Metodo Simbolico, o metodo dei Fasori Questo metodo applicato a reti lineari permanenti consente di determinare la soluzione “in regime sinusoidale” solamente per quanto attiene il regime stazionario. L’idea di rappresentare grandezze alternate con numeri complessi deriva dalla formula di Eulero
e
j t
cos t
j si n t
Una grandezza alternata del tipo:
v t
Vo cos
t
può essere considerata come la parte reale di una grandezza complessa del tipo:
r v t
j
t
Vo e r j dove Vo Vo e
Vo e
j
e
r j Vo e
j t
t
Si ha dunque che
v t
r Re v t
Vo cos t
r
r
Quindi la v t è il prodotto di Vo argomento , e
ej
t
Vo e
j
che è un numero complesso costante, di modulo VO ed
che è un numero complesso di modulo unitario ed argomento variabile
r
linearmente con il tempo. Cioè v t complesso con velocità angolare
è un vettore di modulo costante V O che ruota nel piano
e con fase iniziale come mostrato nella figura seguente:
Teorema fondamentale dei signali sinusoidali Segnale sinusoidale generico
Am cos t Am : ampie zza 2 f : pulsazione [rad/s] : fase La somma algebrica di un qualunque numero di sinusoidi della stessa pulsazione
e di un
qualunque numero di funzioni da essa derivate (con qualunque ordine di derivazione) è pari ad una sinusoide della stessa frequenza angolare . Esempio:
f t
2 cos 2t
60
d 2 sin 2t dt 2 sin 2t sin 60 4 sin 2t
4 sin 2t
2 cos 2t cos 60 cos 2t
3 sin 2t
5 cos 2t 52
4
4 sin 2t
4 cos 2t
3 sin 2t 2
4
4 cos 2t
3
cos 2t
tan
1
4
3 5
7.6 cos 2t 48.8 Pensiamo di rappresentare la sinusoide tramite il numero complesso si noti che Am
A
Am e i .
A e è la fase. Più precisamente la sinusoide: x t
Am e i . r i Inversamente, dato un numero complesso A Am e e la pulsazione rappresentata dal numero complesso
sinusoide come segue:
Re A e i
t
Re Am e
i
Am cos t [ , Am, t, sono reali]
t
t
è
A
Re A ei
xt
Am cos
t
. Infatti:
Re Am cos x t
è possibile recuperare la
t
j Am sin
t
Il numero complesso
r A , che rappresenta la sinusoide Am cos t
è detto FASORE
rappresentante la sinusoide.
Per definizione il fasore
r r A è dato da A
Am e i .
esempio: sia
v t
2 110 cos 2 50t
3
il fasore rappresentant e è : j
A= 2 110 e 3 c ioè v t
Re A e2
5 0t
Va rilevato il fatto che la conoscenza dal fasore rappresentante una sinusoide determina l’ampiezza e la fase, ma non la frequenza. Quando si usano i fasori occorre quindi sempre tenere in mente la .
Diversamente se una sinusoide viene specificata con la funzione seno, invece che con il coseno, si ha:
yt
Am sin
t
La rappresentazione come fasore può ancora essere applicata:
A
Am e i .Ma il recupero della
forma sinusoidale si ottiene dalla:
yt
Im A ei
t
D’ora in poi utilizzeremo la rappresentazione che considera la parte reale.
Circuito RLC Consideriamo come esempio a cui applicare il metodo simbolico (metodo dei fasori), il circuito RLC seguente
alimentato da un generatore di tensione sinusoidale del tipo:
v t
Vo cos t
r Re v t
r Re v o e j
t
L’equazione del circuito è la seguente:
r R i t
L
r di t dt
1 C
t
r i t dt
r vo e j
t
0
La soluzione, nel campo reale, è una corrente di tipo sinusoidale quindi rappresentabile come parte
r
reale di una funzione complessa i t , cioè:
i t
I o cos t
r Re i t
Re I o e
j
t
r Re I o e j
t
r I dove o è un numero complesso costante di modulo I o ed argomento . Sostituendo nella equazione r jt I differenziale la o e si ha: r r r r 1 R Io j L Io I o e j t Vo e j t j C e j t comune ad ambo i membri si può scrivere: r r 1 I o Vo j C
Essendo il termine di rotazione
r R Io
j
r L Io
L’equazione precedente può essere considerata come la generalizzazione della legge di Ohm, purché vengano introdotti i concetti di “impedenza complessa” Z, per i singoli componenti R,L, e C.
Componente
Z complessa
r ZR R r ZL j L
R L
Modulo
Fase
R
0
L
2
r ZC
C
1 j C
1 C
E’ possibile rappresentare nel piano dei fasori le varie impedenze complesse.
Per ciascun elemento si ha:
Resistenza:
r vR
r r R I
r arg vR
r vR
RI r r arg R arg I
Il modulo è pari a RI e la corrente è in fase con la tensione
Induttanza
r vL
r j L I
r vL r arg v R
LI 2
r arg I
2
La tensione precede la corrente di 90°.
Condensatore
r vC
1 j C
r I
r vC r arg v R
I C 2
r arg I
La tensione è in ritardo rispetto alla corrente di 90°.
Considerazioni finali Dovendo risolvere una rete in corrente alternata, si possono usare le regole utilizzabili nel caso di reti operanti in corrente continua , con la differenza che ora le grandezze in gioco sono complesse. Si otterranno così le correnti nei diversi rami, in modulo e fase, con l’intesa che l’intero sistema di
r
r
vettori, costituito dalle i t e dalle v t , ruoti solidalmente con velocità angolare .
Esempio 1 Circuito alimentato da un generatore di tensione sinusoidale
r V
r r Ztot I
r I
r V r Ztot r arg I
R
r I
1 j C V
R
2
1 C
2
r r arg V arg Ztot
a tan
1 C
R
a tan
1 RC
Dove si è posta uguale a 0 la fase del generatore.
Esempio 2
La carica q nel condensatore C è data da: Q=CV e per quanto attiene la corrente ic , se C è costante nel tempo, si ha:
ic iR i
dq dv( t ) d C C Vm cos t dt dt dt v Vm cos t R R Vm iR iC cos t CVm sin t R
CVm sin t
Questa espressione può essere scritta come:
i
Im cos cos t
Im sin
sin t
Vm ; Im sin R tenendo conto che : cos dove I m cos
e ponendo i
CVm cos
cos
sin
sin
t si ha :
I m cos
t
Abbiamo cosÏ verificato che la corrente è una sinusoide come la tensione applicata, e che la corrente è in anticipo, rispetto alla tensione, di un angolo .
Esempio 3
r
Sia dato il circuito in figura. Conoscendo il fasore della tensione v1 ( v t ) determinare il fasore della corrente totale e della tensione totale.
r VR 2 r IC 1
r CV1
r VC 2
r Itot R2 r r VR 2 VC 2
r I tot
r I tot C2
r IR 1
r Vtot r V1 R1
r V1
r r r V1 VR 2 VC 2
Esempio 4:
r V t
r I2
1 C L
tan
1 C R
2
r R I2 2
L
1
r I t
1 C
2
L
R2
2
LC R C
Nel caso notevole in cui
1 C
r L si ha risonanza di tensione: V t
condizione si realizza per un valore di pulsazione
1 LC
r R I t ; tan
0 . Tale
Esempio 5
IL
IR
Ic Vt
IC
IR
Vt
IL r Nel diagramma dei fasori, il fasore I t
è sfasato di un angolo
r totale V t .
tan
r 1 Vt L r Vt R
C
1
Nel caso notevole in cui
2
LC LR 1 L
C si ha risonanza di corrente e =0.
rispetto al fasore della tensione