PORTADA FÍSICA APLICADA Movimiento Armónico Simple
EDICIÓN LIMITADA
Movimiento circular Gravitación Diagrama de Cuerpo Libre APRENDE DE LA MANO DE LOS MEJORES CIENTÍFICOS.
Fuerzas
Trabajo y Energía Albert Einstein ABRIL - 2015
Potencia
CONTENIDOS Créditos de realización………………………………………1 Editorial …………………………………................................2
Movimiento Circular y problemas ……….......…………..3 Movimiento Armónico Simple y problemas ……………6 Fuerza y problemas ………..............………………………8 Diagrama de Cuerpo Libre y problemas ........………...11 Gravitación y problemas ………………………...……….16
Trabajo, Energía y potencia ……………………………....19 Contenido Extra…...............……………………………….27
FÍSICA APLICADA DIRECTOR Y PRODUCTOR GRÁFICO CARLOS GALÁN
JEFA DE REDACCIÓN YISELL ESCALANTE
COORDINACIÓN GENERAL ISABELLA ALTOMARE
1
EDITORIAL En esta nueva oportunidad la revista "Física Aplicada" les brinda edición limitada llena de conocimiento exclusivo sobre los temas Movimiento Armónico Simple, Movimiento Circular, Gravitación, Diagrama de Cuerpo Libre y Fuerzas, la misma se debe a la celebración de nuestro décimo aniversario y por esta razón nos gustaría agradecer a todos nuestros lectores los años de seguimiento y apoyo incondicional. Nos sentimos profundamente satisfechos de brindarles conocimientos para el desarrollo intelectual y ayudar resolución de problemas y dudas en ámbitos laborales y estudiantiles, en cada una de nuestras ediciones.
2
MOVIMIENTO CIRCULAR DEFINICION: Se define como movimiento circular aquél cuya trayectoria es una circunferencia. El movimiento circular, llamado también curvilíneo, es otro tipo de movimiento sencillo. La experiencia nos dice que todo aquello da vueltas tiene movimiento circular. Si lo que gira da siempre el mismo número de vueltas por segundo, decimos que posee movimiento circular uniforme (MCU). El movimiento circular en magnitudes angulares: La descripción de un movimiento circular puede hacerse bien en función de magnitudes lineales ignorando la forma de la trayectoria (y tendremos velocidad y aceleración tangenciales), o bien en función de magnitudes angulares (y tendremos velocidad y aceleración angulares). Ambas descripciones están relacionadas entre sí mediante el valor del radio de la circunferencia trayectoria. Al trabajar con magnitudes angulares es imprescindible entender lo relativo a una unidad de medida angular conocida como radián. La velocidad tangencial: Aparte de la velocidad angular, también es posible definir la velocidad lineal de un móvil que se desplaza en círculo.
Para calcular la velocidad tangencial hacemos: espacio recorrido sobre la circunferencia (o arco recorrido) dividido por el tiempo empleado.
3
PROBLEMA DE MOVIMIENTO CIRCULAR #1 “La aceleraciĂłn centrĂpeta de una rueda que gira es 3,8 m/s 2 . Si el radio de la rueda es de 0,8 m; a) ÂżCuĂĄl es su periodo? b) ÂżCuĂĄl es la frecuencia?â€? DATOS: • ac= 3,8 m/s 2 • r= 0,8 m • a) T= ? • b) f=?
RAZONAMIENTO Y PROCEDIMIENTOS:
1.
BasĂĄndome en la fĂłrmula de 2đ?œ‹ periodo ďƒ đ?‘‡ = đ?‘¤ buscarĂŠ el dato faltante aplicarla que seria đ?‘¤=
đ?‘Žđ?‘&#x;
đ?‘&#x;
ya que conozco los
valores de ac y de r. đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘&#x;
w=
ac= 3.8m/s2
1.
NOTA: La aceleraciĂłn centripeta va en direcciĂłn al centro de la circunferencia
4
T= 1.
f=
ďƒ w=
3,8đ?‘š/đ?‘ 2 0,8 đ?‘š
ďƒ w= 2,17945
Ya con el valor de w podemos aplicar la fĂłrmula 2đ?œ‹ đ?‘¤
ďƒ T=
2đ?œ‹/đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ 2,17445đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘/đ?‘
ďƒ T= 2,88292 s
Ya con el valor de T se utiliza la 1 fĂłrmula de f đ?‘‡ 1 2,88292đ?‘
ďƒ f= 0,346871 s-1
RESPUESTA: El perĂodo de la rueda es 2,88292 s y su frecuencia es 0,346871 s-1
PROBLEMA DE MOVIMIENTO CIRCULAR #2 “Demuestra que la ecuaciĂłn de aceleraciĂłn centrĂpeta tambiĂŠn puede escribirse: ac=
4đ?œ‹2 đ?‘&#x; đ?‘‡3
DATOS: 2đ?œ‹âˆ™đ?‘&#x;∙đ?‘¤ • ac=
RAZONAMIENTO PROCEDIMIENTOS:
•
ac=
đ?‘‡ 4đ?œ‹2 đ?‘&#x; đ?‘‡3
“
Y
2đ?œ‹
Ya que w= đ?‘‡ y la fĂłrmula de la aceleraciĂłn centrĂpeta es 2đ?œ‹âˆ™đ?‘&#x;∙đ?‘¤ ac= đ?‘‡ Es valor de w pasa a colocarse como la fĂłrmula superior agregando el 2đ?œ‹ al numerador y el T al denominador quedando asĂ: ac=
2.2đ?œ‹.đ?œ‹.đ?‘… đ?‘‡.đ?‘‡
ďƒ ac=
4đ?œ‹ 2 . đ?‘… đ?‘‡2
RESPUESTA:
La formula de aceleraciĂłn centrĂpeta si se puede escribir ac=
4đ?œ‹ 2 đ?‘&#x; đ?‘‡3
5
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE DEFINICION: Movimiento oscilatorio en el cual se desprecia la fricción, la inercia y la fuerza de restitución es proporcional a la elongación Oscilación: Una oscilación o ciclo se produce cuando un objeto a partir de determinada posición, después de ocupar todas las posibles posiciones de la trayectoria, regresa a ella. Longitud: Es la magnitud física que determina la distancia, es decir, la cantidad de espacio existente entre dos puntos. La unidad básica de longitud en el Sistema Internacional es el metro (m). En el M.A.S la longitud se refiere a la de la cuerda del péndulo; esta afecta el periodo del movimiento debido a que mientras la cuerda sea más larga, el movimiento es más lento.
Amplitud: La amplitud del movimiento, denotada con letra A, es la máxima elongación que un objeto alcanza respecto de su posición de equilibrio. La unidad de A en el S.I es el metro. La amplitud no afecta el periodo de oscilación de un péndulo. Período: Es el tiempo que tarda un objeto en realizar una oscilación. Su unidad en el S.I es el segundo y se representa con la letra T. Elongación: Es la posición que ocupa un objeto respecto de su posición de equilibrio.
6
Frecuencia: Es el número de ciclos que realiza un objeto por segundo. Representada por la letra f y se expresa en el S.I en Hertz (Hz).
PROBLEMA DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE#1 ¿Cuál es la razón fundamental para afirmar que el movimiento de un piston que esta unido a la rueda de una locomotora no es un movimiento armónico simple?
RESPUESTA: La razón fundamental para afirmar que el movimiento de un pistón no es armónico simple es porque la biela, que conecta el pistón con el cigüeñal, trabaja variando su ángulo, el cual solo coincide con el eje del pistón en el centro de su movimiento, cosa que no permite que la curva de movimiento describa un sinusoide o función senoidal, lo que quiere decir que solo puede ser estudiada por ecuaciones complejas. Debido a esto el movimiento de un pistón no puede responder a la ecuación de elongación de los M.A.S.
7
FUERZAS DEFINICION: Magnitud vectorial que mide la Intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas. Según una definición clásica, fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los materiales. EFECTOS DE LAS FUERZAS: Además del efecto que tienen las fuerzas de ocasionar cambios en el estado de movimiento o de reposo de los cuerpos, existe otro efecto que también se atribuye a las fuerzas, denominado deformación, la cual depende del punto en el cual se aplica la fuerza. FUERZAS DE CONTACTO Y A DISTANCIA:
Fuerzas de contacto: Existe un contacto directo entre el cuero que ejerce la fuerza y el cuerpo al cual se le aplica dicha fuerza. Fuerza de acción a distancia: Ocurre cuando no existe contacto directo entre los cuerpos.
Fuerzas fundamentales:
8
La fuerza gravitatoria es la fuerza de atracción existente entre dos masas, y que afecta a todos los cuerpos. La fuerza electromagnética afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, está implicada en transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas. La fuerza nuclear fuerte es la fuerza que une los protones con los neutrones para formar los núcleos atómicos. La fuerza nuclear débil actúa entre partículas elementales. Es responsable de algunas reacciones nucleares y de una desintegración radiactiva denominada desintegración beta.
FUERZAS La gran síntesis sobre el movimiento, a velocidades más pequeñas que la de la Luz, fue realizada por Isaac Newton y expuesta en tres leyes de aparente sencillez que aplicadas a cualquier cuerpo moviéndose o en reposo puede describir su comportamiento. Primera Ley de Newton: “Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado”.
Interpretando esta ley se puede decir que todo cuerpo estará en equilibrio, a menos que, por causa de la interacción con otro u otros cuerpos el equilibrio se rompa. Se entiende el equilibrio como un estado donde el cuerpo está en reposo o, se mueve con velocidad constante y ello ocurre porque las influencias externas están balanceadas o neutralizadas. Segunda Ley de Newton: “El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime” Esta afirmación de Newton fue modificada posteriormente por el matemático suizo Leonardo Euler quien le dio la forma que hoy conocemos y que podemos enunciar así: La fuerza no equilibrada o resultante actuando sobre un cuerpo es igual al producto de la masa por su aceleración. Tercera Ley de Newton: “Con toda acción siempre ocurre una reacción igual y contraria: O sea, las acciones mutuas siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas”. Esta ley describe lo que ocurre entre dos cuerpos que interactúan entre si y la interpretamos de la siguiente manera: la interacción entre dos cuerpos, medida a través de la fuerza, es la misma para ambos cuerpos interactuando, pero las aceleraciones que adquieren, aunque están en la misma dirección, son de sentidos opuestos.
9
PROBLEMA DE FUERZA #1 “El mecanismo de lanzamiento de un caùón de juguete consta de un resorte elĂĄstico de constante recuperadora 128 N/m. Si el resorte se comprime 5cm para lanzar proyectiles de 20g, ÂżA quĂŠ velocidad saldrĂĄn de la boca del caùón?â€? RAZONAMIENTO:
Si F= -K∙x y F= m∙a. K∙x= m∙a debido a que conozco k, x y m, puedo hallar a
DATOS: • • •
đ??žâˆ™đ?‘‹
con la formula đ?‘Ž = đ?‘š , al hallar a, se tienen todos los datos para usar la formula đ?‘‰ = 2 ∙ đ?‘Ž ∙ đ?‘‘ , la cual proviene de la formulađ?‘‰ = 2 ∙ đ?‘Ž ∙ đ?‘‘
K= 128 N/m X= 5 cmďƒ 0,05m m= 20grďƒ 0,02Kg
Procedimientos: đ??ž ∙ đ?‘‹ = đ?‘š ∙ đ?‘Žďƒ đ?‘Ž =
đ??žâˆ™đ?‘‹ đ?‘š
đ?‘Ž=
128 đ?‘ /đ?‘š ∙ 0,05đ?‘š → đ?’‚ = đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’Ž/đ?’”đ?&#x;? 0,02đ??žđ?‘”
đ?‘‰ = 2∙đ?‘Žâˆ™đ?‘‘ →đ?‘‰ =
2 ∙ 320 đ?‘š/đ?‘ 2 ∙ 0,05đ?‘š → đ?‘˝ = đ?&#x;“, đ?&#x;”đ?&#x;“đ?’Ž/đ?’”
RESPUESTA: La velocidad que alcanza el proyectil al salir de la boca del caùón es 5,65 m/s
10
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DEFINICION: Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a menudo por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
Algunos de los componentes del diagrama de cuerpo libre son fuerza normal (N), peso (P), Px y Py que corresponderían a los pesos en los diferentes ejes; fuerza de roce (Fr) y tensión (T).
FUNCIÓN: Funcionan como una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo.
11
PROBLEMA DE DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE #1 “Se tienen dos bloques A y B, como lo indica la figura, de masas 24.5Kg y 19.6Kg, respectivamente. Si el bloque A es arrastrado hacia la izquierda con una fuerza de 400N y un coeficiente de rozamiento de 0.6, calcular: a) AceleraciĂłn del sistema b) TensiĂłn de la cuerda c) distancia recorrida si la fuerza aplicada actuĂł por 3s. Use g= 9,8m/s2â€? DATOS: • Bloque A-Masa =24.5 Kg • Bloque B-Masa =19.6 Kg • F= 400N • Mk= 0.6 • g= 9.8m/s^2 • a=? • T=? • d=? A
B
RAZONAMIENTO: En este problema para obtener el valor de la aceleraciĂłn se realizarĂĄ un sistema de ecuaciones con los valores de las fuerzas del eje “xâ€? y del “yâ€?. Para esto se requiere el valor Fr, el cual serĂĄ obtenido con la fĂłrmula Fr= Mk ∙ đ?‘ƒ . Posteriormente se usarĂĄ alguna de las ecuaciones de la sumatoria de las fuerzas de cualquiera de los dos ejes, y de allĂ se despejarĂĄ para hallar el valor de T. Luego se aplicarĂĄ la fĂłrmula
d=
đ?‘Žđ?‘Žâˆ™đ?‘Ą 2 2
para hallar la
distancia que se tiene a los 3 segundos.
Cuerpo A Fr
12
Cuerpo B
PROBLEMA DE DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE #1 “Se tienen dos bloques A y B, como lo indica la figura, de masas 24.5Kg y 19.6Kg, respectivamente. Si el bloque A es arrastrado hacia la izquierda con una fuerza de 400N y un coeficiente de rozamiento de 0.6, calcular: a) AceleraciĂłn del sistema b) TensiĂłn de la cuerda c) distancia recorrida si la fuerza aplicada actuĂł por 3s. Use g= 9,8m/s2â€?
PROCEDIMIENTOS: P1= 24.5Ă—9.8=240.1N Fr= 0.6Ă— 240.1 = 144.06 P2=m2Ă—g; đ?‘ƒ2 = 19.6 Ă— 9.8 = 192.08đ?‘ 
Ecuaciones para obtener aceleraciĂłn del sistema:
đ??šâˆ’(đ?‘‡+đ?‘“đ?‘&#x;)=đ?‘€đ?‘ŽĂ—đ??´ đ?‘‡âˆ’đ?‘ƒ2=đ?‘€đ?‘?Ă—đ??´
si se aplica el mĂŠtodo de reducciĂłn se obtiene la siguiente
ecuaciĂłn
đ??š − đ?‘ƒ2 − đ??šđ?‘&#x; = đ?‘€đ?‘Ž + đ?‘€đ?‘? đ?‘Ž 1.44807
đ?‘š
a= 1.45� 
; đ?‘Ž=
đ??šâˆ’đ?‘ƒ2−đ??šđ?‘&#x; đ?‘€đ?‘Ž+đ?‘€đ?‘?
;đ?‘Ž =
D=
24.5+19.6
;
a=
đ?‘ 2 đ?‘ 2
TensiĂłn:
F-T=MaĂ— a ; 294-T=Ma Ă— a ; T=400N-(24.5nĂ—1.45

400đ?‘ −192.08đ?‘ −144.06
đ?‘š
đ?‘ 2 )
; T=220.5N
Distancia: đ??´Ă—đ?‘Ą 2 2
; D=
1.45�/� 2 ×3� 2 2
; D=6.525mďƒ D=6.5m
RESPUESTA: La aceleraciĂłn del sistema tiene un valor igual a 1.44807 đ?‘š đ?‘ 2 , La tensiĂłn de la cuerda es igual a 220.5N y la distancia recorrida por el bloque A en 3s es de 6.5m
13
PROBLEMA DE DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE #2 Un bloque A descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento y está unido por una cuerda que pasa por una polea a un bloque suspendido, B tal como indica la figura 3,62. La masa del bloque B es de 12 Kg. Se abandona el sistema partiendo del reposo, observándose que el bloque B desciende 80cm en 0,44s. Calcula: a) La masa del bloque A b) La fuerza con que se mueve el bloque A c) La fuerza que ejerce el plano sobre el bloque A DATOS: • B=12Kg • A no tiene roce • Vi= 0m/s • B descende 0.8m em 0.44s • mA=? • T=? • N=?
A
B Figura 3,62
Razonamiento: En este problema para obtener el valor de la masa del cuerpo A, se realizará un sistema de ecuaciones con los valores de las fuerzas del eje “x” y del “y” en ambos cuerpos para así llegar a obtener una ecuación que nos permita hallar la masa del mismo con los valores conocidos
Cuerpo A
14
Cuerpo B
PROBLEMA DE DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE #2 Un bloque A descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento y estĂĄ unido por una cuerda que pasa por una polea a un bloque suspendido, B tal como indica la figura 3,62. La masa del bloque B es de 12 Kg. Se abandona el sistema partiendo del reposo, observĂĄndose que el bloque B desciende 80cm en 0,44s. Calcula: a) La masa del bloque A b) La fuerza con que se mueve el bloque A c) La fuerza que ejerce el plano sobre el bloque A
PROCEDIMIENTOS: ∑FxA ďƒ T= M A . a ∑FyA ďƒ N – PA = 0 ďƒ N=PA ∑FyB ďƒ PB - T= mB. a đ?‘ƒđ??ľ = 12đ??žđ?‘” ∙ 9.81 đ?‘š đ?‘ ďƒ đ?‘ƒđ??ľ = 117.72 đ?‘ 2đ?‘‘ 2(0.8đ?‘š) đ?‘Ž = đ?‘Ą 2 ďƒ đ?‘Ž = (0.44đ?‘ )2 ďƒ a= 8.26446m/s2
đ?‘‡ = đ?‘šđ??´ ∙ đ?‘Ž đ?‘ƒđ??ľâˆ’đ?‘šđ??ľâˆ™đ?‘Ž đ?‘ƒđ?‘? − đ?‘‡ = đ?‘šđ??ľ ∙ đ?‘Ž ďƒ đ?‘ƒđ?‘? = đ?‘šđ??´ ∙ đ?‘Ž + đ?‘šđ??ľ ∙ đ?‘Ž ďƒ = đ?‘šđ??´ đ?‘Ž ďƒ đ?‘šđ??´ =
117,72đ?‘ −12đ??žđ?‘”∙8,2644đ?‘š/đ?‘ 2 8,2644đ?‘š/đ?‘ 2
ďƒ đ?‘šđ??´ = 2,24412 đ??žđ?‘”
ďƒ đ?‘‡ = đ?‘šđ??´ ∙ đ?‘Ž ďƒ đ?‘‡ = 2,24412đ??žđ?‘” ∙ 8,2644đ?‘š/đ?‘ 2 ďƒ đ?‘‡ = 18,5465đ?‘ đ?‘ƒđ?‘Ž = đ?‘šđ??´ ∙ đ?‘” ďƒ đ?‘ƒđ??´ = 2,24412đ??žđ?‘” ∙ 9,81đ?‘š/đ?‘ 2 ďƒ đ?‘ƒđ??´ = 22,0149 đ?‘ ďƒ N= 22,0149 đ?‘
RESPUESTA: La masa del bloque A es igual a 2.24412Kg, La tensiĂłn del sistema o fuerza con la que se mueve A tiene un valor de 18.5465N y la fuerza normal de A tiene un valor de 22.0149N
15
GRAVITACIĂ“N La Ley de la gravitaciĂłn universal de Newton dice que todo objeto atrae a todo los demĂĄs objetos con mĂĄs fuerza que, para dos objetos cualesquiera, es directamente proporcional a las masas. Cuanto mayor sean las masas, mayor serĂĄ la fuerza de atracciĂłn que ejerce una sobre otra.
Newton dedujo que la fuerza disminuye como el cuadrado de la distancia que separa los centros de masa de los objetos. Se puede expresar la proporcionalidad de la ley de la gravitaciĂłn universal como una ecuaciĂłn exacta introduciendo la constante de proporcionalidad G, llamada Constante de la GravitaciĂłn Universal. đ??ş = 6,67 ∙ 10−11
đ??šđ?‘” =
16
đ??şâˆ™đ?‘š1∙đ?‘š2 (đ?‘‘ 1/2)2
PROBLEMA DE GRAVITACIĂ“N #1 “La distancia tierra-luna es de 3âˆ™ă€–10〗^5 Km aproximadamente. ÂżA quĂŠ distancia del centro de la tierra la gravedad producida por ella y por la luna se anulan?â€? DATOS: • d tierra-luna= 3 ∙ 105 Km • distancia del centro de la tierra=? • mT= 6,1 ∙ 1024 Kg • mL= 7,35 ∙ 1022 Kg
d X
d-X
RAZONAMIENTO: Para realizar este problema debemos posicionar una masa hipotĂŠtica en este punto donde se anulan ambas gravedades para asi poder aplicar la formula đ?‘šđ?‘‡ đ?‘šđ??ż = . En la cual “dâ€? es 2 đ?‘‹ (đ?‘‘−đ?‘‹)2
comprendida como la distancia total entre la tierra y la luna y x la distancia entre la tierra y el punto donde se anulan las gravedades, por lo cual la distancia entre la luna y este punto serĂĄ d-x
PROCEDIMIENTOS: đ?‘šđ?‘‡ đ?‘šđ??ż (đ?‘‘ − đ?‘‹)2 đ?‘šđ??ż đ?‘‘ − đ?‘‹ = → = → đ?‘‹2 (đ?‘‘ − đ?‘‹)2 đ?‘‹2 đ?‘šđ?‘‡ đ?‘‹ đ?‘‘−đ?‘‹ → = đ?‘‹
2
=
đ?‘šđ??ż đ?‘‘ − đ?‘‹ → = đ?‘šđ?‘‡ đ?‘‹
đ?‘šđ??ż đ?‘šđ?‘‡
7,35 ∙ 1022 đ??žđ?‘” đ?‘‘−đ?‘‹ → = 0,1097 → đ?‘‘ − đ?‘‹ = 0,1097đ?‘‹ 6,1 ∙ 1024 đ??žđ?‘” đ?‘‹
3 ∙ 105 Km → đ?‘‘ = 0,1097đ?‘‹ + đ?‘‹ → đ?‘‘ = 1,1097đ?‘‹ → đ?‘‹ = → đ?‘‹ = 270343 đ??žđ?‘š 1,1097
RESPUESTA: La distancia a la que tiene que estar un objeto del centro de la tierra para que el efecto gravitatorio de la luna y la tierra es 270343Km
17
PROBLEMA DE GRAVITACIĂ“N #2 “El radio del planeta Mercurio es aproximadamente 2749 Km y su masa đ?&#x;‘,đ?&#x;”đ?&#x;‘âˆ™ă€–đ?&#x;?đ?&#x;Žă€—^đ?&#x;?đ?&#x;‘ Kg. Calcular la aceleraciĂłn de gravedad de dicho planeta. ÂżCuĂĄnto pesarĂĄ en ese planeta una persona que en la tierra pesa 70 Kilopondios?â€? DATOS: • r= 2749 Km • m= 3,63âˆ™ă€–10〗^23 Kg • gT= 9,8 m/s^2 • G=6,6738âˆ™ă€–10〗^(-11) • gM=? • Peso de una persona que pesa 70Kp en la tierra= ?
PROCEDIMIENTOS:
RAZONAMIENTO: đ??şĂ—đ?‘š
Utilizando la fĂłrmula đ?‘” = đ?‘&#x; 2 , podemos hallar la gravedad de Mercurio; y utilizando el factor de conversiĂłn 9,8N/Kp podemos hallar los Newton y luego dividirlos entre la gravedad de la tierra para hallar la masa, la cual multiplicaremos por la gravedad para hallar el peso de la persona en Mercurio.
đ??š = 70 đ??žđ?‘? Ă— 9,8đ?‘ /đ??žđ?‘? = 686 đ?‘
đ?‘š= đ?‘”=
đ??š 686 đ?‘ →đ?‘š= → đ?‘š = 70 đ??žđ?‘” đ?‘” 9,8 đ?‘š/đ?‘ 2
đ??şĂ—đ?‘š , đ?‘&#x;2
6,6738 ∙ 10−11 Ă— 3,63 ∙ 1023 Kg đ?‘”= (2749000đ?‘š)2 đ?‘” = 3,20576đ?‘š/đ?‘ 2
đ?‘ƒ = đ?‘š Ă— đ?‘” → = 70 đ??žđ?‘” Ă— 3,20576đ?‘š/đ?‘ 2
18
đ?‘ƒ = 224,403 đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘€đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ.
RESPUESTA: La gravedad de mercurio es de 3,20576đ?‘š/đ?‘ 2 . Y el peso de una persona en que pesa 70Kp en la tierra es de 224,403N
TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA La EnergĂa, se define como la capacidad que tiene un cuerpo de realizar un trabajo. La energĂa gastada por un cuerpo puede ser medida midiendo el trabajo que la misma realiza, el cual se define como el producto de la fuerza aplicada por dicho cuerpo por el desplazamiento en metros y el Coseno del Angulo formado entre la fuerza y el desplazamiento. Quedando entonces que la formula es: đ?‘Š = đ??š ∗ đ?‘‘ ∗ đ??śđ?‘œđ?‘ Îą. Manifestaciones de la energĂa: •
EnergĂa MecĂĄnica: es la energĂa que se debe a la posiciĂłn y al movimiento de un cuerpo, por lo tanto, es la suma de las energĂas potencial y cinĂŠtica. Su fĂłrmula es: đ??¸đ?‘š = đ??¸đ?‘? + đ??¸đ?‘?
•
EnergĂa CinĂŠtica: Capacidad que tiene un cuerpo para realizar un 1 2
trabajo en funciĂłn de su movimiento. Sigue la formula đ??¸đ?‘? = ∗ đ?‘š ∗ đ?‘Ł 2 •
EnergĂa Potencial: Capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en funciĂłn de su velocidad. Sigue la formula đ??¸đ?‘? = đ?‘š ∗ đ?‘” ∗ â„Ž
Potencia: La potencia se define como el trabajo realizado por un cuerpo en la unidad de tiempo. Segunda Ley de Newton: “El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre segĂşn la lĂnea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprimeâ€? Esta afirmaciĂłn de Newton fue modificada posteriormente por el matemĂĄtico suizo Leonardo Euler quien le dio la forma que hoy conocemos y que podemos enunciar asĂ: La fuerza no equilibrada o resultante actuando sobre un cuerpo es igual al producto de la masa por su aceleraciĂłn.
19
PROBLEMA DE TRABAJO #1 “Se tiene un resorte con una constante elĂĄstica de 150 N/m y 20cm de longitud. ÂżQuĂŠ trabajo se debe realizar para comprimirlo?â€?
DATOS: • K= 150N/m • X= 20cm • W=? para comprimirlo
RAZONAMIENTO Y OPERACIONES: -Primero se convierte la longitud (X) de centĂmetros a metros 1m----100cm 0,2m â†? X= ?-----20cm
-Y ya que se tiene el valor de la constante elĂĄstica y de la longitud en metros, se aplica la fĂłrmula de 1 trabajo:đ?‘Š = 2 â‹… (đ??ž â‹… đ?‘‹) â‹… đ?‘‹ Luego se sustituyen los valores para obtener el trabajo: 1 đ?‘Š = â‹… (150 đ?‘ /đ?‘š â‹… 0,2đ?‘š) â‹… 0,2đ?‘š 2 đ?‘Š=3đ??˝
RESPUESTA: Para comprimir el resorte se se debe realizar un trabajo de 3J.
20
PROBLEMA DE TRABAJO #2 “Calcular el trabajo necesario para desplazar un cuerpo de 500Kg por un plano de 10m de longitud e inclinado 30° con respecto a la horizontal, suponiendo que: a) No existen rozamientos y lo hace a velocidad constante. b) Existen rozamientos, siendo el coeficiente de fricción cinética 0,4. c) Además de lo anterior se pretende acelerar el cuerpo de 0 a 10 m/s a lo largo de un plano.
DATOS: • m=500Kg • d=10m • β=30° • T= ? • a) V. constante; a=0 • b) Mk= 0,4 • c) Acelerar de 0 a 10m/s
21
PROBLEMA DE TRABAJO #2 RAZONAMIENTO Y OPERACIONES: -Se calcula el Peso con la masa y la gravedad: đ?‘ƒ = đ?‘š â‹… đ?‘” ⇒ đ?‘ƒ = 500 đ?‘˜đ?‘” â‹… 9,81 đ?‘š/đ?‘ 2
⇒ đ?‘ƒ = 4905 đ?‘
-Se calculan los valores de Px y Py con peso y Sen y Cos del ĂĄngulo, respectivamente: đ?‘ƒđ?‘Ľ = đ?‘ƒ â‹… đ?‘†đ?‘’đ?‘›đ?›˝ ⇒ đ?‘ƒđ?‘Ľ = 4905 đ?‘ â‹… đ?‘†đ?‘’đ?‘› 30° ⇒ đ?‘ƒđ?‘Ľ = 2452,5 đ?‘ đ?‘ƒđ?‘Ś = đ?‘ƒ â‹… đ??śđ?‘œđ?‘ đ?›˝ ⇒ đ?‘ƒđ?‘Ś = 4905 đ?‘ â‹… đ??śđ?‘œđ?‘ 30° ⇒ đ?‘ƒđ?‘Ľ = 4247,85 đ?‘ â‡? đ?‘ → El valor de Py es el valor de la fuerza Normal. a)= - Para poder calcular el trabajo, se necesita primero el valor de fuerza: đ??š − đ?‘ƒđ?‘Ľ = đ?‘š â‹… đ?‘Ž →ya que a=0, entonces el producto de masa por aceleraciĂłn serĂĄ 0; igualando fuerza con Px → F=Px ; entonces → F= 2452,5 N -Ahora con el valor de fuerza, distancia y el ĂĄngulo, que es 0°, se calcula el trabajo: đ?‘‡ = đ??š â‹… đ?‘‘ â‹… đ??śđ?‘œđ?‘ đ?›˝ ⇒ đ?‘‡ = 2452,5 đ?‘ â‹… 10đ?‘š â‹… đ??śđ?‘œđ?‘ 0° ⇒ đ?‘‡ = 2452,5 đ??˝ b)= -Partiendo de la fĂłrmula: đ??š − đ?‘ƒđ?‘Ľ − đ??šđ?‘&#x; = đ?‘š â‹… đ?‘Ž; y siendo el producto de masa por aceleraciĂłn igual a 0, debido a que la aceleraciĂłn es igual a 0, se despeja la fĂłrmula para encontrar el valor de fuerza: đ??š = đ?‘ƒđ?‘Ľ + đ??šđ?‘&#x; se debe calcular el valor de Fr primero, ya que se tiene el valor de Px.
-Para calcular Fr se usa la fĂłrmula: đ??šđ?‘&#x; = đ?‘ + đ?‘€đ?‘˜; se sustituyen los valores: đ??šđ?‘&#x; = đ?‘ + đ?‘€đ?‘˜ ⇒ đ??šđ?‘&#x; = 4247,85 đ?‘ â‹… 0,4 ⇒ đ??šđ?‘&#x; = 1699,14 đ?‘ -Ahora con Fr, se aplica la fĂłrmula propuesta anteriormente→ đ??š = đ?‘ƒđ?‘Ľ + đ??šđ?‘&#x; đ??š = 2452,5 đ?‘ + 1699,14 đ?‘ ⇒ đ??š = 4151,64 đ?‘ -Ya que se conoce el valor de fuerza y distancia se calcula el trabajo: đ?‘‡ = đ??š â‹… đ?‘‘ â‹… đ??śđ?‘œđ?‘ đ?›˝ ⇒ đ?‘‡ = 4151,64 đ?‘ â‹… 10đ?‘š â‹… đ??śđ?‘œđ?‘ 0° ⇒ đ?‘‡ = 41516,4 đ??˝
22
PROBLEMA DE TRABAJO #2 RAZONAMIENTO Y OPERACIONES: c)= -Se despeja aceleraciĂłn de la fĂłrmula: đ?‘‘ =
đ?‘‰đ?‘“2 −đ?‘‰đ?‘– 2 2â‹…đ?‘Ž
đ?‘‰đ?‘“2 − đ?‘‰đ?‘–2 (10đ?‘š/đ?‘ )2−(0đ?‘š/đ?‘ )2 100đ?‘š/đ?‘ 2 đ?‘Ž= ⇒đ?‘Ž= ⇒đ?‘Ž= ⇒ đ?‘Ž = 5đ?‘š/đ?‘ 2â‹…đ?‘‘ 2 â‹… 10đ?‘š 20đ?‘š
2
-Se utiliza la fĂłrmula:đ??š − đ?‘ƒđ?‘Ľ − đ??šđ?‘&#x; = đ?‘š â‹… đ?‘Ž, para hallar el valor de fuerza ya que se conocen los demĂĄs valores, se despeja la fĂłrmula: đ??š = đ?‘š â‹… đ?‘Ž + đ?‘ƒđ?‘Ľ + đ??šđ?‘&#x; ⇒ đ??š = 2500 đ?‘ + 2452,5 đ?‘ + 1699,14 đ?‘ ⇒ đ??š = 6651,64 đ?‘ -Ahora con el valor de Fuerza y distancia se calcula el trabajo: đ?‘‡ = đ??š â‹… đ?‘‘ â‹… đ??śđ?‘œđ?‘ đ?›˝ ⇒ đ?‘‡ = 6651,64 đ?‘ â‹… 10đ?‘š â‹… đ??śđ?‘œđ?‘ 0° ⇒ đ?‘‡ = 66516,4 đ??˝
RESPUESTA: a. El trabajo que se necesita para mover el cuerpo es de 2452,5J b. El trabajo que se necesita para mover el cuerpo es de 41516,4J c. El trabajo que se necesita para mover el cuerpo es de 66516,4J
23
PROBLEMA DE TRABAJO #3 “Un bloque de 0,5 kg se encuentra sobre una superficie horizontal, entre ambos existe rozamiento. Si sobre el bloque, que inicialmente estĂĄ en reposo, actĂşa una fuerza horizontal constante de 50N, se observa que despuĂŠs de 50m adquiere una velocidad de 1,5m/s. Calcular: a)Trabajo realizado por la fuerza de fricciĂłn b) Coeficiente de fricciĂłn â€? DATOS: • m: 0,5kg • Vo: 0 • F: 50N • d: 50m • Vf: 1,5 m/s • Wfr: ? • M: ?
PROCEDIMIENTOS:
RAZONAMIENTO: Para resolver este problema se deben realizar las sumatorias de la fuerzas en ambos ejes e igualar el eje X a masa por aceleraciĂłn y el eje Y a 0. Luego de esto se halla la aceleraciĂłn con la fĂłrmula đ?‘Ž = đ?‘‰đ?‘“2 −đ?‘‰đ?‘– 2 2â‹…đ?‘‘
y luego se despeja de la sumatoria del eje X la fuerza de roce para asĂ aplicarle la fĂłrmula del trabajo.
đ?›´đ??šđ?‘Ľ: 50đ?‘ − đ?‘“đ?‘&#x; = đ?‘š ∙ đ?‘Ž Para obtener el coeficiente de fricciĂłn se đ?›´đ??šđ?‘Ś: đ?‘ − đ?‘ƒ = 0 = đ?‘š ∙ đ?‘Ž + đ?‘“đ?‘&#x; debe hallar el peso del objeto para asĂ obtener la fuerza normal que es igual a đ?‘ƒ= đ?‘š ∙ đ?‘” dicho peso. đ?‘ƒ = 0,5 đ??žđ?‘” ∙ 9,81 đ?‘š/đ?‘ đ?‘ƒ = 4,905đ?‘ Con estos valores aplico la formula fr/N = đ?‘‰đ?‘“2 − đ?‘‰đ?‘– 2 nK y obtengo el coeficiente. đ?‘Ž= 2â‹…đ?‘Ž 2,25đ?‘š/đ?‘ đ?‘Ž = 100đ?‘š = 0,0225 đ?‘š/đ?‘ đ?‘ = đ?‘ƒ → đ?‘ = 4,905đ?‘ → 50đ?‘ − đ?‘š ∙ đ?‘Ž = đ?‘“đ?‘&#x; đ?‘š → đ?‘“đ?‘&#x; = 50 đ?‘ − 0,5 đ??žđ?‘” ∙ 0,0225 đ?‘ → đ?‘“đ?‘&#x; = 49,9888đ?‘ đ?‘“đ?‘&#x; → đ?‘“đ?‘&#x; = đ?‘ ∙ đ?‘€đ?‘˜ → đ?‘€đ?‘˜ = đ?‘ 49,9888đ?‘ → đ?‘€đ?‘˜ = 4,905 đ?‘ RESPUESTA: đ?‘€đ?‘˜ = 10,1914 El trabajo realizado por la fuerza de đ?‘Šđ?‘“đ?‘&#x; = đ??š ∙ d ∙ cos fricciĂłn es -2499,44J y el coeficiente de đ?‘Šđ?‘“đ?‘&#x; = 49,9888đ?‘ ∙ 50m ∙ -1 fricciĂłn es 10,1914 đ?‘Šđ?‘“đ?‘&#x; = −2499,44 đ??˝ 24
PROBLEMA DE POTENCIA #1 â€œÂżCuĂĄntos litros de agua puede sacar el motor de una bomba de 1,8 C.V, de un pozo de 2.5m de profundidad en 12 minutos?â€? DATOS: • Lt de agua = ? • P= 1,8 C.V • d= 2,5m • t= 12 min
RAZONAMIENTO:
CONVERSIONES: â—?
P→ 1C.V ------- 735,498W 1,8 C.V -------- X = 1323,8964 W
â—?
t→1 min ------ 60s 12 min ------ X = 720s
PROCEDIMIENTOS: đ?‘Š = đ?‘ƒ ∙ đ?‘Ą → đ?‘Š = 1323,8964 đ?‘Š ∙ 720đ?‘ → đ?‘Š = 953205,41đ??˝ đ??š = đ?‘Š/đ?‘‘ ∙ đ??śđ?‘œđ?‘ â?şâ†’ đ??š = 953205,41đ??˝ / 2,5 đ?‘š ∙ 1→ đ??š = 381282,16đ?‘
Resolver este problema es muy sencillo, solo se debe tener en cuenta que nos dan la potencia y el tiempo, con estos valores podrĂamos hallar el trabajo realizado por la bomba de agua despejando el trabajo de la fĂłrmula de potencia đ?‘ƒ = đ?‘Š/đ?‘Ą quedando entonces que đ?‘Š = đ?‘ƒ ∙ đ?‘Ą Una vez obtenido el trabajo se debe despejar de la fĂłrmula de trabajo la fuerza de la forma: đ?‘Š = đ??š ∙ đ?‘‘ ∙ đ??śđ?‘œđ?‘ â?ş quedando entonces que đ??š = đ?‘Š/đ?‘‘ ∙ đ??śđ?‘œđ?‘ â?ş . donde el ĂĄngulo formado entre la fuerza aplicada y la distancia (â?ş) es 0Âş. Debido a que la fuerza que debe ejercer la bomba sobre el agua para subirla es igual al peso de la misma, podemos decir que el peso de dicha agua va a ser la fuerza despejada anteriormente. Al tener el peso del agua despejamos de la ecuaciĂłn đ?‘ƒ = đ?‘š ∙ đ?‘” la masa, quedando que đ?‘š = đ?‘ƒ/đ?‘”. donde el valor “gâ€? es la gravedad (9.81m/s^2). Cabe destacar que los kilogramos de agua obtenidos de este cĂĄlculo son equivalentes a litros debido a que la densidad del agua es 1 gr/ml.
đ??š=đ?‘ƒ đ?‘š
đ?‘š = đ?‘ƒ/đ?‘” → đ?‘š = 381282,16đ?‘ /9.81 đ?‘† 2 → đ?‘š = 38866,683 đ??žđ?‘”
RESPUESTA: Un motor de 1,8 C.V de potencia saca 38866,683 Litros de agua de un pozo de 2,5 metros de profundidad en 12 minutos.
25
PROBLEMA DE ENERGIA MECANICA #1 â€œÂżSe tiene un cuerpo de masa 1,4 Kg, el cual esta ubicado en un punto A, a una altura vertical de 42 m del suelo. Si el cuerpo se suelta y pasa por un punto B situado mĂĄs abajo con una rapidez de 12 m/s, calcular a) EnergĂa Potencial en B. b) Altura del punto B. c) Rapidez del cuerpo al tocar el suelo.â€? RAZONAMIENTO Y OPERACIONES: DATOS: • m= 1.4 Kg • hA= 42 m • VB= 12m/s • EpB=? • hB= ? • Vsuelo=?
1)Para hallar la altura a la que se encuentra el punto B debemos despejar de la fĂłrmula đ?‘‰ = 2 ∙ đ?‘” ∙ â„Ž la h para asi obtener la altura descendida por el cuerpo y restarsela a la đ?‘‰2
altura del punto A, quedando entonces que, đ?‘Œ = 2∙đ?‘” 2
�2
(12đ?‘š/đ?‘ )
đ?‘Œ = 2∙đ?‘” → đ?‘Œ = 2∙9.81đ?‘š/đ?‘ 2 → đ?‘Œ = 7,3394đ?‘š → â„Žđ??ľ = 42 đ?‘š − 7,3394 đ?‘š
→ â„Žđ??ľ = 34,66 đ?‘š 2) Para hallar la velocidad que posee el cuerpo al momento de tocar el suelo se debe igualar la energĂa mecĂĄnica del Punto B con la del suelo, la cual es puramente cinĂŠtica, quedando entonces que:
1 1 Ă— đ?‘š Ă— đ?‘‰đ??ľ2 + â„Žđ??ľ Ă— đ?‘” Ă— đ?‘š = Ă— đ?‘š Ă— đ?‘‰đ?‘ đ?‘˘đ?‘’đ?‘™đ?‘œ2 + 0 Ă— đ?‘” Ă— đ?‘š 2 2 1 2
→
1 Ă—đ?‘šĂ—đ?‘‰đ??ľ2+â„Žđ??ľĂ—đ?‘”Ă—đ?‘š 2 1 Ă—đ?‘š 2
→
1
Ă— đ?‘š Ă— đ?‘‰đ??ľ2 + â„Žđ??ľ Ă— đ?‘” Ă— đ?‘š = 2 Ă— đ?‘š Ă— đ?‘‰đ?‘ đ?‘˘đ?‘’đ?‘™đ?‘œ2
→
= đ?‘‰đ?‘ đ?‘˘đ?‘’đ?‘™đ?‘œ
1 Ă—1,41 đ??žđ?‘”Ă—(12đ?‘š/đ?‘ )2+34,66 đ?‘šĂ—9.81đ?‘š/đ?‘ 2Ă—1,41 đ??žđ?‘” 2 1 Ă—1,41 đ??žđ?‘” 2
= đ?‘‰đ?‘ đ?‘˘đ?‘’đ?‘™đ?‘œ →
đ?‘‰đ?‘ đ?‘˘đ?‘’đ?‘™đ?‘œ =
28,71đ?‘š/đ?‘ 3) Como ya poseemos la altura del punto B, podemos calcular su energĂa potencial utilizando la fĂłrmula: đ?‘š đ??¸đ?‘?đ??ľ = đ?‘” ∙ â„Žđ??ľ ∙ đ?‘š → đ??¸đ?‘?đ??ľ = 9,81 2 ∙ 34,66đ?‘š ∙ 1,4đ??žđ?‘” → đ??¸đ?‘?đ??ľ = đ?‘ 476,0204đ??˝
RESPUESTA: La altura de B es 34.66m, la velocidad al llegar al suelo es 28.71m/s y la energĂa potencial de B es 476,0204J
CONTENIDO EXTRA
APRENDE UN POCO MÁS
Artículos Novedosos Sudoku
EJERCITA TU CEREBRO CON ESTE CONTENIDO EXCLUSIVO
Biografías Célebres
27
El PÉNDULO DE FOULCAULT EN EL EDIFICIO DE LAS NACIONES UNIDAS Una de las piezas más destacables del vestíbulo de la Asamblea General de las Naciones Unidas es el Péndulo de Foucault, entregado a las Naciones Unidas en 1955 por los Países Bajos. El Péndulo de Foucault, bautizado con el nombre del físico Jean Bernard Leon Foucault, prueba visualmente la rotación de la Tierra.
Está formado por una esfera bañada en oro y rellena en parte de cobre, suspendida desde el techo a casi 23 metros de altura por un cable de acero inoxidable. Una rótula le permite balancearse en todas direcciones. Un electroimán situado bajo el péndulo contrarresta la fricción con el aire, manteniéndolo con un balanceo uniforme. En el transcurso de un día, la dirección en la que se mueve el péndulo cambia debido a la rotación de la Tierra. La esfera tarda 36 horas y 45 minutos en completar su ciclo.
28
AGILIZA TU MENTE Encuentra las 5 diferencias:
29
AGILIZA TU MENTE
ISAAC NEWTON Nació el 25 de Diciembre de 1642 según el calendario Juliano (el 4 de Enero de 1643 según el calendario gregoriano vigente en toda Europa) en Woolsthorpe , Inglaterra. Murió el 23 de Marzo de 1727 en Kensington, siendo enterrado en la famosa abadía de Westminster junto a los grandes de Inglaterra. Tuvo problemas de salud y dificultades en los estudios. Como era débil físicamente no jugaba con los niños de su edad, escribía poesías, dibujaba y construía juguetes. Con 17 años le sacaron del colegio para ayudar a la granja familiar, pero se pasaba la mayor parte del tiempo resolviendo problemas, experimentando e ideando modelos mecánicos. Como era un pésimo granjero, su madre y su tío decidieron que fuera al College Trinity de Cambridge donde ingresó en 1661 y se licenció en Artes en 1665. Pero ese mismo año se cerró la Universidad a causa de la peste y tuvo que volver a la granja. Entre 1665 y 1667, estando en la granja , concibió la mayor parte de las teorías que le han hecho famosos. Regresó a Cambridge en 1667, primero como becario, luego como profesor y finalmente como catedrático.
31
ROBERT HOOKE Nació en Freshwater, Inglaterra, 1635. Murió en Londres, 1703. Aunque principalmente es conocido por sus estudios sobre la elasticidad, fueron notables asimismo sus descubrimientos astronómicos y sus aportaciones a la biología. Formado en la Universidad de Oxford, Robert Hooke colaboró en el seno de esta institución con el químico británico Robert Boyle en la construcción de una bomba de aire (1655). Cinco años más tarde formuló la ley de la elasticidad que lleva su nombre. En 1664, con un telescopio de Gregory de construcción propia, Robert Hooke descubrió la quinta estrella del Trapecio, en la constelación de Orión. Fue además el primero en sugerir que Júpiter gira alrededor de su eje. Sus detalladas descripciones del planeta Marte fueron utilizadas en el siglo XIX para determinar su velocidad de rotación.
32
JOHANNES KEPLER Nació el 27 de diciembre de 1571, Weil der Stadt, Alemania Murió el 15 de noviembre de 1630, Ratisbona, Alemania Hijo de un mercenario que desapareció en el exilio en 1589, y de una sospechosa de practicar la brujería. Superó las secuelas de una infancia desgraciada y sórdida merced a su tenacidad e inteligencia. Tras estudiar en los seminarios de Adelberg y Maulbronn, Kepler ingresó en la Universidad de Tubinga (1588), donde cursó los estudios de teología Fue también discípulo del copernicano Michael Mästlin. En 1594 interrumpió su carrera teológica al aceptar una plaza como profesor de matemáticas en el seminario protestante de Graz. El trabajo más importante de Kepler fue la revisión de los esquemas cosmológicos conocidos a partir de la gran cantidad de observaciones acumuladas por Brahe (en especial, las relativas a Marte), labor que desembocó en la publicación, en 1609, de la Astronomia nova (Nueva astronomía), la obra que contenía las dos primeras leyes llamadas de Kepler, relativas a la elipticidad de las órbitas y a la igualdad de las áreas barridas, en tiempos iguales, por los radios vectores que unen los planetas con el Sol.
33