PRÉ-CÁLCULO - 2ª edição revista e atualizada by Cengage Brasil

Pré-Cálculo Valéria Zuma Medeiros (Coord.) André Machado Caldeira Luiza Maria Oliveira da Silva Maria Augusta Soares Machado

Possui material de apoio a professores e alunos com 300 exercícios resolvidos*

Sumário Capítulo 1 – Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1 Definição de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Relação de pertinência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Descrição ou representação de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.4 Conjunto unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.5 Conjunto vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.6 Diagrama de Euler-Venn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.7 Subconjuntos – relação de inclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.7.1 Observações importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.7.2 Conjunto das partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.8 Operações com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.8.1 União (reunião) de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.8.2 Interseção de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.8.3 Conjunto diferença. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.8.4 Conjunto universo ou universo (U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.8.5 Conjunto complementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.8.6 Diferença simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.8.7 Conjunto complementar em relação a U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.8.8 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.9 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.10 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.11 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Capítulo 2 – Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Tipos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Números naturais (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 2.1.2 Números inteiros () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 2.1.3 Números fracionários ou racionais () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.1.4 Números irracionais (decimais infinitos) ( = ’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.1.5 Números reais () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.1.6 Números complexos (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2.2 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Operações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2.2.2 Propriedades estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 2.2.3 Outras operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

VII VII

Pré-cálculo

2.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 Intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6.1 Números reais e a reta numerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 2.6.2 Ordenação dos reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 2.6.3 Definições. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 2.6.4 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 2.6.5 Intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.6.6 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.6.6.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.6.6.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 2.6.7 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2.6.8 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

2.7 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Capítulo 3 – Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6 Valor absoluto ou módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 3.6.2 Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 3.6.3 Raiz quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 3.6.4 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 3.6.5 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

3.7 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.8 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.8.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 3.8.2 Valor numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 3.8.3 Polinômio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3.8.4 Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3.8.5 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 3.8.6 Operações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 3.8.6.1 Adição de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 3.8.6.2 Diferença de polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 3.8.6.3 Multiplicação por um número real (ou escalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

VIII

Sumário

3.8.6.4 Multiplicação de polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3.8.6.5 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3.8.7 Produtos notáveis e fatoração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 3.8.7.1 Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 3.8.7.2 Completar quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 3.8.7.3 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.8.8 Equações polinomiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.8.8.1 Leis de cancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 3.8.8.2 Equação do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 3.8.8.3 Equação do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 3.8.9 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.8.10 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

3.9 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Capítulo 4 – Relações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1 Par ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Sistema cartesiano ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3 Produto cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4 Simetria de pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.5 Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6 Relação binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.7 Domínio e imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.8 Relação inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.9 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.10 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.11 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.12 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.12.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 4.12.2 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 4.12.3 Domínio e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 4.12.4 Funções iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 4.12.5 Gráfico de uma função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 4.12.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 4.12.7 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

4.13 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Capítulo 5 – Funções do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

IX IX

Pré-cálculo

5.2 Função constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.4 Função identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.5 Função linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.7 Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.8 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.9 Coeficientes e zero da função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.11 Funções crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.12 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.13 Sinais de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.14 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.15 Equação de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.16 Retas paralelas e perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.17 Interseção entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.18 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.19 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.20 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Capítulo 6 – Relações quadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.2 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.3 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.5 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.5.1 Hipérbole eqüilátera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

6.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.7 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.8 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Capítulo 7 – Inequações do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.1 Conceitos iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.2 Resolução de uma inequação do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Sumário

7.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.5 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.6 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.6.1 Função definida por várias sentenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232 7.6.2 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233 7.6.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234 7.6.4 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245

7.7 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Capítulo 8 – Outras funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.1 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.2 Função f(x) = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 1 8.3 Função f ( x ) = x ou função recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 8.4 Função máximo inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 8.5 Função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 8.6 Funções injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 8.7 Função inversa e função simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 8.8 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 8.9 Função logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 8.11 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 8.12 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Capítulo 9 – Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.2 Arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.3 Ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 9.4 Funções periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 9.5 Funções trigonométricas ou circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 9.6 Função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 9.7 Função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 9.8 Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 9.9 Função cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 9.10 Função secante e função cossecante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.11 Relações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

XI XI

Pré-cálculo

9.12 Propriedades trigonométricas em triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 9.13 Funções trigonométricas simétricas (funções arco) . . . . . . . . . . . . . 349 9.14 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.15 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 9.16 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Capítulo 10 – Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 10.1 Conceitos econômicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 10.2 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 10.3 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 10.4 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

Capítulo 11 – Álgebra matricial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 11.1 Definições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 11.2 Matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 11.3 Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 11.4 Adição de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 11.5 Multiplicação de um escalar por uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 11.6 Matriz transposta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 11.7 Produto de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 11.8 Inversa de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 11.9 Determinante de uma matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

11.9.1 Determinante de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419 11.9.2 Determinante de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419 11.9.3 Determinante de 3a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .420

11.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 11.11 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 11.12 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Capítulo 12 – Sistemas lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 12.2 Matrizes de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 12.3 Solução de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 12.4 Determinante do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 12.5 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 12.6 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

XII

Sumário

12.7 Escalonamento de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 12.8 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 12.9 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 12.10 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

Capítulo 13 – Binômio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 13.1 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 13.2 Coeficientes binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 13.3 Triângulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 13.4 Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 13.5 Termo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 13.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 13.7 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 13.8 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

Capítulo 14 – Análise combinatória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 14.2 Princípio fundamental da contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 14.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 14.4 Agrupamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 14.5 Arranjo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 14.6 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 14.7 Arranjo com repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 14.8 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 14.9 Permutação simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 14.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 14.11 Combinação simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 14.12 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 14.13 Permutação com elementos repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 14.14 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 14.15 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 14.16 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

Capítulo 15 – Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 15.2 Representação algébrica (forma de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

XIII XIII

Pré-cálculo

15.3 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 15.4 Igualdade de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 15.5 Adição e subtração de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 15.6 Multiplicação de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 15.7 O conjugado de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 15.8 O quociente entre números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 15.9 As potências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 15.10 Raiz quadrada de números negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 15.11 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 15.12 Representação algébrica (forma de Hamilton) . . . . . . . . . . . . . . . . 515 15.13 Módulo de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 15.14 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 15.15 Inverso de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 15.16 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 15.17 Representação geométrica – plano complexo ou plano de Argand-Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 15.18 Forma trigonométrica ou polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 15.19 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 15.20 Produto e potenciação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 15.21 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 15.22 Equações binômias e trinômias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 15.23 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 15.24 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 15.25 Respostas dos exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

XIV

capítulo

Conjunto Este capítulo tem por objetivo habilitar o aluno para lidar com os con juntos numéricos e suas operações, principalmente pela sua importân cia para o processo de contagem. Além disso, uma grande parte da matemática é desenvolvida a partir de conjuntos.

1.1 Definição de conjuntos Trata-se de uma noção primitiva, sem definição própria, podendo o conjunto ser considerado qualquer coleção de objetos ou entidades. Os objetos que compõem a coleção são os elementos do conjunto. Designamos, normalmente, por letras maiúsculas os conjuntos e por letras minúsculas seus elementos.

1.2 Relação de pertinência Relaciona elemento com conjunto. Para indicarmos que um objeto x é (lê-se: x pertence a A). Se o elemento do conjunto A, escrevemos objeto x não for elemento do conjunto A, escrevemos x ∉ A (lê-se: x não pertence a A).

1.3 Descrição ou representação de um conjunto Para a descrição de um conjunto, são utilizados dois recursos principais:

1o Enumeração: Quando escrevemos entre chaves, e separados por vírgulas, os seus elementos formadores do conjunto.

Pré-cálculo

Exemplos: a) A = {a,b,c} b) B = {1,2,3,4,5} c) C = {2,3,5,7,11,...}

2o Compreensão: Quando escrevemos, entre chaves, uma característica comum a todos os elementos formadores do conjunto.

Exemplos: a) A = {x | x é divisor inteiro de 7} = {–7,–1,1,7} b) B = {x | x é vogal} = {a,e,i,o,u}

1.4 Conjunto unitário É o conjunto que possui apenas um elemento.

Exemplos: a) A = {x | x é par compreendido entre 9 e 11} = {10} b) B = {x | x é satélite natural da Terra} = {Lua}

1.5 Conjunto vazio É o que não possui elementos e denota-se por

{ } ou Æ.

Exemplos: a) A = {x | x2 = 9 e x é par} = Æ b) B = {x | x é ímpar e múltiplo de 2} = Æ

1.6 Diagrama de Euler-Venn Uma boa maneira de se visualizar as relações entre conjuntos é por meio dos diagramas de Euler-Venn. Os conjuntos são representados por regiões planas interiores a uma curva fechada e simples.

Conjunto

Exemplo: A = {1, 2, 3, 4}

1 3

2 4

1.7 Subconjuntos – relação de inclusão Se todo elemento de um conjunto A também for um elemento de um conjunto B, então podemos dizer que A é um subconjunto de B. Para indicarmos que A é subconjunto de B, escreveremos: • A ⊂ B (lê-se: A está contido em B); • B ⊃ A (lê-se: B contém A); • A é parte de B. Se o conjunto A não for subconjunto de B, escreveremos A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B).

1.7.1 Observações importantes • Todo conjunto é subconjunto dele mesmo ( A ⊂ A) . • Æ é subconjunto de qualquer conjunto

• O total de subconjuntos que podemos formar a partir de um conjunto A, constituído por n elementos, é dado por 2n, e denota-se por # A (# A = 2n). •

A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B .

• A é subconjunto próprio de B se, e somente se, A ⊂ B e A ≠ B .

1.7.2 Conjunto das partes Consideremos um conjunto A. Denominamos conjunto das partes (P(A)) o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.

Pré-cálculo

Exemplo: Seja A = {1, 2, 3} . Então: . Observe que, por exemplo, {1,2} ⊂ A , mas

1.8 Operações com conjuntos 1.8.1 União (reunião) de conjuntos O conjunto P é a união dos conjuntos A e B, se todos os elementos de A e B, e apenas estes, estiverem presentes em P. P= A= ∪B A

}

x ∈ A ou x ∈ B

A B

A∪B

Exemplos: a) Se A = {1,2,3,4} e B = {2, 4, 6} , então A ∪ B = {1,2,3,4,6} . b) Se A = {1,2,3,4} e B = {1, 4} , então A ∪ B = {1,2,3,4} = A . c) Se A = {1,2,3} e B = {4, 5, 6} , então

1.8.2 Interseção de conjuntos P é o conjunto interseção de A e B, se ele for composto por todos os elementos comuns a A e B, ao mesmo tempo. P= A= ∩B A

}

x ∈ A e x ∈B

A B

A∩B

Conjunto

Exemplos: a) Se A = {1,2,3,4} e B = {2, 4, 6}, então A ∩ B = {2,4}. b) Se A = {1,2,3,4} e B = {1, 4} , então A ∩ B = {1,4} = B . c) Se A = {1,2,3} e B = {4, 5, 6}, então

. Nesse caso, A e B são cha-

mados conjuntos disjuntos.

1.8.3 Conjunto diferença P é o conjunto diferença de A e B, se for composto pelos elementos de A que não são elementos de B.

P= A = −B

}

x ∈ A e x ∉B

A B

A–B

Exemplo: Se A = {1,2,3,4} e B = {2,4,6} , então A − B = {1,3} e B − A = {6} .

1.8.4 Conjunto universo ou universo (U) É um conjunto especificado que contém todos os elementos de interesse para um determinado problema.

1.8.5 Conjunto complementar • Se •

, então o complementar de B em relação a A é o conjunto , denotado por CBA= A − B .

A C= A' = A= U − A . U

Exemplo:

Se A = {1,2,4} e

, então CBA = {0, 6, 9} .

Pré-cálculo

1.8.6 Diferença simétrica Dados dois conjuntos A e B, chamamos diferença simétrica entre A e B o conjunto denotado por A∆B e definido por A∆B = ( A − B) ∪ ( B − A) .

Exemplo:

Se A = {1,2,4,7} e B = {1,3,6,7,10 }, então A∆B = {2, 4} ∪ {3, 6, 10} = {2, 3, 4, 6, 10} .

1.8.7 Conjunto complementar em relação a U U

U A

B B

U A

, (A ∪ B)

1.8.8 Algumas propriedades União 1

A∪A = A

União 2 União 3

A ∪ B =∪ B A

União 4

A∪U = U

Interseção 1

A∩A = A

Interseção 2 Interseção 3

A ∩ B =∩ B A

Interseção 4

A∩U = A

Diferença 1 Diferença 2 Diferença 3

A − B ≠ B − A , em geral

Diferença 4

U−A= A'

, (A ∩ B)

Complementar 1

Conjunto

( A') ' = A

Complementar 2 Complementar 3 Complementar 4

( A ∪ B)=' A' ∩ B'

Complementar 5

( A ∩ B)=' A' ∪ B'

1.9 Exercícios resolvidos 1) Dados os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {2,4,5} , pede-se para escrever simbolicamente as sentenças a seguir, classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F): a) 2 é elemento de A. b) 4 pertence a B. c) B é parte de A. d) 1 não é elemento de B. e) A é igual a B.

Solução: a) 2 ∈ A. É verdadeira. b) 4 ∈ B . É verdadeira. c) B ⊂ A. É falsa, pois 5 ∈ B , mas 5 ∉ A . d) 1 ∉B . É verdadeira. e) A = B. É falsa (pode-se usar o mesmo elemento 5 para verificar a falsidade). 2) Classifique em verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças a seguir: a) {1} ∈{1}

b) {1} ⊂ {1}

f) {1} ⊂ {{1} , {2}}

c) 1 ∈{1}

g) {1} ⊂ {1, {1}}

d) {1} ∈{{1} , {2}}

{{1}} ⊂ {1,2, {1}}

Pré-cálculo

Solução: a) b) c) d)

F V V V

e) f) g) h)

V F V F

i) j) k) l)

V V V V

3) Sendo A = {a,b,c,d} , determine P(A).

Solução: Como A tem quatro elementos, P(A) tem 2 = 16 elementos. 4

Daí,

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} , { b,c,d} , {a,b,c,d}} . 4) Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e C = {0, 5, 10, 15, 20}, determine: a) A ∩ B

h) A ∪ B ∪ C

b) A ∪ B

i) A ∩ ( B ∪ C)

c) A ∩ C

j) ( A ∩ B) ∪ (B − A)

d) C − A

k) ( A − B) ∩ ( C − A)

e) B ∪ C

l) ( A ∩ B) ∩ (B ∪ C)

f) B − C

m) ( A − B) ∩ ( B ∪ C)

g) A ∩ B ∩ C

n) ( B − C) ∪ ( A − C) ∪ ( B − A)

Solução: a) A ∩ B = {6,12} b) c) A ∩ C = {10}

d) C − A = {0,5,15,20} {0,3,5,6,9, 10,12,15,20} e) B ∪ C = f) B − C = {3,6,9,12} g)

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Pré-Cálculo Muitos estudantes ingressam na universidade sem uma base sólida de conhecimentos matemáticos que lhes possibilite acompanhar um curso de pré-cálculo. Para tornar a aprendizagem desse conteúdo uma tarefa menos árdua, especialmente para esses alunos, este livro foi desenvolvido com uma estrutura didática que lhe permite uma abordagem bastante descomplicada. Nele são estudados assuntos como conjunto, potenciação, relações, funções do 1º grau, relações quadráticas, inequações do 2º grau, trigonometria, álgebra matricial e sistemas lineares. Além destes, esta segunda edição de Pré-Cálculo revisada e atualizada, elaborada a fim de incorporar os recentes estudos e inovações da área, conta também com dois novos capítulos sobre análise combinatória e números complexos, com vários exercícios e exemplos novos. Os inúmeros exemplos e exercícios apresentados ao longo dos capítulos, acompanhados de respostas e soluções, facilitam a checagem do aprendizado pelo aluno. Aplicações Livro-texto para as disciplinas de introdução para o curso de Cálculo, bem como de Pré-cálculo. Recomendado para universitários que queiram reforçar seus conhecimentos a fim de melhorar seu desempenho na área e também àqueles que freqüentam cursos preparatórios para o ingresso em universidades.

* Acesse o site www.cengage.com e, na página do livro, obtenha material de apoio ao professor, com 75 exercícios resolvidos, e ao aluno, com 225 exercícios resolvidos, uma importante ferramenta no dia-a-dia do aprendizado. O material de apoio é uma cortesia ao professor que adota a obra e a indica na ementa do curso.

ISBN 13 978-85-221-0735-3 ISBN 10 85-221-0735-1

9 788522 107353