MAGNETOSTATICA
Sperimentalmente si osserva che: •una carica elettrica in quiete posta in un campo magnetico non subisce alcuna forza; •una carica elettrica che si muove con una velocità v in una regione ove esiste un campo di induzione magnetica B subisce una forza di modulo proporzionale alla carica e alla componente della velocità perpendicolare a B, di direzione perpendicolare al piano definito dal vettore velocità della carica e dal campo di induzione magnetica B
Campo Magnetico : Regione dello spazio nella quale si evidenziano delle forze di origine magnetica Sorgenti del campo : Magneti permanenti Grandezza che descrive il campo : Vettore induzione magnetica B
Forza di Lorentz
F=qvĂ—B
Il campo di induzione magnetica B di 1 T esercita la forza di 1 N sulla carica elettrica di 1 C, che si muove con velocitĂ di 1 m/s nella direzione perpendicolare al campo stesso.
Il campo di induzione magnetica B può essere misurato dall’azione che esercita su una carica q in moto con velocità v quando la particella elettrica si muove perpendicolarmente a B
F=qv×B
I
l campo elettrico accelera la particella e ne fa aumentare l'energia cinetica
Il campo magnetico non compie lavoro: non può cambiarne l’energia cinetica
Gli esperimenti di Oersted( 1820): 1) Un filo percorso da una corrente elettrica devia l’ago di una bussola come se fosse un magnete permanente 2) l’ago non e' nÊ attratto nÊ respinto, ma si dispone ad angolo retto con il filo 3) Due conduttori percorsi da corrente si attraggono (o respingono ) con una legge proporzionale all'inverso del quadrato della distanza ,simile cioe' a quella di Coulomb
F =cost I1I2/d2
4) la corrente elettrica è “sorgenteâ€? del campo magnetico Le linee del campo magnetico sono circonferenze concentriche con la corrente
Pierre-Simon, Marquis de Laplace ( 1749- 1827) « Dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell'universo come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato futuro. Un'intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze da cui la natura è animata e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se fosse abbastanza vasta da sottoporre questi dati ad analisi abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell' universo e quelli dell'atomo più leggero: per essa non ci sarebbe nulla d'incerto, ed il futuro come il passato sarebbe presente ai suoi occhi »
Legge di LAPLACE L'induzione magnetica B e' la somma ( l'integrale ) dei contributi dei singoli elementi di corrente i ds
µ 0 i ⋅ ds dB = ⋅ 2 ⋅ sin Θ 4⋅π r
La direzione di dB e' data da ds x r
AMPERE INTRODUCE IL CAMPO MAGNETICO H
B /μ0= H H e B sono due vettori paralleli
μ0 = permeabilita' magnetica del vuoto
Legge di Ampere
∫aB∙dl =∫bB∙dl = μ0I ∫aH∙dl =∫bH∙dl = I
dl e' l'elementodi linea lungo il contorno
B induzione magnetica ( Tesla )
H campo magnetico ( Ampere al metro) μ0 = permeabilita' magnetica del vuoto = 4π 10-7 ( Henry al metro )
Attenzione: se il verso di integrazione ruota in senso antiorario ( in un sistema Cartesiano destrorso dall'asse x all'asse y ) il verso positivo delle correnti e' quello lungo l'asse z dello stesso sistema cartesiano.
Applico la legge di Ampere ad una circonferenza c di raggio r e concentrica con la corrente I H e' costante in modulo sulla circonferenza e diretto lungo la tangente alla circonferenza . (se il verso di integrazione va dall'asse x a quello y la direzione positiva per la corrente e' lungo l'asse z ) L'integrale ora e' pari a
∫cH∙dl = ∫o
2π
( H r dφ ) = Hr
Da cui H = I / 2πr LEGGE DI BIOT - SAVART
∫o
2π
(dφ ) = 2πr H = I
(i) La densita’ delle linee e’ proporzionale alla forza (ii) Due linee non possono incrociarsi (iii) Il verso di rotazione e’dato dalla regola della vite destrosa
H = I / 2πr
Regola della mano destra: Afferrate l’elemento di filo nella mano destra con il pollice puntato nel verso della corrente. La curvature delle altre dita indica il verso delle linee del campo magnetico generato da quell’elemento
Le linee di campo magnetico si estendono all'infinito e sono sempre chiuse su se stesse
Calcolo dell'induzione magnetica al centro di un arco di raggio R Applico la legge di Laplace Ricordiamo che ds = R dφ dB = (μ0/ 4π)i ds sin(π/2)/R2 = =(μ0/ 4π)i R dφ /R2 φ
φ
µ 0 i ⋅ R ⋅ dφ µ 0 ⋅ i µ 0 ⋅ i⋅φ B = ∫ dB = ∫ ⋅ 2 = ⋅ ∫ dφ = 4⋅ π R 4⋅ π ⋅ R 0 4⋅ π ⋅ R 0 Se siamo in presenza di una spira circolare
φ = 2 ⋅π
µ 0 ⋅i
B =
2 ⋅R
Infatti se applico la legge di Ampere ad una circonferenza di raggio r
H 2Ď€r = NI
solenoide
Consideriamo un solenoide ideale di lunghezza infinita con tutte le spire adiacenti: il campo magnetico e' costante all'interno e nullo all'esterno
Se applico la legge di Ampere al rettangolo abcd
∫ab (H∙dl) + ∫bc (H∙dl) + ∫cd (H∙dl) + ∫da (H∙dl) = =
Hh
+
0
+
0
+
Hh =Ni H = ( N/h ) i
H =ni
n e' il numero di spire per unita' di lunghezza
0
Sovrapposizione degli effetti Se le correnti hanno lo stesso verso il campo magnetico tra i due conduttori e' la differenza di quelli creati dalle singole correnti, mentre all'esterno dei due conduttori e' pari alla loro somma
Se le correnti viaggiano in senso opposto i campi magnetici si sommano nello spazio tra i due conduttori e si sottraggono all'esterno di essi. Piu' i conduttori sono vicini ( al limite intrecciati ) minore e' il campo magnetico all'esterno
Le linee elettriche ad alta tensione che trasportano elevate correnti sono sorgenti di campo elettrico e magnetico
IL CAMPO ELETTRICO E QUELLO MAGNETICO TOTALI SONO LA SOMMA VETTORIALE DEI CAMPI ELETTRICI E MAGNETICI GENERATI DAI SINGOLI CONDUTTORI
Esiste campo magnetico in un conduttore? si
Per R < a 2πR H = I R2/a2 e quindi H = I R / 2πa2 Per R = a H = I /2πa Per R > a 2πR H = I e quindi H = I/ 2πR B = μ0 H
Per il teorema di Stokes applicato a una superficie S chiusa da un contorno a
∫aB∙dl = ∫∫S(∇xB)∙n dS inoltre I=
∫∫SJ∙n dS
(n e' il versore normale alla superficie S) Quindi
∫∫S(∇xB)∙n dS = μ ∫∫SJ∙n dS 0
eguagliando gli integrandi si ottiene la Legge di Ampere in forma differenziale ∇xB = μ0 J o anche ∇x H = J
B è “solenoidale”: le linee di campo si chiudono sempre su sé stesse (inesistenza di cariche magnetiche libere ) : in una superficie chiusa
∫∫SB∙n dS
=0
Applicando il teorema di Gauss
∫∫∫vol(∇∙B )dV ho la forma differenziale
∇∙ B = 0
Teorema di Helmholtz : “Un campo vettoriale è definito se ne assegnamo divergenza e rotore Per il campo elettrostatico
∇xE = 0 ∇∙ E =ρv/ε Cariche statiche creano un campo elettrico Il campo elettrico esce dalle cariche positive ed entra nelle cariche negative. Il campo elettrico e' irrotazionale e quindi e' definito dal gradiente del potenziale scalare V
E = -∇V
Campo Magnetostatico ∇xB = μ0J ∇∙ B = 0 Correnti statiche creano un campo magnetico. Se le correnti girano dall'asse x all'asse y il campo magnetico E' diretto lungo z ( regola della mano destra) Il campo magnetico non e' irrotazionale ma e' solenoidale E’ quindi possibile esprimere B come rotore di un vettore A detto potenziale vettore magnetico (unità di misura T⋅m) poiche' ∇ ⋅ (∇×A) = 0 B = ∇× A Da ∇×H = J e B = μH ∇ × ∇ × A = − ∇2 A + ∇∇ ⋅ A =μ0J
un campo vettoriale è univocamente determinato se si assegnano in ogni punto i valori del suo rotore e della sua divergenza. Per definire univocamente A, si devono assegnare le condizioni sulla sua divergenza Nel caso del campo magnetico stazionario conviene imporre la condizione (scelta di Coulomb)
∇⋅A = 0 In queste condizioni, ∇ × ∇ × A = − ∇2 A + ∇∇ ⋅ A = − ∇2 A = μJ
Notare l'analogia con l'eq. di Poisson del potenziale scalare ∇2 V = - ρv
ricordiamo la soluzione dell'equazione di Poisson nell'elettrostatica
V = ∭τ ρdτ/4πεrPQ
B= ∇xA
DIPOLO MAGNETICO
DIPOLO ELETTRICO
Differenza tra linee del campo elettrico e magnetico • La forza elettrica ha la direzione delle linee di campo • La forza magnetica ha direzione perpendicolare alle linee di campo • Le linee di campo elettrico (statico) originano da cariche positive e terminano su cariche negative • Le linee di campo magnetico non originano da né terminano su punti dello spazio, perché non esistono cariche magnetiche isolate • Le linee di campo magnetico sono perciò linee chiuse
Energia immagazzinata per unita' di volume in un campo elettrico( Joule / metrocubo )
UEvol = ₁/₂ ε |E|2 Energia immagazzinata per unita' di volume in un campo magnetico
UHvol = ₁/₂ μ |H|2 (DA DIMOSTRARE IN SEGUITO !!!)