TRIGONOMETRÍA tema 0
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SnIi2T0
DESARROLLO DEL TEMA I. Concepto
V. Sistemas de medidas angulares
Es la figura geométrica generada en un plano “P” por la rotación de un rayo contenido en él, alrededor de su origen (vértice del ángulo) desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final).
l na o fi
P
1° < > 60'
m∠1V = 360°
1' < > 60''
A° + B´+ C" = A° B' C" • B y C deben ser menos que 60
q Lado inicial A
B. Sistema Centesimal (Francés) Equivalencias 1g < > 100m
II. Rotaciones A. Giro Horario
B. Giro Antihorario
A
O
Equivalencias
Notación Angular
B
Lad
vértice O
A. Sistema Sexagesimal (Inglés)
B
Xg + Ym + Zs = Xg Ym Zs • Y y Z deben ser menores que 100
q
O
A
•
“β” es una medida angular negativa
•
“θ” es una medida angular positiva
C. Sistema Radial (Circular o Internacional) Su unidad angular es el radián cuya representación es 1rad. Un radián es la medida del ángulo en el centro de una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio.
III. AMPLITUD DE GIRO – ∞ < m ∠ trigonométrico < + ∞
m∠1V = 2prad
Iv. ángulo de una vuelta O
D. Relación entre los sistemas La medida del ángulo de una vuelta en los tres sistemas es:
AB
• ∠1V (–)
O
m∠1V = 400°
Notación angular
B
b
1m < > 100s
m∠1V : 360° < > 400g < > 2prad Simplificando obtenemos:
AB
180° < > 200g < > prad
• ∠1V (+)
san marcos REGULAR 2014 – Ii
11
TRIGONOMETRÍA
y
9° < > 10g
Tema 0
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Del gráfico mostrado, calcular "x" O A (5x–9)° 160g B A) 26 B) 25 D) –27 E) –17
C) –24
A) 1
p rad 3 B) p rad 4 C) p rad 2 A)
B) 2 C) 3 D) 1 2 E) 3 2
D) prad E) p rad 7
Resolución: Del grafico: (5x–9)° < > –160g Recordad: a°< >bg ⇒ a = b 9 10 5x–9 –160 ⇒ 5x–9 = –144 = 9 10 x = –27
Respuesta: –27
Problema 2 Del triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo "B" en radianes.
Resolución: Transformando todos los ángulos al sistema sexagesimal. 10xg . gg A= = 3x° 3 10g B = 9x° px . 180° C= = 6x° 30 prad ⇒ A + B + C = 180° 144424443 3x° + 9x° + 6x° = 180° ⇒ x = 10 p ∴ \b = 90° < > rad 2
B
p 2
Respuesta: rad
9x°
A
10x 9
g
px rad 30
C
Problema 3 En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos miden (40n)g y (24n)°.¿Cuál es el valor de "n"?
Resolución: Graficando notamos que para operar los ángulos deben estar en las mismas unidades. C (40n)g (24n)°
A
B
C = (40n) . 9° = (36n)° 10g Sabemos: A + C = 96° g
Entonces: (24n)°+(36n)°=90° 60n = 90 ∴n= 3 2
Respuesta: ∴n =
3 2
PROBLEMAS de clase 1.
q
Calcular el equivalente en sexagesimales de: I. 3prad 10 a) 45º y 90º b) 48º y 86º c) 36º y 80º d) 18º y 76º e) 54º y 80º
Tema 0
E=
II. 4prad 9
2. Del gráfico, determinar una relación entre α, β y θ.
3. Simplificar:
a b
a) a b) α c) α d) α e) α
TRIGONOMETRÍA
– β + θ = –360° + β – θ = 360° + β + θ = 360° – β – θ = 360° + β – θ = –360°
22
a) 11 c) 15 e) 19
bg (5b)m 7bm b) 13 d) 17
4. Calcular: a + b + c sabiendo que: aºb’c’’ = 7º42’38’’ + 19º34’51’’ a) 70 b) 71 c) 72 d) 73 e) 74
san marcos REGULAR 2014 – Ii
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
5. Si expresamos la medida angular (18,235)° en su forma a°b’c’’, la siguiente suma a + b + c es: a) 38 b) 29 c) 36 d) 47 e) 42
8. Del gráfico, lo correcto es: x
a) x b) x c) x d) x e) x
y' xg
a) –1/6 d) 1/3
b) –6 e) –1/3
c) 6
7. Reducir: E= a) 10 c) 50 e) 80
1° 1m 1g + s m+ ' 10 3 2 b) 40 d) 70
+ y = 360º – y = 360º + y = 180º – y = 180º – y = 270º
Calcular: M= A) 1 D) 1/3
1g + 2g + 3g + 4g + ... + 2014g 1° + 2° + 3° + 4° + ... + 2014° A) 9 B) 10 C) 9/10 D) 10/9 E) 9/5
10. Si se cumple que: 37,98° < > ABg BOm; determinar el valor de: M = A2 – B2
san marcos REGULAR 2014 – Ii
33
C) 16
J 1°21' N J 2°15' N J 4°3' N K OK OK O= a0g bcm des L 3' P L 5' P L 30' P
9. Evalué: M=
B) 14 E) 18
11. Sabiendo que: y
6. Del gráfico, calcular y/x
x°
A) 10 D) 12
b+d+9+e a+c+4
B) 2 E) 3
C) 1/2
12. Dadas las siguientes medidas angulares: a=0,5236 rad; b=30g 50m; q=27°25' de ordenar de menor a mayor. (π=3,1416) A) b < q B) q < b < a C) a < b < q D) q < a < b E) a < q < b
TRIGONOMETRÍA
Tema 0
TRIGONOMETRÍA TEMA 1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR SNII2T1
DESARROLLO DEL TEMA I. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Nota: Debes tener en cuenta:
Tomando como referencia un plano, el ángulo trigonométrico es aquella figura que se genera por rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una posición inicial hasta una posición final.
a°b'c'' <>a°+b'+c'' xg ym zs <> xg+ym+zs Para realizar operaciones con ángulos trigonométricos, estos deberán estar en el mismo sentido. Se cumple:
Lado final
Antihorario (+)
Origen
Horario (–)
Lado inicial
–q q
a+(–q) = 180° a
a – q = 180°
Lado final
IV. SISTEMA CENTESIMAL (FRANCÉS)
Nota: Todo ángulo trigonométrico es orientado, es decir, sus medidas pueden ser positivas o negativas.
Unidad: Grado centesimal (1g)
m]9 = 400g Equivalentes menores
II. EXTENSIÓN
1g <> 100m 1m <> 100s 1g <> 10 000s
Sea q la medida de un ángulo trigonométrico. L.F.
V. SISTEMA RADIAL – CIRCULAR – INTERNACIONAL
L.I.
+∞
L.I.
–∞
L.F.
r
–∞ < q < ∞
O
III. SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLÉS)
Equivalentes menores 1° <> 60' 1' <> 60" 1° <> 3600"
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
q r
r
q = 1 rad
Unidad: Grado sexagesimal (1°)
m]9 = 360°
Unidad: Un radián (1 rad)
El radián se define como la medida de un ángulo central que subtiene un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia. m]9 = 2prad
11
TRIGONOMETRÍA
TEMA 1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR
Nota: El valor de (p) no es exacto, es irracional. Los valores aproximados son: p ≈ 3,1416
22 7
p≈
p ≈ 3+ 2
p≈
10
VI. EQUIVALENCIA ANGULARES NOTABLES g
m]9 = 360° <> 400 <> 2prad m = 180° <> 200g <> prad
⇒ 180° <> prad
g 9° <> 10
B.
C. Fórmula simplificada: S C
S C = 9 10
Nota: Para situaciones problemáticas, por lo general, si se observan los 3 números convencionales, es conveniente la constante (k), y, si aparece solo S y C, es conveniente la constante (n).
1442443
VII. FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN S: número de grados sexagesimales C: número de grados centesimales r: número de radianes
S = 9n C = 10n R = nπ 20
S C R = = =n 90 10 π/20
200g <> prad
S = 180k C = 200k R = kπ
S C R = = =K 180 200 π A.
Números convencionales
SECTOR CIRCULAR I. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
0 < q ≤ 2π
Circunferencia L R
q
Círculo
R
III. NÚMERO DE VUELTAS QUE GIRA UNA RUEDA SIN RESBALAR
Longitud de la circunferencia: L = 2pR r
r
Área de círculo: A = pR2
II. LONGITUD DE ARCO
LR
Sea q la medida de un ángulo trigonométrico.
LR 2πr
LR: Longitud del recorrido
R qrad L
Nota: En el sector circular, la medida del ángulo central siempre debe estar expresada en radianes; entonces, es importante recordar:
R Fórmula básica
p rad <> 180° <> 200g
L = qR
TEMA 1
n: N.° de vueltas: n =
TRIGONOMETRÍA
22
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR
IV. ÁREA DE SECTOR CIRCULAR R
VI. PROPIEDADES a
S qrad L
I.
L = R ↔ q = 1rad
a
1rad
R a S= 1 qR2 2
S= 1 LR 2
2 S= L 2q
II.
q
V. ÁREA DE TRAPECIO CIRCULAR
B
b n
L1
L2
q
q=B–b n
III. S: Área
AT
S
3S
5S
7S
S
L
d
R
J L1+L2 N Od AT= K L 2 P
0 < q ≤ 2p
q=
IV. S: Área K ∈ R
L1–L2 d
q Kq
KS
R
KL
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1
Dato: SAOT = SMOB
M
PRE-UNMSM 2012–II
1 (180°– q)r2 = 1 (q)(4r2) 2 2
T
Resolución:
Resolviendo q = 36° A O B De la figura, el área del sector circular AOT es igual al área del sector circular OB MOB. Si OA = , calcule la medida del 2 ángulo BOT. A) 30° B) 36° C) 94° D) 38° E) 40°
Respuesta: 36°
O
Problema 2
T r °–q 180 q r O 2r
r
SADCB =
el área del trapecio circular ADCB.
SADCB = 5u2
E) 10
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
33
B
B
(2k)2 = 4 → k2 = 2q 2q
Incógnita
D) 12
A
SCOD =
L1 L = 2 y el área circulares, además 3 2 del sector circular DOC es 4u2. Calcule B) 14
B
Dato:
De la figura AOB y COD son sectores
A) 7
3k
2k C
L1
L2
O C
M
A
q
A
D
Resolución:
Sea OA = r → OB = 2r
L1 = 3k L2 = 2k D
UNMSM 2012–II
OB Sea m]BOT = q; OA = 2 → 2OA = OB
L1 L = 2 =k 3 2
5(2q) (3k)2 (2k)2 5k2 – = = 2q 2q 2q 2q
C) 18
Respuesta: 5u2
TRIGONOMETRÍA
TEMA 1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR
Problema 3
D) 28 u E) 24 u
C A
5u 2q q
O
PRE UNMSM 2013–II
5u F
B
J N ED = K 1 O(8) = 4 u L2P Graficando el sector COD C
Resolución:
E
8
En el sector circular AOF → (5) = (2q)(5)
D
Del gráfico mostrado AOB y COD son sectores circulares. Indique el perímetro del sector circular COD. A) 27 u B) 26 u C) 25 u
O
1 rad 2q = 1 q = 2
12 8 D
En el sector circular COD → EC = (1)(8) = 8 u
Perímetro = 28
En el sector circular EOD →
Respuesta: 28 u
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN 1. Si se cumple: (5x+6)° <> (10x+4)g calcule el valor de (x) A) 1/5 B) 2 C) 3/5 D) 3 E) 5 2. En base a los datos de la figura mostrada AOB y COD son sectores circulares. A x D
11
O y
14
C
B J x+y N 22x Calcule: M = 3 K O– y L x–y P A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5
3. Sabiendo que AOB es un sector circular, además OA = 8u
4. Siendo S y C lo convencional para una medida angular, indique el valor de: M= A) 5 D) ±10
O
C) 10
PROFUNDIZACIÓN 6. Del gráfico mostrado indique el área del sector circular AOB.
Calcule el área del sector circular. A) πu2 B) 2πu2 C) 3πu2 3π D) u2 E) 2π u2 2 3
C) 41
8. Si (a)rad y (b)rad son complemen2S π tarios y se cumple a = + ; 3 4 C π b= – ; S y C son lo conven2 5 cional. Calcula la medida del ángulo en radianes. π π A) rad B) rad 10 20 J π N2 J N2 C) K π O rad D) K O rad L10 P L5P 2 J N E) K π O rad L10 P 9. En base a los datos de la figura, J Ng calcule K 10x O en radianes. L 3 P
(2x+10)g
A (x–1)rad (2x–1)m
B
A) 24 m2 B) 25 m2 C) 20 m2 D) 26 m2 E) 23 m2 B
B) 40 E) 43
(3x+1)m
O 150g
TEMA 1
B) ±5 E) 20
5. El promedio de los números convencionales de una medida angular resulta (380+π). Calcule la medida del ángulo en el sistema centesimal. A) 200g B) 300g C) 400g D) 500g E) 600g
A
πS+πC+20R 0,2(πC–πS)
A) 39 D) 42
7. Calcule el valor de (x) sabiendo que se cumple: g ° (x+3)° <> (4x–18)° g g 5 15
TRIGONOMETRÍA
44
A) 3π rad B) 4 π D) rad E) 5
(7–7x)° 2π rad C) π rad 6 3 π rad 4
SISTEMATIZACIÓN 10. Siendo S, C y R lo convencional para una medida angular y se cumple: S+C+R 40R C–S + = 38R 2(C+S) π
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR
Calcule la medida del ángulo en radianes. A)
1 rad 2
B)
1 rad 3
C)
1 rad 4
D)
1 rad 5
1 E) rad 6 11. Si el área del trapecio ABCD es 10πu2; BC = 4.
Calcule el perímetro del sector circular COD.
D A O
A
45° B
A) 3(π+6) C) 4(π+6) E) 5(π+6)
5
3
C B) 3(π+8) D) 4(π+8)
55
C B
12. Si el área del sector circular AOB y el área del trapecio circular BCDE están en la relación de 5 a 3.
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
Calcule el área del sector circular BOE.
O 107 2 A) u 7π 93 2 C) u 9π 89π 2 E) u 101
TRIGONOMETRÍA
E
D 103 2 u 5π 3π 2 D) u 172 B)
TEMA 1
TRIGONOMETRÍA TEMA 2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS SNII2T2
DESARROLLO DEL TEMA I. CONCEPTOS PREVIOS
Se cumple:
A. Razones Recíprocas
Triángulo ABC (Recto en B)
SenA . CscA = 1 CosA . SecA = 1 TanA . CotA = 1
C
a
b
•
a y c (longitud de los catetos)
•
b (longitud de la hipotenusa)
Ejemplos: •
1 Csc20° Cos50° . Sec50° = 1
•
Tanx . Coty = 1 → x = y
Sen20° =
• B
A
c
• b > a ∧ b > c • m∠A + m∠C = 90° • a2 + c2 = b2 (teorema de Pitágoras)
B. Razones Complementarias (Co-razones) De las definiciones, en (II) se observa:
II. DEFINICIÓN
Sen A = Cos C Tan A = Cot C Sec A = Csc C
Con respecto a la m∠A • • • • • •
Sen A = Cateto opuesto = a Hipotenusa b Cateto adyacente Cos A = = c Hipotenusa b Cateto opuesto a Tan A = = Cateto adyacente c Cateto adyacente c Cot A = = Cateto opuesto a Hipotenusa Sec A = = b Cateto adyacente c Hipotenusa Csc A = = b Cateto opuesto a
m∠A + m∠C = 90°
Ejemplos: • Sen70° = Cos20° • Sec(30° + x) = Csc(60° – x) • Cos(90° – a) = Sena • Secq = Csc(90° – q) • Tan (x + 10°) = Cot3x → x + 10° + 3x = 90° 4x = 80° x = 20° En General: R.T (b) = CO – RT (90° – b)
III. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
C. El valor de una razón trigonométrica solo depende de la medida del ángulo de referencia Sabemos: C.O. Tanq = C.A.
Dado un triángulo ABC (recto en B) C a B
m
b c
b
a
q n
A
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
11
TRIGONOMETRÍA
Tanq =
a m = b n
TEMA 2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
IV. TANGENTE Y COTANGENTE DEL ÁNGULO MITAD
V. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
C b
A. Exactos
a k 2
A
B
c
1k
45° 1k
A Tan = Csc A – Cot A 2 A = Csc A + Cot A 2
Cot
45°
60°
2k
1k
Demostración: C
30° k 3
2
A/
D
A
A/2
A
b
b
a
c
B
B. Aproximados
5k
53° 3k
• Se prolonga el lado BA hasta el punto "D" tal que AD = AC. 37° 4k
• Formamos un triángulo isósceles uniendo "D" y "C" • Del triángulo DBC JA N b + c b c Cot K O = = + a a a L2 P
JA N Cot K O = Csc A + Cot A L2 P
74°
25 k
7k
16° 24 k
Observación: Triángulos pitagóricos mas usados.
5
13
9
12
11
61 60
21
VI. TABLA DE VALORES NOTABLES 30°
41 Sen
40
8
3/2
45°
37°
53°
2/2
3/5
4/5
2/2
4/5
3/5
Cos
3/2
1/2
Tan
3/3
3
1
3/4
4/3
Cot
3
3/3
1
4/3
3/4
17 15
29 20
TEMA 2
1/2
60°
TRIGONOMETRÍA
22
Sec
2 3/3
2
2
5/4
5/3
Csc
2
2 3/3
2
5/3
5/4
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
P = (2 + 3 ) (2 – 3
Halle el valor de: N N J Sen60° – Sen30° N P2 + 3 P KL Sen60° + Sen30°OP A) 0
B) 1
D) 3
E) 3
2– 3
Respuesta: k b
Problema 2 En el triángulo BAC de la figura,
Problema 3 En la figura, AD = 12cm, Halle BC B
AC = b cm y BC – AB = k cm donde J N b > k, halle Tg K a O L2 P C
Planteamiento Sabemos:
30° 105° A
2k 30°
Procedimiento Sea: J Sen60° – Sen30° N P = PN2 + 3 NP K Sen60° + Sen30°O P L J 3 1 – KK 2L 2 J 3 1 + KK 2L 2
J J K 3 – 1K N N K P = P2 + 3 P K K 3+1K L L
2– 3
A) 2k
B) kb
k D) a
E) 1
UNMSM 2009–I
UNMSM 2012–I
Resolución: Análisis de datos:
B 6
P
Sabemos: J N Tg K q O = Cscq – Cotq L2 P
6 3 A
Operación del Problema
b 2– 3
A
J N Tg K a O = a – c b L2 P b
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
B
DPB notable 45° → PB = 6 En el
ABC
Sen30° =
Del gráfico
C
→ AP = 6 3 y DP = 6 a
J N Tg K a O = Csca – Cota L2 P
45° 30° 60° D 12
APD notable (30° y 60°)
a
c
x 6
Se traza DP ⊥ AB
C
Se racionaliza
J K 3 – 1K N N L P= 2+ 3 L P P 2
E) 3( 3 –1)
k b
Análisis de datos
2– 3
J2 2– 3
C)
B) 3( 3+1)
C) 2 3 D) 3–1
Resolución:
2– 3
J JJ J K 3 – 1 KK 3 – 1 K N N KK K P = P2 + 3 P K K 3 + 1 KK 3 – 1 K L LL L
B
C
D
A) 3 3
a
A
k 3
J K K N N P = P2 + 3 P L J K K L
J N Tg K a O = k L2 P b
→∴ P = 1
Respuesta: 1
Resolución:
k
2– 3
C) 2 UNMSM 2014–I
60°
P=1
J N Tg K a O = a – c ; por dato (a – c = k) b L2 P
2– 3
x 6 3 +6
→ 3( 3 + 1)
Respuesta : 3( 3+ 1)
33
TRIGONOMETRÍA
TEMA 2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
PROBLEMAS DE CLASE
5. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe que la suma de catetos es igual a k veces la hipotenusa. Calcule la suma de senos de los ángulos agudos del triángulo. A) k B) 2k C) 3k k k D) E) 2 3
EJERCITACIÓN 1. Del gráfico, L es mediatriz Tanq = 2 2 . Calcule AB B 2u A
L N θ C
M
A)
4 2 5 2 7 2 B) C) 3 3 3
D)
8 2 10 2 E) 3 3
2. Si. Seca = Csc2f Calcule: Ja N TanK +fO + Sec(330° –3a – 6f) L2 P A) 1 D) 1 2
B) 2 E) 1 3
C) 3
3. Siendo x un ángulo agudo que cumple: Cscx
4
Cosx =
D)
B)
3 2
C)
3 3
4. El perímetro de un triángulo rectángulo es 12u. Si el cuadrado dela hipotenusa excede en una unidad a cuatro veces el área del triángulo. Calcule Sena + Cosa, (a: mayor ángulo agudo) A) 7 B) 1 C) 9 5 5 5 8 3 D) E) 5 5
3 Csc10° 2
D)
A) 2 D) 3
E) 4
10. En un triángulo ABC recto en C, se cumple TanA.CosB = 2 Calcule: SenB + SecA A) 5
B) – 5
D) –1
E) 2 2
C) 1
11. Del gráfico, calcule Tana Si ABCD es un cuadrado O: centro de cuadrado
7. Del gráfico. Calcule: Cot2 q – Tan2 q 2 2
a 4 10
3
8 3 7 3 E) 3 3
TEMA 2
q
2 3 B) C) 2 3
Calcule Tanx + Cotx + Tan2x + Cot2x A) 2
Jp N Jp N 9. Si SenK qO .SecK qO = 1 4 L P L5 P Calcule: Sen9θ° . Csc10° A) 1 .Csc10° B) – 1 Csc10° 2 2
SISTEMATIZACIÓN
Cscq
3 . 2 2
C) 24
E) 1
6. Del gráfico calcule Secq
45°
B) 16 E) 34
C) –1
PROFUNDIZACIÓN
Cscq
A) 8 D) 48
q
O 7
A)
10 2 B) 7 6 3
C) 6 7 2 10
4 2 D) E) 3 7 3
A) 1 D) 4
8. Del gráfico, Cosq = 8 17 Calcule NH.
45
M
A) 1
N q
C
TRIGONOMETRÍA
44
C) 3
12. Si Sec54°.Tan[(a–1)b°].Tan[(b–1)(a)°] = Csc36° Determine el valor: Sen(3a° + 3b°) . Sec(6a° +6b°)
A
H
B) 2 E) 5
B
D)
B) 3
2 3 E) 3 3 2
C)
3 3
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
TRIGONOMETRÍA TEMA 3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SNII2T3
DESARROLLO DEL TEMA I. INTRODUCCIÓN
Sabemos que todo triángulo tiene seis elementos básicos, tres lados y tres ángulos.
Además otros elementos auxiliares como alturas, medianas, bisectrices, ..., etc.
Resolver un triángulo consiste fundamentalmente en hallar los elementos básicos de este, para lo cual debemos conocer por lo menos tres de sus elementos (necesariamente uno de ellos no angular).
y q
a
1. Caso
y x
S=
S
q
Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo.
q
Para “y” y = Secq → y = aSecq a
III. ÁREA DE REGIÓN TRIANGULAR
er
a
x a
II. TRES CASOS
Para “x” x = Tanq → x = aTanq a
a.b Senq 2
b
Para “x” x = Cosq → x = aCosq a
Ejemplo: Calcule el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm, AC = 6 cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37°.
Para “y” y = Senq → y = aSenq a
Resolución: 1 . 5 . 6 Sen37° 2 J 3N 1 S= .5.6K O 2 L5P
S=
2.do Caso
5
Conociendo un ángulo agudo y longitud de su cateto opuesto.
q
6
Para “x” x = Cotq → x = aCotq a
y
a x
IV. LEY DE PROYECCIONES
Para “y” y = Cscq → y = aCscq a
11
A
bCosC + cCosB = a
a
c
Conociendo un ángulo agudo y la longitud de su cateto adyacente.
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
En todo triángulo ABC; se cumple: B
aCosB + bCosA = c
3.er Caso
S = 9 u2
37°
b
aCosC + cCosA = b C
TRIGONOMETRÍA
TEMA 3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Prueba: Trazando una altura y aplicando uno de los casos mencionados anteriormente llegamos a: B
c
a
A A
C
cCosA
Se concluye: cCosA + aCosC = b
C
aCosC b
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 De la figura S1 y S2: áreas. Calcular
S1 S2
Problema 2 .
De la figura AC = DE = a D
Respuesta: (Sena – Cosq)
S1 q q A) Senq D) Csc2q
B) Cosq E) Sen2q
C) Sec2q
b
S
ab Senq 2
S=
A
q q
S2
S2
= Sec2q
Respuesta: Sec2q
TEMA 3
Resolución: De acuerdo con la ley de proyecciones, se sabe: Dado el triángulo ABC: aCosB + bCosA = c aCosC + cCosA = b bCosC + cCosB = a
m
mSenq
mCosq Resolución:
q
a E
a
C
Aplicando la propiedad distributiva: K = aCosC + bCosC + aCosB + cCosB + bCosA + cCosA aSena
aCosq B
En el triángulo ABC, BC = Cosq → BC = aCosq a En el triángulo EBD, BD = Senq → BD = aSenq a
TRIGONOMETRÍA
Planteamiento
b
a
A
q
D
b
Aplicando fórmula: an Senq S1 3 a = = b S2 bn Senq 3 De la figura: S1
Dado un triángulo ABC y siendo "p" el semi-perímetro determinar qué representa la siguiente expresión: K = (a+b)CosC + (a+c)CosB + (b+c)CosA A) 2p B) p C) p + a D) p – a E) p + b
B
Se sabe:
S1 n
a
Análisis del problema:
asignamos variables en la figura: a
E
Problema 3
DC = b. Halla b/a. A) (Sena – Cosq) B) (Csca – Secq) C) (Tga – Ctgq) D) (Csca – Cosq) E) (Cosq – Csca)
Resolución: Sabemos q
C
q
S2
a
aSena = aCosq + b → a(Sena – Cosq) = b b → Sena – Cosq = a
22
Análisis de los datos Agrupando convencionalmente: K = (aCosC + cCosA) + (bCosC+cCosB) + 14444244443 14444244443 b a (aCosB+bCosA) 14444244443 c K=a+b+c k: perímetro
Respuesta: 2p
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN
P q
1. Determinar el área de la región sombreada:
2a
E
C) mCosqTan(q – a)
2 B) a Tana 3
2 E) a Tana 5
2. Calcular: Cosa – Cosf Sena – Senf
q
D
B
B) mSenqCot(q – a)
D) m(Tanq – Cota)
2 2 C) a SenaCosa D) a Tan2a 3 4
C
m
A) mSenqTan(q – a)
a 2 A) a Cota 3
A q
A a
7. Halle: AB en términos de “d” y “q” siendo DC = d
B a
C
A)
d 1–Tan2q
B)
d 1–Cot2q
E) mSenqTan(q – a)
C) d(T2q – 1) 5. De la figura; hallar “Senq” si ABCD es un cuadrado, además:
D) d(1 – Tan2q)
E) d(1–Cot2q)
BM = NC = 2MN = 2 P
8. Se sabe: AD = 2; CE = 3.
q
Si: AD = EB
B
E
M N
C
Halle: “Tana + Tb” C
y D a x
A 2
f
B 2
A) x2 + y2 x –y C) –
x y
C B)
2xy x + y2
D)
y x
A) 1/2
B) 3/5
C) 4/5
D) 3/2
PROFUNDIZACIÓN 6. Del gráfico mostrado; se sabe AM = 2(BC). Halle: “Tanq”
3. Calcular: Cotf
C
R
36
P
7n
A) 1,2
B) 2,4
D) 3,5
E) 4,3
E
A) 3/2
B) 2/3
D) 5
E) 6
A
q
T
A) 2 – 1
C) 2,6
B) 2 + 1
4. Del gráfico mostrado, hallar la longitud del segmento “PB” en términos de “m”, “q”, “a”
D
C) 5/6
9. Calcular el área de la región sombreada; si PD = 1 ∧ PD ⊥ AC B
C P q
33
f
b a
q S
6n
A
E) 6/5
2
x E) y
Q
B
D
A
M
A) B) C)
C) 2 2 – 1
D)
D) 2 2 + 1
E)
E) 2 2
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
B
A
33
D Senq 2 Cosq 2 Cotq 2 Secq 2 Tanq 2
TRIGONOMETRÍA
TEMA 3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
SISTEMATIZACIÓN 10. Siendo “q” la medida del ángulo que forman las diagonales de un cubo. Calcule. 9Sen2q A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 11. De la figura mostradas; AM = MC; calcule: Tana – 2Tanb
TEMA 3
A
M
a B
b
N
A) Senb D) Tanb
B) Cotb E) Cscb
C
C) Cosb
12. Del gráfico adjunto calcule el valor de Cotb – 3 Cota
TRIGONOMETRÍA
44
Dado: AB = 8 y BD = EC = 2 B b D
A
a E
30°
A) 7 + 3
B) 9 + 3
C) 7 – 3
D) 9 – 3
C
E) 7 – 3
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
TRIGONOMETRÍA TEMA 4
GEOMETRÍA ANALÍTICA ECUACIÓN DE LA RECTA I SNII2T4
DESARROLLO DEL TEMA I. CONCEPTO
III. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sistema formado por dos rectas numéricas que se inter-
Sean las coordenadas de dos puntos cualesquiera P1 (x1; y1) y P2 (x2; y2) del plano cartesiano la distancia "d" comprendida entre ellos se determinan por:
sectan en un punto de coordenadas (o;o), llamado origen de coordenadas y forman un ángulo recto.
Al plano que lo determina se le llama "Plano Cartesiano" en honor a René Descartes y está dividido en 4 regiones
y
llamadas cuadrantes (C).
d d = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2
y
P1(x1; y1)
––– ––
+ Primer cuadrante + Segundo cuadrante + + +++ + x x' – – – – –O Cuarto cuadrante Tercer cuandrante
A(x1; y1)
y'
mk
P=
P
x 'x : Eje de los abscisas
y 'y : Eje de las ordenadas
O: Origen de coordenadas
nk
A cada punto del plano cartesiano le corresponde un par ordenado (x ; y) llamados "Coordenadas cartesianas". Abcisa
y
V. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Ordenado
Si M(x0;y0) es el punto medio del segmento que tiene por extremos: P1 (x1; y1) y P2 (x2 ; y2). Entonces las coordenadas del punto M se determina así:
ve c
to
r
y
io
M(x0; y0)
ra d O
nA + mB n+m
B(x2; y2)
II. UBICACIÓN DE UN PUNTO
x
IV. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN INDICADA
Donde:
P2(x2; y2)
x
x
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
P1(x1; y1)
11
P2(x2; y2)
x0 =
x1 + x2 2
y0 =
y1 + y2 2
TRIGONOMETRÍA
TEMA 4
GEOMETRÍA ANALÍTICA - ECUACIÓN DE LA RECTA I
VI. COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
Sean P1 (x1; y1) , P2 (x2 ; y2) y P3 (x3; y3) los vértices de un triángulo. El punto G (x0; y0) es el baricentro de dicho triángulo.
LA RECTA I. ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE
Dada un recta L al ángulo (tomado en sentido antihorario) formado por la dirección positiva del eje de abscisas y la recta se denomina ángulo de inclinación y
P3(x3, y3) G(x0, y0)
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
x0 =
x1 + x2 + x2 3
y0 =
y1 + y2 + y2 3
a la tangente de dicho ángulo se le llama pendiente (m).
El ángulo de inclinación a:0° ≤ a < 180°. Y L
VII. PROPIEDAD DEL PARALELOGRAMO B(x2; y2)
C(x3; y3)
La pendiente: m = Tana
La pendiente también se puede determinar conociendo
Sabemos que m = Tana, de la figura se deduce:
y1 + y3 = y2 + y4
x1 + x3 = x2 + x4
y2 – y1 M= x – x 2 1
VIII. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
x
dos puntos por donde pasa la recta.
D(x4; y4)
A(x1; y1)
a O
Sean P1(x1; y1) P2 (x2; y2) y P3 (x3; y3) los vértices de un
Y
triángulo. Entonces el área S de una región triangular en función de las coordenadas de los vértices esta dado por:
B
y2
1442443
y
y
P1(x1; y1)
y1
S
a x P3(x3; y3)
A
a 14444244443 x2 – x1 x1 x2
L y2 – y1
X
II. ECUACIÓN DE LA RECTA A. Conociendo un punto de la recta y su pendiente
P2(x2; y2)
Y
x 2 y1 x 1 x 3 y2 x 2 x x 1 y3 x 3 1 M
y1 x y 1 2 y2 x y 3 3 y3 x y1 3 y1 M
L (x1; y1)
(+) a O
X
Luego: S=
TEMA 4
y – y1 = m(x – x1)
1 |M – N| 2
TRIGONOMETRÍA
22
(Ecuación pun – pendiente)
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
GEOMETRÍA ANALÍTICA - ECUACIÓN DE LA RECTA I
B. Conociendo los interceptos con los ejes coordenadas Y
De esta, se deduce que la pendiente: m =–
A ;B≠0 B
L
D. Rectas paralelas y perpendiculares
b a
X
O
Dada dos rectas no verticales L1 y L2 son paralelas si y sólo si tiene igual pendiente. Y
L1 L2
x y a + b =1 O
(Ecuación simétrica)
C. Ecuación general de la recta
Ax + By + C = 0 A, B, C ∈ R
m1 = m2
La ecuación general de una recta se representa así:
Dadas dos rectas no verticales L1 y L2 son perpendiculares si y sólo sí el producto de sus pendientes es –1.
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Determine as coordenadas del punto P. 2n
B(7; 4)
Problema 2 Calcular la pendiente de la recta L. Si BC = 2AB. C y
P(x, y)
n
B
D
A(1; 1) B) (2, 1) C) (5; 2) E) (2; 3)
Resolución: 2n n
B(7, 4)
37° A(3; 0) A) 2/11 D) 2/7 Resolución:
2(1; 1) + 1(7; 4) = 3P 14243 14243 (2; 2) + (7; 4) = 3P 14243 14243 (9; 6) = 3P (3; 2) = P
Respuesta: (3;2)
4 O
5
Problema 3 Determine el área de una región triangular limitada por los ejes cartesianos y la recta. L = 2x – 3y – 60 = 0 A) 100m2 B) 200 m2 C) 300m2 2 D) 400m E) 500m2 Resolución: 2x – 3y – 60 = 0 →Tabulando: Para x = 0 Graficando: y
10
37° 3 A(3; 0)
33
30
L1 D(11; 6) 8
6
20
S
(30, 0)
x
1 S = (30)(20) 2
x
(0, –20) S = 300m2
De la figura: OB = 4; OA = 3M; AB = 5 Desde el punto trazamos un perpendicular al eje "x". La recta 1 pasa por los puntos B y D. Cálculo de pendiente.
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
6–4 2 = 11 – 0 11
Respuesta: 2/11
10 B (0; 4)
De la figura: 2A + 1 . B = (2 + 1)P
C) 11/2
C
y
P(x, y)
A(1, 1)
1
x
B) 3/4 E) 7/5
53 °
A) (3; 2) D) (–3; 2)
L
m=
2(0) – 3y – 60 = 0 y = –20 ⇒ (0; –20) Para y = 0 2x – 3(0) – 60 = 0 x = 30 ⇒ (30; 0)
TRIGONOMETRÍA
TEMA 4
GEOMETRÍA ANALÍTICA - ECUACIÓN DE LA RECTA I
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2; 2) y sea paralela a la recta L: x – y – 3 = 0 A) y = x + 4 B) y = –x + 4 C) y = 2x + 1 D) y = 2x – 1 E) y = –x + 1 2. Si los puntos A(2; 3); B(4; 6); C(6; 1) forman un triángulo ABC. Determine la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al lado AC. A) y = 3x + 1 B) y = 2x – 2 C) y = y – 4 D) y = 2x + 1 E) y = 2x – 3 3. Del gráfico mostrado, determine las coordenadas del punto P. B
S
2S
C(7; 4)
A(1; 1) A) (2, 3) C) (4, 2) E) (4; 3)
B) (2, 5/2) D) (3; 2)
4. Los puntos M(1/3; 4) y P(8/3; 5) son los puntos de trisección del segmentos AB. Calcule la longitud del segmento AB.
TEMA 4
A) 6
B) 7
C) 8
D) 57
SISTEMATIZACIÓN
E) 58 5. Calcule la distancia entre los puntos P(a + 1; b + 4), Q (a + 5, b + 1). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
PROFUNDIZACIÓN 6. Determine el ángulo de inclinación de la recta L: x + y + 8 = 0. A) 30° B) 75° C) 105° D) 120° E) 135° 7. Determine el punto en el eje de ordenadas que equidistan de los puntos (3; 1) y (6; 4). A) (0; 3) B) (0; 4) C) (0; 5) D) (0; 6) E) (0; 7) 8. Calcular las coordenadas del punto medio del segmentos AB, si: A(a + 3; b + 4) A) (2; 3) B) (3; 2) C) (5; 3) D) (5; 5) E) (5; 4) 9. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–1; 2) y que tiene como pendiente 2/3. A) 2x + 3y + 8 = 0 B) 2x + 3y – 8 = 0 C) 2x – 3y + 8 = 0 D) 2x – 3y – 8 = 0 E) 2x – 3y – 4 = 0
TRIGONOMETRÍA
44
10. Determine la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de intersección de las rectas: L1: 32x – 27y + 2 = 0 y L2: 23x + 15y – 8 = 0 A) 161x – 93y = 0 B) 151x + 91y = 0 C) 163x + 91y = 0 D) 127x – 91y = 0 E) 151x – 93y = 0 11.
Las rectas: L1: x – y + 2 = 0; L2: x + 2y – 7 = 0 y los tres puntos de intersección forman un triángulo. Calcule la tangente del menor ángulo interior. A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4 D) 1 E) 4/3
12. Si los vértices de una región triangular son A(–3; –6), B(6; 9) y C(3; 12), determine la ecuación de la recta paralela a AB y que pasa por el baricentro de la región triangular mencionada. A) 5x + 3y + 5 = 0 B) 5x – 3y – 5 = 0 C) 5x – 3y + 5 = 0 D) 5x + 3y – 5 = 0 E) 5x + 3y + 15 = 0
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
TRIGONOMETRÍA TEMA 5
ECUACIÓN DE LA RECTA II ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA SNII2T5
DESARROLLO DEL TEMA I. ECUACIÓN DE LA RECTA
D. Distancia entre rectas paralelas
A. Rectas paralelas d(L1, L2) =
y L1
|C1 – C2|
d
L2
A2 + B2
L1: Ax + By + C1 = 0 L1//L2
q1
q2
m1 = m2
L2: Ax + By + C2 = 0
E. Ángulo entre rectas
x
L1
q
B. Rectas perpendiculares y
Tanq =
m1 – m2 1 + m1m2
L2 L1
II. CIRCUNFERENCIA L1 L2
q1
q2
m1m2 = –1
De la figura: y Centro c(h, k)
Ecuación ordinaria
L2
C. Distancia de un punto a una recta
(h, k) r
Ecuación general x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
(x, y)
x
A. Caso Particular I
P1(x1, y1)
d(P1L) =
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
x
Sea: h = 0 y K = 0 → C(0, 0) Reemplazando en la ecuación ordinaria
2 2 2 2 2 2 (x – 0) + (y – 0) = r → x + y = r La ecuación anterior de la circunferencia, se denomina "forma canónica".
|Ax1 + By1 + C| A2 + B2
B. Caso particular II
En la ecuación: x2 + y2 = r2
L Ax + By + C = 0
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
11
2 2 Si: r = 1 → x + y = 1
Ecuación de la circunferencia trigonométrica
TRIGONOMETRÍA
TEMA 5
ECUACIÓN DE LA RECTA II - ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Las rectas: L1: 3x + 2y – 1 = 0 y L2: mx + ny + 5 = 0 Sus perpendiculares y el punto (2, 4) pertenece a la recta L2. Calcule (m + n).
son los centros de las circunferencias cuyas ecuaciones son: C1: x2 + y2 – 4y + 3 = 0
C2: x2 + y2 + 4x + 3 = 0
A) –5/5 B) –5/8 C) 5/3 D) 8/5 E) –8/5
Resolución:
UNMSM – 2007
C3: x2 + y2 – 4x + 3 = 0
UNMSM – 2013
UNMSM – 2005
A) 1/2
B) 1/3
C) 1/5
D) 2/3
E) 3/4
m 3 m2 = – n 2 Teoría m1m2 = –1 (perpendiculares)
Resolución: Expresando las ecuaciones en forma
J– 3 JJ– mJ = –1 → 3m = –2n ..... (I) L 2 LL nL
C1: (x – 0)2 +(y – 2) = 1 → Centro (0,2)
m1 = –
Dado (2, 4)∈ L2 → reemplazando
Problema 3 Los puntos A(–3, 2) y B(1, 6) son los extremos del segmento AB. Determine la ecuación de la mediatriz de dicho segmento. A) x + y – 3 = 0 B) x + y – 4 = 0 C) y + x – 3 = 0 D) x + 2y – 3 = 0 E) x + y – 1 = 0 Resolución: A(–3; 2) y B(1; 6) L1 B(1, 6) M
ordinaria C2: (x+2)2 + (y – 0)2 = 1 → Centro (–2,0) 2
2
C3: (x –2) +(y+ 0) = 1→ Centro (2, 0)
A(–3, 2) M punto medio de AB.
J L
Coordenadas del baricentro:
5 4
n =–
15 → m + n =– 5 8 8
J L
m=
G
J0 + (–2) + 2 ,2 + 0 + 0 3 L 3
Incógnita:
Respuesta: –5/8
M.A. J0, 2J = L 3L
Problema 2 Determine la media aritmética de las coordenadas del triángulo cuyos vértices
0+ 2
2 3
J → M(–1, 4) L
M –3 + 1, 2 + 6 2 2
m(2) + n(4) + 5 = 0→2m + 4n + 5 = 0 ..(II) Resolviendo: (I) y (II)
(–1, 4)
J J L L
2 → G 0, 3
=
Cálculo de la pendiente AB. 6–2 mAB = =1 1 – (–3) m1 = –1
M(–1, 4)
G(x, y)
Cálculo de (m1) y–4 = –1→ y – 4 = – x – 1 m1 = x – (–1) x+y–3=0
1 3
Respuesta: 1/3
Respuesta: x + y – 3 = 0
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN
1. Una recta pasa por el punto P(–8, 2) sabiendo que es perpendicular a la recta L : 6x + 2y – 11 = 0. Indique su ecuación. A) 3x + y – 11 = 0 B) x – 3y + 27 = 0 C) x + 3y – 11 = 0 D) 3x – y + 11 = 0 E) x – 3y + 14 = 0
x 2 + y 2 – 10x + 2y + 1 = 0 A) 5p B) 10p C) 15p D) 20p E) 25p
3. De la figura: q = 18°30' y
(0,2)
2. Calcule la longitud de una circunferencia sabiendo que su ecuación es:
TEMA 5
TRIGONOMETRÍA
q
xL
22
Indique la ecuación de la recta L . A) x + 3y – 21 = 0 B) x + 3y – 24 = 0 C) x + 3y – 31 = 0 D) x + 3y – 26 = 0 E) x + 3y – 33 = 0
4. Indique la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: x2 + y2 = 5 en el punto A(1, 2) A) 2x + y – 1 = 0 B) 2x + y – 3 = 0 C) 2x + y – 5 = 0 D) 2x + y – 7 = 0 E) 2x + y – 9 = 0
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
ECUACIÓN DE LA RECTA II - ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
5. Indique la ecuación de la recta que pasa por el punto P(–3, –2) y las coordenadas del centro de la circunferencia: x2 + y2 = 36 A) 2x + y = 0 B) 2x – y = 0 C) 2x + 3y = 0 D) 2x – 3y = 0 E) 3x – y = 0
PROFUNDIZACIÓN 6. Indique la ecuación de una circunferencia cuyo centro se ubica sobre el eje (x) y que pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, 6). A) x2 + y2 – 2x + 6 = 0 B) x2 + y2 + 6y + 11 = 0 C) x2 + y2 + 8x + 19 = 0 D) x2 + y2 – 14x + 4 = 0 E) x2 + y2 – 14y + 10 = 0 7. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas: L1: 2x – y –11 = 0 y L2: x + y – 4 = 0 y es paralela a la recta: L3: 10x + 20y – 31 = 0 Indique su ecuación A) x + 2y + 3 = 0 B) x + 2y – 3 = 0 C) x + 2y – 7 = 0 D) x + 2y + 7 = 0 E) x + 2y – 11 = 0
8. S e tiene una circunferencia tangente a los ejes cartesianos y que pasa por el punto P(6, 3). Indique la suma de la mayor y menor longitud que cumplen esta condición. A) 20p B) 28p C) 30p D) 32p E) 36p 9. En base a los datos de la figura determine la ecuación de la recta L2. y L1 x
Determine el tercer vértice (C) si el lado BC es paralelo:
L: x – 2y – 32 = 0 35 1 , A) 4 8 B)
J J L L 35 1J , C) J– L 4 8L 35 1 E) J , – J 4 L 8L
J35 , – 1J L 4 8L J34 , 1J D) L 4 8L
11. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por A(0, 2) y es tangente a la recta:
L1: 2x + y = 0 en el origen. A) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5 B) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 5
(2, – 4)
C) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 5
L2
D) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 5 E) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 5
(0, –8)
A) x B) x C) x D) x E) x
+ + + + +
2y 2y 2y 2y 2y
– – – – –
2 3 4 5 6
= = = = =
12. Indique la ecuación de una circunferencia tangente al eje (x), con centro en la recta:
0 0 0 0 0
punto A(5, 4) A) x2 + y2 + 6x + 10y + 9 = 0 B) x2 + y2 – 6x + 10y + 9 = 0
SISTEMATIZACIÓN
C) x2 + y2 – 6x + 20y + 11 = 0
10. El área de una región triangular ABC es 7m2. Si A(1, 4), B(7, –1).
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
33
L: x + y – 7 = 0 y que pasa por el
D) x2 + y2 – 6x – 20y + 13 = 0 E) x2 + y2 + 6x – 20y + 9 = 0
TRIGONOMETRÍA
TEMA 5
TRIGONOMETRÍA TEMA 6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL SNII2T6
DESARROLLO DEL TEMA I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
P(x, y)
Ángulo trigonométrico generado en un plano cartesiano
r
con vértice en el origen de coordenadas y cuyo lado inicial
y q
coincide con el eje positivo de las abscisas. El lado final
x
puede ubicarse en cualquier parte del plano cartesiano, tal como se muestra en la figura.
y
De acuerdo al cuadrante donde se ubica un ángulo en posición normal, las razones trigonométricas sean posi-
Vértice
O
Lado inicial
x
tivas o negativas. Ver el gráfico. y
Ejemplos: y
q<0 q∈IIC x
a
Segundo Sen y Csc (+)
a>0 a∈IIIC
b
y
b>0 b = 270° x
b: ángulo cuadrantal
Tercero Tan y Cot (+)
a>0
a: no está en posición normal
y: ordenada
r: radio vector
x Cuarto Cos y Sec (+)
IV. ÁNGULO CUADRANTAL
Son ángulos en posición normal, en el que su lado final coincide con cualquiera de los semiejes. Forma:
Elementos:
x: abscisa
0
x
a
II. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Primero Todas son positivas
x
q y
L.I
r y r x x y
III. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES
Lado final
y
y → Cscq= r x Cosq= → Secq= r y Tanq= → Cotq= x
Senq=
= r
x2 + y2
Ángulo cuadrantal = 90°n, n∈ Z
r>0
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
11
TRIGONOMETRÍA
TEMA 6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
y
Nota: Los ángulos cuadrantales básicos o elementales son: y
y
a
L.F
x b 90°
L.F x L.I
L.I
x
Propiedades de ángulos coterminales
(0°)
Sen a, b y q ángulos coterminales. Se cumple:
y 180° L.F
x
L.I
RT(a) = RT(b) = RT(q) y
x
270°
Propiedad I
360°
a – b = 360°K
L.I x L.F
L.I
Propiedad II a – q = 360° m
b – q = 360° n Ejemplo:
L.F
k, m, n, ∈ Z y
a
V. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES 0°
90°
180°
270°
360°
Sen
0
1
0
–1
0
Cos
1
0
–1
0
1
Tan
0
ND
0
ND
0
Cot
ND
0
ND
0
ND
Sec
1
ND
–1
ND
1
Csc
ND
1
ND
–1
ND
x b
R.T. (a) = RT(b)
∧
a – b = 360°
Observaciones: • a > 0 –a < 0 • a < 0 –a > 0
Valor Absoluto
|a| = a ; a ≥ 0
|a| = –a; a < 0
VI. ÁNGULOS COTERMINALES
a2 = |a| |a – b| = |b – a|
Dos ángulos se denominan coterminales si tienen como elementos comunes el lado inicial y el lado final.
|a|2 = |a2| = a2
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1
Resolución:
Se tiene un ángulo a en posición normal.
Del enunciado se tiene:
Si su lado final tiene al punto (–4, –3), calcule Seca . Cota. A) 3/5 D) 5/3
–4
B) –5/4 C) –3/5 E) –5/4 UNMSM – 2006 – II
TEMA 6
a
TRIGONOMETRÍA
Tenemos:
r x
r P(–4, –3)
Calculamos r
–3
Resoluciones: J 5 J J–4J E =K KK K L–4L L–3L
r = (–4)2 + (–3)2 r=5 E = Seca . Cota J r J Jx J E =K KK K Lx L Ly L ∴E=
–5 3
Respuesta: –5/3
22
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Resolución:
Problema 2 Si a, f, q son ángulos agudos, tales que:
0 < a + f + q < 270° De lo cual:
a f f y Sen(a + f + q) = 1 = = 4 5 6 a+q Halle Tan 2
Sen(4k + 5k + 6k) = 1 por dato
UNMSM – 2009 – II
A) 3
B) 1
C)
3 D) 4 E) 5 5
|1 – 3 Seca |= 4
Sen(15k) = 1; 15 k = 90° Piden:
k = 6°
1 –3Secq = –4 ∨ 1 – 3Seca = 4
J4k + 6k J K = Tan(5k) = Tan30° Tan K L 2 L
3 3
Ja + q J ∴ Tan K K= 3 3 L 2 L 3 3
Problema 3
a = 4k, f = 5k,
q = 6k
5 3
Seca = –1
∨
a: cuadrantral
a∈IIC
∨
a∈IVC
Solo es posible: Seca = 5 ; a ∈ IVC 3
Luego: Sena + Csca = – 4 + 5
Si |1 – 3 Seca | = 2,
Entonces: a f q = = =k 4 5 6
Seca =
como |Tana| = –Tana → Tana < 0
Respuesta:
Resolución: Recordar de ángulos cuadrantales: Si Senw = 1 y 0 < w < 360° entonces w = 90°
|(1 – 3 Seca) | = 2...( )2
–4
5
además | Tana |= – Tana
∴ Sena + Csca = –
A) 9/20 B) –52/7 C) –9/20 D) –41/20 E) 41/20
41 20
Respuesta: –41/20
PROBLEMAS DE CLASE 6. Del gráfico calcule Cotq . Tana.
EJERCITACIÓN
3. Si.
1. Del gráfico mostrado, calcule Tana.
Tanq =
Calcule el valor de Cosq – Senq Cosq + Senq
y a x (3Sen42°, –5Cos48°)
Sen30°.Cot45° 2Csc45°
y
; q ∈ IIIC
L: 15x – 9y + 135 = 0
a q
A) 0,3
B) 0,4
C) 0,5
D) 0,6
A) 4 B) 50/18
E) 0,7 A) – 5 Tan42° B) – 5 Cot42° 3 3 C) – 5 3
D) –
3 Tan42° 5
E) – 3 Cot42° 5 2. Determine el signo de las siguientes expresiones:
P = Cos(90°20') . Tan(270°20')
A = Sen(181°30') . Cot(269°51')
M = Sec(117') . Csc(1000m) A) (–)(–)(–) B) (–)(+)(–) C) (+)(–)(+) D) (+)(+)(–) E) (–)(–)(+)
C) 1/4
4. Calcule el valor de: 7
5
k=1
n=1
D) 18/50 E) 1
∑ sen(90°k) – ∑ cos(180°n)
A) 5
B) 4
D) 3
E) 1
C) 3
PROFUNDIZACIÓN
33
7. Si q y b son ángulos cuadrantales positivos y menores de una vuelta, tal que: Sen3q + Tanb + 1 = 0
5. Calcule el valor de M: M = (Cot90° – x)(Tan180° – x) + (Cos360° + x)(–Csc270° – x) A) 2x2 + 1 B) –1 C) 1 D) 1 – 2x2 E) 2x2
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
x
b Calcule: 2.Sen + Cosq 2 A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) 3
8. En el gráfico calcule: 6Tana + 2Tanb – Cos(q – b)
TRIGONOMETRÍA
TEMA 6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
y 4
q
D) –2
E) 1
C)
23
D)
C) 0
9. Del gráfico calcule 5Senq + Cosq. y C: x2 + y2 – 2x – 10y + 17 = 0
A) 162°
I.
CosM – 1 = 1 + Sen(N)
II.
Csc + 2 = |TanP – 1|
Calcule M + N + P A) 710°
C) 324° E) 1042° 12. Si: |Sen3x| = 64Cos3x; x∈IVC calcule:
M = 17 Cosx + 2Cscx +
17 2
B) 1 C) 0 D) –0
E) 1080°
TRIGONOMETRÍA
D) 621°
A) 2
D) 810° x
B) 1242°
C) 900°
TEMA 6
17
10. Siendo M, N y P ángulos cuadrantales diferentes, positivos y menores o iguales a 360°, además se cumple.
B) 630°
q
11. Calcule la medida del mayor ángulo coterminal sabiendo que el menor es a la suma como 3 es a 26 y que la suma es mayor que 1400° pero menor que 1600°.
SISTEMATIZACIÓN
–9 B) 2
B) 2 6
x
b
A) –1
10
E) 7
a –6
A)
E) –2
44
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
trigonometría tema 7
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE SnIi2T7
DESARROLLO DEL TEMA Reducir un ángulo al primer cuadrante consiste en relacionar a las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con las razones trigonométricas de un ángulo agudo (ángulo del primer cuadrante), obteniéndose una equivalencia. Se presentan los siguientes casos:
II. SEGUNDO CASO
R.T. (360°K + a) = R.T.(a) R.T. (2kp + a) = R.T.(a)
I. PRIMER CASO
Para ángulos positivos menores que una vuelta.
A. Primera forma y
(90°+q)
90°
(270°+q)
0 < a < 360°
p 2 2Kp
(2K–1)p
∀K∈Z p (4K–1) 2
270°
III. TERCER CASO
R.T. (90° + q) = ±CO – R.T.(q) R.T. (270° ± q) = ±CO – R.T.(q)
B. Segunda forma (180°–q) 180°
(4K+1)
La notación general de ángulos cuadrantales es:
x
q q
K∈Z
Observación:
q
(270°–q)
Para ángulos positivos mayores que una vuelta. Para reducir estos ángulos al primer cuadrante, se les debe descomponer en función al número entero de vueltas que contenga este ángulo.
q q
(180°+q)
y
q
Sen(–q) = –Senq Cos(–q) = Cosq Tan(–q) = –Tanq Cot(–q) = –Cotq Sec(–q) = Secq Csc(–q) = –Cscq
x 360°
(360°–q)
R.T. (180° ± q) = ±R.T.(q) R.T. (360° – q) = ±R.T.(q)
iv. PROPIEDADES PARA ÁNGULOS RELACIONADOS
Nota: El signo (±) dependerá del cuadrante donde se ubica el ángulo y también de la razón trigonométrica original.
san marcos REGULAR 2014 – Ii
Para ángulos negativos. Se demuestra que las funciones coseno y secante cuyos ángulos son negativos, éstos van a ser igual a los ángulos positivos; las demás R.T., el signo sale fuera del ángulo y afecta a toda la R.T.
11
Para ángulos negativos. Se demuestra que las funciones coseno y secante cuyos ángulos son negativos, éstos van a ser igual a los ángulos positivos; las demás R.T., el signo sale fuera del ángulo y afecta a toda la R.T.
trigonometría
Tema 7
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Si: a + b = 180° < > p Cosa Tana Cota Seca
+ + + +
Si: a + b = 360° < > 2p
Cosb = 0 Tanb = 0 Cotb = 0 Secb = 0
Sena Tana Cota Csca
Sena = Senb Csca = Cscb
+ + + +
Nota:
Senb = 0 Tanb = 0 Cotb = 0 Cscb = 0
Cosa = Cosb Seca = Secb
Es importante tener presente:
Nota:
q > 0 → –q < 0
Sen(x–y) = –Sen(y–x)
q < 0 → –q > 0
Cos(x–y) = Cos(y–x)
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Resolución:
Resolución:
Simplificar:
Debemos tener presente que solo se pueden sumar medidas angulares, si estas tienen en el mismo sentido.
Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular (x). 82 + x2 = (x + 2)2
A
Tan(180° + x) Sen(270° + x) + Cot(90° − x) Cos(180° − x)
A) 3 D) 1
B) 2 E) 6
–b
C) 4
Operando adecuadamente:
a
64 + x2 = x2 + 4x + 4 → 4x = 60° x = 15
De la figura:
Resolución: Aplicando las fórmulas de reducción al primer cuadrante en cada término. Tan(180° + x) = + Tanx Cot(90° – x) = + Tanx Sen(270° + x) = – Cosx Cos(180° – x) = – Cosx
a + (–b) = 180°
Reemplazando:
K = (–Senb) + Senb + (–Cosb) + Cosb
= A
(Tanx) (−Cosx) + → = A 2 (Tanx) (−Cosx)
Respuesta: B) 2
Reemplazando Por fórmula de reducción al primer cuadrante. K=0
Respuesta: A) 0
De la figura, calcular:
a 8
De la figura, calcular: K = Sena + Senb + Cosa + Cosb A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 3
A) 5 D) 2
trigonometría
De la figura: a + q = 180° Se cumple: Seca + Secq = 0 Reemplazando:
17 5 17 5 12 M= 5 − − + = − + = 3 3 3 15 3 M=–4
q
22
q
Reemplazando en la incógnita:
x+2 x B) 4 E) 8
15
a
–17 17 + Secq = 0 → Secq = 15 15
Problema 3 M = 5 Secq + Sec53
b
17
8
K=Sen(180°+b)+Senb+Cos(180°+b) +Cosb
Problema 2
Tema 7
Reemplazando:
a – b = 180° → a = 180° + b
C) –4
Respuesta: C) –4
san marcos REGULAR 2014 – Ii
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
PROBLEMAS de clase
7. Reducir la siguiente expresión:
ejercitación
M=
1. Reducir las expresiones Cos ( −a ) Sen ( 360 + a ) = + a Cos (180 + a ) Sen ( −a ) = b
Sen ( 90 − a ) Cos ( −a )
+
Cos ( 90 − a ) Sena
A) a = 0; b = 2 C) a = –1; b = –2 E) a = –2; b = 2
C)
B) –2 E) –2Senx
K=
3Tana + 1 3 − Tanb
5 2
y b
C
E) –2
A (–1;0)
x a
D
sistematización 10. Si los ángulos internos de un triángulo ABC esten en progresión aritmética (A < B < C); reducir:
C) –2
Sen(A + 2C + 3B) Cos(B + 2A + 3C) + Sen(B – C) Cos(B – C) A) SenC
B) CosB
D) 1
E) 0
C) Sen(B – C)
11. Simplificar la siguiente expresión: M=
E) 2 3
profundización
san marcos REGULAR 2014 – Ii
; (ABCD: cuadrado)
30°
D) 3
C) –1
6. Si se cumple: Cos3000° – Cos2000° =K Cos300° – Cos200° Hallar: Cos3000° + Cos2000° Cos300° + Cos200° 1 A) –K B) k C) – K 1 D) E) k2 K
C) –Tgx
B
C) 3
5. Calcular el valor de P. 37p 82p 37p .Tan 83p Csc Cos = P Csc 3 4 2 6 1 1 A) 2 B) – C) 2 2 D) 3
E) 2
B) 1
Sen670° . Cos310° . Sec250° . Sen200° Sen130° . Cos50° . Cos180° B) –1 E) 0
2 3
A) –1
4. Calcular el valor de la siguiente expresión:
A) 2 D) 1
D)
C) Seca
Cot ( 360° − A ) − Tg ( 450° − A )
F=
2 5
9. En el gráfico, calcular:
3. Simplificar: Tan ( 270° + A ) + Cot (180° − A ) B) 0 E) Cot2A
B)
A) –1 D) –Cotx
p p Tg − + a Sec ( p − a ) Sen 7 + a 2 2 R= −Cos (16p − a )
A) 1 D) Tan2A
1 3
Sen(210° – x) + Cos(300° – x) + Tan(330° + x) Csc(x – 120°) . Cos(240° + x)
B) a = 0; b = 0 D) a = –1; b = 2
B) –Seca E) –Tana
A)
8. Simplificar la expresión
2. Simplificar:
A) Csca D) –Csca
Tan1994° – Cot824° 2Cot76° – Tan(–14°)
Sen(210° – x) + Tan(330° + x) – Cot(300° – x) Cos(240° + x)
A) –1/2
B) 3
D) –1
E) 1
C) 1/2
12. Determinar el signo de M y N
97p 45p Tg 107p M = Sen Cos 7 8 10
28p N Cot = Sec ( −220° ) Csc ( −30° ) 9
33
A) (+); (+)
B) (–); (–)
D) (+; (–)
E) M y N son nulas
trigonometría
C) (–); (+)
Tema 7
TRIGONOMETRÍA tema 8
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA SnIi2a8
DESARROLLO DEL TEMA I. CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que equidistan con respecto a un punto fijo llamado centro. La distancia constante se denomina radio. y De la figura: Centro c(h, K) (h, k)
Ecuación ordinaria
( x – h)
2
2
+ ( y – k ) =r
2
Iii. ARCOS DIRIGIDOS EN POSICIÓN NORMAL A. Definición: Son aquellos arcos formados en la C.T. que se generana partir del origen de arcos (posición inicial: A) y cuyo extremo (P) será la posición final de dicho arco. Diremos que un arco pertenece a un determinado cuadrante, si su extremo pertenece a dicho cuadrante. Por ejemplo a y b son arcos dirigidos en posición normal. y – P: extremo del B a arco “a”, a∈II; P es un arco positivo arad A (sentido antihorario) x brad – Q: extremo del arco b “b”, b∈IVC; b es un arco Q negativo (sentido horario)
r (x, y) x
A. Caso particular (I)
Sea: h = 0 y K = 0 → C(0, 0) Reemplazando en la ecuación ordinaria
( x – 0 )2 + ( y – 0 )2 = r 2 →
x2 + y2 = r2
La ecuación anterior de la circunferencia, se denomina "forma canónica".
IV. ARCO CUADRANTAL
B. Caso particular (II)
En la ecuación: x2 + y2 = r2 2 2 1 Si: r = 1 → x + y =
Esta es la ecuación de la circunferencia trigonométrica.
Denominaremos de esta manera a aquellos arcos dirigidos en posición normal, cuyo extremo coincida con alguno de los puntos de intersección de los ejes con la C.T. (A, B, A', B'). Por ejemplo: y p 2
ii. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Es aquel conjunto de infinitos puntos que pertenecen al plano cartesiano cuya distancia al origen de coordenadas es igual a la unidad de dicho sistema. y Donde: B • O (0; 0): origen de C.T. coordenadas 1 • A (1; 0): origen de arcos x • B (0; 1): origen de O A' A complementos • A' (–1; 0): origen de suplementos LT B' x2 + y 2 = 1 • LT: eje de tangentes
san marcos REGULAR 2014 – Ii
11
p rad 2
y A x –p
C.T.
C.T.
A –prad x
V. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA C.T.
Las razones trigonométricas serán representadas a partir de segmentos dirigidos los cuales brindarán la siguiente información:
curso
Tema 8
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Variación Analítica
1. La longitud del segmento, indicará la magnitud de la razón. 2. El sentido del segmento, indicará el signo de la razón. Los signos de dichos segmentos se regirán bajo el siguiente convenio de signos: – Los segmentos rectilíneos horizontales hacia la derecha de X'X son positivos y hacia la izquierda de XX' son negativos. – Los segmentos rectilíneos verticales hacia arriba de Y'Y son positivos y hacia abajo de YY' son negativos.
I. Cuadrante Sen0 = 0 p Sen = 1 2 II. Cuadrante p Sen = 1 2 Senp = 0 III. Cuadrante Senp = 0 3p Sen = –1 2
y
(–)
(+) (+)
IV. Cuadrante 3p Sen = –1 2
(+) x
x'
(–) (–)
(+)
(–)
vI. Definiciones El seno de un arco en la C.T. se representa mediante la ordenada del extremo del arco: y
O
p =0 2
III. Cuadrante Cosp = –1
a
C.T.
Cos
II. Cuadrante p Cos = 0 2 Cosp = –1
A. Seno
A
x
Cos
3p =0 2
IV. Cuadrante 3p Cos = 0 2
q
senq
Q(x2; y2)
Cos2p = 1
decreciente
decreciente
creciente
creciente
La tangente de un arco en la C.T. es la ordenada del punto de intersección, entre el eje de tangente y la prolongación del radio que contiene al extremo del arco: y
B. Coseno
El coseno de un arco en la C.T. es la abscisa del extremo del arco:
b
y C.T.
a
R(x1; y1) Cosb O
b A
O
N(1; y1) tana A
x
C.T.
x
Cosf
M(1; y2)
f
Entonces: Cosb = x1 ; Cosf = x2
Tema 8
creciente
C. Tangente
Entonces: Sena = y1 Senq = y2
S(x2, y2)
decreciente
Análogamente I. Cuadrante Cos 0 = 1
sena
Decreciente
y'
P(x1; y1)
Sen2p = 0
Creciente
curso
Entonces:
22
Tana = y1 Tanb = y2
san marcos REGULAR 2014 – Ii
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
D. Cotangente La cotangente de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de complementos y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco: Eje de M(x2; 1) N(x1; 1) Cotangentes L a
F. Cosecante La cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje y. y M(0, y1) P
b
C.T.
Ctgb = x2
Variación Analítica I. Cuadrante Tan0 = 0 p x→ Creciente 2 Tanx → ∞
II. Cuadrante
x
b Q
C.T.
N(0, y2) P y Q: puntos de tangencia
p 2 Tanx → –∞
Entonces: Csca = y1 Cscb = y2
x→
Creciente Tanp = 0 III. Cuadrante Tanp = 0 3p Creciente x→ 2 Tax → + ∞
Variación Analítica
{
}
•1 ≤ Secx ∨ Secx ≤ –1, ∀ x ∈ – (2k + 1) p , k ∈ Z 2 Secx
IV. Cuadrante
–1
•
3p 2 Tanx → –∞ x→
1
1 ≤ Cscx ∨ Cscx ≤ –1, ∀ x ∈ – {kp, k ∈ Z} Cscx
Creciente
A
O
Cscb
Entonces: Ctga = x1 ;
a
Csca
x
A
O
Entonces: Seca = x1 Secb = x2
Tan2p = 0
–1
1
Es importante tener presente que:
E. Secante La secante de un arco es la abcisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje x. y
• En forma práctica la línea seno es una vertical en la C.T. y la línea coseno es una horizontal.
•
P a N(x2, 0)
M(x1; 0)
Secb O Q
Seca
b
x
−1 ≤ Cosq
Impar
≤1
0 ≤ SenqPar ≤ 1 0 ≤ CosqPar ≤ 1
Si nos indican el cuadrante, el intervalo será ABIERTO.
• En toda circunferencia trigonométrica el arco (expresado en unidades de longitud) es numéricamente igual al ángulo que subtiende dicho arco, expresado en radianes.
C.T.
P y Q: puntos de tangencia
san marcos REGULAR 2014 – Ii
−1 ≤ SenqImpar ≤ 1
33
curso
Tema 8
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Hallar Fmax – Fmin, si:
Resolución: C.T.
F = 2sena – 3versq + 4covf A) 18 B) 16 C) 15 D) 14 E) 12
y (0, 1)
y P
O A'
1
1 M
A
Q
x (1, 0)
q
x
UNMSM 2002–I Nivel fácil
Resolución: Se sabe que: –1 ≤ sena ≤ 1 0 ≤ versq ≤ 2 0 ≤ cosf ≤ 2 luego: Fmax = 2(1) – 3(0) + 4(2) = 10 Fmax = 2(–1) – 3(2) + 4(0) = –8
Respuesta: A) 18 Problema 2 Determine el área de la región sombreada
P Senq Cosq B) – Senq Cosq 4 8 Sen q Cosq C) – Senq Cosq D) – 2 16 E) –Senq Cosq A) –
Analizando el gráfico: Base: A´A = 2 Altura: Sabemos: S =
UNMSM 2001–I Nivel intermedio
1 bh ( I ) 2
Resolución:
Sabemos: |a| = –a, a < 0
1
Para la altura q∈IVC,
y
x2 + y 2 = 1
q
q
1 q Cosq h
PM = |senq| = –senq Reemplazando en (I) x
S=
Del gráfico: h = cosq|senq|
1 ( 2 ) ( –Senq ) → S = –Senq 2
Luego: A=
q
Respuesta: C) –senq B) sena C) –senq A) tanq D) senq E) –sena Nivel intermedio
1 –2 ( Cosq Senq ) 4 2 A=
Problema 3 En la figura mostrada, halle el área de la región triangular OQP.
–Senq Cosq 4
Respuesta: A)
–
Senq Cosq 4
PROBLEMAS de clase ejercitación
A) 1 D) –1
1. Determine el intervalo de "k" si: 2cosx = 5k – 1, (x∈) A) – 1 ; 1 5 5 3 1 D) – ; 5 5
2 1 B) – ; 5 5 3 E) 0; 5
1 3 C) – ; 5 5
2. Si 30° < q < 150° Calcular el mínimo valor de: 1 E= 4Senq – 1
Tema 8
curso
B) 1/3 E) 2
C) 0
3. La figura C es la circunferencia trigonométrica determinar el área de la región sombreada. y A) 1 tan a(sena – 1)u2 2 1 B) cot a(1 – cos a)u2 2 A x C 1 2 a C) tan a(sena + 1)u 2 1 D) cot a(cos a) + 1u2 B' P 2 1 2 T E) tan a(cos a – 1)u 2
44
san marcos REGULAR 2014 – Ii
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
4. Del gráfico C es una circunferencia trigonométrica. Determinar AP en término de a. y A) 1 + Sena B)
2 + 2Sena
C)
2 + 2Sen2a
D)
2 + 2Cosa
E)
p p 8. Si q ∈ ; , determinar cuál es el intervalo de variación 6 3 del área de la región sombreada.
P
y a
2
x +y =1
x
O
2
A
C
1 + 2Cosa
q O
A
x
5. Determinar el área de la región sombreada: x2 + y 2 = 1
y f
x
3 3 ; A) 3 6
B) 3 ; 3 6
3 ; 3 C) 3
3 3 ; D) 2 6
E) [1; 2]
A) 1 Senf u2 3
B) 2 Senf u2 3
C) 1 SenfCosf u2 3
D) 2Cos3fSenf u2
9. En la figura mostrada calcule el área de la región sombreada: (T: punto de tangencia) y
E) 1 Sen2fm2 u2 4 x2 + y2 = 1
T
profundización 60°
6. Calcular el mínimo valor del área de la región sombreada.
x q
A) 1/2 D) 2
B) 1 E) 4
C) 1/3
q
B)
2 2 2 u 3
C) 5 3 u2 8
D)
2 2 u 3
A
3– 2 2 u 6
sistematización
7. En la figura determinar el área de la región sombreada. y P x2 + y 2 = 1 B
O
A) 3 + 6 u2 6
E)
C.T.
x
10. Del gráfico adjunto determinar "PH" en función de "f". y y' C.T.
x
x
P f H
1 A) 2 Sen3qSecq u2
1 B) 2 Sen2qSecq u2
A) –7Tanq
1 C) 2 SenqCos2q u2
1 D) 2 SenqCosq u2
C)
san marcos REGULAR 2014 – Ii
1 B) 2 – Tan an f
Tanf Tanf – 2 E) 4Tanq Tanq – 2
1 E) 2 Sen2qCosq u2
55
x'
curso
D)
12Tanf 2 – Tanf
Tema 8
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
11. La circunferencia es trigonométrica. Calcular la longitud del segmento OP en términos de "q". A) Tan p – q 4 2 B) Cot p – q 4 2
q
12. En la figura determinar: PQ. C.T.
y
A
C) Cot q 2
x q
D) Tan q 2
A) Senq + Tanq C) –Senq + Tanq E) –Senq – Tanq
E) 1 + Senq 1 + Cosq
Tema 8
y
curso
66
x
P Q
B) 1 – Senq + Tanq D) Senq – Tanq
san marcos REGULAR 2014 – Ii
TRIGONOMETRÍA tema 9
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS SnIi2a9
DESARROLLO DEL TEMA Es una igualdad establecida entre expresiones que involucran razones trigonométricas de una o más variables, las cuales se verifican para todo valor admisible de dichas variables. Ejemplo: La igualdad: Sen2x + Cos2x = 1, se verifica para cualquier valor real que le asignemos a la variable por consiguiente: Sen2x + Cos2x = 1
1 Cotx • Cotx = 1 Tanx • Tanx =
C. Identidades por división Tanx = Senx Cosx
Es una identidad ∀ x ∈
Cotx = Cosx Senx
I. CLASIFICACIÓN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES
D. Identidades auxiliares
A. Identidades pitagóricas 2 2 1. Sen x + Cos x = 1 2
∀x∈
2
• Sen x = 1 – Cos x • Cos2x = 1 – Sen2x 2 2 2. 1 + Tan x = Sec x
• Tan2x = Sec2x – 1 • 1 = Sec2x – Tan2x 2 2 3. 1 + Cot x = Csc x 2
∀ x ≠ (k + 1) p ; k ∈ 2
∀ x ≠ kp; k ∈
2
• Cot x = Csc x – 1 • 1 = Csc2x – Cot2x
B. Identidades recíprocas 1. Senx Cscx = 1 • Senx = 1 Cscx • Cscx = 1 Senx 2. Cosx Secx = 1 • Cosx = 1 Secx • Secx = 1 Cosx
Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen2xCos2x
2.
Sec4x + Tan4x = 1 + 2Sec2xTan2x
3.
Csc4x + Cot4x = 1 + 2Csc2xCot2x
4.
Sen6x + Cos6x = 1 – 3Sen2xCos2x
5.
Sec6x – Tan6x = 1 + 3Sec2xTan2x
6.
Csc6x – Cot6x = 1 + 3Csc2xCos2x
7.
8.
Tanx + Cotx = SecxCscx 1 Tanx + Cotx = SenxCosx
9. (Senx + Cosx)2 = 1 + 2SenxCosx 10. (1 + Senx + Cosx)2 = 2(1 + Senx)(1 + Cosx)
11.
Senx = 1 Cosx Senx 1 ± Cosx
12.
Cosx = 1 Senx Cosx 1 ± Senx
13.
14.
15. Sec2xCsc2x = Sec2x + Csc2x
1 Secx
Tanx 1
Cscx
Cotx
= Secx
Tanx
= Cscx
Cotx
II. FUNCIONES AUXILIARES Senoverso = Ver(q) = 1 – Cosq Cosenoverso = Cov(q) = 1 – Senq Ex Secante = Ex Sec(q) = Secq – 1
3. Tanx Cosx = 1
san marcos REGULAR 2014 – Ii
1.
11
curso
Tema 9
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Si (a) ∈ III c, simplifique A = Cot2a + Csca A) –1 D) –1/2
Csc2a (Csc2a + Sec2a) (Tana+ Cota)2
B) 1/2 E) 1
Problema 2 Si Cosa = m , donde |m| ≠ |n| n Calcule k = (Cota + Csca)(Tana – Sena) 2 A) n – 1 m2
C) 3/2
PRE-SAN MARCOS 2011 Nivel fácil
Resolución: 2 2 2 2 Sabemos Sec a + Csc a = Sec aCsc a Para el problema A = Cot2a + Csca
2
Calcula K = 4m2 + 4/3t + 7
2
E) n – m mn
A) 7 D) 4
2
2
Csc a (Sec a + Csc a) Sec2aCsc2a 2
2
A = Cot a+ Csca|Csca| = Cot a – Csc a (–) ⇒ A = –1
Respuesta: A) –1
B) 8 E) 3
C) 1
EX-ADMISIÓN SM 2012 PEX-ADMISIÓN SM 2013
Nivel INTERMEDIO
Nivel DIFÍcil
Resolución: 2
2
Problema 3 Sabiendo Cosa = m y 3Sen2a = t
2 m2 – n2 C) m – 1 D) mn mn
Tana + Cota = SecaCsca
2 B) m – 1 2 n
2 2 k = Seca – Cosa = n – m → k = n – m m n mn Respuesta: D) n2 – m2 mn
Resolución:
Efectuando operaciones
Reemplazando los datos en ña incógnita
k = (Cota + Csca)(Tana – Sena) k = CotaTana – CotaSena + CscaTana – SenaCsca
k = 4Cos2a + 4/3(3Sen2a) + 7 Simplificando y factorizando
Simplificando identidades 1 k = 1 – Cosa Sena + Sena Sena
Sena – 1 Cosa
k = 4(Cos2a + Sen2a) + 7 → k = 1
Respuesta: C) 1
PROBLEMAS de clase 4. Si Secx + Tanx = 1/2
EJERCITACIÓN
1. Si Senx + 3 = Cosx + 2 ; x ∈ IIIc 2 3
Calcula k = 13 Senx + 6 Tanx. A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
C) 5
2. Simplifique A=
Sen4x + Cos4x + 7 Sen6x + Cos6x + 11
A) 3/2 D) 11/7
B) 2/3 E) 1
C) 7/11
A=
8
Csc x – Cot x Csc4x + Cot4x
A) Csc4x D) Cot4x
Tema 9
– Cot2x
B) Cscx E) Cot2x
B) 0,8
D) –0,6
E) 0,7
C) –0,8
Calcula A = Sec2x + Csc2x A) 16/7
B) 16/5
D) 18/5
E) 18/7
C) 16/3
PROFUNDIZACIÓN 6. Elimine "x"
3. Simplifique 8
A) 0,6
5. Si Sen4x – Cos4x = 1/2
Calcula el valor de Senx
aTanx – 1 = Secx
bTanx + 1 = Secx A) ab = 1 –1
C) ab
C) Csc2x
curso
= 1
B) ab = –1 D) a–1b = –1
E) a–1b–1 = 1
22
san marcos REGULAR 2014 – Ii
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
7. Simplifique Sen6x + Cos6x Sen4x + Cos4x A= – Cot26°30° + Sec240°SenxCos Tan60° – Cot18°30'SenxCosx A) 3 2 – 2 3 B) 6
2 – 3 6
C) 2 2 – 3 3 6
8. Simplifique
A=
B) Cotx
D) Cscx
E) Cosx
D) 2 Cscx
E) – 2 Secx
•
Sen3q + Cos3q = a – 2(Tanq + Cotq) Cosq Senq
•
(2 + Cosq – Versq)2 = b – 1 + Versq 2(1 + Cosq)
A) 2(1 + ab) = ab2 B) 2(1 + ab) = ba2
C) Secx
C) 1 + ab = ab2 D) 1 + ab = ba2 E) 2(1 – ab) = ab2
9. Si se cumple Cosx(1 + Cosx) = 1 – Covx Calcule k = Cos2x – 2Cotx
12. Sabiendo que se cumple
A) –1
B) –1/2
D) 1 + Cosx
E) SecxCscx
C) Versx
Secq + Tanq = a Cscq + Cotq = b
Indique una relación entre (a) y (b)
SISTEMATIZACIÓN
A) (ab – 1)2 = (a – b)2
10. Sabiendo p < x < 3 p 2
C) (ab – 1)2 = (a + b)2
Simplifique A =
Versx + Covx
C) 2 Senx
(Versx)(1 + Cosx + Senx ; x∈IIIC (1 – Versx)(1 – Cos) + (Senx)
A) Tanx
B) 2 Secx
11. Elimine "q" sabiendo:
D) 3 2 + 2 3 E) 1/6 6
A) 2 Cosx
B) (ab + 1)2 = (a + b)2 D) (ab2 + 1)2 = (a2 – b2)2
2 – Versx 2 – Covx
san marcos REGULAR 2014 – Ii
E) (ab2 – 1)2 = (a2 – b2)2
33
curso
Tema 9
TRIGONOMETRÍA tema 10
identidades trigonométricas de arcos compuestos SnIi2t10
DESARROLLO DEL TEMA I. Identidades trigonométricas para la suma de dos arcos
II. identidades trigonométricas para la diferencia de dos arcos
Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles de sus variables y son las siguientes:
Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles de sus variables y son las siguientes:
Sen(x + y) = SenxCosy + Cosx Seny
Sen(x – y) = SenxCosy – Cosx Seny
∀ x, y ∈
∀ x, y ∈
Cos(x + y) = CosxCosxy – Senx Seny
Cos(x – y) = CosxCosy + Senx Seny
∀ x, y ∈
∀ x, y ∈
Tan(x + y) =
Tanx + Tany 1 – TanxTany
Tan(x – y) =
∀ x, y, (x – y) ≠ (2k + 1) p/2; K ∈
∀ x, y, (x + y) ≠ (2k + 1) p/2; K ∈
Ejemplo:
Ejemplo:
Calcule el valor de Sen75°
Expresamos nuestra variable que es "75°" en función de ángulos conocidos por ejemplo "45° + 30°", para luego aplicar las identidades de la suma de ángulos • Sen75° = Sen(45° + 30°) = Sen45°Cos30° + Sen30°cos45°
Sen75° =
2× 3+ 1× 2 2 2 2 2
Sen75° =
6+ 2 4
san marcos REGULAR 2014 – Ii
Calcule el valor de Tan8°
Resolución
Tanx – Tany 1 + TanxTany
Resolución:
Expresaremos nuestra variable 8° en función de ángulos conocidos. •
Tan8° = Tan(45° – 37°) =
Tan45° – Tan37° 1 + Tan45° × Tan37°
3 1 4 Tan8° = = 4 3 7 1+ 4 4 1–
Tan8° =
11
1 7
TRIGONOMETRÍA
Tema 10
identidades trigonométricas de arcos compuestos
III. demostración del seno y coseno de la suma de dos ángulos
Observación: p 4 Tana ± Tanb ± TanaTanb = 1
Del siguiente gráfico:
Si : a ± b = 45° < > y C.T.
Q
Seny 1
Senq
P
A'
R
SenxSeny x
SenyCosx T
M sy y Co SenxCosx q x Cosq CosxCosy S A
Importante:
C.T.
f(x) = aSenx ± bCosx; x ∈ a2 + b2 ≤ f(x) ≤ + a2 + b2
x
En el gráfico se observa que q ∧ (y + x) son suplementarios
" Senq = Sen(y + x)
" Cosq = –Cos(x + y)
v. propiedades para tres ángulos
Ademas QP = RS
Senq = SenxCosy + SenyCosx
Estas propiedades se cumplen siempre que los tres ángulos estén relacionados bajo una condición
1. Siendo:
∴Sen(x + y) = SenxCosy + SenyCosx
También: PS = QR
Cosq + CosxCosy = SenxSeny
Cosq = SenxSeny – CosxCosy
–Cos(x + y) – CosxCosy
x + y + z = p ó kp, k ∈
Tanx + Tany + Tanz = TanxTanyTanz CotxCoty + CotxCotz + CotyCotz = 1
∴Cos(x + y) = CosxCosy – SenxSeny
p ;n ∈ 2 ∀x, y, z ≠ np,n ∈
2. Siendo:
∀x, y, z ≠ (2n + 1)
iv. identidades auxiliares Sen(x ± y) = Tanx ± Tany CosxCosy
Sen(x + y)Sen(x – y) = Sen2x – Sen2y Sen(x + y)Sen(x – y) = Cos2y – Cos2x
x + y + z = p ó (2k + 1) p ;k ∈ 2 2
Cotx + Coty + Cotz = CotxCotyCotz Cos(x + y)Cos(x – y) = Cos2x – Sen2y
TanxTany + TanxTanz + TanyTanz = 1 ∀x, y, z ≠ np;n ∈
Tan(x ± y) = Tanx ± Tany ± TanxTanyTan(x ± y)
Tema 10
TRIGONOMETRÍA
22
∀x, y, z ≠ (2n + 1)
p ;n ∈ 2
san marcos REGULAR 2014 – Ii
identidades trigonométricas de arcos compuestos
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Indique la expresión equivalente a p p p E = Cos – – x + Cosx x – + Cosx, ] 0; [ 6 2 6
A) 3Cosx
C) 3 2/2
D) –5 3/9 E) –4 3/9 UNMSM 2014–II
UNMSM 2014–Ii
D) ( 3 + 1)Cosx
Resolución:
E) (2 + 3 )Cosx UNMSM 2014–Ii
Resolución: Planteamiento Sabemos: Cos(x ± y) = Cosx.Cosy ± Senx.Seny Cos(–A – B) = Cos(A + B) Desarrollando las formulas: p p p E = Cos .Cosx – Sen Senx + Cosx.Cos + 6 6 6
E = 2Cos
B) –7 3/9 C) –7/2 3
E) 2
C) ( 3 + 3)Cosx
A) –5/ 3
B) 3 2 D) 2 3
B) 2 3Cosx
Senx.Sen
Problema 2 p Si: a + b = , halle (1 – cota)(1 – cotb) 4 A) 2/3
p + Cosx 6
Inicialmente ubicamos la propiedad p a + b = " Tana + Tanb + Tana.Tanb = 1 4 En base a esta propiedad, se procederá a indicar la forma de la incógnita.
Dividiendo miembro a miembro por " Tana.Tanb" Cotb + Cota + 1 = Cota.Cotb
•
Ángulos compuestos
•
Se observa teoría de ángulo exterior
Operación del problema:
Tana = 2 3
Trasponiendo (Cotb – Cota.Cotb) – (Cota – 1) + 1 = –1 Cotb(1 – Cota) – (Cota – 1) = 2
q = (60° + a) Cota = Cot(60° + a) Desarrollando Cotq =
Problema 3 En la figura, Tana = 2 3
E = ( 3 + 1)Cosx
q
60°
Ángulo exterior
Respuesta: E E = 3Cosx + Cosx
Planteamiento
a
Tana + Tanb + Tana.Tanb = 1
Factorizando:
p Cosx + Cosx 6
Resolución:
Cotq =
1 – ( 3)(2 3) 3 +2 3 –5 3 9
a
Respuesta: D
san marcos REGULAR 2014 – Ii
Respuesta: D
q
60°
33
TRIGONOMETRÍA
Tema 10
identidades trigonométricas de arcos compuestos
PROBLEMAS de clase 8. En en gráfico, calcule 15(Tana + Tanb)
EJERCITACIÓN
B
1. Calcule el valor de: 2.Sen57° – Cos27° Sen27° B) –1 E) 2
A) 1 D) – 3
4u E C) 3
3u D 1u
2. Reduzca la expresión Senq Cos(45° + q) + Secq 2 A) 3 D) 2Tanq
B) 1 E) 2Secq
A
C) 2/2
3. Calcule el valor de M 1 1 ; x = 15° M= – Tan7x – Tan3x Cot7x – Cot3x A) 3 B) 3/3 C) 1 D) 3 – 1 E) 3 + 1
A) 1 D) 1/4
B) 1/2 E) 3/2
B) 0,4 E) 0,7
A) 12
B) 13
D) 15
E) 16
C C) 14
Calcule: Sen2 (x + y) + 2Sen2 x + Sen2 (x – y) – 2Sen2 y A) a
B) –a
D) –2a
E) ±2a
C) ±a
sistematización
C) 2
10. Si: 5Cosa = 2Cos(a – 2q)
5. Calcule el valor aproximado de: (Cos60° – Sen7°)(Cos60° + Sen7°) Sen23° A) 0,5 D) 0,6
4u
9. Si Senx.Cosy = a
4. Reduzca la expresión
1 – Sen2q 4 M= Sen(30° – q)Cos(60° – q)
b a
C) 0,3
Calcule: Cot(a – q) × Cotq A) 4/5
B) 3/4
D) 7/3
E) 7/3
C) –7/3
11. Con los datos del triángulos ABC del gráfico y Tan(q – a) = 0,4, calcule x.
PROFUNDIZACIÓN
A
6. Del gráfico, calcule Cosq A
q
B A) –16/65 D) –56/65
q a 5
D
37° 21 B) 56/65 E) –13/65
B
C) 16/65
7. Calcule el valor de:
A) 40
B) 38,5
D) 45,5
E) 42,5
Tema 10
C C) 45
3Cos10° + 2Cos40° + 3cos80°
2Sen72° – Sen27° B) 1 E) 1/2
3
12. Simplifique la expresión:
2Sen57° – 3Sen27° A) 3/2 D) 2/2
x
C
C) 2
TRIGONOMETRÍA
44
A) 2Sen70°
B) Cos50°
D) Sen50°
E) 2Cos50°
C) 4Sen70°
san marcos REGULAR 2014 – Ii
TRIGONOMETRÍA TEMA 11
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO MÚLTIPLE I SNII2T11
DESARROLLO DEL TEMA IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO DOBLE El objeto de estas igualdades es expresar las razones trigonométricas del ángulo doble en términos de las razones trigonométricas del ángulo simple ; estas igualdades serán válidas para todos los valores admisibles de sus variables.
Sen2x = 1 – Cos2x ⇒ Cos2x = Cos2x – (1 – Cos2x) Cos2x = 2Cos2x – 1
II. IDENTIDADES AUXILIARES 1 + Cos2x = 2Cos2x
I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES 1 – Cos2x = 2Sen2x Senx = 2SenxCosx ∀x∈
Cotx – Tanx = 2Cot.2x
Cos2x = Cos2x – Sen2x
Cotx + Tanx = 2Csc2x
∀x∈ Tan2x =
III. ÁNGULO DOBLE EN FUNCIÓN DE TANGENTES
2Tanx 1 – Tan2x
∀ x ≠ {(2n + 1) p ; (2n + 1) p }; n ∈ 4 2
Observación: Con la ayuda de la identidad sen2x + cos2x = 1, se puede expresar el coseno del ángulo doble (cos2x), ya sea en función del seno o coseno del ángulo simple (senx o cosx) para lo cual procederemos del modo siguiente:
Sabemos que: Cos2x = Cos2x – Sen2x = 1 Pero: Cos2x = 1 – Sen2x ⇒ Cos2x = (1 – Sen2x) – Sen2x ∴ Cos2x = 1 – 2Sen2x
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
1 + Tan2x
Sabemos que: Cos2x = Cos2x – Sen2x Pero:
11
Cuando se quiera expresar las razones trigonométricas del ángulo doble [RT(2x)] en función de la tangente del ángulo simple (Tanx), convendría elaborar el triángulo de las tangentes:
2Tanx
1 – Tan2x ⇒ Sen2x =
2Tanx 1 + Tan2x
⇒ Cos2x =
1 – Tan2x 1 + Tan2x
⇒ Tan2x =
2Tanx 1 – Tan2x
TRIGONOMETRÍA
TEMA 11
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO MÚLTIPLE I
IV. DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES • Demostración de Sen2x = 2SenxCosx
Sabemos que:
Sen(a + q) = Senacosq + senqCosa Haciendo a = x ∧ q = x tendremos: Sen(x + x) = SenxCosx + SenxCosx
2 ∴
•
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁRCO MITAD DEFINICIÓN El objeto de estas igualdades es expresar las razones x a q trigonométricas del ángulo mitad ; ;... en términos de 2 2 2 las razones trigonométricas del ángulo simple estas igualdades son válidas para todos los valores admisibles de sus variables.
I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES
Sen2x = 2Senx.Cosx
Demostración de:
Cos2x = Cos2x – Sen2x
Sabemos que:
x 1 – Cosx Sen = ± 2 2
Cos(a + q) = CosaCosq – SenaSenq
∀x∈
Haciendo; a = x ∧ q = x; tendremos: Cos(x + x) = CosxCosx + SenxSenx
x 1 + Cosx Cos = ± 2 2
2 ∴
∀x∈
Cos2x = Cos2x.Sen2x
Demostración de: 2Tanx Tan2x = 1 – Tan2x
∀ x ∈ – {2n – 1}; n ∈
Sabemos que:
Tana + Tanq Tan(a + q) = 1 – TanaTanq
∴
Tan2x =
x 1 + Cosx Cot = ± 1 – Cosx 2
Haciendo; a = x ∧ q = x; tendremos: Tan + tanx Tan(x + x) = 1 – Tanx.Tanx 2x
x 1 – Cosx Tan = ± 1 + Cosx 2
•
∀ x ∈ – {2np}; n ∈
2Tanx 1 – Tan2x
Observación: El signo que aparece en los radicales depende del cuadrante en el cual se ubique el ángulo mitad x y 2 del ordenador que lo afecte.
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Simplificar:
A=
A=
Sen20° + Sen10° 2Cos10° + 1
A) Sen5° B) Sen20° C) Sen10° D) Sen15° E) Sen25°
A) 1/12 D) 1/8
2Sen10°Cos10° + Sen10° 2Cos10° + 1
NIVEL INTERMEDIO
Resolución: Por degradación de arco doble 2Sen2a = 1 – Cos2a
Respuesta: C) Sen10° UNMSM - 2000
Resolución: Desarrolamos por arco doble Sen20° = 2Sen10°.Cos10°
TEMA 11
Remplazando Cos4a + 1 – cos2a = 0
Problema 2 Si: Cos4a + 2Sen2a = 0 y Cos2a ± 0 Calcule Cos2a
TRIGONOMETRÍA
C) 2/9 UNMSM 2011-I
Factorizando Sen10° (2Cos10° + 1) A= 2Cos10° + 1 A = Sen10°
NIVEL FÁCIL
B) 1/3 E) 3/4
22
2Cos22a – Cos2a = 0 Cos2a(2Cos2a – 1) = 0; (Cos2a ≠ 0 )
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO MÚLTIPLE I
1 A) CosaSen3a cm2 2
Nos queda: 2Cos2a – 1 = 0 Por arco doble: 2(2Cos2a – 1) – 1= 0 4Cos2a – 3 = 0 Cos2a = 3/4
C a
1 B) Cos4aSena cm2 2
Respuesta: E) 3/4
Problema 3 En el gráfico, el triángulo rectángulo ABC es recto en B (a < 45°) y AM = MC = 1/2 cm. Calcular el área del triángulo ABC. C
1 C) Cos2aSena cm2 2
a
1 D) Cos3aSena cm2 2 1 E) CosaSen2a cm2 2
M
B
2a M 1 Cos2a B 2
S ABC =
11 1 Sen2a (1 + Cos2a) 2 2 2
S ABC =
11 1 2Sen2a (2Cos2a) 2 2 2
S ABC =
1 SenaCos 3a cm2 2
UNMSM 2010–II
A
1 2
A
NIVEL INTERMEDIO
a
1 Sen2a 2
1 2
Resolución: Por resolución en (MCB)
Respuesta: E) 2 + 1
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Simplifica la expresión R= A) Tan(x/2) D) Cotx
Secx – 1 ; x ∈ 〈0; 90°〉 Secx + 1 B) Cot(x/2) E) 2
2. Hallar el valor de: A = Sec20°Sec40°Sec80° A) 4 B) 10 D) 12 E) 8
4. Si Cos2x + Cos2y + Cos2z = a Calcule: Cos2x + cos2y + Cos2z A) a – 3 B) 2a – 3 D) 2a + 3 E) 6a – 2
B) –
1 5
D) –
1 4
E) –
1 6
C)
1 5
C)
5 6
PROFUNDIZACIÓN 6. Si: Cscb = –
C) 6
B) ±1/ 2 E) ±1/ 6
1 3
C) Tanx
1 3. Si Senq = 3 Calcule: q Tan 45° – 2 A) ±1/ 3 D) ±1/ 5
A) –
Calcule: b Sen 2
6 11
; 180° < b < 270°
A)
11 12
B)
10 11
D)
7 8
E)
5 7
C) ±1/2
7. Simplificar: C) a + 3
T=
5 5. Si: Tanq = 180° < q < 270° 2 Calcule: q Cos 2
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
A) 1/ 2 D) 1/4
33
(1 + Cos2x)(Csc2x – Cot2x) x Sen2x(1 + Cosx) 1 + Tan2 2 B) 1 E) 2
TRIGONOMETRÍA
C) 1/2
TEMA 11
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO MÚLTIPLE I
8. Reduce en términos de "x" (Senq + Cosq)2 – 1 A= –1 (Senf + C os f)2 – 1
Si: Cosq.Cosf = Senx Senq.Senf = Cosx 1 1 A) – Sen4x B) Sen2x 2 2 1 D) Sen4x E) 2Sen2x 4
11. Si: Sena =
1 C) Sen4x 2
9. Reducir: M= A) Senx D) 2Sex
1 – Cos4x ;(4x : agudo) 1 – Cos2x B) Cosx E) 2Cosx
Halle: Tan a 2 A)
a +1 b +1
B)
a –1 b –1
C)
a+b b–b
D)
a–b b+b
b E) a
C) Tanx
SISTEMATIZACIÓN q 10. Si: Tan = a 2 Calcula: M = Senq + Cosq + 1 2a A) a + 1 B) 2(1 + a) C) 2 a2 3(1 a ) 1+ a 2 1 – a 3 D) E) a 1 + a2
TEMA 11
2ab a2 + b2
TRIGONOMETRÍA
12. Si la siguiente igualdad: 2 2 + = P + qCot2 x 1 + Cosx Secx – 1
Verifica una identidad: Hallar "p + q" A) 1 D) 4
44
B) 2
E) 3Csc p 6
C) 3
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
trigonometría tema 12
identidades trigonométricas para arco múltiple ii
SnIi2t12
DESARROLLO DEL TEMA i. fórmula racionalizada del ángulo mitad A. Tan x = Cscx – Cotx
ii. identidades auxiliares
2
Sabemos: x • Cscx + Cotx = Cot ........ (I) x2 • Cscx – Cotx = Tan ........ (II) 2
Demostración de: x Tan = Cscx – Cotx 2 Sabemos que: x x 2 ; multiplicando por: Tan = 2 Cos x 2 x 2Sen (Numerador y denominador), tendremos: 2 x x x Sen 2Sen 2Sen x 1 – Cosx 2. 2= 2 = Tan = Senx 2 Cos x 2Sen x 2Sen x Cos x 2 2 2 2 Sen
x 1 Cosx Tan = – ∴ 2 Senx Senx
B. Cot
Tan
(I)+(II) ⇒ 2Cscx = Cot
x x + Tan 2 2
2Cotx = Cot
x x – Tan 2 2
(I)–(II) ⇒
Ejercicios de aplicación • • • •
Senx
x 1 Cosx x Cot = + Cot = Cscx + Cotx 2 Senx Senx ∴ 2
x = Cscx – Cotx 2
Csc40° + Cot40° = Cot20° Csc6a – Cot6a = Tan3a Cot20° + Tan20° = 2Csc40° Cot12q – Tan12q = 2Cot24q
iii. identidades del ángulo triple A. Sen3x = 3Senx – 4Sen3x
x = Cscx + Cotx 2
Demostración de: x Cot = Cscx + Cotx 2 Sabemos que: x Cos x 2 ; multiplicando por: Cot = 2 Sen x 2 x 2Cos (Numerador y denominador), tendremos: 2 x x x Cos 2Cos 2Cos 2 x 2. 2= 2 = 1 + Cosx Cot = Senx 2 Sen x 2Cos x 2Sen x Cos x 2 2 2 2 Senx
san marcos REGULAR 2014 – Ii
11
Demostración: Sen3x = Sen(2x+x) Sen3x = Sen2xCosx + Cos2Senx
Sabemos por ángulo doble: Sen2x = 2SenxCosx Cos2x = 1 – 2Sen2x
Reemplazando: Sen3x = (2Senx Cosx) Cosx + (1–2Sen2x) Senx Sen3x = 2Senx Cos2x + Sen – 2Sen3x 2 2 Sabemos: Cos x = 1 – Sen x
trigonometría
Tema 12
identidades trigonométricas para arco múltiple ii
Reemplazando: Sen3x = 2Senx (1 – 2Sen2x) + Senx – 2Sen3x Sen3x = 2Senx – 2Sen3x + Senx – 2Sen3x Sen3x = 3Senx – 4Sen3x Análogamente:
Tan ( A + B + C ) =
Sea: Tan3x = Tan(x+x+x) Tan3x =
Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx
Tan3x =
3Tanx – Tan3x 1 – 3Tan2x
En general:
Demostración: Sabemos: Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx 2 Cos3x = Cosx 2 x 2Cos x – 3 Recordando:
Sen3x = 3Senx – 4Sen3x Sen3x = Senx(2Cos2x+1) Sen3x = 4SenxSen(60°–x) Sen(60°+x) Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx Cos3x = Cosx(2Cos2x–1) Cos3x = 4CosxCos(60°–x) Cos(60°+x)
1+Cos2x = 2Cos2x Doble Observación:
Tan3x =
Triángulo notable
3Tanx – Tan3x 1 – 3Tan2x
Tan3x = TanxTan ( 60° – x ) Tan ( 60° + x )
72° 5 –1
18°
10 + 2 5
Nota: Cot3x = Cotx Cot(60°–x) Cot(60°+x)
Observación:
Cos3x = Cosx[2(1+Cos2x)–3] Cos3x = Cosx(2Cos2x–3)
C. Tan3x =
Tanx + Tanx + Tanx – TanxTanxTanx 1 – ( TanxTanx + TanxTanx + TanxTanx )
Efectuando operaciones:
B. Cos3x = Cosx(2Cosx2x–1)
4
TanA + TanB + TanC – TanATanBTanC 1 – ( TanATanB + TanATanC + TanBTanC )
Triángulo notable 4
3Tanx – Tan3x 1 – 3Tan2x
54° 10 – 2 5
36°
Demostración: Sabemos:
5+1
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 p x Si: x+y = y además Cot = 2+Secy 2 2 Calcular: K = 6Tanx + 5 Cosx A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3 Nivel intermedio
Por razones complementarias: Secy = Cscx Reemplazando
Aplicamos la fórmula de ángulo mitad Cscx + Cotx = 2 + Secy
Tema 12
Respuesta: 5
2 → CA 1 → CO
Cotx =
5
1
Resolución:
Reemplazando en K 2 1 K = 6 + 5 → K = 5 2 5
trigonometría
2
22
x
Problema 2 Hacer más simple la expresión: E = 4Cos2x – Cos3xSecx A) 1 B) –1 C) 3 D) 4 E) 5 Nivel intermedio
san marcos REGULAR 2014 – Ii
identidades trigonométricas para arco múltiple ii
Resolución:
(
)
1 E = 4Cos 2x – 4Cos 3x – 3Cosx Cosx Factorizando en el 2.° término
(
)
1 E = 4Cos 2x – Cosx 4Cos 2x – 3 Cosx E = 4Cos2x – 4Cos2x + 3 = 3
Problema 3 Simplifcar: B = Tanx . Cos3x + 2Senx A) Sen3x B) Cos3x C) Sen23x 3x D) Cos23x E) Sen 2 San Marcos 2008 Nivel difícil
Resolución: Sabemos:
Respuesta: 3
Reemplazando: Senx B = Cosx(2Cos2x – 1) + 2Senx C os x Simplificar: B = Senx (2Cosx 2x –1)+2 Senx Factorizando: (Senx) B = Senx (2Cos 2x – 1 + 2) B = Senx (2Cos 2x + 1) B = Sen3x
Respuesta: Sen3x
Cos3x = Cosx (2Cos2x–1)
PROBLEMAS de clase ejercitación 1. Sabiendo que:
Cotq =–2 2 ; q∈IIC; calcular: C = Sen3q Secq A) 17 2 36
B) –17 2 36
C) 23 2 36
D)
E) –7 2 36
–23 2 36
3. De la siguiente igualdad calcular "k". Sen3a Cos3a + =2k Coskq Sena Cosa B) 1 E) 8
C) 2
4. Del gráfico, determinar "x". C
m
A A)
m 2
q
2q
m+n m
n
m+n m
C) n 2
m–n m
n 2
m–n n
m E) 2
m+n n
D)
5. Reducir: M = Tan
2. Siendo: 1 2q = ; calcular: "Sen2q" Sen 3 3 A) 1 B) –23/27 C) 23/27 D) 1/g E) –1/g
A) 0 D) 4
n B) 2
A) 1 D) 4
B) 1 E) 5
( (
1 – Senq 1 + Senq C) 3
4(Cos 310° + 3Sen310°)
A) 6 D) 8
Cos10° + 3Sen10° B) 2 E) 4
C) 3
3SenaCota – Sen3aCota +1 Cos3a + 3Cosa se obtiene: M=
san marcos REGULAR 2014 – Ii
33
) )
A) Tan12° Cot18° B) Cot6° Tan54° C) Tan54° D) Tan18° Cot12° E) Tan6° Cot54°
Cos18x + 3Cos6x – 4Sen3 6x –4 Cos6x – Sen6x = 4MCos3xCos6x A) Cos6x C) Sen3x E) 2Sen3x
B) 2Cos3x D) Sen6x
11. Si: Tan(24°+q)=2, calcule: Tan(63°–3q) A) 12/5 B) –4/3 C) 3/2 D) –13/9 E) –15/8 12. Calcular el valor numérico de: K = ( 5 – 1)Cot9° – ( 5 + 1)Cot27°
8. Simplificar la expresión:
B
)( )(
10. Determinar "M" si:
7. Calcular el valor de la expresión
de la expresión: 1 – Cos36° 2 1 + Cos36° 2
sistematización
6. Sabiendo que: x x (CosxSec –1) (SenxCsc +1) 3 3 2a x) = a(b+Cos 3 Calcule: ab+a+b; si a > 0 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
M=
B) Csc2a D) 1 + Tan3a
9. Calcular el valor 1 – Cos12° K= 2 1 + Cos12° 2
profundización
D x
( p4 + 2q ) ⋅
A) Sec2a C) Tan4a E) 1 + Tan4a
2
+8 5 A) 17 D) 20
B) 18 E) 21
trigonometría
C) 19
Tema 12
trigonometría tema 13
transformaciones trigonométricas
SnIi2t13
DESARROLLO DEL TEMA I. DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
Sumando tendremos:
Sen(x + y) + Sen(x – y) = 2SenxCosy
Se le suele llamar también factorización trigonométrica
A
y consiste en expresar mediante un producto una determinada suma o diferencia. Para transformar a producto una expresión, esta deberá estar compuesta por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con ángulos
x + y = A Haciendo: x – y = B Se obtiene: x =
ordenados de mayor a menor. Los ángulos resultantes en los factores del producto serán la semisuma y la
B
A +B A –B ∧y= 2 2
semidiferencia de los ángulos iniciales.
A +B A –B ∴ Sen(A) + Sen(B) = 2Sen 2 Cos 2
A. Suma o diferencia de senos a producto
Restando tendremos:
Sen(x + y) – Sen(x – y) = 2SenyCosx
A +B A –B SenA + SenB = 2Sen Cos 2 2
A
x + y = A Haciendo: x – y = B
A –B A +B SenA – SenB = 2Sen Cos 2 2
Se obtiene: x =
B. Suma o diferencia de cosenos a producto ∴
A +B A –B CosA + CosB = 2Cos Cos 2 2 A +B A –B CosA – CosB = –2Sen Sen 2 2
B
A +B A –B ∧y= 2 2
A –B A +B Sen(A) – Sen(B) = 2Sen Cos 2 2
B. Demostración de la transformación de cosenos Para efectuar estas demostraciones partiremos del coseno de la suma y diferencia de dos arcos (identidades de ángulos compuestos).
II. DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES
Cos(x + y) = CosxCosy – SenxSeny Sabemos que: Cos(x – y) = CosxCosy + SenxSeny
A. Demostración de la transformación de senos
Sumando tendremos:
Para efectuar estás demostraciones partiremos del
Cos(x + y) + Cos(x – y) = 2CosxCosy A
seno de la suma y diferencia de dos arcos (identidades
B
de ángulos compuestos).
x + y = A Haciendo: x – y = B
Sen(x + y) = SenxCosy + SenyCosx Sabemos que: Sen(x – y) = SenxCosy – SenyCosx
san marcos REGULAR 2014 – Ii
11
Se obtiene: x =
A +B A –B ∧y= 2 2
trigonometría
Tema 13
transformaciones trigonométricas
A + B Cos A – B ∴ Cos(A) + Cos(B) = 2Cos 2 2
III. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar mediante una suma o diferencia un determinado producto.
Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos.
Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales.
Restando tendremos: Cos(x + y) – Cos(x – y) = –2SenxSeny A
B
x + y = A Haciendo: x – y = B
Se obtiene: x =
A +B A –B ∧y= 2 2
2SenACosB = Sen(A + B) + Sen(A – B) 2CosACosB = Cos(A + B) + Cos(A – B) 2SenASenB = Cos(A – B) – Cos(A + B)
A – B Sen A + B Cos(A) – Cos(B) = –2Sen 2 2
∴
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Simplificar: A= A) 2 2
A= Sen17°+Cos17° Sen31° Cos31° B) 2 2 C) 2
Por ángulos complementarios: Sen17° = Cos73°
Transformando a producto: 2Cos45° Cos28° Sen31°Cos31°
2 2 Cos28° Reemplazando y 2 aplicando artificio = 2 Sen31° Cos31° en el denominador. 2 Operando convenientemente: A=
2 2Cos28° Por razones complementarias Sen62°
Tema 13
Respuesta:
Problema 2
2 10 10 3 10 A) B) C) 5 5 5 5 2 5 D) E) 5 5
Cos73°+Cos17° Sen31°Cos31°
1 10 N = 2 → N= 5 10
Respuesta: 2 2
Si Tana = 3; 0 < a <
Resolución:
A=
p 2 Sen8a – Sen4a calcule N = 2Sena Cos6a
2 D) 4 2 E) 4
A=
2 2Cos28° → A=2 2 Cos28°
UNMSM - 2008
Resolución:
Transformando a producto el numerador. Sen2a 2Cos6a Sen2a = N= Sena 2Sena Cos6a Por seno del doble 2Sena Cosa → N = 2Cosa .... (I) N= Sena Dato:
trigonometría
Problema 3 Calcule: K = Cos40° + Cos80° + Cos160° A) 1 B) –1 C) 0 D) 1/2 E) –1/2
UNMSM - 2014
Resolución:
3 Tana = 1 En (I)
10 5
Agrupando: K = (Cos80°+Cos40°)+Cos160° Transformando a producto y por reducción al primer cuadrante: K = 2Cos60° Cos20°+ Cos(180°–20°) Por fórmula y reemplazando valores: K= 2
10
3
a 1
22
( 12 ) Cos20°+(–Cos20°) → K = 0
Respuesta: 0
san marcos REGULAR 2014 – Ii
transformaciones trigonométricas
PROBLEMAS de clase
EJERCITACIÓN 1. Indique el valor de: A = 2Cos110° Cos70° – Cos40° A) 1 B) –1 C) 0 D) 2 E) –2 2. Simplifique: 2SenxCos5x+Sen4x A= –1 Sen2x A) 2Sen3x C) 2Sen4x E) 2Sen5x
B) 2Cos3x D) 2Cos4x
3. Simplifique: Sen11x+Sen7x M= –1 Sen5x+Senx A) 2Sen3x C) 2Cos3x E) 2Sen8x
B) 2Sen6x D) 2Cos6x
4. Simplifique: K= (2Sen5x Cosx–Sen6x)2–Cos24x A) Cos8x C) –Cos8x E) Cos4x
B) Cos6x D) –Cos6x
5. Reducir: K=8Sen3xCos3xCos6xCos7x–Sen5x
A) Sen19x C) Sen17x E) Sen3x
B) Sen18x D) Sen16x
profundización
9. Indique el valor de: A = 4Cos60°Sen220°+Csc30°Cos210° +Cot26°30'Sen2140° A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/3 E) 3
6. Luego de simplificar, indique un factor. A = Sen11xCosx – Sen4xCos8x A) Sen3x B) Sen4x C) Sen5x D) Sen6x E) Sen7x
sistematización
7. Determine una expresión más simple. Sen12xCos2x–Sen5xCos9x K= 2Sen9xCos2x – Sen11x
11. Simplifique: A = Cos3(x–120°)+Cos3x +Cos3(x+120°) 1 B) 4Cos3x A) Cos3x 4 4 C) 3Cos3x D) Cos3x 3 3 E) Cos3x 4
A) Cosx C) Cos3x E) Cos5x
B) Cos2x D) Cos4x
8. Simplifique: 1+2Sen2x A= 4Cos(75°–x) A) Sen(5°+x) B) Sen(35°+x) C) Sen(55°+x) D) Sen(75°+x) E) Sen(85°+x)
san marcos REGULAR 2014 – Ii
33
10. Indique una expresión más simple A = (3+5Sen23°)Sec7° A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12. Indique una expresión equivalente a: K = 2Cos320°–2Cos200°+1 A) Sen50° Sec10° B) Sen40° Sec10° C) Sen50°Sec20° D) Sen50°Csc20° E) Sen50°Csc10°
trigonometría
Tema 13
TRIGONOMETRÍA TEMA 14
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS SNII2T14
DESARROLLO DEL TEMA Con frecuencia, en las aplicaciones prácticas el valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplos, el salario de una persona puede depender del número de horas que trabaje; si se registra la temperatura del aire a lo largo de un día, entonces, a cada instante de tiempo le corresponde una temperatura; etc. La relación entre este tipo de cantidades suele expresarse mediante una función.
I. DEFINICIÓN
Una función f de un conjunto A en otro conjunto B(f: A→B) es una correspondencia que asigna a cada elemento x de A un único elemento y de B. Esta correspondencia se expresa frecuentemente por medio de una relación y = f(x). A x
+
B
IV. RANGO DE UNA FUNCIÓN
Sea f: A → B una función real de variable real, el rango de f (denotado por Ran(f)) está formado por todos los valores de y∈ B. Se calcula a partir del dominio.
Observación 1: Sea y = f(x) una función. La variable x se llama variable independiente porque se le puede asignar cualquiera de los números permisibles del dominio. La variable y se llama variable dependiente porque su valor depende de x.
V. ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN y = Senx
y
y y=Senx
Ejemplo: La ecuación y = Senx define una función para la cual A es el conjunto de todos los números reales y B es el conjunto [–1; 1]. El valor de y asignado al valor de x se obtiene al hallar el Senx.
–p
f: A → B es una función real de variable real si: A ⊂ R ∧ B ⊂ R
III. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Sea f: A → B es una función real de variable real, el dominio de f está formado por todos los valores de x ∈ A que garantizan la existencia de y = f(x).
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
11
p 2
0 –1
Observación: Para denotar funciones se utilizan símbolos como f, g y h. El elemento y de B es el valor (funcional) de f en x y se denota por f(x) (notación que se lee "f de x").
II. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
–p 2
p
3p 2
2p
x
T=2p
x
y=Senx
0 p 2 p
0 1 0
• Características del senoide • El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. • El rango de la función consiste en todos los números reales entre –1 y 1, inclusive. • El máximo valor de la función es 1. • El mínimo valor de la función es –1. • La función seno es periódica, con periodo 2p.
TRIGONOMETRÍA
TEMA 14
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
Observación 3: Gráfica de la función que tiene por regla de correspondencia: y = A Sen(Bx + C) + D
Observación 2: Gráfica de la función que tiene por regla de correspondencia: y = A SenBx; A> 0 y B > 0 y y=ASenBx A p B
2p B
–A
y
y=D
x
–C B
2p B
T=
• Función periódica Una función f se dice que es periódica cuando existe un número real T ≠ 0, tal que f(x+T) = f(x); ∀x; x+T ∈ Dom(f). El menor número positivo T se denomina periodo, periodo principal o periodo mínimo de la función.
y
y=Cosx
p 2
p
3p 2
2p
Observación 4: La gráfica de una función periódica es repetitiva a lo largo del eje de abscisas. y T
x
T=2p
x
y=Cosx
0 p 2 p
1
2p B
Características • Amplitud de la función |A| • Periodo de la función: T = 2p |B| C • Cambio de fase o número de fase: – B • Desplazamiento vertical: D
VI. ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN y = Cosx
0
x
T=
Características • Máximo valor de la función A • Mínimo valor de la función –A • Periodo: T = 2p B • Amplitud: |A|
–p 2
y=ASen(Bx+C)+D
x
0 –1
• Características de la función coseno • El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. • El rango de la función consiste en todos los números reales entre –1 y 1, inclusive. • El máximo valor de la función es 1. • El mínimo valor de la función es –1. • La función coseno es periódica, con periodo 2p.
Nota: g(x) = A.FTn (Bx + C) + D F.T.: Sen0, Cos0 A,B,C,D∈R n∈Z+ p • Para n par el periodo es igual a |B| 2p • Para n impar el periodo es igual a |B|
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Calcule el rango de la función definida por f(x) = Sen3x+Senx Sen2x A) R
B) [–1;1〉 C) 〈–2;2〉
D) R–{0} E) 〈–2;2〉 – {0}
TEMA 14
Resolución: Aplicando Senq + Senα = 2Sen
( q +2 α ) Cos ( q –2 α )
→ f(x) = 2Sen2xCosx Sen2x f(x) = 2Cosx
TRIGONOMETRÍA
22
Ahora, calculemos el dominio de la función f(x). → Sen2x ≠ 0 Recordando Sen(np) = 0; n∈Z → 2x ≠ np p x ≠ n ; n∈Z 2
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
→ Cosx ≠ –1; 0; 1 Ahora, calculemos el rango de f(x)
–1 < Cosx < 1 ∧ Cosx ≠ 0
→ –2 < 2Cosx < 2 ∧ 2Cosx ≠ 0 → –2 < f(x) < 2 ∧ f(x) ≠ 0 Por lo tanto: f(x) ∈ 〈–2; 2〉 – {0}
Respuesta: 〈–2; 2〉 – {0}
Problema 2 Grafique la función definida por: p f(x) = 2Cos 2x – + 5 3
Resolución:
y G(x)=2Cos(2x–p/3) 2 0 p 6 –2
5p 12
11p 12
7p 6
x
Ahora, desplacemos la gráfica de la función G(x) verticalmente en5 unidades. f(x)=2Cos(2x–p/3)+5
y 7
x x x – 2Sen Cos = 0 2 2 2 x x x → 2Cos Cos – Sen =0 2 2 2
→ 2Cos2
(
)
Luego: x x p = 0 → = (2k+1) 2 2 2 → x = (2k+1)p
I. Cos
5
x x – Sen = 0 2 2 x → Tan = 1 2 x p → = kp + 2 4 p → x = (4k+1) 2 p x = {(2k+1)p} ∪ {(4k+1) } 2 los cuales son los valores que no puede tomar x II. Cos
3
Resolución: Grafiquemos primero la función p G(x) = 2Cos 2x – 3 p * 0 ≤ 2x – ≤ 2p 3 p 7p p 7p ≤ 2x ≤ → ≤x≤ 3 3 6 3 Ahora, dividamos el intervalo p ; 7p 6 6 en cuatro partes iguales y grafiquemos G(x) en dicho intervalo.
2p 3
1 + Cosx – Senx = 0 Aplicando identidades del ángulo doble. * Sen2q = 2SenqCosq * 2Cos2q = 1 + Cos2q
p 6
5p 12
2p 3
11p 12
7p 6
x
Problema 3 Calcule el dominio de la función f(x) = (1 + Cosx – Senx)–1; k∈ Z A) R
B) R – 2kp
C) (2k+1)p
D) 2kp
p ∴ Df = R – {(2k+1)p ∪ (4k+1) } 2
Respuesta: R – {(2k+1)p ∪ (4k+1)p/2}
E) R – {(2k+1)p ∪ (4k+1)p/2}
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN p 2 1. Si el punto M ;2n + , perte2 8 nece a la gráfica de la función f(x). Tan2x f(x) = 2 Calcule n. 2 A) 2 2 D) 16
2 4 3 E) 2 B)
4. Calcule el dominio de la función:
p 2 E) A = 5; T = 2p D) A = 1; T =
2 C) 8
2. Calcule la amplitud (A) y periodo (T) de la función: x x f(x) = 16Sen – 9Cos 2 2 p A) A = 5; T = 2 p B) A = 1; T = 2 C) A = 1; T = 4p
f(x) =
3. Determinar la regla de correspondencia de la gráfica. y 2 3
B) y = C) y = D) y = E) y =
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
A) R – {np} np B) R – { } 2 C) R – {2np}
p } 2 p E) R – {(4n+1) } 2 5. Calcule el rango de la función: D) R – {(2n+1)
p 4
–2 3 A) y =
| Sen2x | | Cosx | ;n ∈ Z + Senx Cosx
3 2 2 3 3 2 3 2 2 3
x
f(x) =
Cos2x Cos2x Cos4x Cos8x Cos8x
33
A)
Cos2x+2 Cos2x–3
–3 –1 ; B) 2 4
–3 –1 ; 2 4
–3 ; –1 C) –3 ; –1 D) 2 4 2 4 –3 ; –1 E) 2 5
TRIGONOMETRÍA
TEMA 14
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
PROFUNDIZACIÓN 6. Calcule ab–1 y=aCosbx
y
2
f(x) = 4Sen 2xCos 2x – 1;k ∈ Z
4p 3
8p
A) 2 B) 4 D) 8 E) 10
x
C) 6
7. Determine el periodo de las siguientes funciones: x f(x) = 2Cos +1 2 g(x) = (Senx+Cosx)2
( )
h(x) = Tan3x A) 4p; p; 3p B) 4p; p; p/3 C) 4p; p; 2p/3
TEMA 14
8. Calcule el dominio de la función real 2
1
SISTEMATIZACIÓN
D) 4p; p; 2p E) p/3; p; 4p
A) kp ± 4 B) kp ± 8 C) kp ± 4 kp D) ± 2 E) kp ± 2
p 8 p 8 p 4 p 4 p 2
9. Calcule el rango de la función: p p f(x) = | Senx | +1; x ∈ – ; 2 2 A) [1, 2]
B) 〈1,2〉
C) 〈1, 2〉
D) [1,2]
E) R+
TRIGONOMETRÍA
44
10. Calcule el dominio de f 1 – Sen4 x ;n ∈ Z 4 A) 2np B) np 4 C) (2n+1) p D) (2n+1) p 6 4 E) (2n+1) p 3
f(x) = Sen2x –
11. Calcule el rango de la función f(x) = 2Senx – Cos2x; x∈ 〈0,p〉 A) 〈–1,3] B) 〈–3,–2〉 C) 〈–1,–3〉 D) 〈0, p〉 E) 〈–2,1〉 12. Calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor que toma la función: pCosx f(x) = vers +3 3 A) 2 B) 1,5 C) 1 D) 0,5 E) 0,75
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
TRIGONOMETRÍA tema 15
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS SnIi2T15
DESARROLLO DEL TEMA
i. EXPRESIONES EQUIVALENTES
Todo arco o ángulo expresado mediante esta notación implica que se conoce el valor de una de sus razones trigonométricas.
Graficando en la C.T. p/2
ArcSen(+) q
IC
* Si:
O
q = ArcR.T.(n) ⇒ R.T.(q) = n
*
Ejemplos de aplicación: 2 2 • Si: q = ArcSen ⇒ Sen(q) = 3 3
ArcSen(–) q
–p/2
3 3 • Si: q = ArcCos ⇒ Cos(q) = 4 4
Propiedades Sen[ArcSen(n)] = n ArcSen[Sen(q)] = q
4 4 • Si: q = Arc Tan ⇒ Tan(q) = 5 5
ArcSen(–n) = –ArcSen(n)
4 4 • Si: q = ArcCot ⇒ Cot(q) = 7 7
B. Para el arco coseno q = ArcCos(n) <> n = Cos(q)
5 5 • Si: q = ArcSec ⇒ Sec(q) = 2 2
7 7 • Si: q = ArcCsc ⇒ Csc(q) = 3 3
⇓
⇓
_1 ≤ n ≤ 1
0≤q≤p
II. VALORES PRINCIPALES PARA LOS ARCOS (V.P.)
IVC
Se denomina así a aquel valor del arco que satisface una determinada igualdad y que está dentro del intervalo donde se define la función trigonométrica inversa correspondiente; siendo estos intervalos los siguientes:
Graficando en la C.T. p/2 ArcCos(–)
ArcCos(+) q
q IIC
IC
p
O *
*
A. Para el arco seno
q = ArcSen(n) <> n = Sen(q)
⇓
_ p ≤q≤ p ∧ 2
2
⇓
Cos[(ArcCos)(n)] = n
_ 1≤n≤1
ArcCos[Cos(q)] = q
san marcos REGULAR 2014 – Ii
ArcSen(–n) = p – ArcCos(n)
11
TRIGONOMETRÍA
Tema 15
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
C. Para el arco tangente
q = ArcTan(n) <> n = Tan(q)
⇓
p p <q< 2 2
IIC
n∈ ¡
IC
p
O *
Graficando en la C.T. p/2
ArcTan(+) q
Sec[ArcSec(n)] = n ArcSec[Sec(q)] = q
O *
*
Propiedades
IC
*
ArcSec(+) q
q
⇓
_
Graficando en la C.T. p/2 ArcSec(–)
ArcSec(–n) = q – ArcSec(n)
IVC
F. Para el arco cosecante
ArcTan(–) q
–p/2
q = ArcCsc(n)
<>
n = Csc(q)
⇓
Propiedades
⇓
_ p ≤ q ≤ p ;q ≠ 0 2
Tan[ArcTan(n)] = n
2
ArcTan[Tan(q)] = q
n≤
_1 ∨ n ≥ 1
p/2
ArcCsc(+) q
ArcTan(–n) = –ArcTan(n) IC
*
D. Para el arco cotangente
O
q = ArcCot(n) <> n = Cot(q)
⇓
*
⇓
0<q<p
n∈
IVC ArcCsc(–) q
–p/2 Propiedades
p/2
ArcCot(–) q
IIC
Csc[ArcCsc(n)] = n
ArcCot(+) q
ArcCsc[Csc(q)] = q ArcCsc(–n) = –ArcCsc(n)
IC
p
O *
*
III. PROPIEDADES FUNDAMENTALES PARA LOS ARCOS A. Arcos complementarios
p ArcSen(n) + ArcCos(n) = 2 ∀ n ∈ / −1 ≤ n ≤ 1 p ∀ n∈ ArcTan(n) + ArcCot(n) = 2 ∀ n ∈ / n ≤ −1 ∨ n ≥ 1 p ArcSec(n) + ArcCsc(n) = 2
Propiedades Cot[ArcCot(n)] = n ArcCot[Cot(q)] = q ArcCot(–n) = p – ArcCot(n)
B. Arcos con valores recíprocos 1 ArcCsc(n) = ArcSen n 1 ArcSec(n) = ArcCos n
E. Para el arco secante q = ArcSec(n) <> n = Sec(q)
⇓ 0 ≤ q ≤ p; q ≠
Tema 15
⇓ p 2
n≤
_
1∨n ≥1
TRIGONOMETRÍA
1 ArcCot(n) = ArcTan n
22
∀n ∈ / n ≤ _1 ∨ n ≥ 1
∀n ∈ / n ≤
_1 ∨ n ≥ 1
∀ n ∈ +
san marcos REGULAR 2014 – Ii
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
C. Diferencia de arcos tangente
Si: xy < 1 ⇒ k = 0
x+y ArcTan(x) + ArcTan(y) = kp + ArcTan _ 1 xy
Si: xy > 1 ∧ x > 0 e y > 0 ⇒ k = 1 Si: xy > 1 ∧ x > 0 e y < 0 ⇒ k = –1
Donde: x, y ∈ /xy ≠ 1 ∧ k = {–1; 0; 1}
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Sea la función (f) definida por: f(x) = 4ArSen x + 2 6 Indique la intersección entre el dominio y el rango.
Problema 2 Indique el dominio de la función f real definida por: f(x) = ArcCos x – 1 + ArcCos x + 1 4 8
A) [–2p, 8] B) [–8; 2p] C) [–8, 4]
A) [–3; 4]
B) [–4, 5] C) [–3, 6]
D) [–2; 5]
E) [–3; 5]
D) [–2p, 2p] E) [–2p; 4]
Pre San Marcos 2010
Pre San Marcos 2011
Resolución: –1 ≤ x + 2 ≤ 1 → –6 ≤ x + 2 ≤ 6 6 → –8 ≤ x ≤ 4 Calculo de rango – p ≤ ArcSen x + 2 ≤ p × 4 6 2 2 x + 2 → –2p ≤ 4ArcSen ≤ 2p 6 Graficando:
–1 ≤ x – 1 ≤ 1 ∧ –1 ≤ x + 1 ≤ 1 4 8
–2p
4
2p
Df ∩ Rf ∈ [–2p; 4]
23 A) 21 B) 19 C) 4 24 24 14 7 D) E) 3 24 Cosa = 1 4 1 Cosq = 3
Sea ArcCos 1 = a 4 ArcCos 1 = q 3
Efectuando operaciones: –4 ≤ x – 1 ≤ 4 ∧ –8 ≤ x + 1 ≤ 8 –8 ≤ x ≤ 5 ∧ –8 ≤ x ≤ 7
K = Cos2 a + Sen2 q 3 3
Graficando:
Multiplicando miembro a miembro por (2) 2K = 1 + Cosa + 1 – Cosq
–9 –8
K = Cos2 1 ArcCos 1 +Sen2 1 ArcCos 1 2 4 2 3
Resolución:
Resolución: Por teoría:
Cálculo del dominio
Problema 3 Determine el valor de:
–3
5
Reemplazando: 2K = 2 + 1 – 1 4 3
7
∴Df ∈ [–3; 5]
Respuesta: [–3; 5]
Respuesta: [–2p; 4]
K = 23 24
Respuesta: 23/24
PROBLEMAS de clase ejercitación 1. Afrimar si es (V) o (F) I) Sen ArcSen 1 = 1 3 3 II) Tan [ArcTan(5)] = 5 III) Sen ArcSec 2 5 A) VVV D) FFF
B) VVF E) FVV
= 2 5 C) VFF
2. Calcule: E = Tan2 ArcCos 2 + Cot2 ArcSen 1 3 7 A) 17 B) 15 C) 15/2 D) 17/2
E) 17/4
3. Calcule: M = Cos3[ArcSec(3)] A) 23/27 B) 4/27 C) –23/27 D) –20/27 E) –17/27 4. Indique el valor de: K = Csc[ArcCos{Sen(Arcot( 3))}] B) 3/2 A) 3/3 C) 1/2 D) 2 3/3 E) 2 5. Sabiendo: ArcTan(x) + ArcTan(y) + ArcTan(z) = p Calcule:
san marcos REGULAR 2014 – Ii
33
K=
x + y + z – xyz x 6 + y 6 + z6 + 3x 4 y 4z 4
A) –2 C) 1 E) 0
B) –1 D) 2
profundización 6. Indique el valor de: K = Sec 2ArcTan 1 Cos[2ArcCot(3)] 2 A) 1 C) 9/25
B) 16/25 D) 25/16
E) 25/9
TRIGONOMETRÍA
Tema 15
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
7. Calcule: 3 1 Arc cos – + ArcSen 2 2 K= 1 ArcTan( 3) + ArcSen – 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 8. Indique el valor de: K = Cos2[ArcTan(Csc{Tan230°ArcCos(–1)})] A) 1/7 B) –1/7 C) 1/6 D) –1/6 E) 1/5 9. Calcule el valor de:
F = ArcCos Sen – p 7
Tema 15
A) 9p/14 C) 5p/14 E) p/14
B) 7p/14 D) 3p/14
D) ArcTan 2n n+2 E) ArcTan n n+2
sistematización 10. Calcule: 1 1 1 M = ArcTan + ArcTan + ArcTan 2 7 13 1 + ... + ArcTan = n2 + n + 1
n A) ArcTan n +1 n B) ArcTan 2 n +2 n C) ArcTan n–2
TRIGONOMETRÍA
44
11. Calcule: F = ArcSen[Sen(3)] + ArcSen[Sen(4)] + 7 A) p + 7 B) p + 14 C) 2p + 7 D) 2p + 14 E) 2p 12. Sea la función (f) definida por. x2 f(x) = ArcSen + ArcSen( x ) 2 x +1 A) [–1,0] C) [0,1] E) [0,1/2]
B) [–1/2,0] D) [1/2,1]
san marcos REGULAR 2014 – Ii
TRIGONOMETRÍA TEMA 16
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS SNII2T16
DESARROLLO DEL TEMA I. TEOREMA DEL SENO
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que las medidas de sus lados son directamente proporcionales a los senos de sus respectivos ángulos opuestos, siendo la constante de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
⇒
a2 = b2 + c2 – 2bcCosA
⇒
b2 = a2 + c2 – 2acCosB
⇒
c2 = a2 + b2 – 2abCosC
a b c = = = 2R SenA SenB SenC
R : Circunradio
De donde :
a = 2RSenA b = 2RSenB c = 2RSenC
II. TEOREMA DEL COSENO
⇒
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que el cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados menos el doble producto de estos multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
11
De donde se tendrá:
CosA =
b2 + c2 – a2 2bc
CosB =
a2 + c2 – b2 2ac
CosC =
a2 + b2 – c2 2ab
TRIGONOMETRÍA
TEMA 16
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
A. Teorema de las tangentes
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que la diferencia de las medidas de dos de sus lados es a la suma de estas medidas, como la tangente de la semidiferencia es a la tangente de la semisuma de los respectivos ángulos opuestos a los lados considerados.
III. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO
• Trazamos el diámetro CD, entonces: CD = 2R. • Al unir el punto D con los vértices A y B se obtienen los triángulos rectángulos CAD y CBD donde se observa: m]CDB = m]A ∧ m]CDA = m]B
⇒
⇒
⇒
a–b = a+b
A –B Tan 2 A +B Tan 2
• •
B–C Tan 2 b–c = b+c B+C Tan 2
a–c = a+c
CBD: a a = SenA ⇒ = 2R 2R SenA CAD: b b = SenB ⇒ = 2R 2R SenB
c • En forma análoga se deduce que = 2R ; SenC finalmente se puede establecer que:
A–C Tan 2 A+C Tan 2
a b c = = = 2R SenA SenB SenC
B. Teorema de las proyecciones
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que la medida de un lado es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados multiplicados cada uno de ellos por el coseno del ángulo opuesto al otro.
IV. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO
B
c
A
TEMA 16
a
b
⇒
a = b.CosC + c.CosB
⇒
b = a.CosC + c.CosA
⇒
c = a.CosB + b.CosA
C
TRIGONOMETRÍA
• Trazamos la altura CH, determinándose los triángulos rectángulos CHA y CHB. • CHA: (Resolución de triángulos) AH = bCosA ∧ CH = bSenA
22
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
•
• Aplicando resolución de triángulos rectángulos en los triángulos determinados se tendrá:
CHB: (Teorema de Pitágoras)
a2 = (bSenA)2 + (c – bCosA)2
CH = bCosC ∧ HB = cCosB
a2 = b2Sen2A + c2 + b2Cos2A – 2bcCosA 2
2
2
2
• En el triángulo ABC, se observa que:
2
a = b (Sen A + Cos A) + c – 2bc.CosA 1
BC = CH + HB
∴= a bCosC + cCosB
a2 = b2 + c2 − 2bcCosA
V. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LAS TANGENTES • Sabemos por el teorema del seno que:
VII. ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR
El área de la región triangular es igual al semiproducto de las medidas de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo comprendido entre dichos lados.
a = 2RSenA ∧ b = 2RSenB
B
• Dividiendo se tendrá:
a 2RSenA = b 2RSenB
c
⇒ a = SenA b
SenB
S A
• Aplicando proporciones:
a – b SenA – SenB = a + b SenA + SenB A –B A +B 2Sen Cos 2 2 a–b = ⇒ a+b A +B A –B 2Sen Cos 2 2 ⇒
∴
S=
⇒
b
a
C
bc ac ab SenA = SenB = SenC 2 2 2
Demostración:
a–b A –B A +B = Tan .Cot 2 a+b 2 a–b = a+b
A –B Tan 2 A +B Tan 2
VI. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LAS PROYECCIONES A
• Trazamos la altura BH, determinándose los triángulos rectángulos BHA y BHC. •
BHA: (Resolución de Triángulos)
c
b
BH = c.SenA • C
bCosC
H a
cCosB
ABC: (Por Geometría)
B
S=
• Para calcular el lado a, trazamos la altura AH. • Se determinan los triángulos rectángulos AHC y AHB, en los cuales los lados b y c son sus hipotenusas.
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
33
∴
(AC)(BH) (b)(c.SenA) = 2 2 S=
bc .SenA 2
TRIGONOMETRÍA
TEMA 16
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Problema 2
A) abc
De la figura calcular: Cos2q
De la figura, calcular "x".
B) a + b + c C) a + b – c D) ba/c E) bc/a2
a
b
Resolución: De la figura x + y = 180°
3
Senx = Seny
A) 19 A) a – b
B) 21
B) a + b
C) 15 D) 17
C) ab
E) 13
D) a + b 2a E) a – b 2b
En el ∆BCD (Ley de senos)
Resolución:
c a = Sena Senx
Por ley de cosenos:
Resolución:
x2 = 32 + 52 – 2(3)(5)Cos60°
Por ley de senos a b = Sen3q Senq
→ Senx =
1 → x2 = 34 – 2(15) 2
En el ∆ADC (Ley de senos) a b = Senq Seny
x2 = 19 x = 19
Sabemos: Sen3q = Senq(2Cos2q + 1)
Respuesta:
Reemplazando: a b = Senq(2Cos2q + 1) Senq →
a = 2Cos2q + 1 b
→ Seny =
19
Propiedad de ángulos suplementarios.
De la figura, hallar SenaCosq en términos de (a); (b) y (c).
a–b 2b
aSena bSenq = c a
TRIGONOMETRÍA
Sena bc = 2 Senq a
Sena.Cscq =
Respuesta: a – b 2b
TEMA 16
bSenq ...(II) a
(I) = (II)
Problema 3
→ → Cos2q =
aSena ...(I) c
bc a2
Respuesta: bc/a2
44
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN
A) p D) 4p
1. En un triángulo oblicuángulo el lado opuesto al ángulo A mide 4m, si:
3 SenA = SenB. Calcular la longitud del lado opuesto al ángulo "B" A) 2 3
B) 3 3
D) 4 3
E) 4 2
C) 3 2
A)
C) 45°
3. Calcular la medida del ángulo "C" de un triángulo ABC, cuyos lados son: a=1+ 3
b= 3–1
c = 10 A) 30° B) 15° D) 120° E) 150°
c) 60°
4. En un triángulo ABC reducir: Q=
abCosC + bcCosA + caCosB a2 + b2 + c2
A) 1 D) 4
B) 2 E) 1/4
C) 1/2
PROFUNDIZACIÓN 5. En un triángulo ABC simplificar. (p: semiperímetro) R=
aSen(A + C) + bSen(B + C) + SenA bSen(A + B) + cSen(A + C) + SenA aSen(B + C) + aSen(A + B) SenC
5 3 3
B)
5 3 9
A) 8Sen A Sen B Sen C 2 2 2 B) 8SenASenB C) 4SenASenBSenC D) 4CosACosBCosc A E) 8Cos Cos B Cos C 2 2 2 10. En la figura mostrada AB = m, BD = n, AC = CD = B, BC = a, entonces el valor de "mn" puede expresarse: C
D) 7 3 2
C) 9 3 8
a 3b c = = SenA CosB CosC Calcular m]A A) 15° B) 30° D) 90° E) 105°
C) 3p
6. En un triángulo ABC se tiene que 2a = 7b ∧ m]C = 60°. Calcular el valor de Tan A – B 2
2. En triángulo ABC, se cumple:
B) 2p E) 8p
E) 2 3 7 7. En un triángulo ABC se cumple: 3(a2 – b2 – c2) = 2bc, calcular el valor de: A M = 2Tan 2 A) 1 C) 3 E) 3
A A) a2 – b2
B) 2 D) 2
B) b2 – a2 C) ab/2 D) 2a2 – b2 E) 2b2 – a2
8. En un triángulo ABC con lados a; b y c respectivamente, se tiene que:
11. Del gráfico, calcular AD: A
C 1 A = 1 y Tan = 2 3 2 Determinar: b+c M= b–c Tan
A) 7
B) 8
C) 3
D) 1/ 3
5 60°
9. Dado un triángulo ABC determinar el equivalente de: a – cCosB b – aCosC + + RSenB RSenC c – bCosA –2 RSenA
55
D
C A) 5 D) 8
SISTEMATIZACIÓN
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
7
B
E) 1/4
K=
D
B
B) 6 E) 9
C) 7
12. En un triángulo obtusángulo ABC se verifica que A+B = 150°. Calcular 2c2 (Cos2A + Cos2B) A) 4c2 – 2a2 – b2 B) 2c2 – a2 + b2 C) 4c2 – a2 – b2 D) 3a2 + ab E) c2 + 2a2 + 2b2
TRIGONOMETRÍA
TEMA 16