Modele bac matematica by c b

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naŃional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

(

)

1. ArătaŃi că numărul n =

2. DeterminaŃi valorile reale ale lui m pentru care graficul funcŃiei f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + mx + 4 intersectează axa Ox în două puncte distincte.

5p 5p 5p

5 − 1 + 2 5 este natural.

3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia log 2 ( 2 − x 2 ) = log 2 x .

4. CalculaŃi probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulŃimile mulŃimii A = {1, 2,3, 4,5,6,7} , aceasta să aibă cel mult un element. 5. Se consideră punctele A, B şi C astfel încât AB = i + 6 j şi BC = 4i + 6 j . DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ] . 6. Se consideră numerele reale a şi b astfel încât a + b =

π 3

. ArătaŃi că 2cos b = cos a + 3 sin a .

SUBIECTUL al II-lea

5p 5p 5p

(30 de puncte)

 x 1 2 1. Se notează cu D( x, y ) determinantul matricei A ( x, y ) =  2 x 1  ∈ M 3( ℝ ) . 1 y x   a) CalculaŃi D(−1, 2) . b) DeterminaŃi numărul real q pentru care matricea A(2, q ) are rangul egal cu 2.

c) ArătaŃi că există cel puŃin o pereche ( x, y ) de numere reale, cu x ≠ y , pentru care D( x, y ) = D( y , x) . 2. Se notează cu x1 , x2 , x3 rădăcinile din ℂ ale polinomului f = X 3 + X − m , unde m este un număr real.

a) DeterminaŃi m astfel încât restul împărŃirii polinomului f ( X ) la X − 1 să fie egal cu 8.

b) ArătaŃi că numărul x12 + x22 + x32 este întreg, pentru orice m ∈ ℝ .

c) În cazul m = 2 determinaŃi patru numere întregi a, b, c, d , cu 1 1 1 g = aX 3 + bX 2 + cX + d să aibă rădăcinile , , . x1 x2 x3 SUBIECTUL al III-lea 5p

a > 0 , astfel încât polinomul

(30 de puncte)

1. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ , f ( x) = e − x . 5p a) CalculaŃi f '(0) . 5p b) ArătaŃi că, pentru fiecare număr natural n ≥ 2 , ecuaŃia f ( x) = n are exact o soluŃie în intervalul ( 0,+∞ ) . 5p c) Fie xn unica soluŃie din intervalul ( 0,+∞ ) a ecuaŃiei f ( x) = n , unde n este număr natural, n ≥ 2 . ArătaŃi că lim xn = +∞ . n→+∞

2. Se consideră funcŃia f : ℝ → ℝ, f ( x) = cos x şi se notează cu S suprafaŃa plană delimitată de graficul π funcŃiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x = 0 şi x = . 2 5p a) CalculaŃi aria suprafeŃei S. 5p b) CalculaŃi volumul corpului obŃinut prin rotaŃia suprafeŃei S în jurul axei Ox. 2π

c) DemonstraŃi că

∫ 0

2π

f n (kx) dx =

∫

f n ( x) dx , pentru orice numere naturale n, k ≥ 1 .

Probă scrisă la matematică M_mate-info Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Model

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naŃional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Pentru orice soluŃie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracŃiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parŃiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărŃirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I 1. ( 5 − 1)2 + 2 5 = 5 − 2 5 + 1 + 2 5 =

(

(30 de puncte)

)

= 6∈ℕ f ( x ) = 0 are două soluŃii reale distincte

∆ = m − 16 > 0 m ∈ ( −∞, −4 ) ∪ ( 4, +∞ )

2p 1p 2p

2 − x2 = x x1 = 1, x2 = −2 x1 convine şi x2 nu convine

1p 2p 2p

nr. cazuri favorabile nr. cazuri posibile

Numărul submulŃimilor cu cel mult un element este egal cu C70 + C71 = 8 ⇒ 8 cazuri favorabile 7

Numărul submulŃimilor mulŃimii A este 2 = 128 ⇒ 128 de cazuri posibile 1 p= 16 5. AC = AB + BC = 5i + 12 j

1p 1p 3p 2p

AC = 52 + 122 = 13

π π  − a ⇒ cos b = cos  − a  = 3 3  

1 3 = cos a + sin a , de unde concluzia 2 2 SUBIECTUL al II-lea 1.a) −1 1 2 D (−1, 2) = 2 −1 1 1 2 −1 D (−1, 2) = −1 + 1 + 8 + 2 + 2 + 2 D (−1, 2) = 14 b)  2 1 2 A(2, q ) =  2 2 1  1 q 2   Există minorul d = 2 1 = 2 ≠ 0 ⇒ rang A(2, q ) ≥ 2 2 2 rang A(2, q ) = 2 ⇒ D (2, q ) = 0 1 q=− 2 Probă scrisă la matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

3p (30 de puncte)

1p 3p 1p 1p 1p 1p 2p

Model

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

D ( x, y ) = x3 + 4 y − 4 x − xy + 1 D ( y, x) = y + 4 x − 4 y − yx + 1

1p 1p

D ( x, y ) = D( y, x) ⇒ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 − 8) = 0 ⇒ x 2 + xy + y 2 − 8 = 0

Finalizare: de exemplu ( x, y ) = (0, 2 2) 2.a) f (1) = 2 − m f (1) = 8 Finalizare: m = −6 b) x1 + x2 + x3 = 0 şi x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 1

1p 2p 2p 1p 2p

x12 + x22 + x32 = ( x1 + x2 + x3 ) − 2 ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = −2 ∈ ℤ 2

x1 , x2 , x3 rădăcinile polinomului f = X 3 + X − 2 ⇒ polinomul −2 X 3 + X 2 + 1 are rădăcinile 1 1 1 , , x1 x2 x3 a, b, c, d ∈ ℤ cu a > 0 ⇒ g = 2 X 3 − X 2 + 0 ⋅ X − 1 are rădăcinile

1 1 1 , , x1 x2 x3

un exemplu este a = 2, b = −1, c = 0, d = −1 SUBIECTUL al III-lea 1.a) f '( x) = e x − 1 , pentru orice x ∈ ℝ

2p 1p (30 de puncte) 3p

f '(0) = 0

f (0) = 1 , lim f ( x) = +∞ şi f este continuă pe [ 0,+∞ ) , deci ecuaŃia dată are cel puŃin o soluŃie

2p 3p

f '( x) > 0 pentru orice x > 0 ⇒ f este strict crescătoare pe [ 0, +∞ ) ⇒ f este injectivă pe [ 0,+∞ ) , deci soluŃia este unică

x →+∞

f ( xn ) = n ⇒ e xn = n + xn ⇒ e xn > n pentru că xn > 0 , oricare ar fi n ≥ 2

xn > ln n ⇒ lim xn = +∞

n→+∞

2.a)

π 2

A = ∫ | f ( x) | dx = ∫ cos x dx = π 2

= sin x

π 2

V = π ∫ f 2 ( x) dx = π ∫ cos 2 x dx = π

π 2



t = kx ⇒

∫

f n (kx) dx =

0 2k π 0

2  

2π

∫

π ∫ (1 + cos 2 x) dx =  x 2

2π n

cos t dt =

1 k

1 + sin 2 x 2

π 2 0

 2 =π  4 

2k π

∫

cos n t dt

0 4π

2p 2kπ

∫ cos t dt + ∫ cos t dt + ... + ∫ n

2π

cos n t dt =

2( k −1) π

Probă scrisă la matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

Model

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare 2π

∫ cos

t dt , deoarece g n : ℝ → ℝ, g n ( x) = cos n x este periodică de perioadă 2π , de unde

concluzia

Model

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naŃional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. CalculaŃi produsul primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an )n≥1 , ştiind că a1 = 2 şi a2 = 1 .

5p 5p

2. DeterminaŃi valorile reale ale lui m pentru care x 2 − 2 x − m > 0 , oricare ar fi x ∈ ℝ . 3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia log 2 x + log 2 ( x − 1) = log 2 12 . 4. CalculaŃi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural de trei cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 3. π 5. CalculaŃi a ⋅ b , ştiind că | a |= 2 , | b |= 3 şi unghiul vectorilor a şi b are măsura . 3 6. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,3) , B ( 0,1) şi C ( 3,1) . DeterminaŃi coordonatele ortocentrului triunghiului ABC .

5p 5p 5p

SUBIECTUL al II-lea

5p 5p 5p

(30 de puncte)

 0 0 1   1. Pentru n număr natural se consideră matricea A =  2n + 1 n 1 .  2  2  2n + 1 n 1  a) CalculaŃi suma elementelor matricei A . b) DeterminaŃi numerele naturale n pentru care matricea A are determinantul diferit de zero. c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele O ( 0,0 ) şi An ( 2n + 1, n ) , n ∈ ℕ, n ≥ 2 . DeterminaŃi

valorile numărului natural n , n ≥ 2 pentru care aria triunghiului OAn An2 este egală cu n 2 − 3 . 5p 5p

2. Pe mulŃimea numerelor reale se consideră legea de compoziŃie x y = x + ay + 1 , unde a ∈ ℝ . a) Pentru a = 1 calculaŃi 2011 2012 . b) DeterminaŃi numărul real a pentru care legea de compoziŃie „ ” este asociativă.

5p c) Pentru a = −1 rezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia 4 x 2 x = 1 . SUBIECTUL al III-lea 1. Se consideră funcŃia f : ( 0, + ∞ ) → ℝ , f ( x) = x + ln x . f ( x) − f (2) 3 = . x−2 2

a) ArătaŃi că lim

b) DeterminaŃi ecuaŃia tangentei la graficul funcŃiei f în punctul de abscisă x = 1 .

c) DemonstraŃi că funcŃia f este concavă pe ( 0, + ∞ ) .

x →2

(30 de puncte)

2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră funcŃia f n : ℝ → ℝ , f n ( x ) = ( x + n ) e x . 1

∫ f1 ( x ) dx .

a) CalculaŃi

b) ArătaŃi că funcŃia f 2011 este o primitivă a funcŃiei f 2012 .

5p c) DemonstraŃi că

∫ fn ( x ) dx ≥ 0

9n + 5 , pentru orice număr natural nenul n , folosind eventual 6

inegalitatea e ≥ x + 1 , adevărată pentru orice x ∈ ℝ .

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii

Model

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naŃional 2013 Proba E. c) Matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii • Pentru orice soluŃie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracŃiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parŃiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărŃirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

• SUBIECTUL I 1. a2 − a1 = r ⇒ r = −1 a3 = 0 Finalizare: produsul este egal cu 0 2. ∆ = 4 + 4m < 0 m ∈ (−∞, −1) 3. x ( x − 1) = 12 ⇒ x = −3 sau x = 4 4.

(30 de puncte) 2p 2p 1p 3p 2p 3p 2p

x = 4 convine, x = −3 nu convine nr.cazuri favorabile p= nr.cazuri posibile

Numărul numerelor abc pentru care a ⋅ b ⋅ c = 3 este egal cu 3 ⇒ 3 cazuri favorabile Numărul numerelor naturale de trei cifre este de 900 ⇒ 900 cazuri posibile 1 p= 300 5. 1 a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ∢ a, b = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 a ⋅b = 3 6. B ( 0,1) şi C ( 3,1) ⇒ BC Ox , deci xH = x A = 1 , unde H este ortocentrul triunghiului ABC

2p 1p 1p

( )

BH ⊥ AC ⇒ mBH ⋅ mAC

3p 2p 2p

y − 1 −2 = −1 ⇒ H ⋅ = −1 1 2

2p 1p

yH = 2

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1.a) Suma elementelor matricei A este egală cu 1 + 2n + 1 + n + 1 + 2n 2 + 1 + n 2 + 1 = ( )

(

)

= 3n 2 + 3n + 5

det A = n 2 − n Finalizare: n ∈ ℕ \ {0,1}

2p 3p

1 ∆ 2 n 2 + n − 6 = 0 ⇒ n = 2 sau n = −3 A=

1p 3p

Finalizare: n = 2 2.a) 2011 2012 = 2011 + 2012 + 1 = = 4024 b) ( x y ) z = x + ay + az + 2 pentru orice x, y , z ∈ ℝ

1p 3p 2p 2p

x ( y z ) = x + ay + a z + a + 1 pentru orice x, y , z ∈ ℝ

( x y ) z = x ( y z ) pentru orice

x, y , z ∈ ℝ ⇒ a = 1

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii

Model

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

2x = t ⇒ t 2 − t = 0 Finalizare: x = 0

2p 3p

SUBIECTUL al III-lea 1.a) f ( x) − f (2) lim = f '(2) x →2 x−2

(30 de puncte) 2p

1 f ′ ( x ) = ( x + ln x )′ = 1 + , pentru orice x ∈ (0, +∞) x Finalizare b) y − f (1) = f ′ (1)( x − 1) f (1) = 1, f ′ (1) = 2 EcuaŃia tangentei este y = 2 x − 1

2.a)

f '' ( x ) = −

, pentru orice x ∈ (0, +∞) x2 f "( x ) < 0 , pentru orice x ∈ (0, +∞) Finalizare 1

∫

(

= ( x + 1)e x − e x

)0 =e 1

f 2011 derivabilă şi f 2011′ ( x ) =

(( x + 2011) e x ) ′ = e x + ( x + 2011) e x = ( x + 2012 ) e x , ∀x ∈ ℝ

( x + n ) e x ≥ ( x + n )( x + 1) , pentru orice 1

∫ ( x + n) e 0

x ∈ [ 0, 1] şi n ∈ ℕ*

3p 2p 1p

dx ≥ ∫ ( x + n )( x + 1) dx

 x3  x2 x + n x + 1 dx = + n + 1 + nx  ( )( ) ( )  ∫  3  2   0 Finalizare 1

2p 2p 1p

f 2011′ = f 2012

f1 ( x ) dx = ( x + 1)e x − ∫ e x dx =

= 0

9n + 5 6

2p 1p

Probă scrisă la matematică M_şt-nat Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinŃe ale naturii

Model

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naŃional 2013 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia ( 3x + 2 ) = 4 .

2. DeterminaŃi numărul real m

3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia 32 x = 9 .

4. CalculaŃi 5C42 − A52 .

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −6,3) şi B ( 2,5) . DeterminaŃi coordonatele

pentru care vârful parabolei asociate funcŃiei 3 f ( x ) = − x 2 + 3mx + 1 are abscisa egală cu . 2

f :ℝ→ℝ,

mijlocului segmentului ( AB ) . 5p

6. CalculaŃi lungimea diagonalei BD a rombului ABCD în care AB = 4 şi m ( ∢ABC ) = 120 .

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

 −1 2 x  1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A ( x ) =  2 −1 x  şi se notează determinantul  x x 2   ei cu ∆ ( x ) .

a) CalculaŃi ∆ (1) .

b) ArătaŃi că ∆ ( x ) = 6 x 2 − 1 , pentru orice număr real x .

c) DeterminaŃi inversa matricei A ( 0 ) .

5p 5p 5p

2. În ℝ [ X ] se consideră polinomul f = X 3 − X 2 + aX + b . a) CalculaŃi a + b , ştiind că f (1) = 0 . b) Pentru a = −1 şi b = 1 , determinaŃi rădăcinile polinomului f . c) DeterminaŃi numerele reale a şi b , ştiind că x1 = 1 şi x2 = 2 sunt rădăcini ale polinomului f .

(

)

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

1. Se consideră funcŃia f : ( 0, + ∞ ) → ℝ, f ( x) = x ln x . 5p 5p 5p

a) VerificaŃi dacă f ′ ( x ) = 1 + ln x , oricare ar fi x ∈ ( 0, + ∞ ) . 1  b) ArătaŃi că funcŃia f este crescătoare pe  , + ∞  . e  1 c) DemonstraŃi că f ( x ) ≥ − , oricare ar fi x ∈ ( 0, +∞ ) . e 1 1 2. Se consideră funcŃia f : ( 0, + ∞ ) → ℝ , f ( x ) = 1 + + 2 . x x 1 a) VerificaŃi dacă funcŃia F : ( 0, + ∞ ) → ℝ , F ( x ) = x − + ln x este o primitivă a funcŃiei f. x

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare e

b) CalculaŃi

∫ x⋅ f (x

) dx .

1 a

1 3  c) DeterminaŃi numărul real a > 1 , pentru care ∫  f ( x ) −  dx = . x 2 1

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naŃional 2013 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Barem de evaluare şi de notare Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Pentru orice soluŃie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracŃiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parŃiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărŃirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I 1. 9 x 2 + 12 x = 0

(30 de puncte) 3p

4 x = 0 sau x = − 3 b 3m − = 2a 2 3m 3 = 2 2 m =1

2p 2p 2p 1p

3 =3 2x = 2 ⇒ x = 1

C42 A52

=6 = 20

5C42

−

A52

= 10

C mijlocul lui ( AB ) ⇒ xC =

x A + xB y + yB şi yC = A 2 2

xC = −2 yC = 4

2p 2p

m ( ∢BAD ) = 60 ∆ABD este echilateral BD = 4 SUBIECTUL al II-lea 1.a) −1 2 1

∆ (1) = 2 1

2p 1p 2p (30 de puncte) 2p

−1 1 1

∆ (1) = 0

∆ ( x ) = 2 + 2 ⋅ x2 + 2 ⋅ x 2 + x 2 + x2 − 8 Finalizare c) ∆ ( 0 ) = −6

( A(0)) 2.a)

−1

3p 2p 2p

 2 4 0 1   = ⋅ 4 2 0 6    0 0 3

f (1) = 13 − 12 + a ⋅ 1 + b

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Barem de evaluare şi de notare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

a+b=0

f = X − X − X + 1 ⇒ f = ( X − 1) 3

2p 3p

( X + 1)

Finalizare: x1 = 1, x2 = 1, x3 = −1 c) f (1) = 0 ⇒ a + b = 0 f (2) = 0 ⇒ 2a + b = −4 Finalizare: a = −4, b = 4

1p 2p 2p

SUBIECTUL al III-lea 1.a) 1 f ′ ( x ) = 1 ⋅ ln x + x ⋅ pentru orice x ∈ ( 0, + ∞ ) x Finalizare b) 1 f ′( x) = 0 ⇒ x = e 1  1  f ′ ( x ) ≥ 0 pentru orice x ∈  , + ∞  ⇒ f crescătoare pe intervalul  , + ∞  e  e  c)  1  1 f ′ ( x ) ≤ 0 pentru orice x ∈  0,  ⇒ f descrescătoare pe intervalul  0,   e  e

(30 de puncte)

1 1 Din tabelul de variaŃie al funcŃiei obŃinem f ( x ) ≥ f   = − pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) e e 2.a) 1 1 1  ′ F ' ( x ) =  x − + ln x  = 1 + 2 + x x   x F este derivabilă pe ( 0, + ∞ ) şi F ' = f

∫ x⋅ f (x 1

)

1 1  =  t − + ln t  2 t 

( )

1 1 dx = ∫ f x 2 ⋅ 2 x dx = 21 2 e2 1

=a− 1

2p 2p 3p 3p 2p 3p 2p

∫ f ( t ) dt =

1 1  =  e2 − 2 + 2  2 e 

1 1   ∫  f ( x ) − x  dx =  x − x  1

1 a

1 3 1 a − = ⇒ a = 2 sau a = − a 2 2 Finalizare: a = 2

2p 1p

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naŃional 2013 Proba E. c) Matematică M_pedagogic Model Filiera vocaŃională, profilul pedagogic, specializarea învăŃător-educatoare • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1 1 1 13 “. 1. DeterminaŃi valoarea de adevăr a propoziŃiei ,, − + = 3 18 12 36

2 x + 3 y = 1 2. RezolvaŃi sistemul de ecuaŃii  , x, y ∈ ℝ . 3 x + 2 y = −1

5p 5p 5p 5p

3. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale inecuaŃia x 2 + 2 x − 3 < 0 . 4. DeterminaŃi domeniul maxim de definiŃie D al funcŃiei f : D → ℝ, f ( x) = log 2 (3 − x). 1 5. Se consideră pătratul ABCD de centru O. ArătaŃi că AO = −CD + BD . 2 6. ArătaŃi că triunghiul care are laturile de 5 2, 5 şi 5 este dreptunghic isoscel.

SUBIECTUL al II-lea

(30 de puncte)

(

)

Pe mulŃimea numerelor reale se defineşte legea de compoziŃie asociativă x y = log 3 3x + 3 y + 1 . 5p 5p 5p 5p 5p

1. ArătaŃi că 0 0 = 1 . 2. DemonstraŃi că legea de compoziŃie „ ” este comutativă pe ℝ . 3. DeterminaŃi numărul real x pentru care x 0 = x + 1 . 4. ArătaŃi că x y > 0 , pentru orice x, y ∈ ℝ . 5. VerificaŃi dacă legea de compoziŃie „ ” admite element neutru.

6. ArătaŃi că ( x x ) x = log 3 2 + 3x +1 , pentru orice x ∈ ℝ .

(

)

SUBIECTUL al III-lea

(30 de puncte)

m 1 2  mx + y + 2 z = 1    Se consideră matricea A =  2 −1 m  şi sistemul (S) 2 x − y + mz = 2 , unde m ∈ ℝ .  x + y + z = −1 1 1 1    5p 1. Pentru m = 1 , arătaŃi că det A = 3 . 5p 2. CalculaŃi determinantul matricei A. 5p 3. DeterminaŃi numărul real pozitiv m pentru care det ( 2 A) = −16 . 7 8 4 5p 4. Pentru m = 3 , verificaŃi dacă tripletul  , − , −  este soluŃie a sistemului (S). 5 5 5 5p 5. Pentru m = 1 , rezolvaŃi sistemul (S). 5p 6. Pentru m = 2 , arătaŃi că sistemul (S) nu are soluŃii.

Probă scrisă la matematică M_pedagogic Filiera vocaŃională, profilul pedagogic, specializarea învăŃător-educatoare

Model

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Examenul de bacalaureat naŃional 2013 Proba E. c) Matematică M_pedagogic Barem de evaluare şi de notare Model Filiera vocaŃională, profilul pedagogic, specializarea învăŃător-educatoare • Pentru orice soluŃie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracŃiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parŃiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărŃirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I

(30 de puncte)

1 1 1 12 2 3 − + = − + 3 18 12 36 36 36 PropoziŃia este adevărată 2. x = −1 y = 1 ⇒ soluŃia sistemului este (−1,1) 3. x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 1, x = −3 1

(5 2 )

=5 +5

2p 2p 3p 3p

Finalizare: x ∈ ( −3,1) 4. 3 − x > 0 x < 3 ⇒ D = ( −∞,3) 5. AO = AB + BO 1 AB = −CD , BO = BD 2 Finalizare 6. Triunghiul este isoscel 2

2p 2p 3p 2p 2p 1p 1p 2p 2p

Din reciproca teoremei lui Pitagora triunghiul este dreptunghic SUBIECTUL al II-lea 1.

(30 de puncte)

(

)

0 0 = log 3 30 + 30 + 1 =

= log 3 3 = =1

2p 1p

x y = log 3 3x + 3 y + 1 , pentru orice x, y ∈ ℝ

( ) y x = log 3 ( 3 y + 3x + 1) , pentru orice x, y ∈ ℝ

2p 1p

Finalizare 3.

(

)

x 0 = x + 1 ⇒ log 3 2 + 3x = x + 1

2 + 3x = 3x +1 ⇒ 3x = 1 x=0

3 > 0, 3 > 0 pentru orice x, y ∈ ℝ x

(

)

3 + 3 + 1 > 1 ⇒ log3 3 + 3 + 1 > 0 ⇒ x y > 0 , pentru orice x, y ∈ ℝ

(

)

5. Dacă e ∈ ℝ astfel încât x e = x ⇒ log 3x + 3e + 1 = x 3 3e = −1

3p 2p 1p

Probă scrisă la matematică M_pedagogic Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaŃională, profilul pedagogic, specializarea învăŃător-educatoare

Model

Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Finalizare: legea nu admite element neutru 6.

(

)

x x = log3 2 ⋅ 3 + 1

( x x ) x = log3 ( 2 ⋅ 3x + 1 + 3x + 1) =

(

)

= log 3 2 + 3x+1 , pentru orice x ∈ ℝ

SUBIECTUL al III-lea 1.

(30 de puncte)

 1 1 2   m = 1 ⇒ A =  2 −1 1  1 1 1   det A = 3

3p 2p

det A = − m + 4 + m + 2 − m 2 − 2 =

3p 2p

= −m + 4

det ( 2 A) = −16 ⇒ 23 ⋅ ( 2 − m )( 2 + m ) = −16

4 − m2 = −2 ⇒ m2 = 6 m=± 6⇒m= 6 3 x + y + 2 z = 1  m = 3 ⇒ 2 x − y + 3z = 2  x + y + z = −1 

2p 1p 2p 2p

7 8 4 Verificare:  , − , −  este soluŃie 5 5 5 5. x + y + 2z = 1  m = 1 ⇒ 2 x − y + z = 2  x + y + z = −1  x = −1, y = −2, z = 2 6. 2 x + y + 2 z = 1  m = 2 ⇒ 2 x − y + 2 z = 2  x + y + z = −1 

Scăzând primele 2 ecuaŃii ⇒ y = −

2p 3p 2p

1 2

3  2 x + 2 z = 2 Înlocuind în prima şi a treia ecuaŃie ⇒  , imposibil, deci sistemul nu are soluŃie  x+ z =−1  2

Probă scrisă la matematică M_pedagogic Barem de evaluare şi de notare Filiera vocaŃională, profilul pedagogic, specializarea învăŃător-educatoare

Model