Lecture 32 Change of Variables in Multiple Integrals Calculus II Topic 4: Multiple Integrals
Calculus II
Santiago de Vicente
1
Remembering Change of Variable in One Variable Integrals
Calculus II
Santiago de Vicente
2
Change of Variables in Double Integrals
Calculus II
Santiago de Vicente
3
Transforming Domains by Change of Variables from Cartesian to Polar Coordinates
Calculus II
Santiago de Vicente
4
General Change of Variables in R2 đ?‘Ł
�
Calculus II
Santiago de Vicente
5
Example: Changing from Cartesian to Polar Coordinates
đ?‘‡ đ?‘–đ?‘ "đ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ"
đ?‘‡ đ?‘–đ?‘ đ?‘›đ?‘œđ?‘Ą "đ?‘œđ?‘›đ?‘’ − đ?‘Ąđ?‘œ − đ?‘œđ?‘›đ?‘’"
đ?’ƒđ?’–đ?’• đ?‘ť đ?’Šđ?’” "one − to − one" đ?’Šđ?’? đ?’•đ?’‰đ?’† đ?’Šđ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’Šđ?’?đ?’“ Calculus II
Santiago de Vicente
6
Calculating the Area Element in the Cange of Variables
Calculus II
Santiago de Vicente
7
Theorem of Change of Variables for Double Integrals
Calculus II
Santiago de Vicente
8
Remembering Change of Variables from Cartesian to Polar Coordinates
đ?‘Ľ = đ?‘&#x; cos đ?œƒ đ?‘Ś = đ?‘&#x; sin đ?œƒ Calculus II
â&#x;š
đ??˝ đ?‘&#x;, đ?œƒ
=
đ?œ•(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•(đ?‘&#x;,đ?œƒ)
=
đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘&#x;
Santiago de Vicente
đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?œƒ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?œƒ
=đ?‘&#x;
â&#x;š
đ?‘‘đ??´ = đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘‘đ?œƒ
9
Example:Change of Variables for Regions between ÂŤParallelÂť Curves
Calculus II
Santiago de Vicente
10
Example: Find a Change of Variables to transform the Domain R in a Rectangle
đ?‘… Calculus II
Santiago de Vicente
2đ?‘Ľ − đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś 2 11
Example: Find a Change of Variables to transform the Domain R in a Square
Calculus II
Santiago de Vicente
12
Example: Calculate the Double Integral:
đ?‘Ľ + đ?‘Ś đ?‘Ś − 2đ?‘Ľ 2 đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘…
Calculus II
Santiago de Vicente
13
Example: Calculate de Double Integral:
đ?‘…
Calculus II
đ?‘Ś đ?‘’ đ?‘Ľ
đ?‘Ľđ?‘Ś
đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś
Santiago de Vicente
14
Example: Find a Change of Variables to transform the Domain R in a Triangle with Sides parallel to the Axis
Calculus II
Santiago de Vicente
15
Example: Find a Change of Variables to transform the Domain R in a Rectangle with Sides parallel to the Axis
Calculus II
Santiago de Vicente
16
Change of Variables for Triple Integrals
Calculus II
Santiago de Vicente
17
Theorem of Change of Variables for Triple Integrals
Calculus II
Santiago de Vicente
18
Example: Change of Variables from Cartesian to Cylindrical Coordinates
đ??˝ đ?‘&#x;, đ?œƒ, đ?‘§
=
đ?œ•(đ?‘Ľ,đ?‘Ś,đ?‘§) đ?œ•(đ?‘&#x;,đ?œƒ,đ?‘§)
=
đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘&#x;
đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?œƒ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?œƒ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?œƒ
đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘§
=đ?‘&#x;
đ?‘‘đ?‘‰ = đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘§ = đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘‘đ?œƒ đ?‘‘đ?‘§
Calculus II
Santiago de Vicente
19
Example: Change of Variables from Cartesian to Spherical Coordinates
đ??˝ đ?œŒ, đ?œƒ, đ?œ‘
Calculus II
=
đ?œ•(đ?‘Ľ,đ?‘Ś,đ?‘§) đ?œ•(đ?œŒ,đ?œƒ,đ?œ‘)
=
đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?œŒ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?œŒ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?œŒ
đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?œƒ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?œƒ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?œƒ
đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?œ‘ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?œ‘ đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?œ‘
= đ?œŒ2 sin đ?œ‘
Santiago de Vicente
đ?‘‘đ?‘‰ = đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘§ = đ?œŒ2 sin đ?œ‘ đ?‘‘đ?œŒ đ?‘‘đ?œƒ đ?‘‘đ?œ‘
20
Relation between Cartesian, Cylindrical and Spherical Coordinates
Calculus II
Santiago de Vicente
21
Example: Changing Variables for Triple Integrals
đ??ˇ
Calculus II
Santiago de Vicente
2đ?‘Ľ − đ?‘Ś đ?‘§ + đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘§ 2 3
22
Find the Change of Variables for Volume
Calculus II
Santiago de Vicente
23
Homework
Calculus II
Santiago de Vicente
24