Vetores e matrizes - Uma introdução à Álgebra Linear by Cengage Brasil

Vetores e Matrizes Uma Introdução à Álgebra Linear Edição Revista e Ampliada

Os modelos lineares são fundamentais tanto para as ciências exatas, como para as ciências físicas e sociais, com grande importância na economia e aplicações crescentes na tecnologia. Esta obra apresenta uma introdução à álgebra linear por meio do estudo de álgebra vetorial, geometria analítica, matrizes, sistemas de equações lineares e funções lineares. Obra já reconhecida e de grande aceitação na área, a quarta edição de Vetores e Matrizes foi revista e ampliada, incluindo agora um capítulo de álgebra linear computacional. Traz ainda muitos exercícios que complementam o texto. Estes variam da simples verificação da aprendizagem até alguns mais complexos, cujo objetivo é desenvolver a iniciativa dos estudantes.

Aplicações Livro-texto indicado para as disciplinas vetores e matrizes, geometria analítica e introdução à álgebra linear nos cursos de graduação em Física, Matemática e Engenharias, entre outros.

Colaboradores Doherty Andrade é professor associado do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá e doutor em Matemática pela USP. Nelson Martins Garcia é professor associado do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá e doutor em Matemática pela PUC/Rio.

Vetores e Matrizes : Uma Introdução à Álgebra Linear

Nathan Moreira dos Santos bacharelou-se em 1958 na Universidade Católica do Paraná. Foi bolsista da Capes de 1959 a agosto de 1962, estagiando no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa) do CNPq. Foi bolsista da Capes e da OEA no Massachusetts Institute of Technology, onde obteve o grau de Ph.D., em 1966, sob a orientação do eminente matemático Isadore M. Singer (prêmio Abel em 2004). Foi professor visitante na Queen's University no Canadá, durante o ano letivo 1966-1967, e na Universidad Mayor de San Marcos, no Peru, sob o patrocínio da Ford Foundation, em 1969. Foi professor associado na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC/Rio) de 1967 a 1994. Atualmente, é professor titular aposentado da Universidade Federal Fluminense (UFF). Suas áreas de pesquisa envolvem a teoria das folheações, classes características e teoria da rigidez de ações de grupos de Lie, em variedades diferenciáveis. Continua ativamente publicando artigos em revistas internacionais de alto nível e proferindo palestras e conferências em universidades e congressos especializados.

Nathan Moreira dos Santos

Sobre o Autor

Edição Revista e Ampliada

Álgebra Linear David Poole Cálculo – Volumes I e II – 5a Edição James Stewart Matemática Aplicada à Administração e Economia S. T. Tan Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade Afrânio Murolo e Giácomo Bonetto Matemática Financeira e Engenharia Econômica Nivaldo Elias Pilão e Paulo R. V. Hummel

Vetores e Matrizes Uma Introdução à Álgebra Linear

ISBN 13 978-85-221-0873-2 ISBN 10 85-221-0873-0

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9 788522 108732

Outras Obras

Nathan Moreira dos Santos

Pré-Cálculo Valéria Zuma Medeiros (Coord.)

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Santos, Nathan Moreira dos Vetores e matrizes : uma introdução à álgebra linear / Nathan Moreira dos Santos ; [colaboradores] Doherty Andrade, Nelson Martins Garcia. -- 4. ed. rev. e ampl. -São Paulo : Thomson Learning, 2007. -- (Vetores e matrizes) Bibliografia. ISBN 978-85-221-0873-2 1. Álgebra linear 2. Cálculo vetorial 3. Matrizes (Matemática) I. Andrade, Doherty. II. Garcia, Nelson Martins. III. Título. IV. Série.

07-1581

CDD-512.5 Índices para catálogo sistemático: 1. Matrizes : Matemática 2. Vetores : Matemática

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Vetores e Matrizes Uma Introdução à Álgebra Linear

Nathan Moreira dos Santos

Professor Titular do Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense e Ph.D. pelo Massachusetts Institute of Technology

4a Edição

Texto revisto e ampliado com a inclusão de um capítulo sobre álgebra linear computacional, elaborado por:

Doherty Andrade

Professor Associado do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá, Doutor em Matemática pela USP

Nelson Martins Garcia

Professor Associado do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá, Doutor em Matemática pela PUC/RIO

Austrália • Brasil • Japão • Coréia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

Vetores e Matrizes Uma Introdução à Álgebra Linear Nathan Moreira dos Santos

Gerente Editorial: Patricia La Rosa

©2007 Cengage Learning Edições Ltda. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, sejam quais forem os meios empregados, sem a permissão, por escrito, da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.

Editora de Desenvolvimento: Ligia Cosmo Cantarelli Supervisor de Produção Editorial: Fábio Gonçalves

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Supervisora de Produção Gráfica: Fabiana Alencar Albuquerque

Para permissão de uso de material desta obra, envie seu pedido para direitosautorais@cengage.com

Copidesque: Maria Alice da Costa Revisão: Mônica Di Giacomo, Silvana Gouveia Composição: Segmento & Co. Produções Gráficas Ltda. Capa: FZ. Dáblio Design Studio

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Impresso no Brasil. Printed in Brazil. 1 2 3 4 5 6 11 10 09 08 07

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Para meus filhos Alexandre e AndrĂŠ e meus netos Lucas e Bernardo Nathan Moreira dos Santos

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Sumário

Prefácio à quarta edição, ix

CAPÍTULO 1 – Vetores, 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Preliminares, 1 Vetores, 2 Adição de Vetores, 3 Produto por Escalares, 6 Dependência e Independência Lineares, 9 O Produto Interno, 13 Bases Ortonormais, 17 O Produto Vetorial, 23 O Produto Misto, 24

CAPÍTULO 2 – Retas e Planos, 31 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

Coordenadas Cartesianas, 31 Equações do Plano, 33 Ângulo entre dois Planos, 40 Equações de uma Reta, 42 Ângulo entre duas Retas, 47 Distância de um Ponto a um Plano, 49 Distância de um Ponto a uma Reta, 51 Distância entre duas Retas, 53 Interseção de Planos – Regra de Cramer, 57

CAPÍTULO 3 – Cônicas e Quádricas, 63 3.1 3.2 3.3 3.4

Cônicas, 63 Superfícies Quádricas, 69 Mudanças de Coordenadas, 78 A Equação Geral do Segundo Grau, 80

CAPÍTULO 4 – Espaços Euclidianos, 87 4.1 4.2 4.3

Os Espaços Euclidianos Rn, 87 Produto Interno, 91 A Norma de um Vetor, 93

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Retas e Hiperplanos, 98 Subespaços, 100 Dependência e Independência Lineares, 102 Bases Ortonormais, 103

CAPÍTULO 5 – Matrizes e Sistemas de Equações Lineares, 109 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

Corpos, 109 Os Espaços Kn, 110 Matrizes, 112 Produto de Matrizes, 116 Sistemas de Equações Lineares, 122 Operações Elementares, 126 Matrizes Escalonadas, 134 Sistemas Não-Homogêneos, 136 Matrizes Elementares, 140 Matrizes Invertíveis, 142

CAPÍTULO 6 – Funções Lineares, 149 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Funções, 149 Funções Lineares, 151 Matriz de uma Função Linear, 156 Mudança de Base, 160 O Teorema do Posto e da Nulidade, 161 Autovalores e Autovetores, 163 O Teorema Espectral, 167 Diagonalização de Formas Quadráticas, 172 Uma Introdução à Álgebra Linear, 175

CAPÍTULO 7 – Noções de Álgebra Linear Computacional, 179 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Introdução ao Maple, 180 Vetores e Operações, 187 Retas e Planos, 193 Cônicas e Quádricas, 212 Espaços Euclidianos, 223 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares, 234 Funções Lineares, 248

CAPÍTULO 8 – Exercícios Suplementares, 265 Sugestões, Respostas e Soluções de Exercícios, 273 Bibliografia, 287

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Prefácio à Quarta Edição

A primeira versão deste livro foi publicada como monografia pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada do CNPq (IMPA) em 1970. A primeira edição foi publicada pela editora Ao Livro Técnico S.A. em 1972, com duas reimpressões em 1973. A segunda edição apareceu em 1975 por Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., com reimpressões em 1976 e 1977, seguindo-se da terceira edição em 1988. Um total de mais de 50 mil exemplares foi impresso, atestando a boa aceitação que o livro teve. À medida que meu envolvimento em pesquisa em matemática crescia, descuidei-me em preparar uma quarta edição de Vetores e Matrizes. Isso esclarece o lapso de anos ocorrido entre a terceira edição e esta quarta edição que tenho o prazer de lançar. A idéia de publicar esta edição é resultado dos muitos pedidos recebidos de colegas e do encorajamento e “convocação” que recebi do professor Nelson Martins Garcia que em colaboração com o professor Doherty Andrade contribuíram também com um capítulo sobre álgebra linear computacional. Ambos são professores associados no Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá (UEM), no Paraná. Como professor do Departamento de Matemática da PUC-RIO, coordenei no período de 1973 a 1978 um convênio entre a PUC-RIO e a UEM, objetivando capacitar o corpo docente desta instituição para o ensino e a pesquisa em matemática. Hoje vejo que esse convênio foi um sucesso: além de ter propiciado a formação de vários mestres e doutores, tem contribuído para o ensino da matemática no Brasil. Vetores e Matrizes é uma introdução à álgebra linear. Isso é alcançado por meio do estudo da álgebra vetorial, da geometria analítica, das matrizes, dos sistemas de equações lineares e das funções lineares. Em verdade, este livro é fruto da experiência obtida ministrando cursos de introdução à álgebra linear na PUC-RIO. O Capítulo 1 introduz os vetores como classes de equivalência de segmentos orientados do espaço e estuda as operações sobre os vetores; algumas propriedades das figuras planas são demonstradas por meio do cálculo vetorial. O Capítulo 2 utiliza os vetores no estudo das retas e planos do espaço. As cônicas e quádricas são estudadas no Capítulo 3. No Capítulo 4 introduzimos os espaços euclidianos, os quais são utilizados no Capítulo 5, nos estudos das matrizes e sistemas de equações lineares, e no Capítulo 6, no estudo das funções lineares. ix

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Os exercícios complementam uma parte essencial ao texto. Eles variam desde simples verificação de aprendizagem, até alguns mais difíceis, cujo objetivo é desenvolver a iniciativa dos estudantes. Alguns exercícios estendem o texto, apresentando resultados importantes cujo conhecimento é, às vezes, exigido nas seções seguintes. Durante as várias edições incorporei, após análise detalhada, muitas sugestões que recebi de colegas e estudantes que utilizaram o livro em cursos de geometria analítica e introdução à álgebra linear. A eles minha gratidão por terem contribuído para o aperfeiçoamento do texto. Rio de Janeiro Nathan Moreira dos Santos

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1.1 Preliminares Vamos começar recordando as noções da geometria do espaço que serão utilizadas para definir vetor. Outros fatos geométricos serão mencionados quando houver necessidade. Esperamos que o leitor esteja razoavelmente familiarizado com os conceitos básicos da geometria elementar. Ponto, reta e plano são conceitos primitivos. As relações entre esses conceitos são estabelecidas pelos axiomas da geometria elementar. Recordemos alguns axiomas que nos interessam de perto: 1. Três pontos quaisquer, não situados em uma mesma reta, determinam um plano. 2. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, essa reta está contida no plano. 3. Se dois planos têm um ponto em comum, eles possuem pelo menos uma reta em comum passando por esse ponto. 4. Existem pelo menos quatro pontos que não pertencem a um mesmo plano. Duas retas são paralelas quando estão situadas em um mesmo plano e não se interceptam. A relação de paralelismo é transitiva, isto é, se as retas r1 e r2, bem como as retas r2 e r3, são paralelas, então r1 e r3 também são. Se uma reta r não tem ponto em comum com um plano π, diremos que r é paralela ao plano π. Caso contrário, ou a reta r está contida em π ou r intercepta π exatamente em um ponto. Se r intercepta π em um ponto p e, além disso, qualquer reta do plano π que passe por p é perpendicular à reta r, diremos que a reta r é perpendicular ao plano π. Demonstra-se que se p é um ponto de um plano π, então existe uma única reta perpendicular a π passando por p. 1

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1.2 Vetores Dois pontos distintos A e B do espaço determinam uma reta r. O segmento de reta r entre A e B é a parte da reta compreendida entre esses dois pontos. Podemos orientar esse segmento considerando um dos pontos como origem e o outro como extremidade.

Figura 1.1

O segmento orientado com origem A e extremidade B será indicado por AB. Os pontos serão, também, considerados como segmentos orientados (nulos). Assim, o ponto A pode ser identificado com o segmento orientado AA (origem A e extremidade A). Sejam AB e A’B’ segmentos orientados. Definição 1.1 Diremos que o segmento orientado AB é eqüipolente ao segmento orientado A’B’ se uma das três afirmações a seguir for verificada: 1. A = B e A’ = B’. 2. AB e A’B’ estão situados sobre uma mesma reta e é possível deslizar A’B’ sobre essa reta de maneira que A’ coincida com A e B’ coincida com B. 3. A figura obtida ligando-se os pontos A a B, B a B’, B’ a A’ e A’ a A é um paralelogramo (veja a Figura 1.1). Observe que dois pontos (quando considerados como segmentos orientados) são sempre eqüipolentes. O leitor pode mostrar facilmente que a relação de eqüipolência satisfaz às seguintes propriedades: e1 Reflexividade: Todo segmento orientado do espaço é eqüipolente a si mesmo. e2 Simetria: Se o segmento orientado AB é eqüipolente ao segmento orientado A’B’, então A’B’ é eqüipolente a AB. e3 Transitividade: Se o segmento orientado AB é eqüipolente ao segmento orientado A’B’ e se A’B’ é eqüipolente ao segmento orientado A”B”, então AB é eqüipolente a A”B”.

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Capítulo 1

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Em virtude das três propriedades mencionadas, é usual dizer-se que a eqüipolência é uma relação de equivalência. Definição 1.2 O vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados do espaço que são eqüipolentes ao segmento orientado AB. uuur O vetor determinado por AB userá uur indicado por AB ; o segmento orientado AB é um representante do vetor ABuuu.rÉ conveniente representar tanto o segmento orientado AB como o vetor AB por uma seta com origem em A e extremidade em B. O leitor deve, entretanto, não se esquecer uuurde que isso é um abuso de notação: o segmento orientado AB e o vetor AB são objetos matemáticos distintos,uuu pois r AB é um segmento orientado (isto é, um conjunto de pontos), enquanto AB é um conjunto de segmentos orientados. Observe que os segmentos orientados AB e CD representam o mesmo vetor se, e somente se, esses segmentos são eqüipolentes. Portanto, um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados distintos. Na verdade, se AB é um segmento orientado e P, um ponto qualquer do espaço, o leitor pode ver facilmente que existe um, e somente um, segmento orientado PQ, comuuu origem em P, tal que PQ é eqüipolente a AB. r Segue-se, assim, que o vetor AB tem exatamente um representante em cada ponto do espaço. Os vetores serão geralmente com setas r uuur indicados por letras minúsculas em cima. Por exemplo, o vetor AB pode ser indicado por a . Os números reais serão indicados por letras minúsculas (sem setas em cima). 1.3 Adição de Vetores r r Sejam a e b dois r rvetores. Vamos definir o vetor soma desses vetores, que indicaremos por a + b . A definição é motivada pela composição der forças em mecânica. Escolhamos um representante qualquer AB, para o vetor a .

Figura 1.2

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Já sabemos que existe r um único segmento orientado com origem em r rB representando o vetor b . Seja BC esse segmento. Definimos o vetor a + b como o vetor representado pelo segmento orientado AC (veja a Figura 1.2). É necessário r r verificar que a adição anterior está bem-definida, mostrando a + b é único, qualquer que seja a escolha dos representantes dos que o vetor r r vetores a e b . Para rmostrar isso, escolhamos novos representantes A’B’ e r B’C’ para os vetores a e b , respectivamente.

Figura 1.3

Como os segmentos orientados AC e A’C’ são eqüipolentes (veja a uuur uuuuur Figura 1.3), resulta AC = A’ C’ .

Figura 1.4

r r Ar adição r r der vetores é comutativa, isto é, se a e b são vetores r quaisquer, uuur uuur a + b = b + a a = então . De fato, observando a Figura 1.4 vemos que r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r ABr = DC r e b = BC = AD ; além disso, AB + DC = AC e AD + DC = AC , onde a + b = b + a .

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r r r A adição de vetores é associativa, isto é, se a , b e c são vetores quaisquer, então r r r r r r a + b + c = a + b + c.

(

) (

)

A demonstração dessa propriedade pode ser feita facilmente, observado-se a Figura 1.5.

r r r r r r a + b + c = a + b + c.

(

) (

)

Figura 1.5

Concordamos em considerar um ponto A qualquer do espaço como um segmento orientado AA, com origem A e extremidade A (segmento nulo). Assim, por definição, todos os segmentos nulos do espaço são eqüipolentes entre si, portanto o conjunto de todos os segmentos nulos r dorespaço é um vetor, que será chamado vetor nulo e indicaremos por 0 . Se a é um vetor qualquer, então r r r 0 + a = a. r r A cada vetor a associaremos da seguinte forma um vetor −a , denomir r uuur r uuur uuur uuur uuur nado simétrico de a : se a = AB , então, − a = BA . Como AB + BA = AA , temos r r r r r r r que a + (− a) = 0 ; analogamente, − a + a = 0 . O vetor −a , definido anteriorr r r mente, é o único vetor que satisfaz à igualdade a + (− a) = 0 . Com efeito, r r r r r suponha que b seja um vetor tal que a + b = 0 ; então somando −a a ambos os membros da igualdade dada, obtemos r r r r r − a + ( a + b) = − a + 0 .

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E, pela associatividade da adição de vetores, temos r r r r r ( − a + a) + b = − a + 0 , ou seja, onde

r r r r 0 + b = −a + 0 , r r b = −a .

Exemplo ur u ur u ur u1.1 Qual é a condição necessária e suficiente para que os vetores a1 , a2 ,..., an possam ser representados pelos lados A1 A2 , A2 A3 ,..., An A1 de um polígono de n lados? ur uuuuuuur Pondo ai = Ai Ai +1 para i = 1, 2,..., n, procuramos a condição necessária e sufiuuuuur uuuuuur uuuuuuuur uuuuur + ... + Aur ciente para que An+1 = A1. Se An+1 = A1, então A1 A2 + Aur 2 A3ur nuAn +r 1 = A1 A1 , u u ur u ur u ur u r ou seja, a1 + a2 + ... + an = 0. Reciprocamente, se a1 + a2 + ... + an = 0, então ur u ur u ur u uuuuur uuuuuur uuuuuuuur uuuuuuur r A1 A2 + A2 A3 + ... + An An +1 = A1 An +1 = 0 e, portanto, A1 = An +1. Logo, a1 , a2 ,..., an , podem ser representados pelos lados de um polígono de n lados se, e ur u ur u ur u r somente se, a1 + a2 + ... + an = 0.

Figura 1.6

1.4 Produto por Escalares O termo escalar é tradicionalmenteur uusado com o significado de número real. Sejam x um número real e a1 um vetor. Utilizaremos nossos conhecir r mentos de geometria para definir o vetor xa, produto do vetor a pelo escalar x.

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r r r a a = 0 , fazemos, por Tomemos um representante AB do vetor . Se ou x = 0 r r r r r definição, xa = 0 . Se x ≠ 0 e a ≠ 0 , o vetor xa é definido como o vetor que tem como representante o segmento AC cujo comprimento é x vezes o comprimento de AB; situa-se sobre a reta que contém AB, e é tal que, se x > 0 , então C e B estão de um mesmo lado de A e, se x < 0 , então A está entre C e B (veja a Figura 1.7). O leitor pode verificar facilmente as seguintes propriedades: r r r ( x + y ) a = xa + ya r r r r x( a + b) = xa + xb r r x( ya) = ( xy )a.

Figura 1.7

As igualdades r r anteriores são válidasr quaisquer r r quersejam os escalares x, y e os a b 1a = a ( − 1 ) a = − a. vetores , . É claro, também, que e r r r r Observe que 0 a = 0 e x0 = 0 são, na verdade, conseqüências das propriedades da adição de vetores e da multiplicação de vetores por escalares. Realmente: r r r r r r r 0 a = [1 + (−1)] a = 1a + (−1)a = a + (− a) = 0 e

r r r r r r r r x 0 = x ⎡⎣ a + (− a)⎤⎦ = xa + x(−1a) = xa + (− xa) = 0.

A seguir, daremos um resumo das propriedades da adição de vetores e da multiplicação de vetores por escalares. r r r r r r r r r r 1. ( a + b) + c = a + (b + c) 5. x( a + b) = xa + xb r r r r r r r r 2. 0 + a = a + 0 = a 6. ( x + y )a = xa + ya r r r r r 3. a + (−1)a = 0 7. ( xy )a = x( ya) r r r r r r 4. a + b = b + a 8. 1a = a

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Exemplo 1.2 Em um quadrilátero qualquer (não necessariamente convexo), ABCD, os pontos médios E, F, G e H dos lados são os vértices de um paralelogramo.

Figura 1.8

De fato, observando a figura, vemos que uuur 1 uuur uuur 1 uuur HG = DA + AC + CD 2 2 1 uuur uuur uuur 1 uuur = (DA + AC + CD) + AC 2 2 pelo Exemplo 1.1,

uuur uuur uuur r DA + AC + CD = 0 ,

portanto uuur 1 uuur HG = AC 2 1 uuur 1 uuur = AB + BC 2 2 uuur uur = EB + BF uur = EF.

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Além disso, uuur uuur uuur uur HE = HG + GF + FE uuur uur uuur = ( HG − EF ) + GF uuur = GF. Assim, o quadrilátero EFGH é um paralelogramo. 1.5 Dependência e Independência Lineares r r Sejam a e b vetores dados. um ponto qualquer, P, do espaço. Sejam PA r Fixe r e PB representantes de a e b , respectivamente.

Figura 1.9

Podemos, então, encontrar uma das seguintes situações:

Caso 1 PA e PB situados sobre uma mesma acontece se, e somente se, r reta r r; isso r r a = xb b = xa existe um número real x tal que ou . Diremos, então, que os r r vetores a e b são linearmente dependentes ou colineares (veja a Figura 1.9).

Caso 2 PA e PB não situados sobre uma mesma reta. Desse PA e PB determir modo, r nam um plano π. Diremos, então, que os vetores a e b são linearmente independentes.

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r r xa + yb chaSejam x e y escalares quaisquer. Umar expressão r rda forma r ma-se uma combinação linear dos vetores a e b . Se a e b são linearmente dependentes e não simultaneamente r r nulos, então eles geram uma reta, isto é, xa + yb todos os vetores da forma podem ser representados sobre uma mesma reta r. Reciprocamente, se C é de r, então exisr r r uuur um ponto qualquer a ≠ 0 xa + yb = PC tem escalares x e y tais que ; por exemplo, se , então existe um r uuur escalar x tal r que r xa uuur= PC (a rigor, existe uma infinidade de escalares x e y tais que rxa + ryb = PC ). Se ra e rb são linearmente independentes, então, todos os vetores da forma xa + yb podem ser representados sobre um mesmo plano π.

Figura 1.10

De modo recíproco, se um a FiuuurC éuuuu r ponto uuur qualquer uuuur dorplano uuurπ, então r gura 1.10 nos mostra quer PC = PA’ + PB’ , onde PA’ = xa e PB’ = yb . Vemos, assim, que todo vetor v que possua representante r nor plano π pode ser escrito como uma combinação dos vetores a e b ; e que toda comr linear r binação linear dos vetores ar e br pode ser representada sobre o plano π. Por essa razão, se os vetores a e b são linearmente independentes, diremos que eles geram um plano. r r r Se um vetor v rse escreve como uma combinação r r linear xa + yb , diremos r vetores r rque os vetores xa e yb são componentes do vetor v na direção dos a e b , respectivamente. r r Os escalares x e y rsão ras coordenadas de v em termos dos vetores a re b . Observe que, se a e b são linearmente independentes, cada vetor v que possua representante em r πr se escreve de maneira a e b. única como ruma combinação linear dos vetores r r Sejam a , b e c vetores não simultaneamente nulos. Então, pode ocorrer um dos dois casos a seguir:

Caso 1

r r r Os vetores a , b e c são linearmente dependentes, isto é, r r r i) ou a , b , c possuem representantes em uma mesma reta (nesse caso, diremos que esses vetores são colineares);

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r r r ii) ou a , b , c possuem representantes em um mesmo plano; nesse caso, diremos que eles são coplanares (observe que a colinearidade de três vetores é um caso particular da coplanaridade, isto é, o item (i) é um caso particular do item (ii)).

Caso 2

r r r Os vetores a , b e c são linearmente independentes ou não-coplanares, isto é, não possuem representantes em um mesmo plano. r r r Sejam x, y e z escalares quaisquer. Uma expressão r r r da forma xa + yb + zc chama-se uma combinação r rlinear r dos vetores a , b e c . É fácil ver que, se a , b e c são vetores colineares, não então r todos r nulos, r eles geram uma reta, isto é, todos os vetores da forma xa + yb + zc possuem representantes em uma mesma reta; reciprocamente, se r ér uma r reta r sobre a qual existem representantes PA, PB e PC para os vetores a , b e c , respectivamente, e D é um ponto r r uuur qualquer r r de r r, então existe uma infinidade der escalares x, y e z, tais que PD = xa + yb + zc . É igualmente fácil ver que, se a , b e c são r vetores r r coplanares, mas não-colineares, todos os vetores da forma se π xa + yb + zc possuem representantes sobre um mesmo plano. r Recíproca, r r é um plano que contém os representantes PA, PB e PC de a , b e c , respectivamente, e D é um pontouuuqualquer r r rde πr , então existe uma infinidade de escalares x, y e z, tais que PD = xa + yb + zc . Por essa razão, diremos que três vetores coplanares, mas não-colineares, geram um plano. Do exposto anteriormente, concluímos que três vetores linearmente dependentes, não simultaneamente nulos, ou geram uma reta ou r um r plano. r a b Mostraremos agora que, se , e c são linearmente independentes, r eles geram o espaço, isto é, se v é um vetor qualquer, um (único) r r então r existe r terno ordenado ( x , y , z ) de escalares, tais que v = xa + yb + zc . Para r risso, r esr colhamos os representantes PA, PB, PC e PM para os vetores a , b , c e v , respectivamente, com origem no ponto P (veja a Figura 1.11).

Figura 1.11

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Por M, tracemos a paralela a PC. Seja M´ o ponto de encontro dessa paralela com o plano determinado pelos segmentos PA e PB. O ponto M´ existe, pois, caso contrário, PC restaria r r no plano determinado por PA e PB, o a b que a hipótese são Vemos, assim, que uuuur contraria uuuur uuuuuu r uuuurde uque uuur , e cuuuu r não-coplanares. uuur PM = PM ’ + M ’ M = PM ’ + PC ’ PC ’ = zPC , onde , para algum escalar z. Além uuuur disso, PM’ estáuno plano determinado por PA e PB e, portanto, existem escalares uuur uuur uuur r r r r x e y, tais que PM’ = xPA + yPBr. Logo, r r vr= xa + yb + zc . xa Chamaremos os vetores , e zc componentes do vetor v na rdireyb r r r ção dos vetores a , br erc ; os r números x, y e z são as coordenadas de v em termos dos vetores a , b e c . Um conjunto de três vetores linearmente independentes denomina-se r r uma r base para o espaço dos vetores. r rAr base que a b c consiste nos vetores r ,r r e , nessa ordem, r será indicada por a, b , c . Se escolhermos uma base a, b , c , a cada vetor v corresponde um r único terno ordenado ( x , y , z ) de escalares, a saber, as coordenadas de v em termos dessa base. De forma recíproca, a cada terno ordenado ( x , y , z ) de números reais corresponde o vetor r r r r v = xa + yb + zc .

{

}

{

}

Exercícios 1. Sejam P, A e B pontos do espaço. Seja C o ponto no segmento AB uuur AC m = . Escreva o vetor PC como combinação linear dos tal que CB uuur nuuur vetores PA e PB . 2. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam no meio. 3. Demonstre que a relação de eqüipolência é reflexiva, simétrica e transitiva. uuur uuur 4. Sejam AB e CD segmentos orientados. Demonstre que AB = CD se, e somente se, AB e CD são eqüipolentes. 5. a) Seja ABC um triângulo qualquer com medianas AD, BE e CF. Demonstre que uuur uuur uuur r AD + BE + CF = 0 . b) Seja ABC um triângulo qualquer. Mostre que existe um triângulo com lados paralelos às medianas de ABC e com os comprimentos destas. r r r 6. Demonstre que os vetores a , rb e rc são independentes r linearmente r se, e somente se, a equação xa + yb + zc = 0 só possui a solução nula x = y = z = 0. 7. Considere a equação r r r r r r x1 a + y1 b + z1 c = x2 a + y2 b + z2 c.

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Capítulo 1

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r r r a) Mostre que se a , b e c são linearmente independentes, então x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 r r r b) Mostre que se a , b e c são linearmente dependentes, não podemos concluir que x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2 . 1.6 O Produto Interno Motivados na expressão do trabalho em mecânica, vamos o produto r definir r interno de dois vetores. Essa operação a cada par a , b de vetores um r associa r número real que será indicado por a ⋅ b .

Figura 1.12

A fim de definirmos o produto interno, necessitamos do conceito de r r a b ângulo entre r rdois vetores. O ângulo entre os vetores não-nulos e , indicado por ( a , b ), é rdefinido Mais r r uuur rcomo uuur o ângulo entre seus representantes. a b precisamente, se a = AB e b = AC , então o ângulo entre e é, por definição, o ângulo entre os segmentos r r AB e AC. Para que essa definição faça sentido, devemos mostrar que ( a , b ) não depende da escolha dos representantes AB e AC. Especificamente, o leitor deverá r r mostrar que se A’B’ e A’C’ a b são também representantes dos vetores e , respectivamente (veja a Figura 1.12), o ângulo entre os segmentos orientados AB e AC é igual ao ângulo entre os segmentos orientados A’B’ e A’C’. Observe que o ângulo (AB, AC) é o menor segundo o qual AB deve girar para se tornar colinear com AC. Esse ângulo é positivo se a rotação estiver no sentido anti-horário e negativo, caso contrário. Rigorosamente, essa escolha da orientação deveria ser como na definição de triedro r r positivo do a , b ) seu ângulo próximo parágrafo.rIsso nos permite associar a cada ângulo ( r b a negativo ou oposto ( , ). Outro conceito que será também necessário é o de comprimento ou norma de um vetor. Escolhamos um segmento orientado não-nulo qualquer AB e vamos chamá-lo segmento orientado unitário. Todo segmento orientado

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congruente a AB será também chamado segmento orientado unitário. Um vetor é unitário se um de seus representantes (e então todos) for um segmento orientado unitário. r r r Dado o vetor a , seja v um unitário colinear com a . Pela colinearidade, existe um número t, conforme a Seção 1.5, positivo, nulo ou negativo, tal que r r a = tv . r r Chama-se norma ou comprimento de a , e se indica por a , o módulo desse número t. Então, r a =t. Dessa definição fica claro que um vetor é unitário se, e somente se, sua norma for igual a um. O leitor poderá facilmente demonstrar as seguintes propriedades da norma: r r r r r 1. a ≥ 0 ; a = 0 se, e somente se, a = 0 . r r 2. xa = x a . r As propriedades dadas se verificam quaisquer que sejam o vetor a e o escalar x. Passemos à definição do produto interno. r agora r r a b Sejam e vetores não-nulos. O produto interno do vetor a pelo vetor r r r b , indicado por a ⋅ b , é definido por r r r r r r a ⋅ b = a b cos a, b . r r Se um dos vetores a ou b for o vetor nulo, definimos: r r a⋅b = 0.

( )

O produto interno satisfaz às seguintes propriedades: r r r r 1. a ⋅ b = b ⋅ a (simetria) r r r r r r 2. x( a ⋅ b) = ( xa) ⋅ b = a ⋅ ( xb) (homogeneidade) r r r r r r r 3. c ⋅ ( a + b) = c ⋅ a + c ⋅ b (distributividade) r r r (quaisquer que sejam os vetores a , b , c e qualquer que seja o escalar x). Observe que essas propriedades sãor verificadas r r r r trivialmente se um dos vetores for o vetor nulo. Na verdade, a ⋅ 0 = 0 ⋅ b = 0 é a única definição compatível com elas, pois, pela segunda propriedade descrita, temos r r r r r r 0 = 0( a ⋅ b) = (0 a) ⋅ b = a ⋅ (0b),

Vetores e Matrizes Uma Introdução à Álgebra Linear Edição Revista e Ampliada

Vetores e Matrizes : Uma Introdução à Álgebra Linear

Nathan Moreira dos Santos

Sobre o Autor

Edição Revista e Ampliada

Vetores e Matrizes Uma Introdução à Álgebra Linear

ISBN 13 978-85-221-0873-2 ISBN 10 85-221-0873-0

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Outras Obras

Nathan Moreira dos Santos

Pré-Cálculo Valéria Zuma Medeiros (Coord.)