FÍSICA I TEMA
9
GRADO EN TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES Y CIVILES - ULPGC
Revision, Revision, aclaraciones. Problemas resueltos de ciclo termodiná termodinámico en gases.
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Presión. Definición y unidades Definición: La presión es la magnitud que relaciona la fuerza con la superficie sobre la que actúa, es decir, equivale a la fuerza que actúa sobre la unidad de superficie. Cuando sobre una superficie plana de área A se aplica una fuerza normal F de manera uniforme, la presión P F viene dada por P= Unidades:
S
• Sistema Internacional Pascal, y se define como la presión que ejerce una fuerza de 1 newton sobre una superficie de 1 metro cuadrado normal a la misma P = N a m2 • Sistema CGS Baria, y se define como la presión que ejerce una fuerza de 1 dina (dyn) sobre una superficie de 1 centímetro cuadrado normal a la misma. baria = dyn cm 2
Más conocido es un múltiplo suyo, el bar, que equivale a 1 bar = 106 barias La relación entre las anteriores unidades se puede obtener sabiendo que 1 Pa 5 equivale a 1 Pa = N = 10 dyn = 10 barias m2 104 cm2 6 5 de donde 1 bar = 10 barias = 10 Pa
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Presión hidrostática Un fluido pesa y ejerce presión sobre las paredes sobre el fondo del recipiente que lo contiene y sobre la superficie de cualquier objeto sumergido en él llamada presión hidrostática. Esta presión depende de la densidad del líquido en cuestión y de la altura a la que esté sumergido el cuerpo y se calcula mediante la siguiente expresión,
p = p0 + ρ gh
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Presión atmosférica. Experiencia de Torricelli (1/2) • El experimento de Torricelli consiste en tomar un tubo de vidrio cerrado por un extremo y abierto por el otro, de 0,80 a 1 metro aproximadamente de longitud, llenarlo de mercurio, taparlo con el dedo pulgar e invertirlo introduciendo el extremo abierto en una cubeta con mercurio.
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Presión atmosférica. Experiencia de Torricelli (2/2) • Si el tubo se coloca verticalmente, la altura de la columna de mercurio de la cubeta es aproximadamente, cerca de la altura del nivel del mar, de 760mm apareciendo en la parte superior del tubo el llamado vacio de Torricelli, que realmente es un espacio llenado por vapor de mercurio a muy baja presión. Torricelli observa que la altura de la columna variaba, y relacionó esa variación con los cambios en la presión atmosférica. Este el el origen de la escala de medida de presión en milímetros de mercurio, y de la equivalencia de 1 atmósfera y 760 mm de Hg, ya que esta es la altura de la columna de mercurio cuando se realiza el experimento en condiciones atmosféricas normales y a nivel del mar.
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Calor en los procesos de un gas ideal (1). Para estudiar el calentamiento de los gases hemos de considerar el proceso:
QV = ncV ∆T
Calentamiento de un gas a V=cte Q
V Donde cV = n∆T es el calor molar a volumen constante. Cantidad de calor que, a
volumen constante, hay que suministrar por cada mol, a una gas para elevar un grado su temperatura. (característico de cada sustancia)
Al ser el volumen constante W=0 por el primer principio de la termodinámica Qv =ΔU+W= ΔU Todo el calor se invierte en variar la energía interna del gas
Podemos expresar
U = ncV T
cV =
con
∆U = Qv = ncV ∆T
QV ∆U = n∆T n∆T
CONCLUSIÓN El valor de la energía interna del gas es proporcional a la temperatura
U = ncV T
En un proceso a volumen constante el calor suministrado a un gas es Qv = ∆U = ncV ∆T Ésta relación simple entre la energía interna y la temperatura sólo es válida para los gases ideales
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Calor en los procesos de un gas ideal (2) Q p = nc p ∆T
Calentamiento de un gas a P=cte Qp
Donde c p = es el calor molar a presión constante. Cantidad de calor que, n∆T a presión constante, hay que suministrar por cada mol, a un gas para elevar un grado su temperatura (característico de cada sustancia) De acuerdo con el Primer Principio de la Termodinámica Ya que al P∆V = ∆ ( PV ) Q p = ∆U − W = ∆U + P∆V = ∆ U + PV ser P=cte
(
Se define
H = U + PV
)
Entalpía (función de estado) Qp = ∆H = nc p ∆T
En un proceso a P=cte todo el calor se invierte en variar la entalpía
H = nc pT
cp =
Qp n∆T
=
∆H n∆T
CONCLUSIÓN: El valor de la entapía del gas es proporcional a la temperatura
H = nc pT En un proceso a presión constante el calor suministrado a un gas es Qp = ∆H = nc p ∆T Ésta relación simple entre la entalpía y la temperatura sólo es válida para los gases ideales
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Calor en los procesos de un gas ideal (3) Calor en un gas a Temperatura constante Primer principio Gas ideal
Q = ∆U + W
Q =W
∆U = ncV ∆T = 0
A T constante todo el calor se traduce en trabajo
Vf Q = W = nRT ln Vi
Aclaraciones. Para todas las sustancias, tanto la energía interna como la entalpía son funciones de estado, su variación no depende del proceso. En el caso de un gas ideal tanto la entalpía como la energía interna sólo dependen de la temperatura. Esto no se cumple para otro tipo de sustancias. Los calores molares a presión y volumen constantes son propiedades termodinámicas de la sustancia y sus valores se pueden utilizar aunque los procesos no sean a P o V constante
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Valores de los calores molares de los gases ideales. Relación entre los calores molares a presión y volumen constante Según hemos visto Qp = nc p ∆T = ∆H = ∆(U + PV ) De las leyes de los gases ∆( PV ) = nR∆T
cP = cV + R
Obtenemos
nc p ∆T = ncV ∆T + nR∆T
Relación de Mayer
Valores de los calores molares de los gases ideales. Valores de los calores molares de los gases ideales Gas Ideal Monoatómico
T. Cinetica U=n3/2RT
U= ncvT Diatómico
U=n5/2RT
cp= cv+R
cv 3
2
5
2
R R
5
7
2
2
R
R
Los calores molares son una propiedad termodinámica y se pueden utilizar aunque los procesos no sean a P o V constante.
Realizar Ejercicio 18.8 del Tippler Mosca.
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
• SEGUNDA PARTE
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Segundo Principio de la Termodinámica. Enunciado Kelvin-Planck La constatación experimental de la imposibilidad de encontrar una máquina que convierta todo el calor en trabajo, dio lugar a este otro enunciado del 2º Principio
Es imposible una máquina térmica que, trabajando cíclicamente, sólo produzca el efecto de tomar energía de un foco y transformarla en igual cantidad de trabajo. Es decir NO es posible que el rendimiento sea 1 es decir:
Qc
W
η=
Qc − Q f Qc
= 1−
0 =1 Qc
Para producir trabajo extrayendo calor de una fuente se necesita ceder parte a otro foco. (OJO, no es una limitación técnica).
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Ejercicio Teórico .Rendimiento de un ciclo de Carnot 1. •C→D Absorción de calor QC en un proceso isotermo a temperatura Tc. ∆U = 0
n=1
Q CD = W CD = RT c ln
D→A Enfriamiento adiabático desde TC hasta la temperatura del foco frío, TF.
∆U DA = WDA = cv (TF − TC ) A→B Cesión de calor | QF| al foco frío a temperatura TF. ∆U = 0 B→C Calentamiento adiabático desde TF hasta Tc.
V RTF ln A Qc − QF Q VB T = 1− F = 1− = 1− F VD Qc Qc TC RTc ln VC Donde hemos considerado:
η=
1) Que al ser CD y AB adiabáticas γ −1
TF V A
γ −1
TF V B
γ −1
= TC V C
VA
QDA = 0
QAB = WAB = RTF ln
∆U BC = WBC = cv (TC − TF ) ln VA VB V ln D V C
QBC
VB VA =0
TF TC − TF = 1− T = T C C
2) El signo del calor
γ −1
= TC V D
VD VC
VB
=
VC
VD
QF = −QAB = RTF ln
VA VB
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Teorema de Carnot Establecido por Sadi Carnot en 1824, antes de que se enunciaran el Primer Principio Constituye otra forma de enunciar el segundo principio de la Termodinámica Ninguna máquina térmica que funcione entre dos focos térmicos dados puede tener un rendimiento mayor que una máquina reversible Un ejemplo de máquina reversible es la máquina de Carnot que opera entre esos mismos focos
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Teorema de Carnot: demostración (y II) Supongamos una máquina real con mayor rendimiento que la de Carnot: para mismo Qc absorbido proporciona mayor trabajo (W’>W)
La combinación con una máquina de Carnot inversa proporciona una máquina que convierte íntegramente en trabajo el calor extraído del foco frío. Se viola así el Segundo Principio
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Ejemplo: Límite rendimiento de una máquina térmica Una máquina térmica funciona entre un foco a 100ºC y otro a 0ºC. Determinar el límite teórico máximo para su rendimiento El límite viene dado por el rendimiento del ciclo de Carnot.
Tc − T f
273 = 0, 268 Tc 373 Ninguna máquina térmica operando entre esos focos puede tener un rendimiento superior al 26,6 %
η=
= 1−
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Entropía y Energía inutilizable Al caer, toda la energía potencial se ha degradado en forma de calor. La energía potencial se ha convertido en inutilizable, no puede ser recuperada en forma de trabajo. h
Asociada a la misma hay un aumento de entropía de
∆S =
Q mgh = T T
En un proceso irreversible una cantidad de energía TΔS está asociada al aumento de entropía (desorden) y resulta inutilizable para realizar trabajo QIr = T ΔS
Energía asociada al desorden
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Equivalencia con enunciado de Kelvin-Planck
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Entropía y Rendimiento de una máquina reversible (1) Para que un determinado proceso sea posible ∆Suniverso ≥ 0 ha de suceder que. ∆Ssistema =0
∆Ssistema =0
∆Suniverso ≥ 0
Para que sean posibles un proceso y su inverso se ha de cumplir la igualdad ∆Suniverso = 0 Como el sistema describe un ciclo
∆Suniverso ≥ 0
∆Ssistema =0
∆Suniverso = ∆S sistema + ∆SC + ∆S F = 0
La variación de entropía del foco caliente ha de ser igual y de signo opuesto a la variación de entropía en el foco frío. ∆S F = −∆SC El rendimiento de una máquina Térmica reversible que opera entre dos focos es por lo tanto
η=
QC − QF QC
=
TC − TF TC
Qc = TC ∆SC Ya que
QF = TF ∆S F = TF ∆SC
Que como hemos visto es el rendimiento de la máquina de Carnot.
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Entropía y Rendimiento de una máquina reversible (2) Veremos ahora que la máquina reversible es de rendimiento es el máximo ∆S c =
∆S F =
QC <0 TC
QF >0 TF
La entropía del foco caliente disminuye al ceder calor Qc
∆Sc = −
Qc Tc
Para compensar esta disminución de entropía hay que ceder una cantidad QF de calor al foco frío de tal modo que en valor absoluto ∆S F =
QF ≥ ∆SC TF
Es decir la cantidad de calor que se debe entregar al foco frío es El calor entregado es mínimo cuando se cumple la igualdad Es decir cuando se cumple que el proceso es reversible
∆S F =
QF ≥ TF ∆SC QF = TF ∆SC QF = ∆S C TF
En este caso el trabajo producido W = QC − QF y con ello el rendimiento es el máximo que se puede obtener con una máquina operando entre esos focos
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica. Ejercicios. Entropía y máquina reversible Una máquina térmica opera entre los focos Tc=600 K y TF=300K a) Calcula el rendimiento de una máquina de Carnot que opera entre esos focos. Utilizando el concepto de entropía responder a las siguientes: b) Supongamos que extraemos del foco caliente 6000 julios y queremos aprovechar como trabajo 4000 Julios. c) ¿Es posible una máquina térmica que operando entre esos focos pueda producir un trabajo de 2000 Julios?. ¿Es una máquina de Carnot? d) ¿Cuál es el trabajo máximo que puede producir una máquina térmica operando entre esos focos?. ¿Cuál es para este caso el rendimiento?.
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
PROBLEMAS RESUELTOS CICLO TERMODINÁMICO EN GASES IDEALES
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Leyes de los gases
PV = nRT
Ecuación de estado de un gas ideal
R=0,082 atm l/(K mol)=8,31451J/Kmol=1,987 cal/K mol 0º C = 273,15K
1 cal= 4.186 J
1 atm = 101325Pa
1 atm.l = 101,325J
Transformaciones en una cantidad fija de un gas.
PAV A = PBVB
T=cte
PV nR = = cte T
PAVA PBVB = TA TB
V=cte
PA PB = TA TB
P=cte
VA VB = TA TB
adiabática
PAV Aγ = PDVDγ TAVAγ −1 = TDVDγ −1
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Calor, trabajo, energía, entalpía en los procesos La energía interna y la entalpía de un gas ideal sólo depende de la temperatura.
U = ncV T H = ncPT Relaciones
c p = cv + R
3 monoatómico cv = 2 R gas ideal diatómico cv = 5 R 2
En general los valores de los calores molares cP y cv se obtienen experimentalmente
H = U + PV
∆S ≥
Valores en los procesos V=cte
Q T
La igualdad cuando se transfiere calor de forma reversible
P=cte
T=cte
adiabático
∆U = ncv ∆T
∆U = ncv ∆T
∆U = 0
∆U = ncv ∆T
∆H = nc p ∆T
∆H = nc p ∆T T ∆S = nc p Ln 2 T1
∆H = 0
∆S = ncv Ln
T2 T1
W =0 QV = ∆U = ncv ∆T
W = P∆V = nR∆T Q p = ∆H = nc p ∆T
∆S = RLn
∆H = nc p ∆T
∆S = 0
Vf Vi
Vf W = Q = nRT ln Vi Vf Q = W = nRT ln Vi
W = −∆U = − ncv ∆T
Q=0
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Ejemplo 1. Ciclo gas ideal.Máquina térmica (1/4) El ciclo de la figura lo realiza un gas ideal monoatómico. P (atm.) TA=300K a) Calcular el valor de las variables termodinámicas desconocidas A B BC isoterma en los vértices A, B C y D 4 b) Hallar de forma directa el trabajo en cada etapa. AD adiabática c) El calor, la variación de energía interna y la variación de entropía en cada etapa del ciclo. (Expresar los resultados en el SI). 2 d)Hallar el rendimiento del ciclo. D C DATOS R=0.082 atm l/(ºK mol)=8,3145J/Kmol 1 cal= 4.186 J. 1 atm = 101325Pa
Gas ideal mon. cv = 3 2 R c p = 5 2 R γ = 5 3 a) Calcular el valor de las variables A) TA = 300 K PA = 4atm = 405300 Pa V A = 1l = 0.001m 3 n=
B)
PV 4 = = 0,016 moles RT R300
1 D)
AD adiabática
VDγ =
PA γ 4 VA = 1 = 2 ⇒ γ ln VD = log 2 PD 2
3 log VD = log 2 ⇒ VD = 10 5 PDVD PV = nRT
PB = 4atm = 405300 Pa
O también
VB = 3l = 0.003m 3
C)
PAV A PV = B B TA TB
3 lg 2 5
= 1,5157l = 0,00152m 3
TD =
PAV A TA
TC = TB = 900 K
= 227,36 K nR PV PV = D D ⇒ T D = T A D D = 227 ,36 TD PAV A
BC Isoterma
PV T P PAV A = C C ⇒ V C = C A V A = 6 l = 0 , 006 m 3 TA TC T A PC
PB V B = 900 K PAV A
TB = T A
V (l)
3 PAV Aγ = PDVDγ
Más fácil
PB V B = 6l PC
PBV B = PC V C ⇒ V C =
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Ejemplo 1. Ciclo gas ideal.Máquina térmica (2/4)
a) Valores de las variables de estado en los vértices. P (atm.) A
P (atm)
V (l)
T (K)
4
1
300
TA=300K
A
B
4
B
4
3
900
C
2
6
900
D
2
1,52
227,3
BC isoterma AD adiabática
2
D
C
b) Hallar de forma directa el trabajo en cada etapa B
AB
B
W = ∫ PdV = P ∫ dV = P (V B−V A ) = 8 atm.litro = 810,6 J A
C
C
B
B
W = ∫ PdV = ∫ D
CD
V (l)
3
A
Otra forma. EN una isobara W = nR∆Τ = BC
1
4 (900 − 300) = 8atm.litro 300
PV 4 nR = A A = TA 300
nRT V 4 dV = nRT ln C = 900 ln 2 = 8,32atm.litro = 842,80 J V VB 300
D
W = ∫ PdV = P ∫ dV = P (V D−VC ) = 2(1,52 − 6) = −8,96 atm.litro = −907,87 C
Otra forma
C
W = nR∆Τ =
4 ( 227.3 − 900) = −8,96atm.litro 300
DA Adiabática 4 W = −∆U = − ncv ∆T = − 3 nR (300 − 227, 3) = − 3 72, 7 ) = 1, 45atmlitro = −146,9 J 2 2 300 (
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Ejemplo 1. Ciclo gas ideal.Máquina térmica (3/4)
c) El calor, la variación de energía interna y de entropía en cada etapa del ciclo AB isobaro 4 Q = ∆H = nc p ∆T = 5 nR∆T = 5 (600) = 20atm.litro = 2026,5 J 2 2 300
PAV A 4 nR = T = 300 A
4 ∆U = ncv ∆T = 3 nR∆T = 3 600 = 12atm.litro = 1215,9 2 2 300 ∆U = Q − W = 2026, 5 − 810, 6 = 1215, 9 J
O también ∆S = nc p Ln
Tf Ti
T 4 900 = 5 nRLn B = 5 ln = 3, 71J / K 2 2 300 300 T A
BC isotermo ∆U = 0
∆H = 0
V Q = W = nRT ln f = 842,80 J Vi
∆S = RLn
Vf Vi
=
Q 842,80 = = 0,94 J / K T 900
Q p = ∆H = nc p ∆T
CD Isobaro
4 ∆U = ncv ∆T = 3 nR∆T = 3 227,36 − 900 ) = −13, 45 = −1363,10 2 2 300 ( Q = ∆U + W = −1363,10 − 907,87 = −2270,97 J
Q=0
DA adiabática
∆U = ncv ∆T = −W = 146, 9 J
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Ejemplo 1. Ciclo gas ideal.Máquina térmica (4/4) d) Rendimiento W
Q
ΔU
ΔS
AB
810,4
2026
1215,6
3,71
BC
842,8
842,8
0
0.94
CD
-907,7
-2269,1
-1362,5
-4,65
DA
-146,9
0
146,9
0
0
0
598,6
P (atm.)
Q absorbido = 2026 +842,8=+2868,8
A
B
4
W=598,6
η=
2
D
C Qcedido=-2269,1 V (l)
1
3
W 598, 6 = = 0, 2086 Qabs 2868,8
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Ejercicio 1. Ciclo gas ideal.Máquina térmica (2/4)
Soluciones:
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Ejemplo 2. Ciclo Carnot refrigerador (1/5) Un refrigerador de Carnot funciona con 18 moles de un gas ideal monoatómico, realizando ciclos de 2 s. Las temperaturas de los focos son 450K y 150 K y consume una potencia de 60 kW. a) Dibuja el ciclo en un diagrama p - V especificando las transformaciones que lo componen. Calcula la eficiencia. b) Calcula el calor intercambiado en cada etapa y la relación entre los volúmenes en la compresión isoterma. c) Calcula la variación de entropía del gas en cada transformación y en el ciclo. Calcula la variación de entropía del Universo. d) Sabiendo que después de la expansión isoterma el volumen del gas es V3 = 0.5 m3, calcula la presión y el volumen después de la compresión adiabática.
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodinรก Termodinรกmica.
Ejemplo 2. Ciclo Carnot refrigerador (2/5)
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodinรก Termodinรกmica.
Ejemplo 2. Ciclo Carnot refrigerador (3/5)
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodinรก Termodinรกmica.
Ejemplo 2. Ciclo Carnot refrigerador (4/5)
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodinรก Termodinรกmica.
Ejemplo 2. Ciclo Carnot refrigerador (5/5)
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Ejercicio 2. Maquina térmica revers. y no revers.
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Ejemplo 3. Ciclo Carnot Máquina Térmica Un gas diatómico, cv=5R/2, describe el ciclo de Carnot de la figura. Las transformaciones A-B y C-D son isotermas y las transformaciones B-C y D-A son adiabáticas. Hallar los valores de la presión, el volumen, y la temperatura de cada uno de los vértices A, B, C y D a partir de los datos suministrados en la figura. Calcular de forma explícita el trabajo en cada una de las transformaciones, la variación de energía interna, y el calor. Hallar el rendimiento del ciclo, y comprobar que coincide con el valor dado por la fórmula del rendimiento de un ciclo de Carnot. ¿Cuál es la razón por la que un diseñador de motores térmicos debe de conocer el ciclo de Carnot?. Dato: R=8.314 J/(ºK mol)=0.082 atm.l/(ºK mol)
TEMA 9.-Temperatura y Calor. Calor. Introd. Introd. a la Termodiná Termodinámica.
Ejemplo 3. Ciclo Carnot Máquina Térmica