cccc by CLAUDIA M. CORREDOR

Notas del curso “An´ alisis de Sistemas No Lineales”

Javier Aracil Sant´onja Francisco Salas G´omez ´ Francisco Gordillo Alvarez

Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica Universidad de Sevilla

Notas del curso “An´ alisis de Sistemas no Lineales”

Impartido por: Javier Aracil Francisco Gordillo Francisco Salas

25 de septiembre de 2007

´Indice general

1. Introducci´ on

1.1. El problema del control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. EL control lineal es local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1. Control Lineal y no Lineal - Estabilidad en Sistemas de Control

An´ alisis

2. An´ alisis cualitativo de sistemas din´ amicos

2.1. Formalizaci´on del concepto de sistema din´amico . . . . . . . . . . . . .

2.2. Crecimiento log´ıstico o acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1. Retrato de estados de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . .

2.3. Sistemas Din´amicos Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1. Sistemas dinámicos autónomos lineales de dimensión dos . . . .

2.3.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Sistemas din´amicos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5. Propiedades de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´INDICE GENERAL

2.5.1. Existencia y unicidad de las soluciones . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2. Flujo deﬁnido por un sistema din´amico . . . . . . . . . . . . . .

2.5.3. Sistema din´amico como ﬂujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.4. Orbitas y retratos de estados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.6. Linealizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.7. Linealizaci´on de un sistema din´amico en IRn . . . . . . . . . . .

2.5.8. Equivalencia topol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.9. Conjuntos l´ımite y equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6. Ciclos y atractores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1. Conjuntos l´ımite y atractores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.2. Comportamiento a largo plazo de las trayectorias . . . . . . . .

2.6.3. Estudio de o´rbitas peri´odicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.4. Atractores extra˜ nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.5. Puntos de equilibrio

3. An´ alisis cualitativo y bifurcaciones en sistemas din´ amicos

3.1. An´alisis cualitativo de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Análisis cualitativo de sistemas dinámicos de dimensión 1 . . . . . . . .

3.2.1. Estabilidad estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Familias de sistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1. Diagramas de bifurcaciones en sistemas no lineales . . . . . . . .

´INDICE GENERAL

3.4. Bifurcaciones elementales en sistemas de dimensi´on uno . . . . . . . . .

3.4.1. Bifurcaciones elementales en sistemas dinámicos de dimensión dos 62 3.4.2. Evolución de los autovalores en una bifurcación de Hopf. . . . .

3.4.3. Bifurcaciones de o´rbitas peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.4. Bifurcaciones de codimensi´on dos . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.5. Diagrama de bifurcaciones del experimento de Taylor-Couette. .

3.5. Crecimiento log´ıstico con un retraso en la estructura . . . . . . . . . . .

References

3.6. Ap´endice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Funci´ on descriptiva y balance arm´ onico

4.1. M´etodo del primer arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1. Ejemplo introductorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2. Principios del m´etodo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.3. Transformaci´on de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.4. Funci´on descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.5. Interpretación estocástica de la función descriptiva

. . . . . . .

4.1.6. Propiedad del cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Algunas funciones descriptivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1. Saturaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2. Rel´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´INDICE GENERAL

4.2.3. Holgura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.4. Determinación experimental de la función descriptiva . . . . . . 100 4.3. Análisis de sistemas no lineales mediante la función descriptiva . . . . . 101 4.3.1. Una ampliación del criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3.2. Oscilaciones de un servomecanismo no lineal . . . . . . . . . . . 103 4.3.3. Función descriptiva independiente de la frecuencia . . . . . . . . 104 4.3.4. Función descriptiva dependiente de la frecuencia . . . . . . . . . 105 4.3.5. Estabilidad de los ciclos l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.6. Fiabilidad del análisis mediante funciones descriptivas . . . . . . 112 4.4. La función descriptiva dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.4.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5. Cálculo de varios armónicos en el método de balance armónico . . . . . 118 4.5.1. Definición del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.5.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Bibliograf´ıa

127

5. Bifurcaciones en sistemas de control

129

5.1. Feedback systems with saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.1.1. Equilibria in a system with saturation . . . . . . . . . . . . . . 130 5.1.2. Limit cycles in a system with saturation . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.3. First order system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Â´INDICE GENERAL

5.1.4. Second-order system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2. Sotomayor-Llibre-Ponce bifurcation analysis . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.2.1. Frequency domain interpretation of the Llibre-Ponce bifurcation analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.2.2. Bounded attraction basin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.3. Control systems with a delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.3.1. Qualitative Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.3.2. A second-order system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.3.3. Qualitative Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.4. Summary of previous results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on 1.1.

El problema del control

Mediante el control automático se trata de concebir y construir los o´rganos de control que gobiernen el comportamiento de las máquinas. Tratamos de concebir máquinas que alimentadas con información con relación al comportamiento de las magnitudes que se quieren controlar, procesen convenientemente esta información y concluyan cómo se ha de actuar para conseguir que la máquina se comporte de la forma apetecida. Veamos un ejemplo matemáticamente muy simple de lo que estamos diciendo. En todo proceso de control están involucrados dos componentes esenciales: la planta o proceso que se pretende controlar y el o´rgano de control o controlador, con el que se gobierna el comportamiento de la planta. Para el dise˜ no de éste u ´ ltimo, el ingeniero de control parte del sistema dinámico que constituye el modelo matemático de la planta a controlar. Este modelo matemático describe los efectos relativos entre las distintas variables y los parámetros involucrados en el proceso. Además, el modelo matemático permite también la simulación informática del proceso real que se trata de controlar. De este modo las matemáticas intervienen con un papel crucial en la representación del proceso cuyo comportamiento se quiere automatizar. Supongamos, en un caso particularmente simple, que el modelo de la planta viene dado por la expresión x˙ = x + u

(1.1)

En ésta expresión aparecen dos variables, la x que representa la magnitud a controlar y la u que representa la magnitud mediante la cual se ejerce el control. La se˜ nal u representa los actuadores o entradas al proceso, y x es la se˜ nal procedente de los sensores o salidas. Obsérvese que la expresión anterior, pese a su sencillez formal, representa un problema particularmente dif´ıcil. En ausencia de se˜ nal de control, es decir para 1

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Planta

Controlador

Figura 1.1: Estructura de realimentación. u = 0, el sistema es inestable: la variable x crece exponencialmente. Precisamente uno de los objetivos básicos que se pretende es estabilizar este sistema inestable. El ingeniero de control tiene que encontrar una estrategia de actuación sobre el sistema de modo que a partir de las medidas de la se˜ nal x sea capaz de determinar la se˜ nal de actuación u, de manera que el comportamiento resultante sea estable. A partir de la información x que suministran los sensores se trata de obtener la acción u de los actuadores; es decir, se quiere determinar una función u = f (x), que se conoce como ley de control. Para resolver este problema, en primer lugar, tiene que representar matemáticamente lo que pretende alcanzar, que como se acaba de ver es, en primera instancia, un comportamiento estable. Un posible comportamiento de este tipo para la variable x viene dado por x˙ = −kd x (1.2) en donde kd > 0. Esta es precisamente la representación matemática de lo que queremos lograr. Obsérvese que eligiendo adecuadamente el parámetro kd podemos hacer que el comportamiento de x cuando se aproxima al equilibrio estable x = 0, lo haga con una trayectoria que puede ser elegida en función de los objetivos propuestos. Las especificaciones de comportamiento a partir de las cuales se adopta un valor para kd pueden ser muy variadas. Por ejemplo, podemos hacer que el valor cuadrático medio de la desviación de la situación de equilibrio sea m´ınimo supuesto el sistema sometido a perturbaciones de tipo estocástico. La teor´ıa del control automático permite resolver el problema en muchas situaciones de interés práctico. Una vez planteado el problema su resolución es inmediata. Si se quiere el comportamiento (1.2) para el sistema representado por (1.1) bastará con hacer u = −(1 + kd )x

(1.3)

que es la ley de control deseada. En efecto, llevando (1.3) a (1.1) se tiene (1.2). Para implantar la ley de control (1.3) se requiere una estructura de realimentaci´on

1.1. EL PROBLEMA DEL CONTROL

como la que se muestra en el diagrama de la figura 1. Esta estructura posee un enorme interés y su estudio sistemático constituye una de las grandes contribuciones de la ingenier´ıa del control, que ha trascendido el propio dominio de la ingenier´ıa para constituir una aportación tanto a las ciencias de la naturaleza como a las sociales y humanas. Por ello conviene que le dediquemos alg´ un espacio. Si observamos el diagrama de la figura 1 veremos que muestra una estructura causal circular, en virtud de la cual toda actuación u produce un efecto x que se “realimenta”para incidir en la decisión del nuevo valor de u que se aplica al sistema, y as´ı en una espiral sin fin. Formalización del problema abstracto del control (como en su d´ıa formalizaron las representaciones geométricas del hombre primitivo o las trayectorias de los primeros mecánicos), en una teor´ıa matemática de los sistemas realimentados que no es sino una rama de la teor´ıa de sistemas dinámicos. Esta formulación abstracta del problema del control consiste en considerarlo como el problema formado por:

1. El modelo matemático de una planta o proceso a controlar, tal como el representado en (1.1). 2. Un comportamiento deseado para el proceso, al que en principio se exigirá que sea estable, por ejemplo, mediante una expresi´ on del tipo (1.2). Además se le impondrán otras condiciones adicionales, de modo que se cumplan ciertas especificaciones. 3. Se trata de determinar la ley de control de modo que actuando sobre el proceso se consiga el comportamiento deseado, lo que, para el ejemplo que ha de servido de motivación, se consigue con la ley de control (1.3).

Esta es la situación ideal con la que aspira a encontrarse el que trata de resolver un problema de control. Veremos luego, al considerar el caso del péndulo invertido, que en la práctica hay que hacer importantes matizaciones a este esquema. El modelo matemático del proceso a controlar de la expresión (1.1) es un sistema dinámico lineal. Las representaciones lineales de los procesos tienen la ventaja de que la teor´ıa matemática de sistemas dinámicos lineales está muy elaborada y su aplicación práctica presenta considerables ventajas. Sin embargo, sabemos que constituye una primera aproximación, por lo que su capacidad de representar es limitada. Por ejemplo, el modelo lineal supone que las magnitudes pueden tomar valores en el intervalo (±∞), lo que constituye una idealización ya que toda magnitud f´ısica se desenvuelve en un rango acotado. Si el sistema posee componentes mecánicas, un modelo estrictamente lineal no considera los efectos de la fricción o de las holguras en los mecanismos de transmisión. El modelo lineal es solamente una primera aproximación que dependiendo del problema que se tenga entre manos puede ser suficiente o no.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

El problema del control tal y como se ha resuelto mediante las expresiones (1.1), (1.2) y (1.3) constituye una versión enormemente simplificada de un problema que, a´ un en su planteamiento lineal, si x y u son vectores adquiere una considerable complejidad, que se incrementa además si los modelos son no lineales. Pero a´ un en esa versión enormemente simplificada están presentes todos los elementos que concurren en un problema de control. Tenemos un cierto a´mbito de la realidad, el proceso a controlar, del que necesitamos una adecuada representación matemática mediante un sistema dinámico, tal como (1.1). Para llegar a esta representación matemática necesitamos recurrir a los conocimientos que se tienen con relación al proceso en cuestión; o recurrir a técnicas de modelado espec´ıficas mediante ajuste de modelos. En todo caso partimos de una descripción matemática de un cierto aspecto de la realidad, de la que la expresión (1.1) es una muestra particularmente sencilla.

1.2.

EL control lineal es local

Sea el sistema de segundo orden 0 1 0 x˙ = x+ u −a2 −a1 1 con ley de control

u = −Kx = − k2 k1 x

El sistema en bucle cerrado es x˙ =

0 1 −a2 + k1 −a1 + k2

la din´amica del sistema en bucle cerrado puede ser deﬁnida arbitrariamente, incluso en el caso de que la planta sea inestable. En realidad esto solo es cierto localmente. Las no linealidades en el bucle alteran la estructura del retrato de estados en el espacio de estados global.

Sistemas no lineales

Los sistemas no lineales muestran comportamiento mas complejos que los lineales.

1.2. EL CONTROL LINEAL ES LOCAL

Los sistemas no lineales presentan dos diferencial principales con respecto a los lineales: • Pueden tener m´ ultiples atractores, no solo el atractor puntual asociado al punto de operación; • Tres tipos principales de atractores: ◦ Puntos de equilibrio. ◦ Ciclos l´ımite. ◦ Atractores extra˜ nos. En estas norteas sólo trataremos puntos de equilibrio y ciclos l´ımite. The full consideration of nonlinear effects is out of scrutiny

1.2.1.

Control Lineal y no Lineal - Estabilidad en Sistemas de Control

Uno de los principales problemas que se plantean en la teor´ıa de control ha sido, desde sus or´ıgenes, el estudio de la estabilidad. Para sistemas lineales con dimensiones finitas es posible organizar las nociones de estabilidad de las que se dispone en torno a unos pocos conceptos básicos que, además pueden caracterizarse de forma precisa en términos algebraicos. Sin embargo, los sistemas no lineales presentan una variedad de comportamientos mucho más amplios de modo que la clasificación que es posible hacer en lineales, de estables y no estables, ya no lo es para el caso de sistemas no lineales. Un problema que se ha suscitado en el estudio de estos u ´ ltimos es el establecer condiciones contrastables para analizar la estabilidad de un sistema sin conocer expl´ıcitamente sus soluciones. La contribución clave a este problema se basa en los trabajos de Liapunov. Su segundo método de análisis de estabilidad permite demostrar propiedades locales y globales de estabilidad a partir del signo de la tasa de disipación de una función tipo energ´ıa. Posteriormente, otra contribución importante, fue el reconocimiento de que las funciones de Liapunov pueden captar la propia naturaleza de la estabilidad asintótica y que la existencia de esas funciones, con adecuadas propiedades de disminución a lo largo de las trayectorias del sistema, permiten caracterizar tanto local como globalmente la estabilidad asintótica. Más recientemente, la teor´ıa de la pasividad y la estabilidad-estado (ISS) permiten extender a sistemas de control (sistemas con al menos una entrada) todo el cuerpo de resultados que se ten´ıan para sistemas autónomos. Las desigualdades de disipación y el segundo método de Liapunov juegan un papel central en los llamados métodos constructivos de control no lineal recientemente desarrollados. Normalmente se aplican a sistemas de dimensiones finitas.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Parte I AnÂ´ alisis

Cap´ıtulo 2 An´ alisis cualitativo de sistemas din´ amicos 2.1.

Formalizaci´ on del concepto de sistema din´ amico

Noción intuitiva de sistema dinámico: conjunto de componentes conectados entre ellos de modo que presenten un comportamiento coordinado y realicen una tarea determinada. Se consideran sistemas: • a cuyos componentes se asocian magnitudes xi ; • algunas magnitudes representan el cambio con el tiempo de otras: El modelo matemático se construye a partir de las relaciones entre las correspondientes variables. Nos ocuparemos fundamentalmente de sistemas dinámicos dados por ecuaciones diferenciales o en diferencias: son los sistemas din´ amicos de variables continuas La noción de sistema dinámico incluye el conjunto X de los posibles estados que puede alcanzar y una regle o ley que regula la evolución de los estados en el tiempo. Espacio de estados Los posibles estados de un sistema se representan mediante puntos de un conjunto X. Este conjunto recibe la denominación de espacio de estados. Ejemplo: 9

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

Figura 2.1: Péndulo. S = {θ} ˙ R = {θ} X = S ×R X es un cilindro (una variedad). El principal componente de un sistema dinámico es una regla de evolución que determina el estado xt a partir de x0 . Esta regla se representa mediante la aplicación ϕt : X → X xt = ϕ(x0 ) ϕt se denomina operador de evoluci´ on. Para sistemas en tiempo continuo la familia {ϕt }t∈T de operadores de evolución se denomina flujo. A un sistema dinámico (X, f ) se asocia un espacio de estados X y una aplicación ϕt : X → X que permite establecer la evolución en X.

2.2.

Crecimiento log´ıstico o acotado

La estructura de realimentación positiva permite dar razón del proceso de crecimiento. Sin embargo, sabemos que en la realidad todo proceso de crecimiento acaba por abortarse tarde o temprano. No existe el crecimiento indefinido (más que en situaciones extremas idealizadas). La forma de crecimiento con la que normalmente nos

2.2. CRECIMIENTO LOG´ISTICO O ACOTADO crecimiento exponencial

11 ,

comportamiento asintotico

Figura 2.2: Crecimiento log´ıstico o sigmoidal. encontramos es la que se conoce como crecimiento log´ıstico o sigmoidal. Esta forma de crecimiento se muestra en la figura 3.1, y consta de una fase inicial de crecimiento aproximadamente exponencial seguida de una segunda fase de estabilización. Este comportamiento puede explicarse combinando un bucle de realimentación positiva, responsable del crecimiento exponencial inicial, y de un bucle de realimentación negativa, al que se asocie el comportamiento estabilizador final. En la fase inicial el bucle de realimentación positiva es el dominante, mientras que en la final lo es de realimentación negativa. El cambio de dominación de los bucles se explica mediante la presencia de mecanismos no lineales. Esta estructura permite explicar el crecimiento en problemas muy variados; desde el crecimiento de una población en un medio finito hasta la introducción de un nuevo producto en el mercado, pasando por la difusión de una enfermedad. Constituye un ejemplo de lo que se conocen como arquetipos sistémicos que pueden considerarse como plantillas estructurales para la descripción de aspectos sistémicos de la realidad. Estos arquetipos son el resultado de la experiencia en modelado y pueden considerarse como descripciones fenomenológicas del comportamiento de los sistemas. Aportan sugerencias sobre la estructura básica del sistema, sin ninguna pretensión de unicidad. Un ejemplo concreto de crecimiento en un medio acotado lo suministra el modelo de crecimiento de un población, que se puede escribir: x˙ = b(x) − d(x), x > 0,

(2.1)

en donde b(x) = nxg(x) son los nacimientos, d(x) = mx son las muertes, y x˙ representa

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

f(x)=1+2x-3x2 (δ=1/3) f(x)=1+x-2x2 (δ=1/2)

f(x)=1-x2 (δ=1)

Figura 2.3: Forma de la función g˜(x) para distintos valores del parámetro δ. la derivada (variación) de x con respecto al tiempo t. De acuerdo con esta ecuación el crecimiento de la población x resulta del exceso de nacimientos sobre muertes. Conviene observar que las muertes dependen linealmente de la población x, mientras que los nacimientos dependen de x a través de la función g que hace variar la tasa de natalidad con el nivel alcanzado por la población x. Una hipótesis razonable es que g es no lineal, y tiene la forma cualitativa que se muestra en la figura 2.3. De acuerdo con esta figura cuando la población es muy peque˜ na la natalidad crece con la población, mientras que cuando es grande decrece. Esta forma de g es consistente con el supuesto del crecimiento sigmoidal seg´ un el cual en las fases iniciales de crecimiento éste es explosivo, y en las finales tiende a un valor asintótico. De la curva g lo u ´ nico que nos interesa es su forma creciente al principio y decreciente luego; es decir, su forma cualitativa. Podemos adoptar para ella la expresión matemática siguiente: 1−δ x2 g˜(x) = 1 + x − , δ ∈ (0, 1] . δ δ es decir, una forma parabólica (figura 2.3). De acuerdo con lo que se ha visto, la expresión (2.1) puede escribirse x˙ = x(ng(x) − m). Esta expresión es un ejemplo de lo que se conoce como un sistema dinámico. Su parte derecha puede interpretarse como la regla que establece como se produce la variación x˙

2.2. CRECIMIENTO LOG´ISTICO O ACOTADO

de x a lo largo del tiempo. Esta expresión puede interpretarse también como un campo vectorial x˙ definido sobre X = {x}. En general, un sistema dinámico se define como el objeto formado por un espacio de estados X (una variedad) y un campo vectorial f , definido en X sistema din´ amico = variedad de estados X + campo vectorial f De acuerdo con ello un sistema dinámico se define por el par (X, f ). Una de las formulaciones más generales de un sistema dinámico, mediante un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, es la siguiente x˙ = f (x)

(2.2)

en donde la función f establece la regla mediante la cual se produce el cambio del estado a lo largo del tiempo y representa la din´ amica del sistema xt+dt = xt + f (xt )dt. Existen otras formulaciones para la transición entre estados, que dan lugar a otras tantas formas de escribir sistemas dinámicos. Sin embargo aqu´ı nos limitaremos a la que se acaba de enunciar. El espacio X tiene, en general, dimensión n, de modo que (2.2) se descompone en un conjunto de ecuaciones de la forma: x˙ i = fi (x1 , x2 , ..., xn ) a cada una de las cuales corresponde una relación de influencia dXi X1 , X2 , ...Xn → dt

(2.3)

(2.4)

De este modo es posible concebir una transición de los grafos, mediante relaciones de influencia, que se han considerado anteriormente (recuérdese la figura ??), a sistemas dinámicos como los de la expresión (2.2). Conviene observar que para esta transición hay que enriquecer la información estructural de las relaciones de influencia con información adicional. La dinámica de sistemas, como método para el modelado y simulación de sistemas dinámicos, aporta herramientas conceptuales e informáticas para realizar esa transición (Aracil y Gordillo 1997).

2.2.1.

Retrato de estados de sistemas no lineales

Cada atractor tiene su cuenca de atracci´on.

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

Los sistemas lineales tienen retratos de estado sencillos: Phase Plane 1 0.8 0.6 0.4

0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1

−0.5

0 x1

0.5

Los sistemas no lineales tienen retratos de estado m´as complejos: 2

1.5

x2/pi

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

0 x1/pi

0.5

1.5

La teor´ıa global se ocupa de la forma en que los atractores y sus cuencas de atracci´on se combinan en el retrato de estados.

2.3.

Sistemas Din´ amicos Lineales

Aunque el objetivo de este curso es el estudio de sistemas dinámicos en toda su generalidad, por tanto no lineales, conviene recordar algunos resultados relativos a los sistemas dinámicos lineales, ya que, como veremos, los sistemas dinámicos no lineales se comportan localmente como lineales. Un sistema dinámico lineal viene dado por una expresión de la forma x˙ = Ax,

x ∈ IRn

´ 2.3. SISTEMAS DINAMICOS LINEALES

en donde A es una matriz n × n constante que tiene todos sus valores propios reales y distintos. Un resultado bien conocido de la teor´ıa de sistemas lineales dice que si los valores propios λ1 , λ2 , ..., λn de una matriz A son reales y distintos, entonces todo el conjunto de vectores propios correspondientes {v1 , v2 , ..., vn } forma una base de IRn , en cuyo caso la matriz P = [v1 , v2 , ..., vn ] es invertible y

P −1 AP = diag[λ1 , λ2 , ..., λn ]

si se realiza el cambio de coordenadas y = P −1 x en donde P es la matriz invertible anterior. Se tiene entonces y˙ = P −1 AP y de donde se tiene que y(t) = diag[eλ1 t , eλ2 t , ..., eλn t ]y(0) y tambi´en

x(t) = P diag[eλ1 t , eλ2 t , ..., eλn t ]P −1 x(0)

Ejemplo: Sea el sistema lineal x˙ 1 = −x1 − 3x2 x˙ 2 = 2x2

(2.5) (2.6)

siendo x(0) = (c1 , c2 )T . De acuerdo con la anterior se tiene que la soluci´on del sistema lineal es x1 = c1 e−t + c2 (e−t − e2t ) x1 = c2 e2t

(2.7) (2.8)

En el caso en el que la matriz A tenga valores propios reales y complejos, y adem´as algunos de ellos sean m´ ultiples, se tiene un resultado an´alogo al anterior, pero de mayor complejidad. Sea A una matriz real que posea los valores propios reales λi , i = 1, ..., k y los valores propios complejos λi = ai + jbi ,

λ¯i = ai − jbi ,

i = k + 1, ..., n

Entonces existe una base para R2n−k {v1 , ..., vk , vk+1 , uk+1, ..., vn , un }

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

en donde vi , i = 1, ..., n y wi = ui ±jvi , i = 1, ..., n son los vectores propios generalizados de A, tal que P = [v1 ...vk vk+1 uk+1 ...vn un ] es una matriz invertible y ⎡ ⎢ P −1 AP = ⎣

⎤ ..

⎥ ⎦

. Br

donde los bloques elementales de Jordan ⎡ λ 1 ⎢ 0 λ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 ··· 0 ···

son de la forma ⎤ 0 ··· 0 1 ··· 0 ⎥ ⎥ ⎥ ··· ⎥ 0 λ 1 ⎦ 0 0 λ

para un valor propio real m´ ultiple λ de A, o bien de la forma ⎡ ⎤ D I2 0 ··· 0 ⎢ 0 D I2 · · · 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ · · · ⎢ ⎥ ⎣ 0 ··· 0 D I2 ⎦ 0 ··· 0 0 D

en donde D=

a −b b a

I2 =

1 0 0 1

y0=

0 0 0 0

para un valor propio complejo m´ ultiple λ = a + bj de A. La soluci´on del sistema lineal se escribe en este caso: x(t) = P diag[eBi t ]P −1 x(0) Para concretar consideremos el caso de sistemas lineales en un espacio de dos dimensiones x˙ = Ax x ∈ R2 (2.9) en donde A es una matriz real. En tal caso existe una matriz P real y no singular tal que B = P −1AP tiene una de las formas siguientes: λ 0 λ 1 B= , B= 0 μ 0 λ

yB=

a −b b a

´ 2.3. SISTEMAS DINAMICOS LINEALES

La soluci´on del sistema din´amico lineal en este caso es de la forma: x˙ = Bx x(0) = x0

(2.10)

que se convierte en cada uno de los tres casos anteriores en λt 0 e x(t) = x0 0 eλt λt

x(t) = e y

x(t) = e

1 t 0 1

cos bt − sin bt − sin bt cos bt

El comportamiento de las soluciones de (2.9) se deduce del de (2.10). En la próxima sección se presentará un resultado más detallado.

2.3.1.

Sistemas din´ amicos aut´ onomos lineales de dimensi´ on dos

Los sistemas lineales bidimensionales son una clase particular de sistemas autónomos de dimensión dos x˙ = f(x) en los que el campo vectorial f : R2 → R2 está dado por una función lineal. Es decir un sistema lineal plano puede ser escrito de la forma x˙ = Ax, donde: x1 a11 a12 x= , A= . x2 a21 a22 A continuación se presentan algunas propiedades de los sistemas lineales bidimensionales, que son extensibles a sistemas de orden superior. Las soluciones de un sistema lineal x˙ = Ax están definidas para todo t ∈ R. Si x1 (t) y x2 (t) son soluciones del sistema x˙ = Ax, y c1 y c2 son dos n´ umeros reales, entonces la combinación lineal c1 x1 (t) + c2 x2 (t) es también solución del sistema lineal. A esto se le denomina principio de superposición. Dos soluciones x1 (t) y x2 (t) del sistema x˙ = Ax se dice que son linealmente independientes si para t ∈ R, la relación c1 x1 (t) + c2 x2 (t) = 0

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

implica que c1 = c2 = 0. La independencia lineal se comprueba si det(x1 (t)|x2 (t)) = 0 para todo t ∈ R. Si x1 (t) y x2 (t) son soluciones del sistema x˙ = Ax entonces la matriz X(t) = (x (t)|x2 (t)) se denomina matriz soluci´on; si adem´as las soluciones x1 (t) y x2 (t) son linealmente independientes para todo t ∈ R, entonces se dice que X(t) es una matriz fundamental de soluciones de x˙ = Ax. 1

Si X(t) es una matriz fundamental de soluciones de x˙ = Ax y cumple la condición inicial X(0) = I (matriz identidad), entonces se dice que es una matriz principal de soluciones. Si X(t) es una matriz fundamental de soluciones, la solución de la ecuación diferencial x˙ = Ax que satisface la condición inicial x(0) = x0 está dada por la expresión: ϕ(t, x0 ) = eAt x0 , donde

eAt ≡ X(t)[X(0)]−1 .

Equivalencia cualitativa en sistemas lineales Dos sistemas lineales de dimensión dos x˙ = Ax y x˙ = Bx se dice que son topológicamente equivalentes si hay un homeomorfismo h : R2 → R2 en el plano, tal que, h es continua y con inversa continua, que transforma las o´rbitas de x˙ = Ax en las de x˙ = Bx y conserva su sentido en el tiempo. Es decir: h(eAt x) = eBt h(x) para todo t ∈ R y x ∈ R2 . A continuación, y dado el carácter restrictivo de la equivalencia lineal de sistemas, se presentan dos teoremas sobre la equivalencia topológica de sistemas y su clasificación cualitativa. Teorema 2.1. Sean dos matrices A y B que tienen autovalores con parte real distinta de cero (sistemas hiperb´ olicos), entonces los sistemas x˙ = Ax y x˙ = Bx son topol´ ogicamente equivalentes si y s´ olo si las matrices A y B tienen el mismo n´ umero de autovalores con parte real negativa (y por consiguiente también positiva). As´ı pues, en sistemas planos, hay tres clases de sistemas hiperb´ olicos lineales, que pueden representarse simplificadamente como: (i)

−1 0 0 −1

tiene dos autovalores negativos, es un sumidero hiperb´ olico.

´ 2.3. SISTEMAS DINAMICOS LINEALES

1 0 0 1

(ii) (iii)

tiene dos autovalores positivos, es una fuente hiperb´ olica.

1 0 0 −1

un autovalor positivo y otro negativo, punto de silla hiperb´ olico.

Teorema 2.2. Si la matriz de coeficientes A tiene al menos un autovalor con parte real nula (sistema no hiperb´ olico), entonces el sistema plano lineal x˙ = Ax es topol´ ogicamente equivalente a uno de los siguientes cinco sistemas lineales: (i)

0 0 0 0

matriz cero. Cualquier o´rbita es un punto de equilibrio.

−1 0 (ii) un autovalor negativo y otro cero. Los conjuntos ω-l´ımite (finales) 0 0 de todas las o´rbitas positivas (hacia adelante) son puntos de equilibrio. 1 0 (iii) un autovalor positivo y otro cero. Los conjuntos α-l´ımite (inicio) de 0 0 todas las o´rbitas negativas (hacia atr´ as) son puntos de equilibrio. 0 1 (iv) dos autovalores nulos pero es de rango 1. Todas las o´rbitas, positivas 0 0 y negativas, que no sean puntos de equilibrio no est´ an limitadas. 0 1 (v) dos autovalores imaginarios puros. Cada o´rbita que no sea un equi−1 0 librio es peri´ odica.

En la figura 2.4 se muestra el diagrama de fases de cada una de las clases representativas de equivalencia topológica de sistemas lineales definidas en los teoremas anteriores. Dentro de la clasificación de sistemas hiperbólicos realizada en el teorema 2.1 se pueden definir varios tipos de equilibrios, estables e inestables, dependiendo de si los autovalores son complejos o reales.

2.3.2.

Estabilidad

Si todos los valores propios de una matriz no singular A de dimensi´on n × n tienen parte real no nula, se dice que el ﬂujo eAt : IRn → IRn

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

−1 0 0 −1

1 0 0 1

0 0 0 0

1 0 0 −1

−1 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 1 −1 0

Figura 2.4: Diagrama de fases de la clases representativas de equivalencia topol´ogica de sistemas lineales planos.

´ 2.3. SISTEMAS DINAMICOS LINEALES

es hiperbólico. El punto de equilibrio u ńico x = 0 se dice que es un punto de equilibrio hiperbólico. Un punto de equilibrio hiperbólico puede ser o bien un pozo, si todos los valores propios tienen parte real estrictamente negativa o bien, una fuente si todos los valores propios tienen parte real estrictamente positiva, o bien un punto de silla o ensilladura si los valores propios tienen signos diferentes. Veamos con detalle el caso de un sistema lineal de dos dimensiones. Si x = 0 es un pozo o una fuente, las soluciones se acercan a (o se separan de) x = 0 de dos formas, o bien bajo la forma de nodo, o bien bajo la forma de foco. Sea δ = det A y τ = trazaA y considérese el sistema lineal x˙ = Ax x ∈ IRn El punto de equilibrio x = 0 es (Fig 2.5) Una ensilladura si δ < 0 Un nodo estable si δ > 0,

τ 2 − 4δ ≥ 0, y τ < 0

δ > 0,

τ 2 − 4δ ≥ 0, y τ > 0

δ > 0,

τ 2 − 4δ < 0, y τ < 0

δ > 0,

τ 2 − 4δ < 0, y τ > 0

Un nodo inestable si Un foco estable si Un foco inestable si Un centro si

δ > 0,

τ =0

Los valores propios de A se pueden escribir: √ τ ± τ 2 − 4δ λ= 2 En el caso general para n ≥ 1 se tiene lo siguiente. De acuerdo con lo que se ha visto anteriormente la soluci´on de un sistema lineal x˙ = Ax x ∈ IRn x(0) = x0

(2.11)

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

x1 x1

Nodo estable: Autovalores reales negativos.

Foco estable (sumidero): Autovalores complejos con parte real negativa.

Nodo inestable (fuente): Autovalores reales positivos.

Foco inestable: Autovalores reales con parte real positiva.

Figura 2.5: Diagrama de fases de la clases representativas de equilibrios hiperb´olicos.

Â´ 2.3. SISTEMAS DINAMICOS LINEALES

se escribe x(t) = eAt x0 La aplicaciÂ´on eAt : IRn â&#x2020;&#x2019; IRn describe el comportamiento del punto x0 â&#x2C6;&#x2C6; IRn a lo largo de las trayectorias de (2.11). Un subespacio E â&#x160;&#x201A; IRn se dice invariante bajo el ďŹ&#x201A;ujo eAt : IRn â&#x2020;&#x2019; IRn si eAt E â&#x160;&#x201A; E para todo t â&#x2C6;&#x2C6; R. Sea E el espacio de los vectores propios generalizados de A correspondientes a un valor propio Îť, entonces, AE â&#x160;&#x201A; E Para demostrar este resultado sea {v1 , v2 , ..., vk } un base de E formada por los vectores propios generalizados. Sea v â&#x2C6;&#x2C6; E, v=

ci vi

i=1

y, por linealidad, Av =

ci Avi

i=1

Como cada vi veriďŹ ca

(A â&#x2C6;&#x2019; ÎťI)ki vi = 0

para un cierto ki mÂ´Äąnimo, se puede escribir (A â&#x2C6;&#x2019; ÎťI)vi = Vi o lo que es lo mismo Vi â&#x2C6;&#x2C6; (A â&#x2C6;&#x2019; ÎťI)ki â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x160;&#x201A; E. Se deduce que Avi â&#x2C6;&#x2C6; E y por tanto Av â&#x2C6;&#x2C6; E. Sea wi = ui + jvi un vector propio generalizado de la matriz A, correspondiente al valor propio Îťi = ai + jbi . Consideremos igualmente la base IRn B = {u1 , ..., uk , uk+1, vk+1 , ..., um , vm } n = 2m â&#x2C6;&#x2019; k, entonces, E s = span{ui , vi ; ai < 0} es el subespacio estable, E c = ai = 0} es el subespacio central, E u = span{ui , vi ; ai > 0} es el span{ui, vi ; subespacio inestable, asociados a (2.11). Utilizando el lema anterior se puede demostrar la propiedad siguiente de los subespacios estable, inestable y central:

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

Sea A una matriz real de dimensión n × n, entonces IRn = E s ⊕ E u ⊕ E c en donde E s , E u y E c son respectivamente los subespacios estable, inestable y central de (2.11). Además E s , E u y E c son subespacios invariantes bajo el flujo eAt de (2.11). Conviene observar que las propiedades siguientes son equivalentes:

todos los valores propios de A tienen parte real estrictamente negativa, ∀xo ∈ IRn , y para x0 = 0,

l´ımt→∞ eAt x0 = 0 l´ımt→−∞ eAt x0 = ∞

adem´as,

todos los valores propios de A tienen parte real estrictamente positiva, ∀xo ∈ IRn , y para x0 = 0,

2.4.

l´ımt→−∞ eAt x0 = 0 l´ımt→∞ eAt x0 = ∞

Sistemas din´ amicos no lineales

Despu´es del repaso que se ha hecho en la secci´on anterior de algunos resultados generales sobre sistemas lineales de la forma x˙ = Ax,

x(0) = x0

ahora vamos a estudiar los sistemas din´amicos no lineales x˙ = f (x), x(0) = x0

(2.12)

con ello dispondremos tambi´en de resultados para el estudio de sistemas de control no lineales x˙ = f (x, u), x(0) = x0 y = h(x)

(2.13) (2.14)

2.5. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES

puesto que siempre que se tenga una ley de control de la forma u = k(x) se tendrÂá que el sistema realimentado correspondiente tomarÂá la forma xË&#x2122; = f (x, k(x)), x(0) = x0 y = h(x) lo que lo convierte en un sistema dinÂámico no lineal (2.12). El estudio de los sistemas dinÂámicos no lineales comprende dos partes: una mÂás elemental de carÂácter local, que se relaciona con el estudio de sistemas lineales cuando el punto de equilibrio entorno al que se estudia el comportamiento del sistema es hiperbÂólico; y una parte mÂás especÂ´ÄąďŹ ca en la que se ponen en evidencia comportamientos completamente nuevos con relaciÂón a los que presentan los sistemas lineales.

2.5. 2.5.1.

Propiedades de las soluciones Existencia y unicidad de las soluciones

ConsidÂ´erese en primer lugar el sistema dinÂ´amico 2

xË&#x2122; = 3x 3 ,

x(0) = x0

para cuya integraciÂ´on conviene recordar que xk+1 xk dx = k+1 El sistema dinÂ´amico anterior puede escribirse de la forma dx 2

3x 3

= dt

La integraciÂ´on del primer miembro es

â&#x2C6;&#x2019; 23

dx =

x3 1 3

por lo que la integraciÂ´on de la ecuaciÂ´on anterior conduce a 1

x 3 (t) â&#x2C6;&#x2019; x 3 (0) = t

(2.15)

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

26 Es decir

x¯(t) = t3

Pero, además, es fácil ver que x¯(t) = 0 también es una solución del sistema dinámico que satisface las condiciones iniciales. Por tanto el sistema dinámico anterior posee dos soluciones. Conviene observar que (2.15) es continua en x = 0 pero que no es diferenciable. Este hecho justifica el que la solución no sea u ´ nica y sugiere la necesidad de que el sistema sea diferenciable para tener la unicidad. Aqu´ı no profundizaremos en estas cuestiones, por ser más propias de un curso de matemáticas, pero sin embargo si conviene esbozarlas para no olvidar las sutilezas matemáticas que presentan los sistemas dinámicos no lineales. Sea f ∈ C 1 (U) en donde U es un abierto de IRn . Se dice que x¯(t) es una solución de la ecuación diferencial no lineal x˙ = f (x) sobre un intervalo Y , si x¯(t) es diferenciable sobre Y y x¯˙ = f (¯ x) para todo t ∈ I. Po otra parte sea x0 ∈ U. x¯(t) es una solución del problema con valor inicial x˙ = f (x) x(0) = x0 sobre un intervalo Y , si t0 ∈ I, x¯(t0 ) = x0 y si x¯(t) es una solución de la ecuación diferencial no lineal x˙ = f (x) sobre el intervalo Y . Hay un teorema, que no vamos a demostrar aqu´ı, que dice que si U es un abierto de IRn que contiene x0 y supongamos que f ∈ C 1 (U), entonces existe un α > 0 tal que el problema con valor inicial x˙ = f (x) x(0) = x0 tiene una solución u ´ nica x¯(t) sobre el intervalo [−α, α].

2.5.2.

Flujo definido por un sistema din´ amico

Sea U un abierto de IRn y sea f ∈ C 1 (U). Para x0 ∈ U sea ϕ(t, x0 ) la soluci´on del problema con valor inicial (2.16) x˙ = f (x) x(0) = x0

2.5. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES

definida sobre un intervalo máximo de existencia I(x0 ). Entonces para t ∈ I(x0 ) la aplicación ϕt : U → U x0 → ϕt (x0 ) = ϕ(t, x0 ) se denomina flujo de la ecuación diferencial (2.16) o flujo del campo de vectores f (x). En lo que sigue se empleará la anotación Ω = {(t, x0 ) ∈ R × U; t ∈ I(x0 )} Las propiedades del flujo lineal ϕt : IRn → IRn x0 → ϕt (x0 ) = eAt x0 se cumplen también para un flujo no lineal definido por (2.16).

2.5.3.

Sistema din´ amico como flujo

La aplicación ϕ : IR × IRn → IRn representa la totalidad de las soluciones; se denomina flujo del campo vectorial f (por analog´ıa con el flujo de un fluido). La ϕ es también la din´ amica o regla que especifica como se transforma el estado x ∈ X en otro estado ϕt (x) en el tiempo t. Propiedades naturales del operador ϕ: • ϕ0 es la aplicación identidad. • Si el sistema es autónomo entonces ϕt ◦ ϕs = ϕt+s Si ϕt está definido para todo t < 0, entonces el sistema es invertible y ϕ−t = ϕ−1 t Si t ∈ IR, IR+ se dice que el tiempo es continuo. Si t ∈ Z,Z+ el tiempo es discreto.

Se supone que

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

28 • • • •

X es un conjunto cerrado en IRn . Las aplicaciones ϕt son continuas. t ∈ Z+ o IR+ . El sistema din´amico es determinista.

De momento supondremos que el sistema dinámico es autónomo. Esta suposición la relajaremos más adelante al considerar sistemas de control. Un sistema dinámico (X, f ) es el objeto formado por un espacio de estados X (una variedad) y un campo vectorial f , definido en X ⊆ IRn , f ∈ C ∞ (x, x) y T = IR. dx = f (x) dt En automática un sistema dinámico es un objeto matemático formado por el séxtuplo (T, X, U, Y, f, g). dx = f (x, u) dt y = g(x) Un sistema dinámico en tiempo discreto está completamente definido mediante la aplicación de una paso f = ϕ1 ϕ2 = ϕ1 ◦ ϕ1 = f ◦ f = f 2 f 2 es la iteración de dos pasos.

2.5.4.

Orbitas y retratos de estados

Los métodos geométricos para el estudio de sistemas dinámicos están basados en imágenes geométricas. Los objetos geométricos básicos asociados a un sistema dinámico son las órbitas y el retrato de estados. A partir de un estado inicial x0 se genera la trayectoria ϕt (x0 ) = x(t) La proyección de la trayectoria sobre X se denomina órbita.

2.5. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES

Se define como un subconjunto ordenado de X Or(x0 ) = {x ∈ X|x = ϕt (x0 ), t ∈ T } Las o´rbitas son curvas en sistemas en tiempo continuo y secuencias de puntos en sistemas en tiempo discreto. El retrato de estados de un sistema dinámico es una representación de sus o´rbitas en el espacio de estados (la representación gráfica y esquemática de un conjunto representativo de ellas). El retrato de estados muestra el n´ umero y los tipos de los estados asintóticos a los que tiende el sistema al hacer t → ∞. puede interpretarse como el flujo de un fluido.

2.5.5.

Puntos de equilibrio

Un punto x0 ∈ IRn es un punto de equilibrio o un punto cr´ıtico de la ecuaci´on diferencial x˙ = f (x) (2.17) si f (x0 ) = 0 A un sistema din´amico (2.17) se asocia la matriz ⎡ ∂f1 (x0 ) ∂x1 ⎢ .. Jx0 (f ) = Dx f = ⎣ .

jacobiana

... .. . ∂fn (x0 ) . . . ∂x1

∂f1 (x0 ) ∂xn

⎤

⎥ .. ⎦ . ∂fn (x0 ) ∂xn

El sistema lineal x˙ = Jx0 (f )x se llama linealización de (2.17) en el punto x0 . Un punto de equilibrio se dice que es un punto de equilibrio hiperbólico de (2.17) sin ning´ un valor propio de la matriz jacobiana tiene parte real nula. Conviene observar que si x0 es un punto de equilibrio de (2.17) y si ϕt : U → IRn es el flujo de la ecuación diferencial (2.17) entonces ϕt (x0 ) = x0 para todo t ∈ R. Por tanto x0 es un punto fijo para el flujo ϕt ; se dice también que es un 0, un punto cr´ıtico o también un punto singular el campo de vectores f . Como en el caso lineal, un punto de equilibrio hiperbólico se dirá que es un pozo si todos su valores propios tienen parte

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

real estrictamente negativa, una fuente si todos su valores propios tienen parte real estrictamente positiva o, por u ´ ltimo, una ensilladura o un punto de silla si los valores propios tienen signos diferentes. Ejemplo Sea el sistema din´amico

f (x) =

x21 − x22 − 1 2x2

Para estudiar los puntos de equilibrio de este sistema hay que resolver el sistema de ecuaciones x21 − x22 − 1 = 0 2x2 = 0 que conduce a

x21 − 1 = 0 ⇒ x1 = ±1

por lo que se tiene que el sistema presenta dos puntos de equilibrio, x1e = [1, 0]T x2e = [−1, 0]T La matriz jacobiana de este sistema din´amico es 2x1 −2x2 J= 0 2 que en el equilibrio x1e se convierte en J(x1e )

2 0 0 2

cuyos autovalores son positivos por lo que es una fuente. Por otra parte, en el equilibrio x2e la matriz jacobiana toma la forma −2 0 2 J(xe ) = 0 2 por lo que este punto de equilibrio es una ensilladura.

2.5.6.

Linealizaci´ on

Si un punto de equilibrio de (2.17) es hiperb´olico, entonces el comportamiento de las soluciones en un entorno de este punto es semejante al comportamiento de las soluciones

2.5. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES

del sistema linealizado de (2.17) en este punto. En lo que sigue, se supondrá que el punto de equilibrio es el origen. Si este no fuese el caso se realizar´ıa el cambio de coordenadas x → x − x0 Todos los resultados que se exponen a continuación son válidos localmente entorno al punto de equilibrio considerado (es decir, el origen). Sea U un abierto de x0 ∈ IRn que contiene el origen, sea f ∈ C 1 (U) y sea ϕt el flujo asociado al sistema no lineal (2.17). Supongamos que el origen es un punto de equilibrio hiperbólico y que J0 f tiene valores propios con parte real estrictamente negativa y n − k valores propios con parte real estrictamente positiva. Entonces existe una superficie C 1 , S s de dimensión k y una superficie C 1 , S u de dimensión n − k respectivamente, tangente al espacio estable E s y tangente al espacio inestable E u asociados a la linealización de (2.17) en el origen x˙ = Jx0 (f )x Además, estas superficies son invariantes bajo el flujo ϕt ϕt (S s ) ⊂ S s ; ϕt (S u ) ⊂ S u para todo t ≥ 0 y l´ım ϕt (x0 ) = 0,

t→∞

∀x0 ∈ S s

l´ım ϕt (x0 ) = 0, ∀x0 ∈ S u

t→−∞

Por otra parte, para el caso en que exista una variedad de centros, se tiene el siguiente resultado. Sea f ∈ C 1 (U) en donde U es un abierto de IRn que contiene al origen y r ≥ 1. Supóngase que el origen sea un punto de equilibrio de (2.17) y que J0 f tenga m valores propios con parte real negativa, j valores propios con parte real positiva y m = n − j − k valores reales nula. Entonces existe una superficie C r , S c , eventualmente no u ´ nica, de dimensión m tangente al espacio central E c en el origen e invariante bajo el flujo ϕt . Ejemplo: Sea el sistema x˙ 1 = x21 x˙ 2 = −x2 El subespacio estable E s del sistema linealizado en el origen (´ unico punto de equilibrio) es el eje x2 y el subespacio central E c es el eje x1 . El resultado anterior predice la existencia de una superficie invariante central, bajo el flujo y tangente al eje x1 en el

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

origen. El propio eje x1 es la tal superficie puesto que x2 = 0 implica x˙ 2 = 0. Sin embargo, hay otras superficies centrales. En efecto, la solución que pasa por el punto (c1 , c2 ) con c1 < 0 viene dada por la solución particular de x2 dx2 =− 2 dx1 x1 es decir,

− c1

x2 = c2 e

La curva x2 =

− c1

c2 e

e x1

e x1 , x1 < 0 0 x1 ≥ 0 1

es invariante bajo el flujo. Por fin, la curva x2 es tangente al origen. Es por tanto una superficie central. Conviene observar que en este ejemplo las superficies centrales son de hecho centrales. El resultado siguiente viene a completar los precedentes. Con él se puede precisar el hecho de que siempre en un entorno de un punto de equilibrio hiperbólico el sistema dinámico no lineal y su linealizado entorno a este punto tiene la misma estructura cualitativa.

2.5.7.

Linealizaci´ on de un sistema din´ amico en IRn

Para un equilibrio p se define la matriz jacobiana ∂fi A= ∂xj En torno a p el sistema dinámico toma la forma linealizada dx = Ax dt Sean λ1 , . . . , λn los autovalores de A en un equilibrio p. • Si Re(λk ) < 0, k = 1, ..., n entonces p es un atractor. • Si p es un atractor entonces Re(λk ) ≤ 0, k = 1, ..., n olico. • Cuando Re(λk ) < 0, ∀k se dice que p es un atractor hiperb´ • Supóngase que p es un atractor hiperbólico para un sistema dinámico f . En tal caso existen infinitos sistemas dinámicos fi que tienen un atractor hiperbólico cerca de p. • Se dice que p es persistente ante perturbaciones de f .

2.5. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES

Los autovalores de la matriz jacobiana A = [aij ] dependen de forma continua de los valores de sus elementos aij . En un equilibrio las desigualdades entre autovalores (del tipo λi > 0, o similares) se mantienen para peque˜ nos cambios en los parámetros. En los centros que se definen por igualdades del tipo Re(λ) = 0, cualquier peque˜ na perturbación de los valores de los parámetros destruirá presumiblemente la igualdad. Condición necesaria para que un sistema sea estructuralmente estable es que sus equilibrios (y también sus ciclos l´ımite) sean hiperbólicos. Para que al menos uno de los autovalores sea nulo, y por tanto el sistema pierda la hiperbolicidad, det A = 0.

2.5.8.

Equivalencia topol´ ogica

Sean dos sistemas din´amicos x˙ = f (x) x˙ = g(x)

(2.18) (2.19)

Estos dos sistemas se dice que son topológicamente equivalentes, o que tienen la misma estructura cualitativa, sobre un entorno del origen, si existe un homeomorfismo H tal que, trayectorias de (2.18) ↔ trayectorias de (2.19) de modo que H preserva la orientación (la naturaleza de la estabilidad). Si además este homeomorfismo preserva la parametrización H(ϕt (x)) = ψt (H(x)) en donde ϕt y ψt son respectivamente los flujos de los sistemas dinámicos (1) y (2) entonces se dice que estos dos sistemas son topológicamente conjugados. Sea U un abierto de IRn que contenga al origen. Sea f ∈ C 1 (U) y sea ϕt el flujo del sistema no lineal x˙ = f (x) Supóngase que el origen es un punto de equilibrio hiperbólico. Entonces este sistema dinámico y su linealizado entorno al origen x˙ = Jx0 (f )x

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

son topológicamente conjugados sobre un intervalo abierto I0 ⊂ R. Bajo estas hipótesis existe un homeomorfismo H que verifica H ◦ ϕt (x0 ) = e(J0 f ) H(x0 ) Ejemplo: Sea el sistema dinámico x˙ 1 = −x1 x˙ 2 = x2 + x21 Sus trayectorias para x1 (0) = c1 y x2 (0) = c2 son x1 = c1 e−t x2 = c2 et + Por otra parte

J0 f =

c21 t (e − e−2t ) 3

−1 0 0 1

Se puede demostrar que este sistema y su linealizado son topol´ogicamente equivalentes utilizando el homeomorﬁsmo x1 H(x1 , x2 ) = x2 2x2 + 31

2.5.9.

Conjuntos l´ımite y equilibrios

Conjunto l´ımite ω(x) Se define el conjunto l´ımite de un sistema dinámico como el conjunto formado por los puntos de X tales que y ∈ ω(x) ⇐⇒ ∃tk → ∞, x(tk ) → y Conjunto de equilibrios E Un punto p pertenece al conjunto de equilibrios E si p ∈ E ⇐⇒ x(t) = p, si x0 = p, ∀t ⇐⇒ p = ω(p) un equilibrio se representa por un punto en el retrato de estados y es la más simple de las o´rbitas.

2.6. CICLOS Y ATRACTORES

Ciclo l´ımite de per´ıodo T0 > 0 Un ciclo l´ımite es una trayectoria tal que x(t + T0 ) = x(t), ∀t En la ﬁgura 2.6 se muestra el retrato de estados del sistema din´amico dx = x − y − x(x2 + y 2 ) dt dy = x + y − y(x2 + y 2 ), dt

-1

Figura 2.6: Retrato de estados de un sistema de dimensi´on 2, mostrando un ciclo l´ımite. Sea el sistema din´amico:

dx = f (x) x(0) = x0 dt

Un equilibrio es un p : f (p) = 0. Un ciclo l´ımite es una solución periódica de esta ecuación diferencial.

2.6.

Ciclos y atractores

Despu´es de la descripci´on del comportamiento de las soluciones en un entorno de un punto de equilibrio interesa estudiar el comportamiento entorno de otros conjuntos

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

1.5

.75

-.75

-1.5 0

Figura 2.7: Comportamiento oscilatorio de un sistema con un atractor tipo ciclo l´ımite. l´ımites. Los más notables de ellos son las o´rbitas periódicas, los bucles homocl´ınicos, los ciclos separadores o los atractores extra˜ nos. Para su estudio se debe adoptar una perspectiva global de los sistemas dinámicos no lineales.

2.6.1.

Conjuntos l´ımite y atractores

Consid´erese de nuevo el sistema no lineal aut´onomo x˙ = f (x)

(2.20)

en donde f ∈ C 1 (U), U es un abierto de x0 ∈ IRn . Sea x ∈ U, la soluci´on de (2.20) que pase por x ϕ(., x) : R → U se denomina trayectoria u o´rbita que pasa por x (algunos autores emplean trayectoria para x(t) y o´rbita para la proyecci´on de la trayectoria en el espacio de estados). Un punto p ∈ U es un punto ω-l´ımite de la trayectoria ϕ(., x) del sistema (2.20) si existe una secuencia (tn ) tal que l´ımn → ∞ y l´ım ϕ(tn , x) = p

n→∞

De manera an´aloga, un punto p ∈ U es un punto α-l´ımite de la trayectoria ϕ(., x) del sistema (2.20), si existe una secuencia (tn ) tal que l´ımn → −∞ y l´ım ϕ(tn , x) = q

n→∞

2.6. CICLOS Y ATRACTORES

El conjunto de todos los puntos ω-l´ımite (resp. α-l´ımite) de una trayectoria Γ se denomina conjunto ω-l´ımite, denotado ω(Γ) (respectivamente conjunto α-l´ımite denotado α(Γ)). Una trayectoria que tiende a una o´rbita periódica y acaba situándose sobre ella, posee una infinidad de puntos ω-l´ımite, los que forman la propia o´rbita periódica. Considérense los conjuntos l´ımites ω(Γ) y α(Γ) asociados a una trayectoria Γ de (2.20), que son subconjuntos cerrados de U. Si Γ está contenida en un subconjunto compacto de IRn , entonces ω(Γ) y α(Γ) son subconjuntos compactos, no vac´ıos y conexos de U. Además los subconjuntos ω(Γ) y α(Γ) son invariantes bajo el flujo ϕt . ϕt (ω(Γ)) ⊂ ω(Γ) y ϕt (α(Γ)) ⊂ α(Γ) Ejemplo Sea el sistema dinámico no lineal x˙ 1 = x2 + x1 (1 − x21 − x22 ) x˙ 2 = −x1 + x2 (1 − x21 − x22 )

(2.21)

en coordenadas polares se tiene ρ˙ = ρ(1 − ρ2 ) θ˙ = 1 Del retrato de estados se muestra en la ﬁgura 2.9 2

x1 ’ = x2 + x1 (1 − x1 − x2 ) 2 2 x2 ’ = − x1 + x2 (1 − x1 − x2 )

1.5

Γ0

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

0 x1

0.5

1.5

Figura 2.8: Retrato de estados del sistema 2.21 El c´ırculo de radio unidad Γ0 se denomina ciclo (u ´orbita peri´odica) estable.

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

Adem´as de los puntos de equilibrio y de los ciclos l´ımites existen otros conjuntos l´ımites. Ejemplo: Sea el sistema din´amico no lineal x˙ 1 = x2 x˙ 2 = x1 + x21

(2.22)

Es fácil ver que este sistema dinámico posee dos puntos de equilibrio x1 = x2 = 0 x1 = −1, El jacobiano de este sistema dinámico J=

x2 = 0

0 1 1 + 2x1 0

En el primero de los equilibrios el jacobiano toma la forma 0 1 J1 = 1 0 por lo que se trata de una ensilladura. En el segundo equilibrio el jacobiano es 0 1 J2 = −1 0 por lo que se trata de un centro. En la figura siguiente se muestra el retrato de estados de este sistema dinámico. En este retrato de estado convienen observa la curva Γ que es un conjunto l´ımite denominado o´rbita homocl´ınica, ya que une un punto a s´ı mismo. Considérese ahora el sistema dinámico que describe el comportamiento de un péndulo no amortiguado: x˙ 1 = x2 x˙ 2 = − sin x1

2.6. CICLOS Y ATRACTORES

Los equilibrios de este sistema din´amico vienen dado por x1 = x2 = 0 x1 = ±kπ, y la matriz jacobiana por

En el origen esta matriz toma la forma J1 =

x2 = 0

0 1 − cos x1 0

0 1 −1 0

por lo que el origen es un centro. Por otra parte en los otros equilibrios la matriz jacobiana toma la forma 0 1 J2 = 1 0 de donde se desprende que se trata de ensilladuras. El retrato de estados se tiene en la ﬁgura siguiente: x1 ’ = x2 2 x2 ’ = x1 + x1

1.5

Γ0

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

0 x1

0.5

1.5

Figura 2.9: Retrato de estados del sistema 2.22 En esta ﬁgura conviene observar la curvas Γ1 y Γ2 que representan conjuntos l´ımites y que se denominan ´orbitas heterocl´ınicas, puesto que unen puntos diferentes. Los caminos cerrados formados por o´rbitas heterocl´ınicas se denominan ciclos homocl´ınicos. Atractores

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

Se dice que K es un atractor si existe un entorno N de K tal que K ⊂ N ⊂ X l´ım dist(x(t), K) = 0

t→∞

para todo x ∈ N El mayor de los N se denomina cuenca de atracci´ on de K. Un equilibrio p es asint´ oticamente estable si p es un atractor. Lo mismo se dice para un ciclo l´ımite. Un subconjunto cerrado A ⊂ U se denomina conjunto atractor de (2.20) si existe un entorno E de A tal que ∀x ∈ E, ϕt (x) ∈ E, ∀t ≥ 0 y ∀t ≥ 0, d(ϕt (x), A) → 0, cuando t → ∞ Un atractor de (2.20) es un conjunto atractor que contenga una o´rbita tensa. Conviene observar que todos los puntos ω-l´ımite no son atractores. Un nodo o un foco estable son ejemplos de atractores pero una ensilladura no lo es.

2.6.2.

Comportamiento a largo plazo de las trayectorias

El “mejor¸caso y el m´as estudiado es aquel en el que un punto p ∈ X es un atractor: l´ım x(t) = p t→∞

Ejemplos: • • • •

Péndulo con fricción. Sistemas mecánicos disipativos con un grado de libertad. La mayor parte de las reacciones qu´ımicas. Los sistemas eléctricos lineales con elementos resistivos.

En un orden creciente de complejidad se encuentran los sistemas para los que el conjunto l´ımite est´a formado por equilibrios y ciclos l´ımite. ω(x) = equilibrios y/o ciclos l´ımites Ejemplos: • Osciladores de Van der Pol. • Circuitos el´ectricos no lineales.

2.6. CICLOS Y ATRACTORES

2.6.3.

Estudio de o ´rbitas peri´ odicas

En este apartado se presentan resultados sobre el análisis de órbitas periódicas en sistemas planos cuando están lejos de su nacimiento. Teorema 2.3. Sup´ ongase que x˙ = f(x) es un sistema de dimensión dos con un n´ umero finito de equilibrios. Si la o´rbita positiva γ + (x0 ) de x0 está acotada, entonces es cierta alguna de las siguientes afirmaciones:

El conjunto ω-l´ımite, ω(x0 ), es un solo punto xe (es un punto de equilibrio), y ϕ(t, x0 ) → xe cuando t → +∞. ω(x0 ) es una o´rbita peri´ odica Γ y ó γ + (x0 ) = ω(x0 ) = Γ ó γ + (x0 ) es una espiral creciente en el tiempo hacia Γ en un lado de Γ. ω(x0 ) son puntos de equilibrio y o´rbitas cuyos conjuntos α- y ω-l´ımite son puntos de equilibrio. Estas tres propiedades son válidas para el conjunto α-l´ımite si γ − (x 0 ) está acotada. Teorema 2.4 (de la curva de Jordan). Una curva cerrada en R2 que no se corta a s´ı misma, separa a R2 en dos partes conexas, una limitada en el interior de la curva y otra no limitada en el exterior. Una o´rbita periódica Γ se llama ciclo l´ımite si hay dos puntos en R2 , uno en el interior de Γ y otro en el exterior, tales que, los conjuntos α- y ω-l´ımite de las o´rbitas que pasan por dichos puntos son la o´rbita periódica Γ. Teorema 2.5 (de Poincaré-Bendixson). Si ω(x0 ) es un conjunto acotado que no contiene puntos de equilibrio, entonces ω(x0 ) es una o´rbita peri´ odica.

Para poder utilizar el teorema de Poincaré-Bendixson a fin de demostrar la existencia de una o´rbita periódica no trivial, se construye un conjunto acotado D en R2 que no contiene puntos de equilibrio, y tal que, cualquier solución que empiece en D, termine en D para todo t ≥ 0, es decir: D es un conjunto invariante positivo abierto y limitado. ∂f1 ∂f2 Sea D un subconjunto abierto conexo de R2 . Si div f = ∂x + ∂x es de signo constante 1 2 y distinta de cero en D, entonces x˙ = f(x) no tiene o´rbitas periódicas ni homoclinas que estén por completo en la región D.

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

Teorema 2.6 (Criterio de Dulac). Sea D ⊂ R2 un subconjunto abierto simplemente conexo y B(x1 , x2 ) una función C 1 de valores reales en D. Si la funci´ on div Bf = ∂Bf1 ∂Bf2 + ∂x2 es de signo constante y no idéntica a cero en D., entonces x˙ = f(x) no ∂x1 tiene o´rbitas peri´ odicas ni homoclinas que estén por completo en la regi´ on D. A la funci´ on B se la llama funci´ on de Dulac. Sea Γ una o´rbita periódica que encierra a un espacio abierto U en el que está definido el campo vectorial. Entonces U contiene un punto de equilibrio.

Estabilidad de las o ´rbitas peri´ odicas En este apartado se muestra cómo realizar el estudio del comportamiento de las o´rbitas cercanas a una o´rbita periódica, para determinar su estabilidad, usando la aplicación de Poincaré. Sea ϕ(t, p) una solución periódica con m´ınimo periodo, T , de la ecuación diferencial x˙ = f(x), representándose la órbita periódica correspondiente por Γ. Se elige un vector v ∈ R2 tal que, v y el vector tangente f(p) de Γ en p sean linealmente independientes. Sea Lε el segmento definido por: Lε = {x ∈ R2 : x = p + av,

0 ≤ |a| ≤ ε},

al que se le denomina sección transversal de la o´rbita periódica Γ en el punto p. A continuación se define una aplicación en un subconjunto de Lε inducida por el flujo. Se elige un ε tan peque˜ no que Lε intersecta a la curva Γ en un solo punto p, y que todas la o´rbitas que crucen Lε lo hacen en la misma dirección (figura 2.10). Como ϕ(T, p) = p y sus soluciones dependen de forma continua del valor inicial, hay un δ > 0 tal que, si x0 ∈ Lδ , entonces hay un primer instante T (x0 ) en el que ϕ(T (x0 ), x0 ) ∈ Lε . La aplicación de Poincaré, Π, cerca de una órbita periódica Γ se define como: Π : Lδ → Lε ;

x0 → ϕ(T (x0 ), x0 ).

Los puntos de la sección transversal Lε tienen un orden natural: dos puntos x0 = p + a0 v y x1 = p + a1 v cumplen que x0 ≥ x1 si y solo si, a0 ≥ a1 . Seg´ un esto una aplicación de Poincaré Π se dice que es monótona si x0 ≥ x1 en Lε , implica que Π(x0 ) ≥ Π(x1 ) (figura 2.11).

2.6. CICLOS Y ATRACTORES

Lε p Π(x0 ) x0

Figura 2.10: Sección transversal Lε a la o´rbita periódica Γ y la aplicación de Poincaré.

x0 x1 Π(x0 ) Π(x1 )

Figura 2.11: Monoton´ıa de la aplicaci´on de Poincar´e.

Â´ Â´ CAPÂ´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

La aplicaciÂ´on de PoincarÂ´e tiene las siguientes propiedades:

La aplicaciÂón de PoincarÂé Î cerca de la oÂ´rbita periÂódica Î&#x201C; es una aplicaciÂón monÂótona C 1 . La oÂ´rbita Îł + (x0 ) de un punto x0 â&#x2C6;&#x2C6; LÎ´ es una Âórbita periÂódica si y sÂólo si, es un punto ďŹ jo de la aplicaciÂón de PoincarÂé, es decir, Î (x0 ) = x0 . La oÂ´rbita periÂódica Î&#x201C;, con p â&#x2C6;&#x2C6; Î&#x201C;, es orbital asintÂóticamente estable si Î (p) < 1, e inestable si Î (p) > 1. La oÂ´rbita periÂódica Î&#x201C; a travÂés del punto p se dice que es hiperbÂólica si p es un punto ďŹ jo de la aplicaciÂón de PoincarÂé Î ; es decir, si Î (p) = 1. A Î (p), que en el caso n-dimensional se corresponde con los autovalores de la aproximaciÂón lineal de Î en p, Dx Î (p), se les llama multiplicadores caracterÂ´Äąsticos de Î&#x201C;. AsÂ´Äą pues, en el caso n-dimensional, la Âórbita periÂódica Î&#x201C; es asintÂóticamente estable (u orbital asintÂóticamente estable) si todos sus multiplicadores tienen mÂódulo menor que uno. Si hay algÂ´ un multiplicador con mÂódulo mayor que uno Î&#x201C; es inestable. Sea Ď&#x2022;(t, p) una soluciÂón periÂódica de periodo T de la ecuaciÂón diferencial plana xË&#x2122; = f(x) a travÂés de p. Entonces:

Î (p) = exp 0

2.6.4.

â&#x2C6;&#x201A;f1 â&#x2C6;&#x201A;f2 + â&#x2C6;&#x201A;x1 â&#x2C6;&#x201A;x2

(Ď&#x2022;(t, p)) dt .

Atractores extraË&#x153; nos

El peor de los casos es aquel en el que aparecen atractores â&#x20AC;&#x153;extraË&#x153; nosâ&#x20AC;?. Ejemplo de la aplicaciÂ´on logÂ´Äąstica fp : [0, 1] â&#x2020;&#x2019; [0, 1] = X fp (x) = px(1 â&#x2C6;&#x2019; x) 0 â&#x2030;¤ p â&#x2030;¤ 4 que puede representarse mediante la ďŹ gura 12.

2.6. CICLOS Y ATRACTORES

Esta aplicaci´on genera una secuencia tal que x(t) = fp (...(fp (x0 )) que puede interpretarse como se hace en la ﬁgura 13.

Se presentan los tres tipos de casos siguientes. • Para valores peque˜ nos de p : ω(x) = 0 o 1; • Para valores medios de p : ω(x) = ciclo l´ımite; • Para p ≈ 4 :: ω(x) se tiene un comportamiento a largo plazo caracterizado por la ausencia de pautas. Se trata de un comportamiento oscilatorio no peri´odico.

x y

Figura 2.12: Ejemplo de atractor extra˜ no (atractor de Lorenz).

´ ´ CAP´ITULO 2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS

Cap´ıtulo 3 An´ alisis cualitativo y bifurcaciones en sistemas din´ amicos 3.1.

An´ alisis cualitativo de sistemas no lineales

La teor´ıa cualitativa de sistemas no lineales aporta una perspectiva global de los modos de comportamiento de un sistema. Cuando los parámetros de un sistema cambian el retrato de estado puede cambiar o no geométricamente de forma significativa. Si no se produce un cambio significativo entonces el sistema es estructuralmente estable. Cambios significativos en el retrato de estados se llaman bifurcaciones. El concepto de estabilidad estructural es importante para el análisis de incertidumbres y robustez.

3.2.

An´ alisis cualitativo de sistemas din´ amicos de dimensi´ on 1

Con el fin de precisar las anteriores ideas, vamos a concretarlas aplicándolas al caso de sistemas dinámicos de dimensión 1. Sea el conjunto de todos los sistemas dinámicos 47

´ ´ 48CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS f(x)

Figura 3.1: Representación de f (x) asociada a un sistema dinámico y retrato de estados correspondiente. definidos en IR. Recordemos que un sistema dinámico está definido por un espacio de estados X y un campo vectorial f definido sobre X. Sea x˙ = f (x) un sistema dinámico tal que x ∈ (a, b) ⊂ IR. Supóngase que f (x) tiene la forma que se indica en la figura 3.1a y cuyo retrato de estados será el de la figura 3.1b. Conviene observar que la clase de todos los sistemas din´ amicos en IR puede concebirse como la clase de todas las curvas f . Los puntos de equilibrio son los puntos de intersección de cada curva f con la recta X. A cada estado inicial x(0) corresponde una u ´ nica trayectoria x(t). Una trayectoria se compone de una parte transitoria y de una permanente llamada atractor (conjunto l´ımite). Los atractores representan el comportamiento a largo plazo de las trayectorias. El conjunto de estados iniciales que conducen a un mismo atractor forman su cuenca de atracci´ on. Las cuencas de atracción están separadas por separatrices. Debido a las no-linealidades un sistema dinámico puede tener m´ ultiples atractores (algunos de los puntos en que f corta a X; los otros serán las separatrices). El espacio de estados se descompone en las cuencas de atracción de sus distintos atractores. La representación gráfica del mapa de todas las cuencas de atracción en el espacio de estados se denomina retrato de estados. El retrato de estados aporta una perspectiva global de los modos de comportamiento de un sistema. A cada punto de equilibrio p se asocia su autovalor λ(p) que es la pendiente de f en p. En un entorno a p el sistema dinámico se linealiza mediante el sistema dinámico

Â´ Â´ Â´ 149 3.2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS DE DIMENSION lineal xË&#x2122; = Îťx GenÂéricamente el corte de f con X serÂá transversal. Cualquier pequeË&#x153; na deformaciÂón de este sistema dinÂámico deja inalteradas las propiedades cualitativas bÂásicas del sistema en el retrato de estados se dice entonces que es estructuralmente estable. Un equilibrio p es estructuralmente estable si Îť(p) = 0. Supongamos ahora que se aplica una transformaciÂón a x deďŹ nida por una funciÂón t monÂótona creciente, xÂŻ = t(x) tal que conserva las relaciones de orden y topolÂógicas: x1 > x2 â&#x2021;&#x2019; xÂŻ1 > xÂŻ2 ; y |x1 â&#x2C6;&#x2019; x2 | < â&#x2021;&#x2019; |ÂŻ x1 â&#x2C6;&#x2019; xÂŻ2 | < Î´ siendo y Î´ suďŹ cientemente pequeË&#x153; nos. El nuevo sistema dinÂámico es xÂŻË&#x2122; = t (x)xË&#x2122; x))f (tâ&#x2C6;&#x2019;1 (ÂŻ x)) = t (tâ&#x2C6;&#x2019;1 (ÂŻ ÂŻ = f (ÂŻ x)

t (x) =

dt dx

Puesto que t (x) > 0, â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x2C6; (a, b), es claro que los equilibrios de fÂŻ serÂán los mismos en nÂ´ umero y naturaleza que los de f . AdemÂás, el autovalor de xË&#x2122; = f (x) es el mismo que el de xÂŻË&#x2122; = fÂŻ(ÂŻ x). La transformaciÂón t puede interpretarse como una deformaciÂón del espacio X de modo que unas partes se estiren y otras se contraigan, pero sin producirse nunca un pliegue o un desgarramiento. Lo que se acaba de ver en la anterior transformaciÂón de x a xÂŻ es que determinadas propiedades cualitativas de un sistema dinÂámico permanecen inalteradas. Estas propiedades son el nÂ´ umero de equilibrios y la naturaleza estable o inestable de cada uno de ellos. AdemÂás, los valores del autovalor en cada equilibrio tambiÂén permanecen inalterados. Es decir, el retrato de estados es el mismo antes y despuÂés de aplicar la transformaciÂón t. Por tanto, las propiedades ÂŻ fÂŻ). cualitativas de (X, f ) asociadas al retrato de estados son las mismas que las de (X, Los resultados anteriores admiten formas de generalizaciÂón para cualquier n. En tal caso sucede que los atractores pueden ser de tres tipos: punto de equilibrio (igual que sucedÂ´Äąa en el caso de dimensiÂón 1); ciclos lÂ´Äąmites (que corresponden a comportamientos periÂódicos a largo plazo); y atractores extraË&#x153; nos que corresponden a comportamientos aperiÂódicos o caos. Para un n arbitrario el anÂálisis que acabamos de ver para sistemas de dimensiÂón 1 adquiere una notable complejidad adicional. Pero las ideas bÂ´ asicas siguen siendo las mismas. Sea el conjunto de todos los sistemas dinÂámicos deďŹ nidos en IR. Un sistema dinÂámico estÂá deďŹ nido por el espacio de estados X y un campo vectorial f deďŹ nido sobre X.

´ ´ 50CAPÍTULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS Podemos asociar a todo sistema dinámico en IR una curva en el retrato de estados de un sistema dinámico conviene resaltar • m´ ultiples equilibrios (atractores); • cada atractor posee una cuenca de atracción. la clase de todos los sistemas dinámicos en IR puede concebirse como la clase de todas las curvas f . Los puntos de equilibrio serán los puntos de intersección de cada curva f con la recta X.

Recordemos que un sistema din´amico viene dado por: dx = f (x), dt

(3.1)

f(x)

Figura 3.2: Representación gráfica de la función f que define un sistema dinámico. dx = −x, dt

(3.2)

1111111111 00000000 0000000000 11111111 11111 00000 01100 000000 111111 00000000 11111111 00000000000 11111111111 Figura 3.3: Campo vectorial asociado al sistema

dx dt

= −x.

´ ´ ´ 151 3.2. ANALISIS CUALITATIVO DE SISTEMAS DINAMICOS DE DIMENSION

111 000 -1

1110 000

111 000 1

Figura 3.4: Campo vectorial asociado al sistema

dx dt

= −(x3 − x).

dx = −(x3 − x). dt

(3.3)

A cada atractor se asocia, en el espacio de estados, una cuenca de atracci´ on, que está formada por todos aquellos puntos del espacio de estados tales que la trayectoria iniciada en ellos converja al atractor que define la cuenca. En el sistema dinámico (3.3) la cuenca de atracción del atractor −1 es el semieje negativo; y la del atractor +1, el semieje positivo. Los dos tipos de comportamiento asociados a cada uno de los atractores se reflejan en la figura 3.5. El espacio de estados se divide en las cuencas de atracción de todos los atractores, separadas entre s´ı por separatrices. En el sistema (3.3) la separatriz es un punto, el origen. 2

-1

-2 0

Figura 3.5: Comportamientos del sistema dx/dt = −(x3 − x). La representación gráfica del espacio de estados con los diferentes atractores, y sus correspondientes cuencas de atracción, recibe la denominación de retrato de estados o de fases del sistema dinámico. Constituye una partición del espacio de estados en las cuencas de atracción de los distintos atractores que posee un sistema. Suministra una visión geométrica y global de los modos de comportamiento del sistema, y es el instrumento básico para su análisis cualitativo. Con su ayuda disponemos de un mapa que re´ une todos los modos de comportamiento del sistema, organizados mediante sus cuencas de atracción. No nos suministra un comportamiento particular del sistema sino una visión sintética de todos. Se comprende su carácter de instrumento básico para el análisis cualitativo.

´ ´ 52CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS

3.2.1.

Estabilidad estructural

A cada punto de equilibrio p se asocia su autovalor λ(p) que es la pendiente de f en p En torno a p el sistema dinámico se linealiza x˙ = λx Genéricamente el corte de f con X será transversal. Cualquier peque˜ na deformación de este sistema dinámico deja inalteradas las propiedades cualitativas básicas del sistema en el retrato de estados ⇒ es estructuralmente estable. Un equilibrio p es estructuralmente estable λ(p) = 0. Equilibrios no estructuralmente estables (con λ(p) = 0).

3.3.

Familias de sistemas din´ amicos

Familia de sistemas dinámicos dependientes del parámetro p x˙ = f (x, p) A esta familia podemos asociar la imagen geométrica de los retratos de estados de todos los sistemas dinámicos que la forman, parametrizados por el parámetro p. Si P = IR, entonces X × P puede considerarse como un fibrado de espacios de estado verticales X dispuestos paralelos unos a otros. Ejemplos f1 (x, p) = −(x − p) f2 (x, p) = x + p f3 (x, p) = −x3 + p. Representación gráfica de las familias de sistemas dinámicos f1 , f2 y f3 .

Bifurcaciones en sistemas din´amicos dx = f (x, p). dt

(3.4)

´ 3.3. FAMILIAS DE SISTEMAS DINAMICOS

familia de sistemas dinámicos dx (3.5) = −(x3 + x − p). dt La figura 3.6 muestra los retratos de estados para distintos valores del parámetro p. En esta figura se tiene una curva que representa el equilibrio del sistema para cada valor de p. En la vertical de cada valor de p se tiene el retrato de estados del sistema dinámico correspondiente a ese valor de p (es decir, cada l´ınea vertical se obtiene girando noventa grados una figura similar a la 3.3, que será el retrato de estado del sistema con el valor correspondiente de p). Se observa que al variar p var´ıa el punto de equilibrio del sistema, pero la forma del retrato de estados no se altera (solamente se desplaza). La curva de la figura 3.6, no es sino la representación de x3 + x − p = 0, y se denomina curva de equilibrios de la familia de sistemas dinámicos (3.5). Conviene observar que esta figura se obtiene disponiendo figuras como la 3.3, una al lado de otra, verticalmente, cada una en el lugar que le corresponde seg´ un el valor del parámetro p. x

Figura 3.6: Diagrama de bifurcaciones de la familia de sistemas din´amicos x − p).

dx dt

= −(x3 +

Consideremos ahora una nueva familia de sistemas dinámicos: dx = −(x3 − x − p). dt En la figura 3.7 se ha representado su diagrama de bifurcaciones, y el retrato de estados para los distintos valores del parámetro p. En esta figura se ha adoptado la convención de representar con trazo continuo los equilibrios estables, y con discontinuo

´ ´ 54CAPÍTULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS los inestables. La caracter´ıstica notable de esta familia es que para diferentes valores del parámetro p el comportamiento del sistema dinámico puede diferir de una manera substancial. Se observa que si p es menor que p1 , o mayor que p2 , el sistema dinámico posee un u ´ nico atractor (es de la misma forma del que se ten´ıa en la figura 3.3). Sin embargo, si p está comprendido entre p1 y p2 entonces el sistema dinámico posee dos atractores y una separatriz (es del mismo tipo del representado en la figura 3.4). Para los valores p1 y p2 del parámetro p se produce una modificación cualitativa del x

011

0011 2

Figura 3.7: Diagrama de bifurcaciones de la familia de sistemas din´amicos x − p).

dx dt

= −(x3 −

retrato de estados, ya que el n´ umero de atractores pasa de uno a dos, y aparece, en el segundo caso, un punto separatriz. Los valores p1 y p2 definen los llamados puntos de bifurcaci´ on del sistema dinámico, y constituyen un ejemplo de las bifurcaciones más elementales que se pueden presentar en un sistema dinámico: las cat´ astrofes de pliegue, empleando la terminolog´ıa de la teor´ıa de catástrofes, o los puntos l´ımites, en la jerga de la teor´ıa de bifurcaciones. Los puntos de bifurcación, en este caso concreto, tienen la notable propiedad de que si se var´ıa el parámetro p –de modo que cruce uno de los valores p1 o p2 – se produce la aparición o desaparición de atractores del sistema; es decir, se ramifican los comportamientos. Por ejemplo, si atravesamos p1 en sentido creciente del parámetro p aparece (de la nada) un par atractor-repulsor. Lo opuesto ocurre en p2 . Resulta claro que la estructura topológica del retrato de estados (y por tanto los modos de comportamiento que presenta el sistema) se modifica al atravesar un punto de bifurcación. Es importante observar que el diagrama de bifurcaciones suministra una perspectiva global con relación a todos los modos de comportamiento que pueda presentar

´ UNO 55 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION una familia de sistemas dinámicos (3.4). Al mismo tiempo suministra información con relación a los valores de los parámetros p, para los que el comportamiento del sistema será robusto ante variaciones de los valores de estos parámetros. En efecto, para valores de p alejados de los puntos de bifurcación p1 o p2 el comportamiento cualitativo del sistema será insensible a variaciones de p. Por el contrario, para valores de p cercanos a p1 ó a p2 , las variaciones de p pueden hacer que se atraviese el punto de bifurcación y que se produzca la alteración del retrato de estados del sistema, con la consiguiente alteración de sus modos de comportamiento. Por tanto el diagrama de bifurcaciones suministra información respecto a los valores del parámetro p para los que el sistema muestra una especial sensibilidad con relación a los modos de comportamiento.

3.3.1.

Diagramas de bifurcaciones en sistemas no lineales

Los diagramas de bifurcaciones clasifican de manera condensada todos los comportamientos posible de un sistema y las transiciones entre ellos (bifurcaciones) cuando cambian los parámetros del sistema. Los diagramas de bifurcaciones están compuestos por un n´ umero finito de regiones reparadas por los l´ımites de bifurcaci´ on.

3.4.

Bifurcaciones elementales en sistemas de dimensi´ on uno

En este apartado se presenta el concepto de bifurcación y se ilustra con ejemplos de las bifurcaciones más usuales y básicas. La teor´ıa de bifurcaciones se centra en el estudio de posibles cambios en la estructura de las órbitas de una ecuación diferencial ante la variación de una serie de parámetros del los que ésta depende. En efecto, sea una ecuación diferencial con un parámetro variable x˙ = f (x, c). Representando f (x, c) frente a x, se tiene un comportamiento distinto dependiendo del valor del parámetro. En el ejemplo de la figura 3.8, correspondiente al sistema x˙ = x2 + c, se representa f (x) frente a x para distintos valores del parámetro c. Puede observarse cómo, para

´ ´ 56CAPÍTULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS valores positivos del parámetro, la ecuación correspondiente para el cálculo de equilibrios f (x, c) = 0 no tiene solución (no se produce corte entre la curva f (x, c) y el eje de ordenadas x(c > 0)). Si el parámetro c es cero se tiene una solución en x = 0 correspondiente a un equilibrio, y si c < 0 existen dos puntos de equilibrio: uno estable y el otro inestable, como puede observarse en la representación del campo vectorial en la figura 3.8. f (x)

x(c < 0) x(c = 0) x(c > 0)

Figura 3.8: Representación de la ecuación x˙ = x2 +c, con su campo vectorial, en función del parámetro c. Cambios en el parámetro c significan desplazamientos verticales del eje de ordenadas. Para obtener la dirección del flujo o su proyección sobre el eje x (campo vectorial), puede integrarse la ecuación en x y representar su sentido creciente o decreciente. Para una ecuación diferencial escalar x˙ = f (x), los puntos de equilibrio y el signo de f (x) entre ellos determinan el n´ umero de o´rbitas y la dirección del flujo de las mismas. A esto se le llama estructura de o´rbitas o estructura cualitativa del flujo. Una ecuación diferencial que depende de un parámetro dado se dice que tiene estructura de o´rbitas estables para un valor del mismo, si la estructura cualitativa del flujo no cambia para peque˜ nas variaciones del parámetro. El valor de bifurcación es el valor del parámetro para el cual el flujo no presenta una estructura de o´rbitas estables. En ese caso se dice que la ecuación está en un punto de bifurcaci´ on. En el ejemplo de la figura 3.8, el sistema presenta una estructura de órbitas estables para cualquier valor del parámetro c = 0, siendo c = 0 un punto de bifurcación.

´ UNO 57 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION Además del método gráfico de representación de f (x, c) frente a x para distintos valores del parámetro, existe otro método muy u ´ til para describir las caracter´ısticas dinámicas en ecuaciones x˙ = f (x, c) que dependen de un parámetro c. Este método consiste en representar en el plano (c, x) los valores de equilibrio para cada valor de c, representando, mediante una l´ınea continua los puntos de equilibrio estables, y con una discontinua los inestables. A esta representación gráfica se le llama diagrama de bifurcaciones. En la figura 3.9 se muestra el diagrama de bifurcaciones del sistema de la figura 3.8, que corresponde a una bifurcación silla-nodo, que se caracteriza por la aparición para un determinado valor del parámetro de dos puntos de equilibrio, uno estable y el otro inestable. xe

Figura 3.9: Diagrama de bifurcaciones de la bifurcación silla-nodo correspondiente a la figura 3.8. A continuación se presentan, mediante su diagrama de bifurcación y representación del flujo, las bifurcaciones más habituales en sistemas dinámicos escalares autónomos. Además de la bifurcación silla-nodo antes descrita se pueden caracterizar las siguientes bifurcaciones:

Bifurcaci´ on transcr´ıtica Sea la ecuaci´on diferencial dependiente del par´ametro c: x˙ = x2 + cx.

´ ´ 58CAPÍTULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS En la figura 3.10 se representa el retrato de fases del sistema para distintos valores del parámetro c. Puede observarse en la figura cómo, para valores negativos de c, el sistema presenta un equilibrio asintóticamente estable en xe = 0 y uno estable en ´ nico punto de equilibrio no hiperbólico xe = −c. Para c = 0 el sistema pasa a tener un u e en x = 0. Si c es positivo, entonces el sistema vuelve a tener dos puntos de equilibrio: uno asintóticamente estable en xe = −c y uno inestable en xe = 0. f (x, c)

f (x, c)

c = 0.

c < 0. f (x, c)

c>0 Figura 3.10: Retrato de estados del sistema x˙ = x2 + cx para distintos valores de c. Por lo tanto, y de acuerdo con la notación adoptada, el diagrama de bifurcaciones correspondiente a la bifurcación transcr´ıtica es el representado en la figura 3.11.

Hist´ eresis La bifurcación tipo histéresis puede observarse a partir de un sistema dinámico que tenga como ecuación: x˙ = c + x − x3 .

´ UNO 59 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION xe

Figura 3.11: Diagrama de bifurcaciones de la bifurcación transcr´ıtica. La variación del parámetro de bifurcación c se corresponde con un desplazamiento vertical del eje de ordenadas x en la representación de f (x, c) en función de x, como puede observarse en la figura 3.12. f (x, c)

x(c =

−2 √ ) 3 3

x(c = 0) x(c =

2 √ ) 3 3

Figura 3.12: Retrato de estados del sistema de ecuación x˙ = c + x + x3 para distintos valores de c. El flujo del sistema presenta una estructura de órbitas estable que se corresponde √ . Si se aumenta c, para con un equilibrio estable para valores del parámetro c < 3−2 3 √ el sistema tiene un punto de bifurcaci´ o n, manteniendo el punto de el valor c = 3−2 3 equilibrio estable y apareciendo uno no hiperbólico. Para valores de c en el intervalo 2 √ , √ ), el sistema vuelve a tener estructura de o´rbitas estable, con un equilibrio ( 3−2 3 3 3 inestable y dos estables. En c = 3√2 3 se presenta otro punto de bifurcación y para valores de c superiores vuelve a tener un solo equilibrio estable.

´ ´ 60CAPÍTULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS El diagrama de bifurcaciones correspondiente a esta bifurcación puede verse en la figura 3.13, donde se observa por qué se denomina histéresis, ya que el sistema tiene un comportamiento diferente al aumentar c del que presenta al disminuirlo. xe

Figura 3.13: Diagrama de bifurcaciones correspondiente a una bifurcación tipo histéresis. Este tipo de bifurcaciones también pueden interpretarse como dos bifurcaciones √ . silla-nodo de equilibrios, una para c = 3√2 3 , y la otra para c = 3−2 3

Bifurcaci´ on tridente Supóngase el sistema dinámico descrito por la ecuación: x˙ = dx − x3 .

(3.6)

La variación del parámetro d afecta a la pendiente de la función c´ ubica centrada en el origen. De la ecuación (3.6) se obtiene fácilmente que el sistema presenta tres puntos de equilibrio cuando el parámetro d es positivo, mientras que presenta uno sólo cuando es negativo. En el punto d = 0 los tres equilibrios se unen en uno, siendo éste un punto de bifurcación. En la figura 3.14 puede verse cómo, para valores de d < 0, el sistema tiene un equilibrio asintóticamente estable en el origen. Al ir aumentando d, la pendiente de

´ UNO 61 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION la c´ ubica se va haciendo cada vez más peque˜ na hasta que en d = 0 se hace nula, transformándose el equilibrio en uno no hiperbólico. Para valores de d > 0 el sistema tiene tres equilibrios, uno inestable en el origen y los otros dos asintóticamente estables. f (x, c) f (x, c)

d = 0. d < 0. f (x, c)

d>0 Figura 3.14: Retrato de estados del sistema x˙ = dx − x3 para distintos valores de d.

El diagrama de bifurcaciones correspondiente a la bifurcación tridente supercr´ıtica es el que se muestra en la figura 3.15. En este punto es necesario definir el concepto de bifurcación supercr´ıtica y subcr´ıtica que será aplicable al resto de las bifurcaciones que se caracterizan en el presente documento. Se dice que un sistema dinámico presenta una bifurcaci´ on supercr´ıtica cuando, en el caso de que exista un equilibrio aislado, los equilibrios adicionales que aparecen en el punto de bifurcación existen para valores en los que el equilibrio original es inestable.

´ ´ 62CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS xe

Figura 3.15: Diagrama de bifurcaciones correspondiente a una bifurcaci´on tridente supercr´ıtica.

Por el contrario, se dice que es subcr´ıtica si dichos equilibrios aparecen para valores del parámetro de bifurcación en que el equilibrio original es estable. Un ejemplo de bifurcación tridente subcr´ıtica se obtiene de la variación del parámetro d en el sistema descrito por la ecuación x˙ = dx + x3 , cuyo diagrama de bifurcaciones puede verse en la figura 3.16.

Figura 3.16: Diagrama de bifurcaciones correspondiente a una bifurcaci´on tridente subcr´ıtica.

´ UNO 63 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION Pliegue o c´ uspide

Esta bifurcación se corresponde con una combinación de las bifurcaciones hasta ahora caracterizadas. Supóngase la ecuación diferencial c´ ubica: x˙ = c + dx − x3 ≡ f (x, c, d),

(3.7)

que depende de dos parámetros reales: c y d. Obsérvese que, si c = 0, la bifurcación que se produce al variar d es una bifurcación tridente; mientras que, si d = 0, se está en el caso de una bifurcación tipo histéresis dependiente de c. Este sistema presenta una bifurcación de codimensi´ on dos, puesto la existencia de la misma depende de dos parámetros. Para realizar el estudio de este sistema en primer lugar hay que hallar los puntos de bifurcación. En dichos puntos el sistema ha de tener puntos de equilibrio m´ ultiples, es decir, se han de cumplir las ecuaciones: f (x, c, d) = 0 ∂ f (x, c, d) = 0. ∂x

Aplicando estas ecuaciones al sistema (3.7) y resolvi´endolas, eliminando la variable x, se obtiene que el sistema tiene un punto de equilibrio m´ ultiple si se cumple la ecuaci´on de una c´ uspide: 4d3 = 27c2

En la figura 3.17 se representa la ecuación de la c´ uspide en el plano (c, d), que delimita las distintas regiones donde la estructura cualitativa del flujo es diferente. En dicha figura se muestra también, de forma esquemática, dicho comportamiento cualitativo, representando la función f (x, c, d) en función de la variable x, indicando en cada caso el n´ umero de equilibrios y su estabilidad definida por la dirección del campo vectorial. El diagrama de bifurcaciones correspondiente al sistema es el de la figura 3.18, que como puede verse, es una superficie tridimensional en el espacio (c, d, x) con forma de pliegue,; de ah´ı su nombre. La figura inferior de la figura 3.18 se corresponde con la proyección de dicha superficie sobre el plano (c, d).

´ ´ 64CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS d 4d3 = 27c2 x

Figura 3.17: Representaci´on de la c´ uspide del sistema 3.7 en el plano (c, d), as´ı como los diferentes retratos de fases del sistema. x c d

c d

Figura 3.18: Diagrama de bifurcaciones de la bifurcaci´on pliegue o c´ uspide en el espacio (c, d, x) y su proyecci´on sobre el plano (c, d).

´ UNO 65 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION

3.4.1.

Bifurcaciones elementales en sistemas din´ amicos de dimensi´ on dos

En este apartado se presentan, de forma resumida, las bifurcaciones elementales en sistemas de dimensión dos, algunas de las cuales son una extensión de las ya comentadas en los sistemas de dimensión uno.

Bifurcaci´ on silla-nodo Supóngase el sistema descrito por: x˙ 1 = λ + x21 x˙ 2 = −x2 . Integrando la segunda ecuación se obtiene que todas las o´rbitas del sistema tienden al eje de ordenadas y que la dinámica está gobernada por la primera ecuación, que es la misma que la del caso escalar. As´ı pues, como se ve en la figura 3.19, para λ < 0 el sistema tiene dos equilibrios, uno estable y el otro inestable. El punto de equilibrio inestable es un punto de silla porque existen dos órbitas cerca del equilibrio tales que los conjuntos ω-l´ımite de dichas órbitas son el punto de equilibrio y hay otras dos o´rbitas cuyo conjunto α-l´ımite es también el equilibrio. El equilibrio estable es un nodo porque el conjunto ω-l´ımite de todas las órbitas cerca del equilibrio es el mismo equilibrio. Cuando λ = 0 ambos equilibrios se unen y desaparecen para λ > 0. El diagrama de bifurcaciones correspondiente a la bifurcación silla-nodo es el mismo que en el caso monodimensional y se corresponde con el de la figura 3.9. 2

1.5

−0.5

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

λ < 0.

0.5

1.5

−2

−1.5

−1

−0.5

λ = 0.

0.5

1.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1.5

λ>0

Figura 3.19: Diagrama de fases de la bifurcación silla-nodo en función del parámetro λ.

´ ´ 66CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS Bifurcaci´ on tridente Consid´erese el sistema descrito por: x˙ 1 = −λx1 − x31 x˙ 2 = −x2 .

(3.8)

Al igual que en el caso de la bifurcación silla-nodo la dinámica del sistema está controlada por la primera ecuación. En la figura 3.20 se representa el diagrama de fases del sistema para distintos valores de λ. 2

1.5

−0.5

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

0.5

λ < 0.

1.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1.5

λ = 0.

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1.5

λ>0

Figura 3.20: Diagrama de fases de la bifurcación tridente en función del parámetro λ. El comportamiento cualitativo del sistema en función del parámetro λ puede resumirse diciendo que para valores del parámetro λ positivos el sistema presenta sólo un equilibrio estable en el origen, al cambiar de signo λ aparecen dos nuevos equilibrios estables inestabilizándose el origen. As´ı pues el comportamiento del sistema es similar al del diagrama de bifurcaciones 3.15 correspondiente a una bifurcación tridente supercr´ıtica.

Bifurcaci´ on vertical Considérese la perturbación del oscilador armónico: x˙ 1 = λx1 + x2 x˙ 2 = −x1 + λx2 .

(3.9)

Para su estudio se realiza el cambio de coordenadas del sistema a coordenadas polares, con lo que el sistema es equivalente al desacoplado: r˙ = λ r θ˙ = −1.

´ UNO 67 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION Cuando λ < 0 las soluciones del sistema corresponden a espirales en el sentido de las agujas del reloj y que confluyen en el origen a medida que aumenta t, por lo que el origen es un punto de equilibrio estable tipo sumidero. Para λ = 0 todas las soluciones son periódicas, por lo que el origen es un centro. Si λ > 0 las soluciones vuelven a ser espirales girando en el sentido de las agujas del reloj que parten del origen y se alejan de él a medida que aumenta t. As´ı pues, como puede verse en la figura 3.21, el valor λ = 0 es un valor de bifurcación. 2

1.5

−0.5

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

λ < 0.

0.5

1.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1.5

−2

−1.5

−1

λ = 0.

−0.5

0.5

1.5

λ>0

Figura 3.21: Diagrama de fases de la bifurcación vertical en función del parámetro λ.

Bifurcaci´ on de Poincar´ e-Andronov-Hopf Es conocida habitualmente como bifurcación de Hopf y es una de las más habituales en sistemas no lineales. Puede estudiarse a través del sistema descrito por: x˙ 1 = x2 + x1 (λ − x21 − x22 ) x˙ 2 = −x1 + x2 (λ − x21 − x22 ). Transformando de nuevo a coordenadas polares el sistema queda: r˙ = r(λ − r 2 ) θ˙ = −1. Cuando λ ≤ 0 las soluciones son una espiral en el sentido de las agujas del reloj que confluyen en el origen a medida que aumenta t. Para √ λ > 0 el origen se vuelve inestable y aparece una o´rbita periódica de radio r = λ de manera que todas las órbitas evolucionan hasta ella cuando t aumenta. As´ı pues, el conjunto ω-l´ımite ω(x0 ) de cualquier o´rbita es una órbita periódica si x0 = 0. En la figura 3.22 se representa el diagrama de fases del sistema con los dos comportamientos cualitativos distintos.

1.5

0.5

´ ´ 68CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS

−0.5

−1

−1.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1.5

−2

−1.5

−1

λ ≤ 0.

−0.5

0.5

1.5

λ > 0.

Figura 3.22: Diagrama de fases de la bifurcación de Hopf en función del parámetro λ. De acuerdo con la definición dada para sistemas escalares, y que es extensible para sistemas de orden superior, la bifurcación representada en la figura 3.22 es una bifurcación de Hopf supercr´ıtica, ya que el equilibrio original para λ < 0 se vuelve inestable al llegar al parámetro de bifurcación. El diagrama de bifurcaciones correspondiente es el de la figura 3.23, donde, en la figura de la izquierda, se representa la evolución de la o´rbita periódica o ciclo l´ımite del sistema en el plano (x1 , x2 ) frente al parámetro λ. En la de la derecha se representan la amplitud de dicha órbita y los equilibrios del sistema frente al mismo parámetro. El s´ımbolo • representa la amplitud de la o´rbita periódica estable. x1

Figura 3.23: Diagrama de bifurcaciones de la bifurcación de Hopf supercr´ıtica. Por el contrario, la figura 3.24 corresponde a la bifurcación de Hopf subcr´ıtica, donde, para valores de λ > 0, el sistema tiene un equilibrio inestable; mientras que, para valores de λ < 0, aparece un ciclo l´ımite inestable, que rodea a un equilibrio estable. As´ı pues, en este caso, el sistema evoluciona siguiendo espirales alejándose del ciclo l´ımite inestable cuando aumenta t, tendiendo hacia el equilibrio en el origen si x0 está en el interior de la o´rbita inestable, o hacia el infinito si está en el exterior. Se representa mediante el s´ımbolo ◦ la amplitud del ciclo l´ımite inestable.

´ UNO 69 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION x1

Figura 3.24: Diagrama de bifurcaciones de la bifurcaci´on de Hopf subcr´ıtica.

En ambos casos se produce la pérdida de estabilidad del equilibrio para λ = 0, en el supuesto de que el parámetro crezca. En la bifurcación supercr´ıtica el equilibrio estable se reemplaza por un ciclo l´ımite estable de peque˜ na amplitud. Por consiguiente, el sistema permanece en un entorno del equilibrio y se tiene una pérdida de estabilidad suave o no catastrófica. En el caso de la bifurcación subcr´ıtica la región de atracción del punto de equilibrio está acotado por un ciclo l´ımite inestable (tiene una cuenca de atracción limitada) que se comprime cuando el parámetro se acerca al valor cr´ıtico y que desaparece al alcanzarlo. Entonces el sistema (las trayectorias) es lanzado fuera del equilibrio, por lo que se tiene una pérdida de estabilidad dura o catastrófica. Si la pérdida de la estabilidad del sistema se produce de una manera suave entonces el sistema es ¸controlable”, ya que si se cambia el signo del parámetro el sistema vuelve al equilibrio anterior. Por el contrario, si el sistema sufre una pérdida de estabilidad dura, al devolver los valores del parámetro a valores negativos no se producirá un retorno al equilibrio anterior ya que normalmente el sistema habrá abandonado su cuenca de atracción. Conviene observar que el tipo de la bifurcación de Andronov-Hopf viene determinado por la estabilidad del equilibrio para el valor cr´ıtico del parámetro. Por u ´ ltimo, debe analizarse que sucede si se prescinde de los términos no lineales en los dos sistemas. En este caso ya no existen ciclos l´ımites ni antes ni después del valor cr´ıtico del parámetro. Para el valor cr´ıtico del parámetro λ = 0 el sistema posee un centro en el origen. Esta observación vuelve a poner de manifiesto la importancia de los términos no lineales para la aparición de ciclos l´ımites, a la que ya se aludió anteriormente.

´ ´ 70CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS

3.4.2.

Evoluci´ on de los autovalores en una bifurcaci´ on de Hopf.

x˙ = −(ε + (x2 + y 2))x − yω y˙ = −(ε + (x2 + y 2))y + xω

en donde A es la matriz

dx = Ax dt −ε −ω A= ω −ε

cuyos autovalores son λ = −ε ± jω. La bifurcaci´on de Hopf se produce cuando un par de autovalores complejos conjugados cruzan el eje imaginario con velocidad no nula.

3.4.3.

Bifurcaciones de o ´rbitas peri´ odicas

En este apartado se describen dos de las bifurcaciones más habituales relacionadas con o´rbitas periódicas, además de la de Hopf ya estudiada con anterioridad.

Bifurcaci´ on silla-nodo de o ´rbitas peri´ odicas Sea el sistema plano: x˙ 1 = −x1 sen λ − x2 cos λ + (1 − x21 − x22 )2 (x1 cos λ − x2 sen λ) x˙ 2 = x1 cos λ − x2 sen λ + (1 − x21 − x22 )2 (x1 sen λ + x2 cos λ), que depende de un par´ametro real λ. Si se realiza la transformaci´on a coordenadas polares realizando el cambio de variables x1 = r cos θ y x2 = r sen θ, el sistema queda: r˙ = r((1 − r 2 )2 cos λ − sen λ) θ˙ = (1 − r 2 )2 sen λ + cos λ.

(3.10)

Como la primera ecuación del sistema (3.10) es independiente de θ, y además el sistema experimenta una bifurcación silla-nodo en la dirección radial cuando el parámetro λ pasa por cero.

´ UNO 71 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION Si λ > 0, y es suficientemente peque˜ no, el sistema tiene dos o´rbitas periódicas: una √ 2 2 inestable x1 + x2 = 1 + √ tan λ que es una circunferencia de radio mayor que uno y una 2 2 estable x1 + x2 = 1 − tan λ que es también una circunferencia pero con radio inferior a uno (figura 3.26c). En el caso en que λ = 0, tiene una o´rbita periódica simple no hiperbólica inestable en x21 + x22 = 1 (figura 3.26b). Si λ < 0, el sistema no tiene órbitas estables ya que r˙ > 0 y todas las soluciones, excepto el origen, van al infinito cuando t → +∞ (figura 3.26a). Este es el comportamiento cualitativo correspondiente a una bifurcación silla-nodo de órbitas periódicas (en el punto de bifurcación, λ = 0, aparecen dos ciclos l´ımite, uno estable y otro inestable). Sin embargo, en este sistema se producen dos bifurcaciones además de la ya citada [Sal95]. Una vez se ha producido la bifurcación silla-nodo de o´rbitas periódicas, al aumentar el valor de λ, la amplitud del ciclo l´ımite inestable va aumentando, hasta que en el punto λ = π4 se produce una bifurcación de Hopf subcr´ıtica en el infinito [Glo89], [LP97], [LP98], desapareciendo dicho ciclo l´ımite y cambiando el tipo de estabilidad del infinito (a efectos prácticos en el análisis de bifurcaciones el infinito puede ser tomado como un punto). Por otra parte, al aumentar el valor de λ, la amplitud del ciclo l´ımite estable disminuye, hasta que se produce una bifurcación de Hopf supercr´ıtica en el origen para el valor λ = π2 . En la figura 3.26 se muestra el comportamiento del sistema para distintos valores de λ y en la figura 3.25 se representa el correspondiente diagrama de bifurcaciones.

Bifurcaci´ on homoclina Sea el sistema plano: x˙ 1 = 2x2 x˙ 2 = 2x1 − 3x22 − x2 (x31 − x21 + x22 − c) donde c es un parámetro escalar. A fin de detectar la bifurcación homoclina se analiza el sistema para peque˜ nas variaciones de c cercanas a cero.

´ ´ 72CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS

H∞

SNOP

H0 π 4

π 2

Figura 3.25: Diagrama de bifurcaciones correspondiente a la bifurcación sillanodo de o´rbitas periódicas (SNOP≡ Bifurcación silla-nodo de o´rbitas periódicas; H∞ ≡Bifurcación de Hopf en el infinito; H0 ≡ Bifurcación de Hopf en el origen). Para todos los valores de c hay dos puntos de equilibrio: uno en el origen, que es siempre una silla, y otro en (2/3, 0), que es inestable si c > −4/27. Para estudiar los detalles del diagrama de fases del sistema se toma la función V (x1 , x2 ) = x31 − x21 + x22 y se analiza su derivada a lo largo de las soluciones del sistema, para obtener: V˙ (x1 , x2 ) = −2x22 (x31 − x21 + x22 − c). Para −4/27 < c < 0, usando el principio de invarianza, se aprecia que existe una órbita periódica asintóticamente estable en la curva x31 − x21 + x22 − c = 0, con x1 > 0 (que proviene de una bifurcación de Hopf en el punto (2/3, 0) para c = −4/27) (figura 3.27a). Cuando c → 0 la o´rbita periódica se aproxima a la curva homoclina que pasa por el origen (figura 3.27b). Para c > 0, la curva homoclina se rompe y no hay o´rbitas periódicas (figura 3.27c).

3.4.4.

Bifurcaciones de codimensi´ on dos

Hasta el momento, en las secciones anteriores, todas las bifurcaciones que se han caracterizado (excepto la de pliegue en sistemas escalares) se pueden obtener mediante la variación de un sólo parámetro (y cualquier sistema que presenta dichas bifurcaciones es local topológicamente equivalente a los que se han usado para describirlas). Por ello se dice que estas bifurcaciones son de codimensión uno, entendiendo el concepto de

´ UNO 73 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION

1.5

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2

−1.5

−1

x1 (a) λ < 0. −0.5

0.5

1.5

0.5

1.5

−2

−1.5

−1

−2

−1.5

−1

x1 (b) λ = 0. −0.5

0.5

1.5

−0.5

−1

−1.5

−2

−2 −2

−1.5

x1 (c) 0 < λ < π4 .

−1

−0.5

0.5

1.5

−0.5

π 4

(d)

x1 < λ < π2 . 0

0.5

2.5

1.5

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2

−2.5 −2.5

−2

−1.5

−1

x1 (e) λ > −0.5

0.5

1.5

2.5

π 2

Figura 3.26: Diagrama de fases de la bifurcación silla-nodo de o´rbitas periódicas en función del parámetro λ.

´ ´ 74CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS x’=2y 2 3 2 2 y ’ = 2 x − 3 x − y (x − x + y − c)

x’=2y 2 3 2 2 y ’ = 2 x − 3 x − y (x − x + y − c)

c = − 0.05

1.5

0.5

1.5

−0.5

c=0

−0.5

−1

−1.5

−2

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

x1 (a). 0

0.5

1.5

−2

−1.5

−1

x’=2y 2 3 2 2 y ’ = 2 x − 3 x − y (x − x + y − c)

−0.5

x1 (b). 0

0.5

1.5

c = 0.1

1.5

0.5

−0.5

−1

−1.5

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

x1 (c). 0

0.5

1.5

Figura 3.27: Diagrama de fases de la bifurcación homoclina en función del parámetro c. codimensi´ on de una bifurcación como el n´ umero m´ınimo de parámetros en una familia de sistemas necesarios para reproducir la bifurcación. En este apartado se presenta una de las bifurcaciones de codimensión dos más usuales en el estudio de sistemas dinámicos.

Bifurcaci´ on de Takens-Bogdanov

Supóngase un campo vectorial plano que depende de dos parámetros, tal que, tiene un punto de equilibrio para determinados valores de los parámetros, que se supone que es no hiperbólico con dos autovalores cero pero con un autovector. Si hay alg´ un campo vectorial que cumpla las condiciones anteriores, entonces es local

´ UNO 75 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION λ2 SNa 111111111 000000000 000000000 111111111 000000 111111 000000000 111111111 000000 111111 000000000 111111111 000000 111111 000000000 111111111 000000 111111 000000000 111111111 000000 111111 000000000 111111111 000000 111111 000000000 111111111 000000 111111 000000000 111111111 2 3 000000 111111 000000000 111111111 000000 111111 000000000 111111111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000000 4 000000000 111111111 000 111 1 111111 000000 111111 000000000 111111111 000 111 000 111

λ1

SNb

CH H

Figura 3.28: Conjunto de bifurcaciones correspondiente a la bifurcación TakensBogdanov (SN ≡Bifurcación silla-nodo de equilibrios; H ≡Bifurcación de Hopf; CH ≡Conexión homoclina). topológicamente equivalente a uno de los dos sistemas que dependen de dos parámetros: x˙ 1 = x2 x˙ 2 = λ1 + λ2 x1 + x21 ± x1 x2 .

(3.11)

As´ı pues, hay un cambio de variables (con jacobiano distinto de cero) y un homeomorfismo (que depende de los parámetros de forma continua) en un entorno suficientemente peque˜ no del origen que transforma las o´rbitas de cualquier sistema plano con las propiedades descritas anteriormente a las órbitas del sistema (3.11) en un entorno del origen, preservando la dirección en el tiempo. El conjunto de bifurcaciones del sistema (3.11) es el que se muestra en la figura 3.28. En esta figura también se muestra de forma esquemática el comportamiento cualitativo del sistema en las distintas zonas delimitadas por las l´ıneas de bifurcación. Si se parte de la zona 3 del diagrama de bifurcaciones, al atravesar la curva SNa , se produce una bifurcación silla-nodo de equilibrios en la que surgen dos equilibrios: uno estable y otro inestable tipo silla, quedando el sistema en la zona 2.

´ ´ 76CAPÍTULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS Si, por el contrario, se atraviesa la curva SNb , correspondiente a otra bifurcación silla-nodo de equilibrios, el sistema queda con dos equilibrios inestables: uno tipo foco y otro tipo silla, en la zona 4. A continuación, si se disminuye el parámetro λ1 con λ2 < 0, al hacerse λ1 = 0, se produce una bifurcación de Hopf subcr´ıtica en el punto de equilibrio inestable tipo foco, llegándose a la zona 1 en la que el sistema presenta un ciclo l´ımite inestable alrededor de un equilibrio estable, y una silla en el exterior. Al disminuir el parámetro λ1 , manteniendo λ2 constante, la amplitud del ciclo l´ımite aumenta hasta chocar con el punto de silla en una conexión homoclina, desapareciendo y quedando el sistema con el comportamiento descrito en la zona 2.

3.4.5.

Diagrama de bifurcaciones del experimento de TaylorCouette.

Volviendo ahora al modelo de crecimiento sigmoidal de una poblaci´on (2.1), es claro que x = 0 es un punto de equilibrio del sistema para todos los valores de m y de n,

´ UNO 77 3.4. BIFURCACIONES ELEMENTALES EN SISTEMAS DE DIMENSION pero que adem´as se tienen equilibrios adicionales en las soluciones en x a la ecuaci´on g(x) − p = 0, siendo p =

m . n

Recordando la forma de g de la figura 2.3, es fácil ver que la anterior ecuación conduce a dividir el rango de los valores positivos de p en tres regiones con diferente comportamiento cualitativo (figura 3.29). Para p ∈ [0, 1) existe un nuevo equilibrio x+ as e , adem´ ∗ + − de x = 0. Para p ∈ (1, p ), además del equilibrio xe se tiene otro xe . Por u ´ ltimo, para ∗ ∗ p > p no existen equilibrios adicionales al x = 0. Por tanto para p = p se produce la − ametro coalescencia y desaparición de los equilibrios x+ e y xe . Es normal tomar el par´ p como el parámetro natural para el estudio de bifurcaciones. Al estudiar las bifurcaciones del modelo de crecimiento log´ıstico, o en general de un modelo de crecimiento por balance entre nacimientos y muertes, se está estudiando cómo cambia cualitativamente el comportamiento del modelo como consecuencia de las variaciones en la tasa de natalidad n y de mortalidad m. Estas variaciones se pueden deber a fenómenos de naturaleza muy variada. Por ejemplo, si se está estudiando el crecimiento de una población humana las variaciones de m y de n pueden deberse a cuestiones tales como el progreso en la sanidad p´ ublica (en cuyo caso al menos disminuye m) o a otras cuestiones como puede ser una epidemia o una guerra. Estas variaciones de m y de n darán lugar a las de p. Mediante el análisis de bifurcaciones se puede analizar cómo influirán estas variaciones en el comportamiento a largo plazo del modelo. En cualquier caso conviene observar que el modelo de crecimiento log´ıstico es muy general y se aplica no sólo a crecimiento de poblaciones, sino también en otros contextos. Por ejemplo, se habla de tasa de natalidad y de mortalidad de empresas, en cuyo caso el modelo ? representa el crecimiento de la actividad económica como consecuencia de la creación (nacimiento) de empresas y de su desaparición o cierre. La linealización del sistema dinámico (2.1) es J(x) = ng(x) − m + nxg (x), que en cada equilibrio se convierte en J(0) = n − m = n(1 − μ), + + J(x+ e ) = nxe g (xe ) < 0, − − J(x− e ) = nxe g (xe ) > 0.

Mediante esta linealización se determina la estabilidad de cada uno de los equilibrios. En la figura 3.29 se tienen los equilibrios y las bifurcaciones del modelo (2.1). En este diagrama se resumen los resultados relativos a los equilibrios, y su estabilidad, en función del parámetro p. De acuerdo con este diagrama se tiene dos puntos de bifurcación. Para p = 1 se tiene una bifurcación transcr´ıtica en la que se produce un cambio de estabilidad entre el equilibrio x = 0 (inestable para p < 1 y estable para p > 1) y el equilibrio emergente x− e , que es inestable para p > 1. Por otra parte, para ∗ p = p se produce una bifurcación nodo-ensilladura que conduce a la coalescencia de

´ ´ 78CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS

x+e

1− δ 1− δ 2

x-e μ∗

Figura 3.29: Diagrama de bifurcaciones del modelo log´ıstico. xe

xe x+e

x+e x-e

μ <1

1 < μ < μ∗

μ∗ < μ

Figura 3.30: Trayectorias del modelo log´ıstico: a) p < 1; b) 1 < p < p∗ ; c) p∗ < p. − ∗ los equilibrios x+ e y xe , que desaparecen para p > p . Conviene observar que los dos puntos de bifurcación mencionados (la bifurcación transcr´ıtica y la nodo-ensilladura) dividen el espacio del parámetro P en las tres regiones de comportamiento cualitativo diferente, tal como se ha indicado anteriormente.

En la figura 3.30 se muestran las trayectorias en estas tres regiones. Es especialmente notable la intermedia (para 1 < p < p∗ ) que muestra dos modos de comportamientos diferentes, dependiendo de las condiciones iniciales. O bien se produce el crecimiento, que tendrá la forma log´ıstica, o bien se produce el declive hasta la extinción. Los dos equilibrios estables x+ e y 0 son responsables, respectivamente, de esta bimodalidad de comportamientos. El diagrama de bifurcación muestra como estos comportamientos se organizan en función del parámetro del modelo, que en este caso se reduce al parámetro p. Observando el conjunto del diagrama de bifurcación se tiene que el modelo (2.1) puede mostrar solamente dos modos de comportamiento cualitativamente diferenci-

3.5. CRECIMIENTO LOG´ISTICO CON UN RETRASO EN LA ESTRUCTURA 79 adas:

crecimiento y estabilizaci´on; y declive.

El diagrama de bifurcaciones permite conocer cual de estos dos modos de comportamiento seguirá el sistema, en función del valor que tome el parámetro p y, en el caso de la región intermedia, de las condiciones iniciales del sistema. Resulta también conveniente observar cómo el diagrama de bifurcaciones suministra una perspectiva global con respecto a los modos de comportamiento de un sistema, y constituye una gu´ıa para realizar simulaciones y determinar trayectorias concretas.

3.5.

Crecimiento log´ıstico con un retraso en la estructura

Una forma más realista de modelar el crecimiento de una población aconseja incluir un retardo en la tasa de crecimiento, de modo que el sistema dinámico correspondiente sea: x˙ = x(ng(y) − m), (3.12) y = delayτ (x), nal y(t) es la se˜ nal x(t) en donde delayτ (x) representa y(t) = x(t − τ ); es decir, la se˜ retrasada en τ unidades de tiempo. Este modelo posee los mismos equilibrios que el (2.1), ya que el retraso no afecta al comportamiento a largo plazo. En consecuencia, cabr´ıa esperar unas pautas de comportamiento similares a las de la figura 3.30, quizás con oscilaciones en las trayectorias a los atractores debidas al retraso. Sin embargo, como vamos a ver, no sucede sólo eso, y en este caso se presentan otros tipos de comportamiento transitorio, como la catástrofe retrasada, a la que se aludió en la introducción. Un retraso puro, aunque aparentemente sencillo de especificar, resulta dif´ıcil de tratar matemáticamente, ya que se requiere un sistema de dimensión infinita para ello. Sin embargo, es posible obtener aproximaciones aceptables mediante sistemas de dimensión finita. Una aproximación muy empleada en la práctica es la de considerar k

´ ´ 80CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS retrasos de primer orden en serie, de modo que el sistema (3.12) se escribe: ⎧ x˙ = x(ng(y) − m), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y˙1 = ka(x − y1 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ y˙2 = ka(y1 − y2 ), .. ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y˙k−1 = ka(yk−2 − yk−1 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y˙ = ka(yk−1 − y), siendo a = 1/τ , y τ el retraso que se pretende introducir. En la regi´on de comportamiento bimodal existen tres equilibrios ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − x+ x 0 e e ⎢ 0 ⎥ ⎢ x+ ⎥ ⎢ x− ⎥ e ⎥ ⎢ e ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ .. ⎥ , ⎢ .. ⎥ , ⎢ .. ⎥ ∈ Rk+1 , ⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ x+ x− 0 e e − que se denotan por 0, x+ e y xe .

Por otra parte se tiene que la matriz de linealizaci´on ⎡ ng(y) − m 0 ··· ⎢ ka −ka ··· ⎢ ⎢ . . .. .. J(x, y1 , · · · , y) = ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 ··· 0 0 ···

en un punto gen´erico es ⎤ 0 nxg (y) ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ .. .. ⎥ . . ⎥ ⎦ −ka 0 ka −ka

que en cada uno de los tres equilibrios toma la forma ⎡ n−m 0 ··· 0 0 ⎢ ka −ka · · · 0 0 ⎢ ⎢ .. . . . .. .. .. J(0, 0, · · · , 0) = ⎢ . ⎢ ⎣ 0 0 · · · −ka 0 0 0 · · · ka −ka ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ± ± J(x± , x , · · · , x ) = ⎢ e e e ⎢ ⎣

0 0 ka −ka .. .. . . 0 0 0 0

··· ···

0 0 .. .

· · · −ka · · · ka

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

± nx± e g (xe ) 0 .. .

0 −ka

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦

3.5. CRECIMIENTO LOG´ISTICO CON UN RETRASO EN LA ESTRUCTURA 81

x+e

...... ..

x-e μ

Figura 3.31: Diagrama de bifurcaciones del sistema con retardo. En consecuencia el polinomio caracter´ıstico de J(0, 0, · · · , 0) es (λ − (n − m))(λ + ka)k ± ± y el de J(x± e , xe , · · · , xe ) es

λ(λ + ka)k − α(ka)k , siendo α=

˜ ± nx± e f (xe )

2n ± = x δ e

(3.13)

1−δ ± − xe . 2

+ Cuando el parámetro de bifurcación p se mueve en (1, p∗ ) ambos x− e y xe pueden sufrir una bifurcación de Hopf, cuando un par de ra´ıces complejas de (3.13) cruzan el eje imaginario.

Un análisis pormenorizado de las bifurcaciones de este sistema puede verse en (Aracil y otros, 1997). Este análisis se resume en el diagrama de bifurcaciones de la figura 3.31, siendo

SN un punto de bifurcación nodo-ensilladura. T un punto de bifurcación transcr´ıtica; H un punto de bifurcación de Hopf supercr´ıtica; HO un punto de bifurcación homoclina.

´ ´ 82CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS

0.852662

-0.112023 -0.0870878

0.788589 x

Figura 3.32: Proyección del retrato de estados en el plano (x, x) ˙ en el caso de dos atractores. En la figura 3.32 se muestra la proyección del retrato de estados en el plano (x, x) ˙ + en el caso de dos atractores: uno asociado a xe y el otro al origen 0. En este caso se tiene un comportamiento bimodal análogo al que mostraba el sistema sin retraso, con la diferencia de que ahora se pueden presentar oscilaciones. Se tienen los dos modos de comportamiento que en principio cabr´ıa esperar del sistema. Con unas condiciones iniciales adecuadas se produce el crecimiento de la población; mientras que con otras, normalmente más peque˜ nas, se producir´ıa su extinción. La separatriz entre las dos cuencas de atracción está asociada a la ensilladura x− e. Sin embargo, para un cierto valor del parámetro p el equilibrio x+ e se convierte en inestable, apareciendo un ciclo l´ımite estable en su entorno. Se produce una bifurcación de Hopf. En la figura 3.33 se muestra esta situación. Ahora en lugar de dos atractores puntuales, como suced´ıa en la figura 3.32, se tienen también dos atractores, pero uno es un ciclo l´ımite. Disminuyendo el valor del parámetro p se llega a una nueva situación representada en la figura 3.34. El ciclo l´ımite alcanza las variedades estable e inestable asociadas con la ensilladura x− orbita homoclina, tal como se indica e , de modo que aparece una ´ en la figura 3.34. Puesto que esta o´rbita homoclina es estructuralmente inestable, toda peque˜ na perturbación en los parámetros dará lugar a su ruptura. Se produce entonces el fenómeno de la catástrofe retrasada, tal como se indica en la figura 3.35. Las trayectorias que tienden hacia la ensilladura a lo largo de su variedad estable se derivan hacia el

3.5. CRECIMIENTO LOG´ISTICO CON UN RETRASO EN LA ESTRUCTURA 83

0.825812

-0.112962 -0.0977844

1.05 x

Figura 3.33: Bifurcaci´on de Hopf (μ = 2,8, n = 0,1, δ = 0,1 and a = 0,06).

0.943976

-0.133629 -0.0951067

1.29732 x

Figura 3.34: Orbita homoclina de la ensilladura x− e . (μ = 2,7045, n = 0,1, δ = 0,1 and a = 0,06.).

´ ´ 84CAP´ITULO 3. ANALISIS CUALITATIVO Y BIFURCACIONES EN SISTEMAS DINAMICOS

0.95

1.4

-0.1

-0.2 -0.2

1.4

-30

(a)

690 t

(b)

Figura 3.35: Catástrofe retrasada: (a) o´rbita en el espacio de estados (x, y); (b) pauta de comportamiento. (μ = 2,704, n = 0,1, δ = 0,1 and a = 0,06.) origen dando lugar a la extinción de la población. Conviene detenerse en la comparación entre la figura 3.29, en la que se tiene el diagrama de bifurcación antes de a˜ nadir el retraso, y la figura 3.31, con el correspondiente diagrama después de a˜ nadirlo. Comparándolas se pone de manifiesto el efecto del retraso en el comportamiento del sistema. En ambas los equilibrios son los mismos, pero en la segunda equilibrios que eran estables en la primera se han convertido en inestables. Esta inestabilización se produce mediante una bifurcación de Hopf, de modo que emerge un ciclo l´ımite estable. A partir de esta emergencia se genera la aparición del fenómeno de la catástrofe retrasada.

Bibliograf´ıa [1] Abraham, R. and Shaw, Ch.D., 1992, Dynamics: The Geometry of Behavior, Second Edition, Addison-Wesley. [2] Aracil, J. 1981, “Structural Stability of low-order System Dynamics Models”. Int. J. System Science 12:423-441. [3] Aracil, J. 1984, “Qualitative Analysis and Bifurcations in System Dynamics Models”. IEEE-SMC-14 (4):688-696. [4] Aracil, J. 1986, “Bifurcations and Structural Stability in the Dynamical Systems Modeling Process”. Systems Research 3 (4):243-252. [5] Aracil, J. y F. Gordillo, 1997, Dinámica de sistemas, Alianza Editorial. [6] Aracil, J., E. Ponce and L. Pizarro, 1997, “Behavior patterns of logistic models with delay”, aceptado para publicación en Mathematics and Computers in Simulation. [7] Guckenheimer, J. and P. Holmes, 1983, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. New York: Springer-Verlag. [8] Hale, J.K., Ko¸cak, H., 1991, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag. [9] Karsky, M., Dore, J-Ch. and Gueneau, P, “De la possibilité d’apparition de catastrophes différés”, Ecodecision, No. 6, Septembre 1992, Montreal. [10] Kuznetsov, Y.A., 1995, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer-Verlag. [11] Mosekilde, E., J. Aracil and P. Allen. 1988, “Instabilities and Chaos in Non-linear Dynamical Systems”, System Dynamics Review, 4, 1, 14-55. [12] Nayfeh, A.H., Balachandran, B., 1995, Applied Nonlinear Dynamics, Wiley. [13] Thom, R., 1977, Stabilité structurelle et morphogénèse, InterEditions, Paris (versión espa˜ nola Estabilidad estructural y morfogénesis en Gedisa). [14] Strogatz, S.H., 1995, Nonlinear Dynamics and Chaos, Addison-Wesley. 85

BIBLIOGRAF´IA

86 A

O t

Figura 3.36: Bimodal behavior pattern: attractor A stands for normal growth and O for decay. [15] M. Vázquez, M. Liz, J. Aracil, 1996a, “Knowledge and reality: some conceptual issues in the system dynamics modelling”, System Dynamics Review, Vol. 12, no. 1, 21-37. [16] M. Vázquez, M. Liz, J. Aracil, 1996b, “An Epistemological Framework for System Dynamics Modelling”, Revue Internationale de Systémique, Vol. 9, Num. 5, 461489. [17] E.C. Zeeman, 1977, Catastrophe Theory, Addison-Wesley.

´ 3.6. APENDICE

87 δα 2n 1- δ 4

( x*e , μ*)

x e1- δ 4

x+ e 1- δ 2

1- δ

2 - (1- δ )

1< μ < μ*

0<μ<1

μ=1

Figura 3.37: The graph of the function

- 1+ δ 2

μ=0 δ α(xe ). 2n

La filosof´ıa está escrita en ese grandioso libro que está continuamente abierto ante nuestros ojos (lo llamo universo). Pero no se puede descifrar si antes no se comprende el lenguaje y se conocen los caracteres en que está escrito. Está escrito en el lenguaje matemático, siendo sus caracteres triángulos, c´ırculos y figuras geométricas. Sin estos medios es humanamente imposible comprender una palabra; sin ellos, deambulamos vanamente en un oscuro laberinto. Galileo Il Saggiatore

3.6.

Ap´ endice

En este apéndice se va a generalizar para cualquier n la invariancia de los autovalores de un sistema dinámico en un punto de equilibrio bajo una transformación diagonal monótona y creciente. Sea el sistema dinámico x˙ = g(x) x ∈ X ⊂ IRn

(3.14)

x = T (¯ x)

(3.15)

Se aplica la transformación siendo T (¯ x) = diag[ti (¯ x)] una matriz diagonal tal que cada ti es una función monótona xi > 0. La transformación T tiene inversa T −1 = diag[1/ti (¯ x)]. Al aplicar creciente, dti /d¯

BIBLIOGRAF´IA

88 la transformaci´on se tiene

x)) x¯˙ = [Dx¯ (T )]−1 g(T (¯

(3.16)

Los equilibrios son los mismos en las dos formalizaciones del sistema dinámico, y están ligados por la transformación T . Los autovalores de los dos sistemas dinámicos son los mismos. En efecto, el jacobiano del transformado es: A = Dx¯ ([Dx¯ (T )]−1 )g(T (¯ x)) + [Dx¯ (T )]−1 [

∂f ][Dx¯ (T )] ∂x

pero como en el equilibrio g(T (¯ x)) = 0, luego A = [Dx¯ (T )]−1 [

∂f ][Dx¯ (T )] ∂x

cuyos autovalores son los mismos que los del sistema din´amico original. La estructura del retrato de estados es la misma. Lo u ´ nico que las diferencia son las contracciones y dilataciones seg´ un los ejes que tienen lugar de acuerdo con la transformaci´on T .

Cap´ıtulo 4 Funci´ on descriptiva y balance arm´ onico 4.1.

M´ etodo del primer arm´ onico

Los métodos clásicos de sistemas realimentados lineales están basados en el empleo de la función de transferencia, que posee una interpretación en el dominio de la frecuencia de gran interés para el análisis y la concepción de esos sistemas realimentados. Sin embargo, el concepto de función de transferencia está basado en la propiedad de linealidad (suma de causas produce suma de efectos) que no poseen, por su propia naturaleza los sistemas no lineales. Sin embargo, como vamos a ver en lo que sigue, es posible aplicar una versión ampliada del método de la respuesta en frecuencia a sistemas no lineales mediante el método de la función descriptiva. Con este método, como vamos a ver, es posible adaptar los métodos de dise˜ no de sistemas lineales en el dominio de la frecuencia, empleando los diagramas de Bode y similares, al caso de los sistemas no lineales, si bien en este u ´ ltimo caso los resultados son exclusivamente aproximados.

4.1.1.

Ejemplo introductorio

Los sistemas no lineales pueden presentar oscilaciones de amplitud y periodo fijos sin excitación exterior. Esas oscilaciones se denominan ciclos l´ımites u oscilaciones autoexcitadas. Una de la primeras ecuaciones propuestas para estudiar este fenómeno se debe al ingeniero eléctrico holandés Balthasar Van der Pol. Esta ecuación es la 89

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

90 siguiente:

x¨ + α(x2 − 1)x˙ + x = 0

(4.1)

vamos a emplear esta ecuación como ejemplo introductorio al método del primer armónico. Para ello, vamos a suponer que existe un ciclo l´ımite de amplitud y frecuencia no determinadas, y vamos a ver que restricciones impone la ecuación anterior a esta amplitud y frecuencia. Elemento no lineal (−xx ˙ 2)

Elemento Lineal

s 0

−x

+ -

α s2 −αs+1

(.)2

Figura 4.1: Diagrama de bloques del oscilador de Van der Pol

Puesto que el análisis de la ecuación de Van der Pol lo estamos haciendo como introducción al estudio de sistemas realimentados no lineales conviene que representamos la ecuación (4.1) mediante un diagrama de bloques como el de la figura 4.1. En esta figura se tiene un sistema realimentado, con realimentación unitaria, en cuya cadena directa aparece un bloque no lineal y uno lineal. Como veremos luego, esta será la forma que tomaran los sistemas realimentados no lineales a los que se aplica el método del primer armónico. Para justificar el diagrama de la figura 4.1 basta reescribir la expresión (4.1) de la forma x¨ − αx˙ + x = −αx2 x˙ Se define v = −x2 x, ˙ con lo que la anterior expresión se convierte en x¨ − αx˙ + x = αv cuya función de transferencia es α x (s) = 2 v s − αs + 1 Supongamos que el sistema de la figura 4.1 oscila, de modo que la se˜ nal x evoluciona de la forma x(t) = A sen ωt (4.2)

´ ´ 4.1. METODO DEL PRIMER ARMONICO

en donde A es la amplitud del ciclo l´ımite y ω su frecuencia. En este caso se tiene x(t) ˙ = Aω cos ωt por consiguiente, la salida del bloque no lineal de la ﬁgura 4.1 viene dada por v = −x2 x˙ = A2 sen2 ωtAω cos ωt A3 ω (1 − cos 2ωt) cos ωt = − 2 A3 ω = − (cos ωt − cos 3ωt) 4

(4.3) (4.4) (4.5)

El paso de (4.3) a (4.4) se basa en que 2 sen2 ωt = 1 − cos 2ωt ya que

cos 2ωt = cos2 ωt − sen2 ωt = 1 − 2 sen2 ωt

Por otra parte, el paso de (4.4) a (4.5) es un poco m´as elaborado. Para demostrarlo se parte de cos 3ωt = = = = =

cos 2ωt cos ωt − sen ωt sen 2ωt cos ωt(1 − 2 sen2 ωt) − 2 sen2 ωt cos ωt cos ωt(1 − 4 sen2 ωt) cos ωt(1 − 2 + 2 cos 2ωt) cos ωt(2 cos 2ωt − 1)

de donde se tiene que 1 cos ωt − cos ωt cos 2ωt = (cos ωt − cos 3ωt) 2 En la expresión (4.5) se observa que la se˜ nal v contiene un armónico de tercer orden. Sin embargo, sucede que la parte lineal se comporta como un filtro paso bajo, de modo que se puede suponer razonablemente que este armónico de tercer orden resulta suficientemente atenuado por el bloque lineal y que puede, en una primera aproximación despreciarse. Con estos supuestos, la se˜ nal v toma la forma aproximada v≈−

A2 d A3 ω (cos ωt) = (−A sen ωt) 4 4 dt

(4.6)

De este modo el bloque no lineal de la figura 4.1 puede representarse en forma aproximada como se hace en la figura 4.2. El bloque no lineal de la figura 4.1 se describe de forma aproximada, mediante una función de transferencia como la que se indica en la figura 4.2. Conviene observar que esta “función de transferencia”depende de la amplitud de la se˜ nal de entrada A, lo que no sucede en ning´ un caso con una función de transferencia de un sistema lineal.

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION Aproximaci´ on cuasi lineal r=0 +

−x

A2 s 4

α s2 −αs+1

Figura 4.2: Aproximación lineal del oscilador de Van der Pol En general, podemos escribir que las se˜ nales de salida v del bloque no lineal de la figura 4.2 vienen dadas por v = N(A, ω)(−x) (4.7) en donde N juega el mismo papel que la función de transferencia en un sistema lineal, aunque en este caso con la propiedad adicional de depender no solamente de la frecuencia ω, sino también de la amplitud A. A la función N la denominaremos función descriptiva del elemento no lineal correspondiente y constituye una generalización del concepto de función de transferencia al estudio de los sistemas no lineales (aunque aqu´ı con un carácter aproximado ya que para llegar a ella se han despreciado los armónicos de orden superior al primero, a partir de la consideración del carácter del filtro paso bajo del bloque lineal). En el caso que nos ocupa la función descriptiva toma la forma N(A, ω) = jω

A2 4

(4.8)

es decir el bloque no lineal se puede aproximar por la funci´on de respuesta en frecuencia N. De acuerdo con la cadena directa del sistema de la ﬁgura 4.2, se puede escribir x = A sen ωt = G(jω)v = G(jω)N(A, ω)(−x)

(4.9)

Se sabe que una se˜ nal senoidal se puede escribir en forma compleja mediante la exponencial x = Aejωt con lo que la anterior expresi´on (4.9) puede escribir Aejωt = G(jω)N(A, ω)(−Aejωt ) de donde se tiene 1 + G(jω)N(A, ω) = 0

(4.10)

´ ´ 4.1. METODO DEL PRIMER ARMONICO

esta expresión, en realidad, es una forma de escribir la expresión (4.1), es decir la ecuación del sistema, habida cuenta de la simplificación que ha permitido pasar de la expresión (4.3) a la (4.6). La resolución de esta ecuación en la amplitud A y la frecuencia ω permite determinar la amplitud y frecuencia a la que oscila el sistema. En el caso concreto que nos ocupa, la expresión (4.10) se convierte en 1+ que conduce a

α A2 jω = 0 (jω)2 − α(jω) + 1 4

(4.11)

4((jω)2 − α(jω) + 1) + αA2 jω = 0

cuya parte real es

−4ω 2 + 4 = 0

cuya solución conduce a ω = 1, y cuya parte imaginaria es −4α + αA2 = 0 por lo que A = 2. Por tanto el sistema admite una solución en forma de oscilación con amplitud A = 2 y frecuencia ω = 1. Conviene observar que la expresión (4.11) escrita en forma de Laplace toma la forma 1+

α A2 s =0 s2 − αs + 1 4

que es la ecuación caracter´ıstica en bucle cerrado del sistema de la figura 4.2. Los autovalores de esta ecuación son 1 2 2 1 2 λ1,2 = − α(A − 4) ± α (A − 4)2 − 1 (4.12) 8 64 en los que haciendo A = 2 se obtienen los autovalores λ1,2 = ±j; es decir existe un ciclo l´ımite de amplitud 2 y frecuencia 1. Conviene observar que ni la amplitud ni la frecuencia obtenidas dependen del parámetro α.

4.1.2.

Principios del m´ etodo

Supuestos b´asicos del m´etodo:

1. Hay un u ´ nico componente no lineal. 2. Ese componente es invariante en el tiempo.

Â´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO Â´ CAPÂ´ITULO 4. FUNCION

Elemento no lineal r(t) = 0 +

x(t)

v = f (x)

Elemento lineal v(t)

y(t)

G(s)

Figura 4.3: Sistema no lineal r(t) = 0 +

x(t)

G1 (s)

u(t)

v(t)

Gp (s)

y(t)

G2 (s)

Figura 4.4: Sistema de control con una no linealidad 3. La parte lineal se comporta como un ďŹ ltro paso-bajo. 4. La no linealidad es simÂ´etrica, de modo que no aparece en la salida un seË&#x153; nal de continua, cuando la seË&#x153; nal de entrada es sinusoidal.

Debido a estas limitaciones, el mÂétodo de la funciÂón descriptiva se utiliza fundamentalmente para el anÂálisis de estabilidad y no suele aplicarse a problemas de diseË&#x153; no oÂ´ptimo de sistemas.

4.1.3.

TransformaciÂ´ on de Fourier

La salida v(t) de un elemento no lineal, en respuesta a una seË&#x153; nal sinusoidal, de amplitud A y frecuencia Ď&#x2030;, es una seË&#x153; nal periÂ´odica de la misma frecuencia, que se puede desarrollar en serie de Fourier, de la forma:

v(t) = a0 +

â&#x2C6;&#x17E;

(ak cos(kĎ&#x2030;t) + bk sen(kĎ&#x2030;t))

k=1

El tÂ´ermino independiente es el valor medio de la seË&#x153; nal en un perÂ´Äąodo.

Â´ Â´ 4.1. METODO DEL PRIMER ARMONICO 1 a0 = 2Ď&#x20AC;

Ď&#x20AC;

v(t)d(Ď&#x2030;t) â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x20AC;

Para una seË&#x153; nal sin componente de continua este valor es cero; es decir a0 = 0 (recuÂérdese el supuesto 4 de 4.1.2). 1 Ď&#x20AC; ak = v(t) cos(kĎ&#x2030;t)d(Ď&#x2030;t) k = 0, 1, 2, ... (4.13) Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x20AC; 1 Ď&#x20AC; bk = v(t) sen(kĎ&#x2030;t)d(Ď&#x2030;t) k = 0, 1, 2, ... (4.14) Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x20AC; Casos de interÂés: v(t) es impar [v(Ď&#x2030;t) = â&#x2C6;&#x2019;v(â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2030;t)], entonces ak = 0, k = 0, 1, 2, ..., y en desarrollo solo tiene tÂérminos en senos (ďŹ gura 4.5a). v(t) es alternada [v(Ď&#x2030;t + Ď&#x20AC;) = â&#x2C6;&#x2019;v(Ď&#x2030;t)], entonces el desarrollo solo tiene tÂérminos impares (ďŹ gura 4.5b). v(x) v(x)

â&#x2C6;&#x2019;x v(â&#x2C6;&#x2019;x)

x a)

x+Ď&#x20AC; x v(x + Ď&#x20AC;)

Figura 4.5: SeË&#x153; nales impar (a) y alternada (b)

4.1.4.

FunciÂ´ on descriptiva

En el supuesto de que se considere u Â´ nicamente la componente fundamental del desarrollo en serie, y recordando que a0 = 0, se tiene que la expresiÂ´on se convierte en v(t) = v1 (t) = a1 cos(Ď&#x2030;t) + b1 sen(Ď&#x2030;t) = M sen(Ď&#x2030;t + Ď&#x2020;)

(4.15)

En la ďŹ gura 4.6 se representa un elemento no lineal y su representaciÂón mediante la funciÂón descriptiva. De la expresiÂón (4.15) se tiene a1 â&#x2C6;&#x2019;1 2 2 M(A, Ď&#x2030;) = a1 + b1 Ď&#x2020;(A, Ď&#x2030;) = tag b1

Â´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO Â´ CAPÂ´ITULO 4. FUNCION Asen(Ď&#x2030;t)

N.L.

w(t)

Asen(Ď&#x2030;t)

N (A, Ď&#x2030;)

M sen(Ď&#x2030;t + Ď&#x2020;)

Figura 4.6: Elemento no lineal y funciÂón descriptiva En la ďŹ gura 4.6 se muestra como la componente fundamental de la salida de un sistema no lineal a una seË&#x153; nal sinusoidal de entrada, es otra seË&#x153; nal sinusoidal de la misma frecuencia pero de amplitud M y desfase Ď&#x2020;. Empleando una representaciÂón compleja la sinusoide puede escribirse v1 = Mej(Ď&#x2030;t+Ď&#x2020;) = (b1 + ja1 )ejĎ&#x2030;t Con los anteriores elementos ya estamos en posiciÂón de deďŹ nir la funciÂón descriptiva de un elemento no lineal como el cociente complejo entre la componente fundamental del elemento no lineal y la seË&#x153; nal sinusoidal de entrada A sen Ď&#x2030;t; es decir N(A, Ď&#x2030;) =

Mej(Ď&#x2030;t+Ď&#x2020;) M jĎ&#x2020; 1 e = (b1 + ja1 ) = jĎ&#x2030;t Ae A A

(4.16)

Es decir, la funciÂón descriptiva N(A, Ď&#x2030;) es una funciÂón compleja cuyo mÂódulo y argumento representan la ampliďŹ caciÂón y el desfase del primer armÂónico de la salida v(t) de un sistema no lineal ante una entrada sinusoidal de amplitud A y frecuencia Ď&#x2030;. Si la no-linealidad puede escribirse v = Ď&#x2022;(y), la funciÂón descriptiva viene dada por b1 + ja1 1 N(A, Ď&#x2030;) = = A Ď&#x20AC;A

2Ď&#x20AC;

Ď&#x2022;(A sen Î¸)(sen Î¸ + j cos Î¸)dÎ¸

(4.17)

El concepto de funciÂón descriptiva puede, por tanto, ser considerado como una ampliaciÂón de la nociÂón de respuesta frecuencial de los sistema lineales. Las diferencias entre ambos conceptos se limitan a que la funciÂón descriptiva de un elemento no lineal depende de la amplitud, mientras que la funciÂón de transferencia de un elemento lineal no depende de ella. Sin embargo, con vistas a las aplicaciones al diseË&#x153; no de sistemas realimentados pueden tratarse de forma anÂáloga. En general, por tanto, la funciÂón descriptiva depende de la frecuencia y la amplitud de la seË&#x153; nal de entrada. Existen, sin embargo, algunos casos especiales. Cuando la no linealidad es uniforme (es decir, su caracterÂ´Äąstica es una funciÂón que asigna a cada valor de la seË&#x153; nal de entrada un u Â´ nico valor de la seË&#x153; nal de salida) la funciÂón descriptiva N es real e independiente de la frecuencia de entrada. El carÂácter real de N se debe a que a1 = 0, debido a que la seË&#x153; nal de salida del elemento no lineal es impar, y en ese caso, como hemos recordado antes, todos los tÂérminos ai se anulan. AdemÂás, la salida

Â´ Â´ 4.1. METODO DEL PRIMER ARMONICO

es siempre alternada, por lo que los tÂ´erminos pares desaparecen. Por tanto ante una no-linealidad uniforme se tendrÂ´a v(t) = b1 sen Ď&#x2030;t + b3 sen 3Ď&#x2030;t + b5 sen 5Ď&#x2030;t + ...

4.1.5.

InterpretaciÂ´ on estocÂ´ astica de la funciÂ´ on descriptiva

Se trata de determinar N(A) de modo que N(A)A sen Ď&#x2030;t aproxime a Ď&#x2022;(A sen Ď&#x2030;t) minimizando el error cuadrÂ´atico medio. Sea e(t) = Ď&#x2022;(A sen Ď&#x2030;t) â&#x2C6;&#x2019; N(A)A sen Ď&#x2030;t se pretende minimizar 1 J= 2Ď&#x20AC;

2Ď&#x20AC;

e2 (t)d(Ď&#x2030;t)

sustituyendo e(t) y diferenciando 2 dJ = dN 2Ď&#x20AC; luego

2Ď&#x20AC;

[Ď&#x2022;(A sen Ď&#x2030;t) â&#x2C6;&#x2019; N(A)A sen Ď&#x2030;t](â&#x2C6;&#x2019;A sen Ď&#x2030;t)d(Ď&#x2030;t) = 0

2Ď&#x20AC;

Ď&#x2022;(A sen Ď&#x2030;t)A sen Ď&#x2030;td(Ď&#x2030;t) = 0

pero

N(A)A2 sen2 Ď&#x2030;td(Ď&#x2030;t)

2Ď&#x20AC;

N(A)A2 sen2 Ď&#x2030;td(Ď&#x2030;t) = Ď&#x20AC;N(A)A

luego 1 N(A) = Ď&#x20AC;A

4.1.6.

2Ď&#x20AC;

Ď&#x2022;(A sen Ď&#x2030;t)A sen Ď&#x2030;td(Ď&#x2030;t) 0

Propiedad del cono

Sea Ď&#x2022;(.) tal que k1 y 2 â&#x2030;¤ yĎ&#x2022;(y) â&#x2030;¤ k2 y 2

(4.18)

se dice que Ď&#x2022;(.) estÂ´a en el cono [k1 , k2 ]. Si ademÂ´as Ď&#x2022;(.) es impar, Ď&#x2022;(y) = â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2022;(â&#x2C6;&#x2019;y), entonces se tiene que k1 â&#x2030;¤ N(A) â&#x2030;¤ k2 (4.19)

Â´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO Â´ CAPÂ´ITULO 4. FUNCION

es decir la funciÂón descriptiva estÂá en el intervalo [k1 , k2 ]. En efecto, 2Ď&#x20AC; 1 Ď&#x2022;(A sen Ď&#x2030;t) sen Ď&#x2030;td(Ď&#x2030;t) N(A) = Ď&#x20AC;A 0 2Ď&#x20AC; 1 Ď&#x2022;(A sen Î¸)A sen Î¸dÎ¸ = Ď&#x20AC;A2 0 2Ď&#x20AC; 1 â&#x2030;Ľ k1 (A sen Î¸)2 dÎ¸ Ď&#x20AC;A2 0 k1 2Ď&#x20AC; = k1 sen2 Î¸dÎ¸ Ď&#x20AC; 0 k1 k1 = k1 = Ď&#x20AC; AnÂálogamente para k2 .

4.2.

Algunas funciones descriptivas

La determinaciÂón de la funciÂón descriptiva se puede hacer bÂásicamente de dos formas: por cÂálculo analÂ´Äątico o por determinaciÂón experimental. Por lo que respecta al mÂétodo analÂ´Äątico vamos a presentar varios ejemplos para ilustrar su aplicaciÂón. El primero de los ejemplos es una saturaciÂón que aporta un ejemplo de un sistema no lineal con caracterÂ´Äąstica estÂática. TambiÂén se presenta un ejemplo de un relÂé con holgura, cuya caracterÂ´Äąstica es dinÂámica.

4.2.1.

SaturaciÂ´ on

En la ďŹ gura 4.7 se muestra la caracterÂ´Äąstica de una saturaciÂón. Para valores de x < a el elementos no lineal transmite la seË&#x153; nal de forma lineal, con una ampliďŹ caciÂón. Para valores de x > a la seË&#x153; nal de entrada queda truncada por efecto de la no linealidad. En la ďŹ gura 4.7 se muestra el efecto de la saturaciÂón sobre una seË&#x153; nal de entrada de amplitud mayor que a, para el caso en que A sea mayor que a. En tal caso se tiene que la seË&#x153; nal de salida del elemento no lineal vendrÂá dada por kA sen(Ď&#x2030;t) 0 â&#x2030;¤ Ď&#x2030;t â&#x2030;¤ Îł v(t) = ka Îł â&#x2030;¤ Ď&#x2030;t â&#x2030;¤ Ď&#x20AC;/2 siendo Îł = senâ&#x2C6;&#x2019;1 (a/A)

4.2. ALGUNAS FUNCIONES DESCRIPTIVAS v

saturaciÂ´ on

v(t)

salida no saturada

k 0

0 Îł

ka a

Îł

salida saturada

Ď&#x2030;t

A x(t)

Ď&#x20AC;/2

entrada sinusoidal

Ď&#x2030;t

Figura 4.7: CaracterÂ´Äąstica de una saturaciÂón. a1 = 0 obsÂérvese que el carÂácter impar de v(t) implica que a1 = 0 y que la simetrÂ´Äąa de la seË&#x153; nal sobre los cuatro cuadrantes en que se puede considerar dividido un periodo indica que 4 Ď&#x20AC;/2 v(t) sen Ď&#x2030;td(Ď&#x2030;t) (4.20) b1 = Ď&#x20AC; 0 4 Ď&#x20AC;/2 4 Îł 2 kA sen Ď&#x2030;td(Ď&#x2030;t) + ka sen Ď&#x2030;td(Ď&#x2030;t) = Ď&#x20AC; 0 Ď&#x20AC; Îł a 2kA a2 (Îł + = 1 â&#x2C6;&#x2019; 2) Ď&#x20AC; A A por consiguiente, la funciÂón descriptiva resulta ser 2k a b1 a2 = (Îł + N(A) = 1 â&#x2C6;&#x2019; 2) (4.21) A Ď&#x20AC; A A En la ďŹ gura 4.8 se representa la funciÂón descriptiva de una saturaciÂón.

4.2.2.

RelÂ´ e

La caracterÂ´Äąstica no lineal de un relÂ´e se muestra en la ďŹ gura 4.9. Si se compara con la caracterÂ´Äąstica de una saturaciÂ´on, que se vio en la ďŹ gura 4.7 se tiene que la no

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

1.2

Rango lineal 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

A/a Figura 4.8: Funci´on descriptiva de una saturaci´on.

2.0

a infinito

encendido

1.6

x -M

N(A)/M

N(A)/k

100

1.2 0.8 0.4

a cero

apagado 0.0

10 A

Figura 4.9: Caracter´ıstica de un rel´e

4.2. ALGUNAS FUNCIONES DESCRIPTIVAS

101

linealidad de un relÂé corresponde a un caso lÂ´Äąmite de una saturaciÂón deďŹ nido por a â&#x2020;&#x2019; 0, k â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; siendo ka = M. Por tanto, b1 puede obtener de la expresiÂón (4.21) calculando el lÂ´Äąmite. Sin embargo se obtiene mÂás fÂácilmente calculÂándolo directamente de acuerdo con 4 Ď&#x20AC;/2 4M (4.22) M sen Ď&#x2030;td(Ď&#x2030;t) = b1 = Ď&#x20AC; 0 Ď&#x20AC; por lo que la funciÂón descriptiva de un relÂé viene dada por N(A) =

4M Ď&#x20AC;A

(4.23)

En la ďŹ gura 4.9 se representa la funciÂón descriptiva de un relÂé. Puede compararse esa funciÂón descriptiva con la de la saturaciÂón que se vio en la ďŹ gura 4.8.

4.2.3.

Holgura

Engranaje secundario

aÂ´ngulo salida

Engranaje primario

C B

-b

A 0

aÂ´ngulo entrada

Figura 4.10: CaracterÂ´Äąstica de una holgura. En la ďŹ gura 4.10 se muestra la caracterÂ´Äąstica de una holgura, que se presenta a menudo en los sistemas de transmisiÂón mecÂánica mediante engranajes. Como consecuencia de la holgura, cuando el engranaje primario gira un aÂńgulo menor que b, el secundario no se mueve, como corresponde a la zona muerta (segmento OA en la ďŹ gura 4.10); despuÂés de establecido el contacto en engranaje secundario sigue la rotaciÂón del primario de manera lineal (segmento AB). Si se invierte el sentido de giro del engranaje primario entonces durante un aÂńgulo 2b el secundario no se mueve, de acuerdo con el segmento BC de la ďŹ gura 4.10. Cuando se restablece el contacto entre los dos engranajes el secundario sigue al primario en la direcciÂón opuesta (segmento CD). Por consiguiente, si el engranaje primario estÂá sometido a un movimiento periÂódico el secundario recorrerÂá el camino cerrado EBCD, de la ďŹ gura 4.10. Conviene observar que los puntos B, C, D y E de la ďŹ gura dependen de la amplitud de la seÂ´ nal sinusoidal de entrada.

102

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

La holgura suministra un ejemplo de no linealidad con memoria, en la que el valor de la salida en un instante de tiempo determinado, no depende exclusivamente del valor de la entrada en ese instante, sino de la historia previa de las se˜ nales de entrada que afectan al sistema. v

k(A − b)

v(t) 3π/2

-b b

π/2

ωt

−k(A − b) -A

x(t)

π/2 π−γ

entrada sinusoidal

3π/2 2π − γ

ωt

Figura 4.11: Generación de la se´ nal de salida para una se˜ nal sinusoidal de entrada en una holgura. El cálculo de la función descriptiva resulta en este caso más complejo que en el de la no linealidades sin memoria. En la figura 4.11 se muestra como se genera la se˜ nal de salida para una se˜ nal sinusoidal de entrada. La se˜ nal de salida v(t), en un periodo, se determina dividiendo este periodo en las cuatro partes correspondientes a los cuatro tramos que aparecen en el romboide de la caracter´ıstica. Se tiene π v(t) = (A − b)k ≤ ωt ≤ π − γ 2 v(t) = A(sen ωt + b)k π − γ ≤ ωt ≤ 3π 2 3π v(t) = −(A − b)k ≤ ωt ≤ 2π − γ 2 v(t) = A(sen ωt − b)k 2π − γ ≤ ωt ≤ 5π 2

donde γ = sen−1 (1 − 2b/A). En este caso la caracter´ıstica no es uniforme y la componente fundamental de la se˜ nal de salida presenta variaci´on de amplitud y de fase. Se tiene 4kb b a1 = ( − 1) π A 2b Ak π 2b 2b ( − sen−1 ( − 1) − ( − 1) 1 − ( − 1)2 ) b1 = π 2 A A A

4.2. ALGUNAS FUNCIONES DESCRIPTIVAS

103

es decir, la función descriptiva de una holgura viene dada por 1 a21 + b21 |N(A)| = A a1 ∠N(A) = tan−1 ( ) b1 En las figuras 4.12 y 4.13 se representan la amplitud y desfase, respectivamente, de la función descriptiva de una holgura. Obsérvese que en este caso la función descriptiva

1.0

Amplitud

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

b/A

Figura 4.12: Amplitud de la función descriptiva de una holgura. depende exclusivamente de la amplitud de la se´ nal de entrada, como suced´ıa en las no linealidades sin memoria (como la saturación y el relé) que se han visto anteriormente. Sin embargo, en este caso la función descriptiva tiene módulo y argumento (amplitud y desfase), mientras que en los casos de no linealidades sin memoria la función descriptiva posee u ´ nicamente amplitud, y no desfase.

4.2.4.

Determinaci´ on experimental de la funci´ on descriptiva

En lo ejemplos que se acaban de ver, se ha determinado la función descriptiva mediante la aplicación de métodos matemáticos. Ello es posible cuando la formulación matemática del problema es aceptablemente sencilla. Cuando no es as´ı, se procede de manera experimental con ayuda de un analizador armónico. Se excita el sistema no lineal cuya descripción descriptiva se quiere determinar, con se˜ nales sinusoidales, y la

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

104

Desfase

-30

-60

-90 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

b/A

Figura 4.13: Desfase de la funci´on descriptiva de una holgura.

salida se analiza mediante el analizador armónico, de modo que se discrimine el primer armónico. Comparando las amplitudes y fases de la se˜ nal de entrada y del primer armónico se puede determinar experimentalmente la función descriptiva. Conviene observar que, en este caso, y al contrario de lo que sucede con los sistemas lineales, el análisis debe realizarse para se˜ nales de entrada de diferente amplitud; es decir, el ensayo debe realizarse variando tanto la amplitud como la frecuencia de la se˜ nal de entrada. De este modo se determinan los datos que permiten establecer la función N(A, ω). Estos datos se procesaran normalmente mediante tablas, y no mediante expresiones anal´ıticas.

4.3.

An´ alisis de sistemas no lineales mediante la funci´ on descriptiva

En las secciones anteriores hemos visto como se determina la función descriptiva de un elemento no lineal. Además en la sección 4.1.1 se presentó un ejemplo introductorio que permit´ıa analizar la existencia de ciclos l´ımites en un sistema no lineal mediante la función descriptiva. En esta sección vamos a generalizar el método all´ı presentado. Para ello, en primer lugar, conviene recordar el criterio de Nyquist.

´ ´ DESCRIPTIVA105 4.3. ANALISIS DE SISTEMAS NO LINEALES MEDIANTE LA FUNCION +

G(s) -

H(s)

Figura 4.14: Sistema lineal realimentado. +∞

G(s)H(s)

plano s

-1

−∞

ω → +∞

Figura 4.15: Criterio de Nyquist.

4.3.1.

Una ampliaci´ on del criterio de Nyquist

Sea el sistema lineal de la ﬁgura 4.14, cuya ecuaci´on caracter´ıstica resulta ser 1 + G(s)H(s) = 0

(4.24)

como se recordará el criterio de Nyquist permite conocer el n´ umero de ra´ıces de la ecuación caracter´ıstica con parte real negativa. Para ello basta dibujar la aplicación C del contorno de Nyquist en un plano complejo apropiado, determinar el n´ umero N de veces que este contorno C rodea al punto (-1,0) y aplicar la conocida expresi´ on Z =N +P en donde P es el n´ umero de polos inestables de la función de transferencia en bucle abierto GH. Entonces Z es el nmero ´ de polos inestables del sistema en bucle cerrado (con sólo que haya uno, el sistema es inestable). El criterio de Nyquist se amplia formalmente para el caso en el que una constante k, que consideraremos que puede ser un n´ umero complejo, se incluye en la cadena directa de la figura 4.16. En tal caso la ecuación caracter´ıstica resulta ser

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

106

0 +

G(s)

G(s)H(s)

-1 Re H(s)

−1/k

Figura 4.16: Ampliaci´on del criterio de Nyquist. Funci´ on descriptiva x(t)

r(t) = 0 +

N (A, ω)

Elemento lineal

v(t)

G(jω)

y(t)

Figura 4.17: Sistema no lineal. 1 + kG(s)H(s) = 0

(4.25)

y por tanto, 1 (4.26) k Es fácil ver que en este caso el criterio de Nyquist se aplica igual que en el caso anterior (de la figura 4.15) con la diferencia de que ahora Z representa el n´ umero de veces que el contorno de Nyquist de GH rodea al punto −1/k, lo que se ilustra en la figura 4.16. G(s)H(s) = −

4.3.2.

Oscilaciones de un servomecanismo no lineal

Considérese el sistema no lineal de la figura 4.17. Diremos que este sistema presenta una oscilación automantenida si para r = 0 el sistema presenta un comportamiento oscilatorio. Supongamos que esta oscilación viene dada por la expresión x(t) = A cos ωt

(4.27)

El componente fundamental de la se˜ nal de salida del elemento no lineal v(t) resulta ser v(t) =| N(A, ω) | A cos(ωt + φ(A, ω)) Es sabido que (4.27) y (4.28) pueden escribirse de la forma x(t) = {Aejωt }

(4.28)

´ ´ DESCRIPTIVA107 4.3. ANALISIS DE SISTEMAS NO LINEALES MEDIANTE LA FUNCION v(t) = {| N(A, ω) | Aej(ωt+φ(A,ω)) } Empleando esta u ´ ltima forma de representar un comportamiento oscilatorio, se tiene que la salida del elemento lineal vendrá dada por y(t) = {| N(A, ω) | A | G(jω) | ej(ωt+φ+α) } siendo α = ∠G(jω). Para que la oscilación sea automantenida, en ausencia de se˜ nal de excitación r, se requiere que: −Aejωt =| N(A, ω) | A | G(jω) | ej(ωt+φ+α) Es decir, Aejωt (| N(A, ω) || G(jω) | ej(φ+α))+1 = 0 La anterior expresión se debe satisfacer para todo t, por lo que se tendrá | N(A, ω) || G(jω) | ej(φ+α) + 1 = 0 es decir, N(A, ω)G(jω) + 1 = 0

(4.29)

y por tanto, G(jω) = −

1 N(A, ω)

(4.30)

y cualquier par de valores de A y ω que satisfaga la anterior ecuación puede dar lugar a un ciclo l´ımite. De aquellos valores que satisfagan esta ecuación, solo dará lugar a un ciclo l´ımite aquellos para los que la oscilación periódica sea estable.

4.3.3.

Funci´ on descriptiva independiente de la frecuencia

Considérese el caso en el que la función descriptiva N es u ´ nicamente función de la amplitud A. Este caso incluye todas las no linealidades cuya caracter´ıstica es uniforme y algunas no linealidades biformes interesantes como la holgura. En este caso la expresión (4.30) se convierte en 1 G(jω) = − (4.31) N(A) En la figura 4.18 se han representado la función de transferencia de la parte lineal G(jω) (parametrizado en ω) y la curva correspondiente a la inversa de la función descriptiva, con el signo cambiado, (parametrizada en A) en el plano complejo. Si estas dos curvas se cortan, entonces los valores de A y de ω correspondientes al punto de intersección son soluciones de la ecuación 4.31, y en consecuencia, pueden existir ciclos l´ımites. Por ejemplo, en la figura 4.18 las dos curvas se cortan en el punto L.

108

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

G(jω)

−1/N (A)

Figura 4.18: Determinaci´on de un ciclo l´ımite. Conviene recordar que para no-linealidades uniformes N es siempre real y por consiguiente el trazado de (4.31) siempre est´a situado sobre el eje real.

4.3.4.

Funci´ on descriptiva dependiente de la frecuencia

En el caso general la función descriptiva depende tanto de la amplitud de la se˜ nal de entrada como de su frecuencia y, en consecuencia el método que se acaba de ver en el apartado anterior, adquiere mayor complejidad. En tal caso la expresión en el segundo miembro de (4.30) da lugar a una familia de curvas en el plano complejo con A como parámetro y ω permaneciendo constante en cada curva, como se muestra en la figura 4.19. De todas las intersecciones entre la familia de curvas 1/N(A, ω) y la curva G(jω) solamente aquellos puntos de intersección en los que coincidan los valores de ω constituyen soluciones de la ecuación (4.30), y son, por tanto, candidatos a ciclos l´ımites. Existe otro procedimiento gráfico para resolver la expresión (4.30). Consiste en considerar la representaciones gráficas de G(jω)N(A, ω). Dando a A un valor constante y variando ω de 0 a infinito, se obtiene una curva que representa a G(jω)N(A, ω). Procediendo con diferentes valores de A se obtiene una familia de curvas, como la que se muestra en la figura 4.20. La curva de esta familia que pase por el punto (-1,0) en el plano complejo suministra una solución de la expresión (4.30) .

4.3.5.

Estabilidad de los ciclos l´ımite

Con los ciclos l´ımites sucede lo mismo que con los equilibrios: que pueden ser estables o inestables. Las soluciones de la ecuación (4.30) deben someterse a un análisis de estabilidad, para determinar cuales de ellas son estables y cuales no. El criterio de Nyquist ampliado que hemos visto en la sección 4.3.1, permite analizar esa estabilidad. Considérese la figura 4.21 en la que se muestran las intersecciones entre la función de transferencia de la parte lineal y la inversa de la función descriptiva de la parte

´ ´ DESCRIPTIVA109 4.3. ANALISIS DE SISTEMAS NO LINEALES MEDIANTE LA FUNCION

−1/N (A, ω) ω4

G(jω)

ω3 ω2

ω1 ω

Figura 4.19: Determinaci´on de ciclos l´ımite con funciones descriptivas dependientes de la frecuencia.

-1

ω G(jω)N (A, ω)

Figura 4.20: Resolución gráfica de la ecuación N(A, ω)G(jω) + 1 = 0.

110

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION G(jω)

L”1

−1/N (A, ω)

L 1 L1

Figura 4.21: Estabilidad de ciclos l´ımite. no lineal. Estas dos curvas presentan dos puntos de intersección, L1 y L2 , por lo que el sistema presenta dos ciclos l´ımites. Obsérvese que el valor de A correspondiente al punto L1 es menor que el de A correspondiente a L2 . Supóngase que la función de transferencia de la parte lineal G(jω) no posee polos inestables. Vamos a analizar primero la estabilidad del ciclo l´ımite correspondiente al punto L1 . Considérese que el sistema se encuentra inicialmente operando en el punto L1 , na con un ciclo l´ımite de amplitud A1 y cuya frecuencia en ω1 . Debido a una peque˜ perturbación, la amplitud de la se˜ nal de entrada al sistema no lineal se incrementa ligeramente, y el punto de operación del sistema se mueve de L1 a L 1 . Puesto que el nuevo punto L 1 se encuentra a la derecha de la curva G(jω), de acuerdo con el criterio de Nyquist ampliado que se ha visto en la sección 4.3.1, el sistema es inestable, en este punto de operación, y las amplitudes del sistema tienden a crecer. Por consiguiente, el punto de operación seguirá creciendo a lo largo de curva −1/N(A, ω) hasta el punto L2 . Por otra parte, si el sistema se perturba de modo que la amplitud A decrece, entonces el punto de operación se moverá al punto L 1 . En este caso el punto L 1 queda a la izquierda de G(jω) y el criterio de Nyquist ampliado garantiza la estabilidad del sistema, por lo que las amplitudes tenderán a decrecer y el punto de operación se alejara cada vez más del punto de equilibrio L1 . De todo lo anterior se desprende que una ligera perturbación destruye la oscilación en el punto L1 y que, por consiguiente, que este ciclo l´ımite es inestable. Un análisis similar puede desarrollarse para el punto L2 con la conclusión de que ciclo l´ımite en ese caso es estable. El anterior razonamiento no es del todo convincente, y debe considerarse como una forma intuitiva de presentar un resultado que, por otra parte es correcto, como se verá a continuación. Una forma más rigurosa de abordar el estudio de la estabilidad de las oscilaciones es el siguiente. Sea x = Aejωt el primer armónico de la oscilación automantenida que se perturba ligeramente hasta que su amplitud toma el valor A + ΔA y su frecuencia

´ ´ DESCRIPTIVA111 4.3. ANALISIS DE SISTEMAS NO LINEALES MEDIANTE LA FUNCION ω + Δω. Después de la perturbación, x(t) ya no es una función periódica, sino que posee un peque˜ no amortiguamiento δ, positivo o negativo. Es decir, después de la perturbación la se˜ nal se convierte en: x(t) = (A + ΔA)e−δt ej(ω+Δω)t = (A + ΔA)ej(ω+Δω+jδ)t

(4.32)

Por otra parte, la expresi´on (4.29) se puede escribir X(A, ω) + jY (A, ω) = 0

(4.33)

agrupando los términos correspondientes a sus partes real e imaginaria. Por otra parte, la solución (4.32) debe satisfacer también la anterior ecuación dando lugar a: X(A + ΔA, ω + Δω + jδ) + jY (A + ΔA, ω + Δω + jδ) = 0

(4.34)

Desarrollando en serie de Taylor esta expresi´on, y tomando £´ unicamente los t´erminos de primer orden en ΔA, Δω y δ, se tiene: ∂X Δω + ∂ω ∂Y Δω + ∂ω Eliminando Δω:

∂X ∂ω

2 +

∂Y ∂ω

∂X ∂Y ΔA − δ = 0 ∂A ∂ω ∂Y ∂X ΔA + δ = 0 ∂A ∂ω

δ=

∂X ∂Y ∂Y ∂X − ∂A ∂ω ∂A ∂ω

ΔA

Para que la oscilaci´on sea estable es necesario que δ y ΔA sean del mismo signo, lo que exige que: ∂Y ∂X ∂X ∂Y − >0 (4.35) ∂A ∂ω ∂A ∂ω En el caso de una no linealidad uniforme se tiene, N(A)G(jω) + 1 = 0 Haciendo G(jω) = U(ω) + jV (ω) 1 = P (A) + jQ(A) C(A) = − N(A)

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

112 se tiene

X(A, ω) = U(ω) − P (A) Y (A, ω) = V (ω) − Q(A) Por lo que la expresión (4.35) se escribe en este caso ∂Q ∂U ∂P ∂V − >0 ∂A ∂ω ∂A ∂ω El primer miembro de esta desigualdad es un producto vectorial lo que puede escribirse dG(jω) dC(A) × >0 dω dA Este producto vectorial permite la interpretación geométrica que se muestra en la figura 4.22. De acuerdo con ella, un ciclo limite será estable si recorriendo G(jω) en el sentido de las ω crecientes, en el punto de corte con C(A), se deja a la izquierda el sentido de las A crecientes, en la curva de C(A) = −1/N(A). Im

Re −1/N

−1/N

(a)

(b)

Figura 4.22: Criterio de estabilidad de ciclos l´ımite: (a) estable; (b) inestable. De este modo se ha demostrado con rigor el resultado que previamente se hab´ıa obtenido por consideraciones un tanto laxas con respecto al criterio de Nyquist.

Ejemplo Sea el sistema realimentado de la figura 4.23, que incluye un relé en la cadena directa. Supongamos, en primer lugar, que la función de transferencia de la parte lineal es: K G1 (s) = s(s + 2)

´ ´ DESCRIPTIVA113 4.3. ANALISIS DE SISTEMAS NO LINEALES MEDIANTE LA FUNCION r=0 +

G(s) -

Figura 4.23: Sistema con un relé y realimentación. Se trata de estudiar las posibles oscilaciones del sistema y su estabilidad. Recordando la expresión (4.23) se tiene que la función descriptiva de un relé viene dada por 4M N(A) = πA En este caso se supone que M = 1. Seg´ un lo que se ha visto, el sistema será oscilatorio si existe una solución a la ecuación 1 G1 (ω) = − N(A) Esta ecuación, en este caso, conduce a K πA =− jω(jω + 2) 4 Es decir 4K = −πAjω(jω + 2) Igualando sus partes reales e imaginarias se tiene: 4K = πAω 2 −2πAjω = 0 De donde se desprende que ω = 0, y por lo tanto el sistema no oscilará, pues no existe ninguna frecuencia para la que se tenga una solución oscilatoria. A la misma conclusión se llega empleando métodos gráficos, y comprobando que la representación gráfica de la función de transferencia de la parte lineal y de la función descriptiva sólo se cortan en el origen. Supongamos ahora que la ecuación de la parte lineal es G2 (s) =

K s(s + 2)(s + 5)

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

114

Im G2 (jω) A P

P P”

Figura 4.24: Estudio de la estabilidad de un sistema no lineal con un rel´e.

En ese caso la ecuaci´on de oscilaci´on se convierte en K πA =− jω(jω + 2)(jω + 5) 4 es decir 4K = −πAjω(jω + 2)(jω + 5) = 7Aω 2 + Aj(ω 3 − 10ω) Con lo que igualando partes reales e imaginarias se tiene 4K = 7πAω 2 ω 3 − 10ω = 0

Por lo tanto, en este caso el sistema oscila con una frecuencia ω = amplitud A = 2K/35π.

√

10 y una

Para estudiar la estabilidad del oscilador se recurre al diagrama de Nyquist que se muestra en la figura 4.24. El punto de oscilación corresponde al punto P de esta figura. Para estudiar la estabilidad del ciclo l´ımite, supongamos, en primer lugar, una perturbación que haga que la entrada al elemento no lineal se incremente a un nuevo valor, de modo que el punto de operación se desplace a P . Puesto que P se encuentra en la región de operación estable, la amplitud de la entrada al elemento no lineal tiende a decrecer y por tanto el punto de operación se mueve de nuevo a P . De forma análoga, si la perturbación hace decrecer la amplitud de la entrada al sistema no lineal entonces se produce un desplazamiento del punto de operación a P , que se encuentra situado en la región de operación inestable. La amplitud de la entrada, en este caso, se incrementa de modo que el punto de operación vuelve de nuevo a P . Por consiguiente el sistema tiene un ciclo l´ımite estable en P .

´ DESCRIPTIVA DUAL 4.4. LA FUNCION

115

Figura 4.25:

4.3.6.

Fiabilidad del an´ alisis mediante funciones descriptivas

Cuando se emplea el método de la función descriptiva conviene no olvidar nunca el carácter aproximado de esa función, lo que conduce a resultados que tienen también una naturaleza aproximada. Este carácter aproximado afecta no sólo a los valores numéricos de las amplitudes y frecuencias de las oscilaciones de los ciclos l´ımites, sino también a la propia existencia de estos. Conviene recordar una de las hipótesis sobre las que está basado el método: el carácter de filtro paso bajo del sistema lineal. Además, la propia expresión (4.30) puede ser sensible a las aproximaciones que comporta el método. Con carácter general se puede decir que las conclusiones del método serán tanto más sólidas cuanto más neta sea la intersección de las curvas que representan la parte lineal y la inversa de la parte no lineal en la resolución gráfica del método. En la figura 4.25 se muestran dos situaciones extremas posibles. En la figura 4.25a se presenta un caso en el que el sistema muestra una gran sensibilidad, lo que hace temer que las conclusiones del método se puedan ver fuertemente afectadas. Por otra parte, la figura 4.25b muestra un caso en el que las conclusiones son altamente fiables. Cabe decir, que cuanto más perpendicular es la intersección entre las curvas G(jω) y −1/N(A, ω), más fiables son los resultados del método.

4.4.

La funci´ on descriptiva dual

En este apartado se extienden las técnicas de análisis basadas en métodos frecuenciales al caso de no linealidades asimétricas. Para ello se usa el método de la

116

Â´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO Â´ CAPÂ´ITULO 4. FUNCION

funciÂ´ on descriptiva dual [GV68], [Ath75], [Coo94], [Cue00]. En este mÂétodo se estudia el balance del primer armÂónico, de tal forma que los ciclos lÂ´Äąmite admitirÂán la siguiente representaciÂón: y(t) = a0 + Re(a1 ejĎ&#x2030;t );

a0 â&#x2C6;&#x2C6; R, a1 â&#x2C6;&#x2C6; C;

Re(a1 ) â&#x2030;Ľ 0, Ď&#x2030; > 0,

(4.36)

donde, y(t) es la salida de la parte lineal y a0 es el tÂérmino de continua. Al igual que en la secciÂón anterior los ciclos lÂ´Äąmite no se consideran en fase, y se puede suponer, sin pÂérdida de generalidad, que Im(a1 ) = 0. Es importante hacer notar que la expresiÂón (4.36) abarca no sÂólo al representaciÂón de ciclos lÂ´Äąmite asimÂétricos como salida del sistema, sino que tambiÂén contempla la posibilidad tanto de ciclos lÂ´Äąmite simÂétricos (a0 = 0), como la de puntos de equilibrio (a1 = 0). AsÂ´Äą pues, considÂérese que las seË&#x153; nales correspondientes a la salida del bloque lineal, y(t), deďŹ nidas segÂ´ un (4.36) entran, por efecto de la realimentaciÂón del sistema (ďŹ gura 4.3), en el bloque no lineal dando lugar a unas salidas que, en rÂégimen permanente, corresponden a las seË&#x153; nales periÂódicas v(t). Dichas salidas pueden ser representadas por medio de un desarrollo en serie como: v(t) = N0 a0 + Re(N1 a1 ejĎ&#x2030;t ) + . . . donde, N0 y N1 corresponden, respectivamente, a la ganancia de continua y a la del primer armÂónico calculadas desde la entrada del bloque no lineal a la salida de dicho bloque. Estas ganancias pueden ser obtenidas de manera fÂácil a partir de la expresiÂón de los coeďŹ cientes de Fourier como: Ď&#x20AC; 1 N0 (a0 , a1 , Ď&#x2030;) = v(t) d(Ď&#x2030;t) 2Ď&#x20AC;a0 â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; 1 v(t)eâ&#x2C6;&#x2019;jĎ&#x2030;t d(Ď&#x2030;t). N1 (a0 , a1 , Ď&#x2030;) = Ď&#x20AC;a1 â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x20AC; Si se considera una no linealidad estÂática, es posible eliminar la dependencia de Ď&#x2030; de N0 y N1 . Por tanto, para que se satisfaga el balance del primera armÂónico, y exista un ciclo lÂ´Äąmite, serÂá necesario que los tÂérminos de orden cero y de primer orden de y(t) sean iguales a los correspondientes tÂérminos calculados (despreciando armÂónicos de orden superior) a la salida del bloque lineal cuando se toma como entrada la seË&#x153; nal v(t). Esta condiciÂón puede ser expresada como el sistema: (G(0)N0 (a0 , a1 ) + 1)a0 = 0 (G(0)N1 (a0 , a1 ) + 1)a1 = 0.

(4.37)

´ DESCRIPTIVA DUAL 4.4. LA FUNCION

117

En el caso que exista solución en a0 , a1 y ω del sistema (4.37) se podrá predecir la existencia de un ciclo l´ımite. Cuando la solución sea independiente de ω y tenga a1 = 0, ésta será la correspondiente a un punto de equilibrio del sistema.

4.4.1.

Ejemplo

Para ilustrar este método, y a fin de tener un resultado que comparar con el método de detección de ciclos l´ımite con N armónicos, se aplica el método de la función descriptiva dual a un sistema simple pero con una riqueza de comportamiento suficiente ´ ´ [SAA98a], [SAA98b]. El sistema a analizar es el representado en la figura 4.26 que tiene una no linealidad cuadrática que, al no ser simétrica con respecto al origen, justifica el uso de la función descriptiva dual.

r=0

s+1

G(s)=

s +bs+2

- y2

Figura 4.26: Sistema no lineal estudiado. En primer lugar se hallan los puntos de equilibrio, para ello hay que resolver la ecuaci´on: y + G(0)ϕ(y) = 0 ⇔ ϕ(y) = −

y G(0)

donde, ϕ(y) = −y 2 y G(0) = 12 . Esta ecuación se puede resolver gráficamente a partir de la figura 4.27. Se observa que se obtienen dos puntos de equilibrio: y = 0 e y = 2. A continuación hay que estudiar su estabilidad. Para ello se usa el criterio de Nyquist. Aunque el sistema sea no lineal se puede aplicar este criterio ya que se estudia la estabilidad local del sistema en el punto de equilibrio. En primer lugar se analiza la estabilidad del equilibrio en y = 0, cuyo diagrama de Nyquist en función del parámetro b es el representado en la figura 4.28.

118

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

E1 y E2 -2y

f (y)

Figura 4.27: Cálculo gráfico de los equilibrios.

G(0)

0<b<2

1/b

b>2

G(0)

b<0

Figura 4.28: Diagrama de Nyquist para en y = 0.

Para b > 0, en cualquiera de los dos casos (b < 2 y b > 2), al estar el punto cr´ıtico en el infinito, el n´ umero de vueltas es N = 0, y puesto que el sistema es estable en bucle abierto P = 0; luego Z = 0, por lo que el equilibrio es estable. Para b < 0 el sistema pasará a ser inestable en bucle abierto y como el punto cr´ıtico está en el infinito el n´ umero de vueltas es N = 0. Dado que P = 2, al ser el sistema inestable en bucle abierto Z = 2, por lo que el equilibrio es inestable. As´ı pues, se pasa de la estabilidad a la inestabilidad del equilibrio y = 0 para b = 0, y esta pérdida de estabilidad se produce por la aparición de dos polos complejos conjugados, lo que induce a pensar que se está en presencia de una bifurcación de Hopf. A continuación se realiza el mismo análisis para el equilibrio en y = 2. En este caso el punto cr´ıtico está en 14 ; por lo que como se puede observar en la figura 4.29, tanto para b > 0, como para b < 0 el equilibrio es inestable con Z=1; por lo tanto el equilibrio es un punto de silla. El siguiente paso consiste en el cálculo de ciclos l´ımite mediante la función descrip-

´ DESCRIPTIVA DUAL 4.4. LA FUNCION

G(0) 1/4

1/b

119

1/b

G(0)

1/2

1/4

b>0

b<0

Figura 4.29: Diagrama de Nyquist para y = 2. tiva dual . Para la funci´on y 2 la funci´on descriptiva queda de la forma: N0 = −a0 − N1 = −2a0 .

a21 2a0

Se observa que, al ser una no linealidad estática, la función descriptiva no depende de ω, pero s´ı de los parámetros a0 y a1 . La ecuación de balance armónico es: a0 [N0 G(0) + 1] = 0 N1 G(jω) + 1 = 0.

(4.38) (4.39)

Despejando de las ecuaciones anteriores se tiene que para a0 = 0 de la ecuaci´on (4.38) se obtiene: 1 a21 (−a0 − )+1=0 2 2a0

(4.40)

−2a0 G(jω) + 1 = 0

(4.41)

y de (4.39)

Si se resuelve gráficamente la ecuación (4.41) para los casos estudiados en el an´ alisis de equilibrios (figura 4.30), se obtiene que la función descriptiva de la no linealidad se corresponde con − N11 = 2a10 Observando la figura 4.30 se deduce que sólo existe ciclo l´ımite para los valores de b tales que 0 < b < 2 y, seg´ un el criterio de Nyquist generalizado, dicho ciclo l´ımite es inestable. El corte entre el diagrama de √ Nyquist y la función descriptiva se produce 1 1 para 2a0 = b con una frecuencia de ω = 2 − b.

120

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

1/b

G(0) 1/2

G(0)

1/b

0<b<2

b>2

b<0

Figura 4.30: Resolución gráfica para diferentes valores de b. Resolviendo la ecuación (4.40) para calcular la amplitud del ciclo l´ımite se obtiene que ésta es: b2 a1 = 2b − . 2 Por lo tanto, y a modo de resumen, puede decirse que el sistema presenta una bifurcación de Hopf subcr´ıtica en b = 0 de donde nace un ciclo l´ımite que va creciendo en amplitud hasta que choca con el punto de silla, produciéndose una bifurcación homoclina en b = 2 (que coincide con ω = 0) y desapareciendo el ciclo l´ımite. Esto puede verse de manera más clara en el diagrama de bifurcaciones que se presenta en la figura 4.31. y

Figura 4.31: Diagrama de bifurcaciones del sistema.

Por lo expuesto anteriormente el ciclo l´ımite inestable deber´ıa existir hasta que b = 2. Sin embargo, por simulaci´on se obtiene que ese ciclo l´ımite desaparece a partir

´ ´ ´ ´ 4.5. CALCULO DE VARIOS ARMONICOS EN EL METODO DE BALANCE ARMONICO121 de b = 0,36, valor sensiblemente inferior al obtenido por el método de la función descriptiva. Esta discrepancia es debida a la interacción del ciclo l´ımite con la variedad estable del punto de silla, lo que hace que el ciclo l´ımite se achate y que los armónicos de orden superior a uno tengan un mayor peso en su descripción. As´ı pues, tal y como se expuso en un primer momento, el método de la función descriptiva reproduce relativamente bien el comportamiento cualitativo del sistema (de hecho se ha detectado una bifurcación de carácter global, como es la homoclina, de una manera sencilla), pero, para un ajuste más fino, se ha de recurrir a otro tipo de análisis o bien a calcular los armónicos de orden superior.

4.5.

C´ alculo de varios arm´ onicos en el m´ etodo de balance arm´ onico

Como se ha expuesto en la sección anterior, el método de la función descriptiva tiene carácter aproximado y se muestra insuficiente para describir los ciclos l´ımite cuando están lejos de su nacimiento. Para solucionar este problema, como primera aportación original a esta tesis, se presenta un método para el cálculo de un n´ umero ´ ´ arbitrario de armónicos en un sistema con no linealidad est´ atica [SAA98a], [SAA98b]. En primer lugar se presenta una descripción de la notación y procedimientos a seguir. El sistema no lineal objeto de estudio es el representado en la figura 4.32.

G(s)

f(.)

Figura 4.32: Sistema no lineal.

122

Â´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO Â´ CAPÂ´ITULO 4. FUNCION

Si xp (t) es una soluciÂón periÂódica de periodo T = en series de Fourier, obteniÂéndose la expresiÂón:

2Ď&#x20AC; , Ď&#x2030;

entonces puede ser desarrollada

xË&#x2020;0 xp (t) = â&#x2C6;&#x161; + [Ë&#x2020; xck cos(kĎ&#x2030;t) + xË&#x2020;sk sen(kĎ&#x2030;t)]. 2 k=1 â&#x2C6;&#x17E;

Normalmente se utiliza una versiÂ´on truncada a N tÂ´erminos del desarrollo anterior: xË&#x2020;0 [Ë&#x2020; xck cos(kĎ&#x2030;t) + xË&#x2020;sk sen(kĎ&#x2030;t)]. xN (t) = â&#x2C6;&#x161; + 2 k=1 N

Descrita la oÂ´rbita periÂódica de esta forma, la bondad de la aproximaciÂón dependerÂá de: El nÂ´ umero de armÂónicos N utilizados. CaracterÂ´Äąsticas de ďŹ ltrado del sistema: El sistema lineal debe ďŹ ltrar la mayor parte de los armÂónicos de orden superior a N para que la aproximaciÂón sea lo mÂás precisa posible. La aproximaciÂón serÂá tanto peor cuanto mÂás bruscos sean los cambios producidos en Ď&#x2022;(y) en funciÂón de las variaciones de y. Para el sistema de la ďŹ gura 4.32 se puede expresar la salida y(t) en funciÂón de su desarrollo en series de Fourier en su forma truncada en N armÂónicos: yË&#x2020;0 [Ë&#x2020; ykc cos(kĎ&#x2030;t) + yË&#x2020;ks sen(kĎ&#x2030;t)] yN (t) = â&#x2C6;&#x161; + 2 k=1 N

La entrada del sistema, suponiendo referencia nula, es u = â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2022;(y), con lo que sustituyendo yN (t) en la expresiÂ´on anterior: uË&#x2020;0 [Ë&#x2020; uck cos(kĎ&#x2030;t) + uË&#x2020;sk sen(kĎ&#x2030;t)]. â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2022;(yN (t)) = â&#x2C6;&#x161; + 2 k=1 â&#x2C6;&#x17E;

NÂótese que el hecho de que yN (t) estÂé truncada en N armÂónicos no implica que Ď&#x2022;(yN (t)) tambiÂén lo estÂé, ya que es el desarrollo en series de Fourier de una onda distinta. Llamaremos uN (t) al truncamiento de â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2022;(yN (t)) en N armÂónicos: uË&#x2020;0 [Ë&#x2020; uck cos(kĎ&#x2030;t) + uË&#x2020;sk sen(kĎ&#x2030;t)] uN (t) = â&#x2C6;&#x161; + 2 k=1 N

´ ´ ´ ´ 4.5. CALCULO DE VARIOS ARMONICOS EN EL METODO DE BALANCE ARMONICO123 Dado un n´ umero determinado de armónicos N, se define en primer lugar la función vectorial: FN (θ) ∈ IR1×(2N +1) , que es la compuesta por el término de continua y los cosenos y senos de los diferentes armónicos a considerar. 1 FN (θ) = [ √ , cos(θ), sen(θ), . . . , cos(Nθ), sen(Nθ)]. 2 Se definen los vectores Yˆ , y Uˆ como los vectores de dimensión 2N + 1 que contienen los coeficientes del desarrollo en series de Fourier truncado en N armónicos de la salida yN (t) y la entrada uN (t) al sistema respectivamente. c s Yˆ T = [ˆ y0 , yˆ1c , yˆ1s , . . . , yˆN , yˆN ] ˆ T = [ˆ U u0 , uˆc , uˆs , . . . , uˆc , uˆs ]. 1

As´ı, multiplicando cada uno de los vectores columna anteriores por la función vectorial FN (ωt) se obtienen los desarrollos truncados de la salida y la entrada: yN (t) = FN (ωt)Yˆ ˆ uN (t) = FN (ωt)U. Supóngase una se˜ nal de entrada periódica definida por el vector columna UˆN con N armónicos de entrada. Se introduce esta se˜ nal en el sistema lineal y se obtiene una se˜ nal de salida periódica truncada también en N armónicos YˆN (figura 4.33). ˆ U

Yˆ

G(s)

Figura 4.33: Relaci´on entre los arm´onicos de entrada y de salida.

Suponiendo que la matriz A del sistema no tiene autovalores en el eje imaginario, ˆ y los de dado que el sistema es lineal, la relación entre los armónicos de entrada U salida Yˆ será también lineal y puede ser expresada por la matriz: ˆ Yˆ = HG U, donde

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ HG = ⎢ ⎢ ⎣

G(0) 0 0 ¯ 0 H1 0 0 0 H¯2 .. .. .. . . . 0 0 0

... ... ... .. .

0 0 0 .. . ¯ . . . HN

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦

124

Â´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO Â´ CAPÂ´ITULO 4. FUNCION

ÂŻ k â&#x2C6;&#x2C6; R2Ă&#x2014;2 se deďŹ nen como: Las matrices H Re(G(kĎ&#x2030;j)) Im(G(kĎ&#x2030;j)) Re(G(kĎ&#x2030;j)) Im(G(kĎ&#x2030;j)) ÂŻk = ÂŻk = H con H â&#x2C6;&#x2019;Im(G(kĎ&#x2030;j)) Re(G(kĎ&#x2030;j)) â&#x2C6;&#x2019;Im(G(kĎ&#x2030;j)) Re(G(kĎ&#x2030;j)) Realimentando la salida, suponiendo referencia nula y volviendo a obtener la seË&#x153; nal de entrada, se obtiene una relaciÂ´on entre la salida y la entrada (ďŹ gura 4.34). Ë&#x2020; U

Ď&#x2022;(Âˇ)

YË&#x2020;

Figura 4.34: RealimentaciÂ´on de la salida para dar la entrada.

La obtenciÂón de los armÂónicos de entrada en funciÂón de los de salida se harÂá aplicando balance armÂónico, es decir: â&#x17D;¤ â&#x17D;Ą â&#x17D;¤ â&#x17D;Ą â&#x2C6;&#x161;1 uË&#x2020;0 2 â&#x17D;˘ cos(Ď&#x2030;t) â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ uË&#x2020;c â&#x17D;Ľ â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ â&#x17D;˘ 1 â&#x17D;Ľ T â&#x17D;˘ sen(Ď&#x2030;t) â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ uË&#x2020;s â&#x17D;Ľ 2 1 â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ Ë&#x2020; â&#x17D;˘ . â&#x17D;Ľ= â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(yN (t)) â&#x17D;˘ U= â&#x17D;Ľ dt. . . . â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ â&#x17D;˘ . â&#x17D;Ľ T 0 . â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ â&#x17D;˘ c â&#x17D;Ľ â&#x17D;Ł cos(NĎ&#x2030;t) â&#x17D;Ś â&#x17D;Ł uË&#x2020;N â&#x17D;Ś uË&#x2020;sN sen(NĎ&#x2030;t) Usando la notaciÂón descrita anteriormente y, realizando el cambio de variables Î¸ = Ď&#x2030;t, la ecuaciÂón anterior se puede expresar: 1 2Ď&#x20AC; Ë&#x2020; U =â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(F (Î¸)YË&#x2020; )F T (Î¸)dÎ¸. (4.42) Ď&#x20AC; 0 Sustituyendo la relaciÂón entre los armÂónicos de entrada y los de salida a travÂés de la parte lineal del sistema en la ecuaciÂón anterior se obtiene la ecuaciÂón de balance armÂ´ onico: 2Ď&#x20AC; 1 UË&#x2020; = â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(F (Î¸)HG UË&#x2020; )F T (Î¸)dÎ¸ (4.43) Ď&#x20AC; 0 que permite calcular, con una aproximaciÂón de N armÂónicos, la frecuencia y amplitud de los ciclos lÂ´Äąmite existentes en el sistema. Volviendo sobre el ejemplo propuesto en el apartado 4.4.1, la resoluciÂón de las ecuaciones de balance armÂónico tambiÂén puede hacerse a partir de la formulaciÂón general de la ecuaciÂón de balance armÂónico (4.43).

Â´ Â´ Â´ Â´ 4.5. CALCULO DE VARIOS ARMONICOS EN EL METODO DE BALANCE ARMONICO125 Si en al ecuaciÂón (4.42) se premultiplican ambos miembros de la igualdad por la matriz HG queda: HG 2Ď&#x20AC; Ë&#x2020; Ë&#x2020; HG U = Y = â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(F (Î¸)YË&#x2020; )F T (Î¸)dÎ¸. Ď&#x20AC; 0 Tomando el origen de tiempo de manera que la seË&#x153; nal periÂódica de salida se pueda expresar como: a0 y(t) = â&#x2C6;&#x161; + asenÎ¸. 2 Sustituyendo en la ecuaciÂón anterior y truncando el desarrollo en el primer armÂónico: â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x203A; 2Ď&#x20AC; a0 a0 â&#x17D;? 0 â&#x17D; = â&#x2C6;&#x2019; HG Ď&#x2022;( â&#x2C6;&#x161; + asenÎ¸)F T (Î¸)dÎ¸, Ď&#x20AC; 0 2 a donde, desarrollando la no linealidad y tomando sÂólo el primer armÂónico: a2 a2 2a0 a a0 + â&#x2C6;&#x161; senÎ¸), Ď&#x2022;( â&#x2C6;&#x161; + asenÎ¸) = â&#x2C6;&#x2019;( 0 + 2 2 2 2 con lo que â&#x17D;Ą â&#x17D;Ł

â&#x17D;¤

â&#x17D;Ą

â&#x17D;¤

2 a â&#x2C6;&#x161;1 ( 0 + a + 2a â&#x2C6;&#x161;0 a senÎ¸) 2Ď&#x20AC; a0 2 2 2 â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ a2 a2 2a a 2 HG â&#x17D;˘ ( 0 + + â&#x2C6;&#x161;0 senÎ¸) cos Î¸ â&#x17D;Ľ dÎ¸. 0 â&#x17D;Ś= 2 2 â&#x17D;Ś â&#x17D;Ł 2 Ď&#x20AC; 0 a20 a 2a a a2 0 ( 2 + 2 + â&#x2C6;&#x161;2 senÎ¸)senÎ¸

Integrando esta ecuaciÂ´on y teniendo en cuenta que HG vale â&#x17D;Ą â&#x17D;¤ G(0) 0 0 Re(G(jĎ&#x2030;)) Im(G(jĎ&#x2030;)) â&#x17D;Ś HG = â&#x17D;Ł 0 0 â&#x2C6;&#x2019;Im(G(jĎ&#x2030;)) Re(G(jĎ&#x2030;)) se obtiene el sistema de ecuaciones: G(0) a0 = â&#x2C6;&#x161; (a20 + a2 ) 2 2a0 a 0 = Im(G(jĎ&#x2030;)) â&#x2C6;&#x161; 2 2a0 a a = Re(G(jĎ&#x2030;)) â&#x2C6;&#x161; 2 que es igual al formado por las ecuaciones (4.40) y (4.41) escaladas en puestas en parte real e imaginaria.

â&#x2C6;&#x161;

2 y descom-

Â´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO Â´ CAPÂ´ITULO 4. FUNCION

126

4.5.1.

DefiniciÂ´ on del algoritmo

Para resolver la ecuaciÂón de balance armÂónico para los N primeros armÂónicos se ďŹ ja, en primer lugar, el origen de tiempos arbitrariamente de manera que el primer coeďŹ ciente del desarrollo en series de Fourier de la entrada uc1 sea igual a cero. A continuaciÂón se usa un algoritmo iterativo para calcular los armÂónicos de orden superior a N = 1, suponiendo conocido el valor de Ď&#x2030; y el de us1 = a. Para garantizar la convergencia del algoritmo se presenta la siguiente propiedad [Vid93] Si para la frecuencia Ď&#x2030; se cumple: 1. mÂáx | G(kĎ&#x2030;j) |<

1 , â&#x2C6;&#x20AC;k = 1 L

donde L es una constante de Lipschitz de Ď&#x2022;(.). 2. Existe

â&#x17D;¤ a0 â&#x17D;˘ 0 â&#x17D;Ľ â&#x17D;Ľ U =â&#x17D;˘ â&#x17D;Ł a â&#x17D;Ś Us â&#x17D;Ą

soluciÂ´ on de la ecuaciÂ´ on de balance armÂ´ onico. Entonces, el siguiente proceso iterativo converge a los armÂ´ onicos superiores de dicha s s orbita periÂ´ Â´ odica, es decir, Uk â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; U y u0k â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; a0 : â&#x17D;Ą â&#x17D;¤ â&#x17D;Ą â&#x17D;¤ u0k+1 u 0k â&#x17D;˘ uc1 â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ 0 â&#x17D;Ľ T 1 2Ď&#x20AC; â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ = â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2022;(F (Î¸)H G â&#x17D;Ł us1 â&#x17D;Ś â&#x17D;Ł a â&#x17D;Ś)F (Î¸)dÎ¸. Ď&#x20AC; 0 s Uks Uk+1

Bajo las hipÂótesis de la propiedad anterior, supÂóngase que para Ď&#x2030; y a se calculan, utilizando el mÂétodo anteriormente descrito, a0 y los armÂónicos superiores U s : â&#x17D;Ą â&#x17D;¤ â&#x17D;Ą â&#x17D;¤ u0 u 0 2Ď&#x20AC; â&#x17D;˘ uc1 â&#x17D;Ľ â&#x17D;˘ 0 â&#x17D;Ľ T â&#x17D;˘ s â&#x17D;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x17D;˘ â&#x17D;Ľ Ď&#x2022;(F (Î¸)H G â&#x17D;Ł u1 â&#x17D;Ś â&#x17D;Ł a â&#x17D;Ś)F (Î¸)dÎ¸, Ď&#x20AC; 0 Us Us

´ ´ ´ ´ 4.5. CALCULO DE VARIOS ARMONICOS EN EL METODO DE BALANCE ARMONICO127 entonces la condición para la existencia de una o´rbita periódica queda reducida a uˆc1 = 0 y uˆs1 = a. Para resolver estas ecuaciones, el algoritmo se aplica partiendo de un valor inicial determinado para las amplitudes de los armónicos superiores, y, a partir de ah´ı, se itera hasta conseguir que estos armónicos converjan hasta un valor determinado para cada valor de ω y a de una malla previamente prefijada. Los valores de uˆc1 y uˆs1 obtenidos para cada punto de la malla y solución de la iteración de los armónicos superiores se almacenan junto con los valores de ω y a y dichos armónicos, barriéndose as´ı toda la malla. Terminado el barrido, se halla el punto que tiene menor error entre los valores calculados de uˆc1 y uˆs1 y los valores necesarios para la existencia de solución periódica, realizándose a continuación un barrido en una malla más fina alrededor de dicho punto. En caso de que el error en las igualdades u ˆc1 = 0 y uˆs1 = a fuera demasiado alto el algoritmo supondrá que no existe o´rbita periódica para ese par (ω, a).

4.5.2.

Resultados

A continuación se exponen los resultados de la aplicación del algoritmo de detección de o´rbitas periódicas con N armónicos al sistema de la figura 4.26 con N = 20 y se comparan los resultados obtenidos con la o´rbita periódica obtenida de la aplicación de la función descriptiva (N = 1) para diferentes valores del parámetro b.

b = 0,05 Para este valor de b la amplitud del ciclo l´ımite ha de ser peque˜ na ya que dicha amplitud crece con el valor de b al haberse producido una bifurcación de Hopf en el origen. En la figura 4.35 se muestra con el s´ımbolo ”+.en rojo el ciclo l´ımite obtenido del algoritmo con N = 1 y con l´ınea continua la evolución del sistema en el espacio de estados. Nótese que el ciclo l´ımite que se obtiene es inestable, lo cual no es problema para el método del balance armónico, ya que este método sólo resuelve la ecuación de balance armónico sin analizar su estabilidad, pero para la representación del espacio de estados se ha utilizado la integración hacia “atrás” en el tiempo para poder ver el ciclo l´ımite.

128

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION 0.8

0.6

0.4

0.2

−0.2

−0.4

−0.6 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

Figura 4.35: Ciclo l´ımite real y calculado con N = 1 para b = 0,05. Como puede observarse no existe gran diferencia entre el calculado con N = 1 y el real, debido a que la amplitud del ciclo l´ımite es peque˜ na y todav´ıa no ha entrado en contacto con la variedad estable del punto de silla.

b = 0,2 Si se realiza la operación anterior, comparando el ciclo l´ımite calculado por el método de la función descriptiva (N = 1) y el real obtenido por integración (figura 4.36), se observa que existen diferencias significativas entre ambos debido al aumento de amplitud de dicho ciclo l´ımite. Si se calcula ahora en ciclo l´ımite con los 20 primeros armónicos y se lo compara con el real se observa (figura 4.37) que son prácticamente iguales. De tal manera que se confunde el ciclo l´ımite calculado con el real.

b = 0,31 En este caso la aproximación con 20 armónicos no es tan precisa, ya que, al estar muy próximos a la o´rbita homoclina, el periodo tiende a infinito (ω → 0), con lo que la convergencia del algoritmo se ve comprometida, aunque, como se puede observar en la figura 4.38, la forma de ambos ciclos es muy parecida, variando sólo la amplitud.

´ ´ ´ ´ 4.5. CALCULO DE VARIOS ARMONICOS EN EL METODO DE BALANCE ARMONICO129

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

−0.2

−0.4

−0.6 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

Figura 4.36: Ciclo l´ımite real y calculado con N = 1 para b = 0,2.

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

−0.2

−0.4

−0.6 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

Figura 4.37: Ciclo l´ımite real y calculado con N = 20 para b = 0,2.

130

´ DESCRIPTIVA Y BALANCE ARMONICO ´ CAP´ITULO 4. FUNCION

1.5

0.5

−0.5

−1 −1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

Figura 4.38: Ciclo l´ımite real y calculado con N = 20 para b = 0,31.

Se ha probado también el algoritmo para un valor de b superior al de bifurcación, obteniéndose, para este caso, un ciclo l´ımite calculado para N = 1 y no hallándose ninguno para una aproximación con armónicos de orden superior.

Bibliograf´ıa [Ath75]

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M. Vidyasagar. Nonlinear Systems Analysis. Prentice-Hall, 2 edition, 1993.

131

132

BIBLIOGRAF´IA

Cap´ıtulo 5 Bifurcaciones en sistemas de control 5.1.

Feedback systems with saturation

Consider the open loop system x˙ = Ax + Bu with a control law u = −Kx giving rise to a closed loop system x˙ = (A − BK)x it is assumed that this system has a good performance. The closed loop system can also be interpreted as +-

where

G(s) = K(sI − A)−1 B

Now a saturation is added in the feedback loop u +

-1

y G(s)

-1

How does the saturation inﬂuence the global behavior? 133

CAP´ITULO 5. BIFURCACIONES EN SISTEMAS DE CONTROL

134

5.1.1.

Equilibria in a system with saturation

Consider the system y

u +

G(s)

ϕ(.)

where ϕ(.) is the nonlinear characteristic of a saturation. The system equilibria are the values xe such that x˙ = 0 x˙ = 0 ⇒ Axe + Bxe = 0 ⇒ xe = −A−1 Bue y e = −kA−1 Bue ⇒ y e = G(0)ue but ue = −ϕ(y e ), so

y e = −G(0)ϕ(y e )

The equilibria are the solutions to y + G(0)ϕ(y) = 0 Graphical solutions of the equilibrium point: - y

ϕ(y)

G(0)

Stability around an equilibrium y e : • the linearization has slope

dϕ (y e ) dy

(y e ) • the critical point in the Nyquist plot is −1/ dϕ dy In the saturation case: • •

dϕ dy dϕ dy

= 1 at y e = 0; = 0 at y e = ±KA−1 B.

5.1. FEEDBACK SYSTEMS WITH SATURATION

5.1.2.

135

Limit cycles in a system with saturation

Occurrence of periodic orbits using the describing function method. Describing function for the normalized saturation is N(a) =

1 2 sin−1 π

1 a

+ a1 1 −

1 a2

0≤a≤1

a>1

To predict limit cycles the following equation must be solved 1 + N(a)G(jω) = 0 This equation can be solved graphically with a Nyquist plot where G(jω) and −1/N(a) are represented.

5.1.3.

First order system

Consider the system with the open loop transfer function G(s) =

k s+a

Characteristic polynomial at the origin p(s) = s + a + k • if −k < a the origin is stable, • for −k = a there is an stability boundary, • if −k > a the origin is unstable,

136

CAP´ITULO 5. BIFURCACIONES EN SISTEMAS DE CONTROL φ( y)

-1

Gμ (0)<0

Gμ (0)>0

y(t)

Gμ (0)

1 0 0

Gμ(0)

y2e =-G μ(0)

y 1e =Gμ (0)

0 0

Gμ (0)

ye0 =0

-1

Gμ (0)<-1

Qualitative Analysis Bifurcation set in the parameter plane (a, k). k 1

0.8

0.8 0.6

0.6

0.4

(-1,0)

0.2

imag.G(jw)

0.4

G(0)

−0.2 −0.4

-1/N(A)

(-1,0)

0.2

G(0)

0 −0.2

-1/N(A)

−0.4 −0.6

−0.6 −0.8

G(jw)

−0.8

G(jw)

−1

−1 −3

−3

−2.5

−2

−1.5

−1 real G(jw)

−0.5

0.5

−2

−1

0 real G(jw)

LOCAL STABILITY

Poou

0.5 0.4

GLOBAL

0.3

imag.G(jw)

0.2

(-1,0)

0.1 0

STABILITY

G(0)

-1/N(A)

−0.1 −0.2

G(jw)

−0.3 −0.4 −0.5 −2

−1.5

−1

−0.5 real G(jw)

0.5

0.5 0.4

Pos

0.2

imag.G(jw)

UNSTABLE

G(jw)

0.3

(-1,0)

0.1 0 −0.1

Poos

G(0)

-1/N(A)

−0.2 −0.3 −0.4 −0.5 −2

−1.5

−1

−0.5

0.5

real G(jw)

1.5

0.5

G(jw)

0.4

G(jw)

0.3

0.5

G(0)

(-1,0)

0.1

imag.G(jw)

0.2

0 −0.1

-1/N(A)

G(0)

(-1,0)

w=oo

-1/N(A)

−0.2 −0.5

−0.3 −0.4

−1

k=-a

−0.5 −2

−1.5

−1

−0.5 real G(jw)

0.5

−1.5 −3

−2.5

−2

−1.5

−1 real G(jw)

−0.5

0.5

Bifurcation diagram with delay. (a) 0 < k. (b) k < 0. a)

Poo

P oo

k = constant

-k

Po 0 -1

0 -1

stable equilibrium points unstable equilibrium points

-k

5.2. SOTOMAYOR-LLIBRE-PONCE BIFURCATION ANALYSIS

5.1.4.

137

Second-order system

Consider the open loop second-order system x˙ = with a control law

0 1 −a2 −a1

0 1

u = −Kx = − k2 k1 x

The open loop transfer function is G(s) =

k1 + k2 s s2 + a1 s + a2

Closed-loop characteristic polynomial p(s) = s2 + α1 s + α2 = s2 + (a1 + k2 )s + (a2 + k1 ) Polar plot k1 a2

(-1,0)

k < a2 1

k1 a2

k1 k2 a 2 = a1

k2 a1

(-1,0)

k2 k1 = a2 a1

k2 a1

k2 (-1,0)

k1 a2

A saturation is added in the feedback path

5.2.

Sotomayor-Llibre-Ponce bifurcation analysis

Qualitatively diﬀerent state portraits in each region of the parameter plane (a1 , a2 )

138

CAP´ITULO 5. BIFURCACIONES EN SISTEMAS DE CONTROL

B a2

DSC

In all cases the origin remains stable.

The boundaries between these regions are given by bifurcations:

• a pitchfork bifurcation at inﬁnity P∞ ;

• a Hopf bifurcation at inﬁnity B∞ ; and

• a double saddle connection (DSC) bifurcation.

5.2. SOTOMAYOR-LLIBRE-PONCE BIFURCATION ANALYSIS

5.2.1.

139

Frequency domain interpretation of the Llibre-Ponce bifurcation analysis

k1 a2

(-1,0)

k2 a1

k1 a2

(-1,0)

k2 k1 = a2 a1

(-1,0)

II a

II k1 a2

k2 a1

(-1,0)

k1 (-1,0)

III IV

III

DSC k2 k1 = a2 a1

(-1,0)

DSC

k1 a2

(-1,0)

There are four diďŹ&#x20AC;erent regions.

5.2.2.

Bounded attraction basin

State portrait in region II, with bounded attraction basin

CAP´ITULO 5. BIFURCACIONES EN SISTEMAS DE CONTROL

140

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1

−0.5

0.5

For large enough disturbances the system is out of control 6 b 5

1 a

−1

−2 0

5.3.

0.5

1.5 t

2.5

Control systems with a delay

Consider the system r=0 +

u(t)

e -Ls ________ s+a

y(t)

φ(y)

The equilibrium points are the same as without delay. How does the delay aﬀect the bifurcation diagram of the system without delay?

5.3. CONTROL SYSTEMS WITH A DELAY

5.3.1.

141

Qualitative Analysis

Bifurcation set in the parameter plane (a, k). k u

Poo

DSC

π L

Diagrama de Nyquist 1.5

0.5

imag.G(jw)

-0.5

-1

Diagrama de Nyquist 2

-1.5

-2

1.5 -2.5 -5

-4

-3

-2

-1 0 real G(jw)

imag.G(jw)

0.5

-0.5

-1 -5

-4

-3

-2

-1 real G(jw)

-1 L

Diagrama de Nyquist 1

0.8

0.6

0 imag.G(jw)

0.4

0.2 0

imag.G(jw)

Diagrama de Nyquist 1

-0.2 -0.4

0.2 0 -0.2

-0.6

-0.4 -0.8

-0.6 -1 -5

-4

-3

ω =0

-2 real G(jw)

-1

Local u Stable

GLOBAL STABILITY

π 2L

-0.8 -1 -5

-4

-3

-2

-1 real G(jw)

Diagrama de Nyquist 0.5 0.4 0.3

imag.G(jw)

0.2 0.1

0 -0.1

-0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -3

-2.5

-2

-1.5

-1 real G(jw)

-0.5

0.5

0.8

0.6

UNSTABLE

0.4

imag.G(jw)

0.2

0.4

−0.2

−0.4

−0.6

0.2

−0.8 −2

imag.G(jw)

Poo

−0.2

−0.4

−0.6

−1.5

−1

−0.5 real G(jw)

0.5

1.5

−4

−3

−2

−1 real G(jw)

imag.G(jw)

−0.8 −5

0.5

−0.5

L = 1s

−1 −5

−4

−3

−2 real G(jw)

−1

Bifurcation diagram with delay. (a) 1/L < k < π/2L. (b) k > π/2L. a)

Poou

Poo

1 <k< π 2L L

1 Ho

-k

0 -1

Po -k

-1 L

stable equilibrium points unstable equilibrium points stable limit cycles

5.3.2.

A second-order system

Consider the system, r=0 + -

u(t) k (s+ki ) _________

e -Ls ________

s+a

φ ( y)

a -1

-1 L

π 2L

y(t)

CAP´ITULO 5. BIFURCACIONES EN SISTEMAS DE CONTROL

142

formed by a PI + a ﬁrst order system with a delay. The open loop transfer function is G(s) =

5.3.3.

k(s + ki )e−Ls s(s + a)

Qualitative Analysis

Bifurcation set in the parameter plane (a, k). k u Hoo

imag.G(jw)

0 -1

θ max L

Diagrama de Nyquist 8

imag.G(jw)

Diagrama de Nyquist 5

-2

0 -4

-1 -6

-2

-8 -3

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5 real G(jw)

0.5

1.5

-3 -4 -5 -4

-4 -3.5

-3

-2.5

-2

-1.5 real G(jw)

-1

-0.5

0.5

-5 -12

-10

-8

-6 real G(jw)

-4

-2

s Ho

SLC Diagrama de Nyquist 8

11 00 00 11

imag.G(jw)

LOCAL STABILITY

-2

GLOBAL

0110

-4

-6

-8 -2

-1.5

-1

-0.5

0 real G(jw)

0.5

1.5

Diagrama de Nyquist

5 4 3

imag.G(jw)

2 1 0 -1 -2

Diagrama de Nyquist 2

-3 1.5

-4

-5 -8

-7

-6

-5

STABILITY

-4 -3 real G(jw)

-2

-1

imag.G(jw)

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2 -2

-1.5

-1

-0.5

H uo

0.5

real G(jw)

ω =0 Diagrama de Nyquist

1.5

0.5

imag.G(jw)

UNSTABLE

NS0

0 Diagrama de Nyquist 2

-0.5 1.5

-1 1

-1.5

-1

-0.5

imag.G(jw)

0.5

-2 -2

0.5

real G(jw)

−0.5

−1

L = 0.1 s ki = 1

−1.5

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

0.5

real G(jw)

Bifurcation diagram for k > 0: (a) L = 0; (b) L > 0. u

H oo

Hoo

ye k= constant

k= constant

-k

stable periodic orbits

0 -1

-k

unstable equilibrium points stable equilibrium points unstable limit cycles

-1

s Ho

stable limit cycles

5.4. SUMMARY OF PREVIOUS RESULTS

5.4.

143

Summary of previous results

Global perspective on the behavior modes of a class of nonlinear control systems. Depending on G(0) and of ϕ(y) equilibria other than the origin can appear. • Multiple equilibria when G(0) < −1 • Limit cycles when G(jω) crosses −1/N(a). Bifurcations occur when the system is open loop unstable.