Matemรกtica 1
CONJUNTOS NUMร RICOS www.cursoselecao.com.br
Noções Básicas de Conjuntos Numéricos 3. Elemento Neutro: a + 0 = a
Para começarmos o nosso Curso de Matemática, vamos conhecer, primeiramente, os conjuntos numéricos necessários à Fase I.
Obs.: Estas propriedades aplicam-se aos números inteiros, racionais e reais.
1 – Conjuntos dos Números Naturais
2 – Subtração
É o conjunto de números mais simples. O número natural é resultado do processo de contagem.
M – S = R Resto ou Diferença
Minuendo ; Subtraendo
Notação IN IN = { 0, 1, 2, 3, ... }
3 – Multiplicação
2 – Conjunto dos Números Inteiros
a
x
b
=
p
Multiplicando ; Multiplicador ; Produto
Nos naturais, não faz sentido a subtração 2 – 3. Assim, precisou-se ampliar o conjunto dos naturais e criar números negativos.
a e b são chamados também de fatores.
Notação Z
Propriedades:
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
1. Comutativa: a x b = b x a 2. Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c
3 – Conjunto dos Números Racionais
3. Elemento Neutro: a x 1 = a 4. Distributiva: a x (b + c) = a x b + a x c
Nos inteiros não faz sentido a divisão 5 : 2. Assim, novamente, houve a necessidade de ampliação dos conjuntos já existentes.
Obs.: Estas propriedades aplicam-se aos números inteiros, racionais e reais.
Notação Q Q={ x = Exemplo:
a b 2 3
4 – Divisão
, a e b inteiros e b ≠ 0 } ;
1 2
;
−3 4
;
4.1) Divisão Exata
−7
3
Ainda existe o conjunto dos números Reais, ℜ, mas trataremos dele mais tarde.
: b
= q ⇔ b . q = a , a, b, q ∈IN
Dividendo ; Divisor
; Quociente
b≠0
4.2) Divisão Inexata ou Não-Exata
Operações Fundamentais com Números Naturais
Nem sempre, ao dividirmos dois números naturais, encontraremos um quociente natural que multiplicado pelo divisor seja igual ao dividendo, mas podemos achar um número que multiplicado pelo divisor resulte em um número menor que o dividendo e que esteja o mais próximo possível dele.
1 – Adição
a
a+b=c Parcelas Soma
Por exemplo: 15 : 4. Não existe um número natural que multiplicado por 4 seja igual a 15.
Propriedades:
Procuremos para quociente, um número natural que multiplicado por 4 resulte num número que esteja o mais próximo possível de 15 e que seja menor que ele.
1. Comutativa: a + b = b + a 2. Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c
13
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Operações com Números Naturais
4x1=4 4x2=8 4 x 3 = 12 4 x 4 = 16
1) Quando para, mais facilmente, efetuarmos a adição 48 + 17 + 102, consideramos 102 + 48 + 17 estaremos usando a propriedade ______________.
Desta forma, o quociente é 3. A diferença entre 15 e 4 x 3 = 12 é o resto da divisão, portanto o resto é 3.
2) Quando substituímos a adição 45 + 55 + 78 por 100 + 78 estamos empregando a propriedade _______________.
Sejam: D dividendo, d divisor, q quociente, r resto
3) Quando para, mais facilmente, efetuarmos a multiplicação 25 x 57 x 4 consideramos 4 x 25 x 57 usamos a propriedade ________________. 4) Quando para, mais facilmente, efetuarmos o produto 18 x 14, consideramos 18 x (10 + 4) usamos a propriedade ______________. Relação fundamental da Divisão: D = d . q + r
5) Faça mentalmente os seguintes cálculos:
Tente explicar, agora, os seguintes fatos:
a - 1018 + 5004
1. menor resto possível da divisão é 0.
b - 70405 + 3070
2. maior resto possível da divisão é d – 1.
c - 535 x 4
Exemplos:
d - 312 x 5
a) Na divisão por 38, qual o maior resto possível ?
e - 20 x 314 x 5
38 – 1 = 37 é o maior resto possível.
f - 25 x 40
b) Na divisão de um número natural por 8, o quociente é 3 e o resto é o maior possível. Qual o valor do dividendo ?
g - 99 x 5 h - 999 x 3 i - 98 x 3 6) O triplo do produto de 10 x 5 x 6 é 30 x 15 x 18, verdadeiro ou falso ? __________.
Expressões envolvendo as 4 operações
7) O triplo da soma 10 + 5 + 6 é 30 + 15 + 18, verdadeiro ou falso ? __________.
Numa expressão matemática, há uma hierarquia da ordem de se efetuar as operações. Multiplicação e divisão devem ser efetuadas antes das adições e subtrações. Parêntesis, colchetes e chaves são usados para alterar esta hierarquia. Vejamos alguns exemplos:
8) Se numa divisão de números naturais o maior resto possível é X, o divisor será ? ____________. 9) Se numa divisão, o divisor é 4, o quociente é Q e o resto R, então o dividendo D será igual a: ______________.
1) 3 + 2 x 4 = 3 + 8 = 11
10) O menor número positivo que dividido por 45 dá quociente igual ao resto é ______________.
2) 18 – 8 : 2 = 18 – 4 = 14 3) (3 + 2) x 4 = 5 x 4 = 20
11) O menor valor do dividendo de uma divisão, cujo quociente e o resto são iguais a 5, é ______.
4) (18 – 8) : 2 = 10 : 2 = 5 5) {5 x [1 + 6 : (2 + 4)]} = {5 x [1 + 6 : 6]} = {5 x [ 1 + 1]}
12) O dividendo de uma divisão, cujo divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível é ____.
= {5 x 2} = 10
13) O maior número que podemos somar ao dividendo de uma divisão, cujo divisor é 8 e o resto é 3, sem que o quociente se altere é _________.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
14
14) Faça a divisão euclidiana e ache o quociente e o resto da divisão:
19) Uma planta aquática tem a propriedade de dobrar sua superfície a cada dia que passa. Colocando-se uma muda dessa planta em um lago, em 30 dias ela cobrirá todo o lago. Em quantos dias ela cobrirá a metade do lago?
a) 45327 : 214 b) 1023 : 6 c) 225734 : 15 d) 700006 : 14
20) (Colégio Naval / 94)
15) Efetue: a) 8 : 4 x 2 =
b) (8 : 4) x 2 =
c) 8 : (4 x 2) = d) 15 – (20 : 4 x 2) : 5 = e) 8 x 4 : 2 =
A área esquemática acima representa um pátio para estacionamento de veículos. Reservando-se um espaço retangular mínimo de 2m por 3m para cada um, quantos veículos no máximo pode-se ali estacionar?
f ) 6 + 12 : 4 x 5 = g) 20 – (3 x 8 + 6) : 3 = 16) Um jardineiro tem uma torneira e 10 roseiras em linha reta. A torneira dista 50m da primeira roseira e cada roseira dista 2m da seguinte. Para regar as roseiras, o jardineiro enche o balde na torneira e despeja seu conteúdo na 1ª roseira. Volta à torneira e repete a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última roseira e voltar a torneira para deixar o balde, ele terá andado quantos metros?
a) 1150 b) 1155 c) 1160 d) 1166 e) 1170
Questões Avançadas 17) Em uma escola vai ser organizado um campeonato de pingue-pongue com 128 participantes. O sistema utilizado será o de jogos eliminatórios (quem perde cai fora e quem ganha passa a fase seguinte). Quantas partidas terão de ser disputada para se conhecer o campeão do torneio?
1) Quantos números existem que, divididos por 54, dão quociente 17 ? _______________.
2) Um número tem 8 algarismos e outro 4. O produto deles tem no mínimo _____ algarismos e no máximo_____ algarismos.
18) Mauro mora em Rio Branco, no Acre, e foi a Natal, no Rio Grande do Norte, participar de um campeonato de futebol. Na chegada, o relógio marcava 8h, mas ele não sabia que havia uma diferença de fuso horário entre Rio Branco e Natal e deveria ter adiantado seu relógio em 2 horas. O técnico avisou que todos teriam 3 horas livres até o horário do jogo. Sabendo que, quando Mauro chegou ao estádio, seu relógio marcava 12h, concluímos que Mauro chegou na hora, atrasado ou adiantado? Se chegou adiantado ou atrasado, em quanto tempo?
3) Um número de 6 algarismos começa, à esquerda por 1. Mudando-se esse algarismo 1 da esquerda para direita, o número obtido é o triplo do primeiro. Qual é esse número ? __________.
4) Achar um número de três algarismos cujo produto por 7 termina à direita por 171. _______.
15
CONJUNTOS NUMÉRICOS
5) Cada letra abaixo representa um algarismo diferente. Quem é o dividendo e o divisor ?
2) (ENEM/99) Imagine uma eleição envolvendo 3 candidatos A, B e C 33 eleitores (volantes). Cada eleitor vota fazendo uma ordenação dos três candidatos. Os resultados são os seguintes: Ordenação
Nº de votantes
ABC
10
ACB
04
BAC
02
BCA
07
CAB
03
CBA
07
Total
33
6) Substitua as figuras por algarismos (figuras iguais, algarismos iguais).
A primeira linha do quadro descreve que 10 eleitores escolheram A em 17 lugar, B em 2º lugar, C em 3º lugar e assim por diante.
Considere o sistema de eleição no qual cada candidato ganha 3 pontos quando é escolhido em 1º lugar, 2 pontos quando é escolhido em 2º lugar e 1 ponto se é escolhido em 3º lugar . O candidato que acumular mais pontos é o eleito. Neste caso,
Questões Complementares 1) Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único objeto disponível para pesagem é uma balança de 2 pratos, sem os pesos metálicos.
a) A é eleito com 66 pontos.
Realizando exatamente duas pesagens, é possível montar pacotes de:
d) B é eleito com 70 pontos.
b) A é eleito com 68 pontos. c) B é eleito com 68 pontos.
e) C é eleito com 68 pontos.
a) 3kg ou 6kg
3) (Curso Seleção/99) Sabendo que o dia 1º de janeiro de um ano X ocorreu numa 2ª, podemos concluir que o 283º dia desse mesmo ano X ocorreu:
b) 3kg; 6kg ou 12 kg c) 6kg; 12kg ou 18 kg d) 4kg ou 8kg
a) 3ª feira
e) 4kg ou 6kg
b) 4ª feira c) 5ª feira d) 6ª feira e) sábado 4) (C.Naval/91) Considere a seguinte subtração, onde x, b e z são algarismos: 864x -x 6 8 4 bxbz Logo, x + b + z é igual a:
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
CONJUNTOS NUMÉRICOS
16
5) Era uma lagarta tão pequena que quase sumia. Iniciando no chão, na grande palmeira subia. Usando sempre do máximo de energia, todos os dias 7 metros para cima fazia, mas à noite, sempre 5 metros descia.
9) (C.Naval/2002) Quatro corredores, João, Pedro, André e Fábio combinaram que, ao final de cada corrida, o que ficasse em último lugar dobraria o dinheiro que cada um dos outros possuía. Competiram 4 vezes e ficaram em último lugar na 1ª, 2ª, 3ª e 4ª. Corridas, respectivamente, João, Pedro, André e Fábio. Se no final da 4ª competição, cada um ficou com R$ 16,00, então, inicialmente João possuía.
Ao anoitecer do 10º dia, a subida teve fim. Diga baixinho, só para mim, qual a altura da palmeira do jardim?
a) R$ 5,00 b) R$ 9,00 c) R$16,00
6) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias?
d) R$ 17,00 e) R$ 33,00 10) (C.Naval/2002) Um torneio de judô é disputado por 10 atletas e deve ter apenas um campeão. Em cada luta não pode haver empate e aquele que perder três vezes deve ser eliminado da competição. Qual o número máximo de lutas necessário para se conhecer o campeão?
7) Uma caixa com 12 livros custa R$ 250,00, uma embalagem com 3, R$ 125,00 e cada livro separado custa R$ 50,00. Qual é o maior número de livros que uma escola pode comprar com R$ 1.490,00?
a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31
8) Um oficial precisava colocar caminhões de 8m de comprimento, um atrás do outro, com uma distância de 3m entre os caminhões, numa pista de 262 m de comprimento. Sabendo-se que o primeiro caminhão será colocado no início da pista, qual o número máximo de caminhões a serem colocados?
Anotações
262m
17
CONJUNTOS NUMÉRICOS