TERMODINAMICA E TERMOFLUIDODINAMICA Cap. 9 TRASMISSIONE DEL CALORE PER CONVEZIONE
T∞ •
hC A
ρ (T ) =
Qc
m V (T )
V = cost T
TS
G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
1
Cap. 9 – Trasmissione del calore per convezione Indice 1. La convezione termica forzata e naturale 2. Legge di Newton per la convezione termica 3. Il coefficiente di scambio termico convettivo 4. I gruppi adimensionali per la convezione termica 5. Le correlazioni di uso pratico 5.1 Flussi esterni in convezione forzata 5.2 Flussi interni in convezione naturale 5.3 Flussi interni in convezione forzata 6. Il modello resistivo per la convezione termica
G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
2
LA CONVEZIONE TERMICA Convezione termica Trasmissione di calore in presenza di un fluido soggetto a trasporto di massa al suo interno Convezione forzata Il fluido, sotto la spinta generata da gradienti di pressione prodotti da una macchina operatrice (pompa, ventilatore), viene fatto scorrere su una superficie solida o all’interno di un condotto. Convezione naturale o libera Il moto del fluido è provocato da forze di galleggiamento generate dallo sbilanciamento (dovuto a gradienti di temperatura all’interno del fluido) tra spinta idrostatica e forza gravitazionale. Tali florza danno luogo a moti ascensionali del fluido più caldo e a moti discensionali del fluido freddo. G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
ρ (T ) =
m V (T )
V = cost T
3
La convezione termica La legge di Newton della convezione termica i
i
•
Qc = hc AΔT
ovvero
q=
Q = hc ΔT A
dove
TS > T∞
y
h = coefficiente di convezione [W/(m2 K)] A = area della superficie di scambio termico [m2] TS = temperatura della superficie [K] o [°C] T∞ = temperatura del fluido indisturbato [K] o [°C] T = | TS - T∞|
•
T∞
u∞
Qc
TS
x
A
Il coefficiente convettivo hc rappresenta la potenza termica scambiata tra una superficie solida e un fluido in moto relativo, per unità di superficie e per unità di differenza di temperatura G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
4
La convezione termica ORDINE DI GRANDEZZA DI TIPICI hC Condizione convettiva
hc [W/(m2 K)]
AERIFORME, convezione NATURALE
6 ÷ 30
AERIFORME, convezione FORZATA
30 ÷ 300
OLIO, convezione FORZATA
60 ÷ 1500
ACQUA, convezione FORZATA
300 ÷ 10000
ACQUA, in EBOLLIZIONE
3000 ÷ 60000
VAPORE ACQUEO, in CONDENSAZIONE
6000 ÷ 120000
Da cosa dipende hc ? • forma della superficie (piana, cilindrica, ecc) • dimensioni della superficie (lunghezza caratteristica L (sup. piana) D (cilindro), ecc) • tipo di convezione (forzata (u∞), naturale (TS-T∞)) • regime di flusso (laminare, turbolento, misto) • tipo di fluido (proprietà del fluido: μ , ρ , λf , cp) G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
5
La convezione termica y
Come si può determinare hc ? Si è visto in precedenza che all’interfaccia solido-fluido le particelle di fluido a diretto contatto con la parete, per effetto degli intensi sforzi viscosi sono praticamente ferme. Allora lo scambio termico dalla superficie solida allo strato di fluido ad essa immediatamente adiacente avviene per conduzione pura, per cui: i
q=
y ∂T ∂y y =0
Strato limite
dinamico
x
termico
T∞
•
Qc ∂T = −λ fluido = hc (TS − T∞ ) A ∂y y =0 −λ fluido
hc =
u∞
u∞
∂u ∂y y =0
∂T ∂y y =0
(TS − T∞ ) G. Cesini
∂T ∂y y =0
TS
x
è il gradiente di temperatura all’interfaccia solido-fluido
In generale, sia il gradiente di temperatura che il coefficiente di scambio termico convettivo variano nella direzione del flusso: mediando opportunamente tali valori locali si ottiene il coefficiente convettivo medio (o globale)
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
6
La convezione termica Nella trattazione della convezione termica (così come nella fluidodinamica) si utilizza il metodo di combinare le variabili da cui dipende il fenomeno, raggruppandole in numeri adimensionali. In precedenza si è vista l’importanza del numero di Reynolds per caratterizzare il comportamento fluidodinamico di un fluido in moto forzato. Numero di Reynolds
u∞ ρ L
Re L =
μ
=
u∞ L
υ
Numero di Reynolds locale
Re x =
u∞ ρ x
G. Cesini
μ
=
dove
u∞ x
u∞ = velocità di flusso indisturbato ρ = densità del fluido μ = viscosità del fluido ν= μ/ρ = viscosità cinematica del fluido L = lunghezza caratteristica della geometria
υ
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
7
La convezione termica Nel caso della convezione naturale si utilizza il numero di Grashof Numero di Grashof
GrL =
g β L3 ΔT
υ2
∼
Forze di galleggiamento Forze viscose
dove g = accelerazione di gravità β= coefficiente di espansione del fluido ΔT = differenza di temperatura tra superficie e fluido ν = viscosità cinematica del fluido
Il numero di Grashof fornisce il principale criterio per stabilire in convezione naturale se il flusso è laminare o turbolento. Lastra piana verticale
Es.
Grcritico ≈ 109 G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
8
La convezione termica Numero di Prandtl
μcp ν Pr = = λ α
dove μ = viscosità del fluido cp = calore specifico fluido λ = conducibilità termica del fluido ν= viscosità cinematica del fluido α = diffusività termica del fluido
Il numero di Prandtl dipende solo dalle proprietà del fluido e può essere visto come il rapporto tra la capacità di trasporto di quantità di moto e la capacità di trasporto del calore ovvero come il rapporto tra gli spessori dello strato limite dinamico e termico. Tipici valori del numero di Prandtl Metalli liquidi
0.004 ÷ 0.030
Fluidi organici leggeri
5 ÷ 50
Gas
0.7 ÷ 1.0
Oli
50 ÷ 100000
Acqua
1.7 ÷ 13.7
Glicerina
2000 ÷ 100000
G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
9
LE CORRELAZIONI DI USO PRATICO y
Il numero di Nusselt locale
Nu x =
hx x
λf
Il numero di Nusselt medio
∂T ∂y y =0
T∞
TS
x
Il coefficiente di scambio termico convettivo ____
____
L
1 NuL = ∫ Nu x dx L0
h=
λ f NuL L
Convezione forzata
Convezione naturale
Nu = f (Re, Pr)
Nu = f (Gr , Pr)
G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
10
Le correlazioni di uso pratico ____
Il coefficiente di scambio termico convettivo
h=
λ f NuL L
Convezione forzata
Convezione naturale
Nu = f (Re, Pr)
Nu = f (Gr , Pr)
Tali relazioni funzionali hanno, di solito, una struttura del tipo:
Nu = C Re n Pr m
Nu = CGr n Pr m
dove C, n, m dipendono dalla forma della superficie e dal regime di flusso (laminare, turbolento, misto) .
G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
11
Le correlazioni per lastra piana in convezione forzata Flusso laminare Nu x =
hx x
NuL =
hC L
1
1
= 0,332 ⋅ Re x ⋅ Pr 3
λ
λ
Re x < 5 ⋅105 Pr ≥ 0, 6 2
1
T∞ 1
= 0, 664 ⋅ Re L ⋅ Pr 3 2
TS
u∞ h
5 ⋅105 ≤ Re x ≤ 107
Flusso turbolento
Nu x =
hx x
Nu L =
hC L
λ
0, 6 ≤ Pr ≤ 60 4
1
= 0, 0296 ⋅ Re x 5 ⋅ Pr 3
λ
G. Cesini
4
1
= 0, 037 ⋅ Re L ⋅ Pr 3 5
0
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
xcritico
L 12
x
Le correlazioni per lastra piana in convezione forzata Flusso misto laminare-turbolento
0, 6 ≤ Pr ≤ 60
5 ⋅105 ≤ Re x ≤ 107
x L ⎞ 1 ⎛ critico hC = ⎜ ∫ hx ,la min are dx + ∫ hx ,turbolento dx ⎟ ⎟ L ⎜⎝ 0 xcritico ⎠
NuL =
Noto NuL
G. Cesini
hC L
λ
(
)
1
= 0, 037 Re − 871 Pr 3
hc =
45 L
λ f NuL L
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
•
Qc = hc AΔT 13
La convezione termica Esempio 1 Aria a temperatura ambiente fluisce, con velocità u∞ = 1 m/s, lungo una superficie solida assimilabile ad una lastra piana di area A = 1.8 m2 e lunghezza caratteristica L = 1,7 m. La differenza di temperatura tra superficie e fluido indisturbato è ΔT = 7 °C. Determinare il coefficiente di scambio termico convettivo e la potenza termica scambiata. Proprietà termofisiche dell’aria a Tfilm~300 K
ν = 1,57 10-5 m2/s λa = 0,0261 W/(m K) Pr = 0,71
m ⋅1, 7 m w∞ L 5 5 s Re L = = = 1,15 ⋅ 10 < 5 ⋅ 10 2 ν −5 m 1,57 ⋅10 s 1
G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
14
La convezione termica
Esempio 1 (continua)
m ⋅1, 7 m w∞ L s Re L = = = 1,15 ⋅105 < 5 ⋅105 2 m ν 1,57 ⋅10−5 s 1
1
NuL = 0, 664 ⋅ Re L ⋅ Pr
hC =
NuL ⋅ λa = L
2
1
3
(
= 0, 664 ⋅ 1,15 ⋅10
5
Flusso LAMINARE
) ( 0, 71) = 200, 6 1
2
1
3
W m⋅K ≈ 3 W m2 K 1, 7 m
200, 6 ⋅ 0, 0261
Se il flusso fosse TURBOLENTO
hC ≈ 6
W m2 K
•
W Qc = hc AΔT = 3 2 1,8 m 2 7 K ≈ 38 W m K G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
15
La convezione naturale
Il moto del fluido è dovuto a forze di galleggiamento prodotte dall’effetto combinato di un gradiente di densità del fluido (generalmente dovuto ad un gradiente di temperatura) e di una forza di volume proporzionale alla densità (generalmente la forza gravitazionale)
G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
16
Le correlazioni per la convezione naturale Le correlazioni si possono ricondurre alla formula
x
Nu = C ( Gr ⋅ Pr ) = CRa n
L
n
dove Ra = Gr Pr = numero di Rayleigh
u∞= 0
Lastra piana verticale
T∞
Flusso laminare
NuL =
hC L
λf
9
1
= 0.059 ⋅ R aL 4
Flusso turbolento
NuL =
10 < R a < 10 4
hc L
λf
TS
u∞= 0 y
x L
109 < R a < 1013
TS 1
= 0.1⋅ R aL
3
T∞ y
G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
17
LA CONVEZIONE TERMICA FORZATA CON FLUSSO INTERNO Strato limite di velocità
Profilo di velocità
Regione di ingresso idrodinamica
0
Regione idrodinamicamente pienamente svuluppata
xingr,idr
L
x
Ts = costante Tu Ti 0
L
x
Temperatura superficiale costante Flusso termico costante G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
18
Le correlazioni per la convezione forzata con flusso interno CONVEZIONE FORZATA ALL’INTERNO DI UN TUBO FLUSSO LAMINARE completamente sviluppato Temperatura superficiale costante
Nu = 3.66
Flusso costante
Nu = 4.36
FLUSSO TURBOLENTO completamente sviluppato
Re < 2300
Re > 4000
Temperatura superficiale costante Flusso costante
Re > 10000
Nu = 0.023Re0.8 Pr1/ 3
0.7 ≤ Pr ≤ 160 G. Cesini
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
19
IL MODELLO RESISTIVO PER LA CONVEZIONE TERMICA Il modello resistivo può essere utilizzato anche per la soluzione di problemi di scambio termico convettivo T∞
•
Qc = hc AΔT ΔT Qc = Gc ΔT = Rc •
dove
GC = hC A
1 1 Rc = = Gc hc A
o, in termini di grandezze unitarie,
Gu ,c = hc G. Cesini
•
hC
1 1 Ru ,c = = Gu ,c hc
Qc
A
TS
•
Qc T∞ RC
Termodinamica e termofluidodinamica - Cap. 9_Convezione
20