SUCESION DE FIBONACCI Y EL NUMERO AUREO
PRESENTADO POR CARLOS DARIO CIFUENTES
GRADO 11-03
AREA MATEMATICAS
PRESENTADO A LIC. LUZ ENEYDA DAZA
INSTITUCION EDUCATIVA FRANCISCO ANTONIO DE ULLOA POPAYAN SEPTIEMBRE DE 2014
Biografía de Leonardo de Pisa [Fibonacci] (Leonardo Bigollo, llamado también Leonardo Fibonacci, Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci o Fibonacci; Pisa, actual Italia, c. 1175 -id., c. 1240) Matemático italiano que difundió en Occidente los conocimientos científicos del mundo árabe, los cuales recopiló en el Liber Abaci(Libro del ábaco). Popularizó el uso de las cifras árabes y expuso los principios de la trigonometría en su obra Practica Geometriae (Práctica de la geometría).
Fibonacci Considerado como el primer algebrista de Europa (cronológicamente hablando) y como el introductor del sistema numérico árabe, fue educado de niño en Argelia, donde su padre era funcionario de aduanas, y donde aprendió "el ábaco, al uso de los indios". Después tuvo manera, por razones de tipo comercial, de conocer todo lo que de esta ciencia se enseñaba en Egipto, en Siria, en Sicilia y en Provenza. Al material así reunido le dio un orden, una unidad de método y una claridad de enseñanza en el Liber Abaci (Libro del ábaco), que, como modelo de texto universitario, sirvió también, por su caudal de ejemplos, para la compilación de manuales de aritmética para uso de los comerciantes. Escrita en 1202 y ampliada en una segunda redacción en 1228, la obra contiene quince capítulos; en el primero se expone la numeración de las nueve cifras que Fibonacci llama "indias" y que, en efecto, son diez, porque es necesario añadirles el cero "quod arabice zephirum apellatur"; en los capítulos siguientes Leonardo expone nociones suficientes sobre el cálculo digital, tablas de adición y multiplicación, mostrando su uso para realizar las cuatro operaciones con cifras de considerable extensión, y dando a conocer los
criterios de divisibilidad por dos, por tres y hasta trece, reuniendo en tablitas a propósito los resultados de las divisiones por estos números de algunos enteros no superiores al 200. En el sexto y el séptimo capítulos trata de las fracciones, del concepto y las aplicaciones del mínimo común múltiplo y de una "tabula disgregationis" que, enseñando la descomposición de buen número de fracciones ordinarias en fundamentales, revela la persistencia de la logística egipcia. La segunda parte del libro, "Regla de Álgebra", contiene las fórmulas para reconocer las ecuaciones de segundo grado, con las demostraciones según el modo antiguo, mediante construcciones geométricas, y numerosos problemas que se pueden resolver con ecuaciones o con sistemas de ecuaciones reducibles a las de segundo grado. Este libro, que debe considerarse como uno de los más importantes de aquella época por la influencia que tuvo sobre la entonces renaciente conciencia científica occidental, le procuró al autor vasta fama y llamó sobre él la atención del emperador Federico II, que le invitó a su corte. En 1220 dio a luz Práctica de la geometría, donde figuran una introducción vinculada a las proposiciones fundamentales de Euclides, reglas para la medida de longitudes, áreas y volúmenes y la división de las figuras, y las demostraciones de tales normas, con aplicaciones concretas y desarrollos de cálculo que constituyen un útil complemento de la obra anterior. Siguiendo el ejemplo de los maestros griegos, Leonardo Pisano modeló esta obra al estilo de los Elementos de Euclides, y enseñando los procedimientos a seguir cuando se quiere medir una superficie o un volumen o dividir una figura dada en partes sujetas a condiciones propuestas, acompañó siempre su enseñanza con demostraciones y cálculos debidamente desarrollados, a fin de poner de relieve que habla realizado investigaciones semejantes a las contenidas en la Métrica de Herón de Alejandría. Si bien esta obra de Fibonacci tenía un carácter exclusivamente didáctico, hay que convenir que constituye uno de los principales tratados geométricos de la Edad Media. Por otra parte se encuentra en la misma obra una parte intermedia dedicada a una teoría aritmética sobre los radicales cuadrados y cúbicos, aparte de un método para la extracción de las raíces cuadrada y cúbica de un número dado. Merece también destacarse en el libro de Fibonacci la exposición de los procedimientos ideados por Arquitas, Platón y Herón de Alejandría para duplicar el cubo, problema que junto con el de la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo, sedujo vanamente a generaciones enteras de estudiosos. Entre otros textos de Fibonacci conocidos figura un comentario al libro de los Elementos de Euclides. Se sabe también que compuso un Libro di merchatanti. Es asimismo célebre por el descubrimiento de la denominada
serie de Fibonacci, entre cuyas propiedades cabe citar su recurrencia en numerosas formaciones orgรกnicas naturales.
Presencia de la sucesión de Fibonacci en la Naturaleza 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Reino vegetal Las ramas y las hojas de las plantas; se distribuyen sobre sus plantas de modo que se incomoden lo menos posible, para recibir cada una de ellas el máximo de aire, sol y agua, esta distribución se produce siguiendo nuestra sucesión. Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. Las piñas presentan siempre un número de espirales coincidentes con la sucesión de Fibonacci. Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8. ¿Y qué pasa con las hojas y su distribución a lo largo del tallo?
La Filotaxia es la parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas.
En la mayoría de los casos esta distribución está maravillosamente plasmada para permitir a las hojas una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, por lo general, una ruta ascendente y la forma de hélice. Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas consecutivas (llamemos a este número 'n') hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, perteneciente a la sucesión de Fibonacci. Y, si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el número de vueltas 'm' que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión. Pues bien, se llama "característica" o "divergencia" del tallo a la fracción m/n, y que, como muestra en la figura 2, en el olmo es 1/2, en el álamo 2/5, en el sauce llorón 3/8 y en el almendro 8/13. Y en las piñas, y en las palmeras, y en la lechuga… Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/8 o bien 8/13. Estas propiedades son similares a las que encontramos en las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, el ficus, etc. Reino Animal "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."
En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión. Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144.... Es fácil ver que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo. =1.618039.... Cuerpo humano • • •
• • •
La sucesión de Fibonacci Y Las Partes Corporales De Humanos La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. La relación entre las divisiones vertebrales. La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.
La mano humana también respeta la serie de Fibonacci. • La longitud del metacarpo es la suma de las dos falanges proximales. • La longitud de la primera falange es la suma de las dos falanges distales. Algo similar ocurre con la cabeza en el cuerpo humano: existe la misma proporción entre la longitud de la cabeza y su ancho.
El número áureo y el cuerpo humano En esta descripción, Vitruvius (arquitecto romano del siglo I a.C.) afirma: "En el cuerpo humano, la parte central es el ombligo. Pues si un hombre se acuesta boca arriba, con los brazos y las piernas extendidas, y se centran un par de compases en el ombligo, los dedos de las manos y los pies tocarán la circunferencia descrita a partir de ese centro. Y también puede inscribirse una figura cuadrada". Si dividimos un lado del cuadrado (que corresponde a la altura del ser humano), entre el radio de la circunferencia (la distancia entre el ombligo y la punta de los dedos) tendremos el número áureo.
Académicos explican la relación de la matemática y el arte Dentro de muchas obras de arte se encuentra la matemática, pero los artistas que las crearon aplicaron esta ciencia de manera consciente o inconsciente a esta expresión del ingenio humano. Ese fue el tema que trató Paola Estrada, profesora de Artes en Hamburgo y Alejandro Martín, quien trabaja en la Biblioteca Virtual de la Biblioteca Luis Ángel Arango. Estrada explicó cómo las proporciones áureas, es decir, el número especial (1,618033988...) que ocupa a la humanidad desde tiempos muy antiguos y al que se le atribuye un carácter estético muy particular aparece en obras de Leonardo da Vinci como El Hombre de Vitrubio o la Mona Lisa. "Aunque el original Hombre de Vitrubio se le adjudica a un arquitecto romano del siglo I antes de Cristo, quien quería poner la figura humana dentro de un cuadrado y un círculo a la vez, fue da Vinci quien lo logró gracias a las proporciones áureas. Sin embargo, no se sabe si lo hizo de manera intuitiva o con base en cálculos, al parecer fue con esta esta segunda estrategia, ya que en la época del Renacimiento estas proporciones estaban muy en boga", explicó Estrada. También en cómo está dividida la figura de la Mona Lisa se encuentra la matemática, presente en la composición de la obra a través de las proporciones. No obstante, según Estrada, aún hay mucha polémica acerca de hasta dónde los artistas de la época usaron su intuición en estas obras. "Cuando tomamos una fotografía de manera intuitiva o matemática buscamos la composición de la imagen. Al tomar la foto de un paisaje, por ejemplo del mar, el cielo se pone a 1/3 y el mar a 2/3 o viceversa y eso es parte de la composición, en la que también se encuentra la proporción aurea", comentó Estrada. De acuerdo con cálculos hechos en la actualidad, en construcciones antiguas de Egipto y Grecia se han encontrado las proporciones áureas en diferentes aspectos de la estructura. "La relación de arte y matemática se ve, ya sea en la técnica o en las proporciones", comentó Alejandro Martín, quien analizó la obra de tres artistas contemporáneos: Juan Mejía, Michel Gondry y Regina Silveira.
Juan Mejía creó una obra llamada Ejercicios de dibujo que son unos textos que aparentemente también son dibujos, al entrar en esa discusión de lógica, se puede decir que a primera vista no son figuras, pero al definir qué es un dibujo, se puede entender que los textos sí lo son. "Michel Gondry, quien es director de cine y de videos musicales, hace que la imagen represente muy literalmente a la música. Cómo funciona la relación entre música e imagen en ese caso y la forma tan ingeniosa como él logra esta representación permite que esa fusión de dos conjuntos se relacione con la matemática", explicó Martín. Por su parte, Regina Silveira es una artista contemporánea brasilera que ha trabajado mucho, en particular, con la idea de la sombra y cómo se relacionan con las proyecciones. "Los artistas piensan en la línea y los matemáticos también y de ambas ideas sobre la línea se pueden enriquecer
En estas fotografías se ilustra lo maravilloso de la naturaleza en términos de las matemáticas. Como decía Galileo “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”. Sin la magia ni la belleza de las matemáticas el universo natural que vemos no tendría esa picante de ser lo que es, un mundo abundante de vida y de misterio a la vez. Vemos en los girasoles, en los animales como el pavo real, la abundancia del aprendizaje de los números y de las matemáticas a su vez y por ende la increíble serie de Fibonacci de la que aún se siguen descubriendo muchas maravillas.
MEDIDAS DEL ESTUDIANTE EN RELACION A LA OBTENCION DEL NUMERO AUREO
Medidas de Carlos Dario Cifuentes Grado 11 03
ANTEBRAZO IZQUIERDO PALMA DE LA MANO IZQUIERDA DEDO CORAZON PARTE SUPERIOR: A DEDO CORAZON PARTE MEDIA: B DEDO CORAZON PARTE INFERIOR: C MANO AL DOBLAR: D ESTATURA DEL CUERPO DESDE EL OMBLIGO HASTA LA PUNTA DEL DEDO CORAZON CON BRAZOS EXTENDIDOS
LONGITUD (CM) 29,2 19,0 2,7 2,5 3,5 3,8
RAZON 1,537 1,080 1,400 1,086
Razón B/A Razón C/B Razón D/C
1,785 1
1,623
De lo anterior no estoy muy satisfecho con las razones o divisiones obtenidas, porque este parámetro de obtener el número áureo no es muy visible en mi físico, pero me considero una persona saludable, con buena estatura y con un perfil que a mi edad es muy bien visto debido a mi estatura. La perfección pienso que es muy improbable en los seres humanos porque no existe ese ser “humano perfecto” debido a las variaciones que se presentan al nacer o al medio donde cada ser se desarrolle o crezca. La perfección ni siquiera con las máquinas se ha alcanzado y por ende el que haya o exista algún ser humano con las proporciones que sean iguales al número áureo, son muy escasas y como se mencionó anteriormente muy improbables. Por tal razón el ser humano al construir elementos como la tarjeta de crédito, pretendió obtener la famosa proporción divina y con el siguiente ejercicio se
trata de verificar la razón del número áureo, en donde se obtuvo el siguiente resultado:
LARGO ANCHO
LONGITUD (CM) 8,8 5,5
RAZON 1,6
¿Por qué las tarjetas de crédito tienen esa forma? Las utilizamos todos los días para sacar dinero de un cajero, para pagar la ropa que vamos a comprar, para reservar una habitación de hotel a través de Internet... Las tarjetas de crédito, esos trozos de plástico de forma rectangular que llevamos siempre en nuestra billetera y que, ¡vaya casualidad!, sean del banco que sean, todas son iguales. Pero no solamente las tarjetas de crédito, sino también el DNI, el carnét de conducir, la de la Obra Social, e incluso, si me apurás, en la mayoría de los casos también coinciden en tamaño el carnél del colectivo o el de la biblioteca. ¿Por qué tienen esa forma? La respuesta, en las siguientes líneas.
Antes de nada, nos toca experimentar un poco. Agarren una tarjeta de crédito o nuestro DNI (Cedula de Identidad en este caso) y midan su largo y su ancho; luego, calculen el cociente de ambas longitudes y diganmé qué número les dá. ¿Algo parecido a 1,618? Decimal arriba o decimal abajo, el resultado que les debe salir tiene que ser muy cercano al que les acabo de preguntar. ¿Por qué ese número y no otro? ¿Por qué no usar un rectángulo cuyo lado mayor sea el doble que el menor, y así será más fácil de construir en vez de tener que estar pendiente de que encaje con varios decimales? La explicación es muy sencilla: el número anterior es el número áureo .
¿Y qué particularidad tiene el número áureo para que tenga un nombre propio y que se use, como hemos visto, para hacer tarjetas de crédito? Pues que es un número que proporciona belleza y equilibrio a todo aquéllo a lo que se aplique. La primera curiosidad matemática que se le encuentra es que, tanto si lo elevamos al cuadrado como si le sumamos uno, el resultado final es el mismo, pero vamos a buscarle una propiedad algo más visual que nos permita admirar el atractivo que le caracteriza, por ejemplo, con el rectángulo de las tarjetas de crédito. Primero, para no tener que romper ninguna tarjeta, pongan una sobre un papel en blanco y trazen su contorno; a continuación, dibujen el cuadrado interior más grande que puedan, es decir, aquél cuyo lado mide lo mismo que el ancho del rectángulo. De esta forma, el rectángulo original ha quedado dividido en dos partes: una con un cuadrado y otra con un rectángulo. Bien, ahora midan el largo y el ancho del nuevo rectángulo que hayan obtenido y calculen el cociente. ¡Sorpresa! ¡Sale el mismo número que antes! Eso es porque hemos usado un rectángulo áureo, que, como su propio nombre indica, tiene como razón entre sus lados el número áureo, y, si pudiésemos repetir el experimento con el rectángulo que hemos obtenido infinitas veces, conseguiríamos rectángulos cada vez más y más pequeños y siempre áureos.
Una vez leí sobre el rectángulo áureo que no era ni demasiado largo ni demasiado ancho, y, desde luego, al que lo dijo no le falta razón. Se podría decir que, de entre todos los rectángulos que se pueden dibujar, el áureo es el más proporcionado, el perfecto, el modelo a seguir. Por eso, es el que se usa para las tarjetas de crédito, el DNI... ¡y las cajas de cigarrillo! ¿No lo creén? Hagan la prueba y veran que no miento. Pero lo del rectángulo áureo no es algo relativamente nuevo, ya que su armoniosa propiedad se utiliza desde hace ya miles de años, concretamente en los tiempos de la Antigua Grecia, cuando se aplicó para edificar el Partenón (su alzado cumple la proporción de oro).
Lo más fascinante de este número es que se muestra de forma continua en la naturaleza, como por arte de magia. El nautilus, una especie de molusco, tiene una concha cuya forma es prácticamente idéntica a la de la espiral logarítmica, que se construye a partir de continuas divisiones de rectángulos áureos. El crecimiento de las ramas de los árboles suele seguir la serie de Fibonacci, al igual que las hojas de las que se componen muchas flores. Esta serie, que viene determinada por los números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... se forma a partir de la suma de los dos últimos elementos de la serie; si calculans el cociente de dos números consecutivos, se daran cuenta de que, cuanto más grandes sean éstos, el resultado tiende a ser igual al número áureo.
Y el ser humano, ¿está caracterizado de alguna u otra forma por esta proporción? La respuesta es sí. La relación entre nuestra altura y a la que se encuentra el ombligo, por ejemplo, se muestra en el conocidísimo dibujo de Leonardo da Vinci 'El Hombre de Vitruvio', que describe las múltiples relaciones que se dan en el cuerpo de un hombre; de hecho, se dice que es el Canon de las proporciones humanas.
¿Casualidad? El comportamiento de la naturaleza parece condicionado en gran parte por el número áureo, como ya hemos visto, en el crecimiento de las plantas y árboles, en al forma de las conchas de algunos moluscos, en las proporciones del cuerpo de un ser humano y en muchas otras que también podría haber comentado. Es evidente que la casualidad o el azar podrían ser, si acaso, actores secundarios en estos hechos, porque el papel principal le corresponde, sin duda alguna, a ese número que aporta equilibrio, belleza y armonía allá donde se manifiesta: el número áureo.
BIBLIOGRAFIA 1. http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/leonardo_depisa.htm 2. http://www.icefranco.edu.bo/boletin/?p=3898 3. http://www.conalasypies.com.ar/newsletters/geometria_sagrada_2.htm 4. http://vri.unicauca.edu.co:8081/vri2011/index.php/noticiasinternacionales/382-academicos-explican-la-relacion-de-la-matematica-y-elarte Publicado 8 de Noviembre de 2011