Redumat 9 agosto 2015 año 4 nº 9 by REDUMAT-UIEMAT

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015

Agosto 2015. Año 4, No 9

REDUMAT Nº 9

Revista de la Unidad de investigación en educación matemática. UIEMAT. FACES-UC Agosto 2015. Año 4, No 9

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 CONTENIDO REDUMAT Nº 9 Consejo Editorial

Consejo Editorial. ……………………………………………………..2

Fundador: Cirilo Orozco Moret (Ed.D) Director-Editor: Cirilo Orozco Moret (Ed.D) Comité Editorial: Celestina Giuffrida (Dra), Vilma Morales (Dra), Sheyla Jiménez (Dra), Gladis Arocha, Adrián Pinto, Pedro Cabrera, Fanny Morales, Germán Rangel, Miguel Angel Díaz, Magdiel Acosta, Juan Aguirre, Alfredo Armas, Arnaldo Souto, Jesús Parra, José Boada, Wilfredo Díaz, Guillermo Arraiz, Mary Carmen Ravelo, Cristina Kudinov, Indira Medrano. Ana Beatriz Ramos (Dra), Carlos Agudo.

Contenidos de este Número………………………………….....…..2 Presentación……………………………………………………………3 Editorial……………………………………………………………….... 3

Borrosidad y Fractalidad: ¿Una Metamatemática de la Complejidad y de la Virtualidad? Sánchez Moisés y OrozcoMoret, Cirilo………………………......................................................4

Colaboradores: Kenibel Munevar, Marlene Figueredo, Jhonny Sifontes, Oswaldo Conde, Rubén Oropeza, Fernando Guerrero, Romstime Cescutti, Argenis Sánchez, Luis Orozco.

Atribuciones de la motivación al logro y sus implicaciones en la formación del pensamiento lógico-matemático en la Universidad. Orozco Moret, Cirilo y Díaz, Miguel Ángel ………….13

Asesoría Legal: Abg. Jesmar Orozco L.

La creatividad como concepción para una nueva época. Polanco Rodríguez, Beisys ……………………………………..…….26

UNIVERSIDAD DE CARABOBO Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Filosofía Básica y Lenguaje en Matemática. López, Marisela…35

www.faces.uc.edu.ve

Geoplano como recurso didáctico matemático para estimular la creatividad de los alumnos. Polanco Rodríguez, Beisys M……40

Unidad de Investigación en Educación Matemática Ave. Salvador Allende. Edif. FACES. Piso 2, Cub. 1208. Tf 0414-4717568 Comisión Coordinadora

Dra. Vilma Morales Dra. Sheyla Jiménez MSc. Guillermo Arraiz

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 ¿Quiénes somos? EDITORIAL

La Revista REDUMAT es una revista universitaria arbitrada enfocada en temas de actualidad sobre la Educación Matemática. La misma está dirigida a recuperar y difundir la producción intelectual original acreditada de profesores, estudiantes y estudiosos de la didáctica en las disciplinas numéricas; en temas de enseñanza, aprendizaje, evaluación, materiales instruccionales y entornos escolares destinados al desarrollo y formación del razonamiento numérico y meta numérico. En ese sentido, Redumat se convierte en un archivo o repositorio de la producción de la La Unidad de Investigación en Educación Matemática (UIEMAT) y publica reflexiones teóricas, experiencias didácticas, notas científicas, artículos de investigación y reseñas inéditas de autores nacionales y extranjeros los cuales son seleccionados y evaluados mediante un proceso sistemático y riguroso de arbitraje, a cargo del comité editorial.

Arribamos al número 9 de la revista REDUMAT, manteniendo la continuidad por cuatro años consecutivos y

cumpliendo

consolidando

paso esta

paso

publicación

los

criterios

como

para

referente

periódico, académico y científico de la Educación Matemática. Hasta ahora, el medio ha servido como archivo y como fuente de divulgación no convencional de lo que se está haciendo en esta área científica, en la UIEMAT y dentro

del entorno de la Universidad de

Carabobo. Se han cumplido las metas de la continuidad, de la consolidación de la estructura de edición y tenemos un cuerpo editorial completo a lo interno. Ya empiezan a aparecer citas de nuestras contribuciones en otros medios académicos.

Están

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las

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científica. Está en trámite la solicitud del ISNN para la

La Unidad de Investigación en Educación Matemática (UIEMAT) es una estructura de investigación ubicada institucionalmente en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales (Campus Bárbula) de la Universidad de Carabobo, en Valencia, Venezuela. Fue fundada en el año 2005 y está conformada por docentes investigadores de las Cátedras de Introducción a la Matemática y Matemática I. Actualmente ostenta rango de cátedra, cuenta con al menos 10 líneas de investigación y guarda estrechos vínculos con la Maestría en Educación Matemática de la Facultad de Ciencias de la Educación, mediante la tutoría y asesoramiento de tesis y publicación de artículos de noveles investigadores participantes en esa maestría.

publicación electrónica, el depósito legal ante la Biblioteca Nacional de Venezuela. También se se están siguiendo los pasos para registrar a la REDUMAT como un órgano científico oficial de la Universidad y de la Biblioteca Central.

Necesitamos, contribuciones externas y participación en el cuerpo editorial de árbitros de otras instituciones. Por ello estamos convocando a las personas interesadas a unirse a nosotros, con su contribución académica y científica, y con su oferta de cooperación en el cuerpo editorial para llevar a cabo el proyecto, a corto plazo, de convertir esta publicación en una revista indexada. Consideramos que la etapa inicial termina este año con el número 10 y esperamos que a partir del número 11 estemos ofreciendo los avances alcanzados.

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 SECCION INEDITO: ARTICULOS ORIGINALES DE AUTORES DE LA UIEMAT Y/O DE OTROS ESPACIOS CIENTIFICOS Y ACADEMICOS

ciencia positiva entró en cuestionamiento de sus fundamentos matemáticos al carecer de un sistema de medición y representación acorde con la realidad no newtoniana que emergió de la incertidumbre. Consecuentemente surgió una postura científico-social expositora de una ontoepistemología de enfoque cualitativo, alejada de la medición numeral y objetiva del positivismo, y se asume una visión humana y compleja de un cosmos incierto y cambiante, y que en su subjetividad tacita incorpora el sujeto cognoscente en la investigación. Simultáneamente surgieron y están en desarrollo nuevas y completas matemáticas con elevado potencial, y con percepciones flexibles, amplias e incluyentes de la complejidad. Luego, fundamentado en una indagación documental, el propósito de esta reflexión exploratoria es debatir el surgimiento de un enfoque complementario; una metamatemática acorde a la actual realidad compleja y virtual. Se concluye conjeturando que la percepción matemática fractal y borrosa del mundo, responde ontoepistemológicamente con características de la cosmogonía compleja y virtual de la actualidad. Palabras clave: Lógica Difusa, Geometría Fractal, Borrosidad, Complejidad y Virtualidad

Borrosidad y Fractalidad: ¿Una Metamatemática de la Realidad Compleja y Virtual? Sánchez, Moisés Andrés. moicapriles@hotmail.com Caribbean International University. Doctorado en Ciencias Gerenciales Orozco-Moret, Cirilo cirilotampa@hotmail.com Universidad de Carabobo Unidad de Investigación en Educación Matemática UIEMAT

Introducción

RESUMEN

Actualmente, en una realidad hipercompleja con un componente tecnológico virtual fuera de la materia, fuera de la conciencia humana y lejos de Dios, brota una moción tecnológica de transformaciones continuas e indetenibles, y la humanidad entra en una angustia existencial Focaultiana que busca afanosamente la reconstrucción de la prospectiva cosmogónica del hombre; de su mente, de su espíritu y de su extensión terrenal. Son tiempos de cambios de la visión onto-

El hombre ha recurrido, pragmática y positivamente, a la matemática como herramienta utilitaria para solucionar problemas y como instrumento onto-epistemológico para explicar objetivamente el cosmos. Pero, históricamente, en la matemática han aparecido vaguedades e imprecisiones de la realidad, y tales inexactitudes inspiraron la búsqueda de sistemas numéricos y representacionales más eficientes. Por ejemplo, a finales del siglo XIX, la 4

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 metodología mixta o cuanti-cualitativa, desde la lógica borrosa del ser cognoscente y desde la fractalidad de la naturaleza.

epistemológica multidimesional de la realidad en los cuales, ya no resulta convincente recurrir a la trilogía de cuerpo, mente y espíritu para definir el ser.

Tras las huellas de la imprecisión en la representación de la realidad

A la luz de los adelantos científicos, la naturaleza tiene ahora antimateria, la abstracción de las ideas tiene antítesis en la virtualidad, la mente es retratada en la inteligencia artificial, así como, el halo del ánima, encuentra espejo refractario en la vida autómata.

La matemática ha sido desde tiempos inmemoriales referencia representacional, racional y metódica de la construcción del conocimiento sobre el universo, pero es a partir de Descartes, y hasta la actualidad, que la modelación matemática tomó preeminencia civilizatoria como método de razón, como herramienta de acción científica y como procedimiento de explicación utilitaria en la realidad material concreta y cotidiana del ciudadano.

Tampoco resulta suficientemente esclarecedor el apelar a la tétrada de neurona, inteligencia, conciencia y emoción para retratar en su integridad el potencial cognoscente del ser humano, porque en el ahora emergen representaciones tecnológicas artificiales de estos elementos; hay evidencias reales de razonamiento digital, la robótica muestra las primeras emociones mecatrónicas de prototipos sensibles y la medicina planifica en tiempo real el trasplante de cabeza humana.

La confianza y credibilidad en la matemática nace de los avances técnicos y científicos aplicados en la construcción de estructuras en los que se hace uso práctico de las geometrías euclidiana (plana) primero, y no euclidianas (esférica, hiperbólica y elíptica) después, logrando un reconocido éxito en la comprensión, representación y dominio de los eventos reales que requerían explicación referencial a la luz de las tecnologías conocidas de cada tiempo (Orozco-Moret y Díaz-Yanes, 2009).

En sincronía ideacional con los eventos, el hombre trata de transdisciplinarizar la composición estructural, constitutiva y relacional del sujeto cognoscente para dilucidar la naturaleza multidimensional de un cosmos siempre desconocido y sorprendente en su consistencia natural, en las múltiples perspectivas racionales y en la artificialidad generada de la intervención humana. Al respecto Castañares afirma,

En este sentido Bertrand Russell, reflexionaría, “La religión racionalista en contraposición a la apocalíptica ha sido completamente dominada desde Pitágoras y, sobre todo, desde Platón, por las matemáticas y sus métodos.'' (Russell, 1971, p. 51). En las palabras de Russell se confirma la máxima sobre el predominio alcanzado por la matemática en todos los tiempos, sobre todo desde la visión del racionalismo, y deja sobreentendida la relación entre matemática como medio y como método una dualidad en las perspectivas onto-epistemológicas del cosmos que han perdurado desde la antigüedad.

Considerada como una nueva forma de representación, la realidad virtual parece ser el resultado de un proceso evolutivo, hace largo tiempo iniciado, pero al que aún se le augura un largo recorrido. Este proceso consiste en la sustitución de la realidad por sus representaciones. (Castañares, 2011, p. 61). En ese sentido el propósito de esta reflexión, hecha artículo, es iniciar el debate sobre la posibilidad de una perspectiva ontoepistemología de la complementación, de

Por ejemplo, ya desde Aristóteles se separaba el saber sabio de la experticia. Se supeditaba la experiencia frente al arte y se 5

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 suponía una matemática más poderosa, para allanar esas debilidades. Quizá por ello era partidario de una matemática universal que reduciría la aplicación de los métodos geométricos a las problemáticas científicas, sin acudir ni reconocer la experiencia cotidiana.

aceptaba que el experto encuentra concreciones prácticas y obtiene resultados, mientras el sabio custodia sus abstracciones teóricas, en busca de las respuestas y del método para construir esas respuestas, y con ellas fundamentar los resultados. Así lo expresa el mismo Aristóteles en su obra Metafísica, cuando dice,

Por su parte, Leibniz, contemporáneo con Newton, medio siglo después que Descartes, pretendía generar un sistema lógico-matemático absolutamente racional, a partir de los principios de “contradicción” y de “razón suficiente” para todos los mundos posibles. Preestablece una armonía de causalidad entre fenómenos y la concordancia entre la razón y las leyes naturales. Una propuesta que desde la lógica haría imposible las paradojas o contradicciones propias de la filosofía clásica. Para Leibniz, A no puede ser y, a la vez, no ser A, en acatamiento al principio lógico del tercero excluido (Arana, 2009).

Pues todos comienzan, según hemos dicho, admirándose de que las cosas sean así, como (…) con la inconmensurabilidad de la diagonal (pues a todos les parece admirable que algo no sea medido por la unidad mínima). Pero es preciso terminar en lo contrario y mejor, según el proverbio, como sucede en los casos mencionados, después que se ha aprendido: pues de nada se admiraría tanto un geómetra como de que la diagonal llegara a ser conmensurable. Queda, pues, dicho cuál es la naturaleza de la Ciencia que se busca, y cuál la meta que debe alcanzar la indagación y todo el método (Aristóteles, en Gómez, 1979, p. 23 ).

Conscientes de la presencia de anomalías sistémicas, muchos investigadores empíricos y teóricos notables de principios del siglo XX como Russell, Leibniz, Hilbert, y Brower, intentaron encontrar las vías de perfeccionamiento del sistema representacional matemático, como fundamento del paradigma de la ciencia positiva, sin enteder que el problema está en la premisa lógica del tercero excluido y de la base entera del sistema representacional matemático. En este sentido, Bertrand Rusell intentó reunir toda la matemática desde una única perspectiva lógicaconjuntista. Quería demostrar que la matemática clásica era parte de la lógica, lo que desembocó, contrario a su pretensión, en la formulación de nuevas paradojas irresolubles (Snapper, 1979).

Ahora bien, ante la presencia de casos como este, para el filósofo, la imprecisión matemática es una ventana a una realidad compleja no determinable. Queda en evidencia que cuentan con un sistema de representación incompleto y no acorde con la complejidad, y ese hecho constituye una pista para enunciar la carencia de un sistema más potente de representación del cosmos. Al respecto Descartes reflexionaría diciendo que, Encontraba placer sobre todo con las matemáticas, a causa de la certeza y evidencia de sus razones; pero yo no notaba aún su verdadero uso y ... me extrañaba de que, siendo sus cimientos tan firmes y tan sólidos, no se hubiera construido sobre ellos nada más levantado (Descartes, 1983, p. 18).

Frecuentemente, se recurrió a justificar o aceptar tales imperfecciones, como hechos naturales. Por ejemplo, en referencia a la perdida de rigor, Russell opinaba que, Creo que la matemática es la fuente principal de la fe en la verdad eterna y exacta y en un mundo suprasensible e inteligible. La geometría trata de

Descartes, entendía la insuficiencia de su geometría como instrumento metódico y 6

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 son (contradicciones en la teoría), hacía que las matemáticas estuvieran lejos de ser perfectas y por tanto, había la exigencia de reconstruirlas desde sus mismas bases (Snapper, 1979, p. 119).

círculos exactos, pero ningún objeto sensible es exactamente circular; por muy cuidadosamente que manejemos el compás, siempre habrá imperfecciones e irregularidades. (…) Las doctrinas místicas respecto a la relación del tiempo con la eternidad también se apoyaron en las matemáticas puras, porque los objetos, como los números, si son reales, son eternos y no colocados en el tiempo (Russell, 1971, p.56).

Análogamente, Hilbert (1920-30) proponía la metamatemática como una nueva ciencia cuyo objetivo sería verificar la validez de los razonamientos matemáticos. Con su propuesta de base aritmética y finitista de una matemática no conjuntista, Hilbert se disponía a evitar las polémicas e impedir el surgimiento de nuevas paradojas. “La metamatemática trataría a los enunciados y a los razonamientos matemáticos como si fueran simples secuencias de símbolos sin significado a los que manipularía algorítmicamente.” (Martínez y Piñeiro, 2009. p. 19).

Una vez más en las reflexiones de Russell subyacen la perspectiva matemática que atribuye las imperfecciones a la experiencia y deja entrever su fe en una perspectiva purista de una matemática perfecta y completa. En su idea subyace la añoranza de una posible unificación de toda la matemática desde la perspectiva de la lógica. Pero esa realidad, atada al formalismo de la lógica clásica, sucumbe ante el principio de incertidumbre de Heisemberg, también contradice la dualidad onda-partícula de la materia de Planck y se desdibuja ante el punto referencial del observador en la relatividad universal de Einstein (Sánchez Ron, 1992).

El programa de Hilbert coincidiendo en mucho con las ideas de los intuicionistas y por tanto aceptado por estos, proponía un sistema aritmético de cuatro axiomas, que parecía viable. Sin embargo, en 1930 Godel, presenta una sentencia definitiva e irrefutable contra las proposiciones de reescribir una matemática única y universal; él demostró que si se cumplen las dos primeras condiciones planteadas por Hilbert entonces la tercera nunca podrá cumplirse, y esto resultó aplicable a cualquier sistema representativo.

Con la misma aptitud teleológica, Brouwer (1908) al frente de la escuela intuicionista que entendía la matemática como una actividad mental de construcción de conceptos uno tras otro, y proponía, en contra de la pretensión lógico-conjuntista de RussellCantor, que los únicos objetos matemáticos válidos, son aquellos que se pueden construir algorítmicamente en una cantidad finita de pasos. En ese sentido se afirma que,

En síntesis, la generalización del principio de incompletitud de Godel, establece que no existe un sistema sin contradicciones, con lo cual se marcó un hito no solo para las ciencias exactas, y sino para la ciencias naturales, las ciencias sociales, el humanismo y la filosofía (op.cit., 2009).

Para los logicistas, las paradojas eran errores comunes, causados por la inhabilidad de algunos matemáticos, y no exactamente, por falla estructural de las matemáticas. Para Brouwer, sin embargo, la teoría de conjuntos de Cantor fue hecha amañadamente sin ningún enfoque axiomático. Lo que dio origen a las paradojas, que interpretadas como lo que realmente

Pero, además de la irrefutabilidad de una insuficiencia de los sistemas numéricos, que estable el principio de incompletitud de Godel, a partir del principio de incertidumbre de Heisembreg ya se había desarrollado en la comunidad científica un sentimiento de desconfianza en la medición, en los parámetros y criterios numéricos de determinación de atributos físicos, algo que hasta entonces se 7

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 perfecciona las ideas de Rutherford sobre la materia; introduce los estados estacionarios de los electrones y presenta nuevas características del comportamiento energético atómico que serían bases para la física nuclear.

consideraba axiomáticamente precisos y perpetuos. Al respecto se expone en medios científicos que, Es importante insistir en que la incertidumbre no se deriva de los instrumentos de medida, sino del propio hecho de medir. Con los aparatos más precisos imaginables, la incertidumbre en la medida continúa existiendo. Así, cuanto mayor sea la precisión en la medida de una de estas magnitudes mayor será la incertidumbre en la medida de la otra variable complementaria (Lo Vuolo y Mazza, p. 71).

A este modelo lo sucedieron las observaciones de Sommerfeld, de Schrödinger y de Heisemberg, entre otros, en una sucesión evolutiva de desarrollo ontológico del concepto de átomo hasta que la comunidad científica aceptó el llamado modelo atómico actual o mecano-cuántico (1925). Para llegar al modelo mecano-cuántico fue imprescindible que Heisemberg postulara su principio de indeterminación o de incertidumbre que dicta que “es imposible medir simultáneamente, y con precisión absoluta, el valor de la posición y la cantidad de movimiento de una partícula”. Ello conllevó la introducción de la palabra "probabilidad", en la definición y representación del átomo y de la materia (Ortiz de Landázuri, 2010).

Con esta percepción, uno de los sustentos esenciales de la epistemología positiva, la medición de la realidad material, su cuantificación, posición y movimiento, había sucumbido desde las ideas y proposiciones de sus propios partidarios. Sin embargo, poco se difundió de la imprecisión universal de la medida o casi nada se reportó de las fallas, fracasos y vacíos de esa matemática ingenieril y experimental en el esclarecimiento de vaguedades, paradojas, dudas y falacias, que emergían por montones, a la par de los éxitos y de los logros científicos y tecnológicos.

Por si fuera poco, luego de que la fe en la medición fuera refrenada a partir del principio de Incertidumbre de Heissemberg y que toda pretensión de un sistema único de representación numérica quedara definitivamente vencida con el principio de incompletitud de Godel; casi simultáneamente emerge una nueva física y otra cosmología bajo los postulados macro cósmicos de la relatividad especial y universal (Einstein, 1905-1915) y del microcosmos de la física y mecánica cuántica de Planck (1906-1917). Además, hubo una rebelión contra las raíces más profundas del pensamiento sustentado en la lógica clásica y emergieron nuevas lógicas no bivalentes; entre ellas las lógicas multivalentes de Lukasiewicz, (1920) y de Post (1921), (op.cit. 2010)

La imprecisión y vaguedad de la realidad en las ciencias naturales Para las ciencias naturales, en los inicios del siglo XX, la física de la mecánica celeste estaba en crisis, el sistema cartesiano de representación lucía obsoleto, la lógica bivalente resultaba insuficiente y las tareas de revisión estaban en pleno movimiento. En química, la revisión comenzó por reformular la noción y representación de la materia. El modelo atómico de Dalton de 1803, fue destronado por Thomson en 1997, Rutherford casi inmediatamente hizo observaciones experimentales que contradecían el modelo de Thomson y en 1911 presentó una aproximación teórica del átomo más avanzada, en el cual los electrones tenían orbitas circulares alrededor del núcleo. Bohr en 1913,

Las dos guerras mundiales interrumpieron el proceso y, después de la II guerra mundial, en el entorno de los vencedores cundió un optimismo tecno-científico con base en la ciencia positiva. Pero una vez llegada la paz, la influencia del positivismo comenzó a ser cuestionada, desde las ciencias sociales, con renovados ideales axiológicos en la Filosofía de 8

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 realidad dominada por la noción de incertidumbre. Entre los desarrollos disciplinares de innovación hacia uno onto- epistemología metamatemática de la complejidad destacan la lógica borrosa y la geometría fractal.

la Ciencia. Salieron al debate las concepciones y pensamientos filosóficos de Hanson (1958), Popper (1959), Toulmin (1961), Kuhn (1970), y Lakatos (1970) entre otros, en crítica y contraste con la perspectiva epistemológica cientificista del cosmos.

La borrosidad de la realidad

Emerge del fondo de los ideales de estos filósofos y humanistas una ontología alternativa a la ciencia positiva que ofrece la percepción de una realidad mutable, inconmensurable, compleja, sistémica, intricada e incierta. Fueron enfrentados, los supuestos y las posturas del enfoque positivista de la ciencia y de la percepción objetiva de la naturaleza. Introdujeron todo un nuevo paradigma de observación, comprensión e interpretación de los fenómenos naturales y sociales, sin la representación numérica y se propusieron vías alternas de búsqueda del saber y la verdad dentro de la circunstancia de interacción experiencial del sujeto cognoscente (AguirreGalindo, s/f).

Ante la crisis de dualidad verdad-falso de Aristóteles, a principios del siglo XIX comenzó una pugna por generar otras lógicas multivalentes alternativas a la aristotélica que no tuvieron continuidad. Sin embargo, Zadeh (1965), como resultado de sus investigaciones sobre los sistemas complejos, presenta su denominado Principio de Incompatibilidad que dicta literalmente que, “Conforme la complejidad de un sistema aumenta, nuestra capacidad para ser precisos y construir instrucciones sobre su comportamiento disminuye hasta el umbral más allá del cual, la precisión y el significado son características excluyentes” (Posada, 2012, p. 441). Así apareció la noción de conjunto difuso, en el cual subyace la premisa de que es en las etiquetas lingüísticas o adjetivos, y no sobre los numerales, en los cuales se construye el razonamiento del hombre. A partir de entonces surge y se expande la lógica difusa, una lógica polivalente que considera que entre la verdad y la falsedad hay diversidad de diferentes grados de verdad y/o falsedad. Al respecto, JaimesRueda (2013) reporta que,

Se trata de una onto-epistemología naturalista que se aleja de los numerales y códigos de la matemática, sin excluirlos en su potencial utilidad, en la misma medida que se acerca a los adjetivos y significados del lenguaje y a los intricados procesos mentales y percepciones sensoriales del investigador. En síntesis, desde la filosofía y las ciencias sociales surgen los indicios de comprensión, interpretación y descripción de una realidad compleja, que en su vaguedad propia, ha de ser auscultada y develada, desde la transdiciplinaridad y complementariedad con nuevos y apropiados métodos, técnicas y procedimientos. Un tema, que se menciona solo como referencia y que se escapa a la finalidad de esta reflexión (Orozco-Moret, 2006).

Más formalmente se puede decir que si la lógica es la ciencia de los principios formales y normativos del razonamiento, la lógica difusa o borrosa se refiere a los principios formales del razonamiento aproximado, considerando el razonamiento preciso (lógica clásica) como caso límite. (p. 23)

Sin embargo, regresando a la unidad conceptual blanco de esta reflexión, desde la posición positivista, con la confianza que otorga el potencial de la tecnología digital en simultáneo con el desarrollo que vive el paradigma de la complejidad, también se reconstruye una visión matemática de la

Además de incluir la lógica clásica como un caso extremo, se definen con claridad sus diferencias cuando se introduce la cuestión de la graduación de la verdad o de la falsedad proposicional. 9

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 numéricas distintas al espectro entero. Con el auxilio de las computadoras, - experimentando con viejas fórmulas matemáticas y sometiendo a prueba estas máquinas con cálculos complejos-, y requiriendo de ellas toda su capacidad y potencialidad gráfica para construir las ilustraciones y representaciones de tales expresiones y cálculos, Maldebront, empezó a observar figuras y grafos que concordaban extraordinariamente con fenómenos y eventos de la naturaleza (Quezada Macchiavello, 2004).

El aspecto central de los sistemas basados en la teoría de la lógica difusa es que, a diferencia de los que se basan en la lógica clásica, tienen la capacidad de reproducir aceptablemente los modos usuales del razonamiento, considerando que la certeza de una proposición es una cuestión de grado (op.cit. 2013, p. 28). Dada su naturaleza aproximativa la lógica de Zadeh, rápidamente encontró aplicaciones tecno-cuali-cuantitativas en los campos de las ciencias naturales, ciencias sociales y ciencias aplicadas o tecnológicas. En ese sentido Jaimes-Rueda afirma que, “La lógica difusa permite representar el conocimiento común, que es mayoritariamente del tipo lingüístico cualitativo y no necesariamente cuantitativo, en un lenguaje matemático a través de la teoría de conjuntos difusos y funciones características asociadas a ellos.” (p.29).

Tras repetidas simulaciones, ensayos y experimentos, encontró en esas construcciones graficas patrones de reiteración y transformación simultánea. Maldebront, observa que los objetos artificiales o naturales con las propiedades fractales obedecían con regularidad a los pivotes de un nuevo universo matemático. Creó entonces una nueva geometría, la geometría fractal, con inmensas posibilidades de aplicación, de representación, de sistematización y generalización.

Análogamente, Pérez y Melero (2006), afirma que “Las lógicas difusas tratan de crear aproximaciones matemáticas en la resolución de ciertos tipos de problemas. Pretenden producir resultados exactos a partir de datos imprecisos, por lo cual son particularmente útiles en aplicaciones electrónicas o computacionales” (p. 457).

Al respecto se dijo de Maldebront, que, “Lo que él vio fue que el paradigma de abrumadora uniformidad con la que los físicos matemáticos han intentado describir la Naturaleza era radicalmente deficiente e incompleta. Fractales y pre-fractales, una vez percibidos, están en todas partes” (op.cit. 2004). Los fractales son considerados la herramienta de diseño predilecta de la naturaleza, muestras de ellos son encontrados en la naturaleza viva, en los corales, las plantas, las flores, los vegetales, las costas, las tormentas eléctricas. También son visibles en fenómeno de las ciencias, como en la descripción de eventos físicos complejos como las turbulencias. Se evidencian en biología cuando se utiliza la fractalidad para ilustrar el crecimiento celular, o la morfología de órganos y sistemas vivos como el pulmón, el cerebro y el sistema circulatorio.

Si se tiene que describir la lógica difusa, se tiene que señalar como sus atributos sobresalientes; su naturaleza cuali-cuantitativa que posee el potencial de operar con datos numéricos y con categorías lingüísticas, su flexibilidad aproximativa y su tolerancia con lo impreciso, sus aplicaciones en problemas no lineales, de ciencia naturales y sociales, y en aplicaciones tecnológicas. La Realidad Fragmentada: Una década después de la formulación del Principio de Incompatibilidad de Zadeh, en 1975 Maldebront resucitaría la carencia de un sistema representacional ante la visión de una realidad inconmensurable, por tanto no concreta, en espacios de dimensiones

Pero también, los modelos fractales son utilizados para crear aproximaciones teóricas de fenómenos sociales complejos como los sistemas de competencias curriculares, la 10

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 el paradigma de la realidad compleja y que abarca la realidad digital tecnológica de la virtualidad.

atividad de procesos de razonamiento bajo detección de imágenes digitales. En economía surgen cuando se grafica el comportamiento de ventas y de gastos, la distribución de bienes o la malla de conexiones de internet en un periodo determinado. La geometría fractal también aplica en la virtualidad y en las realidades descritas desde la lógica difusa. Además, se encuentra vinculada a la virtualidad en su representación de las redes neuronales y los algoritmos genéticos, entre otras muchas aplicaciones.

Bibliografía. Aguirre-Galindo, E. (s/f). Introducción a la Epistemología. Monografías.Disponible on line: http://www.monografias.com/trabajos/epistemolo gia/epistemologia.shtml#ixzz3fqUHt0M3 Arana J. (2009). La Interacción Entre Física y Metafísica en el Pensamiento de Leibniz. Thémata. Revista de Filosofía. Núm. 42, 2009. Universidad de Sevilla [2015/07/07/] disponible on line en: http://institucional.us.es/revistas/themata/42/04 %20juan%20arana2.pdf -Aristóteles: Tratados de lógica. Trad. Francisco Larroyo. México: Editorial Porrúa, 1979. -Castañares, W. (2011), realidad virtual, mímesis y simulación. CIC Cuadernos de Información y Comunicación. vol. 16 59-81 IssN: 1135-7991. Disponible on line en: http://dx.doi.org/10.5209/rev_CIYC.2011.v16.3

Al igual que lo observado con la lógica difusa, la geometría fractal es flexible y es más categorial que numérica. Es una disciplina complementaria que permite representar cuanti-cualitativamente todo tipo de fenómenos incluidos todos aquellos grafos en los que funciona el sistema de base entera. Se conjetura que la geometría fractal es a los fenómenos complejos de las ciencias sociales y del comportamiento lo que la geometría cartesiana fue para los eventos físicos de las ciencias naturales. Reflexión Conclusión

final:

manera

Descartes, René: Discurso del método. Trad.Constantino Láscaris. San José: EDUCA, 1983 (octava edición).

A partir del rescate de la idea de inconmensurabilidad de la diagonal, mencionada por Aristóteles, la añoranza de mejores y más fuertes argumentos matemáticos expresadas por Descartes, la suposición y la necesidad de un sólo sistema para los mundos posibles de Leibniz, las imperfecciones e irregularidades geométrica mencionadas por Russell, etc., se ha de concluir que la modelación matemática de base entera, resulta definitivamente insuficiente para representar fielmente una realidad compleja y solo consigue mostrar proyecciones aproximativas válidas y limitadas a las condiciones de restricción.

Gómez, L. (2004) Problemas de la filosofía: textos filosóficos clásicos y contemporáneos. 2da Edición revisada. Editorial Universidad de Puerto Rico. Estados Unidos. Jaimes Rueda, S. (2013) Descripción General de las Técnicas de Control Borroso y Aplicación en el Control de Nivel y Flujo. Tesis de Grado no publicada. Universidad Pontificia Bolivariana. Disponible on line en: http://repository.upb.edu.co:8080/jspui/bitstream /123456789/1193/1/digital_19969.pdf Lo Vuolo, A. y Mazza, G; (2010). Química General. [citado 2015-07-10]. Disponible on line en: http://www.eis.unl.edu.ar/z/adjuntos/10/APUNTE _QCA_GRAL.pdf -Martínez, G. y Piñeiro, G. (2009). Godel para todos. Ed. Seix Barral. Grupo Planeta. España. p. 272. ISBN: 978-9507316050

Ante esa circunstancia coyuntural de incompletitud surge una perspectiva metamatemática con una lógica difusa y una geometría fractal en desarrollo que presentan una onto-epistemología de la complementariedad integradora, de lo cualitativo con lo cuantitativo, coincidiendo en mucho con 11

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REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015

SECCION DE RESCATE: REPOSITORIO ARTICULOS DE AUTORES DE LA UIEMAT PUBLICADOS EN OTROS ESPACIOS CIENTIFICOS Y ACADEMICOS

Repositorio: Este artículo fue publicado originalmente en Interciencia versión impresa ISSN 0378-1844 INCI v.34 n.9 Caracas sep. 2009

de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Carabobo, Venezuela. Los resultados indican que algunas causas atribucionales de motivación afectan el potencial lógico-numérico y contribuyen en el desempeño de los estudiantes en algunas dimensiones del pensamiento matemático.

http://www.scielo.org.ve/scielo.php?pid=S037818442009000900008&script=sci_arttext

PALABRAS CLAVE / Educación / Matemáticas / Motivación / Pensamiento Lógico-matemático / Universidad / Motivational attributions and their implications in the development of the logical-mathematical reasoning at University level Atribuciones de la motivación al logro y sus implicaciones en la formación del pensamiento lógico-matemático en la Universidad

ABSTRACT The purpose of this study was to analyze some of the attributions of the motivation for achievement in mathematics, referred to performance shown by university students in diverse aspects of quantitative reasoning. The research modality was non-experimental with an ex-post facto design. A sample of 92 beginning students out of a population of 1800 enrolled in the course Mathematics I in semester I-2008 was chosen intentionally at the Economic and Social Sciences College, University of Carabobo, Venezuela. The results indicate that some atribucional causes of motivation affect the logical-numerical potential and contribute to students performance in some dimensions of the mathematical thought.

Orozco Moret, Cirilo y Díaz, Miguel Ángel RESUMEN El propósito del estudio fue analizar algunas de las atribuciones de la motivación al logro en educación matemática en referencia al desempeño en diferentes aspectos del razonamiento cuantitativo demostrado por estudiantes universitarios. La modalidad de investigación fue no experimental con un diseño ex-post facto. Fue escogida intencionalmente una muestra de 92 estudiantes provenientes de una población de 1800 inscritos en la asignatura Matemática I del semestre I-2008 en la Facultad

KEYWORDS / education / mathematics / motivation / mathematical thinking / University / 13

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 aprendizaje, la enseñanza y la evaluación de contenidos matemáticos en diferentes niveles educativos y en relación a diversas variables, incluyendo los efectos de las actitudes y creencias hacia la matemática, la afectividad, la motivación y disposición por lo numérico, y la influencia del contexto y la cultura sobre el desempeño estudiantil, entre otros factores (Arrieche, 2007; Godino y Batanero, 1994).

Introducción La sociedad de la información, la comunicación y el conocimiento de comienzos del siglo XXI está fundamentada principalmente en la tecnología digital y en la matemática; lo cual ha generado interés académico por las competencias de la población en estas dos áreas del saber. Respecto a la competencia tecnológica, se ha informado que las nuevas generaciones sienten fuerte atracción por la innovación electrónica y demuestran una capacidad de adaptación asombrosa. En contraposición, en referencia a la competencia matemática, hay preocupación por una marcada tendencia de los jóvenes hacia la indisposición, la actitud negligente y la falta de curiosidad por esta disciplina numérica y sus aplicaciones (Álvarez-Sánchez et al., 2005).

En concordancia con esa línea de estudios, el propósito de este trabajo fue analizar algunas de las atribuciones de la motivación al logro en educación matemática en referencia al desempeño en diferentes aspectos del razonamiento cuantitativo mostrado por estudiantes universitarios de reciente ingreso a la educación superior. Planteamiento del Problema

En consecuencia, como nunca antes en la historia del conocimiento relativo a lo numérico, hay una denotada actividad pedagógica por democratizar la matemática presentándola como un lenguaje universal de alcance popular; al punto que en la actualidad el dominio operacional, la comprensión y el razonamiento matemático están entre los componentes de alfabetización considerado imprescindibles para todo ciudadano planetario educado (OrozcoMoret y Labrador, 2006; Ramírez-Martínez y Usón-Villalba, 2003).

Algunos organismos internacionales, tales como el National Council of Teachers of Mathematics de EEUU (NCTM, 1989, 1995, 2000), y la European Mathematics Society (EMS; Macías, 2006) y la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemática (FESPM, 2007) en Europa, sugieren que la alfabetización real de la población será alcanzada cuando la vasta mayoría de los ciudadanos pueda interpretar y explicar su entorno-mundo matemáticamente, cuando maneje con soltura la tecnología de última generación, cuando sea competente en el uso y aplicación del lenguaje materno, y cuando tenga fluidez oral y escrita en al menos otro idioma de importancia social (Bayod et al., 2002).

Con relación a este tema, en el ámbito mundial, ha emergido la educación matemática como una campo de investigación que intenta revertir el trágico y secular mito que las disciplinas numéricas son solo para individuos superdotados con una inteligencia especial; sentencia mítica que estimuló la animadversión matemática y el anumerismo de una vasta proporción de estudiantes en el siglo pasado (Bishop, 1987). Mito que hoy las entidades vinculadas con la educación sistemática intentan erradicar del contexto escolar por todos los medios disponibles.

Estos postulados constituyen, en esencia, el núcleo de reformas educativas recientes, destinadas a potenciar las competencias cognitivas del ciudadano del siglo XXI, en las cuales se hace especial énfasis sobre las competencias lingüísticas, cuantitativas y tecnológicas. Se tiene la expectativa de que tales requisitos, demandados por la sociedad, serán alcanzados mediante la introducción de nueva tecnología en la comunicación y en la

En ese sentido, la comunidad científica en educación matemática ha investigado el 14

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 magnifican en el desempeño de los estudiantes en asignaturas universitarias de corte numérico como análisis y cálculo matemático.

educación matemática en todos los escenarios pedagógicos. Ello involucra, además, la adaptación ciudadana a la diversidad cultural, la aceptación del cambio cotidiano y persistente, y el compromiso con el estudio a lo largo de toda la vida. Con ello, ha emergido los ideales de reforma pedagógica transdisciplinaria por estándares y por competencias multidimensionales de alcance universal (Orozco-Moret e Ibarra, 2009).

En particular, el fenómeno es más notorio en las carreras del comportamiento humano y social en donde se producen excesos en deserción, repitencia y bajo rendimiento en las asignaturas de formación básica de competencias numéricas. Estos excesos se reportan como indicadores negativos de desempeño de estudiantes, docentes e instituciones, y los mismos son frecuentemente vinculados a la desmotivación del aprendiz hacia la matemática.

Al respecto; las propuestas de educación matemática referida a estándares tienden a detectar y desarrollar un mínimo general de capacidades, habilidades y competencias en el aprendiz para que pueda entender, explicar y comunicar el mundo matemáticamente. En concordancia, se espera que en el hogar, la escuela o el trabajo, el aprendiz disfrute, tenga disposición y actitud por el estudio de lo matemático. También, desde esa perspectiva renovadora, la matemática se considera un lenguaje universal de amplio uso y así la comunicación matemática se asume como una actividad cotidiana y natural para todo ciudadano global (NCTM, 1989, 1995, 2000).

En ese sentido Bishop (1987) aseveró que "En general de las matemáticas se piensa que no son para ser estudiadas o para disfrutar de ellas, sino más bien para ser sufridas como una tortura necesaria para la mente". Al respecto, quienes llegan a la universidad con esta percepción negativa desarrollan una actitud de indisposición, con el consecuente resultado adverso en su desempeño académico en el área de matemática y con la posterior atribución del fracaso a diversas causas.

En contraparte a las expectativas; la realidad actual da pruebas de una enseñanza matemática deficiente y una relativa generalización de disgusto estudiantil por lo numérico. Por ello, en el ámbito académico, hay preocupación por conocer en qué medida puede la educación por estándares despertar el interés, la actitud y la disposición para fortalecer las competencias del estudiante en los contenidos de matemática.

En esa línea de investigación, Orozco-Moret y Díaz-Yánez (2009) presentaron un estudio en donde el estilo motivacional del docente produce diferenciación significativa de los procesos de pensamiento cuantitativo del estudiante. Estos autores reportan que el bajo rendimiento estudiantil es reiterativo e independiente del tipo de motivación utilizado en el aula, pero añaden que el estilo motivacional pragmático (con mayor confortabilidad emocional) promueve mejor actuación estudiantil en las evaluaciones que el estilo motivacional conductista y que estilo motivacional formalista de los docentes.

Se quiere saber cómo puede fomentarse en el ámbito institucional la suficiente motivación para minimizar el miedo a la evaluación e incorporar más y más matemática a la vida cotidiana del aprendiz como un medio rutinario de comunicación (Meira, 2000).

Los autores coinciden con Hidalgo et al. (2004), quienes concluyeron que "…el fracaso de esta metodología estándar (conductismo-formalismo) puede estar motivado además por un posible vínculo entre lo cognitivo y lo emocional, lo que explicaría la fuerte animadversión que presentan la mayoría de los estudiantes hacia

Consecuentemente, la evidencia de una educación matemática preuniversitaria deficiente se refleja en atribuciones motivacionales al fracaso las cuales se 15

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 En contraposición, 69,86% de los repitientes otorgaban valores de 4 o 5 a su propia falta de conocimientos previos como la causa primordial de haber sido aplazado en la asignatura. Solo un 20% confesó que fue debido a su falta de dedicación al aceptar no haber estudiado lo suficiente (Orozco-Moret y Morales, 2007).

este formalismo". Por ello se ha afirmado con recurrencia que la motivación es uno de los factores de mayor peso específico en la formación de competencias (Muñoz, 1995; Hidalgo et al., 2004). A nivel internacional se observa una presencia importante en la bibliografía psicopedagógica respecto a la confluencia de la cognición, la motivación y la metacognición como ejes del rendimiento intelectual y escolar. (Haugen, 1989; Pintrich, 1989; Short y WeissbergBenchell, 1989; Pintrich y De Groot, 1990; Alonso, 1996, 1997; Covington, 2000; Martínez y Galán, 2000). En el ámbito venezolano, la realidad que presenta la educación superior en el área de matemática sugiere que la pedagogía cuantitativa tradicional, la cual minimiza el componente afectivo-emocional, es evidentemente un modelo didáctico probadamente deficiente (González, 1997; Orozco-Moret y Díaz-Yanez, 2009; OrozcoMoret e Ibarra, 2009).

Es decir, hay una tendencia inequívoca, por parte de los estudiantes, de atribuir el fracaso a factores externos. En concordancia, otros investigadores indican que "…si se quieren lograr cambios importantes en el ámbito de la educación matemática es necesario considerar factores tales como las creencias, las concepciones, las emociones y las actitudes de los actores protagonistas de las clases de Matemática" (Martínez, 2005). En correspondencia con esa conjetura, se consideró era necesario examinar los factores atribucionales de la motivación que los estudiantes identifican con su desempeño en matemática. En consecuencia, el énfasis de este estudio fue analizar algunas de las atribuciones de motivación al logro en matemática en referencia al desempeño en diferentes aspectos de razonamiento matemático en un contingente de estudiantes de Matemática I de la Universidad de Carabobo, Venezuela.

En correspondencia, en el contexto local de este estudio, la Universidad de Carabobo, los indicadores del nivel de entrada en la formación matemática de los aspirantes a títulos conferidos por esta institución son definitivamente muy bajos respecto a las expectativas institucionales. Particularmente en la cátedra de Introducción a la Matemática de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales (FaCES) el rendimiento oscila entre 10% y 20% de éxito en aquellos alumnos que cursan la materia por primera vez (Orozco-Moret y Morales, 2007).

Fundamentos Teóricos A los efectos de dar significado específico a la motivación, desde la perspectiva de este estudio, se hace referencia a la Teoría Motivacional del Locus de Control, la cual trata sobre la capacidad que tienen los individuos de prever resultados y actuar en consecuencia, independientemente de que sus expectativas sean acertadas o no. Esto reseña la creencia que tienen las personas sobre el origen o causa de los resultados de su comportamiento.

Al respecto, estos autores encontraron, en un sondeo de la opinión de los estudiantes respecto a la asignatura Introducción a la Matemática, una deserción cercana al 40% en el primer examen parcial. Entre los factores por los cuales los estudiantes creen que son causales de repitencia, la responsabilidad asignada a sus docentes es baja. En una escala del 1 al 5 en orden de importancia, solo un 19% de los alumnos opinó estar repitiendo por fallas atribuibles al profesor.

Al respecto, se conjetura que si el individuo cree tener el control personal sobre la medición que se hace de su desempeño matemático, se espera una mayor disposición, un mayor 16

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 Se debe tener claro que uno de los factores causantes de la desmotivación por la matemática es la pérdida de confianza en la capacidad personal, el creerse minusválido para lo numérico atribuyendo el fracaso a una causa interna o externa no controlable por el sujeto.

esfuerzo y mejores calificaciones. Si por el contrario, el individuo asume que los resultados no dependen de él sino de factores externos a su persona generara animadversión, terminará haciendo un menor esfuerzo y consiguiendo pobres calificaciones (Rotter, 1966). En la misma dirección, la Teoría de la Atribución Causal reseña la tendencia humana a buscar el móvil de cualquier acontecimiento. Es común recibir explicaciones estudiantiles sobre su desmotivación por la matemática atribuyendo el fracaso a factores externos como la mala fortuna o a factores fuera del control del sujeto como la inflexibilidad del profesor, la complejidad de las evaluaciones, la incapacidad personal o la aceptación tácita del anumerismo personal, en lugar de atribuir el fracaso a factores más controlables por el propio sujeto como la indisposición, la falta de dedicación o la falta de esfuerzo y compromiso individual (Dweck, 1999).

En consecuencia, se hace referencia a la teoría sobre motivación de Woolfolk (1999), quien define la motivación como un estado interno que incita, dirige y mantiene la actitud, disposición, acción y afección reflejada en un comportamiento. En este sentido, los individuos pueden manifestarse motivados por necesidades, incentivos, temores, pulsiones, metas, presión, social, confianza personal, intereses, curiosidad, creencias, valores, expectativas, entre otras cosas. El autor indica que según otras perspectivas, la motivación se explica en función de la personalidad, por ello existen individuos con mayor necesidad de logro, con temor a las pruebas o que sienten un gran interés por algo y se ponen a trabajar al respecto.

Al respecto, Dudley-Marling et al. (1982) reportaron que los estudiantes categorizados con fracaso escolar atribuyen el éxito a la suerte y los fracasos a sí mismos. Por tanto, se infirió que la frustración y aceptación del fracaso en matemática se puede revertir desviando las atribuciones causales de los estudiantes y para ello se necesita conocer cuáles son las atribuciones más comunes y en que conocimientos y procesos de pensamiento cuantitativo tienen influencia esas atribuciones.

Además, explica la motivación como un estado temporal, en el cual la persona muestra un interés momentáneo o por el contrario persiste su interés en lo que hace por un periodo de tiempo. Así, hay una motivación que emerge de la tendencia a buscar y superar retos por intereses de tipo personal llamada motivación intrínseca y hay una motivación consistente en el impulso a obtener un beneficio o a evitar un perjuicio que es conocida como motivación extrínseca (Woolfolk, 1999).

Una vez determinadas estas causales, habría que demostrarles a los estudiantes de matemática, que su potencial éxito depende de atribuciones personalmente manejables. Se debe explicar el fracaso por la falta de esfuerzo o de fallas de aprendizaje, indicando siempre la dirección que debe tomar el esfuerzo, la disposición y los correctivos en pos del éxito. Es necesario hacer que el estudiante cambie su percepción de sí mismo y lograr que desarrolle el sentido de autoeficacia. Se requiere reorientar las expectativas y corregir las ideas erróneas que el estudiante tiene sobre sí mismo y sus posibilidades.

De lo tratado en los párrafos precedentes se llega a la conclusión de la existencia inequívoca de una relación entre motivación y desempeño en educación matemática. Esta conclusión conduce a fundamentar el papel y las implicaciones de la motivación como herramienta de aula para hacer que los aprendices alcancen las habilidades y competencias numéricas que les permitan 17

entender y explicar matemáticamente contexto en el que están inmersos.

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 (probabilidad, esperanza y confianza en el éxito, justicia de la evaluación, satisfacciones, ganas de estudiar, etc.) En su conjunto, las dimensiones del instrumento permiten la estimación del grado de motivación estudiantil total en las principales categorías atribucionales de la escala.

En consecuencia, la idea fue determinar en qué aspectos la atribución motivacional del estudiante podría estar influyendo el desarrollo de los procesos de pensamiento conceptual, procedimental y heurístico que figuran como esenciales dentro de las competencias matemáticas.

Por su parte, los instrumentos de estimación del desempeño matemático consistieron en las pruebas parciales correspondientes al programa vigente, las cuales están referidas al estudio de límites y derivadas para el estudio analítico de funciones y sus aplicaciones básicas inmediatas en el modelaje y solución de problemas de ciencias económicas y sociales.

El instrumento de estimación de las atribuciones al logro en matemática fue rediseñada de la Escala Atribucional de Motivación de Logro (EAML) de Manassero y Vázquez (1998). Dicho instrumento fue adaptado a fin de realizar este estudio. Se recodificaron las dimensiones atribucionales y se modificaron algunas preguntas para conformar un instrumento denominado Escala Atribucional de Motivación al Logro en Matemática (EAML-M). Este instrumento correspondió a una escala de diferencial semántico con preguntas enunciadas como en el ejemplo:

La primera prueba parcial corresponde a la evaluación de la competencia de abstracción mediante preguntas sobre el significado de límite y derivada, así como de contenidos asociados tales como continuidad, entorno y puntos de acumulación, para las cuales es imprescindible un alto nivel de comprensión matemática de esos constructos complejos. La segunda prueba corresponde a la evaluación de la competencia procedimental mediante la demostración de manejo de algoritmos de la derivada, por lo cual se examinan preguntas relativas al cálculo diferencial en las cuales se requiere destrezas operacionales del cálculo diferencial, básico.

Valora el nivel de esfuerzo que tú haces para sacar buenas notas en Matemáticas:

La tercera prueba parcial corresponde a la solución de problemas en los cuales es perentoria la transferencia de las nociones de límite y derivada, así como la aplicación de las operaciones y destrezas matemáticas básicas del cálculo diferencial. En esta prueba se examinan problemas económicos y sociales en los que es necesario demostrar competencia heurística y razonamiento matemático para la solución de problemas.

La escala EAML-M incluye, entre las dimensiones de estimación de atribuciones motivacionales, las seis causas más frecuentemente atribuidas por los alumnos como causales de sus calificaciones en matemática: esfuerzo, interés, tarea, capacidad, exámenes y profesor. Desde otra lectura los ítems incluyen aspectos básicos relacionados con la intensidad de la conducta de logro (persistencia, frecuencia de éxito, aburrimiento...) y sentimientos respecto al logro

Ejemplos de ítems incluidos en las pruebas parciales son:

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 La población objeto del estudio correspondió a una matrícula total de ~1800 estudiantes de Matemática I del Ciclo Básico de la FaCES, campus Valencia de la Universidad de Carabobo, en el lapso abril-agosto 2008. FaCES pertenece a una universidad pública gratuita y su costo operativo per cápita es relativamente módico. Por tanto, ofrece servicios de profesionalización a una vasta proporción de estudiantes de clase media-baja y baja. En consecuencia, la muestra correspondió a un estrato socioeconómico medio-bajo y de nivel educativo familiar medio e involucró a un grupo de 92 estudiantes seleccionados de manera semialeatoria por grupos intactos de la población descrita. La relación de géneros fue ~4:6 a favor del femenino y en razón de que el estudio se realizó en el segundo semestre de las carreras, la edad promedio de los sujetos estudiados fue cercana a los 19,5 años cumplidos.

En su conjunto, estas pruebas parciales son consideradas confiables y válidas porque en la práctica responden a una tradición de décadas midiendo los mismos contenidos: conceptos, procedimientos, expectativas y procesos de razonamiento. Son aplicadas en circunstancias similares y en ellas se observan reiteradamente resultados semejantes. Además, las mismas son construidas colectivamente bajo la revisión y el acuerdo unánime de los profesores de la cátedra.

Los datos obtenidos mediante los instrumentos descritos fueron procesados, codificados y tabulados para su análisis estadístico, el cual consistió en tres procedimientos relacionados con los objetivos de la investigación: describir la muestra objeto de estudio, establecer la fuerza de vinculación entre las variables del estudio, y determinar pistas de causalidad de los atributos motivacionales en relación con los desempeños parciales y total en la solución de ejercicios y problemas de matemática, demostrados por los alumnos y alumnas de la muestra en las evaluaciones.

Metodología El tipo de estudió fue de corte explicativo, el cual, según Orozco et al. (2002) está dirigido a indagar sobre los aspectos desconocidos de un fenómeno mediante la aplicación del método científico; pero en este caso el modelo fue flexibilizado en su rigor, por ser un trabajo realizado con humanos, con blando control del muestreo y con valoración estimada de las variables intervinientes, mediante instrumentos de investigación indirecta.

Resultados Primero se describió el desempeño de los estudiantes de la muestra en tres contenidos matemáticos distintos, en los cuales se utilizan procesos mentales diferentes para demostrar comprensión, dominio cognitivo operacional y potencial heurístico metacognitivo.

En este sentido, se afirmaría que el diseño siguió la modalidad no experimental ex-postfacto que atañe a un modelo de análisis de la data después de ocurrido el evento y por tanto sin manipulación empírica de la variable independiente. 19

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 Se aceptaron como premisas que en el contenido de límites se utiliza preferentemente la comprensión conceptual, que en el contenido de cálculo de derivadas se utiliza mayormente el dominio algorítmico, operacional o procedimental, y que en el contenido de aplicaciones de la derivada en situaciones socioeconómicas, tiene prevalencia el análisis heurístico de los problemas y de sus soluciones. Los resultados obtenidos se muestran en la (Tabla I). La evaluación del proceso de comprensión, correspondiente al contenido de límites se alcanzó una media (±desviación estándar) de 12,04 ±5,24 y un 33% central de estudiantes con puntuaciones 10-15 en una escala 1-20.

La Tabla II despliega las estimaciones promedio de las atribuciones internas y externas que dan los estudiantes respecto a la explicación de su desempeño en matemática. En una escala de 1-98, el promedio de atribuciones internalistas (66,7 ±11,5) de la motivación matemática es evidentemente superior al promedio correspondiente a atribuciones externalistas.

En la evaluación del proceso algorítmicooperacional, relacionado al contenido de cálculo de derivadas, los valores encontrados fueron menores y finalmente, en la evaluación del razonamiento heurístico, concerniente al contenido de aplicaciones de la derivada en problemas de ciencias económicas y sociales, resultaron aún menores.

Evidentemente hay claro predominio de justificación causal interna por parte de los estudiantes, respecto a la motivación y desempeño alcanzado en matemática.

Evidentemente hay un decrecimiento en los indicadores de desempeño que desciende desde el predominio conceptual, al procedimental y luego al dominio heurístico. Esto parece señalar que a mayor nivel de exigencia de competencia mental, menor es el desempeño cuantitativo de los estudiantes. En consecuencia, se puede conjeturar que los estudiantes de la muestra tienen mayores debilidades en los procesos de pensamiento superior, lo cual influye en su desempeño matemático general.

La Tabla III muestra datos agrupados en referencia a la discriminación de la motivación estudiantil por atribuciones parciales. Los estudiantes otorgan mayor nivel de causalidad de su motivación (26,27 ±3,33) a la auto confianza reflejada en los ítems relativos a su capacidad personal.

Sin embargo, es necesario considerar que el promedio total de desempeño apenas alcanza la nota mínima aprobatoria, dejando evidencia de la deficiente preparación matemática preuniversitaria del grupo, en concordancia con lo detectado en la literatura.

También atribuyen un nivel de motivación relativamente elevado (20, 44 ±3,45) a la capacidad del profesor, referido a su creencia 20

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 esfuerzo propio, en la confianza personal y en la contribución del profesor respecto de las tres dimensiones de competencia cuantitativa de los estudiantes. Destaca la asociación moderada y directa entre la atribución motivacional por la aprehensión del examen y la fe en la propia capacidad, en referencia al desempeño matemático general, en límites, derivadas y sus aplicaciones (índices de correlación entre 0,40 y 0,70).

de que su desempeño depende de la ayuda del docente. Sigue en orden decreciente la motivación atribuida a su fe en el esfuerzo propio, a su interés y curiosidad por los temas y contenidos matemáticos y, por último, la más baja atribución de la motivación matemática es la que se deriva de la preocupación por el examen (15,11 ±4,36). Estos resultados parecen señalar, en concordancia con la tendencia internalista observada en el análisis anterior, que la confianza en su competencia y en el esfuerzo propio podrían favorecer la motivación por el aprendizaje de contenidos matemáticos. Sin embargo, se observa una atribución externalista supresora de la motivación emanada de la fe que tiene el estudiante en la contribución del profesor y de cierta influencia desmotivante derivada de la falta de curiosidad temática y de la aprensión por el examen de matemática.

La Figura 1 ilustra las tendencias de las puntuaciones promedio de las atribuciones del desempeño matemático por parte de los sujetos, en función de su nivel de motivación estimada. Se aprecia, en concordancia con el análisis correlacional que, de manera directamente proporcional, a mayor motivación mayor es la atribución del desempeño a factores diversos.

Luego, a objeto de establecer el grado de fortaleza de las vinculaciones entre estas atribuciones motivacionales y el desempeño matemático, se condujo un análisis correlacional entre las dimensiones de las competencias cuantitativas y las dimensiones atribucionales de motivación. La Tabla IV informa de una ausencia de vinculación (índices de correlación cercanos a cero) entre la atribución motivacional por interés y la curiosidad temática respecto al desempeño matemático general, al desempeño en límites, derivadas y aplicaciones de esos contenidos en economía. También se evidencia una baja vinculación (índices de correlación entre 0,15 y 0,40) entre las atribuciones motivacionales por la fe en el 21

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 muestra se mantiene bajo, coincidiendo con la afirmación de Hidalgo et al. (2004).

Resulta de especial consideración que los sujetos de la muestra atribuyen su desempeño matemático, con sesgo internalista con énfasis en la auto confianza, el esfuerzo y la capacidad individual como factores causales del desempeño matemático alcanzado. También confirma lo anterior el hecho de que los factores profesor y curiosidad sean, según los estudiantes, los causales que menos contribuyen a su desempeño matemático.

Se conjetura al respecto que, después de haber aprobado la asignatura Introducción a la Matemática del primer semestre, persiste la condición de deficiencia en la formación matemática preuniversitaria en la asignatura Matemática I del segundo semestre. Tal conjetura confirmaría que la enseñanza matemática universitaria bordea los límites de la ineficiencia para revertir la incompetencia matemática heredada de la educación previa (Pintrich, 1989). Esta situación coincide con la afirmación de Orozco y Díaz (2009) en referencia a que "…el rendimiento en asignaturas matemáticas o afines de los primeros semestres en las universidades presenta índices inaceptables como para considerar que la didáctica utilizada en la formación del pensamiento matemático perdurable ha sido exitosa".

Estos resultados, condujeron a establecer el vínculo entre la externalidad-internalidad atribucional de motivación de los sujetos en vinculación a su desempeño en contenidos matemáticos; información que se aprecia en la Tabla V, donde es mayor la relación entre los factores motivacionales internos que en los factores externos, respecto al desempeño en las diversas competencias de naturaleza matemática demostradas por los sujetos.

Aunque, los estudiantes involucrados en el estudio, habiendo aprobado la asignatura previa, atribuyen mayor causalidad del bajo desempeño a factores principalmente personales; los indicadores de desempeño promedio de la muestra apenas alcanzan a rondar la puntuación mínima aprobatoria. Esto indicaría que la pedagogía utilizada en el primer semestre continúa siendo pobre en lograr el ambiente afectivo, cognitivo y metacognitivo propicio para la formación matemática universitaria, lo cual se refleja en los indicadores de rendimiento.

Estas vinculaciones son directas y de fortaleza media, es decir que de una manera moderada se evidencia una relación en la que a mayor atribución internalista de la motivación mejor es el desempeño matemático general. Lo mismo ocurre con las competencias en los procesos mentales conceptual (comprensión de límites), procedimental (calculo algorítmico de derivadas) y heurístico (aplicaciones a problemas de ciencias sociales y economía).

El estudio también permitió detectar que hay una discriminación decreciente del desempeño matemático por niveles de razonamiento matemático. Es decir que de los resultados emerge una tendencia en la que a mayor complejidad de las exigencias académicas menor es el desempeño estudiantil promedio. Al respecto, se encontró que el desempeño en el pensamiento conceptual matemático es superior al desempeño en el pensamiento operacional y

Conclusiones Los resultados corroboran que, independientemente del grado de motivación hacia la matemática demostrado por los estudiantes, el desempeño promedio de la 22

REDUMAT Vol 4 nº 9 Agosto 2015 3. Arrieche Alvarado MJ (2007) ¿Qué se investiga en educación matemática?: Perspectiva de un investigador en desarrollo. Paradigma 28: 227-243. [ Links ]

éste supera al desempeño en el pensamiento heurístico de los sujetos. Esto confirmaría los hallazgos de Guzmán y Sánchez (2006) respecto a que al ingresar a la universidad el nivel de desarrollo de las habilidades de pensamiento superior esta por debajo de las expectativas y que "los estudiantes que piensan y reflexionan sobre ideas, conceptos y problemas en clase, generalmente obtienen mejores puntuaciones que sus compañeros".

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Por otra parte, la atribución de motivación matemática de los sujetos en estudio presenta predominio internalista enfocado en factores tales como la autoconfianza, el esfuerzo propio y la capacidad individual para enfrentar el aprendizaje de contenidos matemáticos; es decir, la motivación intrínseca de Woolfolk (1999). Al respecto, la mayor atribución interna causal del desempeño fue la confianza en si mismo y la menor atribución externa causal del desempeño fue la falta de curiosidad e interés por la disciplina y en menor grado hay tendencia de atribución al profesor.

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Como conclusión final y en concordancia con los hallazgos de Ugartetxea (2001) se conjetura que, en el contexto poblacional donde fue realizado este estudio, el desempeño matemático parece depender de la actitud, disposición y emoción personal, más que de la influencia de factores externos.

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http://www.scielo.org.ve/scielo.php?pid=S037818442009000900008&script=sci_arttext

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cantidad de definiciones dependiendo de los fundamentos teóricos y filosóficos del enfoque, así como de los intereses metodológicos.

Repositorio: Este artículo fue Publicado preliminarmente en Ilustrados.com. 21 de July de 2005. Código ISPN de la Publicación: EEKEALVVAYDPFPMAHK. Disponible en: http://www.ilustrados.com/tema/7389/creatividad-comoconcepcion-para-nueva-epoca.html

Dentro de la psicología se puede encontrar un punto de vista muy similar, caracterizado por diferentes concepciones acerca del fenómeno, así como una intensa preocupación por arribar a la tecnología necesaria para introducir a la creatividad norma del proceso de enseñanza. La carencia de una definición clara y precisa parece ser la responsable de las dificultades conceptuales, metodológicas y tecnológicas con las que se ha afrontado el estudio riguroso de la conducta creativa, lo cual revela la necesidad de continuar investigando sobre la concepción e intervención de este comportamiento.

La creatividad como concepción para una nueva época Beisys M, Polanco Rodríguez Beipo_1@hotmail.com

Una nueva perspectiva de creatividad

Universidad de Carabobo. Maestría en Educación Matemática. Unidad de Investigación en Educación Matemática (UIEMAT.)

La tendencia mundial en el campo de la investigación sobre la creatividad ha surgido con mayor fuerza en áreas como la antropología, la semiótica, la comunicación, la psicología cultural, la historia de las mentalidades, la ética, el constructivismo cultural y hasta en la geometría fractal o los modelos matemáticos probabilísticos.

Resumen: El estudio de la creatividad ha sido un trabajo muy complejo que ha logrado despertar interés educativo, científico, organizacional, y se ha abordado desde múltiples perspectivas. Esta variedad de contextos en los que la investigación de la creatividad ha tenido un espacio, en la creación de gran cantidad de definiciones dependiendo de los fundamentos teóricos y filosóficos del enfoque, así como de los intereses metodológicos.

En estas nuevas perspectivas, Parra (1996) opina que pudieran encontrarse pistas para entender mejor el pensamiento creativo, lo cual está sujeto a lo meritorio, al azar, al mundo de las intenciones y a las metáforas, más que a los modelos matemáticos normales de descripción y explicación conceptual del mundo.

Introducción El estudio de la creatividad ha sido un trabajo muy complejo que ha logrado despertar interés educativo, científico, organizacional, y se ha abordado desde múltiples perspectivas. Esta variedad de contextos en los que la investigación de la creatividad ha tenido un espacio, en la creación de gran

Asimismo De la torre (1997) señala que la creatividad es un término de reciente aparición, introducido con la finalidad de proporcionar sensación de libertad, autonomía, indeterminación, comprensión e 26

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creadora, es decir, independiente de la mediación genética o cultural, investiga la transformación mental como factor desencadenante de procesos y productos creativos, fundados en la percepción, el procesamiento de la información y la imaginación.

intervención directa del sujeto quien participa en el evento creativo. Si bien es cierto, este proceso se fundamenta en la existencia de pasos y procedimientos donde la persona desarrolla su creatividad y además, todo ser humano posee capacidad para crear; por tal motivo en la enseñanza, las estrategias didácticas se han centrado solo en impulsar el pensamiento deductivo, para enjuiciar o evaluar, dejando de lado el pensamiento intuitivo y la apertura a nuevas ideas, base de la creatividad.

Nuevos investigadores se apropian de estos aportes ofrecidos por la psicología y le dan aplicación en diferentes disciplinas, al mismo tiempo se consolida una comunidad académica en creatividad y se crea la fundación mundial para la creatividad, que proyecta los avances investigativos a diversos campos, destacándose, entre muchos, -A.F.Osborn 1962-, en el campo empresarial, -S.J.Parnes 1967- en el campo educativo, -J.Adams 1969- en el campo de la innovación y la tecnología.

En los últimos años se viene hablando de este rasgo, pues actualmente es altamente valorado en diversos contextos debido a su relación con el éxito. En tal sentido al educando se le debe estimular su capacidad creadora, para que elabore soluciones creativas y satisfactorias a los mismos.

Este tipo de investigaciones le sirvieron de base a la comunidad Internacional, para no perder de vista los procesos, con marcadas tendencias estructurales y funcionales, a centrar los intereses en las observaciones y comportamientos de los sujetos, particularmente el de los inventores como fuente de estudio y acercamiento al hecho creativo, igualmente en los procesos de construcción del conocimiento mediado por las acciones de formación y aprendizaje.

ORIGENES El vocablo 'creatividad' tiene su origen en la voz latina 'creare' que significa engendrar, dar a luz, producir algo. Los estudios en creatividad tienen sus orígenes, en la curiosidad investigativa, y los primeros acercamientos en este campo, se remontan al estudio en Ciencias Naturales a mediados del siglo pasado, con -Galton en 1869-, quién estudia la creatividad como fenómeno producido por la determinación hereditaria y genética.

Desde otro punto de vista, las investigaciones de orden humanista y cultural fundadas en las teorías psicoanalíticas y las perspectivas subjetivistas, ofrecen proposiciones teóricas en el campo de la creatividad, -L.Kubie 1958, C. Rogers. 1959, A. Maslow 1969,- sobre la elaboración preconciente, la creación interior y la autorrealización, respectivamente.

Del mismo modo, Wallas a principios del siglo XX ofrece aportes significativos sobre el proceso creativo y la caracterización de las personas creadoras. Sin embargo aparecen investigadores de vanguardia como Torrance, Barrons, Meadow y Taylor, entre otros, que incursionan sobre personalidad creativa, proceso creador, evaluación creativa, dando un lugar preferencial a la creatividad como manifestación objetual y productiva.

En la década de los 50. Se lidera la investigación en E.E.U.U., en la década de los 60, el referente creativista llega a Europa; pioneros como Handin, Beudot, Kaufman, la proyectan y la difunden, se destaca en el campo educativo los aportes 1970-1980, de R.Marin, S. De la Torre, D.de prado, para citar solo algunos. En la década del 70 y 80,

A partir de estos intentos de acercamiento la psicología, se orienta a trabajar la creatividad desde el concepto de la imaginación 27

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único, irrepetible) y sorpresividad (debe provocar sorpresa por lo repentino e inesperado). (Gardner H., pág. 392).

llega a América Central y Suramérica, con mención de los desarrollos investigativos de M.Rodriguez (México), M. de sanchez, A.Machado (Venezuela), A.Galeano, G.Aldana, C.Vasco (Colombia), A.Mitjáns (Cuba) M.Max Neef. (Chile).

3) No-racionalidad.La combinación novedosa de elementos tiene lugar mediante operaciones inconcientes, es decir, no pertenece al ámbito mental de la racionalidad ni se hallan controladas de modo conciente. Por ejemplo, la actividad de metaforizar, empleando los recursos de lo que el psicoanálisis llama proceso primario (en oposición al proceso secundario, que rige la actividad racional). Diversos estudios tienden a confirmar la importante función que pueden cumplir los procesos analógicometafóricos en la producción creadora (Azzollini S. y González F.).

Ya en la década del 90, el trabajo en creatividad se hace a través de comunidades organizadas en redes, con eventos y convocatorias a nivel Nacional e Internacional, trabajos enmarcados en equipos académicos, centros de investigación, y procesos curriculares de formación. La creatividad desde sus orígenes tiende a ser considerada como producto en sus definiciones, como una capacidad o una habilidad de pensamiento; esta concepción reduccionista, enmarcada en un paradigma funcional de la dimensión creativa, orientó los esfuerzos a elaborar, desarrollar y aplicar instrumentos para fortalecer la conducta y el comportamiento, o en otros casos a desarrollar habilidades y destrezas para el logro de capacidades y frutos creativos.

4) Auto-realización.- La creatividad conlleva a un cambio fundamental en la estructura de la personalidad, y tiene lugar en la dirección del logro de la plenitud de la realización del ser humano. Maslow llega a identificar la creatividad con salud psíquica y con autorrealización. Aca habrá una relación entre creatividad y motivación, cada vez que la persona que se autorrealiza presenta un caudal motivacional de gran fuerza, el que a su vez reviste gran importancia para la actividad creativa.

Caracterización de la creatividad

5) Apertura.- Esta condición se refiere a aquellas características personales o ambientales que facilitan al sujeto pasar del estado actual a soluciones futuras,posibles e indeterminadas. La condición o rasgo comprende la sensibilidad (tendencia a aceptar las cosas tal como son, antes de conformarlas a una contexto predeterminado); tolerancia a la ambigüedad es tolerar lo conflictivo, lo desconocido, lo inseguro; auto-aceptación; toda persona creativa siente que tiene un sentido de su destino personal y de su valor, que le permite aceptarse a sí mismo como fuente de valores y la espontaneidad que proporciona al acto creativo la sensación de libertad, autonomía e indeterminación.

R. Hallman propuso en 1963, cinco condiciones que considera necesarias y suficientes para sistematizar las investigaciones de la creatividad: 1) Conectividad.- Para que pueda darse la creatividad, parece indispensable que haya alguna forma de actividad combinatoria. Como el hombre no puede crear a partir de la nada, sólo podrá hacerlo estableciendo una relación distinta entre elementos previamente existentes, por consiguiente, se trata es de establecer o producir nuevas relaciones (no encontrarlas). 2) Originalidad.- Un producto original no es reducible, es decir, debe ser singular, ideográfico, lo que implica novedad, impredicibilidad, unicidad (en el sentido de

Características de la creatividad 28

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bloqueos e inhibiciones mentales. Tienen una buena aceptación de sí mismas y percepción de sus características psicológicas. Intentan mejorar sus producciones, sin preocuparse por competir con los demás. No están pendientes de la opinión ajena.

En la presente reseña se hará un repaso de aquellas características asociadas con la creatividad Como indica Vervalin (pág. 21), Sin embargo, debemos tener en cuenta que no hay ningún estereotipo claro del individuo creador, si bien las llamadas (por ellos mismos o por otros) personas creativas, presentan ciertos rasgos similares. 1) La creatividad implica una manera novedosa de ver las cosas.- El creador percibe o imagina de forma novedosa.

Demuestran empatía hacia la gente y hacia las ideas divergentes. No son conformistas en sus ideas, aunque tampoco anticonformistas, sino más bien independientes. No intentan controlar sus propias imágenes e impulsos ni los de los demás.

"La creatividad es la capacidad humana para innovar, lo cual significa generar ideas nuevas y esquemas, hechos y materiales, que resulten novedosos y significativos" (Guerrero, pág. 2). Puede decirse que la creatividad es la habilidad para generar formas fluidas y novedosas con las que se analizan y resuelven problemas y se organizan los materiales que se usan en tales análisis.

3) La creatividad suele estar asociada a otras características psicológicas.- La persona creativa suele tener una alta curiosidad intelectual, y gran amplitud de intereses e información que pueden combinar, elegir y extrapolar para resolver problemas. En general, también se verifica tendencia a la reflexión, buena capacidad de concentración y sentido del humor.

Durante las investigaciones sobre la creatividad, en general hubo siempre un amplio acuerdo en definir la creatividad como "la capacidad para encontrar relaciones entre experiencias antes no relacionadas, y que se dan en la forma de nuevos esquema mentales, como experiencias, ideas o productos nuevos" (Landau E., pág. 16).

Presentan también persistencia y dedicación , están bien dotados intelectualmente, lo que incluye capacidad de síntesis, capacidad metafórica, habilidad para reestructurar ideas, coherencia y organización del pensamiento (sin que ello implique rigidez), flexibilidad, fluidez, entre otros.

1) La creatividad es una capacidad presente en todo ser humano.- La creatividad como capacidad de producir nuevas ideas o soluciones forma parte de las potencialidades de todo ser humano, y no únicamente de los artistas o intelectuales.

Al buscar soluciones no hacen grandes esfuerzos por evitar los problemas desagradables o complicados; al contrario, tienen preferencia por los problemas complejos y las soluciones simples.

No todos los autores piensan, en la creatividad como una cualidad común a todas las personas. Para Perkins, "la creatividad no se deriva de un talento o un conjunto de talentos, sino de capacidades específicamente creadoras". 2) Las personas creativas tiene actitudes características hacia sí mismas y el entorno.Tienen confianza en sí mismas y en las propias "excentricidades". Son sensibles a sus propias invenciones y, al considerarlas, tienen pocos mecanismos represivos o

4) La creatividad se asocia con la actividad inconsciente."siempre supone espontaneidad, imprevisibilidad, originalidad y libertad. Esta energía formativa no surge de la esfera única de la conciencia, sino que emerge a través de una vivencia irruptiva de las profundas y oscuras regiones de la psique, aquello que llamamos lo inconciente y que la conciencia capta, pero en la 29

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Sin embargo, sólo recién a partir de 1950, las investigaciones sobre la creatividad comenzaron a ser más sistemáticas y continuadas, o menos esporádicas y dispersas.

convicción de que ella no es la fuente del contenido creativo" (Rubino V., pág. 98). Para Winnicott, la creatividad corresponde a la condición de estar vivo; es lo que hace que el individuo sienta que la vida vale la pena vivirla.

Señala Johnson-Laird (pág. 239) que los psicólogos han estudiado la creatividad de muchas formas, haciendo pruebas para medirla, experimentos para explorarla o ejercicios para aumentarla, pero se han formulado pocas teorías sobre sus procesos subyacentes y las existentes, están lejos de dar una explicación completa de cómo alcanza la mente nuevas ideas y algunas veces describen procesos que normalmente no se considerarían creativos.

Arieti, por su parte, tiende también a asociar creatividad con salud mental cuando distingue la imaginación sometida por la voluntad, propia del pensador creativo, y la imaginación descontrolada, propia de la locura (Guntern M. y otros). Sin embargo, Barron (Adams J., pág. 160) no asocia creatividad con salud mental, y da como ejemplo grandes creadores artísticos que padecían importantes desequilibrios mentales y neurosis (Van Gogh, Rimbaud, Baudelaire, entre otros.) Teorías e creatividad

investigaciones

sobre

Para otras teorías, la creatividad dependería de asociaciones inusuales, pero son demasiado simplistas como para producir auténticos trabajos imaginativos, pues hay mucho más en juego que esas asociaciones cuando se escribe una canción o se realiza un dibujo.

La creatividad ha sido relacionada, especialmente desde el Renacimiento en adelante, con las bellas artes, y desde entonces no se ha dejado de vincularla con la genialidad y con ciertas facultades místicas.

"Los tests utilizados para medir la creatividad han dado resultados poco satisfactorios y muy subjetivos, por lo que se consideran indicadores más fiables el tipo y naturaleza de los productos creados. Aparecen dos problemas para su medición: 1) La falta de teorías unificadas y una definición operacional sobre las cuales basar el instrumento, y 2) la poca habilidad para producir evidencia suficiente en torno a que los tests normales de creatividad enfocan capacidades diferentes a las medidas por los tests de inteligencia" (Benatuil D.).

La investigación científica de la creatividad no comienza, sin embargo, hasta 1860 con el "Hereditary Genius", de Galton (Landau E., pág. 15). Más adelante, en 1892, Burnham señaló la costumbre de distinguir imaginación reproductora e imaginación creadora y que ambas implicaban habilidades mentales diferentes (Davis y Scott, pág. 160). Simpson, por su parte, en 1922 construyó un test para medir habilidad creativa y la definió como la capacidad de apartarse de la secuencia común de pensamiento, y sostuvo que también ella debía evaluarse agregándola a los tests tradicionales de inteligencia. Spearman, hacia 1930, defendía la existencia de una capacidad creativa que podía aplicarse a diversos contenidos: sensoriales, ideacionales, entre otros.

Teorías generales sobre la creatividad 1) Teorías biológicas.- Revisando las diferentes teorías sobre la creatividad, se puede advertir que muchas de ellas han intentado buscarle un 'lugar' definido: el psicoanálisis habló del inconsciente, la neurobiología del hemisferio derecho, entre otros.

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4) Teoría de Wertheimer.- Este autor interpreta la creatividad en el contexto de la teoría de la Gestalt, y para él, el proceso creador implica pasar de una situación estructuralmente inestable o insatisfactoria (S1) a una situación (S2) que ofrece una solución. En el pasaje de S1 a S2 se llena una laguna, obteniéndose la mejor forma o gestalt. Agrupamiento, organización y estructuración son, por lo tanto, características de todo pensamiento productivo.

Para este último punto de vista, el hemisferio derecho del cerebro es la mitad intuitiva, visual, artística y divergente, mientras que el hemisferio izquierdo es la mitad racional, verbal, científica y convergente. Perkins (pág. 224). 2) Teoría de J. Guilford.- Uno de los pioneros en la investigación de la creatividad, Guilford comenzó planteando hipótesis relativas a la presencia de ciertos rasgos que parecía tener importancia en el pensamiento creador, y diseñó tests para la medición de tales rasgos, que fueron agrupados en dos grandes grupos: los correspondientes al pensamiento convergente y al pensamiento divergente.

5) Teoría de A. Koestler (1964).- Lo que este autor denomina 'bisociación' es lo que se encuentra subyacente en todo proceso creador, entendiendo por tal cualquier ocurrencia mental asociada simultáneamente con dos contextos habitualmente incompatibles.

Al aislar los rasgos esenciales de la creatividad, advirtió que creatividad no es lo mismo que inteligencia y que esta depende de varias capacidades primarias, siendo en el pensamiento divergente donde se encuentran los ingredientes más importantes de la creatividad; se trata de un pensamiento que avanza por caminos insólitos, no trillados, cuyas características más importantes son la fluidez, la flexibilidad y la originalidad.

6) La bisociación sería un nexo asociativo que va desde un marco de referencia a otro. El problema aquí es como representar el marco de referencia, pues una composición musical puede derivarse enteramente del interior de un solo marco de referencia, a saber, el proporcionado por las restricciones del estilo del compositor.

El mismo Guilford confirmó algunas investigaciones previas acerca de las características de la persona creativa, las que sintetizó en ocho puntos (Davis G. y Scott J., pág. 22):

7) Teoría de Weisberg.- Weisberg (p. 92) sostiene que el pensamiento creador no es una forma extraordinaria de pensar: no depende de la manera en que produce sino de lo que produce, lo que se ve más claramente al examinar los procesos creadores en las artes y las ciencias.

3) Teoría de Taylor (1959).- Taylor acepta las cuatro etapas de Wallas, pero también considera que la creatividad existe en cinco niveles diferentes: a) la creatividad expresiva, sin referencia a la calidad del producto; b) la creatividad productiva, que implica la producción de un objeto; c) la creatividad inventiva, que requiere el nuevo uso de viejas partes; d) la creatividad innovadora, cuando se desarrollan nuevas ideas o principios; e) la creatividad naciente, que requiere la "capacidad de absorber las experiencias que son comúnmente aportadas ; a partir de ello, produce algo que es totalmente distinto".

Weisberg sostiene que no hay nada en particular que permita identificar el pensamiento creativo, y que el llamado genio no existe. El pensar creativo ha de ser juzgado como extraordinario sólo por lo producido, y no a causa de los procesos mentales que lo generaron ya que estos son procesos comunes a todas las personas. Por lo tanto, las soluciones creativas no implican cualidades tales como el pensamiento 31

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divergente o alguna otra capacidad creativa especial.

c) semejante ejercitación es función propia de la escuela.

Las condiciones de la creatividad

Método de Epstein.- Epstein

¿Qué condiciones determinan el surgimiento del acto creativo? Si se toma en cuenta el punto de vista freudiano sobre las series complementarias, se puede pensar que para que este acto de creación se produzca, deben darse simultáneamente tres factores:

Propone cuatro maneras de ejercitar la creatividad: a) No dejar pasar las ideas, pues ellas son muy veloces y desaparecen con la misma facilidad en que se presentaron. Escríbalas, por ejemplo. b) Afrontar desafíos: colocarse en una posición difícil con pocas posibilidades de salir airoso. El fracaso suele incentivar la creatividad. c) Ensanchar horizontes: Cuantos más conocimientos se tengan, tanto mayor será la capacidad creativa. Busque no tanto la cantidad como la variedad de información. d) Dar variedad al ambiente: rodearse de estímulos diversos y cambiantes, aún en el propio hogar, estimula la creatividad.

1° El factor constitucional se refiere a la presencia de ciertos genes que pueden potenciar el acto creativo, aunque aún no existe evidencia acerca de cuáles podrían ser. 2° El factor disposicional concierne al tipo de experiencias infantiles capaces de crear un campo propicio para el desarrollo de la creatividad.

El pensamiento creativo Una de las manifestaciones de la creatividad es el pensamiento creativo que puede aplicarse a cualquier campo es una actividad bipolar entre lógica y fantasía, y es el resultado de la comunicación interpersonal. Empieza por ser una reacción subjetiva a un estímulo y se convierte en formulación objetiva de la percepción subjetiva.

3° El factor actual se refiere a ciertas situaciones que deben darse en el momento de producirse el acto creador para que la persona pueda inspirarse. En general, cabe señalar que las diversas propuestas para estimular el pensamiento creativo surgen con el fin de que las personas puedan acceder a una capacidad. Pero el problema está en que la creatividad, no es estimulada por la educación tradicional.

El pensamiento creativo es el equilibrio, la integración de extremos sólo aparentes. Para fomentar esta capacidad hay que alejarse del pensamiento mecánico, conformista y estereotipado, y de una crítica demasiado precoz impedimentos ambos que merman la posibilidad de una nueva combinación creativa. Toda educación tiene por objetivo hacer aflorar en nuestros alumnos la creatividad potencial, fomentando la fluidez de ideas e induciendo a establecer muchas asociaciones frente a un solo estímulo, la flexibilidad intelectual y emocional mediante la unión de los diferentes grupos. El descubrimiento de la propia capacidad para reaccionar de distinto modo en el mismo marco produce una nueva relación del individuo con su mundo interior. Aca la percepción se convierte en conciencia; es

En efecto, gran parte de las dificultades para el desarrollo de las capacidades creativas es la existencia de un entorno social y cultural desfavorable que tiende a inhibir el desarrollo de las mismas. Gowan y Demos (pág. 13), indican que los esfuerzos de los educadores para incrementar la producción creativa de sus estudiantes descansa sobre tres hipótesis: a) todo individuo posee, en algún grado, capacidad creativa; b) esta capacidad, en la forma en que el individuo la posee, es susceptible de desarrollarse por la práctica; y 32

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decir, se llega a una intrapersonal consciente.

persona en su totalidad participa en el evento creativo, en otras palabras, el sujeto se vuelve transformador y creador de ámbitos porque interviene en la dinámica real de la vida.

comunicación

Reflexión acerca de las Incidencias de la creatividad en filosofía y Psicología

Los seres humanos actúan bajo influencias culturales e históricas y según los deseos y expectativas de la comunidad en la que viven. El hombre, en todas sus dimensiones, es concebido como un ser biopsicosocial ya que está en constante interrelación con la sociedad. Al individuo podrá guardársele la tarea de pensar y crear, lo cual está de acuerdo con su óptima dignidad.

La presente reseña se apoyó en el Humanismo filosófico, pues es la que más se aproxima a los propósitos de mejoramiento del aprendizaje de las matemáticas. Según Martorell y Prieto (2002) el término humanismo se relaciona con las concepciones filosóficas que colocan al ser humano como centro de su interés. A su vez, esta corriente puede ser entendida como una determinada concepción del ser humano, y también como un método.

En este sentido, es importante destacar que la creatividad no es aislada sino que se estudia toda la persona como un ente global colocándola frente a su propio poder creativo como algo formidable y fascinante, este desafío significa trazar nuevos linderos de pensamiento que hagan compatible teoría y práctica.

Desde este enfoque humanista los conocimientos esenciales sobre el ser humano se obtendrán centrándose en los fenómenos puramente humanos tales como la creatividad, debido a que éstos ven frecuentemente un lado optimista y positivo del hombre, es decir, su potencial creativo.

En psicología, se le atribuyen a la creatividad las siguientes particularidades: 1) originalidad: considerar las cosas o relaciones bajo un nuevo ángulo, 2) flexibilidad: utilizar de forma inusual pero razonable los objetos, 3) sensibilidad: detectar problemas o relaciones hasta entonces ignoradas, 4) fluidez apartarse de los esquemas mentales rígidos e inconformismo: desarrollar ideas razonables en contra de la corriente social.

En este sentido, Sánchez (1991) afirma que la creatividad es una actividad humana resultante de la combinación de diferentes planos y procesos del pensamiento, es decir, de actos racionales que obedecen a las reglas de la lógica, la heurística y que están de una u otra forma, ligados a la experiencia cotidiana. Durante los últimos siglos, se han dado diversas explicaciones sobre la creatividad desde el punto de vista filosófico. Sin embargo, se ha olvidado que la actividad creadora del ser humano no es más que una característica central de la razón. Esto explica el descuido al que ha sido sometida la imaginación, considerada como la facultad más relacionada con la capacidad de crear.

Componentes de la creatividad La creatividad es, hoy por hoy, un rasgo altamente valorado en diferentes contextos; por consiguiente, las personas son apreciadas porque son creativas sea cual fuera el ámbito en que se desempeñen; sin embargo, ésta no es un lujo ya que todo el mundo posee capacidad para crear.

En este orden de ideas, la creatividad se comienza a ver desde algunas teorías como un hecho ontológico, la presencia del hombre ante su realidad es la que importa. La

Álvarez (1993) expresa que la creatividad consta de por lo menos cuatro componentes, a saber: 33

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a) el proceso creativo b) el producto creativo c) la persona creativa d) el pensamiento creativo.

Cuevas, J. (2000). La Estimulación de la Creatividad en el Proceso de Enseñanza – Aprendizaje. Trabajo de grado, maestría en Educación mención: Orientación. Universidad de Carabobo.

Por su parte, Guilford (1967) relaciona el pensamiento creativo con el pensamiento divergente, plantea que este tipo de pensamiento es el más apropiado para resolver problemas que admiten un número indeterminado de soluciones.De manera similar, De Bono (1991) afirma que el pensamiento creativo esta íntimamente relacionado con el pensamiento lateral, el cual es un tipo de pensamiento instructivo, holista, no lineal, que permite reestructurar modelos existentes para crear otros. Por otra parte, Torrance (1976) expresa claramente que un docente creativo es el mejor ideal para sus alumnos, debe poseer conocimientos claros de sí mismo, de sus alumnos: interés, eventualidades, aspiraciones; conocer principios, teorías y técnicas sobre la creatividad, comprensión de los procesos, información actualizada, conocimiento amplio del mundo y su entorno, sobre todo, cualidades físicas, emocionales, morales, éticas y gran capacidad para relacionarse. El docente será, sin duda alguna, una persona creadora que variará las técnicas para el desarrollo y propondrá nuevos enfoques, será un modelo creador que eduque más por lo que hace que por lo que expone, con la libertad como fundamento psicológico; la igualdad como fundamento social y el educando como sujeto y objeto de su propio aprendizaje siempre en camino hacia su propia valoración y autorrealización. BIBLIOGRAFÍA

Álvarez, C. (1993). Creatividad: estimulación del pensamiento creativo. Trabajo de grado de maestría. Universidad Nacional Experimental Simón Rodríguez. Núcleo de Barquisimeto. 34

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Repositorio. López, Marisela; Orozco-Moret, Cirilo (2009). Filosofía Básica y Lenguaje en Matemática. Fue publicado previamente en-- e-libro, Corp. El Cid Editor: Buenos Aires (Argentina).

corrientes filosóficas más importante durante las décadas de 1930 y 1940. Por su parte, el pensador austriaco más importante de aquellos tiempos, Ludwig Wittgenstein, que fue su alumno en Cambridge, recibió su influencia en sus primeros estudios filosóficos por su original concepto del atomismo lógico. Además, en la búsqueda de la naturaleza y límites del conocimiento, desempeño un gran papel en el resurgir del empirismo dentro del campo más amplio de la epistemología, así como también, el conocimiento del mundo externo (1926) e investigación sobre el significado y la verdad (1962), intento explicar todo el conocimiento objetivo como construido a partir de las experiencias inmediatas.

Filosofía Básica y Lenguaje en Matemática López, Marisela y Orozco-Moret, Cirilo

Por otra parte, para la matemática clásica, existían por un lado los entes matemáticos y por el otro la realidad física a la cual se podía adaptarlos con mayor o menor precisión, Sin embargo su filosofía se caracteriza por ser una búsqueda apasionada de la certeza desde posiciones manifiestamente escéptica. Para ello, se apoyará en una inclinación muy temprana hacia las matemáticas, indagando en la lógica matemática.

Universidad de Carabobo. Maestría en Educación Matemática. Unidad de Investigación en Educación Matemática (UIEMAT.) Resumen Este trabajo relacionó el lenguaje de las matemáticas con el lenguaje de la lógica. La idea principal consistió en establecer la importancia de hacer una distinción entre el lenguaje formalizado y el cotidiano como en el caso de la expresión lógica y el lenguaje ordinario. Aunque, se ha de considerar que la matemática se ha tornado más lógica y la lógica más matemática, y por esta razón, entre la matemática y la lógica no se puede trazar una línea divisoria, pues en realidad ambas son una sola.

Notas de Filosofía Matemática En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los número (como en la aritmética), o la generalización de ambos (como en el álgebra). Aunque a mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias pues esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica, ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que conforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Palabras Clave: Filosofía Matemática, Lógica Matemática. Introducción La filosofía matemática se caracteriza por preguntarse a partir de qué ideas y principios más generales se podrían definir o deducir los postulados de los cuales se sustenta su andamiaje teórico. Uno de los precursores de la filosofía matemática es Bertrand Russell.

Por consiguiente, a mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos como George

Russell, contribuyó de manera definitiva al desarrollo del positivismo lógico, una de las 35

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No obstante, este estudio ha desembocado en el siglo XX, en el campo conocido como la filosofía de la ciencia, el cual se encuentra muy relacionado con la rama de las matemáticas llamada teoría de la probabilidad.

Boole y Augustus De Morgan abrieron un nuevo campo a la lógica, hoy conocido como lógica simbólica o moderna, que más tarde fue desarrollada por el matemático alemán Gottlob Frege y de un modo especial por los matemáticos británicos Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en Principia Matemática.

Al respecto, Piaget (1979), establece que: La teoría de la probabilidad plantea el problema de la causalidad y del azar en el centro mismo de los problemas epistemológicos de la matemática aplicada. Encontrar una influencia reciproca resulta un poco menos trivial. Los problemas epistemológicos no dejaron de provocar investigaciones técnicas, con la esperanza de esclarecer o soslayar las dificultades epistemológicas, respecto de las cuales ciertos matemáticos, al menos, se mostrarían sensibles. (p. 33).

De esta manera, el sistema lógico de Russell y Whitehead cubre un espectro mayor de posibles argumentaciones que las que se pueden encontrar en la lógica silogística, puesto que introduce símbolos para frases enteras y para las conjunciones que las unen como son: ( o, si, y, entonces...). Cuenta con símbolos diferentes para el sujeto lógico y el predicado lógico de una frase, así como también adjudica símbolos para distinguir las clases, los miembros de las clases, las relaciones de pertenencia de una clase y la inclusión de una clase. Además, se aleja de la lógica clásica en sus suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones universales. De esta manera, “Todo A es B” significa en lógica moderna que “Si algo es A, entonces es B”, lo que , a diferencia de la lógica tradicional, no significa que todo A existe.

Por otra parte, Frege, fundador de la lógica moderna, se preocupa por dilucidar la naturaleza de los números naturales y la fundamentación de la aritmética. Para Frege es fundamental en las matemáticas determinar si la prueba ofrecida a un particular teorema es válida. Una proposición puede ser pensada y puede, por otro lado, ser verdadera. Además, demostrar cómo algo pudo ser pensado no resuelve el problema de su validez (Echeverría, 1993).

Es por ello que, tanto la rama clásica como la moderna implican métodos de lógica deductiva. De tal manera que, las premisas de una preposición válida contienen la conclusión y la verdad de la conclusión, el cual se deriva de la verdad de las premisas.

Por otro lado, Frege sostiene que las marcas que los matemáticos manipulan son signos de entidades reales y, por lo tanto, tal manipulación expresa la naturaleza real de entidades reales.

Sin embargo, se han hecho esfuerzos para desarrollar métodos de lógica inductiva como las que sostienen que las premisas conllevan una evidencia para la conclusión, pero la verdad de la conclusión se deduce, sólo con un margen relativo de probabilidad de la verdad de la evidencia. Por esta razón, la contribución más importante a la lógica inductiva fue la aportada por el filósofo Jhon Stuart Mill, quien en sistemas de lógica en el año 1843 estructuro los métodos de prueba que, según su interpretación, iban a caracterizar la ciencia empírica.

Así mismo, las teorías empíricas concebían a las matemáticas como expresión de entidades reales en el sentido de ser propiedades perceptibles de objetos perceptibles. Para Frege los números son objetos no perceptibles, ni tampoco meros productos de procesos mentales. Sostener que la expresión 30 es signo de entidad real, objetiva, el cual equivale a decir que las matemáticas son un lenguaje. 36

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Por esta razón, Frege Echeverría (1993) afirma que:

citado

la edad de piedra, a saber, (...) la experiencia y el ingenio heredados a través de muchas generaciones de hombres (p. 231).

por

Un lenguaje lógicamente perfecto debe satisfacer las condiciones de que toda expresión gramaticalmente bien construida, a partir de signos ya introducidos, debe designar de hecho un objeto, y que ningún signo nuevo debe ser introducido como nombre propio sin que se le asegure una referencia. (p. 150).

Seguidamente, el autor condiciona el valor del lenguaje diciendo, Si una distinción sirve para los propósitos prácticos de la vida común (...) entonces podemos estar seguros de que hay algo en ella, de que señala algo; sin embargo es muy probable que no constituirá la mejor manera de presentar las cosas si nuestros intereses son más amplios o más intelectuales que los ordinarios. En consecuencia, no cabe duda de que el lenguaje ordinario no es la última palabra... puede ser complementado, mejorado y superado. Pero recuerden es la primera palabra. (p. 232).

Ello sugiere que, la superioridad de las matemáticas como forma de conocimiento, tal como lo pensaba Frege, se reflejan en el lenguaje que las matemáticas usan, lo cual se traducen en que las matemáticas ya no sólo aparecen asociadas a la lógica, sino también al lenguaje. De allí que, pueda establecerse una importante distinción entre el lenguaje formalizado, del cual las matemáticas son expresión, y el lenguaje ordinario del cual es expresión el hablar cotidiano. Por su parte, plantea que:

Echeverría

De esta manera, la situación descrita por Austin, representa un importante giro en la reflexión filosófica, en la medida en que significa el paso de la epistemología a la filosofía del lenguaje.

(1993),

Frege sostiene que en los lenguajes formalizados como en las matemáticas, lo que se expresa se restringe a lo que es necesario para la inferencia. En el lenguaje ordinario, en cambio, la forma gramatical esconde normalmente la forma lógica... El lenguaje ordinario puede pretender asimismo, entretener, distraer, seducir, etc. Aunque Frege será uno de los primeros en reconocer que el lenguaje realiza otras funciones, además de la asertiva, entiende que el análisis lógico puede y debe prescindir de ellas...(p. 144). Así como, la filosofía de Austín por Echeverría (1993) señala que:

En otro orden de ideas, dentro de los avances que se dieron en la lógica moderna, hay que mencionar la invención del cálculo diferencial e integral efectuada por Newton y Leibniz, de la geometría analítica acometida por Descartes y Fermat, y de la teoría de las probabilidades por Pascal y el mismo Fermat. Por otra parte, una de las mayores contribuciones de Gauss es su análisis sobre el teorema de binomio, a partir del cual se plantea el problema de las series infinitas y Gauss afirma que la verdadera esencia del análisis matemático es el efectuar correctamente el tránsito al infinito.

citado

Dentro de este marco, otra contribución importante es la de Nicolás Lobachewsky, que pondrá en duda el quinto postulado de Euclides, conocido como el postulado de lasa paralelas, que sostenía que por un punto “P” sólo es posible trazar una recta paralela a “I.

El lenguaje ordinario no puede pretender ser la última palabra, si es que existe tal cosa. Sin duda, lleva en sí algo mejor que la metafísica de 37

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evolucionado, de tal manera que la matemática se ha tornado más lógica y la lógica más matemática, de hecho es imposible trazar una línea divisoria entre ambas, porque realmente se trata de la misma ciencia.

Lobachewsky se propone resolver este problema a través de una demostración negativa. Lo que hace es sacar las conclusiones que resultan de la negación del postulado o la hipótesis del ángulo recto. Pero lo que obtiene no es una contradicción sino la configuración de tres geometrías posibles (según sea el ángulo del segundo corte de 90º , más de 90º o menos de 90º), siendo por lo tanto la geometría euclidiana sólo un caso particular.

Para los positivistas lógicos, las proposiciones matemáticas o lógicas son tautologías, es decir, ellas pueden ser probadas por referencias a otras proposiciones, no verificadas. Si son probadas demuestran ser válidas.

Por su parte, Halmiton inventa un álgebra para la cual no es válida la ley de la conmutatividad de la multiplicación, en la cual A X B = - B X A, de allí que otros matemáticos han desarrollado otras álgebras.

Por lo tanto el positivismo lógico le concede gran importancia a la educación, gracias a ella se sostiene que es posible acelerar la asimilación del espíritu científico y liberarse de los presupuestos atávicos provenientes de la teología y la metafísica, que obstruyen las posibilidades de promover el desarrollo histórico. Así como también la filosofía ha estudiado estos y muchos aspectos más, relacionados con la matemática, lo cual es de suma importancia para el docente profundizar estoa aspectos, y otros no estudiados aquí desde el punto de vista filosófico, para tener una visión más extensa de los conocimientos matemáticos.

Por otro lado Riemann, en un campo distinto, demuestra que hay diferentes tipos de líneas y superficies, diferentes tipos de espacios de tres dimensiones y que, por la experiencia, se puede determinar el espacio que ocupa, el cual, la teoría se sustenta en la teoría de la relatividad de Einstein. Al respecto Echeverría que:

(1993),

señala

Einstein procuro establecer la configuración geométrica del espacio. Al hacerlo llega a la conclusión que este no es euclideano, sino por el contrario, que el tipo de geometría requerida es aquella desarrollada previamente por Riemann...La teoría de la relatividad conducía a la conclusión de que la luz debía ser atraída por los cuerpos pesados. Einstein sostuvo que, si ello era efectivo, entonces la luz proviene de las estrellas, al pasar cerca del sol, debía ser atraída por la fuerza gravitacional de éste. (p. 168).

Conclusión La evolución de los conceptos e ideas matemáticas tienen su desarrollo histórico, pues, en realidad las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. No obstante los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente en el uso de los dedos de una o de las dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

De acuerdo a lo mencionado anteriormente, todos estos avances hacen de la matemática una disciplina muy parecida a la lógica, en la que aparecen comprometidas posibilidades lógicas diferentes según los supuestos iniciales del análisis. Cabe señalar que, en los tiempos modernos tanto la matemática como la lógica han

Sin embargo, los fundamentos de las matemáticas fueron completamente transformados durante el siglo XIX sobre todo por el matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las Leyes del Pensamiento (1854) y por cantor en su teoría de conjuntos. De modo que, a finales del 38

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Bibliografía

siglo XIX se descubrieron una serie de paradojas en la teoría de Cantor y el matemático inglés Bertrand Russell encontró una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto. Por lo qu los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos, bastante restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque sin determinar si podrían aparecer otras, es decir, sin demostrar que estas teorías son consistentes. Hasta el momento sólo se han encontrado demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B es consistente entonces la teoría A también lo es).

ECHEVERRÍA, Rafael (1993). El Búho de Minerva. Introducción a la Filosofía Moderna. Ediciones Pedagógicas Chilenas. Chile. PIAGET, Jean (1979). Tratado de Lógica y Conocimiento Científico. Epistemología de la Matemática. Editorial Paidos. Buenos Aires 1º Edición. Volumen III Russell, Bertrand (1988). Introducción a la Filosofía Matemática. Ediciones Paidos Barcelona. Buenos Aires. México.

Finalmente, el conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca, es por ello que las teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas.

Autora: Marisela López bajo auspicio de Cirilo Orozco. cirilotampa@hotmail.com Universidad de Carabobo. Maestría en Educación Matemática. Valencia. Venezuela. 2005.

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EXPERIENCIA DIDACTICA: REPOSITORIO ARTICULOS DE AUTORES DE LA UIEMAT PUBLICADOS EN OTROS ESPACIOS CIENTIFICOS Y ACADEMICOS

Repositorio. El artículo de Polanco Rodríguez, Beisys Geoplano como recurso didáctico matemático para estimular la creatividad de los alumnos. Fue publicado preliminarmente en (2005) en la Revista Ciencias. Código ISPN de la Publicación: EEKEALVVAYDPFPMAHK creativa mediante actividades grupales, en las cuales se presentan preguntas dirigidas por el docente, con la finalidad ayudarles a construir sus respuestas, y al mismo tiempo lograr que el alumno formule sus propias interrogantes, permitiéndole así crear sus propias conjeturas acerca de algún concepto matemático, favoreciendo con ello la optimización de los procesos de aprendizajes significativo y el desarrollo de capacidades cognitivas complejas. Descriptores: Educación Matemática, Geoplano, Creatividad, Aprendizaje Significativo.

Geoplano como recurso didáctico matemático para estimular la creatividad de los alumnos

En libros de matemáticas recreativas, e incluso en paquetes didácticos, se plantea el uso del Geoplano para que el docente ayude a sus alumnos a comprender, resolver y analizar los problemas de ubicación espacial y percepción geométrica. Sin embargo, estas sugerencias no son suficientes por si solas, ya que el educando también requiere de apoyos y estrategias adicionales para facilitar el desarrollo de los procesos mentales, destrezas, habilidades de pensamiento, y el potencial creativo. Estas estrategias están dirigidas a extender el carácter reflexivo del alumno, motivar su curiosidad y crear una actitud de búsqueda a soluciones originales. Es por ello, que el propósito de este artículo es presentar una experiencia didáctica en la que se usó al Geoplano como recurso didáctico para estimular la creatividad de los alumnos al buscar la solución de problemas matemáticos.

Polanco Rodríguez, Beisys M. Beipo_1@hotmail.com

En este artículo se presenta y analiza un trabajo desarrollado en el contexto de aula relativo a la manifestación de la creatividad de los alumnos. La creatividad es motivada por el docente a través del uso del Geoplano como recurso didáctico en el campo de las matemáticas. El Geoplano es un tablero con una malla de clavos, en él que se pueden formar figuras utilizando gomas elásticas, al mismo tiempo éste es empleado para que el estudiante construya figuras geométricas, establezca semejanzas, diferencias entre paralelismo-perpendicularidad, emplee un lenguaje gráfico-algebraico. Además, el Geoplano ofrece la oportunidad para que el alumno estudie y descubra la relación entre superficie y volumen, profundice y comprenda los conceptos de áreas y planos geométricos, y asocie contenidos de la geometría con el álgebra y el cálculo. Esta construcción cognitiva se produce de una forma

En este sentido, puede decirse que el uso del Geoplano como herramienta didáctica no es nuevo, pero no ha sido muy extendido en la enseñanza de contenidos geométricos. Por ejemplo, Cascallana (1988) describe el Geoplano como un tablero de madera de 30 x 30 cm, en el que se distribuyen clavos formando una retícula cuadrada formando cuadrados unidad de 1,5 x 1,5 cm. Por su parte, Domínguez (1991) opina que el Geoplano, es una herramienta

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didáctica que consiste en un plano en la que dispone en una malla de líneas en forma de cuadrados, triángulos y círculos.

puede significar una oportunidad para que los docentes aborden los contenidos matemáticos de una forma creativa, valiéndose de esta única herramienta para inducir a los alumnos a pensar en forma divergente. Es por ello que el docente tiene que profundizar, apoyado en la epistemología de la educación matemática, en el conocimiento de las aplicaciones prácticas y teóricas del Geoplano e internalizar las posibilidades que le brinda esta herramienta. Si el docente conoce el Geoplano, podrá conducir sus alumnos a construir conceptos matemáticos propios y favorecerá el desarrollo de procesos de aprendizaje significativo y con ello el estimulara algunas capacidades cognitivas más complejas.

En relación a lo anterior, se debe considerar al geoplano como una herramienta de interés didáctico en la enseñanza - aprendizaje de las Matemáticas y en el desarrollo de la reflexión creativa, puesto que, este recurso le permite tanto al estudiante como al docente experimentar con patrones numéricos, dar paso al pensamiento intuitivo y aperturar el pensamiento hacia la innovación, lo cual es la base de la creatividad. Esta premisa es hoy pertinente ya que actualmente la creatividad es altamente valorada en diversos contextos académicos debido a su relación con el éxito escolar y con la capacidad para producir conocimiento independiente y significativo. En esta perspectiva, De la torre (1997) señala que la creatividad es un término de reciente aparición, introducido con la finalidad de proporcionar sensación de libertad, autonomía, indeterminación, comprensión e intervención directa del sujeto quien participa en el evento creativo. Por lo tanto, para que el docente logre estimular la creatividad en sus alumnos, es importante que seleccione la estrategia más apropiada que les permita a los estudiantes pensar en forma original y sistemática, e interiorizar conceptos y procedimientos exactos, de forma automática. Por ello, se presenta en este artículo una experiencia didáctica que demuestra el potencial del Geoplano como coadyuvante del desarrollo del pensamiento creativo y del razonamiento geométrico espacial.

La experiencia con el Geoplano en el aula, se asocia a la organización de contenidos, a la posibilidad de que por ejemplo, los conceptos de proporcionalidad, cuadriláteros, triángulos, segmentos, paralelismo, perpendicularidad, congruencia, medida, relaciones y proporciones, el lenguaje gráfico y algebraico "se encuentren todos" integrados en una actividad y en una sola discusión participativa dentro del ambiente educativo ideal propiciado por el docente. En función de esto se presentan como ejemplos algunos modelos de ambiente educativo donde se utilizo el Geoplano. Estos deberán servir como referencia para ser adaptados a las circunstancias especiales y distintas que pueda surgir en la práctica de aula.

EL GEOPLANO VALIOSA HERRAMIENTA DIDÁCTICA EN EDUCACIÓN M ATEMÁTICA. Esta herramienta, sencilla y eficaz, le permite a los estudiantes experimentar con modelos matemáticos y construir conceptos numéricos en diversos contextos. Ella puede ser usada con la finalidad de establecer patrones ideales, para combinar y realizar medidas directas o indirectas. También, es útil para reproducir en forma creativa nuevas colecciones de figuras complejas, innovar conceptos, descubrir propiedadesrelaciones exactas y comprobar conjeturas e hipótesis. Además, el Geoplano es potencialmente beneficioso para estimular y despertar la creatividad, buscando integrar lo pedagógico con el desarrollo de estrategias y habilidades cognitivas (estímulo informal, búsqueda íntegra de información constante, razonamiento espacial a través de procesos de análisis y síntesis sobre figuras geométricas).

Pensando en los docentes, que habitualmente se ubican en prácticas poco constructivistas y poco integrados o actualizados en Didáctica de las Matemáticas, se ha considerado al Geoplano como un material apropiado, para que a través de éste los docentes puedan desarrollar numerosos contenidos y actividades relacionados con figuras (planas, tridimensionales, estáticas, y dinámicas) originales y creativas. A continuación se presenta, la finalidad, los objetivos, metodologías y recursos materiales para el desarrollo de la actividad, la cual esta dirigida a estimular la creatividad en los alumnos a través del recurso didáctico (Geoplano), considerada exclusivamente para despertar en los estudiantes la curiosidad por

LOS ALUMNOS, EL GEOPLANO Y LA CREATIVIDAD Incorporar al Geoplano en las clases de matemática, puede ser considerado simplemente una novedad, o

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descubrir nuevas formas de explorar cantidades numéricas y sus significados.

CURSO Y NIVEL 7mo Grado de Educación Básica

FINALIDAD Construir diferentes maneras de aprendizaje progresivo, en el que cada alumno llegará desarrollar las habilidades que pueda, garantizando tan sólo el objetivo mínimo de cada actividad.

Luego de haber hecho la figura en el Geoplano. Comienza a trazar imaginariamente líneas (horizontales, verticales o diagonales) en el dibujo de modo que esto te permita responder con facilidad las siguientes preguntas:

OBJETIVOS Dominar el concepto área y plano geométrico Profundizar en los conceptos de área Estudiar la relación entre volumen y áreas Establecer semejanzas y diferencias entre figuras dadas Construir figuras geométricas METODOLOGÍA Los alumnos formarán equipos de dos integrantes, con la coordinación continua del profesor.

¿Qué figuras geométricas observas en el dibujo?

M ATERIAL PARA CONSTRUIR UN GEOPLANO

¿Cuántas dimensiones tiene la figura? y ¿Qué nombre reciben estas dimensiones?

-Tablero de madera de 25x25cm, en el que se deben distribuir los clavos creando una casilla cuadrada formada por cuadros de 5x5 cm. -36 clavos -5 o más gomas elásticas

¿Es un área o un volumen lo que debes medir? y ¿Cómo se expresan sus medidas? ¿Qué unidad de medida utilizastes para calcular el área? ¿Cuánto mide el área de cada figura encontrada?

INSTRUCCIONES

¿Cómo hiciste para medir la figura?

Cada equipo construirá un Geoplano, y recibirá instrucciones del facilitador (docente) que sólo servirá para aclarar las dudas y aceptar la expresión de resultados.

Geométricamente figuras?

¿Cómo

denominan

estas

¿Cuántos lados y vértices tienen cada una? ¿Qué es un plano geométrico? Calcula el área total del polígono construido en el Geoplano. Recuerda que cada cuadrito tiene un área de 5 cm². ¿Es

posible construir en el Geoplano un triángulo

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equilátero y una circunferencia. Justifica tu respuesta.

En relación a lo anterior, esto no se logrará si los docentes no unen esfuerzos, por romper los esquemas tradicionales y asumir el desarrollo de la creatividad del educando de acuerdo con su edad y capacidad mental. Para que ésto sé alcance se debe dejar aun lado, en lo posible, la impertinencia, la improvisación y la carencia de ideas.

¿Cuánto mide el área cada figura encontrada en tu dibujo?

La innovación educativa no se conseguirá si se encierran en sus propias apreciaciones y conceptos. Deben asociarse, compartir experiencias, interactuar, enriquecerse de ideas con grupos de profesores que vayan en la misma vía. Si desean ser innovadores en su labor pedagógica, es necesario socializar el conocimiento, pues en la época en que se encuentran es muy difícil ser un creador solitario.

¿Cuál es el área total de la misma? Además del cm, existen otras unidades de medidas ¿Cuáles son? ¿Un triángulo rectángulo forma un ángulo de ¿Cuántos grados? ¿Establece semejanzas y diferencias entre las figuras geométricas observadas en tu dibujo.

Cascallana, M.T. (1988). Iniciación a la Matemática. Materiales y recursos didácticos. Santillana, Aula XXI. Madrid De la Torre, S. (1997). Creatividad y Formación. México: TrillasDomínguez, M. (1991), El uso del Geoplano en el aula de matemáticas. En Sigma. Revista de Matemáticas n° 9, 31-34.

Se hace indispensable que el docente adquiera conciencia de la necesidad que existe en el aula, de incorporar innovadoras herramientas didácticas para estimular la "creatividad".

De Bono, E. (1991). El pensamiento lateral: manual de creatividad. (M.M.L.B. Trads.). Trabajo original publicado en 1970. Barcelona, España: Paidos.

El Geoplano, es un excelente recurso didáctico para dirigir el proceso de aprendizaje- enseñanza matemática, ya que le da la oportunidad al docente de mejorar su labor pedagógica, y transformarse en personas originales junto con los educandos: constructores del conocimiento, imaginativos, dinámicos, y creadores de ideas.

De la Torre, S. (1997). Creatividad y Formación. México: Trillas Gary y Joseph, (1992). Estrategias Creatividad. Buenos Aires: Paidós.

para

Por otro lado, le permitirá incluir interrogantes a través de actividades por niveles, y trabajar tanto con las necesidades como con las potencialidades de una manera personalizada.

Guilford, J. (1967). La Naturaleza de la Inteligencia Humana. New York: McGraw Hill.

Sin embargo, actualmente existen otras herramientas instructivas que contribuyen en el desarrollo cognitivo del educando, a diferencia de éstas mediante el uso del Geoplano se busca despertar el potencial creativo de los alumnos y obtener resultados transcendentes, que no sólo tendrán implicaciones en la matemáticas sino en otras áreas de estudio.

Sánchez, M. (1991). Desarrollo de Habilidades del Pensamiento. Creatividad: Guía del instructor. México: Trillas.

Hernández, C. y Durán, G. (1997). Educación Creatividad y Cerebro. Valencia /Venezuela.

Torrance, P. (1976). Desarrollo de la Creatividad del Alumno. Argentina: Librería del Colegio.

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Autor: Lic. Beisys M, Polanco Rodríguez Universidad de Carabobo Área de Estudios de Postgrado Mañongo. Valencia-Venezuela.Beipo_1@hotmail.com Enviado por: Prof. Cirilo Orozco-Moret e-mail: cirilotampa@hotmail.com UNIVERSIDAD DE CARABOBO. MAESTRÍA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Autor: Lic. Beisys M, Polanco Rodríguez Universidad de Carabobo Maestría en Educación Matemática e-mail: Beipo_1@hotmail.com Enviado por: Prof. Cirilo Orozco-Moret e-mail: cirilotampa@hotmail.com

REDUMAT Nº 9

REDUMAT, Vol 4, No 9. Agosto 2015

Revista de la Unidad de investigación en educación matemática. UIEMAT. FACES-UC Agosto 2015. Año 4, No 9