Física do Estado Sólido by Cengage Brasil

Neil W. Ashcroft e N. David Mermin

Outras obras Ciência e Engenharia dos Materiais Donald R. Askeland e Pradeep P. Phulé

Neil W. Ashcroft e N. David Mermin

Físico-química – Volume 1 David W. Ball

Em 1968, os autores Ashcroft e Mermin iniciaram o projeto que culminou no lançamento de Solid State Physics a partir das dificuldades encontradas ao longo de anos de docência nas disciplinas da área. Tais dificuldades tinham origem na natureza multidisciplinar dos estudos dos sólidos e faziam com que os professores precisassem cruzar muitos dados, oriundos de referências diversas, complicando a didática e dificultando os estudos dos seus alunos. Com empenho, eles concluíram o projeto em sete anos e lançaram a obra, um volume introdutório aos aspectos descritivos e analíticos da teoria dos sólidos. Por um lado, uma obra que descreve em detalhe a vastidão dos sólidos reais com ênfase em dados representativos e exemplos ilustrativos. Por outro lado, ela leva aos leitores a teoria básica dos sólidos, com a qual todo estudante interessado deve sentir-se muito familiarizado. Física do estado sólido é a tradução da obra de Ashcroft e Mermin, consagrada referência na introdução ao estudo dos sólidos para diversos cursos de Exatas. No livro, os autores exploram a variedade dos fenômenos associados às principais formas de matéria cristalina, enquanto apresentam um texto claro, detalhado e elementar, com os fundamentos para uma compreensão prática dos sólidos e de seus conceitos teóricos. Aplicações A obra destina-se a disciplinas introdutórias em cursos de graduação e pós-graduação de Física, Química, Engenharias e Ciências dos Materiais.

isbn 13 978-85-221-0902-9 isbn 10 85-221-0902-8

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9 788522 109029

Físico-química – Volume 2 David W. Ball

Fundamentos da Química Analítica Tradução da 8a edição norte-americana Skoog, West, Holler, Crouch

Mecânica dos Materiais Tradução da 7a edição norte-americana James M. Gere e Barry J. Goodno

Química Geral Aplicada à Engenharia Lawrence S. Brown e Thomas A. Holme

Química Orgânica – Combo Tradução da 6a edição norte-americana John McMurry

Dados

Internacionais de Catalogação na Publicação (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

(CIP)

Ashcroft, Neil W. Física do estado sólido / Neil W. Ashcroft, N. David Mermin ; tradução Maria Lucia Godinho de Oliveira. -- São Paulo : Cengage Learning, 2011. Título original: Solid state physics. ISBN 978-85-221-0902-9 1. Energia em faixas (Física) 2. Estrutura cristalina (Sólidos) 3. Física do estado sólido 4. Sólidos I. Mermin, N. David. II. Título.

10-13806

CDD-530.4 Índices para catálogo sistemático: 1. Física do estado sólido

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FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO Neil W. Ashcroft N. David Mermin Cornell University Revisão técnica

Robson Mendes Matos

Professor associado da Universidade Federal do Rio de Janeiro, D. Phil pela University of Sussex - Inglaterra Tradução

Maria Lucia Godinho de Oliveira

Austrália : Brasil : Japão : Coreia : México : Cingapura : Espanha : Reino Unido : Estados Unidos

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Física do Estado Sólido Neil W. Ashcroft e N. David Mermin

Gerente Editorial: Patricia La Rosa Editora de Desenvolvimento e Produção Editorial: Gisele Gonçalves Bueno Quirino de Souza Supervisora de Produção Gráfica e Editorial: Fabiana Alencar Albuquerque Título original: Solid State Physics ISBN original: 0-03-083993-9

© 2011 Cengage Learning Ltda. © 1976 Brooks/Cole, parte da Cengage Learning Ltda. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, sejam quais forem os meios empregados, sem a permissão, por escrito, da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998. Esta editora empenhou-se em contatar os responsáveis pelos direitos autorais de todas as imagens e de outros materiais utilizados neste livro. Se porventura for constatada a omissão involuntária na identificação de algum deles, dispomo-nos a efetuar, futuramente, os possíveis acertos.

Tradução: Maria Lucia Godinho de Oliveira Revisor técnico: Robson Mendes Matos Copidesque: Ricardo Franzin, Sandra Maria Ferraz Brazil Revisão: Ricardo Franzin, Sandra Maria Ferraz Brazil, Maria Dolores D. Sierra Mata, Adriane Peçanha

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Capa: MSDE/Manu Santos Design Diagramação: SGuerra Design © 2011 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. ISBN-13: 978-85-221-0902-9 ISBN-10: 85-221-0902-8 Cengage Learning Condomínio E-Business Park Rua Werner Siemens, 111 - Prédio 20 - Espaço 04 Lapa de Baixo - CEP 05069-900 - São Paulo - SP Tel.: (11) 3665-9900 - Fax: (11) 3665-9901 SAC: 0800 11 19 39 Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br

Impresso no Brasil. Printed in Brazil. 1 2 3 4 14 13 12 11

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para Elizabeth, Jonathan, Robert e Ian

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Prefácio

niciamos este projeto em 1968 para preencher uma lacuna, que ambos percebemos ser intensa, após vários anos lecionando introdução à física do estado sólido para alunos de Física, Química, Engenharia e Ciência de Materiais da Universidade de Cornell. Tanto nos cursos de graduação quanto de pós-graduação recorreríamos a uma miscelânea de textos reunidos a partir de meia dúzia de livros. Isso não se devia apenas à grande diversidade da matéria; o maior problema estava em sua natureza dúbia. Por um lado, uma introdução à física do estado sólido deve descrever em detalhes a enorme variedade de sólidos reais, com ênfase em dados representativos e exemplos ilustrativos. Por outro lado, existe agora uma teoria básica de sólidos bem estabelecida, com a qual todo aluno seriamente interessado deve se familiarizar. Para nossa surpresa, levamos sete anos para produzir o que precisávamos: um único livro introdutório apresentando ambos os aspectos da matéria: o descritivo e o analítico. Nosso objetivo foi explorar a variedade de fenômenos associados às formas mais importantes da matéria cristalina e, ao mesmo tempo, construir a fundação para uma compreensão funcional de sólidos com um tratamento claro, detalhado e elementar dos conceitos teóricos fundamentais. Nosso livro foi desenvolvido para cursos introdutórios, tanto de graduação quanto de pós-graduação. A mecânica estatística e a teoria quântica estão no cerne da física do estado sólido. Apesar de essas matérias serem aplicadas na medida em que são necessárias, tentamos, especialmente nos capítulos mais elementares, reconhecer o fato de que muitos leitores, principalmente alunos de graduação, não terão ainda adquirido perícia. Quando foi possível e natural fazê-lo, separamos de maneira clara os tópicos baseados inteiramente em métodos clássicos daqueles que demandam um tratamento quântico. Neste último caso, e em aplicações de mecânica estatística, avançamos cuidadosamente a partir de princípios básicos explicitamente mencionados. O livro, portanto, é adequado a disciplinas introdutórias oferecidas nos estudos elementares de teoria quântica e de mecânica estatística. Somente nos capítulos e apêndices mais avançados o texto é dirigido a leitores mais experientes. Os problemas que se seguem a cada capítulo são ligados intimamente ao texto, e são de três tipos gerais: (a) as etapas de rotina no desenvolvimento analítico são às vezes relegadas aos problemas, em parte para que se evite a sobrecarga do texto com fórmulas de nenhum interesse intrínseco, contudo, mais importante, porque tais etapas são mais bem vii fisica3-diagramacao-adriane.indb 7

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compreendidas se completadas pelo leitor com o auxílio de dicas e sugestões; (b) extensões do capítulo (cujo fantasma de uma obra em dois volumes nos impediu de incluir) são apresentadas como problemas quando possibilitam esse tipo de exposição; (c) aplicações numéricas e analíticas adicionais são dadas como problemas, ora para comunicação de informações adicionais, ora para o exercício de habilidades recentemente adquiridas. Os leitores devem, portanto, examinar os problemas, mesmo que não pretendam tentar encontrar sua solução. Apesar de respeitarmos o ditado de que uma imagem vale por mil palavras, sabemos também que uma ilustração não informativa, apesar de decorativa, toma o espaço que poderia ser utilmente preenchido por centenas de palavras. Dessa forma, o leitor irá se deparar com extensões de texto expositivo sem interrupções por figuras, quando estas não forem necessárias, bem como seções que podem ser examinadas com proveito inteiramente por meio de figuras e suas legendas. Levamos em consideração a utilização do livro em diferentes níveis com áreas distintas de maior ênfase. Provavelmente um determinado curso não seguirá os capítulos (ou mesmo capítulos selecionados) na ordem em que são apresentados aqui, por isso os escrevemos de modo a permitir uma fácil seleção e reordenação. Nossa escolha específica da sequência segue determinados fios principais do assunto a partir de sua primeira exposição elementar para seus aspectos mais avançados, com um mínimo de divagação. Iniciamos o livro1 com os aspectos clássicos elementares [1] e quânticos [2] da teoria de metais de elétrons livres porque isto requer um mínimo de conhecimento prévio e introduz imediatamente, por uma classe particular de exemplos, quase todos os fenômenos aos quais as teorias de isolantes, semicondutores e metais deve se opôr. O leitor é, por meio disso, poupado da impressão de que nada pode ser compreendido até que um monte de definições enigmáticas (com relação a estruturas periódicas) e elaboradas explorações da mecânica quântica (de sistemas periódicos) tenham sido dominadas. Estruturas periódicas somente são apresentadas após uma visão geral [3] daquelas propriedades metálicas que podem e que não podem ser compreendidas sem a investigação das consequências da periodicidade. Tentamos suavizar o tédio provocado por uma primeira exposição à linguagem de sistemas periódicos (a) separando as consequências muito importantes da simetria puramente translacional [4,5] do restante dos aspectos rotacionais bem menos essenciais [7], (b) separando a descrição de espaço ordinário [4] daquela no espaço recíproco menos familiar [5], e (c) separando o tratamento abstrato e descritivo de periodicidade de sua aplicação elementar para a difração por raios X [6]. Munidos com a terminologia de sistemas periódicos, os leitores podem prosseguir para qualquer ponto que pareça adequado à resolução das dificuldades no modelo de metais de elétrons livres ou podem, alternativamente, embarcar diretamente na investigação de vibrações de rede. O livro segue a primeira linha. O teorema de Bloch é descrito e suas 1

Referências a números de capítulos são dadas entre colchetes.

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Prefácio |

implicações são examinadas [8] em termos gerais, para enfatizarmos que suas consequências transcendem os tão importantes e ilustrativos casos práticos de elétrons quase livres [9] e ligações fortes[10]. Grande parte do conteúdo destes dois capítulos é adequada para um curso mais avançado, bem como o seguinte levantamento de métodos utilizados para computar estruturas de bandas reais [11]. O extraordinário assunto da mecânica semiclássica é apresentado e aplicações elementares são fornecidas [12] antes de ser incorporado à mais elaborada teoria semiclássica de transporte [13]. A descrição de métodos pelos quais as superfícies de Fermi são mensuradas [14] pode ser mais apropriada para leitores de nível mais avançado, mas a maioria dos levantamentos das estruturas de bandas de metais reais [15] é facilmente incorporada em um curso elementar. Com exceção da abordagem sobre blindagem, um curso elementar também poderia deixar de lado os trabalhos realizados sobre o que é omitido pela aproximação do tempo de relaxação [16] e pela omissão de interações elétron-elétron [17]. Funções de trabalho e outras propriedades de superfície [18] podem ser estudadas a qualquer momento após a abordagem da simetria translacional no espaço real. Nossa descrição da classificação convencional de sólidos [19] foi separada da análise de energias coesivas [20]. As duas foram posicionadas após a apresentação da estrutura de bandas, uma vez que é em termos de estrutura eletrônica que as categorias são mais claramente distinguidas. Para motivar o estudo das vibrações de rede (em qualquer ponto após o Capítulo 5 os leitores optam por dar início ao assunto) um resumo [21] lista aquelas propriedades dos sólidos que não podem ser compreendidas sem sua análise. Uma apresentação elementar é dada à dinâmica de rede, com os aspectos clássicos [22] e quânticos [23] do cristal harmônico tratados separadamente. As formas nas quais os espectros de fônons são medidos [24], as consequências da anarmonicidade [25] e os problemas especiais associados aos fônons em metais [26] e cristais iônicos [27] são examinados em nível elementar, apesar de algumas partes destes quatro últimos capítulos poderem ser reservadas para um curso mais avançado. Nenhum dos capítulos sobre vibrações de rede conta com o uso de operadores de aumento e diminuição em modo normal; eles são descritos em diversos apêndices para leitores que desejam um tratamento mais avançado. Semicondutores homogêneos [28] e não homogêneos [29] podem ser examinados em qualquer ponto após a apresentação do teorema de Bloch e da abordagem elementar da mecânica semiclássica. Defeitos cristalinos [30] podem ser estudados tão logo os próprios cristais tenham sido apresentados, apesar de partes de capítulos anteriores serem ocasionalmente aludidas. Seguindo uma revisão de magnetismo atômico, examinamos como ele é modificado em um ambiente sólido [31], exploramos troca e outras interações magnéticas [32], e aplicamos os modelos resultantes ao ordenamento magnético [33]. Esta breve introdução ao magnetismo e o estudo concludente sobre a supercondutividade [34] são completos.

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Eles estão no fim do livro para que os fenômenos possam ser vistos, não em termos de modelos abstratos, mas como propriedades surpreendentes dos sólidos reais. Para nossa tristeza, descobrimos que é impossível ao término de um projeto de sete anos, desenvolvido não apenas na Universidade de Cornell, mas também durante visitas extensivas em Cambridge, Londres, Roma, Wellington e Jülich, lembrarmos de todas as ocasiões em que alunos, pós-doutorandos, visitantes e colegas nos apresentaram críticas, conselhos e esclarecimentos inestimáveis. Dentre outros, somos gratos a V. Ambegaokar, B. W. Batterman, D. Beaglehole, R. Bowers, A. B. Bringer, C. di Castro, R. G. Chambers, G. V. Chester, R. M. Cotts, R. A. Cowley, G. Eilenberger, D. B. Fitchen, C. Friedli, V. Heine, R. L. Henderson, D. F. Holcomb, R. O. Jones, B. D. Josephson, J. A. Krumhansl, C. A. Kukkonen, D. C. Langreth, W. L. McLean, H. Mahr, B. W. Maxfield, R. Monnier, L. G. Parratt, O. Penrose, R. O. Pohl, J. J. Quinn, J. J. Rehr, M. V. Romerio, A. L. Ruoff, G. Russakoff, H. S. Sack, W. L. Schaich, J. R. Schrieffer, J. W. Serene, A. J. Sievers, J. Silcox, R. H. Silsbee, J. P. Straley, D. M. Straus, D. Stroud, K. Sturm e J. W. Wilkins. Uma pessoa, no entanto, teve influência em quase todos os capítulos. Michael E. Fisher, professor de Química, Física e Matemática de Horace White, amigo e vizinho, moscardo e trovador, começou a ler o manuscrito seis anos antes e desde então tem seguido, bem no nosso encalço, capítulo a capítulo e, em certas ocasiões, por meio de revisões e mais revisões, apontando obscuridades, condenando desonestidades, aviltando omissões, marcando eixos, corrigindo erros de ortografia, redesenhando figuras e frequentemente tornando nossa vidas bem mais difíceis com sua insistência inexorável em que poderíamos ser mais literatos, precisos, inteligíveis e completos. Esperamos que ele fique satisfeito com tantas de suas ilegíveis anotações em vermelho à margem do texto terem sido inseridas em nosso livro, e sabemos que ouviremos dele sobre aquelas que não foram incluídas. Um de nós (NDM) é muito grato à Fundação Alfred P. Sloan e à Fundação John Simon Guggenheim por seu generoso apoio em momentos críticos deste projeto, e a amigos do Imperial College de Londres e do Instituto de Física G. Marconi, onde partes do livro foram escritas. Ele é também profundamente grato a R. E. Peierls, cujas aulas o converteram a ver que a física do estado sólido é uma disciplina de beleza, clareza e coerência. O outro (NWA), por ter aprendido a matéria com J. M. Ziman e de A. B. Pippard, nunca precisou de conversão. Ele também deseja reconhecer com gratidão o apoio e a hospitalidade de Kernforschungsanlage Jülich, da Universidade Victoria de Wellington e do Laboratório Cavendish e Clare Hall, Cambridge. Ithaca, junho de 1975 N. W. Ashcroft N. D. Mermin

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Sumário

Prefácio 1. A teoria de Drude dos metais 2. A teoria de metais de Sommerfeld 3. Falhas do modelo do elétron livre 4. Redes cristalinas 5. A rede recíproca 6. Determinação de estruturas cristalinas por difração de Raios X 7. Classificação de redes de Bravais e estruturas cristalinas 8. Níveis eletrônicos em um potencial periódico: propriedades gerais 9. Elétrons em um potencial periódico fraco 10. O método de ligação forte 11. Outros métodos para o cálculo de estrutura de bandas 12. O modelo semiclássico de dinâmica eletrônica 13. A teoria semiclássica de condução em metais 14. Medindo a superfície de Fermi 15. Estrutura de banda de metais selecionados 16. Além da aproximação de tempo de relaxação 17. Além da aproximação do elétron independente 18. Efeitos de superfície 19. Classificação dos sólidos 20. Energia coesiva 21. Falhas do modelo de rede estática 22. Teoria clássica do cristal harmônico 23. Teoria quântica do cristal harmônico 24. Medindo relações de dispersão de fônons 25. Efeitos anarmônicos em cristais 26. Fônons em metais 27. Propriedades dielétricas de isolantes 28. Semicondutores homogêneos

vii 1 32 63 69 92 103 120 141 164 189 207 230 264 287 308 340 359 386 407 429 451 457 491 510 529 555 577 608 xi

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29. Semicondutores não homogêneos 30. Defeitos em cristais 31. Diamagnetismo e Paramagnetismo 32. Interações eletrônicas e estrutura magnética 33. Ordenamento magnético 34. Supercondutividade

637 666 695 727 751 786

Apêndices A. Resumo de importantes relações numéricas na teoria do elétron livre de metais B. O potencial químico C. A expansão de Sommerfeld D. Expansões de onda plana das funções periódicas em mais de uma dimensão E. A velocidade e a massa efetiva dos elétrons de Bloch F. Algumas identidades relativas à análise de Fourier dos sistemas periódicos G. O princípio variacional para a equação de Schrödinger H. Formulação da hamiltoniana das equações semiclássicas de movimento e teorema de Liouville. I. Teorema de Green para funções periódicas J. Condições para a ausência de transições interbandas em campos elétricos ou magnéticos uniformes K. Propriedades ópticas dos sólidos L. A teoria quântica do cristal harmônico M. Conservação do momento cristalino N. Teoria do espalhamento de nêutrons por um cristal O. Termos anarmônicos e processos de n fônons P. Avaliação do fator g de Landé Tabela periódica Constantes fundamentais

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820 822 824 827 830 832 834 836 838 840 843 848 853 860 867 868 869 870

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A teoria de Drude dos metais

Suposições básicas do modelo Tempos de colisão ou de relaxação Condutividade elétrica DC Efeito Hall e magnetorresistência Condutividade elétrica AC Função dielétrica e ressonância de plasma Condutividade térmica Efeitos termoelétricos

s metais ocupam uma posição muito especial no estudo dos sólidos, compartilhando uma variedade de propriedades surpreendentes que outros sólidos (como quartzo, enxofre ou sal comum) não possuem. Eles são excelentes condutores de calor e de eletricidade, são dúcteis e maleáveis e apresentam um brilho surpreendente em superfícies recentemente expostas. O desafio de se esclarecerem essas características metálicas deu o impulso inicial à moderna teoria dos sólidos. Apesar de a maioria dos sólidos comumente encontrados serem não metálicos, os metais continuamente desempenharam papel proeminente na teoria dos sólidos do fim do século XIX até hoje. De fato, o estado metálico provou ser um dos grandes estados fundamentais da matéria. Os elementos, por exemplo, definitivamente favorecem o estado metálico: mais de dois terços são metais. Até para entender os não metais deve-se também entender os metais, uma vez que, ao explicar o motivo de o cobre ser tão bom condutor, começa-se a entender por que o sal comum não o é. Durante os últimos cem anos, os físicos tentaram construir modelos simples do estado metálico que esclarecessem de modo qualitativo, e mesmo quantitativo, as propriedades metálicas características. Ao longo desta busca, por vezes, esplêndidos sucessos vieram de mãos dadas com fracassos aparentemente incorrigíveis. Hoje, mesmo os modelos iniciais, apesar de surpreendentemente errados em alguns aspectos, continuam, se utilizados de maneira adequada, tendo valor inestimável para os físicos do estado sólido. Neste capítulo examinaremos a teoria da condução metálica proposta por P. Drude1 na virada do século XIX para o século XX. Foram consideráveis os sucessos do modelo de 1

Annalen der Physik, n. 1, p. 566, 1900; n. 3, p. 369, 1900.

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Drude, e ele ainda é utilizado hoje como um modo prático e rápido para se formar ilustrações simples e estimativas aproximadas de propriedades cuja compreensão mais precisa possa requerer análise de considerável complexidade. As falhas do modelo de Drude ao explicar alguns experimentos, e os enigmas conceituais por ele levantados, definiram os problemas com os quais a teoria dos metais lutaria pelo quarto de século seguinte. Estes encontraram sua solução apenas na rica e sutil estrutura da teoria quântica dos sólidos.

SUPOSIÇÕES BÁSICAS DO MODELO DE DRUDE A descoberta do elétron por J. J. Thomson, em 1897, teve amplo e imediato impacto nas teorias da estrutura da matéria e sugeriu um mecanismo óbvio para a condução nos metais. Três anos após a descoberta de Thomson, Drude desenvolveu sua teoria de condução elétrica e térmica, aplicando a altamente bem-sucedida teoria cinética dos gases a um metal, considerado como gás de elétrons. Em sua forma mais simples, a teoria cinética trata as moléculas de um gás como esferas sólidas idênticas, que se movem em linha reta até colidirem umas nas outras.2 Supõe-se que o tempo gasto em uma única colisão seja desprezível e, com exceção das forças que momentaneamente entram em jogo durante cada colisão, nenhuma outra força parece agir entre as partículas. –e Z

–e (Za – Z)

eZa

eZa –e (Za – Z) eZa

Núcleo Elétrons mais internos Elétrons de valência (a)

Íon

Núcleo Interno Elétrons de condução (b)

Figura 1.1 (a) Desenho esquemático de um átomo isolado (fora de escala). (b) Em um metal, o núcleo e o centro do íon conservam sua configuração no átomo livre, mas os elétrons de valência deixam o átomo para formar o gás de elétrons. Ou com as paredes do recipiente que as contém, uma possibilidade geralmente ignorada na discussão dos metais, a não ser que se esteja interessado em fios muito finos, folhas finíssimas ou efeitos na superfície. 2

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A teoria de Drude dos metais |

Apesar de haver apenas um tipo de partícula presente nos gases mais simples, deve existir ao menos duas em um metal, já que os elétrons são carregados negativamente e, ainda assim, o metal é eletricamente neutro. Drude supôs que a carga positiva de compensação seria ligada a partículas muito mais pesadas, as quais ele considerou imóveis. Nessa época, no entanto, não havia uma noção precisa da origem da luz, de elétrons móveis e das partículas mais pesadas, imóveis, carregadas positivamente. A solução para este problema é uma das conquistas fundamentais da teoria quântica moderna dos sólidos. Nesta discussão do modelo de Drude, no entanto, simplesmente vamos supor (e em diversos metais tal suposição pode ser justificada) que, quando átomos de um elemento metálico são unidos para formar um metal, os elétrons de valência se separam e passeiam livremente pelo metal, enquanto os íons metálicos permanecem intactos e fazem o papel das partículas positivas imóveis na teoria de Drude. Esse modelo é indicado esquematicamente na Figura 1.1. Um único átomo isolado do elemento metálico tem um núcleo de carga eZa, onde Za é o número atômico e e é a magnitude da carga eletrônica3: e = 4,80 # 10-10 unidades eletrostáticas (e.s.u.) = 1,60 # 10-19 coulombs. Em volta do núcleo estão os elétrons Za de carga total -eZa. Alguns destes Z são os elétrons de valência ligados de modo relativamente fraco. Os elétrons restantes Za - Z são ligados ao núcleo de modo relativamente forte, têm papel bem menor nas reações químicas e são conhecidos como os elétrons mais internos. Quando esses átomos isolados condensam-se para formar um metal, os elétrons mais internos permanecem ligados ao núcleo para formar o íon metálico, mas aos elétrons de valência é permitido passear bem longe de seus átomos-pais. No contexto metálico, eles são chamados elétrons de condução.4 Drude aplicou a teoria cinética a este “gás” de elétrons de condução de massa m, os quais (em contraste com as moléculas de um gás comum) se movem contra um plano de fundo de íons pesados e imóveis. A densidade do gás de elétrons pode ser calculada como a seguir: Um elemento metálico contém 0,6022 # 1024 átomos por mol (número de Avogadro) e tm /A mols por cm3, onde tm é a densidade de massa (em gramas por centímetro cúbico) e A é a massa atômica do elemento. Uma vez que cada átomo contribui com Z elétrons, o número de elétrons por centímetro cúbico, n = N/V, é

n = 6,002 # 1024

Ztm . (1.1) A

A Tabela 1.1 mostra as densidades de elétrons de condução para alguns metais selecionados. Elas são tipicamente da ordem de 1022 elétrons de condução por centímetro Vamos sempre considerar e um número positivo. Quando, como no modelo de Drude, os elétrons mais internos têm papel passivo e o íon age como uma entidade inerte indivisível, geralmente os elétrons de condução são denominados simplesmente “os elétrons”, poupando-se o termo completo para quando a distinção entre elétrons de condução e elétrons mais internos deva ser enfatizada. 3 4

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cúbico, variando de 0,91 # 1022 para o césio até 24,7 # 1022 para o berílio.5 Uma medida de densidade eletrônica amplamente utilizada, rs, definida como o raio de uma esfera cujo volume é igual ao volume por elétron de condução, também está relacionada na lista na Tabela 1.1. Assim,

V = 1 = 4rrs3 ; rs = 3 1/3 . (1.2) ` 4rn j N n 3 A Tabela 1.1 lista rs tanto em angström (10-8 cm) quanto em unidade do raio Bohr a0 = &2/ me2 = 0,529 # 10-8 cm; este último comprimento é uma medida do raio de um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental, frequentemente utilizado como uma escala para a medição de distâncias atômicas. Observe que rs/a0 está entre 2 e 3 na maioria dos casos, apesar de estar entre 3 e 6 nos metais alcalinos (e de poder ter dimensão de 10 em alguns compostos metálicos). Estas densidades são normalmente mil vezes maiores do que aquelas de um gás clássico em pressões e temperaturas normais. Apesar disso, e das fortes interações eletromagnéticas elétron-elétron e elétron-íon, o modelo de Drude claramente trata o gás do elétron metálico denso pelos métodos da teoria cinética de um gás diluto neutro, com apenas ligeiras modificações. As suposições básicas são estas: 1. Entre colisões, a interação de determinado elétron, tanto com os demais elétrons como com os íons, é desprezada. Assim, na ausência de campos eletromagnéticos aplicados externamente, admite-se que cada elétron se move uniformemente em uma linha reta. Na presença de campos aplicados externamente, considera-se que cada elétron se move como determinado pelas leis de movimento de Newton na presença daqueles campos externos, porém, omitindo-se os campos adicionais complicados produzidos pelos outros elétrons e íons.6 A omissão das interações elétron-elétron entre colisões é conhecida como aproximação do elétron independente. A correspondente omissão de interações elétron-íon é conhecida por aproximação do elétron livre. Em capítulos subsequentes, veremos que, apesar de a aproximação do elétron independente ser, em muitos contextos, surpreendentemente boa, a aproximação do elétron livre deve ser abandonada caso se queira chegar a uma compreensão qualitativa de grande parte do comportamento metálico.

Esta é a faixa para elementos metálicos sob condições normais. Densidades mais altas podem ser alcançadas por meio da aplicação de pressão (que tende a favorecer o estado metálico). Densidades mais baixas são encontradas em compostos. 6 A rigor, a interação elétron-íon não é inteiramente ignorada, já que o modelo de Drude admite de modo implícito que os elétrons sejam confinados no interior do metal. Evidentemente, este confinamento deve-se à sua atração pelos íons carregados positivamente. Efeitos gerais da interação elétron-íon e elétron-elétron como este são geralmente levados em consideração, adicionando-se aos campos externos um campo interno definido apropriadamente que representa o efeito médio das interações elétron-elétron e elétron-íon. 5

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A teoria de Drude dos metais |

Tabela 1.1

Densidades de elétrons livres de elementos metálicos selecionados* Elemento

n(10²²/cm³)

rs(Å)

rs/a0

Li (78 K) Na (5 K) K (5 K) Rb (5 K) Cs (5 K) Cu Ag Au Be Mg Ca Sr Ba Nb Fe Mn(a) Zn Cd Hg (78 K) Al Ga In Tl Sn Pb Bi Sb

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5

4,70 2,65 1,40 1,15 0,91 8,47 5,86 5,90 24,7 8,61 4,61 3,55 3,15 5,56 17,0 16,5 13,2 9,27 8,65 18,1 15,4 11,5 10,5 14,8 13,2 14,1 16,5

1,72 2,08 2,57 2,75 2,98 1,41 1,60 1,59 0,99 1,41 1,73 1,89 1,96 1,63 1,12 1,13 1,22 1,37 1,40 1,10 1,16 1,27 1,31 1,17 1,22 1,19 1,13

3,25 3,93 4,86 5,20 5,62 2,67 3,02 3,01 1,87 2,66 3,27 3,57 3,71 3,07 2,12 2,14 2,30 2,59 2,65 2,07 2,19 2,41 2,48 2,22 2,30 2,25 2,14

*À temperatura ambiente (cerca de 300 K) e pressão atmosférica, a não ser que apontado de forma diferente. O raio rs da esfera do elétron livre é definido na equação (1.2). Selecionamos arbitrariamente um valor de Z para elementos que mostrem mais que uma valência química. O modelo de Drude não fornece base teórica para a escolha. Valores de n se baseiam nos dados de Wyckoff, R. W. G. (Crystal structures. 2. ed. Nova York: Interscience, 1963.)

2. As colisões no modelo de Drude, como na teoria cinética, são eventos instantâneos que alteram abruptamente a velocidade de um elétron. Drude os atribuiu aos elétrons que saltam para fora dos núcleos de íons impenetráveis (em vez de às colisões elétron-elétron, correspondentes ao mecanismo de colisão predominante em um gás normal). Descobriremos

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adiante que o espalhamento elétron-elétron é de fato um dos menos importantes dentre os diversos mecanismos de espalhamento em um metal, exceto sob condições não usuais. No entanto, o simples desenho mecânico (Figura 1.2) da colisão de um elétron de íon para íon está muito longe de ser correto.7 Felizmente, isto não importa para muitos propósitos: uma compreensão qualitativa (e frequentemente quantitativa) da condução metálica pode ser alcançada pela simples suposição de que há algum mecanismo de espalhamento, sem se inquirir mais demoradamente sobre o que este mecanismo deve ser. Ao focarmos nossa análise em apenas alguns efeitos gerais do processo de colisão, podemos evitar nos comprometer com algum quadro específico de como o espalhamento de elétrons realmente ocorre. Estas características gerais são descritas nas duas suposições a seguir.

Figura 1.2

Trajetória de um elétron de condução espalhando os íons, de acordo com o ingênuo desenho de Drude.

3. Suponhamos que um elétron experimente uma colisão (ou seja, sofra uma alteração abrupta em sua velocidade) com uma probabilidade por unidade de tempo 1/x. Queremos dizer com isto que a probabilidade de um elétron sofrer uma colisão em qualquer intervalo de tempo infinitesimal de comprimento dt é exatamente dt/x. O tempo x é conhecido de modo variado como tempo de relaxação, tempo de colisão ou tempo livre médio, e tem papel fundamental na teoria da condução metálica. A partir desta suposição, temos que um elétron escolhido ao acaso em dado momento viajará, em média, por um tempo x antes de sua próxima colisão, e terá viajado, em média, por um tempo x desde sua última colisão.8 Nas aplicações mais simples do modelo de Drude, o tempo de colisão x é tido como independente da posição e da velocidade do elétron. Veremos adiante que isto acaba sendo uma suposição surpreendentemente adequada para muitas (mas de forma nenhuma para todas) aplicações. 4. Supõe-se que os elétrons atinjam equilíbrio térmico com sua vizinhança apenas por meio de colisões.9 Estas colisões supostamente mantêm o equilíbrio termodinâmico local de modo particularmente simples: imediatamente após cada colisão, acredita-se que um elétron saia com uma velocidade que não está relacionada à sua velocidade de logo antes da colisão, mas aleatoriamente direcionado e com uma velocidade adequada à temperatura predominante no local onde a colisão ocorreu. Assim, quanto mais quente for a região na qual ocorre a colisão, mais rapidamente um elétron típico emergirá desta colisão. Por algum tempo, as pessoas foram levadas a problemas difíceis, porém irrelevantes, com relação ao elétron ter um íon como objetivo em cada colisão. Portanto, uma interpretação literal da Figura 1.2 deve ser vigorosamente evitada. 8 Veja o Problema 1. 9 Dada a aproximação de elétron livre e independente, este é o único mecanismo possível. 7

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No restante deste capítulo, ilustraremos estas noções mediante suas aplicações mais importantes, apontando até que ponto elas descrevem com sucesso ou com falhas os fenômenos observados.

CONDUTIVIDADE ELÉTRICA DC DE UM METAL De acordo com a lei de Ohm, a corrente I que flui em um fio é proporcional à queda de potencial V ao longo do fio: V = IR, onde R, a resistência do fio, depende de suas dimensões, mas independe do tamanho da corrente ou da queda de potencial. O modelo de Drude leva este comportamento em consideração e fornece uma estimativa do tamanho da resistência. Geralmente, elimina-se a dependência de R no formato do fio pela introdução de uma grandeza característica apenas do metal do qual o fio é composto. A resistividade t é definida como a constante de proporcionalidade entre o campo elétrico E em um ponto no metal e a densidade de corrente j que ela induz10: E = tj. (1.3) A densidade de corrente j é um vetor, paralelo ao fluxo de carga, cuja magnitude é a quantidade de carga por unidade de tempo que cruza uma unidade de área perpendicular ao fluxo. Assim, se uma corrente I uniforme flui através de um fio de comprimento L e de uma área de seção transversal A, a densidade de corrente será j = I/A. Uma vez que a queda de potencial ao longo do fio será V = EL, a equação (1.3) fornece V = ItL/A e, consequentemente, R = tL/A. Se n elétrons por unidade de volume se movem com velocidade v, a densidade de corrente que eles produzem será paralela a v. Além disso, em um tempo dt, os elétrons avançarão uma distância v dt na direção de v, de modo que n(v dt)A elétrons cruzem uma área A perpendicular à direção do fluxo. Uma vez que cada elétron tem uma carga - e, a carga que cruza A no tempo dt será - nevAdt e, consequentemente, a densidade de corrente será j =- nev. (1.4) Em qualquer ponto de um metal, os elétrons estão sempre se movimentando em diversas direções com uma variedade de energias térmicas. A densidade de corrente líquida é, assim, dada por (1.4), onde v é a velocidade eletrônica média. Na ausência de um campo elétrico, a probabilidade de os elétrons se moverem em uma direção é igual a qualquer outra, v tende a zero e, como esperado, não há densidade de corrente elétrica líquida. No entanto, na presença de um campo E, haverá uma velocidade eletrônica média direcionada opostamente ao campo (a carga eletrônica sendo negativa), que podemos calcular como a seguir: 10

Em geral, E e j não precisam ser paralelos. Define-se, então, um tensor de resistividade. Veja os Capítulos 12 e 13.

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Considere um elétron típico no tempo zero. Suponha que t seja o tempo decorrido desde sua última colisão. Sua velocidade no tempo zero será sua velocidade v0 imediatamente após aquela colisão mais a velocidade adicional -eEt/m que ele subsequentemente adquiriu. Já que admitimos que um elétron emerge de uma colisão em uma direção aleatória, não haverá contribuição de v0 à velocidade eletrônica média, a qual deve, portanto, ser dada inteiramente pela média de -eEt/m. No entanto, a média de t é o tempo de relaxação x. Portanto, v avg = - eEx ; m

j c ne x m E. (1.5) m 2

Este resultado é geralmente expresso em termos do inverso da resistividade, a condutividade v = 1/t: j = vE ;

2 v = ne x . (1.6) m

Isto estabelece a dependência linear de j sobre E e fornece uma estimativa da condutividade v em termos de grandezas que são todas conhecidas, com exceção do tempo de relaxação x. Podemos usar, portanto, (1.6) e as resistividades observadas para calcular o tamanho do tempo de relaxação: x = m 2 . (1.7) tne A Tabela 1.2 fornece as resistividades de diversos metais representativos em várias temperaturas. Observe a forte dependência da temperatura. À temperatura ambiente, a resistividade é aproximadamente linear em T, mas ela decai muito mais abruptamente quando baixas temperaturas são alcançadas. As resistividades à temperatura ambiente são normalmente da ordem de microhm-centímetros (nohm-cm) ou, em unidades atômicas, da ordem de 10-18 statohm-cm.11 Se tn é a resistividade em microhm-centímetros, um modo conveniente de se expressar o tempo de relaxação deduzida por (1.7) é x=c

0, 22 rS 3 14 m` j # 10- sec . (1.8) tn a0

Para converter resistividades de microhm-centímetros para statohm-centímetros, observe que uma resistividade de 1 nohm-cm produz um campo elétrico de 10-6 volt/cm na presença de uma corrente de 1 amp/cm2. 1 Uma vez que 1 amp é 3 # 109 e.s.u./seg e 1 volt é 300 statvolt, uma resistividade de 1 nohm-cm produz um campo de 1 statvolt/cm quando a densidade de corrente é 300 # 106 # 3 # 109 e.s.u.-cm-2-seg-1. O statohm-centímetro é a unidade eletrostática de resistividade, portanto, fornece 1 statvolt/cm com uma densidade de corrente de apenas 1 e.s.u.-cm-2-seg-1. Assim, 1 nohm-cm é equivalente a 19 # 10-17 statohm-cm. Para evitar o uso do statohm-centímetro, pode-se avaliar (1.7) tomando t em ohm metros, m em quilogramas, n em elétrons por metro cúbico e e em coulombs. (Observação: as fórmulas, as constantes e os fatores de conversão mais importantes dos Capítulos 1 e 2 são resumidos no Apêndice A.) 11

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Tabela 1.2

Resistividades elétricas de elementos selecionados* Elemento

77 K

273 K

373 K

Li Na K Rb Cs Cu Ag Au Be Mg Ca Sr Ba Nb Fe Zn Cd Hg Al Ga In Tl Sn Pb Bi Sb

1,04 0,8 1,38 2,2 4,5 0,2 0,3 0,5

8,55 4,2 6,1 11,0 18,8 1,56 1,51 2,04 2,8 3,9 3,43 23 60 15,2 8,9 5,5 6,8 Fundido 2,45 13,6 8,0 15 10,6 19,0 107 39

12,4 Fundido Fundido Fundido Fundido 2,24 2,13 2,84 5,3 5,6 5,0

0,62 7 17 3,0 0,66 1,1 1,6 5,8 0,3 2,75 1,8 3,7 2,1 4,7 35 8

19,2 14,7 7,8 Fundido 3,55 Fundido 12,1 22,8 15,8 27,0 156 59

^ t/T h373K ^ t/T h273K 1,06

1,05 1,03 1,02 1,39 1,05 1,07

0,92 1,21 1,04

1,06 1,11 1,11 1,09 1,04 1,07 1,11

* Resistividades em microhm-centímetros são dadas a 77 K (o ponto de ebulição do nitrogênio líquido à pressão atmosférica), 272 K e 373 K. A última coluna fornece a razão de t/T a 373 K e 273 K para mostrar a dependência da temperatura linear aproximada da resistividade próximo da temperatura ambiente. Fonte: Kaye, G. W. C.; Laby, T. H. Table of physical and chemical constants. Londres: Longmans Green, 1966.

Os tempos de relaxação calculados a partir de (1.8) e as resistividades na Tabela 1.2 são apresentados na Tabela 1.3. Observe que, à temperatura ambiente, x está tipicamente entre 10-14 e 10-15 s. Ao considerar se este é um número razoável, é mais instrutivo contemplar o livre caminho médio, , = v0x, onde v0 é a velocidade eletrônica média. O comprimento

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, mede a distância média que um elétron percorre entre colisões. Na época de Drude, era natural calcular v0 a partir da equipartição clássica de energia: 12 mv02 = 23 kB T . Utilizando a massa eletrônica conhecida, encontramos um v0 da ordem de 107 cm/seg à temperatura ambiente e, consequentemente, um livre caminho médio de 1 a 10 Å. Uma vez que esta distância é comparável ao espaçamento interatômico, o resultado é bastante consistente com a visão original de Drude de que as colisões se devem ao choque dos elétrons contra os íons grandes e pesados. No entanto, veremos no Capítulo 2 que este cálculo clássico de v0 é uma ordem de grandeza pequena demais a temperaturas ambientes. Além disso, nas temperaturas mais baixas da Tabela 1.3, x é uma ordem de grandeza maior do que à temperatura ambiente, embora (como veremos no Capítulo 2) v0 de fato independa da temperatura. Isto pode elevar o livre caminho médio de baixa temperatura para 103 ou mais angströms, cerca de mil vezes o espaçamento entre íons. Hoje, trabalhando em temperaturas suficientemente baixas com amostras cuidadosamente preparadas, livres caminhos médios da ordem de centímetros (ou seja, 108 espaçamentos interatômicos) podem ser atingidos. Isto é uma forte evidência de que os elétrons não se chocam simplesmente com os íons, como Drude supôs. Felizmente, porém, podemos continuar calculando com o modelo de Drude, sem nenhum conhecimento preciso da causa das colisões. Na ausência de uma teoria do tempo de colisão, torna-se importante encontrar previsões do modelo de Drude que sejam independentes do valor do tempo de relaxação x. Por coincidência, há diversas dessas grandezas independentes de x, que até hoje permanecem de fundamental interesse, já que, em muitos aspectos, o tratamento quantitativo preciso do tempo de relaxação permanece como a ligação mais fraca nos tratamentos modernos de condutividade metálica. Como consequência, grandezas independentes de x são altamente valorizadas, já que geralmente produzem informações consideravelmente mais confiáveis. Dois casos de particular interesse são os cálculos da condutividade elétrica quando um campo magnético estático espacialmente uniforme está presente e quando o campo elétrico é espacialmente uniforme, porém, dependente do tempo. Lida-se de modo mais simples com estes dois casos levando-se em conta a seguinte observação: Em qualquer tempo t, a velocidade eletrônica média v é exatamente p(t)/m, onde p é o momento total por elétron. Consequentemente, a densidade de corrente é j =-

nep^ t h . (1.9) m

Dado que o momento por elétron é p(t) no tempo t, vamos calcular o momento por elétron p(t + dt) um infinitesimal tempo dt mais tarde. Um elétron tomado aleatoriamente no tempo t sofrerá uma colisão antes do tempo t + dt, com probabilidade dt/x, e sobreviverá, portanto, até o tempo t + dt sem sofrer uma colisão com probabilidade 1 - dt/x. No entanto, se ele não experimenta colisão, ele simplesmente evolui sob a influência da força f(t)

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(devido aos campos elétrico e/ou magnético espacialmente uniformes) e adquirirá, então, um momento12 adicional f(t)dt + O(dt)2. A contribuição de todos esses elétrons que não colidem entre t e t + dt para o momento por elétron no tempo t + dt é a fração (1 - dt/x) que eles constituem de todos os elétrons vezes seu momento médio por elétron, p(t) + f(t) dt + O(dt)2. Tabela 1.3

Tempos de relaxação de Drude em unidades de 10-14 segundos* Elemento

77 K

273 K

373 K

Li Na K Rb Cs Cu Ag Au Be Mg Ca Sr Ba Nb Fe Zn Cd Hg Al Ga In Tl Sn Pb Bi Sb

7,3 17 18 14 8,6 21 20 12

0,88 3,2 4,1 2,8 2,1 2,7 4,0 3,0 0,51 1,1 2,2 0,44 0,19 0,42 0,24 0,49 0,56

0,61

0,80 0,17 0,38 0,22 0,23 0,14 0,023 0,055

0,55

6,7 1,4 0,66 2,1 3,2 2,4 2,4 0,71 6,5 0,84 1,7 0,91 1,1 0,57 0,072 0,27

1,9 2,8 2,1 0,27 0,74 1,5

0,33 0,14 0,34

0,25 0,15 0,15 0,099 0,016 0,036

* Tempos de relaxação são calculados a partir dos dados nas Tabelas 1.1 e 1.2 e na equação (1.8). A desprezível dependência da temperatura de n é ignorada.

Por O(dt)2 queremos dizer um termo da ordem de (dt)2.

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Assim, omitindo por ora a contribuição para p(t + dt) daqueles elétrons que sofrem uma colisão no tempo entre t e t + dt, temos13 p^t + dt h = `1 - dt j6 p^ t h + f^ t h dt + O^dt h2 @ x (1.10) 2 = p^ t h - ` dt j p^ t h + f^ t h dt + O^dt h . x A correção para (1.10) devido àqueles elétrons que tiveram uma colisão no intervalo t a t + dt é exatamente da ordem de (dt)2. Para enxergar isto, observe primeiro que estes elétrons constituem uma fração dt/x do número total de elétrons. Além disso, já que a velocidade (e o momento) eletrônica(o) é direcionada(o) de modo aleatório imediatamente após uma colisão, cada um desses elétrons contribuirá para o momento médio p(t + dt) apenas na extensão em que adquiriu momento a partir da força f desde sua última colisão. Tal momento é adquirido em um tempo não maior que dt, e é, portanto, da ordem de f(t)dt. Assim, a correção para (1.10) é da ordem (dt/x)f(t)dt, e não afeta os termos de ordem linear em dt. Podemos, então, escrever: p^t + dt h - p^ t h = -` dt j p^ t h + f^ t h dt + O^dt h2 . (1.11) x onde a contribuição de todos os elétrons a p(t + dt) é considerada. Dividindo isto por dt e tomando o limite como dt " 0, encontramos dp^ t h p^ t h + f^ t h . (1.12) =x dt que simplesmente determina que o efeito de colisões individuais de elétrons é introduzir um termo de amortecimento friccional na equação de movimento para o momento por elétron. Agora, aplicamos (1.12) a diversos casos de interesse.

O EFEITO HALL E A MAGNETORRESISTÊNCIA Em 1879, E. H. Hall tentou determinar se a força experimentada por um fio de corrente elétrica em um campo magnético era exercida em todo o fio ou se apenas sobre (o que agora chamaríamos) os elétrons em movimento no fio. Ele suspeitou que fosse o último caso, e seu experimento se baseou no argumento de que “se a própria corrente de eletricidade em um condutor fixo é atraída por um ímã, a corrente deve ser levada para um lado do fio e, portanto, a resistência experimentada deve ser aumentada”.14 Seus esforços para detectar essa Se a força nos elétrons não for a mesma para todos os elétrons, (1.10) permanecerá válida, desde que interpretemos f como a força média por elétron. 14 Am. J. Math., n. 2, p. 287, 1879. 13

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resistência extra não tiveram sucesso,15 mas Hall não considerou o resultado conclusivo: “O magneto pode tender a desviar a corrente sem ser capaz de fazê-lo. É evidente que, neste caso, existiria um estado de estresse no condutor, a eletricidade pressionando, como estava, em direção a um lado do fio”. Este estado de estresse deve aparecer como uma voltagem transversa (conhecida hoje como voltagem de Hall), que Hall foi capaz de observar. O experimento de Hall é ilustrado na Figura 1.3. Um campo elétrico Ex é aplicado a um fio que se estende na direção x e uma densidade de corrente jx flui no fio. Além disso, um campo magnético H aponta na direção z positiva. Como resultado, a força de Lorentz16 - e v # H (1.13) c age para desviar elétrons na direção y negativa (uma velocidade de deriva é oposta ao fluxo da corrente). No entanto, os elétrons não conseguem se mover muito longe na direção y antes de esbarrarem nas laterais do fio. Na medida em que eles se acumulam ali, um campo elétrico se forma na direção y que se opõe a seu movimento e à sua posterior acumulação. No equilíbrio, este campo transverso (ou campo de Hall) Ey equilibrará a força de Lorentz, e a corrente fluirá apenas na direção x. z

y x

υx H –ev # H Ey Ex

Figura 1.3 Vista esquemática do experimento de Hall.

Há duas grandezas de interesse. Uma é a razão do campo ao longo do fio Ex para a densidade de corrente jx, t^ H h = Ex . (1.14) jx

O aumento na resistência (conhecido como magnetorresistência) ocorre, como veremos nos Capítulos 12 e 13. O modelo de Drude, no entanto, prevê o resultado nulo de Hall. 16 Ao lidarmos com materiais não magnéticos (ou fracamente magnéticos), devemos sempre chamar o campo H, e a diferença entre B e H é extremamente pequena. 15

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