ERROKETA
3. DBH
1.- FAKTOREAK ERROTIK ATERA. ZENBAKI ARRAZIONALAK ETA IRRAZIONALAK. •
Errokizunaren faktore baten berretzailea errotzailearen multiploa baldin bada, errotik kanpo atera daiteke eta zenbakia arrazionala izanen da.
( )
4
256 = 4 2 8 = 4 22
3
0 ,008 = 3
4
4
zeren (± 4) = 256 den
= 4 4 4 = ±4
.
3
8 23 2 2 =3 3 =3 = = 0 ,2 zeren (0,2)3 = 0,008 den. 1000 10 10 10
Hau beste modu batez ere egin daiteke: berretzailea errotzailearen multiploa denez, 2 ateratzen ahal dugu errotik eta bere berretzaile berria izanen da barruan duen berretzailea eta errotzailearen arteko zatidura: 4
256 = 4 2 8 = 2 (8÷4) = ±22 = ±4
Adibide gehiago:
•
5
1024 = 5 210 = 22 = 4 eta zenbaki arrazionala da
3
3375 = 3 3 3 53 = 3 5 = 15 zenbakia arrazionala da
Errokizunaren faktore baten berretzailea errotzailea baino txikiagoa da faktorea ezin da atera eta zenbakia irrazionala izanen da. 3
•
.
4 = 3 22 eta zenbaki irrazionala da
.
Errokizunaren faktore baten berretzailea errotzailea baino handiagoa da faktorea atera daiteke eta zenbakia irrazionala izanen da, faktoreren bat atera gabe geldituko zaigulako erro barruan. 3
32 = 3 2 5 = 3 2 3 2 2 = 2 12 = 2 2 3 = 2
3
22 = 2
3
4 eta zenbaki irrazionala da .
3 eta zenbaki irrazionala da
.
Zenbaki handia bada, faktore lehenetan deskonposatuko dugu:
Ohar inportantea: Bakarrik biderkagaiak atera daitezke. Batugaiak ezin dira atera:
9 + 16 = 25 = 5 eta oso gaizki dago: 9 + 16 = 3 + 4 = 7 egitea.
ARIKETA 1 . Atera itzazu erro barrutik ahal dituzun faktoreak eta erabaki zenbaki arrazionalak edo irrazionalak diren: 3
a)
8
h)
16
b)
18
i)
3
250
c)
45
j)
4
32
d)
27
k)
e)
48
l)
f)
75 24
m)
27 125 3
256 3
512
a) ataleko ariketa beste ikuspuntu batetik egiaztatu dezakezu Pitagorasen teorema erabiliz. Pitagorasen teorema gogoratzen duzu? Triangelu zuzen batean hipotenusaren berbidura, katetoen berbiduren baturaren berdina da.
Erabili Pitagorasen teorema ondorengo zuzenkiak neurtzeko eta egiaztatu beraien arteko erlazioa grafikoki eta aritmetikaren arauak erabiliz:
Hona hemen Teodoro-ren kiribila. Azaldu ondoan nola lortu diren bertan agertzen diren neurriak.
ARIKETA 2 . Kalkulatu ondorengoak: 23 25
24 25
b)
1+
22 52
d)
4 2 + 22 3
a)
1+
c)
12 +
2 ⋅ 1 − 3
2.- FAKTOREAK ERROAN SARTU. Kanpoko gaiaren berretzailea errotzailearekin biderkatzen da barruan sartzeko. Bakarrik biderkagaiak sartu daitezke.
2 12 = 22 ⋅ 12 = 412 = 48 ...
..
22 ⋅ 3 5 = 3 2 6 ⋅ 5 = 3 2 5 ⋅ (2 ⋅ 5) = 3 320 .
ARIKETA. Sartu itzazu erro barruan ahal dituzun faktoreak. a) 5 3
b) 3 ⋅ 3 9
c) 2 ⋅ 4 8
d) 5 3 ⋅ 125
n
3.- ERROA BERREKETA ERAN IDATZI. 2 = 21 / 2
Adibideak:
1 = 3
3
1 1 1 = = 1/2 = 3 3 3
3
4
8 = 81 / 4 = 23
( )
1/4
= 23 / 4
→→
8 4
a
23 = 23 / 2
5 = 51 / 3
1/2
−1 / 2
n m = m /n
a = a1/n
−1 / 3
1 = 8
=3
ARIKETA 1. Jarri ondoko berreketak erro moduan eta kalkulatu: b) 1251 / 3
c) 6251 / 4
d) 1024 1/5
e) 27 −1 / 3
f) 100
g) 8
_ 2/3
_ 1/2
h) 0 ,013 / 2
4
73 = 73 / 4
1/3
23 = 23 / 4
a) 4 1 / 2
a
1 1 1 1 1 = = 1/3 = 3 = 8 2 8 8 2
ARIKETA 2. Jarri ondoko erroketak berreketa moduan: 5
b)
3
9
c)
27
d)
5
4
e)
1 7
f)
4
a)
4
1 5
k⋅n k⋅m = k⋅m/k⋅n = m/n = n m
a
4.- ERROA SINPLIFIKATU.
a
a
a
Erroa jar daitekeenez berreketa moduan berretzaile zatikiarra erabiliz, zatiki hau sinplifikatu badaiteke hasierako erroaren adierazpena zatitu daiteke. 4
Adibideak:
4 = 4 2 2 = 2 2 / 4 = 21 / 2 = 2
Hau zuzenean egin daiteke berreketa moduan jarri gabe, zuzenean errotzailea eta berretzailea bien Z.K.H-rekin zatituz
ARIKETA. Sinplifikatu ondoko erroak: a)
6
44
b)
6
27
c)
4
256
d)
8
0,000001
5.- ERROTZAILE BEREKO ERROEN ARTEKO BIDERKETA ETA ZATIKETA. n
n
n
a ⋅n b = a 1 /n ⋅ b 1 /n= (a⋅b) 1 /n = n a⋅b
a÷ b =a
1 /n
÷b
1 /n=
(a ÷b)
1 / n= n
na a a ÷b ↔ n = n b b
Errotzaile bereko erroak biderkatzeko eta zatitzeko, errotzaile bera mantentzen da eta errokizunak biderkatzen edo zatitzen dira, egiten ari garen eragiketaren arabera.
3 ⋅ 18 = 54 = 33 ⋅ 2 = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 6
Adibideak: 3
4 /3 10 / 3 = a(4 / 3+10 / 3 ) = a14 / 3 = 3 a14 = 3 a12 . a2 = a4 ⋅ 3 a2 a4 . 3 a10 = 3 a14 = a ⋅ a
2 5 2 5 = 4 25 = 4 5 = 20 ⋅
⋅
. 5
32 ÷ 5 4 = 5 8 = 321 / 5 ÷ 4 1 / 5 = (32 ÷ 4 )1 / 5 = 8 1 / 5 = 5 8 ............
...... .....
ARIKETA. Laburtu ahalik eta gehien: a)
2⋅ 5
b)
6⋅ 2
c)
2⋅ 3⋅ 6
d)
6 ⋅ 12 ⋅ 8
e) 2 2 ⋅ 3 5 ⋅ 5 7
(
) (
g) 4 12 ÷ 2 3 i) 5 ⋅ k)
4
512 216 3 9 j) 3 81
)
h)
3 8 ⋅ = 4 27 7
3
f) 5 27 ⋅ 4 6
2 3 2 ÷ 7 7
3
l)
4
15 125 5
Oharra: errealitatean errotzaile desberdineko biderketak eta zatiketak egin daitezke, datorren ikasturtean ikasiko dugu nola. Baina hona hemen aurrerapen bat: 3
5. 5 = 51 / 3 ⋅ 51 / 2 = 5 (1 / 3+1 / 2 ) = 55 / 6 = 6 55
6.- ERROEN ARTEKO BERREKETA ETA ERROKETA. m
( n a )m = a1 / n = am /n = n am
np
a= a
( 3 ) = (3 ) 3
Adibideak:
( 7) 3
6
n 1/p
1/2 3
= a1 / p
1/n
= a1 /p⋅n = n ⋅p a
= 33 / 2 = 33 = 32 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3
= 3 7 6 = 72 = 49 ...........
ARIKETA. Laburtu ahalik eta gehien: a)
( 9)
b)
(
25
)
c)
( 8)
d)
(
27
)
e)
8
f)
3
2
3
4
5
3
32
3
7.- ERROTZAILE ETA ERROKIZUN BEREKO ERROEN ARTEKO BATUKETA. Erroak batu eta kentzeko, errotzaile eta errokizun bera izan behar dute, hau da, antzeko erroak izan behar dira ( erroak biderkatzen dituen koefizientea izan daiteke ezberdintasun bakarra).
2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 = (2 + 4 ) ⋅ 3 = 6 ⋅ 3
Adibideak:
3
2 − 4 ⋅ 3 2 = (1 − 4 ) ⋅ 3 2 = −3 ⋅ 3 2 ...
5−
Ohar inportantea:
2 1 2 5 = 1 − ⋅ 5 = 5 3 3 3
.
2 + 3 eta 2 + 3 2 bezalako eragiketak ezin dira egin.
Erroek errokizun desberdina dutenean, begiratu behar da errokizunetik biderkagaiak atera daitezke erro antzekoak izateko eta batuketa egin ahal izateko:
18 + 50 − 2 − 8 dagoen bezala ezin da egin baina begiratu hurrengoa:
Adibidea:
18 + 50 - 2 - 8 = 2 32 + 2 52 - 2 - 2 3 = 3 2 + 5 2 - 2 - 2 2 = 5 2 •
•
ARIKETA. Laburtu ahalik eta gehien: 5− 5
a)
c) 2 45 − 3 20 e)
3
81 + 3 24
g)
33 1 1 2+ 3 2− 3 2 4 2 6
b)
6− 2
d) 3 28 − 5 7 f) 5 48 + 12 h)
12 + 75 − 27
8.- IZENDATZAILEA ARRAZIONALIZATU. Zenbait kasutan interesatzen ahal zaigu horrelako eragiketa egitea:
1 2
+
2 3
Zatikiak batzeko izendatzaile komuna jarri beharko genuke... Kasu hauetan egiten dena da erroa izendatzailean duen zatikiaren zatiki baliokide bat lortu, izendatzaile osoa duena. Horregatik prozesu honi izendatzailea arrazionalizatzea deitzen zaio, izendatzaile irrazional bat arrazional bihurtuko baitugu. Prozedura hau da:
•
Zatiki baten izendatzailean erro karratua agertzen bada, zatiki baliokide bat lortzen ahal dugu, zenbakitzailea eta izendatzailea erro karratu berberarekin biderkatuz:
1 2
=
1 2
⋅
2 2
=
2 4
=
2 2
Lehengo batuketa horrela eginen genuke:
1 2
Beste adibide bat:
•
+
2 2 2 3 2 2 2 5 2 = + = + = 3 2 3 6 6 6
9 9 3 9 3 9 3 = ⋅ = = =3 3 3 3 3 3 9
Zatiki baten izendatzailean karratua ez den erroa agertzen bada, zatiki baliokide bat lortzen ahal dugu, zenbakitzailea eta izendatzailea dagokion erro berberarekin biderkatuz:
4 4 3 22 4 ⋅ 3 4 4 ⋅ 3 4 = ⋅ = = =2⋅3 4 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2
ARIKETA. Arrazionalizatu izendatzaileak: a)
5 5
b)
c)
5 3
d)
e)
3 3
2⋅ 4
f)
3 5 25 5
4
2 12 5 3