Cálculo ii integrais indefinidas

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Centro Universitário Augusto Motta 

Pró-Reitoria Acadêmica

Cálculo II Integração Indefinida

Resumo Teórico - Exercícios Diversos

Prof. Ms. Nelson Damieri Gomesi Rio de Janeiro 2014


2

Sumário Capítulo I _______________________________________________________________ 3 Integrais indefinidas _______________________________________________________ 3 Antidiferenciação _________________________________________________________ 3 1. 2. 3. 4. 5.

Introdução ________________________________________________________________ 3 Propriedades das integrais indefinidas __________________________________________ 3 Integração por substituição ___________________________________________________ 4 Fórmulas da Integral Indefinida: _______________________________________________ 4 Exercícios Introdutórios ______________________________________________________ 7

Capítulo II _______________________________________________________________ 9 Exercícios de aprofundamento e revisão _______________________________________ 9 n1

1. Resolva, sabendo-se que

xndx  nx1c

____________________________________ 9

axdx  lnaa c x

e dx e c e ___________________ 10 a c a . u '( x ) dx  e . u '( x ) dx  e  c  lna 3. Resolva, sabendo-se que  e __ 10  (u(x)).u'(x)dx  (u(x)) c   1 4. Resolva, sabendo-se que _______________________ 11 u'(x)dx lnu(x) c  5. Resolva, sabendo-se que u(x) ______________________________ 11 x

2. Resolva, sabendo-se que

u(x)

x

u(x)

u(x)

u(x)

6. Calcule as Integrais abaixo ___________________________________________________ 7. Determine a primitiva das seguintes funções _____________________________________ 8. Calcule as integrais indefinidas abaixo __________________________________________ 9. Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizando o método da substituição __________ g) Resolva os problemas abaixo _________________________________________________

11 12 12 12 13

Bibliografia _______________________________________ Erro! Indicador não definido.


3

Capítulo I Integrais indefinidas Antidiferenciação

1. Introdução Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida. Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

Exemplos:

1. Se f(x) =

, então

antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é

é a derivada de f(x). Uma das .

2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3. 3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.

Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real. 2. Propriedades das integrais indefinidas São imediatas as seguintes propriedades:

I.

, ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.


4

II.

, ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.

III.

, ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.

3. Integração por substituição

Seja expressão

, Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou

, ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

admitindo que se conhece . O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada

4. Fórmulas da Integral Indefinida: Para melhor compreensão e facilidade de comparar, cobraremos as fórmulas da diferencial (derivada x ou dx) e da sua inversa, a integral indefinida em correspondência. Integral

Diferencial 1 – d (k) = 0. dx = 0 m

2 – d( x ) = m.

xm1 . dx

1-

m1

 cf(x)dx cf(x)dx 4-  f(x)g(x)dx f(x)dx g(x)dx 5-  2-

4 – d (c.f(x)) = c.d(f(x)) 5 – d(f(x)

g(x)) = df(x) dg(x)

0.dxk xmdx x k,m 1 m1


5

cosu. du senuk

6 – d(sen u ) = cos u du 6-

senu. du cosuk sec u. du tanuk 8- 

7 – d(cos u) = - sen u du

78 – d(tan u) = sec² u du

2

Exercícios Resolvidos

 2xdx3

1. Integrar

põe u = 2x+3  du = 2dx substituindo na integral vem

 1  du 1lnu C = 2 u 2 2.

3.

ln|2x+3|1/2 + C

xdx põe u = 2 – cosx  2sen cosx dulnu C  ou, = ln |2 – cosx| + C u

dx x(1 x)

4.

 du =

1 dx  dx = 2 x du 2 x

=  2 xxudu2  du u

substituindo na integral ln|1+

x

faz u = 1 +

 du = senx dx

2ln|u| + C =

x |2 = C

 cot(x2+3x+2)(4x+6)dx  u = x2+3x+2  du = (2x + 3)dx  dx = du /(2x+3)  cotu (4x+6) / (2x+3)dx =2  cot u du = 2 ln|senu| + C = 2 ln|sen(x2 + 3x +2)| + C

5.

dx  xx3

[13u

1

(u3)du  xdu  u = u

 u = x + 3  du = dx  ]du = u – 3ln|u| + C = x+3 – ln|x+3| + C

1 eudu u = e /2 + C = e2x /2 + C  2

6.

e2x dx =

7.

senx ecosx dx  u= cosx  du = - senx dx  dx = -du / senx

1 2

e2x 2dx =

senx.eu(-du)/senx = -

e

u

du = - eu + C = - ecosx + C


6

8.

1 et2 (2tdt) - 1 eudu - 1 eu + C = - 1et2 t2 e tdt   2 2 2 2

9.

(9x2 6x)ex x 5dx= 3 (3x2 2x)ex x 5dx=3  eu du = = 3 eu + C = 3

2

3

+C

2

3ex x 5 + C 3

10.

2

3x 52xdx faz u= x2 + 5  du = 2xdx dx = du /2x , 2

3u 2xdu/2x =

3u du  3u / ln3 + C=

11.

 73x 9x1 (2x+3)dx =  7

12.

usecu)du= secudu secu(tan tanusecu 

2

u

du/3 =

3x 5 / ln3+ C 2

73x 9x1 / 3.ln7 +C 2

d(secutanu) = secutanu

ln|secu+tanu|

+C 13.

ucotu)du d(cscucotu) = = cscudu cscu(csc cscucotu  cscucotu = ln|cscu-cotu| +C

14.

=2 15.

16.

x  du =

sec15x.tan15x.dx  u =15x du = 15dx dx = du /15  secu.tanu.du/15= secu/15 + C = sec(15x) / 15 + C x cotx dx  u = 1 + cscx  du = -cscx.cotx dx   csc (1cscx) 4

=

17.

1 dx  dx =2 x du  2 x cosudu= 2 senu + C = 2sen x + C

 cosx xdx  u =

3  u 1  u du =  3 3(1cscx)3

4

+C

sen(x 4x)(x 2)dx u= x + 4x du = (2x+4)dx  senu du/ 2 = cosu/2 + C = cos(x + 4x) / 2 + C 2

2

2

18.

 x csc(5x )dx u = 5x 2

2

3

3

 du = 15x2 dx dx = du / 15x2 


7

1 csc u du - 1 cotuC= - 1 cot(5x ) + C x csc u 15dux = 15  15 15 2

2

2

3

2

5cos(3x 8)dx u =3x-8  du = 3dx 5 cosudu/3=

19.

5sen(3x8) C 3

=

tan 3xdx 13(1sec 3x)3dx = 133dx13sec3x 3dx = 2

20.

2

2

= x+ tan(3x)/3+C

 cosdx(4x) = sec(4x)dx 14sec(4x).(4dx)  14tan(4x) C 2

21.

2

2

csc2x(csc2x cot2x)dx = csc 2x dx csc2x cot2x dx 1 csc 2x 2dx 1 csc2x cot2x 2dx = - 1cot2x  1csc2x + C 2 2 2 2 2

22.

2

5. Exercícios Introdutórios Calcular:

 b) xdx c) x dx d) 2x dx e) (2x) 2dx f) (3x) 3dx g)  x dx x  5x)dx h) (2x  2 x 3x 1)dx i) ( 3 j) (x 1) 2xdx k)  xdx dx l)  x dx m)  x n) x  xdx a)

dx 3

x4  x2 5dx x2 x2 2x dx x

 p)  x 2x 5dx q)  x o)

5

4

5

3

2

3

2

3

4

2

2

2

2

Respostas a) x k 2 x b) k 2 x4 k c) 4 x6 k d) 3 4 e) 4x  k 3 f) 9x  k 1 g)  2 k 2x 2x4  x3  5x2 k h) 4 6 2 5 x  x3  x k i) 15


8

(x2 1)3 k 3 3 2x2 k k) 3 l) 2 x k 1 m)   k x 2 x 2 x3 k n) 2 3 j)

x3  x  5 k 3 x2 x2 2x k p) 2 2 x q)  12  53 k 2 x 3x o)


9

Capítulo II Exercícios de aprofundamento e revisão

n1

1. Resolva, sabendo-se que

(x  41x 1)dx  1 b) (x  x )dx  5 1 c) (x  x 4)dx  7 d) (x  x  x 1)dx  1 1 e) ( x  x 10)dx  8 5 3 f) (x  x 2)dx  4 1 2 g) ( x  x 1)dx  2 3 h) (x  x  4)dx  x 2x 4)dx  i) ( 5 1 3 j) ( x  )dx  7 4 k)  x.dx  l)  x.dx  1 .dx  m)  x n)  x dx  o)  x dx p)  xdx  q)   kdx x x dx  r)  x 4

a)

2

3

5

2

3

2

3

2

5

3

7

4

2

3

2

7

3

3

2

5

n

m

5

n

2

3

xndx  nx1c


10

s) t)

x (x K) dx  2 (x 7) x x 7dx15  2 x 9 C  xx dx 9 5 3

4

8

5

3

3

4

u) v)

2

x3 7 14(x3 7) x3 7 C 9

5

5

x7dx  (x4 3) x4 3  3 x4 3 C 6 2 x4 3

e dx e c x

2. Resolva, sabendo-se que a) b) c) d)

x a a dx  lna c x

x

e

2 dx  10 dx  e dx  (71x  34 )dx   10x .dx  x

x

x

x

7

x

e) f)

3

5

ex  2 .dx  x 3 x2

e

.u'(x)dx  e c

u(x)

3. Resolva, sabendo-se que a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

2e dx  3xe. dx   34x .e dx 3x.4 dx  34x .3 dx 2.6 dx  e .(x 4)dx  2xe .dx  2 1x 3 .dx  2 xdx 2x

x2

3 x4 x2

x4

3

2x

(x4)2

(x24)

(3 x4)

3

x2

2

au(x).u'(x)dx  alna c u(x)

u(x)

e


11

k) l)

10 x.4

dx  13x2 dx

3x4

 ( u ( x )) (u(x)) .u'(x)dx   1 c 

4. Resolva, sabendo-se que a) b) c)

5.

.  (x 1) .2xdx (x 4) .x .dx  (x  54) .8x .dx  2

4

3

3

4

3

2

3

u'(x)dx lnu(x) c  Resolva, sabendo-se que u(x) a) b)

 x11dx   x2x4.dx   xx5.dx  1xx .dx   x x4x21.dx  2

2

c) d) e)

3

2

2

6. Calcule as Integrais abaixo

 x dx = (3s 4) ds =  2pxdx = senxdx= cosxdx= dx  x 1 x = 5

a)

2

b) c) d) e) f) g) h)

x3 5x2 4dx  x2 = 4 12x .2dx


12

 5x 4.10xdx x 1 dx  (x x2x13) dx 2

i) j) k)

4

2

2

7. Determine a primitiva das seguintes funções a) b) c) d) e) f)

f (x)  x3 2x 7 f(x) sen(x)3cos(x) 3 x f (x)  1 7 3 f (x)  x cos(x) f (x) 1 x f (x)  15 x

8. Calcule as integrais indefinidas abaixo a) b) c) d) e) f)

  x1 dx  x - 4x - 2x1 dx   1x  dx 2

3

  

2

 x3 1   x2  dx  1  dx 1 x2  1-sen(x) dx

9. Calcule as seguintes integrais indefinidas utilizando o método da substituição

a) b) c) d)

 3x 7 3 dx  5 5x-7 dx  x 11 dx  xcos3x  dx 15

2

2


13

e)

e

f)

g)

 sen(x) cos(x) dx

4x

 4 dx

3x- 2 dx 5

 32x dx  2x1 dx  1x2  x5 dx  tg(x) dx  ex  1ex dx  1 x dx  x  cosx(1/x) dx  sec(x) tg(x)dx  1xx dx  ln(x)x2 dx  e e16 dx  1348xx dx  1x  x dx 4

h) i) j) k) l)

m) n) o) p) q) r) s) t)

9

2

3

4

x

2x

2

2

g) Resolva os problemas abaixo

a) O custo marginal da fabricação de x unidades de um produto tem como modelo a seguinte equação

dC320,04x ( Custo Marginal dx

). A produção

da primeira unidade custa $ 50. Ache o Custo Total da produção de 200 unidades. b) Ache a Função Custo correspondente ao custo marginal com custo de $ 750 para x = 0.

dC 1 4 dx 20 x


14

c) Ache a equação da função f(x) cujo gráfico passa pelo ponto P ( 4, 2 ) e possui derivada f’(x) =

6 x 10.

d) Estima-se que daqui a “x” meses a população de certa cidade estará variando 3

segundo uma taxa de 2 +6 x

x4 2 pessoas por mês. A população atual é

de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses e) Um estudo do meio ambiente de certa comunidade indica que, daqui a “t” anos, a taxa de monóxido de carbono no ar estará variando de

0.1t 0.1

partes por milhão por ano. Se a taxa de monóxido de carbono no ar é de 3.4 partes por milhão, qual será a taxa daqui a 3 anos? f) Sabendo-se que f(1) = 2, determinar o valor da constante C na integral abaixo

3x5  2x3 - x2 -10  2x4 indicada g) Uma arvore foi transplantada e, após após x anos, esta crescendo a uma

1 taxa de

1 (x 2)2

metros por ano. Após 2 anos alcançou 5 metros de altura.

Qual era a sua altura quando foi transplantada. h) O preço de revenda de uma máquina decresce a uma taxa que varia com o tempo de uso. Quando a máquina tinha t anos de uso, a taxa de variação do t

seu valor era

960 5

euros por ano. Se a máquina foi comprada nova por

5.000,00 euros, quanto valerá 10 anos depois. i) Um fabricante calculou que o custo marginal é de

3q2 60q400

reais por

unidade, quando q unidades são produzidas. O custo total de produção das 2 primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o custo total de produção das 5 primeiras unidades. j) O preço de uma dúzia de ovos é R$2,60. Estima-se que, daqui a x semanas, o preço variará a uma taxa de 0,2 + 0,003x2 centavos por semanas. Quanto custará a dúzia de ovos daqui a 10 semanas. k) Um objeto se move a uma velocidade de 3 +2t+6t 2 metros por minuto, após t minutos. Qual a distância percorrida pelo objeto durante o segundo minuto. l) Um fabricante calculou que o custo marginal é de 6q+1 reais por unidade, quando q unidades são produzidas. O custo total de produção das primeira


15

unidade foi de R$ 130,00. Qual será o custo total de produção das 12 primeiras unidades. m) Uma arvore foi transplantada e, após x anos, esta crescendo a uma taxa de

3xe(2x 2) 2

metros por ano. Após 10 anos alcançou 8 metros de altura. Qual

era a sua altura em t = 4 anos n) Um estudo do meio ambiente de certa comunidade indica que, daqui a “t” anos, a taxa de monóxido de carbono no ar estará variando de

2(2x3)

partes

por milhão por ano. Se a taxa de monóxido de carbono no ar é de 1.6 partes por milhão, qual será a taxa daqui a 5 anos?


16

Bibliografia

 GONÇALVES, Mirian Buss e Flemming, Diva Marília. Cálculo B, 1ª edição. Pearson, SP. 2007  LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica vol. 1. Rio de Janeiro: Harbra,1997  HOFFMANN, L. D. Cálculo: Um curso Moderno e suas Aplicações. Rio de Janeiro. Ed. LTC  THOMAS, GEORGE B., Cálculo. Vols. I e II. São Paulo: Pearson Education, 2008.  STEWART, J. Cálculo. Vols. I e II. 6a. Edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learnig, 2009.  Complementar  KREYSIG, E. Matemática Superior Para Engenharia. Vol. I e II. 9a. Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2009

i

O autor é graduado em Matemática e Engenharia Elétrica, com mestrado em Engenharia de Produção pela UFF, exercendo a função de professor concursado da SEE do RJ, na área de Matematica; professor das disciplinas de Matemática Financeira, Fundamento de Matemática Elementar, Álgebra Linear, Geometria Analítica e Cálculo I, Cálculo II e Calculo III, Instalações Elétricas e Instalações Prediais dos cursos de Engenharia de Civil, Engenharia de Produção, Engenharia de Petróleo, Ciências da computação e Superior de Tecnologia em Informática, bem como orientador de TCC e supervisor de Estágio Supervisionada dos cursos de Engenharia da UNISUAM. Professor de Matemática Financeira, Matemática I, Matemática Aplicada, Pesquisa Operacional e orientador do módulo Qualidade, dos Trabalhos de Conclusão de Cursos de Administração e Ciências Contábeis, da UNIABEU. Coordenador da graduação em Matemática da UNIABEU. Coordenador e supervisor de Estagio do curso de Licenciatura em Matemática, da UNIABEU. Professor de matemática I, Matemática II, Estatística I e II e Cálculos Financeiros da faculdade Internacional Signorelli. Autor do material didático em EAD do curso de Administração nas disciplinas Matemática I, Matemática II e Cálculos Financeiros, da faculdade Internacional Signorelli. Professor de Matemática Básica, Calculos I, II e II, CVGA e álgebra Linear da Universidade Veiga de Almeida. Professor do módulo de Matemática Financeira do MBA em Gestão Financeira da UNIABEU. Professor convidado do LATEC – UFF para o módulo de Manutenção Produtiva Total – TPM – do MBA de Gestão Estratégica de Manutenção. 32 anos de experiência no mercado como professor e 28 anos de atuação como Engenheiro Sênior de empresas de porte como: Banco do Brasil, Rede Globo e Siemens. Consultor na área de desenvolvimento de projetos de Instalações e sistemas de gerenciamento de Manutenção.


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