Nociones de geometría (1884)

NOOION ES/ DE .. . POR 1 1 OBRA ARREGLA llA PABA LA ELEMINm. 1 PUER'l.' 0-RIOO. TIPOGRAF(A DEL "BOLETIN MERCANTIL.'' 1884.

I 1 · . ... / DE -:'.I:N S TR UOC I ON P Ú BLI CA. Animado prn· la bemfoola acogida ta.n 'ilus trnda Co1'Po1·a cion , dispensó á mi TR A.TADO D E ARITllrf.JTIOA BLEli\IENTAL, tengo el honor de dedi carle estas NOCI ONES DE GEOMETRIA poi· si las considera de u/Ji.lidad, ·corno complemen to indispensable á la instruccion primai·iµ. P11Ml<>-Rico , .-4..br il de l tIB4. '•• ,,1

P. 'Qué magnUmles iionstitnyen la estension de un cuerpoT R. Tres'. Longitud, l atitud y altura, proftmilidad 6 grueso. P. ¡A qué se llama snperfioieT -. , R. Al limite de los cuerpos, ó sea Ja pn.rte que separa á su materia dlll espacio donde se halla contenido. P. 'Qué magnitudes tienen las superficies T R. Dos; longitud y latitud. 1>. ¡Qué se entiende pox linea t R. · El limite de las superficies, constando solo de longitud. P. 'Qué es puutof · · R. El limite de hts lineas, el cual carece de dimensiones. P. J Podrlan definirse los anteriores elementos geométricos, mdepe1j1dientemcnte de los cuerpos T .

R. La parte ele las matemáticas que nos enseña. á medir la estension de los · P. ¡A qué se llama cuerpo f R. A una porcion de materia limitada todos sentidos. P. ¡Qué es vplúmeu de nn cuerpo f • R. ]JI lugar que ocnpa en el espacio, siendo por lo tanto independiente de la materia. qne le forma.

CAPÍTU,LO PRIMERO. P. 'Qué .es f

1 l / .) 1

R. Puede eonRiderarse á la. linea engendrada. por el mo-· vimiento de uu punt.o, á la. superficie por el movimiento de una. linea. y .91 volúmen por el de una. superficie. ·

" -6D E L A LIN E A. P. ¡Qué cla siflcacion se ·hace ele lus Hne¡¡st . R. Se subdivieleu en curvas, qtlebraelas y mudas. P . . i Qué se en.lienele por linea recta t . . . R. La que tien e todos s11s pu u tos en. una misma direcc1on, como el borele ele una regla. (ftg. 1i1 P. ¡ Que\ propíeclades tiene la línea recta T . R . 1ª Es el cmu.i no mlis corto enti:e dos cnalqmera de sus Qued!t determinada por dos ni.rutes, siendo por lo taiJto la única que puede pasar por ellos. La interseccioll de dos lineas rectas es un punto . P. ¡Qué se entiende por linea curva t R. Aquella que tiene colocaclos sus puntos en clistiutas direcciones. 2!) P. ¡ Qué se entiende por linea quebrada t R. La ·que est.<í compuesta. de partes rectas. ¡ng. 3!) P. ¡ Ouál es la Jfuea mLxta t · R . Aque!Ja. que ·se de partes rectas y cttrvas. ;·<•r· ••1 D E LAS SU PE R FI C IE&.P. ¡ Oómo se clasifica u la s superficies t. . . R. ·. En plauas , curvas, qn cbrada s 6 pohe1h·ales y m1xf¡¡1 s. P. ¡Qué se en ti ende por· superficie plana. t R. ºAqu ella ú qu e puede aplicarse mm llnen r ecta en todos sentidos . p;.. ¡Cuáles son las superficies curvas t . R. Las que no tienen nfugun e113mento plano. P. ¡ Qµé es superficie ·quebrada. 6 poliedrál t R . La compuesta de partes planas. P. ¡Y superficie mixtwt R. La que consta de e lementos p lanos y cnr:"o8. · . . P. ¡ Qné condiciones sou necesarias para fiJar la pos1c1on de un plano'! R. ºpnntos que no estúu en linea recta; do s rectas que se cm·tan; 6 una recta y un punto. P. ¡Cuál es la interseccion de dos planos t R. Una linea recta. P . ¡ 061uo se cortan una recta y un plano t R. Por un ¡muto. · P . ¡En qué partes se considera dividida l a Geometria t ) R. En dos: Geometrla plana y <le! espacio. La primera se ocupa d el representaciou ele las figuras que tienen sus pnnto s eu uu ·mi smo pl !µlo; y la segun. da tieno él mhi mó objoto co n las qu e fümen sus puntos colocado s de un mod·o cua lquiera en e l espaciu . . / P . :i.i. P. R. P . R . P . R. P . R. P . R. CAPÍTULO SEGU NDO. D E LOS ÁNG UL OS i A qué se llama úngtqo t . · •. La p arte d e plano comprendida entre dos rectas se cortan . ¡ Qu é nombre r ecibeu lo s el emento s que forman ú un ángulot . Las rectas, se llanum laci os, y el punto ele intersecciol:l, vértice del ángulo.i Oóruo se ekpresan los T .Por medio de tres le ti·as, una ele cadit lacio, y citidaudo d e ·colocar en medio, corresponcli e nte al vértjce ; cuaudo 1111 punto sirve ele vét'tice á tllJ solo áng.ulo, basta para nombrar á este con la letra del indicado vértice. . ¡ Qué son ángulos adyacentes t Lo s qu e t eni e ndo el vértice y tm lado comun, tieueu loa otros lados en prolon g acion. (ftg. 5!)

¡ Oómo se.clasifican los ángulos T Se llarnau ltngulos r ecto •, l os 11dyacentes, cuando son igu11.les entre si; agudos, los q ue son menores que un recto; obtusos, cuando son mayores. ·

¡Qué valor tiene la suma de dos ángulos adyac entes t Dos 1-ec¡tos: en efecto; sean l os ángulo s ·A O B y B O O ;1 <"«· •! I el espacio cornprenclido por estos dos ángulos, es el mi s mo qu e el comprenclido por la suma de AOM,MOB y BO,JJ, cuya suma es igua l á la de AOM y MOO . ·

-8P. ¡ :Ouáuto v.ale Ja suma de todos fos ángulos formados al " i rededo1· de un punto t '!' R. Ouatro rectos. P. ¡Qué se entiende por ·ángulos suplpmentarios! R. Los que sumados valen dos reoros; llamándose por lo tanto suplemento de un ángulo, lo que Je falta para dicho valor. . P. ¡Qué entiende por ángulos cqmpl emeiltarios f R. Los que sumados valen un rPcto; siendo el com pl&mento ele un ,; ng·nlo lo que lo falta para esto valor. P. ¡ Ouúndo se (!ice c¡uo llos fogn lo s están opuestos por el vértice f R Ouauclo tienen el vértrce comun, y además sus lados ) en prolongacion. fftg. . · P. ¡Qué relnciou existe entre· ·los ángu lo s o¡ll\ostos por el vértice T · . • · R. Son .iguales por tener el mi smo suplem ento'. P. .¡ Qnó se ent ienrl e por bisectriz ele un ángulo T R. ·La i·eeta 11ue le dh,ide en dos partes ighales. P . i Qu r. ,·alor tiene e l sí ngulo formnclo, p9r la s bisectrices de dus á11g1úos aclyarcntes f R. Un recto; por ser mitad de la smua di chos áng!Jlos . P. ¡ Qnr propi1•1lade• tien en la s bi .,ectrices do llos úngUlos opuestos p or el Yértice T · R. bailan en prolo11gacion. una de otra. DE LAS PERPENDICULARE S Y OBLICU.t.,S, P . · ¡A qn é se llaman 1ectas p erpemli.culares f n. A aquellas que se co1'tan formando un ángulo recto.· i••· • I'. ¡ Onántmi ·perpflncli<M1lares se pueden trazar fl uua recta desde un punto interior ó esterfor á ella T · R. Siempre pu e de tmzarse una, p ern so lo esta puede pasa r por dicho punto. P. ¡. C6n10 Re llaman las 1lemas rectas tiradas por él f R. Oblicnas . · P .. ; On{t l es la propiedad principal ele fa perpendicular trazada cl escle un ·punto á uua recta f R. l\Iide la distancia:más corta entre el puuto y la recta. P . ¡Qué relacion gnarüan las longitudes ele dos oblicuas .que p!ll'ten ele un mismo pimto T . . .9R. Son iguales si se separan igualmente del pié ele la perpendicular; y será mayor, aquellsi que más se apaite ele dicho pié. . · · i Dónde sií encuerit.ran todos los puntos que equidistan de los estremos de unn recta f R. En l a perpendicular levantada en su punto medio. "

CAPITULO TER.CERO.

DE LAS PARALE L AS . P. 'Qué se entiende por r ectas'. parale.Jas T. R. Aqu.ell ns qne estando eu ei mismo plano no se encuontrnn por más que se prolonguen. ¡og. P. , Oómo prob u lnmo s la existencia ele. las rectas·paral6Ja s f R. 01.J servm ulo qu e si rectns son perpe ndiculares ¡¡ una tcréern, d eben ser parolelas eutre s>, ¡mes si pudieran pncontt'nt>;e, hab1fa ,clesfle . e l punto de cucuentro dos perpe ndi t•u larcs á ni1a recta !••· · · P. ¿ Onál es l a bas e fundamental ele esta teol'la T R. . El "postulaclo.de Euclides": q ue consiste en <¡ue ima perpendicular y u ria ob licua, {L una mismo.recta o;iempre se cortan . P. i Qu6 coirseé uencia se d edu ce lle este postulatlo f R. . Que clesde un punto siempre J!Ueclo trazarse un a pamlola {1 nna 1·ect11, y so lo ·untL · pnecle pasar por 'dich o punto.. . P. ¡ Cuáfes son las propiedarl es más importantes lle las r ectas paralelas f R. Si una recta corta á otm, cortará tambien á cualquiera quo . sen pumlela á l !l primera. 2;• Dos rectas paralelas, equidist11n en. toda su e'tension. Si dos rectas son paralelasá una tercera, son paralelas entre s f. P. ¡Qué nombre toman los ángulos, qne se forman al ·cortar do s paralelas por una recta ' . R. Se forman oqho ángulos, llamados internos, los que

\ _;10están dentro de las paralelas y este!'úos, los qt¡e están ' ·fuera; nltcrnos intel'nos so llaman ¡\dos in tomos for- ,.._ mados con . <listintn l'nralola y ,¡ diferente lado de la secmitt>, ( A..l\l.S y O:N ' L ' ng. IO'.'li ¡ilt.er11os CRterno • , los este.1·nos fol'ma<los con distinta ¡)arn.lela y {• diferente l a do de la secante, como Al\IT y SND. · . ; correspondientes son, un interno y otro cstemo, formados con distiutn parnleb y á un mismo lado de la seca11te, tales como 'r:UB y TND. 1 P. ¡ Qu(. rol:tciGu existe outrtl estos úugulos T R. Los :íngu lo s alternos intel'nos son ignal es. · Los alternos esternos son ignales. Los correspondientes son iguales . Los intcl'uos U.e nn mismo lado son suplementarios. lí? Los oxtemos do un mis mo lado son suplemcutarios. P. AQtl<" ¡ll'upiedad tienen los úugnlos lados son paralelos T • R. Sou iguales si estos lados están tlirig-idos, ami.Jos en el mis1uo sentido, ú amhos eu el :enticlll cóutral'io, y son snplcutent:nios, .si nuo ele los lacio s, está di1·igido en igual seufülo r¡ue MI pamlelo y el otl'O eu sentido contrario.·. los ángnlos ABO y DEl!' .serán ÍA"uales, los áuguloij ABO y D'EF' sm·ún igualo s, y lo s ABO y DED' se1·án s upl ementar io s. (fig. 11 •1 · P. ¡ Quó propiedades tieueu los ángnlos cuyos lados son pcrpcmliunlures ent1'C sít n.. Non i b,'1Utle::; $i arnhos tieucu ]a, misma. uatul'al e :r.a r su]Jlemcutario , s i so n de distintu naturaleza. · C.A.PI'I ULO CU.A.l:t'l'O. DE LA CIRCUNFERE NC IA P. AQu6 so entiou1le por cil'cuuforonuia T R. Uua liiiea cmrva plana y cerrada m1yos puntos distan igualmente, de uno interior, llamado centro. cng. P. ¡ Qu6 es radio T ). . -11:á. La distancia gue hay des.de el centro á nn ¡muto cualquiera de la circnnferencia, Cl!mo OA. . P. ¡ Qné es circulo f . . . . R. Lt> parte de plano compl'endicb por la c11·c•111 f<'l'e nc1a. P . AQué es onOl'da T • • . • R. La rect:L que un e dos puntos de ln c1rn11ntorcn c1a, como AB. ' il d' ·u. r.P. A06mo se llaman las partes en qne una cnerc a 1v1 e a la circunferencia, y al circulo f . . R. Ln cuercla divide á l lL circunferencia, en dos partes lla.madas <1t·cos, y ni circulo en otras dos lla1mt11as segmentos. P. ¡.Qué uoml.Jro particull.n· recil.J a ettOl'da . cuando a por el centro T R. Se llanrn tli(unoti·o; los arcos son entónces ig na.les y Sfj · ll amau i,em 1-c1rc11uferencw.s Y los scg meutos seroi-clrculos. . . . . P. ¡ Qu6 coudicioues so11 nec<,Sal'utS p :n ·n detor1muar tma CÍl'Cllll fcrenoia f · R. Tres pnntns quo no esté n en que por ellos s iempre puede pasar una ci1·cnntel'enc1a y solo puede pasar u11a. , . . . . . P. AOúmo se detol'Uli111t1 '1L el centro y rudw de la 01rcunferenrJia quo paso por tres puntos clados? R. Uniremos es tos de tl.·s e n -Oos y lev nutm·cmQs perpondicnlares, e u los pnu 10; me<lios de do s t!o las ol.Jteuidas el pnnto iutct'$C cciou tle lus perp l'u<lic nlarcs sei·á. el quo se piti o, y oie teumiumeu1 os ol radio, uniendo este ce ntro con cualq u iem do los puntos cla,. dos. · cng. P. ¿A qu é condiciones sntisface Úl cliámetro porpencliculru: á uua cuerda 1 R. Divide :í. esta y á los arcos que subtencle en dos partes P.iguales. AEn cu{<ntos puntos puede cortar nnn recta á nn:i circunfel'encia f R. Solo podrán lCllOl' 11110, 6 clos comunes. P. i Oúmo se llam:< la rec ta que solo tiene un punto comim con ln 1 • R. '.raugente, llamándose punto ele contacto al punto comuu. · P. AOnál es la propieclaaf principal de la tangedte f to R. Es al radio dirigido al ptmto e _

MEDIDA DE ARCOS Y ÁNGULOS .

P. ¡Qué se entiende por ángulos en el centro f . B. Aquellos que tienen su vértice en el centro de la cucunfereucia. · ul 1 f.os ¡Qué relacion existe, entre estos áng os y os are que interceptan f . · · d B. ·En un a mi s ma circunferencia, 6 en cucunfereLcias e radios iguales, se verifica: A ángulos igunles, en el centro, corresponclen arcos iguales 'Y 1·ecfprocamente. tl f A mayor arco, corresponde mayor ángi: o Y reoprocamente. á tl · J 3•·era La razon entre dos ngi: os cua qw. , misma que la que existe entr13 sus correspondientes arcos.

CAPITULO QUINTO.

P. R. P. R. P. R. P. R. P. n. P. R. 1 l . P . R. P . R. P. R. P. R: P. -12y reciprocamente toda perpendicular al radio en su extremo, es tangente á Ja circunferencia. tf ¡ 06mo se llama á la recta que corta en dos puntos á la circunferencia f Secante. 1 ¡ Ou:íutas secantes pueden dirigirse desde un punto á una circunferencia f Infinitas;· s iendo 1a mayor de todas, la que pasa por el centro. 1 ¡ Qué r c laciou existe, entre las cuerdas correspondien tes á arcas igu a les 7 · Las cuerdas son tambieu iguales y reclproeamente á) cuerdas iguales, corresponden arcos iguales. · ¡Qué rehicion existe entre las cuerdas correspondientes á arcos des iguales 1 A mayor n,rco correspondo mayor cuerdo, y reciprocamente (1 mn,yor cuerda corresponde mayor arco. ¡Q ué relaoion ex iste entre las cuerr\as er¡tliclistuntcs del Pe11tro ! bon ig·nal er;; y recíprocamente, 'sicudo ip; nal es di st:u·án i g nnlm ento cl c l contl'o. · ¡ Q•té r Plnr io11 c'iste «·utr e las ct;erdas r¡ue so separan d es igualm•fülJ:>ele l ce ntro f :-: .. r·· 11wyor, In cuerda r¡ue diste m6nos y reclprocament e entre d os cuerdas des iguales, so separará m6uos del centro la qu e seiL nmy or. Cu:'u 1to .; ¡mntos ¡m ml cu tener comunes <los r eacias sin confuttdirse f Uno 6 dos. ¿ Oúmo so ll11nian las circunforencíns, qnc solo tienen w1 ¡muto comnn f . Oil'c11nferencins siendo tangentes exteriores cuando e l contac o se verifica estundo la una exterior á la otra ¡ng. HJ y t a.ugeotes interiores cuando sucede lo contrru'io. ¡og. 10) ¡ Dóncl e de be estar s ituado en todos los casos, el dpunto e co11tacto ! Sobre la linmi que nue los centros. ¡ Oómo llaman las que tienen dos puntos comunes T Secantes. ¡ Qué propiedad tieuen las circunferencias secantes T " -lS·B. La linea de centros ea perpendiaular 'á la cuerda comun . l•g. 161 · te ' ner dos circunferenciasP. ¡Cuántas posiciones pueden en un planoT . te • t B. Oinco: exteriores; tangentes exteriores; secan s, angentes interiores¡ é interiores. 1p Qué relacion existe entre la distan.ci.a de Y os • en cada una de la s rnd1cadas _ f . B. Ouaudo SO'll la . distancia de centro. es mayor q,ne la suma de radio s: . el Onanclo son tangentes Ja di sta ncin e centro s es igual á la sllllla do radios. 3• Ouando son secantes, la cl\stancia de .es que Ja suma de radios y mayor que Onando son tangentes la distancia de centros es igual á Ja diferencm r¡¡.di?s· · Ouando son l a. distancia de centros ea menor que la diferencia de radios.

P. 'Qué consecuencias se deducen de estns relaciones T \ R. Que eligiendo pnra unidad de medicla en los al'cos fl1 que COl'.respoude á el ángulo que se tome para unidqd de medicla los ángulos, un ¡'lrco cualquieru, contendrá :l. su n1t1dad de med ida, el mismo ufuuoro ele veces qne el ángulo ?<Jrrespoudient.e, cont.enga {, In. suya. P . se medJriu, sug uu esto, lo s valor<"s de los :fognR. desde el vérti'ce como centro y con un iad10 el arco corresponclioute; y doprncticanla med1mon de est.e arco. P ., i Ouáles son las unidades adoptadas pam lll merlicion de arcosT I R. método admitido, es, el fundmlo en el El cual consiste cu s uponer á la mrcuntereucm divulida en 360 pal'tes llamndas "rados el gl'ado e n 60 partes, llamada s minutos, el en 60 segundos y as! s ucesivame\lLc: Bajo s nun c.nadrnnte const11rá de 90 gl'ados.' U 11 a scmicircuu1ereucia, do 180 y t.l'es cundrautc" rlu 270 P. ¿Bujo qu(. venrli'á11 representados los on el s1stemi1 sexagesw1al f • .R. <le 11úm01·0 complejo j lJ llr (1 je;nplo, 36 46 , el cual po<ll·á redumrse " cualqnicm de l:¡ s 11111dadus que Ogw·an en Stli! difcl'entes partes, cmple.audo. para e llo Jos proce<limientos es plica<los en la Aritmética. P. ¿ 06mo determinaremos el suplemento de un úu.,ulo couoculo por su valor gradual r . 0 R. Restnudo dicho valor de 180°· asi el suplemeuto del 32° 24' 36" se1fal80g-{320 24' 30") =147º 35' y . P . 'Oóm? dotermin11rinmos e l complemento de 1111 iíu"ulo conomdo·por su Vlllor gradual f 0 R. dicho valor, de 90 °; asi ol complc111outo de 32º 2·4• y 36"; serla !JO--( 32º,24',36) = rno, a5• y 24". P. ¿_Qué otro se emplea para la subdivision de la cn·cunferenc1a T R. objeto de armonizar estas unidades 0011 e l 6rden decllllal, se ha tratado de dividir la circunferencia en 400 partes llamadas grados cent.esimales, resultan do para el cwidmnte 100 grados; cada grado, se ha divi-111dido en 100 partes l!nmadas minutos, el minuto en 100 partes,. llamadas segundos y asi sucesivamente.

P. ¿ Ouáles SJ>D las v:entajas 6 inconveuient-es del sistema ceutesimal respecto al sexagoeimal T R. El sistema centesimal permite escri)Jir los valo1·es graduales, bajo la formarte 111ímeros enteros 6 fracciones decimales, sim plificando notablemente las operacioues con esta clase de valores; pero tiene el iucouvenient.e de que para ser arloptado, se exigiría un cambio <lOIDpleto eu los instrum ento s que boy tienen la grarlu ncion as! cQmo en las tablas basadas en dicha graduacion.

-14.-

P. ¿ Ouándo se dice que un ánguJ o est>• iuscrito en uua circunferencia T R. Cuando tiene s a vértice so br e olla y sns lados son cu erdas .de la circunferencia-. <••· " l P. 'On:\I es la medida del ángulo ins crito T R. La mitad del arco qu e interceptan s us l ados .• P. ¿ Ou:\l es la medirla del ;\ugu lo formado pllr una cuerda .y la tangente trazada eu uno de s us extremos t 1ng. 111 R. La mitad del arco que subtenéle esta cuerda. P. 'Ouál es la morlida riel ángulo cuyo v6rtico s halla fuera de la circw11fereuci:i f R. La semi-diferencia, ile los dos aroos, que interceptan sus lados. P. ¿ Ouál es la medida del iíugulo, cuyo v&'tice so halla en el int.erior de u11a circunferencia T • R. La. semi-suma de los arcos int.erceptados por los lados y sus P. ¿ Qné con sec uen cias se dedncen de las anteriores propieda<les T . R. · Todo ángulo cuyos lacios se apoyen en los extremos de un diámetro y su vértice esté situado sobre la cIDcunferencia, será Un ángulo luclos so apoyen en los extremos d e un diú metro y su vértfoe esté si tuado fu era ele la circunferencia, sor<I. agudu. Un ángulo cuyos lados pasen por los extremos de un diámetro y su vértice est,é en el int.erior de la circunfereocia, ser:l. obtuso.

-1.6CAPITULO SEXTO. 1

P. ¿ Ouáles son lo s instraruentqs principales para la s consgoométricas T B. La·regla, e l compás, la escuadra y e l transportador. P. ¿ Oóruo se usa la regla en e l trazado d e rectas determinada s, po1· dos de sus puntos T B. · Se hace coi11ciclir el borde ele la regla, con los puntos resbalando 1lespues e l lapiz por · dicho borde, quedará trazacla la r ecta . P. ¿ Oómo se 11sa el compas para e l trazado de circunferencias cuyo ceulro y mdios sean conocidos T B. Se fija la punta del compás en el pauto marcado como centro, se toma la abertura corréspondfonte al radio y se hace girar á l a punta provista del lápiz ol cuaÍ iI'á describiendo la circuuforencia pedida. ' P. ¿ Oómo se ejecuta e l trazado rle perpendiculares haci en do·uso ele la escuadra t · B. Si el punto marcado está sobre la recta, á que ha de tragarse la perpendicular, se hará coiúciclir uno ele los c:1tetos de la escuadm, con la recta, haciendo al mismo tiempo que s u vértice coi_ncid;_i con el punto dado, y e l otro catete marcará Ja cln·ecmon de la perpendicular: Si el punto está fuera ele la i·ecta, se hará que un cateto se confunda con ella y en esta· posicion se hará resbalará la escuadra, que el otro cateto pase ¡ior e l • pun.to cuya 1ios1c10H marcará la perpendicular . ped!cl.a: s1 lo s <:rtetos no fueran suficientemente Jru·gos, aux111rufamos la construccion por medio ele la reg la. P. i 06mo se miden lo s ái;ignlos con el transportnclorf B. Este mstmruento consiste en un scrui- cfrculo, de metal ó de talco, en cuyo borde está marcada la graduacion d esde cero {1 180° ;· pnra usarlo, se hace coincidir su diámetro, ".Oº uno de los lacios del ángulo y sn centro, con el vértice, el otro lado marcará l a graduacion que sirve de medida al ángulo. J>. ¿ <Jómo se construye, sobre una recta dada, un ángulo cualquiera, haci e ndo uso del transportador T -lfB. So hace coinei•lir e l cliárn etro con la rcctn y el centro con el pnnto que baya de servir éomo vértice; so marca con uu punto el 11\gu r ocnJHl la grnduaci " " tl,i.tcla, y se n·tira e l ll'lt' lll lltnrl or: nniend_o el vfrti ce con e l pnnto mar(•nclo, tendremos la recta qn e forma el ;'1 11 g11lo pe lliclo . . P. ¡ C'6111 " se 11i vicl., mm h·ctn e n dos partes .iguales por m1•<lio de In perp01111ionlnr! R. lI:i«iernlo l' ll s u :; e:\Ll'C J°u (1S .)' con radios iguules entr<' sf y ma yoros que fa 111it i11l de la ra ct a, se cleseriben at't:i•s , · , uno y otro lad o de ella; nuienclo ·los ele in terscccion d e e.•tos ª""""• se obtenclrá nna recta ¡1 e1·p<' 1Hii c11l:n· :\ l:L Jlropucsta y q1 rn la tlividirá en dos · pftrt es iguales. · P. ; Oómo S<' le vanta una perp <'n ,Ji c nfar á nna recta e n uno d o HI S puntos h acie ndo uso d e l compás T R. ocnrr ir el es en sos : .

Problemas, sobre la recta y la circunferencia .

l " S i la reda es i lim i tada, t omnrc mos {1 uuo y otro !arlo 1l cl punto propuPstu .Y sohre la 111 is111n recta, ¡n,¡. is¡ <l ot-- jg- ualcs; ¡u·cüs Ucci ll.O c::ilús pn n t< ·s t·n Ja 111is n111 timna <'Spl icadn en e l problema u11w1 ·i 11r, ohtc1.1it ·11clo n.:-:f 1111 nuevo puuto quo 1111it·lo al } H'1 J!)llC :o;; tO Jlllll'eal' r Ja, flit'Cl!Cio ll ([e,, Ja ¡Jerp1•utlic11Jur. Ki ¡mu to dml n eR hP: Íf"· t' c.•11 1t no rlt1 r x trcrnos dt• f;¡ 1·cda, Sit' I Hl11 Ji11iil:al H , ll lJ H'l':Í. }JtH.;i l>l e l'M:Olel proUJt.•nin cou l a co n¡.::trucl'ion nntt:rior; y e11 este tóm :i r{¡ 1111 pnutu ur l.; it1 a·.Jo X llltt . 101 fuer a ele la 1·1·1·ta .r $C trazar.1 de sdo este p uuto couw ctrnu·o u1ia cil·c11 JJ iC tl'lJt•i a iatdu Í:,!; •:il ;'¡ !a J' I'. ta N A. que Ulll' t·l i 11d it·ad o 1·0 11tt·o eou l'l p111 : lo ] Jl'o¡ •ttl ·:no ; :.,o tl'azm ·;í l'l dhf liit: tJ·o quo p;. Ht• pm· el fl.-'bll!Hlu :¡ n 1.i o O (k iu te 1St<<·ci t>1 L de la rt>dH \jU IJ lit t·irtm 1fl·rcncia y 1n ii rn1<lo l'l otro (•xlrc1110 del dii'111 1(' (; ·0 l'( \ U e l pnuto dttc..lt1 A, l:iO kuürú la J101 po11dit•nl;1r ped idn ,.""\.B. P. 4 l'ó11 10 so traza 110:1 pc 1·pe ntlit·nlar ;, mm recta·dada Je><le 1111 punto exterior á la recta 1 B. f'uecl cu ouunir <los la recia Ali ilimitada, I"•·201 y M el puu lo el cual 11·:1zm-;e la pe1pc11tl(J: uJar; dLH:riliir\•mos uno. eirc unfn m1cia. cuyo centro !;Ca el puutu ¡1rOIJllC>-LO y cuyo 1·11dio .ea ruuyor que l:t distando t·nlru el puuto y la 1ccta; esta circunlerencia cortará á la i·ecta dada eu dos puutos O y D qu1> distm:.1n · a

-18ignnlmente del propuesto, desde e llo!, como centro, dos arcos cnyos l'adios •eJ1u iguales entíj si y mayores qne la mita1l de OD; estos ni·cos se cortal'.1 11 en el punto N, cual m¡ido cou el propuesto d&tenniual':'t la perpun<licnlar MN pcdi1l11. Si por e-tar el punto propue' to á In altura de uno do lo s extremos 1lu la rm·t.11 no fuera 1•jcontar la cuustruooiun a11torior, J:i mp1\ifkuremus clol moliu signii:nt.e: ¡ag. 211 SP;I AE la r t•ct.a y !II ol pnnh>, tomar&mos sobr" la rcct:. dos punto s O y D y deo;cr i\Jirumos d es cl1• ellos cou10 centro 1los l'ircuuferencias quo tenga11 p i,> r r.uli" 1:1' clistan••ias OM, y DM, 1 qne hay cutre lu s pnnto> i1111i cai lus y e l propu c, to; estaaf circn11fore1u•ia.s se e11contrai-.111 en dos p11111ro s nno de los etmles ser:\ ol lHlllto qne so nos llnhia da lo .\' el otro d r111 0 nni<lo con él 11os . lei el'll1ina 111 perpcnrlicular potlitlu . P. ¡ Oómo 8e traza la bis ectr iz do un l}ngn loT R. Desde s u vól'tice como ccntrn y co n 1111 1•a dio ctrnlqniera su 1111 arco limitado l!Or los lados del ángulo, s e traza la c1rncd:t c01'1'cspo11diente ¡\. esto arco, y la perpou cliculnr rliri ¡;illn d esde el vértice á dicl111 cuerda será la llisectriz petlid>1 . P. ¡ Oúmo se trn1ar:í por nn punto ciado una pnrnlela á nmL r ecta tambieu dada T R . Pu e d en om plem·so 11ife l'cntes procedimientos, segun los i11stl'111n entos d o qu e se disponga: H L:. e.;c n a• lrn: Su tra 1a la perpencli1·nlar rl esde el p n ntn pro ·•n cs to i'\[ en•. C'2J 4 1:\ rc:·t.L lln1la AB y 1lespu es 1l csde e l pnuto M "'' tl'aza otra p crpll u1\i 1111lar :\la autoriur l'e : nlt:1 ud11 <le este mndu 1:1 recta UM paraleln á lu pro1mcsta. El cou q>i'i.-;: toma nn punto arbit 1':.ll'i() ,... ohre la rec ta, ¡ng. 2;1¡ y so traza. destle Pstc pu11to como cent ro lltt:L cironuforuucia quo Pª"" por el punto .IH prn¡mesto: d e eotu 1110111> r cs ulial'á el ar co i\1A, cuya cuor11" MA. to111 nr emu:i tle.'itll· e l St'g,·uut lo 1111nto <lo iutt·rs ucc ion de l a c ircuu fere u c ia co 11 la rncta, obtc11ie11dn as! un punto N, qu e nuido con el pr11puesto, det1mniuu.rá la paralela pedida. 1'lxi ·te tambien Jlll instrumcntol, llamado p '"alelógramo y com¡.mosto do rlos roglas poi· dos varillas m&tálicas que permiten separarse m!1s ó ménos á r&g las, pero. siempre en posiciones paralelas. Para eml'lear 1•ste instrumento, se haf·á c,oi ncidir la primera t'Cgla 0011 la recta y rlespuos fijando la posicion de la Regmulá, Re haCe adelantar {1. Ja prim e ra. ha4.i pur e ! punto propuesto Cll CU}':J. posiciou ostar:L determilll1'la la paralela que se pirlo. P. ¡ Oómo so coustrnye sobro una r ec ta 1111 ángulo ignal á otro determinado A T !••· 24¡ . R. Se tr.'"" en e l r.ngnlo p1'np1iesto A d 1·s1l <1 sn vé rtice, como contro, y con nn radi o cna. lqniora. A P u11 ar'-'?1 y d1'"f"rns IJauien ·lo centro e n el 1mllto O qi10 s o nos aa · la, r 1..mt a se 1 l c.1i<· rH1 e otro arco, ili111 ita do 1 con ig ua1 r:uliu; se llomn I:\ cue1·du OD, corresp 11 11 .1i unte a l l'ri11u•ro do estos aren· y so ll eYa. Robre el ií 'co n fereu cia <les <lll 11 11 p1111tn cla1lo f · R. 1'11 11 dcn ocurrir il·•.S ca"ir>s, segun qnu ol pno to esté sol.n·e la cir1m11fü 1·p 11 ci a (, fuera du ella.. 8u11 la circuuferouciu U e• •· 201 y el punto ::i r ¡mr el cual s o l1a 4l e trazar la tangunte, e l coutr o r·uu <lidio llllllto y la·. poq.1ou<lienlar trn z·1 u;\ al rn1lio O:U " " ol ¡mu to S u l'1l ' l:L tangeme ¡1oo li1la. t; l ¡muto ilailo 31 o:;t{i. f'lu-ra tle l a cirr u11f"nre ncia en.: to 1111iremo-; cuu el cuut L'O de e ll a, y sol.Ji" l:i ltu ca OJf como dhíllletro, '""' cirmmf,.rn 11cia cu,va i11 tur:>eccinn co11 la. provin:-Jta. .w:-i lloter111 iu 11rá l os puuto3 P .Y L Ue contacto y o:ií uiulo con l'l prn¡>11esto, t u11drt.i. mo s la s t;u1g·c 1ttu;-; p ..! .li•la:i MP y J\1T,: e l pmhl oma so rí11 i111 po .ib lo s i el ¡m uto prnpuest.o li a\ Jaso 1.:rn el i 11u·1·i11r lle l:t. ci 1·cn ufenmci a. P. 'Qné ¡n·opioundes ti"''°º l as dos tangentes 1¡110 rnsn ltau rn: u l pr11Ul cnt a. nuteriot· ! R. La-. tn11gt-mtcs qu e i-;e di r igon •le 1111 nii smo punto tt nna <;ir•·unfurencia. s on y ül áng ul o <¡n e f01· 1n :111 tieJ1H ¡wr !Jisoctriz la roc;ta. qm· nno tlicho pn1tt11 con el conlrol11e la l'ircuufüreucia 11ropuesta. P. ¡ llúnd e Stl cucnentra 11 los centros de las circnnfercncia• r111e sean tang\lÍÍtes (1 los l ados de un ángu lo r R. Sobre la bisectriz de dicho angulo. _

11tnl' 1k••rle e l pnutu ' ;\ f ; 110 !l·to 1.11 01 10 rnsnltal'á aren MN ig·n a l al OD, y uni o111 lo e l punto O 01111 el N so t e uclrá el Í\lll('Ulo ignnl a l pro¡1tH!8to OOD. . P. i Oórno t1·n za u n':.Lo t:mgentc {&, lllH\ cifcn

-:IOP. ¡Cómo se tTaza una circunferencia tangcutc á tres rectas da<lns T ,-; R . Dell>tUtlllfllHlO las uisectlices <le lo s :íugulos qnc fur: urnu .l el J>llllto oe i1 lt¿l"!:-U..'<:ioJJ tlc icl'rel <:t•1111 ·0 de In c ir«twfe rt ·u cia JH:tlicfa, lu cnal l•Ol' radio la trazada <lesu o dicliu ceutro á <..ua lq ni l.'l'U tl o P. ; í'< •rn1. H: 1raza mia tangeute com u11 á <los c i1·c1111fereuc iH.::> dmlus I ' R. D<·MJl c•l ('P1111'0 o tlt! la lliil)' Or, (fig :?7) se 11na c·h tuufoi·c udu uu;.. ili;n·, tuyo 1·iu.l10 bt:U igunl n Ja tliJiórtfü• i:i '"111l'e los rudio:i d e las proptlC'Stus ¡ Üi ' tilJU< h el ceJ 1t10 ó d e la lll t' JJ Ol', las talll!,C•He3 o'.i:\ y o'll , 11 la cfr<.·m1fcr <:·nda n.uxili:ir, Jos rntl!"" U.\ y Oll, l o' 1·uu lcs Jll'Oi01:gm·¡o1111 s ha.,l:i s u iuterr:-. el cio11 cu11 la d1 ·c11u terc uda n1 ::Yo r: ele cslt.• rn ntl o tcL <hc iuu; lú!, ¡:utJlos I' Q que &err. ñ Jós el e rnntw to la t:111gu11t-: c¡ uu s u bu.:-l.'a. y lu ¡11 ·i mc1 a c·irt·nufc 1·eud:1; til·· r t•111os 11or clicho s pnutus. tao g·e11tcs y l u he ¡·,, u ta111L ic u ú la M.'g'11B<fa c:i.cuuJt.:rl n ci: 1. P. ¿ Có11111 se ll a mu11 la s taugeutes úbteuhl us pnr esta ·1 i1.11 ! R. 'J ' au #.' ' lll t i:, l':' tt ·rim'l 'S . J > . ¡ {";,¡, n . , t!t:tt•1 n d11:·Jl Jns illt c•riores! Ji.. n11.1t01 ¡:, ln1 >.·1•ion :í la a11lt•r :1: r ¡rro l <1111 a 1.clo coJ110 r:idio }J:ll'a la circu11fl'l'l'llCia :mxili:1r, uua i11UJ4 11il111l i:;·na1 ._. la l:,;UWa dt.! lu:,;, ).ºcHliu l:i d u proJH1l NI ftJ.; P. ! t'1 .:111 i ;. :-; cur1<':.;pm1tlt"r1í11 ii. c:•h· ¡ n·t •lJ lcrnn. L1 ¡ 111h1l'i1 : 11 1.111· l t'ttµ: : , n ¡._. ... c ii ·1·1111 i 1·n•11l'ut 1'i :R. J L 111·' , 1sat h • t. llf..\ Utt ::> Ja::; ( Íl'( t1111l·h 11d;1 M IH l e 1 icl1t 8 ; P.Í Ho11 Ja1 1;.:.u1.tcs l'\.' s; tl Oti t-011 · .t11t. li; 11 1' :\ :;,i tur1A « Htu; hit e! iortltl y tdugnna. s i so u i 11 lt'tio rt•s. 1 CAPÍTULO SÉPTIMO. DE LOS POLÍGONOS. P. ¡Qué so e utieude por polígono T ) R. P. R. P. R. P. R. P. R. P. R. P. R P. R. P . R -flLa parte plano comprenrlidri por nn& linea · y cc rra1 ln, llam lindnse r. e s ta, ¡Jl•rimetro d el po!Jgono y lí Jnq rectas que l e fnrm:tn .' l a <lo s. ¡ Qu é sé llnm a ·nia ¡ronn l e n nn p•1llgonoT TJn rcctn r¡ttc nnc <los vértic<'s ""' cnnsecutivh s. i Qné c lase de :'ingulos se consideran e u los polígonos T T_Jos i 11 t 11 riorcs,y cx t er io r rs. ¡ Q11(o "" <"ntie11de pm· líng11h inte rior d e un p ollgonot T,o. fornuu l os ent r o clns lado's nclyacen tes . . ¡ Ou fi les so n l os ángulos exteriores! Lo s q 11e forman cada lado c o n l a prolougacion de sn nrlyacente. 'De c uáu tas claqes pued e n ser Jos polígonos T D e 1Jns. co nve xos y cónrnvos. 'Omílt's son lo s políg onos co n vei,;?s ! . , \ r¡ n.,ll os qne tie11co to •los s11s ang-! 1\os sa\ie u tes, no p11<li t>111 lo cort-n.r un a á s u e n más do dos pnntns. ¡ ng. 291 , ' , Uu íll e8 los p olígo n os có n cavos f . L o• r¡ no ti e n e n alg un o d o ·s us :í n.ir nlos entrantes, pudit.·u <lu nua. i·ccta. cu r to.r {t. s u· ¡JCrimetro e n 1uÍls de dos pnntoR. :m1 . t Oú mu los pol ig-unos '. t:;oguu el 11i'ane1:0 ll e sns lad o::;; as1 llum:n·Brnos tdá nµ,·ulo, (·tuulri l:i tcro, jl011t{\g-0110, ox{a.g-0 11 0 &}.' &:' , seg nu qu e wug.m, 3, 4, J, u, &.· T RIANGUL OS . P . ¡ Oómo "º cln s ifirnn los triáng ulos T lt H esp uct1>:l su s 1.1.d 1ls, su en si t! en t• n t l i•s i'" ll :t l es lo.< t 1·0" litíJu s; 1s6sce l cs s: t 1c n on <los Jnrl os y e <¡ni hítcros sl s ns tres lad ns son ignal es: tí sus á 11 g nl os, se s u U< livir:t e n e n g nlo s s i t ie nen un· áng11lo obtusángulos si lo ti ene n o btu so y s1 s u s tres án g ulos son ng- nd os. P. i Qnó \•a lor tiene n l a suma ele los tres d o nn triúng11 t oT • R. Dos rebtos. P . 'Qué consec u enc ia s se dedn ce n d e esta rropio<lad f R. Oncla áugnlo d j{un triángulo es s uplemento de la s uma d o los otros · dos.

los lmnto1' mrdios de dos ele s u s J11dos, y el pnnto d e encnentro 1l e estas perpencli culnres ser[1 el cen1 r o d<· l:> c.i1·r1111ferenci:1 pcclida, la ciia.l tondr1\ ¡¡ or m1lio h r ec ta qnc un o r. 1licho centro cou cmilqu ie m d " lo s vé:-tices clel

-22Dos tri?ngnlos que tengan iguales dos d e s us ungulos, tendrán tamb1cn sus t:erceros áiJI! gulos igunles: • U11 b·híngulo solo pued e contener nn ángulo recto 11g·udos, un ángulo obtusó y 1los agmlus ó 'º" tres :t ug·u los ngU<lus. ltil :íng·ulo ex.tcl'ior ele un kittngulo es igual á la suwn tle lo s dos interiores opuestos . P. ¡Qué rclacim1 existe ent re lados tle un tri:íngnlo T R. Onda uno .lis menor que la s uma de los otros dos y mayor que su diferuucia. P. ¡ 9:"' rolacio1\ llxi s te e ntre los lados y los f:ugulos de un tm111g·ul? ! / R. A lados 1µ: 11nlcs so }in .trnlos iguales y;) mr.yor !ado so CJ poue lllayor ;.Jugnlu: 1•ecí procu 1uc11tc :i :íngulos 1g·11a!cs, su oponen Jmlo.s ig·ual es y ::i LUayot áugnlo se opm1c mayor lado. · ' P. ¡Qué se e11tie u1le por ba se y a ltura de uu tri:l:wulo T R. Se l/;m111 base [1 uno cualquiera 1lé sus lacios i'; altlll'a la pc1·pc1l(licular á fl 111 vél'tic e 'opn e.to . P. 1 9¡1é 11on1 lll'e:; pa1 ·hcularcs rcmuou los lutlo' de un tna11gulo rectáugulo f • .R. A los lacio s 1¡u& fül'U1nn f' I :íngnlo 1·ccto, se ll am .· 11 ca lot o,, y al se. opone,¡ dicho fingu lo hipote111mt. P. ¡, <;iué 1·clac10u _tJenpu entre si lo s agudos do un t1·1flugnlo rectm1g·ulo 1 R. Son rcd1Jrocm11cntc si 1los lín¡.;u los do uu t.riaugnlo soo (.. l t erct"ro tiC.l'á. rec to. P. ¡ uánflo se clir e que dos figuras so n iguales 1 R. OnaJl(lo ¡mctlc n so breponerse de modo quo so confundan cu todas partes. P. ¡ Cu(tlp• •ou la s !(<miliciones qu e nece sitan clos triángulo s para ser igu:'lles T R . Do 8 so rán iguales en los s ignicut cs casos: l? Cuamlo tenga n nu ángulo igual formndu por Indos rcspecti vamen te iguales. 2'.' Oum1do tengan uu Indo igual 6 iguales los án"'ulo 11 ndy a.con tes. " <.:unudo t:engnn sus tres lados respectivamente iguales. . P. ¡ se dioo q?e uu triángulo está inscripto é circnnscr1pto á una circunferencia T -23, R . . So llama iu scri1 >to 1m triángulo, cunnclo los Indos son cuerdas dl' In circunfereucin y circunscripto cuando sus lados son tnngen tes ó. ella . . P. ¿ 06mo .il\l i11s "r ibe á nn tri:lnguln una cirr.unfereneia T R. l'lea el tri :íngu lo ABO '"•· "'l trazaremos las .bi sectrices corrcspondiontes á dos áng n!Us A y By el ppnto de de iut1·rscccion O serlÍ {'] centi-o de la cil'rnuli•reuch\ p c diclu, cuyo rÚ1lio detcrmiDaremos trnznmlo Ju perpendirul ar, flcoile dkho cen tro, n cuúlq ni cr:i rlc lo• J:>dos. P. ¡ C'ónao "ªcircunscribe ;\ t11 1 triángulo unu circn n'ft·1encin T R. Se tmza n las perpenrlicn lar cs en ttiúng-ulo. 1•K :J:lJ CUADRILATEROS . P. ¡ Ouáles s on las varietl>itles del cnr11Jrilátcro? R H 8u llam a parale ió gi'amo cmm do tieuu s us lad06 opuest os p1milelos . <"•· . 21! T rapecio, t.·m1111lo dos de sus lado!$ OJHl Chtos 80tt pl\ru lelos, pero 110 los otro;; dos lfll" 34'); :l '.' howlm, es un paN 1) dóg ramu cuyos lados so u todos ig·m.111.:)S (ftg. :U) j es el pnrale16gt·amo qu e tieue rectol' sus :íug-uhis ¡ag. :IGJ ; ó\' Ouudraclo, "i rectáugulo qne tiene sus cuatro lacios igual es 1ag. a11 • P . ¡ Ouúl cs son las l)l'UJ1i 1·clatlcs pri11cipales el e! parul e lógrulllo 1 R. '.l.'i cne . sus lailos opum.t os .igua l es . Sus án,qulos opue s tos ig uales. 3:1 Sus clingo11ttleli se cot'tnn en partes P. ¡ Crníles sou la s pro¡>ie1lades del tr"ptc io T R. La recta qu e mio á los punto s medio s de los ludos no pural elos , es ignul á la semi-suma de los lacio s paralelos. P. ¡ son las propiedades del rombo T R. Ademas d e las que le corresponde como pamlelógrnmo tiene la de cortarso_;lns cliagonnles perpendiculm·mente. P . ¡Cuáles son las propiedades del rectángulo T

-24R. Tiene todii• lns cl el paralolúgmmo y adomás la <le sér iguales s us <liaguuales. ill P . ¿ Ou:íl cs so n las JJ""Jli e <la<les clol cuadm1 l o T R. Ti e n () t orln s las pec uli:11 ·e• al r ectií ugnlo y al i·ombo. P. ; Q né eo 11 lii cio110" ll l!Cesita u11 [J lll'a. ser inscri¡¡tiule c u u11a cil'cn n fol'o noia T R. Qn o sus ángulo s O[Jttos l os sea11 s uµ 'cmc nta,.i os. P. •Qué n eces ita Hn c11:11 l dl:íwro pam ser circun sc d¡itiblo ú uua <'i rn uuforc :ieia t R. P. R. Qu e .l a s uma de los la 1los O[lu cstos sean iguales . De los polígonos en general. ¿ so efectiía la closcomp os icion d e uu polig-ouo en triángulos 1 'l'r.tzaudo d e.·d c u110 d o su·: vó1tices :í to dos los no a<lyac e1llos, con l o cua l , 1·es11ltar:1 e l <le; ' "'' "'P" csto en tantos tri:íngulos co mo lad os m e uo!i <lo s. · P. .i, ndo1· 1it1n c 11 iwg nn PHLo l a. do lo s :í11gulosinledúl'e • <l e uu polígo uo 1 R.. dos rr<'tas (•orno lutl os t C' nga m é11m; ílos; :1s1 ,.. 1 _ 1 nu pnl! g-01 10 u lado$, Ja suma dt· á11g- nlos llll< l"IOX U8 fi l"l'llL '/, J l ( 11 -'/, ). t Cu '° 11 to nil c· In Hn n 1a <l o fi ug 11l os oxturi oros cl o un po lígono! P . R. Onatro re ctas. P. J 0 1l11w ll a man lo s :ínga!o<.; igua les e n polígonosigu ales! R i>. R. A P hcnnó l ng-of';. ¡Y :Í li•s l:ulos •¡n o forman estos ñ1w ul os T ho lll úlngos. " Pr ob lema s sobre triángulos. P. ; <'<ímo se constrnye 1111 tl'iáug nl o <l :í udose dos lados y e l :í nt.,'1Jlo compre ndido T R. ::!e forma u11 :í u:<·nlo a l clado y sob l' C s us lados se toura11 la.s mn g11 it 111lcs u11i euüo lo s extre1u os d e e• t as ma g ui tmles, resultará formado el trián¡:ulo ¡¡e<li<lo. P. ¿ Oúmo se coustm.ye un ti-iáugulo couocien<lo un lado y sus áng11los adyaee11tes T ) -2/)R. Se tom a u11n ig nal a l htJlo, y e n sns oxtr omos so fo rman los :: u ., ulus pw¡mcstoo; d e esto mo<lo qnc<lará formn<l<,> un trl;\ ng ulo qu e c nmplil'á con l as condici o nes d el enunciado . . P. t Có•no se c un s trnye nn triángu lo d á ndo se tres ado sf R. SP tom a nn a ig ua l nno d e dicho_s lados, y tl :.;s do sn s e x t remos ( 01110 ce11tros se :neus cnyos rwli ns i 1 r11ales á l os·otros do :; la<los; l a int <!l·•ccciou el e estos" arcos, cl ara e l t<ircer ,·órticc clel p edido. CA.PÍ'rUJ.,0 OCTAVO. De las lineas proporci o nales . P. i Cn .ímlo s o di c11 qne c1 1:il 1·0 lín e as so n pmporciouales T R. Ow1111lo l a .1·a,011 qno o, i, to o ut rn <Jo s ll u e ll as, es la mi "nn , qn e la. que ex isto .e u tre las o tr as do s. P. ó p ropi uda>l "s ti 011 c 11 1:. 8 t•rnp o rcioncs fu mia<las con l as lín eas 1 R. J, a" mismns, csp l iradn H1·11 nr itmótica para l os 111ímeros. P . ¿ (" uíil es ol priliciJJiO fuutla1u e uta l <lo la s lí neas ¡1ro¡wrcio111Lles T R. l .os .eglllc n tos qno n•s ul ta11 a l cortar <l os ú m.í s rectas JHn' nu sh;tourn.. de i·ci-: pect1vniu e11te proasí !.'" rcct:1H AB .r CD (flg.•18] cort<ld as p or las pa ralc·lu s PQ y l<S c muplfrúu co n la pro. 1\Il' Plt p orc1011 NQ = QS . P. i Qu ó co us.,cue ucia oe d educe <le esta pro¡¡1ed ac!T R. Qn e tml11 ¡¡nraleln, é. uno d e los lados <l e un t riángulo divide á los otr os dos en ¡mrtes p roporot0 11 11 fes .1 • Trián g ulos semajantes. .J P. ¿Cuándo se dice que do s triángulos son semejantes T -

AJ3' + BC ' . . P. ¡, Qu ú lll'Opio1lad tic11 u la pc rpeód.icnlnr tm zada desde uu IJ\luto de uua circuuforcucia sobw uuo de sus diámetrns 1 R. Es mcdi" proµoreioual c utre los <los segme1,tos en c¡ue esteqtwcla <livi;Jidoporej e mplo¡og. <O J MP'=A.P X ll!"· P. 'Qu6 propimlud t ie 11 e11 la • c nerda ti. de una c 1rcu11le· ro11uia f . . R. Uudu c ue r<fo, es urntlia. vroporciou:i 1 t.•utro ul llbírnctro que pa sa por uuo ele sus y proyc uci,on de esta cmmln s ou1 ·0 é l ; e n la 11gu.ra aut1mor teudr111mos .A:\l '= Al.I X A!'. · P. ¡, Quó propi.,datl ti e ne n _ la s so tlil'igen 1111 111is1110 p1mt:o a. 1111a (' trcu11for !• uc1. , ! n. Sou inn:n·samcnte proporciou nll1 s ú sus purtcs cxteruns; 11or ejc111pln : las S.\ y SB ca •. <1¡

exterua; c a la íignra anterior resultai·ia que ST'= SA >-:·sr. P. l Qu6 1cln cion gnariian l_os <)o clo s c uerdas que se cortuu cu ol interior de Ja cu·cuuiero11c1a 1 , R. Lus ·producto s tlo los do_s en cada una de ] ¡¡¡¡ cuerdas so u re$peot1vamentu iguales; (flg. 4"1 sean las cuerdas AB y OD, cuyo pU11to de intl!.l'succion l'B m oe veri!icru'{, Am X Bm= Om X Dm. PROBLEMAS. P. '06mo se obtiene nnafcuarta proporcion al á trns líneaa dadasT · R. Sean estas lineas .A, By O entre las cuales ex·iste la

-26R. Ouaudo tieueu sns lados iespectivamente proporci'!f!alcs. P. i Qué propiedad tiene toda paralela trazada Í• uno de los lado s d e uu tri.íugulo ! 1 R. cun los otros d•1s uu triíiugulo sm111jn nt.c ni propue sto, re¡;ultaudo por lo tonto que c:dstcn infinitos tri:í11guln:; seméjm 1tes :í nno dado. P. i Qué co11 1licioucs dcbe11 reuub· <los tri ii ngnlos para ser scrnejaures T R . En a 0 11a!op: í a con lo dirlio en h igualdad dü iriún.gulos estab leceremos los tres •ignicnte• casc•s rle semeJanza. 011a11üo te11ga11 un :\ogulo ig11al y los hu.los que 1ª forman pl'Opor<'ionales. t'tu11Hlo teug·:m dos án,rn1los ignal t: s. Cu:w<lo te11¡;a11 SllS tm• laclos µropurcionnlcs P. i c1111 s er·11.. ucias so d crl11 ce n <le cstn• coudirione• f U. Que dos triúng·ulos cqni:í ngulos c utre si tieueu sus !arios prnporcionnlcs y ,¡ tienen sus lados proporci <> nnlcs se rán eqni:í.n¡rnlos e ntre si. 2!l 1>os lados sean pnrnlel os 6 pcrp e 11di cu l·11·Ps, serán e ntre si y por lo tanto scrue,jantc•s. • . P. i Cnftndr¡ so 1lke qne do' pollgonn• sn n T R. Ornuulo pm.'<leu <lcseompoucrso en igual 11l1mcro de s<' mejnntrs y HP DH1m:t e mcntc cfr-.p11estos. P. 'Cuál es la propie<lad principa l de lo s pol!gouos semejnnt<•s! U. '1'i e nc a sns lados hom1'ilogo• proporcinnak•, y lo s ángulos homólogo s iguales. Propiedades - del trlángu lo rectán ¡lu lo . P. ' Quó prnpi e d h<l tic.me la p1' l'p Lmtlirmlar ll'llz .111.: 1lcstle el vórtice ele! :lngulo recto{, la hipotenn. "T R. nie<lia lli'Opnrcional entre lo s rlos 'eg m1• nto. en qne esta qn c tl:L 1liviclida; en el triáugnlo rectá ng u lo ABO, fftg. 3!lJ tendríamos B.El' = AlJ X BH. P. ' Oú mo se llaman 4 la' dist ancias Ali y BH <¡ne median entre los extremos de la hipotenusa y el pié de la porpcn .I icular T R. Proj·eceiou1•s ·<lo los catetos sobre la hipotenusa. P. i Quó propie<lml tienen lo s catetos de un t1'i.áagnlo recr .. -21R. Oada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la p1·oyeccio11 del Cütcto •sobre ella: por ejemplo AB'= AiJ' X AHy CB'=AO X OH. P. 'Qué rnlaciou exi sto e ntre lo s tr<:S lados do nn triángulo reclúngulo J R. El cumlruclu d e bi¡ioteuusn es ignul á la •nru" de l?s cua<lraclos do los catetos, así e n el te iáugulo seria Aü'= gum<l:ufaa Sil l:! Q . ¡,. rnzon SB P. 'Qu ó rclaeiou g uard a n entre si l;iclirigiclM.; dcs ll tj uu mi s mo pnuto a.. una. c:u·<.· n11f c rcn l'1a t B. La tang,·tmlo es 111 eciht p1·<1purcii1 Ual , -:u tre la 8ccirnte y su pai·Le

-28- -211A proporcion0n-=x-; formaremos uu 6 11!.(ulo <;ual- yur tS media pt•oporcio: .:11 cutre. el. total y h iucnor de qui era, (ftg. <:1¡ y e n u1w clú sus la<los tonwremos la P. tuug11il1ul .\. y á couti1111aolon D, dc s pncs cu el otro Il. Lulo tuJJI:l\ '( 'lllO S ln 1u.nguit.i.icl e, llllil'OUlOS Jos l'Xfl'C:' lllOS <.lo lus antecedentes ..1 y O y t1·11zaremos por e l punto B las partes. · . . i Q,:iuo SC tlivi<lc- UUa J'i'd :l C.1 UlCÜH\, j' 0Xtl'C111:t r :1zo11 f Sea la. A.B (fiK. <11¡ Jl'Y:n 1tHl'Cmo:s eu :-:u la l . BO. 1 . AB ·1 'l '1wrpo11l 11 ·nl ar l g·ut1 a y e ci;c 11 u remos nna uua ¡lflra lc la (¡;A O;• de este modo rlÍ la 111a"nit1ul C'X Qll8 Súl'Ú. la CU:1rt,1i lJl'OpO l'c iorrnl pnli1l:1, 0 P. iOú1110 s" detcrmiuu u11a propore ivna l ú dos lfoeas 1Y: 11la.s T R. P . R. Seau Cbl:.'ls A y B ¡dg. 44) euLl'e las cuales existe la pi:o. A B 6'" porcwnD n= X vlUD • = A X X; tomaremos una mag11itutl (Og. .a¡ igual á. .\ ;. y 011 sn extro r11 , hn-a.ntarcmos unu perp e IHlicnlnr ig-ual 1t, B; unirenius los cx Lrt•t11o s .\ y n .Y IC\':111t<1rt·1.1to!-: OIJ el pu11tn n la. p cr]JC1Hlic11l1ll' BD :i la recta AB; do es t niod" 1'e "t11tará. fa uia g·u itud OII, <¡ne sor:, la tercera proporcional dulape. ¡ t1<>rno RO 11t·terminar•i In pro¡J01'1.: ional {L dos líneas dadas 1 Sea n ,1 B <'ntrp l as enafos ex iste In A X , ' " ,_.,=-""': B - i o v lC ll .\..-= tutmtl't'lllO "i (Hg. <1;;) sob re t!HH rP et:i A B ,\' una :í C-11!!1 ii111:1"ion <1'.! lns •11ag 11i- · tuclcs propuestas A y B; <i•·s• rii.Jirewos uua circ u11t8sohre Ja rN•t;a. .AC' ciomo cli:ímet ro , y rn t-1 pnufio, uu111u <1e l:i s IÍ ue;:s ... l y B lovnnt a re 111 " s h 1wrpen1bcnln1· CM, que. cr:í la media vroporci.,ual pedida. P. 'Ci',tno se c!iyido nua 1·cct:1 un uu cierto ulunc ro ele p:.tr-ks icnnll'sf R.'_ recta AB que qu e r o mus di1·idir en ci11 r o partes ttaz:u \! 1111:s otra OD qn o f'o1·1110 con la. ¡n·imPra, u11 augnlo cua lqmura., tomaremos t>ulJrc ulla ciuco partei; de magnitud ari.JitrUJ'ia pero igttales cntrn sí, uuirernn., el "x i remo do la (liliwa <livisiou con ol 110 la recta dada y trnzarornos por los demns puntos, pnrnlelns á. la 1· ·eta así olJt euiU.i; las llu c.& Lo .sii:ttoma 110 !J•ll'ah-l"s con la rectu propuesta m tu·carán los puntos do d!vi&ion se. pédían. ffig. , 01 P . ¿ Ouilludo so <.!ice qu" u11a rocta esllá cliv i <litla on media y extl'e nm razon T R. Ouaado está compuesta de dos partes tales que la matil'1 ·t111fl:1encia t·<•11tru :;e.u. O y cuy 11 ni.rlio tiCa ot-.ta JH 'l' i c11d i <' 1ilnr, ... 1· 1 PX ln•mo A con O y la <li 41.a11cia A.JI S0!'Ú la putlida, vcl'itieáwluse Por Ju tanto que AM' = AB . BH . C.A.PÍ1'U10 NOVENO. POLIGONO S REGULARES. P. ¡Q u é se entien d e por .p olíg·ono ro¡rnlur T R. A quel qne Lioue s 11s <i11gulo8 ó iguales fa u11bi e o Sl!!o={ lndclS. P. d. ( 'u.'11 la propic1lad pl'i11cipal de totlo l_.) r)líg-0110 roµ·nlnd Il. 1 'n clo llll lJOli1t<n1 0 reg'lt lnr RiPnlJll'O :t• pnccle P. iu sc rilJir .Y ci1·cuuscril>ir uwL circmdCnmcin . 2:1 Dadn 111in · l e ! u<·dt• insc: ilij¡ l l' ;rt·itns{·iib,r 111 1 l oli.:.:.0110 re,:.rnhn· ; t ú1110 t' 11:111.1:1 al t•t1t1fro .' r.i.'.i<1s c:e l:i •: rir1·1mfcl'enC'i as i ll!-\('l'iptns y cirt.·t111 1"\'1'ipf 11$. en un polígo11<1 l't'!..' tllurT R. El '·entro toma pl 11unrl11t• dt., cwn Lrq tl11t JH 1lffp1110; el r. din <lt• l a cirt'm1f(-r1 ·1n i·· im-1 riptn. l'-0 ll a1:.a nt'io 1·ev lo ú arlltfliw, ,Y el tlc la. d 1·1·11 nsf r itJta obllc;u? . P. ¡ <¿n é ntlor tieuen c:1<.l:1 11110 los m1gul us 111 t l• twres clu 1111 pul •gono rcgul :ll'f R. 8k rnlo 11, ol nfünero <ll• "'ns latlos e l :'íngulo iull 1iu1·, se . , 1 {" 1 ' 2 ll lu-2) 1 l d1· cte ru11na1·n por a ur111 u a "= --;,--; a cu a ap 1cud:1 6 los n•g nlüre• , dar(.: ,./ · 2 R (3-2) Triángulo.J: ___ n=:l' .• • . A= -3--=,i '·

-30Cmidrndo .... n=4 . ... A= R. •11 l'E>ntágono . .. n=5 . ... A,= R. Exíigo110.. . . . 11 = 6 .... A = 2 R (!i-2) = n . ti ' ... Y l!'H' mi smo pl'o cc<limianto se el ánguJq wr oorrespondie u to :l uu pulíguHo re·rular cuul•p11 era. b P. i cim,truccion <leb e r.í. pnrn p:1s ·11· 1!0 un po l1go110 r eg·u laL' iuscripto {a. vtro de tlolJlo 11ú1u01·0 lle la in:;' r R. tos prolougi¡ntlolos h.ista. s u inco u la y nniourlo l .s p uutos qn o nsi rcsnltcu cu11 lo > cxtrcu 1os do los la rl ns respectivos <:1 µetl 1d o. (tlg. 4; S) P . i Q.1y.; i! el! :·rá t•j m·u 1urfie p:u·a pU :iH t' tl o nn 1Jnl1gono r egul ar {a. ot1·u llo mita.ti 11 lu11oro de hul1tsl R. de clo s en d os nrco8 corrcsp o nditH tt es al l,10J1gu11u j)l'Opuesto y lHS rt1Cl'll111; de CSt u.s lltll'VUS tLl'COS fo1:111111·áu el pol.' go110 rugu lar p e .liilo. '"•· 491 · P. t < ' Oll " f.r1.u1·L•111.os •' I dr<·nu8c1·iilto couoc1eiHlo ol 1nscr1pto ti :..' IA't1al 1111ru oro 1le hvlns r R. ';'ti los d1·I p11tí g·o1w i11sc•r ip t o, ta ng1·11tcii:; 1° la y éstas fvrmal'án el 1>...1i Jgono rPg11Jar pPil11io. ( fi" ;¡o1 P. i .un Jrnlfgouo regular ins nripto, c?n.o c1011cl 1 .1 I' ) 1 ' !rcn 11 .·c 1·1ptll do 1:.rna l 11{1111 1.}r ,, l ai los f R . Urnn•111os lo s 1l c 1·u11t11 1..·to ""1.t f·esh·oN y las c ne rque nsf. f'nrmar:ln 11 1polfgouo ¡wcli·lo. ltlg. 50) P. • .Oómo so 111 \.i ¡ t lura nn cuJ.tlracln nna, circunfc L'C ll"1.i t Il. S e . tr11i ¡111 <ln.i di:ím(·t rof.t p orprn liun i arc ..; r Ht 1·e 8i y u m 1..•utl u .sus extralil vs rc811 ltur.l e l curuh·..&.<lu podid o. (6g. GI) P . 'u:11uo se in RCl' ib o en una c ircunfo¡·cn.-ia. llll ex.ígo no r'·u.·ulnrr R. Si J 1od o ··I !ar lo 1lol ex:ígo110 r egular igual al ra1 l i", basta1: 1 1lova r Satd \'cccs Ju circuufcr ·11 c ia. y tm1 e 11do l' rntos d e . div is ió u 1¡uedar< Í formado.,¡ polígouo p etli do. (ftg. 521 -31l'. ¡Cómo obtendremos e l trifognlo Inscripto en 111111 d e r ;i dio dado! R. U11iendo de dos en do s los vért ices del exágono obt&ni11o por el proc('( li111i1 •11to a nt erio r . ¡og. 5' 1 P. ¿ 061110 se con•truye 1111 1IO<'ágo110 regular i11 scriy to en una circunfürcucia el e rndio darlo t B. Simtrlo ol lacio rfcl d eCÍlgo 11n .,1 seg m ento mayor que 1·eM 11lt11 d e dividir el radio on m ed ia y extromn rnznn, bnRtar1í. ejP.c uta.1· e.i:;ta opt'racion . pl)r lo s ¡> ror e1 1imim1tos ya tlx plicados y ll eva r¡,. magnitud QU•' r es•1 lte d .ez v eces sclhr e l a circn11fo•roncia, 1111i c 11do e n t re sl los pont o" oto <livi,i {m r es ul ta r ,¡ formado el ¡lOli gn nn p odido. P. ¡ 01ímo deilnciru111os rl e la con,.lll·u •·1·ió o nutel'ior el l:t1lo d el pe n tág-o no regular in :cl'ip to l · R. U ni 1• 11do d o dos en d os lu s l11d.. a 0 d e l d ecágo no r eg ular. P. ¡ 06m o ·(' ) r cg nl a r inscripto o u una uirc nn fo r o n ci:1 d e rndio dallo 1 R. Tomaremos á pnrtir 1lll nn mismo p11nto rl tl' l:l r irc uufol'enci n. do s uuo cnr r1""!spoud i e11te al lado (l a l EJXágo n o y otro al lado <Id d cciíg·(mo, la rl i fo r tJnch• en tre estos d os ar t·o:; se l'ft. ¡¡ l a oircu 11fero 11 c ia y s n c u er1 la ser:\ p or lo t a n to e l lado riel peute-decágc>uo regular qn o se bu Rca. P. l Qnr\ p olíp;ouos r og nlnres p ndria n hbtm1 erse tomando corno punto rle p:midn .' 0·1 tri ií n g nlo , e l cuudmdo, el peut:\go110 y e l 1 R. Dup lica 111 lo fi 11 ccs iva1 11 c11·e el uúmcro de s 1111 lailos se obten1liiau to1 l os l o• polígonos r eg ul a res c n yo núm e ro d tl lados formar .in lu:í términos da Jus s jgu it.mWs pre>gre , iones: . .. 3 : ti : 12 : 24: 48: !lCi : 1!!2 : 284 : . . . • • • u. .;.;- 4: R: ](j ; 32: 64 : 25ü: .... . . ..... n ' 5: 10:20: 40: 80: 160: 320: ....... . . .. 11 ·* l;j : 311: 60 : 120: 24 0 : 480 : . . . . . . .. . . . u"' P. ¡ Quó propielltul t ienen los J1<•rímetros lle lns polígo nos r<'gnlarcR insc·riptofi {, 111e1li<lu quo so vu 1lnpli ca11tlo el nlunoro \l tt s u ... lailos 1 R. La longitu<l total d e l p eriullltr o se u pro . io111 c ad a vez más :í 1.1 <l e la circ1V1f.ere udu, por cnya ra1on •e considera c>ta como un plJl'igono reg ular de intlnito número de lados.

CAPÍTULO l)ÉCIMO. ÁREAS. ·

-U. P. ¡Qué propi ecfod tienen los ºpollgon<'s regnlnres <le igual número dt1 lados t ;7 R. S on SLm1eja nt"" entre si y poi· lo tn.ntc> ti1•urn sn' perlru t'tros pr •J!OICionales tí los rwlio:-. y ft lo!i H}J Ot C' mas. P. ¡Qué cons1·cuencia• so <IPdm1c11 ·r1 ., os1·a pr upi orlad 1 R. Qu e lo1las las drc 11ufc1·1•ueias g-uarclau uui• relucion cu11s:ta11tc co11 r es pue tivu s dilimctt·os, cuya re!acion .. ien e indicada por la t<írmpla 2(P. = 1t ; si e udo el va<)<) lor num fü ico ele. "• 6 3,141592. P. ¡A qu ú cucslioues rlar:\ ] 1.gar ht fór1nn ' :i antcrio1·T B. !«.> Couocido e l radio t.le u11a nar su valor rcc tifi ,·>1!10 : pam es to bastará emplear la fúru1ula C = 2 " R y snstituir e n Jugar d e "' y de R tntt:i va lores COl'J'CSputuliouLcs. ' 2 ? Cou ncirl o e l valor do u1m c il'Cu11f01cn cia rcctiCwd a d e t erruium· "" radio; d c.,pcja111l o e.te cu la fórwula o . autcl"ior re snllar:í H = rn la cnnl se hará n las ncion cs o¡uutt11.af.i. P. 4 Q ué l'eirwiou cxi,le cu tre los v.alorcs gmuuale s rl e los ar t;t.S y Jos i·ectilica dos · R . :·wu n .., í r o in·csr11(.am.10 poL' n e l valor grudual do uu arco; poi· l ol rccLilkado y ]JOr R " l ru.1 1 180 11 1110 C JH remoF; : 'lt fr-=::: 1 P. ¡ Qn(- ¡m1blcmn' se 1lrilm·1•11 <I <' 1•$l:t pro pol'cion t R. I'! .i-\ veri µ 11 ar ol Yalor l'<··et :fi•·atlo tl P 11n nrco cun<W i '=' Dtlrt r-it y; , Jor g-rm1 u a l y <'l 1·adin; l: lll p lea t:enws Ja. f(H'm nrr 11 Ji la l =-u¡-0-. , \veii g- t1:11 )l Y:tlor gra dual tle 1111 nrro conol'ieuclo >u v n lo1· rectificado y PI radi o : empl ea r eruos fa fórmula J80x 1 . \ vc l'i g u ur con r¡uó radi o es t nr.i d esci·ito nu arco sa biendo que á nn Y:tlor ;.rmdnnl 11 le corresponde otro rectiíicarlo l; emplearomos la l'úrmula R = 1811 X 1 7C X u P. 'Quó 'COustl'w ·clun geométrica bnr!amos para rectificar nua circuuterencia t · -33, o o 22' B. La formula 21t = ;t , 6 sea 2 W =7 nos indioo que la circunferencia es una cua:rta proporcional á Jus cantida1les 2H., 22 y 7; ]JOr lo tanto ¡ng. s.1¡ una recta nrbitrnria por uno de lo s A dei diámetro y sobro ella tomaríamos 22 partes iguales entre si, unfriamos e l ¡muto 7 con el otl'o ex tre mo B del diámetro y por ol punto 22 truzarlamos una paralela á l.a recta a s! ol.Jteu1da; d e este motlo res11Jtaria lii magmtud A.M •(Ut> sería aproximadamente e l valor ele la ci.J.·cuufe r quci a r ecti ficada.

P . ¡ Qu ú consecaencias se d ccht cc u d a es t a.< ¡u·o11iedades t R. P Qn e c li g ion rl cumo unidad d e m edid u superticial e l cna1karlo e u yo lado .s en la unidad lineal, e l área <le nt¡ tc 11dr{1 por valor e ) produ c Lo rl e SI\ UllS0 (JOl' su altma: Q i.e con Ja mioma unidad s11pei·ficial e l tírea d e l)D cundrmlo se outen!lría elevando al cuadrado el rnlor n umérido d e su lado.

P. ¡Qué se 011tie nde poi· figuras eqnirnlentes f R. Aquellas que tenieuj.o . distiIJta forma compreurleu la misma superficie. ·

p_ ¡Qué se eutieude pór área t R. w relnci6u que e ntre una SQperfici e y otrn couvencioua l que se eli ge Qo mo unida d d e merlida.

P. ¡Qué relación g-ut1nlau eútre si la s s up e rficies d e dos rect:'.u gulo s t R. Si tienen la mi s ma base, las superficies seráu proporcional es {, la s altmas; si t iene 11 la mi s ma a lt ura, las superficies serán proporcio nal es :í las bases; y s i tie nen dife r en te unse y alturn, será.u las s uperfici es proporcioual as ñ los productos !lo Ja., 1.Jase: por las a ltmas .

-34. p. ¡ Oómo transformaremos un parnlológramo en un tángnlo que le sea equivalente T R. ·Levm1tando perpen1liculares eQ los extremos de uno de sus lacios hasta que encuenti¡en al opuesto; el paralelógramo (flg '"I .A B O D ee transform:tría en el rectángulo A M N D. P. ¡Qué valor tendrá segun esto, el Area de un paralelóT B.1 E_l proclucto de su base por su altura, llamando base á une cua.lquiern de sus lados y altura á la perpendicular comun entre este y el lado opuesto. p. l Ouál es el área de un tri{mgulo T ¡ R. La mitad del producto de su ba se por su altura; p'or ejemplo en el triángulo ABO (ftg. MI toudriamos S = ABXON. P. ¡ Oómo se obtiene el área de un poligono irregular cualR.quiera!Descomponiendo el poligono en triángulos y sumau1lo las áreas correspondientes á cada uno de estos. p . ¡ Oómo se obtiene el ároo de un trapecio f R. Multiplicando el valor de RU altura por la semi-suma ele sus bnses; 6 bien dicha altura por Ja recta que une los puut-0s medios de Jos lados no paralelos; en el tra. AD+BO pecio ABOD (ftg Mi resultará S = pq X 2 ,, 6 bien S = pq X mn. . P. ¡ Ouál es el área de un pol!gono regular T R. La mitad de su perimetro multiplicado por el a potema; Jo cual se indica por la fórmula ·S = : X r,, P'. ¡ Ouf1l es el á1·ea clr_cnlo T. . • R. La mitu.d ele u 01rc11nferenc1a por el rac\10, ó bien Ja relación de la circunferencia el diúmotro multiplicada por el cuadmtlo del radi ; 2 1t R 0=-2 X R= . P. ¡Qué vnlor tiene el área de un sector ·rcular T R. .El arco que le sirve de base multiplicado por la mitad del ratlio; representando a y B. estas magnitudes tendrlamos la fórmula S = ·a X R. P. ¡Ouól es área de un seg_m11nto_circnlart . R. !Siendo el segmento la diferencia entre el sector y trián·. -35gulo correspondiente, obtendremos su área restando la de estas dos figuras. en,. .., ' P. ¡ Qu9- propiedad tienen )as áreas de las figuras semejantes t ·B. Son proporcionales á los cnnc!mdos de las lineas homólogas. Problemas sobre las área¡¡.

P. Trasformar un pol!gouo en cu11dmdo . B. Si el poligono prop uesto es in·egular, so em¡>ioza por trasformarle en triángulo y queda el problema roducitlo n.1 caso anterior. . Si el poli:.rono és rognlar si enclo árc í\ x.1 = p X r, bastu1·á hallar una media proporcional cutrn la mitad de su peri metro y el apotema; resultando as!, e l lado ' del cuadrado que se pide.

R. Sea el pol!gono Cftg. 51¡ ABO DE; traza.remos la clingonal OE, y por el punto D 'tira.remos la paralela á esta diagonal D1:'!'; uniendo O con H, IllSnltar{• el poligono A.BOH eqmvalente al propn" soo, to1Ja vez que tienen la parte ABO.E comuu á ambos y los triángu los ODE y OHrn son equivalentes por teuer la misma. base é igual altura. ' •

P. Transformar un pol!gono cua lquiera, en ot.to que le se& equivalente y que te nga un lado menos. ·

P. Trasformar un triángulo en tln cuadrado que le sea equivalente. ·

R. La e:>.-presion formular del área del triángulo x' = i bXa, nos indica que el lado del ouadraclo que oe pide es una media proporcional entre la mitad de su base v su altura; ejecutando la coustrucoion por el procedimiento esplicaqo se tendrá el lado del cuadrado pedido. 168 581

P. uu cuadrado cuya área sea igual ·á la suma de dos ó mtí• cuadrados dados.

R. Si son dos los cna¡lraclos qua se clan para sumar, construiremos un triánglilo rectángulo que tenga por tos los lados de los cuadrados propuestos; y segun ya

P. Trasformar un polfgono i,malquieia en un triángulo que le sea equ ivalenr.e. . R. Aplicando el procedimiento anterior, se v{t disminuyendo un lado a l polígono propuesto y á los que se vayan obteniendo hasta obtener el triángulo peclido.

Construcciones de valores P. ; Oómo couocercmos .Ja representacion gcom6trica qne corre; pondc á u1rn ox¡ll'esiou compucSl·ll do valores lineales 1 'R. Ex:cmi u m11lo el mímcro de elimensioues que Ja forman y teniemlo prescute ljtltl una sola tlimousiuu estará repor mm linea y el vrodncto do dos vor uua superficie; uo Riendo posible couslmir valores tle mir yor g:mclo en ¡reometrla pinna. P. 'Cómo se determiua el número de dimensiones que con·esponde á un producto de fact-0res lineales T R. Snmanclo los exponentes de cada nuo de estos factores, J>Or {\jemplo a•, ab, son espresiones de dos dimen11.ienee. -37P. 'Oómo se determina el número de dimensiones que corresponden á. uu cociente de cantidades lineales T R. Restado del número de jiimensioues que tenga el, divi·clemlo, las oorrespoudientes al di visor; por ejemplo ab a' be a'b'c'T" m"ii' ,,, m4n'p.," &'!-son expresiones 9ue re¡1resentan nna liuea; n,:iib'c a•b"c' . . ,, m, n'q ,, son que nna sn v.erfioie 6 11ea el proelncto de dos lineas, P. 'Onándo se dice que uua espresion geométrica compuest1• de varios términos es homop;enea? R. Ouando todos estos términos co11ste11 ele igual número ele tlimensioues, siu cnya contliciou no será posible que la es1iresiou repre se nte valor goométrico alguno, pnesro que dichos térmiu'os expresarían cantidades heterog6ueas. , . P. ¡ 06mo se oonstrnye lB expresion x = a-b + c-d, sop<>niendo que estas letras representen vnlores lineó.les T R. Se toma á contar de nu punto cualqniem de una recta, una á contint11\cion ele otra, las que estén afectadas de signo más, y despnes, desde el estremo de In magnitud obt-0nitlt1, se tomap tlel mismo mudo pero en sentido coutrariq, las que vengan afectadas lle! sign o ménos, y la distancia destle el punto ele orígeu hasta el punto qne resulte, se rá el valor qne se pitl".

-36sabemos el construido sobre la bipotenusa tendrá valor á Ja de Jos construidos sol>re los cate:I" tos. Si fuesen varios los cuadrados sumandos aplicariamos la constFuccion anterior lllara sumar el l9 con el 29, tlespues por el mismo procectimient<> sumariamos el resulwtlo obtenido con el 39 y a•! sucesivamente hasta llegar ó. la suma de todos Jos cuadJ"Udos propuestos. P. ¡Cómo se restau tlos cuadradqs T B. Se un triángulo rectángulo que tenga por bivoteuusu el lacio del cunclraclo minuendo y por cnt.eto conocirlo el del sustraeuclo; la maguitucl que resulte para el otro cateto será. el lado del ouadrndo tliferencia 1 entre los propuestos. { P. 'Cómo se suma u 6 restan las áreas de clos Jignras regt1 l;1res 6 frregulares cualquieraT R. Se t•mpicza reduciéndolas á cuaclraclos y cles¡mes se nplicu el procedimiento que araba de P. E11co11trnr uu cuadrnelo que sea aproximaclameute eqni- . vah•ute ó. nn circulo. · ·R. La expresion formul.ar x' = " r' = "' r X r nos iudiea qne el lado del cuadrado que se pide, será una media proporcwnal eutl'e la semi-ril·c11nli!'i·cucia y el radio. P. E nc·oull'ar nu ruarlrado eqniYalente {i un sector circnlar. R. 131. s lr.rá detem1inar la media 13ropo1 cional cutre la mitad dtl arco quo le sin·e de l.lusc y su radio· y esta muguitud será el lado qne se pide. ' .

P. 'Oómo se construyen los valores x' = a' 6 x' = e X b f R. En el primero , z representa la superficie de un cuadrado q 11e tenga por lado a : y en el segundo otro cuadrado al rectángulo qne tenga por dimensiones o y b; para encontrar este 29 valor se cletermina una metlia proporcional entre b y'° . resultantlo asl e l cuo.<lrado z'. . P. '06mo construir¡amos el valor de una expres\on lineal de la forma : x = abcd T ump .R. Descompondríamos la expresion en Ja forma siguient.e: . x j_,,; el prilner es nna m n p . m enarta proporcional que det.erminamos y podemos representar por · J{ quedando por Jo tanto : x = h X

DEL ESPACIO

P. ¡ Ou{mclo tendráu nua de las dos, primeras 11osiciones f R. Siempre que se bailen situadas en llll mismo pl!lllo. P . 'Qué posiciones podrá tener en el espacio una recta respecto á un plano 1 B. La podrá ser perpendicular, oblicua 6 paralela al plano. . P. ¡ Ouánrlo so clicc qu e una rect..'"I es perpendicular á un plannf . . R. Oúauclo lo es á todas las rectas trazadas por su pié ·en el plano, pam lo cual baatarfl qne sea perpendicular á dos cualquiera de dichas rectas.

CAPÍTULO UNDÉCIMO.

-38c X d he d be ,11m p-=-n-X pi pero n es otra enarta propor-' representaremos por I} resultando: x = K x p = p ; cayo valor es una nueva cuarta proporcional que dete_rminada será e l valor de x que se pide. P. 'Oómo constrmremos una. esnresion superficia l de la forma"'= a bcd e f . mnp R. Empleando un procedimiento semejante al anterior te drl , ab e d · n amos x = m-x nX pX e; constrnyo el m1 Y Jamando 71 al resultadb, queda , ltc d x =-n- x-1'-xe: Oonstruyo el valor h: y llamandÓ K al resultado· queda x'= Kd xe p • Oonstruyo por último el'yrepresentandoiior pl el resultado quedará x• = 1 X e. Para det?rminar el valor de x basta encontrar una proporc10nal entre a y o obteniendo as! la.. magu1Lud que i·epresenta la e;x-presion propu 68ta, ' P. se coustmye rum e>.11resion compuesta de varios térmmosf · · R. Aplicando el procedimiento anterior para obtener el valor geométrico de cada uno tlo los términos bajo la forma uua 6 de uua superficie segun el número de sus tlnneus1oues y sumando ó restando cltll!pues los resultados parciales, se teu<lrá el valor tle Ja cspresion.

P. 'Cuántas perpendiculares se pueden trazar á un plano desde uh punto interior ó exterior á él f R. Siempre puede trazarse una, pero solo esta puede pasar por dicho punto. .J. . P. 'Qué nombre toman las demás rectas que pasan por él t B. O!Jlfonas.

l /

.

•

RECTAS Y PLANOS : P. 1 Qué relaciou puede haber entre las posiciones de clos rectas en ol tll!pacio T • R. Dos rectar,, podrán estar colocadas de modo que se corten, que sean paralelas; 6 que ni se corten ni sean paralelas.

-401'. ¡Qué propieclndes tienen la perpendicular y oblíoaas trazadas desde LID mismo punto {1 un plnno T f11 R. La perpenclioular es rueuor que cualquiet·a oblicua diciéndose p or esto, que mide In di stancia entre el puuto y el plano. Las &blícuas equidistantes del pié la perpeuclicular, sou iguales y rt•ciprocamente. Entre dos c;>blicuns qne se separan desigualmente del pié de la perpendicular1 será mayor la que más se separe y reclprocamente. P . ¡Qué 1m¡¡ pieclad tienen dos ó más rectr.s perpeudicula-res á un' mismo plano T R. Son paral cln s e ntre si P. ¡Qué se llama pl'Oyece ion de un punto so bre un plnuo1 R. El pió el e In perp e uc!i culnr trazndn do Hdo el punto al llam¡\ndose á este pl<1110 lle ¡n·uy1 ·ccio n y {¡la per- · peud1 uular recto 11roy ec tc111tc. P. ¡ Qué se entieude por proyecciou de una recta sobro planoun T R. f,a l'ecta qu e lllle PU dicho plrmo Í\ las proyeccion es de d os puuto s d e la lí11c>1 propuesta. R. ¿ se eut ioude por áugu lo ele una recta con unR. El qu e forma la recta con su proyecc ion sob re clicho plauo. P. ¡ Ouánclo se cliceJJne nua recta y uu plnuo son losparalee11 tre si T R. Ounnclo prolongatlos iuclefi11iclamente una.\' otro no se corlan . · P. flnáutas rectas podrán trazarse desde un puuto lelaspara{1 un plano T R . Iulinitas: ba stnrn lo para obt<•nprlas trazar por e l punto •propuesto recta s que sean pnmlelns á otras sitnacl as en el pluuo. ANGULO$ DIEDROS. P. i Qn6 se entiende por ángulo diedro 1 R. BI espacio ilimitado comprendido entre dos planos que se cortan, estos planos reciben el nombre de caras y la recta interseccion, arista 1lel diedro . P. ¿ 06mo se nombra no áng ulo diedro f R. · Por medio de cuatro letras, una de cada cara y colo-4-1ca'!lclo en meflio las clos de la arisj;a por ejemplo ABOD • • p. ¿ Quó se e!Jtiencle·por {111gulo rectillueo ele. un diedro R El áugulo plnno t'ormnclo por las perpendiculares traza. das á la arista en un mismo ¡muto y en cada una ele las caras del dieclro., . P. ¿Qué relacion existe entre el valor de un cl1eclro y el de su rectillneo correspondieute 7 . , R. Son proporcional es, sirviendo por lo tanto el rect1b neo de merlicla para el diedro. . . , P. ¿Qué consecuencias se declncen de esta T R. A fliedros iguales corresponden yeot1lm eos iguales y reclprocam e nte: un sem lo sen su rectillu co .corresponchente y 1·ecfp1_ocameute . Y Los ángulos goznráu 101s mas. clades que los rect.i líu cos qne les ele meilida, asf diremo s qu e la s111mi el e clos ángulos chedros vale dos rectos, que la s111:ia ele todos los ángulos clteclro s que se forman ni r ecl eclot· ele una recta valen c:uatro diedros rectos, q ne los clieclros opuestos por la arista son iguales &• PLANOS PARALELOS. ' P . ¿ Oui\uclo dice q ue 1los planos son parnlelost , , R . Ouaudo prolongados foclefinidamente no se P. ¡Qué propi edacl tienen los planos perp endiculares á una mis ma recta t R. Son paralelos entre si . P. ¡ Qné pro¡¡i cdncl tienen los {tngulos que se forman al cortm· dos pi.linos l"u·olelos pot· uu? secante 1 · R. Se forman ocho á ngulos, cuntt'? mternos y cuatro externos, lo s· cuales tienen Jll'OJneclatles análogas á las esplicadas en las rectas ¡>amielas P. +Qué propieda<l tienen lns pnrtes de rectas paralelas mterceptadas por pl anos pamlelos T R. Son igua\es·

ÁNGULOS POLIEDROS.

P. · ¡Qué se eutiende por ángulo poliec!ro f B. El espacio ilimitado comprendido 1 entre varios planos que se cortan en un punto. P. ¡ Qné nombres reciben los diferentes elementos que forman un ángulo poliedro 1 B. Se llanu\ vértice el punto comtw á todos los planos, estos se llaman curas y sus intersecciones respectivas, aristas.

P. i Uo cuántas clases pueden ser los ángulos poliedros! R. Oonvexos y cónciivos; los priuu, ros son aquellos en que una recta trazadn en cualquiem direcciou, solo putlde cortu á las caras en dos puntos y Jos segundos aquellos cuyas caras pueden ser cortadas en más de dos puntos por la inclica:la recta.

P. ¡ Oómo se clasifican los ángulos poliedrQS f B. Segun el núm e ro ele sus caras; os! llamaremos: Ángulo cyiedJ.-o al que tiene 3 caras; Ángulo tetraedro al que tiene 4 " Angulo penta ed ro al que tiene 5 " Ángulo exaeclro al que tiene 6 " y as! sncesivamente. P.· ¡"Oómo oe nombran lo s áugulos poliedros f R. 'l'omundo la letm del vértice y á eoutinuucion la quecorre'!!pouda á cacla una de las aristas. P. i Qué p1,o pi tl<lacl tieU\'ill la suma de los ángulos planos que forman nu úngulo policdl'O f B . Dicha suma tendt·á su valor comprendillo entre O y <i rootos, correspondiendo el primer limite á el caso en que el ángulo poliedro se cierrti hasta reducirse á una roo.ta y el seguu<lo cuando sti ahra hasta convertirse en nn plano. ANGULO$ TRIEDROS. P. ¡ relacion existe entre las caras de un úngnlo triedro f . -43uu'a cara es menor que la suma de las. otras dos y mayor que sn diferencia. . P. i Qné valor tiene Ja suma de los ángulos cliedros de nn triedro cualquiera f . B. Dicha suma se halla comprenriicla entre Jos lhuit es 2 rectos y seis rectos. P. i Qué relacion existe enhre las caras y los ángulos diedros de un triedro cualquiera f B. A caros ig ualee se oponen dieclros iguales y reclprocamente. 2t A diedros · igtmlcs se oponen caras igual es y réci_¿ proeámente. P. ¿Qué condiciones necesitan dos ángd:Ios triedros para ser iguales T . R. Esta igualdad so 'l"erifica en l os s ig u ientes casos: 19 Cuando tongan un ángulo di edro ig ual comprendido entre cara s ign nl es (ftg. GO¡ Si\= S' A.'.ASB = A.'S'B' y ASO= A'S'O' ' • 29 Ouando t enga n una ea11a igual. adyacente á dos diedros igual es, ASO= A'S'B'; AS= A'S' y SO =S'Cl'; 39 Ouando tenga n s us tres án!l'nlos d iedros respectivamente igual es SA = S'A'; SB = S'B' y SO= S'O' 49 Ouando te ngan s us tres ángulos planos respectivamente igual es; ASB= A'S'B'; AS0=A'S'0' y BSO · =B'S'0' ' · P. i Oómo se descompone uu ángulo poliecli·o en ángulos triedrosf R. Oonsideraudo planos que pa sen por uun ar ista cual· quiera y tocias l as d emás no a dyacentes. CAPÍTULO DECIMO TERCERO. \S UPERFICIES . P. i Oómo se consideran engeydmdas las superficies goométricas f B. Por una J!nea llamada que se mueve resba,

ll -42CAPÍTULO DUODÉCIMO.

• SUP'ERFICIES Cl.LINDRICAS. P. 4 A qné se llama snperficie cilíndrica T R. La que puede consi<lerm'lle engendrada por una recta que se mueve parnlelam c nte á si mjsma y resbalal;ldo sobre una. curva determinada. .. • P. ¿ Ou{1l es el eje ele una snperll:cie cillndrica f . R. La recta paralela ú la generatriz. trazada por el centro de la directriz . · · P. ¿Qué se entiencle cilindro T . R. E l es pacio c01upreud1do entre la superficie cilinclrica y dos plnuos paralelos que la cortan. , P. ¡ Ouándo se dice qne un cHin\]ro es recto en oblicuo T R. Se- llnma recto, cnaudo s n ej e es verp eudicniin· á los planos de las ba ses y ol>llcuo e u el ca-' o co11t!1n·10. P. ¿ Oómo puede considerarse engendrado un 01l111cl.l:o recto de revolucion' R. Por un rectángulo que gim ni re dedor de uno de sus lados. . P. ¿ Ou;\J es la a ltnra lle un cilindro T R. La perpendicu]Rr comu n al plano ele lus bases . P . ¿A qué se llama tronco do ciliuclro l R. A la pn'rw de cilindro qne r es ulta al cortarle con ¡m plano que no sea parnlel1,1 á sn base. SUPERFICIE ESFÉRICA. P. ¿Qué se erltieudc por supei·flcie .esférica'· . B. Una superficie cerrada, cuyos puntos eqmd1stan de uno interio1· llamado centro ,!i'. ¡ Oómo puede considerarse engendrada la superticie esférica! •

laudo en condiciones determinadas, sobre otra dirootiri:::. P. ¡ Oómo se clasifican las superficies T R. En regladas y 110 regladas, sieddo las primeras nquellaa qne pueden suponersl' cn¡rendratlas por una linea recta y las segundas las qno bujo niuguu concepto admiten generacion rectilhiea. P. ¿De cuántas clases pueden ser la s superficies regladas! R. Desit rrollitl>les y alaveadas ó gnuclrn s, siendo las prime1·as aque11as qne pueden estenderse sobre un plano sin fractura entre sus elementos; y alaveadas ó gauchas las que no gozan de esta propiedad. / P. ¡Qué se entiende por superficies dr¡ revoluciou T R. i\r¡n ell as en que la genomtriz se mueve girando al rededor de u11 eje, el cual tom:i el nombre ele eje de la figura . P. i Qné propiedatl lieuen la" superfici es de rovoluciou T R. '.rodos los lJUlltos de la geuerntriz· describen circnnfercucius cnyos planos son perpondicnlares nl eje y <myos centros se eucneutrnu en dicho eje. SUPERFICIES CÓNICAS. P. ¿ Qn6 se entiende por snperficie cónica T R. La e ugendracln por una recta AA' ¡og. 011 cuando resbala sohre una cnrva dtula, girall<lO al rededor de un punto fijo. . P. l 061110 se llam a u las partes do st!perfic1e separadas por dicho punto T · R . ' ¡foj as de la sup erfi<;ie c6n ica , .si.en1 lo el indicado punt.o e l ''é rtic" 6 cc n*ro <le la s up e rfi cie . P. 'Ouál es el eje ele um• superficie cónica T R. Ommdo la directriz tiene centro se llama eje á la recta que une el vértice cou dicho ceutro. P. ¿Qué se entiende por cono T R. El espacio comprendido por una de las h{\jas ele Ja snperticio cónica y un plano cualquiera que la corte. P. ¿ Ou:\nclo se dice que un conil es recto T R. Ouando sn eje_ es · perpendicular '.tl plano de la base; siendo oblfcuo, en el caso contrarw. P . 4 Oómo puede considerarse engendrado un cono recto de revolncion T -'<ÍllB. Por un triángulo rectángulo que gira. ni rededor de uno de ene catetos. . P. ¡A qué se llama tronco de cono l R. A Ja parte de cono comprell!li<la entro la base . y un plano que corta la superficie. . P. ¿Qué interse ccion woduce nn plano paralelo 6 la baso con la superficie de un couo recto T R . Una circunfern11cia cuyo radio guartla con el de la base la mism a relacion que las alturas. de los conos total y deficiente.

P. R. ¡l. P. R. P. R. P. R. P . R. P. R. P. -'6Por nnn sem i-circunferencia que gira ni rededor de ·m diámetro; siendo el centro y radio <le esta ferencia, e l centro y radio de la sn¡wrílcia esférica. l A qn 6 se llama e•fora ! . Al espacio comprendido Pº" ta superficie esférica. l Qué condiciones determinan una superficie esférica t Cuatro puntos no situados en 1111 mismo plano. i Onál es la intcrsecciou de un plano con In esférica!superftcie 1 Ui1a cuyo radio aumenta á medida que el plnuo se aproxima al centro; siendo este radio igual al de la esfera cuando el plano pasa por dicho punt.o. l Qué nombre ret'ihen estas cir1!l111ferencias ! ' Se llaman circunferencias de circulos minimos aqnelllÍa cuyos planos no contienen al centro y de eiJ:culos máximos cuando lo contienen.

P. l Cuántas posiciones pueclen tener dos esferas on el espacio ! .

POLIEDROS .

P. l Qué se entiende por poliedro T R. El cuerpo geométrico limitado en todos sentidos por planos. . P. l partes considera.remos en todo poliedro T R. La.S caras, aristas, vértices, ángulos poliedros, ángnloa diedros y án g ulo s plano s. P. l Qué se llama diagonal en un poliedro! R. La recta que une á dos vértices no situadas c n una misma cara. P . l De CL\ántas clases pueden ser los poliedros t R. Convexos y cóncavos, segun cumplan ó no con lu.s condiciones ya expresaJa11 en los ángulos poliedros. P . l Oómo se clasifican los poliedros t

l Qué propiedad tiene o! diámetro perpendicular al plano <l e no a de estas cil'Cnnforencias T Pasa por lo s centros d e todos los circulos á cuyos planos es perpendicular y corta á la esférica en dos puntos que tienen la propiedad de equidistar de todos los de las r e.• pectivas circunferencias !••· 1 P 7 P' distan do los pnntos perteuecleutos á la circunferencia, cuyos centros so n o, o·, o; & . ... l Oómo se llama á los puntos P . y P.' T Polos de tocias las circunferencias indicadas. l Qné se entiende por casquete esférico T Oad:. una de las partes en que resulta dividida la mperficio esférica, al P.ortarla por un pl a no. t QL1é se e ntiende por zona esférica T La parte de superficie esférica comprendida entre doa planos parn le los.. · l se e nti ll!il d e por buso esférico! La parte de s uperticie es!'érica compreudirla por el ángulo 11iedro qua forman dos planos qn e pa san por el centro . ¡A qué se llama segmento esférico! Onda una <l e las partes en qno resulta dividida la esfera al cortmla por un plano. ¡Qué os re banada e.,f'érica ! La parte do esfera comprendida cutre dos planos paralelos. • l Qu6 so entit'lnde por cuña esférica T -·'7.R. La parte de esfera com1>rendida por el ángulo diedro que forman dos planos que pa&an por el centro. P. ¡Qué es sector esférico t . . R. La parte-de esfera comprendida por una superficie cónica cuyo vértice Rea el centro de la esfera y liwitado por el casquete esférico intereepta clo por la iudicada superficie. '

R. Las mismas que dos olrcnufereucias en un plano; existiendo las mismas relaciones qua para estos caeoe se espllcaron, entre la distancia de los centros y los.-.. dios de las esferas. P. l Qué se entiende por polfgono esférico T R. La part.e do superficie esférica limitada por arcos de cfrculo máximo . P. l Onál es la menor distancia entro dos puntos situadoa sobre una sn perficie esférica t . R. El arco de circulo málcimo que los une T CAPÍTULO I)ÉCIMO ·CUARTO.

\ '48- _,9_ B. · Segun el número de sus caras; asi llamaremos tetra&- ,R. Un poliedro en que una de sus caras es un dro,pollgono ponroedro, exaedro, octaedro, segun tengan 4, JI cualquiera y todas las demá.s son , triángulos que tienen !!, 6, 8 ca.ras. • un vértice comun. , PRISMAS. P. qué se llama base y altura de una pirámide f • ¡ R. e llama base el pollgono en que se apoyan las P.caras ¡ A qué se llama prisma f triangulares, y altura la perpendicular bajada el B. Un poliedro qne tiene dos de sus caras poligonos igua- vértice al plano de la. lesbase. y paralelos; y todas las demás caras Ja.torales son P. ¡ Ouándo se dicé que una pirámide es paralelógrnmo•.regularf 1 R. Ouando siendo la base un poligono regular P.cumple i Oómo se clasilicun los prisma& f además con Ja condicion de que el centro de dicho B.poSe llaman trian¡!;nlures, cuadrangulares, pentagonales es el pié de la altura de la segunpirámide. que sus buses sean triángulos, cuadrilát.eros, / P. ¡ ué propiedad tienen las caras laterales de una pentágonospirámide P.regular! ¡ Ouáudo se dice que un prisma es recto ú oblicuo f R. Son isosceles é iguales entre R.llamándose Ouando las aristas laterales son perpendiculares á los apotema la altura de uno de estos planostriángulos. de las bases, se llama el prisma recto, y oblicuo P. ¡ Oómo se clasifican las pirámides f en caso contrario. R. Segun el número de s:is caras; así llamaremos P.pirámi¡Qué se cntieurle por prisma regular f de triangular 6 pi.J.'ámirb C' nadrangular, R.penUn prisma recto, cuyas bases son poligonos regulares . tagonal, exagona l, seg un que Ja base seA un P.trián¡Qué interseccion produce con un prisma un plano que gulo, cuadrilátero, pentágono, se!\exli.gono paralelo á sus bases 1 P. ¡ Qué interseccion produce con la piró.mide, un B.plano Un polígono i¡;ual á dichas bases. que sea paralelo á 111 base P.T ¡A qué se llama secciou recta tle uf1 prisma oblicuo f R. Un polígono semejante al de dicha R.base. AJ polfgono quo resulta cortándolo con un plano que P. i A qué se llama tronco ele pirámidl¡ f sea perpendicuhu- ti. la direcc.ion de sus aristas laterales. R. La parte dé piró.mide cqmprendicla entre el plano de P.la. ¡A qué s e llnma paralelepipedof base y otro que l e setl paralelo R.. Un prisma cuadranguhu cuyus baSQS son paralelógramos. 1••· 02¡ POLIEDROS REGULARES .P. ¡Cuá ndo be dice que un paralelepipedo recto es rectanP. ¡A qué se llama poliedro regular fgularf B. Ouando todas sus caras son rectángulas. R. Aquel que tiene por caras, po!igonos regulares é iguaP. ¡A qué se llama cubo f es, y sus ángulos poliedros tambien iguales entre sí. B. Al paralelt>pipetlo recto rectangular que tiene por caras P. ¡ Ouál es Ja propiedad comun á todos los poliedros recuadrados. • rolares' P. ¡Cuáles son las propiedades priucipa les del paralelepi- R. n inscriptibles y c ircunscriptibles á una superficie p edo! esférica R. Las caras opuestas son pamlelógramos iguales en- P. ¡ Onántas clases de poliedros re¡ulares hay f tre si· las diagonales se cortan en partee iguales y R. Oinco; tres cuyas caras son tri ngulos equiláteros, que el punto de interseccion de las diagonales es el cen- son el tetraedro con 4 caras ; lftg. 63 ¡ el octaedro con 8, tro del paJ"a!elepipedo .- ¡ftg. el ycosaedro con 20 lftg. 65 ) Uno cuyas caras son cua rados, el cual tiene G caras y ya hemos áescrito PIRA M 1 O ES. con el nombre de (flg. 65! y uno cuyas caras son P. ¡Qué se entiende por pirámide f pentágonos , el cual consta ele 12 curas y so llama dodeca ro. lftg Go 1 • _

-50" P. ¡ 06mo se descompone un poliedro regular 6 en tetraedros f • R. Se desoompone primero en tantas haya en el poliedro, para lo cn11l basta _clmgir rectas desde un punto interior á todos los vértices; despues se descompon e cada una de estas pirámides en t.etraedros. · )

CAPÍTULO DÉCIMO QUINTO. / ÁREAS. P. ¡ Oómo se determina. el área de un poliedro f B. Si est.e es irregular se suman las correspondientes 4 cada una de sus caras; y si es r egu lar, se determina el área de una cara y se multiplica 'f?or el número de lrui que tenga el poliedro. · P . ¡Qué valor tiene el área lateral ele una pirámide regnlarf B . La mitad del perimetro ele su base por su apotema. P. ¡ Ouál es el área lateral de un f . . B. Considerado el cono como una piránnde lle rnfinit.o número ele caras, su área será la mitad de !ª circunferencia que le sirve de ba.se por su geuembnz 6 soo Á= 1t R Xg. P. '06mo se encuentra el área lateral de un tronco de cono rectof B. Multiplicando la generatriz por la semi-suma de las circunferencias que le sirrnn de base; A = G x 7t li; "r ; 6 bien multiplicamlo Ja generatriz por la circ un ferencia trazada souro l a superficie á 1 igual distancia de las base.•, A= G X 2 " R'. P. ¡Qué valor ticño el {u·e:\ do la snporficio lateral de un prisma f . R. Si el prisma es recto s u área lateral será igual al peri-51metro de su base por la altura, y si es oblicuo, al periwetro de la seccion recta, por una de las aristas. p. ' Qué valor tiene. el área laterál ae .un . R. Oonsidei;ndo el cilinclro comb un pnsma de iuflwto número de caras, tendrá por área, si es recto, la circunferenci a que le sirve de base por la generatriz, A = 2 " B X g · y si es obHcno, la secciou recta por dicha generatriz. P. ¡ es el área de un tronco de cilindro circular y rect.of · . B. La circunferencia que le s il:ve.de base . multiplicada por el eje. P. ¡Qué vo lor tiene el área de una esfera f B. Cuatro veces el área de un cilindro máximo 6 sea 4 1t B' pudiendo tambien decirse que ¡¡,s igual á la circunferencia de circulo máximo por el diámetro, A=2"' R X 2R" P. ¡ Ouál es el área de uo cas quiite, esférico f R. La circunferencia de ·circulo m áximo po1· la del casquete; A=2"' R X h" .. · P. ¡Qué valor tiene el {lrea d e una zona esférioa f R. La circunferencia de circulo m{,ximo por la altura de la zona A=2 7t B X h. ·. P. ¡Qué valor tiene el átea de un huso esférico f R. La cuarta parte de superfleie esférica, multiplicada por el diedro que limita al huso. ( P. ¡ Onáudo se dice que dos cuerpos •geométrioos de revoluciou son semejantes l · R. Oua.ndo pueden considerarse engendrados por figuras semejant.es . P. ¡ Qué relacion existe entre las úreas de dos cuerpos semejantes T R. Son proporcionales á los cuaclrados de sus lineas homóA logas;R' así en do s conos resultarle. /;! = WCAPÍTULO DÉCIMO SEX'l10. VOLUMEN ES. P. ¡ .Cómo se determiit.i en geneml el volúmeu de un cuel'o po cualquiera T ·

R. P. '\ R. P. R. P. R. P. R. P. R. P. D. P. R. P. :R. P. R. P. B. P. B. -52Encontraudo la relncion que guarda con el correspon-·'H diente á el de otro cuerpo que se toma como unidad de medida. 1 ¡ <tué rolaciou existe entre los volí1menes de dos paraJelepipedos que tengan nna misma base T Sus rnlúmenes son proporcionales á las altnras. tQué rolacion existe entre volúmenes de dos paraelep\pedos que tengan la misma altura T Son proporeionf!.les á las bases. ¡Qué relacion existe entre los volúmenes de dos paraJelepipedos de clife1'l!nte base y altura T Son proporcionales á los productos de sus bases por sos / alturas. ¡

¡Cuál es el vohímen de un prisma recto T El producto ele su base por su altura. ¡ Qué valor tiene el volúmen de un cilindro f El producto clel circulo que le sirv(l de base por la altura V = -:e R' X h".i Qué valor tiene el volúmen ele una pirámide' El producto ele base por la tercera parte d1• su altnra. ¡Qué valor tiene el volúmeu de un cono t El producto del circulo que le sirve de base por el tercio de su altura ; V = n R' h" ¡Cuál es Ja espresion formular del volúmen de un tron· co de cono de bases paralelas T Un tronco de cono equivale á la suma de tres conos cuya altura comun es la misma del tronco y cuyas bases son, la inferior, la superior y una media proporcio. na! entre ambas : siendo R, y R' los rodios de las bases y h la altura del tronco resultaria ' V= i :< h (R'+r'+Rr). -55P. ¡ OuAl es el volúmen de una esfera. cuyo radio sea B T B. El producto de sn área, por el tercio del radio ó sea V= 411:h"Xi B == í.,.. y si se quiere este volúmen dependiendo del diámetro D resultaría V=.¡ 'lt D'. P . ¡Cómo se o9tiene el volúmen de ua 'segmento esférico T B. Multiplicando el •tercio de la rolacion de la circunferencia al diámetro, por el cnadra9o de la altura del segmento y por el exceso del triplo del radio sobre a1tura;'dicha lo cual se indica en la fórmula V== i "' h' { 3R-h ). P. ¡Cómo 8e obtiene el volúmen de un sect-0r esférico T w. Multiplicando el área del casquete que le sirve de base por el tercio del radio; V= i 'R'X 2 "Rh =iKR'h. P. ¡Qué relacion existe entre los volÚillenea de los cuerpos semejantes t B. Son proporcionales á los cubos sos lineas homólogas . FIN.

Qné consecuencia se deduce de estas propiedades T Que tomauclo como uuidacl de volúmeu el cubo cuya arista sea igual á la unidacl linoal, el volúmeu de un paralelep!pedo rectángulo será ignal al producto de su base por so altura; ó bien el prodtícto ele sus tres dimensiones. ¡ Qué valor tendria segun esto el volúmen de un cubo T El cubo correspondiente al valor de so arista. ¡ Qué relacion existe entre Jos paralelepipedos de igual base y altnra T Tienen el mismo volúmen ; llamándose por esto eqnivalentes.

LAMINA Fig1: A ·' I · 1 / ,/ A .-';.'!,/;>: ·'DBC ', __ ,.,,"'"' _........ * p B , N . , /. .. , . . ', ', e í\ ''

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1 V o e p ·. ! \ . B X C -, -- e • 1 1