Unidad 1 INTRODUCCIĂ“N La necesidad del hombre de entender su entorno, lo lleva a establecer tĂŠcnicas matemĂĄticas que conlleven a resolver los problemas de la medida, de saber cĂłmo encontrar la distancia entre dos puntos y ubicarse en diferentes lugares. Estas y otras situaciones, hacen que teoremas como el de PitĂĄgoras sean de gran aplicabilidad en situaciones cotidianas, en diferentes disciplinas y en diversos contextos. Por ello, en esta unidad se hace referencia a la resoluciĂłn de triĂĄngulos rectĂĄngulos, donde se hace necesario entender que tipos de ĂĄngulos hay y como los podemos medir. En este sentido, se hace especial ĂŠnfasis en magnitudes como grados y radianes, para luego entender procesos de conversiĂłn. Posteriormente, se presentan las razones trigonomĂŠtricas como una herramienta para solucionar triĂĄngulos rectĂĄngulos cuando solo conocemos una de las medidas de un triĂĄngulo rectĂĄngulo. En este proceso, te invitamos a realizar las actividades propuestas, ya que estas te permitirĂĄn comprender los temas a tratar y te ayudaran a solucionar diferentes situaciones problemas.
Concepto TriĂĄngulos rectĂĄngulos Ă ngulos: Medida de ĂĄngulos: Ă ngulos internos:
Ă rea de triĂĄngulos Teorema de PitĂĄgoras: Razones trigonomĂŠtricas:
CONCEPTOS RELACIONADOS DefiniciĂłn Son aquellos triĂĄngulos que tiene un ĂĄngulo interno de 90Âş y dos ĂĄngulos agudos. AdemĂĄs tienen dos catetos y la hipotenusa, que es el lado de mayor longitud. IntersecciĂłn entre dos semi rectas, las cuales tiene un punto en comĂşn llamado vĂŠrtice, un lado inicial y un lado terminal. Se clasifican segĂşn su medida en agudos, obtuso, llano, recto y cĂłncavo. Los ĂĄngulos se pueden medir ya sea en grados o en radianes, donde una circunferencia tiene 360Âş que a su vez equivale a 2Ď€ en radianes. Son los ĂĄngulos que ubicamos en la parte interna de una figura geomĂŠtrica, donde la suma de los ĂĄngulos interno de todo triangulo es de 180Âş. El ĂĄrea de una triangulo se calcula multiplicando la base por la altura y dividiendo esta cantidad en dos. đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ ∗ đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ??´đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ = 2 La suma de los dos catetos al cuadrado equivale al cuadrado de la hipotenusa. â„Ž2 = đ?‘Ž2 +đ?‘? 2 Razones definidas entre los catetos y la hipotenusa de un triangulo rectĂĄngulo, las cuales se aplican para determinar tanto los ĂĄngulos como las medidas de las longitudes de una triangulo rectĂĄngulo. Estas son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
ACTIVIDADES A REALIZAR - TEOREMA DE PITÀGORAS -
Dibuja dos cuadrados de la misma medida:
Indica los puntos medios de cada lado de los dos cuadrados:
-
En el cuadrado A, trace los segmentos que unen los puntos medios, para formar cuatro triángulos:
En el cuadrado B, una los puntos formando una cruz, y en dos de los cuadrados que se originaron, trace la diagonal:
-
Colorea los triángulos del cuadrado A De acuerdo a lo realizado, responde: de diferente color, y haz corresponder con el mismo color los triángulos del - Si los dos cuadrados tienen la misma área segundo cuadrado: ¿Podemos decir que el cuadrado que se forma en el cuadrado A es igual a los cuadrados que se forman en el cuadrado B? (justifica tu respuesta) - Explica utilizando argumentos matemáticos y geométricos como se cumple la igualdad en los cuadrados A y B.
Tres hermanos se han de repartir un campo cuadrado en tres partes iguales, de la manera que se indica en el dibujo porque en el vértice A hay un pozo que han de compartir. Teniendo en cuenta que el lado del campo es de 60 metros y que quieren garantizar que los tres campos tengan la misma superficie. ¿A qué distancia han de estar los puntos M y N del vértice C? El conde de Hard de Wissex quiere construir un castillo en Inglaterra con 10 torres, pero de manera que una muralla una 4 de estas torres. Las murallas han de ser líneas rectas. Para realizar este diseño ha contratado un arquitecto que tiene dos días de plazo para resolver la situación, si no será condenado a la cárcel una temporada. Dibuja la forma como se distribuyen las torres y las murallas para ayudar al arquitecto a encontrar una solución. EJERCICIOS ADICIONALES En la siguiente imagen las figuras de la parte superior representan cubos desdoblados, en la parte inferior se presentan los cubos. Relaciona con una línea cual desdoblamiento pertenece a cada cubo.
La siguiente figura muestra un cubo desdoblado. Elige de las cuatro figuras que encuentras a la derecha la que corresponde al modelo
AquĂ tienes a la izquierda la plantilla de un cubo, o lo que es lo mismo, un cubo desdoblado, a la derecha encuentras cinco cubos armados. Escoge el que corresponda al cubo desdoblado.
En la siguiente figura se muestra una tabla con un agujero en el centro. Marca con una × los objetos que pueden pasar a través él.
Agujero
Escribe cuál fue el criterio que utilizaste para identificar los objetos.
En la siguiente imagen encuentras varias figuras que se han formado a partir de la unión de cuadrados, clasifícalas en tres grupos. Escribe el criterio que utilizaste para hacer cada uno de los grupos ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ________________________________
Escribe cuántas fichas puedes introducir en cada uno de los postes.
Poste 1
Poste 1
Poste 2
Poste 2
Poste 3
Poste 3
Observa como don Gustavo apila los tomates en su tienda
Si en la pila de abajo hay 8 tomates, ¿cuántos tomates podría haber en la pila de arriba?_________
Completa la siguiente tabla
Unidad 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INTRODUCCIÓN Muchas situaciones llevan a las personas a pensar en fenómenos que se producen periódicamente, en este sentido las horas del día, las semanas, los meses y los años se repiten periódicamente. Las empresas pagan su nomina cada mes, las personas trabajan todos los días ocho horas etc. Estas situaciones son de naturaleza trascendente porque tienen un periodo, no las podemos modelar utilizando diferentes valores, sino solo aquellos que se encuentran dentro del periodo. Las funciones trigonométricas tienen importantes aplicaciones en la Física y en casi todas las ramas de la ingeniería y la medicina, permiten modelar variedad de fenómenos periódicos, tales como el movimiento ondulatorio, las oscilaciones de los péndulos, los ciclos biológicos, el movimiento de los planetas, los ritmos cardiacos, entre otros. Estas funciones están relacionadas con fenómenos que se repiten constantemente (fenómenos periódicos) Estas funciones trigonométricas son conocidas como funciones armónicas o circulares, son peródicas, es decir, se repite a intervalos constantes. En esta unidad se tratará principalmente las funciones trigonométricas, sus graficas y las trasformaciones que podemos realizar al efectuar diferentes desplazamientos en la grafica y las aplicaciones de dichas funciones en diversos contextos. En este sentido, se definirán algunos valores de las funciones para diferentes ángulos, donde lo invitamos a identificar como se determinan dichos valores, dado que esta conciencia de comprender el comportamiento de la grafica. Se hará especial énfasis en la construcción de dichas graficas donde se les brinda herramientas virtuales que son de gran ayuda al graficar. CONCEPTOS RELACIONADOS La grafica de estas funciones se repite con intervalos de longitudes iguales al periodo, para representarla y estudiarla se elige un intervalo y unas características específicas: 1. 2. 3. 4.
El dominio de la función debe estar en los números reales (IR) El recorrido de la función está entre [-1, 1] Es una función periódica cuyo periodo es de 2π El valor máximo es de la función 1es y el mínimo es -1
5. La grafica corta al eje X en los puntos cuyo valor es igual a nĎ€, para todo numero entero n 6. La funciĂłn seno es impar, es decir đ?‘“(−đ?‘Ľ) = đ?‘ đ?‘’đ?‘› − đ?‘Ľ = −đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ľ = −đ?‘“(đ?‘Ľ) 7. La funciĂłn coseno es par, es decir đ?‘“(−đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (−đ?‘Ľ) = cos đ?‘Ľ = đ?‘“(đ?‘Ľ)
Como el valor del seno de un ĂĄngulo puede ser positivo o negativo de acuerdo con el cuadrante en el que se ubica su lado terminal en la circunferencia trigonomĂŠtrica. FunciĂłn seno
FunciĂłn coseno
FunciĂłn tangente
Periodo de una funciĂłn
Amplitud
Se determina como la razĂłn entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa de un triangulo rectĂĄngulo. Su inversa es cosecante que al igual es otra funciĂłn trigonomĂŠtrica. Su dominio son todos los reales y su rango va de [-1, 1], tiene un periodo de 2Ď€, su valor mĂĄximo es 1 y el mĂnimo es -1. lagrafica intercepta en el eje X en los puntos cuyas abscisas son x=nĎ€, para todo numero entero n. La funciĂłn seno es impar, es decir đ?’‡(−đ?’™) = đ?’”đ?’†đ?’? − đ?’™ = −đ?’”đ?’†đ?’?đ?’™ = −đ?’‡(đ?’™). Se determina como la razĂłn entre el cateto adyacente dividido por la hipotenusa de un triangulo rectĂĄngulo. Su Dominio esta en IR, su rango va de [-1, 1], el periodo de la funciĂłn es 2Ď€, el valor mĂĄximo es 1y el mĂnimo es -1 y La funciĂłn coseno es par, es decir đ?‘“(−đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (−đ?‘Ľ) = cos đ?‘Ľ = đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘ đ?‘’đ?‘› (đ?‘Ľ) cos(đ?‘Ľ) Las caracterĂsticas de la funciĂłn tangente son • Es impar es decir, tan(-x) = -tan(x) Por tanto, la grĂĄfica es simĂŠtrica • La funciĂłn tangente tiene un periodo Ď€, es decir tan(x) = tan(x + kĎ€). • La funciĂłn no es acotada ni tiene mĂĄximos ni mĂnimos tan(đ?‘Ľ) =
PerĂodo(B): es completa
2đ?œ‹ đ??ľ
que es lo que se demora en dar una vuelta
Amplitud (A): es el promedio de la diferencia entre los valores mĂĄximo y mĂnimo de la grafica
Desfase
C
Desfase: − desplazamiento horizontal en unidades a la derecha B o a la izquierda según el signo
Desplazamiento vertical Desplazamiento vertical (D): traslación vertical en unidades de la gráfica
Lee atentamente la siguiente situación Un estudiante de medicina necesita estudiar la actividad cardiaca de un paciente que se encuentra en cuidados intensivos a punto de sufrir un paro cardiaco, para ello tiene un electrocardiógrafo aparato diseñado para detectar y ampliar la actividad eléctrica del corazón, esta información captada es registrada gráficamente como lo muestra la imagen, en el cual se evidencia el proceso rítmico de la respiración el cual consiste en periodos alternantes de inhalación y exhalación. Seguramente si ves el resultado te preguntarías:
¿QUÉ FUNCIÓN REPRESENTA ELECTROCARDIOGRAMA?
EL
RESULTADO
DE
UN
EJERCICOS ADICIONALES Lee atentamente el siguiente ejemplo y sigue la forma como se organizó la información para hallar la solución.
Resultados de las elecciones en un consejo de administración Un periódico informó sobre el resultado de unas elecciones, pero no dijo quién había sido electo para cada puesto. Los puestos eran presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. Los elegidos para los puestos anteriores fueron el señor Bascopé, la señora Warnes, el señor Molina y la señora Herrera. Utiliza los siguientes encabezados del diario para determinar quién fue elegido para cada puesto. 1. Molina y Herrera felicitan al nuevo vicepresidente. 2. Warnes, la primera mujer presidente. 3. Herrera, ex tesorero, feliz en su nuevo puesto. Esta situación se puede resolver con mayor facilidad si registras, la información dada en una tabla y vas sacando conclusiones de esta. La siguiente tabla muestra una forma de organizar la información y de hacer deducciones para llegar a la respuesta. Si lees detenidamente puedes notar que cada afirmación lleva consigo otras afirmaciones y negaciones que no se dicen de modo explicito, pero que se pueden inferir. Ejemplo: Si Molina y Herrera felicitan al nuevo vicepresidente, entonces, Molina y Herrera no fueron elegidos para vicepresidente. B
W
P VP S T
M
H
no
No
Puedes seguir llenando la tabla a medida que lees la situación planteada. Entonces si Warnes es presidente, nadie más es presidente. Bascopé debe ser vicepresidente. B P No VP Si S No T No
W Si No
M no no
H No No
Y terminas de completar la tabla teniendo en cuenta que como Herrera no es tesorera, debe ser secretaria y Molina debe ser tesorero. B P No VP Si S No T No
W Si No No No
M no no no si
H No No Si No
De lo anterior se puede decir que los resultados fueron presidente, Warnes; vicepresidente, Bascopé; secretaria, Herrera y tesorero, Molina. En la siguiente situación debes leer muy bien el problema, organizar la información y finalmente hallar la solución. Las responsabilidades diarias Desde el lunes hasta el jueves hay cuatro tareas que deben ser realizadas cada día por los cuatro hijos de la familia Fandiño. Con el fin de ser justos, a cada hijo se le ha asignado una tarea diferente para cada día y ninguno de ellos realiza la misma tarea dos veces en estos días. Con la siguiente información debes deducir ¿Cuál hijo realiza qué tarea durante cada uno de los días? Pistas: a. Liliana lava los platos el mismo día que Esteban los seca b. Ana arregla el comedor un día antes que Juan lava los platos c. Esteban lleva el perro a pasear después de que Juan seca los platos. d. Liliana seca los platos un día antes de que Ana lleve a pasear al perro e. Juan arregla al comedor un día antes que Ana f. Esteban lava los platos un día antes que Liliana arregla el comedor g. Juan lleva a pasear el perro el día lunes.
Utiliza la siguiente tabla para registrar la información. Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Liliana Juan Esteban Ana
Los cinco duendes:
Hay cinco duendes vestidos de cinco colores diferentes, los cuales hicieron cinco tipos de juguetes diferentes. En la bolsa de Santa Claus había 30 juguetes diferentes, hechos por el equipo de duendes: Camilo, Jenny, Dania, Sebastián y Dann. Ninguno de ellos hizo la misma cantidad de juguetes, pero cada uno de ellos hizo más de dos. Camilo, por ejemplo, hizo un juguete más que quien viste de rojo y uno menos que quien hizo los trineos. Jenny se encargó de los autos de carreras. Dania hizo cinco juguetes. Los trenes fueron fabricados por quien viste de amarillo, y el de verde produjo una tercera parte de lo que hizo Sebastián. La linda Dann lucía un traje anaranjado y otro duende llevaba un traje azul. Nadie aportó más juguetes que la que hizo los trompos. El duende de la sonrisa gallarda hizo todas las pelotas. Ahora, te toca descubrir qué hizo cada uno de los duendes:
El color de las corbatas El señor Pardo, el señor Verde y el señor negro estaban almorzando juntos. Uno de ellos llevaba una corbata parda, otro una corbata verde y el otro una corbata negra. “¿se han dado cuenta, dijo el hombre de la corbata verde, que aunque nuestra corbatas son de colores iguales a nuestros nombres, ninguno de nosotros lleva la corbata que correspondería a su nombre? ¡Por DIOS que tienes razón! exclamo el señor pardo. ¿De qué color era la corbata de cada uno? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
Los tipis de los Sioux Los grupos indígenas de las praderas norteamericanas han conservado parte de sus tradiciones. Aún viven en tipis y utilizan nombres compuestos cuya primera parte se refiere a un animal y la segunda a una cualidad. Las siguientes pistas te ayudarán a encontrar los nombres completos de cada uno de los habitantes de esta pequeña aldea indígena. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.
Caballo es vecino inmediato de hambriento. Sentado es una parte del nombre del indio que habita en el tipi número 3. Oso es el primer nombre del indio que habita en un tipi con número impar. Alce no tiene por segundo nombre sentado. Búfalo es vecino de zorro. Impaciente no habita al lado de silencioso. Zorro astuto es vecino inmediato de silencioso. Oso no tiene por segundo nombre sentado ni silencioso. Hambriento habita en el tipi 1 ó en el 5. Astuto no habita en el tipi 1 ni en el 5. En el tipi número 4 habita caballo.
En un país lejano, hace mucho tiempo, había un rey con 10 hijos: cinco mujeres y cinco varones. Un día uno de sus súbditos le comentó que tenía que medir un terreno en la parte norte del reino, entonces el Rey ordenó a su hijo Manuel que se fuera con el súbdito para que con sus pasos parcelara tal porción de tierra. Pasaron varios meses y de repente apareció nuevamente el mismo súbdito, para comentarle al rey que había surgido un conflicto con la tierra que había ayudado a parcelar el príncipe Manuel, quien por ese entonces había viajado al sur del reino a tratar asuntos importantes. Hace apenas hace dos años el príncipe Benjamín parceló con sus propios pasos ese pedazo de tierra –dijo el Rey con voz exaltada. En el palacio sólo se encontraba la princesa Marcela. El Rey ordenó a la princesa a que fuera a ayudar a parcelar nuevamente el terreno, pronto ella tomó camino junto con el súbdito con rumbo norte para tratar de solucionar el problema. ¿Cómo le ayudarías al Rey y la princesa Marcela a solucionar este conflicto y evitar otros posteriores? ________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
Lee las siguientes situaciones y responde las preguntas planteadas para cada caso. Cuando los 7 miembros de la familia Nuñez fueron a ver al médico, encontraron solamente 6 sillas en la sala de espera. “Esto lo podemos resolver”, dijo la enfermera. “Fórmense aquí un momento”. Cuando la familia estuvo en fila, sentó al señor en la primera silla y le dijo al último de la línea: “Siéntate un momento en el regazo de tu padre”. Hecho esto sentó al tercero de ellos en la segunda silla, al cuarto en la tercera, al quinto en la cuarta y al sexto en la quinta. Después, regresó con el último, que estaba al regazo de su padre, y lo colocó en la sexta silla. “Ahora”, dijo, “todos tienen silla y pueden esperar cómodamente hasta que los vea el doctor”. ¿Estuvo correcto?______________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ¿Cómo lo harías tú? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
Unidad 3 TEOREMAS DEL SENO Y COSENO Cuando se trabaja con las razones trigonométricas básicas solo las podemos utilizar en triángulos que al menos tengan un ángulo igual a 90º, es decir que sean triángulos rectángulos; debido a que no todos los triángulos son rectángulos si no que pueden ser oblicuos existen teoremas que nos permiten trabajar la trigonometría en dichos triángulos, que son TEOREMA DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO.
El teorema del seno tiene múltiples aplicaciones, como en la topografía, en la aviación, en las construcciones civiles, entre otras. En la mayoría de estas situaciones al formar el triangulo, solo se conocen los valores de dos ángulos y un lado, o el valor de dos lados y un ángulo.
Por esta razón, en esta unidad, se trabajará inicialmente la definición de los teoremas del seno y del coseno, seguido a esto se presenta una serie de situaciones, que te permitirán aplicar dichos teoremas. Por consiguiente se hace referencia a las principales identidades trigonométricas, las cuales se originan de las funciones trigonométricas y de relaciones pitagóricas entre ellas. Te invitamos a revisar el documento y a realizar las actividades propuestas, con el propósito de que fortalezcas los conocimientos aprendidos. Lee atentamente la siguiente situación Juan Manuel topógrafo profesional, fue contratado por la alcaldía local para hacer el dragado de un pozo de aguas sucias, para lo cual él necesita saber cuánto mide el largo del pantano. Juan Manuel se ubica en el punto A, desde donde observa los puntos B Y C, determina la distancia entre el punto A y los puntos B y C en cada orilla del pozo y mide el ángulo BAC, cuya magnitud es 72º. Ayúdale a Juan Manuel a establecer ¿CUÁL ES LA DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS B Y C?
CONCEPTOS RELACIONADOS đ?’‚ đ?’ƒ đ?’„ = = đ?’”đ?’†đ?’?đ?‘¨ đ?’”đ?’†đ?’?đ?‘Š đ?’”đ?’†đ?’?đ?‘Ş
Teorema del seno
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Teorema del coseno
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
Identidades trigonomĂŠtricas
Identidades fundamentales
Una identidad trigonomĂŠtrica es una igualdad entre dos expresiones trigonomĂŠtricas. Resolver una identidad consiste en lograr que el miembro de la izquierda igual se exprese de la misma forma que el miembro de la derecha del igual. senx cos x = tan x = Ăł cot x cos x senx 1.
= senx
1 1 1 = cos x = tan x csc x sec x cot x
= csc x
1 1 1 = sec x = cot x senx cos x tan x
Reciprocas
2 hip= lo 2 + la 2
1= y + x 2
2
2
sen 2Îą cos 2 Îą 1 = + cos 2 Îą cos 2 Îą cos 2 Îą
2 = 1 sen 2Îą + cos 2 Îą sec = Îą tan 2 Îą + 1
PitagĂłricas
sen 2Îą cos 2 Îą 1 = + cos 2 Îą cos 2 Îą cos 2 Îą 2 sec = Îą tan 2 Îą + 1
csc 2 Îą = 1 + cot 2 Îą
sen(α= + β ) senα cos β + senβ cos α cos(α = + β ) cos α cos β − senβ senα
Sumas y restas de ángulos
tan α + tan β tan(α + β ) = 1 − tan α tan β − β ) senα cos β − senβ cos α sen(α= = − β ) cos α cos β + senβ senα cos(α tan α − tan β tan(α − β ) = 1 + tan α tan β
Identidades de ángulos dobles
cos(2 = α ) cos 2 α − sen 2α 2 tan α tan(2α ) = 1 − tan 2 α
ACTIVIDADES A REALIZAR Desarrolla en clase 2 preguntas relacionadas con los TEOREMAS DEL SENO Y COSENO, con aplicaciones prácticas en las actividades cotidianas que realizas.
Unidad 4 FUNCION - CONCEPTOS RELACIONADOS Concepto
Definición
función
Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de forma que a cada valor de x le corresponde un solo valor de y. La variable x se llama variable independiente. La variable y se llama variable dependiente.
Dominio
Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) Se llama recorrido o imagen de una función f(x) a todos los valores que puede tomar f(x). La imagen se denota como Im(f)
Codominio
Crecimiento y decrecimiento de una función
Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera 1 2 x y x pertenecientes a (a,b) tales que x1 <x2 se cumple: 1 2 f(x )<f(x ) Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera 1 2 x y x pertenecientes a (a,b) tales que 1 2 x <x se cumple: 1 2 f(x )>f(x )
Formas de expresar una función
Fundamentalmente, existen 3 formas de expresar una función: por medio de una tabla de valores, una gráfica o por una fórmula (también llamada Ecuación).
Una tabla de valores es una tabla donde aparecen algunos (pocos) valores de la variable independiente x y sus correspondientes valores de la variable dependiente y. Necesariamente, para poder ser manejable y útil, deben aparecer pocos valores de ambas variables. Toma la forma: Variable x x1 x2 x3 ....... xn-1 xn Variable y y1 y2 y3 ....... yn-1 yn La gráfica de una función es el dibujo, sobre unos ejes coordenados, de todos los pares (x,f(x)) donde x recorre todos los valores del dominio de la función. Como ya quedo claro y = f(x), asi que la 2a coordenada y de cada uno de estos puntos no es más que la correspondiente imagen de la 1a coordenada x. Gráfica -> dibujo de {(x,f(x))/ x Dominio f} Sobre el eje OX representamos los valores de la variable independiente x y sobre el eje OY los valores de f(x) = y que es la variable dependiente.
La fórmula o ecuación de una función es la expresión, en términos de operaciones algebraicas o no, de la relación de dependencia entre las dos variables: x -> variable independiente y -> variable dependiente y = f(x) La fórmula nos dice qué operaciones debemos hacer con cada valor de x para obtener su correspondiente valor y = f(x).
ACTIVIDADES ¿En qué aplico el concepto de función y sus formas de representación? _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. El siguiente ejercicio representa la función como una situación problema, una gráfica, una tabla de valores y su representación en lenguaje matemático (formula).
Considera un automóvil que viaja con velocidad ¿A qué velocidad viaja el auto? constante por una carretera recta. La figura muestra que a las 2:00 PM el automóvil ha recorrido 20 Km y a las 2:30 ha recorrido 48 Km
Si denotas la distancia recorrida con la letra X y el tiempo empleado con la letra t la distancia recorrida se relaciona con el tiempo mediante la ecuación:
Completa la tabla de valores T(h)
0
1
2
3
4
5
6
7
X(Km) La grafica con la cual se puede representar esta situaci贸n es:
En la siguiente funci贸n determina si la funci贸n es creciente o decreciente en cada intervalo
1 EJERCICIOS ADICIONALES: Se disponen 32 presos en las cuatro galerías de una prisión de la forma que se ve en el dibujo. Todos los presos pueden pasar de una celda a la adjunta.
7
7 1
1 7
7
1
En cada esquina hay un guardia que, cada cierto tiempo, se levanta y cuenta el número de presos en su sector. Si cuentan 9 presos en cada celda que controlan, suponen que no ha habido fugas y vuelven a dormir. Entre tanto, los presos han excavado un túnel en el cuadro central y por él escapan cuatro presos. Al contar los guardianes a los presos en la siguiente ronda, aunque parezca imposible, les vuelve a dar 9 presos en cada galería. Antes de la segunda ronda, otros cuatro presos vuelven a escapar. Los guardias vuelven a la ronda y cuentan 9 presos por celda. Antes de la tercera ronda vuelven a irse otros cuatro presos pero los guardias seguirán contando 9 presos por celda. Finalmente, antes del amanecer, otros cuatro presos se van... y, ya formados en el patio, en el recuento de la mañana, los guardias observan que faltan... ¡¡¡16 presos!!! ¿Cómo fueron engañados los guardias? (Nota: en cada recuento debe haber al menos un preso en cada celda cuadrada.) LOS SOMBREROS En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres señores en fila india se ponen un sombrero al azar cada uno y sin mirar el color. Se le pregunta al tercero de la fila, que puede ver el color del sombrero del segundo y el primero, si puede decir el color de su sombrero, a lo que responde negativamente. Se le pregunta al segundo que ve solo el sombrero del primero y tampoco puede responder a la pregunta. Por último el primero de la fila que no ve ningún sombrero responde acertadamente de qué color es el sombrero que tenia puesto. ¿Cuál es este color y cuál es la lógica que uso para saberlo? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
Unidad 5 CONCEPTOS RELACIONADOS Medidas de tendencia central
Media
Son indicadores estadĂsticos que indican hacia quĂŠ valores se agrupan los datos. Medida de tendencia central, que hace referencia a la suma de todos los datos divididos por el numero de datos. Esta medida tambiĂŠn se conoce como promedio. đ?&#x2018;Ľďż˝ =
Mediana
Moda
đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ1 + đ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;Ľ3 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A;Ăşđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;
Esta medida se obtiene al tener el total de datos en un orden estricto, determinando en que elemento se obtiene la mitad de los datos. La moda se determina al calcular la frecuencia (nĂşmero de veces que se repite un dato) donde se identifica que datos obtuvo la mayor frecuencia. La probabilidad de un suceso es un nĂşmero, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Probabilidad
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PoblaciĂłn
Es el conjunto total de objetos que son de interĂŠs para un problema dado. Los objetos pueden ser personas, animales, productos fabricados, etc. Cada uno de ellos recibe el nombre de elemento (o individuo) de la poblaciĂłn.
Muestra
Es un subconjunto de n elementos de la poblaciĂłn a partir de la cual se puede examinar la caracterĂstica que interesa y despuĂŠs generalizar estos resultados a la poblaciĂłn.
El muestreo es una técnica que tiene como objetivo el asegurar que cada observación en la población tenga una oportunidad igual e independiente de ser incluida en la muestra. Tales procesos de muestreo conducen a una muestra aleatoria. Esta muestra aleatoria se realiza bajo ciertas condiciones y es sometida a ciertos requisitos, se constituye en un procedimiento práctico, económico y rápido, para generalizar conclusiones obtenidas a través de una muestra, aplicables a toda la población. Existen diferentes tipos: • Muestreo
•
•
•
Variables cualitativas
Muestreo aleatorio simple: en el cual se da igual de oportunidad de selección a cada elemento o a la muestra dentro de la población. Muestreo aleatorio estratificado: garantiza la representatividad, reduciendo el error al formar grupos a sub poblaciones más o menos homogéneas, en cuanto a su composición interna o heterogéneas cuando se comparan los estratos entere sí. Muestreo por conglomerados: cuando la unidad básica de muestreo se encuentra en la población, en grupos o conglomerados y la selección de la unidad permite la observación del total de elementos de cada conglomerado elegida. Cada conglomerado tiene las mismas características de la población. Muestreo sistemático: Tenemos la población a estudiar previamente inscrita en unas listas numeradas, luego obtenemos la frecuencia de los casos, se calcula al dividir el total de la población sobre el total de la muestra, al tener la frecuencia de casos se elegirá los elementos de la muestra a medida que se va saltando los números que indique la frecuencia.
Variables cualitativas nominales: son aquellas cuyos posibles valores son clases o categorías, que clasifican los elementos observados, pero no lo ordenan. Ejemplo: sexo, estados civil, nombre, equipo favorito. Variables cualitativas ordinales: son aquellas cuyos valores son categorías o clases que clasifican y ordenan los elementos observados. Ejemplo: estrato social, grados militares, nivel educacional (educación básica, media, superior), etc
Variables cuantitativas
Variables cuantitativas discretas: son aquellas cuyos valores forman un conjunto numerable de números, que surgen frecuentemente de un conteo, como por ejemplo número de hermanos. Variables cuantitativas continuas: son aquellas cuyos posibles valores forman un intervalo de números reales y que resultan normalmente de una medición, como por ejemplo estatura o peso de un individuo. No obstante muchas variables continuas son discretizadas en su uso diario. Por ejemplo, habitualmente medimos edad en años, peso en kilos, etc.
Representación grafica de la información Tipo de grafica El diagrama de frecuencias: son muy utilizados para representar las frecuencias absolutas y relativas, incluyendo las acumuladas, que ocurren con respecto a una variable aleatoria discreta. Se representan por líneas delgadas ya sean verticales u horizontales, colocando las frecuencias.
Histograma: gráfico de barras verticales correspondientes a una distribución de frecuencias, construidos marcando los centros de la clase en el eje horizontal y en el eje vertical las frecuencias. La frecuencia correspondiente a una clase esta representada por la altura de un rectángulo cuya base es igual al intervalo de la clase.
Gráfica
Polígono de frecuencias: en la variable continua es bastante utilizado este diagrama, fijando puntos, utilizando las marcas de clase y las frecuencias, luego se unen dando una línea quebrada. Si en el histograma de frecuencias unimos los puntos medios en la parte superior de cada rectángulo, obtenemos el polígono de frecuencias.
Gráfico circular o pastel: Se usa, fundamentalmente, para representar distribuciones de frecuencias relativas (%) de una variable cualitativa o cuantitativa discreta.
Gráfico de frecuencias acumuladas u ojiva. Su objetivo es representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero sólo para frecuencias acumuladas. No se utilizan barras en su confección, sino segmentos de recta, por ello no sólo es útil para representar una distribución de frecuencias sino también cuando se quiere mostrar más de una distribución o una clasificación cruzada de una variable cuantitativa continua con una cualitativa o cuantitativa discreta.
Gráfico de barras múltiples: Se usa para representar las frecuencias observadas en clasificaciones dobles, es decir, cuando son dos los criterios de clasificación, para variables cualitativas o cuantitativas discretas. Su forma de construcción es similar a la del gráfico de barras simples, sólo que en este caso se representan dos variables. El hecho de ser doble, triple, cuádruple, etc., parte del número de clases que tenga la variable, que no es el criterio principal de clasificación. Las barras que integran una barra múltiple se colocan juntas o ligeramente solapadas. Gráfico de barras compuestas: Su objetivo es la representación de las frecuencias relativas (%) observadas en clasificaciones dobles, es decir, cuando son dos los criterios de clasificación, para variables cualitativas o cuantitativas discretas. Su forma de construcción es la siguiente: cada barra representa el 100 % de los individuos en cada clase del criterio principal de clasificación y se divide, proporcionalmente, en los por cientos correspondientes a las clases del otro criterio de clasificación. Como es lógico, las diferentes partes en que se dividen las barras compuestas se diferencian con tramas o colores diferentes.
Gráficos de barras verticales (Llamados por algún software de columnas) Representan valores usando trazos verticales, aislados o no unos de otros, según la variable a graficar sea discreta o continua. Pueden usarse para representar:
Gráficos de líneas En este tipo de gráfico se representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí.
Estos gráficos se utilizan para representar valores con grandes incrementos entre sí.
Gráficos de barras proporcionales Se usan cuando lo que se busca es resaltar la representación de los porcentajes de los datos que componen un total.
Gráficos de barras comparativas Se utilizan para comparar dos o más series, para comparar valores entre categorías. Las barras pueden ser verticales u horizontales
Gráficos de barras apiladas Se usan para mostrar las relaciones entre dos o más categorías con el total. Las barras pueden ser verticales u horizontales
Gráficos Mixtos En estos tipos de gráficos se representan dos o más series de datos, cada una con un tipo diferente de gráfico. Son gráficos más vistosos y se usan para resaltar las diferencias entre las series.
Los disperso gramas Son gráficos que se construyen sobre dos ejes ortogonales de coordenadas, llamados cartesianos, cada punto corresponde a un par de valores de datos x e y de un mismo elemento suceso.
ACTIVIDADES RELACIONADAS La siguiente tabla presenta la clasificación de la OMS, lee la información que se presenta y responde las preguntas planteadas. ÍNDICE DE MASA CORPORAL Clasificación IMC (kg/m2) Valores principales Valores adicionales Infrapeso <18,50 <18,50 Delgadez severa <16,00 <16,00 Delgadez moderada 16,00 - 16,99 16,00 - 16,99 Delgadez no muy pronunciada
17,00 - 18,49
Normal Sobrepeso
18.5 - 24,99 ≥25,00
Preobeso Obeso
25,00 - 29,99 ≥30,00
Obeso tipo I
30,00 - 34,99
Obeso tipo II Obeso tipo III
35,00 - 39,99 ≥40,00
17,00 - 18,49 18.5 - 22,99 23,00 - 24,99 ≥25,00 25,00 - 27,49 27,50 - 29,99 ≥30,00 30,00 - 32,49 32,50 - 34,99 35,00 - 37,49 37,50 - 39,99 ≥40,00
En la siguiente tabla se presentan la información sobre el peso en kilogramos, estatura en metros y el índice de masa corporal, que se recogió al encuestar a un grupo de jóvenes estudiantes de la Universidad Gran Colombia. NOMBRE
PESO
ESTATURA
AGUDELO DELGADILLO, DUBERNEY BUENO TORRES, MIGUEL A. CAMARGO RINCON, ALVARO J. CORREA CASTILLO, DAVID E. CORTES MAYORGA, ANHUAR K. CUESTAS GOMEZ, ANGIE Y. FLOREZ URRUTIA, ALEXA F. GALEON DUARTE, MARIA A. GOMEZ GOMEZ, GEIMAR G. HERNANDEZ MARTINEZ, PAULA A. HERNANDEZ RIVERA, RICARDO A. JURADO MALDONADO, SERGIO D. LLANES GARCIA, CRISTIAN F. LOPEZ PEREZ, VANESSA D. LOZANO GONZALEZ, DIANA M. ROZO RIVERA, CRISTIAN C. SANCHEZ TORREZ, JUAN S. ZAPATA PEÑA, ALEJANDRO ZULUAGA, EDITH A. ORTEGON MOSCOSO, SEBASTIAN PINZON DIAZ, WILLIAM Y. PRIETO OVIEDO, JEIMY C. RODRIGUEZ SUAREZ, LEIDY A. TORRES LOPEZ, STEPHANIA TORRES MOLINA, EDISON D.
80 70 75 75 76 78 79 80 50 45 50 75 70 60 60 70 60 55 50 60 60 50 50 55 50
1,70 1,60 1,50 1,80 1,60 1,65 1,70 1,50 1,60 1,70 1,50 1,60 1,60 1,65 1,50 1,75 1,78 1,78 1,80 1,60 1,65 1,70 1,75 1,40 1,45
IMC
CLASIFICACION
27,68 Pre-obeso 27,34
29,69 28,65
15,57 Delgadez severa 22,22 Normal
22,86
15,43 23,44
28,06 23,78
1. En la última fila inferior escribe los datos que corresponden a tu peso, estatura y halla el índice de masa corporal (IMC), para los jóvenes que no tienen este valor, el cual lo hallas dividiendo la masa corporal en kilogramos entre el valor de la estatura al cuadrado. escríbelos en el lugar correspondiente. A continuación escribe la clasificación correspondiente según la OMS.
2. Elabora la tabla de frecuencia para cada una de las variables, es decir para la estatura, el peso y el índice de masa corporal.
3. Halla la media, la moda y la mediana para las variables que corresponden a peso (kg), Estatura (m), índice de masa de corporal (kg/m2 ).
4. Indique el rango de peso que debe tener las personas bajas (1,40 hasta 1,59 m) de estatura mediana (1,60 hasta 1,74 m) y de estatura alta (1,75 hasta 2,00 m).
5.
¿Cuántas variables se manejan en la tabla que presenta la información? Y Clasifícalas variables anteriores entre cualitativas y cuantitativas.