EJERCICIOS DE CONTRASTES DE HIPÓTESIS 1
Se selecciona una muestra aleatoria formada por 40 machos y 38 hembras maduros, midiendo en todos ellos la longitud ventral del manto (LVM). En los machos se obtuvo un valor medio de 63 mm. con una desviación típica de 19 mm. En las hembras se observó una media de 69 mm. con una desviación típica de 23 mm. Con un nivel de significación del 5%, ¿muestran estos datos evidencia suficiente de que la longitud ventral media en hembras es mayor que en machos? ¿Qué tamaño de muestra se necesitaría para, con este mismo nivel de significación, detectar una diferencia de 5 mm. en la media de la LVM entre machos y hembras con una probabilidad del 90%? Solución; Para decidir si existe evidencia suficiente de que la longitud ventral media en hembras es mayor que en machos debemos resolver el contraste de hipótesis ⎧ H 0 : µH ≤ µM ⎨ ⎩ H1 : µ H > µ M
Si suponemos que ambas muestras proceden de poblaciones con la misma varianza, deberemos calcular (consideramos que la población 1 es la de hembras, y la 2 la de machos):
texp =
( n1 − 1) s
x1 − x2
+ ( n2 − 1) s22 n1 + n2 − 2 2 1
= 1.2587 1 1 + n1 n2
que debe compararse con tn1 + n2 − 2,α = t76,0.05 = 1.665 . Como texp < tn1 + n2 − 2,α se acepta H0. En caso de que las varianzas poblacionales fueran distintas el estadístico sería: texp =
x1 − x2 s12 s22 + n1 n2
= 1.252
que debe compararse ahora con tn ,α = t72,0.05 = 1,667 , donde el valor de n se ha calculado a partir de: 2
⎛ s12 s22 ⎞ ⎜ + ⎟ ⎝ n1 n2 ⎠ n= ≅ 72 2 2 1 ⎛ s12 ⎞ 1 ⎛ s22 ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ n1 − 1 ⎝ n1 ⎠ n2 − 1 ⎝ n2 ⎠
Como también en este caso texp < tn ,α , se acepta H0. Por tanto, independientemente de que las varianzas poblacionales sean iguales o distintas, no hay evidencia para asegurar, con un nivel de significación del 5%, que la longitud media ventral del manto sea mayor en hembras que en machos.
Para calcular el tamaño de muestra necesario para detectar una diferencia de 5 mm. en la media de la LVM entre machos y hembras con una probabilidad del 90% utilizamos la fórmula: n=
( z0.05 + z0.10 )
2
(s
2 1
+ s22 )
∆2
=
(1.65 + 1.28)
2
( 23
2
+ 192 )
52
= 305.62 ≅ 306
2. La concentración media de mercurio (medida en escala logarítmica) en los peces capturados en el río Lumber fue -0.085, con desviación típica 0.571; a su vez, la media en el río Waccamaw fue 0.017 con desviación típica 0.721. Calcular intervalos de confianza al 95% para la concentración media de mercurio (en escala logarítmica) en los peces de ambos ríos. ¿Puede asegurarse, con un 5% de significación, que la concentración de mercurio es superior en los peces capturados en el río Waccamaw? (se ha comprobado que la concentración de mercurio en escala logarítmica sigue aproximadamente una distribución normal; asimismo se puede asumir que las varianzas de la concentración de mercurio son iguales en ambos ríos) Solución: Asumiendo distribución normal en ambas variables, el intervalo de confianza para la media puede calcularse mediante:
s ⎤ ⎡ ⎢ x ∓ tn −1,α / 2 ⎥ n⎦ ⎣ En el río Lumber el intervalo es:
s ⎤ ⎡ 0.571 ⎤ ⎡ ⎢ x ∓ tn −1,α / 2 ⎥ = ⎢ −0.085 ∓ t72,0.025 ⎥ = [ −0.085 ∓ 1.99 ⋅ 0.066] = [ −0.22, 0.05]] n⎦ ⎣ 73 ⎦ ⎣ y en el Waccamaw:
s ⎤ ⎡ 0.721 ⎤ ⎡ ⎢ x ∓ tn −1,α / 2 ⎥ = ⎢ 0.017 ∓ t97,0.025 ⎥ = [ 0.017 ∓ 1.98 ⋅ 0.073] = [ −0.13, 0.16]] n⎦ ⎣ 98 ⎦ ⎣ Para decidir si existe evidencia suficiente de que la concentración de mercurio en peces del Waccamaw es superior a la concentración en los del Lumber debemos resolver el contraste de hipótesis:
⎧ H 0 : µW ≤ µ L ⎨ ⎩ H1 : µW > µ L Dado que podemos suponer que las varianzas de la concentración de mercurio en los peces de ambos ríos son iguales, para resolver el contraste calculamos:
texp =
( nW − 1) s
xW − xL
+ ( nL − 1) s nW + nL − 2 2 W
2 L
= 1 1 + nW nL
0.017 + 0.085 ⎛ 97 ⋅ 0.7212 + 72 ⋅ 0.5712 ⎞ 1 1 + ⎜ ⎟ 73 + 98 − 2 ⎝ ⎠ 73 98
que debe compararse con tnW + nL − 2,α = t169,0.05 = 1.65 . Como texp < 1.65 se acepta H0. Por tanto no podemos asegurar con un 5% de significación que la concentración media de mercurio en peces del Waccamaw supere a la del Lumber (aunque de hecho suceda así en esta muestra)
= 0.998
3. En esta nueva muestra se han encontrado 10 killifish y 24 redhorse en los que la concentración de mercurio sobrepasa las 1.7 ppm. ¿Se puede asegurar, con una significación del 5%, que la proporción de redhorse no apta para consumo humano es mayor que dicha proporción en kiliifish.? ¿Difieren significativamente la proporción de redhorse observada en esta muestra de la establecida en estudios previos (25%)? Solución: Las proporciones de peces de ambas especies no aptos para el consumo humano en la nueva muestra son:
pˆ K =
10 = 0.147 68
pˆ R =
24 = 0.233 103
El contraste que debemos plantear para resolver la primera cuestión es:
⎧ H 0 : p R ≤ pK ⎨ ⎩ H1 : pR > pK El estadístico de contraste es, entonces:
z=
24 10 − 103 68 = = 1.378 1 1 ⎛ 1 ⎛ ⎞ 1 ⎞ 0.199 ⋅ 0.801⋅ ⎜ + p*q* ⎜ + ⎟ ⎟ 68 103 ⎝ ⎠ ⎝ nA nB ⎠ pˆ R − pˆ K
donde:
n pˆ − nK pˆ K p* = R R = nR + nK
68 ⋅
10 24 + 103 ⋅ 68 103 = 34 = 0.199, 68 + 103 171
q* = 1 − p* = 0.801
Como z < zα = z0.05 = 1.65 se acepta la hipótesis nula, y por tanto no hay evidencia suficiente para asegurar que la proporción de peces no aptos para consumo entre los redhorse sea mayor que entre los killifish. Para responder a la segunda cuestión debemos plantear el contraste:
⎧ H 0 : pR = 0.25 ⎨ ⎩ H1 : pR ≠ 0.25 El estadístico de contraste es ahora:
z=
pˆ − p0
p0 (1 − p0 ) n
=
0.233 − 0.25 = −0.034 0.25 ⋅ 0.75 103
Como z = 0.034 < zα / 2 = z0.025 = 1.96 podemos aceptar la hipótesis nula, por lo que concluimos que no existe evidencia de que la proporción de redhorse no aptos para consumo humano haya variado con respecto al estudio previo.
4. Se cree que el mercurio tiende a concentrarse más en las gónadas que en la masa muscular del pez. Para verificar esta hipótesis se seleccionan 40 redhorse de la muestra anterior, midiéndose, para cada pez, la concentración de mercurio (en escala
logarítmica) en las gónadas y en el tejido muscular próximo a la cabeza. La concentración media en gónadas es 0.45 (con desviación típica 0.57); en el tejido muscular la media es -0.51 (con desviación típica 0.62). La correlación entre las concentraciones de mercurio en gónadas y músculo es 0.97. ¿Puede asegurarse, con un 5% de significación, que efectivamente el mercurio tiende a concentrarse más en las gónadas? En caso afirmativo construye un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de concentración entre gónada y músculo. Solución: En este caso nos encontramos ante un contraste con muestras emparejadas, ya que en cada caso gónada y músculo se han medido en el mismo pez. El contraste que se plantea es:
⎧ H 0 : µG ≤ µ M ⎨ ⎩ H 1 : µG > µ M para el que debemos calcular el estadístico:
texp =
xG − xM sG2 + sM2 − 2rsG sM n
=
0.45 + 0.51 0.57 2 + 0.622 − 2 ⋅ 0.97 ⋅ 0.57 ⋅ 0.62 40
= 39.436
Este valor debe compararse con t39,0.05 = 1.68 . Como texp > 1.68, podemos concluir que existe evidencia suficiente (al 5% de significación) para asegurar que, efectivamente, el mercurio tiende a concentrarse más en las gónadas. El intervalo para la diferencia de concentración entre ambos tejidos es (en escala logarítmica):
⎡
µG − µ M ∈ ⎢ xG − xM ± tn −1,α / 2 ⎣⎢
sG2 + sM2 − 2rsG sM ⎤ ⎥ = [ 0.96 ± 2.022 ⋅ 0.024] = [ 0.911, 1.001] n ⎦⎥