Tarea de matemáticas 1B Claudio mora López Bachillerato técnico 30 Profesor: Óscar Iván Álvarez Flores Tecnología de información I
¿Que
son los productos notables?
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente El resultado de multiplicar un binomio la propiedad distributiva:
por un término
se obtiene aplicando
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y Ejemplo:
Cuadrado de un binomi
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado. Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
Un trinomio de la expresión siguiente: cuadrado perfecto
se conoce como trinomio
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:
Simplificando:
Producto de dos binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común. Para resolver un binomio con término común se tiene que identificar el término común: en este caso X, la cual se eleva al cuadrado, mas la suma de los no comunes: (a)(b) el resultado se multiplica por X mas la multiplicación de no los comunes:
Ejemplo:
Agrupando términos:
Luego:
Producto de dos binomios conjugados
Producto de binomios conjugados. Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
Ejemplo:
Agrupando términos:
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia. Polinomio al cuadrado
Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica. Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
Ejemplo:
Multiplicando los monomios:
Agrupando términos:
Luego:
Cubo de un binomio Descomposición volumétrica del binomio al cubo.
¿Que es un binomio? En álgebra, un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es un polinomio formado por la suma de dos monomios Operaciones sobre binomios Factor común
Representación gráfica de la regla defactor común El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva de la adición respecto de la multiplicación:
o realizando la operación:
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca ycb). Ejemplo:
Suma por diferencia El binomio
puede factorizarse como el producto de dos binomios:
. Demostración:
Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la
fórmula:
.
Producto de dos binomios lineales l producto de un par de binomios lineales
y
es: .
Potencia de un binomio Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe : , y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: Cuadrado de un binomio
Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo: . La operación se efectúa del siguiente modo:
De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos. Un trinomio de la forma Cuando el segundo término es negativo:
Ejemplo:
, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;
¿Qué es un trinomio? En álgebra, un trinomio es la suma indicada de tres monomios, es decir, un polinomio con tres términos que no puede simplificarse más. Ejemplos de trinomios 1.
con , ,
variables;
2.
con , ,
variables;
3.
con y
,
,
variable, las constantes
son enteros positivos
constantes arbitrarias.
Trinomio cuadrado perfecto Surge de elevar al cuadrado un binomio: Resulta un trinomio con 2 términos "cuadráticos" y un término "rectangular", enlazados con una visión geométrica de las áreas de un cuadrado y de rectángulo. Visualización de la fórmula para un sonzo al cuadrado y para su trinomio cuadrado perfecto Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar a cuadrado un binomio. Todo trinomio de la forma: es un trinomio cuadrado perfecto ya que
Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones presentadas: 1. El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable. 2. Dos de los términos son cuadrados perfectos. 3. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás. 4. El primer y tercer término deben de tener el mismo signo 5. En resumen: Se saca la raíz cuadrada del primer y tercer termino
Un trinomio cuadrático general de la forma discriminante es cero, es decir, que la cantidad
es un TCP si se cumple que el es siempre igual a . También
se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma: mismas reglas explicadas anteriormente aplican.
, donde las
Trinomio de segundo grado en una variable Al igualar a cero se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ya lo habían resuelto los babilonios usando tablas de cuadrados y otros cálculos.[ Como una función representa en la geometría analítica, la ecuación de una parábola, y ésta tiene aplicaciones en la física, al describir la trayectoria de un móvil lanzado; como también en el diseño de los faros de un auto. El cálculo del área subtendida por un sector parabólico, fue realizado en época anterior a la era actual. Dicho esfuerzo son los inicios del cálculo integral, luego retomado por Fermat Newton y Leibnitz, en la época moderna. Ejemplos Sea:
Ordenando según las normas del álgebra, de mayor a menor grado de , resulta que:
Y podemos darnos cuenta de:
Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:
Sea:
Ordenando respecto a la variable de mayor potencia ( ) tenemos:
Ecuaciones matemรกticas