O Mundo Quantificado da Engenharia

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1. O Mundo Quantificado da Engenharia Desde os primórdios os seres humanos viram a necessidade de padrões de comparação para poder descrever, comparar e avaliar melhor as coisas do mundo que os rodeava. Eles precisavam comunicar aos seus semelhantes, qual a direção e a distância até o próximo rio, quanta carne de peixe poderia pescar, quanto milho uma pessoa podia carregar, e assim sucessivamente. Quantas maçãs equivalem a uma galinha? O que e quanto do que você quer pelo seu cavalo? Você pode ver: Quanto?

Quanta? Quantas? Quantos? O que?

Hoje em dia a coisa parece muito óbvia, porém no começo não foi tão simples assim. Como definir valor material? O que vale mais do que o quê? Quanto vale uma tonelada de barras de ouro para um astronauta com problemas intestinais em rumo a Marte1?

Para poder estabelecer “o quanto” precisamos de um sistema de numeração que possa ser usado para definir diferentes quantidades. Então, nada poderia ser quantificado sem um sistema de numeração. Criados os sistemas de numeração, precisam-se definir os critérios de valor. Esses critérios são arbitrários e variam de sociedade para sociedade. Algumas sociedades dão valor ao ouro, e baseiam as suas reservas de “valor” armazenando grandes quantidades desse metal, que possui algumas características físicas que o tornam duradouro. Mas imaginem que uma pessoa compre todo o ouro do mundo e que depois ninguém queira mais esse elemento, e o dono não consiga mais vender para ninguém, porque ninguém mais dá valor a esse metal?

Assim, para o bem de todos, foram padronizados os elementos necessários e os valores considerados comuns para poder comunicar-se mais eficientemente e para poder efetuar trocas comerciais mais justas. O que vale mais que o que, é definido em função da abundância ou escassez, na facilidade ou dificuldade da sua obtenção, na sua duração sem transformação ou em alguma característica física que o torne desejável. Foi então criada a moeda como unidade de troca padrão, e assim como as melancias se acomodam no andar da carruagem, as coisas materiais começaram ter o seu valor definido em função da oferta e da procura. Na comunicação e organização da

1

Em ambiente de gravidade zero, uma barra de ouro não serve nem para segurar a porta do banheiro.

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vida das pessoas, foram criadas outras unidades. Por exemplo, para definir distâncias e comprimentos se usou como unidade o tamanho do pé, do polegar ou de parte do braço. Para definir o tempo, usaram-se os intervalos entre dia e noite e as variações da posição relativa do sol em relação ao horizonte, assim como as diferenças dos seus ângulos durante a troca de estações.

Para poder definir “o quanto” se precisa medir. Medir2 significa comparar com um padrão. Depois do desenvolvimento dos sistemas de numeração, da padronização de algumas unidades de medida, a matemática moderna junto às leis da física, observou-se a necessidade de estabelecer novos padrões de unidades para descrever fenômenos físicos que usualmente eram descritos de forma qualitativa, como é o caso da temperatura ambiente, que podia ser quente ou fria, o nível de iluminação que podia estar claro ou escuro, do vento que podia estar forte ou fraco e assim sucessivamente.

Com os princípios da matemática e da física fortemente embasados, é que começou a haver uma quantificação mais exata e detalhada dos materiais e fenômenos físicos.

O trabalho dos engenheiros requer de boas e exatas estimativas de quantificação dos recursos naturais e dos fenômenos físicos, e toda a nossa civilização está baseada nessa tarefa de quantificação que visa a otimização da utilização dos recursos e do aumento de valor.

Os engenheiros projetistas nas suas análises precisam avaliar grandezas tais como: propriedades físicas, químicas e geométricas de forma a estabelecer ou verificar as especificações de engenharia dos seus projetos, assim como também para estabelecer a viabilidade econômica dos mesmos.

Os engenheiros trabalham em um mundo de dados técnicos que geralmente consiste em medições de várias quantidades físicas, tais como: voltagem, tensão mecânica, velocidade, viscosidade, freqüência, vazão e muitas outras.

Podemos definir cinco categorias principais relacionadas com as medições: 1. Avaliação de desempenho: consiste em efetuar medições das variáveis físicas para ter certeza que o sistema está funcionando apropriadamente.

2. Controle de processos: consiste em operações de realimentação na qual uma medida é usada para manter o processo dentro de condições específicas de operação. Por exemplo, pela monitoração contínua da temperatura do ar, os termostatos sinalizam ao aparelho de ar-condicionado se deve desligar ou permanecer ligado para manter uma condição confortável no cômodo.

3. Contagem: consiste em manter um registro do uso ou vazão de uma determinada quantidade, por exemplo, a energia elétrica ou a vazão de água do consumo da sua residência.

2

Medir: do latim metire.

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4. Pesquisa: consiste em investigar fenômenos científicos fundamentais. Na pesquisa de engenharia são conduzidos experimentos e medições para sustentar hipóteses teóricas. Por exemplo, pode ser usado um sensor miniatura para medir o fluxo de sangue nas artérias e permitir aos engenheiros biomédicos de poder desenvolver modelos de fluxo para o coração humano.

5. Projeto: consiste em testar novos produtos e processos com objetivo de verificar a sua funcionalidade. Por exemplo, se um engenheiro projeta um novo tipo de material isolante acústico para reduzir o ruído de aviões comerciais, ele ou ela devem conduzir algum tipo de teste acústico para assegurar que o novo material funciona apropriadamente para a aplicação pretendida.

Os testes sempre dão a “última palavra” no projeto de engenharia. Rara vez os engenheiros projetam um produto ou processo sem testá-lo (medi-lo) antes de fabricá-lo ou colocá-lo no mercado.

As medições constituem a “espinha dorsal” da ciência e da engenharia porque a descrição do mundo físico é impossível sem elas. Imagine tentar caracterizar a operação de um disco rígido de um computador sem efetuar qualquer medição que mostre dados de tensão, corrente e velocidade de giro. A medição de engenharia é o ato de usar instrumentos para determinar o valor numérico de uma quantidade física. Por exemplo, podemos usar uma balança (instrumento) para medir a massa (quantidade física) de uma pessoa que pode ter 80 kg. Pode ser usado um termômetro (instrumento) para determinar a temperatura (quantidade física) do ar, que pode ser de 25 ºC.

1.1.

As Dimensões No contexto da Engenharia, dimensão é uma variável física usada para

descrever ou especificar a natureza de uma quantidade mensurável. Por exemplo, uma xícara de café pode ter dimensões geométricas (volume, altura, diâmetro), térmicas (temperatura), mecânicas (viscosidade), etc., que podem ser descritas de forma quantitativa. As características qualitativas de um objeto normalmente não são consideradas “dimensões”. A pressão de uma caldeira, a geometria da mesma, assim como a velocidade de um automóvel, o espaço que ele percorre num determinado intervalo de tempo são exemplos de dimensões. Qualquer variável que os engenheiros usam para especificar uma quantidade física, é em geral, a dimensão de uma quantidade física. Os engenheiros sempre usam dimensões no seu trabalho analítico e experimental.

A especificação de uma dimensão consta de duas informações: o valor numérico da dimensão, e a unidade de comparação. Qualquer dimensão que omita uma dessas duas informações, não é útil para o Engenheiro. Se for especificado um vaso de pressão para armazenar 500, o engenheiro questionará: 500 que? Litros? kPa? melancias?

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Hoje em dia as dimensões são padronizadas e classificadas em dimensões de base e dimensões derivadas. Uma dimensão de base não pode ser subdividida em outras dimensões de base, e por isso usualmente são chamadas de dimensões fundamentais de uma quantidade física. Foram definidas sete unidades de base formalmente definidas para o seu uso na ciência e na engenharia: 1. Comprimento [L] 2. Massa [M] 3. Tempo [t] 4. Temperatura [T] 5. Corrente Elétrica [I] 6. Quantidade de Substância [N] 7. Intensidade Luminosa [i] As dimensões derivadas são obtidas a partir das dimensões fundamentais. Por exemplo, a área é o comprimento ao quadrado; a velocidade é comprimento dividido pelo tempo; etc. A Tabela 1-1 mostra exemplos de algumas dimensões derivadas.

Tabela 1-1 – Exemplos de dimensões derivadas.

Grandeza Física (dimensão)

Nome da variável

Dimensão

Área

A

[L]2

Volume

V

[L]3

Velocidade

v

[L].[t]-1

Aceleração

a

[L].[t]-2

Densidade de massa

[M].[L]-3

Força

F

[M].[L].[t]-2

Pressão

P

[M].[t]-2

Estresse mecânico

[M].[t]-2

Energia

E

[M].[L]2.[t]-2

Trabalho

W

[M].[L]2.[t]-2

Potência

P

[M].[L]2.[t]-3

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Fluxo de massa

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Calor específico

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Viscosidade dinâmica

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[M].[t]-1 [L]2.[t]-2.[T]-1 [M].[L]-1.[t]-1

Tensão elétrica

V

[M].[L]2.[t]-3.[I]-1

Resistência elétrica

R

[M].[L]2.[t]-3.[I]-2

As letras entre colocadas entre colchetes são as dimensões de base e os expoentes e pontos indicam o tipo de relação de acordo como modelo físico correspondente. Esses símbolos são úteis para verificar a consistência das equações.

Todas as relações matemáticas usadas nas ciências e na engenharia devem ser dimensionalmente consistentes, ou dimensionalmente homogêneas. Isto significa que em um modelo matemático de um sistema físico, ambos os lados da equação devem possuir a mesma dimensão.

Os modelos matemáticos dos sistemas físicos são usualmente representados matematicamente por uma equação do tipo: alguma_dimensão = relação_de_outras_dimensões O sinal “=” neste escopo vai além da igualdade numérica da matemática. Ela representa também igualdade na dimensão. Ou seja, não pode se dizer que ter três laranjas é igual a ter três peras, embora o valor numérico seja o mesmo (3), a dimensão (o tipo) é diferente (peras não são laranjas). Observe a seguinte relação de grandezas físicas: Valor_numérico_1 [dimensão_1] = Valor_numérico_2 [dimensão_2] Para que a expressão anterior seja válida, Valor_numérico_1 tem que ser igual a Valor_numérico_2, e a [dimensão_1] tem que ser igual à [dimensão_2].

EXEMPLO A aerodinâmica é a ciência que estuda o comportamento dos corpos em movimento no ar (ou o ar em movimento ao redor do corpo). Deve ser feita uma análise para calcular a distribuição das forças em um desenho de novas pás para um aerogerador, cujos protótipos são mostrados na Figura 1-1.

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Figura 1-1 – Pás de um aerogerador.

Um modelo matemático geral que relaciona a força que o ar em movimento imprime na pá, com a velocidade, densidade de massa e a geometria do sistema é:

1 Ca A 2

Fa

v2

Onde: Fa = força de arrasto Ca = coeficiente de arrasto A = área transversal do corpo da pá = densidade do ar v = velocidade do ar Determinar a dimensão do coeficiente de arrasto, Ca. Solução: A determinação da dimensão do coeficiente de arrasto pode ser encontrada escrevendo a equação na forma dimensional, simplificando os termos que forem necessários até obter a dimensão na forma compacta. Usando as dimensões da Tabela 1-1, podemos escrever:

[ M ] [ L] [t ]

2

C a [ L] 2 [ M ] [ L]

3

[ L] [t ]

1 2

Notar que o fator ½ não possui dimensão, pois é um número constante e não uma variável. Reduzindo a equação tem-se:

[ M ] [ L] [t ]

2

C a [ L] 2 [ M ] [ L]

[ M ] [ L] [t ]

2

C a [ L] [ M ] [t ]

3

[ L] 2 [t ]

2

2

Observar que as dimensões de ambos os lados do sinal de igualdade são idênticos, significando que o coeficiente de arrasto não deve possuir dimensão, para que o modelo seja dimensionalmente consistente. Desta forma, pode se dizer que o

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coeficiente de arrasto é adimensional, ou seja, é uma variável física que possui valor, porém não possui dimensão. Embora possa parecer um pouco estranho, na engenharia existem muitas situações, especialmente na área de fenômenos de transporte. As quantidades adimensionais permitem aos engenheiros de formar relações entre variáveis que possuem a mesma dimensão para revelar certas características dos sistemas que de outra forma podem passar despercebidos. Neste exemplo, o modelo serve para calcular a força que o vento imprime na pá, a uma velocidade definida, para um determinado ângulo de ataque, que pode gerar um torque movimentando o aerogerador.

EXEMPLO A cinemática é a área da engenharia que trata do movimento de partículas e corpos rígidos, sem se preocupar com as forças que agem neles. Deve ser feita uma análise do tempo que leva um bote salva-vidas para cair de uma plataforma de extração de petróleo até a lamina de água.

Figura 1-2 – Bote salva-vidas de queda-livre da Pesbo3.

A trajetória de queda livre de um bote de segurança para fugir de uma plataforma de petróleo em risco de explosão pode ser descrito em função da velocidade inicial de escape, da altura da plataforma, e do tempo através do seguinte modelo:

y

yo

vo t

1 g t2 2

Onde: y = é a trajetória que varia no tempo yo = é a altura da plataforma

3

Pesbo: http://www.pesbo.com/

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vo = é a velocidade inicial de saída t = é o tempo g = é a aceleração gravitacional Verificar se o modelo matemático é dimensionalmente consistente.

Solução: Para verificar se o modelo é dimensionalmente consistente, escrevemos a equação na forma dimensional. A trajetória possui dimensão [L], assim como a altura inicial do bote; a velocidade possui dimensão [L].[t]-1, o tempo possui dimensão [t] e a aceleração gravitacional, [L][t]-2.

[L] = [L] + [L].[t]-1.[t] – [L][t]-2. [t]2 Reduzindo: [L] = [L] + [L] – [L] Observe que o modelo é dimensionalmente correto, pois as dimensões dos dois lados da equação correspondem à dimensão de comprimento [L].

EXEMPLO Alguns modelos matemáticos possuem constantes que não são adimensionais, i.e., possuem dimensões escondidas. Um exemplo é o modelo que relaciona a velocidade do som com a temperatura do ar onde se propaga:

vs

331,4 0,61 T

Onde: vs = é a velocidade do som T = é a temperatura do ar Verificar a consistência dimensional do modelo e das constantes.

Solução: Escrevendo o modelo de forma dimensional tem-se: [L].[t]-1 = [ ] + [ ] . [T] Para que o modelo seja dimensionalmente consistente, é necessário que a constante 331,4 possua dimensão [L][t]-1, e que a constante 0,61 possua dimensão [L][t]-1[T]-1.

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Algumas Definições Gerais Uma quantidade, no sentido geral, é uma propriedade que descreve um

fenômeno, corpo ou substância que pode ser quantificada. Exemplos são: a massa e a carga elétrica.

Uma quantidade, no sentido específico, é uma propriedade que pode ser quantificada ou atribuída que descreve um fenômeno particular, corpo ou substância.

Exemplos são: a massa da Lua e a carga elétrica do elétron Uma unidade é uma quantidade física específica definida e adotada por convenção, através da qual, outras quantidades específicas do mesmo tipo podem ter o seu valor comparado ou expressado. A seguir é mostrado um exemplo.

V quantidade

V quantidade

5

volts

valor numérico unidade

5

V

valor numérico

símbolo da unidadevolt

O valor de uma quantidade física é uma expressão quantitativa de uma quantidade física específica e é representada pelo valor multiplicado pelo o da sua unidade. Desta forma, o valor numérico de uma quantidade física específica depende da unidade na qual está sendo representado.

Por exemplo, o valor da altura da Torre Eiffel é h = 317 metros. Aqui, h é uma quantidade física, o seu valor está expresso em “metros”, o símbolo da unidade é m, e o 317 é o seu valor numérico, quando expressado em metros é 317. Entretanto, se o valor de h for expresso em “pés”, com símbolo ft, o seu valor numérico expressado em ft será 1040.

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Figura 1-3 - A Torre Eiffel.

1.3.

As Unidades Uma unidade é uma magnitude arbitrariamente escolhida para manifestar uma

quantidade de referência para uma determinada dimensão. Por exemplo, a dimensão de massa [M], pode ser expressa em unidades de quilogramas, libras ou toneladas. A dimensão comprimento [L] pode ser expressa em unidades de pés, polegadas, metros, etc. A dimensão temperatura [T] pode ser expressa em unidades de graus Celsius, Fahrenheit ou Kelvin.

Hoje em dia, as unidades das sete grandezas físicas são padronizadas pelo Comité International dês Poids et Mesures, que definem o sistema SI (Système International d’Unités) conhecido por esse nome desde 1960.

Figura 1-4 - Símbolo da Organisation Intergouvernementale de la Convention du Mètre.

O sistema SI é baseado em sete unidades de base para sete quantidades assumidas ser mutuamente independentes. As sete dimensões de base são expressas

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em termos de unidades SI que estão baseadas em padrões físicos bem definidos. Esses padrões são definidos de tal forma que qualquer unidade SI, com exceção da unidade de massa, podem ser reproduzidos em qualquer laboratório que tenha o equipamento adequado para isto. Os padrões estão baseados em constantes da natureza e nos atributos físicos da matéria e energia. A seguir serão definidas as sete unidades fundamentais que estão mostradas na Tabela 1-2.

Tabela 1-2 – Dimensões fundamentais e as suas unidades no SI. Quantidade Base

Unidade de Base SI

Nome

Símbolo

Nome

Símbolo

Comprimento

l, x, r, etc.

metro

m

Massa

m

quilograma

kg

Tempo, duração

t

segundo

s

Corrente elétrica

I, i

ampère

A

kelvin

K

Temperatura termodinâmica T Quantidade de substância

N

mole

mol

Intensidade luminosa

Iv

candela

cd

1.3.1.

Uma Breve História do SI A criação do Sistema Métrico no tempo da Revolução Francesa e a subseqüente

disposição de dois padrões de platina representando o metro e o quilograma, em 22 de junho de 1799 no Archives de la Republique em Paris, podem ser entendidos como o primeiro passo no desenvolvimento do Sistema Internacional de Unidades.

Em 1832, Gauss promoveu fortemente a aplicação deste Sistema Métrico, junto a outro sistema definido na astronomia, como um sistema coerente de unidades para as ciências físicas. Gauss foi o primeiro a efetuar medidas absolutas da força magnética terrestre em termos de um sistema decimal baseado nas três unidades mecânicas: o milímetro, o grama e o segundo, para representar as quantidades de comprimento, massa e tempo. Nos últimos anos, Gauss e Weber estenderam as suas medições para incluir o fenômeno da eletricidade.

Essas

aplicações

no

campo

da

eletricidade

e

do

magnetismo

foram

posteriormente mais desenvolvidas na década de 1860 sob a liderança ativa de Maxwell e Thomson na British Association for the Advancement of Science (BAAS). Eles

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formularam os requisitos para um sistema coerente de unidades com unidades de base e unidades derivadas. Em 1874, a BAAS introduziu o sistema CGS, um sistema de unidades tridimensional coerente baseado em três unidades mecânicas: o centímetro, o grama e o segundo, usando prefixos que iam do micro até o mega para expressar múltiplos e submúltiplos decimais. O subseqüente desenvolvimento da física como ciência experimental foi amplamente baseado neste sistema.

Os tamanhos das unidades coerentes do sistema CGS no campo da eletricidade e do magnetismo, provaram não ser muito convenientes, e na década de 1880, o BAAS e o International Electrotechnical Commission (IEC), aprovaram um coerente conjunto de unidades práticas. Além daquelas já existentes, foram adicionados o ohm para a resistência elétrica, o volt para a força eletromotriz, e o ampère para a corrente elétrica.

Depois do estabelecimento da Convenção do Metro em 20 de maio de 1875, a CIOM concentrou-se na construção de um novo protótipo tomando o metro e o quilograma como unidades de base para o comprimento e a massa. Em 1889 o 1º CGPM sancionou os protótipos internacionais para o metro e o quilograma. Ambos, junto com o segundo como unidade de tempo, essas unidades constituíram um sistema constituíram um sistema mecânico tridimensional de unidades similar ao sistema CGS, mas com as unidades de base sendo o metro, o quilograma e o segundo.

Em 1901, Giorgi mostrou que é possível combinar as unidades mecânicas do sistema metro-quilograma-segundo com as unidades práticas elétricas para formar um único e coerente sistema de unidades tetradimensional, pela adição de uma quarta unidade de natureza elétrica, tal como o ampère, ou ohm, e reescreveu as equações do eletromagnetismo na forma denominada de “racional”. A proposta de Giorgi abriu o caminho para um grande número de novos desenvolvimentos na área.

Depois da revisão da Convenção do Metro pelo 6º GGPM em 1921, que estendeu o seu escopo e responsabilidades do BIPM para outras áreas da física, e a subseqüente criação do CCE (hoje CCEM) pelo 7º CGPM em 1927, a proposta de Giorgi foi fortemente discutida pelo IEC, a IUPAP e outras organizações internacionais. Isto levou ao CCE a recomendar, em 1939, a adoção de um sistema tetradimensional baseado no metro, quilograma, segundo e ampère. A proposta foi aprovada pelo CIPM em 1946.

Depois de uma enquête internacional promovida pelo BIPM, que começou em 1948, o 10º CGPM em 1954, aprovou a introdução do ampère, o kelvin e a candela como unidades de base para a corrente elétrica, temperatura termodinâmica e intensidade luminosa, respectivamente. O nome Sistema Internacional de Unidades (SI) foi dado a sistema pelo 11º CGPM em 1960. No 14º CGPM em 1971 foi adicionado o

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mole como unidade para a quantidade de substância, elevando o número total de unidades de base para sete.

1.3.2.

Unidade de Comprimento – O metro As origens do metro se remontam ao século XVIII. Nesta época existiam dois

métodos concorrentes para a definição do padrão da unidade de comprimento. Alguns sugeriam a definição do metro como o comprimento de um pêndulo que oscilasse com período da metade de um segundo; outros sugeriram a definição do metro como sendo a dez milionésima parte do comprimento do meridiano terrestre sobre um quadrante (um quarto da circunferência terrestre). Em 1791, pouco depois da Revolução Francesa, a Academia Francesa de Ciências escolheu a definição do meridiano porque a força da gravidade varia levemente para cada ponto do planeta afetando o período do pêndulo.

Assim, o metro foi definido como sendo igual a 10-7, ou a dez milionésima parte do comprimento do meridiano que passa por Paris, do pólo até o equador. Desta forma, o primeiro protótipo construído era 0,2 milímetros mais curto devido que os pesquisadores esqueceram de levar em consideração o achatamento da Terra devido à sua rotação. Mesmo assim, esse comprimento virou um padrão. A Figura 1-5 representa a manufatura do padrão físico da primeira definição do metro.

Em 1889 foi feito um novo protótipo de uma liga de platina com 10 por cento de irídio, cuja dimensão ficou dentro da faixa de 0,0001, que foi medido na temperatura do ponto de fusão da gelo. Em 1927, o metro foi mais precisamente definido com a distância, a 0o, entre os eixos de duas linhas centrais marcadas na barra de platinairídio armazenada no BIPM4, e declarado Protótipo do metro pelo 1º CGPM5. A barra está à pressão atmosférica padrão e segurada por dois cilindros de pelo menos um centímetro de diâmetro, simetricamente colocados no mesmo plano horizontal a uma distância de 571 mm um do outro.

BIPM: Bureau International des Poids et Measures. O BIPM, localizado nos arredores de Paris, possui a tarefa de assegurar a unificação internacional das medidas físicas. Funciona como instituto internacional de metrologia e opera sob supervisão exclusiva do CIPM. O CIPM (Comité International des Poids et Mesures) funciona sob a autoridade do CGPM. Ele sugere modificações no SI ao CGPM para a sua adoção formal. O CIPM também possui autoridade própria para esclarecer as resoluções e fazer recomendações a respeito do SI. 5 CGPM: Conférence Générale des Poids et Mearures. O CGPM é a principal organização internacional responsável pelo SI, representando mais de 50 países. Ela foi responsável por assegurar que o SI seja amplamente disseminado e modificado quando necessário, para refletir os últimos avanços na ciência e na tecnologia.

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Figura 1-5 – Gravura da solidificação da liga de platina-irídio chamada “Liga 1874”.

A definição do metro de 1889, baseado no artefato de platina-irídio, foi substituída no CGPM em 1960 usando uma definição baseada no comprimento de onda da radiação do criptônio-86. Esta definição foi adotada com o objetivo de reduzir a incerteza com a qual o metro deve ser realizado. Em 1983, com o mesmo objetivo, o CGPM substituiu a definição de 1960 pela seguinte: O metro é comprimento do caminho percorrido pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo.

Note que o efeito desta definição é a fixar a velocidade da luz no vácuo a exatamente 299 792 458 m·s-1. O protótipo original do metro que foi sancionado no 1º CGPM em 1889, ainda está armazenado no BIPM nas mesmas condições especificadas naquele ano.

1.3.3.

Unidade de Massa No final do século XVIII um quilograma era a massa de um decímetro cúbico de

água. Em 1889, o 1º CGPM sancionou o protótipo internacional do quilograma feito de platina-irídio, mostrado na Figura 1-6 que ainda está armazenado no BIPM e que se encontra nas mesmas condições de 1889.

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Figura 1-6 – Padrão internacional de massa definido em 1889.

A 3ª CGPM em 1901, em uma declaração com objetivo de dar um fim à ambigüidade popular a respeito da palavra “peso” declarou que: O quilograma é a unidade de massa; e é igual à massa do protótipo internacional do quilograma.

A mesma conferência declarou também que: 1. A palavra “peso” denota uma quantidade da mesma natureza que a “força”: o peso de um corpo é o produto da sua massa pela aceleração devido à gravidade; em particular, o peso padronizado de um corpo é o produto da sua massa pelo padrão de aceleração devido à gravidade.

2. O valor adotado pelo International Service of Weights and Measures para o valor padrão da aceleração devido à gravidade é 980,665 cm/s2, valor já declarado nas leis de alguns países.

1.3.4.

Unidade de Tempo A unidade de tempo, o segundo, foi definido originalmente como sendo a fração

de 1/86400 do dia solar médio. A definição exata do “dia solar médio” estava baseada em teorias astronômicas. Entretanto, medidas mostraram que as variações na rotação da Terra não foram levadas pela teoria e elas têm efeito indesejável que impossibilita alcançar a exatidão requerida. Com objetivo de definir a unidade de tempo de forma mais precisa, o 11º CGPM em 1960, adotou a definição dada pela International

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E

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Astronomical Union que era baseada no ano tropical. Nessa época, alguns trabalhos experimentais já mostravam que poderia ser utilizado um padrão de intervalos de tempo atômico, baseado na transição entre dois estados de energia em um átomo ou molécula, que pudesse ser implementado e reproduzido de forma mais precisa.

Considerando que a definição muito precisa da unidade de tempo era indispensável para o Sistema Internacional, o 13º CGPM de 1967 decidiu substituir a definição do segundo pela seguinte: O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois estados hiperfinos 6 do estado base do átomo de césio 133.

Na reunião de 1997, a CIPM afirmou ainda que: Esta definição se refere ao átomo de césio à temperatura de 0 K. Esta nota foi colocada como o objetivo de esclarecer que a definição do segundo do SI é baseada no átomo de césio não perturbado pela radiação do corpo negro, i.e., em um ambiente cuja temperatura termodinâmica é igual a 0 K. As freqüências de todos os padrões principais de freqüência devem ser corrigidas para contornar o deslocamento devido à radiação ambiente.

1.3.5.

Unidade de Temperatura Termodinâmica A definição da unidade termodinâmica de temperatura foi dada pelo 10º CGPM

em 1954, que selecionou o ponto triplo da água como ponto fixo fundamental e atribuiu essa a temperatura de 273,16 K, definindo desta forma a unidade. O 13º CGPM em 1967 adotou o nome kelvin (símbolo K) no lugar de “grau Kelvin” (símbolo ºK) e definiu a unidade termodinâmica de temperatura como segue: O kelvin, unidade termodinâmica de temperatura, é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água.

Assim, fica definida a temperatura do ponto triplo da água em 273,16 kelvin.

Devido à forma em que foram definidas as escalas de temperatura, ainda permanece comum expressar a temperatura termodinâmica de temperatura (símbolo T) em termos da sua diferença da temperatura de referência To = 273,15 K, o ponto do gelo. Esta diferença de temperatura é chamada temperatura Celsius (símbolo t) e é definida pela equação: Na física atômica, uma estrutura hiperfina é uma pequena perturbação nos níveis de energia (ou espectro) de átomos ou moléculas devido à interações entre dipolos magnéticos resultantes da interação dos momentos magnético snuclerares com o campo magnético do elétron.

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t = T- To A unidade de temperatura Celsius é o grau Celsius, símbolo °C, que por definição é igual em magnitude ao kelvin. A diferença ou intervalo de temperatura pode ser expresso em kelvins ou em graus Celsius (13º CGPM, 1967). O valor numérico da temperatura Celsius t expressado em graus Celsius é dado por: t/°C = T/K – 273,15 O kelvin e o grau Celsius são ambas as unidades da Escala Internacional de Temperatura de 1990 (ITS-90) adotadas pelo CIPM em 1989.

Na reunião de 2005, o CIPM afirmou que: A definição se refere à água tendo composição isotrópica definida exatamente pela seguinte quantidade de substância: 0,00015576 mole de 2H por mole de 1H, 0,0003799 mole de

1.3.6.

17O

por mole de

16O,

e 0.0020052 mole de

18O

por mole de

16O.

Unidade de Corrente Elétrica As unidades elétricas “internacionais”, para a corrente e a resistência, foram

apresentadas pelo International Electrical Congress em Chicago em 1893, sendo que as definições do “ampère internacional” e o “ohm internacional” foram confirmadas pela International Conference of London em 1908 Embora sendo óbvio na ocasião do 8º CGPM (1933) que existia um unânime desejo de substituir essas “unidades internacionais” pelas chamadas unidades “absolutas”, a decisão oficial para aboli-las somente foi tomada no 9º CGPM (1948), que adotou o ampère com unidade de corrente elétrica, seguindo a definição proposta pelo CIPM em 1946: O ampère é uma corrente constante que se mantidos em dois condutores retos paralelos de comprimento infinito, de desprezível seção reta circular, e separados 1 metro um do outro no vácuo, deve produzir entre os dois condutores uma força igual a 2 x 10-7 newton por metro de comprimento.

Isto deriva em que a constante magnética permeabilidade do espaço livre, é exatamente 4 4

0,

também conhecida como a

x 10–7 henry por metro, ou seja

x 10–7 H/m.

Luis Fernando Espinosa Cocian

0

=

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1.3.7.

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E

N

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Unidade de Quantidade de Substância Após a descoberta das leis fundamentais da química, foram criadas unidades

chamadas “átomo-grama” e “molécula-grama”, usadas para especificar quantidades de elementos químicos ou compostos. Essas unidades tinham relação direta com os “pesos atômicos” e “pesos moleculares” que eram de fato, massas relativas. Os “pesos atômicos” eram referenciados com o peso atômico do oxigênio, assumido como 16.

Mas, enquanto os físicos separavam isótopos no espectrômetro de massa e atribuíam o valor 16 para um dos isótopos do oxigênio, os químicos atribuíam os valores 16, 17 e 18, o que para eles era a ocorrência natural do elemento oxigênio.

Finalmente, um acordo entre a IUPAP7 e a IUPAC8 deu fim a esta dualidade em 1960. Os físicos e químicos sempre concordaram em atribuir o valor 12 ao então chamado “peso atômico” do isótopo de carbono com número de massa igual a 12 Ar(12C). A escala unificada então obtida fornece valores de massa atômica relativa.

Então, foi definida a unidade de quantidade de substância fixando a massa correspondente do carbono 12. Por acordo internacional, essa massa foi fixada em 0,012 kg e à unidade da quantidade “quantidade de substância” foi dado o nome de mole (símbolo mol).

Seguindo as propostas da IUPAP, IUPAC e da ISO 9, o CIPM de 1969 deu e confirmou a definição do mole, eventualmente adotada pelo 14º CGPM em 1971.

O mole é a quantidade de substância de um sistema que contém tantas entidades elementares quanto há átomos em 0,012 quilogramas de carbono 12; o seu símbolo é o “mol”.

E ainda: Quando o mole é usado, as entidades elementares devem ser especificadas e podem ser átomos, moléculas, íons, elétrons, outras partículas ou grupos específicos de partículas.

Na reunião de 1980, o CIPM aprovou especificou que na definição da quantidade de substância, é entendido que a referência é com relação a átomos de carbono 12 não ligados, em repouso, em seu estado estacionário.

A definição do mole também determina o valor da constante universal que relaciona o número de entidades com a quantidade de substância pra qualquer IUPAP: International Union of Pure and Applied Physics (http://www.iupap.org/).

IUPAC: International Union of Pure and Applied Chemistry (http://www.iupac.org/).

9 ISO: International Organization for Standardization.

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amostra. Esta constante é chamada constante de Avogadro, símbolo NA ou L. Se N(X) representa o número de entidades X em uma amostra específica, e se n(X) representa a quantidade de substância de entidades X na mesma amostra, a relação é: n(X) = N(X)/NA Desde que N(X) é adimensional e n(X) possui a unidade SI mole, a constante de Avogadro possui a unidade do recíproco do mole (mol-1).

No nome “quantidade de substância”, as palavras “de substância” podem ser substituídas

por

simplicidade

pelas

palavras

que

especificam

a

substância

correspondente a qualquer aplicação particular, de forma que se possa falar, por exemplo, em “quantidade de cloreto de hidrogênio, HCl” ou “quantidade de benzeno, C6H6”. É importante sempre fornecer a especificação precisa da entidade envolvida. Isto deve ser feito preferivelmente dando a fórmula química empírica do material envolvido.

Embora a palavra “quantidade” possuir uma definição ainda mais geral no dicionário, a abreviação de “quantidade de substância” pode ser usada para simplificar. Isto também se aplica às quantidades derivadas tais como “quantidade de concentração de substância”, que pode simplesmente ser dita com “quantidade de concentração”.

1.3.8.

Unidade de Intensidade Luminosa Originalmente, cada país possuía a sua própria definição de intensidade

luminosa e essas eram dificilmente reproduzidas; foi necessário esperar até 1909 para conseguir a unificação no nível internacional, quando os laboratórios dos EUA, Francia e Inglaterra decidiram adotar a vela internacional representada pela iluminação de lâmpadas de filamento de carbono.

Na Alemanha, ao mesmo tempo, era estabelecida a vela Hefner, definida por um padrão de chama, e igual a nove décimos da vela internacional. Os padrões baseados em lâmpadas incandescentes dependem da sua estabilidade e por isso nunca foram satisfatórios. Por outro lado, as propriedades do corpo negro 10 forneciam uma solução teórica perfeita e, em 1933, foi adotado o princípio de que as novas unidades fotométricas deveriam ser baseadas na emissão luminosa do corpo negro na temperatura de congelamento da platina (2045 K).

Na física, um corpo negro é um objeto que absorve toda a luz que chega a ele. Nenhuma radiação eletromagnética passa através dele e nem é refletida. Desde que nenhuma luz é refletida ou transmitida, o objeto parece negro quando frio. Se o corpo negro estiver quente, essas propriedades fazem dele uma fonte ideal de radiação térmica.

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As unidades de intensidade luminosa baseadas em padrões de chamas ou de filamentos incandescentes, em uso em vários países antes de 1948, foram substituídos inicialmente pela “nova candela” baseada na luminância de um radiador de Planck (corpo negro) na temperatura de congelamento de platina.

Esta modificação foi preparada pela CIE11 e pelo CIPM antes de 1937, e foi promulgada pelo CIPM em 1946. Ela foi ratificada em 1948 pelo 9º CGPM que adotou um novo nome para esta unidade, a candela (símbolo cd); em 1967 o 13º CGPM fez uma emenda na definição de 1946.

Em 1979, devido a dificuldades experimentais na realização de um radiador de Planck em alta temperatura e as novas possibilidades oferecidas pela radiometria, i.e., a medição de energia da radiação óptica, o 16º CGPM (1979) adotou uma nova definição para a candela: A candela é a intensidade luminosa, em uma dada direção, de uma fonte que emite radiação monocromática com freqüência de 540 x 1012 hertz e que possui

uma

intensidade

radiante

nessa

direção

de

1/683

watt

por

esferorradiano.

Da definição anterior deriva que a eficácia do espectro luminoso para a radiação de freqüência de 540 x 1012 hertz é exatamente 683 lumens por watt, K = 683 lm/W = 683 cd.sr/W.

1.4.

Unidades Derivadas As unidades derivadas são produtos das unidades de base. As unidades

derivadas são produtos das unidades base que não incluem nenhum fator numérico além de 1. As unidades bases e derivadas, forma um conjunto coerente de unidades.

1.4.1.

Base

Unidades Derivadas em Termos de Unidades de

O número de quantidades na ciência não possui limites e não é possível fornecer uma lista completa das quantidades derivadas. A Tabela 1-3 mostra alguns exemplos de quantidades derivadas e as suas correspondentes unidades derivadas expressadas diretamente em termos de unidades de base.

Tabela 1-3 – Exemplos de unidades derivadas coerentes expressadas em termos das suas unidades básicas.

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CIE: International Commission on Illumination.

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Quantidade derivada

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Unidade derivada coerente SI

Nome

Símbolo

Nome

Símbolo

Área

A

metro quadrado

M2

Volume

V

metro cúbico

M3

Velocidade

metro por segundo

m/s m/s2

Aceleração

a

metro por segundo ao quadrado

Número de onda

,

recíproco do metro

Densidade, densidade de massa Densidade superficial

A

M–1

quilograma por metro cúbico

kg/m3

quilograma por metro quadrado

kg/m2

Volume específico

v

metro cúbico por quilograma

m3/kg

Densidade de corrente

j

ampère por metro quadrado

A/m2

Campo magnético

H

ampère por metro

A/m

concentração

c

mole por metro cúbico

Concentração de massa

,

quilograma por metro cúbico

kg/m3

Luminância

Lv

candela por metro quadrado

cd/m2

N

um

1

r

um

1

Quantidade de concentração

Índice de refração

(a),

(b)

Permeabilidade relativa

(b)

mol/m3

Notas: (a) No campo da química clínica esta quantidade é também chamada de concentração de substância. (b) Essas são quantidades adimensionais, ou quantidades de dimensão “um”, e o símbolo “1” é geralmente omitido na especificação dos valores das quantidades adimensionais.

1.4.2.

Unidades com Nomes Especiais Por conveniência, certas unidades derivadas coerentes receberam nomes e

símbolos especiais. Existem vinte e duas unidades com nomes especiais (ver Tabela 1-4). Esses nome e símbolos especiais podem ser usados em combinação com os nomes e símbolos das unidades de base e outras derivadas para expressar as unidades de outras quantidades derivadas.

Os nomes e símbolos especiais é simplesmente uma forma compacta para a expressão de combinações de unidades de base que são usadas frequentemente, e em muitos casos elas também servem para que o leitor lembre as quantidades envolvidas.

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A

Os prefixos SI podem ser usados com qualquer nome e símbolos especiais, porém quando isto é feito a unidade resultante não será mais coerente.

Os valores de varias quantidades diferentes podem ser expressos usando o mesmo nome e símbolo das unidades SI. Assim, para a quantidade capacidade de calor assim como para a quantidade entropia, a unidade SI é o joule por kelvin.

Analogamente para a quantidade de base corrente elétrica, assim como para a quantidade derivada força magneto motriz, a unidade SI é o ampère.

Uma unidade derivada pode frequentemente ser expressa em várias formas pela combinação das unidades de base com unidades derivadas que possuem nomes especiais. O joule, por exemplo, pode ser escrito “newton metro”, ou “quilograma metro quadrado por segundo quadrado”. Isto, entretanto, é uma liberdade algébrica a ser governada pelas considerações físicas de senso comum. Em algumas situações algumas formas podem ser mais úteis que outras.

Na prática, com certas quantidades, é dada preferência ao uso de certos nomes de unidades especiais, ou combinação de nomes de unidade, para facilitar a distinção entre diferentes quantidades que tem a mesma dimensão. Quando esta liberdade for usada, deve se lembrar o processo pelo qual a quantidade é definida. Por exemplo, a quantidade torque pode ser lembrada como sendo o produto da força pela distância, sugerindo a unidade “newton metro”, ou ela pode ser pensada como sendo a energia pelo ângulo, sugerindo a unidade joule por radiano.

A unidade SI da freqüência é dada em hertz, que resulta na unidade ciclos por segundo; a unidade SI para a velocidade angular é dada em radianos por segundo; a unidade de atividade é designada em becquerel, que implica em contagens por segundo.

Embora seja formalmente correto escrever todas as três formas dessas unidades como o recíproco do segundo, o uso de diferentes nomes enfatiza a natureza diferente das quantidades concernentes. Usando a unidade radianos por segundo para a velocidade angular, e hertz para a freqüência, enfatiza que o valor numérico da velocidade angular em radianos por segundo é 2 vezes o valor numérico da freqüência correspondente em hertz.

Tabela 1-4 – Unidades derivadas coerentes com nomes e símbolos especiais.

Unidade derivada SI coerente

(a)

Expressado Quantidade derivada

em termos Nome

Símbolo

Expressado em termos de

de unidades unidades SI de base

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rad

1

(b)

m/m

Sr

1

(b)

m2/m2

SI Ângulo plano

radiano

(b)

esferorradiano

Ângulo sólido

(b)

Freqüência

hertz

Força Pressão, estresse

(c)

Hz

s–1

newton

N

m kg s–2

pascal

Pa

N/m2

m–1 kg s–2

joule

J

Nm

m2 kg s–2

watt

W

J/s

m2 kg s–3

coulomb

C

volt

V

W/A

m2 kg s–3 A–1

Capacitância

farad

F

C/V

m–2 kg–1 s4 A2

resistência elétrica

ohm

V/A

m2 kg s–3 A–2

condutância elétrica

siemens

S

A/V

m–2 kg–1 s3 A2

Fluxo magnético

weber

Wb

Vs

m2 kg s–2 A–1

tesla

T

Wb/m2

kg s–2 A–1

henry

H

Wb/A

m2 kg s–2 A–2

Energia, trabalho, quantidade de calor Potência, fluxo radiante

(d)

Carga elétrica, quantidade de

sA

eletricidade Potencial elétrico, diferença de potencial, força eletromotriz

Densidade de fluxo magnético Indutância

Temperatura Celsius grau Celsius

(e)

°C

K

Fluxo luminoso

lúmen

Lm

cd sr

Iluminância

lux

Lx

lm/m2

(c)

Cd m–2 cd

Atividade referenciada a um radionuclídeo

becquerel

(d)

Bq

s–1

(f)

Dose absorvida, energia específica,

gray

Gy

J/kg

m2 s–2

sievert

Sv

J/kg

m2 s–2

kerma dose equivalente, dose ambiental

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E

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A

equivalente, dose direcional equivalente, dose pessoal equivalente Atividade catalítica

katal

Kat

s–1 mol

(a) Os prefixos SI podem ser usados com qualquer nome e símbolo especial, porém quando isto é feito a unidade resultante não será mais coerente. (b) O radiano e o esferorradiano são nomes especiais para com dimensão 1 que podem ser usados para carregar informação sobre a quantidade correspondente. Na prática os símbolos rad e sr são usados somente quando necessário, entretanto o símbolo para a unidade derivada 1 é geralmente omitido na especificação de quantidades adimensionais. (c) Em fotometria, o nome esferorradiano e o símbolo sr são usualmente mantidos nas expressões das unidades. (d) O hertz é usado somente para fenômenos periódicos, e o becquerel é usado somente em processos estocásticos em atividade referida a um radionuclídeo. (e) O grau Celsius é o nome especial para o kelvin usado para expressar a temperatura Celsius. O grau Celsius e o kelvin são iguais em tamanho, i.e., o valor numérico da diferença de temperatura ou intervalo de temperaturas é o mesmo quando expressados em graus Celsius ou kelvins. (f) Atividade referenciada a um radionuclídeo, às vezes incorretamente chamada de radioatividade.

1.5.

Unidades com Nomes e Símbolos especiais A Tabela 1-5 mostra exemplos de unidades derivadas SI cujos nomes e símbolos

incluem unidades derivadas SI com nomes e símbolos especiais.

Tabela 1-5 – Exemplos de unidades derivadas SI cujos nomes e símbolos incluem unidades derivadas SI com nomes e símbolos especiais.

Unidade Derivada SI coerente Expressão em unidades Quantidade derivada

Nome

Símbolo

SI de base

Viscosidade dinâmica

pascal segundo

Pa s

m–1 kg s–1

Momento de força

newton metro

Nm

m2 kg s–2

Tensão superficial

newton por metro

N/m

kg s–2

Velocidade angular

radiano por segundo

rad/s

m m–1 s–1 = s–1

Aceleração angular

radiano por segundo quadrado

rad/s2

m m–1 s–2 = s–2

watt por metro quadrado

W/m2

kg s–3

joule por kelvin

J/K

m2 kg s–2 K–1

Densidade de fluxo de calor, irradiância Capacidade de calor, entropia

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Calor específico, entropia

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N

G

E

N

H

A

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A

joule por quilograma kelvin

J/(kg K)

m2 s–2 K–1

Energia específica

joule por quilograma

J/kg

m2 s–2

Condutividade térmica

watt por metro kelvin

W/(m K)

m kg s–3 K–1

Densidade de energia

joule por metro cúbico

J/m3

m–1 kg s–2

Campo elétrico

volt por metro

V/m

m kg s–3 A–1

C/m3

m–3 s A

coulomb por metro quadrado

C/m2

m–2 s A

coulomb por metro quadrado

C/m2

m–2 s A

Permissividade

farad por metro

F/m

m–3 kg–1 s4 A2

Permeabilidade

henry por metro

H/m

m kg s–2 A–2

Energia molar

joule por mole

J/mol

m2 kg s–2 mol–1

joule por mole kelvin

J/(mol K) m2 kg s–2 K–1 mol–1

Exposição (raios X e )

coulomb por quilograma

C/kg

kg–1 s A

Taxa de dose de absorção

gray por segundo

Gy/s

m2 s–3

Intensidade radiante

watt por esferorradiano

W/sr

m4 m–2 kg s–3 = m2 kg s–3

específica

Densidade de carga elétrica coulomb por metro cúbico Densidade superficial de cargas Densidade de fluxo elétrico, deslocamento elétrico

Entropia molar, capacidade molar de calor

watt por metro quadrado

Radiância

esferorradiano

Concentração de atividade catalítica

katal por metro cúbico

W/(m2 sr) m2 m–2 kg s–3 = kg s–3

kat/m3

m–3 s–1 mol

1.6.

Múltiplos e Submúltiplos Decimais das Unidades SI 1.6.1.

Prefixos SI O 11º CGPM (1960) adotou uma série de nomes e símbolos de prefixo para os

nomes e símbolos dos múltiplos decimais e submúltiplos das unidades SI, variando de 1012 até 10-12. Os prefixos para 10–15 and 10–18 foram adicionados pelo 12º CGPM (1964), para1015 and 1018 pelo 15º CGPM (1975) e para 1021, 1024, 10–21 e 10–24 pelo 19º CGPM (1991). A Tabela 1-6 lista todos os nomes e símbolos aprovados para os prefixos.

Tabela 1-6 – Prefixos SI

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Fator

N

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F

I

C

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Nome Símbolo

D

A

E

N

Fator

G

E

N

H

A

R

I

A

Nome Símbolo

101

deca

da

10–1

deci

d

102

hecto

h

10–2

centi

c

103

kilo

k

10–3

mili

m

106

mega

M

10–6

micro

µ

109

giga

G

10–9

nano

n

1012

tera

T

10–12

pico

p

1015

peta

P

10–15

femto

f

1018

exa

E

10–18

atto

a

1021

zetta

Z

10–21

zepto

z

1024

yotta

Y

10–24

yocto

y

Os símbolos prefixos são impressos no tipo romano, assim como os símbolos, independente do tipo usado no texto que o rodeia, e são colados aos símbolos de unidade sem deixar nenhum espaço entre o símbolo do prefixo e o símbolo da unidade.

Com exceção de da (deca), h(hecto) e k (kilo), todos os símbolos múltiplos são escritos em letras maiúsculas, e os submúltiplos são impressos em letras minúsculas, exceto no início de uma sentença.

O grupo formado pelo símbolo do prefixo colado ao símbolo da unidade constitui um novo e inseparável símbolo de unidade (formando um múltiplo ou submúltiplo da unidade concernente) que pode ser elevado a uma potência positiva ou negativa e pode ser combinado com outros símbolos de unidade para formar símbolos compostos de unidades.

EXEMPLOS (a) 2,3 cm3 = 2,3 (cm)3 = 2,3 (10–2 m)3 = 2,3 x 10–6 m3 (b) 1 cm–1 = 1 (cm)–1 = 1 (10–2 m)–1 = 102 m–1 = 100 m–1 (c) 1 V/cm = (1 V)/(10–2 m) = 102 V/m = 100 V/m (d) 5000 µs–1 = 5000 (µs)–1 = 5000 (10–6 s)–1 = 5 x 109 s–1 Analogamente, os nomes de prefixos são também inseparáveis dos nomes das unidades às quais estão conectados. Assim, por exemplo, o milímetro, micropascal e meganewton são palavras simples. Os símbolos compostos com mais de um prefixo não é permitido. Esta regra também se aplica para os nomes de prefixos. Os símbolos de

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N

G

E

N

H

A

R

I

A

prefixos não podem ficar sozinhos e nem ser colados ao número 1, o símbolo da unidade 1.

EXEMPLOS Errado

Certo

5 MkN

5 GN

3m F

3 nF

9 mkg

9g

Os nomes e símbolos de prefixos são usados com outras unidades não-SI, mas eles nunca são usados com as unidades de tempo: minuto, min; hora, h; dia, d.

Entretanto, os astrônomos usam o miliarcosegundo (mas), e microarcosegundo ( as), para a medida de ângulos extremamente pequenos.

1.6.2.

O Quilograma Dentre todas as unidades de base do Sistema Internacional, o quilograma (kg) é

o único cujo nome e símbolo, por razões históricas, incluem o prefixo. Os nomes e símbolos para os múltiplos e submúltiplos da unidade de massa são formados conectando o nome do prefixo com a unidade chamada “grama”, e o símbolo do prefixo com o símbolo da unidade “g”.

1.7.

Unidades fora do SI O Sistema Internacional de Unidades é um sistema de unidades adotado pelo

CGPM que fornece uma referência aceita internacionalmente. Esse sistema de unidades é o recomendado para a ciência, tecnologia, engenharia e para o comércio.

As unidades SI de base e as unidades derivadas coerentes, incluindo àquelas com nomes especiais, possuem uma importante vantagem que é a de formar um conjunto coerente, e por isso, não requerem da inserção de nenhum valor específico nas equações que relacionam as quantidades.

Desde que o SI é o único sistema de unidades que é globalmente reconhecido, fica a clara vantagem para o estabelecimento de facilidade de diálogo internacional.

Finalmente, ela simplifica o ensino da ciência e da tecnologia para as seguintes gerações, se todos optarem usar esse sistema.

Luis Fernando Espinosa Cocian

O

M

U

N

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Q

U

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N

T

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F

I

C

A

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O

D

A

E

N

G

E

N

H

A

R

I

A

De qualquer forma, sabe se que algumas unidades não-SI ainda aparecem na literatura científica, técnica e comercial, e continuarão a ser usadas por muitos anos.

Algumas unidades não-SI possuem importância histórica e estão tão profundamente arraigadas na história e na cultura da raça humana que continuarão a ser usadas por muito tempo no futuro.

Alguns cientistas têm se dão a liberdade, às vezes, nos seus trabalhos particulares, de usar as unidades não-SI que lhes tragam alguma vantagem específica no seu trabalho. Um exemplo é o uso da unidade CGS Gauss na teoria eletromagnética aplicada à dinâmica quântica e à relatividade. Por essa razão é útil listar algumas das mais importantes unidades não-SI, como é feito a seguir. Entretanto, se essas unidades são usadas, as vantagens do SI são perdidas.

A inclusão das unidades não-SI neste texto não tenta encorajar o uso dessas.

Pelas razões antes citadas, as unidades SI devem ser preferidas. É indesejável também a mistura do uso de unidades não-SI com unidades SI, e isto deve ficar restrito a casos especiais, de forma a não comprometer as vantagens do SI. Finalmente, quando qualquer unidade não-SI for usada, é uma boa prática definir as unidades não-SI em termos da unidade SI correspondente.

1.7.1.

Unidades Não-SI para uso com SI e Unidades baseadas em Constantes Fundamentais A Tabela 1-7 mostra as unidades não-SI que são aceitas para uso com o Sistema Internacional de Unidades, devido ao seu amplo uso com as unidades SI na vida cotidiana. As demais tabelas contêm unidades que devem ser usadas somente em circunstancias muito especiais.

A Tabela 1-7 inclui as unidades tradicionais de tempo e ângulo. Ela também contém o hectare, o litro e a tonelada, que são de uso comum na vida cotidiana e que são usadas no mundo todo, e correspondem a uma unidade coerente do SI em potência de dez. Os prefixos SI são usados para muitas dessas unidades, com exceção das unidades de tempo.

Tabela 1-7 – Unidades não-SI aceitas para uso com unidades SI. Quantidade

Nome da unidade Símbolo da unidade Valor em unidades SI

Tempo

minuto hora dia

(a)

min

1 min = 60 s

h

1 h = 60 min = 3600 s

d

1 d = 24 h = 86 400 s

Luis Fernando Espinosa Cocian

O

M

U

N

D

O

Ângulo plano

Q

U

grau

A

N

T

I

(b,c)

minuto segundo Área

hectare

Volume

litro

Massa

tonelada

(d)

(e)

(f)

F

I

C

A

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D

A

E

N

E

N

H

A

R

I

A

°

1° = ( /180) rad

'

1' = (1/60)° = ( /10 800) rad

''

1'' = (1/60)' = ( /648 000) rad

ha

1 ha = 1 hm2 = 104 m2

L, l

1 L = 1 l = 1 dm3 = 103 cm3 = 10–3 m3

t

(g)

G

1 t = 103 kg

(a) O símbolo desta unidade foi incluído no 9º CGPM (1948). (b) A norma ISO 31 recomenda que o grau seja dividido de forma decimal no lugar de usar o minuto e o segundo. Para a navegação, entretanto, o minuto possui a vantagem de que um minuto de latitude corresponde aproximadamente a uma milha náutica. (c) O grad é um nome alternativo para a unidade de ângulo plano. Definido como sendo igual a ( /200) rad. Assim, há 100 grad em um ângulo reto. O valor potencial do grad na navegação é devido a que a distância entre do pólo ao equador da Terra ser aproximadamente 10 000 km, resulta em que um ângulo de um centigrad é 1 km na superfície. Apesar disso, o grad é raramente usado. (d) Para aplicações em astronomia, os pequenos ângulos são medidos em arcosegundos (i.e., segundos de um ângulo plano), miliarcosegundos, microarcosegundos e picoarcosegundos, simbolizados por mas, µas, e pas, respectivamente, onde o arcosegundos é um nome alternativo para o segundo do ângulo plano. (e) A unidade hectare e o seu símbolo ha, foram adotados pelo CIPM em 1879. O hectare é usado para expressar área de terra. (f) O litro e o seu símbolo l, foram adotados pelo CIPM em 1879. O símbolo alternativo, a letra L maiúscula, foi adotado no 16º CGPM (1979) para evitar o risco de confusão entre a letra l (ele) e o algarismo 1 (um). (g) A tonelada e o seu símbolo t, foram adotados pelo CIPM em 1879. Nos países de fala inglesa esta unidade é usualmente chamada “tonelada métrica”.

As unidades da Tabela 1-8, estão relacionadas com constantes fundamentais e os seus valores têm de ser determinados experimentalmente, e por caso disso possuem uma incerteza associada. Com exceção das unidades astronômicas, todas as outras unidades da Tabela 1-8 estão relacionadas com constantes físicas.

As primeiras três unidades: eletronvolt (eV), dalton (Da), e a unidade de massa atômica (u) e a unidade astronômica (ua), tem o seu uso aceito pelo CIPM. As unidades da Tabela 1-8 jogam um papel importante em vários campos especializados onde os resultados de medições e cálculos são mais convenientes e úteis quando expressos nessas unidades. Para o eletronvolt e o dalton, os valores dependem dos valores da carga elementar e e da constante de Avogadro NA, respectivamente.

Luis Fernando Espinosa Cocian

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R

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A

Existem muitas outras unidades deste tipo, porque existem muitos campos nos quais é mais conveniente expressar os resultados das observações experimentais ou cálculos teóricos em termos de constantes fundamentais da natureza. As duas unidades mais importantes baseadas em constantes da natureza são: o sistema de unidade natural (u.n.) usado em altas energias e na física das partículas e; o sistema unidade atômica (u.a.) usado na física atômica e na química quântica.

Tabela 1-8 – Unidades não-SI cujos valores devem ser obtidos de forma experimental Quantidade

Símbolo da

Nome da unidade

unidade

Valor em unidades SI

(a)

Unidades aceitas para uso com o SI energia

eletronvolt

massa

dalton,

(b)

(c)

Unidade de massa atômica unificada comprimento

Unidades astronômicas

(d)

eV

1 eV = 1.602 176 53 (14) x 10–19 J

Da

1 Da = 1.660 538 86 (28) x 10–27 kg

u

1 u = 1 Da

ua

1 ua = 1.495 978 706 91 (6) x 1011 m

c0

299 792 458 m/s (exato)

Unidades naturais (u.n.) u.n. de velocidade velocidade

(velocidade da luz no vácuo)

ação

massa tempo

u.n. de ação (constante

1.054 571 68 (18) x 10–34 J s

reduzida de Planck) u.n. de massa (massa do elétron) u.n. de tempo

me /(mec02)

9.109 3826 (16) x 10–31 kg 1.288 088 6677 (86) x 10–21 s

Unidades atômicas (u.a.) carga

massa

u.a. de carga (carga elementar) u.a. de massa (massa do elétron)

E

1.602 176 53 (14) x 10–19 C

me

9.109 3826 (16) x 10–31 kg

u.a. de ação ação

(constante reduzida de

1.054 571 68 (18) x 10–34 J s

Planck) comprimento

energia

u.a. de comprimento, bohr (rádio de Bohr) u.a. de energia, hartree (energia Hartree)

a0

0.529 177 2108 (18) x 10–10 m

Eh

4.359 744 17 (75) x 10–18 J

Luis Fernando Espinosa Cocian

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tempo

D

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D

A

u.a. de tempo

E

/Eh

N

G

E

N

H

A

R

I

A

2.418 884 326 505 (16) x 10–17 s

(a) A incerteza padrão são os dois dígitos colocados entre parênteses. (b) O eletronvolt é a energia cinética adquirida por um elétron ao passar através da diferença de potencial de um volt no vácuo. O eletronvolt é comumente combinado com prefixos SI. (c) O dalton (Da) e a unidades unificada de massa atômica (u) são nomes alternativos (e símbolos) para a mesma unidade, igual a 1/12 vezes a massa do átomo livre de carbono 12. O dalton é frequentemente combinado com prefixos SI, por exemplo, para expressar a massa de grandes moléculas em quilodaltons, kDA, ou megadaltons, MDa, ou para expressar pequenos valores de diferença de massa de átomos ou moléculas em nanodaltons, nDa, ou ainda picodaltons, pDa. (d) A unidade astronômica é aproximadamente igual à distância média entre a Terra e o Sol. É o rádio de uma órbita Newtoniana circular não perturbada ao redor do sol de uma partícula com massa infinitesimal, movendo-se com a velocidade angular média de 0.017 202 098 95 radianos por dia (conhecido como constante Gaussiana).

A Tabela 1-9 e a Tabela 1-10 contém unidades tem valores exatamente definidos em termos de unidades SI e são usados em circunstâncias particulares para satisfazer necessidades comerciais, legais ou que são de interesse científico especializado.

Provavelmente essas unidades continuarão sendo usadas por muitos anos. Muitas dessas unidades são importantes para a interpretação de textos científicos antigos.

A Tabela 1-9 também fornece as unidades das quantidades logarítmicas de relações: o neper, bel e o decibel. Essas unidades são adimensionais e são diferentes na sua natureza das outras unidades adimensionais, sendo que alguns cientistas consideram que elas não devam ser chamadas de unidades. Essas unidades são usadas para carregar informação de uma quantidade relacionada com o logaritmo de uma taxa.

O neper, Np, é usado para expressar valores de quantidades cujos valores numéricos estão baseados no logaritmo neperiano (ou natural), ln = loge. O bel e o decibel, B e dB, onde 1 dB = (1/10) B, são usados para expressar

valores de

quantidades cujos valores numéricos estão baseados no logaritmo de base 10. lg = log10.

As formas na quais essas unidades são interpretadas estão descritas nas notas (g) e (h) da Tabela 1-9. Os prefixos SI são usados com duas das unidades da Tabela 1-9, com o bar (por exemplo: milibar, mbar), e com o bel, especificamente para o decibel, dB. O decibel é listado explicitamente na tabela porque o bel é raramente usado sem esse prefixo.

Tabela 1-9 – Outras unidades não-SI Quantidade

Nome da unidade

pressão

bar

(a)

Símbolo da unidade bar

Valor em unidades SI 1 bar = 0.1 MPa = 100 kPa = 105 Pa

Luis Fernando Espinosa Cocian

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F

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C

A

D

milímetro de mercúrio angstrom

distância

Milha náutica

área

barn

A

mmHg

velocidade

nó

taxas logarítmicas

neper

(c) (d)

(f) (g,i)

N

G

E

N

H

A

R

I

A

1 mmHg 133.322 Pa 1 Å = 0.1 nm = 100 pm = 10–10 m

M

1 M = 1852 m 1 b = 100 fm2 = (10–12 cm)2 = 10–28 m2

kn

1 kn = (1852/3600) m/s

Np

[ver a nota (j) sobre o valor do neper,

B

(h,i)

E

Å

b

(e)

decibel

D

(b)

comprimento

bel

O

o bel e o decibel]

dB

(h,i)

(a) Desde 1982 o bar tem sido usado como padrão de pressão na tabulação de todos os dados termodinâmicos. Antes dessa data, a pressão padrão usada era a atmosfera padrão, igual a 1,013 25 bar, ou 101 325 Pa. (b) O milímetro de mercúrio é uma unidade legal para a medição da pressão sangüínea em alguns países. (c) O ångström é amplamente usado na cristalografia de raios-x e na química estrutural devido que todas as ligações químicas estão na faixa de 1 a 3 angstrom. Apesar disso, não houve ratificação oficial do CIPM e nem do CGPM. (d) A milha náutica é uma unidade especial utilizada na navegação aérea e naval para expressar distância. O valor convencional foi adotado pela International Extraordinary Hydrographic Conference, Mônaco 1929, com o nome de “milha náutica internacional”. Ainda não há um símbolo padrão, sendo usados os seguintes símbolos: M, NM, Nm, e nmi. A unidade foi originalmente escolhida, e continua a ser usada, porque uma milha náutica na superfície terrestre resulta aproximadamente em um minuto do ângulo medido a partir do centro da Terra, que é conveniente quando a latitude e longitude são medidas em graus, minutos e segundos de um ângulo. (e) O barn é uma unidade de área utilizada para expressar seção reta na física nuclear. (f) O nó é definido como sendo uma milha náutica por hora. Não existe símbolo padronizado, entretanto normalmente é usado kn. (g) A declaração LA = n Np (onde n é um número) é interpretada como ln(A2/A1) = n. Assim, quando LA = 1 Np, A2/A1 = e. O símbolo A é usado aqui para identificar a amplitude de um sinal senoidal, e LA é então chamado de logaritmo neperiano da taxa de amplitude, ou diferença neperiana do nível de amplitude. (h) A declaração LX = m dB = (m/10) B (onde m é um número) significa que lg(X/X0) = m/10.

Assim, quando LX = 1 B, X/X0 = 10, e quando LX = 1 dB, X/X0 = 101/10. Se X significa o valor médio quadrático de um sinal, ou uma quantidade de potência, LX é chamado nível de potência com relação a X0. (i) No uso dessas unidades é importante que a natureza da quantidade seja especificada, assim como qualquer valor de referência. Essas não são unidades SI, porém têm sido aceitas pelo CIPM

Luis Fernando Espinosa Cocian

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para uso com o SI. (j) Os valores numéricos do neper, bel e decibel, são raramente requeridos. Eles dependem da forma na qual as quantidades logarítmicas forem definidas.

A Tabela 1-10 difere da anterior somente em que as unidades estão relacionadas com o antigo sistema de unidades CGS (centímetro-grama-segundo), incluindo as unidades elétricas. No campo da mecânica, o sistema CGS foi construído sob três quantidades de base: o centímetro, o grama e o segundo. As unidades elétricas CGS foram derivadas dessas três unidades de base, usando equações diferentes as usadas no SI. Devido que isso pode ser feito de formas diferentes, levou ao estabelecimento de vários sistemas diferentes: o CGS-SEU (eletrostática), o CGS-MEU (eletromagnetismo) e o CGS-Gaussiano. Sempre foi reconhecida a conveniência do sistema CGS-Gaussiano, especialmente em certas áreas da física, particularmente na eletrodinâmica clássica e relativística.

A Tabela 1-10 mostra as relações entre as unidades CGS e as correspondentes SI, e listam àquelas unidades CGS que possuem nomes especiais. Com essas unidades também podem ser usados os prefixos SI, por exemplo, milidina, miligauss, mG, etc.

Tabela 1-10 – Unidades não-SI associadas com o antigo sistema CGS de unidades.

Quantidade

Nome da

Símbolo da

unidade

unidade

energia

erg

força

dina

viscosidade dinâmica

poise

viscosidade cinemática

(a) (a)

Valor em unidades SI

erg

1 erg = 10–7 J

dyn

1 dyn = 10–5 N

P

1 P = 1 dyn s cm–2 = 0.1 Pa s

stokes

St

1 St = 1 cm2 s–1 = 10–4 m2 s–1

luminância

stilb

sb

1 sb = 1 cd cm–2 = 104 cd m–2

iluminância

phot

ph

1 ph = 1 cd sr cm–2 = 104 lx

aceleração

gal

Gal

1 Gal = 1 cm s–2 = 10–2 m s–2

fluxo magnético

maxwell

Mx

1 Mx = 1 G cm2 = 10–8 Wb

densidade de fluxo magnético campo magnético

(a)

(a)

(b)

gauss

(c)

(c)

œrsted

(c)

G

1 G = 1 Mx cm–2 = 10–4 T

Oe

1 Oe

(103/4 ) A m–1

(a) Esta unidade e o seu símbolo foram incluídos no 9º CGPM (1948). (b) O gal é uma unidade especial de aceleração usado na geodésia e na geofísica para expressar a aceleração devido à gravidade. (c) Essas unidades fazem parte do chamado sistema tridimensional CGS “eletromagnético” baseado em equações não racionalizadas de quantidade, e devem ser comparadas com cuidado

Luis Fernando Espinosa Cocian

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G

E

N

H

A

R

I

A

comas unidades SI correspondentes do SI, que é baseado em equações racionalizadas que envolvem quatro dimensões e quatro quantidades para a teoria eletromagnética. O fluxo magnético,

, e a densidade de fluxo magnético, B, são definidos por equações similares no

sistema CGS e no SI, de forma que as unidades correspondentes podem ser relacionadas diretamente. Entretanto, o campo magnético não racionalizado, H (não-racionalizado) = 4 (racionalizado). O símbolo equivalente

xH

é usado para indicar quando:

H (não-racionalizado) = 1 Oe, H (racionalizado) = (103/4 ) A m–1.

1.8.

Escrevendo as Quantidades e as suas Unidades Os princípios gerais da escrita dos símbolos e números foram dados pela

primeira vez no 9º CGPM (1948). Depois disso foram estabelecidas as regras elaboradas pela ISSO, IEC e outras entidades internacionais. Como conseqüência, hoje em dia existe um consenso geral em como devem ser escritos e usados os símbolos e nome das unidades, incluindo os prefixos assim como as quantidades, assim como os valores das quantidades deve ser expresso.

O atendimento das principais regras e convenções que serão descritas a seguir serve para facilitar a leitura e compreensão de publicações técnicas e científicas.

1.8.1.

Como Usar os Símbolos das Unidades Os símbolos das unidades são impressos em tipo romano (vertical) independente

do tipo de letra usado no texto ao redor do símbolo. Eles são impressos em minúsculas a menos que sejam derivados de nome próprio, e neste caso, a primeira letra é maiúscula12. Alguns exemplos são listados a seguir.  m, metro  s, segundo  Pa, pascal  ohm  L ou l, litro (exceção) Os prefixos múltiplos ou submúltiplos, se usados, fazem parte da unidade e precede o símbolo da mesma sem separação. Um prefixo nunca pode ser usado de forma isolada, assim como não podem ser usados de forma combinada. Alguns exemplos são colocados a seguir:  nm, e não mµm Uma exceção à esta regra, adotada pelo 16º CGPM (1979) é que a letra maiúscula L ou minúscula l é permitida para o caso do litro, de forma a evitar uma possível confusão com o valor numérico 1 com a letra “ele” minúscula.

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N

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Os símbolos são entidades matemáticas, não abreviações. Desta forma, elas não podem ser seguidas de um ponto, exceto no final de uma sentença, e não podem ter plural e nem misturar símbolos de unidades com nomes em uma expressão, já que os nomes não são entidades matemáticas. Alguns exemplos são colocados a seguir.  75 cm de comprimento, e não 75 cm. de comprimento  l = 75 cm, e não 75 cms  coulomb por quilograma, e não coulomb por kg Ao formar produtos e quocientes de símbolos de unidades as regras normais da multiplicação e divisão algébrica podem ser aplicadas. A multiplicação deve ser indicada por um espaço em branco ou por um ponto centrado a meia altura (·), caso contrário pode haver confusão com alguns prefixos que podem ser interpretados como símbolo de unidade. A divisão é indicada por uma linha horizontal, por uma barra oblíqua (/) ou usando expoentes negativos. Quando muitos símbolos de

unidades estiverem

combinados, deve se tomar cuidado para evitar ambigüidades, por exemplo, usando chaves ou expoentes negativos. A barra não deve ser usada mais de uma vez em uma dada expressão que não possua chaves para remover as ambigüidades. Alguns exemplos são listados a seguir.  N m ou N · m, para newton metro  m/s ou

m ou m s–1, para metro por segundo s

 ms, milisegundos  m s, metro vezes segundo  m kg/(s3 A), ou m kg s–3 A–1, mas não m kg/s3/A, e nem m kg/s3 A Não é permitido o uso de abreviações ou extensões para os nomes ou símbolos de unidades, tais como seg (para segundo ou s), mm quad (para mm 2 ou milímetros quadrados).

1.8.2.

Como Usar os Nomes das Unidades Os nomes das unidades são normalmente impressos em letras de tipo romano

(verticais) e elas são tratadas como palavras ordinárias. Como regra geral os nomes são escritos em letras minúsculas mesmo quando o símbolo da unidade começa com letra maiúscula (e mesmo sendo derivado de nome próprio), exceto no início da sentença ou dentro de um título de seção. Mantendo essa regra a fala correta do nome da unidade com o símbolo ºC é “grau Celsius” (a unidade “grau” começa com letra minúscula “g” e o modificador Celsius continua com a letra “C” maiúscula por ser nome próprio). Um

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N

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outro exemplo é o caso da unidade “kelvin”, escrita em minúsculas, embora o seu símbolo seja K, com letra maiúscula (derivado de nome próprio).

Apesar de que os valores das quantidades sejam normalmente expressos usando símbolos para os números e símbolos para as unidades, se por alguma razão o nome da unidade for mais apropriado que o seu símbolo deve se dar preferência ao nome por extenso da unidade. 

3,6 m/s, ou 3,6 metros por segundo Quando o nome de uma unidade é combinado com o nome de um prefixo, não

deve ser colocado nenhum espaço ou hífen entre o nome do prefixo e o nome da unidade. A combinação nome do prefixo mais o nome da unidade formam uma palavra única.  miligrama, mas não mili-grama  kilopascal, mas não quilo-pascal e nem kilo-pascal Quando o nome de uma unidade derivada é formada a partir dos nomes de outras unidades individuais pela multiplicação, então é permitido o uso de espaço ou hífen para separar os nomes dessas unidades individuais.  pascal segundo, ou pascal-segundo As palavras dos modificadores tais como “quadrado” ou “cúbico” são usados nos nomes das unidades para elevá-los em potência, e eles são colocados depois do nome da unidade. Alguns exemplos são colocados a seguir.  metro por segundo quadrado, centímetros quadrados, milímetro cúbico, ampère por metro quadrado, quilograma por metro cúbico.

1.9. Regras e Convenções de Estilo para Expressar Valores de Quantidades A continuação é apresentada uma lista de regras para expressar os valores das quantidades.

1.9.1.

Valor Numérico de uma Quantidade e o seu Uso O valor de uma quantidade é expresso pelo produto de um número e uma

unidade, e o número multiplicando a unidade é o valor numérico da quantidade expressada nessa unidade. O valor numérico de uma quantidade depende da escolha da unidade. Assim, o valor de uma quantidade particular é independente da escolha da unidade, embora o valor numérico seja diferente para diferentes unidades.

Luis Fernando Espinosa Cocian

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V quantidade

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5

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valor numérico

símbolo da unidadevolt

D

A

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N

G

E

N

H

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R

I

A

Os símbolos das quantidades são, geralmente, letras simples escritas em letras de estilo itálico, apesar de que podem carregar informações em subscritos, sobrescritos ou em chaves. Por exemplo, C é o símbolo recomendado para a capacidade calorífica, Cm para a capacidade calorífica molar, Cm,p para a capacidade calorífica a pressão constante, e Cm,V a capacidade calorífica a volume constante.

Os nomes e símbolos recomendados para as quantidades estão listados na ISO 31 dentre outras. Entretanto, os símbolos para as quantidades são recomendações (em contraste com os símbolos para as unidades, cujo uso correto é obrigatório). Em circunstâncias particulares um autor pode desejar usar um símbolo da sua própria escolha, por exemplo, para evitar um conflito do uso do mesmo símbolo para duas quantidades diferentes. Nesses casos, o significado do símbolo deve ser claramente declarado.

Os símbolos das unidades são tratados como entidades matemáticas. Ao expressar o valor de uma quantidade como sendo o produto de um valor numérico por uma unidade, o valor numérico e a unidade podem ser tratados pelas regras ordinárias da álgebra. O procedimento a seguir descreve como usar o cálculo de quantidades, ou a álgebra de quantidades.

Por exemplo, a equação T = 293 K pode ser igualmente escrita como T/K = 293. É normalmente freqüente escrever o quociente de uma quantidade e a unidade desta forma para o cabeçalho da coluna de tabela, de forma que os dados da mesma sejam simples números. Por exemplo, uma tabela de pressões de vapor versus temperatura, e o logaritmo natural da pressão do vapor versus o recíproco da temperatura, pode ser formatado como segue a seguir.

T/K

103 K/T

p/MPa

ln(p/MPa)

216,55

4,6179

0,5180

–0,6578

273,15

3,6610

3,4853

1,2486

304,19

3,2874

7,3815

1,9990

Os eixos de um gráfico também podem ser definidos desta forma, de forma que as escalas podem ser sinalizadas somente com números, como mostra o gráfico a seguir.

Luis Fernando Espinosa Cocian

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E

N

H

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Também podem ser usadas outras formas algebricamente equivalentes no lugar de

103

K/T, tal como kK/T, ou 103 (T/K)–1.

EXEMPLO O mesmo valor de uma velocidade v = dx/dt de uma particular pode ser dado pelas expressões v = 25 m/s = 90 km/h, onde 25 é o valor numérico da velocidade na unidade metros por segundo, e 90 é o valor numérico da velocidade em unidades de quilômetros por hora.

1.9.2.

Símbolos de Quantidade e Símbolos de Unidade Assim como o símbolo da quantidade não implica qualquer escolha particular de

unidades, o símbolo da unidade não deve ser usado para fornecer informações específicas sobre a quantidade, e não deve nunca ser a única fonte de informação sobre a quantidade. Qualquer informação extra, deve ser adicionada ao símbolo da quantidade e nunca ao símbolo da unidade. Veja o exemplo a seguir.  A máxima diferença de potencial elétrico é: Umax = 1000 V, mas não U = 1000 Vmax.  A fração de massa do cobre em uma amostra de silício é w(Cu) = 1.3 x 10–6, mas não 1.3 x 10–6 w/w.

1.9.3.

Formatando o Valor das Quantidades O valor numérico sempre precede à unidade, separados por um espaço em

branco. Assim, o valor da quantidade é o produto do número e a unidade, o espaço é considerado como sendo um sinal de multiplicação (assim como o espaço entre unidades implica multiplicação). A única exceção a essa regra são os símbolos para graus, minutos e segundos para as unidades do ângulo plano, onde não há espaço entre o valor numérico e o símbolo da unidade. Esta regra significa que o símbolo ºC

Luis Fernando Espinosa Cocian

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E

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para o grau Celsius é precedida por um espaço quando expressar valores de temperatura Celsius t.

Mesmo quando o valor de uma quantidade for usado como adjetivo deve ser deixado um espaço entre o valor numérico e o símbolo da unidade. Somente quando o nome da unidade é que são aplicadas as regras normais da gramática.

Em qualquer expressão única, somente uma unidade é usada. Uma exceção a esta é

a expressão de valores de tempo e ângulos planos usando unidades não-SI.

Entretanto, para ângulos planos, é geralmente recomendado dividir os graus decimalmente. Assim, pode se escrever 22.20º no lugar de 22º 12’, exceto em alguns campos tais como: navegação, cartografia, astronomia e na medição de ângulos muito pequenos.  m = 12,4 g onde m é usada como símbolo para a quantidade massa.  = 30° 22' 8", onde é usada como símbolo para a quantidade ângulo plano.  t = 30,3 ºC, mas não t = 30,3ºC  um resistor de 10 k  L = 8,43 m, mas não L = 8 m 43 cm

1.9.4.

Formatando Números com Marcador Decimal O símbolo usado para separar a parte integral de um número da sua parte

decimal é chamado marcador decimal. De acordo com o 22º CGPM (2003) o marcador decimal “deve ser um ponto ou uma vírgula”. Se o número a ser representado está entre +1 e -1, o marcador decimal deve ser precedido por um zero.

De acordo com o 9º CGPM (1948) e o 22º CGPM (2003) para representar números com muitos dígitos, pode se dividir em grupos de três separados por espaços, com objetivo de facilitar a leitura. Não devem ser inseridas vírgulas e nem pontos no meio dos grupos de três dígitos. Entretanto, quando houver somente quatro dígitos antes ou depois do marcador decimal, é comum não inserir nenhum espaço para isolar um único dígito. A prática de agrupar dígitos desta forma é uma questão de escolha que nem sempre é recomendada em certas aplicações especializadas tais como desenhos de engenharia, declarações financeiras e arquivos a serem lidos pelo computador. Para números em tabelas, o formato usado não pode variar na mesma coluna. Alguns exemplos são colocados a seguir.  –0,234, mas não –,234  43 279,168 29, mas não 43.279,168.29

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 ambos 3279,1683 ou 3 279,168 3

1.9.5.

Expressando a Incerteza das Medidas no Valor de uma Quantidade A incerteza associada com o valor estimado de uma quantidade deve ser avaliada e expressada de acordo com o Guia de Expressão de Incertezas nas Medições13. A incerteza padrão (i.e. o desvio padrão estimado, com fator k = 1) associada com uma quantidade x é escrita como u(x). Uma forma conveniente de representar a incerteza é dada no seguinte exemplo: mn = 1,674 927 28 (29) 10–27 kg onde mn é o símbolo da quantidade (neste caso, a massa de um nêutron), e o número entre parênteses é o valor numérico da incerteza padrão combinada do valor estimado de mn referenciada aos últimos dois dígitos do valor; neste caso u(mn) = 0.000 000 29

10–27 kg. Se for usado qualquer fator k diferente de 1, o seu valor deve ser

especificado.

1.9.6.

Multiplicando ou Dividindo Símbolos de Quantidade, Valores de Quantidade ou Números Quando multiplicar ou dividir símbolos de quantidade, podes ser usado qualquer um dos seguintes métodos: ab, a b, a · b, a

b, a/b,

, a b–1

Quando multiplicar o valor de quantidades pode ser usado o símbolo

, ou

parênteses, porém não pode ser usado o ponto de meia altura. Quando multiplicar tão somente números, o sinal

pode ser usado. Quando dividir os valores de quantidades

usando uma barra, o uso de colchetes pode remover as ambigüidades. Ver os exemplos a seguir.  F = ma para força igual à massa vezes a aceleração  (53 m/s) x 10,2 s ou (53 m/s)(10,2 s)  25 x 60,5 mas não 25 · 60,5  (20 m)/(5 s) = 4 m/s  (a/b)/c, não a/b/c

13

Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement [ISO, 1995].

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1.9.7.

Estabelecendo Valores de Quantidades Adimensionais ou de Dimensão Um Como discutido anteriormente, a unidade coerente SI para quantidades adimensionais, também denominadas de quantidades de dimensão um, é o número um, símbolo 1. Os valores de tais quantidades são expressos simplesmente por números. O símbolo 1 e o nome “um” não ficam explicitamente mostrados e nem há símbolos ou nomes especiais para essa unidade, com poucas exceções como será descrito a seguir.

Para a quantidade ângulo plano, à unidade um se da o nome especial radiano, símbolo rad e para a quantidade ângulo sólido, à unidade um é dado o nome especial esferorradiano, símbolo sr.

Para o logaritmo da razão entre duas quantidades, são usados os nomes especiais neper, símbolo NP, bel, símbolo B e o decibel, símbolo dB. Desde que os símbolos SI dos prefixos não podem ser acoplados ao símbolo 1, e nem ao nome “um”, são usadas potências de 10 para expressar valores particularmente grandes ou pequenos das quantidades adimensionais.

Nas expressões matemáticas, o símbolo % (per cento) internacionalmente reconhecido pode ser usado com o SI para representar o número 0,01. Assim também, ele pode ser usado para expressar os valores de quantidades adimensionais. Quando ele for usado, um espaço deve separar o número e o símbolo %. Na expressão de valores de quantidades adimensionais desta forma, o símbolo % pode ser usado no lugar do nome “por cento”.

No texto escrito, entretanto, o símbolo % geralmente significa “partes por centena”. Frases tais como “percentual de massa”, “percentual de volume” ou “percentual de quantidade de substância” não devem ser usados. A informação extra da quantidade deve ser dada pelo nome e símbolo da mesma.

Na expressão de valores de frações adimensionais (por exemplo: fração de massa, fração de volume, incerteza relativa), o uso da razão de duas unidades do mesmo tipo é às vezes útil.

Também é usado o termo “ppm”, significa 10–6 relativo ao valor de 1 em 106, ou partes por milhão. É análogo a “partes por centena”. Os termos “parte por bilhão” e “partes por trilhão” e os seus respectivas abreviações “ppb” e “ppt”, são também usados, entretanto o seu significado depende da linguagem. Por esta razão os termos ppb e ppt devem ser evitados.

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Nos países de fala inglesa e alguns de fala portuguesa, um bilhão é tomado como sendo 109 e um trilhão como sendo 1012; enquanto que no resto do mundo um bilhão equivale a 1012 e um trilhão a 1018.

Quando forem usados qualquer um dos termos %, ppm, etc., é importante estabelecer a quantidade adimensional cujo valor está sendo especificado. Alguns exemplos são colocados a seguir.  n = 1,51, mas não n = 1,51 x 1, onde n é o símbolo da quantidade para o índice de refração.  xB = 0,0025 = 0,25 %, onde xB é o símbolo da quantidade fração molar da entidade B.  O espelho reflete 95 % dos fótons incidentes. = 3,6 %, mas não = 3,6 % (V/V), onde é a fração de volume.  xB = 2,5 x 10–3 = 2,5 mmol/mol  ur(U) = 0,3 µV/V, onde ur(U) é relativa à incerteza da tensão elétrica medida U. 

1.10. Exercícios 1.

2.

Para o seguinte modelo matemático achar a dimensão do parâmetro em negrito.

1.1.

[M].[L]2 = g.[L].[t].[M]2

1.2.

[T]-1.[t].[L] = k.[L]-2

1.3.

[I].[t]-1.r = [N]

1.4.

[M][M]-2 = cos (x . [L])

1.5.

[T] = [T] . log([T]-2.[t] . q)

A perda de pressão por atrito em uma tubulação é descrita pelo modelo a seguir.

Verifique a coerência dimensional.

p

2 f L d

v2

Onde: p = perda de pressão d = diâmetro do cano f = fator de atrito (adimensional)

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= densidade do fluido L = comprimento da tubulação v = velocidade do fluido

1.11.

Referências

Bureau International dês Poids et Measures: http://www.bipm.org National Institute of Standards and Technology: http://www.nist.gov

Luis Fernando Espinosa Cocian

A