Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico Dr. Joaquim de Carvalho 3080-210 Figueira da Foz
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Correcção do 1º Teste de Avaliação (12º A+F, 4 Nov. 2005) Grupo I Versão 1 1. (E) 2. (D) 3. (C) 4. (A) 5. (B)
Versão2 1. (D) 2. (B) 3. (A) 4. (E) 5. (C)
Grupo II
1.1. Eixo dos xx: movimento uniforme:
Eixo dos yy: movimento uniformemente variado:
⇒ a y (t ) =
d vy dt
= -2 =
d vx dx = 5 = constante ⇒ a x (t ) = =0 dt dt dy y (t ) = 6t − t 2 ⇒ v y (t ) = = 6 − 2t dt
x(t ) = 5t + 2 ⇒ v x (t ) =
constante
1.2.
r r r r r r (2) = (5 × 2 + 2) e x + (6 × 2 − 2 2 ) e y = 12 e x + 8 e y (m) ; r r r r r (0) = (5 × 0 + 2) e x + (6 × 0 − 0 2 ) e y = 2 e x (m) ; r r r r r r r r Logo ∆r = r ( 2) − r (0) = (12 e x + 18 e y ) − 2 e x = 10 e x + 8 e y (m) r 2 2 A distância corresponde ao módulo do deslocamento: ∆r = 10 + 8 ≈ 12,8 m
1.3.
1.4. A “rapidez” de variação da posição corresponde ao módulo da velocidade.
r r r r r r ∆r 10 e x + 8 e y vm = = = 5 e x + 4 e y (m s -1 ) ∆t 2−0
r r r r dr Derivando o vector posição, obtém-se a velocidade: v (t ) = = 5 e x + (6 − 2t ) e y (SI) dt r r r r r r -1 v (1) = 5 e x + (6 − 2 × 1) e y = 5 e x + 4 e y (m s ) logo v (1) = 5 2 + 4 2 ≈ 6,4 m s -1 r r r r r r v (4) = 5 e x + (6 − 2 × 4) e y = 5 e x − 2 e y (m s -1 ) logo v (4) = 5 2 + (−2) 2 ≈ 5,4 m s -1 No instante t = 1 s a posição varia mais rapidamente (maior módulo da velocidade).
r v (t ) = 5 2 + (6 − 2t ) 2
em que
r v (t ) = Y
e
t = X.
Módulo da velovcidade / m s-1
Para esboçar o módulo da velocidade em função do tempo introduzse a seguinte função na calculadora:
Rapidez versus Tempo 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
1
2
3
Tempo / s
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5
Correcção do 1º teste de Física – 12º A+F – 02/11/2005
Professor: Carlos Portela
1.5. A “rapidez” de variação do módulo da velocidade corresponde ao valor algébrico da aceleração tangencial: é igual ao declive da tangente ao gráfico do módulo da velocidade em função do tempo. Módulo da velocidade:
r v (t ) = 5 2 + (6 − 2t ) 2 = 61 − 24t + 4t 2 (SI) Rapidez versus Tempo
Pode, portanto, a partir da função escrita na linha anterior, calcular o declive da tangente ao gráfico nos instantes t = 2 s e t = 5 s : Declive da tangente ao gráfico no instante
Módulo da velovcidade / m s1
10
t = 2 s : a t (t = 2 s) ≈ -0,74 m s -2 Declive da tangente ao gráfico no instante
t = 5 s : a t (t = 5 s) ≈ 1,25 m s
-2
Qual o significado físico dos valores anteriores? No instante t = 2 s , o módulo da velocidade
9 8
7 6
y = 1,249x + 0,158 5
4 0
1
3Tempo / s4
2
0,74 m/s em cada enquanto no instante t = 5 s , o módulo da velocidade aumenta a
diminui a um ritmo de segundo,
y = -0,74x + 6,87
um ritmo de
segundo. A variação do módulo da velocidade é, portanto, mais rápida no instante Em alternativa, podem ser feitos os cálculos:
a t (t = 2 s) ≈ -0,74 m s -2
e
a t (t ) =
r d v (t ) dt
6
1,25 m/s em
7
cada
t = 5s.
− 12 + 4t
=
5
⇒
61 − 24t + 4t 2
a t (t = 5 s) ≈ 1,25 m s -2
2.1. Se conhecermos a aceleração, facilmente calculamos a resultante das forças: Admitindo que o movimento do passageiro é uniforme conclui-se que
r r r Fres = ∑ F = ma .
a t (t ) = 0 m s -2
porque o módulo da
velocidade é constante. O passageiro só tem aceleração normal que, em módulo, é dada pela seguinte expressão:
an = ω 2 R
2π 2π π = = ≈ 0,21 rad s -1 . T 30 15 Na posição mais alta, a cadeira fica um pouco abaixo da periferia da roda, logo R = 12 − 1,5 ≈ 10,5 m . A velocidade angular obtém-se a partir do período:
Do que foi dito pode determinar-se o módulo da força resultante:
1,5 m r Fres
ω=
r Fres = ma n = mω 2 R = 80 × (0,21) 2 × 10,5 ≈ 36,8 N
12 m
A força e a aceleração apresentam a mesma direcção e sentido, logo a força resultante tem direcção radial e sentido centrípeto (no ponto mais alto, tal significa direcção vertical e sentido para baixo).
2.2. A balança dinamómetro responde à compressão que os pés do passageiro exercem sobre ela (supõe-se que o passageiro viaja em pé). Esta força tem a mesma intensidade da força que a balança exerce sobre o passageiro, ou seja, a reacção normal (lei da acção e reacção). Traçando o diagrama de forças e aplicando a segunda lei de Newton, tendo o cuidado de verificar que na posição mais alta o peso é centrípeto e a reacção normal é centrífuga:
∑F
n
= ma n ⇔ P − N = ma n ⇔ N = m( g − a n ) = 80 × (9,8 − 0,46) ≈ 747 N
Expressa em quilograma-força a balança marcaria
747 ≈ 76 kgf . 9,8
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reacção normal peso
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2.3. O movimento só, aproximadamente, é circular e uniforme, uma vez que a cadeira no ponto mais baixo afasta-se da periferia da roda para fora e no ponto mais alto esse afastamento é para dentro: no ponto mais baixo a velocidade é ligeiramente maior visto o passageiro se encontrar um pouco mais afastado do centro da roda (o raio do movimento é ligeiramente maior): v = ωR A relação entre as duas velocidade pode ser traduzida pelo seu quociente:
v baixo ω Rbaixo Rbaixo 12 + 1,5 = = = ≈ 1,17 valto ω Ralto Ralto 12 − 1.5
r N
A velocidade no ponto mais baixo é cerca de 1,17 vezes maior do que no ponto mais alto.
2.4. Opção I: no ponto P a resultante das forças deve ser centrípeta logo deve ter direcção horizontal e apontar para a direita (A variação do módulo da velocidade resultante da variação do raio do movimento pode ser desprezada, dado que é um efeito pequeno e essa variação é lenta, considera-se, portanto que a aceleração tangencial é nula.) 3.1. A energia cinética mínima ocorre no ponto em que a velocidade for mínima, ou seja, no ponto mais alto da trajectória: que
vx
v y = 0 ⇒ v min = v x = v0 x
r Fres r P
v0
uma vez
é constante (não há forças no eixo dos xx).
v0 y
37º
Cálculo do módulo da velocidade mínima:
v0 x E c = 12 mv 2 ⇔ 25 = 12 × 0,5 × v 2 ⇔ v min = 10 m s -1 . A partir de v 0 x e com o conhecimento do ângulo de lançamento pode determinar-se o módulo da velocidade inicial:
v0 x = v 0 cos37º ⇔ 10 = v 0 cos37º ⇔ v0 ≈ 12,5 m s -1
3.2. Escrever as equações paramétricas implica conhecer as condições iniciais: posição inicial ( x 0 e velocidade inicial ( v 0 x e
v0 y ). Da observação da figura conclui-se que x0 = 0 m
A componente vertical da velocidade inicial obtém-se
e
y0 )
e
y0 = 2 m .
v0 y = v0 sen37º = 12,5 × 0,6 ≈ 7,5 m s -1 .
x = x0 + v0 x t x = 0 + 10t ⇔ (SI) 2 2 y = y 0 + v0 y t − 12 gt y = 2 + 7,5t − 5t
3.3.1. Com a calculadora no modo paramétrico escrevem-se as equações paramétricas do movimento. De seguida procura-se o máximo dessa função. Obtém-se
y máx ≈ 4,8 m (altura máxima) para um valor de x = 7,5 m .
3.3.1. Ao atingir a altura máxima
vy = 0 dy = 0 + 7,5 − 10t dt v y (t ) = 0 ⇔ 7,5 − 10t = 0 ⇔ t = 0,75 s
Cálculo da componente vertical da velocidade (variável no tempo): Igualando a zero obtém-se o tempo de subida:
v y (t ) =
(tempo
necessário para atingir o ponto mais alto da trajectória). Calculando a altura neste instante:
y (0,75) = 2 + 7,5 × 0,75 − 5 × (0,75) 2 ≈ 4,8 m
(altura máxima)
3.3.2. Ao atingir o solo o valor da altura é nulo:
y (t ) = 0 ⇔ 2 + 7,5t − 5t 2 = 0
t ≈ 1,73 s ∨ t ≈ −0,23 s . No contexto deste problema só nos interessa o instante posterior ao inicial, ou seja, t ≈ 1,73 s .
Com a calculadora determina-se os zeros desta equação do 2º grau, obtendo
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3.4. Trajectória
y = -0.05x 2 + 0.75x + 2
y/m
r r at = 0
r an
r at
r r r a = g = an
r r a=g
x/m
4.1.
r T′
T − PA = mA a T − mg = ma T = mg + ma ⇔ ⇔ ⇔ Mg − T = Ma Mg − mg − ma = Ma PB − T = mB a ________________ ________________ ⇔ M −m ( M + m)a = ( M − m) g a = M + m g
r T
r PB
r PA
4.2.
O movimento do sistema é uniformemente acelerado:
a = 0,471 m s -2 x = x0 + v 0 t + 12 at 2 ⇔ x = 0 + 0 + 12 at 2
Substituindo os valores do deslocamento e do tempo:
1,5 = 12 a × (2,52) 2 ⇔ a ≈ 0,47 m s -2
Consideremos, por exemplo, o primeiro valor da tabela:
A aceleração foi correctamente calculada.
4.3. Como a diferença de massas é constante, a aceleração deveria ser inversamente proporcional à soma das massas. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o seu produto é constante.
a × (m + M )
m+M
a
(g)
(m s )
(g m s )
105 155 205 305
0,471 0,323 0,237 0,167
50 50 49 51
-2
-2
a=
M −m constante g⇔a= ⇔ a × ( M + m) = constante M +m M +m
(expectativa teórica) Verificando o acordo dos resultados experimentais (tabela à esquerda): Existe um acordo razoável uma vez que o produto da aceleração pela soma das massas é aproximadamente constante.
4.4.
1 /(m + M ) -1
(kg ) 9,52 6,45 4,88 3,28
a
-2
(m s ) 0,471 0,323 0,237 0,167
Utilizando a calculadora elabora-se duas listas uma com o inverso da massa e outra com a aceleração. Faz-se o gráfico da aceleração em função Atw ood do inverso da massa. Determinase a regressão linear que melhor 0.50 se ajusta aos pontos recolhidos: 0.40 y = 0.0492x + 0.0027 (em y ≈ 0,049 x + 0.0027 0.30 unidades SI) 0.20 a
0.10
Desprezando a ordenada na origem, ficaria:
1 a ≈ 0,049 × m+M
0.00 0.00
(ver gráfico à direita)
2.00
4.00
6.00
8.00
1/(m +M)
Comparando com a expressão prevista para a aceleração (ver questão 4.1.), conclui-se que:
declive = (M-m) × g ⇔ 0,049 ≈ 0,005 × g ⇔ g ≈ 9,8 m s -2 Página 4 de 4
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