1 jemplos de Sistemas Matemáticos El siguiente es un sistema rácano de geometría que intenta emular los sistemas euclidianos modernos (de Hilbert, de Birkhoff, SMSG), desde un punto de vista menos formal y con resultados seguramente intuitivos para el estudiante y que se demuestran utilizando el concepto de sistema matemático. Sistema Geometría 1 Axioma 1: “Por dos puntos pasa una sola recta.” Axioma 2: “Sólo dos rectas que sean paralelas nunca se intersecan.” Axioma 3: “Dada una correspondencia entre dos triángulos (o entre un triángulo y sí mismo), si dos lados y su ángulo incluido, en el primer triángulo, son congruentes a las partes correspondientes del segundo triángulo, entonces la correspondencia es una congruencia.” (Wallace y West, 54) Definiciones: “Intersección es un punto común a dos rectas.” “Rectas paralelas son aquéllas que al ser intersecadas por una tercera tienen ángulos de abertura correspondientemente iguales respecto de ésta última”. “La abertura máxima entre dos rectas que se intersecan es de 180°”. “Segmento es una porción finita de recta a la que se le asigna un número real positivo llamado longitud.” “Congruencia de dos ángulos es la equivalencia de sus medidas, y congruencia de dos segmentos es la equivalencia de sus longitudes.” Términos no definidos: “Punto”. ”Recta”. “Ángulo”. Es necesario aclarar que en un sistema matemático cualquiera, los axiomas son de verdad indiscutible, ya que son ellos los que define el sistema. Obviamente, es necesario que dichos axiomas sean independientes entre sí para que no se contradigan ni redunden; sin embargo asumiremos que en este sistema, la independencia entre axiomas ha sido verificada. Es necesario también aclarar que a la definición de los “180°” se la puede considerar como un axioma ( e incluso un teorema a comprobar), mas al no contar, por ahora, con una demostración formal que implique que dos segmentos o rectas dirigidos en sentidos exactamente opuestos tienen abertura máxima, utilizaremos la antes mencionada definición indistintamente como definición o axioma.
2 Es así que comenzamos con un primer teorema que se basa justamente en esta definición (axioma). Teorema 1. “Si dos rectas se intersecan, los ángulos opuestos por el punto de intersección son congruentes.”
Entonces tenemos que probar que tanto
̂ 3̂ ̂ ̂ 1= como 2=4 .
Ahora, vemos que porque “la abertura máxima entre dos rectas que se intersecan es de 180°”, tenemos que
̂ 2=180° ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 1+ , 2+ 3=180 ° , 3+4=180 ° y 4+ 1=180 ° . Y si
hacemos simple álgebra obtenemos que
̂ 3̂ ̂ ̂ 1= y 2=4 .
Teorema 2. “Si dos rectas paralelas son intersecadas por una tercera, entonces los ángulos internos formados por ellas respecto de ésta última suman 180°.” Es decir que en el siguiente gráfico,
Tenemos que mostrar que Entonces, como
l1 ∥ l2 (léase “ l1 es paralela a l2 ), sabemos por el axioma 2 que
podemos trazar una como con
̂ 2=180° ̂ 1+ .
l3 tal que siempre va a formar ángulos separados tanto con l1
l2 , ya que estas rectas nunca se intersecan. Por otro lado, por la definición de
paralelismo tenemos que los ángulos de abertura
̂ 3̂ 1̂ y 3̂ son iguales, es decir 1= .
Además, aplicamos la definición de 180° para decir que
̂ 3=180 ̂ 2+ ° , y utilizando la
igualdad determinada más antes obtenemos de inmediato que
̂ 1= ̂ 2+ ̂ 1=180° ̂ 2+ .
Teorema 3. “Si dos rectas paralelas son intersecadas por una tercera, entonces los ángulos internos formados por ellas y ésta última son congruentes en alternancia.” A este teorema se conoce como el de los “ángulos alternos internos”. Veamos en el gráfico que,
3
Tenemos que demostrar que
̂ ̂2 1= .
De nuevo, gracias al axioma 2 podemos trazar una separados tanto con que
l3 tal que siempre va a formar ángulos
l1 como con l2 . Ahora, sabemos por la definición de paralelismo
̂ 3̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 1= y como, por el teorema 1, 2=3 ; resulta que 1= 2 .
Ejercicio 1: Probar el Teorema 4, que afirma que “si dos rectas paralelas son intersecadas por una tercera, entonces los ángulos externos formados por ellas y ésta última son congruentes en alternancia”. Es decir, probar el teorema de los “ángulos alternos externos”. Definición: Triángulo es un conjunto de tres puntos no colineales, los cuales están conectados todos entre sí por segmentos que también son parte de la figura. Teorema 5. “La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°.”
Entonces, en el triángulo anterior, al que notaremos “ △ ABC ”, haremos unas gráficas adicionales auxiliares, como las líneas paralelas extensión del segmento ubicado dos puntos sobre respecto de
l1 y l2 , en donde la segunda es la
́ AB (“segmento AB”) y la primera pasa por
A ; además, hemos
l1 , sean E y D , que se encuentran en lados opuestos
A .
Entonces fijémonos en el ángulo dentro del triángulo que se abre desde el punto
B , lo
llamaremos “ángulo ABC” y su notación será “ ∠ ABC ”. Por el teorema 3, este ángulo es equivalente a
∠ BAD y, por otro lado y a razón del mismo teorema,
Ahora, tenemos por una definición anterior que en
∠ BAD + ∠ CAB + ∠ EAC =180°
∠ BCA=∠ EAC .
l1 se cumple que
y si simplemente hacemos reemplazos con nuestras
4 ecuaciones anteriores, tenemos que “ ∠ ABC + ∠ CAB+ ∠ BCA=180° , lo que demuestra nuestro teorema. Definición: Cuadrilátero es un conjunto de cuatro puntos de los cuales ningunos tres son colineales y además están conectados entre sí por cuatro segmentos que no se intersecan. Ejercicio 2: Probar el Teorema 6, que afirma que “la suma de las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360°.” Ejercicio 3: Probar el Teorema 7, que afirma que “dos triángulos cumplen las condiciones de congruencia del axioma 3 si y sólo si todos sus ángulos y longitudes de lados son correspondientemente congruentes entre los dos triángulos”. (Sugerencia: Comprobar el teorema por contradicción.) Básicamente, en este ejercicio 3 lo que intentamos es ampliar el concepto de congruencia hasta parecerlo a una definición más intuitiva de congruencia. Ejercicio 4: Probar el Teorema 8, que afirma que “la congruencia entre triángulos es transitiva; es decir, si un triángulo es congruente con un segundo triángulo, y este último congruente con un tercero, entonces el primero es congruente con el tercero.” Teorema 9. “Si los vértices de un triángulo están en una correspondencia tal que dos ángulos y el lado incluido, del primer triángulo, son congruentes respectivamente a dos ángulos y el lado incluido, en el segundo triángulo; entonces los triángulos son congruentes.” (Wallace y West, 71)
La prueba de este teorema ha sido tomada igualmente del texto de Wallace y West (71), quienes nos lo explican más o menos así:
△ ABC
Supongamos que tenemos dos triángulos, tanto
y
△≝¿ , como en la figura; y, que
́ FE ́ ∠ ABC =∠≝¿ , ∠ BCA=∠ EFD como CB= . Ahora, por reducción al
absurdo, vamos a asumir que
△ ABC
y
△≝¿ no son congruentes; es decir, que no
cumplen con al menos una condición de congruencia de las establecidas en el axioma 3; sea que, no cumplen con tener dos lados y su ángulo incluido, correspondientemente congruentes entre los triángulos.
5 Sin pérdida de generalidad vamos a suponer que no va a ser cierto que
́ FD ́ CA= , o sea
́ FD ́ ́ ́ CA≠ y, específicamente, CA> FD . De aquí, podemos ubicar un punto G sobre el segmento
△ GBC que
́ CA tal que
es congruente a
́ FD ́ CG= . Por el axioma 3 tenemos que
△ GBC ≅ △≝¿ (“
△≝¿ ”), lo que según el teorema 7 implica, entre otras cosas,
∠ GBC =∠≝¿ ; y, como sabíamos por hipótesis que
∠ ABC =∠≝¿ , entonces
́ CG ́ ∠ ABC =∠ GBC . Sin embargo, esto implica que CA= y como △ GBC ≅ △≝¿ , tenemos que
́ DF ́ ́ ́ ́ ́ CG= , por lo que CA= DF , lo que contradice que CA≠ FD .
Definición: Paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados correspondientemente paralelos. De la misma definición podemos concluir, por el axioma 2, que sólo lados que no sean consecutivos (que no se intersecan) pueden ser paralelos entre sí. Teorema 10. “Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes entre sí”.
́ DC ́ AB=
Nuestra tarea es demostrar que Tracemos el segmento auxiliar teorema 3, que
y
́ ́ BC= AD .
́ BD y entonces en nuestro gráfico determinamos, por el
∠ CDB=∠ ABD y ∠ BDA=∠ DBC .
Fijémonos, entonces, que los triángulos
△ DAB y △ BCD son congruentes, ya que
cumplen con la correspondiente equivalencia de ángulo-lado-ángulo, siendo
́ BD común a
ambos triángulos; todo esto por el teorema 9. De aquí, y con la ayuda del teorema 7, sabemos rápidamente que
́ DC ́ AB=
y
́ = AD ́ BC , como queríamos demostrar.
Ahora veamos la composición axiomática de nuestro sistema en lo que concierne a áreas de regiones. Los siguientes postulados han sido tomados textualmente del libro de Wallace (55): Axioma 4: “A cada región poligonal le corresponde un único número positivo (llamado área de la región poligonal)”
6 Axioma 5: “Si dos triángulos son congruentes, entonces sus respectivas áreas son equivalentes.”
R es la unión de dos regiones
Axioma 6: “Supóngase que la región Supónganse que
R1 y R2 .
R1 y R2 se intersecan en a lo mucho un número finito de segmentos y
vértices. Entonces el área
R es la suma de las áreas
R1 y R2 .”
Axioma 7: “El área de un paralelogramo equivale al producto de la longitud de su lado base por la longitud de su altura.” Ejercicio 5: Probar el Teorema 11, que afirma que “el área de un triángulo cualquiera equivale a la mitad del producto de la longitud de su lado base por la longitud de su altura”. Definición: Altura de un punto de un triángulo es la medida de la longitud del segmento que empieza en dicho punto y termina en la intersección de ella con, perpendicularmente, la recta que contiene al lado opuesto. Definición: “Dos triángulos,
△ P1 P 2 P3 y △ P ' 1 P ' 2 P ' 3 , son semejantes si y sólo si
P 1́P 2 P 2́ P 3 P 1́P 3 = P ' 1́P ' 2 = P ' 2́ P ' 3 P ' 1́P ' 3
y
∠ P 1 P 2 P 3=∠ P ' 1 P ' 2 P ' 3 ,
∠ P 2 P 3 P 1=∠ P ' 2 P ' 3 P ' 1 y ∠ P 3 P 1 P 2=∠ P ' 3 P ' 1 P ' 2 .” Esta definición nos dice, en palabras simples, que dos triángulos son semejantes si y sólo si sus lados son correspondientemente proporcionales y sus ángulos correspondientemente congruentes.
Ejercicio 6: Probar el teorema 12, que afirma que, “la semejanza entre triángulos es transitiva; es decir, si un triángulo es semejante con un segundo triángulo, y este última semejante con un tercero, entonces el primero es semejante con el tercero.” Teorema 13. “Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos en dos puntos diferentes, entonces dicha paralela divide a aquellos lados en segmentos que son proporcionales”. (113) La prueba de este teorema corresponde también a Wallace y West (114) y, parafrásticamente, es la siguiente:
7
En el triángulo anterior tenemos que la recta auxiliar teorema afirma que
́ ́ BD BE = ́ ; es decir, lo que debemos probar. ́ DA EC
Ahora tracemos segmentos,
Fijémonos que
́ EF
consecuentemente a
́ l es paralela a AC , por lo que el
́ AE
y
́ FE , como se dispone en la siguiente figura:
es, en nuestra construcción, perpendicular a
́ ́ DA . Es decir, EF
△ ADE , por lo que área ( △ BED )= teorema, área ( △ ADE ) =
́ ́ BD , BA y,
es la altura de los triángulos
́ ) ( EF ́ ) ( BD 2
△ BED y
por el teorema 11 y, por el mismo
́ )( EF ́ ) ( DA . 2
Ahora, hagamos una relación entre los valores de las áreas de los triángulos:
́ ) ( EF ́ ) ( BD ́ área ( △ BED ) 2 BD = ́ = ́ ́ ) DA área ( △ ADE ) ( DA )( EF 2 Por otro lado, tracemos en el mismo triángulo dos segmentos, tal y como en la figura
́ ́ CD y DG , dispuestos
siguiente:
8 De igual manera podemos decir que
́ DG es la altura de
△ BED y △ CDE , por lo
que si hacemos una relación entre los valores de las áreas de los triángulos, obtenemos:
́ ) ́ )( DG ( BE ́ área ( △ BED ) 2 BE = ́ = ́ ́ ) EC área ( △ CDE ) ( EC ) ( DG 2 Sin embargo, si consideramos los dos triángulos triángulos con un lado en común
́ DE
y
△ CDE , tenemos dos
y altura equivalente (¿por qué?) por lo que
área ( △ ADE ) =área ( △ CDE ) . Así que,
y, por tanto,
△ ADE
área ( △ BED ) área ( △ BED ) = área ( △ ADE ) área ( △ CDE )
obviamente
́ ́ BD BE ́ ́ ; como queríamos demostrar. = DA EC
Ejercicio 7: Compruebe el teorema 14, que afirma que “si dos triángulos tienen cada uno sus tres ángulos correspondientemente congruentes a los del otro, entonces los triángulos son semejantes.” Teorema 15. Teorema de Pitágoras: “Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces la suma de los cuadrados de las medidas de los lados que forman dicho ángulo equivale al cuadrado de la medida del lado restante.” Tenemos que demostrar que en el triángulo siguiente,
△ ABC , se da que
́ 2+ AC ́ 2= BC ́ 2 AB .
Construyamos
́ ́ AD perpendicular a BC , de esto sabemos inmediatamente que
∠ BDA=90 ° y ∠ ADC=90° . Por otro lado, sabemos que ∠ ABC + ∠ BCA+ ∠ CAB=180° , adicionalmente por hipótesis y
∠ ABD+ ∠ BDA+ ∠ DAB=180°
en
∠ ABC =∠ ABD , ∠ CAB=90 ° △ ABD ; por lo tanto podemos
9 deducir sin complicaciones que
△ ADC , concluiremos que
∠ DAB=∠ BCA y, si hacemos un estudio parecido en ∠ CAB=∠ ABD , a más de que, obviamente,
∠ BCA=∠ DCA . Por todo la anterior y con ayuda del teorema 14 implicamos que tanto
△ ABC
es semejante a
△ ABD ”) y △ ABC ≈ △ ADC . De la definición de ́ ́ ́ AB BD AD = = ́ ́ ́ BC AB AC
semejanza podemos decir que
Ahora, de las anteriores afirmaciones utilizamos obtenemos
△ ABC ≈ △ ABD (“
́ 2= BD ́ BC ́ AB
y
́ ́ ́ AC AD CD = = ́ ́ ́ . BC AB AC
́ ́ AB BD = ́ ́ BC AB
y
́ ́ AC CD = ́ ́ , por lo que BC AC
́ 2 =CD ́ BC ́ AC . De estas ecuaciones tenemos
y
́ 2+ AC ́ 2= BD ́ BC ́ + CD ́ BC= ́ ( BD+ ́ CD ́ ) BC ́ AB ; sin embargo, del gráfico vemos que ́ BC ́ ́ + CD= BD , por lo que
́ 2+ AC ́ 2=( BD ́ + CD ́ ) BC ́ =( BC ́ ) BC ́ = BC ́ 2 AB .
Sistema Trigonometría 1 Heredaremos los resultados de la sección anterior para poder avanzar con una sub sección del sistema de “Geometría 1”. Ahora hablaremos entre las relaciones entre medidas de lados de un triángulo y sus ángulos. Para esto introduciremos nuevas definiciones: En un triángulo rectángulo tenemos: “Hipotenusa es el lado que no forma el ángulo recto.” “Cateto es cualquiera de los dos lados que forma el ángulo recto.”
Acá
́ BC
es hipotenusa y tanto
́ ́ AB como AC
son catetos.
10 Ejercicio 8: Demostrar que si un triángulo es rectángulo, entonces tiene solamente una hipotenusa. Ahora vamos a definir tres funciones: “El seno de un ángulo, que no sea el recto, de un triángulo rectángulo equivale a la razón entre la medida de su cateto opuesto y la medida de la hipotenusa.” “El coseno de un ángulo, que no sea el recto, de un triángulo rectángulo equivale a la razón entre la medida de su cateto adyacente y la medida de la hipotenusa.” “La tangente de un ángulo, que no sea el recto, de un triángulo rectángulo equivale a la razón entre la medida de su cateto opuesto y su cateto adyacente.” Entonces estas definiciones aplicadas a Seno de ∠ ABC
△ ABC
quedan:
́ AC sen ( ∠ ABC ) = ́ es BC
y, análogamente
́ AB sen ( ∠ BCA )= ́ . BC Coseno de ∠ ABC
Tangente de ∠ ABC
́ AB cos ( ∠ ABC ) = ́ es BC ́ AC ( ∠ ABC ) = ́ es tan AB
́ AC cos ( ∠ BCA ) = ́ . y BC ́ AB tan ( ∠ BCA ) = ́ . y AC
Ejercicio 9: Comprobar que en un triángulo rectángulo los valores de la función seno y coseno son equivalentes para, respectivamente, ángulos complementarios y, de igual manera, coseno y seno son respectivamente equivalentes ángulos complementarios. Ejercicio 10: Comprobar que en un triángulo rectángulo los valores de la función tangente son recíprocamente equivalentes para ángulos complementarios. Ejercicio 11: Comprobar que en un triángulo rectángulo la suma del cuadrado de los valores del seno y coseno de un ángulo es igual a uno. Teorema 16. “Las funciones seno, coseno y tangente de un ángulo están también definidas para un ángulo, aún si este forma parte de un triángulo que no es rectángulo, y depende solamente de la magnitud de él mismo.”
11
Entonces lo que debemos demostrar en el triángulo
∠ FDE =∠ BCA (del triángulo △ ABC es igual a
△≝¿ es que si, hipotéticamente,
anterior), entonces
sen ( ∠ FDE ) existe y
́ AB ́ . BC
Primero consideremos, sin pérdida de generalidad, que podemos trazar un segmento auxiliar perpendicular a
́ DF , en △≝¿ , que va desde E hasta G , como en el dibujo.
Como el antiguo triángulo es rectángulo y
△ DEG también lo es, tenemos que
∠ CAB=∠ EGD=90 ° ; además, como ∠ GDE =∠ FDE tenemos que
y
∠ FDE =∠ BCA ,
∠ GDE =∠ BCA . Y es así que sabremos, sin complicación, que
∠ ABC =∠ DE G, lo que conjuntamente con los otros descubrimientos acerca de los ángulos correspondientes de ambos triángulos, implica que
Es así, que por la definición de semejanza tenemos que
́ ́ ́ DG EG DE = ́ = ́ ́ AC AB BC
un momento en pausa este resultado. Recordemos que en
́ AB sen ( ∠ BCA )= ́ , y démonos cuenta que en BC
△ ABC ≈ △ DEG .
△ ABC
y dejamos por
tenemos
△ DEG tenemos que
́ EG sen ( ∠ BCA )= ́ . Regresamos al resultado pendiente de más antes y ocupamos DE ́ ́ EG DE = ́ ́ AB BC
para obtener que
́ ́ AB EG = ́ ́ , lo que según nuestra observación anterior es BC DE
́ AB sen ( ∠ BCA )=sen ( ∠ GDE ) , o sea, sen ( ∠ FDE )=sen ( ∠ BCA )= ́ . BC
12
Sistema Geometría Analítica 1 En esta sección utilizaremos los resultados de los sistemas anteriores y añadiremos axiomas : Axioma 8: “Los puntos en una recta pueden pueden ser ubicados en una correspondencia con los números reales tal que: “1. A cada punto en la recta corresponde exactamente un número real. “2. A cada número real corresponde exactamente un punto en la recta. “3. La distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia de los correspondientes números reales.” Axioma 9: “Dados dos puntos
P y Q de una recta, el sistema coordenado puede ser
elegido de manera tal que la coordenada de
P sea cero y la coordenada de Q sea
positiva.” Axioma 10: “Cada plano contiene al menos tres puntos no colineales y el espacio contiene al menos cuatro puntos no coplanares.” Axioma 11: “Si dos puntos yacen en un plano, entonces la recta que contiene esos puntos yace en el mismo plano.” Axioma 12: “Cualesquiera tres puntos yacen en al menos un plano y cualesquiera tres puntos no colineales yacen en exactamente un plano.” Teorema 17: “Dos líneas que se intersecan determinan un plano único.” (Wallace & West, 187) La prueba de este teorema también ha sido tomada del mismo texto (187) y nos recomiendan los autores considerar dos rectas seleccionemos dos puntos
l1 y l2 que se intersecan en un punto
Q y R , diferentes a
P . Ahora
P , tales que yazcan en l1 y
l2 , respectivamente. Por el axioma 1 sabemos que estos tres puntos no pueden ser
13 colineales. Así, los segmentos
́ ́ PQ y PR , por el axioma 11, yacen en los mismos planos
que, respectivamente, los pares de puntos el axioma 12 tenemos que
P y Q y P y
R ; adicionalmente, por
P , Q y R forman un plano único, por lo que
́ PQ y
́ PR y, consecuentemente, l1 y l2 forman un plano único.
El uso de este teorema es para darle vida a la definición de plano cartesiano; un plano que va a ser necesariamente único y en donde obtendremos todos los resultados del sistema.
(a ,b) de dos números a , b ∈ R tal que si
Definición: Par ordenado es un conjunto
a ≠ b , entonces (a ,b)≠ (b , a) . (“Ordered Pair”)
Definición: “Función es un objeto con un objeto El conjunto y, el conjunto
F
tal que cada
a ∈ A está asociado de manera única
F ( a ) ∈ B .” (“Function”) A se denomina dominio de le función A se denomina dominio de le función
F
o, simplemente, dominio de
F
o rango de
F ; además, se
utiliza la notación “ F : A→ B ” para indicar los conjuntos dominio y rango de la función
F .
F
14
Bibliografía: “Function”. Wolfram Mathworld. Wolfram Research, Inc. 1999. Web. 30 de Mayo de 2013. “Ordered Pair”. Wolfram Mathworld. Wolfram Research, Inc. 1999. Web. 30 de Mayo de 2013. Wallace, Edward C. y Stephen F. West. Roads to Geometry. Nueva Jersey: Prentice Hall, 1992