Centro Universitário Augusto Motta
Pró-Reitoria Acadêmica
Cálculo II Integração Indefinida
Resumo Teórico - Exercícios Diversos
Prof. Ms. Nelson Damieri Gomesi Rio de Janeiro 2014
2
Sumário Capítulo I _______________________________________________________________ 3 Integrais indefinidas _______________________________________________________ 3 Antidiferenciação _________________________________________________________ 3 1. 2. 3. 4. 5.
Introdução ________________________________________________________________ 3 Propriedades das integrais indefinidas __________________________________________ 3 Integração por substituição ___________________________________________________ 4 Fórmulas da Integral Indefinida: _______________________________________________ 4 Exercícios Introdutórios ______________________________________________________ 7
Capítulo II _______________________________________________________________ 9 Exercícios de aprofundamento e revisão _______________________________________ 9 n1
1. Resolva, sabendo-se que
xndx nx1c
____________________________________ 9
axdx lnaa c x
e dx e c e ___________________ 10 a c a . u '( x ) dx e . u '( x ) dx e c lna 3. Resolva, sabendo-se que e __ 10 (u(x)).u'(x)dx (u(x)) c 1 4. Resolva, sabendo-se que _______________________ 11 u'(x)dx lnu(x) c 5. Resolva, sabendo-se que u(x) ______________________________ 11 x
2. Resolva, sabendo-se que
u(x)
x
u(x)
u(x)
u(x)
6. Calcule as Integrais abaixo ___________________________________________________ 7. Determine a primitiva das seguintes funções _____________________________________ 8. Calcule as integrais indefinidas abaixo __________________________________________ 9. Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizando o método da substituição __________ g) Resolva os problemas abaixo _________________________________________________
11 12 12 12 13
Bibliografia _______________________________________ Erro! Indicador não definido.
3
Capítulo I Integrais indefinidas Antidiferenciação
1. Introdução Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida. Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).
Exemplos:
1. Se f(x) =
, então
antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é
é a derivada de f(x). Uma das .
2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3. 3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.
Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real. 2. Propriedades das integrais indefinidas São imediatas as seguintes propriedades:
I.
, ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.
4
II.
, ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.
III.
, ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.
3. Integração por substituição
Seja expressão
, Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou
, ou ainda, du = f'(x) dx, vem:
admitindo que se conhece . O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada
4. Fórmulas da Integral Indefinida: Para melhor compreensão e facilidade de comparar, cobraremos as fórmulas da diferencial (derivada x ou dx) e da sua inversa, a integral indefinida em correspondência. Integral
Diferencial 1 – d (k) = 0. dx = 0 m
2 – d( x ) = m.
xm1 . dx
1-
m1
cf(x)dx cf(x)dx 4- f(x)g(x)dx f(x)dx g(x)dx 5- 2-
4 – d (c.f(x)) = c.d(f(x)) 5 – d(f(x)
g(x)) = df(x) dg(x)
0.dxk xmdx x k,m 1 m1
5
cosu. du senuk
6 – d(sen u ) = cos u du 6-
senu. du cosuk sec u. du tanuk 8-
7 – d(cos u) = - sen u du
78 – d(tan u) = sec² u du
2
Exercícios Resolvidos
2xdx3
1. Integrar
põe u = 2x+3 du = 2dx substituindo na integral vem
1 du 1lnu C = 2 u 2 2.
3.
ln|2x+3|1/2 + C
xdx põe u = 2 – cosx 2sen cosx dulnu C ou, = ln |2 – cosx| + C u
dx x(1 x)
4.
du =
1 dx dx = 2 x du 2 x
= 2 xxudu2 du u
substituindo na integral ln|1+
x
faz u = 1 +
du = senx dx
2ln|u| + C =
x |2 = C
cot(x2+3x+2)(4x+6)dx u = x2+3x+2 du = (2x + 3)dx dx = du /(2x+3) cotu (4x+6) / (2x+3)dx =2 cot u du = 2 ln|senu| + C = 2 ln|sen(x2 + 3x +2)| + C
5.
dx xx3
[13u
1
(u3)du xdu u = u
u = x + 3 du = dx ]du = u – 3ln|u| + C = x+3 – ln|x+3| + C
1 eudu u = e /2 + C = e2x /2 + C 2
6.
e2x dx =
7.
senx ecosx dx u= cosx du = - senx dx dx = -du / senx
1 2
e2x 2dx =
senx.eu(-du)/senx = -
e
u
du = - eu + C = - ecosx + C
6
8.
1 et2 (2tdt) - 1 eudu - 1 eu + C = - 1et2 t2 e tdt 2 2 2 2
9.
(9x2 6x)ex x 5dx= 3 (3x2 2x)ex x 5dx=3 eu du = = 3 eu + C = 3
2
3
+C
2
3ex x 5 + C 3
10.
2
3x 52xdx faz u= x2 + 5 du = 2xdx dx = du /2x , 2
3u 2xdu/2x =
3u du 3u / ln3 + C=
11.
73x 9x1 (2x+3)dx = 7
12.
usecu)du= secudu secu(tan tanusecu
2
u
du/3 =
3x 5 / ln3+ C 2
73x 9x1 / 3.ln7 +C 2
d(secutanu) = secutanu
ln|secu+tanu|
+C 13.
ucotu)du d(cscucotu) = = cscudu cscu(csc cscucotu cscucotu = ln|cscu-cotu| +C
14.
=2 15.
16.
x du =
sec15x.tan15x.dx u =15x du = 15dx dx = du /15 secu.tanu.du/15= secu/15 + C = sec(15x) / 15 + C x cotx dx u = 1 + cscx du = -cscx.cotx dx csc (1cscx) 4
=
17.
1 dx dx =2 x du 2 x cosudu= 2 senu + C = 2sen x + C
cosx xdx u =
3 u 1 u du = 3 3(1cscx)3
4
+C
sen(x 4x)(x 2)dx u= x + 4x du = (2x+4)dx senu du/ 2 = cosu/2 + C = cos(x + 4x) / 2 + C 2
2
2
18.
x csc(5x )dx u = 5x 2
2
3
3
du = 15x2 dx dx = du / 15x2
7
1 csc u du - 1 cotuC= - 1 cot(5x ) + C x csc u 15dux = 15 15 15 2
2
2
3
2
5cos(3x 8)dx u =3x-8 du = 3dx 5 cosudu/3=
19.
5sen(3x8) C 3
=
tan 3xdx 13(1sec 3x)3dx = 133dx13sec3x 3dx = 2
20.
2
2
= x+ tan(3x)/3+C
cosdx(4x) = sec(4x)dx 14sec(4x).(4dx) 14tan(4x) C 2
21.
2
2
csc2x(csc2x cot2x)dx = csc 2x dx csc2x cot2x dx 1 csc 2x 2dx 1 csc2x cot2x 2dx = - 1cot2x 1csc2x + C 2 2 2 2 2
22.
2
5. Exercícios Introdutórios Calcular:
b) xdx c) x dx d) 2x dx e) (2x) 2dx f) (3x) 3dx g) x dx x 5x)dx h) (2x 2 x 3x 1)dx i) ( 3 j) (x 1) 2xdx k) xdx dx l) x dx m) x n) x xdx a)
dx 3
x4 x2 5dx x2 x2 2x dx x
p) x 2x 5dx q) x o)
5
4
5
3
2
3
2
3
4
2
2
2
2
Respostas a) x k 2 x b) k 2 x4 k c) 4 x6 k d) 3 4 e) 4x k 3 f) 9x k 1 g) 2 k 2x 2x4 x3 5x2 k h) 4 6 2 5 x x3 x k i) 15
8
(x2 1)3 k 3 3 2x2 k k) 3 l) 2 x k 1 m) k x 2 x 2 x3 k n) 2 3 j)
x3 x 5 k 3 x2 x2 2x k p) 2 2 x q) 12 53 k 2 x 3x o)
9
Capítulo II Exercícios de aprofundamento e revisão
n1
1. Resolva, sabendo-se que
(x 41x 1)dx 1 b) (x x )dx 5 1 c) (x x 4)dx 7 d) (x x x 1)dx 1 1 e) ( x x 10)dx 8 5 3 f) (x x 2)dx 4 1 2 g) ( x x 1)dx 2 3 h) (x x 4)dx x 2x 4)dx i) ( 5 1 3 j) ( x )dx 7 4 k) x.dx l) x.dx 1 .dx m) x n) x dx o) x dx p) xdx q) kdx x x dx r) x 4
a)
2
3
5
2
3
2
3
2
5
3
7
4
2
3
2
7
3
3
2
5
n
m
5
n
2
3
xndx nx1c
10
s) t)
x (x K) dx 2 (x 7) x x 7dx15 2 x 9 C xx dx 9 5 3
4
8
5
3
3
4
u) v)
2
x3 7 14(x3 7) x3 7 C 9
5
5
x7dx (x4 3) x4 3 3 x4 3 C 6 2 x4 3
e dx e c x
2. Resolva, sabendo-se que a) b) c) d)
x a a dx lna c x
x
e
2 dx 10 dx e dx (71x 34 )dx 10x .dx x
x
x
x
7
x
e) f)
3
5
ex 2 .dx x 3 x2
e
.u'(x)dx e c
u(x)
3. Resolva, sabendo-se que a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
2e dx 3xe. dx 34x .e dx 3x.4 dx 34x .3 dx 2.6 dx e .(x 4)dx 2xe .dx 2 1x 3 .dx 2 xdx 2x
x2
3 x4 x2
x4
3
2x
(x4)2
(x24)
(3 x4)
3
x2
2
au(x).u'(x)dx alna c u(x)
u(x)
e
11
k) l)
10 x.4
dx 13x2 dx
3x4
( u ( x )) (u(x)) .u'(x)dx 1 c
4. Resolva, sabendo-se que a) b) c)
5.
. (x 1) .2xdx (x 4) .x .dx (x 54) .8x .dx 2
4
3
3
4
3
2
3
u'(x)dx lnu(x) c Resolva, sabendo-se que u(x) a) b)
x11dx x2x4.dx xx5.dx 1xx .dx x x4x21.dx 2
2
c) d) e)
3
2
2
6. Calcule as Integrais abaixo
x dx = (3s 4) ds = 2pxdx = senxdx= cosxdx= dx x 1 x = 5
a)
2
b) c) d) e) f) g) h)
x3 5x2 4dx x2 = 4 12x .2dx
12
5x 4.10xdx x 1 dx (x x2x13) dx 2
i) j) k)
4
2
2
7. Determine a primitiva das seguintes funções a) b) c) d) e) f)
f (x) x3 2x 7 f(x) sen(x)3cos(x) 3 x f (x) 1 7 3 f (x) x cos(x) f (x) 1 x f (x) 15 x
8. Calcule as integrais indefinidas abaixo a) b) c) d) e) f)
x1 dx x - 4x - 2x1 dx 1x dx 2
3
2
x3 1 x2 dx 1 dx 1 x2 1-sen(x) dx
9. Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizando o método da substituição
a) b) c) d)
3x 7 3 dx 5 5x-7 dx x 11 dx xcos3x dx 15
2
2
13
e)
e
f)
g)
sen(x) cos(x) dx
4x
4 dx
3x- 2 dx 5
32x dx 2x1 dx 1x2 x5 dx tg(x) dx ex 1ex dx 1 x dx x cosx(1/x) dx sec(x) tg(x)dx 1xx dx ln(x)x2 dx e e16 dx 1348xx dx 1x x dx 4
h) i) j) k) l)
m) n) o) p) q) r) s) t)
9
2
3
4
x
2x
2
2
g) Resolva os problemas abaixo
a) O custo marginal da fabricação de x unidades de um produto tem como modelo a seguinte equação
dC320,04x ( Custo Marginal dx
). A produção
da primeira unidade custa $ 50. Ache o Custo Total da produção de 200 unidades. b) Ache a Função Custo correspondente ao custo marginal com custo de $ 750 para x = 0.
dC 1 4 dx 20 x
14
c) Ache a equação da função f(x) cujo gráfico passa pelo ponto P ( 4, 2 ) e possui derivada f’(x) =
6 x 10.
d) Estima-se que daqui a “x” meses a população de certa cidade estará variando 3
segundo uma taxa de 2 +6 x
x4 2 pessoas por mês. A população atual é
de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses e) Um estudo do meio ambiente de certa comunidade indica que, daqui a “t” anos, a taxa de monóxido de carbono no ar estará variando de
0.1t 0.1
partes por milhão por ano. Se a taxa de monóxido de carbono no ar é de 3.4 partes por milhão, qual será a taxa daqui a 3 anos? f) Sabendo-se que f(1) = 2, determinar o valor da constante C na integral abaixo
3x5 2x3 - x2 -10 2x4 indicada g) Uma arvore foi transplantada e, após após x anos, esta crescendo a uma
1 taxa de
1 (x 2)2
metros por ano. Após 2 anos alcançou 5 metros de altura.
Qual era a sua altura quando foi transplantada. h) O preço de revenda de uma máquina decresce a uma taxa que varia com o tempo de uso. Quando a máquina tinha t anos de uso, a taxa de variação do t
seu valor era
960 5
euros por ano. Se a máquina foi comprada nova por
5.000,00 euros, quanto valerá 10 anos depois. i) Um fabricante calculou que o custo marginal é de
3q2 60q400
reais por
unidade, quando q unidades são produzidas. O custo total de produção das 2 primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o custo total de produção das 5 primeiras unidades. j) O preço de uma dúzia de ovos é R$2,60. Estima-se que, daqui a x semanas, o preço variará a uma taxa de 0,2 + 0,003x2 centavos por semanas. Quanto custará a dúzia de ovos daqui a 10 semanas. k) Um objeto se move a uma velocidade de 3 +2t+6t 2 metros por minuto, após t minutos. Qual a distância percorrida pelo objeto durante o segundo minuto. l) Um fabricante calculou que o custo marginal é de 6q+1 reais por unidade, quando q unidades são produzidas. O custo total de produção das primeira
15
unidade foi de R$ 130,00. Qual será o custo total de produção das 12 primeiras unidades. m) Uma arvore foi transplantada e, após x anos, esta crescendo a uma taxa de
3xe(2x 2) 2
metros por ano. Após 10 anos alcançou 8 metros de altura. Qual
era a sua altura em t = 4 anos n) Um estudo do meio ambiente de certa comunidade indica que, daqui a “t” anos, a taxa de monóxido de carbono no ar estará variando de
2(2x3)
partes
por milhão por ano. Se a taxa de monóxido de carbono no ar é de 1.6 partes por milhão, qual será a taxa daqui a 5 anos?
16
Bibliografia
GONÇALVES, Mirian Buss e Flemming, Diva Marília. Cálculo B, 1ª edição. Pearson, SP. 2007 LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica vol. 1. Rio de Janeiro: Harbra,1997 HOFFMANN, L. D. Cálculo: Um curso Moderno e suas Aplicações. Rio de Janeiro. Ed. LTC THOMAS, GEORGE B., Cálculo. Vols. I e II. São Paulo: Pearson Education, 2008. STEWART, J. Cálculo. Vols. I e II. 6a. Edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learnig, 2009. Complementar KREYSIG, E. Matemática Superior Para Engenharia. Vol. I e II. 9a. Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2009
i
O autor é graduado em Matemática e Engenharia Elétrica, com mestrado em Engenharia de Produção pela UFF, exercendo a função de professor concursado da SEE do RJ, na área de Matematica; professor das disciplinas de Matemática Financeira, Fundamento de Matemática Elementar, Álgebra Linear, Geometria Analítica e Cálculo I, Cálculo II e Calculo III, Instalações Elétricas e Instalações Prediais dos cursos de Engenharia de Civil, Engenharia de Produção, Engenharia de Petróleo, Ciências da computação e Superior de Tecnologia em Informática, bem como orientador de TCC e supervisor de Estágio Supervisionada dos cursos de Engenharia da UNISUAM. Professor de Matemática Financeira, Matemática I, Matemática Aplicada, Pesquisa Operacional e orientador do módulo Qualidade, dos Trabalhos de Conclusão de Cursos de Administração e Ciências Contábeis, da UNIABEU. Coordenador da graduação em Matemática da UNIABEU. Coordenador e supervisor de Estagio do curso de Licenciatura em Matemática, da UNIABEU. Professor de matemática I, Matemática II, Estatística I e II e Cálculos Financeiros da faculdade Internacional Signorelli. Autor do material didático em EAD do curso de Administração nas disciplinas Matemática I, Matemática II e Cálculos Financeiros, da faculdade Internacional Signorelli. Professor de Matemática Básica, Calculos I, II e II, CVGA e álgebra Linear da Universidade Veiga de Almeida. Professor do módulo de Matemática Financeira do MBA em Gestão Financeira da UNIABEU. Professor convidado do LATEC – UFF para o módulo de Manutenção Produtiva Total – TPM – do MBA de Gestão Estratégica de Manutenção. 32 anos de experiência no mercado como professor e 28 anos de atuação como Engenheiro Sênior de empresas de porte como: Banco do Brasil, Rede Globo e Siemens. Consultor na área de desenvolvimento de projetos de Instalações e sistemas de gerenciamento de Manutenção.