Cálculo Numérico - Aprendizagem com apoio de software by Cengage Brasil

Selma Helena de Vasconcelos Arenales

Artur Darezzo Filho

Aprendizagem com apoio de software

Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes de ciências exatas um material didático, simples e de fácil entendimento dos tópicos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições de ensino superior. Os métodos numéricos são desenvolvidos para resolução de sistemas lineares e não-lineares, equações, interpolação polinomial, ajuste de funções, integração numérica e equações diferenciais ordinárias, acompanhados de exemplos resolvidos em detalhes. Exercícios são propostos no final de cada capítulo com diversos graus de dificuldade para fixação do conteúdo. O livro é acompanhado de um CD com o Software Numérico, desenvolvido pelos autores, que serve de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico, no qual conceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórios computacionais. Aplicações Livro-texto para as disciplinas de cálculo numérico nos cursos de graduação das áreas de ciências exatas e tecnológicas.

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Selma Arenales Artur Darezzo

Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Rio Claro – SP (1971), mestre em Ciências da Computação e Estatística – opção computação – pela Universidade de São Paulo – USP, São Carlos (1978), doutor em Engenharia Civil pela Universidade de São Paulo – USP, São Carlos (1996). Desde 1972 é professor vinculado ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos, onde exerceu as funções de docente, pesquisador na área de Modelagem Matemática e Métodos Numéricos e coordenador do curso de Matemática. A partir do ano de 2001, como professor aposentado, passou a ser professor convidado voluntário no mesmo Departamento de Matemática até a presente data. Foi também professor e coordenador do curso de Matemática Aplicada e Computacional do Centro Universitário Central Paulista – Unicep – São Carlos (SP). Atualmente exerce as funções de Diretor Acadêmico da Escola Superior de Tecnologia e Educação de Rio Claro, Rio Claro – SP.

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Aprendizagem com apoio de software

Professora do Departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos-UFSCar. Graduada em Matemática pela Universidade Estadual Júlio Mesquita Filho (Unesp) e mestre em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Possui experiência na área de Matemática, com ênfase em matemática aplicada, atuando em projetos de pesquisa e orientação de alunos nas áreas de Otimização e Análise Numérica, com enfoques na modelagem de problemas e métodos numéricos de resolução. Tem publicado trabalhos em congressos em ensino de Matemática, principalmente no ensino de Cálculo Numérico com ferramentas computacionais.

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Sobre os autores

Outras Obras Álgebra Linear David Poole Análise Numérica

Selma Arenales Artur Darezzo

Richard L. Burden e J. Douglas Faires Cálculo – Volumes I e II – 5ª edição James Stewart Pré-Cálculo Valéria Zuma Medeiros (Coord.)

Cálculo Numérico Aprendizagem com apoio de software

Vetores e Matrizes: Uma introdução à álgebra linear – 4ª edição revista e ampliada Nathan Moreira dos Santos, Doherty Andrade e Nelson Martins Garcia

Cálculo Numérico Aprendizagem com Apoio de Software

Dados Internacionais de CatalogaĂ§ĂŁo na PublicaĂ§ĂŁo (CIP) (CĂ˘mara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Arenales, Selma CĂĄlculo numĂŠrico : aprendizagem com apoio de software / Selma Arenales, Artur Darezzo. -SĂŁo Paulo: Cengage Learning, 2010. 1ÂŞ reimpr. da 1ÂŞ ed. de 2008. Bibliografia. ISBN 1. CĂĄlculo numĂŠrico 2. CĂĄlculo numĂŠrico â&#x20AC;&#x201C; Problemas, exercĂcios etc. I. Darezzo, Artur. II. TĂtulo.

07-6796

CDD-515.07

Ă?ndices para catĂĄlogo sistemĂĄtico:

1. CĂĄlculo numĂŠrico : Estudo e ensino 515.4092

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Aprendizagem com Apoio de Software

Selma Arenales Artur Darezzo

Austrália • Brasil • Japão • Coréia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

CĂĄlculo NumĂŠrico: Aprendizagem com apoio de software

ÂŠ 2008 Cengage Learning EdiĂ§Ăľes Ltda. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poderĂĄ ser reproduzida, sejam quais forem os meios empregados, sem a permissĂŁo, por escrito, da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanĂ§Ăľes previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

Selma Arenales Artur Darezzo

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Capa: Eduardo Bertolini

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Impresso no Brasil. Printed in Brazil. 1 2 3 4 5 6 7 11 10 09 08

Ao Marcos Arenales, meu esposo, aos meus pais Maria e Sebastião Vasconcelos e à minha família de amigos.

Com carinho para minha esposa Regina, companheira de todas as jornadas e aos meus filhos Helga, Fabiana e João Paulo.

Sumário Prefácio IX Agradecimentos X

Capítulo 1 Erros em processos numéricos 1 1.1 Introdução 1 1.2 Erros na fase da modelagem 2 1.3 Erros na fase de resolução 2 1.4 Erros de representação 5 1.5 Erro de arredondamento 10 1.6 Erro absoluto 10 1.7 Erro relativo 11 1.8 Erro de truncamento 12 1.9 Propagação dos erros 14 Exercícios 16

Capítulo 2 Solução numérica de sistemas de equações lineares e matrizes inversas 19 2.1 Introdução 19 2.2 Sistemas de equações lineares 19 2.3 Métodos diretos 21 2.4 Matrizes inversas 46 2.5 Condicionamento de sistemas lineares 49 2.6 Métodos iterativos 49 2.7 Trabalhando com o Software Numérico 65 Exercícios 68

Capítulo 3 Solução numérica de equações 73 3.1 Introdução 73 3.2 Localização das raízes: métodos gráficos 74 3.3 Métodos numéricos para resolução de equações 76 3.4 Equações polinomiais 96 3.5 Sistemas de equações não lineares 106 3.6 Trabalhando com o Software Numérico 121 Exercícios 124

vii

viii

Cálculo Numérico

Capítulo 4 Aproximação de funções 127 4.1 Introdução 127 4.2 Interpolação polinomial 127 4.3 Fórmula interpolatória de Lagrange 132 4.4 Interpolação linear 138 4.5 Fórmula interpolatória de Newton 141 4.6 Interpolação inversa 148 4.7 Fórmula interpolatória de Newton-Gregory 153 4.8 Aproximação de funções – o método dos mínimos quadrados 157 4.9 Trabalhando com o Software Numérico 182 Exercícios 185

Capítulo 5 Integração numérica 189 5.1 Introdução 189 5.2 Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes 191 5.3 Erro cometido na integração numérica 192 5.4 Regra dos trapézios 193 5.5 Regra 1/3 de Simpson 200 5.6 Regra 3/8 de Simpson 208 5.7 Fórmula de quadratura de Gauss 216 5.8 Integração dupla 223 5.9 Trabalhando com o Software Numérico 227 Exercícios 229

Capítulo 6 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias 233 6.1 Introdução 233 6.2 Problema de valor inicial (PVI) 236 6.3 Discretização 241 6.4 Métodos baseados em série de Taylor 242 6.5 Métodos de Runge-Kutta 251 6.6 Métodos previsor-corretor 269 6.7 Trabalhando com o Software Numérico 278 Exercícios 282

Capítulo 7 Manual do Software Numérico 285 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Introdução 286 Objetivos 286 Software Numérico – Módulos desenvolvidos 286 Abertura do Software Numérico 287 Descrição dos módulos do Software Numérico 288

Referências bibliográficas 361 Índice remissivo 363

Prefácio

Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes de ciências exatas um material didático simples e de fácil entendimento dos tópi cos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições de ensino superior. Originado a partir de uma apostila, Notas de Cálculo Numérico, escrita pe los autores e pelos professores que ministravam a disciplina de Cálculo Nu mérico e publicada pelo Departamento de Matemática, conforme Darezzo, A. F.; Arenales, S. H. V. et al. (1992), esta obra reflete a experiência de muitos anos dos autores, no ensino da disciplina Cálculo Numérico para diferentes cursos do Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia da Universidade Federal de São Carlos – UFSCar. O livro é composto de sete capítulos contendo os principais tópicos abor dados numa disciplina básica de Cálculo Numérico nas universidades, apre sentando os métodos numéricos com desenvolvimento teórico e os respectivos algoritmos descritos de forma simples, com exemplos e listas de exercícios para fixação do conteúdo. Alguns resultados do Cálculo Diferencial Integral, da Álgebra Linear e da Geometria Analítica foram utilizados no decorrer dos capítulos, considerando que os alunos tenham estes conhecimentos. Juntamente com este livro desenvolvemos o Software Numérico de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico, no qual con ceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórios computacionais. O Software Numérico relaciona cinco módulos: Sistemas Lineares, Raízes de Funções, Interpolação e Aproximação de Funções, Integração Numérica e Equações Diferenciais Ordinárias. Este software foi desenvolvido inicialmente durante o Projeto de Rees truturação do Ensino de Engenharia – Projeto Reenge (1996), em seguida foi aperfeiçoado e tem sido utilizado como ferramenta metodológica, em aulas ix

Cálculo Numérico

de exercícios, para todas as turmas de Cálculo Numérico no Laboratório de Ensino do Departamento de Matemática da UFSCar. Acreditamos, também, que este material possa ser aplicado em cursos na modalidade Ensino a Distância, o qual o professor, com listas de exercícios bem elaboradas, reforça e melhora a aprendizagem desses assuntos, com a aplicação do Software Numérico, que contém um Arquivo de Correção, o qual armazena todas as etapas de execução dos exercícios feitos pelos alunos. Posteriormente, o professor pode acessá-lo, analisá-lo e realizar comentários sobre tentativas, erros e acertos dos alunos estabelecendo uma interação professor/aluno a distância, que pode ser encontrado para download no site da Editora Thomson (www.thomsonlearning.com.br). O Manual do Software Numérico, no qual o usuário possui, de forma simples e clara, um resumo sobre os métodos numéricos desenvolvidos nos capítulos anteriores deste livro com exemplos ilustrativos, além de informações sobre o uso, sintaxe, entrada de dados e todos os esclarecimentos à disposição no Help On Line pode ser encontrado no CD que acompanha este livro. O usuário pode instalar o software de maneira simples utilizando a senha 6028. Este software também foi usado, numa experiência de ensino na disciplina de Cálculo Numérico, integrado com o uso de Mapas Conceituais. Com esta metodologia de ensino/aprendizagem foi possível observar efeitos, influências, benefícios e dificuldades, tanto nas atividades em sala de aula como em aulas de laboratório, conforme publicação Salvador, J. A.; Arenales, S. H. V. et al. (2003).

Agradecimentos Aos estudantes da UFSCar e do Centro Universitário Central Paulista – Unicep, pelo retorno positivo nas versões preliminares que nos incentivou a publicar este livro. Aos colegas do Departamento de Matemática da UFSCar que de alguma forma acompanharam este trabalho e acreditaram no seu desenvolvimento, através do incentivo diário e de sugestões para que os objetivos propostos fossem alcançados. Em especial, ao Professor Dr. Marcos Nereu Arenales, docente do Departamento de Matemática Aplicada e Estatística – ICMC-USP-São Carlos, pela leitura e pelas sugestões pertinentes nos diversos capítulos deste livro. Selma Arenales Artur Darezzo

Capítulo 1

Erros em Processos Numéricos

1.1 Introdução De uma maneira geral, a resolução de um problema de qualquer área do conhecimento científico passa inicialmente por uma fase de observação e entendimento do fenômeno físico envolvido na qual, usando conhecimentos já estabelecidos, buscamos, através de simplificações, quando necessárias, a construção de um modelo matemático que represente, com a maior fidelidade possível, o problema que desejamos tratar. Esta etapa é caracterizada como fase da modelagem do modelo matemático. Com o problema representado através de um modelo matemático, buscamos, para a sua resolução, um método exato quando possível, ou, quando não, um método numérico aproximado. Mesmo quando utilizamos na resolução do modelo matemático um método exato, isto é, um método que apresenta a solução exata para o modelo, pelo fato de este envolver um número muito grande de operações elementares (adição, multiplicação, subtração e divisão) e, sendo estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar dados, podemos cometer erros. Por outro lado, quando optamos, em razão da complexidade do modelo matemático, pela resolução através de um método numérico, além dos erros no processamento anteriormente mencionados, podemos também cometer erros provenientes do fato de utilizarmos, para a resolução do modelo matemático, um algoritmo aproximado. Esta etapa é caracterizada como fase de resolução do modelo matemático. Podemos entender as duas fases descritas anteriormente através do esquema representado na Figura 1.1. Neste capítulo apresentamos os principais erros que podem ocorrer na fase da resolução de um problema. Os erros cometidos devido à mudança 1

Cálculo Numérico

Figura 1.1

da base de processamento, os erros de representação, devido ao sistema utilizado pelos computadores para armazenar dados numéricos; os erros de arredondamento e truncamento; e erros absolutos e relativos.

1.2 Erros na fase da modelagem São os erros decorrentes de simplificações, muitas vezes necessárias, para que o fenômeno da natureza que estivermos observando possa ser representado por um modelo matemático e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis.

1.3 Erros na fase de resolução São erros provenientes da utilização de algum equipamento, como, por exemplo, um computador, para processarmos os cálculos necessários à obtenção de uma solução para o modelo matemático. Tais erros ocorrem devido ao fato de os equipamentos terem capacidade limitada para armazenar os dígitos significativos de valores numéricos utilizados nas operações elementares de adição, multiplicação, subtração e divisão. Os erros nesta fase de resolução podem ser classificados em erros na mudança de base e erros de representação, apresentados a seguir:

Erros na mudança da base A maioria dos equipamentos computacionais representa os valores numéricos no sistema binário. Assim, quando os dados numéricos presentes nos modelos matemáticos são lidos, estes são transformados em uma outra base de representação.

Erros em Processos Numéricos

Acontece, muitas vezes, que esta transformação pode ser acometida de erros, em razão da limitação da representação do equipamento computacional que estamos utilizando para o processamento dos dados numéricos. Dado um número real, N, é sempre possível representá-lo em qualquer base b, da seguinte forma: Nb =

∑ a ×b i

i=n

onde ai ∈ {0 , 1, 2, 3 ,...,( b − 1)}, com n e m inteiros.

Base binária N2 =

∑ a ×2 , a ∈{0,1} i

i=n

Exemplo 1.1 a) (1011)2 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 Neste caso, o binário só tem a parte inteira, isto é, i = 0, 1, 2, 3, e temos: a0 = 1, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1 b) (111.01)2 = 1 × 2−2 + 0 × 2−1 + 1 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22 Neste caso, o binário tem parte inteira e parte fracionária, isto é, n = –2 e m = 2, e portanto: a −2 = 1, a −1 = 0, a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1

Base decimal N10 =

∑ a ×10 , a ∈{0, 1, ..., 9}, com n e m inteiros. i

i=n

Exemplo 1.2 a) ( 231)10 = 1 × 100 + 3 × 101 + 2 × 102 Neste caso, o número na base decimal é inteiro, i = 0, 1, 2 e temos: a0 = 1, a1 = 3, a2 = 2 b) (231.35)10 = 5 × 10−2 + 3 × 10−1 + 1 × 100 + 3 × 101 + 2 × 102 Neste caso, o número na base decimal tem parte inteira e parte fracionária, n = –2 e m = 2, e temos: a −2 = 5, a −1 = 3, a0 = 1, a1 = 3, a2 = 2 Assim, dado um número real qualquer numa base b, podemos escrevê-lo em uma outra base b’, a partir de adequação conveniente de seus coeficientes ai = 0, 1, 2, 3, ..., (b – 1) e de uma potência adequada na nova base b’.

Cálculo Numérico

Mudança da base binária para a base decimal Procedimento: multiplicar o dígito binário por uma potência adequada de 2. Exemplo 1.3 a) (1101)2 = 1 × 20 + 0 × 21 + 1 × 22 + 1 × 23 = (13 )10 b) (111.011)2 = 1 × 2−3 + 1 × 2−2 + 0 × 2−1 + 1 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22 = (7.375)10

Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte inteira) Procedimento: divisões sucessivas. O procedimento consiste na divisão do número na base decimal sucessivamente por 2, armazenando, a cada passo, o algarismo do resto (r), até que o quociente da divisão seja igual a 1. O binário é constituído pelo quociente 1 e pelos coeficientes do resto da divisão, a partir do resto mais significativo (rn – 1) para o menos significativo (r1). Desta forma, temos: N10 = (1 rn – 1 rn – 2 rn – 3 ... r3 r2 r1)2 Exemplo 1.4 a) ( 25)10 = (11001)2 = 1 × 20 + 0 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 + 1 × 24 , isto é: 25 ÷ 2 = 12 e resto = 1, 12 ÷ 2 = 6 e resto = 0, 6 ÷ 2 = 3 e resto = 0 3 ÷ 2 = 1 e resto = 1. b) (11)10 = (1011)2 = 1 × 20 + 1 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23

Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte fracionária) Procedimento: multiplicações sucessivas. O procedimento é constituído dos seguintes passos: a) Multiplicamos o número fracionário por 2. b) Do resultado do passo a), a parte inteira é o primeiro dígito binário. c) Do resultado do passo b), a parte fracionária é novamente multiplicada por 2. d) O processo continua até que a parte fracionária seja nula. Exemplo 1.5 a) ( 0.1875)10 = ( 0.0011)2 = 0 × 2−1 + 0 × 2−2 + 1 × 2−3 + 1 × 2−4 = ( 3 16)10 , isto é: (0.1875)(2) = 0.375 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.375 (0.375)(2) = 0.75 → parte inteira = 0 e parte fracionária = 0.75 (0.75)(2) = 1.5 → parte inteira = 1 e parte fracionária = 0.5 (0.5)(2) = 1.0 → parte inteira = 1 e parte fracionária = 0

Erros em Processos Numéricos

b) (13.25)10 = (13)10 + (0.25)10 = (1101)2 + (0.01)2 = (1101.01)2 c) ( 0.2)10 = ( 0.001100110011...)2 Observe que (0.2)10 é uma dízima periódica de período (0.0011). Assim, o decimal (0.2)10 não tem uma representação binária exata, isto é, a representação é aproximada e, portanto, apresenta erro.

1.4 Erros de representação Na construção de um equipamento computacional, uma questão importante a ser considerada em sua arquitetura é a forma que será adotada para representar os dados numéricos. Basicamente, na memória de um equipamento, cada número é armazenado em uma posição que consiste de um sinal que identifica se o número é positivo ou negativo e um número fixo e limitado de dígitos significativos. De maneira geral, destacamos o seguinte sistema de armazenamento de valores numéricos:

Sistema de ponto flutuante normalizado Um número no sistema de ponto flutuante é caracterizado por uma base b, um número de dígitos significativos n e um expoente exp. Dizemos que um número real nr está representado no sistema de ponto flutuante se for possível escrevê-lo da seguinte maneira: nr = m × bexp onde m é a mantissa do número, b ≥ 2 é a base e exp é o expoente da base. Neste sistema de ponto flutuante, as seguintes condições devem ser verificadas: m = ± 0. d1 d2 ... dnMn ∈ N sendo n o número máximo de dígitos na mantissa, d1, d2, ..., dn, dígitos significativos da mantissa, do sistema de representação, com o primeiro dígito satisfazendo a condição 1 ≤ d1 ≤ (b − 1) e os demais dígitos satisfazendo 0 ≤ di ≤ (b − 1) ; i = 2, 3, ..., n. O expoente exp varia da seguinte maneira: expm í n ≤ exp ≤ expm áx sendo expm í n ≤ 0 e expm áx ≥ 1 com expmín e expmáx inteiros. A união de todos os números em ponto flutuante, juntamente com a representação do zero, constitui o sistema de ponto flutuante normalizado, que indicamos por SPF (b, n, expmín, expmáx).

Cálculo Numérico

Neste sistema, o zero é representado da seguinte maneira:

冦

zero :0.0000.......0 bexpmín n vezes

Considerando o sistema de ponto flutuante normalizado dado na forma genérica por SPF (b, n, expmín, expmáx), temos: a) O menor positivo exatamente representável, não nulo, é o real formado pela menor mantissa multiplicada pela base elevada ao menor expoente, isto é:

冦

menor = (0.1000.......0) bexpmín (n–1) vezes

b) O maior positivo exatamente representável é o real formado pela maior mantissa multiplicada pela base elevada ao maior expoente, isto é:

冦

maior = (0 . [b ⫺ 1][b ⫺ 1] ... [b ⫺ 1]) bexpmáx n vezes

c) O número máximo de mantissas positivas possíveis é dado por:

mantissas + = ( b − 1 ) b n − 1 d) O número máximo de expoentes possíveis é dado por: exppossíveis = expm áx − expm í n + 1 e) O número de elementos positivos representáveis é dado pelo produto entre o número máximo de mantissas pelo máximo de expoentes, isto é: NR + = mantissas+ × exppossíveis Se considerarmos que dado um número real nr ∈ SPF temos que − nr ∈ SPF e a representação do zero, podemos concluir que o número total de elementos exatamente representáveis NRt é dado por: NR t = 2 × NR + + 1 Exemplo 1.6 Considere o sistema de ponto flutuante SPF (b, n, expmín, expmáx) = SPF (3, 2, –1, 2), isto é, de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoente 2. Para este sistema temos: a) O menor exatamente representável: 0.10 × 3− 1 = (1 × 3− 1 + 0 × 3− 2 ) × 3 − 1 =

1 9

Erros em Processos Numéricos

b) O maior exatamente representável: 0.22 × 32 = (2 × 3− 1 + 2 × 3− 2 ) × 32 = 8 c) A quantidade de reais positivos exatamente representáveis: Temos que a quantidade de reais positivos exatamente representáveis é dada pelo produto entre todas as mantissas possíveis de dois dígitos, formadas com os dígitos da base 3, isto é, 0.10, 0.11, 0.12, 0.20, 0.21, 0.22, e todas as possibilidades de expoentes, que no caso são –1, 0, 1, 2. Desta forma, os 24 positivos exatamente representáveis estão listados a seguir: exp = − 1: 0.10 × 3−1 = 1/9

exp = − 1: 0.11 × 3−1 = 4/27

exp = 0 : 0.10 × 30 = 1/3

exp = 0 : 0.11 × 30 = 4/9

exp = 1: 0.10 × 31 = 1

exp = 1: 0.11 × 31 = 4/3

exp = 2: 0.10 × 32 = 3

exp = 2: 0.11 × 32 = 4

exp = − 1: 0.12 × 3−1 = 5/27

exp = − 1: 0.20 × 3−1 = 2/9

exp = 0 : 0.12 × 30 = 5/9

exp = 0 : 0.20 × 30 = 2/3

exp = 1: 0.12 × 31 = 5/3

exp = 1: 0.20 × 31 = 2

exp = 2: 0.12 × 32 = 5

exp =

exp = − 1: 0.21 × 3−1 = 7/27

exp = − 1: 0.22 × 3−1 = 8/27

exp = 0 : 0.21 × 30 = 7/9

exp = 0 : 0.22 × 30 = 8/9

exp = 1: 0.21 × 31 = 7/3

exp = 1: 0.22 × 31 = 8/3

exp = 2: 0.21 × 32 = 7

exp =

2: 0.20 × 32 = 6

2: 0.22 × 32 = 8

1 Observe que o menor real positivo representável é e o maior positivo 9 representável é o real 8. Por outro lado, sabemos que se um real x ∈ SPF então –x ∈SPF e, como no sistema de ponto flutuante normalizado o zero é uma representação, temos que os representáveis de SPF pertencem ao conjunto:

冦

冧

1 1 R = x; x ∈ ⎡ , 8⎤ ∪ ⎡− 8, − ⎤ ∪ {0} 9⎦⎥ ⎣⎢9 ⎦⎥ ⎢⎣

Cálculo Numérico

Todos os reais que não pertencem à união dos intervalos anteriores não são representáveis e qualquer tentativa de representação fora dos intervalos anteriores constitui-se em uma mensagem de erro, isto é, Erro de Underflow, se a tentativa de representação satisfizer:

Erro de Overflow, se a tentativa de representação satisfizer:

Se marcarmos os reais exatamente representáveis na reta real, verificaremos, num primeiro momento, uma maior concentração de representáveis nas proximidades do zero e uma menor concentração à medida que nos afastamos da origem e que, aparentemente, não existe uma uniformidade na sua distribuição. No entanto, é possível observar que os representáveis definidos através do produto de cada uma das mantissas multiplicada pela base elevada ao mesmo expoente são igualmente espaçados na representação sobre a reta. Assim, os reais 0.10 × 3− 1, 0.11 × 3− 1, 0.12 × 3− 1, 0.20 × 3− 1, 0.21 × 3− 1 , 0.22 × 3− 1 1 são igualmente espaçados por h3 = . 27 Os reais 0.10 × 30 , 0.11 × 30, 0.12 × 30 , 0.20 × 30 , 0.21 × 30 , 0.22 × 30 1 são igualmente espaçados por h2 = . 9 Enquanto os reais 0.10 × 31, 0.11 × 31, 0.12 × 31, 0.20 × 31, 0.21 × 31, 0.22 × 31 1 são espaçados por h1 = . 3 E os reais representados por 0.10 × 32 , 0.11 × 32 , 0.12 × 32 , 0.20 × 32 , 0.21 × 32 , 0.22 × 32 são igualmente espaçados por h0 = 1. De modo geral, podemos representar o espaçamento entre os representáveis exatamente da seguinte maneira: 1 hi = i ; i = 0, 1, 2, 3 3 Exemplo 1.7 Considere o sistema de ponto flutuante SPF (2, 3, –1, 2), isto é, de base 2, 3 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoente 2.

Erros em Processos Numéricos

Para este sistema temos 16 reais positivos exatamente representáveis além do zero. A representação na reta real de alguns dos reais positivos do sistema SPF (2, 3, –1, 2) pode ser visualizada através da Figura 1.2:

Figura 1.2

Observe que o menor positivo exatamente representável é 1/4 e o maior é 7/2. Exemplo 1.8 Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3, 2, –1, 2), de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoente 2. Para este sistema, temos que: x=

1 = ( 0.10 )3 × 3− 1 e y = 5 = ( 0.12)3 × 32 9

são exatamente representáveis, no entanto,(x + y ) = (0.00010)3 × 32 + (0.12)3 × × 32 = (0.1201)3 × 32 não é exatamente representável em SPF, uma vez que no sistema de ponto flutuante considerado a mantissa é de 2 dígitos. Observação Pode ocorrer de outras propriedades consagradas no conjunto dos números reais não serem verdadeiras, no sentido da exatidão da representação, no sistema de ponto flutuante normalizado, como as propriedades comutativa e associativa na adição, e as propriedades comutativa e distributiva na multiplicação. Exemplo 1.9 Dados x , y , z ∈ℜ e o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3, 2, –1, 2), temos: Se x =

5 7 8 = (0.21)3 × 3−1 e z = = (0.22)3 × 3 0 = (0.12)3 × 31 , y = 3 27 9

temos: x + (y + z) = 0.22 × 31 e (x + y) + z = 0.21 × 31

Cálculo Numérico

Podemos observar que: x +(y + z) ≠ (x + y) + z

1.5 Erro de arredondamento Quando estamos utilizando um equipamento computacional para processar uma determinada operação aritmética, se o número obtido não pertencer às regiões de Underflow ou de Overflow e este não é representável exatamente no sistema de ponto flutuante SPF o mesmo será representado de forma aproximada por nra. Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento do real nr, para que sua representação seja possível no SPF. Assim, dizemos que um número na base decimal nr foi arredondado na posição k se todos os dígitos de ordem maior que k forem descartados segundo o seguinte critério: a) O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o de ordem (k + 1) for maior que a metade da base. Caso contrário, o número nr é representado com os k dígitos iniciais. b) Se o dígito de ordem (k + 1) é exatamente a metade da base e o de ordem k é par, então o número nr é representado com k dígitos e, se o dígito de ordem k é ímpar, então o de ordem k é acrescido de uma unidade. c) O arredondamento por corte considera que, para obter um número com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição k. Exemplo 1.10 Consideremos um equipamento com o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (b, n, expmín, expmáx) = SPF (10, 4, –5, 5). a) Se a = 0.5324 × 103 e b = 0.4212 × 10− 2, então a × b = 0.22424688 × 101, que é arredondado e armazenado como (a x b)a = 0.2242 × 101. b) Se a = 0.5324 × 103 e b = 0.1237 × 102, então a + b = 0.54477 × 103, que é arredondado e armazenado como (a + b)a = 0.5448 × 103.

1.6 Erro absoluto Definimos erro absoluto como Eabs = aex − aaprox onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproximado da mesma grandeza.

Erros em Processos Numéricos

Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, a definição anterior fica sem sentido. Assim, é necessário trabalharmos com um limitante superior para o erro, isto é, escrevê-lo na forma: aex − aaprox ≤ ε onde ε é um limitante conhecido. A desigualdade anterior pode ser entendida da seguinte maneira: –ε ≤ 冢aex – aaprox冣 ≤ ε ou ainda aaprox − ε ≤ aex ≤ aaprox + ε isto é, aaprox é o valor aproximado da grandeza aex com erro absoluto não superior a ε.

1.7 Erro relativo Definimos erro relativo como: Erel =

aex − aaprox E = aex aex

onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproximado da mesma grandeza. Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, a definição anterior fica sem sentido. Dessa forma, é preciso trabalharmos com um limitante superior para o erro relativo, isto é, escrevê-lo na forma: δ≤

ε aaprox

onde δ, é um limitante conhecido. Podemos observar que o erro relativo nos fornece mais informações sobre a qualidade do erro que estamos cometendo num determinado cálculo, uma vez que no erro absoluto não é levada em consideração a ordem de grandeza do valor calculado, enquanto no erro relativo esta ordem é contemplada. Exemplo 1.11 a) Consideremos o valor exato aex = 2345.713 e o valor aproximado aaprox = 2345.000 Então, Eabs = 0.713 Erel = 0.00030396

Cálculo Numérico

b) Consideremos o valor exato aex = 1.713 e o valor aproximado aaprox = 1.000 Então, Eabs = 0.713 Erel = 0.416229 Observe que nos exemplos a) e b) o erro absoluto é o mesmo, embora o erro cometido pela aproximação seja muito mais significativo no exemplo b). No exemplo a), o erro relativo é da ordem de 0.03%, e no exemplo b), é da ordem de 41.6%. Observação Em geral, nos procedimentos numéricos geramos uma seqüência de soluções aproximadas que convergem ou não para a solução desejada do problema. Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada nestas seqüências de aproximações. Em geral, o erro relativo é preferível, devido às observações nos exemplos anteriores. Exemplo 1.12 Para resolver a equação f(x) = x2 − a = 0, com a > 0, podemos utilizar o seguinte processo iterativo: 1⎛ a⎞ x n + 1 = ⎜ xn + ⎟ n = 0, 1, 2, ... 2⎝ xn ⎠ Assim, dado o valor x0, podemos, através da expressão anterior, gerar a seqüência de soluções aproximadas x1, x2, ... Dado que a propriedade de convergência da seqüência de aproximações esteja estabelecida e uma tolerância pré-fixada ε foi definida para o cálculo de uma raiz da equação f(x) = 0, podemos verificar, de forma absoluta, se a seqüência de aproximações atingiu a precisão anterior ε, realizando o seguinte teste: Se xn + 1 − xn ≤ ε for verdadeiro, dizemos que xn+1 é a raiz da equação f(x) = 0 com tolerância ε; caso contrário, devemos calcular outro elemento da seqüência. Podemos de forma alternativa realizar o seguinte teste: xn + 1 − xn Se ≤ ε for verdadeiro, concluímos que xn+1 é a raiz da equação xn + 1 com a tolerância ε e, em caso contrário, devemos proceder ao cálculo de outro termo da seqüência. No primeiro teste, usamos Eabs e no segundo Erel.

1.8 Erro de truncamento Quando representamos uma função através de uma série infinita e, por limitações do sistema de armazenamento de dados do equipamento, considerarmos apenas um número finito de termos, dizemos que estamos cometendo um erro de truncamento.

Erros em Processos Numéricos

Exemplo 1.13 a) Consideramos a representação de uma função f(x) utilizando a Série de Taylor, nas vizinhanças do ponto x: f(x) = f(x) + f(1) (x)

(x − x ) ( x − x )2 ( x − x )n + f(2) (x) + ... + f(n) (x) + ... 1! 2! n!

onde f(n) (x) é o valor da n-ésima derivada da função f(x) no ponto x. Quando truncamos a série no 3o termo, isto é, considerando apenas os termos até a derivada de ordem 2, na expressão anterior, temos um erro cometido nesta aproximação, como segue: f(x) ≅ f(x) + f(1) (x)

(x − x ) ( x − x )2 + f(2) (x) 1! 2!

b) Consideremos o desenvolvimento de f(x) = ex em Série de Taylor, isto é: ex = 1 + x +

x2 x3 xn + + ... + + ... 2! 3! n!

ou, de forma compacta: ex =

∞

∑

n=0

xn n!

Suponha que o equipamento utilizado para trabalhar numericamente com a série seja capaz de armazenar somente dados referentes aos 4 primeiros termos, isto é: ex ≅ 1 + x +

x2 x3 + 2! 3!

Neste caso, desprezamos todos os termos de potência maiores que 4, isto é, truncamos a série no termo de potência de ordem 3. Destacando os quatro primeiros termos da série, podemos escrevê-la da seguinte maneira: ex =

∞

1 3 xn x + 3 x2 + 6 x + 6) + ( 6 n! n=4

∑

Vamos supor que desejamos calcular o valor de ex para x = 2 usando apenas os quatro primeiros termos da série, isto é, a série truncada. Neste caso, temos e2 = 6.33333, que é um valor com erro absoluto bem significativo quando comparado com o valor e2 = 7.38906 obtido numa calculadora científica que armazena uma quantidade maior de termos da série.

Cálculo Numérico

1.9 Propagação dos erros Quando desenvolvemos ou utilizamos um processo numérico para buscar a solução de um determinado problema, normalmente o processamento envolve um número muito grande de operações elementares. Assim, na maioria das vezes, o erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito significativo para a solução do problema que estamos tratando, mas sim, é necessário analisar como os erros se propagam quando tratamos com muitas operações no processamento. Neste caso, é fundamental termos o conhecimento da forma com que estes erros estão se propagando, isto é, caso estejam se acumulando a uma taxa crescente, dizemos que o erro é ilimitado, e a seqüência de operações é considerada instável. Se, por outro lado, os erros estão se acumulando a uma taxa decrescente, dizemos que o erro é limitado e, portanto, a seqüência de operações é considerada estável. Podemos visualizar, através da Figura 1.3, as situações de erros ilimitado e limitado:

Figura 1.3

Exemplo 1.14 Usando aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e arredondamento por corte, calcule o valor da seguinte soma: S=

∑ (x

+ yi ), sendo xi = 0.46709 e yi = 3.5678

i=1

Para i = 1, na aritmética definida, realizamos inicialmente a operação que resulta no seguinte valor aproximado: S1 = (x1 + y1 ) = 0.4034 × 101 Calculando o erro absoluto, temos: Eabs1 = 4.03569 − 4.034 = 0.00169 = 0.169 × 10−2

Erros em Processos Numéricos

Para i = 2, realizamos a operação que resulta no seguinte valor aproximado: S2 = (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) = 0.8068 × 101, cujo erro absoluto é dado por: Eabs 2 = 8.07138 − 8.068 = 0.00338 = 0.338 × 10−2 Observe que, ao realizarmos a mesma operação de adição por duas vezes, cometemos um erro absoluto significativamente maior. Para i = 3, realizamos a operação que resulta no seguinte: S3 = (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + (x3 + y3 ) = 0.1210 × 102 cujo erro absoluto é dado por: Eabs 3 = 12.10707 − 12.10 = 0.00707 = 0.707 × 10−2 Para i = 4, repetindo o mesmo procedimento, obtemos o seguinte valor para a soma: S4 = 0.1613 × 10 2, que apresenta o seguinte erro absoluto: Eabs 3 = 16.14276 − 16.13 = 0.01276 = 0.12767 × 10−1 Como podemos observar, na medida em que aumentamos o número de parcelas na operação de adição, considerando a aritmética definida anteriormente, aumentamos também o erro absoluto cometido na soma final. Desta forma, a seqüência de operações pode tornar-se instável, conforme gráfico na Figura 1.3 a). Exemplo 1.15 Para resolver a equação f ( x ) = x 2 − a = 0 , com a > 0, podemos utilizar o seguinte processo iterativo: x n +1 =

1⎛ a ⎞ x , para n = 0, 1, 2, ... + n 2 ⎜⎝ x n ⎟⎠

Neste procedimento, em cada iteração estão envolvidas as operações de adição, multiplicação e divisão, que são repetidas até que se calcule o valor aproximado xn para solução da equação com uma precisão ε desejada. Desta forma, se o valor final xn está sujeito a um determinado tipo de erro, a cada iteração realizada este erro pode se propagar ao longo do processo. Se este procedimento convergir para a solução x da equação, apesar dos erros cometidos, temos que a seqüência de operações se torna estável, conforme gráfico da Figura 1.3 b).

Cálculo Numérico

Exercícios 1.

Representar na base binária os seguintes números decimais: a) 13 b) 29.75 c) 17.6 d) 0.46875

Represente o número decimal (0.2) na base binária com 4, 8, 12 e 16 dígitos.

Considerando que a base 16 é representada através dos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, represente: a) (27D)16 na base decimal b) (27D.9)16 na base decimal c) (32.E.32)16 na base decimal

Representar os seguintes números na forma normalizada a) (100)10 b) (0.0158)10 c) (101)2

Representar os seguintes números na base binária na forma normalizada a) (0.1875)10 b) (25.75)10 c) (437)8

Represente na reta os positivos exatamente representáveis do sistema de ponto flutuante normalizado SPF(3, 2, –1, 2).

Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF = SPF (2, 4, –1, 2) de base 2, 4 dígitos na mantissa, menor expoente –1 e maior expoente 2. Para este sistema: a) Qual é o menor positivo exatamente representável? b) Qual é o maior positivo exatamente representável? c) Quantos são os exatamente representáveis positivos? d) Qual é o número total de reais exatamente representáveis? e) Represente na reta todos os positivos exatamente representáveis. f) Defina as regiões de overflow e de underflow.

No sistema de ponto flutuante normalizado SPF (2, 3, –1, 2), represente, em cada caso, o valor arredondado e o arredondado por corte (truncado) das seguintes operações: a) 0.101 × 2 0 + 0.110 × 2 − 1 b) 0.101 × 2 0 + 0.111 × 21 c) 0.111 × 2 0 × 0.110 × 2 − 1

Erros em Processos Numéricos

Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3, 2, –1, 2), de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a –1 e maior expoente 2. Para este sistema, temos que: a) x =

1 e y = 5 são exatamente representáveis. Verifique se x + y é 9

exatamente representável em SPF. b) x =

4 e y = 1 são exatamente representáveis. Verifique se x + y é 3

também exatamente representável em SPF. 10. Considere um equipamento cujo sistema de ponto flutuante normalizado é SPF (2, 10, –15, 15), de base 2, 10 dígitos na mantissa, menor expoente –15 e maior expoente 15. Para este sistema: a) Qual o menor positivo exatamente representável? b) Qual é o próximo positivo, depois do menor positivo representável? c) Transforme o menor positivo e o próximo para a base decimal. d) Verifique se existem reais entre o menor e o próximo positivo. Comente. e) Qual o maior positivo exatamente representável? f) Quantos são os exatamente representáveis positivos?

Selma Helena de Vasconcelos Arenales

Artur Darezzo Filho

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Sobre os autores

Outras Obras Álgebra Linear David Poole Análise Numérica

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Richard L. Burden e J. Douglas Faires Cálculo – Volumes I e II – 5ª edição James Stewart Pré-Cálculo Valéria Zuma Medeiros (Coord.)

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Vetores e Matrizes: Uma introdução à álgebra linear – 4ª edição revista e ampliada Nathan Moreira dos Santos, Doherty Andrade e Nelson Martins Garcia