Campi Elettrici statici
Campo: 1)Regione dello spazio in cui è definita una grandezza fisica variabile in funzione dei punti della regione. Per estensione: un campo è la grandezza fisica stessa il cui valore dipende dai punti di una certa regione dello spazio in cui viene considerata. In generale un “campo” può essere visto semplicemente come una funzione dello spazio e del tempo.
CAMPI SCALARI E VETTORIALI
. Con campo scalare intendiamo un campo che è caratterizzato in ogni punto dello spazio da un numero, uno scalare appunto; tale numero indicherà l’intensità del campo nel punto. Consideriamo, per esempio, la temperatura di un corpo solido che sia stato riscaldato in alcuni punti e raffreddato in altri. La temperatura del corpo varierà in maniera complessa da punto a punto e sarà rappresentata da una funzione di x, y e z (se adottiamo un sistema di coordinate rettangolari).
Un campo vettoriale è invece caratterizzato in ogni punto da un vettore, ovvero, in ogni punto dello spazio, una misura completa del campo fornirà un numero, una direzione e un verso: il primo indicherà l’intensità del campo nel punto, la direzione individuerà la retta lungo la quale è esercitata "l’azione" che stiamo misurando, mentre il verso indicherà se quest’azione è diretta verso la sorgente (azione attrattiva) o nella direzione opposta (azione repulsiva). Un esempio di campo vettoriale è il campo gravitazionale terrestre. Quotidianamente sperimentiamo una forza che ci tiene premuti al suolo. Tale forza è diretta lungo la retta congiungente il centro della Terra con noi stessi, ha un verso che punta verso il basso e un’intensità sempre minore man mano che ci alziamo dal suolo.
Un campo vettoriale ha due caratteristiche essenziali : a) esercita un'azione senza bisogno di contatto b) ha bisogno di un corpo di prova perche' si possa manifestare E' ben noto che il campo gravitazionale esercita una forza verso il basso su un corpo di massa m e si manifesta solo in presenza della massa stessa. Gli astronauti sono piu’ "leggeri" nello spazio rispetto alla Terra perche’ il campo gravitazionale è meno intenso quanto più è grande la distanza tra la Terra e il corpo su cui facciamo la misura. Anche il campo elettromagnetico è un campo vettoriale.
Classificazione di un mezzo omogeneo se le sue caratteristiche non variano da punto a punto (almeno macroscopicamente); diversamente si dice disomogeneo. isotropo se le sue caratteristiche non variano qualunque sia la direzione nella quale si sviluppa il campo considerato; altrimenti si dice anisotropo lineare se le relazioni fra le grandezze significative non dipendono dal valore di queste grandezze; diversamente si dice non lineare.
Se il mezzo e' lineare si puo' applicare il principio di sovrapposizione degli effetti: il risultato complessivo viene determinato valutando separatamente e poi sommando i contributi forniti da ciascuna delle “cause� all’origine del fenomeno studiato.
Grandezze scalari: sono caratterizzate da una quantita' ( positiva o negativa ) esempio: la posizione di un punto su una retta o la temperatura di un corpo Grandezze vettoriali: sono caratterizzate da un'intensita' ( sempre positiva ) , da una direzione e da un verso esempio: una forza o una velocita'. Le grandezze vettoriali sono indicate o utlizzando il carattere grassetto o con una freccia ad esempio una forza
F
o
 F
F
Azione di una forza F su di una massa m
F=ma alla relazione vettoriale corrispondono 3 equazioni scalari:
Fx = m ax = m dvx/dt Fy = m ay = m dvy/dt Fz = m az =m dvz/dt Ove x,y,z sono gli assi di una terna destrorsa
I fenomeni elettromagnetici sono i fenomeni fisici riconducibili alle cariche elettriche. La carica elettrica è una proprietà fondamentale della materia rappresentabile come una grandezza scalare (unità di misura coulomb, C). L’esperienza mostra che esistono due tipi di cariche - tra cariche dello stesso tipo si esercitano forze repulsive - tra cariche di tipo diverso si esercitano forze attrattive. Convenzionalmente si attribuiscono valori positivi alle cariche di un tipo e negativi alle cariche dell’altro tipo
Cariche libere: cariche che possono compiere spostamenti macroscopici e dare luogo a separazioni macroscopiche di carica. Cariche di polarizzazione: cariche legate alla struttura atomica o molecolare che possono compiere solo spostamenti microscopici (conseguenti a deformazione o orientamento di atomi o molecole) In seguito quando si parlerĂ di cariche senza altre specificazioni si farĂ riferimento alle cariche libere
Elettrizzazione per strofinio I corpi che si caricano per strofinio sono detti isolanti, in quanto capaci di trattenere la carica elettrica mentre altri, come ad esempio i metalli ed il corpo umano stesso, non trattengono la carica e sono detti conduttori. Il metodo dell'elettrizzazione per strofinio può essere applicato sistematicamente a un gran numero di materiali isolanti, tra cui il vetro e materiali sintetici attualmente disponibili (bakelite, plexiglass, materie plastiche in genere)
• tra due bacchette elettrizzate della medesima specie (entrambe di vetro o di bakelite) si manifesta sempre una forza repulsiva;
.
Due corpi isolanti carichi entrambi positivamente o entrambi negativamente si respingono; un corpo isolante carico positivamente e uno carico negativamente si attraggono; Nel processo di carica per strofinio i due corpi, la bacchetta di isolante e il panno, acquistano sempre una carica di segno opposto La carica che si accumula per strofinio sugli isolanti si mantiene per tempi considerevoli, specialmente se l'aria nell'ambiente in cui opera ĂŠ secca.
John Joseph Thomson (1856-1940) scopre l’elettrone alla fine del secolo XIX,
Modello dell'atomo di tipo “planetario�, con un nucleo di protoni e neutroni circondato di una nube di elettroni
Z = numero atomico A = numero di massa Nel Nucleo: Z protoni A – Z neutroni Z elettroni
esterni
La carica elettrica elementare è quella dell’elettrone che convenzionalmente si indica con e e fu misurata da R. Millikan tra il 1909 e il 1917 e= -1,6 10-19 C me = 0,9 10-30 kgm 1) La carica elettrica osservata sperimentalmente è sempre un multiplo intero (positivo o negativo) di e 2) La materia è macroscopicamente neutra e quindi in un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche è costante (Benjamin Franklin )
In tutti i casi trattati, non c’è alcuna “creazione” di cariche elettriche. L’apparizione di una carica in eccesso (positiva o negativa che sia) è sempre dovuta – al trasferimento di cariche elettriche da un corpo all’altro (elettrizzazione per strofinio o contatto) o – alla ridistribuzione entro il corpo delle cariche positive e negative.
Spesso ci esprimiamo con frasi del tipo "la carica distribuita su un sfera", "la quantità di carica trasferita", "la carica trasportata da un elettrone", che potrebbero indurre a credere che la carica sia una sostanza. •Non bisogna tuttavia dimenticare che in realtà le particelle sono sostanza mentre la carica non è che una loro proprietà, come la massa.
La legge di Coulomb (1785) fornisce la forza fra due cariche elettriche in un mezzo illimitato lineare, omogeneo e isotropo.
Fc = k q1 q2/ r2 = ( 1/4πεo ) q1 q2/ r2 εo e' detta costante dielettrica del vuoto
L'unita' di misura delle cariche e' il COULOMB ( C )
Le dimensioni di εo sono [εo] =[ Coulomb2 / Newton metro2 ]= = [ Coulomb2 / Joule metro ] =[ Farad/metro ] Con [ Farad ] = [ Coulomb2 / Joule ] quindi εo = 8.86 10-12 F/m
DEFINIZIONE DI CAMPO ELETTRICO Si dice che una regione è sede di un campo elettrico se una carica di prova q puntiforme posta in quiete in un punto P della regione è soggetta ad una forza F e proporzionale al valore della carica Il vettore campo elettrico nel punto P è definito come E= F/ q ⎮E ⎮ = Q / 4π ε0 r2 Dimensioni del campo elettrico E [E] = [Newton/ coulomb] = [ Volt/metro]
La definizione di campo elettrico è: ogni regione dello spazio in cui una carica elettrica ferma sia soggetta ad una forza. La forza è causata dalla presenza di altre cariche elettriche (che Rappresentano quindi le sorgenti del campo). Per esempio una carica q posta in una regione contenente anche le cariche Q1, Q2 è soggetta alla forza
F = F1 + F2 L’intensità del campo elettrico è definita invece come la forza che agisce sull’unità di carica posta in quel punto. Tale intensità vale:
E=F/q L’unità di misura dell’intensità del campo elettrico è il Newton/Coulomb (N/C) ma spesso si usa il Volt/metro (V/m).
SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI l
L'azione sentita da un oggetto in qualche regione dello spazio ĂŠ dovuta all'esistenza di un campo in quella regione. Prima caratteristica di un campo e' l'azione senza contatto Seconda caratteristica: per evidenziare un campo occorre un oggetto di prova su cui si esercitano le forze dovute al campo.
E' possibile sperimentalmente catalogare le proprietĂ di un campo in un punto muovendo una piccola particella di test qo e misurando la forza che "sente" in funzione della posizione e del tempo.
Fissato un sistema di cariche, si puo' associare ad ogni punto nello spazio P(x, y, z) un valore del campo elettrostatico E(x, y, z) indipendentemente dalla presenza di una carica di prova q0. Quando q0 viene posta nel punto P(x, y, z) essa risente della forza: F ( x , y , z ) = q0 E ( x , y , z ) tale relazione che afferma che: “Il sistema di cariche ĂŠ la sorgente del campo elettrostatico Eâ€?
Linee di forza Uscenti da cariche positive Entranti in cariche negative
LINEE DI CAMPO ELETTRICO PER UNA COPPIA DI CARICHE EGUALI ED OPPOSTE ( DIPOLO ELETTRICO )
EFFETTO DI UN CAMPO ELETTRICO ESTERNO SU UN DIPOLO p e' detto momento di dipolo elettrico
Proprietà delle linee di forza: 1) una linea di forza in ogni punto é tangente e concorde al campo in quel punto; 2) le linee di forza si addensano dove l'intensità del campo é maggiore; 3) le linee di forza non si incrociano mai, in quanto in ogni punto il campo elettrico é definito univocamente e non può avere due direzioni distinte; 4)le linee di forza hanno origine dalle cariche positive e terminano sulle cariche negative o all'infinito;
5)qualora ci siano solo cariche di uno stesso segno le linee di forza si chiudono all'infinito; 6)nel caso di cariche di segno opposto, ma eguali in modulo, tutte le linee che partono dalle cariche positive si chiudono su quelle negative, alcune passando eventualmente per l'infinito; 7)se invece le cariche non sono eguali in modulo, alcune linee terminano o provengono dall'infinito.
la legge di Coulomb non è «derivata» matematicamente o «provata» fisicamente. Il fatto di ipotizzare la validità della legge sulla base del numero limitato di osservazioni è una questione di ragionamento induttivo e non deduttivo. L'accettazione definitiva della legge e la fede nella sua validità sorgono dal fatto che è stata verificata in una grande varietà di casi e di applicazioni, e si è sempre trovato che essa «funziona», mentre non si è mai scoperto un caso in cui non fosse valida.
DALLA LEGGE SPERIMENTALE DI COULOMB ALLA FORMULAZIONE MATEMATICA DI GAUSS “ Il flusso del vettore campo elettrico da una superficie chiusa e' pari alla somma delle cariche contenute nel volume di detta superficie divisa per ε0 “
FLUSSO Ф(E) DEL VETTORE E primo caso ( molto facile ): E è uniforme ed ortogonale a ∆S
Ф( E ) =⎮E⎮ ⎮ ∆S⎮ IL SEGNO DEL FLUSSO E' POSITIVO SE IL VETTORE E E' PARALLELO E CONCORDE AL VERSORE n NORMALE ALLA SUPERFICIE
Esempio di flusso Il flusso del campo gravitazionale attraverso l'area ∆S e' pari a -g∆S . Il flusso e' nullo se l'area ∆S e' nel piano yz o nel piano xy
Secondo caso : E uniforme ma non ortogonale ad S se θ e' l'angolo formato dal vettore Ee la normale n alla superficie ∆S
ϕ(E) = ⎮E⎮ ∆S cosθ
se θ = π /2 ϕ(E) = 0
Terzo caso : Campo non uniforme
Ei non uniforme e con inclinazione sulla superficie variabile di punto in punto ni Ei
M
Φ ( Ei ) = ∫∫S (Ei∙ni ) dS
Verifica della legge di Gauss:Considero una sfera concentrica con la carica q Il campo elettrico E e' radiale e costante su tutta la sfera. Il flusso di E e' semplicemente
Φ(E) = 4 π r2 ⎮ E ⎮= q/ε0 ⎮E⎮ = q/4πε0r
2
in accordo con la legge di Coulomb
Legge di Gauss in forma integrale: si puo' dimostrare che qualunque sia la superficie chiusa che contiene la carica totale qtotale vale la relazione:
Ф( E ) = qtotale/ξ0
Ф( E ) = 0
CAMPO D INDUZIONE ELETTRICA (O DENSITÀ DI FLUSSO ELETTRICO) Definisco il vettore D D =εE per una carica puntiforme ottengo D =ε [q/4πεr2] = q/4πr2 D si misura in Coulomb al metro quadro Se
Ф( E ) = qtotale/ε0
Allora
Ф( D ) = qtotale
Generalizzazione per distribuzioni continue Il concetto di campo elettrico può essere generalizzato ai casi in cui la sorgente non sia rappresentata da una singola carica puntiforme Q, ma da un insieme discreto o da una distribuzione continua di cariche. Si consideri un insieme (discreto o continuo) di cariche sorgenti.
DISTRIBUZIONE CONTINUA a) di carica per unita' di lunghezza ρl b) di carica per unita' di superficie ρs c) di carica per unita' di volume ρV
Flusso uscente da una superficie chiusa Il flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa S e'pari all'integrale della sua divergenza nel volume contenuto dalla superficie chiusa S
∫∫S ( A∙n )dS
=
∫∫∫V
(∇∙A )dV
Ove ∇∙A =∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z
Il flusso di D =εoE attraverso la superficie S che contiene il volume V e' pari all'integrale di volume della divergenza di D
Ф( E ) = q/ε0
εo
∫∫S (E ∙dA )= ε ∫∫∫V (∇∙E )dV = ∫∫∫ o
V
ρv dV
SE EGUAGLIO GLI INTEGRANDI OTTENGO
∇∙E = ρv/ε0 VALE A DIRE : ILTEOREMA DI GAUSS IN FORMA DIFFERENZIALE
Conseguenze della Legge di Coulomb e del Teorema di Gauss
+
+
+ + +
+ + +
+
+
In un conduttore, all’equilibrio le cariche si respingono, “fuggono” le une dalle altre e si dispongono alla massima distanza;quindi all’equilibrio non vi è campo elettrico all'interno ma solo sulla superficie
1) in un conduttore posto in un campo elettrostatico e che sia in equilibrio elettrico, il campo elettrico nei punti interni è nullo; 2) il campo elettrico alla superficie di un conduttore in equilibrio è normale alla superficie (altrimenti le cariche sarebbero libere di muoversi fino a raggiungere un equilibrio, campo nullo); 3) l’intera carica elettrica di un conduttore in equilibrio si trova sulla sua superficie
In prossimità della superficie S vi è una carica per unita' di superficie ρs ( misurata in Coulomb/m2) ■ Applichiamo il teorema di Gauss ●
+ Ф(E) =En S = ρs S / ε0 da cui En= ρs / ε
+
S
+ + +
0
+
+
+
+ +
Se la sfera e' cava : Per r <r0 4π r2 ε0E
= 0
Per r > r0 4π r2 ε0E
= Q
E = Q r / 4π ε0 r2
Se la sfera e' invece carica uniformemente al suo interno con densita' di carica pari a Q/(4/3 π r3 ) Per r <r0 4π r2 ε0E
= Q r3/ r03
E = Q r / 4π ε0 r03 Per r > r0 4π r2 ε0E
= Q
E = Q / 4π ε0 r2
Lavoro di una forza e differenza di energia potenziale in un campo gravitazionale 1) nel campo gravitazionale le forze sono dirette verticalmente e verso il basso. 2)Il lavoro per superare la differenza di quota da A a B dipende dalla quota di B rispetto a quella di A e non dal cammino seguito 3) Il lavoro LAB da A a B si trasforma in differenza di energia potenziale U(B) nel punto B rispetto a quella U(A) nel punto A
U( B ) - U( A ) = LAB
In un campo elettrostatico il lavoro che devo fare per portare una carica q da A a B e' proporzionale alla carica stessa. Poiche' devo applicare una forza eguale ed opposta alla forza elettrostatica
F = -q E Il lavoro LAB e' pari a
LAB =
â&#x2C6;Ť
B A
( Fâ&#x2C6;&#x2122;dl )
ove l e' il percorso da A a B
DEFINISCO DIFFERENZA DI POTENZIALE ELETTRICO TRA DUE PUNTI
VAB = LAB /q
VAB = LAB /q =
∫A
B
(1/q) F∙dl = -
La d.d.p, e' misurata in VOLT ( V )
∫A
B
(E ∙dl )
Potenziale per una carica puntiforme Prendo per semplicita' di calcolo due punti allineati con la carica q V AB =-
∫AB ( E∙dl) = - ∫AB (q/4πε r )dr = 2
0
= q/4πε0 ( 1/rB – 1/rA ) Se rA va all'infinito ove pongo il potenziale nullo V B = q/4πε0 rB ■
Potenziale di una carica puntiforme nell'origine V(r) = q/4πεo⎮r⎮ Il vettore r indica un punto generico di coordinate (x,y,z) a distanza r dalla sorgente ⎮r⎮= ( x2 + y2 + z2 )1/2 Nota: I punti piu' vicini alla carica q positiva hanno potenziale maggiore. Se la carica e' negativa il potenziale e' negativo ( ricordiamo che il potenziale di riferimento è nullo all’infinito )
V AB =
-
∫A
B
(E ∙dl )= VB- VA
ANCHE IN ELETTROSTATICA LA DIFFERENZA DI POTENZIALE TRA DUE PUNTI NON DIPENDE DAL CAMMINO
In presenza di piu' sorgenti si applica la sovrapposizione degli effetti V( q0) = q1/4πεor1 +q2/4πεor2 + q3/4πεor3 +........ qi/4πεori
Applicando il teorema di Gauss
V = lEl x =( V0/d ) x lEl = V0/d
l El= costante
Densita' di carica in C/m3 : ρ(r') Nel volumetto dτ ho la carica ρ(r')dτ Il potenziale in P dovuto a tale carica e':
dV(r) = ρ(r')dτ/ 4πε0Ⅰr-r'Ⅰ Il potenziale dovuto a tutte le cariche e': V(r) =∭
vol
P r-r’
ρ(r')dτ/ 4πε0Ⅰr-r'Ⅰ
r r’ vol
Nota: r' indica la posizione del volumetto dτ ove c'e' la carica ρ(r'). mentre r indica la posizione del punto P ove calcolo il potenziale
Superfici Equipotenziali â&#x2014;&#x2020;
Sono definite come luogo dei punti a potenziale costante e sono sempre ortogonali alle linee di forza
IL POTENZIALE DIPENDE SOLO DALLA DISTANZA DALLA SORGENTE IL LAVORO PER PERCORRERE UN CAMMINO DIPENDE SOLO DAGLI ESTREMI. IL LAVORO PER UN CAMMINO CHIUSO E' NULLO
Prendiamo una serie di punti immersi in un campo elettrico
V21 = -
∫1
2
(E∙ dl )
⇔ V21 + V32 + V13 = 0
V21 1
2 V32
V13
3
la somma algebrica delle differenze (o cadute) di potenziale lungo una linea chiusa (maglia) è nulla (Seconda legge di Kirchoff ) IL CAMPO ELETTRICO IN CONDIZIONI STATICHE E' IRROTAZIONALE
rot E = ∇x E = 0
Vab – Vbc – Vcd- Vda = 0
Calcoliamo il prodotto scalare di E e di un elemento infinitesimo di spostamento, per esempio lungo x
E · dx = E dx cosδ = Ex dx = - dV
dV Ex = − dx
E
Se mi muovo in uno spazio bidimensionale :
∂V ∂V Ex = − ;Ey = − ... ∂x ∂y
δ dx Ex
In uno spazio a tre dimensioni:
Ex = - ∂ V/ ∂ x Ey = - ∂ V/ ∂ y Ez = - ∂ V/ ∂ z E = - ∇V Il campo elettrico e' funzione di uno scalare V detto potenziale scalare Il segno meno indica che il campo elettrico va dalla regione a potenziale maggiore verso quella a potenziale minore, mentre il vettore gradiente ∇V è definito in modo che il suo verso coincida con quello delle V crescenti.
da
∇·D =∇·ε E = ρv ed
E = -∇V
ottengo
∇·ε ∇V = -ρv ∇2V = -ρv /ε
( equazione di Poisson )
In assenza di cariche l'eq. di Poisson diventa l'eq. di Laplace
∇ V =0 2
INDUZIONE ELETTRICA SU CONDUTTORI
Sotto l’influenza di un campo elettrostatico esterno, le cariche libere di un conduttore metallico ( elettroni ) si ridistribuiscono in modo tale che il campo risultante in ogni punto interno del conduttore sia nullo ( E = 0 )raggiungendo l'equilibrio statico.
Tutto il volume interno è equipotenziale. come la superficie del conduttore . In ogni punto della superficie del conduttore si ha En ≠ 0 ed Et = 0 ove En ed Et sono rispettivamente la componente normale e tangenziale del campo elettrico E : Applicando il teorema di Gauss En = ρs/ε0
Gabbia di Faraday -
+
-
E=0
-
+
+ + + + + +
Sono presenti cariche elettriche indotte sulla superficie esterna dello schermo (La carica totale è nulla) Il campo elettrico allâ&#x20AC;&#x2122;interno dello schermo è nullo
Riepiloghiamo
I fenomeni elettromagnetici sono i fenomeni fisici riconducibili alle cariche elettriche La carica elettrica è una proprietà fondamentale della materia rappresentabile come una grandezza scalare L’esperienza mostra che esistono due tipi di cariche. Convenzionalmente si attribuiscono valori positivi alle cariche di un tipo e negativi alle cariche dell’altro tipo In un atomo abbiamo cariche positive nel nucleo e una eguale carica negativa che ruota intorno. La carica elettrica elementare è quella dell’elettrone che convenzionalmente si indica con e In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche è nulla Due cariche si attirano o respingono con la legge di Coulomb Le cariche si misurano in Coulomb
Legge di Gauss ; il flusso di E attraverso una superficie chiusa e' pari alla carica rinchiusa nella superficie divisa per la costante dielettrica del vuoto Îľ0
■
In un campo elettrostatico il lavoro per portare una carica q da A a B e' proporzionale alla carica .Definiamo differenza di potenziale elettrico V il rapporto tra detto lavoro e la carica q . V si misura in Volt
IN ELETTROSTATICA LA DIFFERENZA DI POTENZIALE TRA DUE PUNTI NON DIPENDE DAL CAMMINO ◆ ■
Le superfici equipotenziali sono il luogo dei punti a potenziale costante e sono sempre ortogonali alle linee di forza Il campo elettrico E e' eguale all gradiente del potenziale V cambiato di segno ( Il segno meno indica che il campo elettrico va dalla regione a potenziale maggiore verso quella a potenziale minore, mentre il vettore gradiente ∇V è definito in modo che il suo verso coincida con quello delle V crescenti )
Sotto l’influenza di un campo elettrostatico esterno, le cariche libere di un conduttore metallico ( elettroni ) si ridistribuiscono in modo tale che il campo risultante in ogni punto interno del conduttore sia nullo
In un campo elettrostatico
∇∙E = ρv/ε0 ∇x E = 0 D = ε0 E