Análise real v1 elon lages lima by Carol Rodrigues

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Prefácio A finalidade deste livro é servir de texto para um primeiro curso de Análise Matemática. Os assuntos nele tratados são expostos de maneira simples e direta, evitando-se maiores digressões. Assim, espero facilitar o trabalho do professor que, ao adotá-lo, não precisará perder muito tempo selecionando os tópicos que ensinará e os que vai omitir. Turmas especiais, estudantes com mais experiência, leitores que desejem uma apresentação mais completa ou alunos em busca de leituras complementares poderão consultar o “Curso de Análise”, vol. 1, que trata de matéria semelhante sob forma mais abrangente e é aproximadamente duas vezes mais longo. Os leitores que tenho em mente são alunos com conhecimento equivalente a dois perı́odos letivos de Cálculo, de modo a terem familiaridade com as idéias de derivada e integral em seus aspectos mais elementares, principalmente o cálculo das funções mais conhecidas e a resolução de exercı́cios simples. Espero, além disso, que eles tenham uma noção razoavelmente clara do que seja uma demonstração matemática. A lista de pré-requisitos termina dizendo que o leitor deve estar habituado às notações costumeiras sobre conjuntos, tais como x ∈ A, A ⊂ B, A ∪ B e A ∩ B, etc. Uma parte importante do livro são seus 268 exercı́cios. Eles servem para fixação da aprendizagem, desenvolvimento de alguns temas esboçados no texto e como oportunidade para o leitor verificar se realmente entendeu o que acabou de ler. Soluções de 194 desses exercı́cios, de forma completa ou resumida, são apresentadas no capı́tulo final. Naturalmente, gostaria que o recurso às soluções que ofereço fosse feito somente depois de um sério esforço para resolver cada problema. É precisamente esse esforço que, bem ou mal sucedido, conduz ao êxito no processo de treinamento. O processamento do manuscrito, pelo sistema TEX foi feito por Maria Celano Maia e Solange Villar Visgueiro, sob a supervisão de Jonas de Miranda Gomes, ao qual devo vários conselhos e opiniões sensatas

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durante a preparação do livro. A revisão do texto foi feita por Levi Lopes de Lima, Ricardo Galdo Camelier e Rui Tojeiro. A todas estas pessoas, meus agradecimentos cordiais. A publicação deste livro foi financiada pela CAPES, a cujo Diretor Geral, professor José Ubyrajara Alves, muito devo pelo apoio e compreensão demonstrados. Rio de Janeiro, agosto de 1989 Elon Lages Lima

Prefácio das edições posteriores As sucessivas edições deste livro se beneficiaram de sugestões e correções feitas por diversos colegas e estudantes que o utilizaram. A todos esses colaboradores, dentre os quais destaco Lorenzo Diaz, Florêncio Guimarães, Aryana Cavalcante e Carlos Eduardo Belchior, meus agradecimentos, extensivos a Rogerio Dias Trindade, que redigitou todo o texto para a décima edição e a Maria Celano Maia e Priscilla Pomateli, que fizeram a revisão final. A décima primeira edição recebeu mais alguns acréscimos e esclarecimentos. Rio de Janeiro, março de 2011 Elon Lages Lima

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Conteúdo Capı́tulo 1. Conjuntos Finitos e Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. 2. 3. 4. 5.

Números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Conjuntos enumeráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Capı́tulo 2. Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1. 2. 3. 4.

R é um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 R é um corpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 R é um corpo ordenado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Capı́tulo 3. Seqüências de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1. 2. 3. 4. 5.

Limite de uma seqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Operações com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Capı́tulo 4. Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1. 2. 3. 4. 5.

Séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Séries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Testes de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Capı́tulo 5. Algumas Noções Topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Pontos de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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Capı́tulo 6. Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1. 2. 3. 4.

Definição e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas . . . . 70 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Capı́tulo 7. Funções Contı́nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1. 2. 3. 4. 5.

Definição e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Funções contı́nuas num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Funções contı́nuas em conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Capı́tulo 8. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1. 2. 3. 4. 5.

A noção de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Regras operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Derivada e crescimento local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Funções deriváveis num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Capı́tulo 9. Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada . . . . . . 104 1. 2. 3. 4.

Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Funções convexas e côncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Aproximações sucessivas e método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

Capı́tulo 10. A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 1. 2. 3. 4. 5.

Revisão sobre sup e inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Condições suficientes de integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

Capı́tulo 11. Cálculo com Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1. 2. 3. 4. 5.

Os teoremas clássicos do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 A integral como limite de somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Logaritmos e exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Integrais impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

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Capı́tulo 12. Seqüências e Séries de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 1. Convergência simples e convergência uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2. Propriedades da convergência uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 3. Séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4. Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5. Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6. Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 Capı́tulo 13. Sugestões e Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Sugestões de Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

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1 Conjuntos Finitos e Infinitos Neste capı́tulo, será estabelecida com precisão a diferença entre conjunto finito e conjunto infinito. Será feita também a distinção entre conjunto enumerável e conjunto não-enumerável. O ponto de partida é o conjunto dos números naturais.

Números naturais

O conjunto N dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos: 1. Existe uma função injetiva s : N → N. A imagem s(n) de cada número natural n ∈ N chama-se o sucessor de n. 2. Existe um único número natural 1 ∈ N tal que 1 6= s(n) para todo n ∈ N. 3. Se um conjunto X ⊂ N é tal que 1 ∈ X e s(X) ⊂ X (isto é, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X) então X = N. Estas afirmações podem ser reformuladas assim: 1’. Todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número natural; números diferentes têm sucessores diferentes. 2’. Existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum outro. 3’. Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e contém também o sucessor de cada um dos seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais.

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Conjuntos Finitos e Infinitos

Cap. 1

As propriedades 1, 2, 3 acima chamam-se os axiomas de Peano. O axioma 3 é conhecido como o princı́pio da indução. Intuitivamente, ele significa que todo número natural n pode ser obtido a partir de 1, tomando-se seu successor s(1), o sucessor deste, s(s(1)), e assim por diante, com um número finito de etapas. (Evidentemente “número finito” é uma expressão que, neste momento, não tem ainda significado. A formulação do axioma 3 é uma maneira extremamente hábil de evitar a petição de princı́pio até que a noção de conjunto finito seja esclarecida.) O princı́pio da indução serve de base para um método de demonstração de teoremas sobre número naturais, conhecido como o método de indução (ou recorrência), o qual funciona assim: “se uma propriedade P é válida para o número 1 e se, supondo P válida para o número n daı́ resultar que P é válida também para seu sucessor s(n), então P é válida para todos os números naturais”. Como exemplo de demonstração por indução, provemos que, para todo n ∈ N, tem-se s(n) 6= n. Esta afirmação é verdadeira para n = 1 porque, pelo axioma 2, tem-se 1 6= s(n) para todo n logo, em particular, 1 6= s(1). Supondo-a verdadeira para um certo n ∈ N, vale n 6= s(n). Como a função s é injetiva, daı́ resulta s(n) 6= s(s(n)), isto é, a afirmação é verdadeira para s(n). No conjunto N dos números naturais são definidas duas operações fundamentais: a adição, que associa a cada par de números (m, n) sua soma m + n, e a multiplicação, que faz corresponder ao par (m, n) seu produto m · n. Essas operações são caracterizadas pelas seguintes igualdades, que lhes servem de definição: m + 1 = s(m); m + s(n) = s(m + n), isto é, m + (n + 1) = (m + n) + 1; m · 1 = m;

m · (n + 1) = m · n + m. Noutros termos: somar 1 a m significa tomar o sucessor de m. E se já conhecemos a soma m + n também conheceremos m + (n + 1), que é o sucessor de m + n. Quanto à multiplicação: multiplicar por 1 não altera o número. E se conhecemos o produto m · n, conheceremos m · (n + 1) = m · n + m. A demonstração da existência das operações + e · com as propriedades acima, bem como sua unicidade, se faz por indução. Os detalhes serão omitidos aqui. O leitor interessado pode

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Seção 1

Números naturais

consultar o “Curso de Análise”, vol. 1, ou as referências bibliográficas ali contidas, onde são demonstradas (por indução) as seguintes propriedades da adição e da multiplicação: associatividade:

(m + n) + p = m + (n + p), m · (n · p) = (m · n) · p;

distributividade: m · (n + p) = m · n + m · p;

comutatividade: lei do corte:

m + n = n + m, m · n = n · m;

n + m = p + m ⇒ n = p, n · m = p · m ⇒ n = p.

Como exemplo, provemos a lei do corte para a adição. Usaremos indução em m. Ela vale para m = 1 pois n + 1 = p + 1 significa s(n) = s(p), logo n = p pela injetividade de s. Admitindo-a válida para m, suponhamos que n + m + 1 = p + m + 1. Então, novamente pela injetividade de s, tem-se n+m = p+m donde, pela hipótese de indução, n = p. Dados os números naturais m, n, escreve-se m < n quando existe p ∈ N tal que n = m + p. Diz-se então que m é menor do que n. A notação m ≤ n significa que m < n ou m = n. Prova-se que m < n, n < p =⇒ m < p (transitividade) e que, dados m, n ∈ N quaisquer, vale uma, e somente uma, das três alternativas: m = n, m < n ou n < m. A lei do corte pode ser utilizada para provar um fato sempre admitido e raramente demonstrado, que é o seguinte: para qualquer n ∈ N, não existe p ∈ N tal que n < p < n + 1. Para mostrar isto, suponhamos por absurdo que um tal p ∈ N exista. Então teremos p = n+q e n+1 = p+r, com q, r ∈ N. Daı́ resulta que p + 1 = n + 1 + q = p + r + q e (cortando p) 1 = r + q. Isto é um absurdo pois, pela definição de adição, a soma de dois números naturais é sempre o sucessor de algum número, logo não pode ser 1. Este resultado é usado na demonstração de uma das principais propriedades da relação de ordem m < n entre os números naturais, que é o princı́pio da boa-ordenação, abaixo enunciado e provado. Todo subconjunto não vazio A ⊂ N possui um menor elemento, isto é, um elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A. A fim de provar esta afirmação, para cada número n ∈ N, chamemos de In o conjunto dos números naturais ≤ n. Se 1 ∈ A então 1 será o menor elemento de A. Se, porém, 1 ∈ / A, então consideremos o conjunto X dos números naturais n tais que In ⊂ N−A. Como I1 = {1} ⊂ N−A, vemos que 1 ∈ X. Por outro lado, como A não é vazio, concluimos que

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Conjuntos Finitos e Infinitos

Cap. 1

X 6= N. Logo a conclusão do axioma 3 não é válida. Segue-se que deve existir n ∈ X tal que n + 1 ∈ / X. Então In = {1, 2, . . . , n} ⊂ N − A mas n0 = n + 1 ∈ A. Portanto n0 é o menor elemento do conjunto A, pois não existe número natural entre n e n + 1.

Conjuntos finitos

Continuaremos usando a notação In = {p ∈ N ; p ≤ n}. Um conjunto X diz-se finito quando é vazio ou então existem n ∈ N e uma bijeção f : In → X. Escrevendo x1 = f (1), x2 = f (2), . . . , xn = f (n) temos então X = {x1 , x2 , . . . , xn }. A bijeção f chama-se uma contagem dos elementos de X e o número n chama-se o número de elementos, ou número cardinal do conjunto finito X. O Corolário 1 abaixo prova que o número cardinal está bem definido, isto é, não depende da particular contagem f . Lema. Se existe uma bijeção f : X → Y então, dados a ∈ X e b ∈ Y , existe também uma bijeção g : X → Y tal que g(a) = b. Demonstração: Seja b′ = f (a). Como f é sobrejetiva, existe a′ ∈ X tal que f (a′ ) = b. Definamos g : X → Y pondo g(a) = b, g(a′ ) = b′ e g(x) = f (x) se x ∈ X não é igual a a nem a a′ . É fácil ver que g é uma bijeção.

Teorema 1. Se A é um subconjunto próprio de In , não pode existir uma bijeção f : A → In . Demonstração: Suponha, por absurdo, que o teorema seja falso e considere n0 ∈ N, o menor número natural para o qual existem um subconjunto próprio A ⊂ In0 e uma bijeção f : A → In0 . Se n0 ∈ A então, pelo Lema, existe uma bijeção g : A → In0 com g(n0 ) = n0 . Neste caso, a restrição de g a A − {n0 } é uma bijeção do subconjunto próprio A − {n0 } sobre In0 −1 , o que contraria a minimalidade de n0 . Se, ao contrário, tivermos n0 ∈ / A então tomamos a ∈ A com f (a) = n0 e a restrição de f ao subconjunto próprio A − {a} ⊂ In0 −1 será uma bijeção sobre In0 −1 , o que novamente vai contrariar a minimalidade de n0 . Corolário 1. Se f : Im → X e g : In → X são bijeções então m = n. Com efeito, se fosse m < n então Im seria um subconjunto próprio de In , o que violaria o Teorema 1, pois g −1 ◦ f : Im → In é uma bijeção. Analogamente se mostra que não é possı́vel n < m. Logo m = n.

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Seção 2

Conjuntos finitos

Corolário 2. Seja X um conjunto finito. Uma aplicação f : X → X é injetiva se, e somente se, é sobrejetiva. Com efeito, existe uma bijeção ϕ : In → X. A aplicação f : X → X é injetiva ou sobrejetiva se, e somente se, ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ : In → In o é. Logo podemos considerar f : In → In . Se f for injetiva então pondo A = f (In ), teremos uma bijeção f −1 : A → In . Pelo Teorema 1, A = In e f é sobrejetiva. Reciprocamente, se f for sobrejetiva, formemos um conjunto A ⊂ In escolhendo, para cada y ∈ In , um elemento x ∈ In tal que f (x) = y. Então a restrição f : A → In é uma bijeção. Pelo Teorema 1, temos A = In . Isto significa que, para cada y ∈ In , é único o x tal que f (x) = y, ou seja, f é injetiva. Corolário 3. Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e uma sua parte própria. Com efeito, sejam X finito e Y ⊂ X uma parte própria. Existem n ∈ N e uma bijeção ϕ : In → X. Então o conjunto A = ϕ−1 (Y ) é uma parte própria de In . Chamemos de ϕA : A → Y a bijeção obtida por restrição de ϕ a A. Se existisse uma bijeção f : Y → X, a composta g = ϕ−1 ◦ f ◦ ϕA : A → In seria também uma bijeção, contrariando o Teorema 1. O Corolário 3 é uma mera reformulação do Teorema 1. Teorema 2. Todo subconjunto de um conjunto finito é finito. Demonstração: Provaremos inicialmente o seguinte caso particular: se X é finito e a ∈ X então X −{a} é finito. Com efeito, existe uma bijeção f : In → X a qual, pelo Lema, podemos supor que cumpre f (n) = a. Se n = 1 então X − {a} = ∅ é finito. Se n > 1, a restrição de f a In−1 é uma bijeção sobre X − {a}, logo X − {a} é finito e tem n − 1 elementos. O caso geral se prova por indução no número n de elementos de X. Ele é evidente quando X = ∅ ou n = 1. Supondo o Teorema verdadeiro para conjuntos com n elementos, sejam X um conjunto com n + 1 elementos e Y um subconjunto de X. Se Y = X, nada há o que provar. Caso contrário, existe a ∈ X com a ∈ / Y . Então, na realidade, Y ⊂ X − {a}. Como X − {a} tem n elementos, segue-se que Y é finito. Corolário 1. Dada f : X → Y , se Y é finito e f é injetiva então X é finito; se X é finito e f é sobrejetiva então Y é finito.

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Conjuntos Finitos e Infinitos

Cap. 1

Com efeito, se f é injetiva então ela é uma bijeção de X sobre um subconjunto f (X) do conjunto finito Y . Por outro lado, se f é sobrejetiva e X é finito então, para cada y ∈ Y podemos escolher um x = g(y) ∈ X tal que f (x) = y. Isto define uma aplicação g : Y → X tal que f (g(y)) = y para todo y ∈ Y . Segue-se que g é injetiva logo, pelo que acabamos de provar, Y é finito. Um subconjunto X ⊂ N diz-se limitado quando existe p ∈ N tal que x ≤ p para todo x ∈ X. Corolário 2. Um subconjunto X ⊂ N é finito se, e somente se, é limitado. Com efeito, se X = {x1 , . . . , xn } ⊂ N é finito, pondo p = x1 +· · ·+xn vemos que x ∈ X ⇒ x ≤ p logo X é limitado. Reciprocamente, se X ⊂ N é limitado então X ⊂ Ip para algum p ∈ N, segue-se pois do Teorema 2 que X é finito.

Conjuntos infinitos

Diz-se que um conjunto é infinito quando não é finito. Assim, X é infinito quando não é vazio nem existe, seja qual for n ∈ N, uma bijeção f : In → X. Por exemplo, o conjunto N dos números naturais é infinito, em virtude do Corolário 2 do Teorema 2. Pelo mesmo motivo, se k ∈ N então o conjunto k · N dos múltiplos de k é infinito. Teorema 3. Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva f : N → X.

Demonstração: Para cada subconjunto não-vazio A ⊂ X, escolhemos um elemento xA ∈ A. Em seguida, definimos f : N → X indutivamente. Pomos f (1) = xX e, supondo já definidos f (1), . . . , f (n), escrevemos An = X − {f (1), . . . , f (n)}. Como X é infinito, An não é vazio. Definimos então f (n + 1) = xAn . Isto completa a definição de f . Para provar que f é injetiva, sejam m, n ∈ N, digamos com m < n. Então f (m) ∈ {f (1), . . . , f (n − 1)} enquanto f (n) ∈ X − {f (1), . . . , f (n − 1)}. Logo f (m) 6= f (n).

Corolário. Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bijeção ϕ : X → Y sobre um subconjunto próprio Y ⊂ X.

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Seção 4

Conjuntos enumeráveis

Com efeito, sejam X infinito e f : N → X uma aplicação injetiva. Escrevamos, para cada n ∈ N, f (n) = xn . Consideremos o subconjunto próprio Y = X − {x1 }. Definamos a bijeção ϕ : X → Y pondo ϕ(x) = x se x não é um dos xn e ϕ(xn ) = xn+1 (n ∈ N). Reciprocamente, se existe uma bijeção de X sobre um seu subconjunto próprio então X é infinito, em virtude do Corolário 3 do Teorema 1. Se N1 = N − {1} então ϕ : N → N1 , ϕ(n) = n + 1, é uma bijeção de N sobre seu subconjunto N1 = {2, 3, . . . }. Mais geralmente, fixando p ∈ N podemos considerar Np = {p+1, p+2, . . . } e definir a bijeção ϕ : N → Np , ϕ(n) = n + p. Fenômenos desse tipo já tinham sido observados por Galileu, que foi o primeiro a notar que “há tantos números pares quantos números naturais”, mostrando que se P = {2, 4, 6, . . . } é o conjunto dos números pares então ϕ : N → P , dada por ϕ(n) = 2n, é uma bijeção. Evidentemente, se I = {1, 3, 5, . . . } é o conjunto dos números ı́mpares, então ψ : N → I, com ψ(n) = 2n − 1, também é uma bijeção. Nestes dois últimos exemplos, N − P = I e N − I = P são infinitos, enquanto N − Np = {1, 2, . . . , p} é finito.

Conjuntos enumeráveis

Um conjunto X diz-se enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f : N → X. Neste caso, f chama-se uma enumeração dos elementos de X. Escrevendo f (1) = x1 , f (2) = x2 , . . . , f (n) = xn , . . . tem-se então X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }. Teorema 4. Todo subconjunto X ⊂ N é enumerável.

Demonstração: Se X é finito, nada há para demonstrar. Caso contrário, enumeramos os elementos de X pondo x1 = menor elemento de X, e supondo definidos x1 < x2 < · · · < xn , escrevemos An = X − {x1 , . . . , xn }. Observando que An 6= ∅, pois X é infinito, definimos xn+1 = menor elemento de An . Então X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }. Com efeito, se existisse algum elemento x ∈ X diferente de todos os xn , terı́amos x ∈ An para todo n ∈ N, logo x seria um número natural maior do que todos os elementos do conjunto infinito {x1 , . . . , xn , . . . }, contrariando o Corolário 2 do Teorema 2. Corolário 1. Seja f : X → Y injetiva. Se Y é enumerável então X também é. Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.

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Conjuntos Finitos e Infinitos

Cap. 1

Com efeito, basta considerar o caso em que existe uma bijeção ϕ : Y → N. Então ϕ ◦ f : X → N é uma bijeção de X sobre um subconjunto de N, o qual é enumerável, pelo Teorema 4. No caso particular de X ⊂ Y , tomamos f : X → Y igual à aplicação de inclusão. Corolário 2. Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável então Y também é. Com efeito, para cada y ∈ Y podemos escolher um x = g(y) ∈ X tal que f (x) = y. Isto define uma aplicação g : Y → X tal que f (g(y)) = y para todo y ∈ Y . Segue-se daı́ que g é injetiva. Pelo Corolário 1, Y é enumerável. Corolário 3. O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável. Com efeito, se X e Y são enumeráveis então existem sobrejeções f : N → X e g : N → Y , logo ϕ : N × N → X × Y , dada por ϕ(m, n) = (f (m), g(n)) é sobrejetiva. Portanto, basta provar que N × N é enumerável. Para isto, consideremos a aplicação ψ : N × N → N, dada por ψ(m, n) = 2m · 3n . Pela unicidade da decomposição de um número em fatores primos, ψ é injetiva. Segue-se que N × N é enumerável. Corolário 4. A reunião de uma famı́lia enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável. Com efeito, dados X1 , X2 , . . . , Xn , . . . enumeráveis, existem sobrejeções S∞ f1 : N → X1 , f2 : N → X2 , . . . , fn : N → Xn , . . . . Tomando X = n=1 Xn , definimos a sobrejeção f : N×N → X pondo f (m, n) = fn (m). O caso de uma reunião finita X = X1 ∪ · · · ∪ Xn reduz-se ao anterior porque então X = X1 ∪ · · · ∪ Xn ∪ Xn ∪ · · · . O Teorema 3 acima significa que o enumerável é o “menor” dos infinitos. Com efeito, ele pode ser reformulado assim: Todo conjunto infinito contém um subconjunto infinito enumerável. Exemplo 1. O conjunto Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } dos números inteiros é enumerável. Uma bijeção f : N → Z pode ser definida pondo f (n) = (n − 1)/2 para n ı́mpar e f (n) = −n/2 para n par. Exemplo 2. O conjunto Q = {m/n; m, n ∈ Z, n 6= 0} dos números racionais é enumerável. Com efeito, escrevendo Z∗ = Z − {0}, podemos definir uma função sobrejetiva f : Z × Z∗ → Q pondo f (m, n) = m/n.

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Seção 5

Exercı́cios

Exemplo 3. (Um conjunto não-enumerável.) Seja S o conjunto de todas as seqüências infinitas, como s = (0 1 1 0 0 0 1 0 . . . ), formadas com os sı́mbolos 0 e 1. Noutras palavras, S é o conjunto de todas as funções s : N → {0, 1}. Para cada n ∈ N, o valor s(n), igual a 0 ou 1, é o n-ésimo termo da seqüência s. Afirmamos que nenhum subconjunto enumerável X = {s1 , s2 , . . . , sn , . . . } ⊂ S é igual a S. Com efeito, dado X, indiquemos com snm o n-ésimo termo da seqüência sm ∈ X. Formamos uma nova seqüência s∗ ∈ S tomando o n-ésimo termo de s∗ igual a 0 se for snn = 1, ou igual a 1 se for snn = 0. A seqüência s∗ não pertence ao conjunto X porque seu n-ésimo termo é diferente do n-ésimo termo de sn . (Este raciocı́nio, devido a G. Cantor, é conhecido como “método da diagonal”.) No capı́tulo seguinte mostraremos que o conjunto R dos números reais não é enumerável.

Exercı́cios

Seção 1:

Números naturais

1. Usando indução, prove: (a) (b)

1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2;

1 + 3 + 5 + · · · + 2n − 1 = n2 .

2. Dados m, n ∈ N com n > m, prove que ou n é múltiplo de m ou existem q, r ∈ N tais que n = mq + r e r < m. Prove que q e r são únicos com esta propriedade. 3. Seja X ⊂ N um subconjunto não-vazio tal que m, n ∈ X ⇔ m, m + n ∈ X. Prove que existe k ∈ N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k. 4. Prove que, no segundo axioma de Peano, a palavra “único” é redundante (admitindo-se, naturalmente, os demais axiomas). 5. Prove o princı́pio de indução como uma conseqüência do princı́pio da boa ordenação. 6. Prove a lei de corte para a multiplicação: mp = np ⇒ m = n.

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Conjuntos Finitos e Infinitos

Seção 2:

Cap. 1

Conjuntos finitos

1. Indicando com card X o número de elementos do conjunto finito X, prove: (a) Se X é finito e Y ⊂ X então card Y ≤ card X. (b) Se X e Y são finitos então X ∪ Y é finito e card(X ∪ Y ) = card X + card Y − card(X ∩ Y ). (c) Se X e Y são finitos então X × Y é finito e card(X × Y ) = card X · card Y. 2. Seja P(X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X. Prove por indução que se X é finito então card P(X) = 2card X .

3. Seja F(X; Y ) o conjunto das funções f : X → Y . Se card X = m e card Y = n, prove que card F(X; Y ) = nm .

4. Prove que todo conjunto finito não-vazio X de números naturais contém um elemento máximo (isto é, existe x0 ∈ S tal que x ≤ x0 ∀ x ∈ X). 5. Prove o Princı́pio das Casas de Pombo: se m > n não existe função injetiva f : Im → In . (quando m > n, para alojar m pombos em n casas é preciso que pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo).

Seção 3:

Conjuntos infinitos

1. Dada f : X → Y , prove: (a)

Se X é infinito e f é injetiva então Y é infinito.

(b)

Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.

2. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma função injetiva f : X → Y e uma função sobrejetiva g : Y → X.

3. Prove que o conjunto P dos números primos é infinito.

4. Dê exemplo de uma seqüência decrescente XT1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · de conjuntos infinitos cuja interseção ∞ n=1 Xn seja vazia. i

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Seção 5

Exercı́cios

5. Prove que o conjunto X é infinito se, e somente se, não é vazio nem existe, seja qual for n ∈ N, uma aplicação sobrejetiva f : In → X. Seção 4:

Conjuntos enumeráveis

1. Defina f : N × N → N pondo f (1, n) = 2n − 1 e f (m + 1, n) = 2m (2n − 1). Prove que f é uma bijeção.

2. Prove que existe g : N → N sobrejetiva tal que g −1 (n) é infinito, para cada n ∈ N.

3. Exprima N = N1 ∪ N2 ∪ · · · ∪ Nn ∪ · · · como união infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois disjuntos. 4. Para cada n ∈ N, seja Pn = {X ⊂ N; card X = n}. Prove que Pn é enumerável. Conclua que o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N é enumerável. 5. Prove que o conjunto P(N) de todos os subconjuntos de N não é enumerável. 6. Sejam Y enumerável e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y , f −1 (y) é enumerável. Prove que X é enumerável.

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2 Números Reais

O conjunto dos números reais será indicado por R. Faremos neste capı́tulo uma descrição de suas propriedades que, juntamente com suas conseqüências, serão utilizadas nos capı́tulos seguintes.

R é um corpo

Isto significa que estão definidas em R duas operações, chamadas adição e multiplicação, que cumprem certas condições, abaixo especificadas. A adição faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ R, sua soma x + y ∈ R, enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto x · y ∈ R. Os axiomas a que essas operações obedecem são: Associatividade: para quaisquer x, y, z ∈ R tem-se (x+y)+z = x+(y+z) e (x · y) · z = x · (y · z).

Comutatividade: para quaisquer x, y ∈ R tem-se x+y = y+x e x·y = y·x.

Elementos neutros: existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x + 0 = x e x · 1 = x para qualquer x ∈ R.

Inversos: todo x ∈ R possui um inverso aditivo −x ∈ R tal que x + (−x) = 0 e, se x 6= 0, existe também um inverso multiplicativo x−1 ∈ R tal que x · x−1 = 1. Distributividade: para x, y, z ∈ R quaisquer, tem-se x·(y+z) = x·y+x·z.

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Seção 2

R é um corpo ordenado

Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de manipulação com os números reais. A tı́tulo de exemplo, estabeleceremos algumas delas. Da comutatividade resulta que 0 + x = x e −x + x = 0 para todo x ∈ R. Analogamete 1·x = x e x−1 ·x = 1 quando x 6= 0. A soma x+(−y) será indicada por x − y e chamada a diferença entre x e y. Se y 6= 0, o produto x·y −1 será representado também por x/y e chamado o quociente de x por y. As operações (x, y) 7→ x − y e (x, y) 7→ x/y chamam-se, respectivamente, subtração e divisão. Evidentemente, a divisão de x por y só faz sentido quando y 6= 0, pois o número 0 não possui inverso multiplicativo. Da distributividade segue-se que, para todo x ∈ R, vale x · 0 + x = x · 0 + x · 1 = x(0 + 1) = x · 1 = x. Somando −x a ambos os membros da igualdade x · 0 + x = x obtemos x · 0 = 0. Por outro lado, de x · y = 0 podemos concluir que x = 0 ou y = 0. Com efeito se for y 6= 0 então podemos multiplicar ambos os membros desta igualdade por y −1 e obtemos x · y · y −1 = 0 · y −1 , donde x = 0. Da distributividade resultam também as “regras dos sinais”: x · (−y) = (−x) · y = −(x · y) e (−x) · (−y) = xy. Com efeito, x · (−y) + x · y = x · (−y + y) = x · 0 = 0. Somando −(x · y) a ambos os membros da igualdade x · (−y) + x · y = 0 vem x · (−y) = −(x · y). Analogamente, (−x) · y = −(x · y). Logo (−x) · (−y) = −[x · (−y)] = −[−(x · y)] = x · y. Em particular, (−1) · (−1) = 1. (Observação: a igualdade −(−z) = z, acima empregada, resulta de somar-se z a ambos os membros da igualdade −(−z) + (−z) = 0.) Se dois números reais x, y têm quadrados iguais, então x = ±y. Com efeito, de x2 = y 2 decorre que 0 = x2 − y 2 = (x + y)(x − y) e, como sabemos, o produto de dois números reais só é zero quando pelo menos um dos fatores é zero.

R é um corpo ordenado

Isto significa que existe um subconjunto R+ ⊂ R, chamado o conjunto dos números reais positivos, que cumpre as seguintes condições: P1. A soma e o produto de números reais positivos são positivos. Ou seja, x, y ∈ R+ ⇒ x + y ∈ R+ e x · y ∈ R+ .

P2. Dado x ∈ R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou x ∈ R+ ou −x ∈ R+ .

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Números Reais

Cap. 2

Se indicarmos com R− o conjunto dos números −x onde x ∈ R+ , a condição P2. diz que R = R+ ∪ R− ∪ {0} e os conjuntos R+ , R− e {0} são dois a dois disjuntos. Os números y ∈ R− chamam-se negativos. Todo número real x 6= 0 tem quadrado positivo. Com efeito, se x ∈ R+ então x2 = x · x ∈ R+ por P1. Se x ∈ / R+ então (como x 6= 0) + −x ∈ R logo, ainda por causa de P1., temos x2 = (−x) · (−x) ∈ R+ . Em particular 1 é um número positivo porque 1 = 12 . Escreve-se x < y e diz-se que x é menor do que y quando y −x ∈ R+ , isto é, y = x + z onde z é positivo. Neste caso, escreve-se também y > x e diz-se que y é maior do que x. Em particular, x > 0 significa que x ∈ R+ , isto é, que x é positivo, enquanto x < 0 quer dizer que x é negativo, ou seja, que −x ∈ R+ . Valem as seguintes propriedades da relação de ordem x < y em R: O1. Transitividade: se x < y e y < z então x < z. O2. Tricotomia: dados x, y ∈ R, ocorre exatamente uma das alternativas x = y, x < y ou y < x. O3. Monotonicidade da adição: se x < y então, para todo z ∈ R, tem-se x + z < y + z. O4. Monotonicidade da multiplicação: se x < y então, para todo z > 0 tem-se xz < yz. Se, porém, z < 0 então x < y implica yz < xz. Demonstração: O1. x < y e y < z significam y −x ∈ R+ e z −y ∈ R+ . Por P1. segue-se que (y − x) + (z − y) ∈ R+ , isto é, z − x ∈ R+ , ou seja, x < z. O2. Dados x, y ∈ R, ou y − x ∈ R+ , ou y − x = 0 ou y − x ∈ R− (isto é, x − y ∈ R+ ). No primeiro caso tem-se x < y, no segundo x = y e no terceiro y < x. Estas alternativas se excluem mutuamente, por P2. O3. Se x < y então y − x ∈ R+ , donde (y + z) − (x + z) = y − x ∈ R+ , isto é, x + z < y + z. O4. Se x < y e z > 0 então y − x ∈ R+ e z ∈ R+ , logo (y − x) · z ∈ R+ , ou seja, yz − xz ∈ R+ , o que significa xz < yz. Se x < y e z < 0 então y − x ∈ R+ e −z ∈ R+ , donde xz − yz = (y − x)(−z) ∈ R+ , o que significa yz < xz. Mais geralmente, x < y e x′ < y ′ implicam x + x′ < y + y ′ . Com efeito (y + y ′ ) − (x + x′ ) = (y − x) + (y ′ − x′ ) ∈ R+ . Analogamente, 0 < x < y e 0 < x′ < y ′ implicam xx′ < yy ′ pois ′ yy − xx′ = yy ′ − yx′ + yx′ − xx′ = y(y ′ − x′ ) + (y − x)x′ > 0.

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Seção 2

R é um corpo ordenado

Se 0 < x < y então y −1 < x−1 . Para provar, nota-se primeiro que x > 0 ⇒ x−1 = x · (x−1 )2 > 0. Em seguida, multiplicando ambos os membros da desigualdade x < y por x−1 y −1 vem y −1 < x−1 . Como 1 ∈ R é positivo, segue-se que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < . . . . Podemos então considerar N ⊂ R. Segue-se que Z ⊂ R pois 0 ∈ R e n ∈ R ⇒ −n ∈ R. Além disso, se m, n ∈ Z com n 6= 0 então m/n = m · n−1 ∈ R, o que nos permite concluir que Q ⊂ R. Assim, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Na seção seguinte, veremos que a inclusão Q ⊂ R é própria.

Exemplo 1. (Desigualdade de Bernoulli.) Para todo número real x ≥ −1 e todo n ∈ N, tem-se (1 + x)n ≥ 1 + nx. Isto se prova por indução em n, sendo óbvio para n = 1. Supondo a desigualdade válida para n, multiplicamos ambos os membros pelo número 1 + x ≥ 0 e obtemos (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx2 = 1 + (n + 1)x + nx2 ≥ 1 + (n + 1)x. Pelo mesmo argumento, vê-se que (1 + x)n > 1 + nx quando n > 1, x > −1 e x 6= 0. A relação de ordem em R permite definir o valor absoluto (ou módulo) de um número real x ∈ R assim: |x| = x se x > 0, |0| = 0 e |x| = −x se x < 0. Noutras palavras, |x| = max{x, −x} é o maior dos números reais x e −x. Tem-se −|x| ≤ x ≤ |x| para todo x ∈ R. Com efeito, a desigualdade x ≤ |x| é óbvia, enquanto −|x| ≤ x resulta de multiplicar por −1 ambos os membros da desigualdade −x ≤ |x|. Podemos caracterizar |x| como o único número ≥ 0 cujo quadrado é x2 . Teorema 1. Se x, y ∈ R então |x + y| ≤ |x| + |y| e |x · y| = |x| · |y|.

Demonstração: Somando membro a membro as desigualdades |x| ≥ x e |y| ≥ y vem |x| + |y| ≥ x + y. Analogamente, de |x| ≥ −x e |y| ≥ −y resulta |x|+|y| ≥ −(x+y). Logo |x|+|y| ≥ |x+y| = max{x+y, −(x+y)}. Para provar que |x · y| = |x| · |y|, basta mostrar que estes dois números têm o mesmo quadrado, já que ambos são ≥ 0. Ora o quadrado de |x · y| é (x · y)2 = x2 · y 2 , enquanto (|x| · |y|)2 = |x|2 |y|2 = x2 · y 2 .

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Números Reais

Cap. 2

Teorema 2. Sejam a, x, δ ∈ R. Tem-se |x − a| < δ se, e somente se, a − δ < x < a + δ. Demonstração: Como |x − a| é o maior dos dois números x − a e −(x − a), afirmar que |x − a| < δ equivale a dizer que se tem x − a < δ e −(x − a) < δ, ou seja, x − a < δ e x − a > −δ. Somando a, vem: |x − a| < δ ⇔ x < a + δ e x > a − δ ⇔ a − δ < x < a + δ. De modo análogo se vê que |x − a| ≤ δ ⇔ a − δ ≤ x ≤ a + δ. Usaremos as seguintes notações para representar tipos especiais de conjuntos de números reais, chamados intervalos: [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}

(−∞, b] = {x ∈ R; x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}

[a, +∞) = {x ∈ R; a ≤ x}

(a, b) = {x ∈ R; a < x < b}

(a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}

(−∞, b) = {x ∈ R; x < b}

(a, +∞) = {x ∈ R; a < x}

(−∞, +∞) = R

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a, b: [a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é aberto, [a, b) é fechado à esquerda e (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalos à direita são ilimitados: (−∞, b] é a semi-reta esquerda fechada de origem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b, o intervalo fechado [a, b] reduzse a um único elemento e chama-se um intervalo degenerado. Em termos de intervalos, o Teorema 2 diz que |x − a| < ε se, e somente se, x pertence ao intervalo aberto (a − ε, a + ε). Analogamente, |x − a| ≤ ε ⇔ x ∈ [a − ε, a + ε]. É muito conveniente imaginar o conjunto R como uma reta (a “reta real”) e os números reais como pontos dessa reta. Então a relação x < y significa que o ponto x está à esquerda de y (e y à direita de x), os intervalos são segmentos de reta e |x − y| é a distância do ponto x ao ponto y. O significado do Teorema 2 é de que o intervalo (a − δ, a + δ) é formado pelos pontos que distam menos de δ do ponto a. Tais interpretações geométricas constituem um valioso auxı́lio para a compreensão dos conceitos e teoremas da Análise.

R é um corpo ordenado completo

Nada do que foi dito até agora permite distinguir R de Q pois os números racionais também constituem um corpo ordenado. Acabaremos agora

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Seção 3

R é um corpo ordenado completo

nossa caracterização de R, descrevendo-o como um corpo ordenado completo, propriedade que Q não tem. Um conjunto X ⊂ R diz-se limitado superiormente quando existe algum b ∈ R tal que x ≤ b para todo x ∈ X. Neste caso, diz-se que b é uma cota superior de X. Analogamente, diz-se que o conjunto X ⊂ R é limitado inferiormente quando existe a ∈ R tal que a ≤ x para todo x ∈ X. O número a chama-se então uma cota inferior de X. Se X é limitado superior e inferiormente, diz-se que X é um conjunto limitado. Isto significa que X está contido em algum intervalo limitado [a, b] ou, equivalentemente, que existe k > 0 tal que x ∈ X ⇒ |x| ≤ k. Seja X ⊂ R limitado superiormente e não-vazio. Um número b ∈ R chama-se o supremo do conjunto X quando é a menor das cotas superiores de X. Mais explicitamente, b é o supremo de X quando cumpre as duas condições: S1. S2.

Para todo x ∈ X, tem-se x ≤ b; Se c ∈ R é tal que x ≤ c para todo x ∈ X então b ≤ c.

A condição S2 admite a seguinte reformulação: S2´.

Se c < b então existe x ∈ X com c < x.

Com efeito, S2´ diz que nenhum número real menor do que b pode ser cota superior de X. Às vezes se exprime S2´ assim: para todo ε > 0 existe x ∈ X tal que b − ε < x. Escrevemos b = sup X para indicar que b é o supremo do conjunto X. Analogamente, se X ⊂ R é um conjunto não-vazio, limitado inferiormente, um número real a chama-se o ı́nfimo do conjunto X, e escreve-se a = inf X, quando é a maior das cotas inferiores de X. Isto equivale às duas afirmações: I1. I2.

Para todo x ∈ X tem-se a ≤ x; Se c ≤ x para todo x ∈ X então c ≤ a.

A condição I2 pode também ser formulada assim: I2´.

Se a < c então existe x ∈ X tal que x < c.

De fato, I2´ diz que nenhum número maior do que a é cota inferior de X. Equivalentemente: para todo ε > 0 existe x ∈ X tal que x < a+ε. Diz-se que um número b ∈ X é o maior elemento (ou elemento máximo) do conjunto X quando b ≥ x para todo x ∈ X. Isto quer dizer que b é uma cota superior de X, pertencente a X. Por exemplo, b é o elemento máximo do intervalo fechado [a, b] mas o intervalo [a, b) não possui maior elemento. Evidentemente, se um conjunto X possui

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Números Reais

Cap. 2

elemento máximo este será seu supremo. A noção de supremo serve precisamente para substituir a idéia de maior elemento de um conjunto quando esse maior elemento não existe. O supremo do conjunto [a, b) é b. Considerações inteiramente análogas podem ser feitas em relação ao ı́nfimo. A afirmação de que o corpo ordenado R é completo significa que todo conjunto não-vazio, limitado superiormente, X ⊂ R possui supremo b = sup X ∈ R. Não é necessário estipular também que todo conjunto não-vazio, limitado inferiormente, X ⊂ R possua ı́nfimo. Com efeito, neste caso o conjunto Y = {−x; x ∈ X} é não-vazio, limitado superiormente, logo possui um supremo b ∈ R. Então, como se vê sem dificuldade, o número a = −b é o ı́nfimo de Y . Em seguida veremos algumas conseqüências da completeza de R. Teorema 3. i) O conjunto N ⊂ R dos números naturais não é limitado superiormente; ii) O ı́nfimo do conjunto X = {1/n; n ∈ N} é igual a 0; iii) Dados a, b ∈ R+ , existe n ∈ N tal que n · a > b.

Demonstração: Se N ⊂ R fosse limitado superiormente, existiria c = sup N. Então c − 1 não seria cota superior de N, isto é, existiria n ∈ N com c − 1 < n. Daı́ resultaria c < n + 1, logo c não seria cota superior de N. Esta contradição prova i). Quanto a ii), 0 é evidentemente uma cota inferior de X. Basta então provar que nenhum c > 0 é cota inferior de X. Ora, dado c > 0, existe, por i), um número natural n > 1/c, donde 1/n < c, o que prova ii). Finalmente, dados a, b ∈ R+ usamos i) para obter n ∈ N tal que n > b/a. Então na > b, o que demonstra iii).

As propriedades i), ii) e iii) do teorema acima são equivalentes e significam que R é um corpo arquimediano. Na realidade, iii) é devida ao matemático grego Eudoxo, que viveu alguns séculos antes de Arquimedes. Teorema 4. (Intervalos encaixados.) Dada uma seqüência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · de intervalos limitados e fechados In = [an , bn ], existe pelo menos um número real c tal que c ∈ In para todo n ∈ N. Demonstração: As inclusões In ⊃ In+1 significam que a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1 .

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Seção 3

R é um corpo ordenado completo

O conjunto A = {a1 , a2 , . . . , an , . . . } é, portanto, limitado superiormente. Seja c = sup A. Evidentemente, an ≤ c para todo n ∈ N. Além disso, como cada bn é cota superior de A, temos c ≤ bn para todo n ∈ N. Portanto c ∈ In qualquer que seja n ∈ N. Teorema 5. O conjunto dos números reais não é enumerável. Demonstração: Mostraremos que nenhuma função f : N → R pode ser sobrejetiva. Para isto, supondo f dada, construiremos uma seqüência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · de intervalos limitados e fechados tais que f (n) ∈ / In . Então, se c é um número real pertencente a todos os In , nenhum dos valores f (n) pode ser igual a c, logo f não é sobrejetiva. Para obter os intervalos, começamos tomando I1 = [a1 , b1 ] tal que f (1) < a1 e, supondo obtidos I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In tais que f (j) ∈ / Ij , olhamos para In = [an , bn ]. Se f (n + 1) ∈ / In , podemos simplesmente tomar In+1 = In . Se, porém, f (n + 1) ∈ In , pelo menos um dos extremos, digamos an , é diferente de f (n + 1), isto é, an < f (n + 1). Neste caso, tomamos In+1 = [an+1 , bn+1 ], com an+1 = an e bn+1 = (an + f (n + 1))/2. Um número real chama-se irracional quando não é racional. Como o conjunto Q dos números racionais é enumerável, resulta do teorema acima que existem números irracionais e, mais ainda, sendo R = Q ∪ (R − Q), os irracionais constituem um conjunto não-enumerável (portanto formam a maioria dos reais) porque a reunião de dois conjuntos enumeráveis seria enumerável. Evidentemente, números irracionais podem ser exibidos explicitamente. No Capı́tulo 3, Exemplo 15, veremos que a função f : R → R+ , dada por f (x) =√x2 , é sobrejetiva. Logo existe um número real positivo, indicado por 2, cujo quadrado é igual a 2. Pitágoras e seus discı́pulos mostraram que o quadrado de nenhum número racional pode ser 2. (Com efeito, de (p/q)2 = 2 resulta 2q 2 = p2 , com p, q inteiros, um absurdo porque o fator primo 2 aparece um número par de vezes na decomposição de p2 em fatores primos e um número ı́mpar de vezes em 2q 2 .) Corolário. Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável. Com efeito, todo intervalo não-degenerado contém um intervalo aberto (a, b). Como a função f : (−1, 1) → (a, b), definida por f (x) = 1 2 [(b − a)x + a + b], é uma bijeção, basta mostrar que o intervalo aberto (−1, 1) é não-enumerável. Ora, a função ϕ : R → (−1, 1), dada por

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Números Reais

Cap. 2

ϕ(x) = x/(1 + |x|), é uma bijeção cuja inversa é ψ : (−1, 1) → R, definida por ψ(y) = y/(1 − |y|), pois ϕ(ψ(y)) = y e ψ(ϕ(x)) = x para quaisquer y ∈ (−1, 1) e x ∈ R, como se pode verificar facilmente. Teorema 6. Todo intervalo não-degenerado I contém números racionais e irracionais. Demonstração: Certamente I contém números irracionais pois do contrário seria enumerável. Para provar que I contém números racionais, tomamos [a, b] ⊂ I, onde a < b podem ser supostos irracionais. Fixemos n ∈ N tal que 1/n < b − a. Os S intervalos Im = [m/n, (m + 1)/n], m ∈ Z, cobrem a reta, isto é, R = m∈Z Im . Portanto existe m ∈ Z tal que a ∈ Im . Como a é irracional, temos m/n < a < (m + 1)/n. Sendo o comprimento 1/n do intervalo Im menor do que b − a, segue-se que (m + 1)/n < b. Logo o número racional (m + 1)/n pertence ao intervalo [a, b] e portanto ao intervalo I.

Exercı́cios

Seção 1:

R é um corpo

1. Prove as seguintes unicidades: (a) Se x + θ = x para algum x ∈ R, então θ = 0; (b) Se x · u = x para todo x ∈ R então u = 1; (c) Se x + y = 0 então y = −x; (d) Se x · y = 1, então y = x−1 . 2. Dados a, b, c, d ∈ R, se b 6= 0 e d 6= 0 prove que a/b + c/d = (ad + bc)/bd e (a/b)(c/d) = ac/bd. 3. Se a 6= 0 e b 6= 0 em R, prove que (ab)−1 = a−1 b−1 e conclua que (a/b)−1 = b/a. 4. Prove que (1 − xn+1 )/(1 − x) = 1 + x + · · · + xn para todo x 6= 1. Seção 2:

R é um corpo ordenado

1. Para quaisquer x, y, z ∈ R, prove que |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|. 2. Prove que | |x| − |y| | ≤ |x − y| para quaisquer x, y ∈ R. 3. Dados x, y ∈ R, se x2 + y 2 = 0 prove que x = y = 0.

4. Prove por indução que (1 + x)n ≥ 1 + nx + [n(n − 1)/2]x2 se x ≥ 0.

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Seção 4

Exercı́cios

5. Para todo x 6= 0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.

6. Prove que |a − b| < ε ⇒ |a| < |b| + ε.

P 7. Use o fato de que o trinômio do segundo grau f (λ) = ni=1 (xi + λyi )2 é ≥ 0 para todo λ ∈ R para provar a desigualdade de CauchySchwarz n n n X X X 2 2 yi2 . xi xi yi ≤ i=1

i=1

Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe λ tal que xi = λyi para todo i = 1, . . . , n, ou então y1 = · · · = yn = 0.

8. Se a1 /b1 , . . . , an /bn pertencem ao intervalo (α, β) e b1 , . . . , bn são positivos, prove que (a1 +· · ·+an )/(b1 +· · ·+bn ) pertence a (α, β). Nas mesmas condições, se t1 , . . . , tn ∈ R+ , prove que (t1 a1 + · · · + tn an )/(t1 b1 + · · · + tn bn ) também pertence ao intervalo (α, β). Seção 3:

R é um corpo ordenado completo

1. Diz-se que uma função f : X → R é limitada superiormente quando sua imagem f (X) = {f (x); x ∈ X} é um conjunto limitado superiormente. Então põe-se sup f = sup{f (x); x ∈ X}. Prove que se f, g : X → R são limitadas superiormente o mesmo ocorre com a soma f + g : X → R e tem-se sup(f + g) ≤ sup f + sup g. Dê um exemplo com sup(f + g) < sup f + sup g. Enuncie e prove um resultado análogo para inf. 2. Dadas as funções f, g : X → R+ limitadas superiormente, prove que o produto f · g : X → R+ é uma função limitada (superior e inferiormente) com sup(f ·g) ≤ sup f ·sup g e inf(f ·g) ≥ inf f ·inf g. Dê exemplos onde se tenha < e não =. 3. Nas condições do exercı́cio anterior mostre que sup(f 2 ) = (sup f )2 e inf(f 2 ) = (inf f )2 . 4. Dados a, b ∈ R+ com a2 < 2 < b2 , tome x, y ∈ R+ tais que x < 1, x < (2 − a2 )/(2a + 1) e y < (b2 − 2)/2b. Prove que (a + x)2 < 2 < (b − y)2 e b − y > 0. Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a ∈ R+ ; a2 < 2} e conclua que o número real c = sup X cumpre c2 = 2. 5. Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz

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Números Reais

Cap. 2

de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes. 6. Prove que um conjunto I ⊂ R é um intervalo se, e somente se, a < x < b, a, b ∈ I ⇒ x ∈ I.

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3 Seqüências de Números Reais

Neste capı́tulo será apresentada a noção de limite sob sua forma mais simples, o limite de uma seqüência. A partir daqui, todos os conceitos importantes da Análise, de uma forma ou de outra, reduzir-se-ão a algum tipo de limite.

Limite de uma seqüência

Uma seqüência de números reais é uma função x : N → R, que associa a cada número natural n um número real xn , chamado o n-ésimo termo da seqüência. Escreve-se (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) ou (xn )n∈N , ou simplesmente (xn ), para indicar a seqüência cujo n-ésimo termo é xn . Não se confunda a seqüência (xn ) com o conjunto {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } dos seus termos. Por exemplo, a seqüência (1, 1, . . . , 1, . . . ) não é o mesmo que o conjunto {1}. Ou então: as seqüências (0, 1, 0, 1, . . . ) e (0, 0, 1, 0, 0, 1, . . . ) são diferentes mas o conjunto dos seus termos é o mesmo, igual a {0, 1}. Uma seqüência (xn ) diz-se limitada superiormente (respectivamente inferiormente) quando existe c ∈ R tal que xn ≤ c (respectivamente xn ≥ c) para todo n ∈ N. Diz-se que a seqüência (xn ) é limitada quando ela é limitada superior e inferiormente. Isto equivale a dizer que existe k > 0 tal que |xn | ≤ k para todo n ∈ N.

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Seqüências de Números Reais

Cap. 3

Exemplo 1. Se a > 1 então a seqüência (a, a2 , . . . , an , . . . ) é limitada inferiormente porém não superiormente. Com efeito, multiplicando ambos os membos da desigualdade 1 < a por an obtemos an < an+1 . Segue-se que a < an para todo n ∈ N, logo (an ) é limitada inferiormente por a. Por outro lado, temos a = 1 + d, com d > 0. Pela desigualdade de Bernoulli, para todo n > 1 em N vale an ≥ 1 + nd. Portanto, dado qualquer c ∈ R podemos obter an > c desde que tomemos 1 + nd > c, isto é, n > (c − 1)/d.

Dada uma seqüência x = (xn )n∈N , uma subseqüência de x é a restrição da função x a um subconjunto infinito N′ = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } de N. Escreve-se x′ = (xn )n∈N′ ou (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . ), ou (xnk )k∈N para indicar a subseqüência x′ = x|N′ . A notação (xnk )k∈N mostra como uma subseqüência pode ser considerada como uma seqüência, isto é, uma função cujo domı́nio é N. Lembremos que N′ ⊂ N é infinito se, e somente se, é ilimitado, isto é, para todo n0 ∈ N existe nk ∈ N′ com nk > n0 .

Exemplo 2. Dado o número real a < −1, formemos a seqüência (an )n∈N . Se N′ ⊂ N é o conjunto dos números pares e N′′ ⊂ N é o conjunto dos número ı́mpares então a subseqüência (an )n∈N′ é limitada apenas inferiormente enquanto a subseqüência (an )n∈N′′ é limitada apenas superiormente. Diz-se que o número real a é limite da seqüência (xn ) quando, para todo número real ε > 0, dado arbitrariamente, pode-se obter n0 ∈ N tal que todos os termos xn com ı́ndice n > n0 cumprem a condição |xn − a| < ε. Escreve-se então a = lim xn . Esta importante definição significa que, para valores muito grandes de n, os termos xn tornam-se e se mantêm tão próximos de a quanto se deseje. Mais precisamente, estipulando-se uma margem de erro ε > 0, existe um ı́ndice n0 ∈ N tal que todos os termos xn da seqüência com ı́ndice n > n0 são valores aproximados de a com erro menor do que ε. Simbolicamente, escreve-se: a = lim xn

. ≡ . ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ; n > n0 ⇒ |xn − a| < ε.

Acima, o sı́mbolo . ≡ . significa que o que vem depois é a definição do que vem antes. ∀ significa “para todo” ou “qualquer que seja”. ∃ significa “existe”. O ponto-e-vı́rgula quer dizer “tal que” e a seta ⇒ significa “implica”.

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Seção 1

Limite de uma seqüência

Convém lembrar que |xn − a| < ε é o mesmo que a − ε < xn < a + ε, isto é, xn pertence ao intervalo aberto (a − ε, a + ε). Assim, dizer que a = lim xn significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro a contém todos os termos xn da seqüência, salvo para um número finito de ı́ndices n (a saber, os ı́ndices n ≤ n0 , onde n0 é escolhido em função do raio ε do intervalo dado). Em vez de a = lim xn , escreve-se também a = limn∈N xn , a = limn→∞ xn ou xn → a. Esta última expressão lê-se “xn tende para a” ou “converge para a”. Uma seqüência que possui limite diz-se convergente. Caso contrário, ela se chama divergente. Teorema 1. (Unicidade do limite.) Uma seqüência não pode convergir para dois limites distintos. Demonstração: Seja lim xn = a. Dado b 6= a podemos tomar ε > 0 tal que os intervalos abertos I = (a − ε, a + ε) e J = (b − ε, b + ε) sejam disjuntos. Existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ I. Então, para todo n > n0 , temos xn ∈ / J. Logo não é lim xn = b. Teorema 2. Se lim xn = a então toda subseqüência de (xn ) converge para o limite a. Demonstração: Seja (xn1 , . . . , xnk , . . . ) a subseqüência. Dado qualquer intervalo aberto I de centro a, existe n0 ∈ N tal que todos os termos xn , com n > n0 , pertencem a I. Em particular, todos os termos xnk , com nk > n0 também pertencem a I. Logo lim xnk = a. Teorema 3. Toda seqüência convergente é limitada. Demonstração: Seja a = lim xn . Tomando ε = 1, vemos que existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ (a − 1, a + 1). Sejam b o menor e c o maior elemento do conjunto finito {x1 , . . . , xn0 , a − 1, a + 1}. Todos os termos xn da seqüência estão contidos no intervalo [b, c], logo ela é limitada. Exemplo 3. A seqüência (2, 0, 2, 0, . . . ), cujo n-ésimo termo é xn = 1 + (−1)n+1 , é limitada mas não é convergente porque possui duas subseqüências constantes, x2n−1 = 2 e x2n = 0, com limites distintos. Exemplo 4. A seqüência (1, 2, 3, . . . ), com xn = n, não converge porque não é limitada. Uma seqüência (xn ) chama-se monótona quando se tem xn ≤ xn+1 para todo n ∈ N ou então xn+1 ≤ xn para todo n. No primeiro caso,

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Seqüências de Números Reais

Cap. 3

diz-se que (xn ) é monótona não-decrescente e, no segundo, que (xn ) é monótona não-crescente. Se, mais precisamente, tivermos xn < xn+1 (respect. xn > xn+1 ) para todo n ∈ N, diremos que a seqüência é crescente (respectivamente, decrescente). Toda seqüência monótona não-decrescente (respect. não-crescente) é limitada inferiormente (respect. superiormente) pelo seu primeiro termo. A fim de que ela seja limitada é suficiente que possua uma subseqüência limitada. Com efeito, seja (xn )n∈N′ uma subseqüência limitada da seqüência monótona (digamos, não-decrescente) (xn ). Temos xn′ ≤ c para todo n′ ∈ N′ . Dado qualquer n ∈ N, existe n′ ∈ N′ tal que n < n′ . Então xn ≤ xn′ ≤ c. O teorema seguinte dá uma condição suficiente para que uma seqüência convirja. Foi tentando demonstrá-lo ao preparar suas aulas, na metade do século 19, que R. Dedekind percebeu a necessidade de uma conceituação precisa de número real. Teorema 4. Toda seqüência monótona limitada é convergente. Demonstração: Seja (xn ) monótona, digamos não-decrescente, limitada. Escrevamos X = {x1 , . . . , xn , . . . } e a = sup X. Afirmamos que a = lim xn . Com efeito, dado ε > 0, o número a − ε não é cota superior de X. Logo existe n0 ∈ N tal que a − ε < xn0 ≤ a. Assim, n > n0 ⇒ a − ε < xn0 ≤ xn < a + ε e daı́ lim xn = a. Semelhantemente, se (xn ) é não-crescente, limitada então lim xn é o ı́nfimo do conjunto dos valores xn . Corolário. (Teorema de Bolzano-Weierstrass.) Toda seqüência limitada de números reais possui uma subseqüência convergente. Com efeito, basta mostrar que toda seqüência (xn ) possui uma subseqüência monótona. Diremos que um termo xn da seqüência dada é destacado quando xn ≥ xp para todo p > n. Seja D ⊂ N o conjunto dos ı́ndices n tais que xn é um termo destacado. Se D for um conjunto infinito, D = {n1 < n2 < · · · < nk < · · · }, então a subseqüência (xn )n∈D será monótona não-crescente. Se, entretanto, D for finito seja n1 ∈ N maior do que todos os n ∈ D. Então xn1 não é destacado, logo existe n2 > n1 com xn1 < xn2 . Por sua vez, xn2 não é destacado, logo existe n3 > n2 com xn1 < xn2 < xn3 . Prosseguindo, obtemos uma subseqüência crescente xn1 < xn2 < · · · < xnk < · · · .

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Seção 2

Limites e desigualdades

Exemplo 5. A seqüência cujo n-ésimo termo é xn = 1/n é monótona, decrescente, limitada. Temos então lim 1/n = inf{1/n; n ∈ N} = 0, pelo Teorema 3, Capı́tulo 2. Exemplo 6. Seja 0 < a < 1. A seqüência (a, a2 , . . . , an , . . . ), formada pelas potências sucessivas de a, é decrescente, limitada pois multiplicando 0 < a < 1 por an resulta 0 < an+1 < an . Afirmamos que limn→∞ an = 0. Com efeito, dado ε > 0, como 1/a > 1 seguese do Exemplo 1 que, dado arbitrariamente ε > 0 existe n0 ∈ N tal que (1/a)n0 > 1/ε, ou seja, an0 < ε. Segue-se que lim an = inf{an ; n ∈ N} = 0.

Limites e desigualdades

Seja P uma propriedade referente aos termos de uma seqüência (xn ). Diremos que “para todo n suficientemente grande xn goza da propriedade P ” para significar que “existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn goza da propriedade P ”. Teorema 5. Seja a = lim xn . Se b < a então, para todo n suficientemente grande, tem-se b < xn . Analogamente, se a 0 e b = a − ε. Pela definição de limite, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ a−ε < xn < a+ε ⇒ b < xn . A outra afirmação se prova analogamente. Corolário 1. Seja a = lim xn . Se a > 0 então, para todo n suficientemente grande, tem-se xn > 0. Analogamente, se a < 0 então xn < 0 para todo n suficientemente grande. Corolário 2. Sejam a = lim xn e b = lim yn . Se xn ≤ yn para todo n suficientemente grande então a ≤ b. Em particular se xn ≤ b para todo n suficientemente grande então lim xn ≤ b. Com efeito, se fosse b < a então tomarı́amos c ∈ R tal que b < c < a e terı́amos, pelo Teorema 5, yn < c < xn para todo n suficientemente grande, contradizendo a hipótese. Observação. Se fosse xn < yn não se poderia concluir a < b. Basta tomar xn = 0, yn = 1/n. Teorema 6. (Teorema do sanduı́che.) Se lim xn = lim yn = a e xn ≤ zn ≤ yn para todo n suficientemente grande então lim zn = a.

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Seqüências de números reais

Cap. 3

Demonstração: Dado arbitrariamente ε > 0, existem n1 , n2 ∈ N tais que n > n1 ⇒ a − ε < xn < a + ε e n > n2 ⇒ a − ε < yn < a + ε. Seja n0 = max{n1 , n2 }. Então n > n0 ⇒ a − ε < xn ≤ zn ≤ yn < a + ε ⇒ zn ∈ (a − ε, a + ε), logo lim zn = a.

Operações com limites

Teorema 7. Se lim xn = 0 e (yn ) é uma seqüência limitada (convergente ou não) então lim(xn · yn ) = 0.

Demonstração: Existe c > 0 tal que |yn | ≤ c para todo n ∈ N. Dado arbitrariamente ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |xn | < ε/c. Então n > n0 ⇒ |xn · yn | = |xn | · |yn | < (ε/c) · c = ε, logo lim(xn · yn ) = 0.

Exemplo 7. Se xn = 1/n e yn = sen(n) então (yn ) não converge mas, como −1 ≤ yn ≤ 1, tem-se lim(xn yn ) = lim(sen(n)/n) = 0. Por outro lado, se lim xn = 0 mas yn não é limitada, o produto xn ·yn pode divergir (tome xn = 1/n, yn = n2 ) ou convergir para um valor qualquer (tome xn = 1/n e yn = c · n). Para uso posterior, observemos que, segundo resulta diretamente da definição de limite, tem-se lim xn = a ⇔ lim(xn − a) = 0 ⇔ lim |xn − a| = 0. Teorema 8. Se lim xn = a e lim yn = b então: 1. 2. 3.

lim(xn ± yn ) = a ± b.

lim(xn · yn ) = a · b. a xn = se b 6= 0. lim yn b

Demonstração: 1. Dado arbitrariamente ε > 0, existem n1 , n2 ∈ N tais que n > n1 ⇒ |xn − a| < ε/2 e n > n2 ⇒ |yn − b| < ε/2. Seja n0 = max{n1 , n2 }. Então n > n0 ⇒ n > n1 e n > n2 , logo |(xn + yn ) − (a + b)| = |(xn − a) + (yn − b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε/2 + ε/2 = ε. Portanto lim(xn + yn ) = a + b. Mesmo argumento para xn − yn .

2. Temos xn yn −ab = xn yn −xn b+xn b−ab = xn (yn −b)+(xn −a)b. Pelo Teorema 3, (xn ) é limitada. Além disso, lim(yn − b) = lim(xn − a) = 0. Segue-se do Teorema 7 e da parte 1. que lim(xn yn − ab) = lim[xn (yn − b)] + lim[(xn − a) · b] = 0, donde lim(xn yn ) = ab.

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Seção 3

Operações com limites

3. Vale xn /yn −a/b = (xn b−yn a)/yn b. Como lim(xn b−yn a) = ab−ba = 0, basta provar que (1/yn b) é uma seqüência limitada para concluir que lim(xn /yn − a/b) = 0 e portanto que lim(xn /yn ) = a/b. Ora, pondo c = b2 /2, temos 0 < c < b2 . Como lim yn b = b2 , segue-se do Teorema 5 que, para todo n suficientemente grande, tem-se c < yn b e portanto 1/yn b < 1/c, completando a demonstração. Exemplo 8. Se xn > 0 para todo n ∈ N e lim(xn+1 /xn ) = a < 1 então lim xn = 0. Com efeito, tomemos c ∈ R com a < c < 1. Então 0 < xn+1 /xn < c para todo n suficientemente grande. Segue-se que 0 < xn+1 = (xn+1 /xn )xn < c · xn < xn logo, para n suficientemente grande, a seqüência (xn ) é monótona limitada. Seja b = lim xn . De xn+1 < c·xn para todo n suficientemente grande resulta, fazendo n → ∞, que b ≤ c · b, isto é, (1 − c) · b ≤ 0. Como b ≥ 0 e 0 < c < 1, concluı́mos que b = 0. Exemplo 9. Como aplicação do exemplo anterior, vê-se que, se a > 1 e k ∈ N são constantes então nk an n! = lim = lim n = 0. n→∞ an n→∞ n! n→∞ n lim

Com efeito, pondo xn = nk /an , yn = an /n! e zn = n!/nn vem yn+1 /yn = a/(n + 1), logo lim(yn+1 /yn ) = 0 e, pelo Exemplo 8, lim yn = 0. Temos k também xn+1 /xn = 1 + n1 · a−1 , portanto (pelo Teorema 8) lim(xn+1 / xn ) = 1/a < 1. Segue-se do Exemplo 8 que lim xn = 0. Finalmente, zn+1 /zn = [n/(n + 1)]n , donde lim(zn+1 /zn ) = 1/e. (Veja Exemplo 13, abaixo.) Como 1/e < 1, segue-se que lim zn = 0. Exemplo 10. Dado a > 0, mostremos que a seqüência dada por xn = √ n a = a1/n tem limite igual a 1. Com efeito, trata-se de uma seqüência monótona (decrescente se a > 1, crescente se a < 1), limitada, portanto existe L = limn→∞ a1/n . Tem-se L > 0. Com efeito, se 0 < a < 1 então a1/n > a para todo n ∈ N, donde L ≥ a. Se, porém, a > 1 então a1/n > 1 para todo n ∈ N, donde L ≥ 1. Consideremos a subseqüência (a1/n(n+1) ) = (a1/2 , a1/6 , a1/12 , . . . ). Como 1/n(n + 1) = 1/n − 1/(n + 1), o Teorema 2 e o item 3 do Teorema 8 nos dão L = lim a1/n(n+1) = lim

a1/n a1/(n+1)

L = 1. L

Exemplo 11. Seja 0 < a < 1. A seqüência cujo termo geral é xn = 1 + a + a2 + · · · + an = (1 − an+1 )/(1 − a) é crescente, limitada, pois

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Seqüências de números reais

Cap. 3

xn < 1/(1 − a) para todo n ∈ N. Além disso, limn→∞ (1/(1 − a) − xn ) = limn→∞ an+1 /(1 − a) = 0, portanto limn→∞ xn = limn→∞ (1 + a + · · · + an ) = 1/(1 − a).

A igualdade acima vale ainda quando se tem −1 < a < 1, isto é, |a| < 1. Com efeito, o argumento se baseou no fato de que limn→∞ an = 0, que persiste quando se tem apenas |a| < 1, pois lim |a|n = 0 ⇔ lim an = 0.

Exemplo 12. A seqüência cujo termo geral é an = 1 + 1 +

1 1 + ··· + 2! n!

é evidentemente crescente. Ela também é limitada pois 2 ≤ an ≤ 1 + 1 +

1 1 1 + + · · · + n−1 < 3. 2 22 2

Escreveremos e = lim an . O número e é uma das constantes mais importantes da Análise Matemática. Como vimos, tem-se 2 < e ≤ 3. Na realidade, vale e = 2, 7182, com quatro decimais exatas. Exemplo 13. Consideremos a seqüência cujo termo geral é bn = (1 + 1/n)n = [(n + 1)/n]n . Pela fórmula do binômio: n(n − 1)(n − 2) . . . 1 1 n · 1 n(n − 1) 1 + + ··· + bn = 1 + 2 n 2! n n! nn 1 1 1 2 1 1 n − 1 1 1− + 1− 1− +· · ·+ 1− . . . 1− . = 1+1+ 2! n 3! n n n! n n

Logo bn é uma soma de parcelas positivas. O número dessas parcelas, bem como cada uma delas, cresce com n. Portanto a seqüência (bn ) é crescente. É claro que bn < an . (Ver Exemplo 12.) Segue-se que bn < 3 para todo n ∈ N. Afirmamos que lim bn = lim an = e. Com efeito, quando n > p vale bn ≥ 1 + 1 +

1 1 1 1 2 p − 1 1− + ··· + 1− 1− ... 1 − . 2! n p! n n n

Fixando arbitrariamente p ∈ N e fazendo n → ∞ na desigualdade acima obtemos limn→∞ bn ≥ 1 + 1 + 1/2! + · · · + 1/p! = ap . Como esta desigualdade vale para todo p ∈ N, segue-se que limn→∞ bn ≥ limp→∞ ap = e. Mas já vimos que bn < an para todo n ∈ N. Logo lim bn ≤ lim an . Isto completa a prova de que lim bn = e.

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Seção 4

Limites infinitos

Exemplo 14. Consideremos a seqüência cujo n-ésimo termo é xn = √ n n = n1/n . Temos xn ≥ 1 para todo n ∈ N. Esta seqüência é decrescente√a partir do seu terceiro termo. Com efeito, a desigualdade √ n n > n+1 n + 1 é equivalente a nn+1 > (n+1)n , isto é, a n > (1+1/n)n , o que é verdade para n ≥ 3 pois, como vimos acima, (1 + 1/n)n < 3 para todo n. Portanto existe L = lim n1/n e tem-se L ≥ 1. Considerando a subseqüência (2n)1/2n temos: L2 = lim[(2n)1/2n ]2 = lim[21/n · n1/n ] = lim 21/n · lim n1/n = L (Cfr. Exemplo 10.) Como L 6= 0, de L2 = L resulta L = 1. Concluı́mos √ portanto que lim n n = 1. Exemplo 15 (Aproximações sucessivas da raiz quadrada.) O seguinte método iterativo para obter, com erro tão pequeno quanto se deseje, valores aproximados para a raiz quadrada de um dado número real a > 0, já era conhecido pelos babilônios 17 séculos antes da era cristã. Toma√ se arbitrariamente um valor inicial x1 > a e define-se indutivamente xn+1 = [xn + a/xn ]/2. Para mostrar que a seqüência (xn ) assim obtida √ converge para a, começamos observando que, para qualquer x ∈ R, √ √ a < x ⇒ (a/x) < a < x. (Multiplique ambos os membros da √ √ desigualdade a < x por a.) Em seguida notemos que, pondo y = [x + a/x]/2, y é a média aritmética dos números a/x e x, logo é menor √ do que x e maior do que a média geométrica desses números, que é a. √ Logo a < y < x. Portanto temos uma seqüência decrescente x1 > x2 > · · · > xn > xn+1 > · · · , √ cujos termos são todos maiores do que a. Esta seqüência converge para um número real c. Fazendo n → ∞ na igualdade xn+1 = [xn + a/xn ]/2 √ obtemos c = [c + a/c]/2, donde c2 = a, isto é, lim xn = a. Vemos então que todo número real a > 0 possui uma raiz quadrada real. Mais ainda, o processo iterativo xn+1 = [xn + a/xn ]/2 fornece rapidamente √ boas aproximações para a, como se pode verificar tomando exemplos concretos.

Limites infinitos

Dada uma seqüência (xn ), diz-se que “o limite de xn é mais infinito” e escreve-se lim xn = +∞, para significar que, dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn > A.

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Seqüências de números reais

Cap. 3

Analogamente, lim xn = −∞ significa que, para todo A > 0 dado, pode-se achar n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn < −A. Deve-se enfatizar que +∞ e −∞ não são números e que, se lim xn = +∞ e lim yn = −∞, as seqüências (xn ) e (yn ) não são convergentes. Como lim xn = +∞ ⇔ lim(−xn ) = −∞, limitaremos nossos comentários ao primeiro caso. Se lim xn = +∞ então a seqüência (xn ) não é limitada superiormente. A recı́proca é falsa. A seqüência dada por xn = n + (−1)n n é ilimitada superiormente porém não se tem lim xn = +∞, pois x2n−1 = 0 para todo n ∈ N. Mas se (xn ) é não-decrescente então (xn ) ilimitada ⇒ lim xn = +∞. No Exemplo 1, ao mostrar que as potências a, a2 , a3 , . . . de um número a > 1 formam uma seqüência ilimitada superiormente, provouse, na realidade, que lim an = +∞. Teorema 9. (1) Se lim xn = +∞ e (yn ) é limitada inferiormente então lim(xn + yn ) = +∞. (2) Se lim xn = +∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N então lim(xn yn ) = +∞. (3) Se xn > c > 0, yn > 0 para todo n ∈ N e lim yn = 0 então xn lim = +∞. yn xn = 0. (4) Se (xn ) é limitada e lim yn = +∞ então lim yn Demonstração: (1) Existe c ∈ R tal que yn ≥ c para todo n ∈ N. Dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn > A − c. Segue-se que n > n0 ⇒ xn +yn > A−c+c = A, logo lim(xn +yn ) = +∞.

(2) Dado arbitrariamente A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn > A/c. Logo n > n0 ⇒ xn yn > (A/c) · c = A, donde lim(xn yn ) = +∞.

(3) Dado A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ yn < c/A. Então n > n0 ⇒ xn /yn > c · A/c = A e daı́ lim(xn /yn ) = +∞.

(4) Existe c > 0 tal que |xn | ≤ c para todo n ∈ N. Dado arbitrariamente ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ yn > c/ε. Então n > n0 ⇒ |xn /yn | < c · ε/c = ε, logo lim(xn /yn ) = 0. As hipóteses feitas nas diversas partes do teorema anterior têm por objetivo evitar algumas das chamadas “expressões indeterminadas”. No

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Seção 4

Limites infinitos

item (1) procura-se evitar a expressão +∞−∞. De fato, se lim xn = +∞ e lim yn = −∞ nenhuma afirmação geral pode ser feita sobre lim(xn + yn ). Este limite pode não existir (como no caso em que xn = n + (−1)n e yn = −n), pode ser igual a +∞ (se xn = 2n e yn = −n), pode ser −∞ (tome xn = n e yn = −2n) ou pode assumir um valor arbitrário c ∈ R (por exemplo, se xn = n + c e yn = −n). Por causa desse comportamento errático, diz-se que +∞ − ∞ é uma expressão indeterminada. Nos itens (2), (3) e (4), as hipóteses feitas excluem os limites do tipo 0×∞ (também evitado no Teorema 7), 0/0 e ∞/∞, respectivamente, os quais constituem expressões indeterminadas no sentido que acabamos de explicar. Outras expressões indeterminadas freqüentemente encontradas são ∞0 , 1∞ e 00 . Os limites mais importantes da Análise quase sempre se apresentam sob forma de uma expressão indeterminada. Por exemplo, o número e = limn→∞ (1 + 1/n)n é da forma 1∞ . E, como veremos mais adiante, a derivada é um limite do tipo 0/0. Agora, uma observação sobre ordem de grandeza. Se k ∈ N e a é um número real > 1 então limn→∞ nk = limn→∞ an = limn→∞ n! = limn→∞ nn . Todas estas seqüências têm limite infinito. Mas o Exemplo 9 nos diz que, para valores muito grandes de n temos nk ≪ an ≪ n! ≪ nn , onde o sı́mbolo ≪ quer dizer “é uma fração muito pequena de” ou “é insignificante diante de”. Por isso diz-se que o crescimento exponencial supera o polinomial, o crescimento fatorial supera o exponencial com base constante mas é superado pelo crescimento exponencial com base ilimitadamente crescente. Por outro lado, o crescimento de nk (mesmo quando k = 1) supera o crescimento logarı́tmico, como mostraremos agora. No Capı́tulo 11 provaremos a existência de uma função crescente log : R+ → R, tal que log(xy) = log x + log y e log x < x para quaisquer √ √ √ x, y ∈ R+ . Daı́ resulta que log x = log( x · x) = 2 log x, donde √ log x = (log x)/2. Além disso, log x = log(1 · x) = log 1 + log x, donde log 1 = 0. Como log é crescente, tem-se log x > 0 para todo x > 1. Vale também log(2n ) = n · log 2, portanto limn→∞ log(2n ) = +∞. Como log é crescente, segue-se limn→∞ log n = +∞. Provaremos agora que lim

n→∞

log n = 0. n

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Seqüências de números reais

Cap. 3

√ √ √ Para todo n ∈ N, temos log n < n. Como log n = 12 log n, √ segue-se que log n < 2 n. Dividindo por n resulta que 0 < log n/n < √ log n 2/ n. Fazendo n → ∞ vem lim = 0. n→∞ n

Exercı́cios

Seção 1:

Limite de uma seqüência

1. Uma seqüência (xn ) diz-se periódica quando existe p ∈ N tal que xn+p = xn para todo n ∈ N. Prove que toda seqüência periódica convergente é constante. 2. Dadas as seqüências (xn ) e (yn ), defina (zn ) pondo z2n−1 = xn e z2n = yn . Se lim xn = lim yn = a, prove que lim zn = a. 3. Se lim xn = a, prove que lim |xn | = |a|.

4. Se uma seqüência monótona tem uma subseqüência convergente, prove que a seqüência é, ela própria, convergente. 5. Um número a chama-se valor de aderência da seqüência (xn ) quando é limite de uma subseqüência de (xn ). Para cada um dos conjuntos A, B e C abaixo ache uma seqüência que o tenha como conjunto dos seus valores de aderência. A = {1, 2, 3}, B = N, C = [0, 1]. 6. A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn ) é necessário e suficiente que, para todo ε > 0 e todo k ∈ N dados, exista n > k tal que |xn − a| < ε.

7. A fim de que o número real b não seja valor de aderência da seqüência (xn ) é necessário e suficiente que existam n0 ∈ N e ε > 0 tais que n > n0 ⇒ |xn − b| ≥ ε.

Seção 2:

Limites e desigualdades

1. Se lim xn = a, lim yn = b e |xn − yn | ≥ ε para todo n ∈ N, prove que |a − b| ≥ ε.

2. Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn < yn .

3. Se o número real a não é o limite da seqüência limitada (xn ), prove que alguma subseqüência de (xn ) converge para um limite b 6= a.

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Seção 5

Exercı́cios

4. Prove que uma seqüência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de aderência. 5. Quais são os valores de aderência da seqüência (xn ) tal que x2n−1 = n e x2n = 1/n? Esta seqüência converge? 6. Dados a, b ∈√R+ , defina indutivamente as seqüências (xn ) e (yn ) √ pondo x1 = ab, y1 = (a + b)/2 e xn+1 = xn yn , yn+1 = (xn + yn )/2. Prove que (xn ) e (yn ) convergem para o mesmo limite. 7. Diz-se que (xn ) é uma seqüência de Cauchy quando, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |xm − xn | < ε. (a) Prove que toda seqüência de Cauchy é limitada.

(b) Prove que uma seqüência de Cauchy não pode ter dois valores de aderência distintos. (c) Prove que uma seqüência (xn ) é convergente se, e somente se, é de Cauchy. Seção 3:

Operações com limites

√ 1. Prove que, para todo p ∈ N, tem-se limn→∞ n+p n = 1.

2. Se existem ε > 0 e k ∈ N tais que ε ≤ xn ≤ nk para todo n sufici√ entemente grande, prove que lim n xn = 1. Use este fato para calp √ √ √ √ cular limn→∞ n n + k, lim n n + n, lim n log n e lim n n log n. √ 3. Dado a > 0, defina indutivamente a seqüência (xn ) pondo x1 = a √ e xn+1 = a + xn . Prove que (xn ) é convergente e calcule seu limite r q √ L = a + a + a + ···

√ √ 4. Seja en = (xn − a)/ a o erro relativo na n-ésima etapa do cálculo √ de a. Prove que en+1 = e2n /2(1 + en ). Conclua que en ≤ 0, 01 ⇒ en+1 ≤ 0, 00005 ⇒ en+2 ≤ 0, 00000000125 e observe a rapidez de convergência do método.

5. Dado a > 0, defina indutivamente a seqüência (xn ) pondo x1 = 1/a e xn+1 = 1/(a + xn ). Considere o número c, raiz positiva da equação x2 +ax−1 = 0, único número positivo tal que c = 1/(a+c). Prove que x2 < x4 < · · · < x2n < · · · < c < · · · < x2n−1 < · · · < x3 < x1 ,

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Seqüências de números reais

Cap. 3

e que lim xn = c. O número c pode ser considerado como a soma da fração contı́nua 1 1

a+ a+

1 a + ···

6. Dado a > 0, defina indutivamente a seqüência (yn ), pondo y1 = a e yn+1 = a + 1/yn . Mostre que lim yn = a + c, onde c é como no exercı́cio anterior. 7. Defina a seqüência (an ) indutivamente, pondo a1 = a2 = 1 e an+2 = an+1 + an para todo n ∈ N. Escreva xn = an /an+1 e prove que lim xn = c, onde c é o único número positivo tal que 1/(c + 1) = c. O termo √ an chama-se o n-ésimo número de Fibonacci e c = (−1 + 5)/2 é o número de ouro da Geometria Clássica. Seção 4:

Limites infinitos √ 1. Prove que lim n n! = +∞.

2. Se lim xn = +∞ e a ∈ R, prove que hp i p lim log(xn + a) − log xn = 0. n→∞

3. Dados k ∈ N e a > 0, determine o limite lim

n→∞ nk · an

Supondo a > 0 e a 6= e calcule an · n! n→∞ nn lim

nk · an · n! · n→∞ nn lim

(Para o caso a = e, ver exercı́cio 9, seção 1, capı́tulo 11.) 4. Mostre que limn→∞ log(n + 1)/ log n = 1.

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Seção 5

Exercı́cios

5. Sejam (xn ) uma seqüência arbitrária e (yn ) uma seqüência crescente, com lim yn = +∞. Supondo que lim(xn+1 −xn )/(yn+1 − yn ) = a, prove que lim xn /yn = a. Conclua que se lim(xn+1 −xn ) = a então lim xn /n = a. Em particular, de lim log(1 + 1/n) = 0, conclua que lim(log n)/n = 0. 6. Se lim xn = a e (tn ) é uma seqüência de números positivos com lim(t1 + · · · + tn ) = +∞, prove que

t1 x1 + · · · + tn xn = a. t1 + · · · + tn x1 + · · · + xn , tem-se ainda lim yn = a. Em particular, se yn = n lim

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4 Séries Numéricas

Uma série é uma soma s = a1 + a2 + · · · + an + · · · com um número infinito de parcelas. Para que isto faça sentido, poremos s = limn→∞ (a1+ · · ·+an). Como todo limite, este pode existir ou não. Por isso há séries convergentes e séries divergentes. Aprender a distinguir umas das outras é a principal finalidade deste capı́tulo.

Séries convergentes

Dada uma seqüência (an ) de números reais, a partir dela formamos uma nova seqüência (sn ) onde s1 = a1 ,

s2 = a1 + a2 ,

...,

sn = a1 + a2 + · · · + an , etc.

P Os números sn chamam-se as reduzidas ou somas parciais da série an . A parcela an é o n-ésimo termo ou termo geral da série.P Se existir o limite an é n→∞ sn , diremos que a série P s = lim P∞ convergente e s = an = a = a + a + · · · + a + · · · 1 2 n n=1 n P será chamado a soma da série. Se lim sn não existir, diremos que an é uma série divergente. P Às vezes é conveniente considerar séries do tipo ∞ n=0 an , que começam com a0 em vez de a1 .

Exemplo 1. Como já vimos (Exemplos 11 e 12, Capı́tulo 3), quando |a| < 1 a série geométrica 1 + a + a2 + · · · + an + · · · é convergente, com

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Seção 1

Séries convergentes

soma igual a 1/(1 − a), e a série 1 + 1 + 1/2! + · · · + 1/n! + · · · também converge, com soma igual a e. Exemplo 2. A série 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , de termo geral (−1)n+1 , é divergente pois a soma parcial sn é igual a zero quando n é par, e igual a 1 quando n é ı́mpar. Portanto não existe lim sn . P Exemplo 3. A série 1/n(n+1), cujo termo geral é an = 1/n(n+1) = 1/n − 1/(n + 1), tem n-ésima soma parcial 1 1 1 1 1 1 − − · + + ··· + =1− sn = 1 − 2 2 3 n n+1 n+1 P Portanto lim sn = 1, isto é, 1/n(n + 1) = 1. P Se an ≥ 0 para todo n ∈ N, as reduzidas da série an formam P uma seqüência não-decrescente. Portanto uma série an , de termos não-negativos, converge se, e somente se, existe uma constante k tal que N. Por isso usaremos a notação P a1 + · · · + an ≤ k para todo n ∈ P an < +∞ para significar que a série an , com an ≥ 0, é convergente. ′ P Se an ≥ 0 para todo P n′ ∈ N e (an ) é uma subseqüência de (an ) então an < +∞ implica an < +∞. P Exemplo 4. (A série harmônica.) A série 1/n é divergente. De fato, P P P se 1/n = s fosse convergente então 1/2n = t e 1/(2n − 1) = u também seriam convergentes. Além disso, + un , fazendo Pcomo s2n = tn P n → ∞ terı́amos s = t + u. Mas t = 1/2n = (1/2) 1/n = s/2, portanto u = t = s/2. Por outro lado 1 1 1 1 1 − u − t = lim (un − tn ) = lim 1 − + − + · · · + n→∞ n→∞ 2 3 4 2n − 1 2n 1 1 1 1 = lim + + + ··· + > 0, n→∞ 1.2 3.4 5.6 (2n − 1)2n logo u > t. Contradição. P P Teorema 1. (Critério de comparação.) Sejam an e bn séries de termos não-negativos. Se existem c > 0 e n ∈ N tais que a n ≤ P0 Pcbn para todo n > n0 então aPconvergência de P bn implica a de an enquanto a divergência de an implica a de bn . Demonstração: Sem perda de generalidade, podemos P supor P an ≤ cbn para todo n ∈ N. Então as reduzidas sn e tn , de an e bn respectivamente, formam seqüências não-decrescentes tais que sn ≤ ctn para

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Séries numéricas

Cap. 4

todo n ∈ N. Como c > 0, (tn ) limitada implica (sn ) limitada e (sn ) ilimitada implica (tn ) ilimitada, pois tn ≥ sn /c. P Exemplo 5. Se r > 1, a P série 1/nr converge. Com efeito, seja c a ∞ 2 n soma da série n=0 ( 2r ) . Mostraremos que toda reduzida P geométrica sm da série 1/nr é < c. Seja n tal que m ≤ 2n − 1. Então 1 1 1 1 1 1 sm ≤ 1 + + r + + r+ r+ r + 2r 3 4r 5 6 7 1 1 + ··· + n + ··· + , (2n−1 )r (2 − 1)r n−1 X 2 i 4 2n−1 2 < c. sm < 1 + r + r + · · · + (n−1)r = 2 4 2r 2 i=0

que

Como a série harmônica diverge, resulta do critério de comparação P 1/nr diverge quando r < 1 pois, neste caso, 1/nr > 1/n.

Teorema 2. O termo geral de uma série convergente tem limite zero. P Demonstração: Se a série an é convergente então, pondo sn = a1 + · · · + an , existe s = limn→∞ sn . Consideremos a seqüência (tn ), com t1 = 0 e tn = sn−1 quando n > 1. Evidentemente, lim tn = s e sn − tn =an . Portanto lim an = lim(sn − tn )= lim sn − lim tn =s − s=0. O critério contido no Teorema 2 constitui a primeira coisa a verificar quando se quer saber se uma série é ou não convergente. Se o termo geral não tende a zero, a série diverge. A série harmônica mostra que a P condição lim an = 0 não é suficiente para a convergência de an .

Séries absolutamente convergentes

Uma série verge.

an diz-se absolutamente convergente quando

|an | con-

Exemplo 6. Uma série convergente cujos termos não mudam de sinal éPabsolutamente convergente. Quando −1 < a < 1, a série geométrica ∞ n n n n=0 a é absolutamente convergente, pois |a | = |a| , com 0 ≤ |a| < 1. P P O exemplo clássico de uma série convergente an tal que |an | = P +∞ é dado por (−1)n+1 /n = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + · · · . Quando tomamos a soma dos valores absolutos, obtemos a série harmônica, que diverge. A convergência da série dada segue-se do

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Seção 2

Séries absolutamente convergentes

Teorema 3. (Leibniz.) Se uma seqüência monótona decrescente P(an ) én+1 que tende para zero então (−1) an é uma série convergente.

Demonstração: Seja sn = a1 − a2 + · · · + (−1)n+1 an . Então s2n = s2n−2 + a2n−1 − a2n e s2n+1 = s2n−1 − a2n + a2n+1 . Logo as reduzidas de ordem par formam uma seqüência não-decrescente (pois a2n−1 −a2n ≥ 0) e as de ordem ı́mpar uma seqüência não-crescente (pois −a2n + a2n+1 ≤ 0). Além disso, como s2n = s2n−1 − a2n , temos s2n−1 − s2n = a2n ≥ 0. Isto mostra que s2 ≤ s4 ≤ · · · ≤ s2n ≤ · · · ≤ s2n−1 ≤ · · · ≤ s3 ≤ s1 e lim s2n = lim s2n−1 pois lim an = 0. Logo (sn ) converge e o teorema está provado. P Exemplo 7. Pelo Teorema 3, a série (−1)n+1 log(1 + 1/n) é convergente. Mas elaP não é absolutamente P convergente pois a reduzida de ordem n da série log(1 + 1/n) = log[(n + 1)/n] é 3 4 n + 1 + log + · · · + log 2 3 n = log 2 + log 3 − log 2 + log 4 − log 3 + · · · + log(n + 1) − log n

sn = log 2 + log

= log(n + 1).

Portanto lim sn = +∞. Uma série convergente cionalmente convergente.

an tal que

|an | = +∞ chama-se condi-

O teorema seguinte pode ser interpretado assim: se tomarmos uma série convergente cujos termos são todos ≥ 0 e, de uma maneira completamente arbitrária, trocarmos os sinais de alguns dos seus termos (mesmo um número infinito deles), obteremos ainda uma série convergente. Teorema 4. Toda série absolutamente convergente é convergente. P Demonstração: Seja |an | convergente. Para cada n ∈ N, definamos os números pn e qn , pondo pn = an se an ≥ 0 e pn = 0 se an < 0; analogamente, qn = −an se an ≤ 0 e qn = 0 se an > 0. Os números pn e qn chamam-se, respectivamente, a parte positiva e a parte negativa de an . Então pn ≥ 0, qn ≥ 0, pn + qn = |an | (em particular, pn ≤ |an | e qn ≤ |an |) e pn − qn = an . (Note que, para cada n ∈ N,Ppelo menos P um dos números pn , qn é zero.) Pelo Teorema 1, as séries pn e qn i

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Séries numéricas

Cap. 4

P P são convergentes. Logo é convergente a série a = (pn − qn ) = n P P pn − qn . P Dada a série an , definimos acima os números, pn = max{anP , 0} e qn = max{−an , 0}, a parte positiva e a parte negativa de a . Se an n P P é condicionalmente convergente, deve-se ter pn = +∞ e qn = +∞. Com efeito, se apenas uma destas duas séries (digamos, a primeira) P P P convergisse, terı́amos a = p − q = s − ∞ = −∞. E se ambas, n n P P Pn P P qn , convergissem, terı́amos |an | = pn + qn < +∞ e P pn e an seria absolutamente convergente.

Testes de convergência

P Teorema 5. Seja bn uma série absolutamente convergente, com bn 6= 0 para todo n ∈ N. Se a seqüência P(an /bn ) for limitada (em particular, se for convergente) então a série an será absolutamente convergente. Demonstração: Se, para algum c > 0, tivermos |an /bn | ≤ c seja qual for n ∈P N então |an | ≤ c|bn |. Pelo critério de comparação (Teorema 1), a série an é absolutamente convergente.

Corolário. (Teste de d’Alembert.) Seja an 6= 0 para todo n ∈ N. Se existir uma constante c tal que |an+1 /an | ≤ c < 1 para todo n suficientemente grande (em particular, se lim |an+1 /an | < 1) então a P série an será abolutamente convergente.

Com efeito, se, para todo n suficientemente grande vale |an+1 |/|an | ≤ c = cn+1 /cn , então |an+1 |/cn+1 ≤ |an |/cn . Assim a seqüência de números não-negativos |an |/cn é não-crescente a partir de uma certa ordem, logo P n é limitada. Como aPsérie c é absolutamente convergente, segue-se do Teorema 5 que an converge absolutamente. No caso particular de existir lim |an+1 /an | = L < 1, escolhemos um número c tal que L < c < 1 e teremos |an+1 /an | < c para todo n suficientemente grande (Teorema 5 do Capı́tulo 3). Então recaı́mos no caso já demonstrado. Observação. Quando se aplica o teste de d’Alembert, usualmente se procura calcular lim |an+1 /an | = L. Se L > 1 então a série diverge pois se tem |an+1 /an | > 1, donde |an+1 | > |an | para todo n suficientemente grande e daı́ resulta que o termo geral an não tende para zero. Se PL = 21, o teste é inconclusivo. A série 1/n ) P pode convergir (como no caso ou divergir (como no caso 1/n). i

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Seção 3

Testes de convergência

2 − 3n + 1). Considerando a série converExemplo P 8.2 Seja an = 1/(n 2 2 2 gente (1/n ), como P lim[n /(n −3n+1)] = lim[1/(1−3/n+1/n )] = 1, concluı́mos que an é convergente.

Exemplo 9. Segue-se P do Exemplo 3 e do teste de P 9 do Capı́tulo P d’Alembert que as séries (an /n!), (n!/nn ) e (nk /an ), esta última com a > 1, são convergentes.

Teorema 6. (Teste de Cauchy.) Quando existe um número real c tal p n que |an | ≤ c <p1 para todo n ∈ N suficientemente grande (em particuP an é absolutamente convergente. lar, quando lim n |an | < 1), a série p n Demonstração: Se n |an | ≤ c < 1 então |aP n | ≤ c para todo n suficientemente grande. Como a série geométrica cn é convergente, segue-se P do critério de comparação que an converge absolutamente. No caso p n |a | = L < 1, escolhemos c tal que L < c < 1 particular de existir lim n p n |an | < c para todo n suficientemente grande (Teorema 5, e teremos Capı́tulo 3), recaindo assim no caso anterior. p Observação. Também P no teste de Cauchy, tenta-se calcular lim n |an | = L. Se L > 1, a série an diverge. Com efeito, neste caso, tem-se p n |an | > P1 para todo n suficientemente grande, donde |an | > 1, logo a série an diverge pois seu termo geral não P tende a zero. Quando L = 1, a série pode divergir (como no caso 1/n) ou convergir (como P 1/n2 ). √ n n Exemplo 10. P Seja an = (log n/n) . Como an = log n/n tende a zero, a série an é convergente. O teorema seguinte relaciona os testes de d’Alembert e Cauchy.

Teorema 7. Seja (an ) uma seqüênciapcujos termos são diferentes de zero. Se lim |an+1 |/|an | = L então lim n |an | = L. Demonstração: Para simplificar a notação, suporemos que an > 0 para todo n ∈ N. Dado ε > 0, fixemos números positivos K, M tais que L − ε < K < L < M < L + ε. Existe p ∈ N tal que n ≥ p ⇒ K < an+1 /an < M . Multiplicando membro a membro as n − p desigualdades K < ap+i /ap+i−1 < M , i = 1, . . . , n − p, obtemos K n−p < an /ap < M n−p para todo n > p. Ponhamos α = ap /K p e β = ap /M p√ . Então √ √ K n α < an < M n β. Extraindo raı́zes, vem K n α < n an < M n β para √ todo n√> p. Levando em conta que L − ε < K, M < L + ε, lim n α = 1 e lim n β =√1, concluı́mos que existe n0 > p tal que n > n0 ⇒ L − ε < √ √ K n α e M n β < L + ε. Então n > n0 ⇒ L − ε < n an < L + ε, o que

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Séries numéricas

Cap. 4

prova o teorema quando L > 0. Se L = 0, basta considerar M em vez de K e M . √ Exemplo 11. Resulta do√Teorema 7 que lim n/ n n! = e. Com efeito, √ pondo an = nn /n! vem n/ n n! = n an . Ora an+1 n+1 n (n + 1)n+1 n! (n + 1)(n + 1)n n! , = · n = · n = an (n + 1)! n (n + 1) · n! n n √ logo lim(an+1 /an ) = e, e daı́ lim n an = e.

Comutatividade

P Uma série an diz-se comutativamente convergenteP quando, para qualquer bijeção ϕ : N → N, pondo bn = aϕ(n) , a sérieP bn é convergente. (Em particular, tomando ϕ(n) = n, vemos que an é convergente.) P Resulta do que mostraremos a seguir que se a é comutativamente n P P convergente então bn = an qualquer que seja a bijeção ϕ. Esta é a P maneira precisa de afirmar que a soma an não depende da ordem das parcelas. Mas isto nem sempre ocorre. Exemplo 12. A série 1−

1 1 1 + − + ··· 2 3 4

converge para a soma s > 0, mas não comutativamente. Com efeito, temos s 1 1 1 1 = − + − + ··· . 2 2 4 6 8 Podemos então escrever 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + ··· 2 3 4 5 6 7 8 s 1 1 1 1 = 0 + + 0 − + 0 + + 0 − + ··· · 2 2 4 6 8 s=1−

Somando termo a termo vem 3s 1 1 1 1 1 1 1 1 =1+ − + + − + + − + ··· . 2 3 2 5 7 4 9 11 6 A série acima, cuja soma é 3s/2, tem os mesmos termos da série inicial, cuja soma é s, apenas com uma mudança na sua ordem.

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Seção 4

Comutatividade

P Teorema 8. Se an é absolutamente convergente P Pentão para toda bijeção ϕ : N → N, pondo bn = aϕ(n) , tem-se bn = an . Demonstração: Supomos inicialmente an ≥ 0 para todo n. Escrevamos sn = a1 + · · · + an e tn = b1 + · · · + bn . Para cada n ∈ N, os números ϕ(1), . . . , ϕ(n) pertencem todos ao conjunto {1, 2, . . . , m}, onde m é o maior dos ϕ(i). Então tn =

n X i=1

aϕ(i) ≤

m X

aj = sm .

j=1

Assim, para cada n ∈ N existe m ∈ N tal que tn ≤ sm . Reciprocamente, (considerando-se ϕ−1 em vez de ϕ) para cada m ∈ P N existe P n ∈ N tal que sm ≤ tn . Segue-se lim tn =P lim sn , isto é, bn = an . No P que P caso geral, temos an = pn − qn , onde pn é a parte positiva e qn a parte negativa de an . Toda reordenação (bn ) dos termos an determina uma reordenação (un ) para os pn e uma reordenação (vn ) dos qn , de modo que un é a parte a parte P negativa de P positiva P e vnP bP de ver, un = pn e vn = qn . Logo n . PeloPque acabamos P P an = un − vn = bn . O teorema seguinte implica que somente as séries absolutamente convergentes são comutativamente convergentes. Teorema 9. (Riemann.) Alterando-se convenientemente a ordem dos termos de uma série condicionalmente convergente, pode-se fazer com que sua soma fique igual a qualquer número real pré-fixado. P Demonstração: Seja an a série P dada. Fixado o número c, começamos a somar os termos positivos de an , na sua ordem natural, um a um, parando quando, ao somar an1 , a soma pela primeira vezP ultrapasse c. (Isto é possı́vel porque a soma dos termos positivos de an é +∞.) A esta soma acrescentamos os termos negativos, também na sua ordem natural, um a um, parando logo que, ao somar an2 (< 0), o total resulte inferior a c (o que é possı́vel porque a soma dos termos negativos é −∞). Prosseguindo analogamente, obtemos uma nova série, cujos termos são P os mesmos de an , numa ordem diferente. As reduzidas desta nova série oscilam em torno do valor c de tal modo que (a partir da ordem n1 ) a diferença entre cada uma delas e c é inferior, em valor absoluto, ao termo ank ondeP houve a última mudança de sinal. Ora, limk→∞ ank = 0 porque a série an converge. Logo as reduzidas da nova série convergem para c.

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Séries numéricas

Cap. 4

Exercı́cios

Seção 1:

Séries convergentes √ P P √ 1. Dadas as séries an e bn , com an = n + 1 − n e bn = log(1 + n1 ), mostre que lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-ésimas reduzidas sn e tn destas séries e mostre que lim sn = lim tn = +∞, logo as séries dadas são divergentes. P 2. Use o critério de comparação paraPprovar que 1/n2 é convergente, a partir da convergência de 2/n(n + 1).

3. Seja sn a n-ésima reduzida da série harmônica. Prove que para n = 2m tem-se sn > 1 + m 2 e conclua daı́ que a série harmônica é divergente. P 1 4. Mostre que a série ∞ n=2 n log n diverge. P 1 5. Mostre que se r > 1 a série ∞ n=2 n(log n)r converge. P log n 6. Prove que a série converge. n2 P 7. Prove: se a1 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · e an converge então lim nan = 0. n→∞

Seção 2: Séries absolutamente convergentes P 1. P Se an é convergente e an ≥ 0 para todo n ∈ N então a série an xn é absolutamente convergente para todo x ∈ [−1, 1] e X X an sen(nx), an cos(nx) são absolutamente convergentes para todo x ∈ R.

2. A série 1 − 21 + 32 − 13 + 42 − 14 + 25 − 51 + 26 − 16 + · · · tem termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto é divergente. Por que isto não contradiz o Teorema de Leibniz? P 3. Dê exemplo de uma série convergente an e de uma seqüência P limitada (xn ) tais que a série an xn seja divergente. Examine o que ocorre se uma P das hipóteses seguintes for verificada: (a) (xn ) é convergente; (b) an é absolutamente convergente. 4. Prove que é convergente a série obtida alterando-se os sinais dos termos da série harmônica, de modo que fiquem p termos positivos (p ∈ N fixado) seguidos de p termos negativos, alternadamente.

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Seção 5

Exercı́cios

P 5. Se ∞ n=0 an é absolutamente convergente e lim bn = 0, ponha cn = a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 e prove que lim cn = 0. P P 2 6. Se an é absolutamente convergente, prove que an converge. P 2 P 2 P 7. Se an e bn convergem, prove que an bn converge absolutamente. P 8. Prove: uma série an é absolutamente convergente se, e somente se, é limitado o conjunto de todas as somas finitas formadas com os termos an . Seção 3:

Testes de convergência

p 1. Prove que se existir uma infinidade de ı́ndices n tais que n |an | ≥ 1 P então a série an diverge.PSe an 6= 0 para todo n e |an+1 /an | ≥ 1 para todo n > n0 então an diverge. Por outro lado, a série 1/2 + 1/2 + 1/22 + 1/22 + 1/23 + 1/23 + · · · converge mas se tem an+1 /an = 1 para todo n ı́mpar. 2. Se 0 < a < b < 1, a série a+b+a2 +b2 +a3 +b3 +· · · é convergente. Mostre que o teste de Cauchy conduz a este resultado mas o teste de d’Alembert é inconclusivo. P 3. Determine se a série (log n/n)n é convergente usando ambos os testes, de d’Alembert e Cauchy.

4. Dada uma seqüência de números positivos xn com lim xn = a, √ prove que limn→∞ n x1 x2 . . . xn = a. 5. Determine para quais valores de x cada uma das séries abaixo é convergente: X X X X X nk xn , nn xn , xn /nn , n!xn , xn /n2 . Seção 4:

Comutatividade

1. Se uma série é condicionalmente convergente, prove que existem alterações da ordem dos seus termos de modo a tornar sua soma igual a +∞ e a −∞.

2. Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − · · · de modo que sua soma se torne igual a zero.

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Séries numéricas

Cap. 4

3. Diz-se que a seqüência (an ) é somável, com soma s, quando, para todo ε > 0 dado, existe um subconjunto finito J0P⊂ N tal que, para todo J finito com J0 ⊂ J ⊂ N, tem-se |s − n∈J an | < ε. Prove: (a) Se a seqüência (an ) é somável então, para toda bijeção ϕ : N → N, a seqüência (bn ), definida por bn = aϕ(n) , é somável, com a mesma soma. (b) P Se a seqüência (an ) é somável, com soma s, então a série an = s é absolutamente convergente. P (c) Reciprocamente, se an é uma série absolutamente convergente, então a seqüência (an ) é somável.

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5 Algumas Noções Topológicas

A Topologia é um ramo da Matemática no qual são estudadas, com grande generalidade, as noções de limite, de continuidade e as idéias com elas relacionadas. Neste capı́tulo, abordaremos alguns conceitos topológicos elementares referentes a subconjuntos de R, visando estabelecer a base adequada para desenvolver os capı́tulos seguintes. Adotaremos uma linguagem geométrica, dizendo “ponto” em vez de “número real”, “a reta” em vez de “o conjunto R ”.

Conjuntos abertos

Diz-se que o ponto a é interior ao conjunto X ⊂ R quando existe um número ε > 0 tal que o intervalo aberto (a − ε, a + ε) está contido em X. O conjunto dos pontos interiores a X chama-se o interior do conjunto X e representa-se pela notação int X. Quando a ∈ int X diz-se que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a. Um conjunto A ⊂ R chamase aberto quando A = int A, isto é, quando todos os pontos de A são interiores a A. Exemplo 1. Todo ponto c do intervalo aberto (a, b) é um ponto interior a (a, b). Os pontos a e b, extremos do intervalo fechado [a, b] não são interiores a [a, b]. O interior do conjunto Q dos números racionais é vazio. Por outro lado, int[a, b] = (a, b). O intervalo fechado [a, b] não é uma vizinhança de a nem de b. Um intervalo aberto é um conjunto

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Algumas noções topológicas

Cap. 5

aberto. O conjunto vazio é aberto. Todo intervalo aberto (limitado ou não) é um conjunto aberto. O limite de uma seqüência pode ser reformulado em termos de conjuntos abertos: tem-se a = lim xn se, e somente se, para todo aberto A contendo a existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn ∈ A. Teorema 1. a) Se A1 e A2 são conjuntos abertos então a interseção A1 ∩ A2 é um conjunto aberto. b) Se (ASλ )λ∈L é uma famı́lia qualquer de conjuntos abertos, a reunião A = λ∈L Aλ é um conjunto aberto.

Demonstração: a) Se x ∈ A1 ∩ A2 então x ∈ A1 e x ∈ A2 . Como A1 e A2 são abertos, existem ε1 > 0 e ε2 > 0 tais que (x − ε1 , x + ε1 ) ⊂ A1 e (x − ε2 , x + ε2 ) ⊂ A2 . Seja ε o menor dos dois números ε1 , ε2 . Então (x − ε, x + ε) ⊂ A1 e (x − ε, x + ε) ⊂ A2 logo (x − ε, x + ε) ⊂ A1 ∩ A2 . Assim todo ponto x ∈ A1 ∩ A2 é um ponto interior, ou seja, o conjunto A1 ∩ A2 é aberto. b) Se x ∈ A então existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ . Como Aλ é aberto, existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ Aλ ⊂ A, logo todo ponto x ∈ A é interior, isto é, A é aberto. Exemplo 2. Resulta imediatamente de a) no Teorema 1 que a interseção A1 ∩ · · · ∩ An de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Mas, embora por b) a reunião de uma infinidade de conjuntos abertos seja ainda aberta, a interseção de um número infinito de abertos pode não ser aberta. Por exemplo, se A1 = (−1, 1), A2 = (−1/2, 1/2), . . . , An = (−1/n, 1/n), . . . então A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ∩ · · · = {0}. Com efeito, se x 6= 0 então existe n ∈ N tal que |x| > 1/n logo x ∈ / An , donde x ∈ / A.

Conjuntos fechados

Diz-se que um ponto a é aderente ao conjunto X ⊂ R quando a é limite de alguma seqüência de pontos xn ∈ X. Evidentemente, todo ponto a ∈ X é aderente a X: basta tomar xn = a para todo n ∈ N. Chama-se fecho de um conjunto X ao conjunto X formado por todos os pontos aderentes a X. Tem-se X ⊂ X. Se X ⊂ Y então X ⊂ Y . Um conjunto X diz-se fechado quando X = X, isto é, quando todo ponto

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Seção 2

Conjuntos fechados

aderente a X pertence a X. Seja X ⊂ Y . Diz-se que X é denso em Y quando Y ⊂ X, isto é, quando todo b ∈ Y é aderente a X. Por exemplo, Q é denso em R. Teorema 2. Um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhança de a contém algum ponto de X. Demonstração: Seja a aderente a X. Então a = lim xn , onde xn ∈ X para todo n ∈ N. Dada uma vizinhança qualquer V ∋ a temos xn ∈ V para todo n suficientemente grande (pela definição de limite), logo V ∩ X 6= ∅. Reciprocamente, se toda vizinhança de a contém pontos de X podemos escolher, em cada intervalo (a − 1/n, a + 1/n), n ∈ N, um ponto xn ∈ X. Então |xn − a| < 1/n, logo lim xn = a e a é aderente a X. Pelo teorema acima, a fim de que um ponto a não pertença a X é necessário e suficiente que exista uma vizinhança V ∋ a tal que V ∩ X = ∅. Corolário. O fecho de qualquer conjunto é um conjunto fechado. (Ou seja, X = X para todo X ⊂ R.)

Com efeito, se a é aderente a X então todo conjunto aberto A contendo a contém algum ponto b ∈ X. A é uma vizinhança de b. Como b é aderente a X, segue-se que A contém algum ponto de X. Logo qualquer ponto a, aderente a X, é também aderente a X, isto é, a ∈ X. Teorema 3. Um conjunto F ⊂ R é fechado se, e somente se, seu complementar A = R − F é aberto. Demonstração: Sejam F fechado e a ∈ A, isto é, a ∈ / F . Pelo Teorema 2, existe alguma vizinhança V ∋ a que não contém pontos de F , isto é, V ⊂ A. Assim, todo ponto a ∈ A é interior a A, ou seja, A é aberto. Reciprocamente, se o conjunto A é aberto e o ponto a é aderente a F = R − A então toda vizinhança de a contém pontos de F , logo a não é interior a A. Sendo A aberto, temos a ∈ / A, ou seja, a ∈ F . Assim, todo ponto a aderente a F pertence a F , logo F é fechado.

Teorema 4. a) Se F1 e F2 são fechados então F1 ∪ F2 é fechado.

b) Se (Fλ )λ∈L é uma T famı́lia qualquer de conjuntos fechados então a interseção F = λ∈L Fλ é um conjunto fechado. i

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Algumas noções topológicas

Cap. 5

Demonstração: a) Os conjuntos A1 = R − F1 e A2 = R − F2 são abertos, pelo Teorema 3. Logo, pelo Teorema 1, A1 ∩ A2 = R − (F1 ∪ F2 ) é aberto. Novamente pelo Teorema 3, F1 ∪ F2 é fechado. S b) Para cada λ ∈ L, Aλ = R − Fλ é aberto. Segue-se que A = λ∈L Aλ é aberto. Mas A = R − F . Logo F é fechado.

Exemplo 3. Seja X ⊂ R limitado, não-vazio. Então a = inf X e b = sup X são aderentes a X. Com efeito, para todo n ∈ N, podemos escolher xn ∈ X com a ≤ xn < a + 1/n, logo a = lim xn . Analogamente, vê-se que b = lim yn , yn ∈ X. Em particular, a e b são aderentes a (a, b).

Exemplo 4. O fecho dos intervalos (a, b), [a, b) e (a, b] é o intervalo [a, b]. Q é denso em R e, para todo intervalo I, Q ∩ I é denso em I. Uma reunião infinita de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado; com efeito, todo conjunto (fechado ou não) é reunião dos seus pontos, que são conjuntos fechados. Uma cisão de um conjunto X ⊂ R é uma decomposição X = A ∪ B tal que A ∩ B = ∅ e A ∩ B = ∅, isto é, nenhum ponto de A é aderente a B e nenhum ponto de B é aderente a A. (Em particular, A e B são disjuntos.) A decomposição X = X ∪ ∅ chama-se a cisão trivial. Exemplo 5. Se X = R−{0}, então X = R+ ∪R− é uma cisão. Dado um número irracional α, sejam A = {x ∈ Q; x < α} e B = {x ∈ Q; x > α}. A decomposição Q = A ∪ B é uma cisão do conjunto Q dos racionais. Por outro lado, se a < c < b, então [a, b] = [a, c] ∪ (c, b] não é uma cisão.

Teorema 5. Um intervalo da reta só admite a cisão trivial. Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que o intervalo I admita a cisão não trivial I = A ∪ B. Tomemos a ∈ A, b ∈ B, digamos com a < b, logo [a, b] ⊂ I. Seja c o ponto médio do intervalo [a, b]. Então c ∈ A ou c ∈ B. Se c ∈ A, poremos a1 = c, b1 = b. Se c ∈ B, escreveremos a1 = a, b1 = c. Em qualquer caso, obteremos um intervalo [a1 , b1 ] ⊂ [a, b], com b1 − a1 = (b − a)/2 e a1 ∈ A, b1 ∈ B. Por sua vez, o ponto médio de [a1 , b1 ] o decompõe em dois intervalos fechados justapostos de comprimento (b − a)/4. Um desses intervalos, que chamaremos [a2 , b2 ], tem a2 ∈ A e b2 ∈ B. Prosseguindo analogamente, obteremos uma seqüência de intervalos encaixados [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊃ · · · com bn − an = (b − a)/2n , an ∈ A e bn ∈ B para todo n ∈ N. Pelo Teorema 4, Capı́tulo 2, existe d ∈ R tal que an ≤ d ≤ bn para todo n ∈ N. O ponto d ∈ I = A∪B não pode estar em A pois d = lim bn ∈ B, nem em B pois d = lim an ∈ A. Contradição.

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Seção 3

Pontos de acumulação

Corolário. Os únicos subconjuntos de R que são simultaneamente abertos e fechados são ∅ e R. Com efeito, se A ⊂ R é aberto e fechado, então R = A ∪ (R − A) é uma cisão, logo A = ∅ e R − A = R ou então A = R e R − A = ∅.

Pontos de acumulação

Diz-se que a ∈ R é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ R quando toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio a. (Isto é, V ∩ (X − {a}) 6= ∅.) Equivalentemente: para todo ε > 0 tem-se (a − ε, a + ε) ∩ (X − {a}) 6= ∅. Indica-se com X ′ o conjunto dos pontos de acumulação de X. Portanto, a ∈ X ′ ⇔ a ∈ X − {a}. Se a ∈ X não é ponto de acumulação de X, diz-se que a é um ponto isolado de X. Isto significa que existe ε > 0 tal que a é o único ponto de X no intervalo (a − ε, a + ε). Quando todos os pontos do conjunto X são isolados, X chama-se um conjunto discreto. Teorema 6. Dados X ⊂ R e a ∈ R, as seguintes afirmações são equivalentes: (1) a é um ponto de acumulação de X; (2) a é limite de uma seqüência de pontos xn ∈ X − {a};

(3) Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de X.

Demonstração: Supondo (1), para todo n ∈ N podemos achar um ponto xn ∈ X, xn 6= a, na vizinhança (a−1/n, a+1/n). Logo lim xn = a, o que prova (2). Por outro lado, supondo (2), então, para qualquer n0 ∈ N, o conjunto {xn ; n > n0 } é infinito porque do contrário existiria um termo xn1 que se repetiria infinitas vezes e isto forneceria uma seqüência constante com limite xn1 6= a. Pela definição de limite, vê-se portanto que (2) ⇒ (3). Finalmente, a implicação (3) ⇒ (1) é óbvia. Exemplo 6. Se X é finito então X ′ = ∅ (conjunto finito não tem ponto de acumulação). Z é infinito mas todos os pontos de Z são isolados. Q′ = R. Se X = (a, b) então X ′ = [a, b]. Se X = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . . } então X ′ = {0}, isto é, 0 é o único ponto de acumulação de X. Note que todos os pontos deste conjunto X são isolados (X é discreto).

Segue-se uma versão do Teorema de Bolzano-Weierstrass em termos de ponto de acumulação.

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Algumas noções topológicas

Cap. 5

Teorema 7. Todo conjunto infinito limitado de números reais admite pelo menos um ponto de acumulação. Demonstração: Seja X ⊂ R infinito limitado. X possui um subconjunto enumerável {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }. Fixando esta enumeração, temos uma seqüência (xn ) de termos dois a dois distintos, pertencentes a X, portanto uma seqüência limitada, a qual, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, possui uma subseqüência convergente. Desprezando os termos que estão fora dessa subseqüência e mudando a notação, podemos admitir que (xn ) converge. Seja a = lim xn . Como os termos xn são todos distintos, no máximo um deles pode ser igual a a. Descartando-o, caso exista, teremos a como limite de uma seqüência de pontos xn ∈ X − {a}, logo a ∈ X ′ .

Conjuntos compactos

Um conjunto X ⊂ R chama-se compacto quando é limitado e fechado. Todo conjunto finito é compacto. Um intervalo do tipo [a, b] é um conjunto compacto. Por outro lado, (a, b) é limitado mas não é fechado, logo não é compacto. Também Z não é compacto pois é ilimitado, embora seja fechado (seu complementar R − Z é a reunião dos intervalos abertos (n, n + 1), n ∈ Z, logo é um conjunto aberto). Teorema 8. Um conjunto X ⊂ R é compacto se, e somente se, toda seqüência de pontos em X possui uma subseqüência que converge para um ponto de X. Demonstração: Se X ⊂ R é compacto, toda seqüência de pontos de X é limitada, logo (por Bolzano-Weierstrass) possui uma subseqüência convergente, cujo limite é um ponto de X (pois X é fechado). Reciprocamente, seja X ⊂ R um conjunto tal que toda seqüência de pontos xn ∈ X possui uma subseqüência que converge para um ponto de X. Então X é limitado porque, do contrário, para cada n ∈ N poderı́amos encontrar xn ∈ X com |xn | > n. A seqüência (xn ), assim obtida, não possuiria subseqüência limitada, logo não teria subseqüência convergente. Além disso, X é fechado pois do contrário existiria um ponto a ∈ / X com a = lim xn , onde cada xn ∈ X. A seqüência (xn ) não possuiria então subseqüência alguma convergindo para um ponto de X pois todas suas subseqüências teriam limite a. Logo X é compacto.

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Seção 4

Conjuntos compactos

Observação. Se X ⊂ R é compacto então, pelo Exemplo 3, a = inf X e b = sup X pertencem a X. Assim, todo conjunto compacto contém um elemento mı́nimo e um elemento máximo. Ou seja, X compacto ⇒ ∃ x0 , x1 ∈ X tais que x0 ≤ x ≤ x1 para todo x ∈ X. O teorema a seguir generaliza o princı́pio dos intervalos encaixados.

Teorema 9. Dada uma seqüência decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · de conjuntos compactos não-vazios, existe (pelo menos) um número real que pertence a todo os Xn . Demonstração: Definamos uma seqüência (xn ) escolhendo, para cada n ∈ N, um ponto xn ∈ Xn . Esta seqüência está no compacto X1 , logo possui uma subseqüência (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . ) convergindo para um ponto a ∈ X1 . Dado qualquer n ∈ N, temos xnk ∈ Xn sempre que nk > n. Como Xn é compacto, segue-se que a ∈ Xn . Isto prova o teorema. Encerraremos nosso estudo dos conjuntos compactos da reta com a demonstração do teorema de Borel-Lebesgue. Chama-se cobertura de um conjunto X a umaSfamı́lia C de conjuntos Cλ cuja reunião contém X. A condição X ⊂ λ∈L Cλ significa que, para cada x ∈ X, deve existir (pelo menos) um λ ∈ L tal que x ∈ Cλ . Quando todos os conjuntos Cλ são abertos, diz-se que C é uma cobertura aberta. Quando L = {λ1 , . . . , λn } é um conjunto finito, diz-se que X ⊂ Cλ1 ∪S· · · ∪ Cλn é uma cobertura finita. Se L′ ⊂ L é tal que ainda se tem X ⊂ λ′ ∈L′ Cλ′ , diz-se que C ′ = (Cλ′ )λ′ ∈L′ é uma subcobertura de C.

Teorema 10. (Borel-Lebesgue.) Toda cobertura aberta de um conjunto compacto possui uma subcobertura finita.

Demonstração: Tomemos inicialmente uma cobertura aberta [a, b] ⊂ S λ∈L Aλ do intervalo compacto [a, b]. Suponhamos, por absurdo, que C = (Aλ )λ∈L não admita subcobertura finita. O ponto médio do intervalo [a, b] o decompõe em dois intervalos de comprimento (b − a)/2. Pelo menos um destes intervalos, o qual chamaremos [a1 , b1 ], não pode ser coberto por um número finito de conjuntos Aλ . Por bisseções sucessivas obteremos uma seqüência decrescente [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊃ · · · de intervalos tais que bn − an = (b − a)/2n e nenhum [an , bn ] pode estar contido numa reunião finita dos abertos Aλ . Pelo Teorema 4, Capı́tulo 2, existe um número real c que pertence a todos os intervalos [an , bn ]. Em particular, c ∈ [a, b]. Pela definição de cobertura,

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Algumas noções topológicas

Cap. 5

existe λ ∈ L tal que c ∈ Aλ . Como Aλ é aberto, temos [c − ε, c + ε] ⊂ Aλ para um certo ε > 0. Tomando n ∈ N tal que (b − a)/2n < ε temos então c ∈ [an , bn ] ⊂ [c − ε, c + ε], donde [an , bn ] ⊂ Aλ , logo [an , bn ] pode ser coberto por apenas um dos conjuntos S Aλ . Contradição. No caso geral, temos uma cobertura aberta X ⊂ λ∈L Aλ do compacto X. Tomamos um intervalo compacto [a, b] que contenha X e, acrescentando aos Aλ o novo aberto Aλ0 = R − X, obtemos uma cobertura aberta de [a, b], da qual extraı́mos, pela parte já provada, uma subcobertura finita [a, b] ⊂ Aλ0 ∪ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn . Como nenhum ponto de X pode pertencer a Aλ0 , temos X ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn e isto completa a demonstração. Exemplo 7. Os intervalos An = (1/n, 2), n ∈ N, S constituem uma cobertura aberta do conjunto X = (0, 1] pois (0, 1] ⊂ n∈N An . Entretanto, esta cobertura não possui subcobertura finita pois, como A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · , toda reunião finita de conjuntos An é igual àquele de maior ı́ndice, logo não contém (0, 1]. O Teorema de Borel-Lebesgue, cuja importância é inestimável, será utilizado neste livro uma só vez, no Capı́tulo 10, seção 4. (V. Teorema 7 daquele capı́tulo.) Pode-se provar, reciprocamente, que se toda cobertura aberta de um conjunto X ⊂ R possui uma subcobertura finita então X é limitado e fechado. (Cfr. “Curso de Análise”, vol. 1, pag. 182.)

O conjunto de Cantor

O conjunto de Cantor, que descreveremos agora, tem as seguintes propriedades: 1) É compacto. 2) Tem interior vazio (não contém intervalos). 3) Não contém pontos isolados (todos seus pontos são pontos de acumulação). 4) É não-enumerável. O conjunto de Cantor K é um subconjunto fechado do intervalo [0, 1], obtido como complementar de uma reunião de intervalos abertos, do seguinte modo. Retira-se do intervalo [0, 1] seu terço médio aberto (1/3, 2/3). Depois retira-se o terço médio aberto de cada um dos intervalos restantes [0, 1/3] e [2/3, 1]. Sobra então [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪

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Seção 5

O conjunto de Cantor

[2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]. Em seguida, retira-se o terço médio aberto de cada um desses quatro intervalos. Repete-se o processo indefinidamente. O conjunto K dos pontos não retirados é o conjunto de Cantor. 0

1/9

2/9

1/3

2/3

1/3

2/3

7/9

8/9

Figura 1: Construindo o conjunto de Cantor.

Se indicarmos comSI1 , I2 , . . . , In , . . . os intervalos abertos omitidos, veremos que F = R− ∞ n=1 In é um conjunto fechado logo K = [0, 1]∩F é limitado e fechado, ou seja, o conjunto de Cantor é compacto. Para mostrar que K tem interior vazio, observamos que depois da nésima etapa de sua construção restam apenas intervalos de comprimento 1/3n . Portanto, dado qualquer intervalo J ⊂ [0, 1] de comprimento c > 0, se tomarmos n tal que 1/3n < c, o intervalo J estará mutilado depois da n-ésima etapa da formação de K. Assim, K não contém intervalos. Os pontos extremos dos intervalos omitidos nas diversas etapas da construção do conjunto de Cantor, tais como 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, etc, pertencem a K, pois em cada etapa são retirados apenas pontos interiores aos intervalos que restaram na etapa anterior. Eles constituem um conjunto enumerável E, sem pontos isolados. Com efeito, seja c ∈ K extremidade de algum intervalo, digamos (c, b), omitido de [0, 1] para formar K. Quando (c, b) foi retirado, restou um certo intervalo [a, c]. Nas etapas seguintes da construção de K, restarão sempre terços finais de intervalo, do tipo [an , c], com an ∈ E. O comprimento c − an tende a zero, logo an → c e assim c não é ponto isolado de E. Suponhamos agora que c ∈ K não seja extremo de intervalo retirado de [0, 1] durante a construção de K. (Até agora, não sabemos se de fato tais pontos existem, mas veremos logo mais que eles constituem a maioria dos pontos de K.) Provemos que c não é isolado em K. Com efeito, para cada n ∈ N, c pertence ao interior de um intervalo

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Algumas noções topológicas

Cap. 5

[xn , yn ] que restou depois da n-ésima etapa da construção de K. Temos xn < c < yn com xn , yn ∈ K e yn − xn = 1/3n . Logo c = lim xn = lim yn é ponto de acumulação de K. Fica então constatado que K não possui pontos isolados. Provaremos agora que o conjunto de Cantor K não é enumerável. Dado qualquer subconjunto enumerável {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } ⊂ K, obteremos um ponto c ∈ K tal que c 6= xn para todo n ∈ N. Para isso, com centro num ponto de K, tomamos um intervalo compacto nãodegenerado I1 tal que x1 ∈ / I1 . Como nenhum ponto de K é isolado, I1 ∩ K é um conjunto infinito, compacto sem pontos isolados. Em seguida, com centro em algum ponto de K interior a I1 , tomamos um intervalo compacto não-degenerado I2 ⊂ I1 tal que x2 ∈ / I2 . Prosseguindo analogamente, obtemos uma seqüência decrescente de intervalos compactos I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · tais que xn ∈ / In e In ∩ K 6= ∅. Sem perda de generalidade, podemos supor que In tem comprimento < 1/n. Então o ponto c, pertencente a todos os In (cuja T∞existência é garantida pelo Teorema 4 do Capı́tulo 2) é único, isto é, n=1 In = {c}. Escolhendo, para cada n ∈ N um ponto yn ∈ In ∩ K, teremos então |yn − c| ≤ 1/n, donde lim yn = c. Como K é fechado, segue-se que c ∈ K. Por outro lado, para todo n ∈ N temos c ∈ In , logo c 6= xn , concluindo a demonstração. Os pontos do conjunto de Cantor têm uma caracterização interessante e útil em termos de sua representação em base 3. Dado x ∈ [0, 1], representar x na base 3 significa escrever x = 0, x1 x2 x3 . . . , onde cada um dos dı́gitos xn é igual a 0, 1 ou 2, de tal modo que x=

x1 x2 xn + 2 + ··· + n + ··· · 3 3 3

A fim de que se tenha x = 0, x1 x2 . . . xn 000 . . . é necessário e suficiente que x seja um número da forma m/3n , com m, n inteiros e m ≤ 3n . Por exemplo 17/27 = 0, 122000 . . . na base 3. Quando o denominador da fração irredutı́vel p/q não é uma potência de 3 então a representação de p/q na base 3 é periódica. Por exemplo, 1/4 = 0, 020202 . . . e 1/7 = 0, 010212010212 . . . na base 3. Os números irracionais têm representação não-periódica. Na primeira etapa da formação do conjunto de Cantor, ao retirar-se o intervalo aberto (1/3, 2/3) ficam excluı́dos os números x ∈ [0, 1] cuja representação na base 3 tem x1 = 1, com a única exceção de 1/3 = 0,1, que permanece. Na segunda etapa, foram excluı́dos os números dos in-

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Seção 6

Exercı́cios

tervalos (1/9, 2/9) e (7/9, 8/9) ou seja, aqueles da forma 0, 01x3 x4 . . . ou da forma 0, 21x3 x4 . . . (com exceção de 1/9 = 0, 01 e de 7/9 = 0, 21, que permanecem). De um modo geral, podemos afirmar que os elementos do conjunto de Cantor são os números do intervalo [0, 1] cuja representação x = 0, x1 x2 . . . xn . . . na base 3 só contém os algarismos 0 e 2, com exceção daqueles que contêm um único algarismo 1 como algarismo significativo final, como x = 0, 20221, por exemplo. Se observarmos que 0, 0222 · · · = 0, 1 poderemos sempre substituir o algarismo final 1 pela seqüência 0222 . . . . Por exemplo: 0, 20201 = 0, 20200222 . . . . Com esta convenção, pode-se afirmar, sem exceções, que os elementos do conjunto de Cantor são os números do intervalo [0, 1] cuja representação na base 3 só contém os algarismos 0 e 2. Daı́ resulta facilmente que o conjunto de Cantor é não-enumerável (vide Exemplo 3, Capı́tulo 1) e que 1/4 = 0, 0202 . . . pertence ao conjunto de Cantor.

Exercı́cios

Seção 1:

Conjuntos abertos

1. Prove que, para todo X ⊂ R tem-se int(int X) = int X e conclua que int X é um conjunto aberto. 2. Seja A ⊂ R um conjunto com a seguinte propriedade: “toda seqüência (xn ) que converge para um ponto a ∈ A tem seus termos xn pertencentes a A para todo n suficientemente grande”. Prove que A é aberto. 3. Prove que int(A ∪ B) ⊃ int A ∪ int B e int(A ∩ B) = int A ∩ int B quaisquer que sejam A, B ⊂ R. Se A = (0, 1] e B = [1, 2), mostre que int(A ∪ B) 6= int A ∪ int B. 4. Para todo X ⊂ R, prove que vale a reunião disjunta R = int X ∪ int(R − X) ∪ F , onde F é formado pelos pontos x ∈ R tais que toda vizinhança de x contém pontos de X e pontos de R − X. O conjunto F = fr X chama-se a fronteira de X. Prove que A ⊂ R é aberto se, e somente se, A ∩ fr A = ∅. 5. Para cada um dos conjuntos seguintes, determine sua fronteira: X = [0, 1], Y = (0, 1) ∪ (1, 2), Z = Q, W = Z.

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Algumas noções topológicas

Cap. 5

6. Sejam I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ T · · · intervalos limitados dois a dois distintos, cuja interseção I = ∞ n=1 In não é vazia. Prove que I é um intervalo, o qual nunca é aberto. Seção 2:

Conjuntos fechados

1. Sejam I um intervalo não-degenerado e k > 1 um número natural. Prove que o conjunto dos números racionais m/k n pertencentes a I, cujos denominadores são potências de k com expoente n ∈ N, é denso em I. 2. Prove que, para todo X ⊂ R, vale X = X ∪ fr X. Conclua que X é fechado se, e somente se, X ⊃ fr X.

3. Para todo X ⊂ R, prove que R − int X = R − X e R − X = int(R − X). 4. Se X ⊂ R é aberto (respectivamente, fechado) e X = A ∪ B é uma cisão, prove que A e B são abertos (respectivamente, fechados).

5. Prove que se X ⊂ R tem fronteira vazia então X = ∅ ou X = R.

6. Sejam X, Y ⊂ R. Prove que X ∪ Y = X ∪Y e que X ∩ Y ⊂ X ∩Y . Dê exemplo em que X ∩ Y 6= X ∩ Y .

7. Dada uma seqüência (xn ), prove que o fecho do conjunto X = {xn ; n ∈ N} é X = X ∪ A, onde A é o conjunto dos valores de aderência de (xn ).

Seção 3:

Pontos de acumulação

1. Prove que, para todo X ⊂ R, tem-se X = X ∪ X ′ . Conclua que X é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação. 2. Prove que toda coleção de intervalos não-degenerados dois a dois disjuntos é enumerável. 3. Prove que se todos os pontos do conjunto X ⊂ R são isolados então pode-se escolher, para cada x ∈ X, um intervalo aberto Ix , de centro x, tal que x 6= y ⇒ Ix ∩ Iy = ∅.

4. Prove que todo conjunto não-enumerável X ⊂ R possui algum ponto de acumulação a ∈ X.

5. Prove que, para todo X ⊂ R, X ′ é um conjunto fechado.

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Seção 6

Exercı́cios

6. Seja a um ponto de acumulação do conjunto X. Prove que existe uma seqüência crescente ou uma seqüência decrescente de pontos xn ∈ X com lim xn = a. Seção 4:

Conjuntos compactos

1. Prove que o conjunto A dos valores de aderência de uma seqüência (xn ) é fechado. Se a seqüência for limitada, A é compacto, logo existem l e L, respectivamente o menor e o maior valor de aderência da seqüência limitada (xn ). Costuma-se escrever l = lim inf xn e L = lim sup xn . 2. Prove que uma reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos compactos é um conjunto compacto. 3. Dê exemplo de uma seqüência decrescente de conjuntos fechados não-vazios F1 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ · · · e uma seqüência decrescente de conjuntos limitados não-vazios L1 ⊃ · · · ⊃ Ln ⊃ · · · tais que ∩Fn = ∅ e ∩Ln = ∅.

4. Sejam X, Y conjuntos não-vazios, com X compacto e Y fechado. Prove que existem x0 ∈ X, y0 ∈ Y tais que |x0 − y0 | ≤ |x − y| para quaisquer x ∈ X, y ∈ Y . 5. Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado não-fechado Y , cujos pontos são todos isolados. 6. Prove que se X é compacto então os seguintes conjuntos também são compactos: a) S = {x + y; x, y ∈ X};

b) D = {x − y; x, y ∈ X}; c) P = {x · y; x, y ∈ X};

d) Q = {x/y; x, y ∈ X} se 0 ∈ / X.

Seção 5:

O conjunto de Cantor

1. Determine quais dentre os números 1/m, 2 ≤ m ≤ 10, pertencem ao conjunto de Cantor. 2. Dado arbitrariamente a ∈ (0, 1], prove que existem x < y pertencentes ao conjunto de Cantor, tais que y − x = a.

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Algumas noções topológicas

Cap. 5

3. Prove que a soma da série cujos termos são os comprimentos dos intervalos omitidos para formar o conjunto de Cantor é igual a 1. 4. Prove que os extremos dos intervalos removidos formam um subconjunto enumerável denso no conjunto de Cantor.

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6 Limites de Funções

A noção de limite, que estudamos no Capı́tulo 3 no caso particular de seqüências, será agora estendida à situação mais geral onde se tem uma função f : X → R, definida num subconjunto qualquer X ⊂ R.

Definição e primeiras propriedades

Sejam X ⊂ R um conjunto de números reais, f : X → R uma função real cujo domı́nio é X e a ∈ X ′ um ponto de acumulação do conjunto X. Dizse que o número real L é limite de f (x) quando x tende para a, e escrevese limx→a f (x) = L, quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que se tem |f (x) − L| < ε sempre que x ∈ X e 0 < |x − a| < δ. Simbolicamente: lim f (x) = L . ≡ .∀ ε > 0 ∃ δ > 0; x ∈ X, 0 < |x−a| < δ ⇒ |f (x)−L| < ε.

x→a

Informalmente: limx→a f (x) = L quer dizer que se pode tornar f (x) tão próximo de L quanto se queira desde que se tome x ∈ X suficientemente próximo, porém diferente, de a. A restrição 0 < |x − a| significa x 6= a. Assim, no limite L = limx→a f (x) não é permitido à variável x assumir o valor a. Portanto, o valor f (a) não tem importância alguma quando se quer determinar

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Limites de Funções

Cap. 6

L: o que conta é o comportamento de f (x) quando x se aproxima de a, sempre com x 6= a. Na definição de limite é essencial que a seja um ponto de acumulação do conjunto X mas é irrelevante que a pertença ou não a X, isto é, que f esteja ou não definida no ponto a. Num dos exemplos mais importantes de limite, a saber, a derivada, estuda-se limx→a q(x), onde a função q(x) = [f (x) − f (a)]/(x − a) não está definida para x = a. Nas condições f : X → R, a ∈ X ′ , negar que se tem limx→a f (x) = L equivale a dizer que existe um número ε > 0 com a seguinte propriedade: seja qual for δ > 0, pode-se sempre achar xδ ∈ X tal que 0 < |xδ −a| < δ e |f (xδ ) − L| ≥ ε.

Teorema 1. Sejam f, g : X → R, a ∈ X ′ , limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = M . Se L < M então existe δ > 0 tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ X com 0 < |x − a| < δ. Demonstração: Seja K = (L + M )/2. Pondo ε = K − L = M − K temos ε > 0 e K = L + ε = M − ε. Pela definição de limite, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < K e x ∈ X, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ K < g(x) < M + ε. Portanto, pondo δ = min{δ1 , δ2 } vem: x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < K < g(x), o que prova o teorema.

Observação. A hipótese L < M não pode ser substituida por L ≤ M no Teorema 1. Observação. Para o Teorema 1 e seus corolários, bem como para o Teorema 2 abaixo, valem versões análogas com > em lugar de < e vice-versa. Tais versões serão usadas sem maiores comentários. Corolário 1. Se limx→a f (x) = L < M então existe δ > 0 tal que f (x) < M para todo x ∈ X com 0 < |x − a| < δ. Corolário 2. Sejam limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = M . Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ X − {a} então L ≤ M . Com efeito, se fosse M < L existiria δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ g(x) < f (x), uma contradição.

Teorema 2. (Teorema do sanduı́che.) Sejam f, g, h : X → R, a ∈ X ′ e limx→a f (x) = limx→a g(x) = L. Se f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X − {a} então limx→a h(x) = L. Demonstração: Dado arbitrariamente ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < L + ε e x ∈ X,

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Seção 1

Definição e primeiras propriedades

0 < |x − a| < δ2 ⇒ L − ε < g(x) < L + ε. Seja δ = min{δ1 , δ2 }. Então x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ L − ε < f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L + ε ⇒ L − ε < h(x) < L + ε. Logo limx→a h(x) = L. Observação. A noção de limite é local, isto é, dadas as funções f, g : X → R e dado a ∈ X ′ , se existir uma vizinhança V do ponto a tal que f (x) = g(x) para todo x 6= a em V ∩ X então existe limx→a f (x) se, e somente se, existe limx→a g(x). Além disso, se existirem, esses limites serão iguais. Assim, por exemplo, no Teorema 2, não é necessário supor que vale f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X − {a}. Basta que exista uma vizinhança V do ponto a tal que estas desigualdades valham para todo x 6= a pertencente a V ∩ X. Observação análoga para o Teorema 1 e seu Corolário 2. Teorema 3. Sejam f : X→R e a∈X ′ . A fim de que seja limx→a f (x)=L é necessário e suficiente que, para toda seqüência de pontos xn ∈ X −{a} com lim xn = a, tenha-se lim f (xn ) = L. Demonstração: Suponhamos, primeiro, que limx→a f (x) = L e que se tem uma seqüência de pontos xn ∈ X − {a} com lim xn = a. Dado arbitrariamente ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)−L| < ε. Existe também n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ 0 < |xn −a| < δ (pois xn 6= a para todo n). Por conseguinte, n > n0 ⇒ |f (xn ) − L| < ε, logo lim f (xn ) = L. Reciprocamente, suponhamos que xn ∈ X − {a} e lim xn = a impliquem lim f (xn ) = L e provemos que se tem lim f (x) = L.

x→a

Com efeito, negar esta igualdade implicaria em afirmar a existência de um número ε > 0 com a seguinte propriedade: qualquer que seja n ∈ N podemos achar xn ∈ X tal que 0 < |xn − a| < 1/n mas |f (xn ) − L| ≥ ε. Então terı́amos xn ∈ X − {a}, lim xn = a sem que fosse lim f (xn ) = L. Esta contradição completa a demonstração. Corolário 1. (Unicidade do limite.) Sejam f : X → R e a ∈ X ′ . Se limx→a f (x) = L e limx→a f (x) = M então L = M . Com efeito, basta tomar uma seqüência de pontos xn ∈ X − {a} com lim xn = a, o que é assegurado pelo Teorema 6 do Capı́tulo 5. Então teremos L = lim f (xn ) e M = lim f (xn ). Pela unicidade do limite da seqüência (f (xn )), vem L = M .

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Limites de Funções

Cap. 6

Corolário 2. (Operações com limites.) Sejam f, g : X → R, a ∈ X ′ , com limx→a f (x) = L e limx→a g(x) = M . Então lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ;

x→a

lim [f (x) · g(x)] = L · M ;

x→a

lim

f (x)

x→a g(x)

L , se M 6= 0. M

Além disso, se limx→a f (x) = 0 e g é limitada numa vizinhança de a, tem-se limx→a [f (x) · g(x)] = 0. Com efeito, dada qualquer seqüência de pontos xn ∈ X − {a} com lim xn = a, pelo Teorema 8 do Capı́tulo 3 valem lim[f (xn ) ± g(xn )] = lim f (xn )±lim g(xn ) = L±M , lim f (xn )·g(xn ) = lim f (xn )·lim g(xn ) = L · M e também lim[f (xn )/g(xn )] = lim f (xn )/ lim g(xn ) = L/M . Finalmente, se existem uma vizinhança V de a e uma constante c tal que |g(x)| ≤ c para todo x ∈ V então, como xn ∈ V para todo n suficientemente grande, a seqüência g(xn ) é limitada; logo, pelo Teorema 7 do Capı́tulo 3, tem-se lim f (xn )·g(xn ) = 0, pois lim f (xn ) = 0. O Corolário 2 segue-se portanto do teorema. Teorema 4. Sejam f : X → R, a ∈ X ′ . Se existe limx→a f (x) então f é limitada numa vizinhança de a, isto é, existem δ > 0 e c > 0 tais que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x)| ≤ c. Demonstração: Seja L = limx→a f (x). Tomando ε = 1 na definição de limite, resulta que existe δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < 1 ⇒ |f (x)| = |f (x) − L + L| ≤ |f (x) − L| + |L| < |L| + 1. Basta então tomar c = |L| + 1. O Teorema 4 generaliza o fato de que toda seqüência convergente é limitada. Exemplo 1. Se f, g : R → R são dadas por f (x) = c e g(x) = x (função constante e função identidade) então, para todo a ∈ R, tem-se evidentemente limx→a f (x) = c e limx→a g(x) = a. Segue-se do Corolário 2 do Teorema 3 que, para todo polinômio p : R → R, p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , tem-se limx→a p(x) = p(a), seja qual for a ∈ R. Analogamente, para toda função racional f (x) = p(x)/q(x), quociente de dois polinômios, tem-se limx→a f (x) = f (a) desde que seja q(a) 6= 0. Quando q(a) = 0, o polinômio q(x) é divisı́vel por x − a. Escrevemos então q(x) = (x − a)m q1 (x) e p(x) = (x − a)k p1 (x) onde

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Seção 1

Definição e primeiras propriedades

m ∈ N, k ∈ N ∪ {0}, q1 (a) 6= 0 e p1 (a) 6= 0. Se for m = k então vale limx→a f (x) = p1 (a)/q1 (a) porque f (x) = p1 (x)/q1 (x) para todo x 6= a. Se for k > m então tem-se limx→a f (x) = 0 pois f (x) = (x − a)k−m [p1 (x)/q1 (x)] para todo x 6= a. Se, entretanto, tivermos k < m, então f (x) = p1 (x)/[(x − a)m−k · q1 (x)] para todo x 6= a. Neste caso, o denominador de f (x) tem limite zero e o numerador não. Isto implica que não pode existir limx→a f (x). Com efeito, se f (x) = ϕ(x)/ψ(x), com limx→a ψ(x) = 0, e existe L = limx→a f (x) então existe limx→a ϕ(x) = limx→a (f (x) · ψ(x)) = L · 0 = 0. Trata-se, portanto, de um fato geral: quando limx→a ψ(x) = 0, só pode existir limx→a [ϕ(x)/ψ(x)] no caso em que se tenha também limx→a ϕ(x) = 0 (embora esta condição, por si só, não seja suficiente para a existência de lim[ϕ/ψ]). Exemplo 2. Seja X = R − {0}. Então 0 ∈ X ′ . A função f : X → R, definida por f (x) = sen(1/x) não possui limite quando x → 0. Com efeito, a seqüência de pontos xn = 2/(2n − 1)π é tal que lim xn = 0 mas f (xn ) = ±1 conforme n seja ı́mpar ou par, logo não existe lim f (xn ). Por outro lado, se g : X → R é definida por g(x) = x · sen(1/x), tem-se limx→0 g(x) = 0, pois | sen(1/x)| ≤ 1 para todo x ∈ X e limx→0 x = 0. Os gráficos dessas duas funções são mostrados na Figura 2 abaixo.

Figura 2

Exemplo 3. Seja f : R → R definida por f (x) = 0 quando x é racional e f (x) = 1 quando x é irracional. Dado qualquer a ∈ R, podemos obter uma seqüência de números racionais xn 6= a e uma seqüência de números irracionais yn 6= a com lim xn = lim yn = a. Então lim f (xn ) = 0 e lim f (yn ) = 1, logo não existe limx→a f (x).

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Limites de Funções

Cap. 6

Observação. Dois dos limites mais importantes que aparecem na Análise são limx→0 (sen x/x) = 1 e limx→0 (ex −1)/x = 1. Para estabelecê-los é necessário, entretanto, que se tenha feito um desenvolvimento rigoroso das funções trigonométricas e da função exponencial. Isto será feito nos Capı́tulos 11 e 12. Sem embargo, continuaremos utilizando essas funções e suas inversas (como o logaritmo) em exemplos, antes mesmo daqueles capı́tulos. É que esses exemplos ajudam a fixar a aprendizagem mas não interferem no encadeamento lógico da matéria aqui apresentada. Ao leitor interessado, esclarecemos que uma apresentação rigorosa porém elementar dos logaritmos e da função exponencial pode ser encontrada no livrinho “Logaritmos” mencionado nas Sugestões de Leitura ao final deste livro.

Limites laterais

Seja X ⊂ R. Diz-se que o número real a é um ponto de acumulação ′ , quando toda vizinhança de a à direita para X, e escreve-se a ∈ X+ contém algum ponto x ∈ X com x > a. Equivalentemente: para todo ′ é necessário e ε > 0 tem-se X ∩ (a, a + ε) 6= ∅. A fim de que a ∈ X+ suficiente que a seja limite de uma seqüência de pontos xn > a, pertencentes a X. Finalmente, a é um ponto de acumulação à direita para o conjunto X se, e somente se, é um ponto de acumulação ordinário do conjunto Y = X ∩ (a, +∞). Analogamente se define ponto de acumulação à esquerda. Por defini′ significa que, para todo ε > 0, tem-se X ∩ (a − ε, a) 6= ∅, ou ção, a ∈ X− seja, a ∈ Z ′ onde Z = (−∞, a) ∩ X. Para que isto aconteça, é necessário e suficiente que a = lim xn , onde (xn ) é uma seqüência cujos termos ′ ∩ X ′ diz-se que a é um ponto xn < a pertencem a X. Quando a ∈ X+ − de acumulação bilateral de X. ′ porém 0 ∈ / Exemplo 4. Se X = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . . } então 0 ∈ X+ ′ ′ ′ X− . Seja I um intervalo. Se c ∈ int I então c ∈ I+ ∩ I− mas se c é um ′ se é o extremo inferior e dos extremos de I então tem-se apenas c ∈ I+ ′ c ∈ I− se é o extremo superior de I.

Exemplo 5. Seja K o conjunto de Cantor. Sabemos que todo ponto a ∈ K é ponto de acumulação. Se a é extremo de algum dos intervalos omitidos numa das etapas da construção de K então vale apenas uma ′ ou a ∈ K ′ . Se entretanto a ∈ K não é extremo das alternativas a ∈ K+ −

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Seção 2

Limites laterais

′ ∩ K ′ como se conclui do argumento de intervalo omitido então a ∈ K+ − usado no Capı́tulo 5, seção 5. ′ . Diz-se que o número real L é limite à Sejam f : X → R, a ∈ X+ direita de f (x) quando x tende para a, e escreve-se L = limx→a+ f (x) quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que |f (x) − L| < ε sempre que x ∈ X e 0 < x − a < δ. Simbolicamente:

lim f (x) = L . ≡ . ∀ ε > 0 ∃ δ > 0; x ∈ X ∩ (a, a + δ) ⇒ |f (x) − L| < ε.

x→a+

Analogamente se define o limite à esquerda L = limx→a− f (x), no ′ : isto significa que, para todo ε > 0 dado caso de f : X → R com a ∈ X− arbitrariamente, pode-se escolher δ > 0 tal que x ∈ X ∩ (a − δ, a) ⇒ |f (x) − L| < ε. As propriedades gerais dos limites, demonstradas na seção 1, se adaptam facilmente para os limites laterais. Basta observar que o limite à direita limx→a+ f (x) se reduz ao limite ordinário limx→a g(x), onde g é a restrição da função f : X → R ao conjunto X ∩(a, +∞). E analogamente para o limite à esquerda. Por exemplo, o Teorema 3 no caso de limite à direita se exprime assim: “A fim de que seja limx→a+ f (x) = L é necessário e suficiente que, para toda seqüência de pontos xn ∈ X com xn > a e lim xn = a, se tenha lim f (xn ) = L.” ′ ∩ X ′ , existe lim Como se vê facilmente, dado a ∈ X+ x→a f (x) = L − se, e somente se, existem e são iguais os limites laterais

lim f (x) = lim f (x) = L.

x→a+

x→a−

Exemplo 6. As funções f, g, h : R − {0} → R, definidas por f (x) = sen(1/x), g(x) = x/|x| e h(x) = 1/x não possuem limite quando x → 0. Quanto aos limites laterais, temos limx→0+ g(x) = 1 e limx→0− g(x) = −1 porque g(x) = 1 para x > 0 e g(x) = −1 se x < 0. As funções f e h não possuem limites laterais quando x → 0, nem à esquerda nem à direita. Por outro lado, ϕ : R − {0} → R, definida por ϕ(x) = e−1/x , possui limite à direita, limx→0+ ϕ(x) = 0, mas não existe limx→0− ϕ(x) pois ϕ não é limitada para valores negativos de x próximos de zero. Exemplo 7. Seja I : R → R a função “parte inteira de x ”. Para cada x ∈ R, existe um único número inteiro n tal que n ≤ x < n + 1; põe-se

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Limites de Funções

Cap. 6

então I(x) = n. Se n ∈ Z então limx→n+ I(x) = n e limx→n− I(x) = n − 1. Com efeito, n < x < n + 1 ⇒ I(x) = n enquanto n − 1 < x < n ⇒ I(x) = n − 1. Por outro lado, se a não é inteiro então limx→a+ I(x) = limx→a− I(x) = I(a) pois neste caso I(x) é constante numa vizinhança de a. Uma função f : X → R chama-se monótona não-decrescente quando para x, y ∈ X, x < y ⇒ f (x) ≤ f (y). Se x < y ⇒ f (x) ≥ f (y), f diz-se monótona não-crescente. Se vale a implicação mais estrita x < y ⇒ f (x) < f (y) dizemos que a função f é crescente. Finalmente, se x < y ⇒ f (x) > f (y), dizemos que f é uma função decrescente.

Teorema 5. Seja f : X → R uma função monótona limitada. Para todo ′ e todo b ∈ X ′ existem L = lim a ∈ X+ x→a+ f (x) e M = limx→b− f (x). − Ou seja: existem sempre os limites laterais de uma função monótona limitada. Demonstração: Para fixar as idéias, suponhamos f não-decrescente. Seja L = inf{f (x); x ∈ X, x > a}. Afirmamos que limx→a+ f (x) = L. Com efeito, dado arbitrariamente ε > 0, L + ε não é cota inferior do conjunto limitado {f (x); x ∈ X, x > a}. Logo existe δ > 0 tal que a + δ ∈ X e L ≤ f (a + δ) < L + ε. Como f é não-decrescente, x ∈ X ∩ (a, a + δ) ⇒ L ≤ f (x) < L + ε, o que prova a afirmação feita. De modo análogo vê-se que M = sup{f (x); x ∈ X, x < b} é o limite à esquerda M = limx→b− f (x).

Observação. Se a ∈ X não é necessário supor que f seja limitada no Teorema 5. Com efeito, suponhamos, para fixar idéias, que f seja ′ . Então f (a) é uma cota inferior do monótona não-decrescente e a ∈ X+ conjunto {f (x); x ∈ X, x > a} e o ı́nfimo deste conjunto é limx→a+ f (x). ′ então f (a) é uma cota superior do conjunto Analogamente, se a ∈ X− {f (x); x ∈ X, x < a}, cujo supremo é o limite à esquerda limx→a− f (x).

Limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas

Seja X ⊂ R ilimitado superiormente. Dada f : X → R, escreve-se lim f (x) = L,

x→+∞

quando o número real L satisfaz à seguinte condição: ∀ ε > 0 ∃ A > 0; x ∈ X, x > A ⇒ |f (x) − L| < ε.

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Seção 3Limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas

Ou seja, dado arbitrariamente ε > 0, existe A > 0 tal que |f (x) − L| < ε sempre que x > A. De maneira análoga define-se limx→−∞ f (x) = L, quando o domı́nio de f é ilimitado inferiormente: para todo ε > 0 dado, deve existir A > 0 tal que x < −A ⇒ |f (x) − L| < ε. Valem os resultados já demonstrados para o limite quando x → a, a ∈ R, com as adaptações evidentes. Os limites para x → +∞ e x → −∞ são, de certo modo, limites laterais (o primeiro é um limite à esquerda e o segundo à direita). Logo vale o resultado do Teorema 5: se f : X → R é monótona limitada então existe limx→+∞ f (x) se o domı́nio X for ilimitado superiormente e existe limx→−∞ f (x) se o domı́nio de f for ilimitado inferiormente. O limite de uma seqüência é um caso particular de limite no infinito: trata-se de limx→+∞ f (x), onde f : N → R é uma função definida no conjunto N dos números naturais. Exemplo 8. limx→+∞ 1/x = limx→−∞ 1/x = 0. Por outro lado, não existe limx→+∞ sen x nem limx→−∞ sen x. Vale limx→−∞ ex = 0 mas não existe limx→+∞ ex , no sentido da definição acima. Como fizemos no caso de seqüências, introduziremos “limites infinitos” para englobar situações como esta. Em primeiro lugar, sejam X ⊂ R, a ∈ X ′ , f : X → R. Diremos que limx→a f (x) = +∞ quando, para todo A > 0 dado, existe δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ, x ∈ X ⇒ f (x) > A. 2 Por √ exemplo, limx→a 1/(x − a) = +∞, 2pois dado A > 0, tomamos δ=1/ A. Então 0<|x − a|<δ ⇒ 0 < (x − a) < 1/A ⇒ 1/(x − a)2 > A. De modo semelhante, definiremos limx→a f (x) = −∞. Isto significa que, para todo A > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −A. Por exemplo, limx→a −1/(x − a)2 = −∞. Evidentemente, as definições de limx→a+ f (x)=+∞, limx→a− f (x)= +∞, etc. não apresentam maiores dificuldades e são deixadas a cargo do leitor. Também omitiremos as definições evidentes de limx→+∞ f (x) = +∞, limx→−∞ f (x) = +∞, etc. Por exemplo, 1 1 = +∞, lim = −∞, x→a− x − a x→a+ x − a lim ex = +∞, lim xk = +∞ (k ∈ N). lim

x→+∞

Deve-se observar enfaticamente que +∞ e −∞ não são números

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Limites de Funções

Cap. 6

reais, de modo que as afirmações limx→a f (x) = +∞ e limx→a f (x) = −∞ não exprimem limites no sentido estrito do termo. Observação. Valem para lim(f + g), lim(f · g) e lim(f /g) resultados análogos aos do Capı́tulo 3 (v. Teorema 9) sobre limites de seqüências.

Observação. Admitindo limites infinitos, existem sempre os limites laterais de uma função monótona f : X → R em todos os pontos a ∈ X ′ , ou mesmo quando x → ±∞. Tem-se limx→a+ f (x) = L, L ∈ R se, e somente se, para algum δ > 0, f é limitada no conjunto X ∩ (a, a + δ). Se, ao contrário, f é ilimitada (digamos superiormente) em X ∩(a, a+δ) para todo δ > 0 então limx→a+ f (x) = +∞. Em aditamento aos comentários feitos na seção 4 do Capı́tulo 3, diremos algumas palavras sobre as expressões indeterminadas 0/0, ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 00 , ∞0 e 1∞ . Vejamos, por exemplo, 0/0. Como a divisão por zero não está definida, esta expressão não tem sentido aritmético. Afirmar que 0/0 é indeterminada tem o seguinte significado preciso: Sejam X ⊂ R, f, g : X → R, a ∈ X ′ . Suponhamos que limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0 e que, pondo Y = {x ∈ X; g(x) 6= 0}, ainda se tenha a ∈ Y ′ . Então f (x)/g(x) está definida quando x ∈ Y e faz sentido indagar se existe limx→a f (x)/g(x). Mas nada se pode dizer em geral sobre este limite. Dependendo das funções f , g, ele pode assumir qualquer valor real ou não existir. Por exemplo, dado qualquer c ∈ R, tomando f (x) = cx e g(x) = x, temos limx→0 f (x) = limx→0 g(x) = 0, enquanto limx→0 f (x)/g(x) = c. Por outro lado, se tomarmos f (x) = x · sen(1/x), (x 6= 0) e g(x) = x, teremos limx→0 f (x) = limx→0 g(x) = 0, mas não existe limx→0 f (x)/g(x). Pelo mesmo motivo, ∞ − ∞ é indeterminado. Isto quer dizer: podemos achar funções f, g : X → R, tais que limx→a f (x) = limx→a g(x) = +∞, enquanto limx→a [f (x)−g(x)], dependendo das nossas escolhas para f e g, pode ter um valor arbitrário c ∈ R ou pode não existir. Por exemplo, se f, g : R − {a} → R são dadas por f (x) = c +

1 (x − a)2

e g(x) =

1 , (x − a)2

então limx→a f (x) = limx→a g(x) = +∞ e limx→a [f (x) − g(x)] = c. Analogamente, se f (x) = sen

1 1 + x − a (x − a)2

g(x) =

1 , (x − a)2

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Seção 4

Exercı́cios

não existe limx→a [f (x) − g(x)]. Mais um exemplo: dado qualquer número real c > 0 podemos achar funções f, g : X → R, com a ∈ X ′ e limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0, f (x) > 0 para todo x ∈ X, enquanto limx→a f (x)g(x) = c. Basta, por exemplo, definir f, g : (0, +∞) → R pondo f (x) = x, g(x) = log c/ log x. Neste caso, vale f (x)g(x) = c para todo x 6= 0. (Tome logaritmos de ambos os membros.) Portanto limx→0 f (x)g(x) = c. Ainda neste caso, podemos escolher f e g de modo que o limite de f (x)g(x) não exista. Basta tomar, digamos, f (x) = x e g(x) = log(1 + | sen x1 |) · (log x)−1 . Então f (x)g(x) = 1 + | sen x1 |, portanto não existe limx→0 f (x)g(x) . Estes exemplos devem bastar para que se entenda o significado de “expressão indeterminada”. O instrumento mais eficaz para o cálculo do limite de expressões indeterminadas é a chamada “Regra de L’Hôpital”, que é objeto de infindáveis exercı́cios nos cursos de Cálculo.

Exercı́cios

Seção 1:

Definição e primeiras propriedades

1. Sejam f : X → R, a ∈ X ′ e Y = f (X − {a}). Se limx→a f (x) = L então L ∈ Y .

2. Sejam f : X → R e a ∈ X ′ . A fim de que exista limx→a f (x) é suficiente que, para toda seqüência de pontos xn ∈ X − {a} com lim xn = a, a seqüência (f (xn )) seja convergente.

3. Sejam f : X → R, g : Y → R com f (X) ⊂ Y , a ∈ X ′ e b ∈ Y ′ ∩ Y . Se lim f (x) = b e lim g(y) = c, x→a

y→b

prove que limx→a g(f (x)) = c, contanto que c = g(b) ou então que x 6= a implique f (x) 6= b.

4. Sejam f, g : R → R definidas por f (x) = 0 se x é irracional e f (x) = x se x ∈ Q; g(0) = 1 e g(x) = 0 se x 6= 0. Mostre que limx→0 f (x)=0 e limy→0 g(y)=0, porém não existe limx→0 g(f (x)). 5. Seja f : R → R definida por f (0) = 0 e f (x) = sen(1/x) se x 6= 0. Mostre que para todo c ∈ [−1, 1] existe uma seqüência de pontos xn 6= 0 tais que lim xn = 0 e lim f (xn ) = c.

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Limites de Funções

Seção 2:

Cap. 6

Limites laterais

′ (respectivamente, a ∈ X ′ ) se, e somente se, 1. Prove que a ∈ X+ − a = lim xn é limite de uma seqüência decrescente (respectivamente, crescente) de pontos pertencentes ao conjunto X.

2. Prove que limx→a+ f (x) = L (respectivamente, limx→a− f (x) = L) se, e somente se, para toda seqüência decrescente (respectivamente, crescente) de pontos xn ∈ X com lim xn = a tem-se lim f (xn ) = L. 3. Seja f : R − {0} → R definida por f (x) = 1/(1 + a1/x ), onde a > 1. Prove que limx→0+ f (x) = 0 e limx→0− f (x) = 1. ′ . Se existir uma seqüência 4. Sejam f : X → R monótona e a ∈ X+ de pontos xn ∈ X com xn > a, lim xn = a e lim f (xn ) = L então limx→a+ f (x) = L.

5. Dada f : R − {0} → R, definida por f (x) = sen(1/x)/(1 + 21/x ), determine o conjunto dos números L tais que L = lim f (xn ), com lim xn = 0, xn 6= 0. Seção 3:

Limites no infinito, limites infinitos, etc.

1. Seja p : R → R um polinômio não constante, isto é, para todo x ∈ R, p(x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn , com an 6= 0 e n ≥ 1. Prove que, se n é par então limx→+∞ p(x) = limx→−∞ p(x) = +∞ se an > 0 e = −∞ se an < 0. Se n é ı́mpar então limx→+∞ p(x) = +∞ e limx→−∞ p(x) = −∞ quando an > 0 e os sinais dos limites são trocados quando an < 0. 2. Seja f : R → R, definida por f (x) = x sen x. Prove que, para todo c ∈ R, existe uma seqüência xn ∈ R com limn→∞ xn = +∞ e limn→∞ f (xn ) = c. 3. Seja f : [a, +∞) → R limitada. Para cada t ≥ a indiquemos com Mt o sup e mt o inf de f no intervalo I = [t, +∞). Com ωt = Mt − mt indicaremos a oscilação de f em I. Prove que existem limt→+∞ Mt e limt→+∞ mt . Prove que existe limx→+∞ f (x) se, e somente se, limt→+∞ ωt = 0.

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7 Funções Contı́nuas

A noção de função contı́nua é um dos pontos centrais da Topologia. Ela será estudada neste capı́tulo em seus aspectos mais básicos, como introdução a uma abordagem mais ampla e como instrumento para aplicação nos capı́tulos seguintes.

Definição e primeiras propriedades

Uma função f : X → R, definida no conjunto X ⊂ R, diz-se contı́nua no ponto a ∈ X quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que x ∈ X e |x − a| < δ impliquem |f (x) − f (a)| < ε. Em sı́mbolos, f contı́nua no ponto a significa: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0; x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε. Chama-se descontı́nua no ponto a ∈ X uma função f : X → R que não é contı́nua nesse ponto. Isto quer dizer que existe ε > 0 com a seguinte propriedade: para todo δ > 0 pode-se achar xδ ∈ X tal que |xδ − a| < δ e |f (xδ ) − f (a)| ≥ ε. Em particular, tomando δ sucessivamente igual a 1, 1/2, 1/3, . . . e escrevendo xn em vez de x1/n , vemos que f : X → R é descontı́nua no ponto a ∈ X se, e somente se, existe ε > 0 com a seguinte propriedade: para cada n ∈ N pode-se obter xn ∈ X com |xn − a| < 1/n e |f (xn ) − f (a)| ≥ ε. Evidentemente, |xn − a| < 1/n para todo n ∈ N implica lim xn = a.

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Funções Contı́nuas

Cap. 7

Diz-se que f : X → R é uma função contı́nua quando f é contı́nua em todos os pontos a ∈ X. A continuidade é um fenômeno local, isto é, a função f : X → R é contı́nua no ponto a ∈ X se, e somente se, existe uma vizinhança V de a tal que a restrição de f a V ∩ X é contı́nua no ponto a. Se a é um ponto isolado do conjunto X, isto é, se existe δ > 0 tal que X ∩ (a − δ, a + δ) = {a}, então toda função f : X → R é contı́nua no ponto a. Em particular, se X é um conjunto discreto, como Z por exemplo, então toda função f : X → R é contı́nua. Se a ∈ X∩X ′ , isto é, se a ∈ X é um ponto de acumulação de X, então f : X → R é contı́nua no ponto a se, e somente se, limx→a f (x) = f (a). Ao contrário do caso de um limite, na definição de função contı́nua o ponto a deve pertencer ao conjunto X e pode-se tomar x = a pois, quando isto se dá, a condição |f (x) − f (a)| < ε torna-se 0 < ε, o que é óbvio. Teorema 1. Sejam f, g : X → R contı́nuas no ponto a ∈ X, com f (a) < g(a). Existe δ > 0 tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ).

Demonstração: Tomemos c = [g(a)+f (a)]/2 e ε = g(a)−c = c−f (a). Então ε > 0 e f (a) + ε = g(a) − ε = c. Pela definição de continuidade, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que x ∈ X, |x − a| < δ1 ⇒ f (a) − ε < f (x) < c e x ∈ X, |x − a| < δ2 ⇒ c < g(x) < g(a) + ε. Seja δ o menor dos números δ1 e δ2 . Então x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ f (x) < c < g(x), o que prova o teorema.

Corolário 1. Seja f : X → R contı́nua no ponto a ∈ X. Se f (a) 6= 0, existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ), f (x) tem o mesmo sinal de f (a). Com efeito, para fixar idéias suponhamos f (a) < 0. Então basta tomar g identicamente nula no Teorema 1. Corolário 2. Dadas f, g : X → R contı́nuas, sejam Y = {x ∈ X; f (x) < g(x)} e Z = {x ∈ X, f (x) ≤ g(x)}. Existem A ⊂ R aberto e F ⊂ R fechado tais que Y = X ∩ A e Z = X ∩ F . Em particular, se X é aberto então Y é aberto e se X é fechado então Z é fechado. Com efeito, pelo Teorema 1, para cada y ∈ Y existe um S intervalo aberto Iy , de centro y, tal que {y} ⊂ X ∩Iy ⊂ Y . Daı́ resulta y∈Y {y} ⊂ S S I ⊂ Y . Pondo A = (X ∩ I ) ⊂ Y , ou seja: Y ⊂ X ∩ y y y∈Y y∈Y S I , o Teorema 1, Capı́tulo 5 assegura que A é um conjunto aberto. y y∈Y i

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Seção 1

Definição e primeiras propriedades

Além disso, de Y ⊂ X ∩ A ⊂ Y concluı́mos que Y = X ∩ A. Quanto ao conjunto Z, temos Z = X − {x ∈ X; g(x) < f (x)}. Pelo que acabamos de ver, existe B ⊂ R aberto tal que Z = X − (X ∩ B) = X ∩ (R − B). Pelo Teorema 3 do Capı́tulo 5, F = R−B é fechado, portanto Z = X ∩F como se pretendia mostrar. Teorema 2. A fim de que a função f : X → R seja contı́nua no ponto a é necessário e suficiente que, para toda seqüência de pontos xn ∈ X com lim xn = a, se tenha lim f (xn ) = f (a). A demonstração segue exatamente as mesmas linhas do Teorema 3, Capı́tulo 6, por isso é omitida. Corolário 1. Se f, g : X → R são contı́nuas no ponto a ∈ X então são contı́nuas nesse mesmo ponto as funções f + g, f · g : X → R, bem como a função f /g, caso seja g(a) 6= 0. O domı́nio da função f /g, bem entendido, é o subconjunto de X formado pelos pontos x tais que g(x) 6= 0. Existe δ > 0 tal que X ∩ (a − δ, a + δ) está contido nesse domı́nio.

Exemplo 1. Todo polinômio p : R → R é uma função contı́nua. Toda função racional p(x)/q(x) (quociente de dois polinômios) é contı́nua no seu domı́nio, o qual é o conjunto dos pontos x tais que q(x) 6= 0. A função f : R → R, definida por f (x) = sen(1/x) se x 6= 0 e f (0) = 0, é descontı́nua no ponto 0 e é contı́nua nos demais pontos da reta. A função g : R → R, dada por g(x) = x · sen(1/x) se x 6= 0 e g(0) = 0, é contı́nua em toda a reta. A função ϕ : R → R, definida por ϕ(x) = 0 para x racional e ϕ(x) = 1 para x irracional, é descontı́nua em todos os pontos da reta porém suas restrições a Q e a R − Q são contı́nuas porque são constantes. Se definirmos ψ : R → R pondo ψ(x) = x · ϕ(x) veremos que ψ é contı́nua apenas no ponto x = 0. Teorema 3. Sejam f : X → R contı́nua no ponto a ∈ X, g : Y → R contı́nua no ponto b = f (a) ∈ Y e f (X) ⊂ Y , de modo que a composta g ◦ f : X → R está bem definida. Então g ◦ f é contı́nua no ponto a. (A composta de duas funções contı́nuas é contı́nua.) Demonstração: Dado ε > 0 existe, pela continuidade de g no ponto b, um número η > 0 tal que y ∈ Y , |y − b| < η implicam |g(y) − g(b)| < ε. Por sua vez, a continuidade de f no ponto a assegura que existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ implicam |f (x) − b| < η. Conseqüentemente, x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ) ⇒ |g(f (x)) − g(b)| = |(g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a)| < ε, o que prova o teorema.

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Funções Contı́nuas

Cap. 7

Funções contı́nuas num intervalo

Teorema 4. (Teorema do valor intermediário.) Seja f : [a, b] → R contı́nua. Se f (a) < d < f (b) então existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d.

Demonstração: Consideremos os conjuntos A = {x ∈ [a, b]; f (x) ≤ d} e B = {x ∈ [a, b]; f (x) ≥ d}. Pelo Corolário 2 do Teorema 1, A e B são fechados, logo A ∩ B = A ∩ B = A ∩ B. Além disso, é claro que [a, b] = A ∪ B. Se for A ∩ B 6= ∅ então o teorema está demonstrado porque se tem f (c) = d para qualquer c ∈ A ∩ B. Se, entretanto, fosse A ∩ B = ∅ então [a, b] = A ∪ B seria uma cisão não trivial (porque a ∈ A e b ∈ B), o que é vedado pelo Teorema 5 do Capı́tulo 5. Logo, deve ser A ∩ B 6= ∅ e o teorema está provado. Corolário. Se I ⊂ R é um intervalo e f : I → R é contı́nua então f (I) é um intervalo. Isto é óbvio se f é constante. Caso contrário, sejam α = inf f (I) = inf{f (x); x ∈ I} e β = sup f (I) = sup{f (x); x ∈ I}. Se f (I) for ilimitado, tomaremos α = −∞ e/ou β = +∞. Para provar que f (I) é um intervalo (aberto, fechado ou semi-aberto) cujos extremos são α e β, tomemos d tal que α < d < β. Pelas definições de inf e sup, existem a, b ∈ I tais que α ≤ f (a) < d < f (b) ≤ β. Pelo Teorema 4 existe c ∈ [a, b], logo c ∈ I, tal que f (c) = d. Assim d ∈ f (I). Isto prova que (α, β) ⊂ f (I). Como α é o inf e β é o sup de f (I), nenhum número real menor do que α ou maior do que β pode estar em f (I). Portanto f (I) é um intervalo cujos extremos são α e β. Observação. Se I = [a, b] é um intervalo compacto então f (I) é também um intervalo compacto, pelo Teorema 7, a seguir. Mas se I não é fechado ou é ilimitado, f (I) pode não ser do mesmo tipo que I. Por exemplo, seja f : R → R dada por f (x) = sen x. Tomando sucessivamente os intervalos abertos I1 = (0, 7), I2 = (0, π/2) e I3 = (0, π) temos f (I1 ) = [−1, 1], f (I2 ) = (0, 1) e f (I3 ) = (0, 1]. Exemplo 2. Como aplicação, mostraremos que todo polinômio p : R → R, de grau ı́mpar, possui alguma raiz real. Seja p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn com n ı́mpar e an 6= 0. Para fixar as idéias, suporemos an > 0. Pondo an xn em evidência podemos escrever p(x) = an xn · r(x), onde r(x) =

a0 1 a1 1 an−1 1 · n+ · n−1 + · · · + · + 1. an x an x an x

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Seção 2

Funções contı́nuas num intervalo

É claro que limx→+∞ r(x) = limx→−∞ r(x) = 1. Logo limx→+∞ p(x) = limx→+∞ an xn = +∞ e limx→−∞ p(x) = limx→−∞ an xn = −∞ (porque n é ı́mpar). Portanto o intervalo p(R) é ilimitado inferior e superiormente, isto é p(R) = R. Isto significa que p : R → R é sobrejetiva. Em particular, deve existir c ∈ R tal que p(c) = 0. Evidentemente, um polinômio de grau par, como p(x) = x2 + 1, por exemplo, pode não ter raiz real. √ Exemplo 3. (Existência de n a.) Fixado n ∈ N, a função f : [0, +∞) → [0, +∞), definida por f (x) = xn , é crescente (portanto injetiva), com f (0) = 0 e limx→+∞ f (x) = +∞. Sua imagem é, portanto, um subintervalo ilimitado de [0, +∞), contendo seu extremo inferior, igual a zero. Logo f ([0, +∞)) = [0, +∞), isto é, f é uma bijeção de [0, +∞) sobre si mesmo. Isto significa que, para todo número real a ≥ 0, existe um único √ número real b ≥ 0 tal que a = bn , ou seja, b = n a. No caso particular de n ı́mpar, a função x 7→ xn é uma bijeção de R sobre R, de modo que, neste caso, todo número real a possui uma raiz n-ésima, que é positiva quando a > 0 e negativa se a < 0. Exemplo 4. O Teorema 4 é do tipo dos chamados “teoremas de existência”. Sob certas condições, ele assergura a existência de uma raiz para a equação f (x) = d. Uma de suas mais simples aplicações é a seguinte. Seja f : [a, b] → R uma função contı́nua tal que f (a) ≤ a e b ≤ f (b). Nestas condições, existe pelo menos um número c ∈ [a, b] tal que f (c) = c. Com efeito, a função ϕ : [a, b] → R, definida por ϕ(x) = x − f (x), é contı́nua, com ϕ(a) ≥ 0 e ϕ(b) ≤ 0. Pelo Teorema 4, deve existir c ∈ [a, b] tal que ϕ(c) = 0, isto é, f (c) = c. Um ponto x ∈ X tal que f (x) = x chama-se um ponto fixo da função f : X → R. O resultado que acabamos de provar é a versão unidimensional do conhecido “Teorema do ponto fixo de Brouwer”. Outra aplicação do Teorema 4 se refere à continuidade da função inversa. Sejam X, Y ⊂ R e f : X → Y uma bijeção. Supondo f contı́nua, pode-se concluir que sua inversa f −1 : Y → X também seja contı́nua? A resposta é, em geral, negativa, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo 5. Sejam X = [−1, 0] ∪ (1, 2] e Y = [0, 4]. A função f : X → Y , definida por f (x) = x2 , é uma bijeção de X sobre Y , a qual é obviamente contı́nua (ver Fig. 3). Sua inversa g : Y → X é dada por √ √ g(y) = − y se 0 ≤ y ≤ 1 e g(y) = y se 1 < y ≤ 4. Logo g é descontı́nua no ponto y = 1. (Pois limy→1− g(y) = −1 e limy→1+ g(y) = 1.)

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Funções Contı́nuas

Cap. 7

Figura 3

Mostraremos agora que se uma bijeção f : I → J, entre intervalos, é contı́nua, então sua inversa f −1 : J → I também é contı́nua. Na seção 3, abaixo, veremos que a inversa de uma bijeção contı́nua também é contı́nua se o domı́nio é compacto. (No Exemplo 5, o domı́nio de f não é um intervalo nem é um conjunto compacto.) Teorema 5. Seja I ⊂ R um intervalo. Toda função contı́nua injetiva f : I → R é monótona e sua inversa g : J → I, definida no intervalo J = f (I), é contı́nua. Demonstração: Suponhamos, inicialmente, que I = [a, b] seja um intervalo limitado e fechado. Para fixar as idéias, seja f (a) < f (b). Mostraremos então que f é crescente. Do contrário existiriam pontos x < y em [a, b] com f (x) > f (y). Há duas possibilidades: f (a) < f (y) ou f (a) > f (y). No primeiro caso, temos f (a) < f (y) < f (x) logo, pelo Teorema 4, existe c ∈ (a, x) com f (c) = f (y) assim contradizendo a injetividade de f . No segundo caso, vem f (y) < f (a) < f (b) portanto existirá c ∈ (y, b) com f (c) = f (a), outra contradição. Logo f é mesmo crescente. Agora seja f : I → R contı́nua e injetiva no intervalo arbitrário I. Se f não fosse monótona, existiriam pontos u < v e x < y em I tais que f (u) < f (v) e f (x) > f (y). Sejam a o menor e b o maior dos números u, v, x, y. Então f , restrita ao intervalo [a, b], seria contı́nua, injetiva porém não monótona, contradizendo o que acabamos de provar. Finalmente, consideremos a inversa g : J → I da bijeção contı́nua crescente f : I → J. Evidentemente, g é crescente. Sejam a ∈ I um ponto arbitrário e b = f (a). Para provar que g é contı́nua no ponto b,

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Seção 3

Funções contı́nuas em conjuntos compactos

começamos supondo a interior a I. Então, dado ε > 0, podemos admitir que (a − ε, a + ε) ⊂ I. Assim, f (a − ε) = b − α e f (a + ε) = b + β, onde α > 0 e β > 0. Seja δ = min{α, β}. Como g é crescente, y ∈ J, b − δ < y < b + δ ⇒ b − α < y < b + β ⇒ g(b − α) < g(y) < g(b + β) ⇒ a − ε < g(y) < a + ε. Logo g é contı́nua no ponto b. Se, entretanto, a é uma extremidade de I, digamos a inferior, então b = f (a) é a extremidade inferior de J. Dado arbitrariamente ε > 0 podemos supor a + ε ∈ I e teremos f (a + ε) = b + δ, δ > 0. Então y ∈ J, b − δ < y < b + δ ⇒ b ≤ y < b + δ

⇒ a ≤ g(y) < g(b + δ)

⇒ a ≤ g(y) < a + ε

⇒ a − ε < g(y) < a + ε logo g é, ainda neste caso, contı́nua no ponto b. Corolário. Para todo n ∈ N, a função g : [0, +∞) → [0, +∞), definida √ por g(x) = n x, é contı́nua. Com efeito, g é a inversa da bijeção contı́nua f : [0, +∞) → [0, +∞), definida por f (x) = xn . No caso particular de n ı́mpar, f : R → R dada por f (x) = xn é uma bijeção contı́nua e sua inversa g : R → R, ainda indicada com a notação √ g(x) = n x, é contı́nua em toda a reta. Sejam X ⊂ R e Y ⊂ R. Um homeomorfismo entre X e Y é uma biejção contı́nua f : X → Y cuja inversa f −1 : Y → X é também contı́nua. O Teorema 5 diz, portanto, que se I é um intervalo então toda função contı́nua e injetiva f : I → R é um homeomorfismo entre I e o intervalo J = f (I).

Funções contı́nuas em conjuntos compactos

Muitos problemas em Matemática e nas suas aplicações consistem em procurar pontos de um conjunto X nos quais uma certa função real f : X → R assume seu valor máximo ou seu valor mı́nimo. Antes de tentar resolver um desses problemas, é necessário saber se realmente tais pontos existem. Para começar, a função f pode ser ilimitada superiormente (e então não possui valor máximo) ou inferiormente (e não terá valor mı́nimo). Entretanto, mesmo limitada, f pode não assumir valor máximo em X, ou mı́nimo, ou nenhum dos dois.

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Funções Contı́nuas

Cap. 7

Exemplo 6. Sejam X = (0, 1) e f : X → R dada por f (x) = x. Então f (X) = (0, 1) logo, para todo x ∈ X existem x′ , x′′ ∈ X com f (x′ ) < f (x) < f (x′′ ). Isto significa que, para nenhum x ∈ X, o valor f (x) é o maior nem o menor que f assume em X. Noutro exemplo, podemos tomar g : R → R, g(x) = 1/(1 + x2 ). Temos 0 < g(x) ≤ 1 para todo x ∈ R. Como g(0) = 1, vemos que g(0) é o valor máximo de g(x) para todo x ∈ R. Mas não existe x ∈ R tal que g(x) seja o menor valor de g. Com efeito, se x > 0 basta tomar x′ > x para ter g(x′ ) < g(x). E se x < 0, toma-se x′ < x e se tem novamente g(x′ ) < g(x).

Figura 4: Gráfico da função g(x) =

1 . 1 + x2

O teorema seguinte assegura a existência de valores máximos e mı́nimos de uma função contı́nua quando seu domı́nio é compacto. Teorema 6. (Weierstrass.) Seja f : X → R contı́nua no conjunto compacto X ⊂ R. Existem x0 , x1 ∈ X tais que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ X. Estabeleceremos o Teorema de Weierstrass como conseqüência do

Teorema 7. A imagem f (X) de um conjunto compacto X ⊂ R por uma função contı́nua f : X → R é um conjunto compacto.

Demonstração: De acordo com o Teorema 8 do Capı́tulo 5, devemos provar que toda seqüência de pontos yn ∈ f (X) possui uma subseqüência que converge para algum ponto em f (X). Ora, para cada n ∈ N temos yn = f (xn ), com xn ∈ X. Como X é compacto, a seqüência (xn ) possui uma subseqüência (xn )n∈N′ que converge para um ponto a ∈ X. Sendo f contı́nua no ponto a, de limn∈N′ xn = a concluı́mos que, pondo b = f (a), temos b ∈ f (X) e, além disso, limn∈N′ yn = limn∈N′ f (xn ) = f (a) = b, como querı́amos demonstrar.

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Seção 4

Continuidade uniforme

Demonstração: (do Teorema 6.) Como foi visto na seção 4 do Capı́tulo 5, o conjunto compacto f (X) possui um menor elemento f (x0 ) e um maior elemento f (x1 ). Isto quer dizer que existem x0 , x1 ∈ X tais que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ X. Corolário. Se X ⊂ R é compacto então toda função contı́nua f : X → R é limitada, isto é, existe c > 0 tal que |f (x)| ≤ c para todo x ∈ X. Exemplo 7. A função f : (0, 1] → R, definida por f (x) = 1/x, é contı́nua porém não é limitada. Isto se dá porque seu domı́nio (0, 1] não é compacto. Teorema 8. Se X ⊂ R é compacto então toda bijeção contı́nua f : X → Y ⊂ R tem inversa contı́nua g : Y → X.

Demonstração: Tomemos um ponto arbitrário b = f (a) em Y e mostremos que g é contı́nua no ponto b. Se não fosse assim, existiriam um número ε > 0 e uma seqüência de pontos yn = f (xn ) ∈ Y com lim yn = b e |g(yn ) − g(b)| ≥ ε, isto é, |xn − a| ≥ ε para todo n ∈ N. Passando a uma subseqüência, se necessário, podemos supor que lim xn = a′ ∈ X, pois X é compacto. Tem-se |a′ − a| ≥ ε. Em particular, a′ 6= a. Mas, pela continuidade de f , lim yn = lim f (xn ) = f (a′ ). Como já temos lim yn = b = f (a), daı́ resultaria f (a) = f (a′ ), contradizendo a injetividade de f .

Exemplo 8. O conjunto Y = {0, 1, 1/2, . . . , 1/n, . . . } é compacto e a bijeção f : N → Y , definida por f (1) = 0, f (n) = 1/(n − 1) se n > 1, é contı́nua mas sua inversa f −1 : Y → N é descontı́nua no ponto 0. Logo, no Teorema 8, a compacidade de X não pode ser substituı́da pela de Y .

Continuidade uniforme

Seja f : X → R contı́nua. Dado ε > 0, para cada x ∈ X pode-se achar δ > 0 tal que y ∈ X, |y − x| < δ implicam |f (y) − f (x)| < ε. O número positivo δ depende não apenas do ε > 0 dado mas também do ponto x no qual a continuidade de f é examinada. Nem sempre, dado ε > 0, pode-se encontrar um δ > 0 que sirva em todos os pontos x ∈ X (mesmo sendo f contı́nua em todos esses pontos). Exemplo 9. Seja f : R−{0} → R definida por f (x) = x/|x|, logo f (x) = 1 se x > 0 e f (x) = −1 para x < 0. Esta função é contı́nua em R − {0} pois é constante numa vizinhança de cada ponto x 6= 0. Entretanto,

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Funções Contı́nuas

Cap. 7

se tomarmos ε < 2, para todo δ > 0 que escolhermos, existirão sempre pontos x, y ∈ R − {0} tais que |y − x| < δ e |f (y) − f (x)| ≥ ε. Basta tomar x = δ/3 e y = −δ/3. Exemplo 10. A função f : R+ → R, definida por f (x) = 1/x, é contı́nua. Mas, dado ε, com 0 < ε < 1, seja qual for δ > 0 escolhido, tomamos um número natural n > 1/δ e pomos x = 1/n, y = 1/2n. Então 0 < y < x < δ, donde |y − x| < δ porém |f (y) − f (x)| = 2n − n = n ≥ 1 > ε. Uma função f : X → R diz-se uniformemente contı́nua no conjunto X quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que x, y ∈ X, |y − x| < δ implicam |f (y) − f (x)| < ε. Uma função uniformemente contı́nua f : X → R é contı́nua em todos os pontos do conjunto X. A recı́proca é falsa, como se vê nos Exemplos 9 e 10 acima. A continuidade de uma função f : X → R no ponto a ∈ X significa que se pode tornar f (x) tão próximo de f (a) quanto se deseje, contanto que se tome x suficientemente próximo de a. Note-se a assimetria: o ponto a está fixo e x se aproxima dele, a fim de que f (x) se aproxime de f (a). Na continuidade uniforme, pode-se fazer com que f (x) e f (y) se tornem tão próximos um do outro quanto se queira, bastando que x, y ∈ X estejam também próximos. Aqui, x e y são variáveis e desempenham papéis simétricos na definição. Outra distinção entre a mera continuidade e a continuidade uniforme é a seguinte: se cada ponto x ∈ X possui uma vizinhança V tal que a restrição de f a X ∩ V é contı́nua, então a função f : X → R é contı́nua. Mas, como mostram o Exemplo 9 e o Exemplo 10 acima, se cada ponto x ∈ X possui uma vizinhança V tal que f é uniformemente contı́nua em X ∩ V , daı́ não se conclui necessariamente que f : X → R seja uniformemente contı́nua no conjunto X. Isto se exprime dizendo que a continuidade é uma noção local enquanto a continuidade uniforme é um conceito global. Exemplo 11. Uma função f : X → R chama-se lipschitziana quando existe uma constante k > 0 (chamada constante de Lipschitz da função f ) tal que |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y| sejam quais forem x, y ∈ X. A fim de que f : X → R seja lipschitziana é necessário e suficiente que o quociente [f (y) − f (x)]/(y − x) seja limitado, isto é, que exista uma constante k > 0 tal que x, y ∈ X, x 6= y ⇒ |f (y) − f (x)|/|y − x| ≤ k. Toda

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Seção 4

Continuidade uniforme

função lipschitziana f : X → R é uniformente contı́nua: dado ε > 0, tome-se δ = ε/k. Então x, y ∈ X, |x − y| < δ ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ k|x − y| < k · ε/k = ε. Se f : R → R é um polinômio de grau 1, isto é, f (x) = ax + b, com a 6= 0, então f é lipschitziana com constante k = |a| pois |f (y) − f (x)| = |ay + b − (ax + b)| = |a| · |y − x|. A função f do Exemplo 10 evidentemente não é lipschitziana pois não é uniformemente contı́nua. Entretanto, para todo a > 0, a restrição de f ao intervalo [a, +∞) é lipschitziana (e, portanto, uniformemente contı́nua), com constante k = 1/a2 . Com efeito, se x ≥ a e y ≥ a então |f (y) − f (x)| = |y − x|/|yx| ≤ |y − x|/a2 = k|y − x|. Teorema 9. A fim de que f : X → R seja uniformemente contı́nua é necessário e suficiente que, para todo par de seqüências (xn ), (yn ) em X com lim(yn − xn ) = 0, tenha-se lim[f (yn ) − f (xn )] = 0.

Demonstração: Se f é uniformemente contı́nua e lim(yn − xn ) = 0 então, dado arbitrariamente ε > 0, existe δ > 0 tal que x, y ∈ X, |y−x| < δ implicam |f (y) − f (x)| < ε. Existe também n0 ∈ N tal que n > n0 implica |yn − xn | < δ. Logo n > n0 implica |f (yn ) − f (xn )| < ε e daı́ lim[f (yn ) − f (xn )] = 0. Reciprocamente, suponhamos válida a condição estipulada no enunciado do teorema. Se f não fosse uniformemente contı́nua, existiria um ε > 0 com a seguinte propriedade: para todo n ∈ N poderı́amos achar pontos xn , yn em X tais que |yn − xn | < 1/n e |f (yn ) − f (xn )| ≥ ε. Então terı́amos lim(yn − xn ) = 0 sem que fosse lim[f (yn )−f (xn )] = 0. Esta contradição conclui a prova do teorema. Exemplo 12. A função f : R → R, dada por f (x) = x2 , não é uniformemente contı́nua. Com efeito, tomando xn = n e yn = n + 1/n temos lim(yn − xn ) = lim(1/n) = 0 mas f (yn ) − f (xn ) = n2 + 2 + 1/n2 − n2 = 2 + 1/n2 > 2, logo não se tem lim[f (yn ) − f (xn )] = 0. Teorema 10. Seja X ⊂ R compacto. Toda função contı́nua f : X → R é uniformemente contı́nua. Demonstração: Se f não fosse uniformemente contı́nua, existiriam ε > 0 e duas seqüências (xn ), (yn ) em X satisfazendo lim(yn − xn ) = 0 e |f (yn ) − f (xn )| ≥ ε para todo n ∈ N. Passando a uma subseqüência, se necessário, podemos supor, em virtude da compacidade de X, que lim xn = a ∈ X. Então, como yn = (yn − xn ) + xn , vale também lim yn = a. Sendo f contı́nua no ponto a, temos lim[f (yn ) − f (xn )] = lim f (yn ) − lim f (xn ) = f (a) − f (a) = 0, contradizendo que seja |f (yn ) − f (xn )| ≥ ε para todo n ∈ N.

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Funções Contı́nuas

Cap. 7

√ Exemplo 13. A função f : [0, +∞) → R dada por f (x) = x, não é lipschitziana. Com efeito, multiplicando o numerador e o denominador √ √ √ √ √ √ por y + x, vemos que ( y − x)/(y − x) = 1/( y + x). To√ √ mando x 6= y suficientemente pequenos, podemos tornar y + x tão √ √ pequeno quanto se deseje, logo o quociente ( y− x)/(y−x) é ilimitado. Entretanto, f é lipschitziana (portanto uniformemente contı́nua) no in√ √ √ √ tervalo [1, +∞), pois x, y ∈ [1, +∞) ⇒ x + y ≥ 2 ⇒ | y − x| = √ √ |y − x|/( y + x) ≤ 21 |y − x|. Também no intervalo [0, 1], embora não seja lipschitziana, f é uniformemente contı́nua porque [0, 1] é compacto. Daı́ resulta que f : [0, +∞) → R é uniformemente contı́nua. Com efeito, dado ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que x, y ∈ [0, 1], |y − x| < δ1 ⇒ |f (y) − f (x)| < ε/2 e x, y ∈ [1, +∞), |y − x| < δ2 ⇒ |f (y) − f (x)| < ε/2. Seja δ = min{δ1 , δ2 }. Dados x, y ∈ [0, +∞) com |y − x| < δ, se x, y ∈ [0, 1] ou x, y ∈ [1, +∞) temos obviamente |f (y) − f (x)| < ε. Se, digamos, x ∈ [0, 1] e y ∈ [1, +∞) então |y − 1| < δ e |1 − x| < δ logo |f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − f (1)| + |f (1) − f (x)| < ε/2 + ε/2 = ε. Teorema 11. Toda função f : X → R, uniformemente contı́nua num conjunto limitado X, é uma função limitada. Demonstração: Se f não fosse limitada (digamos superiormente) então existiria uma seqüência de pontos xn ∈ X tais que f (xn+1 ) > f (xn ) + 1 para todo n ∈ N. Como X é limitado, podemos (passando a uma subseqüência, se necessário) supor que a seqüência (xn ) é convergente. Então, pondo yn = xn+1 , terı́amos lim(yn − xn ) = 0 mas, como f (yn ) − f (xn ) > 1, não vale lim[f (yn ) − f (xn )] = 0, logo f não é uniformemente contı́nua. O Teorema 11 dá outra maneira de ver que f (x) = 1/x não é uniformemente contı́nua no intervalo (0, 1], pois f ((0, 1]) = [1, +∞). Teorema 12. Se f : X → R é uniformemente contı́nua então, para cada a ∈ X ′ (mesmo que a não pertença a X), existe limx→a f (x).

Demonstração: Fixemos uma seqüência de pontos an ∈ X − {a} com lim an = a. Segue-se do Teorema 11 que a seqüência (f (an )) é limitada. Passando a uma subseqüência, se necessário, podemos supor que lim f (an ) = b. Afirmamos agora que se tem lim f (xn ) = b seja qual for a seqı̈ência de pontos xn ∈ X − {a} com lim xn = a. Com efeito, temos lim(xn − an ) = 0. Como f é uniformemente contı́nua, seguese que lim[f (xn ) − f (an )]=0, logo lim f (xn )= lim f (an ) + lim[f (xn ) − f (an )]=b.

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Seção 5

Exercı́cios

Exemplo 14. O Teorema 12 implica que 1/x em R+ , bem como x/|x| e sen(1/x) em R − {0}, não são uniformemente contı́nuas.

Exercı́cios

Seção 1:

Definição e primeiras propriedades

1. Sejam f, g : X → R contı́nuas no ponto a ∈ X. Prove que são contı́nuas no ponto a as funções ϕ, ψ : X → R, definidas por ϕ(x) = max{f (x), g(x)} e ψ(x) = min{f (x), g(x)} para todo x ∈ X. 2. Sejam f, g : X → R contı́nuas. Prove que se X é aberto então o conjunto A = {x ∈ X; f (x) 6= g(x)} é aberto e se X é fechado então o conjunto F = {x ∈ X; f (x) = g(x)} é fechado. 3. Uma função f : X → R diz-se semi-contı́nua superiormente (scs) no ponto a ∈ X quando, para cada c > f (a) dado, existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ implicam f (x) < c. Defina função semicontı́nua inferiormente (sci) no ponto a. Prove que f é contı́nua no ponto a se, e somente se, é scs e sci nesse ponto. Prove que se f é scs, g é sci no ponto a e f (a) < g(a) então existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ f (x) < g(x). 4. Seja f : R → R contı́nua. Prove que se f (x) = 0 para todo x ∈ X então f (x) = 0 para todo x ∈ X. 5. Prove que f : R → R é contı́nua se, e somente se, para todo X ⊂ R, tem-se f (X) ⊂ f (X). 6. Sejam f, g : X → R contı́nuas no ponto a. Suponha que, em cada vizinhança V de a, existam pontos x, y tais que f (x) < g(x) e f (y) > g(y). Prove que f (a) = g(a). 7. Seja f : X → R descontı́nua no ponto a ∈ X. Prove que existe ε > 0 com a seguinte propriedade: ou se pode achar uma seqüência de pontos xn ∈ X com lim xn = a e f (xn ) > f (a) + ε para todo n ∈ N ou acha-se (yn ) com yn ∈ X, lim yn = a e f (yn ) < f (a) − ε para todo n ∈ N.

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Funções Contı́nuas

Seção 2:

Cap. 7

Funções contı́nuas num intervalo

1. Uma função f : X → R diz-se localmente constante quando todo ponto de X possui uma vizinhança V tal que f é constante em V ∩ X. Prove que toda função f : I → R, localmente constante num intervalo I, é constante. 2. Seja f : I → R uma função monótona, definida no intervalo I. Se a imagem f (I) é um intervalo, prove que f é contı́nua. 3. Diz-se que uma função f : I → R, definida no intervalo I, tem a propriedade do valor intermediário quando a imagem f (J) de todo intervalo J ⊂ I é um intervalo. Mostre que a função f : R → R, dada por f (x) = sen(1/x) se x 6= 0 e f (0) = 0, tem a propriedade do valor intermediário, embora seja descontı́nua. 4. Seja f : I → R uma função com a propriedade do valor intermediário. Se, para cada c ∈ R, existe apenas um número finito de pontos x ∈ I tais que f (x) = c, prove que f é contı́nua.

5. Seja f : [0, 1] → R contı́nua, tal que f (0) = f (1). Prove que existe x ∈ [0, 1/2] tal que f (x) = f (x + 1/2). Prove o mesmo resultado com 1/3 em vez de 1/2. Generalize. Seção 3:

Funções contı́nuas em conjuntos compactos

1. Seja f : R → R contı́nua, tal que limx→+∞ f (x) = limx→−∞ f (x) = +∞. Prove que existe x0 ∈ R tal que f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ R.

2. Seja f : R→R contı́nua, com lim f (x)= + ∞ e lim f (x)= − ∞. x→+∞

x→−∞

Prove que, para todo c ∈ R dado, existe entre as raı́zes x da equação f (x) = c uma cujo módulo |x| é mı́nimo.

3. Prove que não existe uma função contı́nua f : [a, b] → R que assuma cada um dos seus valores f (x), x ∈ [a, b], exatamente duas vezes.

4. Uma função f : R → R diz-se periódica quando existe p ∈ R+ tal que f (x + p) = f (x) para todo x ∈ R. Prove que toda função contı́nua periódica f : R → R é limitada e atinge seus valores máximo e mı́nimo, isto é, existem x0 , x1 ∈ R tais que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ R.

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Seção 5

Exercı́cios

5. Seja f : X → R contı́nua no conjunto compacto X. Prove que, para todo ε > 0 dado, existe kε > 0 tal que x, y ∈ X, |y − x| ≥ ε ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ kε |y − x|. (Isto significa que f cumpre a condição de Lipschitz contanto que os pontos x, y não estejam muito próximos.) Seção 4:

Continuidade uniforme

1. Se toda função contı́nua f : X → R é uniformemente contı́nua, prove que o conjunto X é fechado porém não necessariamente compacto. 2. Mostre que a função contı́nua f : R → R, dada por f (x) = sen(x2 ), não é uniformemente contı́nua. 3. Dada f : X → R uniformemente contı́nua, defina ϕ : X → R pondo ϕ(x) = f (x) se x ∈ X é um ponto isolado e ϕ(x) = limy→x f (y) se x ∈ X ′ . Prove que ϕ é uniformemente contı́nua e ϕ(x) = f (x) para todo x ∈ X. 4. Seja f : R → R contı́nua. Se existem

lim f (x) e

x→+∞

lim f (x),

x→−∞

prove que f é uniformemente contı́nua. Mesma conclusão vale se existem os limites de f (x) − x quando x → ±∞.

5. Sejam f, g : X → R uniformemente contı́nuas. Prove que f + g é uniformemente contı́nua. O mesmo ocorre com o produto f · g, desde que f e g sejam limitadas. Prove que ϕ, ψ : X → R, dadas por ϕ(x) = max{f (x), g(x)} e ψ(x) = min{f (x), g(x)} x ∈ X são uniformemente contı́nuas.

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8 Derivadas

Sejam f : X → R e a ∈ X. O quociente q(x) = [f (x) − f (a)]/(x − a) tem sentido para x 6= a, logo define uma função q : X − {a} → R, cujo valor q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os pontos (a, f (a)) e (x, f (x)) no gráfico de f ) em relação ao eixo x. Se imaginarmos x como o tempo e f (x) como a abcissa, no instante x, de um ponto móvel que se desloca sobre o eixo x, então q(x) é a velocidade média desse ponto no intervalo de tempo decorrido entre os intantes a e x. De um modo geral, o quociente q(x) é a relação entre a variação de f (x) e a variação de x a partir do ponto x = a. No caso em que a ∈ X ′ ∩ X então é natural considerar limx→a q(x). As interpretações deste limite, nos contextos acima, são respectivamente a inclinação da tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a)), a velocidade instantânea do móvel no instante x = a ou, em geral, a “taxa de variação” da função f no ponto a. Esse limite é uma das noções mais importantes da Matemática e suas aplicações. Ele será o objeto de estudo neste capı́tulo.

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Seção 1

A noção de derivada

Sejam f : X → R e a ∈ X ∩ X ′ . A derivada da função f no ponto a é o limite f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = lim · f ′ (a) = lim x→a h→0 x−a h Bem entendido, o limite acima pode existir ou não. Se existir, diz-se que f é derivável no ponto a. Quando existe a derivada f ′ (x) em todos os pontos x ∈ X ∩ X ′ diz-se que a função f : X → R é derivável no conjunto X e obtém-se uma nova função f ′ : X ∩ X ′ → R, x 7→ f ′ (x), chamada a função derivada de f . Se f ′ é contı́nua, diz-se que f é de classe C 1 . Outras notações para a derivada de f no ponto a são Df (a),

df (a) e dx

df · dx x=a

Teorema 1. A fim de que f : X → R seja derivável no ponto a ∈ X ∩X ′ é necessário e suficiente que exista c ∈ R tal que a+h ∈ X ⇒ f (a+h) = f (a) + c · h + r(h), onde limh→0 r(h)/h = 0. No caso afirmativo, tem-se c = f ′ (a). Demonstração: Seja Y = {h ∈ R; a + h ∈ X}. Então 0 ∈ Y ∩ Y ′ . Supondo que f ′ (a) exista, definimos r : Y → R pondo r(h) = f (a + h) − f (a) − f ′ (a) · h. Então f (a + h) − f (a) r(h) = − f ′ (a), h h logo limh→0 r(h)/h = 0. A condição é, portanto, necessária. Reciprocamente, se vale a condição, então r(h)/h = [f (a + h) − f (a)]/h − c, logo limh→0 (f (a + h) − f (a))/h − c = limh→0 r(h)/h = 0, portanto f ′ (a) existe e é igual a c. Corolário. Uma função é contı́nua nos pontos em que é derivável. Com efeito, se f é derivável no ponto a então f (a+h) = f (a)+f ′ (a)· h + [r(h)/h]h com limh→0 [r(h)/h] = 0, logo limh→0 f (a + h) = f (a), ou seja, f é contı́nua no ponto a. Observação. Para toda função f , definida nos pontos a e a + h, e todo número real c, pode-se sempre escrever a igualdade f (a + h) = f (a) + c · h + r(h), a qual meramente define o número r(h). O que o Teorema 1

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Derivadas

Cap. 8

afirma é que existe no máximo um c ∈ R tal que limh→0 r(h)/h = 0. Este número c, quando existe, é igual a f ′ (a). O Teorema 1 diz também que, quando f ′ (a) existe, o acréscimo f (a + h) − f (a) é a soma de uma “parte linear” c · h, proporcional ao acréscimo h da variável independente, mais um “resto” r(h), o qual é infinitamente pequeno em relação a h, no sentido de que o quociente r(h)/h tende a zero com h. Quando a ∈ X é um ponto de acumulação à direita, isto é, a ∈ ′ , pode-se tomar o limite f ′ (a) = lim X ∩ X+ x→a+ q(x). Quando existe, + este limite chama-se a derivada à direita de f no ponto a. Analogamente, ′ , tem sentido considerar o limite à esquerda f ′ (a) = se a ∈ X ∩ X− − limx→a− q(x). Se existe, ele se chama a derivada à esquerda de f no ponto a. ′ ∩ X ′ , isto é, caso a ∈ X seja ponto de Caso seja a ∈ X ∩ X+ − acumulação bilateral, a função f é derivável no ponto a se, e somente se, existem e são iguais as derivadas à direita e à esquerda, com f ′ (a) = f+′ (a) = f−′ (a). O Teorema 1 (com limh→0+ r(h)/h e limh→0− r(h)/h) vale para derivadas laterais. E seu corolário também. Por exemplo, se existe a derivada à direita f+′ (a) então f é contı́nua à direita no ponto a, isto é, f (a) = limh→0+ f (a + h). ′ ∩ X ′ e existem ambas as derivadas Em particular, se a ∈ X ∩ X+ − ′ ′ laterais f+ (a) e f− (a) então f é contı́nua no ponto a. (Mesmo que essas derivadas laterais sejam diferentes.) Exemplo 1. Uma função constante é derivável e sua derivada é identicamente nula. Se f : R → R é dada por f (x) = ax + b então, para c ∈ R e h 6= 0 quaisquer, [f (c + h) − f (c)]/h = a, logo f ′ (c) = a. Para n ∈ N qualquer, a função f : R → R, com f (x) = xn , tem derivada f ′ (x) = n · xn−1 . Com efeito, pelo binômio de Newton, f (x + h) = (x + h)n = xn + h · n · xn−1 + h2 · p(x, h), onde p(x, h) é um polinômio em x e h. Portanto [f (x + h) − f (x)]/h = n · xn−1 + h · p(x, h). Segue-se que f ′ (x) = limh→0 [f (x + h) − f (x)]/h = n · xn−1 .

Exemplo 2. A função f : R → R, definida por f (x) = x · sen(1/x) quando x 6= 0, f (0) = 0, é contı́nua e possui derivada em todo ponto x 6= 0. No ponto 0, temos [f (0 + h) − f (0)]/h = [h · sen(1/h)]/h = sen(1/h). Como não existe limh→0 sen(1/h), segue-se que f não é derivável no ponto x = 0, onde nenhuma derivada lateral tampouco existe. Por outro lado, a função g : R → R, definida por g(x) = x · f (x), isto é, g(x) = x2 sen(1/x), x 6= 0, g(0) = 0, é derivável no ponto x = 0 porque limh→0 [g(0 + h) − g(0)]/h = limh→0 h · sen(1/h) = 0. Logo g ′ (0) = 0.

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Seção 2

Regras operacionais

Quando x 6= 0, as regras de derivação conhecidas dão g ′ (x) = 2x · sen(1/x)−cos(1/x). Note-se que não existe limx→0 g ′ (x). Em particular, a função derivada, g ′ : R → R, não é contı́nua no ponto 0, logo g não é de classe C 1 . Exemplo 3. A função ϕ : R → R, dada por ϕ(x) = |x|, é derivável em todo ponto x 6= 0. Com efeito, ϕ(x) = x se x > 0 e ϕ(x) = −x se x < 0. Logo ϕ′ (x) = 1 para x > 0 e ϕ′ (x) = −1 se x < 0. No ponto 0 não existe a derivada ϕ′ (0). De fato, existem ϕ′+ (0) = 1 e ϕ′− (0) = −1. A função I : R → R, definida por I(x) = n quando n ≤ x < n + 1, n ∈ Z, é derivável, com I ′ (x) = 0, nos pontos x ∈ / Z. ′ ′ Se n é inteiro, existe I+ (n) = 0 mas não existe I− (n). Com efeito, se 1 > h > 0, tem-se I(n + h) = I(n) = n mas para −1 < h < 0 vale I(n + h) = n − 1, I(n) = n. Portanto limh→0+ [I(n + h) − I(n)]/h = 0 e limh→0− [I(n + h) − I(n)]/h = limh→0− (−1/h) não existe. Exemplo 4. (A Regra de L’Hôpital.) Esta regra constitui uma das mais populares aplicações da derivada. Em sua forma mais simples, ela se refere ao cálculo de um limite da forma limx→a f (x)/g(x) no caso em que f e g são deriváveis no ponto a e limx→a f (x) = f (a) = 0 = g(a) = limx→a g(x). Então, pela definição de derivada, f ′ (a) = limx→a f (x)/(x − a) e g ′ (a) = limx→a g(x)/(x − a). Supondo g ′ (a) 6= 0, a Regra de L’Hôpital diz que limx→a f (x)/g(x) = f ′ (a)/g ′ (a). A prova é direta: f (x) lim f (x) f (x) f ′ (a) (x−a) x→a (x−a) lim = lim g(x) = · = g(x) x→a g(x) x→a g ′ (a) lim (x−a) (x−a) x→a

Como ilustração, consideremos os limites limx→0 (sen x/x) e limx→0 (ex − 1)/x. Aplicando a Regra de L’Hôpital, o primeiro limite se reduz a cos 0 = 1 e o segundo a e0 = 1. Convém observar, entretanto, que estas aplicações (e outras análogas) da Regra de L’Hôpital são indevidas pois, para utilizá-la, é necessário conhecer as derivadas f ′ (a) e g ′ (a). Nestes dois exemplos, os limites a calcular são, por definição, as derivadas de sen x e ex no ponto x = 0.

Regras operacionais

Teorema 2. Sejam f, g : X → R deriváveis no ponto a ∈ X ∩ X ′ . As funções f ± g, f · g e f /g (caso g(a) 6= 0) são também deriváveis no

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Derivadas

Cap. 8

ponto a, com (f ± g)′ (a) = f ′ (a) ± g ′ (a),

(f · g)′ (a) = f ′ (a) · g(a) + f (a) · g ′ (a) e ′ f ′ (a) · g(a) − f (a) · g ′ (a) f · (a) = g g(a)2

Demonstração: Veja qualquer livro de Cálculo. Teorema 3. (Regra da Cadeia.) Sejam f : X → R, g : Y → R, a ∈ X ∩ X ′ , b ∈ Y ∩ Y ′ , f (X) ⊂ Y e f (a) = b. Se f é derivável no ponto a e g é derivável no ponto b então g ◦ f : X → R é derivável no ponto a, com (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a)) · f ′ (a). Demonstração: Pelo Teorema 1, se a + h ∈ X tem-se f (a + h) − f (a) = f ′ (a) · h + r(h),

r(h) = 0. h→0 h

onde

lim

Pondo k = f (a + h) − f (a), tem-se ainda g(f (a+h))−g(f (a))=g ′ (f (a))·(f (a+h)−f (a))+s(k), com lim

k→0

s(k) =0. k

A continuidade de f no ponto a assegura que h → 0 implica k → 0. (Note-se que k é função de h.) Assim, g(f (a + h)) − g(f (a)) = g ′ (f (a)) · f ′ (a) · h + g ′ (f (a)) · r(h) + s(k) = g ′ (f (a)) · f ′ (a) · h + σ,

onde σ = g ′ (f (a)) · r(h) + s(k). Vemos que σ = σ(h) é função de h. Pelo Teorema 1, concluiremos que g ◦ f é derivável no ponto a, com (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a)) · f ′ (a), se mostrarmos que lim σ(h) h = 0. Ora, h→0

r(h) s(k) σ(h) = g ′ (f (a)) · + . h h h Mas

s(k) k s(k) f (a + h) − f (a) s(k) = , = · . h k h k h

σ(h) Portanto lim s(k) h = 0 e conseqüentemente, lim h = 0. h→0

h→0

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Seção 3

Derivada e crescimento local

Corolário. Seja f : X → Y uma bijeção entre os conjuntos X, Y ⊂ R, com inversa g = f −1 : Y → X. Se f é derivável no ponto a ∈ X ∩ X ′ e g é contı́nua no ponto b = f (a) então g é derivável no ponto b se, e somente se, f ′ (a) 6= 0. No caso afirmativo, tem-se g ′ (b) = 1/f ′ (a). Com efeito, se xn ∈ X − {a} para todo n ∈ N e lim xn = a então, como f é injetiva e contı́nua no ponto a, tem-se yn = f (xn ) ∈ Y − {b} e lim yn = b. Portanto, b ∈ Y ∩ Y ′ . Se g for derivável no ponto b, a igualdade g(f (x)) = x, válida para todo x ∈ X, juntamente com a Regra da Cadeia, fornece g ′ (b) · f ′ (a) = 1. Em particular, f ′ (a) 6= 0. Reciprocamente, se f ′ (a) 6= 0 então, para qualquer seqüência de pontos yn = f (xn ) ∈ Y − {b} com lim yn = b, a continuidade de g no ponto b nos dá lim xn = a, portanto g ′ (b) é igual a −1 g(yn ) − g(b) yn − b lim = lim yn − b g(yn ) − g(b) f (xn ) − f (a) −1 1 = lim = ′ · xn − a f (a) Exemplo 5. Dada f : R → R derivável, consideremos as funções g : R → R e h : R → R, definidas por g(x) = f (x2 ) e h(x) = f (x)2 . Para todo x ∈ R tem-se g ′ (x) = 2x · f ′ (x2 ) e h′ (x) = 2f (x) · f ′ (x). Exemplo 6. Para n ∈ N fixo, a função g : [0, +∞) → [0, +∞), dada por √ √ n ′ n n−1 g(x) = x, é derivável no intervalo (0, +∞) com g (x) = 1/(n x ). Com efeito, g é a inversa da bijeção f : [0, +∞) → [0, +∞), dada por f (x) = xn . Pelo corolário acima, pondo y = xn , temos g ′ (y) = 1/f ′ (x) n−1 6= 0, isto é, se x 6= 0. Assim, g ′ (y) = 1/nxn−1 = se f ′ (x) = nx p √ n n n−1 1/ n y e, mudando de notação, g ′ (x) = 1/ n xn−1 . No ponto √ x = 0, a função g(x) = n x não é derivável (salvo quando n = 1). Por exemplo, a função ϕ : R → R, dada por ϕ(x) = x3 , é um homeomorfismo, √ cujo inverso y 7→ 3 y não possui derivada no ponto 0.

Derivada e crescimento local

As proposições seguintes, que se referem a derivadas laterais e a desigualdades, têm análogas com f+′ trocada por f−′ , com > substituı́do por <, etc. Para evitar repetições monótonas, trataremos apenas um caso, embora utilizemos livremente seus análogos.

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Derivadas

Cap. 8

′ , Teorema 4. Se f : X → R é derivável à direita no ponto a ∈ X ∩ X+ com f+′ (a) > 0, então existe δ > 0 tal que x ∈ X, a < x < a+δ implicam f (a) < f (x).

Demonstração: Temos limx→a+ [f (x) − f (a)]/(x − a) = f+′ (a) > 0. Pela definição de limite à direita, tomando ε = f+′ (a), obtemos δ > 0 tal que x ∈ X, a < x < a + δ ⇒ [f (x) − f (a)]/(x − a) > 0 ⇒ f (a) < f (x). Corolário 1. Se f : X → R é monótona não-decrescente então suas derivadas laterais, onde existem, são ≥ 0.

Com efeito, se alguma derivada lateral, digamos f+′ (a), fosse negativa então o (análogo do) Teorema 4 nos daria x ∈ X com a < x e f (x) < f (a), uma contradição.

Corolário 2. Seja a ∈ X um ponto de acumulação bilateral. Se f : X → R é derivável no ponto a, com f ′ (a) > 0 então existe δ > 0 tal que x, y ∈ X, a − δ < x < a < y < a + δ implicam f (x) < f (a) < f (y).

Diz-se que a função f : X → R tem um máximo local no ponto a ∈ X quando existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ implicam f (x) ≤ f (a). Quando x ∈ X, 0 < |x − a| < δ implicam f (x) < f (a), diz-se que f tem um máximo local estrito no ponto a. Definições análogas para mı́nimo local e mı́nimo local estrito.

Quando a ∈ X é tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, diz-se que a é um ponto de mı́nimo absoluto para a função f : X → R. Se vale f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ X, diz-se que a é um ponto de máximo absoluto. ′ Corolário 3. Se f : X → R é derivável à direita no ponto a ∈ X ∩ X+ ′ e tem aı́ um máximo local então f+ (a) ≤ 0.

Com efeito, se fosse f+′ (a) > 0 então, pelo Teorema 4, terı́amos f (a) < f (x) para todo x ∈ X à direita e suficientemente próximo de a, logo f não teria máximo local no ponto a. Corolário 4. Seja a ∈ X um ponto de acumulação bilateral. Se f : X → R é derivável no ponto a e possui aı́ um máximo ou mı́nimo local então f ′ (a) = 0. Com efeito, pelo Corolário 3 temos f+′ (a) ≤ 0 e f−′ (a) ≥ 0. ′ f (a) = f+′ (a) = f−′ (a), segue-se que f ′ (a) = 0.

Como

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Seção 4

Funções deriváveis num intervalo

Exemplo 7. Do Teorema 4 e seu Corolário 2 não se pode concluir que uma função com derivada positiva num ponto a seja crescente numa vizinhança de a. (A menos que f ′ seja contı́nua no ponto a.) Tudo o que se pode garantir é que f (x) < f (a) para x < a, x próximo de a, e que f (x) > f (a) se x está próximo de a, com x > a. Por exemplo, seja f : R → R dada por f (x) = x2 sen(1/x) + x/2 se x 6= 0 e f (0) = 0. A função f é derivável, com f ′ (0) = 1/2 e f ′ (x) = 2x sen(1/x)−cos(1/x)+ 1/2 para x 6= 0. Se tomarmos x 6= 0 muito pequeno com sen(1/x) = 0 e cos(1/x) = 1 teremos f ′ (x) < 0. Se escolhermos x 6= 0 pequeno com sen(1/x) = 1 e cos(1/x) = 0, teremos f ′ (x) > 0. Logo existem pontos x arbitrariamente próximos de 0 com f ′ (x) < 0 e com f ′ (x) > 0. Segue-se do Corolário 1 que f não é monótona em vizinhança alguma de 0. Exemplo 8. No Corolário 1, mesmo que f seja monótona crescente e derivável, não se pode garantir que sua derivada seja positiva em todos os pontos. Por exemplo, f : R → R, dada por f (x) = x3 , é crescente mas sua derivada f ′ (x) = 3x2 se anula para x = 0. Exemplo 9. Se f : X → R tem, digamos, um mı́nimo local no ponto a ∈ X, não se pode concluir daı́ que seja f ′ (a) = 0. Em primeiro lugar, f ′ (a) pode não existir. Este é o caso de f : R → R, f (x) = |x|, que possui um mı́nimo local no ponto x = 0, onde se tem f+′ (0) = 1 e f−′ (0) = −1, em conformidade com o Corolário 3. Em segundo lugar, mesmo que f seja derivável no ponto a, este pode não ser um ponto de acumulação bilateral e aı́ pode ocorrer f ′ (a) 6= 0. É o caso da função f : [0, 1] → R, f (x) = x. Temos f ′ (0) = f ′ (1) = 1 embora f tenha um mı́nimo no ponto x = 0 e um máximo no ponto x = 1. Um ponto c ∈ X chama-se ponto crı́tico da função derivável f : X → ′ ∩ X ′ é um ponto de mı́nimo ou R quando f ′ (c) = 0. Se c ∈ X ∩ X+ − de máximo local então c é crı́tico, mas a recı́proca é falsa: a bijeção crescente f : R → R, dada por f (x) = x3 , não pode ter máximo nem mı́nimo local mas admite o ponto crı́tico x = 0.

Funções deriváveis num intervalo

Mesmo quando é descontı́nua, a derivada goza da propriedade do valor intermediário, como se verá a seguir. Teorema 5. (Darboux.) Seja f : [a, b] → R derivável. Se f ′ (a) < d < f ′ (b) então existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = d.

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Derivadas

Cap. 8

Demonstração: Suponhamos inicialmente d = 0. A função contı́nua f , pelo Teorema de Weierstrass, atinge seu valor mı́nimo em algum ponto c do conjunto compacto [a, b]. Como f ′ (a) < 0, o Teorema 4 assegura a existência de pontos x ∈ (a, b) tais que f (x) < f (a), logo esse mı́nimo não é atingido no ponto a, isto é, a < c. Por motivo análogo tem-se c < b. O Corolário 4 então nos dá f ′ (c) = 0. O caso geral reduz-se a este considerando a função auxiliar g(x) = f (x) − dx. Então g ′ (x) = f ′ (x) − d, donde g ′ (c) = 0 ⇔ f ′ (c) = d e g ′ (a) < 0 < g ′ (b) ⇔ f ′ (a) < d < f ′ (b). Exemplo 10. Seja g : [−1, 1] → R definida por g(x) = −1 se −1 ≤ x < 0 e g(x) = 1 se 0 ≤ x ≤ 1. A função g não goza da propriedade do valor intermediário pois assume apenas os valores −1 e 1 no intervalo [−1, 1]. Logo não existe f : [−1, 1] → R derivável tal que f ′ = g. Por outro lado, a função h : [−1, 1] → R, dada por h(x) = 2x sen(1/x) − cos(1/x) se x 6= 0, h(0) = 0, que possui uma descontinuidade bastante complicada no ponto x = 0, é a derivada da função f : [−1, 1] → R, f (x) = x2 sen(1/x) se x 6= 0, f (0) = 0. No Capı́tulo 11, veremos que toda função contı́nua g : [a, b] → R é derivada de alguma função f : [a, b] → R e, no Exercı́cio 4.1 deste capı́tulo, o leitor é convidado a mostrar que se g : [a, b] → R é descontı́nua somente num ponto c ∈ (a, b) onde existem os limites laterais limx→c− g(x) e limx→c+ g(x) então g não pode ser a derivada de uma função f : [a, b] → R. Teorema 6. (Rolle.) Seja f : [a, b] → R contı́nua, com f (a) = f (b). Se f é derivável em (a, b) então existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0.

Demonstração: Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge seu valor mı́nimo m e seu valor máximo M em pontos de [a, b]. Se esses pontos forem a e b então m = M e f será constante, daı́ f ′ (x) = 0 qualquer que seja x ∈ (a, b). Se um desses pontos, digamos c, estiver em (a, b) então f ′ (c) = 0. Teorema 7. (Teorema do Valor Médio de Lagrange.) Seja f : [a, b] → R contı́nua. Se f é derivável em (a, b), existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = [f (b) − f (a)]/(b − a). Demonstração: Consideremos a função auxiliar g : [a, b] → R, dada por g(x) = f (x) − dx, onde d é escolhido de modo que g(a) = g(b), ou seja, d = [f (b) − f (a)]/(b − a). Pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que g ′ (c) = 0, isto é, f ′ (c) = d = [f (b) − f (a)]/(b − a).

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Seção 4

Funções deriváveis num intervalo

Um enunciado equivalente: Seja f : [a, a+h] → R contı́nua, derivável em (a, a + h). Existe um número θ, 0 < θ < 1 tal que f (a + h) = f (a) + f ′ (a + θh) · h. Corolário 1. Uma função f : I → R, contı́nua no intervalo I, com derivada f ′ (x) = 0 para todo x ∈ int I, é constante. Com efeito, dados x, y ∈ I quaisquer, existe c entre x e y tal que f (y) − f (x) = f ′ (c)(y − x) = 0 · (y − x) = 0, logo f (x) = f (y). Corolário 2. Se f, g : I → R são funções contı́nuas, deriváveis em int I, com f ′ (x) = g ′ (x) para todo x ∈ int I então existe c ∈ R tal que g(x) = f (x) + c para todo c ∈ I. Com efeito, basta aplicar o Corolário 1 à diferença g − f . Corolário 3. Seja f : I → R derivável no intervalo I. Se existe k ∈ R tal que |f ′ (x)| ≤ k para todo x ∈ I então x, y ∈ I ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x|. Com efeito, dados x, y ∈ I, f é contı́nua no intervalo fechado cujos extremos são x, y e derivável no seu interior. Logo existe z entre x e y tal que f (y) − f (x) = f ′ (z)(y − x), donde |f (y) − f (x)| = |f ′ (z)| |y − x| ≤ k|y − x|. Corolário 4. A fim de que a função derivável f : I → R seja monótona não-decrescente no intervalo I é necessário e suficiente que f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ I. Se f ′ (x) > 0 para todo x ∈ I então f é uma bijeção crescente de I sobre um intervalo J e sua inversa g = f −1 : J → I é derivável, com g ′ (y) = 1/f ′ (x) para todo y = f (x) ∈ J. Com efeito, já sabemos, pelo Corolário 1 do Teorema 4, que se f é monótona não-decrescente então f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ I. Reciprocamente, se vale esta condição então, para quaisquer x, y em I, temos f (y) − f (x) = f ′ (z)(y − x), onde z ∈ I está entre x e y. Como f ′ (z) ≥ 0, vemos que f (y) − f (x) ≥ 0, isto é, x < y em I ⇒ f (x) ≤ f (y). Do mesmo modo se vê que, supondo f ′ (x) > 0 para todo x ∈ I, tem-se f crescente. As demais afirmações seguem-se do Teorema 5, Capı́tulo 7 e do Corolário da Regra da Cadeia (Teorema 3). Exemplo 11. O Corolário 3 é a fonte mais natural de funções lipschitzianas. Por exemplo, se p : R → R é um polinômio então, para cada subconjunto limitado X ⊂ R, a restrição p|X é lipschitziana porque a derivada p′ , sendo contı́nua, é limitada no compacto X. Como toda função lipschitziana é uniformemente contı́nua, segue-se do Teorema 12,

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Derivadas

Cap. 8

Capı́tulo 7 que se f : (a, b) → R tem derivada limitada então existem os limites laterais limx→a+ f (x) e limx→b− f (x). A função f : R+ → R, dada por f (x) = sen(1/x), não pode ter derivada limitada em nenhum intervalo do tipo (0, δ) pois não existe limx→0+ f (x).

Exercı́cios

Seção 1:

A noção de derivada

1. A fim de que f : X → R seja derivável no ponto a ∈ X ∩ X ′ é necessário e suficiente que exista uma função η : X → R, contı́nua no ponto a, tal que f (x) = f (a) + η(x)(x − a) para todo x ∈ X.

2. Sejam f, g, h : X → R tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ X. Se f e h são deriváveis no ponto a ∈ X ∩ X ′ , com f (a) = h(a) e f ′ (a) = h′ (a) prove que g é derivável nesse ponto, com g ′ (a) = f ′ (a). ′ ∩ X ′ . Se x < a < 3. Seja f : X → R derivável no ponto a ∈ X ∩ X+ n − yn para todo n e lim xn = lim yn = a, prove que limn→∞ [f (yn ) − f (xn )]/(yn − xn ) = f ′ (a). Interprete este fato geometricamente.

4. Dê exemplo de uma função derivável f : R → R e seqüências de pontos 0 < xn < yn , com lim xn = lim yn = 0 sem que entretanto exista o limite limn→∞ [f (yn ) − f (xn )]/(yn − xn ).

5. Seja f : X → R derivável num ponto a ∈ int X. Prove que limh→0 [f (a + h) − f (a − h)]/2h = f ′ (a). Dê um exemplo em que este limite existe porém f não é derivável no ponto a.

Seção 2:

Regras operacionais

1. Admitindo que (ex )′ = ex e que limy→+∞ ey /y = +∞, prove que 2 a função f : R → R, definida por f (x) = e−1/x quando x 6= 0 e f (0) = 0, possui derivada igual a zero no ponto x = 0, o mesmo ocorrendo com f ′ : R → R, com f ′′ e assim por diante.

2. Seja I um intervalo aberto. Uma função f : I → R diz-se de classe C 2 quando é derivável e sua derivada f ′ : I → R é de classe C 1 . Prove que se f (I) ⊂ J e g : J → R também é de classe C 2 então a composta g ◦ f : I → R é de classe C 2 .

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Seção 5

Exercı́cios

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3. Seja f : I → R de classe C 2 com f (I) = J e f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ I. Calcule a derivada segunda de f −1 : J → R e mostre que f −1 é de classe C 2 . 4. Seja I um intervalo com centro 0. Uma função f : I → R chama-se par quando f (−x) = f (x) e ı́mpar quando f (−x) = −f (x), para todo x ∈ I. Se f é par, suas derivadas de ordem par (quando existem) são funções pares e suas derivadas de ordem ı́mpar são funções ı́mpares. Em particular, estas últimas se anulam no ponto 0. Enuncie resultado análogo para f ı́mpar. 5. Seja f : R → R derivável, tal que f (tx) = tf (x) para quaisquer t, x ∈ R. Prove que f (x) = f ′ (0)·x, qualquer que seja x ∈ R. Mais geralmente, se f : R → R é k vezes derivável e f (tx) = tk · f (x) para quaisquer t, x ∈ R, prove que f (x) = [f (k) (0)/k!] · xk , para todo x ∈ R. Seção 3:

Derivada e crescimento local

1. Se f : R → R é de classe C 1 , o conjunto dos seus pontos crı́ticos é fechado. Dê exemplo de uma função derivável f : R → R tal que 0 seja limite de uma seqüência de pontos crı́ticos de f , mas f ′ (0) > 0. 2. Seja f : I → R derivável no intervalo aberto I. Um ponto crı́tico c ∈ I chama-se não-degenerado quando f ′′ (c) é diferente de 0. Prove que todo ponto crı́tico não-degenerado é um ponto de máximo local ou de mı́nimo local. 3. Se c ∈ I é um ponto crı́tico não-degenerado da função f : I → R, derivável no intervalo aberto I, prove que existe δ > 0 tal que c é o único ponto crı́tico de f no intervalo (c − δ, c + δ). Conclua que, se f é de classe C 1 , então num conjunto compacto K ⊂ I, onde os pontos crı́ticos de f são todos não-degenerados, só existe um número finito deles. 4. Prove diretamente (sem usar o exercı́cio anterior) que se o ponto crı́tico c da função f : I → R é limite de uma seqüência de pontos crı́ticos cn 6= c e f ′′ (c) existe, então f ′′ (c) = 0.

5. Prove que o conjunto dos pontos de máximo ou de mı́nimo local estrito de qualquer função f : R → R é enumerável.

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Derivadas

Seção 4:

Cap. 8

Funções deriváveis num intervalo

1. Seja g : I → R contı́nua no intervalo aberto I, exceto no ponto c ∈ I. Se existem os limites laterais limx→c− g(x) = A e limx→c+ g(x) = B, com A 6= B então nenhuma função derivável f : I → R tem derivada f ′ = g. 2. Seja f : R+ → R definida por f (x) = log x/x. Admitindo que (log)′ (x) = 1/x, indique os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus pontos crı́ticos e seus limites quando x → 0 e quando x → +∞. 3. Faça um trabalho análogo ao do exercı́cio anterior para a função g : R+ → R, definida por g(x) = ex /x, admitindo que (ex )′ = ex . 4. Supondo conhecidas as regras de derivação para as funções seno e cosseno, prove que sen : (−π/2, π/2) → (−1, 1), cos : (0, π) → (−1, 1) e tg = sen/cos : (−π/2, π/2) → R são bijeções com derivadas 6= 0 em todos os pontos e calcule as derivadas das funções inversas arcsen : (−1, 1) → (−π/2, π/2), arccos : (−1, 1) → (0, π) e arctg : R → (−π/2, π/2). 5. Dada f derivável no intervalo I, sejam X = {f ′ (x); x ∈ I} e Y = {[f (y) − f (x)]/(y − x); x 6= y ∈ I}. O Teorema do Valor Médio assegura que Y ⊂ X. Dê um exemplo em que Y 6= X. Prove que Y = X e conclua que sup X = sup Y , inf X = inf Y .

6. Seja f : (a, b) → R limitada e derivável. Se não existir limx→a+ f (x) ou limx→b− f (x), prove que, para todo c ∈ R, existe x ∈ (a, b) tal que f ′ (x) = c. 7. Seja f : [a, b] → R contı́nua, derivável no intervalo aberto (a, b), com f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Se f ′ (x) = 0 apenas num conjunto finito, prove que f é crescente. 8. Use o princı́pio dos intervalos encaixados para provar diretamente (sem usar o Teorema do Valor Médio) que se f : I → R é derivável, com f ′ (x) = 0 em todos os pontos x do intervalo I, então f é constante. 9. Com a mesma técnica do exercı́cio anterior, prove que uma função f : I → R, derivável, com |f ′ (x)| ≤ k para todo x no intervalo I cumpre a condição de Lipschitz |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x| se x, y ∈ I.

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Seção 5

Exercı́cios

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10. Seja f : [a, b] → R contı́nua, derivável em (a, b), exceto possivelmente no ponto c ∈ (a, b). Se existir limx→c f ′ (x) = L, prove que f ′ (c) existe e é igual a L. 11. Seja f : [a, b] → R uma função com derivada limitada em (a, b) e com a propriedade do valor intermediário (cfr. Exercı́cio 2.3, Capı́tulo 7). Prove que f é contı́nua. 12. Se f : I → R cumpre |f (y) − f (x)| ≤ c · |y − x|α com α > 1, c ∈ R e x, y ∈ I arbitrários, prove que f é constante.

13. Prove que se f é derivável num intervalo e f ′ é contı́nua no ponto a então, para quaisquer seqüências de pontos xn 6= yn nesse intervalo, com lim xn = lim yn = a, tem-se lim[f (yn )−f (xn )]/(yn − xn ) = f ′ (a).

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9 Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada As aplicações mais elementares da derivada, ligadas a problemas de máximos e mı́nimos, e à regra de L’Hôpital, se encontram amplamente divulgadas nos livros de Cálculo. Aqui exporemos duas aplicações, a saber: o estudo das funções convexas e o método de Newton.

Fórmula de Taylor

A n-ésima derivada (ou derivada de ordem n) de uma função f no ponto a será indicada com a notação f (n) (a). Para n = 1, 2 e 3 escreve-se f ′ (a), f ′′ (a) e f ′′′ (a) respectivamente. Por definição, f ′′ (a) = (f ′ )′ (a) e assim sucessivamente: f (n) (a) = [f (n−1) ]′ (a). Para que f (n) (a) tenha sentido, é necessário que f (n−1) (x) esteja definida num conjunto do qual a seja ponto de acumulação e seja derivável no ponto x = a. Em todos os casos que consideraremos, tal conjunto será um intervalo. Quando existe f (n) (x) para todo x ∈ I, diz-se que a função f : I → R é n vezes derivável no intervalo I. Quando f é n − 1 vezes derivável numa vizinhança de a e existe f (n) (a), dizemos que f : I → R é n vezes derivável no ponto a ∈ I. Dizemos que f : I → R é uma função de classe C n , e escrevemos f ∈ C n , quando f é n vezes derivável e, além disso, a função f (n) : I → R é contı́nua. Quando f ∈ C n para todo n ∈ N, dizemos que f é de classe C ∞ e escrevemos f ∈ C ∞ . É conveniente considerar f como sua própria

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Seção 1

Fórmula de Taylor

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“derivada de ordem zero” e escrever f (0) = f . Assim, f ∈ C 0 significa que f é uma função contı́nua. Exemplo 1. Para n = 0, 1, 2, . . . seja fn : R → R definida por fn (x) = xn |x|. Então fn (x) = xn+1 se x ≥ 0 e fn (x) = −xn+1 se x ≤ 0. Cada uma das funções fn é de classe C n pois sua n-ésima derivada é igual a (n + 1)!|x|. Mas fn não é n + 1 vezes derivável no ponto 0, logo não é de classe C n+1 . As funções mais comumente encontradas, como polinômios, funções racionais, funções trigonométricas, exponencial e logaritmo, são de classe C ∞ . Seja f : I → R definida no intervalo I e n vezes derivável no ponto a ∈ I. O polinômio de Taylor de ordem n da função f no ponto a é o polinômio p(h) = a0 + a1 h + · · · + an hn (de grau ≤ n) cujas derivadas de ordem ≤ n no ponto h = 0 coincidem com as derivadas de mesma ordem de f no ponto a, isto é, p(i) (0) = f (i) (a), i = 0, 1, . . . , n. Ora, as derivadas p(0) (0), p′ (0), . . . , p(n) (0) determinam de modo único o polinômio p(h) pois p(i) (0) = i!ai . Portanto, o polinômio de Taylor de ordem n da função f no ponto a é p(h) = f (a) + f ′ (a) · h +

f (n) (a) n f ′′ (a) 2 h + ··· + h . 2! n!

Se p(h) é o polinômio de Taylor de ordem n da função f : I → R no ponto a ∈ I então a função r(h) = f (a + h) − p(h), definida no intervalo J = {h ∈ R; a + h ∈ I}, é n vezes derivável no ponto 0 ∈ J, com r(0) = r′ (0) = · · · = r(n) (0) = 0.

Lema. Seja r : J → R n vezes derivável no ponto 0 ∈ J. A fim de que seja r(i) (0) = 0 para i = 0, 1, . . . , n, é necessário e suficiente que limh→0 r(h)/hn = 0. Demonstração: Suponhamos inicialmente que as derivadas de r no ponto 0 sejam nulas até a ordem n. Para n = 1, isto significa que r(0) = r′ (0) = 0. Então limh→0 r(h)/h = limh→0 [r(h) − r(0)]/h = r′ (0) = 0. Para n = 2, temos r(0) = r′ (0) = r′′ (0) = 0. Pelo que acabamos de ver, isto implica limx→0 r′ (x)/x = 0. O Teorema do Valor Médio assegura que para todo h 6= 0, existe x no intervalo de extremos 0 e h tal que r(h)/h2 = [r(h) − r(0)]/h2 = r′ (x) · h/h2 = r′ (x)/h. Por conseguinte, limh→0 r(h)/h2 = limh→0 r′ (x)/h = limh→0 [r′ (x)/x](x/h) = 0 pois h → 0 implica x → 0 e, além disso, |x/h| ≤ 1. O mesmo argumento permite passar de n = 2 para n = 3 e assim por diante. Reciprocamente, suponhamos que limh→0 r(h)/hn = 0. Daı́ resulta, para

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Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada

Cap. 9

i = 0, 1, . . . , n, que limh→0 r(h)/hi = limh→0 (r(h)/hn )hn−i = 0. Portanto r(0) = limh→0 r(h) = limh→0 r(h)/h0 = 0. Além disso, r′ (0) = limh→0 r(h)/h = 0. Quanto a r′′ (0), consideremos a função auxiliar ϕ : J → R, definida por ϕ(h) = r(h) − r′′ (0)h2 /2. Evidentemente, vale ϕ(0) = ϕ′ (0) = ϕ′′ (0) = 0. Pela parte do lema já demonstrada segue-se que limh→0 ϕ(h)/h2 = 0. Como ϕ(h)/h2 = r(h)/h2 − r′′ (0)/2 e sabemos que limh→0 r(h)/h2 = 0, resulta que r′′ (0) = 0. O mesmo argumento permite passar de n = 2 para n = 3 e assim por diante. Teorema 1. (Fórmula de Taylor infinitesimal.) Seja f : I → R n vezes derivável no ponto a ∈ I. A função r : J → R, definida no intervalo J = {h ∈ R; a + h ∈ I} pela igualdade f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h +

f (n) (a) n f ′′ (a) 2 · h + ··· + · h + r(h), 2 n!

cumpre limh→0 r(h)/hn = 0. Reciprocamente, se p(h) é um polinômio de grau ≤ n tal que r(h) = f (a + h) − p(h) cumpre limh→0 r(h)/hn = 0 então p(h) é o polinômio de Taylor de ordem n de f no ponto a, isto é, p(h) =

n X f (i) (a) i=0

· hi .

Demonstração: A função r, definida pela fórmula de Taylor, é n vezes derivável no ponto 0 e tem derivadas nulas nesse ponto, até a ordem n. Logo, pelo Lema, vale limh→0 r(h)/hn = 0. Reciprocamente, se r(h) = f (a + h) − p(h) é tal que lim r(h)/hn = 0 então, novamente pelo Lema, as derivadas de r no ponto 0 são nulas até a ordem n, logo p(i) (0) = f (i) (a) para i = 0, 1, . . . , n, ou seja, p(h) é o polinômio de Taylor de ordem n da função f no ponto a. Exemplo 2. Seja f : I → R n vezes derivável no ponto a ∈ int I, com f (i) (a) = 0 para 1 ≤ i < n e f (n) (a) 6= 0. Se n é par então: f possui um mı́nimo local estrito no ponto a caso f (n) (a) > 0 e um máximo local estrito quando f (n) (a) < 0. Se n é ı́mpar então a não é ponto de mı́nimo nem de máximo local. Com efeito, neste caso podemos escrever a fórmula de Taylor como # " (n) (a) r(h) f + n . f (a + h) − f (a) = hn n! h

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Seção 1

Fórmula de Taylor

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Pela definição de limite, existe δ > 0 tal que, para a+h ∈ I e 0 < |h| < δ a soma dentro dos colchetes tem o mesmo sinal de f (n) (a). Como a ∈ int I, podemos tomar este δ de modo que |h| < δ ⇒ a + h ∈ I. Então, quando n é par e f (n) (a) > 0, a diferença f (a + h) − f (a) é positiva sempre que 0 < |h| < δ, logo f possui um mı́nimo local estrito no ponto a. Analogamente, se n é par e f (n) (a) < 0, a diferença f (a + h) − f (a) é negativa quando 0 < |h| < δ, logo f tem um máximo local no ponto a. Finalmente, se n é ı́mpar, o fator hn tem o mesmo sinal de h, logo a diferença f (a + h) − f (a) muda de sinal juntamente com h, portanto f não tem máximo nem mı́nimo local no ponto a. Exemplo 3. (Novamente a Regra de L’Hôpital.) Sejam f, g : I → R n vezes deriváveis no ponto a ∈ I, com derivadas nulas neste ponto até a ordem n − 1. Se g (n) (a) 6= 0 então f (x) f (n) (a) = (n) · x→a g(x) g (a) lim

Com efeito, pela fórmula de Taylor, temos # # " " (n) (a) (n) (a) r(h) s(h) n g n f + n + n , e g(a + h) = h f (a + h) = h n! h n! h r(h) s(h) = lim n = 0. Portanto n h→0 h h→0 h

onde lim

f (n) (a) r(h) + n (n) f (a + h) f (x) n! h = f (a) · = lim = lim (n) lim x→a g(x) h→0 g(a + h) h→0 g g (n) (a) (a) s(h) + n n! h A fórmula de Taylor infinitesimal é assim chamada porque só afirma algo quando h → 0. A seguir daremos outra versão dessa fórmula, onde é feita uma estimativa do valor f (a+h) para h fixo. Ela é uma extensão do Teorema do Valor Médio, de Lagrange. Como naquele teorema, trata-se de um resultado global, onde se supõe que f seja n vezes derivável em todos os pontos do intervalo (a, a + h). Teorema 2. (Fórmula de Taylor, com resto de Lagrange.) Seja f : [a, b] → R n vezes derivável no intervalo aberto (a, b), com f (n−1) contı́nua em [a, b]. Existe c ∈ (a, b) tal que f (b) = f (a) + f ′ (a)(b − a) + · · · +

f (n−1) (a) f (n) (c) (b − a)n−1 + (b − a)n . (n − 1)! n!

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Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada

Cap. 9

Pondo b = a + h, isto quer dizer que existe θ, com 0 < θ < 1, tal que f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h + · · · +

f (n−1) (a) n−1 f (n) (a + θh) n h + h . (n − 1)! n!

Demonstração: Seja ϕ : [a, b] → R definida por ϕ(x) = f (b)−f (x)−f ′ (x)(b−x)−· · ·−

f (n−1) (x) K (b−x)n−1 − (b−x)n , (n − 1)! n!

onde a constante K é escolhida de modo que ϕ(a) = 0. Então ϕ é contı́nua em [a, b], diferenciável em (a, b), com ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Vê-se facilmente que K − f (n) (x) ϕ′ (x) = (b − x)n−1 . (n − 1)!

Pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que ϕ′ (c) = 0. Isto significa que K = f (n) (c). O Teorema 2 se obtém fazendo x = a na definição de ϕ e lembrando que ϕ(a) = 0.

Funções convexas e côncavas

Se a 6= b, a reta que liga os pontos (a, A) e (b, B) no plano R2 é o conjunto dos pontos (x, y) ∈ R2 tais que y =A+

B−A (x − a) b−a

y=B+

B−A (x − b). b−a

ou, equivalentemente,

Quando se tem uma função f : X → R, definida no conjunto X ⊂ R, e são dados a, b ∈ X, o segmento de reta que liga os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)), pertencentes ao gráfico de f , será chamado a secante ab. Seja I ⊂ R um intervalo. Uma função f : I → R chama-se convexa quando seu gráfico se situa abaixo de qualquer de suas secantes. Em termos precisos, a convexidade de f se exprime assim: a<x<b

I ⇒ f (x) ≤ f (a) +

f (b) − f (a) (x − a), b−a

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Seção 2

Funções convexas e côncavas

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ou seja, a<x<b

I ⇒ f (x) ≤ f (b) +

f (b) − f (a) (x − b). b−a

Portanto f : I → R é convexa no intervalo I se, e somente se, valem as desigualdades fundamentais: a<x<b

I⇒

f (b) − f (a) f (x) − f (b) f (x) − f (a) ≤ ≤ · (*) x−a b−a x−b

Qualquer uma das duas desigualdades acima implica a outra. Elas significam que, para a < x < b, a secante ax tem inclinação menor que a secante ab e esta, por sua vez, tem inclinação menor do que a secante xb.

Figura 5

Teorema 3. Se f : I → R é convexa no intervalo I então existem as derivadas laterais f+′ (c) e f−′ (c) em todo ponto c ∈ int I. Demonstração: Em virtude das observações feitas acima, a função ϕc (x) = [f (x) − f (c)]/(x − c) é monótona não-decrescente no intervalo J = I ∩ (c, +∞). Além disso, como c ∈ int I, existe a ∈ I, com a < c. Portanto ϕc (x) ≥ [f (a) − f (c)]/(a − c), para todo x ∈ J. Assim, a função ϕc : J → R é limitada inferiormente. Logo existe o limite à direita f+′ (c) = limx→c+ ϕc (x). Raciocı́nio análogo para a derivada à esquerda.

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Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada

Cap. 9

Corolário. Uma função convexa f : I → R é contı́nua em todo ponto interior ao intervalo I. Observe-se que f : [0, 1] → R, definida por f (0) = 1 e f (x) = 0 se 0 < x ≤ 1, é convexa porém descontı́nua no ponto 0. Teorema 4. As seguintes afirmações sobre a função f : I → R, derivável no intervalo I, são equivalentes: (1) f é convexa. (2) A derivada f ′ : I → R é monótona não-decrescente. (3) Para quaisquer a, x ∈ I tem-se f (x) ≥ f (a) + f ′ (a)(x − a), ou seja, o gráfico de f está situado acima de qualquer de suas tangentes. Demonstração: Provaremos as implicações (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1). (1) ⇒ (2). Sejam a < x < b em I. Nas desigualdades fundamentais (*), fazendo primeiro x → a+, e depois x → b−, vem f+′ (a) ≤ [f (b) − f (a)]/(b − a) ≤ f−′ (b). Logo a < b ⇒ f ′ (a) ≤ f ′ (b). (2) ⇒ (3). Suponhamos a < x em I. Pelo Teorema do Valor Médio, existe z ∈ (a, x) tal que f (x) = f (a) + f ′ (z)(x − a). Como f ′ é monótona não-decrescente, temos f ′ (z) ≥ f ′ (a). Logo f (x) ≥ f (a) + f ′ (a)(x − a). Raciocı́nio análogo no caso x < a. (3) ⇒ (1). Sejam a < c < b em I. Escrevamos α(x) = f (c) + f ′ (c)(x − c) e chamemos de H = {(x, y) ∈ R2 ; y ≥ α(x)} o semiplano superior determinado pela reta y = α(x), tangente ao gráfico de f no ponto (c, f (c)). Evidentemente, H é um subconjunto convexo do plano, isto é, o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de H está contido em H. A hipótese (3) assegura que os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)) pertencem a H, logo o segmento de reta que une estes pontos está contido em H. Em particular, o ponto desse segmento que tem abcissa c pertence a H, isto é, tem ordenada ≥ α(c) = f (c). Isto significa que f (c) ≤ (a) f (a) + f (b)−f (c − a). Como a < c < b são quaisquer em I, a função f b−a é convexa. Corolário 1. Todo ponto crı́tico de uma função convexa é um ponto de mı́nimo absoluto.

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Seção 2

Funções convexas e côncavas

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x 2

Figura 6: A função f : R+ → R, dada por f (x) = x16 + x1 , é convexa. Seu ponto

crı́tico x = 2 é um mı́nimo global. Seu gráfico situa-se acima de qualquer de suas tangentes.

Com efeito, dizer que a ∈ I é ponto crı́tico da função f : I → R significa afirmar que f possui derivada igual a zero no ponto a. Se f é convexa e a ∈ I é ponto crı́tico de f então a condição (3) acima assegura f (x) ≥ f (a) para todo x ∈ I, logo a é ponto de mı́nimo absoluto para f . Corolário 2. Uma função f : I → R, duas vezes derivável no intervalo I, é convexa se, e somente se, f ′′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ I. Com efeito, f ′′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ I equivale a afirmar que

f ′ : I → R é monótona não-decrescente.

Uma função f : I → R diz-se côncava quando −f é convexa, isto é, quando o gráfico de f está acima de qualquer de suas secantes. As desigualdades que caracterizam uma função côncava f são análogas a (*) acima, com ≥ em lugar de ≤ . Existem as derivadas laterais de uma função côncava em cada ponto interior ao seu domı́nio, logo a função é contı́nua nesse ponto. Uma função derivável é côncava se, e somente se, sua derivada é monótona não-crescente. Uma função duas vezes derivável é côncava se, e somente se, sua derivada segunda é ≤ 0. Uma função derivável é côncava se, e somente se, seu gráfico está abaixo de qualquer

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Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada

Cap. 9

de suas tangentes. Todo ponto crı́tico de uma função côncava é um ponto de máximo absoluto. Existem ainda as noções de função estritamente convexa e estritamente côncava, onde se exige que a < x < b ⇒ f (x) < f (a) +

f (b) − f (a) (x − a) b−a

no caso convexo, com > em vez de < no caso côncavo. Isto evita que o gráfico de f possua trechos retilı́neos. Convexidade estrita implica que f ′ seja crescente mas não implica f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ I. Entretanto, f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ I ⇒ f ′ crescente ⇒ f estritamente convexa.

Exemplo 4. Para todo n ∈ N a função f : R → R, f (x) = x2n , é estritamente convexa mas f ′′ (x) = 2n(2n − 1) · x2n−2 anula-se no ponto x = 0. A função exponencial f (x) = ex é (estritamente) convexa, enquanto log x (para x > 0) é côncava. A função g : R − {0} → R, g(x) = 1/x, é côncava para x < 0 e convexa para x > 0.

Os pontos x do intervalo [a, b] se escrevem, de modo único, sob a forma x = (1 − t)a + tb, com 0 ≤ t ≤ 1. Com efeito, esta igualdade equivale a t = (x − a)/(b − a). No segmento de reta que liga o ponto (a, f (a)) ao ponto (b, f (b)) no plano, o ponto de abcissa x = (1 − t)a + tb tem ordenada (1 − t)f (a) + tf (b). Portanto, uma função f : I → R é convexa se, e somente se, a, b ∈ I, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ f ((1 − t)a + tb) ≤ (1 − t)f (a) + tf (b). Equivalentemente, f : I → R é convexa se, e somente se, para quaisquer a1 , a2 ∈ I e t1 , t2 ∈ [0, 1] com t1 + t2 = 1 tem-se f (t1 a1 + t2 a2 ) ≤ t1 f (a1 ) + t2 f (a2 ). Sejam agora f : I → R convexa, a1 , a2 , a3 ∈ I e t1 , t2 , t3 ∈ [0, 1] com t1 + t2 + t3 = 1. Afirmamos que f (t1 a1 + t2 a2 + t3 a3 ) ≤ t1 f (a1 ) + t2 f (a2 ) + t3 f (a3 ). Com efeito, esta desigualdade é óbvia quando t1 = t2 = 0 e t3 = 1. Se, entretanto, t1 + t2 6= 0, podemos escrever t1 t2 t1 a1 + t2 a2 + t3 a3 = (t1 + t2 ) a1 + a2 + t3 a3 . t1 + t2 t1 + t2

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Seção 3

Aproximações sucessivas e método de Newton

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Como

t1 t2 + = 1, t1 + t2 t1 + t2 a desigualdade alegada resulta de aplicar-se duas vezes o caso já conhecido, em que se têm duas parcelas. Analogamente, se f : I → R é convexa então, dados a1 , . . . , an ∈ I e t1 , . . . , tn ∈ [0, 1] com t1 + · · · + tn = 1, vale (t1 + t2 ) + t3 = 1 e

f (t1 a1 + · · · + tn an ) ≤ t1 f (a1 ) + · · · + tn f (an ). Este resultado, aplicado à função convexa f (x) = exp x, com t1 = t2 = · · · = tn = 1/n, a1 = log x1 , . . . , an = log xn fornece, para quaisquer n números reais positivos x1 , . . . , xn , a desigualdade √ √ n x1 x2 . . . xn = n ea1 · ea2 . . . ean a1 + · · · + an = exp n = f (t1 a1 + · · · + tn an ) ≤ t1 f (a1 ) + · · · + tn f (an ) ea1 + · · · + ean x1 + · · · + xn = = , n n

ou seja:

√ n

x1 + · · · + xn · n Esta é a clássica desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica. Mais geralmente, o mesmo método serve para demonstrar a desigualdade xt11 · xt22 · . . . · xtnn ≤ t1 x1 + t2 x2 + · · · + tn xn , x1 x2 . . . xn ≤

válida para números não-negativos x1 , x2 , . . . , xn e t1 , t2 , . . . , tn , com t1 + t2 + · · · + tn = 1. A desigualdade anterior, entre a média aritmética e a média geométrica, corresponde ao caso particular em que t1 = · · · = tn = 1/n.

Aproximações sucessivas e método de Newton

Uma função f : X → R chama-se uma contração quando existe uma constante k ∈ [0, 1) tal que |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x| para quaisquer

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Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada

Cap. 9

x, y ∈ X. O exemplo mais comum de contração é uma função f : I → R, derivável no intervalo I, com |f ′ (x)| ≤ k < 1 para todo x ∈ I. Evidentemente, toda contração é uma função uniformemente contı́nua. Teorema 5. (Ponto fixo das contrações.) Se X ⊂ R é fechado então toda contração f : X → X possui um único ponto fixo. Mais precisamente, fixando qualquer x0 ∈ X, a seqüência das aproximações sucessivas x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), . . . , xn+1 = f (xn ), . . . converge para o único ponto a ∈ X tal que f (a) = a.

Demonstração: Seja |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x| para quaisquer x, y ∈ X, onde 0 ≤ k < 1. Então P |xn+1 − xn | ≤ k|xn − xn−1 | logo, pelo Teste de d’Alembert, a série s = ∞ n=1 (xn − xn−1 ) é absolutamente convergente. Ora, a soma dos n primeiros termos desta série é sn = xn − x0 . De lim sn = s segue-se lim xn = s+x0 = a. Tem-se a ∈ X porque o conjunto X é fechado. Fazendo n → ∞ na igualdade xn+1 = f (xn ), como f é contı́nua, obtém-se a = f (a). Finalmente, se f (a) = a e f (b) = b então |b − a| = |f (b) − f (a)| ≤ k|b − a|, ou seja, (1 − k)|b − a| ≤ 0. Como 1 − k > 0, concluı́mos que a = b, logo o ponto fixo a ∈ X é único. √ Exemplo 5. A função f : R → R, dada por f (x) = 1 + x2 , não ′ possui √ ponto fixo pois′ f (x) > x para todo x ∈ R. Sua derivada f (x) = 2 x/ x + 1 cumpre |f (x)| < 1, logo tem-se |f (y) − f (x)| < |y − x| para quaisquer x, y ∈ R. Este exemplo mostra que a condição |f (y) − f (x)| < |y − x| sozinha não basta para se obter um ponto fixo. Exemplo 6. A função f : [1, +∞) → R dada por f (x) = x/2, é uma contração mas não possui ponto fixo a ∈ [1, +∞). Isto mostra que, no método das aproximações sucessivas, é essencial verificar que a condição f (X) ⊂ X é satisfeita. Neste exemplo, não se tem f ([1, +∞)) ⊂ [1, +∞). Exemplo 7. f : (0, 1) → (0, 1), dada por f (x) = x/2, tem derivada f ′ (x) = 1/2 mas não possui ponto fixo pois (0, 1) não é fechado. Um exemplo importante de aproximações sucessivas é o chamado método de Newton para a obtenção de valores aproximados de uma raiz da equação f (x) = 0. Neste método, tem-se uma função f : I → R, de classe C 1 no intervalo I, com f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ I, toma-se um

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Seção 3

Aproximações sucessivas e método de Newton

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valor inicial x0 e põe-se f (x0 ) , f ′ (x0 ) f (x1 ) x2 = x1 − ′ , f (x1 ) .. . f (xn ) xn+1 = xn − ′ , etc. f (xn ) x1 = x0 −

Se a seqüência (xn ) convergir, seu limite a será uma raiz da equação f (x) = 0 pois, fazendo n → ∞ na igualdade xn+1 = xn −

f (xn ) , f ′ (xn )

resulta a = a − f (a)/f ′ (a), donde f (a) = 0.

O método de Newton resulta da observação de que as raı́zes da equação f (x) = 0 são os pontos fixos da função N = Nf : I → R, definida por N (x) = x −

f (x) · f ′ (x)

O número N (x) = x − f (x)/f ′ (x) é a abscissa do ponto em que a tangente ao gráfico de f no ponto x encontra o eixo horizontal. A idéia que motiva o método de Newton é que, se a tangente aproxima a curva então sua interseção com o eixo x aproxima o ponto de interseção da curva com esse eixo, isto é, o ponto x em que f (x) = 0. (Veja Fig. 7.) É fácil dar exemplos em que a seqüência (xn ) de aproximações de Newton não converge: basta tomar uma função, como f (x) = ex , que não assuma o valor zero. E, mesmo que a equação f (x) = 0 tenha uma raiz real, a seqüência (xn ) pode divergir, caso x0 seja tomado longe da raiz. (Veja Fig. 8.)

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Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada

Cap. 9

Figura 7: Como a inclinação da tangente é f ′ (x0 ) = f (x0 )/(x0 − x1 ), segue-se que

x1 = x0 − f (x0 )/f ′ (x0 ).

Existem, evidentemente, infinitas funções cujos pontos fixos são as raı́zes da equação f (x) = 0. A importância de N (x) reside na rapidez com que as aproximações sucessivas convergem para a raiz a da equação f (x) = 0 (quando convergem): cada xn+1 = N (xn ) é um valor aproximado de a com cerca do dobro dos algarismos decimais exatos de xn . (Veja Exemplo 9.)

Figura 8: A função f : [−1/2, 1/2] → R,dada por f (x) = x− x3 , anula-se para x = 0. √ Valores aproximados desta raiz pelo método de Newton, começando com x0 = 5/5, são sucessivamente x0 , −x0 , x0 , −x0 , etc. O método não converge.

Mostraremos agora que se f : I → R possui derivada segunda contı́nua f ′′ : I → R, com f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ I, então cada ponto

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Seção 3

Aproximações sucessivas e método de Newton

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a ∈ int I onde f (a) = 0 tem uma vizinhança J = [a − δ, a + δ] tal que, começando com qualquer valor inicial x0 ∈ J, a seqüência de pontos xn+1 = N (xn ) converge para a. Com efeito, a derivada N ′ (x) = f (x)f ′′ (x)/f ′ (x)2 se anula no ponto x = a. Como N ′ (x) é contı́nua, se fixarmos arbitrariamente k ∈ (0, 1) obteremos δ > 0 tal que J = [a − δ, a + δ] ⊂ I e |N ′ (x)| ≤ k < 1 para todo x ∈ J. Afirmamos que x ∈ J ⇒ N (x) ∈ J. De fato, x ∈ J ⇒ |N (x)−N (a)| ≤ k|x−a| ≤ |x−a| ≤ δ ⇒ N (x) ∈ J. Portanto, N : J → J é uma contração. Logo a seqüência x1 = N (x0 ), xn+1 = N (xn ) converge para o único ponto fixo a ∈ J da contração N . √ Exemplo 8. (Cálculo aproximado de n c.) Dados c > 0 e n ∈ N, √ consideremos o intervalo I = [ n c, +∞) e a função f : I → R, dada por f (x) = xn − c. Como f ′ (x) = nxn−1 , a função de Newton N : I → R assume a forma N (x) = n1 [(n − 1)x + c/xn−1 ]. Assim, para todo x > 0, N (x) é a média aritmética dos n números x, x, . . . , x, c/xn−1 . Como a √ √ média geométrica desses números é n c, concluı́mos que N (x) ≥ n c para todo x > 0. Em particular, x ∈ I ⇒ N (x) ∈ I. Além disso, n ′ N ′ (x) = n−1 n (1 − c/x ), logo 0 ≤ N (x) ≤ (n − 1)/n para todo x ∈ I. Tudo isto mostra que N : I → I é uma contração. Portanto, tomando-se qualquer x0 > 0, temos N (x0 ) = x1 ∈ I e as aproximações sucessivas √ xn+1 = N (xn ) convergem (rapidamente) para n c. Exemplo 9. (O método de Newton converge quadraticamente.) Considere f : I → R de classe C 2 no intervalo I, com |f ′′ (x)| ≤ A e |f ′ (x)| ≥ B para todo x ∈ I, onde A e B são constantes positivas. Vimos acima que, tomando a aproximação inicial x0 suficientemente próxima de um ponto a onde f (a) = 0, a seqüência de aproximações de Newton xn+1 = xn − f (xn )/f ′ (xn ) converge para a. Agora usaremos o Teorema 2 para estabelecer uma comparação entre os erros |xn+1 − a| e |xn − a|. Existe um número d entre a e xn , tal que 0 = f (a) = f (xn ) + f ′ (xn )(a − xn ) + Então f ′ (xn )xn − f (xn ) − f ′ (xn )a =

f ′′ (d) (a − xn )2 . 2

f ′′ (d) (xn − a)2 . 2

Dividindo por f ′ (xn ) obtemos: xn −

f (xn ) f ′′ (d) − a = (xn − a)2 f ′ (xn ) 2f ′ (xn )

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Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada

isto é, xn+1 − a =

Cap. 9

f ′′ (d) (xn − a)2 . 2f ′ (xn )

A |xn −a|2 . Quando |xn −a| < 1, o Daı́ vem imediatamente |xn+1 −a| ≤ 2B 2 quadrado |xn − a| é muito menor, o que exibe a rapidez de convergência no método de Newton. Por exemplo, se f (x) = xn − c temos

f ′′ (d) n−1 dn−2 ≤ = (n − 1) · n−1 ′ 2f (xk ) 2xk 2xk √ Portanto, para calcular n c, onde c > 1, podemos começar com x0 > 1 √ √ n e teremos sempre |xk+1 − n c| ≤ n−1 c|2 . Para n ≤ 3 vem 2 |xk − √ √ 2 n n |xk+1 − c| ≤ |xk − c| . Logo, se xk tem p algarismos decimais exatos, xk+1 tem 2p.

Exercı́cios

Seção 1:

Fórmula de Taylor

1. Use a igualdade 1/(1−x) = 1+x+· · ·+xn +xn+1 /(1−x) e a fórmula de Taylor infinitesimal para calcular as derivadas sucessivas, no ponto x = 0, da função f : (−1, 1) → R, dada por f (x) = 1/(1−x). 2. Seja f : R → R definida por f (x) = x5 /(1 + x6 ). Calcule as derivadas de ordem 2001 e 2003 de f no ponto x = 0. 3. Seja f : I → R de classe C ∞ no intervalo I. Suponha que exista K > 0 tal que |f (n) (x)| ≤ K para todo x ∈ I e todo n ∈ N. Prove P f (n) (x0 ) (x − x0 )n . que, para x0 , x ∈ I quaisquer vale f (x) = ∞ n=0 n! 4. Dê uma demonstração de que f ′′ ≥ 0 ⇒ f convexa usando a fórmula de Taylor com resto de Lagrange. 5. Seja f : I → R de classe C 2 no intervalo I. Dado a ∈ I, defina a função ϕ : I → R pondo ϕ(x) = [f (x) − f (a)]/(x − a) se x 6= a e ϕ(a) = f ′ (a). Prove que ϕ é de classe C 1 . Mostre que f ∈ C 3 ⇒ ϕ ∈ C 2. 6. Seja p : R → R um polinômio de grau n. Prove que para a, x ∈ R quaisquer tem-se p(x) = p(a) + p′ (a)(x − a) + · · · +

p(n) (a) (x − a)n . n!

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Seção 4

Exercı́cios

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7. Sejam f, g : I → R duas vezes deriváveis no ponto a ∈ int I. Se f (a) = g(a), f ′ (a) = g ′ (a) e f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ I, prove que f ′′ (a) ≥ g ′′ (a). Seção 2:

Funções côncavas e convexas

1. Sejam f : I → R e g : J → R funções convexas, com f (I) ⊂ J, e g monótona não-decrescente. Prove que g ◦ f : I → R é convexa. Dê outra demonstração supondo f e g duas vezes deriváveis. Por meio de um exemplo, mostre que se g não é monótona não-decrescente o resultado pode não ser válido. 2. Se f : I → R possui um ponto crı́tico não degenerado c ∈ int I no qual f ′′ é contı́nua, prove que existe δ > 0 tal que f é convexa ou côncava no intervalo (c − δ, c + δ). 3. Examine a convexidade da soma e do produto de duas funções convexas.

4. Uma função f : I → R, definida no intervalo I, chama-se quaseconvexa (respectivamente, quase-côncava) quando, para todo c ∈ R, o conjunto {x ∈ I; f (x) ≤ c} (respectivametne, {x ∈ I; f (x) ≥ c}) é vazio ou é um intervalo. Prove que toda função convexa (respectivamente, côncava) é quase-convexa (respectivamente, quasecôncava) e que toda função monótona é ao mesmo tempo quaseconvexa e quase-côncava. 5. Prove que f : I → R é quase-convexa se, e somente se, para x, y ∈ I e t ∈ [0, 1] quaisquer, vale f ((1 − t)x + ty) ≤ max{f (x), f (y)}. Enuncie o resultado análogo para f quase-côncava. 6. Seja f : [a, b] → R uma função contı́nua quase-convexa, cujo valor mı́nimo é atingido no ponto c ∈ [a, b]. Prove que se c = a então f é monótona não-decrescente, se c = b, f é monótona nãocrescente e, finalmente, se a < c < b então f é monótona nãocrescente em [a, c] e não-decrescente em [c, b]. Enuncie resultado análogo para f quase-côncava. Conclua daı́ que a função contı́nua f : [a, b] → R é quase-convexa se, e somente se, existe c ∈ [a, b] tal que f é monótona não-crescente no intervalo [a, c] e monótona não-decrescente em [c, b]. 7. Para cada n ∈ N, seja fn : I → R uma função convexa. Suponha que, para todo x ∈ I, a seqüência de números (fn (x))n∈N convirja.

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Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada

Cap. 9

Prove que a função f : I → R, definida por f (x) = limn→∞ fn (x) é convexa. Prove resultado análogo para funções quase-convexas, côncavas e quase-côncavas. 8. Seja f : [a, b] → R uma função contı́nua convexa tal que f (a) < 0 < f (b). Prove que existe um único ponto c ∈ (a, b) com f (c) = 0. Seção 3:

Aproximações sucessivas e método de Newton

1. Sejam I = [a − δ, a + δ] e f : I → R tal que |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x|, onde 0 ≤ k < 1. Se |f (a) − a| ≤ (1 − k)δ, prove que existe um único x ∈ I com f (x) = x. 2. Defina f : [0, +∞) → [0, +∞) pondo f (x) = 2−x/2 . Mostre que f é uma contração e que, se a é seu ponto fixo, −a é a raiz negativa da equação x2 = 2x . Use o método das aproximações sucessivas e uma calculadora para obter o valor de a com 8 algarismos decimais exatos. 3. Seja I = [a − δ, a + δ]. Se a função f : I → R é de classe C 2 , com f ′ (x) 6= 0, |f (x)f ′′ (x)/f ′ (x)2 | ≤ k < 1 para todo x ∈ I e |f (a)/f ′ (a)| < (1 − k)δ, prove que, seja qual for o valor inicial x0 ∈ I, o método de Newton converge para a única raiz x ∈ I da equação f (x) = 0. 4. Dado a > 1, considere a função f : [0, +∞) → R, dada por f (x) = 1/(a + x). Fixado qualquer x0 > 0, prove que a seqüência definida indutivamente por x1 = f (x0 ), . . . , xn+1 = f (xn ), converge para a raiz positiva c da equação x2 + ax − 1 = 0. (Cfr. Exercı́cio 3.5, Capı́tulo 3.) 5. Prove que 1,0754 é um valor aproximado, com 4 algarismos decimais exatos, da raiz positiva da equação x6 + 6x − 8 = 0. 6. Seja f : [a, b] → R convexa, duas vezes derivável. Se f (a) < 0 < f (b) prove que, começando com um ponto x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) > 0, o método de Newton converge sempre para a única raiz x ∈ [a, b] da equação f (x) = 0. √ 7. Prove que as aproximações de n c dadas pelo método de Newton formam, a partir do segundo termo, uma seqüência decrescente.

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10 A Integral de Riemann

As noções de derivada e integral constituem o par de conceitos mais importantes da Análise. Enquanto a derivada corresponde à noção geométrica de tangente e à idéia fı́sica de velocidade, a integral está associada à noção geométrica de área e à idéia fı́sica de trabalho. É um fato notável e de suma importância que essas duas noções, aparentemente tão diversas, estejam intimamente ligadas.

Revisão sobre sup e inf

Demonstraremos aqui alguns resultados elementares sobre supremos e ı́nfimos de conjuntos de números reais, para uso imediato. Dada uma função limitada f : X → R, lembremos que sup f = sup f (X) = sup{f (x); x ∈ X} e inf f = inf f (X) = inf{f (x); x ∈ X}. Todos os conjuntos a seguir mencionados são não-vazios. Lema 1. Sejam A, B ⊂ R tais que, para todo x ∈ A e todo y ∈ B se tenha x ≤ y. Então sup A ≤ inf B. A fim de ser sup A = inf B é necessário e suficiente que, para todo ε > 0 dado, existam x ∈ A e y ∈ B com y − x < ε. Demonstração: Todo y ∈ B é cota superior de A, logo sup A ≤ y. Isto mostra que sup A é cota inferior de B, portanto sup A ≤ inf B. Se valer a desigualdade estrita sup A < inf B então ε = inf B − sup A > 0 e y − x ≥ ε para quaisquer x ∈ A, y ∈ B. Reciprocamente, se sup A =

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A Integral de Riemann

Cap. 10

inf B então, para todo ε > 0 dado, sup A − ε/2 não é cota superior de A e inf B + ε/2 não é cota inferior de B, logo existem x ∈ A e y ∈ B tais que sup A − ε/2 < x ≤ sup A = inf B ≤ y < inf B + ε/2. Segue-se que y − x < ε. Lema 2. Sejam A, B ⊂ R conjuntos limitados e c ∈ R. São também limitados os conjuntos A + B = {x + y; x ∈ A, y ∈ B} e c · A = {cx; x ∈ A}. Além disso, tem-se sup(A + B) = sup A + sup B, inf(A + B) = inf A + inf B e sup(c · A) = c · sup A, inf(c · A) = c · inf A, caso seja c ≥ 0. Se c < 0 então sup(c · A) = c · inf A e inf(c · A) = c · sup A.

Demonstração: Pondo a = sup A e b = sup B, para todo x ∈ A e todo y ∈ B tem-se x ≤ a, y ≤ b, logo x + y ≤ a + b. Portanto, a + b é cota superior de A + B. Além disso, dado ε > 0, existem x ∈ A e y ∈ B tais que a − ε/2 < x e b − ε/2 < y, donde a + b − ε < x + y. Isto mostra que a + b é a menor cota superior de A + B, ou seja, que sup(A + B) = sup A + sup B. A igualdade sup(c · A) = c · sup A é óbvia se c = 0. Se c > 0, dado qualquer x ∈ A tem-se x ≤ a, logo cx ≤ ca. Portanto ca é cota superior do conjunto c · A. Além disso, dado qualquer número d menor do que ca, temos d/c < a, logo existe x ∈ A tal que d/c < x. Segue-se que d < cx. Isto mostra que c · a é a menor cota superior de c · A, ou seja, que sup(c · A) = c · sup A. Os casos restantes enunciados no lema são provados de modo análogo. Corolário. Sejam f, g : X → R funções limitadas. Para todo c ∈ R são limitadas as funções f + g, cf: X → R. Tem-se além disso, sup(f + g) ≤ sup f + sup g, inf(f + g) ≥ inf f + inf g, sup(cf ) = c · sup f , e inf(cf ) = c · inf f quando c ≥ 0. Caso c < 0, tem-se sup(cf ) = c · inf f e inf(cf ) = c · sup f . Com efeito, sejam A = f (X), B = g(X), C = (f + g)(X) = {f (x) + g(x); x ∈ X}. Evidentemente C ⊂ A + B, logo sup(f + g) = sup C ≤ sup(A + B) = sup A + sup B = sup f + sup g. Além disso, sup(cf ) = sup{c · f (x); x ∈ X} = sup(cA) = c · sup A, quando c ≥ 0. Os demais casos enunciados no corolário se provam de modo análogo.

Observação. Pode-se ter efetivamente sup(f + g) inf f + inf g. Basta tomar f, g : [0, 1] → R, f (x) = x e g(x) = −x. Lema 3. Dada f : X → R limitada, sejam m = inf f , M = sup f e ω = M − m. Então ω = sup{|f (x) − f (y)|; x, y ∈ X}.

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Seção 2

Integral de Riemann

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Demonstração: Dados x, y ∈ X arbitrários, para fixar idéias seja f (x) ≥ f (y). Então m ≤ f (y) ≤ f (x) ≤ M , donde |f (x) − f (y)| ≤ M − m = ω. Por outro lado, para todo ε > 0 dado podemos achar x, y ∈ X tais que f (x) > M − ε/2 e f (y) < m + ε/2. Então |f (x) − f (y)| ≥ f (x) − f (y) > M − m − ε = ω − ε. Assim, ω é a menor das cotas superiores do conjunto {|f (x)−f (y)|; x, y ∈ X}, o que prova o lema. Lema 4. Sejam A′ ⊂ A e B ′ ⊂ B conjuntos limitados de números reais. Se, para cada a ∈ A e cada b ∈ B, existem a′ ∈ A′ e b′ ∈ B ′ tais que a ≤ a′ e b′ ≤ b, então sup A′ = sup A e inf B ′ = inf B.

Demonstração: Evidentemente, sup A é uma cota superior de A′ . Além disso, se c < sup A existe a ∈ A com c < a, logo existe a′ ∈ A′ com c < a ≤ a′ , portanto c não é cota superior de A′ . Assim, sup A é a menor cota superior de A′ , isto é, sup A = sup A′ . Um raciocı́nio análogo demonstra o resultado para inf B e inf B ′ .

Integral de Riemann

Uma partição do intervalo [a, b] é um subconjunto finito de pontos P = {t0 , t1 , . . . , tn } ⊂ [a, b] tal que a ∈ P e b ∈ P . A notação será sempre usada de modo que a = t0 < t1 < · · · < tn = b. O intervalo [ti−1 , ti ], de comprimento ti − Pti−1 , será chamado o i-ésimo intervalo da partição P . Evidentemente, ni=1 (ti − ti−1 ) = b − a. Sejam P e Q partições do intervalo [a, b]. Diz-se que Q refina P quando P ⊂ Q. A maneira mais simples de refinar uma partição é acrescentar-lhe um único ponto. Dada uma função limitada f : [a, b] → R, usaremos as notações m = inf{f (x); x ∈ [a, b]} e

M = sup{f (x); x ∈ [a, b]}.

Em particular, temos m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b]. Se P = {t0 , t1 , . . . , tn } é uma partição de [a, b], as notações mi = inf{f (x); ti−1 ≤ x ≤ ti }, Mi = sup{f (x); ti−1 ≤ x ≤ ti } e ωi = Mi − mi indicarão o ı́nfimo, o supremo e a oscilação de f no i-ésimo intervalo de P . Quando f é contı́nua, mi e Mi são valores efetivamente assumidos por f em [ti−1 , ti ]. Em particular, neste caso existem xi , yi ∈ [ti−1 , ti ] tais que ωi = |f (yi ) − f (xi )|.

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A Integral de Riemann

Cap. 10

A soma inferior de f relativamente à partição P é o número s(f ; P ) = m1 (t1 − t0 ) + · · · + mn (tn − tn−1 ) =

n X i=1

mi (ti − ti−1 ).

A soma superior de f relativamente à partição P é, por definição, S(f ; P ) = M1 (t1 − t0 ) + · · · + Mn (tn − tn−1 ) =

n X i=1

Mi (ti − ti−1 ).

Evidentemente, m(b − a) ≤ s(f ; P ) ≤ S(f ; P ) ≤ PM (b − a) seja qual for a partição P . Além disso, S(f ; P ) − s(f ; P ) = ni=1 ωi (ti − ti−1 ). Quando f estiver clara no contexto, pode-se escrever simplesmente s(P ) e S(P ) em vez de s(f ; P ) e S(f ; P ) respectivamente.

Figura 9: A soma inferior e a soma superior.

No caso em que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], os números s(f ; P ) e S(f ; P ) são valores aproximados, respectivamente por falta e por excesso, da área da região limitada pelo gráfico de f , pelo intervalo [a, b] do eixo das abscissas e pelas verticais levantadas nos pontos a e b desse eixo. Quando f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b], essas somas são valores aproximados de tal área, com o sinal trocado. A integral inferior e a integral superior da função limitada f: [a, b]→R são definidas, respectivamente, por Z b

f (x) dx = sup s(f ; P ), P

Z¯ b a

f (x) dx = inf S(f ; P ), P

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Seção 2

Integral de Riemann

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o sup e o inf sendo tomados relativamente a todas as partições P do intervalo [a, b]. Teorema 1. Quando se refina uma partição, a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta. Ou seja: P ⊂ Q ⇒ s(f ; P ) ≤ s(f ; Q) e S(f ; Q) ≤ S(f ; P ).

Demonstração: Suponhamos inicialmente que a partição Q = P ∪ {r} resulte de P pelo acréscimo de um único ponto r, digamos com tj−1 < r < tj . Sejam m′ e m′′ respectivamente os ı́nfimos de f nos intervalos [tj−1 , r] e [r, tj ]. Evidentemente, mj ≤ m′ , mj ≤ m′′ e tj − tj−1 = (tj − r) + (r − tj−1 ). Portanto s(f ; Q) − s(f ; P ) = m′′ (tj − r) + m′ (r − tj−1 ) − mj (tj − tj−1 )

= (m′′ − mj )(tj − r) + (m′ − mj )(r − tj−1 ) ≥ 0.

Para obter o resultado geral, onde Q resulta de P pelo acréscimo de k pontos, usa-se k vezes o que acabamos de provar. Analogamente, P ⊂ Q ⇒ S(f ; Q) ≤ S(f ; P ). Corolário 1. Para quaisquer partições P , Q do intervalo [a, b] e qualquer função limitada f : [a, b] → R tem-se s(f ; P ) ≤ S(f ; Q). Com efeito, a partição P ∪ Q refina simultaneamente P e Q, logo s(f ; P ) ≤ s(f ; P ∪ Q) ≤ S(f ; P ∪ Q) ≤ S(f ; Q).

Corolário 2. Dada f : [a, b] → R, se m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] então Z¯ b Z b f (x) dx ≤ f (x) dx ≤ M (b − a). m(b − a) ≤ ¯

Com efeito, as desigualdades externas são óbvias e a do meio resulta do Corolário 1 e do Lema 1. Corolário 3. Seja P0 uma partição de [a, b]. Se considerarmos as somas s(f ; P ) e S(f ; P ) apenas relativas às partições P que refinam Rb Rb P , obteremos os mesmos valores para f (x) dx e ¯ f (x) dx. 0

Com efeito, basta combinar o Teorema 1 e o Lema 4.

Uma função limitada f : [a, b] → R diz-se integrável quando sua integral inferior e sua integral superior são iguais. EsseR valor comum b chama-se a integral (de Riemann) de f e é indicado por a f (x) dx. i

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A Integral de Riemann

Cap. 10

Rb No sı́mbolo a f (x) dx, x é o que se chama uma “variável muda”, Rb Rb Rb isto é, a f (x) dx = a f (y) dy = a f (t) dt, etc. Rb Às vezes prefere-se a notação mais simples a f . A justificativa para a notação mais complicada será vista noR Teorema 2, Capı́tulo 11. b Quando f é integrável, sua integral a f (x) dx é o número real cujas aproximações por falta são as somas inferiores s(f ; P ) e cujas aproximações por excesso são as somas superiores S(f ; P ). O Teorema 1 diz que essas aproximações melhoram quando se refina a partição P . Geometricamente, quando f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], a existência de Rb a f (x) dx significa que a região limitada pelo gráfico de f , pelo segmento [a, b] do eixo das abscissas e pelas verticais levantadas pelos pontos a e b é mensurável (isto é, possui área) e o valor da integral é, por definição, Rb a área dessa região. No caso geral, tem-se a área externa ¯a f (x) dx e a Rb área interna a f (x) dx, que podem ser diferentes, como veremos agora. ¯

Exemplo 1. Seja f : [a, b] → R definida por f (x) = 0 se x é racional e f (x) = 1 quando x é irracional. Dada uma partição arbitrária P , como cada intervalo [ti−1 , ti ] contém números racionais e irracionais, temos mi = 0 e Mi = 1, logo s(f ; P ) = 0 e S(f ; P ) = b − a. Assim, f não é Rb Rb integrável, pois f (x) dx = 0 e ¯ f (x) dx = b − a. ¯

Exemplo 2. Seja f : [a, b] → R constante, f (x) = c para todo x ∈ [a, b]. Então, seja qual for a partição P , temos mi = Mi = c em todos os intervalos, logo s(f ; P ) = S(f ; P ) = c(b − a). Assim f é integrável, com Rb Rb Rb f (x) dx = f (x) dx = ¯ f (x) dx = c(b − a). a

Teorema 2. (Condição imediata de integrabilidade.) Seja f : [a, b] → R limitada. As seguintes afirmações são equivalentes: (1) f é integrável.

(2) Para todo ε > 0, existem partições P , Q de [a, b] tais que S(f ; Q)− s(f ; P ) < ε. (3) Para todo ε > 0, existe uma P partição P = {t0 , . . . , tn } de [a, b] tal que S(f ; P ) − s(f ; P ) = ni=1 ωi (ti − ti−1 ) < ε.

Demonstração: Sejam A o conjunto das somas inferiores e B o conjunto das somas superiores de f . Pelo Corolário 1 do Teorema 1, tem-se s ≤ S para toda s ∈ A e toda S ∈ B. Supondo (1), vale sup A = inf B.

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Seção 3

Propriedades da integral

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Logo, pelo Lema 1, podemos concluir que (1) ⇒ (2). Para provar que (2) ⇒ (3) basta observar que se S(f ; Q) − s(f ; P ) < ε então, como a partição P0 = P ∪ Q refina ambas P e Q, segue-se do Teorema 1 que s(f ; P ) ≤ s(f ; P0 ) ≤ S(f ; P0 ) ≤ S(f ; Q), donde se conclui que S(f ; P0 ) − s(f ; P0 ) < ε. Finalmente, (3) ⇒ (1) pelo Lema 1. Exemplo 3. Seja f : [a, b] → R definida por f (x) = c quando a < x ≤ b Rb e f (a) = A. Afirmamos que f é integrável, com a f (x) dx = c(b − a). Para fixar idéias, suponhamos c < A. Então, dada uma partição qualquer P = {t0 , t1 , . . . , tn } temos m1 = c, M1 = A e mi = Mi = c para 1 0, tomamos uma partição P com t1 − t0 < ε/(A − c) e obtemos S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε. Logo f é integrável. Além disso, como s(f ; P ) = c(b − a) para toda partição P , temos Z b f (x) dx = c(b − a). ¯

Mas, sendo f integrável, resulta que Z b Z b f (x) dx = c(b − a). f (x) dx = a

Evidentemente, um resultado análogo vale quando f (x) = c para x ∈ [a, b), ou quando f (x) = c para todo x ∈ (a, b).

Propriedades da integral

Teorema 3. Seja a < c < b. A função limitada f : [a, b] → R é integrável se, e somente se, suas restrições f |[a, c] e f |[c, b] são integráveis. Rb Rc Rb No caso afirmativo, tem-se a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx. Demonstração: Sejam A e B respectivamente os conjuntos das somas inferiores de f |[a, c] e f |[c, b]. Vê-se facilmente que A+B é o conjunto das somas inferiores de f relativamente às partições de [a, b] que contêm o ponto c. Pelo Corolário 3 do Teorema 1, ao calcular a integral inferior de f , basta considerar as partições desse tipo, pois elas são as que refinam P0 = {a, c, b}. Pelo Lema 2, Z b Z c Z b f (x) dx. f (x) dx + f (x) dx = sup(A + B) = sup A + sup B = ¯

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A Integral de Riemann

Cap. 10

Analogamente se mostra que Z¯ b

f (x)dx =

Z¯ c

f (x)dx +

Z b

f (x)dx.

Logo Z¯ b a

f−

Z b



f =

Z¯ c a

f−

Z c





f + 

Z¯ b c

f−

Z b



f .

Como as duas parcelas dentro dos parênteses são ≥ 0, sua soma é zero se, e somente se, elas são ambas nulas. Assim, f é integrável se, e somente se, suas restrições f |[a, c] e f |[c, b] o são. No caso afirmativo, vale a Rb Rc Rb igualdade a f = a f + c f .

Exemplo 4. Diz-se que f : [a, b] → R é uma função-escada quando existem uma partição P = {t0 , . . . , tn } de [a, b] e números reais c1 , . . . , cn tais que f (x) = ci quando ti−1 < x < ti . (Note-se que nada se diz sobre os valores f (ti ).) Segue-se do Teorema 3 e do Exemplo 3 que toda função Rb P escada é integrável e a f (x) dx = ni=1 ci (ti − ti−1 ). Rb Rc Rb Convenção. A igualdade a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx faz sentido apenas quando a < c < b. A fim de torná-la verdadeira sejam quais forem a, b, c ∈ R, Rfaremos duas convenções, Rque serão adotadas R a dorab a vante. Primeira: a f (x) dx = 0. Segunda: a f (x) dx = − b f (x) dx. Aceitas estas convenções, vale para toda função integrável f a igualdade acima. Para verificá-la, há seis possibilidades a considerar: a ≤ b ≤ c, a ≤ c ≤ b, b ≤ a ≤ c, b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b e c ≤ b ≤ a. Em cada caso, basta admitir a integrabilidade de f no intervalo maior. Teorema 4. Sejam f, g : [a, b] → R integráveis. Então: (1) A soma f + g é integrável e Z b Z b Z b [f (x) + g(x)]dx = f (x) dx + g(x) dx. a

(2) O produto f ·g é integrável. Se c ∈ R,

Rb a c·f (x) dx = c· a f (x) dx.

(3) Se 0 < k ≤ |g(x)| para todo x ∈ [a, b] então o quociente f /g é integrável. Rb Rb (4) Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], então a f (x) dx ≤ a g(x) dx.

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Seção 3

Propriedades da integral

(5) |f | é integrável e

a f (x) dx

≤

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a |f (x)| dx.

Demonstração: Dada uma partição arbitrária P de [a, b], se indicarmos com m′i , m′′i e mi respectivamente os ı́nfimos de f , g e f + g no i-ésimo intervalo de P , teremos m′i + m′′i ≤ mi , pelo Corolário do Lema Rb 2, logo s(f ; P ) + s(g; P ) ≤ s(f + g; P ) ≤ a (f + g) para toda partição ¯

P . Se tomarmos duas partições P e Q teremos ainda

s(f ; P ) + s(g; Q) ≤ s(f ; P ∪ Q) + s(g; P ∪ Q) ≤

Z b

(f + g).

Por conseguinte, Z b

Z b

g = sup s(f ; P ) + sup s(g; Q) P

= sup[s(f ; P ) + s(g; Q)] ≤ P,Q

Z b

(f + g).

Isto prova a primeira das desigualdades abaixo. A terceira se demonstra de modo análogo e a segundo é óbvia: Z b

Z b

g≤

Z b

Z¯ b Z¯ b Z¯ b (f + g) ≤ (f + g) ≤ f + g. a

Quando f e g são integráveis, as três desigualdades se reduzem a igualdades, o que prova (1). (2) Seja K tal que |f (x)| ≤ K e |g(x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b]. Dada uma partição P , sejam ωi′ , ωi′′ e ωi respectivamente as oscilações de f , g e f · g no i-ésimo intervalo [ti−1 , ti ]. Para quaisquer x, y ∈ [ti−1 , ti ] temos: |f (y) · g(y) − f (x) · g(x)| = |(f (y) − f (x))g(y) + f (x)(g(y) − g(x))|

≤ |f (y) − f (x)| |g(y)| + |f (x)| |g(y) − g(x)|

≤ K(ωi′ + ωi′′ ).

P P P Daı́ ωi (ti −ti−1 ) ≤ K ·[ ωi′ (ti −ti−1 )+ ωi′′ (ti −ti−1 )]. A integrabilidade de f · g segue-se então da integrabilidade de f e g, pelo Teorema 2.

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A Integral de Riemann

Cap. 10

Quanto a cf , sua integrabilidade resulta do que acabamos de provar. Além disso, se c ≥ 0, temos s(cf ; P ) = c · s(f ; P ) para toda partição P , donde, pelo Lema 2, Z b Z b Z b Z b f. f =c· cf = c · cf = a

Rb Rb Rb Caso c < 0, temos s(cf ; P ) = c · S(f ; P ), logo a cf = a cf = c ·a¯ f = ¯ Rb c · a f. (3) Como f /g = f · (1/g), basta provar que 1/g é integrável se g é integrável e 0 < k ≤ |g(x)| para todo x ∈ [a, b]. Indiquemos com ωi e ωi′ respectivamente as oscilações de g e 1/g no i-ésimo intervalo de ε > 0, podemos tomar P de modo que P uma partição P . Dado ωi (ti − ti−1 ) < ε · k 2 . Para quaisquer x, y no i-ésimo intervalo de P tem-se 1 |g(x) − g(y)| 1 ωi = − ≤ 2, g(y) g(x) |g(y)g(x)| k P portanto ωi′ ≤ ωi /k 2 . Segue-se que ωi′ (ti − ti−1 ) < ε, logo 1/g é integrável. (4) Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] então s(f ; P ) ≤ s(g; P ) e Rb Rb S(f ; P ) ≤ S(g; P ) para toda partição P , donde a f (x) dx ≤ a g(x) dx. (5) A desigualdade evidente | |f (y)| − |f (x)| | ≤ |f (y) − f (x)| mostra que a oscilação de |f | em qualquer conjunto não supera a de f . Logo, f integrável ⇒ |f | integrável. Além disso, como −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| para todo x ∈ [a, b], resulta de (4) que Z b Z b Z b |f (x)| dx, f (x) dx ≤ |f (x)| dx ≤ − a

ou seja,

a f (x) dx

≤

a |f (x)| dx.

Corolário. Se f : [a, b] → R é integrável e |f (x)| ≤ K para todo x ∈ Rb [a, b] então a f (x) dx ≤ K(b − a).

Observação. Se uma função integrável f : [a, b] → R é tal que f (x) ≥ 0 Rb para todo x ∈ [a, b] então a f (x) dx ≥ 0. Isto resulta de (4) acima. Mas Rb é possı́vel ter f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], com a f (x) dx = 0 sem que f seja identicamente nula. Basta tomar f (x) = 1 num conjunto finito de

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Seção 4

Condições suficientes de integrabilidade

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pontos em [a, b] e f (x) = 0 nos pontos de [a, b] fora desse conjunto finito. Pelo Exemplo 4, f é integrável e sua integral é zero. Entretanto, se f Rb é contı́nua e f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] então a f (x) dx = 0 implica f identicamente nula. Com efeito, se existisse algum ponto x0 ∈ [a, b] onde f (x0 ) = c > 0, existiria um intervalo não-degenerado [α, β], com x0 ∈ [α, β] ⊂ [a, b] tal que f (x) > c/2 para todo x ∈ [α, β]. Então, Rb Rβ como f (x) ≥ 0, terı́amos a f (x) dx ≥ α f (x) dx > 2c (β − α) > 0, uma contradição.

Condições suficientes de integrabilidade

Teorema 5. Toda função contı́nua f : [a, b] → R é integrável.

Demonstração: Dado ε > 0, pela continuidade uniforme de f no compacto [a, b], existe δ > 0 tal que x, y ∈ [a, b], |y − x| < δ implicam |f (y) − f (x)| < ε/(b − a). Seja P uma partição de [a, b] cujos intervalos têm todos comprimento < δ. Em todo intervalo [ti−1 , ti ] de P existem xi , yi tais que mi = f (xi ) e M Pi = f (yi ), donde ωi = f (yi ) − f (xi ) < ε/(b − a). Conseqüentemente ωi (ti − ti−1 ) < ε. Pelo Teorema 2, f é integrável.

Teorema 6. Toda função monótona f : [a, b] → R é integrável.

Demonstração: Para fixar idéias, seja f não-decrescente e não-constante. Dado ε > 0, seja P = {t0 , . . . , tn } uma partição de [a, b] cujos intervalos têm todos comprimento < ε/[fP (b) − f (a)]. Para cada i = 1, . . . , n temos ωi = f (ti ) − f (ti−1 ) portanto ωi = f (b) − f (a) e X X ε ωi (ti − ti−1 ) < · ωi = ε. f (b) − f (a) Logo f é integrável.

As considerações a seguir são um preparativo para o Teorema 7, que engloba os Teoremas 5 e 6 como casos particulares. Se a < b, indicaremos com |I| = b − a o comprimento do intervalo (fechado, aberto ou semi-aberto) I cujos extremos são a e b. Diz-se que o conjunto X ⊂ R tem medida nula quando, para todo S ε > 0 dado, existe uma cobertura finita ou infinita enumerável XP⊂ Ik de X por intervalos abertos Ik cuja soma dos comprimentos é |Ik | < ε. Na definição de conjunto de medida nula, os intervalos Ik da coberS tura X ⊂ Ik são tomados abertos a fim de permitir o uso do Teorema i

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A Integral de Riemann

Cap. 10

de Borel-Lebesgue, quando necessário. Deve-se observar S porém que se, para todo ε > 0, existir uma cobertura enumerável X ⊂ Ik por meio de intervalos limitados Ik (abertos ou não), com Σ|Ik | < ε, então X tem medida nula. Com efeito, sendo assim, para todo k ∈ N tomamos um intervalo aberto JS k ⊃ Ik com |Jk | =!Ik | + ε/2k, o que nos dá uma cobertura aberta X ⊂ Jk , com Σ|Jk | = Σ|Ik | + Σ(ε/2k) = Σ|Ik | + ε < 2ε, logo X tem medida nula. Exemplo 5. Todo conjunto enumerável X = {x1 , . . . , xk , . . . } tem medida nula. Com efeito, dado arbitrariamente ε > 0, seja S Ik o intervalo P aberto de centro xk e comprimento ε/2k+1 . Então X ⊂ Ik e |Ik | = ε/2 < ε. Em particular, o conjunto Q dos números racionais tem medida nula. Teorema 7. Se o conjunto D dos pontos de descontinuidade de uma função limitada f : [a, b] → R tem medida nula então f é integrável.

Demonstração: S Dado Pε > 0, existem intervalos abertos I1 , . . . , Ik , . . . tais que D ⊂ Ik e |Ik | < ε/2K, onde K = M − m é a oscilação de f em [a, b]. Para cada x ∈ [a, b] − D, seja Jx um intervalo aberto de centro x tal que a oscilação de f |(Jx ∩ [a, b]) é menor do que ε/2(b S − a). Pelo Teorema de Borel-Lebesgue, a cobertura aberta [a, b] ⊂ k Ik ∪ S possui uma subcobertura finita [a, b] ⊂ I ∪ · · · ∪ I ∪ Jx1 ∪ J 1 m x x · · · ∪ Jxn . Seja P a partição de [a, b] formada pelos pontos a e b e os extremos desses m + n intervalos que pertençam a [a, b]. Indiquemos com [tα−1 , tα ] os intervalos de P que estão contidos em algum I k e com [tβ−1 , tβ ] os demais P intervalos de P , cada um dos quais está contido em algum Jxi . Então (tα − tα−1 ) < ε/2K e a oscilação de f em cada intervalo [tβ−1 , tβ ] é ωβ < ε/2(b − a). Logo X X S(f ; P ) − s(f ; P ) = ωα (tα − tα−1 ) + ωβ (tβ − tβ−1 ) X X ε(tβ − tβ−1 ) < K(tα − tα−1 ) + 2(b − a) Kε ε · (b − a) < + = ε. 2K 2(b − a) Logo f é integrável. A recı́proca do Teorema 7 é verdadeira. A fim de demonstrá-la, faremos uso da oscilação ω(f ; x) da função limitada f : [a, b] → R no ponto x ∈ [a, b], assim definida: para cada δ > 0, seja ω(δ) = Mδ − mδ ,

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Seção 4

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onde Mδ e mδ são respectivamente o sup e o inf de f em [a, b]∩[x−δ, x+δ]. A função ω(δ) é ≥ 0, limitada e não-decrescente, logo existe o limite ω(f ; x) = lim ω(δ), que chamaremos a oscilação de f no ponto x. Segueδ→0

se imediatamente da definição de função contı́nua que ω(f ; x) > 0 se, e somente se, a função f é descontı́nua no ponto x. Se x é um ponto interior do intervalo I ⊂ [a, b] então ω(f ; x) ≤ ω(f ; I), onde ω(f ; I) = sup ·f (x) − inf f (x). Mas se x é um dos extremos de I, pode ocorrer que x∈I

x∈I

seja ω(f ; x) > ω(f ; I). Este é, por exemplo, o caso quando f : [−1, 1] → R é dada por f (x) = 1 para −1 ≤ x < 0 e f (x) = 0 quando x ≥ 0. Tomando I = [0, 1] e x = 0, temos ω(f ; I) = 0 e ω(f ; x) = 1. Com esses preliminares esclarecidos, passemos à Recı́proca do Teorema 7. O conjunto D dos pontos de descontinuidade da função integrável f : [a, b] → R tem medida nula. Demonstração: Para cada k ∈ N, seja Dk ={x∈[a, b]; ω(f ; x)≥1/k}. Então D = ∪Dk , logo basta mostrar que cada Dk tem medida nula. Fixemos k e tomemos ε > 0. Sendo f integrável, existe uma partição P = {t0 < t1 , < · · · < tk } de [a, b] tal que Σωi ·(ti −ti−j ) < ε/k, onde ωi é a oscilação de f em [ti−j , ti ]. Indicando com [tα−i , tα ] os intervalos de P que contêm pontos de Dk em seu interior, temos ωα ≥ 1/k para cada α e Dk = [∪(tα−1 , tα )] ∪ F , onde F é o conjunto (finito) das extremidades dos (tα−1 , tα ) que pertençam a Dk . Então 1 Σ(tα − tα−1 ) ≤ Σωα · (tα − tα−1 ) ≤ Σωi (ti − ti−1 ) < ε/k, k logo Σ(tα − tα−1 ) < ε. Assim, para todo ε > 0 dado, é possı́vel cobrir Dk com um conjunto finito F mas uma reunião finita de intervalos cuja soma dos comprimentos é < ε. Segue-se que Dk tem medida nula. Exemplo 6. O conjunto de Cantor K (seção 5 do Capı́tulo 5), embora não-enumerável, tem medida nula. Com efeito, se pararmos na n-ésima etapa de sua construção, veremos que o conjunto de Cantor está contido na reunião de 2n intervalos, cada um tendo comprimento 1/3n . Dado ε > 0, podemos tomar n ∈ N tal que (2/3)n < ε, e concluiremos que a medida de K é zero. Podemos considerar a função f : [0, 1] → R, definida pondo-se f (x) = 0 se x ∈ K e f (x) = 1 se x ∈ / K. Como [0, 1] − K é aberto, a função f é localmente constante, e portanto contı́nua, nos pontos x ∈ / K. Como K não possui pontos interiores, f é descontı́nua em

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A Integral de Riemann

Cap. 10

todos os pontos de K. Pelo Teorema 7, f é integrável. Dada qualquer partição P de [0, 1] todos os intervalos de P contêm pontos que não pertencem a K, pois int K = ∅. Assim, Mi = 1 e S(f ; P ) = 1 para toda R 1 R1 partição P . Segue-se que 0 f (x) dx = ¯0 f (x) dx = 1.

Exemplo 7. Se S a < b, o intervalo [a, b] não tem medida nula. Com efeito, se [a, b] ⊂ Ik é uma cobertura (que podemos supor finita) por intervalos Ik , tem-se sempre Σ|Ik | ≥ b − a. De fato, os pontos a, b e mais as extremidades dos Ik que estejam contidas em [a, b] formam uma partição P = {a = t0 < t1 < · · · < tm = b} tal que cada intervalo (ti−1 , ti ) está contido em algum P Ik . Se escrevermos i ⊂ k para significar (ti − ti−1 ) ≤ |Ik |. Portanto que (ti−1 , ti ) ⊂ Ik , teremos i⊂k

# " X X (ti − ti−1 ) ≤ Σ|Ik |. b − a = Σ(ti − ti−1 ) = k

i⊂k

Exercı́cios

Seção 2:

Integral de Riemann

1. Defina f : [0, 1] → R pondo f (0) = 0 e f (x) = 1/2n se 1/2n+1 < n x R 1 ≤ 1/2 , n ∈ N ∪ {0}. Prove que f é integrável e calcule 0 f (x) dx.

2. Seja Rf : [−a, a] → R integrável. Se f é uma funçãoRı́mpar, prove a a que −a f (x) dx = 0. Se, porém, f é par, prove que −a f (x) dx = Ra 2 0 f (x) dx. 3. Seja f : [a, b] → R definida pondo f (x) = 0 se x é irracional e f (x) = 1/q se x = p/q é uma fração irredutı́vel e q > 0. (Ponha f (0) = 1 caso 0 ∈ [a, b].) Prove que f é contı́nua apenas nos pontos Rb irracionais de [a, b], que é integrável e que a f (x) dx = 0.

4. Seja f : [a, b] → R uma função integrável, com f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Se f é contı́nua no ponto c ∈ [a, b] e f (c) > 0, prove que Rb a f (x) dx > 0.

5. Seja f : [a, b] → R definida pondo f (x) = x quando x é racional e f (x) = x + 1 quando x é irracional. Calcule as integrais (inferior e superior) de f . Usando uma função integrável g : [a, b] → R em vez de x, defina agora ϕ(x) = g(x) se x é racional e ϕ(x) = g(x)+1

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Seção 5

Exercı́cios

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para x irracional. Calcule as integrais (inferior e superior) de ϕ em termos da integral de g. Seção 3:

Propriedades da integral

1. Seja f : [a, b] → R integrável. Prove que a função F : [a, b] → R, Rx definida por F (x) = a f (t) dt, é lipschitziana.

2. Prove que se f, g : [a, b] → R são integráveis então são também integráveis as funções ϕ, ψ : [a, b] → R, definidas por ϕ(x) = max{f (x), g(x)} e ψ(x) = min{f (x), g(x)}. Conclua daı́ que são integráveis as funções f+ , f− : [a, b] → R dadas por f+ (x) = 0 se f (x) ≤ 0, f+ (x) = f (x) se f (x) > 0; f− (x) = 0 se f (x) ≥ 0 e f− (x) = −f (x) se f (x) < 0 (supondo ainda f integrável).

3. Prove que se f, g : [a, b] → R são contı́nuas então Z b a

f (x)g(x) dx

≤

Z b a

f (x) dx ·

Z b

g(x)2 dx.

(Desigualdade de Schwarz.) Seção 4:

Condições suficientes de integrabilidade

1. Prove que a função f do Exercı́cio 2.3 é integrável. 2. Prove que o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função monótona é enumerável e conclua daı́ que o Teorema 6 decorre do Teorema 7. 3. Seja D o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função limitada f : [a, b] → R. Se D′ (conjunto dos pontos de acumulação de D) é enumerável, prove que f é integrável. 4. Uma função limitada f : [a, b] → R, que se anula fora de um conjunto de medida nula, pode não ser integrável. Nestas condições, supondo f integrável, prove que sua integral é igual a zero. 5. Diz-se que um conjunto X ⊂ R tem conteúdo nulo quando, para todo ε > 0 dado, existe uma cobertura X ⊂ I1 ∪ · · ·P ∪ Ik , por meio k de um número finito de intervalos abertos, com j=1 |Ij | < ε. Prove: (a) Se X tem conteúdo nulo, o mesmo ocorre com seu fecho X.

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Cap. 10

(b) Existem conjuntos de medida nula que não têm conteúdo nulo. (c) Um conjunto compacto tem medida nula se, e somente se, tem conteúdo nulo. (d) Se uma função limitada g : [a, b] → R coincide com uma função integrável f : [a, b] → R exceto num conjunto de conteúdo nulo, prove que g é integrável e sua integral é igual à de f . 6. Se um conjunto X ⊂ [a, b] não tem medida nula então existe ε > 0 tal que, para toda partição P de [a, b], a soma dos comprimentos dos intervalos de P que contêm pontos de X em seu interior é maior do que ε. 7. Seja ϕ : [a, b] → R uma função positiva (isto é, ϕ(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]). Existe α > 0 tal que o conjunto X = {x ∈ [a, b]; ϕ(x) ≥ α} não tem medida nula. Rb 8. Se a função ϕ : [a, b] → R é positiva e integrável, então a ϕ(x) dx > 0. Conclua que se f, g : [a, b] → R são integráveis e f (x) < g(x) Rb Rb para todo x ∈ [a, b] então a f (x) dx < a g(x) dx. (Use os exercı́cios 6. e 7.) 9. Seja p : [a, b] → R integrável, com p(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Rb Prove que se a p(x) dx = 0 então o conjunto dos pontos x ∈ [a, b] tais que p(x) = 0 é denso em [a, b]. Se f : [a, b] → R é qualquer função integrávelR que se anula num conjunto denso de pontos em b [a, b], prove que a f (x) dx = 0.

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11 Cálculo com Integrais

Este capı́tulo é a continuação do anterior. Naquele, foi definida a integral e foram estabelecidas condições gerais que asseguram a integrabilidade de uma função. Neste, serão provadas as regras para o manuseio eficiente das integrais, entre elas o chamado Teorema Fundamental do Cálculo, uma movimentada via de mão dupla que liga derivadas a integrais. Em seguida, usaremos a integral para dar uma definição adequada do logaritmo e da exponencial. O capı́tulo termina com uma breve discussão das integrais impróprias.

Os teoremas clássicos do Cálculo Integral

Para começar, estabeleceremos a conexão entre derivada e integral. Teorema 1. (Teorema Fundamental do Cálculo.) Seja f : I → R contı́nua no intervalo I. As seguintes afirmações a respeito de uma função F : I → R são equivalentes: (1) F é uma integral R x indefinida de f , isto é, existe a ∈ I tal que F (x) = F (a) + a f (t) dt, para todo x ∈ I.

(2) F é uma primitiva de f , isto é, F ′ (x) = f (x) para todo x ∈ I.

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Cálculo com Integrais

Cap. 11

Demonstração: (1) ⇒ (2). Se x0 , x0 +h ∈ I então F (x0 +h)−F (x0 ) = R x +h R x0 +h f (t) dt e h · f (x0 ) = x00 f (x0 ) dt, portanto x0 1 F (x0 + h) − F (x0 ) − f (x0 ) = h h

Z x0 +h x0

[f (t) − f (x0 )] dt.

Dado ε > 0, pela continuidade de f no ponto x0 , existe δ > 0 tal que t ∈ I, |t − x0 | < δ implicam |f (t) − f (x0 )| < ε. Então 0 < |h| < δ, x0 + h ∈ I implicam Z x0 +h 1 F (x0 + h) − F (x0 ) |f (t) − f (x0 )| dt − f (x0 ) ≤ h |h| x0 1 < · |h| · ε = ε. |h| Isto mostra que F ′ (x0 ) = f (x0 ). (2) ⇒ (1). Seja F ′ = Rf . Como acabamos de ver, se fixarmos x a ∈ I e definirmos ϕ(x) = a f (t) dt, teremos ϕ′ = f . As duas funções F, ϕ : I → R, tendo a mesma derivada, diferem por uma constante. Como ϕ(a) = 0, essa constante é F (a). Portanto F (x) = F (a) + ϕ(x), Rx isto é, F (x) = F (a) + a f (t) dt para todo x ∈ I.

Comentários. (1). Foi provado acima que toda função contı́nua possui uma primitiva. Mais precisamente:R se f : [a, b] → R é integrável então x F : [a, b] → R, definida por F (x) = a f (t) dt, é derivável em todo ponto x0 ∈ [a, b] no qual f seja contı́nua, e tem-se F ′ (x0 ) = f (x0 ). Nesse ponto Rb também é derivável a função G : [a, b] → R, dada por G(x) = x f (t) dt. Rb Tem-se G′ (x0 ) = −f (x0 ). Com efeito, F (x) + G(x) = a f (t) dt = constante, logo F ′ (x0 ) + G′ (x0 ) = 0.

1 (2). Ficou também provado que se F : [a, b] → R xR é′ de classe C (isto é, tem derivada contı́nua) então F (x) = F (a) + a F (t) dt. Em particular, Rb Rb F (b) = F (a) + a F ′ (t) dt. Isto reduz o cálculo da integral a f (x) dx à Rb procura de uma primitiva de f . Se F ′ = f então a f (x) dx = F (b) − F (a).

(3). O mesmo argumento da demonstração de que (2) ⇒ (1) no Teorema 1 serve para provar que se a função integrável f : [a, b] → R é contı́nua no R x ponto c ∈ [a, b] então a função F : [a,′ b] → R, definida por F (x) = a f (t) dt é derivável no ponto c, com F (c) = f (c).

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Seção 1

Os teoremas clássicos do Cálculo Integral

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Teorema 2. (Mudança de variável.) Sejam f : [a, b] → R contı́nua, g : [c, d] → R com derivada contı́nua e g([c, d]) ⊂ [a, b]. Então Z g(d)

f (x) dx =

Z d c

g(c)

f (g(t)) · g ′ (t) dt.

Demonstração: Pelo Teorema 1, f possui uma primitiva F : [a, b] → R R g(d) e vale g(c) f (x) dx = F (g(d)) − F (g(c)). Por outro lado, a Regra da Cadeia nos dá (F ◦ g)′ (t) = F ′ (g(t)) · g ′ (t) = f (g(t)) · g ′ (t) para todo t ∈ [c, d]. Logo F ◦ g : [c, d] → R é uma primitiva da função contı́nua Rd t 7→ f (g(t)) · g ′ (t). Portanto c f (g(t)) · g ′ (t) dt = F (g(d)) − F (g(c)). Isto prova o teorema. Observação. O Teorema 2 é uma boa justificativa para a notação Rb Rb R g(d) a f (x) dx, em vez de a f . Para mudar a variável em g(c) f (x) dx, fazse x = g(t). A diferencial de x será dx = g ′ (t) dt. Estas substituições dão Z Z d

g(d)

f (x) dx =

g(c)

f (g(t)) · g ′ (t) dt.

A troca nos limites de integração é natural: quando t varia de c a d, x = g(t) varia de g(c) a g(d). b É tradicional no Cálculo a notação F a = F (b) − F (a).

Teorema 3. (Integração por partes.) Se f, g : [a, b] → R têm derivadas contı́nuas então Z b Z b b f ′ (x) · g(x) dx. f (x) · g ′ (x) dx = f · g a − a

Demonstração: Basta notar que f · g é primitiva de f · g ′ + f ′ · g e integrar esta soma usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Teorema 4. (Fórmula do Valor Médio para integrais.) Sejam f, p : [a, b] → R, f contı́nua, p integrável, com p(x) ≥ 0 para todo Rb x ∈ [a, b]. Existe um número c ∈ [a, b] tal que a f (x)p(x) dx = f (c) · Rb a p(x) dx.

Demonstração: Para todo x ∈ [a, b], temos m ≤ f (x) ≤ M , onde m é o ı́nfimo e M o supremo de f em [a, b]. Como p(x) ≥ 0, segue-se que Rb m·p(x) ≤ f (x)·p(x) ≤ M ·p(x) para todo x ∈ [a, b]. Seja A = a p(x) dx. i

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Cálculo com Integrais

Cap. 11

Rb Das últimas desigualdades resulta m·A ≤ a f (x)p(x) dx ≤ M ·A. Como Rb a função A · f é contı́nua, temos a f (x)p(x) dx = A · f (c) para algum c ∈ [a, b], o que prova o teorema. Corolário. Seja f : [a, b] → R contı́nua. Existe c ∈ [a, b] tal que Z b f (x) dx = f (c) · (b − a). a

Lema. Se ϕ : [0, 1] → R possui derivada de ordem n contı́nua então n−1 X ϕ(i) (0) Z 1 (1 − t)n−1 ϕ(1) = + ϕ(n) (t) dt. i! (n − 1)! 0 i=0

Para n = 1, esta fórmula reduz-se a ϕ(1) = ϕ(0) + RDemonstração: 1 ′ ϕ (t) dt, válida pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Para n = 2, 0 a integração por partes fornece Z 1 Z 1 1 ′′ ′ ϕ′ (t) dt = −ϕ′ (0) + ϕ(1) − ϕ(0), (1 − t)ϕ (t) dt = (1 − t)ϕ (t) 0 + 0

logo

′

ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ (0) +

Z 1 0

(1 − t)ϕ′′ (t) dt.

Para n = 3, novamente a integração por partes nos dá 1 Z 1 Z 1 (1 − t)2 ′′′ (1 − t)2 ′′ (1 − t)ϕ′′ (t) dt ϕ (t) dt = ϕ (t) + 2 2 0 0 0 ϕ′′ (0) =− + ϕ(1) − ϕ(0) − ϕ′ (0), 2 logo Z 1 (1 − t)2 ′′′ ϕ′′ (0) + ϕ (t) dt. ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′ (0) + 2 2 0 O padrão indutivo está claro. O lema vale para todo n. Teorema 5. (Fórmula de Taylor com resto integral.) Se f : I → R possui derivada n-ésima contı́nua no intervalo cujos extremos são a, a + h ∈ I então f (n−1) (a) n−1 f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h + · · · + h (n − 1)! Z 1 (1 − t)n−1 (n) + f (a + th)dt hn . (n − 1)! 0

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Seção 2

A integral como limite de somas de Riemann

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Demonstração: Definindo ϕ : [0, 1] → R por ϕ(t) = f (a + th), tem-se ϕ(i) (0) = f (i) (a)hi . O Teorema 5 resulta do lema acima. Corolário. (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange.) Se f : I → R é de classe C n no intervalo cujos extremos são a, a + h ∈ I então existe θ ∈ [0, 1] tal que f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h + · · · +

f (n−1) (a) n−1 f (n) (a + θh) n h + ·h . (n − 1)! n!

Com efeito, chamando de A a integral do enunciado do Teorema 5, resulta do Teorema 4 que existe θ ∈ [0, 1] tal que A = f (n) (a+θh)

Z 1 0

(1 − t)n−1 f (n) (a + θh) dt = · (n − 1)! n!

Observação. Esta demonstração é mais natural do que a dada no Teorema 2, Capı́tulo 9, porém exige mais de f .

A integral como limite de somas de Riemann

A norma de uma partição P = {t0 , . . . , tn } ⊂ [a, b] é o número |P | = maior comprimento ti − ti−1 dos intervalos de P . Teorema 6. Seja f : [a, b] → R limitada. Para todo ε > 0 dado, existe Rb δ > 0 tal que |P | < δ ⇒ S(f ; P ) < ¯ f (x) dx + ε. a

Demonstração: Suponhamos inicialmente f (x) ≥ 0 em [a, b]. Dado ε > 0, existe uma partição P0 = {t0 , . . . , tn } de [a, b] tal que S(f ; P0 ) <

Z¯ b

f (x) dx + ε/2.

Seja M = sup f . Tomemos δ com 0 < δ < ε/2 M n. Se P é qualquer partição de [a, b] com |P | < δ, indiquemos com [rα−1 , rα ] os intervalos de P que estão contidos em algum [ti−1 , ti ] de P0 e com [rβ−1 , rβ ] os restantes intervalos de P . Cada um destes contém pelo menos um ponto ti em seu interior, logo há, no máximo, n intervalos do tipo [rβ−1 , rβ ]. Escrevamos α ⊂ iP para significar [rα−1 , rα ] ⊂ [ti−1 , ti ]. Quando α ⊂ i valem Mα ≤ Mi e α⊂i (rα −rα−1 ) ≤ ti −ti−1 . Estes números são todos i

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Cálculo com Integrais

Cap. 11

P ≥ 0, logo α⊂i Mα ·(rα −rα−1 ) ≤ Mi ·(ti −ti−1 ) e Mβ ·(rβ −rβ−1 ) ≤ M ·δ. Portanto: X X S(f ; P ) = Mα (rα − rα−1 ) + Mβ (rβ − rβ−1 ) α

≤

n X i=1

Mi (ti − ti−1 ) + M · n · δ

< S(f ; P0 ) + ε/2 Z¯ b < f (x) dx + ε. a

No caso geral, como f é limitada, existe uma constante c tal que f (x) + c ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Tomando g(x) = f (x) + c temos S(g; P ) = S(f ; P ) + c · (b − a) e Z¯ b Z¯ b f (x) dx + c(b − a), g(x) dx = a

logo recaı́mos no caso anterior. Rb Rb Dizer que S(f ; P ) < ¯a f (x) dx+ε equivale a ¯a f (x) dx−S(f ; P ) < Rb ε. Logo o Teorema 6 significa que lim|P |→0 S(f ; P ) = ¯a f (x) dx. Rb De modo inteiramente análogo se prova que a f (x) dx = lim s(f ; P ). |P |→0 Uma partição pontilhada do intervalo [a, b] é um par P ∗ = (P, ξ), ¯

onde P = {t0 , . . . , tn } é uma partição de [a, b] e ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) é uma lista de n números escolhidos de forma que ti−1 ≤ ξi ≤ ti para cada i = 1, 2, . . . , n. Dada uma função limitada f : [a, b] → R e uma partição pontilhada ∗ P de [a, b], tem-se a soma de Riemann X

(f ; P ∗ ) =

n X i=1

f (ξi )(ti − ti−1 ).

Evidentemente, seja qual for o modo de pontilhar a partição P , tem-se X s(f ; P ) ≤ (f ; P ∗ ) ≤ S(f ; P ). P ∗ Diz-se que o número real PI é o ∗limite de (f ; P ) quando |P | → 0, e escreve-se I = lim|P |→0 (f ; P ), quando, para todo ε > 0 dado, i

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Seção 3

Logaritmos e exponenciais

pode-se obter δ > 0 tal que | pontilhada P ∗ com |P | < δ.

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P (f ; P ∗ ) − I| < ε seja qual for a partição

Teorema 7. Se f : [a, b] → R é integrável então Z b

f (x) dx = lim

|P |→0

(f ; P ∗ ).

Demonstração: Segue-se do Teorema 6 que se f é integrável então lim s(f ; P ) = lim S(f ; P ) =

|P |→0

Z b

f (x) dx.

P Como se tem s(f ; P ) ≤ (f ; P ∗ ) ≤ S(f ; P ), resulta imediatamente que Rb P lim|P |→0 (f ; P ∗ ) = a f (x) dx.

Observação. Vale a recı́proca do Teorema 7, mas é menos interessante. (Veja “Curso de Análise”, vol. 1, pag. 333.)

Logaritmos e exponenciais

Seja a um número real maior que 1. Costuma-se definir o logaritmo de um número real x na base a como o expoente y = loga x tal que ay = x. Ou seja, a função loga : R+ → R costuma ser definida como a inversa da função exponencial y 7→ ay . Isto requer o trabalho preliminar de estabelecer o significado e as propriedades das potências ay , onde y é um número real qualquer, o que é possı́vel fazer rigorosamente. Mas achamos mais simples definir primeiro o logaritmo e, a partir deste, a exponencial, como faremos agora. Definiremos a função log : R+ → R pondo, para cada x > 0, Z x Z x dt 1 dt = · log x = 1 t 1 t Rb O Rnúmero log x é chamado o logaritmo de x. Lembrando que a f (x) dx = a − b f (x) dx, vemos que log x < 0 se 0 < x < 1, log 1 = 0 e log x > 0 quando x > 1. A função log é monótona crescente, derivável, com (log)′ (x) = 1/x, (log)′′ (x) = −1/x2 , etc. Segue-se que log é infinitamente derivável, isto é, log ∈ C ∞ . Vê-se também que log é uma função côncava.

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Cálculo com Integrais

Cap. 11

Teorema 8. Para quaisquer x, y ∈ R+ tem-se log(xy) = log x + log y. R xy Rx R xy Demonstração: log(xy) = 1 dt/t = 1 dt/t + x dt/t = log x + R xy x dt/t. Quando s varia de 1 a y, o produto xs Rvaria de x a R yxy. Logo a xy mudança de variável t = xs nos dá dt = xds e x dt/t = 1 xds/xs = Ry ds/s = log y, o que prova o teorema. 1

Corolário 1. Para todo número racional r tem-se log(xr ) = r · log x. Com efeito, segue-se do Teorema 8 que log(xn ) = n · log x quando n ∈ N. De xn · x−n = 1 resulta 0 = log(xn · x−n ) = log(xn ) + log(x−n ) = n · log x + log(x−n ), donde log(x−n ) = −n log x. Isto prova o corolário para r ∈ Z. No caso geral, r = p/q onde p, q ∈ Z. Por definição, (xp/q )q = xp . Daı́, pelo que já provamos, q · log(xp/q ) = p · log x, donde log(xp/q ) = (p/q) log x. Corolário 2. log : R+ → R é sobrejetiva. Como log é contı́nua, sua imagem é um intervalo, portanto basta mostrar que log é ilimitada superior e inferiormente, o que decorre das igualdades log(2n ) = n · log 2 e log(2−n ) = −n · log 2.

Sendo uma função crescente, log é uma bijeção de R+ sobre R. Sua inversa, exp : R → R+ é chamada a função exponencial. Por definição, exp(x) = y ⇔ log y = x, ou seja, log(exp(x)) = x e exp(log y) = y. Existe um único número real cujo logaritmo é igual a 1. Ele é indicado pelo sı́mbolo e. Mostraremos logo mais que e coincide com o número introduzido nos Exemplos 12 e 13 do Capı́tulo 3. Por enquanto, sua definição é e = exp(1). Teorema 9. A função exponencial exp : R → R+ é uma bijeção crescente, de classe C ∞ , com (exp)′ (x) = exp(x) e exp(x + y) = exp(x) · exp(y) para x, y ∈ R quaisquer. Além disso, para todo r ∈ Q tem-se exp(r) = er . Demonstração: Pela regra de derivação da função inversa, para cada x ∈ R, com exp(x) = y, tem-se (exp)′ (x) = 1/(log)′ (y) = y = exp(x). Assim exp′ = exp, donde exp ∈ C ∞ . Dados x, y ∈ R, sejam x′ = exp(x) e y ′ = exp(y), logo x = log x′ e y = log y ′ . Então exp(x + y) = exp(log x′ + log y ′ ) = exp[log(x′ y ′ )] = exp(x) · exp(y). Se r é racional, o Corolário 1 do Teorema 8 nos dá log(exp(r)) = r = r · 1 = r · log e = log(er ), donde exp(r) = er , pela injetividade de log. A igualdade exp(r) = er para r ∈ Q, juntamente com a relação exp(x + y) = exp(x) · exp(y) nos indicam que exp(x) se comporta como

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Seção 3

Logaritmos e exponenciais

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uma potência de base e e expoente x. Poremos então, por definição, ex = exp(x), para todo x ∈ R. Com isto, passa a ter significado a potência ex para x real qualquer. Com esta notação, temos ex+y = ex · ey , e0 = 1, e−x = 1/ex ,

x < y ⇔ ex < ey ,

log(ex ) = x, elog y = y, para quaisquer x ∈ R, y > 0.

Temos ainda lim ex = +∞ e lim ex = 0, como se vê facilmente. x→+∞

x→−∞

Pelo Teorema do Valor Médio, para todo x > 1 existe c tal que 1 < c < x e log x = log x − log 1 = (log)′ (c)(x − 1) = (x − 1)/c. Segue√ se que log x < x para todo x ≥ 1. Como log x = 2 log x, temos √ √ 0 < log x < 2 x, donde 0 < log x/x < 2/ x para todo x > 1. Como √ limx→+∞ (2/ x) = 0, segue-se que limx→+∞ log x/x = 0, fato que tinha sido provado no final do Capı́tulo 3 supondo x = n ∈ N. Por outro lado, dado qualquer polinômio p(x), tem-se lim p(x)/ex = 0.

x→+∞

Para provar isto, basta considerar o caso em que p(x) = xk . Então escrevemos ex/k = y, donde x = k · log y. Evidentemente, x → +∞ se, e somente se, y → +∞. Portanto x log y =0 lim = lim k x→+∞ ex/k y→+∞ y e daı́

x k xk = lim = 0. x→+∞ ex x→+∞ ex/k lim

Se c e k são constantes reais, a função f (x) = c · ekx tem derivada = k · f (x). Esta propriedade de possuir derivada proporcional a si mesma é responsável por grande parte das aplicações da função exponencial. Mostraremos que essa propriedade é exclusiva das funções desse tipo.

f ′ (x) = k · c · ekx

Teorema 10. Seja f : I → R derivável no intervalo I, com f ′ (x) = k · f (x). Se, para um certo x0 ∈ I, tem-se f (x0 ) = c então f (x) = c · ek(x−x0 ) para todo x ∈ I.

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Cálculo com Integrais

Cap. 11

Demonstração: Seja ϕ : I → R definida por ϕ(x) = f (x) · e−k(x−x0 ) . Então ϕ′ (x) = f ′ (x)e−k(x−x0 ) −kf (x)·e−k(x−x0 ) = 0. Logo ϕ é constante. Como ϕ(x0 ) = c, tem-se ϕ(x) = c para todo x ∈ I, ou seja, f (x) = c · ek(x−x0 ) . Como a derivada da função f (x) = ex é ainda f ′ (x) = ex , temos

f ′ (0) = 1. Segue-se da definição de derivada que limx→0 (ex − 1)/x = 1. Dados a > 0 e x ∈ R, definiremos a potência ax de modo que seja

válida a fórmula log(ax ) = x · log a. Para isto, tomaremos esta igualdade como definição, ou seja, diremos que ax é o (único) número real cujo logaritmo é igual a x · log a. Noutras palavras, ax = ex log a . A função f : R → R, definida por f (x) = ax , tem as propriedades esperadas. √ A primeira é que, para x = p/q ∈ Q (onde q >√0), f (x) = q ap . Com √ efeito, f (x) = exp((p/q) log a) = exp(log q ap ) = q ap . Tem-se ax+y = ax · ay , a0 = 1, a−x = 1/ax e (ax )y = axy . A função f (x) = ax tem derivada f ′ (x) = ax · log a, portanto é de classe C ∞ . A derivada f ′ é positiva se a > 1 e negativa se 0 < a < 1. Logo f é crescente no primeiro caso e decrescente no segundo. Quando a > 1, tem-se limx→+∞ ax = +∞ e limx→−∞ ax = 0. Se 0 < a < 1, os valores destes limites são trocados. Se 0 < a 6= 1, f (x) = ax é uma bijeção de R sobre R+ , cuja inversa indica-se com loga : R+ → R. Para cada x > 0, loga x chama-se o logaritmo de x na base a. Assim y = loga x ⇔ ay = x. Voltamos à definição clássica. Quando a = e, vale loge x = log x. O logaritmo que definimos no começo desta seção tem, portanto, base e. É o chamado logaritmo natural. Para todo x > 0, temos elog x = x = aloga x = eloga x·log a , portanto log x = loga x · log a, ou seja, loga x = log x/ log a. Desta última fórmula resultam propriedades de loga x análogas às de log x, 1 como loga (xy) = loga x + loga y ou (loga )′ (x) = x·log a· Para finalizar esta seção, mostraremos que e coincide com o número definido nos Exemplos 12 e 13 do Capı́tulo 3. A derivada da função log x é igual a 1/x. No ponto x = 1 esta derivada vale 1. Isto significa que lim

x→0

log(1 + x) = 1, x

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Seção 4

Integrais impróprias

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ou seja, lim log[(1 + x)1/x ] = 1.

x→0

Como (1 + x)1/x = exp{log[(1 + x)1/x ]}, vem lim (1 + x)1/x = exp(1) = e.

x→0

Pondo y = 1/x, concluı́mos que limy→∞ (1 + 1/y)y = e. Em particular, limn∈N (1 + 1/n)n = e.

Integrais impróprias

São de dois tipos: integrais de funções ilimitadas (definidas num intervalo limitado porém não fechado) e integrais de funções definidas num intervalo ilimitado. O teorema seguinte descarta um caso trivial. Teorema 11. Seja f : (a, b] → R limitada, tal que a restrição f |[c, b] é integrável para cada c ∈ (a, b]. Então, seja qual for o valor que se atribua Rb a f (a), obtém-se uma função integrável f : [a, b] → R, com a f (x) dx = Rb limc→a+ c f (x) dx. Demonstração: Seja K tal que a ≤ x ≤ b ⇒ |f (x)| ≤ K. Dado ε > 0, tomemos c ∈ (a, b] com K · (c − a) < ε/4. Como f |[c, b] é integrável, existe uma partição P de [c, b] tal que S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε/2. Então Q = P ∪ {a} é uma partição de [a, b] tal que S(f ; Q) − s(f ; Q) ≤ 2K(c − a) + S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε. Logo f : [a, b] → R é integrável. A integral indefinida F : [a, b] → R, Rb F (x) = x f (t) dt cumpre a condição de Lipschitz |F (y) − F (x)| ≤ K|y − x| logo é (uniformemente) contı́nua, donde F (a) = lim F (c) = c→a+ Rb lim c f (x) dx. c→a+

Resultado análogo vale para f : [a, b) → R. Basta, portanto, considerar f : (a, b] → R ilimitada. Suporemos Rb também f contı́nua. A integral imprópria a f (x) dx é definida como Z b Z b f (x) dx. f (x) dx = lim a

ε→0+ a+ε

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Cálculo com Integrais

Cap. 11

Em cada intervalo fechado [a + ε, b], f é contı́nua, logo integrável. O problema é saber se existe ou não o limite acima. Se ele existir a integral será convergente; se não existir o limite a integral será divergente. Evidentemente, o caso de uma função contı́nua ilimitada f: [a, b) → R Rb R b−ε se trata de modo semelhante, pondo-se a f (x) dx = lim a f (x) dx. ε→0+

Finalmente, o caso de f : (a, b) → R contı́nua reduz-se aos anteriores Rb Rc Rb tomando c ∈ (a, b) e pondo a f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx.

Exemplo 1. Seja f : (0, 1] → R dada por f (x) = 1/xα . Supondo α 6= 1, temos Z 1 Z 1 dx x1−α 1 dx 1 − ε1−α = lim = lim = lim α ε→0+ ε xα ε→0+ 1 − α ε ε→0+ 1 − α 0 x ( +∞ se α > 1 = 1 se α < 1. 1−α

Quando α = 1, temos Z 1 0

dx = lim ε→0+ x

Z 1 ε

1 dx = lim log x = lim (− log ε) = +∞. ε→0+ ε→0+ x ε

R1 Portanto 0 dx/xα diverge se α ≥ 1 e converge para (1 − α)−1 se α < 1. R1 √ Em particular, α = 1/2 dá 0 dx/ x = 2. √ Exemplo 2. Seja f : [0, 1) → R, f (x) = 1/ 1 − x2 . Então Z 1−ε Z 1 p p 2 dx/ 1 − x2 dx/ 1 − x = lim ε→0+ 0 0 1−ε = lim arcsen x 0 ε→0+

= lim arcsen(1 − ε) ε→0+

= arcsen 1 =

π · 2

Quando f : (a, b] → R cumpre f (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b] então Rb a integral a f (x) dx converge se, e somente se, existe k > 0 tal que Rb Rb a+ε f (x) dx ≤ k para todo ε ∈ (0, b−a) pois a função ϕ(ε) = a+ε f (x) dx Rb é não-crescente. Se existir uma função g : (a, b] → R tal que a g(x) dx seja convergente e 0 ≤ f (x) ≤ k · g(x) para todo x ∈ (a, b] então

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Seção 4

Integrais impróprias

a f (x) dx converge pois, neste caso, ϕ(ε) ≤ k ·

ε ∈ (0, b − a).

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a g(x) dx para todo

p R1 Exemplo 3. A integral I = 0 dx/ (1 − x2 )(1 − k 2 x2 ) converge se k ∈ R cumpre k 2 < 1. √ Com efeito, como 0 ≤ xp≤ 1, temos 1 − k 2 ≤ 2 2 1 − k x . Pondo K = 1/ 1 − k 2 segue-se que 1/ (1 − x2 )(1 − k 2 x2 ) ≤ √ √ R1 K/ 1 − x2 portanto I ≤ 0 K/ 1 − x2 = K π/2. Rb Diz-se que a integral imprópria a f (x) dx é absolutamente converRb gente quando a |f (x)|dx converge. Como no caso de séries, a converRb Rb gência de a |f (x)|dx implica a de a f (x) dx. Com efeito, dada f : (a, b] → R contı́nua, definamos sua parte positiva e sua parte negativa f+ , f− : (a, b] → R pondo, para a < x ≤ b: f+ (x) = max{f (x), 0} e f− (x) = max{−f (x), 0}. Então f+ (x) = 21 [|f (x)| + f (x)] e f− (x) = 21 [|f (x)| − f (x)] de modo que f+ e f− são contı́nuas. Além disso, temos f+ (x) ≥ 0, f− (x) ≥ 0, f = f+ − f− e |f | = f+ + f− , donde f+ ≤ |f | e f− ≤ |f |. Segue-se desRb tas desigualdades que se a f (x) dx é absolutamente convergente então Rb Rb Rb Rb f+ (x)dx e a f− (x)dx convergem. Logo a f (x)dx = a f+ (x)dx − a Rb a f− (x) dx é convergente. O critério de comparação R b assume então a seguinte forma: se f, g : [a, b) → R são contı́nuas e a g(x) dx converge então a condição |f (x)| ≤ Rb k · g(x) para todo x ∈ [a, b) implica que a f (x) dx é (absolutamente) convergente. Por exemplo, se f : [a, b) → R é contı́nua e existem constantes k > 0 e α < 1 tais que |f (x)| ≤ k/(b − x)α para todo x ∈ [a, b) Rb então a integral a f (x) dx é (absolutamente) convergente. Tratemos agora de integrais sobre intervalos ilimitados. Dada f : [a, +∞) → R contı́nua, define-se a integral imprópria de f pondo: Z A Z +∞ f (x) dx. f (x) dx = lim a

A→+∞ a

Se o limite acima existir, a integral diz-se convergente. Do contrário, ela diz-se divergente. Uma definição análoga é dada quando Rb Rb f : (−∞, b] → R. Então −∞ f (x)dx = lim B f (x)dx. Finalmente, B→−∞

para f : (−∞, +∞) → R, toma-se um ponto arbitrário a ∈ R (geral-

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Cálculo com Integrais

Cap. 11

mente a = 0) e põe-se Z +∞ Z a Z +∞ f (x) dx. f (x) dx + f (x) dx = −∞

−∞

Exemplo 4. Seja f : [1, +∞) → R, f (x) = 1/xα . Se α 6= 1 tem-se Z A Z ∞ dx dx A1−α − 1 1 = , logo = α α 1−α x α−1 1 x 1 R +∞ converge se α > 1. Por outro lado, se α ≤ 1, 1 dx/xα diverge. Isto contrasta com a integral da mesma função no intervalo (0, 1]. R +∞ Exemplo 5. 0 dx/(1 + x2 ) = π/2. Com efeito, arctg x é uma primitiva de 1/(1 + x2 ). Por conseguinte Z +∞ π dx = lim (arctg A − arctg 0) = · 2 A→+∞ 1+x 2 0 R +∞ Diz-se que uma integral a f (x) dx é absolutamente convergente R +∞ quando a |f (x)|dx converge. Como no caso de intervalos limitados, R +∞ prova-se que, neste caso, a f (x) dx converge. Vale portanto R ∞ o critério de comparação: se f, g : [a, +∞) → R são contı́nuas, se a g(x) dx converge e se existe k > 0 tal que |f (x)| ≤ R +∞ k · g(x) para x ≥ a então a f (x) dx converge (absolutamente). Em R +∞ particular, se |f (x)| ≤ k/xα com α > 1 então a f (x) dx é (absolutamente) convergente. R +∞ Exemplo 6. Seja a > 0. A integral a dx/x2 converge e, como se vê facilmente, seu valor é 1/a. Mesmo se não soubéssemos que a derivada de arctg x é 1/(1 + x2 ), concluirı́amos, por comparação, que R +∞ dx/(1 + x2 ) é convergente pois 1/(1 + x2 ) ≤ 1/x2 . a Exemplo 7. (A função gama.) Trata-se da função Γ : (0, +∞) → R, R +∞ definida para todo t > 0 pela integral Γ(t) = 0 e−x xt−1 dx. Para mosR 1 R +∞ trar que a integral acima converge, a decompomos na soma 0 + 1 . R1 A integral 0 e−x xt−1 dx converge porque e−x xt−1 ≤ 1/x1−t . A seR +∞ gunda parcela, 1 e−x xt−1 dx converge porque e−x xt−1 ≤ 1/x2 para todo x suficientemente grande. Com efeito, esta desigualdade equivale x t+1 x t+1 ax e ≤ 1. Ora, como sabemos, limx→+∞ x e = 0, logo existe a > 0 tal que x > a ⇒ xt+1 ex ≤ 1. A função gama estende a noção de

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Seção 5

Exercı́cios

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fatorial, pois Γ(n) = (n − 1)! para todo n ∈ N, como se vê integrando por partes. R +∞ Exemplo 8. A integral de Dirichlet I = 0 (sen x/x)dx converge, mas não absolutamente. Com efeito, para todo n ∈ N seja an = R (n+1)π | sen x/x|dx. Então I = a0 − a1 + a2 − a3 + · · · . É claro que nπ a0 ≥ a1P ≥ a2 ≥ · · · e que lim an = 0. Logo, pelo Teorema de Leibniz, ∞ (−1)n an (e conseqüentemente a integral) converge. Por a série n=0 R +∞ P∞ outro lado, 0 | sen x|/x dx é a soma da série n=0 an , cujo termo an é a área de uma região que contém um triângulo de base π/2 e altura 2/(2n + 1)π. A área desse triângulo P é igual a 1/2(2n + 1). Como a série harmônica diverge, segue-se que an = +∞. (Prova-se que R +∞ (sen x/x)dx = π/2.) 0

Uma aplicação bastante conhecida das integrais impróprias é o critério de convergência de séries numéricas contido no seguinte teorema, cuja demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de Cálculo.

Teorema 12. Seja f : [a, +∞) → R contı́nua, monótona, não-decresP cente. Para todo número natural n ≥R a, seja an = f (n). A série an +∞ converge se, e somente se, a integral a f (x) dx converge.

Exercı́cios

Seção 1:

Os teoremas clássicos do Cálculo Integral

1. Seja f : [a, b] → R integrável, contı́nua à direita no Rponto x0 ∈ x [a, b). Prove que F : [a, b] → R, dada por F (x) = a f (t) dt, é derivável à direita no ponto x0 , com F+′ (x0 ) = f (x0 ). Enuncie fato análogo com “esquerda” em lugar de “direita”. Dê exemplos com f integrável, descontı́nua no ponto x0 , nos quais: (a) Existe F ′ (x0 ); (b) Não existe F ′ (x0 ). 2. Seja f : [a, b] → R derivável, com f ′ integrável. R x Prove que, para quaisquer x, c ∈ [a, b], tem-se f (x) = f (c) + c f ′ (t) dt. Conclua que o Teorema 5 vale com “integrável” em vez de “contı́nua”. 3. Seja f : [a, b] → R derivável, com f ′ (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Se {x ∈ [a, b]; f ′ (x) = 0} tem conteúdo nulo, prove que f é crescente.

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Cap. 11

4. Dada f : [a, b] → R com derivada contı́nua, prove o Teorema do Valor Médio (Teorema 7 do Capı́tulo 8) como conseqüência da fórmula de mesmo nome para integrais (Corolário do Teorema 4, deste capı́tulo). 5. Sejam f : [a, b] → R contı́nua e α, β : I → [a, b] deriváveis. Defina R β(x) ϕ : I → R pondo ϕ(x) = α(x) f (t) dt, para todo x ∈ I. Prove que ϕ é derivável e ϕ′ (x) = f (β(x)) · β ′ (x) − f (α(x)) · α′ (x). 6. Sejam f : [0, 1] → R a função do Exercı́cio 2.3 do Capı́tulo 10 e g : [0, 1] → R definida por g(0) = 0 e g(x) = 1 se x > 0. Mostre que f e g são integráveis porém g ◦ f : [0, 1] → R não é integrável. 7. Dada f : [a, b] → R com derivada integrável, seja m = (a + b)/2. Rb Prove que f (a) + f (b) = [2/(b − a)] a [f (x) + (x − m)f ′ (x)] dx. 8. Sejam f, p : [a, b] → R tais que f é contı́nua, p é integrável e p(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. Prove que se Z b Z b p(x) dx, f (x)p(x) dx = f (a) a

então existe c ∈ (a, b) tal que f (a) = f (c). Vale um resultado análogo com f (b) em lugar de f (a). Conclua que no Teorema 4 pode-se tomar c ∈ (a, b) e que no Corolário do Teorema 5 pode-se exigir que θ ∈ (0, 1). [Veja Exercı́cio 9, Seção 4, Capı́tulo 10.] 9. O Exercı́cio 3, Seção 4 do Capı́tulo 3 deixa em aberto o cálculo de

n!en · n→∞ nn Na realidade, a fórmula de Stirling diz que, pondo xn = n!en /nn e √ wn = 2πn, tem-se lim xn /wn = 1, portanto lim xn = +∞. Uma demonstração mais simples para o fato de que lim xn = +∞ pode ser feita segundo as etapas abaixo indicadas: A. Integrando por partes, mostre que Z n log x dx = n log n − n + 1 = An (digamos). lim

B. Se Bn é a soma superior da função log x relativamente à partição {1, 2, . . . , n} do intervalo [1, n], mostre que An ≤ Bn =

n X

log k = log n!

k=2

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Exercı́cios

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C. Uma melhor aproximação superior para a área An pode ser dada considerando-se, para cada k = 2, . . . , n a tangente ao gráfico de y = log x pelo ponto x = k −1/2. O trapézio com base no intervalo [k −1, k] do eixo x, com dois lados verticais e lado igual a Pinclinado n essa tangente tem área log(k − 1/2). Seja Cn = k=2 log(k − 1/2) a soma das áreas desses trapézios. Mostre que An < Cn < Bn para todo n > 1. D. Mostre que se tem Bn − Cn =

n X k=2

[log k − log(k − 1/2)] =

n X

1/2θk ,

k=2

onde k − 1/2 ≤ θk ≤ k.

E. Conclua que

lim(Bn − An ) ≥ lim(Bn − Cn ) =

∞

1X 1 = +∞. 2 θk k=2

F. Observe que Bn − An = log n! − n log n + n − 1 = log(n!en−1 n−n ), portanto lim xn = +∞. Seção 2:

A integral como limite de somas de Riemann

1. Com auxı́lio de somas de Riemann prove a validez dos seguintes limites: n 1 P 1 (a) lim p+1 ip = , n→∞ n p + 1 i=1 n 1 P iπ 2 (b) lim sen = · n→∞ n i=1 n π 2. Dada f : [a, b]P → R, limitada ou não, faz sentido considerar a soma de Riemann (f ; P ∗ ),P para toda partição pontilhada P ∗ . Prove que, se existe lim|P |→0 (f ; P ∗ ), então f é uma função limitada. P 3. Prove a recı́proca do Teorema 7: se existir lim|P |→0 (f ; P ∗ ) = L Rb então a função limitada f : [a, b] → R é integrável e a f (x) dx = L. i

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Cálculo com Integrais

Cap. 11

4. Sejam f, g : [a, b] → R integráveis. Para toda partição P = {t0 , . . . , tn } de [a, b] sejam P ∗ = (P, ξ) e P # = (P, η) pontilhamentos de P . Prove que Z b X lim f (x)g(x) dx. f (ξi )g(ηi )(ti − ti−1 ) = |P |→0

5. Dadas f, g : [a, b] → R, para cada partição pontilhada P ∗ de [a, b] define-se a soma de Riemann-Stieltjes X X (f, g; P ∗ ) = f (ξi )[g(ti ) − g(ti−1 )]. Prove: se f é integrável e g possui derivada integrável então Z b X ∗ lim (f, g; P ) = f (x)g ′ (x) dx. |P |→0

6. Dada f : [a, b] → R, seja, para cada n ∈ N, n

M (f ; n) =

(b − a) 1X , f (a + ih), h = n n i=1

a média aritmética dos valores f (a + h), f (a + 2h), . . . , f (a + nh) = f (b). Prove que se a função f é integrável então 1 lim M (f ; n) = n→∞ b−a

Z b

f (x) dx.

Por este motivo, o segundo membro desta igualdade se chama o valor médio da função f no intervalo [a, b]. Z b a + b 1 7. Se f : [a, b] → R é convexa, prove que f f (x) dx. ≤ 2 b−a a Seção 3:

Logaritmos e exponenciais

1. Sejam f : R → R e g : R+ → R funções contı́nuas, não identicamente nulas, tais que f (x + y) = f (x) · f (y) e g(uv) = g(u) + g(v) para quaisquer x, y ∈ R e u, v ∈ R+ . Prove que existem a ∈ R e b ∈ R tais que f (x) = eax para todo x ∈ R e g(x) = b · log x para todo x ∈ R+ .

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Seção 5

Exercı́cios

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2. Prove que a seqüência cujo n-ésimo termo é xn = 1 + 1/2 + · · · + 1/n − log n é decrescente e limitada, logo converge. (Seu limite é conhecido como a constante γ de Euler-Mascheroni, cujo valor aproximado é 0, 5772.) 3. Prove que limx→0 x · log x = 0. 4. Prove que, para todo x ∈ R, tem-se lim 1 + n→∞

Seção 4:

Integrais impróprias

x n = ex . n

1. Verifique a convergência ou divergência das integrais Z 3 Z 1 Z 1 dx dx dx √ , , · 3 2 1 − cos x x x −3 −1 0 2. Verifique a convergência ou divergência das integrais Z +∞ Z +∞ Z +∞ dx dx xdx √ , , · 6 1 + x 1 − ex (1 + x) x 0 −∞ 1 3. Mostre que

R +∞ 0

R +∞

4. Mostre que 0 seja ilimitada.

sen(x2 ) dx converge mas não absolutamente. x·sen(x4 ) dx converge, embora a função x·sen(x4 )

5. Seja f : [a, +∞) → R contı́nua, positiva, monótona não-crescente. R +∞ Prove que se a f (x) dx converge então limx→+∞ x · f (x) = 0.

6. Seja f : [a, +∞) → R integrável em cada intervalo limitado [a, x]. Prove que a integral imprópria Z x Z +∞ f (t) dt f (x) dx = lim a

x→+∞ a

existe se, e somente se, R y para todo ε > 0 dado, existe A > 0 tal que A < x < y implica x f (t) dt < ε. (“Critério de Cauchy”.)

7. Prove o Teorema 12.

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12 Seqüências e Séries de Funções Em vários problemas da Matemática e das suas aplicações busca-se uma função que cumpra certas condições dadas. É freqüente, nesses casos, obter-se uma seqüência de funções f1 , f2 , . . . , fn , . . . , cada uma das quais cumpre as condições exigidas apenas aproximadamente, porém com aproximações cada vez melhores. Então a função-limite dessa seqüência deverá cumprir as tais condições, caso aconteça o melhor. Isto leva ao estudo de limites de seqüências de funções. Muitas vezes cada função da seqüência obtém-se da anteriorPsomando-se uma função gn . Neste caso, tem-se uma série de funções gn . Seqüências e séries de funções serão estudadas neste capı́tulo. Para seqüências e séries de números há apenas uma noção de limite. Mas para funções há várias. Aqui examinaremos as duas noções mais comuns de convergência, que definiremos a seguir.

Convergência simples e convergência uniforme

Diz-se que uma seqüência de funções fn : X → R (n = 1, 2, . . . ) converge simplesmente para a função f : X → R quando, para todo x ∈ X, a seqüência de números f1 (x), . . . , fn (x), . . . converge para f (x). Assim, fn → f simplesmente em X quando, dados ε > 0 e x ∈ X, existe n0 ∈ N (dependendo de ε e de x) tal que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε.

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Seção 1

Convergência simples e convergência uniforme

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Graficamente, em cada reta vertical que passa por um ponto x ∈ X fica determinada uma seqüência de pontos (x, f1 (x)), . . . , (x, fn (x)), . . . interseções dessa reta com os gráficos de f1 , . . . , fn , . . . . Estes pontos convergem para (x, f (x)), interseção da reta vertical com o gráfico de f . Exemplo 1. A seqüência de funções fn : R → R, onde fn (x) = x/n, converge simplesmente para a função f : R → R que é identicamente nula. Com efeito, para todo x ∈ R fixado, tem-se lim (x/n) = 0. n→+∞

Um tipo de convergência de funções mais restrito do que a convergência simples, é a convergência uniforme, que definiremos agora. Uma seqüência de funções fn : X → R converge uniformemente para a função f : X → R quando, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N (dependento apenas de ε) tal que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε seja qual for x ∈ X. No plano R2 , dado ε > 0, a faixa de raio ε em torno do gráfico de f é o conjunto F (f ; ε) = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ X, f (x) − ε < y < f (x) + ε}. Dizer que fn → f uniformemente em X significa que, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que o gráfico de fn , para todo n > n0 , está contido na faixa de raio ε em torno do gráfico de f .

Figura 10: O gráfico de fn está contido na faixa F (f ; ε).

Exemplo 2. Nenhuma faixa de raio ε em torno do eixo das abcissas (gráfico da função identicamente nula) pode conter o gráfico de uma

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Seqüências e Séries de Funções

Cap. 12

função fn : R → R, fn (x) = x/n. Logo a seqüência (fn ) do Exemplo 1 não converge uniformemente para zero em R. Por outro lado, se X ⊂ R é um conjunto limitado, digamos com |x| ≤ c para todo x ∈ X, então fn → 0 uniformemente em X. Com efeito, dado ε > 0, basta tomar n0 > c/ε. Então n > n0 ⇒ |fn (x)| = |x|/n < c/n0 < ε. Exemplo 3. A seqüência de funções contı́nuas fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn , converge simplesmente para a função descontı́nua f : [0, 1] → R, f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1, f (1) = 1. A convergência é uniforme em todo intervalo da forma [0, 1 − δ], 0 < δ < 1 mas não é uniforme em [0, 1]. Estas duas afirmações decorrem de fatos gerais (a saber, os Teoremas 1 e 2 abaixo) mas podem ser facilmente provadas a partir da definição. Com efeito, escrevendo a = 1−δ, temos 0 < a < 1 logo limn→+∞ an = 0. Dado ε > 0, seja n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ an < ε. Então n > n0 ⇒ 0 < fn (x) ≤ an < ε para todo x ∈ [0, a]. Portanto fn → 0 uniformemente no intervalo [0, 1−δ]. Por outro lado, tomando ε = 1/2, afirmamos que, seja qual for n0 ∈ N, existem pontos x ∈ [0, 1) tais que |fn0 (x) − f (x)| ≥ 1/2, ou seja, xn0 ≥ 1/2. Basta observar que limx→1− xn0 = 1. Logo existe δ > 0 tal que 1 − δ < x < 1 ⇒ xn0 > 1/2. Isto mostra que fn não converge uniformemente para f no intervalo [0, 1].

x x2

x3 x4

Figura 11: As funções fn (x) = xn convergem simplesmente no intervalo [0, 1] para uma função descontı́nua.

Exemplo 4. A seqüência de funções contı́nuas fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn (1 − xn ) converge simplesmente para a função identicamente nula.

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Seção 2

Propriedades da convergência uniforme

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Estapconvergência não é uniforme. Com efeito, para todo n ∈ N temos fn ( n 1/2) = 1/4. Logo, para ε < 1/4, nenhuma função fn tem seu gráfico contido na faixa de raio ε em torno da função 0. Por outro lado, se 0 < δ < 1, temos fn → 0 uniformemente no intervalo [0, 1 − δ] pois xn → 0 uniformemente nesse intervalo e 0 ≤ xn (1 − xn ) ≤ xn .

1 4

f2 f3 0

1 Figura 12

P As considerações feitas nesta seção incluem a soma f = fn de uma série de funções fn : X → R. Neste importante caso particular, tem-se f = lim sn , onde sn (x) =Pf1 (x) + · · · + fn (x) para todo n ∈ N e todo x ∈ X. Dizer que a série fn converge uniformemente significa, portanto, que a seqüência (sn ) converge uniformemente e equivale a afirmar que a seqüência de funções rn : X → R (“restos” da série), definidas por rn (x) = fn+1 (x) + fn+2 (x) + · · · , converge uniformemente para zero. Com efeito, basta observar que rn = f − sn .

Propriedades da convergência uniforme

Teorema 1. Se uma seqüência de funções fn : X → R converge uniformemente para f : X → R e cada fn é contı́nua no ponto a ∈ X então f é contı́nua no ponto a. Demonstração: Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε/3 para todo x ∈ X. Fixemos um número natural n > n0 . Como fn é contı́nua no ponto a, existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| <

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Cap. 12

δ ⇒ |fn (x) − fn (a)| < ε/3, donde |f (x) − f (a)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |fn (x) − fn (a)| ε ε ε + |fn (a) − f (a)| < + + = ε. 3 3 3 Isto prova o teorema. Exemplo 5. A seqüência de funções contı́nuas fn (x) = xn não pode convergir uniformemente em [0, 1] pois converge simplesmente para a função descontı́nua f : [0, 1] → R, f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1, f (1) = 1. Já a seqüência de funções contı́nuas fn (x) = xn (1 − xn ) converge simplesmente no intervalo [0, 1] para a função 0, que é contı́nua mas nem por isso a convergência é uniforme. Mesma observação pode ser feita sobre a seqüência de funções contı́nuas fn : R → R, fn (x) = x/n. A esse respeito, vale o teorema abaixo. Antes de demonstrá-lo, daremos uma definição. Diz-se que uma seqüência de funções fn : X → R converge monotonicamente para a função f : X → R quando, para cada x ∈ X, a seqüência (fn (x))n∈N é monótona e converge para f (x). Assim, por exemplo, as seqüências dos Exemplos 1 e 3 convergem monotonicamente. É claro que se fn → f monotonicamente em X então |fn+1 (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| para todo x ∈ X e todo n ∈ N. Teorema 2. (Dini.) Se a seqüência de funções contı́nuas fn : X → R converge monotonicamente para a função contı́nua f : X → R no conjunto compacto X então a convergência é uniforme. Demonstração: Dado ε > 0, ponhamos Xn = {x ∈ X; |fn (x)−f (x)| ≥ ε} para cada n ∈ N. Como fn e f são contı́nuas, cada Xn é compacto. A monotonicidade da convergência, por sua vez, implica X1 ⊃ X2 ⊃ X3 ⊃ · · · . Finalmente, como limn→∞ fn (x) = f (x) para todo x ∈ X, T vemos que ∞ X = ∅. Segue-se do Teorema 9, Capı́tulo 5, que n=1 n algum Xn0 (e portanto todo Xn com n > n0 ) é vazio. Isto significa que n > n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε seja qual for x ∈ X. Exemplo 6. A seqüência de funções contı́nuas fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn , converge monotonicamente para a função (contı́nua) identicamente nula no conjunto não-compacto [0, 1) mas a convergência não é uniforme. Com efeito, dado 0 < ε < 1, para todo n ∈ N existem pontos x ∈ [0, 1) tais que xn > ε, pois lim xn = 1 > ε. x→1−

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Seção 2

Propriedades da convergência uniforme

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Teorema 3. (Passagem ao limite sob o sinal de integral.) Se a seqüência de funções integráveis fn : [a, b] → R converge uniformemente para f : [a, b] → R então f é integrável e Z b Z b fn (x) dx. f (x) dx = lim n→∞ a

Noutras palavras:

Rb a limn fn = limn a fn se a convergência é uniforme.

Portanto ωi ≤ ωi′ + ε/2(b − a). Segue-se que X X X ωi (ti − ti−1 ) ≤ ωi′ (ti − ti−1 ) + [ε/2(b − a)] (ti − ti−1 ) ε ε < + = ε. 2 2 Isto mostra que f é integrável. Além disso, Z b Z b Z b [f (x) − fn (x)]dx fn (x) dx = f (x) dx − a

≤

Z b a

|f (x) − fn (x)|dx

(b − a)ε <ε 4(b − a) Rb Rb se n > n0 . Conseqüentemente, limn→∞ a fn (x)dx = a f (x)dx. ≤

Observação. Se cada fn é contı́nua, a demonstração se simplifica consideravelmente pois f então é contı́nua, donde integrável. Exemplo 7. Se uma seqüência de funções integráveis fn : [a, b] → R converge simplesmente para f : [a, b] → R, pode ocorrer que f não seja integrável. Por exemplo, se {r1 , r2 , . . . , rn , . . . } for uma enumeração

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Seqüências e Séries de Funções

Cap. 12

dos números racionais de [a, b] e definirmos fn como a função que assume o valor 1 nos pontos r1 , . . . , rn e é zero nos demais pontos de [a, b] então (fn ) converge simplesmente para uma função f : [a, b] → R tal que f (x) = 1 se x ∈ Q ∩ [a, b] e f (x) = 0 se x é irracional. Evidentemente, cada fn é integrável mas f não é. Exemplo 8. Mesmo quando a seqüência de funções integráveis fn : [a, b]→R converge simplesmente para a função integrável f : [a, b]→R, Rb Rb pode ocorrer que limn→∞ a fn (x) dx 6= a f (x) dx. Por exemplo, para cada n ∈ N, seja fn : [0, 1] → R definida por fn (x) = nxn (1 − xn ). Então fn (1) = 0 e 0 ≤ fn (x) < nxn se 0 ≤ x < 1. Ora, limn→∞ nxn = 0 se 0 ≤ x < 1. (Pelo Exemplo 8, Capı́tulo 3, pois limn→∞ (n+1)xn+1 /nxn = x < 1.) Portanto (fn ) convergeR simplesmente em [0, 1] para a função 1 identicamente nula. Entretanto 0 fn (x) dx = n2 /(n + 1)(2n + 1), por R1 R1 tanto limn→∞ 0 fn (x) dx = 1/2, enquanto 0 lim fn = 0. n→∞ Para que se tenha a derivada do limite igual ao limite das derivadas, em vez de supor que fn → f uniformemente, deve-se postular que a seqüência das derivadas convirja uniformemente. Teorema 4. (Derivação termo a termo.) Seja (fn ) uma seqüência de funções de classe C 1 no intervalo [a, b]. Se, para um certo c ∈ [a, b], a seqüência numérica (fn (c)) converge e se as derivadas fn′ convergem uniformemente em [a, b] para uma função g então (fn ) converge em [a, b] uniformemente para uma função f , de classe C 1 , tal que f ′ = g. Em resumo: (lim fn )′ = lim fn′ desde que as derivadas fn′ convirjam uniformemente. Demonstração: Pelo Teorema Fundamental doR Cálculo, para cada x n ∈ N e todo x ∈ [a, b] temos fn (x) = fn (c) + c fn′ (t) dt. Fazendo n → ∞ vemos, pelo R x Teorema 3, que existe f (x) = limn→∞ fn (x) e vale f (x) = f (c) + c g(t) dt. Além disso, pelo Teorema 1, g é contı́nua logo (novamente em virtude do Teorema Fundamental do Cálculo) f é derivável e f ′ (x) = g(x) para todo x ∈ [a, b]. Em particular, f ′ é contı́nua, isto é, f é de classe C 1 . Resta apenas provar que a convergência fn → f é uniforme. Ora, Z x |fn′ (t) − g(t)| dt. |fn (x) − f (x)| ≤ |fn (c) − f (c)| + c

Como fn′ → g uniformemente, resulta daı́ que fn → f uniformemente.

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Seção 2

Propriedades da convergência uniforme

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Exemplo 9. A seqüência de funções fn (x) = sen(nx)/n converge uniformemente para zero em toda a reta. Mas a seqüência de suas derivadas fn′ (x) = cos(nx) não converge, sequer simplesmente, em intervalo algum. (Todo intervalo contém um número da forma x = mπ/p, com m, p inteiros. Então cos(nx) assume infinitas vezesP os valores 1 e −1.) Os teoremas acima, no caso de uma série fn , assumem as seguintes formas: P 1. Se fn converge uniformemente para f e cada fn é contı́nua no ponto a então f é contı́nua no ponto a. 2. Se cada termo fn : X → RPé uma função contı́nua, com fn (x) ≥ 0 para todo x ∈ X e a série fn converge para uma função contı́nua f : X → R no compacto X então a convergência é uniforme. P 3. Se cada fn : [a, b] → R é integrável e fn converge uniformeRbP mente para f : [a, b] → R então f é integrável e a fn (x) dx = PRb a fn (x) dx. P ′ 4. Se cada fn : [a, b] → R é de classe C 1 , se fn converge uniformeP menteP em [a, b] e se, para algum c ∈ [a, b], a série fn (c) converge 1 então P ′ uniformemente para uma função de classe C P f′ n converge e fn = fn . P∞ 2 2 n Exemplo 10. A série n=0 x /(1 + x ) , cujos termos são funções contı́nuas, definidas em toda a reta, converge para a soma 1 + x2 , para todo x 6= 0. No ponto x = 0, todos os termos da série se anulam, logo sua soma é zero. Segue-se que a série dada converge simplesmente em toda a reta mas a convergência não é uniforme, pois a soma é uma função descontı́nua. O teorema básico sobre convergência uniforme de séries de funções, demonstrado a seguir, não tem análogo para seqüências.

Teorema 5. (Teste P de Weierstrass.) Dada a seqüência de funções fn : X → R, seja an uma série convergente de números reais an ≥ 0 tais que |fP an para todo n ∈ N e todo x ∈ X. Nestas condições, n (x)| ≤ P as séries |fn | e fn são uniformemente convergentes. Demonstração: Pelo critério P P de comparação, para todo x ∈ X a série |fn (x)| (e portanto a série fn (x)) é convergente. Dado ε > 0, existe P n0 ∈ N tal que n>n0 an < ε. Pondo X X fk (x), |fk (x)| e rn (x) = Rn (x) = k>n

k>n

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Seqüências e Séries de Funções

Cap. 12

P tem-se imediatamente |r (x)| ≤ R (x) ≤ n n k>n ak < ε para todo P P n > n0 . Logo |fn | e fn são uniformemente convergentes.

Séries de potências

As funções mais importantes da Análise podem ser expressas como somas de séries da forma f (x) =

∞ X

n=0

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + · · · .

Estas séries, que constituem uma generalização natural dos polinômios, são chamadas de séries de potências. Para simplificar a notação, trataremos de preferência o caso em que x0 = 0, isto é, as séries de potências do tipo ∞ X

n=0

an xn = a0 + a1 x + · · · + an xn + · · · .

O caso geral reduz-se a este pela mudança P de variável y = x − n x0 . Os resultados que obtivermosP para as séries ∞ n=0 an x podem ser ∞ facilmente adaptados para o caso n=0 an (x − x0 )n . P O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∞ n=0 an (x− x0 )n é que o conjunto dos valores de x para os quais ela converge é um intervalo de centro x0 . Esse intervalo pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a R ou até mesmo reduzir-se a um único ponto. Isto será demonstrado logo a seguir. Antes vejamos um exemplo que ilustra todas essas possibilidades. P n Exemplo 11. Pelo testePde d’Alembert, a série x /n! converge para todo valor de x. A sérieP [(−1)n /(2n + 1)]x2n+1 converge se, e somente se, x ∈ [−1, 1]. A série [(−1)n+1 /n]xn converge se x ∈ (−1, 1] e diverge fora desse intervalo. O conjunto dos pontos x ∈ R para os quais a série P n geométrica P n n x converge é o intervalo aberto (−1, 1). Finalmente, a série n x converge apenas no ponto x = 0. P Dada uma série de potências an xn , a localização dos pontos x para os quais ela converge se faz por meio do teste de Cauchy (Teorema 6, Capı́tulo p 4), o qual põe em evidência o comportamento da seqüência n |an | . i

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Seção 3

Séries de potências

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p P an xn converge Se a seqüência n |an | é ilimitada então a série apenas quando x = 0. pCom efeito, para todo x 6= 0 a seqüência de p n números n |an xn | = |x| n |aP n | é ilimitada e o mesmo ocorre com |an x |, n logo o termo geral da série anp x não tende a zero. Se, entretanto, a seqüência n |an | é limitada então o conjunto p R = {ρ > 0; n |an | < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemene grande}

é não-vazio. Na realidade, é fácil ver que se ρ ∈ R e 0 < x < ρ então x ∈ R. Logo R é um intervalo, do tipo (0, r), (0, r] ou (0, +∞), onde r = sup R. O número r é chamado o raio de convergência da série P an xn . (Convencionaremos escrever r = +∞ quandoPR for ilimitado.) O raio de convergência r da série de potências an xn goza das seguintes propriedades: P 1) Para todo x ∈ (−r, r) a série an xn converge absolutamente. p Com efeito, tomandopρ tal que |x| p < ρ < r temos n |an | < 1/ρ, e conseqüentemente n |an xn | = |x| n |a Pn | < n|x|/ρ < 1, para todo n ∈ N suficientemente grande. Logo an x converge absolutamente, pelo teste de Cauchy. P 2) Se |x| > r então a sériep an xn diverge. Com efeito, neste caso |x| ∈ / R, logo não se tem n |anp | < 1/|x| para todo n suficientemente grande. Isto significa que n |an | ≥ 1/|x|, e conseqüentemente |an xn | ≥ 1, para infinidade de valores de n. Logo o termo P uma geral da série an xn não tende a zero, e ela diverge. P 3) Se x = ±r, nada se pode dizer em geral: a série an xn pode convergir ou divergir, conforme o caso. p 4) Se existir L = limn→∞ n |an | então r = 1/L. (Entendendo-se que r = +∞ se L =p 0.) Com efeito, para todo ρ ∈ R existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ n |an | < 1/ρ. Fazendo n → ∞ obtemos L ≤ 1/ρ, donde ρ ≤ 1/L. Segue-se que r = sup R ≤ 1/L. Supondo, por absurdo, que fosse r < 1/L, tomarı́amos c tal que rp< c < 1/L, donde L < 1/c. Pela definição de limite, terı́amos n |an | < 1/c para todo n suficientemente grande, donde c ∈ R e daı́ c ≤ r, uma contradição. Logo r = 1/L. Podemos resumir a análise feita acima no P Teorema 6. Uma série de potências an xn , ou converge apenas para x = 0 ou existe r, com 0 < r ≤ +∞, tal que a série converge absolutamente no intervalo aberto (−r, r) e diverge fora do intervalo fechado

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Seqüências e Séries de Funções

Cap. 12

[−r, r]. Nos extremos −r e r, a série pode convergir ou divergir. Se p n existir L = lim |an | então r = 1/L. O número r chama-se p o raio de convergência da série. Além disso, tem-se 0 < ρ < r ⇔ n |an | < 1/ρ para todo n ∈ N suficientemente grande. Observação. Segue-se do Teorema 7, Capı́tulo 4, que se os coeficientes an forem diferentes deP zero e existir lim |an+1 |/|an | = L, então o raio de convergência da série an xn é r = 1/L. P Teorema 7. Uma série de potências an xn converge uniformemente em todo intervalo compacto [−ρ, ρ], onde 0 < ρ < raio de convergência. P Demonstração: A série an ρn é absolutamente convergente e, para todo x ∈ [−ρ, ρ], tem-se |an xn | ≤P|an |ρn . Pelo teste de Weierstrass (Teorema 5), segue-se que a série an xn converge uniformemente no intervalo [−ρ, ρ]. P Corolário. Se r > 0 é o raio de convergência da série an xn , a função P n f : (−r, r) → R, definida por f (x) = an x , é contı́nua. P Exemplo 12. A série an xn pode não convergir uniformemente em todo o intervalo (−r, P nr), onde r é o raio de convergência. Isto é claro no caso da série x /n!, cujo raio de convergência é infinito, para a P qual rn (x) = k>n xk /k! > xn+1 /(n + 1)! quando x é positivo. Dado ε > 0, não importa qual n se tome, é impossı́vel ter rn (x) < ε para todo x positivo. Teorema 8. (Integração termo a termo.) Seja r o raio de converP gência da série de potências an xn . Se [α, β] ⊂ (−r, r) então Z β X

X an an xn dx = (β n+1 − αn+1 ). n+1 α P Demonstração: A convergência de an xn é uniforme no intervalo [α, β] pois se escrevermos ρ = max{|α|, |β|} < r teremos [α, β] ⊂ [−ρ, ρ]. Logo é permitido integrar termo a termo, pelo Teorema 3.

Teorema 9. (Derivação termo Seja r o raio de conP a termo.) n . A função f : (−r, r) → R, vergência da série de P potências ∞ a x n=0 n P∞ ∞ n , é derivável, com f ′ (x) = a x definida por f (x) = n n=1 n · n=0 an xn−1 e a série de potências de f ′ (x) ainda tem raio de convergência r. P Demonstração: Seja r′ o raio de convergência da série n≥1 nan xn−1 , P P a qual converge se, e somente se, x · n≥1 nan xn−1 = n≥1 nan xn coni

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Seção 4

Funções trigonométricas

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verge. Logo r′ é também o raio de convergência desta última série. Abreviemos a expressão “para todo n suficientemente grande” por “n ≫ p 1”. Se 0 < ρ < r então, tomando c com 0 < ρ < c < r, √ temos n |an | < 1/c, n ≫ 1. Por outro lado, como lim n n = 1, vale √ n n < c/ρ, n ≫ 1. Multiplicando as duas últimas desigualdades, vem p n |nan | < 1/ρ, n ≫ 1. Portanto, 0 < ρ < r ⇒ 0 < ρ < r′ . Como é óbvio que 0 < ρ < r′ ⇒P0 < ρ < r, P concluı́mos que r = r′ . Asn sim, as séries de potências n≥0 an x e n≥1 nan xn−1 têm o mesmo raio de convergência. Fixado qualquer x ∈ (−r, r), tomamos ρ tal que |x| < ρ < r. Ambas as séries convergem uniformemente em [−ρ, ρ] logo, P pelo Teorema 4, temos f ′ (x) = n≥1 nan xn−1 .

Corolário 1. Seja r o raio de convergência da série dePpotências P an xn . A função f : (−r, r) → R, definida por f (x) = an xn , é ∞ de classe C . Para quaisquer x ∈ (−r, r) e k ∈ N tem-se X n(n − 1) . . . (n − k + 1)an xn−k . f (k) (x) = n≥k

Em particular, ak = f (k) (0)/k!. Portanto, a0 +P a1 x + · · · + an xn é o polinômio de Taylor de ordem n da função f (x) = an xn em torno do ponto x = 0.

Corolário 2. (Unicidade em Série de PotênP Pda representação n n cias.) Sejam an x e bn x séries de potências convergentes no intervalo (−r, r) P e X ⊂ (−r, P r) num conjunto tendo 0 como ponto de n acumulação. Se an x = bn x para todo x ∈ X então an = bn para todo n ≥ 0. Com efeito, a hipótese assegura que f, g : (−r, r) → R, deP P as funções finidas por f (x) = an xn e g(x) = bn xn , têm as mesmas derivadas, f (n) (0) = g (n) (0), n = 0, 1, 2, . . . . Logo an = f (n) (0)/n! = g (n) (0)/n! = bn para todo n ≥ 0.

Funções trigonométricas

Mostraremos agora, de modo sucinto, como se podem definir precisamente as funções trigonométricas sem apelo à intuição geométrica. As série de potências c(x) =

∞ X (−1)n

n=0

(2n)!

x2n

s(x) =

∞ X (−1)n x2n+1 (2n + 1)!

n=0

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Seqüências e Séries de Funções

Cap. 12

têm raio de convergência infinito logo definem funções c : R → R e s : R → R, ambas de classe C ∞ . É imediato que c(0) = 1, s(0) = 0, c(−x) = c(x) e s(−x) = −s(x). Derivando termo a termo, vem s′ (x) = c(x) e c′ (x) = −s(x). A função f (x) = c(x)2 + s(x)2 tem derivada igual a 2cc′ + 2ss′ = −2cs + 2cs = 0, logo é constante. Como f (0) = 1, concluimos que c(x)2 + s(x)2 = 1 para todo x ∈ R. De maneira análoga se provam as fórmulas de adição s(x + y) = s(x)c(y) + c(x)s(y), c(x + y) = c(x)c(y) − s(x)s(y). Basta fixar y ∈ R e definir as funções f (x) = s(x + y) − s(x)c(y) − c(x)s(y) e g(x) = c(x + y) − c(x)c(y) + s(x)s(y). Tem-se f ′ = g e g ′ = −f . Daı́ resulta que f 2 + g 2 tem derivada identicamente nula, logo é constante. Como f (0) = g(0) = 0, segue-se que f (x)2 + g(x)2 = 0 para todo x ∈ R. Portanto f (x) = g(x) = 0 para todo x ∈ R e as fórmulas estão provadas. Afirmamos agora que deve existir algum x > 0 tal que c(x) = 0. Do contrário, como c(0) = 1, terı́amos c(x) > 0 para todo x > 0 e, + como c é a derivada de s, a função s seria crescente R x na semi-reta R . Então, para R x qualquer x > 1 valeria c(x) = c(1) − 1 s(t)dt > 0, donde c(1) > 1 s(t)dt > s(1)(x − 1), a última desigualdade resultando de s ser crescente. Mas a desigualdade c(1) > s(1)(x − 1) para todo x > 1 é absurda. (Note que s(1) > 0 pois s é crescente.) Logo deve existir algum x > 0 para o qual c(x) = 0. O conjunto dos números x ≥ 0 tais que c(x) = 0 é fechado porque c é contı́nua. Logo possui um menor elemento, o qual não é zero porque c(0) = 1. Chamaremos π/2 este menor número positivo para o qual se tem c(π/2) = 0. Veremos agora que as funções c(x) e s(x) são periódicas, com perı́odo 2π. Com efeito, a segunda fórmula de adição dá: c(2x) = c(x)2 − s(x)2 = 2c(x)2 − 1, logo c(π) = −1 e c(2π) = 1 e daı́ s(π) = s(2π) = 0. Novamente as fórmulas de adição mostram que s(x + 2π) = s(x) e c(x + 2π) = c(x), o que prova a alegação feita. As notações usuais para estas funções são c(x) = cos x e s(x) = sen x.

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Seção 5

Séries de Taylor

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Este pequeno resumo justifica o uso das funções sen x e cos x em Análise. A partir daı́ se definem as demais funções trigonométricas da maneira habitual: tg x = sen x/ cos x, sec x = 1/ cos x, etc. Em particular, limx→0 sen x/x = 1 porque, sendo sen 0 = 0, este limite é a derivada de sen x no ponto x = 0, a qual é igual a cos 0, ou seja, 1.

Séries de Taylor

P Quando a série de potências an (x − x0 )n tem raio de convergência r > 0, diz-se que ela é a série de Taylor, em torno P do ponto nx0 , da função f : (x0 − r, x0 + r) → R, definida por f (x) = an (x − x0 ) . Esta denominação se deve ao fato de que a soma dos primeiros n + 1 termos desta série constitui o polinômio de Taylor de ordem n de f no ponto x0 . Veremos agora as séries de Taylor de algumas funções conhecidas. Às vezes a série de Taylor de uma função em torno do ponto x0 = 0 chama-se “Série de Maclaurin” mas não adotaremos esta terminologia. 1. Funções seno e cosseno Suas séries de Taylor em torno do ponto x = 0 são sen x = x −

x3 x5 + − ··· 3! 5!

cos x = 1 −

x2 x4 + − ··· 2! 4!

em virtude da própria definição dessas funções. 2. Função 1/(1 − x)

A série de potências 1 + x + x2 + · · · é uma série geométrica. Ela converge para a soma 1/(1−x) quando |x| < 1, e diverge quando |x| ≥ 1. Logo é a série de Taylor da função f : (−1, 1) → R, definida por f (x) = 1/(1 − x). P Segue-se que 1 − x + x2 − · · · = n≥0 (−1)n xn é a série de Taylor da função 1/(1 + x), convergente para |x| < 1 e divergente se |x| ≥ 1. P Também resulta daı́ que 1 − x2 + x4 − · · · = n≥0 (−1)n x2n é a série de Taylor da função g(x) = 1/(1 + x2 ) em torno do ponto x = 0. Neste caso, a função g : R → R está definida para todo x ∈ R porém sua série de Taylor converge apenas no intervalo (−1, 1). (Este fenômeno está ligado ao fato de que a função de variável complexa g(z) = 1/(1 + z 2 ) √ não está definida nos pontos z = ± −1, ambos de valor absoluto igual a 1.)

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Seqüências e Séries de Funções

Cap. 12

Se desejarmos desenvolvimentos finitos poderemos escrever respectivamente 1 xn+1 = 1 + x + · · · + xn + , x 6= 1. 1−x 1−x (−1)n+1 xn+1 1 = 1 − x + · · · + (−1)n xn + , x 6= −1. 1+x 1+x 1 (−1)n+1 x2n+2 2 n 2n = 1 − x + · · · + (−1) x + , x ∈ R. 1 + x2 1 + x2 Em cada uma das expressões acima, a última parcela é o resto da fórmula de Taylor. Com efeito, se chamarmos r, s e t essas últimas parcelas, vemos facilmente que r(x) s(x) t(x) = lim n = lim 2n = 0. n x→0 x x→0 x x→0 x lim

3. Função exponencial P∞ n A série para todo x ∈ R, logo a função n=0 x /n! converge P ∞ n ∞ f : R → R, definida por f (x) = n=0 x /n!, é de classe C . Derivando termo a termo, vemos que f ′ (x) = f (x). Como f (0) = 1, segue-se do Teorema 10, Capı́tulo 11, que f (x) = ex para todo x ∈ R. Portanto ex = 1 + x +

x2 x3 + + ··· 2! 3!

é a série de Taylor da função exponencial em torno do ponto x = 0. 4. Função logaritmo Como log x não tem sentido para x = 0, consideraremos a função log(1 R x + x), definida para todo x > −1. Por definição, log(1 + x) = 0 dt/(1 + t). Integrando termo a termo a série de Taylor de 1/(1 + x), vista cima, obtemos log(1 + x) = x −

∞

X x2 x3 x4 xn (−1)n+1 + − + ··· = , 2 3 4 n n=1

série de Taylor de log(1 + x), convergente no intervalo aberto (−1, 1), pois 1 é seu raio de convergência. Acontece que, pelo Teorema de Leibniz (Teorema 3, Capı́tulo 4) esta série converge também para x = 1 (mas diverge para x= − 1). Seria interessante saber se a função f : (−1, 1]→R,

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Seção 5

Séries de Taylor

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P definida por f (x) = n≥1 (−1)n+1 xn /n, a qual coincide com log(1 + x) quando |x| < 1, também coincide com log(1 + x) no ponto x = 1. Isto é verdade, conforme mostraremos agora. Com efeito, integrando termo a termo o desenvolvimento finito de 1/(1 + x) visto acima, obtemos (indo até a ordem n em vez de n + 1): log(1 + x) = x −

x2 x3 xn + − · · · + (−1)n−1 + rn (x), 2 3 n

onde rn (x) = (−1)n

Z x 0

tn dt. 1+t

R1 1 · Para x = 1, temos |rn (1)| ≤ 0 tn dt = n+1 Portanto limn→∞ rn (1) = 0. Segue-se que

(−1)n−1 1 1 + − ··· + + ··· 2 3 n Esta é uma expressão interessante de log P 2 como soma de uma série aln+1 xn /n representa ternada. Ela mostra que a série de Taylor ∞ n=1 (−1) log(1 + x) no intervalo (−1, 1]. log 2 = 1 −

5. Função arctg x Sabe-se do Cálculo que a função tg : (−π/2, π/2) → R é uma bijeção C ∞ , com derivada positiva, e que sua inversa arctg : R → (−π/2, π/2) tem derivada igual a 1/(1 + x2 ), para todo x ∈ R. O desenvolvimento de tg x em série de Taylor é complicado, enquanto o de arctgR x é bem mais x simples, por isso o exporemos agora. Temos arctg x = 0 dt/(1 + t2 ), para todo x ∈ R. Quando |x| < 1, podemos integrar termo a termo o desenvolvimento de Taylor de 1/(1 + x2 ) visto acima, obtendo arctg x = x −

∞

X x3 x5 x2n+1 x2n+1 + − · · · + (−1)n + ··· = · (−1)n 3 5 2n + 1 2n + 1 n=0

Este argumento (integração termo a termo) garante a validez da igualdade acima quando −1 < x < 1. Acontece que a série em questão converge também nos pontos x = 1 e x = −1. É natural, portanto, esperar que o desenvolvimento de arctg x em série de Taylor seja válido em todo o intervalo fechado [−1, 1]. Para ver isto, integramos o desenvolvimento finito de 1/(1 + x2 ) obtendo arctg x = x −

x3 x5 x2n−1 + − · · · + (−1)n−1 + rn (x), 3 5 2n − 1

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Seqüências e Séries de Funções

Cap. 12

R x t2n onde rn (x) = (−1)n 0 1+t 2 dt.

Para todo x ∈ [−1, 1] temos Z |x| |x|2n+1 1 t2n dt = |rn (x)| ≤ ≤ , 2n + 1 2n + 1 0

logo limn→∞ rn (x) = 0, portanto vale a igualdade arctg x =

∞ X

n=0

(−1)n

x2n+1 2n + 1

para todo x ∈ [−1, 1]. Em particular, para x = 1, obtemos a fórmula de Leibniz 1 1 1 π = 1 − + − + ··· 4 3 5 7

Exercı́cios

Seção 1:

Convergência simples e convergência uniforme

1. Mostre que a seqüência de funções fn : [0, +∞) → R, dadas por fn (x) = xn /(1 + xn ), converge simplesmente. Determine a função limite, mostre que a convergência não é uniforme. 2. Prove que a seqüência do exercı́cio anterior converge uniformemente em todos os intervalos do tipo [0, 1 − δ] e [1 + δ, +∞), 0 < δ < 1. P n n 3. Prove que a série ∞ n=1 x (1 − x ) converge quando x pertence ao intervalo (−1, 1]. A convergência é uniforme em todos os intervalos do tipo [−1 + δ, 1 − δ], onde 0 < δ < 1/2.

4. A fim de que a seqüência de funções fn : X → R convirja uniformemente, é necessário e suficiente que, para todo ε > 0 dado, exista n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε qualquer que seja x ∈ X. (Critério de Cauchy.) 5. Se a seqüência de funções fn : X → R converge uniformemente para f : X → R, prove que f é limitada se, e somente se, existem K > 0 e n0 ∈ N tais que n > n0 ⇒ |fn (x)| ≤ K para todo x ∈ X.

6. Se a seqüência de funções fn : X → R é tal que f1 ≥ f2 ≥ ·P · · ≥ fn ≥ · · · e fn → 0 uniformemente em X, prove que a série (−1)n fn converge uniformemente em X.

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Seção 6

Exercı́cios

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P P 7. Se |fn (x)| converge uniformemente em X, prove que fn (x) também converge uniformemente em X. Seção 2:

Propriedades da convergência uniforme

1. Se fn → f e gn → g uniformemente no conjunto X, prove que fn + gn → f + g uniformemente em X. Prove ainda que se f e g forem limitadas então fn · gn → f · g uniformemente em X. Finalmente, se existir c > 0 tal que |g(x)| ≥ c para todo x ∈ X, prove que 1/gn → 1/g uniformemente em X.

2. Seja p : R → R um polinômio de grau ≥ 1. Mostre que a seqüência de funções fn : R → R, dadas por fn (x) = p(x)+1/n, converge uniformemente para p em R porém (fn2 ) não converge uniformemente para p2 . √ 3. Seja a seqüência de funções fn : [0, 1] → R, onde fn (x) = sen(nx)/ n. Prove que (fn ) converge uniformemente para 0 mas a seqüência das derivadas fn′ não converge em ponto algum do intervalo [0, 1]. 4. Mostre que a seqüência de funções gn (x) = x + xn /n converge uniformemente no intervalo [0, 1] para uma função derivável g e a seqüência das derivadas gn′ converge simplesmente em [0, 1] mas g ′ não é igual a lim gn′ . 5. Seja g : Y → R uniformemente contı́nua. Se a seqüência de funções fn : X → R converge uniformemente para f , com f (X) ⊂ Y e fn (X) ⊂ Y para todo n ∈ N, prove que g ◦ fn → g ◦ f uniformemente em X. Analise também a questão mais simples fn ◦g → f ◦g.

6. Sejam X compacto, U aberto e f : X → R contı́nua tal que f (X) ⊂ U . Se uma seqüência de funções fn : X → R converge uniformemente para f , prove que existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ fn (X) ⊂ U. 7. Se uma seqüência de funções contı́nuas fn : X → R converge uniformemente num conjunto denso D ⊂ X, prove que (fn ) converge uniformemente em X. 8. A seqüência de funções fn : [0, 1] → R, fn (x) = nx(1 − x)n , converge, porém não uniformemente. Mostre que, apesar disso, vale Z 1 Z 1 fn . lim fn = lim 0

n→∞

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Seqüências e Séries de Funções

Cap. 12

9. Dada uma seqüência de funções fn : X → R, suponha que exista p n |fn (x)| ≤ c < 1 para ∈ X e todo n ∈ N c ∈ R tal que P todo x P suficientemente grande. Prove que |fn (x)| e fn (x) convergem uniformemente em X. 10. No exercı́cio anterior, suponha que f1 é limitada, p que fn (x) 6= 0 para todo x ∈ X e todo n ∈ N e, em vez de n |fn (x)| ≤ c < 1, suponha que |fn+1 (x)/fn (x)| ≤ c < 1 para todo x ∈ X e todo n ∈ N suficientemente grande. Obtenha a mesma conclusão. Seção 3:

Séries de potências

P 1. Seja r o raio de convergência da série de potências an (x−x0)n . + Prove que se r ∈ R então r = 1/L, onde p L é o maior valor n |an | . Assim temos, r = de aderência da seqüência limitada p 1/ lim sup n |an | . p 2. Se lim n |an | = L, prove que as séries de potências ∞ X

an x

∞ X

an x2n+1

n=0

√ têm ambas raio de convergência igual a 1/ L. 3. Determine o raio de convergência de cada uma das séries seguintes: X 2 X √ X log n an xn , a n xn e n n xn . P n 4. Prove que a função f : (−r, r) → R, dada por f (x) = ∞ n=0 an x , onde r é o raio de convergência desta série, é uma função par (respectivamente, ı́mpar) se, e somente se, an = 0 para todo n ı́mpar (respectivamente, par). (Ver Exercı́cio 2.4, Cap. 8.) P n 5. Seja ∞ n=0 an x uma série de potências cujos coeficientes são determinados pelas igualdades a0 = a1 = 1 e an+1 = an + an−1 √ . Mostre que o raio de convergência desta série é igual a (−1 + 5)/2. 6. Prove que a função f (x) =

∞ X

n=0

(−1)n

1 x 2n (n!)2 2

f′ + f = 0 para está bem definida para todo x ∈ R e que f ′′ + x todo x 6= 0.

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13 Sugestões e Respostas Cada uma das doze seções deste capı́tulo tem o mesmo tı́tulo de um dos doze capı́tulos anteriores e contém soluções para exercı́cios propostos naquele capı́tulo. Em cada uma delas, a notação p.q significa o q-ésimo exercı́cio da seção p do capı́tulo correspondente.

Conjuntos Finitos e Infinitos 1.2. O conjunto A dos múltiplos de m maiores do que n não é vazio pois (n + 1)m ∈ A. Seja (q + 1)m o menor elemento de A. Se n não é múltiplo de m, qm < n < (q + 1)m, logo n = qm + r, com r < m. Reciprocamente, se n = qm + r com r < m então (q + 1)m é o menor elemento de A, logo q está determinado univocamente, juntamente com r = n − mq. 1.3. Seja k o menor elemento de X. Se n ∈ X então n ≥ k. Assim, ou n é múltiplo de k ou n = qk + r com r < k. Ora, n e qk pertencem a X, logo r ∈ X, o que é absurdo pois k é o menor elemento de X. Assim todo n ∈ X é múltiplo de k. 1.4. Provar que 1 é o único número natural que não é sucessor de qualquer outro equivale a mostrar que, pondo X = {1} ∪ s(N), tem-se X = N. Isto, porém, resulta diretamente do axioma da indução pois 1 ∈ X e se n ∈ X então s(n) ∈ s(N), logo s(n) ∈ X. 1.5. Seja X ⊂ N tal que 1 ∈ X e n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X. Se X 6= N, tome k = menor elemento de N − X. Como 1 ∈ X, tem-se k = p + 1, com p < k logo p ∈ X. Sendo p + 1 = k ∈ / X, chega-se a uma contradição. 1.6 Primeiramente, provemos a monotonicidade da multiplicação: m < n ⇒ mp < np. De fato, m < n significa n = m + r, r ∈ N, logo np = (m + r)p = mp + rp e daı́ mp < np. Em seguida notemos que, se mp = np não se pode ter m < n

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Sugestões e Respostas

Cap. 13

(pois isto implicaria mp < np) nem n < m pelo mesmo motivo. Deve ser então m = n, o que prova a lei de corte para a multiplicação. 2.1. Podemos supor Y ⊂ X = In . Se fosse card Y = m > n, existiria uma bijeção entre Im e sua parte própria Y . 2.2. Se Y = X ∪ {a} onde a ∈ / X então P(Y ) é formado pelas partes de Y que não contêm a mais as que contêm a. As primeiras constituem P(X) e as outras são em mesmo número que as primeiras, logo P(Y ) = 2.P(X). Esta é a base da indução sobre o número de elementos. 2.3. Se X = X ′ ∪ {a}, a ∈ / X ′ então para cada função f ′ : X ′ → Y há n maneiras de estendê-la a uma função f : X → Y , correspondentes às n imagens possı́veis f (a) ∈ Y . Logo card F (X; Y ) = card F (X ′ ; Y ) × n. Isto fornece a base para a indução em m. 2.5. Se existisse um tal f , ela seria uma bijeção entre seu domı́nio Im e sua imagem A = f (Im ), a qual está contida em In , logo é um subconjunto próprio de Im (pois n < m). Mas isto é vedado pelo Teorema 1. 3.3. Use a idéia de Euclides: supondo P finito, considere o produto de todos os números primos, some 1 a esse produto e obtenha uma número n, o qual não pode ser primo, mas deve possuir um divisor primo. Chegue a uma contradição. 3.4. Tome T Xn = N − In = conjunto dos números naturais maiores do que n. Então a∈ ∞ n=1 Xn significa que a é maior do que todos os números naturais. 3.5. Se existir, para algum n ∈ N, uma f : In → X sobrejetiva então X é finito, pelo Corolário 1 do Teorema 2. Portanto, se X é infinito não existe f : In → X sobrejetiva. A recı́proca é inteiramente óbvia. 4.1. Para a injetividade de f use a unicidade da decomposição em fatores primos. Para a sobrejetividade, dado um número par k ∈ N, seja m o maior número natural tal que k é divisı́vel por 2m . Então k = 2m · ℓ, onde ℓ é ı́mpar, logo ℓ = 2n − 1. 4.2. Tome g = π ◦ ϕ, onde ϕ : N → N × N é sobrejetiva e π(m, n) = n. 4.3. Use o exercı́cio anterior. 4.4. A função f : Pn → Nn = N × · · · × N, definida por f (X) = (m1 , . . . , mn ) se X = S {m1 < m2 < · · · < mn }, é injetiva, portanto Pn é enumerável, logo Pf = ∞ n=1 Pn também é. 4.5. Interprete cada subconjunto X ⊂ N como uma seqüência de zeros e uns, na qual o n-ésimo termo é 1 se n ∈ X e 0 se n ∈ / X. S 4.6. X = y∈Y f −1 (y).

Números Reais 2.2. x = x − y + y ⇒ |x| ≤ |x − y| + |y| ⇒ |x| − |y| ≤ |x − y|. Analogamente, |y| − |x| ≤ |x − y|, logo | |x| − |y| | = max{|x| − |y|, |y| − |x|} ≤ |x − y|. 2.5. Não use indução. Escreva (1 + x)2n = (1 + 2x + x2 )n e use a desigualdade de Bernoulli. 2.6. Segue-se de 2.2. P 2 P P 2 2.7. Note que f (λ) = aλ2 + bλ + c, onde a = yi , b = 2 xi yi , c = xi .

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Seção 3

Seqüências de números reais

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3.3. Seja A = sup f . Tem-se f (x) ≤ A, donde f (x)2 ≤ A2 , para todo x ∈ X, logo √ sup(f 2 ) ≤ A2 . Por outro lado, se c < A2 então c < A, logo existe x ∈ X √ com c < f (x) ≤ A e daı́ c < f (x)2 ≤ A2 . Portanto sup(f 2 ) = A2 . 3.4. De x < (2 − a2 )/(2a + 1) resulta a2 + 2ax + x < 2. Como x < 1, tem-se x2 < x, logo (a + x)2 = a2 + 2ax + x2 < a2 + 2ax + x < 2. Por outro lado, de y < (b2 − 2)/2b vem b2 − 2by > 2 e daı́ resultam (b − y)2 = b2 − 2by + y 2 > 2 e b(b − 2y) > 2, donde b − y > b − 2y > 0. Estes fatos dizem que se X = {a > 0; a2 < 2} então c = sup X não pertence a X nem ao conjunto Y = {b > 0; b2 > 2}. Logo c2 = 2. 3.5. A correspondência que associa ao polinômio p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn a lista (a0 , a1 , . . . , an ) é uma bijeção entre o conjunto Pn dos polinômios de coeficientes inteiros e grau ≤ n e o produto cartesiano Zn+1 = Z × · · · × Z, S∞ logo Pn é enumerável. Daı́ o conjunto P = n=0 Pn dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Para cada número algébrico α, escolha, de uma vez por todas, um polinômio pα de coeficientes inteiros que tenha α como raiz. A correspondência α 7→ pα define uma função do conjunto A dos números algébricos reais no conjunto enumerável P , tal que a imagem inversa de cada elemento de P é finita. Logo A é enumerável. 3.6. Sejam α = inf I e β = sup I, convencionando que α = −∞ (respect. β = +∞) se I for ilimitado inferiormente (respect. superiormente). Basta provar que (α, β) ⊂ I. Ora x ∈ (α, β) ⇒ α < x < β ⇒ (pela definição de inf. e sup.) existem a, b ∈ I com a < x < b, logo, pela hipótese, x ∈ I.

Seqüências de Números Reais 1.2. Dado ε > 0, existem n1 , n2 ∈ N tais que n > n1 ⇒ |xn − a| < ε e n > n2 ⇒ |yn − a| < ε. Tome n0 = max{2n1 − 1, 2n2 }. Se n = 2k − 1, então n > n0 ⇒ 2k − 1 > 2n1 − 1 ⇒ k > n1 ⇒ |zn − a| < |xk − a| < ε. Se n = 2k, então n > n0 ⇒ 2k > 2n2 ⇒ k > n2 ⇒ |zn − a| = |yk − a| < ε. Portanto lim zn = a. 1.3. Basta notar que | |xn | − |a| | ≤ |xn − a|. 1.5. Para o conjunto B, tome uma decomposição N = N1 ∪ N2 ∪ · · · onde os Nk são infinitos 2 a 2 disjuntos e ponha xn = k se n ∈ Nk . Para o conjunto C, tome uma enumeração x1 , x2 , . . . , xn , . . . dos números racionais do intervalo [0, 1]. 1.6. Para a suficiência, tome sucessivamente ε igual a 1, 1/2, 1/3, . . . e obtenha n1 < n2 < n3 < · · · com |xnk − a| < 1/k. 2.3. Existe ε > 0 tal que |xn − a| ≥ ε para um conjunto infinito N′ de valores de n. Por Bolzano-Weierstrass, a subseqüência (xn )n∈N′ possui uma subseqüência convergente: N′′ ⊂ N′ e limn∈N′′ xn = b. Tem-se |b − a| ≥ ε logo b 6= a. 2.4. Seja a o único valor de aderência de (xn ). Tem-se lim xn = a em virtude do exercı́cio anterior. 2.5. A seqüência dada tem o único valor de aderência 0 mas não converge pois é ilimitada. 2.6. Seja a < b. Como a média aritmética é maior do que a média geométrica, temse a < x1 < x2 < · · · < y2 < y1 < b. Logo existem x = lim xn e y = lim yn . Fazendo n → ∞ em yn+1 = (xn + yn )/2 vem y = (x + y)/2, donde x = y.

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Sugestões e Respostas

Cap. 13

2.7. (a) Tomando ε = 1, vê-se que existe n0 ∈ N tal que |xm − a| < 1 para todo m > n0 , onde a = xn0 +1 . Então os termos da seqüência pertencem ao conjunto {x1 , . . . , xn0 } ∪ [a − 1, a + 1], que é limitado. (b) Se limn∈N′ xn = a e limn∈N′′ xn = b com |a − b| = 3ε > 0 então existem ı́ndices m e n arbitrariamente grandes tais que |xm − a| < ε e |xn − b| < ε. Como 3ε = |a − b| ≤ |a − xm | + |xm − xn | + |xn − b| < 2ε + |xm − xn |, donde |xm − xn | > ε, conclui-se que (xn ) não é uma seqüência de Cauchy. (c) Segue-se dos itens anteriores e do exercı́cio 2.4. √ √ 3.1. Observe que 1 < n+p n < n n. 3.3. A seqüência é crescente pois x1 < x2 e, supondo xn−1 < xn vem x2n = a + xn−1 < a + xn = x2n+1 donde xn < xn+1 . Além disso, se c é a raiz positiva da equação x2 − x − a = 0, ou seja, c2 = a + c, tem-se xn < c para todo n. Isto é verdade para n = 1 e, de xn < c resulta x2n+1 = a + xn < a + c = c2 logo xn+1 < c. Portanto existe lim xn . Fazendo n → ∞ na igualdade x2n+1 = a+xn vê-se que lim xn = c. 3.5. Note que x2 = 1/(a + x1 ) e x3 = 1/(a + x2 ) = (a + x1 )/(a2 + ax1 + 1). Tem-se x1 > c = 1/(a + c) > 1/(a + x1 ) = x2 . Além disso, x1 > x2 = 1/(a + x1 ) ⇒ x1 (a + x1 ) > 1 ⇒ (multiplicando por a e somando x1 ) ⇒ x1 (a2 + ax1 + 1) > a + x1 ⇒ x1 > (a + x1 )/(a2 + ax1 + 1), logo x1 > x3 > c > x2 . Analogamente se vê que x1 > x3 > c > x4 > x2 , e assim por diante. Portanto existem lim x2n−1 = ξ e lim x2n = η. A relação xn+2 = (a + xn )/(a2 + axn + 1), por passagem ao limite, fornece ξ = (a+ξ)/(a2 +aξ +1) e η = (a+η)/(a2 +aη +1), logo ξ 2 + aξ − 1 = 0 e η 2 + aη − 1 = 0. Como ξ e η são positivos, vem ξ = η = c. 3.6. Observe que yn+1 = a + xn .

3.7. Basta observar que xn+1 = 1/(1 + xn ). 4.1. Pelo Exemplo A > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ √ 9, dado arbitrariamente √ n! > An ⇒ n n! > A logo lim n n! = +∞. √ √ √ √ 4.2. Lembre que A − B = (A − B)/( A + B).

n+1 4.3. Pondo tn = nkn!·an , obtemos tn+1 /tn = a·(1+ 1 )k , portanto lim tn+1 /tn = n

+∞. Segue-se do Exemplo 8 que lim tn = +∞. Pondo xn = (an · n!)/nn , obtemos xn+1 /xn = a · (n/(n + 1))n , portanto lim(xn+1 /xn ) = a/e. Segue-se do Exemplo 8 que lim xn = +∞ se a > e e lim xn = 0 se a < e. Quanto a yn = nk · xn = (nk · an · n!)/nn , evidentemente lim yn = +∞ se a > e. Quando a < e, o quociente yn+1 /yn = [(n + 1)/n]k · (xn+1 /xn ) tem limite a/e < 1, logo lim yn = 0.

4.4. Observe que [log(n + 1)/ log n] − 1 = log(1 + 1/n)/ log n tende a zero.

4.5. Sejam Xn = xn+1 − xn e Yn = yn+1 − yn . Dado ε > 0, existe p ∈ N tal que, para todo k ∈ N, os números Xp /Yp , . . . , Xp+k /Yp+k pertencem ao intervalo (a−ε, a+ε). Segue-se do Exercı́cio 2.8, Capı́tulo 2, que (Xp +· · ·+Xp+k )/(Yp + · · · + Yp+k ) ∈ (a − ε, a + ε), ou seja, (xp+k+1 − xp )/(yp+k+1 − yp ) ∈ (a − ε, a + ε) para este valor fixo de p e todo k ∈ N. Divida numerador e denominador por yp+k+1 , faça k → ∞ e conclua que lim(xn /yn ) = a.

4.6. Conseqüência imediata do exercı́cio anterior.

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Seção 4

Séries numéricas

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Séries Numéricas 1.1. Observe que bn = log n+1 = log(n + 1) − log n. n 1.4. Agrupe os termos um a um, dois a dois, quatro a quatro, oito a oito, etc. e compare com a série harmônica. 1.5. Use o método do Exemplo 5. √ 1.6. Para n suficientemente grande, log n < n. 1.7. Observe que n·a2n ≤ an+1 +· · ·+a2n ≤ an+1 +· · · = s−sn → 0, logo n·a2n → 0 e daı́ (2n)a2n → 0. Também n·a2n−1 ≤ an +· · ·+a2n−1 ≤ an +· · · = s−sn−1 → 0, logo n · a2n−1 → 0 donde 2n · a2n−1 → 0 e (2n − 1)a2n−1 → 0. Assim, quer n seja par quer seja ı́mpar, vale limn→∞ n · an = 0. 2.4. Observe que s2p < s4p < s6p < · · · < s5p < s3p < sp , que 2np ≤ i ≤ 1 (2n + 1)p ⇒ s2np ≤ si ≤ s(2n+1)p e, finalmente, que s(2n+1)p − s2np 0, existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ |bn | < ε/2A e |an | + |an+1 | + · · · < ε/2B. Então n > 2n0 ⇒ |cn | = |a0 bn + · · · + an0 bn−n0 + an0 +1 bn−n0 −1 + · · · + an b0 | ε + (|an0 +1 | + · · · + |an |) · B ≤ (|a0 | + · · · + |an0 |) 2A A·ε ε < + B = ε, portanto lim cn = 0. 2A 2B 2.7. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, !2 n ∞ ∞ X X X |ai | |bi | ≤ a2i · b2i i=1

i=1

para todo n ∈ N. P 2.8. Se an é absolutamente convergente então qualquer soma finita S de termos an está compreendida entre pPe −q, onde, na notação da demonstração do P Teorema 4, p = pn e q = qn . Reciprocamente, se as somas finitas de termos an P formamPum conjunto limitado então, em particular, as reduzidas das pn e qn são limitadas, logo estas duas séries são convergentes Pséries e an converge absolutamente. 3.3. Não há dificuldade em usar teste de Cauchy. O teste de d’Alembert leva n o log(n+1) n a log(n+1) n a n+1 = · · . O primeiro fator tem limite zero, an n+1 n+1 log n o segundo tem limite 1/e, logo basta provar que o terceiro fator é limitado. Para n ≥ 3, temos [(n + 1)/n]n < n portanto (n + 1)n < nn+1 e, tomando logaritmos, n · log(n + 1) < (n + 1) log n, donde log(n + 1)/ log n < (n + 1)/n. Então (log(n + 1)/ log n)n < [(n + 1)/n]n < e, portanto lim(an+1 /an ) = 0. 3.4. Ponha zn = x1 x2 . . . xn e use o Teorema 7. 3.5. −1 < x < 1, x = 0, −∞ < x < +∞, x = 0, −1 ≤ x ≤ 1. 4.1. Some os primeiros termos positivos até que, pela primeira vez, a soma seja ≥ |primeiro termo negativo| +1 e depois some um só termo negativo. Em seguida some os termos positivos, em sua ordem, até que a soma pela primeira vez seja ≥ |segundo termo negativo| +2 e aı́ some um só termo negativo. Prossiga. Essa ordenação dos termos faz a soma da série ficar +∞. Analogamente para −∞.

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Sugestões e Respostas

Cap. 13

4.2. Após cada termo positivo ponha os 4 primeiros negativos ainda não usados. 4.3. (a) Dado P ε > 0, seja J1 ⊂ N finito tal que J1 ⊂ J ⊂ N, J finito, impliquem |s − n∈J an | < ε. Tome J0 ⊂ N finito tal que ϕ(J0 ) = J1 . Então J ⊃ J0 ⇒ ϕ(J) ⊃ ϕ(J0 ) = J1 . Portanto J0 ⊂ J ⊂ N, J finito implicam s−

n∈J

bn = s −

n∈J

aϕ(n) = s −

am < ε.

m∈ϕ(J)

P (b) Por simplicidade, para cada J ⊂ N finito, seja sJ = n∈J an . Tendo em vista o Exercı́cio 2.8, basta provar que o conjunto das somas sJ , J ⊂ N finito, é limitado. Ora, P dado ε = 1, existe J0 ∈ N finito tal que J ⊃ J0 ⇒ |s − sJ | < 1. Escrevendo α = n∈J0 |an |, vê-se que, para todo J ⊂ N finito, vale |s − sJ | = |s − sJ∪J0 + sJ0 −J | < 1 + α, logo sJ pertence ao intervalo de centro s e raio 1 + α. P P P (c) Sejam s = an = u − v, u = pn , v = P qn , como na demonstração P do Teorema 4. Para J ⊂ N finito, sejam s J = n∈J an , uJ = n∈J pn e P vJ = n∈J qn , donde sJ = uJ − vJ . Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, pondo J0 = {1, . . . , n0 }, J ⊃ J0 ⇒ |u − uJ | < ε/2, |v − vJ | < ε/2, logo J ⊃ J0 ⇒ |s − sJ | ≤ |u − uJ | + |v − vJ | < ε.

Algumas Noções Topológicas 1.1. Para todo a ∈ int X existe, por definição, ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ X. Basta provar que (a − ε, a + ε) ⊂ int X. Se y ∈ (a − ε, a + ε), seja δ o menor dos números positivos y−(a−ε), (a+ε)−y. Então (y−δ, y+δ) ⊂ (a−ε, a+ε) ⊂ X, logo y ∈ int X. 1.2. Se A não fosse aberto, existiria um ponto a ∈ A que não seria interior. Então, para cada n ∈ N, poder-se-ia encontrar xn ∈ (a − 1/n, a + 1/n), xn ∈ / A. Daı́ lim xn = a. Contradição. 1.5. fr X = {0, 1}, fr Y = {0, 1, 2}, fr Z = R, fr W = W . 1.6. Sejam an < bn as extremidades de In . Então a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ bn ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1 . Se α = sup an e β = inf bn , então α = β ⇒ ∩In = {α} pois a interseção não é vazia. Se α < β então α < x < β ⇒ an < x < bn para todo n logo (α, β) ⊂ I. Por outro lado c < α ⇒ c < an para algum n ⇒ c ∈ / In ⇒ c ∈ / I. Analogamente β < c ⇒ c ∈ / I. Portanto (α, β) ⊂ I ⊂ [α, β]. Isto garante que I é um intervalo cujos extremos são α e β. Como os In são dois a dois distintos, pelo menos uma das seqüências (an ) e (bn ), digamos a primeira, tem uma infinidade de termos distintos. Então, para todo n ∈ N existe p ∈ N tal que an < an+p ≤ α < β ≤ bn logo α ∈ (an , bn ) ⊂ In . Portanto α ∈ I e I não é um intervalo aberto. 2.1. Segue-se do Teorema 2 que D ⊂ X é denso em X se, e somente se, há pontos de D em todo intervalo (x − ε, x + ε) com x ∈ X. Se n é tão grande que kn > 1/ε, os intervalos [m/kn , (m + 1)/kn ] têm comprimento 1/kn < ε logo, se m é o menor inteiro tal que x + ε ≤ (m + 1)/kn certamente m/kn ∈ (x − ε, x + ε). 2.2. Se a ∈ X então ou a ∈ X ou toda vizinhança de a contém pontos de X e de R − X (a saber, o próprio a) logo a ∈ fr X.

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Seção 5

Algumas noções topológicas

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2.3. Dizer que a ∈ / int X significa afirmar que toda vizinhança de a contém pontos que não estão em X, isto é, que a ∈ R − X. 2.4. Sejam X aberto e a ∈ A arbitrário. Para todo ε > 0 suficientemente pequeno, (a − ε, a + ε) ⊂ X. Se nenhum desses intervalos estivesse contido em A, cada um deles conteria pontos de B e daı́ a ∈ A ∩ B, contradição. Logo existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ A e A é aberto. Analogamente para B. Se X é fechado e a ∈ A então a ∈ X. Mas não pode ser a ∈ B pois isto faria A ∩ B 6= ∅. Logo a ∈ A e A é fechado. Analogamente para B. 2.5. Se fr X é vazia então X ⊃ fr X e X ∩ fr X = ∅, logo X é fechado e aberto. 2.6. De X ⊂ X ∪Y e Y ⊂ X ∪Y vem X ⊂ X ∪ Y e Y ⊂ X ∪ Y logo X ∪Y ⊂ X ∪ Y . Reciprocamente, se a ∈ X ∪ Y então a = lim zn com zn ∈ X ∪Y . Para infinitos valores de n, zn está em X (donde a ∈ X) ou em Y (e então a ∈ Y ). Logo a ∈ X ∪ Y . Portanto X ∪ Y ⊂ X ∪ Y . Além disso, de X ∩ Y ⊂ X e X ∩ Y ⊂ Y seguem-se X ∩ Y ⊂ X e X ∩ Y ⊂ Y donde X ∩ Y ⊂ X ∩ Y . Se X = [0, 1) e Y = (1, 2] então X ∩ Y = ∅ logo ∅ = X ∩ Y ⊂ X ∩ Y = [0, 1] ∩ [1, 2] = {1}. 2.7. Evidentemente, X ∪ A ⊂ X. Reciprocamente, se a ∈ X, então ou a ∈ X ou, caso contrário, toda vizinhança de a contém algum xn 6= a. Ponha n1 = menor n ∈ N tal que |xn − a| < 1, e uma vez definidos n1 < · · · < nk com |xni − a| < 1/i, ponha nk+1 = menor n ∈ N tal que |xn − a| < 1/(k + 1) e < |xnk − a|. Então lim xnk = a ∈ A. 3.2. Escolha em cada intervalo I da coleção um número racional rI . A correspondência I 7→ rI é injetiva. Como Q é enumerável, a coleção é enumerável. 3.3. Para cada x ∈ X existe εx > 0 tal que (x − εx , x + εx ) ∩ X = {x}. Seja Ix = (x − εx /2, x + εx /2). Dados x 6= y ∈ X, seja, digamos, εx ≤ εy . Se z ∈ Ix ∩ Iy então |x − z| < εx /2 e |z − y| < εy /2, logo |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| < εx /2 + εy /2 ≤ εy , donde x ∈ Iy , contradição. 3.4. Pelos dois exercı́cios anteriores, todo conjunto cujos pontos são todos isolados é enumerável. 3.5. Se a não é ponto de acumulação de X então existe um intervalo aberto I contendo a, tal que I ∩ X ⊂ {a}. Nenhum ponto de I pode ser ponto de acumulação de X. Logo R − X ′ é aberto. Daı́, X ′ é fechado. 4.1. Se a ∈ / A então, pelo Exercı́cio 1.7 do Capı́tulo 3, existe ε > 0 tal que nenhum ponto do intervalo (a − ε, a + ε) pertence a A. Logo A é fechado. 4.3. Fn = [n, +∞) e Ln = (0, 1/n). 4.4. Seja α = inf{|x − y|; x ∈ X, y ∈ Y }. Existem seqüências de pontos xn ∈ X e yn ∈ Y tais que lim |xn −yn | = α. Passando a uma subseqüência, se necessário, pode-se admitir que lim xn = x0 ∈ X. Como |yn | ≤ |yn − xn | + |xn |, segue-se que (yn ) é uma seqüência limitada. Passando novamente a uma subseqüência, vem lim yn = y0 ∈ Y . Logo |x0 − y0 | = α. 4.5. Todo conjunto infinito limitado X admite um ponto de acumulação a. Se X é compacto, a ∈ X. Os exemplos são X = N e Y = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . . }. 4.6. É fácil provar que os conjuntos dados são limitados. Para mostrar que S é fechado, suponha que lim(xn + yn ) = z, xn , yn ∈ X. Existe N′ ⊂ N infinito tal que limn∈N′ xn = x0 ∈ X. Então, como yn = (xn + yn ) − xn , existe limn∈N′ yn = y0 ∈ X e daı́ z = limn∈N′ (xn +yn ) = x0 +y0 ∈ S. A demonstração para D, P e Q se faz de modo análogo.

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Sugestões e Respostas

Cap. 13

5.1. Pertencem ao conjunto de Cantor os números 1/3 = 0, 1 = 0, 0222 . . . ; 1/4 = 0, 0202 . . . ; 1/9 = 0, 01 = 0, 00222 . . . e 1/10 = 0, 00220022 . . . (desenvolvimentos na base 3). 5.2. Mostre primeiro que, dado um número da forma a = m/3n (que na base 3 tem desenvolvimento finito), existem x, y ∈ K tais que x − y = a. Depois note que, sendo K compacto, o conjunto D dos números |x − y|, com x, y ∈ K, é compacto. Como as frações m/3n são densas em [0, 1], segue-se que D = [0, 1]. 5.4. Os extremos dos intervalos omitidos são os pontos de K que têm desenvolvimento finito em base 3. Os demais pontos de K são limites destes. (Exemplo: 0, 20202 · · · = lim xn , onde x1 = 0, 2; x2 = 0, 20; x3 = 0, 202 etc.)

Limites de Funções 1.2. Basta provar que se xn , yn ∈ X − {a} e lim xn = lim yn = a então lim f (xn ) = lim f (yn ). Para tal, defina (zn ) pondo z2n−1 = xn e z2n = yn . Tem-se lim zn = a, logo (f (zn )) converge e daı́ lim f (xn ) = lim f (yn ) pois (f (xn )) e (f (yn )) são subseqüências de (f (zn )). 1.5. Tome a ∈ R com sen a = c e ponha xn = 1/(a + 2πn). 2.1. Basta notar que se lim xn = a e xn > a para todo n ∈ N então (xn ) possui uma subseqüência decrescente (convergindo para a, naturalmente). 2.2. O mesmo que para o exercı́cio anterior. 2.5. O intervalo [−1, 1]. Com efeito, se −1 ≤ c ≤ 1, tome uma seqüência de números xn < 0 com lim xn = 0 e sen(1/xn ) = c para todo n. (Como no Exercı́cio 1.5.) Então f (xn ) = c/(1 + 21/xn ) tem limite c. 3.1. Escreva p(x) = xn [(a0 /xn ) + (a1 /xn−1 ) + · · · + (an−1 /x) + an ]. 3.2. Quando 2πn − π2 ≤ x ≤ 2πn + π2 , a função x sen x assume todos os valores de π − 2πn a π2 + 2πn. Dado c ∈ R, existe n0 ∈ N tal que π2 − 2πn ≤ c ≤ 2πn + π2 2 para todo n ≥ n0 . Logo, para todo n ≥ n0 , existe xn ∈ 2πn − π2 , 2πn + π2 tal que xn sen xn = c. Então lim xn = +∞ e lim f (xn ) = c. 3.3. Mt e mt são funções monótonas de t (não-crescente e não-decrescente, respectivamente), ambas limitadas. Logo existem limt→+∞ Mt = L, limt→+∞ mt = l e limt→+∞ ωt = L − l. Como mt ≤ f (t) ≤ Mt para todo t ≥ a, se lim ωt = 0 então existe limx→+∞ f (x) = L = l. Reciprocamente, se limx→+∞ f (x) = A então, para todo ε > 0 exise t ≥ a tal que A − ε < f (x) < A + ε para todo x > t, logo Mt − mt ≤ 2ε. Segue-se que lim Mt = lim mt e lim ωt = 0.

Funções Contı́nuas 1.1. Observe que ϕ(x) = 21 [f (x) + g(x) + |f (x) − g(x)|] e ψ(x) = 12 [f (x) + g(x) − |f (x) − g(x)|]. 1.2. A = A1 ∪ A2 onde A1 = {x ∈ X; f (x) < g(x)} e A2 = {x ∈ X; f (x) > g(x)} e F = F1 ∩ F2 onde F1 = {x ∈ X; f (x) ≤ g(x)} e F2 = {x ∈ X; f (x) ≥ g(x)}. 1.5. Se f é descontı́nua no ponto a ∈ R existem ε > 0 e uma seqüência (xn ) com lim xn = a e |f (xn ) − f (a)| ≥ ε para todo n ∈ N. Então, pondo X =

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Seção 7

Funções contı́nuas

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/ f (X), logo f (X) 6⊂ f (X). A recı́proca {x1 , . . . , xn , . . . }, tem-se a ∈ X e f (a) ∈ é evidente. 1.7. Certamente existem ε > 0 e uma seqüência de pontos zn ∈ X tais que lim zn = a e |f (zn ) − f (a)| > ε para todo n ∈ N. Existe um conjunto infinito {n1 < n2 < · · · < nk < · · · } de ı́ndices n para os quais a diferença f (zn ) − f (a) tem o mesmo sinal (digamos, positivo). Então, escrevendo xk = znk , temos f (xk ) > f (a) + ε para todo k ∈ N. 2.1. Fixe a ∈ I. Pondo A = {x ∈ I; f (x) = f (a)} e B = {x ∈ I; f (x) 6= f (a)} tem-se I = A ∪ B. Como f é localmente constante, todo x ∈ A tem uma vizinhança disjunta de B, logo x ∈ / B. Assim A ∩ B = ∅. Analogamente, A ∩ B = ∅, portanto I = A ∪ B é uma cisão. Como a ∈ A, segue-se que A 6= ∅ donde A = I e f é constante. 2.2. Suponha f não-decrescente. Dado a ∈ int I, sejam ℓ = limx→a− f (x) e L = limx→a+ f (x). Se f é descontı́nua no ponto a então ℓ < L. Tomando x, y ∈ I com x < a < y e z 6= f (a) tal que ℓ < z < L, tem-se f (x) < z < f (y) mas z ∈ / f (I), logo f (I) não é um intervalo. (Raciocı́nio análogo se a é uma das extremidades de I.) 2.4. Se f é descontı́nua no ponto a ∈ I, existem ε > 0 e uma seqüência de pontos xn ∈ I tal que lim xn = a e (digamos) f (xn ) > f (a) + ε. Fixando c ∈ (f (a), f (a) + ε), a propriedade do valor intermediário assegura, para cada n ∈ N, a existência de zn entre a e xn tal que f (zn ) = c. Evidentemente o conjunto dos zn assim obtidos é infinito. Contradição. 2.5. Defina ϕ : [0, 1/2] → R pondo ϕ(x) = f (x+1/2)−f (x). Então ϕ(0)+ϕ(1/2) = 0 logo existe x ∈ [0, 1/2] tal que f (x) = f (x + 1/2). No outro caso tome ψ : [0, 2/3] → R, ψ(x) = f (x+1/3)−f (x) e note que ψ(0)+ψ(1/3)+ψ(2/3) = 0 logo ψ muda de sinal e portanto se anula em algum ponto x ∈ [0, 2/3]. 3.1 Fixe arbitrariamente a ∈ R. Existe A > 0 tal que a ∈ [−A, A] e |x| > A ⇒ f (x) > f (a). A restrição de f ao conjunto compacto [−A, A] assume seu valor mı́nimo num ponto x0 ∈ [−A, A]. Como f (x0 ) ≤ f (a), segue-se que f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ R. 3.2. Basta observar que o conjunto das raı́zes x da equação f (x) = c é fechado e (como limx→+∞ f (x) = +∞ e limx→−∞ f (x) = −∞) limitado. 3.3 Como o intervalo [a, b] só tem dois pontos extremos, ou o valor mı́nimo ou o valor máximo de f (digamos, este) será assumido num ponto c interior a [a, b] e noutro ponto d ∈ [a, b]. Então existe δ > 0 tal que nos intervalos [c − δ, c), (c, c + δ] e (caso d não seja o extremo inferior do intervalo [a, b]) [d − δ, d) a função assume valores menores do que f (c) = f (d). Seja A o maior dos números f (c − δ), f (c + δ) e f (d − δ). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existem x ∈ [c − δ, c), y ∈ (c, c + δ] e z ∈ [d − δ, d) tais que f (x) = f (y) = f (z) = A. Contradição. 3.4 Tome x0 , x1 ∈ [0, p], pontos em que f |[0, p] assume seus valores mı́nimo e máximo. 3.5 Caso contrário, existiria ε > 0 com a seguinte propriedade: para todo n ∈ N, haveria pontos xn , yn ∈ X com |xn − yn | ≥ ε e |f (xn ) − f (yn )| > n|xn − yn |. Passando a subseqüências, ter-se-ia lim xn = a ∈ X e lim yn = b ∈ X com |a − b| ≥ ε e +∞ = lim[|f (xn ) − f (yn )|/|xn − yn |] = |f (b) − f (a)|/|b − a|. Contradição.

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Sugestões e Respostas

Cap. 13

Derivadas 1.1. Escreva f (x) = f (a)+f ′ (a)(x−a)+r(x) como no Teorema 1 e defina η : X → R (a) pondo η(x) = f ′ (a) + r(x)/(x − a) = f (x)−f se x 6= a e η(a) = f ′ (a). A x−a continuidade de η no ponto a segue-se do Teorema 1. 1.3. Note que f (yn ) − f (a) f (xn ) − f (a) f (yn ) − f (xn ) = tn · + (1 − tn ) , yn − xn yn − a xn − a onde 0 < tn < 1 para todo n. Basta tomar tn = (yn −a)/(yn −xn ). Na definição de derivada, as secantes que tendem para a tangente no ponto (a, f (a)) passam todas por este ponto. Aqui, ambas extremidades variam. 1.4. Tome f (x) = x2 sen(1/x), se x 6= 0 e f (0) = 0. Ponha xn = 1/πn e yn = 1/(n + 1/2)π. 1.5. Recaia no Exercı́cio 1.3. O exemplo pedido pode ser a função f (x) = x sen(1/x) ou qualquer função par (f (−x) = f (x)) que não possua derivada no ponto x = 0. 2.1. Pela Regra da Cadeia, as derivadas sucessivas de f para x 6= 0 são o pro2 duto de e−1/x por um polinômio em 1/x. No ponto x = 0 tem-se f ′ (0) = −1/h2

limh→0 e

= 0, como se vê escrevendo 1/h = y. Supondo f ′ (0) = · · · = 2

f (n) (0) = 0 tem-se f (n+1) (0) = limh→0 h1 f (n) (h) = limh→0 P (1/h) · e−1/h = h 2

limh→0 Q(1/h) · e−1/h = 0.

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Seção 8

Derivadas

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2.5. Derive k vezes em relação a t a igualdade f (tx) = tk·f (x) e obtenha f (k) (tx) · xk (k)

= k!f (x). Faça t = 0 e conclua que f (x) = f k!(0) xk . 3.1. Tome f (x) como no Exemplo 7. 3.2. Para fixar idéias, suponha f ′′ (c) > 0. Pelo Corolário 2 do Teorema 4, existe δ > 0 tal que c − δ < x < c < y < c + δ ⇒ f ′ (x) < 0 < f ′ (y). Então c − δ < x < c ⇒ f (x) > f (c) pois se fosse f (x) ≤ f (c), como a derivada f ′ (x) é negativa, o valor mı́nimo de f no intervalo [x, c] não seria atingido nem no ponto x nem no ponto c mas num ponto z ∈ (x, c) portanto f ′ (z) = 0, contrariando o fato de z pertencer a (c − δ, c). Analogamente se mostra que c < y < c + δ ⇒ f (y) > f (c). Logo c é um ponto de mı́nimo local. Se fosse f ′′ (c) < 0, c seria ponto de máximo local. 3.3. Pelo Corolário 2 do Teorema 4, existe δ > 0 tal que c − δ < x < c < y < c + δ ⇒ f ′ (x) < 0 < f ′ (y), logo c é o único ponto crı́tico de f no intervalo (c − δ, c + δ). ′

′

(c) 3.4. f ′′ (c) = limn→∞ f (ccnn)−f = 0 pois f ′ (cn ) = f ′ (c) = 0 para todo n. −c 3.5. Seja M o conjunto dos pontos de máximo local estrito de f . Para cada c ∈ M fixemos rc < sc racionais tais que rc < c < sc e x ∈ (rc , sc ), x 6= c ⇒ f (x) < f (c). Se d ∈ M é diferente de c então os intervalos (rc , sc ) e (rd , sd ) são diferentes porque d ∈ / (rc , sc ) ou c ∈ / (rd , sd ). Com efeito, d ∈ (rc , sc ) ⇒ f (d) < f (c) e c ∈ (rd , sd ) ⇒ f (c) < f (d). Como Q é enumerável, a correspondência c 7→ (rc , sc ) é uma função injetiva de M num conjunto enumerável. Logo M é enumerável. 4.1. Suponha A < B. Tome ε > 0 com A + ε 0 tal que c − δ ≤ x < c < y ≤ c + δ ⇒ g(x) < A + ε B − ε mas, tomando d 6= g(c) no intervalo (A + ε, B − ε), não existe x ∈ (c − δ, c + δ) tal que g(x) = d. Pelo Teorema de Darboux, g não é derivada de função alguma f : I → R. 4.5. Um exemplo é f (x) = x3 . Como cada ponto de X é limite de pontos de Y tem-se X ⊂ Y e daı́ X ⊂ Y . Por outro lado, Y ⊂ X pelo Teorema do Valor Médio, logo Y ⊂ X. 4.6. As hipóteses implicam que f ′ (x) é ilimitada superior e inferiormente. Com efeito, se fosse f ′ (x) ≥ A para todo x ∈ (a, b), a função g(x) = f (x) − A · x teria derivada ≥ 0, logo seria monótona, limitada, logo existiriam os limites de g(x) (e conseqüentemente os de f (x)) quando x → a e x → b. Analogamente, não se pode ter f ′ (x) ≤ B para todo x ∈ (a, b). Assim, dado qualquer c ∈ R, existem pontos x1 e x2 em (a, b) tais que f ′ (x1 ) < c < f ′ (x2 ). Pelo Teorema de Darboux, existe x ∈ (a, b) com f ′ (x) = c. 4.7. Sabe-se que f é não-decrescente. Se não fosse crescente, existiram x < y em [a, b] com f (x) = f (y) e então f seria constante e f ′ seria igual a zero no intervalo [x, y]. 4.8. Supondo, por absurdo, que existissem a 0, em pelo menos uma das metades do intervalo [a, b], digamos [a1 , b1 ], terı́amos |f (b1 )−f (a1 )| ≥ α/2. Prosseguindo analogamente chegar-se-ia a uma seqüência de intervalos [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ · · · ⊃ [an , bn ] ⊃ · · · com bn − an = (b − a)/2n e |f (bn ) − f (an )| ≥ α/2n . Se an ≤ c ≤ bn para todo n, vale |f ′ (c)| = lim |f (bn ) − f (an )|/(bn − an ) ≥ α/(b − a) > 0.

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Sugestões e Respostas

Cap. 13

4.10. Para todo x 6= c em (a, b) existe z entre x e c tal que [f (x)−f (c)]/(x−c) = f ′ (z). Portanto f ′ (c) = limx→c [f (x) − f (c)]/(x − c) = limx→c f ′ (z) = L. 4.11. Como f ′ é limitada, existem limx→a+ f (x) e limx→b− f (x). Para que valha a propriedade do valor intermediário para f , tais limites devem ser iguais a f (a) e f (b) respectivamente. (Cfr. solução de 4.1.) 4.12. |f (x) − f (a)|/|x − a| ≤ c · |x − a|α−1 . Como α − 1 > 0, segue-se que f ′ (a) = 0 para todo a ∈ I. Logo f é constante. 4.13. Observe que [f (yn ) − f (xn )]/(yn − xn ) = f ′ (zn ) com zn entre xn e yn , logo zn → a. Pela continuidade de f ′ no ponto a, o quociente tende para f ′ (a).

Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada 1.1. Seja f (x) = 1/(1 − x), −1 < x < 1. Pondo p(h) = 1 + h + · · · + hn e r(h) = hn+1 /(1 − h) tem-se r(h) = f (h) − p(h). Como p(h) é um polinômio de grau n e limh→0 r(h)/hn = 0, segue-se que p(h) é o polinômio de Taylor de f no ponto 0, logo f (i) (0) = i! para i = 0, 1, . . . , n. 1.2. Como f (x) = x5 − x11 + · · · + (−1)n x6n+5 + (−1)n+1 x6n+11 /(1 + x6 ), segue-se que f (i) (0) = 0 se i não é da forma 6n + 5 enquanto que f (i) (0) = (−1)n i! se i = 6n + 5. Logo f (2001) (0) = 0 e f (2003) (0) = (−1)333 · (2003)! = −2003! 1.3. Tem-se f (x) = pn (x) + rn (x) onde pn (x) é o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno do ponto x0 e, pela fórmula do resto de Lagrange, existe z entre x e x0 tal que rn (x) = f (n+1) (z)(x − x0 )n+1 /(n + 1)!, logo |rn (x)| ≤ K|x − x0 |n+1 /(n + 1)!. Segue-se que limn→∞ rn (x) = 0 para todo x ∈ I e o resultado fica estabelecido. 1.4. Veja “Curso de Análise”, vol. 1, página 287. ′′

1.5. Se f ∈ C 2 , escreva f (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a) + f 2(a) (x − a)2 + r(x), onde ′′

limx→a r(x)/(x − a)2 = lim r′ (x)/(x − a) = 0. Então ϕ(x) = f ′ (a) + f 2(a) (x − a) + r(x)/(x − a) e ϕ′ (x) = f ′′ (a)/2 + r′ (x)/(x − a) − r(x)/(x − a)2 , logo limx→a ϕ′ (x) = f ′′ (a)/2. Segue-se do Exercı́cio 4.10 do Capı́tulo 8 que ϕ ∈ C 1 . Para f ∈ C 3 , proceda de modo análogo. 1.6. Pela Fórmula de Taylor Infinitesimal, pondo x = a + h, ou seja x − a = h, Pn (i) i pode-se escrever p(a + h) = i=0 (p (a)/i!)h + r(h), onde r(h) tem suas primeiras n derivadas nulas no ponto 0. Como r(h) é um polinômio de grau ≤ n (diferença entre dois polinômios), segue-se que r(h) é identicamente nulo. 1.7. Seja ϕ(x) = f (x) − g(x). Então ϕ : I → R é duas vezes derivável no ponto a, com ϕ(x) ≥ 0 para todo x ∈ I e ϕ(a) = ϕ′ (a) = 0. Então ϕ(x) = r(x) ϕ′ (a)(x − a) + 21 ϕ′′ (a)(x − a)2 + r(x) com limx→a (x−a) 2 = 0. Daı́ ϕ(x) = ′′ ϕ (a) r(x) ′′ . Se fosse ϕ (a) < 0 existiria δ > 0 tal que, para (x − a)2 + 2 (x−a)2 0 < |x − a| < δ, a expressão dentro dos colchetes, e conseqüentemente ϕ(x), seria < 0. Contradição. Logo deve ser ϕ′′ (a) ≥ 0, isto é, f ′′ (a) ≥ g ′′ (a). 2.2. Para fixar idéias, seja f ′′ (c) > 0. Existe δ > 0 tal que c − δ < x < c + δ ⇒ f ′′ (x) > 0. Então f é convexa no intervalo (c − δ, c + δ). 2.3. A soma de duas funções convexas é convexa mas o produto, nem sempre. Exemplo: (x2 − 1) · x2 .

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Seção 10

A integral de Riemann

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2.4. Se f é convexa, seja X = {x ∈ I; f (x) ≤ c}. Dados x, y ∈ X e x < z < y, tem-se z = (1 − t)x + ty, com 0 ≤ t ≤ 1. Então f (z) = f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + t(f (y)) ≤ (1 − t)c + tc = c, logo z ∈ X. Assim, X é um intervalo e f é quase-convexa. 2.5. Sejam c = max{f (x), f (y)} e z = (1 − t)x + ty com 0 ≤ t ≤ 1. Então f (x) ≤ c, f (y) ≤ c e z pertence ao intervalo cujos extremos são x, y. Logo f (z) ≤ c. 2.6. Se o mı́nimo de f é atingido no ponto a então, dados x < y em [a, b], tem-se x ∈ [a, y] logo f (x) ≤ max{f (a), f (y)} = f (y) portanto f é não-decrescente. Analogamente, se o mı́nimo de f é atingido no ponto b então f é não-crescente. Daı́ se segue que se f atinge seu mı́nimo no ponto c ∈ (a, b) então f é nãocrescente em [a, c] e não-decrescente em [c, b]. 2.8. A existência de c decorre do Teorema do Valor Intermediário. Resta provar a unicidade. Se existissem c1 , c2 tais que a < c1 < c2 < b e f (c1 ) = f (c2 ) = 0, seria c1 = ta + (1 − t)c2 com 0 < t < 1. Pela convexidade de f , viria então 0 = f (c1 ) ≤ tf (a) + (1 − t)f (c2 ), donde tf (a) ≥ 0, contradição. 3.1. Basta provar que x ∈ I ⇒ f (x) ∈ I. Ora x ∈ I ⇒ |x − a| ≤ δ ⇒ |f (x) − a| ≤ |f (x) − f (a)| + |f (a) − a| ≤ k|x − a| + (1 − k)δ ≤ kδ + (1 − k)δ = δ ⇒ f (x) ∈ I. 3.2. a = 0, 76666469. 3.3. Use o Exercı́cio 3.1. 3.4. Note que |f ′ (x)| ≤ 1/a < 1.

A Integral de Riemann

2.1. Dado ε > 0 existe n ∈ N tal que 1/2n < ε/2. A restrição f1 , de f ao intervalo [1/2n , 1], é uma função-escada, portanto integrável. Existe então uma partição P1 deste intervalo tal que S(f1 ; P1 ) − s(f1 ; P1 ) < ε/2. A partição P = P1 ∪ {0} do intervalo [0, 1] cumpre S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε. R0 Ra 2.2. Se f é ı́mpar, basta provar que −a f (x)dx = − 0 f (x)dx. Ora, a cada partição P de [0, a] corresponde uma partição P de [−a, 0], obtida trocando-se os sinais dos pontos de divisão. Como f (−x) = −f (x), se no intervalo [ti−1 , ti ] de P o inf e o sup de f são mi e Mi , então, no intervalo [−ti , −ti−1 ], o inf e o sup de f são, respectivamente, −Mi e −mi . Portanto S(f ; P ) = −s(f ; P ) e s(f ; P ) = −S(f ; P ). Daı́ resulta imediatamente a proposição. Analogamente para o caso de f par. 2.3. Evidentemente, f é descontı́nua nos racionais. Seja c ∈ [a, b] irracional. Dado ε > 0, o conjunto dos números naturais q ≤ 1/ε, e portanto o conjunto dos pontos x = p/q ∈ [a, b] tais que f (x) = 1/q ≥ ε, é finito. Seja δ > 0 a menor distância de c a um desses pontos. Então x ∈ (c − δ, c + δ) ⇒ 0 ≤ f (x) < ε e f é contı́nua no ponto c. Toda soma inferior s(f ; P ) é zero pois todo intervalo Rb não-degenerado contém números irracionais. Logo a f (x)dx = 0. Quanto à ¯

integral superior, dado ε > 0, seja F = {x1 , . . . , xn } o conjunto dos pontos de [a, b] para os quais se tem f (xi ) ≥ ε/2(b − a). Com centro em cada xi tome um intervalo de comprimento < ε/2n, escolhido de modo que esses n intervalos sejam 2 a 2 disjuntos. Os pontos a, b, juntamente com os extremos desses

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Sugestões e Respostas

Cap. 13

intervalos que estejam contidos em [a, b], constituem uma partição P tal que Rb S(f ; P ) < ε. Logo ¯a f (x)dx = 0. 2.4. Seja m = f (c)/2. Existe δ > 0 tal que f (x) > m para todo x ∈ [c − δ, c + δ]. Então, para toda partição PR que contenha os pontos c − δ e c + δ, tem-se b s(f ; P ) > 2mδ. Segue-se que a f (x)dx ≥ s(f ; P ) > 0. 2.5. Para toda partição P de [a, b] vale s(ϕ; P ) = s(g; P ) e S(ϕ; P ) = S(g; P ) + Rb Rb Rb Rb (b − a). Logo a ϕ(x)dx = a g(x)dx e ¯a ϕ(x)dx = a g(x)dx + (b − a). Em ¯

particular, para g(x) = x,

(b − a). 3.1. Para x, y ∈ [a, b],

Rb ϕ(x)dx = (b2 − a2 )/2 e ¯a ϕ(x)dx = (b2 − a2 )/2 +

|F (x) − F (y)| =

Z y x

f (t) dt ≤ M · |x − y|,

onde M = sup{|f (t)|; t ∈ [a, b]}. 3.2. ϕ = 12 [f +g+|f −g|], ψ = 12 [f +g−|f −g|], f+ = max{f, 0} e f− = − min{f, 0}. 3.3. A desigualdade de Schwarz para integrais resulta R b do fato de que, no espaço vetorial das funções contı́nuas em [a, b], hf, gi = a f (x)g(x)dx define um produto interno. Para os leitores não familiarizados ainda com Álgebra Linear, esta desigualdade pode ser provada com o argumento usado no R b Capı́tulo 2, Exercı́cio 2.7, considerando o trinômio do segundo grau p(λ) = a (f (x) + λg(x))2 dx. 4.1. O conjunto dos pontos da descontinuidade de f é Q∩[a, b], portanto enumerável e conseqüentemente de medida nula. 4.2. Dada a função monótona f : [a, b] → R, basta provar que o conjunto D dos pontos de descontinuidades de f em (a, b) é enumerável. Para cada x ∈ D, sejam ax o menor e bx o maior dos três números limy→x− f (y), limy→x+ f (y) e f (x). Como f é descontı́nua no ponto x, tem-se ax < bx . Além disso, como f é monótona, se x 6= y em D então os intervalos abertos (ax , bx ) e (ay , by ) são disjuntos. Para cada x ∈ D escolha um número racional r(x) ∈ (ax , bx ). A função x 7→ r(x), de D em Q, é injetiva logo D é enumerável. 4.3. Todos os pontos do conjunto D − D′ são isolados, logo este conjunto é enumerável, em virtude do Exercı́cio 3.4, Capı́tulo 5. Segue-se que D é enumerável, pois D ⊂ (D − D′ ) ∪ D′ . 4.4. A função f : [0, 1] → R, igual a 1 nos racionais e 0 nos irracionais, anula-se fora de um conjunto de medida nula mas não é integrável. Por outro lado, se f : [a, b] → R é integrável e igual a zero fora de um conjunto de medida nula, então em qualquer subintervalo de [a, b] o ı́nfimo de |f | é zero, logo Rb Rb |f (x)|dx = 0 donde a f (x)dx = 0. a ¯

4.5. (a) Se X ⊂ I1 ∪ · · · ∪ Ik então X ⊂ J1 ∪ · · · ∪ Jk , onde aberto P Jj é o intervalo P de mesmo centro e comprimento dobro de Ij . Logo |Ij | < ε ⇒ |Jj | < 2ε. Segue-se que X tem conteúdo nulo. (b) Todo conjunto de conteúdo nulo é limitado, logo o conjunto Q, que tem medida nula, não tem conteúdo nulo. Além disso, Q ∩ [a, b], embora seja limitado, tem medida nula mas não tem conteúdo nulo, em virtude do

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Seção 11

Cálculo com integrais

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item (a), pois seu fecho é [a, b], cujo conteúdo não é nulo. (c) Use Borel-Lebesgue. (d) A diferença g − f : [a, b] → R é igual a zero exceto num conjunto X, de conteúdo nulo. Seja M = supX |g − f |. Todas as somas inferiores de |g − f | são zero. Quanto às somas superiores, dado ε > 0, existem intervalos abertos I1 , . . . , Ik tais que X ⊂ I1 ∪ · · · ∪ Ik e |I1 | + · · · + |Ik | < ε/M . Sem perda de generalidade, podemos supor que os intervalos Ij estão contidos em [a, b]. As extremidades desses intervalos, juntamente com a e b, formam uma partição P de [a, b]. Os intervalos dessa partição que contêm pontos de X são os Ij . Como Rb P |Ij | < ε/M , segue-se que S(|g−f |; P ) < ε. Conseqüentemente ¯a |g−f | = 0. Daı́ g − f é integrável e sua integral é zero. Finalmente, g = f + (g − f ) é Rb Rb integrável e a g = a f .

Cálculo com Integrais

1.2. Dada qualquer partição PP= {t0 , . . . , tn } do intervalo cujos extremos são c e x, tem-se f (x) − f (c) = [f (ti ) − f (ti−1 )]. Use o Teorema do Valor Médio em cada f (ti ) − f (ti−1 ) e conclua que s(f ′ ; P ) ≤ f (x) − f (c) ≤ S(f ′ ; P ) para qualquer partição P . 1.3. Sabe-se que f é não-decrescente. Se f não fosse crescente existiriam x < y em [a, b] com f (x) = f (y). Então f seria constante e f ′ seria nula no intervalo [x, y], que não tem conteúdo nulo. Rb 1.4. f (b) − f (a) = a f ′ (x)dx = f ′ (c) · (b − a), a < c < b. R β(x) R α(x) 1.5. Fixando c ∈ (a, b) tem-se ϕ(x) = c f (t)dt − c f (t)dt. Basta então R α(x) considerar ϕ(x) = f (t)dt. Ora, ϕ = F ◦ α, onde F : [a, b] → R é dada por c Rx F (x) = c f (t)dt. Usar a Regra da Cadeia. 1.7. Use integração por partes. 2.2. Basta provar que se f é ilimitada então, para toda partição PPe todo número A > 0 existe uma partição pontilhada P ∗ = (P, ξ) tal que | (f ; P ∗ )| > A. Com efeito, dada P , em pelo menos um dos seus intervalos, digamos [ti−1 , ti ], f é ilimitada. Fixando primeiro os P pontos ξj nos demais intervalos, pode-se escolher ξi ∈ [ti−1 , ti ] de modo que | (f ; P ∗ )| > A. P 2.3. Dado ε > 0, existe P = {t0 , . . . , tn } tal que | (f ; P ∗ ) − L| < ε/4 seja qual for o modo de pontilhar P . Fixe P e a pontilhe de 2 modos. Primeiro escolha em cada , ti ] um ponto ξi tal que f (ξi ) < mi +ε/4n(ti −ti−1 ), obtendo P ∗ com P [ti−1 ∗ # (f ; P ) < s(f ; P ) + ε/4. Analogamente, P P obtenha PP tal∗ que S(f ; P ) − ε/4 < # # s(f ; P ) < (f ; P ) − (fP ; P ) + ε/2. P Mas, como P(f ; P ). Daı́ S(f ; P ) −P | (f ; P ∗ ) − L| < ε/4 e | (f ; P # ) − L| < ε/4, vale (f ; P # ) − (f ; P ∗ ) < Rb ε/2. Logo S(f ; P ) − s(f ; P ) < ε e f é integrável. Evidentemente a f (x)dx = L, pelo Teorema 7. P P P 2.4. f (ξi )g(ηi )(ti − ti−1 ) = f (ξi )g(ξi )(ti − ti−1 ) + f (ξi ) · [g(ηi ) − g(ξi )](ti − ti−1 ). A segunda parcela do segundo membro tende a zero quando |P | → 0 pois |f (ξi )| ≤ M . Rb 2.7. Pelo Exercı́cio 12.6, − a) = limn→∞ M (f ; n). Como Pn a f (x)dx/(b P f é convexa, M (f ; n) ≥ f n i=1 (a + ih) onde h = (b − a)/n. Ora, n1 n i=1 (a + ih) =

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Sugestões e Respostas

Cap. 13

n−1 · a+b + nb → (a + b)/2 quando n → ∞. n 2

3.1. Para todo x ∈ R, f (x) = f (x/2 + x/2) = f (x/2)2 ≥ 0. Se existisse c ∈ R com f (c) = 0 então f (x) = f (x − c)f (c) = 0 para todo x ∈ R. Logo f (x) > 0 qualquer que seja x. Além disso, f (0) = f (0 + 0) = f (0) · f (0), logo f (0) = 1. Também f (−x)f (x) = f (−x + x) = f (0) = 1, portanto f (−x) = f (x)−1 . Daı́ f (p · x) = f (x)p para todo p ∈ Z. E, para todo q ∈ N, f (x) = f (x/q+· · ·+x/q) = f (x/q)q , donde f (x/q) = f (x)1/q . Então, para todo r = p/q ∈ Q, com q ∈ N, tem-se f (r) = f (p/q) = f (1/q)p = f (1)p/q = f (1)r . Seja f (1) = ea . Segue-se que f (r) = ear para todo r ∈ Q. Como f é contı́nua, tem-se f (x) = eax para todo x ∈ R. A segunda parte se prova de modo análogo (v. Corolário 1 do Teorema 8) ou usando o fato de que exp e log são inversas uma da outra. 3.2. Como xn − xn+1 = log(1 + 1/n) − 1/(n + 1), basta observar que, no intervalo [1, 1 + 1/n] o mı́nimo da função 1/x é n/(n + 1) logo log(1 + 1/n) = R 1+1/n 1 n dx/x > n1 n+1 = n+1 · 1 y = 0. 3.3. Pondo x = 1/y, tem-se limx→0 x · log x = limy→∞ − log y

3.4. Pondo x/n = y, vem (1 + x/n)n = (1 + y)x/y = [(1 + y)1/y ]x logo limn→∞ (1 + x/n)n = limy→0 [(1 + y)1/y ]x = ex . 4.1. Divergente, divergente e convergente. 4.2. As três convergem. P n 4.3. A integral em questão vale ∞ n=0 (−1) an onde an é o valor absoluto de Z √ (n+1)π

√

sen(x2 ) dx.

nπ

p √ Como | sen(x2 )| ≤ 1, tem-se 0 < an ≤ (n + 1)π − nπ logo lim an√= 0. Na 2 integral cujo n+1 , faça a mudança p de variável x√= u + π, √ valor absoluto é ap 2 + π, note que u (n + 1)π ≤ x ≤ (n + 2)π ⇔ nπ ≤ u ≤ dx = udu/ p √ (n + 1)π e que 0 < u/ u2 + π < 1 e conclua que an+1 < an . Pelo Teorema 2 de Leibniz, a integral p converge. A concavidade da função | sen(x )| na metade √ do intervalo [ nπ, (n + 1)π] mostra que an é maior do que a metade daP área do triângulo isósceles de base neste intervalo e altura 1. Logo a série an R +∞ diverge e a integral 0 | sen(x2 )|dx também. √ 4.4. O método é o mesmo do exercı́cio anterior. Escrevendo a = 4 nπ e b = p R b 4 (n + 1)π tem-se a |x sen(x4 )|dx < área do retângulo cuja base é o intervalo [a, b] e cuja altura mede b. Como b4 − a4 = π = (b − a)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ), essa área vale b(b − a) = bπ/(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) logo tende√a zero quando n → ∞. Pondo c4 = (n + 2)π, a mudança de variável x = 4 u4 + π mostra Rc Rb u2 que an+1 = b |x sen(x4 )|dx = a |u sen(u4 )| √ du logo an+1 < an = 4 (u4 +π)2 Rb P ∞ n |x sen(x4 )|dx. Pelo Teorema de Leibniz, a série n=0 (−1) an converge a para o valor da integral em questão. Rx 4.5. Seja ϕ(x) = a f (t)dt, x ≥ a. Por hipótese, existe L = limx→+∞ ϕ(x). Logo, dado ε > 0, existe A > 0 tal que x > A ⇒ L−ε < ϕ(x)R < L. Daı́ x > 2A ⇒ L− x ε < ϕ(x/2) < ϕ(x) < L, donde ε > ϕ(x) − ϕ(x/2) = x/2 f (t)dt ≥ (x/2) · f (x) pois f é não-crescente. Logo limx→+∞ (x/2)f (x) = 0 e o resultado segue-se.

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Seção 12

Seqüências e séries de funções

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Rt 4.6. Defina ϕ : [a, +∞) → R pondo ϕ(t) = a f (x)dx. Para t ≥ a, sejam Mt = sup{ϕ(x); x ≥ t}, mt = inf{ϕ(x); x ≥ t} e ωt = Mt − mt . Então ωt = sup{|ϕ(y) − ϕ(x)|; x, y ≥ t}. (Cfr. Lema 3, Seção 1, Capı́tulo 10.) A condição enunciada equivale a afirmar limt→+∞ ωt = 0. O resultado segue-se então do Exercı́cio 3.3, Capı́tulo 6.

Seqüências e Séries de Funções

1.1. Tem-se lim fn = f , onde f (x) = 0 se 0 ≤ x < 1, f (1) = 1/2 e f (x) = 1 se x > 1. 1.2. A convergência fn → f é monótona tanto em [0, 1 − δ] como em [1 + δ, +∞). Pelo Teorema de Dini, a convergência é uniforme em [0, 1−δ] porque este intervalo é compacto. No outro intervalo, basta observar que cada fn é crescente, logo fn (1 + δ) > 1 − ε ⇒ fn (x) > 1 − ε para todo x ≥ 1 + δ. 1.3. Seja |x| ≤ a < 1. E |x| ≤ a < 1 ⇒ P a =i 1 − δ. iEntão x P∈ [−1 +i δ, 1 −Pδ] significa i n |x (1 − x )| ≤ 2 |x| ≤ 2 a = 2a /(1 − a). Logo, para todo i≥n i≥n i≥n P i ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ i≥n |x (1 − xi )| < ε, o que assegura a convergência uniforme. A afirmação inicial é clara. 1.4. A necessidade da condição é evidente. Quanto à suficiência, observar que, para todo x ∈ X, a seqüência de números reais fn (x), n ∈ N, é de Cauchy logo, pelo Exercı́cio 2.7 do Capı́tulo 3, existe limn→∞ fn (x) = f (x). Isto define numa função f : X → R e fn → f simplesmente. Para provar que a convergência é uniforme, tome ε > 0 e obtenha n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε/2 para todo x ∈ X. Fixe n > n0 e faça m → ∞ nesta desigualdade. Conclua que n > n0 ⇒ |f (x) − fn (x)| ≤ ε/2 < ε para todo x ∈ X. 1.5. Se fn → f uniformemente em X então, dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ | |fn (x)| − |f (x)| | ≤ |fn (x) − f (x)| < 1 para todo x ∈ X. Logo n > n0 ⇒ |fn (x)| < |f (x)| + 1 e |f (x)| < |fn (x)| + 1. Daı́ segue-se o resultado. 1.6. Adapte a demonstração do Teorema de Leibniz (Teorema 3, Capı́tulo 4). P∞ 1.7. Para todo x ∈ X, a série n=1 fn (x) converge, logo faz sentido considerar rn (x) = fn (x) + fn+1 (x) + · · · . Como |rn (x)| ≤ Rn (x) = |fn (x)|P + |fn+1 (x)| + · · · , segue-se que limn→∞ rn (x) = 0 uniformemente em X, logo fn converge uniformemente. 2.1. Note que |fn (x) + gn (x) − (f (x) + g(x))| ≤ |fn (x) − f (x)| + |gn (x) − g(x)|, que |fn (x)gn (x) − f (x)g(x)| ≤ |fn (x)| |gn (x) − g(x)| + |g(x)| · |fn (x) − f (x)|, e que |1/gn (x) − 1/g(x)| = (1/|g(x)gn (x)|) · |gn (x) − g(x)|. √ 2.3. Como fn′ (x) = n·cos(nx), só existe limn→∞ fn′ (x) quando limn→∞ cos(nx) = 0. Levando em conta que cos(2nx) = cos2 (nx) − sen2 (nx), fazendo n → ∞ obter-se-ia 0 = −1. Logo limn→∞ fn′ (x) não existe, seja qual for x ∈ [0, 1]. 2.6. O conjunto f (X) é compacto, disjunto do conjunto fechado R − U . Pelo Exercı́cio 4.4 do Capı́tulo 5, existe ε > 0 tal que x ∈ X, y ∈ R − U ⇒ |f (x) − y| ≥ ε, logo x ∈ X, |f (x) − z| < ε ⇒ z ∈ U . Tome n0 ∈ N tal que |fn (x) − f (x)| < ε para todo n > n0 e todo x ∈ X. Então fn (X) ⊂ U se n > n0 . 2.7. Dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |fm (d) − fn (d)| < ε/2 para todo d ∈ D, logo |fm (x) − fn (x)| ≤ ε/2 < ε para todo x ∈ X porque x é limite

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Sugestões e Respostas

Cap. 13

de uma seqüência de pontos de D. Pelo critério de Cauchy (Exercı́cio 1.4), (fn ) converge uniformemente em X. 2.8. Integre fn por partes e faça n → ∞. 2.9. Adapte a demonstração do teste de Cauchy, usando, se desejar, o Teorema 5. 2.10. Adapte a demonstração do teste de d’Alembert, usando, se desejar, o Teorema 5. 3.1. Sejam a, b tais que a < 1/r < b. Então / R portanto p r < 1/a, logo 1/a ∈ existem infinitos ı́ndices n tais que a ≤ n |an |. Além disso, 1/b < r, logo existe ρ ∈ R tal que 1b < ρ < r. Assim, para todo n suficientemente grande, tem-se p n |an | < 1/ρ < p b. Noutras palavras, apenas um número finito de ı́ndices n éptal que b ≤ n |an |. Daı́ resulta que 1/r é valor de aderência da seqüência n |an | e nenhum número maior do que 1/r tem a mesma propriedade. P P 3.2. Tem-se an x2n = bn xnponde b2n = an e b2n−1 = 0. Assim os termos de ordem ı́mpar da seqüência n |bn | são iguais a zero e os de ordem par formam a qp p √ n |an |, cujo limite é L. Portanto, a seqüência n |bn | tem dois seqüência √ valores 0 e L. Pelo exercı́cio anterior, o raio de convergência √ P de2naderência: de an x é 1/ L. Raciocı́nio análogo para a outra série. P n2 n 3.3. O raio de convergência de a x é +∞ se |a| < 1, é 0 se |a| > 1, e é igual a 1 se |a| = 1. 3.4. Use o Corolário 2 do Teorema 9 (unicidade da representação em série de potências). 3.5. Veja o Exercı́cio 3.7, Capı́tulo 3.

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Sugestões de Leitura Para aprofundar e complementar alguns dos tópicos abordados neste livro, a referência natural é: 1. E. L. Lima, Curso de Análise, vol. 1, (11a¯ edição), Projeto Euclides, IMPA, 2004. Para uma apresentação de logaritmos, na mesma ordem de idéias do texto, porém em nı́vel bem mais elementar, com numerosos exemplos e aplicações, veja-se: 2. E. L. Lima, Logaritmos, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 1994. Outros livros que muito podem ajudar a compreender os assuntos aqui estudados, tratando-os de outras maneiras e tocando em pontos que não foram aqui considerados são: 3. R. G. Bartle, Elementos de Análise Real, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1983. 4. D. G. Figueiredo, Análise I, L.T.C., Rio de Janeiro, 1995 (2a¯ edição). 5. P. R. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos, Ed. USP, São Paulo, 1970. 6. A. Hefez, Álgebra, vol. 1, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 1997 (2a¯ edição). 7. L.H. Jacy Monteiro, Elementos de Álgebra, Ao Livro Técnico S.A., Rio de Janeiro, 1969. 8. W. Rudin, Princı́pios de Análise Matemática, Ed. UnB. e Ao Livro Técnico, Rio de Janeiro, 1971. 9. M. Spivak, Cálculo Infinitesimal, 2 volumes, Editorial Reverté, Barcelona, 1970. São recomendáveis ainda: 10. R. Courant, Differential and Integral Calculus, vol. 1, Interscience, N. York, 1947. (Em inglês.) 11. O. Forster, Analysis 1, Vieweg, Braunschweig, 1987. (Em alemão.) 12. S. Lang, Analysis I, Addison-Wesley, Reading Massachussets, 1969. (Em inglês.)

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Índice Remissivo Adição de números naturais, 2 de números reais, 12 Associatividade, 12 Axiomas de Peano, 2

Contração, 113 Convergência de séries, 38 de seqüências, 25 monótona, 160 simples, 156 uniforme, 157 Corpo arquimediano, 18 ordenado completo, 18 Critério de Cauchy, 35 Critério de Cauchy para convergência uniforme, 172 para integrais impróprias, 155 Critério de comparação para integrais, 150 para séries, 39

Boa ordenação, 9 Cisão, 52 Cobertura, 55 aberta, 55 Comutatividade, 12 Condição de integrabilidade, 126, 135 Conjunto aberto, 49 compacto, 54 de Cantor, 56 de conteúdo nulo, 135 de medida nula, 131 denso, 51 discreto, 53 enumerável, 7 fechado, 50 finito, 4 infinito, 6 limitado, 6, 17 Constante de Euler-Mascheroni, 155 Constante de Lipschitz, 84 Contagem, 4

Derivação termo a termo, 162, 166 Derivada, 91 de ordem n, 104 lateral, 92 Desigualdade de Bernoulli, 15 de Schwarz, 135 Diferença, 13 Distributividade, 12 195

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196 Divisão, 13 Elemento máximo, 17 neutro, 12 Enumeração, 7 Expressão indeterminada, 73 Fórmula de Leibniz para π, 172 de Taylor com resto integral, 140 de Taylor infinitesimal, 106 de Taylor, com resto de Lagrange, 107 do valor médio para integrais, 139 Fecho, 50 Fração contı́nua, 36 Fronteira, 59 Função n vezes diferenciável, 104 côncava, 111 contı́nua, 76 contı́nua à direita, 92 convexa, 108 de classe C 1 , 91 de classe C 2 , 100 de classe C n , 104 derivável, 91 derivada, 91 descontı́nua, 75 escada, 128 exponencial, 144 gama, 150 integrável, 125 lipschitziana, 84 localmente constante, 88 monótona, 70

Índice Remissivo

par e ı́mpar, 101 periódica, 88 semi-contı́nua, 87 trigonométrica, 167 uniformemente contı́nua, 84 Homeomorfismo, 81 Inclinação, 90 Indução, 2 Ínfimo, 17 Integração por partes, 139 termo a termo, 166, 171 Integral, 125 absolutamente convergente, 149, 150 de Dirichlet, 151 imprópria, 147 indefinida, 137 inferior e superior, 124 Interior, 49 Intervalo, 16 Intervalos encaixados, 18 Inverso aditivo e multiplicativo, 12 lim inf e lim sup, 61 Limite de uma função, 63 de uma seqüência, 24 lateral, 69 Logaritmo, 143, 146 Máximos e mı́nimos, 96 Método da diagonal, 9 de indução, 2 de Newton, 114 Módulo, 15

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Índice Remissivo

Maior do que, 14 Maior elemento, 17 Menor do que, 3, 14 Monotonicidade da adição, 14 da multiplicação, 14 Mudança de variável, 138 Multiplicação de números naturais, 2 de números reais, 12 Número algébrico, 21 cardinal, 4 de Fibonacci, 36 de ouro, 36 inteiro, 8 irracional, 19 negativo, 14 positivo, 13 primo, 10 racional, 8 transcendente, 22 Norma de uma partição, 141 Operações com limites, 65 Oscilação, 74, 123 Parte positiva e parte negativa, 41, 149 Partição, 123 Partição pontilhada, 142 Passagem ao limite sob o sinal da integral, 160 Polinômio de Taylor, 105 Ponto aderente, 50 crı́tico, 97, 101 de acumulação, 53, 68

fixo, 79 interior, 49 isolado, 53 Primitiva, 137 Produto de números, 2, 12 Propriedade do Valor Intermediário, 88 Raio de convergência, 165 Recorrência, 2 Reduzida de uma série, 38 Refinamento, 123 Regra da Cadeia, 94 de L’Hôpital, 93 Reta, 108 Série, 38 absolutamente convergente, 40, 165 comutativamente convergente, 44 condicionalmente convergente, 41 convergente e divergente, 38 de funções, 156 de potências, 164 de Taylor das funções clássicas, 169 geométrica, 38 harmônica, 39 Seqüência, 23 convergente e divergente, 25 crescente e decrescente, 26 de Cauchy, 35 limitada, 23 monótona, 25

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198 periódica, 34 somável, 48 Soma de números naturais, 2 de números reais, 12 de Riemann, 142 de Riemann-Stieltjes, 154 de uma série, 38 inferior, 124 parcial, 38 superior, 124 Subseqüência, 24 Subtração, 13 Sucessor, 1 Supremo, 17

Índice Remissivo

de Weierstrass, 163 Transitividade, 14 Tricotomia, 14 Unicidade da série de potências, 167 do limite, 25, 65 Valor absoluto, 15 de aderência, 34 médio de uma função, 154 Velocidade, 90 Vizinhança, 49

Teorema de Bolzano-Weierstrass, 26 de Borel-Lebesgue, 55 de Darboux, 97 de Dini, 160 de Leibniz, 41 de Riemann, 45 de Rolle, 98 de Weierstrass, 82 do ponto fixo de Brouwer, 79 para contrações, 114 do sanduı́che, 27, 64 do Valor Intermediário, 78 do Valor Médio de Lagrange, 98 Fundamental do Cálculo, 137 Termo destacado, 26 geral de uma série, 38 Teste de Cauchy, 43 de d’Alembert, 42

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