RICHIAMI SUL CAMPO MAGNETICO
AUTOINDUZIONE Si consideri una semplice spira percorsa da una corrente i : la corrente produce un campo magnetico, e quindi un flusso dicampo Ф(B) all’interno della spira .
A
B
Una bobina di diverse spire costituisce quello che si dice elemento induttivo, o induttore.
Quasi sempre, però, conviene porre in evidenza la resistenza interna r del filo che costituisce l’induttanza: in questo caso il simbolo simodifica:
E - L di/dt = R i se la corrente diminuisce , la f.e.m. prodotta tende a farla aumentare, se invece la corrente aumenta,la f.e.m. prodotta tende a farla diminuire.
Risolviamo l'equazione differenziale E – L di/dt = R i La soluzione e' la somma di un integrale particolare e della soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata ( cioe' senza il termine noto E ). L'integrale particolare e' If= E/R (quando di/dt =0 )
L'omogenea associata e'
- L di/dt = R i
di/i = - ( R/L ) dt = - dt/τ
con τ = L/R
ln i =- t/τ + costante = - t/τ +ln A i = If + A e-t/τ poiche' i= 0 per t = 0 ne segue che
A = - If
E qindi infine : i(t) = E/R ( 1 – e-t/τ )
Possiamo ora calcolare la energia per unita' di volume associata al campo magnetico 1) Condizione iniziale per t=0 i =0 inserisco la batteria : La corrente inizia a scorrere 2 ) Se non ci fosse l' induttanza E =Ri P = E i = R i2 3) L'induttanza si oppone all'aumento di corrente E – L di/dt = R i 4) La potenza fornita dalla batteria vale Ei Ei = R i2 + L i di/dt Il termine Il termine
R i 2 e' la potenza dissipata sulla resistenza L i di/dt e' la potenza che l'induttanza riceve.
Si può osservare che: La potenza nell'induttanza non viene dissipata e quindi fa aumentare l'energia immagazzinata nell'induttanza – Se la corrente aumenta in modulo l’induttore assorbe energia – Se la corrente diminuisce in modulo l’induttore fornisce energia – La potenza è un differenziale esatto. Se i sale da 0 a i l'energia fornita all'induttanza vale
UL
t
i di 1 2 = ∫ Li dt = ∫ Lidi = Li dt 2 0 0
NEL CASO DI UN SOLENOIDE percorso da corrente i lBl = μ N/l i L = μ N2 S/l ( S è la sezione, l la lunghezza e N il numero di spire U = ½ Li2 = ½ μ N2 S/l i2 = ½ ( lBl2 / μ ) ( S l) Ma S l e' il volume del solenoide Energia per unita' di volume ( in Joule/metrocubo) UH =½ lBl2 /μ = ½ μ lHl2 Si puo' dimostrare che questo risultato vale per qualsiasi Campo magnetostatico
Dal punto di vista energetico, l’induttore è quindi un “serbatoio” di energia, associata alla corrente che vi scorre (in analogia con il condensatore, in cui l’energia è associata alla carica immagazzinata). Questa energia e' simile a quella immagazzinata in un condensatore Uc = 1/2 C V2
Come in un condensatore la tensione non puo' variare istantaneamente cosĂŹ in una induttanza la corrente non puo' variare istantaneamente
COEFFICIENTE DI MUTUA INDUZIONE TRA 2 ED 1 M12 = Ф2(B)/I1 COEFFICIENTE DI MUTUA INDUZIONE TRA 1 E 2 M21 = Ф1(B)/ I2 SI DIMOSTRA
M21 = M12
DUE BOBINE MUTUAMENTE ACCOPPIATE V2 = M12 dI1/dt Attenzione : V2 = 0 se I1 e' costante Anche le mutue induttanze M si misurano in Henry
ALIMENTAZIONE DI ORGANI ARTIFICIALI IMPIANTATI SENZA COLLEGAMENTI ELETTRICI
Trasmettitore I = I1 cos ωt
Ricevitore
Collego al ricevitore un carico R
e = - dФc2( B)/dt = - M12 di1/dt
H2 = k I1 cos ( ωt ) e = - dФc2( B)/dt = - M12 di1/dt = M12 I1 ω sin (ωt) i2 = e/ R P2 = e i2 =[M12 I1 ω sin (ωt)]2/R P2media = [M12 I1 ω ]2/ 2R
L C
Con L = 100 μH e C = 100 pFarad e trascurando r f =1/2π ( 10-14 )1/2 = 107/2π = 1,5 MHz