ALGEBRA LINEAL
UNA REVISTA ELABORADA POR:
Rodrigo Morales Vela
Amanda Amado
fundamentales. M I E R C O L E S
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S E P T I E M B R E
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José Carlos Leiva Quintero
Las matrices y sus propiedades
Jorge Mario Galvez
¿Qué son las matrices? Las matrices consisten en un arreglo bidimensional formado por filas (también llamado renglones) y columnas. Estas matrices vienen en ciertos tamaños y se utilizan para describir un sistema de ecuaciones lineales de muchas variables o también lo podemos aplicar para una situación de la vida real. Los renglones representan una ecuación lineal en específico.
1 representa el renglón en el que está y el 2 significa la columna en donde está colocada. Le mostraremos un par de ejemplos para que construya una idea de como son las matrices.
La forma que nosotros podemos representar a una matriz se define así:
Donde la letra mayúscula es el nombre de la matriz, la letra m representa el numero de renglones que tiene y la letra n significa la cantidad de columnas. Mientras que en las entradas los representamos así:
Donde la letra minúscula es la entrada ó también el número que va dentro mientras que el
Ahora para la siguiente parte de esta revista les mostraremos algunas de las propiedades importantes que puede contener las matrices, formas de operar y que restricciones pueden contener en ellas.
Algunas propiedades básicas de las matrices que nosotros podemos aprender Ya que hemos visto un poco de que tratan las matrices y algunas cosas básicas vamos a conocer y aprender matrices mas especializadas y que significan cada una de ellas. Comencemos primero con las matrices en diagonal.
Matriz Diagonal Simplemente consiste en aquellas entradas de una matriz cuadrada cuyos valores son diferentes de cero. No hay que confundirlas con la matriz escalar, que lo veremos en un momento. He aquí una
demostración de como es una matriz diagonal.
Bastante simple. Pero tenga cuidado, no la podemos traba-
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jar con una matriz rectangular. Aunque tenga su propia diagonal, esta no aplica de ninguna manera. Ahora observemos que diferencia tiene este tipo de matriz con una de tipo escalar. Matriz Escalar A diferencia de su contraparte, la matriz diagonal, la matriz cuadrada tiene sus entradas en diagonal el mismo valor. Observen el siguiente ejemplo para tener una mejor idea a lo que se quiere llegar a entender.
Había una vez una matriz escalonada que entró a robar a una tienda de vectores (quería tener mas columnas y luego
tienen las mismas entradas. Pero un error común de la igualdad es que a pesar de tener los mismos datos en posiciones diferentes, aseguran ser correctas las respuestas pero no es cierto. Estas dos matrices deben de tener los datos en las mismas posiciones. Observe el siguiente ejemplo.
llegaron los carabineros y
Observen que en , , tienen las mismas entradas. Identidad Esta es un caso especial de matrices ya que en su diagonal, las entradas tienen el valor de 1 y en todas las demás entradas tienen valores 0.
A=B (Esta respuesta es correcta) A≠C (No es correcta, son los mismos datos pero tienen posiciones diferentes)
Matriz Cero Un caso de matriz realmente sencillo y todas sus entradas tienen valor 0
Igualdad de matrices Este otro caso de matrices consiste que dos matrices
Ahora que hemos estudiado algunas propiedades básicas de como pueden ser las matrices, ha llegado el momento de que estudiemos con mucho detalle las diferentes formas de poder operar las matrices. Entre este contenido incluiremos que consiste esa operación, restricciones e incluso ejemplos.
quedó reducida.
Operaciones de Matrices “Algebra Lienal: Una Introduccion Moderna” - David Poole
Sumas, restas y productos escalares de matrices Suma de matrices Es una operación realmente sencilla. Consiste básicamente en sumar cada entrada individual en
sus correspondientes posiciones de una matriz con otra. Vea el siguiente ejemplo:
Las matrices y sus propiedades fundamentales.
Resta de matrices Al igual que la suma, esta operación consiste en resta cada entrada individual de una matriz con la otra. Utilizaremos las mismas matri-
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ces del ejemplo anterior para demostrar la resta.
Propiedades de suma de matrices
Propiedades de multiplicación escalar de matrices
1.
1. 2.
2. ¡Ten cuidado! Para estas dos operaciones, las matrices deben de tener el mismo tamaño, de lo contrario no existe respuesta porque no están definidas. Ahora para estas dos operaciones podemos enlistar sus diferentes propiedades.
3. 4.
A + B = B + A (Conmutatividad) (A + B) + C = A + (B + C) (Asociatividad) A+0=A A + (-A) = 0
También existen multiplicaciones escalares de matrices. Estas simplemente son modificar las entradas individuales de las matrices al multiplicarlas por una constante cualquiera y se representan como letras minúsculas.
“Cada entrada Ci j se obtiene al hacer el producto escalar entre renglón i de A con la columna de B” Observemos este ejemplo sobre productos.
k(A + B) = kA + kB (c + d)A = cA + dA
Productos de matrices Ahora tenemos otro tipo de operaciones que son los productos. Estas operaciones ya son mucho más complejas de manejarlas y se requieren de especial cuidado al momento de trabajarlas. Además ya no se debe de preocupar en cuanto a que deben de ser del mismo tamaño para operarlas. Pero eso no significa que puede operarlas simplemente. También existen sus restricciones.
Preste mucha atención a lo siguiente. Recuerde los pequeños subíndices a la par de las letras mayúsculas, estos representan el tamaño. Como vamos a hacer el producto de dos matrices, el número de columnas que contiene la matriz A debe de coincidir con el número de renglones que contiene la matriz C.
A 2x3; C 3x3
Tenemos las siguientes matrices. Vamos a operar la matriz A con la matriz C
El número de columnas de A y el número de renglones de C deberán ser iguales para poder multiplicarse. El número de renglones de A y el número de columnas de C formarán la matriz resultante, éstas serán sus dimensiones. Ahora viene el siguiente paso. Para obtener cada entrada individual, tenemos que hacer producto punto de un renglón con una columna. Para que no se
confunda durante este proceso, es ideal que diseñe la siguiente matriz preliminar.
El primer dígito representa el renglón a ser multiplicado por el segundo dígito que representa la columna por la que se multiplicará. Se deben de multiplicar términos en igual posición, el primero de la columna con el
primero del renglón y sumarle la multiplicación del segundo término del renglón con el segundo término de la columna correspondiente y así sucesivamente. Ahora le presentamos varios ejemplos:
A) A*B (es 2x2 por 2x2, la resultante será una matriz de 2x2)
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¿Cómo llegamos a la solución? Renglón 1 y Columna 1: (1)(2) + (2)(4) = 10 Renglón 1 y Columna 2: (1)(5) + (2)(2) = 9 Renglón 2 y Columna 1: (3)(2) + (1)(4) = 10 Renglón 2 y Columna 2: (3)(5) + (1)(2) = 17 La restricción: Si intentamos multiplicar la matriz B con la matriz C o con la matriz A, podemos darnos cuenta que el numero de columnas de la matriz B con el de la matriz C o A no coinciden. A partir de este momento se dice que no existe respuesta porque no está definida.
A) A*C (es de 2x2 por 3x2, 2≠3. (No puede multiplicarse)
A 2x2; C 3x2
Ahora les enseñaremos las propiedades que pueden contener los productos de las matrices. A partir de ahora se trabajará con las siguientes matrices:
El producto de matrices también se rige de propiedades tales como: 1.
Asociativa:
- Ejemplo: demostraremos que
Las matrices y sus propiedades fundamentales.
Probando de la otra forma
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2.
Distributiva del producto respecto a la suma:
-
Ejemplo, demostraremos que 3.
Distributiva del producto:
- Ejemplo: demostraremos que
Probando con
4.
No es conmutativa: 5. -
Elemento neutro:
Ejemplo: demostraremos que Donde I es la matriz identidad, del mismo orden de A.
-
Ejemplo: demostraremos que
2. - Ejemplo:
Potencia de las matrices 1.
3. -
Ejemplo:
- Ejemplo:
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Las matrices pueden clasificarse de la siguiente manera:
Matriz simétrica (únicamente si la matriz es cuadrada), es aquella cuyos números sobre y bajo la diagonal son iguales, reflejados en espejo a través de la diagonal. Ejemplo:
en espejo a través de la diagonal. Ejemplo:
Matriz transpuesta: es la matriz Cij cuyos renglones son intercambiados por columnas para quedar una matriz
Cji, su notación es ZT . Ejemplo:
Donde se traza una diagonal en cada diagonal posible (las
Matriz asimétrica: (únicamente si la matriz es cuadrada), es aquella cuyos números sobre y bajo la diagonal son iguales, con signo diferente, reflejados
La matriz propiedades:
transpuesta
tiene
todas) se hace el producto de las
1. 2.
diagonales, las
3. 4.
una matriz simétrica.
diagonales deben ser del mismo tamaño
4
Traza de una matriz: es aquel dígito que se obtiene de la suma de la diagonal de una matriz, SÓLO puede encontrarse traza de matrices cuadradas que, al trazar una diagonal tenga igual cantidad de dígitos sobre y bajo ésta. Su notación es W(T). Ejemplo:
Teorema de la matriz transpuesta:
Si A es una matriz cuadrada y
diagonales que se
puede decirse que A es
dirigen hacia abajo son sumadas y las diagonales que se dirigen hacia arriba son restadas para
Determinante de una matriz: es aquel número que se obtiene de todos los productos de una matriz de acuerdo a una serie de pasos .
Determinante de una matriz de 1x1:
obtener un solo valor real.
Determinante de una matriz de 3x3 :
Determinante de una matriz de 2x2 :
Las matrices y sus propiedades fundamentales.
Paso 1: se copia la primera y segunda columna y se coloca al final de la matriz.
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Se trazan las diagonales o se considera :
Expansión de Laplace : Se utiliza para encontrar el determinante y se usa el cofactor (i,j )
Donde Aij encuentra al eliminar el i-ésimo renglón y j-ésima columna de A. Ejemplo: considere la matriz
Se abre el telón y aparecen tres vectores linealmente independientes, Cofactor
Ejemplo:
se cierra el telón. ¿Cuál era
Cofactor
el nombre de la película? Rango
Cofactor
3.
Regla de Cramer: permite resolver sistemas de ecuaciones lineales usando determinantes.
Matriz asociada:
Toda matriz tiene asociada la matriz aumentada [Ab].
Matriz adjunta: se denota por adjA y está definida como la transpuesta de la matriz de cofactors.
- Ejemplo, sea A la matriz encuentre la matriz adjunta
Cofactores:
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Queda la matriz de cofactores que serĂa:
Y luego se escribe la transpuesta de la matriz de cofactores que sera:
Estaba una matriz de 3x3 y se encuentra una de 3x1, y le pregunta‌cual es la dieta que estas haciendo? Eres tan delgada!
Las matrices y sus propiedades fundamentales.
Crucigrama:
6.
1. 2.
7.
Circule la matriz identidad de 3x3. Circule la matriz transpuesta de
8. 3. 4.
Encuentre una matriz sim茅trica de 2x2. Circule la matriz transpuesta de
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Circule el orden de datos en una matriz de multiplicaci贸n si R es de 5x5 (numeraci贸n Cij, 11, 12) Circule una matriz cualquiera I asim茅trica de 4x4. Encuentra la matriz transpuesta
9. Encuentre una matriz 01 siendo
5. Encuentre la matriz transpuesta de
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