1.1.5 Transformatie van de gps resultaten

1.1.5 Transformatie van de gps resultaten

Een bijzondere eigenschap van het GPS navigatie systeem is dat het refereert naar het massa-centrum van de aarde en naar het ruimtelijk assenstelsel (WGS 84) dat eraan verbonden is. Eén van de voordelen van deze situatie is dat men, op de gehele aardbol, metingen kan uitvoeren in één en hetzelfde referentiesysteem. Dit kan heel nuttig blijken in het geval van bv. de platentektoniek. Nochtans heeft het gebruik van driedimensionale coördinaten op het lokale vlak, één nadeel : deze coördinaten drukken geen enkel verband meer uit met de vorm en de dimensies van de aardbol. Wat meer is : om praktische redenen verkiest de topograaf zijn berekeningen uit te voeren in een systeem met vlakke coördinaten (x, y, H), d.w.z. in een systeem dat refereert naar het lokaal projectievlak. Om dus over te gaan van het geocentrisch referentiesysteem naar de vlakke coördinaten moet een omzetting van de coördinaten geschieden.

1.1.5.1 Geoïdale hoogte of geoïdeondulatie

Alvorens tot de omzetting over te gaan verdient de notie "geoïdeondulatie" enige verduidelijking. In de geodesie gebruikt men twee types referentieoppervlakken :  De geoïde : is een equipotentiaalvlak dat samenvalt met het gemiddeld zeeniveau (denkbeeldig verlengd onder de continenten). Een equipotentiaalvlak is een oppervlak dat in elk van zijn punten loodrecht staat op de richting van de zwaartekracht.  De omwentelingsellipsoïde : is een wiskundig oppervlak waarvan de vorm en de oriëntatie zodanig zijn gekozen dat het zo goed mogelijk de geoïde benadert.

Zolang de geodeten hun planimetrische netten onafhankelijk van de altimetrische netten realiseerden speelde het onderscheid tussen de ellipsoïde en het reële aardoppervlak geen rol van betekenis. De invoering van de ruimtegeodesie maakt het echter nodig met dit onderscheid rekening te houden. Inderdaad, het altimetrisch net wordt gerealiseerd door te refereren naar de geoïde, aangezien het waterpassingstoestel in station is gebracht in functie van de lokale vertikale. De aldus bekomen hoogte wordt orthometrische hoogte genoemd.

De GPS metingen daarentegen verwijzen naar de ellipsoïde WGS 84 ; de hoogte bekomen met GPS is de ellipsoïdale hoogte. Het verband tussen beide is :

h  H  N

waarin : h = ellipsoïdale hoogte H = orthometrisch hoogte N = geoïdale hoogte

1.1.5.2 Transformatie van de GPS resultaten

Vrije vereffening (Unconstraint adjustment)

Vooraleer over te gaan tot de eigenlijke transformatie moet men er zich van vergewissen dat het met GPS opgenomen net betrouwbaar is. Inderdaad, indien onder het uitvoeren van de "individuele" berekening van de basissen de statistische criteria werden aanvaard, dan is deze basis in principe betrouwbaar ; maar in dit stadium zijn de grove fouten (verkeerde identificatie van de punten, fout op de instrumentele hoogte, enz ...) niet geëlimineerd. Door de vrije vereffening kan dit type fout worden opgeheven, en bijgevolg wordt ook de controle mogelijk op de interne betrouwbaarheid van het opgenomen net.

Aansluitingsvereffening (Full constraint adjustment)

De overgang van GPS (WGS 84) coördinaten naar een lokaal systeem gebeurt door de transformatie van Helmert te gebruiken. De onbekenden van deze transformatie zijn :  3 translatiecomponenten ;  3 rotaties ;

 1 schaalfactor ;

in totaal 7 onbekenden.

Deze parameters worden bepaald door gemeenschappelijke punten te gebruiken d.w.z. punten die terzelfdertijd bepaald werden in WGS 84 en in het lokale systeem. Met ieder gemeenschappelijk punt kan men 3 vergelijkingen opstellen. Daaruit volgt dat minimaal 3 gemeenschappelijke punten nodig zijn om de 7 parameters te bepalen van de transformatie van Helmert. In de praktijk streeft men er naar overtallige gegevens te hebben door het aantal gemeenschappelijke punten op te drijven. Op dat ogenblik worden de parameters door een "kleinste kwadraten"-vereffening afgeleid.

Bemerking : In het vervolg zullen we de volgende notaties gebruiken voor de coördinaten :

(x, y) stelt de vlakke locale cartesiaanse coördinaten voor ,( ) stelt de geografische ellipsoïdale coördinaten voor h stelt de ellipsoïdale hoogte voor H stelt de orthometrische hoogte voor (X,Y,Z) stelt de geocentrische cartesiaanse coördinaten voor Als index : LOC stelt een lokaal systeem voor GPS stelt het WGS 84 systeem voor De opeenvolgende stappen van berekening :

4. Omzetting van (x, y)LOC in ,( ) LOC .

5. Om de locale driedimensionele coördinaten te bekomen moet de ellipsoïdale hoogte beschikbaar zijn : dus ,( , h)LOC .

6. Omzetting van ,( , h)LOC in (X,Y,Z)LOC .

7. Door de coördinaten te gebruiken van de gemeenschappelijke punten uitgedrukt in de twee systemen (X,Y,Z)LOC en (X,Y,Z)GPS , bepaalt men de 7 parameters van de gelijkvormigheidstransformatie.

8. Omzetting van de niet gekende punten uit X,Y,Z)GPS( naar (X,Y,Z)LOC door middel

van de gelijkvormigheidstransformatie.

9. Omzetting van (X,Y,Z)LOC naar ,( , h)LOC .

10. Tenslotte, met weglating van de ellipsoïdale hoogtes, worden de ,( ) LOC omgezet in (x, y)LOC .

Merk op :

Deze procedure veronderstelt dat de gemeenschappelijke punten uitgedrukt in het driedimensioneel lokaal systeem, de ellipsoïde gebruiken als referentievlak. Dit houdt in dat men de geoïdale hoogte kent, wat in België het geval niet is !

We moeten evenwel zeggen dat het effect van de niet correcte ellipsoïdale hoogte op de gemeenschappelijke punten dikwijls te verwaarlozen is op de vlakke coördinaten (x, y)LOC en op de ellipsoïdale coördinaten ,( ) LOC .

Zo veroorzaakt bijvoorbeeld een fout van 5 m op de hoogte, binnen een net van 20 km op 20 km, een benaderende fout van 1 mm op de vlakke coördinaten.