1. Calcule os valores de P para que atuem na viga os menores momentos fletores possíveis. P
P q
B
A a
b
a
Por simetria, sabe-se que: RB = R A então:
qb RB = P+ qa + 2
Trecho CA: 0 < x1 < a qx12 M (x 1) = Px1 2 M (C ) = M (0 ) = 0
V( x 1) = Pqx1 V( C ) = V(0) = P V( A) a = V( a ) = Pqa
2
qa M ( A) = M (a ) = P2
Trecho AB: 0 < x2 < b qb qx2 2 V( x 2 ) = Pqa + P+ qa + 2 2 2 qb qx2 V( x 2 ) = 2 2 qb V( A )d = V( 0) = 2 2 qb qb qb V( B )a = V(b ) = = 1b) ( 2 2 2
CRAENG
q qb ö 2 æ M ( x2 ) = P ( x2 + a) x2 + a) + P+ qa + x2 ( ç ÷ 2 2 ø è 2
qx2 qb ö qa æ M ( x2 ) = Pa + x2ç + ÷ 2 2 ø2 è 2
qa M ( A) = M (0 ) = P2 qb 2 qb2 qa 2 qa 2 MB = M ( b) = Pa + = Pa 2 2 2 2
2
qæ bö qb 2 qa 2 Pa + ç ÷ 2è 2 ø2 2 qb 2 qb 2 qa 2 Pa + 2 4 2 2 2 qa qb Pa + 2 8
Trecho BD: 0 < x3 < a qb ö æ V( x 3 ) = Pq( a+ b) + 2ç P+ qa + qx3 ÷ 2 ø è V( x 3 ) = P+ qa qx3 VB d = V (0 ) = P+ qa V( D ) = V( a ) = P+ qa qa = P q qb öæ qb ö æ 2 M ( x 3) = P ( x3 + a+ b) ( x3 + a+ b) + (b + x3 ) ç P+ qa + + x3 P + qa + ÷ç ÷ 2 2 øè 2 ø è 2
qx3 qa 2 M ( x 3) = Pa + qax3 + Px3 2 2 2
qa M ( B) = M (0 ) = Pa 2 qa 2 qa 2 M ( D) = M (a ) = Pa + qa 2 + Pa = 0 2 2
DM(x)
Pa+qa^2 2 qa^2 8 C
Pa+qa^2 2
{
qa^2 8
qb^2 2 B
A
D
ql 2 qb 2 = 8 8 2 ql qa 2 = 8 8
CRAENG
qa 2 qb 2 qa 2 2qa 2 qb 2 qb 2 qb 2 qa 2 P a +=P a -® 2 P a + =® 2 P a =qa 2 ® P a =2 8 2 2 8 8 16 2 2 ö qæ b P = a÷ ç2è 8a ø 2.Para a viga ao lado, monte as equações dos esforços cortantes e momento fletor, considerando a coordenada cartesiana X indicada na figura. Trace os diagramas de esforço cortante e momento fletor.
3kN/m
2kN/m
B
A x’
x= 0; y = 3 qx = ax + b , onde
4m
x= 4; y = 2
1 1 2= 4a + 3® 4a = ® a= 3= 0+ b® b= 3 a 4
1 Então: qx = x+ 3 4 Fazendo os cortantes: dv( x1 ) dv ( x1 ) 1 æ ö = q® = + 3÷ ç d ( x1 ) d ( x1 ) 4 è ø
Fazendo o momento fletor: dm( x1 ) dm( x1 ) 1 2 = V® = x 3x + C1 d ( x1 ) d ( x1 ) 8
dv( x1 ) 1 1 æ ö = x3® dv ( x1 ) = x3÷ dx1 ç ò ò d ( x1 ) 4 4 è ø
dm ( x ) = x 3x + C ÷ dx ç ò ò 8 è ø
1 2 V ( x1 ) = x 3x + C1 8
1 3 3x M ( x1 ) =x + C1 x + C2 24 2
Para
1 2 æ
ö
1
1
2
M Ad = M (0 ) ® C2 = 0 M B0 = M (4 )
43 3´ 42 0= - + 4C1 24 2 Para C1 = 5, 33
1 8
3
3x2 2
DV 5,33
Assim: VA d = V (0 ) = 5, 33
1 24
2
Portanto: V( x ) = x 3x + 5,33 e M ( x) = x + 5,33x
VB a = V(4 ) = 4, 67
+ Encontrando o ponto máximo do cortante: 1 4 V( x ) = x 3x + 5, 33 A 8 1ö æ 2 D = b 4ac ® D = (3)2 -´ 4ç 5, 33 ® D = 9 +® 2, 665 D = 11, 665 ÷ 8ø è
b± D 3± 3, 41 x= ® x= ® x1 = 25, 64 x 2 = 1, 64 2a 0, 25
B
4,67 5
DM A
B
2.Para a viga ao lado, monte as equações dos esforços cortantes e momento fletor, considerando a coordenada cartesiana X indicada na figura. Trace os diagramas de esforço cortante e momento fletor.
3kN/m
2kN/m
B
A x’
qx = ax + b , onde
x= 0; y = 3 CRAENG
4m
x= 4; y = 2
1 1 2= 4a + 3® 4a = ® a= 3= 0+ b® b= 3 a 4
1 Então: qx = x+ 3 4 Fazendo os cortantes: dv( x1 ) dv ( x1 ) 1 æ ö = q® = + 3÷ ç d ( x1 ) d ( x1 ) 4 è ø
Fazendo o momento fletor: dm( x1 ) dm( x1 ) 1 2 = V® = x 3x + C1 d ( x1 ) d ( x1 ) 8
dv( x1 ) 1 1 æ ö = x3® dv ( x1 ) = x3÷ dx1 ç ò ò d ( x1 ) 4 4 è ø
dm ( x ) = x 3x + C ÷ dx ç ò ò 8 è ø
1 2 V ( x1 ) = x 3x + C1 8
1 3 3x M ( x1 ) =x + C1 x + C2 24 2
Para
1 2 æ
1
2
M Ad = M (0 ) ® C2 = 0 M B0 = M (4 )
43 3´ 42 0= - + 4C1 24 2 Para C1 = 5, 33
1 2 1 3 3x2 Portanto: V( x ) = x 3x + 5,33 e M ( x) = x + 5,33x 8 24 2 DV 5,33
Assim: d
ö
1
VA = V (0 ) = 5, 33
a
VB = V(4 ) = 4, 67
+ Encontrando o ponto máximo do cortante: 1 4 V( x ) = x 3x + 5, 33 A 8 1ö æ D = b2 4ac ® D = (3)2 -´ 4ç 5, 33 ® D = 9 +® 2, 665 D = 11, 665 ÷ 8ø è
b± D 3± 3, 41 x= ® x= ® x1 = 25, 64 x 2 = 1, 64 2a 0, 25
B
4,67 5
DM A
B
5kN 2kN
2.Para a viga ao lado monte as funções dos esforços cortante e momento fletor, considerando a coordenada cartesiana X indicada na figura, e trace os diagramas de esforço cortante e momento fletor.
2,25kN
7kN A x 3,0 m
DM(kN)
-31kN
-7kN
-
M = 0 å
F = 0 å F = 0 å
A
H
6´ 1,5 + 11´ 3+ 7MB = 0
V
DV
MB = 31kN 56+ VB = 0® VB = 11Kn Esforço Cortante: Momento Fletor: V= 5x 2x x M= 75x 2x P/x= 0® V= 5kN 2 P/x= 3® V= 11kN P/x= 0® V(0) = 7 kN
-5kN -11kN
P/x= 3® V(3) = 31kN 9.A viga tem uma rótula em C. Trace o diagrama de 3kN momento fletor para a viga, sem necessariamente montar as funções das mesmas. A
5,5
DM(kN)
3 3
1m
B
2m
C 1m D
3m
E
6,83
DV
3
4kN/m
4kN/m
2,5
2,5
5,17
2,5
Momento Fletor:
8´ 1+ 3´ 3VB ´ 2= 0
Esforço Cortante: VA = 3kN
VB = 8,5kN
VB E = 3kN
MB = 3kN
F = 0 å
VB D = 3+ 8,5 = 5,5kN
MC = 0
3+ 8,5 8+ 9,33 12 + VE = 0
VC E = 5,5 8= 2,5kN
MD = 3´ 4+ 8,5 ´ 38´ 2= 2,5kN
VE = 5,17 kN
VC D = 2,5kN
M = 0 å
VD E = 2,5kN
M = 0 å C
V
E
VD D = 2,5 + 9,33 = 6,83kN 12 ´ 1,5 VD ´ 38,5 ´ 6+ 8´ 5+ 3´ 7= 0 VE = 6,83 12 = 5,17 kN 18 V ´ 351 + 40 + 21 = 0 D
VD = 9,33kN
MA = 0