242739373 hipotesis estadisticas by carlos Procont

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

con aplicaciones

Genaro Mosquera Castellanos Versión electrónica Ingeniero Luis A Martínez R

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA CON APLICACIONES

LUIS GENARO MOSQUERA CASTELLANOS

Doctor en Ciencias Estadísticas, UCV PROFESOR DE ESTADÍSTICA APLICADA UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

Derechos reservados por el autor conforme a la ley Copyright © 1974 Tercera edición 2004 Edición a cargo de: ISID Centro de Altos Estudios Gerenciales Instituto Superior de Investigación y Desarrollo Caracas – Venezuela

PRÓLOGO Escrito por el Dr. Ernesto Rivas González en 1974, eminente científico, doctor en Ciencias Estadísticas y Actuariales, ya fallecido. Este escrito no ha perdido actualidad y por esa razón se recoge en esta cuarta edición del texto

Un estudio cronológico de cualquier ciencia, pone de manifiesto que su mayor interés ha sido el lograr la formulación de hipótesis a través de bases cuantitativas; es decir, reducir la cualidad a cantidad. Toda ciencia comienza por la presentación de sus leyes, de sus descripciones en las diversas ramas del conocimiento, sin utilizar la experimentación, la medida y el número; pero para poder adaptar estas leyes, se exigen bases sólidas, bases que soporten todas las críticas y observaciones que la inquietud intuitiva del científico formula.. Así, por una necesidad inaplazable, se inicia la utilización del método cuantitativo; utilizado al comienzo por las Ciencias Naturales (Biología, Física, Química, etc.), extendiéndose luego a las Ciencias Sociales y Económicas que no pudieron resistir el empuje de la cuantificación, logrando gracias a ello, grandes descubrimientos y aplicaciones que las elevaron como disciplinas científicas. Formado parte de estos métodos, cuantitativos, se encuentra la Estadística. Sus aplicaciones la han hecho imprescindible para toda ciencia que pretenda cuantificar sus teorías, principios y leyes. Estas aplicaciones han llevado a la Estadística, a poseer un carácter de ciencia netamente básica, y a ser llamada el lenguaje de la ciencia, nominación debida, no sólo a sus múltiples aplicaciones y aportes científicos obtenidos, sino también a la frecuencia con que

sus términos se mencionan en el leguaje diario; probabilidad, promedios, porcentajes son expresiones comunes entre nuestro quehacer rutinario. En sentido general, el propósito de la estadística es simplificar los fenómenos colectivos, reduciendo sus características a expresiones mínimas simples (medidas estadísticas) que pueden ser manejadas abstractamente como cualquier otro número. Por medio de la Estadísticas trazamos representaciones gráficas para ilustrar las características o tendencias seculares de los fenómenos colectivos, a fin de adaptarlos a la capacidad de nuestro intelecto. Estas observaciones nos indican que el campo de aplicación de la Estadísticas es cada vez más amplio; sus principios y leyes no tiene límites y afectan a todas las ramas científicas. Sus métodos son utilizados en la Ingeniería, la Psicología, la Economía, la Genética, la Biología, la Física, la Metrología y aún más, aquellas manifestaciones científicas que aparentemente se resistían al método cuantitativo han logrado grandes avances con la utilización de la Estadística. Ejemplo de ello lo tenemos en las Artes, que utilizando estudios estadísticos de longitudes de frases o de frecuencias de pinceladas de los cuadros, han logrado determinar la paternidad de un gran número de obras anónimas. Lógicamente, el campo de la Ciencia Administrativa no podría mantenerse indiferente a las múltiples aplicaciones de la Estadística; así podemos mencionar que gracias al método Estadístico, empresas tales como la Banca, las Sociedades de Seguro, Compañías de Transporte, Industrias diversas, etc., pueden mantener el control de los hechos que se producen en su interior. Tomando como base estas aplicaciones y con la utilización de los elementos de la Estadística Inductiva, el Profesor Genaro Mosquera Castellanos ha elaborado este texto, cuya principal finalidad, lo que considero si más alto mérito, es la de dar a conocer al estudioso de esta metodología, no sólo el instrumental

teórico de la Estadística Inductiva, sino las aplicaciones directas y de carácter nacional, de gran utilidad práctica. Es conveniente mencionar, para con ello resaltar las ventajas de esta publicación, que a nivel nacional, la bibliografía en el campo de la Estadística es mínima; se debe acudir a textos extranjeros que además de adolecer del natural defecto de su inadecuación al medio, presentan la “virtud” de ser excesivamente teóricos, con manifiesta indiferencia a lo práctico y dando una gran importancia a la axiomática. Esto es necesario, pero quien utilice la Estadística como método, con una formación matemática media, necesita de cierta metodización teórica, en función de conocimientos dirigidos a la experimentación, e consecuencia más intuitivos y de aplicación más directa. El Profesor Mosquera Castellanos ha logrado este objetivo, el cual no es el fruto de la improvisación. Por el contrario, se debe a una dedicación integral a la Estadística, ya que es Profesor Fundador de la Cátedra de Estadística Aplicada en la Escuela de Administración y Contaduría de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad Central de Venezuela, exPresidente del Colegio de Estadísticos y Actuarios de Venezuela, Miembro Titular del Instituto Interamericano de Estadística y Secretario Ejecutivo del 1° Seminario Venezolano de Estadística, que son entre otras funcione, vivencias de un quehacer profesional volcadas en este texto para la consecución de una bibliografía consecuente con la realidad nacional.

Dr. ERNESTO RIVAS GONZÁLEZ (U) Profesor Titular de Estadística Universidad Central de Venezuela Ex-Director de la Escuela de Estadística Y Ciencias Actuariales, U.C.V.

INTRODUCCIÓN La complejidad de las operaciones realizadas dentro del marco de la ciencia y la tecnología, han determinado el uso de técnicas cada vez más elaboradas en función de los diferentes mecanismos que intervienen en dichas relaciones. Es este sentido, los métodos estadísticos se han convertido en instrumentos poderosos en la planificación, ejecución y control de investigaciones orientadas hacia los procesos de inferencia estadística. El trabajo aquí emprendido, tiene como objetivo básico introducir al lector, que posea conocimientos elementales de Estadística, en el manejo de ciertas técnicas que conforme a una base de análisis dentro del campo de aplicación de la Inferencia Estadística, lo ayuden a familiarizarse con los métodos estadísticos y le permitan evaluar sus alcances y proyecciones para hacer un uso racional de los mismos. La sistematización del esquema desarrollado no pretende ser exhaustivo, se limita a desarrollar la metodología de análisis de mayor aplicación, dejando un camino abierto, a quienes por sus inquietudes deseen ampliar sus conocimientos de la Ciencia Estadística. Por otra parte, se ha seguido un orden inspirado en el ejercicio docente dentro de la Cátedra de Estadística Aplicada en la Escuela de Administración y Contaduría y la Escuela de Ciencias Estadísticas de la Universidad Central de Venezuela. Esto conduce a considerar multitud de aspectos, los cuales están dispersos en una bibliografía muy amplia, de difícil adquisición y lectura para quienes no tienen una orientación dirigida hacia la profesión de Estadístico.

El contenido del trabajo expone es sus primeros capítulos la conformación y uniformidad de vocabulario, definiendo los conceptos básicos para luego estructurar la metodología necesaria a través de la aplicación de los diferentes contrastes de hipótesis. Se concluye en capítulos subsiguientes en señalar los esquemas de la Teoría del Muestreo como instrumento de investigación e indicar algunas aplicaciones dentro del campo económico. Genaro Mosquera C. Profesor Titular, UCV

CAPÍTULO I CONSIDERACIONES GENERALES DE LA TEORÍA DEL MUESTREO Conceptos, Definiciones. Conveniencias y limitaciones Del muestreo. Notación

1.1

Conceptos y definiciones

Forma parte de un hecho cotidiano, seleccionar una muestra de un conjunto de elementos, así por ejemplo, se está en capacidad de decidir si una tela es de cierta calidad, si una mercancía presenta características aceptables, o si la muestra de sangre de una persona corresponde a un determinado tipo. Para la selección de las muestras señaladas anteriormente, no se necesita una técnica estadística en especial, pues la obtención se realiza a partir de una población o conjunto de elementos homogéneos, donde todas las unidades presentan las mismas características; pero en general, éste no será el caso. Con demasiada frecuencia, se hace necesario valuar el inventario de un almacén de considerables dimensiones en un período corto de tiempo, aceptar un lote de materia prima para fabricar un producto, medir el ingreso “per-cápita”, determinar si un producto tiene aceptación por parte de los consumidores, medir si una planta de televisión es sintonizada a ciertas horas de la noche; o entre otras aplicaciones, medir el producto agrícola regional del país o controlar que las prendas de vestir manufacturadas por una fábrica sean de óptima calidad. En general, habrá necesidad de analizar poblaciones, integradas por un conjunto de elementos heterogéneos, tomando uno de los casos citados anteriormente, por ejemplo, para medir la aceptación de un producto en cierto grupo de consumidores, se necesitará analizar grupos familiares de los más variados status socio-económicos. De hecho se desprende la imposibilidad de tomar una muestra de acuerdo a ciertas 11

características más o menos convencionales, dado que se desea lograr representatividad del colectivo para conocer sus características. La resolución de este tipo de problema encaja en la Estadística, la cual proporciona la metodología necesaria para obtener muestras eficientes; en efecto, se dispone de una técnica basada en la Estadística Matemática que proporciona un instrumento racional para el tratamiento de las muestras. Considerada una población o universo definido como: un conjunto finito o infinito de elementos, que pueden ser personas u objetos del más variado tipo; (el conjunto de amas de casa, la colección de cajas de un producto terminado, o el número total de maquinarias existente en una fábrica), de dicha población se toman algunos elementos, que constituyen un sub-conjunto denominado muestra. Del estudio de estos elementos muestreados se analizarán ciertas características, las cuales permitirán inferir las de la población, a partir de una muestra que se considere representativa y al mismo tiempo las estimaciones se realicen con un cierto grado de incertidumbre, la cual puede ser medida. Este planteamiento conduce a un análisis de la selección y representatividad de una muestra. Para su estudio se consideran dos grupos: •

Muestras opináticas o circunstanciales.

•

Muestras probabilísticas.

En el primer caso, como su nombre lo indica, se selecciona la muestra de la manera que sea más representativa a juicio personal. Por supuesto que este tipo de muestreo es eficiente en la medida que sea homogénea la población. Sin embargo, cuando esto no ocurre, difícilmente las características analizadas corresponderán a la población, de allí que su empleo indiscriminado conduzca a

introducir un sesgo en las inferencias obtenidas, con la desventaja de no poderlo evaluar cuantitativamente. El segundo caso, relativo al muestreo probabilístico, se basa en el cálculo de probabilidades, el cual a su vez se apoya en la Estadística Matemática. El estudio de las técnicas del muestreo se conoce como Teoría del Muestreo cuyo objetivo es sacas conclusiones de una cierta población sin llegar a estudiar exhaustivamente todos los elementos que la integran. De una manera general, el estudio de una población, por ejemplo investigar una variable cualquiera (las ventas de una Empresa) origina un volumen de datos que puede ser considerable. Con el fin de interpretar cómodamente los datos y/o descubrir ciertas regularidades, la información es sometida a un tratamiento estadístico. Al efecto, la información es ordenada y dispuesta en forma de tablas de frecuencia y le son calculadas algunas medidas (parámetros poblacionales) que definen las características básicas de dicha población. Las mismas vienen representadas por las denominadas: 1. 2. 3. 4.

Medidas de la Tendencia Central Medidas de Dispersión Medidas de Asimetría Medidas de Kurtosis

De ese conjunto de datos, se obtienen unos coeficientes enmarcados dentro de las medidas mencionadas anteriormente y que, entre otros, pueden ser: 1. 2. 3. 4.

Un promedio. La dispersión, representada pro la desviación estándar. Un coeficiente de Asimetría. Un coeficiente de Kurtosis.

Este análisis ha conducido a representar un conjunto de observaciones en unas pocas medidas que definen una o más variables de un fenómeno cualquiera, dispuesto en forma de distribuciones de frecuencias. Estas últimas conducen a la concepción de modelos matemáticos denominados distribuciones estadísticas y entre los cuales están las conocidas bajo el nombre de distribución Normal, Binomial, Poisson, etc. Por razones que se explicarán más adelante, cuando no se pueden analizar exhaustivamente todos los elementos de un población, como por ejemplo la calidad de un producto enlatado, pues significaría abrir todos los envases, y este proceso es destructivo; la metodología indicada es seleccionar una muestra que permita inferir si todos los elementos producidos presentan características de calidad aceptables dentro de ciertos márgenes de tolerancia. En efecto, una muestra estadística permitirá estimar los parámetros poblacionales con un grado de confianza determinado previamente, o sea con un cierto grado de probabilidad. Los elementos muestreados seleccionados de un conjunto son tratados con ciertas normas estadísticas, en una forma tal que pueden definir una distribución y a la cual le sean calculadas las medidas de posición, dispersión, asimetría y Kurtosis, es decir, se calcularán estadísticos (función de valores muestrales) con el fin de obtener Estimadores poblacionales con un grado de confianza fijado previamente. 1.2

Conveniencias y limitaciones del muestreo.

De lo que se ha expuesto hasta ahora, se pueden sacar algunas conclusiones importantes en cuanto a las ventajas y desventajas del muestreo:

1.2.1 Conveniencias Si una muestra es eficiente para estimar un parámetro poblacional, el estudio de las características resulta más ventajoso desde el punto de vista económico puesto que existe mayor rapidez en la obtención de los resultados, con las evidentes economías de dinero al estudiar sólo algunos elementos. Así, por ejemplo, cuando se desean conciliar los estados de cuenta de un número considerable de clientes de una Empresa, una muestra garantizará rapidez y más bajo costo que el estudio censal de los clientes. La obtención de muestras convendrá atendiendo al siguiente esquema general: 1. Cuando la población sea infinita o tan grande que exceda las posibilidades reales de investigar todas las unidades. 2. Cuando el proceso de medidas sea destructivo, como ocurre cuando se desee comprobar la calidad de un producto y tenga que ser consumido o deteriorado. b. Una muestra garantizará una mayor atención en la calidad de la información recopilada, lo que se traduce en fiabilidad de la misma. 1.2.2 Limitaciones a. Dentro de las limitaciones, la más importante es el riesgo, es decir, se estima un parámetro poblacional con una cierta probabilidad de ocurrencia. No se podrán analizar o sacar conclusiones para todos los elementos de la población. b. Debido al control que es necesario tener sobre las diferentes fases del trabajo y por las complicaciones que se introducen en el cálculo, se requiere de buena preparación estadística, lo que sugiere el tratamiento del problema por parte de especialistas que colaboren dentro de un equipo interdisciplinario.

Es más, las limitaciones o combinaciones que en la mayoría de los casos se deben realizar entre diferentes tipos de muestreo, opinático o probabilístico en cuanto las poblaciones objeto del estudio sean homogéneas o heterogéneas, es labor cuya coordinación y dirección requiere de conocimientos específicos dentro del campo de la Estadística Matemática. 1.2.3 Notación A fin de distinguir claramente las expresiones utilizadas más adelante, es conveniente indicar la notación a ser empleada de manera general; una notación más elaborada y específica será descrita en cada capítulo. Al efecto, se designarán con letras mayúsculas los parámetros poblacionales, haciéndose uso del alfabeto griego para indicar las características o parámetros de un modelo teórico; las características muestrales se indicarán con letras minúsculas: N n Y, X

y, x ˆ ˆ Y, X P p

Total de elementos de la población número de elementos muestrados de la población (tamaño de la muestra) Media de la población Media de la muestra Estimación de la media poblacional Proporción de una variable de la población Proporción de una variable de la muestra

Pˆ

Estimación de la proporción de la población Y, X Suma de la variable poblacional considerada y, x Suma de la variable muestral considerada Estimación del total de la población Yˆ , Xˆ σ 2 , S 2y , S 2x sˆ 2y , sˆ 2x

Varianza de la población Cuasi-varianza de la muestra

CAPÍTULO II TIPOS DE MUESTREO – EL PLAN DE MUESTREO Informes a base de muestras. Selección de muestras. Tablas de números aleatorios. Muestras sistemáticas, Uso y aplicación.

2.1

Tipos de Muestreo.

Al considerar una población para su estudio a base de muestras estadísticas y los elementos que la integran son homogéneos, el procedimiento de selección es bien sencillo pues cualquier metodología usada permitirá obtener una muestra representativa del conjunto del cual fue extraída. Cuando se trabaja con elementos de una población que presentan características poco homogéneas con respeto a la variable que se desea medir, habrá que aplicar un diseño del muestreo que permita estimar las características poblacionales respectivas. Dentro del proceso de la estimación de los parámetros poblacionales se introduce un cierto error cuyo origen reside en el hecho de tomar muestras; el mismo se denomina error de muestreo. Es lógico esperar que si la muestra es representativa, este error tenderá a minimizarse; en otras palabras, no existirán diferencias significativas entre las estimaciones y los valores de la población. Queda entendido que la cuantificación del error sólo es posible cuando la selección de las unidades de muestreo se hace con una cierta probabilidad fijada de antemano. El proceso de selección de las unidades de muestreo responde a diferentes tipos de muestreo, los cuales se utilizan en condiciones muy diversas. En consecuencia, se dispone de una variedad enorme de metodologías que permiten obtener las mejores estimaciones de las características del universo y al mismo tiempo medir la significación y confianza de tales estimaciones.

En general, se puede citar una clasificación de los diferentes tipos de muestreo que se usan frecuentemente; sin embargo, en la mayoría de los casos, se emplearán combinaciones que mejor ajustan a un determinado fenómeno. En capítulos posteriores, se citarán en detalle las modalidades de los diseños de mayor aplicación, además, se conformará la base metodológica que permitirá al lector estructurar diseños de muestreo a situaciones particulares a su propio campo de aplicación. A continuación se presenta una clasificación más o menos formal de los diseños de muestreo: 2.1.1

Muestreo aleatorio simple.

a) Con reemplazamiento Todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados, donde cada elemento de la población es regresado a la misma después de ser analizadas sus características. b) Sin reemplazamiento (irrestrictamente aleatoria) Todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados, pero la misma dependerá de los que salieron anteriormente puesto que no son regresados al conjunto después que han sido estudiados. 2.1.2

Muestreo estratificado.

La totalidad de las unidades del conjunto se clasificas o dividen de acuerdo a ciertas variables cualitativas o cuantitativas. Por ejemplo, clasificar los saldos de cuentas por cobrar por antigüedad de la cuenta y el monto correspondiente. 2.1.3

Muestreo de etapas múltiples.

a) Por áreas o conglomerados. Los elementos poblacionales están agrupados en áreas o conglomerados, las cuales constituyen las unidades de muestreo, y 18

éstas a su vez contienen las unidades últimas a ser estudiadas. Por ejemplo, para un Estudio de Opinión en una comunidad, se tienen áreas geográficas las cuales contienen, para su estudio, un determinado número de viviendas las cuales serán objeto de evaluación. b) Bi-etápico. Considerada una población distribuida por áreas (unidades de muestreo) se realiza la selección de un número de ellas y dentro de éstas se hace una selección al azar de las unidades últimas. Por ejemplo, consideradas las áreas geográficas de una comunidad, se hace una selección de algunas y dentro de estas se hace una nueva selección de las viviendas. c) Polietápico. La materia objeto de la encuesta está formada por cierto número de unidades de primera etapa, cada una de las cuales está compuesta por unidades de segunda etapa, y así sucesivamente. Por ejemplo, la misma comunidad donde se seleccionan en primera etapa las áreas, luego las viviendas en segunda etapa y los jefes de familia en tercera etapa.

2.1.4

Muestreo de fases múltiples.

Consiste en la obtención de una muestra con el fin de obtener información auxiliar para proporcionar estimaciones más precisas. Posteriormente y sobre las mismas unidades de muestreo, se realiza un sub-muestreo. Un ejemplo podría ser la selección de 15 centros poblados y se obtiene la lista de los negocios comerciales establecidos (primera etapa), luego se elige una muestra de negocios en cada centro poblado o comunidad (Segunda fase, primera etapa), se investiga su situación económica y luego se hace una sub-muestra y se aplica un cuestionario más extenso (segunda etapa). 2.1.5

Muestras interrelacionadas (redes).

Cualquiera que sea el diseño de muestreo utilizado, es posible reordenar las unidades de muestreo en grupos de dos o más muestras interrelacionadas y estimar las características poblacionales independientemente para cada grupo. Esto proporciona ventajas para verificar la calidad de los datos. Así, por ejemplo, se podrán elegir muestras por grupos o para un encuestador y compararlo con el resultado obtenido por otros encuestadores. 2.1.6

Muestras compuestas o mixtas.

Son el producto de la combinación de los métodos señalados anteriormente, sin embargo, este hecho requerirá un gran refinamiento Estadístico Matemático y una gran flexibilidad para la adaptación a metodologías muy particulares. 2.1.7

Muestras sucesivas o repetidas.

Este tipo de muestra se repite a intervalos convenientes, constituyendo muestras sucesivas de una misma población para estimar las mismas características.

2.1.8

Muestras piloto.

Este tipo finalidades:

muestreo

conviene

realizarlos

con

varias

a) Probar los instrumentos de la investigación (cuestionarios, planillas, formularios, instructivos, etc.). b) Probar la metodología a utilizar. c) Servir de entrenamiento. d) Estimar los costos de ejecución. e) Estimar la variación (Cuasi-varianza) para calcular el tamaño de la muestra. 2.2

El plan de muestreo

La selección de una muestra para estimar las características poblacionales implica el uso de instrumentos estadísticos más o menos complejos, atendiendo a los diferentes diseños utilizados. En consecuencia, se requiere una preparación adecuada a la metodología estadística, así como la estructuración de un plan de muestreo que cubra con buen grado de detalle las operaciones necesarias para lograr las metas previstas. De acuerdo a la experiencia propia obtenida a través de la ejecución de un número apreciable de planes de muestreo, y tomando como base las indicaciones señaladas por Azorín, en su libro “Muestreo Estadístico con Aplicaciones”, UCV y la Oficina de Estadística de las Naciones Unidas, se presenta un esquema de las diferentes fases que se deben llevar a cabo: 1. 2. 3. 4.

Definición de objetivos, condiciones, recursos y limitaciones. Estructuración del plan de muestreo. Ejecución del plan. Análisis y aprovechamiento de resultados. 21

Un análisis detallado de las fases enumeradas conlleva a definir las actividades siguientes:

DEFINICIÓN DE OBJETIVOS

Se precisa fijar los objetivos que cumple la investigación, así como las condiciones, recursos y limitaciones de la misma.

PLAN DE MUESTREO

Se refiere a la planificación y coordinación del trabajo, la fijación de un cronograma de trabajo, las metas a ser logradas y la relación de la investigación con otras oficinas u organismos cuyo campo de acción está relacionado con el proyecto.

DEFINICIÓN DE VARIABLES

Se definirán las variables requeridas para cumplir con los objetivos y se programarán las tablas básicas.

INSTRUMENTOS

Se elaborarán los formularios, planillas o cuestionarios para recoger la información mediante una encuesta. Además, se preparan los instructivos, manuales, etc. requeridos.

DISEÑO DE LA MUESTRA

Se define el tipo de muestreo, la metodología estadística matemática para la obtención del tamaño de la muestra, estadísticos y estimadores, definición de criterios, obtención de los marcos o listados, recabación de datos secundarios, selección de la muestra.

MUESTRA PILOTO

SISTEMAS Y PROCEDIMIENTOS

Se hace un sondeo preliminar para probar los instrumentos y obtener algunas variables auxiliares para calcular el tamaño de la muestra. Se elaborar procedimientos cálculo.

los de

sistemas tabulación

y y

EJECUCIÓN

Se refiere a la puesta en acción de los planes de muestreo.

RECOLECCIÓN DE DATOS

Incluye los trabajos de campo, o sea, la recabación de los datos a nivel de cada unidad de muestreo seleccionada.

REVISIÓN PREPARACIÓN

Los formularios, planillas o encuestas se revisarán, codificará (perforación y verificación de ser necesario).

PROCESAMIENTO

Los datos se procesan o tabulan para obtener los estadísticos, estimadores, etc., dispuestos en tablas o listados.

ANÁLISIS

Se analizarán los datos para comprobar la validez de las estimaciones, se relacionarán las variables a fin de obtener las medidas que faciliten la interpretación de resultados y conduzcan a la toma de decisiones.

INFORME FINAL

Se presentarán las tablas, índices y resultados, así como la interpretación del análisis y un apéndice con la metodología usada.

2.3

Informes para investigaciones a base de muestras.

Las sugestiones que se presentan a continuación pretenden conformar una guía o esquema metodológico el cual deberá acompañar el informe final de cualquier investigación a base de muestras. Esta guía proporciona al usuario de la investigación una visión objetiva de los métodos empleados y el grado de exactitud de las estimaciones, además permite al diseñador o responsable de la ejecución del plan utilizar eficientemente los resultados y acumular la experiencia en futuros planes de muestreo. El contenido metodológico del informe debe estar orientado en dos niveles, el primero hacia los usuarios o personas que se interesen en los resultados finales y escasamente en los detalles metodológicos. El segundo nivel describirá detalladamente los aspectos técnicos de la muestra. En este sentido, el capítulo, guía o esquema metodológico se deberá presentar en dos anexos: a) Descripción general de la Investigación. b) Aspectos técnico-estadísticos de la Investigación. Dentro de la concepción anterior, se describirán a continuación las características fundamentales de cada anexo. 2.3.1

Informes para investigaciones a base de muestras.

a) Objetivos: Es necesario definir la motivación que origina el trabajo o estudio y puntualizar los objetivos del mismo. b) Materia abarcada en el estudio, investigación, trabajo o encuesta: Se debe indicar si toda la información recabada proviene de fuentes primarias y/o secundarias.

En el primer caso, se describirán las definiciones de las unidades a estudiar, de tal manera que se evite cualquier error de interpretación. El uso de datos auxiliares provenientes de fuentes secundarias se debe indicar con suficiente amplitud. Por otra parte, se debe dar detalles de la información recopilada y no publicada. c) Método de la muestra: Se indicará de manera general el tipo de muestreo usado, así como una descripción de la población. Es conveniente disponer de un cuadro sinóptico con los datos del tamaño de la muestra y la población con las clasificaciones a que hubiere lugar. d) Método de recopilación de los datos: Conviene describir la manera como fueron recopilados los datos, y el nivel educativo del personal utilizado. e) Fecha y duración: Se indicará el período al cual se refieren los datos, la fecha en la cual se tomó la información y el tiempo empleado. f) Costo: En ocasiones conviene acompañar el descripción detallada de los costos de trabajo.

informe

con

una

g) Precisión: Se indicará de una manera general el grado de confianza y los errores de las principales variables

2.3.2 Aspectos técnico-estadísticos. a) Diseño de la Muestra. 1.

Marco.

El marco de la muestra consiste en una descripción detallada de la población y generalmente consiste en listas, bases de datos, archivos, mapas, etc., que permiten tomarlo como base para seleccionar la muestra. Se indicará la fecha del mismo y la metodología seguida para actualizarlo. Es conveniente citar, mediante tablas, un resumen con la distribución poblacional y las características del tamaño de la muestra. 2.

Método de la encuesta.

Se indicará con abundantes detalles el tipo de muestreo que se utiliza y la determinación del tamaño de la muestra. Se describirán los niveles de confianza usados, así como las hipótesis que se consideren convenientes a los fines de tener una concepción clara del Estudio. 3.

Unidades de estudio.

Se definirán las unidades de estudio, es decir los elementos que sirven de base para efectuar las operaciones de muestreo. Además, se citará el método de selección de las unidades de muestreo correspondientes. Es conveniente anexar los cuestionario e instructivos utilizados. 4.

Personal y equipo.

Se informará sobre la organización del personal utilizado en la dirección, supervisión, recopilación, tabulación y elaboración de los datos, así como el nivel técnico y profesional de los mismos.

Es conveniente dar una explicación de las disposiciones relativas al entrenamiento del personal, normas de control de calidad sobre el proceso de recolección, tabulación y cálculo. Se hará una descripción del equipo empleado para fines de tabulación y cálculo.

b) Análisis estadístico y métodos de cálculo. El procedimiento para la revisión, clasificación, tabulación y análisis debe seguirse a través de una descripción general cuyo esquema se puede ver a continuación:

CUESTIONARIO

REVISIÓN

1. Es conveniente acompañar los anexos con una copia del cuestionario, instructivo, etc.

2. Se informa sobre las pautas de corrección, el tratamiento de no respuestas, inconsistencia de algunos datos, etc.

CLASIFICACIÓN DE LAS UNIDADES DE ESTUDIO

3. Se detallan las clasificaciones a las cuales son sometidas las unidades de estudio.

CRITERIOS DE TABULACIÓN

4. Se informa sobre los criterios operativos empleados en la tabulación de los datos.

TABULACIÓN

5. Se describen los sistemas y procedimientos y las características generales de los equipos usados. En el caso de utilizar equipos electrónicos, se incluirán las memorias descriptivas de los programas, códigos, etc...

CÁLCULO DE LA MUESTRA

6. De acuerdo al diseño .de muestreo usado, se describirá con detalle la nomenclatura, formulario de estadísticos y estimación de parámetros, etc.

CRITERIOS DE TABULACIÓN

7. En base a los resultados obtenidos, se instrumentará la metodología para medir la significación de los estadísticos, realizar las estimaciones, etc.

c) Precisión. Es importante proporcionar un listado de las principales variables que pongan de manifiesto las características siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.

Número de informantes. Estimaciones poblacionales. Varianza Errores de muestreo. Límites de confianza.

Se deben mencionar los errores no atribuibles al diseño de muestreo, tales como errores de recabación, validez del marco, etc. d) Costos. Conviene efectuar un análisis detallado de los costos del trabajo, discriminándolo de acuerdo a las etapas cubiertas, por ejemplo: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2.4

Dirección y coordinación. Programación. Trabajos de campo. Revisión y codificación. Procesamiento. Análisis. Redacción. Gastos generales. Selección de muestras.

Cuando se considera una población cuyos elementos presentan características poco homogéneas con relación a la variable investigada, habrá que utilizar un diseño de muestreo adecuado y desarrollar algunas técnicas de selección de las unidades de muestreo, las cuales garanticen que los elementos seleccionados hayan sido extraídos con una cierta probabilidad fijada a priori y, además, que las muestras presenten características que se asemejen a las del colectivo. Para lograr la condición señalada anteriormente y evitar que se introduzcan sesgos personales, o que el procedimiento no esté influenciado por las característica en estudio, se han desarrollado algunos métodos de selección que van desde la utilización de dados, monedas, bombos, bolas, etc., hasta la denominada tabla o rutina de generación de números aleatorios, que a su vez ha permitido desarrollar esquemas más complejos de selección. A tal efecto, se citará a continuación la metodología generalmente más usada. 29

2.4.1

Tabla de números aleatorios.

Esencialmente, las tablas de números aleatorios están formadas por un conjunto de números producto de un experimento aleatorio de una población constituida por los dígitos 0 al 9. De la reunión de cifras contiguas se obtendrá un conjunto de números aleatorios que se consideran como muestras de una población constituida por 100 números de 2 cifras que van del 00 al 99, o 1000 números de tres dígitos que van del 000 al 999, etc. Esta tablas han sido construidas por diversos autores, valiéndose de experimentos aleatorios (loterías ruedas, computadoras, etc.). Las mismas han sido sometidas a pruebas aleatorias para comprobar su validez. En el apéndice, se incluye un extracto de las Tablas de Fisher y Yates formadas por 100.000 dígitos (tabla 1) con las cuales se desarrollan unos ejemplos de selección. Las tablas de números aleatorios vienen agrupadas por pares de dígitos en grupos de cinco en cinco y se emplean de la manera siguiente: a. b. c. d.

Se numeran todos los elementos del 00 al N. Se considera el tamaño de la muestra n. Se elige una página cualquiera de la tabla. Se hace la selección de manera horizontal o vertical, comenzando en cualquier lugar; se recomienda no comenzar en el mismo sitio se hay que tomar varias muestras.

Ejemplo 1. Seleccionar una muestra de 10 elementos de una población de 80. a. Se numeran los elementos poblacionales: 00, 01, 02, 03… 79,80. b. Se toman 10 números de la tabla. c. Se elige una página cualquiera.

d. Se elige, por ejemplo, la 2da. Columna con dos dígitos y se escriben diez números comprendidos entre 00 y 80; los números que aparezcan repetidos se considerarán sólo una vez. 27, 41, 21, 15, 76, 46, 37, 62, 47, 68 Ejemplo 2. Seleccionar una muestra de 10 elementos de una población de 820. a. Se numeran los elementos poblacionales: 000, 001, 002, 003, 004, , , 500, , ,820. b. Se tomarán 10 elementos de la tabla cuyos números estén comprendidos entre 000 y 820. c. De una página cualquiera se forman columnas de tres dígitos y se toma una de ellas; por ejemplo la primera (tabla 1). d. Se seleccionan los elementos siguientes: 102, 284, 342, 618, 611, 009, 364, 043, 636, 784. Sustituto de este procedimiento se hace mediante una rutina computarizada para la generación de números aleatorios. Esencialmente estas rutinas funcionan como simuladores de los ejemplos anteriores. 2.4.2 Muestreo sistemático. En realidad este tipo de muestreo define un proceso de selección el cual consiste en seleccionar los elementos de la muestra de una manera sistemática a partir de un módulo fijo, en otras palabras, el considerar una población de tamaño N y una muestra n, se N encontrará un intervalo k = del cual se extraerá un número n aleatorio comprendido entre 1 y k, y a partir de este origen aleatorio ( i ) se tomarán los elementos a muestrear de k en k o sea: i, i + k, i + 2k, i + 3k . . . . . . i+(n-1)k

En general, desde el punto de vista práctico, este método resulta muy útil, además garantiza que ninguna sucesión grande de elementos quede sin representación. Ejemplo 3. Considere una población N = 200 de donde se extraerá una muestra n = 10. a) Se calcula el intervalo de selección.

k =

N 200 = = 20 n 100

b) Se elige un número aleatorio entre 1 y 20. c) Se busca en la tabla y se obtiene i = 6. d) A partir del elemento número 6 se comienza a seleccionar de 20 en 20, o sea: 6, 26, 46, 66, 86, 106, 126, 146, 166, 186

CAPÍTULO III DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO Estimación de Parámetros, sus característ5icas. Estimación puntual y por intervalos. Distribuciones teóricas de probabilidad.

3.1

Distribución en el muestreo.

Anteriormente se había señalado que a partir del estudio de un conjunto de observaciones procedentes de una población, la cual se ha ordenado convenientemente en forma de distribución de frecuencias, se determinan ciertas medidas o parámetros que resumen las características de dicha población. En general, este no será el caso; habrá necesidad, en muchas ocasiones, de estimar los parámetros poblacionales a partir de una muestra probabilística. La relación existente entre las frecuencias (fi) y el total de observaciones (n) realizadas en la muestra definen una relación

fi n

que se asocia al concepto de probabilidad estadística cuando la experiencia o experimento se realiza muchas veces. Si el experimento se realiza en condiciones que se consideran semejantes y en cada oportunidad no se puede predecir el resultado, se tienen por definición un experimento aleatorio; sin embargo, en la medida que se realiza dicho experimento, se tendrá una idea de los probables resultados determinados por el examen de las frecuencias respectivas. Una muestra probabilística resulta de n realizaciones de un experimento, es decir, estará integrada por n elementos y sus frecuencias, obteniéndose una distribución de frecuencias muestral que corresponde a todas las muestras posibles y sus respectivas probabilidades, además que puede representarse en el espacio k-dimensional (espacio muestral) constituido por el valor que toma una variable aleatoria X1 Xi : (X1 X2 . . . . . . . . . . Xk )

A los resultados de cada experimento se asocia la probabilidad de ocurrencia respectiva: P 1 P 2 P 3 . . . . . . . . . . Pk donde:

P 1 + P 2 + P 3 + . . . . Pk = 1

A partir de estos elementos se obtiene la Esperanza Matemática E(x) la cual se define por: E(x) = P1 X1 + P2 X2 + P3 X3 + . . . . . . . . .+ Pk Xk E(x) =

∑P X k

t =1

y la varianza σ 2x = E( x - X ) 2

Si para cada muestra se calcula un estadístico θ, es decir , una función de valores muestrales x1, x2, x3, . . . . . . . . . . xk acompañados de sus respectivas probabilidades (p1 ), se tiene una distribución probabilística denominada distribución en el muestreo de θ, lo cual permitirá obtener un estimador Θˆ del parámetro Θ. Considérese una población de N elementos. Estos pueden ser infinitos o finitos. En el primer caso, habrá infinito número de elementos o la población es tan grande que no existen posibilidades reales de contarlos; en el segundo caso, los elementos son enumerados sin mayor dificultad.

Al tener una población finita de tamaño N, habrá dos formas de seleccionar la muestra. Se tomarán n elementos con reemplazamiento o sin reemplazamiento. En el primer caso, se seleccionará un elemento de la población, se observa la característica a estudiar y se mezclará nuevamente con la población para seleccionar otro elemento hasta completar n. Este tipo de muestreo tiene analogía con el concepto de población infinita. Si la muestra es sin reemplazamiento, es decir, cada elemento muestreado no se vuelve a considerar, habrá tantas muestras posibles como combinaciones haya de N elementos tomados de n en n. Supóngase este último procedimiento con una población de tamaño N = 6 donde cada uno de los elementos toma los siguientes valores: X1 = 1 X2 = 2 X3 = 3 X4 = 4 X5 =5 X6 =6

Se desea tomar una muestra de tamaño n = 2 para estimar la media poblacional X . De acuerdo a lo dicho anteriormente, se podrán obtener 15 muestras posibles, o sea:  6  = 6! = 15  2   2! 4!

Estas combinaciones serán: (1,2) (2,3 (3,4)

(1,3) (2,4) (3,5)

(4,5) (5,6)

(4,6)

(1,4) (2,5) (3,6)

(1,5) (2,6)

(1,6)

La media poblacional X vendrá dada por: n

Xi ∑ i=1 N

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 21 = 6 6

Las distintas combinaciones muestrales para la media serán: 3 4 5 6 7 x = , x 2 = , x3 = .x 4 = , x 5 = 1 2 2 2 2 2 x6 =

5 6 7 8 , x7 = , x8 = , x9 = 2 2 2 2

x10 =

7 8 9 , x11 = , x12 = 2 2 2

x13 =

9 10 , x 14 = 2 2

x15 =

11 2

Luego la distribución en el muestreo se podrá expresar en la tabla siguiente:

DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO Frecuencias Medias relativas Frecuencias x1 f1 f pb = ∑ f1 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 11 2

1 15 1 15 2 15 2 15 3 15 2 15 2 15 1 15 1 15

1 1 2 2 3 2 2 1 1

En general, es de esperar que los valores de los estimadores, en este caso las medias de las diferentes muestras posibles, fuesen igual al parámetro poblacional

X =

21 6

lo cual permitirá definir

una distribución donde sólo hubiere dicho valor. Al observar el cuadro anterior, se ve que esto no es posible dado que los elementos de la población son diferentes. Al tomar las posibles muestras se obtuvo la distribución en el muestreo donde la mayoría de las medias muestrales generadas están concentradas alrededor del valor verdadero.

El modelo considerado supone una distribución con un valor medio m y una desviación σx =

σ n

La distribución en el muestreo no se podrá formar a menos que se conozcan los elementos que integran la población; en consecuencia, en la práctica se opera con una muestra que es una de las posibles combinaciones que se pueden obtener. A partir de ella se calcula el estimador Θˆ que puede ser una media x con una cuasi-varianza sˆ 2 estimada a partir de la muestra. Con estos elementos muestrales se intenta estimar el valor poblacional X con un cierto nivel de probabilidad determinado por la desviación: ˆs σx = n 3.2

Estimación de Parámetros.

Se señaló anteriormente que a partir de una muestra se podrá obtener un estadístico θ el cual permite obtener una estimación Θˆ del parámetro poblacional Θ. Este estimador debe poseer unas características que lo definen como un “buen” estimador. Esas características están conformadas por los siguientes aspectos: a) b) c) d)

Insesgado. Consistente. Eficiente. Suficiente.

Esas características serán función de la distribución en el muestreo, de la distribución poblacional y del diseño de muestreo utilizado.

3.2.1 Estimador Insesgado. Dado que a partir de una muestra se calculará un estimador Θˆ y que generalmente su valor no coincidirá con el valor poblacional, se puede considerar desde el punto de vista estadístico aceptable el hecho de que la distribución en el muestreo está concentrada sobre el valor poblacional (valor real). La condición de estimador insesgado será definida cuando la Esperanza Matemática del estimador Θ sea igual al parámetro poblacional. E(θ) = Θ Como ejemplo intuitivo del concepto definido anteriormente, supóngase un rifle el cual es disparado contra un blanco. Entre las distintas alternativas que pueden ocurrir están las siguientes: a. Existe concentración de los disparos alrededor del blanco, habrá precisión e insesgamiento; la coincidencia de estas características se define por acuracidad. La precisión vendrá a su vez determinada por la escasa dispersión de los valores alrededor del blanco.

b. No hay concentración de disparos, habrá dispersión y sesgo.

los

c. Habrá precisión y sesgo. Esto es, hay concentración de los disparos sobre un punto, pero hay un distanciamiento respecto al término central.

3.2.2

Estimador consistente.

Un estimador Θˆ será consistente cuando la probabilidad tienda a uno, en la medida que Θˆ tienda al valor verdadero Θ al aumentar el tamaño de la muestra. Pb ( θ → Θ) → 1, n → ∞ ) Es decir, las estimaciones se aproximan al valor verdadero con probabilidad que tiende a uno al aumentar el tamaño de la muestra indefinidamente. 3.2.3 Estimador eficiente. Si se considera el concepto de eficiencia relativa para comparar dos estimadores, se tomará el cociente de las recíprocas de las varianzas de sus distribuciones en el muestreo, para un mismo tamaño de muestras. Si este cociente es superior, igual o menor a uno, el estimador que se compara será más, igual o menos eficiente que el considerado tipo. 3.2.4 Estimador suficiente. Se refiere al caso en que una muestra aleatoria contiene toda la información relativa al valor verdadero que se trata de estimar.

3.3

Estimación puntual y por intervalos.

En términos generales, una población tiene una distribución determinada por la denominada función de densidad, expresada mediante; F(x) = f(X1 Θ1 , Θ2 . . . . . . . . .Θk ) siendo Xi una variable aleatoria y Θ1 , Θ2 . . . .Θk los parámetros poblacionales. A partir de una muestra, donde se cuantifican las observaciones x1 , x2 , … xn , se pretende estimar los parámetros poblacionales Θ utilizando los estadísticos: θ1 , θ2 . . . . . . . . . θk Ciertamente estos estimadores deben cumplir con el requisito de se “buenos estimadores”, sin embargo, los mismos están sujeto a un cierto error, el cual se denomina error de muestreo (σ x ) que no es más que la desviación standard de la distribución en el muestreo. Si se tiene una muestra y se obtiene un estimado Θˆ la estimación obtenida será una estimación puntual, hasta tanto no se acompañe de una medida de dispersión o del error de muestreo; así, por ejemplo, al calcular a partir de una muestra una media x y estimar la media poblacional (µ), deberá estimarse la desviación standard de la distribución en el muestreo ( σ x ) mediante la relación σx =

sˆ y obtener un intervalo confidencial. n

Supóngase que se tiene la distribución en el muestreo de la media, donde x es la media muestral y la varianza es: σ 2x

sˆ 2 = n

Gráficamente se observa el intervalo de confianza:

x+k

sˆ n

x −k

ˆs n

Esto quiere decir, la Media poblacional m (real) estará comprendida entre los valores: x−k

sˆ 2 sˆ 2 ≤ X ≤ x +k n n

con una probabilidad determinada por el área A contenida entre dichos puntos. 3.4

Distribuciones teóricas de probabilidades.

Al considerar la muestra aleatoria simple, donde todos los elementos poblacionales sean lo suficientemente homogéneos con respecto a la variable que se desea medir, lo cual equivale que tenga una desviación típica pequeña, habrá de utilizarse la distribución teórica de probabilidad más adecuada a la resolución del problema específico que se plantea. En efecto, para una muestra en particular, habrá una distribución de frecuencias a partir de la cual se harán las inferencias correspondientes a las características poblacionales. Esas distribuciones frecuenciales van a generar un modelo que se traduce en la distribución teórica de probabilidad que más se que más se le aproxime.

A los fines de la exposición general de este capítulo, es conveniente sistematizar las características fundamentales de las distribuciones teóricas de probabilidad de mayor aplicación en los fundamentos básicos de los métodos estadísticos. Dado un experimento aleatorio se tendrá un conjunto de resultados posibles que se podría considerar como un conjunto puntos donde cada uno tome un cierto valor único. Este conjunto de puntos viene a constituir un espacio muestral. Así, por ejemplo, un experimento aleatorio consistiría en lanzar un dado n veces en condiciones semejantes, donde la variable aleatoria X1 toma los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6, lo cual define un espacio muestral de seis puntos. De una manera general, se puede considerar una variable aleatoria ξ, siendo sus respectivos valores x1, x2, . . . . Esta variable aleatoria tiene una determinada distribución de probabilidad la cual se definirá por su función de probabilidad o por una función de punto, o de distribución F(x). Esta función expresa la probabilidad que la variable aleatoria ξ tome un valor menor o igual que x; en efecto se tiene: F(x) = Pb (ξ ≤ x) Cualquiera que sea la distribución de probabilidad, se cumplirá con las siguientes características: a) b) c) d)

0 ≤ F(x) ≤ 1 F (∞) = 1 F(-∞ ) = 0 Si X1 < X2 F(X2 ) – F(x1 ) = Pb(X1 ≤ ξ ≤ X2 )

Si existe la derivada de F(X), esto es, F’(X) = f(x) para un cierto punto (x), se obtiene la función de densidad la cual representa la probabilidad que la variable aleatoria tome un valor xi es decir: f(x) = Pb(ξ = x) Cualquiera que sea, la función de densidad tendrá las siguientes características: a) f(x) ≥ 0 b) La suma de todas las probabilidades es igual a la unidad. Para resumir las características fundamentales de alguna distribución es necesario analizar por separado las distribuciones de tipo discreto y de tipo continuo. En el primer caso, se dice que una variable es de tipo discreto si su función de distribución F(x) crece mediante discontinuidades. Esto se traduce en las aplicaciones cuando la variable representa un cierto número de unidades, por ejemplo: las veces que sale un uno al lanzar un dado, el número de clientes de una empresa, etc. Una distribución discreta se definirá para una variable aleatoria ξ la cual toma los valores x1 , x2 , . . . . xk (recorrido) con probabilidades p1 , p2 , . . . . pk y la función de cuantía o de probabilidad vendrá expresa mediante: f(x) = Pb (ξ = x) la cual cumple con las condiciones siguientes: a) f(x) ≥ 0 k

∑ f (x ) = 1 i =1

En el caso de una distribución continua, se dice que una variable aleatoria es de tipo continuo si la función o distribución F(x) crece de manera continua, sin puntos aislados o también si se verifica que la derivada correspondiente es una función contínua, es decir, que d F( x ) f ( x ) = F ′( x ) = dx En la práctica, se presenta cuando se miden cantidades que pueden tomar valores cualesquiera en un intervalo, dependiendo de la apreciación correspondiente. La función de cuantía o probabilidad vendrá expresada mediante: f(x) = Pb (ξ = x) y cumple con las siguientes condiciones:

f (x) ≥ 1

∫− ∞ f (x )dx = 1

∞

Si se tiene una distribución teórica de probabilidad, se podrá obtener la media teórica o Esperanza Matemática, así como la varianza correspondiente. En efecto, si se tiene una distribución discreta se tiene: E(ξ) = Σ X1 p1 y para una distribución continua: E( ξ) = ∫ X f ( x) dx Para obtener la varianza respectiva se utilizan los momentos con respecto a la media y se tiene:

Momento de orden r: µr = E [ξ r] = E [ ξ - E [ξ] ]r Como el momento de segundo orden define la varianza, se tiene: µ2 = σ2 = E [ξ 2 ] = E [ ξ - E [ξ] ]2 En general, si no se conoce o presume la forma de la distribución, se aplica un teorema conocido bajo el nombre de Tchebycheff el cual se expresa como sigue: “La probabilidad que una variable aleatoria x tome un valor que difiera en valor absoluto de su Esperanza Matemática menos k veces su desviación standard, es mayor que: 1−

o sea

Pb( | ξ - E[ξ] ) ≤ k σ ξ ) > 1 −

1 k2

De acuerdo a los términos del Teorema se puede afirmar que la probabilidad de que el estimador Θˆ tome un valor que difiere en valor absoluto de su Esperanza Matemática E (q) menos k veces la desviación standard de dicha variable es mayor que 1 −

ˆ - E( θ) | ≤ k σ θ ) > 1 − 1 Pb( | Θ 2 k Si Θˆ es un estimador insesgado de Θ, ocurre que E(θ) = Θ, luego:

ˆ | ≤ k σ θ ) > 1− 1 Pb( | θ - Θ 2 k Entonces: ˆ ≤ θˆ - k σ θ ) > 1 − 1 Pb( θˆ - k σ θ ≤ Θ k2 Así, por ejemplo, se obtuvo un estimador muestreo σ x = 1 σx =

ˆ = X

5 un error de

sˆ =1 n

El intervalo de confianza, si el coeficiente confidencial k = 3, es: ˆ - kσ = 5 - 3(1) = 2 X x ˆ - kσ = 5 + 3(1) = 8 X x entonces: 1−

= 1-

1 = 0,888 .... 9

Luego, se puede decir, que con una probabilidad superior al 88% que el intervalo: (2, 8) cubrirá el valor verdadero. El supuesto anterior está basado en el desconocimiento de la distribución poblacional f(x), sin embargo, cuando se puede establecer una hipótesis sobre la población, por ejemplo, que se distribuye normalmente y tiene una varianza finita, bastará conocer que en muestras grandes:

k = z (coeficiente de la distribución normal) z = 1,64 Se obtiene un coeficiente confidencial del 90% z = 1,96 Se obtiene un coeficiente confidencial del 95% z = 2,58 Se obtiene un coeficiente confidencial del 99% En general, este coeficiente estará dado por la tabla de la Distribución Normal y se obtendrá un intervalo para la media definido por : ˆ -zσ ˆ +zσ X y = X x x o sea:

ˆ -zσ ≤ X ≤ X ˆ +zσ X x x

Se sintetizan a continuación las características particulares de las distribuciones teóricas de probabilidad de tipo discreta y continua. 3.4.1

Distribuciones discretas.

3.4.1.1 Distribución binomial. En este caso se considera una variable discreta xi cuyo campo de variación es x: 1, 2, 3, . . . c y se desea calcular la probabilidad de x éxitos en n intentos. Si se define como P la proporción de elementos con una característica 1 en una población N, se tiene: P=

A , N

siendo A la suma de los elemento que presenta una

característica que se ha llamado 1; la ausencia de esa característica se identifica por (o). La proporción de elementos con característica (o) es: Q=1-P Al considerar una población N, el número de veces o intentos que se realiza en el experimento o prueba corresponde a una muestra con reemplazamiento de n elementos. En este caso, la función de densidad es:

f(x) =  nx  P x Q n − x   la función de distribución es: F(x) = ∑  n  P x Qn −x x x= 0   c

la Esperanza Matemática de esta distribución es: E (x) = n P y su varianza σ2 = n . P . Q Cuando se tienen muestras con reemplazamiento, en la generalidad de los casos se desea estimar la proporción poblacional P con un cierto nivel de probabilidad; en consecuencia, ese valor se estima a partir de una muestra utilizando la proporción muestral , a en efecto, se sabe que la proporción muestral es un p= n estimador insesgado de la proporción poblacional, esto es: ˆ = 1 - Pˆ . p = Pˆ el cual estima a P, siendo Q La desviación típica de la distribución en el muestreo en este caso es: ˆ N - n p.q N - n Pˆ . Q σp = . ≡ . N n −1 N n −1 Para muestras grandes, o cuando N sea suficientemente grande N- n respecto a n, ó N → ∞ ó → 1 , se utiliza n σp =

p.q ≡ n

Pˆ . Qˆ n

3.4.1.2 Distribución Hipergeométrica. Cuando se tiene una muestra aleatoria simple sin reemplazamiento y una población finita N, ya no se podrá utilizar con propiedad la Distribución Binomial, a menos que se haga una aproximación utilizando valores grandes de N. En este caso, la función de densidad de la distribución hipergeométrica es:  A  N - a  x n-x f(x) =    N n   donde

A=N.P

la función de distribución correspondiente es:  A   N - a  x n -x f(x) = ∑     N x =0 n   el valor de la variable xi también varía como en el caso anterior de la manera siguiente: xi : 1, 2, . . . . c c

siendo la Esperanza Matemática de esa distribución: A N Los valores de A se estimarán a partir de una muestra donde p es la a proporción muestral, esto es: p = donde: n E ( x ) = E (n p ) = n .

Aˆ = N . p

ó Aˆ = N . Pˆ

y la desviación típica de la distribución en el muestreo: ˆ N - n Pˆ . Q . n n

σp =

3.4.1.3 Distribución de Poisson. Cuando no se conoce el tamaño de la población N y se tiene un muestreo aleatorio simple con reemplazamiento y los valores de P son pequeños, se utiliza la Distribución de Poisson cuya función de densidad viene dada por la expresión: f (x ) = e − λ .

λ x!

para un recorrido de la variable xi : 1, 2, 3, . . . . ∞ la función de distribución en este caso es: f (x ) =

∑ e −λ . x! x =0

la Esperanza Matemática correspondiente es: E(x) = λ y la varianza: σ2 = λ donde λ = n . Pˆ La distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson para valores pequeños de P y una muestra grande; las estimaciones de P se harán a partir de la muestra, o sea:

a = Pˆ n

λ = n . Pˆ

donde: y el error de muestreo es:

σ x = n . Pˆ 3.4.2 Distribuciones continuas. 3.4.2.1 Distribución Normal o de Gauss. Esta distribución es de particular importancia para la comprensión y aplicación de los diferentes métodos estadísticos. Su rango de variación para la variable aleatoria correspondiente es de carácter continuo y su función de densidad se expresa mediante: 1  x 1 −µ   σ 

−  1 f (x ) = e 2 σ 2π

la función de distribución correspondiente viene dada mediante la siguiente expresión: z

F( X) = ∫ f ( x ) dx -∞

donde z =

x1 - . µ σ

la Esperanza Matemática de la distribución es la media aritmética; en efecto: E(x) = µ y su varianza: σ2

Al considerar una muestra n se pretende estimar un Parámetro poblacional que puede ser la media X a partir de la media muestral x . Esta media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional, o sea: ˆ el cual estima a X x= X Al considerar la distribución en el muestreo se tiene que: E ( x) = µ = X Según el tipo de muestreo utilizado, se tendrá la varianza correspondiente. Si se tiene un muestreo con reemplazamiento, la varianza es: σ 2x =

σ2 n

Si se trata de muestras sin reemplazamiento, se tiene: σ 2x

N - n σ2 = . N −1 n

σ 2x

N - n σ2 = . n n

cuando N es suficientemente grande. cuando

N-n tienda a 1, se usará como expresión general : N −1

σ2 y la desviación típica de la distribución en el muestreo n σ será: σx = n σ 2x =

La acción de seleccionar una muestra está determinada por la imposibilidad práctico-económica de analizar todos los elementos de una población, por lo tanto, de estimará a partir de la muestra. Si se tiene una población de tamaño N, la misma tendrá cierta dispersión, la cual se mide por su varianza respectiva, o sea: S2 =

∑ (X1

− X) 2

Claro está, que a la distribución frecuencial corresponderá una distribución teórica con media µ y varianza σ2 . Ahora bien, si se calcula la varianza en una muestra, llamada más propiamente Cuasi-varianza, se tiene: sˆ 2 =

∑ (x 1

− x )2

n -1

s2 =

∑ (x 1

− x )2

donde se verifica que:

sˆ 2 =

n s2 n -1

en efecto, si se sustituye

s 2 se tiene :

De acuerdo al planteamiento anterior, la varianza de la distribución en el muestreo es:

n sˆ = . n -1 2

σ 2x =

∑ (x 1 − x) 2

sˆ 2 = n

n s2 n -1

∑ (x 1 − x) 2 n -1

o según el caso:

ó según el caso

σ 2x =

N − n sˆ 2 N − n s2 . = . N n N n -1

la desviación típica de la distribución en el muestreo (error de muestreo para la media) es: σx =

sˆ = n

s n -1

σx =

N−n sˆ 2 . N n

σx =

N−n s2 . N n

y según el caso

A partir de una muestra n se podrán hacer las transformaciones a una distribución normal standard que tiene por media µ = 0 y varianza σ2 = 1 mediante el cambio de variable z=

Xˆ - µ Xˆ - µ = donde se tiene la función sˆ σx n

f (x ) =

1 − 12 z e 2π

y por función de distribución z

F( x ) = ∫ f ( x ) dx -∞

En la medida que se avance en la exposición, se harán los planteamientos de otras distribuciones cuya aplicación en el análisis estadístico son significativas; sin embargo, es conveniente recordar que las distribuciones discretas mencionadas tienen aproximaciones a la distribución normal. Por ejemplo, la distribución binomial se podrá aproximar a una distribución normal para valores de p cercanos a 0,5, teniendo por Media: µ = np y por varianza σ2 = n . p . q A partir de los elementos anteriores se podrá hacer la transformación a los valores de z mediante la expresión siguiente: z=

ˆ - np X npq

y en el caso de la proporción mediante: z=

Pˆ - P σp

Pˆ - P p.q n

CAPÍTULO IV HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Test de Hipótesis. Errores Tipo I y II. Nivel de Significación. Región de Aceptación. Región Crítica. Potencia de un Test. Curva Característica Operante. Factores a considerar en la aplicación de las Pruebas o Test.

4.1 Hipótesis estadística. En términos generales, suponer una hipótesis es definir un enunciado sobre una o algunas características de un fenómeno. Se definirá como Hipótesis Estadística un enunciado con respecto a uno o más parámetros Q de una población. Como ejemplos se podrán mencionar los siguientes casos: a) La probabilidad de que obtenga 1 al lanzar un dado es p =

1 6

b) El valor medio de la facturación de una Empresa, es mensualmente de Bs. 1.000.000,00. c) El saldo medio de las cuentas por cobrar de una Empresa es de Bs. 500,00 con una desviación standard de Bs. 50,00. 4.2 Test de Hipótesis. Las Hipótesis mencionadas anteriormente deben ser comprobadas; a tal efecto, se realizará un experimento aleatorio a través de la selección de una muestra de la población y se acepta o rechaza la Hipótesis planteada, sin que esto quiera decir que se apruebe o desapruebe de manera efectiva, esto es que hay una probabilidad de aceptación o rechazo y dependiendo de la metodología usada, se hará una cosa u otra. Con el fin de comprobar la hipótesis se somete a un procedimiento estadístico denomina Test, Dócima o Contraste.

Póngase por caso el ejemplo de comprobar la hipótesis de que al lanzar un dado, la probabilidad de que salga 1 es p = 16 . En consecuencia, se procede a realizar un experimento aleatorio; se realizan 6.000 lanzamientos de un dado y sus resultados se sistematizan en dos alternativas, sean por ejemplo las siguientes: CARAS

ALTERNATIVA 1

Alternativa 2

995

1 6

4.998

5 6

1.002

1 6

1.002

1 6

1.001

1 6

—

999

1 6

—

999

1 6

—

1.001

1 6

—

Total

6.000

pi =

f1 n

pi =

f1 n

De producirse la alternativa 1 se aceptará la Hipótesis de que la probabilidad de sacar 1 al lanzar un dado es CIERTA. Por el contrario, en el segundo caso la probabilidad distará bastante de ser p = 16 en consecuencia, se rechazará la Hipótesis planteada ya que existe una diferencia significativa entre los valores p = 16 y p = 56 . 4.3 Errores tipo I y tipo II – Niveles de Significación. El efectuar ensayos dentro del sentido enumerado anteriormente, implica cometer errores. Los mismos son conocidos bajo el nombre de errores tipo I y tipo II. Cada denominación corresponde a los conceptos siguientes: Tipo I Tipo II

- Rechazar una hipótesis cierta. - Aceptar una hipótesis falsa.

Las distintas alternativas que se presentan en la decisión de aceptar o rechazar una Hipótesis se pueden sistematizar de la siguiente forma: Hipótesis

Cierta

Falsa

Aceptación

No hay error

Error Tipo II

Rechazo

Error Tipo I

No hay error

Decisión

Al efectuar un experimento a partir de una muestra de una población para someter a prueba, test o docimasia a una hipótesis, es necesario minimizar las probabilidades de cometer error Tipo I y error Tipo II. Para el estudio de los efectos de estos errores se usará la nomenclatura siguiente: Se llamará α la probabilidad de cometer error Tipo I. Se llamará β la probabilidad de cometer error Tipo II. Estos valores de α y β son comúnmente denominados niveles de significación. La decisión de adoptar o rechazar una Hipótesis se basará en las observaciones realizadas a partir de una muestra y en la probabilidad de cometer errores tipo I y II. Por ejemplo, establecida la Hipótesis que el parámetro de una población tiene un cierto valor, se comprobará mediante una muestra de tamaño n y se observará a través de experiencias que el estadístico de la muestra se acerca o se parece a Θ; si así ocurre, se aceptará la hipótesis con la probabilidad α de cometer un error de tipo I. En caso contrario, es decir que se aparte de Θ de una manera significativa, se rechazará la hipótesis.

Puesto que α no puede ser elegido por el experimentador (en la práctica β no es posible fijarlo a priori y su elección determinará la aceptación o rechazo de una Hipótesis) deberá ser fijado previamente; por supuesto que intuitivamente se comprende la necesidad que α y β resulten lo más pequeño posible; pero ¿qué constituyen valores pequeños de α y β?. Mediante un ejemplo es posible comprender el concepto. Considérese por ejemplo que una fábrica construye un tipo de maquinaria cuya calidad está garantizada al usuario. Las piezas que integran dicha maquinaria proceden de otros sectores industriales, motivo por el cual la Empresa debe asegurarse de recibir o aceptar lotes de piezas de primera calidad. En consecuencia, sobre cada pedido que llega a la planta y dada la importancia de analizar exhaustivamente cada pieza, se toma una muestra de piezas y se someten a una revisión acuciosa. En función del resultado de dicho examen se procede a tomar la decisión de Aceptar o Rechazar el lote fijando de antemano la probabilidad de cometer error tipo I. El tomar la decisión implica varias alternativas: a) b) c) d)

Aceptar piezas buenas: Aceptar piezas malas Rechazar piezas malas: Rechazar piezas buenas

No hay error. Error tipo II. No hay error. Error tipo I.

En caso de producirse la alternativa b) las máquinas construidas con piezas malas seguramente tendrán una calidad deficiente, luego se debe procurar que el error tipo II tenga una probabilidad de ocurrencia muy baja, por ejemplo β = 0,001. Por el contrario, si se produce la alternativa d), es decir, se rechazan piezas buenas, lo más que podría ocurrir es retardar el proceso de fabricación, luego el error tipo I podrá tener una probabilidad de ocurrencia relativamente grande, por ejemplo α = 0,10 ó α = 0,05

En términos generales, dentro del campo de aplicación de la Estadística, se trabaja con los niveles señalados anteriormente como valores de α. Evidentemente que una buena prueba o test se obtendrá en la medida que haga las α y β tan pequeñas como sea posible. El procedimiento rutinario para la aplicación de un test consiste en fijar α y elegir la región de rechazo de manera que se haga mínimo β. 4.4

Regiones de Aceptación. Región Crítica.

Considerando el ejemplo señalado anteriormente, donde se tomaba una muestra de “n” piezas de un lote de tamaño “N” para someterlas a inspección y aceptar o rechazar el lote, supóngase que se establece la hipótesis de que las piezas de la población tienen una longitud de 20 cms., µ0 = 20, con desviación standard σ = 12. Con el fin de aceptar o rechazar la hipótesis que el lote de piezas analizadas mediante una muestra de por ejemplo n = 36 tienen una longitud de 20 cms., se establecerá la hipótesis de que no habrá diferencias entre la media calculada a partir de la muestra y la media de la población en una proporción de casos mayores de α (nivel de significación) atribuibles dichas diferencias al azar. Esto comúnmente se conoce como hipótesis nula (H0 ). En general lo expresado anteriormente se escribe como: H0 : µ = µ0 Es decir, se establece la Hipótesis Nula que no existen diferencias significativas entre la media muestral x y la poblacional, la cual toma un valor particular µ0 con un nivel de significación α. Pero el no aceptar la hipótesis nula implica reconocer que al nivel α sí existen diferencias significativas, esto es, se aceptará la Hipótesis alternativa H1 , es decir: H1 : µ ≠ µ0

O sea, que rechazar la hipótesis nula H0 implica aceptar la alternativa H1. Ahora bien, existirán muchas alternativas para comprobar la hipótesis nula, es decir, a partir de la distribución muestral de la media se obtendrán diversos valores que permitirán aceptar la Hipótesis Nula. Esos valores, en el supuesto que la muestra también sea normal, caerán en el intervalo de confianza definido por la expresión: X − Zσ x < µ 0 < X + Zσ x Para comprender este punto, considérese el ejemplo anterior; en efecto, se dijo que se establecía la Hipótesis que la media poblacional era µ0 = 20 cms., con desviación σ = 12. Se necesita contrastar la hipótesis nula: H0 : µ = µ0 frente a la alternativa H1 : µ ≠ µ0 Basados en la distribución muestral de la media x y suponiendo que una muestra de n = 36 observaciones procede de la población señalada anteriormente, la media es x = 20, dada la condición de normalidad de la distribución muestra y que la desviación standard de la muestra será: σx =

σ n

(2)

ó sea σ x =

12 =2 36

Como se dijo anteriormente, existen muchas alternativas para comprobar la Hipótesis Nula que estarán ubicados en el intervalo: x − Zσ x < µ 0 < x + Zσ x (2) Véase Teorema Central del Límite.

Fijando α = 0,05 se tendrá la distribución siguiente:

(20 – Z . 2 < µ0 < 20 + Z . 2) donde Z = ± 2 Aceptación) luego:

para el 95% de confianza (Región de

(20 – 2 . 2 < µ0 < 20 + 2 . 2) (16 < µ0 < 24) Entonces, la Hipótesis Nula que µ0 = 20 se rechazará si para cualquier medida ocurre que x ≤ 16

Región Crítica

x ≥ 24

Región Crítica

y se aceptará cuando : (16 < X < 24) Región de Aceptación

En general, la comparación se hará transformando los valores de la muestra a la distribución correspondiente, ejecutando la tipificación del caso. Del planteamiento anterior se deduce, que si µ0 = 20, se tiene la probabilidad α = 0,05 de cometer error Tipo I y que dada la distribución del muestreo, el 95% de las muestras estarán comprendidas entre 16 y 24, lo que implica aceptar µ0 = 20 (Hipótesis Nula). Además del error α de rechazar la hipótesis cierta, existirá también la posibilidad de aceptarla siendo falsa, es decir, de cometer error Tipo II (β). Para un número fijo n y elegido α, queda determinado β; por supuesto que a una disminución de α aumentará β; en efecto, si se desea disminuir α y β, deberá aumentarse el tamaño n de la muestra. La aceptación de la Hipótesis Alternativa implica una nueva distribución cuya media será µ1 . En consecuencia, se tiene la distribución cuya media es µ0 y la distribución con media µ1 . En el gráfico de dos colas se puede observar la región que corresponde a α y β respectivamente en dos alternativas diferentes.

En el ejemplo anterior se dijo que µ0 = 20 y el área de aceptación de la Hipótesis Nula para α = 0,05 fue 16 y 24. En el caso que la media poblacional tomara otro valor, es decir µ1 = 22, la media muestral sería x = 22 con desviación standard σ = 2. Considérese una hipótesis nula. H0 : µ = µ0 con la alternativa H1 : µ = µ1 El aceptar o rechazar la Hipótesis está basada en una sola muestra obtenida al azar, y al considerar una cola de la distribución, se tendrán dos distribuciones: la correspondiente a µ0 y la de µ1.

Fijado el nivel de significación α, si el valor observado es X1 se tomarán las decisiones siguientes: X1 < A

Se aceptará la hipótesis nula

X1 ≤ A

Se rechazará la hipótesis nula, o sea que para valores

X1 < A

Se determina la Región de Aceptación

X1 ≥ A

Se determina la Región de Rechazo o Crítica.

Si se tienen dos colas, la probabilidad de cometer error Tipo I vendrá determinada por α indicada en el gráfico y la probabilidad

de cometer error Tipo II vendrá determinada por el área señalada como β.

La determinación del área punteada permitirá conocer el valor de β, bajo el supuesto de normalidad. Tipificando se tiene: Z1 = Z2 =

X1 - µ1 σx

16 - 22 = -3 2

24 - 22 = 1 2

X 2 - µ1 σx

Buscando en la tabla de áreas de la distribución normal (tabla No. 8) se tiene: El área hasta 16 es A1 = 0,0013 El área hasta 24 es A2 = 0,8413 Luego β = 0,8413 - 0,0013 = 0,84 o sea que existe una probabilidad β de aceptar µo = 20 en lugar de µ1 = 22. Esto hace pensar que la probabilidad de aceptar H0 siendo falsa es grande cuando el valor tomado como hipótesis nula no 66

queda demasiado lejos del valor correcto, pero sí hay un alejamiento significativo se tiene probabilidad mucho menor de aceptar la Hipótesis nula. 4.3 Potencia de un test. Curva Característica Operante. En un experimento donde se prueba una Hipótesis, el valor β define la probabilidad de cometer error Tipo II y la expresión 1 – β es conocida como Potencia del test lo cual viene a significar la probabilidad de rechazar una hipótesis. Es evidente, que interesa que esta probabilidad sea grande. En general, cuando se utilizan los procedimientos de aceptación o rechazo de las Hipótesis planteadas, es necesario definir las variables objeto del estudio; en este sentido, se indicarán las diferentes normas o patrones susceptibles de ser medidos. En efecto, cada elemento es sometido a un proceso de medición bien sea a través de una variable o un atributo, es decir, en el primer caso expresándola cuantitativamente mediante valores o magnitudes. En el segundo caso, mediante una relación cualitativa, o sea, la asignación de un indicador de presencia o ausencia de un sujeto o característica. En los dos casos mencionados anteriormente, se pueden obtener diferentes valores alternativos para un cierto parámetro Θi, o sea Θ1 , Θ2 , Θ3 . . . . Θk . Para cada uno de estos valores Θi se obtendrá un valor β. Esto se expresará mediante la relación β(µ) que es la función característica operante. La representación gráfica de esta función da origen a la curva característica operante, o curva C.O. la cual permite obtener prácticamente la probabilidad de aceptar la Hipótesis nula para un cierto rango de variación. Como consecuencia de la función característica operante se obtiene la función de potencia mediante la relación 1 – β(µ). Su representación gráfica permite hallar la curva de potencia que

facilita obtener la probabilidad de rechazar la hipótesis nula para un cierto rango de variación. 4.3.1 Curva variable.

Característica

Operante

considerando

una

Si se tiene una variable X1 se podrá calcular un estadístico cualquiera, entre los cuales se podría tener un estimador de la media X que representa una estimación de la media poblacional m0 lo que quiere decir que verifica la hipótesis nula. H0 : µ = µ0 Se puede considerar un valor alternativo µ1 que verifica la hipótesis alternativa H1 : µ ≠ µ0 o bien, de manera más general un conjunto de valores alternativos µ1 , µ2 , µ3 , . . . . . µk . A partir de los diferentes valores µi = 0, 1, 2. . . . se obtienen diferentes valores de β i, es decir β(µ) o sea la función característica operante; por supuesto que 1 – β(µ) define la función de potencia. La representación gráfica de la función mencionada permite obtener la Curva Característica Operante (C.O.) y la Curva de Potencia (C.P.) respectivamente.

Véase nuevamente el ejemplo de la aceptación o rechazo del lote de piezas (3.4). Allí se tenía una media µ0 = 20 con desviación σ = 12 para un α = 0,05 y se tenía una región de aceptación comprendida en el intervalo (16 < µ0 < 24). Gráficamente, bajo el supuesto de normalidad, será:

Considérese la hipótesis nula frente a diversas alternativas de µi con igual desviación σ x = 2 , en efecto, H0 : µ = µ0 H1 : µ < µ1 Se calcularán para dos ramas los diferentes valores de β y 1 - β

µ0 = 20

16 - 20 = -2 2 24 - 20 Z2 = = 2 2 Z1 =

16 - 19 = - 1,5 2 24 - 19 Z2 = = 2,5 2 Z1 =

µ0 = 19

A1 = 0,0228

{ β = 0,9544

{1- β = 0,0456

{ β = 0,9270

{1- β = 0,0730

A2 = 0,9772

A1 = 0,0668

A2 = 0,9938

µ0 = 18

16 - 18 = -1 2 24 - 18 Z2 = = 3 2 Z1 =

16 - 17 = - 0,5 2 24 - 17 Z2 = = 3,5 2 Z1 =

µ0 = 17

µ0 = 16

16 - 16 = -0 2 24 - 16 Z2 = = 4 2 Z1 =

16 - 15 = 0,5 2 24 - 15 Z2 = = 4,5 2 Z1 =

µ0 = 15

µ0 = 14

16 - 14 = 1 2 24 - 14 Z2 = = 5 2 Z1 =

A1 = 0,1587

{ β = 0,8400

{1- β = 0,1600

{ β = 0,6915

{1- β = 0,3085

{ β = 0,5000

{1- β = 0,5000

{ β = 0,3085

{1- β = 0,6915

{ β = 0,1587

{1- β = 0,8413

A2 = 0,9987

A1 = 0,3085

A2 = 1

A1 = 0,5

A2 = 1

A1 = 0,6915

A2 = 1

A1 = 0,8413

A2 = 1

La representación gráfica de los diferentes valores conduce a la Curva Característica Operante

De manera análoga se obtendrá la Hipótesis Nula frente a las alternativas: H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ1 En este caso se deberán considerar los distintos valores de β. En consecuencia se tiene:

µ0 = 20

16 - 20 = -2 2 24 - 20 Z2 = = 2 2 Z1 =

A1 = 0,0228

{ β = 0,9544

{1- β = 0,0456

A2 = 0,9772

16 - 21 = - 2,5 2 24 - 21 Z2 = = 1,5 2 Z1 =

µ0 = 21

µ0 = 22

16 - 22 = -3 2 24 - 22 Z2 = = 1 2 Z1 =

16 - 17 = - 3,5 2 24 - 17 Z2 = = 0,5 2 Z1 =

µ0 = 23

µ0 = 24

16 - 24 = -4 2 24 - 24 Z2 = = 0 2 Z1 =

16 - 25 = - 4,5 2 24 - 25 Z2 = = - 0,5 2 Z1 =

µ0 = 25

µ0 = 26

16 - 26 = -5 2 24 - 26 Z2 = = -1 2 Z1 =

A1 = 0,0062

{ β = 0,9270

{1- β = 0,0730

{ β = 0,8400

{1- β = 0,1600

{ β = 0,6915

{1- β = 0,3085

{ β = 0,5000

{1- β = 0,5000

{ β = 0,3085

{1- β = 0,6915

{ β = 0,1587

{1- β = 0,8413

A2 = 0,9332

A1 = 0,0013

A2 = 0,8413

A1 = 0,0000

A2 = 0,6915

A1 = 0,0000

A2 = 0,5000

A1 = 0,0000

A2 = 0,3085

A1 = 0,0000

A2 = 0,1587

Representando gráficamente se tiene la otra rama de la Curva Característica Operante (C.O.).

Las dos curvas obtenidas representan la probabilidad de aceptar la hipótesis nula para diferentes valores de µi. Representando gráficamente los valores 1 – β se obtiene la Curva de Potencia.

Esta curva representa la probabilidad de rechazar la Hipótesis nula para diferentes valores de µ.

4.5.2 Curva Característica Operante para atributos.

Si se considera un estimador de la proporción Pˆ a partir de una muestra para estimar la proporción poblacional P, se observa que el estimador no es más que el cociente de la sumatoria de elementos favorables o elementos que representan una cierta característica o atributo ai sobre el tamaño de la muestra. La expresión correspondiente es la siguiente: p=

ai n

= Pˆ

Se puede afirmar que la proporción P verifica la hipótesis nula H0 : P = P0 Frente a la alternativa H1 : P ≠ P0 Generalizando, habrá un conjunto de valores alternativos Pi que determinan diferentes valores de β(P) y consecuentemente 1 – β(P). Estas funciones también determinan las curvas de operación y potencia. Una de las alternativas más importantes de la Curva Característica Operante o Curva de Operación (C.O.) se refiere al denominado muestreo de aceptación en los procesos de inspección. Estos procesos se basan en el análisis de los elementos de una 74

muestra procedentes de un lote o población de ellos. A partir de ese análisis se decide al respecto, si se acepta o rechaza el lote de acuerdo a la comparación de un modelo preestablecido. La naturaleza de la metodología empleada ha determinado su aplicación generalizada en diferentes campos, así por ejemplo, se podrá decidir si se acepta o rechaza un informe sobre la gestión financiera de una empresa, tomando en cuenta el análisis de una muestra de cuentas o partidas que integran la contabilidad. Se podrá pensar en aceptar o rechazar un lote de artículos que servirán de materia prima, de acuerdo a los resultados ofrecidos por el análisis de algunos de los elementos que integran el lote, o se puede decidir a poner o no en venta en los mercados un grupo de productos terminados, cuya calidad ha sido debidamente comprobada a través de los correspondientes procesos de inspección. Si N define una población o lote de elementos, a partir de una muestra de ellos se tomará la decisión de aceptarlo o rechazarlo. Esta decisión está condicionada por varios elementos, entre los cuales están: el número (c) de elementos defectuosos que en un determinado momento se desee aceptar; el tamaño de la muestra (n) y las probabilidades α y β. Por otra parte, la decisión de aceptar o rechazar un lote en base a una muestra plantea varias alternativas, entre las cuales están la de rechazar un lote de elementos no defectuosos con una probabilidad α, o de aceptar un lote con elementos defectuosos y una probabilidad β. Si se tiene una muestra n y de ella se obtienen ai elementos defectuosos, se tiene una proporción de defectuosos p=

ai n

= Pˆ

que estima a la proporción total de defectuosos P =

A . N

Si se cumple que la proporción P verifica exactamente la Hipótesis nula H0 , se tiene una distribución teórica cuyas características estarán definidas por la función de distribución correspondiente F(x) y la probabilidad de aceptación de la hipótesis se podrá conocer. En la práctica se pueden conseguir varias alternativas, así, por ejemplo, si se trata de muestras grandes y los valores son proporciones, se utilizará la distribución normal como una aproximación de la distribución binomial. Por lo general, en el muestreo de aceptación se obtendrá una proporción de defectuosos bastante pequeña calculada sobre muestras grandes; en consecuencia, como una buena aproximación, se usa la distribución de Poisson la cual tiene por función la siguiente expresión: c

F( x ) = ∑ e

-λ

λx x!

x =0

siendo sus parámetros los valores de λ, donde: λ = n Pˆ Bajo el supuesto anterior, se procederá a fijar el valor de α el cual representa el riesgo del productor. Fijado α para un tamaño de muestra dado y un número de aceptación c, se obtiene el valor de l y como resultante, el valor de β, conocido bajo el nombre de “riesgo del consumidor”. Para valores alternativos de Pi se obtienen las funciones β(P) y 1 – β(P).

Para desarrollar el esquema planteado anteriormente, los elementos seleccionados a base de una muestra se clasifican en defectuosos o no defectuosos. De acuerdo a que la proporción de defectuosos exceda o no a un cierto número dado de defectos, se aceptará o no el lote objeto de estudio. Es obvio que si este último se rechaza, habrá necesidad de examinar todos los elementos del lote.

El planteamiento hecho se conoce bajo el nombre de planes de muestreo simple. Existen otras modalidades del problema, tales como los planes de muestreo doble que se utilizan en los modelos de control de calidad (véase Grant E.L., Statistical Quality Control, Mc Graw Hill, 1952).

Se cita a continuación un ejemplo para la obtención de las curvas C.O. y C.P. para una muestra de cien elementos (n = 100) fijando α = 0,05 y un número de aceptación c = 4. Para que se verifique exactamente la Hipótesis nula H0 , la probabilidad de aceptación P0 es β 0 = 0,95 considerando una cola de la distribución. Si se busca en la tabla de la distribución de Poisson (tabla No. 5) un área de 0,95 para un valor de c = 4, se obtiene un valor de λ = 2 que sería el valor medio o número de defectos para la probabilidad considerada, verificándose que: λ = n . p = n Pˆ , luego 2 = 100 . Pˆ por lo tanto, despejando Pˆ : Pˆ = 0,02 que sería la proporción de defectuosos.

Si se calculan los valores alternativos de β(P) y 1-β(P) se tiene:

P 0 = 0,02

λ = 2

β0 = 0,95

1 – β0 = 0,05

P 0 = 0,03

λ = 3

β0 = 0,82

1 – β0 = 0,18

P 0 = 0,04

λ = 4

β0 = 0,63

1 – β0 = 0,37

P 0 = 0,05

λ = 5

β0 = 0,44

1 – β0 = 0,565

P 0 = 0,06

λ = 6

β0 = 0,29

1 – β0 = 0,71

P 0 = 0,07

λ = 7

β0 = 0,17

1 – β0 = 0,83

P 0 = 0,08

λ = 8

β0 = 0,10

1 – β0 = 0,90

P 0 = 0,09

λ = 9

β0 = 0,05

1 – β0 = 0,95

P 0 = 0,10

λ = 10

β0 = 0,03

1 – β0 = 0,97

P 0 = 0,11

λ = 11

β0 = 0,02

1 – β0 = 0,98

P 0 = 0,12

λ = 12

β0 = 0,01

1 – β0 = 0,99

Representando gráficamente estos valores se obtiene la Curva Característica de Operación (C.O.) y la curva de Potencia (C.P.)

CURVA CARACTERÍSTICA OPERANTE PARA UN PLAN DE MUESTREO SIMPLE

CURVA DE POTENCIA PARA UN PLAN DE MUESTREO SIMPLE

Al analizar el gráfico C.O. se observa que para un número de aceptación c = 4, se tiene que para diferentes valores de la proporción se obtiene una probabilidad de aceptación.

Si por ejemplo, se selecciona una muestra de 100 elementos y se consiguen 8 defectos, significa que hay una proporción de defectuosos P = 0,08, luego hay una probabilidad de aceptar la hipótesis nula β = 0,10. Una interpretación más sencilla es que existe una probabilidad α = 0,05 de rechazar el lote teniendo piezas malas y una probabilidad β = 0,10 de aceptarlo cuando en realidad tiene un 8% de piezas defectuosas.

Es importante poner de manifiesto que para cada tamaño de muestra, para cada número de aceptación y un cierto nivel α, se obtendrá una curca C.O. y otra C. P.

4.6 Factores a considerar en la aplicación de Pruebas o Tests. Al enunciar una Hipótesis y se desea su comprobación estadística, hay que tener en cuenta un conjunto de factores, entre los cuales se mencionan los siguientes: a) Fijar claramente las hipótesis y los objetivos. b) Fijar el nivel de significación. c) Seleccionar la distribución más apropiada consecuencialmente la prueba más conveniente. d) Fijar el tamaño de la muestra. e) Calcular el valor del estadístico correspondiente. f) Tomar la decisión.

CAPÍTULO V TEST DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA Muestras grandes, la significación de una media. Muestras pequeñas, la distribución t de Student, Usos de la tabla, significación de una media. Pares de observaciones, significación de la diferencia de dos medias.

5.1 Muestras grandes, significación de una media. Seleccionada una muestra de una población y su tamaño sea superior a treinta observaciones (muestras grandes) la distribución muestral será normal o aproximadamente normal. Esta consideración será más exacta en la medida que el número de observaciones de la muestra vaya creciendo y aproximándose al tamaño de la población. Considérese un universo de tamaño N que tiene por media a µ la cual toma un cierto valor µ0 y la varianza σ2 de la población es conocida; en este caso la distribución muestral

x − µ0 σ n

es una distribución normal con media cero y desviación standard 1, es decir N(0,1). Esta expresión se verifica si la hipótesis nula H0 es verdadera H0 : µ = µ0 y la población es normal; también se verifica para muestras grandes, aunque no provenga de poblaciones normales. Es de esperar que mientras la hipótesis sea nula, los valores de Z estarán próximos a cero dentro de un intervalo definido por un

nivel de significación α previamente fijado, esto es, se aceptará la hipótesis nula cuando el valor de Z caiga en dicho intervalo. Para aclarar ideas, se analizará el ejemplo siguiente: un investigador de mercados conoce que el precio medio de exportación de un producto se ha mantenido por muchos años en Bs. 260,00 (µ0 ) con una varianza de 100 (σ0 2 = 100). Con el fin de comprobar esta hipótesis, se tomó una muestra al azar de 36 observaciones y se obtuvo un precio medio de Bs. 267,00 ( x ). Los valores estimados a partir de la muestra ¿estarán de acuerdo con el valor supuesto de Bs. 260,00 con un nivel de significación del 5%?. 1. Como primer paso, se establece la hipótesis nula H0 : µ = µ0 frente a la alternativa H0 : µ ≠ µ0 2. Se establece el nivel de significación α = 0,05 3. Se utiliza el estadístico Z=

x − µ0 σ n

Luego: Z=

267 − 260 10 36

7 = 4,19 1,67

Se establece a continuación la región de aceptación y la región crítica. Z ≥ Z1 − Z ≤ Zα

α 2 Se rechazará la Hipótesis Nula.

Como esta distribución es N(0,1) buscando en la tabla de áreas de la distribución normal acumulativa (tab. No. 8) el valor a la cual corresponde el área 0,025 se obtiene Z = 1,96; para el valor de la derecha se tiene 0,025 + 0,95 = 0,975 cuyo valor de Z2 = 1,96. Luego, la región crítica será para α = 0,05 Z1 ≤ -1,96, Z2 ≥ 1,96 como Z = 4,19 > 1,96 se rechazará la hipótesis de que no existen diferencias significativas entre la media muestral y la poblacional.

5.2

Muestras pequeñas

5.2.1

La distribución t de Student.

Cuando el número de observaciones extraídas de una población es menor que o igual a 30 observaciones, se tendrá por definición una muestra pequeña y no se podrá afirmar que la distribución es normal o aproximadamente normal. El análisis de este tipo de muestreo conduce al planteamiento de lo que en estadística se conoce como la “Teoría Muestral Exacta” que permite contrastar hipótesis que tienden a la generalización, pues sus resultados conducen a obtener soluciones eficientes no sólo para las muestras pequeñas sino también para muestras grandes. En términos generales, se presenta con mucha frecuencia la utilización de muestras pequeñas en el análisis de una o un conjunto de variables de un fenómeno. Dado que en muchas ocasiones es imposible analizar todas las variables debido al costo que el mismo involucra, se utilizan pequeñas muestras y consecuencialmente los tests de hipótesis con el fin de controlar y contrastar los resultados. En el punto 5.1 se dijo que la distribución muestral del estadístico

x − µ0 σ

es normal N(0,1). Por lo general, al

seleccionar una muestra para conocer o estimar los parámetros poblacionales, se desconocerá el valor de la varianza poblacional σ2 , sin embargo, en la práctica, esta varianza se estima mediante la cuasi-varianza sˆ 2 . Este valor sustituye la σ2 , aunque por término medio tiene un valor menor que el verdadero; si se sustituye entonces dicho valor en Z, se obtendrá un nuevo estadístico

x − µ0 sˆ n

cuya distribución muestral estará ligeramente más extendida que la distribución normal; si n tiende a crecer, la distribución muestral de t tenderá a confundirse con Z. Experimentalmente se podría construir la distribución correspondiente. En efecto, al tomar muchas muestras de una población y se observan sus frecuencias, se construirán los histogramas correspondientes y se observará que en la medida que se aumente el tamaño de la muestra se aproximará la curva a la normal. El estadístico inglés Gosset, conocido como Student, realizó el estudio de esta distribución la cual se definió por la expresión: y=

υ +1

t2 2 (1 + ) υ

Elegida y0 , de manera que el área de la curva sea igual a la unidad, se obtiene: Pb =

∫−∞

y0 2

(1 + t ) υ

υ+1 2

que es la probabilidad que tomando muestras al azar se obtenga un valor t no mayor que un valor dado ti. Esta expresión ha sido tabulada convenientemente en función de ν que son los grados de libertad. Esta noción (grados de libertad) reviste gran importancia y viene a ser el número efectivo de observaciones sobre la cual se basa una estimación. Representando por k el número de vínculos

independientes en una serie de datos, o sea los grados de libertad, serán: ν = n–k En la práctica, esta expresión estará determinada por el número de datos n-1, y en otros usos por k-1 menos una unidad por cada parámetro estimado. Los límites confidenciales vendrán expresados mediante: ˆ ± t sˆ X n Es conveniente destacar que s2 es una medida estimada de la dispersión poblacional. En general, la varianza se estimará mediante la cuasi-varianza sˆ 2 calculada a partir de la muestra. La varianza vendrá expresada mediante la relación: s

∑ (x =

− x )2

y la cuasi-varianza por:

∑ sˆ 2 =

(x i − x )2 n −1

evidentemente se verifica s = 2

(x i − x )2 n −1

s 2 en efecto al sustituir s2 se tiene

n ∑ (x i − x ) sˆ = ⋅ n −1 n

En consecuencia, el estadístico t se define indistintamente como: t=

x − µ 0 x − µ0 = sˆ s n n −1 x − µ0 s n −1

En efecto,

Como

sˆ 2 =

n 2 s n −1

Luego

n −1 sˆ n

s2 =

n −1 2 sˆ n

Sustituyendo en t se tiene: t=

x − µ0 x − µ0 = s n −1 n −1 ˆ n s n −1 x − µ0

sˆ n − 1 n −1

x −µ0 sˆ n

luego

x − µ 0 x − µ0 = sˆ s n n −1

Cuando se utiliza el primer término, se calcula: sˆ =

5.2.2

∑ (x

− x )2

n −1

Usos de las tablas de la distribución t.

Existen dos tipos de tablas que se pueden utilizar para conseguir las áreas de la distribución t de Student. Al efecto, la primera viene expresada en función de los niveles de significación directamente y de los grados de libertad (tabla 9). Con el fin de conocer su aplicación, se consideran los siguientes ejemplos: 1.

El gráfico de la distribución t de Student con 5 grados de libertad es:

Se requieren los valores de t para los casos siguientes:

a) La parte sombreada a la derecha es igual a =,05. Utilizando la tabla No. 9 el nivel de significación será 0,05, luego se tendrá t 0,10:5 = 2,015. El percentil correspondiente será 1 – 0,05 = 0,95 luego el percentil buscado en la tabla No. 10 con 5 grados de libertad será t 0,95:5 = 2,02 b) El área total sombreada es 0,05. 1. Tabla 9 : t 0,05:5 = 2,571 2. Tabla 10: 1-0,025 = 0,975 t 0,975:5 = 2,571

c) El área total sombreada es 0,10. 1. Tabla 9 : t 0,10:5 = 2,015 2. Tabla 10 : 1-0,05 = 0,95 t 0,95:5 = 2,02

d) El área sin sombrear es 0,99. 1. Tabla 9 : t 0,01:5 = 4,032 2. Tabla 10: 1-0,005=0,995 t 0,995:5 = 4,032

e) El área de la izquierda es 0,20. 1. Tabla 9 : t 0,01:5 = 0,92 2. Tabla 10 : 1-0,20 = 0,80 t 0,80:5 = 0,92

2. Determinar el intervalo de confianza para un nivel de significación del 0,10 con un grado de libertad ν = 3 El nivel de significación es del 10%. La región de confianza es del 90% y los grados de libertad ν =n –1=4–1=3 de donde t 0,10:3 = 2,353 El intervalo de confianza será: ˆ ± 2,353 X

s n −1

3. Encontrar los valores críticos de t para los cuales el área de la rama derecha de la distribución es 15 si los grados de libertad son 28, 16, 8, 4, calcular el intervalo confidencial cuando el error Tipo I es del 1% para ν = 8.

ν= ν= ν= ν=

ν= 9

28 16 8 4

x−t

luego

t 0,99:28 = 2,47 t 0,99:16 = 2,58 t 0,99: 8 = 2,90 t 0,99: 4 = 3,75

s s ≤ X ≤ x+t n −1 n −1

x − 2,90

s s ≤ X ≤ x + 2,90 9 9

5.2.3 Significación de una media. 5.2.3.1 Se conoce la media de la población y de la muestra y se desconoce la varianza. Se desea conocer en muchos casos si una muestra al azar proviene de una población normal con media µ0 y se desea 92

contrastar la hipótesis nula frente a la alternativa, con un nivel de significación a, es decir: H0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 en tal caso se calcula t mediante:

x − µ0 s

⋅ n −1 =

x − µ0 sˆ n

y se rechaza H0 si : t ≤ tα 2

; n -1

o si: t≥t

1−

α ; n -1 2

Ejemplos: 1. Un fabricante espera que su producto tenga un contenido medio de 120 grs. Con el fin de verificar esta norma, se seleccionó una muestra de 25 Artículos para los cuales se obtuvo una desviación típica de 15 gramos. Se verifica en este caso que el producto cumple con las especificaciones esperadas, utilizando un nivel de significación del 5% y 1% respectivamente. ¿Cuál es el intervalo de confianza para el valor medio estimado a partir de la muestra, utilizando un nivel de confianza del 95%?.

a) Se establecen las hipótesis H0 : µ = µ0 = 120 H1 : µ ≠ µ0 ≠ 120 b)

x − µ0 sˆ

135 − 120 15 = =5 15 3 25

c) al considerar la distribución t se tiene: Para α = 0,05

como se verifica que t ≥ t

1−

α ; υ 2

ya que 5 > 2,06

se rechaza la hipótesis nula, esto es, que existen diferencias significativas entre las especificaciones y el contenido real del producto a un nivel de significación del 5%.

Para α = 0,01

Como 5 > 2,80 también se rechaza la hipótesis nula al nivel del 1%. d) Al calcular el intervalo de confianza para el valor medio estimado se tiene x = 135 que es un estimador de la media poblacional, o sea X = x = 135 grs. y el intervalo es: ˆs ˆs ˆ +t Xˆ - t α ≤ X ≤X α 1n n 2 2 sustituyendo: 135 –2,06 . 3 ≤ X ≤ 135 + 2,06 . 3 128,8 ≤ X ≤ 141,3: límites dentro de los cuales estará la media poblacional con una confiabilidad del 95%.

2. Una empresa espera que por término medio un caucho dure 6.000 horas en condiciones normales. Una prueba realizada sobre 17 de ellos proporcionó una media de 5.900 horas con una desviación típica s = 145 horas. Comprobar sobre esta base si

efectivamente el fabricante puede garantizar que el neumático dura 6.000 horas promedio. Se desea una alta confiabilidad. H0 : µ = µ0 = 6.000

H1 : µ ≠ µ0 ≠ 6.000

x − µ0 sˆ n

5.900 − 6.000 100 = = - 2,758 145 36,25 16

4) Como –2,758 > -2,92 se acepta la hipótesis nula, o sea, que el fabricante puede garantizar con bajo riesgo la duración media de 6.000 horas.

5.2.3.2 Se conoce la media poblacional, se desconoce la varianza y se desea contrastar la hipótesis que la media poblacional µ es menor o igual que un cierto valor, con un nivel de significación α . Para realizar este contraste se consideran las hipótesis

H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 Se calcula: t=

x − µ0 x − µ0 ⋅ = s sˆ n −1 n

y se rechaza la hipótesis nula si t ≥ t1-α , siendo ν = n-1 y utilizando sólo una rama de la distribución, o sea realizando un contraste unilateral

Ejemplo: Una fábrica produce baterías cuya duración no debe ser menor de 12 meses. En una muestra obtenida de 10 baterías en un nuevo proceso de fabricación, se calculó que con el nuevo procedimiento se obtendría una duración promedio de 14 meses con una desviación de 4. Con base en estos resultados, se aceptará la hipótesis que la duración de las baterías no será menor de 12 meses con un nivel de significación del 5%.

H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0

t1-α;

n−1

t 0,95;

= t 0,05;

x − µ0 14 − 12 ⋅ = ⋅ 3 = 1,5 s 4 n −1

= 1,83 (tabla 10)

como t < t1-α;

n−1

ó sea 1,5 < 1,83

se aceptará la hipótesis nula que la duración de las baterías será menor o igual a 12 meses.

5.2.3.4 Se conoce la media poblacional, se desconoce la varianza y se desea contrastar la hipótesis que la media poblacional µ es mayor que un cierto valor µ 0 , con un nivel de significación α . Para realizar este contraste se considera la relación H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 Se calcula: t=

x − µ0 x − µ0 ⋅ = s sˆ n −1 n 98

y se rechaza la hipótesis nula si: t ≤ t α,ν, siendo ν = n-1 utilizando una rama de la distribución, o sea:

Ejemplo: Un equipo produce enlatados a un costo medio unitario de Bs. 20,00. Un nuevo equipo produce los mismos enlatados a un costo medio de B. 18 con una desviación de Bs. 2,00. Estos resultados se extrajeron sobre una muestra de 16 días. ¿El nuevo equipo garantiza una reducción significativa de los costos unitarios? H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 t=

x − µ0 18 − 20 −2 = = = -4 sˆ 2 0,5 n 16

t 0,95;

= 1,75

t 0,05;

= 1,75

como - 4 < - 1,75 se rechaza la hipótesis nula; por lo tanto, el nuevo equipo garantiza una reducción significativa de los costos medios.

5.2.4 Pares de observaciones. En algunas ocasiones conviene tomar las observaciones por pares xi1 , xi2 , de tal forma que los dos miembros de cada par sea parecidos en todos los aspectos, excepto en el que tratamos de medir. Así por ejemplo, si se considera la elección de dos personas para un puesto y son sometidas a nueve pruebas de selección, se plantea la hipótesis que no hay diferencias en los tratamientos, o sea, en los pares de valores para cada prueba. Para contrastar esta hipótesis o sea µ1 = µ2 , las diferencias de los pares xi1 , xi2 proceden de un conjunto con media cero, o sea µ0 = 0. Luego, se utilizará la operación: t=

x − µ0 x − µ0 ⋅ = s sˆ n −1 n

como µ0 = 0 se tendrá

x x ⋅ n −1 = ⋅ n s sˆ

En este método no es necesario suponer la igualdad de las varianzas o que xi1 , xi2 sean independientes.

100

La hipótesis H0 : µ1 = µ2 se rechazará si t ≤ tα 2

ó ; n -1

t≥t

1−

α ; n -1 2

Ejemplos: 1. Una empresa necesita de un administrador comercial con ciertas características. De un grupo de candidatos se seleccionan dos atendiendo a una prueba de credenciales y para tomar a uno de los dos se someten a nueve pruebas diferentes; del resultado se escogerá al que se quedará en la empresa.

NOTAS DE CANDIDATOS A B 20 19 18 17 20 17 19 16 18 16 16 16 19 16 20 18 20 20 170 155 18,88 17,22

Pruebas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 TOTAL MEDIA

Dado que la nota promedio de A y B difiere tan poco, se pregunta si existirá diferencias significativas a un nivel del 10%. Se procede en consecuencia a aplicar el test de los pares:

t = X a−b ⋅ n − 1 ó t = X a −b ⋅ n s

sˆ

101

A 20 18 20 19 18 16 19 20 20 TOTAL

B 19 17 17 16 16 16 16 18 20

X1 = A-B 1 1 3 3 2 0 3 2 0 15

X1 2 1 19 9 4 0 9 4 0 37

x a = 18,88 x a −b =

15 9

x b = 17,22

sˆ =

∑x

2 1

−

∑x

n −1

225 9 = 1,5 = 2 8

37 -

sˆ = 1,5 = 1,2

1,67 9 = 4,18 1,2

102

t 0,10; 8 = 1,860 Como 4,18 > 1,860 habrá diferencias significativas al 0,10, luego se elegirá el candidato A.

2. En un estudio de mercado realizado en un sector de la ciudad, se hizo una selección al azar de 4 manzanas. En cada una se ordenó el conteo de viviendas ocupadas y posteriormente se visitaron las manzanas elegidas para pasar un cuestionario. Al hacerse el trabajo, se encontraron ciertas divergencias entre el listado o marco y el levantamiento de acuerdo al cuadro siguiente:

Manzanas: Lista: Levantamiento:

1 5 6

2 8 9

3 6 4

4 9 7

¿Habrá diferencias significativas entre el listado y el levantamiento a un nivel del 5% que amerite repetir el trabajo?

103

A 5 6 8 9 28 7

TOTALES MEDIAS

B 6 9 4 7 26 6,5

∑ x12 − ∑n 1 x

sˆ =

n −1

A-B =x 1 -1 -1 2 2 2 0,5

10 3

x12 1 1 4 4 10

4 4 = 3 = 1,73

0,5 0,5 ⋅ 2 4= = 0,58 1,73 1,73

t α; n-1 = t 0,05; 3 = 3,182 como t < t α; n-1

0,58 < 3,182

se acepta la hipótesis H0 : µ1 = µ2 es decir, que no hay diferencias significativas entre el listado y el levantamiento al nivel del 0,05. 5.2.5 Significación de la diferencia de dos medias Es posible comparar dos medias que se refieren a dos fenómenos y probar si son significativamente diferentes o no; en otras palabras, si provienen de dos poblaciones diferentes. En efecto, se tienen dos muestras provenientes de dos poblaciones, las medias respectivas µ1 y µ2 con varianzas σ1 2 = σ2 2 . Con el fin de comparar µ1 y µ2 , se toman dos muestras y se calculan sus medias respectivas x12 y x 22 . Para contrastar µ1 – µ2 = 0, se usará el estadístico

104

x1 − x 2 1 1 + n1 n 2

sˆ

cuya distribución muestral es aproximadamente normal, con media m1 – m2 y varianza σ12

σ 22 n2

Por lo general, no se conocerán las varianzas poblacionales las cuales deberán ser estimadas a partir de la cuasi-varianza sˆ12 y sˆ 22 con el fin de contrastar la hipótesis nula. H0 : µ = µ0 frente a la alternativa H1 : µ ≠ µ0 la cual se probará mediante el estadístico x1 − x 2

t= sˆ

1 1 + n1 n 2

x1 − x 2 sˆ p

⋅

n1 ⋅ n 2 n1 + n 2

donde para muestras de igual tamaño ˆs p =

∑ ( x 1 − x 1 ) 2 + ∑ (x 1 − x 2 ) 2 n1 + n 2 − 2

o bien para el caso de muestras grandes de tamaño diferente sˆ p =

n1 sˆ12 + n 2 sˆ 22 n1 + n 2 − 2

105

y para muestras pequeñas ˆs p =

( n 1 − 1) sˆ12 + (n 2 − 1) sˆ 22 n1 + n 2 − 2

5.2.5.1 Dos poblaciones tienen la misma media y se desconoce la varianza Se desea contrastar H0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0

Se usa x1 − x 2

t= sˆp

1 1 + n1 n 2

y al región crítica será: t ≤ tα 2

t≤t

; n +n -2 1 2

α 1− ; n + n - 2 2 2 1

Ejemplos: 1. Hay dos cursos: Administración, Sección A y Contaduría, Sección B. Se tomó una muestra del primer curso de tamaño n1 = 8 personas y se le hizo un examen de Estadística, resultando una nota 106

promedio x1 = 10 con desviación sˆ1 = 2. Del segundo se tomó una muestra de n2 = 5 alumnos cuya nota fue de x 2 = 12 con desviación sˆ2 = 4. Se desea conocer si existen diferencias significativas entre los cursos con un nivel de confianza del 99%. x1 − x 2

t= sˆp

sˆ p =

1 1 + n1 n 2

(n 1 − 1) ˆs12 + ( n 2 − 1) ˆs22 n1 + n 2 − 2

10 − 12 1 1 2,41 + 8 5

7 ⋅ 4 + 14 ⋅16 = 2,41 8+5−2

−2 = - 1,48 2 ,41 ⋅ 0,56

t 0,01; 8+5 -2 = - 3,106 Como -1,48 > - 3,106 Se acepta la hipótesis, no hay diferencias significativas entre cursos, luego se verifica la hipótesis H0 : µ1 = µ2 . El intervalo de confianza viene dado por: ˆ −X ˆ − t ⋅ ˆs X 1 2 α p 2

1 1 1 1 ˆ −X ˆ +t + ≤ X1 − X 2 ≤ X ⋅ sˆ p + 1 2 α n1 n 2 n1 n 2 1− 2

107

o sea: 10 − 12 − 3,106 ⋅ 2 ,41

1 1 1 1 + ≤ X1 − X 2 ≤ (10 − 12 ) + 3,106 ⋅ 2,41 + 8 5 8 5

(−2 ) − 3,106 ⋅ 1, 374 ≤ X 1 − X 2 ≤ (−2) + 3,106 ⋅ 1,374 ( −2) − 4, 26 ≤ X1 − X 2 ≤ (−2 ) + 4, 26 − 6, 26 ≤ X 1 − X 2 ≤ 2, 26

2. El Departamento de Ventas quiere comparar los resultados obtenidos por dos de sus vendedores. Cada uno de ellos tiene una zona de ventas; de cada zona se toma una muestra al azar de 4 y 6 sub-zonas respectivamente. Se hace un análisis y se compara el resultado con las cuotas de ventas y la diferencia se escribe en el cuadro siguiente: SUB-ZONA 1 2 3 4 5 6

VENDEDOR A 2 4 8 2 -

VENDEDOR B 4 1 0 3 4 4

Se desea conocer si existen diferencias significativas al nivel α = 0,10 entre la gestión de los dos vendedores.

TOTALES

x1 2

x2 2

2 4 8 -

4 1 0 3 4 4 16

4 46 64 4 88

16 1 0 9 16 16 58

108

x1 =

∑ x1i n1

∑

ˆs1 =

x2 −

(

∑

−

x2 2i

(

∑ (x 2 i ) 2

n 2 −1

( n 1 − 1) sˆ12 + (n 2 − 1) sˆ 22

ˆs p =

n1 + n 2 − 2

x1 − x 2 sˆ p

1 1 + n1 n 2

∑ x 2i

x2 =

∑ ( x1i ) 2

n1 − 1

sˆ 2 =

16 = 4 4

16 2 4 = 3

16 = 2,66 6

88 −

16 2 6 = 5

58 −

3,06

3 ⋅ 8 + 5 ⋅ 3,06 = 2,2 8

4 − 2,66 2,2 ⋅

1 1 + 4 6

t = 0,94 t 0,10; 8 = 1,860 Como 0,94 < 1,860, se admite que no hay diferencias significativas al nivel de confianza del 90%.

3. Mediante dos procesos se manufactura cable de alambre. Se desea determinar si los procesos tienen diferentes efectos en la resistencia media de ruptura del cable. Se efectuaron pruebas de laboratorio sometiendo muestras de cable a tensión y registrando la carga requerida para romperlo. Del experimento realizado en el

109

proceso uno, resultó una media

= 8,17 y

sˆ1

= 5 y en el proceso

dos, resultó una media = 11,29 y sˆ2 = 4. Al nivel del 1%, probar la hipótesis nula de H0 : µ1 = µ2 , considerando que en ambos casos se tomo n1 = n2 = 6.

( n 1 − 1) sˆ12 + (n 2 − 1) sˆ 22

sˆ p =

n1 + n 2 − 2

x1 − x 2 sˆ p

1 1 + n1 n 2

= 10 = 2,12

8,17 − 11,29 2,12 ⋅

1 1 + 6 6

t = - 2,54 t 0,01; 10 = - 3,169 Como – 2,54 > - 3,169 se aceptará la hipótesis que los procesos no tienen diferentes efectos en la resistencia media de ruptura.

5.2.5.2 La media procedente de una muestra es menor o igual a la media de otra, desconociéndose σ 2 . Se desea probar la hipótesis: H0 : µ1 ≤ µ2 H1 : µ1 > µ2

110

Se calcula el estadístico: x1 − x 2

t= sˆp

1 1 + n1 n 2

y utilizando una sola rama de la distribución se obtiene la región crítica en la cual se rechaza la hipótesis, cuando: t ≥ t 1- α; n1 + n2 – 2 Ejemplo: Sobre una muestra de 10 consumidores entre hombres y mujeres se calculó el consumo medio por semana de cerveza, resultando de 3 litros con una desviación típica de 3 litros. En la presunción de que el consumo considerando hombres solamente sea más alto, se tomó una muestra de 16, resultando una media de 3,5 litros con una desviación típica de 2 litros. ¿Se podrá concluir que el consumo medio es más alto en los hombres que en grupos mixtos? H0 : µ1 ≤ µ2 H1 : µ1 > µ2 α = 0,05 x1 − x 2

t= sˆp

1 1 + n1 n 2

111

ˆs p =

( n 1 − 1) sˆ12 + ( n 2 − 1) sˆ 22 n1 + n 2 − 2 3,5 − 3,0

2,5 ⋅

1 1 + 16 10

0,5 2,5 0 ,163

15 ⋅ 4 + 9 ⋅ 9 = 2,5 16 + 10 − 2

0,5 = 0,5 2,5 ⋅ 0,4

t ≥ t 1- α; n1 + n2 – 2 = t 0,95; 24 = 1,71 Como =,5 < 1,71 se rechaza la hipótesis que el consumo de cerveza en los hombres es más alto que en grupos mixtos, a un nivel de confianza del 95%. 5.2.5.3 La media procedente de una población es mayor o igual a la media de otra, desconociéndose σ 2 . Se desea probar:

H0 : µ1 ≥ µ2 H1 : µ1 < µ2

Se calcula el estadístico: x1 − x 2

t= ˆsp

1 1 + n1 n 2

y utilizando una sola rama de la distribución se obtiene la región crítica, caso en el cual se rechaza la hipótesis cuando: t ≤ t 1- α; n1 + n2 – 2

112

Ejemplo: Un procedimiento de fabricación determina que los costos medios directos sean de Bs. 140 estimado sobre una muestra de 100 artículos fabricados. Este costo tiene una desviación típica de Bs. 20,00. Un procedimiento ideado por el Departamento de Ingeniería reduce aparentemente el costo. A tal fin, se toma una muestra de 25 artículos resultando un costo medio de Bs. 130 con una desviación típica de Bs. 30,00. ¿Proporciona este procedimiento alternativo una reducción significativa de los costos? H0 : µ1 ≥ µ2 H1 : µ1 < µ2 α = 0,01 x1 − x 2

t= sˆp

ˆs p =

1 1 + n1 n 2

n 1s12 + n 2 s 22 n1 + n 2 − 2 1 30 − 140

22,54 ⋅

1 1 + 25 100

25 ⋅ 900 + 100 ⋅ 400 62.500 = = 508,13 = 22,54 25 + 100 − 2 123 − 10

22 ,54 0,5

0,5 = 1,981 22 ,54 ⋅ 0,224

t α; n1 + n2 – 2 = t 0,01; 123 = -2,36

113

Como -1,98 > -2,36 se verifica la hipรณtesis nula, esto es, que los costos no son significativamente menores al procedimiento original con un nivel de confianza del 99%.

114

CAPÍTULO VI TEST PARA LA PROPORCIÓN Significación de una proporción. Diferencia de dos proporciones. Diferencia entre varias proporciones: Distribución χ2 . Tablas de contingencia. Test para la bondad de un ajuste.

6.1 Significación de una proporción. Una aplicación importante de los tests estadísticos se refiere a la proporción p que se define por la relación p =

ai n

la cual es un

estimador insesgado Pˆ de la proporción poblacional P, siendo ai la suma de los valores afirmativos correspondientes a un determinado atributo. En el caso de una proporción, se podrá establecer una comparación entre los dos valores de una muestra (p) y el valor poblacional dado P0 para un cierto nivel de significación α. También se podrán comparar las proporciones P1 y P2 calculadas sobre dos muestras, bien sea para dos colas o una cola, cuando se consideren las modalidades del caso. 6.1.1 Se conoce la proporción de la población y de la muestra y se desconoce la varianza. Se desea en este caso conocer si una muestra con reemplazamiento para valores de N proviene de una población P0 y se desea contrastar la Hipótesis nula H0 : P = P0 frente a la alternativa H1 : P ≠ P0 con un cierto nivel de significación α.

115

Si P se considera como un parámetro y p como el estadístico correspondiente, la distribución en el muestreo de p es una distribución binomial cuya función de distribución es: F (x ) =

∑ ( x )p x q n − x n

x =0

Para valores grandes del tamaño de la muestra, donde se verifique que np > 5, se podrá realizar una aproximación utilizando la distribución normal. En este caso, la distribución en el muestreo del estadístico Z=

p −P0 P0 ⋅ Q 0 n

es aproximadamente normal, con media 0 y varianza 1. Bajo el supuesto anterior, se contrasta la hipótesis nula, o sea H0 : P = P0 H1 : P ≠ P0 Donde, dado α se calcula: Z=

p −P0 P0 ⋅ Q 0

si np > 5 y nq > 5

116

luego si: Z ≤ Zα 2

Z≥ Z

1−

α 2

se rechaza la hipótesis nula. El intervalo de confianza respectivo viene dado por la expresión siguiente: p - Zσp ≤ P ≤ p + Zσp donde σp =

P0 ⋅ Q 0 n

Ejemplo: Sobre una muestra de 120 artículos seleccionados al azar se encuentra que 30 de ellos están defectuosos. El fabricante espera que la proporción de defectuosos sea un 20%. ¿Se estarán cumpliendo las especificaciones con un nivel de confianza del 95%? Determine el intervalo de confianza. H0 : P = P0 = 0,20 H1 : P ≠ P0 α = 0,05 para n = 120, p =

30 =0,25 como: 120

np = 120 . 0,25 > 5 y nq = 120 . 0,75 > 5

117

p − P0 P0 ⋅ Q 0 n

0,25 − 0,20 0,20 .0,80 120

0,05 = 1,39 0 ,036

Como Z0,975 = 1,96 y 1,39 < 1,96 se acepta la hipótesis nula, es decir, que no existen diferencias significativas entre los valores de la muestra y las especificaciones al nivel de confianza del 95%. p - Zσp ≤ P ≤ p + Zσp

donde σp =

P0 ⋅ Q 0 n

0,25 – 1,96 . 0,036 ≤ P ≤ 0,25 + 1,96 . 0,036 0,18 ≤ P ≤ 0,32

Si en este mismo caso se desea conocer si una muestra aleatoria sin reemplazamiento, conocido el tamaño de la población N, se desea contrastar la hipótesis nula, se tiene: H0 : P = P0 H1 : P ≠ P0

frente a la alternativa para un nivel de significación α

La distribución en el muestreo de p es una distribución hipergeométrica cuya función de distribución es:

118

F (x ) =

N−A

∑  x   n − x  A

x =0

N   n

En este caso y bajo ciertas condiciones es posible utilizar la distribución binomial como una aproximación de la distribución hipergeométrica, logrando de esta manera la simplificación de los cálculos. Las restricciones vendrán determinadas por el tamaño de la muestra, esto es, si n es bastante grande y se verifica que al menos N excede ocho veces el tamaño de la muestra, se podrá utilizar la distribución binomial y si además np > 5 y nq > se podrá utilizar la aproximación normal. En consecuencia, se podrá contrastar la hipótesis nula Ho mediante el estadístico: Z=

p −P0 P0 ⋅ Q 0 n

En el caso que np < 5 y nq < 5 para valores grandes del tamaño de la muestra, tomando p valores muy pequeños, se utilizará la distribución de Poisson cuya función de distribución es la siguiente: F (x ) =

∑

x =0

e −λ

λx x!

Para valores de λ = np es posible obtener valores aproximados para la distribución de Poisson y en este caso es suficiente con fijar a y determinar los valores críticos para la hipótesis nula. En efecto, se tiene:

119

H0 : P = P0 H1 : P ≠ P0 α Si n es grande y np < se utiliza la función F (x ) =

∑

e −λ

x =0

λx x!

donde λ = np. Gráficamente se tiene:

Los valores críticos vendrán dados por los puntos L1 y L2 o sea:

L1 =

∑

x =0

e −λ

λx α = x! 2

120

L2 =

L 1

∑ e −λ

x =L2

λx α =1− x! 2

x ≥ L2 x ≤ L1 se rechaza la hipótesis nula.

Luego si los valores de:

Ejemplo: Un fabricante espera que de cada 100 artículos producidos salgan cuando mucho dos defectuosos. La inspección realizada sobre 267 artículos determinó que se encontrase un total de 4 artículos defectuosos. ¿Se estará cumpliendo con los valores esperados del fabricante a un nivel del 95% de confianza? P0 =

Luego:

A 2 = = 0 ,02 N 100

H0 : P = P0 = 0,02 H1 : P ≠ P0 α = 0,05

como:

n = 267 ai = 4 entonces p =

ya que

4 = 0,015 267

np = 267 . 0,015 = 4 < 5

se utiliza la distribución de Poisson, por lo tanto, como: λ = 267 . 0,02 = 5,34

121

L1 =

L2 =

L 1

∑ e −λ x =0

L 1

∑

e −λ

x =L2

λx = 0,025 x! λx = 0,975 x!

se busca en la tabla No. 5 de la distribución de Poisson para l = 5,3 y una probabilidad P0 = 0,025 el valor de L1; aproximadamente se tiene L1 = 1. En este caso, se toma el valor de la tabla que haga máxima la suma en vista que no todos los valores están en ella. Para l = 5,3 y una probabilidad de 0,975 resulta L2 = 10 por lo tanto los valores de aceptación están definidos por el intervalo

1 < X < 10

Como el número de defectuosos en la muestra es de 4 y está contenido en el intervalo anterior, se acepta la hipótesis nula, es decir, que el fabricante está en lo cierto de que tiene 2 defectuosos con un nivel de confianza del 95%. Expresado en términos porcentuales el intervalo sería:

1 10 < P< , o sea 0,01 < P < 0,10 100 100

como p = 0,015 se verifica la hipótesis nula.

122

6.1.2

Se conoce la proporción de la población, se desconoce la varianza y se desea contrastar la hipótesis que la proporción poblacional P es menor o igual que un cierto valor P0 con un nivel de significación α .

Dada una muestra n para valores de np > 5 se considera H0 : P ≤ P0 H1 : P > P0 Se calcula

p −P0 P0 ⋅ Q 0 n

Y se rechaza la hipótesis nula si Z ≥ Z1 – α Ejemplo: Un producto es vendido al 20% del potencial de mercado de una zona. Se cree que un cambio de colores en la etiqueta hará crecer el porcentaje de participación significativamente. Para comprobar esta hipótesis se tomó una muestra en la zona de 200 consumidores y se encontró que con un nuevo color en la etiqueta un 25% estaría dispuesto a adquirirlo. ¿Será este incremento significativo para tomar la decisión de cambiar el color de la etiqueta del producto? H0 : P ≤ P0 = 0,20 H1 : P > P0 incremento significativo α = 0,05

123

p − P0 P0 ⋅ Q 0

0,25 −0,20 0,20 ⋅ 0 ,80 200

0,05 = 1,77 0,0283

Z1 = α = Z0,95 = 1,64 como 1,64 < 1,77 se rechaza la hipótesis nula; en consecuencia, el cambio de color en la etiqueta produce un aumento significativo en el potencial de mercado. 6.1.3

Se conoce la proporción de la población, se desconoce la varianza y se desea contrastar la hipótesis que la proporción poblacional es mayor o igual que un cierto valor P0 con un nivel de significación α .

Dada una muestra grande n para valores de np > 5 se considera H0 : P ≥ P0 H1 : P < P0 Se calcula

p −P0 P0 ⋅ Q 0 n

Y se rechaza la hipótesis nula si Z ≥ Z1 – α Ejemplo: Un procedimiento de fabricación determina que el montaje de una pieza de una máquina dure un 20% del tiempo de fabricación. El

124

ensayo de un nuevo procedimiento realizado sobre el montaje de 60 máquinas reduce el tiempo a un 16%. ¿Se podrá adoptar el segundo procedimiento en la seguridad de reducir significativamente el tiempo? Z=

p −P0 P0 ⋅ Q 0 n

α = 0,05 Z=

p − P0 P0 ⋅ Q 0 n

0,61 − 0,20 0,20 ⋅ 0,80 60

− 0,04 = −0,7752 0.0516

Z1 = α = Z0,95 = 1,64 Como –0,7752 > -1,64 se acepta la hipótesis nula. Por lo tanto, el segundo procedimiento no garantiza la reducción significativa del tiempo de montaje de la pieza. 6.2.1

Diferencia entre dos proporciones procedentes de dos muestras.

Cuando se tienen dos proporciones resultantes de dos muestras y se desea comprobar si presentan diferencias significativas a un nivel a, se considera la hipótesis nula H0 : P1 = P2 frente a la alternativa H1 : P1 ≠ P2 . Para valores grandes de n1 y n2, se utilizará una aproximación a la distribución normal. En este caso, la distribución en el muestreo del estadístico

125

P1 − P2

Z= sp

1 1 + n1 n 2

es aproximadamente normal, con media P1 – P2

y varianza de σp2 = σp1 2 + σ2 p2 =

P1 Q1 n1

P2 Q 2 n2

donde p1 y p2 son estimaciones de P1 y P2 . Bajo el supuesto anterior, se contrasta la hipótesis nula H0 , o sea: H0 : P1 = P2 H1 : P1 ≠ P2 La hipótesis se prueba utilizando Z=

luego si

p1 − p 2  1 1  p ⋅ q + n   1 n2  Z≥ Z

1−

donde : p =

n1 p1 + n 2 p 2 n1 + n 2

α 2

Z ≤ Z α se rechaza la hipótesis nula H0 . 2

El intervalo de confianza viene dado por la expresión siguiente:  1  1 1  1  p1 − p 2 − Z α p ⋅ q  + ≤ P1 − P2 ≤ p1 − p 2 + Z α p ⋅ q  + n    1−  1 n2   n1 n 2  2 2

126

Ejemplo: Sobre una muestra de 200 mujeres en una zona, se investigó la preferencia sobre el tipo de envases de una marca de aceite, resultando que el 45% lo preferían. En una zona vecina se realizó un sondeo sobre 250 mujeres, resultando que el 43% lo prefieren. ¿Habrá diferencias entre las preferencias con un nivel del 95%? H0 : P1 = P2 H1 : P1 ≠ P2 α = 0,05 Z=

como:

n 1 p1 + n 2 p 2 n1 + n 2

p1 − p 2  1 1  p ⋅ q + n   1 n2  =

200 .0,45 + 250 .053 = 0,49 200 + 250

0,45 − 0 ,53 1   1 0,49 ⋅ 0,51 +   200 250 

= −

0.08 = −1,667 0.048

Z0,025 = -1,96 Como –1,667 < -1,96 se acepta la hipótesis nula de que no existen diferencias significativas entre las preferencias para un cierto tipo de envase en las zonas estudiadas.

127

El intervalo de confianza para la diferencia es:  1  1 1  1  p1 − p2 − Z α p ⋅ q + ≤ P1 − P2 ≤ p1 − p 2 + Z α p ⋅ q  + n  n  1−  1 n2   1 n2  2 2

(-0,08) – 1,96 . 0,048 ≤ P1 - P2 ≤ (-0.08) + 1,96 . 0,048 -0,17 ≤ P1 – P2 ≤ 0.014

6.2.2

La proporción procedente de una población es menor o igual a la proporción de otra.

En este caso, se desea probar la hipótesis H0 : P1 ≤ P2 H1 : P1 > P2 Dado α se calcula: Z=

p1 − p 2  1 1  p ⋅ q + n   1 n2 

Si Z ≥ Z1-α se rechaza la hipótesis nula. Ejemplo: Un obrero especializado controla el 20% de la producción diaria de una máquina, calculado sobre una muestra de 90 días. Para reemplazarlo, se emplea a prueba un obrero que debe controlar un porcentaje más elevado de la producción. Un análisis realizado

128

sobre la producción de 60 días reveló que controla el 24%. ¿Controlará el nuevo obrero un porcentaje más alto de la producción que el original? H0 : P1 ≤ P2 H1 : P1 > P2 α = 0,05 Z=

p1 − p2  1 1  p ⋅ q + n   1 n2  p =

0 ,24 − 0,20  1 1  0,22 ⋅ 0,78  +   60 90 

n 1 p1 + n 2 p 2 n1 + n 2

0,040

0,04 = 0,18 0,048 0,22 -

60.0,24 + 90 .0,20 = 0,22 60 + 90

Para Z0,95 = 1,64 Como 0,18 < 1,64 se acepta la hipótesis nula, es decir, el nuevo obrero no garantiza un incremento porcentual significativo.

6.2.3

La proporción procedente de una población es mayor o igual que otra.

Se desea probar que: H0 : P1 ≥ P2 H1 : P1 < P2

129

Para

p1 − p 2  1 1  p ⋅ q + n   1 n2 

Si Z ≤ Zα se rechaza la hipótesis nula. Ejemplo: El porcentaje de fumadores en una pequeña población es del 60% calculado sobre una muestra de 400 personas. Después de una campaña contra el hábito de fumar a través de los medios de comunicación de masas, se toma una muestra de 600 personas y se encuentra que el porcentaje de fumadores es del 43%. ¿Se habrá operado una reducción significativa del porcentaje de fumadores por efecto de la campaña publicitaria realizada? H0 : P1 ≥ P2 H1 : P1 < P2 α = 0,05 Z=

p1 − p 2  1 1  p ⋅ q + n   1 n2  p=

n 1 p1 + n 2 p 2 n1 + n 2

0,43 − 0 ,60

 1 1  0,5 ⋅ 0,5 +   600 400 

0,17 = - 5,15 0,033

600 .0,43 + 400 .060 = 0,50 1000

como Zα = -1,64 y -5,15 < -1,64 se rechaza la hipótesis nula, es decir, que la campaña publicitaria parece indicar que ha permitido una reducción significativa en el hábito de fumar.

130

6.3

Diferencia entre varias proporciones.

En muy variadas situaciones, al seleccionar una muestra n, se tendrá una variable expresada en diversas modalidades o atributos. Por ejemplo, considerando una pregunta sobre el color preferido para un producto de limpieza, se obtendrán diferentes respuestas para cada elemento de la muestra. Conviene entonces comprobar la hipótesis nula: H0 : Pi = Pi0 donde i = 1, 2, 3, . . . . . . . k H1 : Pi ≠ Pi0 k

Se verifica que

∑ i =1

∑ Pi0

i =1

En este caso, se debe utilizar la distribución multinomial cuya función de densidad es: f ( x 1 , x 2 , . . . ..x k ) =

n! . p x1 p 2 x 2 . . . .pk x k x 1 , x 2 , . . . ..x k 1

La función anterior expresa la probabilidad de que en una muestra con reemplazamiento o de población infinita, haya x1 elementos con loa característica o atributo 1; x2 elementos con la característica 2, . . . . . etc. y se verifica que la proporción muestral es pi =

ai n

Una aproximación razonable de la distribución multinomial vendrá expresada por la distribución χ2 (ji-cuadrada) que en este caso particular es:

131

χ = 2

(O i − E i ) 2

i=1

∑

siendo Oi el,número observado en la i- esima clase y Ei el valor expresado: Ei = n Pi0 . Para realizar el contraste de hipótesis planteado es necesario puntualizar las características de la citada distribución. 6.3.1

La distribución χ 2 .

Al tomar muestras de tamaño n de una población, se podrá calcular el estadístico χ2 mediante las expresiones siguientes: χ = 2

(O i − E i ) 2

i=1

∑

ó χ2 =

χ2

La distribución muestral expresada mediante:

n . sˆ 2 σ 02

tendrá una función de densidad

f ( x ) = y 0 (χ ) 2

1 ( υ - 2) 2

1 2 χ 2

la función de distribución es: F (x ) =

χ2

∫- ∞

y 0 (χ 2 )

1 ( υ - 2) 2

1 2 χ 2

132

Estos valores se tabularán en una tabla expresada en función de los niveles de significación y los grados de libertad (tabla No. 11), o bien a través de los percentiles correspondientes con ν grados de libertad (tabla No. 12). Esta distribución tomará diversos valores según el valor que toman los grados de libertad correspondientes; por ejemplo:

Existen dos maneras de dar los calores correspondientes a χ2 ; en primer lugar utilizando la tabla expresada en función de los niveles de significación y los grados de libertad (tabla No.11) o a través de los percentiles (tabla No. 12) (Corresponde a una sola rama).

Ejemplo: 1.

La distribución χ2 con cinco grados de libertad tendrá diferentes valores de acuerdo a α. Encontrar los valores críticos de χ2 para:

133

a) b)

El área sombreada a la derecha es de 0,05 Tabla 11 χ 02,05; 5 = 11,07 ≈ 11,1

Tabla 12 χ 02,05; 5 = 11,1

c) El área total sombreada es 0,10 Como la distribución no es simétrica, por convención se supondrán las dos ramas iguales, es decir: 0,05 Tabla 11 χ 02,05; 5 = 11,1 χ 02,95; 5 = 1,15

Tabla 12 χ 02,05; 5 = 11,1 χ 02,95; 5 = 1,15

134

d) El área sombreada a la izquierda es 0,10 Tabla 11 χ 02,90; 5 = 1,61

Tabla 12 χ 02,10; 5 = 1,61

e) El área sombreada a la derecha es 0,01

Tabla 11 χ 02,01; 5 = 15,086 ≈ 15,1

Tabla 12 χ 02,99; 5 = 15,1

Encontrar χ 02,975; 5 y χ 20 ,025;

para 50 grados de libertad.

Como n > 50 se utiliza la expresión Z = 2χ 2 - 2 υ - 1 que se distribuye aproximadamente normal con media 0 y varianza 1; por lo tanto, se podrán encontrar valores de χ2 mediante: χ2 =

(

1 Z + 2υ - 1 2

Para el caso anterior se tiene entonces: χ 20 ,975 =

(

1 Z + (2 .50 ) - 1 2 0 ,975

)

como Z0,975 = 1,96

135

6.3.2

(

χ 20 ,975 =

1 1,96 + 99 2

χ 20 ,025 =

2 1  Z 0,025 + (2 ⋅ 50) − 1  como Z0,025 = -1,96  2

χ 20 ,025 =

1 − 1,95 + 99 2

(

= 70,92

)2 = 31,92

Se conocen las proporciones pi0 y pi y se desea contrastar la hipótesis de igualdad de varias proporciones.

En este caso se desea contrastar la hipótesis siguiente: H0 : Pi = Pi0 H1 : Pi ≠ Pi0 χ2 =

(O i − E i ) 2

i=1

∑

donde Ei = n Pi0

y se rechaza la hipótesis nula si χ 2 ≥ χ12−α ;υ

donde ν = k - 1 siendo K el número de grupos.

Ejemplo: Se espera que la proporción de colores preferidos para un producto de limpieza sea: P1 = 0,10

color azul

P2 = 0,20

color rojo

136

P3 = 0,30

color verde

P4 = 0,40

otros colores

La hipótesis a verificar será: H0 : Pi = Pi0 H1 : Pi ≠ Pi0 α = 0,05 Se utiliza: χ = 2

(O i − E i ) 2

i=1

∑

En una muestra se hicieron las observaciones (O i) siguientes: Prefirieron color azul

Prefirieron color rojo

Prefirieron color verde

Prefirieron otros colores

Los valores esperados (Ei) son : Ei = n . Pi luego: color azul

200 . 0,10 = 20

color rojo

200 . 0,20 = 40

color verde

200 . 0,30 = 60

otros colores

200 . 0,40 = 80 Total: 200

137

Calculando χ2 se tiene: χ2 =

(25 - 20)2 20

(30 - 40 )2 + (65 - 60)2 + (80 - 80)2 40

= 4,16

el valor de n = k – 1 = 4 – 1 = 3 Como χ2 0,95; 3 = 7,85 y 4,16 < 7,81 se acepta la hipótesis nula, es decir, que no hay diferencias significativas de los valores observados con respecto a los valores esperados al nivel de confianza del 95%.

6.4

Tablas de contingencia.

Un problema frecuente en las aplicaciones estadísticas se refieren a cruzar o combinar dos variables obtenidas a partir de una muestra. Estas variables se expresan mediante varias modalidades o respuestas a través de proporciones o simplemente por frecuencias observadas. En la generalidad de los casos, interesa comprobar la relación que existe entre las dos variables consideradas y expresar esta relación utilizando el criterio de independencia, es decir, se comprobará utilizando el test o prueba más conveniente si las variables son independientes o por el contrario existe dependencia entre ellas. De acuerdo al planteamiento anterior se consideran dos variables escritas en una tabla estadística arregladas en c columnas y r filas. Para un cierto nivel de significación, se establece la hipótesis nula que las variables son independientes frente a la alternativa de que son dependientes, o sea: H0 : Independencia

138

H1 : Dependencia Al establecer esta hipótesis se deben calcular las frecuencias esperadas que correspondan a las frecuencias observadas y se verifica que la suma de ambas deben ser iguales. El tratamiento aquí planteado corresponde a un enfoque bidimensional donde cada fila o columna es una frecuencia marginal. 6.4.1

Tablas r x c

Las observaciones de una muestra se podrán clasificar de acuerdo con dos criterios diferentes y tabulados de tal forma que se tendrá un cuadro donde concurren un grupo de frecuencias observadas Oij ubicadas en las casillas Oij, por ejemplo: FRECUENCIAS OBSERVADAS Columnas

O11 O21 O31 O41 O51 .... .... Or1 Oi1

O12 O22 O32 O42 O52 .... .... Or2 Oi2

O13 O23 O33 O43 O53 .... .... Or3 Oi3

O14 O24 O34 O44 O54 .... .... Or4 Oi4

O15 O25 O35 O45 O55 .... .... Or5 Oi5

Totales

O1c O2c O3c O4c O5c .... Oic Orc Oic

O1j O2j O3j O4j O5j .... Oij Orj n

Filas 1 2 3 4 5 ... i r Totales

... ... ... ... ... .... .... ... ...

O1j O2j O3j O4j O5j .... .... Orj Oij

.... .... .... .... .... .... .... .... ....

En la intersección de una fila con una columna habrá una frecuencia identificada con Oij. Estas frecuencias, de acuerdo con la distribución correspondiente, se esperará que ocurran con frecuencias Eij, es decir, con frecuencias esperadas o teóricas; en consecuencia, se presume que habrá un cuadro similar al anterior con las frecuencias Esperadas. En efecto, se tiene:

139

FRECUENCIAS ESPERADAS Columnas Filas 1 2 3 i ... ... ... r

E11 E21 E31

E12 E22 E32

E13 E23 E33

.... .... .... Er1

.... .... .... Er2

.... .... .... Er3

j ... ... ... ... .... .... .... ...

E1j E2j E3j Eij .... .... .... Erj

c .... .... .... .... .... .... .... ....

E1c E2c E3c Eic .... .... .... Erc

A menudo se deseará saber si las frecuencias observadas difieren significativamente de las frecuencias esperadas o si los dos criterios de clasificación son independientes o no lo son. χ = 2

(Oij − E ij ) 2

i=1

E ij

∑∑

donde r

E ij =

∑ i =1

Oij

Oij ∑ i =1 n

En efecto se tiene:

∑ O11 ∑ O11 E 12 = ∑ O12 ∑ O12 E 11 =

/n /n

− − −− − −− − −− − E rc =

∑ O rc ∑ Orc

Las tablas de contingencia en general tendrán r filas y c columnas, luego la hipótesis de independencia se rechazará cuando: χ2 ≥ χ2 1−α

con (r-1).(c-1) grados de libertad.

140

Es conveniente destacar en este punto que del resultado de experimentos repetidos se establecerán χ2 1, χ2 2,. . . .χ2 k con ν 1 , ν 1 ,. . .ν k grados de libertad. El resultado de estos experimentos se considerará equivalente a un valor χ2 dado por: χ2 = χ2 1 + χ2 2

+. . . . +

χ2 k con ν 1 + ν 1 +. . . + ν k grados de libertad,

lo cual se conoce como la propiedad aditiva de χ2 . Por otra parte, cuando los resultados para distribuciones continuas se aplican a los datos discretos, se harán ciertas correcciones de continuidad. En la χ2 esta corrección será necesaria cuando el número de grados de libertad sea ν = 1. La corrección en referencia, conocida como corrección Yates, se hará mediante: χ = 2

(O11 − E11 − 0,5)2 (O12 − E12 − 0,5) E11

E12

+ .....+

(O rc − E rc − 0,5)2 E rc

Ejemplo: 1. Un organismo debe elegir entre planes de seguro. Al efecto, se desea investigar sobre una muestra de empleados si los planes serán elegidos independientemente de la jerarquía de los mismos. La investigación en referencia condujo a los resultados siguientes:

141

PLANES Tipos de Empleados Obreros Empleados

Económico 200 150

Supervisores

Especial 10 150

Total 310 510

100

140

360

340

300

1000

Directivos Total

Normal 100 210

El primer paso será construir una tabla con los valores esperados mediante: r

E ij =

o sea: E 11 = E 13 = E 22 = E 31 = E 33 = E 42 =

∑ i =1

360 ⋅ 310 = 112 1000 3 00 ⋅ 3 10 = 93 1000 340 ⋅ 510 = 173 1000 360 ⋅ 140 = 50 1000 300 ⋅ 140 = 42 1000 340 ⋅ 4 0 = 14 1000

Oij

Oij ∑ i =1 n E12 = E 21 = E 23 = E 32 = E 41 = E 43 =

340 ⋅ 310 = 105 1000 300 ⋅ 310 = 184 1000 3 40 ⋅ 5 10 = 153 1000 360 ⋅ 140 = 48 1000 300 ⋅ 140 = 14 1000 3 40 ⋅ 40 = 12 1000

La tabla de valores esperados es:

142

PLANES Tipos de Empleados Obreros

Económico 112 184

Empleados Supervisores Directivos Total

Normal 105 173

Especial 93 153

Total 310 510

50 14

48 14

42 12

140 40

360

340

300

1000

Se calcula ahora el valor de χ2 , o sea: χ = 2

χ = 2

(200 − 112)2 112

(150 − 184)2

+ +

(Oij − E ij ) 2

i=1

E ij

∑∑

(100 − 105)2 105

(210 − 173)2

+ +

(10 − 93)2 93

(150 − 153)2

184 173 93 2 2 (200 − 112) + (100 − 105) + (10 − 93)2 + + 112 105 153 +

(10 − 50)2

(30 − 48)2

(100 − 42)2

+ 50 48 42 (0 − 14)2 + (0 − 14)2 + (40 − 12)2 donde χ 2 = 369,88 + 14 14 12

Considerando una rama de la distribución para un valor α = 0,05 se tiene: χ12−α,υ = χ 20,95;6

donde ν = (r-1) (c-1) = 6

143

luego: χ 20,95;6 = 12,59

como 369 > 12,59 se verifica que c2 ≥ c2 1-a; n. Por lo tanto se rechaza la hipótesis de independencia, es decir, que la elección de los planes es función del tipo de empleo, o sea, que son dos variables dependientes para un nivel de confianza del 95%. 2. Se obtuvo una muestra al azar de 28 mujeres y se les preguntó respecto a su hábitos de compra en la ropa y, al mismo tiempo, se les preguntó la edad. ¿Serán dichos hábitos independientes de la edad a un nivel del 5%?.

Hábitos Edad

Frecuente

Rara vez

Total

15 1 16

2 10 12

17 11 28

15 – 25 25 y más Total

Se obtendrá la tabla de valores esperados mediante χ = 2

(Oij − E ij ) 2

i=1

E ij

∑∑

Hábitos Edad 15 – 25 25 y más Total

Frecuente

Rara vez

Total

10 6 16

7 5 12

17 11 28

144

Luego se calcula el estadístico

χ = 2

( Oij − E ij − 0,5) 2

i=1

E ij

∑∑

puesto que ν = 1 Entonces: χ2 =

(4,5)2 + (4,5)2 + (4,5)2 + (4,5)2 10

= 2,02 + 3,37 + 2,89 + 4,05 = 12,33

Se contrastará mediante: χ2 1-α; (r-1).(c-1) = χ2 0,98; 1 como: χ2

(Tabla 12)

= 3,84

χ2 1-a; (r-1).(c-1) o sea 12,33 > 3,84

se rechazará la hipótesis de independencia.

6.4.2

Métodos aproximados para tablas 2 x 2.

Cuando se tiene una tabla de contingencia de 2 x 2 se puede utilizar la fórmula abreviada siguiente: 2

n  n  ad − bc −  2  χ2 = (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

145

donde cada valor vendrá determinado por los valores expresados en la tabla: Columnas Filas 1 2 Total

Total

a c a+c

b d b+d

a+b c+d n

Ejemplo: Suponiendo el mismo ejemplo anterior se tiene la tabla: Hábitos Edad 15 – 25 25 y más Total

Frecuente

Rara vez

Total

15 1 16

2 10 12

17 11 28

Para verificar la hipótesis H0 : Independencia H1 : Dependencia se calcula 2

n  n  ad − bc −  2  χ2 = ya que (r-1 (c-1) = 1 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

por lo tanto se tiene: 2

28   28 15 ⋅ 10 − 2 ⋅ 1 −  2 χ2 =  = 14 16 ⋅12 ⋅17 ⋅11

146

para χ2 1-α;ν donde α = 0,05 se tiene χ2 0,95;1 = 3,84 como 14 > 3,84 se rechaza la hipótesis de independencia.

6.5

Bondad de un ajuste.

Considerando una variable unidimensional conviene contrastar si hay diferencias significativas entre ciertos valores esperados y los valores observados, esto es, hasta qué punto los valores reales se ajustan a los valores teóricos o esperados. Este problema se puede hacer extensivo hasta comparar hasta qué punto una función ajusta correctamente con los datos observados, incluyendo las distribuciones teóricas de probabilidad. 6.5.1 Comparación entre los valores esperados y observados en una variable. En este caso se plantea la hipótesis de que no existen diferencias significativas entre los valores teóricos o esperados y los valores observados para un nivel a, es decir, que hay un buen ajuste. H0 : Oi = Ei (buen ajuste) H1 : Oi ≠ Ei (mal ajuste) Se usa en este caso: y si se verifica

χ = 2

∑

(O i − E i )2 Ei

χ2 1-α: ν donde ν = n-1

se rechaza la hipótesis nula.

147

Ejemplo: Un estimado regional de las ventas de una empresa prevé repartirlas de acuerdo a la proporción siguiente: Región Central Región Oriental Región Occidental Región Sur

80% 10% 5% 5%

Un análisis de las ventas realizadas demuestra que se vendieron 1500 del producto de acuerdo a la distribución siguiente: Región Central Región Oriental Región Occidental Región Sur

1000 cajas 160 “ 200 “ 140 “

¿Se habrá cumplido la previsión regional de las ventas? La hipótesis correspondiente es: H1 : Se cumplió la previsión H0 : No se cumplió α = 0,05 χ2 =

Se calcula

∑

(O i − E i )2 Ei

donde los valores observados y esperados son: Regiones Central Oriental Occidental Sur Total

O1 1000 160 200 140 1500

Ei = n Pi0 1200 150 75 75 1500

Oi - Ei -200 10 125 65 -

(Oi - Ei)2 40.000 100 15.625 4.225

(Oi - Ei)2 / Ei 33,33 0,67 208,33 56,33 296,66

148

luego χ2 = 298,66 χ2 0,95: 3 = 7,81 Como 298,66 > 7,81 se concluye que no se verifica la hipótesis nula, por lo tanto la previsión de venta no se cumplió.

6.5.2

Comparación de valores esperados y observados para las distribuciones de frecuencia.

En términos generales, para la aplicación de los métodos estadísticos se supone que los valores que asume una variable se distribuyen de acuerdo a una distribución estadística en particular; así, con bastante frecuencia, se supone que los datos muestrales provienen de una distribución normal. El método de la bondad proporciona en este caso una técnica útil para comprobar la hipótesis de un buen ajuste, es decir: H0 : Oi = Ei (buen ajuste) Frente a la alternativa de un ajuste diferente, esto es: H1 : Oi ≠ Ei Se supone a continuación un conjunto de observaciones las cuales se han agrupado en clases y frecuencias. A esta distribución de frecuencias se le ajusta una distribución normal cuyos valores teóricos son obtenidos. El método χ2 para comprobar la bondad de un ajuste de una distribución (valores teóricos) permite ver si efectivamente la distribución teórica “ajusta” a la observada. Al efecto se usará el estadístico:

149

χ = 2

∑

− E ij

)

E ij

con ν = K – p – 1 grados de libertad, donde p será el número de parámetros estimados por la muestra. Así, por ejemplo, si estuviese bajo prueba la hipótesis de normalidad µ y σ2 se estiman mediante 2 parámetros x y sˆ 2 y K el número de intervalos de clase de la distribución. Luego ν = K - 3. En este contraste la región crítica vendrá determinada por: χ2 ≥ χ2 1-α; K-p-1

150

Ejemplo: Sea una muestra de 27 personas a las cuales se tomó el peso correspondiente, obteniéndose una distribución de frecuencia y se supuso que procedían de una población normal. ¿Será correcta dicha suposición a un nivel del 5%? DISTRIBUCIÓN DE LOS PESOS Clases 46 – 54 54 – 62 62 – 70 70 – 78 78 - 86

(Kgs.)

Fi . 6 3 10 4 4

luego se procede a ajustar la distribución haciendo los cálculos siguientes: ic 46 – 54 54 – 62 62 – 70 70 – 78 78 - 86

xi 50 58 66 74 82

fi 6 3 10 4 4 27

xi − x

-15,11 - 7,11 0,89 8,89 16,89

fa 6 9 19 23 27

xi − X

σ - 1,44 - 0,68 0,08 0,85 1,61

d’ -2 -1 0 1 2

f’d’ -12 -3 0 4 8 -3

y 0,1415 0,3136 0,3977 0,2780 0,1092

d’2 4 1 0 1 4

yt =

fd’2 24 3 0 4 16 47

∑f σ

ic y 3 6 9 6 3

La media de la distribución será: X = Xa +

∑ fd' ic N

= 66 + (-3 . 8) / 27 = 66 – 0,89 = 65,11

151

y la desviación típica

σ = ic

∑ fd'2 −  ∑ fd'  ∑ f  N 

47  − 3  −  27  27 

= 8 1,74 - (-0,11) 2

σ = 8 1,74 - 0,0123 = 8 1,72 = 8 ⋅1,31 = 10,48

el ajuste correspondiente será el siguiente:

Finalmente se tiene: Clases 46 – 54 54 – 62 62 – 70 70 – 78 78 - 86 Total

Oij : f. Observada 3 6 10 4 4 27

Eij : f . Teóricas 3 6 9 6 3

Oi - Ei -3 -3 1 -2 1 -

(Oi - Ei)2 9 9 1 4 1

(Oi - Ei)2 / Ei 3,00 1,50 0,11 0,67 0,33 5,61

152

Aplicando χ = 2

∑

− E ij

)

E ij

la región crítica será: χ2 ≥ χ2 1-α; K-p-1 χ2 0,95; 2 = 5,99 como 5,61 < 5,99 se acepta la hipótesis de normalidad.

153

CAPÍTULO VII TEST PARA LA VARIANZA Intervalos de confianza para la varianza. Significación de una varianza. Contraste de Hipótesis referente a dos varianzas Análisis de la varianza.

7.1 Intervalos de confianza para la varianza. En el capítulo precedente se consideró la distribución χ2 la cual se define a partir de una muestra mediante la expresión siguiente: χ2 =

nsˆ 2 σ0 2

Generalmente, estos valores se contrastarán con los valores teóricos de la distribución cuyos valores han sido convenientemente tabulados. A partir de estas relaciones es posible determinar el intervalo de confianza para la varianza y consecuentemente para la desviación típica, fijando un cierto nivel de confianza y considerando los valores de la muestra n. El intervalo de confianza para un valor calculado de χ2 es el siguiente: χ1 2 ≤ χ2 ≤ χ2 2 En la expresión anterior, χ1 2 y χ2 2 son los valores críticos y corresponden a los valores teóricos de la distribución. Sustituyendo χ2 por su valor, se tiene: χ1 2 ≤

nsˆ 2 σ0

≤ χ2 2

154

Siendo σ0 2 la varianza, se puede calcular el intervalo respectivo, es decir: n sˆ 2

≤ σ 02 ≤

χ 22

n sˆ 2 χ12

Esta expresión representa el intervalo de confianza para la varianza, donde los valores de χ1 2 y χ2 2 se obtienen a partir de la tabla de la distribución para un cierto nivel de significación, o sea: χ12 = χ 2α 2

;υ

χ 22 = χ 2

α 1− ; υ 2

El intervalo de confianza para la desviación típica se obtiene mediante la siguiente relación: sˆ n χ 22

≤ σ0 ≤

sˆ n χ12

Ejemplo: La desviación típica de 25 cuentas seleccionadas al azar de una población de 100, es de Bs. 625,00. Encontrar los límites confidenciales de la desviación típica con el 97,5% de confianza. Utilizando: Luego

sˆ n sˆ n ≤ σ0 ≤ χ2 χ1

ν = n-1 = 25 – 1 = 24 grados de libertad.

Utilizando las dos ramas de la distribución se tiene:

155

χ2 1 = χ2 0,025; 24 = 12,4 χ2 2 = χ2 0,975; 24 = 39,4 Entonces 625 25 625 25 ≤ σ0 ≤ 39,4 12,4 3 .1 25 3 .125 ≤ σ0 ≤ 6,28 3,53

luego el intervalo confidencial será (498 ≤ σ0 ≤ 885) 7.2

Significación de una varianza.

7.2.1 Se conoce la varianza de la población y de una muestra. Considere la hipótesis que la varianza σ2 de una población tiene un valor fijo σ0 2 . Entonces, se tendrá la hipótesis nula siguiente: H0 : σ2 = σ0 2 H1 : σ2 ≠ σ0 2 Para realizar este contraste, se calculará --- a partir de la muestra y se utilizará la relación ---- cuya distribución muestral es una χ2 α; n-1 siendo la región crítica: nsˆ 2 ≤ χ 2α σ 20 ; n -1 2

156

nsˆ 2 ≤ χ2 α 2 σ0 1− ; 2

n -1

Para muestras grandes se usa también χ 2 = n − 1 ⋅

sˆ 2 σ 20

Ejemplo: Por varios años una empresa ha administrado exámenes para contratar a auxiliares de auditoría y ha obtenido de los aspirantes una nota promedio µ = 14 con una varianza σ0 2 = 16. Los exámenes fueron administrados a un grupo de 20 auxiliares que aspiraban el cargo y se obtuvo una media x = 15 con una varianza sˆ 2 = 25. ¿Habrá alguna razón para pensar que los estudiantes tuviesen una varianza de 16? H0 : σ2 = σ0 2 H1 : σ2 ≠ σ0 2 α = 0,10 Se usará el estadístico χ2 =

nsˆ 2 σ0 2

luego χ 2 = 20 ⋅ χ 2α 2

χ2

; n -1

25 = 31,25 16

= χ 20 ,05;19 = 10,1

α 1− ; n -1 2

= χ 02,95;19 = 30 ,1

157

como

31,25 > 10,1 31,25 > 30,1

se rechazará la hipótesis que H0 : σ2 = σ0 2 y se aceptará la alternativa H1 : σ2 ≠ σ0 2 .

7.2.2

Se conoce la varianza poblacional y se desea contrastar la hipótesis que es menor o igual que un cierto valor σ 0 2 . H0 : σ2 ≤ σ0 2

En este caso se tiene:

H1 : σ2 > σ0 2 Para un nivel a, se calcula el estadístico χ2 =

nsˆ 2 σ0 2

y si ocurre que χ2 ≥ χ2 1-α; n-1 se rechaza la hipótesis nula. Ejemplo: Al fabricar un producto, el llenado de los envases se realiza con un promedio de 14 grs. Y una desviación típica de 4 grs. Un nuevo procedimiento de llenado calculado sobre una muestra de 100 envases logra el mismo promedio con una desviación de 6 grs. ¿Este resultado indica que el segundo procedimiento presenta mayor variación al llenar dos envases? H0 : σ2 ≤ σ0 2 llenado con menor o igual variación H1 : σ2 > σ0 2 llenado con mayor variación. 158

α = 0,05 χ2 =

nsˆ 2 σ0 2

100 ⋅ 6 2 42

= 225

χ2 1-α; n-1 = χ2 0,95; 99 = 124,3 se verifica que 225 > 124,3 por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula, es decir, que el nuevo procedimiento tiene una desviación típica significativamente mayor a un nivel de confianza del 95%. 7.2.3 Se conoce la varianza poblacional y se desea contrastar la hipótesis que es mayor o igual que un cierto valor σ 0 2 . La hipótesis correspondiente es: H0 : σ2 ≥ σ0 2 H1 : σ2 < σ0 2 Para un nivel a, la región de rechazo es χ2 ≤ χ2 α; n-1 Ejemplo: La gestión de ventas de una empresa requiere que sus vendedores coloquen un promedio de Bs. 600,00 diarios con una desviación típica de Bs. 100,00. Una muestra de 20 vendedores coloca un promedio de Bs. 60,00, con una desviación típica de Bs. 60,00. ¿Se cumplen las normas establecidas en el sentido que es deseable que la gestión tenga la menor dispersión posible? H0 : σ2 ≥ σ0 2 H1 : σ2 < σ0 2 α = 0,05

159

nsˆ 2

χ2 =

Considerando

σ0 2

20 ⋅ 60 2 100 2

= 7 ,2

χ2 α; n-1 = χ2 0,05; 19 = 10,1

Como 7,2 < 10,1 se rechaza la hipótesis nula, es decir, que la gestión de ventas tiene una desviación típica significativamente menor. 7.3

Contraste de hipótesis referente a dos varianzas.

7.3.1 La Distribución F. En algunos casos es importante analizar el comportamiento de la variabilidad de un suceso. En este caso, se podrá realizar un contraste de dos estimaciones de variabilidad con el fin de medir si son significativamente diferentes. Al considerar una población y tomar dos muestras cuyo tamaño es n1 y n2, se calcularán las medias y varianzas respectivas, es decir: ˆ ,X ˆ y ˆs 2 , sˆ 2 X 1 1 1 2

El estadístico F vendrá determinado por la expresión F=

o también

sˆ 22 sˆ12 sˆ12 sˆ 22

si sˆ 22 > sˆ12

si sˆ12 > ˆs22

Estas relaciones tienen una distribución F que tiene la forma:

distribución

muestral

llamada

160

f ( x) = y0

υ1 z

(υ1e2 z + υ2 ) 2 (υ1+ υ2 ) 1

luego la probabilidad de encontrar un valor Z0 dado será Pb = F(x) =

f(x) dx

Estos valores de P se tabularon en una tabla de dos entradas, es decir, expresada en función de los niveles de significación α y los grados de libertad ν 1 y ν 2 correspondientes a las dos muestras (Tabla 13).

7.3.2 Uso de las tablas. La Tabla N° 13 muestra la probabilidad con los percentiles más usados, expresados en función de los grados de libertad. Estos deben ser calculados para cada muestra. En efecto, el número de grados de libertad de la varianza que se encuentran en el numerados, está ubicado en la escala horizontal y en la escala vertical se encuentran los correspondientes al denominador. La intersección de esas dos línea, para un percentil p, da el valor correspondiente de F

ó F

α 1− ; n1 −1; n 2 −1 2 1−α; n1−1; n 2 −1

ó Fα ; n

1 −1; n 2 −1

Ejemplo: 1.

La varianza y la varianza

2 1 2 2

= 10 calculada con n1 = 6 = 5 calculada con n2 = 9

161

se desea obtener el valor F para un α = 0,05 con una rama de la distribución. La relación de varianza es: F=

sˆ12 sˆ 22

10 =2 5

F1-α; 6 -1; 9-1

a) Se buscará en la escala horizontal la columna: 5 grados de libertad. b) Se buscará el percentil 0,95. c) Se buscará en la escala vertical la línea: 8 grados de libertad. d) En la intersección se lee: 3,69. 2.

Se desea encontrar F1-α; ν1; ν2 = F 0,95; 3; 18

En vista de que este valor no está directamente en las tablas, habrá necesidad de interpolar. En consecuencia, se utiliza el método de los inversos. El valor de F está entre F0,95;3;15 y F0,95;3;20 luego, se procede de la manera siguiente: F

Inverso 1/ν

F0,95; 3 ;15 = 3,29 F0,95; 3; 18 = ? F0,95; 3; 20 = 3,10

1/15 = 0,0667 1/18 = 0,0556 1/20 = 0,0500

162

Distancia

Inverso

Proporción

0,500

F 3,10

0,0056 = 0,3353 0,0167 0,0056

0,0556

0,0167 F = 3,10 + 0,3353 (0,0167) = 3,11

0,0667

3,29

Por lo tanto F0,95; 3; 18 = 3,11 7.3.3

Contraste de hipótesis referente a la varianza de dos poblaciones.

Con el fin de contrastar la hipótesis que las varianzas σ1 2 y σ2 2 de dos poblaciones normales son iguales, o sea: H0 : σ1 2 = σ2 2 H1 : σ1 2 ≠ σ2 2 Se procederá a tomar dos muestras de tamaño n1 y n2 , calcular sus varianzas 1 2 y 2 2 y encontrar el estadístico F=

ˆs12

si sˆ12 > ˆs22

sˆ 22

y se rechazará la hipótesis si: F≥F

α 1− ; n1 −1; n 2 −1 2

163

F ≤ Fα 2

; n1−1; n 2 −1

Ejemplo: El Departamento de Cobranzas de una empresa calculó para un período del año los índices de cobros de dos de sus cobradores. El jefe del Departamento desea conocer si existen variaciones marcadas de un cobrador con respecto al otro a un nivel del 5%. Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre

Cobrador A 100 101 102 100 106 107 110 101 100

Cobrador B 102 100 105 106 106 106 102 102 102

Con el fin de simplificar los cálculos, se resta 100 a la serie.

Cobrador (x1) 0 1 2 0 6 7 10 1 0 Totales 21

Cobrador (x2) 2 0 5 6 6 6 2 2 2 31

X1 2 0 2 4 0 36 49 100 1 0 191

X2 2 4 0 25 36 36 36 4 4 4 149

164

Se calcula

sˆ12

∑ x12 − (∑ x1 ) =

sˆ 22

x 22 − (∑ x 2 ) ∑ =

/ n1

192 − 27 2 / 9 = 13,75 8

/ n1

149 − 312 / 9 = 5,28 8

n1 − 1

n 2 −1

13,75 5,28

Región crítica F≥F

α 1− ; n1 −1; n 2 −1 2

F ≤ Fα 2

; n1−1; n 2 −1

α = 0,05 F0,975; 8; 8 = 4,43 (Tabla 13) F0,025; 8; 8 = 0,226 2,60 < 4,43 Se acepta la hipótesis H0 : σ1 2 = σ2 2 2,60 > 0,226 o sea que no hay diferencias significativas a un nivel del 0,05%.

165

7.3.3.1 La varianza procedente de una población es menor o igual a otra. Se desea probar la hipótesis: H0 : σ1 2

σ2 2

H1 : σ1 2 > σ2 2 Para un nivel α se calcula el estadístico F=

sˆ12 sˆ 22

y se rechazará la hipótesis nula cuando F > F1−α;

υ1; υ2

siendo ν 1 = n1 - 1 ν 2 = n2 -1

Ejemplo: Un método clásico de aprendizaje determina que sobre un grupo de 25 alumnos se obtenga una nota promedio en los exámenes de 14 puntos con una desviación de 5 puntos. Un segundo método, basado en medios audiovisuales, aplicado sobre 12 alumnos arroja un promedio de 15 puntos con una desviación de 7 puntos. ¿La desviación del segundo método será significativamente igual o menor que el primero? H0 : σ1 2

σ2 2

H1 : σ1 2 > σ2 2 α = 0,05

166

sˆ12 sˆ 22

72 52

= 1,96

Para F1-α; n1-1; n2-1 = F0,95; 11; 24 = 2,221 Como 1,96 < 2,21 se acepta la hipótesis nula, es decir, que las variaciones no presentan diferencias significativas.

7.3.3.2 La varianza procedente de una población es mayor o igual que otra. Se desea:

H0 : σ1 2

σ2 2

H1 : σ1 2 < σ2 2 Para un nivel a se calcula F =

sˆ12 sˆ 22

donde

y se rechaza H0 si F

Fα;ν1,ν2 siendo ν 1 = n1 – 1 y ν 2 = n2 –1

Ejemplo: Una máquina corta piezas con un promedio de 200 por jornada y una desviación de 10. Después de un largo período y realizado un ajuste de mantenimiento, se espera que disminuya la desviación típica. Sobre una muestra de 661 días se mantiene el promedio y la desviación típica es de 5 piezas. ¿Los resultados indicarán que la dispersión se mantiene o que por el contrario ha bajado significativamente?

167

H0 : σ1 2

σ2 2

H1 : σ1 2 < σ2 2 α = 0,05 F=

sˆ12 sˆ 22

52 10 2

= 0,25

y se rechaza H0 si Fα; ν1 −1; n2-1 = F0,05; 60;

= 0,72

Como 0,25 < 0,72 se rechaza la hipótesis nula; por lo tanto, la desviación típica después de ajustada la máquina es significativamente más pequeña.

7.4

Análisis de la varianza.

En este aparte, se tratará sobre los contrastes relativos a la comparación de varias medias bajo el supuesto de la igualdad de las varianzas y adicionalmente, se contrastan diferentes varianzas utilizando los criterios de la distribución F. 7.4.1 Contraste para varias medias. H0 : µ1 = µ2 = µ3 . . . . . .= µi H1 : µ1

µ2

µ3 . . . . . .

µi

En este caso se utiliza el estadístico F cuya expresión es la siguiente:

168

ˆ ˆ   k −1

k ni X − X

∑

F = i =1 k

∑∑ i =1 j=1 k

2  X − Xˆ   ij 

SCM k −1 SCG

∑ n i −1

∑ (n i − 1)

donde: ˆ es la media de una muestra cualquiera X i ˆ Xi es la media general considerando todos los elementos de las

muestras K = el número de clases SCM : Suma de cuadrados medios, o entre grupos k

ˆ ˆ ni X − X =   i =1

∑

∑ x 2i − ∑∑ xi2 ∑ n ∑ni i k

siendo xij una variable cualquiera de cualquier muestra. Ahora bien, si F > F1- α;ν1,ν2 se rechazará la hipótesis nula. La disposición de los cálculos para simplificar las operaciones es la siguiente:

169

Fuente de variación Entre grupos

Suma de cuadrados SCM

Dentro de los grupos Total

Análisis de la Varianza Grados de Cuadrados libertad medios SCM K-1 k -1

SCG

Ni – k

SCM+SCG

(k-1) + (n i -k)

SCG ni - k

Razón F SCM F = k −1 SCG ni − k

Ejemplo: Un sondeo de opinión realizado sobre cuatro muestras seleccionadas de una población dieron origen al precio que estaban dispuestos a pagar los consumidores por un cierto artículo. En efecto, se tiene: Muestra 1 10 10 12 11 9

Se desea:

Muestra 2 10 12 12 11 10 10

Muestra 3 12 12 10 12

Muestra 4 14 13 12 10 10 10 12

H0 : µ1 = µ2 = µ3 . . . . . .= µi H1 : µ1

µ2

µ3 . . . . . .

µi

α = 0,05 2

ˆ ˆ n i  X − X  ÷ k −1   i=1

∑ k

∑∑ i=1 j=1

ˆ X − X  ij   

÷ ∑ (n i − 1)

SCM ÷ k −1

SCG

∑ni −1

170

1 10 10 12 11 9

MUESTRAS 2 3 10 12 12 12 12 10 11 10 10 10

Totales Σ Xi

ˆ Medias X i

10,4

X ij 2

546

4 14 13 12 10 12 10 12 83

Total 46 47 46 42 31 20 12 244

10,8

11,00

11,8

11,1 = X

709

488

997

x 2i x i2 52 2 65 2 44 2 83 2  224 2  ∑ ∑∑ SCM = ∑ − = + + + −  = 6,93 ni ∑ n i 5 6 4 7  22  k

SCG =

∑∑ i =1 j=1

( x ij − xˆ ) 2 =

∑∑ i=1 j=1

X ij2 −

∑ x i2 ni

 52 2 65 2 44 2 83 2   = 26,89 SCG = 546 + 709 + 488 + 997 -  + + +  5  6 4 7  

llevando estos valores a la tabla de análisis de la varianza se tiene: Fuente de variación Entre grupos Dentro de los grupos Total

Suma de cuadrados

Grados de libertad

6,93

26,89

33,82

Razón F

6,93 ÷ 3 = 1,55 26 ,89 ÷ 18

F1-α; ν1; ν2 = F0,95; 3; 18

171

En vista de que este valor no está directamente en las tablas, habrá necesidad de interpolar. En consecuencia, se tiene que F0,95; 3; 18 está comprendido entre F0,95; 3; 15 y F0,95; 3; 20 (ver 7.3.2), luego se tiene que F0,95; 3; 18 = 3,11. Como 1,55 < 3,11 se verifica la hipótesis nula, es decir que no existen diferencias significativas entre las medias con un nivel de significación del 5%. 7.4.2 Contraste para varias varianzas. Se pretende H0 : σ1 2 = σ2 2 = σ3 2 . . . . . .= σi2 H1 : σ1 2

σ2

σ3 2 . . . . . .

σi2

En este caso se calcula F=

υ2 =

υ2 M

υ 1 (b − M ) k +1

 1     3( k − 1) 

∑

   1  1  −   n − 1  Σ( n − k )    i  i  

ν1 = K – 1 b=

υ2  1   1−   3( k − 1) 

∑

  1  1 2  −  +  n − 1  Σ ( n − k )  υ 2 i  i  

∑ n i - k )1g (e) sp 2 - [ ∑ (n i − 1)1g (e) sˆ i 2 ]

M =(

s p2 =

∑ (n i ) sˆi2 ∑ni - k 172

F1-α; ν1; ν2 se rechaza la hipótesis nula.

Ejemplo: En un estudio a base de muestras, las variables se clasificaron en cuatro grupos. Para cada uno se calculó la media y la varianza, obteniéndose los resultados siguientes:

Clase 1 Clase 2 Clase 3 Clase 4

Media

Varianza

Muestra (n)

20 21 20 19

4 9 6 6

10 15 10 12

Se desea contrastar si existen diferencias significativas entre las varianza a un nivel del 0,05. Se desea: H0 : σ1 2 = σ2 2 = σ3 2 . . . . . .= σi2 H1 : σ1 2

σ2

σ3 2 . . . . . .

σi2

α = 0,05 F=

υ2 M

υ 1 (b − M )

donde: υ2 =

k +1  1     3 (k − 1) 

∑

  1  1  −   n − 1  Σ ( n − k )   i  i 

173

υ2 =

5  1   3 (4 − 1)

 1   1   1   1    1 + + + −    10 − 1   15 − 1   10 − 1   12 − 1  ( 47 − 4 )  

= 3,125

ν1 = k – 1 = 4 – 1 = 3 υ2

 1  1−    3( k − 1) 







∑  n i − 1  − Σ(ni − k)  + υ2 1



3. 125  1 2 1 1 1 1 1 1  1− + + + + −  +   3( 4 − 1)  9 14 9 11 9 43   3. 125

3.125 = 3. 253 ,18 1 - 0,04 + 0,0006

∑ n i − k ) lg (e) sp 2 - [ ∑ (n i − 1) lg (e) sˆi 2 ]

M =(

donde: s p2

( n i ) sˆ i2 9,4 + 14 ,9 + 9,6 + 11,6 ∑ = = = 6,56 47 − 4 ∑ni - k

M = (43 lg(e) 6,56) – (9 lg(e) 4) – (14 lg(e) 9) – (9 lg(e) 6) – (11 lg(e) 6) M = (43 . 1,887) – (9 . 1,386) – (14 . 2,197) – (9 . 1,792) – (11 . 1,792) M = 2,07 F=

(3.125 )2,07 = 0,66 (3)3.253,18 − 2,07

F1-α; ν1; ν2 = F0,95; 3;

= 2,60

Como 0,66 < 2,60 se acepta la hipótesis H0 , es decir, no hay diferencias significativas entre las varianzas.

174

CAPÍTULO VIII TEST PARA LOS COEFICIENTES DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL Errores de estimación. Significación del coeficiente de correlación.

8.1 Correlación lineal. No es el propósito de este capítulo exponer detalladamente la teoría de la correlación la cual es tratada exhaustivamente por muchos autores. Más bien se intenta expresar las relaciones básicas con el fin de concluir en la determinación de la significación del coeficiente de correlación como producto de muestras obtenidas de una población normal. La relación de dos variables expresadas en términos cuantitativos se pone de manifiesto a través del coeficiente de correlación r. Existen varios tipos de correlación: lineales y curvilíneas. En el primer caso, los cambios que experimenta una variable están determinados por una razón constante en la otra; si esta relación es directamente proporcional, se dice que la correlación es directa; en caso contrario, es decir, cuando es inversamente proporcional será inversa. En el caso de la correlación curvilínea, los cambios de una variable con respecto a otra obedecen a una función no lineal. En los dos casos mencionados se tendrán varias formas: simple, múltiple o parcial. La correlación simple está determinada por la relación entre dos características o variables, siendo una independiente y la otra dependiente. Por ejemplo, las ventas de una empresa y los cobros correspondientes. La correlación múltiple se refiere al grado de asociación entre dos o más variables y por último, la correlación parcial mide el grado de relación entre variables respecto a una de ellas, la cual permanece constante.

175

En este punto se tratará el caso de la correlación lineal simple, es decir la relación de dos variables que se comportan de forma lineal. Las funciones que definen el coeficiente de correlación son las siguientes y su valor variará entre –1 y 1, bien sean negativas o positivas. a) Momento-Producto. rxy =

∑ x' y' ∑ x ' 2 ∑ y '2

siendo ∑ x ' y' = ∑ (x i − x )(y i − y ) b) Pearson. rxy =

∑ x' y' n sx sy

c) Thurstone. rxy =

∑x

∑ (xy) − n x y − n x 2 ∑ y 2 − n y2

Estos coeficientes de correlación oscilarán entre –1 y 1. Ejemplo de cálculo: Supóngase que se tiene una muestra de facturas y recibos de cobros de una empresa. Ventas 1 2 3 3 3 4 5

Cobros 2 2 3 5 4 5 7

176

Se desea establecer el coeficiente de correlación de dichas variables. Ventas (x) 1 2 3 3 3 4 5 21

Cobros (y) 2 2 3 5 4 5 7 28

x' = x − x

y' = y − y

x’y’

(x − x)2

(y − y)2

-2 -1 0 0 0 1 2 0

-2 -2 -1 1 0 1 3 0

4 2 0 0 0 1 6 13

4 1 0 0 0 1 4 10

4 4 1 1 0 1 9 20

sx =

10 = 1,43 = 1,2 7

∑ (y i − y)

sy = rxy =

∑ (xi − x )

21 x= =3 7

∑ x' y' ∑ x ' 2 ∑ y '2

28 =4 7

20 = 1,7 7

13 13 = = 0,92 10.20 14,16

La representación gráfica será: (5,7)

y 6 (4,5)

5 (3,4)

(3,3)

3 2

(1,2)

(2,2)

177

8.2

Regresión lineal.

8.2.1

Generalidades.

La relación funcional que existe entre dos variables x e y se expresa mediante las ecuaciones de regresión y su expresión algebraica viene determinada por: ˆ = a + bx Y

ˆ = a + by X

Al considerar la primera ecuación, x será la variable independiente e Yˆ la dependiente. Análogamente en la segunda, y será la independiente y Xˆ la dependiente. Para la determinación de las ecuaciones de regresión, habrá dos maneras de calcularlas: a) En función del coeficiente de correlación r y' = r

donde

sy sx

x' = r

sx sy

x' = x − x y' = y − y

en función de los valores de la serie x e y quedaría: y− y = r

x− x = r

sy sx sx sy

(x − x ) (y − y)

178

b) De acuerdo a las ecuaciones normales: para y: Σy =na+bΣx Σ xy = a Σ x + b Σ x2

(1)

ˆ = a + bx Y

para x: Σx =na+bΣy Σ xy = n Σ y + b Σ y2

(2)

ˆ = a + by X

Al considerar la resolución del sistema (1) se tiene: Σy Σx Σxy Σx 2 a= n Σx Σx Σx 2

n Σy Σxy Σx 2

nΣx − (Σx ) 2

ΣyΣx 2 − ΣxΣxy n Σx 2 − (Σx )

nΣxy − ΣxΣy nΣx 2 − (Σx )2

Estas relaciones se obtienen a partir de una muestra, extraída de una población de tamaño n, donde existirá una relación funcional determinada por: η = ( x1 , x2 . . . . . xp / θ1 , θ2 . . . . . . .θg) siendo η la variable dependiente la cual es calculada a partir de una variable independiente x1 , x2 . . . . . xp relacionadas estrechamente con los parámetros θ1 , θ2 . . . . . . .θg.

179

Estos parámetros no se podrán calcular sin error ya que los valores observados de la variable dependiente rara vez se corresponden con los valores esperados; aunque los valores xi se midan sin error, el valor esperado de la variable dependiente “y” no será igual al valor esperado η, o sea: y=η+E Este valor de E se puede considerar como una variable aleatoria con media “o” y varianza σ. En el caso que nos ocupa, de regresión lineal simple, se tendrá: η = α’ + β’ x donde la variable dependiente será: y = η + E = α’ + β’ + E el problema se reduce a estimar α’ y β’ a partir de una muestra mediante a y b que son los coeficientes de regresión. La representación gráfica de la relación funcional señalada será la siguiente:

(x6 , y 6 )

(x2 , y 2 ) (x4 , y 4 ) (x3 , y 3 )

(x1 , y 1 )

(x5 , y 5 )

180

Se observa en el gráfico anterior que los valores de las variables observadas no coinciden exactamente con los valores de Y. Esta diferencia es atribuible a un error el cual se calcula en función de las diferencias al cuadrado observadas, En efecto se tiene:

∑ (yi − Yˆ ) =

2 y

que se denomina error cuadrático de la estimación. Para un valor dado de x las y están normal o independientemente distribuidas con respecto a la media. my/x = η = α’ + β’ x con varianza σ2 Ejemplo: Considéresele mismo ejemplo señalado en 8.1. Se tiene: a) La ecuación. 1) y '= r 2) x ' = r

sy sx sx sy

para

ˆ = a + bx Y

para

ˆ = a + by X

sustituyendo en (1) ˆ − 4 = 0 ,92 ⋅ 1,7 ( x − 3) Y 1,2 ˆ − 4 = 1,3 (x − 3) Y ˆ = 0,10 + 1,3 x Y

181

Sustituyendo en (2) ˆ − x = 0,92 ⋅ 1,2 ( y − y) X 1,7 ˆ − 3 = 0,92 ⋅ 0,70 (y − 4) X ˆ − 0,64 (y − 4) + 3 X ˆ = 0,44 + 0,64 y Y

Utilizando las ecuaciones normales: x

1 2 3 3 3 4 5 21

2 2 3 5 4 5 7 28

1 4 9 9 9 16 25 73

2 4 9 15 12 20 35 97

y1,40 2,70 4,00 4,00 4,00 5,30 56,60 -

0,60 -0,70 -1,00 1,00 0,00 -0,30 0,40 -

Σy =na+bΣx

28 = 7 a + 21 b

Σ xy = a Σ x + b Σ x2

97 = 21 a + 73 b

ΣyΣx 2 − ΣxΣxy 28 .73 − 21.97 7 = = = 0,10 10 nΣx 2 − (Σx )2 7 .73 − (21)2

nΣxy − ΣxΣy 7 . 97 - 21 . 97 = = 1,30 1 . 73 - (21) 2 nΣx 2 − (Σx )2

(y – 0,36 0,49 1,00 1,00 0,00 0,09 0,16 3,10

= 0,10 + 1,30 x

182

y Ñ 5

4 Ñ Ñ

3 Ñ Ñ

2 1

El error de estimación será:

∑ (yi − Yˆ)

sy =

8.2.2

3,10 = 0,79 7

Intervalos de confianza.

Una vez calculado el error cuadrático de la estimación

∑ (yi − Yˆ ) =

se podrán obtener estimaciones de la varianza de diferentes parámetros calculados en el análisis de la regresión y los intervalos de confianza correspondientes; en efecto, se tiene: a) Coeficiente b La varianza de b es: s = 2 y

S y2

∑ x'2

183

El intervalo es: b − t sˆ b ≤ β '0 ≤ b + t ˆs b b) Coeficiente a: 1

La varianza de a es: s 2 a = S2y  +  n

x2   ∑ x' 2 

El intervalo es: a − t s a ≤ α ' ≤ a + t s a c) Para

dado x:

La varianza es: S yˆ

2 1 ( x − x)  = S  +1 +   n ∑ x'2  2 y

Luego el intervalo de estimación es: ˆ − t ⋅S ≤ Y ≤ Y ˆ +t Y α yˆ 2

⋅ν

α 1− ⋅ ν 2

⋅ S yˆ

con ν = n – 2 En el ejemplo anterior, donde:

= 0,10 + 1,30 x

= 2,70 Sy 2 = 0,62

Para x = 2

x =3

El intervalo para ese valor de x = 2 viene dado por: ˆ − t ⋅S ≤ Y ≤ Y ˆ +t Y α yˆ 2

⋅ν

α 1− ⋅ ν 2

⋅ S yˆ

donde: S yˆ

2 1 ( 2 − 3)  = 0,62  + 1 +  = 0 .7706 10   7

S = 0,878

184

Luego para un nivel de confianza del 95% t=t

α 1− ; υ 2

= t 0 , 975;5 = 2,57

entonces el intervalo de confianza es: (2,70 – 2,57 . 0,878 ≤ Y ≤ 2,70 + 2,57 . 0,878) (0,4435 ≤ Y ≤ 4,9565) 8.2.3

Contraste de hipótesis.

8.2.3.1 Coeficiente de regresión. En algunas ocasiones se querrá conocer si el coeficiente de regresión “b” difiere significativamente de un valor hipotético β’ el cual toma un valor β 0 ’ y se desea contrastar la hipótesis nula: H0 : β’ = β 0 ’ H1 : β’ ≠ β 0 ’ En este caso se utiliza el estadístico t = b −

β '0 sb

Donde la varianza del coeficiente de regresión, b es: s = 2 b

s y2

∑X2

La región crítica será: t ≥t

α 1− ; n − 2 2

t ≤ tα 2

; n− 2

185

Un valor común de β 0 ’ = 0 que refleja la hipótesis que y es independiente de x. En otras palabras, de confirmarse esta hipótesis, x no tendrá valor para estimar a y. Ejemplo: Anteriormente se había obtenido para el ejemplo 8.1 un coeficiente de regresión b = 1,30. Se intenta comprobar que este valor difiere poco de un valor teórico β 0 ’ = 2,00 o sea: H0 : β’ = β 0 ’ H1 : β’ ≠ β 0 ’ utilizando el estadístico t = b −

siendo s b = luego t =

s y2

∑X

β '0 sb

0,62 = 0,007 = 0,084 73

1,29 − 2,00 − 0,71 = = −8,45 0,084 0.084

la región crítica es t ≥ t

α 1− ; n − 2 2

t ≤ tα 2

; n− 2

para α = 0,05

t0,975; 5 = 2,57

como t = -8,45 se rechaza la hipótesis β’ = β 0 ’

186

8.2.3.2 Significación del coeficiente de correlación. Si se extrae una muestra de dos variables población normal, el coeficiente de correlación: r=

y de una

∑ x' y' n sx sy

es una estimación de ρ . En este sentido, se plantea contrastar la hipótesis que: H0 : ρ = ρ0 H1 : ρ ≠ ρ0 Se utilizará el estadístico: t =

r 1 − r2 t ≥t

y se rechazará cuando

⋅ n−2

α 1− ; n − 2 2

t ≤ tα 2

; n− 2

Continuando con el ejemplo de 8.1, se tiene: r = 0,92 Luego, se desea comprobar la hipótesis

n = 7.

H0 : ρ = ρ0 H1 : ρ ≠ ρ0 Se calcula t=

0,92 1 − 0,92

⋅ 5

5 = 2,24

a = 0,05

1 − 0,92 2 = 0,3919 (tabla15) t=

0,92 ⋅ 2,24 = 5,26 0,39

t0,975 = 2,57

como 5,26 > 2,57 se rechaza la hipótesis que el coeficiente de correlación poblacional es “o” H0 : ρ = ρ0

187

8.2.3.3 Comparación de dos coeficientes de correlación lineal. Se trata de contrastar la hipótesis: H0 : ρ1 = ρ2 H1 : ρ1 ≠ ρ2 Al efecto, supóngase que r1 sea el coeficiente de correlación de dos variables y r2 el coeficiente de dos más, procedentes de un conjunto de pares determinados por n1 y n2 . Ahora bien, los valores r deben ser transformados en z, dado que el estadístico t=

r − ρ0 s

no se distribuye como la t de Student para valores de r ≠ 0. En consecuencia, se utilizará como expresión aproximada la siguiente: z = ½ [log(e)(1 + r) – log(e) (1 – r)] Fisher demostró que esta expresión se distribuye de forma normal con media: ½ [log(e)(1 + r) – log(e) (1 – r)] y varianza σ 2z =

1 n −3

Luego, para contrastar H0 : ρ1 = ρ2 H1 : ρ1 ≠ ρ2 Se utiliza el estadístico zp =

z1 − z2 Sˆ 2 + Sˆ 2 1

188

y se rechaza la hipótesis cuando z ≥z

1−

z ≤zα

Ejemplo: El servicio de auditoría de una empresa toma muestras de los cobros efectuados sobre 20 facturas y los ingresos a caja efectuados sobre los comprobantes de ingresos. Se calculó r y se obtuvo r1 = 0,99. En otro período se tomó una muestra de 30 facturas y se hizo un análisis similar con r2 = 0,90. ¿Se podrá considerar que las dos muestras provienen de un mismo colectivo? Se pretende comprobar H0 : ρ1 = ρ2 H1 : ρ1 ≠ ρ2 el estadístico a utilizar será: zp =

z1 − z2 Sˆ 2 + Sˆ 2 1

habrá de hacerse la transformación de r en z mediante: z = ½ [log(e)(1 + r) – log(e) (1 – r)] utilizando la tabla 18 se tiene: r1 = 0,99

z1 = 2,64665

r2 = 0,90

z2 = 1,47222

Sˆ1 2 =

1 1 = = 0,059 n 1 − 3 20 − 3

Sˆ2 2 =

1 1 = = 0,037 n 2 − 3 30 − 3

189

luego zp =

2,64665 − 1,47222 1,17443 1,17443 = = 0,311 0,059 + 0,037 0,096

zp = 3,8 Luego, para un 95% de confianza (-1,96 ≤ zp ≤ 1,96) como zp = 3,8 se rechazará la hipótesis de igualdad de los dos coeficientes de correlación.

190

CAPÍTULO IX MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Conceptos y definiciones. Estimaciones de la media, total y proporción. Errores de muestreo. Intervalos de confianza. Determinación del tamaño de la muestra. Estimadores indirectos: método de la razón.

9.1 Conceptos y definiciones. Al considerar un tipo de muestreo simple sin reemplazamiento, se podrá seleccionar tantas muestras como combinaciones de N elementos, tomados de n en n.  N   n 

la probabilidad de salir de cualquier muestra vendrá dada por la expresión: Pb =

1  N   n 

Bajo el supuesto anterior, la probabilidad de que salga cualquier elemento poblacional será:  N − 1   n − 1  n  Pb = = N  N   n 

191

puesto que fijado un elemento, con los N-1 restantes se podrán hacer tantas combinaciones como:  N − 1   n − 1 

luego, todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados. A continuación se pretende obtener los estimadores de la media, del total y de la proporción en el denominado muestreo aleatorio simple, o sea, muestreo sin reemplazamiento. En esencia, el método consiste en la selección de n elementos de una población N, de modo que cualquier muestra tenga la misma probabilidad de salir, o sea: Pb =

1 N     n 

 N

de todas las muestras posibles   n  

9.2 Estimaciones poblacionales.

media,

total

proporciones

Considerada una población de N elementos que se supone homogénea con respecto a la variable que se desea medir, se selecciona al azar un subconjunto formado por n elementos. A partir de éstos, se calcula la media aritmética de la variable considerada, se hará la estimación del total correspondiente a todos los elementos y se obtendrá una estimación de la proporción, consistente en encontrar la relación entre un número o frecuencia de elementos, con presencia o ausencia de una determinada característica, con respecto al total de ellos.

192

9.2.1

Estimación de la media.

Sobre los elementos seleccionados, se calcula la media aritmética correspondiente, mediante la expresión: n

ˆ = X

∑Xi i =1

la media aritmética muestral será un estimador insesgado de la poblacional, o sea se obtendrá el estimador mediante ˆ x= X

luego se dirá que

ˆ estima a la media poblacional X X

Obtenidas las estimaciones de la media, el total y la proporción, se deberán calcular los errores de muestreo correspondientes. Para ello, es necesario calcula la varianza S2 , la cual se estima a partir de la muestra mediante la cuasi-varianza, determinada por:

∑ x i − X  ˆ

sˆ 2 =

n −1

obtenido este valor, se procederá a estimar la varianza σ x 2 mediante la relación:

σ x2 =

sˆ 2 n

En general, el error de muestreo de la media σ x se determina mediante la expresión siguiente: σx =

N − n sˆ2 ⋅ N n

σx =

N − n sˆ ⋅ N n

193

el valor (N-n) / N se denomina Coeficiente de Corrección para poblaciones finitas. Cuando N es suficientemente grande o infinita con relación a la muestra, dicho coeficiente tiende a 1, o sea que quedaría la expresión reducida a los términos siguientes: σx =

sˆ n

Para encontrar el intervalo de confianza fijando un determinado nivel de significación α, el coeficiente k deberá fijarse de acuerdo a las características de la muestra y la población de donde procede. En efecto, se tiene: x − k σ x ≤ X ≤ x + kσ x

Ejemplos: 1. Se supone una población de 40 artículos de donde se extrajo una muestra de 6, a fin de valorarlos. Determinar el precio medio y el valor total de los 40 artículos. Los valores obtenidos para cada artículo fueron los siguientes: Bs. 10; 13; 16; 9; 10 La estimación de la media es: ˆ = X

∑Xi n

10 + 13 + 16 + 12 + 9 + 10 = 12 6

el error de muestreo de la media es: σx =

como

N − n sˆ2 ⋅ N n

= 6,8

194

se tiene que:

σx =

40 − 6 6,8 ⋅ ≈ 0,9 40 6

el intervalo de confianza para la media es: x − k σ x ≤ X ≤ x + kσ x

como se trata de una muestra pequeña debe usarse el coeficiente t

α 1 − ; n −1 2

fijado α = 0,05, se tiene que t = 2,57 luego el intervalo de confianza es: 12 − 2, 57 ⋅ 0, 9 ≤ X ≤ 12 − 2,57 ⋅ 0,9

o sea: 9,69 ≤ X ≤ 14,31 Esto indica que la media poblacional estará comprendida entre Bs. 10 y 14 con un 95% de confianza. 2.

Al efectuar un análisis de 35 paradas de un equipo, se obtuvieron los siguientes resultados: Horas de parada

N° de paradas

4,1 – 6 6– 8 8– 0 10 – 12 12,1 – 14

5 20 6 3 1

Se desea calcular el promedio de horas de parada con un 95% de confianza.

195

Clases

d’

fa’

d’2

fd’2

4-6 6-8 8-10 10-12 12-14

5 7 9 11 13

5 20 6 3 1 35

-2 -1 0 1 2

-10 -20 0 3 2 -25

4 1 0 1 4

20 20 0 3 4 47

La estimación puntual de la media es: ˆ = X + ∑ fd' ⋅ i = 9 − 25 ⋅ 2 = 7,57 X a 35 ∑f c

la desviación típica es: s = ic

∑ fd'2 ∑f

2  ∑ fd'  47  − 25  − = 2 ⋅ − = 1,82  35  35   ∑f  2

El error de muestreo se obtiene mediante σx =

s 1,82 = = 0,314 n −1 34

luego, el intervalo de confianza se define por: x − k σ x ≤ X ≤ x + kσ x

Se requiere un nivel de confianza del 95%, luego: α = 0,05 y Z 0,975 = 1,96, por lo tanto: 7,57 – 1,96 . 0,314 ≤ X ≤ 7,57 – 1,96 . 0,314 la media poblacional está comprendida entre 6,95 y 8,18 horas con un nivel de confianza del 95%.

196

3. Se plantea la construcción de un gráfico de control para la media x y la desviación típica σ x . El problema reside en calcular un promedio de todas las muestras sacadas x así como la dispersión correspondiente, o sea σ x y establecer los límites de control respectivos determinados por: x − k σ x : límite inferior (L1 ) x + k σ x : límite superior (L2 )

Se desea establecer los límites de control para un proceso de fabricación donde la variable es el contenido promedio de los envases de un cierto artículo. En efecto, en 10 días de producción regular se seleccionan 600 envases diarios que condujeron a los resultados siguientes: Días

N° de observaciones

1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 Total

600 600 600 600 600 600 600 600 600 600 6000

La media general se obtiene así:

Promedio de Medición xi

Error de muestreo σ xi

(cc/envase) 25 24 25 27 23 27 26 25 25 25 252

(cc/envase) 2 2 3 3 1 3 2 2 2 1 21

∑ xi K

252 = 25 ,2 10

siendo K el

número de muestras.

197

La desviación típica es: σ x =

∑ σ xi K

21 = 2,1 10

si se considera el 99% de confianza: Z = 3 Límite inferior (L1 ): x − Z σ x L1 = 25,2 – 3 . 2,1 = 20,1 Límite superior (L2 ): x + Z σ x L2 = 25,2 + 3 . 2,1 = 31,5 La representación continuación:

gráfica

correspondiente

observa

L2 = 31,5 30 25

_ x = 25,2

+ L1 = 20,1

6 7 Días

10 11

Establecidos los límites de control, se realizarán muestras diarias distribuidas en la forma de trabajo, aceptándose lotes de producción que estén comprendidos en los límites de confianza.

9.2.2

Estimación de la proporción.

Al considerar un determinado atributo, o sea la presencia de un carácter en una variable (1) o la ausencia (0), se podrá obtener la proporción de elementos que tienen (1) o no tienen una

198

determinada característica con respecto al total. Si ese total es con respecto a la población y se consideran todos los elementos, se tendrá una proporción P, o sea: P=

∑ai N

A partir de una muestra (n) se podrá obtener la proporción de esa característica mediante: p=

∑ai n

Esta expresión p será un estimador insesgado o sea Pˆ = p de la proporción poblacional P. El error de muestreo de la proporción σp se determina mediante el término siguiente: σp =

N − n p ⋅q ⋅ N n

quedando reducida dicha expresión a:

σp =

p⋅q n

cuando el

coeficiente de corrección para poblaciones finitas tiende a 1. En muestras pequeñas debe usarse como estimador del error de muestras la expresión σp =

N − n p ⋅q ⋅ N n

usando esta expresión se determina el intervalo de confianza correspondiente, es decir: p − k σp ≤ P ≤ p + k σp

199

Ejemplos: 1. Se supone una población de 400 personan y de la selección al azar de 60 se observa que 40 fuman cigarrillos de una determinada marca. Se desea estimar la proporción de fumadores con el 95% de confianza. La estimación de la proporción de fumadores es: p=

como p = Pˆ

∑ai n

40 = 0,57 60

Pˆ = 0,67

El error de muestreo de la proporción se calcula mediante: σp =

N − n p ⋅q ⋅ N n

siendo q = 1 – p luego q = 1 – 0,67 = 0,33 σp =

400 − 600 0,67 ⋅ 0,33 ⋅ = 0,055 400 60

El intervalo de confianza para α = 0,05 es: p − k σp ≤ P ≤ p + k σp

Como se trata de una pequeña muestra, se usa el coeficiente t = 1,96 luego: 0,67 – 1,96 . 0,055 ≤ P ≤ 0,67 + 1,96 . 0,055 o sea:

0,56 ≤ P ≤ 0,78

El porcentaje de fumadores se estima entre un 56% y un 78%, con un nivel de confianza del 95%.

200

Se requieren los límites de control para la aceptación o rechazo de piezas construidas en un proceso de fabricación. En efecto, si la proporción de artículos con algún defecto (etiquetas corridas, mal tapados, sucios, etc.) excede un nivel de confianza del 99%, se rechazará la producción y se hará un análisis exhaustivo de los procedimientos utilizados. En efecto, se obtendrá un conjunto de muestras (se recomienda al menos 20 cuyo tamaño no sea inferior a 50 observaciones) y se procede a calcular el porcentaje (p) promedio de defectuosos. En 20 días de observaciones aleatorias se obtuvo el resultado siguiente: Se hicieron 300 observaciones diarias, obteniéndose en promedio p = 0,10 de artículos defectuosos con una desviación σp = 0,02. En efecto, el promedio de defectuosos p=

∑pi k

siendo la desviación típica

σp =

⋅ pi ⋅

q n

considerando Z = 3 para el 99% de confianza, se tendrá: el límite inferior (L1 ) p – Z σp 0,10 – 3 . 0,02 = 0,04 el límite superior (L2 ) p + Z σp 0,10 + 3 . 0,02 = 0,16

201

L2 = 0,16

0,16 0,14 0,12

Pˆ = 0,10

0,10 0,08 0,06 L1 = 0,04 0,04 0,02 Días

Establecidos los límites de control, se realizarán muestras periódicas o cuando se juzgue necesario, para mantener el control sobre la aceptación o rechazo de un determinado lote de producción. 2. Se desea darle curso a una requisición mediante la cual se solicitan tres unidades de transporte adicionales en un alacen. A fin de tomar una decisión al respecto, se conviene en hacer un estudio de tiempos con un nivel de confianza del 95% y un error de estimación para los tiempos de parada que no exceda al 1%. Se establecen los pasos necesarios para obtener un gráfico de control. Al efecto, se determina el tamaño de la muestra. Para tal fin se hace una muestra piloto en un día de movimiento del almacén y se hace 200 observaciones al azar y se tiene que en 2o de ellas las unidades estaban detenidas por diversas causas. Esto hace que: p=

20 = 0,10 200

202

En la tabla 19 se observa que se requieren 3.600 observaciones para establecer un tamaño de muestreo adecuado. Se decide hacer un período de 10 días de observación, a razón de 360 observaciones diarias distribuidas en la jornada de trabajo. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Días

Tamaño de la muestra

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

360 360 360 360 360 360 360 360 360 360

Número de veces que estaban paradas la máquinas 10 15 15 20 50 20 16 15 15 15

Porcentaje de parada pi 2,8 4,2 5,6 13,9 5,6 4,4 4,2 4,2 4,2 4,2

El cálculo del promedio de parada es como sigue: p=

∑ pi ⋅ 100 = 191 ⋅100 = 5,3 n

3600

La desviación es: σp =

p ⋅q 5,3 ⋅ 94,7 = = 139 ≈ 1,15 n 360

los límites de confianza para el 95% son los siguientes: L1 : 5,3 – 1,96 . 1,15 = 3,05 L2 : 5,3 + 1,96 . 1,15 = 7,55 El gráfico de control se dibuja a continuación:

203

% 0,14 0,12 0,10 L2 = 8% 0,08 0,06

p = 5,3 +

0,04

0,02

L1 = 3%

+ |

7 8 Días

Como ser observa en el gráfico de control, las unidades de transporte están detenidas por causas intrínsecas de trabajo entre el 3% y el 8% del tiempo diario, lo cual es considerado normal. Sin embargo, el gráfico no está regularizado porque existen dos días, el 1 y el 5, donde las unidades operaron en condiciones anormales; en consecuencia, es prudente rehacer el gráfico haciendo abstracción de esos dos días. a) Tabla de resultados revisada. Días 2 3 4 6 7 8 9 10

Tamaño de la muestra 360 360 360 360 360 360 360 360

Porcentaje de parada p 4,2 4,2 5,6 5,6 4,4 4,2 4,2 4,2

204

b) Porcentaje de parada. p=

36 ,6 = 4,6 8

c) Desviación. 4,6 ⋅ 95 ,4 = 1,22 ≈ 1,1 360

σp =

d) Límites de confianza. inferior : 4,6 – 1,96 . 1,1 = 2,44 superior : 4,6 + 1,96 . 1,1 = 6,76 e) Gráfico de control. % 0,14 0,12 0,10 L2 = 8% 0,08 0,06

p = 5,3 +

0,04

0,02

L1 = 3%

+ |

7 8 Días

205

f) Conclusiones. De acuerdo a los resultados, es normal esperar que las máquinas estén paradas entre un 2,44 y 6,76% del tiempo hábil diario. Esto conduce a decidir que realmente no es necesario adquirir unidades de transporte y, al mismo tiempo, se estableció un procedimiento para llevar un control del tiempo de parada de las unidades. Desde el momento en que se exceda de los límites de control, habrá que investigar las causas respectivas.

9.2.3

Estimación del total.

El total poblacional (X) será la sumatoria de la cuantificación de una variable de todos los elementos del colectivo considerado; las estimación de ese total (Xˆ ) se podrá hacer a partir de las relaciones siguientes: ˆ = Nx X

ˆ = N ∑x X i n

Se demuestra que Xˆ es un estimador insesgado del total poblacional (X). La varianza del total es: σ xˆ 2 = N 2 σ x2

Sustituyendo σ x 2 se tiene: σ x2 = N 2 ⋅

N − n ˆs 2 ⋅ N n

Luego σ x 2 = N ⋅ (N − n ) ⋅

sˆ 2 n

206

Y el error de muestreo total será: σ xˆ = N ⋅ (N − n ) ⋅

sˆ n

ó σ xˆ = N ⋅ (N − n )

sˆ 2 n

El intervalo de confianza para el total es: ˆ −kσ ≤ X ≤ X ˆ +kσ X xˆ xˆ

Ejemplo: Una muestra de seis artículos determinó un precio medio de Bs. 12,00 con una desviación de Bs. 6,80. Estimar el valor total de 40 artículos con un nivel de confianza del 95%. ˆ = Nx X

= 40 ⋅ 12 = 480

o sea que el conjunto de los 40 artículos vale Bs. 480,00. El error de muestreo del total se obtiene mediante: σ xˆ = N ⋅ (N − n ) σ xˆ = 40 ⋅ (40 − 6)

sˆ 2 n

6,8 = 39 6

luego el intervalo de confianza es: ˆ −zσ ≤ X ≤ X ˆ +zσ X xˆ xˆ

480 – 2,57 . 39 ≤ X ≤ 480 + 2,57 . 39 379 ≤ X ≤ 580 Entonces, la estimación del total del valor de los 40 artículos estará comprendida entre Bs. 379 y 580 con un 95% de confianza.

207

9.3 Métodos Indirectos de estimación. El método de la razón. En ocasiones es útil efectuar ciertas estimaciones utilizando variables auxiliares correlacionadas con la variable sometida a estudio. El origen de las variables auxiliares podrá provenir de muestras semejantes o de valores conocidos obtenidos por cualquier procedimiento. En efecto, xi es la variable objeto del estudio utilizado para estimar la media poblacional X . La variable Yi constituye una variable auxiliar correlacionada significativamente con xi donde: n

∑ yi

= Y

que es el valor poblacional de la variable auxiliar. Existe un conjunto de métodos que permiten encontrar los estimadores correspondientes. Uno de ellos es el conocido como Método de la Razón, el cual consiste esencialmente en lo siguiente: a) Para la media:

ˆ , r =  x  Y X y  

que es el estimador de la media con error de muestreo: σ x ,r =

(

1 N -n ˆ 2 2 ⋅ X Vx + Vy2 − 2rxy ⋅ Vx Vy 2 N n N

siendo Vx y respectivamente.

b) Para el total:

)

los coeficientes de variación de x e y ˆ , r =  x  Y X  y  

que es el estimador total con un error de muestreo: σ xˆ ,r =

(

N -n ˆ 2 2 X Vx + Vy2 − 2 rxy ⋅ Vx Vy Nn

) 208

Ejemplo: Una empresa dispone de 150 clientes que tienen un saldo total de Bs. 8.500. A los fines comprobar la veracidad del saldo según libros (Bs. 8.500) se decidió usar la metodología siguiente: a)

Confirmar todas las cuentas cuyo saldo es superior a los Bs. 100,00. En efecto, se tiene que son 50 con un saldo total de Bs. 7.500,00. Hacer una muestra sobre las 100 restantes que tienen un saldo inferior o igual a Bs. 100,00 las cuales suman un total de Bs. 1.000,00.

El objetivo del muestreo se hace con el fin de determinar si existen diferencias entre lo reportado por los clientes y los libros respectivos, son un nivel de confianza del 95%. En el caso que la diferencia sea crítica, o sea que exceda al nivel de significación respectivo, se asumirá que hay sub-estimación, falsificación deliberada, apropiación indebida y en consecuencia, se procederá a realizar un examen exhaustivo de todas las cuentas. A los fines del problema, se tratarán por separado los casos a y b, desarrollándose los cálculos para este último (b). Asumiendo que se espera que algunos clientes no contestarán, se supondrá que éstos se comporten como el promedio y los cálculos se harán sobre todos los clientes seleccionados. De la población de 100 clientes se tomó una muestra de cinco de ellos, los cuales presentan los saldos siguientes: Clientes 1 2 3 4 5 Total

Saldo (Bs.) 50 20 80 100 100 350

209

Se enviaron los estados de cuenta a los clientes y se recibió contestación de todos, reportando los siguientes saldos: Clientes 1 2 3 4 5 Total

Saldo (Bs.) 50 20 30 100 80 280

Observaciones

Inconforme Inconforme

De acuerdo al planteamiento del problema, habrá que calcular una estimación de los parámetros que se mencionan: a)

b) c)

Estimación del total Xˆ en base al método de la razón, considerando como variable auxiliar a los saldos según libros. Calcular el error de muestreo de la estimación total. Calcular el intervalo de confianza para el 95%.

Los cálculos respectivos serán los siguientes, sobre la tabla que define las variables. Cliente 1 2 3 4 5 Total

Saldo s / libros (y) 50 20 80 100 100 Σ y = 350

Confirmación (x) 50 20 30 100 80 Σ x = 280

a) Estimación del total Xˆ ˆ = Y⋅ ∑x X ∑y

siendo Y el saldo según libros, o sea, Bs. 1.000 luego:

210

ˆ = 100 ⋅ 280 = 800 X 350

b) Error de muestreo del total Xˆ σ xˆ ,r =

siendo r : Vy : Vx :

(

N -n ˆ 2 2 X Vx + Vy2 − 2 rxy ⋅ Vx Vy Nn

)

el coeficiente de correlación entre x e y el coeficiente de variación de y el coeficiente de variación de x

En efecto, se tiene que: r=

∑ x' y' ,

n ⋅s x ⋅s y

Vx =

sx , x

Vy =

sy y

calculando se tiene que:

luego:

sy = 34,7

y = 70

sx = 33,6

x = 56

Vx =

s x 33,6 = = 0,6 x 56

Vy =

s y 34,7 = = 0,5 y 70

r = 0,96

entonces, el error de muestreo será: σ xˆ =

[

100 - 5 800 2 (0,6 ) 2 + (0,5) 2 − 2 ⋅ 0 ,96 ⋅ 0,6 ⋅ 0 ,5 100 ⋅ 5

]

σ xˆ = 64

211

c) El intervalo de confianza será: ˆ −kσ ≤ X ≤ X ˆ +kσ X xˆ xˆ

como el nivel de confianza requerido es del 95%, el valor de t será: t

α 1− ; υ 2

= t 0 ,975; υ = 2,78

luego el intervalo será : 800 – 2,78 . 64 ≤ X ≤ 800 + 2,78 . 64 finalmente, se tiene que el saldo total verdadero debe estar comprendido entre Bs. 662 y 978, es decir, 662 ≤ X ≤ 978. Atendiendo a los resultados, se dictaminará favorablemente sobre el saldo de las cuentas por cobrar que aparece en los estados financieros.

9.4

Determinación del tamaño de la muestra.

Uno de los factores que mayor importancia tiene en el diseño de una muestra es la determinación del tamaño de la misma., por lo tanto, se debe prestar a este punto especial atención. En la práctica, existe una tendencia generalizada de fijar el tamaño de la muestra como un porcentaje de la población, Realmente, esto podrá tener relativa importancia en muestras pequeñas, pero por lo general, el tamaño de la muestra estará en función de la homogeneidad de la población, los niveles de confianza elegidos y el error que se desee obtener en las estimaciones. Así, por ejemplo, una muestra bastante grande tomada de una población suficientemente homogénea con respecto a la característica que se desea medir, no difiere significativamente de una muestra pequeña de la misma población, o sea que la eficiencia en la estimación estará en razón directa a la variabilidad de los 212

elementos medidos. Por otra parte, el tamaño de la muestra para dar determinada información con un nivel de confianza requerido, no aumentará indefinidamente cuando crece el tamaño de la población. Atendiendo a lo expuesto anteriormente habrá que tomarse en cuenta, para la determinación del tamaño de la muestra, las siguientes consideraciones: a) Los objetivos de la muestra. Si se trata de investigar un conjunto de variables para analizar propósitos múltiples, deberá considerarse el mayor número de variables y analizar con muestras rápidas o piloto la variabilidad de las características que se desee medir. El cálculo de una cuasivarianza permitirá tener una idea concreta de la dispersión de las variables. En consecuencia, en la medida que la variabilidad de los elementos sea menor, se obtendrán muestras más pequeñas, dado que proceden de poblaciones homogéneas. b) El dominio de estudio. En razón directa a las diferentes clasificaciones y niveles en que se desee estimar las variables, se determinará que el tamaño de la muestra crezca. Así, por ejemplo si se desea estimar el resultado económico de empresas a nivel de municipios, se requerirá una muestra significativamente más grande que si se deseare una estimación a nivel de Estado o Nacional. Evidentemente que el tamaño de la población será también factor a considerar. c) El costo de los estudios. Esta variable es importante dado que liga una función económica a los niveles de investigación. En muchos casos habrá que sacrificar precisión de acuerdo a las asignaciones presupuestarias respectivas.

213

d) Error absoluto y precisión. Fijando el nivel de confianza de las estimaciones, se deberá concretar el error absoluto o máximo admisible; este último se define como el producto del nivel de confianza requerido por el error de muestreo, o sea: E=kσ Este error, expresado en las mismas unidades con que se mide la variable, determina el valor a sumar y restar en la estimación para obtener el intervalo de confianza. Así, por ejemplo, si se quiere calcular una estimación del saldo medio de un conjunto de cuentas que aproximadamente sea de Bs. 500, el error máximo admisible o absoluto que se fijará podría ser de Bs. 20,00 de acuerdo a nuestros intereses. Otro ejemplo podría ser estimar la probabilidad de fumadores de un mercado potencial y se fija que las estimaciones deben tener un error del 3%, porque dicha precisión es necesaria para los fines del trabajo. e) Diseño de muestreo. Atendiendo al tipo de muestreo utilizado, la formulación para calcular el tamaño de la muestra será diferente en cada caso particular. 9.4.1

Cálculo del tamaño de la muestra para la media en el muestreo aleatorio simple.

Siendo

e = k σ x se tiene: e 2 = k 2 σx

sustituyendo a σ x 2 por su valor,

e2 = k2

N − n sˆ 2 ⋅ N n

N n e 2 = k 2 N sˆ 2 - k 2 n sˆ 2 N n e 2 + k 2 n sˆ 2 = k 2 N sˆ 2

214

n (N e 2 + k 2 sˆ 2 ) = k 2 N sˆ 2

luego, el tamaño de la muestra para la media se calcula mediante: n =

k 2 N sˆ 2 N e2 + k 2 sˆ 2

Ejemplo: De una población de 400 artículos, se tomó una muestra piloto de 6 para estimar su valor medio y utilizar el resultado para determinar el tamaño de la muestra con el 95% de confianza. a) Se calcula la media de la muestra piloto: x = 12 Bs. b) c) d) e)

Se calcula la cuasi-varianza: sˆ 2 = 6,8 Se fija el coeficiente de confianza para el 95%: k = 1,96 ≈ 2 Se fija el error máximo admisible: e = Bs. 1 Se determina el tamaño de la muestra: n =

k 2 N sˆ 2 N e + k ˆs 2 2

4 ⋅ 400 ⋅ 6,8 = 25 400 ⋅ 1 + 4 ⋅ 6,8

o sea que el tamaño de la muestra requerida es de 25 elementos. 9.4.2

Cálculo del tamaño de la muestra para el total en el muestreo aleatorio simple.

Siendo

e = k σ x se tiene: e 2 = k 2 σx

sustituyendo a σ x 2 por su valor,

 sˆ 2 e 2 = k 2  N (N − n )⋅ n 

  

n e 2 + k 2 N n sˆ 2 = k 2 N 2 sˆ 2

215

n (e 2 + k 2 N sˆ 2 ) = k 2 N 2 sˆ 2

luego, el tamaño de la muestra para el total se calcula mediante: n =

k 2 N 2 sˆ 2 e 2 + k 2 N ˆs 2

Ejemplo: De una población de 400 artículos, se tomó una muestra piloto de 6 para estimar su valor total de los artículos y utilizar el resultado para determinar el tamaño de la muestra con el 95% de confianza. a) Se calcula la media de la muestra piloto: x = 12 Bs. b) c) d) e)

Se calcula la cuasi-varianza: sˆ 2 = 6,8 Se fija el coeficiente de confianza para el 95%: k = 1,96 ≈ 2 Se fija el error máximo admisible: e = Bs. 150 Se determina el tamaño de la muestra: n =

k 2 N 2 sˆ 2 e 2 + k 2 N sˆ 2

4 ⋅ 400 2 ⋅ 6,8 = 130 150 ⋅ 1 + 400 ⋅ 6,8

o sea que el tamaño de la muestra requerida es de 130 elementos.

9.4.3

Cálculo del tamaño de la muestra para la proporción en el muestreo aleatorio simple.

Siendo

e = k σp

se tiene:

e2 = k 2 σp2

sustituyendo a σ p 2 por su valor,

216

e2 = k2

N − n p ⋅q ⋅ N n

N n e2 = k2 N p q − k2 n p q n (Ne 2 + k 2 p q) = k 2 N p q

luego, el tamaño de la muestra para la proporción se calcula mediante: n =

k2 N p q Ne 2 + k 2 p q

Ejemplo: De una población de 400 personas, se tomó una muestra piloto de 60 para estimar la proporción de fumadores y utilizar el resultado para determinar el tamaño de la muestra con el 95% de confianza. a) Se calcula la proporción de la muestra piloto: p = 0,7 b) Se fija el coeficiente de confianza para el 95%: k = 1,96 ≈ 2 c) Se fija el error máximo admisible: e = 0,10 d) Se determina el tamaño de la muestra mediante: n =

2 2 ⋅ 400 ⋅ 0,7 ⋅ 0, 3 400 ⋅ 0 ,10 2 + 2 ⋅ 0, 78 ⋅ 0,3

= 69

o sea que el tamaño de la muestra requerida es de 69 personas. 9.4.4

Uso de las tablas para determinar el tamaño de la muestra.

En algunos casos se simplifica la determinación del tamaño de la muestra utilizando ciertas tablas, fijando a priori el error absoluto

217

o el grado de acuracidad, así como el valor de la estimación de la proporción o de la varianza fijada a partir de una muestra piloto. A continuación se verán algunos casos. 9.4.4.1 Tamaño de la muestra para una proporción dada, considerando una población infinita. La tabla 19 recoge el tamaño de la muestra fijando a priori el error absoluto y la proporción p, cuando la población es infinita. En efecto, se tabularon los diferentes valores para la expresión e=k

p ⋅q n

Ejemplo: En un archivo se dispone de un conjunto de carpetas que contienen los ingresos de caja de 5 años. Se quiere hacer un análisis de dicha información. Para tal fin se tomó una muestra piloto de 25 comprobantes eligiéndolos al azar. Se encontró que el 8% de los comprobantes tenían reparos. Se desea hacer la determinación del tamaño de la muestra con el 95% de confianza y considerando que se podrían admitir errores en un 2% máximo, o sea que se admite como normal que 2 de cada 100 documentos estén defectuosos.

En la tabla 19 se lee el error absoluto e = 2% en el encabezamiento y en la columna matriz el porcentaje correspondiente, o sea 8%. En el cuerpo del cuadro, se leerá el tamaño de la muestra correspondiente, o sea: n = 736.

Esto quiere decir que con las restricciones planteadas, se deben analizar 736 comprobantes.

218

9.4.4.2 Tamaño de la muestra para una proporción (p) dada, considerando una población finita. A partir de la expresión e=k

N − n p ⋅q ⋅ N n

usando la tabla N° 20, considerando un nivel de confianza del 95%, un error absoluto de 0,025 y 0,05, se tabuló el tamaño de la muestra, dado el tamaño de la población. Ejemplo: Se considera un conjunto de relaciones que permiten definir si un procedimiento se cumple o no. Se tienen 1.000 documentos que deben ser analizados mediante una muestra y hacer un dictamen con el 95% y un error del 5%. Se tomó una muestra piloto y se encontró que el 4% no cumple con los procedimientos. Se desea calcular el tamaño de la muestra respectiva. En la tabla 20 se busca en la columna N = 1000 y en la línea p = 0,05, con un error del 0,05, el tamaño de la muestra que es de 56 documentos los cuales deben ser analizados. Para valores de N no contenidos en la tabla, se podrá tomar el valor más próximo hacia arriba. Así por ejemplo si N = 800, se podrá leer sin mucha rigurosidad en la columna N = 1000 o, en todo caso, se procederá al cálculo respectivo.

219

220

CAPÍTULO X MUESTREO ESTRATIFICADO Conceptos y definiciones. Estimaciones de la media, total y proporción. Errores de muestreo. Intervalos de confianza. Determinación del tamaño de la muestra.

10.1 Conceptos y definiciones. Cuando los elementos de una población no son homogéneos, con respecto a las características que se desean medir, se deberán clasificar los elementos en función de ellas, con el fin de agruparlos en estratos para hacerlos aproximadamente homogéneos con respecto a la característica considerada. Sea, por ejemplo, que se desea calcular los saldos medios de un gran número de clientes con saldos cuya variabilidad y antigüedad es bien diferente. Para tal fin, habrá necesidad de clasificar a los cliente por antigüedad, o sea: 30, 60, 90 y 180 días y además por saldos, de acuerdo a una distribución adecuada, por ejemplo: Saldos menores de Bs. 1001 2001 más de Bs.

1000 2000 3000 3000

A cada grupo o estrato habrá que darle un tratamiento como si se tratase de una muestra aleatoria simple y agruparla por un método apropiado para obtener las estimaciones de la población. El problema reside entonces en clasificar la población en h estratos, o sea: N1 N2 N3 . . . . . . .Nh , donde h

∑ N h = N o sea la suma de los elementos de cada estrato es igual al i =1

tamaño de la población.

221

De cada estrato se seleccionará una muestra, o sea: n1 n2 n3 . . . . . . .nh , donde h

∑ n h = n o sea la suma de los elementos seleccionados en cada i =1

estrato es igual al tamaño de la muestra. Existen varios criterios para seleccionar mencionan a continuación los siguientes:

muestra.

a) Afijación arbitraria. Se selecciona un número cualquiera de elementos de cada estrato, independientemente del total de elementos que cada uno de ellos tenga. En otras palabras: n1 ≠ n2 ≠ n3 ≠. . . . . . .≠ nh b) Afijación proporcional. Se selecciona un número proporcional (Wh ) de elementos en cada estrato con respecto al total de cada uno de ellos. En efecto: W1 = W2 =

N1 N N2 N

..... Wh =

Nh N

c) Afijación óptima. En este caso, el tamaño de la muestra de cada estrato Nh es proporcional al producto de ella por la varianza del estrato correspondiente. Este método es particularmente útil cuando hay 222

diferencias marcadas entre las varianzas y proporciona errores de muestreo un poco más pequeños. 10.2

Estimaciones de la media.

Considerada una población que ha sido previamente estratificada, se selecciona una muestra de los estratos correspondientes y se procede a calcular para cada uno de ellos la media y la varianza, procediendo luego a obtener la media general, el error de muestreo y el intervalo de confianza respectivo. Habrá que diferenciar en cada caso el tipo de afijación establecido. 10.2.1 Afijación arbitraria. La media general es: ˆ =∑ X

Nh xh

donde

Nh : es el total de elementos del estrato h. x : la media del estrato h. La varianza general se obtiene mediante: σ x2 =

∑ N h σ xh 2 N2

donde: σ x2 : es la varianza del estrato h El error de muestreo entonces se obtiene por : σ x2 =

1 N

(

)

∑ Nh Nh - nh ⋅

2 sˆ h

donde sˆ h2

: es la varianza de cada estrato h

223

El intervalo de confianza respectivo es: x −k σ ≤ X ≤x + kσ x

Ejemplo: Para realizar una investigación económica, una población constituida por 150 empresas se han clasificado en empresas pequeñas, medianas y grandes. De cada grupo se seleccionó una muestra y se estimó el valor medio de los ingresos por empleado. Con los resultados se desea estimar el ingreso medio de todos los empleados. Los resultados del caso se resumen a continuación:

Tipo de Empresa Total Pequeñas Medianas Grandes

Total

400 80 200 120

Número de Empresas seleccionadas

150 20 100 30

Ingreso Medio Bs.

Desviación Típica

500 800 900

100 150 220

La estimación de la media y el error de muestreo es el siguiente:

ˆ =∑ X

Nh xh N

σ x2 =

1 N

∑ N h (N h - n h ) ⋅

2 sˆ h

Para realizar el cómputo correspondiente se pueden disponer los cálculos en la tabla siguiente:

224

Estrato -h -

1 2 3 Total

(1) 80 200 120 400

(2) 20 100 30 150

sˆ h

N h-

(3) 500 800 900 --

(4) 100 150 220 --

(5) 40.000 160.000 18.000 308.000

Nh-- n h

N h-( N h-- n h)

(6) 60 100 90 --

(7) 4.800 20.000 10.800 --

sˆ h2 (8) 10.000 22.500 48.400 --

sˆ h2 nh (9) 500 225 1.163 --

N h (N h − n h )sˆ h nh

(10) 2.400.000 4.500.000 17.420.000 24.320.000

La media es la suma de la columna (5) sobre el tamaño de la población ˆ 308 .000 X= = 770 400

El error de muestreo es: σ = x

1 24.320 .400 = 12 400

El intervalo de confianza para la estimación del ingreso medio para α = 0,06 es: 770 - 1,96 . 12 ≤ X ≤ 770 + 1,96 . 12 es decir: 746,48 ≤ X ≤ 793,52 10.2.2 Afijación proporcional. En este caso, los valores de nh son proporcionales a Nh , por tanto las expresiones citadas anteriormente se transforman en las siguientes: La media general es:

ˆ X=

∑nh

225

Con un error de muestreo definido por:

σx =

N- n N

∑

nh n n

⋅ sˆ h 2

Por supuesto que el intervalo de confianza se obtiene mediante: x − k σx ≤ X ≤ x + k σ x

Ejemplo: En un estudio de mercado se investigó el consumo medio por familia de un limpiador de cocinas. A tal fin, la zona de estudio se clasificó atendiendo al tipo de familia según su ingreso y de allí se tomó una muestra proporcional al total de familias. Se desea estimar el consumo promedio por familia para la zona. De acuerdo con el resumen de la investigación se detalla la información a continuación: Tipo de familia según ingreso

Total de familias

A B C D Total

300 200 70 30 600

Muestra seleccionada

30 20 7 3 60

Consumo medio

Desviación típica

10 15 12 15 --

6 4 4 2 --

En este caso, por tratarse de una muestra proporcional, se utilizan los estimadores siguientes:

ˆ X=

∑nh xh n

σx =

N- n N

∑

nh n n

⋅ sˆ h 2

Los cálculos se disponen en una tabla:

226

N h-

sˆ h2

sˆ h

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

30 20 7 3 60

10 15 12 15 --

6 4 4 2 --

36 16 16 4 --

300 300 84 45 729

0,50 0,33 0,12 0,05 --

18,00 5,28 1,92 0,20 25,4

La media es la suma de la columna (5) entre 60. x=

729 = 12,15 60

el error de muestreo es: σx =

600 − 60 25,4 ⋅ = 0,90 ⋅ 0,4233 = 0,62 600 60

luego el intervalo de confianza para un 99%, para la estimación del consumo medio es: 12,15 - 3 . 0,62 ≤ X ≤ 12,15 + 3 . 0,62 10 ≤ X ≤ 14 10.2.3 Afijación óptima. Si se verifica que el tamaño de la muestra para cada estrato es proporcional al producto del tamaño del estrato por la desviación típica sˆ h y además existen diferencias significativas entre las varianzas por estrato, se utilizará preferentemente la afijación óptima. Al efecto, se debe verificar que nh = n

Nh sˆ h ∑ N h sˆ h

Los estimadores correspondientes se indican a continuación.

227

Para obtener la media general: ˆ X=

∑ Nh xh N

y el error de muestreo es:  N sˆ ∑  hN h  n

σx =

   

Nh 2 1 ⋅ sˆ ∑ N N

el intervalo correspondiente es: x − k σx ≤ X ≤ x + k σ x

Ejemplo: En una investigación realizada en cinco comunidades se estimó el ingreso medio familiar. Se desea una estimación del ingreso de todas las comunidades. La información del caso se resume a continuación.

Comunidades

A B C D E

NÚMERO DE FAMILIAS Ingreso Total Seleccionadas Medio Bs.

500 200 650 300 200

60 12 159 45 24

1.000 800 700 600 850

Desviación típica

100 500 200 120 100

En vista de que existe una proporcionalidad entre el tamaño del estrato y el producto de él con la desviación, se estima la media y el error de muestreo correspondiente mediante:

228

Los cálculos se disponen en la tabla siguiente: Estrato -h -

(*)

1 2 3 4 5 Total

(1) 500 200 650 300 200 1.850

(2) 60 12 159 45 24 300

sˆ h

sˆ h2

(3) 1000 800 700 600 850 --

(4) 100 500 200 120 100 --

(5) 10.000 250.000 40.000 14.400 10.000

N h-

(6) 500.000 160.000 455.000 180.000 170.000 1.465.000

Nh N (7) 0,27 0,11 0,35 0,16 0,11 1,00

Nh . N (8) 27,0 55,0 70,0 19,2 11,0 --

(Nh . h)2 N2 (9) 729,00 3.025,00 4.900,00 368,64 121,00 9.143,64

Nh . N

(10) 2.700 27.500 14.000 2.304 1.100 47.604

(*) El tamaño de la muestra n se repartió en cada estrato según nh = n

Nh ˆs h ∑ N h sˆ h

La media resulta de dividir la columna (6) sobre N ˆ 1.465 .000 X= = 792 1.850

El error de muestreo es: σx =

9143 ,64 1 − ⋅ 47 .604 = 300 850

30.40 - 25,73 = 2,18

luego el intervalo de confianza para el ingreso medio de las comunidades, para el 99% de confianza es: 792 - 3 . 2,18 ≤ X ≤ 792 + 3 . 2,18 785 ≤ X ≤ 799 10.3

Estimaciones de la proporción.

Las consideraciones anotadas para la media se hacen extensivas a la proporción. En este sentido, se toma en cuenta el tipo de afijación para el cálculo de los estimadores correspondientes.

229

10.3.1 Afijación arbitraria. La proporción general se obtiene mediante: pe =

∑ N h ph N

siendo ph la proporción para cada estrato h. El error de muestreo es: σp = e

N h (N h - n h )

1 N

n h −1

p h qh

El intervalo de confianza para la proporción poblacional P es : p − k σp ≤ P ≤ p + k σp e

Ejemplo: Si se consideran varios lotes de producción y para cada uno de ellos se ha estimado a partir de una muestra la proporción de aluminio, se tiene:

Lotes de producción

A B C

Proporción de Aluminio

0,10 0,15 0,16

Total de artículos

1000 1500 600

Muestra seleccionada

300 350 100

Se desea estimar la proporción de aluminio al reunir los lotes A, B y C. Los cálculos correspondientes se disponen de esta manera:

230

Nh (Nh -n h ) qh p h

qh = 1 - p h

Estrato

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

1 2 3 Tot.

1000 1500 600 3100

300 350 100 750

0,10 0,15 0,16 --

0,90 0,85 0,84 --

100 225 96 421

700 1150 500 --

700.000 1.725.000 300.000 --

63.000,0 219.937,5 40.320,0

210,70 630,19 407,27 1.248,16

nh (*)

Nh ph

Nh -nh

Nh (Nh -nh)

Nh (Nh -n h)ph qh nh - 1

La proporción se estima mediante el cociente del total de la columna (5) sobre el tamaño de la población N, es decir: pe =

421 = 0,14 3100

El error respectivo es: σp = e

1 3100

1248,16 ≅ 0,01

Luego, el intervalo de confianza para la proporción de aluminio de todos los lotes, considerando un 99% es: 0,14 - 3 . 0,01 ≤ P ≤ 0,14 + 3 . 0,01 o sea 0,11 ≤ P ≤ 0,17 10.3.2 Afijación proporcional. Si nh es proporcional a Nh, el cálculo de los estimadores se reduce a calcular la proporción general mediante: pe =

∑nh ph n

con un error de muestreo determinado por:

231

N- n N.n

σp = e

∑

nh n

⋅ ph ⋅ q h

El intervalo de confianza es: p − k σp ≤ P ≤ p + k σp e

Ejemplo: En un estudio de opinión se obtiene la proporción de familias consumidoras que están dispuestas a comprar un artículo de consumo a un precio dado. El estudio se realizó a base de muestras proporcionales sobre 4 ciudades y se obtuvo el resultado siguiente: Total de Familias

Ciudades

1 2 3 4 Total

N° de familias entrevistadas

1000 2000 600 400 4000

200 400 120 80 800

Proporción de familias

0,60 0,80 0,75 0,65 --

Estrato

Se desea estimar la proporción para las cinco ciudades. A tal fin, los cálculos correspondientes se disponen así:

1 2 3 4

Total

sˆ h

N h-

sˆ h2

nh n

ˆs h2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1000 2000 600 400 4000

200 400 120 80 800

0,60 0,70 0,75 0,65 --

0,40 0,30 0,25 0,35 --

0,25 0,50 0,15 0,10 --

0,15 0,35 0,11 0,07 0,68

0,06 0,11 0,03 0,02 0,22

La proporción total estimada para las cinco ciudades se obtiene sumando la columna (6) Pe = 0,68

232

El error de muestreo es: σp = e

4000 − 800 ⋅ 0,22 = 0,015 4000 ⋅ 800

Luego, el intervalo de confianza para la proporción con un 95% es: 0,68 - 1,96 . 0,015 ≤ P ≤ 0,68 + 1,96 . 0,015 0,65 ≤ P ≤ 0,71 10.3.3 Afijación Óptima. Si la muestra nh es proporcional al producto de Nh por la desviación típica de cada estrato, la proporción en el muestreo estratificado se calcula mediante: pe =

∑ N h ph N

con un error de muestreo

σp = e

N  ∑  Nh ⋅ p h ⋅ q h    n

Nh 1 ⋅p ⋅q ∑ N N h h

El intervalo de confianza es: p e − k σ p ≤ P ≤ pe + k σ p e

Ejemplo: Al considerar la información necesaria para realizar un diagnóstico social de un proyecto, se investigaron 4 comunidades rurales, calculándose para cada una de ellas la proporción de analfabetismo. Los resultados se disponen a continuación:

233

N° total de habitantes

Comunidades

1 2 3 4

N° de personas entrevistadas

600 500 200 600

% de analfabetismo

32 21 6 41

20 15 10 30

Estrato

El cálculo de los estimadores se dispone de la manera siguiente:

1 2 3 4

Total

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

600 500 200 600 1900

32 21 6 41 100

0,32 0,26 0,11 0,31 --

0,20 0,15 0,10 0,30 --

0,80 0,85 0,90 0,70 --

0,0640 0,0390 0,0110 0,0930 0,2070

0,0512 0,0332 0,0099 0,0651 0,1594

.p h

.p h q h

La estimación de la proporción de analfabetos es: pe =

∑ Nh ph N

= 0,207

y el error de muestreo es:

σp = e

N  ∑  Nh ⋅ p h ⋅ q h    n

σp =

1 00

 Nh  1  ⋅ p h ⋅ q h  ∑  N  N 

1 0,1594 N 1000

σ p = 0,013 e

234

Luego el intervalo de confianza para el 95% es: 0,207 - 1,96 . 0,013 ≤ P ≤ 0,207 + 1,96 . 0,013 0,18 ≤ P ≤ 0,23

10.4

Estimaciones para el total.

10.4.1 Afijación arbitraria. El estimador del total para el muestreo estratificado es el siguiente: ˆ Xˆ = N x = ∑ N h . x h

El error de muestreo correspondiente se calcula mediante: σˆ = ˆx

(

)

∑ Nh Nh - nh ⋅

2 sˆ h

El intervalo de confianza respectivo es: ˆ ˆˆ + k σ Xˆ − k σ ˆ ≤ X ≤ X xˆ

xˆˆ

Ejemplo: Al realizar un diagnóstico económico de la industria metálica se desea estimar el total de obreros que trabajan en el sector. Previamente, las empresas se han clasificado de acuerdo a su importancia económica, obteniéndose los resultados que se describen en el cuadro siguiente:

235

Tipo de Empresa

N° de empresas Seleccionadas

Total de Empresas

Pequeñas Medianas Grandes

300 150 20

Promedio de obreros el día de la encuesta

30 20 50

4 20 50

Desviación Típica

1 3 5

Estratos

Los cálculos para estimar el total y su error correspondiente se disponen así:

1 2 3 Total

(1) 300 150 20 470

(2) 30 20 10 60

sˆ h

sˆ h2

(3) 4 20 50 --

(4) 1 3 5 --

(5) 1 9 25 --

sˆ h 2

(6) 0,033 0,450 2,500 --

(7) 0,64 0,32 0,04 1,00

Nh x h

(8) 1200 3000 1000 5200

N h ( Nh − n h )

(9) 81.000 19.500 200 --

N h (N h − n h )sˆ h2

(10) 2.673 8.755 500 11.948

La estimación del total de obreros es: ˆˆ X = ∑ N h . x h = 5200

El error de muestreo es: σˆ = ˆx

(

)

∑ Nh Nh - nh ⋅

sˆ h 2 nh

= 11 .948 = 109

El intervalo de confianza para la estimación del total de obreros para el 95% es: 5200 - 1,96 . 109 ≤ X ≤ 5200 + 1,96 . 109 4.893 ≤ X ≤ 5.413

236

10.4.2 Afijación proporcional. El estimador del total en este caso es: n ˆˆ X = N x = N ⋅ ∑ h ⋅ xh n

con un error de muestreo: σˆ = xˆ

n h sˆ h 2 N (N - n) ∑ ⋅ n n

ˆ ˆˆ Xˆ − k σ ˆ ≤ X ≤ X +k σ xˆ

xˆˆ

Ejemplo: Se desea estimar, a partir de una muestra estratificada proporcional, el valor de la producción de la industria química sobre la base de que se han obtenido los estimadores de la producción para cada sub-sector específico de la industria, es decir:

Sub-sector

Total

1 2 3 4

190 200 400 310

NÚMERO DE EMPRESAS Producción media Muestra (millones de Bs)

19 20 40 31

Desviación Típica

2 8 20 10

1 2 3 1

Estratos

En este caso el cálculo se hará utilizando la tabla abajo descrita.

1 2 3 4 Total

(1) 190 200 400 310 1100

(2) 19 20 40 1031 110

nh n

(3) 0,17 0,18 0,36 0,29 --

sˆ h

sˆ h2

(4) 2 8 20 10 --

(5) 1 2 3 1 --

(6) 1 4 9 1 --

(7) 0,34 1,44 7,20 2,90 11,88

nh n

sˆ h2

(8) 0,17 0,72 3,24 0,29 4,42

237

El valor total de la producción se estima mediante: n ˆˆ X = N ⋅ ∑ h ⋅ x h = 1100 .11,88 = 13.068 n

El error de muestreo correspondiente se obtiene por :

σˆ = xˆ

n h sˆ h 2 4,42 N (N - n) ∑ ⋅ = 1100(1100 - 110) ⋅ = 209 n n 110

El intervalo de confianza para el 95% es: 13.068 - 1,96 . 209 ≤ X ≤ 13.068 + 1,96 . 209 12.676 ≤ X ≤ 13.460

o sea:

10.4.3 Afijación óptima. El estimador del total es: ˆˆ X = N x = ∑ Nh ⋅ x h

con un error de muestreo σˆ =

(∑ N

xˆ

sˆh

)

(

− ∑ Nh sˆh 2

)

luego el intervalo de confianza se obtiene utilizando: ˆ ˆˆ Xˆ − k σ ˆ ≤ X ≤ X +k σ xˆ

xˆˆ

Ejemplo: Al finalizar el diagnóstico socio-económico de un proyecto, se realizó un muestreo de fincas ganaderas, las cuales se clasificaron atendiendo a la superficie total en hectáreas. Para cada explotación

238

ganadera se realizó un inventario del ganado. Con esta base se requiere estimar el total de cabezas de la zona en cuestión. Tamaño de la explotación (has)

N° Total de explotaciones

0,1-15 has 15.1-30 has 30.1-60 has 60.1-90 has 90.1 y más Total

300 200 1150 60 50 760

Total de cabezas en la Muestra 220 960 1120 90 680 3070

Muestra de explotaciones

22 48 35 15 17 140

Promedio por explotación

10 20 32 50 40 --

Desviación Típica

1 3 3 4 4 --

Estratos

Para calcular los estimadores se tiene:

1 2 3 4 5 Total

sˆ h

sˆ h2

Nh x h

N h sˆh

Nh sˆh2

(1) 300 200 150 60 50 760

(2) 22 48 35 18 17 140

(3) 10 20 32 50 40 --

(4) 1 3 3 4 4 --

(5) 1 9 9 16 16 --

(6) 3000 4000 4800 3000 2000 16800

(7) 300 600 450 240 200 1790

(8) 300 1800 1350 960 800 5210

La estimación total de cabezas de la región es: ˆˆ X = ∑ N h ⋅ x h = 16.800

El error de muestreo se obtiene mediante: σˆ = xˆ

(∑ N

sˆh

)

(

)

− ∑ Nh sˆ h 2 =

(1790 )2 − 5210 ≈ 133 140

El intervalo de estimación para el total de cabezas de ganado para el 95% de confianza es: 16.800 - 1,96 . 133 ≤ X ≤ 16.800 + 1,96 . 133 o sea:

16.539 ≤ X ≤ 17.061

239

10.5

Determinación del tamaño de la muestra.

10.5.1 Para estimar la media. a) En el caso de afijación arbitraria. N ∑  Nh n= 

 sˆ h  n ÷n  h Nh 2 ⋅ sˆ e2 ∑ N h + n k2 2

Si no se considera el coeficiente de corrección para poblaciones finitas, la ecuación toma la forma: Nh 1 n= 2 e k2

∑ Nn

⋅ sˆ h2 h

Ejemplo: Se desea calcular el tamaño de la muestra para analizar los salarios medios de la industria maderera, la cual se ha clasificado previamente en tres estratos y se estima para cada uno de ellos la desviación en base a una muestra piloto. El marco de la muestra es el siguiente: Estratos

1 2 3

N° de Empresas

200 300 50

Desviación

100 150 200

Peso deseado en cada estrato

0,20 0,50 0,30

Si se desea un error absoluto de Bs. 50,00 con un nivel de confianza, se tiene que e = 50 y k = 3.

240

Para calcular el tamaño de la muestra se tiene: Estratos

sˆ h

(1) 200 300 50 550

(2) 100 150 200 --

(3) 0,20 0,50 0,09 --

(4) 0,36 0,55 0,09 --

 Nh   N 

   

 Nh   N 

sˆ h 2

 2  sˆ h  

 Nh    ˆ 2  N  sh   nh

N h sˆ h2 N

n 1 2 3 Total

(5) 0,130 0,302 0,008 --

(6) 10.000 22.500 40.000 --

(7) 1.300 3.795 320 --

(8) 6.500,0 13.590,0 1.066,7 21.156,7

(9) 3.600 12.375 3.600 19.575

21.156 ,7 = 68 50 2 19 .575 + 550 32

El tamaño de la muestra es 68 la cual se reparte para cada estrato según los pesos nh , o sea: N° de Empresas

Tipos

1 2 3

200 300 50

Total

550

Peso

N° de Empresas a seleccionar

0,20 0,50 0,30

14 34 20 68

b) Afijación proporcional. Para estimar el tamaño de la muestra cuando

Nh N

nh n

obtiene mediante:

∑

Nh 2

N e2 k2

⋅ sˆh2

÷1+

∑

Nh N2 e2 k2

⋅ sˆ h2

÷N

241

siendo el coeficiente

e2 = σ x2 2 k

o se la varianza de la distribución

en el muestreo. Ejemplo: Se desea calcular el tamaño de una muestra para estimar el rendimiento promedio de producción de maíz en un sector del país. Para tal fin, se realizó una muestra piloto de acuerdo al tipo de empresa y se obtuvo el siguiente resultado: Tipos de Empresas

N° de Empresas

Pequeñas Medianas Grandes Total

Desviación

260 540 120 920

4000 6000 5000

Estratos

Los cálculos correspondientes se disponen así:

(1) 1 2 3 Total

(2) 260 540 120 920

sˆ h

(3) 4000 6000 5000 --

sˆ h 2

N h sˆ h2

(4) 10.106 36.106 25.106 --

(5) 0,28 0,59 0,139 --

(6) 448.104 2124.104 325.104 2897.104

Se espera que el rendimiento medio por ha. sea de alrededor de 5.000 Kgs. Se desea un error de muestreo de 300 Kgs. Con un nivel de confianza del 95% (k = 2); luego, el error absoluto es: e = k σ x = 2 ⋅ 300 = 600

sustituyendo en la ecuación correspondiente se tiene:

242

 600 2 4 2897 ⋅ 10 ÷  2897 .10 4 22  n= ÷ 1 + 2 920 600   2 2 

   = 238  

El resultado de la muestra se repartirá proporcionalmente en cada estrato, es decir: Tipos de Empresas

Pequeñas Medianas Grandes Total

N° de Empresas

Desviación

260 540 120 920

67 140 31 238

c) Afijación óptima. 2

 Nh   ˆ   N ⋅sh    2 N e 1 + ∑ h ⋅ sˆ h2 2 N N k

Ejemplo: Considerando la información del ejemplo precedente, se desea calcular el tamaño de la muestra para la afijación óptima. Al efecto se tiene: Tipos de Empresas

Pequeñas Medianas Grandes Total

N° de Empresas

260 540 120 920

Desviación

4000 6000 5000

Los cálculos se disponen así:

243

Estratos

(1) 1 2 3 Total

(2) 260 540 120 920

Nh N

2 sˆ h

(3) 0,28 0,59 0,13 --

(4) 4000 6000 5000 --

(5) 10.106 36.106 25.106 --

sˆ h

sˆh

(6) 1120 3540 650 5310

sˆ h2

(7) 448.104 2124.104 325.104 2897.104

Si se desea un 95% de confianza y un error absoluto e = 600, se tiene: n=

(5310 )2 2

600 1 + ⋅ 2897 .10 4 2 920 2

28196100 = 232 121489,13

El tamaño de la muestra se repartirá de manera proporcional al tamaño del estrato por la desviación correspondiente, es decir: nh = n

N ⋅ sˆ h

∑ N h ⋅ sˆ h

De acuerdo a la expresión anterior, se tiene la distribución de los elementos o muestras en cada estrato, o sea:

Empresas

Total

N h sˆh

Pequeñas Medianas Grandes Total

260 540 120 920

448.104 2124.104 325.104 2897.104

Tamaño de la muestra

49 154 29 232

244

10.5.2 Para estimar totales. a) Afijación arbitraria. N h sˆ h2 ∑ n h n=

n e2 + ∑ N h ⋅ sˆ h2 k2

Ejemplo: Para realizar una estimación del total de cabezas de ganado, se desea estimar el tamaño de la muestra considerando varios tipos de explotaciones estratificadas de acuerdo a la superficie. Previamente se hizo una muestra piloto obteniéndose los siguientes resultados. Superficie de las explotaciones

N° de explotaciones

Desviación (cabezas)

0,5-10 has 10.1-50 has 50.1-100 has 100.1 y más Total

100 80 60 20 260

5 30 120 180

Para calcular el tamaño de la muestra, se fijan los criterios que se describen seguidamente: 1. 2. 3.

Se desea un error de muestreo del 20% y se espera un promedio total aproximado entre 4000 y 8000 cabezas. Se desea un nivel de confianza del 99%. Se quiere una muestra que represente porcentualmente a los diferentes estratos de la forma que abajo se indica: 0,5-10 has 10.1-50 has 50.1-100 has 100.1 y más

10% 20% 30% 40%

245

Los cálculos se disponen así: Estratos

N h 2 sh 2 nh

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

1 2 3 4

100 80 60 20

5 30 120 180

25 900 14400 32400

2500 72000 864000 648000

10000 6400 3600 400

25.104 576.104 5184.104 1269.104

0,10 0,20 0,30 0,40

25.105 288.105 1728.105 324.105

Total

260

1586500

7081.104

2365.105

sˆ h

sˆ h 2

Nh ⋅ sˆh 2

Nh 2

Nh 2 ⋅ sˆ h 2

nh n

Para un nivel de confianza del 95%, k = 2 y el error absoluto es: e = k ⋅ σ x ; estimando a ⋅σ x en 1600 cabezas se tiene: e = 2 . 1600 = 3200 n=

23265 .10 5 = 57 3200 2 + 1586500 4

La distribución del tamaño de la muestra es: Superficie de las explotaciones

0,5-10 has 10.1-50 has 50.1-100 has 100.1 y más Total

N° de explotaciones

100 80 60 20 260

nh n

0,10 0,20 0,30 0,40

6 11 17 23 57

246

b) Afijación proporcional.

N e2 k2

∑ N h sˆ h

N e2 2 ÷1+ k

∑ N h sˆ h 2 N

Ejemplo: Se quiere determinar el tamaño de una muestra para seleccionar viviendas en tres sectores de un centro poblado y estimar la población total. Previamente, se hizo una encuesta piloto con los siguientes resultados: Sectores

Media de personas por vivienda

N° de Viviendas

1 2 3

600 800 700

Total

2100

5 6 6

Desviación

6 5 4

Se fija un error e = 2500 personas con un intervalo de confianza del 99% (k = 3) Los cálculos correspondientes son: Estratos

1 2 3 Total

sˆ h

(1) 600 800 700

(2)

sˆ h 2

Nh ⋅ ˆsh 2

6 5 4

(3) 36 25 16

(4) 21600 20000 11200

52800

247

2100 ⋅ 52800 2500 2 2100 32 n= ⋅ 52800 ÷ 1 + 2100 2500 2 2 3

159,67 = 148 1,08

El tamaño de la muestra se repartirá proporcionalmente al tamaño del estrato Nh quedando finalmente:

Sectores

N° de Viviendas

1 2 3

600 800 700

Total

2100

Muestra (n h)

0,29 0,38 0,33

43 56 49 148

c) Afijación óptima.

(∑ N sˆ )

h h

e2 + ∑ N h ⋅ sˆ h2 2 k

Ejemplo: Se pretende estimar la superficie total bajo cultivo, considerando las fincas de cuatro sectores bien diferenciados. Se realizó una muestra piloto y se obtuvo una primera aproximación de la desviación típica.

248

Sectores

Desviación Superficie

N° de Fincas

A B C D

190 300 800 900

15 20 40 60

La muestra piloto dio un promedio de 12 hectáreas por finca, lo cual representa algo más de 26000 hectáreas. Se fija un error de muestreo del 12%, es decir, 3000 hectáreas. El error absoluto es: e = k ⋅ σ x = 2 . 3000 = 6000. Los cálculos se realizan utilizando la tabla siguiente:

Estratos

sˆ h

2 sˆ h

N h ⋅ sˆh

(1) A B C D Total

(2) 190 300 800 900 2190

(3) 15 25 40 60 --

(4) 225 1625 1600 3600 --

(5) 2850 7500 32000 54000 96350

N h ⋅ sˆ h

(6) 42750 187500 1280000 3240000 4750025

(96350 ) 2 = 1061 6000 2 + 4750025 32

La repartición de cada nh se hace utilizando la expresión: nh = n

N h sˆ h ∑ N h sˆ h

249

Estrato

N° total de fincas

A B C D Total

Muestra

N h sˆ h

190 300 800 900 2190

(n h ) 32 83 352 594 1061

2850 7500 32000 54000 96350

10.5.3 Para estimar proporciones. a) Afijación arbitraria. En este caso se encuentra una aproximación calculando el tamaño de la muestra bajo el supuesto que: Nh

Nh − 1

→1

en efecto se tiene: nh

N n = ∑  h  N

 n h −1 e2  ⋅ ⋅ p q ÷ + h h  nh k2  n 2

∑

N h p h .q h ⋅ N nh −1 N

en el caso de valores grandes de nh se tiene: N n =  h  N

Nh 2  ph qh e2 ∑ N ph qh  ⋅ ÷ 2 +  nh N k  n

Ejemplo: Para realizar un sondeo de opinión relativo a las preferencias por determinadas televisoras, se desea determinar el tamaño de la muestra considerando tres sectores de una población. Se realiza una

250

investigación preliminar en cada sector, estimándose la proporción de audiencia de una planta A del total de familias en cada sector; los resultados se presentan a continuación: Sectores

Proporción de audiencia

N° de familias

1 2 3

(P) 0,60 0,70 0,65

400 600 500

Para la determinación del tamaño de la muestra, se fija un error absoluto e = 0,03, un nivel de confianza del 95% y se desea entrevistar un 20% en el sector 1, 40% en el sector 2 y 40% en el sector 3.

Estrato

Los cálculos se disponen así: N  h  N 

   

N  h  N 

  p q  h h 

N  h  N 

  p q  h h  nh

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

400 600 500 1500

0,60 0,70 0,65

0,40 0,30 0,35 --

0,27 0,40 0,33 --

0,073 0,160 0,109

0,20 0,40 0,40 --

0,018 0,034 0,025 --

0,090 0,085 0,063 0,238

0,065 0,084 0,075 0,224

p hq h

n 1 2 3 Total

0,238 = 793 (0,03 ) 2 0,024 + 1500 22

La distribución de la muestra entre los estratos es como sigue: Sectores

1 2 3 Total

N° de familias

400 600 500 1500

Muestra

(n h )

0,20 0,40 0,40 1,00

159 317 317 793

251

b) Afijación proporcional.

 Nh  N

∑ 

 Nh e2 p q ⋅ p h .q h ÷ 2  h h ∑  N k ⋅÷ 1 + 2 N e k2

Ejemplo:

Estrato

En tres fábricas de una empresa se desea conocer la opinión favorable o no relativa a unos planes de protección a los empleados. Se desea determinar el tamaño de la muestra proporcionalmente al número de empleados de cada fábrica. A tal fin, se realizó una encuesta piloto y los resultados se disponen de la manera siguiente:

(1)

1 2 3 4 Total

800 600 1000 800 3200

Nh N

phqh

(2)

(3)

(4)

0,25 0,19 0,31 0,25

0,30 0,50 0,60 0,50 --

0,70 0,50 0,40 0,30 --

0,053 0,048 0,074 0,063 0,238

Fijando un error e = 0,06 y k = 2, para el 95% de confianza, se tiene: n=

0,238 ⋅÷ 1 + 0 ,06 2 22

0 ,06 2 2 2 = 244 3200

0,238 ÷

La distribución del tamaño de la muestra es:

252

Fábricas

N° de empleados

1 2 3 4 Total

800 600 1000 800 3200

M uestra

(n h )

0,25 0,19 0,31 0,25 1,00

61 46 76 61 244

c) Afijación óptima

  Nh ∑   N  

   ph qh      ÷1+ 1 2 e e2 N ⋅ k2 k2 2

∑

Nh N

⋅ p h .q h

Ejemplo: Se quiere determinar el tamaño de una muestra de cinco comunidades para realizar una investigación social referente a la proporción de viviendas que presentan determinadas características. Para tal fin, se toma una muestra piloto y se investiga la proporción de viviendas que usan energía eléctrica y se encuentran los valores siguientes: Comunidades

El Jobo Sosa La Esperanza La Unión Santa Elena

N° de v iviendas

800 500 600 820 900

% de viviendas con electricidad

60 30 20 70 70

El tamaño de la muestra se repartirá proporcionalmente al número de viviendas de cada comunidad y se desea un error absoluto del 5% para una confiabilidad del 99%.

253

Estrato

Los cálculos se disponen así:

1 2 3 4 5 Total

800 500 600 820 900 3620

(1)

Nh N (2)

0,22 0,14 0,16 0,23 0,25 --

p hq h

ph qh

Nh N

p hq h

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

0,60 0,30 0,20 0,70 0,70 --

0,40 0,70 0,80 0,30 0,30 --

0,0528 0,0294 0,0256 0,0483 0,0525 0,2086

0,24 0,21 0,16 0,21 0,21

0,498 0,459 0,400 0,459 0,459 --

0,1096 0,0643 0,0640 0,1056 0,1148 0,4583

(0,4583 )2 ÷ 1 + 0,05 32

1 0,2086 ≈ 869 0,05 2 3620 ⋅ 2 3

La distribución de la muestra se hará proporcional al tamaño del estrato por la desviación correspondiente, es decir: nh =

Estrato

(1)

1 2 3 4 5 Total

800 500 600 820 900 3620

N h ph qh

∑Nh ph qh

N h p hq h

⋅n

N h ph q h

∑Nh ph qh

(2)

(4)

(5)

192,0 105,0 96,0 172,2 189,0 754,2

0,225 0,139 0,127 0,228 0,251 --

222 121 110 198 218 869

Finalmente, la distribución del tamaño de la muestra queda asÍ:

254

Comunidades

El Jobo Sosa La Esperanza La Unión Santa Elena Total

N° de viviendas

Viviendas a seleccionar

800 500 600 820 900 3260

222 121 110 198 218 869

10.5.4 Determinación del tamaño de la consideración de una función de costos.

muestra

bajo

Sea una función de costos C = C0 + Σ ch nh donde C0 es un costo fijo y dentro de cualquier estrato el costo ch es proporcional al tamaño de la muestra. Si se considera la varianza en el proceso de afijación óptima:

σ 2x =

 Nh ˆ  ⋅s   N h  − 1 ∑ N h sˆ 2 n N N h

∑

Si se minimizó dicha varianza bajo la restricción de que C = C0 + Σ ch nh se puede obtener el tamaño de la muestra correspondiente para estimar la media, es decir:  Nh ∑  N ⋅ sˆ h c h n= e2 + k2

  Nh   ∑ ⋅ sˆ h ÷ c h   N   Nh 1 ∑ N sˆ h N

En el caso de la proporción, el tamaño de la muestra se obtiene por:

255

 Nh   Nh ∑   ⋅ p q c ⋅ p h q h ÷ ch  N h h h  ∑ N    n= N e2 1 + ⋅ ∑ h ⋅ phqh 2 N N k

   

la asignación para cada estrato se hace mediante: N h sˆ h nh = n

∑ N h sˆ h ch

ó Nh nh = n

∑ Nh

ph q h ch phqh ch

Ejemplo: Para realizar una investigación relativa a la opinión de los productores agropecuarios de cuatro áreas de cultivo en una zona respecto a los servicios de asistencia técnica de los organismos oficiales, se desea determinar el tamaño de la muestra, así como estimar el ingreso medio familiar mensual, para relacionarlo posteriormente con las opiniones emitidas por los productores. En este caso, se tienen dos variables, una media y una proporción. Es conveniente determinar el tamaño de la muestra en los dos casos y tomar luego una decisión al respecto. Un estudio piloto previo, proporcionó los resultados siguientes:

256

Ingreso

Áreas de Cultivo

N° total de productores

Muestra Piloto

Media

Desviación

1 2 3 4

300 500 320 400

15 25 16 20

800 500 300 1000

500 400 250 500

Opinión (%) No reciben asistencia 30 70 40 60 20 80 32 68

Reciben Asistencia

Costo por entrevista Bs. 10 12 20 25

Estrato

a) Cálculo del tamaño de la muestra para la media.

1 2 3 4 Total

sˆ h

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

300 500 320 400 1520

0,20 0,33 0,21 0,26 1,00

500 400 250 500 --

100,0 132,0 52,5 130,0

10 12 20 25 --

Nh N

(6)

3,3 3,4 4,5 5,0

sˆ h

sˆ h c h

ch (7)

330,00 448,80 236,25 650,00 1665,05

sˆ h2

Nh . N

(8)

(9)

(10)

30,30 38,52 11,67 26,00 106,79

250.000 160.000 65.500 230.000 --

50.000 52.800 13.125 65.000 180.925

Si se fija un error absoluto e = 100 Bs. que es 15% de la media esperada y un nivel de confianza del 99% (k = 3), se tiene: n=

1665 ,05 ⋅ 106 ,79 100 2 32

1 + ⋅ 180925 1520

≈ 145

1 2 3 4 Total

(1) 300 500 320 400 1520

p hqhch

Estrato

Cálculo del tamaño de la muestra para la proporción:

(2) 0,20 0,33 0,21 0,26 1,00

(3) 0,30 0,40 0,20 0,32 --

(4) 0,70 0,60 0,80 0,68 --

(5) 10 12 20 25 --

(6) 2,10 2,88 3,20 5,44 --

(7) 1,45 1,70 1,79 2,3 3 --

(8) 0,29 0,56 0,38 0,61 1,84

ph qh ch

ph qh

(9) 0,021 0,020 0,008 0,009 --

(10) 0,14 0,14 0,09 0,10

Nh p q N h h

(11) 0,028 0,046 0,019 0,026 0,119

(12) 0,042 0,079 0,031 0,057 0,212

257

Si se fija un error absoluto e= 0,15 y un nivel de confianza k = 3, para el 99% se tiene: 1,84 ⋅ 0,119 = 84 0,15 2 1 + ⋅ 0,212 32 1520

Si se comparan los resultados para la media y la proporción, es deseable elegir el tamaño de la muestra para la primera, es decir, n = 145. Esto permite reducir el error absoluto en el caso de la estimación de la proporción. En efecto, si se despeja e de la ecuación de la proporción, e se reduce aproximadamente al 1%. El tamaño de la muestra para cada estrato se obtiene mediante: nh = n

N h sh ÷ c h

(

∑ Nhsh ÷ c h

)

Estrato

al efecto se tiene:

1 2 3 4 Total

N h ˆsh

(1)

(3)

(5)

(6)

(4)

(7)

(8)

300 500 320 400 1520

500 400 250 500 --

10 12 20 25 --

3,3 3,4 4,5 5,0

150.000 200.000 80.000 200.000 --

45.454,55 52.823,53 17.777,78 40.000,00 162.055,86

41 52 16 36 145

N h sˆ h

258

Finalmente, se tiene que la distribución para el tamaño de la muestra es:

Áreas de cultivo

1 2 3 4 Total

N° de productores

300 500 320 400 1520

Productores a entrevistar N° %

41 52 16 36 145

28 36 11 25 100

Una práctica generalizada consiste en deducir de la muestra los estudios de casos ya realizados en la muestra piloto. Por ejemplo, en el primer estrato, se analizaron 15 productores, entonces para completar los 41 productores del estrato, se entrevista la diferencia o sea 26, para luego proceder a calcular los estimadores con 41 entrevistas.

259

APÃ&#x2030;NDICE

Tabla 1 NÃºmeros Aleatorios 10 28 34 61 61

27 41 21 81 15

63 50 42 77 18

96 61 57 23 13

23 88 02 23 54

71 64 59 82 16

50 85 19 82 86

54 27 18 11 20

36 20 97 54 26

23 18 48 08 88

54 83 80 53 90

31 36 30 28 74

04 36 03 70 80

82 05 30 58 55

98 56 98 96 09

04 39 05 44 14

14 71 24 07 53

12 65 67 39 90

15 09 70 55 51

09 62 07 43 17

26 94 84 42 52

78 76 97 34 01

25 62 50 43 63

47 11 87 39 01

47 89 46 28 59

91 00 36 88 04

76 97 46 98 37

21 79 18 99 59

64 08 34 60 87

64 06 94 50 21

44 37 75 65 05

91 30 20 95 02

13 28 80 79 03

32 59 27 42 24

97 85 77 94 17

75 53 78 93 47

31 56 91 62 97

62 68 69 40 81

66 53 16 89 56

54 40 00 96 51

84 01 08 43 92

80 74 43 56 34

32 39 18 47 86

75 59 73 71 01

77 73 68 66 82

56 30 67 46 55

08 19 69 76 51

25 99 61 29 33

70 85 34 67 12

29 48 25 02 91

63 78 87 47 56

62 47 68 60 88

06 23 62 92 87

34 53 15 10 59

41 90 43 77 41

94 34 53 88 65

21 41 14 59 28

78 92 36 53 04

55 45 59 11 67

09 71 25 52 53

72 09 54 66 95

76 23 47 25 79

45 70 33 69 88

16 70 70 07 37

94 07 15 04 31

29 12 59 48 50

95 38 24 68 41

81 92 48 64 06

83 79 40 71 94

83 43 35 06 76

79 14 50 61 81

88 85 03 65 83

01 11 42 70 17

97 47 99 22 16

30 20 36 12 33

02 31 38 63 45

57 54 50 29 65

45 14 16 62 58

86 13 43 66 26

67 17 36 50 51

73 48 28 02 76

43 62 97 63 96

07 11 85 45 59

34 90 58 52 38

48 60 99 38 72

44 68 67 67 86

26 12 22 63 57

87 93 52 47 45

93 64 76 54 71

29 28 23 75 46

77 46 24 83 44

09 24 70 24 67

61 79 36 78 76

67 16 54 43 14

84 76 54 20 55

06 14 59 92 44

69 60 28 63 88

44 25 61 13 01

77 51 71 47 62

75 01 96 48 12

39 73 72 75 37

65 71 20 17 48

36 98 56 26 60

63 16 20 99 82

70 04 11 76 29

77 29 72 89 81

45 18 65 37 30

85 94 71 20 15

50 51 08 70 39

51 23 86 01 14

74 75 79 77 48

13 51 57 31 38

39 94 95 61 75

35 84 13 95 93

22 86 91 46 29

30 79 97 26 06

53 93 48 97 87

36 96 72 05 37

02 38 66 73 78

95 63 48 51 48

49 08 09 53 45

34 58 71 33 56

88 25 17 18 00

73 58 24 72 84

61 94 89 87 47

68 14 49 78 37

08 23 08 37 21

02 98 96 06 34

80 61 21 08 17

72 67 44 43 68

83 70 25 63 68

71 52 27 61 96

46 85 99 62 83

39 01 41 42 23

49 50 28 29 56

89 01 07 39 32

17 84 41 68 84

95 02 08 95 60

88 78 34 10 15

29 43 66 96 31

02 10 19 09 44

39 62 42 24 73

56 98 74 23 67

03 19 39 00 34

46 41 91 62 77

97 18 41 56 91

74 83 96 12 15

06 99 53 80 79

56 47 78 73 74

17 99 72 16 58

14 58 10 44 90

29 43 43 38 69

09 28 67 88 59

34 06 29 39 19

04 36 70 54 51

87 49 80 86 85

83 52 62 97 39

07 83 80 37 52

55 51 03 44 85

07 14 42 22 13

76 47 10 00 07

58 56 80 95 28

30 91 21 01 37

83 29 38 31 07

64 34 84 76 61

87 05 90 17 11

29 87 56 16 16

25 31 35 29 36

58 06 03 56 27

84 95 09 63 03

86 12 43 38 78

50 45 12 78 86

60 57 74 94 72

00 09 49 49 04

25 09 14 81 95

41 91 80 67 59

47 94 06 72 40

10 14 54 77 24

25 63 18 63 13

62 19 66 48 27

97 75 09 84 79

05 89 18 08 26

31 11 94 31 88

03 47 06 55 86

61 11 19 58 30

20 31 98 24 01

26 56 40 33 31

36 34 07 45 60

31 19 17 77 10

62 60 81 58 39

68 79 22 80 53

69 57 45 45 58

86 92 44 67 47

95 36 84 93 70

44 59 11 82 93

84 14 24 75 85

95 93 62 70 81

48 87 20 16 56

46 81 42 08 39

45 40 31 24 38

05 44 61 42 77

90 43 81 88 94

35 80 31 07 30

89 69 96 10 05

95 98 82 05 39

01 46 00 24 28

61 68 57 98 10

16 05 25 65 99

96 14 60 63 00

94 82 59 21 27

50 90 46 47 12

78 78 72 21 73

13 50 60 61 73

69 05 18 88 99

36 62 77 32 12

37 77 55 27 49

68 79 66 80 99

53 13 12 30 57

37 57 62 21 94

31 44 11 60 82

71 59 08 10 96

26 60 99 92 88

35 10 55 35 57

03 39 64 36 17

71 66 57 12 91

78 87 91 84 87

83 76 43 97 41

19 59 05 77 60

76 61 96 72 76

16 81 47 73 83

94 43 55 09 44

11 63 78 62 88

68 64 99 06 96

84 61 95 65 07

26 61 24 72 80

23 65 37 87 83

54 26 55 12 05

20 36 85 49 83

86 95 78 03 38

85 90 78 60 96

23 18 01 41 73

86 48 48 15 70

66 27 41 20 66

99 45 19 76 81

07 68 10 27 90

36 27 35 50 30

37 23 19 47 56

34 65 54 02 10

92 30 07 29 48

09 72 73 16 59

Tabla 2 Distribuciรณn Binomial n 2

x\p 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,01 0,9801 0,0198 0,0001 0,9703 0,0294 0,0003 0,0000 0,9606 0,0388 0,0006 0,0000 0,0000 0,9510 0,0480 0,0010 0,0000 0,0000 0,0000 0,9415 0,0571 0,0014 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9321 0,0659 0,0020 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9227 0,0746 0,0026 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9135 0,0830 0,0034 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9044 0,0914 0,0042 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,05 0,9025 0,0950 0,0025 0,8574 0,1354 0,0071 0,0001 0,8145 0,1715 0,0135 0,0005 0,0000 0,7738 0,2036 0,0214 0,0011 0,0000 0,0000 0,7351 0,2321 0,0305 0,0021 0,0001 0,0000 0,0000 0,6983 0,2573 0,0406 0,0036 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,6634 0,2793 0,0515 0,0054 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,6302 0,2985 0,0629 0,0077 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5987 0,3151 0,0746 0,0105 0,0010 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,10 0,8100 0,1800 0,0100 0,7290 0,2430 0,0270 0,7290 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001 0,5905 0,3281 0,0729 0,0081 0,0005 0,0000 0,5314 0,3543 0,0984 0,0146 0,0012 0,0001 0,0000 0,4783 0,3720 0,1240 0,0230 0,0026 0,0002 0,0000 0,0000 0,4305 0,3826 0,1488 0,0331 0,0046 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,3874 0,3874 0,1722 0,0446 0,0074 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,3487 0,3874 0,1937 0,0574 0,0112 0,0015 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,20 0,6400 0,3200 0,0400 0,5120 0,3840 0,0960 0,0080 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016 0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003 0,2621 0,3932 0,2458 0,0819 0,0154 0,0015 0,0001 0,2097 0,3670 0,2753 0,1147 0,0287 0,0043 0,0004 0,0000 0,1678 0,3355 0,2936 0,1468 0,0459 0,0092 0,0011 0,0001 0,0000 0,1342 0,3020 0,3020 0,1762 0,0661 0,0165 0,0028 0,0003 0,0000 0,0000 0,1074 0,2684 0,3020 0,2013 0,0881 0,0264 0,0055 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000

0,25 0,5625 0,3750 0,0625 0,4219 0,4219 0,1406 0,0156 0,3164 0,4219 0,2109 0,0469 0,0039 0,2373 0,3955 0,2637 0,0879 0,0146 0,0010 0,1780 0,3560 0,2966 0,1318 0,0330 0,0044 0,0002 0,1335 0,3115 0,3115 0,1730 0,0577 0,0115 0,0013 0,0001 0,1001 0,2670 0,3115 0,2076 0,0865 0,0231 0,0038 0,0004 0,0000 0,0751 0,2253 0,3003 0,2336 0,1168 0,0389 0,0087 0,0012 0,0001 0,0000 0,0563 0,1877 0,2816 0,2503 0,1460 0,0584 0,0162 0,0031 0,0004 0,0000 0,0000

0,30 0,4900 0,4200 0,0900 0,3430 0,4410 0,1890 0,0270 0,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081 0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024 0,1176 0,3025 0,3241 0,1852 0,0595 0,0102 0,0007 0,0824 0,2471 0,3177 0,2269 0,0972 0,0250 0,0036 0,0002 0,0576 0,1977 0,2965 0,2541 0,1361 0,0467 0,0100 0,0012 0,0001 0,0404 0,1556 0,2668 0,2668 0,1715 0,0735 0,0210 0,0039 0,0004 0,0000 0,0282 0,1211 0,2335 0,2668 0,2001 0,1029 0,0368 0,0090 0,0014 0,0001 0,0000

0,33 0,4489 0,4422 0,1089 0,3008 0,4444 0,2189 0,0359 0,2015 0,3970 0,2933 0,0963 0,0119 0,1350 0,3325 0,3275 0,1613 0,0397 0,0039 0,0905 0,2673 0,3292 0,2162 0,0799 0,0157 0,0013 0,0606 0,2090 0,3088 0,2535 0,1248 0,0369 0,0061 0,0004 0,0406 0,1600 0,2758 0,2717 0,1673 0,0659 0,0162 0,0023 0,0001 0,0272 0,1206 0,2376 0,2731 0,2017 0,0994 0,0326 0,0069 0,0008 0,0000 0,0182 0,0898 0,1990 0,2614 0,2253 0,1332 0,0547 0,0154 0,0028 0,0003 0,0000

0,35 0,4225 0,4550 0,1225 0,2746 0,4436 0,2389 0,0429 0,1785 0,3845 0,3105 0,1115 0,0150 0,1160 0,3124 0,3364 0,1811 0,0488 0,0053 0,0754 0,2437 0,3280 0,2355 0,0951 0,0205 0,0018 0,0490 0,1848 0,2985 0,2679 0,1442 0,0466 0,0084 0,0006 0,0319 0,1373 0,2587 0,2786 0,1875 0,0808 0,0217 0,0033 0,0002 0,0207 0,1004 0,2162 0,2716 0,2194 0,1181 0,0424 0,0098 0,0013 0,0001 0,0135 0,0725 0,1757 0,2522 0,2377 0,1536 0,0689 0,0212 0,0043 0,0005 0,0000

0,40 0,3600 0,4800 0,1600 0,2160 0,4320 0,2880 0,0640 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 0,0778 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,0102 0,0467 0,1866 0,3110 0,2765 0,1382 0,0369 0,0041 0,0280 0,1306 0,2613 0,2903 0,1935 0,0774 0,0172 0,0016 0,0168 0,0896 0,2090 0,2787 0,2322 0,1239 0,0413 0,0079 0,0007 0,0101 0,0605 0,1612 0,2508 0,2508 0,1672 0,0743 0,0212 0,0035 0,0003 0,0060 0,0403 0,1209 0,2150 0,2508 0,2007 0,1115 0,0425 0,0106 0,0016 0,0001

0,45 0,3025 0,4950 0,2025 0,1664 0,4084 0,3341 0,0911 0,0915 0,2995 0,3675 0,2005 0,0410 0,0503 0,2059 0,3369 0,2757 0,1128 0,0185 0,0277 0,1359 0,2780 0,3032 0,1861 0,0609 0,0083 0,0152 0,0872 0,2140 0,2918 0,2388 0,1172 0,0320 0,0037 0,0084 0,0548 0,1569 0,2568 0,2627 0,1719 0,0703 0,0164 0,0017 0,0046 0,0339 0,1110 0,2119 0,2600 0,2128 0,1160 0,0407 0,0083 0,0008 0,0025 0,0207 0,0763 0,1665 0,2384 0,2340 0,1596 0,0746 0,0229 0,0042 0,0003

0,50 0,2500 0,5000 0,2500 0,1250 0,3750 0,3750 0,1250 0,0625 0,2500 0,3750 0,2500 0,0625 0,0313 0,1563 0,3125 0,3125 0,1563 0,0313 0,0156 0,0938 0,2344 0,3125 0,2344 0,0938 0,0156 0,0078 0,0547 0,1641 0,2734 0,2734 0,1641 0,0547 0,0078 0,0039 0,0313 0,1094 0,2188 0,2734 0,2188 0,1094 0,0313 0,0039 0,0020 0,0176 0,0703 0,1641 0,2461 0,2461 0,1641 0,0703 0,0176 0,0020 0,0010 0,0098 0,0439 0,1172 0,2051 0,2461 0,2051 0,1172 0,0439 0,0098 0,0010

Tabla 3 Coeficientes para la Binomial N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C(N,0) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

C(N,1)

C(N,2)

C(N,3)

C(N,4)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 171 190

1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364 455 560 680 816 969 1140

1 5 15 35 70 126 210 330 495 715 1001 1365 1820 2380 3060 3876 4845

C(N,5)

1 6 21 56 126 252 462 792 1287 2002 3003 4368 6188 8568 11628 15504

C(N,6)

1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005 8008 12376 18564 27132 38760

C(N,7)

1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 11440 19448 31824 50388 77520

C(N,8)

1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 24310 43758 75582 125970

C(N,9)

1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310 48620 92378 167960

C(N,10)

1 11 66 286 1001 3003 8008 19448 43758 92378 184756

Tabla 4 Algunas funciones de p p

1-p

p (1-p)

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50

0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,90 0,89 0,88 0,87 0,86 0,85 0,84 0,83 0,82 0,81 0,80 0,79 0,78 0,77 0,76 0,75 0,74 0,73 0,72 0,71 0,70 0,69 0,68 0,67 0,66 0,65 0,64 0,63 0,62 0,61 0,60 0,59 0,58 0,57 0,56 0,55 0,54 0,53 0,52 0,51 0,50

0,0099 0,0196 0,0291 0,0384 0,0475 0,0564 0,0651 0,0736 0,0819 0,0900 0,0979 0,1056 0,1131 0,1204 0,1275 0,1344 0,1411 0,1476 0,1539 0,1600 0,1659 0,1716 0,1771 0,1824 0,1875 0,1924 0,1971 0,2016 0,2059 0,2100 0,2139 0,2176 0,2211 0,2244 0,2275 0,2304 0,2331 0,2356 0,2379 0,2400 0,2419 0,2436 0,2451 0,2464 0,2475 0,2484 0,2491 0,2496 0,2499 0,2500

â&#x2C6;&#x161; p (1- p) 0,09950 0,14000 0,17059 0,19596 0,21794 0,23749 0,25515 0,27129 0,28618 0,30000 0,31289 0,32496 0,33630 0,34699 0,35707 0,36661 0,37563 0,38419 0,39230 0,40000 0,40731 0,41425 0,42083 0,42708 0,43301 0,43863 0,44396 0,44900 0,45376 0,45826 0,46249 0,46648 0,47021 0,47371 0,47697 0,48000 0,48280 0,48539 0,48775 0,48990 0,49183 0,49356 0,49508 0,49639 0,49749 0,49840 0,49910 0,49960 0,49990 0,50000

1 - p2

1- (1 - p)2

0,0199 0,0396 0,0591 0,0784 0,0975 0,1164 0,1351 0,1536 0,1719 0,1900 0,2079 0,2256 0,2431 0,2604 0,2775 0,2944 0,3111 0,3276 0,3439 0,3600 0,3759 0,3916 0,4071 0,4224 0,4375 0,4524 0,4671 0,4816 0,4959 0,5100 0,5239 0,5376 0,5511 0,5644 0,5775 0,5904 0,6031 0,6156 0,6279 0,6400 0,6519 0,6636 0,6751 0,6864 0,6975 0,7084 0,7191 0,7296 0,7399 0,7500

Tabla 5 Distribución Acumulativa de Poisson λ \ x

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

0,990 0,980 0,970 0,961 0,951 0,942 0,932 0,923 0,914 0,905 0,861 0,819 0,779 0,741 0,705 0,670 0,638 0,607 0,577 0,549 0,522

0,999 0,999 0,998 0,998 0,997 0,996 0,995 0,990 0,982 0,974 0,963 0,951 0,938 0,925 0,910 0,894 0,878 0,861

0,999 0,999 0,998 0,996 0,994 0,992 0,989 0,986 0,982 0,977 0,972

0,999 0,999 0,998 0,998 0,997 0,996

0,999

λ \ x

0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,9 5 1,00 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0,497 0,472 0,449 0,427 0,407 0,387 0,368 0,333 0,301 0,273 0,247 0,223 0,202 0,183 0,165 0,150 0,135 0,122 0,111 0,100 0,091 0,082 0,074 0,067 0,061 0,055 0,050

0,844 0,827 0,809 0,791 0,772 0,754 0,736 0,699 0,663 0,627 0,592 0,558 0,525 0,493 0,463 0,434 0,406 0,380 0,355 0,331 0,308 0,287 0,267 0,249 0,231 0,215 0,199

0,966 0,959 0,953 0,945 0,937 0,929 0,920 0,900 0,879 0,857 0,833 0,809 0,783 0,757 0,731 0,704 0,677 0,650 0,623 0,596 0,570 0,544 0,518 0,494 0,469 0,446 0,423

0,994 0,993 0,991 0,989 0,987 0,984 0,981 0,974 0,966 0,957 0,946 0,934 0,921 0,907 0,891 0,875 0,857 0,839 0,819 0,799 0,779 0,758 0,736 0,714 0,692 0,670 0,647

0,999 0,999 0,999 0,998 0,998 0,997 0,996 0,995 0,992 0,989 0,986 0,981 0,976 0,970 0,964 0,956 0,947 0,938 0,928 0,916 0,904 0,891 0,877 0,863 0,848 0,832 0,815

0,999 0,999 0,998 0,998 0,997 0,996 0,994 0,992 0,990 0,987 0,983 0,980 0,975 0,970 0,964 0,958 0,951 0,943 0,935 0,926 0,916

0,999 0,999 0,999 0,998 0,997 0,997 0,995 0,994 0,993 0,991 0,988 0,986 0,983 0,979 0,976 0,971 0,966

0,999 0,999 0,999 0,999 0,998 0,997 0,997 0,996 0,995 0,993 0,992 0,990 0,988

0,999 0,999 0,999 0,999 0,998 0,998 0,997 0,996

0,999 0,999 0,999 0,999

Tabla 5 (Continuación)

λ \ x

3,2

0,041

0,171 0,380 0,603 0,781 0,895 0,955 0,983 0,994 0,998

3,4

0,033

0,147 0,340 0,558 0,744 0,871 0,942 0,977 0,992 0,997 0,999

3,6

0,027

0,126 0,303 0,515 0,706 0,844 0,927 0,969 0,988 0,996 0,999

3,8

0,022

0,107 0,269 0,473 0,668 0,816 0,909 0,960 0,984 0,994 0,998

4,0

0,018

0,092 0,238 0,433 0,629 0,785 0,889 0,949 0,979 0,992 0,997

4,2

0,015

0,078 0,210 0,395 0,590 0,753 0,867 0,936 0,972 0,989 0,996

4,4

0,012

0,066 0,185 0,359 0,551 0,720 0,844 0,921 0,964 0,985 0,994

4,6

0,010

0,056 0,163 0,326 0,513 0,686 0,818 0,905 0,955 0,980 0,992

4,8

0,008

0,048 0,143 0,294 0,476 0,651 0,791 0,887 0,944 0,975 0,990

5,0

0,007

0,040 0,125 0,265 0,440 0,616 0,762 0,867 0,932 0,968 0,986

5,2

0,006

0,034 0,109 0,238 0,406 0,581 0,732 0,845 0,918 0,960 0,982

5,4

0,005

0,029 0,095 0,213 0,373 0,546 0,702 0,822 0,903 0,951 0,977

5,6

0,004

0,024 0,082 0,191 0,342 0,512 0,670 0,797 0,886 0,941 0,972

5,8

0,003

0,021 0,072 0,170 0,313 0,478 0,638 0,771 0,867 0,929 0,965

6,0

0,002

0,017 0,062 0,151 0,285 0,446 0,606 0,744 0,847 0,916 0,957

λ \ x

6,2

0,002

0,015 0,054 0,134 0,259 0,414 0,574 0,716 0,826 0,902

6,4

0,002

0,012 0,046 0,119 0,235 0,384 0,542 0,687 0,803 0,886 0,939

6,6

0,001

0,010 0,040 0,105 0,213 0,355 0,511 0,658 0,780 0,869 0,927

6,8

0,001

0,009 0,034 0,093 0,192 0,327 0,480 0,628 0,755 0,850 0,915

7,0

0,001

0,007 0,030 0,082 0,173 0,301 0,450 0,599 0,729 0,830 0,901

7,2

0,001

0,006 0,025 0,072 0,156 0,276 0,420 0,569 0,703 0,810 0,887

7,4

0,001

0,005 0,022 0,063 0,140 0,253 0,392 0,539 0,676 0,788 0,871

7,6

0,001

0,004 0,019 0,055 0,125 0,231 0,365 0,510 0,648 0,765 0,854

7,8

0,004 0,016 0,048 0,112 0,210 0,338 0,481 0,620 0,741 0,835

8,0

0,003 0,014 0,042 0,100 0,191 0,313 0,453 0,593 0,717 0,816

8,2

0,003 0,012 0,037 0,089 0,174 0,290 0,425 0,565 0,692 0,796

8,4

0,002 0,010 0,032 0,079 0,157 0,267 0,399 0,537 0,666 0,774

Tabla 6 Ordenadas de la Distribuciรณn Normal

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,3989 0,3970 0,3910 0,3814 0,3683 0,3521 0,3332 0,3123 0,2897 0,2661 0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497 0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656 0,0540 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224 0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060 0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002

0,3989 0,3965 0,3902 0,3802 0,3668 0,3503 0,3312 0,3101 0,2874 0,2637 0,2396 0,2155 0,1919 0,1691 0,1476 0,1276 0,1092 0,0925 0,0775 0,0644 0,0529 0,0431 0,0347 0,0277 0,0219 0,0171 0,0132 0,0101 0,0077 0,0058 0,0043 0,0032 0,0023 0,0017 0,0012 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002

0,3989 0,3961 0,3894 0,3790 0,3653 0,3485 0,3292 0,3079 0,2850 0,2613 0,2371 0,2131 0,1895 0,1669 0,1456 0,1257 0,1074 0,0909 0,0761 0,0632 0,0519 0,0422 0,0339 0,0270 0,0213 0,0167 0,0129 0,0099 0,0075 0,0056 0,0042 0,0031 0,0022 0,0016 0,0012 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002

0,3988 0,3956 0,3885 0,3778 0,3637 0,3467 0,3271 0,3056 0,2827 0,2589 0,2347 0,2107 0,1872 0,1647 0,1435 0,1238 0,1057 0,0893 0,0748 0,0620 0,0508 0,0413 0,0332 0,0264 0,0208 0,0163 0,0126 0,0096 0,0073 0,0055 0,0040 0,0030 0,0022 0,0016 0,0011 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002

0,3986 0,3951 0,3876 0,3765 0,3621 0,3448 0,3251 0,3034 0,2803 0,2565 0,2323 0,2083 0,1849 0,1626 0,1415 0,1219 0,1040 0,0878 0,0734 0,0608 0,0498 0,0404 0,0325 0,0258 0,0203 0,0158 0,0122 0,0093 0,0071 0,0053 0,0039 0,0029 0,0021 0,0015 0,0011 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002

0,3984 0,3945 0,3867 0,3752 0,3605 0,3429 0,3230 0,3011 0,2780 0,2541 0,2299 0,2059 0,1826 0,1604 0,1394 0,1200 0,1023 0,0863 0,0721 0,0596 0,0488 0,0396 0,0317 0,0252 0,0198 0,0154 0,0119 0,0091 0,0069 0,0051 0,0038 0,0028 0,0020 0,0015 0,0010 0,0007 0,0005 0,0004 0,0002 0,0002

0,3982 0,3939 0,3857 0,3739 0,3589 0,3410 0,3209 0,2989 0,2756 0,2516 0,2275 0,2036 0,1804 0,1582 0,1374 0,1182 0,1006 0,0848 0,0707 0,0584 0,0478 0,0387 0,0310 0,0246 0,0194 0,0151 0,0116 0,0088 0,0067 0,0050 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002

0,3980 0,3932 0,3847 0,3725 0,3572 0,3391 0,3187 0,2966 0,2732 0,2492 0,2251 0,2012 0,1781 0,1561 0,1354 0,1163 0,0989 0,0833 0,0694 0,0573 0,0468 0,0379 0,0303 0,0241 0,0189 0,0147 0,0113 0,0086 0,0065 0,0048 0,0036 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002

0,3977 0,3925 0,3836 0,3712 0,3555 0,3372 0,3166 0,2943 0,2709 0,2468 0,2227 0,1989 0,1758 0,1539 0,1334 0,1145 0,0973 0,0818 0,0681 0,0562 0,0459 0,0371 0,0297 0,0235 0,0184 0,0143 0,0110 0,0084 0,0063 0,0047 0,0035 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001

0,3973 0,3918 0,3825 0,3697 0,3538 0,3352 0,3144 0,2920 0,2685 0,2444 0,2203 0,1965 0,1736 0,1518 0,1315 0,1127 0,0957 0,0804 0,0669 0,0551 0,0449 0,0363 0,0290 0,0229 0,0180 0,0139 0,0107 0,0081 0,0061 0,0046 0,0034 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001

Tabla 7 Distribuciรณn Normal acumulada a un lado de la media

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,0000 0,0398 0,0793 0,1179 0,1554 0,1915 0,2257 0,2580 0,2881 0,3159 0,3413 0,3643 0,3849 0,4032 0,4192 0,4332 0,4452 0,4554 0,4641 0,4713 0,4772 0,4821 0,4861 0,4893 0,4918 0,4938 0,4953 0,4965 0,4974 0,4981 0,4987 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000

0,0040 0,0438 0,0832 0,1217 0,1591 0,1950 0,2291 0,2611 0,2910 0,3186 0,3438 0,3665 0,3869 0,4049 0,4207 0,4345 0,4463 0,4564 0,4649 0,4719 0,4778 0,4826 0,4864 0,4896 0,4920 0,4940 0,4955 0,4966 0,4975 0,4982 0,4987 0,4991 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,5000

0,0080 0,0478 0,0871 0,1255 0,1628 0,1985 0,2324 0,2642 0,2939 0,3212 0,3461 0,3686 0,3888 0,4066 0,4222 0,4357 0,4474 0,4573 0,4656 0,4726 0,4783 0,4830 0,4868 0,4898 0,4922 0,4941 0,4956 0,4967 0,4976 0,4982 0,4987 0,4991 0,4994 0,4995 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0120 0,0517 0,0910 0,1293 0,1664 0,2019 0,2357 0,2673 0,2967 0,3238 0,3485 0,3708 0,3907 0,4082 0,4236 0,4370 0,4484 0,4582 0,4664 0,4732 0,4788 0,4834 0,4871 0,4901 0,4925 0,4943 0,4957 0,4968 0,4977 0,4983 0,4988 0,4991 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0160 0,0557 0,0948 0,1331 0,1700 0,2054 0,2389 0,2704 0,2995 0,3264 0,3508 0,3729 0,3925 0,4099 0,4251 0,4382 0,4495 0,4591 0,4671 0,4738 0,4793 0,4838 0,4875 0,4904 0,4927 0,4945 0,4959 0,4969 0,4977 0,4984 0,4988 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0199 0,0596 0,0987 0,1368 0,1736 0,2088 0,2422 0,2734 0,3023 0,3289 0,3531 0,3749 0,3944 0,4115 0,4265 0,4394 0,4505 0,4599 0,4678 0,4744 0,4798 0,4842 0,4878 0,4906 0,4929 0,4946 0,4960 0,4970 0,4978 0,4984 0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0239 0,0636 0,1026 0,1406 0,1772 0,2123 0,2454 0,2764 0,3051 0,3315 0,3554 0,3770 0,3962 0,4131 0,4279 0,4406 0,4515 0,4608 0,4686 0,4750 0,4803 0,4846 0,4881 0,4909 0,4931 0,4948 0,4961 0,4971 0,4979 0,4985 0,4989 0,4992 0,4994 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808 0,2157 0,2486 0,2794 0,3078 0,3340 0,3577 0,3790 0,3980 0,4147 0,4292 0,4418 0,4525 0,4616 0,4693 0,4756 0,4808 0,4850 0,4884 0,4911 0,4932 0,4949 0,4962 0,4972 0,4979 0,4985 0,4989 0,4992 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0319 0,0714 0,1103 0,1480 0,1844 0,2190 0,2517 0,2823 0,3106 0,3365 0,3599 0,3810 0,3997 0,4162 0,4306 0,4429 0,4535 0,4625 0,4699 0,4761 0,4812 0,4854 0,4887 0,4913 0,4934 0,4951 0,4963 0,4973 0,4980 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4996 0,4997 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

0,0359 0,0753 0,1141 0,1517 0,1879 0,2224 0,2549 0,2852 0,3133 0,3389 0,3621 0,3830 0,4015 0,4177 0,4319 0,4441 0,4545 0,4633 0,4706 0,4767 0,4817 0,4857 0,4890 0,4916 0,4936 0,4952 0,4964 0,4974 0,4981 0,4986 0,4990 0,4993 0,4995 0,4997 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000

Tabla 8 Distribuciรณn Normal Acumulativa

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990

Tabla 8 (Continuaciรณn) z

-3,0 -2,9 -2,8 -2,7 -2,6 -2,5 -2,4 -2,3 -2,2 -2,1 -2,0 -1,9 -1,8 -1,7 -1,6 -1,5 -1,4 -1,3 -1,2 -1,1 -1,0 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0

0,0013 0,0019 0,0026 0,0035 0,0047 0,0062 0,0082 0,0107 0,0139 0,0179 0,0228 0,0287 0,0359 0,0446 0,0548 0,0668 0,0808 0,0968 0,1151 0,1357 0,1587 0,1841 0,2119 0,2420 0,2743 0,3085 0,3446 0,3821 0,4207 0,4602 0,5000

0,0013 0,0018 0,0025 0,0034 0,0045 0,0060 0,0080 0,0104 0,0136 0,0174 0,0222 0,0281 0,0351 0,0436 0,0537 0,0655 0,0793 0,0951 0,1131 0,1335 0,1562 0,1814 0,2090 0,2389 0,2709 0,3050 0,3409 0,3783 0,4168 0,4 562 0,4960

0,0013 0,0018 0,0024 0,0033 0,0044 0,0059 0,0078 0,0102 0,0132 0,0170 0,0217 0,0274 0,0344 0,0427 0,0526 0,0643 0,0778 0,0934 0,1112 0,1314 0,1539 0,1788 0,2061 0,2358 0,2676 0,3015 0,3372 0,3745 0,4129 0,4522 0,4920

0,0012 0,0017 0,0023 0,0032 0,0043 0,0057 0,0075 0,0099 0,0129 0,0166 0,0212 0,0268 0,0336 0,0418 0,0516 0,0630 0,0764 0,0918 0,1093 0,1292 0,1515 0,1762 0,2033 0,2327 0,2643 0,2981 0,3336 0,3707 0,4090 0,4483 0,4880

0,0012 0,0016 0,0023 0,0031 0,0041 0,0055 0,0073 0,0096 0,0125 0,0162 0,0207 0,0262 0,0329 0,0409 0,0505 0,0618 0,0749 0,0901 0,1075 0,1271 0,1492 0,1736 0,2005 0,2296 0,2611 0,2946 0,3300 0,3669 0,4052 0,4443 0,4840

0,0011 0,0016 0,0022 0,0030 0,0040 0,0054 0,0071 0,0094 0,0122 0,0158 0,0202 0,0256 0,0322 0,0401 0,0495 0,0606 0,0735 0,0885 0,1056 0,1251 0,1469 0,1711 0,1977 0,2266 0,2578 0,2912 0,3264 0,3632 0,4013 0,4404 0,4801

0,0011 0,0015 0,0021 0,0029 0,0039 0,0052 0,0069 0,0091 0,0119 0,0154 0,0197 0,0250 0,0314 0,0392 0,0485 0,0594 0,0721 0,0869 0,1038 0,1230 0,1446 0,1685 0,1949 0,2236 0,2546 0,2877 0,3228 0,3594 0,3974 0,4364 0,4761

0,0011 0,0015 0,0021 0,0028 0,0038 0,0051 0,0068 0,0089 0,0116 0,0150 0,0192 0,0244 0,0307 0,0384 0,0475 0,0582 0,0708 0,0853 0,1020 0,1210 0,1423 0,1660 0,1922 0,2206 0,2514 0,2843 0,3192 0,3557 0,3936 0,4325 0,4721

0,0010 0,0014 0,0020 0,0027 0,0037 0,0049 0,0066 0,0087 0,0113 0,0146 0,0188 0,0239 0,0301 0,0375 0,0465 0,0571 0,0694 0,0838 0,1003 0,1190 0,1401 0,1635 0,1894 0,2177 0,2483 0,2810 0,3156 0,3520 0,3897 0,4286 0,4681

0,0010 0,0014 0,0019 0,0026 0,0036 0,0048 0,0064 0,0084 0,0110 0,0143 0,0183 0,0233 0,0294 0,0367 0,0455 0,0559 0,0681 0,0823 0,0985 0,1170 0,1379 0,1611 0,1867 0,2148 0,2451 0,2776 0,3121 0,3483 0,3859 0,4247 0,4641

Tabla 9 Distribución t de Student en función de a

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,05 0,02 0,01 0,001

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

0,158 0,142 0,137 0,134 0,132 0,131 0,130 0,130 0,129 0,129 0,129 0,128 0,128 0,128 0,128 0,128 0,128 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 0,126 0,126 0,126 0,126

0,325 0,289 0,277 0,271 0,267 0,265 0,263 0,262 0,261 0,260 0,260 0,259 0,259 0,258 0,258 0,258 0,257 0,257 0,257 0,257 0,257 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,255 0,254 0,254 0,253

0,510 0,445 0,424 0,414 0,408 0,404 0,402 0,399 0,398 0,397 0,396 0,395 0,394 0,393 0,393 0,392 0,392 0,392 0,391 0,391 0,391 0,390 0,390 0,390 0,390 0,390 0,389 0,389 0,389 0,389 0,388 0,387 0,386 0,385

0,727 0,617 0,584 0,569 0,559 0,553 0,549 0,546 0,543 0,542 0,540 0,539 0,538 0,537 0,536 0,535 0,534 0,534 0,533 0,533 0,532 0,532 0,532 0,531 0,531 0,531 0,531 0,530 0,530 0,530 0,529 0,527 0,526 0,524

1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,687 0,686 0,686 0,685 0,685 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,683 0,681 0,679 0,677 0,674

1,376 1,061 0,978 0,941 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,862 0,861 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,851 0,848 0,845 0,842

1,963 1,386 1,250 1,190 1,156 1,134 1,119 1,108 1,100 1,093 1,088 1,083 1,079 1,076 1,074 1,071 1,069 1,067 1,066 1,064 1,063 1,061 1,060 1,059 1,058 1,058 1,057 1,056 1,055 1,055 1,050 1,045 1,041 1,036

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960

∞

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326

63,656 636,578 9,925 31,600 5,841 12,924 4,604 8,610 4,032 6,869 3,707 5,959 3,499 5,408 3,355 5,041 3,250 4,781 3,169 4,587 3,106 4,437 3,055 4,318 3,012 4,221 2,977 4,140 2,947 4,073 2,921 4,015 2,898 3,965 2,878 3,922 2,861 3,883 2,845 3,850 2,831 3,819 2,819 3,792 2,807 3,768 2,797 3,745 2,787 3,725 2,779 3,707 2,771 3,689 2,763 3,674 2,756 3,660 2,750 3,646 2,704 3,551 2,660 3,460 2,617 3,373 2,576 3,291

Tabla 10 Distribución t de Student – Percentiles

ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

∞

t 0,995 127,321 14,089 7,453 5,598 4,773 4,317 4,029 3,833 3,690 3,581 3,497 3,428 3,372 3,326 3,286 3,252 3,222 3,197 3,174 3,153 3,135 3,119 3,104 3,091 3,078 3,067 3,057 3,047 3,038 3,030 2,971 2,915 2,860 2,807

t 0,99 63,656 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576

t 0,975 25,452 6,205 4,177 3,495 3,163 2,969 2,841 2,752 2,685 2,634 2,593 2,560 2,533 2,510 2,490 2,473 2,458 2,445 2,433 2,423 2,414 2,405 2,398 2,391 2,385 2,379 2,373 2,368 2,364 2,360 2,329 2,299 2,270 2,241

t 0,95 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960

t 0,90

t 0,80

t 0,75

t 0,70

t 0,60

t 0,55

2,414 1,604 1,423 1,344 1,301 1,273 1,254 1,240 1,230 1,221 1,214 1,209 1,204 1,200 1,197 1,194 1,191 1,189 1,187 1,185 1,183 1,182 1,180 1,179 1,178 1,177 1,176 1,175 1,174 1,173 1,167 1,162 1,156 1,150

1,171 0,931 0,866 0,836 0,819 0,808 0,800 0,794 0,790 0,786 0,783 0,781 0,779 0,777 0,776 0,774 0,773 0,772 0,771 0,771 0,770 0,769 0,769 0,768 0,767 0,767 0,767 0,766 0,766 0,765 0,763 0,760 0,758 0,755

Tabla 11 Distribución χ 2 en función de α

ν \ α 0,99 0,98 0,95 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1,57E-4 0,0201 0,1148 0,2971 0,5543 0,8721 1,2390 1,6465 2,0879 2,5582 3,0535 3,5706 4,1069 4,6604 5,2294 5,8122 6,4077 7,0149 7,6327 8,2604 8,8972 9,5425 10,1957 10,8563 11,5240 12,1982 12,8785 13,5647 14,2564 14,9535

6,28E-4 0,0404 0,1848 0,4294 0,7519 1,1344 1,5643 2,0325 2,5324 3,0591 3,6087 4,1783 4,7654 5,3682 5,9849 6,6142 7,2550 7,9062 8,5670 9,2367 9,9145 10,6000 11,2926 11,9918 12,6973 13,4086 14,1254 14,8475 15,5745 16,3062

3,93E-3 0,1026 0,3518 0,7107 1,1455 1,6354 2,1673 2,7326 3,3251 3,9403 4,5748 5,2260 5,8919 6,5706 7,2609 7,9616 8,6718 9,3904 10,1170 10,8508 11,5913 12,3380 13,0905 13,8484 14,6114 15,3792 16,1514 16,9279 17,7084 18,4927

0,9

0,8

0,7

0,5

0,3

0,2

0,1

0,0158 0,2107 0,5844 1,0636 1,6103 2,2041 2,8331 3,4895 4,1682 4,8652 5,5778 6,3038 7,0415 7,7895 8,5468 9,3122 10,0852 10,8649 11,6509 12,4426 13,2396 14,0415 14,8480 15,6587 16,4734 17,2919 18,1139 18,9392 19,7677 20,5992

0,0642 0,4463 1,0052 1,6488 2,3425 3,0701 3,8223 4,5936 5,3801 6,1791 6,9887 7,8073 8,6339 9,4673 10,3070 11,1521 12,0023 12,8570 13,7158 14,5784 15,4446 16,3140 17,1865 18,0618 18,9397 19,8202 20,7030 21,5880 22,4751 23,3641

0,1485 0,7133 1,4237 2,1947 2,9999 3,8276 4,6713 5,5274 6,3933 7,2672 8,1479 9,0343 9,9257 10,8215 11,7212 12,6243 13,5307 14,4399 15,3517 16,2659 17,1823 18,1007 19,0211 19,9432 20,8670 21,7924 22,7192 23,6475 24,5770 25,5078

0,4549 1,3863 2,3660 3,3567 4,3515 5,3481 6,3458 7,3441 8,3428 9,3418 10,3410 11,3403 12,3398 13,3393 14,3389 15,3385 16,3382 17,3379 18,3376 19,3374 20,3372 21,3370 22,3369 23,3367 24,3366 25,3365 26,3363 27,3362 28,3361 29,3360

1,0742 2,4079 3,6649 4,8784 6,0644 7,2311 8,3834 9,5245 10,6564 11,7807 12,8987 14,0111 15,1187 16,2221 17,3217 18,4179 19,5110 20,6014 21,6891 22,7745 23,8578 24,9390 26,0184 27,0960 28,1719 29,2463 30,3193 31,3909 32,4612 33,5302

1,6424 3,2189 4,6416 5,9886 7,2893 8,5581 9,8032 11,0301 12,2421 13,4420 14,6314 15,8120 16,9848 18,1508 19,3107 20,4651 21,6146 22,7595 23,9004 25,0375 26,1711 27,3015 28,4288 29,5533 30,6752 31,7946 32,9117 34,0266 35,1394 36,2502

2,7055 4,6052 6,2514 7,7794 9,2363 10,6446 12,0170 13,3616 14,6837 15,9872 17,2750 18,5493 19,8119 21,0641 22,3071 23,5418 24,7690 25,9894 27,2036 28,4120 29,6151 30,8133 32,0069 33,1962 34,3816 35,5632 36,7412 37,9159 39,0875 40,2560

0,06 0,02 3,5374 5,6268 7,4069 9,0444 10,5962 12,0896 13,5397 14,9563 16,3459 17,7131 19,0614 20,3934 21,7113 23,0166 24,3108 25,5950 26,8701 28,1370 29,3964 30,6488 31,8949 33,1350 34,3696 35,5989 36,8235 38,0435 39,2593 40,4710 41,6789 42,8831

5,4119 7,8241 9,8374 11,6678 13,3882 15,0332 16,6224 18,1682 19,6790 21,1608 22,6179 24,0539 25,4715 26,8727 28,2595 29,6332 30,9950 32,3462 33,6874 35,0196 36,3434 37,6595 38,9683 40,2703 41,5660 42,8558 44,1399 45,4188 46,6926 47,9618

0,01 0,001 6,6349 9,2104 11,3449 13,2767 15,0863 16,8119 18,4753 20,0902 21,6660 23,2093 24,7250 26,2170 27,6882 29,1412 30,5780 31,9999 33,4087 34,8052 36,1908 37,5663 38,9322 40,2894 41,6383 42,9798 44,3140 45,6416 46,9628 48,2782 49,5878 50,8922

10,8274 13,8150 16,2660 18,4662 20,5147 22,4575 24,3213 26,1239 27,8767 29,5879 31,2635 32,9092 34,5274 36,1239 37,6978 39,2518 40,7911 42,3119 43,8194 45,3142 46,7963 48,2676 49,7276 51,1790 52,6187 54,0511 55,4751 56,8918 58,3006 59,7022

Tabla 12 Distribución χ 2 – Percentiles

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100

χ2 0,995 χ2 0,99 χ2 0,975 χ2 0,95 χ2 0,90 χ2 0,75 χ2 0,50 χ2 0,25

χ2 0,10 χ2 0,05 χ2 0,025 χ2 0,01 χ2 0,005

7,8794 10,5965 12,8381 14,8602 16,7496 18,5475 20,2777 21,9549 23,5893 25,1881 26,7569 28,2997 29,8193 31,3194 32,8015 34,2671 35,7184 37,1564 38,5821 39,9969 41,4009 42,7957 44,1814 45,5584 46,9280 48,2898 49,6450 50,9936 52,3355 53,6719 66,7660 79,4898 91,9518 104,2148 116,3209 128,2987 140,1697

6,6349 9,2104 11,3449 13,2767 15,0863 16,8119 18,4753 20,0902 21,6660 23,2093 24,7250 26,2170 27,6882 29,1412 30,5780 31,9999 33,4087 34,8052 36,1908 37,5663 38,9322 40,2894 41,6383 42,9798 44,3140 45,6416 46,9628 48,2782 49,5878 50,8922 63,6908 76,1538 88,3794 100,4251 112,3288 124,1162 135,8069

5,0239 7,3778 9,3484 11,1433 12,8325 14,4494 16,0128 17,5345 19,0228 20,4832 21,9200 23,3367 24,7356 26,1189 27,4884 28,8453 30,1910 31,5264 32,8523 34,1696 35,4789 36,7807 38,0756 39,3641 40,6465 41,9231 43,1945 44,4608 45,7223 46,9792 59,3417 71,4202 83,2977 95,0231 106,6285 118,1359 129,5613

3,8415 5,9915 7,8147 9,4877 11,0705 12,5916 14,0671 15,5073 16,9190 18,3070 19,6752 21,0261 22,3620 23,6848 24,9958 26,2962 27,5871 28,8693 30,1435 31,4104 32,6706 33,9245 35,1725 36,4150 37,6525 38,8851 40,1133 41,3372 42,5569 43,7730 55,7585 67,5048 79,0820 90,5313 101,8795 113,1452 124,3421

1,3233 2,7726 4,1083 5,3853 6,6257 7,8408 9,0371 10,2189 11,3887 12,5489 13,7007 14,8454 15,9839 17,1169 18,2451 19,3689 20,4887 21,6049 22,7178 23,8277 24,9348 26,0393 27,1413 28,2412 29,3388 30,4346 31,5284 32,6205 33,7109 34,7997 45,6160 56,3336 66,9815 77,5766 88,1303 98,6499 109,1412

0,1015 0,5754 1,2125 1,9226 2,6746 3,4546 4,2549 5,0706 5,8988 6,7372 7,5841 8,4384 9,2991 10,1653 11,0365 11,9122 12,7919 13,6753 14,5620 15,4518 16,3444 17,2396 18,1373 19,0373 19,9393 20,8434 21,7494 22,6572 23,5666 24,4776 33,6603 42,9421 52,2938 61,6983 71,1445 80,6247 90,1332

0,0039 0,1026 0,3518 0,7107 1,1455 1,6354 2,1673 2,7326 3,3251 3,9403 4,5748 5,2260 5,8919 6,5706 7,2609 7,9616 8,6718 9,3904 10,1170 10,8508 11,5913 12,3380 13,0905 13,8484 14,6114 15,3792 16,1514 16,9279 17,7084 18,4927 26,5093 34,7642 43,1880 51,7393 60,3915 69,1260 77,9294

0,0010 0,0506 0,2158 0,4844 0,8312 1,2373 1,6899 2,1797 2,7004 3,2470 3,8157 4,4038 5,0087 5,6287 6,2621 6,9077 7,5642 8,2307 8,9065 9,5908 10,2829 10,9823 11,6885 12,4011 13,1197 13,8439 14,5734 15,3079 16,0471 16,7908 24,4331 32,3574 40,4817 48,7575 57,1532 65,6466 74,2219

0,00016 0,0201 0,1148 0,2971 0,5543 0,8721 1,2390 1,6465 2,0879 2,5582 3,0535 3,5706 4,1069 4,6604 5,2294 5,8122 6,4077 7,0149 7,6327 8,2604 8,8972 9,5425 10,1957 10,8563 11,5240 12,1982 12,8785 13,5647 14,2564 14,9535 22,1642 29,7067 37,4848 45,4417 53,5400 61,7540 70,0650

0,00004 0,0100 0,0717 0,2070 0,4118 0,6757 0,9893 1,3444 1,7349 2,1558 2,6032 3,0738 3,5650 4,0747 4,6009 5,1422 5,6973 6,2648 6,8439 7,4338 8,0336 8,6427 9,2604 9,8862 10,5196 11,1602 11,8077 12,4613 13,1211 13,7867 20,7066 27,9908 35,5344 43,2753 51,1719 59,1963 67,3275

Tabla13 Distribución F - Percentiles ν2 p \ ν1

0,0005 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995

6,2E-7 2,5E-6 6,2E-5 0,0002 0,0015 0,0062 0,0251 0,1716 1,0000 5,8284 39,8636 161,446 647,793 4052,185 16212,46 4,05E+5 1,62E+6

0,0005 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 0,0005 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995

0,0000 0,0005 0,0042 0,0114 0,0201 0,0287 0,0368 0,0440 0,0503 0,0560 0,0610 0,0654 0,0000 0,0010 0,0067 0,0163 0,0269 0,0370 0,0461 0,0541 0,0610 0,0671 0,0724 0,0771 0,0001 0,0050 0,0201 0,0380 0,0546 0,0688 0,0806 0,0906 0,0989 0,1061 0,1122 0,1175 0,0002 0,0101 0,0325 0,0556 0,0753 0,0915 0,1047 0,1156 0,1247 0,1323 0,1388 0,1444 0,0013 0,0256 0,0623 0,0939 0,1186 0,1377 0,1529 0,1650 0,1750 0,1833 0,1903 0,1962 0,0050 0,0526 0,1047 0,1440 0,1728 0,1944 0,2111 0,2243 0,2349 0,2437 0,2511 0,2574 0,0202 0,1111 0,1831 0,2312 0,2646 0,2887 0,3070 0,3212 0,3326 0,3419 0,3497 0,3563 0,1333 0,3333 0,4386 0,5000 0,5397 0,5675 0,5879 0,6036 0,6159 0,6260 0,6343 0,6412 0,6667 1,0000 1,1349 1,2071 1,2519 1,2824 1,3045 1,3213 1,3344 1,3450 1,3537 1,3610 2,5714 3,0000 3,1534 3,2321 3,2799 3,3121 3,3352 3,3526 3,3661 3,3770 3,3859 3,3934 8,5263 9,0000 9,1618 9,2434 9,2926 9,3255 9,3491 9,3668 9,3805 9,3916 9,4006 9,4082 18,5128 19,0000 19,1642 19,2467 19,2963 19,3295 19,3531 19,3709 19,3847 19,3959 19,4050 19,4125 38,5062 39,0000 39,1656 39,2483 39,2984 39,3311 39,3557 39,3729 39,3866 39,3984 39,4066 39,4148 98,5019 99,0003 99,1640 99,2513 99,3023 99,3314 99,3568 99,3750 99,3896 99,3969 99,4078 99,4187 198,503 199,012 199,158 199,245 199,303 199,332 199,361 199,376 199,390 199,390 199,419 199,419 998,378 998,843 999,309 999,309 999,309 999,309 999,309 999,309 999,309 999,309 999,309 999,309 1998,618 1998,618 1998,618 1998,618 2000,481 2000,481 2000,481 2000,481 2000,481 2000,481 2000,481 2000,481 4,63E-7 0,0005 0,0045 0,0125 0,0225 0,0328 0,0426 0,0516 0,0596 0,0668 0,0732 0,0790 1,85E-6 0,0010 0,0071 0,0178 0,0301 0,0422 0,0533 0,0632 0,0719 0,0797 0,0865 0,0926 4,63E-5 0,0050 0,0211 0,0412 0,0605 0,0774 0,0919 0,1042 0,1147 0,1238 0,1316 0,1384 0,00019 0,01008 0,03395 0,05990 0,08292 0,10225 0,11832 0,13173 0,14302 0,15262 0,16086 0,16800 0,00116 0,02553 0,06477 0,10021 0,12881 0,15154 0,16978 0,18464 0,19692 0,20723 0,21598 0,22350 0,00464 0,05218 0,10780 0,15171 0,18486 0,21021 0,23005 0,24593 0,25890 0,26967 0,27875 0,28651 0,01866 0,10915 0,18550 0,23861 0,27628 0,30407 0,32530 0,34202 0,35551 0,36661 0,37591 0,38380 0,12195 0,31712 0,42453 0,48860 0,53071 0,56040 0,58244 0,59942 0,61292 0,62389 0,63299 0,64065 0,58506 0,88110 1,00000 1,06323 1,10236 1,12894 1,14818 1,16274 1,17415 1,18332 1,19086 1,19717 2,02386 2,27976 2,35555 2,39011 2,40950 2,42179 2,43023 2,43637 2,44102 2,44467 2,44760 2,45001 5,53831 5,46240 5,39077 5,34266 5,30915 5,28473 5,26620 5,25168 5,24000 5,23042 5,22240 5,21561 10,1280 9,5521 9,2766 9,1172 9,0134 8,9407 8,8867 8,8452 8,8123 8,7855 8,7633 8,7447 17,4434 16,0442 15,4391 15,1010 14,8848 14,7347 14,6244 14,5399 14,4730 14,4189 14,3741 14,3366 34,1161 30,8164 29,4567 28,7100 28,2371 27,9106 27,6714 27,4895 27,3449 27,2285 27,1320 27,0520 55,5519 49,8003 47,4683 46,1951 45,3911 44,8381 44,4343 44,1250 43,8813 43,6848 43,5248 43,3865 167,056 148,488 141,095 137,079 134,576 132,830 131,608 130,618 129,861 129,221 128,755 128,319 266,591 236,556 224,682 218,279 214,204 211,410 209,315 207,801 206,637 205,589 204,891 204,192

0,0005 0,0038 0,0094 0,0157 0,0217 0,0270 0,0317 0,0357 0,0392 0,0423 0,0449 0,0010 0,0060 0,0135 0,0212 0,0282 0,0342 0,0393 0,0437 0,0475 0,0508 0,0536 0,0050 0,0180 0,0319 0,0439 0,0537 0,0616 0,0681 0,0735 0,0780 0,0818 0,0851 0,0102 0,0293 0,0472 0,0615 0,0728 0,0817 0,0888 0,0947 0,0996 0,1037 0,1072 0,0260 0,0573 0,0818 0,0999 0,1135 0,1239 0,1321 0,1387 0,1442 0,1487 0,1526 0,0540 0,0987 0,1297 0,1513 0,1670 0,1788 0,1881 0,1954 0,2014 0,2064 0,2106 0,1173 0,1806 0,2200 0,2463 0,2648 0,2786 0,2892 0,2976 0,3044 0,3101 0,3148 0,3889 0,4941 0,5533 0,5909 0,6167 0,6356 0,6500 0,6613 0,6705 0,6780 0,6843 1,5000 1,7092 1,8227 1,8937 1,9422 1,9774 2,0041 2,0250 2,0419 2,0558 2,0674 7,5000 8,1999 8,5809 8,8198 8,9832 9,1021 9,1923 9,2631 9,3202 9,3671 9,4064 49,5002 53,5933 55,8330 57,2400 58,2045 58,9062 59,4391 59,8575 60,1949 60,4728 60,7051 199,4995 215,707 224,583 230,160 233,988 236,767 238,884 240,543 241,882 242,981 243,905 799,4822 864,151 899,599 921,835 937,1142 948,2028 956,6429 963,2786 968,6337 973,0284 976,7246 4999,340 5403,53 5624,257 5763,955 5858,950 5928,334 5980,954 6022,397 6055,925 6083,399 6106,682 19997,36 21614,13 22500,75 23055,82 23439,53 23715,20 23923,81 24091,45 24221,84 24333,60 24426,73 4,997E+5 5,40E+5 5,63E+5 5,76E+5 5,86E+5 5,93E+5 5,98E+5 6,02E+5 6,06E+5 6,08E+5 6,10E+5 1,999E+6 2,16E+6 2,25E+6 2,30E+6 2,34E+6 2,37E+6 2,39E+6 2,41E+6 2,42E+6 2,43E+6 2,44E+6

Tabla13 Distribución F (continuación) 15 ν2 p \ ν1 1

0,0005 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 0,0005 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 0,0005 0,001 0,005 0,010 0,025 0,05 0,10 0,25 0,50 0,75 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995

5,1E-2 6,0E-2 9,3E-2 0,1152 0,1613 0,2201 0,3254 0,6983 2,0931 9,4934 61,2204 245,949 984,874 6156,974 24631,62 6,2E+5 2,5E+6 0,0760 0,0882 0,1299 0,1573 0,2099 0,2716 0,3710 0,6567 1,3771 3,4098 9,4247 19,4291 39,4311 99,4332 199,434 999,309 2000,481 0,0929 0,1071 0,1544 0,18461 0,24080 0,30419 0,40164 0,65779 1,21112 2,45518 5,20032 8,7028 14,2527 26,8719 43,0846 127,358 202,563

20 0,0582 0,0675 0,1006 0,1235 0,1703 0,2298 0,3362 0,7124 2,1191 9,5812 61,7401 248,0156 993,0809 6208,662 24836,51 6,2E+5 2,5E+6 0,0878 0,1005 0,1431 0,1710 0,2242 0,2863 0,3862 0,6725 1,3933 3,4263 9,4413 19,4457 39,4475 99,4478 199,449 999,309 2000,481 0,1087 0,1235 0,1719 0,20250 0,25915 0,32275 0,42015 0,67531 1,22517 2,46019 5,18449 8,6602 14,1674 26,6900 42,7790 126,427 201,049

24 0,0619 0,0713 0,1047 0,1278 0,1749 0,2348 0,3416 0,7195 2,1321 9,6255 62,0021 249,052 997,272 6234,27 24937,09 6,2E+5 2,5E+6 0,0943 0,1071 0,1501 0,1781 0,2315 0,2939 0,3940 0,6805 1,4014 3,4346 9,4496 19,4541 39,4566 99,4551 199,449 999,309 2000,481 0,1174 0,1324 0,1812 0,21195 0,26874 0,33236 0,42967 0,68421 1,23224 2,46263 5,17636 8,6385 14,1242 26,5973 42,6226 125,932 200,234

30 0,0657 0,0752 0,1089 0,1322 0,1796 0,2398 0,3471 0,7267 2,1452 9,6698 62,2649 250,096 1001,405 6260,350 25041,40 6,3E+5 2,5E+6 0,1010 0,1140 0,1574 0,1855 0,2391 0,3016 0,4018 0,6885 1,4096 3,4428 9,4579 19,4625 39,4648 99,4660 199,478 999,309 2000,481 0,1267 0,1418 0,1909 0,22174 0,27860 0,34220 0,43935 0,69321 1,23933 2,46503 5,16812 8,6166 14,0806 26,5045 42,4661 125,438 199,536

100

120

200

∞

0,0697 0,0721 0,0738 0,0772 0,0781 0,0799 0,0721 0,0825 0,0793 0,0818 0,0835 0,0870 0,0879 0,0896 0,0818 0,0924 0,1133 0,1159 0,1177 0,1214 0,1223 0,1241 0,1159 0,1269 0,1367 0,1395 0,1413 0,1450 0,1460 0,1479 0,1395 0,1507 0,1844 0,1873 0,1892 0,1931 0,1941 0,1961 0,1873 0,1990 0,2448 0,2479 0,2499 0,2541 0,2551 0,2572 0,2479 0,2603 0,3527 0,3560 0,3583 0,3628 0,3639 0,3662 0,3560 0,3696 0,7339 0,7382 0,7411 0,7469 0,7484 0,7513 0,7382 0,7557 2,1584 2,1663 2,1716 2,1822 2,1848 2,1901 2,1663 2,1981 9,7144 9,7412 9,7592 9,7951 9,8041 9,8221 9,7412 9,8492 62,5291 62,6878 62,7942 63,0071 63,0607 63,1671 62,6878 63,3281 251,144 251,774 252,196 253,043 253,254 253,676 251,774 254,3165 1005,596 1008,0985 1009,7865 1013,1625 1014,0357 1015,7237 1008,0985 1018,2557 6286,427 6302,260 6312,970 6333,925 6339,513 6349,757 6302,260 6365,5898 25145,71 25212,76 25253,74 25339,42 25358,05 25399,03 25212,76 2,5466E+4 6,3E+5 6,3E+5 6,3E+5 6,3E+5 6,3E+5 6,4E+5 6,3E+5 6,3658E+5 2,5E+6 2,5E+6 2,5E+6 2,5E+6 2,5E+6 2,5E+6 2,5E+6 2,5482E+6 0,1081 0,1126 0,1156 0,1218 0,1234 0,1266 0,1126 0,1316 0,1212 0,1257 0,1287 0,1350 0,1366 0,1398 0,1257 0,1448 0,1648 0,1694 0,1726 0,1789 0,1805 0,1838 0,1694 0,1887 0,1931 0,1978 0,2009 0,2073 0,2089 0,2122 0,1978 0,2171 0,2469 0,2516 0,2548 0,2612 0,2628 0,2661 0,2516 0,2711 0,3094 0,3142 0,3174 0,3239 0,3255 0,3288 0,3142 0,3338 0,4098 0,4146 0,4178 0,4244 0,4260 0,4293 0,4146 0,4343 0,6966 0,7015 0,7048 0,7114 0,7130 0,7164 0,7015 0,7213 1,4178 1,4228 1,4261 1,4327 1,4344 1,4377 1,4228 1,4427 3,4511 3,4561 3,4594 3,4661 3,4677 3,4711 3,4561 3,4761 9,4662 9,4713 9,4745 9,4813 9,4829 9,4862 9,4713 9,4912 19,4707 19,4757 19,4791 19,4857 19,4873 19,4907 19,4757 19,4957 39,4730 39,4775 39,4812 39,4875 39,4894 39,4930 39,4775 39,4975 99,4769 99,4769 99,4842 99,4914 99,4914 99,4914 99,4769 99,4987 199,478 199,478 199,478 199,478 199,492 199,492 199,478 199,5068 999,309 999,309 999,309 999,309 999,309 999,309 999,309 999,3091 2000,481 2000,481 2000,481 2000,481 2000,481 2000,481 2000,481 2000,4809 0,1365 0,1426 0,1468 0,1555 0,1577 0,1622 0,1426 0,1692 0,1516 0,1578 0,1620 0,1707 0,1730 0,1775 0,1578 0,1844 0,2010 0,2072 0,2115 0,2201 0,2224 0,2268 0,2072 0,2337 0,23188 0,23813 0,24237 0,25102 0,25322 0,25766 0,23813 0,2644 0,28875 0,29497 0,29918 0,30773 0,30990 0,31427 0,29497 0,3209 0,35227 0,35842 0,36257 0,37098 0,37311 0,37739 0,35842 0,3839 0,44922 0,45522 0,45926 0,46743 0,46949 0,47363 0,45522 0,4799 0,70231 0,70782 0,71151 0,71895 0,72082 0,72457 0,70782 0,7302 1,24645 1,25074 1,25360 1,25934 1,26077 1,26365 1,25074 1,2680 2,46738 2,46877 2,46968 2,47150 2,47195 2,47284 2,46877 2,4742 5,15972 5,15462 5,15118 5,14426 5,14251 5,13901 5,15462 5,1337 8,5944 8,5810 8,5720 8,5539 8,5494 8,5402 8,5810 8,5265 14,0365 14,0099 13,9921 13,9562 13,9473 13,9291 14,0099 13,9021 26,4108 26,3544 26,3162 26,2407 26,2207 26,1825 26,3544 26,1252 42,3097 42,2115 42,1496 42,0223 41,9896 41,9241 42,2115 41,8295 124,972 124,681 124,448 124,070 123,982 123,749 124,681 123,458 198,721 198,255 197,906 197,324 197,208 196,858 198,255 196,276

Tabla13 Distribución F (continuación) ν2

p \ ν1

4,4E-7 1,8E-6 4,4E-5 0,0002 0,0011 0,0045 0,0179 0,1165 0,5486 1,8074 4,5448 7,709 12,218 21,198 31,33 7,4E+1 1,1E+2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0043 0,0175 0,1134 0,5281 1,6925 4,0604 6,6079 10,0069 16,2581 22,785 47,177 63,621 4,3E-7 1,7E-6 4,3E-5 0,00017 0,00107 0,00427 0,01718 0,11132 0,51489 1,62142 3,77595 5,9874 8,8131 13,7452 18,6346 35,507 46,071

0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0255 0,0520 0,1082 0,3094 0,8284 2,0000 4,3246 6,9443 10,6490 18,000 26,28 61,25 87,43 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0254 0,0518 0,1076 0,3049 0,7988 1,8528 3,7797 5,7861 8,4336 13,2741 18,314 37,122 49,782 0,0005 0,0010 0,0050 0,01007 0,02542 0,05173 0,10723 0,30193 0,77976 1,76220 3,46330 5,1432 7,2599 10,9249 14,5442 27,001 34,794

0,0046 0,0073 0,0216 0,0348 0,0662 0,1097 0,1872 0,4184 0,9405 2,0467 4,1909 6,591 9,979 16,69 24,26 5,6E+1 8,0E+1 0,0047 0,0074 0,0220 0,0354 0,0672 0,1109 0,1884 0,4150 0,9071 1,8843 3,6195 5,4094 7,7636 12,0599 16,530 33,200 44,412 0,0047 0,0075 0,0223 0,03583 0,06787 0,11185 0,18922 0,41292 0,88578 1,78443 3,28876 4,7571 6,5988 9,7796 12,9166 23,705 30,457

0,0131 0,0187 0,0432 0,0626 0,1041 0,1565 0,2435 0,4845 1,0000 2,0642 4,1072 6,388 9,604 15,977 23,15 5,3E+1 7,6E+1 0,0136 0,0193 0,0445 0,0644 0,1068 0,1598 0,2469 0,4826 0,9646 1,8927 3,5202 5,1922 7,3879 11,3919 15,556 31,083 41,531 0,0139 0,0198 0,0455 0,06576 0,10873 0,16226 0,24939 0,48156 0,94191 1,78715 3,18076 4,5337 6,2271 9,1484 12,0276 21,922 28,114

0,0241 0,0322 0,0643 0,0878 0,1354 0,1926 0,2841 0,5284 1,0367 2,0723 4,0506 6,256 9,364 15,522 22,46 5,2E+1 7,4E+1 0,0252 0,0336 0,0669 0,0912 0,1399 0,1980 0,2896 0,5278 1,0000 1,8947 3,4530 5,0503 7,1464 10,9671 14,939 29,751 39,727 0,0260 0,0347 0,0689 0,09370 0,14331 0,20201 0,29373 0,52785 0,97654 1,78521 3,10752 4,3874 5,9875 8,7459 11,4637 20,802 26,645

0,0356 0,0456 0,0831 0,1093 0,1606 0,2206 0,3144 0,5595 1,0617 2,0766 4,0097 6,163 9,1973 15,207 21,98 5,1E+1 7,2E+1 0,0375 0,0481 0,0872 0,1143 0,1670 0,2279 0,3218 0,5602 1,0240 1,8945 3,4045 4,9503 6,9777 10,6722 14,513 28,835 38,475 0,0390 0,0499 0,0903 0,11812 0,17183 0,23343 0,32738 0,56112 1,00000 1,78214 3,05455 4,2839 5,8197 8,4660 11,0731 20,031 25,633

0,0466 0,0582 0,0995 0,1274 0,1811 0,2427 0,3378 0,5828 1,0797 2,0790 3,9790 6,094 9,0741 14,976 21,62 5,0E+1 7,1E+1 0,0496 0,0617 0,1050 0,1340 0,1892 0,2518 0,3468 0,5844 1,0414 1,8935 3,3679 4,8759 6,8530 10,4556 14,200 28,165 37,558 0,0518 0,0644 0,1092 0,13905 0,19537 0,25867 0,35368 0,58619 1,01694 1,77895 3,01446 4,2067 5,6955 8,2600 10,7857 19,463 24,891

0,0569 0,0695 0,1136 0,1427 0,1979 0,2606 0,3563 0,6009 1,0933 2,0805 3,9549 6,041 8,9796 14,799 21,35 4,9E+1 7,0E+1 0,0608 0,0742 0,1205 0,1508 0,2076 0,2712 0,3668 0,6033 1,0545 1,8923 3,3393 4,8183 6,7572 10,2893 13,961 27,649 36,860 0,0639 0,0778 0,1258 0,15697 0,21497 0,27928 0,37477 0,60575 1,02975 1,77596 2,98304 4,1468 5,5996 8,1017 10,5656 19,030 24,324

0,0662 0,0796 0,1257 0,1557 0,2120 0,2752 0,3714 0,6153 1,1040 2,0814 3,9357 5,999 8,9046 14,659 21,14 4,8E+1 6,9E+1 0,0711 0,0854 0,1338 0,1651 0,2230 0,2872 0,3831 0,6184 1,0648 1,8911 3,3163 4,7725 6,6810 10,1577 13,772 27,241 36,307 0,0750 0,0899 0,1402 0,17236 0,23150 0,29641 0,39203 0,62145 1,03977 1,77326 2,95774 4,0990 5,5234 7,9760 10,3914 18,688 23,880

0,0746 0,0886 0,1362 0,1668 0,2238 0,2875 0,3838 0,6270 1,1126 2,0820 3,9199 5,964 8,8439 14,546 20,97 4,8E+1 6,8E+1 0,0805 0,0954 0,1455 0,1774 0,2361 0,3007 0,3966 0,6308 1,0730 1,8899 3,2974 4,7351 6,6192 10,0511 13,618 26,914 35,856 0,0851 0,1008 0,1528 0,18567 0,24557 0,31083 0,40641 0,63432 1,04783 1,77085 2,93694 4,0600 5,4613 7,8742 10,2500 18,412 23,516

0,0821 0,0966 0,1453 0,1764 0,2339 0,2979 0,3943 0,6368 1,1196 2,0823 3,9067 5,936 8,7936 14,452 20,82 4,8E+1 6,8E+1 0,0889 0,1044 0,1557 0,1881 0,2473 0,3121 0,4080 0,6411 1,0798 1,8887 3,2816 4,7040 6,5678 9,9626 13,491 26,645 35,492 0,0943 0,1105 0,1639 0,19727 0,25769 0,32314 0,41857 0,64507 1,05444 1,76870 2,91952 4,0274 5,4098 7,7896 10,1327 18,183 23,218

0,0889 0,1038 0,1533 0,1848 0,2426 0,3068 0,4032 0,6450 1,1255 2,0826 3,8955 5,912 8,7512 14,374 20,70 4,7E+1 6,7E+1 0,0966 0,1125 0,1647 0,1975 0,2570 0,3220 0,4177 0,6498 1,0855 1,8877 3,2682 4,6777 6,5245 9,8883 13,385 26,419 35,187 0,1027 0,1193 0,1737 0,20744 0,26822 0,33377 0,42900 0,65419 1,05997 1,76678 2,90472 3,9999 5,3662 7,7183 10,0345 17,990 22,963

Tabla13 Distribución F (continuación) ν2 p \ ν1 15 4

1,1E-01 1,2E-01 1,7E-01 0,2044 0,2629 0,3273 0,4235 0,6635 1,1386 2,0829 3,8704 5,8578 8,6566 14,1981 20,4382 46,7553 66,4731 0,1154 0,1321 0,1861 0,2195 0,2796 0,3447 0,4399 0,6694 1,0980 1,8851 3,2380 4,6188 6,4277 9,7223 13,146 25,910 34,503 0,1235 0,1410 0,1972 0,23157 0,29285 0,35836 0,45288 0,67476 1,07219 1,76214 2,87122 3,9381 5,2686 7,5590 9,8139 17,557 22,403

100

120

200

∞

0,1247 0,1409 0,1933 0,2257 0,2845 0,3489 0,4447 0,6825 1,1517 2,0828 3,8443 5,8025 8,5599 14,0194 20,1671 46,1005 65,5418 0,1374 0,1548 0,2100 0,2437 0,3040 0,3689 0,4633 0,6897 1,1106 1,8820 3,2067 4,5581 6,3285 9,5527 12,903 25,393 33,804 0,1480 0,1662 0,2236 0,25830 0,31966 0,38477 0,47817 0,69609 1,08449 1,75688 2,83634 3,8742 5,1684 7,3958 9,5888 17,120 21,828

0,1353 0,1518 0,2045 0,2371 0,2959 0,3602 0,4556 0,6922 1,1583 2,0827 3,8310 5,7744 8,5108 13,9289 20,0298 45,7658 65,0471 0,1498 0,1673 0,2229 0,2567 0,3170 0,3816 0,4755 0,7001 1,1170 1,8802 3,1905 4,5272 6,2780 9,4665 12,780 25,131 33,440 0,1617 0,1802 0,2380 0,27272 0,33394 0,39869 0,49137 0,70705 1,09067 1,75400 2,81835 3,8414 5,1172 7,3128 9,4742 16,898 21,537

0,1467 0,1633 0,2163 0,2489 0,3077 0,3718 0,4668 0,7020 1,1649 2,0825 3,8174 5,7459 8,4613 13,8375 19,8916 45,4311 64,5523 0,1630 0,1807 0,2365 0,2703 0,3304 0,3947 0,4880 0,7106 1,1234 1,8784 3,1741 4,4957 6,2269 9,3794 12,656 24,869 33,091 0,1766 0,1952 0,2532 0,28790 0,34883 0,41313 0,50497 0,71823 1,09687 1,75095 2,79996 3,8082 5,0652 7,2286 9,3582 16,673 21,246

0,1588 0,1755 0,2286 0,2612 0,3199 0,3837 0,4783 0,7120 1,1716 2,0821 3,8036 5,7170 8,4111 13,7452 19,7515 45,0818 64,0866 0,1772 0,1950 0,2509 0,2846 0,3444 0,4083 0,5008 0,7213 1,1297 1,8763 3,1573 4,4638 6,1751 9,2912 12,530 24,600 32,727 0,1928 0,2114 0,2693 0,30386 0,36438 0,42811 0,51897 0,72962 1,10309 1,74771 2,78117 3,7743 5,0125 7,1432 9,2409 16,444 20,947

0,1665 0,1832 0,2363 0,2689 0,3274 0,3911 0,4852 0,7180 1,1756 2,0819 3,7952 5,6995 8,3808 13,6897 19,6669 44,8781 63,7665 0,1862 0,2040 0,2598 0,2935 0,3530 0,4166 0,5086 0,7279 1,1336 1,8751 3,1471 4,4444 6,1436 9,2377 12,454 24,440 32,509 0,2030 0,2216 0,2794 0,31383 0,37403 0,43736 0,52758 0,73657 1,10683 1,74568 2,76969 3,7537 4,9804 7,0914 9,1695 16,305 20,773

0,1717 0,1884 0,2416 0,2740 0,3325 0,3960 0,4900 0,7221 1,1782 2,0817 3,7896 5,6878 8,3604 13,6522 19,6105 44,7471 63,5628 0,1924 0,2102 0,2660 0,2995 0,3589 0,4222 0,5140 0,7322 1,1361 1,8742 3,1402 4,4314 6,1225 9,2020 12,402 24,331 32,363 0,2101 0,2287 0,2864 0,32065 0,38061 0,44365 0,53341 0,74125 1,10933 1,74428 2,76195 3,7398 4,9589 7,0568 9,1218 16,214 20,649

0,1826 0,1993 0,2523 0,2847 0,3429 0,4061 0,4995 0,7303 1,1836 2,0813 3,7782 5,6640 8,3195 13,5769 19,4968 44,4707 63,1844 0,2054 0,2231 0,2786 0,3119 0,3709 0,4338 0,5247 0,7411 1,1413 1,8724 3,1263 4,4051 6,0800 9,1300 12,300 24,113 32,058 0,2250 0,2435 0,3007 0,33471 0,39410 0,45650 0,54529 0,75072 1,11435 1,74140 2,74626 3,7117 4,9154 6,9867 9,0258 16,029 20,409

0,1855 0,2021 0,2551 0,2874 0,3455 0,4086 0,5019 0,7324 1,1849 2,0812 3,7753 5,6581 8,3091 13,5583 19,4686 44,3979 63,0971 0,2088 0,2265 0,2818 0,3151 0,3740 0,4367 0,5275 0,7433 1,1426 1,8719 3,1228 4,3985 6,0693 9,1118 12,274 24,062 31,985 0,2288 0,2473 0,3044 0,33831 0,39755 0,45977 0,54830 0,75311 1,11560 1,74065 2,74229 3,7047 4,9045 6,9690 9,0013 15,982 20,344

0,1912 0,2078 0,2606 0,2929 0,3508 0,4138 0,5068 0,7365 1,1876 2,0809 3,7695 5,6461 8,2885 13,5201 19,4113 44,2669 62,8643 0,2156 0,2332 0,2884 0,3215 0,3802 0,4426 0,5330 0,7478 1,1452 1,8709 3,1157 4,3851 6,0478 9,0754 12,222 23,952 31,840 0,2367 0,2551 0,3119 0,34563 0,40454 0,46639 0,55439 0,75793 1,11811 1,73914 2,73430 3,6904 4,8824 6,9335 8,9528 15,887 20,227

0,2000 0,2166 0,2692 0,3013 0,3590 0,4216 0,5142 0,7428 1,1916 2,0806 3,7607 5,6281 8,2573 13,4633 19,3249 44,0486 62,5732 0,2262 0,2437 0,2985 0,3314 0,3896 0,4516 0,5413 0,7546 1,1490 1,8694 3,1050 4,3650 6,0153 9,0204 12,1436 23,7851 31,6213 0,2489 0,2672 0,3235 0,3569 0,4152 0,4765 0,5637 0,7652 1,1219 1,7368 2,7222 3,6689 4,8491 6,8801 8,8794 15,745 20,038

Tabla13 Distribución F (continuación) 1 ν2 p \ ν1 7

4,2E-07 1,7E-06 4,2E-05 0,0002 0,0011 0,0042 0,0170 0,1099 0,5057 1,5732 3,5894 5,591 8,073 12,246 16,235 29,246 36,991 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0042 0,0168 0,1088 0,4990 1,5384 3,4579 5,3176 7,5709 11,2586 14,6883 25,4149 31,5558 4,1E-07 1,7E-06 4,2E-05 0,00017 0,00104 0,00416 0,01671 0,10796 0,49382 1,51206 3,3603 5,1174 7,2093 10,5615 13,6138 22,8574 27,9906

2 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0254 0,0517 0,1070 0,2998 0,7665 1,7010 3,2574 4,7374 6,5415 9,547 12,404 21,690 27,205 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0254 0,0516 0,1068 0,2983 0,7568 1,6569 3,1131 4,4590 6,0595 8,6491 11,0426 18,4937 22,7519 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0254 0,0516 0,1066 0,2971 0,7494 1,62355 3,0064 4,2565 5,7147 8,0215 10,1068 16,3873 19,8634

3 0,0048 0,0076 0,0225 0,0361 0,0684 0,1125 0,1899 0,4115 0,8709 1,7169 3,0741 4,347 5,890 8,451 10,883 18,772 23,458 0,0048 0,0077 0,0227 0,0364 0,0688 0,1131 0,1904 0,4104 0,8600 1,6683 2,9238 4,0662 5,4160 7,5910 9,5965 15,8288 19,3868 0,0048 0,0077 0,0228 0,0366 0,0691 0,1135 0,1908 0,4097 0,8517 1,63155 2,8129 3,8625 5,0781 6,9920 8,7171 13,9007 16,7711

4 0,0142 0,0201 0,0462 0,0668 0,1102 0,1641 0,2513 0,4810 0,9262 1,7157 2,9605 4,120 5,523 7,847 10,050 17,197 21,442 0,0143 0,0204 0,0468 0,0676 0,1114 0,1655 0,2528 0,4807 0,9146 1,6642 2,8064 3,8379 5,0526 7,0061 8,8053 14,3918 17,5787 0,0145 0,0206 0,0473 0,0682 0,1123 0,1667 0,2541 0,4805 0,9058 1,62530 2,6927 3,6331 4,7181 6,4221 7,9558 12,5601 15,1049

5 0,0266 0,0355 0,0704 0,0956 0,1459 0,2051 0,2969 0,5281 0,9603 1,7111 2,8833 3,972 5,285 7,460 9,522 16,207 20,169 0,0271 0,0362 0,0716 0,0972 0,1480 0,2075 0,2995 0,5285 0,9483 1,6575 2,7264 3,6875 4,8173 6,6318 8,3019 13,4842 16,4400 0,0275 0,0367 0,0726 0,0984 0,1497 0,2095 0,3015 0,5288 0,9392 1,61701 2,6106 3,4817 4,4844 6,0569 7,4710 11,7143 14,0572

6 0,0402 0,0514 0,0927 0,1211 0,1756 0,2377 0,3317 0,5621 0,9833 1,7059 2,8274 3,866 5,1186 7,191 9,155 15,520 19,296 0,0411 0,0526 0,0946 0,1234 0,1786 0,2411 0,3352 0,5631 0,9711 1,6508 2,6683 3,5806 4,6517 6,3707 7,9519 12,8584 15,6579 0,0419 0,0535 0,0962 0,1254 0,1810 0,2440 0,3381 0,5639 0,9617 1,60914 2,5509 3,3738 4,3197 5,8018 7,1338 11,1286 13,3368

7 0,0536 0,0666 0,1125 0,1430 0,2002 0,2641 0,3591 0,5878 1,0000 1,7011 2,7849 3,787 4,9949 6,993 8,885 15,018 18,656 0,0550 0,0683 0,1152 0,1462 0,2041 0,2684 0,3634 0,5893 0,9876 1,6448 2,6241 3,5005 4,5285 6,1776 7,6941 12,3982 15,0794 0,0562 0,0698 0,1175 0,1488 0,2073 0,2720 0,3670 0,5906 0,9781 1,60219 2,5053 3,2927 4,1970 5,6128 6,8849 10,6975 12,8057

8 0,0663 0,0807 0,1300 0,1619 0,2208 0,2857 0,3811 0,6080 1,0126 1,6969 2,7516 3,726 4,8993 6,840 8,678 14,634 18,168 0,0683 0,0830 0,1334 0,1659 0,2256 0,2909 0,3862 0,6099 1,0000 1,6396 2,5893 3,4381 4,4333 6,0288 7,4958 12,0453 14,6392 0,0700 0,0850 0,1363 0,1692 0,2295 0,2951 0,3904 0,6116 0,9904 1,59614 2,4694 3,2296 4,1020 5,4671 6,6932 10,3682 12,3982

9 0,0781 0,0935 0,1452 0,1782 0,2383 0,3037 0,3992 0,6241 1,0224 1,6931 2,7247 3,677 4,8232 6,719 8,514 14,330 17,782 0,0807 0,0964 0,1494 0,1829 0,2438 0,3096 0,4050 0,6265 1,0097 1,6350 2,5612 3,3881 4,3572 5,9106 7,3387 11,7670 14,2900 0,0828 0,0990 0,1529 0,1869 0,2484 0,3146 0,4098 0,6286 1,0000 1,59090 2,4403 3,1789 4,0260 5,3511 6,5411 10,1063 12,0745

10 0,0889 0,1051 0,1587 0,1923 0,2532 0,3189 0,4143 0,6375 1,0304 1,6898 2,7025 3,637 4,7611 6,620 8,380 14,083 17,470 0,0920 0,1086 0,1635 0,1978 0,2594 0,3256 0,4207 0,6402 1,0175 1,6310 2,5380 3,3472 4,2951 5,8143 7,2107 11,5397 14,0062 0,0946 0,1117 0,1676 0,2023 0,2646 0,3311 0,4260 0,6426 1,0077 1,58634 2,4163 3,1373 3,9639 5,2565 6,4172 9,8944 11,8162

11 0,0987 0,1155 0,1705 0,2047 0,2661 0,3320 0,4271 0,6486 1,0369 1,6869 2,6839 3,603 4,7095 6,538 8,270 13,879 17,208 0,1024 0,1197 0,1760 0,2108 0,2729 0,3392 0,4340 0,6516 1,0240 1,6275 2,5186 3,3129 4,2434 5,7343 7,1045 11,3523 13,7734 0,1055 0,1232 0,1806 0,2159 0,2787 0,3453 0,4398 0,6543 1,0141 1,58235 2,3961 3,1025 3,9121 5,1779 6,3142 9,7189 11,5979

12 0,1077 0,1250 0,1810 0,2155 0,2773 0,3432 0,4381 0,6580 1,0423 1,6843 2,6681 3,575 4,6658 6,469 8,176 13,708 16,989 0,1119 0,1297 0,1871 0,2223 0,2848 0,3511 0,4455 0,6614 1,0293 1,6244 2,5020 3,2839 4,1997 5,6667 7,0149 11,1941 13,5769 0,1155 0,1337 0,1922 0,2279 0,2910 0,3576 0,4518 0,6643 1,0194 1,57883 2,3789 3,0729 3,8682 5,1115 6,2273 9,5697 11,4160

Tabla13 Distribución F (continuación) ν2 p \ ν1 15 7

0,1301 0,1483 0,2063 0,2415 0,3036 0,3695 0,4634 0,6794 1,0543 1,6781 2,6322 3,5107 4,5678 6,3144 7,9676 13,3241 16,5019 0,1358 0,1545 0,2139 0,2497 0,3126 0,3787 0,4720 0,6835 1,0412 1,6170 2,4642 3,2184 4,1012 5,5152 6,8144 10,8412 13,1367 0,1406 0,1598 0,2204 0,25675 0,32023 0,38645 0,47934 0,68700 1,03113 1,57046 2,33963 3,0061 3,7693 4,9621 6,0325 9,2386 11,0085

20 0,1568 0,1757 0,2349 0,2704 0,3325 0,3978 0,4903 0,7017 1,0664 1,6712 2,5947 3,4445 4,4668 6,1555 7,7539 12,9312 16,0035 0,1643 0,1838 0,2445 0,2806 0,3433 0,4087 0,5004 0,7065 1,0531 1,6088 2,4246 3,1503 3,9994 5,3591 6,6082 10,4792 12,6856 0,1709 0,1909 0,2528 0,28929 0,35254 0,41792 0,50894 0,71080 1,04293 1,56110 2,29832 2,9365 3,6669 4,8080 5,8319 8,8976 10,5902

24 0,1719 0,1910 0,2506 0,2860 0,3480 0,4128 0,5044 0,7132 1,0724 1,6675 2,5753 3,4105 4,4150 6,0743 7,6450 12,7329 15,7524 0,1806 0,2003 0,2613 0,2974 0,3598 0,4246 0,5153 0,7185 1,0591 1,6043 2,4041 3,1152 3,9472 5,2793 6,5029 10,2955 12,4564 0,1882 0,2085 0,2706 0,30712 0,37000 0,43474 0,52459 0,72315 1,04886 1,55602 2,27683 2,9005 3,6142 4,7290 5,7291 8,7239 10,3773

30 0,1883 0,2076 0,2673 0,3026 0,3642 0,4284 0,5190 0,7249 1,0785 1,6635 2,5555 3,3758 4,3624 5,9920 7,5345 12,5292 15,4942 0,1984 0,2183 0,2793 0,3152 0,3772 0,4413 0,5308 0,7307 1,0651 1,5996 2,3830 3,0794 3,8940 5,1981 6,3960 10,1081 12,2236 0,2073 0,2276 0,2898 0,32610 0,38841 0,45235 0,54084 0,73583 1,05480 1,55064 2,25472 2,8637 3,5604 4,6486 5,6248 8,5474 10,1609

40 0,2061 0,2255 0,2850 0,3201 0,3811 0,4446 0,5340 0,7369 1,0846 1,6593 2,5351 3,3404 4,3089 5,9084 7,4224 12,3255 15,2359 0,2178 0,2377 0,2985 0,3341 0,3954 0,4587 0,5468 0,7432 1,0711 1,5945 2,3614 3,0428 3,8398 5,1156 6,2876 9,9189 11,9908 0,2281 0,2485 0,3104 0,34631 0,40784 0,47080 0,55775 0,74885 1,06076 1,54495 2,23196 2,8259 3,5055 4,5667 5,5186 8,3683 9,9426

50 0,2175 0,2368 0,2962 0,3311 0,3917 0,4547 0,5433 0,7442 1,0883 1,6567 2,5226 3,3189 4,2763 5,8577 7,3544 12,2018 15,0758 0,2303 0,2501 0,3107 0,3460 0,4068 0,4695 0,5567 0,7509 1,0747 1,5914 2,3481 3,0204 3,8067 5,0654 6,2216 9,8044 11,8453 0,2416 0,2619 0,3234 0,35907 0,42002 0,48231 0,56824 0,75684 1,06435 1,54137 2,21797 2,8028 3,4719 4,5167 5,4539 8,2600 9,8080

60 0,2254 0,2447 0,3038 0,3386 0,3989 0,4616 0,5496 0,7492 1,0908 1,6548 2,5142 3,3043 4,2544 5,8236 7,3087 12,1181 14,9739 0,2389 0,2588 0,3190 0,3542 0,4146 0,4769 0,5634 0,7561 1,0772 1,5892 2,3391 3,0053 3,7844 5,0316 6,1773 9,7280 11,7507 0,2510 0,2712 0,3324 0,36786 0,42837 0,49017 0,57537 0,76224 1,06674 1,53891 2,20849 2,7872 3,4493 4,4831 5,4104 8,1864 9,7189

100

120

200

0,2421 0,2612 0,3198 0,3542 0,4138 0,4756 0,5625 0,7592 1,0957 1,6511 2,4971 3,2749 4,2101 5,7546 7,2166 11,9508 14,7593 0,2572 0,2768 0,3365 0,3712 0,4308 0,4920 0,5772 0,7666 1,0820 1,5848 2,3208 2,9747 3,7393 4,9633 6,0875 9,5715 11,5579 0,2708 0,2908 0,3512 0,38612 0,44565 0,50637 0,59000 0,77324 1,07154 1,53383 2,18918 2,7556 3,4034 4,4150 5,3224 8,0381 9,5388

0,2464 0,2655 0,3239 0,3582 0,4176 0,4792 0,5658 0,7617 1,0969 1,6501 2,4928 3,2674 4,1989 5,7373 7,1932 11,9089 14,7047 0,2620 0,2815 0,3410 0,3755 0,4349 0,4959 0,5807 0,7693 1,0832 1,5836 2,3162 2,9669 3,7279 4,9461 6,0650 9,5315 11,5069 0,2760 0,2959 0,3561 0,39084 0,45010 0,51053 0,59374 0,77603 1,07275 1,53252 2,18427 2,7475 3,3918 4,3977 5,3001 8,0017 9,4915

0,2552 0,2742 0,3323 0,3663 0,4253 0,4865 0,5724 0,7668 1,0994 1,6482 2,4841 3,2525 4,1764 5,7024 7,1466 11,8234 14,5992 0,2718 0,2912 0,3501 0,3844 0,4433 0,5038 0,5878 0,7747 1,0857 1,5813 2,3068 2,9513 3,7050 4,9114 6,0195 9,4533 11,4087 0,2867 0,3064 0,3660 0,40047 0,45915 0,51896 0,60131 0,78167 1,07515 1,52985 2,17435 2,7313 3,3684 4,3631 5,2553 7,9262 9,4005

∞ 0,2690 0,2878 0,3452 0,3789 0,4372 0,4976 0,5825 0,7746 1,1031 1,6452 2,4708 3,2298 4,1424 5,6496 7,0761 11,6961 14,4355 0,2871 0,3062 0,3644 0,3982 0,4562 0,5159 0,5987 0,7829 1,0893 1,5777 2,2926 2,9276 3,6702 4,8588 5,9506 9,3332 11,2632 0,3034 0,3228 0,3815 0,4154 0,4731 0,5319 0,6129 0,7903 1,0788 1,5257 2,1592 2,7067 3,3329 4,3106 5,1875 7,8126 9,2623

Tabla13 Distribución F (continuación) 1 ν2 p \ ν1 10

4,1E-07 1,7E-06 4,1E-05 0,0002 0,0010 0,0041 0,0166 0,1073 0,4897 1,4915 3,2850 4,9646 6,9367 10,0442 12,8266 21,0384 25,4950 4,1E-07 1,6E-06 4,1E-05 0,0002 0,0010 0,0041 0,0165 0,1068 0,4864 1,4749 3,2252 4,8443 6,7241 9,6461 12,2263 19,6869 23,6541 4,1E-07 1,6E-06 4,1E-05 0,00016 0,00102 0,00410 0,01647 0,10631 0,48370 1,46132 3,1766 4,7472 6,5538 9,3303 11,7543 18,6446 22,2426

2 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0254 0,0516 0,1065 0,2961 0,7435 1,5975 2,9245 4,1028 5,4564 7,5595 9,4269 14,9048 17,8661 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0254 0,0515 0,1064 0,2953 0,7387 1,5767 2,8595 3,9823 5,2559 7,2057 8,9121 13,8116 16,4073 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0254 0,0515 0,1063 0,2947 0,7348 1,55953 2,8068 3,8853 5,0959 6,9266 8,5097 12,9730 15,2977

3 0,0049 0,0077 0,0229 0,0367 0,0694 0,1138 0,1912 0,4091 0,8451 1,6028 2,7277 3,7083 4,8256 6,5523 8,0809 12,5528 14,9666 0,0049 0,0078 0,0230 0,0369 0,0696 0,1141 0,1915 0,4086 0,8397 1,5798 2,6602 3,5874 4,6300 6,2167 7,6004 11,5615 13,6533 0,0049 0,0078 0,0230 0,0370 0,0698 0,1144 0,1917 0,4082 0,8353 1,56091 2,6055 3,4903 4,4742 5,9525 7,2257 10,8048 12,6638

4 0,0146 0,0208 0,0477 0,0687 0,1131 0,1677 0,2551 0,4803 0,8988 1,5949 2,6053 3,4780 4,4683 5,9944 7,3428 11,2832 13,4060 0,0147 0,0210 0,0480 0,0692 0,1137 0,1685 0,2560 0,4802 0,8932 1,5704 2,5362 3,3567 4,2751 5,6683 6,8808 10,3464 12,1763 0,0148 0,0211 0,0483 0,0696 0,1143 0,1692 0,2567 0,4802 0,8885 1,55035 2,4801 3,2592 4,1212 5,4119 6,5211 9,6334 11,2486

5 0,0279 0,0372 0,0734 0,0995 0,1511 0,2112 0,3033 0,5291 0,9319 1,5853 2,5216 3,3258 4,2361 5,6364 6,8724 10,4810 12,4237 0,0282 0,0375 0,0741 0,1004 0,1523 0,2126 0,3047 0,5295 0,9261 1,5598 2,4512 3,2039 4,0440 5,3160 6,4217 9,5788 11,2450 0,0284 0,0379 0,0747 0,1011 0,1533 0,2138 0,3060 0,5297 0,9212 1,53892 2,3940 3,1059 3,8911 5,0644 6,0711 8,8921 10,3537

6 0,0425 0,0543 0,0976 0,1270 0,1831 0,2463 0,3405 0,5647 0,9544 1,5765 2,4606 3,2172 4,0721 5,3858 6,5447 9,9262 11,7470 0,0431 0,0550 0,0987 0,1284 0,1849 0,2483 0,3425 0,5654 0,9484 1,5502 2,3891 3,0946 3,8806 5,0692 6,1016 9,0467 10,6011 0,0435 0,0556 0,0997 0,1296 0,1864 0,2500 0,3443 0,5660 0,9434 1,52861 2,3310 2,9961 3,7283 4,8205 5,7571 8,3783 9,7389

7 0,0572 0,0710 0,1193 0,1511 0,2100 0,2750 0,3700 0,5918 0,9705 1,5688 2,4140 3,1355 3,9498 5,2001 6,3026 9,5170 11,2486 0,0581 0,0720 0,1209 0,1529 0,2123 0,2775 0,3726 0,5928 0,9645 1,5418 2,3416 3,0123 3,7586 4,8860 5,8648 8,6548 10,1281 0,0589 0,0730 0,1223 0,1546 0,2143 0,2797 0,3748 0,5937 0,9594 1,51968 2,2828 2,9134 3,6065 4,6395 5,5245 8,0008 9,2841

8 0,0714 0,0867 0,1387 0,1720 0,2328 0,2988 0,3940 0,6131 0,9828 1,5621 2,3771 3,0717 3,8549 5,0567 6,1159 9,2041 10,8666 0,0726 0,0881 0,1408 0,1744 0,2357 0,3018 0,3971 0,6144 0,9766 1,5346 2,3040 2,9480 3,6638 4,7445 5,6821 8,3546 9,7643 0,0737 0,0893 0,1426 0,1765 0,2381 0,3045 0,3997 0,6156 0,9715 1,51200 2,2446 2,8486 3,5118 4,4994 5,3451 7,7107 8,9349

9 0,0846 0,1011 0,1558 0,1902 0,2523 0,3187 0,4139 0,6304 0,9923 1,5563 2,3473 3,0204 3,7790 4,9424 5,9676 8,9558 10,5647 0,0862 0,1029 0,1584 0,1931 0,2556 0,3223 0,4173 0,6320 0,9861 1,5284 2,2735 2,8962 3,5879 4,6315 5,5368 8,1163 9,4769 0,0876 0,1045 0,1606 0,1956 0,2585 0,3254 0,4204 0,6334 0,9810 1,50537 2,2135 2,7964 3,4358 4,3875 5,2021 7,4797 8,6584

10 0,0969 0,1142 0,1710 0,2062 0,2690 0,3358 0,4306 0,6446 1,0000 1,5513 2,3226 2,9782 3,7168 4,8491 5,8467 8,7539 10,3191 0,0989 0,1165 0,1740 0,2096 0,2729 0,3398 0,4344 0,6465 0,9937 1,5229 2,2482 2,8536 3,5257 4,5393 5,4183 7,9226 9,2423 0,1006 0,1184 0,1766 0,2125 0,2762 0,3433 0,4378 0,6481 0,9886 1,49962 2,1878 2,7534 3,3735 4,2961 5,0854 7,2923 8,4347

11 0,1082 0,1262 0,1846 0,2203 0,2836 0,3504 0,4448 0,6566 1,0063 1,5469 2,3018 2,9430 3,6649 4,7716 5,7462 8,5865 10,1154 0,1105 0,1288 0,1880 0,2241 0,2879 0,3549 0,4490 0,6587 1,0000 1,5182 2,2269 2,8179 3,4737 4,4624 5,3196 7,7616 9,0477 0,1125 0,1311 0,1910 0,2274 0,2916 0,3587 0,4527 0,6605 0,9948 1,49459 2,1660 2,7173 3,3215 4,2198 4,9884 7,1359 8,2473

12 0,1185 0,1371 0,1966 0,2328 0,2964 0,3632 0,4571 0,6668 1,0116 1,5430 2,2841 2,9130 3,6210 4,7058 5,6614 8,4456 9,9426 0,1212 0,1401 0,2005 0,2370 0,3011 0,3680 0,4617 0,6691 1,0052 1,5140 2,2087 2,7876 3,4296 4,3974 5,2363 7,6252 8,8839 0,1236 0,1428 0,2038 0,2407 0,3051 0,3722 0,4657 0,6711 1,0000 1,49017 2,1474 2,6866 3,2773 4,1553 4,9063 7,0049 8,0909

Tabla13 Distribución F (continuación) ν2 p \ ν1 15 10

0,1448 0,1644 0,2261 0,2628 0,3268 0,3931 0,4856 0,6901 1,0232 1,5338 2,2435 2,8450 3,5217 4,5582 5,4706 8,1291 9,5606 0,1485 0,1685 0,2310 0,2681 0,3325 0,3989 0,4910 0,6928 1,0168 1,5041 2,1671 2,7186 3,3299 4,2509 5,0488 7,3214 8,5183 0,1518 0,1721 0,2353 0,27276 0,33746 0,40399 0,49577 0,69525 1,01150 1,47960 2,10485 2,6169 3,1772 4,0096 4,7213 6,7093 7,7380

20 0,1766 0,1970 0,2599 0,2969 0,3605 0,4259 0,5163 0,7145 1,0349 1,5235 2,2007 2,7740 3,4185 4,4054 5,2740 7,8035 9,1641 0,1817 0,2025 0,2663 0,3036 0,3675 0,4329 0,5228 0,7179 1,0284 1,4930 2,1230 2,6464 3,2261 4,0990 4,8552 7,0077 8,1418 0,1862 0,2073 0,2719 0,30949 0,37372 0,43906 0,52844 0,72082 1,02307 1,46776 2,05968 2,5436 3,0728 3,8584 4,5300 6,4047 7,3742

24 0,1950 0,2156 0,2788 0,3156 0,3788 0,4435 0,5326 0,7273 1,0408 1,5179 2,1784 2,7373 3,3654 4,3269 5,1732 7,6379 8,9640 0,2009 0,2220 0,2860 0,3232 0,3866 0,4512 0,5397 0,7309 1,0343 1,4869 2,1000 2,6090 3,1725 4,0209 4,7557 6,8476 7,9490 0,2063 0,2276 0,2924 0,32986 0,39352 0,45801 0,54587 0,73418 1,02887 1,46129 2,03599 2,5055 3,0187 3,7805 4,4314 6,2487 7,1886

30 0,2151 0,2359 0,2990 0,3357 0,3982 0,4620 0,5496 0,7403 1,0467 1,5119 2,1554 2,6996 3,3110 4,2469 5,0705 7,4688 8,7603 0,2222 0,2433 0,3072 0,3442 0,4069 0,4705 0,5573 0,7444 1,0401 1,4805 2,0762 2,5705 3,1176 3,9411 4,6543 6,6839 7,7525 0,2285 0,2500 0,3146 0,35173 0,41459 0,47800 0,56411 0,74797 1,03470 1,45443 2,01149 2,4663 2,9633 3,7008 4,3309 6,0900 6,9995

40 0,2373 0,2581 0,3208 0,3571 0,4187 0,4814 0,5673 0,7538 1,0526 1,5056 2,1317 2,6609 3,2554 4,1653 4,9660 7,2969 8,5511 0,2456 0,2667 0,3302 0,3667 0,4284 0,4908 0,5757 0,7583 1,0460 1,4737 2,0516 2,5309 3,0613 3,8596 4,5508 6,5174 7,5543 0,2531 0,2745 0,3386 0,37526 0,43703 0,49914 0,58324 0,76223 1,04054 1,44712 1,98610 2,4259 2,9063 3,6192 4,2281 5,9281 6,8067

50 0,2517 0,2724 0,3347 0,3706 0,4316 0,4935 0,5783 0,7621 1,0562 1,5017 2,1171 2,6371 3,2214 4,1155 4,9022 7,1923 8,4256 0,2609 0,2819 0,3449 0,3809 0,4420 0,5035 0,5872 0,7668 1,0495 1,4694 2,0364 2,5066 3,0268 3,8097 4,4877 6,4165 7,4324 0,2692 0,2905 0,3540 0,39024 0,45122 0,51242 0,59518 0,77103 1,04405 1,44250 1,97040 2,4010 2,8714 3,5692 4,1654 5,8290 6,6902

60 0,2618 0,2824 0,3443 0,3800 0,4405 0,5019 0,5858 0,7677 1,0585 1,4990 2,1072 2,6211 3,1984 4,0819 4,8592 7,1223 8,3401 0,2715 0,2925 0,3550 0,3908 0,4513 0,5122 0,5951 0,7726 1,0519 1,4664 2,0261 2,4901 3,0035 3,7761 4,4450 6,3483 7,3505 0,2805 0,3016 0,3647 0,40062 0,46100 0,52154 0,60334 0,77701 1,04639 1,43933 1,95973 2,3842 2,8478 3,5355 4,1230 5,7626 6,6102

100

120

200

0,2831 0,3034 0,3644 0,3995 0,4589 0,5190 0,6012 0,7791 1,0633 1,4933 2,0869 2,5884 3,1517 4,0137 4,7721 6,9804 8,1673 0,2942 0,3149 0,3764 0,4115 0,4707 0,5303 0,6112 0,7844 1,0566 1,4603 2,0050 2,4566 2,9561 3,7077 4,3585 6,2100 7,1850 0,3045 0,3253 0,3872 0,42237 0,48138 0,54047 0,62020 0,78924 1,05110 1,43271 1,93786 2,3498 2,7996 3,4668 4,0368 5,6270 6,4501

0,2887 0,3089 0,3697 0,4045 0,4636 0,5234 0,6052 0,7820 1,0645 1,4919 2,0818 2,5801 3,1399 3,9965 4,7501 6,9440 8,1254 0,3002 0,3207 0,3819 0,4168 0,4757 0,5350 0,6154 0,7875 1,0578 1,4587 1,9997 2,4480 2,9441 3,6904 4,3367 6,1755 7,1432 0,3108 0,3315 0,3931 0,42803 0,48666 0,54535 0,62453 0,79235 1,05227 1,43100 1,93228 2,3410 2,7874 3,4494 4,0150 5,5934 6,4101

0,3002 0,3202 0,3803 0,4148 0,4733 0,5324 0,6132 0,7879 1,0669 1,4889 2,0713 2,5634 3,1161 3,9618 4,7058 6,8721 8,0381 0,3125 0,3328 0,3933 0,4278 0,4859 0,5444 0,6238 0,7936 1,0602 1,4554 1,9888 2,4308 2,9198 3,6555 4,2926 6,1050 7,0595 0,3239 0,3444 0,4051 0,43961 0,49744 0,55530 0,63333 0,79866 1,05463 1,42750 1,92097 2,3233 2,7626 3,4143 3,9710 5,5243 6,3283

∞ 0,3183 0,3380 0,3970 0,4309 0,4882 0,5462 0,6255 0,7969 1,0705 1,4843 2,0554 2,5379 3,0798 3,9090 4,6385 6,7621 7,9053 0,3320 0,3518 0,4111 0,4449 0,5018 0,5591 0,6368 0,8029 1,0637 1,4504 1,9721 2,4045 2,8828 3,6025 4,2255 5,9981 6,9322 0,3446 0,3646 0,4240 0,4577 0,5142 0,5707 0,6469 0,8083 1,0582 1,4221 1,9036 2,2962 2,7249 3,3608 3,9039 5,4197 6,2037

Tabla13 Distribución F (continuación) 1 ν2 p \ ν1 15

4,1E-07 1,6E-06 4,1E-05 0,0002 0,0010 0,0041 0,0163 0,1053 0,4778 1,4321 3,0732 4,5431 6,1995 8,6832 10,7980 16,5874 19,5068 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0010 0,0040 0,0162 0,1044 0,4719 1,4037 2,9747 4,3513 5,8715 8,0960 9,9440 14,8193 17,1894 4,0E-07 1,6E-06 4,0E-05 0,00016 0,00100 0,00402 0,01613 0,10389 0,46902 1,38977 2,9271 4,2597 5,7166 7,8229 9,5513 14,0280 16,1672

2 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0254 0,0515 0,1061 0,2933 0,7262 1,5227 2,6952 3,6823 4,7650 6,3588 7,7007 11,3396 13,1622 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0253 0,0514 0,1059 0,2919 0,7177 1,4870 2,5893 3,4928 4,4612 5,8490 6,9865 9,9526 11,3851 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0253 0,0514 0,1058 0,2912 0,7136 1,46954 2,5383 3,4028 4,3187 5,6136 6,6609 9,3396 10,6083

3 0,0049 0,0079 0,0232 0,0372 0,0702 0,1149 0,1923 0,4073 0,8257 1,5202 2,4898 3,2874 4,1528 5,4170 6,4761 9,3351 10,7648 0,0050 0,0079 0,0234 0,0375 0,0706 0,1155 0,1929 0,4065 0,8162 1,4808 2,3801 3,0984 3,8587 4,9382 5,8177 8,0981 9,1950 0,0050 0,0079 0,0235 0,0376 0,0708 0,1158 0,1932 0,4061 0,8115 1,46154 2,3274 3,0088 3,7211 4,7181 5,5190 7,5543 8,5147

4 0,0150 0,0214 0,0489 0,0704 0,1155 0,1707 0,2584 0,4801 0,8783 1,5071 2,3614 3,0556 3,8043 4,8932 5,8029 8,2528 9,4751 0,0153 0,0217 0,0496 0,0713 0,1168 0,1723 0,2601 0,4801 0,8683 1,4652 2,2489 2,8661 3,5147 4,4307 5,1743 7,0959 8,0181 0,0154 0,0218 0,0499 0,0718 0,1175 0,1732 0,2610 0,4801 0,8633 1,44467 2,1949 2,7763 3,3794 4,2185 4,8898 6,5893 7,3887

5 0,0290 0,0386 0,0761 0,1029 0,1556 0,2165 0,3088 0,5305 0,9107 1,4938 2,2730 2,9013 3,5764 4,5556 5,3722 7,5670 8,6620 0,0296 0,0394 0,0775 0,1047 0,1580 0,2194 0,3119 0,5314 0,9004 1,4500 2,1582 2,7109 3,2891 4,1027 4,7615 6,4606 7,2741 0,0299 0,0398 0,0782 0,1056 0,1593 0,2209 0,3134 0,5318 0,8953 1,42846 2,1030 2,6207 3,1548 3,8951 4,4856 5,9767 6,6775

6 0,0446 0,0570 0,1019 0,1323 0,1898 0,2539 0,3483 0,5675 0,9327 1,4820 2,2081 2,7905 3,4147 4,3183 5,0708 7,0913 8,0981 0,0458 0,0584 0,1043 0,1352 0,1935 0,2581 0,3526 0,5692 0,9221 1,4366 2,0913 2,5990 3,1283 3,8714 4,4721 6,0186 6,7594 0,0464 0,0592 0,1056 0,1367 0,1954 0,2603 0,3548 0,5701 0,9169 1,41433 2,0351 2,5082 2,9946 3,6667 4,2019 5,5506 6,1827

7 0,0606 0,0750 0,1255 0,1584 0,2189 0,2848 0,3799 0,5959 0,9485 1,4718 2,1582 2,7066 3,2934 4,1416 4,8473 6,7412 7,6834 0,0625 0,0773 0,1290 0,1625 0,2239 0,2903 0,3854 0,5984 0,9378 1,4252 2,0397 2,5140 3,0074 3,6987 4,2569 5,6921 6,3783 0,0635 0,0785 0,1308 0,1646 0,2265 0,2932 0,3883 0,5997 0,9325 1,40221 1,9826 2,4226 2,8738 3,4959 3,9905 5,2351 5,8180

8 0,0761 0,0922 0,1467 0,1813 0,2438 0,3107 0,4058 0,6184 0,9605 1,4631 2,1185 2,6408 3,1987 4,0044 4,6743 6,4706 7,3651 0,0788 0,0954 0,1513 0,1866 0,2500 0,3174 0,4124 0,6216 0,9496 1,4153 1,9985 2,4471 2,9128 3,5644 4,0900 5,4401 6,0854 0,0803 0,0971 0,1538 0,1894 0,2533 0,3210 0,4160 0,6233 0,9442 1,39181 1,9407 2,3551 2,7791 3,3629 3,8264 4,9913 5,5370

9 0,0908 0,1082 0,1658 0,2015 0,2653 0,3327 0,4274 0,6368 0,9698 1,4556 2,0862 2,5876 3,1227 3,8948 4,5363 6,2560 7,1122 0,0944 0,1124 0,1715 0,2080 0,2727 0,3405 0,4351 0,6406 0,9588 1,4069 1,9649 2,3928 2,8365 3,4567 3,9564 5,2391 5,8517 0,0964 0,1146 0,1745 0,2115 0,2767 0,3448 0,4392 0,6427 0,9534 1,38283 1,9063 2,3002 2,7027 3,2560 3,6949 4,7967 5,3124

10 0,1046 0,1230 0,1828 0,2194 0,2840 0,3515 0,4457 0,6520 0,9773 1,4491 2,0593 2,5437 3,0602 3,8049 4,4236 6,0809 6,9049 0,1091 0,1281 0,1896 0,2270 0,2925 0,3605 0,4544 0,6564 0,9663 1,3995 1,9367 2,3479 2,7737 3,3682 3,8470 5,0754 5,6616 0,1116 0,1309 0,1933 0,2311 0,2971 0,3653 0,4590 0,6588 0,9608 1,37501 1,8775 2,2547 2,6396 3,1681 3,5870 4,6380 5,1296

11 0,1174 0,1366 0,1981 0,2352 0,3003 0,3678 0,4614 0,6648 0,9835 1,4434 2,0366 2,5068 3,0078 3,7299 4,3294 5,9354 6,7339 0,1228 0,1427 0,2060 0,2440 0,3100 0,3779 0,4710 0,6698 0,9724 1,3930 1,9129 2,3100 2,7209 3,2941 3,7555 4,9386 5,5034 0,1258 0,1460 0,2103 0,2487 0,3152 0,3833 0,4762 0,6725 0,9669 1,36814 1,8530 2,2163 2,5865 3,0944 3,4967 4,5052 4,9768

12 0,1292 0,1490 0,2118 0,2494 0,3147 0,3821 0,4751 0,6759 0,9886 1,4383 2,0171 2,4753 2,9633 3,6662 4,2497 5,8121 6,5893 0,1356 0,1561 0,2208 0,2592 0,3254 0,3931 0,4855 0,6813 0,9775 1,3873 1,8924 2,2776 2,6758 3,2311 3,6779 4,8231 5,3697 0,1391 0,1600 0,2257 0,2645 0,3313 0,3991 0,4912 0,6843 0,9719 1,36206 1,8319 2,1834 2,5411 3,0316 3,4199 4,3929 4,8476

Tabla13 Distribución F (continuación) ν2 p \ ν1 15 15

0,1596 0,1807 0,2457 0,2839 0,3494 0,4161 0,5070 0,7011 1,0000 1,4263 1,9722 2,4034 2,8621 3,5222 4,0698 5,5352 6,2637 0,1687 0,1905 0,2576 0,2966 0,3629 0,4296 0,5197 0,7079 0,9887 1,3736 1,8449 2,2033 2,5731 3,0880 3,5020 4,5616 5,0672 0,1738 0,1961 0,2641 0,3036 0,3703 0,4371 0,5266 0,7116 0,9831 1,3474 1,7831 2,1077 2,4374 2,8887 3,2456 4,1387 4,5557

0,1974 0,2192 0,2856 0,3238 0,3886 0,4539 0,5420 0,7280 1,0114 1,4127 1,9243 2,3275 2,7559 3,3719 3,8826 5,2487 5,9272 0,2104 0,2331 0,3014 0,3404 0,4058 0,4708 0,5575 0,7364 1,0000 1,3580 1,7938 2,1242 2,4645 2,9377 3,3178 4,2901 4,7530 0,2178 0,2410 0,3104 0,3497 0,4154 0,4802 0,5660 0,7411 0,9944 1,3307 1,7302 2,0267 2,3273 2,7380 3,0624 3,8731 4,2514

0,2195 0,2416 0,3081 0,3462 0,4103 0,4745 0,5608 0,7422 1,0172 1,4052 1,8990 2,2878 2,7006 3,2940 3,7859 5,1009 5,7544 0,2352 0,2582 0,3265 0,3652 0,4297 0,4934 0,5780 0,7515 1,0057 1,3494 1,7667 2,0825 2,4076 2,8594 3,2220 4,1493 4,5911 0,2443 0,2677 0,3371 0,3761 0,4407 0,5041 0,5876 0,7568 1,0000 1,3214 1,7019 1,9838 2,2693 2,6591 2,9667 3,7353 4,0936

0,2443 0,2665 0,3327 0,3703 0,4334 0,4963 0,5806 0,7568 1,0229 1,3973 1,8728 2,2468 2,6437 3,2141 3,6868 4,9504 5,5779 0,2633 0,2863 0,3542 0,3924 0,4555 0,5177 0,5998 0,7673 1,0114 1,3401 1,7382 2,0391 2,3486 2,7785 3,1234 4,0050 4,4247 0,2744 0,2979 0,3667 0,4050 0,4682 0,5298 0,6106 0,7732 1,0057 1,3113 1,6721 1,9390 2,2090 2,5773 2,8679 3,5934 3,9317

0,2720 0,2941 0,3596 0,3966 0,4583 0,5196 0,6015 0,7721 1,0287 1,3888 1,8454 2,2043 2,5850 3,1319 3,5850 4,7958 5,3979 0,2951 0,3180 0,3849 0,4221 0,4836 0,5438 0,6230 0,7838 1,0171 1,3301 1,7083 1,9938 2,2873 2,6947 3,0215 3,8565 4,2542 0,3089 0,3321 0,3997 0,4371 0,4983 0,5577 0,6353 0,7906 1,0113 1,3004 1,6407 1,8920 2,1460 2,4923 2,7654 3,4468 3,7644

0,2902 0,3122 0,3769 0,4134 0,4742 0,5344 0,6147 0,7815 1,0322 1,3834 1,8284 2,1780 2,5488 3,0814 3,5225 4,7016 5,2869 0,3163 0,3389 0,4048 0,4415 0,5017 0,5605 0,6377 0,7942 1,0205 1,3237 1,6896 1,9656 2,2493 2,6430 2,9586 3,7651 4,1491 0,3320 0,3549 0,4214 0,4580 0,5178 0,5757 0,6510 0,8015 1,0147 1,2934 1,6209 1,8625 2,1067 2,4395 2,7018 3,3563 3,6612

0,3031 0,3249 0,3890 0,4251 0,4851 0,5445 0,6237 0,7880 1,0345 1,3796 1,8168 2,1601 2,5242 3,0471 3,4803 4,6375 5,2123 0,3314 0,3538 0,4189 0,4550 0,5143 0,5721 0,6479 0,8012 1,0228 1,3193 1,6768 1,9464 2,2234 2,6077 2,9159 3,7030 4,0777 0,3486 0,3712 0,4367 0,4727 0,5314 0,5882 0,6619 0,8090 1,0170 1,2885 1,6073 1,8424 2,0799 2,4035 2,6585 3,2946 3,5907

100 0,3308 0,3521 0,4147 0,4498 0,5081 0,5658 0,6424 0,8012 1,0391 1,3718 1,7929 2,1234 2,4739 2,9772 3,3941 4,5079 5,0613 0,3642 0,3860 0,4490 0,4839 0,5410 0,5965 0,6692 0,8159 1,0274 1,3099 1,6501 1,9066 2,1699 2,5353 2,8282 3,5761 3,9322 0,3848 0,4068 0,4698 0,5044 0,5606 0,6147 0,6850 0,8246 1,0216 1,2781 1,5788 1,8005 2,0243 2,3291 2,5692 3,1682 3,4470

120 0,3381 0,3593 0,4215 0,4563 0,5141 0,5713 0,6472 0,8046 1,0403 1,3698 1,7867 2,1141 2,4611 2,9594 3,3722 4,4752 5,0231 0,3730 0,3946 0,4570 0,4915 0,5480 0,6029 0,6747 0,8197 1,0285 1,3074 1,6433 1,8963 2,1562 2,5168 2,8058 3,5438 3,8954 0,3946 0,4163 0,4787 0,5128 0,5683 0,6217 0,6910 0,8286 1,0227 1,2754 1,5715 1,7896 2,0099 2,3099 2,5463 3,1357 3,4102

200 0,3533 0,3742 0,4354 0,4696 0,5264 0,5825 0,6571 0,8115 1,0426 1,3656 1,7743 2,0950 2,4352 2,9235 3,3279 4,4083 4,9449 0,3914 0,4125 0,4736 0,5073 0,5624 0,6160 0,6861 0,8274 1,0308 1,3023 1,6292 1,8755 2,1284 2,4792 2,7603 3,4784 3,8199 0,4152 0,4364 0,4971 0,5303 0,5842 0,6362 0,7034 0,8369 1,0250 1,2697 1,5563 1,7675 1,9807 2,2710 2,4997 3,0700 3,3356

∞

0,3777 0,3979 0,4573 0,4905 0,5457 0,6001 0,6724 0,8221 1,0461 1,3591 1,7551 2,0658 2,3954 2,8684 3,2602 4,3069 4,8267 0,4211 0,4413 0,5000 0,5324 0,5853 0,6367 0,7039 0,8394 1,0343 1,2944 1,6074 1,8432 2,0853 2,4212 2,6904 3,3779 3,7053 0,4488 0,4689 0,5268 0,5584 0,6097 0,6591 0,7230 0,8498 1,0284 1,2607 1,5327 1,7331 1,9353 2,2107 2,4276 2,9686 3,2205

Tabla13 Distribución F (continuación) 1 ν2 p \ ν1 30

4,0E-07 1,6E-06 4,0E-05 0,0002 0,0010 0,0040 0,0161 0,1034 0,4662 1,3761 2,8807 4,1709 5,5675 7,5624 9,1798 13,2932 15,2213 4,0E-07 1,6E-06 4,0E-05 0,0002 0,0010 0,0040 0,0160 0,1029 0,4633 1,3626 2,8353 4,0847 5,4239 7,3142 8,8278 12,6092 14,3518 4,0E-07 1,6E-06 4,0E-05 0,0002 0,0010 0,0040 0,0159 0,1025 0,4605 1,3493 2,7911 4,0012 5,2856 7,0771 8,4947 11,9726 13,5478

0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0253 0,0514 0,1057 0,2905 0,7094 1,4524 2,4887 3,3158 4,1821 5,3903 6,3546 8,7730 9,8971 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0253 0,0514 0,1056 0,2898 0,7053 1,4355 2,4404 3,2317 4,0510 5,1785 6,0664 8,2509 9,2477 0,0005 0,0010 0,0050 0,0101 0,0253 0,0513 0,1055 0,2891 0,7012 1,4188 2,3933 3,1504 3,9253 4,9774 5,7950 7,7680 8,6511

0,0050 0,0080 0,0235 0,0377 0,0710 0,1161 0,1935 0,4057 0,8069 1,4426 2,2761 2,9223 3,5893 4,5097 5,2388 7,0545 7,8944 0,0050 0,0080 0,0236 0,0379 0,0712 0,1164 0,1938 0,4053 0,8023 1,4239 2,2261 2,8387 3,4633 4,3126 4,9758 6,5947 7,3287 0,0051 0,0080 0,0237 0,0380 0,0715 0,1167 0,1941 0,4049 0,7977 1,4055 2,1774 2,7581 3,3425 4,1259 4,7290 6,1714 6,8121

0,0155 0,0220 0,0503 0,0723 0,1182 0,1740 0,2620 0,4802 0,8584 1,4244 2,1422 2,6896 3,2499 4,0179 4,6234 6,1245 6,8167 0,0156 0,0222 0,0506 0,0728 0,1189 0,1749 0,2629 0,4803 0,8536 1,4045 2,0909 2,6060 3,1261 3,8283 4,3738 5,6980 6,2964 0,0157 0,0223 0,0510 0,0732 0,1196 0,1758 0,2639 0,4804 0,8487 1,3848 2,0410 2,5252 3,0077 3,6491 4,1399 5,3069 5,8235

0,0302 0,0402 0,0790 0,1066 0,1606 0,2224 0,3151 0,5324 0,8902 1,4073 2,0492 2,5336 3,0265 3,6990 4,2276 5,5338 6,1355 0,0306 0,0406 0,0798 0,1076 0,1619 0,2240 0,3167 0,5329 0,8852 1,3863 1,9968 2,4495 2,9037 3,5138 3,9860 5,1282 5,6434 0,0309 0,0411 0,0806 0,1087 0,1633 0,2257 0,3184 0,5336 0,8802 1,3657 1,9457 2,3683 2,7863 3,3389 3,7600 4,7567 5,1959

0,0471 0,0600 0,1069 0,1383 0,1974 0,2626 0,3571 0,5711 0,9117 1,3923 1,9803 2,4205 2,8667 3,4735 3,9493 5,1223 5,6607 0,0477 0,0608 0,1082 0,1400 0,1995 0,2650 0,3596 0,5722 0,9065 1,3706 1,9269 2,3359 2,7444 3,2910 3,7129 4,7307 5,1882 0,0484 0,0617 0,1096 0,1417 0,2017 0,2674 0,3621 0,5733 0,9014 1,3491 1,8747 2,2541 2,6274 3,1187 3,4918 4,3719 4,7594

0,0645 0,0798 0,1327 0,1669 0,2292 0,2962 0,3913 0,6011 0,9272 1,3795 1,9269 2,3343 2,7460 3,3045 3,7415 4,8171 5,3105 0,0656 0,0811 0,1347 0,1692 0,2321 0,2994 0,3945 0,6027 0,9220 1,3571 1,8725 2,2490 2,6238 3,1238 3,5088 4,4356 4,8517 0,0668 0,0825 0,1368 0,1717 0,2351 0,3026 0,3977 0,6043 0,9168 1,3348 1,8194 2,1665 2,5068 2,9530 3,2911 4,0864 4,4356

0,0818 0,0989 0,1563 0,1924 0,2568 0,3247 0,4196 0,6252 0,9389 1,3685 1,8841 2,2662 2,6513 3,1726 3,5801 4,5816 5,0404 0,0834 0,1008 0,1590 0,1955 0,2604 0,3286 0,4235 0,6271 0,9336 1,3455 1,8289 2,1802 2,5289 2,9930 3,3498 4,2071 4,5911 0,0851 0,1028 0,1619 0,1987 0,2642 0,3327 0,4275 0,6292 0,9284 1,3226 1,7748 2,0970 2,4117 2,8233 3,1345 3,8649 4,1850

0,0984 0,1170 0,1778 0,2151 0,2809 0,3492 0,4435 0,6449 0,9480 1,3590 1,8490 2,2107 2,5746 3,0665 3,4505 4,3929 4,8249 0,1006 0,1195 0,1812 0,2190 0,2853 0,3539 0,4480 0,6473 0,9427 1,3354 1,7929 2,1240 2,4519 2,8876 3,2220 4,0243 4,3838 0,1029 0,1222 0,1848 0,2231 0,2899 0,3588 0,4528 0,6498 0,9374 1,3119 1,7380 2,0401 2,3344 2,7185 3,0083 3,6873 3,9845

0,1142 0,1339 0,1972 0,2355 0,3020 0,3704 0,4639 0,6614 0,9554 1,3507 1,8195 2,1646 2,5112 2,9791 3,3440 4,2387 4,6484 0,1169 0,1370 0,2014 0,2401 0,3072 0,3758 0,4691 0,6642 0,9500 1,3266 1,7627 2,0773 2,3882 2,8005 3,1167 3,8744 4,2137 0,1199 0,1404 0,2058 0,2450 0,3127 0,3815 0,4746 0,6671 0,9447 1,3026 1,7070 1,9926 2,2702 2,6318 2,9042 3,5416 3,8203

0,1290 0,1496 0,2149 0,2537 0,3208 0,3890 0,4816 0,6754 0,9614 1,3434 1,7944 2,1256 2,4578 2,9057 3,2547 4,1100 4,5011 0,1324 0,1534 0,2197 0,2591 0,3267 0,3951 0,4874 0,6786 0,9560 1,3188 1,7369 2,0376 2,3343 2,7273 3,0284 3,7489 4,0714 0,1360 0,1575 0,2250 0,2648 0,3329 0,4016 0,4936 0,6819 0,9507 1,2943 1,6805 1,9522 2,2159 2,5587 2,8166 3,4192 3,6825

0,1428 0,1642 0,2309 0,2702 0,3375 0,4055 0,4971 0,6876 0,9665 1,3369 1,7727 2,0921 2,4120 2,8431 3,1787 4,0006 4,3765 0,1469 0,1687 0,2365 0,2763 0,3441 0,4122 0,5035 0,6910 0,9610 1,3119 1,7146 2,0035 2,2882 2,6648 2,9531 3,6425 3,9504 0,1513 0,1735 0,2425 0,2828 0,3512 0,4194 0,5103 0,6948 0,9557 1,2870 1,6574 1,9174 2,1692 2,4961 2,7418 3,3153 3,5657

Tabla13 Distribución F (continuación) ν2 p \ ν1 15 30

0,1793 0,2020 0,2712 0,3111 0,3783 0,4451 0,5340 0,7157 0,9776 1,3213 1,7223 2,0148 2,3072 2,7002 3,0057 3,7528 4,0936 0,1853 0,2085 0,2789 0,3193 0,3868 0,4537 0,5419 0,7201 0,9721 1,2952 1,6624 1,9245 2,1819 2,5216 2,7811 3,4004 3,6766 0,1918 0,2156 0,2873 0,3282 0,3962 0,4629 0,5504 0,7248 0,9667 1,2690 1,6034 1,8364 2,0613 2,3523 2,5705 3,0782 3,2992

0,2260 0,2497 0,3202 0,3599 0,4258 0,4904 0,5753 0,7462 0,9888 1,3033 1,6673 1,9317 2,1952 2,5487 2,8230 3,4927 3,7980 0,2351 0,2593 0,3310 0,3711 0,4372 0,5015 0,5854 0,7518 0,9832 1,2758 1,6052 1,8389 2,0677 2,3689 2,5984 3,1450 3,3883 0,2452 0,2700 0,3430 0,3835 0,4498 0,5138 0,5964 0,7580 0,9777 1,2481 1,5435 1,7480 1,9445 2,1978 2,3872 2,8265 3,0172

0,2543 0,2783 0,3487 0,3880 0,4527 0,5157 0,5980 0,7626 0,9944 1,2933 1,6377 1,8874 2,1359 2,4689 2,7272 3,3572 3,6443 0,2657 0,2901 0,3616 0,4012 0,4660 0,5286 0,6095 0,7690 0,9888 1,2649 1,5741 1,7929 2,0069 2,2880 2,5020 3,0111 3,2378 0,2785 0,3035 0,3762 0,4161 0,4808 0,5428 0,6222 0,7761 0,9833 1,2361 1,5107 1,7001 1,8817 2,1154 2,2898 2,6937 2,8690

0,2869 0,3108 0,3805 0,4191 0,4822 0,5432 0,6225 0,7798 1,0000 1,2823 1,6065 1,8409 2,0739 2,3860 2,6278 3,2171 3,4856 0,3011 0,3256 0,3962 0,4349 0,4978 0,5581 0,6356 0,7872 0,9944 1,2529 1,5411 1,7444 1,9429 2,2034 2,4015 2,8722 3,0814 0,3175 0,3425 0,4141 0,4529 0,5155 0,5749 0,6504 0,7955 0,9888 1,2229 1,4755 1,6491 1,8152 2,0285 2,1874 2,5550 2,7142

0,3245 0,3482 0,4164 0,4538 0,5147 0,5733 0,6489 0,7982 1,0056 1,2703 1,5732 1,7918 2,0089 2,2992 2,5241 3,0716 3,3210 0,3427 0,3667 0,4356 0,4730 0,5333 0,5907 0,6642 0,8067 1,0000 1,2397 1,5056 1,6928 1,8752 2,1142 2,2958 2,7269 2,9181 0,3641 0,3886 0,4579 0,4952 0,5547 0,6108 0,6816 0,8164 0,9944 1,2081 1,4373 1,5943 1,7440 1,9360 2,0789 2,4086 2,5511

0,3500 0,3733 0,4402 0,4767 0,5359 0,5927 0,6659 0,8097 1,0090 1,2626 1,5522 1,7609 1,9681 2,2450 2,4594 2,9813 3,2187 0,3712 0,3948 0,4620 0,4984 0,5567 0,6121 0,6827 0,8191 1,0034 1,2310 1,4830 1,6600 1,8324 2,0581 2,2295 2,6359 2,8165 0,3966 0,4205 0,4878 0,5238 0,5810 0,6347 0,7021 0,8300 0,9978 1,1983 1,4126 1,5590 1,6985 1,8772 2,0100 2,3161 2,4486

0,3684 0,3914 0,4572 0,4930 0,5509 0,6064 0,6777 0,8177 1,0113 1,2571 1,5376 1,7396 1,9400 2,2079 2,4152 2,9197 3,1491 0,3920 0,4152 0,4810 0,5165 0,5734 0,6272 0,6957 0,8278 1,0056 1,2249 1,4672 1,6373 1,8028 2,0194 2,1838 2,5736 2,7467 0,4206 0,4440 0,5096 0,5446 0,6000 0,6518 0,7167 0,8395 1,0000 1,1912 1,3952 1,5343 1,6668 1,8363 1,9622 2,2522 2,3776

100 0,4092 0,4312 0,4941 0,5282 0,5831 0,6356 0,7029 0,8345 1,0158 1,2455 1,5069 1,6950 1,8816 2,1307 2,3234 2,7924 3,0054 0,4387 0,4607 0,5230 0,5564 0,6097 0,6600 0,7237 0,8461 1,0101 1,2116 1,4336 1,5892 1,7405 1,9383 2,0884 2,4439 2,6016 0,4757 0,4977 0,5588 0,5911 0,6420 0,6895 0,7487 0,8599 1,0045 1,1757 1,3576 1,4814 1,5990 1,7493 1,8609 2,1175 2,2283

120 0,4203 0,4421 0,5040 0,5376 0,5917 0,6434 0,7095 0,8389 1,0170 1,2424 1,4989 1,6835 1,8664 2,1108 2,2998 2,7595 2,9686 0,4516 0,4733 0,5345 0,5673 0,6195 0,6688 0,7312 0,8509 1,0112 1,2080 1,4248 1,5766 1,7242 1,9172 2,0636 2,4103 2,5641 0,4913 0,5128 0,5725 0,6040 0,6536 0,6998 0,7574 0,8654 1,0056 1,1715 1,3476 1,4673 1,5810 1,7263 1,8341 2,0821 2,1892

200 0,4438 0,4649 0,5249 0,5574 0,6097 0,6595 0,7233 0,8479 1,0192 1,2359 1,4824 1,6597 1,8354 2,0700 2,2514 2,6928 2,8936 0,4792 0,5000 0,5588 0,5902 0,6401 0,6872 0,7468 0,8609 1,0135 1,2005 1,4064 1,5505 1,6906 1,8736 2,0125 2,3413 2,4870 0,5251 0,5455 0,6019 0,6316 0,6783 0,7217 0,7758 0,8769 1,0078 1,1625 1,3264 1,4377 1,5435 1,6784 1,7785 2,0087 2,1080

∞

0,4826 0,5025 0,5589 0,5895 0,6386 0,6854 0,7452 0,8621 1,0226 1,2256 1,4564 1,6223 1,7867 2,0062 2,1760 2,5889 2,7767 0,5257 0,5449 0,5991 0,6280 0,6741 0,7174 0,7721 0,8769 1,0169 1,1883 1,3769 1,5089 1,6371 1,8047 1,9318 2,2326 2,3661 0,5842 0,6024 0,6525 0,6789 0,7203 0,7587 0,8065 0,8958 1,0112 1,1474 1,2915 1,3893 1,4822 1,6007 1,6885 1,8905 1,9776

Tabla13 Distribución F (continuación) 1 ν2 p \ ν1 120

∞

0,0005 0,001 0,005 0,010

3,9E-07 1,6E-06 3,9E-05 0,0002

0,0005 0,0010 0,0050 0,0101

0,0051 0,0081 0,0238 0,0381

0,0159 0,0225 0,0514 0,0738

0,0313 0,0416 0,0815 0,1097

0,0491 0,0626 0,1111 0,1435

0,0680 0,0840 0,1390 0,1743

0,0869 0,1049 0,1649 0,2022

0,1053 0,1250 0,1887 0,2274

0,1231 0,1440 0,2105 0,2502

0,1400 0,1619 0,2306 0,2710

0,1560 0,1788 0,2491 0,2899

0,025 0,05 0,10 0,25

0,0010 0,0039 0,0159 0,1020

0,0253 0,0513 0,1055 0,2884

0,0717 0,1170 0,1945 0,4045

0,1203 0,1767 0,2649 0,4805

0,1648 0,2274 0,3202 0,5342

0,2039 0,2699 0,3647 0,5745

0,2382 0,3060 0,4012 0,6060

0,2682 0,3370 0,4317 0,6315

0,2948 0,3640 0,4578 0,6525

0,3185 0,3876 0,4804 0,6703

0,3397 0,4085 0,5001 0,6856

0,3588 0,4272 0,5175 0,6988

0,50 0,75 0,90 0,95

0,4577 1,3362 2,7478 3,9201

0,6972 1,4024 2,3473 3,0718

0,7932 1,3873 2,1300 2,6802

0,8439 1,3654 1,9923 2,4472

0,8752 1,3453 1,8959 2,2899

0,8964 1,3278 1,8238 2,1750

0,9116 1,3128 1,7675 2,0868

0,9232 1,2999 1,7220 2,0164

0,9322 1,2886 1,6842 1,9588

0,9394 1,2787 1,6524 1,9105

0,9454 1,2699 1,6250 1,8693

0,9503 1,2621 1,6012 1,8337

0,975 0,99 0,995 0,999

5,1523 6,8509 8,1789 11,3796

3,8046 4,7865 5,5393 7,3214

3,2269 3,9491 4,4972 5,7812

2,8943 3,4795 3,9207 4,9472

2,6740 3,1735 3,5482 4,4156

2,5154 2,9559 3,2849 4,0436

2,3948 2,7918 3,0875 3,7669

2,2994 2,6629 2,9329 3,5518

2,2217 2,5586 2,8083 3,3792

2,1570 2,4721 2,7052 3,2371

2,1021 2,3990 2,6183 3,1180

2,0548 2,3363 2,5439 3,0161

0,9995

12,8039

8,1036

6,3410

5,3924

4,7903

4,3701

4,0586

3,8171

3,6234

3,4643

3,3310

3,2173

0,0005 0,001 0,005 0,010

3,9E-07 1,6E-06 3,9E-05 0,0002

0,0005 0,0010 0,0050 0,0101

0,0051 0,0081 0,0239 0,0383

0,0160 0,0227 0,0517 0,0743

0,0316 0,0420 0,0823 0,1109

0,0499 0,0635 0,1126 0,1453

0,0693 0,0855 0,1413 0,1770

0,0888 0,1071 0,1681 0,2058

0,1080 0,1280 0,1928 0,2320

0,1265 0,1479 0,2156 0,2558

0,1443 0,1667 0,2367 0,2776

0,1612 0,1845 0,2562 0,2975

0,025 0,05 0,10

0,0010 0,0039 0,0158

0,0253 0,0513 0,1054

0,0719 0,1173 0,1948

0,1211 0,1777 0,2659

0,1662 0,2291 0,3221

0,2062 0,2726 0,3674

0,2414 0,3096 0,4047

0,2725 0,3416 0,4362

0,3000 0,3695 0,4631

0,3247 0,3940 0,4865

0,3469 0,4159 0,5071

0,3670 0,4355 0,5253

0,25 0,50 0,75 0,90

0,1015 0,4549 1,3233 2,7055

0,2877 0,6931 1,3863 2,3026

0,4042 0,7887 1,3695 2,0838

0,4806 0,8392 1,3463 1,9449

0,5349 0,8703 1,3251 1,8473

0,5758 0,8914 1,3068 1,7741

0,6078 0,9065 1,2910 1,7167

0,6338 0,9180 1,2774 1,6702

0,6554 0,9270 1,2654 1,6315

0,6737 0,9342 1,2549 1,5987

0,6895 0,9401 1,2455 1,5705

0,7032 0,9450 1,2371 1,5458

0,95 0,975 0,99 0,995

3,8415 5,0239 6,6349 7,8794

2,9957 3,6889 4,6052 5,2984

2,6049 3,1162 3,7816 4,2794

2,3719 2,7858 3,3192 3,7151

2,2141 2,5665 3,0173 3,3500

2,0986 2,4082 2,8020 3,0913

2,0096 2,2875 2,6394 2,8969

1,9384 2,1918 2,5113 2,7444

1,8799 2,1137 2,4073 2,6211

1,8307 2,0483 2,3209 2,5188

1,7887 1,9927 2,2477 2,4325

1,7522 1,9447 2,1848 2,3583

0,999 0,9995

10,8275 12,1163

6,9076 7,6016

5,4220 5,9099

4,6166 4,9995

4,1030 4,4211

3,7430 4,0172

3,4745 3,7169

3,2655 3,4834

3,0975 3,2962

2,9588 3,1421

2,8422 3,0125

2,7425 2,9017

Tabla13 Distribución F (continuación) 15 ν2 p \ ν1 120

∞

100

120

200

500

∞

0,0005 0,001 0,005 0,010

0,1991 0,2235 0,2965 0,3379

0,2567 0,2822 0,3564 0,3973

0,2933 0,3189 0,3927 0,4329

0,3369 0,3624 0,4348 0,4738

0,3900 0,4149 0,4846 0,5216

0,4281 0,4522 0,5194 0,5548

0,4568 0,4803 0,5452 0,5793

0,5252 0,5466 0,6055 0,6360

0,5452 0,5660 0,6229 0,6523

0,5903 0,6094 0,6615 0,6884

0,6382 0,6554 0,7020 0,7260

0,6757 0,6912 0,7333 0,7550

0,025 0,05 0,10 0,25

0,4063 0,4730 0,5597 0,7300

0,4638 0,5273 0,6085 0,7649

0,4975 0,5588 0,6364 0,7841

0,5358 0,5940 0,6672 0,8049

0,5800 0,6343 0,7019 0,8278

0,6103 0,6616 0,7252 0,8429

0,6325 0,6815 0,7421 0,8536

0,6835 0,7269 0,7801 0,8773

0,6980 0,7397 0,7908 0,8839

0,7299 0,7678 0,8140 0,8980

0,7631 0,7967 0,8378 0,9121

0,7884 0,8187 0,8557 0,9227

0,50 0,75 0,90 0,95

0,9613 1,2428 1,5450 1,7505

0,9723 1,2200 1,4821 1,6587

0,9778 1,2068 1,4472 1,6084

0,9833 1,1921 1,4094 1,5543

0,9889 1,1752 1,3676 1,4952

0,9922 1,1638 1,3400 1,4565

0,9944 1,1555 1,3203 1,4290

0,9989 1,1367 1,2767 1,3685

1,0000 1,1314 1,2646 1,3519

1,0022 1,1198 1,2385 1,3162

1,0042 1,1078 1,2122 1,2804

1,0056 1,0987 1,1926 1,2539

0,975 0,99 0,995 0,999

1,9450 2,1915 2,3727 2,7833

1,8249 2,0346 2,1881 2,5344

1,7597 1,9500 2,0891 2,4019

1,6899 1,8600 1,9839 2,2621

1,6141 1,7628 1,8709 2,1129

1,5649 1,7000 1,7981 2,0172

1,5299 1,6557 1,7469 1,9502

1,4536 1,5592 1,6357 1,8057

1,4327 1,5330 1,6055 1,7668

1,3880 1,4770 1,5413 1,6842

1,3434 1,4215 1,4778 1,6028

1,3104 1,3805 1,4311 1,5433

0,9995

2,9577

2,6810

2,5339

2,3792

2,2144

2,1091

2,0354

1,8769

1,8341

1,7437

1,6549

1,5901

0,0005 0,001 0,005 0,010

0,2071 0,2321 0,3066 0,3485

0,2697 0,2959 0,3715 0,4128

0,3103 0,3366 0,4117 0,4521

0,3598 0,3859 0,4592 0,4981

0,4222 0,4475 0,5172 0,5537

0,4686 0,4929 0,5593 0,5936

0,5050 0,5283 0,5916 0,6241

0,5978 0,6181 0,6722 0,6997

0,6276 0,6467 0,6976 0,7232

0,7013 0,7173 0,7595 0,7805

0,8011 0,8123 0,8415 0,8559

0,9547 0,9574 0,9643 0,9677

0,025 0,05 0,10

0,4173 0,4839 0,5697

0,4793 0,5423 0,6220

0,5165 0,5768 0,6522

0,5594 0,6161 0,6864

0,6104 0,6624 0,7259

0,6466 0,6948 0,7534

0,6741 0,7193 0,7739

0,7413 0,7785 0,8229

0,7621 0,7967 0,8378

0,8122 0,8402 0,8732

0,8774 0,8961 0,9181

0,9727 0,9770 0,9821

0,25 0,50 0,75 0,90

0,7357 0,9560 1,2167 1,4878

0,7725 0,9669 1,1917 1,4213

0,7931 0,9724 1,1771 1,3840

0,8158 0,9779 1,1604 1,3427

0,8413 0,9834 1,1408 1,2960

0,8586 0,9868 1,1271 1,2643

0,8713 0,9890 1,1169 1,2410

0,9010 0,9934 1,0920 1,1862

0,9098 0,9945 1,0844 1,1699

0,9303 0,9967 1,0663 1,1317

0,9557 0,9987 1,0431 1,0842

0,9905 1,0001 1,0097 1,0185

0,95 0,975 0,99 0,995

1,6674 1,8339 2,0403 2,1889

1,5716 1,7099 1,8802 2,0020

1,5184 1,6416 1,7927 1,9005

1,4603 1,5675 1,6983 1,7914

1,3952 1,4851 1,5943 1,6716

1,3514 1,4301 1,5252 1,5923

1,3194 1,3900 1,4752 1,5351

1,2451 1,2977 1,3606 1,4047

1,2231 1,2706 1,3273 1,3668

1,1721 1,2079 1,2504 1,2800

1,1093 1,1314 1,1575 1,1755

1,0238 1,0284 1,0339 1,0376

0,999 0,9995

2,5162 2,6514

2,2688 2,3784

2,1356 2,2318

1,9933 2,0756

1,8383 1,9060

1,7366 1,7949

1,6636 1,7154

1,4983 1,5359

1,4508 1,4844

1,3423 1,3672

1,2132 1,2281

1,0453 1,0483

Tabla 14 Valores del Coeficiente de Correlaciรณn "r" Grados de libertad

ฮฝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100

Niveles de significaciรณn 0,10 0.988 0.900 0.805 0.729 0.669 0.622 0.582 0.549 0.521 0.497 0.476 0.458 0.441 0.426 0.412 0.400 0.389 0.378 0.369 0.360 0.323 0.296 0.275 0.257 0.243 0.231 0.211 0.195 0.183 0.173 0.164

0,05 0.997 0.950 0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602 0.576 0.553 0.532 0.514 0.497 0.482 0.468 0.456 0.444 0.433 0.423 0.381 0.349 0.325 0.304 0.288 0.273 0.250 0.232 0.217 0.205 0.195

0,02 0.999 0.980 0.934 0.882 0.833 0.789 0.750 0.716 0.685 0.658 0.634 0.612 0.592 0.574 0.558 0.542 0.528 0.516 0.503 0.492 0.445 0.409 0.381 0.358 0.338 0.322 0.295 0.274 0.256 0.242 0.230

0,01 1,000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708 0.684 0.661 0.641 0.623 0.606 0.590 0.575 0.561 0.549 0.537 0.487 0.449 0.418 0.393 0.372 0.354 0.325 0.302 0.283 0.267 0.254

0,001 1,000 0,999 0,991 0,974 0,951 0,925 0,898 0,872 0,847 0,823 0,801 0,780 0,760 0,742 0,725 0,708 0,693 0,679 0,665 0,652 0,597 0,554 0,519 0,490 0,465 0,443 0,408 0,380 0,357 0,337 0,321

Tabla 15 Valor de

√ 1 – r2

0,0000 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33

1,0000 0,9999 0,9998 0,9995 0,9992 0,9987 0,9982 0,9975 0,9968 0,9959 0,9950 0,9939 0,9928 0,9915 0,9902 0,9887 0,9871 0,9854 0,9837 0,9818 0,9798 0,9777 0,9755 0,9732 0,9708 0,9682 0,9656 0,9629 0,9600 0,9570 0,9539 0,9507 0,9474 0,9440

dado el coeficiente de correlación "r" r 0,3400 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67

√ 1 – r2 0,9404 0,9367 0,9330 0,9290 0,9250 0,9208 0,9165 0,9121 0,9075 0,9028 0,8980 0,8930 0,8879 0,8827 0,8773 0,8717 0,8660 0,8602 0,8542 0,8480 0,8417 0,8352 0,8285 0,8216 0,8146 0,8074 0,8000 0,7924 0,7846 0,7766 0,7684 0,7599 0,7513 0,7424

r 0,6800 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00

√ 1 – r2 0,7332 0,7238 0,7141 0,7042 0,6940 0,6834 0,6726 0,6614 0,6499 0,6380 0,6258 0,6131 0,6000 0,5864 0,5724 0,5578 0,5426 0,5268 0,5103 0,4931 0,4750 0,4560 0,4359 0,4146 0,3919 0,3676 0,3412 0,3122 0,2800 0,2431 0,1990 0,1411 0,0000

Tabla 16 Transformaciรณn de "z" en "r" z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 z 3 4

0,00 0,00000 0,09967 0,19738 0,29131 0,37995 0,46212 0,53705 0,60437 0,66404 0,71630 0,76159 0,80050 0,83365 0,86172 0,88535 0,90515 0,92167 0,93541 0,94681 0,95624 0,96403 0,97045 0,97574 0,98010 0,98367 0,98661 0,98903 0,99101 0,99263 0,99396 0,0 0,99505 0,99933

0,01 0,01000 0,10956 0,20697 0,30044 0,38847 0,46995 0,54413 0,61068 0,66959 0,72113 0,76576 0,80406 0,83668 0,86428 0,88749 0,90694 0,92316 0,93665 0,94783 0,95709 0,96473 0,97103 0,97622 0,98049 0,98400 0,98688 0,98924 0,99118 0,99278 0,99408 0,1 0,99595 0,99945

0,02 0,02000 0,11943 0,21652 0,30951 0,39693 0,47770 0,55113 0,61691 0,67507 0,72590 0,76987 0,80757 0,83965 0,86678 0,88960 0,90870 0,92462 0,93786 0,94884 0,95792 0,96541 0,97159 0,97668 0,98087 0,98431 0,98714 0,98946 0,99136 0,99292 0,99420 0,2 0,99668 0,99955

0,03 0,02999 0,12927 0,22603 0,31852 0,40532 0,48538 0,55805 0,62307 0,68048 0,73059 0,77391 0,81102 0,84258 0,86925 0,89167 0,91042 0,92606 0,93906 0,94983 0,95873 0,96609 0,97215 0,97714 0,98124 0,98462 0,98739 0,98966 0,99153 0,99306 0,99431 0,3 0,99728 0,99963

0,04 0,03998 0,13909 0,23550 0,32748 0,41364 0,49299 0,56490 0,62915 0,68581 0,73522 0,77789 0,81441 0,84546 0,87167 0,89370 0,91212 0,92747 0,94023 0,95080 0,95953 0,96675 0,97269 0,97759 0,98161 0,98492 0,98764 0,98987 0,99170 0,99320 0,99443 0,4 0,99777 0,99970

0,05 0,04996 0,14889 0,24492 0,33638 0,42190 0,50052 0,57167 0,63515 0,69107 0,73978 0,78181 0,81775 0,84828 0,87405 0,89569 0,91379 0,92886 0,94138 0,95175 0,96032 0,96740 0,97323 0,97803 0,98197 0,98522 0,98788 0,99007 0,99186 0,99333 0,99454 0,5 0,99818 0,99975

0,06 0,05993 0,15865 0,25430 0,34521 0,43008 0,50798 0,57836 0,64108 0,69626 0,74428 0,78566 0,82104 0,85106 0,87639 0,89765 0,91542 0,93022 0,94250 0,95268 0,96109 0,96803 0,97375 0,97846 0,98233 0,98551 0,98812 0,99026 0,99202 0,99346 0,99464 0,6 0,99851 0,99980

0,07 0,06989 0,16838 0,26362 0,35399 0,43820 0,51536 0,58498 0,64693 0,70137 0,74870 0,78946 0,82427 0,85380 0,87869 0,89958 0,91703 0,93155 0,94361 0,95359 0,96185 0,96865 0,97426 0,97888 0,98267 0,98579 0,98835 0,99045 0,99218 0,99359 0,99475 0,7 0,99878 0,99983

0,08 0,07983 0,17808 0,27291 0,36271 0,44624 0,52267 0,59152 0,65271 0,70642 0,75307 0,79320 0,82745 0,85648 0,88095 0,90147 0,91860 0,93286 0,94470 0,95449 0,96259 0,96926 0,97477 0,97929 0,98301 0,98607 0,98858 0,99064 0,99233 0,99372 0,99485 0,8 0,99900 0,99986

0,09 0,08976 0,18775 0,28213 0,37136 0,45422 0,52990 0,59798 0,65841 0,71139 0,75736 0,79688 0,83058 0,85913 0,88317 0,90332 0,92015 0,93415 0,94576 0,95537 0,96331 0,96986 0,97526 0,97970 0,98335 0,98635 0,98881 0,99083 0,99248 0,99384 0,99496 0,9 0,99918 0,99989

Tabla 17 Percentiles de la Distribución de "r" para N 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

t 0,95 0,805 0,729 0,669 0,621 0,582 0,549 0,521 0,497 0,476 0,457 0,441 0,426 0,412 0,400 0,389 t 0,05

t 0,975 0,876 0,811 0,754 0,707 0,666 0,632 0,602 0,576 0,553 0,532 0,514 0,497 0,482 0,468 0,456 t 0,025

t 0,99 0,934 0,882 0,833 0,789 0,750 0,715 0,685 0,658 0,634 0,612 0,592 0,574 0,558 0,543 0,529 t 0,01

t 0,995 0,959 0,917 0,875 0,834 0,798 0,765 0,735 0,708 0,684 0,661 0,641 0,623 0,606 0,590 0,575 t 0,005

t 0,9995 0,991 0,974 0,951 0,925 0,898 0,872 0,847 0,823 0,801 0,780 0,760 0,742 0,725 0,708 0,693 t 0,0005

N 20 22 24 26 28 30 40 50 60 80 100 250 500 1000 ∞

t 0,95 0,378 0,360 0,344 0,330 0,317 0,306 0,264 0,235 0,214 0,185 0,165 0,104 0,074 0,052 0,000 t 0,05

t 0,975 0,444 0,423 0,404 0,388 0,374 0,361 0,312 0,279 0,254 0,220 0,196 0,124 0,088 0,062 0,000 t 0,025

t 0,99 0,516 0,492 0,472 0,453 0,437 0,423 0,366 0,328 0,300 0,260 0,232 0,147 0,104 0,074 0,000 t 0,01

t 0,995 0,561 0,537 0,515 0,496 0,479 0,463 0,402 0,361 0,330 0,286 0,256 0,163 0,115 0,081 0,000 t 0,005

t 0,9995 0,679 0,652 0,629 0,607 0,588 0,570 0,501 0,451 0,414 0,361 0,324 0,207 0,147 0,104 0,000 t 0,0005

Tabla 17 Transformación de "r" en "z" z

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,00000 0,10034 0,20273 0,30952 0,42365

0,01000 0,11045 0,21317 0,32055 0,43561

0,02000 0,12058 0,22366 0,33165 0,44769

0,03001 0,13074 0,23419 0,34283 0,45990

0,04002 0,14093 0,24477 0,35409 0,47223

0,05004 0,15114 0,25541 0,36544 0,48470

0,06007 0,16139 0,26611 0,37689 0,49731

0,07011 0,17167 0,27686 0,38842 0,51007

0,08017 0,18198 0,28768 0,40006 0,52298

0,09024 0,19234 0,29857 0,41180 0,53606

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,54931 0,69315 0,86730 1,09861 1,47222

0,56273 0,70892 0,88718 1,12703 1,52752

0,57634 0,72501 0,90764 1,15682 1,58903

0,59015 0,74142 0,92873 1,18814 1,65839

0,60416 0,75817 0,95048 1,22117 1,73805

0,61838 0,77530 0,97296 1,25615 1,83178

0,63283 0,79281 0,99622 1,29334 1,94591

0,64752 0,81074 1,02033 1,33308 2,09230

0,66246 0,82911 1,04537 1,37577 2,29756

0,67767 0,84796 1,07143 1,42193 2,64665

Tabla 19 Tamaño de la muestra según el tamaño de población, el error absoluto y la fracción p, con un nivel de confianza del 95% 100 p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

± 1,0% 396 784 1164 1536 1900 2256 2604 2944 3276 3600 3916 4224 4524 4816 5100 5376 5644 5904 6156 6400 6636 6864 7084 7296 7500 7696 7884 8064 8236 8400 8556 8704 8844 8976 9100 9216 9324 9424 9516 9600 9676 9744 9804 9856 9900 9936 9964 9984 9996 10000

± 1,5% 176 348 517 683 844 1003 1157 1308 1456 1600 1740 1877 2011 2140 2267 2389 2508 2624 2736 2844 2949 3051 3148 3243 3333 3420 3504 3584 3660 3733 3803 3868 3931 3989 4044 4096 4144 4188 4229 4267 4300 4331 4357 4380 4400 4416 4428 4437 4443 4444

ERROR ABSOLUTO ± 2,0% ± 2,5% 99 63 196 125 291 186 384 246 475 304 564 361 651 417 736 471 819 524 900 576 979 627 1056 676 1131 724 1204 771 1275 816 1344 860 1411 903 1476 945 1539 985 1600 1024 1659 1062 1716 1098 1771 1133 1824 1167 1875 1200 1924 1231 1971 1261 2016 1290 2059 1318 2100 1344 2139 1369 2176 1393 2211 1415 2244 1436 2275 1456 2304 1475 2331 1492 2356 1508 2379 1523 2400 1536 2419 1548 2436 1559 2451 1569 2464 1577 2475 1584 2484 1590 2491 1594 2496 1597 2499 1599 2500 1600

± 3,0% 44 87 129 171 211 251 289 327 364 400 435 469 503 535 567 597 627 656 684 711 737 763 787 811 833 855 876 896 915 933 951 967 983 997 1011 1024 1036 1047 1057 1067 1075 1083 1089 1095 1100 1104 1107 1109 1111 1111

± 3,5% 32 64 95 125 155 184 213 240 267 294 320 345 369 393 416 439 461 482 503 522 542 560 578 596 612 628 644 658 672 686 698 711 722 733 743 752 761 769 777 784 790 795 800 805 808 811 813 815 816 816

100 p 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

± 1,0% 9996 9984 9964 9936 9900 9856 9804 9744 9676 9600 9516 9424 9324 9216 9100 8976 8844 8704 8556 8400 8236 8064 7884 7696 7500 7296 7084 6864 6636 6400 6156 5904 5644 5376 5100 4816 4524 4224 3916 3600 3276 2944 2604 2256 1900 1536 1164 784 396

± 1,5% 4443 4437 4428 4416 4400 4380 4357 4331 4300 4267 4229 4188 4144 4096 4044 3989 3931 3868 3803 3733 3660 3584 3504 3420 3333 3243 3148 3051 2949 2844 2736 2624 2508 2389 2267 2140 2011 1877 1740 1600 1456 1308 1157 1003 844 683 517 348 176

ERROR ABSOLUTO ± 2,0% ± 2,5% 2499 1599 2496 1597 2491 1594 2484 1590 2475 1584 2464 1577 2451 1569 2436 1559 2419 1548 2400 1536 2379 1523 2356 1508 2331 1492 2304 1475 2275 1456 2244 1436 2211 1415 2176 1393 2139 1369 2100 1344 2059 1318 2016 1290 1971 1261 1924 1231 1875 1200 1824 1167 1771 1133 1716 1098 1659 1062 1600 1024 1539 985 1476 945 1411 903 1344 860 1275 816 1204 771 1131 724 1056 676 979 627 900 576 819 524 736 471 651 417 564 361 475 304 384 246 291 186 196 125 99 63

± 3,0% 1111 1109 1107 1104 1100 1095 1089 1083 1075 1067 1057 1047 1036 1024 1011 997 983 967 951 933 915 896 876 855 833 811 787 763 737 711 684 656 627 597 567 535 503 469 435 400 364 327 289 251 211 171 129 87 44

± 3,5% 816 815 813 811 808 805 800 795 790 784 777 769 761 752 743 733 722 711 698 686 672 658 644 628 612 596 578 560 542 522 503 482 461 439 416 393 369 345 320 294 267 240 213 184 155 125 95 64 32

Tabla 20 TamaĂąo de la muestra correspondiente a un error absoluto y valor de "p" dados, con un nivel de confianza del 95% TamaĂąo de la poblaciĂłn

p N = 100 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,16 0,18 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50

38 55 65 71 75 78 80 82 84 85 86 87 88 88 89 90 91 92 93 94 94

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,16 0,18 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50

13 24 31 38 43 47 51 54 56 59 61 62 64 65 68 70 72 75 77 79 80

N = 200

N = 1.000

Error absoluto 47 76 95 109 120 128 134 140 144 148 151 154 156 158 162 164 167 171 174 177 177 Error absoluto 14 27 37 46 54 61 68 73 78 83 87 91 94 97 103 107 111 119 124 131 132

0,025 58 109 154 194 230 261 290 316 339 361 380 398 415 430 457 481 501 540 568 601 611 0,05 15 30 44 57 69 81 93 103 114 124 133 142 151 159 174 188 201 227 248 273 282

N = infinito 62 123 183 241 298 354 408 462 514 565 614 662 709 755 843 926 1004 1176 1317 1505 1568 16 31 46 60 74 88 102 115 128 141 154 166 177 189 211 231 251 294 329 376 392

Tabla 21 Tamaño de la muestra para estimar medidas y totales Tamaño de la población

500

1.000

2.000

3.000

4.000

Razón del error de muestreo sobre la desviación típica 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,04 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

Tamaño de la muestra requerido con un nivel de confianza del: 95% 99% 99,90% 217 127 187 246 81 125 176 55 88 129 39 64 97 278 400 146 228 326 88 143 214 58 96 148 41 69 108 869 322 500 705 157 258 390 92 154 240 60 101 160 42 71 114 1.016 1.411 341 517 799 162 269 417 93 158 250 60 103 165 42 72 116 1.500 1.110 1.598 351 571 856 164 275 432 94 160 255 61 104 167 42 73 117

Tabla 21 Tamaño de la población

5.000

10.000

20.000

100.000

(Continuación) Razón del error de Tamaño de la muestra requerido con un muestreo sobre la nivel de confianza del: desviación típica 95% 99% 99,90% 0,03 2.303 0,04 1.622 2.271 0,05 1.175 1.737 2.328 0,10 357 588 894 0,15 165 279 441 0,20 94 161 258 0,25 61 104 168 0,30 42 73 118 0,03 2.991 4.252 0,04 1.936 2.938 4.050 0,05 1.332 2.103 3.034 0,10 370 624 982 0,15 168 287 462 0,20 95 164 265 0,25 61 105 171 0,30 43 73 120 0,02 6.498 9.083 0,03 3.517 5.400 7.541 0,04 2.144 3.444 5.079 0,05 1.427 2.350 3.577 0,10 377 644 1.033 0,15 169 292 473 0,20 96 165 269 0,25 61 106 173 0,30 43 74 120 0,01 27.755 39.968 0,02 8.764 14.265 21.413 0,03 4.093 6.887 10.799 0,04 2.345 3.994 6.373 0,05 1.513 2.593 4.174 0,10 383 661 1.077 0,15 170 295 482 0,20 96 166 272 0,25 61 106 174 0,30 43 74 121