Operazioni con frazioni

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ARITMETICA 1

LE

OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

PREREQUISITI l

l

l

l

conoscere le proprietaĂ del sistema di numerazione decimale conoscere le proprietaĂ delle quattro operazioni ed operare con esse conoscere il significato e operare con le potenze definire e calcolare M.C.D. e m.c.m. di due o piuĂ numeri

CONOSCENZE

ABILITAĂ

1. il concetto di frazione 2. la classificazione delle frazioni 3. le frazioni equivalenti 4. numeri misti, frazione complementare, frazione inversa 5. il concetto di addizione e sottrazione 6. il concetto di moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza

A. operare con una frazione su una grandezza B. semplificare una frazione ai minimi termini C. confrontare due frazioni D. svolgere le operazioni con le frazioni

P ER R ICORDARE Le frazioni: 1. la frazione eĂ un particolare strumento matematico che permette di dividere in parti uguali una certa quantitaĂ o un certo numero di oggetti; 2. l'unitaĂ frazionaria rappresenta una sola delle parti uguali in cui eĂ diviso l'intero; 3. le frazioni proprie hanno il numeratore minore del denominatore; 4. le frazioni improprie hanno il numeratore maggiore del denominatore; 5. le frazioni apparenti hanno il numeratore multiplo del denominatore; 6. per comprendere come opera una frazione su una grandezza devi applicare il metodo grafico. Esso consiste nella rappresentazione degli elementi noti per mezzo di disegni di grandezza opportuna volti a favorire la lettura e l'interpretazione delle relazioni esistenti tra i dati. Occorre in altre parole procedere secondo uno schema logico che puoĂ essere sintetizzato in tre passaggi: disegno; corrispondenza tra i dati e il numero delle parti degli stessi; calcolo delle singole parti. Le frazioni equivalenti: 7. due o piuĂ frazioni sono equivalenti se, operando sulla stessa grandezza, ne rappresentano una parte sempre uguale; 8. proprietaĂ invariantiva: se si moltiplicano o si dividono, se cioĂ eĂ possibile, per uno stesso numero diverso da zero, entrambi i termini di una frazione si ottiene una frazione equivalente alla data; 9. una frazione eĂ riducibile se numeratore e denominatore ammettono divisori comuni; 10. una frazione eĂ ridotta ai minimi termini o irriducibile se il numeratore e il denominatore sono primi tra loro;

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

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11. ridurre una frazione ai minimi termini significa trasformarla in un'altra frazione equivalente ed irriducibile; 12. per ridurre una frazione ai minimi termini basta dividere numeratore e denominatore per il loro M.C.D; 13. per trasformare una frazione in un'altra di denominatore assegnato, basta moltiplicare entrambi i termini della frazione per il quoto tra il denominatore assegnato e quello della frazione data; 14. per ridurre due o piuÁ frazioni al m.c.d. si riducono le frazioni ai minimi termini (se necessario); si calcola il m.c.m. dei denominatori; si divide il m.c.d. per il denominatore di ciascuna frazione; si moltiplicano i termini di ogni frazione per i quoti precedentemente ottenuti; 15. se due frazioni hanno i denominatori uguali e i numeratori diversi, la maggiore eÁ quella che ha il numeratore maggiore; 16. se due frazioni hanno i denominatori disuguali, dopo averle ridotte allo stesso denominatore, eÁ maggiore quella che ha il numeratore maggiore. Le operazioni con le frazioni: 17. la somma di due o piuÁ frazioni aventi lo stesso denominatore eÁ una frazione che ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori; 18. per eseguire la somma di due o piuÁ frazioni non aventi lo stesso denominatore eÁ necessario ridurle tutte allo stesso m.c.d. ed applicare poi la regola precedente; 19. la differenza tra due frazioni, la prima maggiore o uguale alla seconda, aventi lo stesso denominatore, eÁ una frazione che ha lo stesso denominatore e come numeratore la differenza dei numeratori; 20. per eseguire la differenza tra due frazioni, la prima maggiore o uguale alla seconda, non aventi lo stesso denominatore, eÁ necessario ridurle allo stesso m.c.d. ed applicare poi la regola precedente; 21. i numeri misti sono costituiti dalla somma di un numero intero e di una frazione propria; 22. un numero misto si puoÁ trasformare in una frazione impropria avente per numeratore il prodotto del denominatore della frazione per il numero intero piuÁ il numeratore della frazione e per denominatore il denominatore stesso della frazione; 23. la frazione complementare di una frazione propria ha per denominatore quello della frazione data e per numeratore la differenza tra il denominatore e il numeratore della frazione; 24. il prodotto di due frazioni eÁ una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori; 25. in una moltiplicazione di frazioni si puoÁ semplificare "in croce" il numeratore di una con il denominatore dell'altra; 26. il prodotto di due frazioni reciproche o inverse eÁ uguale a 1; 27. per scrivere l'inversa di una frazione basta invertire il numeratore con il denominatore; 28. per dividere due frazioni basta moltiplicare la prima per l'inversa della seconda; 29. la potenza di una frazione eÁ una frazione che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore.

E SERCIZI

DI

C ONOSCENZA

1 Completa la seguente definizione: 1 l'unitaÁ frazionaria (con n 6 :::::) rappresenta una sola delle ... parti ......... in cui eÁ stato diviso ............ n 2 Quale unitaÁ frazionaria rappresenta la parte colorata dei seguenti segmenti? a.

b.

c.

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68

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

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3 Rispondi alle seguenti domande.

5 a. Qual eÁ l'unitaÁ frazionaria che compone la frazione ? 9 3 b. Da quante unitaÁ frazionarie eÁ composta la frazione ? 11 1 c. Quale frazione eÁ composta da 4 unitaÁ frazionarie uguali a ? 7

4 Indica quale delle seguenti affermazioni eÁ sbagliata. 3 Nella frazione : 4 a. il numero 3 rappresenta il numeratore; b. il numero 4 rappresenta il denominatore; c. la linea che si trova fra i due numeri prende il nome di linea di divisione. 5 Completa le seguenti frasi scrivendo al posto dei puntini l'unitaÁ frazionaria o la frazione corrispondente: a. le consonanti sono ............. delle lettere dell'alfabeto italiano; b. il mese di aprile eÁ ............... di tutto l'anno; c. un alunno in una classe formata da 25 alunni rappresenta ........ di tutta la classe; d. il portiere e il centravanti di una squadra di calcio rappresentano .............. di tutta la squadra. 6 Completa la seguente definizione: la frazione eÁ un operatore che permette di dividere ............... in tante parti ..........., quante ne indica il ........................., e di prenderne in considerazione quante ne indica il ......................... 7 Quale frazione rappresenta la parte colorata dei seguenti segmenti? a.

b.

c.

8 Rispondi alle seguenti domande inserendo al posto dei puntini il termine corretto: a. una frazione si dice .................... quando il numeratore eÁ minore del denominatore; b. una frazione si dice impropria quando il numeratore eÁ ................ del denominatore; c. una frazione si dice apparente quando il numeratore eÁ ................ del denominatore. 9 Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: a. le unitaÁ frazionarie sono frazioni improprie;

V

F

b. le frazioni improprie rappresentano una parte di una grandezza che eÁ maggiore della grandezza stessa;

V

F

c. le frazioni apparenti rappresentano l'intero o un multiplo dell'intero;

V

F

d. le frazione proprie hanno il numeratore maggiore del denominatore.

V

F

10 Date le seguenti frazioni indica in nero le frazioni proprie, in blu le frazioni improprie e in rosso le frazioni apparenti: 5 4 3 9 1 7 15 13 20 2 , , , , , , , , , . 3 5 2 3 8 2 5 6 10 3 11 Utilizzando al numeratore i numeri 2, 3, 4 forma tutte le frazioni: a. apparenti di denominatore 2; b. proprie di denominatore 6; c. improprie di denominatore 3; d. apparenti di denominatore 3; e. improprie di denominatore 4; f. proprie di denominatore 7. 12 Completa la seguente definizione: due o piuÁ frazioni si dicono equivalenti se operando sulla stessa ...................., ne rappresentano sempre una parte ..................

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L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

13 Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: 4 5 a. le frazioni e sono equivalenti; 5 4 7 b. si puoĂ ottenere una frazione equivalente alla frazione avente come denominatore 15; 5 9 c. si puoĂ ottenere una frazione equivalente alla frazione avente come denominatore 11; 2 5 15 d. le frazioni e sono equivalenti. 3 9

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V

F

V

F

V

F

V

F

14 La proprietaĂ invariantiva delle frazioni dice: se si moltiplicano o si .................. (se cioĂ eĂ possibile) per uno ........... numero, diverso da ............., entrambi i termini di una frazione, si ottiene una frazione ........................ a quella data. 15 Stabilisci se l'insieme delle frazioni assegnate formano o no una classe di equivalenza: 5 10 15 20 25 , , , , , :::::::: a. 3 6 9 12 15 8 16 24 32 40 , , , , , :::::::: b. 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 , , , , , :::::::::: c. 5 5 10 20 25

SI

NO

SI

NO

SI

NO

16 Completa le seguenti definizioni: a. una frazione si dice riducibile se numeratore e denominatore ammettono ......................................; b. una frazione eĂ ridotta ai minimi termini o irriducibile se il numeratore e il denominatore sono ............ ....................... 4 15 13 4 6 8 15 ; ; ; ; ; ; . 17 Individua tra le seguenti frazioni quelle irriducibili: 3 10 91 12 9 3 7 18 Completa la seguente definizione: per ridurre una frazione ai minimi termini basta ................. il numeratore e il denominatore per il loro ............. 19 Nel trasformare le seguenti frazioni allo stesso m.c.d. sono stati volutamente commessi alcuni errori, individuali e correggili: 4 3 1 16 9 10 5 7 2 10 14 6 ! , , ; b. , , ! , , . a. , , 5 4 2 20 20 20 4 6 3 12 12 12 20 Completa le seguenti proprietaĂ : a. se due frazioni hanno i denominatori uguali e i numeratori diversi, la maggiore eĂ quella che ha il ..................................................; b. se due frazioni hanno i denominatori diversi, dopo averle ridotte allo stesso denominatore, eĂ minore quella che ha il ..................................................; c. tra due frazioni una propria e l'altra impropria eĂ minore la frazione ..............; d. se due frazioni hanno i numeratori uguali e i denominatori diversi, la maggiore eĂ quella che ha il .................................................. 21 Inserisci al posto dei puntini il simbolo di maggiore, minore, uguale. 5 3 6 18 5 2 ...... ; b. ....... ; c. ...... ; a. 9 2 7 21 3 3

d.

5 4 ...... . 8 7

22 Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: a. la somma di due frazioni proprie non puoĂ mai essere una frazione impropria; b. la somma di una frazione propria con 1 eĂ sempre una frazione impropria; c. non eĂ possibile eseguire la differenza tra una frazione impropria e una propria.

V

F

V

F

V

F

70

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

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23 Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: a. il prodotto di due frazioni complementari daÁ come risultato 1; b. il prodotto di due frazioni inverse daÁ come risultato 1; c. per dividere due frazioni basta moltiplicare la prima per la seconda; d. il quadrato di una frazione si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per 2.

E SERCIZI

DI

A BILITAÁ

V

F

V

F

V

F

V

F

) LIVELLO BASE *

1 Completa la seguente tabella. Frazione

Numeratore

Denominatore

UnitaÁ frazionaria

Numero unitaÁ frazionarie considerate

.....

3

5

.....

..........

5 7

.....

.....

.....

..........

.....

.....

.....

.....

6 13

.....

.....

1 13

..........

.....

7

.....

1 23

..........

13 da

1 25

2 Disegna un segmento AB lungo 10 cm e su di esso rappresenta le seguenti unitaÁ frazionarie: 1 1 1 b. ; c. . a. ; 2 5 10 3 Disegna un segmento AB lungo 10 cm e su di esso rappresenta le seguenti frazioni: 3 3 3 b. ; c. . a. ; 5 10 4 4

Esercizio Svolto La frazione come operatore 2 Calcola i di 18 alunni. 3 Svolgimento Rappresentiamo i dati con una figura. Si capisce che 18 alunni corrispondono a 3 frazioni unitarie; pertanto: 1 18 : 3 6 (frazione unitaria 3 2 6 2 12 (valore corrispondente a 3

5 Opera sulle seguenti grandezze per mezzo delle frazioni indicate: 4 3 b. i di 72 caramelle; a. i di 35 francobolli; 7 8

c. i

5 di 60 quaderni. 6

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

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Risolvi i seguenti problemi di geometria applicando il calcolo con le frazioni. 3 6 Il segmento AB eĂ del segmento CD che eĂ lungo 15 cm. Calcola la misura del segmento AB. 5 4 7 Il segmento AB eĂ lungo 20 cm ed eĂ del segmento CD. Calcola la lunghezza del segmento CD. 7 2 8 Il segmento AB eĂ del segmento CD. Calcola la misura dei due segmenti sapendo che la loro somma eĂ 7 63 cm. 3 9 Il segmento AB eĂ del segmento CD. Calcola la misura dei due segmenti sapendo che la loro differenza 2 eĂ 20 cm. 2 10 L'angolo eĂ dell'angolo che eĂ ampio 45 . Quanto misura l'ampiezza dell'angolo ? 3 3 11 L'angolo eĂ ampio 90 ed eĂ dell'angolo . Quanto misura l'ampiezza dell'angolo ? 4 3 12 L'angolo eĂ dell'angolo . Calcola l'ampiezza dei due angoli sapendo che sono supplementari. 2 13

Esercizio Svolto

Le frazioni equivalenti Inserisci nelle seguenti uguaglianze al posto dei puntini un numero opportuno in modo che le frazioni risultino equivalenti: 6 18 7 21 ::: 9 ˆ ; b. ˆ ; c. ˆ . a. 5 ::: ::: 9 8 2 Svolgimento a. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 3:

6 6 3 18 ˆ ˆ ; 5 5 3 15

b. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per 3:

7 7 3 21 ˆ ˆ ; 3 3 3 9

c. Basta dividere numeratore e denominatore per 4:

36 36 : 4 9 ˆ ˆ . 8 8:4 2

14 Inserisci nelle seguenti uguaglianze al posto dei puntini un numero opportuno in modo che le frazioni risultino equivalenti: 4 :::: 3 12 7 14 ˆ ; b. ˆ ; c. ˆ ; a. 5 10 2 ::: ::: 6 d. 15

3 :::: 9 ˆ ˆ ; 5 10 :::

e.

4 12 20 ˆ ˆ ; 3 ::: :::

f.

20 10 5 ˆ ˆ . ::: 4 :::

Esercizio Svolto La riduzione di una frazione ai minimi termini Riduci ai minimi termini la frazione 120 mediante il metodo delle divisioni successive. 160 Svolgimento Dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per i divisori comuni: 120 160

!

120 : 2 ˆ 60 160 : 2 80

!

60 : 2 ˆ 30 80 : 2 40

!

30 : 2 ˆ 15 40 : 2 20

!

15 : 5 ˆ 3 . 20 : 5 4

16 Riduci le seguenti frazioni ai minimi termini mediante il metodo delle divisioni successive: 15 12 72 ; b. ; c. . a. 18 30 48

71

72

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI 17

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Esercizio Svolto La trasformazione di una frazione in un'altra equivalente di denominatore assegnato 36 5 e in altre due frazioni equivalenti a quelle date di denominatore 20. Trasforma le frazioni 15 7 Svolgimento l

l

36 12 . 15 5 Calcoliamo il quoto tra il denominatore assegnato 20 e quello della frazione ridotta ai minimi termini: 20 : 5 4. 12 12 4 48 . Moltiplichiamo per 4 entrambi i termini della frazione: 5 5 4 20

Riduciamo la prima frazione ai minimi termini:

5 Á Á e gia ridotta ai minimi termini ma non eÁ possibile trasformarla in un'altra 7 frazione equivalente di denominatore 20 in quanto i denominatori delle due frazioni, 7 e 20, non sono divisibili. La seconda frazione

18 Trasforma, se eÁ possibile, le seguenti frazioni in altre equivalenti di denominatore assegnato (riducendole quando eÁ necessario ai minimi termini). b. 10 con denominatore 18; c. 7 con denominatore 16. a. 15 con denominatore 24; 20 12 6 19

Esercizio Svolto La riduzione allo stesso m.c.d. di due frazioni 5 30 e . Riduci allo stesso m.c.d. le frazioni 8 72 Svolgimento 5 30 30 5 ai minimi termini: . La frazione eÁ giaÁ ridotta ai minimi termini. Riduciamo la frazione 8 72 72 12 5 15 5 10 Calcoliamo il m.c.d. 8; 12 24; pertanto: ; . 8 24 12 24

20 Riduci allo stesso m.c.d. le seguenti coppie di frazioni: 3 7 18 5 12 15 e ; b. e ; c. e . a. 4 12 30 20 18 12 21

Esercizio Svolto Il confronto di frazioni Confronta le seguenti coppie di frazioni inserendo al posto dei puntini il simbolo di minore, maggiore o uguale: 7 9 5 9 b. :::::: . a. :::::: ; 5 5 3 7 Svolgimento a. Le due frazioni hanno lo stesso denominatore pertanto:

7 9 < ; 5 5

b. Le due frazioni hanno i denominatori disuguali e vanno quindi ridotte allo stesso m.c.d. ovvero 21, quindi 5 35 e 9 27 ; eÁ maggiore la frazione che ha il numeratore maggiore, cioeÁ 35 > 27 . 3 21 7 21 21 21 5 9 Possiamo dunque concludere che > . 3 7

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L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

22 Confronta le seguenti coppie di frazioni inserendo al posto dei puntini il simbolo di maggiore, minore o uguale: 5 20 13 7 4 5 b. :::: ; c. :::: . a. :::: ; 3 12 9 9 7 8 23 Calcola il valore delle seguenti addizioni con le frazioni: 2 1 1 4 3 1 5 b. ; c. . a. ; 5 5 2 3 4 3 6 24 Calcola il valore delle seguenti sottrazioni con le frazioni: 5 1 11 5 7 1 1 ; b. ; c. . a. 3 3 2 6 3 2 4 25 Calcola le frazioni complementari delle seguenti frazioni proprie: 2 5 11 b. ; c. . a. ; 3 9 25 26 Calcola il valore delle seguenti moltiplicazioni con le frazioni: 5 3 3 4 11 4 15 b. ; c. . a. ; 4 2 2 3 2 5 22 27 Calcola il valore delle seguenti divisioni con le frazioni: 3 4 8 4 9 6 3 : ; b. : ; c. : : . a. 4 5 3 15 4 5 2 28 Calcola il valore delle seguenti potenze con le frazioni: 3 4 2 3 1 1 ; b. ; c. . a. 2 3 2

29 30 31 32 33

Calcola il valore delle seguenti espressioni con le frazioni. 1 3 1 8 7 : 1 . 5 2 4 5 11 1 5 1 13 1 1 4 : . 2 4 8 8 3 4 5 " #2 2 2 1 1 1 2 10 1 6 . 3 2 2 11 9 4 3 4 3 10 1 1 5 2 : . 1 5 2 9 4 2 2 3 " # 7 5 1 1 13 5 31 3 . 1 2 3 4 3 6 9 12 Risolvi i seguenti problemi che necessitano conoscenze sulle operazioni con le frazioni. 2 3 degli alunni giocano a calcio e a pallavolo. Calcola la frazione che 5 7 rappresenta gli alunni che non praticano alcuno sport.

34 In una classe di una scuola

1 2 del prezzo in contanti, con un assegno e la parte 5 3 rimanente dopo 8 mesi. Calcola quale frazione rappresenta la parte che bisogna ancora pagare.

35 Il padre di Marta acquista un'autovettura pagando

73

74

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

Q I STITUTO I TALIANO E DIZIONI A TLAS

36 Nella prima settimana della raccolta di figurine di calciatori, Federico ha riempito la seconda 1 e nella terza 1 . Quale frazione rappresenta le figurine mancanti? 4 8

2 del suo album, nel5

1 1 1 degli italiani hanno passato le ferie al mare, al lago e in 3 6 5 montagna; gli altri italiani non hanno fatto vacanza. Quale frazione rappresenta questi ultimi?

37 In seguito ad una inchiesta risulta che

3 2 38 Giuseppe ha speso dei propri risparmi per acquistare un gioco della play station, per un pallone da 8 9 1 calcio e per una maglietta della sua squadra del cuore. Quale parte di risparmio gli rimane? 6

E SERCIZI

DI

A BILITAÁ

) LIVELLO MEDIO **

1 Scrivi l'unitaÁ frazionaria che si ottiene dividendo l'intero nei seguenti casi: a. sei parti uguali; b. tredici parti uguali; c. ventiquattro parti uguali. 2 Scrivi la frazione che si ottiene nei seguenti casi: a. consideriamo 7 delle 15 parti uguali in cui dividiamo l'intero; b. consideriamo 5 delle 13 parti uguali in cui dividiamo l'intero; c. consideriamo 2 delle 9 parti uguali in cui dividiamo l'intero. 3

Esercizio Guidato La frazione come operatore

2 Un segmento AB eÁ lungo 21 cm. Calcola la lunghezza del segmento CD sapendo che CD AB. 3 Svolgimento Rappresentiamo i dati con una figura.

::::: ; pertanto: Si capisce che 21 cm corrisponde alla frazione 3 1 21 : ::::: cm ::::: cm (frazione unitaria ) 3 2 7 ::::: cm ::::: cm (CD AB) 3 Opera sulle seguenti grandezze per mezzo delle frazioni indicate: 3 di 20 alunne; 5 5 5 a. i di 49 autovetture; 7 4 a. i

6

4 di 24 piatti; 3 13 b. i di 72 bicchieri; 8

b. i

15 di 48 monete da E 1. 16 24 c. i di 174 matite. 29

c. i

Esercizio Guidato La frazione come operatore 5 Il segmento AB eÁ del segmento CD e la somma delle loro lunghezze eÁ 80 cm. Calcola la lunghezza 3 dei segmenti AB e CD.

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

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Svolgimento Dati

Incognite

AB ‡ CD ˆ ::::: cm

AB

5 CD 3

CD

AB ˆ

Dalla figura si capisce che AB ‡ CD ˆ 80 cm corrisponde a ........................... unitari (cioeĂ alla fra8 zione ). Pertanto: 3 1 80 : ::::: cm ˆ 10 cm (frazione unitaria ˆ ) 3 3 10 :::::: cm ˆ :::::: cm CD ˆ 3 5 AB ˆ ::::: ::::: cm ˆ :::::: cm 3 Risolvi i seguenti problemi di geometria applicando il calcolo con le frazioni. 2 del segmento CD e la differenza delle loro lunghezze eĂ 50 cm. Calcola la lunghezza 7 del segmento EF che misura quanto la semisomma dei segmenti AB e CD.

7 Il segmento AB eĂ

11 del segmento CD e supera quest'ultimo di 12 cm. Calcola la misura del segmento 8 Il segmento AB eĂ 5 3 EF che ha una lunghezza pari ai della loro somma. 2 4 9 Il segmento CD eĂ del segmento AB. Calcola la misura della loro somma sapendo AB supera CD di 9 15 cm. 3 10 L'angolo ha un'ampiezza pari a dell'angolo . Calcola le misure dei due angoli sapendo che la loro 4 somma eĂ 140 . 7 11 L'angolo ha un'ampiezza pari a dell'angolo . Calcola le misure dei due angoli sapendo che la loro 3 differenza eĂ 80 . 12 In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono uno

11 dell'altro. Calcola la loro ampiezza. 7

3 13 In un triangolo isoscele un lato obliquo eĂ della base che misura 60 cm. Calcola il perimetro del trian4 golo. 3 14 La base di un rettangolo eĂ lunga 40 cm. Calcola il perimetro del rettangolo sapendo che l'altezza eĂ 5 della base. 15

Esercizio Guidato Le frazioni equivalenti Inserisci nelle seguenti uguaglianze al posto dei puntini un numero opportuno in modo che le frazioni risultino equivalenti: b. 20 ˆ 60 ; c. ::: ˆ 28 . a. 13 ˆ 39 ; 15 ::: ::: 12 5 35 Svolgimento a. Basta .................... numeratore e denominatore per 3:

13 ˆ 13 ::::: ˆ 39 ; 15 15 ::::: 45

75

76

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

Q I STITUTO I TALIANO E DIZIONI A TLAS

b. Basta .................... numeratore e denominatore per 3:

60 60 : ::::: 20 ; 12 12 : ::::: 4

c. Basta .................... numeratore e denominatore per 7:

28 28 : ::::: ::::: . 35 35 : ::::: 5

16 Inserisci nelle seguenti uguaglianze al posto dei puntini un numero opportuno in modo che le frazioni risultino equivalenti: b. 9 12 ; c. 21 14 ; a. 5 ::: ; 6 30 15 ::: ::: 6 d. 5 :::: 35 ; 4 16 ::: 17

e. 14 21 42 ; 30 ::: :::

f. 120 10 15 . ::: 24 :::

Esercizio Guidato La riduzione di una frazione ai minimi termini 80 . Riduci ai minimi termini la frazione 150 Svolgimento Per ridurre una frazione ai minimi termini possiamo applicare tre metodi: a. Riduzione mediante divisioni successive 80 80 : 2 40 40 : ::::: ::::: 150 150 : ::::: 75 75 : ::::: 15 b. Riduzione con il M.C.D. M.C.D. 80, 50 :::::

!

80 80 : ::::: ::::: 150 150 : ::::: :::::

c. Riduzione mediante scomposizione 80 24 ::::: 2:::: :::::::::: 150 ::::: ::::: 52 ::::: ::::: 18 Riduci le seguenti frazioni ai minimi termini mediante il metodo delle divisioni successive: b. 24 ; c. 72 . a. 27 ; 18 30 48 19 Riduci le seguenti frazioni ai minimi termini mediante il metodo del M.C.D.: b. 21 ; c. 140 . a. 75 ; 45 49 120 20 Riduci le seguenti frazioni ai minimi termini mediante il metodo della scomposizione: b. 54 ; c. 63 . a. 36 ; 48 24 45 21 Trasforma le seguenti frazioni in altre equivalenti di denominatore assegnato (riducendole quando eÁ necessario ai minimi termini): b. 16 con denominatore 18; c. 21 con denominatore 14. a. 45 con denominatore 10; 30 24 6 22

Esercizio Guidato La riduzione allo stesso m.c.d. di due frazioni 50 3 e . Riduci allo stesso m.c.d. le frazioni 45 20

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

Q I STITUTO I TALIANO E DIZIONI A TLAS

Svolgimento Riduciamo la frazione

50 50 ::::: 3 Á Á ai minimi termini: ; la frazione e gia ............................. 45 45 ::::: 20

Calcoliamo il m.c.d. 20; 9 :::::; pertanto:

3 27 50 ::::: e 20 ::::: 45 :::::

23 Riduci allo stesso m.c.d. le seguenti coppie di frazioni: 5 9 28 35 120 15 e ; b. e ; c. e . a. 4 12 50 100 96 72 24

Esercizio Guidato Il confronto di frazioni Confronta le seguenti coppie di frazioni inserendo al posto dei puntini il simbolo di minore o di maggiore: 7 13 5 9 b. ::::: . a. ::::: ; 9 9 4 5 Svolgimento a. Le due frazioni hanno lo stesso denominatore pertanto .......... b. Le due frazioni hanno i denominatori disuguali vanno quindi ridotte allo stesso ............................. 5 ::: 9 ::: ; pertanto eÁ maggiore la frazione che ha il .............. maggiore: 4 ::: 5 ::: 5 9 ! < . 4 5

ovvero ..... ! ::: ::: < ::: ::::

25 Confronta le seguenti coppie di frazioni inserendo al posto dei puntini il simbolo di maggiore, minore o uguale: b. 13 ::::: 11 ; c. 14 ::::: 18 . a. 25 ::::: 15 ; 13 19 7 7 21 25 Calcola il valore delle seguenti espressioni con le frazioni. (" ) # 5 5 2 1 3 2 5 3 2 : 4 26 2 3 4 3 2 5 3 3 4 " " # 12 6 1 49 2 :2 27 5 2 : 6 : 2 5 5 2 9 3 28 " 29

17 36

3 2

2 1 9 2 1 2

1 2

1 : 4

3:3 4 2

2

# 7 12 : : 6 21

17 13 5 4 : 23 2 9 9 : 3 5 4 10 6 30 4 9 # 3 5 1 2 10 5 1 :1 1 1 3 2 3 3 3 6 2 2

Risolvi i seguenti problemi che necessitano di conoscenze sulle operazioni con le frazioni. 30 Un'ereditaÁ deve essere divisa fra tre fratelli; al primo fratello tocca 2 , al secondo 2 e il terzo riceve 5 7 E 33 000. Calcola a quanto ammonta l'intera ereditaÁ. 31 Sara parte per le vacanze con un'autovettura che contiene benzina per i suoi 3 . Dopo averne consu4 2 mato i si ferma in Autogrill e fa il pieno con 30 litri. Calcola la capacitaÁ del serbatoio. 3

77

78

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

E SERCIZI

DI

A BILITAĂ

Q I STITUTO I TALIANO E DIZIONI A TLAS

) LIVELLO AVANZATO *** 15 : 13 480 d. . 416

1 Quali fra le seguenti frazioni sono equivalenti a a.

60 ; 39

b.

120 ; 91

c.

180 ; 156

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni: 2 a.

315 ; 153

b.

825 ; 396

c.

1170 . 1320

3 a.

1771 ; 1012

b.

4160 ; 2028

c.

1241 . 73

Trasforma, se eĂ possibile, le seguenti frazioni in altre equivalenti di denominatore assegnato: 4 a.

45 con denominatore 20; 75

b.

80 con denominatore 18; 60

c.

63 con denominatore 5. 30

5 a.

72 con denominatore 16; 144

b.

180 con denominatore 45; 75

c.

264 con denominatore 18. 297

6 Riduci le frazioni dei seguenti gruppi di numeri allo stesso minimo comune denominatore (m.c.d.): a.

5 9 11 , , ; 2 4 22

b.

1 5 13 , , ; 7 8 4

c. 3 , 4

7 Ordina le seguenti frazioni in ordine decrescente: 8 Ordina le seguenti frazioni in ordine crescente:

4 , 5

1 , 6 2 , 5

25 , 3 5 , 13

Calcola il valore delle seguenti espressioni a termini frazionari. " # 3 2 3 ‡ 2 : 3 ‡ 1 1 3 2 79 2 5 2 5 2 34 1 9 1 " # 4 5 3 3 . 6 1 1 4 3 3 1 1‡ : ‡ : 8 2 3 2 2 2

10 "

" #2 " 3 2 5 : 5 : 1 2 2 3 7 ‡ 4 8

2

2 5

11 " 4 2‡ 3

‡1

9 8

1 4

3 : 5 4

# 65 1 1 ‡ 3 3

1 5: 5‡1 2 4 2 4

1 2

2 #2

2 3

‡5‡1 9 3

7 25

1 5

.

: 5 : 2 2 12 15 5 # 1 5 1 9 2 1 1 ‡ ‡ ‡ ‡ ‡ : 4 12 24 8 3 3 12 7 8

. 6

5 , 5 1 , 8

18 1 3 , , . 15 10 24

1 , 2 1 , 4

4 , 5 1 , 3

7 , 10 6 . 13

1 , 5

10 . 4

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

Q I STITUTO I TALIANO E DIZIONI A TLAS

Risolvi i seguenti problemi con le frazioni. 4 3 e poi della rimanenza della 7 5 propria produzione di autovetture. Se rimane un invenduto di 75000 auto, quale eÁ stato il totale della produzione?

12 Un'industria automobilistica in un anno ha venduto sul mercato prima

7 di quanto possedeva rimanendo con E 120. Sapendo 10 2 1 che della spesa riguardava generi alimentari, eÁ stato speso per l'acquisto di prodotti per la pulizia 5 4 della casa e il rimanente per comperare un felpa da E 38 e 2 camicie. Quanto eÁ costata ogni camicia?

13 In un ipermercato la Signora Giulia ha speso

14 Il signor Bianchi acquista una nuova abitazione spendendo E 180000. Paga 3 del totale in contanti e 8 poi si accorda con il costruttore per saldare la cifra rimanente con un mutuo di 10 anni pagabili con rate 1 mensili ed una cambiale a 6 mesi. Sapendo che l'importo della cambiale eÁ dell'importo complessivo 4 delle rate, calcola la cifra della cambiale. 15 Durante l'intervallo di uno spettacolo messo in scena dagli alunni di una scuola, Marco si diverte a con4 tare le persone che assistono all'esibizione. Gli uomini sono delle donne e, queste ultime, superano 7 1 di 24 unitaÁ gli uomini. Sapendo che i bambini sono degli uomini, calcola quante persone assistono 4 allo spettacolo. 16 Per raggiungere una nota localitaÁ turistica la famiglia Rossi decide di effettuare 4 tappe; nel primo tra2 1 1 gitto percorrono del percorso, nel secondo della parte rimanente, nel terzo del percorso rimasto 9 3 4 dopo le prime due tappe. Calcola quanti chilometri dista la localitaÁ turistica sapendo che l'ultima tappa era di 315 km. 17 Calcola la misura dell'altezza di un trapezio rettangolo sapendo che: a. il perimetro eÁ 96 cm; 5 b. il lato obliquo eÁ della base minore e la loro somma eÁ 45 cm; 4 c. la differenza delle due basi eÁ lunga 7 cm.

S OLUZIONE

DEGLI

E SERCIZI

VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 0; n; uguali; l'intero. 1 ; b. 3; c. 9 16 1 ; b. ; 5 a. 21 12 2 1 7 a. ; b. ; c. 3 2

3 a.

9 a. F;

b. V;

4 : 7 c.

1 ; 3

b.

1 ; 4

c.

1 : 7

4 c. 1 ; 25

d.

4 . 7

c. V;

10 frazioni proprie:

2 a.

2 . 11

6 l'intero, uguali, denominatore, numeratore. 8 a. propria;

b. maggiore;

c. multiplo.

d. F.

4 1 2 , , ; 5 8 3

frazioni improprie:

5 3 7 13 , , , ; 3 2 2 6

frazioni apparenti:

9 15 20 , , . 3 5 10

79

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

80

11 a.

2 4 , ; 2 2

b.

2 3 4 , , ; 6 6 6

c.

4 ; 3

d.

3 ; 3

Q I STITUTO I TALIANO E DIZIONI A TLAS

e. non si puoĂ formare;

12 grandezza; uguale. 14 dividono, stesso, zero, equivalente. 16 a. divisori comuni;

20 a. numeratore maggiore; 21 a.

5 3 < ; 9 2

22 a. F;

b. V;

6 18 ˆ ; 7 21

b.

2 3 4 , , . 7 7 7

13 a. F; b. V; c. F; d. V. 15 a. SI; b. SI; c. NO.

4 8 15 , , . 3 3 7 16 15 10 15 14 8 19 a. , , ; b. , , . 20 20 20 12 12 12 b. numeratore minore; c. propria; d. denominatore minore.

b. primi tra loro.

18 dividere; M.C.D.

f.

17

5 2 5 4 > ; d. > . 3 3 8 7

c.

c. F.

23 a. F;

b. V;

c. F;

d. F.

VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAĂ : LIVELLO BASE 1

Frazione

Numeratore

Denominatore

3

5

5

7

13

25

6

13

7

23

3 5 5 7 13 25 6 13 7 23

UnitaĂ frazionaria

Numero unitaĂ frazionarie considerate 1 3 da 5 1 5 da 7 1 13 da 25 1 6 da 13 1 7 da 23

1 5 1 7 1 25 1 13 1 23 3

2 5 a. 20; b. 27; c. 50. 9 60 cm; 40 cm. 14 a.

4 8 ˆ ; 5 10

16 a.

5 2 3 ; b. ; c. . 6 5 2

b.

3 12 ˆ ; 2 8

6 9 cm. 10 30 : c.

7 14 ˆ ; 3 6

7 35 cm. 11 120 : d.

3 6 9 ˆ ˆ ; 5 10 15

e.

8 14 cm; 49 cm. 12 72 ; 108 . 4 12 20 20 10 5 ˆ ˆ ; f. ˆ ˆ . 3 9 15 8 4 2

18 15 7 ; b. ; c. non eĂ possibile: eĂ ridotta ai minimi termini e 16 non eĂ multiplo di 6. 24 18 6 9 7 12 5 8 15 5 20 13 7 4 5 , ; b. , ; c. , . 22 a. ˆ ; b. > ; c. < . 20 a. 12 12 20 20 12 12 3 12 9 9 7 8

18 a.

3 11 23 ; b. ; c. . 5 6 12 1 4 14 . 25 a. ; b. ; c. 3 9 25 15 5 ; b. 10; c. . 27 a. 16 4 16 23 . 30 . 31 0. 29 33 15

4 14 19 ; b. ; c. . 3 3 12 15 26 a. ; b. 2; c. 3. 8 9 1 1 28 a. ; b. ; c. . 4 27 16 41 6 2 33 . 34 . 35 . 18 35 15 24 a.

23 a.

32

3 . 10

36

9 . 40

37

3 . 10

38

17 . 72

L E OPERAZIONI CON LE FRAZIONI

Q I STITUTO I TALIANO E DIZIONI A TLAS

VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAĂ : LIVELLO MEDIO 1 a. 3

1 ; 6

b.

1 1 ; c. . 13 24

3 ; 21 : 3 cm ˆ 7 cm; 3

6 AB ‡ CD ˆ 80 cm; 7 45 cm. 11 140 ; 60 : 15 a. moltiplicare;

2 a. 7 2 cm ˆ 14 cm:

7 5 ; b. ; 15 13

4 a. 12;

c.

b. 32;

2 . 9

c. 45.

b. 117;

c. 144.

8 segmenti; 80 : 8 cm ˆ 10 cm; 10 3 cm ˆ 30 cm; 10 5 cm ˆ 50 cm. 8 48 cm. 9 39 cm. 10 60 ; 80 : 12 55 ; 35 : 13 150 cm. 14 128 cm.

13 13 3 39 ˆ ˆ ; b. dividere; 15 15 3 45

60 60 : 3 20 ˆ ˆ ; c. dividere; 12 12 : 3 4

16 a.

5 25 ˆ ; 6 30

17 a.

80 80 : 2 40 40 : 5 8 ˆ ˆ ˆ ˆ ; b. M.C.D. …80, 150† ˆ 10; 150 150 : 2 75 75 : 5 15

b.

5 a. 35;

9 12 21 14 5 20 35 ˆ ; c. ˆ ; d. ˆ ˆ 15 20 9 6 4 16 28

e.

14 21 42 ˆ ˆ ; 30 45 90

f.

28 28 : 7 4 ˆ ˆ . 35 35 : 7 5 120 10 15 ˆ ˆ . 288 24 36

80 80 : 10 8 ˆ ˆ ; 150 150 : 10 15

3

c.

264 6 5 80 23 8 ˆ . ˆ ˆ 6 2 150 15 3 5 3 6 2 5

18 a.

3 4 3 ; b. ; c. . 2 5 2

19 a.

5 3 7 ; b. ; c. . 3 7 6

20 a.

3 9 7 ; b. ; c. . 4 4 5

21 a.

15 ; 10

22

50 10 ˆ ; 45 9

ridotta ai minimi termini; 56 35 ; ; 100 100

15 9 ; ; 12 12

b.

24 a.

7 13 < ; 9 9

b. minimo comune denominatore; 20;

25 15 13 11 > ; b. > ; 13 9 7 7 3 2 49 26 : 27 : 28 : 2 3 36

25 a.

12 ; 18

c.

49 . 14

3 27 ˆ ; 20 180

m.c.d. …20, 9† ˆ 180;

23 a.

c.

b.

50 10 200 ˆ ˆ . 45 9 180

30 5 ; . 24 24 5 25 9 36 25 36 ˆ ; ˆ ; numeratore; < . 4 20 5 20 20 20

14 18 < : 21 25 5 29 : 30 E 105 000. 3

c.

31 60 litri.

VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAĂ : LIVELLO AVANZATO 1 c., d. 3 a.

7 ; 4

5 a.

8 108 ; b. ; 16 45

7

b.

80 ; c. 17. 39 c.

16 . 18

25 10 5 4 3 7 1 1 1 , , , , , , , , . 3 4 5 5 4 10 2 5 6

2 a.

35 25 ; b. ; 17 12

c.

4 a.

12 24 ; b. ; 20 18

c. non si puoĂ trasformare.

6 a.

110 99 22 , , ; 44 44 44

8

b.

39 . 44

8 35 182 144 12 15 , , ; c. , , . 56 56 56 120 120 120

1 1 1 5 2 6 4 , , , , , , . 8 4 3 13 5 13 5 1 . 5

9 1.

10 2.

11

14 E 22 500.

15 96.

16 810 km.

12 437 500. 17 24 cm.

13 E 30.

81

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