EDİTÖRDEN... Çoğumuz, hatta hepimiz küçükken matematik yazılılarından ve derslerinden korkardık. Genelde, öğretmenlerimiz test ve çalışma kâğıdı dağıttığında, hepimiz çok ödevimiz olduğunu düşünürdük. Hele çarpım tablosu… Kesinlikle en zoruydu. Çünkü zorla ezberlemiştik. Peki, şimdi anlamaya çalıştığımız işlemler daha mı kolay? Tabii ki hayır. Çünkü matematiğin „sonsuz‟ derin sularında, her derste, her zekâ sorusunda ilerliyoruz. Sonsuz deyince „abarttı‟ diyeceksiniz ama yıllardır öğrendiğimiz şeylere baktığımızda, bizden bir yaş büyüğümüze göre, daha hiçbir şey bilmiyoruz. Neyse, daha fazla korkmayalım, çünkü matematikte o kadar çok eğlenecek şey var ki… Bir kere okuduğumuzu anladığımızda ve biraz mantık kullandığımızda her problem çözülüyor. Formüllere gerek kalmıyor. Bunlara baktığımızda her şeyin bir sonucu olduğunu düşünürüz. Ama hep öyle değil. Örneğin sıfır üzeri sıfır ya da dergimizde bahsettiğimiz pi sayısı ve niceleri. Küçükken defterlerimizin kenarlarını süslerdik. Meğer bu süslerde bile matematik varmış. Ve yine eğlenceli bir konu “Mozaik Örüntüler”
İÇİNDEKİLER 9…..Mısır‟da Geometrinin Temelleri 1……Dergiye Başlarken-İçindekiler
12…Sayfalara Sığmayan Sayı: Pi Sayısı
2……Gauss Formülünü Kullanalım
14..Sayılar Dünyası
4……Hayatımızın Süsü Mozaik Örüntüler
9-10-11
4-5-6-7-8
Çoğumuz, neredeyse hepimiz 4-5 ya da daha çok ardışık sayıyı toplayabiliriz. Peki, daha çok ardışık (örneğin 20 )sayıyı nasıl kolayca nasıl toplarız? Ardışık sayıların toplamını iki yoldan yapabiliriz. Örneğin bize şöyle bir soru sorulsun: Soru: 22+23+24+25+26 = ? 1.YOL: Sayıları alt alta ya da yan yana yazarak toplayabiliriz. 22+23+24+25+26 =120 2.YOL Gauss Yöntemi Bu yöntemi Gauss adında alman matematikçi bulmuştur. Yöntem çok basittir. Önce sayıları yan yana yazarız, sonra sayıları altına sondan başa doğru yazarız. Daha sonra iki sırayı alt alta toplarız. 22+23+24+25+26 = 26+25+24+23+22 = ----------------------48+ 48+48+48+48 ( 5 tane 48 var ) Gördüğünüz gibi her sıra toplamı aynı rakamı verdi. Daha sonra 48 'lerin toplamını kısa yoldan yani Kendi sayısı kadarıyla çarparak buluruz.
48 x 5 =240
İki sıra olduğu için 240 ' ı 2 ' ye böleriz. 240: 2 = 120 Bulduğumuz 120 sayısı ardışık sayı sırasının sonucunu verir. Böylelikle 1. yolda bulduğumuz 120 sonucunu Gauss yöntemiyle bulmuş olduk. Alman matematikçi Gauss ' un ilkokul öğretmeni, 1’den 100'e kadar olan sayıların toplamını istemiştir. Bunun üzerine Gauss, "Gauss Yöntemi" ile soruyu çözer ve öğretmene verir. Öğretmen sorunun sonucunu hesaplayarak Gauss'un doğru sonucu bulduğunu görmüştür. Gauss kısaca şu yolu izlemiştir: 1 + 2 + 3 +...…+100= 100 + 99 + 98 +……+1= ____________________
101 +101+101+……(100 tane 101 var)
101'lerin toplamını kısa yoldan yani kendi sayısı kadarıyla çarparak buluruz.
101x100 =10100
İki sıra olduğu için 10100' ü 2 ' ye böleriz.
10100: 2 = 5050
Gauss, diğer matematikçilerden farklı olarak, salt matematikten ilgi alanına giren konulara yönelik çalışmalara kadar, çok farklı alanlarda kilit buluşlara imza attı. Yapıtlarıyla matematik dünyasına yeni bir soluk getirmişti. Bu nedenle de, bilim çevresinde "Matematiğin Prensi" olarak adlandırılıyor. Daha çocukluğunda, erken gelişmiş zekâsı ve matematiğe karşı yeteneğiyle sivrildi. İşçi kökenli anne babanın oğlu Gauss, 1777'de Almanya'nın Brunswick kentinde doğdu. Babasının yaptığı hesapları izlediği sırada, ailesi onun ileri düzeydeki zekâsını keşfetti. Küçük Carl, babasının yanlışını bulmuş ve doğru cevabı söylemişti. Hesapları tekrar kontrol eden babası hayrete düşmüştü. Çünkü, 2 yaşındaki oğlunun ikazı doğruydu. 10 yaşındaki Gauss'un matematiksel yeteneği, en iyi öğretmenlerini bile geride bırakıyordu. Matematik dersinin ilk gününde, Gauss ve sınıftaki diğer gözde öğrenciler, aritmetik dizin şeklinde adlandırılan konu üzerine yoğunlaştılar. Amaçları, ardışık sayılara 371, 413, 455... gibi sayıları eklemek ve bu sabit sayılar arasındaki farklılıkları anlamaktı. Gauss, bulduğu çözümü ilan etmeden önce, öğretmenleri problemin ne olduğunu büyük zorluklarla açıklamıştı. Sınıftaki diğer arkadaşlarının, onun çabucak ulaştığı çözümü bulmaları neredeyse bir saati almıştı. Bu tür dizinleri formülleştirmeye çalışmış, gerekli bağlantıları kurmuş ve problemi çözmüştü. Bunların hepsini de, neredeyse ışık hızıyla akıldan hesaplamıştı. Gauss'un aritmetiğe ve matematiğe duyduğu bu olağanüstü eğilim, Brunswick dükünün ilgisini çekti ve hemen okul masraflarını üstlendi. Genç Gauss, kolej yıllarında, dikkatini, aralarında Newton'un da bulunduğu ünlü akademisyenlerin büyük çalışmalarına yöneltti ve ilk özgün araştırmalarını gerçekleştirdi. Gauss'un erken yaşlarda ulaştığı matematiksel zaferler, daha sonraki kariyerinin de habercisiydi. 19 yaşındayken, bütün rakamların özelliklerini bir bir açıklayınca, o güne kadar geçerli matematik yasalarını alt üst etti. Dahası, gözlemler sonucu bulunan veri noktalarından geçecek en uygun eğimin belirlenmesinde kullanılan "En Küçük Kareler Metodu"nu keşfetti. Ayrıca, asal sayılarla, üçgen, kare, beşgen gibi geometrik şekiller arasındaki bağlantıları buldu. Keşfettiği bağıntıları kullanarak da, antik Yunan geometricilerinin bile gerçekleştirmeyi başaramadığı 17 kenarlı çokgeni kurdu.
Çevrenizdeki duvarlara, kaldırımlara, evlerinizin ya da okullarınızın yer döşemelerine hiç dikkat ettiniz mi? Bunların çoğunda “mozaik örüntüler” yer alıyor. Mozaik örüntüler, farklı şekillerin birbirlerinin üzerine gelmeyecek ve aralarında boşluk olmayacak şekilde bir yüzeyi kaplamalarıyla oluşur. Aslında satranç tahtası da yalnızca karelerden oluşmuş bir mozaik örüntüdür. Mozaik örüntüler, kare, üçgen, paralelkenar gibi birçok farklı şekille yapılabilir. Mozaik örüntüler, sanatla matematiğin en güzel buluşma noktalarından biridir. Bu yazımızda mozaik örüntüler hazırlamayı öğreneceğiz ve bu örüntüleri ustaca kullanan Hollandalı sanatçı ve matematikçi Maurits Cornelis Escher’le tanışacağız.
Escher’in eserlerini merak diyorsanız,http://www.mcescher.com/ adresinde “Picture Gallery” bağlantısına tıklayın. Açılan sayfadaki bağlantılara tıkladığınızda, Escher’in yaşamının farklı dönemlerinde ürettiği eserlerini görebilirsiniz.
Matematikle sanat oldukça farklı olan iki alan olarak karşımızdadır. Malzemeleri, teknikleri, yöntemleri ve doğal olarak ürünleri farklı, ilk bakışta hemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık, ortaklıkların varlığına engel değil. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanın içine doğduğu ortamı ve bu ortam içinde kendine ne olup bitmekte olduğunu anlama çabası sonucu doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu hatta yeniden sunumudur. Sayılar denklemler bu halleriyle doğada yokturlar ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar.
Maurits Cornelis Escher, veya daha çok kullanılan şekliyle M.C. Escher 1898 yılında Hollanda’da doğdu. 1918 yılına kadar, inşaat mühendisi olan babası George Escher, annesi Sarah ve dört erkek kardeşiyle birlikte, doğduğu kent olan Arnhem’de yaşadı. Okul hayatı hiçbir zaman iyi olmayan M.C. Escher, çizimlerini gösterdiği grafik öğretmeni Samuel Jessurun de Mesquita’nın da tavsiyeleriyle grafik üzerine çalışmayı uygun gördü. Grafik eğitiminden mezun olduktan sonra hayatının her zaman önemli bir kısmını oluşturacak olan seyahat zevkinin etkisiyle İtalya’ya seyahat etti ve burada birçok çizim yaptı. M.C Escher, çizimlerinde daha çok dönme simetrisi ve öteleme kullanmıştır. Örneğin aşağıdaki çizimde kurbağaya, bir noktada dönme simetrisi uygulanmış. Daha sonrada bu dörtlü kurbağalar ötelenerek çoğaltılmış.
Mozaik Örüntü Yapalım!
.Sayfaları adlandırıyoruz Yırtarak ikiye böldüğümüz kâğıtlara "Sayfa1" ve "Sayfa2" yazarak adlandırıyoruz. Çizgisiz beyaz kâğıda "Sayfa3" yazıyoruz.
1.Gerekli Araçlar: Bir yaprak çizgisiz beyaz kâğıt, Kareli kağıt, Kurşun veya uçlu kalem, Silgi, Pilot kalem veya asetat kalemi, Boyama ve süsleme için keçeli kalemler, Cetvel veya dikdörtgen çizmemizde yardımcı olabilecek herhangi bir şey.
!.Kareli Kâğıt kareli kâğıdı yırtarak ikiye bölelim. Yırtığın düzenli veya dağınık, yatay veya dikey olması farketmez. 3.Dikdörtgen çiziyoruz Kurşun kalemle "Sayfa1"in üzerindeki karelerden yararlanarak bir dikdörtgen çiziyoruz. Daha görünür olması için keçeli kalem veya asetat kalemi ile üzerinden geçiyoruz.
4.Dikdörtgeni kopyalıyoruz "Sayfa2"yi "Sayfa1"in üzerine koyuyoruz. ("Sayfa1"deki dikdörtgeni yeteri kadar koyu çizmişsen, "Sayfa2"den görünecektir. Eğer görünmüyorsa üzerinden bir defa daha geçmen sorunu çözecektir.) Cetvel ve kurşun kalem yardımıyla dikdörtgeni dikkatlice "Sayfa2" ye kopyalıyoruz. Daha sonra üzerinden keçeli kalemle geçerek belirginleştirebilirsin.
5.Dikdörtgeni "Sayfa3"e kopyalıyoruz Bir önceki adımda yaptığımız gibi "Sayfa3"ü, "Sayfa1" üzerine yerleştirerek, kurşun kalem kullanarak fazla bastırmadan dikdörtgenleri kopyalıyoruz. Daha sonra bu çizgileri sileceğimiz için kalemi mümkün olduğunca az bastırın. Dikdörtgenlerin kenarlarında, altında ve üstünde boşluk kalmayacak şekilde döşeyerek çiziyoruz. Bu adım biraz zor gelebilir. Silgiyi birçok defa kullanabilirisin. Ama üzülme, işin uzmanları bile bu adımda hata yapar!
6. Eğri çiziyoruz Bu adımda dikdörtgenin sol üst köşesinden başlayan, sol alt köşesinde biten "S" harfine benzer bir eğri çiziyoruz. Önce kurşun kalem ile fazla bastırmadan çizip, eğrini beğendiysen, sonra üzerinden keçeli kalemle geçebilirsin.
7. Eğriyi kopyalıyoruz Bir önceki adımda çizdiğimiz eğriyi, önce "Sayfa2"yi "Sayfa1" üzerine koyup çizgileri çakıştırarak kopyalıyoruz. Sonra "Sayfa2"yi biraz sola kaydırıp eğriyi dikdörtgenin sağ kenarına kopyalıyoruz. Çalışmanızı kontrol edin. Yukarıdaki fotoğrafa benziyor olması gerekiyor. Son olarak "Sayfa1"i "Sayfa2" üzerine koyup çizgileri çakıştırarak eğriyi kopyalıyoruz.
.Kontrol Çalışmanızı kontrol ediniz. "Sayfa1","Sayfa2" ve "Sayfa3" yukarıdaki fotoğrafta gördüğünüz gibi olmalı.
19.Eğriyi kopyalıyoruz Kurşun kalem kullanarak, hafifçe, fazla bastırmadan, bir önceki adımda çizdiğimiz eğriyi, önce "Sayfa2"yi "Sayfa1" üzerine koyup çizgileri çakıştırarak kopyalıyoruz. Sonra "Sayfa2"yi biraz aşağıya kaydırıp eğriyi dikdörtgenin üst kenarına kopyalıyoruz. Çalışmanızı kontrol edin. Yukarıdaki fotoğrafa benziyor olması gerekiyor. Son olarak "Sayfa1"i "Sayfa2" üzerine koyup çizgileri çakıştırarak eğriyi kopyalıyoruz.
10.Çizimimizi "Sayfa3"e yerleştiriyoruz "Sayfa2"yi "Sayfa3"ün altına koyuyoruz. "Sayfa3"teki dikdörtgenlerden biri ile "Sayfa2"deki dikdörtgeni çakıştırıyoruz. Kurşun kalem ile, dikkatlice ve fazla bastırmadan Çizimimizi kopyalıyoruz. "Sayfa3"teki diğer tüm dikdörtgenler için aynı işlemi tekrarlıyoruz.
11. Çalışmamızı bitiriyoruz Son olarak kurşun kalem izlerini siliyoruz. Renkli kalemler ile çalışmamızı süslüyoruz.
Geometrinin “yer ölçme” (geo: yer, metr: ölçüm) anlamı aslında tarihin derinliklerinde geometrinin taşıdığı anlamdır. İnsanoğlu toprak ile karşılaştığında ondan yararlanmaya, ona sahip olmaya başlamıştır. İlk medeniyetin beşiği sayılan Nil Vadisi’nde Temmuz ve Ağustos aylarında Nil nehri taşar ve en dar yeri 7 km, en geniş yeri 40 km olan yatağını alüvyonlu topraklarla örter. Böylece arazi üzerindeki hudutları bir bakıma siler. Ardından araziyi işlemek isteyenler arasında “burası senindi, burası benimdi” kavgaları olurdu. Bu probleme kalıcı bir çözüm bulmak hayli zor ve zaman alıcı olmuştur. Nihayet gökyüzündeki yıldızların oluşturduğu üçgen, dörtgen, ... gibi şekiller arazi üzerine çizildi. Ve bunların sahipleri tespit edilerek karışıklıklara son verildi.. Böylece ilk geometri konuları da ele alınmış oldu. Bu gayretler devam ettikçe geometri gelişmiştir. İlk geometrilerin tümü, kendi doğası nedeniyle sezgiseldir. Bunlar daha çok ilk insanların çevresinde görülen doğal şekillerdir. Bu geometriler daha çok görsel türdedir. İkinci olarak şekillerin ölçülmesi aşaması gelir.
Eski Mısır'da görülen geometri bilgileri, yüzey ve hacim hesapları olarak karşımıza çıkmaktadır. Mısırlılar, kare ve dikdörtgen alanlarını, doğru bir şekilde hesaplayabiliyorlardı. Düzgün olmayan bir yüzeyin planını ise, dörtgenleştirme yoluyla elde ediyorlardı. Üçgen alanı bilgisinden hareket ederek de, yamuğun alanını elde ediyorlardı. Dörtgenlerin ve üçgenlerin ölçülmesi ilk kez Mısır’da Ahmes’in (İ.Ö.1550) papirüsünde görülür. Bu papirüs İ.Ö.1580 tarihinden önce yazılmıştır. b tabanlı ve h yükseklikli ikiz kenar üçgenin alanının bh/2 olduğu verilmiştir. Yine aynı papirüste d çaplı bir dairenin alanının (dd/9)2 yazımına eşdeğer olduğu yazılmıştır. Bu yazımlara göre pi sayısı yaklaşık olarak 3.1605 dolaylarındadır. Bu formül geometrik şekilden yaklaşık olarak elde edilmiştir. Mısırlılar'ın; üç boyutlu cisimlerden; silindir, koni, piramit, dikdörtgen prizma ve kesik prizma hacimlerini de bildikleri anlaşılmaktadır. Kesik piramidin hacminin hesaplanması, zamanın geometrisi için son derece önem taşımaktadır. Ord.Prof.Dr.Aydın Sayılı; Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserinde konu ile ilgili geniş bilgi verdikten sonra şunları
yazar: "Mısırlılar'ın, aritmetiklerinde olduğu gibi geometri problemlerinin çözümünde de, tamamıyla somut özel hallerin ele alınmasından ileri gidilmiyor. Karşılaşılan bütün örneklerde ortak bir vasıf Mısır geometrisinde genel formül kavramının mevcut olmayışıdır. Zihinde bir nevi genel formül fikri ve belli genellemeler vardı. Açı geometrisi mevcut değildi. Bunun yanında Doğru geometrisi gelişmiş durumdaydı." Burada doğru geometrisi ile ölçü için; sadece doğruları kullanan ve açı kavramına başvurmayan bir geometri kastedilmektedir. Alan ve hacim hesapları, doğruların yardımıyla yapılmaktadır. En, boy, taban, dikme, köşegen, çap ve çevre, hem ölçülebilen, hem de ölçüde aracı rolünü kullanıyordu. Bugünkü ifadeyle; 45 derecenin, bazı trigonometrik özelliklerini de bildikleri anlaşılmaktadır. Burada akla şöyle bir soru gelmektedir; Mısırlılar, ilkel geometri bilgisi diyebileceğimiz, ama bugünkü geometrinin temel bilgilerini, hangi ihtiyaçları sonucu ortaya koymuşlardır? Başta da belirttiğimiz gibi Nil Nehrinin belli aralıklarla taşması sonucu silinen arazi hudutlarının tekrar belirlenmesi
amacıyla bir ihtiyaç olarak doğmuştur. Mısır mezar lahitlerinin, piramitlerin, tahta işlerinin estetik bakımdan üstünlük sağlaması, hem çalışmaların ihtiyacından doğmuş ve hem de zaman için var olan ölçü tekniği ile basit de olsa bu ölçülerin hesaplama tekniğinin kısmen ileri derecede olması geometrinin temellerinin oluşmasında katkı sağlamıştır. Zamanımıza kadar ulaşmış tabletlerin değerlendirilmesi sonucu Mezopotamya matematiği hakkında bilgiler elde edilmektedir. Bu tabletler bilim tarihinde; Susa, Vatikan 8512, Tell Halman, Plimpor 322, British Museum 85114 ve Elam tabletleri şeklinde adlandırılmıştır. Bugün, Thales Teoremi olarak bilinen teoremin varlığı, Thales'ten (batı felsefesinin ilk filozofu) 1700 yıl ve Öklid'ten 2000 yıl kadar önce biliniyordu. Aydın Sayılı; adı geçen eserinde, Susa tabletlerine dayanarak Thales Teoremlerinin nasıl ortaya çıktığını belirtir. Bu teoremlerin, Öklid tarafından bilindiğini ve Elementler adlı eserinin, 6. ve 8. teoremler olarak açıklandığını yazar. Kaynaklardan şu sonucu çıkarmaktayız. Bugünkü klasik geometri veya Eski Yunan geometrisinin temsilcileri olarak görülen, Thales, Pisagor ve Öklid'e dayalı geometri bilgilerinin temelinde Mezopotamya matematiği bulunmaktadır. Başka bir ifade ile Mezopotamyalılar tarafından, bu
geometri bilgileri, eski Yunan matematikçilerinden, çok önceki yıllarda bilinmekte olduğu anlaşılmaktadır. Thales’e atfolunan bilgiler, aslında, Mezopotamya geometrisine dayanmaktadır. O bilgiler şunlardır: 1. Thales Teoremi: a. Benzer dik üçgenlerde (veya iki üçgenin açıları eşitse) kenar uzunlukları oranları eşittir (Öklid, Geometrinin Unsurları, VI, 4) b. Bir dik üçgende, dik açının tepe noktasından hipotenüse indirilen dikmenin iki tarafında kalan iki üçgen birbirine ve asıl üçgene benzer üçgenlerdir (Öklid, Geometrinin Unsurları, VI, 8). 2. Çapı gören çevre açısı bir dik açıdır. Çap, çemberi iki eşit kısma böler. 3. Bir ikizkenar üçgende, taban açılarının eğimleri eşittir. 4. Thales, tıpkı Mezopotamya’da olduğu gibi, açı yerine, ancak dik açıya dayanarak, eğimleri göz önünde bulundurmuştur; ve, ‘eşit açılar’a ‘benzer açılar’ adını vermiştir; dairede ise çapı gören dik açıyı söz konusu etmiştir; ikizkenar üçgende ‘taban açılarının eşitliği’ yerine ‘taban açılarının eğimlerinin eşitliğini üşünmüştür. Ters açıların eşit olduğunu fark etmiştir. Kaynaklar geometri konusunda şu bilgileri de vermektedir. Çemberi de, ilk önce 360 dereceye Mezopotamyalılar'ın ayırdığı, bu geleneğin Mezopotamya menşeli olup Yunanlılara, Mezopotamyalılar'dan geçtiği bilinmektedir. Kesik piramidin hacminin ortaya konması ve ispatlanması geometride önemli bir yer tutar.
Mezopotamyalılar, kesik piramit hacmine ek olarak, piramit hacim formülünü de bilmiş olmaları gerekiyor. Babilliler, bugün Eski Yunandan beri Pisagor Bağıntısı diye adlandırılan teoremi biliyorlardı. M.Ö. 18. yüzyıla (Birinci Babil İmparatorluğu Devri) ait tablette, bugün Pisagor Bağıntısı dediğimiz : c2 = a2 + b2 formülüyle bağlı; a, b, c gibi sayılar üç sütun üzerine sıralanmış; birinci sütuna c ikinci sütuna a, üçüncü sütuna da, b gibi sayılar kaydedilmiş, c lere karşılık olan sayılar belirtilmemiş. Pisagor'dan on iki yüzyıl önce, bu gibi sayılara ait özellikleri bilen Mezopotamyalılar'ın soyut aritmetik problemlerine dayanarak, sayılar teorisi esasları üzerinde zihni bir merak aşamasına varmış oldukları anlaşılmaktadır. Mezopotamya geometrisi hakkında bir fikir vermek üzere, düzgün olmayan şekillerin alanlarının nasıl bulunduğu hakkında bir resim aşağıda gösterilmiştir.
Mezopotamya'da, düzgün olmayan yüzeylerin hesaplama şekli
Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi'ye eşittir. Pi, Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre (çember) anlamına gelen "perimetier" kelimesinin de ilk harfidir. İsviçreli matematikçi Leonard Euler, 1737 yılında yayınladığı eserinde, daire çevresinin çapına oranı söz konusu olduğunda, bu sembolü kullandı. Leonard Euler'den önce gelen bazı matematikçiler tarafından da, bu sembol kullanılmıştır. Ancak, Leonard Euler'den sonra gelen, tüm matematikçiler bu sembolü benimseyip kullandılar. Ayrıca, doğal logaritmanın tabanı olan 2, 71828... sayısı için, L. Euler'in kullandığı e harfi, sembol olarak bütün matematikçiler tarafından kullanılmaya başlanmış, benimsenmiştir. Gene, karekök içinde -1 imajineri için de, L. Euler ile birlikte i sembolü kullanılmaya başlanmış ve genelleşmiştir.
Pi Sayısının 1 000 000 rakamı
Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen
gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes'in gençlik yıllarında Mısır'da uzun bir süre öğrenim gördüğünü hesaba katarsak Babilliler'in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde pi=3,125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, "Mezopotamyalılarda, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur" der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir. Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar'ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa'da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.
Pi'yi Nasıl Hesaplarız? Tahmin edebileceğiniz gibi, artık sayısının hesaplamak için elimizde pek çok seçenek var. Örneğin,18 no'lu soruda trigonometri fonksiyonları kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği belirtilmiş. Orada: sin-11=/2 ve cos-10=/2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi açılımı kullanılarak, 'nin değerinin istenilen duyarlılıkla hesaplanabileceği gösterilmiş. Ancak, sizin burada sorduğunuz sorunun, bu hesabın, daire ve çap ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin, ya da tarihsel olarak nasıl
yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyorum. Bir dairede, dairenin alanı ile çap arasında, ya da dairenin çemberi ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu, ilk kimler tarafından ve ne zaman keşfedildi, bu kesin olarak bilinmiyor. Elimizdeki en eski kayıtta, M.Ö 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır'lı bir katibin yazmış olduğu ve Rhind Papirüsü adı verilen belgede, şöyle deniliyor: "Çapın 1/9'unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının aynısıdır." Burada, dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın varlığı belirtilmiş olmakla birlikte, günümüzdeki anlamda bir ? sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu. Bu öneri doğrultusunda elde edilecek olan sonuç, karenin kenarı x=8(2r)/9 olduğuna ve alanı x2=64.(4r2)/81 olacağına göre, bu alan dairenin alanına eşitlendiğinde, 256r2/81= r2 veya =256/81=3,16005 olarak karşımıza çıkar. Fena bir yaklaştırma değil. Öte yandan, söz konusu karenin çevresi, L=4x=64r/9 olur. Bunu dairenin çevresine eşitleyecek olursak, L=2r eşitliğinden, 64r/9=2r veya =32/9=3,55555 elde ederiz. Bu yaklaştırma, alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü. Eski Mısır'lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz, ancak kendimiz bu hesabı yaparsak =256/81 buluyoruz. Matematik tarihçileri arasında genel kanı, Eski Mısırlıların, çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna oranını 256/81=3,16049. olarak kabul ettikleri şeklindedir. Bu sayı, bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan jsayısının ilk 5 basamağının 3,14159 olduğunu hatırlarsak, sayısının değerinin hesaplanmasındaki hata oranının, daha M.Ö. 1650'lerde yüzde 1'in altına düşmüş olduğu anlamına geliyor. Eski Grek'ler döneminde, Anaksagoras (M.Ö. 500-428) ile başlayıp Antiphon ve Bryson ile devam eden çalışmalarda, bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin alanıyla sayısının hesaplanması çalışmaları başladı. Sözü uzatmamak için şunu söyleyelim: Sizin sorduğunuz 3,14159... hassasiyetine ulaşanlar Çin'li Tsu Ch'ung-chih ve oğlu Tsu Keng-
chih'dir. Çemberin içine tam 24 526 köşeli bir çokgen çizip hesabı yaptılar ve pi 'nin değerini 355/113 olarak buldular. Belli ki, düzgün bir altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış olmalılar. Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz. Evet, örneğin bir konserve kutusu alarak çevresini ve çapını ölçüp oranlarsak, 'ye yakın bir sayı buluruz. Tarihsel yöntem bu idi. Ancak günümüzde 'nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup, daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir duyarlılıkla hesaplanmış durumda.
Doğum Gününüz Pi'de Gizli Bilindiği gibi Pi, sonsuz bir rakamlar dizisi. Belirli bir düzende kendisini tekrarlamayan sonlu bir çok alt dizilerden oluşur. Bu sonlu alt dizilerin kümesi, hemen tahmin edebileceğiniz üzere, sonsuz eleman taşımakla kalmaz, aynı zamanda muhtemel bütün sonlu alt dizileri de içinde taşır. Bu özelliği nedeniyle de sizin ya da sevgilinizin doğum gününü gg/aa/yy veya gg/aa/yyyy gibi bir dizin olarak yazdığınızda, bunun pi'nin içinde olduğundan emin olabilirsiniz. Şanslı iseniz doğum gününüzün dizisi pi'nin halen bilinen basamakları arasındadır. Şüphesiz doğum gününüzü 6 haneli bir dizi olarak yazarsanız bulma şansınız artar. Eğer Pi'nin hangi basamaklarına gizlenmiş olduğunuzu merak ediyorsanız http://www.angio.net/pi/piquery sitesini bir ziyaret edin! Aynı şekilde, istediğiniz başka dizileri pi'nin içinde arama şansınız var. Ancak unutmayalım ki, Pi'nin bilinen basamakları 1.2 trilyon civarında ama bunları ağ üzerinde tutmak çok fazla yer tuttuğundan, bulmak kolay değil.http://www.super-computing.org/pidecimal_current.html adresinde ilginç gözlemler bulabilirsiniz.