Nombres complexos by isa sig

Tema 6:

Nombres Complexos Mª Remei Ferrer Guasch 1r Batx A Ies Sa Colomina

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

Índex

1. Què són els nombres complexos? Relació amb els vectors..................................................................pàg. 3

2. Formes de donar un complex..........................................................pàg. 4

3. El pas d’ una forma a l’ altra............................................................pàg. 5

4. Operacions amb nombres complexos.............................................pàg. 9

5. Radicació de complexos..................................................................pàg. 12

6. Aplicacions.......................................................................................pàg. 13

7. Curiositats.........................................................................................pàg. 14

8. Valoració personal............................................................................pàg. 15

9. Bibliografia........................................................................................pàg. 16

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

1. Què són els nombres complexos? Relació amb els vectors Els nombres complexos neixen, bàsicament, per donar sentit a l’ arrel quadrada d’ un nombre negatiu, tractant-lo com un nombre més. Els podem definir com el conjunt de tots els nombres reals i imaginaris, i, es simbolitzen amb una

ℂ.

Així, el nou nombre

es designa per la lletra i , corresponent a la

part imaginària. En un nombre complex en forma binària podem distingir dos components: a + bi

component real

component imaginari

En conclusió, els nombres imaginaris són els nombres complexos, el component imaginari dels quals no és zero.

Reals

ℂ (a+bi)

ℝ

(b = 0)

Imaginaris (b ≠ 0)

Ex: 3

Ex: 4+3i

Imaginaris purs (a = 0 , b ≠ 0) Ex: 3i -

a + bi i - a- bi són oposats

z = a + bi i z = a - bi són conjugats 3

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

La representació gràfica d’ aquests nombres és diferent de la dels nombres reals, que es representen en la recta real. En aquest cas, surten de la recta i omplen el pla, denominat pla complex, utilitzant els eixos cartesians, en què la’ eix X s’ anomena eix real i la Y, eix imaginari. Per exemple, el nombre a + bi, es representa mitjançant el punt (a, b), que és anomenat afix, o mitjançant un vector d’ origen (0, 0) i extrem (a, b).

2. Formes de donar un nombre complex Els nombres complexos poden venir donats de dos maneres diferents: de forma binòmia o de forma polar. Un nombre complex en forma binòmia, ve donat per un component real i un imaginari. Un exemple és: 3 + 2i Per altra banda, un nombre complex en forma polar, està compost pel seu mòdul i l’ argument. El mòdul consisteix en la longitud del vector mitjançant el qual es representa el nombre complex, mentre que l’ argument és l’ angle que forma el vector amb l’ eix real. Un nombre complex z, el mòdul del qual és r, i l’ argument α, es pot designar així: z = rα Ex: z = 4 + 3i, que en forma polar seria: 5 36º 52’ . En aquest cas, el 5 és el mòdul i el 36º 52’ és l’ argument i, vendria representat de la manera següent:

ιzι = 5 arg(z) = 36º 52’

Nota: El nombre 0 no té sentit en forma polar 4

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

3. El pas d’ una forma a l’ altra

Pas de forma binòmia a forma polar Si tenim un nombre complex z = a + bi en forma binòmia i el volem passar a forma polar, existeixen les relacions següents:

Pas de forma polar a forma binòmia Si tenim un nombre complex z = rα en forma polar i volem passar-lo en forma binòmia, existeixen les relacions següents:

Segons aquestes igualtats, el nombre complex es pot expressar així:

Aquesta expressió s’ anomena forma trigonomètrica i queda així:

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

Activitats del pas de forma binària a polar o a la inversa

1. Passar a forma polar els nombres complexos següents: =

120º

es troba en el segon quadrant, perquè la seva part real és negativa i la part imaginària és positiva, per tant només és vàlid

Solució:

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

Com que la part real d’ aquest nombre és 0, l’ argument de polar, ha de ser a la força

la forma

Solució:

En aquest cas agafem

com a argument del nombre complex,

perquè la part real és negativa i, no valdria 0º com a argument.

Solució:

Perquè la part real i la imaginària es troben ambdues en el primer quadrant, ja que són positives

Solució:

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

Perquè la part real i imaginària són positives

Solució:

Perquè la part real és negativa i la imaginària és positiva

Solució:

2. Passar a forma binòmia els nombres complexos següents:

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

4. Operacions amb nombres complexos

a) En forma binòmia Les operacions de nombres complexos segueixen les regles de les operacions dels nombres reals i tenint en compte que

. A més, el

resultat d’ operar dos nombres complexos és un altre nombre complex. Suma

Resta

Multiplicació

Si multipliquem

, pel seu conjugat,

nombre real:

Divisió

, el resultat és sempre un

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

El denominador es multiplica pel seu conjugat, perquè d’ aquesta manera quan operem, el denominador sigui un nombre real. No es pot dividir per 0. Propietats -El 0 és l’ element neutre de la suma -L’ 1 és l’ element neutre del producte -Tot nombre complex té un oposat.

-Tots els nombres complexos,

, excepte el 0, tenen un invers

b) En forma polar Producte Quan multipliquem dos nombres complexos, el resultat és un altre nombre complex.

Producte per un complex de mòdul 1

Potència En elevar

, a un nombre natural, , el seu mòdul s’ eleva a

argument es multiplica per

,ja que: 11

i el seu

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

Quocient Per dividir dos nombres complexos, es divideixen els respectius mòduls i en restem els arguments.

, ja que:

Aplicant les propietats de la potencia d’ un nombre complex, s’ obtñe una fórmula anomenada fórmula de Moivre:

Activitats per operar amb nombres complexos

1. Efectua les operacions següents amb nombres complexos en forma binòmia

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

2. Efectua les operacions següents amb nombres complexos en forma polar

3. Demostra la fórmula de Moivre agafant un nombre complex,

5. Radicació de complexos Els nombres reals positius tenen dos arrels quadrades. Ex: Els nombres reals negatius, per la seva banda, també tenen dos arrels quadrades, però imaginàries. Ex:

, ja que

Obtenció de les arrels n-èssimes d’ un nombre complex L’ arrel n-èssima d’ un nombre complex

argument

, ja que:

té un mòdul

i un

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Un nombre complex,

mateix mòdul

Per a

Mª Remei Ferrer Guasch

, té n arrels n-èssimes. Totes elles tenen el

i els seus arguments varien:

, els afixos d’ aquestes n arrels són els vèrtexs d’ un n- àgon

regular amb centre a l’ origen.

Activitats de radicació de nombres complexos

1. Calcula:

Passem el nombre complex a forma polar:

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

Té dos solucions:

Passem el nombre complex a forma polar:

L’ argument és

, perquè la part real és negativa i la imaginària

positiva i es troba en el segon quadrant.

6. Aplicacions Aquests nombres tan peculiars, tenen moltes aplicacions en molts camps. Per exemple, en l’ anàlisi d’ un senyal, es fan servir per obtenir una descripció adequada de senyals que varien periòdicament, on en una ona en concret, el valor absolut |z| del corresponent z és l'amplitud i l'argument arg(z) la fase; en matemàtiques aplicades, es fan servir sovint per calcular algunes integrals impròpies; en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica; en dinàmica de fluids, les funcions complexes es fan servir per descriure el flux potencial en dues dimensions; certs fractals es dibuixen al pla complex, per exemple el conjunt de Mandelbrot i els conjunts de Julia...

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

Conjunt de Mandelbrot

També, amb els nombres complexos es pot treballar amb logaritmes negatius.

7. Curiositats Les següents potències són nombres reals, tot i que el nombre està compost únicament per la unitat imaginària i: Per a comprovar-ho, necessitem conèixer una propietat dels logaritmes:

Una altra curiositat és que els nombres complexos estan desordenats, és a dir no segueixen un ordre com els nombres reals.

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

8. Valoració personal Primerament, he de dir que aquest treball l’ he realitzat pensant en què si no hagués fet el treball i hagués d’ aprendre’m el tema, llegís un treball i entengués perfectament el tema proposat i recordés el tema, pel que havia llegit. Per tant, l’ he fet de la millor manera possible, pensant en els altres i, introduint dibuixos que he realitzat al Paint per deixar més clara l’ explicació. Trobo que fer aquest tipus de treball, m’ ha ajudat a ser autodidacta i anar al meu ritme, parant-me en les coses que més dificultat em presentaven. Personalment, el que m’ ha costat més ha set l’ apartat de radicació dels nombres complexos, perquè no entenia les fórmules que sortien al llibre, però amb una mica d’ esforç i parant atenció en tot, ho he començat a entendre, ja que s’ havia d’ aplicar el que havia fet durant tot el tema. Probablement, us heu adonat que és l’ apartat que més està copiat del llibre, però la única raó és perquè no ho sabia explicar d’ una altra manera També, he après a saber utilitzar millor el Word per posar fórmules i símbols matemàtics, que per ser sincera, em va costar bastant de temps. Una pàgina web que m’ ha servit per complementar i acabar d’ entendre el tema ha set la del projecte Descartes de CNICE. Aquesta pàgina descoberta, trobo que em servirà de gran ajuda durant tot el curs, per altres temes. Per últim, vull comentar una anècdota que m’ ha passat quan estava fent l’ apartat de les aplicacions: He trobat per Internet, que els fractals tenen alguna cosa que veure amb els nombres complexos i, m’ ha fet molta gràcia, perquè la paraula “fractal”, una paraula desconeguda per molta gent, jo ja l’ havia sentit abans, quan a 2n d’ Eso vam haver de fer un treball per poder participar en la Festa de les Matemàtiques, en què un exercici era sobre els fractals i, ens vam haver d’ informar. Jo ja no me’n recordava de la seva existència, però quan he vist aquesta paraula escrita en una pàgina d’ Internet buscant les aplicacions dels nombres complexos, m’ ho ha fet recordar i, no he hagut d’ informar-me de què eren, perquè ja ho sabia. 17

Treball Nombres complexos 1r Batx.

Mª Remei Ferrer Guasch

Finalment, penso que aquest treball ha servit per introduir- me en el món dels nombres complexos desconegut fins ara per mi i, que si ara sento a parlar d’ ells, em sonin algunes coses.

9. Bibliografia

Webs: http://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_complex http://gaussianos.com/category/numeros-complejos/ http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

Llibres: J. Colera, M. J. Oliveira, R. García, E. Santaella, Matemàtiques I, ed. Anaya