12
MÓDULO II POTENCIAÇÃO E
RADICIAÇÃO
13
MÓDULO II – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO O módulo II é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação. Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreensão. 1ª PARTE:
1.
POTENCIAÇÃO
DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3 pode ser indicado na forma 34 . Assim, o símbolo a n , sendo a um número inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a: a n a.a.a. ... .a n fatores
a é a base; n é o expoente; o resultado é a potência.
-
Por definição temos que: a 0 1 e a 1 a Exemplos: a) 33 3 3 3 27
b) c)
22 23
3 d) 4
2 2 4
2 2 2
3 3 9 4 4 16
2
8
CUIDADO !! Cuidado com os sinais. Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos: 2 4 2 2 2 2 16
3 2
3 3 9
Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo: 3 Ex. 1: 2 2 2 2 4 2
8
Se x 2 , qual será o valor de “ x 2 ”? 2 2 4 , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado. Observe: x 2 2 4 → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x. 2
14
2.
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
a .a a m
n
Quadro Resumo das Propriedades n n a b b a n a.b a n .b n
mn
am a m n n a
a
m n
a mn
an a 1 a n n a m
n
an a n ; com b b
n m
b0
A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades: a) a m a n a m n Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de potencias de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes. Ex. 1.: 2 x 2 2 2 x 2 Ex. 2.: a 4 a 7 a 4 7 a 11 Ex. 3.: 4 2 3 4 neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes. 42 34
16 81 1296
Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim: a m a n a m n ou a m n a m a n Exemplo: a 7 n a 7 a n
am a m n Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potencias de bases b) n a iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes.
Ex. 1:
34
3 4 x
x
3 a4 Ex. 2: 5 a
a 4 5 a 1
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja am am a4 m n m n 4 x a a ou Exemplo: a x an an a
c) d)
a
m n
a mn Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes .
Ex. 1: 4 3
2
4 32 4 6
15
4
Ex. 2: b x b x 4 b 4 x Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
a
a
m n
a mn ou a m n
m n
x
34 x 34
Ex.:
3
x 4
ou
n
d) m a n a m Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa potencia de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente. x
Ex. 1: Ex. 2:
3
x
x7
Ex. 3: 25 Ex. 4: x
1 2
3
8
x1 x
2
7
1 2
3
25 5 3
x8
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja m
a
an
a e) b
n
m
n
2
1 Ex. 2: 5
2
m
m
a
n
Ex.:
a
5
2
a5
an , com b 0 bn
2 Ex. 1: 3
n
ou a
22 32
4 9
12 52
1 25
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja a b
n
an n
b
ou
a b
an b
n
a b n a n b n 2 Ex. 1: x a x 2 a 2 3 Ex. 2: 4 x 4 3 x 3
n
2
Ex.:
3
2 3
1 1
2
2
2 3
1
2
2 3
f)
Ex. 3: 3 x
4
34
64 x 3
x
4
1 3 4 x 2
4
34 x
4
2
3 4 x 2 81x 2
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
a b n
a n b n ou a n b n
a b n
Ex.:
x yx
1
2
y
1
2
x y
1
2
x y
16
1 an
g) a n Ex. 1: a
3
2 Ex. 2: 3
1 a 2
3
3 2
13 a3
2
32 22
1 a3
O sinal negativo no expoente indica que a base da potência deve ser invertida e simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do expoente.
9 4
1 1 1 Ex. 3: 4 1
4
4
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja a n
1 1 ou n n a a
1 x2 2 x 2 2 1 2 b) 3 3 x 3 3x 3 x 3
Ex.:
a)
CUIDADO !!!
2
3
1 a
1 2
3
3
1 3
3
3
3
a 1
13 33
3
a3 13
13 2 3
Primeiro eliminamos o sinal negativo do expoente invertendo a base.
1 8
1 27 a3
Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função. EXERCÍCIOS
1) a) b) c) d) e) f) g)
Calcule as potências: 6
2
2
(-6) -62 (-2)3 -23 50 (-8)0
h) 3 2
4
i) 3
4
j) 3
3
2
2
k) l) m) n)
028 132 (-1)20 (-1)17
o) 3 5
2
a n
17
2. a) b) c) d) e)
O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é: 16 8 6 4 2
Qual é a forma mais simples de escrever: 3. a) (a . b)3 . b . (b . c)2 3 2 5 4 b) x . y . y7 .x.x
y
4.
5.
Sendo a 27.38.7 e b 25.36 , o quociente de a por b é: a) 252 d) 48 b) 36 e) 42 c) 126 Calcule o valor da expressão: 2
1
2 1 1 A 3 2 4
2
2
1 1 3. Simplificando a expressão 2 4 , obtemos o número: 6. 2 1 3 3. 3 2 a) 6 c) 6 7 7 7 7 b) d) 6 6
7.
8.
1 e b 3 , qual o valor numérico da expressão a 2 ab b 2 ? 3 Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:
Quando a
a) 2-3 = b) 10-2 = c) 4-1 =
Exemplos mais complexos:
4xy
3 1
(1)
e) 5 7
x
2
1 4 xy 3 2 x
1
1 4 xy 3 x2 1
1 1 2 3 4 xy x
1 4x 3 y 3
18
(2) x.y
1 3 xy
3 2
1 (3) 4 3 a .b
3
2
12
x 2. y
a 4 .b 3 1
1 1 2 6 3.2 x .y x .y
3 2
2
a .b
3
4 3
3 3
a 4.3 .b 3.3 a 12 .b 9 1
13
12
a .y 4 2
(4) a . y 4
3 2
1 4 3 a .y
2
3 2
1 a . y 3.2 4.2
1 a .y6 8
ou
nº negativo elevado a expoente par, fica positivo.
2
1 12 1 4 3 42 32 8 6 a y a y a y
2
(5) 8.y .a
1 2 8.y .a
2
2
12
8.y .a 2
2
12
.a
8 2. y
2 2
2
1 64.y 4 .a 2
Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos parênteses.
1 (6) 2 4 1 2 4
3
1 (7) c 2
3
8 1 4 2
2
3
9 4
2c 1 2
2
3
4 9
2c 12 22
3
43 64 3 729 9
2c 1 2c 1 4 ou
4c 2 4c 1 4c 2 2c 2c 1 4 4
1 1 1 1 1 1 1 2 c c c c c c 2 2 2 2 2 2 2 2 c c 1 2c 1 1 4c 4c 1 c2 c2 c2 c 2 2 4 2 4 4 4
19
EXERCÍCIOS 9. Efetue: 6 4 a) a .a
f) (x3 )5 g) (2 x 2 )3 3 h) 5a 2b3
8
b) a3 a
2 c) 2ab3 c
2
3
a 2c b
4
i) 3a2 b
2
3x 2 y 3 3 d) a b 3 3xy 2 2 2 2a b
3 2
j) 2ab4 5x
4 k) 1 2
3a
e) 3x 4
2
10.
Sabendo que a 2 4 , determine o valor de a.
5
Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões: 2n 4 Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir 3 8 2 3n 1 todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números por 2. que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e 3 8 2n 22 2 2 3n 1
Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma base.
1 2 n2 2 n2 2 n 23n 2 2 n 23n 2 2 2 n ou 2 n 13n 1 3n 2 2 2 2 Exercícios
Simplifique as expressões: 4n 2n 1 3n 2 3n E a) E b) 3 3n 1 4n 1
11.
c) G
25n 2 100 5n 1
20
2ª PARTE:
1.
RADICIAÇÃO
DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever: n n e n 1 a b bn a Ex. 1: 3
Ex. 2:
4 2
pois
22 4
8 2
pois
23 8
Na raiz n a , temos: - O número n é chamado índice; - O número a é chamado radicando.
2.CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO 2.1
a)
PROPRIEDADES DOS RADICAIS a
ap
n
2 2
3
Ex. 1: Ex. 2:
5
Ex. 3:
p n
Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potência.
1 3
43
4
3
62
6
2
2 5
Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou p
seja a
n
n a p (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical).
Exemplo : 2
3
5
a
b)
n
an
c)
n
ab
n
a b
d)
5 23 .
n n
n
n
a b
n
a1 a
a n b
Ex.:
Ex.:
Ex.:
3
a6 b5
a3 b6
3
23
a6 b5
2
3
3
3
21 2
a3 3 b6 a b
6 5
2 2
a a3 b
5
2
3
3
b
ou
6
3
a b2 a3 b5
21
b
e)
1 b n
m
5
1 5 2
3
3
Ex.:
f)
m
n
n m
a
m n
a
Ex.:
1 m n b 1 3 2 5
3 2
13 2 5 1
3
1m n b 1
32
5
3
m bn
3
6
2
3
EXERCÍCIOS 12. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária:
d) 0,01
1 100
a)
1 b) 16
e)
0,81
f)
2,25
4 9
c)
13. Calcule a raiz indicada: a) b)
9
a3
c)
t7
3
48
d)
4 12
t
14. Escreva na forma de potência com expoente fracionário: a) b) c) d)
7 4
23
5
3
6
a5
e)
1
f)
2
1 25
f)
b) 4 3
g)
2
a b m n
d) 8
16.
1 2
5 a7
1 4
3
1
c) x 4
e)
3
Escreva na forma de radical:
15. a)
x2
3
h) m
2
3 4
1 5
De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo?
a) 10 1 c) 10 3 e) 110
b) 10 2 d) 10 4
22
2.2 RAÍZES NUMÉRICAS Devemos fatorar 144
Exemplos:
144
a)
24 32
2
24 32
4
2
3
2 3 2
2
2 144 2 72 2 36 2 18 3 9 3 3 1 2 4 3 2 144
2
4 3 12
1
Forma fatorada de 144
b)
3
243
3
35
3
3
3
33 32
33 3 32 3
3
3
33 ou
2
2
243 81 27 9 3 1 35
3
3
Resultados possíveis
3 3 32 ou 33 9
3 3 3 3 3 243
Forma fatorada de 243
Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical. 2.3
RAÍZES LITERAIS
a)
9
x
9 x2 9 x2
9
Escrever o radical x na forma de expoente fracionário não resolve o problema, pois nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma: 9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz. Assim teremos: x9
b)
3
x14
3
x 81
x 8 x1
x8 x x
8
2
x x4 x
x12 2 pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).
23
3
x 12 x 2
3
x 12 3 x 2
x
12
3 3
x2
x4 3 x2
Outros Exemplos: 27.x 6
3
a)
3
3
3
27 3 x 6
33 x 3
3
6
3
3 27 3 9 3 3 1 33 27
(pois 6 é divisível por 3)
x2
31 x 2 3x 2 3
b)
48 x 4 y 6
3
3
48 3 x 4 3 y 6
1 23.6 3 x 3 y
6
48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1
3
pois 4 não é divisível por 3
3
23 3 6 3 x 3 x y 2
2 3 6 3 x3 3 x y2 2 3 6 x 3 x y2 2xy 2 3 6 3 x 2xy 2 3 6x EXERCÍCIOS 17. Calcule:
a) b) c) d) e)
3
125
5
243 36
5
1
6
0
f) g) h) i)
1
7
3
125
5
32
7
1
2 3.2.3 2 3.6 48
24
18. a) b) c)
Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário: 3
32
3
25 27
4
d) e) f)
19.
4a 2
b)
36a 2 b 6
c)
4 2 4 a b 9
d)
x2 100
512
8
625
16a 10 25
e) f) g) h) i)
4
j)
100 x 2
8
121
5
1024 x 5 y 10
4
1 25
k)
3
a6 b3
16 x 4 y2z6
Simplifique os radicais:
20. 5
a10 x
d) e)
a 4b 2c
3
25a 4 x 432
f)
1 45 3
a 3b
3. OPERAÇÕES 3.1.
81
8
Calcule a raiz indicada:
a)
a) b) c)
7
COM RADICAIS
Adição e Subtração
Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais. Exemplos: 1) 3 4 3 2 3 1 4 2 3 1 3 3 2)
25 3 35 3 25 3 2 3 2 5 3 35 3 fatores externos
Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma. 3)
4 2 2 2 3 5 6 5
4 2
2 3 6 5
2 2 3 5
não pode ser mais reduzida
4)
3 2 75 2 4
3 5
2 7 4 2 2 3
25
EXERCÍCIOS 21. Simplifique 12 10 6 10 8 10 :
Determine as somas algébricas:
22.
c) 53 2 83 3 2 43 2 83 3 d) 85 7 4 6 125 7 104 6
a) 7 3 2 23 2 5 3 2 4 3 b) 5 5 5 5 6 2 5 3
23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: 2 8 a) 5 28 3 20 2 63 2 45 f) 53 32 3 256 3 16 23 2 3 4 5 5 b) 8 2 5 8 13 18 15 50 9 72 5 5 5 g) 64 486 2 c) 6 45 12 48 6 108 10 20 h) 43 81 813 375 103 24 d) 3 90 1 250 1 10 2
e) 24. a) b) c) d) e) 25.
4
4
729
125
96 486 2 6 9 243 4
4
Calcule as somas algébricas: 10 x 4 x 6 x x 4a 81b 6 9a 8 144b 3
f)
4
2a 4 a 5 12a 4 a 34 a 9
h)
a 2 x a 4 x 3 a 3 4a a
a 5 b 34 a 8 b x2 y y x x 81x 4 9 100
g)
27 3 8a 3 1000a
4
a 4c 4 b 4 c 5 c a4 2 8 16
Considere a 9m , b 2 100 m , c 8 36m e determine:
a) a + b + c = 26.
64
4
4
b) a –( b + c )=
c) a – b + c=
d) ( a + b ) – c=
1 Simplifique a expressão 4 a 2 y 4 y 6 a 3 10 a 5 y10 . 2
3.2 Multiplicação
Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um: 1º CASO: Radicais têm raízes exatas. Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados: 16 3 8 4 2 8 Exemplo: 2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o resultado obtido. Exemplos: a) 3 5 3 5 15
b)
3
x y 3 x2 3 y 4
3
x y x2 y 4
3
x
3
y
5
pode parar aqui!
Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão:
26
3
x 3 y5
3
x 3 3 y5 x 3 y3 2 x 3 y3 y 2 x 3 y3 3 y 2 x y 3 y 2 A ordem dos fatores não altera o produto (multiplicação)
c) 2 2 3 5 2 3 2 5 6 2 5 6 10 3º CASO: Radicais têm índices diferentes.
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador). Multiplicamos numerador e denominador da fração 2 por 2 e transformamos na fração equivalente 4
Exemplos:
3 2 4
a)
1 32 1
b)
3
1 24
3
1 2 2 2
1
a 4 x a3 x4 a
1 4 3 4
1 24
x
1 3 4 3
2 34
1 24
4
4
3 2 4 21
4
32 2
4
18
3
a 12 x 12
12
a 4 12 x 3
12
a 4 x3
ATENÇÃO: 2 2 2 2 , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois.
-
2 2 2 por que? 2 2 2 2 ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então: 2
2 2 2
1 2
2
1 2
regra de
potenciaçã o 2
1 1 2 2
2
11 2
2
22
21 2
Conservamos a base e somamos os expoentes.
3.3 Divisão
A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles: 1º CASO: Os radicais têm raízes exatas.
Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados. Exemplo: 81 : 3 27 9 : 3 3
27
2º CASO: Radicais têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e dividir os radicandos. Como os índices das raízes são iguais, podemos substituir as duas raízes por uma só!
x3
x 3 : xy
Exemplos: 3
xy
x3 xy
3
20 3 10
20 : 3 10
3
20 10
x2 y 3
2
3º CASO: Radicais com índices diferentes. O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical . 1
2: 2
2
3
Exemplo:
3
2
22 1 23
1 1 22 3
3 2 2 6
1 26
6
2
4. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos: 1) Temos no denominador apenas raiz quadrada: 4 4 3 4 3 4 3 2 3 3 3 3 3
2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2:
(a)
2 3
x
2 3
Temos que multiplicar numerador e denominador por
x 3
x2
3
x2
23 x2 3
x1 x 2
23 x2 3
x 1 2
23 x2 3
x3
23 x2 x
3
x 2 , pois 1 + 2 = 3.
28
1
(b)
5
1 5
x2
x
Temos que multiplicar numerador e denominador por
2
5
x3
5
x3
5 5
x3
x2 x3
5 5
x3
x 23
5
x3
5
x5
5
5
x 3 , pois 2 + 3 = 5.
x3 x
O sinal deve ser contrário, senão a raiz não será eliminada do denominador.
3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais: 2 2 7 3 2 7 3 2 7 3 2 7 3 2 2 73 4 7 3 7 3 7 3 7 3
7 3 7 3 7 2
7 3 3 7
7 3 2
3 2 7 2 3 2
EXERCÍCIOS
27. a) b) c) d) e) f)
Calcule 6 7 5 7 3 7 5 2 3 50 2 18 23 81 3 24 53 3 4 5 3 2 35 2 5 2 4 32 3
g) 8 10 2 5
2 h) 5 5 4.1.4
2
6 6 4.1.5 2 2
i) 28.
Simplifique os radicais e efetue:
a) 2 2 x3 x 8 x 8 x3 b) 43 343 23 3 3 24 3 192 c) 4 y x 3 y 2 x 3x x 5 x 3 29. Efetue: a) 3a x 2 x x 4a 2 x 9 x 3 b) 5 a 5 4a 3 a 4a 3 a
c) 2 4 x 8 3 25 x 50 4 16 x 32 d) 3b a 7 b 2 a 3a a a 3
29
30.
Escreva na forma mais simplificada:
a) x. x b) 3 x x c) a 7 a 3
d)
x
3 e) x2 x f) x3.x4
31.
h) i) j)
x
a a 3
2
a 3 a 4 a
Efetue as multiplicações e divisões: a 5 . ab .4 a 2b 2
e)
b) c) d)
3
4a 2 x . 4a 2 x 2
f)
10
x3 . x
3
a5 a3
xy .3 x 2 y 2 . x3 y
32.
Efetue: 4
a2
8
a3
6
a 3b 2
a) b)
6 d) 2 27 4
4
a 5b
4
x2 y3 3
9
e) 3 b 53 b 1 4 b
3
6
f)
3. 125 5.4 25
xy
2 Quando x , o valor numérico da expressão 3x 2 x 2 é: 3
33. a) 0 b) 1 c) –1
d)
1 3
e)
2 3
Se x 3 6 e y 9 3 :
34.
a) x é o dobro de y; b) x y 1 c) x y 35.
b)
4
52 b 4
3
a)
a 3 a4 a a
3
k)
a)
c)
x .x 7
g)
d) y é o triplo de x; e) x y 1
Racionalize as frações: 1 x 2 x 4
3 1 x 4 d) 3 x
c)
30
RESPOSTAS
DOS
EXERCÍCIOS
1ª Questão: a) 36
h)
b)
36
i)
c)
–36
j)
d) e) f) g)
–8 –8 1 1
k) l) m) n)
o)
81 16 81 16 - 27 8 0 1 1 -1
9
25
2ª Questão: d) 3ª Questão: a) a 3 b 6 c 2
b)
x8
8ª Questão: a) 0,125
b)
0,01
9ª Questão: a) a 10
d)
b)
a5
c)
4 a8b c3
4ª Questão: a) 5ª Questão: 65 A 4 6ª Questão: a) 7ª Questão: 73 9
10ª Questão: 25 a 36
c)
0,25
8x 3y 4
g)
8x 6
j)
e)
81x 4
h)
125 a 6 b 9
k)
f)
x 15
i)
81 a 4 b8
25x 8 4a 2 b 6 81 a 8
31
11ª Questão: a) E = 3n 12ª Questão: a) 1 10 b) 1 4 13ª Questão: a) 3 a 14ª Questão: 1 a) 72 3 b) 24
c)
e)
9
d)
b)
23 6
c)
t3 t
c)
2 5 3
e)
2 x3
5
f)
d)
f)
10 15 10
a6
c)
b)
d)
42
2
G = 5n+4 . 2
c)
3 -1 10
15ª Questão: a) 5 2
3
F = 2n –3
b)
4
d)
t3
7 5
g)
1
4 3
h)
3
e)
x
1 8
1 2
a
f)
a b
5
1 4
16ª Questão: c) 17ª Questão: a) 5 b) 3
c) d)
6 1
e) f)
c)
3 4 3
e)
d)
3 4 5
19ª Questão: a) 2a
d)
b)
e)
18ª Questão: 5 a) 23 2 b) 3 5
c)
6ab 3
2 ab 2 3
f)
g) h) i)
-5 –2 -1
3 7 2
g)
9 28
f)
4 7 3
h)
1 2 5
x 10
g)
4
11
j)
4a 5 5
h)
4xy 2
k)
a2 b 4x 2
10x
0 7
yz 3
i)
1 5
m2 n
m3
32
20ª Questão: a) a 2 5 x
c)
a ab
e)
b)
d)
5a 2 x
f)
5
22ª Questão: 11 a) 3 2 12
b)
2 5 15
c)
3
23ª Questão: a) 4 7 b) 92 2
c) d)
12 3 2 5
3 4 6 27 4 3
3 10
e) f)
24ª Questão: a) x
c)
3 12 3 a
d)
a 2b c
63 2
21ª Questão: 2 10
d)
45 7 94 6
25 2
10 3 4
g) h)
e)
a x a a
g)
x 89 . y . x 6 10
(a 2 12a) 4 a
f)
2 4 a 13 b
h)
bc 4 c 8
b)
31 m
c)
65 m
d)
71 m
27ª Questão: a) 8 7
c)
13 3 3
e)
3 5 4
g)
b)
d)
12 10
f)
24
h) i)
4 2 1
b)
16 a 87 b
25ª Questão: a) 25 m
22
44 3 3
26ª Questão:
y a 2
14 2
5
28ª Questão: a) 2 x 2 x
b)
28
c)
(7 y 2x) x
29ª Questão: a) (a x) x
b)
(3a 2 2a 1) a
c)
5 x2
d)
4 a (b a)
30ª Questão: a) x
d)
g)
15 x2
j)
7 a2
k)
5b4
1
6
x
b)
4 x
e)
x
h)
5 a3
c)
6 a
f)
x -7
i)
3 4 a
33
31ª Questão: 8 a) a3 b b) 2ax 3 4a 2 x 32ª Questão: 1 a) 8 a 3 1 b) a
4
b12
c)
4 x5
e)
a 12 a
d)
x2 y 3 x2 y2
f)
6
c)
1 6 x
e)
5b12 b
5 12 y
a
d)
2
f)
3 5
b)
2 x 2 4 x4
c)
33 x 1 x
33ª Questão: a) 34ª Questão: c) 35ª Questão: a) x x
d)
4 x2 x 3