2 = 0 ⎫ ⎬ F (70, 0) X 1 = 70⎭

Página

Si X 1 = 0 ⎫ ⎬ E (0, 140) X 2 = 140⎭

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Página 93 de 353

COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS:

GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 160 E (0,140)

120

100 80

A (0,80)

III

60 C (0,60)

ESPACIO DE SOLUCIONES

D (120,0)

0 0

60 F (70,0)

80 X1

100

120

140

B (80,0)

ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas se muestra a continuación: CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación II)

2 X 1 + 2 X 2 = 160....I (−1) X 1 + 2 X 2 = 120.....II 2 X 1 + 2 X 2 = 160 − X 1 − 2 X 2 = −120 X 1 = 40

Sustituyendo X 1 = 40 en Ecuación I , tenemos : 2 X 1 + 2 X 2 = 160........I

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140

2(40) + 2 X 2 = 160 80 + 2 X 2 = 160 2 X 2 = 160 − 80 2 X 2 = 80 80 2

X2 =

X 2 = 40

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Página

Las coordenadas del punto “R” son: (40, 40)

Página 94 de 353

CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación III)

2 X 1 + 2 X 2 = 160 ≤ 160.....I

Sustituyendo

(−1)4 X 1 + 2 X 2 = 280.......III 2 X 1 + 2 X 2 = 160

X 1 = 60

en Ecuación I , tenemos : 2 X 1 + 2 X 2 = 160

− 4 X 1 − 2 X 2 = −280 − 2 X 1 = −120

2(60) + 2 X 2 = 160 120 + 2 X 2 = 160 2 X 2 = 40

X 1 = 60

X2 =

40 2

X 2 = 20 Las coordenadas del punto “S” son: (60, 20)

GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 160 140

E (0,140)

120

100 80

A (0,80)

60 C (0,60)

R (40, 40)

III

S (60, 20)

ESPACIO DE SOLUCIONES

D (120,0)

0 0

60 F (70,0)

80 X1

100

120

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

2 X 2 = 160 − 120

− 120 X1 = −2

140

B (80,0)

Página

Los cruces de las restricciones entre si y con los ejes cartesianos pero dentro del Espacio de Soluciones, constituyen los puntos (coordenadas) de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cuál de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 95 de 353

SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS Punto C (0, 60)

Punto F (70, 0)

Max Z = 1000 X 1 + 1500 X 2

Max Z = 1000 X 1 + 1500 X 2 Z = 1000(70) + 1500(0) Z = 70000 + 0 Z = $70,000

Punto S (60, 20)

Punto R (40, 40)

Max Z = 1000 X 1 + 1500 X 2

Z = 1000(60) + 1500(20) Z = 60000 + 30000 Z = $90,000

Z = 1000(40) + 1500(40) Z = 40000 + 60000 Z = $100,000

<<<OPTIMO>>> Se concluye que el punto “R” es donde se obtienen las mayores utilidades, debiendo ofertarse 40 paquetes “Sureste Inolvidable” y 40 paquetes “Sureste Mágico” logrando así la más alta utilidad que será de $100,00 pesos

Grafiquemos ahora la Función Objetivo Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 50,000 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación:

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Z = 1000(0) + 1500(60) Z = 0 + 90000 Z = $90,000

Max Z = 1000X1 + 1500X2 = 50,000

X2 = 33

X1 = 50

G (0, 33)

H (50, 0)

De la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas, desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta arriba”, hasta el máximo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se le cruza la Ecuación 1 con la Ecuación II, es decir, en el punto ¨R¨ de coordenadas (40, 40) como se ilustra a continuación: --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Página 96 de 353

Si X2 = 0

Página

Si X1 = 0

Es s otra manera a de determin nar gráficame ente el punto óptimo (máximo), donde sse obtienen los ma ayores beneficios y que po or supuesto, coincide c con lo calculado p por prueba y error Al sustituir esta as coordenada as en la Func ción Objetivo, vemos que sse alcanza un na utilidad de:

Max Z = 10 000 X 1 + 150 00 X 2 Z = 10000(40) + 15 500(40) Z = 40,000 + 60,000 0 Z = $100,000.00 sto significa que q deben ofe ertarse 40 pa aquetes “Sure este Inolvidab ble” y 40 paq quetes “Suresste Es Má ágico”, como ya antes se había h definido o.

Página

GRAFICA DE E SOLUCION N COMPLETA A POR LE METODO GRA AFICO

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Página 97 de 353

PROBLEMA 4 Un dietista está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos tipos de alimentos concentrados “K” y “W” de importación, que deben cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas para turistas adultos mayores. Los requerimientos vitamínicos diarios son de al menos 40 unidades de vitamina “A”, 50 unidades de vitamina “B” y 49 unidades de vitamina “D”.

Cada onza del alimento “W” proporciona 10 unidades de vitamina “A”, 5 unidades de “B” y 7 unidades de “D”. El alimento “K” cuesta 0.50 centavos de dólar la onza y el alimento “W” cuesta 0.80 centavos de dólar la onza. ¿Cuantas onzas de cada alimento deben utilizarse para satisfacer las necesidades vitamínicas diarias con el menor desembolso monetario?

ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO OBJETIVO (VERBAL).- Se pretende seleccionar la manera menos costosa para satisfacer las necesidades vitamínicas diarias, considerando la combinación de los alimentos “K” y “W”.

RESTRICCIONES (VERBALES) 1.- Se deben consumir por lo menos 40 unidades de Vitamina A 2.- Se deben consumir por lo menos 50 unidades de Vitamina B 3.- Se deben consumir por lo menos 49 unidades de Vitamina D

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Cada onza del alimento “K” proporciona 4 unidades de vitamina “A”, 10 unidades de vitamina “B” y 7 unidades de vitamina “D”,

VARIABLES (ESTRUCTURA MATEMÁTICA) Determinar el número de onzas a elaborar de cada platillo esto define dos variables de decisión:

VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA

Página

X2 = Cantidad de onzas del alimento W

X1 = Cantidad de onzas del alimento K

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COEFICIENTE DE LA FUNCION OBJETIVO

C1 = $0.50

Costo por onza de Alimento “K”

C2 = $0.80

Costo por onza de Alimento “W”

Función Objetivo es:

Min

Z = C1X1 + C2X2

Min

Z = 0.5X1 + 0.8X2

Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma:

ALIMENTOS

ALIMENTO K

ALIMENTO W

REQUERIMIENTOS

VITAMINA A

VITAMINA B

VITAMINA D

0.50

0.80

VITAMINAS

Función Objetivo: Min Z

Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera:

ALIMENTOS

ALIMENTO K

ALIMENTO W

REQUERIMIENTOS

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

La función objetivo se expresa en dólares y nos muestra el desembolso en que se incurre por concepto de la compra de dos alimentos, por tanto, la función objetivo deberá ser una minimización con coeficientes:

4 X1

10 X2

≥ 40

VITAMINA B

10 X1

5 X2

≥ 50

VITAMINA D

7 X1

7 X2

≥ 49

0.50 X1

0.80 X2

Función Objetivo: Min Z

Página

VITAMINA A

VITAMINAS

El modelo matemático para el problema estará dado entonces por:

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Página 99 de 353

Función Objetivo:

Min

Z = 0.5X1 + 0.8X2

Sujeto a: 4X1 + 10X2 > 40 ………………..I 10X1 + 5X2 > 50 ………………..II 7X1 + 7X2 > 49 ………………..III X1 > 0, X2 > 0

ETAPA No. 2

GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES

Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones: Para restricción I

4 X 1 + 10 X 2 = 40.....I Si X 1 = 0

Si X 2 = 0 ⎫ ⎬ B(10, 0) X 1 = 10⎭

X2 = 4 A(0, 4) Para restricción II

10 X 1 + 5 X 2 = 50.....II Si X 1 = 0

Si X 2 = 0⎫ ⎬ D (5, 0) X1 = 5 ⎭

X 2 = 10 C (0, 10)

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Restricciones

Para restricción III

7 X 1 + 7 X 2 = 49.....III Si X 1 = 0 X2 = 7

E (0, 7)

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Página

Si X 2 = 0⎫ ⎬ F ( 7, 0) X1 = 7 ⎭

Página 100 de 353

4.5 A (0, 4) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

ESPACIO DE SOLUCIONES

B (10, 0) 2

GRAFICA DE RESTRICCION II 12 C (0, 10)

ESPACIO DE SOLUCIONES

8 6 4 2

D (5, 0)

0 0

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

GRAFICA DE RESTRICCION I

GRAFICA DE RESTRICCION III 8 7

E (0, 7)

ESPACIO DE SOLUCIONES

6 X2

5 4 3 2 1

100

F (7, 0)

0 0

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Página

Página 101 de 353

COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS:

GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 12 ESPACIO DE SOLUCIONES

8 X2

E (0, 7)

II III

A (0, 4) 2

B (10, 0)

0 0

4 D (5, 0)

6 X1

F (7, 0)

ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas se muestra a continuación: CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación II con Ecuación III)

(−7)10 X 1 + 5 X 2 = 50 L II

Sustituyendo X 2 = 4

(10)7 X 1 + 7 X 2 = 49 L III

en Ecuación II , tenemos :

___________________ - 70X 1 − 35X 2 = -350 70X 1 + 70X 2 = 490 ___________________ 35X 2 = 140 X 2 = 140/35

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

C (0, 10)

10 X 1 + 5 X 2 = 50.......II 10 X 1 + 5(4) = 50 10 X 1 + 20 = 50 10 X 1 = 50 − 20 10 X 1 = 30 / 10 X1 = 3

101

X2 = 4

Página

Las coordenadas son R (3, 4)

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Página 102 de 353

CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación I con Ecuación III)

Sustituyendo X 2 = 2

(−7)4 X 1 + 10 X 2 = 40 L I (4)7 X 1 + 7 X 2 = 49L III

en Ecuación I , tenemos : 4 X 1 + 10 X 2 = 40.......I

___________________ - 28X 1 - 70X 2 = -280

4 X 1 + 10(2) = 40

28X 1 + 28X 2 = 196 ___________________

4 X 1 = 40 − 20

− 42X 2 = −84

X 1 = 20 / 4

X 2 = −84/ - 42

X1 = 5

X2 = 2 Las coordenadas son S (5, 2)

GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 12 C (0, 10)

E (0, 7)

ESPACIO DE SOLUCIONES

III

R (3, 4)

4 A (0, 4)

S (5, 2)

B (10, 0)

0 0

4 D (5, 0)

6 X1

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

4 X 1 + 20 = 40

F (7, 0)

Página

102

Los cruces de las restricciones entre si y con los ejes cartesianos dentro del Espacio de Soluciones, constituyen los puntos de solución factible, los cuales al sustituirlos en la Función Objetivo, nos permitirán identificar cuál de ellos alcanza el valor máximo, es decir, el valor optimo

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Página 103 de 353

SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS Punto C (0, 10)

Punto R (3, 4)

Implica: ninguna onza de alimento “K” y 10 onzas de alimento “W”

Implica: 3 onzas de alimento “K” y 4 onzas de alimento “W”

Z = 0.5(0) + 0.8(10) Z = 0+8 Z = $8.00 dólares de cos to

Min Z = 0.5 X 1 + 0.8 X 2 Z = 0.5(3) + 0.8(4) Z = 1.5 + 3.2 Z = $4.70 dólares de cos to

Punto S (5, 2)

Punto B (10, 0)

Implica: 5 onzas de alimento “K” y 2 onzas de alimento “W”

Implica: 10 onzas de alimento “K” y ninguna de alimento “W”

Min Z = 0.5 X 1 + 0.8 X 2 Z = 0.5(5) + 0.8(2) Z = 2.5 + 1.6 Z = $4.10 dólares de cos to

Min Z = 0.5 X 1 + 0.8 X 2 Z = 0.5(10) + 0.8(0) Z = 5+0 Z = $5.00 dólares de cos to

<<<OPTIMO>>> Se obtiene el menor costo de $ 4.10, utilizando 5 onzas del alimento “K” y 2 onzas del alimento “W”

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Min Z = 0.5 X 1 + 0.8 X 2

Grafiquemos ahora la Función Objetivo Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 6 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación: Min Z = 0.5 X 1 + 0.8 X 2 = 6

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X 2 = 7.5

X 1 = 12

G (0, 7.5)

H (12, 0)

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

103

Si X 2 = 0

Página

Si X 1 = 0

Página 104 de 353

Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas:

GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 12

E (0, 7) X 2 A (0, 4)

C (0, 10)

III

R (3, 4)

Z S (5, 2)

B (10, 0)

0 0

OPTIMO D (5, 0)

F (7, 0)

Ahora desplazamos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta abajo”, porque se trata de una minimización, hasta el mínimo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, es decir, hasta el punto más cercano al origen pero dentro del espacio de soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se le cruza la Ecuación I con la Ecuación III, es decir, en el punto ¨S¨ de coordenadas (5, 2) como se ilustra. Es otra manera de determinar gráficamente el punto óptimo (mínimo), donde se obtienen los menores costos y que por supuesto, coincide con lo calculado por prueba y error Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se determina un costo de:

Min Z = 0.5 X 1 + 0.8 X 2 Z = 0.5(5) + 0.8(2) Z = 2.5 + 1.6 Z = $4.10 dólares de cos to

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Página

104

Esto significa emplear 5 onzas del alimento “K” y 2 onzas del alimento “W”, para cumplir con los requerimientos al menor costo, como antes ya habíamos visto.

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105

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GR RAFICA DE SOLUCION COMPLETA C P POR EL MET TODO GRAFIICO

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Página 106 de 353

PROBLEMA 5 En el Restaurante del Hotel “Xalpa” de Ciudad Victoria, se acostumbra preparar la carne para albondigón con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo, ambas de importación. La carne molida de res contiene 20% de grasa, 12% de proteína y le cuesta al restaurante $8.00 por libra

¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe usar el restaurante en cada libra de albondigón; si se desea minimizar el costo, manteniendo el contenido de grasa en no más del 25% y manteniendo el contenido de proteína en no menos del 15%?

SOLUCION DEL PROBLEMA ETAPA No. 1.- FORMULACION DEL PROBLEMA Y CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMATICO OBJETIVO (VERBAL).- Se desea determinar cuanta carne molida de res y cuanta carne molida de cerdo deben utilizarse en cada libra de albondigón para obtener el menor costo posible, por tanto se trata de una minimización RESTRICCIONES (VERBALES) 1.- El contenido de grasa debe ser cuando más del 25% 2.- El contenido de proteínas debe ser cuando menos del 15% 3.- La suma de los dos tipos de carne molida de res y de cerdo deben dar una libra de albondigón

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

La carne molida de cerdo contiene 32% de grasa, y 20% de proteína y le cuesta al restaurante $6.00 por libra.

VARIABLES ( ESTRUCTURA MATEMÁTICA) Para representar las variables de decisión (o incógnitas del problema) se establece que: X1 = Cantidad de carne molida de res

VARIABLES DE DECISIÓN ó INCÓGNITAS DEL PROBLEMA

Página

106

X2 = Cantidad de carne molida de cerdo

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Página 107 de 353

COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO (Z) La función objetivo se expresa en dólares y representa minimizar los costos de cada tipo de carne molida, por tanto se establece que: C1 = $8 = costo por libra de carne molida de res

Función Objetivo:

Max

Z = C1X1 + C2X2

Max

Z = 8X1 + 6X2

Apoyándonos ahora, en una tabla de doble entrada para facilitar la construcción del modelo matemático, asentamos la información de referencia en el problema de la siguiente forma:

Carne Molida

de Res

de Cerdo

CONTENIDO

GRASA

PROTEINA

COMBINACION

Función Objetivo: Min Z

TIPO DE CARNE

Restricciones

Observamos la interrelación entre los datos y determinamos el modelo matemático, al considerar que la tabla se puede re-escribir de la siguiente manera:

Carne Molida

de Res

de Cerdo

GRASA

20 X1

32 X2

≤ 25

PROTEINA

12 X1

20 X2

≥ 15

$8 X1

$6 X2

TIPO DE CARNE CONTENIDO

COMBINACION

Restricciones

Página

107

Función Objetivo: Min Z

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C2 = $6 = costo por libra de carne molida de cerdo

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Página 108 de 353

El modelo matemático para el problema estará dado entonces por: Min Z = 8X1 + 6X2

Función Objetivo: Sujeto a:

≤ 25 ....... I

12 X 1 + 20 X

≥ 15 ........ II

X1 + X X 1 ≥ 0,

ETAPA No. 2

= 1 .......... ...... III X

≥ 0

GRAFICAR LAS RESTRICCIONES Y DETERMINAR EL AREA DE SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES

Obtener los parámetros para graficar cada una de las restricciones: Para la restricción I

20 X 1 + 32 X 2 = 25..........I Si

X1 = 0

⎫ ⎪ ⎬ A(0, 0.78) 25 = 0.78⎪ X2 = 32 ⎭

X2 = 0

⎫ ⎪ ⎬ B (1.25, 0) 25 X 1 = 1.25⎪ 20 ⎭

X2 = 0

⎫ ⎪ ⎬ D (1.25, 0) 15 X 1 = 1 = .25⎪ 12 ⎭

X 2 = 0⎫ ⎬ F (1, 0) X1 = 1 ⎭

Para la restricción II

12 X 1 + 20 X 2 = 15...........II Si

X1 = 0

⎫ ⎪ ⎬ C (0, 0.75) 15 = 0.75⎪ X2 = 20 ⎭

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Restricciones

20 X 1 + 32 X

Para la restricción III

X 1 = 0⎫ ⎬ E (0, 1) X2 =1⎭

Página

108

X 1 + X 2 = 1..............III

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Página 109 de 353

COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS:

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

A (0, 0.78)

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GRAFICA DE RESTRICCION I

ESPACIO DE SOLUCIONES B (1.25, 0) 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

GRAFICA DE RESTRICCION II 0.8 C (0, 0.75)

ESPACIO DE SOLUCIONES

0.7 0.6 X2

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

D (1.25, 0)

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

GRAFICA DE RESTRICCION III 1.2 1

E (0, 1)

0.8 0.6 0.4 0.2

F (1, 0)

0 0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

109

Página

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Página 110 de 353

EL ESPACIO DE SOLUCIONES DE LA RESTRICCION III ESTA SOBRE LA LINEA RECTA (ES TODA LA LINEA RECTA)

COLOCANDO TODAS LAS RESTRICCIONES EN UN SOLO GRAFICO E IDENTIFICANDO EL AREA O ESPACIO DE SOLUCIONES SIMULTANEAS, TENEMOS:

1.2 X2 E (0, 1)

A (0, 0.78) C (0, 0.75)

1 0.8

I 0.6

III 0.4 S

0.2

B,D (1.25, 0)

0 0

0.5

1 X1

1.5 F (1, 0)

En este caso, el espacio de soluciones simultáneas, es decir, donde convergen a su vez todos los espacios de soluciones de las tres restricciones, está sobre la línea recta que representa a la Restricción III, entre la pequeña franja al centro, en el segmento donde se cruza con la Restricción I por un lado y donde se cruza con la Restricción II,

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GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES

Página

Considerando cada coordenada del área de soluciones básicas factibles (área sombreada de la gráfica), donde se cruzan las restricciones entre sí ó con los ejes cartesianos, se obtiene en la Función Objetivo, el resultado de la sustitución de tales coordenadas como se muestra a continuación:

110

ETAPA No. 3 OBTENER LA SOLUCION OPTIMA POR PRUEBA Y ERROR

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Página 111 de 353

20 X 1 + 32 X 2 = 25........I

Sustituyendo X2 = 0.4167

(−20) X 1 + X 2 = 1.........III 20 X 1 + 32 X 2 = 25

en la Ecuación I, se tiene:

− 20 X 1 − 20 X 2 = −20 12 X 2 = 5

20 X 1 + 32 X 2 = 25KK I 20 X 1 + 32(0.4167) = 25 20 X 1 + 13.334 = 25

X2 =

20 X 1 = 25 − 13.334

5 12

20 X 1 = 11.667

X 2 = 0.4167

X1 =

11.667 20

X 1 = 0.5833 Las coordenadas del punto “R” son: (0.5833, 0.4167) CALCULO DE ¨S¨ (Cruce de Ecuación III con Ecuación II)

12 X 1 + 20 X 2 = 15.....II

Sustituyendo X2 = 0.38

(−12) X 1 + X 2 = 1.....III 12 X 1 + 20 X 2 = 15

en Ecuación III, se tiene:

− 12 X 1 − 12 X 2 = −12 8X 2 = 3

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CALCULO DE ¨R¨ (Cruce de Ecuación III con Ecuación I)

X 1 + X 2 = 1.........III X 1 + 0.38 = 1

3 8 X 2 = 0.375 X2 =

X 1 = 1 − 0.38 X 1 = 0.625

Página

111

Las coordenadas del punto “S” son: (0.625, 0.375)

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GRAFICA DE TODAS LAS RESTRICCIONES 1.2 E (0, 1)

C (0, 0.75)

0.8 I R (0.58, 0.42)

0.6

II III

X 2 0.4 S (0.625, 0.375)

0.2

B,D (1.25, 0)

0 0

0.5

1 X1

F (1, 0)

1.5

Aquí las posibles soluciones están solo en dos opciones: el cruce entre la Restricción III con la I, representada por “R” ó el cruce entre la Restricción III con la II, representada por “S”.

SUSTITUYENDO CADA UNA DE LAS COORDENADAS EN LA FUNCION OBJETIVO TENEMOS Punto R (0.5833, 0.4167)

Min Z = 8 X 1 + 6 X 2 Z = 8(0.5833) + 6(0.4167) Z = 4.6664 + 2.5 Z = $7.17

Punto S (0.625, 0.375)

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A (0, 0.78)

Min Z = 8 X 1 + 6 X 2 Z = 8(0.625) + 6(0.375) Z = 4.96 + 2.28 Z = $7.25

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Página

Se concluye que el punto “R” es donde se obtienen las menores costos, debiendo incorporarse 0.58 libras de carne molida de res y 0.42 libras de carne molida de cerdo, para de esa manera obtener el costo más bajo, es decir, $7.17 dólares para elaborar una libra de albondigón.

112

<<<OPTIMO>>>

Grafiquemos ahora la Función Objetivo Elegimos de manera arbitraria un número, por ejemplo el 6 para la igualdad de la Función Objetivo, como primera aproximación: Min Z = 8X1 + 6X2 = 6 Si X2 = 0

X2 = 1

X1 = 0.75

G (0, 1)

H (0.75, 0)

Observamos a continuación la Gráfica de la Función Objetivo preliminar en líneas punteadas de color rojo

GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 1.2 E (0, 1)

A (0, 0.78) C (0, 0.75)

0.8

0.6

R (0.58, 0.42)

III Z

0.4 S (0.62, 0.38)

0.2

B,D (1.25, 0)

0 0

0.5

F (1, 0)

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Si X1 = 0

1.5

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113

Ahora desplacemos paralelamente la Gráfica de la Función Objetivo “cuesta abajo” por tratarse de una minimización, hasta el mínimo punto donde tenga contacto con el Espacio de Soluciones, esto será generalmente en alguno de los cruces de las restricciones entre sí o con los ejes cartesianos; en este caso es donde se le cruza la Ecuación III con la Ecuación I, es decir, en el punto ¨R¨ de coordenadas (0.58, 0.42) como se ilustra a continuación:

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GRAFICA DE RESTRICCIONES Y DE FUNCION OBJETIVO 1.2 1 0.8 OPTIMO

0.6

II III

0.4 0.2 0 0

0.5

1.5

Es otra manera de determinar gráficamente el punto óptimo (máximo), donde se obtienen los mayores beneficios y que por supuesto, coincide con lo calculado por prueba y error Al sustituir estas coordenadas en la Función Objetivo, vemos que se obtiene el menor costo:

Min Z = 8 X 1 + 6 X 2 Z = 8(0.5833) + 6(0.4167) Z = 4.6664 + 2.5 Z = $7.17

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114

Esto significa que debe componerse el albondigón de 0.58 libras de carne molida de res y 0.42 libras de carne molida de cerdo, para de esa manera obtener el costo más bajo, es decir, $7.17 dólares.

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GR RAFICA DE SOLUCION COMPLETA C P POR EL MET TODO GRAFIICO

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4.5

Casos especiales

Nos vamos a encontrar con problemas que son especiales, por diversas razones, los cuales podrían tener un error en el planteamiento o efectivamente estar en alguna de las situaciones descritas a continuación.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 -2

X1 Función Objetivo

Problemas sin solución: ocurren cuando los espacios de solución de cada una de las restricciones no se intersectan entre sí: X2

Espacio de soluciones

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Espacio de soluciones

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Soluciones múltiples: Cuando la Función Objetivo es paralela a una restricción, como se ilustra en la siguiente gráfica:

9 10

Página

Soluciones no acotadas: Se presenta esta situación cuando en un problema no se delimita apropiadamente cada restricción, como se ilustra a continuación:

116

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5 4

AREA DE SOLUCIONES FACTIBLES (NO ACOTADA)

3 2

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1 0

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117

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4.6 La dualidad y los precios sombrea (análisis preliminar) LA SIMETRÍA EN LA PROGRAMACIÓN LINEAL Todo problema de programación lineal está asociado con un problema complementario llamado dual. Para distinguir entre estos dos problemas, al problema original se le denomina primal. Si el problema primal trata de maximizar, entonces el problema dual será minimizar y viceversa.

CASO 1

Un fabricante tiene dos recursos disponibles: R1 y R2. Estos recursos pueden usarse para producir dos productos diferentes “A” y “B”, de acuerdo con la siguiente regla: Para producir “A” se emplean 1 unidad de R1 y 4 unidades de R2; para producir “B” se emplean 1 unidad de R1 y 2 unidades de R2. El fabricante cuenta con 3 unidades de R1 y 8 unidades de R2. Recibe una ganancia por unidad de “A” de $3.50 y por unidad de “B” de $2.50. ¿Cuántas unidades de “A” y “B” debe producir para maximizar sus ganancias?

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO PRIMAL Apoyándonos en una tabla de doble entrada se tiene:

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Veamos un ejemplo para comprobar cómo se formula, resuelve e interpreta el dual.

PRODUCTO Producto “A”

Producto “B”

$3.50

$2.50

RECURSO

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Función Objetivo: Max Z

RESTRICCIONES

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Re-escribiendo la tabla considerando las interrelaciones existentes, tenemos: PRODUCTO RECURSO

Producto “A”

Producto “B”

RESTRICCIONES

≤3

4 X1

2 X2

≤8

$3.50 X1

$2.50 X2

Función Objetivo: Max Z

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El Modelo Matemático de Programación Lineal quedará dado por

Max Z = 3.5X1 +2.5X2

...........

PRIMAL

Sujeto a: X1 + X2 ≤ 3............I 4X1 + 2X2 ≤ 8............II X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL PRIMAL

A (0, 3)

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S (1, 2)

D (2, 0) --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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DUAL La simetría de los problemas de programación lineal puede ilustrarse colocando los coeficientes del modelo en una matriz o tabla de doble entrada como se hizo al principio del problema.

DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS 3

2.5

3.5

Reescribiendo la tabla tenemos:

3r1

8r2

1r1

2r2

≥ 2.5

1r1

4r2

≥ 3.5

Esto representa el DUAL, donde los coeficientes de la Función Objetivo están ahora arriba. Puede reescribirse en forma directa el modelo general para este problema. Solo se necesitan nuevas letras para las variables. Entonces el problema puede quedar de la siguiente manera:

Min Z = 3r1 + 8r2

...........

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La tabla tiene renglones y columnas que pueden invertirse. Rotamos la tabla dándole vuelta 900 grados en sentido opuesto a las manecillas del reloj. Los resultados son:

DUAL

Sujeto a: r1 +2r2 ≥ 2.5....................I r1 +4r2 ≥ 3.5……………..II

Nótese que las restricciones son ahora del tipo ≥ y la Función Objetivo es para minimizar, lo contrario que plantea el problema inicial (el PRIMAL).

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120

r1 ≥ 0 , r 2 ≥ 0

La minimización nos lleva al siguiente resultado:

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GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL DUAL

NOTESE Que El resultado nos muestra que el valor “Z” de la Maximización del Primal y el valor “Z” de la Minimización del Dual es el mismo, 8.5, este valor recibe el nombre de Precio Sombra, en tanto que los coeficientes resultantes en la Función Objetivo del Dual reciben el nombre de Costos de Oportunidad

INTERPRETACION DEL PROBLEMA DUAL

Supóngase que el fabricante prefiere vender directamente al mercado los dos recursos R1 y R2 en lugar de usarlos para fabricar los productos “A” y “B”.

121

Los recursos tienen un valor, puesto que pueden usarse para crear productos que luego se comercializarán. Pero, aun cuando se conoce el valor unitario de los productos, no se conoce el valor unitario de los recursos. Esto es lo que se quiere encontrar.

Página

El problema dual puede entenderse reinterpretando el problema original.

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¿Cuánto debe cobrarse por los recursos si tuviesen que venderse directamente?

Para analizar esta situación consideremos L1 y L2 como los precios unitarios de los recursos r1 y r2, respectivamente. La cantidad total recibida de la venta directa de los dos recursos seria L1r1 + L2r2. Como lo que se busca es determinar el precio mínimo que se debe cobrar por estos recursos, la Función Objetivo es: Min Z = L1r1 + L2r2 Min Z = 3r1 + 8r2 Como se mencionó antes, sería un error vender los recursos por menos de lo que puede obtenerse al usarlos en la fabricación de los productos “A” y “B”. El precio de cada producto proporciona un límite inferior o una restricción sobre el precio del recurso. El resultado de la minimización en el Dual, es decir, 8.50 es llamado Precio Sombra y es el mismo resultado que en el Primal. Vemos entonces, que r1=1.5 llamado Costo de Oportunidad de r1, porque significa que el fabricante puede aumentar su ganancia total en $1.50 si dispone de una Unidad Adicional de r1, es decir, si de 3 pasara a 4, lo cual a su vez, implicaría que Z sería igual a $10 en vez de los $8.50 originales (8.50 + 1.50), si permanece invariable r2 También significa que $1.50 es el precio máximo que debe pagar el fabricante por una Unidad Adicional del Recurso r1

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122

r2=0.50, significa el Costo de Oportunidad de r2, que aumentaría la ganancia Z, en 0.50 si dispone de una Unidad Adicional de r2, es decir, si de 8 pasara a 9, implicaría que Z sería igual a $9.00 en vez de los $8.50 originales (8.50 + 0.50), si permanece invariable r1.

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Por supuesto, en un mercado libre los recursos deben venderse en la cantidad más alta que el mercado acepte. Sin embargo, existe un precio mínimo abajo del cual le conviene más al fabricante usar los recursos para los productos “A” y “B” que venderlos directamente.

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CASO 2 Un fabricante tiene dos recursos disponibles: Q1 y Q2. Estos recursos pueden usarse para producir dos productos diferentes “M” y “N”, de acuerdo con la siguiente regla: Para producir “M” se emplean 7 unidad de Q1 y 10 unidades de Q2; para producir “N” se emplean 7 unidad de Q1 y 5 unidades de Q2. Recibe una ganancia por unidad de “M” de $7 y por unidad de “N” de $10. ¿Cuántas unidades de “M” y “N” debe producir para maximizar sus ganancias?

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO PRIMAL Apoyándonos en una tabla de doble entrada se tiene: PRODUCTO

Producto “M”

Producto “N”

RESTRICCIONES

Función Objetivo: Max Z

$10

RECURSO

Re-escribiendo la tabla considerando las interrelaciones existentes, tenemos: PRODUCTO Producto “M”

Producto “N”

7 X1

7 X2

≤ 49

10 X1

5 X2

≤ 50

$7 X1

$10 X2

RECURSO

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123

Función Objetivo: Max Z

RESTRICCIONES

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El fabricante cuenta con 49 unidades de Q1 y 50 unidades de Q2.

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El Modelo Matemático de Programación Lineal quedará dado por

Max

Z = 7 X 1 + 10 X 2 ………… PRIMAL Sujeto a:

7 X 1 + 7 X 2 ≤ 49.....I 10 X 1 + 5 X 2 ≤ 50.....II Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO:

Página

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GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL PRIMAL

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DUAL

49r1

50r2

7r1

5r2

≥ 10

7r1

10r2

≥7

Min Z = 49r1 + 50r2

...........

DUAL

Sujeto a: 7r1 +5r2 ≥ 10....................I 7r1 +10r2 ≥ 7……………..II r1 ≥ 0 , r 2 ≥ 0 Nótese que las restricciones son ahora del tipo ≥ y la Función Objetivo trata de minimizar.

Página

125

La minimización nos lleva al siguiente resultado:

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DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS

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INTERPRETACION ECONOMICA DEL PROBLEMA DUAL El resultado de la minimización en el Dual, es decir 70, es llamado Precio Sombra y es el mismo resultado que en el Primal. Vemos entonces, que r1=1.43 llamado Costo de Oportunidad de r1, significa que el fabricante puede aumentar su ganancia total en $1.43 si dispone de una Unidad Adicional de r1, es decir, si de 49 pasara a 50, esto implicaría que Min Z sería $71.43 en vez de los $70 originales (porque 70 + 1.43 = 71.43), considerando que permanece invariable r2. También significa que $1.43 es el precio máximo que debe pagar el fabricante por una Unidad Adicional del Recurso r1

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GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL DUAL

r2=0, es llamado el Costo de Oportunidad de r2, significa por ser cero, que no impacta en la ganancia Min Z

Para dos variables es posible visualizar en un gráfico la solución del óptimo y realizar los análisis de sensibilidad tanto a restricciones como a los coeficientes de la Función Objetivo, sin embargo, para el Método Dual, si el número de variables se incrementa al rotar la tabla de doble entrada, ya no será posible visualizar los resultados gráficamente, por tales limitaciones, solo es un paso ilustrativo para entender y comprobar el METODO SIMPLEX, que veremos más adelante, en Módulo.

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126

Limitaciones del método gráfico

Página

4.7

PROGRAMACION LINEAL (METODO SIMPLEX)

En 1947 George Dantzig desarrolló el “Método Simplex”. Demostró que podía usarse una ecuación criterio (la Función Objetivo) para seleccionar de manera sistemática una solución óptima de entre muchas soluciones posibles, además, este era un método general que se podía aplicar a problemas de cualquier tamaño. El “Método Simplex” no es más que un enfoque de prueba y error para resolver problemas de Programación Lineal. El Método Simplex al igual que el Método Gráfico también emplea los puntos de intersección, pero no prueba todos los puntos. Comienza en el origen y selecciona los que dan la mayor mejora en el valor de la Función Objetivo. Así, al moverse de un punto de intersección a otro, la Función Objetivo siempre está mejorando. Esto hace que el Método Simplex será más eficaz que el Método Gráfico. El procedimiento que utiliza el Método Simplex se muestra en el siguiente diagrama de flujo:

INICIO

Relaciones Aumentadas

Construcción de la tabla inicial

Si ¿Optimo?

FIN

No Identificación de variables entrada/salida

Desarrollo de la tabla revisada

A continuación se analiza cada una de las etapas del Método Simplex a efecto de comprender con mayor facilidad el procedimiento

5.1

Relaciones aumentadas con variables de holgura y artificiales

El Método Simplex utiliza una tabla en la cual hay una columna para cada variable y un renglón para cada restricción. Además, cada restricción se debe expresar en lo que se llama “Forma Estándar”, es decir, como una igualdad; esto significa que cada restricción en el problema de Programación Lineal se debe aumentar con variables extra para convertirla en igualdad. --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Las adiciones para convertir una desigualdad en una igualdad, dan expresiones más grandes que se llamaran “relaciones aumentadas”. Las reglas básicas para convertir una desigualdad en una igualdad se resumen en la siguiente tabla: Reglas de aumento AGREGUESE A LA Tipo de restricción

Restricción

Función objetivo

≤

+ 0*S

≥

-S + A

Max: + 0*S - MA Min: + 0*S + MA

Max: - MA Min: + MA

En una Restriccion cualquier desigualdad puede convertirse en una igualdad agregando o restando variables extra, por ejemplo: Para una Restricción del Tipo ≤ se suma una “Variable de Holgura” Si tenemos

7X1 + 6X2 7X1 + 6X2 + S1 = 42

se convierte en

≤ 42 en donde S1 es una Variable de Holgura

Para una Restricción del Tipo ≥ se resta una “Variable de Excedente” o de Superávit y se suma una “Variable Artificial” se convierte en

≥ 30

6X1 + 5X2

Si tenemos

6X1 + 5X2 -S1 + A1 = 30

en donde –S1 es una Variable Excedente y A1 es una Variable Artificial

Para una Restricción del Tipo = se suma una Variable Artificial Si tenemos

3X1 + 6X2

se convierte en 3X1 + 6X2 + A1 = 18

= 18

en donde A1 es una Variable Artificial

Todas las variables que aparecen en una restricción también deben aparecer en la FUNCION OBJETIVO. Así, cada Variable de Holgura, de Excedente o Artificial que se aumente a cada RESTRICCION, también debe agregarse en la Función Objetivo.

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Por Ejemplo: SI TENEMOS EN UNA MINIMIZACION LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES AUMENTADAS:

20 X 1 + 32 X 2 12 X 1 + 20 X 2

+ S1

= 25......I − S2

X1 + X 2

+ A2

= 15......II + A3 = 1.......III

LA FUNCION OBJETIVO DE ACUERDO A LAS REGLAS QUEDARIA AUMENTADA COMO SIGUE: Min Z = 8X1 + 6X2 + 0*S1 + 0*S2 + M*A2 + M*A3

Los coeficientes para las Variables de Holgura o de Excedente son siempre igual a cero. Los coeficientes de las Variables Artificiales en la Función Objetivo son –MA si se trata de una Maximización y de +MA si se trata de una Minimización, en donde M es al menos 100 veces más grande que cualquier otro coeficiente.

5.2

Construcción de la tabla simplex

La forma general de la Tabla Simplex nos muestra que la parte central de dicha tabla contiene los coeficientes de las ecuaciones de restricción, con un renglón para cada una. Las variables aparecen como encabezado de las columnas (incluyendo las Variables de Holgura, Excedente o Artificiales). Abajo de cada variable aparece el coeficiente que tiene en la Función Objetivo. El renglón penúltimo de Costo de Oportunidad (Zj) y el renglón último del Criterio Simplex (Cj – Zj) se explican más adelante. La forma general de la Tabla Simplex Inicial se muestra a continuación:

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Contenido de la Tabla Simplex Inicial

Coeficientes en la Función Objetivo

Variables de Decisión Variables de Holgura, Excedencia y/o Artificiales

Variables Básicas

Valores de solución

x2 . . .

s2 . . .

C2 . . .

0...

s11

s12 . . .

s1n

0...

s21

s22 . . .

S2n

1...

. . .

sm1

sm2 . . .

smn

0...

smn Zj Cj - Zj

Renglón de Criterio Simplex

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Matriz Identidad . . .

Z Una columna para cada variable

Renglón de Costo de Oportunidad

Valor total de la Función Objetivo

Un Renglón para cada Restricción

Consideremos el hecho de que este método permite hacer interpretaciones rápidas e importantes del problema y muestra la forma en que los análisis de sensibilidad, que más adelante se verán, pueden efectuarse en forma algebraica. El método Simplex resuelve problemas lineales en iteraciones, en donde se repiten los mismos pasos de cálculo un número de veces antes de que se llegue al óptimo, requiriéndose de algún software existente para resolver problemas complejos mediante computadora. En su forma estándar un modelo de Programación Lineal tiene las siguientes propiedades: Todas las restricciones son ecuaciones con segundo miembro no negativo Todas las variables son no negativas. La función objetivo puede ser la maximización o la minimización

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5.3

Prueba de optimalidad de la solución simplex

PARA SABER SI SE HA ALCANZADO EL OPTIMO, SE DETERMINAN LOS VALORES DEL PENULTIMO RENGLON LLAMADO “RENGLON DEL COSTO DE OPORTUNIDAD” Y DEL ULTIMO RENGLON LLAMADO “RENGLON DEL CRITERIO SIMPLEX” PARA OBSERVAR SI SE TIENEN O NO, NUMEROS POSITIVOS o NEGATIVOS DE ACUERDO A LA SIGUIENTE REGLA DE OPTIMALIDAD En el caso de MAXIMIZACIÓN: La solución es óptima si C j − Z j ≤ 0 es decir, cuando ya no haya valores positivos en el último renglón, habremos encontrado la solución En el caso de MINIMIZACION: La solución es óptima si C j − Z j ≥ 0 es decir, cuando ya no haya valores negativos en el último renglón, habremos encontrado la solución EN CASO DE NO HABERSE ALCANZADO EL OPTIMO, SE CONTINUARA CON SU BUSQSUEDA, REALIZANDO OTRA NUEVA ITERACION, AL TERMINARLA, SE APLICARA NUEVAMENTE LA REGLA DE OPTIMALIDAD.

Identificación de la variable que entra y la que sale PARA CONTINUAR CON LA BUSQUEDA DEL OPTIMO, DEBEMOS IDENTIFICAR LA NUEVA VARIABLE QUE ENTRA En el caso de Maximización, la Variable que entra será la que corresponda a la columna donde se localice el mayor valor positivo en el último renglón, es decir, del Criterio Simplex (Cj – Zj). En el caso de Minimización, la Variable que entra será la que corresponda a la columna donde se localice el mayor valor negativo en el último renglón, es decir, del Criterio Simplex (Cj – Zj).

ENSEGUIDA, SE IDENTIFICA LA VARIABLE QUE SALE Tanto para el caso de Maximización como el de Minimización, la Variable que sale, corresponderá al renglón donde se localice el cociente más pequeño en la última columna, para ello habrá que determinar para cada renglón (restricción) lo siguiente:

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

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Se denomina como “COLUMNA PIVOTE”, a aquella donde se localiza la “Variable que Entra”, asimismo, al renglón con el cociente más pequeño en la última columna, se le denomina “RENGLON PIVOTE”, y corresponde a la “Variable que Sale”. En el cruce de la “COLUMNA PIVOTE” y el “RENGLON PIVOTE”, se localiza el “ELEMENTO PIVOTE”. En la última columna para la determinación del cociente más pequeño, solo se consideran los resultados positivos, es decir, se excluyen los resultados negativos o que den cero o infinito.

5.4

Revisión de la tabulación

Para llevar a cabo el proceso de revisión se obtiene una nueva tabulación que recibe el nombre de “TABULACION REVISADA” y habrá tantas como resulten de la aplicación de las reglas antes descritas. Todo el proceso de determinación de esta nueva tabulación recibe también el nombre de ITERACION. Primeramente se genera en una nueva tabulación, el “NUEVO RENGLÓN PIVOTE”, dividiendo a cada coeficiente del Renglón Pivote de la Tabulación Inicial entre el Elemento Pivote. A continuación, mediante la aplicación de la técnica matemática de Gauss-Jordan, se convierten en cero los coeficientes abajo y/arriba del Elemento Pivote, aplicando la misma operación al resto de los elementos en dichos renglones. Luego se vuelven a determinar tanto Z como C-Z, para apreciar si se llegó al óptimo, en caso contrario, se continuará con otra “Tabulación Revisada” o “Iteración” y así sucesivamente, hasta alcanzar el óptimo. Debemos cumplir con dos condiciones para la solución de un problema Si es de Maximización: •

Condición de optimidad (u optimalidad): La variable que entra en el proceso de maximización es la variable no básica con el coeficiente más positivo en la función (Z); si hay dos o más iguales se selecciona alguna en forma arbitraria. Si todos los coeficientes no básicos son negativos, se llega al óptimo.

•

Condición de factibilidad: La variable que sale es la variable básica que tiene la razón más pequeña (con denominador positivo); si hay dos o más razones iguales se selecciona alguna en forma arbitraria.

Si es de Minimización: •

Condición de optimidad (u optimalidad): La variable que entra en el proceso de minimización es la variable no básica con el coeficiente más negativo en la función (Z); si hay dos o más iguales se selecciona alguna en forma arbitraria. Si todos los coeficientes no básicos son positivos, se llega al óptimo.

•

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PODRIAMOS RESUMIR MAS FORMALMENTE LOS PASOS DEL ALGORITMO (METODO DE SOLUCIÓN MATEMÁTICA) DE LA SIGUIENTE MANERA: Mediante el uso de la forma estándar, se determina una solución factible básica inicial, considerando n-m variables adecuadas (no básicas) al nivel cero. Paso 1 : se selecciona una variable que entra de las variables no básicas actuales (cero) que, cuando se incrementan arriba de cero, pueden mejorar el valor de la función objetivo. Si no existe ninguna, deténgase; la solución básica corriente es óptima, en caso contrario, continuar con el paso 2. Paso 2 : se selecciona una variable que sale de entre las variables básicas actuales que deben hacerse igual a cero (volverse no básicas) cuando la variable que entra se vuelva básica. Paso 3 : se determina la nueva solución básica haciendo que la variable que entra sea básica y que la variable que sale sea no básica. Dirigiéndose al paso 1. Veamos con dos ejemplos, la aplicación de los pasos antes descritos, para luego avocarnos a la solución de los problemas que se analizaron con el Método Gráfico.

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5.6

Problemas de ejemplo

EJEMPLOINICIAL MAXIMIZAR

Z = 2 X1 + 3X 2

SUJETO A:

5 X 1 + 2 X 2 ≤ 10

X1 + 2 X 2 ≤ 8

X1 ≤ 0 , X 2 ≤ 0

a) Relaciones aumentadas

AUMENTANDO RELACIONES SE TIENE:

MAXIMIZAR

Z = 2 X1 + 3 X 2 + 0 * S1 + 0 * S2

SUJETO A:

5 X 1 + 2 X 2 + S1

= 10

X1 + 2 X 2 +

S2 = 8

1 2

Nótese que se acostumbra asignar subíndices a las Variables de Holgura desde uno, sin embargo también será válido asignarle subíndices como continuación de los que corresponden a las Variables Básicas, es decir, podríamos tener: SUJETO A:

5 X 1 + 2 X 2 + S3

X1 + 2 X 2 +

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

= 10

S4 = 8

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1 2

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b) Construcción de la Tabla Simplex Inicial TABULACION SIMPLEX INICIAL (Datos Iniciales) Variables Básicas

Valores de Solución

Primera Restricción

Segunda Restricción

Ecuación Z

Zj Cj - Zj

c) Prueba de optimalidad de la solución Simplex Para probar una solución, deben calcularse el renglón del Costo de Oportunidad (Zj) y el renglón del Criterio Simplex (Cj – Zj). El renglón Zj para cualquier columna dada, se obtiene multiplicando el Coeficiente en la Función Objetivo de cada Variable Básica por el Coeficiente de la Restricción en ese mismo renglón y columna. Esto se hace para cada renglón y después se suman los productos en cada columna. Entonces para Zj tenemos:

Zj =

∑C

Aij

El siguiente paso es calcular los elementos en el renglón (Cj – Zj). El Valor de Cj está escrito arriba de cada columna (primer renglón). Sólo tiene que restarse cada Zj de cada Cj respectiva en cada columna y registrar la diferencia en el último renglón de la Tabulación (Cj – Zj), esto se muestra en la siguiente Tabla: TABULACION SIMPLEX INICIAL (Ilustración de cómo obtener el valor de Zj) Variables Básicas

Valores de Solución

Primera Restricción

Segunda Restricción

0*5 + 0*1 = 0

0*2 + 0*2 = 0

Ecuación Z

Cj - Zj

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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TABULACION SIMPLEX INICIAL (Ilustración de cómo obtener el valor de Cj – Zj) Variables Básicas

Valores de Solución

Cj - Zj

2–0 = 2

3-0 = 0

0-0 = 0

---

Ahora se puede realizar la prueba de optimalidad. Esto se hace inspeccionando el renglón del Criterio Simplex (Cj – Zj) y aplicando la siguiente regla:

REGLA DE OPTIMALIDAD

En el caso de MAXIMIZACIÓN: La solución es óptima si

C j − Z j ≤ 0 es decir, cuando ya no haya

valores positivos en el último renglón, habremos encontrado la solución

En el caso de MINIMIZACION: La solución es óptima si

C j − Z j ≥ 0 es decir, cuando ya no haya

valores negativos en el último renglón, habremos encontrado la solución

En este problema de Maximización se tienen números positivos, por lo cual, debemos continuar con la búsqueda del óptimo, en una siguiente iteración.

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d) Identificació ón de la variab ble que entra a y la que sale e amente se idé éntica la Varia able que Entra a. Al Maximiza ar, será la Va ariable (column na) con el Mayor Primera Valor Positivo P del Criiterio Simplex (Cj – Zj). En nuestro n Ejemplo corresponde a X2, como se muestra en n la Tabulación Inicial; la l columna donde d se loc caliza al Mayyor Valor Positivo se ma arca y recibe la OLUMNA PIV VOTE”. denominación de “CO ara ello habrá uida, se identiifica a la Varia able que Sale e (renglón); pa á que obtenerr una columna a al Ensegu final de e la tabulación n donde se ca alcularán las razones r respe ectiva del valo or de solución n respecto de su coeficie ente en la colu umna pivote, es e decir,

Valores dee Solución Coeficcient es en Columna C Pivote P esto es s en cada res stricción (reng glón). Luego, se observa la a última colum mna, para de eterminar en q qué renglón n está el cocie ente positivo más m pequeño, ese será el qu ue identifica al “RENGLÓN PIVOTE” mismo que también proced deremos a marcar, m este renglón r marccado identifica a la Variable que Sale, y el coeficie ente que se lo ocaliza en el cruce c de la Columna C Pivote e y el Rengló ón Pivote recib be el nombre de “ELEMENTO PIVOT TE”, en la siguiiente tabulació ón se ilustran:

(Ide entificación de la columna, el renglón y el e elemento pivo ote) Variables

Valores de Solución

10 =5 2

8 =4 2

Cj - Zj

s Básicas

Valores de Soolución Coeficient es en Collumna Pivote

Elemento Pivote

Renglón Pivote que identifica la variable que sale

TABULACIO ON SIMPLEX INICIAL

e la tabulación n e) Revisión de evar a cabo el e proceso de e revisión se obtiene o una n nueva tabulacción que recib be el nombre de Para lle “TABULACION REV VISADA” y hab brá tantas com mo resulten de la aplicación d de las reglas a antes descritass.

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Primeramente se genera en una nueva tabulación, el “NUEVO RENGLÓN PIVOTE”, dividiendo a cada coeficiente del Renglón Pivote de la Tabulación Inicial entre el Elemento Pivote, es nuestro caso, entre 2, es decir,

Nuevo Elemento en el Nuevo Re nglón Pivote =

Elemento en el Re nglón Pivote Anterior Elemento Pivote

a continuación se ilustra la obtención del Nuevo Renglón Pivote: TABULACION REVISADA (PRIMERA) (Ilustración de cómo se obtiene el Nuevo Renglón Pivote) Variables Básicas Cj S1

1 2

2 =1 2

0 =0 2

1 2

Valores de Solución

Valores de Solución Coeficient es en Columna Pivote

8 =4 2

Zj Cj - Zj

Variable que Entra y su Coeficiente

Nótese que en el Nuevo Renglón Pivote aparece la Variable que Entra, es decir, X2 y su coeficiente en la Función Objetivo (3), en lugar de la Variable de Holgura S2 y su respectivo coeficiente (0), que salieron. Ahora, para obtener la nueva S1 en la nueva tabulación, la “TABULACION REVISADA (PRIMERA)”, hacemos lo siguiente, que será válido para todos los demás renglones que existieran, excepto como ya lo vimos, del Nuevo Renglón Pivote:

[Nuevo Re nglón] = [Re nglón Anterior] − ( [Su Coeficiente en la Columna Pivote]* [Nuevo Re nglón Pivote] ) Esto lo podemos ilustrar de la siguiente manera:

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Su Coeficiente en Columna Pivote

Nuevo Renglón s1 S1 anterior:

(

- ( 2 ) x Nuevo Renglón Pivote:

(

2(½)

= Nuevo Renglón S1:

2(1)

2(0)

(

2(½)

2(4) )

10 )

-1

)

Estos valores se anotan en la Tabulación Revisada (Primera) como se muestra a continuación: TABULACION REVISADA (PRIMERA) (Anotación del Nuevo Renglón de S1) Variables Básicas

Valores de Solución

-1

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

A continuación se obtienen los valores de Zj y del Criterio del Simplex (Cj – Zj), como se ha descrito antes: TABULACION REVISADA (PRIMERA) (Obtención de los nuevos valores de Zj y de (Cj – Zj) Variables Básicas

Valores de Solución

-1

3/2

Cj - Zj

-3/2

Valores de Solución Coeficient es en Columna Pivote

Se observa en el último renglón que aún hay positivos, por lo cual el problema no se ha “optimizado” debiendo continuar con la etapa de identificación de la Variable que Entra y la que Sale y a otra Nueva

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Tabulación Revisada a, la segunda. La Variable que Entra, ess decir, la Nuevva Columna P Pivote, es aque ella ositivo (valor po ositivo más grrande en (Cj - Zj), procediend do a marcarlo o donde localizamos el valor más po Determ minamos ahora a, el Renglón Pivote P para es sta Tabulación n Revisada (Prrimera):

TABULACION T N REVISADA ((PRIMERA) (determin nación de la nu ueva variable que entra y la a que sale) ables Varia

Valores de Solución

-1

2 1 = 4 2

4 =8 1/ 2

3/2

Cj - Zj

1/2

-3/2

Básic cas

Valores dee Solución Coeficient es en C Columna Pivote

emos entonce es la Nueva Tabulación T Revisada R (Seg gunda), de la misma mane era como an ntes Obtene hicimos s, primeramen nte obtenemos s el Nuevo Renglón Pivote. Se colo ocan en las do os primeras co olumnas la Va ariable que En ntra y su coefficiente, es deccir, 2X1, en lug gar de la Variable V que Sa ale y su respectivo coeficien nte, es decir, 0 0*S1: TABULACION T N REVISADA ((SEGUNDA) (Ilustració ón de cómo se e obtiene el Nu uevo Renglón n Pivote) Variab bles Básica as

4 =1 4

0 =0 4

1 4

−

Valoress de Solució ón

1 4

Valorees de Solución Coeficient ess en Columna Pivotte

2 1 = 4 2

Zj Cj - Zj

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Nótese de nuevo, que en el Nuevo Renglón Pivote aparece la Variable que Entra, es decir, X1 y su coeficiente en la Función Objetivo (2), en lugar de la Variable de Holgura S1 y su respectivo coeficiente, que salieron. Para obtener la nueva X2 en la nueva tabulación, la “TABULACION REVISADA (SEGUNDA)”, hacemos lo siguiente:

[Nuevo Re nglón] = [Re nglón Anterior] − ( [Su Coeficiente en la Columna Pivote]* [Nuevo Re nglón Pivote] ) Esto lo podemos ilustrar de la siguiente manera: Su Coeficiente en Columna Pivote

Nuevo Renglón X2 X2 anterior:

( ½

- ( ½ ) x Nuevo Renglón Pivote: ( ½(1) = Nuevo Renglón X2:

½(0) (

½(1/4) 1

½(-1/4) -1/8

½(½) 5/8

)

) 15/4

)

Estos valores se anotan en la Tabulación Revisada (Segunda) como se muestra a continuación TABULACION REVISADA (SEGUNDA) (Anotación del Nuevo Renglón de X2) Variables Básicas

Valores de Solución

-1/4

-1/8

5/8

15/4

Valores de Solución Coeficient es en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

A continuación se obtienen los valores de Zj y del Criterio del Simplex (Cj – Zj), como se ha descrito antes:

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TABULACION REVISADA (SEGUNDA) (Obtención de los nuevos valores de Zj y de Cj-Zj) Variables Básicas

Valores de Solución

-¼

1/2

X1 = 1/2

-1/8

5/8

15/4

X2 = 15/4

1/8

11/8

49/4=12.25

Z = 12.25

Cj - Zj

-1/8

-11/8

Observamos en esta última tabulación que ya no hay valores positivos en el último renglón, es decir, en el Criterio Simplex (Cj - Zj), solo tenemos ceros y número negativos, por lo tanto el problema está ya optimizado siendo los valores resultantes de las Variables Básicas y de la Función Objetivo los siguientes: X1 = ½ X2 = 15/4 Z = 12.25

recordemos que Z = 2X1 + 3X2 = 2(½) + 3(15/4) = 1+ 11.25 = 12.25

PODRIAMOS ENUNCIAR LOS PASOS DEL ALGORITMO (METODO DE SOLUCIÓN MATEMÁTICA) PARA MAXIMIZACIÓN, DE LA SIGUIENTE MANERA: Mediante el uso de la forma estándar, se determina una solución factible básica inicial, considerando n-m variables adecuadas (no básicas) al nivel cero. Paso 1 : se selecciona una variable que entra de las variables no básicas actuales (cero) que, cuando se incrementan arriba de cero, pueden mejorar el valor de la función objetivo. Si no existe ninguna, deténgase; la solución básica corriente es óptima, en caso contrario, continuar con el paso 2. Paso 2 : se selecciona una variable que sale de entre las variables básicas actuales que deben hacerse igual a cero (volverse no básicas) cuando la variable que entra se vuelva básica. Paso 3 : se determina la nueva solución básica haciendo que la variable que entra sea básica y que la variable que sale sea no básica. Dirigiéndose al paso 1.

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RESUME EN DEL PRO OCEDIMIENTO MATEMAT TICO

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RESULTADOS OBTENIDOS X1 = 0.50 X2 = 3.75 Z = 12.25

donde Z = 2X1 + 3X2 = 2(0.5) + 3(3.75) = 1+ 11.25 = 12.25

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PROBLEMAS DE EJEMPLO

PROBLEMA1

Max Z = 2X1 + X2

Función Objetivo: Sujeto a:

6 X 1 + 5 X 2 ≤ 30......I 2 X 1 + 3 X 2 ≤ 12......II 3 X 1 + 12 X 2 ≤ 36....III

Restricciones

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

a) Relaciones aumentadas Aumentando Relaciones conforme a las reglas establecidas obtenemos lo siguiente:

Función Objetivo:

Max Z = 2X1 + X2 + 0*S1 + 0*S2 + 0*S3

MATRIZ IDENTIDAD

Sujeto a:

6X1 + 5X 2 Restricciones

+ S1

2 X 1 + 3X 2 3 X 1 + 12 X 2

= 30...... I + S2

= 12...... II + S3

= 36....III

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

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b) Construcció ón de la Tabla a Simplex

c) Prueba de optimalidad o de d la solución Simplex Observ vamos que en n el ultimo ren nglón hay pos sitivos, entoncces debe con ntinuarse busccando el optim mo, para lo cual, seleccio onamos como o variable que entra, la del vvalor positivo m mas alto en el ultimo rengló ón y v que sa ale, la del cociente mas bajo o en la ultima ccolumna. como variable

ón de la variab ble que entra a y la que sale e c) Identificació m tabulac ción vemos cu ual es la variab ble que entra, por tener el vvalor más possitivo en el último En la misma renglón n y cual es la variable v que sa ale, por tener el e cociente má ás pequeño en n la última colu umna.

d) Revisión de e la tabulación n Proced demos de nueva cuenta a determinar el “NUEVO RENGLÓN PIVOTE”, divvidiendo a ca ada coeficie ente del Rengllón Pivote de la l Tabulación Inicial entre ell Elemento Pivvote, es decir,

Nuevo Elemento en el e Nuevo Re ng glón Pivote =

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Elemento E en ell Re nglón Pivoote Anterior Elem mento Pivotee

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (dividimos el renglón pivote por el elemento pivote) Variables Básicas

(1/6)

Valores de Solución

Valoresde Solución Coeficientes en ColumnaPivote

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes abajo del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-3) (-2)

Valores de Solución

0.8333

0.16667

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se obtienen los nuevos valores del renglón Z) Variables Básicas

Valores de Solución

0.8333

0.16667

1.3333

-0.3333

9.5

-0.5

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

Obtención del renglón Z para la columna de X1 = (2)(1) + (0)(0) + (0)(0) = 2 Obtención del renglón Z para la columna de X2 = (2)(0.8333) + (0)(1.3333) + (0)(9.5) = 1.6667 Los resultados para el renglón Z en las columnas S1, S2, S3, son todos ceros Obtención del renglón Z para la columna “Valores de Solución” = (2)(5) + (0)(2) + (0)(21) = 10

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z) Variables Básicas

Valores de Solución

0.8333

0.16667

1.3333

-0.3333

9.5

-0.5

1.6667

0.3334

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Cj - Zj

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se observa en el renglón C-Z si aun se tienen valores positivos para continuar) Variables Básicas

Valores de Solución

0.8333

0.16667

1.3333

-0.3333

9.5

-0.5

1.6667

0.3334

Cj - Zj

0.6667

-0.3334

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

X1 = 5

Z = 10

Obtención del renglón C-Z para la columna de X1 = 2-2 = 0 Obtención del renglón C-Z para la columna de X2 = 1-1.6667 = -0.6667 Los demás resultados son ceros. Como en este ultimo renglón ya no se tienen números positivos, hemos llegado al optimo, resultando: X1 = 5 X2 = 0 Z = 2X1 + X2 = 2(5) + (0) = 10

como lo muestra también el renglón Z

Este resultado lo leemos en la columna “Valores de Solución” para cada renglón de la columna primera, donde aparecen las variables de decisión involucradas, es decir, las variables que entraron, donde vemos únicamente a X1, por lo cual asumimos que X2=0. Este es el mismo resultado que se obtuvo con el Método Gráfico.

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Apuntes sobre Investigaci贸n de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

RESUMEN DE PROCED P DIMIENTO O DEL PROBLEMA 1

X1 = 5

RESULTADOS::

X2 = 0 Z = 10

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150

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Pรกgina

151

Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

PROBLEMA2

Max Z = 60X1 + 50X2

Función Objetivo: Sujeto a:

2 X 1 + X 2 ≤ 10......I X 1 + 3 X 2 ≤ 15......II

Restricciones

≤ 4........III

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

a) Relaciones aumentadas Aumentando Relaciones obtenemos lo siguiente:

Función Objetivo:

Max Z = 2X1 + X2 + 0*S1 + 0*S2 + 0*S3

Sujeto a:

2 X1 + X 2 Restricciones

X1 + 3X 2

+ S1

= 10......I + S2

= 15......II + S 3 = 4......III

X1 X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

MATRIZ IDENTIDAD

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b) Construcció ón de la Tabla a Simplex

c) Prueba de optimalidad d de la solución Simplex Observ vamos que en e el ultimo renglón hay positivos, e entonces deb be continuars se buscando o el optimo o, para lo cua al, selecciona amos como variable v que e entra, la del v valor positivo o mas alto en n el ultimo renglón y co omo variable que q sale, la del d cociente m mas bajo en la a ultima columna.

riable que entra y la que s sale d) Identificaciión de la vari En la misma m tabula ación vemos cual es la variable que en ntra, por tene er el valor má ás positivo en n el último renglón y cual es la varriable que sa ale, por tenerr el cociente e más pequeñ ño en la últim ma na. column

e) Revisión de d la tabulaciión Proced demos de nu ueva cuenta a determinarr el “NUEVO RENGLÓN P PIVOTE”, div vidiendo a ca ada coeficiiente del Renglón Pivote de d la Tabulaciión Inicial enttre el Elemen nto Pivote

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (dividimos el renglón pivote por el elemento pivote) Variables Básicas

(1/1)

Valores de Solución

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

En este paso como el elemento pivote es el número uno, los elementos a los cuales dividamos seguirán igual.

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes arriba del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-2)

(-1)

Valores de Solución

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se obtienen los nuevos valores del renglón Z) Variables Básicas

Valores de Solución

-2

-1

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

Obtención del renglón Z para la columna de X1 = (0)(0 + (0)(1) + (60)(1) = 60 Obtención del renglón Z para la columna de X2 = (0)(1) + (0)(3) + (60)(0) = 0 Los resultados para el renglón Z en las columnas S1, S2, son todos ceros Obtención del renglón Z para la columna de S3 = (0)(-2) + (0)(-1) + (60)(1) = 60 Obtención del renglón Z para la columna “Valores de Solución” = (0)(2) + (0)(11) + (60)(4) = 240 TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z y se observa si aun se tienen valores positivos para continuar) Variables Básicas

Valores de Solución

-2

-1

240

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Cj - Zj

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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ción del rengló ón C-Z para la columna de X1 = 60-60 = 0 Obtenc Obtenc ción del rengló ón C-Z para la columna de X2 = 50-0 = 50 0 Obtenc ción del rengló ón C-Z para la columna de S3 = 0-60 = -60 0 Los demás resultado os son ceros. e este ultimo o renglón sigue e conteniendo positivos, con ntinuamos con n la búsqueda del optimo Como en TABULA ACION SIMPLE EX REVISADA A (ITERACIO ON 1) (se determin na la nueva va ariable que enttra y la que sale, así como e el nuevo eleme ento pivote) Variables V Básicas B

V Valores d de S Solución

-2

-1

1 11

60 6

2 240

Cj - Zj

-60

Valores de Solución Coeeficientes en Columna Piivote

TABULA ACION SIMPLE EX REVISADA A (ITERACIO ON 2) (se e determina la a nueva variab ble que entra y la que sale, a así como el nu uevo elemento o pivote) Variables V Básicas B

SALE

V Valores d de S Solución

Valores de Solución Coeeficientes en Columna Piivote

-2

2/1 = 2

-1

1 11

11/3 = 3.66 667

60 6

-------

2 240

Cj - Zj

-60

ENTRA

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E Elemento P Pivote

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Página 157 de 353

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (dividimos el renglón pivote por el elemento pivote) Variables Básicas

(1/1)

Valores de Solución

-2

-1

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

En este paso como el elemento pivote es el numero uno, los elementos a los cuales dividamos seguirán igual.

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes abajo del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-3)

Valores de Solución

-2

-1

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

En este paso, encontramos que en el renglón correspondiente a X1, abajo del elemento pivote, ya existe cero, por lo cual no es necesario realizar ninguna operación con este renglón.

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (se obtienen los nuevos valores del renglón Z) Variables Básicas

Valores de Solución

-2

-3

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

Obtención del renglón Z para la columna de X1 = (50)(0) + (0)(0) + (60)(1) = 60 Obtención del renglón Z para la columna de X2 = (50)(1) + (0)(0) + (60)(0) = 50 Obtención del renglón Z para la columna de S1 = (50)(1) + (0)(-3) + (60)(0) = 50 Los resultados para el renglón Z en la columna S2, es cero Obtención del renglón Z para la columna de S3 = (50)(-2) + (0)(5) + (60)(1) = -40 Obtención del renglón Z para la columna “Valores de Solución” = (50)(2) + (0)(5) + (60)(4) = 340 TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z y se observa si aún se tienen valores positivos para continuar) Variables Básicas

Valores de Solución

-2

-3

-40

340

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Cj - Zj

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ción del rengló ón C-Z para la columna de X1 = 60-60 = 0 Obtenc Obtenc ción del rengló ón C-Z para la columna de X2 = 50-50 = 0 Obtenc ción del rengló ón C-Z para la columna de S1 = 0-50 = -50 0 Obtenc ción del rengló ón C-Z para la columna de S2 = 0-0 = 0 Obtenc ción del rengló ón C-Z para la columna de S3 = 0-40 = -40 0 Los demás resultado os son ceros. e este ultimo o renglón hay aún a positivos, continuamos con la búsque eda del optimo o Como en TABULACION T N SIMPLEX RE EVISADA (IT TERACION 2) na la nueva va ariable que enttra y la que sale, así como e el nuevo eleme ento pivote) (se determin Variables V Básicas B

V Valores d de S Solución

50 5

-2

-3 3

60 6

50 5

-40

3 340

Cj - Zj

-5 50

Valores de Solución Coeeficientes en Columna Piivote

TABULACION T N SIMPLEX RE EVISADA (IT TERACION 3) na la nueva va ariable que enttra y la que sale, así como e el nuevo eleme ento pivote) (se determin

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (dividimos el renglón pivote entrer el elemento pivote) Variables Básicas

(1/5)

Valores de Solución

-2

-3

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes abajo y arriba del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-1) (2)

Valores de Solución

-2

-0.6

0.2

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (se obtienen los nuevos valores del renglón Z) Variables Básicas

Valores de Solución

-0.2

0.4

-0.6

0.2

0.6

-0.2

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

Obtención del renglón Z para la columna de X1 = (50)(0 + (0)(0) + (60)(1) = 60 Obtención del renglón Z para la columna de X2 = (50)(1) + (0)(0) + (60)(0) = 50 Obtención del renglón Z para la columna de S1 = (50)(-0.2) + (0)(-0.6) + (60)(0.6) = 26 Obtención del renglón Z para la columna de S2 = (50)(0.4) + (0)(0.2) + (60)(-0.2) = 8 Los resultados para el renglón Z en la columna S3, es cero Obtención del renglón Z para la columna “Valores de Solución” = (50)(4) + (0)(1) + (60)(3) = 380 TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z y se observa si aun se tienen valores positivos para continuar) Variables Básicas

Valores de Solución

-0.2

0.4

-0.6

0.2

0.6

-0.2

380

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Cj - Zj

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INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

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Obtención del renglón C-Z para la columna de X1 = 60-60 = 0 Obtención del renglón C-Z para la columna de X2 = 50-50 = 0 Obtención del renglón C-Z para la columna de S1 = 0-26 = -0.26 Obtención del renglón C-Z para la columna de S2 = 0-8 = -0.8 Obtención del renglón C-Z para la columna de S3 = 0-0 = 0 Los demás resultados son ceros. Como en este último renglón ya no tenemos números positivos, hemos llegado a la solución óptima. TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (se llegó al optimo por ya no haber números positivos en el ultimo renglón) Variables Básicas

Valores de Solución

-0.2

0.4

-0.6

0.2

0.6

-0.2

380

Cj - Zj

-26

-8

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

X2 = 4

X1 = 3 Z = 380

Resultando: X1 = 3 X2 = 4 Z = 60X1 + 50X2 = 60(3) + 50(4) = 380

como lo muestra también el renglón Z

Este resultado lo leemos en la columna “Valores de Solución” para cada renglón de la columna primera, donde aparecen las variables de decisión involucradas, es decir, las variables que entraron, donde vemos tanto a X1 como a X2. Este es el mismo resultado que se obtuvo con el Método Gráfico.

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TABULACIO N INICIAL

Variables sicas Bás

(1/1)

PRIMERA ITERACION

(-2)

(-1)

Valores de Solución

Valores de Solución Coefficientes en Columna Pivotee

---

Cj - Zj

HAY P POSITIVOS

-2

-1

3.6667

---

240

Cj - Zj

-60

---

Zj Cj – Zj

(1/1)

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HAY P POSITIVOS

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Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

RESUME R EN DE PR ROCEDIMIENTO O DEL PR ROBLEM MA 2

SEGUNDA ITERACION

(-3)

Valores de Solución

-2

-1

-2

---

-3

-40

340

Cj – Zj

-50

---

Valores de Soluución Coeficientes en Colum mna Pivote

Zj Cj – Zj

(1/5)

TERCERA ITERACION

(-1)

(2)

-2

-0.6

0.2

-0.2

0.4

-0.6

0.2

0.6

-0.2

380

Cj – Zj

-26

-8

---

HAY POSITIVOS

Zj Cj – Zj

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X2 = 4

164

X1 = 3

NO O HAY POSITIVOS

Z = 3880

Página

RESUL LTADOS:

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Variables Básicas

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PROBLEMA3

Max Z = 1000X1 + 1500X2

Función Objetivo: Sujeto a:

2 X 1 + 2 X 2 ≤ 160......I X 1 + 2 X 2 ≤ 120......II

Restricciones

4 X 1 + 2 X 2 ≤ 280....III X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

a) Relaciones aumentadas Aumentando Relaciones conforme a las reglas establecidas obtenemos lo siguiente:

Función Objetivo:

Max Z = 1000X1 + 1500X2 + 0*S1 + 0*S2 + 0*S3

Sujeto a:

2X1 + 2X 2 Restricciones

X1 + 2X 2

+ S1

= 160......I + S2

4X1 + 2X 2

= 120......II + S3

= 280....III

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

MATRIZ IDENTIDAD

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b) Construcció ón de la Tabla a Simplex

ón de la variab ble que entra y la que sale e d) Identificació En la misma m tabulac ción vemos cu ual es la variab ble que entra, por tener el vvalor más possitivo en el último renglón n y cual es la variable v que sa ale, por tener el e cociente má ás pequeño en n la última colu umna.

e) Revisión de e la tabulación n Proced demos de nueva cuenta a determinar el “NUEVO RENGLÓN PIVOTE”, divvidiendo a ca ada coeficie ente del Rengllón Pivote de la l Tabulación Inicial entre ell Elemento Pivvote

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (dividimos el renglón pivote por el elemento pivote) Variables Básicas

(1/2)

Valores de Solución

1000

1500

160

1500

120

280

Valoresde Solución Coeficientes en ColumnaPivote

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes abajo y arriba del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-2) (-2)

Valores de Solución

1000

1500

160

1500

0.5

280

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se obtienen los nuevos valores del renglón Z) Variables Básicas

Valores de Solución

1000

1500

-1

1500

0.5

-1

160

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

Obtención del renglón Z para la columna de X1 = (0)(1) + (1500)(0.5) + (0)(3) = 750 Obtención del renglón Z para la columna de X2 = (0)(0) + (1500)(1) + (0)(0) = 1500 Los resultados para el renglón Z en las columnas S1, S3, son todos ceros Obtención del renglón Z para la columna de S2 = (0)(-1) + (1500)(0.5) + (0)(-1) = 750 Obtención del renglón Z para la columna “Valores de Solución” = (0)(40) + (1500)(60) + (0)(160) = = 90000 TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z) Variables Básicas

Valores de Solución

1000

1500

-1

1500

0.5

-1

160

750

1500

750

90000

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Cj - Zj

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TABULA ACION SIMPLE EX REVISADA A (ITERACIO ON 1) (se observa en el renglón C-Z si aún se tienen valoress positivos parra continuar) Variables V Básicas B

V Valores d de S Solución

1000

1500

-1

4 40

1500

0.5

6 60

-1

1 160

750

1500

750

9 90000

Cj - Zj

250

-750

Valores de Solución Coeeficientes en Columna Piivote

ción del rengló ón C-Z para la columna de X1 = 1000-750 0 = 250 Obtenc Obtenc ción del rengló ón C-Z para la columna de X2 = 1500-150 00 = 0 Obtenc ción del rengló ón C-Z para la columna de S2 = 0-750 = -7 750 Los demás resultado os son ceros. e este último o renglón se tie enen números s positivos, con ntinuamos con n la siguiente iiteración Como en TABULA ACION SIMPLE EX REVISADA A (ITERACIO ON 2) (se determin na la nueva va ariable que enttra y la que sale, así como e el nuevo eleme ento pivote)

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (dividimos el renglón pivote por el elemento pivote) Variables Básicas

(1/1)

Valores de Solución

1000

1500

1000

-1

1500

0.5

-1

160

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

Debido a que el elemento pivote es 1, el renglón no sufre cambios al dividirse entre 1

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes abajo del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-3) (-0.5)

Valores de Solución

1000

1500

1000

-1

1500

-0.5

-3

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (se obtienen los nuevos valores del renglón Z) Variables Básicas

Valores de Solución

1000

1500

1000

-1

1500

-0.5

-3

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

Obtención del renglón Z para la columna de X1 = (1000)(1) + (1500)(0) + (0)(0) = 1000 Obtención del renglón Z para la columna de X2 = (1000)(0) + (1500)(1) + (0)(0) = 1500 Obtención del renglón Z para la columna de S1 = (1000)(-1) + (1500)(-0.5) + (0)(-3) = 250 Obtención del renglón Z para la columna de S2 = (1000)(-1) + (1500)(1) + (0)(2) = 500 Los resultados para el renglón Z en las columnas S1, S3, son todos ceros Obtención del renglón Z para la columna “Valores de Solución” = (1000)(40) + (1500)(40) + (0)(40) = 100,000 TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z) Variables Básicas

Valores de Solución

1000

1500

1000

-1

1500

-0.5

-3

1000

1500

250

500

100000

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Cj - Zj

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (se observa si alguno de los valores del renglón C-Z es aun positivo) Variables Básicas

Valores de Solución

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

1000

1500

1000

-1

X1 = 40

1500

-0.5

X2 = 40

-3

1000

1500

250

500

100000

Cj - Zj

-250

-500

Z = 100,000

Obtención del renglón C-Z para la columna de X1 = 1000-1000 = 0 Obtención del renglón C-Z para la columna de X2 = 1500-1500 = 0 Obtención del renglón C-Z para la columna de S1 = 0-250 = -250 Obtención del renglón C-Z para la columna de S2 = 0-500 = -500 Obtención del renglón C-Z para la columna de S3 = 0-0 = 0 Los demás resultados son ceros. Como en este último renglón ya no se tienen números positivos, hemos encontrado el óptimo, siendo sus resultados los siguientes: X1 = 40 X2 = 40 Z = 1000X1 + 1500X2 = 1000(40) + 1500(40) = 100,000 como lo muestra también el renglón Z Este resultado lo leemos en la columna “Valores de Solución” para cada renglón de la columna primera, donde aparecen las variables de decisión involucradas, es decir, las variables que entraron, donde vemos tanto a X1 como a X2. Este es el mismo resultado que se obtuvo con el Método Gráfico.

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TABULACIO N INICIAL

Variables sicas Bรกs

(1/2)

PRIMERA ITERACION

(-2)

Valores de Soluciรณn

Valores de Soluciรณn Coeficientes en Columna Pivote P

160

120

280

140

1000 1

1500

---

1000

1500

Cj - Zj

HAY POSITIVOS

160

1500

0.5

280

-1

1500

0.5

120

-1

160

53.3333

750

1500

750

90000

Cj - Zj

250

-750

---

Zj Cj - Zj

(1/1)

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HAY POSITIVOS

173

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Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

RESUM MEN DE PROCEDIMIENT TO DEL PROBLE EMA 3

SEGUNDA ITERACION

(-3) (-0.5)

Valores de Solución

1000

1500

1000

-1

1500

0.5

-1

160

1000

-1

1500

-.05

-3

1000

1500

250

500

100000

Cj - Zj

-250

-500

---

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

NO HAY POSITIVOS

X1 = 40

RESULTADOS:

X2 = 40

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Página

174

Z = 100,000

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Variables Básicas

PROBLEMA4 Función Objetivo:

Min

Z = 0.5X1 + 0.8X2

Sujeto a:

4 X 1 + 10 X 2 ≥ 40......I 10 X 1 + 5 X 2 ≥ 50......II

Restricciones

7 X 1 + 7 X 2 ≥ 49......III X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

a) Relaciones aumentadas Aumentando Relaciones obtenemos lo siguiente: Función Objetivo:

Min

Z = 0.5 X 1 + 0.8 X 2 + 0 * S1 + MA1 + 0 * S 2 + MA2 + 0 * S 3 + MA3

Sujeto a:

4 X 1 + 10 X 2 Restricciones

10 X 1 + 5 X 2

− S1

+ A1 − S2

7 X1 + 7 X 2

= 40......I + A2

− S3

= 50......II + A3 = 49....III

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

Para apreciar cómo queda la Matriz Identidad, puede reagruparse como sigue:

Función Objetivo:

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Min Z = 0.5X1 + 0.8X2 + MA1+ MA2+ MA3 + 0*S1 + 0*S2 + 0*S3

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

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Sujeto a:

4 X 1 + 10 X 2 Restriccion nes

10 1 X1 + 5X 2

− S1

+ A1 + A2

7 X1 + 7 X 2

= 40......I − S2

+ A3

= 50......II − S3

= 49....III

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

b) Construcció ón de la Tabla a Simplex TABULACION T N SIMPLEX IN NICIAL

c) Prueba de optimalidad o de d la solución Simplex Observ vamos que en n el ultimo ren nglón hay neg gativos, entonces debe con ntinuarse busccando el optim mo, para lo cual, seleccio onamos como variable que entra, e la del va alor negativo m mas alto en ell ultimo rengló ón y v que sa ale, la del cociente mas bajo o en la ultima ccolumna. como variable d) Identificació ón de la variab ble que entra y la que sale e m tabulac ción vemos cua al es la variab ble que entra, por tener el vvalor más nega ativo en el último En la misma renglón n y cuál es la variable v que sa ale, por tener el e cociente má ás pequeño en n la última colu umna.

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e) Revisión de la tabulación Procedemos de nueva cuenta a determinar el “NUEVO RENGLÓN PIVOTE”, dividiendo a cada coeficiente del Renglón Pivote de la Tabulación Inicial entre el Elemento Pivote TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (dividimos el renglón pivote entre el elemento pivote) Variables Básicas

(1/10)

Valores de Solución

0.5

0.8

-1

Valoresde Solución Coeficientes en ColumnaPivote

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes arriba del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-7) (-5)

Valores de Solución

0.5

0.8

0.4

0.1

-1

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se obtienen los nuevos valores del renglรณn Z) Variables Bรกsicas

Valores de Soluciรณn

0.5

0.8

0.4

-0.1

0.1

0.5

-0.5

-1

4.2

0.7

-0.7

-1

Valores de Soluciรณn Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

Obtenciรณn del renglรณn Z para la columna de X1 = (0.8)(0.4) + (M)(8) + (M)(4.2) = 0.32 + 12.2M Obtenciรณn del renglรณn Z para la columna de X2 = (0.8)(1) + (M)(0) + (M)(0) = 0.8 Obtenciรณn del renglรณn Z para la columna de S1 = (0.8)(-0.1) + (M)(0.5) + (M)(0.7) = -0.08 + 1.2M Obtenciรณn del renglรณn Z para la columna de A1 = (0.8x0.1) + (M)(-0.5) + (M)(-0.7) = 0.08 - 1.2M Obtenciรณn del renglรณn Z para la columna de S2 = (0.8)(0) + (M)(-1) + (M)(0) = -M Obtenciรณn del renglรณn Z para la columna de A2 = (0.8)(0) + (M)(1) + (M)(0) = M Obtenciรณn del renglรณn Z para la columna de S3 = (0.8)(0) + (M)(0) + (M)(-1) = -M Obtenciรณn del renglรณn Z para la columna de A3 = (0.8)(0) + (M)(0) + (M)(1) = M Obtenciรณn de Z para la columna โ Valores de Soluciรณnโ = (0.8)(4) + (M)(30) + (M)(21) = 3.2 + 51M

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z y se observa si se tienen valores negativos para continuar) Variables Básicas

Valores de Solución

0.5

0.8

0.4

-0.1

0.1

0.5

-0.5

-1

4.2

0.7

-0.7

-1

0.32+12.2M

0.8

-0.08 +1.2M

0.81.2M

-M

3.2+51M

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se determina la nueva variable que entra y la que sale, así como el nuevo elemento pivote) Variable s

Básicas

A 3

Valores de Solució n

0.5

0. 8

0.4

-0.1

0.1

0.5

-0.5

-1

4.2

0.7

-0.7

-1

0.32+ 12.2M

0. 8

-0.08+ 1.2M

0.8-1.2M

-M

3.2+ 51M

Cj - Zj

0.1812.2M

0.081.2M

-0.08 2.2M

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Como este ultimo renglón sigue conteniendo negativos, continuamos con la búsqueda del optimo

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TABULACION T N SIMPLEX RE EVISADA (ITER RACION 2) va variable qu ue entra y la qu ue sale, así co omo el nuevo e elemento pivo ote) (se determina la nuev

a variable con el cociente más m bajo en la a última colum mna y entra la variable con el valor negattivo Sale la más altto en el último renglón.

TABULACION T N SIMPLEX RE EVISADA (ITER RACION 2) (dividimo os el renglón pivote entre el e elemento pivo ote) Variables Básicas

(1/8)

Valores de Solución

0.5

0.8

0.4

-0.1

0.1

0.5

-0.5

-1

4.2

0.7

-0.7

-1

Valoresde Solucción Coeficient es enColumnaPivote

Zj Cj - Zj

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes abajo del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-0.4)

(-4.2)

Valore s de Soluci ón

0.5

0.8

0.4

-0.1

0.1

0.5

0.063

-0.063

-0.125

0.125

3.75

4.2

0.7

-0.7

-1

Valores de Solución

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pi

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (se obtienen los nuevos valores del renglón Z) Variables Básicas

0.5

0.8

-0.125

0.125

0.05

-0.05

2.5

0.5

0.063

-0.063

-0.125

0.125

3.75

0.438

-0.438

0.525

-0.525

-1

5.25

Valores de Solución Coeficientes en ColumnaPivote

Zj Cj - Zj

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INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z y se observa si aun se tienen valores negativos para continuar) Variables Básicas

Valores de Solución

0.5

0.8

-0.125

0.125

0.05

-0.05

2.5

0.5

0.063

-0.063

-0.125

0.125

3.75

0.438

-0.438

0.525

-0.525

-1

5.25

0.5

0.8

-0.069 +0.438M

0.0690.438M

-0.022 +0.525

0.0220.525

-M

3.875+ 5.2M5

Valores de Solución Coeficientes en ColumnaPivote

Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (como aun existen números negativos, se determina la nueva variable que entra y la que sale, así como el nuevo elemento pivote) Variables Básicas

Valores de Solución

0.5

0.8

-0.125

0.125

0.05

-0.05

2.5

0.5

0.063

-0.063

-0.125

0.125

3.75

0.438

-0.438

0.525

-0.525

-1

5.25

0.5

0.8

-0.069 +0.438M

0.0690.438M

-0.022 + 0.525

0.0220.525

-M

3.875+ 5.2M5

Cj - Zj

0.0690.438M

-0.069 + 1.438M

0.0220.525M

-0.022+ 1.525M

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INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Valoresde Solución Coeficient es en ColumnaPivote

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TABULACION T N SIMPLEX RE EVISADA (ITER RACION 3) (se determin na la nueva va ariable que enttra y la que sale, así como e el nuevo eleme ento pivote)

TABULA ACION SIMPLE EX REVISADA A (ITERACIO ON 3) (dividimo os el renglón pivote entre el e elemento pivo ote) Variables Básicas

(1/0.525)

Valores de Solución

0.5

0.8

-0.125

0.125

0.0 05

-0.05

2.5

0.5

0.063

-0.063

-0.1 125

0.125

3.75

0.438

-0.438

0.5 525

-0.525

-1

5.25

Valoresde Solución C Coeficientes en ColumnaPivote

Zj Cj - Zj

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TABULACION T N SIMPLEX RE EVISADA (ITER RACION 3) (con base en n Gauss-Jorda an hacemos que q los coeficie entes arriba de el elemento piivote sean cerro) Variables V Básicas B

(-0.05) (0.125)

Valores de Solución n

0.5

0..8

0.8

-0.125

0.125

0.05

-0.05

2.5

0.5

0.063

-0.063

-0.125 5

0.125

3.75

0.833

-0833

-1

--1.905

1.905

Valoresde Solu ución Coeficientes en Colum mnaPivote

Zj Cj - Zj

TABU ULACION SIMPLEX REVISA ADA ON 3) (ITERACIO (se ( obtienen lo os nuevos valo ores del rengló ón Z) Variables Básicas

V Valores de Solución

0.5

0.8

-0.167

0.167

0.095

-0.095

0.5

0.167

-0.167

-0.238 8

0.238

0.833

-0833

-1

-1.905 5

1.905

Valoresde Solución Coeficientes en ColumnaPivote

Zj Cj - Zj

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z y se observa si aun se tienen valores negativos para continuar) Variables Básicas

Valores de Solución

0.5

0.8

-0.167

0.167

0.095

-0.095

0.5

0.167

-0.167

-0.238

0.238

0.833

-0833

-1

-1.905

1.905

0.5

0.8

0.05

-0.043

0.043

4.1

Valoresde Solución Coeficientes en ColumnaPivote

Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (se llego al optimo por ya no haber números negativos en el ultimo renglón) Variables Básicas

Valores de Solución

0.5

0.8

-0.167

0.167

0.095

-0.095

0.5

0.167

-0.167

-0.238

0.238

0.833

-0833

-1

-1.9

1.905

0.5

0.8

-0.05

0.05

-0.043

0.043

4.1

Cj - Zj

0.05

-0.05+ M

0.043

-0.043+ M

Nota:

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

recordemos que M es un numero muy grande, si fuera M=1000 entonces, en el ultimo renglón donde aparecen fracciones negativas tendríamos -0.05+M = -0.05+1000 = 999.95 positivo -0.043+M = -0.043+1000 = 999.957 positivo

Solución resultante: X1 = 5 X2 = 2 Z = 0.5X1 + 0.8X2 = 0.5(5) + 0.8(2) = 4.1

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como lo muestra también el renglón Z

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Este resultado lo leemos en la columna “Valores de Solución” para cada renglón de la columna primera, donde aparecen las variables de decisión involucradas, es decir, las variables que entraron, donde vemos tanto a X1 como a X2 en este problema Este es el mismo resultado que se obtuvo con el Método Gráfico.

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INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

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Apuntes sobre Investigaci贸n de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

RESUME EN DE PR ROCEDIMIENTO O DEL PR ROBLEM MA 4

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Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

X2 = 2

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Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

PROBLEMA5

Min Z = 8X1 + 6X2

Función Objetivo: Sujeto a:

20 X 1 + 32 X 2 ≤ 25.......I 12 X 1 + 20 X 2 ≥ 15........II

Restricciones

X 1 + X 2 = 1.................III X 1 ≥ 0,

X2 ≥ 0

a) Relaciones aumentadas Aumentando Relaciones obtenemos lo siguiente: Función Objetivo:

Min Z = 8X1 + 6X2 + 0*S1 + 0*S2 + MA2 + MA3 Sujeto a:

20 X 1 + 32 X 2 Restricciones

12 X 1 + 20 X 2

+ S1

= 25......I − S2

X1 + X 2

+ A2

= 15......II + A3 = 1.......III

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

b) Construcción de la Tabla Simplex

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TABULACION T N SIMPLEX IN NICIAL Variables s Básicas

Valore es de ón Solució

Valoress de Solución Coeficientes een Columna Pivote

25/32 2 = 0.78

-1

15/20 0 = 0.75

1/1 = 1

13M M

21M

-M

16M

Cj - Zj

8-13 3M

6-21M

o de d la solución Simplex c) Prueba de optimalidad Observ vamos que en n el ultimo ren nglón hay neg gativos, entonces debe con ntinuarse busccando el optim mo, para lo cual, seleccio onamos como variable que entra, e la del va alor negativo m mas alto en ell ultimo rengló ón y v que sa ale, la del cociente mas bajo o en la ultima ccolumna. como variable

ón de la variab ble que entra y la que sale e d) Identificació m tabulac ción vemos cua al es la variab ble que entra, por tener el vvalor más nega ativo en el último En la misma renglón n y cual es la variable v que sa ale, por tener el e cociente má ás pequeño en n la última colu umna.

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (dividimos el renglón pivote entre el elemento pivote) Variables Básicas

(1/20)

Valores de Solución

-1

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes arriba y abajo del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-32) (-1)

Valores de Solución

0.6

-0.05

0.05

0.75

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

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Página 193 de 353

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se obtienen los nuevos valores del renglón Z) Variables Básicas

Valores de Solución

0.8

1.6

-1.6

0.6

-0.05

0.05

0.75

0.4

0.05

-0.05

0.25

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 1) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z y se observa si aun se tienen valores negativos para continuar) Variables Básicas

Valores de Solución

0.8

1.6

-1.6

0.6

-0.05

0.05

0.75

0.4

0.05

-0.05

0.25

3.6+0.4M

-0.3+ 0.05M

0.030.05M

4.5+ 0.25M

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Cj - Zj

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TABULACION T N SIMPLEX RE EVISADA (ITER RACION 1) va variable qu ue entra y la qu ue sale, así co omo el nuevo e elemento pivo ote) (se determina la nuev Variables Básicas s

Valores de Solución

0.8 8

1.6

-1.6 6

0.6 6

-0 0.05

0.05 5

0.75

0.4 4

0.05 0

-0.0 05

0.25

3.6 6+0.4M

-0 0.3+ 0.05M 0

30.03 0.05 5M

4.5+ 0.25M

Cj - Zj

4.4 4- 0.4M

0.30 0.05M 0

3+ -0.3 1.05 5M

Valores dde Solución Coeficientes en Columna Pivote

e ultimo ren nglón sigue co onteniendo neg gativos, contin nuamos con la a búsqueda de el optimo Como este

TABULACION T N SIMPLEX RE EVISADA (ITER RACION 2) va variable qu ue entra y la qu ue sale, así co omo el nuevo e elemento pivo ote) (se determina la nuev

a variable con el cociente mas m bajo en la l última colum mna y entra la variable qu ue tenga el va alor Sale la negativ vo más alto en n el último reng glón.

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (dividimos el renglón pivote entre el elemento pivote) Variables Básicas

(1/0.4)

Valores de Solución

0.8

1.6

-1.6

0.6

-0.05

0.05

0.75

0.4

0.05

-0.05

0.25

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes arriba del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-0.8) (-0.6)

Valores de Solución

0.8

1.6

-1.6

0.6

-0.05

0.05

0.75

0.125

-0.125

2.5

0.625

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (se obtienen los nuevos valores del renglón Z) Variables Básicas

Valores de Solución

1.5

-1.5

-2

0.5

-0.125

0.125

-1.5

0.38

0.125

-0.125

2.5

0.625

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 2) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z y se observa si aun se tienen valores negativos para continuar) Variables Básicas

Valores de Solución

1.5

-1.5

-2

0.5

-0.125

0.125

-1.5

0.38

0.125

-0.125

2.5

0.625

0.25

-0.25

7.25

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Cj - Zj

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TABULA ACION SIMPLE EX REVISADA A (ITERACIO ON 2) úmeros negativos en el ultim mo renglón, co ontinuamos co on la búsqueda a del optimo) (como aun existen nú Variables Básicas s

Valores de Solución n

1.5

-1.5 -

-2

0.5

-0.125

0.125 0

-1.5

0.38

0.125

-0.125 -

2.5

0.625

0.25

-0.25 -

7.25

Cj - Zj

-0.25

0.25+M 0

-11+M M

Valores de SSolución Coeficientes en C Columna Pivote

a se ven nú úmeros negativ vos en el ultim mo renglón, con ntinuamos en la búsqueda d del optimo Como aun

TAB BULACION SIMPLEX REVISADA (ITER RACION 3) va variable qu ue entra y la qu ue sale, así co omo el nuevo e elemento pivo ote) (se determina la nuev Variables s Básicas

Valores de Solución

Valores de SSolución Coeficientes en Coolumna Pivote

1.5

-1.5

-2

0.5

0.5/1.5 = 0.333

-0.125

0.125 0

-1.5

0.38

----

0.125

-0.125

2.5

0.625

0.25

-0.25

7.25

Cj - Zj

-0.25

0.25+M 0

-11+M M

a variable con el cociente mas m bajo en la a última colum mna y entra la variable con el valor negattivo Sale la más altto en el último renglón.

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (dividimos el renglón pivote entre el elemento pivote) Variables Básicas

(1/1.5)

Valores de Solución

1.5

-1.5

-2

0.5

-0.125

0.125

-1.5

0.38

0.125

-0.125

2.5

0.625

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (con base en Gauss-Jordan hacemos que los coeficientes abajo del elemento pivote sean cero) Variables Básicas

(-0.125)

(0.125)

Valores de Solución

0.67

-1

-1.333

0.333

-0.125

0.125

-1.5

0.38

0.125

-0.125

2.5

0.625

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (se obtienen los nuevos valores del renglón Z) Variables Básicas

Valores de Solución

0.67

-1

-1.333

0.333

0.08

-1.667

0.42

-0.08

2.667

0.58

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Zj Cj - Zj

TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (se obtienen los nuevos valores del renglón C-Z y se observa si aun se tienen valores negativos para continuar) Variables Básicas

Valores de Solución

0.67

-1

-1.333

0.333

0.08

-1.667

0.42

-0.08

2.667

0.58

-0.17

11.333

7.17

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Cj - Zj

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TABULACION SIMPLEX REVISADA (ITERACION 3) (se llego al optimo por ya no haber números negativos en el ultimo renglón) Variables Básicas

Valores de Solución

0.67

-1

-1.333

0.333

0.08

-1.667

0.42

-0.08

2.667

0.58

-0.17

11.333

7.17

Cj - Zj

0.17

-11.333+M

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

Nota: recordemos que M es un numero muy grande, si fuera M=1000 entonces, en el ultimo renglón donde aparecen fracciones negativas tendríamos -11.333+M = -11.333+1000 = 988.667 positivo Solución resultante: X1 = 0.58 X2 = 0.42 Z = 8X1 + 6X2 = 8(0.58) + 6(0.42) = 7.17

como lo muestra también el renglón Z

Este resultado lo leemos en la columna “Valores de Solución” para cada renglón de la columna primera, donde aparecen las variables de decisión involucradas, es decir, las variables que entraron, donde vemos tanto a X1 como a X2 en este problema Este es el mismo resultado que se obtuvo con el Método Gráfico.

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Apuntes sobre Investigaci贸n de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE

RESU UMEN DE PROC CEDIMIEN NTO DEL PROB BLEMA 5

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Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

Apuntes sobre Investigaci贸n de Operaciones aplicada al Turismo OSCAR MAYO LEYTTE --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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5.7

Casos especiales en el simplex

Existen varias situaciones especiales que pueden encontrarse al aplicar el Método Simplex, estas son: a) Soluciones múltiples La presencia de soluciones óptimas adicionales se señala en el renglón del Criterio Simplex (Cj – Zj) de la tabla de la solución Simplex final. Si Cj – Zj = 0 para cualquier variable que no está en la solución final, entonces existen soluciones óptimas múltiples. Esto puede ser muy importante, ya que amplía las posibles selecciones en la toma de decisiones administrativas. b) Problemas sin solución Algunos problemas de P. L. no tienen solución. Esto sucederá siempre que el problema contenga restricciones en conflicto, como X2 ≥ 10 y X2 ≤ 2, con frecuencia puede detectarse esto analizando las restricciones del problema. No obstante, en problemas muy grandes con bastantes variables es difícil detectarlo; sí se procede a resolver el problema, no se logrará llegar a un resultado de manera satisfactoria. Observaremos que si la solución final contiene una variable artificial, entonces no existirá una solución factible y habrá restricciones en conflicto. c) Solución no acotada Para evitar que un problema sea “NO ACOTADO” es necesario que se cumplan las siguientes condiciones: Todo problema de Programación Lineal que sea una maximización debe tener al menos una restricción del tipo ≤ ó = Todo problema de Programación Lineal que sea una minimización debe tener al menos una restricción del tipo ≥ ó = 5 4

AREA DE SOLUCIONES FACTIBLES (NO ACOTADA)

3 2 1 0

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d) Empate para la variable que entra No es raro que dos o más variables tengan el mismo valor en el renglón del Criterio Simplex para mejorar la solución. Cuando esto ocurre, se tiene un empate para la variable que entra y simplemente se selecciona una de las dos en forma arbitraria para romper el empate y se continúa con la solución. Si el empate es de una variable de decisión (incógnita del problema) con una de holgura o de excedente, se selecciona la variable de decisión como la que entra. e) Empate para la variable que sale (degeneración) Si dos o más variables básicas tienen el mismo cociente positivo mínimo se tiene un empate para la variable que sale. Como en el caso anterior, se selecciona una variable en forma arbitraria y se continúa. Si el empate es entre una variable artificial y cualesquier otra variable, se selecciona la variable artificial como la variable que sale de la solución. No obstante, en este caso es posible (aun cuando raro) que puedan surgir algunos problemas. Un empate para la variable que sale indica una condición llamada “degeneración”. Una solución llamada degenerada se presenta cuando una o más variables básicas tengan un valor de solución de cero. Esto no significa que haya error en la solución, sin duda, es posible que las soluciones óptimas sean degeneradas, por lo cual deberá utilizarse un algoritmo especial, mismo que no se considera en estos apuntes, debido a la muy amplia extensión para su tratamiento.

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6. LA DUALIDAD Y LOS PRECIOS SOMBRA

Todo problema de programación lineal esta asociado con un problema complementario llamado dual. Para distinguir entre estos dos problemas, al problema original se le denomina Primal. Si el problema primal trata de maximizar, entonces el problema Dual será minimizar y viceversa. El Método Simplex proporciona algo más que una solución óptima, también da información adicional que puede ser útil en la toma de decisiones administrativa, en particular, los “Costos de Oportunidad” de cada recurso. Entonces, se obtienen dos soluciones al mismo tiempo: el modelo primal y el modelo dual. Los “Costos de Oportunidad” para cada recurso (es decir, el lado derecho de las restricciones) se encuentran en el renglón del criterio Simplex Cj – Zj de la tabulación final del primal, bajo la variable de holgura o de excedente que le corresponde, representa la solución completa del dual. Veamos un ejemplo para comprobar como se formula, resuelve e interpreta el dual.

6.2 Solución por el método gráfico y por el método simplex

Ejemplo

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6.1 La simetría en la programación lineal

Un fabricante tiene dos recursos disponibles: R1 y R2. Estos recursos pueden usarse para producir dos productos diferentes “A” y “B”, de acuerdo con la siguiente regla: Para producir “A” se emplean 1 unidad de R1 y 4 unidades de R2; para producir “B” se emplean 1 unidad de R1 y 2 unidades de R2. El fabricante solo cuenta con 3 unidades de R1 y 8 unidades de R2. Recibe una ganancia por unidad de “A” de $3.50 y por unidad de “B” de $2.50.

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206

¿Cuántas unidades de “A” y “B” debe producir para maximizar sus ganancias?

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SOLUCION POR EL METODO GRAFICO

Apoyándonos en una tabla de doble entrada se tiene: PRODUCTO RECURSO R1 R2 Función Objetivo: Max Z

Producto “A” X1

Producto “B” X2

RESTRICCIONES

1 4 $3.50

1 2 $2.50

3 8

Re-escribiendo la tabla considerando las interrelaciones existentes, tenemos: PRODUCTO RECURSO R1 R2 Función Objetivo: Max Z

Producto “A” X1

Producto “B” X2

RESTRICCIONES

X1 4 X1 $3.50 X1

X2 2 X2 $2.50 X2

≤3 ≤8

El Modelo Matemático de Programación Lineal quedará dado por

Max Z = 3.5X1 +2.5X2

...........

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PRIMAL

Sujeto a: X1 + X2 ≤ 3............I 4X1 + 2X2 ≤ 8............II

Página

207

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

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GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL PRIMAL

A (0, 3)

S (1, 2)

D (2, 0)

DUAL La simetría de los problemas de programación lineal puede ilustrarse colocando los coeficientes del modelo en una matriz o tabla de doble entrada como se hizo al principio del problema. La tabla tiene renglones y columnas que pueden invertirse. Rotamos la tabla dándole vuelta 900 grados en sentido opuesto a las manecillas del reloj. Los resultados son:

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1 1 R1

2 4 R2

2.5 3.5

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Página

B A

208

DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS

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3r1

8r2

1r1 1r1

2r2 4r2

≥ 2.5 ≥ 3.5

Esto representa el DUAL, donde los coeficientes de la Función Objetivo están ahora arriba. Puede re-escribirse en forma directa el modelo general para este problema. Solo se necesitan nuevas letras para las variables. Entonces el problema puede quedar de la siguiente manera:

Min Z = 3r1 + 8r2

...........

DUAL

Sujeto a: r1 +2r2 ≥ 2.5....................I r1 +4r2 ≥ 3.5……………..II r1 ≥ 0 , r 2 ≥ 0 Nótese que las restricciones son ahora del tipo ≥ y la Función Objetivo es para minimizar, lo contrario que plantea el problema inicial (el PRIMAL).

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209

La minimización nos lleva al siguiente resultado:

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Reescribiendo la tabla tenemos:

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GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL DUAL

6.3 Interpretación del dual

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Página

Supóngase que el fabricante prefiere vender directamente al mercado los dos recursos R1 y R2 en lugar de usarlos para fabricar los productos “A” y “B”.

210

El problema dual puede entenderse reinterpretando el problema original.

¿Cuánto debe cobrarse por los recursos si tuviesen que venderse directamente?

Para analizar esta situación consideremos L1 y L2 como los precios unitarios de los recursos r1 y r2, respectivamente. La cantidad total recibida de la venta directa de los dos recursos seria L1r1 + L2r2. Como lo que se busca es determinar el precio mínimo que se debe cobrar por estos recursos, la Función Objetivo es: Min Z = L1r1 + L2r2 Min Z = 3r1 + 8r2 Como se menciono antes, seria un error vender los recursos por menos de lo que puede obtenerse al usarlos en la fabricación de los productos “A” y “B”. El precio de cada producto proporciona un límite inferior o una restricción sobre el precio del recurso. El resultado de la minimización en el Dual, es decir, 8.50 es llamado Precio Sombra y es el mismo resultado que en el Primal. Vemos entonces, que r1=1.5 llamado Costo de Oportunidad de r1, porque significa que el fabricante puede aumentar su ganancia total en $1.50 si dispone de una Unidad Adicional de r1, es decir, si de 3 pasara a 4, lo cual a su vez, implicaría que Z sería igual a $10 en vez de los $8.50 originales (8.50 + 1.50), si permanece invariable r2 También significa que $1.50 es el precio máximo que debe pagar el fabricante por una Unidad Adicional del Recurso r1 r2=0.50, significa el Costo de Oportunidad de r2, que aumentaría la ganancia Z, en 0.50 si dispone de una Unidad Adicional de r2, es decir, si de 8 pasara a 9, implicaría que Z sería igual a $9.00 en vez de los $8.50 originales (8.50 + 0.50), si permanece invariable r1.

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Por supuesto, en un mercado libre los recursos deben venderse en la cantidad más alta que el mercado acepte. Sin embargo, existe un precio mínimo abajo del cual le conviene mas al fabricante usar los recursos para los productos “A” y “B” que venderlos directamente.

SOLUCION POR EL METODO SIMPLEX PRIMAL Max Z = 3.5 X 1 + 2.5 X 2

...........

PRIMAL

Sujeto a:

211

X 1 + X 2 ≤ 3......I 4 X 1 + 2 X 2 ≤ 8......II

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Página

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

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AUMENTANDO RELACIONES SE TIENE

Max Z = 3.5 X 1 + 2.5 X 2 + 0 * S1 + 0 * S 2

...........

PRIMAL

X 1 + X 2 + S1 4X1 + 2X 2

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Sujeto a: = 3......I + S 2 = 8......II

Página

212

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

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Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

TABL LAS SIMPLEX X (RESUMEN N)

RE ESULTADOS: X1 = 1

213

X2 = 2

Pรกgina

Z = 8.5

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Pรกgina 214 de 353

Corresponden a los mismos resultados obtenidos por el Método Gráfico.

DUAL

Z = 3r1 .+. . 8. .r.2. . . . .

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El modelo matemático queda:

DUAL

Sujeto a:

r1 + 2r2 ≥ 2.5......I r1 + 4r2 ≥ 3.5......II r1 ≥ 0, r2 ≥ 0 AUMENTANDO RELACIONES SE TIENE

Z = 3r1 + 8r2 + 0 * S1 + MA1 + 0 * S 2 + MA2

...........

DUAL

Sujeto a:

r1 + 2r2 − S1 r1 + 4r2

+ A1 − S2

= 2.5......I + A2 = 3.5......II

Página

214

r1 ≥ 0, r2 ≥ 0

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TABLAS SIIMPLEX (RES SUMEN)

RE ESULTADOS: r1 = 1.5 r2 = 0.5

Pรกgina

215

Z = 8.5

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Pรกgina 216 de 353

Corresponden a los mismos resultados obtenidos por el Método Gráfico, así como en la tabulación final del Primal (Costos de Oportunidad)

6.4 Los costos de oportunidad y la solución dual El Método Simplex proporciona algo más que una solución óptima, también da información adicional que puede ser útil en la toma de decisiones administrativa, en particular, los “Costos de Oportunidad” de cada recurso. Entonces, se obtienen dos soluciones al mismo tiempo: el modelo primal y el modelo dual. Los “Costos de Oportunidad” para cada recurso (es decir, el lado derecho de las restricciones) se encuentran en el renglón del Costo de Oportunidad, es decir Zj de la solución final bajo la variable de holgura o de excedente que le corresponde. En este problema significa que tenemos como “Costos de Oportunidad” para r1 y r2, leídos de la tabulación final, los siguientes: r1 = 1.5 r2 = 0.5 Representan la disminución que tendría Z si se decrementa en una unidad r1, permaneciendo invariante el otro y viceversa.

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Por lo antes visto, cuando hablemos del Método Dual, no tendremos que hablar de todo un proceso adicional para obtenerlo, bastará con leerlo de la tabulación final del Método Simplex Primal.

PRECIO SOMBRA El “Precio Sombra” corresponde al valor de Z final es decir Z = 8.5

Página

216

Estos mismos valores, pero con signo contrario, son los que obtendríamos resolviendo por el Método Simplex el DUAL, como observamos en este caso.

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Otro ejemplo Un fabricante tiene dos recursos disponibles: Q1 y Q2.

Para producir “M” se emplean 7 unidades de Q1 y 10 unidades de Q2; para producir “N” se emplean 7 unidades de Q1 y 5 unidades de Q2. El fabricante cuenta tan solo con 49 unidades de Q1 y 50 unidades de Q2. Recibe una ganancia por unidad de “M” de $7 y por unidad de “N” de $10. ¿Cuantas unidades de “M” y “N” debe producir para maximizar sus ganancias?

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO PRIMAL Apoyándonos en una tabla de doble entrada se tiene: PRODUCTO

Producto “M”

Producto “N”

RESTRICCIONES

Función Objetivo: Max Z

$10

RECURSO

Re-escribiendo la tabla considerando las interrelaciones existentes, tenemos:

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Estos recursos pueden usarse para producir dos productos diferentes “M” y “N”, de acuerdo con la siguiente regla:

PRODUCTO RECURSO Q1 Q2

Producto “N” X2

RESTRICCIONES

7 X1 10 X1 $7 X1

7 X2 5 X2 $10 X2

≤ 49 ≤ 50

Página

217

Función Objetivo: Max Z

Producto “M” X1

El Modelo Matemático de Programación Lineal quedará dado por --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Página 218 de 353

Max

Z = 7 X 1 + 10 X 2 ………… PRIMAL Sujeto a:

7 X 1 + 7 X 2 ≤ 49.....I Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

10 X 1 + 5 X 2 ≤ 50.....II X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

SOLUCION POR EL METODO GRAFICO:

Página

218

GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL PRIMAL

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Página 219 de 353

DUAL DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS

Min Z = 49r1 + 50r2

7 7 R1

5 10 R2

49r1

50r2

7r1 7r1

5r2 10r2

...........

10 7

≥ 10 ≥7

DUAL

Sujeto a: 7r1 +5r2 ≥ 10....................I 7r1 +10r2 ≥ 7……………..II r1 ≥ 0 , r2 ≥ 0

Nótese que las restricciones son ahora del tipo ≥ y la Función Objetivo trata de minimizar.

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N M

La minimización nos lleva al siguiente resultado:

Página

219

GRAFICA DE SOLUCION COMPLETA DEL DUAL

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Página 220 de 353

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SOLUCION POR EL METODO SIMPLEX

PRIMAL Max

Z = 7 X 1 + 10 X 2 ………… PRIMAL Sujeto a:

7 X 1 + 7 X 2 ≤ 49.....I

220

10 X 1 + 5 X 2 ≤ 50.....II

Página

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

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RELACIONES AUMENTADAS Max

Z = 7 X 1 + 10 X 2 + 0 * S1 + 0 * S 2 Sujeto a:

10 X 1 + 5 X 2

= 49......I + S 2 = 50......II

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

TABLAS SIMPLEX: Variables

(-5)

Valores de Solución Coeficient es en Columna Pivote

49/7 = 7

50/5 = 10

Cj - Zj

Básicas

(1/7)

Valores de Solución

1/7

-5/7

10/7

Cj - Zj

-3

-10/7

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7 X 1 + 7 X 2 + S1

Zj Cj - Zj

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221

COSTOS DE OPORTUNIDAD

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RESULTADOS: S1 = X1 = 0 S2 = 5 Z = 70 Corresponden a los mismos resultados obtenidos por el Método Gráfico. Para analizar ¿que representan económicamente los coeficientes de la parte central de la tabla final del problema (solución final)?, recordemos que en un modelo matemático de Programación Lineal, un coeficiente en una restricción representa la tasa de sustitución entre su variable asociada y un recurso en el Simplex, los coeficientes son tasas de sustitución o de cambio entre dos variables. Por ejemplo, en la primera columna de la tabla final, el núm. 5 representa la tasa de cambio entre X1 y S2. En particular, si se aumenta el valor de X1 en la solución en una unidad, el valor de S2 tiene que disminuir 5 unidades. También, una unidad de X1 desplazaría una unidad de X2 de igual manera, una unidad de S1 desplazaría 1/7 de unidad de X2 y -5/7 de unidad de S2 (S2 de hecho, aumentaría en 5/7 d unidad) Al realizar la prueba de optimalidad, se quiere conocer los efectos de introducción de una nueva variable en la solución. Esto se hace en dos pasos, primero se encuentra lo que “cuesta” introducir la nueva variable. Como la nueva variable desplaza algunas variables básicas actuales, la función objetivo se reduce en la contribución que hacen las variables, así, para X1, el introducir una unidad desplaza una unidad de X2, que tiene una contribución unitaria de 10. Se pierde 1 x 10 = 10 del valor de la función objetivo. También se pierde 0 x 5 = 0 al desplazar parte de ella. La pérdida total en la función objetivo es 10 + 0 = 10 Estos son cálculos para Zj. Al cual se le llama costo de oportunidad, porque muestra el castigo en que se incurre si se deja ir la “oportunidad” de mantener la solución tal como está y se introduce una nueva variable. Representa un costo o tasa unitaria.

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X2 = 7

DUAL En la tabulación final del primal esta la solución del dual. Nótese que las variables de decisión y las variables de holgura intercambian lugares al ir del primal al dual. Si el problema primal tiene 2

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Página

222

Por supuesto, al agregar una unidad de una nueva variable a la solución, el valor de la función objetivo aumentará en una cantidad igual que el coeficiente en ella. Entonces, para comprobar si una variable se debe introducir, se compara su “contribución marginal” (el coeficiente en la función objetivo) con su costo de oportunidad: Zj. Entonces, el renglón del Criterio Simplex muestra el efecto neto que tendría una unidad de una nueva variable sobre la Función Objetivo. Para X1 el efecto neto es de 7 – 10 = -3, es decir, por cada unidad de X1 que se introduce, la Función Objetivo disminuirá en 3 unidades.

variables de decisión y tres variables de holgura, en el dual se cumple lo contrario (3,2). Las variables artificiales se ignoran, no tienen ninguna interpretación útil. También es importante señalar que las variables de decisión del problema primal, se convierten en variables de holgura o de excedente y contrariamente, las variables de holgura o excedente del primal, se convierten en las variables de decisión del modelo dual.

S1 = r1 = 10/7 = 1.43 S2 = r2 = 0 En tanto que el Precio Sombra, es decir, el resultado de Z es el mismo que en el Primal es decir, Z = 70 Basta solo resolver el primal para encontrar la solución dual, tan solo requeriremos estandarizar el modelo primal y el dual, para comprobar que los resultados del dual son correctos. En la tabla final del modelo primal por el método simplex se da la solución primal y también la solución dual. Nótese que las variables de decisión y las variables de holgura y de excedente intercambian lugares al ir del primal al dual. Si el problema primal tiene dos variables de decisión y tres variables de holgura y excedentes, en el dual se cumple lo contrario (3,2). Las variables artificiales se ignoran, no tienen ninguna interpretación útil. Es importante observar que las variables de decisión del problema primal ( las X1, X2, X3, X4, etc. ) se convierten en variables de holgura o de excedentes y las variables de excedentes o de holgura del primal se convierten en las variables de decisión del modelo dual. Observando en la solución primal de la tabla final del simplex en el renglón Zj, está la solución dual: +3 y 0 para las variables de holgura y de excedente, quedando entonces: S5 S3

= =

3 (porque se agrego A X1 en el dual) 0 (porque se agrego A X2 en el dual)

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Observamos que los Costos de Oportunidad correspondientes a S1 y S2, nos indican que en la solución del Dual, se tienen los siguientes resultados:

La solución para las variables de decisión (de holgura y de excedentes en el primal) es 10/7 y 0, significando que: R1 R2

= =

10/7 (porque en el primal se le agrego S3) 0 (porque se agrego en el primal S4)

Z= valor de la Función Objetivo =70 (tanto para el primal y como para el dual). Todo esto coincide con lo que se determinó por el Método Gráfico

La variable de holgura S1 corresponde a la primera restricción y tiene un valor Zj = 10/7 = 1.43 en la tabla final. Es decir, si se decrementa una unidad de S1 a la solución, la Función Objetivo disminuirá en 1.43. Pero la Función Objetivo se incrementa en esa cantidad, si se aumenta S1 en

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Página

223

INTERPRETACION:

una unidad, esto equivale también a elevar el lado derecho de la primera restricción de 49 a 50, ya que las variables de holgura disminuyen cuando se incrementa el lado derecho.

En un Modelo Matemático de Programación Lineal, un coeficiente en una restricción representa la tasa de sustitución entre su variable asociada y un recurso en el Simplex. Los coeficientes son tasas de sustitución o de cambio entre dos variables. Por ejemplo, en la primera columna de la tabla final, el núm. 5 representa la tasa de cambio entre X1 y S2.

Página

224

Con base en los ejemplos aquí vistos, observaremos a continuación los resultados de los problemas resueltos en Módulos anteriores, en los cuales se recordará consideramos tres restricciones, requiriendo tres dimensiones para la solución gráfica debido a que al rotar 90º grados el Modelo Matemático original, nos quedan tres variables. Esto significa que podremos resolver el dual empleando únicamente el Método Simplex.

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Se dice que el precio sombra para el primer recurso es 10/7. Esto significa que podría incrementarse la Función Objetivo en 10/7 si se tuviera una unidad adicional en ese recurso; entonces, este es el precio máximo que debe pagarse si de compran unidades adicionales del mismo, de igual manera, se tiene que, para el segundo recurso, el precio sombra de S4 es cero. La unidad adicional del segundo recurso no ayuda, ya que el recurso no se esta usando hasta el límite.

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6.5 Problemas de ejemplo

PROBLEMA 1 Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

PRIMAL

El modelo matemático quedo de la siguiente manera:

Max Z = 2X1 + X2 …………….. PRIMAL

Función Objetivo: Sujeto a:

6 X 1 + 5 X 2 ≤ 30......I 2 X 1 + 3 X 2 ≤ 12......II 3 X 1 + 12 X 2 ≤ 36....III X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

Aumentando Relaciones conforme a las reglas establecidas obtenemos lo siguiente:

Función Objetivo:

Max Z = 2X1 + X2 + 0*S1 + 0*S2 + 0*S3

Sujeto a:

+ S1

2 X1 + 3X 2 3 X 1 + 12 X 2

= 30......I + S2

= 12......II + S 3 = 36....III

225

6X1 + 5X 2

Página

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

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TABULACION FINAL OBTENIDA

Básicas

Valores de Solución

0.8333

0.16667

1.3333

-0.3333

9.5

-0.5

1.6667

0.3334

Cj - Zj

-0.6667

-0.3334

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

X1 = 5

Z = 10

COSTOS DE OPORTUNIDAD

Resultados: X1 = 5 X2 = 0 Z = 10

DUAL

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Variables

DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS 36

5 6 R1

3 2 R2

12 3 R3

30r1

12r2

36r3

5r1 6r1

3r2 2r2

12r3 3r3

1 2

226

≥1 ≥2

Página

X2 X1

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El modelo matemático quedo de la siguiente manera:

Sujeto a: 5r1 + 3r2 + 12r3 ≥ 1....................I 6r1 + 2r2 + 3r3 ≥ 2……………..II r1 ≥ 0 , r2 ≥ 0 , r3 ≥ 0 Los resultados en la tabulación final, indican que el Dual es: S1 = r1 = 0.3333 S2 = r2 = 0 S3 = r3 = 0 Z = 10 GRAFICAMENTE SE NECESITARIAN TRES DIMENSIONES PORQUE HAY TRES VARIABLES, PERO YA HEMOS VISTO CON LOS EJEMPLOS ANTERIORES SU EQUIVALENCIA CON EL METODO SIMPLEX.

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Min Z = 30r1 + 12r2 + 36r3 . . . . . . . . . . . DUAL

INTERPRETACION

Página

227

La variable de holgura S1 corresponde a la primera restricción y tiene un valor Zj = 0.3334 en la tabla final. Es decir, si se decrementa una unidad de S1 a la solución, la Función Objetivo disminuirá en 0.3334. Pero la Función Objetivo se incrementa en esa cantidad, si se aumenta S1 en una unidad.

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PROBLEMA 2

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PRIMAL

El modelo matemático quedo de la siguiente manera: Función Objetivo:

Max Z = 60X1 + 50X2

Sujeto a:

2 X 1 + X 2 ≤ 10......I X 1 + 3 X 2 ≤ 15......II ≤ 4........III

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

Aumentando Relaciones obtenemos lo siguiente:

Función Objetivo:

Max Z = 2X1 + X2 + 0*S1 + 0*S2 + 0*S3

Sujeto a:

2 X1 + X 2 X1 + 3X 2

+ S1

= 10......I + S2

= 15......II + S 3 = 4......III

Página

228

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

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TABULACION FINAL OBTENIDA

Básicas

Valores de Solución

-0.2

0.4

-0.6

0.2

0.6

-0.2

380

Cj - Zj

-26

-8

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

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Variables

COSTOS DE OPORTUNIDAD

Resultados: X1 = 3 X2 = 4 Z = 380

DUAL DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS 4

1 2 R1

3 1 R2

0 1 R3

10r1

15r2

4r3

1r1 2r1

3r2 1r2

0 1r3

50 60

≥ 50 ≥ 60

229

Página

X2 X1

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El modelo matemático quedo de la siguiente manera:

Min Z = 10r1 + 15r2 + 4r3 . . . . . . . . . . . DUAL

r1 + 3r2

≥ 50....................I

2r1 + r2 + r3 ≥ 60……………..II r1 ≥ 0 , r 2 ≥ 0 , r3 ≥ 0

Los resultados en la tabulación final, indican que el Dual es: S1 = r1 = 26 S2 = r2 = 8 S3 = r3 = 0 Z = 380 GRAFICAMENTE SE NECESITARIAN TRES DIMENSIONES PORQUE HAY TRES VARIABLES, PERO YA HEMOS VISTO CON LOS EJEMPLOS ANTERIORES SU EQUIVALENCIA CON EL METODO SIMPLEX.

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Sujeto a:

INTERPRETACION La variable de holgura S1 corresponde a la primera restricción y tiene un valor Zj = 26 en la tabla final. Es decir, si se decrementa una unidad de S1 a la solución, la Función Objetivo disminuirá en 26. Pero la Función Objetivo se incrementa en esa cantidad, si aumenta S1 en una unidad.

Página

230

También observamos que S2 que corresponde a la segunda restricción tiene un valor Zj = 8 en la tabla final. Es decir, si se decrementa una unidad de S2 a la solución, la Función Objetivo disminuirá en 8. Pero la Función Objetivo se incrementa en esa cantidad, si aumenta S2 en una unidad.

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PROBLEMA 3

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PRIMAL

El modelo matemático quedo de la siguiente manera: Función Objetivo:

Max Z = 1000X1 + 1500X2

Sujeto a:

2 X 1 + 2 X 2 ≤ 160......I X 1 + 2 X 2 ≤ 120......II 4 X 1 + 2 X 2 ≤ 280....III X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

Aumentando Relaciones obtenemos lo siguiente:

Función Objetivo:

Max Z = 1000X1 + 1500X2 + 0*S1 + 0*S2 + 0*S3

Sujeto a:

2X1 + 2X 2 X1 + 2X 2

+ S1

= 160......I + S2

4X1 + 2X 2

= 120......II + S3

= 280....III

Página

231

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

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TABULACION FINAL OBTENIDA

Básicas

Valores de Solución

1000

1500

1000

-1

1500

-0.5

-3

1000

1500

250

500

100000

Cj - Zj

-250

-500

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

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Variables

COSTOS DE OPORTUNIDAD

Resultados: X1 = 40 X2 = 40 Z = 100,000

DUAL DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS 120

280

2 2 R1

2 1 R2

2 4 R3

160r1

120r2

280r3

2r1 2r1

2r2 1r2

2r3 4r3

1500 1000

≥ 1500 ≥ 1000

Página

232

X2 X1

160

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Página 233 de 353

El modelo matemático queda:

Min Z = 160r1 + 120r2 + 280r3 . . . . . . . . . . . DUAL

2r1 + 2r2 + 2r3

≥ 1500....................I

2r1 + r2 + 4r3

≥ 1000……………..II

r1 ≥ 0 , r 2 ≥ 0 , r3 ≥ 0

Los resultados en la tabulación final, indican que el Dual es: S1 = r1 = 250 S2 = r2 = 500 S3 = r3 = 0 Z = 100,000 GRAFICAMENTE SE NECESITARIAN TRES DIMENSIONES PORQUE HAY TRES VARIABLES, PERO YA HEMOS VISTO CON LOS EJEMPLOS ANTERIORES SU EQUIVALENCIA CON EL METODO SIMPLEX.

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Sujeto a:

INTERPRETACION La variable de holgura S1 corresponde a la primera restricción y tiene un valor Zj = 250 en la tabla final. Es decir, si se decrementa una unidad de S1 a la solución, la Función Objetivo disminuirá en 250. Pero la Función Objetivo se incrementa en esa cantidad, si aumenta S1 en una unidad.

Página

233

También observamos que S2 que corresponde a la segunda restricción tiene un valor Zj = 500 en la tabla final. Es decir, si se decrementa una unidad de S2 a la solución, la Función Objetivo disminuirá en 500. Pero la Función Objetivo se incrementa en esa cantidad, si aumenta S2 en una unidad.

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Página 234 de 353

PROBLEMA 4

El modelo matemático quedo de la siguiente manera: Función Objetivo:

Min Z = 0.5X1 + 0.8X2

Sujeto a:

4 X 1 + 10 X 2 ≥ 40......I 10 X 1 + 5 X 2 ≥ 50......II 7 X 1 + 7 X 2 ≥ 49......III X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

Aumentando Relaciones obtenemos lo siguiente:

Función

Objetivo:

Min Z = 0.5 X 1 + 0.8 X 2 + 0 * S1 + MA1 + 0 * S 2 + MA2 + 0 * S3 + MA3

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PRIMAL

Sujeto a:

4 X 1 + 10 X 2 10 X 1 + 5 X 2

− S1

+ A1 − S2

7 X1 + 7 X 2

= 40......I + A2

− S3

= 50......II + A3 = 49....III

Página

234

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

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Página 235 de 353

TABULACION FINAL OBTENIDA

Básicas

Valores de Solución

0.5

0.8

-0.167

0.167

0.095

-0.095

0.5

0.167

-0.167

0.238

0.833

-0833

-1

-1.9

1.905

0.5

0.8

-0.05

0.05

0.043

4.1

Cj - Zj

0.05

-0.05+ M

0.043

-0.043+ M

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

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Variables

COSTOS DE OPORTUNIDAD

Resultados: X1 = 5 X2 = 2 Z = 4.1

DUAL DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS

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10 4 R1

5 10 R2

7 7 R3

40r1

50r2

49r3

10r1 4r1

5r2 10r2

7r3 7r3

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0.8 0.5

235

≤ 0.8 ≤ 0.5

Página

X2 X1

Página 236 de 353

El modelo matemático queda:

Sujeto a: 10r1 +

5r2 + 7r3

≤ 0.8....................I

4r1 + 10r2 + 7r3

≤ 0.5……………..II

r1 ≥ 0 , r2 ≥ 0 , r3 ≥ 0

Los resultados en la tabulación final, indican que el Dual es: S1 = r1 = -0.05 S2 = r2 = 0 S3 = r3 = -0.043 Z = 4.1 GRAFICAMENTE SE NECESITARIAN TRES DIMENSIONES PORQUE HAY TRES VARIABLES, PERO YA HEMOS VISTO CON LOS EJEMPLOS ANTERIORES SU EQUIVALENCIA CON EL METODO SIMPLEX.

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Max Z = 40r1 + 50r2 + 49r3 . . . . . . . . . . . DUAL

INTERPRETACION

Página

También observamos que S3 que corresponde a la tercera restricción tiene un valor Zj = -0.043 en la tabla final. Es decir, si se incrementa una unidad de S3 a la solución, la Función Objetivo disminuirá en 0.043 Pero la Función Objetivo aumentará en esa cantidad, si se reduce S3 en una unidad.

236

La variable de holgura S1 corresponde a la primera restricción y tiene un valor Zj = -0.05 en la tabla final. Es decir, si se incrementa una unidad de S1 a la solución, la Función Objetivo disminuirá en 0.05. Pero la Función Objetivo aumentará en esa cantidad, si se reduce S1 en una unidad.

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PROBLEMA 5

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PRIMAL

El modelo matemático quedo de la siguiente manera: Función Objetivo:

Min Z = 8X1 + 6X2

Sujeto a:

20 X 1 + 32 X 2 ≤ 25........I 12 X 1 + 20 X 2 ≥ 15........II X1 + X 1 ≥ 0,

X 2 = 1..........III X2 ≥0

Aumentando Relaciones obtenemos lo siguiente:

Función Objetivo:

Min Z = 8X1 + 6X2 + 0*S1 + 0*S2 + MA2 + MA3

Sujeto a:

12 X 1 + 20 X 2

+ S1

= 25......I − S2

X1 + X 2

+ A2

= 15......II + A3 = 1.......III

237

20 X 1 + 32 X 2

Página

X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0

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TABULACION FINAL OBTENIDA

Básicas

Valores de Solución

0.67

-1

-1.333

0.333

0.08

-1.667

0.42

-0.08 0

2.667

0.58

-0.17 0

11.333

7.17

Cj - Zj

0.17

11.333+M

Valores de Solución Coeficientes en Columna Pivote

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Variables

COSTOS DE OPORTUNIDAD

Resultados: X1 = 0.58 X2 = 0.42 Z = 7.17

DUAL DESPUÉS DE LA ROTACIÓN DE 90º GRADOS

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

32 20 R1

20 12 R2

1 1 R3

25r1

15r2

1r3

32r1 20r1

20r2 12r2

1r3 1r3

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6 8

238

≤6 ≤8

Página

X2 X1

Página 239 de 353

El modelo matemático queda:

Sujeto a: 32r1 + 20r2 + r3

≤ 6....................I

20r1 + 12r2 + r3

≤ 8……………..II

r1 ≥ 0 , r2 ≥ 0 , r3 ≥ 0

Los resultados en la tabulación final, indican que el Dual es: S1 = r1 = -0.17 S2 = r2 = 0 S3 = r3 = 0 Z = 7.17 GRAFICAMENTE SE NECESITARIAN TRES DIMENSIONES PORQUE HAY TRES VARIABLES, PERO YA HEMOS VISTO CON LOS EJEMPLOS ANTERIORES SU EQUIVALENCIA CON EL METODO SIMPLEX.

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Max Z = 25r1 + 15r2 + r3 . . . . . . . . . . . DUAL

INTERPRETACION

Página

239

La variable de holgura S1 corresponde a la primera restricción y tiene un valor Zj = -0.17 en la tabla final. Es decir, si se decrementa una unidad de S1 a la solución, la Función Objetivo aumentará en 0.17. Pero la Función Objetivo disminuirá en esa cantidad, si aumenta S1 en una unidad.

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7. ANALISIS DE SENSIBILIDAD

El análisis de sensibilidad es muy importante en la programación lineal, sobre todo para la toma de decisiones; debido a que permite determinar cuándo una solución sigue siendo optima, dados algunos cambios ya sea en el entorno del problema, en la organización o en los datos del problema mismo. Este análisis consiste en determinar qué tan sensible es la respuesta óptima del Método Simplex, al cambio de algunos datos como las ganancias o costos unitarios (coeficientes de la función objetivo) o la disponibilidad de los recursos (términos independientes de las restricciones). La variación en estos datos del problema se analizará individualmente, es decir, se analiza la sensibilidad de la solución debido a la modificación de un dato a la vez, asumiendo que todos los demás permanecen sin alteración alguna. Esto es importante porque estamos hablando de que la sensibilidad es estática y no dinámica, pues solo contempla el cambio de un dato a la vez y no el de varios. Se busca determinar un intervalo de números reales en el cual el dato que se analiza puede estar contenido, de tal manera que la solución sigue siendo óptima siempre que el dato pertenezca a dicho intervalo. Los análisis se dirigen a: 1. Los coeficientes de la función objetivo; y 2. Los términos independientes de las restricciones Se pueden abordar por medio del Método Grafico o del Método Simplex.

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7.1 Propósitos del análisis de sensibilidad en la programación lineal

Con el Método Gráfico ya se ilustró y aplicó el análisis de sensibilidad, en el la parte correspondiente a: “Método Gráfico, < Análisis de Sensibilidad >”, aquí nos ocuparemos del análisis con base en el método simplex.

Página

Ahora aprenderemos una manera más práctica de hacer un análisis de sensibilidad en un modelo de programación lineal, utilizando el Método Simplex. Tomemos en cuenta el siguiente modelo matemático:

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240

7.2 Análisis de sensibilidad con el método simplex

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- (C C-Z)

7..3 Análisis de se ensibilidad d de los ccoeficienttes de la función objettivo demos que la as variables estructurales e son aquellass con las que e se planteo o originalmente e el Record problem ma de progrramación line eal, en nuesttro caso x1, x2 x3; pe ero, dentro de las variables estructturales podem mos distinguirr variables bá ásicas (x2 y x 3) (aparecen en la primera a columna de e la tabla simplex s final y definen la solución ópttima, es deciir, están invo olucradas en la solución d del óptimo o) y variables no básicas, es decir, las que no están n involucrada as en la solucción del óptim mo, en este caso solo la variable ( x1 ) no está á involucrada en la solución del óptim mo; entonces, el s de sensibilidad para los coeficientes de la función n objetivo de estas variables depende de análisis si son o no básicas..

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Cuya tabla simplex final es:

e sensibilidad d para coefic cientes de va ariables no b básicas A) Análisis de e un coeficien nte Este es el análisis más sencillo ya que si la variable es no básica, entonces tiene o de cero en la última fila de d la tabla sim mplex final, e este coeficiente es el máximo valor al q que distinto el coefficiente de la a función obje etivo de dich ha variable pu uede aumenttar manteniendo la solución óptima a.

n de no nega atividad, es d decir, que esste nuevo terrmino debe sser b) Se plantea la condición ayor que cero o) para que la a solución siga a siendo óptim ma. positivo (ma e la desigualdad. c) Se resuelve --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Página

bla simplex fin nal, de donde e se tomará e el término que e pertenece a la a) Se toma en cuenta la tab e la variable no n básica en la última fila y se le resta una variable cualquiera p por columna de ejemplo “ ” , como un símbolo gené érico, que aqu uí se emplearrá.

241

dimiento: Proced

d) Luego, se suma a ambos lados de la a desigualdad d el coeficientte de la funciión objetivo q que acompaña a la variable y este resulta ado es el interrvalo de sensibilidad del co oeficiente. B)) Análisis pa ara la variab ble no básica a (x1), aplica ndo a nuesttro ejemplo, aplicamos llos pa asos descrito os:

b) c) d) El coeficiente de la variable x1 en el prroblema es: 3 por lo tanto lo sumamos a los dos términos:

Hacemos:

e) Entonces ell intervalo es el siguiente:

C) Análisis s de sensibillidad para co oeficientes d de variables b básicas

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Cuando las variable es son básicas, el procedim miento para e el análisis de ssensibilidad vvaria un poco, pero co onserva su ló ógica. dimiento: Proced

abla ya no es s óptima, pue es existe un elemento ne egativo en la última fila, p por b) Ahora la ta tanto, se debe d genera ar un cero en la posicción donde e ma esta (-∆), esto se llam normalización.

242

a condición de d no negatividad; es deci r, que todos los términos de la ultima fila c) Se platea la de la tabla simplex debe en ser positivos (mayor qu ue cero) para a que la solucción siga sien ndo óptima

Página

aza el cero en la última fila de la colu mna de la va ariable por ell negativo de e la a) Se reempla variable ∆, es e decir, (-∆)

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Página 243 de 353

d) Se resuelve en las desigua aldades individualmente y se intercepta an los conjunttos soluciones ados de la desigualdad d e el coeficiente e de la funció ón objetivo q que e) Se suma a todos los la acompaña a la variable y este resulta ado es el interrvalo de sensibilidad del co oeficiente.

sis para la va ariable básica a x 2: Anális

- (C-Z)

b) Para optimiz zar la tabla de e nuevo se effectuara la sig guiente opera ación

Esto se le ee así: [Valorr en la fila 3 (ff3)] Valor en la fila uno (f1)]

más (+))

lo cual da d (→)

[Variable aagregada (-∆ ∆) por (*)

ell nuevo valor de la fila 3 (f3):

- (C--Z)

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no se cconsidera porrque no contie ene (∆)

Página

Se interc ceptan los co onjuntos soluc ciones (tomarr el menor va alor absoluto de los positivvos y el de menor valor absoluto de e los negativo os) obteniénd dose el siguiente resultad do:

243

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Página 244 de 353

El coeficien nte de la varia able x2 en el problema p es: 4 por tanto, sse agrega a ccada lado: acemos Ha

Anális sis para la va ariable básica a x 3: a)

- (C-Z))

b) Para optimiz zar la tabla de e nuevo se effectuara la sig guiente opera ación

Esto se le ee así: [Valorr en la fila 3 (ff3)] Valor en la fila uno (f1)]

más (+))

lo cual da d (→)

[Variable aagregada (-∆ ∆) por (*)

ell nuevo valor de la fila 3 (f3)

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f) Entonces el intervalo es:

- (C C-Z)

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Página 245 de 353

Página

Se e interceptan los conjuntos s soluciones (se toma el m menor valor a absoluto de lo os positivos y el de e menor valorr absoluto de los negativos s) obteniéndo ose el siguientte resultado:

244

e) El coeficiente de la variable ( x3 ) en el problema s a todos los términos, t que edando: agregamos

es:

p por tanto, lo

f) Entonces el intervalo es el e siguiente:

D) Análisis s de sensibilidad para térrminos indep pendientes d de las restricciones Ahora nos correspo onde analizarr la sensibilid dad a cambio os de los térm minos independientes de las ciones, pero primero reco ordemos que e las restricciiones de un problema de e programación restricc lineal representan r la as limitantes de d recursos que q tiene una a empresa. mera preguntta que podría amos hacerno os antes de a averiguar ¿Cuántos recurrsos más pue edo La prim contrattar para segu uir con mi opttimo? (análisis de sensibi lidad de los ttérminos inde ependientes) es ¿Cuán nto es lo más que estoy dis spuesto a pag gar por una un nidad de recu urso extra? La respuesta a esta pregunta es e el Precio Sombra, estte es el máxiimo incremen nto en el precio an. normall de un recurrso que estamos dispuesttos a pagar sin que nuesstras ganancias disminuya Este es e un dato qu ue se puede leer directam mente de la ttabla simplexx final en la ú última fila de e la column na de la variable de holgurra (si) asociad da a la restriccción o recursso que querem mos investiga ar. emplo: Por eje

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Hacemos H

- (C C-Z)

Página

al significa que si actualme ente se paga $3 por cada unidad del re ecurso de la restricción un no, Lo cua el may yor precio qu ue debemos estar dispues stos a pagarr (sin que lass ganancias disminuyan) es por un nidad de recurso. r

245

cio sombra para p la restric cción uno se lee en la últtima fila de la a columna de e la variable de El prec holgura a de dicha res stricción (s1) y su valor es:

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Ahora que ya sabem mos ¿cuánto pagar? Conc centrémonos e en decidir ¿cuánto compra ar? dimiento: Proced

A la última columna de la tab bla simplex fin nal se le suma la columna de la variable de holgura de ue analizamos multiplicada a por la varia able (∆) en el caso de la m maximización n, y la restricción qu c de minim mización. Entonces, E parra este caso de maximiza ación, se aplica por (-∆) en el caso glón la siguiente operación n: para cada valorr en cada reng o se lee así: [Valor en la Columna fina al (C final)] Esto más (+) [Variable agregada (∆ ∆) por (*) V Valor en la co olumna de la vvariable de holgura que q corresponda a la restrricción que esstamos analizzando (C holgurra) ] b)

Recordemo os que por las restriccione es de no neg atividad los vvalores en la última colum mna de la tabla a simplex deb ben ser siemp pre positivos ((mayores que e cero); por ta anto el resulta ado anterior de ebe cumplir la as restriccione es de no neg atividad, es d decir:

Ca ada término de este resu ultado debe cumplir c esta ccondición, la última fila n no se toma en cu uenta. l desigualdades de cada a término y se e resuelven in ndividualmentte. c) Se plantean las d)

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dad del términ no independie ente de una re restricción se analizara con n la columna de a) La sensibilid la variable de holgura asociada a a dicha d restricc ión; entoncess, se realiza una operación mnas, de la sig guiente mane era: entre colum

Se intercep ptan los conju untos solución n de las desig gualdades.

Página

246

el término ind dependiente d de la restricción e) Se le suma a todos los lados de la desigualdad e que q se analiz za, dando com mo resultado el e intervalo de e sensibilidad d de dicho térrmino.

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Página 247 de 353

7..4 Análisis de los s término os indepe endientess (lado de erecho de e restricciones)

a) La variable de holgura as sociada a la primera p restri cción es s1; e entonces, efe ectuamos:

b) Resultando

La última fila no se toma e en cuenta c)

Entonces, se s plantea la condición de e no negativid ad y se desp eja:

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- (C C-Z)

e) El termino independiente de la prim mera restricci ón b1 en el problema ess: 10 por tan nto,

Página

1 a todos los s términos, qu uedando: sumamos 10

247

d) Se intercepptan los conjuntos solucionnes para dar eel siguiente reesultado:

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Hac cemos

e siguiente: f) Entonces el intervalo es el

- (C C-Z)

La variable e de holgura asociada a a la primera restrricción es s2; e entonces, efe ectuamos:

Resultand do:

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sis para el térrmino indepe endiente de la restricción n uno b2 : Anális

La última fila no se e toma en cu uenta

c de no n negativida ad y se despe eja: c) Entonces, se plantea la condición

248

Sie empre es verd dadera, enton nces No N se toma en e cuenta

Página

por p no conten ner (∆)

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Página 249 de 353

Se intercep ptan los conju untos solucion nes para dar e el siguiente re esultado:

El término independien nte de la prim mera restricciión b2 en el problema ess: 10 por tan nto, 1 a cada uno o de los térmiinos, quedand do: sumamos 10

f) Entonces el intervalo es el e siguiente:

3 Conc clusiones: on el método s co o simplex, ade emás de que e la Es más práctico el cálculo de intervalos de sensibilidad s final arroja mucha a más inform mación acerca a de nuestro problema de e programación tabla simplex lineal.

bilidad para el e modelo de programación p n lineal: El anállisis de sensib

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Hacemos

Arrojo los siguientes s resultados:

con ( x1 , x2 , x3 ) = ( 0 , 5 , 0 ) seguirá siend do óptima.

Página

Max Z = 20

249

Siemprre y cuando se cambie una u variable a la vez y di cha variable se mantenga a dentro de los interva alos antes esp pecificados; entonces, e la so olución

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Página 250 de 353

Cuya solución s mues stra en la últim ma tabulación n simplex, lo ssiguiente:

- (C-Z)

sis para C1 co orrespondiente a x1 Anális

nglón de la co Se agrega a (-∆) en n el último ren olumna x1

- (C-Z Z)

f4 + ∆ * f1 → f4

250

alizamos la tab bla, haciendo o Norma

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Veamo os otro ejemplo, conside erando el siguiente mode elo de progra amación lineal:

Página

- (C-Z))

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Página 251 de 353

Aplicam mos condicion nes de no negatividad:

Interce eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el menor vvalor absoluto o de los positivvos y el de menor valor absolutto de los nega ativos. Enton nces: Como C1 = 10,

se suman 10 a todos los té érminos, que dando:

mos Hacem

+ 10 = C1

Anális sis para C2 correspondien c nte a x2 Se agrega a (-∆) en n el último ren nglón de la co olumna x2

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Resolv viendo:

- (C C-Z)

Página

251

alizando la tab bla, haciendo: f4 + ∆ * f2 → f4 Norma

- (C C-Z)

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Página 252 de 353

Aplicam mos condicion nes de no negatividad:

eptando los co onjuntos: Interce mos el de menor m valor absoluto a de los positivoss y el de m menor valor a absoluto de los Tomam negativ vos. Entonce es: Como C2 = 8

se suman s 8 a tod dos los términ nos, quedand do:

Hacem mos ∆ + 8 = C2

Anális sis para C3 correspondien c nte a x3 (varia able no básica a) ubicada en el último o renglón de la columna x3

Se agreg ga (-∆) en la ú última cifra

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Resolv viendo tenemo os:

- (C-Z) (

Página

252

Condic ciones de no negatividad n y resolviendo tenemos:

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 253 de 353

Como C3 = 2

se suman 2 a to odos los términos, quedand do:

Hacemo os

∆ + 2 = C3

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Anális sis para b1: La variiable de holgu ura asociada a la primera restricción r ess s1; entoncess, efectuamoss:

- (C C-Z)

Asocia amos y resolvemos:

253

Aplicam mos condición n de no negatividad:

Página

La última fila no se toma e en cuenta

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 254 de 353

viendo: Resolv eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el de meno or valor absolluto de los po ositivos y el de e Interce menor valor absolutto de los nega ativos. se suman 10 a todos los té érminos, que dando: Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Como b1 = 10

Hacem mos ∆ + 10 = b1

Anális sis para b2: La variiable de holgu ura asociada a la primera restricción r ess s2; entoncess, efectuamoss:

- (C C-Z)

Página

254

Aplicam mos condición n de no negatividad:

La última fila a no se toma a en cuenta --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 255 de 353

viendo: Resolv

Como b2 = 12

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el de meno or valor absolluto de los po ositivos y el de e Interce menor valor absolutto de los nega ativos. se suman 12 a los término os, quedando o:

Hac cemos

∆ + 12 1 = b2

Anális sis para b3: La variiable de holgu ura asociada a la primera restricción r ess s3; entoncess, efectuamoss:

- (C-Z)

Página

255

Condic ción de no negatividad:

ma en cuenta La última fiila no se tom

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 256 de 353

p no con ntienen (∆) No se toman en cuenta porque

eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el de meno or valor absolluto de los po ositivos y el de e Interce menor valor absolutto de los nega ativos.

Como b3 = 15

se suma 15 a todos los té érminos, que dando:

Hacemo os ∆ + 15 = b3

Conclu usiones bilidad para el e modelo de programación p n lineal: El anállisis de sensib

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

viendo: Resolv

Página

u variable a la vez y di cha variable se mantenga a dentro de los Siemprre y cuando se cambie una interva alos antes esp pecificados; entonces, e la so olución seguiirá siendo ópttima.

256

Arrojo los siguientes s resultados:

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 257 de 353

PROB BLEMAS DE EJEMPLO RETOM MANDO LOS S EJEMPLOS VISTOS EN CAPITULOS S ANTERIORE ES LEMA 1 PROBL

6X1 + 5X

≤ 30 ...... I

2X1 + 3X

≤ 12 ...... II

3 X 1 + 12 X X 1 ≥ 0, X

≤ 36 .... III

≥ 0

Cuya solución s mues stra en la últim ma tabulación n simplex, lo ssiguiente:

alizamos la tab bla, haciendo o: Norma

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

f4 + ∆ * f1

→

mo renglón de e Se agrega (-∆) en el últim

e equivalente a

∆ * f1 + f4

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

→

257

Anális sis para C1 co orrespondiente a x1 (variab ble básica). la columna x1

Página 258 de 353

Página

s/a

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Max Z = 2X1 + X2

0.167∆ + 0.3 333

Aplican ndo condicion nes de no neg gatividad y reso olviendo: 0.833∆ 0 + 0.66 67 ≥ 0

0.167∆ + 0.3 333 ≥ 0

0.833∆ 0 ≥ -0.667

0.167∆ ≥ -0.333

∆ ≥ -0.8

∆ ≥ -2

eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el menor vvalor absoluto o de los positivvos y el de Interce menor valor absolutto de los nega ativos. Enton nces: ∆ ≥ -0.8

o) Como C1 = 2 (en función objetivo

-0.8 ≤ ∆

se sum man 2 a todos los términos, quedando:

2 - 0.8 ≤ 2 + ∆ mos Hacem

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

0.833∆ 0 + 0.66 67

= C1

∞

Página

258

1.2 1 ≤ C1 ≤

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 259 de 353

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

sis para C2 correspondien c nte a x2 (varia able no básicca) Anális

Se agrrega (-∆) a la cifra que apa arece en el últtimo renglón d de la columna a x2 0.667 -∆ ndo condición n de no negattividad Aplican 0.667 -∆ ≥ 0 viendo tenemo os Resolv -∆ ≥ -0.667 7

∆ ≤ 0.667 0

nción objetivo o) Como C2 = 1 (en fun

se suma 1 a los térmiinos, quedand do:

1 + ∆ ≤ 1 + 0.667 7 mos 1 + ∆ = C2 Hacem

≤ C2 ≤ 1.667

259

-∞ ∞

Página

Anális sis para b1: La variiable de holgu ura asociada a la primera restricción r ess s1; entoncess:

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 260 de 353

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Aplican ndo condición n de no negattividad:

Resolv viendo: 5 + 0.167∆ ≥ 0

2 – 0..333∆ ≥ 0

∆ ≥ -30

21 – 0.5∆ ≥ 0 ∆≤4 42

∆≤6

eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el de meno or valor absolluto de los po ositivos y el de e Interce menor valor absolutto de los nega ativos, tenem mos

se suman n 30 a todos los términos,

Página

mino independ diente de la Restricción I) Como b1 = 30 (térm ndo: quedan 30 3 - 30 ≤ 30 + ∆ ≤ 30 + 6

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

260

-30 ≤ ∆ ≤ 6

Página 261 de 353

Hacem mos 30 + ∆ = b1

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

0 ≤ b1 ≤ 36 6

Anális sis para b2: La variiable de holgu ura asociada a la primera restricción r ess s2; entoncess

Condic ción de no negatividad:

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

∆ ≥ -2

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página

2+∆ ≥ 0

261

Resolv viendo solo pa ara el término o que contiene e ∆, tenemoss

Página 262 de 353

Como b2 = 12 (térm mino independ diente de la Restricción II) ndo: quedan

se suma an 12 a los términos,

12 + ∆ ≥ 12 - 2 12 + ∆ = b2

10 ≤ b2 ≤

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

cemos Hac

∞

sis para b3: Anális La variiable de holgu ura asociada a la primera restricción r ess s3; entoncess

Página

262

Condic ción de no negatividad:

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 263 de 353

Solo se toma en cuenta el término que contiene (∆) Resolviendo:

Como b3 = 36 (término independiente en Restricción III) quedando:

∆ ≥ -21 se suma 36 a los términos, Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

21 + ∆ ≥ 0

36 + ∆ ≥ 36 - 21 Hacemos 36 + ∆ = b3

15 ≤ b3

∞

Conclusiones El análisis de sensibilidad para el modelo de programación lineal: Max Z = 2X1 + X2 s/a

6X1 + 5X

≤ 30 ...... I

2X1 + 3X

≤ 12 ...... II

3 X 1 + 12 X X 1 ≥ 0, X

≤ 36 .... III

≥ 0

Arrojo los siguientes resultados:

1.2 ≤ C1 ≤ ∞

-∞

0 ≤ b1 ≤ 36

10 ≤ b2 ≤ ∞

≤ C2 ≤ 1.667

Siempre y cuando se cambie una variable a la vez y dicha variable se mantenga dentro de los intervalos antes especificados; entonces, la solución seguirá siendo óptima para:

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 264 de 353

Página

263

15 ≤ b3 ≤ ∞

con (X1, X2) = (5, 0)

Pรกgina

264

Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Max Z = 10

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Pรกgina 265 de 353

LEMA 2 PROBL 0X2 Max Z = 60X1 + 50 s/a

2X1 + X

≤ 10 ...... I

X1 + 3X

≤ 15 ...... II

≥ 0

s mues stra en la últim ma tabulación n simplex, lo ssiguiente: Cuya solución

Anális sis para C1 co orrespondiente a x1 (variab ble básica). la columna x1

f4 + ∆ * f3

→

e equivalente a

∆ * f3 + f4

→

Página

alizamos la tab bla, hacemos s: Norma

Se agrega (-∆) en el últim mo renglón de e

265

X 1 ≥ 0, X

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

X 1 ≤ 4 .... III II

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 266 de 353

-0.2∆ + 8

Aplican ndo condicion nes de no neg gatividad y reso olviendo: 0.6∆ + 26 ≥ 0

-0.2∆ + 8 ≥ 0

0.6∆ ≥ -26

-0.2∆ ≥ -8

∆ ≥ -4 43.333

∆ ≤ 40

eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el menor vvalor absoluto o de los positivvos y el de Interce menor valor absolutto de los nega ativos. Enton nces: -43.33 33 ≤ ∆ ≤ 40 0

f objetiv vo) Como C1 = 60 (en función

se suman 60 a tod dos los términos, quedando o: 60 - 43.333 4 ≤ 60 + ∆ ≤ 60 + 4 40

mos Hacem

60 +

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

0.6∆ + 26

= C1

Página

266

16.667 1 ≤ C1 ≤ 100

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 267 de 353

alizamos la tab bla, hacemos s: Norma

∆ * f1 + f4

→

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

sis para C2 correspondien c nte a x2 (varia able básica) Anális

-0.2∆ + 26

0.4∆ + 8

Aplican ndo condicion nes de no neg gatividad y reso olviendo: -0.2∆ + 26 ≥ 0

0.4∆ + 8 ≥ 0

-0.2∆ ≥ -26

0.4∆ ≥ -8

∆ ≤ 130

∆ ≥ -20

eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el menor vvalor absoluto o de los positivvos y el de Interce menor valor absolutto de los nega ativos. Enton nces:

se suman 50 a tod dos los términ nos, quedando o:

Página

f objetivo) Como C2 = 50 (en función

267

-20 ≤ ∆ ≤ 130

50 - 20 2 ≤ 50 + ∆ ≤ 50 + 130 --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 268 de 353

Hacem mos

50 +

= C2

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

30 3 ≤ C2 ≤ 180 1

Anális sis para b1: La variiable de holgu ura asociada a la primera restricción r ess s1; entoncess:

Página

268

Aplican ndo condición n de no negattividad:

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 269 de 353

Resolv viendo: 4 - 0.2∆ 0 ≥ 0

1 – 0.6∆ ≥ 0

3+0 0.6∆ ≥ 0

∆ ≤ 20

∆ ≤ 1.667

∆ ≥ --5

-5 - ≤ ∆ ≤ 1.6 667 mino independ diente de la Restricción R I) Como b1 = 10 (térm ndo: quedan

se suman n 10 a todos llos términos,

10 1 - 5 ≤ 10 + ∆ ≤ 10 + 1..667 mos 10 + ∆ = b1 Hacem 5 ≤ b1 ≤ 11.667

Anális sis para b2:

Página

269

ura asociada a la primera restricción r ess s2; entoncess La variiable de holgu

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el de meno or valor absolluto de los po ositivos y el de e Interce menor valor absolutto de los nega ativos, tenem mos

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 270 de 353

viendo tenemo os Resolv 4 + 0.4∆ ≥ 0

1 + 0.2∆ ≥ 0

0.2∆ ≥ 0 3-0

∆ ≥ -10

∆ ≥ -5

∆ ≤ 15

Interce eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el de meno or valor absolluto de los po ositivos y el de e menor valor absolutto de los nega ativos, tenem mos -5 ≤ ∆ ≤ 15 mino independ diente de la Restricción R II) Como b2 = 15 (térm ndo: quedan

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Condic ción de no negatividad:

se suma an 15 a los té érminos,

15 -5 5 ≤ 15 + ∆ ≤ 15 + 15 cemos Hac

15 + ∆ = b2

Página

270

10 ≤ b2 ≤ 30

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 271 de 353

sis para b3: Anális

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

ura asociada a la primera restricción r ess s3; entoncess La variiable de holgu

Condic ción de no negatividad:

ma en cuenta el e término que contiene (∆ ∆) Solo se tom

no independie ente en Restrricción III) Como b3 = 4 (términ

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

∆ ≥ -1 nos, quedando o: se suma 4 a los términ

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 272 de 353

Página

1+∆ ≥ 0

271

Resolv viendo:

4+∆ ≥ 4-1 Hacemos 4 + ∆ = b3

3 ≤ b3 ≤

∞ Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Conclusiones El análisis de sensibilidad para el modelo de programación lineal: Max Z = 60X1 + 50X2 s/a

2X1 + X

≤ 10 ...... I

X1 + 3X

≤ 15 ...... II

X 1 ≤ 4 .... III X 1 ≥ 0, X

≥ 0

Arrojo los siguientes resultados:

16.667 ≤ C1 ≤ 100

30 ≤ C2 ≤ 180

5 ≤ b1 ≤ 11.667

10 ≤ b2 ≤ 30

3 ≤ b3 ≤

∞

Siempre y cuando se cambie una variable a la vez y dicha variable se mantenga dentro de los intervalos antes especificados; entonces, la solución seguirá siendo óptima para: con (X1, X2) = (3, 4)

Página

272

Max Z = 380

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 273 de 353

LEMA 3 PROBL Max Z = 1000X1 + 1500X2 2X1 + 2X X1 + 2X

≤ 160 ...... I ≤ 120 ...... II

4X1 + 2X

≤ 280 .... III

X 1 ≥ 0, X

≥ 0

s mues stra en la últim ma tabulación n simplex, lo ssiguiente: Cuya solución

∆ * f1 + f4

→

Página

alizamos la tab bla, hacemos s: Norma

mo renglón de e Se agrega (-∆) en el últim

273

Anális sis para C1 co orrespondiente a x1 (variab ble básica). la columna x1

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

s/a

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 274 de 353

-∆ + 500

Aplican ndo condicion nes de no neg gatividad y reso olviendo: ∆ + 25 50 ≥ 0

-∆ + 500 ≥ 0

∆ ≥ -2 250

-∆ ≥ -500 ∆ ≤ 500

eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el menor vvalor absoluto o de los positivvos y el de Interce menor valor absolutto de los nega ativos. Enton nces: -250 ≤ ∆ ≤ 500

se suman 1000 a todos los té érminos, quedando:

en función objjetivo) Como C1 = 1000 (e

1000 - 250 ≤ 100 0 + ∆ ≤ 1000 0 + 500 mos Hacem

1000 +

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

∆ + 25 50

= C1

Página

274

750 7 ≤ C1 ≤ 1500

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 275 de 353

alizamos la tab bla, hacemos s: Norma

∆ * f2 + f4

→

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

sis para C2 correspondien c nte a x2 (varia able básica) Anális

-0.5∆ + 250

∆ + 500

Aplican ndo condicion nes de no neg gatividad y reso olviendo: -0.5∆ + 250 ≥ 0

∆ + 500 ≥ 0

-0.5∆ ≥ -250

∆ ≥ -500

∆ ≤ 500 5 eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el menor vvalor absoluto o de los positivvos y el de Interce menor valor absolutto de los nega ativos. Enton nces:

se suman 1500 a todos los té érminos, quedando: 1500 - 500 ≤ 150 0 + ∆ ≤ 1500 0 + 500

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 276 de 353

Página

en función objjetivo) Como C2 = 1500 (e

275

-500 ≤ ∆ ≤ 500

Hacem mos

1500 +

= C2

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

1000 1 ≤ C2 ≤ 2000

Anális sis para b1: La variiable de holgu ura asociada a la primera restricción r ess s1; entoncess:

Página

276

Aplican ndo condición n de no negattividad:

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 277 de 353

Resolv viendo: 40 + ∆ ≥ 0

40 – 0.5∆ ≥ 0

∆ ≤ -40

40 - 3∆ ≥ 0

∆ ≤ 80

∆ ≤ 13.333

-40 ≤ ∆ ≤ 13.333 mino indepen ndiente de la Restricción I)) Como b1 = 160 (térm ndo: quedan

se suma an 160 a todo os los término os,

160 1 - 40 ≤ 16 60 + ∆ ≤ 160 0 + 13.333 mos 160 + ∆ = b1 Hacem 120 1 ≤ b1 ≤ 173.333

Anális sis para b2:

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Interce eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el de meno or valor absolluto de los po ositivos y el de e menor valor absolutto de los nega ativos, tenem mos

Página

277

ura asociada a la primera restricción r ess s2; entoncess La variiable de holgu

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 278 de 353

viendo tenemo os Resolv 40 - ∆ ≥ 0

40 + ∆ ≥ 0

40 + 2∆ ≥ 0

∆ ≤ 40

∆ ≥ -40

∆ ≥ --20

eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el de meno or valor absolluto de los po ositivos y el de e Interce menor valor absolutto de los nega ativos, tenem mos -20 ≤ ∆ ≤ 40 mino indepen ndiente de la Restricción II ) Como b2 = 120 (térm ndo: quedan

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Condic ción de no negatividad:

se sum man 120 a loss términos,

40 120 - 20 ≤ 120 + ∆ ≤ 120 + 4 120 + ∆ = b2

278

cemos Hac

Página

100 ≤ b2 ≤ 160

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 279 de 353

sis para b3: Anális

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

ura asociada a la primera restricción r ess s3; entoncess La variiable de holgu

Condic ción de no negatividad:

Solo se tom ma en cuenta el e término que contiene (∆ ∆)

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

∆ ≥ -40

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página

40 + ∆ ≥ 0

279

viendo: Resolv

Página 280 de 353

Como b3 = 280 (término independiente en Restricción III) quedando:

se suma 280 a los términos,

280 + ∆ ≥ 280 - 40

240 ≤ b3 ≤

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Hacemos 280 + ∆ = b3

∞

Conclusiones El análisis de sensibilidad para el modelo de programación lineal: Max Z = 1000X1 + 1500X2 s/a

2X1 + 2X X1 + 2X

≤ 160 ...... I ≤ 120 ...... II

4X1 + 2X

≤ 280 .... III

X 1 ≥ 0, X

≥ 0

Arrojo los siguientes resultados:

750 ≤ C1 ≤ 1500

1000 ≤ C2 ≤ 2000

120 ≤ b1 ≤ 173.333

100 ≤ b2 ≤ 160

240 ≤ b3 ≤

∞

Siempre y cuando se cambie una variable a la vez y dicha variable se mantenga dentro de los intervalos antes especificados; entonces, la solución seguirá siendo óptima para: con (X1, X2) = (40, 40)

Página

280

Max Z = 100000

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 281 de 353

LEMA 4 PROBL Min Z = 0.5X1 + 0.8X2

Cuya solución s mues stra en la últim ma tabulación n simplex, lo ssiguiente:

Anális sis para C1 co orrespondiente a x1 (variab ble básica). la columna x1

∆ * f2 + f4

→

Página

281

alizamos la tab bla, hacemos s: Norma

Se agrega (-∆) en el últim mo renglón de e

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

s/a

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 282 de 353

-0.23 3∆ - 0.043

Aplican ndo condicion nes de no neg gatividad y reso olviendo: 0.167 7∆ - 0.05 ≥ 0

-0.23∆ - 0.04 43 ≥ 0

0.167 7∆ ≥ 0.05

-0.23∆ ≥ 0.0 043

∆ ≥ 0..3 eptando los co onjuntos tene emos; Interce

∆ ≤ -0.19

0..3 ≤ ∆ ≤ -0.1 19

s que la desig gualdad no co orresponde con c sus signo os, por lo que e corregimos el sentido de e la Vemos desigualdad, queda ando: -0.19 ≤ ∆ ≤ 0.3 Como C1 = 0.5 (en función objettivo)

se su uma 0.5 a tod dos los términ nos, quedando o: 0.5 – 0.19 ≤ 0.5 + ∆ ≤ 0.5 + 0 0.3

mos Hacem

0.5 +

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

0.167 7∆ - 0.05

= C1

Página

282

0.31 ≤ C1 ≤ 0.8

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 283 de 353

Norma alizamos la tab bla, hacemos s:

∆ * f1 + f4

→

-0.167 7∆ - 0.05

0.095∆ - 0.0 043

Aplican ndo condicion nes de no neg gatividad y reso olviendo:

eptando los co onjuntos tene emos: Interce

-0.167 7∆ - 0.05 ≥ 0

0.095∆ - 0.0 043 ≥ 0

-0.167 7∆ ≥ 0.05

0.095∆ ≥ 0.0 043

∆ ≤ -0 0.3

∆ ≥ 0.45

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

sis para C2 correspondien c nte a x2 (varia able básica) Anális

0.45 ≤ ∆ ≤ -0.3

s que la desig gualdad no co orresponde con c sus signo os, por lo que e corregimos el sentido de e la Vemos desigualdad, queda ando:

283

-0.3 ≤ ∆ ≤ 0.45

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se su uma 0.8 a tod dos los términ nos, quedando o:

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página

Como C2 = 0.8 (en función objettivo)

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0.8 – 0.3 ≤ 0.8 + ∆ ≤ 0.8 + 0.4 45 mos Hacem

0.8 +

= C2

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

0.5 0 ≤ C2 ≤ 1.25

Anális sis para b1: La variiable de holgu ura asociada a la primera restricción r ess s1; entoncess:

Página

284

Aplican ndo condición n de no negattividad:

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Resolv viendo: 2 + 0.167∆ ≥ 0

∆≥0 5 – 0.167∆

∆ ≥ -12

∆ ≤ 30

10 – 0.833∆ ≥ 0 ∆ ≤ 12

-12 ≤ ∆ ≤ 12 mino independ diente de la Restricción R I) Como b1 = 40 (térm ndo: quedan

se suma 40 a todos lo os términos,

40 4 - 12 ≤ 40 + ∆ ≤ 40 + 1 12 mos 40 + ∆ = b1 Hacem 28 2 ≤ b1 ≤ 52 5

Anális sis para b2:

Página

285

ura asociada a la primera restricción r ess s2; entoncess La variiable de holgu

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eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el de meno or valor absolluto de los po ositivos y el de e Interce menor valor absolutto de los nega ativos, tenem mos

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ma en cuenta el e término que contiene (∆ ∆) Solo se tom Resolv viendo tenemo os 10 - ∆ ≥ 0 -∆ ≥ -10 ∆ ≤ 10

mino independ diente de la Restricción R II) Como b2 = 50 (térm ndo: quedan

se suma a 50 a los térm minos,

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

ción de no negatividad: Condic

50 + ∆ ≤ 50 + 10 0 cemos Hac

50 + ∆ = b2

≤ b2 ≤ 60

Página

286

-∞

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sis para b3: Anális

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

ura asociada a la primera restricción r ess s3; entoncess La variiable de holgu

Condic ción de no negatividad:

5 + 0.23∆ ≥ 0

10 + 1.9∆ ≥ 0

- 0.095∆ ≥ - 2

0.23∆ ≥ - 5

1.9∆ ≥ - 10 0

∆ ≤ 21

∆ ≥ - 21.7 7

∆ ≥ - 5.3

Página

2 – 0.095 5∆ ≥ 0

287

Resolv viendo:

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INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 288 de 353

eptando los co onjuntos, es decir, d tomamo os el de meno or valor absolluto de los po ositivos y el de e Interce menor valor absolutto de los nega ativos, tenem mos -5.3 ≤ ∆ ≤ 21 2 mino independiente en Re estricción III) Como b3 = 49 (térm ndo: quedan

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

se su uma 49 a todo os los término os,

49 4 – 5.3 ≤ 49 4 + ∆ ≤ 49 + 21 os 49 + ∆ = b3 Hacemo 43.7 ≤ b3 ≤ 70

usiones Conclu bilidad para el e modelo de programación p n lineal: El anállisis de sensib Min Z = 0.5X1 + 0.8X2 s/a

Arrojo los siguientes s resultados:

28 ≤ b1 ≤ 52

0.5 ≤ C2 ≤ 1.25

- ∞ ≤ b2 ≤ 60

43.7 ≤ b3 ≤ 70

Min Z = 4.1

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Página

u variable a la vez y di cha variable se mantenga a dentro de los Siemprre y cuando se cambie una interva alos antes esp pecificados; entonces, e la so olución seguiirá siendo ópttima para: con c (X1, X2) = (5, 2)

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

288

0.3 31 ≤ C1 ≤ 0.8 8

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8. PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y PROBLEMAS DE ASIGNACION

Dos de estas clases de problemas se conocen como el algoritmo del transporte (o método del transporte) y el método de asignación de recursos; entonces, el algoritmo de transporte y el método de asignación son solo técnicas especiales para resolver ciertos tipos de problemas de programación lineal. El transporte desempeña un papel importante en la economía y en las decisiones administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de transporte es crítica para la sobre vivencia de una empresa, por ello, resulta conveniente conocer los diferentes métodos de transporte y sus aplicaciones a la solución de estos problemas. La forma más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o estructura “De – Hacia”, es decir, “De un Origen A un Destino”, “De una Fuente Hacia un Usuario”, “Del Presente Hacia el Futuro”, “De Aquí Hacia Allá”. Cuando tenemos distintos orígenes y varios posibles destinos identificamos la aplicación de este método para llegar a una solución óptima. Al enfrentar este tipo de problemas se conocen las fuentes (origen) y los destinos, las capacidades, demandas y los costos de cada trayectoria, para lo cual debe de haber una combinación óptima

8.1

Modelo General del Problema de Transporte

Es un caso especial de problema de Programación Lineal, en el que todos los coeficientes de las variables en las restricciones tienen coeficiente uno (1), esto es: ai,j = 1 ; para todo i , para todo j

Página

289

Gráficamente:

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La programación lineal es un campo que se extiende a ciertas clases de problemas para los cuales existen métodos de soluciones especiales que simplifican los cálculos.

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Dónde: Xi,j= Unidades a enviar desde la fuente i-ésima (i=1,...,m) al destino j-ésimo (j=1,...,n) Ci,j= Costo de enviar una unidad desde la fuente i-ésima (i=1,...,m) al destino j-ésimo (j=1,...,n) ai = Disponibilidad (oferta) en unidades, de la fuente i-ésima (i=1,...,m)

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

bj = Requerimiento (demanda) en unidades, del destino j-ésimo (j=1,...,n) Se considera que: Lo disponible = Lo requerido

8.2

Oferta = Demanda

Mercado Perfecto

Metodología General

Ejemplo: Vamos a suponer que un fabricante tiene 3 fábricas donde se produce el mismo producto, el cual se envía a 4 almacenes. Cada fábrica tiene una capacidad limitada y cada almacén tiene una demanda máxima. Cada fábrica puede enviar productos a todos los almacenes pero el costo de transporte varia con las diferentes combinaciones. El problema es determinar la cantidad que cada fábrica debe enviar a cada almacén con el fin de minimizar el costo del trasporte. La cantidad total que se envía desde todas las fabricas debe ser igual que la cantidad total que se recibe en todos los almacenes. El número de restricciones independientes siempre será una menos que la suma del número de orígenes y del número de destinos en este caso es (3 + 4) – 1 = 6

Página

290

Se tiene 12 rutas posibles para enviar los productos de cada fábrica a cada almacén:

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ALMACENES (DESTINOS)

FABRICA 1 S1

ALMACEN D1

ALMACEN D2

ALMACEN D3

ALMACEN D4

FABRICA 2 S2 FABRICA 3 S3

DEMANDA

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

CAPACIDAD

FABRICAS (ORIGENES)

Cuando mucho, se usaran 6 de las 12 rutas para una solución óptima.

Página

291

Gráficamente, los pasos para la solución del problema de transporte, son:

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Página 292 de 353

8.3

Matriz del Transporte

ORIGEN CAPACIDAD FABRICA UNIDADES S1 100 S2 200 S3 300 600

DESTINO DEMANDA ALMACEN UNIDADES D1 150 D2 150 D3 120 D4 80 500

Como la capacidad es de 600 resulta mayor a la demanda total que es 500 tendremos que agregar un “almacén ficticio” para absorber la holgura, con la característica de que el costo unitario de transporte hacia el almacén ficticio siempre será cero, ya que el excedente de capacidad no se enviara en realidad y asimismo, si fuera necesario en otro problema se podrá emplear un origen ficticio, entonces Se construye la “Matriz del Transporte”, donde a cada origen corresponde un renglón y a cada destino una columna. La capacidad de cada origen se muestra al final del renglón y la demanda de cada destino se escribe debajo de la columna respectiva, estas capacidades y demandas se conocen como condiciones fronteras. El costo unitario de trasporte desde cada origen a cada destino se escribe en la esquina superior izquierda de cada celda de la matriz:

Método del Costo Mínimo para una Solución Inicial

292

8.4

Página

Para obtener una solución inicial se emplea alguno de los siguientes métodos: • •

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Partiendo de la información de capacidades de cada Fábrica y de la Demanda en cada Almacén siguiente:

Método del Costo Mínimo Método de Aproximación de Vogel

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•

Método de la Esquina Noreste Iniciaremos con el Método del Costo Mínimo, para posteriormente ver los otros dos

PASOS PARA LA SOLUCION INICIAL CON EL METODO DEL COSTO MINIMO 1) Se localiza la celda con el menor costo (sin considerar ceros), si hay empate se elige a la azar cualquiera de los costos menores de igual valor. 2) Se llena la celda con el máximo permitido por las condiciones fronteras. Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

3) Se eliminan las demás celdas en el renglón o columna que se agota. 4) Se repiten los pasos anteriores hasta agotar las condiciones frontera. Los resultados son los siguientes:

Luego de esta solución inicial se busca el óptimo.

8.5

Métodos para la Solución Óptima

Existen dos métodos para alcanzar la solución óptima. Método de la Distribución Modificada (MODI) Regla de la Piedra que Rueda

Página

Aplicaremos ambos, comenzando con el Método de Distribución Modificada (MODI)

293

• •

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METODO DE LA DISTRIBUCION MODIFICA (MODI) Pasos 1) Se calculan los coeficientes de renglones y columnas como sigue:

b) Se pivotea sobre esta celda para encontrar el coeficiente con la siguiente expresión.

c) Se busca otra celda llena en la misma línea o columna y se aplica la misma expresión, repitiendo esto mismo para cada celda llena, hasta determinar todos los coeficientes de cada línea y columna, resultado lo siguiente:

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a) Se asignan cero a la izquierda del primer renglón y luego se busca una celda llena en ese renglón, entonces

Los costos marginales, se muestran en las celdas con números de color más claro:

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Página

294

2) A continuación se determinan los costos marginales de las celdas vacías, tomando una a la vez y en cualquier orden. El costo marginal es igual a la diferencia entre el costo de la celda y la suma de los coeficientes del renglón y la columna correspondientes:

REGLA DE LA PIEDRA QUE RUEDA Pasos: 1) Se selecciona la celda con el costo más negativo, en caso de empates, se rompen arbitrariamente (se selecciona cualquiera), porque habrá un ahorro de (1) por cada unidad que se mande por esta celda, se requiere mandar lo más posible, siendo congruente con las condiciones frontera y el núm. de celdas llenas. 2) Se aplica la regla de trayectoria cerrada con ángulos rectos entre las celdas llenas, comenzando con la celda (S3 D1) que tiene negativo y de ahí se encuentra una trayectoria cerrada que vaya por la matriz y regrese a la celda en que se inició, cumpliendo para ello con las siguientes condiciones a) Se puede ir de manera vertical u horizontal, no se permiten ni curvas ni diagonales.

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Cuando ya no se tengan costos marginales finales negativos habremos llegado al óptimo, en caso contrario llevaremos a cabo una revisión de la solución mediante la llamada Regla de la Piedra que Rueda, la cual está diseñada para satisfacer las condiciones frontera y que el número de celdas llenas no exceda la suma de renglones y columnas menos uno.

b) Cada esquina en ángulo recto debe estar en una celda llena. c) Siempre existirá una y solo una trayectoria de este tipo. d) Para formar la trayectoria rectangular podrán saltarse tanto celdas vacías como llenas. Las esquinas o pivotes, son las celdas críticas.

Página

295

e) Se pone un signo (+) en la celda vacía y se da la vuelta a la trayectoria, alternando los signos (-) y (+) en las celdas pivote llenas. Estas son las piedras que ruedan. Las celdas con signo (-) se reducirán y las celdas con signo (+) se incrementarán. ¿Cuántas unidades pueden cambiarse?, la respuesta es: la cantidad menor en las celdas con signo (-)

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Observamos que hay dos cantidades con signo (-), las cuales son 150 (S2 D1) y 70 (S3 D3), seleccionamos la menor y la colocamos en la celda de la que partimos, es decir, en (S3 D1), luego, la sumamos en las celdas que tienen signo (+) y la restamos en las celdas que tienen signo (-), quedando:

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Trayectoria partiendo de la celda (S3 D1):

¿ES ÓPTIMA ESTA NUEVA SOLUCION? Para saberlo hay que recalcular todo el proceso, es decir, los nuevos coeficientes de renglón y columna, así como los nuevos costos marginales para todas las celdas vacías. SI APARECEN DE NUEVO CELDAD CON SIGNO (-) SE CONTINUA CON TODO EL PROCESO, repitiéndolo hasta que ya no se tengan negativos. Cuando ya no hay negativos habremos llegado a la solución óptima. El costo total de la solución óptima, se encuentra sumando los productos de los costos en las celdas llenas, por las unidades mandadas en cada celda llena.

Página

296

Tenemos los siguientes coeficientes de fila y columna, así como los costos marginales:

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Verificamos con una nueva trayectoria para aplicar la Regla de la Piedra que Rueda.

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Se observan negativos, en los costos marginales (números de color más claro), por lo que no hemos alcanzado el óptimo, debiendo continuar.

Recalculando, tenemos los siguientes coeficientes de fila y columna, así como los costos marginales (números de color más claro):

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Página

297

Luego de aplicar las reducciones y aumentos resulta:

INTERPRETACION DEL RESULTADO Se obtiene el Costo Total de esta solución, multiplicando las unidades que aparecen en las celdas llenas por el correspondiente costo en la casilla de dicha celda, dando lo siguiente. COSTO TOTAL = 20 (3) =

80 (8) =

640

80 (5) =

400

120 (6) =

720

70 (7) =

490

130 (4) =

520

100 (0) =

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

En esta última solución revisada ya no hay Costos Marginales negativos (números de color más claro), por lo cual la SOLUCION ES OPTIMA, es decir, como ya no aparecen negativos en las celdas vacías se llegó al OPTIMO.

2,830

RESUMEN DEL METODO MODI Y LA REGLA DE LA PIEDRA QUE RUEDA

Página

298

1. Se calculan los coeficientes del renglón y columna usando las celdas llenas:

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2. Se calcula el costo marginal de usar cada celda vacía:

4. Se encuentra la trayectoria de revisión y se llena la celda vacía al máximo que permita la trayectoria 5. Se repiten los pasos (1) al (4) hasta que todos los costos marginales sean cero o positivos.

ALGUNOS CASOS ESPECIALES Habrá SOLUCIONES OPTIMAS MULTIPLES, cuando una celda vacía tiene un costo marginal de cero, significa que existe otra solución óptima, lo cual es importante porque así se da a la administración mayor flexibilidad en la toma de decisiones.

Página

299

Si la solución tiene muy pocas celdas llenas, se llama DEGENERACION, ocurre cuando el núm. de celdas llenas es menor a la suma del núm. de renglones y columnas menos una. Se observa sobre todo cuando al intentar determinar los coeficientes con el Método MODI, no hay donde ir de casilla a casilla.

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3. Se selecciona la celda vacía con el costo marginal más negativo (los empates se rompen arbitrariamente)

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8.6

Método de Aproximación de Vogel (VAM) para la solución inicial

1) Se realizara una penalización para cada renglón y columna, restando el menor elemento de costo del renglón y columna, del elemento de costo menor siguiente en el mismo renglón y columna. EJEMPLO:

Página

300

2) Se identificara al renglón o columna con el mayor valor de penalización, rompiendo empates arbitrariamente, luego, al renglón o columna con la más alta penalización se localizara la casilla con el menor costo y se le asignará el mayor número de unidades posible de acuerdo a las condiciones frontera de renglón y columna, ajustando la oferta y la demanda, se tacha el renglón o columna que se satisface. Si un renglón y columna se satisfacen al mismo tiempo solo uno de ellos se tacha y el otro queda agotado con cero. Cualquier renglón o columna agotado con cero ya no se utiliza para recalcular subsiguientes penalizaciones.

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Los pasos para este método son los siguientes:

a) Cuando solo queda un renglón o columna sin tachar se acaba el proceso.

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b) De lo contrario se volverá a recalcular las penalizaciones de renglones y columnas no tachadas o agotadas con cero y se volverá al paso dos.

Como el renglón (3) tiene (14) la mayor penalización de renglones y columnas, seleccionamos el menor costo unitario del renglón, en este caso cero (0) y se asigna el mayor núm. de unidades posibles de acuerdo a las condiciones frontera, en este caso cinco (5). Como el renglón (3) y la columna (1), se satisfacen simultáneamente, elegimos alguno, en este caso la columna (1) y la tachamos, al mismo tiempo asignamos cero en la oferta restante (renglón 3), lo cual implicará no considerar a este renglón para las subsiguientes penalizaciones. En este caso queda satisfecha la columna (1), por lo tanto, tachamos las casillas de esta, para no considerarlas en las subsiguientes penalizaciones.

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Obteniendo las penalizaciones tenemos:

Página

301

Recalculamos a continuación las penalizaciones de los renglones y columnas no tachadas:

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Página

302

Recalculamos las penalizaciones de los renglones y columnas no tachados:

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

El renglón (1) y la columna (3) tienen las mismas penalizaciones, seleccionamos alguno arbitrariamente, en este caso, seleccionaremos la columna (3), entonces, se asigna el mayor núm. de unidades posible de acuerdo a las condiciones frontera, en este caso (15), lo cual nos lleva a tachar la columna (3) que se agota, asimismo, ajustamos la oferta del renglón (2), quedando en 10=25-15.

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303

Solo queda el renglón (1) en el cual las máximas unidades posibles de asignar son cinco (5), quedando aún diez (10) por aplicar, para agotar todas las opciones de asignación, lo cual hacemos a continuación:

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Vemos ahora, que la mayor penalización es (13), ubicada en el segundo renglón, por lo que asignamos el mayor núm. de unidades en la casilla que tiene el costo más bajo (7), en este caso, asignamos diez (10) y tachamos este segundo renglón, ajustando la demanda de la segunda columna misma que queda en 5 = 15 – 10.

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El costo total queda de la siguiente manera, considerando las casillas llenas y sus respectivos costos: COSTO TOTAL = 5 (0) =

10 (11) =

110

10 (7) =

9 (15) =

135

5 (0) =

0 --------

Pรกgina

304

315

Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

INTERPRETACION DEL RESULTADO

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Pรกgina

305

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VEAMOS OTRO EJEMPLO DE MANERA MAS DIRECTA:

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INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

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INTERPRETACION DEL RESULTADO COSTO TOTAL 800 (4) = 3,200 200 (6) = 1,200 1,100(8) = 8,800 300(3) =

900

400(5) = 2,000 1,200(1) = 1,200 --------------------------------------

Pรกgina

306

17,300

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8.7

Método de la Esquina Noroeste para la Solución Inicial Características . Sencillo y fácil de hacer . No tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones, pero

Algoritmo (forma de solución) ó Pasos del método: 1. Construimos una tabla de ofertas (disponibilidades) y demandas (requerimientos). 2. Empezamos por la esquina noroeste. 3. Asignamos lo máximo posible (Lo menor entre la oferta y la demanda, respectivamente) 4. Actualizamos la oferta y la demanda y rellenamos con ceros el resto de casillas (Filas ó Columnas) en donde la oferta ó la demanda haya quedado satisfecha. 5. Nos movemos a la derecha o hacia abajo, según haya quedado disponibilidad para asignar. 6. Repetimos los pasos del 3 al 5 sucesivamente hasta llegar a la esquina inferior derecha en la que se elimina fila y columna al mismo tiempo.

Nota: No eliminar fila y columna al mismo tiempo, a no ser que sea la última casilla. El romper ésta regla ocasionará una solución en donde el número de variables básicas es menor a m+n-1, produciendo una solución básica factible degenerada.

Ejemplo:

40 10

50 40

307

Aquí, asignamos en la fila 1, columna 1 lo máximo posible en este caso 30 unidades; X11=30

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Página

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. Generalmente nos deja lejos del óptimo

Actualizamos la oferta y la demanda, quedando 10 en el renglรณn y 0 en la columna; rellenamos con cero el resto de la columna 1, ya que la demanda de 30 unidades quedรณ satisfecha. Continuando tenemos:

40 10 0

60 30

Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

40 10 0

60 30 0

308

Pรกgina

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Pรกgina 309 de 353

40 10 0

60 30 0

70 50

40 10 0

60 30 0

70 50 10

40 10 0

60 30 0

70 50 10 0

Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Pรกgina

309

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INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

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40 10 0

60 30 0

70 50 10 0

50 0

Resultados: X11 = 30

X12 = 10

X35 = 10

X45 = 50

X22 = 30

X23 = 30

X33 = 20

X34 = 40

Página

310

Nota: Es una solución básica factible no degenerada, porque se satisface todas las demandas y ofertas, todas las Xij > 0 y el número de variables básicas es m+n-1 = 4+5-1 = 8

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8.8

Problemas de Asignación

ASIGNACIÒN

El método de asignación también denominado por otros autores MÉTODO HUNGARO, utiliza una matriz de Costos de Oportunidad para encontrar la asignación óptima de la matriz de asignación es similar a la matriz de transporte. Ejemplo:

MATRIZ DE COSTOS TURISTA

TRANSPORTE DE TURISTA DESDE UN PARQUE.

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Procedimiento

El método consiste en determinar los COSTOS DE OPORTUNIDAD no se necesitan condiciones frontera. Pasos:

Página

311

1) En cada renglón se resta a cada celda el valor más bajo en dicho renglón:

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INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 312 de 353

13-7=6

16-11=5

15-11=4

11-11=0

16-10=6

19-10=9

10-10=0

15-10=5

16-14=2

17-14=3

14-14=0

16-14=2

2) A continuación, en cada columna se resta a cada celda, el valor más bajo de dicha columna:

0-0=0

2-2=0

1-0=1

6-0=6

5-0=5

5-2=3

4-0=4

0-0=0

6-0=6

9-2=7

0-0=0

5-0=5

2-0=2

3-2=1

0-0=0

2-0=2

El costo de oportunidad cero significa que el uso de esa celda, da la asignación de menor costo posible. 3) Se hace la prueba de optimalidad examinando la matriz de costos de oportunidad, cruzando aquellos renglones y columnas donde exista cero, cuando encontremos que todos renglones o columnas tienen cero en alguna celda, habremos encontrado encontrando el óptimo y con ello habremos terminado. En este caso, cruzando los renglones y columnas donde hay cero, nos resulta:

Cuando se tengan celdas con cero para cada renglón y columna, de manera independiente, habremos llegado a la solución.

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página 313 de 353

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

8-7=1

312

9-7=2

Página

7-7=0

4) Revisiรณn de la matriz de costos de operaciรณn.

Al localizar las celdas con cero, vemos que de manera independiente se cubren tanto renglones como columnas, entonces, ya tenemos la soluciรณn, porque se tiene una celda con cero, para cada renglรณn y para cada columna, como vemos a continuaciรณn:

Los ceros seleccionados implican no considerar ningรบn otro cero en su renglรณn ni columna, para mostrar que se trata de la SOLUCION OPTIMA

Apuntes sobre Investigaciรณn de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Se emplea la matriz tachada para operar las celdas no tachadas en las cuales localizaremos de nueva cuenta, el menor costo (D1) y lo restaremos de todas y cada una de las celdas no tachadas, dejando las demรกs sin afectaciรณn:

INTERPRETACION DEL RESULTADO

7 minutos

11 minutos

10 minutos

17 minutos

313

La asignaciรณn, considerando los costos originales, queda

Pรกgina

---------------------------------------Total 45 minutos

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Pรกgina 314 de 353

ADMINISTRACION DE PROYECTOS CON PERT / CPM

DEFINICION DE PROYECTO Un proyecto es cualquier empresa humana con un claro principio y un claro final. Por ejemplo: Acudir a una convención o llevar a cabo su organización es un proyecto que involucra múltiples actividades para las cuales se requeriría tener un apropiado control. Habrá proyectos con actividades que se puedan memorizar y en consecuencia no requerirán de un control documental, por ejemplo: organizar un día de campo. En un proyecto identificamos: •

Una combinación de actividades.

•

Una relación secuencial entre algunas actividades.

•

Una preocupación por el tiempo.

•

Una preocupación por los recursos utilizados.

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

9.1 Conceptualización

La Planeación de proyectos requiere desglosar el proyecto en actividades, estimar los recursos y el tiempo para cada actividad y describir las interrelaciones entre ellas. La Programación requiere detallar las fechas de inicio y terminación de cada actividad. El Control del proyecto no solo requiere información sobre el estado actual sino, el análisis de los posibles cambios cuando surgen dificultades.

1. Gráfica y Diagrama de Gantt. 2. Redes de Proyecto. 3. Técnica de Evaluación y Revisión de Programas (PERT).

Página

9.2 Métodos para desplegar datos de un Proyecto

314

Una buena planeación minimiza el número de problemas que pueden suscitarse.

4. Método de la Ruta Critica (CPM) Cada método tiene características únicas y en conjunto son una herramienta significativa.

9.2.1 Gráfica de Gantt

(Lista de Actividades para vacacionar)

Actividad

Mes 1

Mes 2

Mes 3

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Contratar casa en playa Preparar transporte Preparar alimentos

= actividad realizada

Vacacionar = actividad por realizar

__________________________________ (Calendarización) Este método tiene la limitación de no mostrar las relaciones entre las actividades, muy importante cuando dependen unas de otras. Si una actividad se retrasa implicará no poder continuar con otra u otras que son subsecuentes. Es de la mayor importancia cuando estamos ante muchas y/o muy complejas actividades. Se puede pasar del diagrama de Gantt al diagrama de redes, para ejemplificar consideremos un proyecto de sentido común:

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

La Gráfica de Gantt es una de las herramientas más antiguas y fáciles de usar en la administración de proyectos. En la siguiente figura se muestra un ejemplo sencillo:

Proyecto: Construcción de una casa Primero se divide el proyecto en actividades separadas en las cuales se llevara a cabo. Vamos a simplificarlas en 5 actividades identificando su predecesora, así como la duración estimada en semanas.

Página

315

Esta información la asentamos en la siguiente tabla:

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Actividad

Duración

Actividad

Descripción

Predecesora

(semanas)

Cimientos y paredes

Ninguna

Plomería y electricidad

Techos

Pintura exterior

Pintura interior

B, C

Diagrama de Gantt resultante Actividad

PUNTOS DE INICIO Y TÉRMINO RELEVANTES

A B C D E 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Tiempo (semanas)

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Proyecto: Construcción de una Casa

9.2.2 Diagrama de Redes o simplemente Red Se denomina así al dibujo secuencial con círculos y flechas que señalan el inicio, secuencia y fin de una actividad y al final de un Proyecto, identificando la interrelación entre actividades, las precedentes y las consecuentes, así como sus tiempos de duración, costos e indicadores relacionados. Diagrama de redes con nodos de inicio y término:

B (2) 2

E (5) 3

Página

A (4)

D (1)

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316

C (3)

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Dónde: Se denomina a cada círculo como nodo:

Cada flecha se denomina actividad:

= Actividad Identificando con letra a cual se refiere.

Diagrama de redes con nodos de actividades

C(3)

Inicio

A(4)

B(2)

E(5)

Final

D(1)

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Nodo = Evento

En estos apuntes utilizaremos el Diagrama de redes con nodos de inicio y término

Página

Las actividades ficticias se usan para proporcionar pares únicos y para satisfacer las relaciones de precedencia. Así cuando se presenta una duplicidad solo se agrega un nuevo evento que termine en una de las actividades pero con la característica de que ocupa cero tiempo y cero recursos. Debiendo por ello dibujarla con “líneas punteadas”, una vez insertada, deberá ser tratada como el resto, veamos con nuestro ejemplo como se haría:

Eliminación de duplicados insertando una actividad ficticia: = Actividades Ficticias: --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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317

En los diagramas de redes se considera un caso especial, las “actividades ficticias”, éstas se utilizan cuando 2 o más actividades inician y terminan en los mismos eventos, en nuestro ejemplo es el caso de las actividades B y C, donde ambas comienzan y terminan con los mismos eventos, haciendo que los dos sean actividades duplicadas.

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Antes de la inserción

Después de la inserción

3 B

C 3

Observamos que la inserción de la actividad ficticia, implica una actividad adicional en todo el proyecto.

Diagrama de redes inicial resultante de la Gráfica de Gantt del ejemplo: C A 1

B 2

E 3

Este último diagrama es el que nos interesa para efectos del control de proyectos. En él se dibujan las actividades y sus interrelaciones. La longitud de cada línea no guarda relación con la duración de la actividad. El único criterio para dibujar el diagrama es la precedencia. En general existen 2 opciones para elaborar diagramas:

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Nueva Red del Proyecto con la inserción de la actividades ficticias:

3 B(2) 2 D(1)

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E(5) 4

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

318

C(3)

Página

A(4)

Página 319 de 353

REGLAS PARA DIBUJAR DIAGRAMAS DE REDES

LO QUE NO SE VALE.

Moverse de derecha a izquierda

Utilizar flechas

Usar líneas

Evitar verticalidad

Verticalidad

Página

319

Moverse de izquierda a derecha

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LO QUE SI SE VALE.

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9.3 Método de la Ruta Crítica (CPM) Se define como la Ruta más Larga en tiempo a través de una red. Es la que determina la longitud en tiempo de un proyecto.

En nuestro ejemplo, existen 3 rutas, pero solo una Ruta Crítica: 1-2-3-4-6:

4+2+0+5

= 11 semanas

1-2-4-6:

4+3+5

= 12 semanas

1-2-5-6:

4+1+0

= 5 semanas

RUTA CRITICA

En el caso de redes más extensas o complejas la enumeración de rutas es muy tediosa, tardada y con riesgo de equivocarnos, pero afortunadamente existen dos procedimientos para encontrar de manera directa la ruta o rutas críticas en cualquier red: 1. Procedimiento a partir de Tiempos de Eventos 2. Procedimiento a partir de Tiempos de Actividades

PROCEDIMIENTO A PARTIR DE TIEMPOS Y HOLGURAS DE EVENTOS Iniciemos con el procedimiento que requiere considerar dos indicadores relacionados con el inicio y término de cada evento, en particular los tiempos de terminación. Los eventos son puntos discretos en el tiempo que representan la terminación de actividades que llegan. Existe dos tiempos de terminación de un evento: •

Tiempo de terminación próxima (TP)

•

Tiempo de terminación lejana (TL)

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Toda red tiene al menos una ruta crítica, algunas tendrán más de una si existe algún empate de valores en la determinación de la ruta más larga en tiempo.

Un evento tiene lugar cuando todas las actividades que llegan a él se han terminado. Observemos que la actividad B en la Gráfica de Gantt del Primer Ejemplo, tiene una holgura y esta podría estar al inicio en vez de al final, gráficamente:

320

Actividad HOLGURA AL FINAL

B 0 1

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4 5 6

Página

HOLGURA AL INICIO

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

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Otro caso es el de la actividad D

Actividad HOLGURA AL FINAL

HOLGURA AL INICIO

Para determinar los tiempos en un diagrama de red, comenzamos por los tiempos de Terminación Próxima (TP), los cuales se habrán de colocar una cruz arriba de cada evento, conjuntamente con los demás indicadores de la siguiente manera:

H TP

TP = Terminación Próxima TL = Terminación Lejana H = Holgura

Anotamos primeramente los TP resultantes: El TP del primer evento es CERO por definición

. 3

7 2

0 3

4 5

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Si llega al evento más de una actividad, debe seleccionarse el tiempo más largo (mayor) resultante.

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Página

Para identificar la conectividad entre eventos se utilizan paréntesis colocando dentro en primer lugar el evento precedente y luego el evento de referencia separados por una coma (2,3).

321

DETALLE DE CÁLCULO DE LOS TP

TP (de un evento) = TP (del evento anterior) + Duración de la actividad. El TP del evento inicial siempre será cero, debido a que se trata del origen. TP (1,2) = 0 + 4 = 4

TP (3,4) = 6 + 0 = 6 TP (2,4) = 4 + 3 = 7

Se selecciona el mayor, es decir, 7

TP (2,5) = 4 + 1 = 5 TP (4,6) = 7 + 5 = 12 TP (5,6) = 5 + 0 = 5

Se selecciona el mayor, es decir, 12

El siguiente paso es calcular los tiempos de determinación lejana para cada evento, esto se hace partiendo del evento final y hacia la izquierda (hacia atrás), a través de la red, concluyendo en el evento inicial de dicha red.

7 3

7 2

4 5 1

12 12 5

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TP (2,3) = 4 + 2 = 6

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Página

Para identificar la conectividad entre eventos, se utilizan paréntesis, colocando en primer lugar el evento de referencia y luego el evento precedente de derecha a izquierda, separados por una coma (4,6).

322

DETALLE DE CÁLCULO DE LOS TL

Si llega al evento más de una actividad, debe seleccionarse el tiempo menos largo (menor) resultante: TL = TL (del siguiente evento) – Duración de la actividad El TL del último evento, es igual al TP de dicho evento final., aquí se trata de 12 semanas.

TL(3,4) = 7 – 0 = 7 TL(5,6) = 12 – 0 = 12 TL(2,3) = 7 – 2 = 5 TL(2,4) = 7 – 3 = 4

Se selecciona el menor, es decir, 4

TL(2,5) = 12 – 1 = 11 TL(1,2) = 4 – 4 = 0 Se definirá como Holgura de un evento la diferencia de TL –TP H = Holgura = TL – TP Obteniendo la Holgura de cada evento, tenemos el siguiente resultado en la red:

Si los cálculos están correctos, el TL del primer evento deberá ser CERO

0 0

7 3

7 2

El TL del último evento es el mismo valor que el TP de ese último evento por definición

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

TL(4,6) = 12 – 5 = 7

0 7

12 12

0 3

5 12

Se obtiene la Ruta Critica siguiendo en la red, aquellos eventos que tienen Holgura cero. Si un evento tiene holgura diferente de cero, significa que podría tener un corrimiento en su terminación y por ello no puede formar parte de la ruta más larga. --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

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Página

323

La Ruta Crítica resultante es 1-2-4-6

Ejercicio: Obtener la Ruta Crítica determinando los tiempos próximos y lejanos de la siguiente red:

18 8

1 4

15 4

Resultados: TP(1,2)=0+3=3

TL(7,8)=40-0=40

TP(1,3)=0+4=4

TL(6,7)=40-4=36 TL(6,8)=40-6=34

SE ELIGE AL MENOR

TP(1,4)=0+12=12 SE ELIGE AL MAYOR

TP(3,4)=4+6=10 TP(2,5)=3+18=21 TP(4,5)=12+15=27 TP(4,6)=12+20=32 TP(5,6)=27+5=32

TL(5,8)=40-13=27

SE ELIGE AL MAYOR

TP(6,7)=32+4=36

TP(5,8)=27+13=40

TL(4,5)=27-15=12 TL(4,6)=34-20=14 TL(2,5)=27-18=9 TL(2,4)=12-8=4

SE ELIGE AL MENOR

TL(3,4)=12-6=6

TP(6,8)=32+6=38 TP(7,8)=36+0=36

TL(5,6)=34-5=29

TL(1,4)=12-12=0 SE ELIGE AL MAYOR

TL(1,2)=4-3=1

SE ELIGE AL MENOR

TL(1,3)=6-4=2

Página

TP(2,4)=3+8=11

Los resultados en negritas corresponden al valor elegido --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

324

5 Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Página 325 de 353

La Ruta Critica resultante es: 1-4-5-8

con una duración de 40 semanas

3 4

27 27

2 3

0 0

12 12

12 4

4 6

13 2

32 34

40 40

4 6

36 40

Recordemos que el procedimiento que hemos utilizado se basa en los TP y TL de eventos.

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

En la red, observamos los resultados de los tiempos y la Ruta Crítica:

Para actividades se requerirá entonces, el cálculo de 4 tiempos, es decir, además de los TP y TL tendremos que determinar los tiempos de Inicio Próximo (IP) y los tiempos de Inicio Lejano (IL), de esta manera deberemos considerar:

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Página

El otro procedimiento que podemos utilizar, consiste en determinar los TP (Tiempos Próximos) y los TL (Tiempos Lejanos) de las actividades, lo cual requeriría de una tabla, además de que se deben considerar otros dos tiempos más.

325

PROCEDIMIENTO A PARTIR DE TIEMPOS Y HOLGURAS DE LAS ACTIVIDADES

Inicio próximo (IP)

Inicio lejano (IL)

Terminación próxima (TP)

Terminación lejana (TL)

IP (de una actividad) TP (de una actividad) TL (de una actividad) IL (de una actividad)

= = = =

TP (del evento que comienza) IP + Duración de la actividad TL (del evento que termina) TL (de la actividad) - Duración de la actividad

Considerando nuestro primer ejemplo de 5 eventos, tendremos entonces:

Tiempos y holguras para actividades Actividad (1,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,5) (5,6)

Duración (semanas) 4 2 3 1 0 5 0

0 4 4 4 6 7 5

0 5 4 11 7 7 12

Holgura IL - IP 0 1 0 7 1 0 7

4 6 7 5 6 12 5

4 7 7 12 7 12 12

Holgura TL - TP 0 1 0 7 1 0 7

Procedimiento de cálculo: 1) IP(de una actividad) = TP(del evento que comienza) IP(1,2) = 0 IP(2,3) = 4 IP(2,4) = 4 IP(2,5) = 4 IP(3,4) = 6 IP(4,6) = 7 IP(5,6) = 5

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICADA AL TURISMO I

Página

326

2) TP(de una actividad) = IP + Duración de la actividad TP(1,2)=0+4=4 TP(2,3)=4+2=6 TP(2,4)=4+3=7 TP(2,5)=4+1=5 TP(3,4)=6+0=6 TP(4,6)=7+5=12 TP(5,6)=5+0=5

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REGLAS PARA LA DETERMINACION DE CADA TIEMPO:

Página 327 de 353

Donde se tiene Holgura cero, se localiza la Ruta Crítica y corresponde a:

1-2-4-5

Considerando ahora, el segundo ejemplo de 8 eventos, tendremos:

Tiempos y holguras para actividades Actividad (1,2) (1,3) (1,4) (2,4) (2,5) (3,4) (4,5) (4,6) (5,6) (6,7) (6,8) (5,8) (7,8)

Duración (semanas) 3 4 12 8 18 6 15 20 5 4 6 13 0

0 0 0 3 3 4 12 12 27 32 32 27 36

1 2 0 4 4 6 12 14 29 36 34 27 40

Holgura IL - IP 1 2 0 1 1 2 0 2 2 4 2 0 4

3 4 12 11 21 10 27 32 32 36 38 40 36

4 6 12 12 27 12 27 34 34 40 40 40 40

Holgura TL - TP 1 2 0 1 6 2 0 2 2 4 2 0 4

Página

La Ruta Crítica corresponde a las actividades donde la Holgura es cero: 1-4-5-8 con una duración de 40 semanas

327

4) IL(de una actividad) = TL(de la actividad) - Duración de la actividad. IL(1,2)=4-4=0 IL(2,3)=7-2=5 IL(2,4)=7-3=4 IL(2,5)=12-1=11 IL(3,4)=7-0=7 IL(4,6)=12-5=7 IL(5,6)=12-0=12

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3) TL(de una actividad) = TL(del evento que termina) TL(1,2)=4 TL(2,3)=7 TL(2,4)=7 TL(2,5)=12 TL(3,4)=7 TL(4,6)=12 TL(5,6)=12

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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9.4 Técnica de Evaluación y Revisión de Programas (PERT) con Relación a Tiempo

Por ello el PERT se desarrolló con el fin de poder incluir la incertidumbre en las estimaciones de la duración. Así en lugar de una sola duración para cada actividad se estiman 3: • • •

Duración máxima (pesimista) Duración promedio (normal) Duración mínima (optimista)

Esto se relaciona con las apreciaciones de realización de cada actividad: Mínima = optimista Máxima = pesimista Promedio = normal La duración más probable es el mejor juicio sobre el tiempo en que se realizará la actividad. Para nuestro primer ejemplo, consideremos las siguientes estimaciones de duración para cada actividad:

DURACIONES ESTIMADAS PARA ACTIVIDADES

Más probable

Pesimista

Actividad

(a)

(m)

(b)

(1,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(3,4)

(4,6)

(5,6)

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Página

Optimista

328

Duración estimada (semanas)

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Aun en las mejores circunstancias de planeación las incertidumbres, problemas, enfermedades del personal, accidentes, clima, etc., pueden causar desviaciones al plan original.

Página 329 de 353

La técnica PERT combina estas tres estimaciones suponiendo que los parámetros se comportan como la distribución normal de probabilidad, focalizando las estimaciones de la siguiente manera:

PESIMISTA

OPTIMISTA

Las duraciones optimista y pesimista establecen los límites de la distribución y la duración más probable define el punto pico o moda de la misma. Con esta base, será necesario determinar la duración promedio (media aritmética) para cada actividad de acuerdo a las estimaciones correspondientes. También se requerirá la desviación estándar de la duración de cada actividad, con el fin de obtener la duración total del proyecto.

CALCULO DE LOS INDICADORES ESTADISTICOS DE LA DURACION DE LAS ACTIVIDADES Duración Media de cada actividad (dm)

Duración Media:

dm =

a + 4m + b 6

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MAS PROBABLE

Dónde: dm = duración media (media aritmética) de cada actividad a = duración optimista (mínima) m = duración más probable (normal)

Página

329

b = duración pesimista (máxima)

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Página 330 de 353

Considérese que para nuestro primer ejemplo tenemos las siguientes estimaciones para la terminación de cada actividad:

ESTIMACION DE LA DURACION MEDIA PARA CADA ACTIVIDAD DEL PRIMER EJEMPLO

a + 4m + b 6

Optimista

Más probable

Pesimista

Actividad

(a)

(m)

(b)

(1,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(3,4)

(4,6)

(5,6)

dm =

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

a + 4m + b 2 + 4(3) + 10 24 = = =4 6 6 6

dm( 2,3) =

a + 4m + b 1 + 4(1) + 7 12 = = =2 6 6 6

dm( 2, 4 ) =

a + 4m + b 2 + 4(3) + 4 18 = = =3 6 6 6

dm( 2,5) =

a + 4m + b 1 + 4(1) + 1 6 = = =1 6 6 6

dm( 3, 4 ) =

a + 4 m + b 0 + 4 ( 0) + 0 0 = = =0 6 6 6

dm( 4, 6 ) =

a + 4m + b 3 + 4( 4) + 11 30 = = =5 6 6 6

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Página

dm(1, 2 ) =

330

Dónde:

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Duración media de cada actividad

Duración estimada (semanas)

Página 331 de 353

dm( 5, 6 ) =

a + 4 m + b 0 + 4 ( 0) + 0 0 = = =0 6 6 6

Los resultados de la duración media (dm) se emplean para determinar los TIEMPOS PARA EVENTOS, es decir, TP y TL, y los TIEMPOS PARA ACTIVIDADES, es decir, IP, IL, TP, TL.

Desviación estándar de cada actividad (σ) :

Determinamos ahora, la desviación estándar de cada actividad, empleando la siguiente expresión matemática:

σ=

b−a 6

Dónde: a = duración optimista (mínima) m = duración más probable (normal)

Página

331

b = duración pesimista (máxima)

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Si observamos nuestro primer ejemplo, veremos que coinciden los valores de la última columna (duración media) con los empleados en ese primer ejemplo en páginas anteriores.

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Página 332 de 353

ESTIMACION DE LA DESVIACION ESTANDAR DE CADA ACTIVIDAD

Optimista Actividad

Mas probable

(a)

Pesimista

dm =

(b)

a + 4m + b 6

σ =

b−a 6

Varianza

σ2

(m) (1,2)

1.33

(2,3)

(2,4)

0.33

(2,5)

(3,4)

(4,6)

1.33

(5,6)

1.77

0.11

1.77

--------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

b − a 10 − 2 8 = = = 1.33 6 6 6

σ ( 2 ,3) =

b − a 7 −1 6 = = =1 6 6 6

σ ( 2, 4) =

b−a 4 − 2 2 = = = 0.33 6 6 6

σ ( 2,5) =

b − a 1−1 0 = = =0 6 6 6

σ ( 3, 4 ) =

b−a 0 −0 0 = = =0 6 6 6

σ ( 4,6) =

b − a 11 − 3 8 = = = 1.33 6 6 6

σ ( 5, 6 ) =

b−a 0−0 0 = = =0 6 6 6

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Página

σ (1, 2 ) =

332

Dónde:

Apuntes sobre Investigación de Operaciones aplicada al Turismo I OSCAR MAYO LEYTTE

Duración media determinada

Duración estimada (semanas)

Desviación estándar de cada actividad

Página 333 de 353

La duración media y la desviación estándar de la Ruta Crítica, son valores válidos para el proyecto en su totalidad, suponiendo que tiene un comportamiento como la distribución normal de probabilidad. Bajo ese supuesto, se determinan como sigue:

DM = dm(1,2) + dm(2,4) + dm(4,5) = 4 + 3 + 5 = 12 semanas La desviación estándar se obtiene de la raíz cuadrada de la suma de las varianzas de cada una de las actividades incluidas en la Ruta Crítica resaltadas en la tabla anterior:

s = σ 12 + σ 22 + ... + σ n2

La fórmula general es:

La fórmula aplicada a nuestro primer ejemplo es:

s = σ 12 + σ 22 + ... + σ n2 = σ (21, 2) + σ (22, 4 ) + σ (24,5) s=

(1.33)2 + (0.33)2 + (1.33)2

1.77 + 0.11 + 1.77

= 1.91 semanas

ESTIMACION DE LA DURACION TOTAL DE UN PROYECTO

La estimación de la duración total de un proyecto se basa en la distribución normal estandarizada

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La duración media de todo el Proyecto, es la suma de las duraciones medias de las actividades individuales que están incluidas en la Ruta Crítica resaltadas en la tabla anterior:

x − DM s

Dónde:

333

x = Valor de referencia

Página

DM = Media del proyecto = 12 s = Desviación estándar del proyecto = 1.91

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Estandarizando la distribución normal con base en nuestro primer ejemplo, tendremos:

8.18

13.91 15.88 17.73

-3 σ

-2 σ

-σ

+σ

+2 σ

+3 σ

Distancia en núm. de σ

-3

-2

-1

Escala estandarizada Z

Recordemos que en el centro se encuentra la media a partir de la cual, se van DM = 12 estandarizando los valores equivalentes al sumar hacia la derecha una, dos y tres desviaciones estándar, en tanto, que hacia la izquierda del centro se van restando una, dos y tres desviaciones estándar.

Para nuestro primer ejemplo, la escala estandarizada, es decir, el número de desviaciones estándar a partir del centro se obtiene de la siguiente manera

12 − 12 =0 1.91

Para x = 12

Z 12 =

Para x = 12 + 1.91 = 13.91

Z 13.91 =

13.91 − 12 =1 1.91

Para x = 12 + 2(1,91) = 15.82

Z 15.82 =

15.82 − 12 =2 1.91

Para x = 12 + 3(1.91) = 17.73

Z 17.73 =

17.73 − 12 =3 1.91

Para x = 12 – 1.91 = 10.09

Z 10.09 =

10.09 − 12 = −1 1.91

Para x = 12 – 2(1.91) = 8.18

Z 8.18 =

8.18 − 12 =−2 1.91

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334

10.09 12

Semanas (valores reales)

6.27

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50%

Página

50%

Para x = 12 – 3(1.91) = 6.27

Z 6.27 =

6.27 − 12 = −3 1.91

¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se termine en 12 semanas? x = 12

Z 12 =

12 − 12 =0 1.91

Esto significa que 50% es la probabilidad de terminar en 12 semanas, porque del centro (cero) hacia la izquierda se localiza el 50% de área bajo la curva normal.

¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se termine en 16 semanas? x = 16 Primeramente encontramos que:

Z12 =

16 − 12 = 2.09 1.91

Al revisar la tabla de áreas bajo la curva normal (ver al final de estos apuntes el anexo), encontramos que en el renglón 2.0 a la altura de la columna 0.09, encontramos que el valor es 0.4817, en consecuencia, la probabilidad de obtiene de la siguiente manera, considerando que el resultado de Z es positivo: 0.5 + 0.4817 = 0.9817 es decir, 98.17% es la probabilidad Se suma 0.5 porque el 50% de los valores se localizan entre el extremo izquierdo y el centro de la distribución normal, debiéndose sumar además, la probabilidad que corresponde al área entre el cero (centro) y el 16 (valor de referencia)

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Primeramente encontramos que:

¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se termine en 10 semanas? x = 10 Primeramente encontramos que:

10 − 12 = − 1.05 1.91

Página

Al revisar la tabla de áreas bajo la curva normal (ver tabla anexa al final de estos apuntes), encontramos que en el renglón 2.0 a la altura de la columna 0.09, el valor es 0.3531, es decir, 35.31%, en consecuencia, esa es la probabilidad de que se termine el proyecto en 10 semanas. A este valor no se le suma 0.5 porque el resultado de Z es negativo.

335

Z12 =

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¿En cuantas semanas se terminaría el proyecto considerando una probabilidad de 95%? De acuerdo a tablas de la distribución normal, probabilidad (área bajo la curva normal): entonces:

Z = 1.64

para considerar 95% de

x − 12 = 1.64 1.91

Recordemos que en esta tabla están las áreas a partir del centro (cero), donde se localiza el 50% de los valores, por eso debe restarse de 95% ese 50%, para luego ver en el interior de las tablas a que altura a la derecha del cero, se localiza el restante 45% que completa los 95% de probabilidad. Despejando “x” tendremos: x – 12 = (1.64)(1.91) x = 15.13

El proyecto se terminaría en 15.13 semanas

¿En cuantas semanas se terminaría el proyecto considerando una probabilidad de 99%?

x − 12 = 2.33 1.91

Porque 99% – 50% = 49%, lo cual significa que al buscar en el interior de las tablas, el valor más cercano a 49, se lee en el renglón 2.3 a la altura de la columna 0.03

Despejando “x”, nos resulta ahora::

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Porque 95% – 50% = 45%, lo cual significa que al buscar en el interior de las tablas, el valor más cercano a 45, se lee en el renglón 1.6 a la altura de la columna 0.04

x – 12 = (2.33)(1.91) El proyecto se terminaría en 16.45 semanas.

Página

336

x = 16.45

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SOLUCION DEL SEGUNDO EJEMPLO Consideremos los siguientes datos y resultados correspondientes al segundo ejemplo:

a + 4m + b 6

b−a 6

Varianza

Optimista

Mas probable

Pesimista

Actividad

(a)

(m)

(b)

(1,2)

0.33

0.11

(1,3)

1.33

1.77

(1,4)

2.00

4.00

(2,4)

1.33

1.77

(2,5)

3.33

11.1

(3,4)

0.67

0.45

(4,5)

2.33

5.43

(4,6)

4.00

16.00

(5,6)

1.00

(5,8)

2.00

4.00

(6,7)

1.67

2.79

(6,8)

1.00

(7,8)

dm =

σ =

σ2

La media de todo el Proyecto, es la suma de las duraciones medias de las actividades individuales que están incluidas en la Ruta Crítica resaltadas en la tabla anterior:

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Página

DM = dm(1,4) + dm(4,5) + dm(5,8) = 12 + 15 + 13 = 40 semanas

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Duración media determinada

337

Duración estimada (semanas)

Desviación estándar de cada actividad

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La desviación estándar se obtiene de la raíz cuadrada de la suma de las varianzas de cada una de las actividades incluidas en la Ruta Crítica resaltadas en la tabla anterior: La fórmula general es:

s = σ 12 + σ 22 + ... + σ n2

s = σ 12 + σ 22 + ... + σ n2 = σ (21, 4) + σ (24,5) + σ (25,8) s=

(2)2 + (2.33)2 + (2)2

= 4 + 5.43 + 4 = 3.67 semanas

¿En cuantas semanas se terminaría el proyecto considerando una probabilidad de 95%? De acuerdo a tablas de la distribución normal, probabilidad (área bajo la curva normal): entonces:

Z = 1.64

para considerar 95% de

x − 40 = 1.64 3.67

Porque 95% – 50% = 45%, lo cual significa que al buscar en el interior de las tablas, el valor más cercano a 45, se lee en el renglón 1.6 a la altura de la columna 0.04 Recordemos que en esta tabla están las áreas a partir del centro (cero), donde se localiza el 50% de los valores, por eso debe restarse de 95% ese 50%, para luego ver en el interior de las tablas a que altura a la derecha del cero, se localiza el restante 45% que completa los 95% de probabilidad. Despejando “x” tendremos:

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La fórmula aplicada a este ejemplo es:

x – 40 = (1.64)(3.67) x = 46

El proyecto se terminaría en 46 semanas

x − 40 = 2.33 3.67

Porque 99% – 50% = 49%, lo cual significa que al buscar en el interior de las tablas, el valor más cercano a 49, se lee en el renglón 2.3 a la altura de la columna 0.03

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¿En cuantas semanas se terminaría el proyecto considerando una probabilidad de 99%?

Despejando “x”, nos resulta ahora:: x – 40 = (2.33)(3.67) El proyecto se terminaría en 48.55 semanas.

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x = 48.55

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9.5 Técnica de Evaluación y Revisión de Programas (PERT) con relación a Costo

Un incremento en la dotación de recursos, implica un aumento de costos por mayor capacidad ociosa y en consecuencia tendremos recursos subutilizados Por el contrario, una disminución en la dotación de recursos, implica un aumento de costos por contratación de recursos adicionales y en consecuencia tendremos mano de obra extraordinaria, trabajo en turno extraordinario, etc. Una actividad generalmente tiene varios recursos asociados. Lo importante es tener un gráfico de barras por cada recurso relevante Los recursos normalmente son variables discretas (personas, máquinas, herramientas, fondos financieros), no obstante también suelen ser variables continuas (m2 de espacio, combustible, energía) Se busca evaluar diferentes condiciones de realización para un proyecto, asumiendo que si se inyectan recursos adicionales al proyecto, se lograría disminuir el plazo de término del mismo. Añadiendo recursos extras, disminuye el tiempo de culminación del proyecto, sin embargo, falta saber cuáles son las actividades a las que se les inyectarán recursos adicionales y además, cuánto cuestan tales recursos adicionales La inyección de recursos adicionales es conveniente en la medida de que así, el proyecto obtenga beneficios adicionales superiores a los costos incurridos El siguiente gráfico representa el comportamiento de cada actividad en forma independiente:

Comportamiento real

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Mediante un análisis económico de costos se determina la dotación de cada recurso relevante, ponderando también los factores cualitativos, para llegar a un óptimo.

Modelo PERT Costo

El comportamiento real tiene una forma convexa debido al diferencial de costos creciente que se produce al reducir sucesivamente el tiempo de ejecución de cada actividad.

Tiempo Acelerado de la Actividad ( tA ) Es el tiempo resultante al aplicar un mayor esfuerzo en la actividad, gracias a la inyección de recursos adicionales, que implica un mayor costo asociado (CA), llamado Costo Acelerado.

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Página

Tiempo Normal de la Actividad ( tN ) Es el tiempo promedio normal, que tiene asociado un costo (CN), llamado Costo Normal.

340

El modelamiento PERT Costo, establece una relación lineal entre el término anticipado de cada actividad y la inyección de recursos requerida.

Es importante destacar que no existe relación alguna entre el tiempo acelerado ( tA ) y el tiempo optimista ( tO ), son conceptos diferentes.

La pendiente del PERT - Costo es el diferencial de costos o inyección de recursos necesaria para anticipar el término de una actividad. Con las estimaciones dobles (normal y acelerada), PERT - Costo incluye 2 redes extremas y algunas variaciones intermedias En un extremo se tiene la red con todo normal, la que lleva el tiempo más largo y el costo más bajo para el proyecto. En otro extremo, está la red con todo intensivo, que tiene el tiempo más corto y el costo más alto para el proyecto, sin embargo, algunas de las actividades de la red todo intensivo no necesitan hacerse intensivas o aceleradas En la medida que las disminuciones de tiempo en el plazo del proyecto lleven asociadas un beneficio económico, entonces es posible evaluar la conveniencia acerca de efectuar algunas actividades en sus tiempos acelerados. ELECCION DE LA RED OPTIMA TIEMPO - COSTO

El algoritmo de decisión implica comenzar con la ruta crítica de la red todo normal e ir evaluando el costo mínimo asociado a las reducciones de tiempo, si es que esto conviene económicamente Efectuar en sucesivos pasos (cortes) reducciones de tiempo en actividades de la ruta crítica que signifiquen el menor costo, sin sobrepasar el tiempo acelerado de las actividades al reducir su tiempo y sin alterar la ruta crítica

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El Tiempo Acelerado ( tA ) es el tiempo promedio mínimo (gracias a la incorporación de recursos extras), mientras que el tiempo optimista ( tO )es un tiempo probabilístico, un dato aislado obtenido mediante la estimación del tiempo de realización de una actividad, dentro de un proyecto con condiciones normales

METODOLOGIA PERT – COSTO

EJEMPLO Un proyecto de obra alrededor de un complejo turístico, tiene los siguientes tiempos de duración estimados (en días) y costos (en millones de pesos):

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Página

Si ocurre cualquiera de éstas dos últimas situaciones, deben realizarse sucesivos nuevos cortes para analizar dónde resulta menos costosa la nueva reducción de tiempo

341

Efectuar en sucesivos pasos (cortes) reducciones de tiempo en actividades de la Ruta Crítica que signifiquen el menor costo, sin sobrepasar el tiempo acelerado de las actividades al reducir su tiempo y sin alterar la Ruta Crítica.

to 5 2 4 1 2 4 3 2 4 2 1 3

tm 7 5 8 2 3 6 6 4 9 3 3 7

tp 15 20 18 3 10 8 15 12 25 4 5 23

ta 3 4 5 1 2 4 5 2 7 2 2 7

Cn 100 80 120 10 50 70 80 50 150 60 40 100

Ca 190 122 172 20 82 94 100 83 210 77 55 140

Se pide: •

Dibujar la Red PERT y determinar la Ruta Crítica

•

Fecha de término del proyecto con 95% confianza

•

¿Cuál sería la probabilidad de finalizar el proyecto a más tardar el día 36?

•

Diseñar la Gráfica de Gantt del proyecto, asumiendo que todas las actividades con holguras de tiempo, se realizan en sus tiempos lejanos. Además, muestra los avisos de inicio anticipado, si éstos son posibles

•

Si le ofrecen $120 de premio por terminar las obras al día 26 ¿Conviene aceptar la oferta?

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342

Antes de obtener la Red PERT y la Ruta Crítica, se requiere obtener el tiempo de duración de cada actividad, utilizando las siguientes fórmulas, que dan como resultado:

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Nodo i Nodo j 0 1 0 2 1 3 1 4 2 4 2 5 3 6 3 7 4 7 5 7 6 8 7 8

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Red

que

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corresponde es la siguiente:

Página

343

La Ruta Crítica es:

Duración del Proyecto con 95% de Nivel de Confianza Para nivel de confianza 95%: --------------------------------------OSCAR MAYO LEYTTE

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Cuando hay muchas actividades en la Ruta Crítica tiende (t) a una Distribución Normal (Z), requiriéndose un mínimo de 30 actividades, pero para efectos de aprendizaje, consideraremos que así es en este caso; si bien las actividades no son independientes (dependen unas de otras según una secuencia), los tiempos de duración de las actividades sí son independientes. Primeramente determinamos cual es la mayor varianza de entre las dos Rutas Críticas que tiene el Proyecto:

Entonces:

t → N (31 ; 34.14)

consideramos llevar a

Viendo tablas N (0,1)

→

N (0,1)

Z = 1.645

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La probabilidad de terminar el proyecto en 31 días es del 50%,

Por lo tanto, el proyecto necesita 41 días para ser terminado con un 95% de Nivel de Confianza

Página

344

Ahora calculando la probabilidad de finalizar proyecto en 36 o menos días:

Observando las tablas, tenemos:

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El Diagrama de Gantt quedaría de la siguiente forma:

Las actividades 1-4, 2-5, 3-6, 5-7 y 6-8 se realizan en sus tiempos lejanos, debido a que poseen holguras de tiempo ( tE tL ), sin embargo, el aviso para inicio anticipado de las actividades sólo es válido para 1-4, 2-5 y 3-6. No se puede ocupar en 5-7 ni en 6-8, ya que en ambos casos se impediría la realización de sus actividades porque pre-requisitos (2-5 y 3-6 respectivamente) en sus tiempos lejano.

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La probabilidad de terminar en 36 días o menos es de 80.4%

Se evalúa la conveniencia para anticipar la culminación del proyecto en 5 días, Para realizar el análisis PERT - Costo, es necesario calcular las pendientes:

esperado

cada

345

tiempo

Página

Donde tN viene siendo el actividad:

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Por ejemplo:

Luego, se debe continuar con el PERT - Costo, que requiere atención en cada paso (en cada corte).

método de solución de mucho orden, cuidado y

Para facilitar el tratamiento de la información útil, se colocan dos valores importantes en la Red PERT, para lo cual se asumirá la siguiente simbología:

Indica el costo asociado a la reducción de una unidad de tiempo en cada actividad

Señala el tiempo acelerado de cada actividad, que es fundamental pues no puede sobrepasarse

COSTO TOTAL DEL PROYECTO: ∑ CN = $910 La Aceleración del Diagrama de Gantt, Permite determinar la inyección de recursos adicionales requeridos para posibilitar el término anticipado de un proyecto. Así, es posible evaluar la conveniencia económica de añadir recursos extras al proyecto, en caso que se obtengan beneficios superiores (premios o bonos por término anticipado, evitar pago de multas o cobro de boletas de garantía, captación de clientes, etc.) a los costos adicionales incurridos. PASOS PARA LA ACELERACION DEL DIAGRAMA DE GANTT

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Así, sucesivamente se calculan todas las pendientes:

1) Disponer la Red Todo Normal 2) Identificar la Ruta Crítica 3) Reconocer aquella actividad de la Ruta Crítica que tenga el menor costo asociado para su reducción de tiempo (menor pendiente CMg) 4) Acelerar (reducir el tiempo de realización) la actividad con menor CMg en la Ruta Crítica, inyectando recursos extras, la mayor cantidad de tiempo posible, hasta que: No surja una nueva Ruta Crítica

•

No se agote el tiempo acelerado de la actividad

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346

•

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RED PERT

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RED PERT – Costo

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SINTESIS DEL ANALISIS PERT – Costo •

1er Corte : 2 días, porque se llega al tiempo acelerado

•

2do Corte: 1 día, porque se modifica la ruta crítica

•

3er Corte : 1 día, porque se modifica la ruta crítica

•

4to Corte : 1 día, porque se analiza recorte de 5 días

DESTACAN: Incremento de Costos (Inyección Recursos) = 40 + 25 + 26 + 28 Incremento de Costos (Inyección Recursos) = $119 Como 119 < 120, entonces, Sí convendría reducir el proyecto a 26 días (910 + 119)

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Costo Total (26 días): $1029

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BIBLIOGRAFÍA Blank/Tarkin. Ingeniería Económica. Editorial Mc.Graw-Hill. Churchman/Ackoff/Arnoff. Introducción a la Investigación de Operaciones. Editorial Aguilar.

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TABLA DE AREAS BAJO LA CURVA NORMAL

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