Problemas de la Distribución Binomial y Normal 1.- Se sabe que el tiempo de vida útil de un determinado modelo de disco duro fabricado por una empresa sigue una distribución normal. Un estudio previo, encargado por el fabricante, sobre dicho modelo permitió concluir que el 10% de los discos duros se rompen antes de un año y medio, mientras que un 2.5% supera los siete años de vida útil. En función de estos datos: a) Determinar la media y varianza del tiempo de vida útil de dicho modelo de disco duro. b) Si se escoge un disco al azar y se instala en un equipo, ¿cuál es la probabilidad de que aún funcione tras cinco años de vida útil? c) ¿Qué probabilidad hay de que de los 6 discos duros de dicho modelo, al menos 3 no superen 5 años de vida útil?. 2.- Una compañía fabrica ventiladores de CPU que tienen un periodo de vida que está distribuido con una normal, de media igual a 1.5 años y una desviación estándar de 0.3. a) Calcular la probabilidad de que un ventilador escogido al azar funcione más de 1 año. b) Calcular la probabilidad de que no supere 2 años de funcionamiento. c) Sabiendo que lleva más de medio año funcionando,¿qué probabilidad hay de que se rompa antes de un año? d) ¿Cuál es la probabilidad de que de los 6 ventiladores de la muestra a lo sumo dos se estropeen antes de un año? 3- Los tiempos hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras de chorro de tinta tienen aproximadamente una distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación estándar de 200 horas. a) ¿Qué porcentaje de esas impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento? b) ¿Qué porcentaje de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso? c) ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía de las impresoras si el fabricante desea que sólo presente averías el 5% de éstas dentro de dicho periodo de garantía? d) Si se selecciona de forma aleatoria una muestra de 5 impresoras, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de éstas fallen antes de 1000 horas de funcionamiento? 4.- Una máquina de empaquetado automático deposita por término medio en cada paquete 81.5 grs de producto con una desviación típica de 8 grs. El peso medio del envase vacío es de 14.5 grs con una desviación típica de 2 grs. Ambas variables son normales e independientes. a) Calcular la distribución del peso de los paquetes llenos. b) Calcular la proporción de paquetes llenos que salen con un peso superior a 100 gr. c) Si se seleccionan al azar 20 paquetes llenos para llenar una caja, ¿cuál es la probabilidad de que el peso total de los 20 paquetes no supere los 2000 grs.?. d) ¿Qué valor del peso medio de los 20 paquetes llenos, escogidos al azar, ocupa el percentil 90?. 5.- El tiempo TI que tarda en conectarse a Internet un determinado modelo de modem está distribuido con una normal de media 32.5 sg y desviación típica 0.4 sg. Una vez conectado a Internet, el tiempo T c que tarda en conectarse a un servidor para poder acceder a leer el correo electrónico está distribuido normalmente con una media de 57.5 sg y una desviación típica de 0.3 sg. Considerando que ambas variables son independientes. a) Calcular la distribución del tiempo total que trascurre para poder acceder a leer el correo electrónico.
Problemas de la Distribución Binomial y Normal b) Calcular la probabilidad de que el tiempo total que trascurre para poder acceder a leer el correo electrónico no supere los 89 sg. c) ¿Qué valor del tiempo total que trascurre para poder acceder a leer el correo electrónico no es superado por el 75% de los usuarios? d) Si seleccionamos al azar 10 usuarios cuyos ordenadores tienen instalado el mismo modelo de modem, y utilizan el mismo servidor para el correo electrónico, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio que trascurre, desde que inician la conexión hasta que puedan acceder al correo electrónico, de los 10 usuarios supere los 89.75 sg? e) De 285 usuarios seleccionados al azar, ¿qué probabilidad hay de que al menos 10 de ellos puedan acceder a leer el correo electrónico antes de 89 sg? (
6.- Una academia prepara a sus estudiantes para realizar, en los tiempos establecidos, una determinada oposición que consta de tres pruebas (psicotécnica (2h), conocimientos generales (1.5h), conocimientos específicos (3h)). Los tiempos que tardan los estudiantes de dicha academia en realizar cada una de las pruebas siguen distribuciones normales, siendo respectivamente, Tp = “tiempo que tarda en realizar la prueba psicotécnica” ~ N( 1.2, 0.3), Tg = = “tiempo que tarda en realizar la prueba de conocimientos generales” ~ N(0.9, 0.2) y Te = “tiempo que tarda en realizar la prueba de conocimientos específicos” ~ N(2.4, 0.1). Considerando que dichas variables son independientes. a) Calcular la probabilidad de que el tiempo total que tarda un estudiante de dicha academia, escogido al azar, en realizar las tres pruebas de las que consta la oposición no supere las 5 horas b) ¿Qué valor del tiempo total que se tarda en realizar las tres pruebas de la oposición no es superado por el 90% de los estudiantes? c) Si seleccionamos al azar 20 estudiantes de dicha academia para realizar las tres pruebas de las que consta la oposición, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo total medio del grupo supere 4.3 horas? d) De 75 estudiantes seleccionados al azar, ¿qué probabilidad hay de que al menos 25 de ellos puedan realizar las tres pruebas de la oposición en un tiempo superior a 5 horas? 7.- El índice de alcoholemia en las noches de los viernes entre los clientes asiduos de una determinada zona “de marcha” sigue una distribución de tipo normal, de media 0.7 gramos de alcohol por litro de sangre (en adelante gr/l), con una desviación típica de 0.2 gramos de alcohol por litro de sangre. A 200 metros y en la salida principal de esta zona la policía instala un control, de forma que todo conductor que supere los 0.5 gr/l será multado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 40 clientes sean multados de entre los 50 que han sido sometidos a prueba? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el nivel medio de alcohol, de los 50 clientes sometidos a la prueba, supere los 0.5 gr/l)? 8.- Una empresa fabrica ascensores con capacidad para 10 personas. Sabiendo que el peso de los individuos de una determinada población se distribuye como una normal de media 60 Kg. y una varianza de 16 Kg2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de 10 personas, escogidas al azar, sea superior a 62 Kg? b) El motor del ascensor dispone de un sensor de modo que salta una alarma cuando el peso total de 10 personas excede el valor del percentil 80. ¿Cuál debe ser el peso máximo que debe poder elevar el motor para que no suene la alarma?
Problemas de la Distribución Binomial y Normal c) Si se instala uno de estos ascensores en un hospital donde se utiliza cada vez por 10 personas, ¿cuál es la probabilidad de que la primera vez que salta la alarma es en la quinta ocasión que es utilizado por un conjunto de 10 usuarios? 9.- Una compañía química produce gas comercial. La concentración de mercurio en una botella de condensado de gas comercial sigue una distribución normal de media 21.9 ng/ml y desviación típica 1.3 ng/ml. Se sabe que la concentración admitida de mercurio en una botella de condensado de dicho gas comercial debe oscilar entre 20 y 23 ng/ml. a) Si se toma una muestra de 20 botellas de dicho gas, ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo tres de éstas no cumplan las especificaciones admitidas? b) La producción de gas comercial de un día es de 360 botellas. Se lleva a cabo una inspección y se comprueba que 16 de éstas no cumplen las especificaciones admitidas de nivel de mercurio. Si un operario selecciona al azar de la producción 13 botellas de gas, ¿qué probabilidad hay de que al menos una de estas botellas no cumpla las especificaciones admitidas? 10.- En una fábrica que envasa agua mineral, se ha establecido que el volumen envasado por la máquina automática sigue una distribución normal de media 150 cl y con una desviación típica de 2 cl. Un criterio de calidad de la empresa considera que no se pondrán a la venta botellas que contengan menos de 147cl. a) ¿Cuál es la proporción de botellas en la producción que no se pueden poner a la venta? b) Las botellas se empaquetan en grupos de 6 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que un paquete contenga al menos una botella con menos de 147cl? c)
¿Cuál es la probabilidad de que en un paquete de 6 botellas, escogido al azar, el
volumen medio de agua no supere 147 cl?