Band B ksiazka by Andrzej Gołąb

Englisch Mathematik Deutsch

M10/MS9plus2 Übungen/Prüfungen Mittlere Reife Mittelschule (Bayern)

Teil : Lösungen

Zusammengestellt und bearbeitet von A. Gräbner (Englisch) Th. Elsinger (Mathematik) B. Keidler (Deutsch)

17. Auflage - Schuljahr 2012/2013

Inhaltsverzeichnis 1

Englisch

1.1

Grammar

1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.1.8 1.1.9

4 4 5 5 5 5 5 5 6

1.1.10 1.1.11

Tenses If-clauses Passive Adjectives and Adverbs Gerund or Infinitive Modal Auxiliaries Reported Speach Relative Pronouns Present Participle or Past Participle Reflexive Pronouns Mixed Exercises

1.2

Abschlussprüfungen

1.2.1

Abschlussprüfung 2007

A. und B. Reading Comprehension and Translation (Text: “Flynn of the Inland”)

C. Text Production

D. Language Test (Grammar, Vocabulary)

2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8 2.1.9

Notenschlüssel zur Prüfung ab 2008 Abschlussprüfung 2008

2.1.10

A. Listening Comprehension

B. Reading Comprehension (Text: “The man behind James Bond”)

C. Mediation

1.2.2 1.2.3

1.2.4

1.2.5

6 6

D. Text Production

E. Use of English

Abschlussprüfung 2009

A. Listening Comprehension

B. Reading Comprehension (Text: “The World’s Largest Land Predators”)

C. Mediation

D. Text Production

1.2.7

Abschlussprüfung 2012

A. Listening Comprehension

B. Reading Text/Comprehension (Text: “Happy Birthday, Lady Liberty!”)

C. Mediation

D. Text Production E. Use of English

21 21

Mathematik

2.1

Übungs-/Prüfungsaufgaben

2.1.1 2.1.2

23 24

2.1.11 2.1.12

Bruchgleichungen Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Binomische Formeln Lineare Funktionen Lineare Gleichungssysteme Quadratische Funktionen Quadratische Gleichungen Wachstums- und Zerfallsprozesse Strahlensatz und zentrische Streckung Berechnungen an Dreiecken und Kreisen Körperberechnungen Wahrscheinlichkeitsrechnung

2.2

Abschlussprüfungen

2.2.1

Aufgabenübersicht Abschlussprüfungen Abschlussprüfung 2007

Aufgabengruppe I

2.2.2

2.2.3 2.2.4

E. Use of English

Abschlussprüfung 2010

A. Listening Comprehension

B. Reading Comprehension (Text: “You Can Do It”)

C. Mediation

1.2.6

2.2.5

2.2.6

2.2.7

25 26 30 32 37 39 42 44 48 51

Aufgabengruppe II

Notenschlüssel zur Prüfung ab 2008 Abschlussprüfung 2008

Aufgabengruppe I

Aufgabengruppe II

Abschlussprüfung 2009

Aufgabengruppe I

Aufgabengruppe II

Abschlussprüfung 2010

Aufgabengruppe I

Aufgabengruppe II

Abschlussprüfung 2011

80 80

D. Text Production

E. Use of English

Aufgabengruppe I

Aufgabengruppe II

Abschlussprüfung 2012

Aufgabengruppe I

Aufgabengruppe II

Abschlussprüfung 2011 A. Listening Comprehension

B. Reading Comprehension (Text: “Not just waste!”)

C. Mediation

D. Text Production

E. Use of English

2.2.8

Notzenschlüssel zur Prüfung ab 2008 Abschlussprüfung 2008

100

Teil A: Rechtschreiben Teil I und II

101

Deutsch

3.9.2

3.1

Inhalte von Sachtexten zusammenfassen

3.9.3

3.1.1 3.1.2

Arbeitstechniken Übung (Text: Seid ihr auch alle drin?)

94 94

3.2

Inhalte von Erzähltexten zusammenfassen

3.2.1 3.2.2

Arbeitstechniken Übung (Text: Eine literarische Liebe)

94 94

3.3

Fremdwörter erklären

3.3.1 3.3.2

Arbeitstechniken Übungen

95 95

3.4

Sprachliche Bilder erkennen und erläutern

3.4.1 3.4.2

Arbeitstechniken Übungen

95 95

3.5

Den Inhalt von Textstellen mit eigenen Worten wiedergeben

Arbeitstechniken Übungen

96 9

Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch Text 2: Ich will, ich will, ich will

3.5.1 3.5.2

3.6.1

Arbeitstechniken, Vorgehensweise Übungen

Neue Aufgabenstellungen im schriftlichen Sprachgebrauch

3.8

Rechtschreibung

3.8.1

Textgruppe 1

- I Text: Geheimsprache der Bakterien - II: Neues aus der Tiefsee

3.8.3

Textgruppe 3

- I Text: Sich kranklachen für ein gesundes Leben - II: Die Kraft des Lachens

3.8.4

Textgruppe 4

- I Text: Ein glücklicher Sommer - II: Reiseziel Mond

3.9

Abschlussprüfungen

3.9.1

Abschlussprüfung 2007

(teilweise abgeändert) Teil A: Rechtschreiben Teil I und II

- I Text: Dem Himmel so nah - II: Immer weniger Eis am Nordpol Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch Text 1: Hallo, hier Groß Text 2: Wir brauche die emotionale Wende

Text 1: Generalvertreter Ellebracht begeht Fahrerflucht Text 2: Angriff der Killerpilze

3.9.4

101 101 102

Abschlussprüfung 2009

103

Teil A: Rechtschreiben Teil I und II

103

- I Text: Fünf Grad zu warm - II: Forscher messen Rekordtemperaturen in der Arktis Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch

3.9.5

103

Text 1: Die Brücke

103

Text 2: Menschenwürde als Prinzip

103

Abschlussprüfung 2010

104

Teil A: Rechtschreiben Teil I und II

104

Text 1: Die Kündigung

3.9.6

104 104 106

Abschlussprüfung 2011

107

Teil A: Rechtschreiben Teil I und II

107

- I Text: Quellen des Risikos - II: Probleme bei Ölbohrungen Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch

3.9.7

107

Text 1: Alleingelassen

107

Text 2: Mit Optimismus in die Zukunft

108

Abschlussprüfung 2012

109

Teil A: Rechtschreiben Teil I und II

109

- I Text: Honigbiene verschläft den Frühling

- II: Energiequelle Mensch

Textgruppe 2

Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch

- I Text: Strom aus den Wolken

3.8.2

- II: Tauchglocke lockt mit Unterwasserwelt

- II: Auf die Mischung kommt es an

Stellungnahme/Erörterung

3.7

- I Text: Fahrstuhl zum Meeresgrund

- I Text: Alleskönner Apfel

3.6 3.6.2

101

99 99 100

- II: Die Erde kommt ins Schwitzen Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch

109

Text 1: Wir retten die Welt

109

Text 2: Kinder als Glücksfall oder Störfaktor

110

B4 1 Englisch 1.1 Grammar 1.1.1 Tenses I. Simple Present 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

visit (Signalwort “often”) don't always use (Zeitangabe “always” vor dem Vollverb) flows (Tatsache) sometimes play (Signalwort “sometimes”) doesn't always live Do you do (Frage mit “do” umschreiben) Do these sentences make aren't you; are you (Verb “be” muss nicht mit” do” umschrieben werden) seldom come; don't like Does Mary often wear

II. Present Progressive 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

aren't you writing (Signalwort “now”) Is the sun shining (Signalwort “today”) is practising (Signalwort “at the moment”) am not going (feste Zeitangabe “tomorrow evening”) are you doing (Signalwort “at the moment”) is wearing (Signalwort “look”) are you going aren't you having (Signalwort “right now”) aren't laughing is shouting (Signalwort” listen”)

III. Simple Present and Present Progressive 1. go (Signalwort “every year” für Simple Present) 2. attends (regelmäßige Handlung; “once a week”) 3. are you doing (“at the moment” als Signalwort für Present Continuous) am reading 4. comes (Simple Present, da feststehende Tatsache) speaks (Fähigkeit) 5. is doing (“look” als Signalwort für Present Continuous) 6. spends (regelmäßige Handlung) 7. rises (feststehende Tatsache) 8. always leaves (“always” als Signalwort für Simple Present) 9. is playing (“listen” als Signalwort für Present Continuous) 10. go (regelmäßige Handlung) am going (Ausnahme „today“ mit Present Continuous) 11. is having (Frage wird zu dem Zeitpunkt gestellt, als Simon im Bad ist) 12. isn’t staying (“at the moment”als Signalwort für Present Continuous)

IV. Simple Past 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

didn't go (Signalwort “Last night”) came (Signalwort “yesterday”) was (nach “who was” nicht “were”, wenn keine Person angegeben ist) Did you meet (wegen “were” muss Simple past verwendet werden) arrived (Signalwort “two months ago”); bought couldn't ; didn't work won (Signalwort “1990”) didn't have (wegen “when I was”)

Grammar 8. Did you meet (Frage im Simple Past mit “did” umschreiben; Signalwort “last Sunday”) didn´t (Kurzantwort in der gleichen Zeit wie in der Frage) haven´t seen, since (Present Perfect wegen Signalwort “since” = Zeitpunkt) 9. worked (Signalwort “ago” für Simple Past) 10. has just started (“just” als Signalwort für Present Perfect) 11. have had, for (Signalwort “for” = Zeitraum für Present Perfect) 12. has already sold (“already” als Signalwort für Present Perfect)

VIII. Present Perfect and Present Perfect Progressive 1. 2. 3. 4.

have you been living; have been living (Signalwörter ”how long” und “since 2008”) Have you ever been; have never been (Signalwörter “ever” und “never”) have been reading (Signalwort “for two weeks”) has been dancing; has already danced (Signalwort “all evening” für Present Perf. Progressive – Betonung der Dauer, Signalwort “already” für Present Perfect) 5. has been talking; hasn’t talked (Signalwort “for two hours” für Present Perf. Progressive) 6. have already solved (Signalwort “already” für Present Perfect) 7. has been playing; has never played (Signalwort “for two hours” für Present Perfect Progressive; Signalwort “never” für Present Perfect) 8. have been looking for; haven’t found them yet (Signalwort “since three o’clock” für Present Perfect Progressive; Signalwort “yet” für Present Perfect) 9. has been taking; has already ruined (Signalwort “for three months” für Present Perfect Progressive; Signalwort “already” für Present Perfect) 10. has been raining; have forgotten (Signalwort “for twenty minutes” für Present Perfect Progressive) 11. has never had (Signalwort “never” für Present Perfect) 12. have been trying (Signalwort “for a long time” für Present Perfect Progressive) 13. haven’t seen („see“ mit der Bedeutung sehen, treffen immer mit Present Perfect) 14. has just cleaned (Signalwort “just” mit Present Perfect) 15. have you been doing; have you been waiting (Signalwort “all morning” für Present Perfect Progressive in beiden Fällen)

IX. Past Perfect and Simple Past 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13.

V. Present Perfect 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

have never gone (Signalwort “never” zwischen have u. 3. Form) have you known (Signalwort “how long”) hasn't met (Signalwort “not yet” = noch nicht) Have they already travelled (Signalwort “already”) has had (Signalwort “for” = seit) Have you ever visited (Signalwort “ever”) has already done (Signalwort “already”) has become (gültig von Vergangenheit bis Gegenwart)

VI. Present Perfect Progressive 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

have been waiting (Signalwort “all morning”) has been reading (Signalwort “for four hours”) have been living (Signalwort “since 2003”) have you been learning (Signalwort “how long”) have they been sitting (Signalwort “since when”) has been drinking (Signalwort “the whole evening”) have been working (Signalwort “for eight hours”) have been learning (Signalwort “all afternoon”) has not been feeling (Signalwort “for several days”) have been painting (Signalwort “for five hours”)

VII. Simple Past and Present Perfect 1. Have you ever been to Britain? (“ever” als Signalwort für Present Perfect) was (Signalwort “last year” für Simple Past) didn´t like it (Zeitenfolge, ebenfalls “last year”) 2. have you eaten (“so far” als Signalwort für Present Perfect) 3. were you (Frage im Simple Past wegen “last week”; keine Umschreibung mit “did” bei “to be”) 4. has seen (“so far” als Signalwort für Present Perfect) 5. were (Zeitangabe “1978” mit Simple Past) 6. have known, for (“for” = Zeitraum als Signalwort für Present Perfect) 7. did you see (Frage im Simple Past mit „did“ umschreiben; Signalwörter „when“ und „last“)

had done, went (Vorzeitigkeit = Past Perfect des Verbs bei after) bought, had saved (Past Perfect für die erste Handlung) wrote, had learned (1. Handlung = lernen, 2. Handlung = Test schreiben) had repaired, watched (das Reparieren als erste Handlung, das Zuschauen als darauffolgende Handlung) went, had tried (1. Handlung = versuchen, 2. Handlung = gehen) had handed out, started (1. Handlung = austeilen; 2. Handlung = anfangen) had been (Konzert fand statt, bevor sie nach Hause kam) hadn't done After she had written the letter, she bought a stamp. oder: Before she bought a stamp, she had written a letter. After they had bought their tickets, many people visited the museum. oder: Before many people visited the museum, they had bought their tickets. After the robbers had broken into the house, they stole a few valuable pictures. oder: Before they stole a few valuable pictures, the robbers had broken into the house. After they had asked their parents for some money, the children bought some icecream. oder: Before the children bought some ice-cream, they had asked their parents for some money. After Mary had borrowed a book at the library, she read it in two days. oder: Before she read it in two days, Mary had borrowed a book at the library.

X. “will-Future” and “going to-Future” 1. 2. 3. 4. 5.

will go won`t rain will have will ......... arrive will answer

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

is going to become are .......... going to leave am going to win am going to go is going to take part in are going to take are ........... going to spend

13. is going to rain 14. will go

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

are going to fly will be are going to have will open will happen will take will visit am going to go will be/is will write/will be writing will carry is going to repair is going to fall

1.1.2 If-Clauses I. Typ I (Simple Present im if-clause; “will/can” + Infinitiv im main clause) 1. will go 2. has got 3. will ride / can ride

4. don´t ask 5. won´t come

II. Typ II (Simple Past im if-clause; “would/could” + Infinitiv im main clause) 1. would not help 2. had 3. would cook

4. didn´t always use 5. were

Grammar

III. Typ III (Past Perfect im if-clause; “would/could” + “have” + 3. Form des Verbs im main clause) 1. would have gone 2. had had 3. wouldn´t have come

4. wouldn´t have gone 5. hadn´t invited

IV. Mixed Types 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

had searched („would + have+ 3. Form“ des Verbs im Hauptteil des Satzes) came („might + Infintiv“ im Hauptteil des Satzes) get („can + Infinitiv“ im Hauptteil des Satzes) hadn´t been (“would + not + have + 3. Form“ des Verbs im Hauptteil des Satzes) didn´t cost („would + Infinitiv“ im Hauptteil des Satzes) would / could have won (Typ III, „had been able” im if-Teil des Satzes) will get (verneintes Simple Present im if-Teil des Satzes) was /were (“could + Infinitiv” im if-Teil des Satzes) had been invited (1. Satz gibt Information, dass das Geschehen schon vorbei ist, deswegen ist nur Typ III möglich); would have come wouldn't have bought (Typ III wegen “hadn't liked”) don't ring (Typ I wegen “are” im if-Satz, Befehlsform) were you (Typ II wegen “wouldn't miss”) hadn't been, wouldn't have earned (s. Nr. 9) won't come (Typ I wegen “isn't invited”)

1.1.3 Passive 1. The suitcases have just been carried to the door. (Present Perfect im Aktivsatz wird zu Present Perfect von „to be + 3. Form“ des Verbs im Passivsatz) 2. The letter was written in Spanish. (Simple Past von “to be + 3. Form” des Verbs) 3. Something to eat is being prepared by the cook in the kitchen. (Present Continuous von “to be + 3. Form” des Verbs) 4. The sights of London will be visited by many tourists. („will + be + 3. Form“ des Verbs) 5. The newspaper is read by my father every morning. (Simple Present im Aktivsatz wird zur Form von „to be“ in der 3. Person Einzahl + 3. Form des Verbs) 6. I have been told about the news by my brother. (Personal Passive mit Present Perfect Passive) 7. Your concert ticket might be bought by a friend of mine. (“might + be + 3. Form” des Verbs) 8. Your car had been used (by us) before the accident happened. (Past Perfect Passive; der zweite Teil des Satzes kann nicht ins Passiv gesetzt werden) 9. My kitchen windows have just been cleaned by my mother. (Present Perfect Passive, have wegen neuem Subjekt im Plural) 10. A new house is going to be built in our street. (“going to -Future + be + 3. Verbform”) 11. built (aktive Handlung im Simple Past) 12. had locked (aktive Handlung im Past Perfect ,weil Handlung vor dem Verlassen des Hauses statt fand) 13. is always spent (passive Handlung im Simple Present) 14. can be washed (Passiv, modales Hilfsverb “can + be + 3. Form” des Verbs) 15. must be emptied (Passiv, siehe Nr. 14) 16. had been handed out (Passiv im Past Perfect) 17. washed, were put 18. was elected (Simple Past wegen “2002”) 19. are being painted (Passiv im Present Progressive, Signalwort “now”) 20. are accepted (Passiv im Simple Present, allgemein gültige Aussage)

1.1.4 Adjectives and Adverbs I. Adjective or Adverb 1. suddenly sudden (Bezug auf das Substantiv “death”) 2. quietly (Bezug auf das Verb „listened“) 3. boring (Bezug auf das Substantiv „English lesson“) slowly (Bezug auf das Verb „passed“) 4. extremely difficult (das Adverb „extremely“ bezieht sich auf das Adjektiv „difficult“, „difficult“ bleibt Adjektiv, da es sich auf was bezieht) 5. hard („hard“ ist sowohl Adjektiv als auch Adverb; „hardly“ bedeutet kaum) good (Bezug auf das Substantiv „result“) 6. angry (nach dem Verb „feel“ = fühlen folgt ein Adjektiv) 7. delicious, expensive (Adjektiv nach „was“) 8. beautiful (Adjektiv nach dem Verb „look“ = ausschauen) beautifully (Adverb, da es sich auf „dressed“ bezieht) 9. happy (Bezug auf das Substantiv „ending“) finally (bedeutet hier letztendlich und ist Adverb)

II. Comparison of Adjectives and Adverbs 1. faster (Steigerung von „fast“ mit -er, „than“ als Signalwort für Komparativ) 2. extraordinarily nervous (das Adverb „extraordinarily“ bezieht sich auf das Adjektiv „nervous“, „nervous“ bezieht sich auf „had been“) more quickly (Steigerung von „quickly“ mit „more“, „than“ als Signalwort für Komparativ) 3. best (Superlativ, hier: das beste (Resultat)) 4. better (das Adverb „better“ (hier von „well“) wird mit -er gesteigert) 5. worst (Superlativ, hier: das Schlimmste) 6. latest (Superlativ, hier: die neuesten/letzten Nachrichten) 7. as expensive (hier: so teuer wie) 8. more happily (Steigerung von Adverb “happily mit more”) 9. harder (Steigerung mit -er) 10. most important (Superlativ des Adjektives “important“) more peacefully (Steigerung des Adverbs “peacefully” mit “more”)

1.1.5 Gerund or Infinitive Gerund (entspricht der -ing Form nach bestimmten Ausdrücken oder Verben) Infinitive (Grundform des Verbs nach bestimmten Ausdrücken oder Verben) 1. at playing (nach Adjektiv + Präposition „good at“ folgt das Verb in der -ing Form) 2. to seeing (nach Verb + Adjektiv + Präposition „to look forward to“ folgt das Verb in der -ing Form) 3. to take part (nach dem Verb „decide“ folgt das nächste Verb mit „to + Infinitive“) 4. playing (nach dem Verb „enjoy“ folgt das Verb in der -ing Form) 5. to meet (das Verb „love“ mit „would“ immer mit „to + Infinitive“) 6. Swimming (hier: das Schwimmen; Verb wird durch das Gerund zum Substantiv) 7. Drawing (hier: das Zeichnen; Verb wird durch das Gerund zum Substantiv) 8. to do (“to + Infinitive” nach Fragewörtern wie “how”, “when”, “where” usw.) 9. of driving (nach Verb + Präposition „to think of“ folgt das Verb in der -ing Form) 10. talking (nach dem Ausdruck „worth“ folgt das Verb in der -ing Form) 11. in collecting (nach Adjektiv + Präposition „interested in“ folgt das Verb in der -ing Form) 12. of staying (nach Adjektiv + Präposition „afraid of“ folgt das Verb in der -ing Form) 13. of making (nach dem Adjektiv + Präposition „fond of“ folgt das Verb in der -ing Form) 14. to see („to + Infinitive“ nach Ausdrücken wie „first“, „last“ oder Adjektiven mit „too“ oder“ enough“) 15. to achieve („to + Infinitive“ nach dem Verb manage)

1.1.6 Modal Auxiliaries 1. had to (“yesterday” als Signalwort für Simple Past; “must” muss durch “have to” ersetzt werden) were able to buy / could (Simple Past von “can”) 2. mustn´t (Achtung: die Verneinung von“ must“ ist „needn´t“) will have to (Signalwort “next year: must” muss durch “have to” ersetzt werden und dann in die Zukunft gesetzt werden) 3. wasn´t allowed (dürfen = „may“ wird in der Vergangenheit zu „was/were allowed to“) won´t be able (Signalwort “next week: can” wird mit “to be able to” ersetzt und in die Zukunft gesetzt) 4. needn´t / don’t need to (nicht brauchen) 5. was able to (Simple Past wegen “when my father was young”; auch “could” möglich) 6. may/can (beides möglich) 7. should (hier: solltest) 8. might or may (hier: vielleicht) 9. haven´t been able to (Signalwort “for: can” wird durch “to be able to” ersetzt und ins Present Perfect gesetzt) 10. couldn´t (Simple Past von “can” wegen “was”; auch “weren´t able to” möglich)

1.1.7 Reported Speech 1. She asked (me) what I was going to wear at the party. (Einführungsverb im Simple Past, deswegen Zeitverschiebung von „are going“ zu „was going“; das Ändern der Personen nicht vergessen) 2. He told us not to forget to bring our sports clothing. (Indirekte Rede hier Befehl mit „(not) to + Infinitiv“) 3. They explained (that) the weather had got worse and worse while they were/had been surfing off the coast. (Simple Past wird zu Past Perfect) 4. She asked me to help her to prepare the dinner. (Bitte mit “(not) to + Infinitiv”) 5. She said to me (that) she would come with me if she could. („Would“ und „could“ verändern sich nicht) 6. He said (that) his car had been stolen the week before. (Simple Past Passive wird zu Past Perfect Passive; “last week” wird zu “the week before”) 7. He asked me to bring him his book. (Bitte mit “(not) to + Infinitiv”) 8. He said to me (that) I could use my radio again because he had just repaired it. (“Can” wird zu “could”; Present Perfect wird zu Past Perfect) 9. He anounced (that) Mary couldn't come to the party because she had been ill the week before. (“Couldn't come” wird nicht verändert, “was” im Simple Past wird zu “had been” im Past Perfect, “last week” wird zu “the week before”) 10. She wanted to know what the difference between those two versions was. (Fragewort „what“ übernehmen; „these“ wird zu „those“, „'s= is“ wird zu „was“)

1.1.8 Relative Pronouns 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

----who ----------------whose --------whom which who who --------which who -----

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

----who This is the boy I met two days ago. The film they had spoken about began at 8.15 p.m.. Augsburg, which is near Munich, is a great city. (Ausgburg is a great city near Munich) Football, which is played all over the world, is a very popular sport. Where are the sausages which were in the fridge? Last year I got to know a nice woman whose husband is an office manager. I have some nice friends who live in the USA. This is Peter Collins whom/who I have always wanted to meet. Ian, whose car was damaged, was seriously hurt. We wanted to visit our aunt who lives in Berlin. Mrs Long, who has just phoned, is in Canada. Sandra, whose grandfather had died, was very sad.

Abschlussprüfungen

1.1.9 Present Participle or Past Participle 1. 2. 3. 4. 5.

Feeling closed living spoken sold

6. 7. 8. 9. 10.

worried exciting stolen depressed injured

herself yourself myself ourselves --------themselves --------themselves

1.2.1 Abschlussprüfung 2007 Flynn of the Inland: A Dreamer and a Visionary

A. und B. Reading Comprehension and Translation

1.1.10 Reflexive Pronouns 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

1.2 Abschlussprüfungen

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

yourself(ves) yourself(ves) yourself(ves) herself himself ----------------- / himself ourselves

50 points

I. Milestones in John Flynn’s life

4 points His ashes are buried here beneath a monument. Oder: The Flynn Memorial Church is there. He worked at a mission outpost. (His first mission)

1.1.11 Mixed Exercises Exercise A

He began to study (theology).

went (Signalwort “last week”) didn´t know (bezieht sich ebenfalls auf „last week“) to expect (“to + Infinitive” nach Fragewort “what”) excited (bleibt Adjektiv nach „were“ = Form von „be“) on getting to know (“on + ing-Form” nach dem Adjektiv “keen”) extremely tired (Adverb „extremely“ bezieht sich auf „tired“, „tired“ bleibt unverändert) arrived (abgeschlossene Vergangenheit) immediately (hier: sofort) went (abgeschlossene Handlung in der Vergangenheit) visited (abgeschlossene Handlung in der Vergangenheit) rather exciting (Adverb „rather“ (ziemlich) bezieht sich auf „exciting“; „exciting“ bleibt Adjektiv, da es sich auf „was“ bezieht) wouldn't have read (if-clause Typ III) helped (abgeschlossene Handlung in der Vergangenheit) have been (“for” als Signalwort für Present Perfect) haven´t seen (“so far” als Signalwort für Present Perfect) are going / are going to go (Present Progressive oder “going to”-future bei festen Plänen in der Zukunft) was built (Passiv in der Vergangenheit, Signalwort “about 2000 years ago”) have (“every evening” als Signalwort für Simple Present) more delicious (Steigerung des Adjektivs wegen „than“) haven´t we gone (Present Perfect wegen Signalwort “yet”) to reach (“to infinitive” nach dem Adjektiv “easy”) am doing (Present Progressive wegen Signalwort “right now”) am lying (Present Progressive wegen Signalwort “right now”) am writing (Present Progressive wegen Signalwort “right now”) has been (“so far” als Signalwort für Present Perfect) will remain (will – future wegen Signalwort “in the coming weeks”) to amuse ourselves (reflexives Verb: sich amüsieren, “ourselves” bezieht sich auf “we”) fashionable or most fashionable don't know (Simple Present weil es für jeden Tag des Urlaubs gilt) wouldn't like (if-Satz Typ II wegen Simple Past “did”) are returning/are going to return (Absicht, Plan in der nahen Zukunft) give (Befehlsform = Grundform des Verbs)

3. The John Flynn Memorial Church in Alice Springs was named after him and today you can see his portrait on the Australian $20 note.

Exercise B

Additional work – expressing your own ideas

listened/was listening (Signalwort „yesterday“) from Spanish (Adjektiv) had just finished/was just finishing (Zeitenfolge Past Tense/Past Perfect; s. oben) turned (Unterbrechung von „was playing“) Austrian (Adjektiv) was playing better (Steigerung mit „than“) enjoyed making (Gerund nach „enjoy“) didn´t like (Umschreibung mit „did“, verneinte Aussage) dressed (verkürzter Relativsatz, “(who were) dressed”) extremely well (“extremely” = Gradadverb; “well” = Adverb) themselves (Relativpronomen in der Mehrzahl) hadn´t started to rain/raining (if-Satz Typ III wegen „could have listened”)

4. Yes, I would. It’s enormously importantthat people who live in remote areas get medical help as quickly as possible and it’s an interesting and challenging profession. oder: No, I wouldn’t. It’s very dangerous and you depend on machinery and weather conditions. 2/2

Exercise C

A tragedy (line 44) is a terribly sad event. A memorial (line 63) is a place or an object which reminds people of an important person who has died.

Hardly (kaum) many (Plural wegen „warnings“) is faced (Passiv, Present Tense wegen Tatsache) have been polluted (Present Perfect wegen „so far“ = bis jetzt) of than (Steigerung wegen „more“) don´t change (if-Satz Typ I) which/that (Relativpronomen, Sache) done (Passiv, Present Perfect) be repaired (Passiv, Gegenwart) does not only harm (Verneinung mit „do“ umschreiben; „only“ vor Vollverb) have already died (Present Perfect wegen „already“) will die (Futur; nicht beeinflussbar) cities (Plural) people´s (s-Genitiv) who (Relativpronomen, Personen) will soon be forced (Passiv mit „will“) getting (Gerund nach „risk“) am/get frightened (“to be frightened” = Angst haben) be taught (Passiv, „sollten unterrichtet werden“)

He lived with his aunt (for two years after his mother’s death).

II. Fact finding. John Flynn was born on 25 November 1880 What happened when John Flynn was…

4 points

… 3 years old?

He decided to become a Presbyterian preacher.

… 5 years old?

Jimmy Darcy died.

… 23 years old?

The AIM had already established many hospitals in remote areas.

4 5 6

… 33 years old? … 37 years old? … 48 years old?

1 4 9

His mother died. He had started “The Inlander”. He died.

… 53 years old?

He received the Order of the British Empire.

… 59 years old?

The first medical flight was made from Cloncurry.

… 71 years old?

The Flynn family was reunited.

III. Questions on the text. Write complete sentences, please.

17 points

1. At this time only two doctors served an area of two million square kilometres and there were no telephones available.

2/1

2. It took Jimmy Darcy 12 hours to reach the next town and only the postmaster could help him; he operated on him with a pocket knife and a razor. 2/1 2/1

5. I would stop the deforestation of the rainforests and the whale-hunting. And I would like to help the poor and underprivileged children all over the world.

2/2

IV. Explain the following words. Use complete sentences.

3 points

A missionary (line 14) is a person sent by the church into a poor area who helps with education, social development, or medical care.

V. Mediation Wenn man etwas Sinnvolles anfängt, ist es durch nichts zu stoppen. VI. Tick whether the following statements are true or false.

2 points

4 points true

1. In 2006 the same number of aircraft had to make more flights than in 2005 2. The RFDS attended two million patients during the past five years. 3. The RFDS employed about 25% more staff last year than in 1999. 4. In 2003 fewer aircraft landed in the outback than 1999. 5. The number of aircraft increased from year to year. 6. In 2005 the RFDS had more staff than before. 7. One base closed after 2004. 8. In 2006 more patients were attended by fewer helpers than in 2005.

false

9 9 9 9 9 9 9 9

Abschlussprüfun 2007

VII. Translation

16 points

My name is Kate Gartner. When I was working on our cattle ranch north of Oodnadatta in South Australia a few months ago,

Ich heiße Kate Gartner. Als ich vor einigen Monaten auf unserer Rinderfarm nördlich von Oodnadatta im Süden Australiens arbeitete,

I suddenly felt rather sick.

fühlte ich mich plötzlich ziemlich krank.

As I was only 29 weeks pregnant, I didn’t worry about it.

Da ich erst in der 29. Schwangerschaftswoche war, machte ich mir keine Gedanken.

3. Luke pointed out (0,5) (that) he (0,5) would take part (1) in an emergency training in the outback the following day (0,5). 4. Mr. Seymour stated (0,5) (that) that (0,5) great organisation had saved (1) his (0,5) little daughter’s life the month before (0,5). Auch weitere Verben für said sind denkbar. Die Zeiten der Verben in der direkten Rede werden um eine Zeit nach hinten versetzt, wenn sie in der indirekten Rede stehen; z. B. don’t want wird zu didn’t want, will take part wird zu would take part, etc. Die Personen verändern sich auch, da aus einer anderen Pespektive erzählt wird.

1P II. Alfred Traeger’s Pedal Radio

But by 4 a.m. on Monday morning, the pains were worse.

Aber am Montagmorgen gegen 4 Uhr wurden die Schmerzen schlimmer.

Finally my husband called the Flying Doctors.

Schließlich rief mein Mann die Flying Doctors / Fliegenden Ärtzte an.

They told us that I should be flown to the Women’s Hospital in Adelaide.

Sie sagten uns, dass ich in die Frauenklinik / das Women’s Hospital in Adelaide geflogen werden sollte.

It was about lunchtime when I boarded the plane with a doctor and two nurses.

Etwa um die Mittagszeit ging ich mit einem Arzt und zwei Krankenschwestern an Bord des Flugzeugs.

There was even an incubator on board, in case the baby came during the flight.

Es befand sich sogar ein Brutkasten an Bord, falls das Baby während des Fluges kommen sollte.

I was quite scared, since it was happening all too quickly.

Ich hatte ziemlich Angst, weil alles zu schnell passierte.

From Adelaide Airport an ambulance rushed me to the hospital.

Vom Flughafen in Adelaide brachte mich ein Krankenwagen sofort in die Klinik.

13 points

Early radio technology that was used by the Flying Doctor Service was rather expensive and unreliable. Therefore, it was unsuitable for the outback. In 1925, John Flynn met (Signalwort 1925 für Simple Past) Alfred Traeger, an engineer. After years of work the two men (had) established Morse code communication across a distance of 140 kilometres. Because of his experience with generators, Traeger was able to invent a hand-operated generator, which provided enough power. However, two operators were needed for one generator. He solved this problem by equipping (-ing Form nach by = indem) the generator with bicycle pedals. That is how the famous “Pedal Wireless” radio was created. In 1929, the first remote farms were equipped with these pedal radios, and the wives and daughters there had to learn Morse code. Since the 1930’s, the pedals have been replaced by car batteries. Nevertheless, only about two per cent of all calls for medical assistance are received by radio today. These days, the telephone is taking the place (takes the place) of radio communication. However, in the near future, the internet will have (will-future wegen Signalwort in the near future) an even greater effect on the decline in radio usage. III. Pilot Captain Frank Simons is talking about his job in the RDFS.

Thank goodness I arrived there just in time,

Gott sei Dank kam ich dort gerade noch rechtzeitig an,

4 points

Complete the following text using if-clauses and the given verbs in parenthesis.

because two hours later cute little Emily was born.

denn zwei Stunden später war die süße kleine Emily auf der Welt.

The Flying Doctor Service is an institution which is enormously important for us in the outback.

Der Flying Doctor Service ist eine für uns im Outback ungeheuer wichtige Einrichtung.

Who else could we rely on,

Auf wen könnten wir uns sonst verlassen,

for emergencies like these?

in Notfällen wie diesen?

It’s always great to know that they’re there whenever we need them.

Es ist immer großartig zu wissen, dass sie da sind, wann immer wir sie brauchen.

C. Text Production

30 points

I. Open-ended story

If someone calls one of us, he will arrive (if-Satz Typ I: if-Satz im Simple Present; will-future im Hauptsatz) there within half an hour. If it were (if-Satz Typ II: would be im Hauptsatz; Simple Past im if-Satz) necessary, people with serious injuries would be flown to the next hospital. Usually there aren’t any big problems though. For example, today the weather is fine. But if there were bad weather conditions like heavy storms, we couldn’t (wouldn’t be able to) (if-Satz Typ II: Simple Past im if-Satz; could/would + Infinitiv im Hauptsatz) fly out to rescue them. Those are the situations when my job can be really hard. However, if I didn’t like it, I wouldn’t do it. (if-Satz Typ II)

IV. School of the Air

Knights in flying armour It was a quiet Sunday morning at the Royal Flying Doctor Service in Alice Springs. Molly Hawn, the switchboard operator, was sitting in the office and talking to pilot Frank Simons, who was the pilot on duty that day. Suddenly the telephone rang. It was an elderly woman calling. “Come soon! My husband Eric has a kind of attack! He can not breathe and has blue lips!” ”Do not worry, Ma’am, we will be right there. Give me your address.” Then Molly called Dr. Seward, the doctor on duty and the two nurses who were sitting in the day-room and drinking coffee. Frank, the doctor and the nurses boarded quickly and flew to the farm 300 miles north-west of Alice Springs. When they arrived, they found the old man on the couch, gasping for breath and moaning in pain. He had a heart-attack. Dr. Seward gave him an injection that he could breathe more easily. After a while the old man, Mr. Palmer was his name, felt better. So he could be boarded and be brought to the hospital in Alice Springs. II. Letter Dear Simon, Many greets from Germany! How are things going in Australia? This year, our football association FC Amicitia is celebrating its 100th anniversary on September 3rd and we would be very happy if you and the others from Beltana FC could come for about two weeks. I know, it is a long distance and the flight might be quite expensive, but it would be great to see you all again. We can offer you accommodation in our families with good German food (remember the Sauerbraten?). Besides, we would like you to take part in our football competition where you can win a complete new football equipment for your team. We could also visit Burg Wolfenstein which you could not do last time because of the lack of time. If you are willing and able to come, please answer soon because it is only a short time until September. And since exchange-fares can sometimes be quite steep, I would recommend that you take some money with you.

School of the Air provides education for remote/remotely/remoteness areas of Australia. Until 2002, school classes were taught via radio, but now much/less/most schools have switched to wireless internet technologies. Each student has directly/direct/directed contact with a teacher and typically/typist/typical spends one hour per day receiving group or individually/individual/individualist lessons. Because much/many/lots children are loneliness/lone/lonely, the School of the Air frequency/frequently/frequent provides them with their first chance to meet children outside their own family. Once a year, all the pupils even travel to the school to spend one interest/interesting/interested week with their teacher and classmates. V. Word families Noun

Verb

to die to unite to graduate to decide to arrive to serve, to service to injure to operate to recommend to invent

Yours, Christian PS.: Do not forget your football-shoes!

40 points

5 points

Find the corresponding noun or verb.

I hope to see you soon.

D. Language Test (Grammar, Vocabulary)

4 points

Underline the correct word.

VI. Match the words with the sounds.

I. Put the statements into reported speech. Use different words for said in your sentences. 11 points

> eI @

information, radio

1. Hannah told (0,5) me (that) she (0,5) had always dreamed/dreamt (1) of joining the Flying Doctors.

> aI @

empire, pilot, united

2. Matthew explained (0,5) (that) he (0,5) didn’t want (1) to work in a big city because he (0,5) preferred (1) living in the outback.

> i: @

teaching

death unity, union graduation decision arrival service injury operation recommendation invention

3 points

Abschlussprüfung 2008 Beth Bond: Not at all, I’m very pleased to be married to James Bond. By the way, our children are also very proud that their family name is Bond. At school they always said, “James Bond is my father!”

1.2.2 Notenschlüssel zur Prüfung ab 2008 Bewertungsschlüssel Abschlussprüfung 2008 Punkte 120 101,5 84,5 64,5 44,5 25,5

Radio Seven: Is there anything you envy about James Bond’s way of life? For example, does Mr Bond like fast cars?

Note

102 85 65 45 26 0

1 2 3 4 5 6

Beth Bond: Yes, my husband has always dreamed of having a fast sports car. Of course, with the children, we needed a bigger car than that! James Bond: Well, perhaps when I retire, my dream of owning a boat and a sports car will finally come true. Beth Bond: (Laughing) Yes, and perhaps we can travel around the world and stay in luxury hotels, like the stars in the films. I would love that.

Bewertungsschlüssel Abschlussprüfung 2009/2010/2011 Punkte 120 101,5 83,5 64,5 42 23,5

Radio Seven: You’re right, that sounds like the happy ending of your own private Bond film. Mr and Mrs Bond, thank you very much for the interview.

Note

102 84 65 42,5 24 0

Based on an interview by Margaret Davis, Spotlight 11/02, page 16.

1 2 3 4 5 6

I. Global understanding

Bewertungsschlüssel Abschlussprüfung 2012 Punkte 100 83 66 49 32 15

Note

84 67 50 33 16 0

2 points

Listen to the questions and then mark the correct answer with a cross. (1. According to the interview what is Mr Bond’s job?) He is an art director. X He is a bank director. He is a famous actor.

1 2 3 4 5 6

(2. Which person is not mentioned in the interview?) A ticket agent. Mr Bond’s wife. Mr Bond’s sister.

Einzelheiten zu Reading Comprehension, Mediation und Text Production und:

II. Detailed understanding

5 points

Bei MEDIATION ist die genaue Punkteverteilung dem Lösungsvorschlag zu entnehmen. Bei TEXT PRODUCTION Teil I sollen die Prüflinge ihre eigene Meinung äußern. Die Punkte werden zur einen Hälfte auf den Inhalt, zur anderen Hälfte auf die sprachliche Richtigkeit vergeben.

1. People have made remarks about Mr Bond’s name in … places like Spain and Japan. France. places like Peru, China, Nigeria.

Bei TEXT PRODUCTION Teil II entfallen 13 Punkte auf die kommunikativ-inhaltliche Leistung und 13 Punkte auf die sprachliche Leistung.

2. Mr Bond grew up in …

a. Mark the correct ending with a cross.

Bei OPEN-ENDED STORY/KEYWORD STORY/LETTER/E-MAIL muss auch auf die Briefform geachtet werden. Wortschatz- und Strukturfehler sowie grobe Verstöße gegen die englische Schreibweise führen zu Punktabzug.

South America. South Africa. South Carolina.

Im Einzelfall sind weitere Lösungen denkbar, die hier nicht abgedruckt sind. 3. Mrs Bond met James …

1.2.3 Abschlussprüfung 2008 A. Listening Comprehension

17 points

Listening Comprehension 2008 – His Name is Bond.mp3

Tapescript HIS NAME IS BOND – JAMES BOND Radio Seven: Good evening. You are listening to Radio Seven, the best Radio station in town. What is it like to share a name with one of the most famous figures in literature and film? Radio Seven met and talked to 60-year-old James Bond and his wife, Beth. Mr Bond works as a bank director in Washington DC. He was born in Johannesburg, South Africa, but he happens to be a French citizen. Radio Seven: Mr Bond, when did you first notice that you weren’t the only James Bond on earth? James Bond: Well, when I was a teenager in South Africa, the James Bond books started to get quite popular. Then after the first Bond film, “Dr No”, was such a hit in the 1960’s, my name got noticed a lot more. Radio Seven: So, how do people react when you tell them your name? James Bond: Oh, I usually get a very nice reaction. It shows me that the world is really a global village, you know, because I’ve met people who comment about my name even in places like Peru, China and Nigeria.

about thirteen years ago. exactly thirty years ago. more than thirty years ago.

4. When the ticket agent saw the name “James Bond” on the ticket … X she didn’t react to his name. she reacted to his name. she laughed about his name. 5. When he retires, Mr Bond would like to have … a goat and a sports car. a houseboat and a car. a boat and a sports car.

b. Fill in the gaps. 1. The name James is a very common name in Mr Bond’s family.

4 points

2. When James first met Beth he did not introduce himself as James Bond. 3. Their children are very proud of the fact that their father’s name is James Bond. 4. It sounds like Mr and Mrs Bond’s “own private film” will have a happy ending. (Hinweis: Schreibt der Prüfling die angegebenen Lösungswörter nicht korrekt, wird nur ein halber Punkt vergeben.)

Radio Seven: Mr Bond, is “James” a very common name in your family?

c. Cross out the incorrect word. Write the correct word on the line.

James Bond: Oh, yes! I had an uncle who was also named James. James is really a very common first name. And Bond is quite a common last name, too, so there are actually quite a lot of James Bonds walking around.

1. Although Mr Bond works in Washington DC, he happens to be a Spanish citizen. French

Radio Seven: Oh, really. James Bond: Once I was at the airport travelling to Canada and I told my friends to watch me check in, because I always get a very nice reaction. But when we gave the ticket agent our tickets, she didn’t react to my name at all. So one of my friends asked her why she didn’t notice that James Bond was checking in. She just shrugged and said that it’s nothing unusual. Another James Bond had checked in just five minutes before! Radio Seven: How about you, Mrs Bond? When you and Mr Bond first met, how did you react to his name? Beth Bond: Well, when I first met James more than thirty years ago, he did not introduce himself as “James Bond”. He simply called himself “Jim Bond”. And since I had never seen any of the James Bond films, I didn’t think anything of it. Later, when I introduced him to my parents, he said, “Bond. James Bond.” Then I realized the connection and I thought it was very funny. Radio Seven: Nevertheless, have you ever wished that your husband had a different name?

6 points

2. When he was a teenager the James Bond comics started to get quite popular. books 3. Mr Bond had a cousin who was also named James. uncle 4. When Mr Bond checks in he always gets a very angry reaction. nice 5. Of course with the dogs they needed a bigger car. children 6. Mr and Mrs Bond, thank you very much for the talk. interview (Hinweis: Für das als falsch erkannte Wort wird ein halber Punkt, für das orthografisch korrekte Lösungswort ein weiterer halber Punkt vergeben.)

Abschlussprüfung 2008 B. Reading Comprehension

23 points

IV. All the following words have more than one meaning. Mark the meaning as used in the text with a cross. 1. deal (line 27)

I. Fact finding.

X a large amount, quite a lot

3 points

Find the information in the text. Match the year to the correct fact. 2. screen (line 30)

What happened in …

3 points

ż the distribution of playing cards before a game ż a business transaction or agreement ż a kind of monitor X white or silver surface on to which cinema films or TV pictures are projected

1962

ż anything that can be used to give shelter or protection from

The first Bond film came to

observation

the cinemas.

3. annual (line 35) 1953

Ian Fleming wrote his first

ż lasting for only one year or season ż production of one year X coming or happening every year

Bond novel Casino Royale.

V. Explain the following words according to their meaning in the text. Write complete sentences. 1973

Roger Moore played Bond for the first time.

4 points

1. audience (line 6) An audience is a group of people who come to the cinema to watch a film. 2. journalist (line 9) A journalist is a person who works for a newspaper/magazine/the media and writes the stories/reports news/interesting events all over the world.

1964

Ian Fleming collapsed and died.

3. actor/actress (line 34) An actor or an actress is a person who acts/plays a role in a film/on TV/in a theatre. 4. recovery (line 47) Recovery is the process of getting over an illness/becoming healthy again.

2008

A new James Bond book, titled Devil May Care was released.

VI. James Bond in cinema – an overview: Tick whether the following statements are true or false.

4 points true

2006

Daniel Craig renewed the Bond series.

4. 5. 6. 7.

In the first four years films were produced on an annual basis. The latest film had fewer visitors than the first film. Twice as many people saw the film You Only Live Twice than saw The Living Daylights. The longest break between two films was six years. The Spy Who Loved Me was released later than Goldfinger. The number of visitors increased from film to film. Licence to Kill was Roger Moore’s last James Bond film.

One actor played James Bond only twice.

1. 2. 3.

1961

Ian Fleming suffered his first heart attack.

II. True, false or not in the text? 1. Fleming loved fast food and beer.

False

X X

the latest Bond film “Casino Royale” is released. Bond’s creator, Ian Fleming, would have had his 100th birthday. Timothy Dalton appears twice in a Bond film in 2008.

attend a meeting there. write a children’s book there. go for a holiday there.

a diabetic. an alcoholic. a workaholic.

4. Fleming has stopped writing James Bond novels because … he died in 1956. he started to adapt his novels to the screen. he passed away in 1964.

5. Lazenby played the role of James Bond only once because …

he had another difficult job. his acting was too bad. he had arguments with other actors.

6. Sebastian Faulks was announced as …

the writer of the next James Bond book. the director of the next James Bond film. the designer of the new James Bond merchandise.

2 points

“Ian Fleming could never have dreamed of the great impact his James Bond would make on worldwide entertainment.” Geben Sie die Aussage des amerikanischen Filmkritikers auf Deutsch wieder. Ian Fleming hätte sich nie träumen lassen, dass sein James Bond weltweit einen so großen Einfluss (eine so große Wirkung) auf das Showbusiness (die Unterhaltungsbranche) haben würde.

3. Ian Fleming’s health was bad because he was…

18 points

I. An American film critic once commented:

2. Fleming first travelled to Jamaica to …

C. Mediation

1. The year 2008 is a special one for James Bond fans because …

Not in the text

III. Tick the correct ending.

3 points True

2. Fleming came from a rich family. 3. Before his wedding Fleming had a lot of relationships with other women. 4. Fleming didn’t care a lot about his health. 5. US President Kennedy said “Dr. No” was his first favourite book. 6. “Dr. No” was the first Bond film.

false

6 points

II. Translate the following text into German. Use a separate sheet of paper.

16 points

The Truth About James Bond’s Unknown Past Erwartungshorizont The truth about James Bond’s unknown past. Die Wahrheit über die unbekannte Vergangenheit des James Bond. Charlie Higson, a long time James Bond fan, Charlie Higson, ein langjähriger James Bond Fan, has written four books about the young James Bond. hat über den jungen James Bond vier Bücher geschrieben. “I wanted to show a fairly ordinary boy, „Ich wollte einen ganz normalen (ziemlich gewöhnlichen) Jungen beschreiben, who will develop into the famous James Bond character der sich in den berühmten James Bond verwandelt (zum berühmten James Bond entwickelt/in die berühmte Figur des …), created by Ian Fleming,” the author explains. der von Ian Fleming erschaffen (erfunden) worden ist,“ erklärt der Autor. Higson’s first novel about the young James Bond immediately became a bestseller in April of 2005. Higsons erster Roman über den jungen James Bond wurde im April 2005 sofort zum (ein) Bestseller. The plot focuses on James as a 13-year-old schoolboy. Die Handlung der Geschichte konzentriert sich auf den dreizehnjährigen Schuljungen James (Die Handlung stellt James als dreizehnjährigen Schuljungen in den Mittelpunkt), who must stop an evil scientist der einen bösen Wissenschaftler davon abhalten muss, from experimenting on human beings. Experimente an Menschen durchzuführen. This first adventure illustrates how, even as a youth, Dieses erste Abenteuer zeigt, dass James Bond sogar (schon) als Jugendlicher James Bond was destined to become a super spy. dafür bestimmt (dazu ausersehen) war, ein Superspion zu werden. This year, the author is working on his fifth Bond book. Heuer (In diesem Jahr) arbeitet der Autor an seinem 5. Bond Buch.

1P 1P 1P 1P 1P 1P 1P 1P

1P 1P 1P 1P 1P

B10

Abschlussprüfung 2008

Nevertheless, when asked about a possible “Young Bond” film, Charlie Higson said, “Not yet.” Dennoch (Trotzdem), als er nach einem möglichen “Young Bond“ Film gefragt wurde (nach einer möglichen Verfilmung), sagte er „Noch nicht.“ He would rather concentrate on finishing his series of books Er würde sich lieber darauf konzentrieren seine Reihe von Büchern zu beenden, before worrying about a film contract. bevor er sich über einen Filmvertrag Gedanken macht.

D. Text Production

E. Use of English 1P 1P 1P

32 points

I. Expressing your own ideas. Use a separate sheet of paper.

6 points

1. Imagine: In one of the upcoming Bond films – just for fun – the producers want to cast a former Bond actor as the villain. Look at the photos of the six Bond actors in the text. Which one would you choose for the villain and why? 1/1 I would choose Daniel Craig because he looks more like a villain than any other of the actors. 2. What would you prefer, to be an actor or an author? Give two reasons for your answer. 2/2 I would prefer to be an author because I could work on my own at home and I wouldn’t have to stand in the limelight. or: I would prefer to be an actor because I could work with other famous actors and I could earn quite a lot of money. II. You can choose either: a. Keyword story or b. Letter.

26 points

a. Keyword story

30 points

I. Bond Trivia. – Did you know that …? Fill in the correct form of the verb. 10 points 1. Film-maker Albert Broccoli, who died (Signalwort 1996 für Simple Past) in 1996, produced 17 James Bond films. He came from a family of Italian gardeners. After his ancestors had crossed/crossed cauliflower and canola (deutsch: “Raps”), they named the new vegetable “broccoli”. (Inhalt passierte in der abgeschlossenen Vergangenheit) 2. The film “Chitty Chitty Bang Bang” was produced (Simple Past Passive: Signalwort by) by Broccoli, as well. The screenplay was written (Signalwort by für Simple Past Passive) by Roald Dahl. 3. A cinema in London has been showing/has shown (Signalwort since für Present Perfect / Present Perfect Progressive) James Bond films since 1962. 4. If Pierce Brosnan were younger, he would still play (if-Satz Typ II mit Simple Past und Conditional I) James Bond. 5. Right now Daniel Craig is acting (right now als Signalwort für Present Progressive) in a new James Bond film in Austria. II. James Bond Actors Through The Years. Use the suitable forms of the adjectives. 7 points 1. Sean Connery was the best-looking actor of all those who tried out for the part. 2. Roger Moore was dressed more elegantly than any other James Bond. 3. Having been only a model before, George Lazenby was the worst actor among the “Bonds”. 4. Although critics liked Timothy Dalton, he complained that his films were less successful than those of Roger Moore. 5. Pierce Brosnan was on the waiting list for an incredibly long time – ten years – before producers let him act as James Bond. 6. Daniel Craig played James Bond really well in the last film. He is the actor who performed even the most dangerous action scenes himself, so no stuntman was needed.

Ex-James Bond in trouble When I was in London the last time I witnessed a very strange situation while I was walking along South Molton Street, the place where you would find the finest jewellery in the world. I was looking inside the shop window of one of the most famous jewellers when I suddenly saw Sean Connery coming out, in the company of a young, very beautiful lady. You all know Sean Connery – he played the famous spy “James Bond” in a number of films and is therefore popular all over the world. There were some paparazzi around who wanted to take photographs of him and his friend but they both were not too happy about that and Connery had this angry look on his face, as if somebody had found out about something which was meant to be a secret. They tried to hide behind some big umbrellas, unfortunately in vain. I got pushed aside by one of the photographers and even fell down on the pavement. Connery and the young woman quickly got into their car and drove away. I hurt my back a bit but it was worth it because I experienced something that you would normally only hear of in the news.

b. Letter

Marienplatz 1 D-80811 Munich Germany

III. You want to write an article for your school magazine about the different James Bond actors. Use the following statements in your report. 9 points Folgende Alternativen für das Verb “said” sind unter anderm denkbar: told us (that), pointed out, stated, remarked, mentioned; wanted to know, asked, inquired, reported, answered, replied, announced, ... Sean Connery told us (0.5 p.) all his (0.5 p.) Bond films had (0.5 p.) their good and bad points. He remarked (0.5 p.) that he was (0.5 p.) still interested in those (0.5 p.) films. He wanted to know (0.5 p.) what would (0.5 p.) happen to Agent 007 in the future. Roger Moore mentioned (0.5 p.) he didn’t (0.5 p.) regret the Bond days at all. He added (0.5 p.) he had (0.5 p.) always hated guns and what they represent. Daniel Craig pointed out (0.5 p.) he had been (0.5 p.) reading Fleming’s novels since he had been (0.5 p.) twelve. As a youth his favourite book had been (0.5 p.) “From Russia with Love”. He stated (0.5 p.) he found (0.5 p.) it a really huge challenge to play James Bond. In der Indirekten Rede werden die Verben der direkten Rede um eine Zeit in die Vergangenheit gesetzt. Personen ändern sich entsprechend der Perspektive.

IV. Which word in each group has a different sound?

Mr Steven McKay c/o Pinewood Studios Buckinghamshire SLO ONH United Kingdom 31 July 2008

2 points

1. message

legendary

magical

legacy

2. unhealthy

early

jealous

deaf

3. show

shower

low

lower

4. busy

lettuce

bury

biscuit

Dear Mr McKay V. Find the appropriate noun for each verb.

Your advertisement for a German school class to be part of a “James Bond 007” action scene at the Oktoberfest is very interesting. I am a 16-year-old student at the Schiller School in Munich. When I showed the ad to my classmates, they were excited to see that a James Bond film will be made in Munich. We all agreed that it would be like a dream come true to act in your film. We have already discussed this with our parents and teachers. In order to get permission for our class to participate, we need to provide the school with some information. Could you please tell me the location where you will be shooting? What dates and times would you need us to be available? How many students do you need? There are 24 students in my class. Would you be able to use all of us? Will we need our parents’ permission? Is it possible that some of us might be able to have speaking roles? I would especially like to be able to say something on screen! Also, may I ask how much we would be paid for our appearance? Thank you very much in advance for answering my questions, and I hope you will choose our class for this opportunity! I look forward to hearing from you soon. Very truly yours

2 points

1. Ian Fleming wrote thirteen James Bond novels. After his death other writers continued his work. 2. Sebastian Faulks was announced last year as the author of a brand new James Bond novel. This announcement was a big surprise. 3. James Bond always tries to appear in a very elegant style. His appearance is always an elegant one. 4. Ian Fleming usually consumed a bottle of vodka a day. This consumption of alcohol ruined his health.

Abschlussprüfung 2009

B11 Steve: Do you really think that will make a big difference?

1.2.4 Abschlussprüfung 2009 A. Listening Comprehension

Diane: Yes, absolutely. The motto of the film is: “The hope is you!” 17 points

Listening Comprehension 2009 – A radio show.mp3

Steve: Well, you’ve given us a lot of interesting ideas. Thanks for coming in and talking to us, Diane. Diane: Thank you, Steve. It was a pleasure.

Tapescript – Part 1 A radio show

Task 1

1 point

Tick ; the correct answer.

Top Talk Radio

should watch movies about

You’re listening to “Steve’s Top 500”.

She says that each person …

9 should do something to help

“The 11th Hour” is the story of how human beings are ruining the planet. Perhaps you think that’s nothing new. You’re right; we have heard it before in the media, and can read about our mistakes every day in the newspaper. We are using too much oil; we are producing unbelievable amounts of carbon dioxide, we are polluting our land and water, we are cutting down the rainforests. We all know that the way we live today is damaging the health of our planet. So why should we hear about this again? Why is it important to watch this film? Well, because this film answers all those questions we all ask ourselves when confronted with facts about the mistreatment of our planet. “The 11th Hour” features interviews with experts from all over the world. Over fifty scientists present their ideas about how to save the planet.

Task 1 a. Steve is talking about ...

1 point

the news. a movie. a TV show. a book.

Task 2 Complete the sentences. Write the matching number into the gap. 0 1 2 3

Diane Wilson is a biologist Everyone has heard the message … That is exactly the question … The focus is on hope …

3 points

… this film wants you to ask yourself. … and on solutions to the problems. … who works for Greenpeace. … they can make a difference. … that our world is in trouble.

Task 3 What can every one of us do to save our earth? Fill in the right word. Outside home

6 points Social activities

At home Take shorter showers.

Join a local organization and

bike rather than driving your Turn off the water when you talk to everyone you know brush your teeth.

car.

about these easy ways.

Turn off the lights when you

to save the planet. people destroy the earth. people mistreat the planet. documentary films are made.

Task 2

2 3 0 1

Try to walk or ride your

1 point b. “The 11th Hour” does not describe how …

… the environment.

is guilty of harming should be hopeless about

Tonight I will feature a film that, in my opinion, everybody should go and see. The title is: “The 11th Hour”. It is a documentary directed by Nadia Conners and Leila Conners Petersen.

are not in the room.

5 points

Now listen again. While listening mark the correct words. You’ll have 10 seconds after the listening to complete your answers. Now you have 20 seconds to read the sentences. Example: “The 11th Hour” is a documentary / a daily soap. a. We can read about our mistakes every day in the newspaper / in magazines. b. We are protecting / polluting our land and water. c. The way we live today is damaging the health of our country / our planet. d. “The 11th Hour” features dialogues / interviews with experts from all over the world. e. Over 15 / 50 scientists present their ideas.

B. Reading Comprehension

23 points

I. Tick ; the answer that you think fits best according to the text.

3 points

1. The text is … an adventure story. a reader’s letter.

9 a magazine article. 2. The text mainly describes … the life of polar bears in Churchill.

9 how global warming affects the life of polar bears. how scientists and environmentalists try to protect the polar bears.

Tapescript – Part 2 What does Mrs Wilson say? Steve: Here with me now in the studio is one of the experts featured in the film – Diane Wilson, a biologist who works for Greenpeace. Hello Diane, thank you for coming. Diane: Hi Steve, thanks for having me here. Steve: First of all, Diane, can you tell us what’s special about the film, “The 11th Hour”?

3. The text mentions that … the number of polar bears will increase in the next years.

9 polar bears are becoming more dangerous to townspeople. there is no danger that polar bears will die out. II. Match the correct headlines (A – G) to the paragraphs (1 – 5). Use each letter only once. There are two headlines which do not fit. A paragraph 1

The Arctic tundra

paragraph 2

Steve: Right.

Fears of the people

paragraph 3

Tourism in Hudson Bay

Diane: And that is exactly the question this film wants you to ask yourself. The focus is on hope and on solutions to the problems.

paragraph 4

Polar bears cannot hunt enough food

paragraph 5

No future for polar bears?

Churchill’s steps to control polar bears

Steve: What do you mean? Diane: I mean that each of us can do a great deal to help, by making small changes in our daily life. For example, try to walk or ride your bike, rather than driving your car. Steve: I do that.

4 points

Other dangers to polar bears

Diane: Well, I think everyone has heard the message that our world is in trouble. But some people think it is hopeless, and say, I am only one person, after all. What can I do to make a difference?

III. Find the information in the text. Fill in the gaps.

2 points

Diane: Right. Then cut back on water use. Take shorter showers, and turn off the water when you brush your teeth! Turn off the lights when you are not in the room.

0. How many polar bears are in this part of Canada?

Twice as many as people.

Steve: And use energy saving light bulbs.

1. How long can the bears live without food?

About eight months. (0.5)

Diane: Exactly. Consume less! If something breaks, consider repairing it before you replace it.

2. What’s the approximate weight of a polar bear?

Steve: That also saves money.

3. How much less does an average polar bear weigh now?

Diane: So take action! Join a local organization that is working towards helping the planet, and volunteer! Most important, talk to everyone you know about these easy ways they can make a difference!

4. How many “cells” does the polar bear prison have?

Questions

Facts

About 550 kg. (0.5) About 10 % less. (0.5) 24 “cells”. (0.5)

B12

Abschlussprüfung 2009

IV. Decide whether the following statements are true, false or not in the text. 3 points Tick the correct answer. ; True

0 1 2 3 4 5 6

The children of Churchill are always safe when they walk to school alone. Because of global warming, the polar bears can catch more seals. Inuits are prohibited from hunting seals.

3. Wenn man einem Bären gegenübersteht, sollte man die Hände hoch über den Kopf halten, weil … 1 p.

area (line 42)

edge o 1. von Tisch, Felsen usw.: Kante 2. von Vorhang, Tuch, Kleidungsstück usw.: Saum 3. geographisch usw.: Rand, 4. von Messer usw.: Schneide; have no edge stumpf sein, nicht schneiden

deal o 1. mit Drogen dealen 2. bei Kartenspiel: geben 3. deal in handeln mit 4. deal with mit Angelegenheit, Problem usw.: sich befassen oder beschäftigen mit, sich kümmern um 5. deal with someone mit jemandem Geschäfte machen

area o 1. Fläche The area of the office is 35 square metres. Das Büro hat eine Fläche von 35 m². 2. Gegend oder Gebiet 3. Zone a non-smoking area ein Nichtraucherbereich the penalty area der Strafraum

VI. Which word from the text is explained?

b) auf einen Baum klettern.

0. The weather in a particular area averaged over a long period of time:

- Kopf und Hals mit den Händen schützen. - den Rucksack zum Schutz auf dem Rücken belassen. - sich tot stellen. 5. Sie erfahren über das Bärenspray, dass … a) es aus Chilipfeffer besteht.

climate

1. Any animal that lives by killing and eating other animals: predator 2. A piece of land or place where waste materials are thrown away: garbage dump 3. An answer to a problem: solution 4. A period of ten years: decade

VII. Churchill Eskimo Museum.

- wenn man es benutzt, es sein kann, dass der Bär seinen Angriff abbricht. 6. Beim Zelten im Bärengebiet ist zu beachten, dass … a) man alles, was ein Bär erschnüffeln kann, hochhängt.

4 points

In Churchill, Canada. 4,000

Monday and Sunday

3. How much must a 62-year-old visitor pay?

$6 By credit card

C. Mediation I. Geben Sie den Appell der Naturschützerin in gutem Deutsch wieder.

18 points 2 points

Sally Cox, an environmentalist from Yukon, once said: “Although these animals are fast, strong and sometimes dangerous to humans, everybody should know that we must help the polar bears survive.”

c) man sein Zelt nicht neben diesen Sachen aufschlagen sollte.

D. Text Production I. Expressing your own ideas.

Last summer I spent my holidays with friends at the sea. One day it was very hot and we wanted to go swimming. Unfortunately the beach was very dirty and covered with garbage. Among all those pieces of plastic, old tyres and tins, I suddenly noticed a shiny blue bottle. I picked it up

and discovered that there was something inside. Maybe a map to find a treasure or an emergency call from someone lost on an unknown island in the sea. I was very excited and could not wait to have the bottle open. Indeed, there was a piece of paper inside the bottle. I took it out, unrolled it and started to read. To my disappointment the words were written in an unknown language, but there were some figures that were identic to the ones we use. All this made me even more curious so I showed it to my friends. They did not understand anything either but at least they were sure that it was some kind of Arabic language. One of them promised to show it to his father’s colleague from Dubai who was able to read the words on the paper but he said it was only a shopping list for food. I think the bottle was meant to be some kind of joke. B. E-mail enquiries@sealaction.org Application for a job

II. Ein Freund versteht dieses Hinweisschild nicht. Erklären Sie es ihm auf Deutsch. 2 points

Dear Sirs,

III. Lesen Sie den Text “How to protect yourself from a bear attack” und ergänzen Sie die Aussagen mit Informationen aus dem Text. Eine wörtliche Übersetzung ist nicht erforderlich.

14 points

1. Die Ureinwohner Alaskas redeten mit den Eisbären, weil …

1 p.

sie glaubten, die Eisbären seien eine andere Art von Menschen.

26 points

A. Open-ended story

Subject:

Beispiel: Das Schild warnt den Wanderer davor, weiter zu gehen, da es in diesem Gebiet Bären gibt, die sehr gefährlich sind, was eine große Gefahr darstellt. Der Durchgang ist deswegen für Wanderer geschlossen.

4 points

One of the advantages of having all kinds of animals in a zoo is that anybody can come and see them without having to travel to distant places which would be quite expensive. A disadvantage is that most animals are originally used to a different type and size of habitat. They normally have much more space, another climate and environment.

To...

- eine Warnung - Gefahr wegen Bären - ab diesem Schild kein Durchgang / keine Benutzung des Weges erlaubt

30 points

Many exotic animals are kept in zoos. Give a comment on the pros and cons (two statements in total). Write complete sentences. 2/2

Vorschlag: Diese Tiere sind zwar schnell, stark und manchmal für Menschen gefährlich, es sollte (aber) jedem bewusst sein, dass das Überleben der Eisbären gesichert werden muss.

Die Erklärung muss enthalten:

3 p.

b) diese Sachen mindestens 12 Fuß über dem Boden hängen.

II. You can choose either: A. Open-ended story or B. E-mail

Read the information about the museum and answer the questions below. Give short answers.

2 p.

weitere Möglichkeit:

4 points

1. How many years of Inuit art are represented?

3 p.

b) es eine beliebte Verteidigungsmöglichkeit gegenüber Bären ist.

4. How can you pay your admission fee?

4. Wenn ein Bär auf einen zukommt, sollte man nicht weglaufen, sondern … a) so viel Lärm wie möglich machen.

weitere Möglichkeiten:

2. On which days is the museum closed?

man dann für den Bären wie ein größeres Tier aussieht.

c) eine fötale Stellung am Boden einnehmen.

0. Where is the Eskimo Museum? ĺ

c) sie ihr Territorium schützen wollen.

deal (line 33)

b) sie sich in Gefahr wähnen. d) sie ihre Jungen beschützen wollen.

V. The following words have various meanings. Which of the meanings given in the dictionary is the one used in the text? Write the number into the box. 3 points edge (line 7)

4 p.

Polar bears can’t swim, so they drown when they fall into the water. A lot of polar bears die in the polar bear jail. The people of Churchill make money because of the polar bears. Catarina Cardoso thinks that polar bears will be extinct some day.

Not in the text

False

2. Bären greifen Menschen an, wenn … a) sie überrascht werden.

my name is Peter Schwarz, I am 17 years old and have just passed my final exams. After having read your advertisement in a newspaper, I immediately decided to contact you to get more information. Biology has always been my favourite subject at school and later I intend to study to become a biologist but before that I would like to spend an “ecological year” somewhere abroad. Your project to save and protect the seals of the North Sea seems very interesting to me, so I would like to apply for a job in your organization in Scotland. I have some questions, though, that I hope you can help me answer. What kind of duties and tasks would my job include? How long would the job last and when could I start it? Where exactly in Scotland would I have to help you? What kind of accommodation would I get and would I also get paid for it? How many people would I have to work with and would I get a certificate at the end of the year? I hope to hear from you soon and look forward to a positive reply. Yours sincerely, Peter Schwarz

Abschlussprüfung 2010 E. Use of English

B13 32 points

I. Knut the polar bear. Fill in the correct form of the verb.

10 points

VI. Which word in each group has a different sound? Cross out the word which doesn’t fit into the group.

2 points

0. Knut is a polar bear, who was born (Simple Past Passive von bear) in captivity on 5 December 2006 at the Berlin Zoo.

supper

butcher

budget

butler

museum

amuse

true

cute

1. He was rejected (Simple Past Passive; Signalwort by) by his mother at birth and people had to raise (must; raise) him.

treasure

treatment

meal

heater

2. Nevertheless Knut was /is (be) the first polar bear to be born in a German zoo, who survived (survive).

ecological

message

energy

degrees

county

announcement

country

discount

3. Knut spent (spend) the first 44 days of his life in an incubator before a zoo keeper decided to raise (to-infinitive nach dem Verb decide) the cub. 4. Almost everybody loved / loves (love) him. 5. After Knut had become / became (become) a tourist attraction, a lot of merchandising articles were sold (Passiv nur aus dem Zusammenhang erkennbar). 6. As an adult, Knut is not as cute as he used to be, so visitors hope that he will have (willfuture wegen Signalwort in the next few years) brothers and sisters in the next few years. II. Some people who care about their environment are talking. Complete their statements.

3 points

1. Kerry: If my friend wanted to go to the swimming pool by car in summer, I would tell (if-Satz Typ II mit Simple Pat im if-Satz und would + Infinitiv im Hauptsatz) him to ride his bike. 2. Sarah: I would buy energy saving light bulbs if they were (s. Satz 1) cheaper. 3. Jim: I’ll call the local authorities if someone lights (if-Satz Typ I mit will-future und Simple Present) a fire in a forest. III. The Montreal Zoo proudly announced the birth of a new baby polar bear named Frosty. The following statements appeared in a newspaper last Saturday. After Liz had read the newspaper, she told her friend about it. Put the statements into reported speech. Fill in the gaps and use different words for “said”.

10 points

1. A visitor: “People will always like cute and small animals.” A visitor mentioned (0.5) that people would always like (1) cute and small animals. 2. A spokesman for the Montreal Zoo: “We are in a lucky situation in Montreal, because in our zoo we can offer enough room for more bears.” A spokesman for the Montreal Zoo pointed out (0.5) that they (0.5) were (1) in a lucky situation in Montreal, because in their (0.5) zoo they (0.5) could offer (1) enough room for more bears. 3. The city’s deputy mayor: “Not only Germany, but the whole world has been in “Flocke fever” since 2008, but now Canada has its own celebrity bear.”

1.2.5 Abschlussprüfung 2010 A. Listening Comprehension

The city’s deputy mayor stated (0.5) that not only Germany, but the whole world had been (1) in Flocke fever since 2008, but now Canada had (1) its own celebrity bear.

Tapescript – Part 1

4. One of the zookeepers: “Yesterday more than 2,000 people visited Frosty’s enclosure.”

Now listen to Michelle Obama.

One of the zookeepers remarked (0.5) that the day before (0.5) more than 2,000 people had visited (1) Frosty’s enclosure. In der Indirekten Rede werden die Verben aus der direkten Rede um eine Zeit in die Vergangenheit gesetzt. Personen ändern sich entsprechend der Perspektive. IV. Find the appropriate noun for each verb.

3 points

0. More and more fish are disappearing from the oceans. Scientists are worried about the disappearance of many species. 1. The Inuit artists are creating beautiful whale bone jewellery. The Inuit artist was very proud of his creation/-s. 2. We keep on producing fast food and destroying our rain forests, although we hear of the tragic destruction of the Amazon River area. 3. Regular cars continue to pollute our environment. Why doesn’t everybody buy a hybrid car? They cause less pollution. V. Find the opposites.

4 points

0. Global warming can cause hopelessness, because people do not know how to help. Taking action to help change the world can give you a sense of hope. 1. The blue whale is the biggest animal in the world. That new mini – laptop Alison bought is the smallest computer I have ever seen. 2. This week’s freezing temperatures have caused dangerous driving conditions. It is so

When I was growing up, fast food was a treat. You know, we couldn’t afford to get fast food every week, because my parents couldn’t afford it, so it was something you did on a special occasion. We had pizza about once every school year -- once every semester when we got good grades. That’s when we got pizza. It was pizza day. That’s what we got for getting good grades, pizza. And we didn’t have dessert every single night. My mother would tell us, “Dessert is not a right. It’s a treat.” So we had it on special occasions. We didn’t have -- and I have to tell my kids this -- you don’t get dessert every night of the week. Otherwise it’s not a treat; it’s just something that you do. And my mother was also very clear in our household that you ate what she fixed. Mmm, yes. (Laughter.) You ate what she fixed, and if you didn’t eat that, then you didn’t eat. And in my household is -- if you say you’re not hungry, then you have to eat your vegetables, and then you get up and leave, and you don’t ask for anything else, and go to bed, right? So these are the kind of rules that I grew up with, that all of your moms and your dads grew up with, and these are the kind of rules and boundaries and guidelines that we want to set for all of you. But in my household, there were no absolutes, right? I mean, we love good food, too. That’s why I always say there’s nothing that the First Family loves more than a good burger, right? (Laughter.) And look, my favorite food in the whole wide world are French fries. I love them. Dearly. (Laughter.) Deeply. (Laughter.) I have a good relationship with French fries and I would eat them every single day if I could. I really would. But I know that if I’m eating the right things -- and I tell my girls this – if you’re getting the right foods for most of the time, then when it’s time to have cake and French fries on those special occasions, then you balance it out. So it’s not about any absolute no’s. It’s just about striking a balance. Task 1

a. Michelle Obama is talking to …

warm and sunny today that our snowman is already melting. Jeff hates exercise, so it is not surprising that he often is ill / sick / unhealthy. Dad says you are making too much noise and he wants you to stop now.

2 points

Tick ; the correct statement.

3. Bob goes to the gym every day to stay healthy. 4. Mother says you should turn off the TV and start cleaning your room now!

16 points

Listening Comprehension 2010 – Michelle Obama.mp3

b. Michelle Obama is talking about …

parents. teachers. 9 children. politicians. a project on food. 9 healthy and unhealthy food. her children’s favorite food. her husband’s love of fast food.

B14

Abschlussprüfung 2010

Task 2

6 points

Tick ; the correct ending according to the text. 9 pizza. spaghetti. apple pie. rice pudding.

a. When she got good grades as child, Michelle Obama had …

luxury. must. right. 9 treat.

b. Michelle Obama’s mother said that a dessert was a …

e. Michelle Obama says that the First Family enjoys a …

f. Michelle Obama says that if you’re getting the right foods, then you can have …

I. Tick ; the answer that fits best according to the text.

1 point

1. The text is …

; ;

… an essay. … a biography. … a speech. … an article. 1 point

… opportunities for students. … Barack Obama’s career. … the American school system. … the importance of not giving up.

II. Put these statements in their correct order (1 to 5) according to the text. There is one statement which does not fit.

fruit. soup. burgers. 9 vegetables.

d. If Michelle Obama’s children are not hungry, they still have to eat their …

21 points

2. The text mainly describes …

tried. 9 fixed. liked. bought.

c. Michelle Obama had to eat what her mother …

B. Reading Comprehension

big burger. 9 good burger. cooked burger. delicious burger.

cake and French toast. cocoa and French toast. 9 cake and French fries. cocoa and French fries.

4 points

I understand challenges, because I overcame them and succeeded.

Learning is necessary for you and your nation.

Your country is responsible for your future.

Loving your country means wanting to do your best.

Students are responsible for discovering their own talents.

You are responsible for shaping your own life.

III. Answer the questions. How can you find out that … 0. … there’s something you’re good at, something you can offer? Through your education.

3 points

1. … you could be a good author someday? Write a paper for your English class.

Tapescript – Part 2

2. … you could discover new technology or methods of healing? Do a project for your science class.

Now listen to part 2. But these days, even when parents do have the time and the resources to buy healthy foods and make a simple meal at home, the reality is that kids are spending a third of their time at school, right? So we don’t have control over what you eat when you’re at school. So even when we’re -- when we’re working hard to give our kids healthy food at home, if they go to school and eat a lunch that’s loaded with calories and fat, then all the efforts that we try to instill at home, it gets knocked off a little bit. And many kids don’t have any access to physical education in the schools -- and that’s also something that’s also changed. When I grew up -- and I went to public schools in my neighbourhood -- I don’t care what you did; you had recess and you had gym on a very regular basis. So even though we’re encouraging our kids to exercise, if they can’t go to school and that -- get the same kind of exercise opportunities, then it makes our jobs as parents harder. And one of the things that I want to do is to begin focusing on ways that this administration can help parents, kids and families in tackling all these challenges. We want to make it a little easier on you all -- not just tell you what to do and what you should look like, but help you with some resources so that it doesn’t feel so impossible. And that’s one of the reasons why we’re here today, because we know that schools can play an important role in the work that we hope to achieve. Task 1

2 points

harder tests.

true

3. Barack Obama’s family was free of debt.

4. He went to the same college as his wife.

3. … the conditions that affect a situation: circumstances

more physical education.

4. … influence or decide something: determine

2. If they go to school and eat a lunch that’s loaded with calories and fat …

9 4 points

1. … grown-ups: adults 2. … trying to push you to do something: pressuring

1. So we don’t have control over what you eat when you’re at school.

5. Barack Obama was always very interested in school.

more teachers for sports.

0. The reality is that the kids are spending a third of their time at school.

0. … not causing harm: safe

healthier food.

Put in the words Michelle Obama says.

not in the text

2. His mother had two jobs.

fast-food restaurants.

Task 2

false

0. Barack Obama had a very happy childhood. 1. He grew up in a single parent household.

3 points

V. Read lines 31 to 42 and find a word that means the same as …

more homework. 9

IV. Are the following statements true, false or not in the text? Tick ; the correct box.

6. Michelle Obama received a very good education.

Which two things does Michelle Obama want to improve at US schools? Michelle Obama wants …

3. … you could serve the public as a politician or judge? Join a student government or the debate team.

6 points

5. … the things that will happen to someone in the future: destiny 6. … physically or emotionally strong: tough 7. … to leave a job or to leave school: quit 8. … feeling pleased about something you have achieved: proud

3. And I went to public schools in my neighborhood.

VI. Read the website, then answer the questions on the following page.

4. So even though we’re encouraging our kids to exercise , …

Answer the questions according to the website information. Give short answers.

5. We want to make it a little easier on you all, …

0. The guidance counseling staff are ready to help students in which grades? Grades 9 - 12.

6. And that’s one of the reasons why we’re here today, …

5 points

1. The High School compares its students with something students should have in their pencil case. What is it? 0.5 p. crayons ___ 2. If you are ill, when should you turn in your excuse to the office? the following day 0.5 p.

Abschlussprüfung 2010

B15

3. You are a High School student and you have been ill for two weeks. What could happen to you when you go to school again? lose credit/(s) 0.5 p. still have to attend classes 0.5 p. 4. Your friend’s name is Martha Jackson. What is the name of Martha’s guidance counselor? Samantha Gauthier 0.5 p. 5. How many English classes should you attend? four

0.5 p.

6. Being punctual, working hard, good behaviour and being open to assistance are good tips. What are they called? Keys to High School Success 0.5 p. 7. You love to jog every day. Which club does your counselor advise you to go? Running Club 0.5 p. 8. If you enjoy reading, which club should you join? Library Club 9. What will happen if you lose four credits? I/You will not graduate on time.

C. Mediation

0.5 p.

30 points 4 points

1. Barack and Michelle Obama were successful students. What tips could you give to younger students to help them be more successful in school? Give two suggestions. 1/1 Do your homework regularly and pay attention to what teachers tell you during lessons. 2. Obama followed his dreams. Is it important for you to set goals in your life? Give two reasons, why or why not. 1/1 For me it’s not important to set goals in my life because there are so many things that you can’t influence and I also think it’s more fun when people do not plan everything. Oder: For me setting goals in my life is very important because then you know why you work so hard and it certainly helps being successful in the end.

A. Keyword Story

0.5 p.

20 points

4 points

But in the end, the circumstances of your life – what you look like, where you come from, how much money you have, what you’ve got going on at home – that’s no excuse for not trying. Letzten Endes sind deine (euere) Lebensumstände –

1 p.

wie du aussiehst (wie ihr ausseht), woher du kommst (woher ihr kommt),

1 p.

wie viel Geld du hast (ihr habt), was bei dir (euch) zuhause (daheim) los ist 1 p.

In my spare time I really like to help in our local animal shelter. Last week I took my favourite dog Peaches, she is a golden retriever, to the veterinarian. I took the leash from the hook and tied it around Peaches neck. After we had been walking for some time, she suddenly started barking loudly. I looked around to see whether there was anything that kind of bothered her but I could not see anything. Right in this moment she pulled away from me, I let loose the leash and she ran away through hedges and bushes. I yelled after her but she would not listen. There was only one way to get her back: I had to run after her. Of course I could not run as fast as she could but after a few minutes I saw her standing at the edge of a small pond, still barking lively at something. There was a man in the water. He must have fallen in and could not get out again. He was so exhausted that he just could not call for help anymore. Only Peaches had noticed his presence and with the help of some people, Peaches and I were finally able to rescue the man. By the way, we found a new owner for Peaches after an article had appeared in our local newspaper. (313 words)

- das ist keine Ausrede (Entschuldigung) dafür, es nicht zu versuchen (probieren). II. Lesen Sie den folgenden Text. Bearbeiten Sie anschließend die Fragen auf Deutsch.

1 p. 16 points

B. Letter

1. Warum befinden sich alle angerufenen Personen zurzeit in den USA? Austauschstudenten/-schüler

1 p.

2. Warum ist Liv Nilsson von ihrem ersten Eindruck überwältigt? Es ist wie im Film.

1 p.

3. Welche drei Aspekte findet Liv Nilsson besonders bemerkenswert am amerikanischen Schulsystem? - anderer Stundenplan - andere Einstellung der Schüler zur Schule - Lehrer sehr freundlich

26 points

The animal shelter

Dictionary allowed I. Übersetzen Sie folgenden Textabschnitt ins Deutsche.

D. Text Production I. Express your own ideas.

To YWC English Language Center PO Box 4895 Boston, MA 00362 Dear Sirs

3 p.

weitere Möglichkeiten: - Lehrer nicht so distanziert - Lehrer machen die Schule für Schüler interessant 4. Welche Verhaltensweisen überraschten Hu Fong in den USA? (2 Beispiele) - wie man sich begrüßt 2 p. - wie man Freunde findet weitere Möglichkeit: - wie man studiert/lernt 5. Am meisten war Hu Fong von der Gleichberechtigung der Menschen in den USA überrascht. Warum? (2 Gründe) - keine Unterschiede zwischen Reich und Arm bzw. 2 p. - Weiß und Schwarz 6. Welchen Unterschied in der Eltern-Kind-Beziehung hat Hu Fong im Vergleich zwischen ihrem Heimatland und den USA festgestellt? China: Eltern treffen die Entscheidungen für ihre Kinder. oder: USA: Die Kinder / Jugendlichen entscheiden selbst. 1 p. 7. Welche Meinung hat Benny Wolf bezüglich der Ernährung der Amerikaner? Sie essen viel und geben viel Geld aus, wenn sie zum Essen gehen. 2 p.

My name is Julia Schmidt. I am sixteen years old, live in a small village in Bavaria, Germany and have just passed my O-levels. As I have planned to attend the Fachober-schule in September, I would like to improve my English abroad. I have read your advertisement and I am interested in taking part in a summer English course in your Language Center in Boston. Therefore I would be glad if you could supply me with some necessary information. Do you organize the flights from Germany to Boston or would I have to do it myself? What kind of accommodation do you offer? Can your students live in American host families? How long are the language courses that you offer and will there be one at the beginning of August? How many students are in the classes and do you also offer freetime activities after the lessons (if so, what kind of activities are there)? How much would a course of about 3 to 4 weeks cost and what is included in the price? I have one more question: I have got relatives living nearby. Would it be possible for me to go and see them on one of the weekends or would this cause a problem for you. I am looking forward to hearing from you soon. Yours faithfully (214 words)

E. Use of English I. Use the verbs in brackets in the correct form.

33 points 12 points

8. Was ist Benny Wolf in dem Ort New Era an der Bauweise der Häuser aufgefallen? Häuser sind einstöckig und aus Holz. 2 p.

0. Bo, the Portuguese water dog, was (Zeitpunkt des Schenkens abgeschlossen: Simple Past) a present for Malia and Sasha, Barack Obama’s daughters.

9. Was berichtet Benny Wolf über den Stundenplan im Gastgeberland? (2 Beispiele) - anderer Stundenplan 2 p. - Schule endet täglich später

1. On April 14, 2009, the new First Dog rushed (Signalwort April 14, 2009 für Simple Past) out of the White House to meet the press.

weitere Möglichkeit: - Schüler haben jeden Tag dieselben Fächer/Kurse.

2. At first, the President had talked/talked (talk) about getting (nach about steht das darauf folgende Verb in der –ing Form) a dog from a shelter, but in the end it had to be (must

B16

Abschlussprüfung 2011

be) a pedigree dog, as Malia suffers (suffer bleibt im Simple Present, da der Zustand grundsätzlich so ist) from an allergy. 3. Bo is (Fakt, dass der Hund aus Texas kommt, im Simple Present) from Texas and although he did not come/does not come (not; come) from a shelter, he had (have) a rather difficult start in life. His first owners did not want /had not wanted (not; want) him and so they gave/had given (give) him back to the breeder. (Inhalt bezieht sich auf das Vorleben des Hundes, deswegen Simple Past bzw. Past Perfect) 4. He is the star of the family now, but, however much the Obamas love him, he is not allowed (Fakt, deswegen Simple Present) to sleep in the President’s bed. 5. The dog has been (Signalwort for für Present Perfect) in the family for more than a year now. II. Fill in the correct forms of the verbs in the following if clauses.

3 points

Air Force One 0. If President Obama flies to Germany next week, he will use (use) Air Force One. This plane is a symbol of the US presidency.

VII. Find the corresponding noun.

4 points

Verb

Noun

0. discover

discovery

1. provide

provision/provider

2. respond

response/responsibility

3. invent

invention/inventor

4. know

knowledge

5. live

life

6. feel

feeling/feeler

7. educate

education/educator

8. study

student/study/studies

1. Air Force One is equipped with a secure communication system. If there was/were (be) an attack on the United States, the aircraft would be able to function as a mobile command center. (if-Satz Typ II: would be able im Hauptsatz; was/were im Simple Past im if-Satz) 2. There is a doctor on board. If the President falls (fall) ill, the doctor will be ready to help him. (if-Satz Typ I: will be im Hauptsatz; falls im Simple Present im if-Satz) 3. If ordinary people were allowed to fly on Air Force One, they would be impressed (impress) by the luxury inside. (if-Satz Typ II: were allowed im Simple Past im if-Satz; would be impressed im Hauptsatz; Passiv wegen by) III. Fill in the suitable relative pronoun. Use the words from the box.

4 points

First Lady Michelle Obama 0. Malia and Sasha Obama, who are Michelle Obama’s daughters, are ten and seven years old. 1. Michelle Obama, whose parents lived on the South Side of Chicago, attended public schools. 2. She graduated from Harvard Law School, which is one of the most important law schools in the USA. 3. In 1988 she met the man with whom she would fall in love. 4. As First Lady Mrs Obama, who has two daughters, continues her work helping working women. IV. Give the comparative or superlative forms of the adjectives in brackets.

4 points

A. Listening Comprehension

Hawaii is like no other place on earth – Obama’s birthplace 1. Hawaii is the youngest (young) of the 50 U.S. states.

3. There are six major islands to visit in Hawaii, but for first-time visitors, Oahu is more attractive than (attractive) the other islands, because it has Waikiki Beach, Honolulu, Pearl Harbor and other very famous attractions. 4. In most people’s opinion Honolulu is more (less) interesting than/as interesting as (interesting) Miami. V. Put in the correct preposition.

3 points

about of

to during

on after

1. Whether you are uncertain about going to college or you just need some reassurance you’re on the right track, this website offers a few reasons to go to college: 2. Every bit of education you get after/during high school increases the chances you’ll earn good pay when you start working. 3. Most college graduates earn a lot more money during their working years than people who do not continue their education after high school. VI. Where is the stress in each word? Underline the syllable that needs to be stressed. Example: president pre – si – dent statesman

15 points

Listening Comprehension 2011 – Recyclable Waste.mp3

2. It has one of the most active (active)volcanoes and is the birthplace of surfing and the hula.

after

1.2.6 Abschlussprüfung 2011

states – man

economic

e – co – no – mic

campaign

cam – paign

interpreter

in – ter – pre – ter

police

po – lice

to record

to re – cord

3 points

Tapescript – Part 1 NARRATOR HELEN ADAM HELEN ADAM HELEN ADAM HELEN ADAM HELEN ADAM HELEN ADAM HELEN ADAM HELEN ADAM HELEN ADAM HELEN ADAM HELEN ADAM HELEN ADAM

Good morning. Now, have you ever thought about what happens to your recyclable waste? Where does it go? What happens to it? We sent our reporter Helen Parkinson to Allington to find out. Hello, I’m here in Allington at a “Materials Recovery Facility” and with me is Adam Richards, one of the engineers who works here. Morning, Adam. Morning. Now, “Materials Recovery Facility” – what does that mean exactly? Well, it’s a place full of high-tech machinery where recyclable materials are separated. OK, so recyclable waste is delivered here in lorries. Yes, the waste is in orange sacks. And first we inspect it. Inspect it? To see if it’s contaminated in any way. And if it isn’t, we separate it. And how’s that done exactly? Well, it’s a complicated process. First, the waste is tipped onto a large conveyor belt and then, using a jet of air, the lighter materials are separated from the heavier materials. OK. Then the heavier materials go onto another conveyor belt that has holes in it. This moves forwards but it also shakes from side to side so the smaller items fall through the holes and the larger items don’t. I understand. Now if you look here, you can see a magnet. Yes. OK. So when, for example, bottles and cans go along here, the magnet pulls the cans to the side. Very clever. So now the iron is separated from the plastic and the glass. Exactly. So, so far all the sorting is done by machines. Yes, but there are also people sorting by hand. And are they at the end of the process? More or less. Right at the end, the materials are packed up to be transported to other places. Great. Thanks, Adam. Thank you.

B17

Abschlussprüfung 2011 Task 1

1 point

3 points

Which pieces of information belong together? Put the numbers into the correct boxes. There’s an example (0) at the beginning. There are more pieces of information than you need.

Helen Parkinson is talking to Adam Richards. What’s the interview about? Tick ; the correct statement. household waste. high-tech machines. 9 recycling processes.

Helen wants to find out about …

Task 1

Material

What happens to the waste? Complete the diagram. Use six words from the interview. There’s an example (0) at the beginning.

plastic

washed and crushed

cans

cut up and melted

other waste

paper

smaller items

India

garden furniture

London 0

Task 2

5 points

Complete the sentences using words from the interview. 1. Food and drink cartons are made from paper and plastic. 2. It’s not helpful if people put clothes in the orange sacks.

A magnet (5) separates …

glass (6)

larger items

plastic and

China 0

parts for cars

shredded and melted

A conveyor belt with holes (4) separates …

north west of England

sand

compressed and burned

heavy/heavier (3) material

A jet of air separates … light/lighter (2) material

soap

contaminated waste

northern England

Lorries (0) deliver waste in orange (1) sacks ...

Place

books and magazines 3

6 points

New product

mixed with hot water

glass

Task 2

Process

3. Damaged machines are very expensive to repair. iron-based material

4. The expert’s message to the listeners is a very simple one. 5. The “three Rs” are: reduce, re-use and recycle.

Sorted materials are packed up to be transported to other places.

Tapescript – Part 2 NARRATOR HELEN JANET HELEN JANET HELEN JANET HELEN JANET

HELEN JANET HELEN JANET HELEN JANET HELEN JANET HELEN JANET HELEN JANET HELEN JANET HELEN JANET HELEN JANET

Helen wanted to know what happened to the materials that had been separated at Allington so she spoke to Dr Janet Flynn, a waste consultant Hello, Janet. Adam has been showing us the sorting processes at the facility… Yes. … and now we wanted to know what happened to the different materials after they leave here. Well, let me start with glass. OK. That’s usually sent to a company in London where it’s washed and crushed and made into sand. Uh-huh. And plastic bottles? Well, there are various types of plastic, but normally plastic is cut up into small pieces and melted and then used to make new bottles or other products such as garden furniture. We don’t process plastic in Britain. We send it to China. And cans? Aluminium cans are sent to a processing plant in the north of England. They’re shredded and melted and turned into new cans or parts for cars. What happens to paper? Well, paper is usually mixed with hot water and then the ink and any glue is removed. So it can be turned into paper again. Yes, of course. And when it’s dried, it is delivered to a recycling plant in the north west of England. So it can be used for books and magazines again. Food and drink cartons are different, aren’t they? Yes, because they’re made from paper and plastic. Now, Adam mentioned that recyclable waste is sometimes contaminated. What did he mean exactly? Well, if people put clothes in their orange sacks that’s not very helpful. Why not? It can damage the machines. And believe me, they’re very expensive to repair! So what’s your message to our listeners? It’s very simple: the three Rs. The three Rs? Yes. Reduce, re-use and recycle! Thanks, Janet! You’re welcome.

B. Reading Comprehension

25 points

I. Tick ; the correct statement.

1 point

The text mainly describes …

;

the dangers and risks of e-waste management. the problems and opportunities of e-waste management. e-waste management in developing countries. e-waste management in the past and in the future.

II. Are the following statements true, false or not in the text? Tick ; the correct box. There’s an example (0) at the beginning. true

5 points false

not in the text

0. John Pilewski is 18 years old.

1. Last year John had a well-paid job. 2. He had to repair PCs, telephones and fax machines.

3. He really enjoyed his work at the company.

4. After talking to his boss John wanted to find out more about e-waste.

5. John soon got the information he was looking for.

III. Read the text and give short answers. There’s an example (0) at the beginning. Find out … 5 points 0 how often people in the developed world buy a new computer. every two or three years 1. how many phones Europeans throw away every year. about 100 million 2. how most e-waste is disposed of at the moment. dumped (in landfills) or burnt (in incinerators) 3. what metals can be found in cell phones. gold and silver (can be found in cell phones) 4. why people working in backyard recycling firms sometimes have serious health problems. People / They breathe in toxins / poisonous substances. 5. how specialists see the future of computer e-waste in India. It will increase / rise / jump (by about 500%).

B18

Abschlussprüfung 2011

IV. What is John’s opinion? Look at lines 46 to 53 and tick ; the three statements he really makes.

3 points

John thinks… 9

mit dem Müll umgehen wie daheim

the situation in developing countries won’t change a lot in the coming years.

mitgebrachten Müll wieder mitnehmen

it’s a good idea to send used gadgets to other continents.

vor Ort gibt es keine Müllcontainer

you can only do business with e-waste in California. 9

2 p.

III. Für Ihre Abschlussfahrt nach England (23 Schüler, 2 Lehrer) ist auch der Besuch in einem „Waste Museum“ geplant. Lesen Sie folgende Website. 14 points

dealing with e-waste could be a way of creating new jobs. recycling e-waste uses too much energy.

II. Ein guter Bekannter versteht dieses Schild nicht. Erklären Sie es auf Deutsch.

1. Was können Besucher im Waste Museum sehen? (2Antworten)

it´s important to appreciate the value of e-waste.

2 p.

- Ausstellungen (über den Umgang mit Abfall) V. Find the word in the text that matches the definition. Write it on the line. There’s an example (0) at the beginning. 3 points 0

heated up and turned into liquid

melted______ __

soft white metal used to make jewellery

silver

(lines 25-29)

money people earn for the work they do

income

(lines 36-40)

money people pay to the government

(lines 15-20)

- wie eine Recyclinganlage/-einrichtung funktioniert 2. Wann sind Gruppenführungen im Herbst möglich? (Tage, Zeiten)

2 p.

- dienstags bis freitags - von 9.00 bis 15.45 (Uhr) (die Angabe „3.45 (Uhr)“ gilt nur mit Zusatz: nachmittags / am Nachmittag)

tax

(lines 41-45)

3. Wann ist das Museum geschlossen? (2 Angaben)

2 p.

- montags von September bis Juni - an Weihnachten / am 25. Dezember / am 1. Weihnachtsfeiertag

VI. What does the chart show? 1. Tick ; the correct ending.

1 point

;

produced.

recycled.

sold.

2. Which category in the chart do the following objects belong to?

4 points

Match the objects to the categories (a – d) from the chart above. Put in the correct letter a, b, c or d. There’s one object you don’t need. dishwasher

saucer

mp3 player

printer

toaster

- schneller Einlass

2 p.

- zwei Wochen im Voraus buchen - und vorher bezahlen

1. Tick ; the correct ending.

7. Wie kann man sich über Zusatzangebote informieren? (2 Angaben) - und Facebook (auch Antwort “Internet” möglich)

1 point

D. Text Production

30 points

I. Express your own ideas.

4 points

Is it important for you to have the latest mobile phone? Say why or why not. Give two reasons.

the relationship between metal and plastic materials in e-waste. the different types of raw materials in e-waste.

It is absolutely not important for me to have the latest mobile phone because I see my

the different amount of materials in e-waste.

mobile just as a tool to get in contact with another person and it would be too expensive

the amount of toxic materials in e-waste.

2. Look at the chart and circle the correct word. There´s an example (0) at the beginning.

2 p.

- über Telefon

The chart shows…

0 There is more

3 p.

- ermäßigter Eintrittspreis für Gruppen über 10 Personen

6. Wie kann man sich die Parkgebühren für den Bus sparen?

5. Nennen Sie drei Vorteile für Gruppen.

- Freiplatz für Busfahrer

VII. What does the chart show?

;

1 p.

- £3 / 3 Pfund

The chart shows how much e-waste is... burnt.

4. Wie hoch ist der normale Eintrittspreis für Schüler?

to buy a new one every year. For me it’s very important to have the latest mobile phone because it’s a lifestyle object 2 points

and I am very much interested in new technologies.

/ less plastic than pollutants in e-waste.

1. Cables make up the biggest / smallest part of e-waste.

II. You can choose either: A. Open-ended Story or B. Email

2. There are fewer / more screens than circuit boards in e-waste.

C. Mediation

20 points

A. Open-ended Story You’ve decided to take part in a story competition. Write a story of least 120 words on a separate sheet of paper. Find a suitable title and start like this:

Dictionary allowed I. Übersetzen Sie folgenden Textabschnitt ins Deutsche.

26 points

4 points

“Well, the first thing people should be doing is asking themselves 1 / if they need a new gadget in the first place. 2 / In the developed world there should be 3 / an extra tax on electrical and electronic products.” 4 / 1

Nun, die erste Frage, die sich die Leute stellen sollten, ist, (die erste Sache, die Leute tun sollten, ist sich zu fragen,)

1 p.

ob sie zuallererst (überhaupt) ein neues Gerät / Gadget brauchen / benötige.

1 p.

In den Industrienationen / der modernen Welt sollte es

1 p.

eine Zusatzsteuer / extra Steuer auf elektrische und elektronische Produkte geben.

1 p.

Leon the recycling expert One day I was walking past a bottle bank in my neighbourhood when I suddenly heard a strange noise. I stopped and listened and went closer to the containers. I was not afraid at all because I was almost sure that it could only be some kind of animal that was making such a noise. Unfortunately it was getting darker and darker. I looked inside the containers through the various holes but could not get a glimpse of what was inside. After some time I decided to knock on my friend’s door, ask for his help and a torch to light the inside of the bottle bank. We ran back to the containers as quickly as possible. We started flashing the inside of the green glass container but could not see anything. The same in the brown glass container. The last possibility was the clear glass container. As soon as the light of the torch illuminated the inside we heard that hissing noise that could only come either from a normal cat or a wild lion. In our case it was just our neighbour John’s cat Leon who loves to hide in the strangest places. (172 words)

Abschlussprüfung 2012

B19 IV. Find the corresponding opposite. There is an example (0) at the beginning.

B. Email Your Spanish partner school is planning a visit to your school. Your class has already discussed the exchange programme.

To: Gomez@gmail From: m10@tonline Dear Mr Gomez, my name is Sandra and I am responsible for your upcoming visit. Here are some details that you may be interested in: You will be accommodated in guest families. The meals will be in our cafeteria at 1 pm, breakfast and dinner will be in the guest families. During your visit we will offer a variety of events like e.g. lessons in English, music or sports, bowling, a farewell party, a trip and a project. The project will be about how people can turn rubbish into objects of art. The trip will be a walk through our local nature together with experts. There are no plans for Tuesday afternoon, Monday and Wednesday evening yet but I suggest going to the cinema, visiting some sights in the surroundings or going on a shopping tour to a mall nearby. I need to know from you the exact arrival and departure times and whether you have planned to come by bus, train or plane. In order to find the right number of guest families I also need to know the size of your group. I am looking forward to hearing from you soon, Sandra

0 This is a new bike.

4 points

My old bike was stolen.

1. Alex is always late.

Pat is never late.

2. Do you agree with me?

No, I disagree with you.

3. Shall I wait for you at the exit of the building?

No, please come to the main entrance.

4. I earn more money now.

It’s still less than my boss earns.

V. Odd one out. Which word sounds different? There is an example (0) at the beginning. 0

two – threw – through – shout – shoot

girl – hurt – nerve – pearl – heart

child – lift – my – right – buy

but – drug – bush – cup – brush

train – take – change – chance – may

4 points

(193 words)

E. Use of English

30 points

I. Complete the following text using suitable words. Cross out the wrong words. There is an example (0) at the beginning. 6 points 0 Are there sometimes vegetables left over after / while your dinner? 1. You can create a compost heap by / through using these. 2. Put them / they in a corner of your garden. 3. Turn the compost regular / regularly. 4. With a compost heap you can keep organic waste out of / from a landfill. 5. Compost will rot and turn into / in soil. 6. It although /also helps plants to grow.

1.2.7 Abschlussprüfung 2012

II. Use the word given in capitals on the right. Complete the sentences using a word from the same word family. 4 points 0 Do you drink fresh milk from plastic containers?

A. Listening Comprehension Tapescript – Part 1

1. Containers can be plastic, metal or glass products. 2. It’s important not to waste our natural resources. 3. The development of hybrid cars has led to a reduction in CO2 emissions.

RECEPTIONIST MIKE JANE MIKE

Hi. How can I help? Hello. Hi.

RECEPTIONIST

Well, you need to take the subway to South Ferry, that’s the station in Battery Park. And do the ferries go regularly?

4. Cutting emissions could help to stop dangerous global warming.

III. Complete the text using the verbs in the correct form. There is an example (0) at the beginning.

15 points

Listening Comprehension 2012 – Statue of Liberty.mp3

12 points

JANE RECEPTIONIST

At present a “plastic soup” of waste in the Pacific Ocean is growing (0) very quickly. This “soup” stretches (1) (Simple Present, da ein Dauerzustand beschrieben wird) from about 500 nautical miles off the Californian coast almost as far as Japan.

MIKE RECEPTIONIST

Charles Moore, an American researcher who discovered (2) (Simple Past wegen Signalwort ago) it many years ago, believes that about 100 million tons of plastic are / is circulating (3) (Present Progressive wegen Signalwort at the moment; are bezieht sich auf tons, is

JANE RECEPTIONIST

bezieht sich auf plastic) in the region at the moment. First people thought that it was like an island of plastic garbage that you could (4) (thought steht in der Vergangenheit, deswegen muss can angepasst werden) almost walk on. But now we know that it is not / isn’t (5) (Signalwort now) like that. You can’t walk on it. Experts think that it will be (6) (willfuture wegen Signalwort soon) about twice the size of the USA soon. About one-fifth of it is junk that has been / was thrown (7) (sowohl Simple Past Passive o abgeschlossene Handlung möglich als auch Present Perfect Passive o Ergebnis) off ships or oil platforms. The rest comes from land.

JANE RECEPTIONIST MIKE RECEPTIONIST MIKE JANE

Yeah, we were thinking about going to the Statue of Liberty and we wanted to know how best to get there.

Sure. Every half hour. The first one leaves at 8.30, I think. Do you have a City Pass? Because with that you can go straight to the front of the line before you get on the ferry. A City Pass? No. And how much is that? Well, a one-day pass is around $80 and a two-day one is around 120. With it you can get into as many attractions as you want. Hmm. And the ferry ticket by itself? I think it’s $15. The question is how long do you want to spend at the Statue? Do you want to walk up to the top, you know, to the crown? Oh, definitely. Because that takes some time as well. Mmm. No, I don’t think we’ll bother with the City Pass. We’ll need the whole day. Yeah, and a lot of patience. They’re doing airport-style security checks everywhere now. Hmm. OK.

Charles Moore came (8) (Simple Past wegen Signalwort 1997) across the sea of waste by

Task 1

chance in 1997 while sailing (9) (Verb in der –ing-Form nach while; verkürzter Nebensatz)

Mike and Jane are staying in a hotel in New York. One morning they talk to the receptionist. 6 points Are the following statements true (T) or false (F)? While listening, tick (9) the correct box. There is an example at the beginning (0).

home to Hawaii. “Every time I got (10) (Simple Past o es wird aus der Vergangenheit erzählt) on deck, there was (11) (siehe got) trash floating by”, he said in an interview. He warned that if people didn’t stop using plastics, the plastic soup would double (12) (if-Satz mit Simple Past und would + Infinitiv) in size before too long.

B20

Abschlussprüfung 2012

Mike and Jane …

(0)

want to visit the Empire State Building.

(1)

are told that they can take a taxi to the ferry.

(2)

find out that there is a ferry to the Statue of Liberty every 30 minutes.

(3)

hear that a two-day City Pass costs $80.

(4)

would also like to go to the top of the Statue of Liberty.

(5)

decide to buy a one-day City Pass.

(6)

have to expect security checks on their trip to the Statue.

Task 3

9 9

Mike and Jane are on the ferry back to New York. They get into conversation with another tourist.

9 9 9

5 points

Answer the questions. Use short answers. There is an example at the beginning (0). (0) Why didn’t Mike and Jane go up to the crown?

9 9

(because) it was too busy (1) When did the tourist book her ticket to go up to the crown? three / 3 days ago / before / previously

Tapescript – Part 2 RANGER

(2) What sort of City Pass did the tourist buy?

OK, folks, let me give you some basic information about the Statue. Well, as you can see, it’s pretty tall. From the ground to the tip of the torch it’s 93 meters. Of course that’s not how tall Lady Liberty is herself because she’s standing on a pedestal. That’s 47 meters high. From down here it’s difficult to appreciate the dimensions, isn’t it? You see the tablet she’s holding in her hand? Yeah? Well, that’s 7 meters by 4 meters. A pretty heavy book, don’t you think? Now, you can also see that the crown she’s wearing has seven points. Those represent the seven seas and seven continents of the world. OK, now I’ve got a question for you folks. How many windows are there in the crown? Anyone want to make a guess? No? OK, I’ll tell you. Twenty-five.

Task 2

4 points

Mike and Jane are looking at the Statue of Liberty and are listening to a ranger. While listening, fill in the missing details. There is an example at the beginning (0).

(3) Why wasn’t the tourist’s mother able to walk up to the crown? (she) was exhausted / / very / too tired oder (it) was too / very hot (inside) oder (almost) 100 degrees inside (4) What part of the Statue is closed to visitors? the steps / stairs (that go up) to the arm / torch (5) How can the tourist’s mother enjoy the view from the top of the Statue? (with) webcam(s) / (on the) internet / (on the) computer

(0) height of the monument: 93 m

seven-day one / / seven-day / 7-day (City) Pass

(2) size of the tablet: 7 (m) x 4 (m) oder

4 (m) x 7 (m) (1) height of the pedestal: 47 (m) (3) The seven points of the crown represent the seven seas and the seven continents .

B. Reading Comprehension

20 points

Dictionary allowed I. Read the text and tick (9) the correct ending.

1 point

The text is mainly about …

;

building a monument. how to finance a monument. the realization of a project from start to end. the difficult relations between two countries.

(4) There are twenty-five windows in the crown.

II. Read each paragraph in the text and tick (9) the correct ending.

Tapescript – Part 3 TOURIST JANE TOURIST JANE MIKE TOURIST MIKE TOURIST MIKE TOURIST

JANE TOURIST JANE TOURIST MIKE TOURIST JANE TOURIST MIKE TOURIST MIKE JANE TOURIST MIKE

Impressive, isn’t it? Yes, very. Did you manage to go up to the crown? Well, we wanted to, but it was too busy. We didn’t realize they issued timed tickets. It’s always busy. I had to book my ticket three days ago. OK. And have you got one of those City Passes? Yes, a seven-day one. Of course it’s a lot of money, $170, but if you pack a lot into your week, you actually save quite a lot. Uh-huh. When you’re traveling alone it’s easy. The last time I came here was with my mother. We had tickets for the crown. But then we got about half way up the stairs and had to come down again. She was exhausted. Oh dear. It was summer and it must’ve been almost 100 degrees in there. Oh no. Anyway, the rangers gave her something to drink and let her lie down and she was fine later. Is it true that there’re steps that go up the arm as well? Yeah, as far as the torch. But they’ve been closed to the public for about 100 years. It must be amazing up there. It is. It is? I thought you said … … don’t you know – they’ve got webcams up there now. Oh, wow. That’s great! I bet your mother’s pleased. Yes, she is. She’s on the internet all the time. Um. Hm.

7 points

(1) On October 28, 2011… French and American people celebrated a gift from the USA to France. French citizens made trouble at the 125th birthday of the USA. ; people celebrated the anniversary of a national monument in the USA. the Mayor of New York held a speech about the 125th birthday of the USA. (2) By building a monument Laboulaye wanted to … celebrate the freedom of a small island in the USA. ; honor the special relationship between France and the USA. show the importance of history and politics in the USA. improve the relationship between France and the USA. (3) The sculptor Frédéric Bartholdi liked Laboulaye’s idea … and immediately started to work on the project. ; but was not available to work on the project at once. but thought it could never be finished by July 4, 1876. and promised to finish the monument by July 4, 1876. (4) In 1875 the French and the US governments agreed that the … ; French would build the statue. Americans would pay for the statue. French would finance the pedestal for the statue. American statue would stand on a French pedestal. (5) In 1885… after months of negotiations the construction of the pedestal began. ; the statue was finished in France and transported to the USA. the French had financial problems and had to stop building the pedestal. rich French people donated money so that the statue could be finished. (6) On October 28, 1886… President Cleveland named the monument “Lady Liberty”. ; the Statue of Liberty was presented to the American people. people celebrated the dedication of the Statue of Liberty with fireworks. Bartholdi and Laboulaye joined the dedication ceremony of Lady Liberty. (7) Today, the Statue of Liberty … ; is an icon recognized around the world. symbolizes the desire for peace on earth. is no longer a monument that inspires people. stands for dramatic change around the world.

Abschlussprüfung 2012

B21

III. Answer the questions.

9 points

(1) Why can you say that Laboulaye is the father of the Statue of Liberty?

1 p.

30 points

Dictionary allowed

It was his idea to build the monument. (2) Why did Laboulaye want the monument to be finished by July 4, 1876?

D. Text Production

I. Express your own ideas.

1 p.

4 points

There are some states in the USA where 14-year-olds are allowed to drive when an adult is with them. Would you have liked to drive a car at that age? Give two reasons for your opinion.

It / July 4, 1876, was the 100 anniversary (of the birth) of the US. (3) The Statue of Liberty was a joint enterprise between France and the USA. Give two examples of how the two countries worked together. 2 p.

I would definitely have liked to drive a car at the age of 14. We lived in the country, far

They constructed it together.

away from my friends, and I could have visited them more often. I could also have

They financed it together / paid for it together.

helped my mum because she had no driving licence and sometimes needed things from town.

(4) The dedication ceremony turned out differently than planned. Explain why.2p.

Or:

The fireworks display had to be postponed / no fireworks because the weather

I would not have liked to drive a car at the age of 14. I think at that age children are

was damp and foggy / bad.

mentally too young and physically too small to handle cars. They also do not have the ability to assess dangerous situations.

(5) In what ways has the Statue of Liberty changed in the last 125 years? Give 3p. three examples.

II. You can choose either:

It was (as) brown (and shiny as a copper penny), but now it’s (light) green.

26 points

Windows have been replaced.

A. Keyword story

Elevators have been installed.

Write a story about the illustration and use at least five of the given keywords. Find a suitable title and write about 150 words on a separate sheet of paper.

A large museum has been added. IV. Write down which people in the text could have said this.

A disappointment

3 points

At our high school we have lockers where we can keep things like our cellphones, Now I know where to put the monument.

(1)

books, money, or something to eat. Last Friday, I discovered that I had forgotten my cellphone in my locker. I wanted to join my class in the gym where our basketball team was playing against the other high school team of our small town.

(Frédéric) Bartholdi

My parents wanted to pick me up after the match and I was supposed to call when

If people like us don’t pay, it will never be finished.

it was finished. I quickly ran back to my locker to get my phone. Next to my locker I saw the most awesome girl of our school. She was talking to this guy from her

(2)

(wealthy / rich) New Yorker(s)

class. I opened my locker really slowly and pretended to look for something to be able to overhear their conversation. They talked about meeting at the weekend for a

Ladies and gentlemen, fellow Americans, Monsieur Bartholdi, we will not forget that Liberty has here made

(3)

visit to the cinema. I got really jealous because I had always wanted to ask her out but never dared. (160 words)

(President) Cleveland

B. Letter C. Mediation

10 points

Schreiben Sie einen Brief von ungefähr 150 Wörtern auf Englisch und verwenden Sie dazu ein extra Blatt.

Dictionary allowed Stuttgart, 14th April, 2012 I. Erklären Sie Ihren Eltern auf Deutsch, … (1)

(2)

(3)

7 points

warum sie sofort Karten bestellen sollten.

1 p.

- Sie sind schnell ausverkauft / Sie sind im Vorverkauf billiger als am Spieltag.

My name is Felix, I’m 15 years old and I live in Stuttgart, Germany together with

was eine Einzelkarte direkt am Spieltag im günstigsten und im teuersten Fall kostet. 1 p.

my parents. I attend the grammar school close to where I live. English has always

- $33 und $300

an American high school as I intend to become an English teacher after my

für welche Spiele im August ein Familienticket gekauft werden kann.

1 p.

wann und wo man Schülerkarten erhält.

1 p.

- am Spieltag, am Ticketschalter neben Tor / Eingang 4 (5)

been my favourite subject at school. I would love to improve it by spending a year at studies. It will be a great experience to get to know the American way of life. I love skiing in winters, therefore it would be nice to live in the north of the US or

- für einige Spiele zwischen Montag und Donnerstag (4)

Dear host family,

somewhere in the Rocky Mountains. In winter I could help the family to shovel snow or I could also help in the kitchen. Would it be possible to be put into a family with kids of my own age? It would be great if there was a gym nearby because I

was das Yankees Inside Experience (Y I E) Programm beinhaltet.

2 p.

really like to workout. I’m looking forward to hearing from a nice family.

- Gelegenheit zu einem Foto

Kind regards, Felix

- und zu einem Autogramm mit einem Spieler (6)

zu welchen Spielterminen das Programm Y I E angeboten wird.

(167 words)

1 p.

- (nur) zu vorher festgelegten / ausgewählten (Spielterminen)

E. Use of English II. Übersetzen Sie folgenden Textabschnitt ins Deutsche.

3 points

“…students who present their valid high school ID cards1 / when purchasing tickets2 / can receive ONE half-price ticket for certain areas of the stadium.”3 /

25 points

No dictionary allowed I. Mark the word which fits. There is an example (0) at the beginning.

5 points

written

known

called

named

Studenten/Schüler, die ihren gültigen Studenten-/Schülerausweis vorzeigen,

grounds

ideas

reasons

opinions

wenn sie ihre Eintrittskarte kaufen / beim Kauf ihrer Eintrittskarte

tall

high

large

broad

können für bestimmte Bereiche des Stadions EINE Karte zum halben Preis erhalten.

sound

noise

voice

crash

still

yet

even

although

contain

hold

carry

keep

B22

Abschlussprüfung 2012

II. Cross out the wrong expression. There is an example at the beginning (0). 5 points (0) She has made…

a lot of money. a lot of homework. some mistakes. some sandwiches.

(1) You can do…

your hair. a phone call. your best. a school project.

(2) I am going to take…

contact with him. part in a conference. a photo of him. care of my grandma.

(3) We can have…

fun. a break. hunger. a shower.

(4) She got…

a job abroad. a terrible fear. lost in the forest. home late.

(5) He can see…

TV tonight. Joan tonight. her parents later. her house later.

III. Complete the text using the words in brackets in the correct form. There is an example at the beginning (0).

10 points

Paved with gold?

About 150 years ago millions of Europeans

left

(0) their home countries hoping (1)

(verkürzte Partizipkonstruktion: they hoped / were hoping to . . . wird verkürzt mit present participle = ing-Form des Verbs) to live a happier life in the New World. Incredible stories about the United States of America were told (2) (Passivsatz im Simple Past, weil die Geschichte in der Vergangenheit statt findet) at that time. Some people, for example, thought (3) (Simple Past) the streets of New York were paved with gold. One young man who decided / had decided (4) (Simple Past; auch Past Perfect möglich wegen Vorzeitigkeit) to emigrate to America was Frank Martin. Frank’s father was sad that his son was going to be so far away from him. “If I was a bit younger, I would come (5) (ifSatz Typ 2 wegen was) with you,” he said. The journey across the Atlantic took (6) (Simple Past) two weeks and all the time Frank was looking forward to reaching (7) (Gerund nach Ausdruck look forward to) New York. The day after he arrived he was walking / walked (8) (Simple Past oder Past progressive) along the street when he suddenly saw a $10 bill on the sidewalk. He stopped and told a little boy standing next to him that he would pick up / was going to pick up (9) (indirekte Rede: aus I will pick up wird he would pick up; aus I’m going to pick up wird he was going to pick up) the bill the next day. “I’m too tired at the moment,” he explained. “And the money will be (10) (Signalwort tomorrow für will-future) here tomorrow anyway.”

IV. Complete the text using the correct form of the words in brackets. There is an example at the beginning (0).

5 points

On Broadway

Reporter:

Congratulations, Lisa! You gave a wonderful (0 wonderful) performance and sang brilliantly (1) (Adverb, weil es sich auf das Verb singen bezieht) .

Lisa:

Oh, thank you.

Reporter:

Are you pleased with the opening night?

Lisa:

Well, I’ll be honest. I felt very nervous (2) (bleibt Adjektiv nach dem Verb feel) at the beginning.

Reporter:

I don’t think the audience noticed it.

Lisa:

I hope not! Luckily everything went well (3) (Adverb nach dem Verb went), in fact much better (4)

(Steigerungsform wegen

than) than I expected. Reporter:

And what was the most difficult (5) (Superlativ) moment from your point of view?

Lisa:

It was definitely the very first song. I almost forgot my words.

Bruchgleichungen

B23 (x 3)Â˛ 14x 6 = x 1 4

x LĂśsungsmenge:

2 Mathematik

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: 4Âˇ(x 1)

2.1 Ă&#x153;bungs-/PrĂźfungsaufgaben

Â&#x;

2.1.1 Bruchgleichungen

KĂźrzen aller Nenner: 4Âˇ(x + 3)Â˛ = (14x 6)Âˇ(x 1) Â&#x153;

Ausmultiplizieren/binomische Formel: 4Âˇ(xÂ˛ + 2ÂˇxÂˇ3 + 3Â˛) = 14xÂ˛ 14x 6x + 6 Â&#x153; 11 Â&#x2DC; x 2 Â&#x2DC; x x 2x = 8 Â°:( 2)

a) 11 2 3 ~Âˇ x (Hauptnenner) x x Â&#x153; KĂźrzen: 11 2x = 3 Â° 11 Â&#x153; Â&#x; b)

3Â&#x2DC; x x Â&#x153;

Zusammenfassen: 4Âˇ(xÂ˛ + 6x + 9) = 14xÂ˛ 20x + 6

10xÂ˛ + 44x + 30 = 0 ~: ( 10)

5 Â&#x2DC; (2x 4) 5 ~Âˇ(2x + 4) (Hauptnenner) Â&#x153; 1 2x 4 2x 4 Â&#x153; KĂźrzen: 5 = 1Âˇ(2x + 4) Â&#x153; 5 = 2x + 4 Â° 4

1 = 2x Â°: 2

Â&#x153; x = 0,5

Â&#x;

Â&#x; 1 Â&#x2DC; (2x 4)

Klammern ausmultiplizieren: xÂ˛ 4x = xÂ˛ 2x 3x + 6 xÂ˛ 4x = xÂ˛ 5x + 6 3x 2 2x x x 1

Â° xÂ˛ + 5x

2x 5 x

Â&#x153;

Â&#x;

x x 3 ~Âˇ(x 2)Âˇ(x 4) (Hauptnenner) x 2 x 4 x Â&#x2DC; (x 2) Â&#x2DC; (x 4) (x 3) Â&#x2DC; (x 2) Â&#x2DC; (x 4) Â&#x153; x 2 x 4 Â&#x153; KĂźrzen: xÂˇ(x 4) = (x 3)Âˇ(x 2)

Â&#x153;

~ 14xÂ˛ +20x 6

xÂ˛ 4,4x 3 = 0

p = 4,4 ; q = 3 in LĂśsungsformel:

x 1/2 =

LĂśsungsmenge IL ={0,5}

Â&#x153;

x = 6 Â&#x; LĂśsungsmenge IL ={6}

( 4,4) Â§ 4,4 Âˇ r Â¨ Â¸ ( 3) = 2,2 r 4,84 3 = 2,2 r 2,8 2 ÂŠ 2 Âš

x1 = 5 Â? ID und x2 = 0,6 Â? ID

Â&#x;

IL = { 0,6 ; 5 }

b) x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null werden: Nenner 1 / Nenner 4: x 2 Â&#x; x 2=0 Â&#x153; x=2 Nenner 2 / Nenner 3: x Â&#x; x=0 Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ {0 ; 2} 3x 2 5 2x 2 6 + = + x 2 x x x 2

x LĂśsungsmenge:

~ÂˇxÂˇ(x + 1) (Hauptnenner)

Â&#x153;

(3x 2) Â&#x2DC; x Â&#x2DC; (x 1) 2x Â&#x2DC; x Â&#x2DC; (x 1) x x 1

Â&#x153;

KĂźrzen: (3x + 2)Âˇ(x + 1) 2xÂ˛ = (2x + 5)Âˇ(x + 1)

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: (x 2)Âˇx 5 2x 2 6 3x 2 Â&#x; Âˇ(x 2)Âˇx + Âˇ(x 2)Âˇx = Âˇ(x 2)Âˇx + Âˇ(x 2)Âˇx Â&#x153; x x x 2 x 2

Â&#x153;

Klammern ausmultiplizieren: 3xÂ˛ + 3x + 2x + 2 2xÂ˛ = 2xÂ˛ + 2x + 5x + 5

KĂźrzen der Nenner: (3x 2)Âˇx + 5Âˇ(x 2) = (2x + 2)Âˇ(x 2) + 6Âˇx

(2x 5) Â&#x2DC; x Â&#x2DC; (x 1) x

Â&#x153;

Zusammenfassen: xÂ˛ + 5x + 2 = 2xÂ˛ + 7x + 5

Â&#x153;

xÂ˛ 2x 3 = 0

Â&#x153;

xÂ˛ + 2x + 3 = 0 2

x1/ 2

2 r Â§Â¨ 2 ÂˇÂ¸ 3 2 ÂŠ 2 Âš

Â° 2xÂ˛ 7x 5

Zusammenfassen: 3xÂ˛ + 3x 10 = 2xÂ˛ + 4x 4

p = 2 ; q = 3 in LĂśsungsformel:

Â&#x153;

1 r

x1/2 =

1 3

(x 1)Â˛ (x 3)Â˛ 3 6

Â&#x;

LĂśsungsmenge IL ={ }

(x 2)(x 4) xÂ˛ 41 24 12 6

Â&#x153; Â&#x153;

8Âˇ(x + 1)Â˛ 4Âˇ(x 3)Â˛ = (x + 2)(x 4) + 2ÂˇxÂ˛ + 4 Âˇ 41

Â&#x153;

8Âˇ(xÂ˛ + 2ÂˇxÂˇ1 + 1Â˛) 4Âˇ(xÂ˛ 2ÂˇxÂˇ3 + 3Â˛) = (xÂ˛ + 2x 4x 8) + 2xÂ˛ + 164

Â&#x153;

8Âˇ(xÂ˛ + 2x + 1) 4Âˇ(xÂ˛ 6x + 9) = (xÂ˛ 2x 8) + 2xÂ˛ + 164 Minusklammer beachten!!

Â&#x153;

8xÂ˛ + 16x + 8 4xÂ˛ + 24x 36 = xÂ˛ 2x 8 + 2xÂ˛ + 164

Â&#x153;

4xÂ˛ + 40x 28 = 3xÂ˛ 2x + 156

Â&#x153;

xÂ˛ + 42x 184 = 0 42 r 2 Â&#x; x1 = 4

x 1/2 =

Â&#x;

~Âˇ 24 (Hauptnenner)

24 Â&#x2DC; (x 1)Â˛ 24 Â&#x2DC; (x 3)Â˛ 3 6

Â&#x;

xÂ˛ x 6 = 0

Â&#x;

24 Â&#x2DC; (x 2)(x 4) 24 Â&#x2DC; xÂ˛ 24 Â&#x2DC; 41 24 12 6

KĂźrzen!

binom. Formeln beachten!!

1 Â§ 1Âˇ r Â¨ Â¸ ( 6) = 0,5 r 0,25 6 = 0,5 r 2,5 2 ÂŠ 2 Âš

x1 = 3 Â? ID und x2 = 2 Â? ID

Â&#x; IL = { 2 ; 3}

c) x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind: Nenner 1: 4 2x Â&#x; 4 2x = 0 Â&#x153; 4 = 2x Â&#x153; x=2 Nenner 2: 2x 4 Â&#x; 2x 4 = 0 Â&#x153; 2x = 4 Â&#x153; x=2

24 6 =3 4 2x 2x 4

x LĂśsungsmenge:

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: (4 2x)Âˇ(2x 4) 6 24 Â&#x; Âˇ(4 2x)Âˇ(2x 4) Âˇ(4 2x)Âˇ(2x 4) = 3Âˇ(4 2x)Âˇ(2x 4) Â&#x153; 2x 4 4 2x

~ 3xÂ˛ + 2x 156

p = 42 ; q = 184 in LĂśsungsformel:

KĂźrzen: 24Âˇ(2x 4) 6Âˇ(4 2x) = 3Âˇ(4 2x)Âˇ(2x 4)

Â§ 42 Âˇ Â¨ Â¸ ( 184) = 21 r 441 184 = 21 r 25 ÂŠ 2Âš und x2 = 46 Â&#x; LĂśsungsmenge IL ={ 46; 4}

Ausmultiplizieren (Minusklammer beachten): 48x 96 24 + 12x = 3Âˇ(8x 16 4xÂ˛ + 8x) Â&#x153; Zusammenfassen: 60x 120 = 12xÂ˛ + 48x 48

Â&#x2DC;

x 4 x -2

x8 x7

Â&#x153; Potenzgesetze anwenden:

x2 x x = 3 1 1 1

x4 x2

Â&#x153; xÂ˛ x = x + 3

Â&#x153;

KĂźrzen der Potenzen:

Â&#x153;

xÂ˛ 2x 3 = 0

x 1/2

( 2) Â§ 2Âˇ = r Â¨ Â¸ ( 3) = 1 r 1 3 = 1 r 4 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x;

x1 = 3 und x2 = 1

Â&#x;

x8 x7

x6 x5

12xÂ˛ + 12x 72 = 0 ~: 12 3

~ x ~ 3

p = 2 ; q = 3 in LĂśsungsformel:

Â&#x;

1r 2

IL = { 1; 3}

2. a) x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn deren Nenner gleich Null wird: Nenner 1: x 1 = 0 Â&#x153; x=1 Nenner 2: 4 z 0 Â&#x; kein Ausschluss notwendig Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ {1}

Â&#x153;

p = 1 ; q = 6 in LĂśsungsformel:

Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ {2}

2 3

~ 2xÂ˛ 4x + 4

Â&#x153; Â&#x153;

1 r 2

Formel nicht lĂśsbar, da Radikant in 2 negativ

3xÂ˛ 2x + 5x 10 = 2xÂ˛ + 2x 4x 4 + 6x

Ausmultiplizieren:

Â°:( 1) Â&#x;

Â&#x153;

4xÂ˛ + 24x + 36 = 14xÂ˛ 20x + 6

Klammer auflĂśsen:

x=4

LĂśsungsmenge IL ={4}

Â&#x153; c)

(x 3)Â˛ 14x 6 Âˇ 4 Âˇ (x 1) = Âˇ 4 Âˇ (x 1) Â&#x153; x 1 4

Â&#x153;

60x 120 = 24x 48 12xÂ˛ + 24x ~+ 12xÂ˛ 48x + 48

Â&#x153;

xÂ˛ + x 6 = 0 Â&#x; p = 1 ; q = 6 in LĂśsungsformel:

x1/2 =

Â&#x;

1 Â§ 1 Âˇ r Â¨ Â¸ ( 6) = 0,5 r 0,25 6 = 0,5 r 2,5 2 ÂŠ 2Âš

x1 = 2 Â? ID und x2 = 3 Â? ID

Â&#x; IL = { 3}

d) x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind: Nenner 1: x 1 Â&#x; x 1 = 0 Â&#x153; x = 1 Nenner 2: 2 x Â&#x; 2 x = 0 Â&#x153; x = 2 Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ {1 ; 2} x LĂśsungsmenge:

1 4x x 2 =2 x 1 2 x

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: (x 1)Âˇ(2 x) 1 4x x 2 Â&#x; Âˇ(x 1)Âˇ(2 x) = 2Âˇ(x 1)Âˇ(2 x) Âˇ(x 1)Âˇ(2 x) Â&#x153; x 1 2 x KĂźrzen: (1 + 4x)Âˇ(2 x) = 2(x 1)Âˇ(2 x) (x 2)Âˇ(x 1) Ausmultiplizieren:

Â&#x153;

2 x + 8x 4xÂ˛ = 2(2x xÂ˛ 2 + x) (xÂ˛ x 2x + 2)

Â&#x153;

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

B24 Zusammenfassen:

2 + 7x 4xÂ˛ = 2( xÂ˛ 2 + 3x) (xÂ˛ 3x + 2)

Ausmultiplizieren:

2 + 7x 4xÂ˛ = 2xÂ˛ 4 + 6x xÂ˛ + 3x 2

Zusammenfassen/Sortieren: 4xÂ˛ + 7x + 2 = 3xÂ˛ + 9x 6

Â&#x153;

xÂ˛ + 2x 8 = 0

x1/2 =

Â&#x;

Â&#x153;

o) (8u)â&#x20AC;&#x201C;3 Âˇ (0,25v) 3 = 8u Â&#x2DC; 0, 25v

Â&#x153; ~+ 4xÂ˛ 7x 2

Â&#x153;

p = 2 ; q = 8 in LĂśsungsformel:

1 1 Â&#x2DC; 0, 25 Â&#x2DC; 3 u3 v

p) 8u 3 Âˇ 0,25v 3 = 8 Â&#x2DC;

2Â&#x2DC;

1 u 3 Â&#x2DC; v3

1 8u 3 v3

2uv 3 2

2 Â§ 2Âˇ r Â¨ Â¸ ( 8) = 1 r 1 8 = 1 r 3 2 ÂŠ 2Âš

x1 = 2 Â? ID und x2 = 4 Â? ID

Â&#x; IL = { 4}

a) 2 Â&#x2DC; 81 = 2 Â&#x2DC; 9 = 18

b) 4 Â&#x2DC; 3 166,375 = 4 Â&#x2DC; 5,5 = 22

c) 4 Â&#x2DC; 3 125 4 = 4 Â&#x2DC; 5 2 = 17

d) 702,25 Â&#x2DC; 2 4 Â&#x2DC; 3 512 = 26,5 Â&#x2DC; 2 4 Â&#x2DC; 8 = 21

2.1.2 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

1 2

Â&#x2DC; 3 27 +

0,008 = 0,2

2 3

Beim Darstellen von Zahlen mit Zehnerpotenzen bildet man ein Produkt, dessen Faktoren 1. aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und 2. einer Zehnerpotenz (entstanden aus einem Zehnervielfachen) bestehen:

a) 620 000 = 6,2 Âˇ 100 000 = 6,2 Âˇ 105

b) 22 000 000 = 2,2 Âˇ 10 000 000 = 2,2 Âˇ 107

x3 Â&#x2DC; x =

d) 509 950 000 = 5,0995 Âˇ 100 000 000 = 5,0995 Âˇ 108

x5 Â&#x2DC; x3 =

c) 8 520 000 = 8,52 Âˇ 1 000 000 = 8,52 Âˇ

106

10-3

e) 0,0041 = 4,1 : 1 000 = 4,1 Âˇ

f) 0,00000047 = 4,7 : 10 000 000 = 4,7 Âˇ

10-7

g) 0,052 = 5,2 : 100 = 5,2 Âˇ 10-2 h) 0,000083 = 8,3 : 100 000 = 8,3 Âˇ 10-5 3 9 -3 i) = 3 : 1 000 = 3 Âˇ 10 k) = 9 : 100 000 = 9 Âˇ 10-5 1 000 100 000 36 l) = 36 : 10 000 = 3,6 Âˇ 10 : 10 000 = 3,6 : 1 000 = 3,6 Âˇ 10-3 10 000 2 = 2 : 1 000 000 = 2 Âˇ 10-6 m) 1 000 000

Â&#x2DC; 121 =

x2 3 x Â&#x2DC; = 9 3

x6 : 3 x3 =

28x 5 = 7x

x5 = x3

28x 5 = 7x

2x 2 Â&#x2DC; 3 32x =

2x 2 Â&#x2DC; 4 8x10 =

e) 342,3 m = 342,3 Âˇ 1 m = 342,3 Âˇ 100 cm = 34 230 cm = 3,423 Âˇ 104 cm f) 2000 m = 2000 Âˇ 1 m = 2000 Âˇ 100 cm = 200 000 cm = 2,0 Âˇ

105

h) 0,067 mm = 0,067 Âˇ 1 mm = 0,067 Âˇ 0,1 cm = 0,0067 cm = 6,7 Âˇ 10-3 cm

3. Beim Rechnen mit Potenzen/Produkten muss besonders beachtet werden: 1. Das Klammerrechnen erfolgt immer vor dem Potenzrechnen. 2. Das Potenzrechnen erfolgt immer vor dem Punkt- und Strichrechnen. 3. Das Punktrechnen erfolgt immer vor dem Strichrechnen.

d) 27x 6

1 3

c) (71 â&#x20AC;&#x201C; 68)4 Â&#x2DC; (16 + 14)2 = 34 Â&#x2DC; 302 = 81 Âˇ 900 = 72900

Â§ 9x 6 Âˇ f) Â¨ 2 Â¸ ÂŠ 4b Âš

Â§ 2x 12 h) Â¨ Â¨ 8x 12 ÂŠ

d) (62 â&#x20AC;&#x201C; 71)2 Â&#x2DC; (6 â&#x20AC;&#x201C; 10)2 = (â&#x20AC;&#x201C;9)2 Â&#x2DC; (â&#x20AC;&#x201C;4)2 = 81 Âˇ 16 = 1296 1 1 e) (2 Â&#x2DC; 1,5) 2 = 3 2 = = 9 32

1 ( 2) 4

Â&#x2DC; 64 = 64 +

1 3

g) ( 1 Âˇ 5) + ( 2) 1 = ( 5) + ( 2) 1 = 125 + 4 1 = 122

Â§ x3 Âˇ x3 x x =Â¨ Â¸ = = = 13 x 1 27 ÂŠ 27 Âš 3 27 3

x 6 3 =

4 Â&#x2DC; x 5 1 =

x3 = x3

2 Â&#x2DC; 32 Â&#x2DC; x 2 Â&#x2DC; x =

Âˇ 2 Â§ 1x 12 Â¸ =Â¨ Â¸ Â¨ 4x 12 Âš ÂŠ

i) x

Â&#x2DC;x

x7 = x7 â&#x20AC;&#x201C; 5 = x2 x5

a) x = log232 =

z6 = z6 â&#x20AC;&#x201C; 6 = z0 = 1 z6

t 2n = t2n â&#x20AC;&#x201C; n = tn tn

c) x = log55 =

9a 4 b6 1a 4 b6 1 = 2 4 = a 4 2 Â&#x2DC; b6 4 = 13 a 2 b 2 2 4 3 27a b 3a b

12c 4d 6 = 4c 4 2 Â&#x2DC; d 6 5 = 4c 2d1 = 4c2d 3c2d5

e) x = log 2 2 =

x3 Â§ x Âˇ =Â¨ Â¸ y3 ÂŠ y Âš

Â§ 3x 2 Âˇ 3n x 2n n) Â¨ 4 Â¸ = n 4n 5 y ÂŠ 5y Âš

Beachten Sie im folgenden: a-b =

1 ab

bzw.

1 = ab a-b

1 4

= 2 4 Â&#x2DC; x 4 = 2x3

3Â&#x2DC;( 23 )

a-b 1 1 ab = b bzw. -b = 1 a 1 a

6Â&#x2DC;( 23 )

2Â&#x2DC;( 12 ) 6Â&#x2DC;( 12 )

2Â&#x2DC;( 12 ) 2Â&#x2DC;( 12 )

= 2 2 x 4 = =

Âˇ 2 Â§ x 12 Â&#x2DC; x 12 Â¸ =Â¨ Â¸ Â¨ 22 Âš ÂŠ

2 3

1 4 x = 22

1 4

3 1 x 3 21 b1 2b = 1 3 = 3 2 1 b 1 3x 3x

= 23 Â&#x2DC; x 6

Âˇ 2 Â§ x 12 12 Â¸ =Â¨ 2 Â¸ Â¨ 2 Âš ÂŠ

2 3

3Â&#x2DC;

2 3

Â&#x2DC;x

6Â&#x2DC;

2 3

= 22 Âˇ x4 = 4x4

3 Âˇ 2 Â§ x1 Âˇ 2 x1Â&#x2DC; 2

x 2 23 Â¸ =Â¨ Â¸ = = 3 = 3 = 2 2Â&#x2DC; 32

Â¸ 2 2 ÂŠ Âš x2 2 Âš 8 8 = = 1 x3 x3 2 3

= x 53 43 = x 1220 1520 = x 2720 = 1 27

53 43

lg 32 =5 lg 2

x 27

b) x = log21024 =

lg 5 =1 lg 5

d) x = log101 =

lg 2 =2 lg 2

m) (5x3)2 = 52 Âˇ x 3 Âˇ 2 = 25x6

l) (ap)3 = a3p

24 x12 = 24 x12

Â&#x2DC; x 0,75 Â&#x2DC; x = x 0,5 Â&#x2DC; x 0,75 Â&#x2DC; x1,25 = x 0,5 ( 0,75) 1,25 = x 0,5 0,75 1,25 = x0 = 1

(5a) Â§ 5a Âˇ Â§ 1 Âˇ 7 3 =Â¨ Â¸ = Â¨ Â¸ = 0,5 = 0,0078125 | 7,8125 Âˇ 10 (10a)7 ÂŠ 10a Âš ÂŠ 2 Âš

43 x 3 = 4x

5 4

c) cn Âˇ cn â&#x20AC;&#x201C; 1 Âˇ cn â&#x20AC;&#x201C; 2 = cn + n â&#x20AC;&#x201C; 1 + n â&#x20AC;&#x201C; 2 = c3n â&#x20AC;&#x201C; 3

64x 3 =

x 20

b) a3 Âˇ an = a3+n

a) a3 Âˇ a5 = a3 + 5 = a8

= x3 = x

j) x

i) b4 Âˇ c4 = (b Âˇ c)4

1 3

4 Â&#x2DC; x 4 = 2x2

h) (7 + 0 Âˇ 1 30)3 Â&#x2DC; 100 = (7 + 0 30)3 Â&#x2DC; 100 = ( 23)3 Â&#x2DC; 1 = 12167

3 3

= 33 Â&#x2DC; x 3 = 3x2

Â§ 32 x 6 Âˇ =Â¨ 2 2Â¸ ÂŠ2 b Âš

1 64 Â&#x2DC; 64 = 64 + = 64 + 4 = 68 16 16

8 2

2x 2 Â&#x2DC; 8x10 = 4 16x12 =

= 23 x 6

1 2

= x3 = x

3 6

4 2

1 3

2x 2 Â&#x2DC; 32x =

= 3 x

1 2

Â§ 4x 7 Âˇ 3 Â§ 4 x 7 Âˇ 3 Â&#x2DC; 1 Â¸ = 8 Â&#x2DC; x 7 1 g) Â¨ Â¸ =Â¨ ÂŠ 0,5x Âš ÂŠ 0,5 x Âš

b) (5 Â&#x2DC; 2 Â&#x2DC; 4)3 = 403 = 64000

f) ( 2)6 + ( 2) 4 Â&#x2DC; 43 = 64 +

= x =x = x = x = x

Beachten Sie im folgenden: a-b =

e) 8x 6

3 22 9 44 53 + = + = = 8 56 2 3 6 6 6

Â&#x2DC;3

1 3

Â&#x2DC; 11 =

x2 = x

a) 43 â&#x20AC;&#x201C; 62 = 43 36 = 7

g) 3310 mm = 3310 Âˇ 1 mm = 3310 Âˇ 0,1 cm = 331 cm = 3,31 Âˇ 102 cm

c) x 3

x6 : x3 =

x 5 3 =

2 3

x4 = x4

x2 x Â&#x2DC; = 9 3

d) 712,4 km = 712,4 Âˇ 1 km = 712,4 Âˇ 100 000 cm = 71 240 000 cm = 7,124 Âˇ 107 cm

Â&#x2DC;3+

x5 Â&#x2DC; x3 =

b) 322 km = 322 Âˇ 1 km = 322 Âˇ 1 000 m = 322 Âˇ 100 000 cm = 32 200 000 cm = 3,22 Âˇ 107 cm c) 48,52 dm = 48,52 Âˇ 1 dm = 48,52 Âˇ 10 cm = 485,2 cm = 4,852 Âˇ 102 cm

1 2

x3 Â&#x2DC; x =

a) 128 m = 128 Âˇ 1 m = 128 Âˇ 100 cm = 12 800 cm = 1,28 Âˇ 104 cm

2uv 3

9. a) 2x = 16

Â&#x153;

x = log216 =

lg16 =4 lg 2

lg1024 = 10 lg 2

lg1 =0 lg10

Binomische Formeln b) 10x = 0,001 x

Â&#x153; Â&#x153;

c) 3 = 3

B25

x = log100,001 =

lg 0,001 = 3 lg10

c) a

4x 7

0,4x

lg 3 3 = = 0,5 lg 3

x = log3

lg 5 5 = 1,5 lg 5

d) 5x = 5 Âˇ 5

Â&#x153;

x = log5 5 5 =

e) 6(x+1) = 216

Â&#x153;

x + 1 = log6216 Â° 1

Â&#x153;

10. a) 4Âˇ3x = 108

Â&#x153; 3x = 27

Â°: 4

Â§ 1 Âˇ b) Â¨ Â¸ = 125 ÂŠ 25 Âš

Â&#x153; x = log327 =

Â&#x153;

c) log0,2x = â&#x20AC;&#x201C;3 Â&#x153;

x = 0,2 3 = 125

d) log10x = 0,5 Â&#x153;

x = 100,5 = 10 2 = 10 | 3,16

f) log 1 x 4

1 2

( 74 x)2 + 2Âˇ 74 xÂˇ1 + 1Â˛ =

( 74 x)2 2Âˇ 74 xÂˇ1 + 1Â˛ =

( 74 x)2 1Â˛ =

xÂ˛ 87 x 1

(a + b)2 (0,4x + ( 2))Â˛ = (0,4x 2)2 = (0,4x)2 2Âˇ0,4xÂˇ2 +2Â˛ = 0,16xÂ˛ 1,6x + 4

(a b)2 (0,4x ( 2))Â˛ = (0,4x + 2)2 = (0,4x)2 + 2Âˇ0,4xÂˇ2 +2Â˛ = 0,16xÂ˛ + 1,6x + 4

(a b)Âˇ(a + b) (0,4x ( 2))Âˇ(0,4x+( 2)) (0,4x + 2)Âˇ(0,4x 2) = (0,4x)2 2Â˛ = 0,16xÂ˛ 4

(a b)2

(a b)Âˇ(a + b)

(a + b)2

0,3x

0,5

Â&#x; (0,3x + 0,5)Â˛ = (0,3x)Â˛ + 2Âˇ0,3xÂˇ0,5 + 0,5Â˛ = 0,09xÂ˛ + 0,3x + 0,25

(a + b)2

1,1x

1. Binomische Formel:

a) (x + 4)2 = xÂ˛ + 2ÂˇxÂˇ4 + 4Â˛ = xÂ˛ + 8x + 16

b) (0,5 + x)2 = 0,5Â˛ + 2Âˇ0,5Âˇx +xÂ˛ = 0,25 + 1x + xÂ˛ = xÂ˛ + x + 0,25

Â&#x; (5x 2)Â˛ = (5x)Â˛ 2Âˇ5xÂˇ2 + 2Â˛ = 25xÂ˛ 20x + 4

Â&#x; (5x 2)Âˇ(5x + 2) = (5x)Â˛ 2Â˛ 25xÂ˛ 4

(a b)2 (a b)Âˇ(a + b) 0,09xÂ˛ 0,3x + 0,25 = 0,3Â˛xÂ˛ 0,3x + 0,5Â˛ = Â&#x; (0,3x 0,5)Âˇ(0,3x+0,5) (0,3x)Â˛ 0,3x + 0,5Â˛ = = (0,3x)Â˛ 0,5Â˛ (0,3x 0,5)Â˛ Â&#x; a = 0,3x / b = 0,5 = 0,09xÂ˛ 0,25

(a b)2

(a b)Âˇ(a + b) 1,21x2 1 = 1,1Â˛xÂ˛ 1Â˛ = Â&#x; (1,1x + 1)Â˛ = Â&#x; (1,1x 1)Â˛ = (1,1x)Â˛ 1Â˛ = (1,1x)Â˛ + 2Âˇ1,1x Âˇ1 +1Â˛ (1,1x)Â˛ 2Âˇ1,1x Âˇ1 +1Â˛ (1,1x 1)Âˇ(1,1x + 1) 1,21xÂ˛ + 2,2x + 1 1,21xÂ˛ 2,2x + 1 Â&#x; a = 1,1x / b = 1

c) (4x + 3)2 = (4x)Â˛ + 2Âˇ4xÂˇ3 + 3Â˛ = 16xÂ˛ + 24x + 9 d) (1,5x + 2)2 = (1,5x)Â˛ + 2Âˇ1,5xÂˇ2 + 2Â˛ = 2,25xÂ˛ + 6x + 4

xÂ˛ 1

(a b)Âˇ(a + b) (xÂ˛ x)Âˇ(xÂ˛ + x) = (xÂ˛)2 xÂ˛ = x4 x2

(a + b)2 25x2 + 20x + 4 = 5Â˛xÂ˛ + 2Âˇ5xÂˇ2 + 2Â˛ = (5x)Â˛ + 2Âˇ5xÂˇ2 + 2Â˛ = (5x + 2)Â˛ Â&#x; a = 5x / b = 2

16 49

(a b)2 (xÂ˛ x)2 = (xÂ˛)2 2ÂˇxÂ˛Âˇx + xÂ˛ = x4 2x3 + x2

2.1.3 Binomische Formeln

xÂ˛ 87 x 1

(a + b)2 (xÂ˛ + x)2 = (xÂ˛)2 +2ÂˇxÂ˛Âˇx + xÂ˛ = x4 + 2x3 + x2

= 0, 25 0,5 = 2

Umformen der Terme durch Anwenden der binomischen Formeln:

16 49

x = 2 = 2 Â&#x2DC; 2 Â&#x2DC; 2 = 2 2 | 2,82

(a b)Âˇ(a + b) ( 74 x 1)Âˇ ( 74 x + 1) =

Â§1Âˇ Â&#x153; x= Â¨ Â¸ ÂŠ4Âš

1 2

Â&#x153;

e) log 2 x = 3

lg125 x = log0,04125 = = 1,5 lg 0,04

Â&#x153;

0,04 = 125

lg 27 =3 lg 3

(a b)2 ( 74 x 1)2 =

16 49

lg 216 1 = 3 1 = 2 lg 6

(a + b)2 ( 74 x + 1)2 =

2. Binomische Formel:

e) (x 7)2 = xÂ˛ 2ÂˇxÂˇ7 + 49 = xÂ˛ 14x + 49

95 x

2 Â&#x2DC; 95 Â&#x2DC; x x 2 =

25 81

109 x x 2

g) (â&#x20AC;&#x201C;1,3x + 0,1) = (0,1 â&#x20AC;&#x201C; 1,3x) = 0,1Â˛ 2Âˇ0,1Âˇ1,3x + (1,3x)Â˛ = 0,01 0,26x + 1,69xÂ˛ h) 1 23 x 53 = 2

53 x 53

53 x

2 Â&#x2DC; 53 x Â&#x2DC; 53 53 =

25 x 2 9

Aufgrund des Pluszeichens in der Quadratklammer muss die 1. Binomische Formel vorliegen: (a + b)Â˛ = aÂ˛ + 2ab + bÂ˛

9 25

Eintragen der Gleichung in eine Zuordnungstabelle:

3. Binomische Formel:

i) (x 0,5)Âˇ(x + 0,5) = xÂ˛ 0,5Â˛ = xÂ˛ 0,25 j) (1,6 + x) Âˇ (1,6 â&#x20AC;&#x201C; x) = 1,6Â˛ xÂ˛ = 2,56 xÂ˛

l) 1 52 x 2 4 Â&#x2DC; 1 52 x 2 4 = 1 52 x 2

42 =

7 5

Binom

( a + b )Â˛ = aÂ˛ + 2ab + bÂ˛

Gleichung

( _ + 5 )Â˛ = xÂ˛ + 10x + 25

Â&#x; aÂ˛ = xÂ˛ Â°Â&#x2014;

k) (1,5x + 3) Âˇ (1,5x â&#x20AC;&#x201C; 3) = (1,5x)Â˛ 3Â˛ = 2,25xÂ˛ 9

( ___ + 5)2 = x2 + 10x + 25

16 =

75 x 2

16 =

49 x 4 25

Â&#x153; a=x

(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

Â&#x;

(0,3x + ___ )2 = 0,09x2 + 0,6x + 1

Aufgrund des Pluszeichens in der Quadratklammer muss die 1. Binomische Formel vorliegen: (a + b)Â˛ = aÂ˛ + 2ab + bÂ˛

2. a) x2 + 4x + 4 = xÂ˛ + 2Âˇ 2 Âˇx + 2Â˛ = (x + 2)Â˛ 9 16

23 x xÂ˛ =

3 4

2 Â&#x2DC; 34 Â&#x2DC; x x Â˛ =

Â&#x; xÂ˛ + 4x + 4 = (x + 2)Â˛ 3 4

c) x2 8x + 16 = xÂ˛ 2Âˇ 4 Âˇx + 4Â˛ = (x 4)Â˛

Â&#x;

9 16

23 x xÂ˛ =

34 x

Â&#x;

x2 x + 0,25 = (x 0,5)Â˛

e) x2 1 = xÂ˛ 1Â˛ = (x 1)Âˇ(x +1) f) 6,25 x2 = 2,5Â˛ xÂ˛ = (2,5 x)Âˇ(2,5 + x) 4 x 25

1 =

2 2 5

x 1 =

52 x

1 =

(

+ b )Â˛ =

aÂ˛

+ 2ab + bÂ˛

Gleichung

( 0,3x + _ )Â˛ = 0,09xÂ˛ + 0,6x + 1

Â&#x; x2 8x + 16 = (x 4)Â˛

d) x2 x + 0,25 = xÂ˛ 2Âˇ 0,5 Âˇx + 0,5Â˛ = (x 0,5)Â˛

Binom

Â&#x; bÂ˛ = 1 Â°Â&#x2014;

(0,3x + 1)2 = 0,09x2 + 0,6x + 1

Â&#x;

(HINWEIS: Zieht man aus bÂ˛ = 1 die Wurzel, erhĂ¤lt man eigentlich b = r1 ; die LĂśsung b = 1 ist hier aber nicht sinnvoll, da sich sonst ein falsches Binom, nĂ¤mlich (0,3x 1)2 ergĂ¤be! Dies gilt auch fĂźr die Aufgaben c) bis h))

52 x 1 Â&#x2DC; 52 x 1

Â&#x153; b=1

(2,5x + ___ )2 = 6,25x2 + 20x + 16

Aufgrund des Pluszeichens in der Quadratklammer muss die 1. Binomische Formel vorliegen: (a + b)Â˛ = aÂ˛ + 2ab + bÂ˛

Binom

(

Gleichung

( 2,5x + _ )Â˛ = 6,25xÂ˛ + 20x + 16

a 3x

b 7

b) a

(a + b)2 Beispiel: (3x + 7)2 = 9x2 + 42x + 49

(a b)2 Beispiel: (3x 7)2 = 9x2 42x + 49

(a b)Âˇ(a + b) Beispiel: (3x 7)Âˇ(3x + 7) = 9x2 49

(a + b)2 (a b)2 (a b)Âˇ(a + b) (( 3x) 6)2 = (( 3x) 6)Âˇ(( 3x)+6) = (( 3x) + 6)2 = ( 3x)2 +2Âˇ( 3x)Âˇ6 +6Â˛ = ( 3x)2 2Âˇ( 3x)Âˇ6 +6Â˛ = ( 3x)2 6Â˛ = 9xÂ˛ + 36x + 36 9xÂ˛ 36x + 36 9xÂ˛ 36

Â&#x; bÂ˛ = 16 Â°Â&#x2014;

+ b )Â˛ =

Â&#x153; b=4

Â&#x;

aÂ˛

+ 2ab + bÂ˛

(2,5x + 4)2 = 6,25x2 + 20x + 16

(1 + ___ )Âˇ(1 â&#x20AC;&#x201C; ___ ) = ___ 9x2

Aufgrund des Plus-/Minuszeichen in den Klammern muss die 3. Binomische Formel vorliegen: (a + b)Âˇ(a b) = aÂ˛ bÂ˛ Binom

( a + b )Âˇ( a b ) = aÂ˛

Gleichung

( 1 + _ )Âˇ( 1 _ ) =

bÂ˛

9xÂ˛

Lineare Funktionen

B26 Â&#x;

bÂ˛ = 9xÂ˛ Â°Â&#x2014;

Â&#x153; b = 3x

auĂ&#x;erdem gilt: a = 1

Â&#x153; aÂ˛ = 1

Â&#x;

Man setzt fĂźr x alle ganzen Zahlen von 2 bis 2 in die Funktionsgleichung y =

(1 + 3x)Âˇ(1 3x) = 1 9xÂ˛

(x ___ )2 = ___ 22x + ___

Aufgrund des Minuszeichens in der Quadratklammer muss die 2. Binomische Formel vorliegen: (a b)Â˛ = aÂ˛ 2ab + bÂ˛ Binom

( a b )Â˛ = aÂ˛ 2ab + bÂ˛

Gleichung

( x _ )Â˛ =

Â&#x;

a=x

22x + _

Â&#x153; aÂ˛ = xÂ˛

auĂ&#x;erdem gilt: 2ab = 22x

Mit a = x folgt daraus: 2xb = 22x Â°:2x

Â&#x153; b = 11 Â&#x; bÂ˛ = 11Â˛ = 121

x+2

1,5

2,5

x + 2 ein:

y 5

Graph: Es handelt sich um eine Gerade mit dem y-Achsenabschnitt n = 2 und der Steigung m = 12

4 Steigungsdreieck 3 2

2 x

2 n=2

(x 11)Â˛ = x2 22x + 121

Â&#x;

1 2

-2

( x + ___ )2 = ___ + ___ + 81

-1

Aufgrund des Pluszeichens in der Quadratklammer muss die 1. Binomische Formel vorliegen: (a + b)Â˛ = aÂ˛ + 2ab + bÂ˛ Binom

( a + b )Â˛ = aÂ˛ + 2ab + bÂ˛

Gleichung

( x + _ )Â˛ =

Man setzt fĂźr x alle ganzen Zahlen von 3 bis 3 in die Funktionsgleichung y = 13 x + 1 ein:

Â&#x;

a=x

+ 81

Â&#x153; aÂ˛ = xÂ˛

auĂ&#x;erdem gilt: bÂ˛ = 81 Â°Â&#x2014;

Â&#x153; b=9

Â&#x; 2ab = 2ÂˇxÂˇ9 = 18x

(x + 9)Â˛ = x + 18x + 81

g) ( ___ + 0,1)Âˇ( ___ â&#x20AC;&#x201C; 0,1) = 0,04 x ___ Aufgrund des Plus-/Minuszeichen in den Klammern muss die 3. Binomische Formel vorliegen: (a + b)Âˇ(a b) = aÂ˛ bÂ˛ )Âˇ( a

bÂ˛

Binom

( a +

Gleichung

( _ + 0,1 )Âˇ( _ 0,1 ) = 0,04xÂ˛

Â&#x;

b = 0,1

1,67

1,33

0,67

0,33

Â&#x;

x y = 13 x + 1

) =

aÂ˛

y 4

Graph: Es handelt sich um eine Gerade mit dem y-Achsenabschnitt n = 1 und der Steigung m = 13

3 Steigungsdreieck 2 3

1 n=1

-3

-2

-1

3 x

-1

Â&#x153; bÂ˛ = 0,01

auĂ&#x;erdem gilt: aÂ˛ = 0,04xÂ˛ Â°Â&#x2014;

Â&#x153; a = 0,2x Â&#x;

(0,2x + 0,1)Âˇ(0,2x 0,1) = 0,04xÂ˛ 0,01

2. h)

( ___ + 3)2 = 19 x2 + ___ + ___

Aufgrund des Pluszeichens in der Quadratklammer muss die 1. Binomische Formel vorliegen: (a + b)Â˛ = aÂ˛ + 2ab + bÂ˛ Binom

Gleichung Â&#x;

b=3

( a + b )Â˛ =

aÂ˛

( _ + 3 )Â˛ =

1 9

+ 2ab + bÂ˛

Dazu werden die Koordinaten der gegebenen Punkte S (1/1) und R (5/3) eingesetzt: y yR = 1 3 = 2 = 1 . m= S x S x R 1 5 4 2

Â&#x153; bÂ˛ = 3Â˛ = 9

auĂ&#x;erdem gilt: aÂ˛ = 19 x2 Â°Â&#x2014;

Â&#x153;

Â&#x;

Die Normalform der Geradengleichung lautet somit bis jetzt: y =

Â&#x; 2ab = 2Âˇ 13 xÂˇ3 = 2x

1x 3

13 x 3

a) Die Normalform einer linearen Funktionsgleichung lautet: y = mx + n. Um die Funktionsgleichung der durch S und R verlaufenden Gerade g zur erhalten, wird y P y P2 errechnet. zuerst die Steigung m mit der Formel m = 1 x P1 x P2

1 9

x 2 2x 9

1 2

Âˇ1+n

Â&#x153;

1 = 0,5 + n

Â&#x153;

n = 0,5

Â&#x; vollstĂ¤ndige Funktionsgleichung der Gerade g: y

2.1.4 Lineare Funktionen b)

1. a) Man setzt fĂźr x alle ganzen Zahlen von 3 bis 3 in die Funktionsgleichung y = 2x ein: x

y = 2x

Graph: Es handelt sich um eine Ursprungsgerade mit dem y-Achsenabschnitt n = 0 und der Steigung m = 2

y = 2x

-2

-1 O -1

1x 2

0,5 .

yA yB = 1 2 = 1 = 1 . 0 5 5 5 xA xB

Der Geradenpunkt A (0/1) liegt auf der y-Achse. Die Gerade schneidet demnach die yAchse bei y = 1. Da der y-Achsenabschnitt n dieser Gerade somit dem y-Wert von A entspricht, kann n deshalb ohne weitere Rechnung angegeben werden: n = 1 Â&#x; vollstĂ¤ndige Funktionsgleichung der Gerade g: y

1x 5

yM y N 2 ( 2) = = 0 = 0. 4 1 5 xM xN

Die Gerade hat die Steigung 0, d.h. sie verlĂ¤uft parallel zur x-Achse: Â&#x; y = 0x + n = n Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n durch Einsetzen der y-Koordinate Â&#x153; n = 2 des Punktes N (1/ 2) in y = n: Â&#x; 2 = n

1 2 3 x Steigungsdreieck

Bei g handelt es sich somit um eine horizontal durch y = 2 verlaufende Gerade mit der Funktionsgleichung g: y = 2.

1 -3

Geradenpunkte A (0/1) und B (5/2) in m =

Geradenpunkte M ( 4/ 2) und N (1/ 2) in m =

x + n.

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes S (1/1) (oder des Punktes R) in y = 12 x + n: Â&#x;

y 4

1 2

-2 -3

d) H (3/2,5) und G (1/ 2) in: m =

y H yG 2,5 ( 2) 4,5 = = = 2,25. 2 xH xG 3 1

Die Normalform der Geradengleichung lautet somit bis jetzt: y = 2,25x + n.

Lineare Funktionen

B27

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes G (1/ 2) (oder des Punktes H) in y = 2,25x + n: Â&#x;

2 = 2,25 Âˇ 1 + n

Â&#x153;

2 = 2,25 + n

Â&#x153;

n = 4,25

Â&#x; vollstĂ¤ndige Funktionsgleichung der Gerade g: y = 2,25x 4,25.

3. Man setzt die gegebenen Koordinaten der Punkte C bzw. D in die Funktionsgleichung von ein und berechnet die jeweils fehlende Koordinate: C (2/y) in y = 12 x + 5: D (x/3,5) in y =

Â&#x; y = 12 Âˇ 2 + 5 = 1 + 5 = 4

x + 5: Â&#x; 3,5 = 1 2

Â&#x153;

Âˇ x + 5 ~ 5

x = 1,5 ~: 12

Graph: Es handelt sich um eine Gerade mit dem y-Achsenabschnitt n = 5 und der Steigung m = 12

y 6 5

Â&#x153;

Â&#x;

C (2/4)

1,5 =

x=3

Â&#x;

Â&#x153;

D (3/3,5)

-2

-1 -1

1 -4

-2

-1

E (-4/-1)

Â&#x;

a (x)

5 x

Hilfsdreieck

8 Einheiten Unterschied entlang der x-Achse: a = xF xE = 4 ( 4) = 8 4 Einheiten Unterschied entlang der y-Achse: b = yF yE = 3 ( 1) = 4

Â&#x;

2 3

-4

-3

-2

-1 -1 g1

5 x

Âˇ( 3) + n2 Â&#x153; 4 = 2 + n2 Â&#x; n2 = 2 2 3

Funktionsgleichung von g 2 : y

x 2.

b) Um die Funktionsgleichung der Gerade g3 angeben zu kĂśnnen, mĂźssen deren Steigung m3 und deren y-Achsenabschnitt n3 bekannt sein. FĂźr die Ermittlung der Steigung m3 ist wichtig, dass das Produkt der Steigungen von zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1 ergibt, d.h.: m3 Âˇ m2 = 1 (wenn g3 A g2) 2 3

Da die Gerade g3 senkrecht auf g2 (mit m2 =

Ermittlung von EF mit dem Satz des Pythagoras: EF Â˛ = aÂ˛ + bÂ˛ = 8Â˛ + 4Â˛ = 64 + 16 = 80

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n2 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes P (oder Q):

Man zeichnet ein rechtwinkliges Hilfsdreieck gemĂ¤Ă&#x; nebenstehender Skizze mit den beiden Katheten a und b sowie der Hypotenuse c = EF . Die LĂ¤nge der Kathete a entspricht dem Unterschied der beiden Punkte E bzw. F in x-Richtung; die LĂ¤nge der Kathete b dem Unterschied in yRichtung: E ( 4/ 1); F (4/3)

b (y)

4 3

Einsetzen des errechneten x-Wertes in eine der beiden Funktionsgleichungen: y=2Âˇ2+2=6 Â&#x; Koordinaten des Schnittpunktes: S (2/6)

P ( 3/ 4) in y = 23 x + n2: 4 = F (4/3)

S (2/6)

Die Geradengleichung von g2 lautet bis jetzt: y = 23 x + n2.

5 x

4. y 3

6 5

a) Einsetzen der Koordinaten von P ( 3/ 4) und Q (4,5/1) in: yP yQ 2 4 1 5 m2 = = = = xP xQ 3 4,5 7,5 3

-3

Steigungsdreieck 2

1 -4

y 8

Zeichnerische Ă&#x153;berprĂźfung: S (2/6)

-1 D (3/3,5) C (2/4)

7. Man erhĂ¤lt die x-Koordinate des Schnittpunktes S durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen beider Geraden und durch anschlieĂ&#x;endes Umformen der Gleichung: yg1 = yg2: Â&#x; 2x + 2 = x + 4 ~ x ~ 2 Â&#x153; x=2

Â&#x153;

Â&#x; EF = 80 | 8,94 LĂ¤ngeneinheiten

m3 = 1 :

2 3

= 1 Âˇ

3 2

2 3

) stehen soll, ist: m3 Âˇ

= 1

Die Funktionsgleichung von g3 lautet demnach bis jetzt: y = 32 x + n3. Zur Bestimmung von n3 werden die Koordinaten des Achsenschnittpunktes A (3/0) einge-

5. a) Da der Steigungsfaktor m = 23 der Gerade bekannt ist, kann die Normalform (y = mx + n) vorlĂ¤ufig wie folgt dargestellt werden: y = 23 x + n. Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n durch Einsetzen des Punktes 13 = 23 Âˇ 2 + n Â&#x153; 13 = 43 + n ~+ 43 Â&#x153; n = P (2/ 13 ) in y = 23 x + n:

3 3

Â&#x; vollstĂ¤ndige Gleichung von g : y = 23 x + 1 .

setzt:

c) m = 2 Â&#x; y = 2x + n.

0 = 32 Âˇ 3 + n3 Â&#x153; 0 = 4,5 + n3 Â&#x;

5 x 12

2 3

x = 6,5

Â&#x153;

13 x = 6,5 12

5 Âˇ 6 + 4,5 = 2 x = 6 in g1: y = 12

Â&#x;

d) Im KOS sind bereits Zeichnungselemente der Aufgaben e) und f) eingezeichnet!

Â&#x; vollstĂ¤ndige Gleichung von g : y

1,5 = 6 + n

Â&#x153;

n = 1,5 + 6 = 7,5

0,25 = 0,5m 1x 2

Â&#x153;

1 = 0,5m + 0,75 Â° 0,75

Â&#x153;

m = 0,5

-3

Schnittpunkte mit der x-Achse haben den y-Wert Null. Aus diesem Grund setzt man fĂźr den y-Wert in der Funktionsgleichung die Zahl 0 ein und berechnet den fehlenden x-Wert durch Umformen der Gleichung

0 = 3x + 7,5 ~ 3x

-2

-1

0 -1

3 1

E 2 3

A(3/0)

-3

Â&#x153; 3x = 7,5 ~:( 3)

Â&#x153;

x = 2,5

N ( 2,5/0)

N (2/0)

B(6/2) 6

-2

0,75 .

Â&#x;

3 2,5

Â&#x; vollstĂ¤ndige Gleichung von g : y

b) y = 0 in y = 1,5x + 3:

C(0/4,5)

4,5

Â&#x153;

x=6

2x 7,5 .

P (0,5/1) in y = mx + 0,75: 1 = m Âˇ 0,5 + 0,75

Â&#x;

Â&#x153;

d) n = 0,75 Â&#x; y = mx + 0,75.

a) y = 0 in y = 3x + 7,5:

~: - 13 12

y 8

Â&#x153;

n3 = 4,5

Schnittpunkt B (6/2)

P ( 3/1,5) in y = 2x + n: 1,5 = 2Âˇ( 3) + n

Â&#x153;

Funktionsgleichung von g 3 : y = 32 x + 4,5 .

c) Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunktes B durch Gleichsetzen der Funktionsterme 5 x 4,5 = 2 x 2 5 x = 2 x 6,5 beider Geraden g1 und g2: 12 Â&#x153; 12 Â&#x153; 3 3 Â&#x153;

b) Da der y-Achsenabschnitt n = 2 der Gerade bekannt ist, kann die Normalform (y = mx + n) vorlĂ¤ufig wie folgt dargestellt werden: y = mx + 2. Bestimmung der noch fehlenden Steigung m durch Einsetzen des Punktes P (1/2) in y = mx + 2: 2 = m Âˇ 1 + 2 Â&#x153; 2 = m + 2 Â&#x153; m = 2 2 = 0 Â&#x; vollstĂ¤ndige Gleichung von g : y = 2 .

Â&#x;

0 = 1,5x + 3 ~+1,5x

Â&#x153; 1,5x = 3 ~: 1,5

Â&#x153;

x=2

-4

e) Der Umfang des Dreiecks setzt sich aus den LĂ¤ngen der Strecken [AB], [BC] sowie [AC] zusammen: Â&#x; U = AB + BC + AC Die einzelnen StreckenlĂ¤ngen kĂśnnen innerhalb der in der Zeichnung (Aufgabe d)) hervorgehobenen rechtwinkligen Dreiecke mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Die jeweiligen KathetenlĂ¤ngen (a bzw. b) entsprechen den Unterschieden der x- bzw. y-Koordinaten der einzelnen Eckpunkte (vgl. auch Zeichung): z.B. Strecke AB : a1 = xB xA = 6 3 = 3 cm bzw. b1 = yB yA = 2 0 = 2 cm usw. . . .

Lineare Funktionen

B28 Â&#x;

a 1 2 b1 2 =

(3 cm) 2 (2 cm) 2 = 13 cmÂ˛ = 3,60555 cm | 3,6 cm

BC =

a 22 b22 =

(6 cm) 2 (2,5 cm) 2 =

42,25 cmÂ˛ = 6,5 cm

(3 cm) 2 (4,5 cm) 2 =

29,25 cmÂ˛ = 5,40833 cm | 5,4 cm

AC =

Â&#x;

Die beiden StreckenlĂ¤ngen kĂśnnen innerhalb der in der Zeichnung (Aufgabe d)) hervorgehobenen rechtwinkligen Dreiecke mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Die jeweiligen KathetenlĂ¤ngen (a bzw. b) entsprechen den Unterschieden der x- bzw. y-Koordinaten der einzelnen Eckpunkte (vgl. auch Zeichung):

AB =

a 3 b3

Dreiecksumfang: U = AB + BC + AC = 3,6 cm + 6,5 cm + 5,4 cm = 15,5 cm

f) Da die beiden Geraden g2 und g3 senkrecht aufeinander stehen, ist der Innenwinkel D = 90Â°. Der Innenwinkel E kann beispielsweise mit dem Tangens (Sinus/Kosinus ebenfalls mĂśglich) AC 5,4 cm berechnet werden: tan E = = = 1,5 Â&#x; E = 56,30993Â° | 56Â° AB 3,6 cm

a1 = 6 cm b1 = 3 cm

AC =

a 1 2 b1 2 =

(6 cm) 2 (3 cm) 2 =

BC =

a 22 b22 =

(2,5 cm) 2 (5 cm) 2 =

DreiecksflĂ¤che AABC =

bzw. usw. . . .

45 cmÂ˛ = 6,7082 cm | 6,7 cm 31,25 cmÂ˛ = 5,59017 cm | 5,6 cm

AC Â&#x2DC; BC (6,7 cm) Â&#x2DC; (5,6 cm) = = 18,76 cmÂ˛ | 18,8 cmÂ˛ 2 2

tan D =

BC AC

5,6 cm | 0,83582 6,7 cm

Â&#x;

D | 39,9Â°

Der Innenwinkel E ergibt sich aus der Winkelsumme im Dreieck: E = 180Â° D J = 180Â° 90Â° 39,9Â° = 50,1Â°

a) Funktionsgleichung der Geraden g1: Steigung m1 mit der Formel m =

y P1 y P 2 x P1 x P 2

Dazu werden die Koordinaten von P ( 5/ 2) und Q (1/10) eingesetzt: yP yQ 2 10 12 = m1 = = =2 xP xQ 5 1 6 Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 2x + n1.

Da der Punkt B (x/5) auf g1 liegt, erhĂ¤lt man die fehlende x-Koordinate durch Einsetzen des y-Wertes in die Funktionsgleichung von g1 und durch anschlieĂ&#x;endes Umformen: 5 = 2x + 8

Â&#x153;

3 = 2x

Â&#x153;

x = 1,5

Â&#x;

B ( 1,5/5)

b) Um die Funktionsgleichung der Gerade g2 angeben zu kĂśnnen, mĂźssen deren Steigung m2 und deren y-Achsenabschnitt n2 bekannt sein. FĂźr die Ermittlung der Steigung m2 ist wichtig zu wissen, dass das Produkt der Steigungen von zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1 ergibt: m2 Âˇ m1 = 1 (wenn g2 A g1) Da die Gerade g2 die Gerade g1 (m1 = 2) im rechten Winkel schneidet, ist: m2 Âˇ 2 = 1

Â&#x153;

Â&#x; Gleichung g 2 : y = 12 x 2 .

11 x = 2 1 4 1 14 7

Â&#x153;

2 72 x + 1 74 +

1 2

x = 2

11 x = 3 4 1 14 7

Â&#x153;

x = 2 in g2: y = 12 Âˇ 2 2 = 3

Â&#x;

d) Im KOS sind bereits Zeichnungselemente der Aufgabe e) eingetragen!

11 x + 1 4 = 2 1 14 7

Â&#x153;

11 ~: 1 14

Â&#x153;

x=2

Schnittpunkt A (2/ 3) y 11

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes P (5/1,5) in y = 0,5x + n1: 1,5 = 0,5 Âˇ 5 + n1 Â&#x153; 1,5 = 2,5 + n1 Â&#x153; n1 = 1 Â&#x;

vollstĂ¤ndige Gleichung von g1 : y = 0,5x 1 .

b) FĂźr die Ermittlung der Steigung m2 der Gerade g2 ist wichtig zu wissen, dass das Produkt der Steigungen von zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1 ergibt: m2 Âˇ m1 = 1 (wenn g2 A g1). Da Gerade g2 auf der Geraden g1 (m1 = 0,5) senkrecht stehen soll, ist: m2 Âˇ 0,5 = 1

Â&#x153;

m2 = 1 : 0,5 = 2

Die Funktionsgleichung von g2 lautet demnach bis jetzt: y = 2x + n2.

Gleichung von g 2 : y = 2 x 19 .

c) Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunktes C durch Gleichsetzen der Funktionsterme der sich schneidenden Geraden g1 und g2: 0,5x 1 = 2x + 19 0,5x 1 + 2x = 19

d) Grafische Darstellung (enthĂ¤lt Elemente der Aufgaben a) bis e))

-6 -5

-4

-3

1 -1

g1 Q(9/3,5)

C(8/3) P(5/1,5)

A(2/0) 1

B(9,5/0)

c 3

11 12

-3

-1 -2

P(-5/-2)

0 -1

x=8

-2

1 -2

R(7/5)

2,5

Â&#x153;

2,5x = 20 ~: 2,5

Â&#x153;

Schnittpunkt C (8/3)

C(-4/0)

Â&#x;

2,5x 1 = 19

y 7

B(-1,5/5)

Â&#x153;

x = 8 in g1: y = 0,5Âˇ8 1 = 3

Q(1/10)

Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 0,5x + n1.

Â&#x153;

c) Gleichsetzen der Funktionsterme der sich schneidenden Geraden g3 und g2: 2 72 x 1 74 = 12 x 2

x P1 x P 2

Dazu werden die Koordinaten von P (5/1,5) und Q (9/3,5) eingesetzt: yP yQ 1,5 3,5 2 m1 = = = = 0,5 xP xQ 5 9 4

Â&#x;

Die Funktionsgleichung von g2 lautet demnach bis jetzt: y = 12 x + n2. Zur Bestimmung von n2 werden die Koordinaten des Schnittpunktes C ( 4/0) eingesetzt: n2 = 2

y P1 y P 2

Einsetzen der Koordinaten des gegebenen Geradenpunktes R (7/5), durch den die Gerade g2 verlaufen soll: Â&#x; 5 = 2 Âˇ 7 + n2 Â&#x153; 5 = 14 + n2 Â&#x153; n2 = 19

m2 = 1 : 2 = 12

0 = 12 Âˇ ( 4) + n2 Â&#x153; 0 = 2 + n2 Â&#x153;

10. a) Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes Q (1/10) in y = 2x + n1: 10 = 2 Âˇ 1 + n1 Â&#x153; 10 = 2 + n1 Â&#x153; n1 = 8 Â&#x; vollstĂ¤ndige Gleichung von g 1 : y = 2 x + 8 .

Â&#x153;

Â&#x;

Â&#x; Â&#x;

Da AC und BC bekannt sind, kann man D im Dreieck ABC mit dem Tangens ermitteln:

Der Innenwinkel J ergibt sich aus der Winkelsumme im Dreieck: J = 180Â° D E = 180Â° 90Â° 56Â° = 34Â°

Â&#x;

z.B. Strecke AC : xA xC = 2 ( 4) = 6 yA yC = 3 0 = 3

-3

D g2

3 A(2/-3)

-4

bÂ&#x2DC;hb aus 2 AC Â&#x2DC; BC den StreckenlĂ¤ngen AC und BC errechnet (rechter Winkel bei C): Â&#x; AABC = 2

Der FlĂ¤cheninhalt AABC des Dreiecks ABC wird mit der FlĂ¤chenformel A =

e) Den FlĂ¤cheninhalt AABC des rechtwinkligen Dreiecks ABC kann man mit der FlĂ¤chenforc Â&#x2DC; hc AB Â&#x2DC; h c . aus der StreckenlĂ¤nge c = AB und der HĂśhe hc errechnen: AABC = 2 2 Die StreckenlĂ¤nge AB entspricht dabei dem Unterschied der x-Koordinaten der Punkte A und B; die DreieckshĂśhe hc entspricht dem y-Wert des Punktes C, so dass gilt: mel A =

AB = xB xA = 9,5 2 = 7,5 Â&#x161; 7,5 cm

hc = yC = 3 Â&#x161; 3 cm

Â&#x;

AABC =

AB Â&#x2DC; h c 7,5 cm Â&#x2DC; 3 cm = = 11,25 cmÂ˛ 2 2

B29

Lineare Funktionen 11.

12.

Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

y P1 y P 2 x P1 x P 2

Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

y P1 y P2 x P1 x P2

Dazu werden die Koordinaten von A1( 5/ 2) und B1(2,5/4) eingesetzt: y A 1 y B1 2 4 6 m1 = = = = 0,8 x A 1 x B1 5 2,5 7,5

Es werden die Koordinaten von P( 5,5/3,5) und Q(4,5/ 4,5) eingesetzt: yP yQ 3,5 ( 4,5) 8 4 m1 = = = = = 0,8 xP xQ 5,5 4,5 10 5

Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 0,8x + n1.

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes B1(2,5/4) in y = 0,8x + n1: 4 = 0,8 Âˇ 2,5 + n1 Â&#x153; 4 = 2 + n1 Â&#x153; n1 = 2

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes Q(4,5/ 4,5) in y = 0,8x + n1:

Â&#x;

4,5 = 0,8 Âˇ 4,5 + n1

vollstĂ¤ndige Gleichung von g1 : y = 0,8x 2 .

b) Werden die Punkte A1 und B1 an der y-Achse gespiegelt, dann befinden sich deren Spiegelpunkte auf gleicher "HĂśhe" mit den Urpunkten, aber auf der jeweils anderen Seite der yAchse. Dementsprechend mĂźssen A2 und B2 jeweils die gleichen y-Werte haben. Da sie auch den gleichen Abstand von der y-Achse wie ihre jeweiligen Urpunkte haben, sind auch die BetrĂ¤ge der x-Werte gleich. Lediglich das Vorzeichen Ă¤ndert sich, so dass: A1( 5/ 2) o Spiegelpunkt A2(5/ 2) / B1(2,5/4) o Spiegelpunkt B2( 2,5/4)

Â&#x;

Â&#x153; 4,5 = 3,6 + n1 ~+ 3,6

Â&#x153; n1 = 0,9

vollstĂ¤ndige Gleichung von g1 : y = 0,8x 0,9 .

b) Die Ermittlung der Steigung m2 der Gerade g2 erfolgt aufgrund der Tatsache, dass das Produkt der Steigungen von zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1 ergibt. m2 Âˇ m1 = 1 (wenn g2 A g1)

(vgl. Aufgabe a)) ermittelt: m2 =

Die Funktionsgleichung der Geraden g2 wird entsprechend der Vorgehensweise fĂźr g1 yA 2 yB2 2 4 6 = = = 0,8 x A 2 x B2 5 ( 2,5) 7,5

Da die Gerade g2 auf der Geraden g1 (m1 = 0,8) senkrecht stehen soll, gilt fĂźr deren Steigungen: m2 Âˇ ( 0,8) = 1 Â&#x153; m2 = 1 : ( 0,8) = 1,25

Punkt B2( 2,5/4) in y = 0,8x + n2: 4 = 0,8 Âˇ ( 2,5) + n2 Â&#x153; 4 = 2 + n2 Â&#x153; n2 = 2 Â&#x; vollstĂ¤ndige Gleichung von g 2 : y = 0,8x 2 .

Zur Bestimmung von n2 werden anschlieĂ&#x;end die Koordinaten des Geradenpunktes N (4/0) in g2 eingesetzt: Â&#x; 0 = 1,25 Âˇ 4 + n2 Â&#x153; 0 = 5 + n2

Die Funktionsgleichung von g2 lautet demnach bis jetzt: y = 1,25x + n2.

Â&#x153;

c) Grafische Darstellung: Das Koordinatensystem enthĂ¤lt auch Elemente der Aufgaben d) und e).

B2(-2,5/4)

y 5 4

B1(2,5/4)

0,8x 0,9 = 1,25x 5 ~ 1,25x

D -4 -3

0 -1 -1

-2

2,05x = 4,1 ~:( 2,05)

6 1

H(0/-2)

bzw.

SeitenlĂ¤nge B 2 B1 = xB1 xB2 = 2,5 ( 2,5) = 5 Â&#x161; 5 cm

bzw.

A(-3/1,5) -5

-4

-3

D -2 -1

H 5 0

-1

Â&#x;

A 2 B1 =

( 2,5 cm) (6 cm)

yB1 yA2 = hT = 6 cm

42,25 cmÂ˛ = 6,5 cm

Da es sich beim vorliegenden Trapez um ein gleichschenkliges Trapez handelt, ist die StreckenlĂ¤nge B 2 A1 = A 2 B1 = 6,5 cm. Da nun alle notwendigen LĂ¤ngen bekannt sind, kĂśnnen Umfang und FlĂ¤cheninhalt des Trapezes durch Einsetzen in die entsprechenden Formeln bestimmt werden:

Â&#x; Umfang uT = a + b + c + d = A1A 2 + A 2 B1 + B 2 B1 + B 2 A1 = 10 cm + 6,5 cm + 5 cm + 6,5 cm = 28 cm Â&#x; FlĂ¤che AT =

A A B 2 B1 a c 10 cm 5 cm Âˇ hT = 1 2 Âˇ hT = Âˇ (6 cm) = 45 cmÂ˛ 2 2 2

e) Da der stumpfe Winkel D zwischen g1 und g2 durch die y-Achse halbiert wird, kann der Winkel D2 z.B. im rechtwinkligen Dreieck MHA2 mit dem Tangens sowie den Strecken MH und HA 2 berechnet werden: tan

Â&#x;

D 2

| 51,34Â°

Â&#x;

D 2

xA2 xH HA 2 5 0 5 = = = = 1,25 yM yH 2 ( 2) 4 MH

Winkel zwischen den Geraden: D = 102,68Â° | 103Â°

C(5,2/1,5) 3,2

-2

-5

bzw.

Â&#x153;

Schnittpunkt B (2/ 2,5)

Die StreckenlĂ¤nge A 2 B1 kann innerhalb des in der Zeichnung hervorgehobenen rechtwinkligen Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Die jeweiligen KathetenlĂ¤ngen entsprechen den Unterschieden der x- bzw. y-Koordinaten der Eckpunkte A2 und B1 (vgl. auch Zeichung):

Â&#x;

y 5

-3

2,05x 0,9 = 5 ~+ 0,9

TrapezhĂśhe hT = yB1 yA2 = 4 ( 2) = 6 Â&#x161; 6 cm

xA2 xB1 = 5 2,5 = 2,5 Â&#x161; 2,5 cm

Â&#x153; x=2

6 x

d) Um den Umfang uT und den FlĂ¤cheninhalt AT des Trapezes ermitteln zu kĂśnnen, mĂźssen zunĂ¤chst sĂ¤mtliche SeitenlĂ¤ngen A1A 2 , A 2 B1 , B 2 B1 , B 2 A1 und die TrapezhĂśhe hT (vgl. KOS Aufgabe c)) berechnet werden. Die StreckenlĂ¤ngen A1A 2 , B 2 B1 und die TrapezhĂśhe hT ergeben sich aus den Unterschieden der x- bzw. y- Koordinaten der einzelnen Eckpunkte: SeitenlĂ¤nge A1A 2 = xA2 xA1 = 5 ( 5) = 10 Â&#x161; 10 cm

Â&#x153;

x = 2 in g1: y = 0,8 Âˇ 2 0,9 = 2,5 3

2,5 A2(5/-2)

-2

A1(-5/-2)

Â&#x; Gleichung von g 2 : y = 1,25x 5 .

c) Bestimmung der Koordinaten des Geradenschnittpunktes B durch Gleichsetzen der Funktionsterme der sich schneidenden Geraden g1 und g2:

M(0/2)

-6 -5

n2 = 5

HINWEIS: Die Gerade g3 mit der Gleichung y = 1,5 hat die Steigung m3 = 0, d.h. sie verlĂ¤uft parallel zur x-Achse durch den y-Achsenabschnitt n3 = 1,5.

N 3

B(2/-2,5)

-4

e) Der FlĂ¤cheninhalt AABC des Dreiecks ABC wird aus der Grundlinie AC und der zugehĂśrigen HĂśhe HB errechnet (vgl. KOS). Der HĂśhenfuĂ&#x;punkt H (2/1,5) wird hierzu im Koordinatensystem ergĂ¤nzt (seine Koordinaten ergeben sich aus den Koordinaten der Punkte A b Â&#x2DC; hb AC Â&#x2DC; HB und B): Â&#x; AABC = = 2 2 FĂźr die Grundlinie und die HĂśhe des Dreiecks ABC gelten entsprechend der Lage von A, B, C und H: AC = xC xA = 5,2 ( 3) = 5,2 + 3 = 8,2 cm HB = yH yB = 1,5 ( 2,5) = 1,5 + 2,5 = 4 cm

Â&#x; AABC =

(8,2 cm) Â&#x2DC; ( 4 cm) = 16,4 cmÂ˛ 2

Der spitze Winkel D bei A (vgl. KOS) kann im rechtwinkligen Dreieck ABH mit dem Tangens aus den StreckenlĂ¤ngen HB und AH bestimmt werden: tan D =

HB 4 4 HB = = = = 0,8 xH xA 2 ( 3) 5 AH

Â&#x; D | 38,7Â°

Â´ Alternativweg: Der Winkel D entspricht dem Neigungswinkel der fallenden Gerade g1. Deshalb kann er auch direkt aus deren Steigung m1 = 0,8 errechnet werden: tan D = m1 = 0,8

Â&#x; D | 38,7Â° (Wert negativ, da Gerade nach unten gerichtet)

Â&#x; D | 38,7Â°

Lineare Gleichungssysteme

B30

2.1.5 Lineare Gleichungssysteme

13. a)

Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

y P1 y P2 x P1 x P2

1. .

a) (I) 0 = 9 â&#x20AC;&#x201C; 3b + c (II) 0 = 4 + 2b + c

Dazu werden die Koordinaten von B (4/ 1) und P (1,5/6,5) eingesetzt: yB yP 1 6,5 7,5 = = = 3 xB xP 4 1,5 2,5

m1 =

Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 3x + n1. Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n1 durch Einsetzen der Koordinaten von P (1,5/6,5) in y = 3x + n1: 6,5 = 3 Âˇ 1,5 + n1 Â&#x153; 6,5 = 4,5 + n1 Â&#x153; n1 = 11

Â&#x;

vollstĂ¤ndige Gleichung von g1 : y = 3x 11 .

b) Man bestimmt die Koordinaten des Schnittpunktes C durch Gleichsetzen der Funktionsterme der sich schneidenden Geraden g1 und g2: 3x + 11 = 2x + 6 ~ 2x Â&#x153;

5x + 11 = 6 ~ 11

Â&#x153;

5x = 5 ~: ( 5)

x = 1 in g2: y = 2 Âˇ1 + 6 = 8

Â&#x;

Â&#x153;

x=1

Schnittpunkt C (1/8)

Zur Bestimmung von n3 werden noch die Koordinaten eines bekannten Geradenpunktes (hier Schnittpunkt A ( 2/2)), eingesetzt: Â&#x; 2 = 0,5 Âˇ ( 2) + n3 2 = 1 + n3

Â&#x153;

Â&#x; Gleichung von g 3 : y = 0,5x 1 .

y 10

Â&#x; 0 = 4 + 2b + 3b 9

Â&#x153; 0 = 5b 5 Â°+ 5

b=1

Gleichsetzungsverfahren: Man lĂśst beide Gleichungen jeweils nach c auf und setzt die entstandenen Terme gleich. Die sich ergebende Gleichung wird dann nach b umgeformt: (I) 0 = 9 â&#x20AC;&#x201C; 3b + c Â° 9 + 3b Â&#x153; 0 9 + 3b = c Â&#x153; c = 3b 9 (II) 0 = 4 + 2b + c Â° 4 2b Â&#x153; 0 4 2b = c Â&#x153; c = 2b 4

Â&#x; 3b 9 = 2b 4 Â°+ 2b Â&#x153; Â&#x153; b=1

Zur Bestimmung von c wird b = 1 in die umgeformte Gleichung (I) eingesetzt: b = 1 in c = 3b 9: Â&#x; c = 3Âˇ1 9 = 6 Â&#x; IL = {(1/ 6)}

Zur Bestimmung von c wird b = 1 in Gleichung (I) eingesetzt:

C(1/8)

Â&#x153;

Additions-/Subtarktionsverfahren: Beide Gleichungen so umformen, dass jeweils eine Variable den gleichen Koeffizienten hat. Die Terme so umstellen, dass Variablen und Zahlen untereinander stehen. Die Gleichungen werden dann miteinander addiert oder voneinander subtrahiert, so dass die Variable mit jeweils gleichem Faktor (hier: c) wegfĂ¤llt. (I) 0 = 9 â&#x20AC;&#x201C; 3b + c (II) 0 = 4 + 2b + c (I) (II): 0 = 5 5b + 0 Â&#x153; 5b = 5 Â&#x153; b = 1

n3 = 2 1 = 1

d) HINWEIS: Grafische Darstellung (enthĂ¤lt Elemente der Aufgaben a) bis e))

5 = 5b Â°: 5

3b 9 und 2b 4 gleichgesetzt: 5b 9 = 4 Â°+ 9 Â&#x153; 5b = 5

m3 = 1 : 2 = 0,5

Die Funktionsgleichung von g3 lautet demnach bis jetzt: y = 0,5x + n3.

Â&#x153;

c = 3b 9 in (II) eingesetzt:

Zur Bestimmung von c wird b = 1 in die umgeformte Gleichung (I) eingesetzt: b = 1 in c = 3b 9: Â&#x; c = 3Âˇ1 9 = 6 Â&#x; IL = {(1/ 6)}

Setzt man die Steigung der gegebenen Geraden g2 (m2 = 2) ein, ergibt sich:

Â&#x153;

Einsetzungsverfahren: Man lĂśst die erste Gleichung nach der Variablen c auf und setzt den entstandenen Term in Gleichung (II) ein. Die neu entstandene Gleichung wird dann nach b umgeformt: (I) 0 = 9 â&#x20AC;&#x201C; 3b + c Â° 9 + 3b Â&#x153; 0 9 + 3b = c Â&#x153; c = 3b 9

Â&#x153;

c) FĂźr die Ermittlung der Steigung m3 der dritten Gerade g3 muss man wissen, dass das Produkt der Steigungen von zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1 ergibt. FĂźr die Steigungen von g3 und g2 muss demnach gelten: m3 Âˇ m2 = 1 (da g3 A g2 sein soll). m3 Âˇ 2 = 1

Da in beiden Gleichungen die Variable c ohne Faktor vorkommt, kann das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungs-, dem Einsetzungsverfahren oder dem Additions-/Subtraktionsverfahren gelĂśst werden. Alle drei Verfahren sollen im folgenden exemplarisch vorgestellt werden. Welches Verfahren dann letztlich gewĂ¤hlt wird, hĂ¤ngt von den einzelnen Gleichungen, der Aufgabenstellung bzw. von der Vorliebe fĂźr ein Verfahren ab.

b = 1 in 3b c = 9: Â&#x; 3Âˇ1 c = 9

P(1,5/6,5)

Â&#x153; 3 c = 9 Â°+c Â° 9 Â&#x153; c = 6

Â&#x; IL = {(1/ 6)}

6 5

A(-2/2) 1

3 -5

b) Da in Gleichung (I) beide Variablen ohne Faktoren sind, bietet sich das Einsetzungsverfahren an (vgl. Aufgabe a)): Â° y Â&#x153; x = 220 y (I) x + y = 220 (II) 12x + 9y = 2280

-4

-3

-2

x = 220 y in (II) eingesetzt: Â&#x; 12Âˇ(220 y) + 9y = 2280 Â&#x153; 2640 12y + 9y = 2280

-1 0

Â&#x153;

6 x

-2 -3

Dreiecks ABC mit dem Tangens aus den Katheten AB und AC ermitteln:

tan J =

AB . AC

Die beiden StreckenlĂ¤ngen AB und AC kĂśnnen innerhalb der in der Zeichnung (Aufgabe 1.d)) gestrichelt dargestellten rechtwinkligen Dreiecke mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Die jeweiligen KathetenlĂ¤ngen (a bzw. b) entsprechen den Unterschieden der x- bzw. y-Koordinaten der einzelnen Strecken-Endpunkte:

Â&#x;

AB =

a 1 2 b1 2 =

AC =

Â&#x; tan J =

a 22 b22 =

a1 = 6 cm b1 = 3 cm

(6 cm) 2 (3 cm) 2 =

Strecke AC : xC xA = 1 ( 2) = 3 yC yA = 8 2 = 6

Â&#x;

Â&#x; Â&#x;

(3 cm) 2 (6 cm) 2 =

AB 6,7 cm = =1 AC 6,7 cm

bzw.

45 cmÂ˛ | 6,7082 cm | 6,7 cm

a2 = 3 cm b2 = 6 cm

bzw.

45 cmÂ˛ | 6,7082 cm | 6,7 cm

Â&#x; Innenwinkel J = 45Â°

Â&#x153;

3y = 360 Â°: ( 3)

Â&#x153;

y = 120

c) Gleichung (I) wird mit dem Faktor 7 multipliziert, so dass beide Koeffizienten von x in Gleichung (I) und (II) 7000 sind. Im Anschluss soll das Additions-/Subtraktionsverfahren angewendet werden (vgl. Aufgabe a)).

e) Den spitzen Winkel J kann man innerhalb des grau hervorgehobenen rechtwinkligen

Strecke AB : xB xA = 4 ( 2) = 6 yB yA = 1 2 = 3

2640 3y = 2280 Â° 2640

Zur Bestimmung von x wird y = 120 in die umgeformte Gleichung (I) eingesetzt: y = 120 in x = 220 y: Â&#x; x = 220 120 = 100 Â&#x; IL = {(100/120)}

B(4/-1)

(I) 1000x = 1536 1400y Â°Âˇ 7 (II) 7000x + 1100y = 1134

Â&#x153;

7000x = 10752 9800y

Â°+ 9800y

Â&#x;

(I) 7000x + 9800y = 10752 (II) 7000x + 1100y = 1134 (I) (II) 0x + 8700y = 9618

Â&#x; 8700y = 9618 Â°: 8700

Â&#x153; y | 1,106

y = 1,106 in 1000x = 1536 1400y: Â&#x; 1000x = 1536 1400Âˇ1,106

Â&#x153;

1000x = 12,4 Â°:1000

Â&#x153;

x = 0,0124

Â&#x; IL = {( 0,0124/1,106)}

d) Da Gleichung (I) bereits nach x aufgelĂśst ist, bietet sich das Einsetzungsverfahren an: (I) x = 4y (II) 10y + 1x = 10x + y 54 x = 4y in 10y + 1x = 10x + y 54: 10y + 1Âˇ 4y = 10Âˇ 4y + y 54 Â&#x153; 10y + 4y = 40y + y 54 Â&#x153; 14y = 41y 54 Â° 41y Â&#x153; 27y = 54 Â°:( 27) y = 2 in x = 4y: Â&#x; x = 4Âˇ 2 = 8

Â&#x; IL = {(8/2)}

Â&#x153; y=2

Lineare Gleichungssysteme

B31

e) LĂśsen des Gleichungssystems mittels Additions-/Subtraktionsverfahren (vgl. Aufgabe a): (I) 10 = 4p + q (II) 16 = 2,5p + q (I) (II): 26 = 6,5p + 0 Â&#x; 6,5p = 26 Â°:( 6,5) Â&#x153; p = 4

Â&#x; 16 = 2,5 Âˇ 4 + q

p = 4 in 16 = 2,5p + q:

Â&#x;

Â&#x153;

16 = 10 + q

Â° 10

Â&#x153; q=6

5. Festlegung der Variablen: LĂ¤nge l des Rechtecks: x Breite b des Rechtecks: y FĂźr den Umfang u eines Rechteckes gilt allgemein: FĂźr den FlĂ¤cheninhalt A eines Rechteckes gilt:

(Alle LĂ¤ngenangaben in cm)

u=2Âˇl+2Âˇb A=lÂˇb

Das ursprĂźngliche Rechteck hat einen Umfang von 214 cm. Setzt man x und y in die Umfangsformel ein, ergibt sich die erste Bestimmungsgleichung:

IL = {(4/6)}

f) Da Gleichung (I) bereits nach x aufgelĂśst ist, wird das Einsetzungsverfahren verwendet (vgl. Aufgabe a)): y 8 (I) x = 670 y (II) x 2 = 82 5 10 x = 670 y in (II):

Â&#x;

668 y y 8 = 82 5 10

(670 y) 2 y 8 = 82 5 10

Â°Âˇ10 (Hauptnenner)

Â&#x153;

Â&#x153; 2Âˇ(668 y) + y 8 = 820

Â&#x;

~ 2y

Â&#x153;

~: 2

2x = 214 â&#x20AC;&#x201C; 2y

Â&#x153;

( I ): x = 107 â&#x20AC;&#x201C; y

x = 107 â&#x20AC;&#x201C; y in ( II ): (107 y) Âˇ y + 190 = ((107 y) 5)Âˇ(y + 5)

1336 2y + y 8 = 820 Â&#x153; 1328 y = 820 Â° 1328 Â&#x153; y = 508 y = 508 in x = 670 y: Â&#x; x = 670 508 = 162

2x + 2y = 214

VerkĂźrzt man die LĂ¤nge l um 5 cm (also: x 5) und verlĂ¤ngert die Breite b ebenfalls um 5 cm (also: y + 5), so ist die RechteckflĂ¤che A um 190 cmÂ˛ grĂśĂ&#x;er als die FlĂ¤che des urspĂźnglichen Rechtecks (also: x Âˇ y + 190). Setzt man alle GrĂśĂ&#x;en in die Formel fĂźr den FlĂ¤cheninhalt (A = l Âˇ b) ein, ergibt sich fĂźr das verĂ¤nderte Rechteck die zweite Bestimmungsgleichung: ( II ): x Âˇ y + 190 = (x 5)Âˇ(y + 5)

Â&#x153;

Â&#x153; y = 508

IL = {(162/508)}

107y yÂ˛ + 190 = (107 y 5)Âˇ(y + 5)

Â&#x153;

107y yÂ˛ + 190 = (102 y)Âˇ(y + 5)

Â&#x153;

107y yÂ˛ + 190 = 102y + 510 yÂ˛ 5y Â&#x153; 107y yÂ˛ + 190 = 97y + 510 yÂ˛ ~+ yÂ˛ Â&#x153; 107y + 190 = 97y + 510 ~ 97y ~ 190

Â&#x;

Â&#x153;

10y = 320 ~:10

Â&#x153; y = 32

x = 107 â&#x20AC;&#x201C; 32 = 75

Das ursprĂźngliche Rechteck hatte eine LĂ¤nge von 75 cm und eine Breite von 32 cm.

2. Festlegung der Variablen: Anzahl der 1 â&#x201A;Ź-MĂźnzen: x Anzahl der 2 â&#x201A;Ź-MĂźnzen: y Insgesamt erhĂ¤lt Bettina 13 MĂźnzen. Somit lautet die erste Bestimmungsgleichung: ( I ): x + y = 13 Â&#x153; x = 13 â&#x20AC;&#x201C; y Der Gesamtwert der MĂźnzen entspricht dem Wert des Scheins, also 20 â&#x201A;Ź. Diesen erhĂ¤lt man, wenn man die StĂźckzahl der MĂźnzen mit deren jeweiligem Wert multipliziert und die EinzelbetrĂ¤ge dann summiert. Die zweite Bestimmungsgleichung lautet somit: ( II ): x Âˇ 1 â&#x201A;Ź + y Âˇ 2 â&#x201A;Ź = 20 â&#x201A;Ź Â&#x153; 1x + 2y = 20 x = 13 â&#x20AC;&#x201C; y in ( II ): 1Âˇ(13 â&#x20AC;&#x201C; y) + 2y = 20 Â&#x153; 13 â&#x20AC;&#x201C; y + 2y = 20 Â&#x153; 13 + y = 20 ~ 13 Â&#x153; y=7 Â&#x; x = 13 â&#x20AC;&#x201C; 7 = 6 Bettina erhĂ¤lt 6 1 â&#x201A;Ź - MĂźnzen und 7 2 â&#x201A;Ź - MĂźnzen. FĂźr die zeichnerische LĂśsung mĂźssen die beiden Bestimmungsgleichungen in die Normalform (y = mx + n) umgeformt werden. Gleichung ( I ): x + y = 13 Â&#x153; y = â&#x20AC;&#x201C;x + 13 Gleichung ( II ): 1x + 2y = 20 Â&#x153; 2y = â&#x20AC;&#x201C;1x + 20 ~: 2 Â&#x153; y = 12 x + 10 14 13 12

Man zeichnet zunĂ¤chst den Graphen zur Gleichung ( I ) y = â&#x20AC;&#x201C;x + 13 mit der Steigung m = 1 und dem y-Achsenabschnitt n = 13 ein.

y [2 â&#x201A;Ź-MĂźnzen] (I)

Dann wird der Graph zur Gleichung ( II ) y = â&#x20AC;&#x201C; 12 x + 10 mit

11 10 9

der Steigung m = 12 und dem y-Achsenabschnitt n = 10

( II )

S (6/7)

ergĂ¤nzt. Der Schnittpunkt beider Graphen S (6/7) stellt die LĂśsung dar:

6 5 4

x-Achse: 6 StĂźck 1 â&#x201A;Ź - MĂźnzen y-Achse: 7 StĂźck 2 â&#x201A;Ź - MĂźnzen

3 2

6. Festlegung der Variablen: Kilopreis der Sorte A: Kilopreis der Sorte B:

(Angaben in â&#x201A;Ź)

Es sollen zunĂ¤chst 48 kg der Sorte A und 32 kg der Sorte B gemischt werden. Somit wiegt die Mischung insgesamt: 48 kg + 32 kg = 80 kg 48 kg der Sorte A mit dem Kilopreis x â&#x201A;Ź und 32 kg der Sorte B mit dem Kilopreis y â&#x201A;Ź ergeben also 80 kg Mischung mit einem Kilopreis von 13,60 â&#x201A;Ź. Die erste Bestimmungsgleichung lautet somit: ( I ) 48 Âˇ x + 32 Âˇ y = 80 Âˇ 13,60 Â&#x153; 48x + 32y = 1088 Mischt man dagegen 32 kg der Sorte A und 48 kg der Sorte B, ergibt sich wieder ein Gesamtgewicht von 80 kg, allerdings bei einem verĂ¤nderten Kilopreis. Da 2 kg der Mischung 28,80 â&#x201A;Ź kosten, betrĂ¤gt der Kilopreis nun: 28,80 â&#x201A;Ź : 2 = 14,40 kg Die zweite Bestimmungsgleichung lautet somit (vgl. erste Mischung): 32x + 48y = 80 Âˇ 14,40 ~: 32 Â&#x153; x + 1,5y = 36 ~ 1,5y Â&#x153; x = 36 1,5y ( II ) x = 36 â&#x20AC;&#x201C; 1,5y in ( I ): 48Âˇ(36 â&#x20AC;&#x201C; 1,5y) + 32y = 1088 Â&#x153; 1728 â&#x20AC;&#x201C; 72y + 32y = 1088 Â&#x153; 1728 40y = 1088 ~ 1728 Â&#x153; 40y = 640 ~: ( 40) Â&#x153; y = 16

Â&#x;

x = 36 â&#x20AC;&#x201C; 1,5 Âˇ 16 = 12

Sorte A: 12 â&#x201A;Ź/kg / Sorte B: 16 â&#x201A;Ź/kg.

7. Festlegung der Variablen: 1. Zahl: x 2. Zahl: y Die zwei Zahlen verhalten sich wie 4 : 5, d.h. 1. Zahl zur 2. Zahl wie die Zahl 4 zur Zahl 5: x : y = 4 : 5 bzw. x 4 . y 5 Die erste Bestimmungsgleichung ergibt sich damit wie folgt: x 4 ~Âˇ y Â&#x153; ( I ): x = 4 Âˇ y = 0,8y y 5 5 x = 0,8y in ( II ):

x y

Wird zur 1. Zahl 14 addiert (also: x + 14), Ă¤ndert sich das ZahlenverhĂ¤ltnis auf 3 : 2. Die zweite Bestimmungsgleichung lĂ¤sst sich deshalb folgendermaĂ&#x;en angeben: x 14 3 ~Âˇ y Â&#x153; x + 14 = 3 Âˇ y y 2 2 Â&#x153; ( II ): x + 14 = 1,5y

0,8y + 14 = 1,5y ~ 1,5y ~ 14

Â&#x153; â&#x20AC;&#x201C; 0,7y = 14 ~: ( 0,7)

Â&#x153;

y = 20 0

5 6 7 x [1 â&#x201A;Ź-MĂźnzen]

Â&#x;

3. Festlegung der Variablen: 1. Zahl: x / 2. Zahl: y Die Summe beider Zahlen ergibt 60. Die erste Bestimmungsgleichung lautet somit: ( I ): x + y = 60 Â&#x153; x = 60 â&#x20AC;&#x201C; y Das Doppelte der ersten und das 3-fache der zweiten Zahl ergeben zusammen 165. Die zweite Bestimmungsgleichung lautet demnach: ( II ): 2x + 3y = 165. x = 60 â&#x20AC;&#x201C; y in ( II ): 2Âˇ(60 â&#x20AC;&#x201C; y) + 3y = 165

Â&#x;

x = 0,8 Âˇ 20 = 16

Die erste Zahl lautet 16, die zweite Zahl 20.

Â&#x153; x = 60 â&#x20AC;&#x201C; 45 = 15

Â&#x153;

120 â&#x20AC;&#x201C; 2y + 3y = 165

120 + 1y = 165 ~ 120 Â&#x153; y = 45 Die erste Zahl heiĂ&#x;t 15, die zweite Zahl 45.

8. Festlegen der Variablen:

Anzahl Volleyballspieler: x y Anzahl Badmintonspieler: Am Sportfest nehmen insgesamt 156 Personen teil. Die erste Bestimmungsgleichung lautet somit: Â&#x153; x = 156 y ( I ) x + y = 156 Jeweils 6 Spieler bilden eine Volleyballmannschaft. Die Anzahl aller x Volleyballspieler verteilt sich somit auf x6 Volleyballmannschaften. Jeweils 4 Spieler bilden eine Badmintonmannschaft. Somit verteilen sich alle y Badmintonspieler auf

4. Festlegung der Variablen: Anzahl Dreibettzimmer: x Anzahl Vierbettzimmer: y Insgesamt gibt es in der Pension 19 Zimmer . Somit lautet die erste Bestimmungsgleichung: ( I ): x + y = 19 Â&#x153; x = 19 â&#x20AC;&#x201C; y

y 4

Badmintonmann-

schaften. Da insgesamt 33 Mannschaften gebildet werden, lautet die zweite Bestimmungsx y gleichung: ( II ) + = 33 6 4 x = 156 y in ( II ):

156 y y + = 33 6 4

Â¨Âˇ 12 (Hauptnenner aus 4 und 6) Â&#x153;

Die Gesamtzahl der 65 Betten ergibt sich aus der Summe der Betten in den Drei- und Vierbettzimmern. Die zweite Bestimmungsgleichung lautet demnach: ( II ): x Âˇ 3 Betten + y Âˇ 4 Betten = 65 Betten Â&#x153; 3x + 4y = 65

Â&#x153; Â&#x153;

156 y y Âˇ 12 + Âˇ 12 = 33 Âˇ 12 Â&#x153; (156 y) Âˇ 2 + y Âˇ 3 = 396 6 4 312 2y + 3y = 396 Â&#x153; 312 + y = 396 ~ 312 Â&#x153;

x = 19 â&#x20AC;&#x201C; y in ( II ): 3Âˇ(19 â&#x20AC;&#x201C; y) + 4y = 65 Â&#x153; 57 â&#x20AC;&#x201C; 3y + 4y = 65 Â&#x153; y=8 Â&#x; x = 19 â&#x20AC;&#x201C; 8 = 11 In der Pension gibt es 11 Dreibettzimmer und 8 Vierbettzimmer.

Â&#x153;

y = 84 Badmintonspieler

Â&#x153;

57 + 1y = 65

y = 84 in ( I ):

Â&#x; x = 156 â&#x20AC;&#x201C; 84 = 72 Volleyballspieler

Â&#x153;

Quadratische Funktionen

B32 9. Festlegen der Variablen:

Anzahl der Rohre mit 4,5 m Länge: x Stück Anzahl der Rohre mit 8,25 m Länge: y Stück. (Alle Längenangaben während der Rechnung in m)

Die Rohrleitung hat eine Gesamtlänge von 171 m. Diese setzt sich aus x Rohren der Länge 4,5 m und y Rohren der Länge 8,25 m zusammen. Die erste Bestimmungsgleichung lautet somit ( I ): 4,5· x + 8,25· y = 171

y = (x 1,7)² + 3,2

y = (x + 3)² + 1,5 = (x ( 3))² + 1,5

y = (x + 52 )² 1 15 = (x ( 52 ))² 1 15 = (x ( 0,4))² 1,2

Die Parabel ist um 1,7 Einheiten nach rechts und um 3,2 Einheiten nach oben verschoben. S (1,7/3,2) Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links und um 1,5 Einheiten nach oben S ( 3/1,5) verschoben. Die Parabel ist um 0,4 Einheiten nach links und um 1,2 Einheiten nach unten verschoben. S ( 0,4/ 1,2)

Die Gesamtzahl aller benötigten Rohre x und y beträgt 23 Stück, d.h. die zweite Bestimmungsgleichung stellt sich wie folgt dar: x + y = 23 ( II ): x = 23 y x = 23 y in ( I ):

4,5·(23 y) + 8,25y = 171

103,5 + 3,75y = 171 ~ 103,5

y = 18 in ( II ):

103,5 4,5y + 8,25y = 171

3,75y = 67,5 ¨: 3,75

y = 18

x = 23 18 = 5.

Es werden 5 Rohre mit 4,5 m Länge und 18 Rohre mit 8,25 m Länge benötigt.

10. Festlegen der Variablen:

Anzahl der Kirschbäume: x Stück y Stück Anzahl der Apfelbäume: 1 Anzahl der Zwetschgenbäume: 2 x Stück.

Übersicht Preise/Stückzahlen: Stellt man sämtliche Angaben zusammen, ergibt sich folgende tabellarische Übersicht: Stückzahl x y 0,5x pauschal

Kirschbaum Apfelbaum Zwetschgenbaum Pflanzkosten

Einzelpreis in € Gesamtpreis in € 25 25 x 18 18 y 12 12 0,5x 240 240

Die Gesamtzahl aller Kirsch-, Apfel- und Zwetschgenbäume beträgt 72 Stück, d.h. die erste Bestimmungsgleichung lautet: x + y + 0,5x = 72

1,5x + y = 72 ~ 1,5x

( I ): y = 72 1,5x

Die Firma Pflanzgut unterbreitet ein Angebot über insgesamt 1.600 €. Dieses setzt sich aus den Gesamtpreisen jeder Baumsorte (siehe Tabelle) und den pauschalen Pflanzkosten von 240 € zusammen. Die zweite Bestimmungsgleichung ergibt sich somit wie folgt (Preisangaben in €): 25 · x + 18 · y + 12 · 0,5x + 240 = 1.600 25x + 18y + 6x + 240 = 1600

31x + 18y + 240 = 1600 ~ 240

4x + 1296 = 1360 ~ 1296

x = 16 in ( I ):

S (2/0) y = (x 2)² + 0 Normalform: y = x² 4x + 4

S ( 12 /0)

4x = 64 ¨: 4

x = 16

y = (x ( 12 ))² + 0 = (x + 12 )²

y = (x + 0,5)²

S (0/ 3)

S ( 1/ 3) y = (x ( 1))² + ( 3) y = (x + 1)² 3 Normalform: y = (x + 1)² 3 = (x² + 2x + 1) – 3 = x² + 2x –2

y = (x 0)² + ( 3)

y = x² 3 (¼ Normalform)

y = (x 1,5)² 2 S (1,5/ 2) y = (x 1,5)² + ( 2) Normalform: y = –(x – 1,5)² 2 = –(x² – 3x + 2,25) – 2 = –x² + 3x – 4,25

S (0/ 12 )

y = (x 2,5)² + 2,5 S (2,5/2,5) y = (x 2,5)² + 2,5 Normalform: y = –(x – 2,5)² + 2,5 = –(x² – 5x + 6,25) + 2,5 = –x² + 5x + 3,75

y = (x 1,2)² S (1,2/0) y = (x 1,2)² + 0 Normalform: y = –(x – 1,2)² = –(x² – 2,4x + 1,44) = –x² + 2,4x – 1,44

y = (x 0)² + ( 12 ) = x² 12

y = x² 0,5 (¼ Normalform)

y = 72 1,5 16 = 48.

a) Die Funktionsgleichung der Normalparabel soll lauten: y = x² + px + q. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der beiden Punkte R und Q in obige Gleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem: R (1/5) in y = x² + px + q: 5 = 1² + p · 1 + q 5 = 1 + p + q ~ 1 4 = p + q ( I ) Q (4/2) in y = x² + px + q: 2 = 16 + 4p + q ~ 16 14 = 4p + q ( II ) 2 = 4² + p · 4 + q

2.1.6 Quadratische Funktionen

Gleichungssystem:

1. a)

(I) ( II )

4 = p +q 14 = 4p + q

( I ) ( II ):

p = 6 in ( I ): 4 = ( 6) + q

y = x²

y 8

b) Es liegt eine nach oben geöffnete Normalparabel vor.

d) Die Koordinaten des Punktes A (2/4) werden in die Funktionsgleichung y = x² eingesetzt. Erhält man eine wahre Aussage, liegt A auf p. Erhält man eine falsche Aussage, dann liegt A nicht auf der Parabel:

y = x²

Scheitelform: y = (x 3)² + 1

a) Funktionsgleichung: y = (x + 3)² 1 S ( 3/ 1)

y 9 8

Sy(0/8)

b) Zeichnung

6 5

S (0/0) 2

3 x

4 3 2

2. Die Koordinaten des Scheitels S (xS/yS) können der Scheitelgleichung der Normalparabel y = (x xS)² + yS entnommen werden. Die Koordinaten des Scheitels entsprechen nämlich der Verschiebung der Normalparabel in x- bzw. y-Richtung. Fehlt xS oder yS in der Scheitelform, so ist deren Wert gleich Null.

Scheitel S (3/1)

1 -1

p = 6

q = 10

-2

Funktionsgleichung der Normalparabel: y = x² 6x + 10

-3

10 = q

4 = 4 (w)

18 = 3p + 0 3p = 18 ~: ( 3)

b) Die Funktionsgleichung der Parabel wird durch quadratische Ergänzung in die Scheitelform umgewandelt. Die Koordinaten des Scheitels können dann der Gleichung entnommen werden: y = x² 6x + 10 = x² 6x + 3² 3² + 10 = (x 3)² 9 + 10 = (x 3)² + 1

c) Der Scheitel liegt bei S (0/0)

A liegt auf p.

y = (x 2)²

31x + 1296 27x = 1360

Anzahl der Kirschbäume: 16 Stück Anzahl der Apfelbäume: 48 Stück Anzahl der Zwetschgenbäume: 0,5 16 = 8 Stück

4 = 2²

Normalform: y = x² + x + 0,25

( II ): 31x + 18y = 1360

y = 72 1,5y in ( II ): 31x + 18·(72 1,5x) = 1360

3. Durch Einsetzen der bekannten Scheitelkoordinaten S (xS/yS) in die Scheitelgleichung y = (x xS)² + yS kann die quadratische Funktion angegeben werden. Je nach Öffnung der Parabel ist ggf. ein Minuszeichen vor der Quadratklammer zu ergänzen. Nach oben geöffnete Parabeln: y = (x xS)² + yS Nach unten geöffnete Parabeln: y = (x xS)² + yS

S x2(-4/0) -6

-5

Sx1(-2/0) -4

-3

-2

S (-3/-1)

0 -1 -1

c) Abgelesene Schnittpunkte mit der x-Achse: Sx1 ( 2/0) Sx2 ( 4/0) Abgelesener Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy (0/8)

y = x² Der Scheitel liegt im Ursprung.

S (0/0)

d) Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu erhalten, wird in der Funktionsgleichung y = 0 gesetzt. Die beiden x-Werte ergeben sich dann wie folgt:

y = x² + 1 Die Parabel ist um 1 Einheit nach oben verschoben.

S (0/1)

y = (x 2)² Die Parabel ist um 2 Einheiten nach rechts verschoben. S (2/0)

y = (3 + x)² = (x + 3)² = (x ( 3))²

Die Parabel ist um 3 Einheiten nach links verschoben. S ( 3/0)

0 = (x + 3)² 1 ª + 1

1 = (x + 3)²

(x + 3)² = 1 §

B33

Quadratische Funktionen HINWEIS: hier negativen Wurzelwert nicht vergessen Â&#x2DC; x = 3 r 1 3 r 1

x+3=n 1 ÂŞâ&#x20AC;&#x201C;3

Â&#x;

Â&#x2DC;

Funktionsgleichung der Normalparabel p1: y = xÂ˛ 6x + 5.

Um die Schnittpunkte mit der y-Achse zu erhalten, wird in der Funktionsgleichung x = 0 gesetzt und der y-Wert ausgerechnet:

b) Die Funktionsgleichung von p1 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten kĂśnnen dann entnommen werden: y = xÂ˛ 6x + 5 = xÂ˛ 6x + 3Â˛ 3Â˛ + 5 = (x 3)Â˛ 9 + 5 = (x 3)Â˛ 4

Â&#x;

x1 = 2 und

Â&#x; Schnittpunkte x-Achse: Sx1 ( 2/0) / Sx2 ( 4/0)

x2 = â&#x20AC;&#x201C;4

y = (0 + 3)Â˛ 1 = 3Â˛ 1 = 9 1 = 8

Â&#x; Schnittpunkt y-Achse: Sy (0/8)

6. a) Gerade g1 schneidet g2 im Punkt T. Somit lautet ein Geradenpunkt von g2: T ( 0,5/ 1,5). Die Gerade g2 verlĂ¤uft auĂ&#x;erdem durch den Scheitelpunkt S der Normalparabel p. Dessen Koordinaten ergeben sich durch quadratische ErgĂ¤nzung der Funktionsgleichung von p. y = xÂ˛ + 2x 7 = xÂ˛ + 2x + 1Â˛ 1Â˛ 7 = (x + 1)Â˛ 1 7 = (x + 1)Â˛ 8

Â&#x;

Scheitel S ( 1/ 8) o als zweiter Geradenpunkt

Funktionsgleichung der Geraden g2: Steigung m2 mit der Formel: m =

Einsetzen der Koordinaten von T und S: m2 =

y P1 y P 2 x P1 x P 2

y T yS 1,5 ( 8) 6,5 = = = 13 xT xS 0,5 ( 1) 0,5

Die Geradengleichung von g2 lautet bis jetzt: y = 13x + n2.

Â&#x; n2 = 5

Â&#x; Geradengleichung von g2: y = 13x + 5

Â&#x153;

xÂ˛ + x 6 = 0

x 1/2

1 Â§ 1 Âˇ = r Â¨ Â¸ ( 6) = 0,5 r 0,25 6 = 0,5 r 2,5 2 ÂŠ 2Âš

p = 1 ; q = 6 in LĂśsungsformel:

x1 = 2 in g1:

y = 2 1 = 1 = y1

x2 = 3 in g1: y = 3 1 = 4 = y2

Â&#x; x1 = 2 und x2 = 3

Â&#x;

Schnittpunkt P1 (2/1)

Â&#x;

Schnittpunkt P2 ( 3/ 4)

c) Einzeichnen der Graphen:

y 6

Parabel: Einzeichnen des Scheitels S der nach oben geĂśffneten Normalparabel und dann mittels Schablone vervollstĂ¤ndigen.

-1 -1

d) Die Koordinaten des Scheitelpunktes S2 (1/6) werden in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach unten geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt und diese wird dann in die Normalform umgeformt: Â&#x; y = (x 1)Â˛ + 6 = (xÂ˛ 2ÂˇxÂˇ1+ 1Â˛) + 6 = (xÂ˛ 2x + 1) + 6 = xÂ˛ + 2x 1 + 6 Normalform der Funktionsgleichung von p2: y = xÂ˛ + 2x + 5.

e) Bestimmung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2:

Â&#x153;

2xÂ˛ 8x = 0 ~:2

Â&#x153;

2xÂ˛ 6x + 5 = 2x + 5 xÂ˛ 4x = 0

-3 -4

y = 0Â˛ 6Âˇ0 + 5 = 5 = y1

Â&#x;

Schnittpunkt C (0/5)

x2 = 4 in p1:

y = 4Â˛ 6Âˇ4 + 5 = 3 = y2

Â&#x;

Schnittpunkt D (4/ 3).

y 8

N(0/-1)

5 x

13 -3

-2

-1 0 -1

-3

-4

P1 (2/ 3) in y = xÂ˛ + px + q: 3 = 2Â˛ + p Âˇ 2 + q Â&#x153; 3 = 4 + 2p + q

Â&#x153;

7 = 2p + q

P2 (6/5) in y = xÂ˛ + px + q: 5 = 6Â˛ + p Âˇ 6 + q Â&#x153; 5 = 36 + 6p + q

Â&#x153;

31 = 6p + q ( II )

C(0/5) 4

(I)

A(0/0)

-1 0 -1

AABC =

Â&#x153;

4p = 24 Â&#x153;

N1(5/0) 5

7 x

Â&#x153;

q=5

p = 6

P2(2/-3)

D(4/-3) S1(3/-4)

Auf die vorliegenden Dreiecke bezogen bedeutet dies: AABÂ´CÂ´ = kÂ˛ Âˇ AABC (Zentrum bei A).

7 = 2p + q 31 = 6p + q 7 = 12 + q

Um die Koordinaten der Bildpunkte Bâ&#x20AC;&#x2122; und Câ&#x20AC;&#x2122; zu erhalten, mĂźssen die Urpunkte B und C zentrisch gestreckt werden. Hierzu wird der Streckungsfaktor k benĂśtigt. Diesen erhĂ¤lt man aus dem FlĂ¤chenverhĂ¤ltnis des Ur- und Bilddreiecks, da gilt: ABildfigur = kÂ˛ Âˇ AUrfigur

y 8 Câ&#x20AC;&#x2122; 7 6

Â&#x153;

g) Um sich die geometrischen VerhĂ¤ltnisse besser vorstellen zu kĂśnnen, wurde folgendes Hilfskoordinatensystem erstellt. Es enthĂ¤lt die Bildpunkte B' und C'.

Â&#x; Winkel D = 4,3987Â° | 4,4Â°

( I ) ( II ): 24 = 4p + 0

-2

p = 6 in ( I ): 7 = 2Âˇ( 6) + q

B(2,5/0)

N2(1/0) -4

a) Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet: y = xÂ˛ + px + q, wenn die Parabel nach oben geĂśffnet ist. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der beiden Punkte P1 und P2 in obigen Term ein und lĂśst das entstehende Gleichungssystem:

(I) ( II )

P1(6/5)

innerhalb des Steigungsdreiecks (vgl. hervorgehobenes Dreieck in Zeich-

Gleichungssystem:

C(0/5)

-6

Gegenkathete 1 = = 0,076923 Ankathete 13

S2(1/6)

nung) mit dem Tangens berechnet werden, da gilt: tan D =

d) Der Winkel D, den die Gerade g2 mit der y-Achse einschlieĂ&#x;t, kann aus der Steigung 13 1

Â&#x; xÂˇ(x 4) = 0

x1 = 0 in p1:

-7

m1 = 13 =

2xÂ˛ 8x + 5 = 5 Â&#x153;

(HINWEIS: Die Gleichung xÂ˛ 4x = 0 kann natĂźrlich auch mit der LĂśsungsformel gelĂśst werden, wobei dann p = 4 und q = 0 sind.)

-5

S(-1/-8)

Â&#x153;

Ausklammern von x

(HINWEIS: Ein Produkt wird gleich Null, wenn einer der beiden Faktoren gleich Null wird!) Â&#x; x=0 Â&#x203A; x 4=0 Â&#x; x1 = 0 oder x2 = 4

5 0

Â&#x; x1 = 5 und x2 = 1

Schnittpunkte mit der x-Achse: N1(5/0) und N2(1/0).

P1(2/1)

T(-0,5/-1,5)

P2(-3/-4)

9 5 = 3r 2

Gerade g2: Zeichnen der Gerade durch die beiden Punkte T ( 0,5/ 1,5) und S ( 1/ 8).

Â§ 6Âˇ Â¨ Â¸ 5 = 3r ÂŠ 2 Âš

-2

Â&#x;

6 r 2

-3

x 1/2 =

-4

p = 6 ; q = 5 in LĂśsungsformel:

(HINWEIS: Der eine Schnittpunkt wird C genannt, da er dem Punkt C (0/5) in der Aufgabe f) entspricht; der zweite Schnittpunkt wird entsprechend mit D bezeichnet!)

Gerade g1: Einzeichnen des y-Achsenabschnittes (n = 1): Â&#x; N (0/ 1). Steigung m1 = 1 Â&#x; ausgehend vom yAchsenabschnitt das Steigungsdreieck in x- und in y-Richtung jeweils 1 LE antragen.

Â&#x;

xÂ˛ 6x + 5 = xÂ˛ + 2x + 5

b) Bestimmung der Schnittpunkte P1 und P2 durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Gerade g1 und Parabel p: x 1 = xÂ˛ + 2x 7 Â&#x153; x = xÂ˛ + 2x 6 Â&#x153; 0 = xÂ˛ + x 6

Â&#x;

c) Zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse wird die Funktionsgleichung der Parabel p1 mit Null gleichgesetzt: y = 0 Â&#x; xÂ˛ 6x + 5 = 0

Â&#x;

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n2 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes T ( 0,5/ 1,5) in y = 13x + n2: 1,5 = 13Âˇ( 0,5) + n2 Â&#x153; 1,5 = 6,5 + n2

Scheitel S1 (3/ 4)

B(2,5/0) 1

Bâ&#x20AC;&#x2122; 4

5 x

Da der FlĂ¤cheninhalt des Bilddreiecks bekannt ist (AABÂ´CÂ´ = 14,0625 cmÂ˛), muss nur noch die UrflĂ¤che AABC mit der FlĂ¤chenformel fĂźr Dreiecke berechnet werden:

gÂ&#x2DC;h ABÂ&#x2DC; AC (2,5 cm) Â&#x2DC; (5 cm) = = = 6,25 cmÂ˛ 2 2 2

Eingesetzt in AABÂ´CÂ´ = kÂ˛ Âˇ AABC:

Â&#x;

14,0625 cmÂ˛ = kÂ˛ Âˇ 6,25 cmÂ˛

Â&#x153; kÂ˛ =

14,0625 cmÂ˛ = 2,25 6,25 cmÂ˛

Quadratische Funktionen

B34 Â&#x153;

k = 2,25 = r1,5

negative LĂśsung hier nicht erforderlich Â&#x; k = 1,5

Die LĂ¤ngen der Bildstrecken [ABâ&#x20AC;&#x2122;] und [ACâ&#x20AC;&#x2122;] und damit letztlich die Koordinaten der Bildpunkte Bâ&#x20AC;&#x2122; und Câ&#x20AC;&#x2122; ergeben sich aus dem Satz fĂźr das StreckenverhĂ¤ltnis bei der zentrischen Streckung LĂ¤ngeBildstrecke = k Âˇ LĂ¤ngeUrstrecke

Â&#x;

AB' = k Âˇ AB = 1,5 Âˇ 2,5 cm = 3,75 cm (entspricht x-Wert von Bâ&#x20AC;&#x2122;) AC' = k Âˇ AC = 1,5 Âˇ 5 cm = 7,5 cm (entspricht y-Wert von Câ&#x20AC;&#x2122;)

Â&#x;

Koordinaten der Bildpunkte: Bâ&#x20AC;&#x2122; (3,75/0) / Câ&#x20AC;&#x2122; (0/7,5).

S4 (3/2) werden deshalb in die entsprechende Scheitelform einer nach unten geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt und diese wird dann in die Normalform umgeformt: y = (x 3)Â˛ + 2 = (xÂ˛ 2ÂˇxÂˇ3 + 9) + 2 = (xÂ˛ 6x + 9) + 2 = xÂ˛ + 6x 9 + 2

Â&#x;

Normalform der Funktionsgleichung von p4: y = xÂ˛ + 6x 7.

9. a)

y P1 y P2

Steigung m der Geraden mit der Formel m =

a) Die Funktionsgleichung von p1 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten werden dann entnommen:

Da die Gerade g durch die Schnittpunkte P( 4/10) und Q(1/5) verlĂ¤uft, setzt man zur Ermittlung der Steigung zunĂ¤chst deren Koordinaten in obige Gleichung ein: yP yQ 10 5 5 = = = 1. m= xP xQ 4 1 5

y = xÂ˛ 7x + 11 = xÂ˛ 7x + 3,5Â˛ 3,5Â˛ + 11 = (x 3,5)Â˛ 12,25 + 11 = (x 3,5)Â˛ 1,25

Â&#x;

Scheitel S1 (3,5/ 1,25)

b) Die Funktionsgleichung der nach unten geĂśffneten Normalparabel lautet: y = xÂ˛ + px + q. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der beiden Punkte P1 und P2 in obige Gleichung ein und lĂśst das entstehende Gleichungssystem entsprechend: P1 ( 1/ 5) in y = xÂ˛ + px + q: 5 = ( 1)Â˛ + p Âˇ ( 1) + q Â&#x153; 5 = 1 p + q P2 (2/7) in y = xÂ˛ + px + q: 7 = (2)Â˛ + p Âˇ ( 2) + q Â&#x153; 7 = 4 + 2p + q Â&#x153; Gleichungssystem:

( I ) ( II ): 15 = 3p + 0

Â&#x;

4 = p + q ( I )

11 = 2p + q ( II )

4 = p + q 11 = 2p + q

(I) ( II )

p = 5 in ( I ): 4 = 5 + q

Â&#x153;

3p = 15

p=5

Die Geradengleichung von g lautet bis jetzt: y = 1x + n. Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes Q(1/5) in y = 1x + n: 5 = 1 Âˇ 1 + n Â&#x153; 5 = 1 + n Â&#x153; n = 6

Â&#x; vollstĂ¤ndige Gleichung von g : y x 6 . b) Die Funktionsgleichung der nach oben geĂśffneten Normalparabel p1 lautet y = xÂ˛ + px + q. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten zweier Parabelpunkte (hier: Schnittpunkte mit der Gerade) P und Q in obigen Term ein: P( 4/10) in y = xÂ˛ + px + q: Â&#x153; 10 = 16 4p + q Â&#x153; 6 = 4p + q ( I ) 10 = ( 4)Â˛ + p Âˇ ( 4 ) + q Q(1/5) in y = xÂ˛ + px + q: Â&#x153; 5 = 1 + 1p + q Â&#x153; 4 = p + q ( II ) 5 = 1Â˛ + p Âˇ 1 + q Gleichungssystem:

q=1

Funktionsgleichung der Normalparabel p2: y = xÂ˛ + 5x + 1.

c) Die Zeichnung enthĂ¤lt Elemente der Aufgaben d) und e).

y 10

6 = 4p + q 4 = p +q

Scheitel S2 (2,5/7,25)

p = 2 in ( I ): 6 = ( 4) Âˇ 2 + q

Â&#x;

Â&#x153;

6 5 4

y 13 12 11

P(-4/10)

S 4(3/2)

Q 1(5/1)

1 1

4 3

S 3(3/-2)

-4

p2 -4

2xÂ˛ 7x + 11 = 5x + 1

Â&#x153;

2xÂ˛ 12x + 10 = 0

Â&#x;

p = 6 ; q = 5 in LĂśsungsformel:

Â&#x153;

9 5 = 3r 2

y1 = 5Â˛ 7Âˇ5 + 11 = 1 y2 = 1Â˛ 7Âˇ1 + 11 = 5

Â&#x; Â&#x;

-2

-1 0 -1

S2(-1/-1)

-2 -3

6 x

Spiegelung an der x-Achse

2xÂ˛ 12x + 11 = 1 Â&#x153;

xÂ˛ 6x + 5 = 0

Â§ 6Âˇ Â¨ Â¸ 5 = 3r ÂŠ 2 Âš

-3

S 1(-1/1)

d) Bestimmung der Koordinaten beider Schnittpunkte Q1 und Q2 durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2:

Â&#x153;

Q(1/5)

7 x

S 1(3,5/-1,25) Spiegelung an x-Achse

-3

x1 = 5 in p1: x2 = 1 in p1:

p=2

-2

6 r 2

Â&#x153;

q=2

Scheitel S1( 1/1)

Q 2(1/5)

0 -2 -1 -1

x 1/2 =

Â&#x153;

Funktionsgleichung der Normalparabel p1: y = xÂ˛ + 2x + 2.

d) HINWEIS: Das Koordinatensystem enthĂ¤lt eine Hilfszeichnung zur Aufgabe e.

S 2(2,5/7,25)

~: 2

5p = 10

c) Die Gleichung von p1 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten kĂśnnen dann entnommen werden: y = xÂ˛ + 2x + 2 = xÂ˛ + 2x + 1Â˛ 1Â˛ + 2 = (x + 1)Â˛ 1 + 2 = (x + 1)Â˛ + 1

Â&#x;

xÂ˛ 7x + 11 = xÂ˛ + 5x + 1

Â&#x153;

6 = 8 + q

Einzeichnen des Scheitels S1 der nach oben geĂśffneten Normalparabel und des Scheitels S2 der nach unten geĂśffneten Normalparabel. Beide Parabeln anschlieĂ&#x;end mittels Schablone vervollstĂ¤ndigen.

Â&#x;

(I) ( II )

( I ) ( II ): 10 = 5p + 0

Zur Ermittlung des Scheitelpunktes von p2 wird die Funktionsgleichung der Parabel durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten kĂśnnen dann entsprechend abgelesen werden: y = xÂ˛ + 5x + 1 = (xÂ˛ 5x 1) = (xÂ˛ 5x + 2,5Â˛ 2,5Â˛ 1) = [(x 2,5)Â˛ 6,25 1] y = [(x 2,5)Â˛ 7,25] = (x 2,5)Â˛ + 7,25

x P1 x P2

Â&#x; x1 = 5 und x2 = 1

Schnittpunkt Q1 (5/1) Schnittpunkt Q2 (1/5)

e) Wenn die Parabel p3 und damit der Scheitel S3 (3/ 2) an der x-Achse gespiegelt werden, dann liegt der Scheitelpunkt S4 oberhalb der x-Achse. S4 hat auĂ&#x;erdem den gleichen Abstand von der x-Achse wie der Scheitel S3 (vgl. KOS Aufgabe c)). Dementsprechend muss S4 den gleichen x-Wert wie S3 haben. Auch der Zahlenwert des y-Wertes ist gleich dem von S3. Lediglich das Vorzeichen Ă¤ndert sich: Â&#x; S4 (3/2) Durch die Achsenspiegelung wird auĂ&#x;erdem die Ă&#x2013;ffnung der Parabel verĂ¤ndert, so dass p4 entgegengesetzt zu p3 also nach unten geĂśffnet ist. Die Koordinaten des Scheitels

e) Wird die Parabel p1 und damit deren Scheitel S1( 1/1) an der x-Achse gespiegelt, dann liegt der Scheitelpunkt S2 der Bildparabel unterhalb der x-Achse. S2 hat dabei den gleichen Abstand von der x-Achse wie der Scheitel S1 (vgl. Hilfsskizze in KOS Aufgabe d)). Dementsprechend muss S2 den gleichen x-Wert wie S1 haben. Auch der Zahlenwert des yWertes ist gleich dem von S1. Lediglich das Vorzeichen Ă¤ndert sich, so dass fĂźr den Scheitel gilt: Â&#x; S2( 1/ 1) Da aufgrund der Spiegelung die Parabel nun nach unten geĂśffnet ist, werden die Koordinaten des neuen Scheitels S2( 1/ 1) in die entsprechende Scheitelform einer nach unten geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt. Diese wird dann in die Normalform umgeformt: y = (x ( 1))Â˛ + ( 1) = (x + 1)Â˛ 1 = (xÂ˛ + 2ÂˇxÂˇ1 + 1Â˛) 1 = (xÂ˛ + 2x + 1) 1 = xÂ˛ 2x 1 1 = xÂ˛ 2x 2

Â&#x;

Normalform der Funktionsgleichung von p2: y = xÂ˛ 2x 2.

Quadratische Funktionen

B35

10. a) Die Funktionsgleichung von p1 wird durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten werden dann der Gleichung entnommen: y = x² + 6x + 7 = x² + 6x + 3² 3² + 7 = (x + 3)² 9 + 7 = (x + 3)² 2

b) Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet: y = x² + px + q, wenn die Parabel nach unten geöffnet ist. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der Punkte P1 und P2 in die obige Gleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem wie folgt: P1 ( 3/2) in y = x² + px + q: 2 = ( 3)² + p · ( 3) + q 2 = 9 3p + q 11 = 3p + q ( I ) P2 (1/ 6) in y = x² + px + q: 6 = (1)² + p · ( 1 ) + q 6 = 1 + p + q 5 = p + q ( II ) 11 = 3p + q 5 = p + q

(I) ( II ) ( I ) ( II ):

16 = 4p + 0

p = 4 in ( I ): 11 = 3· ( 4) + q

4p = 16

11 = 12 + q

p = 4

q = 1

Funktionsgleichung der Normalparabel p2: y = x² 4x 1.

y = x² 4x 1 = (x² + 4x + 1) = (x² + 4x + 2² 2² + 1) = [(x + 2)² 4 + 1] y = [(x + 2)² 3] = (x + 2)² + 3

Scheitel S2 ( 2/3)

d) Einzeichnen des Scheitels S1 der nach oben geöffneten Normalparabel und des Scheitels S2 der nach unten geöffneten Normalparabel. Beide Parabeln anschließend mittels Schablone vervollständigen.

-6

-5

-4

-3 -2

T2(-4/-1)

T1(-1/2)

-1 0 -1

4 x

-5 -6

P2(1/-6)

-7

x² + 6x + 7 = x² 4x 1

~: 2

2x² + 6x + 7 = 4x 1

2x² + 10x + 7 = 1

x² + 5x + 4 = 0

p = 5 ; q = 4 in Lösungsformel:

x 1/2 =

5 r 2

c) Die Funktionsgleichung der nach unten geöffneten Normalparabel lautet: y = x² + px + q. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Punkte P und Q in die obige Gleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem wie folgt: P (4/ 1) in y = x² + px + q: 1 = ( 4 )² + p · ( 4 ) + q 1 = 16 + 4p + q 15 = 4p + q ( I ) Q (1/2) in y = x² + px + q: 2 = 1 + p + q 3 = p + q ( II ) 2 = ( 1 )² + p · ( 1 ) + q Gleichungssystem:

(I) ( II )

15 = 4p + q 3 = p +q

3p = 12

p=4

q = 1

Funktionsgleichung der Normalparabel p3: y = x² + 4x 1.

e) Zur Bestimmung der Koordinaten der beiden Schnittpunkte R und T werden die Funktionsterme der Parabel p1: y = x² 6x + 8 und der Gerade g: y = x 2 gleichgesetzt:

x1/2 =

7 r 2

§ 5 · ¨ ¸ 4 = 2,5 r 6,25 4 = 2,5 r 1,5 © 2¹

x1 = 1 und x2 = 4

x1 = 1 in p1: y1 = ( 1)² + 6·( 1) + 7 = 2

Schnittpunkt T1 ( 1/2)

x2 = 4 in p1: y2 = ( 4)² + 6·( 4) + 7 = 1

Schnittpunkt T2 ( 4/ 1)

11. a) Die Koordinaten des Scheitelpunktes S1 (3/ 1) werden in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel y = (x xS)² + yS eingesetzt und diese wird dann in die Normalform umgeformt:

x² 7x + 10 = 0

§ 7· ¨ ¸ 10 = 3,5 r 12,25 10 = 3,5 r 1,5 © 2 ¹

x1 = 5 in g: y1 = 5 2 = 3 x2 = 2 in g: y2 = 2 2 = 0

e) Bestimmung der Koordinaten beider Schnittpunkte T1 und T2 durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2: 2x² + 10x + 8 = 0

Normalform der Funktionsgleichung von p2: y = x² + 6x + 8.

x² 6x + 8 = x 2 x² 7x + 8 = 2 p = 7 ; q = 10 in Lösungsformel:

-3 -4

Durch die Spiegelung an der y-Achse ändert sich an Ausrichtung und Form der Parabel nichts. Die Koordinaten des Scheitels S2( 3/ 1) werden deshalb in die Scheitelform der nach oben geöffneten Normalparabel y = (x xS)² + yS eingesetzt. Diese wird dann wieder in die Normalform umgeformt: y = (x ( 3))² 1 = (x + 3)² 1 = (x² + 2·x·3 + 3²) 1 = (x² + 6x + 9) 1= x² + 6x + 9 1

y = x² + 4x 1 = (x² 4x + 1) = (x² 4x + 2² 2² + 1) = [(x 2)² 4 + 1] Scheitel S3 (2/3) = [(x 2)² 3] = (x 2)² + 3

-2

S1(-3/-2)

Nullstellen: N1(4/0) und N2(2/0).

d) Die Gleichung von p3 wird durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten können dann der Gleichung entnommen werden:

1 -7

x1 = 4 und x2 = 2

b) Wird die Parabel p1 und damit deren Scheitel S1(3/ 1) an der y-Achse gespiegelt, dann liegt der Scheitelpunkt S2 der Bildparabel auf gleicher "Höhe" mit S1, aber nun links von der yAchse (also im negativen Bereich der x-Achse). Dementsprechend muss S2 den gleichen yWert wie S1 haben. Auch der Zahlenwert des x-Wertes ist gleich dem von S1. Lediglich das Vorzeichen ändert sich, so dass für den Scheitel gilt: S2( 3/ 1)

P1(-3/2)

§ 6· ¨ ¸ 8 = 3 r 9 8 = 3 r1 © 2 ¹

p = 4 in ( II ) eingesetzt: 3 = 4 + q

S2(-2/3)

6 r 2

( I ) ( II ): 12 = 3p + 0

y 8

p = 6 ; q = 8 in Lösungsformel:

x1/2 =

c) Umwandeln der Funktionsgleichung der Parabel p2 durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktsform:

y = (x 3)² 1 = (x² 2·x·3+ 3²) 1 = (x² 6x + 9) 1 = x² 6x + 9 1 Normalform der Funktionsgleichung von p1: y = x² 6x + 8.

Zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) wird die Funktionsgleichung der Parabel p1 mit Null gleichgesetzt: y = 0 x² 6x + 8 = 0

Scheitel S1 ( 3/ 2)

Gleichungssystem:

Schnittpunkt R (5/3) Schnittpunkt T (2/0)

f) Einzeichnen der beiden Scheitel S1 und S2 der nach oben geöffneten Normalparabeln. Beide Parabeln anschließend mittels Schablone vervollständigen.

y 10 9 8 7

Die Gerade g kann durch die beiden Schnittpunkte R und T gezeichnet werden. Sie kann auch mit Hilfe des y-Achsenabschnittes n = 2 und der Steigung m = 1 eingezeichnet werden.

5 4

R(5/3)

2 1 -5

HINWEIS: Die Zeichnung enthält Elemente der Aufgabe g)

x1 = 5 und x2 = 2

-4

Spiegelung an -1 0 -3 der -2 y-Achse

-1

S 2(-3/-1)

-2

3 T(2/0) 1

3 3

6 x

S1(3/-1)

-3

g) Die Länge der Strecke [RT] kann innerhalb des in der Zeichnung (Aufgabe f)) hervorgehobenen rechtwinkligen Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Die Kathe-

Quadratische Funktionen

B36 tenlĂ¤ngen (a bzw. b) entsprechen den Unterschieden der x- bzw. y-Koordinaten der Punkte R bzw. T: a = xR xT = 5 2 = 3 Â&#x161; 3 cm bzw. b = yR yT = 3 0 = 3 Â&#x161; 3 cm

Â&#x;

RT =

a 2 b2 =

(3 cm) 2 (3 cm) 2 = 18 cmÂ˛ | 4,2 cm

B ( 2,5/ 3) in y = xÂ˛ + px + q: 3 = ( 2,5)Â˛ + p Âˇ ( 2,5) + q Â&#x153;

12. a) Die Funktionsgleichung der Normalparabel p1 lautet: y = xÂ˛ + px + q, wenn die Parabel nach oben geĂśffnet ist. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten von P und Q in obige Gleichung ein und lĂśst das entstehende Gleichungssystem wie folgt: P (0/5,25) in y = xÂ˛ + px + q: Â&#x153; 5,25 = 0 + 0 + q Â&#x153; q = 5,25 5,25 = 0Â˛ + p Âˇ 0 + q Q (4/1,25) in y = xÂ˛ + px + q: Â&#x153; 1,25 = 16 + 4p + q ~ 16 1,25 = 4 Â˛ + p Âˇ 4 + q q = 5,25 in 14,75 = 4p + q: 14,75 = 4p + 5,25

Â&#x;

Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte A (2,5/12) und B ( 2,5/ 3) in die obige Gleichung ein und lĂśst das entstehende Gleichungssystem wie folgt: A (2,5/12) in y = xÂ˛ + px + q: 12 = 2,5Â˛ + p Âˇ 2,5 + q Â&#x153; 12 = 6,25 + 2,5p + q Â&#x153; 5,75 = 2,5p + q ( I )

Â&#x153;

14,75 = 4p + q

Â&#x153; 20 = 4p ~: 4

Â&#x153; p = 5

Funktionsgleichung der Normalparabel p1: y = xÂ˛ 5x +5,25.

Gleichungssystem:

3 = 6,25 2,5p + q

9,25 = 2,5p + q ( II )

( I ) 5,75 = 2,5p + q ( II ) 9,25 = 2,5p + q ( I ) ( II ):

15 = 5p + 0

p = 3 in ( II ) eingesetzt: 9,25 = 2,5 Âˇ 3 + q

Â&#x;

Â&#x153;

5p = 15

Â&#x153;

p=3

Â&#x153; 9,25 = 7,5 + q

Â&#x153;

q = 1,75

Funktionsgleichung der Normalparabel p1 y = xÂ˛ + 3x 1,75.

b) Die Gleichung von p1 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten von S1 kĂśnnen dann der Gleichung entnommen werden: y = xÂ˛ + 3x 1,75 = xÂ˛ + 3x + 1,5Â˛ 1,5Â˛ 1,75 = (x + 1,5)Â˛ 2,25 1,75 = (x + 1,5)Â˛ 4

Â&#x;

Scheitel S1 ( 1,5/ 4)

b) Die Funktionsgleichung von p1 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten werden dann der Gleichung entnommen:

c) Zur Bestimmung der Parabelschnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) wird die Funktionsgleichung von p1 mit Null gleichgesetzt: y = 0 Â&#x; xÂ˛ + 3x 1,75 = 0

y = xÂ˛ 5x + 5,25 = xÂ˛ 5x + 2,5Â˛ 2,5Â˛ + 5,25 = (x 2,5)Â˛ 6,25 + 5,25

Â&#x;

y = (x 2,5)Â˛ 1

Â&#x;

Scheitel S1 (2,5/ 1)

c) Da der Scheitel gegeben ist, werden dessen Koordinaten S2 (1,5/0) in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach unten geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt. Die entstehende Gleichung wird anschlieĂ&#x;end in die Normalform umgeformt: Â&#x; y = (x 1,5)Â˛ + 0 = (xÂ˛ 2ÂˇxÂˇ1,5 + 1,5Â˛) + 0 = (xÂ˛ 3x + 2,25) = xÂ˛ + 3x 2,25

Â&#x;

Normalform der Funktionsgleichung von p2: y = xÂ˛ + 3x 2,25.

d) Bestimmung der Koordinaten von T1 und T2 durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2: xÂ˛ 5x + 5,25 = xÂ˛ + 3x 2,25 ~+ xÂ˛ 3x + 2,25 xÂ˛ 4x + 3,75 = 0

Â&#x;

Â&#x153; 2xÂ˛ 8x + 7,5 = 0 ~: 2

Â&#x153;

p = 4 ; q = 3,75 in LĂśsungsformel:

x1/2

p = 3 ; q = 1,75 in LĂśsungsformel:

4 Â§ 4Âˇ = r Â¨ Â¸ 3,75 = 2 r 4 3,75 = 2 r 0,5 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x; x1 = 2,5 und x2 = 1,5

x1/2 =

3 Â§ 3Âˇ r Â¨ Â¸ ( 1,75) = 1,5 r 2,25 1,75 = 1,5 r 2 2 ÂŠ 2Âš

Â&#x; x1 = 0,5 und x2 = 3,5

Â&#x;

Nullstellen: N1 (0,5/0) und N2 ( 3,5/0).

d) Die Koordinaten des Scheitelpunktes S2 (1,5/5) werden in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach unten geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt und diese wird dann in die Normalform umgeformt:

Â&#x; y = (x 1,5)Â˛ + 5 = (xÂ˛ 2ÂˇxÂˇ1,5+ 1,5Â˛) + 5 = (xÂ˛ 3x + 2,25) + 5 = xÂ˛ + 3x 2,25 + 5 = xÂ˛ + 3x + 2,75

Â&#x;

Normalform der Funktionsgleichung von p2: y = xÂ˛ + 3x + 2,75.

e) Zur Bestimmung der Koordinaten der beiden Schnittpunkte Q1 und Q2 werden die Funktionsterme der Parabel p2: y = xÂ˛ + 3x + 2,75 und der Gerade g: y = 2x + 5 gleichgesetzt:

xÂ˛ + 3x + 2,75 = 2x + 5

Â¨+ 2x 5

Â&#x153; xÂ˛ + 5x 2,25 = 0 Â¨:( 1) Â&#x153;

x1 = 2,5 in p1: y1 = 2,5Â˛ 5Âˇ 2,5 + 5,25 = 1

Â&#x;

Schnittpunkt T1 (2,5/ 1)

Â&#x153;

xÂ˛ 5x + 2,25 = 0

x2 = 1,5 in p1: y2 = 1,5Â˛ 5Âˇ 1,5 + 5,25 = 0

Â&#x;

Schnittpunkt T2 (1,5/0)

Â&#x;

p = 5 ; q = 2,25 in LĂśsungsformel:

e) Einzeichnen des Scheitels S1 der nach oben geĂśffneten Normalparabel und des Scheitels S2 der nach unten geĂśffneten Normalparabel; beide Parabeln anschlieĂ&#x;end mittels Schablone vervollstĂ¤ndigen:

y 7 6 5

x1/2 =

P p1

1 -1 0 -1

S2(1,5/0) 1

-2 -3

x1 = 4,5 in g: y1 = 2 Â&#x2DC; 4,5 + 5 = 4

Â&#x;

Schnittpunkt Q1 (4,5/ 4)

x2 = 0,5 in g: y2 = 2 Â&#x2DC; 0,5 + 5 = 4

Â&#x;

Schnittpunkt Q2 (0,5/4)

4 x

Die Gerade g kann man durch die beiden Schnittpunkte Q1 und Q2 zeichnen. Sie kann auch mit Hilfe des y-Achsenabschnittes n = 5 und der Steigung m = 2 eingezeichnet werden. HINWEIS: Die Zeichnung enthĂ¤lt auch Elemente der Aufgaben 1.a) bis e)

S1(2,5/-1)

Â&#x153;

xÂ˛ 4x + 4,25 = 0

Â&#x;

Â&#x153;

2xÂ˛ + 8x 8,5 = 0 ~:( 2)

p = 4 ; q = 4,25 in LĂśsungsformel:

4 3 2 1

N2 -5

-4

-3

-2

Keine LĂśsung Â&#x; keine Schnittpunkte

13. a) Die Funktionsgleichung einer nach oben geĂśffneten Normalparabel lautet: y = xÂ˛ + px + q.

-1 0 -1

N1 1

-2

4 Â§ 4Âˇ r Â¨ Â¸ 4,25 = 2 r 4 4,25 = 2 r 0,25 2 ÂŠ 2 Âš

Unter der Wurzel ergibt sich eine negative Zahl, d.h. der Wurzelausdruck kann nicht berechnet werden und deshalb gibt es keine LĂśsungen.

S 2(1,5/5)

5 Q 2

x1/2 =

y 8 7

f) Die Funktionsterme der beiden Parabeln p2: y = xÂ˛ + 3x 2,25 und p3: y = xÂ˛ 5x + 6,25 werden zunĂ¤chst gleichgesetzt, nach Null aufgelĂśst und anschlieĂ&#x;end wird die LĂśsungsformel angewendet. Schneiden sich die Parabeln nicht, ergibt die LĂśsungsformel keine LĂśsung. Das ist immer dann der Fall, wenn man unter der Wurzel einen negativen Ausdruck erhĂ¤lt. Dies gilt es zu ĂźberprĂźfen:

xÂ˛ + 3x 2,25 = xÂ˛ 5x + 6,25 ~ xÂ˛ + 5x 6,25

Â&#x; x1 = 4,5 und x2 = 0,5

f) Einzeichnen der beiden Scheitel S1 und S2 der nach oben/unten geĂśffneten Normalparabeln; beide Parabeln anschlieĂ&#x;end mittels Schablone vervollstĂ¤ndigen.

-2

5 Â§ 5Âˇ r Â¨ Â¸ 2,25 = 2,5 r 6,25 2,25 = 2,5 r 2 2 ÂŠ 2 Âš

-3

S 1(-1,5/-4)

-4 -5

6 x

Quadratische Gleichungen

B37

, ergänzt bzw. addiert wird. Die linke Gleichungsseite kann dann zu einer binop 2 2

2.1.7 Quadratische Gleichungen

p, also

mischen Formel zusammengefasst und dann die Lösungen für x ermittelt werden.

Quadratische Gleichungen haben zwei Lösungen - wenn die Quadratzahl positv ist. Denn auch das Quadrat einer negativen Zahl ergibt eine positive Quadratzahl. Ist die Quadratzahl negativ, so gibt es keine Lösung. Dann müsste die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden.

d) x² 5x = 14

Beispiel 1:

x² = 9

Beispiel 2:

x=r 9

(Probe: (+ 3)² = 9 o o.k.) ( 3)² = 9 o o.k.)

x1 = + 3 x2 = 3

keine Lösung in IR möglich, da keine Zahl quadriert 9 ergibt!

a) x² = 16

x r 16 r 4

b) x² = 121

x r 121 r 11

c) x² 25 = 0

x² = 25

x r 25 r 5

x² = 16

x r 16 r 4

e) x² 8 = 41

x² = 49

x r 49

x² = 8

4x² = 32

g) 3x² + 24 = 0

3x² = 24 x² = 8 keine Lösung in IR möglich, da keine Zahl quadriert 8 ergibt!

h) 2x² + 2 = 0

2x² = 2

r 8

x² = 1 keine Lösung in IR möglich, da keine Zahl quadriert 1 ergibt!

j) (x + 3)² = 49 x + 3 = r 49

x 2=r4

x+3=r7

x=r7 3

~+ 2

~ 3

x1 = + 7 3 = 4 x2 = 7 3 = 10

x1 = + 4 + 2 = 6 x2 = 4 + 2 = 2

k) (4,5 + 0,5x)² = 121 4,5 + 0,5x = r 121

l) (3x + 2)² = 36 3x + 2 = r 36

4,5 + 0,5x = r 11 ~ 4,5

3x + 2 = r 6 ~ 2

0,5x = r 11 4,5 ~: 0,5 x = r 22 9

3x = r 6 2 ~: 3 x = r 2 23

x1 = + 22 9 = 13 x2 = 22 9 = 31 m) (2x 4)² = 144 keine Lösung in IR

linke Gleichungsseite zur binom. Formel zusammenfassen / rechte Seite berechnen Wurzel ziehen und weiterrechnen.

x1 = + 2

2 3

x2 = 2

2 3

= 2 23

1 13

n) (5 + 2x)² = 49 5 + 2x = r 49

x 2,5 = r 20,25

x 2,5 = r 4,5 x = r 4,5 + 2,5

~+ 2,5

x2 = 4,5 + 2,5 = 2

und

~+ 0,5

x1 = + 7,5 + 0,5 = 8

r2 2 | r2,83

i) (x 2)² = 16 x 2 = r 16 x=r4+2

(x 2,5)² = 20,25

x 0,5 = r 7,5 x = r 7,5 + 0,5

f) 4x² 20 = 12

x2 = 7,5 + 0,5 = 7

und

f) 4x² = 140 8x ~+ 8x 4x² + 8x = 140 ~: 4 x² + 2x = 35 x² + 2x + 1² = 35 + 1² (x + 1)² = 36 ° x + 1 = r 36 x + 1 = r 6 ~ 1 x=r6 1 x1 = + 6 1 = 5

Gleichung in die Form x² + px = q bringen . . . Weiterrechnen entsprechend Aufgabe d) . . .

x2 = 6 1 = 7

und

3. Die Gleichungen werden in die Form x² + px + q = 0 gebracht und die x-Werte anschließend mittels Formel bestimmt. a) 3x² + 9x = 12 3x² + 9x – 12 = 0 «: 3 x² + 3x – 4 = 0 2

p = 3 ; q = – 4 in Lösungsformel: x 1/2 =

möglich, da keine Zahl

5 + 2x = r 7

~ 5

quadriert 144 ergibt!

2x = r 7 5 ~: 2

x = r 3,5 2,5

x1 = + 3,5 2,5 = 1 x2 = 3,5 2,5 = 6

p 2 2

quadratische Ergänzung mit

e) x² x 56 = 0 x² 1x = 56 x² 1x + 0,5² = 56 + 0,5² (x 0,5)² = 56,25 ° x 0,5 = r 56,25

x1 = + 4,5 + 2,5 = 7

(bzw.: x1 = + 4 und x2 = 4)

d) 2x² = 32

Gleichung in der Form x² + px = q

x 5x + 2,5² = 14 + 2,5²

b) x·(x – 6) + 10 = 9 + 4·(x – 1) x² – 10x + 5 = 0

3 § 3· r ¨ ¸ ( 4) 2 © 2¹

x1 = 1

und

x2 = – 4

x² – 6x + 10 = 9 + 4x – 4

x² – 10x + 10 = 5

( 10) § 10 · r ¨ ¸ 5 2 © 2 ¹ x1 = 9,47 und x2 = 0,53

p = – 10 ; q = 5 in Lösungsformel: x 1/2 =

c) (x – 2)² + 3x + 8 = 0

x² – 4x + 4 + 3x + 8 = 0

x² – x + 12 = 0 2

2. Die Gleichungen a) bis c) werden mit Hilfe der binomischen Formeln in reinquadratische Gleichungen umgewandelt und dann die beiden Lösungen für x wie folgt berechnet: a) x² + 10x + 25 = 9 (x + 5)² = 9 ° x+5= r 9 x + 5 = r 3 ~ 5 x=r3 5

x1 = + 3 5 = 2 b) x² + 2x + 1 = 36 (x + 1)² = 36 ° x + 1 = r 36 x + 1 = r 6 ~ 1 x=r6 1

(Umwandlung von x² + 10x + 25 = x² + 2·5·x + 5² = (x + 5)² entsprechend 1. binom. Formel: a² + 2ab + b² = (a + b)²)

und

x1 = + 6 1 = 5 c) x² 18x + 81 = 121 (x 9)² = 121 ° x 9 = r 121

d) (3 + x)·(3 – x) = 2x + 10

ACHTUNG! 3. binom. Formel beachten:

–x² + 9 – 2x – 10 = 0

p = 2 ; q = 1 in Lösungsformel: x 1/2

x2 = 3 5 = 8

(Umwandlung von x² + 2x + 1 = x² + 2·1·x + 1² = (x + 1)² entsprechend 1. binom. Formel: a² + 2ab + b² = (a + b)²)

–x² – 2x – 1 = 0 « (–1)

2 r 2 x = –1 o

9 – x² = 2x + 10

x² + 2x + 1 = 0

§ 2· ¨ ¸ 1 = 1 r 0 © 2¹ eine Lösung, da Wurzel gleich Null.

4. Es sind zwei Zahlen x und y gesucht, deren Summe den Wert 40 und deren Produkt den Wert 351 ergibt, d.h. I.: x + y = 40 _ x II.: x · y = 351

und

x2 = 6 1 = 7

(Umwandlung von x² 18x + 81 = x² 2·9·x + 9² = (x 9)² entsprechend 2. binom. Formel: a² 2ab + b² = (a b)²)

x 9 = r 11 ~+ 9 x = r 11 + 9 x1 = + 11 + 9 = 20

( 1) § 1· r ¨ ¸ 12 = 0,5 r 11,75 p = –1; q = 12 in Lösungsformel: x 1/2 = 2 © 2 ¹ keine Lösung, da Radikand der Wurzel negativ

und

x2 = 11 + 9 = 2

Die Gleichungen d) bis f) werden in die Form x² + px = q gebracht und dann quadratisch ergänzt. Dies bedeutet, dass auf beiden Seiten der Gleichung das Quadrat der Hälfte von

y = 40 x in II.:

I.: y = 40 x II.: x · y = 351 x · (40 x) = 351

x² + 40x – 351 = 0

p = 40 ; q = 351 in Lösungsformel:

_ : ( 1)

40x x² = 351 _ 351

x² 40x + 351 = 0

x 1/2 =

40 § 40 · r ¨ ¸ 351 = 20 r ( 20)² 351 = 20 r 49 = 20 r 7 2 © 2 ¹

x1 = 27 und x2 = 13

1. Summand: x = 27 / 2. Summand: y = 13

B38

Quadratische Gleichungen

5. Flächeninhalt des Quadrats: AQ = sQ · sQ = sQ2 (Alle Längen in cm) Nach der Veränderung der Quadratseiten entsteht ein Rechteck. Die Fläche des neu entstandenen Rechtecks AR = lR · bR beträgt ein Neuntel des ursprünglichen Flächeninhalts, also des Flächeninhalts des Quadrats:

AR =

1 9

·AQ bzw.:

l R · bR =

1 9

· sQ2

Für die Länge lR und die Breite bR des Rechtecks gilt: lR = 13 · sQ und bR = sQ – 10 Setzt man lR und bR in die Flächenformel ein, erhält man: ( 13 · sQ) · (sQ – 10) =

1 9

· sQ2

3sQ2 – 30sQ = sQ2

_ sQ2

1 s 2 3 Q

–

10 s 3 Q

1 s 2 9 Q

«· 9

2sQ2 30sQ = 0 «: 2

sQ2 15sQ = 0

Lösen der gemischt-quadratischen Gleichung durch Ausklammern der Variable: sQ (sQ 15) = 0 sQ = 0 (nicht sinnvoll, da Flächeinhalt dann gleich Null wird) bzw.: sQ 15 = 0 ~ 15 sQ = 15

Die hell geflieste Fläche kann man sich aus neun einzelnen Teilrechtecken zusammengesetzt vorstellen (vgl. hierzu Hilfsskizze) - den drei größeren horizontal dargestellten Rechtecken AHR (1 bis 3) und den sechs kleineren vertikal dargestellten Rechtecken AVR (4 bis 9). Für deren gesamten Flächeninhalt gilt demnach:

Wenn man das Quadrat einer Zahl (d.h. x²) um man das Doppelte der Zahl (d.h. ... = 2x). Die Gleichung lautet somit: x² + 0,75 = 2x p = 2 ; q = 0,75 in Lösungsformel:

3 4

x² 2x + 0,75 = 0

Um die Länge lVR eines vertikalen Rechteckes zu erhalten, muss man von der Gesamtbreite (b = 21 m) drei mal die Streifenbreite x abziehen und das Ergebnis noch halbieren, d.h.:

x 1/2 =

2 § 2· r ¨ ¸ 0,75 = 1 r ( 1)² 0,75 = 1 r 0,25 = 1 r 0,5 2 © 2 ¹

3 · 24 · x + 6 · 12 · (21 3x) · x = 252

135x 9x² 252 = 0

· (21 3x)

72x + 3·(21 3x)·x = 252

72x + 63x 9x² = 252

9x² + 135x 252 = 0 ~: ( 9)

135x 9x² = 252

x² 15x + 28 = 0

p = 15 ; q = 28 in Lösungsformel:

( 15) r 2

§ 15 · ¨ ¸ 28 = 7,5 r 56,25 28 = 7,5 r 28,25 © 2 ¹

x1 | 12,82 (nicht sinnvoll, da Breite von drei Streifen dann gößer als gesamte Bodenbreite/-länge) Breite der hellen Streifen: 2,18 m. x2 | 2,18

x1 = 1,5 und x2 = 0,5

Es gibt zwei Zahlen, auf die die genannte Bedingung zutrifft: IL = {0,5 ; 1,5}

1 2

lVR =

Eingesetzt in Gleichung ( I ) ergibt:

x 1/2 =

(I)

Die Längen der horizontalen Rechtecke (1 bis 3) entsprechen der Breite des Fußbodens: lHR = 24

72x + 3x·(21 3x) = 252 vermehrt (d.h. + 0,75), so bekommt

3 · lHR · bHR + 6 · lVR · bVR = 252

Da alle Streifen gleiche breit sind, gilt für die horizontalen und vertikalen Rechtecke: bHR = bVR = x

AH = 3 · AHR + 6 · AVR = 252

Alternativweg:

Stellt man sich die Einzelflächen des Fußbodens gemäß Skizze neu zusammengesetzt vor, erhält man für die dunkel geflieste Fläche ein zusammenhängendes Rechteck. Dessen Breite b entspricht der Breite des Fußbodens abzüglich 3 mal der Streifenbreit x. Die Länge l entspricht der Fußbodenlänge abzüglich 3 mal der Streifenbreite x,

Die Breite der Einfassung wird über die Breite der Teilflächen (vgl. nachfolgende Hilfsskizze), aus denen sie sich zusammensetzt, und deren Flächeninhalt bestimmt. Die Einfassung hat eine Fläche von insgesamt 25,5 m² und entsteht aus vier Rechtecken, von denen zwei jeweils gegenüberliegende Rechtecke gleich groß sind.

21 m b

Da die Einfassung an jeder Stelle die gleiche Breite x hat, gilt für den Inhalt der Teilfläche 1 bzw. 3 (alle Längen in m): A1 = A3 = Länge · Breite = 10,5 · x = 10,5x

l = 24 3x

d.h.:

b = 21 3x

24 m

x = Breite der Einfassung 2

Der Flächeninhalt AD dieses dunklen Gesamtrechtecks ist ja bekanntlich halb so groß wie der des Fußbodens, also 252 m² (vgl. Rechenweg 1). Somit ergibt sich aus der Flächenformel für Rechtecke folgende Lösungsgleichung:

10,5 m

AD = l · b = (24 3x)·(21 3x) = 252

504 72x 63x + 9x² = 252 ~ 252

9x² 135x + 252 = 0 ~: 9

x² 15x + 28 = 0

p = 15 ; q = 28 in Lösungsformel . . . x1 | 12,82 und x2 | 2,18

14 m

Festlegen der Variablen: Für den Inhalt der Fläche 2 bzw. 4 gilt:

x² + 12,25x 6,375 = 0

4x² + 49x 25,5 = 0 ~: 4

p = 12,25 ; q = 6,375 in Lösungsformel:

x 1/2 =

12,25 § 12,25 · r ¨ ¸ ( 6,375) = 6,125 r 43,890625 = 6,125 r 6,625 2 © 2 ¹

x1 = 0,5 m (und x2 = –12,75 nicht sinnvoll, da negativ!)

Breite der Einfassung: 0,5 m

8. AHR

AVR

Alle Angaben und Ergebnisse in m bzw. m². x

1 4

2 7

lVR x

3 x 24 m

lVR 21 m

Da die hell geflieste Fläche AH genau so groß ist wie die dunkel geflieste Fläche, entspricht deren Flächeninhalt der Hälfte des Flächeninhaltes des gesamten Fußbodens AFB: AH = AH =

1 2 1 2

· AFB =

1 2

·l·b

· 24 · 21 = 252

Länge l’ = x + 4

Länge l = x

Die Fläche der Einfassung entspricht der Summe aller vier Rechteckflächen, d.h.: AEinfassung = A1 + A2 + A3 + A4 = 25,5 10,5x + (14x + 2x²) + 10,5x + (14x + 2x²) = 25,5 10,5x + 14x + 2x² + 10,5x + 14x + 2x² = 25,5 49x + 4x² = 25,5 4x² + 49x = 25,5

Breite b’ = y + 7,5

Breite b = y

A2 = A4 = Länge · Breite = (14 + 2x) · x = 14x + 2x²

Länge l des Rechtecks: x Breite b des Rechtecks: y

Fläche AR = x · y

Fläche A Q = (x + 4)·(y + 7,5)

(Alle Längen in m; alle Flächen in m²)

Die Länge l = x des Rechtecks wird um 4 m und die Breite b = y des Rechtecks um 7,5 m verlängert. Das neu entstehende Viereck hat somit eine Länge l' = x + 4 und eine Breite b' = y + 7,5. Da es sich bei dem neuen Viereck um ein Quadrat handelt, müssen diese beiden Seiten gleich lang sein. Man erhält somit die erste Bestimmungsgleichung: ( I ): x = y + 3,5 x + 4 = y + 7,5 Der Flächeninhalt AR = x · y des Rechtecks vergrößert sich durch die Längen-/Breitenänderung ebenfalls - und zwar um 108 m². Man erhält den Flächeninhalt AQ = (x + 4)·(y + 7,5) des neu entstandenen Quadrats dann, wenn man zur Rechteckfläche 108 m² addiert. Die zweite Bestimmungsgleichung lautet demnach: ( II ): x · y + 108 = (x + 4)·(y + 7,5) x = y + 3,5 in ( II ):

(y + 3,5) · y + 108 = ((y + 3,5) + 4)·(y + 7,5)

y² + 3,5y + 108 = (y + 3,5 + 4)·(y + 7,5)

y² + 3,5y + 108 = y² + 7,5y + 7,5y + 56,25

y² + 3,5y + 108 = y² + 15y + 56,25 ~ y²

11,5y + 108 = 56,25

y = 4,5 in ( I ): x = 4,5 + 3,5 = 8

11,5y = 51,75

y² + 3,5y + 108 = (y + 7,5)·(y + 7,5) 3,5y + 108 = 15y + 56,25

y = 4,5

Länge des ursprünglichen Rechtecks: 8 m, Breite des ursprünglichen Rechtecks: 4,5 m.

Wachstums- und Zerfallsprozesse

B39

10.

Millionen erhĂśhen. Da eine gleichmĂ¤Ă&#x;iges prozentuales Wachstum vorliegt, gilt grund-

Anzahl der angesetzten Tage: x Anzahl der geplanten Seiten (tĂ¤gl.): y Es sollen insgesamt 660 Seiten bearbeitet werden. Diesen Umfang wollte der Ă&#x153;bersetzer in x Tagen bei tĂ¤glich y Seiten bewĂ¤ltigen. Man erhĂ¤lt somit die erste Bestimmungsgleichung: 660 y Âˇ x = 660 Â&#x; ( I ): y = x Er braucht jedoch fĂźr alle 660 Seiten etwas lĂ¤nger, nĂ¤mlich 3 Tage mehr als angesetzt (also: x + 3). Diese VerzĂśgerung ergab sich, weil der Ă&#x153;bersetzer tĂ¤glich 2 Seiten weniger als geplant schaffte (also: y 2). Die zweite Bestimmungsgleichung lautet demnach:

sĂ¤tzlich die Wachstumsformel Gn = G0 Âˇ 1 + 100

Festlegen der Variablen:

Â&#x; y

( II ): (x + 3) Âˇ (y 2) = 660 660 x

in ( II ) : 660 x

(x + 3)Âˇ 660 x

660x 2 = 660

x Âˇ 2 + 3 Âˇ ( 2) = 660

Â&#x153;

xÂˇ

660x + 1980 2xÂ˛ 6x = 660x ~ 660x

+ 3Âˇ

Â&#x153;

2xÂ˛ 6x + 1980 = 0 ~:( 2)

Â&#x;

p = 3 ; q = 990 in LĂśsungsformel:

Â&#x153;

1980 x

660 +

2x 6 = 660 ~Âˇ x

Â&#x153; 1980 2xÂ˛ 6x = 0

Â&#x153;

xÂ˛ + 3x 990 = 0

Â&#x;

x1 = 30 (und x2 = â&#x20AC;&#x201C;33 nicht sinnvoll, da negativ!)

Setzt man die gegebenen GrĂśĂ&#x;en (in Millionen) ein, ergibt sich die Anzahl n der Jahre durch Umstellen der Wachstumsformel wie folgt:

3 Eingesetzt: 70 = 58,3 Âˇ 1 100

Logarithmieren:

G50 = G0 Âˇ 1 + 100

Aufgrund der VergrĂśĂ&#x;erung des Kugelradius von r auf r' vergrĂśĂ&#x;ert sich natĂźrlich auch die KugeloberflĂ¤che O, und zwar laut Angabe auf das Vierfache. FĂźr die OberflĂ¤che O' der neuen Kugel gilt dann (alle FlĂ¤chenangaben in cmÂ˛): O' = 4 Âˇ O. Durch Einsetzen der entsprechenden OberflĂ¤chenformel (O = 4rÂ˛S), ergibt sich daraus die folgende Bestimmungsgleichung: 4 Âˇ r'Â˛ Âˇ S = 4 Âˇ 4 Âˇ rÂ˛ Âˇ S.

Â&#x153;

rÂ˛ 10 r 25 = 0 3

r1/2 =

Â&#x;

3 r

4 Âˇ (r + 5)Â˛ Âˇ S = 4 Âˇ 4 Âˇ rÂ˛ Âˇ S ~: 4 ~: S

Â&#x;

p = 10 ; q = 25 3

Â§ 10 Âˇ Â¨ 3Â¸ 25 5 Â¨Â¨ 2 Â¸Â¸ 3 = 3 r ÂŠ Âš

Â&#x153;

Â&#x153; 3rÂ˛ + 10r + 25 = 0 ~: ( 3)

in LĂśsungsformel:

53 2 253 = 53 r

25 75 = 5 r 10 9 9 3 3

Der ursprĂźngliche Radius betrĂ¤gt: r = 5 cm.

2.1.8 Wachstums- und Zerfallsprozesse 1. Da eine gleichmĂ¤Ă&#x;ige prozentuale VerĂ¤nderung vorliegt, gilt grundsĂ¤tzlich die Wachstums-

p n . 100

Die AnfangsgrĂśĂ&#x;e entspricht der Einwohnerzahl im Jahre 1989, d.h.: G0 = 490 000 EW. Der Prozentsatz p entspricht der jĂ¤hrlichen Wachstumsrate, also: p% = 0,8 %. Es soll die Einwohnerzahl im Jahr 2010 ermittelt werden. Von 1989 bis einschlieĂ&#x;lich 2010 sind insgesamt 21 Jahre vergangen (Anfangsjahr 1989 zĂ¤hlt nicht mit), d.h.: n = 21 (Jahre) Man erhĂ¤lt die gesuchte Einwohnerzahl G21 nach 21 Wachstumsjahren durch Einsetzen in die o.g. Formel:

Â&#x;

G21 = G0 Âˇ

p 21 1 + 100

= (490 000 EW) Âˇ

0,8 21 1 + 100

| 579 252 EW

Im Jahr 2010 werden voraussichtlich 579 252 Menschen in der GroĂ&#x;stadt leben.

n = log1,031,2 =

lg1, 2 | 6,2 (Jahre) lg1,03

berechnet werden: 37505 mÂł = 10927 mÂł Âˇ 1 +

37505 1 + = 10927 n

Â&#x;

p 50 100

p 50 100 p

Â&#x153;

1 + 100 =

Â&#x153;

p 100

Â&#x153;

p 100

= 0,0247914 ~Âˇ 100

Â&#x153;

50 3,432323

= 1,0247914

~ 1

p% = 2,47914 % | 2,5 %

Der jĂ¤hrliche Zuwachs betrĂ¤gt etwa 2,5 %.

5. a) Zeit in Stunden Anzahl Bakterien

0 80

6 12 18 24 160 320 640 1280

Die Zeit auf der x-Achse antragen: x-Achse von 0 bis 30 Stunden (6 h Âź 2 cm).

b) Eine Woche hat insgesamt 168 Stunden. 168 Stunden : 6 Stunden = 28 o Eine Woche enthĂ¤lt also 28 Zeitintervalle (mit je 6 Stunden) Nach einer Woche hat sich die Anzahl Gn der Bakterien folgendermaĂ&#x;en vergrĂśĂ&#x;ert: Exponentielles Wachstum Gn = G0 Âˇ qn wobei: G0 Anzahl der Bakterien zu Beginn der Untersuchung = 80 q Wachstumsfaktor = 2 (wegen Verdoppelung) n Anzahl der Intervalle im betrachteten Zeitraum

Â&#x;

Anzahl Bakterien

1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

12 18 24 30 Stunden

G28= 80 Âˇ 228 | 21 500 000 000 Bakterien = 2,15Âˇ 1010 Bakterien

2. Da ein gleichmĂ¤Ă&#x;iges Wachstum vorliegt, gilt grundsĂ¤tzlich die Wachstumsformel mit dem Wachstumsfaktor q: Gn = G0 Âˇ qn. Die AnfangsgrĂśĂ&#x;e entspricht der Bakterienzahl zu Beginn des Wachstums, also: G0 = 50. Da sich die Bakterienzahl pro Tag vervierfacht, ist die Wachstumsrate: q = 4. Die Variable n gibt die Anzahl der Zeiteinheiten wieder, in denen sich die Vervierfachung abspielt, also die Anzahl von Tagen, so dass: n = 3 ; 10 ; 15 (Tage) Anzahl Bakterien nach 3 Tagen:

G3 = G0 Âˇ qn = 50 Âˇ 43 = 3200

Anzahl Bakterien nach 10 Tagen:

G10 = 50 Âˇ 410 = 52428800 | 5,243 Âˇ 107

Anzahl Bakterien nach 15 Tagen:

Â&#x153; 70 = 58,3 Âˇ1,03n Â°: 58,3. Â&#x153; 1,03n = 1,2

Die Zahl Bakterien auf der y-Achse antragen: y-Achse von 0 bis 1400 Bakterien (100 Bakterien Âź 1 cm).

r1 = 5 (und r2 = 5 nicht sinnvoll, da negativ!)

formel: Gn = G0 Âˇ 1 +

11.

rÂ˛ + 2Âˇ5Âˇr + 25 = 4rÂ˛ ~ 4rÂ˛

Im Laufe des siebten Jahres wĂ¤chst die BevĂślkerung auf 70 Millionen an. Im Jahre 2004 wird die Einwohnerzahl mehr als 70 Millionen betragen.

Die Kugel hat ursprĂźnglich den Radius r. Dieser soll um 5 cm verlĂ¤ngert werden. Der Radius r' der verĂ¤nderten Kugel betrĂ¤gt somit (alle LĂ¤ngenangaben in cm): r' = r + 5.

Â&#x153;

mit folgenden Festlegungen:

Einwohnerzahl nach n Jahren = 70 Mio. Einwohnerzahl im Anfangsjahr 1997 = 58,3 Mio. jĂ¤hrliche Wachstumsrate in % = 3 Anzahl der Jahre ab 1997

Â&#x153;

(r + 5)Â˛ = 4rÂ˛

kann p mit der Wachstumsformel Gn = G0 Âˇ 1 + 100

Es waren ursprĂźnglich 30 Tage angesetzt.

r' = r + 5 eingesetzt: Â&#x;

3 Â§ 3Âˇ r Â¨ Â¸ ( 990) = 1,5 r 992,25 = 1,5 r 31,5 2 ÂŠ 2Âš

Â&#x153;

Der Anfangsbestand G0 = 10927 mÂł Holz wĂ¤chst in 50 Jahren (n = 50) auf den Endbestand G50 = 37505 mÂł Holz. Da ein gleichmĂ¤Ă&#x;iges, prozentuales Wachstum angenommen wird,

x1/2 =

Gn G0 p n

Â&#x153;

G15 = 50 Âˇ

415 |

5,369 Âˇ 1010

3. Im Jahr 1997 betrug die Einwohnerzahl 58,3 Millionen. Ausgehend von einer durchschnittlichen jĂ¤hrlichen Wachstumsrate von 3% soll sich die BevĂślkerungszahl auf 70

a) Das Anfangskapital K0 = 3.000 â&#x201A;Ź wird am 1. Geburtstag zu einem Zinssatz von p% = 7 % eingezahlt und bleibt bis zum 14. Geburtstag ununterbrochen angelegt. Es wird also vorerst 13 Jahre lang verzinst (n = 13). Da anfallende Zinsen auf dem Sparbuch verbleiben und mitverzinst werden, ist die Zinses-

zinsformel Kn = K0 Âˇ 1 + 100

K13 = 3.000 â&#x201A;Ź Âˇ

7 13 1 + 100

anzuwenden:

| 7.229,54 â&#x201A;Ź

An ihrem 14. Geburtstag hebt Susi 1.200 â&#x201A;Ź ab, so dass sie noch Ăźber folgenden Betrag auf dem Sparbuch verfĂźgt: K = 7.229,54 â&#x201A;Ź â&#x20AC;&#x201C; 1.200 â&#x201A;Ź = 6.029,54 â&#x201A;Ź An ihrem 18. Geburtstag wird sie das Sparbuch auflĂśsen, d.h. der Restbetrag K auf dem Sparbuch wird weitere 4 Jahre verzinst (n = 4). Auch in diesen letzten vier Jahren werden

B40

Wachstums- und Zerfallsprozesse Da der Endwert des ersten Jahres dem Anfangswert des folgenden Jahres entspricht, kĂśnnen sĂ¤mtliche Einzelrechnungen auch zu einer Gesamtgleichung zusammengefasst werden:

die anfallenden Zinsen mitverzinst. Es gilt also wieder die Zinseszinsformel, wobei das Anfangskapital K0 nun dem Restbetrag K = 6.029,54 â&#x201A;Ź entspricht:

Â&#x;

7 Auszahlungsbetrag am 18. Geburtstag : K4 = 6.029,54 â&#x201A;Ź Âˇ 1 + 100

| 7.903,50 â&#x201A;Ź

b) Ausgehend vom Anfangskapital K0 = 3.000 â&#x201A;Ź will Susi Zins und Zinseszinsen auf dem Sparbuch belassen bis sie ein Endkapital von Kn = 12.000 â&#x201A;Ź (mit p% = 7 %) angespart hat. Eingesetzt in die Zinseszinsformel erhĂ¤lt man die Anzahl n der Jahre wie folgt:

Â&#x; Â&#x153;

7 12.000 = 3.000 Âˇ 1 100 n

Â&#x153;

1,07 = 4

12.000 = 3.000 Âˇ 1,07n

Â&#x153;

d) FĂźr die beiden letzten Jahre (viertes/fĂźnftes Jahr) wird wieder ein gleichmĂ¤Ă&#x;iger Verlust zu Grunde gelegt, ausgehend vom in Aufgabe c) ermittelten Zeitwert des Motorrades. Die

p 15

K15 = K0 Âˇ 1 + 100

= 161.000 â&#x201A;Ź Âˇ 1 + 6,25 100

kann somit zur Berechnung des

prozentualen Wertverlustes p fĂźr den ganzen Zeitraum herangezogen werden, wobei gilt:

berechnen, da die Jahreszinsen

jeweils mitverzinst werden. Der damalige Kaufpreis kommt dem Anfangskapital K0 gleich, das sich Ăźber eine Laufzeit von 15 Jahren (n = 15) auf das Endkapital K15 erhĂśht:

Â&#x;

p n

bereits verwendete Zinseszinsformel Kn = K0Âˇ 1 100

a) Der Wertzuwachs des GrundstĂźcks soll dem Wertzuwachs einer Kapitalanlage entsprechen, die Ăźber 15 Jahre hinweg mit einem Jahreszins von 6,25 % verzinst wird. Der Wertzuwachs

1 | 4489,25 â&#x201A;Ź

Das Motorrad hatte nach drei Jahren noch einen Wert von etwa 4.489 â&#x201A;Ź.

Wert des Motorrades zum jetzigen Zeitpunkt, also nach Ablauf von zwei weiteren (insgesamt fĂźnf) Jahren Â&#x; Kn = K2 = 3.450 â&#x201A;Ź

Wert des Motorrades zum Bezugszeitpunkt, also nach Ablauf der ersten drei Jahre Â&#x; K0 = 4.489 â&#x201A;Ź

Anzahl der betrachteten Jahre Â&#x; n = 2

lĂ¤sst sich daher mit der Zinseszinsformel Kn = K0 Âˇ 1 + 100

Â°: 3.000

lg 4 n = log1,074 = | 20,5 (Jahre) lg1,07

Logarithmieren:

21 Âˇ 1 18 Âˇ 1 16 K1.3 = 8250,00 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100 100 100

= 399.723,75 â&#x201A;Ź | 400.000 â&#x201A;Ź

Eingesetzt: Â&#x153; Â&#x153;

p 1 100

0,7685 =

p 2

3450 â&#x201A;Ź = 4489 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100 Â&#x153;

Â&#x153;

0,7685 +

p = (1 0,7685 )Âˇ100 | 12,34

Â&#x153;

p 2

0,7685 = 1 100

p 100

Â&#x153;

= 1 0,7685

Â&#x153;

JĂ¤hrlicher Wertverlust: p% | 12 %.

Der Wertzuwachs betrĂ¤gt somit: 400.000 â&#x201A;Ź â&#x20AC;&#x201C; 161.000 â&#x201A;Ź = 239.000 â&#x201A;Ź.

e) Um die Anzahl n der Jahre zu erhalten, setzt man den Kaufpreis K0 = 8.250 â&#x201A;Ź und den

b) Vereinfachend soll angenommen werden, dass die fĂźr das geliehene Kapital anfallenden Kreditzinsen jĂ¤hrlich an die Versicherungsgesellschaft zurĂźckgezahlt werden. Die Zinseszinsformel gilt daher nicht!

Restwert Kn = 1.000 â&#x201A;Ź in die Formel Kn = K0 Âˇ 1 100 (vgl. Aufgabe b)) ein. Bei einem gleichbleibenden prozentualen Wertverlust von 16 % ergibt sich n wie folgt:

In den ersten fĂźnf Jahren fĂ¤llt jĂ¤hrlich folgender Zinsbetrag an: p 5,5 = 5.500 â&#x201A;Ź Z = K Âˇ 1001 = 100.000 â&#x201A;Ź Âˇ 100

Â&#x; Â&#x153;

Insgesamt anfallender Zinsbetrag 1.-5. Jahr: Z1-5 = 5ÂˇZ = 5Âˇ5.500 â&#x201A;Ź = 27.500 â&#x201A;Ź

16 1.000 = 8.250 Âˇ 1 100 n

0,84 | 0,12

In den letzten fĂźnf Jahren fĂ¤llt jĂ¤hrlich folgender Zinsbetrag an: p 10 = 10.000 â&#x201A;Ź Z = K Âˇ 1003 = 100.000 â&#x201A;Ź Âˇ 100

15000 â&#x201A;Ź = K0 Âˇ 1 +

Ă&#x153;ber den vollen Zeitraum von 15 Jahren sind somit insgesamt zu zahlen:

Der Wertzuwachs des GrundstĂźcks verringert sich um den insgesamt gezahlten Zinsbetrag. Â&#x; tatsĂ¤chlicher Gewinn = 239.000 â&#x201A;Ź â&#x20AC;&#x201C; 120.000 â&#x201A;Ź = 119.000 â&#x201A;Ź

a) Um zunĂ¤chst den Restwert in Prozent zu erhalten, werden der Kaufpreis G = 8.250 â&#x201A;Ź (Grundwert) und der Restwert nach fĂźnf Jahren P = 3.450 â&#x201A;Ź (Prozentwert) in die Prozenteingesetzt und p wie folgt errechnet:

Âˇ 8250 â&#x201A;Ź

Â&#x153;

= 0,418 | 0,42 Â&#x;

p% = 42 %

b) Der jĂ¤hrliche prozentuale Wertverlust p% lĂ¤sst sich mit der Zinseszinsformel

ermitteln, wobei wegen des Wertverlustes das Pluszeichen durch

Kn = K0 Âˇ 1 100

ein Minuszeichen ersetzt werden muss:

Â&#x153;

0,418 +

p 100

=1 Â&#x153;

p 100

p 5

3450 â&#x201A;Ź = 8250 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

p 5

0,418 = 1 100

0,418

Â&#x153; p = (1

Â&#x153;

c) Da die prozentuale Wertminderung nicht gleich bleibt, sondern sich deren Zahlenwert jĂ¤hr-

p = 21 ; K0.1 = 8.250,00 â&#x201A;Ź

Â&#x;

2. Jahr:

p = 18 ; K0.2 = 6.517,50 â&#x201A;Ź

Â&#x;

3. Jahr:

p = 16 ; K0.3 = 5.344,35 â&#x201A;Ź

Â&#x;

18 2, 027

Â&#x153;

p 100

p 1 100

| 0,040

Â&#x;

p 18

15000 â&#x201A;Ź = 7400 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

Â&#x153;

immer nur fĂźr den

1 = 6517,50 â&#x201A;Ź 18 1 = 5344,35 â&#x201A;Ź K1.2 = 6517,50 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100 16 1 | 4489,25 â&#x201A;Ź K1.3 = 5344,35 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100 21 K1.1 = 8250,00 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

wie folgt berechnen:

, wobei entsprechend der Konditionen des ande-

Â&#x153;

~: 7400 â&#x201A;Ź

18 2, 027

Â&#x153;

p 100

Â&#x153;

p 100

p 18

2, 027 = 1 100

~ 18

18 2, 027

Â&#x153;

Verzinsung p% | 4 %

KB13 = KB0 Âˇ 1

KA18 = KA0 Âˇ 1 100

= 4000 â&#x201A;Ź Âˇ 1

3,5 = 4000 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

3,5 13 100

| 7430 â&#x201A;Ź

und

| 6256 â&#x201A;Ź

Endbetrag nach 18 Jahren: K18 = KA18 + KB13 = 7430 â&#x201A;Ź + 6256 â&#x201A;Ź = 13.686 â&#x201A;Ź

10. a) Die biologische Halbwertszeit von Tritium betrĂ¤gt 10 Tage, d.h. nach diesem Zeitintervall ist die HĂ¤lfte der Anfangsstoffmenge im menschlichen Organismus noch vorhanden. Wie bei anderen Zerfallsprozessen gilt die Formel mn = m0 Âˇ a n mit folgenden Festlegungen: mn Stoffmenge nach einem bestimmten Zeitraum in mg m0 Anfangsstoffmenge = 20 mg

Zeitraum von einem Jahr angewendet werden. Der jeweils errechnete Endwert des ersten Jahres entspricht dann dem Anfangswert des zweiten Jahres usw.: 1. Jahr:

0,418 = 1 100

JĂ¤hrlicher Wertverlust: p% | 16 %.

ren Institutes gilt: Kn = 15.000 â&#x201A;Ź ; K0 = 7.400 â&#x201A;Ź ; n = 18

wobei:

0,418 )Âˇ100 | 16

p n K0Âˇ 1 100

lg 0,12 | 12 (Jahre) lg 0,84

Â&#x153; 15000 â&#x201A;Ź = K0 Âˇ 1,939929 ~: 1,939929 Â&#x153; K0 | 7.732 â&#x201A;Ź

p n 100

Â&#x153;

lich verĂ¤ndert, kann die angepasste Zinseszinsformel Kn =

Das Anfangskapital K0 entspricht dabei dem Kaufpreis des Motorrades und das Endkapital Kn dem nach fĂźnf Jahren (n = 5) noch vorhandenen Restwert. Eingesetzt:

n = log0,840,12 =

c) Der zuerst eingezahlte Betrag KA0 = 4.000 â&#x201A;Ź erhĂśht sich Ăźber die gesamte Laufzeit von n = 18 Jahren durch Zinseszins (Zinssatz p% = 3,5 %) auf den Endbetrag KA18. Der nach fĂźnf Jahren eingezahlte zweite Betrag KB0 = 4.000 â&#x201A;Ź erhĂśht sich nur noch Ăźber die verbleibende Zeit von n = 13 Jahren auf den Endbetrag KB13. Das der Tochter nach 18 Jahren insgesamt zur VerfĂźgung stehende Endkapital K18 setzt sich aus diesen beiden EinzelbetrĂ¤gen zusammen: K18 = KA18 + KB13

Der Wertverlust entspricht dann: 100 % 42 % = 58 %.

Kn = K0 Âˇ 1 + 100

3,75 18 100

der Zinseszinsformel Kn = K0 Âˇ 1 100 Â&#x;

3450 â&#x201A;Ź =

Â°: 8.250

b) Den Zinssatz p fĂźr die Laufzeit von 18 Jahren erhĂ¤lt man durch entsprechendes Umformen

Zges = Z1-5 + Z6-10 + Z10-15 = 27.500 â&#x201A;Ź + 42.500 â&#x201A;Ź + 50.000 â&#x201A;Ź = 120.000 â&#x201A;Ź

p 100

Logarithmieren:

Es lĂ¤sst sich mit der Zinseszinsformel Kn = K0 Âˇ 1 + 100

Insgesamt anfallender Zinsbetrag 11.-15. Jahr: Z10-15 = 5ÂˇZ = 5Âˇ10.000 â&#x201A;Ź = 50.000 â&#x201A;Ź

p 100

1.000 = 8.250 Âˇ 0,84n

Â&#x153;

a) Die Tochter soll nach 18 Jahren 15.000 â&#x201A;Ź zur VerfĂźgung haben. Das Anfangskapital K0, das der Vater anlegt, muss Ăźber eine Laufzeit von n = 18 Jahren einschlieĂ&#x;lich der mitverzinsten Zinsen (Zinssatz p% = 3,75 %) auf einen Endbetrag von Kn = K18 = 15.000 â&#x201A;Ź anwachsen.

Insgesamt anfallender Zinsbetrag 6.-10. Jahr: Z6-10 = 5ÂˇZ = 5Âˇ8.500 â&#x201A;Ź = 42.500 â&#x201A;Ź

formel (P

In den nĂ¤chsten fĂźnf Jahren fĂ¤llt jĂ¤hrlich dann folgender Zinsbetrag an: p 8,5 = 8.500 â&#x201A;Ź Z = K Âˇ 1002 = 100.000 â&#x201A;Ź Âˇ 100

p = 100 Â&#x2DC; G )

Â&#x153;

1 2

Zerfallsfaktor =

Anzahl der Zeitintervalle (bezogen auf Halbwertszeit).

= 0,5 (Halbierung der Stoffmenge)

Der vorgegebene Zeitraum von 7 Tagen enthĂ¤lt insgesamt: n = 7 Tage : 10 Tage = 0,7 10-Tages-Intervalle bzw. HalbwertszeitrĂ¤ume Die nach 7 Tagen (n = 0,7) noch vorhandene Menge m0,7 Tritium betrĂ¤gt somit: Â&#x;

m0,7 = (20 mg) Âˇ 0,50,7 = 12,311444 mg | 12,3 mg

Wachstums- und Zerfallsprozesse

B41

b) Es gilt die in Aufgabe a) angegebene Zerfallsformel: mn = m0 Âˇ 0,5n . Diesmal ist die Anfangsmenge m0 gesucht, die nach einem Zeitraum von 15 Tagen eine Restmenge mn = 3 mg hinterlĂ¤sst. Die vorgegebene Zeitspanne von 15 Tagen enthĂ¤lt n Halbwerts-Intervalle: Â&#x; n = 15 Tage : 10 Tage = 1,5 Die ursprĂźnglich freigesetzte Menge (Anfangsmenge) m0 ergibt sich aus der umgestellten m1,5 3 mg = = 8,48528 mg | 8,5 mg 0,51,5 0,51,5

Zerfallsformel: Â&#x; m0 =

c) Es gilt die Formel fĂźr das prozentuale Wachstum, wobei aufgrund des Zerfalls das Pluszeichen durch ein Minuszeichen ersetzt werden muss:

mn = m0 Âˇ

p n 1 100

Von einer beliebigen Anfangsmenge m0 Tritium ist nach n = 10 Tagen noch die HĂ¤lfte im Organismus vorhanden, so dass mn = m10 = 0,5 Âˇ m0: (HINWEIS: n soll nun der Anzahl Tage entsprechen, da der tĂ¤gliche prozentuale Abbau gesucht ist!) Â&#x;

0,5 Âˇ m0 = m0 Âˇ 1 100 p 100

~ : m0 p 100

10 0,5

Â&#x153;

TĂ¤glicher Abbau p% = 6,6967 % | 6,7 %

0,5 = 1 100

Â&#x153;

= 1 10 0,5 | 0,066967

Â&#x153;

10 0,5

= 1 100

Â¨Â&#x2DC; 100

11.

Wertverlustes das Pluszeichen durch ein Minuszeichen ersetzt: Kn = K0 Âˇ

p n 1 100 .

Restwert nach 1. Jahr: p = 25 ; K0 = 21.600 â&#x201A;Ź ; n = 1

K1 = 21.600 â&#x201A;Ź Âˇ

Â&#x;

20 K4 = 16.200 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

p = 20 ; K0 = K1 = 16.200 â&#x201A;Ź ; n = 4

4 = 6.635,52 â&#x201A;Ź | 6.636 â&#x201A;Ź

Alternativ kĂśnnen die zwei Rechenschritte auch in einer Gesamtgleichung zusammenge-

25 20 fasst werden: K5 = 21.600 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100 Âˇ 1 100 | 6.636 â&#x201A;Ź

b) Der durchschnittliche jĂ¤hrliche Wertverlust p in Prozent lĂ¤sst sich mit der angepassten p

Zinseszinsformel Kn = K0 Âˇ 1 100

ermitteln, wobei das Anfangskapital K0 dem Kauf-

preis des Autos (19.250 â&#x201A;Ź) und das Endkapital Kn dem nach acht Jahren (n = 8) noch vorhandenen Restwert des Autos (3.750 â&#x201A;Ź) entspricht.

Eingesetzt:

p 8

3750 p = 1 100 19250 8

15 + 77

p 100

15 = 1

3.750 â&#x201A;Ź = 19.250 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

Â&#x153;

p ~+ 100

p 8 100

Â&#x153;

p 100

~: 19.250 â&#x201A;Ź Â&#x153;

Â&#x153;

15 p = 1 100 77

15 | 0,1849 ~Â&#x2DC;100 77

p ~+ 100

Â&#x153;

p = 18,49 | 18,5

tuale VerĂ¤nderung vorliegt, gilt grundsĂ¤tzlich die Wachstumsformel Gn = G0 Âˇ 1 + 100

mit folgenden Festlegungen: Gn G0 p

Einwohnerzahl (Beginn des Jahres) nach einem bestimmten Zeitraum n in Mio. Einwohnerzahl zu Beginn des Jahres 2000 = 12,51 Mio. jĂ¤hrliche Wachstumsrate in % = 4

Anzahl der Zeitintervalle Â&#x161; Anzahl der Jahre seit Anfang 2000 = 15.

Zu Beginn des Jahres 2015 betrĂ¤gt die Einwohnerzahl demnach: 15

Â¨: 1,072

7,2 25

Â&#x153;

G0 | 2,20 Mio.

Einwohnerzahl zu Beginn des Jahres 1950: Bezogen auf das Jahr 1950 wuchs die BevĂślkerungszahl wieder Ăźber 25 Jahre hinweg diesmal jĂ¤hrlich um 6,8% bis auf 2,20 Mio. Menschen (Stand 1975). Die gesuchte Einwohnerzahl 1950 entspricht wieder dem Anfangswert G0, die Einwohnerzahl des Jahres 1975 nun dem Endwert G25 nach 25 Jahren. Entsprechend der vorhergehenden Rechnung ergibt sich (p% = 6,8% ; n = 25):

6,8 25

2,20 Mio. = G0 Âˇ 1 + 100

Â&#x153; 2,20 Mio. = G0 Âˇ 1,06825 Â¨: 1,06825

Â&#x153;

c) Das durchschnittliche prozentuale Wachstum p ausgehend vom Anfangswert des Jahres 1950 bis zum Endwert des Jahres 2015 (n = 65 Jahre) erhĂ¤lt man durch entsprechendes Umformen der Wachstumsformel mit Gn = G65 = 22,53 Mio. Menschen (voraussichtlicher Stand 2015) und G0 = 0,42 Mio. Menschen (Stand 1950): Â&#x;

22,53 Mio. = 0,42 Mio. Âˇ 1

53,643 = 1 100

p 100

p 65 100

~ 65 Â&#x153;

~: 0,42 Mio.

Â&#x153; p 100

Â&#x153; p

1 100

65 53,643

Â&#x153;

durchschnittliches Wachstum p% = 6,32 % | 6,3 %

Â&#x153;

= 0,0632 ~Âˇ100

Â&#x153;

d) Ausgehend von der Einwohnerzahl im Jahr 2000 G0 = 12,51 Mio. soll errechnet werden, wann eine Einwohnerzahl von Gn = 30 Mio. Ăźberschritten wird. Bei einem gleichbleibenden Wachstum von 4 % erhĂ¤lt man die Anzahl n der Jahre mittels Wachstumsformel:

Â&#x;

4 30 Mio. = 12,51 Mio. Âˇ 1 100

Â&#x153;

1,04n = 2,398

Â&#x153;

Â&#x153; 30 Mio. = 12,51 Mio. Âˇ 1,04n n = log1,042,398 =

Logarithmieren:

Â°:12,51 Mio.

lg 2,398 | 22,3 (Jahre) lg1,04

Im Laufe des 23. Jahres Ăźberschreitet die Einwohnerzahl die 30 Millionenmarke, d.h. zu Beginn des Jahres 2023 wird sie Ăźber 30 Millionen liegen.

a) Dem Patienten wird eine Anfangsmenge von 366,8 mg eines Schmerzmittels verabreicht, die der KĂśrper in einer Zeitspanne von 160 Minuten zur HĂ¤lfte abbaut. Die Halbwertszeit fĂźr den Stoffabbau betrĂ¤gt also 160 Minuten. Wie bei anderen Zerfalls-/Abbauprozessen gilt die Formel mn = m0 Âˇ a n

1 2

Zerfallsfaktor =

Anzahl der Zeitintervalle (bezogen auf Halbwertszeit).

= 0,5 (Halbierung der Stoffmenge)

Der zu betrachtende Zeitraum von 5 Stunden = 300 Minuten enthĂ¤lt insgesamt: n = 300 Minuten : 160 Minuten = 1,875 160-Minuten-Intervalle bzw. Halbwertszeitspannen. Die nach 5 Stunden (n = 1,875) noch vorhandene Wirkstoffmenge m1,875 betrĂ¤gt somit:

12.

15 = 12,51 Mio. Âˇ1,04

12,51 Mio. = G0 Âˇ 1 + 100

12,51 Mio. = G0 Âˇ 1,072

Â&#x;

a) Zu Beginn des Jahres 2000 lebten in Dhaka 12,51 Millionen Menschen. Ab dem Jahr 2000 schĂ¤tzt man die durchschnittliche jĂ¤hrliche Wachstumsrate auf 4%. Sie soll laut Tabelle Ăźber einen Zeitraum von 15 Jahren konstant bleiben. Da somit eine gleichmĂ¤Ă&#x;ige prozen-

mit folgenden Festlegungen: mn Wirkstoffmenge nach einem bestimmten Zeitraum in mg m0 Anfangs-Wirkstoffmenge = 366,8 mg

Durchschnittlicher jĂ¤hrlicher Wertverlust: p% | 18,5 %.

4 G15 = 12,51 Mio. Âˇ 1 + 100

13.

Das Auto hat nach fĂźnf Jahren noch einen Wert von etwa 6.636 â&#x201A;Ź.

G25 = 12,51 Mio.):

= 16.200 â&#x201A;Ź

Restwert nach 4 weiteren Jahren:

Einwohnerzahl zu Beginn des Jahres 1975: Bezogen auf das Jahr 1975 wuchs die BevĂślkerungszahl Ăźber 25 Jahre jĂ¤hrlich um 7,2% bis auf 12,51 Mio. Menschen (Stand 2000). Die gesuchte Einwohnerzahl 1975 entspricht in der Wachstumsformel somit dem Anfangswert G0, die Einwohnerzahl des Jahres 2000 dem Endwert G25 nach 25 Jahren. Eingesetzt in die Wachtumsformel ergibt sich (p% = 7,2% ; n = 25;

Â&#x153;

Das Anfangskapital K0 entspricht dabei dem Kaufpreis (21.600 â&#x201A;Ź) des Autos und das Endkapital Kn dem nach n Jahren noch vorhandenen Restwert. Zu beachten ist, dass die Wertminderung von 25% wĂ¤hrend des betrachteten Zeitraumes nicht gleich bleibt. Man geht vielmehr davon aus, dass das Auto ab dem zweiten Jahr jĂ¤hrlich nur noch 20% des jeweiligen Restwertes verliert. Der Restwert nach fĂźnf Jahren muss deshalb in zwei Schritten berechnet werden - mit einem Prozentsatz von 25% fĂźr zunĂ¤chst ein Jahr und dann mit einem Prozentsatz von 20% noch mal Ăźber einen Zeitraum von vier Jahren. Der errechnete Endwert des ersten Jahres entspricht dann dem Anfangswert des zweiten Jahres: Â&#x;

G0 | 0,42 Mio. Einwohner zu Beginn des Jahres 1950

a) Der Restwert des Autos lĂ¤sst sich mit der Zinseszinsformel ermitteln, wobei man wegen des

25 1 1 100

liche Wachstumsrate Ă¤nderte, erfolgt dies in zwei Rechenschritten, zunĂ¤chst bis zum Jahr 1975 und dann bis 1950. Es gilt fĂźr beide FĂ¤lle die Wachstumsformel Gn = G0 Âˇ 1 + 100 .

= 22,5298 Mio. | 22,53 Mio. Menschen

b) Ausgehend von der bekannten Einwohnerzahl des Jahres 2000 (12,51 Mio.) wird auf die Einwohnerzahl des Jahres 1950 "zurĂźckgerechnet". Da sich aber in diesen 50 Jahren die jĂ¤hr-

m1,875 = (366,8 mg) Âˇ 0,51,875 | 100 mg

b) Man erhĂ¤lt die auf eine Stunde bezogene prozentuale Abnahme aus der Formel fĂźr das prozentuale Wachstum, wenn man - aufgrund des Stoffabbaus - das Pluszeichen durch ein Minuszeichen ersetzt. AuĂ&#x;erdem entspricht dann die Anzahl n nicht mehr der Anzahl der Halbwertszeitintervalle sondern der Anzahl der Stunden:

mn = m0 Âˇ 1 100

Von der anfangs vorhandenen Wirkstoffmenge 366,8 mg befinden sich nach 5 Stunden noch 100 mg (vgl. Aufgabe a)) im KĂśrper, so dass Folgendes gilt: mn m0 p n

Wirkstoffmenge nach 5 Stunden m5 = 100 mg Anfangs-Wirkstoffmenge = 366,8 mg stĂźndliche Wirkstoffabnahme in Prozent Anzahl Stunden = 5

Eingesetzt: Â&#x;

p Âˇ 100 mg = 366,8 mg Âˇ Â§Â¨ 1 Â¸ 100 Âš ÂŠ

Â&#x153;

5 0,272628 = 1 p

Â&#x153;

p 100

100

Â&#x153;

= 1 5 0,272628 | 0,22889

~: 366,8 mg Â&#x153;

p Âˇ 0,272628 = Â§Â¨ 1 Â¸ 100 Âš ÂŠ

5 0,272628 + p = 1 100

Â¨Â&#x2DC; 100

Â&#x153;

p = 22,889

Â&#x153;

Strahlensatz und zentrische Streckung

B42 Â&#x;

StĂźndliche Abnahme der Wirkstoffmenge p% = 22,9 %

2.1.9 Strahlensatz und zentrische Streckung

c) Es gilt die in Aufgabe a) angegebene Formel: mn = m0 Âˇ 0,5n . Diesmal ist die Anfangsmenge m0 gesucht, die nach einem Zeitraum von 6 Stunden eine Rest-Wirkstoffmenge mn = 100 mg hinterlĂ¤sst. Die angegebene Zeitspanne von 6 Stunden = 360 Minuten enthĂ¤lt n Halbwerts-Intervalle: Â&#x; n = 360 Minuten : 160 Minuten = 2,25

1. a) Einzeichnen der Urpunkte A (2/1), B (4,5/1), C (3/2) und D (2/2) des Trapezes in das Koordinatensystem y . 6

Die ursprĂźnglich verabreichte Wirkstoffmenge m0 ergibt sich aus der umgestellten Formel m 2,25 m 100 mg = = 475,6828 mg | 475,7 mg fĂźr den Abbau wie folgt: m0 = n = 0,5 2,25 0,5 n 0,5 2,25

Bei allen angegebenen ZeitrĂ¤umen wird vereinfacht davon ausgegangen, dass sich die Rente zu Beginn des Zeitraumes (z.B. Rente im Jahr 1969) jĂ¤hrlich gleichmĂ¤Ă&#x;ig durch eine prozentuale Steigerung (z.B. 1,24%) auf den Wert am Ende des betrachteten Zeitraumes (z.B. Rente im Jahre 1979) erhĂśht. Unter BerĂźcksichtigung der jeweiligen LĂ¤nge n des Zeitraumes gilt deshalb prinzipiell die

Zinseszinsformel Kn = K0 Âˇ 1 + 100 Kn K0 p n

mit folgenden Festlegungen:

Monatsrente am Ende des betrachteten Zeitraumes in â&#x201A;Ź Monatsrente zu Beginn des betrachteten Zeitraumes in â&#x201A;Ź prozentuale jĂ¤hrliche RentenerhĂśhung LĂ¤nge des betrachteten Zeitraumes = Anzahl der Jahre

Ă&#x153;bersicht Rententabelle: Jahr Durchschnittliche monatliche Rente Durchschnittliche jĂ¤hrliche RentenerhĂśhung

A' A

Z 0

14.

(HINWEIS: Die Aufgabe kann auch mit der in Aufgabe 3.b) angegebenen Formel fĂźr den stĂźndlichen prozentualen Abbau bestimmt werden, wobei dann fĂźr n = 6 Stunden und fĂźr p = 22,9 eingesetzt werden mĂźssen o Ergebnis fĂźr m0 | 476,1 mg)

B 3

10 x

Konstruktionsbeschreibung: Ausgehend von Z (0/0) wird je ein Strahl ("Halbgerade") durch die Urpunkte A, B, C und D und darĂźber hinaus gezeichnet. AnschlieĂ&#x;end sticht man mit dem Zirkel im Punkt D ein und trĂ¤gt die Strecke ZD - ausgehend vom Punkt D - auf dem Strahl ab. Streckungsfaktor k = 2 Â&#x; ZD' = 2 Âˇ ZD . Somit ist: DD' = ZD Man erhĂ¤lt den Bildpunkt D'. Ebenso wird mit den Punkten A o A', B o B' und C o C' verfahren. Die Bildpunkte werden abschlieĂ&#x;end zum Bildtrapez A'B'C'D' verbunden. b) A' (4/2) ; B' (9/2) ; C' (6/4) , D' (4/4)

1969

1979

1989

1999

2004

880 â&#x201A;Ź

1 120 â&#x201A;Ź

1 190 â&#x201A;Ź

c) Da alle Bildstrecken zu den jeweiligen Urstrecken parallel sind, mĂźssen alle entsprechenden Innenwinkel in Original- und Bildtrapez gleich groĂ&#x; sei. o "Winkel-/Parallelentreue" der zentrischen Streckung

2. jĂ¤hrlich 1,24%

jĂ¤hrlich 1,16%

jĂ¤hrlich 1,26%

jĂ¤hrlich ?

Bei der zentrischen Streckung gibt der Streckungsfaktor k das VerhĂ¤ltnis zwischen Bildund Urstrecke wieder: k =

LĂ¤nge Bildstrecke b' 14 cm = = = 3,5 LĂ¤nge Urstrecke b 4 cm

Ermittlung der durchschnittlichen monatlichen Rente des Jahres 1969: Ausgehend vom Jahr 1969 ist die monatliche Rente zu Beginn des 10-Jahres-Zeitraumes bis 1979 gesucht, d.h.: Kn Monatsrente im Jahr 1979 = 880 â&#x201A;Ź K0 Monatsrente im Jahr 1969 in â&#x201A;Ź

p n

prozentuale jĂ¤hrliche RentenerhĂśhung = 1,24 Anzahl der Jahre zwischen 1969 und 1979 = 10

1,24 10

Eingesetzt: 880 â&#x201A;Ź = K0 Âˇ 1 + 100

Â&#x153; 880 â&#x201A;Ź = K0 Âˇ 1,1312 ~: 1,1312 Â&#x153; K0 | 778 â&#x201A;Ź

Ermittlung der durchschnittlichen monatlichen Rente des Jahres 1989: Ausgehend vom Jahr 1979 ist die monatliche Rente im Jahre 1989 gesucht, also am Ende des 10-Jahres-Zeitraumes zwischen 1979 und 1989, d.h.: Kn Monatsrente im Jahr 1989 in â&#x201A;Ź K0 Monatsrente im Jahr 1979 = 880 â&#x201A;Ź p prozentuale jĂ¤hrliche RentenerhĂśhung = 1,16 n Anzahl der Jahre zwischen 1979 und 1989 = 10

Eingesetzt:

1,16 10

Kn = K10 = 880 â&#x201A;Ź Âˇ 1 + 100

= 880 â&#x201A;Ź Âˇ 1,1222 | 988 â&#x201A;Ź

Ermittlung der durchschnittlichen RentenerhĂśhung zwischen 1999 und 2004: Ausgehend vom Jahr 1999 ist die jĂ¤hrliche prozentuale ErhĂśhung wĂ¤hrend des 5-JahresZeitraumes zwischen 1999 und 2004 gesucht, d.h.:

Kn K0 p n

Monatsrente im Jahr 2004 = 1190 â&#x201A;Ź Monatsrente im Jahr 1999 = 1120 â&#x201A;Ź prozentuale jĂ¤hrliche RentenerhĂśhung Anzahl der Jahre zwischen 1999 und 2004 = 5

Eingesetzt: 1190 â&#x201A;Ź = 1120 â&#x201A;Ź Âˇ p 1 100

Â&#x153;

5 1,0625

Â&#x;

p% = 1,22 %

Â&#x153;

p 5 1 100

p 100

~: 1120 â&#x201A;Ź

FĂźr das VerhĂ¤ltnis der FlĂ¤cheninhalte von Ur- und Bildfigur gilt bei der zentrischen FlĂ¤che Bildfigur A' = Streckung: kÂ˛ = FlĂ¤che Urfigur A Setzt man die UrflĂ¤che AR = 44 cmÂ˛ und den Faktor k = 3 ein, erhĂ¤lt man den FlĂ¤cheninhalt A' R Â&#x153; A'R = 3Â˛ Âˇ (44 cmÂ˛) = 396 cmÂ˛ A'R der Bildraute wie folgt: 3Â˛ = 44 cmÂ˛

4. Es werden zunĂ¤chst die Inhalte der jeweiligen UrflĂ¤chen A und mittels Streckungsfaktor k daraus die FlĂ¤cheninhalte Aâ&#x20AC;&#x2122; der Bildfiguren errechnet, da gilt: Aâ&#x20AC;&#x2122; = kÂ˛ Âˇ A. cÂ&#x2DC;hc 5,2 cm Â&#x2DC; 3,4 cm = = 8,84 cmÂ˛ a) Dreieck: AD = 2 2 Â&#x; Bilddreieck: Aâ&#x20AC;&#x2122;D = kÂ˛ Âˇ AD = 2,4Â˛ Âˇ 8,84 cmÂ˛ | 50,92 cmÂ˛ b)

a c 8,4 cm 5,4 cm Âˇ ha = Âˇ (3 cm) = 20,70 cmÂ˛ 2 2 Bildtrapez: Aâ&#x20AC;&#x2122;T = kÂ˛ Âˇ AT = 2,4Â˛ Âˇ 20,70 cmÂ˛ | 119,23 cmÂ˛

Trapez: AT = Â&#x;

Â&#x153; 1,0625 =

| 1,0122 ~ 1

Â&#x153;

p 100

p 5 1 100

Parallelogramm: AP = a Âˇ ha = 4 cm Âˇ 6 cm = 24 cmÂ˛ Â&#x; Bildparallelogramm: Aâ&#x20AC;&#x2122;P = kÂ˛ Âˇ AP = 2,4Â˛ Âˇ 24 cmÂ˛ = 138,24 cmÂ˛

= 0,0122 ~Â&#x2DC; 100

5. C' C 3 cm

Â&#x153;

x 4 cm

8 cm

B 2 cm Bâ&#x20AC;&#x2122;

Die Strecke [CB] wird durch zentrische Streckung auf die Strecke [Câ&#x20AC;&#x2122;Bâ&#x20AC;&#x2122;] abgebildet. Sie wird dabei um den gleichen Faktor vergrĂśĂ&#x;ert wie [AB], um diese auf [ABâ&#x20AC;&#x2122;] abzubilden. C 'B ' AB ' = Somit ergibt sich: CB AB y 8 2 cm Â&#x153; ~Âˇ 4 cm = 4 cm 8 cm

10 cm Â&#x2DC; (4 cm) = 5 cm = C' B' 8 cm

Um die LĂ¤nge der Strecke [CCâ&#x20AC;&#x2122;] ermitteln zu kĂśnnen, muss erst die LĂ¤nge der Strecke C 'B ' AC ' 5 cm AC ' Â&#x153; = ~Âˇ 3 cm Â&#x153; = [ACâ&#x20AC;&#x2122;] berechnet werden: 4 cm 3 cm CB AC

AC' =

5 cm Â&#x2DC; (3 cm) = 3,75 cm 4 cm

Â&#x;

x = AC ' AC = 3,75 cm â&#x20AC;&#x201C; 3 cm = 0,75 cm = CC'

B43

Strahlensatz und zentrische Streckung 6.

a) DS = SE SC FS

a) Â&#x;

DS = 7 4 8

EF = FS CD SC

Â&#x;

EF = 8 2 4

SB = SA SC DS

Â&#x;

SB = 17,5 4 3,5

Â&#x153;

DS = 4 Â&#x2DC; 7 = 3,5 cm 8

y 14

EF = 2 Â&#x2DC; 8 = 4 cm 4

Â&#x153; Â&#x153; Â&#x;

AB = SA CD DS

AB = 17,5 2 3,5

Â&#x;

SB =

4 Â&#x2DC; 17,5 = 20 cm 3,5

11 10

BC = SB SC = 20 4 = 16 cm

17,5 Â&#x2DC; 2 AB = = 10 cm 3,5

Â&#x153;

Bei der zentrischen Streckung gilt fĂźr den Streckungsfaktor: k =

2 1

a) Im Dreieck ABC wird zunĂ¤chst mit dem HĂśhensatz (hÂ˛ = p Âˇ q) die LĂ¤nge von HC ermittelt (HĂśhenfuĂ&#x;punkt H siehe Skizze):

Â&#x;

18 m

HC Â˛ = AH Âˇ HB HC Â˛ = (32 m) Âˇ (18 m)

H 32 m

BÂ´

HC Â˛ = 576 mÂ˛

Â&#x;

HC = 576 mÂ˛ = 24 m

cÂ&#x2DC;hc Mit der FlĂ¤chenformel fĂźr Dreiecke A = kann jetz der Inhalt der DreiecksflĂ¤che 2 AABC bestimmt werden:

AABC =

cÂ&#x2DC;hc AB Â&#x2DC; HC (32 m 18 m) Â&#x2DC; (24 m) = = = 600 mÂ˛ 2 2 2

b) Ermittlung des FlĂ¤cheninhaltes ABB'C'C: Die LĂ¤nge der Strecke [AB'] ist 2,5-mal so groĂ&#x; wie die der Strecke [AB]. Da das Dreieck AB'C' durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABC entsteht, entspricht der VergrĂśĂ&#x;erungsfaktor 2,5 dem Streckungsfaktor, d.h.: k = 2,5. Bei der zentrischen Streckung gilt fĂźr das FlĂ¤chenverhĂ¤ltnis von Ur- und Bildfigur: ABildfigur = kÂ˛ Âˇ AUrfigur. Auf die vorliegenden Dreiecke bezogen bedeutet dies: AAB'C' = kÂ˛ Âˇ AABC = 2,5Â˛ Âˇ (600 mÂ˛) = 3750 mÂ˛ Der FlĂ¤cheninhalt ABB'C'C des grau hinterlegten Trapezes entspricht dem Unterschied der FlĂ¤chen von Dreieck AB'C' und Dreieck ABC: ABBÂ´CÂ´C = AAB'C' AABC = 3750 mÂ˛ 600 mÂ˛ = 3150 mÂ˛

Ermittlung des Umfangs uBB'C'C: Der Umfang uBB'C'C des Trapezes setzt sich aus den LĂ¤ngen der Strecken [CB], [BB'], [C'B'] und [C'C] zusammen: uBB'C'C = CB + BB' + C' B' + C' C

Ermittlung von CB im rechtwinkligen Dreieck CHB mit dem Satz des Pythagoras:

AB' = k Âˇ AB = 2,5 Âˇ (50 m) = 125 m BB' = AB' AB = 125 m 50 m = 75 m

C' B' = k Âˇ CB = 2,5 Âˇ (30 m) = 75 m

Â&#x;

Umfang uBB'C'C = 30 m + 75 m + 75 m + 60 m = 240 m

10 11

12 x

Der FlĂ¤cheninhalt A des Urdreiecks ABC kann nun mit dem errechneten Streckungsfaktor k und dem gegebenen FlĂ¤cheninhalt A' des Bilddreiecks A'B'C' (27 cmÂ˛) bestimmt werden, da bei der zentrischen Streckung gilt: ABildfigur = kÂ˛ Âˇ AUrfigur A' 27 cmÂ˛ Â&#x; A' = kÂ˛ Âˇ A Â&#x153; A = = = 6,75 cmÂ˛ kÂ˛ 2Â˛ c) FlĂ¤cheninhalt A'' des Bilddreiecks A''B''C'' entsprechend Formel aus Aufgabe b) (mit neuem Streckungsfaktor k = 4): Â&#x; A'' = kÂ˛ Âˇ A = 4Â˛ Âˇ (6,75 cmÂ˛) = 108 cmÂ˛

9. a) LĂ¤ngsschnittskizze

Kugel 1

r2 r1

Kugel 2

a/2 = 7,5 cm

Wenn die innenliegende Kugel 1 dem WĂźrfel so einbeschrieben ist, dass sie alle sechs SeitenflĂ¤chen berĂźhrt, dann muss ihr Durchmesser d1 der KantenlĂ¤nge a des WĂźrfels entsprechen (vgl. nebenstehende Skizze), d.h.: d1 = a = 15 cm. Ihr Radius r1 ist folglich halb so groĂ&#x;: r1 =

15 cm 2

= 7,5 cm.

Das Volumen V1 der Kugel kann nun aus der Formel

Da alle Urstrecken mit dem gleichen Faktor (k = 2,5) vergrĂśĂ&#x;ert werden, bestimmt man zunĂ¤chst die Bildstrecken AC' , AB' und C' B' mit dem Satz fĂźr das StreckenverhĂ¤ltnis bei der zentrischen Streckung (LĂ¤ngeBildstrecke = k Âˇ LĂ¤ngeUrstrecke). Die fĂźr die Ermittlung des Umfanges noch fehlenden StĂźcke ergeben sich dann aus dem Unterschied zwischen Ur- und Bildstrecke:

Â&#x;

Setzt man z.B. die der Zeichnung entnommenen LĂ¤ngen der Strecken [AB] und [A'B'] ein, 9 LE A' B' = =2 ergibt sich fĂźr den Streckungsfaktor: k= 4,5 LE AB

AC = 1600 mÂ˛ = 40 m

C' C = AC' AC = 100 m 40 m = 60 m

b) Der Streckungsfaktor k kann aus den SeitenlĂ¤ngen des Ur- und Bilddreiecks ABC und A'B'C' errechnet werden, da bei der zentrischen Streckung gilt: LĂ¤nge Bildstrecke LĂ¤ngeBildstrecke = k Âˇ LĂ¤ngeUrstrecke Â&#x153; k= LĂ¤nge Urstrecke

900 mÂ˛ = 30 m

AC' = k Âˇ AC = 2,5 Âˇ (40 m) = 100 m

Ausgehend vom Streckungszentrum Z(0/0) werden im Anschluss die Halbgeraden [ZB' und [ZA' gezeichnet, auf denen auch die Urpunkte A bzw. B liegen. Da bei der Zentrischen Streckung Ur- und Bildgerade parallel zueinander verlaufen, liegen auch die Strecken [B'C'] und [BC] bzw. [A'C'] und [AC] des Bild- bzw. Urdreiecks parallel zueinander. Somit ergibt sich die genaue Position von B, wenn man eine parallele Hilfslinie zu [B'C'] durch C konstruiert (gestrichelte Hilfslinie im KOS); der Schnittpunkt mit der Halbgeraden [ZB' entspricht dem Urpunkt B(5,5/3). Entsprechend wird mit einer Parallen zu [A'C'] und der Halbgeraden [ZA' verfahren o Urpunkt A(1/3) Â&#x; Originaldreieck ABC

AC Â˛ = HC Â˛ + HA Â˛ = (24 m)Â˛ + (32 m)Â˛ = 1600 mÂ˛

Â&#x;

Man trĂ¤gt alle Bildpunkte A'(2/6), B'(11/6) und C'(6/12) des Bilddreiecks A'B'C' sowie den gegebenen Urpunkt C(3/6) des Ur- bzw. Originaldreiecks ein (in Zeichnung fettgedruckt dargestellt).

Zur Berechnung von C' C wird vorher noch die LĂ¤nge von AC benĂśtigt. Deren Berechnung erfolgt im rechtwinkligen Dreieck AHC mit dem Satz des Pythagoras: Â&#x;

Z(0/0) 0

CB Â˛ = HC Â˛ + HB Â˛ = (24 m)Â˛ + (18 m)Â˛ = 900 mÂ˛ CB =

CÂ´

Â&#x;

B'(11/6)

k = SB = 20 cm = 5 4 cm SC

C(3/6)

LĂ¤nge Bildstrecke LĂ¤nge Urstrecke

Â&#x;

A'(2/6)

Â&#x;

C'(6/12)

fĂźr das Kugelvolumen (VK = a = 15 cm

4 3

Âˇ rÂł Âˇ S) errechnet

werden: V1 = 43 Âˇ r1Âł Âˇ S = 43 Âˇ (7,5 cm)Âł Âˇ 3,14 = 1766,25 cmÂł

b) Der Streckungsfaktor k ergibt sich aus dem ursprĂźnglichen und dem neu entstandenen LĂ¤nge Bildstrecke r Radius r1 bzw. r2, da bei der zentrischen Streckung gilt: k = = 2 LĂ¤nge Urstrecke r1 Da der Mittelpunkt der zweiten Kugel wieder mit dem Mittelpunkt des WĂźrfels zusammenfĂ¤llt, kann der fehlende Radius r2 im hervorgehobenen rechtwinkligen Dreieck (siehe LĂ¤ngsschnittskizze) mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden: r2Â˛ = r1Â˛ + Â&#x;

a2 2 = (7,5 cm)Â˛ + (7,5 cm)Â˛ = 112,5 cmÂ˛

r 10,61 cm Streckungsfaktor k = 2 = | 1,41 r1 7,5 cm

Â&#x;

r2 = 112,5 cmÂ˛ | 10,61 cm

Berechnungen an Dreiecken und Kreisen

B44 10.

Â&#x;

a) D

Hinweis: Zur besseren ErlĂ¤uterung wurden in nebenstehender Hilfsskizze die Punkte A bis D und M ergĂ¤nzt.

MaĂ&#x;e in m

Bei den Dreiecken MAB und MCD handelt es sich um zwei gleichschenklige Dreiecke, die einander Ă¤hnlich sind (wegen gleicher Innenwinkel). Demzufolge ist das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Strecken [MA] und [MC] gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Strecken [AB] und [CD].

28 B 7 M

Der Radius x1 kann somit aus dem Strahlensatz errechnet werden (alle LĂ¤ngen in m): MA AB Â&#x; = (wobei: MC = MA + AC ) MC CD

Â&#x;

x1 7 = x1 15 28

Â&#x153;

28Â&#x2DC;x1 = 7Â&#x2DC;(x1 + 15) Â&#x153; 28x1 = 7x1 + 105

Â&#x153;

Â¨Âˇ (x1 + 15) Â¨Âˇ 28

Â¨: 21

21x1 = 105

gÂ&#x2DC;h AB Â&#x2DC; HC (27,5 cm) Â&#x2DC; (17,7 cm) = = | 243,4 cmÂ˛ 2 2 2

2. Hinweis zur Zeichnung: Es wurden der Punkt P und der Winkel G* ergĂ¤nzt. Die Mittelsenkrechte von [AB] ist Symmetrieachse, d.h. die Strecken AB und DC werden durch die Mittelsenkrechte halbiert und die Strecken AE und FB sind gleich lang. AuĂ&#x;erdem sind die Winkel D = E = 52Â°.

Â&#x;

sin 52Â° =

Â&#x153;

11. HINWEIS: In der Zeichnung wurde der HĂśhenfuĂ&#x;punkt H auf der Seite c ergĂ¤nzt. C

ha ~Âˇ 6 cm 6 cm

FĂźr das SeitenverhĂ¤ltnis von DreieckshĂśhe hC und Hypotenusenabschnitt q soll gelten: hC 3 bzw. = . q 4 Obwohl die LĂ¤ngen von hC und q nicht direkt bekannt sind, kann der Winkel D im rechtwinkligen Teildreieck AHC mit dem Tangens aus deren SeitenverhĂ¤ltnis bestimmt h 3 Â&#x; D = 36,8699Â° | 37Â° werden, da gilt: tan D = C = = 0,75 q 4

ha = sin 52Â° Âˇ 6 cm | 4,73 cm

Â&#x2DC;

2Âˇ G = 256Â° ~: 2

AE 6 cm

Â&#x;

cos 52Â° =

Â&#x;

SeitenlĂ¤nge c = 10 cm 2Âˇ3,69 cm = 2,62 cm

Â&#x153;

G = 128Â°

Â&#x153; AE = cos 52Â° Âˇ 6 cm | 3,69 cm

a c 10 cm 2,62 cm Âˇ ha = Âˇ 4,73 cm = 29,85 cmÂ˛ 2 2

D = 55Â° ; E = 51Â°

Entfernung des Beobachters: x = AB Im rechtwinkligen Dreieck BAU wird zunĂ¤chst die LĂ¤nge der Strecke [AU] mit Hilfe des Tangens von E angegeben. Man erhĂ¤lt damit die erste BestimAU ~Âˇx Â&#x153; mungsgleichung aus: tan E = x (I): AU = tan E Âˇ x = tan 51Â° Âˇ x | 1,2349x

6m U

225 cmÂ˛ = 15,0 cm

~Âˇ 6 cm

a) Hilfsskizze:

Bestimmung der Hypotenuse c mit dem Satz des Pythagoras: cÂ˛ = aÂ˛ + bÂ˛ (9 cm)Â˛ (12 cm)Â˛ =

c F a = 10 cm

c = a AE FB = a 2Âˇ AE = 10 cm 2Âˇ AE

Die SeitenlĂ¤nge a wird nun innerhalb des Dreiecks ABC mit dem Tangens von D ermittelt: a Â&#x; tan D = ~Â&#x2DC; b Â&#x153; a = tan D Â&#x2DC; b = tan 37Â° Â&#x2DC; 12 cm | 9,0 cm b

a Â˛ bÂ˛ =

52Â°

c) Die LĂ¤nge der Seite c entspricht der SeitenlĂ¤nge a abzĂźglich der beiden Strecken AE und FB (siehe Zeichung). Diese sind auf Grund der Achsensymmetrie des Trapezes gleich lang, weshalb gilt:

TrapezflĂ¤che AT =

hC : q = 3 : 4

Â&#x; c=

Â&#x153;

104Â° + 2Âˇ G = 360Â° ~ 104Â°

Die fehlende Strecke AE wird im rechtwinkligen Dreieck AED mit dem Kosinus von D bestimmt (Berechnung auch mittels Tangens oder mit dem Satz des Pythagoras mĂśglich):

b=12cm

s = 6 cm

Da aufgrund der Symmetrie des Trapezes gilt D = E und J = G, ergibt sich fĂźr die Winkelsumme: 52Â° + 52Â° + G + G = 360Â°

Â&#x; FlĂ¤chenverhĂ¤ltnis A2 : A1 = 16 : 1

b) Ermittlung des Winkels G Ăźber die Winkelsumme im Viereck (360Â°): D + E + J + G = 360Â°

b) FlĂ¤cheninhalt des groĂ&#x;en Kreises: A2 = x2Â˛ Âˇ S = (20 m)Â˛ Âˇ S = 400S mÂ˛ FlĂ¤cheninhalt des kleinen Kreises: A1 = x1Â˛ Âˇ S = (5 m)Â˛ Âˇ S = 25S mÂ˛

D G*

a) Die HĂśhe ha kann im rechtwinkligen Dreieck AED mit dem Sinus von D berechnet werden:

Â&#x153; x1 = 5 m

Â&#x203A; Radius x2 = MC = MA + AC = x1 + 15 m = 5 m + 15 m = 20 m.

A 400S mÂ˛ 16 = FlĂ¤chenverhĂ¤ltnis v = 2 = A1 25S mÂ˛ 1

A' =

D E 1 ,7 m

Setzt man im rechtwinkligen Dreieck BAO erneut den Tangens mit dem Winkel D an, erhĂ¤lt man die zweite Bestimmungsgleichung:

2.1.10 Berechnungen an Dreiecken und Kreisen

tan D =

1. C

Der FlĂ¤cheninhalt des Dreiecks ABC wird allgegÂ&#x2DC;h ermittelt. mein nach der Formel A' = 2 Die HĂśhe h ist 17,7 cm lang, die Grundlinie g entspricht der LĂ¤nge der Strecke [AB]. [AB] wiederum setzt sich aus den Teilstrecken [AH] und [HB] zusammen. Im rechtwinkligen Dreieck CHB kann man die LĂ¤nge der Strecke [HB] mit dem Tangens berechnen.

h = 17,7 cm

Eingesetzt: tan 36,2Â° =

17,7 cm ~Âˇ HB HB

Â&#x153;

tan 36,2Â° Âˇ HB = 17,7 cm ~: tan 36,2Â°

Â&#x153;

Entsprechend wird die LĂ¤nge der Strecke [AH] im rechtwinkligen Dreieck AHC ermittelt: HC 17,7 cm = ~Âˇ AH AH AH 17,7 cm AH = | 3,3 cm tan 79,3q

Â&#x;

~Âˇx Â&#x153;

Â&#x153;

tan 55Â° Âˇ x = 1,2349x + 6 m

1,4281x = 1,2349x + 6 m ~ 1,2349x x | 31,06 m

Â&#x203A;

Â&#x153;

Â&#x153; 0,1932x = 6 m ~: 0,1932

Â&#x153;

Der Beobachter ist ca. 31 m vom Turm entfernt.

b) HĂśhe h = AF + AU = 1,7 m + 1,2349 Âˇ 31,06 m | 40 m

4. Die LĂ¤nge der Strecke AT = q kann mit dem Kathetensatz (bÂ˛ = q Âˇ c) wie folgt berechnet werden:

b = 4 cm q

tan 79,3Â° Âˇ AH = 17,7 cm ~: tan 79,3Â° Â&#x153;

AB = AH + HB = 3,3 cm + 24,2 cm = 27,5 cm

(II): tan D Âˇ x = AU + 6 m

AU = 1,2349x in (II):

tan D Âˇ x = 1,2349x + 6 m

17,7 cm HB = | 24,2 cm tan 36,2q

tan 79,3Â° =

AO AU + UO AU + 6 m = = x x x

T c = 6 cm

p B

Â&#x;

AC Â˛ = AT Âˇ AB

Â&#x;

(4 cm)Â˛ = AT Âˇ (6 cm)

Â&#x153;

16 cmÂ˛ = AT Âˇ (6 cm) ~: (6 cm)

Â&#x153;

AT | 2,67cm

Berechnungen an Dreiecken und Kreisen

B45

5. Die LĂ¤nge der Strecke CT entspricht der DreieckshĂśhe h. Sie kann mit dem HĂśhensatz (hÂ˛ = p Âˇ q) berechnet werden:

h q = 3 cm T A

p = 8 cm B

Â&#x;

CT Â˛ = TB Âˇ AT

Â&#x;

CT Â˛ = (8 cm) Âˇ (3 cm) = 24 cmÂ˛

Â&#x153;

24cm Â˛ | 4,90 cm

6. Da der Umfang u = 53,38 cm bekannt ist, kann der Radius r des Kreises direkt aus der Umfangsformel (u = 2 Âˇ r Âˇ S ) ermittelt werden: Eingesetzt: 53,38 cm = 2 Âˇ r Âˇ 3,14

Â&#x153;

53,38 cm = 6,28r ~: 6,28 Â&#x153;

r = 8,5 cm

FlĂ¤cheninhalt des Kreises: A = rÂ˛ Âˇ S = (8,5 cm)Â˛ Âˇ 3,14 | 226,87 cmÂ˛

Hilfsskizze: b=1m

d=8m

rG = 5 m

Betrachtet man Teich und Weg von oben, stellt man fest, dass es sich um zwei Ăźbereinander liegende Kreise handelt. Um die Anzahl der Fliesen ermitteln zu kĂśnnen, muss die FlĂ¤che AW des Weges bekannt sein. Diese ergibt sich, wenn man die FlĂ¤che des kleineren Kreises AK (TeichflĂ¤che) von der FlĂ¤che des grĂśĂ&#x;eren Kreises AG (GesamtflĂ¤che) abzieht: AW = AG AK

rK = 4 m

Radius des kleineren Kreises: d 8 rK = = = 4 m. 2 2 Der Radius des grĂśĂ&#x;eren Kreises rG ist um die Wegbreite (b = 1 m) grĂśĂ&#x;er als der des kleineren Kreises, d.h.: rG = rK + 1 m = 4 m + 1 m = 5 m. Mittels KreisflĂ¤chenformel (A = rÂ˛ Âˇ S) wird der FlĂ¤cheninhalt des Weges errechnet werden: AW = AG AK = rGÂ˛ Âˇ S rKÂ˛ Âˇ S = (5 m)Â˛ Âˇ 3,14 (4 m)Â˛ Âˇ 3,14 = 28,26 mÂ˛ . Der FlĂ¤cheninhalt einer Fliese ergibt sich aus der FlĂ¤chenformel fĂźr das Quadrat: (wobei: 40 cm = 0,4 m):

Â&#x;

AQ = aÂ˛ = (0,4 m)Â˛ = 0,16 mÂ˛

Â&#x;

Anzahl Fliesen =

AW 28,26 mÂ˛ = = 176,625 StĂźck | 177 StĂźck AQ 0,16 mÂ˛

Es werden - ohne BerĂźcksichtigung eines Verschnitts - mindestens 177 Fliesen benĂśtigt

a) Der Winkel D kann mit der Formel fĂźr den Kreisbogen (b =

D Âˇ2ÂˇrÂˇS) 360q

Â&#x153;

D 0,1389 = 360 q

Â&#x153;

~Âˇ 360Â°

Â&#x;

3,49 m

D Âˇ 25,12 = 360 q

~: 25,12 m

Mittelpunktswinkel D | 50,0Â°

b) FlĂ¤cheninhalt eines Kreisausschnittes: A =

D Âˇ r Â˛ Âˇ S = 50q Âˇ (4 360q 360q

m)Â˛ Âˇ 3,14 | 6,98 mÂ˛

9. A Hilfspunkte A - G C

c) Die HĂśhe x berechnet man mittels Strahlensatz, da die Dreiecke ABC und ADG einander Ă¤hnlich sind (drei gleiche Innenwinkel). Demzufolge ist das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der DreieckshĂśhen [AH] und [AI] gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der beiden Grundlinien [BC] und [DG]: AH AI

DE =

A x H

30Â°

3,33 m

2,11 m

30Â° F

Â&#x153;

8,20 Âˇ x = 3,33 Âˇ (x + 2,11)

Â&#x;

HĂśhe x | 1,44 m

Â&#x153;

8,20 m

x 3,33 = x 2,11 8,20

bzw. eingesetzt:

~Âˇ 8,20 ~Âˇ (x + 2,11)

8,20x = 3,33x + 7,0263

Â&#x153;

4,87x = 7,0263

10. a) Die LĂ¤nge der Strecke [AB] kann im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Satz des Pythagoras aus den noch zu ermittelnden StreckenlĂ¤ngen BC und AC berechnet werden.

MaĂ&#x;e in m

Nebenwinkel zu 120Â° 60Â°

D 120Â°

E A

LĂ¤nge der Strecke [BC] Die StreckenlĂ¤nge BC setzt sich aus den beiden StreckenlĂ¤ngen DB = 40 m und DC zusammen. Die fehlende LĂ¤nge DC kann im rechtwinkligen Dreieck ADC mit dem Kosinus des Winkels CDA bestimmt werden. Dieser entspricht dem sog. Nebenwinkel zu 120Â° (vgl. Skizze) und betrĂ¤gt: Ó&#x161;CDA = 180Â° 120Â° = 60Â°. DC

Â&#x;

cos Ó&#x161;CDA =

Â&#x;

BC = DB + DC = 40 m + 15 m = 55 m

Â&#x153;

DC = cos Ó&#x161;CDA Âˇ AD = cos 60Â° Âˇ 30 m = 15 m

LĂ¤nge der Strecke [AC] Die StreckenlĂ¤nge AC kann ebenfalls im rechtwinkligen Dreieck ADC mit dem Sinus des Winkels CDA bestimmt werden.

sin Ó&#x161;CDA =

AC AD

Â&#x153;

AC = sin Ó&#x161;CDA Âˇ AD = sin 60Â° Âˇ 30 m | 25,98 m

AB Â˛ = BC Â˛ + AC Â˛ = (55 m)Â˛ + (25,98 m)Â˛ = 3699,96 mÂ˛

Â&#x;

AB =

3699,96 mÂ˛ | 60,83 m

b) Der FlĂ¤cheninhalt AABD des Dreiecks ABD entspricht dem Inhalt AABC der DreiecksflĂ¤che ABC abzĂźglich der DreiecksflĂ¤che AADC des Dreiecks ADC. Ausgehend von der Formel fĂźr rechteckige DreiecksflĂ¤chen (A =

aÂ&#x2DC;b ) 2

ergibt sich AABD wie folgt:

BC Â&#x2DC; AC DC Â&#x2DC; AC 55 m Â&#x2DC; 25,98 m 15 m Â&#x2DC; 25,98 m = AABD = AABC AADC = 2 2 2 2

60Â° E

30Â° 3,65 m

Die ZimmerhĂśhe h kann im rechtwinkligen Dreieck CFG (vgl. Skizze) mit dem Tangens berechnet werden: h tan 30Â° = Â Âˇ FG FG

c) Den Winkel E erhĂ¤lt man mit Hilfe des Tangens im rechtwinkligen Dreieck ABC: AC 25,98 m tan E = | 0,472 Â&#x; E | 25,27Â° = 55 m BC

Â&#x;

a) Im vorliegenden Rechteck haben die Diagonalen zusammen eine LĂ¤nge von 48 cm. Da beide Diagonalen gleich lang sind, hat somit jede ein LĂ¤nge von: AC = BD = (48 cm):2 = 24 cm.

h = tan 30Â° Âˇ FG h = tan 30Â° Âˇ 3,65 m h | 2,11 m

11.

b) Die Zimmerbreite b entspricht der Gesamtbreite 8,20 m abzĂźglich der Strecken FG und DE :

b = 8,20 m 3,65 m DE b = 4,55 m DE

h = 2,11 m D

tan 60Â° Âˇ DE = h

AABD = 714,45 mÂ˛ 194,85 mÂ˛ = 519,60 mÂ˛

h 2,11 m = | 1,22 m tan 60q tan 60q

Zimmerbreite b = 4,55 m DE = 4,55 m 1,22 m = 3,33 m

LĂ¤nge der Strecke [AB]

berechnet werden,

da die BogenlĂ¤nge b = 3,49 m und der Radius des Kreisausschnittes r = 4 m bekannt sind: Eingesetzt: D Âˇ 2 Âˇ (4 m) Âˇ 3,14 3,49 m = 360 q

Â&#x153;

Â&#x203A;

Â&#x;

Â&#x153;

tan 60Â° =

Â&#x;

Â&#x203A;

60Â° E

30Â° 3,65 m

b 8,20 m

Die noch fehlende Strecke DE kann im rechtwinkligen Dreieck DEB mit dem Tangens bestimmt werden:

Skizze

24 cm

C G 10 cm

G J A B (HINWEIS: Zum besseren VerstĂ¤ndnis der nachfolgenden ErklĂ¤rungen wurde der Diagonalenschnittpunkt M eingefĂźgt.)

Berechnungen an Dreiecken und Kreisen

B46 In jedem Rechteck sind die gegenüberliegenden Seiten parallel. Aus diesem Grund erscheint der Winkel J zwischen der Diagonalen [AC] und der Seite [DC] auch noch am Eckpunkt A zwischen [AC] und der Seite [AB] (sog. Z- oder Wechselwinkel). Der Winkel J kann nun im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Sinus bestimmt werden: sin J =

BC AC

10 cm = 0,416 24 cm

13. a) Hilfsskizze (mit Elementen für die Aufgaben b) und c)): C

J | 24,6°

Der Winkel G ergibt sich aus der Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck ABC (vgl. Skizze): G = 180° 90° J = 90° 24,6° = 65,4°

Nun kann der Winkel D innerhalb des Dreiecks MBC ebenfalls aus der Winkelsumme berechnet werden. Da es sich beim Dreieck MBC um ein gleichschenkliges Dreieck handelt (Schenkel MB = MC ), sind auch die beiden sog. Basiswinkel bei Punkt B und C gleich, d.h.: ӚCBM = ӚMCB = G = 65,4° (siehe Skizze).

b) Für den Umfang eines Rechteckes gilt: u = 2·a + 2·b. Übertragen auf das vorliegende Rechteck bedeutet dies: uABCD = 2· AB + 2· BC .

(24 cm)² = AB ² + (10 cm)²

AB =

AB ² = (24 cm)² (10 cm)² = 476 cm²

Umfang des Vierecks: uABCD = 2· AB + 2· BC = 2·21,8 cm + 2·10 cm = 63,6 cm

476 cm² | 21,8 cm

12. a) Skizze

J/2

Das gleichschenklige Dreieck und damit der Winkel J werden durch die Symmetrieachse halbiert. Dadurch entsteht das hervorgehobene rechtwinklige Dreieck mit dem Winkel

Man erhält r aus der Bogenlänge (hier: b = 19 cm). Da es sich um einen Halbkreis handelt, entspricht sie der Hälfte des Umfanges uK eines Vollkreises, also:

1 2

Symmetrieachse J 2

. Dieser

kann mit dem Sinus bestimmt werden, sobald der Radius r des Halbkreises bekannt ist.

20 cm

sin

J 2

1 2

· uK =

· 2 · r · S = 19 cm

Der Innenwinkel D (siehe Skizze) kann im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Tangens a 12 cm = 2,4 D = 67,38014° | 67,4° bestimmt werden: tan D = = b 5 cm

b) Ermittlung der Dreieckshöhe hc im rechtwinkligen Teildreieck AHC mit dem Sinus (vgl. h Skizze Aufgabe a)): sin D = c b h sin 67,4° = c ¨ 5 cm hc = sin 67,4° · (5 cm) = 4,616051 cm | 4,6 cm 5 cm (Hinweis: hc kann auch im Dreieck HBC mit dem Sinus von E berechnet werden.) c) Da die Winkelhalbierende w den Winkel E halbiert, kann man deren Länge am einfachsten im a E rechtwinkligen Teildreieck BCW mit dem Kosinus berechnen: cos 2 = w 12 cm 22,6q cos 2 = ¨ w w · cos 11,3° = 12 cm ¨: cos 11,3° w

12 cm = 12,23722 cm | 12,2 cm cos 11,3q

r · 3,14 = 19 cm

r | 6,1 cm

14.

r 6,1 cm = | 0,305 s 20 cm

J 2

| 17,76° Winkel J | 35,5°

Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ABC wird mit der Flächen-

C Skizze

Kegel s = 20 cm

Der entstehende Rotationskörper setzt sich aus einem Kegel und einer Halbkugel zusammen (vgl. perspektivische Darstellung). Die Oberfläche OR dieses Rotationskörpers entspricht deshalb dem Mantel MK des Kegels zuzüglich der Oberfläche OHK der Halbkugel:

OR = r · s · S +

1 2

· 4 · r² · S

OR = 6,1 cm · 20 cm · 3,14 +

r = 6,1 cm Halbkugel

1 2

· 4 · (6,1 cm)² · 3,14

OR | 616,8 cm²

Da die Grundlinie AB der Hypotenuse c des Dreiecks ABC entspricht und Kathete a = 10,8 cm bzw. Hypotenusenabschnitt p = 9 cm gegeben sind, kann die Länge von AB mittels Kathetensatz (a² = p · c) wie folgt berechnet werden: (10,8 cm)² = (9 cm) · c

Da die Grundlinie g des Dreiecks dem Durchmesser des Halbkreises entspricht, erhält man (vgl. Skizze Aufgabe a)): g = d = 2r Auch die Dreieckshöhe h lässt sich in Abhängigkeit vom Radius r ausdrücken. Da die Schenkellänge s = 20 gegeben ist, kann h mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden (vgl. Skizze Aufgabe a)): h² = s² r² = 20² r² = 400 r²

¨· 2

400 r² = 1,57r ¨( )²

400 = 3,4649r² ¨: 3,4649

h = 400 r²

Wie in Aufgabe a) kann der Winkel sin

J 2

(10,8 cm) 2 116,64 cm² = 12,96 cm | 13 cm = 9 cm 9 cm

Grundlinie g AB 13 cm

2r · 400 r² = 3,14r²

400 r² = 2,4649r²

r² | 115,44

¨+ r²

¨: 2r

r 10,7 = | 0,535 s 20

J 2

CD = CB DB = (10,8 cm)² (9 cm)² = 35,64 cm²

CD =

Dreiecksfläche AABC =

35,64 cm² | 5,97 cm | 6 cm AB CD (13 cm) (6 cm) = = 39 cm². 2 2

b) Ermittlung von D im rechtwinkligen Dreieck ABC: sin D =

CB 10,8 cm = | 0,83077 13 cm AB

D | 56°

Die Länge der Strecke [CE] kann man zum Beispiel im hervorgehobenen Dreieck CED mittels Kosinus aus der CE . Strecke CD und dem Winkel J' berechnen: cos J' = CD

C Skizze

Radius r | 10,7

| 32,34° Winkel J | 64,7°

bzw. J mit dem Sinus bestimmt werden: J 2

Ermittlung des Winkels J:

9 cm

mit dem Satz des Pythagoras errechnet, da gilt: CB = CD + DB

Ersetzt man g und h in obiger Bestimmungsgleichung, ergibt sich eine Gleichung mit nur einer Variablen r, die wie folgt gelöst werden kann: r² S 2r 400 r² = 2 2

g h r² S ) und der des Halbkreises (AHK = ) Wenn der Flächeninhalt des Dreiecks (A' = 2 2 gleich groß sein sollen, erhält man folgende Gleichung (Längen in cm / Flächen in cm²): g h r² S A' = AHK bzw. = 2 2

aus der Grundlinie

Die zur Flächenermittlung noch fehlende Höhe CD wird im rechtwinkligen Dreieck CDB

c) Ermittlung des Radius r:

g h 2

AB und der Dreieckshöhe CD beAB CD stimmt: AABC = 2

Symmetrieachse

formel A =

10,8 cm

OR = MK + OHK

s² = h² + r²

b· § Den Innenwinkel E kann man ebenfalls mit dem Tangens ¨ tan E ¸ bestimmen. Da jea¹ © doch zwei von drei Innenwinkeln bekannt sind, wird E am einfachsten über die Winkelsumme im Dreieck berechnet: E = 180° J D = 180° 90° 67,4° = 22,6°

Die fehlende Strecke AB kann im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden: AC ² = AB ² + BC ²

E 2

w hc

D = 180° G G = 180° 65,4° 65,4° = 49,2°

Der letzte noch fehlende Winkel E als sog. Nebenwinkel zum Winkel D ergibt sich somit wie folgt (D + E = 180°): E = 180° D = 180° 49,2° = 130,8°

a = 12 cm

b = 5 cm

Der fehlende Winkel J' ergibt sich aus der Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck ADC: J' = 180° 90° D = 180° 90° 56° = 34°

6 cm

D = 56°

CE cos 34° = 6 cm

CE = cos 34° · (6 cm) = 4,97423 cm | 5 cm

Berechnungen an Dreiecken und Kreisen

B47

15.

16.

HINWEIS: In der Hilfsskizze wurden zur einfacheren ErlĂ¤uterung die Eckpunkte D, E, F und MaĂ&#x;e in m G ergĂ¤nzt.

Die Breite AC wird mittels Strahlensatz innerhalb der Dreiecke GDF und GAC berechnet. Da diese Dreiecke Ă¤hnlich sind (drei gleiche Innenwinkel), sind die LĂ¤ngenverhĂ¤ltnisse der Grundlinien [AC] und [DF] gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der C beiden Schenkel [GA] und [GD].

Skizze 4,35 m D

AC GA = DF GD

Eingesetzt:

Â&#x153;

5,75 m

3,37 m

AC =

Â&#x153;

4,35 m 3,37 m AC = 5,75 m 4,35 m

Â&#x153;

7,72 m AC = 5,75 m 4,35 m

7,72 m Âˇ (5,75 m) = 10,2046 m | 10,20 m 4,35 m

Eingesetzt:

(4,35 m + 3,37 m)Â˛ = BG Â˛ +

Â&#x153;

BG Â˛ = 59,598 mÂ˛ 26,01 mÂ˛ = 33,588 mÂ˛

Â&#x;

BG = 33,588 mÂ˛ | 5,796 m | 5,80 m

Â&#x153; 59,598 mÂ˛ = BG Â˛ + 26,01 mÂ˛

b) Die Strecke BD kann im rechtwinkligen Dreieck BED (vgl. Skizze) mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden: BD Â˛ = DE Â˛ + BE Â˛

Skizze 4,35 m

2,875 m

5,80 m

Da die HĂśhe BG auch die Strecke DF halbiert, gilt: DE =

3,37 m D

DF 5,75 m = = 2,875 m. 2 2

3,2

2,2 b

1,25

VorĂźberlegungen: Da es sich beim Dreieck ABC um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, gilt: CF = CG = 1 m

AuĂ&#x;erdem ergibt sich aus der Gleichschenkligkeit, dass die Strecken [AD] und [EB] an der Dreiecksbasis [AB] ebenfalls gleich lang sind: AD = EB = 1,25 m FĂźr den FlĂ¤cheninhalt AR der RechteckflĂ¤che gilt: AR = a Â&#x2DC; b Ermittlung der SeitenlĂ¤nge a (alle LĂ¤ngenangaben in m) Die Seite a wird mittels Strahlensatz innerhalb der Dreiecke GFC und ABC bestimmt. Da beide Dreiecke einander Ă¤hnlich sind (drei gleiche Innenwinkel), ist das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis GF CF von GF und AB gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis von CF und CB : = AB CB a 1 a 1 = Â&#x153; = ~Â&#x2DC;(a + 2,5) ~Â&#x2DC; 3,2 Â&#x153; Eingesetzt: 1,25 a 1,25 3,2 a 2,5 3,2

3,2a = 1(a + 2,5) Â&#x153; 3,2a = a + 2,5 ~ a

Â&#x153; 2,2a = 2,5 ~: 2,2

Â&#x153;

a | 1,14 m

Ermittlung der SeitenlĂ¤nge b (alle LĂ¤ngenangaben in m) Die Seite b kann am einfachsten im rechtwinkligen Teildreieck EBF mit dem Satz des 2

Pythagoras berechnet werden:

FB = FE + EB

Eingesetzt: 2,2Â˛ = bÂ˛ + 1,25Â˛

Â&#x153;

bÂ˛ = 2,2Â˛ 1,25Â˛

Â&#x153; b = 4,84 1,5625 | 1,81 m

Â&#x; FlĂ¤cheninhalt der RechteckflĂ¤che AR = 1,14 m Â&#x2DC; 1,81 m | 2,06 mÂ˛

Die noch fehlende StreckenlĂ¤nge BE entspricht der GiebelhĂśhe BG abzĂźglich der StreckenlĂ¤nge EG , welche im rechtwinkligen Dreieck DEG mit dem Satz des Pythagoras ermittelt werden kann:

17. D

DG Â˛ = DE Â˛ + EG Â˛

Eingesetzt: (4,35 m)Â˛ = (2,875 m)Â˛ + EG Â˛

Â&#x153;

8,5 km

18,9225 mÂ˛ = 8,2656 mÂ˛ + EG Â˛

Â&#x153;

EG Â˛ = 18,9225 mÂ˛ 8,2656 mÂ˛ = 10,6569 mÂ˛

Â&#x153;

EG = 10,6569 mÂ˛ | 3,2645 m | 3,26 m

Â&#x;

StreckenlĂ¤nge BE = BG EG = 5,80 m 3,26 m = 2,54 m

Â&#x;

BD Â˛ = DE Â˛ + BE Â˛ = (2,875 m)Â˛ + (2,54 m)Â˛ = 8,2656 mÂ˛ + 6,4516 mÂ˛ = 14,7172 mÂ˛

Â&#x;

BD = 14,7172 mÂ˛ | 3,8363 m | 3,84 m

Skizze 4,35 m

2,875 m

3,37 m D

5,80 m

E E'

tan E' =

2,875 m | 1,1319 2,54 m

s = AD + DB + BC + CD + AD

Beim Dreieck ACD handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, in dem sich StreckenlĂ¤ngen mit dem HĂśhensatz, den KathetensĂ¤tzen oder dem Satz des Pythagoras ermitteln lassen. Ermittlung der StreckenlĂ¤nge BC Festlegung: BC = x (zur besseren Ă&#x153;bersicht)

Den Winkel D kann man im rechtwinkligen Dreieck ABG mit dem BG Sinus bestimmen: sin D = . GA 5,80 m | 0,7513 sin D = 3,37 m 4,35 m

Um den Winkel E zu erhalten, muss zunĂ¤chst im rechtwinkligen Dreieck BED der Winkel E' mit dem Tangens DE berechnet werden: tan E' = BE

Â&#x; E' | 48,5404Â° | 49Â°.

Der Winkel E entspricht dem Restwinkel auf 90Â°, d.h.:

E = 90Â° E' = 90Â° 49Â° = 41Â°.

14 km

Die Teilnehmer des Wettbewerbes fliegen vom Ort A ausgehend Ăźber D nach B, dann Ăźber C nach D und schlieĂ&#x;lich zurĂźck zum Ausgangspunkt A. Die gesamte Flugstrecke s setzt sich also aus folgenden Einzelstrecken zusammen (alle LĂ¤ngenangaben in km): = 2Â&#x2DC; AD + DB + BC + CD

Â&#x; D | 48,703Â° | 49Â° 2,54 m

Â&#x153;

Â&#x; FB = CB CF = 3,2 m 1 m = 2,2 m (siehe Skizze)

Die GiebelhĂśhe BG kann am einfachsten innerhalb des rechtwinkligen Teildreiecks ABG mit dem Satz des Pythagoras aus der Seite GA (Hypotenuse) und der Seite AB (Kathete) bestimmt werden. Da die HĂśhe die zuvor ermittelte Breite AC halbiert (o gleichschenkliges Dreieck GAC), erhĂ¤lt man fĂźr den Satz des Pythagoras: GA Â˛ = BG Â˛ + AB Â˛ 10, 20 m 2 2

Da die Kathete CD = 8,5 km und der Hypotenusenabschnitt AB = 14 km gegeben sind, lĂ¤sst sich der Hypotenusenabschnitt BC am schnellsten mit Hilfe des Kathetensatzes 2

(aÂ˛ = p Â&#x2DC; c) im rechtwinkligen Dreieck ACD ermitteln: Eingesetzt: 8,5Â˛ = x Â&#x2DC; (14 + x)

Â&#x;

Â&#x153; 72,25 = 14x + xÂ˛ ~ 72,25

CD = BC Â&#x2DC; AC = BC Â&#x2DC;( AB + BC )

Â&#x153;

xÂ˛ + 14x 72,25 = 0

p = 14 ; q = 72,25 in LĂśsungsformel: 2

x1/2 =

Â&#x;

14 Â§ 14 Âˇ r Â¨ Â¸ ( 72,25) = 7 r 49 72,25 | 7 r 11,0114 2 ÂŠ 2Âš

x1 = 4,0114 | 4,0

Â&#x; BC | 4,0 km

(x2 = 18,0114 nicht sinnvoll, da negativ) Ermittlung der StreckenlĂ¤nge DB Die LĂ¤nge der Strecke [DB] kann nun im rechtwinkligen Dreieck DBC mit dem Satz des 2

Pythagoras berechnet werden: CD = DB + BC

Â&#x153;

DB = CD BC = 8,5Â˛ 4,0Â˛ = 56,25

Â&#x;

DB = 56,25 = 7,5 km

Ermittlung der StreckenlĂ¤nge AD : Die noch fehlende LĂ¤nge der Strecke [AD] kann man im rechtwinkligen Dreieck ABD 2

ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras berechnen: AD = AB + DB

Â&#x153;

AD = AB + DB = 14Â˛ + 7,5Â˛ = 252,25

Â&#x;

AD = 252,25 | 15,9 km

Strecke s = 2Â&#x2DC; AD + DB + BC + CD = 2Â&#x2DC;15,9 km + 7,5 km + 4,0 km + 8,5 km = 51,8 km

Körperberechnungen

B48 5.

2.1.11 Körperberechnungen

Volumen der Kugel:

VK =

4 3

· r³ · S = 43 · (15 cm)³ · 3,14 = 14130 cm³

VF = VHKi + VZi = 883,13 m³ + VZi.

Kugelmasse mK = U · VK = 0,23 cm ³ · 14130 cm³ = 3249,9 g | 3,25 kg

VK =

Eingesetzt in die Formel für das Kugelvolumen (VK = 43 · r³ · S ) und nach dem Kugelradius r

r = 3 8827,91 cm³ | 20,67 cm

hZ = 15 m

Masse m K 8,5 kg 8500 g = = = 36956,52 cm³ g g Dichte U 0,23 cm³ 0,23 cm³

umgeformt ergibt sich: 36956,52 cm³ = 43 · r³ · 3,14 ~: 3,14 ~:

4 3

r³ | 8827,19 cm³

Durchmesser d = 2 · r = 2 · 20,67 cm = 41,34 cm

= 883,13 m³

r 3 | 421,88 m³

2 3

Zylindervolumen (innen): VZi = r² · S · hZ = (7,50 m)² 3,14 (15 m) | 2649,38 m³

Fassungsvermögen des Faulturmes: VF = 883,13 m³ + 2649,38 m³ = 3532,51 m³

¨:

2 3

¨: 3,14

421,88 m ³ | 7,50 m

Das Volumen des benötigten Betons VBeton entspricht dem Volumen VHKa der von außen sichtbaren Halbkugel abzüglich dem Volumen VHKi des inneren halbkugelförmigen Hohlraumes:

VHKa VBeton

Kugeloberfläche OK = 4 · rK² · S = 4 · (1,7 m)² · 3,14 | 36,30 m²

b) Um angeben zu können, ob der LKW die Kugel laden darf, muss erst deren Gewicht mK errechnet werden. Dies erfolgt mittels Dichteformel (Masse m = Dichte U · Volumen V) Zu diesem Zweck muss noch das Volumen VK der Eisenkugel bestimmt werden: VK = 43

1 4 r3 S 2 3

a) Die Kugel hat einen Durchmesser dK = 3,4 m Kugelradius rK = 1,7 m

r 3 3,14 = 883,13 m³

VHKi =

Das Volumen des zylindrischen Teiles VZi kann aus der Formel für das Zylindervolumen (V = r² · S · h) errechnet werden, sobald der innere Radius r bekannt ist. Zylinder und Halbkugel haben die gleiche Grundfläche und damit auch gleichen Radius, so dass gilt:

VZi

b) Um den Durchmesser d bzw. Radius r der Korkkugel zu erhalten, muss vorher das Kugelvolumen VK bekannt sein. Dieses kann mittels Dichteformel bestimmt werden, da die Dichte des Korks und die Masse der Kugel mK gegeben sind (8,5 kg = 8500 g).

Das gesamte Fassungsvermögen VF des Faulturmes setzt sich aus dem Volumen VHKi der inneren Halbkugel und dem inneren Zylindervolumen VZi zusammen:

VHKi = 883,13 m³

a) Um die Masse der Korkkugel zu erhalten, muss man die Stoffdichte mit dem Volumen der Kugel multiplizieren. Es gilt die Dichte-Formel: Masse m = Dichte U · Volumen V

4 3

· r K³ · S =

· (1,7 m)³ · 3,14 | 20,57 m³

· 20,57 m³ =

kg 7,85 dm ³

Das fehlende Volumen VHKa der äußeren Halkugel kann aus

VHKi = 883,13 m³

1 4 3 r S 2 3

der Volumenformel VHK

für eine Halbkugel

ermittelt werden. Ähnlich Aufgabe a) wird zur Bestimmung des Radius ra der äußeren Kugel diesmal der gegebene Oberflächeninhalt OHKa = 377,19 m² herangezogen.

Masse der Kugel: m = Dichte U · Volumen V kg 7,85 dm ³

VBeton = VHKa VHKi = VHKa 883,13 m³

r ra

(Hinweis: 1 m³ = 1000 dm³)

· 20570 dm³ | 161475 kg | 161 t

Der LKW darf die Kugel nicht transportieren, da 161 t mehr als 32 t Ladegewicht sind.

Durch Einsetzen der Formel für die Kugeloberfläche O = 4 r2 S ergibt sich:

OHKa =

1 2

6,28 ra2

= 377,19 m²

1 4 ra2 S 2

OKugel(außen) =

¨: 6,28

ra2 | 60,06 m²

Halbkugelvolumen (außen): VHKa =

= 2 ra2 3,14 = 377,19 m²

1 4 3 r S 2 3 a

ra =

60,06 m² | 7,75 m

1 4 (7,75 m)3 3,14 2 3

| 974,41 m³

Verbrauchte Betonmenge: VBeton = 974,41m³ 883,13 m³ = 91,28 m³

a) r2 S hK G hK = K 3 3 Um das Volumen VK des Kegels berechnen zu können, müssen die Kegelhöhe hK und der Grundkreisradius rK bekannt sein. Beide fehlenden Größen können innerhalb des hervorgehobenen rechtwinkligen Dreiecks bestimmt werden.

Kegelvolumen VK =

3m hK

a) Der Durchmesser d der Boje entspricht dem Durchmesser d der Kugel. Dieser kann aus der Formel für die Kugeloberfläche (OK = d² · S) berechnet werden. Da es sich um eine Halbkugel handelt, gilt entsprechend:

D = 70°

2,26 m² =

Bestimmung des Grundkreisradius rK mit dem Kosinus: r r Ankathete = K cos 70° = K ~· 3 m rK = cos 70° · 3 m | 1,03 m cos D = Hypotenuse s 3m

Kegelvolumen VK =

1 2

· d² · 3,14

2,26 m² = 1,57 · d²

0,6 m

Die Kegelhöhe wird im hervorgehobenen, rechtwinkligen Dreieck mit dem Tangens ermittelt. Der Winkel D wird r durch die Mittellinie halbiert: tan D2 = h Ke

hKe

4 3 r 3,14 3

216 cm³ =

1 2

216 cm³ =

4 3 r 3,14 6

216 cm³ = 2 ,093 r 3

r3 = 103,18471 cm³

1 2

4 3 r S 3

Eingesetzt:

Die Halbkugel hat das gleiche Volumen wie der Würfel, d.h. VHK = VW = 216 cm³. Der

bestimmt werden:

1,43949 m² = d²

h = r + hZ + hKe = 0,6 m + 0,55 m + hKe = 1,15 m + hKe

h2 = 0,55 m

Es sind 11 Füllungen notwendig.

Die Gesamthöhe der Boje setzt sich aus dem Kugelradius r, der Zylinderhöhe hZ und der Höhe hKe des Kegels zusammen (vgl. nebenstehende Skizze):

r = 0,6 m

Kugelradius kann mittels Volumenformel VHK =

· d² · S.

Kugeldurchmesser = Bojendurchmesser d = 1,43949 m² = 1,19979 m | 1,2 m

d = 1,2 m

rK2 S h K (1,03 m) 2 3,14 (2,82 m) = | 3,13 m³ 3 3

3,13 m³ | 10,43 Anzahl der Füllungen = 0,3 m³

1 2

Setzt man die gegebenen Größen ein ergibt sich d wie folgt:

Bestimmung der Kegelhöhe hK mit dem Sinus: h h Gegenkathe te = K sin 70° = K ~· 3 m h K = sin 70° · 3 m | 2,82 m sin D = Hypotenuse s 3m

OHK =

tan

36q 2

0,6 m h Ke

~· hKe

hKe · tan 18° = 0,6 m ~: tan 18° 0,6 m hKe = = 1,84661 m | 1,85 m tan 18q Gesamthöhe h = 1,15 m + 1,85 m = 3,00 m

7. Das Gesamtgewicht mBr des Brunnens kann mittels Dichteformel ( Dichte U

Masse m Volumen V

)

bestimmt werden, wenn das Gesamtvolumen VBr des Brunnens bekannt ist:

r = 3 103,18471 cm ³ | 4,69 cm

Das Gesamtvolumen VBr des Brunnens setzt sich aus dem Volumen VS des zylinderförmigen Sockels und dem Volumen VA des Aufbaues zusammen:

Durchmesser der Halbkugel = 2 · 4,69 cm = 9,38 cm

Masse mBr = Dichte U · Volumen VBr

VBr = VS + VA

Das Volumen VA des Aufbaues selbst entspricht dem eines Kegels VK abzüglich dem Volumen VB des halbkugelförmigen Beckens und abzüglich dem Volumen der Kegelspitze VKS. Dieses ist im Sockel enthalten und wird bei der Bestimmung des Sockelvolumens schon entsprechend miterfasst (siehe Skizze):

KĂśrperberechnungen Â&#x;

B49

VBr = VS + VA = VS + (VK VB VKS)

9. a)

Beckenvolumen V B

Volumen des Aufbaus V A

FlĂźssigkeitsmenge: 0,25 Liter = 0,25 dmÂł = 250 cmÂł

Die eingefĂźllte FlĂźssigkeitsmenge VFl = 250 cmÂł betrĂ¤gt

Kegelvolumen V K Volumen Kegelspitze V KS

Sockelvolumen V S

2 3

x 2

2 3

Berechnung des Sockelvolumens VS

Der Radius rS des zylinderfĂśrmigen Sockels steht zum Radius rK ( 1402cm = 70 cm) des Kegels im VerhĂ¤ltnis 1,5 : 1 , d.h. rS : rK = 1,5 : 1 rS 1,5 1,5 = Â&#x153; rS = Âˇ rK = 1,5 Âˇ (70 cm) = 105 cm Â&#x; rK 1 1 Â&#x;

Â&#x;

Berechnung des Kegelvolumens VK Der vollstĂ¤ndige Kegel (inkl. Spitze) hat die KĂśrperhĂśhe hK = 90 cm + 30 cm = 120 cm

VK = 13 Âˇ rKÂ˛ Âˇ S Âˇ hK = 13 Âˇ (70 cm)Â˛ Âˇ 3,14 Âˇ (120 cm) = 615440 cmÂł

VB =

1 2

Âˇ VKugel =

1 2

Âˇ ( 43 Âˇ rBÂł Âˇ S) =

1 2

Berechnung des Volumens der Kegelspitze VKS WĂ¤hrend die HĂśhe der Kegelspitze mit hKS = 30 cm bekannt ist, muss der zur Volumenbestimmung noch notwendige Radius rKS mit dem Strahlensatz berechnet werden: rKS h = KS rK hK

hK = 120

rKS

Â&#x;

rKS 30 cm = 70 cm 120 cm

30 cm Âˇ (70 cm) = 17,5 cm 120 cm

Â&#x153;

rKS =

Â&#x;

VKS = 13 Âˇ rKSÂ˛ Âˇ S Âˇ hKS

1 4

Âˇd=

(r h)Â˛ +

(4,5 2,25)Â˛ + Â&#x153;

1 4

Âˇ2Âˇr=

1 4

Â&#x153;

2,791 Âˇ rÂł = 250 cmÂł Â&#x153;

Â&#x153;

r = 3 89,6 cmÂł | 4,5 cm

x2 2 = 4,5Â˛

Â&#x153;

5,0625 +

VHK r

Â&#x;

mBr = Dichte U Âˇ Volumen VBr

Stellt man sich die beiden TeilkĂśrper wieder zusammengesetzt vor und trĂ¤gt dann den Kugelradius rK und den Radius rS der SchnittflĂ¤che entsprechend der nebenstehenden Skizze ein, ergibt sich das rechtwinklige Dreieck MNO. Um den FlĂ¤cheninhalt AS der kreisfĂśrmigen SchnittflĂ¤che zu erhalten, muss deren Radius rS bekannt sein. Der Radius rS kann im Dreieck MNO berechnet werden, wenn der Kugelradius rK bekannt ist.

rK - 5 cm

Den Kugelradius rK erhĂ¤lt man aus der Formel fĂźr das Kugelvolumen (V = Â&#x;

7234,56 cmÂł =

Â&#x153;

1728 cmÂł = rKÂł

4 3

Âˇ rKÂł Âˇ 3,14 Â&#x153;

Â&#x153;

4 3

Â&#x2DC; r 3 Â&#x2DC; S ):

7234,56 cmÂł = 4,186 Âˇ rKÂł

rK = 3 1728 cmÂł = 12 cm

Den Radius rS der SchnittflĂ¤che erhĂ¤lt man mit dem Satz des Pythagoras: MN

MO NO

bzw.:

rKÂ˛ = (rK â&#x20AC;&#x201C; 5 cm)Â˛ + rSÂ˛

Â&#x153;

95 cmÂ˛ = rSÂ˛

Â&#x153;

rS =

Â&#x153;

144 cmÂ˛ = 49 cmÂ˛ + rSÂ˛

95 cmÂ˛ | 9,75 cm

FlĂ¤cheninhalt SchnittflĂ¤che: AS = rSÂ˛ Âˇ S = (9,75 cm)Â˛ Âˇ 3,14 = 298,496 cmÂ˛ | 298,50 cmÂ˛

xÂ˛ 4

= 15,1875

1 Âˇ( 4 Âˇ rÂł Âˇ S) 2 3 1 Âˇ( 4 Âˇ (12,5 cm)Âł Âˇ 3,14) 2 3 VHK | 12 Âˇ(8177,08 cmÂł) = 4088,54

VHK =

cmÂł

Um das noch fehlende Zylindervolumen (VZ = rÂ˛ Âˇ S Âˇ hZ) errechnen zu kĂśnnen, muss vorher die ZylinderhĂśhe hZ bekannt sein. Diese entspricht der gesamten PfostenhĂśhe h abzĂźglich dem Radius r (vgl. Skizze).

Die GesamthĂśhe h ergibt sich aus dem Anteil der sichtbaren PfostenhĂśhe (90 cm) und der Einbindtiefe. Da 52 der GesamthĂśhe - also 2 von 5 Teilen - in den Boden eingelassen werden, muss der sichtbare Anteil dann

3 5

- also 3 von 5 Teilen - entsprechen und somit

gleich 90 cm sein. Die GesamthĂśhe h (5 Teile) ist demanch: h = (90 cm) : 3 Âˇ 5 = 150 cm Â&#x;

ZylinderhĂśhe hZ = h r = 150 cm 12,5 cm = 137,5 cm

Â&#x;

VZ = rÂ˛ Âˇ S Âˇ hZ = (12,5 cm)Â˛ Âˇ 3,14 Âˇ (137,5 cm) | 67460,94 cmÂł

Volumen des Pfostens VPf = 67460,94 cmÂł + 4088,54 cmÂł = 71549,48 cmÂł. b) Gewicht mPf eines Pfostens: mPf = Dichte UGranit Âˇ Volumen VPf g

mPf = 2,8 cmÂł Âˇ 71549,48 cmÂł | 200338,54 g | 200,34 kg | 0,2 t Anzahl Pfosten =

Eingesetzt: (12 cm)Â˛ = (12 â&#x20AC;&#x201C; 5 cm)Â˛ + rSÂ˛

Â&#x153;

VHK = Einbindtiefe

= 20,25

rechnet werden. Der Kugelradius r entspricht nĂ¤mlich dem halben Pfostendurchmesser: r = 252cm = 12,5 cm.

xÂ˛ 4

Das Volumen der Halbkugel kann aus der Formel fĂźr das Kugelvolumen (VK = 43 Âˇ rÂł Âˇ S) erh

des Kugeldurchmessers betragen:

Das Volumen des Pfostens VPf setzt sich aus dem Volumen des Zylinders VZ und dem Volumen der Halbkugel VHK an der Pfostenoberseite zusammen: VPf = VZ + VHK

25 cm

mBr = 2,8 dmÂł Âˇ 1546712,19 cmÂł = 2,8 dmÂł Âˇ 1546,71219 dmÂł = 4330,794132 kg | 4331 kg

| 89,6 cmÂł

10.

VBr = 1038555 cmÂł + (615440 cmÂł 97666,56 cmÂł 9616,25 cmÂł) = 1546712,19 cmÂł

5 cm

2,791

= 250 cmÂł

VBr = VS + (VK VB VKS)

250 cmÂł

Â&#x; Durchmesser der TrinkĂśffnung: x = 60,75 | 7,8 cm.

Brunnenvolumen VBr

Skizze

rÂł =

Âˇ 2 Âˇ (4,5 cm) = 2,25 cm

90 cm

1 4

2 Âˇ 4 Â&#x2DC; r Âł Â&#x2DC; 3,14 3 3

x2 2 = rÂ˛

cm) VKS = 9616,25 cmÂł

Gewicht des gesamten Brunnens mBr

Â&#x153;

xÂ˛ = 60,75

= 13 Âˇ (17,5 cm)Â˛ Âˇ 3,14 Âˇ (30 hKS = 30

43 Â&#x2DC; r 3 Â&#x2DC; S = 250 cmÂł

Eingesetzt (alle LĂ¤ngen in cm):

Âˇ ( 43 Âˇ (36 cm)Âł Âˇ 3,14) = 97666,56 cmÂł

rK = 70

Âˇ

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras kann nun im hervorgehobenen, rechtwinkligen Dreieck (vgl. Skizze) der TrinkĂśffnungs-Durchmesser x berechnet werden: Â&#x;

Berechnung des Beckenvolumens VB Es handelt sich um eine Halbkugel mit dem Radius rB = 36 cm.

Â&#x;

Âˇ VK = 250 cmÂł

b) Die HĂśhe h des kleineren Kugelabschnitts soll

VS = rSÂ˛ Âˇ S Âˇ hS = (105 cm)Â˛ Âˇ 3,14 Âˇ (30 cm) = 1038555 cmÂł

Â&#x;

2 3

Ersetzt man VK durch die entsprechende Formel fĂźr das Kugelvolumen, erhĂ¤lt man eine Bestimmungsgleichung, aus der sich der Kugelradius r wie folgt errechnen lĂ¤sst:

r h

des Kugelvolumens VK, d.h.:

VFl =

max . Nutzlast 7,5 t = = 37,5 StĂźck Gewicht Pfosten m Pf 0,2 t

Da die maximale Nutzlast des LKW nicht Ăźberschritten werden darf, betrĂ¤gt die zu verladende Anzahl ganzer Pfosten 37 StĂźck.

Körperberechnungen

B50 11. Auf den Wasserstand nach 25 regenlosen Tagen und 5 Regentagen kann geschlossen werden, wenn man die Gesamtwassermenge VB zu Beginn mit der Gesamtwassermenge VE am Ende der Beobachtung vergleicht.

Der Kugelradius ergibt sich aus der Formel für das Kugelvolumen (V =

Ende der Beobachtung

r = 7,5 m

hB = 2,50 m

Beginn der Beobachtung

Wasserfläche A W

Zu Beginn der Beobachtung vorhandene Gesamtwassermenge VB: Die Wassermenge VB wird mit der Formel für das Zylindervolumen (V = r² · S · h) errechnet. Da die Zylinderhöhe dem Wasserstand im Becken hB zu Beginn der Beobachtung entd 2

VKu =

4 3

3 rKu |

4 3

3 · rKu ·

4 3

· r³ · S) wie folgt:

S = 11276 cm³

3 · rKu · 3,14 = 11276 cm³

2693,31 cm³

¨: 43 ¨: 3,14

rKu

2693,31 cm³ | 13,91 cm

Kugeldurchmesser dKu = 2 · rKu = 2 · 13,91 cm = 27,82 cm | 28 cm

d = 15 m

spricht, gilt (mit r =

c) Um den Kugeldurchmesser bzw. -radius ermitteln zu können, muss das Volumen der Kugel bekannt sein. Da beide Kegel eingeschmolzen werden und aus der gesamten Masse die Kugel geformt wird, entspricht das Kugelvolumen VKu der Summe der beiden Kegelvolumina: VKu = VgK + VkK = 10598 cm³ + 678 cm³ = 11276 cm³

15 m 2

= 7,5 m):

VB = r² · S · hB = (7,5 m)² · 3,14 · (2,50 m) = 441,5625 m³ = 441562,5 L | 441563 Liter

13. a) HINWEIS: Die nachfolgende Hilfsskizze zeigt den sog. Axialschnitt der Halbkugel (Halbkreisfläche) und den Axialschnitt des Kegels (weiße Dreiecksfläche). Es wurden weiterhin die Kegelhöhe hKe, der Kegelradius rKe sowie der Radius der Halbkugel rHK eingetragen.

Nach der Verdunstungsphase vorhandene Gesamtwassermenge VV:

Durch Verdunstung gehen täglich im Durchschnitt 0,2% der jeweils noch vorhandenen Wassermenge verloren. Es liegt eine gleichmäßige, prozentuale Veränderung einer Ausgangsgröße über einen Zeitraum von 25 Tagen vor. Somit gilt die Wachstumformel, wobei wegen des Wertverlustes das Pluszeichen durch ein Minuszeichen ersetzt werden

muss:

Gn = G0 · 1 100

Schnitt Halbkugel

Die Anfangsgröße G0 entspricht der Wassermenge VB und die Endgröße Gn der nach fünfundzwanzig Tagen (n = 25) Verdunstung noch vorhandenen Restmenge VV (p% = 0,2%):

VV = VB · 1 100

0,2 = 441563 Liter · 1 100

Pro Regentag kommen im Durchschnitt 8 Liter pro m² Wasserfläche hinzu, d.h. in 5 Tagen sammelt sich im Behälter eine zusätzliche Regenmenge von: · 176,625 m² = 7065 Liter VR = 5 · 8 Liter m² Die sich dann im Behälter befindende Gesamtwassermenge nach der Regenphase ist somit: VE = VV + VR = 420007 Liter + 7065 Liter = 427072 Liter = 427072 dm³ = 427,072 m³ Wasserstand hE am Ende des Beobachtungszeitraumes: Der Wasserstand hE entspricht der Höhe der zylindrischen Wassersäule am Ende des Beobachtungszeitraumes. Da die zugehörige Füllmenge VE bekannt ist, kann man hE durch Einsetzen der bekannten Größen in die Formel für das Zylindervolumen (V = r² · S · h) wie folgt errechnen: 427,072 m³ = (7,5 m)² · S · hE 427,072 m³ = 56,25 m² · 3,14 · hE

427,072 m³ = 176,625 m² · hE

hE | 2,42 m

a) Hilfsskizze:

D = 71,6° rkK

Das Volumen VkK des kleinen Kegels kann mit der entsprechenden Formel (V = 13 · G · hK) bestimmt werden, wenn die Höhe hkK des kleinen Kegels bekannt ist. Sie wird im hervorgehobenen rechtwinkligen Dreieck (siehe Skizze) mit dem Tangens aus dem Neigungswinkel D und dem Radius rkK des kleinen Kegels ermittelt.

Da aber auch der Kegelradius noch nicht bekannt ist, muss man diesen mit Hilfe der Grundfläche GkK = 113 cm² aus der Kreisflächenformel (A = r² · S) wie folgt berechnen: G kK = 113 cm²

2 2 S = rkK 3,14 = 113 cm² ¨: 3,14 GkK = rkK

rkK = 35,99 cm² | 6 cm

tan D =

Kegelvolumen VkK = 13 · GkK · hkK = 13 · (113 cm²) · (18 cm) = 678 cm³

h kK rkK

¨ rkK

2 rkK | 35,99 cm²

hkK = tan D · rkK = tan 71,6° · (6 cm) | 18 cm

b) Der große Kegel soll durch zentrische Streckung des kleinen Kegels mit dem Streckungsfaktor k = 2,5 entstehen. Durch die Streckung vergrößern sich entsprechend Radius rkK und Höhe hkK des kleinen Kegels und werden zu Radius rgK und Höhe hgK des großen Kegels. Da bei der zentrischen Streckung für die Streckenlängen gilt LängeBildstrecke = k · LängeUrstrecke , ergeben sich Radius bzw. Höhe des großen Kegels wie folgt: rgK = k · rkK = 2,5 · (6 cm) = 15 cm / hgK = k · hkK = 2,5 · (18 cm) = 45 cm. Das Volumen VgK des großen Kegels kann mittels Volumenformel bestimmt werden: 2 · S · hgK = 13 · (15 cm)² · 3,14 · (45 cm) = 10597,5 cm³ | 10598 cm³ VgK = 13 · GgK · hgK = 13 · rgK

1,5 cm g

Die Masse mWS des Werkstücks erhält man aus der Dichte (0,53 cm³ ) und dem Volumen VWS des Werkstücks. Dieses entspricht dem Volumen VHK der Halbkugel abzüglich dem Volumen VKe des Kegels.

Während sich das Volumen der Kugel aus der Masse des Werkstücks vor der Bearbeitung ergibt, kann das Kegelvolumen erst nach Ermittlung des Kegelradius rKe bestimmt werden, welcher sich wiederum aus dem Halbkugelradius rHK ableiten lässt. Da sich jeweils eine Größe erst nach Ermittlung einer anderen ergibt, sollte folgende Vorgehensweise eingehalten werden: Volumen VHK der Halbkugel Ermittlung aus der Dichte des Kiefernholzes und der Masse vor der Bearbeitung, d.h. vor dem Herausfräsen des Kegels. Allgemein gilt: Masse m = Dichte · Volumen V m HK 729 g VHK = = | 1375,5 cm³ g Dichte Kiefernholz 0,53 cm³

Radius rHK der Halbkugel Zur Ermittlung von rHK wird das Volumen VHK = 1375,5 cm³ in die Formel für das Volumen

einer Halbkugel VHK =

12.

hkK

rKe rHK

1,5 cm Schnitt Kegel

| 420007 Liter

Füllmenge VE nach der Regenphase bzw. am Ende des Beobachtungszeitraumes: Die aufgrund des Regens hinzu kommende Wassermenge hängt von der beregneten Fläche ab. Die beregnete Wasserfläche entspricht der von oben sichtbaren, kreisförmigen Wasserfläche AW (siehe Skizze): AW = r² · S = (7,5 m)² · 3,14 = 176,625 m²

hKe = 2,5 cm

1 4 r 2 3 HK

VHK =

4 r 3 3,14 3 HK

rHK =

eingesetzt und die Gleichung wie folgt aufgelöst: S = 1375,5 cm³ ¨ 2

1 4 3 r S 2 3

= 2751 cm³

¨:

4 3

¨: 3,14

rHK 3 | 657,086 cm³

657,086 cm³ | 8,7 cm

Radius rKe des Kegels Der Kegelradius ist um 1,5 cm kleiner als der Halbkugelradius (vgl. Hilfsskizze):

rKe = rHK 1,5 cm = 8,7 cm 1,5 cm = 7,2 cm

Volumen VKe des Kegels Kegelhöhe hKe = 2,5 cm (vgl. Skizze)

VKe = 13 rKe 2 S h Ke = 13 (7,2 cm) 2 3,14 (2,5 cm) = 135,648 cm³ | 135,6 cm³

Volumen VWS des Werkstücks VWS = VHK VKe = 1375,5 cm³ 135,6 cm³ = 1239,9 cm³ Gewicht mWS des Werkstücks Für die Masse bzw. das Gewicht des Werkstücks gilt wieder die Dichteformel:

mWS = DichteKiefernholz · VWS = 0,53 cm ³ · 1239,9 cm³ = 657,147 g | 657 g

Das fertige Werkstück wiegt 657 g. b) Der Winkel D wird durch die Kegelhöhe/Mittellinie halbiert. Deshalb können innerhalb des rechtwinkligen Dreiecks (siehe Kegelschnitt in Hilfsskizze Aufgabe a)) zunächst D2 und dann D aus der Kegelhöhe und dem Kegelradius bestimmt werden: r 7,2 cm tan D2 = Ke = = 2,88 D2 | 71° D | 142° h Ke 2,5 cm

Wahrscheinlichkeitsrechnung

B51 b) Bei Ereignis 1 ist beim ersten Würfeln die Augenzahl 5 gefallen. Beim zweiten Wurf können noch alle Augenzahlen zwischen 1 und 6 fallen.

14. a) Das Volumen V1 des Kegels wird mit der Formel V = 13 · G1 · h1 bestimmt, wenn die

Ergebnismenge E1: E1 = {(5/1); (5/2); (5/3); (5/4); (5/5); (5/6)}

x 1.Wurf

Baumdiagramm:

h2 s1 = 30 cm

2.Wurf

Höhe h1 und die Grundfläche G1 des Kegels bekannt sind. Die Höhe wird im hervorgehobenen rechtwinkligen Dreieck (siehe Skizze) mit dem Satz des Pythagoras aus Radius r1 und Mantellinie s1 berechnet: s12 = r12 + h12

h12 = s12 r12

h12 = (30 cm)² (18 cm)²

h1 = 576 cm² h1 = 576 cm² = 24 cm

Baumdiagramm: 1.Wurf

r1 = 18 cm

Für die Grundfläche G1 des Kegels gilt: G1 = r12 S = (18 cm)² 3,14 = 1017,36 cm²

Volumen Gesamtkegel V1 = 13 · G1 · h1 = 13 · 1017,36 cm² · 24 cm = 8138,88 cm³

Strecken

LängeBildstrecke = k LängeUrstrecke

Flächen

FlächeninhaltBildfigur = k² FlächeninhaltUrfigur

Körper

VolumenBildkörper = k³ VolumenUrkörper

Ermittlung des Streckungsfaktors k aus den Volumina V 3433,59 cm³ V2 = k³ V1 k³ = 2 = = 0,421875 k = V1 8138,88 cm³

0,421875 = 0,75

c) Der Winkel D an der Kegelspitze wird durch die Kegelhöhe halbiert. Deshalb können innerhalb des hervorgehobenen rechtwinkligen Dreiecks (siehe Aufgabe a)) zunächst

D 2

1. Die relative Häufigkeit ergibt sich allgemein aus der absoluten Häufigkeit (bzw. absoluten Anzahl) bezogen auf die Gesamtzahl.

relative Häufigkeit

4 1 60 15

8 2 60 15

Beim fünften Ereignis (“die Augensumme aus beiden Würfen beträgt mindestens 13”) ist die “Anzahl der günstigen Ergebnisse” = 0, da die Augensumme maximal 12 betragen kann. Dementsprechend gilt für die Wahrscheinlichkeit: 0 Anzahl der günstigen Ergebnisse = =0=0% p(E5) = Anzahl der möglichen Ergebnisse 36

Sie enthält sechs Elemente, also ist die “Anzahl der günstigen Ergebnisse” = 6

Beim vierten Ereignis (“beide Würfe liefern dieselbe Zahl”) erhält man folgende Ergebnismenge: E4 = {(1/1); (2/2); (3/3); (4/4); (5/5); (6/6)}.

Die absolute Häufigkeit der einzelnen Noten kann der Tabelle entnommen werden.

absolute Häufigkeit

Baumdiagramm:

Die Gesamtzahl aller Noten entspricht der Anzahl der Schüler: 60

Für die Notenverteilung ergibt sich somit: Note: 1 2

Die “Anzahl der möglichen Ergebnisse” entspricht der Anzahl aller Zahlenkombinationen (vgl. Teilaufgabe a)) und ist somit = 36 Anzahl der günstigen Ergebnisse 6 1 = = | 0,167 16,7 % p(E4) = Anzahl der möglichen Ergebnisse 36 6

D | 74°

2.1.12 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die relative Häufigkeit z.B. der Note 1 beträgt dann:

Für das dritte Ereignis gilt: Die Summe der Augenzahlen aus beiden Würfen beträgt 6. Ergebnismenge E3: E3 = {(1/5); (2/4); (3/3); (4/2); (5/1)}

c) Beim vorliegenden Zufallsversuch mit einem normalen Würfel (alle 6 Flächen “gleichwertig”) tritt jedes mögliche Ergebnis gleich wahrscheinlich ein. Für die WahrscheinlichAnzahl der günstigen Ergebnisse keit eines solchen Ereignisses E gilt dann: p(E) = Anzahl der möglichen Ergebnisse

Ermittlung der Höhe h2 und des Grundkreisradius r2 h2 = k h1 = 0,75 24 cm = 18 cm / r2 = k r1 = 0,75 18 cm = 13,5 cm

und daraus D wie folgt bestimmt werden: r 18 cm = 0,75 D2 | 37° tan D2 = 1 = h1 24 cm

2.Wurf

b) Da vom kleinen Kegel 2 nur das Volumen V2 = 3433,59 cm³ bekannt ist, können die Höhe h2 und der Grundkreisradius r2 nur mit Hilfe dieser Angabe ermittelt werden. Der Kegel 2 wird parallel zur Grundfläche des ursprünglichen Kegels 1 abgeschnitten. Beide Kegel weisen somit den gleichen Winkel D an der Spitze auf. Es stimmen ebenso die jeweiligen Längenverhältnisse der Kegelhöhen und Grundkreisradien überein. Der kleinere Kegel 2 entsteht also gewissermaßen aus einer zentrischen Streckung des Originalkegels 1 an der Kegelspitze (Streckungszentrum) mit dem Streckungsfaktor k. Ist der Faktor k bekannt, können die Höhe h2 und der Radius r2 berechnet werden, da bei der zentrischen Streckung von Strecken, Flächen und Körpern folgendes gilt:

2.Wurf

1.Wurf

Ergebnismenge E2: E2 = {(2/2); (2/4); (2/6); (4/2); (4/4); (4/6); (6/2); (6/4);(6/6)}

absolute Häufigkeit Note 1 4 1 = Gesamtzahl Noten 60 15

12 12 1 60 5

20 20 1 60 3

10 10 1 60 6

6 6 1 60 10

2. a) Beim erstmaligen Würfeln kann jede der sechs verschiedenen Möglichkeiten (Augenzahl 1, 2, 3, 4, 5 oder 6) eintreffen. So ist für den ersten Wurf die Ergebnismenge E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Dies gilt ebenso für den zweiten Wurf, weil dieser unabhängig vom ersten ist. Da im vorliegenden Fall beide Würfe hintereinander ausgeführt werden, kommt z.B. zur 1 aus dem ersten Wurf die 1, 2, . . . oder 6 aus dem zweiten Wurf bzw. zur 2 aus dem ersten Wurf die 1, 2, . . . oder 6 aus dem zweiten Wurf usw. . . . ! Man erhält also als Ergebnismenge E die Menge aller möglichen Zahlenkombinationen: E = {(1/1); (1/2); (1/3); (1/4); (1/5); (1/6); (2/1); (2/2); (2/3); (2/4); (2/5); (2/6); (3/1); (3/2); (3/3); (3/4); (3/5); (3/6); (4/1); (4/2); (4/3); (4/4); (4/5); (4/6); (5/1); (5/2); (5/3); (5/4); (5/5); (5/6); (6/1); (6/2); (6/3); (6/4); (6/5); (6/6)}

Anordnungsmöglichkeiten der vier Kugeln nebeneinander: oder:

oder:

. . . u.s.w. . . . Es liegen vier verschiedene Kugeln (n = 4) vor, die beliebig angeordnet werden können. Die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten erhält man aus n! (gelesen: n-Fakultät): Anzahl der Möglichkeiten = n! = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

b) Es liegen wieder vier Kugeln (n = 4) vor, die beliebig angeordnet werden können. Die Anzahl der möglichen Anordnungsvarianten entspricht theoretisch der von Teilaufgabe a): Anzahl der Möglichkeiten = n! = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 Anders als bei der vorherigen Aufgabe kommt jedoch eine Farbe (rot) zweimal vor. Zwei gleichfarbige Kugeln liefern aber beim Vertauschen das gleiche Bild und somit keine neue Variante. Die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten ist also entsprechend geringer und zwar um die Variationsmöglichkeiten für die beiden gleichfarbigen Kugeln alleine (n = 2): Anzahl der Möglichkeiten = n! = 2! = 1 · 2 = 2. Die Gesamtzahl der Anordnungsmöglichkeiten bei zwei roten, einer schwarzen und einer blauen Kugel erhält man, wenn man die Anzahl aller denkbaren durch die Anzahl der sich wiederholenden Möglichkeiten teilt: 4! 1 2 3 4 24 Anzahl der Möglichkeiten = = = = 12 1 2 2! 2

B52

Wahrscheinlichkeitsrechnung

c) Bei der ersten Entnahme stehen insgesamt 24 Möglichkeiten zur Verfügung. Bei der zweiten Entnahme stehen nur noch 23 Möglichkeiten zur Auswahl, da bereits eine Kugel fehlt. Dementsprechend hat man bei der dritten Entnahme nur noch 22 Möglichkeiten für einen Treffer. Da die Anordnung der Kugeln diesmal von Bedeutung ist, reduziert sich die Anzahl der Möglichkeiten nicht weiter und man erhält: Anzahl aller möglichen Ergebnisse = 24 · 23 · 22 = 12144 Die Wahrscheinlichkeit das eine günstige Ergebnis zu treffen, bei dem alle Kugeln in einer bestimmten Reihenfolge gezogen werden, ist demnach: Anzahl der günstigen Ergebnisse 1 = | 0,000 082 = 8,2 · 10-5 = 8,2 · 10-3 % p(E) = Anzahl der möglichen Ergebnisse 12144 d) Wie bei Teilaufgabe c) stehen zunächst 24, dann 23 und abschließend noch 22 Möglichkeiten für einen Treffer zur Verfügung. Die Anzahl aller Möglichkeiten ist dementsprechend: 24 · 23 · 22 = 12144 Die Anordnung der Kugeln soll jetzt keine Rolle spielen. Die Anzahl der Möglichkeiten (drei bestimmte Kugeln zu ziehen - egal in welcher Reihenfolge) ergibt sich, wenn man die Gesamtzahl aller Ergebnisse durch die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten der drei gezogenen Kugeln teilt (vgl. auch Teilaufgabe b)): Anzahl aller Möglichkeiten 24 23 22 12144 Möglichkeiten = = = = 2024 Anzahl Kombinationsmöglichkeiten 1 2 3 6 Die Wahrscheinlichkeit für ein günstiges Ergebnis, bei dem drei bestimmte Kugeln – egal in welcher Reihenfolge – gezogen werden, ist: p(E) =

Anzahl der günstigen Ergebnisse 1 = | 0,00049 = 4,9 · 10-4 = 4,9 · 10-2 % Anzahl der möglichen Ergebnisse 2024

e) Nach dem Ziehen der roten Kugel soll keine weitere rote Kugel mehr gezogen werden, d.h. beim zweiten Ziehen stehen drei Farben schwarz (s), weiß (w) oder 1. r blau (b) und damit drei Möglichkeiten zur Verfügung. Bei der dritten Entnahme gibt es für den 2. s w b Fall, dass beim zweiten Ziehen schwarz oder weiß entnommen wurde, jeweils 3. s w b s w b s w weitere drei Möglichkeiten. Wurde beim zweiten Ziehen die einzige blaue Kugel bereits entnommen, stehen für die dritte Entnahme noch zwei Farben und damit 2 Möglichkeiten zur Verfügung. x

Gesamtzahl = 3 + 3 + 2 Möglichkeiten = 8 Möglichkeiten

Anzahl : 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45

Insgesamt werden die Gläser 45 mal klingen.

5. a) Paul hat zuerst 3 Möglichkeiten das erste Überraschungsei an seine Gäste zu verteilen. Nachdem er das erste jemandem gegeben hat, hat er für das zweite Überraschungsei noch 2 Gäste zur Auswahl. Für das dritte Ei hat er dann nur noch eine Möglichkeit. Somit kann er 3! = 3 2 1 = 6 Möglichkeiten der Verteilung vornehmen. b) Die Möglichkeiten, dass kein Gast sein Wunschgeschenk erhält, ergibt sich durch planvolles Überlegen: Da Max sich die Figur wünscht, erhält er aber entweder das Logikspiel oder das Puzzle. Variante 1: Max erhält das Logikspiel Da Oliver das Puzzle haben möchte, bleibt für ihn die Figur o Katharina erhält das Puzzle. Variante 2: Max erhält das Puzzle Da Katharina das Logikspiel nicht bekommen darf, erhält Oliver das Logikspiel o Katharina bekommt die Figur.

Mögliche Verteilungen sind: Max o Logikspiel / Katharina o Puzzle / Oliver o Figur bzw.: Max o Puzzle / Katharina o Figur / Oliver o Logikspiel. c) Es gibt genau 3 Verteilungen, bei denen genau ein Gast seinen Wunsch erfüllt bekommt: Entweder nur Max oder nur Oliver oder nur Katharina. Die möglichen Verteilungen sind: Max o Figur / Katharina o Puzzle / Oliver o Logikspiel bzw.: Max o Puzzle / Katharina o Logikspiel / Oliver o Figur bzw.: Max o Logikspiel / Katharina o Figur / Oliver o Puzzle. Aufgrund der insgesamt 6 möglichen Verteilungen (siehe a)), erhält man folgende Wahrscheinlichkeit: p(„genau ein Gast“) =

3 = 50 %. 6

d) Die Wahrscheinlichkeit ist 0 %, denn wenn zwei Leute ihre Wunscheier bekommen haben, bleibt für die dritte Person auch genau dessen Wunschei übrig.

6. a) Baumdiagramm:

3. Anruf

a) Familie Greiner 4P

Gäste 8P

2. Anruf

gesamte Personenzahl 12 P

0,65 E

Zum Essen sind insgesamt 12 Personen anwesend. Da zunächst keinerlei Einschränkung bezüglich der Sitzordnung getroffen werden soll, können sich die Personen beliebig setzen. Die Anzahl der möglichen Sitzordnungen ergibt sich somit nach n! (gelesen n-Fakultät):

0,65 1. Anruf

E 0,35 N

0,65

12! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 = 479 001 600 Möglichkeiten

0,35

0,65 0,35

Es sind 479 001 600 verschiedene Sitzordnungen möglich. b) Da ein befreundetes Paar nicht kommt, verringert sich die Personenzahl um 2 auf nun 10 Personen. Die Anzahl der sich neu ergebenden möglichen Sitzordnungen beträgt jetzt: 10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3 628 800 Kombinationsmöglichkeiten Vergleicht man die Anzahl beider möglichen Sitzordnungen (12 Personen l 10 Personen), so zeigt sich: Verringerung: 479 001 600 3 628 800 = 475 372 800 Möglichkeiten

0,35

0,65 0,35

0,65 N 0,35 N

0,65 0,35

0,653

0,652 0,35 0,1479

0,65 0,352

0,652 0,35 0,1479

0,65 0,352

0,0796

0, 2746

0,65 0,35

0,353

0,0796

0,0429

Zeichenerklärung: E = Freundin erreicht, N = Freundin nicht erreicht

Die Anzahl der möglichen Sitzordnungen verringert sich um 475 372 800.

b) Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse kann man aus dem Baumdiagramm bestimmen:

c) Familie Greiner: 4 Personen 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 Kombinationen Wenn nur Familie Greiner feiern würde, ergäben sich 24 mögliche Sitzordnungen. d) Es ergeben sich folgende Sitzordnungen für einen Tisch mit rechteckiger Tischplatte (die angegebene Reihenfolge der Sitzordnungen ist natürlich veränderbar). 1 S A P M

2 S A M P

3 S M A P

4 S M P A

5 S P A M

6 S P M A

7 P A M S

8 P A S M

9 P S A M

10 P S M A

11 P M A S

12 P M S A

13 A S M P

14 A S P M

15 A P S M

16 A P M S

17 A M P S

18 A M S P

19 M A P S

20 M A S P

21 M S A P

22 M S P A

23 M P S A

24 M P A S

e) Die 1. Person stößt mit 9 Personen an, die zweite nur noch mit 8 (mit der ersten wurde ja schon angestoßen), die dritte mit 7 usw.:

Jede Freundin wird beim ersten Anwählen erreicht: Aus dem Baumdiagramm ergibt sich durch Multiplikation der einzelnen Äste (Einzelwahrscheinlichkeiten): p(„alle drei Freundinnen“) = 0,65 · 0,65 · 0,65 = 0,65³ | 0,2746 = 27,5% Mindestens zwei Freundinen werden erreicht: Das Ereignis setzt sich aus zwei Ergebnissen zusammen, nämlich genau zwei Freundinnen bzw. alle drei Freundinnen werden erreicht. Für die Wahrscheinlichkeit genau zwei Freundinnen zu erreichen gibt es drei Pfade mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit:

p(„genau zwei Freundinnen“) = 3 0,652 0,35 | 0,4436 = 44,4% Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten: p(„mindestens zwei Freundinnen“) = 27,5% + 44,4% = 71,9%

Wahrscheinlichkeitsrechnung

B53 Berechnen der Spannweite w: Die Spannweite w ist die Differenz aus dem grĂśĂ&#x;ten und dem kleinsten erfassten Wert. Â&#x; Spannweite w = xmax Ă xmin = 24 Ă 3 = 21

7. a) Ziehen der zweiten Kugel

Baumdiagramm: Ziehen der ersten Kugel

1 2 1 2

1 3 1 3

1 3 3

1 1 Â&#x2DC; 3 2 1 1 Â&#x2DC; 3 2 1 1 Â&#x2DC; 3 2 1 1 Â&#x2DC; 3 2 1 1 Â&#x2DC; 3 2 1 1 Â&#x2DC; 3 2

2 3

1 2

Berechnen des arithmetischen Mittels m: Das arithmetische Mittel erhĂ¤lt man, indem man die Summe aller erreichten Punkte durch die Anzahl der SchĂźler dividiert. Summe aller erreichten Punkte =

1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

24 Â&#x2DC;1 22 Â&#x2DC; 2 21 Â&#x2DC; 3 20 Â&#x2DC; 2 19 Â&#x2DC; 2 17 Â&#x2DC;1 16 Â&#x2DC; 3 15 Â&#x2DC;1 10 Â&#x2DC; 2 9 Â&#x2DC; 2 3 Â&#x2DC; 1 330

Anzahl SchĂźler = 1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 2 + 1 = 20 Â&#x;

Berechnen des Zentralwertes z: Der Zentralwert ist der in der Mitte stehende Wert, wenn die Daten einer Untersuchung der GrĂśĂ&#x;e nach geordnet sind. Stehen zwei Werte in der Mitte, so ist der Zentralwert deren arithmetisches Mittel. Bei 20 SchĂźlern ist der Zentralwert zwischen dem 10. und 11. SchĂźler.

Ergebnismenge S = {(12); (13); (21); (23); (31); (32)}.

Ordnet man die erreichten Punkte der GrĂśĂ&#x;e nach, ergibt sich:

b) Die jeweiligen Ergebnisse fĂźr den Hauptpreis bzw. Kleinpreis kann man nun aus der Ergebnismenge S (siehe a)) heraussuchen: Ergebnismenge fĂźr den Hauptspreis: H = {(12)} Ergebnismenge fĂźr den Kleinpreis: K = {(21); (31); (32)} c) Keinen Preis bekommt man bei den beiden Ergebnissen (13) und (23). Bei 6 mĂśglichen Ergebnissen folgt: Â&#x; Wahrscheinlichkeit p(â&#x20AC;&#x17E;kein Preisâ&#x20AC;&#x153;) = 1 + 1 = 2 | 0,3333 = 33,3%. 6 6 6 d) Um die Gewinnchancen vergleichen zu kĂśnnen, werden beide FĂ¤lle ausgerechnet: Ziehen ohne ZurĂźcklegen: Ergebnismenge fĂźr den Hauptspreis H = {(12)} Â&#x; 1 gĂźnstiges Ergebnis Ergebnismenge S = {(12); (13); (21); (23); (31); (32)} Â&#x; 6 mĂśgliche Ergebnisse

Â&#x;

arithmetische Mittel m = 330: 20 = 16,5

10 10 15 16 16 16 17 19 19 20 20 21 21 21 22 22 24

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Die jeweiligen prozentualen Anteile entsprechen dem Quotienten aus der Anzahl der SchĂźler und der GesamtschĂźlerzahl. HĂ¤ufigkeitstabelle 2: Noten Anzahl der SchĂźler

Gesamt

Relative HĂ¤ufigkeit 1 0,05 5% 20 7 20 6 20 1 20 4 20 1 20

0,35 35% 0,30 30% 0,05 5% 0, 20

20%

0,05 5%

100%

SĂ¤ulendiagramm: 40 35

a) Der erste Spieler hat 4 MĂśglichkeiten, der zweite 3, der dritte 2 und der vierte noch eine MĂśglichkeit der Farbauswahl. Dadurch ergeben sich: 4! = 4 Âˇ 3 Âˇ 2 Âˇ 1 = 24 MĂśglichkeiten b) Jeder der beiden WĂźrfel kann die Zahlen von 1 bis 6 anzeigen. Somit ergibt sich fĂźr die Augensumme folgende Ergebnismenge: S = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} c) Erstellen einer tabellarischen Ă&#x153;bersicht: Augensumme 2 3 Ergebnis (11) (12),(21)

Relative HĂ¤ufigkeit

25 20 15 10 5 0

4 5 6 (13),(22), (14),(23), (15),(24), (31) (32),(41) (33),(42), (51) 3 4 5

7 (16),(25), (34),(43), (52),(61) 6

Anzahl

Augensumme Ergebnis

8 (26),(35), (44),(53), (62) 5

9 10 11 (36),(45), (46),(55), (56),(65) (54),(63) (64)

12 (66)

Gesamt

Anzahl

Aus der Tabelle lĂ¤sst sich ablesen, dass die Anzahl der MĂśglichkeiten fĂźr die Augenzahl 7 (= RĂ¤uber) 6 betrĂ¤gt. Die Gesamtzahl aller MĂśglichkeiten ist 36. 6 Â&#x; p(â&#x20AC;&#x17E;RĂ¤uberâ&#x20AC;&#x153;) = | 0,167 = 16,7% 36 d) Die Augensummen 2 und 12 sind beispielsweise gleichwahrscheinlich (p = 1/36), da beide nur auf eine Weise erzeugt werden kĂśnnen. Vergleiche dazu die Tabelle aus Aufgabe (c). Andere mĂśgliche Augensummen sind auch: 3 und 11 (Anzahl gleich 2) o p = 2/36 4 und 10 (Anzahl gleich 3) o p = 3/36 5 und 9 (Anzahl gleich 4) o p = 4/36 usw.

20.

b) Um die prozentualen Anteile der erreichten Noten in der Klasse zu bestimmen, verwendet man die Auflistung aus Teilaufgabe a). Zuerst weist man den Punkten nach der Bewertungstabelle die entsprechende Note zu und fasst die jeweilige Anzahl in einer Tabelle zusammen.

Ziehen mit ZurĂźcklegen: Wenn die Kugel wieder zurĂźckgelegt wird, Ă¤ndert sich die Ergebnismenge wie folgt: S2 = {(11); (12); (13); (21); (22); (23); (31); (32); (33)}.

Weil die Ergenismenge aus insgesamt neun gleichwahrscheinlichen Ergebnissen besteht, folgt fĂźr die Wahrscheinlichkeit: p(â&#x20AC;&#x17E;Hauptpreisâ&#x20AC;&#x153;) = 1 | 0,111 = 11,1%. 9 Durch Vergleichen erkennt man, dass die Chance auf den Hauptgewinn sinkt.

Der 10. SchĂźler hat 17 Punkte, der 11. hat 19 Punkte, d.h. der Zentralwert entspricht dem arithmetischen Mittel dieser beiden Werte: Â&#x; Zentralwert z = (17 + 19): 2 = 18

p(â&#x20AC;&#x17E;Hauptpreisâ&#x20AC;&#x153;) = 1 | 0,166 = 16,7%. 6

Einzig mĂśgliches Ergebnis fĂźr einen Hauptpreis ist: (12).

Note

10. a) Berechnen der relativen HĂ¤ufigkeit: Die relative HĂ¤ufigkeit ergibt sich aus der absoluten HĂ¤ufigkeit eines Ergebnisses und der Gesamtzahl aller Ergebnisse durch Quotientenbildung: absolute HĂ¤ufigkeit Â&#x; Relative HĂ¤ufigkeit = Gesamtzahl der Ergebnisse Gesamtanzahl aller Haushalte: 335 + 404 + 512 +185 + 64 = 1500 Haushalte

Anzahl der Haushalte

mit 1 Person

335

mit 2 Personen

404

mit 3 Personen

512

mit 4 Personen

185

mit 5 und mehr Personen

a) Um einen besseren Ă&#x153;berblick zu bekommen, stellt man die Ergebnisse zunĂ¤chst in einer HĂ¤ufigkeitstabelle dar. Punkte 24 22 21 20 19 17 16 15 10 9 3 Anzahl 1 2 3 2 2 1 3 1 2 2 1

Summe

64 1500

Relative HĂ¤ufigkeit 335 | 0, 2233 1500 404 0, 2693 1500 512 | 0,3413 1500 185 | 0,1233 1500 64 | 0,0427 1500

100%

22,33% 26,93% 34,13% 12,33% 4, 27%

B54

Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Ziffer 2). Je nachdem, wie die gezogenen Kugeln nebeneinander gelegt werden (zuerst gezogene Kugel vorne und dann die danach gezogene Kugel oder umgekehrt), ergeben sich folgende Möglichkeiten: 1 / 1 oder: 1 / 2 oder: 2 / 1 oder: 2 / 2 Die Anzahl der Möglichkeiten n beträgt somit: nach dem zweiten Ziehen: n = 2 · 2 = 4

Geeignet zur Darstellung ist z.B. ein Säulendiagramm: 0,4 0,35

Relative Häufigkeit

0,3

Nach der Produktregel muss die Anzahl der Möglichkeiten im 1. Auswahlkriterium (1. Ziehen) mit der Anzahl an Möglichkeiten im 2. Auswahlkriterium (2. Ziehen) mit der Anzahl an Möglichkeiten im 3. Auswahlkriterium (3. Ziehen) . . . usw. multipliziert werden. Bei 5 Auswahlkriterien (5-maliges Ziehen) mit je 2 Möglichkeiten (Ziffer 1 oder Ziffer 2) ergeben sich also:

0,25 0,2 0,15

Anzahl Ziffernfolgen = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 = 32.

0,1 0,05

12.

0 1

a) Beim ersten Drehen kann die Ziffer 1, 2 oder 3 gezogen werden. Da beim zweiten Versuch die gleichen Möglichkeiten zur Verfügung stehen, können wieder die Ziffern 1, 2 oder 3 gezogen werden. Das Baumdiagramm ergibt sich somit wie folgt:

Anzahl der Personen im Haushalt

b) Das arithmetische Mittel kann nicht berechnet werden, da beim letzten Datenwert „5 und mehr Personen“ nicht bekannt ist, ob sechs oder mehr Personen im Haushalt leben.

relative Häufigkeit als Prozentsatz p% = 34,13% + 12,33% + 4,27% = 50,73% Da man davon ausgeht, dass die relative Häufigkeit innerhalb der befragten Haushalte gleich der relativen Häufigkeit innerhalb aller Haushalte der Kleinstadt ist, kann deren Anzahl mittels Prozentformel bestimmt werden: Grundwert G Prozentsatz p% Prozentwert P = 100 % Man errechnet die Haushalte mit mehr als 2 Personen (Prozentwert P) aus der Anzahl aller Haushalte der Kleinstadt (Grundwert G = 10465) und der relativen Häufigkeit (Prozent10465 50,73% | 5309 satz p% = 50,73%) wie folgt: Anzahl Haushalte (über 2 Personen) = 100 %

11. a) Für die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses gilt immer: Anzahl der günstigen Ergebnisse Wahrscheinlichkeit: p(E) = Anzahl der möglichen Ergebnisse Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist beim ersten Ziehen gleich der Anzahl der Kugeln, also gleich 12. Da die gezogene Kugel nicht mehr zurückgelegt wird, ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse beim zweiten Ziehen nur noch gleich 11. Die Zahl der günstigen Ergebnisse ist beim ersten Ziehen für die Kugeln mit der Ziffer 1 gleich 5 und für die Kugeln mit der Ziffer 2 gleich 7. Da beim zweiten Ziehen eine Kugel weniger vorhanden ist (Ziffer 1 oder 2), ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse dementsprechend um eins geringer. Baumdiagramm:

7 12

5 12

1 4 11

Hervorhebung zu Aufgabe b)

2 5 11

7 11

6 11

c) Um angeben zu können, wie viele Haushalte mit mehr als 2 Personen es insgesamt in der Kleinstadt gab, bestimmt man zunächst die relative Häufigkeit unter den befragten Haushalten (siehe hierzu Tabelle Aufgabe a)):

b) Ergebnismenge E = {(1,1) ; (2,2) ; (3,3)} Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gilt: p(E) =

Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse

Wahrscheinlichkeit p({(1,1)}) des Ergebnisses (1,1): Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist beim ersten Drehen gleich der Anzahl aller Felder auf dem Glücksrad, also gleich 8. Die Zahl der günstigen Ergebnisse ist beim ersten Drehen für die Ziffer 1 gleich der Anzahl der Felder mit der Ziffer 1, also gleich 3. 3 Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Drehen die Ziffer 1 zu ziehen ist somit: p(1) = . 8 Da die Scheibe für den zweiten Drehversuch nicht verändert wird, ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse beim zweiten Drehen ebenfalls gleich 8. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist dementsprechend ebenfalls gleich, also wieder 3. 3 Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Drehen die Ziffer 1 zu ziehen ist somit: p(1) = . 8

Die Wahrscheinlichkeit, direkt hintereinander zweimal die Ziffer 1 zu erhalten, verhält sich entsprechend der Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis eines sog. mehrstufigen Zufallsversuches. Dieses ergibt sich, indem man die Wahrscheinlichkeiten beider Einzel3 3 9 wahrscheinlichkeiten multipliziert: Wahrscheinlichkeit: p({(1,1)}) = · = . 8 8 64 Wahrscheinlichkeit p({(2,2)}) des Ergebnisses (2,2): Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist beim ersten und zweiten Drehen jeweils wieder gleich der Anzahl aller Felder auf dem Glücksrad, also gleich 8. Die Zahl der günstigen Ergebnisse ist beim ersten Drehen für die Ziffer 2 gleich 4 und 4 4 16 und beim zweiten Drehen ebenfalls 4: Wahrscheinlichkeit: p({(2,2)}) = · = . 8 8 64 Wahrscheinlichkeit p({(3,3)}) des Ergebnisses (3,3): Entsprechend gilt für die Ziffer 3, die nur einmal auf dem Glücksrad angebracht ist: 1 1 1 . Wahrscheinlichkeit: p({(3,3)}) = · = 8 8 64

b) Die Anzahl der möglichen Ergebnisse entspricht beim ersten Versuch der Gesamtzahl aller vorhandenen Kugeln, also 12. Für sich alleine betrachtet ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse, gleich der Anzahl der Kugeln mit der Ziffer 2, also gleich 7. Die Wahrscheinlich7 keit, beim ersten Ziehen eine Kugel mit dem Aufdruck 2 zu erhalten, ist also: p(2) = . 12

c) Auch hier liegt wieder ein mehrstufiger Zufallsversuch vor (vgl. Aufgabe b) ). Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist bei allen Versuchen gleich 8. Die Wahrscheinlichkeit für jeweils günstige Ergebnisse ist beim ersten Versuch bezogen auf die Ziffer 1 gleich 3, beim zweiten Versuch bezogen auf die Ziffer 3 gleich 1 und beim letzten, dritten Versuch bezogen auf die Ziffer 1 wieder gleich 3. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich 3 1 3 9 demnach zu: Wahrscheinlichkeit: p({(1,3,1)}) = · · = . 8 8 8 512

Die Anzahl der möglichen Ergebnisse entspricht beim zweiten Versuch der Gesamtzahl der noch übrigen Kugeln, also 11. Betrachtet man wieder nur den zweiten Versuch für sich alleine ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse, gleich der Anzahl der noch vorhandenen Kugeln mit der Ziffer 2 - also gleich 6. Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Ziehen 6 eine Kugel mit dem Aufdruck 2 zu erhalten, ist somit: p(2) = . 11

a) In der Lostrommel befinden sich 3 rote ( r ), 3 schwarze ( s ) und 1 weiße ( w ) Kugel. Es wird zweimal hintereinander gezogen, ohne dass die gezogene Kugel zurückgelegt wird.

Die Wahrscheinlichkeit, direkt hintereinander zweimal eine Kugel mit dem Aufdruck 2 zu erhalten, verhält sich entsprechend der Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis eines sog. mehrstufigen Zufallsversuches. Dieses ergibt sich, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades (im Baumdiagramm fett hervorgehoben) multipliziert: 7 6 42 7 Wahrscheinlichkeit: p({(2,2)}) = · = = . 12 11 132 22 c) Es wird zunächst eine Kugel gezogen. Diese kann nur auf eine Art und Weise angeordnet werden. Die Anzahl der Möglichkeiten n beträgt aber dennoch 2, da zwei Arten von Kugeln zur Verfügung stehen (Ziffer 1 oder Ziffer 2): nach dem ersten Ziehen: n = 2. Beim zweiten Mal Ziehen stehen wieder zwei verschiedene Kugeln zur Auswahl (Ziffer 1

13.

Beim ersten Durchgang besteht somit die Möglichkeit eine der drei Farben zu ziehen. Wird eine rote oder schwarze Kugel entnommen, befinden sich immer noch Kugeln aller drei Farben in der Trommel. Wurde im ersten Durchgang jedoch die einzige weiße Kugel gezogen, befinden sich beim zweiten Mal Ziehen nur noch Kugeln mit zwei unterschiedlichen Farben in der Trommel. Das Baumdiagramm stellt sich somit folgendermaßen dar: 3 7

3 6

r 2 6

1 7

3 7

1 6

(r,r) (r,s) (r,w)

3 6

r (s,r)

2 6

3 6

1 6

(s,s) (s,w)

3 6

(w,r) (w,s)

AbschlussprĂźfungen

B55

FĂźr eines Ereignisses gilt: Wahrscheinlichkeit: p(E) =

Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse

Die Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse ist beim ersten Ziehen gleich der Anzahl der Kugeln, also gleich 7. Da die gezogene Kugel nicht mehr zurĂźckgelegt wird, ist die Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse beim zweiten Ziehen nur noch gleich 6. Die Zahl der gĂźnstigen Ergebnisse ist beim ersten Ziehen fĂźr die roten bzw. schwarzen Kugeln gleich 3 und fĂźr die weiĂ&#x;e Kugel gleich 1. Wurde beim ersten Ziehen eine rote/schwarze Kugel entnommen ist beim zweiten Ziehen eine rote/schwarze Kugel weniger vorhanden und die Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse fĂźr diese zwei Farben jeweils um eines geringer. Wurde die weiĂ&#x;e Kugel beim ersten Versuch bereits entnommen, ist die Anzahl fĂźr dieses Ergebnis beim zweiten Ziehen gleich Null. Die sich somit fĂźr jeden Ast ergebenden Wahrscheinlichkeiten sind im Baumdiagramm entsprechend eingetragen. b) In die Ergebnismenge werden alle denkbaren Ergebnisse eingetragen (vgl. Baumdiagramm): Ergebnismenge E = {(r,r) ; (r,s) ; (r,w) ; (s,r) ; (s,s) ; (s,w) ; (w,r) ; (w,s)} c) Es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass mindestens einmal die rote Kugel gezogen wird. Dabei ist unerheblich, ob dies gleich beim ersten, beim zweiten Zug oder bei beiden der Fall ist. Â&#x; Ergebnismenge E = {(r,r) ; (r,s) ; (r,w) ; (s,r) ; (w,r)} Es werden zunĂ¤chst die Wahrscheinlichkeiten fĂźr die gĂźnstigen Ergebnisse der Ergebnismenge einzeln berechnet. Diese verhalten sich entsprechend der Wahrscheinlichkeit fĂźr das Ergebnis eines sog. mehrstufigen Zufallsexperiments aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der jeweils zwei Einzel-Ereignisse entlang des Pfades im Baumdiagramm (vgl. Ă&#x201E;ste im Baumdiagramm). Beispiel fĂźr die Wahrscheinlichkeit p({(r,r)}) des Ergebnisses (r,r): (vgl. fett hervorgehobenen Pfad im Baumdiagramm) 3 2 6 2 Â&#x; p({(r,r)}) = Âˇ = = . 7 6 42 14 Dementsprechend ergeben sich fĂźr die anderen gĂźnstigen Ergebnisse: 3 3 9 3 3 1 Â&#x; p({(r,s)}) = Âˇ = = Â&#x; p({(r,w)}) = Âˇ = 7 6 42 14 7 6 3 3 9 3 1 3 Â&#x; p({(s,r)}) = Âˇ = = Â&#x; p({(w,r)}) = Âˇ = 7 6 42 14 7 6

2.2 AbschlussprĂźfungen 2.2.1 AufgabenĂźbersicht AbschlussprĂźfungen PrĂźfung

0 7

Aufgabengruppe

Berechnungen an rechtwinkl. Dreiecken, Ebene Geometrie

7. 9.

Bruchgleichungen

0 8 I

0 9

1 0

1 1

1 2

5. 8.b 9.a 10

5. 9.

2. 5. 9.b

5. 8.

Schwerpunkt

Gleichungssysteme (mit 2 Variablen)

Lineare Funktionen/ Geradengleichungen LĂśsen/Aufstellen von Gleichungen Quadratisch Funktionen / Parabelgleichungen Strahlensatz / Zentrische Streckung

1.g

10.

2.a 9.a

2. 6.

10.

Wahrscheinlichkeitsaufgaben

2.ac

4.ac

Kobinatorik

2.d

4.d

8. 1.

6. 7.

9.b 8.a

Wachstums-/Zerfallsaufgaben Zins-/Prozentaufgaben, Kapitalwachstum

4. 4. 6. 7.

6. 9. 1.a1. f

KĂśrperberechnungen

10. 10. 10. b

Neu ab 2008: 3 1 = 42 14 3 1 = . 42 14

Multiple-Choice-Aufgaben (div. Schwerpunkte)

Binomische Formeln

5.c

3. 11.

3. 9.

â&#x20AC;&#x17E;Finde den/die Fehlerâ&#x20AC;&#x153;

3. 3. 9. 9. 10.a 6.

Die Wahrscheinlichkeit p, die rote Kugel mindestens einmal zu ziehen, kann nun aus den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse berechnet werden. Sie entspricht der Summe der errechneten Einzelwahrscheinlichkeiten: 2 3 1 3 1 10 5 p("mindestens einmal rot") = + + + + = = | 0,714 Â&#x161; 71,4% | 71%. 14 14 14 14 14 14 7

14.

2.2.2 AbschlussprĂźfung 2007

a) Die Auswertung ergab, dass von allen Befragten (100%) x 87% zufrieden sind mit Warenangebot und Service â&#x20AC;&#x201C; Gruppe (A) x 10% nur das Warenangebot bemĂ¤ngeln Gruppe (B) x 3% nur den Service bemĂ¤ngeln Gruppe (C). o

Aufgabengruppe I 1. a)

Wahrscheinlichkeit fĂźr einen vollstĂ¤ndig zufriedenen Kunden: p(A) = 87 = 0,87

Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

100

m1 =

Wahrscheinlichkeit fĂźr einen mit dem Service unzufriedenen Kunden: p(C) = 3 = 0,03

Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 0,5x + n1.

100

Bestimmung des y-Achsenabschnittes n1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes A(5/0) in y = 0,5x + n1:

Baumdiagramm: 0,87

0,10

0,03

Einsetzen der Koordinaten von A(5/0) und B( 3/4): yA yB 0 4 4 1 = = = = 0,5 xA xB 5 ( 3) 8 2

Wahrscheinlichkeit fĂźr einen mit dem Warenangebot unzufriedenen Kunden: p(B) = 10 = 0,10 100

y P1 y P2 x P1 x P2

0 = 0,5 Âˇ 5 + n1

Â&#x;

Â&#x153; 0 = 2,5 + n1 ~+ 2,5

Â&#x153; n1 = 2,5

Gleichung von g1 : y = 0,5x 2,5 .

b) FĂźr die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses gilt: Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse Wahrscheinlichkeit: p(E) = Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse

b) Die Steigung m2 der Gerade g2 kann ermittelt werden, da das Produkt der Steigungen von zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1 ergibt:

Die Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse ist gleich der Anzahl/dem Anteil aller unzufriedenen Kunden: Kundengruppe (B) + Kundengruppe (C) = 10% + 3% = 13%.

Da die Gerade g2 auf der Geraden g1 (m1 = 0,5) senkrecht stehen soll, muss gelten: m2 Âˇ ( 0,5) = 1 Â&#x153; m2 = 1 : ( 0,5) = 2

Die Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse ist gleich der Anzahl/dem Anteil der Befragten, die nur den Service bemĂ¤ngeln. Sie entspricht somit: Kundengruppe (C) = 3%. 3% 3 = | 0,23 Â&#x; Wahrscheinlichkeit p(E1) = 13 % 13 c) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kunde zufrieden ist (A), liegt bei: p(A) = 0,87 (vgl. 4.a)). Die Wahrscheinlichkeit fĂźr das gĂźnstige Ergebnis zweier zufriedener Kunden (A,A) verhĂ¤lt sich entsprechend der Wahrscheinlichkeit fĂźr das Ergebnis eines sog. mehrstufigen Zufallsexperiments. Diese ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von jeweils zwei aufeinander folgenden Einzel-Ereignissen. Wahrscheinlichkeit p({(A,A)}) des Ergebnisses (A,A) zweier zufriedener Kunden: Â&#x;

p({(A,A)}) = 0,87 Âˇ 0,87 = 0,87Â˛ | 0,76.

m2 Âˇ m1 = 1 (wenn g2 A g1).

Die Funktionsgleichung von g2 lautet bisher: y = 2x + n2. Zur Bestimmung von n2 werden die Koordinaten des gemeinsamen Schnittpunktes B ( 3/4) der beiden Geraden in g2 eingesetzt: Â&#x; 4 = 2Âˇ ( 3) + n2

Â&#x153;

4 = 6 + n2

Â°+ 6

Â&#x153;

n2 = 10

Â&#x; Gleichung von g 2 : y = 2x 10 . c) Die Gerade g1 wird anhand der Punkte A und B eingezeichnet. Die Gerade g2 steht im Punkt B senkrecht auf g1. (HINWEIS: Die Zeichnung enthĂ¤lt bereits Elemente der Aufgaben d) bis g).)

AbschlussprĂźfung 2007

B56

Ereignis 2: Da der vorletzte SchĂźler bereits durch die TĂźr gegangen ist (Ereignis 1), betrĂ¤gt die Anzahl aller mĂśglichen Ergebnisse nur noch 23. Auch die Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse redu7 ziert sich von 8 auf 7, da ein Junge das Klassenzimmer bereits betreten hat. Â&#x; p(E2) = 23

y 7

6 5

B(-3/4) 4 Bâ&#x20AC;&#x2122;(-1/3) 2

C(-5/0) -6

Die Wahrscheinlichkeit p fĂźr die beiden letzten SchĂźler verhĂ¤lt sich entsprechend der Wahrscheinlichkeit fĂźr das Ergebnis eines sog. mehrstufigen Zufallsexperimentes. Dies ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von aufeinderfolgenden Einzel-Er8 7 56 7 eignissen: Â&#x; p = Â&#x2DC; = 24 23 552 69

-5

-4

Câ&#x20AC;&#x2122;(-2,5/0)

A(5/0)

-1 -2

Â&#x; Ergebnismenge E = {MKK, KMK, KKM}

-3

c) Auch hier handelt es sich um ein mehrstufiges LAPLACE-Experiment (vgl. Aufgabe 2.a)).

-4 -5

d) Der y-Wert des Schnittpunktes C von g2 mit der x-Achse hat den Wert Null. Um den zugehĂśrigen x-Wert des Schnittpunktes C (Nullstelle) zu erhalten, wird deshalb in der Funktionsgleichung von g2 y = 0 gesetzt und dann nach x aufgelĂśst: Â&#x; 0 = 2x + 10 ~ 2x Â&#x153; 2x = 10 Â°:( 2) Â&#x153; x = 5 Â&#x; C ( 5/0) e) Der FlĂ¤cheninhalt AABC des rechtwinkligen Dreiecks ABC kann mittels Formel Â&#x2DC; b Â&#x2DC; h b ) aus der Grundlinie b = AC und der HĂśhe hb errechnet werden:

(A =

1 2

Â&#x;

AABC =

1 2

b) Wenn drei SchĂźler geprĂźft werden und sich darunter genau ein MĂ¤dchen befinden soll, ergeben sich drei verschiedene AnordnungsmĂśglichkeiten. Das MĂ¤dchen (M) kann entweder als erstes, zweites oder drittes geprĂźft werden.

Â&#x2DC; AC Â&#x2DC; h b .

Die StreckenlĂ¤nge AC ergibt sich aus den x-Koordinaten der Punkte A und C. Die DreieckshĂśhe hb entspricht dem y-Wert des Punktes B, da A und C auf der x-Achse liegen:

Da es 3 unvorbereitete von insgesamt 24 SchĂźlern gibt, betrĂ¤gt die Wahrscheinlichkeit 3 . dafĂźr, dass der zuerst geprĂźfte SchĂźler unvorbereitet ist: p(E1) = 24 Wurde der erste unvorbereitete SchĂźler befragt, befinden sich noch 2 weitere unvorbereitete SchĂźler unter den restlichen 23. Die Wahrscheinlichkeit dafĂźr, dass der zweite 2 . SchĂźler unvorbereitet ist, betrĂ¤gt somit: p(E2) = 23 Analog ergibt sich fĂźr die Wahrscheinlichkeit, dass der dritte unvorbereitete SchĂźler 1 . 22

aufgerufen wird: p(E3) =

Wahrscheinlichkeit, dass alle drei unvorbereiteten SchĂźler aufgerufen werden: Â&#x;

AC = xA xC = 5 ( 5) = 5 + 5 = 10 Â&#x161; 10 cm

hb = yb = 4 Â&#x161; 4 cm Â&#x;

3 2 1 6 Â&#x2DC; Â&#x2DC; = 24 23 22 12144

1 2024

d) Da es fĂźr den ersten SchĂźler auf der Liste 9 MĂśglichkeiten (o Anzahl der PrĂźflinge), fĂźr den zweiten nur noch 8 MĂśglichkeiten, fĂźr den dritten noch 7 MĂśglichkeiten usw. gibt, erhĂ¤lt man insgesamt

AC Â&#x2DC; h b 10 cm Â&#x2DC; 4 cm = = 20 cmÂ˛ AABC = 2 2

f) Da die Geraden g3 und g2 parallel zueinander laufen sollen, haben sie den gleichen Steigungsfaktor m, d.h.: m3 = m2 = 2.

9! = 9 Â&#x2DC; 8 Â&#x2DC; 7 Â&#x2DC; 6 Â&#x2DC; 5 Â&#x2DC; 4 Â&#x2DC; 3 Â&#x2DC; 2 Â&#x2DC; 1 = 362880 AnordnungsmĂśglichkeiten.

Die Funktionsgleichung von g3 lautet demnach bis jetzt: y = 2x + n3.

Zur Bestimmung von n3 werden die Koordinaten des Punktes eingesetzt, der auf g3 liegt, also Câ&#x20AC;&#x2122; ( 2,5/0): Â&#x; 0 = 2Âˇ ( 2,5) + n3 Â&#x153; 0 = 5 + n3 Â°+ 5 Â&#x153; n3 = 5

Der FlĂ¤cheninhalt AQ eines Quadrates ergibt sich aus der SeitenlĂ¤nge a: AQ = aÂ˛

Â&#x; Gleichung von g 3 : y = 2x 5 .

(Zeichnung siehe KOS Aufgabe 1.c)

g) Das Deieck ABâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122; ensteht aus dem Dreieck ABC durch zentrische Streckung. Da der Eckpunkt A in seiner Lage erhalten bleibt, entspricht er dem Streckungszentrum Z. Nach den Gesetzen der zentrischen Streckung wird jede Urstrecke auf eine k-mal so lange Bildstrecke abgebildet, also im vorliegenden Fall z.B. die Urstrecke AC auf die Bildstrecke AC` . FĂźr deren LĂ¤ngen gilt: AC = 10 cm (vgl. Teilaufgabe e)) und AC` = yA yC` = 5 ( 2,5) = 5 + 2,5 = 7,5 Â&#x161; 7,5 cm

Der Streckungsfaktor k kann nun berechnet werden, denn es gilt: LĂ¤ngeBildstrecke = k Âˇ LĂ¤ngeUrstrecke. Â&#x;

AC` = k Âˇ AC

Â&#x; 7,5 cm = k Âˇ 10 cm Â°: 10 cm

Â&#x153;

7,5 cm = 0,75 10 cm

Da sich die SeitenlĂ¤nge des kleinsten und die des grĂśĂ&#x;ten Quadrates auf die SeitenlĂ¤nge des mittleren Quadrates beziehen, ist es sinnvoll dessen Seitenkanten mit der Variable x zu belegen. FĂźr die SeitenlĂ¤ngen und die FlĂ¤cheninhalte ergeben sich dann folgende ZusammenhĂ¤nge: SeitenlĂ¤ngen

FlĂ¤cheninhalte

kleinstes Quadrat

akQ = x 2

AkQ = akQÂ˛ = (x 2)Â˛

mittleres Quadrat

amQ = x

AmQ = amQÂ˛ = xÂ˛

agQ = x + 2

AgQ = agQÂ˛ = (x + 2)Â˛

grĂśĂ&#x;tes Quadrat

Da der gesamte FlĂ¤cheninhalt Ages aller drei Quadrate mit 1460 cmÂ˛ angegeben ist, lĂ¤sst sich zur Ermittlung der LĂ¤nge x folgende Bestimmungsgleichung aufstellen (alle LĂ¤ngen in cm/alle FlĂ¤chen in cmÂ˛): AkQ + AmQ + AgQ = 1460 bzw. eingesetzt: (x 2)Â˛ + xÂ˛ + (x + 2)Â˛ = 1460 Â&#x153;

(xÂ˛ 2ÂˇxÂˇ2 + 4) + xÂ˛ + (xÂ˛ + 2ÂˇxÂˇ2 + 4) = 1460

Â&#x153;

xÂ˛ 4x + 4 + xÂ˛ + xÂ˛ + 4x + 4 = 1460

Â&#x153;

3xÂ˛ = 1452 ~: 3

Â&#x153;

x1 = 22 Â&#x203A; (x2 = 22 o nicht sinnvoll, da negativ)

a) In einer Klasse sind insgesamt 24 SchĂźler, darunter 16 MĂ¤dchen (M) und 8 Knaben (K). Alle 24 SchĂźler sollen das Klassenzimmer betreten. Die Wahrscheinlichkeit p, dass die beiden letzten SchĂźler Knaben sind soll errechnet werden.

Â&#x;

SeitenlĂ¤nge kleinstes Quadrat: akQ = 22 2 = 20 cm

FĂźr die Inhalte einander Ă¤hnlicher FlĂ¤chen gilt: ABildfigur = kÂ˛ Âˇ AUrfigur Â&#x;

AAB`C` = kÂ˛ Âˇ AABC = 0,75Â˛ Âˇ 20 cmÂ˛ = 11,25 cmÂ˛

Man unterteilt das Zufallsexperiment in zwei Einzelereignisse: Ereignis 1 - der vorletzte SchĂźler ist ein Junge, Ereignis 2 - der letzte SchĂźler ist ein Junge. Bei beiden Ereignissen sind alle Ergebnisse des zugehĂśrigen Ergebnisraumes gleichwahrscheinlich. FĂźr solche sog. LAPLACE-Experimente ermittelt man die Wahrscheinlichkeit p Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse grundsĂ¤tzlich wie folgt: p(E) = Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse Ereignis 1: Die Anzahl der mĂśglich Ergebnisse entspricht 24, denn jeder der 24 SchĂźler kĂśnnte als Vorletzter das Klassenzimmer betreten. Die Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse ist gleich der 8 Anzahl der Knaben, also gleich 8 (geforderte Bedingung). Â&#x; p(E1) = 24

Â&#x153;

xÂ˛ = 484 ~

Â&#x153;

3xÂ˛ + 8 = 1460

Â° 8

Â&#x153;

SeitenlĂ¤nge mittleres Quadrat: amQ = 22 cm SeitenlĂ¤nge grĂśĂ&#x;tes Quadrat:

agQ = 22 + 2 = 24 cm

4. a) Die Koordinaten des Scheitelpunktes S1 ( 2/9) werden in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach unten geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt. Diese wird dann in die Normalform wie folgt umgeformt: Â&#x; y = (x ( 2))Â˛ + 9 = (x + 2)Â˛ + 9 = (xÂ˛ + 2ÂˇxÂˇ2 + 2Â˛) + 9 = (xÂ˛ + 4x + 4) + 9 = xÂ˛ 4x 4 + 9 = xÂ˛ 4x + 5 Â&#x;

Normalform der Funktionsgleichung von p1: y = xÂ˛ 4x + 5.

AbschlussprĂźfung 2007

B57

b) Zur Bestimmung der Nullstellen wird die Funktionsgleichung der Parabel p1 gleich Null gesetzt: y = 0 Â&#x; xÂ˛ 4x + 5 = 0 Â°: ( 1) Â&#x153; xÂ˛ + 4x 5 = 0 Â&#x;

p = 4 ; q = 5 in LĂśsungsformel:

x1/2

4 r = 2

Â&#x;

Dreieck

Â&#x; x1 = 1 und x2 = 5

2=1+p+q

Â&#x153;

1=p+q (I)

B (4/5) in y = xÂ˛ + px + q: 5 = 4Â˛ + p Âˇ 4 + q Â&#x153;

5 = 16 + 4p + q

Â&#x153;

11 = 4p + q ( II )

(I) 1 = p +q ( II ) 11 = 4p + q ( I ) ( II ): 12 = 3p + 0

p = 4 in ( I ) eingesetzt: 1 = 4 + q

Â&#x153;

3p = 12

Â&#x153;

p = 4

Â&#x153; q=5

Funktionsgleichung der Normalparabel p2 y = xÂ˛ 4x + 5.

Umfang des Dreiecks: 69 cm

Umfang des Parallelogramms: 57 cm

Formel: uD = AB + BD + DA = 2y + 2x + 2x = 2y + 4x

Formel: uP = AB + BE' + E ' E + EA = 2y + x + 2y + x = 4y + 2x

Mit Hilfe der angesetzten Umfangsformeln und der gegebenen LĂ¤ngen lassen sich folgende zwei Bestimmungsgleichungen aufstellen, aus denen sich letztlich die gesuchten SeitenlĂ¤ngen x und y errechnen lassen: Bestimmungsgleichung ( I ): Bestimmungsgleichung ( II ):

2y + 4x = 69 (vgl. Spalte â&#x20AC;&#x17E;Dreieckâ&#x20AC;&#x153;) 4y + 2x = 57 (vgl. Spalte â&#x20AC;&#x17E;Parallelogrammâ&#x20AC;&#x153;)

Gleichung ( I ) entsprechend Einsetzverfahren nach y (oder x) auflĂśsen und dann in Gleichung ( II ) einsetzen: Â&#x; 2y + 4x = 69 Â° 4x Â&#x153; 2y = 69 4x Â°: 2 Â&#x153; y = 34,5 2x

d) Die Funktionsgleichung der Parabel p2 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelform umgewandelt. Die Koordinaten von S2 kĂśnnen dieser dann entnommen werden:

y = 34,5 2x in ( II ):

y = xÂ˛ 4x + 5 = xÂ˛ 4x + 2Â˛ 2Â˛ + 5 = (x 2)Â˛ 4 + 5 = (x 2)Â˛ + 1

Â&#x153;

Â&#x;

x = 13,5 in y = 34,5 2x:

Scheitel S2 (2/1)

x y

Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte A (1/2) und B (4/5) in die o.g. Normalform ein und lĂśst das entstehende Gleichungssystem wie folgt: A (1/2) in y = xÂ˛ + px + q: 2 = 1Â˛ + p Âˇ 1 + q Â&#x153;

x y

Eâ&#x20AC;&#x2122; y

Nullstellen: N1(1/0) und N2( 5/0).

Gleichungssystem:

Â§ 4Âˇ Â¨ Â¸ ( 5) = 2 r 4 5 = 2 r 3 ÂŠ 2Âš

c) Die Funktionsgleichung der nach oben geĂśffneten Normalparabel lautet: y = xÂ˛ + px + q.

Â&#x;

Parallelogramm

4Â&#x2DC; (34,5 2x) + 2x = 57

138 6x = 57 Â° 138

Â&#x153;

6x = 81 Â°:( 6)

138 8x + 2x = 57 Â&#x153; Â&#x153;

x = 13,5

y = 34,5 2Â&#x2DC;13,5 = 7,5

e) Einzeichnen der beiden Scheitel S1 und S2 der nach unten/oben geĂśffneten Normalparabeln. AnschlieĂ&#x;end beide Parabeln mittels Schablone vervollstĂ¤ndigen.

Â&#x;

(Hinweis: Das KOS enthĂ¤lt bereits den BerĂźhrpunkt T, Aufgabe 4.f))

a) Die LĂ¤nge a der Grundseite kann aus dem Inhalt der PyramidengrundflĂ¤che GP berechnet werden. Dieser ergibt sich aus der PyramidenhĂśhe hP = 12 cm und dem Volumen VP der Pyramide. Da die Pyramide aus der Hohlkugel entstehen soll, muss deren Volumen dem Volumen VHK der Hohlkugel entsprechen. VHK errechnet sich aus dem Volumen VaK der Ă¤uĂ&#x;eren Kugel abzĂźglich dem Volumen ViK der inneren Kugel.

y 10

S 1(-2/9)

9 8

d aK 16,8 cm = 8,4 cm = 2 2 Der Kugelradius riK der inneren Kugel ergibt sich aus dem Ă¤uĂ&#x;eren Kugelradius abzĂźglich der WandstĂ¤rke w: riK = raK w = 8,4 cm 0,3 cm = 8,1 cm

Radius der Ă¤uĂ&#x;eren Kugel: raK =

T(0/5)

B(4/5)

2. Volumen VHK der Hohlkugel

1 -4

-3

-2

VHK = VaK ViK =

A(1/2)

-5

-1 0 -1

= S 2(2/1) 1

f) Man ermittelt Schnitt- bzw. BerĂźhrpunkte durch Gleichsetzen der Funktionsterme beider Parabeln p1 und p2. Ergibt sich nach dem Umformen der Terme nur eine LĂśsung mit den Koordinaten (0/5), ist der BerĂźhrpunkt T (0/5) rechnerisch bestĂ¤tigt.

Â&#x153;

Â&#x153; 2xÂ˛ = 0 Â¨:( 2)

Â&#x153;

xÂ˛ = 0 Â&#x153;

0 = 0 Â&#x; 1 Schnittpunkt o BerĂźhrpunkt

x = 0 in p2: y = 0Â˛ 4Â&#x2DC; 0 + 5 = 5

Â&#x;

4 3

Âˇ raKÂł Âˇ S

Âˇ (8,4 cm)Âł Âˇ 3,14

4 3

Âˇ riKÂł Âˇ S

Âˇ (8,1 cm)Âł Âˇ 3,14 | 2481,5 cmÂł 2225,0 cmÂł = 256,5 cmÂł

mitteln, indem man die bekannten GrĂśĂ&#x;en einsetzt und die entstandene Gleichung nach GP auflĂśst (hP = 12 cm):

-3

Â¨ xÂ˛ + 4x 5

4 3

3. GrundflĂ¤che GP der Pyramide Da das Pyramidenvolumen VP dem Hohlkugelvolumen entspricht (VP = VHK = 256,5 cmÂł), kann man die GrundflĂ¤che GP der Pyramide aus der Volumenformel VP = 13 Âˇ GP Âˇ hP er-

6 x

-2

xÂ˛ 4x + 5 = xÂ˛ 4x + 5

1. Kugelradien

SchenkellĂ¤nge: x = 13,5 cm / BasislĂ¤nge: y = 7,5 cm

Â&#x;

256,5 cmÂł = 13 Âˇ GP Âˇ (12 cm)

Â&#x153;

GP | 64,1 cmÂ˛

Â&#x153;

4. GrundseitenlĂ¤nge a der Pyramide Da die PyramidengrundflĂ¤che einem Quadrat entspricht, gilt: GP = aÂ˛ = 64,1 cmÂ˛

Â&#x;

GrundseitenlĂ¤nge a =

64,1 cmÂ˛ | 8,0 cm

b) Hilfsskizze:

BerĂźhrpunkt T (0/5)

5. Variablen: SchenkellĂ¤nge des Dreiecks in cm: x LĂ¤nge der Grundseite/Basis in cm: y hP

Sowohl beim ursprĂźnglichen groĂ&#x;en Dreieck als auch beim Parallelogramm entspricht der jeweilige Umfang der Summe aller drei bzw. vier SeitenlĂ¤ngen. Stellt man beide Figuren gegenĂźber, erhĂ¤lt man somit fĂźr den Umfang in AbhĂ¤ngigkeit von den gegebenen Variablen x und y (siehe nĂ¤chste Seite!) folgendes:

Â&#x153; 256,5 cmÂł = GP Âˇ (4 cm) Â°: (4 cm)

a 2 a

Die OberflĂ¤che OP der Pyramide besteht aus der GrundflĂ¤che GP und dem Mantel MP, welcher sich aus vier Dreiecken zusammensetzt. Da die GrundflĂ¤che quadratisch ist, haben alle Dreiecke die gleiche GrundseitenlĂ¤nge a und die gleiche SeitenhĂśhe hS. FĂźr die OberflĂ¤che gilt somit: OP = GP + MP = GP + 4Â&#x2DC;A' a Â&#x2DC; hs (8,0 cm) Â&#x2DC; h s = 64,1 cmÂ˛ + 4Â&#x2DC; = GP + 4Â&#x2DC; 2 2 Die LĂ¤nge der SeitenhĂśhe hS kann man im hervorgehobenen rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras aus den Katheten hP und a2 bestimmen: hSÂ˛ = hPÂ˛ +

a2 2 = (12 cm)Â˛ + (4 cm)Â˛ = 160 cmÂ˛

Â&#x; hS = 160 cmÂ˛ | 12,6 cm Â&#x; OberflĂ¤che OP = 64,1 cmÂ˛ + 4Â&#x2DC;

(8,0 cm) Â&#x2DC; (12,6 cm) = 64,1 cmÂ˛ + 201,6 cmÂ˛ = 265,7 cmÂ˛ 2

AbschlussprĂźfung 2007

B58 7.

Eingesetzt: (20 cm)Â˛ = AE Â&#x2DC;(52 cm) Â°: 52 cm

AE =

(20 cm)Â˛ | 7,7 cm 52 cm

Â&#x;

AC = 7,7 cm + 52 cm = 59,7 cm

Â&#x;

FlĂ¤cheninhalt AABCD = DE Â&#x2DC; AC = 20 cm Â&#x2DC; 59,7 cm = 1194 cmÂ˛

Â&#x153;

5,4 m D

20 cm

12 m

18 m

Da die zwei Dreiecke ABF und ADE einander Ă¤hnlich sind (zwei gleiche Innenwinkel: D und ein rechter Winkel), kann die LĂ¤nge von [DE] mittels Strahlensatz aus den LĂ¤ngenverDE AD = hĂ¤ltnissen der Strecken [DE] und [BF] sowie [AD] und [AB] bestimmt werden: BF AB Eingesetzt:

DE 12 m 18 m = 5,4 cm 12 m

Â°Â&#x2DC; 5,4 m

Â&#x153;

DE =

30 m Â&#x2DC; 5,4 m = 13,5 m 12 m

BF 5,4 sin D = = = 0,45 Â&#x; D | 26,7Â° AB 12 Mit dem Sinus von D kann nun im rechtwinkligen Dreieck ADE mit der Strecke [AD] die LĂ¤nge von [DE] errechnet werden: DE AD

sin 26,7Â° = 0,45 =

Â&#x153;

DE = 0,45 Â&#x; 12 m 18 m

7,7 cm B

Der Winkel D wird durch die Hypotenuse [AC] halbiert (Symmetrieachse). Die HĂ¤lfte von D kann im rechtwinkligen Teildreieck AED mit dem Tangens wie folgt berechnet werden: tan

Alternativ: Ermittlung des Winkels D im rechtwinkligen Dreieck ABF

D 2

DE 20 cm = | 2,5974 AE 7,7 cm

Â&#x;

D 2

| 68,9Â°

Â&#x153; D = 137,8Â°

D 20 cm

DE = 0,45 Â&#x2DC; 30 m = 13,5 m

Aâ&#x20AC;&#x2122;

b) Der Umfang uACE des Dreiecks ACE entspricht der Summe aller drei SeitenlĂ¤ngen: uACE = AC + CE + AE .

Da sich AC und CE im Dreieck ACE aus der Strecke AE und dem Winkel D ermitteln lassen, sollte zuerst AE bestimmt werden. AE ergibt sich im rechtwinkligen Dreieck ADE aus dem Satz des Pythagoras: AD Â&#x;

Â&#x;

DE AE

AD DE = (30 m)Â˛ (13,5 m)Â˛ = 717,75 mÂ˛ 717,75 mÂ˛ | 26,8 m

Ermittlung der SeitenlĂ¤ngen AC und CE im Dreieck ACE mit dem Kosinus/Sinus des AC CE Winkels D (Berechnung von D siehe Alternativweg 7.a): cos D = bzw. sin D = AE AE Â&#x;

Â&#x;

CE = sin D Â&#x2DC; AE = sin 26,7Â° Â&#x2DC; 26,8 m | 12,0 m

Â&#x153;

A' E =

Umfang uACE = 26,8 m + 23,9 m + 12,0 m = 62,7 m

Â&#x; VerlĂ¤ngerung A ' A = A' E AE = 17,8 cm 7,7 cm = 10,1 cm

AC = cos D Â&#x2DC; AE = cos 26,7Â° Â&#x2DC; 26,8 m | 23,9 m

Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ {2; 3} 2x 5 7x 15 = x 2 2x 6

x LĂśsungsmenge:

2x 5 7x 15 Âˇ(x 2)Âˇ(2x 6) = Âˇ(x 2)Âˇ(2x 6) x 2 2x 6

KĂźrzen: (2x + 5)Âˇ(2x 6) = (7x 15)Âˇ(x 2)

Â&#x153;

~ 7xÂ˛ + 29x 30

Â&#x153;

xÂ˛ 9x + 20 = 0

Â&#x; IL = {4; 5}

3y = 4x + 12 Â°: 3

Â&#x153;

y = 43 x + 4

Â°: 32

Â&#x153;

y = 23 x + 3

3 2

y + x = 4,5 Â° x Â&#x153;

y = 1x + 4,5

Â&#x153;

23 x = 1 ~: ( 23 )

Â&#x;

Â&#x153;

3 2

= 1,5

Schnittpunkt T (1,5/2)

Die Geradengleichung von g3 lautet bis jetzt: y =

y P1 y P2 x P1 x P2

2 3

x + n3 .

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n3 durch Einsetzen der Koordinaten von

P (6/5) in y =

a) FĂźr den FlĂ¤cheninhalt des Drachenvierecks ABCD gilt: AABCD =

g2:

3 2

Dazu werden die Koordinaten von T (1,5/2) und P (6/5) eingesetzt: y yP 2 5 3 2 m3 = T = = = xT xP 1,5 6 4,5 3

und x2 = 4 Â? ID

g1: 3y + 4x = 12 Â° 4x Â&#x153;

Funktionsgleichung der Gerade g3: Steigung m3 mit der Formel m =

9 Â§ 9Âˇ r Â¨ Â¸ 20 = 4,5 r 20,25 20 = 4,5 r 0,5 2 ÂŠ 2 Âš

x1 = 5 Â? ID

1. a) Umformen der beiden Geradengleichungen in die Normalform y = mx + n:

y = 43 Âˇ1,5 + 4 = 2

p = 9 ; q = 20 in LĂśsungsformel:

x1/2 =

Aufgabengruppe II

Der y-Wert ergibt sich durch Einsetzen von x = 1,5 in g1:

Â&#x153;

Zusammenfassen: 4xÂ˛ 2x 30 = 7xÂ˛ 29x + 30

Â°: tan 48,3Â°

tan 48,3Â°Â&#x2DC; A ' E = 20 cm

20 cm | 17,8 cm tan 48,3q

23 x + 4 = 3 ~ 4

Â&#x153;

Ausmultiplizieren: 4xÂ˛ 12x + 10x 30 = 7xÂ˛ 14x 15x + 30

3xÂ˛ + 27x 60 = 0 ~:( 3)

Â&#x153;

Man erhĂ¤lt die x-Koordinate des Schnittpunktes T durch Gleichsetzen der beiden Funktionsterme und anschlieĂ&#x;endes AuflĂśsen nach x: 43 x + 4 = 23 x + 3 ~+ 23 x Â&#x153;

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: (x 2)Âˇ(2x 6)

Â&#x;

DE 20 cm = A' E A' E

tan 48,3Â° =

Â&#x;

Der Winkel E soll 70% der GrĂśĂ&#x;e des Winkels D betragen, d.h.: 70 E E= Â&#x2DC;D = 0,7Â&#x2DC;137,8Â° | 96,5Â° Â&#x; 2 | 48,3Â° 100 Â&#x;

x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind: Nenner 1: x 2 Â&#x; x 2=0 Â&#x153; x=2 Nenner 2: 2x 6 Â&#x; 2x 6 = 0 Â&#x153; 2x = 6 Â&#x153; x = 3

Â&#x;

Durch die VerĂ¤nderung des Winkels D wandert A nach auĂ&#x;en auf den Punkt Aâ&#x20AC;&#x2122;. Der Drachen wird somit um die Strecke A ' A verlĂ¤ngert. Diese ergibt sich, wenn man die ursprĂźngliche Strecke AE = 7,7 cm von der sich neu ergebenden Strecke A' E abzieht. Diese kann wiederum im rechtwinkligen Dreieck Aâ&#x20AC;&#x2122;ED mit dem Tangens des halben Winkels E und der Strecke DE errechnet werden (vgl. Skizze).

1 2

Â&#x2DC;eÂ&#x2DC;f =

1 2

Â&#x2DC; BD Â&#x2DC; AC =

1 2

Â&#x;

2 3

x + n3 : 5 =

2 3

Âˇ 6 + n3

vollstĂ¤ndige Gleichung von g 3 : y =

Â&#x153; 5 = 4 + n3 Â&#x153; n3 = 1 2 x 3

Â&#x2DC;2Â&#x2DC; DE Â&#x2DC; AC = DE Â&#x2DC; AC

Die LĂ¤nge der Strecke [AC] entspricht der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ACD. Sie setzt sich aus den beiden Hypotenusenabschnitten AE und CE zusammen. Da im Dreieck ACD die HĂśhe DE = 20 cm und der Hypotenusenabschnitt CE = 52 cm gegeben sind, kann AE mittels HĂśhensatz (hÂ˛ = pÂ&#x2DC;q) bestimmt werden: Â&#x; DE

AE Â&#x2DC; CE .

c) Das Produkt der Steigungen von zwei aufeinander senkrecht stehenden Geraden ergibt immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1. Die Geraden g1 und g3 stehen somit senkrecht aufeinander, wenn fĂźr deren Steigungen gilt: m1 Âˇ m3 = 1. Rechnerische Ă&#x153;berprĂźfung:

m1 Âˇ m3 = 43 Âˇ

2 3

= 89 z 1 Â&#x; g1 steht nicht senkrecht auf g3.

AbschlussprĂźfung 2007 d) Einzeichnen der Geraden g1 und g2 anhand der y-Achsenabschnitte n1 = 4 bzw. n2 = 3

B59

und der Steigungsdreiecke mit

P(6/5)

m1 = 43 bzw.

m2 = 23 .

Neigungswinkel

Einzeichen von g3 durch die Punkte T (1,5/2) und P (6/5). -5

HINWEIS: Grafische Darstellung (enthĂ¤lt Elemente der Aufgaben e) und f)).

-4

-3

-2

-1 0 -1

-4

-2

6 x

-2

-3

e) Der Schnittpunkt von g3 mit der x-Achse hat den y-Wert Null. Um den zugehĂśrigen x-Wert des Schnittpunktes N (Nullstelle) zu erhalten, wird deshalb in der Funktionsgleichung von g3 y = 0 gesetzt und dann nach x aufgelĂśst: Â&#x;

2 3

x + 1 Â° 23 x

23 x = 1 Â°:( 23 )

Â&#x153;

x = 32 = 1,5 Â&#x; N ( 1,5/0)

f) Der Neigungswinkel D (siehe KOS) kann direkt aus der Steigung m3 der Gerade g3 berechnet werden, da die Steigung m einer Gerade immer gleich dem Tangens des Winkels ist, den die Gerade mit der Waagrechten/x-Achse einschlieĂ&#x;t (o m = tan D): Â&#x;

tan D = m3 =

2 3

Â&#x;

3,20 m 53Â° C

h 4,50 m

4,50 m

WĂ¤hrend BH der HĂśhe bis zur Dachkante entspricht (4,50 m), muss die Strecke AB im rechtwinkligen Dreieck mit dem Sinus erst noch ermittelt werden: AB AB = Â&#x153; sin 53Â° = AC 3,20 m AB = sin 53Â°Â&#x2DC;3,20 m | 2,56 m

10,45 m

Â&#x;

Der FlĂ¤cheninhalt A des grĂśĂ&#x;eren Dachteiles entspricht dem FlĂ¤cheninhalt eines Rechtecks (A = l Â&#x2DC; b) mit der LĂ¤nge l = 21,00 m (GebĂ¤udelĂ¤nge) und der Breite b = AD (LĂ¤nge der Dachkante [AD]). Diese kann im rechtwinkligen Dreieck ADB mit dem Satz des Pythagoras aus den Katheten AB = 2,56 m und DB bestimmt werden. DB erhĂ¤lt man aus der GebĂ¤udebreite (10,45 m) abzĂźglich der StreckenlĂ¤nge von [BC], welche sich im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Kosinus bestimmen lĂ¤sst:

Â&#x153;

BC = cos 53Â°Â&#x2DC;3,20 m | 1,93 m

Â&#x;

KathetenlĂ¤nge DB = 10,45 m 1,93 m = 8,52 m

Â&#x;

DachkantenlĂ¤nge AD : AD = DB + AB = (8,52 m)Â˛ + (2,56 m)Â˛ = 79,14 mÂ˛

Â&#x;

DachflĂ¤che A = 21,00 m Â&#x2DC; 8,90 m = 186,90 mÂ˛

AD =

Â&#x153;

xÂ˛ = 324

346 3x 4 2

346 3x

Â&#x153; Â&#x153;

Â° 3x 4 Â&#x153;

x = r 324 Â&#x; IL = { 18 ; 18}

Hilfsskizze: Zur einfacheren ErlĂ¤uterung wurden die Punkte A-F sowie Z ergĂ¤nzt. VorĂźberlegungen: Z VerlĂ¤ngert man die Strecken [EA] bzw. [FB] Ăźber die Punkte A bzw. B hinaus bis zum Schnittpunkt Z (gestrichelte Linien), erhĂ¤lt man eine sog. V-Figur, in der die Strahlen0,4 m B A sĂ¤tze gelten. 0,8 m Innerhalb der Gesamtfigur sind die Dreiecke ZAB, ZCD und ZEF Ă¤hnlich (je drei gleiche x C D Innenwinkel), so dass die LĂ¤ngenverhĂ¤ltnisse der jeweiligen Grundseiten gleich den LĂ¤ngenverhĂ¤ltnissen der Schenkel sind. 1,4 m Die LĂ¤nge x kann deshalb mit Hilfe der Dreiecke ZCD und ZEF ermittelt werden, bei denen 1,3 m die VerhĂ¤ltnisse folgender StreckenlĂ¤ngen E F CD ZD = gleich sind (alle LĂ¤ngen in m): EF ZF Eingesetzt:

ZB 0,8 x = 1,3 ZB 0,8 1,4

Â°Â&#x2DC;1,3

Â&#x153;

ZB 0,8 Â&#x2DC;1,3 ZB 2,2

ZB 0,4 = ZB 0,8 1,4 1,3

ZB 0,4 = ZB 2,2 1,3

Â&#x153;

1,3Â&#x2DC; ZB = 0,4Â&#x2DC;( ZB + 2,2)

Â&#x153;

0,9Â&#x2DC; ZB = 0,88 Â°: 0,9 Â&#x153; ZB | 0,98 m

Â°Â&#x2DC;1,3 Â°Â&#x2DC;( ZB + 2,2)

Â&#x153; 1,3Â&#x2DC; ZB = 0,4Â&#x2DC; ZB + 0,88 Â&#x;

Â° 0,4Â&#x2DC; ZB Â&#x153; 0,98 0,8 Â&#x2DC;1,3 | 0,73 m 0,98 2,2

Abstand x =

5. Preis einer Formelsammlung: x â&#x201A;Ź y â&#x201A;Ź. Preis eines Taschenrechners: (Alle Preisangaben wĂ¤hrend der Rechnung in â&#x201A;Ź)

Festlegen der Variablen:

Der Klassenlehrer bestellt 28 Formelsammlungen zu je x â&#x201A;Ź und 20 Taschenrechner zu je y â&#x201A;Ź. Es kommen insgesamt 452,40 â&#x201A;Ź Warenwert zusammen. Die erste Bestimmungsgleichung lautet somit: 28Âˇ x + 20Âˇ y = 452,40 Â° 28x Â&#x153; Â&#x153; 20y = 452,40 28x Â°: 20 Â&#x153; y = 22,62 1,4x ( I )

GesamthĂśhe h = 4,50 m + 2,56 m = 7,06 m

BC BC cos 53Â° = = AC 3,20 m

Â&#x153;

x1 = 18 Â? ID und x2 = 18 Â? ID

Eingesetzt: Die GesamthĂśhe h der Fabrikhalle setzt sich aus den Strecken AB und BH zusammen: h = AB + BH

22 3x x

27 x 5 9x

Die zur Ermittlung von x noch notwendige StreckenlĂ¤nge ZB kann aus den LĂ¤ngenverhĂ¤ltnissen der Strecken [ZB] und [ZF] bzw. [AB] und [EF] errechnet werden (vgl. Dreiecke ZB AB = ZAB und ZEF): ZF EF

D = 33,69Â° | 34Â°

Detailansicht des Giebels mit der GesamthĂśhe h: Zur einfacheren ErlĂ¤uterung wurden die Punkte A, B, C, D und H ergĂ¤nzt.

Â° 22

346

3 1

22 x Â&#x;

8x 20

Zusammenfassen (linke Gleichungsseite):

27 x 5 9x

346

4 x13

22 2 x 7 3x 4 x 2 2 x 7

BrĂźche vollstĂ¤ndig kĂźrzen:

8 Â&#x2DC; (x 5 ) 4

Â&#x; 22 2 x 7 3x 4 x 2

Potenz (x5)4 = x5 Â&#x2DC; 4 = x20

22 2 x 7 3x 4 x 2

x LĂśsungsmenge:

y 10

79,14 mÂ˛ | 8,90 m

Auf Grund einer Verwechslung werden jedoch 20 Formelsammlungen zu je x â&#x201A;Ź und 28 Taschenrechner zu je y â&#x201A;Ź bestellt. Die Gesamtkosten erhĂśhen sich somit um 69,60 â&#x201A;Ź (vorher: 452,40 â&#x201A;Ź). Die zweite Bestimmungsgleichung stellt sich deshalb wie folgt dar: 20Âˇ x + 28Âˇ y = 452,40 + 69,60 Â&#x153;

20x + 28y = 522

( II )

y = 22,62 1,4x in ( II ): 20x + 28Â&#x2DC;(22,62 1,4x) = 522 Â&#x153;

20x + 633,36 39,2x = 522 Â&#x153;

Â&#x153;

19,2x = 111,36 ~:( 19,2)

Â&#x153; Â&#x153;

19,2x + 633,36 = 522 ~ 633,36 Â&#x153;

x = 5,8

Â&#x; y = 22,62 1,4Â&#x2DC;5,8 = 14,5.

x = 5,8 in ( I ):

Eine Formelsammlung kostet 5,80 â&#x201A;Ź; ein Taschenrechner kostet 14,50 â&#x201A;Ź.

6. a) Der durchschnittliche jĂ¤hrliche prozentuale Wertverlust p% lĂ¤sst sich mit der Zinseszins-

formel Kn = K0 Âˇ 1 + 100

x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind. Beide Nenner in der vorliegenden Gleichung werden Null, wenn x den Wert Null annimmt. Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ {0}

durch ein Minuszeichen ersetzt werden muss:

ermitteln, wobei wegen des Wertverlustes das Pluszeichen

Kn = K0 Âˇ 1 100

Das Anfangskapital K0 entspricht dabei dem Kaufpreis der Maschine (42.500 â&#x201A;Ź) und das Endkapital Kn dem nach sechs Jahren (n = 6) noch vorhandenen Restwert (18.600 â&#x201A;Ź).

Eingesetzt: 18.600 â&#x201A;Ź = 42.500 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100 Â&#x153;

Â&#x153;

p 100

0,438 =

p 1 100

= 1 6 0,438

p Â°+ 100

Â&#x153;

p 100

Â&#x153;

Â°: 42500 0,438 +

p 100

Â° 6 0,438

| 0,129 Â°Â&#x2DC;100 Â&#x153; p = 12,9 | 13

Durchschnittlicher jĂ¤hrlicher Wertverlust: p% | 13%.

Â&#x153; 0,438 = 1 100

Â&#x153;

Â°6

Â&#x153;

Abschlussprüfung 2007

B60 b) Der Restwert der Maschine lässt sich mit folgender Formel ermitteln:

Kn = K0 · 1 100

Das Anfangskapital K0 entspricht dem Anschaffungspreis (42.500 €) der Maschine und das Endkapital Kn dem nach n Jahren noch vorhandenen Restwert bei gleich bleibender Wertminderung. Da die Wertminderung in den ersten beiden Jahren 20%, im dritten Jahr 16% und im vierten Jahr 12% betragen soll, muss der Restwert, den die Maschine nach vier Jahren noch hat, in mehreren Schritten berechnet werden. Im ersten Schritt wird der Endwert nach den ersten zwei Jahren errechnet, welcher dem Anfangswert des dritten Jahres entspricht. Im zweiten Schritt wird der Endwert nach dem dritten Jahr errechnet, welcher dann dem Anfangswert des vierten Jahres entspricht und zuletzt der Endwert nach vier Jahren: Restwert nach dem 2. Jahr: p% = 20% (gleich bleibend) ; K0 = 42.500 € ; n = 2

2 = 27.200 €

20 K2 = 42.500 € · 1 100

Restwert nach einem weiteren Jahr (3. Jahr):

16 K3 = 27.200 € · 1 100

1 = 22.848 €

p% = 16% ; K0 = K2 = 27.200 € ; n = 1

Durch die Achsenspiegelung wird außerdem die Öffnung der Parabel verändert, so dass p2 nach unten geöffnet ist. Die Koordinaten des neuen Scheitels S2 (1/4) werden deshalb in die Scheitelform einer nach unten geöffneten Normalparabel y = (x xS)² + yS eingesetzt. Diese wird dann in die Normalform umgeformt: y = (x 1)² + 4 = (x² 2·x·1 + 1²) + 4 = (x² 2x + 1) + 4 = x² + 2x 1 + 4

Normalform der Funktionsgleichung von p2: y = x² + 2x + 3.

c) Die Funktionsgleichung der nach oben geöffneten Normalparabel lautet: y = x² + px + q. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte A (7/ 2) und B (8/3) in die obige Gleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem wie folgt: A (7/ 2) in y = x² + px + q: 2 = 7² + p · 7 + q 2 = 49 + 7p + q 51 = 7p + q ( I ) B (8/3) in y = x² + px + q: 3 = 8² + p · 8 + q 3 = 64 + 8p + q

Restwert nach einem weiteren Jahr (4. Jahr): p% = 12% ; K0 = K3 = 22.848 € ; n = 1

12 K4 = 22.848 € · 1 100

1 | 20.106 €

16 1 12 1

2 · 1 100

· 1 100

| 20.106 €

Die Maschine hat nach vier Jahren noch einen Restwert von etwa 20.106 €. c) Da es sich erneut um einen Wertverlust handelt, gilt wieder die bereits verwendete Formel Kn = K 0 ·

Die Maschine hat nach fünf Jahren (n = 5) bei einem gleich bleibenden durchschnittlichen jährlichen Wertverlust von 16,5% (p = 16,5) noch einen Restwert von 17.200 € (Kn = K5 = 17.200 €). Der Anschaffungspreis K0 der Maschine ergibt sich somit wie folgt:

16,5 5

17.200 € = K0 · 0,40591 °:0,40591

K0 | 42.374 €

y = (x 1)² + ( 4) = (x² 2·x·1 + 1²) 4 = x² 2x + 1 4 = x² 2x 3

Normalform der Funktionsgleichung von p1: y = x² 2x 3.

p3 S2(1/4)

4 3 2

Spiegelung an 1 der x-Achse

-1

0 -1

-2

9 x

A(7/-2)

-3 -4 -5

q = 19

y = x² 10x + 19 = x² 10x + 5² 5² + 19 = (x 5)² 25 + 19 = (x 5)² 6 Scheitel S3 (5/ 6)

e) Bestimmung der x-Werte beider Schnittpunkte Q1 und Q2 durch Gleichsetzen der Funktionsterme der Parabeln p2: y = x² + 2x + 3 und p3: y = x² 10x + 19: x² + 2x + 3 = x² 10x + 19 ¨ x² + 10x 19 x² 6x + 8 = 0

2x² + 12x 16 = 0 ¨:( 2)

p = 6 ; q = 8 in Lösungsformel:

6 § 6· r ¨ ¸ 8 = 3 r 9 8 = 3 r1 2 © 2 ¹

x1 = 4 und x2 = 2

x1 = 4 in p3: y1 = 4² 10 4 + 19 = 5

Schnittpunkt Q1 (4/ 5)

x2 = 2 in p3: y2 = 2² 10 2 + 19 = 3

Schnittpunkt Q2 (2/3)

f) Zeichnung siehe KOS Aufgabe 7.a)

8. x

Streifen 3,00 m

1 2x

Inhalt A1 des senkrechten Streifens Der Flächeninhalt entpricht dem eines Rechtecks mit der Breite x und der Länge 3,00 m. A1 = l1 b1 = 3,00 x = 3,00x

B(8/3)

Q2(2/3)

d) Die Gleichung von p3 wird durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten von S3 können dann der Gleichung entnommen werden:

Die Breite x des senkrechten Streifens bzw. die Breite 2x des waagerechten Streifens ergibt sich aus deren Flächeninhalten. Der Inhalt beider Streifen A1 und A2 beträgt ein Fünftel der Gesamtfläche, d.h.: 1 A1 + A2 = Ages 5 (Für nachfolgende Rechnungen gilt: alle Längen in m, alle Flächen in m²)

HINWEIS: Das KOS enthält bereits Elemente der Aufgaben b) - f). y 7

p = 10 61 = 80 + q

a) Die Koordinaten des Scheitelpunktes S1 (1/ 4) setzt man zunächst in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel y = (x xS)² + yS ein. Diese wird dann in die Normalform umgeformt:

Funktionsgleichung der Normalparabel p3: y = x² 10x + 19.

x1/2 =

Die Maschine hatte einen Anschaffungspreis von 42.374 €.

-2

( I ) ( II ): 10 = p + 0

p n 1 100 .

Eingesetzt: 17.200 € = K0 · 1 100

61 = 8p + q ( II )

p = 10 in ( II ) eingesetzt: 61 = 8 · ( 10) + q

Alternativ können die drei Rechenschritte auch in einer Gesamtgleichung zusammenge20 fasst werden: K4 = 42.500 € · 1 100

( I ) 51 = 7p + q ( II ) 61 = 8p + q

Gleichungssystem:

1,20 m

Inhalt A2 des waagrechten Streifens Der Flächeninhalt entpricht dem eines Rechtecks mit der Breite 2x. Da der Streifen 2 aber durch den Streifen 1 unterbrochen wird, ist dessen Länge um x kürzer: l 2 = 1,20 x. A2 = l2 b2 = 2x (1,20 x) = 2,40x 2x² Inhalt Ages der gesamten Rechteckfläche

Ages = lges bges = 1,20 3,00 = 3,60

S1(1/-4)

Setzt man die gefundenen Flächeninhalte in obige Gleichung A1 + A2 =

Q1(4/-5)

-6

S3(5/-6)

-7

man folgende Bestimmungsgleichung für x: 2x² + 5,40x = 0,72 ° 0,72

b) Durch die Spiegelung der Parabel p1 und ihres Scheitels S1 (1/ 4) an der x-Achse liegt der neue Scheitelpunkt S2 nun oberhalb der x-Achse. S2 hat dabei den gleichen Abstand von der x-Achse wie der Scheitel S1. Dementsprechend hat S2 den gleichen x-Wert und den gleichen Zahlenwert des y-Wertes von S1, lediglich dessen Vorzeichen ändert sich:

3,00x + 2,40x 2x² =

1 Ages ein, erhält 5

1 3,60 5

2x² + 5,40x 0,72 = 0 °:( 2)

x² 2,70x + 0,36 = 0

p = 2,70 ; q = 0,36 in Lösungsformel:

x1/2 =

S2 (1/4)

2,70 § 2,70 · r ¨ ¸ 0,36 = 1,35 r 1,8225 0,36 | 1,35 r 1,21 2 © 2 ¹

(x1 = 2,56 o nicht sinnvoll, da Streifenbreite dann größer als Gesamtbreite wäre) x2 = 0,14

Breite des senkrechten Streifens: 0,14 m = 14 cm

AbschlussprĂźfung 2008

B61 2.2.4 AbschlussprĂźfung 2008

9. a) Hilfsskizze: Volumen VQ des Quaders: 1 Liter = 1 dmÂł = 1000 cmÂł. Die HĂśhe hQ des Quaders kann mittels Volumenformel berechnet werden, da bei einem Quader mit quadratischer GrundflĂ¤che gilt:

VQ = GQ Â&#x2DC; h Q = a Â&#x2DC; a Â&#x2DC; h Q Eingesetzt: GQ

6,2 cm

1000 cmÂł = 6,2 cm Â&#x2DC; 6,2 cm Â&#x2DC; hQ

Â&#x153;

1000 cmÂł = 38,44 cmÂ˛ Â&#x2DC; hQ Â°: 38,44 cmÂ˛

Â&#x153;

hQ | 26 cm

b) Hilfsskizze: Vor dem Eintauchen der Kugel ist das GefĂ¤Ă&#x; zur HĂ¤lfte gefĂźllt. Der Wasserspiegel befindet sich dementsprechend 13 cm Ăźber der GrundflĂ¤che. Wird die Kugel eingetaucht, steigt der h Wasserspiegel um den Wert h. Die VerĂ¤nderung h des FlĂźssigkeitsspiegels entspricht der HĂśhe des Quaders, der Kugel13 cm die gleiche GrundflĂ¤che wie das GefĂ¤Ă&#x; Wasserspiegel volumen hat und durch die verdrĂ¤ngte FlĂźssigvor dem VK keit entsteht. Eintauchen der Kugel Da die Kugel vollstĂ¤ndig untergeht, 6,2 cm muss das Volumen der verdrĂ¤ngten 6,2 cm FlĂźssigkeit VF gleich dem Volumen VK der Metallkugel sein, so dass sich h wie folgt berechnen lĂ¤sst: VF = VK d Â&#x; a Â&#x2DC; a Â&#x2DC; h = 43 Âˇ rKÂł ÂˇS (wobei rK = K = 3 cm) 2 Wasserspiegel nach dem Eintauchen der Kugel

Eingesetzt: Â&#x153; Â&#x;

verdrĂ¤ngtes Volumen VF

6,2 cm Â&#x2DC; 6,2 cm Â&#x2DC; h =

38,44 cmÂ˛ Â&#x2DC; h = 113,04 cmÂł

4 3

Âˇ (3 cm)Âł Âˇ3,14

Â°: 38,44 cmÂ˛

Â&#x153; Â&#x153;

h | 3 cm

1. a) Zur Geburt von Lena legt der GroĂ&#x;vater das Anfangskapital K0 = 7.500 â&#x201A;Ź an. Es soll Ăźber einen Zeitraum von n = 18 Jahren angelegt bleiben, wobei die Zinsen (Zinssatz p = 4,1) jeweils mitverzinst werden. Der nach 18 Jahren fĂ¤llige Endbetrag K18 lĂ¤sst sich mit der

p Zinseszinsformel Kn = K0 Âˇ 1 100

K18 = 7500 â&#x201A;Ź Âˇ 1

4,1 18 100

wie folgt berechnen:

= 7500 â&#x201A;Ź Âˇ 1,04118 | 15.458,75 â&#x201A;Ź

b) Das Anfangskapital 7.500 â&#x201A;Ź soll sich nach einer Laufzeit von 18 Jahren auf das Endkapital in HĂśhe von 16.000 â&#x201A;Ź erhĂśhen. Den entsprechenden Zinssatz p erhĂ¤lt man durch Umformen der Zinseszinsformel

p Kn = K0 Âˇ 1 100

Â&#x;

Â&#x153;

, mit: Kn = 16.000 â&#x201A;Ź ; K0 = 7.500 â&#x201A;Ź ; n = 18

p 16000 â&#x201A;Ź = 7500 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

1,04299 = 1

p 100

~ 1

~: 7500 â&#x201A;Ź p 100

Â&#x153;

p 2,13 = 1 100

Â&#x153;

= 0,04299 ~Âˇ 100

rkK = 3 8,121 cmÂł | 2 cm

Â&#x; Kugeldurchmesser d = 4 cm

Â&#x153;

~ 18

p = 4,299

Â&#x; Verzinsung p% | 4,3% c) Das angelegte Anfangskapital von 7.500 â&#x201A;Ź soll sich bei einem gleichbleibenden Zinssatz (p = 5,12) auf ein Guthaben von 22.500 â&#x201A;Ź erhĂśhen. Die Anzahl n der notwendigen Jahre

p ergibt sich durch Einsetzen in die Zinseszinsformel Kn = K0 Âˇ 1 100

und durch

Anwenden des Logarithmus zur Bestimmung des Exponenten n, wobei diesmal gilt: Kn = 22.500 â&#x201A;Ź ; K0 = 7.500 â&#x201A;Ź ; p% = 5,12%

Â&#x;

22500 â&#x201A;Ź = 7500 â&#x201A;Ź Âˇ 1

Â&#x153;

3 = 1,0512n

Â&#x153;

5,12 n 100

~: 7500 â&#x201A;Ź

Logarithmieren:

Â&#x153;

3 = 1

n = log1,05123 =

HĂśhe des Wasserspiegels (nach dem Eintauchen) = 13 cm + 3 cm = 16 cm

c) VerdrĂ¤ngtes Wasservolumen = Kugelvolumen der kleineren Kugel: VkK = 34 cmÂł 34 cmÂł Â&#x; 43 Âˇ rkKÂł ÂˇS = 34 cmÂł Â°: 4 : S Â&#x153; rkKÂł = 4 | 8,121 cmÂł 3 Â&#x2DC; 3,14 3 Â&#x153;

Aufgabengruppe I

5,12 n 100

lg 3 | 22,0 lg1,0512

Â&#x; Laufzeit n | 22 Jahre

2. a) Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

2.2.3 NotenschlĂźssel zur PrĂźfung ab 2008 FĂźr die Bewertung der Arbeiten im Fach Mathematik wurde folgender NotenschlĂźssel landeseinheitlich festgesetzt:

Punkte

Note

45 - 38 37,5 - 31 30,5 - 23 22,5 - 15 14,5 - 7 6,5 - 0

1 2 3 4 5 6

Halbe Punkte kĂśnnen innerhalb von Teilaufgaben vergeben werden.

Es werden die Koordinaten von B ( 2/ 4,5) und C (6/1,5) eingesetzt: y y B 1,5 ( 4,5) 6 3 = = = m1 = C 8 4 6 ( 2) xC xB Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y =

3 4

x + n1.

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes C (6/1,5) in y =

AbschlussprĂźfungen 2008/2009/2010/2011/2012

y P1 y P2 x P1 x P2

1,5 = Â&#x;

3 4

x + n1:

Â&#x153; 1,5 = 4,5 + n1 ~ 4,5

Âˇ 6 + n1

3x 4

vollstĂ¤ndige Gleichung von g1 : y

Â&#x153; n1 = 3 3.

m2 Âˇ

3 4

= 1

Â&#x153; m2 = 1 :

3 4

) senkrecht stehen soll, gilt fĂźr deren Stei-

= 43

Die Funktionsgleichung von g2 lautet demnach bis jetzt: y = 43 x + n2. Zur Bestimmung von n2 werden anschlieĂ&#x;end die Koordinaten des Geradenpunktes D (1/4), durch den g2 verlĂ¤uft, in deren Gleichung eingesetzt: Â&#x;

4 = 43 Âˇ 1 + n2

Â&#x153;

Â&#x; Gleichung von g 2 : y

4 = 43 + n2 ~+ 43 x

4 3

Â&#x153;

n2 = 5 13

5 13 .

c) Alle Punkte auf der Gerade g3: x = 2 haben den x-Wert 2, d.h. sie verlĂ¤uft parallel zur y-Achse und fĂźr A gilt: A ( 2/yA). Zur Bestimmung der y-Koordinate des Geradenschnittpunktes A setzt man fĂźr x = 2 in den Funktionsterm von g2 ein: Â&#x;

yA = 43 Â&#x2DC; ( 2) 5 13 = 8 Â&#x;

Schnittpunkt A ( 2/8)

AbschlussprĂźfung 2008

B62 Tabellarische Ă&#x153;bersicht:

y 9 8

A(-2/8)

7 6

C(6/1,5)

1 H(-2/0) 3

Z(4/0)

6 x

-2

-3 Bâ&#x20AC;&#x2122;

g1 g3

x = 15 y in ( II ): 2Âˇ(15 y) + 3y = 38

-5

y = 8 in ( I ):

-6

Es wurden 7 Produkte mit Note 2 und 8 Produkte mit Note 3 bewertet.

-7

b) FĂźr die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses gilt: Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse Wahrscheinlichkeit: p(E) = Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse

Da die beiden Dreiecke ZAâ&#x20AC;&#x2122;Bâ&#x20AC;&#x2122; und ZAB einander Ă¤hnlich sind, kann der Streckungsfaktor k z.B. aus den HĂśhen von Ur- und Bilddreick ZH bzw. ZH ' bestimmt werden. Deren LĂ¤ngen kann man aus ihren x-Werten ableiten: ZH = xZ xH = 4 ( 2) = 4 + 2 = 6 Âź 6 cm

Streckungsfaktor k =

bzw.:

ZH ' = xZ = 4 Âź 4 cm

Den noch notwendigen FlĂ¤cheninhalt AZAB des Urdreiecks erhĂ¤lt man aus der Grundlinie AB und der zugehĂśrigen HĂśhe ZH (siehe KOS): gÂ&#x2DC;h AZAB = = AB Â&#x2DC; ZH mit: AB = yA yB = 8 ( 4,5) = 8 + 4,5 = 12,5 Âź 12,5 cm 2 2 (12,5 cm) Â&#x2DC; (6 cm) = 37,5 cmÂ˛ Â&#x; AZAB = 2 FlĂ¤cheninhalt des Bilddreiecks: AZAâ&#x20AC;&#x2122;Bâ&#x20AC;&#x2122; = kÂ˛ Âˇ AZAB =

Âˇ 37,5 cmÂ˛ = 16 23 cmÂ˛

x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind: Nenner 1: x Â&#x; x=0 Nenner 2: x + 10 Â&#x; x + 10 = 0 Â&#x153; x = 10 Â&#x; ID = IR \ { 10 ; 0} x LĂśsungsmenge:

30 + y = 38 ~ 30

Â&#x153;

y=8

Wahrscheinlichkeit fĂźr Note 2 oder 3: p(â&#x20AC;&#x17E;2 oder 3â&#x20AC;&#x153;) = 15 = 3 25 5

c) Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse = Anzahl aller nicht mit der Note 5 bewerteten Ergebnisse = 25 StĂźck 3 StĂźck = 22 StĂźck. Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse = Anzahl aller mit 4 bewerteten Produkte = 5 StĂźck. Â&#x;

Wahrscheinlichkeit: p(E)

5 22

d) Die neun besten Produkte sollen aneinander gereiht werden, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. FĂźr das erste Produkt gibt es 9 AnordnungsmĂśglichkeiten, fĂźr das zweite Produkt nur noch 8 MĂśglichkeiten usw.: Â&#x; Anzahl aller AnordnungsmĂśglichkeiten = 9! = 9Âˇ8Âˇ7Âˇ6Âˇ5Âˇ4Âˇ3Âˇ2Âˇ1 = 362880.

a) Hinweis: In der nebenstehenden Hilfsskizze wurden die Punkte A, B, C, M, Aâ&#x20AC;&#x2122;, Bâ&#x20AC;&#x2122; und Câ&#x20AC;&#x2122; zur einfacheren ErlĂ¤uterung ergĂ¤nzt.

A 47Â°

Aâ&#x20AC;&#x2122;

Die gleichschenkligen Dreiecke ABC und Aâ&#x20AC;&#x2122;Bâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122; werden durch die Symmetrielinie in jeweils zwei rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt. Die Ă&#x2013;ffnungswinkel und die Seite a werden dadurch halbiert.

Im rechtwinkligen Dreieck AMC gilt deshalb der Sinus wie folgt:

68Â°

1 = 60 60 2 x x 10

KĂźrzen: xÂˇ(x + 10) = 60Âˇ2Âˇ(x + 10) 60 Âˇ2Âˇx

Â&#x153;

Ausmultiplizieren: xÂ˛ + 10x = 120x + 1200 120x

xÂ˛ + 10x 1200 = 0 2

Â&#x;

Â&#x153;

Die Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse ergibt sich aus der Anzahl der mit Note 2 oder 3 bewerteten Produkte: Anzahl der mit Note 2 bewerteten Produkte: 7 StĂźck + Anzahl der mit Note 3 bewerteten Produkte: 8 StĂźck Anzahl der mit 2 oder 3 bewerteten Produkte: 15 StĂźck

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: 2ÂˇxÂˇ(x + 10) Â&#x; 1 Âˇ 2ÂˇxÂˇ(x + 10) = 60 Âˇ 2ÂˇxÂˇ(x + 10) 60 Âˇ 2ÂˇxÂˇ(x + 10) Â&#x153; 2 x x 10

x1/2

30 2y + 3y = 38

Â&#x153;

Â&#x; x = 15 8 = 7.

Die Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse â&#x20AC;&#x201C; also die Anzahl aller bewerteten Produkte â&#x20AC;&#x201C; betrĂ¤gt: 25 StĂźck.

Â&#x;

LĂ¤nge Bildstrecke = ZH ' = 4 cm = 2 LĂ¤nge Urstrecke 6 cm 3 ZH

Mit Hilfe des Streckungsfaktors k kann der FlĂ¤cheninhalt AZAâ&#x20AC;&#x2122;Bâ&#x20AC;&#x2122; des Bilddreiecks aus dem FlĂ¤cheninhalt AZAB des Urdreiecks berechnet werden, denn bei der zentrischen Streckung gilt: FlĂ¤cheninhaltBildfigur = kÂ˛ Âˇ FlĂ¤cheninhaltUrfigur. Â&#x; AZAâ&#x20AC;&#x2122;Bâ&#x20AC;&#x2122; = kÂ˛ Âˇ AZAB

Â&#x;

1Â&#x2DC; 2 2 Â&#x2DC; x 3 Â&#x2DC; y 4 Â&#x2DC; 5 5 Â&#x2DC; 3 2 2x 3y 20 15 Â&#x153; 3,0 = Â&#x153; 25 25 2x 3y 37 Â¨Âˇ 25 Â&#x153; 75 = 2x + 3y + 37 ~ 37 Â&#x; ( II ): 2x + 3y = 38 3,0 = 25

3,0 =

-4

e) Zur einfacheren ErlĂ¤uterung wurden in der Zeichnung die FuĂ&#x;punkte H und Hâ&#x20AC;&#x2122; der DreieckshĂśhen [ZH] und [ZHâ&#x20AC;&#x2122;] ergĂ¤nzt. Sie liegen auf der x-Achse und haben die Koordinaten: H ( 2/0) und Hâ&#x20AC;&#x2122; (0/0).

Â&#x;

Â&#x; ( I ): x = 15 y

Setzt man die Angaben des Tests ein, ergibt sich die zweite Bestimmungsgleichung:

-1 O Hâ&#x20AC;&#x2122;(0/0) 1 2 -1

B(-2/-4,5)

Durchschnitt D: 3,0

Um den Testdurchschnitt zu erhalten, wird die Anzahl A der einzelnen Produkte mit der jeweiligen Note multipiziert, die Summe daraus gebildet und durch die Gesamtzahl geteilt, 1 Â&#x2DC; A1 2 Â&#x2DC; A 2 3 Â&#x2DC; A 3 4 Â&#x2DC; A 4 5 Â&#x2DC; A 5 bzw. als Formel dargestellt: D = A1 A 2 A 3 A 4 A 5

-2

Gesamt: 25

Die erste Bestimmungsgleichung lautet somit: 2 + x + y + 5 + 3 = 25 Â&#x153; x + y + 10 = 25 ~ y 10

D(1/4)

-3

Note 1 2 3 4 5

Aâ&#x20AC;&#x2122;

-4

Anzahl A Produkte 2 x y 5 3

Â&#x;

10 r Â§Â¨ 10 ÂˇÂ¸ ( 1200) 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x153;

xÂ˛ + 10x = 1200 ~ 1200

5 r 35

Â&#x; IL = { 40 ; 30}

4. Anzahl der Produkte mit Note 2: Anzahl der Produkte mit Note 3:

Câ&#x20AC;&#x2122;

sin

47q 2

= MC = 2 b AC

2 . b LĂśst man weiter nach b auf, ergibt sich die erste Bestimmungsgleichung:

Â&#x; 5 r 25 1200

a 2 a

p = 10 ; q = 1200 in LĂśsungsformel:

x1 = 30 Â? ID und x2 = 40 Â? ID

a) Festlegen der Variablen:

Bâ&#x20AC;&#x2122;

a 2

x StĂźck y StĂźck.

Insgesamt wurden 25 Produkte getestet. Zwei davon bekamen die Note 1, fĂźnf Produkte die Note 4 und weitere drei die Note 5. Eine Anzahl von x Produkten erhielt die Note 2 und y Produkte erhielten die Note 3.

sin 23,5Â° =

a 2

2 = 2 sin 23,5q 0, 40 Auch im verschobenen rechtwinkligen Dreieck Aâ&#x20AC;&#x2122;MCâ&#x20AC;&#x2122; wird der Sinus angesetzt, um die zweite nach b aufgelĂśste Bestimmungsgleichung zu erhalten: a 32 a 32 sin 682q = MC' = 2 Â&#x153; sin 34q 2 Â&#x153; b b A 'C'

b Âˇ sin 23,5Â° =

Â&#x153;

b Âˇ sin 34Â° =

Â°: sin 23,5Â° Â&#x153; ( I ): b =

a 2

+ 32 Â°: sin 34Â°

Â&#x153;

( II ): b =

a 2

sin 34q

a 2

0,56

AbschlussprĂźfung 2008

B63

Gleichsetzen der beiden Bestimmungsgleichungen ( I ) und ( II ) zur Ermittlung von a: (alle LĂ¤ngenangaben in cm) a a 32 2 = 2 Â°Âˇ 0,56 Â°Âˇ 0,40 Â&#x153; 0,56Âˇ a = 0,40Âˇ Â§Â¨ a 32 ÂˇÂ¸ Â&#x153; Â&#x; ÂŠ2 Âš 0,56 0, 40 2 Â&#x153;

0,28a = 0,20a + 12,8

Â° 0,2a

Â&#x153;

Â°: 0,08

0,08a = 12,8

Â&#x153;

a = 160 cm

b) Die ursprĂźngliche HĂśhe h = AM kann im rechtwinkligen Dreieck AMC mit dem Tangens des halben Ă&#x2013;ffnungswinkels berechnet werden (siehe Zeichnung Aufgabe a)): a

= MC = 2 = h AM

Â&#x153;

160cm 2

Â&#x; tan 23,5Â° = 80 cm Â°Âˇ h h h h Âˇ tan 23,5Â° = 80 cm Â°: tan 23,5Â° Â&#x153; h = 80 cm Â&#x153; HĂśhe h | 183,99 cm tan 23,5Â°

tan 472q

c) Die SchenkellĂ¤nge b = AC kann im rechtwinkligen Dreieck AMC unter anderem mit dem Sinus des halben Ă&#x2013;ffnungswinkels berechnet werden (siehe Zeichnung Aufgabe a)): sin Â&#x153;

47q 2

= MC = 2 = b AC

160cm 2

Â&#x;

b Âˇ sin 23,5Â° = 80 cm

sin 23,5Â° = 80 cm b

Â°: sin 23,5Â°

Â&#x153;

Â°Âˇ b

Schenkel b | 200,63 cm

Dem x im Binom entsprechen 15a in der Gleichung: Â&#x; x = 15a. Â&#x; xÂ˛ = (15a)Â˛ = 225aÂ˛

y xy 10 Âˇ x + 1Âˇ y

Einerziffer: gesuchte Zahl: Wert der gesuchten Zahl:

Herleiten der Gleichungssysteme: Die Quersumme der gesuchten Zahl soll 10 sein, d.h. die erste Bestimmungsgleichung lautet: ( I): x + y = 10

= 225aÂ˛

Dem 2xy im Binom entsprechen 480ab in der Gleichung: Â&#x; 2xy = 480ab. Ersetzt man in 2xy = 480ab die Variable x durch 15a, kann die zweite Variable y des Binoms bestimmt werden: Â&#x;

2Âˇ(15a)Âˇy = 480ab Â&#x153; 30ay = 480ab Â°: 30a Â&#x153; y = 16b

Â&#x;

yÂ˛ = (16b)Â˛ = 256bÂ˛ bzw.:

bzw.:

= 16b

= 256bÂ˛

Die vollstĂ¤ndige Gleichung lautet somit: (15a 16b)Â˛ = 225aÂ˛ 480ab + 256bÂ˛ b) Aufgrund des Pluszeichens in der Quadratklammer muss der Gleichung die 1. Bino(a + b)Â˛ = aÂ˛ + 2ab + bÂ˛ mische Formel zu Grunde liegen: Auch hier sollen die gegebenen und nicht gegebenen Teile der Gleichung in eine Zuordnungstabelle eingetragen werden: Binom

(

Gleichung

(

b )Â˛

aÂ˛

2ab

)Â˛

9xÂ˛

30xy

bÂ˛

Dem aÂ˛ im Binom entsprechen 9xÂ˛ in der Gleichung: Â&#x; aÂ˛ = 9xÂ˛. Â&#x; a = 9xÂ˛ = 3x

VorĂźberlegungen: Zweistellige Zahl: z.B.: 46 o Zehnerziffer: 4 ; Einerziffer: 6 Wert der Zahl 46: 4 Âˇ 10 + 1Âˇ 6 = 46 Ouersumme der Zahl 46: 4 + 6 = 10 Festlegung der Variablen: Zehnerziffer: x

bzw.:

= 3x

Dem 2ab im Binom entsprechen 30xy in der Gleichung: Â&#x; 2ab = 30xy. Ersetzt man in 2ab = 30xy die Variable a durch 3x, kann die zweite Variable b des Binoms bestimmt werden: Â&#x;

2Âˇ(3x)Âˇb = 30xy Â&#x153; 6xb = 30xy Â°: 6x Â&#x153; b = 5y

Â&#x;

bÂ˛ = (5y)Â˛ = 25yÂ˛ bzw.:

bzw.:

= 5y

= 25yÂ˛

Die vollstĂ¤ndige Gleichung lautet somit: (3x + 5y)Â˛ = 9xÂ˛ + 30xy + 25yÂ˛

Um die zweite Bestimmungsgleichung zu erhalten, muss man die Zahlenwerte vor und nach dem Vertauschen der Ziffern nĂ¤her betrachten: Â&#x; Wert der Zahl vor dem Vertauschen der Ziffern: 10x + y Wert der Zahl nach dem Vertauschen der Ziffern: 10y + x Der Wert der gesuchten Zahl wird um 36 kleiner, wenn man die Ziffern vertauschtd.h.: Wert (vor dem Vertauschen) 36 = Wert (nach dem Vertauschen)

a) Die Koordinaten des Scheitelpunktes S1 ( 3/ 4) werden in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach oben geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt und diese wird dann in die Normalform umgeformt:

Die zweite Bestimmungsgleichung lautet somit: (II): 10x + y â&#x20AC;&#x201C; 36 = 10y + x

Â&#x;

Auswahl der richtigen LĂśsungen:

b) Zur Bestimmung der Nullstellen wird die Funktionsgleichung von p1 mit Null gleichgesetzt: y = 0 Â&#x; xÂ˛ + 6x + 5 = 0 mit p = 6 ; q = 5 in LĂśsungsformel:

Gefundenes Gleichungssystem: ( I)* x + y = 10 (II)** 10x + y 36 = 10y + x

Vorgegebene Gleichungsysteme: a) ( I) x + y = 10 (II) 10x + y = 36

Â&#x; x1 = 1 und x2 = 5

10x + y 36 = 10y + x 9x 9y = 36

Â° x Â° 10y Â°+36

( I)* und ( I) stimmen Ăźberein. Um die jeweils zweite Gleichung miteinander vergleichen zu kĂśnnen, muss (II)** enstprechend umgeformt werden: 10x + y 36 = 10y + x Â°+36 10x + y = 10y + x + 36 o (II)

d.h.: ( I)* = ( I) (II)** = (II) Â&#x; LĂśsung b) ist richtig ( I) 10x + y 36 = 10y + x (II) x = 10 y

(II)** und ( I) stimmen Ăźberein. Um die beiden anderen Gleichungen vergleichen zu kĂśnnen, muss hier ( I)* umgeformt werden: Â&#x153;

x + y = 10 Â° y x = 10 y o (II)

( I) y = 10 : x (II) 10x + y = 10y + x 36

Bei Gleichung ( I) liegt eine Division (10 : x) vor. Sie kann somit weder in Gleichung ( I)* noch in (II)** umgeformt werden.

Â&#x; LĂśsung d) ist falsch

3 r 9 5

Â&#x;

a) Aufgrund des Minuszeichens in der Quadratklammer muss der Gleichung die 2. Binomische Formel zu Grunde liegen: (a b)Â˛ = aÂ˛ 2ab + bÂ˛ TrĂ¤gt man die gegebenen und nicht gegebenen Teile der Gleichung in eine Zuordnungstabelle ein, ergibt sich Folgendes: (HINWEIS: Um Verwechslungen bei den Variablen des Binoms mit den Variablen der Gleichung zu vermeiden, werden fĂźr das Binom die Variablen x und y verwendet!) x

Binom

(

Gleichung

( 15a

)Â˛ = xÂ˛

2xy

)Â˛ =

480ab

yÂ˛

N1 ( 1/0) und N2 ( 5/0).

Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte A ( 6/ 3) und B ( 1/ 8) in die obige Gleichung ein: A ( 6/ 3) in y = xÂ˛ + px + q: 3 = ( 6)Â˛ + p Âˇ ( 6) + q Â&#x153; 3 = 36 6p + q Â&#x153; 33 = 6p + q ( I ) B ( 1/ 8) in y = xÂ˛ + px + q: 8 = ( 1)Â˛ + p Âˇ ( 1) + q Â&#x153;

8 = 1 p + q

Â&#x153;

7 = p + q ( II )

( I ) 33 = 6p + q ( II ) 7 = p + q

Gleichungssystem:

( I ) ( II ): 40 = 5p + 0

Â&#x153;

p = 8 in ( II ) eingesetzt: 7 = ( 8) + q

5p = 40 Â&#x153;

Â&#x153; 7 = 8 + q

Â&#x153;

p = 8 q = 15

Funktionsgleichung der Normalparabel p2: y = xÂ˛ 8x 15.

d) Die Funktionsgleichung von p2 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten kĂśnnen dann der Gleichung entnommen werden: y = xÂ˛ 8x 15 = (xÂ˛ + 8x + 15) = (xÂ˛ + 8x + 4Â˛ 4Â˛ + 15) = [(x + 4)Â˛ 16 + 15] y = [(x + 4)Â˛ 1] = (x + 4)Â˛ + 1

3 r 2

c) Die Funktionsgleichung der nach unten geĂśffneten Normalparabel lautet: y = xÂ˛ + px + q.

Â&#x;

d.h.: ( I)* = (II) (II)** = ( I) Â&#x; LĂśsung c) ist richtig d)

6 r Â§Â¨ 6 ÂˇÂ¸ 5 2 ÂŠ 2 Âš

( I)* und ( I) stimmen Ăźberein. Um die jeweils zweiten Gleichungen miteinander vergleichen zu kĂśnnen, muss (II)** wie folgt umgeformt werden:

Â&#x153;

Normalform der Funktionsgleichung von p1: y = xÂ˛ + 6x + 5.

x1/2

d.h.: ( I)* = ( I) (II)** z (II) Â&#x; LĂśsung a) ist falsch ( I) x + y = 10 (II) 10x + y = 10y + x + 36

= xÂ˛ + 6x + 9 4 = xÂ˛ + 6x + 5

Bemerkungen:

Â&#x153;

Â&#x; y = (x ( 3))Â˛ + ( 4) = (x + 3)Â˛ 4 = (xÂ˛ + 2ÂˇxÂˇ3+ 3Â˛) 4 = (xÂ˛ + 6x + 9) 4

Â&#x;

Scheitel S2 ( 4/1)

e) Bestimmung der Koordinaten von P und Q durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2: xÂ˛ + 6x + 5 = xÂ˛ 8x 15 ~+ xÂ˛ + 8x + 15 xÂ˛ + 7x + 10 = 0

Â&#x; 2

Â&#x153; 2xÂ˛ + 14x + 20 = 0 ~: 2

Â&#x153;

p = 7 ; q = 10 in LĂśsungsformel:

x1/2 = 7 r Â§Â¨ 7 ÂˇÂ¸ 10 2 ÂŠ 2 Âš

3,5 r 12,25 10

3,5 r 1,5

Â&#x; x1 = 2 und x2 = 5

x1 = 2 in p1:

y1 = ( 2)Â˛ + 6Âˇ ( 2) + 5 = 3

Â&#x;

Schnittpunkt P ( 2/ 3)

x2 = 5 in p1:

y2 = ( 5)Â˛ + 6Âˇ ( 5) + 5 = 0

Â&#x;

Schnittpunkt Q ( 5/0)

Abschlussprüfung 2008

B64 f) Einzeichnen des Scheitels S1 ( 3/ 4) der nach oben geöffneten Normalparabel p1 und des Scheitels S2 ( 4/1) der nach unten geöffneten Normalparabel p2; beide Parabeln anschließend mittels Schablone vervollständigen.

Eingesetzt: y 4

-7

44,25 cm³ rK³ = 4,186

4 3

· rK³ · 3,14 rK =

3 10,5693

44,25 cm³ = 4,186 · rK³

cm³ | 2,19 cm dK = 2·2,19 cm = 4,38 cm

b) Die Masse der Bleikugel mK erhält man aus dem Volumen VK = 44,25 cm³ mit der

2 S2(-4/1)

44,25 cm³ =

Dichteformel: mK = DichteBlei · VK = 11,3 cm³ · 44,25 cm³ | 500 g

1 N1

Q(-5/0) N2 -6 -5 -4

-3

-2

-1

1 x

-1 -2 P(-2/-3) -4

S1(-3/-4)

-5

Aufgabengruppe II 1. a) Ermittlung der Funktionsgleichung von g1: Die Gerade g1 verläuft durch den Schnittpunkt A ( 4/ 2) und durch den Koordinatenursprung O (0/0). y P y P2 Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m = 1 . x P1 x P2 Dazu werden die Koordinaten von A und O eingesetzt: m1 =

9. a)

Wenn eine Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft, ist ihr y-Achsenabschnitt n = 0. Die Geradengleichung solch einer Ursprungsgerade lautet somit allgemein: y = mx.

13 cm

5 cm A

Ermittlung der Länge von [AB]: Die Länge der Hypotenuse [AB] kann im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Kathetensatz (a² = p · c) aus der Kathete BC = 13 cm und dem Hypotenusenabschnitt BD = 5 cm berechnet werden: BC ² = BD · AB (13 cm)² 169 cm² = = 33,8 cm Eingesetzt: (13 cm)² = (5 cm) · AB °: (5 cm) AB = 5 cm 5 cm Ermittlung der Länge von [AC]: Die Länge der Kathete [AC] wird im rechtwinkligen Dreieck ABC mit Satz des Pythagoras (a² + b² = c²) aus der Kathete BC = 13 cm und der Hypotenuse AB = 33,8 cm bestimmt: BC ² + AC ² = AB ²

Eingesetzt: (13 cm)² + AC ² = (33,8 cm)²

° (13 cm)²

AC ² = (33,8 cm)² (13 cm)² | 973,44 cm²

AC = 973, 44 cm² | 31,2 cm

Ermittlung der Länge von [AD]: AD = AB BD = 33,8 cm 5 cm = 28,8 cm

b) C 31,2 cm

E 13 cm

28,8 cm

5 cm

Eingesetzt:

DE = 28,8 cm 13 cm 33,8 cm

y A yO = 2 0 = 2 = 0,5 4 0 4 xA xO

~ 13 cm

DE =

Die Länge der Strecke [DE] wird mittels Strahlensatz innerhalb der Dreiecke ADE und ABC bestimmt. Da beide Dreiecke einander ähnlich sind (jeweils drei gleiche Innenwinkel), ist das Längenverhältnis von AD und AB gleich dem Längenverhältnis von DE und BC : DE = AD BC AB

Gleichung von g1: y

0,5x .

Ermittlung der Funktionsgleichung von g2: Die Gerade g2 läuft ebenfalls durch A (o Schnittpunkt). Da sie außerdem auf g1 senkrecht steht, hat das Produkt der Steigungen beider Geraden den Wert –1. Für die Steigungen der beiden Geraden g2 und g1 muss demnach gelten: m2 · m1 = 1 (da g2 A g1).

Setzt man die Steigung von g1 (m1 = 0,5) ein, ergibt sich die Steigung von g2: m2 · 0,5 = 1

m2 = 1 : 0,5 = 2

Die Funktionsgleichung von g2 lautet demnach bis jetzt: y = 2x + n2. Zur Bestimmung des y-Achsenabschnittes n2 werden nun noch die Koordinaten des Schnittpunktes A ( 4/ 2) eingesetzt:

2 = 2 · ( 4) + n2

Gleichung von g 2 : y

b) HINWEIS: Das Koordinatensystem enthält bereits Elemente der Teilaufgaben a) bis f)

2 = 8 + n2

2 8 = n2

y 2

n2 = 10

1 D(-5/0) -6

2x 10 .

-5 G

-3

C(-2/0) -2 -1 O 1 B(-1,6/-0,8)

A(-4/-2)

2 x

-2 -3 -4 -5 -6

-7

28,8 cm · (13 cm) | 11,1 cm 33,8 cm

-8 -9

10.

-10

a) Der Durchmesser dK der Kugel kann ermittelt werden, wenn deren Volumen VK bekannt ist. Da das Kugelvolumen VK gleich dem Volumen VF der verdrängten, zylinderförmigen Flüssigkeitssäule ist, soll zunächst deren Wert bestimmt werden. Man erhält VF aus der Zylinderformel, wobei für den Zylinderverdrängtes Volumen VF (zylindrisch) radius r die Hälfte des Grundkreisdurchmessers des Behälters anzu1,5 cm setzen ist und die Zylinderhöhe ursprünglicher dem Anstieg des Wasserstandes Flüssigkeitsspiegel entspricht (siehe Skizze): 2

VF = r² · S · hF = §¨ d ·¸ · S · hF ©2¹

Kugel VK

d = 6,13 cm

6,13 cm · VF = §¨ ¸ · 3,14 · (1,5 cm) 2 © ¹

VF | 44,25 cm³

Das Volumen VK der Bleikugel beträgt demnach 44,25 cm³. Ihren Radius rK erhält man aus der Volumenformel der Kugel (V = 43 · r³ ·S).

-11

c) Der y-Wert des Schnittpunktes D von g2 mit der x-Achse hat den Wert Null. Um den zugehörigen x-Wert des Schnittpunktes D (Nullstelle) zu erhalten, wird deshalb in der Funktionsgleichung von g2 y = 0 gesetzt und dann nach x aufgelöst: 0 = 2x 10 ~+ 2x 2x = 10 °: 2 x = 5 D ( 5/0) d) Man bestimmt die Koordinaten des Schnittpunktes B durch Gleichsetzen der Funktionsterme der sich schneidenden Geraden g1 und g3: 0,5x = 2x 4 ~+ 2x 2,5x = 4 ~: 2,5 x = 1,6 x = 1,6 in g1: y = 0,5·( 1,6) = 0,8

Schnittpunkt B ( 1,6/ 0,8)

e) Zeichnung siehe Aufgabe 1b). Koordinaten des Schnittpunktes C von g3 mit der x-Achse (Nullstelle von g3): C ( 2/0)

B65

AbschlussprĂźfung 2008

Alternativweg: Da der Anfangswert des zweiten Zeitraumes dem Endwert des ersten entspricht, gilt fĂźr

f) Der spitze Winkel G zwischen g2 und der x-Achse kann direkt aus deren Steigung m2 berechnet werden, da die Steigung m einer Gerade immer gleich dem Tangens des Winkels ist, den die Gerade mit der Waagrechten einschlieĂ&#x;t (o m = tan D): Â&#x;

tan G = m2 = 2

Â&#x;

Setzt man in die Gleichung fĂźr W10 = W0 Âˇ 1

G | 63Â°

Man erhĂ¤lt zunĂ¤chst einen negativen Winkel, weil die Gerade g2 fĂ¤llt, d.h. nach â&#x20AC;&#x17E;untenâ&#x20AC;&#x153; gerichtet ist (vgl. auch Zeichnung). Da fĂźr G aber nur der Betrag des Winkels und nicht dessen Richtung wichtig ist, kann das Minuszeichen weggelassen werden: Â&#x; G = 63Â°

2. a) Im Jahr 2005 lebten in China rund 1,306 Milliarden Menschen. In den Jahren davor wuchs die BevĂślkerung gleichmĂ¤Ă&#x;ig alle 5 Jahre um jeweils 4,4%. Auf die BevĂślkerungs-

zahl im Jahr 1990 kann deshalb mit Hilfe der Wachstumsformel Wn = W0 Âˇ 1 + 100

zu-

rĂźck gerechnet werden. Zu beachten ist bei der Verwendung der Formel, dass sich die BevĂślkerungzahl erst nach Ablauf eines Zeitraums von 5 Jahren um 4,4% erhĂśht hat. Die GrĂśĂ&#x;e n entspricht somit der Anzahl der 5-Jahres-Zeitabschnitte. Endwert Anfangswert W3 = 1,306 Mrd. W 0

1990

4,4 % Wachstum n=2

4,4 % Wachstum n=1

1995

4,4 % Wachstum

2005

Bezogen auf das Kalenderjahr 1990 gilt: n Anzahl der 5-Jahres-Zeitabschnitte (1990 o 2005 d.h. also 15 Jahre) = 3 Wn BevĂślkerungszahl (Jahr 2005) nach Ablauf von 3 Zeitabschnitten = W3 = 1,306 Mrd. W0 BevĂślkerungszahl am Beginn des Wachstumsvorganges (1990) p% Prozentsatz = 4,4%

p 10 ein, 100

Â&#x153;

1,306 = W0 Âˇ 1,13789 Â°: 1,13789

W15 = W0 Â&#x2DC; 1 100

Â&#x2DC; 1

p 15 = 100

kann man alternativ zum ersten

1,306 Mrd. Â&#x2DC; 1

0,75 10 Â&#x2DC; 100

n Wn W0 p

AuflĂśsen der Gleichung nach n: Â&#x153;

1,53139 = 1,007n

Â&#x153;

2005

2 Mrd. = 1,306 Mrd. Âˇ 1,007n

Eingesetzt (in Mrd.):

p 15 100

p 100

= 0,008634 ~Âˇ100

Â&#x;

1,306 = 1,148 Âˇ 1

p 15 100

Â&#x153;

15 1,13763

p 100

Â&#x153;

Â&#x;

durchschnittliches jĂ¤hrliches Wachstum p% = 0,8634 % | 0,86 %

~: 1,148

Â&#x153;

15 1,13763

1,13763 = 1 p 100

Â&#x153;

c) Ausgehend vom Kalenderjahr 2005 soll die BevĂślkerungszahl Chinas im Jahr 2030 ermittelt werden. Innerhalb dieser 25 Jahre liegen jedoch unterschiedliche Wachstumsraten zu Grunde. FĂźr die ersten 10 Jahre (bis 2015) geht man von 0,75 % jĂ¤hrlichem Wachstum aus und fĂźr die letzten 15 Jahre (bis 2030) von 0,6 %. Die BevĂślkerungszahl muss also in zwei Schritten bestimmt werden. Anfangswert W0 = 1,306 Mrd.

Endwert W10

n = 10 (Jahre)

2015

Anfangswert W0 = W10

0,6 % Wachstum n = 15 (Jahre)

Â&#x153; Logarithmieren: n = log1,0071,53139 =

lg1,53139 | 61,095 | 61 (Jahre) lg1,007

HINWEIS: Die in der Aufgabenstellung abgebildete Skizze entspricht dem LĂ¤ngsschnitt der Praline. In der nachfolgenden Hilfsskizze sind die KĂśrper, aus denen die Pralinen bestehen, rĂ¤umlich mit BemaĂ&#x;ung dargestellt. Alle Angaben in mm

dK = 12

Halbkugel Schokolade

rS = 9

Halbkugel Kern

hZ = 3 Zylinder Boden

dZ = 18

Die Menge der weiĂ&#x;en Schokolade fĂźr eine Praline, also deren Volumen VP ergibt sich aus dem Volumen VS (Halbkugel Schokolade mit Kern) abzĂźglich dem Volumen VK (Halbkugel Kern) zuzĂźglich dem Volumen VZ des zylinderfĂśrmigen Bodens, d.h.: Â&#x; VP = VS VK + VZ

HalbkugelfĂśrmiges Kernvolumen VK (LĂ¤ngen in mm) Radius des Nougat-Kerns (vgl. Skizze): Â&#x; rK = 15 3 = 6 2 VK = 12 Âˇ VKugel = 12 Âˇ 43 Âˇ rKÂł Âˇ S = 12 Âˇ 43 Âˇ 6Âł Âˇ 3,14 = 452,16 mmÂł ZylinderfĂśrmiges Bodenvolumen VZ (LĂ¤ngen in mm) Radius des Zylinders (vgl. Skizze): Â&#x; rZ = rS = 15 3 = 9 2 Die HĂśhe des Zylinders entspricht der SchichtstĂ¤rke: Â&#x; hZ = 3

VZ = rZÂ˛ Âˇ S Âˇ hZ = 9Â˛ Âˇ 3,14 Âˇ 3 = 763,02 mmÂł Schokoladenmenge fĂźr eine Praline

VP = 1526,04 mmÂł 452,16 mmÂł + 763,02 mmÂł = 1836,9 mmÂł

(HINWEIS: 1 Liter entspricht einem Rauminhalt von 1dmÂł = 1 000 cmÂł = 1 000 000 mmÂł)

2030

4. k = 0,5

Â&#x; W10 = 1,306 Mrd. Âˇ 1

0,75 10 | 100

Durch zentrische Streckung mit dem Faktor k = 0,5 entsteht aus dem Urdreick ABC das Bilddreieck ABâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122;. Da das Bilddreick den Punkt A enthĂ¤lt, werden nur die Punkte B auf Bâ&#x20AC;&#x2122; und C auf Câ&#x20AC;&#x2122; abgebildet. Der Punkt A muss damit den Zentrum Z entsprechen. Die Dreicke mĂźssen demnach Ă¤hnlich der Dreiecke in nebenstehender Hilfsskizze aussehen.

Dreieck wird verkleinert

Einsetzen der GrĂśĂ&#x;en n = 10 (Jahre), W0 = 1,306 Mrd. und p = 0,75 in die Wachstumsformel Wn = W0 Âˇ 1

J Câ&#x20AC;&#x2122;

1,407 Mrd.

Jâ&#x20AC;&#x2122;

Hinweis: Runden auf Millionen bedeutet hier auf drei Nachkommastellen runden. A D

BevĂślkerungszahl W15 im Jahr 2030:

Zur Ermittlung von W15 werden n = 15 (Jahre) und p = 0,6 in die Wachstumsformel eingesetzt. Da der betrachtete Zeitraum mit dem Jahr 2015 beginnt, entspricht der Endwert W10 nun dem Anfangswert W0 = 1,407 Mrd.: Â&#x;

W15 = 1,407 Mrd. Âˇ 1

0,6 15 | 100

~: 1,306 Mrd.

Vges = 20 000 Âˇ 1836,9 mmÂł = 36 738 000 mmÂł = 36 738 cmÂł = 36,738 dmÂł | 37 Liter

Endwert W15

BevĂślkerungszahl W10 im Jahr 2015: p n : 100

Gesamtmenge an weiĂ&#x;er Schokolade

0,75 % Wachstum

2005

HalbkugelfĂśrmiges Schokoladenvolumen VS mit Kern (LĂ¤ngen in mm) Der fĂźr die Berechnung notwendige Kugelradius entspricht dem halben Pralinendurchmesser (vgl. Skizze): Â&#x; rS = 15 3 = 9 2 VS = 12 Âˇ VKugel = 12 Âˇ 43 Âˇ rSÂł Âˇ S = 12 Âˇ 43 Âˇ 9Âł Âˇ 3,14 = 1526,04 mmÂł

Anzahl der Jahre (1990 o 2005) = 15 BevĂślkerungszahl (im Jahr 2005) = W15 = 1,306 Mrd. BevĂślkerungszahl (im Jahr 1990) = 1,148 Mrd. Prozentsatz

1,539 Mrd.

1,007n = 1,53139

Endwert W15 = 1,306 Mrd.

n = 15 (Jahre)

0,6 15 | 100

0,7 p = 0,7 ; W0 = 1,306 Mrd. ; Wn = 2 Mrd. Â&#x; 2 Mrd. = 1,306 Mrd. Âˇ 1+ 100

Â&#x153;

b) Das durchschnittliche prozentuale Wachstum p fĂźr den Zeitraum zwischen 1990 und 2005 (15 Jahre) erhĂ¤lt man durch Einsetzen der gegebenen BevĂślkerungszahlen und durch anschlieĂ&#x;endes Umformen der Wachstumsformel. Da diesmal jedoch das durchschnittliche jĂ¤hrliche Wachstum gesucht ist, muss die GrĂśĂ&#x;e n der Anzahl der verstrichenen Jahre entsprechen, so dass gilt:

1990

d) Um die Anzahl n der verstrichenen Jahre zu erhalten, werden ausgehend von der BevĂślkerungszahl im Jahr 2005 folgende Werte in die Wachstumsformel eingesetzt:

Auf Millionen gerundet (d.h. 3 Nachkommastellen): W0 | 1,148 Mrd.

p % jĂ¤hrl. Wachstum

W0 | 1,147738 Mrd.

Anfangswert W0 = 1,148 Mrd.

Weg W15 direkt aus W0 in einer Formel bestimmen:

BevĂślkerungszahl W0 im Jahr 1990 (in Mrd.): 4,4 Eingesetzt: 1,306 = W0 Âˇ 1 100

n=3

2000

die BevĂślkerungszahl W15 im Jahr 2030 auch: W15 = W10 Âˇ 1 100

1,539 Mrd.

Eâ&#x20AC;&#x2122; Bilddreieck

Urdreieck

Bâ&#x20AC;&#x2122;

E B

Um einschĂ¤tzen zu kĂśnnen, ob die Aussagen richtig oder falsch sind, mĂźssen die grundlegenden Eigenschaften der zentrischen Streckung nĂ¤her betrachtet werden.

AbschlussprĂźfung 2008

B66

2. Jeder Urwinkel wird auf einen gleich groĂ&#x;en Bildwinkel abgebildet!

d) Durch die Spiegelung Ă¤ndert sich die Ă&#x2013;ffnung der Parabel. Die Normalparabel p2 ist nach unten geĂśffnet. Die Koordinaten des Scheitelpunktes S2 ( 2/9) werden deshalb in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach unten geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt und diese wird dann in die Normalform umgeformt:

d.h.: Urwinkel = Bildwinkel o im vorliegenden Fall z.B.: E = Eâ&#x20AC;&#x2122;

Â&#x; y = (x ( 2))Â˛ + 9 = (x + 2)Â˛ + 9 = (xÂ˛ + 2ÂˇxÂˇ2+ 2Â˛) + 9 = (xÂ˛ + 4x + 4) + 9

1. Jede Urstrecke wird auf eine k-mal so lange Bildstrecke abgebildet! d.h.: LĂ¤ngeBildstrecke = k Âˇ LĂ¤ngeUrstrecke AB = AB' = 2Âˇ AB' 0,5

Â&#x153;

o im vorliegenden Fall z.B.: AB' = 0,5 Âˇ AB

= xÂ˛ 4x 4 + 9 = xÂ˛ 4x + 5

3. Jede UrflĂ¤che wird auf eine kÂ˛-mal so groĂ&#x;e BildflĂ¤che abgebildet! d.h.: ABildflĂ¤che = kÂ˛ Âˇ AUrflĂ¤che o im vorliegenden Fall: AABâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122; = 0,5Â˛ Âˇ AABC = 1 Âˇ AABC 4 Aussage

(1)

Die Strecke [AB] ist doppelt so lang wie die Strecke [ABâ&#x20AC;&#x2122;].

(2)

Die Strecke [AB] ist halb so lang wie die Strecke [ABâ&#x20AC;&#x2122;].

Bewertung richtig (siehe 1.) falsch

(3)

Der FlĂ¤cheninhalt des Bilddreiecks betrĂ¤gt ein Viertel des FlĂ¤cheninhalts des ursprĂźnglichen Dreiecks. (4) Der FlĂ¤cheninhalt des Bilddreiecks ist halb so groĂ&#x; wie der FlĂ¤cheninhalt des ursprĂźnglichen Dreiecks. (5) Alle Winkel im Dreieck ABC sind halb so groĂ&#x; wie die entsprechenden Winkel im Bilddreieck ABâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122;. (6) Alle Winkel im Dreieck ABC sind genau so groĂ&#x; wie die entsprechenden Winkel im Bilddreieck ABâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122;.

richtig (siehe 3.)

falsch falsch richtig (siehe 2.)

Die Nummern der drei richtigen Antworten lauten: (1) , (3) und (6)

Gleichungssystem:

(I) ( II )

4 = 1 p + q

p = 4 in ( II ) eingesetzt: 5 = 4 + q

Zur Bestimmung der Parabelschnittpunkte N1 und N2 mit der x-Achse (Nullstellen) wird die Funktionsgleichung von p2 mit Null gleichgesetzt: y = 0

Â&#x153;

3p = 12

p=4

Â&#x153; q = 1

Funktionsgleichung der Normalparabel p1 y = xÂ˛ + 4x 1.

xÂ˛ 4x + 5 = 0

Â&#x;

p = 4 ; q = 5 in LĂśsungsformel:

Â°:( 1)

x1/2

4 r Â§Â¨ 4 ÂˇÂ¸ ( 5) 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x;

N1 (1/0) und N2 ( 5/0).

2x 1 + 3x = 2xÂ˛ 3x 16 x 1 x 2 (x 1)(x 2)

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: (x 1)Âˇ(x + 2) Â&#x; 2x 1 Âˇ(x 1)Âˇ(x + 2) + 3x Âˇ(x 1)Âˇ(x + 2) = 2xÂ˛ 3x 16 Âˇ(x 1)Âˇ(x + 2) Â&#x153; x 1 x 2 (x 1)(x 2)

Â&#x153;

Ausmultiplizieren:

2xÂ˛ + 4x x 2 + 3xÂ˛ 3x = 2xÂ˛ + 3x + 16

Zusammenfassen:

5xÂ˛ 2 = 2xÂ˛ + 3x + 16 ~ 2xÂ˛ 3x 16 Â°: 3

Â&#x153;

3xÂ˛ 3x 18 = 0

p = 1 ; q = 6 in LĂśsungsformel:

Â&#x;

Â&#x153; Â&#x153;

xÂ˛ x 6 = 0

Â&#x153; Â&#x;

0,5 r 0, 25 6

x1 = 3 Â? ID und x2 = 2 Â? ID

0,5 r 2,5

Â&#x; IL = {3}

Festlegen der Variablen:

Spiegelung an y = 2

2 r 3

d=7

2 r 4 5

x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind: Nenner 1: x 1 Â&#x; x 1 = 0 Â&#x153; x = 1 Nenner 2: x + 2 Â&#x; x + 2 = 0 Â&#x153; x = 2 Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ { 2; 1}

x1/2 = 1 r Â§Â¨ 1 ÂˇÂ¸ ( 6) ÂŠ 2 Âš 2

c) y 10

xÂ˛ + 4x 5 = 0

KĂźrzen: (2x 1)Âˇ(x + 2) + 3xÂˇ(x 1) = 2xÂ˛ + 3x + 16

Scheitel S1 ( 2/ 5)

S2(-2/9)

Â&#x153;

Â&#x;

x LĂśsungsmenge:

b) Die Gleichung von p1 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten von S1 kĂśnnen dann der Gleichung entnommen werden: y = xÂ˛ + 4x 1 = xÂ˛ + 4x + 2Â˛ 2Â˛ 1 = (x + 2)Â˛ 4 1 = (x + 2)Â˛ 5 Â&#x;

e) Der Schnittpunkt T der Parabel p2 mit der y-Achse muss den x-Wert Null haben: xT = 0 Um den zugehĂśrigen y-Wert zu finden, wird fĂźr x = 0 in die Funktionsgleichung der Parabel p2 eingesetzt: Â&#x; T (0/5) x = 0 in p2: Â&#x; yT = 0Â˛ 4Âˇ0 + 5 = 5

5 = p + q ( II )

7 = 2p + q 5 = p + q

( I ) ( II ): 12 = 3p + 0

Â&#x;

Â&#x153;

Normalform der Funktionsgleichung von p2: y = xÂ˛ 4x + 5.

Â&#x; x1 = 1 und x2 = 5

a) Die Funktionsgleichung einer nach oben geĂśffneten Normalparabel lautet: y = xÂ˛ + px + q. Zur Bestimmung von p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte P (2/11) und Q ( 1/ 4) in die obige Gleichung ein und lĂśst das Gleichungssystem wie folgt: P (2/11) in y = xÂ˛ + px + q: 11 = 2Â˛ + p Âˇ 2 + q Â&#x153; 11 = 4 + 2p + q Â&#x153; 7 = 2p + q ( I ) Q ( 1/ 4) in y = xÂ˛ + px + q: 4 = ( 1)Â˛ + p Âˇ ( 1) + q Â&#x153;

Â&#x;

LĂ¤nge l des ursprĂźnglichen Beetes: x m Breite b des ursprĂźnglichen Beetes: y m

Die LĂ¤nge l = x des Beetes soll um 5 m und die Breite b = y des Beetes um 1 m verlĂ¤ngert werden. Das geplante Beet hat somit eine LĂ¤nge l' = x + 5 und eine Breite b' = y + 1.

Hilfsskizze:

ursprĂźngliches Blumenbeet

geplantes Blumenbeet LĂ¤nge lâ&#x20AC;&#x2122; = x + 5

LĂ¤nge l = x

3 y=2

Breite b = y

Breite bâ&#x20AC;&#x2122; = y + 1

1 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

d=7

3 x

-1

FlĂ¤che A = x Âˇ y

FlĂ¤che Aâ&#x20AC;&#x2122; = (x + 5) Âˇ (y + 1)

Umfang u = 2x + 2y

Umfang uâ&#x20AC;&#x2122; = 2(x + 5) + 2(y + 1)

-2 Da der Umfang u des ursprĂźnglichen Beetes mit 48 m vorgegeben ist, erhĂ¤lt man die erste Bestimmungsgleichung wie folgt: 2x + 2y = 48 Â° 2y Â&#x153; 2x = 48 2y Â°: 2 Â&#x; ( I ): x = 24 y

-3 -4 S1(-2/-5)

-5 -6

Alle Punkte auf dem Graphen der Funktionsgleichung y = 2 haben den y-Wert 2. Der Graph ist also eine Gerade (Steigung m = 0) mit dem y-Achsenabschnitt 2, die parallel zur x-Achse verlĂ¤uft. Der Scheitel S2 der gespiegelten Parabel liegt in einem Abstand von d = 7 cm oberhalb der Geraden y = 2. Die x-Werte werden durch die Spiegelung nicht verĂ¤ndert. Â&#x; Abgelesene Koordinaten des Scheitels S2 ( 2/9)

Der FlĂ¤cheninhalt A = x Âˇ y des Beetes vergrĂśĂ&#x;ert sich durch die LĂ¤ngen-/BreitenĂ¤nderung ebenfalls - und zwar um 65 mÂ˛. Der FlĂ¤cheninhalt Aâ&#x20AC;&#x2122; = (x + 5)Âˇ(y + 1) des geplanten Beetes entspricht also dem FlĂ¤cheninhalt des bestehenden Beetes zuzĂźglich 65 mÂ˛. Die zweite Bestimmungsgleichung lautet demnach: ( II ): (x + 5)Âˇ(y + 1) = x Âˇ y + 65 x = 24 y in ( II ):

((24 y) + 5)Âˇ(y + 1) = (24 y) Âˇ y + 65

Â&#x153;

(24 y + 5)Âˇ(y + 1) = 24y yÂ˛ + 65

Â&#x153;

29y + 29 yÂ˛ y = 24y yÂ˛ + 65

Â&#x153; Â&#x153;

Â&#x153;

(29 y)Âˇ(y + 1) = 24y yÂ˛ + 65 28y + 29 yÂ˛ = 24y yÂ˛ + 65

Â&#x153;

~+ yÂ˛ Â&#x153;

AbschlussprĂźfung 2009 Â&#x153;

~ 24y

28y + 29 = 24y + 65 4y = 36 ~: 4

Â&#x153;

B67 ~ 29

4y + 29 = 65

10.

Â&#x153;

y=9

LĂ¤nge des ursprĂźnglichen Beetes: 15 m, Breite des ursprĂźnglichen Beetes: 9 m.

a) Hilfsskizze: Es wurden die Punkte H und I ergĂ¤nzt. FlĂ¤che ADEFG des Rechtecks: ADEFG = l Âˇ b = GF Âˇ FE = GF Âˇ 4,5 dm

J 7,5 dm

Hinweis: Die HĂśhe des Dreiecks betrĂ¤gt 12 dm, so dass fĂźr die Strecken CI und IH gilt: IH = FE = 4,5 dm CI = 12 dm 4,5 dm = 7,5 dm

12 dm

F 4,5 dm

4,5 dm

H D

20 dm

Ermittlung der LĂ¤nge des Rechtecks (LĂ¤ngenangaben in dm): Die Seite GF wird mittels Strahlensatz innerhalb der Dreiecke GFC und ABC bestimmt. Da beide Dreiecke einander Ă¤hnlich sind (die drei entsprechenden Innenwinkel sind jeweils gleich groĂ&#x;), ist das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis von GF und AB gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis von CI und GF = CI CH : Â&#x; AB CH GF = 7,5 dm 20 dm 12 dm

Eingesetzt:

~Â&#x2DC; 20 dm

Â&#x153;

GF =

7,5 dm Âˇ 20 dm = 12,5 dm 12 dm

b) Der Winkel J wird durch die HĂśhe CH halbiert, da das Dreieck ABC gleichschenklig ist (Basis [AB]). Daher kann tan

J 2

im rechtwinkligen Dreieck CHB mit dem Tangens bestimmt werden:

= HB = 10 dm = 5 CH 12 dm 6

J 2

Â&#x;

| 40Â° Â°Âˇ 2

Rechengesetze: 1

x 3 : (x 6 ) 2 Â&#x2DC; 3 xÂ˛ : x14 Â&#x2DC; 4 x12 20

Â&#x153;

Umwandeln der Wurzeln in die Potenzschreibweise: 1

x 3 : (x 6 ) 2 Â&#x2DC; x 3 : x14 Â&#x2DC; x 4 20

Â&#x153;

Umwandeln der potenzierten Potenz: 1

x 3 : x 12 Â&#x2DC; x 3 : x14 Â&#x2DC; x 4 20

m n

Â&#x153;

a mÂ&#x2DC;n

Umwandeln des Terms in die Bruchschreibweise (Faktoren in den ZĂ¤hler; Divisoren in den Nenner): 1

x 3 Â&#x2DC; x 3 Â&#x2DC; x 4 20 x 12 Â&#x2DC; x14

Â&#x153;

KĂźrzen der Hochzahl 1

Zeile 2:

12 4

Zusammenfassen der Potenzen mit gleicher Basis:

Zeile 3:

a m n

x 3 3 20 5 Â&#x153; x 12 14 Exponenten addieren: x 4 20 5 Â°+ 20 Â&#x153; x2

am Â&#x2DC; an

x4 x2

x3 3 x4 und nicht: xÂł

Â&#x; Weiterrechnen ab Zeile 3:

x x2

RasenflĂ¤che AR = 20 m Âˇ 42,9 m = 858 mÂ˛

20 m

Â&#x153;

xÂ˛ = 25

Â°Âˇ 20 m

ED = tan 65Â° Âˇ 20 m | 42,9 m

b) Der Umfang uT der TrapezflĂ¤che enspricht der Summe aller SeitenlĂ¤ngen des GrundstĂźcks, wobei die Seiten DA und BC gleich lang sind: uT = AB + BC + CD + DA = AB + 2Âˇ DA + CD LĂ¤nge von [AB]: AB = EF + 2 Âˇ 20 m

Die LĂ¤nge EF entspricht der Breite der gepflasterten RechteckflĂ¤che. Da deren FlĂ¤cheninhalt (AR = 1544 mÂ˛) und LĂ¤nge ( ED = 42,9 m) bekannt sind, kann die Breite aus der FlĂ¤chenformel wie folgt bestimmt werden: AR = l Âˇ b = EF Âˇ ED Eingesetzt: Â&#x;

1544 mÂ˛ = EF Âˇ 42,9 m

Â°: 42,9 m Â&#x153; EF | 36,0 m

AB = 36,0 m + 2 Âˇ 20 m = 76 m

Pythagoras berechnen: DA = AE + ED

1 2 3

Â&#x; x = r5

Â&#x153;

Â&#x;

DA = (20 m)Â˛ + (42,9 m)Â˛ = 2240,41 mÂ˛

DA = 2240, 41 mÂ˛ | 47,3 m

LĂ¤nge von [CD]: CD = EF = 36,0 m

Umfang des GrundstĂźcks uT = 76 m + 2 Âˇ 47,3 m + 36,0 m = 206,6 m

2.2.5 AbschlussprĂźfung 2009 Aufgabengruppe I 1. a) Den durchschnittlichen prozentualen RĂźckgang p fĂźr den 10-Jahres-Zeitraum vor dem Schuljahr 2008/2009 erhĂ¤lt man durch Umformen der Wachstumsformel. Da eine Abnahme

p der SchĂźlerzahlen vorliegt, gilt die Formel: Wn = W0 Âˇ 1 100

W0 und Wn sind die Einschulungszahlen am Anfang bzw. Ende des betrachteten Zeitraums. Bezogen auf die Anzahl der SchulanfĂ¤nger W0 im Jahr 1998 wurden 2008 nur noch 86% davon eingeschult. Da die tatsĂ¤chlichen Zahlen nicht bekannt sind, muss der Endwert Wn wie folgt angegeben werden: Wn = W10 = 86% Â&#x2DC; W0 86 Â&#x2DC; W0 0,86 Â&#x2DC; W0 100 Endwert Anfangswert W10 = 0,86 Âˇ W0 W0 p % jĂ¤hrl. RĂźckgang n = 10 (Jahre)

2008

Anzahl der Jahre = 10 SchulanfĂ¤nger (Schuljahr 1998/1999) SchulanfĂ¤nger (Schuljahr 2008/2009) = W10 = 0,86 Âˇ W0 Prozentsatz

Eingesetzt:

Â&#x;

Â&#x; vorgegebene Zeile 3 ist falsch 4

Â&#x;

n W0 Wn p

5 Â&#x; vorgegebene Zeile 2 ist richtig

1 2 3

tan 65Â° = ED = ED AE 20 m

20 m

1998

= 3:

x 3 Â&#x2DC; x 3 Â&#x2DC; x 3 20 x 12 Â&#x2DC; x14

65Â°

Â&#x;

Â&#x153; J = 80Â°

Um die fehlerhafte Zeile herauszufinden, wird zunĂ¤chst die erste Zeile mit Hilfe der Potenz- und Wurzelgesetze so lange umgeformt bis man die zweite Zeile erhĂ¤lt. Die berechnete und die vorgegebene Gleichung werden dann miteinander verglichen und im Falle einer Ă&#x153;bereinstimmung wird bis zur Zeile 3 weiter gerechnet usw.

Zeile 1:

Ermittlung der Strecke ED im rechtwinkligen Dreieck AED mit dem Tangens des gegebenen Winkles D = 65Â°:

LĂ¤nge von [DA]: Die LĂ¤nge der Strecke [DA] kann man im rechtwinkligen Dreieck AED mit dem Satz des

Â&#x; Inhalt der RechteckflĂ¤che ADEFG = 12,5 dm Â&#x2DC; 4,5 dm | 56,25 dmÂ˛

J 2

AR = 2 Âˇ AAED = 2 Âˇ

gÂ&#x2DC;h =gÂˇh 2 = AE Âˇ ED = 20 m Âˇ ED

RasenflĂ¤che

1544 mÂ˛

Da es sich um ein gleichschenkliges Trapez handelt, sind die beiden rechtwinkligen Teildreiecke AED und FBC gleich groĂ&#x;. FĂźr die gesamte RasenflĂ¤che AR gilt somit:

gepflasterte RechteckflĂ¤che

y = 9 in ( I ): x = 24 9 = 15

Â&#x;

0,86 Âˇ W0 = W0 Âˇ 1 100 0,86 = 1

p 100

p ~+ 100

~: W0

Â&#x153;

0,985 +

Â&#x153;

0,86 = 1 100

p 100

= 1 _ 0,985

Â&#x153;

~ 10 p 100

Â&#x153;

= 0,015 ~Âˇ100

durchschnittlicher jĂ¤hrlicher RĂźckgang p% = 1,5%

b) Im Schuljahr 2008/2009 wurden 754.900 Kinder eingeschult. Ausgehend von diesem Anfangswert W0 ist der Endwert W5 nach n = 5 Jahren bei einer durchschnittlichen jĂ¤hrlichen Abnahme von p% = 2,3% gesucht. Anfangswert W0 = 754.900

Â&#x; Richtige LĂśsungen der Gleichung: x1 = 5 ; x2 = 5

2,3 % jĂ¤hrl. RĂźckgang n = 5 (Jahre)

2008

Endwert W5

2013

Eingesetzt in Formel Aufgabe 1.a): Â&#x203A;

2,3 W5 = 754.900 Âˇ 1 100

= 754.900 Âˇ 0,977 5

= 671.989 | 672.000 SchulanfĂ¤nger

AbschlussprĂźfung 2009

B68 c) Es ist die Anzahl n der Jahre gesucht, in denen die SchĂźlerzahl vom Anfangswert W0 = 754.900 auf den Endwert Wn = 500.000 absinkt (mit p = 2,3). Die Anzahl n ergibt

p sich durch Einsetzen in Wn = W0 Âˇ 1 100

. Beim AuflĂśsen muss der Logarithmus

angewendet werden: Anfangswert W0 = 754.900

500.000 = 754.900 Âˇ 1

2,3 n 100

Binom

~: 754900

2,3 0,6623 = 1 100

Â&#x153;

8)Â˛

Aufgrund des Minuszeichens im aufgelĂśsten Binom (linke Gleichungsseite) muss der Gleichung die 2. Binomische Formel zu Grunde liegen: aÂ˛ 2ab + bÂ˛ = (a b)Â˛ TrĂ¤gt man die gegebenen und nicht gegebenen Teile der Gleichung in eine Zuordnungstabelle ein, ergibt sich Folgendes:

n (Jahre)

2008 Â&#x;

Endwert Wn = 500.000

2,3 % jĂ¤hrl. RĂźckgang

3. a) Gleichung: 121dÂ˛fÂ˛ 176df + 64 = (11df

lg 0,6623 Â&#x153; 0,6623 = 0,977 Â&#x153; Logarithmieren: n = log0,9770,6623 = x 17,71 lg 0,977 Â&#x; Zeitraum n | 18 Jahre n

aÂ˛

Gleichung

121dÂ˛fÂ˛

2ab

b )Â˛

bÂ˛

176df +

(11df

8 )Â˛

Man erkennt an den grau hervorgehobenen Feldern, dass alle Variablen der binomischen Formel mit Werten aus der Gleichung belegt werden kĂśnnen und stimmig sind. FĂźr den runden Platzhalter muss demnach gelten: . Âź (Minuszeichen) Â&#x203A;

vollstĂ¤ndige Gleichung: 121dÂ˛fÂ˛ 176df + 64 = (11df 8)Â˛

2. a) Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

y P1 y P2 x P1 x P2

Einsetzen der Koordinaten von A ( 5/ 4) und B (0/6): y yB = 4 6 = 10 = 2 m1 = A 5 0 5 xA xB

b) Gleichung: (6a 9d)Â˛ =

36aÂ˛ 108ad

dÂ˛

Es wird zunĂ¤chst das Binom (6a 9d)Â˛ entsprechend der zweiten binomischen Formel (a b)Â˛ = aÂ˛ 2ab + bÂ˛

ausmultipliziert und das Ergebnis mit dem Term auf der rechten Gleichungsseite verglichen:

Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 2x + n1.

Â&#x203A;

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes B (0/6) in y = 2x + n1: 6 = 2 Âˇ 0 + n1 Â&#x153; 6 = 0 + n1 Â&#x153; n1 = 6

Umstellen und Vergleichen des Ergebnisses mit dem vorgegebenen Term:

Â&#x;

vollstĂ¤ndige Gleichung von g1: y = 2x + 6.

Da die Gerade g2 auf der Geraden g1 (m1 = 2) senkrecht stehen soll, gilt fĂźr deren Steim2 Âˇ 2 = 1 Â : 2

Â&#x153;

m2 = 12

Die Funktionsgleichung von g2 lautet demnach bis jetzt: y = 12 x + n2. Zur Bestimmung von n2 werden noch die Koordinaten des Punktes E (0/1), durch den g2 verlĂ¤uft, in deren Gleichung eingesetzt: Â&#x153;

Â&#x153;

1 = 0 + n2

Â&#x; 1 = 12 Âˇ 0 + n2

Â&#x203A; Â&#x203A;

Âź 81 und

36aÂ˛ 108ad

dÂ˛

Âź + Pluszeichen

vollstĂ¤ndige Gleichung: (6a 9d)Â˛ = 81dÂ˛ + 36aÂ˛ 108ad

c) Gleichung: 225wÂ˛ 81zÂ˛ = (15w 9z)(15w

)

Betrachtet man die linke Gleichungsseite nĂ¤her, stellt man fest, dass in der Differenz nur quadratische AusdrĂźcke vorkommen: 225wÂ˛ 81zÂ˛ = 15Â˛wÂ˛ 9Â˛zÂ˛ = (15w)Â˛ (9z)Â˛ Demnach muss der Gleichung die 3. Binomische Formel zu Grunde liegen:

Â&#x; Gleichung von g 2 : y

n2 = 1

36aÂ˛ 108ad + 81dÂ˛ = 81dÂ˛ + 36aÂ˛ 108ad =

b) Die Ermittlung der Steigung m2 der Gerade g2 erfolgt aufgrund der Tatsache, dass das Produkt der Steigungen von zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden immer den m2 Âˇ m1 = 1 (wenn g2 A g1) Wert â&#x20AC;&#x201C;1 ergibt: gungen:

Â&#x203A;

(6a 9d)Â˛ = (6a)Â˛ 2 Âˇ 6 a Âˇ 9d + (9d)Â˛ = 36aÂ˛ 108ad + 81dÂ˛

aÂ˛ bÂ˛ = (a b)(a + b)

12 x 1 .

Das Eintragen in die Zuordungstabelle liefert: c) Man bestimmt zunĂ¤chst den x-Wert des Schnittpunktes S durch Gleichsetzen der Funktionsterme der Geraden g1 und g2: 2x + 6 = 12 x 1 ÂŞ 6 Â&#x153;

2x = 12 x 5 ÂŞ + 12 x

Â&#x153;

2,5x = 5 ÂŞ : 2,5 Â&#x;

Einsetzen von x = 2 in g1: y = 2 Âˇ ( 2) + 6 = 2

x = 2

Zur Ă&#x153;berprĂźfung muss deshalb die Steigung m3 von g3 berechnet werden: Einsetzen der Koordinaten von F ( 1/ 4) und G (3/4) in die Formel zur Berechnung des y yG = 4 4 = 8 = 2 Steigungsfaktors: m3 = F 1 3 4 xF xG m3 = m1 = 2

Â&#x;

Die Gerade g3 verlĂ¤uft parallel zu g1.

B(0/6)

-3

-1

O -1 -2 -3

A(-5/-4)

F(-1/-4)

Â&#x203A;

+ b)

)

Âź 9z und

Âź + (Pluszeichen)

vollstĂ¤ndige Gleichung: 225wÂ˛ 81zÂ˛ = (15w 9z)(15w + 9z)

15dÂ˛

Es wird zunĂ¤chst das Produkt (7b + 5d)Âˇ(7b 3d) ausmultipliziert und das Ergebnis mit dem Term auf der rechten Gleichungsseite verglichen: (HINWEIS: Da in den Klammern 5d und 3d nicht Ăźbereinstimmen, liegt keine binomische Formel vor.)

49bÂ˛ + 14bd 15dÂ˛ 15dÂ˛

Â&#x203A;

Âź 14bd

vollstĂ¤ndige Gleichung: (7b + 5d)Âˇ(7b 3d) = 49bÂ˛ + 14bd 15dÂ˛

4. a) In der Trommel befinden sich insgesamt 100 Kugeln: 3 grĂźne (G), 22 schwarze (S) und 75 weiĂ&#x;e (W).

5 g2

6 x

Es sollen nacheinander 2 Kugeln ohne ZurĂźcklegen gezogen werden. Beim ersten Ziehen kann entweder eine grĂźne oder eine schwarze oder eine weiĂ&#x;e Kugel gezogen werden. Da sich nach dem ersten Ziehen von jeder Farbe noch ausreichend Kugeln in der Trommel befinden, kann beim zweiten Ziehen nochmals GrĂźn, Schwarz oder WeiĂ&#x; gezogen werden. Die fĂźr die jeweiligen Ă&#x201E;ste gĂźltigen Wahrscheinlichkeiten p ergeben sich wie folgt: (ErlĂ¤uterung am Beispiel der grĂźnen Kugeln; schwarze und weiĂ&#x;e Kugeln entsprechend) Anzahl der â&#x20AC;&#x17E;gĂźnstigen Ergebnisseâ&#x20AC;&#x153; beim ersten Ziehen der Farbe GrĂźn = 3 Kugeln Anzahl der â&#x20AC;&#x17E;mĂśglichen Ergebnisseâ&#x20AC;&#x153; beim ersten Ziehen = 100 Kugeln

-4 -5

Âˇ (a

(15w 9z) Âˇ (15w

d) Gleichung: (7b + 5d)Âˇ(7b 3d) = 49bÂ˛ +

Â&#x203A;

-2

G(3/4)

E(0/1) -4

Â&#x203A;

49bÂ˛ +

-5

(9z)Â˛

Vergleichen des Ergebnisses mit dem vorgegebenen Term:

-6

a = 15w; b = 9z

Â&#x203A;

S(-2/2)

(15w)Â˛

bÂ˛

Â&#x203A; (7b + 5d)Âˇ(7b 3d) = 7b Âˇ 7b 7b Âˇ 3d + 5d Âˇ 7b 5d Âˇ 3d = 49bÂ˛ 21bd + 35bd 15dÂ˛ = 49bÂ˛ + 14bd 15dÂ˛

y 8 7

Gleichung

aÂ˛

Aus der Tabelle erkennt man, dass bei der vorliegenden Binomischen Formel gilt:

Schnittpunkt S ( 2/2)

d) Zwei Geraden verlaufen dann parallel zueinander, wenn ihre Steigungen den gleichen Wert haben. Die Geraden g3 und g1 sind also parallel zueinander, wenn gilt: m3 = m1 = 2

Â&#x203A;

Binom

Â&#x; p(â&#x20AC;&#x17E;erste Kugel grĂźnâ&#x20AC;&#x153;) =

Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse = 3 Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse 100

AbschlussprĂźfung 2009

B69

Da nach dem ersten Ziehen die Kugel nicht zurĂźckgelegt wird, gilt fĂźr den zweiten Durchgang: Anzahl der â&#x20AC;&#x17E;gĂźnstigen Ergebnisseâ&#x20AC;&#x153; beim zweiten Ziehen der Farbe GrĂźn = 2 Kugeln Anzahl der â&#x20AC;&#x17E;mĂśglichen Ergebnisseâ&#x20AC;&#x153; beim zweiten Ziehen = 99 Kugeln Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse Â&#x; p(â&#x20AC;&#x17E;zweite Kugel grĂźnâ&#x20AC;&#x153;) = = 2 Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse 99

TrĂ¤gt man sĂ¤mtliche Wahrscheinlichkeiten ein, ergibt sich folgendes Baumdiagramm:

3 100

G 2 99

22 99

75 99

3 99

Â&#x203A;

W 3 99

75 99

21 99

74 99

22 99

TrĂ¤gt man die Ergebnisse entlang der jeweiligen Ă&#x201E;ste zusammen, erhĂ¤lt man die folgende Ergebnismenge: : = {GG; GS; GW; SG; SS; SW; WG; WS; WW} b) Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das nur aus einem Ergebnis besteht, indem man die Wahrscheinlichkeiten auf dem betreffenden Pfad multipliziert.

3 100

Da die Reihenfolge egal ist, sind zwei Ergebnisse denkbar: E2 = {SW; WS}

75 100

22 100

W 75 99

1Âˇ 2

BC Âˇ (5 m)

Â&#x2DC;

22 99

BC = 3,75 m

Anwenden des Satzes von Pythagoras: cÂ˛ = aÂ˛ + bÂ˛ = BC AC Â&#x203A;

Â&#x203A; c = 39,0625 mÂ˛ = 6,25 m

c = (3,75 m) (5 m) = 39,0625 mÂ˛

Berechnung der HĂśhe hc Â&#x203A;

hc =

18,75 mÂ˛ 18,75 mÂ˛ =3m = c 6, 25 m

c) Man kann die LĂ¤ngenverhĂ¤ltnisse der verschiedenen Strecken besser zuordnen, wenn man das Bilddreieck BCD so in das Ă¤hnliche Urdreieck ADC legt, dass deren Seitenkanten parallel zueinander verlaufen. Man erhĂ¤lt eine fĂźr die zentrische Streckung typische Figur mit dem Zentrum Z (beispielhaft siehe Hilfsskizze): Hilfsskizze: In dieser Figur sind die LĂ¤ngenverhĂ¤ltnisse folgender Dreiecksseiten gleich (vgl. hierzu auch â&#x20AC;&#x17E;StrahlensĂ¤tzeâ&#x20AC;&#x153; in der Formelsammlung):

C B Z C

LĂ¤nge Bilddreieck = BD = CD = BC LĂ¤nge Urdreieck CD AD AC

Gleichung 1) CD = BC ist richtig. AD AC

Â&#x203A;

Die Wahrscheinlichkeit solch eines Ereignisses, das sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzt, wird berechnet, indem man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addiert. Ă&#x153;bertragen auf das vorgegebene Zufallsexperiment und am Baumdiagramm veranschaulicht, (siehe hervorgehobene Pfade) bedeutet dies:

Durch Umformen der Gleichung 1) ergibt sich Gleichung 4) wie folgt:

p(E2) = p(SW) + p(WS) = 22 Â&#x2DC; 75 + 75 Â&#x2DC; 22 100 99 100 99 = 1 + 1 = 1 6 6 3

x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind: x 2=0 Â&#x153; x=2 Nenner 1: x 2 Â&#x; 2x â&#x20AC;&#x201C; 6 = 0 Â&#x153; 2x = 6 Â&#x153; x = 3 Nenner 2: 2x â&#x20AC;&#x201C; 6 Â&#x;

5. a) Die einander Ă¤hnlichen Dreiecke ADC und BCD haben die FlĂ¤cheninhalte AADC = A1 = 6 mÂ˛ und ABCD = A2 = 3,375 mÂ˛. Der Streckungsfaktor k kann aus den beiden FĂ¤cheninhalten berechnet werden, da bei der zentrischen Streckung gilt: ABildfigur = kÂ˛ Âˇ AUrfigur Die Seiten des Dreiecks ADC sollen auf die entsprechenden Seiten des Dreiecks BCD verkĂźrzt werden. Demnach ist das Dreieck ADC (A1) die Urfigur und das Dreieck BCD (A2) die Bildfigur der zentrischen Streckung: Â&#x203A; A2 = kÂ˛ Âˇ A1 Eingesetzt: 3,375 mÂ˛ = kÂ˛ Âˇ 6 mÂ˛ Â : 6 mÂ˛ Â&#x2DC; kÂ˛ = 0,5625 Â&#x2DC; k = 0,5625 = 0,75

CD = BC Â Âˇ AC AD AC

Â&#x203A; Â&#x203A;

Â&#x2DC;

CD Â&#x2DC; AC = BC AD

2x 5 = 7x 15 x 2 2x 6 Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: (x 2)Âˇ(2x â&#x20AC;&#x201C; 6) Â&#x; 2x 5 Âˇ(x 2)Âˇ(2x â&#x20AC;&#x201C; 6) = 7x 15 Âˇ(x 2)Âˇ(2x â&#x20AC;&#x201C; 6) Â&#x153; x 2 2x 6 KĂźrzen: (2x + 5)Âˇ(2x â&#x20AC;&#x201C; 6) = (7x â&#x20AC;&#x201C; 15)Âˇ(x 2) Â&#x153;

x LĂśsungsmenge:

Ausmultiplizieren:

4xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 12x + 10x 30 = 7xÂ˛ 14x â&#x20AC;&#x201C; 15x + 30

Zusammenfassen:

4xÂ˛ 2x â&#x20AC;&#x201C; 30 = 7xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 29x + 30 ~ 7xÂ˛ + 29x 30

â&#x20AC;&#x201C;3xÂ˛ + 27x 60 = 0

p = 9 ; q = 20 in LĂśsungsformel:

AABC = A1 + A2 = 6 mÂ˛ + 3,375 mÂ˛ = 9,375 mÂ˛

x1/2 = 9 r Â§Â¨ 9 ÂˇÂ¸ 20 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x;

AC = BC AD CD

Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ {2; 3}

Â&#x;

Â&#x2DC;

Â&#x153;

Â : CD

Gleichung 4) AC = BC ist richtig. AD CD Da es nur zwei richtige Gleichungen gibt, sind die Gleichungen 2) und 3) falsch.

b) Die DreieckshĂśhe hc kann aus dem FlĂ¤cheninhalt des Dreiecks ABC (AABC = 12 Âˇ c Âˇ hc) bestimmt werden, der sich aus A1 und A2 zusammensetzt:

Â&#x2DC;

9,375 mÂ˛ = 2,5 m Âˇ BC

Bestimmung der GrundlinienlĂ¤nge c

2, 27 p(E1) = 3 Â&#x2DC; 75 = 1 x 0,0227 = = 2,27% 100 100 99 44

c) Es ist die Wahrscheinlichkeit p(E2) gesucht, dass beim Ziehen von zwei Kugeln eine schwarz und eine weiĂ&#x; ist.

9,375 mÂ˛ =

FĂźr die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E1 (erst GrĂźn (G), dann WeiĂ&#x; (W)) ist der im Baumdiagramm hervorgehobene Pfad von Bedeutung:

75 99

Bestimmung der KathetenlĂ¤nge a Da die Dreiecke ADC und BCD einander Ă¤hnlich sind, werden alle Seiten im Urdreieck ADC durch zentrische Streckung mit dem Faktor k = 0,75 (siehe Aufgabe 5.a)) auf die entsprechenden Seiten im Bilddreieck BCD abgebildet (LĂ¤ngeBildstrecke = k Âˇ LĂ¤ngeUrstrecke). Die lĂ¤ngste Seite BC im Dreieck BCD ist also k-mal so lang wie die lĂ¤ngste Seite AC im Dreieck ADC: Â&#x203A; BC = k Âˇ AC = 0,75 Âˇ 5 m = 3,75 m Alternativweg: Die LĂ¤nge von BC kann auch mit Hilfe des bereits ermittelten FlĂ¤cheninhaltes AABC = 9,375 mÂ˛ bestimmt werden, da bei rechtwinkligen Dreieck gilt: A = 12 Âˇ a Âˇ b.

75 100

22 100

Die noch fehlende Seite c = AB kann im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn zuvor die KathetenlĂ¤nge a = BC bestimmt wird.

Â°:(â&#x20AC;&#x201C;3)

Â&#x153;

xÂ˛ 9x + 20 = 0

4,5 r 20, 25 20

x1 = 5 Â? ID und x2 = 4 Â? ID

Â&#x153;

4,5 r 0,5

Â&#x; IL = {4; 5}

7. A

Die HĂśhe hc ergibt sich durch Umstellen der FlĂ¤chengleichung: AABC = 9,375 mÂ˛ =

1Âˇ 2

c Âˇ hc Â Âˇ 2

Â&#x2DC;

18,75 mÂ˛ = c Âˇ hc Â : c

Â&#x2DC;

hc =

18,75 mÂ˛ c

a) Die Koordinaten des Scheitelpunktes S1 (1/ 4) werden in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach oben geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt und diese wird dann in die Normalform umgeformt: Â&#x; y = (x 1)Â˛ + ( 4) = (x â&#x20AC;&#x201C; 1)Â˛ 4 = (xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2ÂˇxÂˇ1+ 1Â˛) 4 = (xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2x + 1) 4 = xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2x + 1 4 = xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 Â&#x;

Normalform der Funktionsgleichung von p1: y = xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2x â&#x20AC;&#x201C; 3.

AbschlussprĂźfung 2009

B70

Â&#x; x = 18.000 8.000 = 10.000

y = 8.000 in ( I ):

b) Bestimmung der Nullstellen durch Gleichsetzen der Funktionsgleichung von p1 mit Null: y = 0 Â&#x; xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = 0 mit p = â&#x20AC;&#x201C;2 ; q = â&#x20AC;&#x201C;3 in LĂśsungsformel: 2

x1/ 2

2 r Â§Â¨ 2 ÂˇÂ¸ ( 3) 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x; x1 = 3 und x2 = 1

Â&#x;

1r 1 3

1r 2

Das Auto hat ursprĂźnglich 10.000 â&#x201A;Ź, das Motorrad 8.000 â&#x201A;Ź gekostet.

9. E

Schnittpunkte: N1 (3/0) und N2 ( 1/0).

3 cm

B (1/0) in y = xÂ˛ + px + q: 0 = (1)Â˛ + p Âˇ 1 + q Â&#x153; 0 = 1 + p + q

~+ 1 Â&#x153;

( I ) ( II ) 0 = 3p + 0

Â&#x153;

3p = 0 Â&#x153;

Â&#x153; 1=q

p = 0 in ( II ) eingesetzt: 1 = 0 + q Â&#x;

1 = p + q ( II )

( I ) 1 = 2p + q ( II ) 1 = p + q

Gleichungssystem:

Â&#x153;

p=0

q=1

d) Die Funktionsgleichung von p2 wird in die Scheitelpunktsform y = â&#x20AC;&#x201C;(x â&#x20AC;&#x201C; xS)Â˛ + yS ĂźberfĂźhrt. Die Koordinaten des Scheitels kĂśnnen dann wie folgt entnommen werden: Scheitel S2 (0/1)

xÂ˛

Â&#x;

e) Bestimmung der Koordinaten von P und Q durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2: Â&#x153;

xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = xÂ˛ + 1 ~+ xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 1 xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 1x â&#x20AC;&#x201C; 2 = 0

Â&#x;

2xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2x â&#x20AC;&#x201C; 4 = 0 ~: 2

x1/2 = 1 r Â§Â¨ 1 Â¸Âˇ ( 2) ÂŠ 2 Âš 2

0,5 r 0,25 2

Â&#x; x1 = 2 und x2 = 1

0,5 r 1,5

x1 = 2 in p2: y1 = â&#x20AC;&#x201C;2Â˛ + 1 = â&#x20AC;&#x201C; 4 + 1 = 3

Â&#x;

Schnittpunkt P (2/ 3)

x2 = 1 in p2: y2 = â&#x20AC;&#x201C;( 1)Â˛ + 1 = â&#x20AC;&#x201C;1 + 1 = 0

Â&#x;

Schnittpunkt Q ( 1/0) Âź N2

Berechnung des Winkels J Der Winkel J und sein Nachbarwinkel Jâ&#x20AC;&#x2122; ergeben zusammen 90Â° (siehe Zeichnung). FĂźr J gilt somit: J = 90Â° â&#x20AC;&#x201C; Jâ&#x20AC;&#x2122;. Bestimmung von Jâ&#x20AC;&#x2122; im rechtwinkligen Dreieck EFC mit dem Tangens: tan Jâ&#x20AC;&#x2122; = EF CE Â&#x203A; tan Jâ&#x20AC;&#x2122; = 3 cm = 0,75 Â&#x203A; Jâ&#x20AC;&#x2122; x 36,9Â° Â&#x203A; J = 90Â° â&#x20AC;&#x201C; 36,9Â° = 53,1Â° 4 cm

CE EF = (4 cm)Â˛ + (3 cm)Â˛ = 25 cmÂ˛

Â&#x203A;

FC = 25 cmÂ˛ = 5 cm

Breite b des Rechtecks Man errechnet die Breite b = BC des Rechtecks im rechtwinkligen Dreieck CFB. Hier gilt fĂźr den Kosinus des Innenwinkels J: cos J = FC BC Eingesetzt: cos 53,1Â° = 5 cm Â Âˇ BC Â&#x2DC; BC Âˇ cos 53,1Â° = 5 cm Â : cos 53,1Â° BC Â&#x2DC; BC | 8,3 cm LĂ¤nge l des Rechtecks Man errechnet die LĂ¤nge l = AB des Rechtecks im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Tangens aus dem Winkel J = 53,1Â° und der Breite BC = 8,3 cm: tan J = AB BC Eingesetzt: tan 53,1Â° = AB Â Âˇ 8,3 cm Â&#x2DC; AB = tan 53,1Â° Âˇ 8,3 cm x 11,1 cm 8,3 cm

Der Radius r1 der kleineren Kugel kann aus dem VerhĂ¤ltnis der KugeloberflĂ¤chen berechnet werden, wenn der Radius r2 der grĂśĂ&#x;eren Kugel bekannt ist.

y 3

Berechnung des Radius r2 der grĂśĂ&#x;eren Kugel Einsetzen des Kugelvolumens V2 = 14.130 cmÂł in die Volumenformel (V =

2 1 -3

-2

anschlieĂ&#x;endes Umformen der Gleichung:

S2(0/1) B(1/0)

Q(-1/0) O

-1

Â&#x2DC;

N1(3/0)

4 x

-2 A(-2/-3)

-3 -4

P(2/-3) S1(1/-4)

r2Âł = 3375 cmÂł

-5

225 cmÂ˛ Âˇ 9 = 16 Âˇ r12 Â&#x203A;

ursprĂźnglicher Preis des Autos: x â&#x201A;Ź ursprĂźnglicher Preis des Motorrades: y â&#x201A;Ź.

Herr Abt bezahlte ursprĂźnglich fĂźr beide Fahrzeuge zusammen 18.000 â&#x201A;Ź. Die erste Bestimmungsgleichung lautet somit:

Das Auto wurde fĂźr 95% seines ursprĂźnglichen Preises, das Motorrad fĂźr 125% seines ursprĂźnglichen Preises y verkauft. Die Verkaufspreise betrugen demnach: Verkaufspreis des Autos (in â&#x201A;Ź):

95 Âˇ 100 125 = 100

xâ&#x20AC;&#x2122; = 95% Âˇ x =

Verkaufspreis des Motorrades (in â&#x201A;Ź) : yâ&#x20AC;&#x2122; = 125% Âˇ y

x = 0,95x

Â&#x2DC;

16 9

Â Âˇ r12 Â Âˇ 9

Â&#x2DC;

2 r12 = 225 cm Â&#x2DC; 9 = 126,5625 cmÂ˛ 16

Radius der kleineren Kugel r1 = 126,5625 cmÂ˛ = 11,25 cm

( II ): 0,95x + 1,25y = 19.500 0,95Âˇ(18.000 y) + 1,25y = 19.500

17.100 0,95y + 1,25y = 19.500

Â&#x153;

y = 8.000

Â&#x203A; m1 =

yP yB 3 ( 2) = 5 = â&#x20AC;&#x201C;2,5 = 2 4 xP xB 2

Die Funktionsgleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 2,5x + n1. Zur Bestimmung des y-Achsenabschnittes n1 werden noch die Koordinaten von P (2/3) eingesetzt: Â&#x; 3 = 2,5 Âˇ 2 + n1

Â&#x153;

17.100 + 0,3y = 19.500

a) Die Gerade g1 verlĂ¤uft durch die Punkte P (2/3) und B (4/ 2). Um die vollstĂ¤ndige Funktionsgleichung (y = m1x + n1) der Geraden zu erhalten, wird zunĂ¤chst deren Steigung mit y P y P2 bestimmt. Dazu werden die Koordinaten von P und B eingeder Formel m = 1 x P1 x P2 setzt:

Âˇ x = 1,25y

Die Summe der einzelnen Verkaufspreise ergibt die von Herrn Abt erzielten Gesamteinnahmen von 19.500 â&#x201A;Ź. Die zweite Bestimmungsgleichung lautet demnach:

Â&#x153;

Â : 16

(15 cm) 2 r12

Nach der Reparatur wurden beide Fahrzeuge wieder mit einem Gewinn von 1.500 â&#x201A;Ź verkauft. Herr Abt hatte somit Gesamteinnahmen von: 18.000 â&#x201A;Ź + 1.500 â&#x201A;Ź = 19.500 â&#x201A;Ź.

0,3y = 2.400 ~: 0,3

Âˇ rÂł Âˇ S) und

Â : 43 Â : 3,14

Aufgabengruppe II

x + y = 18.000 ~ y

( I ): x = 18.000 y

x = 18000 y in ( II ):

Âˇ r2Âł Âˇ 3,14

4 3

Â&#x203A; r2 = 3 3375 cmÂł = 15 cm

GekĂźrzt und r2 = 15 cm eingesetzt fĂźhrt zu:

8. Festlegen der Variablen:

14.130 cmÂł =

4 3

Berechnung des Radius r1 der kleineren Kugel Die OberflĂ¤che der grĂśĂ&#x;eren Kugel O2 verhĂ¤lt sich zur OberflĂ¤che der kleineren Kugel O1 O 2 16 wie 16 : 9, d.h.: O2 : O1 = 16 : 9 bzw. . O1 9 Ersetzt man O2 und O1 durch die OberflĂ¤chenformel, ergibt sich folgende Gleichung: O 2 4 Â&#x2DC; r2 2 Â&#x2DC; S 16 . O1 4 Â&#x2DC; r12 Â&#x2DC; S 9

-1

Â&#x203A;

10.

Â&#x2DC;

Da aber weder der Winkel J noch die LĂ¤nge von [FC] bekannt sind, muss man beide GrĂśĂ&#x;en mit Hilfe des Dreiecks EFC berechnen:

Â&#x153;

p = â&#x20AC;&#x201C;1 ; q = â&#x20AC;&#x201C;2 in LĂśsungsformel: 2

Berechnung der LĂ¤nge von [FC] Im Dreieck EFC entspricht [FC] der Hypotenuse. Da beide Katheten CE = 4 cm und EF = 3 cm gegeben sind, kann der Satz des Pythagoras angewendet werden:

Funktionsgleichung der Normalparabel p2: y = xÂ˛ + 1.

y = xÂ˛ + 1 = (x 0)Â˛ + 1 = (x 0N )Â˛ N1

Die Breite BC des Rechtecks kann im rechtwinkligen Dreieck CFB aus dem Winkel J (siehe nebenstehende Skizze) und der StreckenlĂ¤nge FC mit dem Kosinus bestimmt werden.

c) Die Funktionsgleichung der nach unten geĂśffneten Normalparabel lautet: y = xÂ˛ + px + q. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte A ( 2/ 3) und B (1/0) in die obige Gleichung ein und lĂśst das entstehende Gleichungssystem: A ( 2/ 3) in y = xÂ˛ + px + q: 3 = ( 2)Â˛ + p Âˇ ( 2) + q Â&#x153; 3 = 4 2p + q ~+4 Â&#x153; 1 = 2p + q ( I )

4 cm Jâ&#x20AC;&#x2122;

~ 17.100

Â&#x153;

Â&#x;

Â&#x153;

Gleichung von g1 : y

3 = â&#x20AC;&#x201C;5 + n1 Â + 5 2,5x 8 .

Â&#x153;

n1 = 8

AbschlussprĂźfung 2009

B71

b) Die Gerade g2 soll durch den Punkt C (3/0,5) verlaufen. Da sie auĂ&#x;erdem auf g1 senkrecht steht, hat das Produkt der Steigungen beider Geraden den Wert â&#x20AC;&#x201C;1. FĂźr die Steigungen der beiden Geraden g2 und g1 muss demnach gelten: m2 Âˇ m1 = 1 (da g2 A g1). Setzt man die Steigung von g1 (m1 = â&#x20AC;&#x201C;2,5) ein, ergibt sich die Steigung von g2: m2 Âˇ (â&#x20AC;&#x201C;2,5) = 1

Â&#x153;

Â :(â&#x20AC;&#x201C;2,5)

Zur Bestimmung des y-Achsenabschnittes n2 mĂźssen nun noch die Koordinaten des Geradenpunktes C (3/0,5) eingesetzt werden: Â&#x153;

0,5 = 0,4 Âˇ 3 + n2

Â&#x;

Gleichung von g 2 : y

Â&#x153;

Â â&#x20AC;&#x201C;1,2

0,5 = 1,2 + n2

n2 = 0,7

Die Geraden g1 und g2 kĂśnnen anhand der Geradenpunkte B, C, P und mit Hilfe des rechten Winkels eingezeichnet werden.

Die Gerade g3 hat die Gleichung y = â&#x20AC;&#x201C;2, d.h.: y = 0x â&#x20AC;&#x201C; 2.

6 5 4

Â&#x203A;

P(2/3)

3 2

C(3/0,5) -5

-4

-3

-2

-1

-1 A(-3,25/-2)

5 x

KĂźrzen: (3x + 2)Âˇ(3x + 1) + 14Âˇ2 = 6Âˇ2Âˇ(3x + 1) Â&#x153;

9xÂ˛ + 3x + 6x + 2 + 28 = 36x + 12

Zusammenfassen:

9xÂ˛ + 9x + 30 = 36x + 12 ~ 36x 12

Â&#x; Schnittpunkt A ( 3,25/ 2)

Â&#x2DC; c Â&#x2DC; h c aus der StreckenlĂ¤nge c = AB und der HĂśhe hc errechnen: Â&#x2DC; AB Â&#x2DC; h c

Die StreckenlĂ¤nge AB entspricht dabei dem Unterschied der x-Koordinaten der Punkte A und B; die DreieckshĂśhe hc entspricht dem Unterschied der y-Koordinaten der Punkte C und B (siehe hierzu Koordinatensystem Aufgabe 1.c)): AB = xB xA = 4 (â&#x20AC;&#x201C;3,25) = 7,25 Â&#x161; 7,25 cm hc = yC â&#x20AC;&#x201C; yB = 0,5 (â&#x20AC;&#x201C;2) = 2,5 Â&#x161; 2,5 cm

Â&#x;

AABC =

1 2

Â&#x2DC; 7, 25 cm Â&#x2DC; 2,5 cm = 9,0625 cmÂ˛ x 9 cmÂ˛

Â°: 9

xÂ˛ 3x + 2 = 0

9xÂ˛ 27x + 18 = 0

Â&#x;

p = 3 ; q = 2 in LĂśsungsformel:

x1/2 = 3 r Â§Â¨ 3 ÂˇÂ¸ 2 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x;

Â&#x153;

1,5 r 2, 25 2

x1 = 2 Â? ID und x2 = 1 Â&#x2039; ID

1,5 r 0,5

Â&#x; IL = {1; 2}

Anfangswert W0 = 250.000 â&#x201A;Ź +5% n=1

2003

+5% n=2

2004

+5% n=3

2005

+5% n=4

berechnet werden: Endwert W6

2006

+5% n=5

2007

+5% n=6

2008

Bezogen auf das Kalenderjahr 2002 gilt: n Anzahl der Jahre (2002 o 2008) = 6 W0 Umsatz am Beginn des Wachstumsvorganges (2002) = 250.000 â&#x201A;Ź Wn Umsatz am Ende der Umsatzsteigerung (2008) = W6 p Prozentsatz = 5

5 Umsatz fĂźr das Jahr 2008: W6 = 250.000 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

x 335.023,91 â&#x201A;Ź

b) Herr Kastner hĂ¤tte den Umsatz â&#x20AC;&#x201C; bezogen auf den Umsatz in 2002 â&#x20AC;&#x201C; in sechs Jahren gerne verdoppelt, was fĂźr den Endwert bedeutet: W6 = 2 Âˇ 250.000 â&#x201A;Ź = 500.000 â&#x201A;Ź Das durchschnittliche prozentuale Wachstum p in dieser Zeit erhĂ¤lt man durch Einsetzen der Umsatzzahlen und durch anschlieĂ&#x;endes Umformen der Wachstumsformel. n Anzahl der Jahre (2002 o 2008) = 6 W0 Umsatz im Jahr 2002 = 250.000 â&#x201A;Ź Wn GewĂźnschter Umsatz fĂźr das Jahr 2008 = W6 = 500.000 â&#x201A;Ź p Prozentsatz Eingesetzt:

2. Um die Masse mW des gesamten WerkstĂźcks berechnen zu kĂśnnen, muss erst dessen Gesamtvolumen VW bestimmt werden. Das Gesamtvolumen setzt sich aus dem Kegelvolumen VK = 201 cmÂł und dem Volumen VHK der Halbkugel zusammen, so dass gilt: VW = VK + VHK = 201 cmÂł + VHK Das Volumen der Halbkugel (VHK =

1 2

3 Â&#x2DC; 43 Â&#x2DC; rHK Â&#x2DC; S ) ergibt sich aus deren Radius rHK.

Da die GrundflĂ¤che des Kegels und die Halbkugel gleichen Radius haben, kann der Halbkugelradius indirekt Ăźber das Kegelvolumen bestimmt werden. Ermittlung der Kegel-/Halbkugelradien Einsetzen des Kegelvolumens (VK = 201 cmÂł) und der KegelhĂśhe (hK = 12 cm) in die Volumenformel (VK = 13 Â&#x2DC; rK2 Â&#x2DC; S Â&#x2DC; h K ) und anschlieĂ&#x;endes Umformen der Gleichung:

201 cmÂł = 1 Â&#x2DC; rK2 Â&#x2DC; 3,14 Â&#x2DC; (12 cm) 3 rK2

Â&#x153;

e) Den FlĂ¤cheninhalt AABC des rechtwinkligen Dreiecks ABC kann man mit der FlĂ¤chenfor1 2

Â&#x153;

Ausmultiplizieren:

kann deshalb mit Hilfe der Wachstumsformel Wn = W0 Âˇ 1 + 100

d) Man bestimmt den x-Wert des Schnittpunktes A durch Gleichsetzen der Funktionsterme der sich schneidenden Geraden g2 und g3: Â&#x153; x = 3,25 0,4x â&#x20AC;&#x201C; 0,7 = 2 ~+ 0,7 Â&#x153; 0,4x = 1,3 ~: 0,4

Â&#x203A; AABC =

3x 2 + 14 = 6 2 3x 1 Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: 2Âˇ(3x + 1) Â&#x; 3x 2 Âˇ2Âˇ(3x + 1) + 14 Âˇ2Âˇ(3x + 1) = 6 Âˇ2Âˇ(3x + 1) Â&#x153; 2 3x 1

2002

mel A =

Â&#x153;

3x = â&#x20AC;&#x201C;1 Â : 3

x LĂśsungsmenge:

HINWEIS: Das Koordinatensystem enthĂ¤lt bereits Elemente der Teilaufgaben d) und e).

1 2

Â&#x2DC;

a) Im Jahr 2002 machte Herr Kastner einen Umsatz von 250.000 â&#x201A;Ź. In den folgenden Jahren steigerte er diesen Umsatz um jĂ¤hrlich durchschnittlich 5%. Der Umsatz im Jahr 2008

-3

Da A auf g3 liegt, gilt fĂźr seinen y-Wert: y = â&#x20AC;&#x201C;2

3x + 1 = 0 Â â&#x20AC;&#x201C; 1

B(4/-2) g3

-2

m3 = 0 n3 = â&#x20AC;&#x201C;2.

Die Gerade g3 verlĂ¤uft demnach parallel zur x-Achse durch den Punkt (0/â&#x20AC;&#x201C;2).

Nenner: 3x + 1 Â&#x;

^ `

Â&#x; Definitionsbereich ID = \ \ 13

0, 4x 0,7 .

y 9

Masse mW = U Âˇ VW = 0,7 cm Âł Âˇ 335 cmÂł = 234,5 g | 235 g

Â&#x;

m2 = 0,4

Die Funktionsgleichung von g2 lautet demnach bis jetzt: y = 0,4x + n2.

Â&#x;

Berechnung der WerkstĂźckmasse Um die Masse zu erhalten, muss man die Stoffdichte des Buchenholzes mit dem Volumen des WerkstĂźcks multiplizieren. Es gilt die Dichte-Formel: Masse m = Dichte U Âˇ Volumen V

x 16,0 cmÂ˛

Â&#x2DC;

201 cmÂł = 12,56 cm Â&#x2DC; rK2 Â :12,56 cm

Â&#x203A; rK = 16,0 cmÂ˛ = 4 cm

Â&#x203A; rHK = 4 cm

Ermittlung des Halbkugelvolumens

VHK =

1 2

Â&#x2DC;

4 3

3 Â&#x2DC; rHK

Â&#x2DC;S =

1 2

4 3

Â&#x2DC; Â&#x2DC; (4 cm) Â&#x2DC; 3,14 x 133,973 cmÂł x 134 cmÂł

Gesamtvolumen des WerkstĂźcks

VW = 201 cmÂł + VHK = 201 cmÂł + 134 cmÂł = 335 cmÂł

Â&#x2DC;

~: 250.000 â&#x201A;Ź

Â&#x153;

500.000 â&#x201A;Ź = 250.000 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

Â&#x153;

Â&#x;

durchschnittliche jĂ¤hrliche Umsatzsteigerung p% = 12,2462 % | 12 %

~â&#x20AC;&#x201C;1

1 100

Â&#x153;

2 1

p 100

Â&#x153;

p 100

2 = 1 100

Â&#x;

= 0,122462 ~Âˇ100

c) Der Umsatz soll in einem Zeitraum gleichbleibender prozentualer Steigerung auf 1.000.000 â&#x201A;Ź erhĂśht werden. Um die entsprechende Anzahl n an Jahren zu erhalten, werden ausgehend vom Umsatz in 2002 folgende Werte in die Wachstumsformel eingesetzt: n W0 Wn p

Anzahl der Jahre (ab 2002) Umsatz im Jahr 2002 = 250.000 â&#x201A;Ź Umsatz nach n Jahren = 1.000.000 â&#x201A;Ź Prozentsatz = 8

Eingesetzt:

8 1.000.000 â&#x201A;Ź = 250.000 â&#x201A;Ź Âˇ 1+ 100

AuflĂśsen der Gleichung nach n: Â&#x153;

4 = 1,08

Â&#x153;

1.000.000 â&#x201A;Ź = 250.000 â&#x201A;Ź Âˇ 1,08n

1,08 = 4

Â&#x153; Logarithmieren: n = log1,084 =

lg 4 | 18,013 | 18 (Jahre) lg1,08

~: 250.000 â&#x201A;Ź

AbschlussprĂźfung 2009

B72 Aussage (5):

5. Festlegen der Variablen:

Preis einer Kaisersemmel: Preis einer Laugenbreze:

FĂźr den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck APQ gilt: AQ . cos D = Ankathete = Hypotenuse AP

x â&#x201A;Ź y â&#x201A;Ź

Da die Vollkornstange doppelt so teuer ist wie eine Kaisersemmel, gilt auĂ&#x;erdem: Preis einer Vollkornstange: 2x â&#x201A;Ź

PQ AQ

Die gegebene Gleichung cos D =

Eine Laugenbreze und eine Kaisersemmel kosten zusammen 80 Cent bzw. 0,80 â&#x201A;Ź. Daraus ergibt sich die erste Bestimmungsgleichung wie folgt:

Gegenkathete PQ und statt der Hypo-

Max kauft insgesamt 6 Kaisersemmeln, 3 Laugenbrezen und 8 Vollkornstangen. Er bezahlt fĂźr alles 8,10 â&#x201A;Ź. Die zweite Bestimmungsgleichung lautet demnach:

Aussage (5) ist also falsch.

Â&#x2DC;

17,6 â&#x20AC;&#x201C; 22y + 3y = 8,10

Â&#x2DC;

â&#x20AC;&#x201C;19y = â&#x20AC;&#x201C;9,50 Â°:(â&#x20AC;&#x201C;19)

y = 0,50 in Gleichung (I):

6x + 3y + 16x = 8,10

Â&#x203A;

(II): 22x + 3y = 8,10 Aussage (6):

FĂźr den Sinus im rechtwinkligen Dreieck APC gilt: Gegenkathete sin D = = CP . Hypotenuse AC

Â&#x2DC; 17,6 â&#x20AC;&#x201C; 19y = 8,10 Â°â&#x20AC;&#x201C; 17,6 Â&#x2DC;

tenuse AP die Ankathete AQ .

Â&#x203A; 22Âˇ(0,80 â&#x20AC;&#x201C; y) + 3y = 8,10

x = 0,80 â&#x20AC;&#x201C; y in Gleichung (II):

enthĂ¤lt jedoch statt der Ankathete AQ die

y + x = 0,80 Â°â&#x20AC;&#x201C; y Â&#x203A; (I): x = 0,80 â&#x20AC;&#x201C; y

6 Âˇ x + 3 Âˇ y + 8 Âˇ 2x = 8,10

y = 0,50

Â&#x203A; x = 0,80 â&#x20AC;&#x201C; 0,50 = 0,30

Aussage (6) ist somit richtig.

Die Backwaren kosten Kaisersemmel: 0,30 â&#x201A;Ź Laugenbreze: 0,50 â&#x201A;Ź Vollkornstange: 2 Âˇ 0,30 â&#x201A;Ź = 0,60 â&#x201A;Ź

HINWEIS: In den folgenden Hilfsskizzen sind die in der jeweiligen Aussage angegebenen Strecken fett hervorgehoben.

a) Die Funktionsgleichung von p1 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten von S1 kĂśnnen dann der Gleichung entnommen werden:

Aussage (1):

Die erste Gleichung entspricht von der Form her einem Strahlensatz: AB : PQ BP : BC bzw. AB BP PQ BC Alle StrahlensĂ¤tze (siehe hierzu auch Formelsammlung) enthalten jedoch zwei Strecken, deren Anfangspunkt das Streckungszentrum Z ist. Im abgebildeten Dreieck wĂ¤re dies der Punkt A. Ein richtiger Strahlensatz wĂźrde z.B. lauten: AP AB PQ BC

C Q

y = xÂ˛ + 2x 3 = xÂ˛ + 2x + 1Â˛ 1Â˛ â&#x20AC;&#x201C; 3 = (x + 1)Â˛ 1 â&#x20AC;&#x201C; 3 = (x + 1)Â˛ 4 Â&#x;

b) Zur Bestimmung der Schnittpunkte von Parabel und x-Achse (Nullstellen) wird die Funktionsgleichung von p1 mit Null gleichgesetzt: y = 0 Â&#x;

xÂ˛ + 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = 0 mit p = 2 ; q = â&#x20AC;&#x201C;3 in LĂśsungsformel: 2

x1/2

Da das Zentrum A nur einmal enthalten ist, muss Aussage (1) falsch sein.

Â&#x;

Aussage (2):

Die zweite Gleichung hat wieder die Form eines Strahlensatzes: AQ AC AQ : PQ AC : BC bzw. PQ BC Ausgehend vom Streckungszentrum A wird das Dreieck APQ auf das Dreieck ABC abgebildet. Die StreckenverhĂ¤ltnisse der Urstrecken AQ und PQ sind deshalb genauso groĂ&#x; wie die StreckenverhĂ¤ltnisse der Bildstrecken AC und BC .

Scheitel S1 ( 1/â&#x20AC;&#x201C;4)

2 r Â§Â¨ 2 ÂˇÂ¸ ( 3) ÂŠ 2 Âš 2

x1 = 1 und x2 = 3

Â&#x;

1 r 1 3

N1 (1/0) und N2 ( 3/0).

c) Man setzt zunĂ¤chst die Koordinaten des Scheitelpunktes S2 (1/6) in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach unten geĂśffneten Normalparabel y = â&#x20AC;&#x201C;(x xS)Â˛ + yS ein. Durch weiteres Umformen wird dann die Normalform ermittelt:

C Q

Â&#x; y = â&#x20AC;&#x201C;(x 1)Â˛ + 6 = â&#x20AC;&#x201C;(xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2ÂˇxÂˇ1+ 1Â˛) + 6 = â&#x20AC;&#x201C;(xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2x + 1) + 6 = â&#x20AC;&#x201C;xÂ˛ + 2x â&#x20AC;&#x201C; 1 + 6 D

= â&#x20AC;&#x201C;xÂ˛ + 2x + 5 Â&#x;

Normalform der Funktionsgleichung von p2: y = â&#x20AC;&#x201C;xÂ˛ + 2x + 5.

d) Bestimmung der Koordinaten von T1 und T2 durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2:

Aussage (2) ist demnach richtig.

xÂ˛ + 2x â&#x20AC;&#x201C; 3 = xÂ˛ + 2x + 5 ~+ xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2x â&#x20AC;&#x201C; 5

Aussage (3):

Die in der dritten Gleichung angegebenen Strecken sind in der nebenstehenden Zeichnung hervorgehoben. Aussage 3 bezieht sich auf einen der KathetensĂ¤tze: â&#x20AC;&#x17E;In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat Ăźber einer Kathete flĂ¤cheninhaltsgleich dem Rechteck, das aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt gebildet wird.â&#x20AC;&#x153; Â&#x203A; aÂ˛ = c Âˇ p bzw. bÂ˛ = c Âˇq

Â&#x2DC;

AB Â&#x2DC; BP

x1 = 2 in p1:

Â&#x153; 2xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 8 = 0 ~+ 8

Â&#x153; 2xÂ˛ = 8 ~: 2

x= r 4 =n2 Hier bitte beachten: es gibt zwei LĂśsungen fĂźr x, da sowohl 2Â˛ als auch (â&#x20AC;&#x201C;2)Â˛ den Wert 4 ergeben!

y1 = 2Â˛ + 2Âˇ 2 â&#x20AC;&#x201C; 3 = 5

x2 = 2 in p1: y2 = ( 2)Â˛ + 2Âˇ ( 2) â&#x20AC;&#x201C; 3 = â&#x20AC;&#x201C;3

Â&#x;

Schnittpunkt T1 (2/5)

Â&#x;

Schnittpunkt T2 ( 2/â&#x20AC;&#x201C;3)

P (7/60) in y = xÂ˛ + 2x â&#x20AC;&#x201C;3 einsetzen: 60 = 7Â˛ + 2 Âˇ 7 â&#x20AC;&#x201C; 3

Aussage (4):

60 = 49 + 14 â&#x20AC;&#x201C; 3 Â&#x2DC;

ecks ABC ist (sondern PC ), ist Aussage (4) falsch.

Â&#x153;

e) Um rechnerisch zu ĂźberprĂźfen, ob ein beliebiger Punkt auf einem Graphen liegt (hier Parabel p1), setzt man dessen Koordinaten in die Funktionsgleichung ein. Ergibt sich nach dem Vereinfachen der Gleichung eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf dem Graphen. ErhĂ¤lt man eine falsche Aussage, liegt der Punkt nicht auf dem Graphen.

Aussage (3) ist demnach richtig.

Der gegebenen Gleichung PQ AP Â&#x2DC; BP muss der HĂśhensatz (hÂ˛ = p Âˇ q) zu Grunde liegen, da die Strecken AP und BP in Kombination den beiden Hypotenusenabschnitten des rechtwinkligen Dreiecks ABC entsprechen. Weil aber PQ nicht die HĂśhe des Drei-

xÂ˛ = 4

Â&#x; x1 = 2 und x2 = 2

FĂźr das vorliegende Dreieck bedeutet dies: BC

1 r 2

Â&#x2DC; Â&#x203A; P liegt auf der Parabel p1.

f) Einzeichnen des Scheitels S1 ( 1/ 4) der nach oben geĂśffneten Normalparabel p1 und des Scheitels S2 (1/6) der nach unten geĂśffneten Normalparabel p2; beide Parabeln anschlieĂ&#x;end mittels Schablone vervollstĂ¤ndigen.

60 = 60 (w) Aussage ist wahr

In der Zeichnung sind ebenfalls die Nullstellen und die Parabelschnittpunkte gekennzeichnet.

AbschlussprĂźfung 2009

B73 9.

y 7 p1

Um die fehlerhafte Zeile herauszufinden, werden zunĂ¤chst die Gleichungen in der ersten Zeile mit Hilfe der Potenz- und Wurzelgesetze so lange umgeformt, bis man die Gleichungen in der zweiten Zeile erhĂ¤lt. Die berechnete und die vorgegebene Gleichung werden dann miteinander verglichen und im Falle einer Ă&#x153;bereinstimmung wird bis zur Zeile 3 weiter gerechnet usw.

S2(1/6)

6 5

T1(2/5)

Rechengesetze:

3 Zeile 1:

-5

-4

-3

-2

-1

N1(1/0) 1 2 3

8y Â&#x2DC; 3 y 2 2

II) 4y 9xÂ˛ 23

4xÂ˛

Â&#x153;

Umwandeln der Wurzeln in die Potenzschreibweise/ Wurzeln ziehen/Potenzen ausrechnen:

1 N2(-3/0)

2 3

5 x

8y 3 Â&#x2DC; y 3 2 2

II) 4y 3x 8

Â&#x153;

II) 4y 3x 8

Â&#x153;

II) 4y 3x 8

Â&#x153;

Gleichungen nach 4y auflĂśsen: I) 4y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 2 II) 4y = 25 + 8 â&#x20AC;&#x201C; 3x

Â&#x153;

-1

8y 3 2 2x 2 Bruch kĂźrzen: I) 4y 2 2x

-2

-3 p2

-4 S1(-1/-4) -5

Zeile 2:

Gleichungen I und II subtrahieren: I) 4y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 2 â&#x20AC;&#x201C; II) 4y = â&#x20AC;&#x201C;3x + 33 4y â&#x20AC;&#x201C; 4y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 2 â&#x20AC;&#x201C; (â&#x20AC;&#x201C;3x + 33) Â&#x2DC;

a) HINWEIS: In der Zeichnung wurden die Punkte E, F und G ergĂ¤nzt.

10Â°

Â°: tan 10Â°

x Âˇ tan 10Â° = 16 cm

Â&#x2DC;

Â°Âˇ x

x = 16 cm x 90,7 cm tan10q

G h

LĂ¤ngenmaĂ&#x;e in cm

29Â°

x = 90,7

10Â°

E 16

Eingesetzt:

Â&#x; Richtige LĂśsung des Gleichungssystems: x = 7 ; y = 3

tan 29Â° =

ED 90,7 cm

Â°Âˇ 90,7 cm

Â&#x2DC;

Um die fehlende Strecke ED zu erhalten, wird der Tangens im rechtwinkligen Dreieck ECD angesetzt: tan ÂžDCE = ED EC

Der GrĂźnstreifen besteht aus vier Rechtecken, von denen jeweils zwei gegenĂźberliegende gleich groĂ&#x; sind (siehe nachfolgende Hilfsskizze). LĂ¤ngenangaben in m

Da die Dreiecke GFD und ECD einander Ă¤hnlich sind (k ÂžGDF = ÂžEDC = G und ÂžFGD = ÂžCED = 90Â°), mĂźssen auch ÂžDFG und ÂžDCE Ăźbereinstimmen, d.h.:

AG = l Âˇ b = 49 m Âˇ 34 m = 1666 mÂ˛

Â&#x203A;

StreckenlĂ¤nge y =

Â&#x2DC;

12,3 cm x 22,2 cm tan 29q

tan 29Â° Âˇ y = 12,3 cm

Â°: tan 29Â°

FlĂ¤cheninhalt AGS des GrĂźnstreifens Der FlĂ¤cheninhalt AGS des Randes soll 40% des FlĂ¤cheninhalts des GrundstĂźcks betragen,

d.h.: AGS = 40 % Âˇ AG =

40 100

Âˇ 1666 mÂ˛ = 666,40 mÂ˛

FlĂ¤cheninhalt der rechteckigen TeilflĂ¤chen Da die vier RechteckflĂ¤chen A1, A2, A3 sowie A4 an jeder Stelle die gleiche Breite x haben, ergeben sich deren FlĂ¤cheninhalte wie folgt:

ÂžDFG = ÂžDCE = 29Â°

Â°Âˇ y

Die Breite x des GrĂźnstreifens entspricht der Breite der vier Rechtecke. Man ermittelt x aus dem FlĂ¤cheninhalt aller Rechtecke, da bekannt ist, dass deren GesamtflĂ¤che 40 Prozent der GrundstĂźcksflĂ¤che betrĂ¤gt. FlĂ¤cheninhalt AG des GrundstĂźcks

Die LĂ¤nge der Strecke y kann man im rechtwinkligen Dreieck GFD mit dem Tangens von ÂžDFG bestimmen: tan ÂžDFG = DG = DG wobei: DG = h â&#x20AC;&#x201C; AE â&#x20AC;&#x201C; EG y GF = 66,3 cm â&#x20AC;&#x201C; 16 cm â&#x20AC;&#x201C; 38 cm = 12,3 cm .

x 49 m

Eingesetzt:

Schwimmbecken

ED = tan 29Â° Âˇ 90,7 cm x 50,3 cm

StreckenlĂ¤nge h = 16 cm + 50,3 cm = 66,3 cm

12,3 cm tan 29Â° = y

x = Breite des GrĂźnstreifens

In der Mitte eines rechteckigen GrundstĂźcks (LĂ¤nge 49 m; Breite 34m) befindet sich ein ebenfalls rechteckiges Schwimmbecken. Um das Schwimmbecken herum befindet sich ein Ăźberall gleich breiter GrĂźnstreifen.

Â&#x203A;

Die LĂ¤nge der Strecke h = AD ergibt sich aus den Strecken AE und ED : h = AE + ED = 16 cm + ED

ÂžDFG = 29Â°

Â&#x2DC; 4y = 12 Â : 4 Â&#x; y = 3

Â&#x203A; 4y = 2 Âˇ 7 â&#x20AC;&#x201C; 2

Um sich die geometrischen VerhĂ¤ltnisse besser vorstellen zu kĂśnnen, sollte zuerst eine Hilfsskizze angefertigt werden:

x = 7 in Gleichung I) 4y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 2:

5x = 35 Â : 5 Â&#x; x = 7

10. tan 10Â° = 16 cm x

Da EA = CB = 16 cm und ÂžECA = 10Â° sind, gilt somit: Â&#x2DC;

tan ÂžECA = EA EC

0 = 5x â&#x20AC;&#x201C; 35 Â + 35 Â&#x153;

Weiterrechnen ab Zeile 3:

â&#x20AC;&#x201C; x v 5x

34 m

Â&#x203A; 0 = 5x â&#x20AC;&#x201C; 35 Â&#x; vorgegebene Zeile 3 ist falsch

29Â°

Zeile 3:

Beim AuflĂśsen von Minusklammern Rechenzeichen umdrehen!

Â&#x2DC;

Die LĂ¤nge der Strecke x = EC kann im rechtwinkligen Dreieck ACE mit dem Tangens von ÂžECA und der StreckenlĂ¤nge EA berechnet werden:

0 = 2x â&#x20AC;&#x201C; 2 + 3x â&#x20AC;&#x201C; 33

LĂ¤ngenmaĂ&#x;e in cm

Â&#x153;

I) 4y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 2 II) 4y = â&#x20AC;&#x201C;3x + 33 Â&#x; vorgegebene Zeile 2 ist richtig

34 â&#x20AC;&#x201C; 2x

T2(-2/-3)

a m n

am Â&#x2DC; an

Â&#x2DC;

A1 = A3 = LĂ¤nge Âˇ Breite = (34 â&#x20AC;&#x201C; 2x) Âˇ x = 34x â&#x20AC;&#x201C; 2xÂ˛ A2 = A4 = LĂ¤nge Âˇ Breite = 49 Âˇ x = 49x

(LĂ¤ngen in m /alle FlĂ¤chen in mÂ˛)

Breite x des GrĂźnstreifens Die FlĂ¤che AGS des GrĂźnstreifens entspricht der Summe aller vier RechteckflĂ¤chen, d.h.:

AGS = A1 + A2 + A3 + A4 = 2 Âˇ A1 + 2 Âˇ A3 = 666,40

AbschlussprĂźfung 2010

B74

Â&#x;

2 Âˇ (34x â&#x20AC;&#x201C; 2xÂ˛) + 2 Âˇ 49x = 666,40

c) Es ist der Zeitraum gesucht, in dem eine Darlehensschuld ohne Tilgung vom Anfangswert K0 = 40.000 â&#x201A;Ź auf den Endwert Kn = 100.000 â&#x201A;Ź anwĂ¤chst (mit p% = 7,9 %). Die Anzahl n

Â&#x153;

68x â&#x20AC;&#x201C; 4xÂ˛ + 98x = 666,40

der Jahre ergibt sich durch Einsetzen in die Zinseszinsformel Kn = K0 Âˇ 1

Â&#x153;

166x â&#x20AC;&#x201C; 4xÂ˛ = 666,40 Â â&#x20AC;&#x201C; 666,40

AuflĂśsen muss der Logarithmus angewendet werden:

Â&#x153;

â&#x20AC;&#x201C;4xÂ˛ + 166x â&#x20AC;&#x201C; 666,40 = 0 Â :(â&#x20AC;&#x201C;4)

Â&#x153;

xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 41,5x + 166,6 = 0

Eingesetzt:

x1/ 2

Â&#x; Â&#x;

Â&#x;

Anfangswert K0 = 40.000 â&#x201A;Ź

41,5 41,5 Âˇ r Â§Â¨ Â¸ 166,6 2 ÂŠ 2 Âš

20,75 r 263,9625

20,75 r 16, 2469

x1 = 36,9969 | 37,00 (nicht sinnvoll, da grĂśĂ&#x;er als GrundstĂźcksbreite!) x2 = 4,5031 x 4,50

. Beim

Endwert Kn = 100.000 â&#x201A;Ź

Zinssatz 7,9 % n (Jahre)

p = â&#x20AC;&#x201C;41,5 ; q = 166,6 in LĂśsungsformel:

p 100

7,9 n 100

~: 40.000 â&#x201A;Ź

7,9 2,5 = 1 100

Â&#x153;

Â&#x;

100.000 â&#x201A;Ź = 40.000 â&#x201A;Ź Âˇ 1

Â&#x153;

2,5 = 1,079n Â&#x153; Logarithmieren: n = log1,0792,5 =

lg 2,5 x 12,05 lg1,079

Â&#x; Anzahl der Jahre n | 12

Breite des GrĂźnstreifens: x = 4,50 m.

2. a) Die LĂ¤nge der Hypotenuse AB entspricht der Summe der Hypotenusenabschnitte: AB = AD + DB = q + p

(siehe Hilfsskizze) Da es sich beim vorliegenden Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, von dem die HĂśhe hc = 10 cm und das VerhĂ¤ltnis der Hypotenusenabschnitte q = AD und p = DB gegeben sind, kann der HĂśhensatz hÂ˛ = p Âˇ q angewendet werden.

Hilfsskizze:

b hc = 10 cm D

Wenn das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Strecken AD : DB = q : p = 4 : 1 betrĂ¤gt, bedeutet dies, dass der Hypotenusenabschnitt q viermal so lang ist ist wie p, also ist: q = 4 Âˇ p. Einsetzen von h = hc = 10 cm und q = 4 Âˇ p in den HĂśhensatz ergibt somit: Â&#x2DC; 100 cmÂ˛ = 4pÂ˛ ~: 4

(10 cm)Â˛ = p Âˇ 4 Âˇ p

Â&#x;

Aufgabengruppe I

a) Den Zinssatz p, bei dem sich ein Kapital durch Zinseszins in einem Zeitraum von 21

Jahren verdreifacht, erhĂ¤lt man aus der Zinseszinsformel Kn = K0 Âˇ 1

p 100

K0 und Kn entsprechen dem Anfangs- bzw. Endkapital im betrachteten Zeitraum. Da sich das beliebig groĂ&#x;e Anfangskapital K0 verdreifachen soll, muss fĂźr das Endkapital Kn gelten: Kn = 3 Âˇ K0 Anfangskapital K0

Endkapital Kn = 3 Âˇ K0

Zinssatz p % n = 21 (Jahre)

Anzahl der Jahre = 21 Anfangskapital Endkapital = 3 Âˇ K 0 Zinssatz

Â&#x153;

Â&#x;

Zinssatz p = 5,4

~ 1

3 = 1 100

~ : K0 Â&#x153;

Â&#x;

Â&#x153; 21

3 = 1 100

3 1=

p 100

Â&#x153;

21 p 100

Zinssatz 7,25%

Eingesetzt in die Zinseszinsformel (siehe Aufgabe 1.a):

(10 cm) 2 (5 cm) 2

Â&#x;

125 cmÂ˛

125 cmÂ˛ | 11, 2 cm

tan D = CD AD

10 cm 20 cm

Â&#x; Winkel D | 26,6Â°

0,5

7,25 3 = 100

70.000 â&#x201A;Ź Âˇ 1,07253 | 86.355,49 â&#x201A;Ź

Note

Anzahl

teilnehmende SchĂźler: 24 Notendurchschnitt: 3,75

~ 21

n = 3 (Jahre)

CD DB

Um angeben zu kĂśnnen, welche beiden vorgegebenen Gleichungen richtig sind, stellt man am einfachsten ein Gleichungssystem zur Bestimmung des Notendurchschnittes selbst auf. Dieses wird dann umgeformt bzw. vereinfacht und mit den angegebenen MĂśglichkeiten a) bis f) verglichen.

| 0,054 ~Âˇ100

Insgesamt nehmen 24 SchĂźler an der Probearbeit teil, d.h. die Anzahl aller vergebenen Noten muss 24 betragen: Â&#x;

Anfangswert K0 = 70.000 â&#x201A;Ź

K3 = 70.000 Âˇ 1

geg.: Notenverteilung:

b) Die Darlehensschuld hat einen Anfangswert K0 = 70.000 â&#x201A;Ź und erhĂśht sich â&#x20AC;&#x201C; wenn nicht getilgt wird â&#x20AC;&#x201C; durch Zins und Zinseszins innerhalb von n = 3 Jahren auf den Endwert K3. Es soll ein fester Zinssatz von p% = 7,25% zu Grunde liegen.

Â&#x203A;

Hypotenuse AB = q + p = 20 cm + 5 cm = 25 cm

b) Berechnung des Winkels D im rechtwinkligen Teildreieck ADC (siehe Zeichnung Aufgabe 2.a) aus dessen Ankathete AD = q = 20 cm und der Gegenkathete CD = hc = 10 cm mit dem Tangens:

Eingesetzt: 3 Âˇ K 0 = K0 Âˇ 1 100

Â&#x2DC;

Eingesetzt:

Â&#x;

25 cmÂ˛ = pÂ˛

Die Kathete BC des Dreiecks ABC entspricht der Hypotenuse im Teildreieck CDB (siehe Skizze). Man bestimmt deshalb die Seite BC im rechtwinkligen Dreieck CDB aus dessen beiden Katheten CD = hc = 10 cm und DB = p = 5 cm mit dem Satz des Pythagoras:

2.2.6 AbschlussprĂźfung 2010

n K0 Kn p

Â&#x2DC;

Â&#x; q = 4 Âˇ p = 4 Âˇ 5 cm = 20 cm

p = 25 cmÂ˛ = 5 cm

Endwert K3

Bestimmungsgleichung (I): 1 + x + 6 + 7 + y + 2 = 24

Â&#x2DC; x + y + 16 = 24 ~ 16

Â&#x2DC;

x+y=8

Â&#x;

LĂśsung e) ist richtig.

Um den Notendurchschnitt einer Probearbeit zu erhalten, muss zunĂ¤chst jede Note mit der jeweiligen Anzahl multipliziert werden (siehe Notenverteilung). Teilt man die Summe dieser sechs Produkte durch die Anzahl der teilnehmenden SchĂźler, ergibt sich der Notendurchschnitt: Â&#x;

Bestimmungsgleichung (II): (1Âˇ1 + 2Âˇx + 3Âˇ6 + 4Âˇ7 + 5Âˇy + 6Âˇ2) : 24 = 3,75

Â&#x2DC;

(1 + 2x + 18 + 28 + 5y + 12) : 24 = 3,75 Â&#x2DC;

Â&#x2DC;

2x + 5y + 59 = 3,75 Âˇ 24

bzw.

2x + 5y + 59 = 24 Âˇ 3,75

Â&#x; LĂśsung d) ist richtig.

(2x + 5y + 59) : 24 = 3,75 ~Âˇ 24

AbschlussprĂźfung 2010

B75

a) Drei Punkte liegen dann auf einer Gerade, wenn der dritte Punkt auf der Gerade liegt, die durch die anderen beiden Punkte verlĂ¤uft:

Zwei aufeinanderfolgende natĂźrliche Zahlen unterscheiden sich um den Wert 1, d.h. die nachfolgende Zahl ist um 1 grĂśĂ&#x;er als ihr VorgĂ¤nger (z.B. 10 und 11). FĂźr ein Zahlenpaar gilt also:

Gerade durch P1 und P2

P1 P3

Es wird beispielsweise die Geradengleichung gAB durch die Punkte A und B bestimmt. AnschlieĂ&#x;end wird rechnerisch ĂźberprĂźft, ob der dritte Punkt C auf gAB liegt (auch mĂśglich: gAC und Punkt B bzw. gBC und Punkt A). Bestimmung von gAB: Einsetzen der Koordinaten von A (4/6,5) und B ( 4/0,5) in die Formel zur Berechnung des Steigungsfaktors m: y yB 6,5 0,5 6 3 = = = mAB = A xA xB 8 4 4 ( 4)

beliebige natĂźrliche Zahl: x / nachfolgende natĂźrliche Zahl: x + 1 Aufstellen der Bestimmungsgleichung: Multiplikation zweier aufeinanderfolgender Zahlen

x Âˇ (x + 1)

Differenz aus dem Neunfachen der gĂśĂ&#x;eren Zahl und dem Zweifachen der kleineren Zahl

9Âˇ(x + 1) 2x

Das Produkt der beiden aufeinanderfolgenden Zahlen soll um 14 kleiner sein als die Differenz aus dem Neunfachen der grĂśĂ&#x;eren Zahl und dem Zweifachen der kleineren Zahl. Um eine ausgeglichene Gleichung zu erhalten, muss demnach von der Differenz noch 14 abgezogen werden, d.h.: x Âˇ (x + 1) = 9Âˇ(x + 1) 2x 14

Â&#x2DC;

xÂ˛ + x = 7x 5

Â&#x2DC;

ÂŞ 7x + 5

xÂ˛ 6x + 5 = 0

Die Geradengleichung von gAB lautet bis jetzt: y = 34 x + n. Bestimmung des y-Achsenabschnittes n durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes B ( 4/0,5) in y = 34 x + n: 0,5 = 34 Âˇ ( 4) + n Â&#x153; 0,5 = 3 + n ~+ 3 Â&#x153; n = 3,5

Â&#x;

p = 6 ; q = 5 in LĂśsungsformel:

Â&#x;

x1 = 5 x2 = 1

vollstĂ¤ndige Gleichung von g AB : y

3 4

x 3,5

Man setzt die Koordinaten des Punktes C (6/8) in die Funktionsgleichung von gAB ein. Ergibt die entstehende Gleichung eine mathematisch wahre Aussage (w), liegt C auf der Gerade. ErhĂ¤lt man eine falsche Aussage (f), liegt C nicht auf gAB. C (6/8) in y = Â&#x;

+ 3,5:

3Âˇ 4

Â&#x2DC;

6 + 3,5

8 = 4,5 + 3,5

Â&#x2DC;

8 = 8 (w)

C liegt auf gAB Â&#x; A, B und C liegen auf einer Geraden.

b) Man bestimmt zunĂ¤chst den x-Wert des Schnittpunktes S durch Einsetzen des Funktionstermes der Geraden g2 in die Funktionsgleichung von g1: 3x + 15y 81 = 0 (Einsetzverfahren). y = 34 x + 3,5 in g1:

3x + 15Âˇ( 43 x 3,5 ) 81 = 0

Â&#x153;

3x + 11,25x + 52,5 81 = 0

Â&#x153;

14,25x = 28,5 ÂŞ :14,25

14,25x 28,5 = 0 ÂŞ + 28,5

Â&#x2DC;

Â&#x153;

x=2 Â&#x;

Einsetzen von x = 2 in g2: y = 34 Âˇ 2 + 3,5 = 5

Schnittpunkt D (2/5)

c) Die Ermittlung der Steigung m3 der Gerade g3 erfolgt aufgrund der Tatsache, dass das Produkt der Steigungen von zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1 ergibt: m3 Âˇ m2 = 1 (wenn g3 A g2) Da die Gerade g3 auf der Geraden g2 (m2 = 34 ) senkrecht stehen soll, gilt fĂźr deren Steigungen:

m3 Âˇ

3 4

= 1 Â :

Â&#x153;

3 4

m3 = 43

Die Funktionsgleichung von g3 lautet demnach bis jetzt: y = 43 x + n3. Zur Bestimmung von n3 werden noch die Koordinaten des Punktes E (3/1), durch den g3 Â&#x;

verlaufen soll, in deren Gleichung eingesetzt: Â&#x153;

1 = 4 + n3 Â + 4

Â&#x153;

1 = 43 Âˇ 3 + n3

Â&#x; Gleichung von g 3: y

n3 = 5

43 x 5 .

d) WĂ¤hrend g2 = gAB und g3 anhand der y-Achsenabschnitte n und Steigungen m bzw. anhand der Punkte A, D, C und E eingezeichnet werden kĂśnnen, muss die Funktionsgleichung von g1 erst noch in die Form y = mx + n umgeformt werden: Â&#x;

3x + 15y 81 = 0

Â&#x2DC;

y = 15 x + 5,4

ÂŞ 3x ÂŞ + 81

Â&#x2DC;

15y = 3x + 81 ÂŞ : 15

y 8

Betrachtung der â&#x20AC;&#x17E;oberenâ&#x20AC;&#x153; Ă&#x201E;ste des Baumdiagrammes: Man erkennt am Nenner ( 8 ) der 2. Zug Wahrscheinlichkeit des gegebenen G 1. Zug Astes ( 78 ), dass sich beim zweiten G 7 8

Da sich beim ersten Ziehen eine grĂźne Kugel mehr in der Trommel befinden muss, somit also 2 grĂźne von dann insgesamt 9 Kugeln vorhanden sind, erhĂ¤lt man fĂźr die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Ziehen eine grĂźne Kugel (G) zu erhalten: p(â&#x20AC;&#x153;Gâ&#x20AC;&#x153;) = 2 . 9 Betrachtung der â&#x20AC;&#x17E;unterenâ&#x20AC;&#x153; Ă&#x201E;ste des Baumdiagrammes: Von den insgesamt 8 Kugeln sind beim zweiten Ziehen diesmal 2 Kugeln 2 G 8 grĂźn. Es mĂźssen sich also noch 6 rote R Kugeln (R) in der Trommel befinden. 1. Zug R Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten 2. Zug Ziehen eine rote Kugel (R) zu erhalten, wenn vorher bereits eine rote Kugel (R) gezogen wurde betrĂ¤gt somit: p(â&#x20AC;&#x153;R+Râ&#x20AC;&#x153;) = 6 . 8 Dementsprechend sind beim ersten Ziehen 7 rote von insgesamt 9 Kugeln in der Trommel. Man erhĂ¤lt fĂźr die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Ziehen eine rote Kugel (R) zu bekommen: p(â&#x20AC;&#x153;Râ&#x20AC;&#x153;) = 7 . 9

2 9 7 9

O -1

1 8

7 8

2 8

6 8

7. a) Wenn sich die sechs Personen vĂśllig beliebig und ohne weitere EinschrĂ¤nkung setzen kĂśnnen, erhĂ¤lt man die Anzahl der AnordnungsmĂśglichkeiten aus n! (n-FakultĂ¤t): AnordnungsmĂśglichkeiten: 6! = 1 Âˇ 2 Âˇ 3 Âˇ 4 Âˇ 5 Âˇ 6 = 720

E(3/1)

1 -1

D(2/5)

-2

Zug insgesamt beispielsweise 8 Kugeln in der Lostrommel befinden. Da 7 davon rot (R) sind, muss sich 1 grĂźne Kugel (G) darunter befinden. Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Ziehen wieder eine grĂźne Kugel (G) zu erhalten, wenn vorher schon eine grĂźne Kugel (G) gezogen wurde, betrĂ¤gt somit p(â&#x20AC;&#x153;G+Gâ&#x20AC;&#x153;) = 1 . 8

A(4/6,5)

-3

Nachfolger: x1 + 1 = 5 + 1 = 6 Nachfolger: x2 + 1 = 1 + 1 = 2

C(6/8)

3r 2

Es liegt ein zweistufiges Zufallsexperiment vor, bei dem nacheinander Kugeln ohne ZurĂźcklegen gezogen werden. Nach dem ersten Zug verringert sich sowohl die Gesamtzahl der noch vorhandenen Kugeln als auch die Anzahl der Kugeln einer gezogenen Farbe (G) oder (R).

6 5

3r 9 5

Das vervollstĂ¤ndigte Baumdiagramm sieht demnach wie folgt aus:

Â&#x; m1 = 15 ; n1 = 5,4

Â&#x; Â&#x;

x1/ 2 = 6 r Â¨Â§ 6 Â¸Âˇ 5 2 ÂŠ 2 Âš

Die zwei mĂśglichen Zahlenpaare lauten: (5; 6) und (1; 2) bzw.: Âˇ = {(1; 2); (5; 6)}

rechnerische Ă&#x153;berprĂźfung, ob C auf gAB liegt:

3x 4

Â&#x2DC;

xÂ˛ + x = 9x + 9 2x 14

5 g3

6 x

b) Wenn die Frauen links und rechts neben dem Quizmaster sitzen, kĂśnnen die 4 MĂ¤nner nur aus den Ăźbrigen 4 PlĂ¤tzen wĂ¤hlen. Die Anzahl der AnordungsmĂśglichkeiten lĂ¤sst sich wieder aus n! (n-FakultĂ¤t) ermitteln: AnordnungsmĂśglichkeiten: 4! = 1 Âˇ 2 Âˇ 3 Âˇ 4 = 24

AbschlussprĂźfung 2010

B76 BerĂźcksichtigt man die Tatsache, dass die beiden Frauen ihren Platz tauschen und die vier MĂ¤nner sich wieder beliebig setzen kĂśnnen, erhĂśht sich die Anzahl der MĂśglichkeiten auf des Doppelte. Es gilt: Gesamtzahl der AnordnungsmĂśglichkeiten: 2 Âˇ 24 = 48.

d) Umwandeln der Funktionsgleichung von p2: y = xÂ˛ + 8x 13 durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform. Die Scheitelkoordinaten von S2 kĂśnnen dann wie bei Aufgabe b) der Gleichung entnommen werden: y = xÂ˛ + 8x 13 = (xÂ˛ 8x + 13) = (xÂ˛ 8x + 4Â˛ 4Â˛ + 13) = [(x 4)Â˛ 4Â˛ + 13] = = [(x 4)Â˛ 16 + 13] = [(x 4)Â˛ 3] = (x 4)Â˛ + 3

8. x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind: Nenner 1 nicht defniniert, wenn: (6x + 4)(3x 2) = 0 Der Nenner 1 wird Null, wenn einer der Faktoren gleich Null wird. Das ist bei folgenden x-Werten der Fall: 6x + 4 = 0

Â&#x2DC;

6x = 4

Â&#x2DC;

3x 2 = 0

Â&#x2DC;

3x = 2

Â&#x2DC;

2 3

Nenner 2: (3x â&#x20AC;&#x201C; 2) = 0

und

Â&#x;

Scheitel S2 (4/3)

e) Bestimmung der Koordinaten von P und Q durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2: xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 4x + 3 = xÂ˛ + 8x 13 ~+ xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 8x + 13 Â&#x;

xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 6x + 8 = 0

x1/ 2 = 6 r Â§Â¨ 6 ÂˇÂ¸ 8 2 ÂŠ 2 Âš

Nenner 3: 2(3x + 2) = 6x + 4 = 0

Â&#x153;

2xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 12x + 16 = 0 ~: 2

3r 9 8

Â&#x; x1 = 4 und x2 = 2

3 r1

x1 = 4 in p1: y1 = 4Â˛ 4Âˇ 4 + 3 = 3

Â&#x;

Schnittpunkt P (4/3)

Beide Nenner sind bereits im Nenner 1 als Faktoren enthalten und liefern beim AuflĂśsen die gleichen x-Werte wie Nenner 1. Sie mĂźssen also nicht noch einmal berĂźcksichtigt werden!

x2 = 2 in p1: y2 = 2Â˛ 4Âˇ 2 + 3 = 1

Â&#x;

Schnittpunkt Q (2/ 1)

Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ 23 ;

2 3

24xÂ˛ 13x 14 = 4x 5 2x 3 (6x 4)(3x 2) 3x 2 6x 4

Nenner 3 ausmultiplizieren:

KĂźrzen: 24xÂ˛ 13x 14 = (4x 5)Âˇ(6x + 4) (2x + 3)Âˇ(3x 2)

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: (6x + 4)(3x â&#x20AC;&#x201C; 2) 24xÂ˛ 13x 14 Âˇ (6x + 4)(3x â&#x20AC;&#x201C; 2) = 4x 5 Âˇ (6x + 4)(3x â&#x20AC;&#x201C; 2) 2x 3 Âˇ (6x + 4)(3x â&#x20AC;&#x201C; 2) 3x 2 6x 4 (6x 4)(3x 2)

1 N1(1/0)

Â&#x153;

-1

Ausmultiplizieren: 24xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 13x 14 = (24xÂ˛ + 16x 30x â&#x20AC;&#x201C; 20) (6xÂ˛ 4x + 9x 6) Â&#x153;

24xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 13x 14 = 24xÂ˛ + 16x 30x â&#x20AC;&#x201C; 20 6xÂ˛ + 4x 9x + 6

S2(4/3)

(Klammern nicht vergessen!)

Klammern auflĂśsen:

y 5

24xÂ˛ 13x 14 = 4x 5 2x 3 (6x 4)(3x 2) 3x 2 2(3x 2)

x LĂśsungsmenge:

Â&#x153;

p = â&#x20AC;&#x201C;6 ; q = 8 in LĂśsungsformel:

Â&#x153;

N2(3/0) 3

8 x

Q S (2/-1) 1

-2

(Minuszeichen beachten!)

24xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 13x 14 = 18xÂ˛ 19x â&#x20AC;&#x201C; 14

Zusammenfassen:

Â&#x153;

Â°: 6

6xÂ˛ + 6x = 0

Â&#x153;

~ 18xÂ˛ + 19x + 14

-3

Â&#x153;

Â&#x2DC; xÂˇ(x + 1) = 0

xÂ˛ + x = 0

-4

Das Produkt aus den zwei Faktoren x und x +1 wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird, d.h.: Â&#x; x = 0 Â? ID Â&#x; x + 1 = 0 Â&#x2DC; x = 1 Â? ID

10. FĂźr die folgenden Berechnungen soll gelten: alle LĂ¤ngenangaben in cm alle FlĂ¤chenangaben in cmÂ˛ alle Volumenangaben in cmÂł

Alternativweg: Einsetzen in die LĂśsungsformel

xÂ˛ + x = 0

Â&#x2DC;

xÂ˛ + 1x + 0 = 0 2

x1/ 2 = 1 r Â§Â¨ 1 ÂˇÂ¸ 0 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x;

p = 1 ; q = 0 in LĂśsungsformel:

0,5 r 0, 25

0,5 cm

0,5 r 0,5

x1 = 0 Â? ID und x2 = 1 Â? ID

râ&#x20AC;&#x2122;

Â&#x; IL = { 1; 0} AKreisring = 36,89 cmÂ˛

Der Radius der AuĂ&#x;enkugel ist um 0,5 cm grĂśĂ&#x;er als der Innenradius:

a) Die Funktionsgleichung der nach oben geĂśffneten Normalparabel lautet: y = xÂ˛ + px + q. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte A (5/8) und B ( 2/15) in die obige Gleichung ein und lĂśst das entstehende Gleichungssystem: A (5/8) in y = xÂ˛ + px + q: 8 = (5)Â˛ + p Âˇ 5 + q Â&#x153; 8 = 25 + 5p + q ~ 25 Â&#x153; 17 = 5p + q ( I ) B ( 2/15) in y = xÂ˛ + px + q: 15 = ( 2)Â˛ + p Âˇ ( 2) + q Â&#x153;

15 = 4 2p + q ~ 4

Â&#x153;

11 = 2p + q ( II )

( I ) 17 = 5p + q ( II ) 11 = 2p + q

Gleichungssystem:

( I ) ( II ) 28 = 7p + 0 p = 4 in ( II ) eingesetzt: 11 = 2Âˇ( 4) + q Â&#x;

Â&#x; x1 = 3 und x2 = 1

Â&#x;

Â&#x2DC;

36,89 = 3,14Âˇ(rÂ˛ + 2 Âˇ r Âˇ 0,5 + 0,5Â˛) 3,14rÂ˛

Â&#x2DC;

36,89 = 3,14Âˇ(rÂ˛ + r + 0,25) 3,14rÂ˛

(binomische Formel beachten!)

36,89 = 3,14rÂ˛ + 3,14r + 0,785 3,14rÂ˛

Â&#x153;

q=3

Â&#x2DC;

36,89 = 3,14r + 0,785 ~ 0,785

Â&#x2DC;

r | 11,5 cm

Â&#x;

râ&#x20AC;&#x2122; = r + 0,5 = 11,5 + 0,5 = 12 cm

Â&#x; xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 4x + 3 = 0 mit p = â&#x20AC;&#x201C;4 ; q = 3 in LĂśsungsformel: 2r 4 3

36,89 = (r + 0,5)Â˛ Âˇ 3,14 rÂ˛ Âˇ 3,14

Â&#x153; 11 = 8 + q

Scheitel S1 (2/â&#x20AC;&#x201C;1)

4 r Â§Â¨ 4 ÂˇÂ¸ 3 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x;

Â&#x2DC;

c) Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) durch Gleichsetzen der Funktionsgleichung von p1 mit Null:

x1/ 2

Um den Zahlenwert des inneren Radiusses r zu erhalten, muss die Formel fĂźr den Kreisring (A = rauĂ&#x;enÂ˛ Âˇ S rinnenÂ˛ Âˇ S) verwendet werden. Dazu werden folgende GrĂśĂ&#x;en eingesetzt: A = AKreisring = 36,89 ; rauĂ&#x;en = r + 0,5 ; rinnen = r (mit S = 3,14)

p = 4

Funktionsgleichung der Normalparabel p1: y = xÂ˛ 4x + 3.

Berechnung der beiden Kugelradien:

Â&#x153;

y = xÂ˛ 4x + 3 = xÂ˛ 4x + 2Â˛ 2Â˛ + 3 = (x 2)Â˛ 2Â˛ + 3 = (x 2)Â˛ 4 + 3 = (x 2)Â˛ 1

y=0

Â&#x; râ&#x20AC;&#x2122; = r + 0,5

7p = 28

Â&#x153;

b) Die Funktionsgleichung von p1 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten von S1 kĂśnnen dann der Gleichung entnommen werden: Â&#x;

Um das Messingvolumen Ăźberhaupt bestimmen zu kĂśnnen, ist es zunĂ¤chst erforderlich, den Radius r der inneren Kugel und den Radius râ&#x20AC;&#x2122; der Ă¤uĂ&#x;eren Kugel zu berechnen.

2 r1

Schnittpunkte: N1 (3/0) und N2 (1/0).

Â&#x2DC;

36,105 = 3,14r ~: 3,14

Berechnung des Hohlkugelvolumens:

Der Materialbedarf an Messing VM entspricht dem Volumen Vâ&#x20AC;&#x2122; der Ă¤uĂ&#x;eren Kugel abzĂźglich dem Volumen V der inneren Kugel: Â&#x; VM = Vâ&#x20AC;&#x2122; V VM = 43 Âˇ râ&#x20AC;&#x2122;3 Âˇ S 43 Âˇ rÂł Âˇ S VM =

4 3

Âˇ 12Âł Âˇ 3,14

4 3

Âˇ 11,5Âł Âˇ 3,14

VM = 7234,56 6367,40 | 867 cmÂł Zur Herstellung werden 867 cmÂł Messing benĂśtigt.

AbschlussprĂźfung 2010

B77

11. In den folgenden Hilfsskizzen sind die in den jeweiligen Gleichungen angegebenen Strecken zur Verdeutlichung hervorgehoben. t Gleichung a) b d t Strahlensatz h k Das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis von b und h ist gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤lth c nis von d und k. Es kann der b e f m Strahlensatz h k bzw. b d d a h k b d k angewendet werden. g2

t Gleichung b) h b

Â&#x;

m f

Das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis von (b + h) und b ist gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis von m und f. Es gilt der Strahlensatz b h m. b f

h b

d k

t Gleichung c) a b

Â&#x;

d c

Das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Strecken a und b ist gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Strecken c und d. Der entsprechende Strahlensatz lautet a c . b d

h b

f d

k g2

t Gleichung d) a b

Gleichung b) ist in dieser Form falsch.

t Strahlensatz

Â&#x;

e f

Gleichung c) ist in dieser Form falsch.

t Strahlensatz

Das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Strecken a und b ist gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Strecken e und f. Der zugehĂśrige Strahlensatz lautet a e . b f

h c

k g2

Â&#x;

p 100

bestimmen.

Anfangskapital K0 = 9.500 â&#x201A;Ź

Zinssatz p = 2,5

Anzahl der Jahre Anfangskapital = 9.500 â&#x201A;Ź Endkapital = 16.200 â&#x201A;Ź Zinssatz = 2,5

Â&#x;

2,5 16.200 â&#x201A;Ź = 9.500 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

Â&#x2DC;

Logarithmieren: n = log1,0251,70526 =

Â&#x;

Anlagedauer n | 22 Jahre

~: 9.500 â&#x201A;Ź

Â&#x2DC;

1,70526 = 1,025n

lg1,70526 x 21,6144 lg1,025

d) Damit sich Carmen einen teureren Neuwagen leisten kann, muss sich ihr Anfangskapital bei einem Zinssatz von 2,5 % in 8,5 Jahren durch Zinseszins auf den Kaufpreis 18.500 â&#x201A;Ź erhĂśhen. Den Anfangsbetrag erhĂ¤lt man durch Einsetzen in die Zinseszinsformel und anschlieĂ&#x;endes Umformen der Gleichung. Anfangskapital K0

Endkapital K8,5 = 18.500 â&#x201A;Ź

Zinssatz p = 2,5 n = 8,5 (Jahre)

n K0 Kn p

Anzahl der Jahre = 8,5 Anfangskapital Endkapital K8,5 = 18.500 â&#x201A;Ź Zinssatz = 2,5

Eingesetzt:

8,5

Â&#x;

2,5 18.500 â&#x201A;Ź = K0 Âˇ 1 100

Â&#x;

Anlagebetrag K0 x 14.998 â&#x201A;Ź

Â&#x;

Nenner 2: x

Â&#x2DC;

~: 1,2335

18.500 â&#x201A;Ź = K0 Âˇ 1,2335

x=0

Nenner 3: x(x 25)

Â&#x;

x(x 25) = 0

Der Nenner 3 wird Null, wenn seine einzelnen Faktoren gleich Null werden. Da beide Faktoren bereits als Nenner im Bruch 1 und im Bruch 2 vorkommen, ergeben sich beim AuflĂśsen die gleichen x-Werte. Sie mĂźssen also nicht noch einmal berĂźcksichtigt werden!

4x 3(x 25) = 3(50x 625) 2 x 25 x x(x 25)

x LĂśsungsmenge:

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: x(x â&#x20AC;&#x201C; 25) 4x Âˇ xÂˇ(x â&#x20AC;&#x201C; 25) 3(x 25) Âˇ xÂˇ(x â&#x20AC;&#x201C; 25) = 3(50x 625) Âˇ xÂˇ(x â&#x20AC;&#x201C; 25) + 2 Âˇ xÂˇ(x â&#x20AC;&#x201C; 25) x 25 x x(x 25)

Anzahl der Jahre = 8,5 Anfangskapital = 9.500 â&#x201A;Ź Endkapital = K8,5 Zinssatz = 2,5

Eingesetzt:

n K0 Kn p

Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ {0 ; 25}

Endkapital Kn bzw. K8,5

n = 8,5 (Jahre)

n K0 Kn p

n (Jahre)

x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind: Nenner 1: x â&#x20AC;&#x201C; 25 Â&#x; x â&#x20AC;&#x201C; 25 = 0 Â&#x2DC; x = 25

a) Um angeben zu kĂśnnen, wie viel Geld Carmen zum Kauf ihres Neuwagens fehlt, muss zuerst das Endkapital berechnet werden, das ihr nach 8,5 Jahren ausbezahlt wird. Da Carmen in diesem Zeitraum bei einem festen Zinssatz von 2,5 % die Zinsen gutgeschrieben und mitverzinst werden, kann man das Endkapital mit der Zinseszinsformel

Endkapital Kn = 16.200 â&#x201A;Ź

Zinssatz p = 2,5

Gleichung d) ist richtig.

Aufgabengruppe II

K n = K0 Âˇ 1

Anfangskapital K0 = 9.500 â&#x201A;Ź

Eingesetzt:

t Strahlensatz

c a

Gleichung a) ist richtig.

c) Damit Carmen den Neuwagen bezahlen kann, muss sich das Anfangskapital von 9.500 â&#x201A;Ź (Zinssatz von 2,5 %) durch Zinseszins nun auf den Kaufpreis 16.200 â&#x201A;Ź erhĂśhen. Die hierzu notwendige Zeit ergibt sich wieder aus der Zinseszinsformel.

2,5 K8,5 = 9.500 â&#x201A;Ź Âˇ 1 100

8,5

KĂźrzen: 4x Âˇ x 3(x 25)Âˇ(x 25) = 3(50x 625) + 2xÂˇ(x 25)

Â&#x153;

(Klammern setzen!)

| 11.719 â&#x201A;Ź

Ausmultiplizieren: 4xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 3(xÂ˛ 25x 25x + 625) = 150x 1875 + 2xÂ˛ 50x

Der fehlende Betrag hat eine HĂśhe von: 16.200 â&#x201A;Ź 11.719 â&#x201A;Ź = 4.481 â&#x201A;Ź

4xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 3xÂ˛ + 75x + 75x 1875 = 150x 1875 + 2xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 50x

Klammern auflĂśsen:

Â&#x153; Â&#x153;

(Minuszeichen beachten!)

b) Damit Carmen den Neuwagen bezahlen kann, muss sich das Anfangskapital von 9.500 â&#x201A;Ź im gleichen Zeitraum durch Zinseszins auf den Kaufpreis 16.200 â&#x201A;Ź erhĂśhen. Den hierzu notwendigen Zinssatz erhĂ¤lt man wieder aus der Zinseszinsformel. Anfangskapital K0 = 9.500 â&#x201A;Ź

Endkapital K8,5 = 16.200 â&#x201A;Ź

Zinssatz p n = 8,5 (Jahre)

n K0 Kn p

Â&#x;

16.200 â&#x201A;Ź = 9.500 â&#x201A;Ź Âˇ 1 p 100

8,5

Â&#x2DC;

Â&#x;

Zinssatz p | 6,5

1,70526

xÂ˛ + 150x â&#x20AC;&#x201C; 1875 = 2xÂ˛ + 100x 1875 Â°:( 1)

xÂ˛ + 50x = 0

Â&#x153;

xÂ˛ 50x = 0

~ 2xÂ˛ 100x + 1875

x 50 = 0

Â&#x2DC;

x = 50 Â? ID

Alternativweg: Einsetzen in die LĂśsungsformel

xÂ˛ 50x = 0

Â&#x2DC;

xÂ˛ 50x + 0 = 0 2

p 8,5 100

~: 9.500 â&#x201A;Ź

Â&#x2DC; 1

p 100

Â&#x2DC;

| 1,0648 ~ 1

1,70526 = 1 Â&#x2DC;

p 100

p 8,5 100

8,5

= 0,0648 ~Âˇ 100

Â&#x153;

Â&#x2DC; xÂˇ(x 50) = 0

Das Produkt aus den zwei Faktoren x und x 50 wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird, d.h.: Â&#x; x = 0 Â? ID (Achtung: keine LĂśsung, da nicht in der Definitionsmenge) Â&#x;

Anzahl der Jahre = 8,5 Anfangskapital = 9.500 â&#x201A;Ź Endkapital K8,5 = 16.200 â&#x201A;Ź Zinssatz

Eingesetzt:

Zusammenfassen:

Â&#x153;

x1/ 2 = 50 r Â¨Â§ 50 Â¸Âˇ 0 ÂŠ 2 Âš 2

Â&#x;

25 r 625

x1 = 50 Â? ID und x2 = 0 Â? ID

p = 50 ; q = 0 in LĂśsungsformel: 25 r 25

Â&#x; IL = {50}

AbschlussprĂźfung 2010

B78 3.

Bestimmung der LĂ¤ngen der Strecke [AD]:

Es sind zwei Kugeln gegeben, von denen die gĂśĂ&#x;ere Kugel den dreifachen Durchmesser und damit den dreifachen Radius der anderen hat. Man kann sich die grĂśĂ&#x;ere Kugel also als zentrisch gestrecktes Abbild der kleineren Kugel vorstellen (siehe Hilfsskizze). Der Streckungsfaktor hat den Wert: k = 3.

AD wird ebenfalls im rechtwinkligen Dreieck ACD mit dem Satz des Pythagoras aus der Kathete a = DC = 70 und der Hypotenuse c = AC = 100 + p = 100 + 36 = 136 berechnet:

Eingesetzt: Â&#x2DC; 4900 + AD Â˛ = 18496 Â 4900

70Â˛ + AD Â˛ = 136Â˛

Â&#x2DC;

AD Â˛ = 13596

AD = 13596 | 117 mm

Â&#x; râ&#x20AC;&#x2122; = 3Âˇr

Bestimmung der StreckenlĂ¤nge x: tan G = x AD Eingesetzt: tan 15Â° = x Â Âˇ 117 Â&#x2DC; StreckenlĂ¤nge x = tan 15Â° Âˇ 117 | 31 mm 117

r Z

kleinere Kugel o Urkugel Radius r OberflĂ¤che O Volumen V

5. grĂśĂ&#x;ere Kugel o Bildkugel Radius râ&#x20AC;&#x2122; = 3Âˇr OberflĂ¤che Oâ&#x20AC;&#x2122; Volumen Vâ&#x20AC;&#x2122;

Die angegebenen Aussagen kĂśnnen demnach mit Hilfe der Formeln fĂźr die zentrische Streckung ĂźberprĂźft werden:

a) Die Gerade g1 verlĂ¤uft durch die Punkte A (0/4) und B (5/0). Um die vollstĂ¤ndige Funktionsgleichung (y = m1x + n1) der Geraden zu erhalten, wird zunĂ¤chst deren Steigung mit y P y P2 bestimmt. Dazu werden die Koordinaten von A und B eingeder Formel m = 1 x P1 x P2 Â&#x203A; m1 =

setzt:

yA yB = 4 0 = 4 = â&#x20AC;&#x201C;0,8 0 5 xA xB 5

Strecken

sâ&#x20AC;&#x2122; = k Âˇ s

Die Funktionsgleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 0,8x + n1.

FlĂ¤cheninhalte

Aâ&#x20AC;&#x2122; = kÂ˛ Âˇ A

Rauminhalte

Vâ&#x20AC;&#x2122; = kÂł Âˇ V

Da die Gerade g1 durch den Punkt A (0/4) verlĂ¤uft und damit die y-Achse bei +4 schneidet, betrĂ¤gt deren y-Achsenabschnitt: n1 = 4.

Betrachtung der OberflĂ¤chen: Streckungsfaktor: k = 3 Anwenden der FlĂ¤chenformel auf die OberflĂ¤che: Oâ&#x20AC;&#x2122; = kÂ˛ Âˇ O Â&#x2DC; O = O ' 19 Âˇ Oâ&#x20AC;&#x2122; Â&#x; Oâ&#x20AC;&#x2122; = 3Â˛ Âˇ O = 9 Âˇ O ~: 9 9 Â&#x; Der OberflĂ¤cheninhalt O der kleineren Kugel betrĂ¤gt ein Neuntel des OberflĂ¤cheninhaltes Oâ&#x20AC;&#x2122; der grĂśĂ&#x;eren Kugel. Â&#x; Aussage (2) ist richtig ; (Aussage (1) ist falsch). Betrachtung der Radien: Wird der Radius r der kleineren Kugel verdreifacht (siehe Hilfsskizze), erhĂ¤lt man den Radius râ&#x20AC;&#x2122; der groĂ&#x;en Kugel. Da dieser dem halben Durchmesser der groĂ&#x;en Kugel entspricht, ist Â&#x; Aussage (3) richtig. Betrachtung der Volumina: Streckungsfaktor: k = 3 Anwenden der Volumenformel der zentrischen Streckung: Vâ&#x20AC;&#x2122; = kÂł Âˇ V Â&#x; Vâ&#x20AC;&#x2122; = 3Âł Âˇ V = 27 Âˇ V Â&#x; Das Volumen Vâ&#x20AC;&#x2122; der gĂśĂ&#x;eren Kugel ist 27mal so groĂ&#x; wie das Volumen V der kleineren Kugel. Â&#x; Aussage (6) ist richtig.

Die Gleichung von g1 kann damit ohne weitere Rechnung wie folgt angegeben werden: Â&#x;

g1: y

0,8x 4 .

b) Die Gerade g2 soll durch den Punkt C verlaufen. Da sie auĂ&#x;erdem auf g1 senkrecht steht, hat das Produkt der Steigungen beider Geraden den Wert â&#x20AC;&#x201C;1. FĂźr die Steigungen der beiden Geraden g2 und g1 muss deshalb gelten: m2 Âˇ m1 = 1 (da g2 A g1). Setzt man die Steigung von g1 (m1 = â&#x20AC;&#x201C;0,8) ein, ergibt sich die Steigung von g2: m2 Âˇ (â&#x20AC;&#x201C;0,8) = 1

Â&#x153;

Â :(â&#x20AC;&#x201C;0,8)

m2 = 1,25

Die Funktionsgleichung von g2 lautet demnach bis jetzt: y = 1,25x + n2. Zur Bestimmung des y-Achsenabschnittes n2 mĂźssen noch die Koordinaten des Geradenpunktes C (2/ 1,5) eingesetzt werden: Â&#x;

1,5 = 1,25 Âˇ 2 + n2

Â&#x153;

Â&#x;

Gleichung von g 2 : y

1, 25x 4 .

1,5 = 2,5 + n2

Â&#x153;

Â â&#x20AC;&#x201C; 2,5

Da alle drei richtigen Aussagen gefunden sind, mĂźssen die Aussagen (4) und (5) falsch sein.

y 6

Die Geraden g1 und g2 kĂśnnen anhand der Geradenpunkte A, B, C und mit Hilfe des rechten Winkels eingezeichnet werden.

70 mm

A(0/4) D

yA = 4

xB = 5

-3

-2

B 100 mm

-1

B(5/0) 6

8 x

HINWEIS: Das Koordinatensystem enthĂ¤lt auch Elemente der Aufgaben d) und f).

Die LĂ¤nge der Strecke x wird im rechtwinkligen Dreieck ADE mit dem Tangens des Winkels G = 15Â° und der Ankathete AD berechnet.

n2 = 4

C(2/-1,5)

-2

Grundlinie g -3 des Dreiecks

HĂśhe h des Dreiecks

-4 E(0/-4)

Um die unbekannte Strecke AD errechnen zu kĂśnnen, muss im rechtwinkligen Dreieck ACD zunĂ¤chst der Hypotenusenabschnitt p = BC bestimmt werden.

-5 -6

Bestimmung des Hypotenusenabschnittes p:

Es wird der Kathetensatz (aÂ˛ = p Âˇ c) verwendet, wobei gilt (LĂ¤ngen in mm): a = DC = 70 ; c = AC = 100 + p Eingesetzt: 70Â˛ = p Âˇ (100 + p) Â&#x;

Â&#x2DC;

4900 = 100p + pÂ˛ ~ 4900

x1/ 2 = 100 r Â§Â¨ 100 ÂˇÂ¸ ( 4900) 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x;

Â&#x2DC;

pÂ˛ + 100p 4900 = 0

p = 100 ; q = 4900 in LĂśsungsformel:

p1 | 36 mm

50 r 7400

50 r 86,02

und (p2 | 136 m nicht sinnvoll, da negativ)

d) HINWEIS: Um sich die Lage des Dreiecks besser vorstellen zu kĂśnnen, wurde vorab der Punkt D eingezeichnet, obwohl dieser zu Beginn der Rechnung noch nicht bekannt ist. Berechnung der Grundlinie: Da der FlĂ¤cheninhalt A des Dreiecks DEC mit 3 cmÂ˛ gegeben ist, kann die LĂ¤nge der Grundlinie DE mittels FlĂ¤chenformel (A = 12 Âˇ g Âˇ h) und HĂśhe h berechnet werden. Die HĂśhe des Dreiecks entspricht dem x-Wert des Punktes C (siehe Koordinatensystem), so dass gilt: h = xC = 2 Âź 2 cm Â&#x; A = 12 Â&#x2DC; DE Â&#x2DC; x C

Eingesetzt: 3 cmÂ˛ = 12 Âˇ DE Âˇ (2 cm)

Â&#x2DC;

3 cmÂ˛ = DE Âˇ (1 cm) ~: (1 cm)

Â&#x2DC;

3 cm

AbschlussprĂźfung 2010

B79

Berechnung der Punktkoordinaten von D: Da der Punkt D auf der y-Achse liegen soll, gilt fĂźr seinen x-Wert: xD = 0.

Â&#x;

Aufgrund der Tatsache, dass die StreckenlĂ¤nge DE 3 cm ist, muss D 3 cm vom Punkt E entfernt sein. Damit das Dreieck DEC richtig orientiert ist, muss D demnach 3 cm oberhalb von E liegen: Â&#x; yD = yE + 3 = 4 + 3 = 1

x1/ 2

Â&#x;

Koordinaten von D (0/ 1)

e) Das Urdreieck DEC mit dem FlĂ¤cheninhalt 3 cmÂ˛ soll durch zentrische Streckung mit dem Faktor k = 2,5 abgebildet werden. Bei der zentrischen Streckung gilt fĂźr die FlĂ¤cheninhalte von Ur- und Bildfigur: ABildfigur = kÂ˛ Âˇ AUrfigur Â&#x;

Bilddreieck ADâ&#x20AC;&#x2122;Eâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122; = kÂ˛ Âˇ ADEC = 2,5Â˛ Âˇ 3 cmÂ˛ = 18,75 cmÂ˛

f) Der spitze Winkel D beim Punkt A (siehe Zeichnung) wird im rechtwinkligen Dreieck AOB aus dem y-Wert des Punktes A (yA = 4) und dem x-Wert des Punktes B (xB = 5) mit x dem Tangens berechnet: tan D = B = 5 = 1,25 Â&#x; D | 51Â° 4 yA

p = 1 ; q = â&#x20AC;&#x201C;0,75 in LĂśsungsformel: 2

Â&#x;

1 r Â§Â¨ 1 ÂˇÂ¸ ( 0,75) 2 ÂŠ 2 Âš

x1 = 0,5 in g: y1 = 2Âˇ 0,5 â&#x20AC;&#x201C; 3 = 4

Â&#x;

Schnittpunkt A (0,5/ 4)

x2 = 1,5 in g: y2 = 2Âˇ ( 1,5) â&#x20AC;&#x201C; 3 = 0

Â&#x;

Schnittpunkt B ( 1,5/0)

e) Einzeichnen des Scheitels S2 (0,5/ 4) der nach oben geĂśffneten Normalparabel p2 und Parabel anschlieĂ&#x;end mittels Schablone vervollstĂ¤ndigen. Einzeichnen der Gerade anhand der Steigung m = 2 = 2 und anhand des y-Achsenab1 schnittes n = 3 bzw. anhand der Schnittpunkte A und B. In der Zeichnung sind ebenfalls die Nullstellen und die Parabelschnittpunkte gekennzeichnet. y 3

6. g

Regensburg

r = 6.370 km

-3

Der Umfang u des Breitenkreises durch Regensburg ergibt sich aus dessen Breitenkreisradius rR mit der Umfangsformel: u = 2 Âˇ rR Âˇ S

-2

N1(2,5/0)

-1

Â&#x;

rR = cos 49Â° Âˇ 6.370 km | 4.179 km

Â&#x;

Breitenkreisumfang u = 2 Âˇ rR Âˇ S = 2 Âˇ 4.179 km Âˇ 3,14 | 26.244 km

4 x

-1 -2 -3

Um den Radius rR zu erhalten, wird im hervorgehobenen rechtwinkligen Dreieck (siehe Skizze) der Kosinus des Breitengrades (49Â°) angesetzt. Die Hypotenuse entspricht dem Erdradius r: r cos 49Â° = R ~Âˇ r Â&#x2DC; rR = cos 49Â° Âˇ r r

49Â°

-4 -5

S2(0,5/-4)

8. Anzahl der echten MĂźnzen: x Anzahl der falschen MĂźnzen: y

Festlegen der Variablen:

Der Kassier nimmt an einem Tag insgesamt 115 MĂźnzen entgegen. Darunter sind echte und falsche MĂźnzen, so dass sich die erste Bestimmungsgleichung wie folgt ergibt:

7. a) Die dargestellte, nach unten geĂśffnete Normalparabel p1 hat ihren Scheitel bei S1 (0,5/4). Man setzt zunĂ¤chst die Scheitelkoordinaten in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach unten geĂśffneten Normalparabel y = â&#x20AC;&#x201C;(x xS)Â˛ + yS ein. Durch weiteres Umformen wird dann die Normalform ermittelt: Â&#x; y = â&#x20AC;&#x201C;(x 0,5)Â˛ + 4 = â&#x20AC;&#x201C;(xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2ÂˇxÂˇ0,5 + 0,5Â˛) + 4 = â&#x20AC;&#x201C;(xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; x + 0,25) + 4 = â&#x20AC;&#x201C;xÂ˛ + x â&#x20AC;&#x201C; 0,25 + 4 = â&#x20AC;&#x201C;xÂ˛ + x + 3,75 Â&#x;

N2(-1,5/0) B

b) rR

ErdoberflĂ¤che O = 4 Âˇ rÂ˛ Âˇ S = 4 Âˇ (6.370 km)Â˛ Âˇ 3,14 = 509.645.864 kmÂ˛

Nordpol

0,5 r 1

x1 = 0,5 und x2 = 1,5

a) Einsetzen des Erdradiusses r = 6.370 km in die OberflĂ¤chenformel der Kugel: Â&#x;

0,5 r 0, 25 0,75

Normalform der Funktionsgleichung von p1: y = â&#x20AC;&#x201C;xÂ˛ + x + 3,75.

b) Durch die Spiegelung der Parabel p1 an der x-Achse Ă¤ndert sich die Ă&#x2013;ffnung der Parabel. Die gespiegelte Parabel p2 ist deshalb nach oben geĂśffnet. AuĂ&#x;erdem Ă¤ndert sich die Lage des Scheitels. Der Scheitel S2 liegt mit dem gleichen Abstand, den S1 zur x-Achse hat, unterhalb der x-Achse. Der x-Wert des Scheitels Ă¤ndert sich durch die Spiegelung nicht.

y + x = 115 Â°â&#x20AC;&#x201C; y Â&#x203A; (I): x = 115 â&#x20AC;&#x201C; y Die MĂźnzen wiegen insgesamt 892 g. Man geht von 8 g Gewicht fĂźr eine echte MĂźnze und von 7 g Gewicht fĂźr eine falsche MĂźnzen aus. Multipliziert man die einzelnen Gewichte mit der jeweiligen Anzahl der MĂźnzen, bildet deren Summe das Gesamtgewicht. Die zweite Bestimmungsgleichung lautet demnach (Gewichtsangaben in g): 8 Âˇ x + 7 Âˇ y = 892

Â&#x203A;

(II): 8x + 7y = 892 Â&#x203A; 8Âˇ(115 â&#x20AC;&#x201C; y) + 7y = 892

x = 115 â&#x20AC;&#x201C; y in Gleichung (II): Â&#x2DC; 920 â&#x20AC;&#x201C; y = 892 Â°â&#x20AC;&#x201C; 920

â&#x20AC;&#x201C;y = â&#x20AC;&#x201C;28 Â°:(â&#x20AC;&#x201C;1)

Â&#x2DC;

Â&#x2DC; 920 â&#x20AC;&#x201C; 8y + 7y = 892

y = 28

Â&#x203A; x = 115 â&#x20AC;&#x201C; 28 = 87

y = 28 in Gleichung (I): Â&#x;

Â&#x2DC;

Es sind 87 echte MĂźnzen und 28 falsche MĂźnzen.

Der Scheitel S2 hat deshalb die folgenden Koordinaten: S2 (0,5/ 4)

Die Funktionsgleichung von p2 erhĂ¤lt man â&#x20AC;&#x201C; wie in Aufgabe a) beschrieben â&#x20AC;&#x201C; durch Einsetzen der Scheitelkoordinaten in die Parabelgleichung einer nach oben geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS. Die Normalform ergibt sich dann durch Umformen:

In den folgenden Hilfsskizzen sind die in den jeweiligen Gleichungen angegebenen Strecken zur Verdeutlichung hervorgehoben. Die zusammengehĂśrenden Urstrecken sind jeweils fett markiert:

Â&#x; y = (x 0,5)Â˛ 4 = xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 2ÂˇxÂˇ0,5 + 0,5Â˛ 4 = xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; x + 0,25 4 = xÂ˛ x + 0,25 â&#x20AC;&#x201C; 4

ZusammengehĂśrende Bildstrecken sind fett-gestrichelt markiert:

= xÂ˛ x 3,75 Â&#x;

Normalform der Funktionsgleichung von p2: y = xÂ˛ x 3,75.

c) Zur Bestimmung der Schnittpunkte von Parabel und x-Achse (Nullstellen) wird die Funktionsgleichung von p2 mit Null gleichgesetzt: y = 0 Â&#x;

xÂ˛ x â&#x20AC;&#x201C; 3,75 = 0 mit p = 1 ; q = â&#x20AC;&#x201C;3,75 in LĂśsungsformel: 2

x1/ 2

1 r Â§Â¨ 1 ÂˇÂ¸ ( 3,75) 2 ÂŠ 2 Âš

0,5 r 0, 25 3,75

0,5 r 2

t Gleichung (1) m : n =

x1 = 2,5 und x2 = 1,5

Â&#x;

N1 (2,5/0) und N2 ( 1,5/0).

e Zentrum Z f

c g3

, c

Aus den Urstrecken m und b entstehen durch eine zentrische Streckung am eingetragenen Zentrum Z die Bildstrecken n und c. Somit sind die Strecken m und n sowie die Strecken b und c einander Ă¤hnlich. Â&#x; m b bzw. m : n = b : c n c Â&#x; Gleic Âź b

d) Bestimmung der Koordinaten von A und B durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p2 (y = xÂ˛ x â&#x20AC;&#x201C; 3,75) und Gerade g (y = 2x 3): xÂ˛ x â&#x20AC;&#x201C; 3,75 = 2x 3 ~+ 2x + 3

m n

m b

Â&#x;

bzw.

Â&#x153;

xÂ˛ + x â&#x20AC;&#x201C; 0,75 = 0

AbschlussprĂźfung 2011

B80 t Gleichung (2)

= (e + d) : (b + a) bzw.

h g1

Somit sind die Strecken f und (e + d) sowie die Strecken c und (b + a) einander Ă¤hnlich. f c Â&#x; Â°Âˇ (e + d) e d b a c Â&#x2DC; (e d) Â&#x2DC; f Â°: c b a Â&#x2DC; f e d bzw. c b a

d m g2

Zentrum Z f

c n

f e d , b a Aus den Urstrecken f und c entstehen durch eine zentrische Streckung am Zentrum Z die Bildstrecken (e + d) und (b + a).

f : c = (e + d) : (b + a) Â&#x; Gleic Âź c

t Gleichung (3)

: f = h : n bzw.

, f

h n

Aus den beiden Urstrecken (e + d) und h entstehen durch eine zentrische Streckung am Zentrum Z die Bildstrecken f und n.

h g1

Somit sind die Strecken (e + d) und f sowie die Strecken h und n einander Ă¤hnlich. Â&#x; e d h bzw. f n

d m g2

Zentrum Z f

(e + d) : f = h : n

Â&#x; Gleic Âź (e + d)

2.2.7 AbschlussprĂźfung 2011 Aufgabengruppe I 1. a) Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

y P1 y P2 x P1 x P2

Einsetzen der Koordinaten von A (5/ 1) und B ( 5/7): yA yB = 1 7 = 8 = 0,8 5 ( 5) 10 xA xB

m1 =

Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 0,8x + n1. Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes A (5/ 1) in y = 0,8x + n1: Â&#x;

1 = 0,8 Âˇ 5 + n1 Â&#x153; 1 = 4 + n1 _ + 4

Â&#x153;

n1 = 3

Â&#x;

vollstĂ¤ndige Gleichung von g1: y = 0,8x + 3.

b) Der y-Wert des Schnittpunktes N von g1 mit der x-Achse hat den Wert Null. Um den zugehĂśrigen x-Wert (Nullstelle) des Schnittpunktes N zu erhalten, wird deshalb in der Funktionsgleichung von g1 y = 0 gesetzt. Die Gleichung wird dann wie folgt nach x aufgelĂśst: Â&#x;

0 = 0,8x + 3

~+ 0,8x

Â&#x153;

0,8x = 3 Â°: 0,8

Â&#x153;

x = 3,75 Â&#x;

N (3,75/0)

c) Zwei Geraden verlaufen dann parallel zueinander, wenn ihre Steigungen den gleichen Wert haben. Die Geraden g1 und g2 sind also parallel zueinander, wenn gilt: m1 = m2 = 0,8 Um die Steigung m2 der zweiten Gerade mit m1 vergleichen zu kĂśnnen, muss die Gleichung von g2: 4y + 3x + 8 = 0 noch in die Normalform y = mx + n umgeformt werden: Â&#x;

4y + 3x + 8 = 0 _ 3x 8

Â&#x153;

4y = 3x 8

_: 4

Â&#x153;

y = 0,75x 2

Aus der Normalform ergibt sich fĂźr die Steigung von g2: m2 = 0,75. Â&#x;

m2 = 0,75 z m1 ( 0,8)

Â&#x; Die beiden Geraden g1 und g2 verlaufen nicht parallel zueinander. t Gleichung (4)

m:b=h :

bzw.

m b

h ,

Aus den beiden Urstrecken m und b entstehen durch eine zentrische Streckung am Zentrum Z die Bildstrecken h und (a + b).

h g1

a d m b

e Zentrum Z

Somit sind die Strecken m und h sowie die Strecken b und (a + b) einander Ă¤hnlich. b Â&#x; m Â°Âˇ h h a b Â&#x2DC; m b Â&#x2DC; h Â°: b a b h Â&#x2DC; m bzw. b a b m : b = h : (a + b) Â&#x; Gleic Âź (a + b)

d) Die Ermittlung der Steigung m3 der Gerade g3 erfolgt aufgrund der Tatsache, dass das Produkt der Steigungen von zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1 ergibt: m3 Âˇ m1 = 1 (wenn g3 A g1) Da die Gerade g3 auf der Geraden g1 (m1 = 0,8) senkrecht stehen soll, gilt fĂźr deren Steigungen: m3 Âˇ ( 0,8) = 1 Â :( 0,8) Â&#x153; m3 = 1,25 Die Funktionsgleichung von g3 lautet demnach bis jetzt: y = 1,25x + n3. Zur Bestimmung von n3 werden noch die Koordinaten des Punktes C (2/0), durch den g3 verlĂ¤uft, in deren Gleichung eingesetzt: Â&#x; 0 = 1,25 Âˇ 2 + n3 Â&#x153;

0 = 2,5 + n3

Â&#x153;

n3 = 2,5

Â&#x; Gleichung von g3: y = 1,25x 2,5.

e) Um ĂźberprĂźfen zu kĂśnnen, ob der Punkt D (20/24) auf g3 liegt, werden dessen Koordinaten in die Funktionsgleichung y = 1,25x 2,5 eingesetzt. ErhĂ¤lt man eine wahre Aussage, liegt D auf der Gerade, ergibt sich eine falsche Aussage, liegt D nicht auf der Gerade: Â&#x;

24 = 1,25 Âˇ 20 2,5

Â&#x153; 24 = 22,5 ( f )

Man erhĂ¤lt eine falsche Aussage Â&#x; D (20/24) liegt nicht auf g3. f) y 8 B(-5/7)

7 6

4 3 2

1 N(3,75/0)

C(2/0) -6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3 -4 -5

A(5/-1)

Steigungsdreieck

-3

6 x

Abschlussprüfung 2011

B81

x Die Gerade g1: y = 0,8x + 3 verläuft durch die Punkte A (5/ 1) und B ( 5/7).

Aussage (e): AE : ED = EB : DC

x Die Gerade g2: y = 0,75x 2 (vgl. 1c)) hat den y-Achsenabschnitt n2 = 2 und die Steigung m2 = 0,75 = 75 = 3 (siehe Steigungsdreieck in Zeichnung). 100 4

x Die Gerade g3: y = 1,25x 2,5 steht senkrecht auf g1 und verläuft durch C (2/0).

2. Es sind zwei Werte zu bestimmen, der Einkaufspreis für ein Poloshirt und der für ein TShirt. Zur Lösungsfindung müssen deshalb zwei Bestimmungsgleichungen aufgestellt werden.

Es werden 46 T-Shirts (Stückpreis x €) und 23 Poloshirts (Stückpreis y €) zum Einkaufspreis von insgesamt 1311 € bezogen. Die erste Bestimmungsgleichung lautet somit:

46x = 1311 23y

~: 46

40% von x = 40% · x =

Aussage (f): DC : k = EB

40 100 25 100

· x = 0,4x

B Ausgehend vom Streckungszentrum A wird die Urstrecke [EB] auf die Bildstrecke [DC] mit dem Faktor k gestreckt.

· y = 0,25y

524,4 9,2y + 5,75y = 445,05

3,45y = 79,35 ~:( 3,45)

y = 23 in ( I ):

DC : k = EB

Aussage (f) ist somit richtig. 2

Aussage (g): EB = AE ED

524,4 3,45y = 445,05

_: k

Daher ergibt sich: DC = k · EB

( II ): 18,4x + 5,75y = 445,05

18,4·(28,5 0,5y) + 5,75y = 445,05

E’

Bei der zentrischen Streckung gilt: LängeBildfigur = k · LängeUrfigur.

x = 28,5 0,5y in ( II ): ~ 524,4

Der Gesamtgewinn liegt bei 445,05 €. Da 46 T-Shirts und 23 Poloshirts verkauft werden, lautet die zweite Bestimmungsgleichung demnach: 46 · 0,4x + 23 · 0,25y = 445,05

46·x + 23·y = 1311 ~ 23·y

Gewinn für ein Poloshirt (in €): 25% von y = 25% · y =

E’

Somit gilt folgender Strahlensatz: AE = EB bzw. AE : AD = EB : DC AD DC

( I ): x = 28,5 0,5y

Für ein T-Shirt wird ein Gewinn von 40%, für ein Poloshirt ein Gewinn von 25% erzielt. Der jeweilige Gewinn für einen Artikel lässt sich wie folgt angeben: Gewinn für ein T-Shirt (in €):

B Das Dreieck ACD entsteht durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABE. Ausgehend vom Streckungszentrum A werden die Originalstrecke [AE] auf die Bildstrecke [AD] und die Originalstrecke [EB] auf die Bildstrecke [DC] gestreckt.

Aussage (e) ist somit falsch.

Einkaufspreis T-Shirt: x € Einkaufspreis Poloshirt: y €.

Festlegen der Variablen:

y = 23

x = 28,5 0,5 · 23 = 17

Die angegebene Aussage hat die Form des Höhensatzes (h² = p · q) in einem rechtwinkligen Dreieck. Dabei entspräche

B E’

EB der Höhe h, AE dem Hypotenusenabschnitt p und ED dem Hypotenusenabschnitt q im Dreieck ABD.

Der Einkaufspreis für ein T-Shirt beträgt 17 € und für ein Poloshirt 23 €.

Da das Dreieck ABD aber nicht rechtwinklig ist (siehe Zeichnung), ist Aussage (g) falsch.

Aussage (h):

Aussage (a): sin E’ AD = AE

cos D AC = AD A

Der Kosinus des Winkels D kann B im rechtwinkligen Dreieck ACD aus der Ankathete AD und der Hypotenuse AC bestimmt werden:

Der Sinus des Winkels E’ kann B im rechtwinkligen Dreieck ACD aus der Gegenkathete AD und der Hypotenuse AC bestimmt werden: Gegenkathete AD = _· AC sin E’ · AC = AD sin E’ = Hypotenuse AC

E’

cos D = Ankathete = AD Hypotenuse AC

_ · AC

E’

cos D · AC = AD

Aussage (h) ist demnach richtig.

Aussage (a) ist somit falsch.

Die drei richtigen Aussagen sind: Aussage (b) , (f) und (h).

Aussage (b): D + E’ = 90°

Die Winkelsumme im Dreieck ACD beträgt 180°.

D + E’ + 90° = 180° _ 90°

D + E’ = 90°

a) Die Funktionsgleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel lautet: y = x² + px + q.

Aussage (b) ist somit richtig. Aussage (c): AB : BC = ED : AD

B (5/ 2,25) in y = x² + px + q: 2,25 = 5² + p · 5 + q 2,25 = 25 + 5p + q

Das Dreieck ACD entsteht durch B zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum A aus dem Dreieck ABE. Laut Strahlensatz gilt für die Strecken AB und BC :

Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte A ( 0,5/6) und B (5/ 2,25) nacheinander in die obige Gleichung ein. A ( 0,5/6) in y = x² + px + q: 6 = ( 0,5)² + p · ( 0,5) + q 6 = 0,25 0,5p + q ~ 0,25 5,75 = 0,5p + q ( I ) ~ 25 27,25 = 5p + q ( II )

Die beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem, das wie folgt gelöst wird:

E’

(I) 5,75 = 0,5p + q ( II ) 27,25 = 5p + q

AB = AE bzw. AB : BC = AE : ED BC ED Aussage (c) ist somit falsch. Aussage (d): ADreieck ABE k = ADreieck ACD

Bei zentrisch gestreckten Figuren ist der Flächeninhalt der Bildfigur k²-mal so groß wie der Flächeninhalt der Urfigur (k² · AUrfigur = ABildfigur). Übertragen auf die gegebenen Dreiecke bedeutet dies: k² · ADreieck ABE = ADreieck ACD Da in der angegebenen Aussage das Quadrat beim Faktor k fehlt, ist Aussage (d) falsch.

( I ) ( II )

33 = 5,5p + 0

p = 6 in ( II ) eingesetzt: 27,25 = 5·( 6) + q

33 = 5,5p ~:( 5,5) p = 6 27,25 = 30 + q

q = 2,75

Funktionsgleichung der Normalparabel p1: y = x² 6x + 2,75.

b) Die Funktionsgleichung von p1 wird durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten von S1 können dann der Gleichung entnommen werden: y = x² 6x + 2,75 = x² 6x + 3² 3² + 2,75 = (x 3)² 9 + 2,75 = (x 3)² 6,25

Scheitel S1 (3/–6,25)

AbschlussprĂźfung 2011

B82 c) Bestimmung der Nullstellen durch Gleichsetzen der Funktionsgleichung von p1 mit Null: y = 0 Â&#x; xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 6x + 2,75 = 0 mit p = â&#x20AC;&#x201C;6 ; q = 2,75 in LĂśsungsformel: 2

x1/ 2

6 r Â§Â¨ 6 ÂˇÂ¸ 2,75 ÂŠ 2 Âš 2

Â&#x; x1 = 5,5 und x2 = 0,5

3 r 9 2,75

Â&#x;

Ermittlung der TrapezhĂśhe AD Die TrapezhĂśhe kann mit dem Kathetensatz (aÂ˛ = p Âˇ c) im rechtwinkligen Dreieck ACD aus dem

Hypotenusenabschnitt p = AH = 15 cm und aus der Hypotenuse c = AC = AH + HC = 15 + 60 = 75 cm

3 r 2,5

bestimmt werden:

Schnittpunkte: N1 (5,5/0) und N2 (0,5/0).

d) Die Funktionsgleichung von p2 wird wie in Aufgabe b) durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Dabei gilt es zu beachten, dass zuerst der Faktor 1 ausgeklammert werden muss: y = xÂ˛ + 11x 30,25

Â&#x;

AD = 1125 cmÂ˛ | 33,54 cm = h

AH Â&#x2DC; AC = 15 Âˇ 75 = 1125 cmÂ˛

Ermittlung der SeitenlĂ¤nge CD CD kann man im rechtwinkligen Dreieck ACD mit dem Kathetensatz (bÂ˛ = q Âˇ c) aus dem

y = (xÂ˛ 11x + 30,25)

m Ausklammern von 1

Hypotenusenabschnitt q = HC = 60 cm und aus der Hyptenuse c = AC = AH + HC = 15 + 60 = 75 cm

y = (xÂ˛ 11x + 5,5Â˛ 5,5Â˛ + 30,25)

m Quadratische ErgĂ¤nzung

bestimmen:

y = [(x 5,5)Â˛ 30,25 + 30,25]

m binomische Formel bilden / 5,5 quadrieren

y = [(x 5,5)Â˛ 0]

m Zusammenfassen

y = (x 5,5)Â˛

m [ ] Klammer auflĂśsen

Â&#x;

e) Bestimmung der Koordinaten von P und Q durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2:

Â&#x;

p = â&#x20AC;&#x201C;8,5 ; q = 16,5 in LĂśsungsformel:

x1/ 2 =

Â&#x153;

8,5 8,5 Âˇ r Â§Â¨ Â¸ 16,5 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x;

CD = 4500 cmÂ˛ | 67,08 cm

Â&#x;

4, 25 r 18,0625 16,5

33,54

4, 25 r 1, 25

y1 = 5,5Â˛ 6Âˇ5,5 + 2,75 = 0

Â&#x;

Schnittpunkt P (5,5/0) Â&#x161; S2 und N1

x2 = 3 in p1: y2 = 3Â˛ 6Âˇ3 + 2,75 = 6,25

Â&#x;

Schnittpunkt Q (3/ 6,25)

y 3

1 3

Â&#x;

tan 40Â° =

Â&#x153;

FB =

33,54 FB

_ Âˇ FB

Â&#x153;

33,54 | 39,97 cm tan 40q

FB Âˇ tan 40Â° = 33,54

Â&#x;

_ : tan 40Â°

AB = AF + FB = 67,08 + 39,97 = 107,05 cm

107,05 67,08 AT = AB CD Â&#x2DC; AD = Â&#x2DC; 33,54 | 2920,16 cmÂ˛ 2 2

8 x

-1 -2

-3

a) Gleichung: (3b4

-4

Ermittlung der TrapezflĂ¤che AT

P S2(5,5/0)

40Â°

AF entspricht der StreckenlĂ¤nge CD . FB muss im rechtwinkligen Dreieck CFB mit Hilfe des Winkels E = 40Â° und der Strecke FC = AD = 33,54 cm berechnet werden: Gegenkathete = FC Â&#x; tan E = Ankathete FB

2 N2(0,5/0)

67,08

xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 8,5x + 16,5 = 0

Â&#x; x1 = 5,5 und x2 = 3

AB = AF + FB

67,08

x1 = 5,5 in p1:

-1

HC Â&#x2DC; AC = 60 Âˇ 75 = 4500 cmÂ˛

Ermittlung der SeitenlĂ¤nge AB Die Seite AB ergibt sich aus den Strecken AF und FB (siehe Zeichnung):

xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 6x + 2,75 = xÂ˛ + 11x 30,25 ~+ xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 11x + 30,25 2xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 17x + 33 = 0 ~: 2

(HINWEIS: CD kann alternativ auch im rechtwinkligen Dreieck ACD mit dem Satz des Pythagoras aus der StreckenlĂ¤nge AD = 33,54 cm (Kathete) und der Diagonale AC = 75 cm (Hypotenuse) ermittelt werden).

Scheitel S2 (5,5/0)

Â&#x153;

Â&#x;

c3 )2 =

b4c3

Aufgrund des Minuszeichens im Binom (linke Gleichungsseite) muss der Gleichung die 2. Binomische Formel zu Grunde liegen: (x y)Â˛ = xÂ˛ 2xy + yÂ˛

-5 -6

-7

Um die Platzhalter den Variablen des Binoms besser zuordnen zu kĂśnnen, werden Gleichung und Binom Ăźbereinder geordnet dargestellt. (HINWEIS: Zur besseren Unterscheidung wurden die eckigen Platzhalter durch X, Y, Z und [ ersetzt.)

S1(3/-6,25)

Binom

Gleichung

Der FlĂ¤cheninhalt AT des vorliegenden Trapezes ABCD wird aus den beiden zueinander parallel verlaufenden Strecken a und c sowie aus der TrapezhĂśhe h mit folgender Formel errechnet: AT = a c Âˇ h = AB CD Â&#x2DC; AD 2 2

y)Â˛

xÂ˛

2xy

Xc3)2

Z b4c3

FĂźr den runden Platzhalter muss demnach gelten:

yÂ˛

Âź + (Pluszeichen)

Entsprechend der Formel wird aus 3b4 Âź x im Binom o (3b4)2 Âź xÂ˛ im Binom Der Platzhalter Y auf der rechten Gleichungsseite muss somit lauten:

(3b4

Y = (3b4)2 = 3b4 Âˇ 3b4 = 9b8 Weiterhin ist y = XcÂł (siehe linke Gleichungsseite), so dass:

yÂ˛ = (XcÂł)2 = XcÂł Âˇ XcÂł =

X2 c6

Vergleicht man dies mit yÂ˛ = 4[ = 22[ (rechte Gleichungsseite), 15

ergibt sich: 40Â°

Da keine der notwendigen Strecken gegeben ist, mĂźssen diese nacheinander aus den StreckenlĂ¤ngen AH = 15 cm und HC = 60 cm berechnet werden (alle LĂ¤ngenangaben in cm).

X2 c6 = 22[

FĂźr die Platzhalter X und [ lĂ¤sst sich deshalb ableiten:

X=2

und

[ = c6

Mit x = 3b4 und y = 2c3 folgt fĂźr den â&#x20AC;&#x17E;2xyâ&#x20AC;&#x153;-Term (auf der rechten Gleichungsseite): Â&#x;

2xy = 2 Âˇ 3b4 Âˇ 2c3 = 12b4c3 = Zb4c3 Â&#x;

Â&#x;

vollstĂ¤ndige Gleichung: (3b4 2c3)2 = 9b8 12b4c3 + 4c6

Z = 12

AbschlussprĂźfung 2011 b) Gleichung:

B83

16z2 = ( w8

) ( w8

b) Bei radioaktiven Zerfallsprozessen ist die Halbwertszeit die Zeitspanne, in der sich eine Stoffmenge durch Zerfall halbiert. Von einer beliebigen Anfangsmenge N0 ist nach Verstreichen der Halbwertszeit tH also noch die HĂ¤lfte der Anfangsmenge Ăźbrig, d.h.: Nt = 0,5ÂˇN0

4z )

An der Form der rechten Gleichungsseite erkennt man, dass der Gleichung die 3. Binomische Formel zu Grunde liegt: xÂ˛ yÂ˛ = (x y)Âˇ(x + y) Um die Platzhalter den Variablen des Binoms besser zuordnen zu kĂśnnen, werden Gleichung und Binom in einer Tabelle dargestellt. (HINWEIS: Zur besseren Unterscheidung wurden die eckigen Platzhalter durch X und Y ersetzt.) Binom

xÂ˛

Gleichung

yÂ˛

Âˇ

16zÂ˛

(w8

Âˇ

(w8

4z)

Der Tabelle kann man entnehmen, dass bei der vorliegenden Binomischen Formel gilt: 8

x=w Â&#x;

8 2

xÂ˛ = (w ) = w Âˇ w = w = X

sowie y = 4z = Y

FĂźr den ersten runden Platzhalter (linke Gleichungsseite) muss gelten:

Â&#x;

0,5ÂˇN0 = N0 Âˇ 0,97478 H ~: N0

Â&#x153;

Logarithmieren: tH = log0,974780,5 =

Â&#x;

Halbwertszeit tH | 27 Tage

Â&#x153; 0,5 = 0,97478 H lg 0,5 x 27,14 lg 0,97478

c) Es gilt die Zerfallsformel Nt = N0 Âˇ qt mit q = 0,97478. Von einer Anfangsmenge N0 = 200 g ist nach der Zeitspanne t = 60 Tage folgende Restmenge Nt Ăźbrig: Â&#x;

Âź (Minuszeichen).

Nt = N60 = 200 g Âˇ 0,9747860 x 43 g

d) Nach der Zeitspanne t = 90 Tage ist die angegebene Restmenge Nt = N90 = 15 g Ăźbrig. Die zugehĂśrige Anfangsmenge N0 erhĂ¤lt man durch Einsetzen der bekannten GrĂśĂ&#x;en in die Zerfallsformel Nt = N0 Âˇ qt (q = 0,97478):

FĂźr den zweiten runden Platzhalter (rechte Gleichungsseite) muss gelten: Âź + (Pluszeichen). Â&#x203A;

Eingesetzt in die Zerfallsformel (Nt = N0 Âˇ qt ) , erhĂ¤lt man die Halbwertszeit tH wie folgt: (HINWEIS: da es sich um die gleiche Substanz wie in Aufgabe a) handelt, ist q = 0,97478)

vollstĂ¤ndige Gleichung: w16 16zÂ˛ = (w8 4z)(w8 + 4z)

Â&#x;

15 g = N0 Âˇ 0,9747890

~: 0,9747890

Â&#x153;

N0 =

15 g x 149 g 0,9747890

x = 1 2x = 1

Â&#x2DC; Â&#x2DC;

x+1=0 2x 1 = 0

Â&#x2DC;

x = 0,5

Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ { 1; 0,5}

Â&#x;

5x 5 + 2 = 6x 3 + 4 x 1 2x 1

x LĂśsungsmenge:

Eingesetzt:

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: (x + 1)(2x â&#x20AC;&#x201C; 1) 5x 5 Âˇ(x + 1)(2x â&#x20AC;&#x201C; 1) + 2 Âˇ(x + 1)(2x â&#x20AC;&#x201C; 1) = 6x 3 Âˇ(x + 1)(2x â&#x20AC;&#x201C; 1) + 4 Âˇ(x + 1)(2x â&#x20AC;&#x201C; 1) x 1 2x 1 KĂźrzen: (5x 5)(2x â&#x20AC;&#x201C; 1) + 2Âˇ(x + 1)(2x â&#x20AC;&#x201C; 1) = (6x 3)(x + 1) + 4Âˇ(x + 1)(2x â&#x20AC;&#x201C; 1)

Â&#x153;

Gleichung Schritt fĂźr Schritt ausmultiplizieren: 10xÂ˛ 5x â&#x20AC;&#x201C; 10x + 5 + 2Âˇ(2xÂ˛ 1x + 2x â&#x20AC;&#x201C; 1) = 6xÂ˛ + 6x 3x 3 + 4Âˇ(2xÂ˛ 1x + 2x â&#x20AC;&#x201C; 1) Â&#x153;

10xÂ˛ 5x â&#x20AC;&#x201C; 10x + 5 + 4xÂ˛ 2x + 4x â&#x20AC;&#x201C; 2 = 6xÂ˛ + 6x 3x 3 + 8xÂ˛ 4x + 8x â&#x20AC;&#x201C; 4 Â&#x153; Term Schritt fĂźr Schritt zusammenfassen: 10xÂ˛ 15x + 5 + 4xÂ˛ + 2x â&#x20AC;&#x201C; 2 = 6xÂ˛ + 3x 3 + 8xÂ˛ + 4x â&#x20AC;&#x201C; 4 Â&#x153;

14xÂ˛ 13x + 3 = 14xÂ˛ + 7x 7 ~ 14xÂ˛ 13x + 3 = 7x 7 ~ 7x 20x = 10 ~:( 20)

Â&#x153;

20x + 3 = 7 ~ 3

Â&#x153;

x = 0,5 Â? Âľ, da nicht definiert

Â&#x; Âˇ={ }

8. a) Der durchschnittliche tĂ¤gliche Zerfall p (in Prozent) fĂźr den Zeitraum t = 20 Tage lĂ¤sst sich aus dem Wachstums-/Zerfallsfaktor q bestimmen. Diesen erhĂ¤lt man nach Umformung der Zerfallsformel fĂźr radioaktive Substanzen Nt = N0 Âˇ qt (entsprechend Wachstums-/Zerfallsformel Wn = W0 Âˇ qn ): N N bzw. q20 = 20 (fĂźr t = 20 Tage) Nt = N0 Âˇ qt Â&#x153; qt = t N0 N0 N0 und N20 sind die Mengen der Substanz am Anfang bzw. Ende des betrachteten Zeitraums. Nach 20 Tagen sind 40% der Anfangsmenge N0 zerfallen, so dass noch 60% der Anfangsmenge dieser Substanz Ăźbrig sind. Da die tatsĂ¤chlichen Zahlen nicht bekannt sind, muss der Endwert N20 wie folgt angegeben werden: N20 = 60% Â&#x2DC; N 0 60 Â&#x2DC; N 0 0,6 Â&#x2DC; N 0 100 Anfangswert N0

Endwert N20 = 0,6 Âˇ N 0

p % tĂ¤gl. Zerfall t = 20 (Tage)

Eingesetzt: Â&#x;

q20 =

0,6 Â&#x2DC; N 0 N 20 = 0,6 = N0 N0

Â&#x153;

0,6 x 0,97478

p 100

0,97478 = 1 100 ~+ 100

Â&#x153;

0,97478 +

p 100

= 1 _ 0,97478

Â&#x153;

Â&#x;

durchschnittlicher tĂ¤glicher Zerfall p% x 2,5%

(10,4 cm) =

hk2

s = 10,4 cm

+ (4 cm)

Â&#x153;

92,16 cmÂ˛ = hk2

~ 16 cmÂ˛

~Â&#x2014;

r1 = 4 cm

Â&#x; hk = 92,16 cmÂ˛ = 9,6 cm b) Zur Ermittlung des Winkels D an der Kegelspitze wird nochmals das hervorgehobene rechtwinklige Dreieck (siehe Zeichnung) herangezogen. Die KegelhĂśhe halbiert den Winkel D, sodass aus der Mantellinie s = 10,4 cm und aus dem Radius r1 = 4 cm mit dem Sinus zunĂ¤chst D/2 bestimmt wird. Der errechnete Wert wird anschlieĂ&#x;end verdoppelt. Â&#x;

sin Â§Â¨ D ÂˇÂ¸ ÂŠ2Âš

Â&#x;

D x 22,62Â° ~Âˇ 2 2

D/2

s = 10,4 cm

4 cm x 0,3846 10, 4 cm

Â&#x;

r1 = 4 cm

Winkel D x 45Â°

c) Bestimmung der ZylinderhĂśhe hZ: Die ZylinderhĂśhe hZ ergibt sich aus der KegelhĂśhe hK abzĂźglich der StreckenlĂ¤nge x (StreckenlĂ¤nge zwischen Kegelspitze und Oberkante Zylinder): hZ = hK x = 9,6 cm x

x hK = 9,6 cm

r2 = 2,5 cm

Die Seite x gehĂśrt zum rechtwinkligen Dreieck (gestrichelt dargestellt), das zum r1 = 4 cm hZ Hilfsdreieck aus Aufgabe a) und b) Ă¤hnlich ist (o je drei gleich groĂ&#x;e Innenwinkel). Die LĂ¤nge x kann deshalb mit Hilfe eines Strahlensatzes aus der HĂśhe hK = 9,6 cm und den beiden Radien r1 und r2 bestimmt werden. Da die Strecken x und r2 durch eine zentrische Streckung auf die Strecken hK und r1, abgebildet werden kĂśnnen, kann der Strahlensatz beispielsweise wie folgt aussehen: hK Â&#x; x r2 r1 x 2,5 cm

9,6 cm ~Âˇ 2,5 cm 4 cm

Â&#x;

9,6 cm Âˇ 2,5 cm = 6 cm 4 cm

ZylinderhĂśhe hZ = 9,6 cm x = 9,6 cm 6 cm = 3,6 cm

Bestimmung der ZylindermantelflĂ¤che MZ: Einsetzen des Zylinderradiusses r2 und der ZylinderhĂśhe hZ in die MantelflĂ¤chenformel (M = 2 Âˇ r Âˇ S Âˇ h):

Â&#x; = 0,02522 ~Âˇ 100

108,16 cmÂ˛ = hk2 + 16 cmÂ˛

Â&#x;

s2 = hk2 + r12

Â&#x153;

Eingesetzt: ~ 20

Zerfall p in Prozent aus q = 1 100 Â&#x;

9. a) Die GesamthĂśhe hK des Kegels kann im hervorgehobenen rechtwinkligen Dreieck (siehe Zeichnung) aus der Mantellinie s = 10,4 cm und dem Radius r1 = 4 cm mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

MantelflĂ¤che M = 2 Âˇ r2 Âˇ S Âˇ hZ = 2 Âˇ 2,5 cm Âˇ 3,14 Âˇ 3,6 cm = 56,52 cmÂ˛

Abschlussprüfung 2011

B84 10.

y 5

a) Paul Krake hatte die Wahl zwischen „gewinnen“ und „verlieren“. Bei einer zufälligen Entscheidung liegt die Wahrscheinlichkeit somit bei 50% = 0,5.

Die Wahrscheinlichkeit, alle 8 Spiele richtig zu tippen, erhält man entsprechend der Pfadregel durch Multiplikation aller Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse:

A(1/3,5)

P3(2,8/2,6)

Antworten B und E sind richtig.

Q(8/0) -2

b) Der erste Spieler hat 11 Möglichkeiten sich aufzustellen, der zweite noch 10 Möglichkeiten, der dritte noch 9 Möglichkeiten usw.

-1

-1 -2

Anzahl der Möglichkeiten: 11! = 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 39.916.800

2 3 P1(1/-1)

9 x

2 1

-3

Steigungsdreieck

-4

Aufgabengruppe II 1. a) Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

y P1 y P2 x P1 x P2

2. .

Der Flächeninhalt AS, den alle Streifen einnehmen, beträgt 40% des Flächeninhaltes AT des Teppichs. Somit ergibt sich folgende Vorgehensweise:

Einsetzen der Koordinaten von P1 (1/ 1) und P2 (8/13): y P y P2 m1 = 1 = 1 13 = 14 = 2 7 1 8 x P1 x P2

Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 2x + n1.

2,50 m

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes n1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes P1 (1/ 1) in y = 2x + n1:

1 = 2 · 1 + n1

vollständige Gleichung von g1: y = 2x 3.

1 = 2 + n1 ~ 2

n1 = 3

3,50 m

b) Der y-Wert des Schnittpunktes N von g1 mit der x-Achse hat den Wert Null. Um den zugehörigen x-Wert (Nullstelle) zu erhalten, wird deshalb in der Funktionsgleichung von g1 y = 0 gesetzt. Anschließend wird nach x aufgelöst:

0 = 2x 3 ~ 2x

2x = 3 °:( 2)

x = 1,5

N (1,5/0)

Flächeninhalt AT des gesamten Teppichs

AT = l · b = 3,50 m · 2,50 m = 8,75 m² Flächeninhalt AS der farbigen Streifen Der Flächeninhalt AS aller Streifen beträgt 40% des Flächeninhalts des Teppichs, d.h.:

AS = 40 % · AT = c) Das Produkt der Steigungen von zwei aufeinander senkrecht stehenden Geraden ergibt immer den Wert –1: m2 · m1 = 1 (wenn g2 A g1) Da die Gerade g2 auf g1 (m1 = 2) senkrecht stehen soll, gilt für deren Steigungen: m2 · 2 = 1 : 2

m2 = 12 = 0,5

40 100

· 8,75 m² = 3,5 m²

Breite x der farbigen Streifen Die Fläche AS der Streifen hat einen Inhalt von 3,5 m². Sie setzt sich aus drei Rechteckflächen zusammen (siehe untenstehende Hilfsskizze). Die schwarz dargestellten Flächen 1 und 2 sind jeweils gleich groß. x x x x

Die Funktionsgleichung von g2 lautet demnach bis jetzt: y = 0,5x + n2.

0 = 0,5·8 + n2

Gleichung von g2: y = 0,5x + 4.

0 = 4 + n2 + 4

Koordinaten von Punkt A (1/3,5) in g1: y = 2x 3: 3,5 = 2 · 1 3

3,5 = 1 ( f ) falsche Aussage

A liegt nicht auf g1.

Koordinaten von Punkt A (1/3,5) in g2: y = 0,5x + 4:

3,5 = 0,5 · 1 + 4

3,5 = 3,5 ( w ) wahre Aussage A liegt auf g2.

e) Man bestimmt zunächst den x-Wert des Schnittpunktes P3 durch Gleichsetzen der Funktionsterme von g1 und g2:

2x 3 = 0,5x + 4 ª + 3 2,5x = 7 ª : 2,5

2x = 0,5x + 7 ª + 0,5x

x = 2,8

Einsetzen von x = 2,8 in g1: y = 2 · 2,8 3 = 2,6

n2 = 4

d) Um überprüfen zu können, ob ein Punkt auf einer Gerade liegt, werden dessen Koordinaten in die Funktionsgleichung eingesetzt. Ergibt sich eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf der Gerade, ergibt sich eine falsche Aussage, liegt er nicht auf der Gerade.

3,50 m 2x 2,50 m

Zur Bestimmung von n2 werden die Koordinaten des Punktes Q (8/0), durch den g2 verläuft, in die Gleichung eingesetzt:

3,50 m

Würde man die Flächen 1 und 2 so weit verschieben, dass sie am Rand direkt nebeneinander liegen (siehe Skizze), könnte man die Maße und Flächeninhalte der drei Teilflächen wie folgt angeben: Rechteck 1 Rechteck 2 Rechteck 3

Länge in m 2,50 2,50 3,50 2x

Breite in m x x x

Flächeninhalt (Länge · Breite) in m² A1 = 2,50 · x A2 = 2,50 · x A3 = (3,50 2x) · x

Die Gesamtfläche AS aller Streifen beträgt unter Berücksichtigung der Streifenbreite x demnach: AS = A1 + A2 + A3 = 2,5x + 2,5x + (3,5 2x)x = 5x + 3,5x 2x² = 2x² + 8,5x Da die Streifen einen Flächeninhalt von insgesamt 3,5 m² haben müssen, ergibt sich eine quadratische Gleichung, aus der x (in m) bestimmt werden kann:

Schnittpunkt P3 (2,8/2,6)

2x² + 8,5x = 3,5

2x² + 8,5x 3,5 = 0

f) x Die Gerade g1: y = 2x 3 hat den y-Achsenabschnitt n1 = 3 und die Steigung m1 = 2 = 2 (vgl. Steigungsdreieck in Zeichnung). 1

x² – 4,25x + 1,75 = 0

x Die Gerade g2: y = 0,5x + 4 steht senkrecht auf g1 und verläuft durch Q (8/0).

x1/ 2

– 3,5 :(–2)

p = –4,25 ; q = 1,75 in Lösungsformel:

2,125 r 4,515625 1,75

2,125 r 1,663

x1 = 3,788 m | 3,79 m (nicht sinnvoll, da größer als Teppichbreite!) x2 = 0,462 m x 0,46 m

Streifenbreite: x = 0,46 m = 46 cm.

Abschlussprüfung 2011

B85 b) Bei der Zentrischen Streckung gilt für die Flächeninhalte der Original- und Bildfigur die Formel: ABildfigur = k² · AOriginalfigur

3. a) Die jährliche prozentuale Änderung p für den Zeitraum zwischen 2010 und 2030 erhält man durch Umformen der Wachstumsformel. Da eine Abnahme der Bevölkerungszahl in

p dieser Gruppe vorliegt, gilt die Formel: Wn = W0 · 1 100

Anfangswert W0 = 50 Mio.

Der Flächeninhalt des Bilddreiecks AB’C’ lässt sich demnach wie folgt berechnen:

AAB’C’ = k² · AABC = 1,5² · 1732 cm² = 3897 cm²

Endwert W20 = 43,5 Mio.

n = 20 (Jahre)

2030

a) Die Koordinaten des Scheitelpunktes S1 ( 4/ 4) werden in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel y = (x xS)² + yS eingesetzt. Diese wird dann in die Normalform umgeformt: y = (x ( 4))² + ( 4) = (x + 4)² 4 = (x² + 2·x·4 + 4²) 4 = (x² + 8x + 16) 4 = x² + 8x + 16 4 = x² + 8x + 12

Anzahl der Jahre zwischen 2010 und 2030 = 20 Bevölkerungszahl 2010 = 50 Mio. Bevölkerungszahl 2030 = W20 = 43,5 Mio. Prozentsatz

Eingesetzt:

43,5 Mio. = 50 Mio. · 1 100

0,87 = 1 100

0,993 +

p % jährl. Rückgang

2010 n W0 Wn p

p 100

~ 20

~: 50 Mio.

p 100

Normalform der Funktionsgleichung von p1: y = x² + 8x + 12.

0,87 = 1 100 ~+ 100

= 1 _ 0,993

b) Bestimmung der Schnittpunkte mit x-Achse durch Gleichsetzen der Funktionsgleichung von p1 mit Null:

= 0,007 ~·100

y=0

durchschnittliche jährliche Abnahme p% = 0,7%

x² + 8x + 12 = 0 mit p = 8 ; q = 12 in Lösungsformel: 2

b) Die prozentuale Veränderung p in den Jahren von 2010 bis 2030 insgesamt wird mittels Prozentfomel (Prozentsatz p% = Pr ozentwert P 100 ) berechnet, wobei gilt: Grundwert G G P

Bevölkerungszahl 2010 (Anfangswert) = 50 Mio. Veränderung der Bevölkerungszahl (zwischen 2010 und 2030) = 50 Mio. 43,5 Mio. = 6,5 Mio. 6,5 Mio. 100 = 13 % p% = P 100 = 50 Mio. G

Die Abnahme der Bevölkerungszahlen insgesamt13 %. c) Es ist der Zeitraum gesucht, in dem die Zahl der 20-Jährigen vom Anfangswert W0 = 15,3 Mio. auf den Endwert Wn = 12,9 Mio. sinkt, wenn man von einer jährlichen Abnahme p = 0,5 % ausgeht. Die Anzahl n der Jahre ergibt sich durch Einsetzen in die

p 100

Formel (siehe Aufgabe a)) Wn = W0 · 1

x1 = 2 und x2 = 6

4 r 2

Schnittpunkte: N1 ( 2/0) und N2 ( 6/0).

c) Die Funktionsgleichung der nach unten geöffneten Normalparabel lautet: y = x² + px + q. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte P ( 1/ 3) und Q ( 4/0) in die obige Gleichung ein und löst das entstehende Gleichungssystem: P ( 1/ 3) in y = x² + px + q: 3 = ( 1)² + p · ( 1) + q 3 = 1 1p + q ~+ 1 2 = 1p + q ( I )

Gleichungssystem:

. Beim Auflösen muss der Logarithmus

(I) ( II )

0 = 16 4p + q

( I ) ( II ) 18 = 3p + 0

~+ 16 16 = 4p + q ( II )

2 = 1p + q 16 = 4p + q

p = 6 in ( I ) eingesetzt: 2 = 1·( 6) + q

Endwert Wn = 12,9 Mio.

Abnahme p = 0,5 %

4 r 16 12

Q ( 4/0) in y = x² + px + q: 0 = ( 4)² + p · ( 4) + q

angewendet werden: Anfangswert W0 = 15,3 Mio.

x1/ 2

3p = 18 ~: 3

p = 6

2 = 6 + q ~ 6

q = 8

Funktionsgleichung der Normalparabel p2: y = x² 6x 8.

n (Jahre)

Eingesetzt:

0,5 12,9 Mio. = 15,3 Mio. · 1 100

0,843 = 0,995n Logarithmieren: n = log0,9950,843 =

~: 15,3 Mio.

0,5 0,843 = 1 100

d) Umwandeln der Funktionsgleichung von p2: y = x² 6x 8 durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktsform. Die Scheitelkoordinaten von S2 können dann der Gleichung entnommen werden: y = x² 6x 8 = (x² + 6x + 8) = (x² + 6x + 3² 3² + 8) = [(x + 3)² 3² + 8] =

lg 0,843 x 34 lg 0,995

Anzahl der Jahre n | 34

= [(x + 3)² 9 + 8] = [(x + 3)² 1] = (x + 3)² + 1

4. a) Der Umfang u’ des Dreiecks AB’C’ entspricht der Summe aller Dreieckseiten:

C’

x² + 8x + 12 = x² 6x 8 ~+ x² + 6x + 8

3,5 r 12,25 10

x1 = 2 und x2 = 5

50 cm

x1 = 2 in p1: y1 = (–2)² + 8·( 2) + 12 = 4 16 + 12 = 0

AB' = k · AB = 1,5 · 80 cm = 120 cm

Länge der Bildstrecke B'C' :

B'C' = k · BC = 1,5 · 50 cm = 75 cm

Länge der Bildstrecke AC' :

B’

f) y 4

3 2

AC' = k · AC = 1,5 · AC

AC und AC ' sind nicht bekannt. Ersetzt man AC durch x, ergeben sich für die Originalund Bildstrecke (Längen in cm): AC = x AC' = x + 35

S2(-3/1)

-8

-7

-6

-5

-4

-3

Setzt man beide Terme in die Gleichung AC' = 1,5 · AC ein, erhält man: x + 35 = 1,5 · x.

35 = 0,5x

~: 0,5

x = 70

-3

T2(-5/-3)

Bildstrecke AC' = x + 35 = 70 + 35 = 105 cm

Umfang u’ des Dreiecks AB’C’:

u’ = AB' + B'C' + AC' = 120 cm + 75 cm + 105 cm = 300 cm

1 T1(-2/0) -2 -1 O -1 -2

Durch Umstellen der Gleichung lässt sich x wie folgt berechnen: x + 35 = 1,5x ~ x

x2 = 5 in p1: y2 = ( 5)² + 8·( 5) + 12 = 25 40 + 12 = 3 80 cm

3,5 r 1,5

Es gilt: LängeBildfigur = k · LängeOriginalfigur Länge der Bildstrecke AB' :

2x² + 14x + 20 = 0 ~: 2

p = 7 ; q = 10 in Lösungsformel:

x² + 7x + 10 = 0

Da das Bilddreieck AB’C’ durch zentrische Streckung des Originaldreiecks ABC mit dem Streckungsfaktor k = 1,5 entsteht, sind alle x Strecken des Dreiecks AB’C’ 1,5-mal so lang wie Strecken des Dreiecks ABC. A

e) Bestimmung der Koordinaten von T1 und T2 durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2:

35 cm

u’ = AB' + B'C' + AC'

Scheitel S2 ( 3/1)

S1(-4/-4)

-4 -5

1 x

Schnittpunkt T1( 2/0) Schnittpunkt T2( 5/ 3)

AbschlussprĂźfung 2011

B86 6.

Mit Hilfe eines Kathetensatzes (z.B.: aÂ˛ = p Âˇ c) kann die LĂ¤nge eines Teiles ermittelt

Die SeitenlĂ¤ngen x und y kĂśnnen mit Hilfe eines Gleichungssystems berechnet werden. Die dazu notwendigen Gleichungen findet man, wenn man in die jeweilige Umfangsformel die entsprechenden SeitenlĂ¤ngen einsetzt. Zu beachten ist, dass beide FlĂ¤chen einen Umfang von 17 cm haben.

werden, wenn man die Strecken wie folgt einsetzt: AB = BD Âˇ BC

y x

x+1 y

Â&#x;

(6 cm)Â˛ = 2x Âˇ 5x

Â&#x;

x = 3,6 cmÂ˛ x 1,9 cm

Umfangsformel Rechteck: uR = 2 Âˇ a + 2 Âˇ b (LĂ¤nge a ; Breite b)

Â&#x;

LĂ¤nge der Hypotenuse: BC = 5x = 5 Âˇ 1,9 cm = 9,5 cm

Setzt man den gegebenen Umfang und die Variablen x und y ein, ergibt sich die erste Bestimmungsgleichung (SeitenlĂ¤ngen in cm):

Â&#x;

sin J = AB = 6 cm x 0,6316 BC 9,5 cm

Â&#x153; 17 = 2x + 3 + y ~ 3

p(E) =

Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse

Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse = 6 (nĂ¤mlich 11, 22, 33, 44, 55, 66) Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse = 36 (nĂ¤mlich 11, 12, 13, ...., 61, 62, 63, 64, 65, 66) Â&#x;

( II ): 14 = 2x + y

p(E) = 6 36

1 6

0,16

16 23 %

Antworten A und E sind richtig.

( I ): 17 = 2x + 2y ( II ): 14 = 2x + y ( I ) ( II ): 3 = 0x + y

Gleichungssystem

10.

y=3

y = 3 in ( II ) einsetzen: Â&#x; 14 = 2x + 3 ~ 3

Â&#x153; 11 = 2x ~: 2

Â&#x153;

a) Der Kugelradius r1 kann durch Gleichsetzen des Kegelvolumens VK und des Kugelvolumens V berechnet werden.

x = 5,5

FĂźr die SeitenlĂ¤ngen des Rechtecks gilt: x = 5,5 cm und y = 3 cm.

1. Volumen VK des Kegels

VK = 13 Âˇ rÂ˛ Âˇ S Âˇ hK = 13 Âˇ (12 cm)Â˛ Âˇ 3,14 Âˇ (20 cm) = 3014,4 cmÂł

7. x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind: Nenner 1: xÂˇ(x 18) Â&#x; xÂˇ(x 18) = 0 Der Nenner 1 wird Null, wenn einer seiner Faktoren x oder x 18 den Wert Null annimmt, d.h.: x = 0 oder x 18 = 0 Â&#x153; x = 18 Nenner 2/3:

Â&#x;

2. Radius r1 der Kugel Da das Kugelvolumen V dem Kegelvolumen entspricht (V = VK = 3014,4 cmÂł), kann man den Kugelradius aus der Volumenformel VKugel = 43 Âˇ rÂł Âˇ S ermitteln, indem man fĂźr VKugel 3014,4 cmÂł einsetzt und die entstandene Gleichung nach r auflĂśst:

Â&#x;

3014,4 cmÂł =

Â&#x153;

rÂł x 719,9 cmÂł

Â&#x;

Der Kugelradius r1 betrĂ¤gt 9 cm.

4Âˇ 3

rÂł Âˇ 3,14

Â&#x153; 3014,4 cmÂł = 4,187 Âˇ rÂł Â°: 4,187

Â&#x153;

Â&#x; r = 3 719,9 cmÂł x 9 cm = r1

x = 0 (bereits bei Nenner 1 berĂźcksichtigt) b) Um das VerhĂ¤ltnis der beiden Kugelradien ermitteln zu kĂśnnen, muss mit Hilfe der Formel fĂźr die KugeloberflĂ¤che (OKugel = 4 Âˇ rÂ˛ Âˇ S) zuerst der Radius der zweiten Kugel bestimmt werden:

Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ {0; 18} 8 Â&#x2DC; (21x 405) 3 Â&#x2DC; (x 10) x Â&#x2DC; (x 18) x

x LĂśsungsmenge:

5x 10 x

OKugel = 254,34 cmÂ˛ eingesetzt: Â&#x; 254,34 cmÂ˛ = 4 Âˇ rÂ˛ Âˇ 3,14 Â&#x153; 254,34 cmÂ˛ = 12,56 Âˇ rÂ˛ Â°: 12,56

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: xÂˇ(x â&#x20AC;&#x201C; 18) 8(21x 405) 3(x 10) Â&#x; Âˇ x Âˇ (x â&#x20AC;&#x201C; 18) + Âˇ x Âˇ (x â&#x20AC;&#x201C; 18) = 5x 10 Âˇ x Âˇ (x â&#x20AC;&#x201C; 18) x x(x 18) x KĂźrzen: 8(21x 405) + 3(x â&#x20AC;&#x201C; 10)Âˇ(x 18) = (5x â&#x20AC;&#x201C; 10)Âˇ(x 18)

Â&#x153;

Â&#x153; rÂ˛ = 20,25 cmÂ˛

Â&#x153;

Ausmultiplizieren:

168x â&#x20AC;&#x201C; 3240 + 3(xÂ˛ 18x 10x + 180) = 5xÂ˛ 90x â&#x20AC;&#x201C; 10x + 180 Â&#x153;

Zusammenfassen:

3xÂ˛ + 84x â&#x20AC;&#x201C; 2700 = 5xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 100x + 180 ~ 5xÂ˛ + 100x 180

168x â&#x20AC;&#x201C; 3240 + 3xÂ˛ 54x 30x + 540 = 5xÂ˛ 90x â&#x20AC;&#x201C; 10x + 180 Â&#x153; Â&#x153;

â&#x20AC;&#x201C;2xÂ˛ + 184x 2880 = 0

Â&#x;

p = 92 ; q = 1440 in LĂśsungsformel:

Â°:(â&#x20AC;&#x201C;2)

x1/ 2 = 92 r Â§Â¨ 92 ÂˇÂ¸ 1440 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x153;

xÂ˛ 92x + 1440 = 0

46 r 2116 1440

x1 = 72 Â? ID und x2 = 20 Â? ID

Â&#x153;

46 r 26

Â&#x; IL = {20; 72}

8. Die GrĂśĂ&#x;e des Winkels J kann im rechtwinkligen Dreieck ABC z.B. mit dem Sinus aus der Gegenkathete AB und der Hypotenuse BC berechnet werden: Â&#x;

Â&#x; Winkel J x 39Â°

Da alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt fĂźr die Wahrscheinlichkeit:

Â&#x;

~: 10 Â&#x153; xÂ˛ = 3,6 cmÂ˛

Umfangsformel Dreieck: uD = a + b + c (Seiten a, b und c)

17 = x + 1 + x + 2 + y

Â&#x;

Â&#x153; 36 cmÂ˛ = 10xÂ˛

( I ): 17 = 2x + 2y

Eingesetzt ergibt sich die zweite Bestimmungsgleichung (SeitenlĂ¤ngen in cm):

x+2

sin J = AB = 6 cm BC BC

Die Hypotenuse BC setzt sich aus den beiden Abschnitten BD und DC zusammen, deren LĂ¤ngen im VerhĂ¤ltnis 2 : 3 stehen, d.h.: BD Âź 2 Teile und DC Âź 3 Teile. Da die GrĂśĂ&#x;e eines Teiles nicht gegeben ist, soll festgelegt werden: 1 Teil Âź x cm B

FĂźr die Hypotenuse und deren Abschnitte ergibt sich somit (vgl. Zeichnung): BD = 2x DC = 3x BC = 5x

2x D

6 cm

J C

Skizze nicht maĂ&#x;stĂ¤blich!

Â&#x;

Â&#x; r = 20, 25 cmÂ˛ = 4,5 cm = r2

VerhĂ¤ltnis von Radius r1 zu Radius r2: oder anders dargestellt: r1 : r2 = 2 : 1

r1 = 9 cm = 2 r2 4,5 cm 1

AbschlussprĂźfung 2012

B87 x Die Gerade g1: y = 0,5x + 1,5 verlĂ¤uft durch die Punkte B (3/0) und D (5/ 1).

2.2.8 AbschlussprĂźfung 2012

x Die Gerade g2 hat die Gleichung: y = 1,5x 2,5 (siehe 1.b)). Sie hat den y-Achsenabschnitt t2 = 2,5 und die Steigung m2 = 1,5 = 15 = 3 (siehe Steigungsdreieck in Zeichnung). 10 2

Aufgabengruppe I 1. a)

y P1 y P2

Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

x Die Gerade g3: y = 2x 1 steht senkrecht auf g1 und verlĂ¤uft durch C (1/1). .

Einsetzen der Koordinaten von B (3/0) und D (5/ 1): y yD 0 ( 1) = 1 = 0,5 = m1 = B 2 3 5 xB xD

f) Der FlĂ¤cheninhalt AABC des Dreiecks ABC wird mit der FlĂ¤chenformel fĂźr Dreiecke gÂ&#x2DC;h (A = ) aus der Grundlinie g und der HĂśhe h (siehe Koordinatensystem 1.e)) berechnet. 2 Die Grundlinie g entspricht der LĂ¤nge AB und die HĂśhe dem y-Wert des Punktes C:

Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 0,5x + t1.

Â&#x;

x P1 x P2

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes t1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes B (3/0) in y = 0,5x + t1: Â&#x;

0 = 0,5 Âˇ 3 + t1 Â&#x153; 0 = 1,5 + t1 _ + 1,5

Â&#x153;

t1 = 1,5

Â&#x;

2,5y = 3,75x 6,25

ÂŞ : 2,5

Â&#x2DC;

g2: y = 1,5x 2,5

Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:

Â&#x153;

2x = 4 ÂŞ :( 2)

0,5x + 1,5 = 1,5x 2,5 ÂŞ 1,5x ÂŞ 1,5

x=2

Einsetzen von x = 2 in g1: y = 0,5 Âˇ 2 + 1,5 = 0,5

Â&#x;

y = 0,5x + 1,5 in g2:

Â&#x; 2,5Âˇ ( 0,5x + 1,5) = 3,75x 6,25

Â&#x153;

1,25x + 3,75 = 3,75x 6,25 ÂŞ 3,75x z 3,75

Â&#x153;

5x = 10 ÂŞ :( 5)

Â&#x153;

x=2

Einsetzen von x = 2 in g1: y = 0,5 Âˇ 2 + 1,5 = 0,5

Â&#x;

Schnittpunkt E (2/0,5)

c) Das Produkt der Steigungen von zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden ergibt immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1. FĂźr die Steigungen m3 und m1 der beiden zueinander senkrecht stehenden Geraden g3 und g1 gilt deshalb m3 Âˇ m1 = 1 Setzt man die Steigung m1 = 0,5 von g1 ein, lĂ¤sst sich die Steigung m3 der Senkrechten wie folgt berechnen: Â&#x153; m3 = 2 Â&#x; m3 Âˇ ( 0,5) = 1 Â :( 0,5)

Â&#x153;

1 = 2 + t3 Â 2

Â&#x153;

t3 = 1

15 m A

Da die KathetenlĂ¤nge AC und der Hypotenusenabschnitt BZ des rechtwinkligen Dreiecks AZC bekannt sind, bietet sich fĂźr die Berechnung A von AB der Kathetensatz bÂ˛ = c Â&#x2DC; q an. Â&#x;

AC = AZ Â&#x2DC; AB

Â&#x153;

2x = 1 Â°:( 2)

e) HINWEIS: Das Koordinatensystem enthĂ¤lt bereits Elemente der Aufgabe 1.f)

Â&#x153;

Â&#x; A (0,5/0)

x = 0,5

y 6

48 m

3 2

-4

-3

-2

Grundlinie g des Dreiecks

-2 -3 -4

HĂśhe h des Dreiecks

C(1/1)

Steigungsdreieck

45Â˛ = ( AB + 48) Â&#x2DC; AB

2025 = AB + 48Â&#x2DC; AB

z 2025

Â&#x2DC;

Klammer auflĂśsen! 2

0 = AB + 48Â&#x2DC; AB 2025

Man erhĂ¤lt eine quadratische Gleichung, die mit der LĂśsungsformel gelĂśst werden kann: p = 48 ; q = 2025 in Formel: 2

AB1/ 2

48 r Â§Â¨ 48 ÂˇÂ¸ ( 2025) = 24 r 24 2 2025 = 24 r 51 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x;

AB1

Â&#x;

Hypotenusenabschnitt AB = 27 m

und ( AB 2

75 o nicht sinnvoll, da negativ) C

B(3/0) 3

ermittelt werden. Es gilt hier: AC = AB + BC

45 m

Eingesetzt (alle LĂ¤ngen in m): Â&#x;

45Â˛ = 27Â˛ + BC Â˛

Â&#x2DC; 2025 = 729 + BC Â˛ z 729

Â&#x;

27 m

Â&#x2DC;

BC = 2025 729 = 1296

Â&#x;

Umfang des Dreiecks ABC: u = AB + BC + AC = 27 m + 36 m + 45 m = 108 m

Â&#x;

1 A(0,5/0) -1 O 1 -1

45 m

BC = 1296 = 36 m

Der Umfang uâ&#x20AC;&#x2122; des Dreiecks Aâ&#x20AC;&#x2122;Bâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122; lĂ¤sst sich am einfachsten mit Hilfe des in Aufgabe a) ermittelten Streckungsfaktors k unter Verwendung der Formel fĂźr die zentrische Streckung von LĂ¤ngen (LĂ¤ngeBildstrecke = k Âˇ LĂ¤ngeOriginalstrecke) berechnen:

5 g1

mit AZ = AB + BZ = AB + 48 m

Eingesetzt (LĂ¤ngen in m): Â&#x2DC;

Aâ&#x20AC;&#x2DC;

b) Um den Umfang des Dreiecks ABC berechnen zu kĂśnnen, mĂźssen die StreckenlĂ¤ngen AB und BC ermittelt werden.

d) Der y-Wert des Schnittpunktes A von g3 mit der x-Achse hat den Wert Null. Um den zugehĂśrigen x-Wert (Nullstelle) des Schnittpunktes A zu erhalten, wird deshalb in der Funktionsgleichung von g3 y = 0 gesetzt. Die Gleichung wird dann wie folgt nach x aufgelĂśst: 0 = 2x 1 ~ 2x

Câ&#x20AC;&#x2DC;

k = A 'C ' = 15 m = 1 45 m 3 AC

Nun kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck ABC die StreckenlĂ¤nge BC

Â&#x; Gleichung von g3: y = 2x 1.

Â&#x;

a) Der Streckungsfaktor k lĂ¤sst sich wie folgt bestimmen (Zentrum ist Z): BildstreckenlĂ¤nge k= 45 m OriginalstreckenlĂ¤nge

Die Funktionsgleichung von g3 lautet demnach bis jetzt: y = 2x + t3. Zur Bestimmung des y-Achsenabschnittes t3 werden noch die Koordinaten des Punktes C (1/1), durch den g3 verlĂ¤uft, in deren Gleichung eingesetzt: 1 = 2 Âˇ 1 + t3

gÂ&#x2DC;h (2,5 cm) Â&#x2DC; (1 cm) = = 1,25 cmÂ˛ 2 2

Schnittpunkt E (2/0,5)

Alternativweg: Da die Gerade g2: 2,5y = 3,75x 6,25 in der allgemeinen Form angegeben ist, kann man den x-Wert des Schnittpunktes E auch mit Hilfe des Einsetzverfahrens bestimmen. Dazu wird der Term 0,5x + 1,5 der Gerade g1 an Stelle von y in die Funktionsgleichung von g2 eingesetzt:

Â&#x;

DreiecksflĂ¤che AABC =

vollstĂ¤ndige Gleichung von g1: y = 0,5x + 1,5.

b) Man bestimmt den x-Wert des Schnittpunktes E durch Gleichsetzen der Funktionsterme von g1 und g2. Dazu muss jedoch die Funktionsgleichung von g2 noch nach y aufgelĂśst werden: Â&#x;

g = AB = xB xA = 3 0,5 = 2,5 Âź 2,5 cm h = yC = 1 Âź 1 cm

5 x

D(5/-1)

Umfang des Bilddreiecks Aâ&#x20AC;&#x2122;Bâ&#x20AC;&#x2122;Câ&#x20AC;&#x2122;: uâ&#x20AC;&#x2122; = u Â&#x2DC; k = 108 m Â&#x2DC; 1 = 36 m 3

c) Um die GrĂśĂ&#x;e des Winkels M zu bestimmen, kann z.B. das rechtwinklige Teildreieck BZC betrachtet werden. Die Anwendung des Tangens ergibt dort: tan M = BC = 36 m = 3 48 m 4 BZ Â&#x;

36 m

M x 36,87Â° x 37Â° 48 m B

M Z

AbschlussprĂźfung 2012

B88 (II)* (III)

3. a) Die Berechnung des Restwertes erfolgt mit Hilfe der Formel fĂźr einen Kapitalverlust

Â&#x;

p Âˇ Â§ Kn = K0 Â&#x2DC; Â¨ 1 Â¸ (â&#x20AC;&#x17E; â&#x20AC;&#x153;-Zeichen, da Wertverlust). Da der Wertverlust im 1. Jahr anders ÂŠ 100 Âš ist als in den beiden Folgejahren, muss mit unterschiedlichen ProzentsĂ¤tzen gerechnet werden. Restwert Restwert Restwert Neuwert nach 2. Jahr nach 3. Jahr nach 1. Jahr

K1 = 48.000 â&#x201A;Ź Â&#x2DC; Â§Â¨ 1 25 ÂˇÂ¸ = 48.000 â&#x201A;Ź Â&#x2DC; 0,75 = 36.000 â&#x201A;Ź ÂŠ 100 Âš

Das Auto hat nach insgesamt 3 Jahren noch einen Restwert von 23.040 â&#x201A;Ź. b) Zur Berechnung der Jahre n wird wieder die Formel aus Teilaufgabe a) verwendet. Da ein gleichbleibender Wertverlust zu Grunde gelegt wird, gilt diesmal: n Anzahl der verstrichenen Jahre K0 Neuwert des Fahrzeuges = 48.000 â&#x201A;Ź Kn Restwert nach n Jahren = 10.000 â&#x201A;Ź p prozentualer Wertverlust (gleichbleibend) = 18. 10.000 â&#x201A;Ź = 48.000 â&#x201A;Ź Â&#x2DC; Â§Â¨ 1 18 ÂˇÂ¸ ÂŠ 100 Âš

z: 48.000 â&#x201A;Ź

Â&#x2DC;

5 = Â§ 1 18 Âˇ Â¨ Â¸ 24 ÂŠ 100 Âš

Â&#x2DC;

5 lg 24 Logarithmieren: n = log0,82 Â§Â¨ 5 ÂˇÂ¸ = x 7,9043 x 8 ÂŠ 24 Âš lg 0,82

Â&#x;

Â&#x2DC;

2Â&#x2DC; 7 + z = 17

Gleichungsseiten tauschen

0,82 n = 5 24

Â&#x2DC;

z 1

(II) 8 + 2y + z = 25 (III) 20 4y + 2z = 2

Â&#x2DC;

(II)* 2y + z = 17 (III) 4y + 2z = 22

Â&#x2DC;

16 cmÂ˛ : 5 cm = AD

Â&#x;

Hypotenusenabschnitt p = DB = AB AD = 5 cm 3,2 cm = 1,8 cm

3, 2 cm

Bestimmung der DreieckshĂśhe: Mit Hilfe des HĂśhensatzes hÂ˛ = p Â&#x2DC; q kann die HĂśhe h des Dreiecks ABC ermittelt werden: Â&#x; hÂ˛ = DB Âˇ AD

Eingesetzt:

hÂ˛ = 1,8 cm Â&#x2DC; 3,2 cm = 5,76 cmÂ˛

Â&#x;

h = 5,76 cmÂ˛ = 2,4 cm

Berechnung des Innenwinkels: Berechnung des Winkels D im rechtwinkligen Dreieck ADC z.B. mittels Tangens aus den Strecken h und q:

2, 4 cm tan D = h = 3,2 cm q

C b = 4 cm h = 2,4 cm

Â&#x; D x 36,87Â° x 37Â°

ÄŽ

q = 3,2 cm

LĂ¤nge des Rechtecks (lĂ¤ngere Seite): x Breite des Rechtecks (kĂźrzere Seite): y

Die LĂ¤nge x des Rechtecks wird um 4 cm verkĂźrzt und die Breite y des Rechtecks um 5 cm verlĂ¤ngert. Das neu entstehende Viereck hat somit eine LĂ¤nge x 4 und eine Breite y + 5. y

y+5

Rechteck: FlĂ¤che AR = x Âˇ y

Da es sich beim neuen Viereck um ein Quadrat handelt, mĂźssen alle Seiten gleich lang sein. Man erhĂ¤lt somit die erste Bestimmungsgleichung: Â&#x; ( I ): x = y + 9 x 4 = y + 5 ~+ 4 Der FlĂ¤cheninhalt AR = x Âˇ y des Rechtecks vergrĂśĂ&#x;ert sich durch die LĂ¤ngen-/BreitenĂ¤nderung ebenfalls - und zwar um 38 cmÂ˛. Man erhĂ¤lt den FlĂ¤cheninhalt AQ = (x 4)Âˇ(y + 5) des neu entstandenen Quadrats dann, wenn man zur RechteckflĂ¤che 38 mÂ˛ addiert. Die zweite Bestimmungsgleichung lautet demnach: AR + 38 = AQ Â&#x; ( II ): x Âˇ y + 38 = (x 4)Âˇ(y + 5)

(I) 3x = 12 (II) 2x + 2y + z = 25 (III) 5x 4y + 2z = 2

x = y + 9 in ( II ): z: 3

Â&#x2DC; 25 cmÂ˛ = rÂ˛

Quadrat: FlĂ¤che AQ = (x 4)Âˇ(y + 5) (Alle LĂ¤ngen in cm; alle FlĂ¤chen in cmÂ˛)

Der effektive Jahreszins fĂźr diesen Kredit betrĂ¤gt 1,99%.

Â&#x;

z: 14 z: 3,14

Â&#x;

z: 24.000 â&#x201A;Ź

p Âˇ p Â§ 1,1255 = Â¨ 1 Â&#x2DC; 1 = 6 1,1255 x 1,0199 Â¸ 100 100 Âš ÂŠ p = 0,0199 zÂ&#x2DC;100 Â&#x2DC; p = 1,99 100

x = 4 einsetzen in (II) und (III): (II) (III)

Â&#x2DC; 3,14 Â&#x2DC; rÂ˛

x 4

Kreditbetrag (HĂ¤lfte des Neuwagenpreises) = 48.000 â&#x201A;Ź = 24.000 â&#x201A;Ź 2 Gesamtschuld (Kredit inkl. Zinseszins) am Ende der Laufzeit = K6 = 27.012 â&#x201A;Ź eff. Jahreszins (gleichbleibend)

Gleichung (I) liefert den Wert fĂźr x: 3x = 12

1 4

Anzahl der Jahre/Laufzeit des Kredits = 6

Â&#x2DC;

Â&#x; IL = {(4 / 7 / 3)}

z=3

Â&#x2DC;

Eingesetzt: (4 cm)Â˛ = 5 cm Â&#x2DC; AD z: 5 cm

Eingesetzt:

y=7

Berechnung der Hypotenusenabschnitte: Anwenden des Kathetensatzes bÂ˛ = c Â&#x2DC; q im rechtwinkligen Dreieck ABC zur Berechnung des Hypotenusenabschnittes q = AD : bÂ˛ = AB Âˇ AD

p Âˇ Â§ Kn = K0 Â&#x2DC; Â¨ 1 Â¸ angewendet. Da sich der Kreditbetrag durch Zins und Zinseszins 100 Âš ÂŠ wĂ¤hrend der Laufzeit auf die Gesamtschuld von 27.012 â&#x201A;Ź erhĂśht, gelten folgende Werte:

Â&#x2DC;

Â&#x; r = 25 cmÂ˛ = 5 cm = AB

Festlegen der Variablen:

c) Zur Bestimmung des effektiven jĂ¤hrlichen Zinssatzes des Kredits wird die Zinseszinsformel

p Âˇ Â§ 27.012 â&#x201A;Ź = 24.000 â&#x201A;Ź Â&#x2DC; Â¨ 1 Â¸ 100 Âš ÂŠ

14 + z = 17 z 14

19,625 cmÂ˛ =

Nach etwa 8 Jahren betrĂ¤gt der Restwert des Wagens nur noch 10.000 â&#x201A;Ź.

Kn p

8y = 56

Zur Bestimmung von z wird y = 7 in die Gleichung (II)* eingesetzt:

Eingesetzt:

K2 = 36.000 â&#x201A;Ź Â&#x2DC; Â§Â¨ 1 20 ÂˇÂ¸ = 36.000 â&#x201A;Ź Â&#x2DC; 0,64 = 23.040 â&#x201A;Ź ÂŠ 100 Âš

Eingesetzt:

Â&#x2DC;

Berechnung der HypotenusenlĂ¤nge: Die Hypotenuse AB des Dreiecks ABC wird mit Hilfe des angegebenen FlĂ¤cheninhaltes des Viertelkreises AVK = 19,625 cmÂ˛ bestimmt (AVK = 14 Â&#x2DC; S Â&#x2DC; rÂ˛).

Restwert nach dem 3. Jahr: Ausgehend vom Restwert K1 nach dem ersten Jahr verliert das Fahrzeug nochmals Ăźber zwei weitere Jahre gleichbleibend an Wert. Es gilt weiterhin die o.g. Formel mit n Anzahl der Jahre = 2 K0 Restwert nach einem Jahr = 36.000 â&#x201A;Ź Kn Restwert nach zwei weiteren Jahren = K2 p prozentualer Wertverlust = 20.

Â&#x;

z:( 8)

Die DreieckshĂśhe h und der Innenwinkel D im rechtwinkligen Dreieck ABC kĂśnnen bestimmt werden, wenn die Hypotenusenabschnitte q = AD und p = DB bekannt sind. Diese kĂśnnen mit Hilfe der Hypotenuse AB und der Kathete AC berechnet werden. AB entspricht dem Radius r des Viertelkreises.

Restwert nach dem 1. Jahr: Ausgehend vom Neuwert des Fahrzeuges gilt: n Anzahl der Jahre = 1 K0 Wert des Wagens bei Anschaffung = 48.000 â&#x201A;Ź Kn Restwert nach einem Jahr = K1 p prozentualer Wertverlust = 25.

Â&#x;

(II) 4y 2z = 34 (III) 4y + 2z = 22 (II)+(III) 8y + 0 = 56

20 %

25 %

zÂ&#x2DC;( 2)

2y + z = 17 4y + 2z = 22

Â&#x2DC;

x=4

2Â&#x2DC; 4 + 2y + z = 25 5Â&#x2DC; 4 4y + 2z = 2

z 8 z 20

Gleichung (II)* wird mit dem Faktor 2 multipliziert, so dass der Koeffizient vor z in Gleichung (II)* den Wert 2 annimmt. Nach Anwenden des Additionsverfahrens im Anschluss entfĂ¤llt die Variable z, die enstandene Gleichung kann nach y aufgelĂśst werden:

(y + 9) Âˇ y + 38 = ((y + 9) 4)Âˇ(y + 5)

Â&#x153;

yÂ˛ + 9y + 38 = (y + 9 4)Âˇ(y + 5)

Â&#x153;

yÂ˛ + 9y + 38 = yÂ˛ + 5y + 5y + 25

Â&#x153;

yÂ˛ + 9y + 38 = yÂ˛ + 10y + 25 ~ yÂ˛

Â&#x153;

y = 13 ~: ( 1)

y = 13 in ( I ):

Â&#x153;

yÂ˛ + 9y + 38 = (y + 5)Âˇ(y + 5) Â&#x153;

9y + 38 = 10y + 25 ~ 10y z 38

y = 13

x = 13 + 9 = 22

Â&#x;

LĂ¤nge des Rechtecks: 22 cm, Breite des Rechtecks: 13 cm.

7. Um die Masse einer Hohlkugel zu bestimmen, muss als erstes deren Volumen VHK berechnet werden. Dazu braucht man den Innen- und den AuĂ&#x;enradius der Hohlkugel.

AbschlussprĂźfung 2012

B89

Da der OberflĂ¤cheninhalt O = 314 cmÂ˛ gegeben ist, kann der AuĂ&#x;enradius ra mit Hilfe der Formel fĂźr die OberflĂ¤che einer Kugel (OKugel = 4 Â&#x2DC; S Â&#x2DC; rÂ˛) bestimmt werden: Eingesetzt: Â&#x;

314 cmÂ˛ = 4 Â&#x2DC; 3,14 Â&#x2DC; raÂ˛

Â&#x2DC; 25 cmÂ˛ = raÂ˛

z: 4 z: 3,14

ra = 25 cmÂ˛ = 5 cm

Den Innenradius ri erhĂ¤lt man, wenn man vom AuĂ&#x;enradius wird die WandstĂ¤rke (0,4 mm = 0,04 cm) abzieht: Â&#x;

ri = ra w = 5 cm 0,04 cm = 4,96 cm

Das Volumen der Hohlkugel ergibt sich, wenn man vom Volumen der Ă¤uĂ&#x;eren Kugel das Volumen der inneren Kugel (Hohlraum) abzieht: VHK = VAuĂ&#x;enkugel VInnenkugel = 4 Â&#x2DC; S Â&#x2DC; raÂł 4 Â&#x2DC; S Â&#x2DC; riÂł 3 3 = 4 Â&#x2DC; 3,14 Â&#x2DC; (5 cm)Âł 4 Â&#x2DC; 3,14 Â&#x2DC; (4,96 cm)Âł 3 3 x 523,33 cmÂł 510,87 cmÂł = 12,46 cmÂł Â&#x;

m = DichteGlas Âˇ Volumen VHK =

Âˇ 12,46 cmÂł = 31,15 g x 31 g

8. a) Betrachtet man die in der Tabelle angegebenen y-Werte nĂ¤her, stellt man fest, dass diese von links nach rechts zunĂ¤chst kleiner werden und dann wieder zunehmen o nach oben geĂśffnete Normalparabel. x y

4 17

3 10

2 5

1 2

0 1

1 2

2 5

3 10

4 17

Der kleinste vorkommende y-Wert liegt in der Tabellenmitte mit: y = 1. Er entspricht somit dem y-Wert des Scheitels. Zusammen mit dem zugehĂśrigen x-Wert ergeben sich demnach folgende Scheitelkoordinaten: S (0/1). Setzt man die Koordinaten des Scheitels S (0/1) in die Scheitelform einer nach oben geĂśffneten Normalparabel (y = ( x xS)Â˛ + yS) ein, erhĂ¤lt man folgende Funktionsgleichung: Â&#x;

Â§pÂˇ Umstellen der Gleichung wird die Diskriminante D = Â¨ Â¸ q der LĂśsungsformel ÂŠ 2Âš berechnet. Ergibt sich fĂźr D ein negativer Wert, erhĂ¤lt man keine LĂśsungen und damit auch keine Schnittpunkte. Der rechnerische Nachweis ist damit erbracht.

Â&#x;

xÂ˛ + 1 = xÂ˛ + 8x 12 ~+ xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 8x + 12

Â&#x153;

2xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 8x + 13 = 0

Â&#x153;

xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 4x + 6,5 = 0

Â&#x;

Â§pÂˇ p = â&#x20AC;&#x201C;4 ; q = 6,5 in Diskriminante D = Â¨ Â¸ q = Â§Â¨ 4 ÂˇÂ¸ 6,5 = 2,5 < 0 ÂŠ 2 Âš ÂŠ2Âš

Diskriminante D < 0 Â&#x; keine LĂśsung Â&#x; keine Schnittpunkte

Dementsprechend hat S3 den gleichen x-Wert wie S2, das Vorzeichen des y-Wertes von S2 kehrt sich um: Â&#x; S3 (4/ 4) Durch die Achsenspiegelung wird auĂ&#x;erdem die Ă&#x2013;ffnungsrichtung der Parabel verĂ¤ndert, so dass p3 nach oben geĂśffnet ist. Die Koordinaten des neuen Scheitels S3 (4/ 4) werden in die Scheitelform einer nach oben geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt. Diese wird dann in die Normalform umgeformt: y = (x 4)Â˛ + ( 4) = (xÂ˛ 2ÂˇxÂˇ4 + 4Â˛) 4 = (xÂ˛ 8x + 16) 4 = xÂ˛ 8x + 16 4 Normalform der Funktionsgleichung von p3: y = xÂ˛ 8x + 12.

Â&#x;

9. a)

b) Umwandeln der Funktionsgleichung von p2: y = xÂ˛ + 8x 12 durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform. Die Scheitelkoordinaten von S2 kĂśnnen der Funktionsgleichung entnommen werden.

Sonnenstrahlen

y = (xÂ˛ 8x + 12) y = (xÂ˛ 8x + 4Â˛ 4Â˛ + 12)

m Quadratische ErgĂ¤nzung

y = [(x 4)Â˛ 16 + 12]

m binomische Formel bilden / 4 quadrieren

y = [(x 4)Â˛ 4]

m Zusammenfassen

y = (x 4)Â˛ + 4

m [ ] Klammer auflĂśsen

Scheitel S2 (4/4)

c) x Einzeichnen des Graphen der Parabel p1 mit Hilfe der Tabellenwerte (oder mit Schablone). x Einzeichnen des Graphen der Parabel p2 mittels Scheitel S2 (4/4) und Schablone. y 5

S2(4/4)

-1

N1(2/0) 1

Spiegelung an der x-Achse

N2(6/0) 7 x

S3(4/-4)

d) Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) durch Gleichsetzen der Funktionsgleichung von p2 mit Null: Â&#x153;

xÂ˛ â&#x20AC;&#x201C; 8x + 12 = 0

mit p = â&#x20AC;&#x201C;8 ; q = 12 in LĂśsungsformel: 2

Â&#x; x1 = 2 und x2 = 6

Â&#x;

4 r 16 12

VerlĂ¤ngerung 100 cm

z:100

Â&#x2DC; Â&#x2DC;

350x = 250x + 7500 z 250x

Â&#x2DC;

x = 75 cm

b) Zur Berechnung des Einfallswinkels D kann im rechtwinkligen Teildreieck ABE der Tangens benutzt werden (siehe Zeichnung). tan D = AE = 75 cm = 0,3 AB 250 cm

Â&#x; D x 16,699Â° x 17Â°

-4

8 r Â§Â¨ 8 ÂˇÂ¸ 12 2 ÂŠ 2 Âš

SchattenlĂ¤nge 250 cm

Das Licht fĂ¤llt unter einem Winkel von 17Â° zur Horizontalen ein.

-3

x1/2

Nach dem Strahlensatz gilt (Zentrum im Punkt A): AE AB AD AC Eingesetzt (LĂ¤ngen in cm): x 250 x 250 zÂ&#x2DC;(x + 30) zÂ&#x2DC; 350 Â&#x2DC; x 30 250 100 x 30 350

Â&#x;

-2

~:( 1)

Der Stab ragt 75 cm aus dem Boden heraus.

-1

Â&#x; â&#x20AC;&#x201C;xÂ˛ + 8x 12 = 0

Einfallswinkel

A Horizontale

100x = 7500

-2

StablĂ¤nge x

350x = 250Â&#x2DC;(x + 30)

1 S1(1/0)

HINWEIS: SĂ¤mtliche LĂ¤ngenangaben sind in die gleiche Einheit umgewandelt (hier cm).

m Ausklammern von 1

HINWEIS: Das Koordinatensystem enthĂ¤lt auch Elemente der Aufgaben 8.d) und 8.f)

Die StablĂ¤nge x kann mit Hilfe des Strahlensatzes berechnet werden, da die Sonnenstrahlen parallel zueinander verlaufen (siehe Skizze).

D 30 cm

y = xÂ˛ + 8x 12

y=0

y = (x 0)Â˛ + 1

Da der x-Wert des Scheitels Null ist, erhĂ¤lt man die Funktionsgleichung unmittelbar in der Normalform: Â&#x; y = (x 0)Â˛ + 1 = xÂ˛ + 1 Â&#x; p1: y = xÂ˛ + 1

Â&#x;

~: 2

f) Die Parabel p2 wird zusammen mit ihrem Scheitel S2 (4/4) an der x-Achse gespiegelt. Der neue Scheitelpunkt S3 liegt nun unterhalb der x-Achse (siehe Koordinatensystem Aufg. 8.c)). S3 hat dabei den gleichen Abstand von der x-Achse wie der Scheitel S2.

Die Masse m der Hohlkugel ergibt sich aus der Dichteformel wie folgt: g 2,5 cmÂł

e) Um rechnerisch zu zeigen, dass sich zwei Parabeln nicht schneiden, werden wie bei der Bestimmung von Parabelschnittpunkten deren Funktionsterme gleichgesetzt. Nach dem

4r2

Schnittpunkte: N1 (2/0) und N2 (6/0).

10. a) In der Lostrommel befinden sich 8 Kugeln. Davon tragen 2 Kugeln den Buchstaben T. Somit betrĂ¤gt die Wahrscheinlichkeit beim 1. Zug ein T zu ziehen:

AbschlussprĂźfung 2012

B90 Anzahl der gĂźnstigen Ergebnisse = 2 = 1 Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse 8 4

A(-1/7,5) Wurde beim ersten Zug ein T gezogen, befinden sich insgesamt nur noch 7 Kugeln und davon eine Kugel mit dem Buchstaben T in der Trommel (erste Kugel wird nicht wieder zurĂźckgelegt). Somit betrĂ¤gt die Wahrscheinlichkeit fĂźr ein T im 2. Zug (wenn im 1. Zug ein T entnomAnzahl der gĂźnstigen Ergebnisse men wurde): = 1 Anzahl der mĂśglichen Ergebnisse 7

y 7 6

5 4 g2

3 Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln den Buchstaben T tragen, verhĂ¤lt sich entsprechend der Wahrscheinlichkeit fĂźr das Ergebnis eines sog. mehrstufigen Zufallsexperiments. Diese ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von aufeinanderfolgenden Einzelergebnissen. Â&#x;

p(â&#x20AC;&#x17E;zweimal Tâ&#x20AC;&#x153;) = 1 Â&#x2DC; 1 4 7

C(4,5/2,5)

P(3/1,5)

1 28

-2

-1

N(4/0) 4 5

6 x

-1

b) Die Wahrscheinlichkeit fĂźr die Worte AUTO und OTTO werden analog zu Teilaufgabe a) bestimmt. Es gilt dabei zu beachten, dass nach jedem Ziehen jeweils eine Kugel weniger in der Trommel liegt. 3 1 2 2 1 p(â&#x20AC;&#x17E;AUTOâ&#x20AC;&#x153;) = Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC; 8 7 6 5 140 N N N N 3 von 8 Kugel n 1 von 7 Kugel n 2 von 6 Kugel n 2 von 5 Kugel n tragen ein A trĂ¤gt ein U tragen ein T tragen ein O

B(5/-1,5)

-2

2. Um weitergehende Berechnungen fĂźr ein WerkstĂźck durchfĂźhren zu kĂśnnen, muss dessen Gewicht bzw. dessen Masse mWS bekannt sein:

Nach dem Ziehen der ersten zwei Buchstaben O bzw. T des Wortes OTTO befindet sich nur noch je ein T bzw. ein O in der Trommel, so dass: 2 2 1 1 1 p(â&#x20AC;&#x17E;OTTOâ&#x20AC;&#x153;) = Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC; 8 7 6 5 420 N N N N 2 von 8 Kugel n 2 von 7 Kugel n 1 von 6 Kugel n 1 von 5 Kugel n tragen ein O tragen ein T trĂ¤gt noch ein T trĂ¤gt noch ein O

mWS = 988,2 kg : 2000 = 0,4941 kg = 494,1 g. Das Gesamtvolumen VWS eines WerkstĂźckes kann nun mit Hilfe der Dichteformel mWS = Dichte Â&#x2DC; VWS berechnet werden. Eingesetzt:

Â&#x; 494,1 g = 0,9 cmÂł Â&#x2DC; VWS

Â&#x2DC;

VWS Âˇ 0,9 cmÂł = 494,1 g z: 0,9 cmÂł

Â&#x; VWS = 549 cmÂł

Aufgabengruppe II

Das WerkstĂźck setzt sich aus einer Halbkugel und einem aufgesetzten Kegel mit gleichem Radius r = 5 cm zusammen: Â&#x; VWS = VHalbkugel + VKegel = 549 cmÂł

1. a) Funktionsgleichung der Gerade g1: Steigung m1 mit der Formel m =

y P1 y P2 x P1 x P2

Einsetzen der Koordinaten von A ( 1/7,5) und B (5/ 1,5): y yB 7,5 ( 1,5) m1 = A = 9 = 3 = 6 2 1 5 xA xB

FĂźr die jeweiligen Volumina gilt: VHalbkugel = =

1 ÂˇV 1 4 Kugel = 2 Â&#x2DC; 3 Â&#x2DC; rÂł Âˇ S 2 2 Â&#x2DC; (5 cm)Âł Âˇ 3,14 x 261,67 3

r = 5 cm r = 5 cm

cmÂł

Die Geradengleichung von g1 lautet bis jetzt: y = 32 x + t1.

10 cm

Bestimmung des noch fehlenden y-Achsenabschnittes t1 durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes A ( 1/7,5) in y = 32 x + t1: Â&#x; Â&#x;

Â&#x153;

7,5 = 32 Âˇ ( 1) + t1

7,5 = 1,5 + t1 ~ 1,5 32

vollstĂ¤ndige Gleichung von g1: y

Â&#x153;

0 = 32 x 6 ~+ 32 x

Â&#x153;

3x 2

= 6 Â°: 32

Â&#x153;

x=4

Â&#x;

Gleichung von g 2 : y

2Âˇ 3

Â&#x153;

4,5 + t2

2 3

Â&#x153;

t2 = 0,5

x 0,5 .

d) Man bestimmt zunĂ¤chst den x-Wert des Schnittpunktes P durch Gleichsetzen der Funktionsterme von g1 und g2: Â&#x;

32 x 6 =

Â&#x153;

136 x

2 3

Â&#x153;

x 0,5 ÂŞ 23 x

= 6,5 ÂŞ :

136

Â&#x153;

136 x 6 = 0,5 ÂŞ 6

x=3

Einsetzen von x = 3 in g1: y = Âˇ 3 + 6 = 1,5 3 2

e) x Die Gerade g1: y x Die Gerade g 2 : y

Â&#x;

Schnittpunkt P (3/1,5)

32 x 6 verlĂ¤uft durch die Punkte A ( 1/7,5) und B (5/ 1,5). 2 3

261,67 cmÂł + 26,17 cmÂ˛ Âˇ hK = 549 cmÂł

Â&#x2DC;

26,17 cmÂ˛ Âˇ hK = 287,33 cmÂł

Â&#x2DC;

hK x 10,98 cm

z 261,67 cmÂł

z: 26,17 cmÂ˛

KĂśrperhĂśhe h = hK + 5 cm = 10,98 cm + 5 cm = 15,98 cm x 16 cm.

2 3

2,5 = 3 + t2 Â 3

Â&#x;

a) Bei radioaktiven Zerfallsprozessen ist die Halbwertszeit die Zeitspanne, in der sich eine Stoffmenge durch Zerfall halbiert. Es gilt prinzipiell die Wachstumsformel Wn = W0 Âˇ qn (mit q < 1, da Zerfall). Vom radioaktiven Element CĂ¤sium-137 ist eine Anfangsmenge W0 vorhanden, die Ăźber einen Zeitraum von 60 Jahren zerfĂ¤llt. Ausgehend von einer 30-jĂ¤hrigen Halbwertszeit gilt somit: Anfangswert W0 = 2,5 kg

Zur Bestimmung von t2 werden die Koordinaten des Punktes C (4,5/2,5), durch den g2 verlĂ¤uft, in die Gleichung eingesetzt: 2,5 =

Â&#x2DC; (5 cm)Â˛ Âˇ 3,14 Âˇ hK x 26,17 cmÂ˛ Âˇ hK

Die GesamthĂśhe h des WerkstĂźcks setzt sich aus der HĂśhe des Kegels hK und dem Radius r der Halbkugel zusammen (h = hk + r):

Die Funktionsgleichung von g2 lautet demnach bis jetzt: y = 23 x + t2.

Â&#x;

Â&#x2DC; rÂ˛ Âˇ S Âˇ hK =

1 3

N (4/0)

Da die Gerade g2 auf g1 (m1 = 32 ) senkrecht stehen soll, gilt fĂźr deren Steigungen: Â&#x153;

1 3

Eingesetzt in VWS = VHalbkugel + VKegel = 549 cmÂł:

x 6.

c) Das Produkt der Steigungen von zwei aufeinander senkrecht stehenden Geraden ergibt immer den Wert â&#x20AC;&#x201C;1: m2 Âˇ m1 = 1 (wenn g2 A g1) m2 Âˇ 32 = 1 Â : 32

VKegel =

t1 = 6

b) Der y-Wert des Schnittpunktes N von g1 mit der x-Achse hat den Wert Null. Um den zugehĂśrigen x-Wert (Nullstelle) zu erhalten, wird deshalb in der Funktionsgleichung von g1 y = 0 gesetzt. AnschlieĂ&#x;end wird nach x aufgelĂśst: Â&#x;

x 0,5 steht senkrecht auf g1 und verlĂ¤uft durch C (4,5/2,5).

t = 30 Jahre erste Halbwertszeit

t = 30 Jahre

Endwert W2

zweite Halbwertszeit

n W0 Wn q

Anzahl der Halbwertszeiten = 2 Anfangsmenge CĂ¤sium-137 = 2,5 kg Restmenge CĂ¤sium-137 nach 2 Halbwertszeiten (60 Jahre) = W2 Zerfallsfaktor = 0,5 (auf Grund der Halbierung der Stoffmenge innerhalb der Halbwertszeit)

Â&#x;

Restmenge nach 60 Jahren W2 = 2,5 kg Âˇ 0,52 = 0,625 kg = 625 g

b) Die jĂ¤hrliche prozentuale Abnahme p ergibt sich aus dem Zerfallsfaktor q, da gilt: p q=1 (â&#x20AC;&#x17E; â&#x20AC;&#x153;-Zeichen, da Zerfall) 100 CĂ¤sium-137 hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren, d.h. nach 30 Jahren halbiert sich die Ausgangsmenge von 2,5 kg auf 1,25 kg. Setzt man fĂźr n die Anzahl der Jahre im betrachteten Zeitraum ein, ergibt sich der Zerfallsfaktor q fĂźr den jĂ¤hrlichen Zerfall wie folgt: n W0 Wn q

Anzahl der Jahre (innerhalb einer Halbwertszeit) = 30 Anfangsmenge CĂ¤sium-137 = 2,5 kg Restmenge CĂ¤sium-137 nach 30 Jahren = W30 = 1,25 kg Zerfallsfaktor bei Betrachtung des jĂ¤hrlichen Zerfalls.

B91

AbschlussprĂźfung 2012 Eingesetzt in die Zerfallsformel Wn = W0 Âˇ qn erhĂ¤lt man: Â&#x;

z: 2,5 kg

1,25 kg = 2,5 kg Âˇ q

Â&#x2DC;

0,5 = q

Â&#x; q=

0,5 x 0,977

Ermittlung der LĂ¤nge von [AC]: AC entspricht der Hypotenuse im Dreieck ADC und wird mit dem Satz des Pythagoras (cÂ˛ = aÂ˛ + bÂ˛) aus den Katheten a = AD = 3,75 m und b = DC = 1,5 m berechnet:

Ermittlung des Prozentsatzes fĂźr q = 0,977: p 0,977 = 1 100 p = 0,023 100

p z+ 100

zÂˇ 100

Â&#x2DC;

z 0,977 Â&#x2DC;

n W0 Wn q

Anzahl der Halbwertszeiten Anfangsmenge CĂ¤sium-137 = 1,0 kg noch vorhandene Restmenge CĂ¤sium-137 nach n Halbwertszeiten = 1 g = 0,001 kg Zerfallsfaktor = 0,5 n

~: 1,0 kg

Â&#x;

0,001 kg = 1,0 kg Âˇ 0,5

Â&#x153;

Logarithmieren: n = log0,50,001 =

Â&#x2DC;

0,001 = 0,5

lg 0,001 x 9,97 lg 0,5

Das CĂ¤sium zerfĂ¤llt demnach innerhalb von 9,97 Halbwertszeiten. Da eine Halbwertszeit 30 Jahre lang ist, ergibt sich die Zerfallszeit t in Jahren wie folgt: Â&#x;

t = 9,97 Âˇ 30 Jahre = 299,1 Jahre x 299 Jahre

4. x Definitionsbereich: Es mĂźssen alle Zahlen aus der Grundmenge IR ausgeschlossen werden, bei denen die Bruchgleichung nicht definiert ist. BrĂźche sind dann nicht definiert, d.h. sie ergeben keinen mathematisch sinnvollen Wert, wenn ihre Nenner gleich Null sind: Nenner 1: 6 x = 0 Â°+ x Â&#x2DC; 6=x Â&#x; x=6 Â°+ 2

2x 2 = 0

Nenner 2:

Â&#x2DC;

Â°: 2 Â&#x2DC;

2x = 2

3 1 6 x 2x 2

x LĂśsungsmenge:

0, 25

3 Âˇ ( 6 x ) Âˇ (2x â&#x20AC;&#x201C; 2) 1 Âˇ ( 6 x ) Âˇ (2x â&#x20AC;&#x201C; 2) = 0,25 Âˇ ( 6 x ) Âˇ (2x â&#x20AC;&#x201C; 2) 6 x 2x 2

6x â&#x20AC;&#x201C; 6 6 + x = 3x 3 â&#x20AC;&#x201C; 0,5xÂ˛ + 0,5x

0,5xÂ˛ + 3,5x 9 = 0

Â&#x;

p = 7 ; q = 18 in LĂśsungsformel: 2

Â°: 0,5

x1/2 = 7 r Â§Â¨ 7 ÂˇÂ¸ ( 18) 2 ÂŠ 2 Âš

Â&#x;

Â&#x153;

LĂ¤nge x der Halterung:

Â&#x153;

xÂ˛ + 7x 18 = 0

3,5 r 12, 25 18

x1 = 2 Â? ID und x2 = 9 Â? ID

x = AC 0,44 m = 4,04 m 0,44 m = 3,6 m

6. Festlegen der Variablen:

GrundgebĂźhr pro Tag Kosten pro gefahrenem Kilometer

xâ&#x201A;Ź yâ&#x201A;Ź

Da Herr Huber 6 Tage unterwegs war und 1380 km gefahren ist, setzen sich seine Mietkosten von 970,80 â&#x201A;Ź wie folgt zusammen: 970,80 â&#x201A;Ź = 6 Â&#x2DC; x + 1380 Â&#x2DC; y Herr Kern war 9 Tage verreist und fuhr 1825 km. Herr Kern erhielt 30% Nachlass auf die GrundgebĂźhr, so dass er von dieser nur 70% bezahlen muss: Â&#x; GrundgebĂźhr (Herr Kern) = 70% Âˇ x = 70 Âˇ x = 0,7x 100 Seine gesamten Mietkosten von 1154,70 â&#x201A;Ź berechnen sich demnach wie folgt: 1154,70 â&#x201A;Ź = 9 Â&#x2DC; 0,7x + 1825 Â&#x2DC; y Es ergibt sich also ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen (Einheit â&#x201A;Ź nicht angegeben): ( I ): 970,80 = 6x + 1380y ( II ): 1154,70 = 6,3x + 1825y LĂśsen des Gleichungssystem mittels Einsetzverfahren: Gleichung ( I ) nach x auflĂśsen und in ( II ) einsetzen. ( I ): 970,80 = 6x + 1380y z 1380y Â&#x2DC; 970,80 1380y = 6x z:6 Â&#x2DC; 161,80 230y = x ( I )*

Die GrundgebĂźhr pro Tag ohne Nachlass betrĂ¤gt 79 â&#x201A;Ź und die Kosten pro gefahrenem Kilometer belaufen sich auf 0,36 â&#x201A;Ź.

Â&#x153;

7x 12 = 0,5xÂ˛ + 3,5x â&#x20AC;&#x201C; 3 ~+ 0,5xÂ˛ 3,5x + 3

Â&#x153;

16,3125 mÂ˛ x 4,04 m

Minuszeichen beachten! Â&#x153;

Ausmultiplizieren: 6x â&#x20AC;&#x201C; 6 6 + x = 0,25(12x 12 â&#x20AC;&#x201C; 2xÂ˛ + 2x)

Zusammenfassen:

AC =

Nun kann fĂźr y in die umgeformte Gleichung ( I )* 0,36 eingesetzt werden: Â&#x; x = 161,80 â&#x20AC;&#x201C; 230 Â&#x2DC; 0,36 = 79

Multiplizieren der Gleichung mit dem Hauptnenner HN: (6 x)Âˇ(2x â&#x20AC;&#x201C; 2)

KĂźrzen: 3Âˇ(2x 2) 1Âˇ(6 â&#x20AC;&#x201C; x) = 0,25Âˇ(6 â&#x20AC;&#x201C; x)Âˇ(2x 2)

Â&#x;

x = 161,80 230y in ( II ): 1154,70 = 6,3Â&#x2DC;(161,80 230y) + 1825 y Â&#x2DC; 1154,70 = 1019,34 1449y + 1825y z 1019,34 Â&#x2DC; 135,36 = 376y z: 376 Â&#x2DC; y = 0,36

x=1

Â&#x; Definitionsbereich ID = IR \ {1; 6}

Â&#x;

AC = (3,75 m)Â˛ + (1,5 m)Â˛ = 16,3125 mÂ˛

Â&#x;

c) Es ist der Zeitraum gesucht, innerhalb dessen eine Anfangsmenge von 1,0 kg zerfĂ¤llt, so dass davon noch ein Gramm Ăźbrig ist. Mit Hilfe der Wachstumsformel Wn = W0 Âˇ qn kann zunĂ¤chst die Anzahl n der Halbwertszeiten ermittelt werden und daraus die entsprechende Anzahl an verstrichenen Jahren. Es gilt:

Â&#x;

Â&#x; Die jĂ¤hrliche Abnahme betrĂ¤gt 2,3%.

Â&#x2DC; p = 2,3

AC = AD + DC

p + 0,977 = 1 100

a) Die Funktionsgleichung der nach oben geĂśffneten Normalparabel lautet: y = xÂ˛ + px + q. Zur Bestimmung der Variablen p und q setzt man die Koordinaten der gegebenen Parabelpunkte A (2/4) und B (6/0) in die obige Gleichung ein: A (2/4) in y = xÂ˛ + px + q: 4 = 2Â˛ + p Âˇ 2 + q Â&#x153; 4 = 4 + 2p + q z 4 Â&#x153; 0 = 2p + q ( I ) B (6/0) in y = xÂ˛ + px + q: 0 = 6Â˛ + p Âˇ 6 + q Â&#x153; 0 = 36 + 6p + q z 36 Â&#x153; 36 = 6p + q ( II )

3,5 r 5,5

Â&#x; IL = { 9; 2}

Gleichungssystem:

(I) ( II )

0 = 2p + q 36 = 6p + q

( I ) ( II ): 36 = 4p + 0 z:( 4)

5. Die LĂ¤nge x der Halterung ergibt sich, wenn man von der DachlĂ¤nge AC zweimal 22 cm abzieht: Â&#x; x = AC 2 Âˇ 22 cm = AC 2 Âˇ 0,22 m = AC 0,44 m C x 1,5 m

p = 9 in ( I ) eingesetzt: 0 = 2Âˇ( 9) + q Â&#x;

Â&#x153;

p = 9

Â&#x153; 0 = 18 + q z+ 18

Â&#x153;

q = 18

Funktionsgleichung der Normalparabel p1: y = xÂ˛ 9x + 18.

b) Die Funktionsgleichung von p1 wird durch quadratische ErgĂ¤nzung in die Scheitelpunktsform umgewandelt. Die Scheitelkoordinaten kĂśnnen dann der Gleichung entnommen werden: y = xÂ˛ 9x + 18

0,6 m

Die StreckelĂ¤nge AC kann im rechtwinkligen Dreieck ADC mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden, wenn vorher im rechtwinkligen Dreieck ABC die StreckelĂ¤nge AD bestimmt wurde. Es bietet sich folgende Vorgehensweise an: Ermittlung der LĂ¤nge von [AD]: AD entspricht dem Hypotenusenabschnitt p im Dreieck ABC und wird mit dem HĂśhensatz (hÂ˛ = q Âˇ p) aus der DreieckshĂśhe h = DC = 1,5 m und dem Hypotenusenabschnitt q = DB = 0,6 m berechnet:

y = xÂ˛ 9x + 4,5Â˛ 4,5Â˛ + 18

m Quadratische ErgĂ¤nzung

y = (x 4,5)Â˛ 20,25 + 18

m binomische Formel bilden / 4,5 quadrieren

y = (x 4,5)Â˛ 2,25

m Zusammenfassen

Â&#x;

c) Die Koordinaten des Scheitelpunktes S2 (3,5/6,25) werden in die Scheitelform der Parabelgleichung einer nach unten geĂśffneten Normalparabel y = (x xS)Â˛ + yS eingesetzt. Diese wird dann in die Normalform umgeformt: y = (x 3,5)Â˛ + 6,25

DC = DB Âˇ AD

Â&#x;

(1,5 m)Â˛ = 0,6 m Âˇ AD

Â°: 0,6 m

Â&#x2DC;

Scheitel S1 (4,5/ 2,25)

3,75 m

Â&#x;

= (xÂ˛ 2ÂˇxÂˇ3,5 + 3,5Â˛) + 6,25

m binom. Formel ausrechnen

= (xÂ˛ 7x + 12,25) + 6,25

m Klammerinhalt ausrechnen

= xÂ˛ + 7x 12,25 + 6,25

m Klammer auflĂśsen (Vorzeichen â&#x20AC;&#x17E;umdrehenâ&#x20AC;&#x153;)

= xÂ˛ + 7x 6

m Zusammenfassen

Normalform der Funktionsgleichung von p2: y = xÂ˛ + 7x 6.

AbschlussprĂźfung 2012

B92 d) Bestimmung der x-Koordinaten von Q1 und Q2 durch Gleichsetzen der Funktionsterme von Parabel p1 und p2: Â&#x;

9. In den folgenden Hilfsskizzen sind die in den jeweiligen Gleichungen angegebenen Strecken zur Verdeutlichung hervorgehoben.

xÂ˛ 9x + 18 = xÂ˛ + 7x 6 ~+ xÂ˛ 7x + 6

Â&#x153; 2xÂ˛ 16x + 24 = 0 Â&#x153;

xÂ˛ 8x + 12 = 0

Â&#x;

p = 8 ; q = 12 in LĂśsungsformel: 2

x1/2 = 8 r Â§Â¨ 8 ÂˇÂ¸ 12 2 ÂŠ 2 Âš

y e

t Gleichung (1) x d

~: 2

t Strahlensatz

4 r 16 12

4r2

y f

Â&#x; x1 = 6 und x2 = 2

Streckungszentrum Z

x1 = 6 in p1: y1 = 6Â˛ 9Âˇ6 + 18 = 0

Â&#x;

Schnittpunkt Q1 (6/0)

x2 = 2 in p1: y2 = 2Â˛ 9Âˇ2 + 18 = 4

Â&#x;

Schnittpunkt Q2 (2/4)

S2(3,5/6,25)

y f

Streckungszentrum Z

A bzw. Q2(2/4)

t Gleichung (3) z y

b b c

B bzw. Q1(6/0) O

-1

9 x

y f

-1

-2

Streckungszentrum Z

Â&#x;

e f b c

AABCD = a c Â&#x2DC; h = AB DC Â&#x2DC; DE 2 2

Â&#x2DC;

AE | 4,5 cm

f Streckungszentrum Z

t Gleichung (5) b c z

AB Âˇ cos 33,7Â° = 5,4 cm z: cos 33,7Â°

Â&#x2DC;

AB | 6,5 cm

t Gleichung (6) z y E

Die Seite DC ist genauso lang wie EB , so dass gilt: DC = EB = AB AE = 6,5 cm 4,5 cm = 2,0 cm

Â&#x;

6,5 cm 2,0 cm Â&#x2DC; 3,0 cm = 12,75 cmÂ˛ TrapezflĂ¤che AABCD = AB DC Â&#x2DC; DE = 2 2

e f e

Gleichung (5) ist falsch.

t Strahlensatz

Die Urstrecken (b + c) und z werden - ausgehend vom Zentrum Z - auf die zugehĂśrigen Bildstrecken a und x abgebildet. Der entsprechende Strahlensatz lautet dann b c a . z x Â&#x;

Streckungszentrum Z

33,7Â° A

5,4 cm

zÂ&#x2DC; AB

Â&#x2DC;

Gleichung (4) ist richtig.

t Strahlensatz

5, 4 cm AB

d x

E d

Die LĂ¤nge der Grundseite AB des Trapezes kann man im rechtwinkligen Teildreieck ABD mit Hilfe des Kosinus bestimmen. Die Seite AB entspricht dann der Hypotenuse und die Seite AD der Ankathete des Winkels 33,7Â°:

Aus der Urstrecke d entsteht die Bildsrecke (e + f), aus a entsteht (b + c). Das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Strecken d und a ist somit gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Strecken (e + f) und (b + c). Der zugehĂśrige Strahlensatz lautet d e f . a b c Â&#x;

33,7Â°

DE | 3,0 cm

5,4 cm

DE kann mit Hilfe des Sinus ermittelt werden:

DE zÂ&#x2DC; 5,4 cm 5, 4 cm

AE kann mit Hilfe des Kosinus berechnet werden:

zÂ&#x2DC; 5,4 cm cos 33,7Â° = AE 5, 4 cm

Um alle notwendigen StreckenlĂ¤ngen fĂźr eine FlĂ¤chenberechnung zur VerfĂźgung zu haben, sollte man zuerst die LĂ¤ngen der Strecken AE und DE im rechtwinkligen Teildreieck AED bestimmen.

cos 33,7Â° =

Gleichung (3) ist falsch.

t Strahlensatz

FĂźr den FlĂ¤cheninhalt des Trapezes ABCD gilt:

Â&#x;

Die Strecke z wird - ausgehend vom Zentrum Z - auf die Strecke y so abgebildet wie die Strecke (b + c) auf die Strecke b. Der entsprechende Strahlensatz lautet dann z b c . y b

S1(4,5/-2,2,5) t Gleichung (4) d a

sin 33,7Â° =

Gleichung (2) ist falsch.

t Strahlensatz

2 1

Den Urstrecken d und x entsprechen die Bildstrecken (e + f) und z. Das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis von d zu x ist somit gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis von (e + f) zu z. Es gilt der Strahlensatz d e f . x z Â&#x;

5 4

Gleichung (1) ist richtig.

t Strahlensatz

y 7

Â&#x;

f z

t Gleichung (2) d x

e) Einzeichnen des Scheitels S1 (4,5/ 2,25) der nach oben geĂśffneten Normalparabel p1 und des Scheitels S2 (3,5/6,25) der nach unten geĂśffneten Normalparabel p2. Beide Parabeln kĂśnnen dann mittels Schablone vervollstĂ¤ndigt werden.

Das LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Urstrecken x und d ist gleich dem LĂ¤ngenverhĂ¤ltnis der Bildstrecken y und e. Es kann der y Strahlensatz x angewendet d e werden.

y f

Streckungszentrum Z

Die Urstrecke z wird - ausgehend vom Zentrum Z - auf die zugehĂśrige Bildstrecke y so abgebildet wie die Urstrecke (e + f) auf die Bildstrecke e. Der entsprechende Strahlensatz lautet dann z e f . y e Â&#x;

Gleichung (6) ist richtig.

Abschlussprüfung 2012

B93

10. a) Im Behälter befinden sich insgesamt 15 Lose, darunter sind 3 Gewinne (G) und 12 Nieten (N). Es werden nacheinander 3 Lose ohne Zurücklegen gezogen. Bei jedem Zug kann entweder „Niete“ oder „Gewinn“ gezogen werden. Da es sich bei jedem einzelnen Zug um ein Laplace-Experiment handelt, gilt für die WahrAnzahl der günstigen Ergebnisse scheinlichkeiten: p(E) = Anzahl der möglichen Ergebnisse Beim ersten Zug gibt es insgesamt 15 mögliche Ergebnisse. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug einen Gewinn G bzw. eine Niete N zu ziehen: p(„zuerst G“) = 3 oder p(„zuerst N“) = 12 . 15 15 Da ohne Zurücklegen gezogen wird, ergeben sich beim 2. Zug nur noch 14 mögliche Ergebnisse. Die Zahl der günstigen Ergebnisse hängt davon ab, ob beim 1. Zug eine Niete N oder ein Gewinn G gezogen wurde: z.B. p(„beim zweiten Zug N, wenn zuerst N“) = 11 . 14 HINWEIS: In der Lostrommel befanden sich zu Beginn 12 Nieten. Wurde beim ersten Ziehen eine Niete herausgezogen, sind es jetzt nur noch 11 Nieten. Analog zu diesem Beispiel werden auch die anderen Wahrscheinlichkeiten berechnet und in das Baumdiagramm eingetragen.

Baumdiagramm: (enthält Hervorhebung für Aufgabe b):

2. Zug

3. Zug 1/13 G

12/13

2/14 1. Zug

G 12/14

3/15

12/15

3/14

2/13

11/13

2/13

11/13

N 11/14

3/13

10/13

G N G N G N G N

b) Die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Gewinnlos zu ziehen, wird mit Hilfe des Gegenereignisses kein Gewinnlos - d.h. dreimal Niete - berechnet. Es gilt: p(„Ereignis“) + p(„Gegenereignis“) = 1 p(„Ereignis“) = 1 p(„Gegenereignis“)

bzw.

Die Wahrscheinlichkeit für „dreimal Niete“ verhält sich entsprechend der Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis eines sog. mehrstufigen Zufallsexperiments. Dieses ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von aufeinanderfolgenden Einzelergebnissen (siehe auch hervorgehobenen Ast im Baumdiagramm).

p(„dreimal Niete“) = 12 11 10 = 44 15 14 13 91

p(„mindestens ein Gewinnlos“) = 1 p(„dreimal Niete“) = 1 44 = 47 x 0,516 x 52 %. 91 91

B94 3 Deutsch 3.1 Inhalte von Sachtexten zusammenfassen

Inhalte von Texten zusammenfassen 2. a) Gründe für den alltäglichen Umgang mit dem Medium: - Politik und Wirtschaft streben an, dass Kinder und Jugendliche den Umgang mit dem Computer lernen (Zeile10-14). - Viele Eltern wollen ihren Kindern so früh wie möglich den Umgang mit dem PC beibringen (Zeile 23-28). - Selbstmedikation der Jugendlichen (Zeile 53-55).

3.1.1 Arbeitstechniken

Folgen des häufigen Umgangs: - Experten glauben, dass ein zu früher Umgang mit dem PC zur Verminderung der Sprachkompetenz und zu Konzentrationsschwächen führt und auch sonst keine Förderung darstellt (Zeile 29-41). - Da in Computerspielen die Welt immer kontrollier- und steuerbar ist, kann dies die Wahrnehmung der Wirklichkeit beeinflussen (Zeile 47-53). - Die in rund ein Drittel der Computerspiele auftretende Gewalt kann zu Abstumpfung und geringerem Mitgefühl führen (Zeile 55-68).

(siehe A-Teil)

3.1.2 Übung Text: Seid ihr auch alle drin?

Seit sechs Wochen lebt die 13-jährige Verena abgeschlossen von der Außenwelt. Mit Besuch kann das Mädchen nur per Gegensprechanlage durch die Glasscheibe reden. „Einzelhaft“ nennt der Kinderarzt die Zeit, die seine krebskranken Patienten nach einer Knochenmarktransplantation in absoluter Sterilität verbringen müssen. Aber wenn Vera vor dem Computer sitzt, vergisst sie das ganze Drumherum. Über den Chat lernt sie Kinder mit anderen schweren Krankheiten kennen, per E-Mail hält sie den Kontakt zu Freunden. Erste Studien aus den USA zeigen, dass es kranken Kindern dank des Computers besser geht: Sie empfinden weniger Angst und Schmerzen. Kann das, was für die einen Medizin ist, anderen schaden? Alles nur eine Frage der Dosierung, sagen Wissenschaftler. Politik und Wirtschaft haben sich derweil schon längst die vollständige Computer- und Internet-Alphabetisierung des deutschen Nachwuchses auf die Fahnen geschrieben. In einer Informationsgesellschaft, die ihre wirtschaftliche Zukunft im Cyberspace sieht, soll – so das Credo – niemand den Anschluss verlieren. Der Erfolg der breit gestreuten Aktivitäten ist nicht ausgeblieben: Die Kinder und Jugendlichen von heute gelten als Angehörige der Generation @ und werden dot.com.kids, Net- und Cyberkids genannt. Der jüngsten Umfrage des medienpädagogischen Forschungsbundes Südwest zufolge rührt nur noch jeder zehnte Teenager niemals einen Rechner an. Jeder zweite der 12- bis 19-Jährigen besitzt sogar ein eigenes Gerät. Interneterfahrung haben knapp 60 Prozent. Doch was bedeutet es, mit den neuen Techniken so selbstverständlich aufzuwachsen wie mit Telefon und Fernseher? Wie verändern sich dadurch Lernen und Wahrnehmung, wie die sozialen Beziehungen? Viele Eltern sorgen sich um die technische Kompetenz ihrer Kinder. Damit diese dereinst nicht zum Internet-Proletariat gehören, wollen sie ihnen möglichst früh den Weg ins Datennetz ebnen. Schon wirbt eine Einrichtung in Mölln damit, erster „Internetkindergarten“ Deutschlands zu sein; private Computerschulen bieten Unterricht „ab vier“. „Fit für die Zukunft!“ heißt der Slogan von „Futurekids“, einem Unternehmen aus den USA, vertreten in über 70 Ländern. Kinder auf diese Art möglichst frühzeitig „fit“ zu machen, halten Medienpädagogen indes für problematisch. Das technische Wissen veralte schnell, den Umgang mit der Maus erlernten die Kleinen ohnehin in wenigen Minuten, und um den Rechner als Arbeitsinstrument sinnvoll einzusetzen oder im Internet zu surfen, seien erst einmal Lese- und Schreibkenntnisse nötig. Der Augsburger Pädagoge Werner Glogauer dagegen plädiert dafür, Kleinkinder vom Bildschirm fern zu halten. „Wir wissen aus der Fernsehforschung, dass Kinder in ihrer Sprachentwicklung gestört werden können. „Der PC fördere weder die Auseinandersetzung mit der sozialen Wirklichkeit, noch diene er der psychomotorischen und geistigen Entwicklung. Patricia Greenfield hat anhand von Tests festgestellt, dass sich das abstrakte, räumliche Denken verbessert, die Sprachkompetenz hingegen nachlässt. Der Freizeitforscher Horst Opaschowski hat die Zunahme von Bild- und Textsplittern als Grund für eine wachsende Zahl an „Kurzzeit-Konzentrations-Kindern“ hervorgehoben. Ganz abzuschalten fordern allerdings nur wenige. „Medienkompetenz“ heißt die neue Qualität, mit deren Hilfe zwischen ziellosem Surfen und kritischem Navigieren unterschieden werden soll. Ob die allumfassende Computerisierung neue Superhirne oder verhaltensgestörte Cyberzombies hervorbringt, weiß allerdings noch niemand. Tatsächlich gelten in der Cyberwelt eigene Gesetze. Diese neuen Eigenschaften können auch die Wahrnehmung der Realität beeinflussen. Kinder mit Internet-Erfahrung erleben die Welt und deren Erscheinungen zunehmend als wandel- und steuerbar. Kinder sind nicht mehr nur stumme Beobachter. Sie können aktiv in das Geschehen eingreifen, sich mächtig fühlen. Anders als im komplexen Alltag gelten klare Regeln und Strukturen, die sie beherrschen lernen. Manchen dienen Spiele als emotionale Selbstmedikation, um vor Unangenehmem zu flüchten oder weil Freunde und andere attraktive Reize fehlen. Unter den Computer-Fans gibt es einen harten Kern, der dank schneller Modems und billigem Internetzugang stetig wächst. Sie verabreden sich zu so genannten „Multiplayer-Spielen“ oder LAN-Partys, bei denen die Beteiligten gegeneinander zu Autorennen, Strategie- oder Kampfspielen antreten. Kommandos und Flüche schallen durch den Raum, während sich auf den Bildschirmen Terroristen und Polizeieinheiten mit Handfeuerwaffen und Nebelgranaten bekriegen. Wo die Energy-Drinks versagen, liegen spät in der Nacht die Köpfe auf den Tischen, schlummernd zwischen Pizzaschachteln und Kabelsalat. Rund ein Drittel der beliebtesten Spiele haben Gewalt zum Inhalt, auch zahlreiche indizierte Programme sind im Umlauf. Was, wenn die virtuelle Gewalt reale Gewalt auslöst? Eine Studie von Psychologen hat unlängst eine abstumpfende Wirkung realistischer Gewaltspiele nachgewiesen: Die minderjährigen Versuchsspieler zeigten im Anschluss an virtuelle Kämpfe weniger Mitgefühl – am deutlichsten wurde das bei Kindern mit einer nur schwachen Elternbeziehung. Dass Heranwachsende gewalttätige Spielsituationen auf die Realität übertragen könnten, wird von Wissenschaftlern gleichwohl bezweifelt. Die Ursachen für Gewalt seien vielmehr im sozialen Umfeld zu suchen, nicht im Mediengebrauch. Der Medienforscher Johannes Fromme gibt allerdings zu bedenken: „Was passiert, wenn andere Erfahrungen verkümmern, wissen wir nicht.“ Mitgefühl, Toleranz oder religiöses Verständnis lassen sich jedenfalls über PC-Spiele nicht transportieren.

Arbeitsaufträge: 1. Thema des Textes: Computernutzer werden immer jünger, der Medienumgang wird schon im Kindergartenalter gelernt. Auswirkungen des häufigen Umgangs mit dem Computer auf das Lernen, die Wahrnehmung und die sozialen Beziehungen von Kindern und Jugendlichen.

Gegenmaßnahmen: - Kindern soll man den Computer nicht verweigern, sondern sie sollen Medienkompetenz erwerben (Zeile 42-46). b) Kernaussage/Problem des Textes: Kinder und Jugendliche haben heute einen vielfältigen Umgang mit dem Computer und wachsen damit wie selbstverständlich auf (Zeile 14-19), was jedoch auch negative Auswirkungen auf das Lernen, die Wahrnehmung und die sozialen Beziehungen hat (Zeile 20-22). 3. Die Reportage „Seid ihr auch alle drin?“ erschien 2001 in Geo Wissen Nr. 27. Darin wird festgestellt, dass der Umgang mit dem PC für Kinder und Jugendliche heute eine Selbstverständlichkeit ist. Welche Auswirkungen dies allerdings auf das Lernen, die Wahrnehmung und die sozialen Beziehungen der Heranwachsenden hat, ist noch ungewiss. Weil Politik und Wirtschaft die Ausbildung von Kindern und Jugendlichen an Computern intensiv unterstützen, gibt es heute kaum noch Heranwachsende, die dieses Medium nicht nutzen können. Auch wollen viele Eltern, dass ihr Kind so früh wie möglich mit dem PC umgehen kann, damit es später keine Nachteile hat. Experten jedoch glauben, dass eine zu frühe Auseinandersetzung mit dem PC die Sprachfähigkeit vermindern und Konzentrationsschwächen hervorrufen kann. Da die Welt in Computerspielen für Kinder immer kontrollier- und steuerbar erscheint, kann sich auch die Wahrnehmung der Wirklichkeit verändern. Computerspiele dienen vielen außerdem als Ersatz für Freunde oder als Fluchtmöglichkeit vor Unangenehmem. Schließlich ist nachgewiesen worden, dass die in Computerspielen auftretende Gewalt zu Abstumpfung und geringerem Mitgefühl führen kann, besonders wenn das soziale Umfeld versagt. Dabei sollte letztlich nicht das PC-Verbot, sondern die Bildung von „Medienkompetenz“ im Mittelpunkt der Erziehung stehen. 4. a) Keimfreiheit = Sterilität (Zeile 4) b) wirtschaftlich abhängige, besitzlose Arbeiterklasse = Proletariat (Zeile 24) c) sich für etwas aussprechen, für etwas eintreten = plädieren für (Zeile 34) d) nur scheinbar wirklich = virtuell (Zeile 67) e) Verordnung/Verabreichung von Arzneimitteln = (Selbst)medikation (Zeile 53) f) anziehend, verlockend = attraktiv (Zeile 54)

3.2 Inhalte von Erzähltexten zusammenfassen 3.2.1 Arbeitstechniken (siehe A-Teil)

3.2.2 Übung Text: Eine literarische Liebe 1. Wer:

- ein Mädchen mit roten Haaren namens Christine - der Erzähler - Freddy, sein Freund

Wann:

keine Angaben

Wo:

im Bus

Was:

Mädchen mit roten Haaren beeindruckt Erzähler und seinen Freund Freddy; Erzähler glaubt, sie liest gute Literatur; er schreibt ein Gedicht über sie; Freddy fordert ihn auf Liebesbriefe für ihn zu schreiben; Erzähler glaubt, dass sie weiß, dass er die Briefe geschrieben hat; er glaubt, dass sie ihn deshalb bewundert; er erkennt seine falscheEinschätzung als ihn das Mädchen im Bus bloßstellt und laut aus seinen Gedichten vorliest; er merkt auch, dass Freddy ihn hintergangen hat, weil er seinen Namen unter die Gedichte setzte; Erzähler sieht, dass sie keine gute Literatur liest, sondern nur Rosamunde Pilcher; Erzähler erkennt, dass das Mädchen und Freddy ein Paar sind.

Warum:

Erzähler verliebt sich in ein Mädchen, weil er sich falsche Vorstellungen von ihr macht (rote Haare, ist angeblich „eine Literarische“, liest angeblich Thomas Mann); er glaubt, sie habe erkannt, dass nur er der „literarische“ Briefschreiber sein kann, nicht Freddy; er glaubt, dass sie ihn mag und wegen der Gedichte bewundert.

2. Die Erzählung „Eine literarische Liebe“ wurde von Erich Jooß verfasst. Hierin geht es um den Erzähler, der sich zusammen mit seinem Freund in ein Mädchen verliebt, schließlich aber erkennen muss, dass er sich falsche Vorstellungen gemacht hat.

Fremdwörter erklären

B95

Ein Mädchen mit auffallend roten Haaren steigt in einen Schulbus ein. Besonders der Erzähler und sein Freund Freddy sind sofort von ihrem Aussehen begeistert. Sie beginnt ein Buch zu lesen, was den sonst nur sportlich interessierten Freddy beeindruckt. Der Erzähler fühlt sich ebenso durch ihr Interesse an Literatur angezogen, weil er selbst Gedichte liebt. Als der Erzähler ein Gedicht über das Mädchen schreibt und es seinem Freund vorliest, überzeugt ihn dieser, dass er einen Liebesbrief für ihn schreiben müsse. Er ahnt aber nicht, dass Freddy die sehr schwülstigen Texte nicht als die seinen ausgibt, sondern als die des wirklichen Verfassers. Er glaubt, das Mädchen sei von den Versen beeindruckt und wisse, dass nur er als Verfasser in Frage komme. Nach dem dritten Brief aber stellt das Mädchen den Erzähler im Bus bloß, indem sie den Brief laut vorliest. Er erkennt, dass Freddy ein falsches Spiel mit ihm gespielt hat und dass er sich ein falsches Bild von dem Mädchen gemacht hat. In Wahrheit liest sie nicht Thomas Mann sondern Rosamunde Pilcher.

3.3 Fremdwörter erklären 3.3.1 Arbeitstechniken (siehe A-Teil)

3.3.2 Übungen 1. Deutsche Übersetzung der Fremdwörter: 1. Takt

Rhythmus

16. Schlussfolgerung

2. Lufthülle

Atmosphäre

17. für ungültig erklären

annullieren

3. angriffslustig

aggressiv

18. fachmännisch

professionell

Fazit

4. steigern, verstärken

potenzieren

19. Bücherei

Bibliothek

5. Absicht

Intention

20. Vorrang

Priorität

6. Erscheinungsform

Phänomen

21. beherrschen

dominieren

22. Anzeichen

Symptom

7. von etwas gefesselt sein fasziniert sein 8. die Umwelt betreffend

ökologisch

23. moralische Haltung

Ethos

9. Gehilfe, Helfer

Assistent

24. Stockwerk

Etage

4. Vervollständigen Sie den Satz, indem Sie das Fremdwort erklären. 1. 2. 3. 4.

Wer ein Problem reflektiert, der überdenkt es. Wer kontinuierlich arbeitet, der arbeitet beständig oder andauernd. Wenn man Heuschrecken dezimiert, dann vermindert man deren Bestand stark. Wenn Experten eine höhere Arbeitslosigkeit prognostizieren, dann sagen sie sie vorher. 5. Wer eine Software installiert, der richtet sie ein. 6. Wer 20 Zigaretten am Tag konsumiert, der raucht sie. 7. Wer einen Arzt konsultiert, der sucht ihn auf. 8. Wer sich für Behinderte engagiert, der setzt sich für sie ein. 9. Wer gegen eine Krankheit immun ist, der ist gegen eine Ansteckung gefeit. 10. Wer sich mit einem Virus infiziert, der steckt sich an. 11. Wer emotional reagiert, der reagiert gefühlsmäßig. 12. Wenn an der Grenze Waren konfisziert werden, dann werden sie beschlagnahmt. 13. Wer einen anderen attackiert, der greift ihn an. 14. Wer einem eine gute Leistung attestiert, der bescheinigt sie ihm. 15. Wer sich für eine Aufgabe qualifiziert, ist dafür geeignet. 16. Wer sich von der Außenwelt isoliert, der kapselt sich davon ab. 17. Wer konservativ ist, der hält am Hergebrachten fest. 18. Wer mit einem Auto kollidiert, der stößt mit ihm zusammen. 19. Wer seine Ausdrucksweise variiert, der verändert sie. 20. Wenn man eine Aufgabe kollektiv erledigt, dann erledigt man sie gemeinsam.

3.4 Sprachliche Bilder erkennen und erläutern 3.4.1 Arbeitstechniken (siehe A-Teil)

3.4.2 Übungen

10. Ausblick, Blickwinkel

Perspektive

25. Schwärmer, Träumer

Illusionist

11. Aussprache

Artikulation

26. Entwicklung

Evolution

1. Erläuterung der unterstrichenen bildhaften Ausdrücke aus dem Textzusammenhang:

12. Einsatzbereitschaft

Engagement

27. genaue Untersuchung

Analyse

Textauszug 1:

13. grundlegend

fundamental

28. soziales Umfeld

Milieu

14. ausgleichen

kompensieren

29. Zuneigung, Gefallen

Sympathie

15. miteinander vereinbar

kompatibel

30. Ansteckung

Infektion

„sie lachten auf Susanne ein“ Dieser ungebräuchliche Ausdruck bedeutet hier „jemanden auslachen“. Er wird im Zusammenhang mit „aufeinander einschlagen“ benutzt. Damit macht der Autor auch sprachlich deutlich, dass das Auslachen ähnliche Verletzungen bei Susanne hervorruft wie das Schlagen. Es muss also nicht immer nur körperliche Gewalt sein, die einen verletzen kann.

2. Deutsche Übersetzung der Fremdwörter: 1. Chaos Durcheinander 2. Insektizid 3. manipulieren

16. prämieren

Schädlingsbekämpfungs- 17. mental mittel 18. Annonce beeinflussen

auszeichnen geistig, gedanklich Anzeige

„offene Arena“ Eine „offene Arena“ bietet keine Möglichkeit zum Ausweichen und Verstecken. Man findet eine Arena bei Stierkämpfen oder auch bei den Spielen der Römer. Hier finden Kämpfe statt, bei denen der Stärkere den Schwächeren besiegt und verletzt oder sogar tötet und ein großes Publikum sich darüber amüsiert. In dieser Metapher vergleicht der Autor den Schulhof mit einer Arena und macht damit deutlich, dass hier das Recht des Stärkeren gilt. Susanne, die Schwächere, wird gequält und das Publikum, die Schüler, vergnügen sich dabei.

4. prognostizieren voraussagen

19. Tourismus

Fremdenverkehr

5. Intention

Absicht

20. Emission

Aussendung, Ausströmung

6. sensibel

empfindsam

21. chronisch

dauernd, ständig

7. irreparabel

nicht wiederherstellbar

22. profilieren

Anerkennung finden

8. kausal

ursächlich

23. Visionär

Seher

9. strategisch

genau geplant

24. Hierarchie

Rangordnung

10. heroisch

heldenhaft

25. fundiert

begründet, untermauert

11. etablieren

einrichten, gründen

26. Ignoranz

Unwissenheit, Dummheit

Textauszug 2:

12. Hysterie

starke Gemütserregung

27. therapeutisch

ärztlich behandelnd

13. kalkulieren

berechnen, veranschlagen 28. Kommunikation Verständigung

14. virtuell

nicht echt, aber den Sinnen vortäuschend Anerkennung, Annahme

„am Puls der Zeit“ Mit dem Begriff „Puls“ verbinden wir den Puls- oder Herzschlag, der in einem regelmäßigen Tempo schlägt. Wenn man bei jemandem den Pulsschlag wahrnehmen kann, bedeutet das, dass er noch am Leben ist, d.h. er nimmt noch am aktuellen Leben teil. Spricht man vom „Puls der Zeit“, so meint man damit, dass man an der Gegenwart teilnimmt und nicht in der Vergangenheit lebt. Man ist also über das aktuelle Geschehen informiert.

15. Akzeptanz

29. seriös

ernsthaft, glaubwürdig

30. Klischee

eingefahrene, überkommene Vorstellung

3. Erklärung der Fremdwörter: 1. Die Bestechlichkeit innerhalb der regierenden Partei nahm immer größere Ausmaße an. 2. Die Mitglieder der Gruppe waren so unterschiedlich/verschieden, dass sie nicht zusammenarbeiten konnten. 3. In der Großstadt versinken viele Menschen in der Namenlosigkeit. 4. Die Werbung redet uns andauernd unbewusst ein, Dinge zu brauchen, die völlig überflüssig sind. 5. Sehr mutig setzte er sich für die Benachteiligten ein. 6. Das Treffen fand in einer Stimmung gemeinsamen Einvernehmens statt. 7. Er hatte eine richtige Abneigung gegen Schokoladeneis. 8. Wegen des schlechten Wetters mussten zahlreiche Flüge abgesagt werden. 9. Der berühmte/angesehene Schauspieler starb ganz plötzlich an Herzversagen. 10. Nach eingehender Beratung erreichten die beiden Parteien eine Übereinkunft. 11. Nach diesem Unheil/Unglück waren sämtliche Bäche verseucht. 12. Sie versuchte die schwächeren Schüler in die Gruppe einzugliedern. 13. Nach der Uraufführung erhielt der Hauptdarsteller stürmischen/tosenden Beifall. 14. Randgruppen wie Obdachlose werden oft herabgesetzt und benachteiligt. 15. Die Polizei reagierte auf die Demonstrationen mit einschränkenden Maßnahmen. 16. Die Expedition durch den Regenwald war eine wahre Qual/Plage. 17. Er befand sich in einem Zeitabschnitt unerbitterlicher Ablehnung. 18. In dieser Höhenlage leben die Bäume nur noch kärglich dahin. 19. In vielen Ländern werden die Inhalte von Nachrichten kritisch überprüft.

„neugierig“ „aufschlucken“ „schreiende Fläche“ Die Personifikationen „neugierig“ „aufschlucken“ und „schreiend“ verdeutlichen, wie der Pausenhof auf Susanne wirkt. Der Schulhof bietet für sie keinen Schutz. Jeder kann sie beobachten und sie kann sich nicht verbergen. Sie ist gezwungen ihre Pause hier zu verbringen. So wird die Pause für sie zur Qual.

„Häppchenjournalismus“ Der Begriff „Häppchen“ erinnert an kleine Brot- oder Käsestückchen, die man oft bei einem Empfang oder einer Party serviert bekommt. Man kann sich immer wieder eines davon nehmen, sie sind leicht verdaulich, aber man wird davon nicht satt. Mit der Metapher „Häppchenjournalismus“ wird deutlich gemacht, dass die Informationen, genauso wie die Appetithappen auf einer Party, dem Leser oder Zuschauer nur in kleinen, leicht verdaulichen Stückchen „serviert“ werden. Eine gründliche Information findet so nicht statt. Textauszug 3: „Menschenwellen“ Bei einer Welle denkt man sofort an die Bewegung des Wassers. Wellen folgen in immer gleichen Abständen, breiten sich über einen sehr langen Abschnitt aus und überfluten die Küste. Der Begriff wird hier als Metapher verwendet. Es entsteht das Bild von vielen Menschen, die in immer wiederkehrenden Abständen auf einer geschlossenen Linie einen Feind überrollen. „sie wirken wie defekte Roboter“ Ein Roboter ist ferngesteuert oder programmiert und erledigt nur die Aufgaben, die ihm zuvor eingegeben worden sind. Er hat somit keinerlei Urteilsvermögen. Ist der Roboter jedoch defekt, kann er außer Kontrolle geraten und Schäden anrichten. Der Vergleich, der hier angestellt wird, macht deutlich, dass die Kindersoldaten wie ein defekter Roboter außer Kontrolle geraten und ohne Urteilsvermögen und Schuldgefühle töten.

B96 2. Erläuterung der bildhaften Ausdrücke: Personifikation Die Erde ruhte unter einer dicken Schneedecke. Mit dem Bild des Ruhens wird deutlich gemacht, dass das Leben im Winter eine Pause macht. Es wachsen keine Pflanzen, Tiere schlafen oder verbringen die kalte Jahreszeit in einem sicheren Versteck. Metapher Er hatte auf seinem Lebensweg viele Steine wegzuräumen. Steine sind ein Hindernis auf einem Weg. Will man den Weg passieren, muss man die Steine wegräumen oder umgehen. Die Steine sind hier eine Metapher für die Hindernisse und Schwierigkeiten, denen er in seinem Leben begegnet ist. Personifikation Tiefer Friede lag über den schlafenden Städten. Das Bild der schlafenden Stadt macht deutlich, dass das Leben in einer Stadt während der Nacht ruht. Die Lichter gehen aus, der Verkehr ruht, es sind kaum Menschen auf der Straße zu sehen und die Geschäfte haben geschlossen. Vergleich Die Nebel flohen wie Gespenster bei Sonnenaufgang. Hier wird der Nebel mit Gespenstern verglichen. Gespenster haben weiße, fast durchsichtige Laken, die durch ihre Bewegungen und durch den Nachtwind langsam hin und her wehen. Sie schweben geräuschlos und leise durch die Nacht. Auch die Nebelbänke sind weiß, treten meist nachts oder in den Morgenstunden auf und bewegen sich geräuschlos und langsam. Metapher Am Abend seines Lebens war die Einsamkeit sein ständiger Begleiter. Der Abend bildet den Abschluss, das Ende des Tages. Mit dem neuen Tag ist er unwiderruflich vorbei. Mit der Metapher des Abends wird hier das Alter beschrieben. Auch das Alter bildet einen Abschluss. Es ist das Ende des Lebens. Vergleich Sie redete wie ein Buch. In einem Buch stehen sehr viele Geschichten oder Informationen, für die man eine relativ lange Zeit braucht, bis man sie gelesen hat. Redet man also wie ein Buch, so redet man unaufhörlich, sehr viel und auch sehr lange. Personifikation Im Hintergrund grüßt die weiße Spitze des Berges den Wanderer. Ein Gruß findet nur zwischen Menschen statt. Meist ist es ein freudiges Ereignis, da man einen lieben Freund oder einen Bekannten wiedersieht oder an einen bekannten Ort zurückkehrt. Der Wanderer freut sich, dass er die Spitze des Berges wiedersieht und dass er sein Ziel bald erreichen wird. 3. Erläuterung der bildhaften Ausdrücke: Beispiel 1: Das hohle Fenster in der vereinsamten Mauer gähnte blaurot voll früher Abendsonne. Staubgewölke flimmerten zwischen den steilgereckten Schornsteinresten. Die Schuttwüste döste. Der Autor verwendet hier Personifikationen. Alle bildhaften Ausdrücke dienen dazu, den Ort der Handlung so anschaulich wie möglich zu beschreiben. Der Ort erscheint einsam, ohne Menschen. Es ist heiß und es macht sich Müdigkeit und Trostlosigkeit breit. Beispiel 2: Er tappte durch die dunkle Vorstadt. Die Häuser standen abgebrochen gegen den Himmel. Der Mond fehlte, und das Pflaster war erschrocken über den späten Schritt. Dann fand er eine alte Planke. Da trat er mit dem Fuß dagegen, bis eine Latte morsch aufsetzte und losbrach. Das Holz roch mürbe und süß. Durch die dunkle Vorstadt tappte er zurück. Sterne waren nicht da. Als er die Tür aufmachte (sie weinte dabei, die Tür), sahen ihm die blassblauen Augen seiner Frau entgegen. Sie kamen aus einem müden Gesicht. Ihr Atem hing weiß im Zimmer, so kalt war es. Er beugte sein knochiges Knie und brach das Holz. Der Autor verwendet hier Personifikationen. Mit dem Bild „das Pflaster war erschrocken“ deutet der Autor darauf hin, dass es schon spät und die Gegend einsam und verlassen ist. „Sie weinte dabei, die Tür“ verdeutlicht bildlich, dass die Tür quietschte, als sie geöffnet wurde. Beispiel 3: Es war ein herrlicher Julitag, einer von den Tagen, die nur dann vorkommen, wenn kein Wetterumschlag zu erwarten ist. Der Himmel ist dann vom frühen Morgen an heiter; das Morgenrot flammt nicht wie eine Feuersbrunst; die Sonne ist nicht feurig und glühend wie zur Zeit der Dürre, auch nicht trüb-blutrot wie vor einem Sturm, sondern schwebt hell und freundlich unter einer schmalen und langen Wolke hervor, leuchtet heiter und versinkt im lilagrauen Nebel. Der obere dünne Rand der langgestreckten Wolke glitzert wie voller feiner Schlangen; ihr Glanz erinnert an den Glanz getriebenen Silbers... Schon brechen aber die spielenden Strahlen hervor, und das mächtige Gestirn steigt lustig, majestätisch, wie auffliegend empor. Um die Mittagsstunde erscheint gewöhnlich eine Menge runder, hoher, goldig-gelber Wolken mit zarten weißen Rändern. Gleich Inseln, auf einem uferlosen Fluss verstreut, der sie mit tiefen und durchsichtigen Armen einer tiefen Bläue umflutet, bewegen sie sich kaum von der Stelle;... Auffallend sind hier die zahlreichen Vergleiche, die der Autor verwendet. Damit beschreibt er den Himmel sehr anschaulich und eindringlich. Es ist ein klarer, schöner Tag mit strahlendem Sonnenschein und einigen harmlosen Wolken, ohne drückende Hitze oder Anzeichen für einen Sturm. Diese bildhafte Beschreibung vermittelt eine Stimmung von Ruhe, Helligkeit, Klarheit und Fröhlichkeit.

Textstellen wiedergeben 3.5 Den Inhalt von Textstellen mit eigenen Worten wiedergeben 3.5.1 Arbeitstechniken (siehe A-Teil)

3.5.2 Übungen a) „Politik und Wirtschaft haben sich derweil schon längst die vollständige Computer- und Internet-Alphabetisierung des deutschen Nachwuchses auf die Fahnen geschrieben.“ Computer- und Internet-Alphabetisierung = jeder lernt mit dem Computer umzugehen auf die Fahnen schreiben = etwas als sein Programm, als seine Idee ausgeben Die Wirtschaft und die Politik machen es sich zu ihrem Programm, dass Kinder und Jugendliche in Deutschland lernen, mit dem Computer umzugehen. So findet der PC schon Eingang in den Kindergarten und die Grundschule. All dies wird von den Politikern und den Wirtschaftsleuten sehr unterstützt. b) „Manchen dienen (Computer)spiele als emotionale Selbstmedikation, um vor Unangenehmem zu flüchten, oder weil Freunde und andere attraktive Reize fehlen.“ Selbstmedikation = sich selbst Arzneimittel verordnen emotionale Selbstmedikation = sich Arzneimittel verabreichen, um glücklich zu sein Computerspiele sind für manche Jugendliche wie ein Medikament, das sie sich selbst verabreichen. Sie dienen zum einen dazu, dass man unangenehme Dinge vermeiden kann, seien es schulische Anstrengungen oder häusliche Pflichten. Zum anderen bieten sie Ersatz für wirkliche Freunde. Schließlich wirken Computerspiele der Langeweile entgegen.

3.6 Stellungnahme/Erörterung 3.6.1 Arbeitstechniken, Vorgehensweise (siehe A-Teil)

3.6.2 Übungen 1. a) Erwachsen werden heißt: Freiheiten gewinnen und Aufgaben verantwortlich übernehmen. Nehmen Sie zu dieser Aussage ausführlich Stellung. A. Einleitung: Erwachsen werden bedeutet Abkoppelung von den Eltern, seinen eigenen Weg suchen. B. Erwachsen werden heißt: Freiheiten gewinnen und Aufgaben verantwortlich übernehmen. I. Erwachsen werden heißt Freiheiten gewinnen 1. Selbstständigkeit erlangen: x eigene Wohnung, eigener Haushalt x eigene Lebensführung x eigene Entscheidungen treffen x eigener Verdienst (Berufswahl) 2. Selbstverwirklichung: x eigene Bestimmung über die Freizeit x Entscheidung über die Religion x Reisen x Persönliche Ausdrucksformen (Kleidung, Schmuck, Einrichtung etc.) 3. Mitbestimmung: x Wahlrecht x eigene Meinung vertreten x sich engagieren (Politik, Vereine, Organisationen) II. Erwachsen werden heißt Verantwortung übernehmen 1. Verantwortung gegenüber x Familie (für andere sorgen, Kinder nahestehenden Menschen erziehen, Eltern pflegen etc.) x Partnerschaft (Treue, Aids) x Freundschaften (Hilfe anbieten) x Hilfe für Benachteiligte (Behinderte, alte Menschen, Kranke) x andere nicht gefährden (z.B. im Straßenverkehr) x Einhalten von Regeln (Gesetze etc.) x Vermeidung von Gewalt (Zivilcourage, z.B. wenn andere Menschen bedroht werden) x Mitbestimmung (Gemeinde, Politik etc.) C. Schluss: Erwachsen sein heißt nicht nur Freiheiten genießen, sondern vor allem auch Verantwortung übernehmen. 2. Verantwortung in der Gesellschaft übernehmen

Stellungnahme/Erörterung b) Der Computer ist in vielen Lebensbereichen unentbehrlich geworden. Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung. A. Einleitung: Der PC brachte große Veränderungen in den letzten Jahrzehnten. B. Der Computer ist in vielen Lebensbereichen unentbehrlich geworden. I. Der PC bietet in vielen Lebensbereichen große Vorteile 1. privater x Erleichterung alltäglicher Arbeiten (homeLebensbereich banking, internet-shopping) x Unterhaltung (PC-Spiele) x Hobbys (Filme machen, Fotos etc.) x Kommunikation (e-mail) 2. Bildung, Schule

x Informationsbeschaffung durch das Internet x Erstellung von Arbeiten auf dem PC

3. Beruf, Arbeit

x Erleichterung der Arbeit (Humanisierung) x neue Berufe entstehen (Programmierer, ITElektroniker)

4. Medizin, Forschung

x bessere Erkennung von Krankheiten x bessere Operationsverfahren x höhere Lebenserwartung

5. Industrie, Umwelt

x x x x

größere Wettbewerbsfähigkeit Globalisierung umweltfreundliche Produktion Überwachung der Umweltschäden

II. Der PC bringt allerdings auch Gefahren mit sich 1. privater Lebensx Passivität bereich/Bildung x Abhängigkeit von PC-Spielen x kein Kontakt zu anderen Menschen mehr x erhöhte Gewaltbereitschaft durch Gewaltspiele x Vernachlässigung des Lesens und der Sprache x Zugriff auf persönliche Daten x Überwachung 2. Beruf, Arbeit

x Arbeitsplatzverluste durch Automatisierung x Erhöhung der Anforderungen

3. Forschung, Medizin

x Lebensverlängerung bei klinisch Toten x Missbrauch in der Gentechnik

C. Schluss: Der PC muss für den Menschen da sein. Er darf niemals über den Menschen bestimmen und schädlich für ihn sein. c) Jugendliche wissen oft nichts mit ihrer Freizeit anzufangen. Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung. A. Einleitung: Das Freizeitverhalten der Jugendlichen hat sich verändert. Freizeit wird für Jugendliche zum Problem. B. Jugendliche wissen oft nichts mit ihrer Freizeit anzufangen. I. Kennzeichen falschen Freizeitverhaltens

x Langeweile (Interesselosigkeit, Herumlungern) x Probleme mit Alkohol x Gewalt, Kriminalität x Passivität x Konsumverhalten (nur an materiellen Werten orientiert)

II. Gründe für falsches Freizeitverhalten

x Gruppenzwang (bestimmte Aktivitäten, Vereine, Engagement) sind nicht „in“ x Gewöhnung an Passivität durch Medien (Computer, Fernsehen) x Erziehung zur Passivität, Fernseher als Babysitter, falsches Spielzeug, Eltern haben keine Zeit mehr) x Jugendarbeitslosigkeit x keine Möglichkeit der aktiven Freizeitgestaltung (Spielplätze, keine Angebote)

III. Möglichkeiten sinnvoller Nutzung der Freizeit

x x x x

Geselligkeit (Spiele) Sport kreative Entfaltung (Kunst, Musik) produktive Beschäftigung (Basteln, Handwerken, Garten) x Bildung (Sprachen) x soziales Engagement (Feuerwehr, Hilfsorganisationen etc.)

C. Schluss: Die Fähigkeit sich in der Freizeit sinnvoll zu beschäftigen muss gelernt werden. Das ist eine Aufgabe der Erziehung. Es gibt auch die Möglichkeit einer dialektischen Gliederung des Themas: I. Jugendliche wissen nichts mit der Freizeit anzufangen. II. Jugendliche können sehr wohl ihre Freizeit sinnvoll gestalten.

B97 d) Sport: Risiko oder Chance für die Gesundheit des Menschen. Nehmen Sie ausführlich dazu Stellung. A. Einleitung: Zunahme der Freizeit bedeutet auch Zunahme sportlicher Aktivitäten. B. Sport: Risiko oder Chance für die Gesundheit des Menschen. I. Vorteile des Sports 1. Sport fördert die körperliche Gesundheit

2. Sport fördert die geistigseelische Gesundheit

II. Nachteile des Sports 1. Schädigung der physischen Gesundheit

2. Seelische Auswirkungen des Sports

x Kräftigung der Muskulatur, Wohlbefinden x Vorbeugung von Krankheiten (HerzKreislauf) x Ausdauer x dient zur körperlichen Regeneration x Sport als Medizin, Reha-Maßnahmen x Abbau von Stress x erhöht Selbstwertgefühl und Selbstbewusstsein x geistig-seelische Regeneration, psychisches Wohlbefinden x ist in eine Gruppe eingebunden, sozialer Aspekt x körperliche Schäden durch falsche Beanspruchung x Sportinvalidität durch Leistungssport x hohe Verletzungsgefahr bei manchen Sportarten x Doping x Minderung des Selbstwertgefühls durch Leistungsdruck, Überlastung x Minderung des Selbstwertgefühls durch Konkurrenz und Niederlagen x Sport kann zu Streit und Konflikten führen, dies kann seelische Auswirkungen haben

C. Schluss: Sport in Maßen ist gesund. Überbelastung kann zu gesundheitlichen Schäden führen.

2. a) A ; b) C ; c) B 3. Als ersten Grund, weshalb Jugendliche zu Suchtmitteln greifen, sehe ich, dass mangelnder Erfolg in der Schule oder im Beruf sie dazu bewegen kann. Sie suchen fehlende Anerkennung in einem Meer von Alkohol. So reagiert jeder gereizt, wenn dem Lehrer die gegebenen Antworten nicht genügen oder eine Schularbeit nicht die erwünschte Note trägt. Auch ein Jugendlicher, der in der Arbeit unkonzentriert war und nur Ausschuss produziert hat, begibt sich am Abend gerne in ein Lokal, raucht eine halbe Schachtel Zigaretten und trinkt drei Schnäpschen um seinen Frust zu vergessen. Treten nun häufiger Misserfolge auf, werden solche Abende schnell zur Gewohnheit. Neben geerntetem Undank kann auch die Werbung das Verhalten gegenüber Modedrogen wie Alkohol und Nikotin beeinflussen, da sie unbemerkt suggeriert, sich nach dem Konsum gut oder überlegen zu fühlen. Wenn z.B. in einer Fernsehwerbung ein Vogel über Hügel, Felder und Seen fliegt, während er eine Flasche Schnaps in seinen Krallen hält, wird das Gefühl vermittelt, dass man nach dem Trinken eines Gläschens der Welt und ihren Sorgen gewachsen ist. Durch diese Werbung kauft sich ein junger Mensch diesen Schnaps und wenn er mundet, wiederholt sich der Kauf. Auch werden manche Jugendliche durch die eigene Familie zu Suchtmitteln herangeführt, wenn beispielsweise ein naher Verwandter abhängig ist. Greift angenommen der Vater oder Großvater jeden Tag in übertriebenem Maß zur Flasche und wird durch das Trinken wieder ruhig und freundlich, lernt ein kleines Kind fälschlicherweise, dass man Alkohol braucht, um gelassen zu sein. Als junger Heranwachsender wird das dann unbewusst ausgeführt, was als Kind gelernt wurde. Doch auch ein Bruder, der drogenabhängig ist, verleitet jüngere oder ältere Geschwister dazu, es doch auch einmal zu versuchen. Dieses kann zur Abhängigkeit führen und der junge Mensch muss immer wieder zu Drogen greifen. Ebenso kann ständiger Streit in der Familie einen Jugendlichen veranlassen, Suchtmittel zu genießen, denn die Suche nach fehlender Geborgenheit und Liebe wird durch sie vergessen. So ertränkt ein Heranwachsender den Frust über den Streit mit seiner Mutter oder Freundin am leichtesten in einer Flasche Bacardi oder Asbach Uralt oder bläst ihn durch fünf Zigaretten, Zigarren oder einen Joint schnell wieder hinaus. Der Streit ist vergessen und das Leben erscheint wieder leicht und lebenswert, da die Sorgen und Probleme in einem Rausch oder dem Qualm der Zigaretten untergehen. Nicht zuletzt wecken Freunde oder Bekannte durch ihr Beispiel die Neugierde eines jungen Menschen. Besteht z.B. die Angewohnheit eines Arbeitskollegen oder Schulfreundes darin, nach dem Arbeits- bzw. Schulalltag vor dem Auto, Roller oder Fahrrad zu stehen und eine Zigarette zu rauchen, und dem Jugendlichen regelmäßig auch eine anzubieten, während sie sich über völlig unwichtige Themen unterhalten, so erliegt der Jugendliche nach einiger Zeit bestimmt seiner Neugierde und beginnt selbst, zuerst zu festen Zeiten und später, immer wenn er Lust darauf hat, zu rauchen. Auch wenn der Jugendliche sieht, wie Freunde beim Ausgehen Rauschgift nehmen und leichtsinnigerweise wie viele junge Leute denkt, er müsse das jetzt ausprobieren, wird er schnell abhängig und nimmt dieses Suchtmittel öfter oder gar regelmäßig ein. (Schüleraufsatz)

B98 3.7 Neue Aufgabenstellungen im schriftlichen Sprachgebrauch (siehe A-Teil)

Rechtschreibung Aufgabe 4: Rechtschreibregeln/Rechtschreibstrategien Das Wort besteht aus zwei Bestandteilen. An das Nomen „Beispiel“ wird die Nachsilbe „los“ angehängt. Somit wird das Wort zu einem Adjektiv und muss klein und mit mit „ll“ geschrieben werden. Aufgabe 5: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben

3.8 Rechtschreibung 3.8.1 Textgruppe 1 Rechtschreiben I – Modifiziertes Diktat Originaltext siehe Teil A - Aufgabenstellungen

Rechtschreiben II – Strategien- und Regelwissen Aufgabe 1: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben Text mit richtig geschriebenen Wörtern: Energiequelle Mensch Mit einem neuen Verfahren lässt sich elektrischer Strom aus Körperwärme gewinnen. Armbanduhren, die ohne Batterie funktionieren - wie das gehen kann, demonstrierte jüngst eine Forschergruppe: Sie hat eine Technik entwickelt, die die benötigte Energie für solche Geräte allein aus menschlicher Körperwärme bezieht. Die elektrische Spannung wird dabei aus dem Unterschied zwischen Körper- und Umgebungstemperatur erzeugt. Schon 1821 hatte ein Physiker entdeckt, dass eine Spannung entsteht, wenn zwei unterschiedliche Metalle, zwischen denen ein Temperaturgefälle herrscht, etwa durch eine Spule miteinander verbunden werden. Dieser sogenannte thermoelektrische Effekt wurde seither vielfach eingesetzt. Unter anderem nutzte ihn die NASA zur Stromversorgung auf den in den 1970er Jahren gestarteten Raumsonden Voyager 1 und 2. Außer in Gesundheitswesen und Kommunikationstechnik eignen sich die Mini-Kraftwerke auch für die Verwendung in Klimaanlagen. Selbst das Auto könnte weitaus mehr als bisher zum Selbstversorger werden. Aufgabe 2: Zeichensetzung/direkte Rede „Das Problem bestand bisher darin“, so erklärte ein Mitglied der Forschungsgruppe, „möglichst kleine Generatoren zu entwickeln, damit eine industrielle Serienproduktion möglich ist.“ Aufgabe 3: Substantivierung Wissenschaftler haben ein Verfahren zur Gewinnung von elektrischem Strom aus Körperwärme entwickelt. Aufgabe 4a: Rechtschreibregeln/Rechtschreibstrategien Eines Tages wird jeder mit Autos spazieren fahren, die durch neuartige, umweltfreundliche Techniken angetrieben werden. Neuartige, umweltfreundliche Techniken werden uns die Freude am Spazierenfahren mit dem eigenen Auto wieder zurückgeben. Aufgabe 4b: Rechtschreibregeln/Rechtschreibstrategien Verbindungen mit einem Verb im Infinitiv und einem zweiten Verb werden getrennt geschrieben. Die Verbindung von zwei Verben wird als Nomen gebraucht. Deshalb schreibt man die Verbindung zusammen und groß. Dies ist auch am Signalwort „am“ = „an dem“ erkennbar (Präposition und versteckter Artikel).

Nachdem wir lange Zeit im dunkeln tappten, wissen wir heute, dass der Lebensraum Tiefsee von Tausenden unbekannten Lebensformen bevölkert ist. Nachdem wir lange Zeit im Dunkeln tappten, wissen wir heute, dass der Lebensraum Tiefsee von tausenden unbekannten Lebensformen bevölkert ist. Nachdem wir langezeit im Dunkeln tappten, wissen wir heute, dass der Lebensraum Tiefsee von Tausenden unbekannten Lebensformen bevölkert ist. Nachdem wir lange Zeit im Dunkeln tappten, wissen wir heute, dass der Lebensraum Tiefsee von Tausenden unbekannten Lebensformen bevölkert ist.

Nachdem wir lange Zeit im Dunkeln tappten, wissen wir heute, das der Lebensraum Tiefsee von Tausenden unbekannten Lebensformen bevölkert ist.

3.8.3 Textgruppe 3 Rechtschreiben I – Modifiziertes Diktat Originaltext siehe Teil A - Aufgabenstellungen

Rechtschreiben II – Strategien- und Regelwissen Aufgabe 1: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben Text mit richtig geschriebenen Wörtern: Die Kraft des Lachens Lachen, behauptet ein indischer Arzt, hilft nicht nur, Stress abzubauen – es kann auch den Körper heilen und sogar Krebs bekämpfen. In unserer von Hektik geprägten Zeit gehört Stress zu den häufigsten Todesursachen. Ein indischer Arzt hat eine Methode gefunden, mit der man Stress abbauen und angeblich sogar Krebs bekämpfen kann. Für ihn ist Lachen die beste Medizin für Körper und Geist. Diese These wird in Forscherkreisen längst nicht mehr belächelt, sondern durchaus ernstgenommen. Der US-Forscher Lee Berk behauptet, dass Lachen die Produktion von Killerzellen begünstigt und so das Immunsystem stärkt. Unsere Abwehrkräfte können es dann mit Tumorzellen, Bakterien und virusinfizierten Zellen aufnehmen, so Berk. Lachen rückt aber auch dem Stress zu Leibe. Versuche haben nachgewiesen, dass sich durch Lachen die Stresshormone im Blut merklich verringern. Nebenwirkungen dieser Naturheilmethode sind nicht bekannt, außer, dass sie bei gemeinschaftlicher Anwendung die zwischenmenschlichen Beziehungen verbessern kann. Aufgabe 2: Zeichensetzung/direkte Rede „Im Vergleich zu Kindern, die bis zu 400-mal am Tag lachen, haben wir unser Lachen fast verloren“, bilanziert ein Neuro-Immunologe. Aufgabe 3: Substantivierung Ein indischer Arzt hat eine Methode zum Abbau von Stress und angeblich sogar zur Bekämpfung von Krebs gefunden. Aufgabe 4a: Rechtschreibregeln/Rechtschreibstrategien

3.8.2 Textgruppe 2 Rechtschreiben I – Modifiziertes Diktat Originaltext siehe Teil A - Aufgabenstellungen

Rechtschreiben II – Strategien- und Regelwissen Aufgabe 1: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben Text mit richtig geschriebenen Wörtern: Neues aus der Tiefsee Wir kennen die Oberfläche des Mars besser als die unseres blauen Planeten. Und in den Tiefen unserer Ozeane wimmelt es von unerforschten und unbekannten Lebewesen. Das zeigt eine beispiellose „Volkszählung der Meere“. Während uns die Marssonden der NASA laufend mit neuen, gestochen scharfen Bildern und chemischen Analysen von der Marsoberfläche versorgen, ist der größte Teil der Erde buchstäblich unbekanntes Land. Schuld daran sind zum einen die Beschränkungen der Technik. Noch in den neunziger Jahren klagte der Meeresforscher Frederic Grassle: "Mit unseren Methoden hätten wir an Land nicht einmal die Elefanten entdeckt." Im Jahr 2000 startete endlich ein beispielloses internationales Großprojekt, das im Verlauf von zehn Jahren erstmalig eine Übersicht über das Leben in allen Meeren und Meerestiefen ermöglichen sollte. Mittlerweile forschen 2000 Wissenschaftler aus 80 Ländern. Ihre Ergebnisse fließen in einer gemeinsamen Datenbank zusammen, in der mehr als 78000 Arten erfasst sind. Die Anzahl der seit dem Start des Projekts neu entdeckten Arten übersteigt die Anzahl der Arten, die seit hundert Jahren bekannt sind. Aufgabe 2: Zeichensetzung/direkte Rede „Ziel des Projekts besteht darin, nicht nur den Ist-Zustand zu erfassen, sondern auch zu dokumentieren, welche Lebewesen in den Meeren der Welt gelebt haben“, erläuterte der Leiter der Forschungsgruppe. Aufgabe 3: Substantivierung Ein sensationelles Ergebnis des Forschungsteams ist, dass sie einen aus acht Millionen Heringen bestehenden Schwarm, der die Größe von Manhattan besitzt, aufgefunden haben.

Es kann nicht eindeutig gesagt werden, wer an dem Unfall schuld ist. Es kann nicht eindeutig gesagt werden, wer an diesem Unfall Schuld hat. Aufgabe 4b: Rechtschreibregeln/Rechtschreibstrategien In Verbindung mit „sein“ („bleiben“, „werden“) werden die Wörter „schuld“, „angst“, „bange“ „gram“, „leid“, „pleite“, „ernst“, „wert“ „recht“ als Adjektive gesehen und deshalb kleingeschrieben. In Verbindungen mit anderen Verben werden die Wörter „Schuld“, „Angst“, „Leid“, „Ernst“, „Wert“, „Recht“ als Nomen betrachtet. Sie werden deshalb großgeschrieben.

3.8.4 Textgruppe 4 Rechtschreiben I – Modifiziertes Diktat Originaltext siehe Teil A - Aufgabenstellungen

Rechtschreiben II – Strategien- und Regelwissen Aufgabe 1: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben Text mit richtig geschriebenen Wörtern: Reiseziel Mond Das Reizvolle liegt in weiter Ferne, im Unbekannten. Raumsonden haben inzwischen so viele Winkel in unserem Sonnensystem durchstöbert, dass uns äußerst faszinierende Bilder vom Mars erreichen. Doch nach wie vor richten sich die Blicke der Weltraumforscher auf den erdnächsten Himmelskörper, den Mond. Mehr als drei Jahrzehnte nach der historischen Landung steht der Erdtrabant wieder im Mittelpunkt des wissenschaftlichen Interesses. In den kommenden Jahren ist das Starten mehrerer Missionen zu dem felsigen Himmelskörper geplant. Den Erfolg versprechenden Anfang machte die erste europäische Mondsonde mit dem Namen Smart-1. Dieses kantige Flugobjekt, das bislang kaum erprobt wurde, nutzt eine revolutionäre Antriebstechnik. Es gibt noch immer zahlreiche Fragen, die trotz intensiver Forschung ungeklärt sind. Sicher scheint auch, dass die Menschen in absehbarer Zeit zum Erdtrabanten zurückkehren werden.

Abschlussprüfung 2007 Aufgabe 2: Zeichensetzung/direkte Rede „Wenn die Chinesen erst richtig loslegen“, sagte ein führender Wissenschaftler, „könnte alles sehr schnell gehen.“ Aufgabe 3: Wortarten bestimmen Zeile 1: Artikel, deshalb „das“ Zeile 9: Relativpronomen, deshalb „das“ Zeile 11: Konjunktion, deshalb „dass“ Aufgabe 4a: Substantivierung Es ist geplant mehrere Missionen zu starten. Aufgabe 4b: Rechtschreibregeln/Rechtschreibstrategien a) Trennung des Wortes Mis-si-on b) Der vorhergehende Vokal/Selbstlaut wird kurz gesprochen

B99 Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch Text 1: Hallo, hier Groß! Arbeitsaufträge 1. In dem Text setzt sich der Erzähler mit dem heutigen Handy-Wahn auseinander. Er erzählt zunächst die Geschichte einer Freundin, die stets ihr neues Mobiltelefon mit sich herumträgt. Ausgerechnet auf der Damentoilette wird sie dann von ihrem ersten Anruf überrascht. Danach schildert er den Ablauf einer Zugreise, auf der vielbeschäftigte Handy-Besitzer an jedem Bahnhof zum Telefon greifen, da das Telefonieren während der Fahrt wegen der Funklöcher nicht möglich ist. Ein Mitreisender kann sogar vor lauter Telefonieren, Unterbrechungen aufgrund von Funklöchern und Neuanrufen gar nicht mehr normal sprechen. 2. - „Technik-Ignorantin“ bezeichnet eine weibliche Person, die kein oder wenig Interesse für technische Neuerungen aufbringt und demnach auch keine Kenntnisse darüber besitzt, im vorliegenden Fall also jemand, der noch nie ein Handy in der Hand gehabt hat. - „Detailliert“ bedeutet „genauestens“, im Text lässt sich die zukünftige Handybesitzerin haarklein erklären, worauf sie beim Handykauf achten soll. 3. - Mit dem Ausdruck „Kommunikationspulle“ zieht der Autor einen Vergleich zu alkoholkranken Menschen, die aufgrund ihrer Sucht jede sich bietende Gelegenheit nutzen (müssen), Alkohol aus einer Flasche (= Pulle) zu konsumieren. Genauso wie der Alkoholiker an der Flasche hängt, hängt der Handybesitzer an der Kommunikationsmöglichkeit Handy, und wo er kann und darf, wird ein Telefonat geführt. - Mit „…eines maunzenden Telefontiers.“ vergleicht der Autor das Handy mit einem Haustier, das umhegt und geliebt wird und ab und zu Töne von sich gibt. 4. Der Autor verdeutlicht die ständigen Unterbrechungen des Gesprächs mit sehr kurzen Fragen wie „Wie bitte?“ (Zeile 31) oder „hallo?“ (Zeile 42) Ebenso verwendet er Ellipsen (Auslassungen): „stellen sie mich nochmal…“ oder „faxen sie das…“. 5. a) „die meisten ICEs >fahren@ fast immer in Funklöchern, länglichen Funklöchern“ (Zeile 18f.) „wie sämtliche Handybesitzer in ihre Tasche fassen und Gespräche beginnen“ (Zeile 23f.) b) Er will mit dem Stilmittel der Ironie dem Leser vor Augen führen, wie lächerlich und übertrieben dieser Telefonier-Zwang teilweise ist. Durch die übertrieben-ironische Art wird der Text sehr unterhaltsam und lustig.

3.9 Abschlussprüfungen 3.9.1 Abschlussprüfung 2007 (teilweise abgeändert) Teil A: Rechtschreiben Teil I und II Rechtschreiben I – Modifiziertes Diktat (Auszug Diktat 2007)

Originaltext siehe Aufgabenstellungen

Rechtschreiben II – Strategien- und Regelwissen (Text neu mit zusätzlichen Arbeitsaufträgen)

Aufgabe 1: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben Text mit richtig geschriebenen Wörtern: Immer weniger Eis am Nordpol In den Polregionen zeigen sich die Folgen des Klimawandels am deutlichsten: Starke Spätsommerstürme haben im August 2006 in der Arktis von Spitzbergen bis zum Nordpol und im nördlichen Sibirien mehr Packeis weggetrieben und damit wahrscheinlich eine größere Wasserfläche in dieser Region freigelegt als jemals zuvor. In Alaska ist die Jahresmitteltemperatur zwischen 1971 und 2000 um nahezu drei Grad Celsius gestiegen. Immer häufiger sorgt der auftauende Boden in Sibirien und Alaska für Probleme: Straßen sacken ab, Pipelines versinken im Schlamm, Häuser müssen hydraulisch gestützt werden. Zudem taut in den Böden gefrorenes Methan auf, und auf diese Weise gelangt das Treibhausgas in die Atmosphäre. Aufgabe 2: Zeichensetzung/direkte Rede „Sollte die Menschheit weiterhin unkontrolliert Treibhausgase produzieren“, so ein Klimaexperte, „ist damit zu rechnen, dass die Klimaerwärmung noch schneller voranschreitet als dies die Prognosen heute aufzeigen.“ Aufgabe 3: Substantivierung Er ist über die Zunahme des Ausstoßes an Treibhausgasen verärgert. Aufgabe 4a: Rechtschreibregeln/Rechtschreibstrategien Der Schüler hat frei gesprochen, ohne von seinem Manuskript abzulesen. Der Richter hat ihn freigesprochen, weil es keine Beweise gab. Aufgabe 4b: Mögliche Antworten Die Schreibung hängt von der Bedeutung ab. ursprüngliche Bedeutung: getrennt geschrieben übertragene Bedeutung: zusammengeschrieben Wenn das Adjektiv steigerbar oder erweiterbar ist, dann wird es getrennt geschrieben. frei sprechen (steigerbar: freier sprechen, erweiterbar: ganz frei sprechen).

6. Auch heute, in Zeiten des Technologie-Wahns, gibt es Jugendliche, die sich bewusst gegen ein Mobiltelefon entscheiden. Die Gründe dafür sind vielfältig. Die einen fürchten den so genannten Elektro-Smog. Handys geben ständig Impulsstrahlungen ab, mit denen sie die Verbindung zum nächsten Einwahlknoten halten. Diese kann unter Umständen für den Menschen gesundheitsgefährdend sein. Andere wiederum können sich das tolle InHandy, das man unbedingt haben muss, nicht leisten. Zwar wird Telefonieren immer billiger, trotzdem können im Monat beträchtliche Gebühren für sonstige Dienste und Zusatzleistungen zusammenkommen. Zusätzlich sind die Kosten für derart leistungsfähige Handys sehr hoch. Ein Grund für viele Handy-Verweigerer besteht auch darin, eben nicht ständig erreichbar zu sein. Sie legen großen Wert auf Privatsphäre und Ungestörtheit und erledigen Gespräche und Textnachrichten lieber am PC oder in einem Internet-Café. 7. Wer kennt das nicht: Man sitzt gemütlich mit Freunden im Kino, isst Popcorn und freut sich auf den Film. Vorab, nach den schier endlosen Werbespots, kommt ein kurzer, lustiger Film, in dem darum gebeten wird, doch bitte alle Telefone auszuschalten und die Füße nicht auf die Rückenlehne der Vordermanns zu legen. Klar, kein Problem, mein Handy mache ich sowieso immer aus, wenn ich das Kino betrete, warum also nochmal in der Tasche wühlen? Dann startet der Film, es ist dunkel, alle starren gebannt auf die Leinwand. Vor lauter Spannung vergesse ich, mein Popcorn weiterzuessen, als plötzlich mein ach so lustiger Klingelton mit indischem Akzent „Dingälingälingä!!“ aus meiner Tasche brüllt. Das Handy war natürlich nicht aus, auf laut gestellt und im Dunkeln auch erst nach langem Suchen zu finden. Ich spüre geradezu die bösen Blicke der anderen im Kinosaal, die mich suchen, mich durchbohren und strafen wollen. Ich rutsche ganz tief in meinen Sessel. Wie peinlich! 8. Einleitung: Laut einer Studie aus dem Jahr 2006 (JIM) besitzen 97% aller Jugendlichen zwischen 13 und 19 Jahren ein Handy. Beispiel I. Moderne Medien führen zur Vereinsamung durch die Möglichkeiten von 1. Online-Shopping,

2. virtuellen Welten a) in der Kommunikation und b) im alltäglichen Umfeld.

x Konsumartikel (Medien, Kosmetika, Lebensmittel, Medikamente…) x Online-Banking o man muss das Haus nicht verlassen x x x x

chatrooms flirtlines PC-Spiel „Die Sims“ Online-Game „Second Life“

II. Moderne Medien verbinden Menschen durch 1. die Überbrückung zum Teil großer Distanzen und 2. die ständige Erreichbarkeit durch a) Handy

b) E-mail.

Schluss:

x Video-Telefonie über das Internet x Instant-Messaging (z.B. ICQ) x x x x

Kurzfristige Terminvereinbarungen Schnelle Nachfrage Im Notfall erreichbar Bilder, Videos und Dokumente verschicken x schnell, kostengünstig, fast überall möglich

Moderne Medien können das Leben vereinfachen, dürfen aber nicht unser Leben bestimmen.

B100 Ergänzende Arbeitsaufträge Zu Abbildung 1: 1. Aufgabe Die Grafik stellt dar, wie Kinder zwischen 6 und 13 Jahren mit dem Handy umgehen. Sie zeigt, welche Vertragsarten die Kinder haben, wer die Kosten des Handys trägt und wie viel die Kinder für das Handy ausgeben. Dabei werden die Daten von 2005 mit denen von 2007 verglichen. Es wird deutlich, dass die meisten Kinder (83% in 2007 und 87% in 2005) eine Prepaidkarte benutzen. Nur bei 13% läuft der Vertag über die Eltern. Die Kosten werden 2007 zu 33% von den Eltern bezahlt. 20% der Kinder haben 2007 die Kosten selbst getragen. Hier hat sich die Zahl der Eltern, die für die Kinder bezahlen, von 2005 auf 7% erhöht und gleichzeitig ist die Zahl der Kinder, die selbst für das Handy bezahlen, um 4% gesunken. Die Durchschnittskosten für das Handy betrugen 2007 ca. 26 Euro pro Monat, wobei die Kosten insgesamt zwischen 2005 und 2007 von 297 Euro auf 312 Euro pro Jahr gestiegen sind. Etwas mehr als die Hälfte der Kosten werden von den Eltern übernommen. Zu Abbildung 2: 2. Aufgabe a) Das Bild zeigt die Hände von Kindern oder Jugendlichen die im Kreis angeordnet sind. In der Mitte liegt ein Handy. Es scheint, als ob die Kinder nach diesem Handy greifen wollen. Das Bild symbolisiert die Anziehung, die das Handy auf Kinder und Jugendliche ausübt. Bei ihnen ist das Handy sehr begehrt, jeder möchte eines besitzen. b) Die Gründe für die große Bedeutung, die ein Handy für Kinder oder Jugendliche hat sind vielfältig. Ein wesentlicher Grund ist der Gruppenzwang. Wenn jeder ein Handy besitzt, möchte man nicht derjenige sein, der kein Handy hat. Man wird schnell gehänselt, zum Außenseiter gestempelt und findet keinen Kontakt. Daneben ist das Handy auch ein Statussymbol bei Jugendlichen. Es geht darum mit dem neuesten und besten Handy zu zeigen, dass man auf dem neuesten Stand der Technik und der Trends ist und dass man sich ein teures Handy leisten kann. Viele Jugendlichen können es sich nicht mehr vorstellen, nicht jederzeit erreichbar zu sein oder Freunde zu erreichen. Vor allem das Schreiben von SMS ist für Jugendliche sehr wichtig. Dabei werden meist kleine, unwichtige Nachrichten verschickt, nur um ständig mit den Freunden in Kontakt zu sein. Zu Abbildung 3: 3. Aufgabe Das Bild wurde offensichtlich von einem Kind oder einem Jugendlichen gemalt. Es zeigt ein Handy als Teufel mit Gesicht, Schwanz und Hörnern. Der Teufel freut sich darüber, dass jetzt abgerechnet wird. Das Bild spricht das Problem der Kosten durch die Handys an. Handys sind für Jugendliche attraktiv, doch sie verursachen hohe Kosten. Teuer sind Handys nicht nur bei der Anschaffung, sondern auch durch das häufige Telefonieren und Schreiben von SMS. Auch der Download von Musikdateien und Klingeltönen kann teuer werden. Diese Kosten hat man meist nicht mehr unter Kontrolle, wenn man keine Prepaid-Karte hat, sondern einen Vertrag, bei dem erst am Ende des Monats abgerechnet wird. So müssen sich Jugendliche oft wegen des Handys verschulden. Leicht kommt man so in die Schuldenfalle. Für nicht bezahlte Rechnungen muss man Kredite aufnehmen, die man wieder mit hohen Zinsen abbezahlen muss. So kommt man immer tiefer in die Schuldenfalle.

Text 2: Wir brauchen die emotionale Wende 1. Der Autor fordert von den deutschen Bürgern einen gedanklichen Umschwung. Er wünscht sich mehr Initiative und das Loslösen von Faktoren, die unserem Einfluss entzogen sind wie Wetter, Geld, die Laune des Chefs oder des Partners (Zeile 22). Die Deutschen sollen mehr Stolz entwickeln auf das, was sie in den vergangenen Jahren erreicht haben, eine Nation des Friedens und der Demokratie geworden zu sein (Zeilen 26f.) und darauf, dass niemand in Deutschland Hunger leiden muss (Zeile 30), und nicht ängstlich auf die Arbeitslosenzahlen schielen oder auf unsere unrühmliche Rolle im Zweiten Weltkrieg. Er appelliert an uns, mehr Nationalstolz und Selbstbewusstsein zu entwickeln und bei der Einstellung zu bleiben, die wir 2006 während der FußballWeltmeisterschaft für kurze Zeit gemeinsam hatten: Ein normales, lässiges, nationales Selbstbewusstsein (Zeile 46). 2. a) Fokussierung (Zeile 18) b) kollektiv (Zeile 47) c) global (Zeile 49) d) deprimierend (Zeile 17) 3. Der Autor beginnt mehrere aufeinanderfolgende Sätze mit dem Wort „Wir“. Damit will er hervorheben, dass die Deutschen es sind, die stolz auf ihre Leistungen und Errungenschaften sein dürfen. Er stärkt damit das „Wir-Gefühl“ und bewirkt so ein größeres Selbstbewusstsein und mehr Stolz. 4. Wenn uns über das Ende des Fußball-Weltmeisterschaft hinaus ein gesundes Selbstbewusstsein erhalten bleibt , werden wir Neuerungen (er-) schaffen können, mit denen wir nie gerechnet hätten. 5. a) Er will damit sagen, dass es darauf ankommt, mit welcher Einstellung man an etwas herangeht und dass es wichtig ist, zuversichtlich zu sein und Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten zu haben. Dann wird es auch möglich sein, seine gesetzten Ziele zu erreichen. b) Diese Aussage hat auch zum Beispiel bei einem Vorstellungsgespräch Gültigkeit: Der Bewerber mit Selbstvertrauen, der weiß, was er kann und was er wert ist, hat erheblich bessere Chancen, die Stelle zu bekommen, als der Bewerber, der zwar mindestens genauso qualifiziert ist, aber meint, dass er sowieso nicht genommen wird.

Abschlussprüfung 2007 6. Zum ersten Mal seit Jahrzehnten hatten die Menschen in Deutschland das Gefühl, eine Nation zu sein. Sie waren stolz darauf, die Nationalfarben zu zeigen. Millionen Menschen bemerkten heiter und gelassen, wie schön es in Deutschland ist und wie gut es sich hier leben lässt und waren stolz darauf, dies Gästen aus anderen Ländern zu zeigen. In sportlicher Hinsicht hat der Fußball seitdem einen enormen Zulauf erhalten, insbesondere viele Frauen interessieren sich neuerdings dafür. 7. Viele Jugendliche interessieren sich generell nicht für Fußball. Zum einen, weil sie überhaupt kein Interesse an Sportarten und -veranstaltungen haben, oder zum anderen, weil sie zwar sportbegeistert sind, aber für eine ganz andere Sportart. Außerdem haftet dem Fußball trotz WM-Begeisterung noch immer der Bierschwemmen- und Stammtisch-Muff der vergangenen Jahrzehnte an, mit dem viele nicht gerne in Verbindung gebracht werden möchten. 8. Einleitung: Viele aus meiner Klasse spielen in ihrer Freizeit Fußball. Beispiel I. Sport bereichert das Leben durch 1. gemeinsame Unternehmungen,

x Treffen in Sportvereinen

2. körperliche Betätigung als Ventil für Aggressionen und

x Deutlich geringere Jugendkriminalität in Gegenden mit großem Sportangebot

3. Förderung der Gesundheit.

x Verhinderung von Übergewicht bzw. Herz-/Kreislauferkrankungen

II. Sport zeigt aber auch negative Seiten in: 1. dem Verlust von Freunden mit anderen Interessen,

x nahezu täglich Training x keine Zeit für andere Beschäftigungen

2. dem Verlust von Kindheit oder Jugend

x ehrgeizige Eltern, die über ihre Kinder eigene Träume verwirklichen wollen

oder 3. starker körperliche Belastung durch

x kaum Ruhezeiten, ständige Höchstleistungen x EPO, Anabolika

a) zu viele Trainingseinheiten und b) Dopingmittel.

Schluss: Sport macht Spaß und ist gesund, solange man nicht dazu gezwungen ist, ständig die eigenen Grenzen zu überschreiten.

3.9.2 Notenschlüssel zur Prüfung ab 2008 Bewertungsschlüssel für das modifizierte Diktat (ab 2008): Fehler Punkte

0 12

1 11

2 10

3 9

4 8

5 7

6 6

7 5

8 4

9 3

10 2

11 1

ab 12 0

Bildung der Note für den schriftlichen Prüfungsteil (ab 2008): Die erreichten Punkte für Diktat und textgebundenes Schreiben (max. 36 Punkte) werden addiert und führen nach folgendem Punkteschlüssel zur Note im schriftlichen Prüfungsteil. Verbindlicher Bewertungsschlüssel (bis 2011): Punktezahl 48,0 – 44,0 43,5 – 38,0 37,5 – 30,0 29,5 – 20,0 19,5 – 11,0 10,5 - 0

Bewertungsschlüssel bei anerkannter Legasthenie (bis 2011):

Verbindlicher Bewertungsschlüssel (ab 2012): Punktezahl 48,0 – 44,0 43,5 – 38,0 37,5 – 29,0 28,5 – 20,0 19,5 – 11,0 10,5 - 0

Punktezahl 36,0 – 33,0 32,5 – 28,5 28,0 – 22,0 21,5 – 15,0 14,5 –8,0 7,5 - 0

Note 1 2 3 4 5 6

Bewertungsschlüssel bei anerkannter Legasthenie (ab 2012): Punktezahl 36,0 – 33,0 32,5 – 28,5 28,0 – 21,0 20,5 – 15,0 14,5 –8,0 7,5 - 0

Note 1 2 3 4 5 6

Bildung der Prüfungsnote: Prüfungsteil Note der schriftlichen Prüfung Note der mündlichen Prüfung

Gewichtung 3x 1x

Beispiel Note 4 Note 1 Note 3 (3,25)

Wenn sich die Jahresfortgangsnote und die Prüfungsnote um eine Notenstufe unterscheiden, besteht die Möglichkeit einer freiwilligen mündlichen Prüfung, die zusätzlich nach den schriftlichen Prüfungen abgehalten wird. Die Note der freiwilligen Prüfung wird zur Prüfungsnote oder zur Jahresfortgangsnote im Verhältnis 1 : 2 gewichtet.

Bewertungsschlüssel für das Referat: Punkte Note

20-19 1

18,5-17 2

16,5-13 3

12,5-9 4

8,5-7 5

6,5-0 6

Abschlussprüfung 2008

B101

3.9.3 Abschlussprüfung 2008

4. „Ich habe nicht auf die neue Breite geachtet, dachte Ellebracht. Nur deswegen ist es so gekommen.“ (Zeile 1f) „Du hast richtig gehandelt!“, sagte Ellebracht jetzt laut, und er verstärkte den Druck auf das Gaspedal. „Du hast so gehandelt, wie man es als Familienvater von dir erwartet.“ (Zeile 38f)

Teil A: Rechtschreiben Teil I und II Rechtschreiben I – Modifiziertes Diktat Originaltext siehe Aufgabenstellungen

5. Erklären Sie zunächst die unmittelbare Bedeutung des Ausspruchs im Text. Es gibt auch eine übertragene Bedeutung, die nicht unmittelbar aus dem Text herauszulesen ist. Dafür muss die gesamte Bedeutung des Textes erfasst werden. Sie müssen erkennen, dass der Text das Thema Schuld aufgreift.

Rechtschreiben II – Strategien- und Regelwissen Aufgabe 1: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben Text mit richtig geschriebenen Wörtern:

Mit dem Ausspruch meint er zunächst das verbogene und blutverschmierte Firmenzeichen auf dem Auto, das jetzt aussieht wie ein Kreuz. Dieses „Kreuz“ erinnert ihn an den verunglückten Mann, der auch wie ein Kreuz da lag. Gleichzeitig ist dieses Kreuz auch ein Symbol für seine Schuld und seine Gewissensbisse. Obwohl er das Kreuz vor Augen hat, kann er nicht aussteigen und es einfach gerade biegen, so dass seine Erinnerung an den Mann verschwindet. Auch seine Schuld kann er nicht einfach durch Rechtfertigungen ablegen oder „geradebiegen“. Er erkennt, dass er zurück muss, um dem Mann zu helfen.

Tauchgondel lockt mit Unterwasserwelt In der ersten Juliwoche 2006 begannen die Montagearbeiten an der Konstruktion. Hunderte schaulustige Urlauber beobachteten den Aufbau der Konstruktion von der Seebrücke aus. Ein auf dem Ponton befindlicher Kran sorgte mit einer Spezialeinrichtung zunächst dafür, dass ein Pfeiler zehn Meter tief in den Grund der Ostsee versenkt wurde. Auf diesem wurde dann die eigentliche Konstruktion mit der Tauchgondel angebracht. Mithilfe von Tauchern und Spezialgerät wurden unter Wasser mächtige Metallbolzen zur Verankerung gebracht. Schließlich wurde die Gondel millimetergenau über den blauen Pfeiler positioniert. Spannung und letztlich Erleichterung waren allen Beteiligten anzumerken.

6. Achten Sie auf die Briefform. Schreiben Sie in der Ich-Form. Begründen Sie zu Beginn, warum Sie diesen Brief schreiben.

Aufgabe 2: Zeichensetzung / direkte Rede Der Chef des Tourismusbüros in Zinnowitz erklärte: „Usedom wird durch diese Tauchgondel um eine Attraktion reicher.“

Mögliche Inhalte: Erkundigung nach dem Gesundheitszustand, Entschuldigung, Darstellung der eigenen Gedanken etc.

Aufgabe 3: Substantivierung Die Tauchgondel hat das Aussehen eines futuristischen Gefährts.

Sehr geehrter Herr Deininger,

Aufgabe 4: Rechtschreibstrategien Trotz widriger Wetterverhältnisse wurde das Projekt rechtzeitig fertig gestellt. Begründung: „wider“ im Sinn von „gegen“ (Nur bei richtiger Wortwahl und Begründung werden 0,5 Punkte vergeben.)

ich habe mich nun, nachdem schon sechs Wochen vergangen sind, entschlossen, Ihnen diesen Brief zu schreiben. Nachdem ich Sie vor vier Wochen das letzte Mal besucht habe, hatten wir keinen Kontakt mehr. Ich hoffe, Ihre Verletzungen sind nun alle wieder ausgeheilt und es geht Ihnen gut.

Aufgabe 5: Rechtschreibstrategien

X O O O

Zunächst möchte ich mich noch einmal bei Ihnen bedanken. Es ist nicht selbstverständlich, dass sie auf eine Anzeige verzichtet haben. Schon die ganzen vier Wochen drängt es mich Ihnen deutlich zu machen, warum ich nicht gleich angehalten habe. Als ich Sie angefahren hatte, musste ich mit einer unsagbar großen Angst und Panik kämpfen. Ich konnte mir meine Schuld nicht eingestehen und versuchte zunächst meine Tat zu rechtfertigen. Dies war wohl der Grund, warum ich noch einige Kilometer weiter fuhr. Ich versuchte mir einzureden, dass es der neue große Wagen war, der den Unfall verursachte. Auch wollte ich mir selbst weißmachen, dass ich durch meine Fahrerflucht meine Familie schützen könne. All dies brachte aber nicht die ersehnte Beruhigung. Ich musste ständig an Sie denken. Jedes Detail erinnerte mich daran, wie Sie jetzt daliegen und vielleicht schon tot sind. Ich erkannte, dass ich meine Schuld nicht verleugnen kann. Dies war der Grund, warum ich schließlich umkehrte, obwohl ich vor der Begegnung sehr große Angst hatte. Gott sei Dank kam ich rechtzeitig. Ich bin sehr froh darüber, dass Ihre Verletzungen gering waren und Sie mir die Möglichkeit gaben, meinen Fehler wieder gut zu machen. Sie haben mir durch Ihr Verhalten gezeigt, dass man zu seinen Fehlern stehen sollte. Auch dann, wenn schwerwiegende Konsequenzen folgen könnten. Denn es gibt mir nun die Möglichkeit, ohne ein ständiges Schuldgefühl zu leben. Dafür möchte ich Ihnen danken.

Im Innern des stationären Tauchbootes herrscht derselbe Druck wie an der Oberfläche. Im Innern des stationären Tauchbootes herrscht der selbe Druck wie an der Oberfläche. Im Innern des stationeren Tauchbootes herrscht derselbe Druck wie an der Oberfläche. Im innern des stationären Tauchbootes herrscht derselbe Druck wie an der Oberfläche.

Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch Text 1: Generalvertreter Ellebracht begeht Fahrerflucht Arbeitsaufträge 1. Die Kurzgeschichte handelt von Generalvertreter Ellebracht, der einen Fahrradfahrer anfährt, zunächst Fahrerflucht begeht, dann aber umkehrt, um dem Mann zu helfen. Generalvertreter Ellebracht befindet sich auf der Heimfahrt zu seiner Familie. Weil er ein größeres Auto fährt und vier Bier getrunken hat, fährt er einen Radfahrer an. Aufgrund der Angst vor den Folgen des Unfalls begeht er Fahrerflucht. Schon bald danach meldet sich aber sein Gewissen und so versucht Ellebracht sein Handeln zu entschuldigen und es zu rechtfertigen. Er befürchtet, dass seine Existenz auf dem Spiel steht und auch seine Familie dadurch leiden muss. Als das verbogene Firmenzeichen auf seinem Wagen, das aussieht wie ein Kreuz, ihn an den Mann erinnert, der wie ein Kreuz auf dem Boden lag, bekommt er Angst und Panik. Ellebracht kann nur noch auf das blutverschmierte Kreuz starren. Ihm wird bewusst, dass er so nicht mehr nach Hause kann. Deshalb wendet er seinen Wagen und fährt zurück zu dem Mann, um ihm zu helfen. 2. a) Konzept (Zeile 34) b) Konkurrenz (Zeile 34) c) sentimental (Zeile 48) d) dramatisch (Zeile 49) 3. Beim inneren Monolog spricht die Person in Gedanken zu sich selbst, stellt Fragen oder macht sich Vorwürfe. Der Leser erfährt so, was die Person denkt und fühlt. Erläutern Sie zunächst, welche Funktion der innere Monolog im Text besitzt. Zeigen Sie dann die Entwicklung und Veränderung seiner Gedanken auf. Beachten Sie dabei immer, dass Sie die Wirkung auf den Leser herausstellen. Der innere Monolog verdeutlicht dem Leser, was Ellebracht nach seinem Unfall und während der Fahrerflucht wahrnimmt, denkt und fühlt. Zunächst zeigt der innere Monolog dem Leser, wie sich Ellebracht trotz seiner Angst zu beruhigen versucht und wie er sich rechtfertigt. In Gedanken macht er die Größe des neuen Wagens für den Unfall verantwortlich. Auch sagt er sich immer, er habe richtig gehandelt, denn durch seine Fahrerflucht könne er seine Familie schützen. Im Verlauf der Kurzgeschichte zeigt der innere Monolog allerdings, dass seine Angst und seine Gewissensbisse immer stärker werden, so dass dem Leser deutlich wird, warum er schließlich dem Fahrradfahrer hilft. Seine Beobachtung konzentriert sich nur noch auf das blutverschmierte Firmenzeichen auf seinem Auto, das aussieht wie ein Kreuz und das ihn an den verunglückten Mann erinnert. Dies bringt ihn schließlich dazu dem Mann zu helfen.

Mit freundlichen Grüßen Ellebracht 7. Sie sollten mindestens zwei Gründe anführen. Erläutern Sie diese Argumente genau und belegen Sie sie mit Beispielen. Laut einer Umfrage befürworten 83,5% aller Jugendlichen ein Alkoholverbot für Fahranfänger und Fahranfängerinnen. Dies hat mehrere Gründe. Ein wesentlicher Grund für die Zustimmung liegt wohl darin, dass sich viele Jugendliche der Konsequenzen von Alkohol am Steuer bewusst sind. Durch Informationen in der Schule oder auch in den Fahrschulen, wird den Jugendlichen gezeigt, welche Auswirkungen Alkohol auf die Fahrtüchtigkeit hat und welche Konsequenzen ein Unfall durch Alkohol haben kann. Viele sind sich bewusst, dass sie sich nicht nur selbst schädigen, sondern auch andere Menschen verletzen oder sogar töten können. Dies führt mit Sicherheit dazu, dass Jugendliche schon vor der Führerscheinprüfung über die Gefährlichkeit von Alkohol im Straßenverkehr nachdenken. Darüber hinaus sind sich auch viele Fahranfänger bewusst, dass sie mit dem Abschluss der Fahrprüfung noch keine perfekten Fahrer sind. Zu einem guten Autofahrer gehört viel Erfahrung. Sicherlich schätzt man am Anfang viele Situationen falsch ein. Man reagiert falsch oder fährt zu schnell. Wenn dann noch Alkohol hinzukommt, sei es auch nur ein Glas Wein oder Bier, dann häufen sich die Fehler und die Gefahr eines Unfalls steigt. Die hohe Zustimmung zum Gesetz macht deutlich, dass dies viele Fahranfänger wissen. Schließlich gibt es auch viele Jugendliche, die nicht selbst Auto fahren, aber bei Fahranfängern mitfahren, besonders bei nächtlichen Fahrten in die Disco. Auch diese Jugendlichen sind sicherlich froh, wenn der Fahrer keinen Alkohol trinkt und er sie wieder sicher nach Hause bringt.

B102

Abschlussprüfung 2008 6.

Nennen Sie zunächst das Thema der Karikatur. Beschreiben Sie, was man in der Karikatur sieht und was der Zeichner damit aussagen will.

Finden Sie zunächst Argumente für die Aussage und belegen Sie diese mit Beispielen. Erörtern Sie dann, warum in unserer Gesellschaft doch noch Platz für Mitmenschlichkeit ist. Erläutern Sie zum Schluss Ihre eigene Meinung und begründen Sie diese.

Die Karikatur in Abbildung 2 befasst sich damit, dass das Rauchverbot in den europäischen Ländern unterschiedlich gehandhabt wird. In den meisten europäischen Staaten ist das Rauchverbot einheitlich geregelt. Es gibt nur Unterschiede in den Ausnahmeregelungen zwischen den Staaten. Deshalb sind die Verbotsschilder auch unterschiedlich groß. In Deutschland jedoch sieht man 16 verschiedene Schilder in der Karikatur. Dies soll deutlich machen, dass jedes Bundesland eigene Gesetze zum Rauchverbot erlassen hat. Die Gesetze sind so sehr unübersichtlich. Das Resultat ist, dass sich niemand mehr auskennt und das Rauchverbot nicht eingehalten wird. Deshalb raucht der Mann, der vor den Verbotsschildern in Deutschland steht, auch.

Einleitung: Unserer Gesellschaft und vor allem den Jugendlichen wird immer wieder vorgeworfen, sie seien egoistisch und verlieren die Mitmenschlichkeit. I. Mitmenschlichkeit hat keinen Platz mehr: 1. materielle Werte stehen im Vordergrund (Konsumdenken),

Beispiel x es geht vielen darum, viel Geld zu verdienen und Karriere zu machen, ohne Rücksicht auf andere zu nehmen x keine Zeit mehr für andere (sich nicht um Kinder, alte Menschen kümmern) x Neid, wenn andere mehr haben (Ausgrenzung von Randgruppen)

2. Vergnügen und Spaß stehen im Vordergrund,

x verbleibende Zeit will man für sein eigenes Vergnügen haben

3. Anstieg der Gewalt.

x Gewalt in der Gesellschaft steigt (z.B. unter Jugendlichen - Mobbing, körperliche Gewalt)

II. Es gibt noch sehr viel Mitmenschlichkeit in unserer Gesellschaft:

7. Sie sollten zunächst erklären, welches Ziel sich die Organisation setzt. Machen Sie sich dann darüber Gedanken, welche Bedeutung das Wort „Prost“ haben kann und in welchen Situationen und Zusammenhängen es benutzt wird. Die Organisation „Prost Klima“ will gegen die Heizpilze ankämpfen, indem sie Decken verteilt. Der Name ist eigentlich ein Trinkspruch. Man stößt auf etwas an, z.B. auf das kommende Jahr. Die Menschen, die im Freien sitzen und die Heizpilze benutzen, stoßen an, d.h. trinken oder feiern und schädigen damit unbewusst das Klima. Der Ausdruck Prost ist hier aber ironisch gemeint, wie etwa in dem Ausspruch „Prost Mahlzeit“ und deutet darauf hin, dass etwas Schlechtes oder Schlimmes auf einen zukommt. In diesem Falle wird durch die Heizpilze das Klima zerstört. 8.

1. soziales Engagement vieler Menschen,

x Engagement in Vereinen x Engagement für Randgruppen, Benachteiligte, Kranke, Kinder etc.

2. zahlreiche Hilfsorganisationen,

x große Hilfsorganisationen wie „Ärzte ohne Grenzen, SOS-Kinderdörfer, Caritas, Rotes Kreuz etc.

3. Spendenfreudigkeit der Menschen,

x bei Naturkatastrophen (Fluten, Erdbeben oder Hungersnöte)

4. alltägliche Hilfsbereitschaft und Mitmenschlichkeit.

x gegenseitiges Helfen in der Familie (alte Familienmitglieder versorgen) x gegenseitiges Helfen in der Schule (Streitschlichter, Hilfen bei Schwächen) x Helfen im Alltag (anderen bei Schwierigkeiten helfen etc.)

Schluss: In der heutigen Gesellschaft gibt es durchaus noch Platz für Mitmenschlichkeit. Es ist jedoch notwendig, dass wir lernen, unseren Egoismus in Grenzen zu halten.

Text 2: Angriff der Killerpilze Arbeitsaufträge

Überlegen Sie sich Lebensbereiche, in denen Regeln und Verbote einschränken. Belegen Sie dies mit geeigneten Beispielen. Überlegen Sie sich Bereiche, in denen Regeln notwendig sind. Auch hier sind Beispiele zur Verdeutlichung notwendig. Zum Schluss ist Ihre eigene Meinung zum Thema gefragt, die Sie jedoch begründen müssen. Die Beschränkung des Autoverkehrs sowie autofreie Tage haben eine große Bedeutung sowohl für die Umwelt als auch für den Menschen. Für die Umwelt bedeuten solche Beschränkungen, dass weniger Kohlendioxid, Rußpartikel und andere Schadstoffe in die Umwelt gelangen. Dadurch kann man den Kohlenstoffdioxidausstoß verringern und somit zum Klimaschutz beitragen. Die Erderwärmung kann damit zwar nicht verhindert werden, aber sie kann reduziert werden. Damit verringert man auch die Gefahr, dass sich unser Klima stark verändert. Wir können somit die Folgen wie Flutkatastrophen, Stürme oder das Schmelzen von Gletschern mindern. Auch der Ausstoß von Rußpartikeln wird durch solche Beschränkungen reduziert. Gerade in Städten ist die Konzentration dieses Feinstaubes sehr hoch. Dies gefährdet nicht nur die Natur, sondern auch die Menschen. Ist man diesem Ruß ständig ausgesetzt, kann dies die Gesundheit schädigen. Lungenerkrankungen bis hin zu Krebs sind möglich. Weitere Schadstoffe, die durch Autos verursacht werden, produzieren den sauren Regen, der nicht nur Bauwerke schädigt, sondern auch Tiere und Pflanzen zugrunde gehen lässt. Auch hier kann eine Reduzierung des Verkehrs dazu beitragen, dass weniger Wälder geschädigt werden oder sogar sterben. Schließlich kann ein autofreier Tag für die Menschen auch eine neue Art von Erholung bieten. Man kann die Straßen mit Fahrrädern oder Inlinern befahren und muss zur Erholung nicht mehr viele Kilometer in die Urlaubsgebiete fahren und sich auch in der Freizeit noch Reisestress durch Staus aussetzen.

1. Zur Beantwortung dieser Aufgabe müssen Sie den Inhalt des Textes sowie die Abbildung 1 beachten. Die Überschrift „Angriff der Killerpilze“ bezieht sich auf die starke Zunahme der Heizpilze auf Terrassen oder in Außenbereichen von Gaststätten, Bars und Restaurants, vor allem durch das Verbot des Rauchens in Gaststätten. Hier werden die Heizpilze als Killerpilze bezeichnet, weil sie genauso viel Kohlendioxid ausstoßen wie ein Auto. Sie werden somit zum Klimakiller und tragen zur Klimaerwärmung bei. Es ist also ein Angriff auf unser Klima. Die Zunahme von Heizpilzen vor Gaststätten, Restaurants, Kneipen und Bars ist vor allem auf das Rauchverbot in Gaststätten zurückzuführen. II) Umweltschützer sehen die Heizpilze kritisch, weil sie so viel Kohlendioxid ausstoßen wie ein Auto und damit erheblich zur Klimaerwärmung beitragen. III) Der Bund für Umwelt und Naturschutz spricht sich auch gegen die Heizpilze aus und fordert eine Stellungnahme des Klimarats, zumal der Handel keine energiesparenden Modelle anbietet. IV) Eine Energieberatung lässt einige Wirte zur Einsicht kommen, dass der Energieverbrauch durch Heizpilze in keinem Verhältnis zu den Mehreinnahmen steht, da draußen oft sehr wenig konsumiert wird.

9. Einleitung: Jeder hat das Recht auf eine freie Entfaltung der eigenen Person. I. Regeln und Verbote schränken die persönliche Freiheit ein: 1. in der Berufswahl,

x nicht jeder kann jeden Beruf ergreifen, ist abhängig von der Bildung

2. im Privatleben,

x Freizeitaktivitäten können eingeschränkt sein (z.B. Skifahren in Naturschutzgebieten verboten, keine Pflanzen in Naturschutzgebieten pflücken etc.) x in der Familie: Mithilfe im Haushalt, Helfen anderer Familienmitglieder (alte Menschen versorgen etc.)

3. in der Gesellschaft.

x Geschwindigkeitsbegrenzungen im Verkehr x Rauchen in öffentlichen Gebäuden etc. x Schutz der Privatsphäre geht durch Internet und Telefondatenspeicherung verloren

2. I)

3. a) Skepsis (Zeile 47) b) Illusion (Zeile 11)

II. Regeln und Verbote sind notwendig 1. im Straßenverkehr,

x Verhinderung von Staus, Unfällen etc. x klärt Schuldfragen bei Unfällen

2. in der Familie und

x geregeltes Zusammenleben, Vermeidung von Konflikten, Benachteiligungen

3. in der Gesellschaft.

x Vermeidung von Gewalt x Vermeidung von Benachteiligungen anderer (Rauchverbot) x Vermeidung der Beschränkung der Freiheit des anderen

4. Erläutern Sie zunächst die Bedeutung des sprachlichen Bildes. Zeigen Sie auf, worin die Gemeinsamkeiten liegen. a) Das Sprachbild „wie Pilze aus dem Boden schießen“ bedeutet, dass sich etwas sehr schnell, explosionsartig vermehrt. Der Vergleich mit Pilzen ist deswegen möglich, weil Pilze im Spätsommer und im Herbst aufgrund der höheren Feuchtigkeit wachsen können. Wenn es dann häufiger regnet, wachsen alle Pilze in kürzester Zeit und ganze Wälder sind voll damit. Sie schießen also aus dem Boden. Die Heizpilze haben sich ebenso schlagartig vermehrt. b) „der Heizpilzwald wird dichter“ (Zeile 17f) 5. In den Ländern, in denen das Rauchen noch erlaubt ist, stellen die Gastwirte schon jetzt Heizpilze auf, damit die Kundschaft weiß, dass sie hier auch bei einem zukünftigen Rauchverbot auf der Terrasse im Warmen sitzen und rauchen können.

Beispiel

Schluss:

Freiheit ist ein ganz wichtiges Gut der Demokratie. Sie muss geschützt werden. Freiheit hat aber auch Grenzen, da wo andere in ihren Rechten geschädigt werden. Deshalb sind Regeln und Verbote notwendig.

Abschlussprüfung 2009 3.9.4 Abschlussprüfung 2009 Teil A: Rechtschreiben Teil I und II Rechtschreiben I – Modifiziertes Diktat Originaltext siehe Aufgabenstellungen

B103 5. Mark Twain sagt, dass sein Vater, als er 14 war, sehr dumm gewesen sei, aber dann bis zum Alter von 21 Jahren sehr viel dazugelernt habe. Dies ist ironisch, weil der Sohn nicht sieht, dass er sich selbst verändert hat und deshalb seinen Vater besser versteht und besser kennt. Nicht der Vater hat sich verändert, sondern der Sohn hat sich weiterentwickelt. 6. Beschreiben Sie zunächst das Bild. Erklären sie danach die Bedeutung des Bildes. (Denken Sie darüber nach, wofür die Brücke hier steht) Beschreiben Sie dann ein passendes Beispiel aus Ihrem Erfahrungsbereich.

Rechtschreiben II – Strategien- und Regelwissen Aufgabe 1: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben

Eine Brücke kann ein Symbol sein. Sie ist ein Symbol für die Verbindung zweier Seiten. Die Zeichnung in M2 zeigt jedoch eine zerbrochene Brücke. Auf jeder Seite steht ein Mensch. Beide drehen sich den Rücken zu. Dies ist ein Symbol dafür, dass diese Menschen sich nicht verstehen, Differenzen haben oder im Streit leben. Ein Beispiel für eine Lebenssituation kann die Beziehung zu den Eltern sein. Oft fehlt das Verständnis zwischen Eltern und Kind. Die Eltern verstehen zum Beispiel ihr Kind nicht, wenn dies mehr Freiheit und Selbstverantwortung möchte. Das Kind versteht die Eltern nicht, weil es nicht sieht, dass die Eltern Grenzen setzen, um ihr Kind zu schützen. So entsteht ein Missverständnis und ein tiefer Graben im Verhältnis zwischen Eltern und Kind.

Text mit richtig geschriebenen Wörtern: Forscher messen Rekordtemperaturen in der Arktis „Die Arktis ist ein empfindliches System und zeigt Veränderungen oft relativ schnell und dramatisch“, sagt James Overland, der Leiter des Forscherteams. Der Klimawandel habe dort bereits eine Art Dominoeffekt ausgelöst. So konnte sich die Region auch deshalb so stark erwärmen, weil das Meereis in den Jahren 2007 und 2008 stark zurückgegangen ist. Dafür sind Veränderungen in den vorherrschenden Luftdruck- und Windverhältnissen verantwortlich. In der Folge traf mehr Sonnenlicht auf dunkles Wasser statt auf helles Eis. Es wurde deshalb nicht reflektiert, sondern absorbiert, was die Region weiter aufheizte.

7. Achten Sie darauf, dass Sie nicht nur Gedanken, sondern auch Gefühle schildern. Achten Sie darauf, dass Sie die Ich-Form benutzen. Beachten Sie die Situation, in der der Vater und der Sohn sich befinden.

nach: SZ Wissen, 18./19.10.2008

Aufgabe 2: Zeichensetzung / indirekte Rede Die Arktis sei ein empfindliches System und zeige Veränderungen oft relativ schnell und dramatisch , sagt James Overland. (Jeder Fehler führt zu 0,5 Punkten Abzug)

Zum ersten Mal hat mir Jan seine Gedanken anvertraut. Und als ich ihm dann sagte, dass ich auch über Angst und Tod nachdenke und ihn verstehen kann war er überrascht. Als ich mich dann über das Geländer beugte, hielt er mich fest und drückte mich an sich. Das war ein tolles Gefühl. Er drückte so fest, dass ich seine Angst richtig spüren konnte. Ich hatte das Gefühl, dass er mich wirklich mag. Dann hat er gesagt, dass ein Loch in seinem Leben sein wird, wenn ich nicht mehr da bin. Ich hätte vor Glück weinen können. Noch vor einigen Jahren gab es nur Streit zwischen uns. Und jetzt sagt er mir, dass ich für ihn wichtig bin. Das macht mich nicht nur sehr glücklich, sondern auch ein wenig stolz.

Aufgabe 3: Regelwissen Das Komma trennt den Hauptsatz vom Nebensatz. Aufgabe 4: a) Regelwissen b) Rechtschreibstrategien a) Der Ergänzungsstrich ersetzt ein ausgelassenes Wort b) Beispiel: hell- und dunkelblond, auf- und abgestiegen, ...

Minderstens 100 Kubikkilometer Eis sind darum geschmolzen.

Gehen Sie zunächst auf die Vor- und Nachteile ein und belegen Sie Ihre Argumente mit Beispielen. Nehmen Sie danach Stellung zum Thema, indem Sie Ihre eigene Meinung darstellen und diese begründen.

Mindestens 100 Kubickilometer Eis sind darum geschmolzen.

Einleitung: Viele Jugendliche träumen von einem selbstständigen Leben ohne Eltern.

Mindestens 100 Kubikkilometer Eis sind darum geschmoltzen.

I. Vorteile für den Jugendlichen:

Aufgabe 5: Rechtschreibstrategien

X O O O

Mindestens 100 Kubikkilometer Eis sind darum geschmolzen.

1. Freiheiten gewinnen, 1.1 Selbstständigkeit erlangen

Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch Text 1: Die Brücke

1.2 Selbstverwirklichung

Arbeitsaufträge 1. Die Erzählung „Die Brücke“ wurde von Reinhold Ziegler verfasst und handelt von einem Vater und seinem 19-jährigen Sohn, die zur Mitte einer stark befahrenen Brücke gehen und sich dort bei einem Gespräch besser verstehen lernen. Jan ist 19 Jahre alt und begleitet seine Eltern in den letzten gemeinsamen Urlaub, bevor er von Zuhause weg geht. Mit seinem Vater läuft Jan zur Mitte einer viel befahrenen Brücke. Dort angekommen überlegt Jan wie es wohl wäre, dort hinunter zu springen. Es entwickelt sich ein Gespräch zwischen Vater und Sohn, in dem der Sohn erkennt, dass auch sein Vater Angst hat und über den Tod nachdenkt. Als sich der Vater aus Spaß weit über das Geländer beugt, hält ihn sein Sohn fest und drückt ihn an sich. In diesem Moment gesteht Jan, dass er seinen Vater liebt und dass ihm etwas fehlen wird, wenn er nicht mehr da sein wird. Der Vater meint nur, dass das wohl so sein müsse. Schließlich gehen beide zurück zum Parkplatz.

2. Verantwortung übernehmen. II. Nachteile für den Jugendlichen: 1. Überlastung,

2. Kontaktschwierigkeiten.

3. Das sprachliche Bild „wird ein Loch in meinem Leben sein“ bedeutet hier, dass ihm etwas fehlen wird. Wenn der Vater nicht mehr da sein wird, dann wird dem Sohn etwas fehlen. Dies wird schon der Fall sein, wenn der Sohn von Zuhause auszieht, aber erst recht dann, wenn der Vater gestorben ist. 4. Schildern Sie zunächst die Situation noch einmal kurz. Erklären Sie dann, warum der Vater in dieser Situation die Jugendsprache benutzt. Jan erzählt seinem Vater, dass er sich oft vorstellt, wie es wäre, wenn er von einer Brücke springen würde. Völlig überrascht stellt er fest, dass auch sein Vater solche Gedanken hatte und auch heute noch über Ängste und den Tod nachdenkt. In diesem Zusammenhang lehnt sich der Vater über das Geländer und sagt: „Wäre doch´n cooler Abgang, was? Er verwendet hier die Jugendsprache nicht, weil er sich auf die Stufe seines Sohnes stellen möchte. Es ist vielmehr ein Spiel. Der Vater schlüpft plötzlich in die Rolle seines jungen Sohnes. Deshalb benutzt er auch die Jugendsprache. Der Sohn schlüpft in die Rolle des Vaters und Beschützers, der seinen Sohn festhält und beschützt, so wie es der Vater vor Jahren mit dem Sohn gemacht hat. Es findet also ein Rollentausch statt.

x eigene Lebensführung (Wohnung, Haushalt) x eigene Entscheidungen treffen x Bestimmung über Freizeit x persönliche Ausdruckformen (Mode, Haarkleidung etc.) x eigene Lebensplanung x eigene Versorgung, Alltagsbewältigung x hohe Kosten durch eigene Wohnung und eigene Lebensführung x Überlastung bei der eigenen Haushaltsführung x Einsamkeit x falsche Freunde

Schluss: Jugendliche sollten das Elternhaus nicht zu zeitig verlassen. Wichtig ist Sicherheit.

2. „Mit frischem Abitur in der Tasche hatte Jan dem letzten gemeinsamen Urlaub mit den Eltern zugestimmt....“ (Zeile 4f) „Jan wusste nicht, ob er den Satz wiederholen sollte. Wusste nicht, ob es nicht lächerlich war, so etwas zu sagen, zu seinem Vater zu sagen, wenn man schon fast neunzehn war und im Begriff, das Haus zu verlassen.“ (Zeile 70ff)

Beispiel

Text 2: Menschenwürde als Prinzip Arbeitsaufträge 1. Zur Beantwortung der Frage ist es notwendig, dass Sie den Inhalt des Textes genau kennen und darüber hinaus auch erkennen, was der Autor mit diesem Text sagen möchte. Beziehen Sie also Inhalt und Aussage des Textes in Ihre Antwort mit ein. Die Überschrift „Menschenwürde als Prinzip“ ist eine Forderung, die der Autor in seinem Text stellt. Er fordert, dass für die Massenmedien wie Fernsehen, Rundfunk und Presse die Menschenwürde an oberster Stelle stehen muss. Dies ist, so schreibt der Autor, oft nicht der Fall. Wenn man unnötige Gewaltszenen im Fernsehen zeigt, wie zum Beispiel verstümmelte Opfer oder den Tod von Menschen, dann wird die Menschenwürde der Opfer nicht beachtet. Aber auch die Würde des Zuschauers wird missachtet,

B104

Abschlussprüfung 2010

weil dieser sich den Bildern nicht entziehen kann. Der Autor fordert also, dass das Recht auf Menschenwürde nicht nur, wie es im Grundgesetz steht, für jeden einzelnen Menschen gilt, sondern auch für die Medien. 2. a) Ein TV Sender zeigt, wie ein sechzehnjähriger Junge im Krieg stirbt. Als er einem anderen Jungen helfen möchte, wird er angeschossen, will sich noch fortschleppen und liegt dann tot am Boden. Während der ganzen Zeit filmt die Kamera mit. Während einer Beerdigung nach einem Massaker werden nicht nur die Trauernden gezeigt, sondern auch die Ermordeten in Großaufnahme mit leeren, roten Augenhöhlen. b) In der Sendung „Super Nanny“ werden Kinder, aber auch Eltern gezeigt, die sich sehr aggressiv verhalten. Sie schreien sich gegenseitig an, schlagen sich oder benutzen Schimpfwörter. Es verstößt wohl auch gegen die Würde dieser Kinder und Eltern, dies im Fernsehen zu zeigen. (weitere Bespiele möglich) 3. a) Bote b) Gemetzel c) feierliche Handlung d) rohe, gewalttätige

k k k k

Kurier (Zeile 31) Massaker (Zeile 65f) Zeremonie (Zeile 69) brutale (Zeile 91)

4. Die Journalisten in den Medien beachten nicht, dass sie mit ihren Bildern und Beiträgen sowohl die Würde der gezeigten Personen als auch die Würde der Zuschauer vor dem Fernseher missachten können. 5. Erklären Sie zunächst die Aussage der Karikatur und die Forderung des Presserats. Vergleichen Sie die Aussagen miteinander. Zeigen Sie auf, worin der Widerspruch besteht. Der Presserat fordert, dass jeder Journalist eine Verantwortung gegenüber den Zuschauern hat. Er soll sich fair verhalten und sich nicht von eigenen oder anderen Interessen beeinflussen lassen. Die Karikatur zeigt einen Banküberfall, bei der eine Geisel genommen wird. Ein Reporter berichtet mit einem Filmteam in der Bank von diesem Geschehen und möchte mit den Geiselnehmern ein Interview führen. Dies widerspricht der oben genannten Forderung, denn während die Geisel um ihr Leben fürchtet und eine Straftat begangen wird, sieht der Reporter die Situation nur als Sensation, die er vermarkten kann und die ihm vielleicht Geld einbringt. Er lässt sich also von eigenen Interessen leiten und zeigt keine Verantwortung gegenüber den Betroffenen und den Zuschauern. 6. Beschreiben Sie zunächst die zwei Bilder. Erklären Sie dann die Bedeutung der beiden Bilder. Die Bilder in M1 zeigen einen Jungen und ein Mädchen, die beide vor dem Fernseher sitzen. Im ersten Bild sehen sie ein Märchen, in dem der böse Wolf zum Haus der Großmutter geht und seine Zähne fletscht. Dabei bekommen sie fürchterliche Angst. Im zweiten Bild sehen sie wie ein Flugzeug Bomben abwirft und dabei alles zerstört wird und wahrscheinlich auch Menschen ums Leben kommen. Diese Szene schockiert sie jedoch überhaupt nicht. Sie zeigen keinerlei Angst. Der Karikaturist will dadurch deutlich machen, dass realistische Gewalt, wie sie zum Beispiel im Krieg vorkommt so häufig im Fernsehen gezeigt wird, dass selbst Kinder den Schrecken verlieren und abstumpfen. Sie empfinden keine Furcht mehr. Unsere Medien, vor allem das Fernsehen, lässt also schon Kinder die Frucht vor Gewalt und Brutalität verlieren und dies als normal empfinden. 7. Nennen Sie zunächst die Chancen und Gefahren der Mediengesellschaft und belegen Sie Ihre Argumente immer mit Beispielen. Nehmen Sie dann dazu Stellung, indem Sie Ihre eigene Meinung zum Thema nennen und diese begründen. Einleitung: Schnelle Entwicklung der Medien. I. Chancen durch die Mediengesellschaft: 1. Mediengesellschaft bietet bessere Information,

2. Mediengesellschaft bietet Bildung.

Beispiel x Menschen werden schneller informiert x mehrere Quellen: Information kann verglichen werden x Informationen auch aus weit entfernten Teilen der Welt x Informationen können nicht mehr so leicht zensiert werden (Demokratie) x Menschen können sich schnell und leicht eigene Meinung bilden x Sprache lernen durch verschiedene fremdsprachliche Sender x Vielzahl von Dokumentationen und Ratgebersendungen x Schule im Fernsehen: Telekolleg

II. Gefahren durch die Mediengesellschaft: 1. Gefahr für die Gesundheit,

x Konzentrationsschwäche, Passivität x körperliche Schäden durch mangelnde Bewegung x Sucht, seelische Schäden

2. soziale Gefahren,

x keine sozialen Kontakte mehr x Gewalt als Mittel der Konfliktlösung, Aggressivität

3. Beeinflussung.

x Fernsehbilder sind leicht zu manipulieren x virtuelle Welt wird mit Realität verwechselt

Schluss: Man muss den Medien immer kritisch gegenüberstehen.

3.9.5 Abschlussprüfung 2010 Teil A: Rechtschreiben Teil I und II Rechtschreiben I – Modifiziertes Diktat Originaltext siehe Aufgabenstellungen

Rechtschreiben II – Strategien- und Regelwissen Aufgabe 1: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben Text mit richtig geschriebenen Wörtern: Auf die Mischung kommt es an Es ist nichts Neues, dass die wichtigsten Energiequellen für den Körper neben dem Fett die Kohlenhydrate sind. Auf dem Sportlerspeiseplan sollten deshalb möglichst oft Lebensmittel wie Brot, Reis, Nudeln, Kartoffeln und Gemüse stehen. Sie liefern schnell Energie und sind reich an Vitaminen, Mineral- und Ballaststoffen. Der Körper speichert diese Energie in der Leber und den Muskeln als Glykogene. Die Speicherkapazität für diese ist allerdings begrenzt – sie reicht für circa/zirka 90 Minuten Sport. Danach – also bei länger andauernden Belastungen – greift der Körper auf seine Fettreserven zurück. (Für jedes zuviel „berichtigte“ Wort werden 0,5 Punkte abgezogen)

Aufgabe 2: Zeichensetzung / direkte Rede Ein Obstbauer meinte: „Die Nachfrage nach meinen ökologisch erzeugten Äpfeln steigt, weil ich sie nicht mit Pestiziden behandle.“ (Jeder Fehler führt zu 0,5 Punkten Abzug)

Aufgabe 3: Regelwissen: das/dass Das Institut für Lebensmitteltechnologie erklärt, das Verzehren von Obst vermindere das Risiko eines Herzinfarktes. Das Bewusstsein, dass eine gesunde Ernährung wichtig für die Lebensqualität ist, nimmt in der Bevölkerung zu. Das Angebot an Bioäpfeln, das gegenwärtig auf den Märkten zu finden ist, ist von hoher Qualität. (Jeder Fehler führt zu 0,5 Punkten Abzug)

Aufgabe 4: Regelwissen: Aktiv/Passiv Zur optimalen Eiweißversorgung sollten von Sportlern fettarme Milchprodukte verzehrt werden. Aufgabe 5: Rechtschreibstrategien: Fehlersuche

X O O O

Nur durch eine optimale Ernährung können Spitzenleistungen erbracht werden. Hierbei gilt: viel Rohkost, hochwertiges Eiweiß und wenig fettes. Am Wichtigsten ist zweifelos ausreichendes Trinken, um eine Dehydrierung zu vermeiden. Atlethen können allein durchs Schwitzen bis zu zwei Liter Flüssigkeit pro Stunde verlieren.

Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch Text 1: Die Kündigung Arbeitsaufträge 1. Die Erzählung „Die Kündigung“ wurde von Theo Schmich verfasst und in „Texte aus der Arbeitswelt“ veröffentlicht. Darin wird erzählt, wie ein Angestellter seine Arbeitsstelle verliert, ohne dass ihm ein Grund dafür genannt wird. Aufgrund der immer größer werdenden Ohnmacht wird der Mann schließlich gewalttätig. Ein Angestellter wird zum Personalchef gerufen, von dem er seine Kündigung mitgeteilt bekommt, weil ein Rechenautomat ihn aufgrund seiner Daten für die Entlassung vorgeschlagen hat. Der Mann gibt sich damit nicht zufrieden, sondern möchte den eigentlichen Grund seiner Entlassung wissen. Deshalb wendet er sich zunächst an seinen Chef und danach an den Betriebsrat. Beide berufen sich jedoch auch auf das Ergebnis des Rechners. Der Mann verspürt eine immer größere Ohnmacht, weil er weder einen Grund für die Kündigung erkennen noch jemandem persönlich die Schuld für die Entlassung geben kann. So dringt der Mann schließlich in den Rechenraum ein und zerstört die Einrichtung. Der Personalchef meint deshalb daraufhin, dass die Entlassung gerechtfertigt gewesen sei. 2. mögliche Textstellen: Zeilen 22, 23: „Dabei setzte er ein so liebenswürdiges und optimistisches Lächeln auf, dass der Mann für einen flüchtigen Augenblick glaubte, es sei etwas Schönes, entlassen zu werden.“ Zeilen 39-41: „Tja, ich war selbst überrascht. Ich verzichte ungern auf Sie. Aber die Maschine“, - der Chef schien sich des feinen Witzes durchaus bewusst zu sein, denn er lächelte an dieser Stelle - „hat gegen Sie entschieden.“ Zeilen 41-44: „Wir haben den Rechenautomaten mit den Daten sämtlicher Mitarbeiter gefüttert. Und dabei sind eben auch Sie zur Entlassung vorgeschlagen worden. Ein unerwartetes Ereignis, gewiss. Aber wenn wir die Ergebnisse des Automaten im Voraus wüssten, brauchten wir keinen Automaten mehr, nicht?“ Zeilen 60-63: „Der Betriebsrat legte die Arme auf die Lehnen seines Sessels. Seine Gestalt straffte sich wie die eines Redners, der eine wohlvorbereitete Ansprache zum soundsovielten Male wiederholt. „Im Zuge notwendiger Einsparungen mussten wir achtzig Mitarbeiter entlassen, unter denen auch Sie sind“, sagte er.“ Zeilen 87-89: „Wie gut wir daran taten, ihn zu entlassen“, meinte der Personalchef, als er sich darüber mit dem früheren Vorgesetzten des Mannes unterhielt. „Sich wegen einer Kündigung so aufzuregen!“

Abschlussprüfung 2010

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3. Sie sollten sich zunächst Gedanken darüber machen, welche Folgen eine Arbeitslosigkeit haben kann. Für die Lösung dieser Aufgabe sollten mindestens zwei verschiedene Gedankengänge ausführlich dargestellt werden. Achten Sie darauf, dass sie nicht nur Gedanken in Frageform verfassen. In der Lösung sind beispielhaft drei mögliche Gedankengänge dargestellt. t Ich kann mir den Grund für meine Entlassung nicht erklären. Etwas muss ich ja falsch gemacht haben. Vielleicht war es ja die Krankheit letzten Monat. Aber ich war doch nur für eine Woche wegen einer Grippe krank geschrieben. Habe ich zu wenig Leistung gebracht? Liegt es vielleicht daran, dass ich älter werde und mit meinen jungen Kollegen nicht mehr mithalten kann? t Wie soll ich das auch nur meiner Frau und meinen Kinder erklären? Ich kann ihnen nicht einmal einen Grund für meine Entlassung nennen. Sie werden glauben, dass es meine Schuld gewesen sei. Ich kann meinen Kindern gar nicht mehr in die Augen schauen. Sie müssen sich für mich schämen. t Wie soll es dann auch finanziell weiter gehen, wenn ich keinen neuen Arbeitsplatz bekomme? Wie soll ich nur das Haus abbezahlen? Wir werden uns sehr stark einschränken müssen. Die Kinder werden kein Taschengeld mehr bekommen. Urlaube und Ausflüge werden nicht mehr möglich sein. Vielleicht müssen wir auch unser neues Haus wieder verkaufen und in die alte Wohnung zurück. 4.

Veränderungen

Bewältigungsstrategien

Psychische Folgen: mangelndes Selbstwertgefühl, Resignation (wenn man keine Stelle findet).

x Unterstützung durch Gespräche x Dem arbeitslosen Vater, der arbeitslosen Mutter das Gefühl geben, dass er oder sie noch etwas wert sind. x Hilfe bei der Suche nach neuen Aufgaben (ehrenamtliche Tätigkeiten) x Keine zusätzlichen Sorgen und Probleme bereiten (z. B. in der Schule)

Verlust des Freundeskreises (Isolation)

x Gemeinsame Aktivitäten vorschlagen (Spiele, Spazieren gehen etc.)

Veränderung des Tagesablaufs, Gefahr der Passivität

x Aufgaben übertragen (Arbeit in der Familie, Einkaufen etc.) x Gemeinsame Unternehmungen, statt Passivität

Gesundheitliche Gefährdung durch Resignation (Alkohol, wenig Bewegung, Rauchen)

t Gemeinsame sportliche Aktivitäten anregen (Schwimmen, Joggen, Radfahren etc.)

Schildern Sie zunächst den Vorfall der Entlassung und das Verhalten der Beteiligen. Geben Sie danach eine Begründung für die gestellte Frage. Die Aussage des Mannes bezieht sich auf das Verhalten des Personalchefs, seines Chefs und des Betriebsrats. Alle drei können dem Mann keinen wirklichen Grund für seine Entlassung nennen. Bei seiner Nachfrage beziehen sich alle auf das Ergebnis des Rechenautomaten und weichen aus. Der Mann scheint zu erkennen, dass man ihm den eigentlichen Grund nicht nennen will, oder sich nicht die Mühe machen will, über den Grund nachzudenken. Außerdem weisen die drei Verantwortlichen mit dem Verweis auf den Rechenautomaten jegliche Verantwortung für die Entlassung von sich. Keine Person hat diese Entscheidung getroffen, sondern ein Automat. Dieser gibt den drei Verantwortlichen die Möglichkeit, sich dahinter zu verstecken. 5. Beschreiben Sie zunächst die Karikatur so genau wie möglich. Erläutern Sie dann die Aussage der Karikatur. Beschreiben Sie dann die Gemeinsamkeit in der Aussage der Karikatur und des Textes. Die Karikatur 1 zeigt einen Arbeiter, wie er ein Los aus einem Eimer zieht, der von seinem Chef gehalten wird. Freudig hält er das Los hoch, weil er glaubt, dass er einen Gewinn gezogen hat. Auf den Ausspruch „ich habe ein Los gezogen“ antwortet der Chef mit „ein Arbeitslos“. Die Karikatur will damit zeigen, dass es oft wie ein Glücksspiel erscheint, wer seine Arbeitsstelle behalten darf und wer entlassen wird. Wirkliche Gründe werden kaum genannt. Dies wird auch in der Erzählung „die Kündigung“ thematisiert. Der Mann erfährt den wahren Grund seiner Entlassung nicht. Er kann so niemandem die Schuld geben. Seine Entlassung erscheint ihm ebenso wie ein Lotteriespiel und führt dazu, dass er sich ohnmächtig fühlt. Die Karikatur 2 zeigt einen Personalchef, der hinter einem großen Schreibtisch sitzt und eine dicke Zigarre in der Hand hält. Er bestellt einen Mitarbeiter zu sich, um ihm mitzuteilen, dass er entlassen wird. Der Grund für die Entlassung ist, dass die Firma sparen muss. Die Karikatur zeigt, dass bei Entlassungen meist keine individuellen Gründe genannt werden, sondern auf allgemeine Notwendigkeiten hingewiesen wird. In diesem Fall sind es Sparmaßnahmen. Dem Mitarbeiter wird nicht erklärt, warum gerade er betroffen ist und nicht andere Mitarbeiter. Der Personalchef zeigt auch keinerlei Mitgefühl und Interesse daran, dem Mitarbeiter Gründe zu nennen. Außerdem steckt in der Situation Ironie, weil der Personalchef eine teure Zigarre raucht, während er sagt, dass gespart werden müsse. Die Parallele zur Erzählung „Die Kündigung“ liegt darin, dass auch hier dem Mitarbeiter kein Grund genannt wird, warum gerade er entlassen wird. Auch scheinen die Verantwortlichen kein Mitgefühl und kein Interesse an seiner Situation zu zeigen. 6. Gehen sie zunächst auf die Veränderungen ein, die sich bei der Entlassung eines Elternteils ergeben können. Erklären Sie dann, wie man dies gemeinsam bewältigen kann. Die Lösung gibt hier eine Ideensammlung in Stichpunkten. Sie sollten jedoch einen zusammenhängenden Text verfassen. Gehen Sie dabei auf mindestens drei Veränderungen ein und zeigen Sie Bewältigungsstrategien auf. Veränderungen

Bewältigungsstrategien

Finanzielle Einbußen und damit Einschränkungen

x Vereinbarungen zum Verzicht x Verzicht auf einen Teil des Taschengeldes x Verzicht auf Ausflugs- und Urlaubsfahrten x Einschränkungen bei Luxusgütern (PC, Handy etc.) x Hinzuverdienst durch Arbeit der anderen Familienmitglieder (Ferienarbeit, Zeitungen austragen etc.) x Arten der Freizeitgestaltung, die wenig Geld kosten

7. Es ist eine Erörterung mit anschließender Stellungnahme verlangt. Gliedern Sie Ihren Text deshalb in drei Teile: Einleitung: Definition: Was versteht man unter Technisierung des Alltags? Hauptteil: Erörterung der Vor- und Nachteile der Technisierung des Alltags für das Zusammenleben Schluss: Eigene Stellungnahme (eigene Meinung) Achten sie darauf, dass sie sich auf die Technisierung im Alltag beziehen, nicht auf die Technisierung im Arbeitsleben oder in der Industrie. Außerdem müssen Sie den Schwerpunkt auf das Zusammenleben der Menschen legen. Einleitung: Unter Technisierung im Alltag versteht man, dass im Alltag immer häufiger technische Hilfsmittel eine Rolle spielen. Bereiche des Vorteile für das Alltags/Beispiele Zusammenleben Technisierung der Freizeitgestaltung und Unterhaltung (PC, Videospiele, PSP)

gemeinsames Spielen möglich (Wii, etc)

Technisierung der Kommunikation (Handy, E-Mail, SMS, FAX, chat rooms etc.)

ständige Erreichbarkeit (in Notfällen Informationen weitergeben)

Technisierung des Haushalts, Haushaltsgeräte Steuerung der Funktionen

Technisierung in der Arbeit, Automaten erledigen Arbeiten

Schluss:

x x x

x x

Nachteile für das Zusammenleben x keine gemeinsamen Aktivitäten mehr (Brett- und Gemeinschaftsspiele werden kaum gespielt) x Konflikte in der Familie durch ständiges Spielen am PC und Vernachlässigung der Schule x ständiges Spielen führt zur Sucht und zu Krankheiten, beeinträchtigt das Zusammenleben in der Familie x Isolation vom Freundeskreis

x ständige Erreichbarkeit x keine Privatsphäre mehr x Störung gemeinsamer Aktivitäten durch ständige Anrufe (SMS) häufiger Kontakt zu Personen, die man nicht x Einzelner befasst sich häufiger mit dem Handy, als mit den oft sieht (man verliert Menschen, mit denen er zusamsich nicht aus den Augen) menlebt (lebt in virtueller Welt) für Freundschaften ist kein unmittelbarer Kontakt nötig (andere Länder) erleichtert Arbeit Zeitersparnis, Zeit für Familienmitglieder ganze Familie kann Hausarbeiten erledigen und Zusammenhelfen (Wäsche waschen, Geschirr in Automat einräumen etc.)

x führt dazu, immer weniger Zeit miteinander im Haushalt zu verbringen (gemeinsames Kochen etc. entfällt)

erleichtert Arbeit x Verlust der Arbeit durch Technisierung Zeit für Planung und Folgen: Problem für das Auswertung der Arbeit in Zusammenleben in der Familie Zusammenarbeit mit den Kollegen, Teamarbeit x Verlust des Freundeskreises gefordert

Entscheidung für eine Position. Begründung der eigenen Meinung.

B106

Abschlussprüfung 2010

Text 2: Ich will, ich will, ich will Arbeitsaufträge 1. Der Text „Ich will, ich will, ich will“, erschienen im FOCUS, handelt von einem jungen Mann namens Florian Sitzmann, der bei einem Verkehrsunfall als Jugendlicher beide Beine verliert und nach jahrelangem Kampf heute ein glückliches Leben führt. Als Jugendlicher verliert Florian Sitzmann bei einem Motorradunfall, den sein Freund Stefan Dehmer verursachte, beide Beine. Nachdem er auf der Intensivstation erwacht, erfährt er von seinen Eltern, dass er von einem LKW überrollt wurde und keine Beine mehr hat. In der nachfolgenden Zeit verzweifelt er nicht, sondern blickt voller Zuversicht in die Zukunft. Mit großer mentaler Stärke übersteht er die ersten Wochen, als es ums Überleben geht genauso wie die vier Jahre in Kliniken mit 50 Operationen. Sein eiserner Wille wieder gesund zu werden und ein normales Leben zu führen treibt ihn an. Er macht seinen Führerschein, verliebt sich, macht eine kaufmännische Ausbildung, heiratet und bekommt eine Tochter. Gleichzeitig findet er seine Sportdisziplin, das Radfahren. Als Handbiker wird er Vizeweltmeister und nimmt an den Paralympics teil. Er stellt Rekorde auf und gewinnt zahlreiche Medaillen. Seinem Freund, dem Verursacher, gibt er keine Schuld am Unfall. Beide verbindet weiterhin eine tiefe Freundschaft. 2. mögliche Textstellen:

Bereiche

Beispiele

Erläuterungen

Schule, Ausbildung

Kaum integrative Einrichtungen

Förderschulen für Behinderte, keine gemeinsame Erziehung in Schulen, damit Trennung von behinderten und nichtbehinderten Menschen

Beruf

Bewerbungen

Ausbildungschancen und Ausbildungsmöglichkeiten eingeschränkt

Jobmöglichkeiten

geringere Einstellungschancen

7. Überlegen Sie sich Lebensbereiche, in denen das Sprichwort gelten kann. Überlegen Sie auch, inwiefern das Sprichwort in diesen Lebensbereichen Grenzen hat. Sie müssen also sowohl Beispiele finden, bei denen das Sprichwort gilt als auch aufzeigen, dass es nicht immer gelten kann. Kritische Stellungnahme bedeutet, dass Sie am Ende Ihre eigene Meinung zum Thema nennen.

Zeilen 2-4: „Florian Sitzmann ist 33 Jahre alt, ein athletischer Typ mit wachen Augen und offenem Lachen.“

Einleitung: Beim Ausspruch „Wo ein Wille ist, ist auch ein Weg“ handelt es sich um ein Sprichwort. Sprichwörter sind Lebensweisheiten, gewonnen aus zahlreichen Erfahrungen. Sie haben aber auch ihre Grenzen.

Zeilen 74-78: „Ich habe mir vorgestellt, nächste Woche komme ich nach Hause." Nicht über eine Situation grübeln, die sich nicht ändern lässt, war seine Devise.“

Lebensbereich

Pro und Kontra

Beispiele

Gesundheit

Mit Willensstärke kann man einige Gesundheitsprobleme bekämpfen.

Übergewicht und Folgekrankheiten durch disziplinierte Lebensweise (Essen, Sport etc.)

Zeilen 90-94: „Für Florian Sitzmann waren es Zukunftspläne. In einem Leben als bedauernswerter und rundum versorgter Invalide wollte er sich nicht einrichten.“

Einige Gesundheitsprobleme Herz-Kreislauferkrankungen kann man lindern. durch Sport etc.

Zeilen 121-126: „Er lernte den Sänger Xavier Naidoo kennen und engagierte sich für dessen Straßenkinderprojekt. Er heiratete und bekam eine Tochter. Und er fand seine Sportdisziplin: Radfahren.“ Zeilen 159-164: „...und Dehmer, der Nachdenklichere, weiß, er hat von dem Jüngeren eine wichtige Lebenseinstellung gelernt: „Es geht stets immer nur um die eine Frage: ,Wie geht es weiter?’ “ 3. a) vollständiger

Nicht alle Gesundheitsprobleme lassen sich durch Willenskraft bekämpfen. Ausbildung, Karriere, Bessere Leistungen mit Beruf Willenskraft

= komplett (Zeile 32)

b) Unbefangenheit, Einfältigkeit

= Naivität (Zeile 71)

c) Wahlspruch, Leitspruch

= Devise (Zeile 78)

d) setzte sich ein

= engagierte (Zeile 122)

Willenskraft allein reicht nicht immer aus.

Gehen sie hier auf den Zusammenhang zwischen Titelbild und Text ein. Beschreiben Sie hier drei unterschiedliche Kriterien. Es gibt mehrere Zusammenhänge zwischen der Umschlagsgestaltung und dem Inhalt des Artikels. Zunächst zeigt der Umschlag nur das halbe Gesicht von Florian Sitzmann. Dies spielt darauf an, dass er sich selbst nur als „halben Mann“ bezeichnet (Zeile 8), weil er als Jugendlicher bei einem Verkehrsunfall beide Beine verlor. So wurde ihm nicht nur der halbe Körper abgetrennt, sondern er muss auch im täglichen Leben mit vielen Behinderungen zurechtkommen. Auch hier zeigen sich Einschränkungen. Außerdem zeigt das Bild einen energisch blickenden Menschen, der zuversichtlich und voller Lebensmut dargestellt wird. Dies bezieht sich auf den Charakter von Florian Sitzmann. Der Text spricht von einer mentalen Stärke (Zeile 138) und seinem unbedingten Lebenswillen. Nur so konnte er ein Leben neu gestalten. Nicht seine Behinderung steht im Mittelpunkt, sondern der Gedanke, sein Leben weiterhin zu gestalten (Zeile 164). Obwohl es um die Behinderung von Florian Sitzmann geht, zeigt das Bild keinen Mann im Rollstuhl. Man erkennt auf der Titelseite nicht, dass Florian behindert ist. Dies spiegelt seine Lebenseinstellung. Auch hier zeigt sich, dass nicht seine Behinderung im Mittelpunkt steht, sondern die Möglichkeit, ein normales Leben zu führen. 5. Das Geschehen hat auch bei seinem Freund Stefan Dehmer, dem Verursacher des Unfalls, Spuren hinterlassen. Zum einen hat er sich große Selbstvorwürfe gemacht, weil er die Schuld an der Invalidität seines Freundes trug. Er kann das Geschehene nicht mehr rückgängig machen und bleibt verantwortlich dafür, was seinem Freund passierte. Diese seelischen Wunden können oft genauso schlimm sein wie körperliche Behinderungen. Zum anderen hat Stefan auch vom Verhalten seines Freundes gelernt. Der hat ihm nie die Schuld am Unfall gegeben und nicht über das Geschehene gesprochen. Er hat ihm eine wichtige Lebenseinstellung gezeigt. Diese Lebenseinstellung heißt niemals aufzugeben und immer nach einem Weg zu suchen, wie es weitergehen kann. Schließlich hat ihm auch das geholfen, seine Schuld am Unfall zu akzeptieren und zu verarbeiten. 6. Einige Möglichkeiten sind hier tabellarisch zusammengestellt. Weitere Beispiele sind möglich. Achten Sie darauf, dass sie Beispiele nennen und diese dann erläutern. Verfassen Sie einen zusammenhängenden Text. Bereiche

Beispiele

Erläuterungen

Alltag

Öffentlicher Verkehr, Fortbewegung bei körperlich behinderten, blinden Menschen etc.

hohe Randsteine, keine akustischen Signale an Ampeln, öffentliche Verkehrsmittel nicht immer behindertengerecht (Busse, Züge)

öffentlich zugängliche Bauten

Treppen, keine Aufzüge, Regale in Supermärkten zu hoch, Regale oft zu eng gestellt etc.

Bessere Schulnoten, bessere Arbeitsleistung Fehlende Begabung für einen Bereich (z.B. handwerklich) Grenzen der Leistungsfähigkeit (Überforderung, Krankheiten)

Lebensbereich

Krebserkrankungen

Pro und Kontra

Sport (Leistungssport, Topleistungen durch Ausdauersport wie Willenskraft Marathon etc.) Nicht alles ist durch Willenskraft erreichbar.

Beispiele beständiges hartes Training, Ermüdungen durch Willenskraft übergehen Grenzen der körperlichen Belastbarkeit (Gefahr der Verletzung)

Persönliche Wünsche Mit Willenskraft kann man eine sportliche Leistung durch und Träume eigene Träume verwirklichen. Training, eine lange Reise durch diszipliniertes Sparen etc., ein eigenes Haus durch diszipliniertes Planen und Sparen Willenskraft allein reicht nicht aus, um persönliche Wünsche zu verwirklichen.

unvorhersehbare Ereignisse (Krankheiten), Schicksalsschläge Verpflichtungen: Beruf, Familie etc.

Schluss: Entscheidung für eine Position. Begründung der eigenen Meinung.

Abschlussprüfung 2011

B107 x „ ... hörte ich wie durch einen dicke Watteschicht ihre Worte ...“ (Zeile 31) Der sprachliche Vergleich „wie durch eine dicke Watteschicht“ will deutlich machen, dass er die Worte der Mutter nicht deutlich wahrnimmt und versteht. Eine dicke Watteschicht dämpft die Geräusche. Es kommt einem so vor, als ob das, was man hört weit weg ist und einen nicht betrifft. So geht es auch John, als er versteht, dass die Mutter sie verlassen will. Er kann das Gesagte gar nicht richtig realisieren und kann nicht glauben, dass die Mutter das wirklich ernst meint.

3.9.6 Abschlussprüfung 2011 Teil A: Rechtschreiben Teil I und II Rechtschreiben I – Modifiziertes Diktat Originaltext siehe Aufgabenstellungen 4.

Sie sollten zunächst erklären, wie der Sohn seine Mutter hier wahrnimmt. Danach sollten Sie eine Begründung für diese Wahrnehmung geben.

Rechtschreiben II – Strategien- und Regelwissen Aufgabe 1: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben Text mit richtig geschriebenen Wörtern:

Das Zitat in Zeile 39 drückt deutlich die Distanz zur eigenen Mutter aus. Die Mutter wird nicht mehr als eigene Mutter angesehen, sondern als fremde Person. Der Sohn verspürt keinen Bezug mehr zur eigenen Mutter, da er nicht versteht, warum sie die eigenen Kinder für ihren Freund Martin im Stich lassen will.

Probleme bei Ölbohrungen Es ist absehbar, dass die küstennahen Off-Shore-Bohrungen, die derzeit etwa ein Drittel der gesamten Ölförderung ausmachen, irgendwann erschöpft sein werden. Dann bleibt nur noch eines: die Suche weiter draußen, in Tiefen von mehreren hundert Metern. Dort aber herrscht enorm hoher Druck und das meist poröse Gestein erschwert die Bohrungen. Weil Menschen nicht so tief tauchen können, müssen sich die Ölfirmen auf Roboter und druckfeste Tauchboote verlassen. Technische Eingriffe sind daher ungleich komplizierter, wie man beim Abdichten des Lecks bei der „Deepwater Horizon“ gesehen hat.

5. Beschreiben Sie zunächst, was das Bürgerliche Gesetzbuch aussagt. Erläutern Sie dann inwiefern die Mutter diese gesetzlichen Vorgaben nicht beachtet. Die Beachtung der Situation der Familie, wie in Aufgabe 1 beschrieben, hilft Ihnen dabei. Das Bürgerliche Gesetzbuch beschreibt die Pflicht der Eltern ihre Kinder zu pflegen, zu erziehen und zu beaufsichtigen. Außerdem untersagt das Gesetz körperliche Bestrafungen und seelische Verletzungen. In Johns Familie werden diese gesetzlichen Vorgaben nicht beachtet. Die Mutter wäre verpflichtet für die Pflege und die Erziehung der Kinder Sorge zu tragen. Dies würde auch bedeuten, dass sie mit den Kindern lebt und sie tagtäglich um sich hat. Das Wohl der Kinder muss in diesem Fall über ihrem eigenen Interesse mit ihrem Freund zu leben stehen, auch wenn dieser nicht mit den Kindern leben will. Darüber hinaus sind seelische Verletzungen untersagt. Die Androhung das Jugendamt einzuschalten bewirkt bei den Kindern Angst ins Heim zu kommen.

nach: www.sueddeutsche.de, 23.09.2010

(Für jedes zuviel „berichtigte“ Wort werden 0,5 Punkte abgezogen.)

Aufgabe 2: Denominalisierung Die Aufgabe einer internationalen Behörde ist es neue Ölfelder zu erkunden. Es ist Aufgabe einer internationalen Behörde, dass neue Ölfelder erkundet werden. (Weitere Lösungen sind möglich)

Aufgabe 3: Kommasetzung Für internationale Konzerne sind vor allem der Golf von Mexiko , Grönland oder Alaska interessant , da sich die anderen Vorkommen in der Hand staatlicher Ölgesellschaften befinden. Erstes Komma: Aufzählung Zweites Komma: Nebensatz (Kausalsatz)

6. Sie sollten hier Gründe dafür finden, warum sich Martin auf die Familie einlassen sollte. Die angegebenen Stichpunkte sind Vorschläge. Weitere Gründe sind möglich. Achten Sie auf die E-Mail Form. Beschreiben Sie mindestens drei Gründe ausführlich. x Liebe zu Mutter a) Gibt ihr Sicherheit b) Bringt sie nicht in die Situation sich zwischen ihm und den Kindern entscheiden zu müssen

Aufgabe 4: Fehlersuche X Die Umweltorganisation WWF fordert angesichts der unsicheren Technik, dass weitere Bohrungen unterlassen werden.

O O

Allerdings entscheitet jedes Land selbst, ob es Ölbohrungen zulässt.

Außerdem sollte eine internationalle Behörde die Exploration kontrollieren.

x Gemeinsames Leben ohne zusätzliche Belastung a) Kinder sind schon älter b) Kinder sind sehr selbstständig, haben es gelernt ohne die Mutter auszukommen c) Kinder können bei der Pflege und Erziehung des Babys mithelfen (Entlastung)

Es bleibt zu hoffen, dass die Sicherheitbestimmungen für weitere Bohrungen verschärft werden.

x Vorteile einer Familie a) Man hilft sich gegenseitig b) Man ist nicht einsam, immer in Gesellschaft c) Verantwortung für einander

Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch Text 1: Alleingelassen Arbeitsaufträge 1. Unterstreichen Sie zunächst alle wichtigen Stellen im Text, die die Situation der Familie beschreiben. Achten Sie darauf, dass Sie genau lesen, denn manchmal wird die Situation nur indirekt beschrieben. Verfassen Sie erst nach diesen Vorarbeiten den Text. In der Erzählung „Alleingelassen“ von Thomas Fuchs wird die Situation einer Familie geschildert, in der die Mutter alleinerziehend ist. Sie hat drei weitere Kinder, John, der Älteste, Carmen und der jüngste Sohn Mark, der 13 Jahre alt ist. Die Mutter ist von ihrem derzeitigen Freund Martin schwanger und lebt bei ihm. Sie besucht ihre Kinder, um ihnen mitzuteilen, dass sie nun für längere Zeit zu ihrem Freund ziehen möchte. Dafür gibt sie Gründe an. Zum einen sei die Wohnung zu klein, sie sei schon hochschwanger und benötige Hilfe und außerdem kämen die Kinder ohne sie besser zurecht. Der wahre Grund ist aber ihre Angst, dass Martin sie verlässt, denn er scheint nicht mit der Familie zusammenleben zu wollen. Sie betont, dass diese Beziehung ihre letzte Chance sei, mit vier Kindern und ohne Job. Die Mutter droht sogar mit dem Jugendamt. Die Kinder haben Angst ins Heim zu müssen, in dem ihr ältester Sohn John schon einmal war. Dies macht deutlich, dass die Mutter schon länger nicht in der Lage ist für ihre Kinder zu sorgen. 2. Hoffnung: (Zeile 5) „Sicher würde Martin das Gepäck bringen, sicher hatte er sie vorausgeschickt, damit sie nicht versuchen würde, in ihrem Zustand einen Koffer zu tragen.“

7. Die kritische Stellungnahme erfordert, dass Sie sich mit den Vorteilen und den Nachteilen einer Familie auseinander setzen. Am Schluss sollten Sie Ihre eigene Meinung schreiben und diese noch ausführlich begründen. Die Gliederung enthält nur Vorschläge. Weitere Argumente sind möglich. Einleitung: Immer mehr Menschen entscheiden sich gegen eine Familie I. Vorteile einer Familie:

x Gefühl der Geborgenheit x gemeinsame Unternehmungen

2. man entwickelt Gemeinschaftsund Zusammengehörigkeitsgefühl,

x man kann sich gegenseitig helfen x man kann sich trösten und Kraft geben (vor allen in schwierigen Situationen)

3. Kinder bereiten Freude,

x wenn sie heranwachsen und sich entwickeln (erste Schritte, erste Worte) x wenn sie ihr Gegenüber anlachen

4. man lernt Verantwortung zu übernehmen,

x Aufstellen und Einhalten von Absprachen und Regeln x für das Wohlergehen aller Familienmitglieder muss gesorgt werden x man ist füreinander da und setzt sich für andere Familienmitglieder ein

5. Kinder können im Alter für einen sorgen,

x gegenseitige Unterstützung der Generationen x Hilfe und Unterstützung bei körperlichen Gebrechen

6. Kinder sind wichtig für unsere Gesellschaft,

x Steuern x Rente

7. Familie mit mehreren Kindern: Kinder können voneinander lernen, sich gegenseitig fördern.

x spielerische Weitergabe von Wissen x Nachahmung (Vorbildfunktion älterer Geschwister) x Austausch von Erfahrungen zwischen Geschwistern

Resignation: (Zeile 28) „Ich sah den Gesichtsausdruck der Frau am Tisch mir gegenüber und mir wurde klar, dass wir keine Chance hatten.“ 3. Erklären Sie zunächst die Bedeutung des sprachlichen Bildes im Textzusammenhang. Erläutern Sie dann die ursprüngliche Bedeutung und bringen Sie diese in Zusammenhang mit der übertragenen Bedeutung. x „ ... in meinem Hirn die Gedanken Karussell fuhren, ...“ (Zeilen 30/31) Das sprachliche Bild „die Gedanken fahren Karussell“ ist eine Metapher und bedeutet, dass seine Gedanken sich im Kreise drehen, durcheinander gehen und sehr schnell aufeinander folgen. Hier wird das Bild eines Karussells verwendet. Wenn man Karussell fährt, dreht sich alles sehr schnell im Kreise. Man verliert die Orientierung und es wird einem schwindlig. So ergeht es John mit seinen Gedanken. Es gehen ihm viele verschiedene Dinge durch den Kopf. Er weiß nicht, wie er zu seiner Mutter stehen soll.

Beispiel

1. man ist nicht einsam, vor allem später im Alter,

B108

Abschlussprüfung 2011

II. Nachteile einer Familie:

x der Lebensunterhalt muss auch für andere gesichert werden (nicht nur für den eigenen Bedarf) x man sollte als Bezugsperson für Kindern immer da sein (bei Krankheit, bei Problemen - auch nachts)

2. Einschränkung der Individualität

x man muss Rücksicht auf andere Familienmitglieder nehmen und sich anpassen (Essenswünsche, leise Musik hören etc.) x man muss sich zeitlich stärker organisieren und einschränken (abends ausgehen, Urlaubsplanung, Freizeitaktivitäten der Familie)

3. In Familien gibt es oft Probleme

x in der Pubertät der Kinder x Auseinandersetzungen über Regeln in der Familie

4. Finanzielle Belastung

x höhere Aufwendungen für Kinder (Kleidung, Lebensmittel, Bildung etc.) bedeuten Einschränkungen (Luxus, Reisen, Auto etc.) x oft langfristige Verpflichtung durch Schulden (z.B. für Hausbau etc.)

5. Einschränkung bei der beruflichen Selbstverwirklichung

x ein Elternteil muss sich um die Pflege und Erziehung der Kinder kümmern, d.h. Karriere im Beruf ist dann erst mal nicht mehr möglich) x es können nur bestimmte Tätigkeiten angenommen werden (z.B. Teilzeitjobs)

6. Flexibilität und Mobilität nicht möglich

x mit Familie ist Mobilität, die oft im Beruf verlangt wird, nicht so ohne weiteres möglich x Umzüge und häufige Orts-/Schulwechsel belasten Kinder

Schluss:

a) Zeilen 53-55: Damit ist vor allem das Prinzip des Generationenvertrags in Zusammenhang mit der Rente gemeint. Dieser besagt, dass die arbeitende Generation die Beiträge für die Rente der älteren Generation erwirtschaftet. Dieses Prinzip kann nur funktionieren, wenn es wesentlich mehr jüngere arbeitende Menschen gibt als Rentner. Dies gerät jetzt aus den Fugen, da der Anteil der älteren Menschen ständig wächst. So ist die Rente nicht mehr von den Jüngeren zu finanzieren. Dies bedeutet, dass die jüngere Generation damit rechnen muss nur eine geringe staatlich finanzierte Rente zu bekommen. Sie muss sich selbst absichern, um eine ausreichende Rente zu erhalten. Dies führt dazu, dass die junge Generation wesentlich mehr schon in jungen Jahren für die Rentenvorsorge aufwenden muss. Diese fühlen sich dann gegenüber der jetzigen älteren Generation benachteiligt.

Beispiel

1. Große Verantwortung gegenüber dem Partner und den Kindern,

b) Zeilen 106-107: Die digitale Revolution bezeichnet den durch Computer ausgelösten Umbruch in den Technologien sowie im privaten Leben. Dies führte aufgrund des Mikrochips zu einer weiteren Automatisierung in der Wirtschaft, dem Aufbau weltweiter Kommunikationsnetze wie dem Internet und dem Einzug des Computers in den privaten Bereich. So entstanden in den letzten Jahren in vielen Bereichen neue Technologien, mit denen man bestehende Probleme lösen kann. Ein Beispiel dafür wären die neuen Technologien im Energiebereich. Dadurch wird man immer unabhängiger vom Erdöl und kann die negativen Folgen für die Umwelt vermeiden. Diese Entwicklung hat die heutige Jugend geprägt und trägt sehr stark zu ihrem Optimismus bei. 5. Beschreiben Sie zunächst, was in der Karikatur zu sehen ist und welchen Sachverhalt sie zeigt. Erklären Sie dann die Bedeutung und Aussage der Karikatur. Beschreiben Sie zunächst, welchen Sachverhalt die Grafik darstellt. Erklären sie anschließend die Ergebnisse der Grafik im Bezug auf die Fragestellung. Die Karikatur in Abbildung 1 zeigt eine ältere Dame, die einen Jugendlichen bittet eine Kiste für sie zu tragen. Der Jugendliche möchte allerdings eine Gegenleistung dafür. Hier wird die Jugend von der älteren Generation als sehr materialistisch und egoistisch wahrgenommen. Jugendliche helfen nur, wenn sie eine Gegenleistung dafür erhalten. Eine Arbeit muss sich lohnen, es muss etwas Zählbares herausspringen. Werte wie gegenseitiges Helfen spielen keine große Rolle mehr. Im Gegensatz dazu steht die Grafik in Abbildung 2. Hier wurden engagierte Jugendliche ab 14 Jahren befragt, warum sie sich engagieren. Dabei wird deutlich, dass der Grund für ihr Engagement nicht egoistisch ist. Die meisten Jugendlichen engagieren sich, weil sie die Gesellschaft mitgestalten wollen oder mit anderen Menschen zusammen kommen wollen. Egoistische Gründe wie Erwerb von Ansehen und Einfluss und berufliche Vorteile durch ihr Engagement spielen nur eine untergeordnete Rolle.

Die Nachteile werden durch das Zusammengehörigkeitsgefühl, die Geborgenheit und die Freude an den Kindern aufgewogen. 6.

Text 2: Mit Optimismus in die Zukunft 1. Unterstreichen Sie die Ergebnisse der Studie zunächst im Text. Fassen Sie dann die wesentlichen Ergebnisse zusammen und bringen Sie diese in eine sinnvolle Reihenfolge. (Die Reihenfolge entspricht nicht der im Text) Erst dann empfiehlt es sich einen Text zu verfassen. Die Jugendlichen glauben in der überwiegenden Mehrheit an die Zukunft. Der Pessimismus der Vergangenheit ist einem großen Optimismus gewichen. (Zeile 4ff, Zeile 19ff) Mit einher geht eine große Zufriedenheit mit ihrem Leben. (Zeile 61ff) Sie sehen Globalisierung nicht als Problem, sondern als Chance auf mehr Freiheit und kulturelle Vielfalt. (Zeile 63ff) Zukunftsängste wie Arbeitslosigkeit, globale Verschmutzung und Angst um die Rente sind dem Gefühl gewichen etwas gegen die Probleme tun zu können. Daraus resultiert aber auch das Gefühl gebraucht zu werden, die Fehler, die die vergangene Generation gemacht hat wieder ausbügeln zu können. (Zeile 100ff) Obwohl sie nichts mit Parteipolitik anfangen können, setzen sie sich mit Klimawandel und Generationengerechtigkeit auseinander. (Zeile 51ff) Bei den benachteiligten Jugendlichen, wozu etwa jeder Zehnte gehört, ist dieses Vertrauen in die Zukunft weitaus geringer. Sie sehen vor allem ihre Chancenlosigkeit. (Zeile 79ff) 2. Achten Sie bei den Zitaten darauf, dass sie diese in Anführungszeichen setzen. „Angst vor den Folgen der globalen Verschmutzung? Sie sind die Kinder der digitalen Revolution – sie glauben unerschütterlich daran, dass sie mit neuen Technologien den Weg zu einem umweltfreundlichen Wirtschaftswachstum finden werden.“ (Zeile 104ff) „Angst vor der Rente? Sie haben längst akzeptiert, dass sie für sich selbst sorgen müssen“ (Zeile 111ff) 3. a) Schwarzseherei

= Pessimismus (Zeile 4)

b) sinnverwandtes Wort = Synonym (Zeile 64) c) Stillstand

= Stagnation (Zeile 125)

d) kindlich, unbefangen = naiv (Zeile 72) 4. Hier geht es vor allem darum die Begriffe Generationengerechtigkeit und digitale Revolution zu erklären. Dies sind Begriffe für relativ komplexe Zusammenhänge und sollten deshalb entsprechend ausführlich erklärt werden.

Sie sollten hier Gründe dafür finden, warum Ihr Freund bzw. Ihre Freundin die Schule nicht abbrechen sollte. Die angegebenen Stichpunkte sind Vorschläge. Weitere Gründe sind möglich. Achten Sie auf die E-Mail Form. Beschreiben Sie mindestens drei Gründe ausführlich. x Guter Schulabschluss ermöglicht eine gute Berufsausbildung a) Besserer Verdienst und damit mehr Annehmlichkeiten im späteren Leben b) Größere Zufriedenheit, weil Beruf Anerkennung bringt x Ein Schulabschluss eröffnet mehr Möglichkeiten a) größere Stellenauswahl (bessere Chancen bei der Jobsuche) b) Besuch weiterführender Schulen möglich (FOS/BOS, evtl. Studium) x Gute Schulbildung hilft, die Welt besser zu verstehen (man kann mehr mitreden und ist deshalb akzeptiert) x In Schule lernt man rechnen und logisch denken – wichtig, um gut im Leben zurechtzukommen x Man lernt verschiedenste Probleme selbstständig zu lösen. (Selbstständigkeit) x Entwicklung der Persönlichkeit x Erwerb von Wissen – Wissen ist Macht (je mehr man weiß, desto mehr Wege stehen einem später offen) x Lernen von Verantwortungsbewusstsein und Kompromissfähigkeit - wichtige Fähigkeiten für späteres Leben.

Abschlussprüfung 2012 7. Die kritische Stellungnahme erfordert, dass Sie sich mit dem Pro und Kontra des Themas auseinander setzen. Vorteilhaft erscheint hier die Aufteilung in verschiedene Lebensbereiche. Machen Sie sich zunächst darüber Gedanken, was für ein glückliches Leben wichtig ist und entscheiden dann, ob man für das Erreichen eines solchen Lebens nur alleine verantwortlich ist. Am Schluss sollten Sie Ihre eigenen Meinung schreiben und diese noch ausführlich begründen. Die Gliederung enthält nur Vorschläge. Weitere Argumente sind möglich.

Einleitung: Der oft gehörte Ausspruch „Es liegt allein an dir, was du aus deinem Leben machst“ spielt auf die Eigenverantwortung jedes Menschen an. Diese Eigenverantwortung eines Menschen ist ein wichtiger Grundsatz im Leben. Es gibt jedoch auch Situationen, in denen die Grenzen der Eigenverantwortung deutlich werden. I. Man ist für sein Leben selbst verantwortlich: 1. im Berufsleben,

1.1 Anstrengungsbereitschaft in der Schule führt zu guten Noten, höherer Schulbildung und besseren Berufschancen 1.2 Engagement, Weiterbildung erhöht Karrierechancen – höherer Verdienst, größere Zufriedenheit, größere Anerkennung 1.3 Teamfähigkeit führt zu gutem Arbeitsklima – man fühlt sich wohler

2. im Privatleben,

2.1 aktive Freizeitgestaltung – ob man Freizeit aktiv gestaltet oder nur passiv (Computer, Fernsehen) – passive Freizeitgestaltung führt zu Unzufriedenheit, Passivität 2.2 Freundschaften – ob man Freunde hat oder nicht – mit Offenheit und Kontaktfreudigkeit gewinnt man Freunde – ohne Freunde Vereinsamung 2.3 Familie – ob man Familie hat oder nicht – Offenheit, Kompromissbereitschaft, Verantwortungsbewusstsein ermöglichen Leben mit Familie – ohne Familie Vereinsamung

3. bei der Gesundheit. 3.1 sportliche Aktivitäten verhelfen zu gesundem Leben und größerer Zufriedenheit 3.2 Verzicht auf Drogen, Zigaretten und Alkohol ermöglicht längeres, gesundes Leben

II. Es gibt Situationen, in denen Eigenverantwortung auf Grenzen stößt: 1. im Berufsleben,

1.1 Mangel an Arbeitsplätzen führt zu geringeren Berufschancen

B109 3.9.7 Abschlussprüfung 2012 Teil A: Rechtschreiben Teil I und II Rechtschreiben I – Modifiziertes Diktat Originaltext siehe Aufgabenstellungen

Rechtschreiben II – Strategien / Regeln / Grammatik Aufgabe 1: Einen fremden Text korrigieren und Wörter richtig schreiben Text mit richtig geschriebenen Wörtern Die Erde kommt ins Schwitzen Mehrere Indikatoren, beispielsweise die Erhöhung der Oberflächentemperatur großer Seen oder Veränderungen in der Arktis, liefern Hinweise auf die globale Erwärmung. Das zeigt der aktuelle Bericht der amerikanischen Klimabehörde. Dafür finden sich Anzeichen in fast allen Teilbereichen der Biosphäre und des Klimasystems. Als Ursache nennen uns die Datensammler die Zunahme der klimawirksamen Treibhausgase in der Atmosphäre. Insbesondere die Konzentration von Kohlendioxid stieg im Jahr 2010 schneller an als noch 2009. nach: ODENWALD, Michael: Die Erde kommt ins Schwitzen. URL, http://www.focus.de, 04.07.2011

(Jedes berichtigte Wort ergibt 0,5 Punkte. Für jedes fälschlicherweise „berichtigte“ Wort werden 0,5 Punkte abgezogen.)

Aufgabe 2: Kommasetzung Es handelt sich hier um einen Einschub. Einschübe werden von Kommas eingeschlossen. Aufgabe 3: Regelwissen In der ersten Jahreshälfte 2010 herrschte im tropischen Pazifik ein starker „El Nino“, der zu dem global außergewöhnlich warmen Jahr beitrug. Nach einem Doppellaut (Diphtong) wird „scharfes S“ (stimmloser s-Laut) geschrieben. Aufgabe 4: Groß- und Kleinschreibung und Zeichensetzung Damit ein Ansteigen des Schadstoffausstoßes gebremst werden kann, muss verstärkt auf regenerative Energien zurückgegriffen werden. (Pro Fehler werden 0,5 Punkte abgezogen.)

Teil B: Schriftlicher Sprachgebrauch Text 1: Wir retten die Welt Arbeitsaufträge 1. Unterstreichen Sie zunächst alle wichtigen Stellen im Text. Achten Sie darauf, dass Sie genau lesen. Sie sollten den Widerspruch zwischen Anspruch und Verhalten der Kinder sowie der Eltern herausarbeiten. Verfassen Sie erst nach diesen Vorarbeiten den Text.

1.2 Konkurrenzdenken verlangt Egoismus um Karriere zu machen (nur der Starke kommt weiter) 1.3 wenn man aus einem ärmeren Elternhaus stammt, hat man weniger Chancen

Der Text von Amelie Fried handelt von Eltern und ihren Kindern, die sich für Umweltschützer halten. Ihr konkretes Verhalten zeigt jedoch das Gegenteil. Eine Mutter beklagt sich darüber, dass ihre Kinder sich nicht umweltbewusst verhalten. Sie duschen zu oft, lassen das Licht brennen, halten Geräte auf Stand-by-Modus und interessieren sich nicht für ökologisches Handeln. Im Gegensatz dazu sind die Jugendlichen sehr wohl der Meinung auf die Umwelt achten zu müssen und sie werfen sogar ihren Eltern vor nicht umweltbewusst zu sein. Aber auch die Mutter erkennt den Gegensatz zwischen ihrem Anspruch und dem eigenen Handeln. Sie heizt mit Öl, fliegt in den Urlaub und fährt zu viel mit dem Auto.

1.4 bei unverschuldeter Arbeitslosigkeit 2. im Privatleben,

2.1 aktive Freizeitgestaltung durch Krankheiten oder Behinderungen eingeschränkt 2.2 manche Menschen finden keinen Partner oder können keine Kinder bekommen 2.3 Freunde können einen im Stich lassen

3. bei der Gesundheit. 3.1 Manche Krankheiten kann man nicht verhindern (Krebs, fremdverursachte Unfallfolgen)

3.2 Bestimmte angeborenen Krankheiten/Allergien mindern Lebensqualität oft das ganze Leben lang ein Schluss: Im Grunde ist jeder für sein Leben selbst verantwortlich. Es gibt aber auch Situationen, in denen Eigenverantwortung nicht mehr möglich ist. (unverschuldete Arbeitslosigkeit, Krankheiten, Behinderungen, Tod eines Menschen etc.) In diesen Situationen sind Menschen auf die Hilfe anderer angewiesen, damit sie aus ihrem Leben noch etwas machen können.

a) fortdauernd, durchlaufend

= kontinuierlich (Zeile 5-6)

b) Lufthülle der Erde

= Atmosphäre (Zeile 13)

c) minderwertige, ungesunde Nahrung = Junkfood (Zeile 14) d) Gesamtheit der Menschen ungefähr gleicher Altersstufe

= Generation (Zeile 21)

3. Nennen Sie zunächst das ursprüngliche Sprichwort und erklären Sie dann seine Bedeutung. Erläutern Sie dann, worin die Abwandlung besteht. Erklären Sie deren Bedeutung und begründen sie, warum die Autorin diese Form verwendet. Das ursprüngliche Sprichwort heißt „Wer im Glashaus sitzt, sollte nicht mit Steinen werfen.“ Dieses Sprichwort bedeutet, dass man niemandem etwas vorwerfen sollte, was man selbst tut oder nicht beachtet. Die Abwandlung besteht darin, dass die Autorin statt „Stein“ den Begriff „Handy“ benutzt. Sie möchte damit den Inhalt des Textes bekräftigen. Das Handy steht dabei für die neuen Technologien. Die Kinder behaupten, dass die neueste Technik für sie sehr wichtig ist, denn nur damit könnten sie in Zukunft die Welt retten. Die ältere Generation benötige jedoch die neuen Techniken nicht mehr.

B110

Abschlussprüfung 2012 Einleitung: Vielfältige Probleme wie zum Beispiel Klimaerwärmung erfordern nachhaltigen Umweltschutz. Dazu ist Handeln auf verschiedenen Ebenen der Gesellschaft notwendig.

4. a) Achten Sie darauf, dass Sie eine Textstelle aus jedem der zwei Texte zitieren. Ein Zitat muss in Anführungszeichen gesetzt und mit Zeilenangabe versehen werden. Wenn kein ganzer Satz zitiert wird, dann müssen Auslassungspunkte verwendet werden. (sprachliche Punkte)

1. Nachhaltiger Umweltschutz durch Handeln im privaten Bereich 1.1 maßvoller Umgang mit Ressourcen

b) Ironie drückt meist das Gegenteil von dem aus, was man eigentlich meint. Sie hat zum Ziel auf lustige Art und Weise auf Missstände aufmerksam zu machen und auf Schwächen hinzuweisen (siehe auch Glossar). Die Antwort sollte nicht zu allgemein gehalten werden, sondern sich direkt auf beide Texte beziehen.

1.1.1 Energie sparen 1.1.2 Wasser sparen 1.1.3 Vermeidung der Wegwerfmentalität 1.2 Verzicht auf umweltschädigende Dinge 1.2.1 Verzicht auf Flugreisen 1.2.2 Verzicht auf spritfressende Autos 1.2.3 Benutzung öffentlicher Verkehrsmittel 1.2.4 Verzicht auf Luxusgüter

a) Text Amelie Fried: Zeile 4-5: „Nun sind meine Kinder in dem Alter, in dem ich damals war, und natürlich sind auch sie schwer engagiert im Umweltschutz“; weitere Stellen: Zeile 5-7; Zeile 21-22 etc.

1.3 Recycling betreiben

Text Tim Bendzko: Zeile 11-12: „Muss nur noch kurz die Welt retten. Danach flieg ich zu dir.“; weitere Stellen: Zeile 13 (oder Zeile 1-2 ; Zeile 4-5 etc.)

1.4 Kauf von Ökoprodukten 1.5 Kauf von energiesparenden Geräten

b) Das Stilmittel der Ironie soll au flustige Weise auf Missstände hinweisen. Im Text von Amelie Fried wird durch den Gebrauch der Ironie der Unterschied zwischen dem Gesagten und dem konkreten Handeln der Personen betont und ins Lächerliche gezogen. Wenn die Mutter sagt, dass ihre Kinder schwer im Umweltschutz engagiert sind, dann meint sie das Gegenteil damit, denn anschließend sagt sie, dass sie sich in keinster Weise umweltbewusst verhalten. Im Text von Tim Bendzko wird die Meinung der persönlichen Wichtigkeit ironisch betrachtet. Es werden die Menschen ins Lächerliche gezogen, die von ihrer eigenen Bedeutsamkeit überzeugt sind und dies durch Aktionismus beweisen wollen.

2. Handeln in der Wirtschaft und der Industrie 2.1 Nachhaltiges Wirtschaften 2.1.1 Produktion langlebiger Waren 2.1.2 Energieerzeugung aus Abwärme 2.2 Energieverbrauch reduzieren 2.3 Umweltverschmutzung reduzieren 2.3.1 Filtersysteme 2.3.2 umweltfreundlichere Produktionswege

5. Achten Sie darauf, dass Sie beide Aspekte bearbeiten. Sie müssen zunächst die Karikatur beschreiben und die Bedeutung analysieren. Anschließend ist es notwendig, dass Sie die Gemeinsamkeiten zum Text aufzeigen.

3. Handeln in der Politik 3.1 Förderung der erneuerbaren Energien 3.2 Reduktion des Kohlendioxid-Ausstoßes

Die Karikatur zeigt Menschen unterschiedlicher Generationen. Im Hintergrund ist ein großes Schild mit der Aufschrift „Energie sparen“ zu sehen. Alle Personen zeigen auf den jeweils anderen. Die Karikatur will ausdrücken, dass es einen Widerspruch zwischen der Einstellung und der tatsächlichen Handlung im Bereich des Umweltschutzes gibt. Jeder will zwar, dass Energie gespart wird, schiebt aber die Verantwortung auf die anderen. Deshalb das Zeigen auf den nächsten. Deutlich ist die Gemeinsamkeit zum Text von Amelie Fried zu erkennen. Auch hier gibt es den Widerspruch zwischen Reden und Handeln. Eltern und Kinder sehen die Notwendigkeit des Verzichts auf Annehmlichkeiten (um die Umwelt zu schützen), verlangen aber jeweils vom anderen damit anzufangen.

3.3 Anreize zum Energiesparen in Haushalten (Dämmung, Heizungssysteme etc.) 4. Handeln weltweit 4.1 Globale Vereinbarungen zur Reduzierung des Kohlendioxid-Ausstoßes 4.2 Schutz der Meere und Wälder Schluss: eigene Meinung mit begründeten Argumenten

6. Achten Sie darauf, dass Sie den Tagesablauf beschreiben. Dabei sollten Sie konkrete Beispiele nennen. Beschreiben Sie zunächst die Ausgangssituation. Danach erläutern Sie die jeweilige Situation und schildern deren Folgen. Strukturieren Sie den Text nach dem Tagesablauf. Am Ende kann eine Wertung stehen. Es muss ein zusammenhängender Text verfasst werden.

Text 2: Kinder als Glücksfall oder Störfaktor Arbeitsaufträge 1. Unterstreichen Sie zunächst alle wichtigen Stellen im Text. Verfassen Sie dann die Inhaltsangabe. Notwendig ist ein Basissatz (Textgattung, Autor, Quelle, Kernaussage) sowie eine Wertung am Ende.

Situation: 3 Tage keinen Strom mehr Hauptteil: Auswahl an Situationen mit Folgen (weitere Beispiele möglich) Am Morgen: kein Licht kein heißes Wasser

o im Dunkeln anziehen, waschen, frühstücken o kalt waschen/ duschen , kein Kaffee, kein Tee,

Schule:

keine Medien

o kein CD-Player, keine Videos, kein PC, etc. o monotoner Unterricht

Mittag:

kein Herd kein Kühlschrank

o kalte, rohe Speisen, man kann nicht kochen o Lebensmittel werden schlecht

o kein PC, keine Stereoanlage, kein Fernseher o viele Freizeitaktivitäten sind nicht mehr möglich o keine Kommunikation mehr möglich (Handy, Internet etc.) keine Verkehrsmittel o elektrisch betriebene Verkehrsmittel fahren nicht, z.B. Straßenbahnen in der Stadt etc. Busse, Autos fahren nicht, da nicht mehr getankt werden kann (Zapfsäulen funktionieren nicht) keine Heizung o im Winter kann nicht mehr geheizt werden

Der Sachtext „Kinder als Glücksfall oder Störfaktor“ wurde von Kostas Petropulos in der Zeit online 2011 verfasst. Der Text thematisiert die Tatsache, dass Kinder in Deutschland immer mehr auf Ablehung stoßen. Anlass ist eine Studie, die besagt, dass Eltern nicht glücklicher sind als Kinderlose. Dies ruft den Widerspruch der Eltern hervor, die Kinder als Bereicherung begreifen. Allein schon die Fragestellung deute auf eine kinderfeindliche Gesellschaft hin. Dafür spricht auch die weit verbreitete Verständnislosigkeit gegenüber Kinder und Eltern vor allem bei der älteren Generation. Oft werden Mütter mit ihren Kindern in der Öffentlichkeit ausgegrenzt oder mit Argwohn betrachtet. In vielen Städten gibt es sogar schon Cafés, in denen Kinder nicht toleriert werden. Die Politik reagiert mit der Verabschiedung des Kinderlärmgesetzes, das Klagen gegen Kinderlärm erschwert. Andere plädieren für mehr Gelassenheit und Verständnis für Eltern und Kinder. Darüber hinaus ist Hilfe von Seiten der Politik notwendig. Der Autor möchte auf die weit verbreitete Kinderfeindlichkeit aufmerksam machen und plädiert für konkrete Hilfen sowie für mehr Verständnis für Eltern und Kinder.

Nachmittag: keine Elektronik

Abend:

keine Elektronik

o keine Fernsehunterhaltung, kein Kino, keine Discothek, Bars haben geschlossen, da kein Licht, keine Musik, etc.

Schluss: Leben ist sehr eingeschränkt, führt zu großen Problemen in vielen Bereichen

a) Herausforderung, Aufreizung

= Provokation (Zeile 16)

b) ungestüm, heftig

= vehement (Zeile 19)

c) Aufsehen erregende

= eklatante (Zeile 46)

d) Folgerichtigkeit, Beharrlichkeit = Konsequenz (Zeile 113) 7. Erstellen Sie zunächst eine lineare Gliederung zum Thema. Achten Sie darauf, dass Sie mindestens drei verschiedene Ebenen der Gesellschaft erfassen. In der Ausarbeitung sollten Sie in der Einleitung zum Thema hinführen. Der Hauptteil besteht aus den Argumentationen (Behauptung, Begründung, Beispiel). Am Schluss kommen Sie zu einer wertenden Stellungnahme, in der Ihre eigene Meinung zum Thema deutlich und begründet wird.

3. Bitte beachten Sie, dass Sie die Antworten stichpunktartig herausschreiben. Bei vollständigen Sätzen gibt es keine Punkte. Menschen, die sich an Kindern stören: x Möbel als Hüpfburgen missbraucht (Zeile 67) x Scheiben beschmiert (Zeile 68) x Babys in Öffentlichkeit gewickelt (Zeile 69) (weitere Stellen möglich) Gegenposition: x fühlen sich ausgegrenzt (Zeile73-74) x wollen nicht isoliert bleiben (Zeile 87) (weitere Stellen möglich)

Abschlussprüfung 2012 4.

B111 7.

a) Erklären Sie zunächst die Bedeutung des sprachlichen Bildes im Textzusammenhang. Erläutern Sie dann die ursprüngliche Bedeutung und bringen Sie diese in Zusammenhang mit der übertragenen Bedeutung. b) Ein Zitat muss in Anführungszeichen gesetzt und mit Zeilenangabe versehen werden. Wenn kein ganzer Satz zitiert wird, dann müssen Auslassungspunkte verwendet werden. (sprachliche Punkte) a) Beim angegebenen Satz handelt es sich um ein sprachliches Bild. Die ursprüngliche Bedeutung von Graben ist eine Vertiefung in der Erde, die mit Wasser gefüllt ist. Meist trennt ein Graben zwei Seiten. Er ist oft nicht oder nur mit Mühe überwindbar. Wenn man hier von einem Graben zwischen Familien und anderen Bevölkerungsschichten spricht, dann meint man, dass beide Bevölkerungsteile sehr stark voneinander getrennt sind. Es gibt große Differenzen zwischen beiden Schichten, die nur sehr schwer zu überbrücken sind. b) „Die Frau war auf diese Grenzüberschreitung nicht vorbereitet,….“ (Zeile 39) „ Die Politik reagiert jedoch nur auf die Spitze eines Eisberges ….“ (Zeile 54) „… in unserer zunehmend ergrauenden und kinderlosen Gesellschaft.“ (Zeile 56) „… mit ihrem Nachwuchs nicht immer in ihren eigenen vier Wänden isoliert bleiben zu wollen.“ (Zeile 87) (weitere sprachliche Bilder möglich) 5. a) Hier sollten Sie die Aufgabe von Karikaturen im Allgemeinen beschreiben. (siehe Glossar) b) Sie müssen zunächst die Karikatur beschreiben und die Bedeutung analysieren. Anschließend ist es notwendig, dass Sie die Gemeinsamkeiten zum Text aufzeigen. a) Eine Karikatur ist eine komische und übertriebene Darstellung von Personen, Dingen oder Sachverhalten. Typische Eigenschaften werden meist übertrieben dargestellt. Damit will der Zeichner die Personen, Dinge oder Sachverhalte lächerlich machen und kritisieren bzw. auf Missstände hinweisen. Die Karikatur wird deshalb vor allem bei politischen Themen verwendet. b) Die Karikatur zeigt zwei junge Frauen, die in einer Bar sitzen. Sie sind sehr modisch gekleidet und geben sich sehr lässig. Sie unterhalten sich über die Kinderfeindlichkeit in Deutschland. Eine Frau meint, dass man sich doch wegen der Kinderfeindlichkeit keine Kinder anschaffen sollte, da diese nervig sind und viel Zeit in Anspruch nehmen. Die Begründung ist dabei nur vorgegeben. In Wirklichkeit wollen beide keine Kinder, weil Kinder der eigenen Selbstverwirklichung im Wege stehen. Mit Kindern wäre es zum Beispiel nicht mehr möglich in Bars zu sitzen. Der Karikaturist möchte darauf hinweisen, dass Kinderfeindlichkeit oft aufgrund einer selbstbezogen Haltung entsteht. Die Gemeinsamkeit zum Text liegt darin, dass die Kinderfeindlichkeit in Deutschland thematisiert wird. 6. Hier müssen Sie einen förmlichen Brief an den Bürgermeister verfassen. Beachten Sie deshalb die Regeln dafür. Der Brief sollte mit dem Schreibanlass beginnen, d.h. die Ausgangssituation beschreiben. Danach ist es wichtig, dass Sie Argumente für den Erhalt des Sportplatzes vorbringen, die Sie ausführlich begründen sollten. Der Schluss des Briefes könnte Vorschläge für eine einvernehmliche Lösung enthalten.

Sehr geehrter Herr Bürgermeister, mein Name ist…. Ich bin Schüler der … Schule. Wie ich aus der Zeitung erfahren musste, wird von den Anwohnern des Sportplatzes der Schule gefordert diesen außerhalb der Unterrichtszeit zu sperren, da sich die betroffenen Nachbarn vom Lärm belästigt fühlen. Ich möchte Sie im Namen aller Jugendlichen, die den Sportplatz in ihrer Freizeit benutzen, darum bitten von dieser Schließung abzusehen. Der Sportplatz ist für Jugendliche die einzige Möglichkeit sich in ihrer Freizeit sportlich zu betätigen. Die Vereinssportplätze sind alle gesperrt und die Bolzplätze sind nicht mit den notwendigen Toren und Geräten ausgestattet. Deshalb halten sich auch zahlreiche Jugendliche auf dem Sportplatz auf. Wir benutzen diesen ausschließlich zum Fußball- und Basketballspielen und der einwandfreie Zustand der Gerätschaften zeigt, dass wir auch pfleglich damit umgehen. Bisher kam es auch noch zu keinen Sachbeschädigungen. Was das Müllproblem anbelangt, so würden wir uns bereit erklären den Platz regelmäßig selbst zu reinigen. Darüber hinaus glaube ich, dass die sportliche Betätigung auf dem Platz eine durchaus sinnvolle Freizeitgestaltung für Jugendliche darstellt. Wie oft beklagt man sich, dass Jugendliche nur herumhängen, zu Alkohol und Drogen greifen oder ihre Freizeit vor dem Computer verbringen? Hier bietet sich für uns eine Alternative, die auch noch der Gesundheit dient. Es kann auch nur im Interesse der Stadt sein, dass Sie ihre Jugendlichen gut aufgehoben weiß. Neben dem sportlichen Aspekt bietet der Platz für uns die Gelegenheit uns zu treffen und uns auszutauschen. Wir müssen das dann nicht im Park machen, wo wir uns nur langweilen und auf dumme Gedanken kommen würden. Natürlich sehe ich auch die Problematik der Anwohner. Beim Spielen entsteht Lärm, und das wird sich auch nicht vermeiden lassen. Vielleicht besteht die Möglichkeit zu einer Aussprache mit den Nachbarn, um genauer zu erfahren, welche Beschwerden sie vorbringen. Dann lässt sich vielleicht eine für beide Seiten einvernehmliche Lösung finden, etwa eine Beschränkung der Spielzeiten etc.. Meine Freunde und ich wären Ihnen sehr dankbar, wenn Sie unsere Argumente berücksichtigen und von einer Schließung absehen würden. Mit freundlichen Grüßen ………..

Erstellen Sie zunächst eine dialektische Gliederung zum Thema. Achten Sie darauf, dass Sie mindestens zwei Argumente anführen, die dafür und zwei, die dagegen sprechen. In der Ausarbeitung sollten Sie in der Einleitung zum Thema hinführen. Der Hauptteil besteht aus den Argumenten (Behauptung, Begründung, Beispiel). Besonders wichtig ist dabei, dass Sie das Für und Wider der Familiengründung in jungen Jahren behandeln und nicht allgemein über das Für und Wider von Familiengründungen schreiben. Es besteht sonst die Gefahr der Themaverfehlung. Am Schluss kommen Sie zu einer wertenden Stellungnahme, in der Ihre eigene Meinung zum Thema deutlich und begründet wird. Einleitung: Genaue Definition des Begriffs „in jungen Jahren“ Themenfrage 1.Was spricht gegen die Gründung einer Familie in jungen Jahren 1.1 Finanzielle Situation nicht gegeben (Familie muss man ernähren können, das ist in jungen Jahren oft nicht der Fall, noch in Ausbildung, im Studium etc., zu geringer Verdienst) 1.2 Noch keine Bereitschaft zur Verantwortungsübernahme (man ist selbst noch nicht reif dafür Verantwortung für ein Kind zu übernehmen) 1.3 Finanzielle Einbußen, da Kinder Geld kosten (schränkt besonders in jungen Jahren ein; andere materielle Wünsche, jedoch noch zu wenig finanzielle Mittel) 1.4 Schlechtere Beschäftigungs- und Karrierechancen vor allem für Partnerin (vor allem in jungen Jahren ist man flexibel und kann Karriere machen) 1.5 Einschränkung der Freiheit (in jungen Jahren will man frei sein und sich selbst verwirklichen; man kann nicht mehr tun, was man will) 2.Was spricht für die Gründung einer Familie in jungen Jahren 2.1 Höhere Flexibilität und Belastbarkeit in jungen Jahren (man verkraftet die Belastungen mit Kindern in jungen Jahren eher) 2.2 Entlastung im Alter (man ist dann, wenn man älter ist nicht mehr mit der Erziehung von Kindern belastet) 2.3 Größeres Einfühlungsvermögen (man kann sich in jungen Jahren noch besser in die Sorgen und Nöte von Kindern und vor allem von Jugendlichen einfühlen als im Alter) Schluss:

a) Entscheidung für eine Position und Begründung der eigenen Meinung b) Eigene Meinung zu beiden Positionen gegenüberstellen

B112

Notizen